Libro MB 2014

1MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA CAPÍTULO I ECUACIONES E INECUACIONES http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/pioneers/kelvin.html 1.1. INECUACIÓN Desigualdad: Es la relación de orden que establece que dos cantidades tienen diferente valor.Los signos que se utilizan para designar desigualdades son: >que se lee: “mayor que” <que se lee: “menor que” >que se lee: “mayor o igual que” sque se lee: “menor o igual que” Inecuación Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o incógnitas. Ejemplo La desigualdad: 2 1 5 x x + > + , es una inecuación porque tiene una incógnita “ x ” que se verifica para valores mayores de 4. Conjunto solución de una inecuación: • Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado. La vida y el alma de la ciencia es su aplicación práctica, y al igual que los grandes avances en matemáticas se han hecho a través del deseo de descubrir la solución de los problemas que son de tipo muy práctico en la ciencia matemática, en la ciencia física muchos de los mayores avances que se han hecho desde el principio del mundo hasta la actualidad se han realizado con un serio deseo de convertir el conocimiento de las propiedades de la materia algo útil para la humanidad. William Thomson Kelvin 2 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA • Es todo valor de la incógnita, o conjunto de valores de las incógnitas, que verifican la desigualdad. Propiedades Para resolver inecuaciones se aplican las siguientes propiedades de las desigualdades: 1. Cuando se suma o resta un mismo término en ambos miembros de una inecuación se obtiene una inecuación equivalente. 2. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecuación por un número o cantidad positivos, la inecuación resultante es equivalente; si este número o cantidad son negativos, la inecuación resultante es también equivalente, pero ha de invertirse el signo de la desigualdad. Estas propiedades se utilizan, al igual que en las ecuaciones, para transponer términos y obtener las raíces o soluciones. PASOS PARA RESOLVER INECUACIONES 1. Suprimimos signos de colección. 2. Hacemos transposición de términos escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la inecuación. 3. Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro. 4. Despejamos la incógnita. 1.2. INECUACIONES DE PRIMER GRADO Son aquellas que tienen la forma 0 0 0 0 ax b ax b ax b ax b + < v + s v + > v + > Donde 0 a = Ejemplo Resolver la siguiente inecuación 3 1 8 x x + s + Solución Transponiendo términos se tiene 2 7 x s así 7 / 2 x s Por lo tanto, el conjunto solución es 7 7 . . / ; 2 2 C S x x ¦ ¹ ( ( = s = ÷· ´ ` ( ( ¹ ) ¸ ¸ Gráficamente se tiene: 3 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 1.3. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Son aquellas que tienen la forma: 2 2 2 2 0 0 0 0 ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c + + > v + + > v + + s v + + < Para resolver una inecuación de segundo grado se debe tener en cuenta lo siguiente: A) Si 2 4 0 b ac A = ÷ > entonces el término cuadrático se puede factorizar. Es decir: 2 1 2 ( )( ) ax bx c x x x x + + = ÷ ÷ Ahora se determinará el conjunto solución para cada caso Primer Caso: 2 1 2 ( )( ) 0 ax bx c x x x x + + = ÷ ÷ > Se ubican los puntos críticos (PC) del polinomio en la recta real y se divide la recta en tres intervalos. Es decir: { } { } { } 1 2 1 2 / ( ) 0 / ( )( ) 0 ; PC x P x x x x x x x x = = = ÷ ÷ = = Luego, ubicar los signos en cada intervalo teniendo en cuenta la siguiente técnica: “multiplicar los coeficientes principales de cada factor lineal y colocar en el primer intervalo de la derecha el signo del resultado de esa multiplicación”. Es decir, el coeficiente principal en cada factor es 1 por lo tanto la multiplicación también es 1 y tiene signo positivo por lo tanto, se inicia consigo positivo. En los intervalos siguientes se escribe en forma alternada – y +. Es decir: Para dar la respuesta se debe seleccionar los intervalos que tienen el signo positivo pues la inecuación es mayor o igual a cero. Es decir: | | | | 1 2 ; ; CS x x = ÷· +· 7 2 ÷· +· 1 x 2 x +· ÷· 1 x 2 x +· ÷· + 1 x 2 x +· ÷· + – + 4 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Ejemplo Resolver la inecuación 2 2 3 1 0 x x + + > Solución Factorizando por el aspa simple se tiene 2 2 3 1 (2 1)( 1) 0 x x x x + + = + + > Los puntos críticos son 1 ; 1 2 ¦ ¹ ÷ ÷ ´ ` ¹ ) Segundo Caso: 2 1 2 ( )( ) 0 ax bx c x x x x + + = ÷ ÷ s Se ubican los puntos críticos (PC) del polinomio en la recta real y se divide la recta en tres intervalos. Es decir: { } { } { } 1 2 1 2 / ( ) 0 / ( )( ) 0 ; PC x P x x x x x x x x = = = ÷ ÷ = = Luego, ubicar los signos en cada intervalo teniendo en cuenta la siguiente técnica: “multiplicar los coeficientes principales de cada factor lineal y colocar en el primer intervalo de la derecha el signo del resultado de esa multiplicación”. Es decir, el coeficiente principal en cada factor es 1 por lo tanto la multiplicación también es 1 y tiene signo positivo por lo tanto, se inicia consigo positivo. En los intervalos siguientes se escribe en forma alternada – y+. Es decir: Para dar la respuesta se debe seleccionar los intervalos que tienen el signo negativo pues la inecuación es menor o igual a cero. Es decir: | | 1 2 ; CS x x = Nota. 1 x 2 x +· ÷· 1 x 2 x +· ÷· + 1 x 2 x +· ÷· + – + 1 x 2 x +· ÷· 5 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA - En los casos 2 2 0 0 ax bx c ax bx c + + > v + + < los intervalos del conjunto solución son abiertos - Para factorizar se puede usar: Aspa simple, completar cuadrados o fórmula general. B) Si 2 4 0 b ac A = ÷ < y 0 a > entonces el término cuadrático es mayor que cero y no se puede factorizar en el campo de los números reales. Es decir: - Si la inecuación es 2 0 ax bx c + + > entonces el C.S. = R - Si la inecuación es 2 0 ax bx c + + s entonces el C.S. =| Ejemplos a) Resolver la siguiente inecuación 2 3 2 1 0 x x + + > Solución Identificando coeficientes se tiene: a = 3, b = 2 y c = 1. Luego, 2 2 4(3)(1) 8 0 3 0 y a A = ÷ = ÷ < = > entonces C.S. = R b) Resolver la siguiente inecuación 2 5 3 2 0 x x ÷ + < Solución Identificando coeficientes se tiene: a = 5, b = –3 y c = 2. Luego, 2 ( 3) 4(5)(2) 31 0 5 0 y a A = ÷ ÷ = ÷ < = > entonces C.S. =| C) Si 2 4 0 b ac A = ÷ < y 0 a < entonces el término cuadrático es mayor que cero y no se puede factorizar en el campo de los números reales. Es decir: - Si la inecuación es 2 0 ax bx c + + > entonces el C.S. =| - Si la inecuación es 2 0 ax bx c + + s entonces el C.S. = R Ejemplos a) Resolver la siguiente inecuación 2 2 3 2 0 x x ÷ + ÷ > Solución Identificando coeficientes se tiene: a = –2, b = 3 y c = –2. Luego, 2 3 4( 2)( 2) 7 0 2 0 y a A = ÷ ÷ ÷ = ÷ < = ÷ < entonces C.S. =| b) Resolver la siguiente inecuación 2 2 0 x x ÷ + ÷ < Solución Identificando coeficientes se tiene: a = –1, b = 3 y c = –2. Luego, 2 (1) 4( 1)( 2) 7 0 1 0 y a A = ÷ ÷ ÷ = ÷ < = ÷ < entonces C.S. = R D) Si 2 4 0 b ac A = ÷ = , el término cuadrático es un trinomio cuadrado perfecto y se tiene los siguientes casos 6 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA - Si la inecuación es 2 2 1 ( ) 0 ax bx c mx x + + = ÷ > entonces el C.S. = R - Si la inecuación es 2 2 1 ( ) 0 ax bx c mx x + + = ÷ s entonces el C.S. = 1 x m ¦ ¹ ´ ` ¹ ) Ejemplos a) Resolver la siguiente inecuación 2 4 4 0 x x ÷ + > Solución Identificando coeficientes se tiene: a = 1, b = -4 y c = 4. Luego, 2 ( 4) 4(1)(4) 0 A = ÷ ÷ = entonces 2 ( 2) 0 x ÷ > . Por lo tanto, C.S. = R b) Resolver la siguiente inecuación 2 4 4 1 0 x x + + s Solución Identificando coeficientes se tiene: a = 4, b = 4 y c =1. Luego, 2 (4) 4(4)(1) 0 A = ÷ = entonces 2 (2 1) 0 x + s . Por lo tanto, C.S. = 1 2 ¦ ¹ ÷ ´ ` ¹ ) 1.4. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR Son aquellas que tienen la forma: ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 P x P x P x P x > v > v s v < Donde P(x) es un polinomio de grado n. Para resolver una inecuación polinómica de grado n se debe tener en cuenta lo siguiente: 1. Factorizar elpolinomio de grado n. 2. Hallar los valores críticos del polinomio P(x) y ubicarlos en la reta real. 3. Determinar los signos en cada intervalo obtenido 4. El conjunto solución es la unión de todos los intervalos que tengan el signo determinado por el polinomio factorizado y simplificado. PRIMER CASO: El polinomio p(x) se factoriza en factores lineales diferentes 1 2 3 ( ) ( )( )( ) ( ); ( ) n P x x x x x x x x x n Grado de P x = ÷ ÷ ÷ ÷ = Ejemplo Resolver ( 1)( 2)( 3)( 4) 0 x x x x ÷ + ÷ + > Solución 7 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 1. El polinomio ya está factorizado ( ) ( 1)( 2)( 3)( 4) P x x x x x = ÷ + ÷ + 2. Valores críticos y ubicación en la recta real ( ) ( 1)( 2)( 3)( 4) 0 P x x x x x = ÷ + ÷ + = ( 1) 0 ( 2) 0 ( 3) 0 ( 4) 0 x x x x ÷ = v + = v ÷ = v + = 1 2 3 4 x x x x = v = ÷ v = v = ÷ 3. Signos de cada intervalo Nota En este caso los signos se ubican de derecha a izquierda y en forma alternada. Se inicia con el signo + pues la multiplicación de todos los coeficientes principales da como resultado un número positivo. 4. El conjunto solución es la unión de todos los intervalos que tengan el signo determinado por el polinomio factorizado y simplificado. Es decir: ( ) ( 1)( 2)( 3)( 4) 0 P x x x x x = ÷ + ÷ + > se lee: “El polinomio P(x) es mayor que cero”. Esto significa que se debe considerar los intervalos que tengan el signo positivo. Entonces el conjunto solución es: | | | | | | . . : 4 2;1 3; C S = ÷· ÷ ÷ +· SEGUNDO CASO: El polinomio p(x) se factoriza en factores lineales y algunos de ellos se repiten 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m n p z k P x x x x x x x x x = ÷ ÷ ÷ ÷ Donde: , , , m n p z + e tal que grado de ( ) grado de ( ) m n p P x z P x + + + = . < Ejemplo ÷2 1 +· ÷· ÷4 3 + – + ÷2 1 +· ÷· ÷4 3 – + 8 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Resolver 4 3 5 6 ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 0 x x x x ÷ + ÷ + s Solución 1. El polinomio ya está factorizado 4 3 5 6 ( ) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) P x x x x x = ÷ + ÷ + 2. Valores críticos y la recta real 4 3 5 6 ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 0 x x x x ÷ + ÷ + = 4 3 5 6 ( 1) 0 ( 2) 0 ( 3) 0 ( 4) 0 x x x x ÷ = v + = v ÷ = v + = 1 2 3 4 x x x x = v = ÷ v = v = ÷ Ubicar todos los valores críticos en la recta real Eliminar, en la inecuación, los factores que tienen un exponente par pues ellos siempre serán positivos y la inecuación no se altera. 3 5 ( 2) ( 3) 0 x x + ÷ s Estos factores, se pueden escribir: 2 4 ( 2)( 3)( 2) ( 3) 0 x x x x + ÷ + ÷ s Repetimos el paso anterior y se tiene: ( 2)( 3) 0 x x + ÷ s Ahora, para determinar los intervalos solo se toma encuenta los valores críticos –2 y 3. 3. Ubicamos los signos en cada intervalo como en el primer caso. 4. El conjunto solución es el intervalo que tiene el signo negativo y el punto crítico –4 pues el polinomio simplificado es menor o igual a cero. ( 2)( 3) 0 x x + ÷ s ÷2 1 +· ÷· ÷4 3 ÷2 1 +· ÷· ÷4 3 ÷2 1 +· ÷· ÷4 3 + – + 9 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Por lo tanto, | | { } . . 2;3 4 C S = ÷ ÷ TERCER CASO: El polinomio p(x) se factoriza y algunos de sus factores son términos cuadráticos irreducibles ( )( )( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 2 2 3 ( ) k P x a x b x c a x b x c x x x x = + + + + ÷ ÷ Donde, k es menor que el grado del polinomio. Ejemplo Resolver ( )( ) ( ) ( ) 3 5 2 2 2 2 2 3 4 0 x x x x x + + + ÷ + < Solución 1. El polinomio ya está factorizado ( )( ) ( ) ( ) 3 5 2 2 ( ) 2 2 2 3 4 P x x x x x x = + + + ÷ + En este caso se debe de analizar si los términos cuadráticos son irreducibles. Es decir si su discriminante es menor que cero. Es decir: - 2 2 x + es irreducible pues 2 0 4(1)(2) 8 0 A = ÷ = ÷ < - 2 2 2 x x + + es irreducible pues 2 2 4(1)(2) 4 0 A = ÷ = ÷ < Entonces, eliminando estos términos cuadráticos se tiene. ( 3)( 4) 0 x x ÷ + < 2. Valores críticos y la recta real ( 3)( 4) 0 x x ÷ + = ( 3) 0 ( 4) 0 x x ÷ = v + = 3 4 x x = v = ÷ Ubicar todos los valores críticos en la recta real 3. Ubicamos los signos en cada intervalo como en el primer caso. –4 +· ÷· 3 + – + –4 +· ÷· 3 10 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 4. El conjunto solución es el intervalo que tiene el signo negativo pues el polinomio simplificado es menor que cero. ( 3)( 4) 0 x x ÷ + < Por lo tanto, | | . . 4;3 C S = ÷ 1.5. INECUACIONES RACIONALES Una inecuación racional es una expresión de la forma: ( ) ( ) 0 , , ( ) P x Q x > > s < , donde ( ) P x y ( ) 0 Q x = son polinomios de grado n y m respectivamente. Para resolver una inecuación racional, usamos la propiedad: ( ) 0 ( ) ( ) 0, ( ) 0 ( ) P x P x Q x Q x Q x > · > = Luego se resuelve de forma análoga a las inecuaciones de grado superior. Ejemplo Resuelva la inecuación 5 0 3 x x + > ÷ Solución Usando la propiedad se tiene: 5 0 ( 5)( 3) 0; 3 3 x x x x x + > · + ÷ > = ÷ Los valores críticos son: { } 5;3 ÷ Ubicando estos valores en la recta real se tiene: Como la inecuación inicial es 5 0 3 x x + > ÷ entonces el conjunto solución será: ( | . . ; 5 3; C S = ÷· ÷ +· EJERCICIOS RESUELTOS + – + –5 +· ÷· 3 11 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 1. Resuelva la inecuación 6 3 3 (2 6) 2 4 x x x ÷ ÷ ÷ ÷ > Solución Multiplicando por 4 en ambos lados de la desigualdad se tiene: 12 6 8 24 3 x x x ÷ ÷ + > ÷ 3 21 7 x x > ÷ · > ÷ Por lo tanto, | | . . 7; C S = ÷ +· 2. Resuelva la inecuación100 6 4 121 x x x < + < ÷ Solución Usando la propiedad: Para todo , , , a b c R a b c a b b c e < < · < . < 100 6 4 6 4 121 x x x x < + . + < ÷ 100 6 4 6 121 4 x x x x ÷ < . + < ÷ 94 4 7 117 x x < . < 4 117 94 7 x x < . < Por lo tanto, 4 . . ; 94 C S ( = ÷· ( ¸ ¸ 3. Resuelva la inecuación 2 9 2 18 x x ÷ s ÷ Solución Pasando todos los términos al segundo miembro y ordenándolos se tiene: 2 0 2 9 18 x x s + ÷ 2 2 9 18 0 x x + ÷ > 117 7 4 94 – · + · 12 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Factorizando se tiene: (2 3)( 6) 0 x x ÷ + > Así los puntos críticos son: 3 , 6 2 x x = = ÷ Por lo tanto, el conjunto solución es: | | 3 . . ; 6 ; 2 C S = ÷· ÷ +· ¸ ¸ 4. Resuelva la inecuación 4 2 4 0 x x ÷ s Solución Factorizando el polinomio se tiene: 2 ( 2)( 2) 0 x x x + ÷ s Los valores críticos son: 2 0;( 2) 0;( 2) 0 0; 2; 2 x x x x x x = + = ÷ = ¬ = = ÷ = Ubicar estos valores en la recta real. Luego, simplifiquemos el termino x 2 y obtenemos la inecuación simplificada. ( 2)( 2) 0 x x + ÷ s Ahora, dividimos la recta real en tres intervalos y determinamos los signos en cada uno de ellos. El polinomio simplificado es menor o igual a cero, entonces el conjunto solución es el intervalo que tiene el signo negativo. Es decir | | . . 2; 2 C S = ÷ + · −6 3/2 – · – + + –2 2 0 + · – · –2 2 + + 0 – + · – · 13 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 5. Resuelva la inecuación 4 2 4 0 x x ÷ < Solución: Este ejercicio se resuelve igual que el anterior pero se debe tener cuidado con el tipo de desigualdad pues en este caso es una desigualdad estricta y eso implica que los valores críticos no pertenecen al conjunto solución entonces se debe quitar los valores críticos del conjunto solución. Es decir, en el ejercicio 4 los valores críticos { } 2; 0; 2 ÷ son parte de la solución y el conjunto solución es el intervalo cerrado| | 2; 2 ÷ . En este ejercicio los valores críticos { } 2; 0; 2 ÷ no son parte de la solución entonces el conjunto solución para esta inecuación es: | | { } | | { } . . 2; 2 2;0; 2 2; 2 0 C S = ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ 6. Resuelva la inecuación 4 3 2 3 13 9 30 0 x x x x ÷ ÷ + + > Solución Factorizando por el método de Ruffini el polinomio queda de la siguiente forma: 2 ( ) ( 2)( 5)( 3) P x x x x = + ÷ ÷ Los valores críticos del polinomio son: { } 2; 3; 3;5 ÷ ÷ Ubicando esos valores en la recta real, determinando los intervalos y sus respectivos signos se tiene: Por lo tanto, como el polinomio dado es mayor que cero se toman los intervalos que tienen el signo positivo y se tiene el siguiente conjunto solución: | | . . ; 2 3;0 3; C S ( ( = ÷· ÷ ÷ +· ¸ ¸ ¸ ¸ 7. Resuelva la inecuación 3 2 9 6 0 x x x + + > Solución Factorizando el polinomio se tiene 2 (3 1) 0 x x + > , luego los valores críticos son 1 ; 0 3 ¦ ¹ ÷ ´ ` ¹ ) . –2 0 + + 3 ÷ + – – 3 + · – · 14 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Por otro lado, simplifiquemos el término 2 (3 1) x + y se obtiene 0 x > Por lo tanto, el conjunto solución es: | | . . 0; C S = +· Nota: En este caso no es necesario quitar del C.S. el valor crítico -1/3 pues éste número no pertenece al C.S. 8. Resuelva la inecuación: 5 4 3 2 2 51 128 260 336 0 x x x x x ÷ ÷ + + ÷ > Solución Factorizando el primer miembro de la inecuación, se tiene: ( 7)( 2)( 1)( 4)( 6) 0 x x x x x + + ÷ ÷ ÷ > Los valores críticos son: 7, 2, 1, 4, 6 x x x x x = = ÷ = = = Por lo tanto, el conjunto solución es: | | | | | | . . 7; 2 1; 4 6; C S = ÷ ÷ +· 9. Resuelva la inecuación 2 0 4 x x s ÷ Solución Factorizando el denominador se tiene 0 ( 2)( 2) x x x s ÷ + Aplicando propiedad se tiene: ( 2)( 2) 0; 2, 2 x x x x x ÷ + s = ÷ = Ubiquemos los valores críticos de en la recta real se tiene. Por lo tanto, el conjunto solución es: | | | | . . ; 2 0; 2 C S = ÷· ÷ – + – – + + ÷· + · 1 4 –2 6 –7 –2 2 – + 0 – + ÷· +· 15 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 10. Resuelva la inecuación 2 4 (2 1) ( 1) 0 ( 1) x x x x + ÷ s ÷ Solución Factorizando el denominador, se tiene: 2 2 4 2 (2 1) ( 1) (2 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)( 1) x x x x x x x x x x + ÷ + ÷ = ÷ + + ÷ Usando la propiedad se tiene: 2 2 (2 1) ( 1) ( 1)( 1)( 1) 0; 1; 0; 1 x x x x x x x x x + ÷ + + ÷ s = ÷ = = Los valores críticos son 1 1; ; 0;1 2 ¦ ¹ ÷ ÷ ´ ` ¹ ) , luego de simplificar los factores 2 2 (2 1) , ( 1) x x + + y 2 ( 1) x ÷ se tiene: ( 1) 0 x x + s Ubiquemos los valores críticos en la recta y determinemos los intervalos de solución. Por lo tanto el conjunto solución es: | | . . 1;0 C S = ÷ 11. Resolver la inecuación 2 3 3 2 x x ÷ > ÷ Solución Pasando todo los términos al primer lado de la desigualdad se tiene: 2 3 3 0 2 x x ÷ ÷ > ÷ Sacando mínimo común múltiplo se tiene: 3 0 ( 3)( 2) 0; 2 2 x x x x x ÷ > · ÷ + ÷ > = ÷ Los valores o puntos críticos son: { } 2;3 1 2 ÷ –1 0 1 + ÷· +· – + 2 3 – ÷· +· + – El producto de los coeficientes principales es: (–1)(1) = –1 16 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Por lo tanto, el conjunto solución es | | . . 2;3 C S = 12. Resolver la inecuación 4 3 2 3 2 2 3 6 5 6 0 7 18 40 x x x x x x x + ÷ ÷ + s ÷ + ÷ Solución Factorizando en el numerador y denominador se tiene: 2 2 ( 2)(2 3)( 1) 0 ( 5)( 2 8) x x x x x x + + ÷ s ÷ ÷ + El factor tiene discriminante negativo, entonces se puede simplificar y la desigualdad no se altera. Entonces la inecuación simplificada es: 2 ( 2)(2 3)( 1) 0 ( 5) x x x x + + ÷ s ÷ Los valores críticos son 3 2; ;1;5 2 ¦ ¹ ÷ ÷ ´ ` ¹ ) . Luego, simplificar el término 2 ( 1) x ÷ y se tiene la siguiente inecuación equivalente ( 2)(2 3) 0 ( 5)( 2)(2 3) 0 ( 5) x x x x x x + + s · ÷ + + s ÷ Ubicando los valores críticos en la recta real se tiene: Por lo tanto, el conjunto solución es | | 3 . . ; 2 ;5 2 C S = ÷· ÷ ÷ ¸ ¸ 13. Resolver la inecuación 2 1 3 x x x x ÷ + < + Solución Pasando todos los términos al primer lado de la desigualdad se tiene: 2 x 2x 8 ÷ + 3 2 ÷ –2 1 5 + ÷· +· – + – 17 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 2 1 0 3 x x x x ÷ + ÷ < + Sacando mínimo común múltiplo se tiene: 2 2 2 4 3 6 3 0 0 ( 3) ( 3) x x x x x x x x x ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ < · < + + Multiplicando por –1 a la última desigualdad y sacando tercia se tiene: 2 1 0 ( 3)(2 1) 0; 0, 3 ( 3) x x x x x x x x + > · + + > = = ÷ + Ubicando los valores críticos en la recta real tenemos: Por lo tanto, el conjunto solución es: | | 1 . . 3; 0; 2 C S ( = ÷ ÷ +· ( ¸ ¸ 14. José aceptó hace poco un puesto como jefe de marketing y ventas, donde ofrecerá elegir entre dos planes de pago. El plan 1 es un salario semanal proyectado por 1 10 x x ÷ | | | \ . cientos de dólares y el plan 2 es un salario proyectado por 3 1 10 1 x x ÷ | | | ÷ \ . cientos de dólares, de comisión sobre las ventas semanales, donde x es el número decenas vendidas a la semana ¿Cuánto tendría que poner como meta, para reportar que el plan 1 supere al plan 2? Solución Según la pregunta se puede plantear la siguiente desigualdad. 1 3 1 10 10 1 x x x x ÷ ÷ | | | | > | | ÷ \ . \ . Colocar todos los términos en el primer miembro de la desigualdad, sacar mínimo común múltiplo y factorizar. 2 1 3 1 2 1 (2 1)( 1) 10 10 0 0 0 1 ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x x ÷ ÷ + ÷ ÷ + | | | | ÷ > · > · > | | ÷ ÷ ÷ \ . \ . Por propiedad tenemos ( 1)(2 1)( 1) 0; 0, 1 x x x x x x ÷ ÷ + > = = 1 2 ÷ –3 0 + ÷· +· – + – 18 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Por el método de los valores críticos se tiene: Por dato se sabe que x representa el número de decenas vendidas, entonces x >0 por lo tanto el conjunto solución es | | 1 . . 0; 1; 2 C S ( ( = +· ( ( ¸ ¸ Por lo tanto la meta que se tendría que poner es vender hasta media decena semanalmente para que el plan 1 sea mejor que el plan 2. En el caso de 1 x > , cada plan es negativo por cual es absurdo. 15. Una tienda de instrumentos musicales “RockStar” le dio a sus empleados dos opciones de trabajo. La opción 1 es un salario de $500 por semanas más una comisión del 15% sobre las ventas. La opción 2 es un salario de $600 con un 10% de comisión sobre las ventas. ¿Cuánto tendrían que vender semanalmente para ganar más con la opción 1? Solución Consideremos la siguiente tabla, que muestra las opciones de salario: Opción 1 Opción 2 $500 +15% x $600 +10%x Donde x el número de instrumentos vendidos, y la condición del problema es: Opción 1 Opción 2 > 500 0,15 600 0,10 x x + > + 0,15 0,10 600 500 x x ÷ > ÷ 0, 05 100 x > 2000 x > Se tendría que vender más de 2000 instrumentos semanalmente. 16. Utilidades.Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en $19,95. El costo de fabricación de cada cartucho es de $12,92. Los costos fijos mensuales son de $8000. Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego, ¿Cuántos cartuchos como mínimo debe vender el fabricante para obtener ganancias? Solución Se genera las ecuaciones ingreso y costo total respectivamente. 19, 95 I x = ; 12, 92 8000 T C x = + –1 0 1 + ÷· +· – + 1 2 + – 19 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Donde x representa la cantidad de cartuchos producidos y vendidos. Obteniendo la ecuación utilidad: 19, 95 12, 92 8000 7, 03 8000 T U I C x x x = ÷ = ÷ ÷ = ÷ Obtener ganancias significa que la utilidad es positiva, es decir: 8000 7, 03 8000 0 1137, 98 7, 03 U x x = ÷ > · > = Esto quiere decir que como mínimo debe vender 1138 cartuchos. 17. Alternativas en los negocios. El inventor de un juguete nuevo ofrece a la KiddyToy los derechos de exclusividad para fabricar y vender el juguete por una suma total de $25000. Después de estimar que las posibles ventas futuras al cabo de un año serán nulas, la compañía está revisando la siguiente propuesta alternativa: dar un pago total de $2000 más una regalía de $0,50 por cada unidad vendida. ¿Cuántas unidades deben venderse el primer año para hacer que esta alternativa sea más atractiva al inventor que la original? Solución Alternativa 1: pago único de $25 000. Alternativa 2: 2000 0, 5x + ; donde x representa la cantidad de juguetes vendidos en base anual. Se desea que la alternativa 2 sea más atractiva que la alternativa 1(alternativa original), en términos matemáticos se tiene: 2000 0, 5 25000 x + > Resolviendo la ecuación se obtiene: 46000 x > Lo que significa que la fábrica debe vender más de 46 000 juguetes para que el inventor prefiera la alternativa 2. 18. publicidad.Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es de $1.4 por revista. El ingreso por publicidad es 10% de los ingresos recibidos de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 10 000. ¿Cuál es el número mínimo de revistas que deben venderse de modo que la compañía obtenga ganancias? Solución Sea x > 10 000 la cantidad de ejemplares de las revistas publicadas. Según el enunciado se tiene las ecuaciones de ingreso total y costo. Ingreso total : ( ) 1, 4 0,1 1, 4( 10000) I x x = + ÷ 20 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Costo: 1, 5 C x = Entonces la ecuación ganancia es: ( ) 1, 4 0,1 1, 4( 10000) 1, 5 1400 25 x G I C x x x = ÷ = + ÷ ÷ = ÷ Obtener ganancias significa: 1400 0 35000 25 x G x = ÷ > · > Esto quiere decir que como mínimo debe vender 35 001 ejemplares. 19. Compensación.Suponga que una compañía le ofrece un puesto en ventas y que usted elige entre dos métodos para determinar su salario. Un método paga $12600 más un bono del 2% sobre sus ventas anuales. El otro método paga una comisión directa del 8% sobre sus ventas. ¿Para qué nivel de ventas anuales es mejor seleccionar el primer método? Solución Consideremos la siguiente tabla, que muestra las opciones de salario: Opción 1 Opción 2 $12600 +2% x 8%x Donde x es la cantidad en dólares por ventas anuales: Opción 1 Opción 2 > 2 12600 50 25 x x + > 2 12600 210000 25 50 x x x > ÷ · < Se tendría que vender menos de 210 000 dólares. 20. Áreas. Si se usan 100 metros de cerca para cercar un patio rectangular, determine los valores del largo y del ancho del terreno de tal manera que el área sea más de 600 metros cuadrados. Solución Según los datos se construye la gráfica: Del perímetro del rectángulo se tiene: 2 2 100 50 50 x y x y y x + = · + = · = ÷ Largo = x Ancho = y 21 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Área del terreno se define: 2 (50 ) 50 A xy x x x x = = ÷ = ÷ Se desea que el área sea más de 600 metros cuadrados, en términos matemáticos esto significa: 2 50 600 x x ÷ > Desarrollando esa inecuación se tiene: 2 50 600 0 x x ÷ + < ( 30)( 20) 0 x x ÷ ÷ < Los puntos críticos son{ } 20;30 y la representación gráfica es Por lo tanto, el largo y el ancho deben ser más de 20 y menos de 30. 21. Utilidad. Suponga que una compañía tiene costos fijos de $ 28000 y costos variables de 2 222 5 x + dólares por unidad, donde es el número total de unidades producidas. Suponga también que el precio de venta de este producto es 3 1250 5 x ÷ dólares por unidad. ¿Qué valores puede tomar la cantidad total x, de tal manera que se obtenga ganancias? Solución Se genera las ecuaciones según los datos Ingreso : 3 1250 5 I x x | | = ÷ | \ . Costo total: 2 222 28000 5 C x x | | = + + | \ . Donde x representa la cantidad de unidades producidas y vendidas. Obteniendo la ecuación utilidad: x – · + · – + + + – + 20 30 Largo: 20 30 30 20 20 50 30 Ancho: 20 30 x x x y < < ÷ < ÷ < ÷ < ÷ < < < 22 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 2 3 2 1250 222 28000 1028 28000 5 5 U I C x x x x x x ( | | | | = ÷ = ÷ ÷ + + = ÷ + ÷ | | ( \ . \ . ¸ ¸ Obtener ganancias significa que la utilidad es positiva, es decir: 2 1028 28000 0 U x x = ÷ + ÷ > 2 1028 28000 0 x x ÷ + < ( 28)( 1000) 0 x x ÷ ÷ < Ubicándolos puntos críticos { } 28,1000 en la recta real se tiene: La cantidad de unidades producidas y vendidas debe ser más de 28 y menos de 1000. – · + · + + – + + + 28 1000 23 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA EJERCICIOS PROPUESTOS I. Resuelva las siguientes inecuaciones lineales: 1) 3( 4) 2( 1) 4 x x x + + < + 2) 5 [2 ( 2)] 4 x x ÷ + + < 3) 1 5 2 3 6 6 6 x x x + + < + 4) 2( 1) x a b x ab b a ab ÷ s + + , 0 ; 0 a b > > 5) 2 2 3 (2 3) 4 ( 7) 4( 2) x x x x ÷ + ÷ < ÷ 6) 3( 5) 4(4 3 ) 2(7 ) 3( 5) x x x x ÷ ÷ ÷ > ÷ ÷ ÷ 7) 3 1 2 1 4 2 3 4 x x + < ÷ 8) 2 (4 2)(4 9) (4 6) x x x + + s + 9) 3 1 3 0 3 3 x x ÷ ÷ + s 10) 3 8 2 6 5 x x + ÷ < 11) 6 3( 1) 7 4( 1) x x + + > + ÷ 12) 1 1 1 2( ) 3( ) 4( ) 2 3 4 x x x + + + > + 13) 1 1 1 3 5 4 3 x ÷ s ÷ s 14) 2 7 (2 5) 5 (2 3) (2 4) x x x x x + ÷ + < + II. Resuelva las siguientes inecuaciones cuadráticas: 1) 2 18 81 0 x x ÷ + > 2) 2 6 8 0 x x ÷ + > 3) 2 72 0 x x + ÷ < 4) 2 13 6 x x + > 5) 2 3 0 x x + + < 6) 2 9 6 x x + < 7) 2 2 8 3, 5 0 x x ÷ + s 8) 2 2 1 0 x x + + > 9) 2 1 2 3 0 x x ÷ ÷ > 10) 2 4 4 1 0 x x ÷ + ÷ > 11) 2 3 8 11 4( 1) x x x ÷ + > ÷ 12) 2 2 4 0 x x + + s 13) (1 3 )( 2) (3 2 )( 3) x x x x ÷ + s ÷ + 14) 2 ( 3) ( 2) (3 2) 1 2 4 8 x x x x x ÷ ÷ ÷ + > ÷ III. Resuelva los siguientes problemas 1. Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en $19.95. El costo de fabricación de cada cartucho es de $12.92. Los costos fijos mensuales son de $8000.Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego, ¿cuántos cartuchos como mínimo debe fabricar y vender el fabricante para obtener ganancias? 2. La editorial AMAUTA S.A.C determina que el costo por publicar cada ejemplar de la revista G de Gestión es de S/. 16. El ingreso recibido de los distribuidores es S/. 15 por revista. El ingreso por publicidad es 10% de los ingresos recibidos de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de los S/. 4000. ¿Cuál es el número mínimo de ejemplares que deben venderse de modo que la editorial obtenga ganancias? 3. Un arquitecto desea utilizar una plancha rectangular de tripley como base para una maqueta de un edificio. El largo de la maqueta es 2 m mayor que el de su ancho y la plancha se extiende 2m más que la maqueta en todos sus lados. Si el área del tripley sobresaliente debe ser a lo más de 64m 2 , entonces ¿determine en qué intervalos deben variar los valores de las dimensiones de la maqueta? 24 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 4. Se desea determinar la diferencia entre los costos de comprar y rentar un automóvil. Si se puede rentar un automóvil por $ 400 mensuales (con una base anual), bajo este plan, el costo por kilómetro (gasolina y aceite) es de $ 0.10. Si comprase el vehículo, el gasto fijo anual sería de $ 3 000 más $ 0.18 por kilómetro. ¿Cuál es el máximo número enterode kilómetros que deberá recorrer al año para que la compra sea más barata que la renta? 5. Un ingeniero civil quiere hacer un borde de ancho uniforme con gras sintético alrededor de una cabaña rectangular. La cabaña tiene una longitud de 10 m y un ancho de 6 m. Si se cuenta con gras para cubrir a lo más 36 m 2 . ¿Cuál será el máximo valor que puede tomar el ancho del borde? 6. Si se usan 100 metros de cerca para cercar un patio rectangular, determine los valores del largo y del ancho del terreno de tal manera que el área sea más de 600m 2 . 7. Un distribuidor de licores compra whisky a $ 2 la botella y la vende a $ p. El volumen de ventas “x” (en cientos de miles de botellas a la semana) está dado por 24 2 x p = ÷ , cuando el precio es “p”. (Obteniendo ingresos, costos y utilidades en cientos de miles de dólares) a) ¿Qué intervalo de valores para " " p genera ingresos superiores a $700000 a la semana? b) ¿Qué intervalode valorespara “p” genera al distribuidor una utilidad superior a $1800000 a la semana? 8. Un granjero desea delimitar un terreno rectangulary tiene 200 metros de cerca disponibles. Determine los intervalos de variación para el largo y ancho del terreno, si el área delimitada debe ser de al menos 2100 m 2 9. Un jugador de fútbol patea un tiro libre de modo que la trayectoria de la pelota, mientras que se encuentra en el aire, se representa mediante la ecuación 2 0.05 0.7 y x x = ÷ + ; donde “y” es la altura que alcanza (en metros) la pelota cuando ésta se encuentra ax metros de distancia horizontal desde el punto en que fue lanzada. Determinar el intervalo de valores parax, de manera que la altura sea al menos de . 10. OLX vende monopatines, vía internet, a $ 350 la unidad, a este precio las personas compran 40 monopatines al mes.El administrador de la web propone aumentar el precio y estima que por cada incremento de $1 se venderá 2 monopatines menos al mes. Si cada unidad tiene un costo de $ 300 entonces: a) Exprese la utilidad que dependa del precio de venta. b) ¿Determine el intervalo de variación de los valores del precio de venta de modo que se obtenga ganancia? 11. John, gerente de una empresa de agro exportación, proyecta enviar al mercado europeo cierta cantidad de un producto nuevo desde Perú. Él proyecta que por la venta de“x” cajas de ese producto, el precio de cada caja es 5000 2 p x = ÷ nuevos soles. Además el costo total es 2 360000 1000 2 C x x = + + nuevos soles ¿Cuántas cajas deberán venderse para obtener utilidades de al menos S/. 640 000? 25 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 12. María, gerente de una cadena de cines virtuales analiza que tiene un promedio de 500 clientes por película cuando la entrada esS/.7. Ella desea tener más ingresos en la película de estreno y analiza lo siguiente: por cada incremento de S/.0.50 en la tarifa, se pierde 25 clientes. a) Exprese el ingreso que dependa del precio de entrada. b) Determine precio deberá fijar de modo que el ingreso sea mayor que aquel que contempla una tarifa de S/. 7 13. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, ésta sube un cierto punto y luego empieza a caer. La relación que existe entre el tiempo “t ” (dado en segundos) que la piedra lleva en el aire cuando se encuentra a una altura “y” (dado en metros) está dada por la ecuación 2 5 20 10 y t t = ÷ + + . Determinar el intervalo de valores en que varían los valores del tiempo, “t”, de manera que altura sea de al menos de 25m. IV. Resuelva los siguientes inecuaciones polinómicas 1) 3 81 0 x x ÷ + < 2) 3 2 4 5 0 x x x ÷ ÷ > 3) 3 81 0 x x ÷ + > 4) 4 3 2 12 64 0 x x x + ÷ > 5) 2 4 3 3 4 3 3 x x x x + < + + 6) ( )( ) ( ) 3 2 1 6 0 x x x + ÷ ÷ s 7) ( )( ) ( )( ) 2 3 2 1 1 2 3 0 x x x x + + ÷ ÷ < 8) 2 2 3 2 ( 2 )( 1) ( 9) 0 x x x + ÷ ÷ > 9) 5 4 3 2 5 2 14 3 9 0 x x x x x ÷ + + ÷ ÷ s 10) ( )( ) 2 2 6 4 4 0 x x x x + ÷ ÷ ÷ s 11) 3 2 3 1 0 x x x ÷ ÷ + ÷ < V. Resuelva los siguientes inecuaciones racionales 1) 3 5 3 2 1 x x + s + 2) 2 4 1 14 x x > ÷ 3) 2 2 5 6 0 42 x x x x ÷ + > + ÷ 4) 2 5 0 7 x x x ÷ s + 5) 1 1 5 4 x x < + ÷ 6) 2 3 0 4 2 x x x ÷ > ÷ + VI. Resuelva los siguientes problemas 1) Pasados " " t minutos después de introducir un bactericida experimental en cierto cultivo, el número de bacterias está dado por 2 10000 2000 1 N t = + + . Determinar a partir de qué momento el número de bacterias está por debajo de 4000 . 2) Una planta de empaque desea diseñar cajas sin tapa con un volumen de no más de 400 cm 3 . Para tal diseño se utilizará una pieza de cartón de 12cm por 15 cm, se realizará cortes iguales y exactos en las esquinas y finalmente se doblarán las solapas hacia arriba. Determinar el tamaño máximo del corte que deben realizar en las esquinas de la pieza de cartón. 26 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 3) La empresa de telecomunicaciones “Telemark” en su afán de expandirse, pone en promoción dos planes de telefonía para el mes venidero. La demanda del primer plan está modelada a través de la ecuación 1 1/ 2 3 d x = ÷ y la demanda del segundo plan mediante la ecuación 2 1/ 2 5 d x = ÷ ÷ ; donde " " x indica el número de ventas que a diario se realiza en la empresa. Determinar el número mínimo de ventas que debe realizar a diario; para que la demanda del primer plan sea mayor a la otra. 4) Un grupo de estudiantes decide asistir a un concierto. El costo de contratar a un autobús para que los lleve al concierto es de $450, lo cual se debe repartir en forma uniforme entre los estudiantes. Los promotores del concierto ofrecen descuentos a grupos que lleguen en autobús. Los boletos cuestan normalmente $50 cada uno, pero se reducen 10 céntimos de dólar del precio del boleto por cada persona que vaya en el grupo (capacidad máxima del autobús es 60). Determinar cuántos estudiantes deben ir en el grupo; para que el costo total por estudiante sea menor a $54. 5) Para que un medicamento tenga efecto benéfico, su concentración en el torrente sanguíneo debe ser mayor que cierto valor; llamado este último “nivel terapéutico mínimo”. Suponga que la concentración “C” (mg/l) de cierto fármaco al transcurrir “t” horas después de su ingestión está dada por 2 20 4 t C t = + . Si el nivel terapéutico mínimo es de 4 mg/l, entonces dentro de cuánto tiempo se excederá este nivel. 6) En un plaza de nuestra ciudad se desea construir una fuente rectangular de 12m de perímetro. Según el reglamento para la construcción, las dimensiones deben ser cantidades exactas y que el producto de la medida de la base por el cuadrado de la medida del ancho de la fuente no debe ser mayor a 16m. Determinar la dimensión máxima que deberá tener el ancho de la fuente. 7) En las cercanías de una hoguera, la temperatura " " T en C ° a una distancia de " " x metros desde el centro de la hoguera; se determina mediante la ecuación racional 2 600000 300 T x = + . ¿A qué distancia del centro del fuego, la temperatura será menor de 500 C ° ? 8) Al realizar un estudio en un sector minero se encontró un gran porcentaje de personas con niveles elevados de plomo en la sangre. El instituto de salud pública decidió comenzar un tratamiento con uno costoso medicamento a las persona que tengan un 6% de sangre contaminada. El porcentaje que describe la cantidad de plomo en la sangre como efecto de “x” gramos del medicamento, viene dado por la relación 2 2 5 6 1 x x P x x + + = + + , con P expresado en %. ¿Al menos cuántos gramos deben administrarse para que el porcentaje de plomo sea menor que 2%? 27 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 1.6. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Las ecuaciones que tienen valor absoluto se le llama ecuaciones con valor absoluto. Definición Se llama valor absoluto a la distancia que hay entre un número y el origen. En el dibujo se observa que la distancia del número 3 al origen es 3 unidades, igualmente la distancia del número –3 al origen es de 3 unidades. En notación, esto es |–3| = 3. Las barras se leen como el valor absoluto de lo que está dentro de ellas. En el valor absoluto no importa en qué lado de la recta real está ubicado el número. Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir está a la derecha del origen, entonces |a| = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces |a| = –a. El valor absoluto de x se define: ; 0 ; 0 a a a a a > ¦ = ´ ÷ < ¹ Ejemplos de ecuaciones con valor absoluto a. 8 12 x ÷ = b. 3 2 3 4 5 x ÷ ÷ = c. 1 2 2 x ÷ = d. 3 1 4 2 x x ÷ = ÷ e. 5 10 5 2 x x x ÷ = ÷ + Para resolver ecuaciones con valor absoluto se debe tener en cuenta las siguientes propiedades. Propiedades 1. ( ) 0 x a a x a x a = · > . = ÷ v = 2. 2 2 ; x x x = e 3. 2 ; x x x = e 4. 2 2 x y x y x y x y = · = · = v =÷ 3 unidades 3 unidades -3 0 3 28 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Ejemplo Resuelva la siguiente ecuación 12 8 = ÷ x Solución 1. Aplicando la propiedad 1, la primera desigualdad se cumple: 12 ≥ 0 2. Luego, se tiene dos casos por analizar: Caso 1: 12 8 = ÷ x 8 12+ = x 20 = x v Caso 2: 12 8 ÷ = ÷ x 8 12+ ÷ = x 4 ÷ = x 3. Por lo tanto, el conjunto solución es: CS = { –4; 20 } 1.7. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Una inecuación con valor absoluto es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más valores absolutos en los miembros de la desigualdad Teoremas 1) ) ( 0 b a b b b a s s ÷ . > · s 2) b a b a b a ÷ s v > · > 3) 0 ) )( ( ; , 2 2 s + ÷ · s · s e ¬ b a b a b a b a R b a 4) a a R a = e ¬ 2 ; EJERCICIOS RESUELTOS 1. Halle el conjunto solución de la ecuación: 2 5 ÷ = ÷ x Solución Por definición del valor absoluto se tiene que 0 5 > ÷ x entonces es absurdo que se cumpla 2 5 ÷ = ÷ x . Por lo tanto, el conjunto solución es vacío: CS = { } 29 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 2. Conseguir todos los puntos cuya distancia a 3 sea igual a 4 Solución: Sea x los puntos cuya distancia a 3 es igual a 4. Entonces 4 3 = ÷ x . Si nos damos cuenta las soluciones son –1 y 7. Por lo tanto, el conjunto solución es: CS = {–1; 7} 3. Halle el conjunto solución de la ecuación 3 2 3 4 5 x ÷ ÷ = Solución Pasando al segundo lado el –3 se tiene: 3 2 7 5 x ÷ = Aplicando la propiedad ( ) x a a 0 x a x a = · > . = ÷ v = se tiene: Caso 1: 7 2 5 3 = ÷ x 3 9 5 x = 15 x = v Caso 2: 3 2 7 5 x ÷ = ÷ 3 5 5 x = ÷ 25 3 x = ÷ Entonces, el conjunto solución es: ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ÷ = 15 ; 3 25 . .S C 4. Halle el conjunto solución de la ecuación 5 2 1 x x ÷ = + Solución Aplicar propiedad número 4 ( 2 2 x y x y x y x y = · = · = v =÷ ) y se tiene: 5 2 1 5 2 1 5 (2 1) ÷ = + · ÷ = + v ÷ = ÷ + x x x x x x 6 3 3 ÷ = v = x x Por tanto, el conjunto solución es: { } . . 6;1 = ÷ C S 30 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 5. Halle el conjunto solución de la ecuación 2 1 3 x x x + ÷ = + Solución Aplicar propiedad número 4 ( 2 2 x y x y x y x y = · = · = v =÷ )y se tiene: 2 2 2 1 3 1 3 1 3 x x x x x x x x x + ÷ = + · + ÷ = + v + ÷ =÷ ÷ 2 2 4 2 2 0 x x x · = v + + = Analizando el discriminante del segundo término cuadrático se tiene: 2 2 4(1)(2) 4 A = ÷ = ÷ Esto quiere decir que, 2 2 2 0 x x + + = , por lo tanto el conjunto solución es: { } C.S. 2;2 = ÷ 6. Halle el conjunto solución de la ecuación 2 2 9 1 x x ÷ = ÷ Solución Aplicar propiedad número 4 de las ecuaciones y se tiene: 2 2 2 2 2 2 9 1 9 1 9 1 x x x x x x ÷ = ÷ · ÷ = + v ÷ =÷ ÷ 2 2 Absurdo 9 1 2 8 4 2 x x x ·÷ = v = · = · =± Por lo tanto, el conjunto solución es: { } C.S. 2;2 = ÷ 7. Halle el conjunto solución de la ecuación 2 2 5 2 2 1 x x x ÷ = + + Solución Aplicar propiedad número 4 de las ecuaciones y se tiene: 2 2 2 2 2 2 5 2 2 1 5 2 2 1 5 2 2 1 x x x x x x x x x ÷ = + + · ÷ = + + v ÷ =÷ ÷ ÷ 2 2 0 2 6 3 2 4 0 x x x x · = + + v + ÷ = Usemos el discriminante para saber si las ecuaciones cuadráticas tienen solución. Es decir: - 2 2 2 6 2 4(1)(6) 20 x x + + ¬A= ÷ =÷ Esto quiere decir que la ecuación 2 0 2 6 x x = + + no tiene solución real. 31 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA - 2 2 3 2 4 2 4(3)( 4) 52 x x + ÷ ¬A= ÷ ÷ = esto quiere decir que la ecuación 2 3 2 4 0 x x + ÷ = tiene solución real. Entonces utilizando la formula general se tiene: 2 2 52 2 2 13 1 13 2(3) 6 6 3 x ÷ ± A ÷ ± ÷ ± ÷ ± = = = = Por lo tanto, el conjunto solución es: 1 13 1 13 . . ; 3 3 C S ¦ ¹ ÷ ÷ ÷ + ¦ ¦ = ´ ` ¦ ¦ ¹ ) 8. Halle el conjunto solución de la ecuación 1 2 1 x x + ÷ = Solución Aplicar la primera propiedad ( ( ) 0 x a a x a x a = · > . =÷ v = ): 1 2 1 1 2 1 x x x x + ÷ = · + = + 1 0 (1 2 1 1 2 1) x x x x x · + > . + = + v + =÷ ÷ 1 ( 0 3 2) x x x · >÷ . = v =÷ 2 1 ( 0 ) 3 x x x · >÷ . = v =÷ Observando verificamos que se cumple 2 0 1 ; 1 3 >÷ ÷ >÷ .Por lo tanto, el conjunto solución es: 2 . . ; 0 3 C S ¦ ¹ = ÷ ´ ` ¹ ) 9. Halle el conjunto solución de la ecuación 2 1 1 x x x ÷ + = ÷ Solución Aplicar la primera propiedad de las ecuaciones, es decir: 2 2 2 1 1 1 0 ( 1 1 1 1) x x x x x x x x x x ÷ + = ÷ · ÷ > . ÷ + = ÷ v ÷ + =÷ + 2 2 1 ( 2 2 0 0) x x x x · > . ÷ + = v = 2 1 ( 2 2 0 0) x x x x · > . ÷ + = v = Analizando el discriminante de la ecuación cuadrática ( 4 A=÷ )se deduce que no tiene solución real y por otro lado 0 1 > es falso. Por lo tanto, { } . . C S = 32 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 10. Halle el conjunto solución de la ecuación 2 1 1 3 x x + = ÷ + Solución Cuando se tiene dos o más valores absolutos en una ecuación se debe primero encontrar el valor o valores de la variable x de tal manera que cada valor absoluto se haga cero. Es decir: - 1 2 1 0 2 1 0 2 x x x + = · + = · =÷ - 1 0 1 0 1 x x x ÷ = · ÷ = · = Recordemos la definición de valor absoluto. 1 2 1; 2 2 1 1 2 1; 2 x x x x x ¦ + >÷ ¦ ¦ + = ´ ¦ ÷ ÷ <÷ ¦ ¹ 1; 1 1 1; 1 x x x x x ÷ > ¦ ÷ = ´ ÷ + < ¹ Luego, ubiquemos estos valores en la recta real y analicemos la ecuación para cada intervalo de la recta real. Es decir: Ahora analicemos para cada caso: 2 1 1 3 2 1 1 3 5 x x x x x + = ÷ + ·÷ ÷ =÷ + + · =÷ Entonces el conjunto solución 1 es: { } 1 . . 5 C S = ÷ 2 1 1 3 2 1 1 3 1 x x x x x + = ÷ + · + =÷ + + · = Entonces el conjunto solución 2 es: { } 2 . . C S = Caso 1: 1 2 x < ÷ Si cumple Caso 2: 1 1 2 x ÷ s < No cumple 1 1 1 2 1 2 + ÷ = ÷ ÷ ÷ = + x x x x · ÷ · + 1 1 1 2 1 2 + ÷ = ÷ + = + x x x x 1 1 1 2 1 2 ÷ = ÷ + = + x x x x 1 2 ÷ 1 Caso 1: 1 2 x < ÷ Caso 2: 1 1 2 x ÷ s < Caso 3: 1 x > 33 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 2 1 1 3 2 1 1 3 1 x x x x x + = ÷ + · + = ÷ + · = Entonces el conjunto solución 3 es: { } 3 . . 1 C S = Por lo tanto, el conjunto solución es: { } 1 2 3 . . . . . . . . 5;1 C S C S C S C S = = ÷ 11. Convierta la siguiente desigualdad en otra proposición sin valor absoluto 1 1 2 > ÷ x Solución 1 1 2 > ÷ x es equivalente a 1 1 2 > ÷ x 1 1 2 ÷ < ÷ v x 12. Convierta la siguiente desigualdad en otra proposición sin valor absoluto 3 5 2 s ÷ x Solución 3 5 2 s ÷ x es equivalente a 3 5 2 3 s ÷ s ÷ x 13. Resuelva la siguiente inecuación 1 1 4 s ÷ ÷ x Solución 4 1 1 1 1 4 ÷ s ÷ ÷ · s ÷ ÷ x x 3 1 ÷ s ÷ ÷ · x 3 1 > ÷ · x 3 1 3 1 ÷ s ÷ v > ÷ · x x x x s + v > ÷ · 3 1 3 1 x x s v > ÷ · 4 2 Por tanto, el conjunto solución es: 4 2 > v ÷ s x x | | | | · + ÷ · ÷ = ; 4 2 ; . .S C Caso 3: 1 x > Si cumple 34 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 14. Resuelve la siguiente inecuación 8 3 3 2 ÷ s ÷ x x Solución Usando la propiedad ) ( 0 b a b b b a s s ÷ . > · s se tiene | | 8 3 3 2 ) 8 3 ( 0 8 3 8 3 3 2 ÷ s ÷ s ÷ ÷ . > ÷ · ÷ s ÷ x x x x x x | | 8 3 3 2 3 2 8 3 3 8 ÷ s ÷ . ÷ s + ÷ . > · x x x x x | | x x x s . s . > · 5 5 11 3 8 ( ¸ ( ¸ s . s . > · x x x 5 5 11 3 8 Graficando en la recta real y tomando la intersección Por lo tanto, el conjunto solución es | | · + = ; 5 . .S C 15. Resuelve la inecuación 6 2 3 5 + > ÷ x x Solución Usando la propiedad: b a b a b a ÷ s v > · > 6 2 3 5 6 2 3 5 6 2 3 5 ÷ ÷ < ÷ v + > ÷ · + > ÷ x x x x x x x x x x 3 2 6 5 3 2 6 5 + ÷ < + v + > ÷ · x x < v > ÷ · 11 5 1 Por lo tanto, el conjunto solución es: | | +· ¸ ( ¸ ( ÷ · ÷ = ; 11 5 1 ; . .S C 11 5 8 3 5 · ÷ · + 35 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 16. Resuelve la inecuación 4 3 5 3 2 s ÷ x Solución Aplicando propiedades 4 3 5 3 2 4 3 4 3 5 3 2 s ÷ s ÷ · s ÷ x x | . | \ | s | . | \ | ÷ s | . | \ | ÷ · 4 3 20 5 3 2 20 4 3 20 x 15 ) 3 2 ( 4 15 s ÷ s ÷ · x 15 12 8 15 s ÷ s ÷ · x 7 12 23 s ÷ s ÷ · x 23 12 7 s s ÷ · x 12 23 12 7 s s ÷ · x Por lo tanto, el conjunto solución es: ( ¸ ( ¸ ÷ = 12 23 ; 12 7 . .S C 17. Resuelve la inecuación 5 3 5 2 + ÷ > ÷ x x Solución Usar propiedad: b a b a b a ÷ s v > · > se tiene ) 5 3 ( 5 5 3 5 5 3 5 2 2 2 + ÷ ÷ s ÷ v + ÷ > ÷ · + ÷ > ÷ x x x x x x 0 3 0 10 3 2 2 s ÷ v > ÷ + · x x x x 0 ) 3 ( 0 ) 2 )( 5 ( s ÷ v > ÷ + · x x x x 0 ) 3 ( 0 ) 2 )( 5 ( s ÷ v > ÷ + · x x x x Haciendo cada gráfica y ubicando sus respectivos puntos críticos se tiene: Por lo tanto, el conjunto solución es | | | | · + ÷ · ÷ = ; 0 5 ; . .S C 2 –5 · + · ÷ 3 0 · + · ÷ 36 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 18. Resuelve la inecuación x x 2 3 4 + s ÷ Solución: Usar la propiedad 0 ) )( ( ; , 2 2 s + ÷ · s · s e ¬ b a b a b a b a R b a . 0 ) 2 3 4 )( 2 3 4 ( 2 3 4 s + + ÷ ÷ ÷ ÷ · + s ÷ x x x x x x 0 ) 7 )( 3 1 ( s + ÷ · x x 0 ) 7 )( 1 3 ( > + ÷ · x x Ubicando los puntos críticos en la recta real se tiene Por lo tanto, el conjunto solución es | | ¸ ¸ · + ÷ · ÷ = ; 3 1 7 ; . .S C 19. Resuelve la inecuación 4 2 3 + < ÷ x x Solución Por la propiedad 0 ) )( ( ; , 2 2 s + ÷ · s · s e ¬ b a b a b a b a R b a , 0 ) 4 2 3 )( 4 2 3 ( 4 2 3 < + + ÷ ÷ ÷ ÷ · + < ÷ x x x x x x 0 ) 7 )( 3 1 ( < ÷ ÷ ÷ · x x 0 ) 7 )( 3 1 ( < ÷ + · x x ( propiedad (–)(–) = + ) Ubicando los puntos críticos en la recta real se tiene: Por lo tanto, el conjunto solución es: ¸ ( ¸ ( ÷ = 7 ; 3 1 . .S C –7 · + · ÷ 3 1 7 · + · ÷ 3 1 ÷ 37 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 20. Resuelve la inecuación 2 1 1 5 3 > ÷ ÷ x x Solución Usar la propiedad: b a b a b a ÷ s v > · > 2 1 1 5 3 2 1 1 5 3 2 1 1 5 3 ÷ s ÷ ÷ v > ÷ ÷ · > ÷ ÷ x x x x x x 0 2 1 1 5 3 0 2 1 1 5 3 s + ÷ ÷ v > ÷ ÷ ÷ · x x x x 0 ) 1 ( 2 1 10 6 0 ) 1 ( 2 1 10 6 s ÷ ÷ + ÷ v > ÷ + ÷ ÷ · x x x x x x 0 ) 1 ( 2 11 7 0 ) 1 ( 2 9 5 s ÷ ÷ v > ÷ ÷ · x x x x Ubicando los puntos críticos en la recta real se tiene Por lo tanto, el conjunto solución es: } 1 { ; 5 9 7 11 ; . . ÷ ¸ ¸ · + ( ¸ ( ( ¸ ( · ÷ = S C 11 7 9 5 1 9 5 + + – 1 11 7 + + – ÷· +· +· ÷· 1 +· ÷· 38 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA EJERCICIOS PROPUESTOS I. Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto 1. 3 4 4 x ÷ = 2. 1 2 4 x x ÷ = 3. 8 3 9 x x + = + 4. 1 2 6 x ÷ ÷ = ÷ 5. 3 2 4 1 9 x + ÷ = 6. 1 2 1 x x ÷ = ÷ 7. 6 1 4 7 x x ÷ + = ÷ 8. 2 7 5 2 x x + = ÷ 9. 2 1 1 x x ÷ = + 10. 2 9 3 x x ÷ = + 11. 3 1 x x ÷ = + 12. 6 3 18 x x + = + 13. 2 2 2 4 x x ÷ = 14. x x x 3 1 2 2 2 ÷ + = + 15. 1 1 1 3 + = + ÷ x x x x II. Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto 1. 8 2 ÷ s x 2. 2 4 3 3 x x ÷ + < 3. 1 1 2 2 2 x ÷ s 4. 1 1 1 x x ÷ s + 5. 5 7 3 x ÷ > 6. 2 1 3 x + > 7. 3 3 x x ÷ s 8. x x ÷ > ÷ + 2 4 2 4 9. 5 2 4 x x ÷ > 10. 3 x x s ÷ 11. 3 2 1 1 2 > + ÷ x x 12. 1 1 1 3 + < + ÷ x x x x 13. 6 2 3 s ÷ + x x 14. 3 4 1 3 + s + + x x x 39 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 1.8. ECUACIONES EXPONENCIALES Entre las ecuaciones trascendentes se tienen las Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas. Estas son igualdades relativas cuyas variables aparecen como exponentes o afectadas por logaritmos de cualquier base. Se dicen igualdades relativas porque se verifican para algunos valores de las variables. Para resolver Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas se usan las Propiedades de las Potencias y de los Logaritmos. Algunas veces, también se hacen uso de ciertos artificios de cálculo. Una ecuación exponencial es cualquier ecuación donde la variable está como exponente. Para resolver una ecuación exponencial se debe tener en cuenta: 1 , 0 ; = = = · = a a n m a a n m Propiedades 01. Producto de potencias de bases iguales: n m n m a a a + = 02. Cociente de potencias de bases iguales: 0 ; = = ÷ a a a a n m n m 03. Potencia de un producto: m m m b a ab = ) ( ( ) m m n ab a b = 04. Potencia de un cociente: 0 ; = = | . | \ | b b a b a m m m 05. Potencia de una potencia: mn n m a a = ) ( 06. Exponente fraccionario n m n m a a = 07. Exponente negativo 0 , ; = | . | \ | = | . | \ | ÷ b a a b b a m m 08. Exponente cero 0 ; 1 0 = = a a PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES EXPONENCIALES Para resolver una ecuación exponencial es necesario: 1. Utilizar las propiedades de la teoría de los exponentes para volver a escribir cada término de la ecuación en potencias con la misma base. 2. Resolver la ecuación resultante. Ejemplos a) Resuelva 2 2 10 1 x x + ÷ = 40 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Solución 2 2 0 10 10 x x + ÷ = 2 2 0 x x + ÷ = ( 2)( 1) 0 x x + ÷ = 2 1 x x =÷ v = b) Resuelva 2 3 4 8 x x÷ = Solución ( ) 3 2 3 2 2 2 x x ÷ = 2 6 9 x x = ÷ 4 9 x ÷ =÷ 9 4 x = c) Resuelva 2 5 2 5 15 0 x x ÷ · ÷ = Solución Hacer el cambio de variable: 5 x t = , entonces la nueva ecuación es: 2 2 15 0 t t ÷ ÷ = Factorizando por aspa simple se tiene ( 5)( 3) 0 5 3 t t t t ÷ + = · = v =÷ Reemplazando elvalor de t setiene 5 5 1 5 3 Absurdo x x x ¦ = ¬ = ¦ ´ =÷ ¦ ¹ EJERCICIOS RESUELTOS 1. Resuelva 1 6 5 0, 4 6, 25 x x ÷ ÷ = Solución - Cambiamos los decimales a fracciones: 1 6 5 4 625 10 100 x x ÷ ÷ | | | | = | | \ . \ . 41 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA - Simplificamos y convertimos a potencia: 6 5 1 2 2 2 5 5 2 x x ÷ ÷ | | | | = | | \ . \ . - Hacemos las bases iguales en ambas potencias: ( ) 1 2 5 6 2 2 5 5 x x ÷ ÷ | | | | = | | \ . \ . - Ahora, igualamos los exponentes: 1 10 12 x x ÷ = ÷ - Finalmente se despeja la variable: 11 13 x = 2. Resuelva 3 1 2 1 10 100 x x ÷ + = Solución: - Convertimos el segundo miembro a potencia: 3 1 2 2 1 10 10 x x ÷ + = - Igualamos los exponentes: 3 1 2 2 1 x x ÷ = + - Ahora, pasamos el divisor a multiplicar al segundo lado: 3 1 4 2 ; 2 1 0 x x x ÷ = + + = - Finalmente se despeja la variable: 3 x =÷ 3. Resuelva 0 8 3 . 9 3 = + ÷ ÷x x Solución Aplicando propiedad se tiene 2 9 3 8 0 3 8.3 9 0 3 x x x x ÷ + = · + ÷ = 42 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Haciendo el cambio 3 x t = se tiene la nueva ecuación 0 9 8 2 = ÷ + t t Usando el aspa simple se tiene 9 1 0 ) 1 )( 9 ( ÷ = v = · = ÷ + t t t t Reemplazando la variable t por se tiene: 3 1 0 3 9 Absurdo x x x ¦ = ¬ = ¦ ´ =÷ ¦ ¹ Por tanto, el conjunto solución es: } 0 { . . = S C 4. Resuelva 2 1 5 5 5 775 x x x + + + + = Solución Aplicando a cada potencia la propiedad n m n m a a a + = y se tiene: 2 1 5 5 5 5 5 775 x x x + + = Factorizando el término común 5 x tenemos 2 1 (5 5 1)5 775 x + + = Efectuando la suma en el paréntesis y pasándolo a dividir al segundo miembro se tiene 775 5 31 x = Efectuando la división y al resultado escribiéndolo como una potencia se obtiene 2 5 25 5 x = = Aplicando definición se tiene 2 = x 5. Suponga que la producción diaria de un nuevo producto en el t-ésimo día de una corrida de producción está dada por 0.2 500(1 ) t q e ÷ = ÷ unidades. La ecuación indica que conforme pase el tiempo, la producción por día aumentará. Determine la producción en: a) El primer día de producción b) En el décimo día iniciada la producción. c) ¿Después de cuantos días se alcanzará una producción diaria de 400 unidades? Proporcione su respuesta redondeada al día más cercano. 43 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Solución a) El primer día significa t=1 entonces : 0,2(1) 0,2 500(1 ) 500(1 ) 90, 6346 q e e ÷ ÷ = ÷ = ÷ ~ Esto quiere decir que la producción en el primer día es de 91 unidades b) En el décimo día significa t=10, entonces : 0,2(10) 2 500(1 ) 500(1 ) 432, 332 q e e ÷ ÷ = ÷ = ÷ ~ Esto quiere decir que la producción en el décimo día es de 432 unidades c) ? 400 t si q = = 0,2 0,2 0,2 0,2 4 4 1 400 500(1 ) 1 1 5 5 5 t t t t e e e e ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ · = ÷ · = ÷ · = 0,2 1 0,2 ln(5) 5 5 0, 2 ln(5) 8, 0471895 0, 2 t t e e t t ÷ ÷ = · = · = · = = Esto significa que en el octavo día se tendrá una producción de 400 unidades 6. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para duplicar $1000, si se invierten al 9% de interés compuesto semestral? Solución Para calcular el monto final de un capital invertido a una tasa de interés anual compuesto se tiene la siguiente formula. (1 ) t M C r = + Donde M es el monto final al cabo de t años, C es el capital inicial, r es la tasa de interés anual y t es el tiempo en años. Según los datos del problema no interesa saber cuál es el capital invertido pues se va a cancelar en el proceso. Por otro lado, la tasa de interés está en forma semestral esto quiere decir que se debe pasar a anual, es decir la tasa de interés anual es de 18% pues el año tiene dos semestres. Por lo tanto, 2 (1 0,18) t C C = + · 2 (1,18) t = ln2 ln(1,18) ln(1,18) t t = = ln 2 ln(1,18) t = 4,18783 t = El capital será duplicado en 4,2 años es decir en 4 años 2 meses 12 días a una tasa de interés anual del 18% en forma compuesta. 44 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 7. El ingreso mensual (en dólares) de una empresa está dado por la siguiente ecuación: (0,2) 10000(0, 95) = p I , donde p es la cantidad gastada en publicidad a) ¿Cuál es el ingreso total, cuando no se tienen gastos publicitarios? b) ¿Cuál es el valor del ingreso total, si $ 15 es el gasto mensual en promoción? Solución a) Cuando no se tiene gastos publicitarios significa que p=0, entonces el ingreso mensual es: (0,2)(0) 0 10000(0, 95) 10000(0, 95) 10000 = = = I b) Cuando se gasta 15 dólares mensuales el ingreso es: (0,2)(15) 3 10000(0, 95) 10000(0, 95) 8573, 75 = = = I 8. Los costos de producción (en cientos de dólares) de una empresa están descritos por la ecuación 0.03 120 40 x C e ÷ = ÷ , donde x es el número de unidades producidas. ¿Cuánto será la producción, cuando los costos de producción sea de 118 cientos de dólares? Solución Según los datos se tiene: 0. 03 118 120 40 x e ÷ = ÷ 0. 03 40 120 118 x e ÷ = ÷ 0. 03 40 2 x e ÷ = 0. 03 1 20 x e ÷ = 0. 03 1 20 x e ÷ ÷ = 0. 03 20 x e = 0, 03 ln(20) x = 100ln(20) 99,857 3 = ~ x La producción debe ser de 100 unidades y se tendrá un costo aproximado de 118 cientos de dólares. 9. Si “p” denota el precio de venta (en dólares) de un artículo y “x” es la demanda correspondiente (en número de piezas vendidas por día) la relación entre “P” y “x” estará dada a veces por 0 ÷ = ax p p e donde 0 p y a son constantes positivas. Exprese x en términos de p . 45 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Solución Expresar x en términos de p significa despejar x. Es decir: 0 ax p p e ÷ = 0 ax p e p ÷ = 0 ln p ax p | | = ÷ | \ . 0 1 ln p x a p | | = ÷ | \ . 10. La función logística de salud pública indica que t semanas después del brote de una enfermedad, t e Q 2 , 1 39 1 200 ÷ + = personas han contraído la enfermedad. a) ¿Cuántas personas tenían la enfermedad inicialmente? b) ¿Cuántas personas han contraído la enfermedad al final de la segunda semana? Solución a) El número de personas enfermas inicialmente (t= 0) es: 1,2(0) 200 1 39 Q e ÷ = + 200 1 39 Q= + 200 5 40 Q= = b) Al final de la segunda semana (t = 2), 1,2(2) 200 1 39 Q e ÷ = + 2,4 200 1 39 Q e ÷ = + 44, 0722 Q= El número de contagiados es 44 aproximadamente 11. ¿Qué tasa de interés compuesto continuamente se necesita para que una inversión de $500 crezca a $900 en 10 años? Solución El monto compuesto bajo interés continuo está dado por la fórmula: = rt M Pe 46 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Donde P es el dinero invertido (capital), t es el tiempo en años y r la tasa de interés anual compuesto continuamente. En nuestro ejercicio se tiene: (10) 900 500 r e = 10 9 5 r e = 9 ln 10 5 r | | = | \ . 1 9 ln 0, 05877 10 5 r | | = ~ | \ . La tasa de interés anual compuesto continuamente es 5,87% 12. El valor de una máquina se deprecia exponencialmente en un 8% anual, si después de 10 años su valor es de $ 2 000 000. Exprese el valor de la máquina en función al tiempo en años y con base en esta función calcule su valor cuando han transcurrido 20 años. Solución La depreciación exponencial es: ÷ = rt F i V Ve Donde F V es el valor final, i V es el valor inicial, r la tasa de depreciación y t el tiempo transcurrido en años. En nuestro ejercicio se tiene: 0,08(10) 2000000 i Ve ÷ = 0,8 2000000 i Ve ÷ = 0,8 2000000 i V e ÷ = 0,8 2000000 i V e = Entonces dentro de 20 años el valor de la máquina será: 0,8 0,08(20) 2000000 F V e e ÷ = 0,8 1,6 2000000 F V e e ÷ = 0,8 2000000 F V e ÷ = 898657, 928 F V = 13. Un trabajador sin experiencia revisa 270 unidades por hora, de un producto; después de 6 meses de experiencia revisa 420 unidades por hora. Si se considera que puede alcanzar un tope de 600 unidades y el número de unidades por hora en términos del tiempo de experiencia en meses Q está dado por kt e A B Q ÷ ÷ = . Halle Q y con base en esa ecuación ¿Cuántas unidades por horas revisa al completar un año de experiencia? 47 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Solución Un trabajador sin experiencia revisa 270 unidades por hora. Es decir, t=0 y Q= 270; entonces se tiene: (0) 270 270 k B Ae B A ÷ = ÷ · = ÷ ……………………. (1) “ …después de 6 meses de experiencia revisa 420 unidades por hora”. Es decir, t=6 y Q= 420; entonces se tiene: 6 420 k B Ae ÷ = ÷ ……………………. (2) “ Si se considera que puede alcanzar un tope de 600 unidades …”. Es decir, Q=600 no importa el tiempo de experiencia que tenga el trabajador pues nunca superara esa cantidad. Esto quiere decir que el término 0 kt kt A Ae e ÷ = = (tiende a ser cero), por lo tanto se tiene: 600 B = ……………………. (3) Reemplazar (3) en (1) y se tiene: 330 A= ……………………. (4) Reemplazar (3) y (4) en (2): 6 420 600 330 k e ÷ = ÷ 6 330 180 k e ÷ = 6 6 11 k e ÷ = 6 6 11 k e ÷ = Por lo tanto, la ecuación es: kt Q B Ae ÷ = ÷ ( ) 6 6 600 330 t k Q e ÷ = ÷ 6 6 600 330 11 t Q | | = ÷ | \ . Finalmente el número de unidades revisadas por un trabajador con un año de experiencias es: 12 6 6 600 330 11 Q | | = ÷ | \ . 2 6 600 330 11 Q | | = ÷ | \ . 5520 502 11 Q= ~ 48 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA EJERCICIOS PROPUESTOS I. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales 1) 8 32 x = 2) 4 1 3 5 3 9 x x + ÷ = 3) 2 1 8 4 2 4 x x ÷ + = 4) 2 3 2 0, 25 x ÷ = 5) 1 2 (3 )(9 ) 27 x x + ÷ = 6) 10 0, 0001 x = 7) 1 2 1 3 3 3 3 120 x x x x + + ÷ + + + = 8) 4 3 1 8 32 x x ÷ ÷ | | = | \ . 9) 1 2 3 2 2 2 2 60 x x x x ÷ ÷ ÷ + + + = 10) 4 2 7 8 0, 2 25 5 x x x ÷ ÷ ÷ = 11) 2 3 4 1 (2 1)( 2) 5 6 3 3 3 3 x x x x x ÷ + + ÷ ÷ = 12) 4 2 2 2 12 0 x x ÷ ÷ = 13) 6 9.6 8 0 x x ÷ ÷ + = 14) 2 2 4 1 2 2 3 2 1 1 1 1 250 5 5 5 625 x x x x x x + + + ÷ | | | | | | | | | | = | | | | | \ . \ . \ . \ . \ . 15) 2 1 2 1 5 3.5 550 x x + ÷ ÷ = 16) 2( 1) 3 18.3 9 0 x x + ÷ + = 17) 3 2 ( 1) 3 1 81 9 9 3 x x x x + ÷ + + = 18) 2 2 1 25 65.5 36 x x÷ ÷ = ÷ 19) 2 1 2 1 3 2.3 297 x x + ÷ + = 20) 3 5 4 0 x x x e e e ÷ ÷ ÷ + = II. Resuelva los siguientes problemas 1) Una máquina se compra en $10 000 y se deprecia de manera continua desde la fecha de compra. Su valor después de t años está dado por la fórmula: 0,2 ( ) 10000 t V t e ÷ = . Determine el valor de la máquina después de 8 años. 2) Debido a una campaña de publicidad ineficaz, la compañía Rasuradoras Al Raz encuentra que sus ingresos anuales han sufrido una reducción drástica. Por otra parte, el ingreso anual R, al final de los t años de negocios satisface la ecuación 0,2 200 000 t R e ÷ = a) Encuentre el ingreso anual inicial. b) Encuentre el ingreso anual al final de 2 años. c) Encuentre el ingreso anual al final de 3 años. 3) ¿Cuánto dinero debe de invertir en una cuenta de dólares que paga un interés anual del 7% compuesto continuamente, para que dentro de 10 años el saldo sea de 40 000 dólares? 4) El director de correos de una gran ciudad estima que después de t meses en el trabajo, el empleado medio puede clasificar 0,5 800 400 t Q e ÷ = ÷ cartas por hora. a) ¿Cuántas cartaspor hora puede clasificar un empleado sin experiencia? b) ¿Cuántas cartas por hora puede clasificar un empleado con seis meses de experiencia? 5) La población mundial al inicio de 1980 era de 5.5 mil millones de personas. Si la población continúa creciendo en forma exponencial con la razón actual de aproximadamente 3% por año: a) Encuentre la ecuación exponencial que expresa la población mundial (en miles de millones) donde t=0 corresponde al inicio de 1980. b) Según este modelo, ¿cuál será la población mundial al inicio del 2010? 49 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 1.9. ECUACIONESLOGARÍTMICAS En el siglo XVII, año 1914 el Barón de Marchiston, Jhon Neper genio escoses, descubrió el principio que rige a los logaritmos a partir de una ecuación que le planteó uno de sus discípulos, dicha ecuación tenía la forma de 2 x =5 y no se podía resolverse por los cálculos convencionales. Ante esto surgió la necesidad de crear una herramienta de cálculo que permita despejar incógnitas que se encuentren en el exponente en forma general a partir de esa ecuación. Jhon Neper, escribió un libro titulado “logarithmoru Canonis Descriptio” Los logaritmos hoy en día tienen muchas aplicaciones; en la física, en la demografía (estudio de la variación de poblaciones), en química para analizar la velocidad de las reacciones químicas, etc. Logaritmos El logaritmo de un numero positivo “n” en una base “b” positiva y diferente de la unidad; es igual al exponente real “x” al que se debe elevar dicha base, para obtener el número “n” dado inicialmente. Es decir: R x b b n b n x n x b e = > > = · = , 1 , 0 , 0 ; ) ( log Ejemplo = ) 16 ( log 2 4 porque 2 4 = 16 Nota: - Para hallar el logaritmo de ciertos números en forma práctica, hay que hacerse la siguiente pregunta: ¿A qué exponente hay que elevar la base, para obtener el número dado?, ese exponente es el logaritmo. - Si el logaritmo no está escrita se base, se sobre entiende que la base es diez, y si la base es el número de Euler (e) se le denota con “ln” y se llama logaritmo natural o neperiano. Es decir: ) ( log ) log( 10 x x = ) ( log ) ln( x x e = Propiedades Sean“b” positivo y diferente de 1, x e y números reales positivos 1. 0 ) 1 ( log = b 2. 1 ) ( log = b b 3. x b x b = ) ( log 4. ) ( log ) ( log x m x b m b = 5. ) ( log ) ( log ) ( log y x xy b b b + = 6. ) ( log ) ( log log y x y x b b b ÷ = | | . | \ | 50 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Definición Una ecuación logarítmica es una ecuación que contiene un logaritmo de la variable. Para resolver una ecuación logarítmica se debe tener en cuenta el siguiente resultado. 1 , 0 , , ; ) ( log ) ( log = > = · = b b y x y x y x b b PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES LOGARÍTMICAS 1. Analizar para que valores de la variable está bien definida la ecuación. Es decir, analizar la existencia de cada logaritmo que tiene la ecuación 2. Utilizar las propiedades de los logaritmos para combinar todos los logaritmos en uno solo. 3. Aplicar el resultado 1 , 0 , , ; ) ( log ) ( log = > = · = b b y x y x y x b b . 4. Despejar la variable. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Resuelva ) 4 log( 2 ) 5 3 log( x x = + ÷ Solución Por definición, cada logaritmo existe si 3 5 0 0 4 3 5 0 5 3 > ¬ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > · > > · > ÷ x x x x x (*) Colocamos los logaritmos en un mismo miembro: 2 ) 4 log( ) 5 3 log( ÷ = ÷ ÷ x x Aplicamos la propiedad de la resta de dos logaritmos: 3 5 log( ) 2 4 x x ÷ = ÷ Por definición de logaritmo sabemos que log b a x b a x = ÷ = . Es decir: 2 3 5 10 4 x x ÷ ÷ = Resolviendo la ecuación se tiene: 3 5 0, 01 4 x x ÷ = 3 5 0, 04 x x ÷ = 51 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 2, 96 5 x = 5 1, 69 2, 96 x = = El valor obtenido satisface la inecuación (*), por lo tanto, el conjunto solución es } 69 , 1 { . . = S C 2. Resuelva 3 3 log ( 4) log ( 4) 2 x x + + ÷ = Solución Por definición, cada logaritmo existe si 4 4 0 4 4 0 4 > ¬ ¹ ´ ¦ > · > ÷ ÷ > · > + x x x x x (*) Aplicamos la propiedad de la suma de dos logaritmos: | | 2 ) 4 )( 4 ( log 3 = ÷ + x x Efectuamos el producto notable y aplicando definición de logaritmo se tiene: 2 2 3 16 = ÷ x Resolviendo la ecuación se tiene: 9 16 2 + = x 25 2 = x 5 ± = x De los valores obtenidos solo el valor positivo satisface la inecuación (*), por lo tanto el conjunto solución es } 5 { . . = S C 3. Resuelva 4 ) ( log 2 ) ( log 2 2 2 2 = ÷ ÷ x x Solución Por definición, cada logaritmo existe si 0 0 0 0 2 < ¬ ¹ ´ ¦ < · > ÷ e ¬ > x x x R x x (*) Aplicamos la propiedad del producto de un logaritmo con un número se tiene: 4 ) ( log ) ( log 2 2 2 2 2 = ÷ ÷ x x 52 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Efectuamos la potencia: 4 ) ( log ) ( log 2 2 4 2 = ÷ x x Aplicamos la propiedad de la resta de dos logaritmos: 4 log 2 4 2 = | | . | \ | x x Dividimos y aplicamos la definición de logaritmo: 4 2 2 = x Resolviendo la ecuación se tiene: 16 2 = x 4 ± = x De los valores obtenidos solo el valor negativo satisface la inecuación (*), por lo tanto el conjunto solución es } 4 { . . ÷ = S C 4. Resuelva 0 4 ) ( log 5 ) ( log 2 2 2 = + ÷ x x Solución Realizamos un cambio de variable: ) ( log 2 x z = La nueva ecuación a resolver es: 0 4 5 2 = + ÷ z z Resolviendo la ecuación haciendo uso del aspa simple se tiene: 1 4 = v = z z Utilizando el cambio de variable, tenemos las ecuaciones: 1 ) ( log 4 ) ( log 2 2 = v = x x Aplicando la definición de logaritmos: 2 16 = v = x x Por lo tanto, el conjunto solución es } 16 ; 2 { . . = S C 5. Resuelva log log50 3 x + = Solución ) log( x existe 0 > · x Aplicando propiedades de los logaritmos se tiene: 53 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA ( ) log 50 3 x = ( ) ( ) log 50 log 1000 x = 20 1000 50 = · = x x Por lo tanto, el conjunto solución es . . {20} C S = 6. Resuelva ( ) 2 2 5log 3 log 32 x + = Solución 3 existe ) 3 ( log 2 ÷ > · + x x (*) Aplicando propiedades de los logaritmos se tiene: ( ) 5 5 2 2 log 3 log 2 x + = ( ) 5 5 3 2 x + = 1 2 3 ÷ = · = + x x Ese valor satisface la inecuación (*), por lo tanto el conjunto solución es . . { 1} C S = ÷ 7. Resuelva 2 ) 15 log( ) log( = ÷ + x x Solución Por definición, cada logaritmo existe si 15 15 0 15 0 > ¬ ¹ ´ ¦ > · > ÷ > x x x x (*) Reducimos el lado izquierdo aplicando la propiedad del producto de logaritmos 2 )] 15 ( log[ = ÷ x x Aplicando la definición de logaritmo y resolviendo la ecuación tenemos: 2 ( 15) 10 x x ÷ = 2 15 100 0 x x ÷ ÷ = ( 20)( 5) 0 x x ÷ + = 5 20 ÷ = v = x x De los valores obtenidos solo el valor positivo satisface la inecuación (*), por lo tanto el conjunto solución es } 20 { . . = S C 54 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 8. Resuelva 0 ) 5 ( log ) 2 ( log 3 3 = + ÷ x x Solución Por definición, cada logaritmo existe si 0 5 0 5 0 0 2 > ¬ ¹ ´ ¦ ÷ > · > + > · > x x x x x (*) Aplicando propiedades y definición de logaritmo se tiene: 3 2 log 0 5 x x = + Resolviendo la ecuación tenemos: 0 2 3 5 x x = + 2 1 5 x x = + 2 5 x x = + 5 x = Ese valor satisface la inecuación (*), por lo tanto el conjunto solución es . . {5} C S = 9. Resuelva 625 4log log 2log 5 4 x x | | | | + = | | \ . \ . Solución Por definición, cada logaritmo existe si 0 0 0 0 5 > ¬ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > > · > x x x x (*) Aplicando propiedades de los logaritmos se tiene: 4 2 625 log log log 5 4 x x | | | | + = | | \ . \ . · 4 2 625 log log 5 4 x x ( | | | | = ( | | \ . \ . ( ¸ ¸ · 4 2 625 5 4 x x | | | | = | | \ . \ . 4 2 0 4 x x ÷ = · 2 2 1 0 4 x x | | ÷ = | \ . · 0 1 4 0 2 2 = ÷ v = x x · 2 0 ± = v = x x De los valores obtenidos solo el valor positivo satisface la inecuación (*), por lo tanto el conjunto solución es . . {2} C S = 55 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 10. Resuelva ( ) 2log log 10 3 x x = ÷ Solución Por definición, cada logaritmo existe si 3 10 0 3 10 0 3 10 0 < < ¬ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < · > ÷ > x x x x (*) Usando propiedades de los logaritmos se tiene: ( ) 2 log log 10 3 x x = ÷ 2 10 3 x x = ÷ 2 3 10 0 x x + ÷ = 5 2 ÷ = v = x x De los valores obtenidos solo el valor positivo satisface la inecuación (*), por lo tanto el conjunto solución es . . {2} C S = 11. Resuelva ( 1) log ( 5) 2 x x ÷ + = Solución Por definición, cada logaritmo existe si 1 5 0 5 1 1 0 1 > ¬ ¹ ´ ¦ ÷ > · > + > · = . > ÷ x x x x x x (*) Usando definición de logaritmo y resolviendo la ecuación se tiene: ( 1) log ( 5) 2 x x ÷ + = 2 ( 5) ( 1) x x + = ÷ 2 5 2 1 x x x + = ÷ + 2 3 4 0 x x ÷ ÷ = ( 4)( 1) 0 x x ÷ + = 1 4 ÷ = v = x x De los valores obtenidos solo el valor positivo satisface la inecuación (*), por lo tanto el conjunto solución es . . {4} C S = 56 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA EJERCICIOS PROPUESTOS I. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: 1) log ( 3) log (5 ) x x x x ÷ = ÷ 2) 2 2 2 2 log (16 ) log (32 ) 13 x x + = 3) ( ) 2 1 log 7 2 x x ÷ + = 4) ( ) 2 log 9 4(log 9) 4 0 x x ÷ + = 5) log 5 log log 24 x x x + = 6) log(3 1) log( 2 3) 1 log( 25) x x ÷ ÷ + = ÷ 7) 2 2 2 log ( 3 6) log ( 1) 2 x x x ÷ + ÷ ÷ = 8) 2 2 2 2 2 log ( +3) log ( -3 -2) log ( 6) 2 x x x x x + = + ÷ + 9) 1 1 2 2 log (9 7) 2 log (3 1) x x ÷ ÷ + = + + 10) 3 1 log 1 1 log 3 3 x x + = + 11) log 1 log (1 log (1 log )) 0 a c c p x ( + + + = ¸ ¸ 12) 1 2log( ) log(7 12) 0 x x + ÷ + = 13) log( 1) log ( 2) 1 log ( 3) x x x + + ÷ = ÷ ÷ 14) log log 4 4 log (8 ) log (2 ) log ( ) 4 4 4 x x x x ÷ = 15) log ( 2) log (2 1) log b b b x x x + + ÷ = 16) 2 log log log x x x ÷ = 17) 7 7 log (log ) 0 x x + = 18) log(2 ) log(3 ) log20 x x ÷ + ÷ = 19) ln( 1) 1 ln x x + = + 20) 1 log( 9) log(3 8) 2 2log5 2 x x ÷ ÷ ÷ = ÷ 21) ( ) { } 1 log 1 log 1 log 0 a b c p log x ( + + + = ¸ ¸ 22) ( )( )( ) 2 6 2 log log 2 log 3 log x x x x x x x = 23) 2 log 10 x x x = 24) 1 1 2 2 log (9 7) 2 log (3 1) x x ÷ ÷ + = + + 25) 2 log 2 log ( 3) 1 log(7 1) log( 6) log 3 2 x x x + ÷ = + + ÷ + 26) 2 3 3 3 log log 1 x x x | | + = | \ . 57 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA II. Resolver los siguientes problemas 1) La ecuación demanda para un producto es q p 1 , 0 1 12 ÷ = a) Utilice logaritmos comunes (de base 10) para expresar (cantidad demanda en millares)en términos de (precio en miles de nuevos soles). b) Use la parte a) para determinar la cantidad demanda,cuando p=0.0069444.(aproxime si fuese necesario). 2) La edad de un objeto antiguo se puede determinar por la edad de carbono 14 radioactivo que permanece en él. Si 0 D es la cantidad original de carbono 14 yD es la cantidad restante, entonces la edadA del objeto (en años) se determina por 8267ln 0 D A D = ÷ | | | | \ . . Encuentre la edad de un objeto si la cantidadD de carbono 14 que permanece en el objeto es 73% de la cantidad inicial 0 D . 3) En la escala de Richter, la intensidad de un terremoto, se relaciona con su energía (en ergios) por medio de la fórmula log 11, 4 1, 5 E M = + . Si un terremoto es 1000 veces la energía que otro. ¿Cuánto más es su índice de Richter M? 4) La ley de Ebbinghaus del olvido establece que si se aprende una tarea a un nivel de desempeño , entonces después de un intervalo de tiempot el nivel de desempeñoP satisface 0 log log log( 1) P P c t = ÷ + donde c es una constante que depende del tipo de tarea y t se mide en meses. a) Despeje P b) Si su puntuación en una prueba de historia es 90, ¿qué puntuación esperaría obtener en una prueba similar dos meses después? ¿Después de un año? (Suponga ) 5) La ecuación de oferta de un fabricante es log 10 2 q P | | = + | \ . de dólares por unidad dondeq es el número de unidades ofrecidas. a) ¿A qué preciop el fabricante ofrecerá 1980 unidades? b) Si el precio es de $4. ¿Cuántas unidades se ofrecerán? 58 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA CAPÍTULO II MATRICES INTRODUCCIÓN La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, etc. 2.1. MATRIZ Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas. Orden de una matriz El orden una matriz el número de filas por el número de columnas que tiene dicha matriz. Es decir, Se llama matrizde orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales. Notación Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas: a, b, c, ... dentro de un corchete o un paréntesis. Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe a ij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz. es decir: Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc. James Joseph Sylvester. 59 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA ( ( ( ( ¸ ( ¸ = = mn m m n n ij a a a a a a a a a a A        2 1 2 22 21 1 11 11 ) ( 2.2. MATRICES ESPECIALES Matriz Fila Es aquella matriz formada de una sola fila y “n” columnas (n ≥2). Es decir: 1 11 12 1 [ ] n n A a a a × = Ejemplos 1. | | 4 1 9 1 5 2 × ÷ = A 2. | | 2 1 1 3 × ÷ = A Matriz Columna Es aquella matriz formada de una sola columna y “m” filas (m ≥2). Es decir: m m a a a A × ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 1 1 21 11  Ejemplo 4 1 0 1 3 2 × ( ( ( ( ¸ ( ¸ = A Matriz Nula Es aquella matriz en cada una de sus entradas son nulas (igual a cero). ( ( ( ( ¸ ( ¸ = O 0 0 0 0 0 0 0 0 0        60 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Transpuesta de una Matriz La transpuesta de una matriz n m A × es la matriz m n T A × , que se obtiene de al intercambiar las filas por las columnas. Ejemplo 3 2 2 3 2 3 1 1 0 2 2 1 3 0 1 2 × × ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = ¬ ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = T A A Matriz Cuadrada Es aquella matriz que el número de filas es igual al número de columnas. Notación: Una matriz cuadrada se denota por n n A × ( ( ( ( ¸ ( ¸ = nn n n n n a a a a a a a a a A        2 1 2 22 21 1 12 11 La diagonal principal está conformado por los elementos: nn a a a ; ; ; 22 11  . La diagonal secundaría está conformado por los elementos: n n n a a a 1 2 ) 1 ( 1 ; ; ;  ÷ . ( ( ( ( ¸ ( ¸ = nn n n n n a a a a a a a a a A        2 1 2 22 21 1 12 11 Traza de una Matriz La traza de una matriz n n A × , denotado por Tr(A), es la suma de las entradas de la diagonal principal de A.Es decir: nn n i ii a a a a a A Tr + + + + = = ¿ =  33 22 11 1 ) ( Matriz Diagonal Una matriz n n A × es una matriz diagonal si y sólo si todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son iguales a cero. Es decir: A Diagonal secundaria Diagonal principal 61 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA ( ( ( ( ¸ ( ¸ = = nn ij a a a a A        0 0 0 0 0 0 ) ( 22 11 Ejemplos 1. ) 1 ; 2 ( 1 0 0 2 Diag A = ( ¸ ( ¸ = 2. ) 0 ; 2 ; 1 ( 0 0 0 0 2 0 0 0 1 Diag A = ( ( ( ¸ ( ¸ = Matriz Identidad Es una matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad. Ejemplos 1. ( ¸ ( ¸ = 1 0 0 1 2 I . Matriz identidad de orden 2. 2. ( ( ( ¸ ( ¸ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 I . Matriz identidad de orden 3. Matriz Simétrica Una matriz cuadrada n n A × es simétrica si y sólo si T A A= Ejemplos 1. Sea ( ¸ ( ¸ = 1 4 4 1 A entonces ( ¸ ( ¸ = 1 4 4 1 T A . Notemos que: , por lo tanto es simétrica. 2. Sea ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ ÷ = 1 1 5 1 3 2 5 2 2 B entonces ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ ÷ = 1 1 5 1 3 2 5 2 2 T B . Notemos que: , por lo tanto es simétrica. T A A = A T B B = B 62 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Matriz Triangular Superior Una matriz n n A × se llama triangular superior si todas las entradas que están debajo de la diagonal principal son iguales a cero. Es decir: ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = = nn n n n ij a a a a a a a a a a a A 0 0 0 0 0 0 ) ( 3 33 2 23 22 1 13 12 11          Ejemplos 1) ( ¸ ( ¸ = 1 0 3 2 A 2) ( ( ( ¸ ( ¸ = 3 0 0 1 0 0 1 4 2 B 3) ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 2 0 0 0 1 1 0 0 3 3 2 0 6 4 5 1 B Matriz Triangular Inferior Una matriz n n A × se llama triangular inferior si todas las entradas que están arriba de la diagonal principal son iguales a cero.Es decir: ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = = ÷ nn n n n n ij a a a a a a a a a a a A ) 1 ( 2 1 33 32 31 22 21 11 0 0 0 0 0 0 ) (          Ejemplos 1) ( ¸ ( ¸ = 1 3 0 2 A 2) ( ( ( ¸ ( ¸ = 3 1 3 0 1 1 0 0 2 B 3) ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 2 1 2 4 0 1 3 3 0 0 2 2 0 0 0 1 B Matrices Iguales Dos matrices son iguales si y solo si sus respectivos elementos son iguales y tienen el mismo tamaño, es decir: Sean ( ) ij m n A a × = y ( ) ij m n B b × = entonces ; 1, 1, ij ij A B a b i m j n = · = = . = 2.3. OPERACIONES CON MATRICES Suma de matrices La suma de dos matrices n m ij a A × = ) ( y n m ij b B × = ) ( es otra matriz ij ij ij n m ij b a c c C + = = × ; ) ( ; 63 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA n m mn mn m m m m n n n n n m mn m m n n n m mn m m n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b a a a a a a a a a × × × ( ( ( ( ¸ ( ¸ + + + + + + + + + = ( ( ( ( ¸ ( ¸ + ( ( ( ( ¸ ( ¸                      2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 Ejemplo Sean las matrices ( ¸ ( ¸ = 5 4 3 3 1 2 A y ( ¸ ( ¸ = 0 4 6 1 3 5 B .Calcule A+B Solución 3 2 3 2 3 2 5 8 9 4 4 7 0 4 6 1 3 5 5 4 3 3 1 2 × × × ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ + ( ¸ ( ¸ = + B A Propiedades 1. Asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C 2. Conmutativa: A+B = B+A 3. Elemento neutro: (matriz cero 0 m×n ), 0+A = A+0 = A 4. Elemento Simétrico: (matriz opuesta –A ), A + (–A) = (–A) + A = 0 Al conjunto de las matrices de dimensión m×n cuyos elementos son números reales lo vamos a representar por M m×n Nota: La suma y diferencia de dos matrices no están definidas si sus dimensiones son distintas. Producto de un número real por una matriz Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden. n m mn m m n n n m mn m m n n a a a a a a a a a A a a a a a a a a a A × × ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ¬ ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì               2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 Ejemplo Sean las matrices ( ¸ ( ¸ = 5 4 3 3 1 2 A .Calcule 5A 64 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Solución ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ × × × × × × = 25 20 15 15 5 10 5 5 4 5 3 5 3 5 1 5 2 5 5A Propiedades 1. Asociativa: λ(μA) = (λμ)A 2. Distributiva I: λ(A+B) = λA + λB 3. Distributiva II: (λ+μ)A = λA + μA 4. Elemento neutro de escalares: 1A = A Producto de matrices El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz de orden m×ny B es una matriz de orden n×p, entonces su producto matricialAB es la matriz de orden m×p (m filas, p columnas), es decir: p m ij p n ij n m ij c AB C b B y a A × × × = = ¬ = = ) ( ) ( ) ( Donde cada elemento ij c está definido por: p j m i b a c n r j r r i ij , 1 , , 1 ; 1 = = = ¿ = Esto quiere decir que, cada elemento de la matriz producto se obtiene sumando los productos de los elementos de la fila “i”con sus correspondientes de la fila “j” . Para entender mejor esta descripción lo explicaremos a través de un ejemplo Ejemplo Sean las matrices 3 2 5 4 3 3 1 2 × ( ¸ ( ¸ = A y 2 3 0 2 2 0 1 1 × ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = B . Calcule AB Solución 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 3 2 1 1 2 1 3 0 2 3 4 5 2 0 C C F F C F C AB F F C F C × × × ÷ ( × × ( ( ( = × ÷ = ( ( ( × × ¸ ¸ ¸ ¸ ( ¸ ¸ 2 2 2 2 0 8 3 10 0 3 0 2 2 6 0 2 0 5 ) 2 ( 4 1 3 2 5 0 4 ) 1 ( 3 0 3 ) 2 ( 1 1 2 2 3 0 1 ) 1 ( 2 × × ( ¸ ( ¸ + ÷ + + ÷ + ÷ + + ÷ = ( ¸ ( ¸ × + ÷ × + × × + × + ÷ × × + ÷ × + × × + × + ÷ × = AB 65 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 2 2 5 7 0 4 × ( ¸ ( ¸ ÷ = AB Propiedades Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades: 1. Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC). 2. Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC. 3. Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB. 4. En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si AB = 0, No necesariamente B Av son matrices nulas 5. El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si AB = AC, No necesariamenteB=C El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas. 2.4. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ El determinante de una matriz n n A × , es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como A . El valor numérico es conocido también como módulo de la matriz. Cálculo del determinante de una Matriz A nxn - Matriz de 2x2 Sea la matriz 2 2 22 21 12 11 × ( ¸ ( ¸ = a a a a A entonces el determinante se define 12 21 22 11 22 21 12 11 a a a a a a a a A ÷ = = Ejemplo 13 3 10 ) 3 )( 1 ( ) 5 )( 2 ( 5 1 3 2 = + = ÷ ÷ = ÷ = A 66 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA - Matriz de 3x3 (Método de Sarrus) Sea la matriz 3 3 33 32 31 23 22 21 13 12 11 × ( ( ( ¸ ( ¸ = a a a a a a a a a A entonces el determinante se define 23 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a A = 23 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a A = ) ( ) ( 12 21 33 11 23 32 13 22 31 23 21 13 31 23 12 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a A + + ÷ + + = Ejemplo 18 14 4 ) 0 6 8 ( ) 0 12 8 ( 1 4 2 0 1 2 2 1 4 3 2 0 1 1 2 = + = + ÷ ÷ ÷ + + ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ = A - Método de los Cofactores Sea la matriz n n A × Si 1 = n entonces 11 a A = Si 1 > n entonces ¿ = + ÷ = n j j i ij ij A a A 1 ) 1 ( , siendo ij A el resultado de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original, ademási toma un solo valor de 1 a n. Ejemplo Sea la matriz 3 3× A entonces el determinante es: 3 ; 2 ; 1 ; ) 1 ( 3 1 = ÷ = + = ¿ i A a A j i ij j ij Fijamos 1 = i , entonces el determinante de A es: 3 1 13 13 2 1 12 12 1 1 11 11 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( + + + ÷ + ÷ + ÷ = A a A a A a A Agregamos las dos primeras columnas - Sumamos los productos de los elementos de la diagonal principal y de sus paralelas (Flecha hacia abajo) - Sumamos los productos de los elementos de la diagonal secundaria y de sus paralelas (Flecha hacia arriba) - Finalmente se resta el segundo resultado del primer resultado 67 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Eliminando la fila y la columna como indican los subíndices de cada determinante se tiene 4 32 31 22 21 13 3 33 31 23 21 12 2 33 32 23 22 11 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ÷ + ÷ + ÷ = a a a a a a a a a a a a a a a A Finalmente se tiene 32 31 22 21 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a A + ÷ = Propiedades de los determinantes Las propiedades básicas del determinante son las siguientes: 1. El determinante de una matriz A y el de su transpuesta A T son iguales, es decir, T A A = Ejemplo Sea la matriz ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = 5 4 3 2 A y su transpuesta ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = 5 3 4 2 T A . Entonces sus respectivos determinantes son: 2 12 10 5 4 3 2 = + ÷ = ÷ ÷ = A 2 12 10 5 3 4 2 = + ÷ = ÷ ÷ = T A Por lo tanto se verifica la propiedad. 2. Sea A una matriz cuadrada y posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente 0 = A . Ejemplo Sea la matriz ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ = 3 2 1 5 2 3 3 2 1 A entonces: 0 ) 18 10 6 ( ) 18 10 6 ( 3 2 1 5 2 3 3 2 1 = + + ÷ ÷ + + ÷ = ÷ = A Por lo tanto se verifica la propiedad. 3. Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonces es igual al producto de los elementos de la diagonal. A 68 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Ejemplo Sea la matriz ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ = 3 2 1 0 2 3 0 0 1 A entonces: 6 ) 0 0 0 ( ) 0 0 6 ( 3 2 1 0 2 3 0 0 1 ÷ = + + ÷ + + ÷ = ÷ = A Por lo tanto, se verifica la propiedad. 4. Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas, es decir: - Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, A B ÷ = . Ejemplo Sea la matriz ( ¸ ( ¸ = 6 4 5 3 A y ( ¸ ( ¸ = 4 6 3 5 B entonces A B B A ÷ = ¬ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = ÷ = = ÷ = ÷ = = 2 18 20 4 6 3 5 2 20 18 6 4 5 3 Por lo tanto, se verifica la propiedad. - Si se ha sumado un múltiplo de una fila (columna) a otra, entonces A B = . Ejemplo Sea la matriz ( ¸ ( ¸ = 6 4 5 3 A y ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ + + = 6 4 11 7 6 4 6 5 4 3 B entonces A B B A = ¬ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ÷ = ÷ = = ÷ = ÷ = = 2 44 42 6 4 11 7 2 20 18 6 4 5 3 Por lo tanto, se verifica la propiedad. - Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k, A k B = . Ejemplo Sea la matriz ( ¸ ( ¸ = 6 4 5 3 A y ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ × × = 6 4 15 9 6 4 3 5 3 3 B entonces 69 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA A B B A 3 6 60 54 6 4 15 9 2 20 18 6 4 5 3 = ¬ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ÷ = ÷ = = ÷ = ÷ = = Por lo tanto, se verifica la propiedad. 5. El determinante del producto de las matrices A y B es el producto de los determinantes: B A AB = . Ejemplo Sean las matriz ( ¸ ( ¸ = 4 1 3 2 A , ( ¸ ( ¸ = 6 5 4 2 B y ( ¸ ( ¸ = 28 22 26 19 AB entonces B A AB B A AB = ¬ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ÷ = ÷ = ÷ ÷ = = ÷ = ÷ = ÷ = = 40 ) 8 )( 5 ( ) 20 12 )( 3 8 ( 6 5 4 2 4 1 3 2 40 572 532 ) 26 )( 22 ( ) 28 )( 19 ( 28 22 26 19 Por lo tanto, se verifica la propiedad. 2.5. APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES Con los determinantes, y aplicando la regla de Cramer, veremos una forma de resolver los sistemas de ecuaciones lineales. Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = + + + = + + + = + + + n n mn n m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a     2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 Donde n x x x , , , 2 1  son las incógnitas y los números R a ij e son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo de los números reales. Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos: 70 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA - Sistema incompatible si no tiene solución. - Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre: o Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución. o Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones. Regla de Cramer Para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando la regla de Cramer se debe tener en cuenta los siguientes posos: 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales, determinar la matriz de coeficientes A y la matriz columna de los términos independientes b, es decir: R b a b b b b a a a a a a a a a A b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a i ij n nn n n n n n n nn n n n n n n e ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ¬ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = + + + = + + + = + + + , ; , 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11          2. Calcular el determinante de la matriz de coeficientes A. 3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: a. Calcular i x A , donde i x A es la matriz que se le ha sustituido los coeficientes de la columna n i x i , 1 ; = por los términos independientes del sistema de ecuaciones. b. El valor de n i x i , 1 ; = se obtiene dividiendo i x A entre A . Es decir: n i A A x i x i , 1 ; = = 4. Si 0 = A entonces 4.1. El sistema no tiene solución si 0 = i x A para algún i Sistema incompatible n n ij a A × = = ¬ ) ( ; 0 A Sistema compatible indeterminado n n ij a A × = = · ) ( ; 0 A Sistema compatible determinado n n ij a A × = = ¬ ) ( ; 0 A 71 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 4.2. El sistema tiene infinitas soluciones si 0 = i x A n i , 1 ; = ¬ Ejemplos 1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la regla de Cramer ¹ ´ ¦ = + = ÷ 5 5 2 3 y x y x Solución - Identificamos la matriz de coeficientes y la matriz columna de los términos independientes. ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ ÷ = 5 5 , 1 1 2 3 b A - Calculemos el determinante de la matriz de coeficientes 5 2 3 1 1 2 3 = + = ÷ = A - Regla de Cramer 15 10 5 1 5 2 5 = + = ÷ = x A 10 5 15 5 1 5 3 = ÷ = = y A - Calculamos el valor de cada variable 3 5 15 = = = A A x x 2 5 10 = = = A A y y Por lo tanto, el sistema tiene por solución 2 3 = . = y x 2) Resolver 2 1 4 2 2 x y x y + = ¦ ´ + = ¹ Solución - Identificamos la matriz de coeficientes y la matriz columna de los términos independientes. 2 1 1 , 4 2 2 A b ( ( = = ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ - Calculemos el determinante de la matriz de coeficientes 2 1 4 4 0 4 2 A = = ÷ = - Regla de Cramer 72 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 1 1 2 2 0 2 2 x A = = ÷ = 2 1 4 4 0 4 2 y A = = ÷ = - Calculamos el valor de cada variable 0 Indeterminado 0 x A x A = = = 0 Indeterminado 0 y A y A = = = Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones 1 2 ; x t y t t R = . = ÷ e 3) Resolver 3 1 2 6 3 x y x y + = ¦ ´ + = ¹ Solución - Identificamos la matriz de coeficientes y la matriz columna de los términos independientes. 1 3 1 , 2 6 3 A b ( ( = = ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ - Calculemos el determinante de la matriz de coeficientes 1 3 6 6 0 2 6 A = = ÷ = - Regla de Cramer 1 3 6 9 3 3 6 x A = = ÷ =÷ 1 1 3 2 1 2 3 y A = = ÷ = - Calculamos el valor de cada variable 3 0 x A x A ÷ = = =-/ 1 0 y A y A = = =-/ Por lo tanto, el sistema no tiene solución { } . . C S = 4) Resolver el siguiente sistema usando la regla de Cramer. ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ÷ ÷ = + + = + + 0 2 1 2 2 3 1 2 z y x z y x z y x 73 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Solución - Identificamos la matriz de coeficientes y la matriz columna de los términos independientes. ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = 0 1 1 , 1 2 1 2 2 3 1 1 2 b A - Calculemos el determinante de la matriz de coeficientes 1 9 8 ) 3 8 2 ( ) 6 2 4 ( 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 3 1 1 2 = + ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ = ÷ ÷ ÷ = A - Regla de Cramer 1 5 4 ) 1 4 0 ( ) 2 0 2 ( 2 0 2 1 1 1 1 2 0 2 2 1 1 1 1 = + ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ = ÷ ÷ = x A 2 2 0 ) 3 0 1 ( ) 0 2 2 ( 0 1 1 3 1 2 1 0 1 2 1 3 1 1 2 = + = ÷ + ÷ + + ÷ = ÷ = y A 3 2 5 ) 0 4 2 ( ) 6 1 0 ( 2 1 2 3 1 2 0 2 1 1 2 3 1 1 2 ÷ = + ÷ = + ÷ ÷ ÷ + ÷ = ÷ = z A - Calculamos el valor de cada variable 1 1 1 = = = A A x x 2 1 2 = = = A A y y 3 1 3 ÷ = ÷ = = A A z z Por lo tanto, el sistema tiene por solución 3 2 1 ÷ = . = . = z y x 2.6. MÉTODO DE GAUSS El método de Gauss se usa para resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando las operaciones elementales por filas en una matriz. Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes: 1. Intercambiar las filas i y j que designaremos por j i F F ÷ 2. Multiplicar la filai por el número real 0 = k ; lo designamos por i i F k F ÷ 74 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 3. La suma de la multiplicación de un número real 0 = k por la fila i con la fila j se denotará por j i j F kF F + ÷ Algoritmo de Eliminaciónde Gauss: 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales se debe determinar la matriz aumenta R b a b b b a a a a a a a a a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a i ij n nn n n n n n n nn n n n n n n e ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ¬ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = + + + = + + + = + + + , ; aumentada Matriz lineales ecuaciones de Sistema 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11          2. Elegir el elemento 0 11 = a y a través de las operaciones elementales con las filas hacer ceros todos los elementos de esa columna que se encuentren por debajo de ese número ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ n nn n n n b b b a a a a a a a ' ' ' ' 0 ' ' 0 2 1 2 2 22 1 12 11      3. Si 0 11 = a , intercambiar toda la primera fila por otra fila y hacer lo indicado en ítem 2) 4. Elegir el elemento 0 ' 22 = a y a través de las operaciones elementales con las filas hacer ceros todos los elementos de esa columna que se encuentren por debajo de ese número ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ n nn n n n n n n b b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a a a             4 3 2 1 4 3 4 44 43 3 34 33 2 24 23 22 1 14 13 12 11 ' ' ' ' ' ' 0 0 ' ' ' ' ' ' 0 0 ' ' ' ' ' ' 0 0 ' ' ' ' 0 5. Si 0 ' 22 = a , intercambiar toda la segunda fila por otra fila restante y hacer lo indicado en ítem 3) 6. Continuar este proceso hasta transformar la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior equivalente a la matriz. 11 12 13 1 1 22 23 2 2 33 3 3 ( ) 0 ' ' ' 0 0 '' '' 0 0 0 n n n k nn n a a a a b a a a b a a b a b ( ( ( ( ( ( ( ¸ ¸ 75 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 7. Escribir el sistema de ecuaciones lineales equivalente y resolver el sistema iniciando de la última ecuación, luego avanzar hacia arriba hasta obtener el valor de todas las variables del sistema 8. Si en el proceso de encontrar la matriz triangular superior se tiene una fila de ceros excepto el término independiente entonces se dice que el sistema es incompatible o no tiene solución, es decir el conjunto solución es vacío. 11 12 13 14 1 1 22 23 24 2 2 33 34 3 3 4 3 4 0 ' ' ' ' 0 0 '' '' '' 0 0 0 0 0 0 0 '' '' '' n n n n n nn n a a a a a b a a a a b a a a b b a a a b ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ¸ 9. Si en el proceso de encontrar la matriz triangular superior se tiene toda una fila de ceros entonces se dice que el sistema es compatible con infinitas soluciones. En este caso se da cualquier valor a la última variable y luego se calcula el valor de las demás variables obteniendo así una solución particular. 11 12 13 14 1 1 22 23 24 2 2 33 34 3 3 3 4 0 ' ' ' ' 0 0 '' '' '' 0 0 0 0 0 0 0 0 '' '' '' n n n n n nn n a a a a a b a a a a b a a a b a a a b ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ¸ Ejemplos 1) Resuelva el sistema: 2 3 7 1 3 4 6 5 5 2 4 7 x y z x y z x y z + ÷ = ÷ ¦ ¦ + ÷ = ´ ¦ ÷ + = ÷ ¹ Solución Determinamos la matriz aumentada 2 3 7 1 3 4 6 5 5 2 4 7 ( ÷ ÷ ( ÷ ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ 76 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Seleccionamos el 11 2 a = y a través de las operaciones elementales se hace cero los números que están por debajo de 2. Es decir: 2 1 2 2 3 7 1 3 2 0 1 9 13 5 2 4 7 F F F ( ÷ ÷ ( =÷ + ÷ ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ 3 1 3 2 3 7 1 0 1 9 13 5 2 0 19 43 9 F F F ( ÷ ÷ ( ÷ ( ( =÷ + ÷ ÷ ¸ ¸ Seleccionamos el 22 1 a =÷ de la nueva matriz aumentada y a través de las operaciones elementales se hace cero los números que están por debajo de -1. Es decir: 3 2 3 2 3 7 1 0 1 9 13 19 0 0 128 256 F F F ( ÷ ÷ ( ÷ ( ( =÷ + ÷ ÷ ¸ ¸ Escribimos el nuevo sistema equivalente al dado inicialmente 2 3 7 1 (1) 9 13 (2) 128 256 (3) x y z y z z + ÷ =÷ ¦ ¦ ÷ + = ´ ¦ =÷ ¹ Resolvemos la tercera ecuación y avanzamos hacia arriba. Es decir: Ecuación (3) 128 256 2 z z = ÷ = Ecuación (2) 9 13 18 13 5 y z y y ÷ + = ÷ + = = Ecuación (1) 2 3 7 1 2 15 14 1 1 x y z x x + ÷ = ÷ + ÷ = ÷ = ÷ 2) Resuelva el sistema: 3 5 2 3 4 9 5 4 7 14 3 x y z x y z x y z + + = ¦ ¦ + + = ´ ¦ + + = ¹ Solución Determinamos la matriz aumentada 3 2 2 1 2 F F F = ÷ + Significa que en la nueva fila 2 se ubica el resultado de multiplicar por –3 a los elementos de la Fila 1 y sumarlos con sus correspondientes de la fila 2 multiplicados por 2. 5 2 3 1 3 F F F = ÷ + Significa que en la nueva fila 3 se ubica el resultado de multiplicar por –5 a los elementos de la Fila 1 y sumarlos con sus correspondientes de la fila 3 multiplicados por 2. 19 3 2 3 F F F = ÷ + Significa que en la nueva fila 3 se ubica el resultado de multiplicar por –19 a los elementos de la Fila 2 y sumarlos con sus correspondientes de la fila 3 multiplicados. 77 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 1 3 5 2 3 4 9 5 4 7 14 3 ( ( ( ( ¸ ¸ Seleccionamos el 11 1 a = y a través de las operaciones elementales se hace cero los números que están por debajo de 1. Es decir: 2 1 2 3 1 3 1 3 5 2 3 0 5 6 1 0 5 6 5 4 F F F F F F ( ( =÷ + ÷ ÷ ÷ ( ( ÷ ÷ ÷ =÷ + ¸ ¸ Seleccionamos el 22 5 a =÷ de la nueva matriz aumentada y a través de las operaciones elementales se hace cero los números que están por debajo de -5. Es decir: 3 2 3 1 3 5 2 0 5 6 1 0 0 0 4 F F F ( ( ÷ ÷ ÷ ( ( =÷ + ÷ ¸ ¸ De la tercera fila de esta matriz podemos afirmar que el sistema es incompatible, es decir no tiene solución. 3) Resuelva el sistema: 3 5 2 4 9 5 2 5 13 8 y z x y z x y z + = ¦ ¦ ÷ + = ÷ ´ ¦ ÷ + ÷ = ¹ Solución Determinamos la matriz aumentada 0 3 5 2 1 4 9 5 2 5 23 8 ( ( ÷ ÷ ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ Seleccionamos el 11 0 a = entonces es necesario intercambiar filas. 1 4 9 5 0 3 5 2 2 5 23 8 ( ÷ ÷ ( ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ Seleccionamos el 11 1 a = de la nueva matriz aumentada y a través de las operaciones elementales se hace cero los números que están por debajo de 1. Es decir: 78 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 3 1 3 1 4 9 5 0 3 5 2 2 0 3 5 2 F F F ( ÷ ÷ ( ( ( = + ÷ ÷ ÷ ¸ ¸ Seleccionamos el 22 3 a = de la nueva matriz aumentada y a través de las operaciones elementales se hace cero los números que están por debajo de 3. Es decir: 3 2 3 1 4 9 5 0 3 5 2 0 0 0 0 F F F ( ÷ ÷ ( ( ( = + ¸ ¸ De la tercera fila de esta matriz podemos afirmar que el sistema es compatible con infinitas soluciones. Una solución particular es. 1 z = 3 5 2 3 5 2 1 y z y y + = + = = ÷ 4 9 5 4 9 5 18 x y z x x ÷ + =÷ + + =÷ =÷ EJERCICIOS RESUELTOS Matrices 1. Sea la matriz 2 4 5 1 1 4 2 3 A ( ( ( = ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ calcule 11 32 41 42 31 ( ) 3 N a a a a a = ÷ + ÷ Solución Identificando los elementos de la A se tiene: ¬ ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 3 2 4 1 1 5 4 2 42 41 32 31 22 21 12 11 a a a a a a a a A 5 9 4 ) 1 )( 3 ( 3 )] 2 ( 4 [ 2 = + ÷ = ÷ ÷ ÷ + ÷ = N N N 2. Construya la matriz 3 4 ij A a × ( = ¸ ¸ si 2 ; 2 ; ij i j i j a i j i j ÷ + < ¦ = ´ ÷ > ¹ Solución Sea la matriz A ( ( ( ¸ ( ¸ = 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a A 79 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Por definición se tiene ¹ ´ ¦ > ÷ < + ÷ = j i j i j i j i a ij ; 2 ; 2 Para j i < 3 ) 2 ( 2 1 12 = + ÷ = a 5 ) 3 ( 2 1 13 = + ÷ = a 7 ) 4 ( 2 1 14 = + ÷ = a 4 ) 3 ( 2 2 23 = + ÷ = a 6 ) 4 ( 2 2 24 = + ÷ = a 5 ) 4 ( 2 3 34 = + ÷ = a Para j i > 1 1 ) 1 ( 2 11 = ÷ = a 3 1 ) 2 ( 2 21 = ÷ = a 2 2 ) 2 ( 2 22 = ÷ = a 5 1 ) 3 ( 2 31 = ÷ = a 4 2 ) 3 ( 2 32 = ÷ = a 3 3 ) 3 ( 2 33 = ÷ = a 3. Sean las matrices 1 0 3 3 1 5 5 1 2 A ( ( = ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ , 4 2 3 3 1 7 1 4 12 B ÷ ( ( = ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ y 1 2 13 2 7 0 0 5 10 C ( ( = ÷ ( ( ¸ ¸ . Calcule 2 3 5 N A B C = ÷ + Solución Aplicando definición de adición de matrices y multiplicación de una matriz por un escalar se tiene ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ + ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ ÷ ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = 50 25 0 0 35 10 65 10 5 36 12 3 21 3 9 9 6 12 4 2 10 10 2 6 6 0 2 N ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ = ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ + ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = 18 15 7 11 40 25 62 4 19 50 25 0 0 35 10 65 10 5 32 10 7 11 5 15 3 6 14 N 4. Resuelva la siguiente ecuación 8 1 3 2 4 7 6 a b b c d a c d ÷ ( ( ( ÷ = ( ( ( ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Solución Efectuando las operaciones en las matrices se tiene Por lo tanto, la matriz es: ( ( ( ¸ ( ¸ = 5 3 4 5 6 4 2 3 7 5 3 1 A 80 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA ( ¸ ( ¸ ( ¸ ( ¸ ÷ + + ÷ 6 7 1 8 4 2 3 d a c d c b b a Igualando cada elemento se tiene ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = ÷ = + = + = ÷ ) 4 ( 6 4 2 ) 3 ( 7 3 ) 2 ( 1 ) 1 ( 8 d a c d c b b a Sumando las ecuaciones (1) y (2) se tiene ) 5 ( 9 = +c a Multiplicar por 4 a la ecuación (3), por 3 a la ecuación (4) y luego sumar estos resultados. ) 6 ( 23 2 3 46 4 6 18 12 6 28 4 12 = + = + ¹ ´ ¦ = ÷ = + c a c a d a c d Multiplicando por –2 a la ecuación (5) y sumando con la ecuación 6 se tiene: 5 23 2 3 18 2 2 = ¹ ´ ¦ = + ÷ = ÷ ÷ a c a c a El valor de a lo reemplazamos en la ecuación (5) y se tiene el valor de 4 = c El valor de c lo reemplazamos en la ecuación (3) y se tiene el valor de 1 = d El valor de a lo reemplazamos en la ecuación (1) y se tiene el valor de 3 ÷ = b 5. Halle el valor del polinomio ( , ) f A B de las matrices A y B , si 2 2 ( , ) 2 f x y x xy y = ÷ + y 1 2 0 1 , 2 0 1 2 A B ( ( = = ( ( ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ Solución Al reemplazar las matrices en el polinomio se tiene 2 2 2 ) ; ( B AB A B A f + ÷ = Calculemos cada término por separado. ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ × ( ¸ ( ¸ = = 4 2 2 5 0 2 2 1 0 2 2 1 2 AA A 81 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA ( ¸ ( ¸ ÷ = ( ¸ ( ¸ ÷ × = ( ¸ ( ¸ ÷ × ( ¸ ( ¸ × = 4 0 10 4 2 0 5 2 2 2 1 1 0 0 2 2 1 2 2AB ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = ( ¸ ( ¸ ÷ × ( ¸ ( ¸ ÷ = = 3 2 2 1 2 1 1 0 2 1 1 0 2 BB B Por lo tanto, ( ¸ ( ¸ ÷ = ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ + ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ( ¸ ( ¸ = 3 0 6 8 3 2 2 1 4 0 10 4 4 2 2 5 ) ; ( B A f 6. Calcule el determinante de cada una de las siguientes matrices a) 1 2 3 2 3 4 3 4 4 k A k k ÷ ( ( = ÷ ( ( ÷ ¸ ¸ b) 2 2 2 1 1 1 A k k k k k k ( ( = ( ( ¸ ¸ c) 4 3 1 9 2 0 3 2 4 2 0 3 4 6 4 1 1 2 2 2 0 0 3 3 3 A ( ( ( ( = ( ÷ ( ( ¸ ¸ Solución a) Aplicamos la regla de Sarrus 4 3 3 2 2 1 4 4 3 4 3 2 3 2 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = k k k k k A )] 4 ( 4 ) 1 ( 16 ) 3 ( 9 [ ] 24 24 ) 4 )( 3 )( 1 [( ÷ + ÷ + ÷ ÷ + + ÷ ÷ ÷ = k k k k k k A ] 16 4 16 16 27 9 [ ] 48 12 19 8 [ 2 3 ÷ + ÷ + ÷ ÷ + ÷ + ÷ = k k k k k k A ] 59 29 [ ] 36 19 8 [ 2 3 ÷ ÷ + + ÷ = k k k k A 95 10 8 2 3 + ÷ ÷ = k k k A b) Apliquemos propiedades de los determinantes 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 = = = k k k k k k k k k k k k k A ( Tiene dos filas iguales ) c) Apliquemos propiedades de los determinantes para obtener la obtener la mayor cantidad de ceros en el determinante y así sea más fácil y rápido el cálculo. 82 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 3 3 3 0 0 2 2 2 1 1 4 6 4 3 0 2 4 2 3 0 2 9 1 3 4 ÷ = A 3 3 0 0 0 2 2 0 1 1 4 6 0 3 0 2 4 0 3 0 2 9 1 3 4 ÷ ÷ = A 0 3 0 0 0 0 2 0 1 1 2 6 0 3 0 2 4 0 3 0 7 9 1 3 4 ÷ ÷ = A 0 3 0 0 0 0 2 0 1 1 2 6 0 3 0 0 2 0 0 0 7 9 1 3 4 ÷ ÷ = A 0 3 0 0 0 0 2 0 1 1 2 6 0 3 0 7 9 1 3 4 0 2 0 0 0 ÷ ÷ ÷ = A Usando el método de los cofactores o los por menores se tiene 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 3 0 7 1 3 4 2 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 3 0 7 1 3 4 2 = ÷ ÷ = | | | | | . | \ | ÷ ÷ ÷ ÷ = A (tiene una fila de ceros) 7. Reduzca la matriz a una matriz triangular superior, utilizando transformaciones elementales por fila. La nueva columna 3 se obtuvo de multiplicar por -1 la columna 5 y sumando con la columna 3. La nueva columna 5 se obtuvo de multiplicar por -1 la columna 5 y sumando con la columna 4. La nueva fila 2 se obtuvo de multiplicar por -1 la fila 2 y sumando con la fila 3. La nueva fila 1 se obtuvo al intercambiarla fila 1 con la fila 2, entonces el determinante queda multiplicado por –1. 83 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 1 0 3 3 1 5 5 1 2 A ( ( = ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ Solución Aplicando las operaciones en las filas se tiene ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ + ÷ ÷ ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ + ÷ + ÷ ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ 17 0 0 4 1 0 3 0 1 13 1 0 4 1 0 3 0 1 5 3 2 1 5 5 1 3 3 0 1 3 2 3 1 2 1 F F F F F F Aplicaciones de las operaciones con matrices 1) Una compañía tiene plantas en tres localidades X, Y y Z, y cuatro bodegas en los lugares A, B, C y D. El costo (en soles) de transportar cada unidad de su producto de una planta a una bodega está dado por la matriz: Solución a) 10 2 12 2 15 2 12 14 17 13 2 10 2 12 2 15 12 14 8 2 15 2 6 2 10 17 8 16 2 9 2 10 2 18 11 12 + + + ( ( ( ( + + + ( ( = ( ( + + + ( ( + + + ¸ ¸ ¸ ¸ b) 10 20% 10 12 20% 12 15 20% 15 12 14.4 18 13 20% 13 10 20% 10 12 20% 12 15, 6 12 14, 4 8 20% 8 15 20% 15 6 20% 6 10, 24 18 7, 2 16 20% 16 9 20% 9 10 20% 10 19, 2 10,8 13 + × + × + × ( ( ( ( + × + × + × ( ( = ( ( + × + × + × ( ( + × + × + × ¸ ¸ ¸ ¸ 2) (pronóstico electoral)Un encuestador político observa una postulación muy competida para la alcaldía en una ciudad particular. La encuestas indican las preferencias de los votantes en los seis distritos electorales de la ciudad. La matriz P muestra estas preferencias. 10 12 15 13 10 12 8 15 6 16 9 10 X Y Z A B C D ( ( ( ( ( ¸ ¸ a) Si los costos de transporte se incrementan uniformemente en S/.2 por unidad, ¿cuál es la nueva matriz? b) Si los costos se elevan un 20%, escriba los nuevos costos en forma matricial. 84 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Distritos 1 2 3 4 5 6 0.40 0.35 0.30 0.50 0.30 0.36 Demócrata 0.42 0.40 0.25 0.30 0.30 0.32 Republicano 0.18 0.25 0.45 0.20 0.40 0.32 Independiente P ( ( = ( ( ¸ ¸ Cada columna indica los porcentajes de votantes en cada distrito que se espera que voten por los diferentes candidatos a la alcaldía. El número de ciudadanos en cada distrito está dado en la siguiente matriz V. | | Distritos 1 2 3 4 5 6 30 000 60 000 70 000 45 000 55 000 40 000 V = Determine la matriz que pronostique el resultado de la elección. Solución El resultado de la elección se tiene multiplicando las matrices. Es decir: 30 000 60 000 0.40 0.35 0.30 0.50 0.30 0.36 107 400 70 000 0.42 0.40 0.25 0.30 0.30 0.32 96 900 45 000 0.18 0.25 0.45 0.20 0.40 0.32 95 700 55 000 40 000 P ( ( ( ( ( ( ( ( = = ( ( ( ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ ( ( ¸ ¸ Estos resultados sugieren que el candidato republicano tiene una ventaja de más de 10 000 votos sobre los otros dos candidatos. 3) (Materia prima y costos) Supongamos que un contratista ha aceptado pedidos para construir casas cuya información se da en la siguiente matriz. | | Rústico Moderno Colonial 4 7 9 Nº casas Q = Además, suponga que la información de las materias primas que se utilizan en cada tipo de casa se da en la siguiente matriz Colonial Moderno Rústico Acero 13 5 8 25 6 21 9 12 18 7 17 7 16 20 5 Obra de Mano Pintura Vidrio Madera ( ( ( ¸ ( ¸ = R Supongamos también que la matriz C representa el costo por unidad en soles de cada materia prima y el costo de transportar la materia prima al lugar de la construcción. Transporte Compra Acero 0 10 100 50 50 3500 250 1000 1500 3500 Obra de Mano Pintura Vidrio Madera ( ¸ ( ¸ = C 85 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA a) Calcule el costo de cada tipo de casa y su respectivo costo de transporte b) Calcule la matriz que de la información del costo total de compra y el costo total de transporte c) Si | | 1 1 = D , Calcule el costo total que proporcione el costo total de materiales y transporte para todas las casas que serán construidas. Solución a) El costo de transporte y costo de transporte por cada tipo de casa está dada por la siguiente matriz. Ob. M. Pintura Vidrio Madera Acero Transporte Compra 13 21 17 5 9 7 8 12 16 25 18 20 6 7 5 0 10 100 50 50 3500 250 1000 1500 3500 Obra M. Pintura Vidrio Madera Acero Colonial Moderno Rústico ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ × ( ¸ ( ¸ = T CR Transporte Compra Colonial Moderno Rústico 2400 2540 2920 113250 139250 124750 ( ¸ ( ¸ = T CR b) Matriz del costo total de compra y el costo total de transporte Transporte Compra Colonial Moderno Rústico Transporte Compra Colonial Moderno Rústico 51060 2493000 9 7 4 2400 2540 2920 113250 139250 124750 ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ × ( ¸ ( ¸ = T T Q CR c) Costo total de la construcción | | 2544060] [ 51060 2493000 1 1 Transporte Compra = ( ¸ ( ¸ × = T T Q DCR Por lo tanto el soto total es de S/. 2 544 060 Aplicaciones de las ecuaciones lineales 1. La fábrica de juguetes debe pedir prestados $25 000 dólares para costear una ampliación. No puede obtener todo el dinero prestado de un solo banco, así que pide tres préstamos a tres bancos diferentes. El primero le cobra el 8% de interés. En el segundo banco pide prestado $ 2 000 más que la mitad solicitada al primer banco. La tasa de interés del segundo banco es del 10%. El resto de los $ 25 000 lo presta un tercer banco, donde paga el 9% de interés. El interés anual total que paga la fábrica por el préstamo de los tres bancos es de $ 2 220. ¿Cuánto dinero pidió a cada banco? 86 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Solución Sea x la cantidad prestada al primer banco Sea y la cantidad prestada al segundo banco Sea z la cantidad prestada al tercer banco Según el problema se tiene las siguientes ecuaciones - La fábrica de juguetes debe pedir prestados $25 000 dólares 000 25 = + + z y x - En el segundo banco pide prestado $ 2 000 más que la mitad solicitada al primer banco 000 4 2 000 2 2 = + ÷ · + = y x x y - El interés anual total que paga la fábrica por el préstamo de los tres bancos es de 220 2 $ 000 222 9 10 8 220 2 % 9 % 10 % 8 = + + · = + + z y x z y x Por lo tanto el sistema de ecuaciones es: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + = + ÷ = + + 000 222 9 10 8 000 4 2 000 25 z y x y x z y x Solucionaremos este sistema de ecuaciones usando Eliminación Gaussiana. ÷ ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ 222000 4000 25000 9 10 8 0 2 1 1 1 1 ÷ ( ( ( ¸ ( ¸ + ÷ + 22000 29000 25000 1 2 0 1 3 0 1 1 1 8 3 1 2 1 F F F F ( ( ( ¸ ( ¸ + ÷ 000 8 000 29 000 25 1 0 0 1 3 0 1 1 1 3 2 3 2 F F Por lo tanto, la solución es: 000 8 = z 000 7 000 29 000 8 3 000 29 3 = = + = + y y z y 000 10 000 25 000 8 000 7 000 25 = = + + = + + x x z y x 2. Un fabricante produce tres artículos, A, B y C. la utilidad por cada unidad vendida de A, B y C es $3, $2 y $3, respectivamente. Los costos fijos son de $17 000 por año y los costos de producción por cada unidad son $5, $6 y $7, respectivamente. El año siguiente se producirán y venderán un total de 20000 unidades entre los tres productos, y se obtendrá una utilidad total de $53000. Si el costo total será de $140000. ¿Cuántas unidades de cada producto deberán producirse el año siguiente? Resolver por el método de eliminación Gaussiana Solución Sea x la cantidad de unidades producidas del artículo A Sea y la cantidad de unidades producidas del artículo B 87 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Sea z la cantidad de unidades producidas del artículo C Planteamos el sistema de ecuaciones según el enunciado: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + = + + = + + ) variable Costo ( 000 123 7 6 5 ) total Utilidad ( 000 53 3 2 3 ) producidas unidades de (Total 000 20 z y x z y x z y x Solucionaremos este sistema de ecuaciones usando Eliminación Gaussiana. ÷ ( ( ( ¸ ( ¸ 000 123 000 53 000 20 7 6 5 3 2 3 1 1 1 ÷ ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ + ÷ + ÷ 000 23 000 7 000 20 2 1 0 0 1 0 1 1 1 5 3 3 1 2 1 F F F F ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ 000 7 000 23 000 20 0 1 0 2 1 0 1 1 1 3 2 F F ( ( ( ¸ ( ¸ + 000 16 000 23 000 20 2 0 0 2 1 0 1 1 1 3 2 F F Entonces, la solución del sistema es: 8000 16000 2 = = z z 7000 23000 16000 23000 2 = = + = + y y z y 5000 20000 8000 7000 20000 = = + + = + + x x z y x Por lo tanto, se deben producir 5000 artículos A, 7000 artículos B y 8000 artículos C. 3. Un fabricante produce 42 electrodomésticos. La fábrica abastece a 3 tiendas, que demandan toda la producción. En una cierta semana, la primera tienda solicitó tantas unidades como la segunda y tercera juntas, mientras que la segunda pidió un 20% más que la suma de la mitad de lo pedido por la primera más la tercera parte de lo pedido por la tercera. ¿Qué cantidad solicitó cada una? Solución Sea x a la cantidad que solicitó la primera tienda. Sea y a la cantidad que solicitó la segunda tienda. Sea z a la cantidad que solicitó la tercera tienda. Según el enunciado del problema se tiene ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ | . | \ | + = + = = + + ) tercera la de parte tercera la más primra la de mitad la de suma la que más 20% ( 3 2 2 , 1 ) juntas tercera la y segunda la como unidades tantas solicita Primera ( ) producidas unidades de (Total 42 z x y z y x z y x 88 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Efectuando en la segunda y tercera ecuación se tiene el sistema equivalente. ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + ÷ = ÷ ÷ = + + 0 2 5 3 0 42 z y x z y x z y x Usando el Eliminación Gaussiana se tiene ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ + ÷ ÷ ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ 42 42 42 7 0 0 2 2 0 1 1 1 4 126 42 42 1 8 0 2 2 0 1 1 1 3 0 0 42 2 5 3 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 2 1 F F F F F F Entonces, la solución del sistema es: 6 42 7 = = z z 15 21 6 21 42 2 2 = = + = + ÷ = ÷ ÷ y y z y z y 21 42 6 15 42 = = + + = + + x x z y x Por lo tanto, la primera tienda solicitó 21 electrodomésticos, la segunda 15 electrodomésticos y la tercera 6 electrodomésticos 4. Un comerciante desea combinar dos clases de cacahuates con nueces cuyos costos respectivos son de $1.50 y $2.50 y $4.00 por libra, para obtener 130 libras de mezcla que cueste $3.00 la libra. ¿Cuántas libras de cada clase deberá utilizar, si además se desea que la cantidad de cacahuates de la variedad más barata sea el doble que la variedad más cara? Solución Seax la cantidad de kilogramos de cacahuate de $ 1.50 Seay la cantidad de kilogramos de cacahuate de $ 2.50 Seaz la cantidad de kilogramos de nueces Según los datos del problema tenemos el sistema de ecuaciones lineales ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ¬ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ÷ = + + = + + 0 0 2 1 130 1 1 1 390 4 5 , 2 5 , 1 0 2 130 ) 130 ( 3 4 5 , 2 5 , 1    y x z y x z y x 89 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Usando el Eliminación Gaussiana se tiene ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ + ÷ + ÷ ÷ ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ 390 130 0 4 5 , 5 0 1 3 0 0 2 1 5 , 1 390 130 0 4 5 , 2 5 , 1 1 1 1 0 2 1 0 130 390 0 2 1 1 1 1 4 5 , 2 5 , 1 3 1 2 1 3 1 F F F F F F ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ + ÷ 455 130 0 5 , 6 0 0 1 3 0 0 2 1 3 5 , 5 3 2 F F Entonces, la solución del sistema es: 70 42 5 , 6 = = z z 20 60 3 130 70 3 130 3 = = = + = + y y y z y 40 0 40 0 2 = = ÷ = ÷ x x y x Por tanto, se debe combinar 40 kilogramos de cacahuate de $ 1,50; 20 kilogramos de cacahuate de $2.50 y 70 kilogramos de nueces. 90 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Sea la matriz: 7 4 9 3 1 5 , 5 2 6 A ( ( = ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ Calcule 13 32 22 23 a a a a + + ÷ y la transpuesta de A. 2. Halle la traza de 3 3 , ij A a × ( = ¸ ¸ para la cuál 2. ij a i j = + ÷ 3. Construya la matriz, usando la ley de formación indicada: a) 2 2 , 2 3 ij ij A a a i j × ( = = ÷ ¸ ¸ b) 2 2 , 2 3 i j ij ij A a a × ( = = ÷ ¸ ¸ c) 2 3 3 , 3 ij ij B b b j i × ( = = ÷ ¸ ¸ d) 4 4 , 3 2 ij ij B b b i ij × ( = = ÷ + ¸ ¸ e) ( ) ( ) 2 2 4 4 , 1 i j ij ij B b b i j + × ( = = ÷ ÷ ¸ ¸ f) 3 4 ; , 0 ; 2 ; ij ij i j i j C c c i j i j i j × + > ¦ ¦ ( = = = ´ ¸ ¸ ¦ ÷ < ¹ g) 3 3 ; , ; ; j ij ij i j i j C c c i i j i j i j × + < ¦ ¦ ( = = = ´ ¸ ¸ ¦ × > ¹ 4. Sean las matrices: 1 3 8 2 0 1 5 7 6 A ÷ ( ( = ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ y 2 8 1 5 7 3 4 6 0 B ÷ ( ( = ( ( ¸ ¸ . Calcule (si es posible): A+B, A-B, 2A+B, 3A-5B, AB, BA. 5. Sean las matrices 1 3 4 0 , 0 1 A ÷ ( ( = ( ( ÷ ¸ ¸ 3 0 , 1 4 B ( = ( ÷ ¸ ¸ 1 2 3 3 1 5 C ( = ( ¸ ¸ . Calcule (si es posible): A+B, A+C T , BC, CB, AC, CA, C T B. 6. Determine u, x, y e z a partir de las ecuaciones matriciales: a) 2 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 5 2 3 2 4 3 2 x u y z ÷ ( ( ( ( ÷ = ( ( ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ b) 1 2 1 2 4 3 4 3 1 2 2 0 1 1 4 2 1 4 4 y u x z ÷ ÷ ÷ ( ( ( ( ( ( ÷ = ÷ ( ( ( ( ( ( ÷ + ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 7. Halle el valor del polinomio ( , ) f A B de las matrices A y B . a) 2 ( , ) 2 , f x y x xy y = ÷ + además: 3 5 2 0 , 1 4 7 8 A B ÷ ( ( = = ( ( ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ b) 2 2 ( , ) , f x y x y = ÷ además: 1 1 3 1 , 2 3 0 1 A B ÷ ( ( = = ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ c) 3 2 2 3 ( , ) , f x y x x y xy y = ÷ + ÷ además: 1 0 3 2 8 1 2 5 0 , 5 7 3 0 4 6 4 6 0 A B ( ( ( ( = = ( ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ 91 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 8. Si 2 2 2 0 4 2 2 1 , , . 0 4 0 3 1 0 A B AB BA ÷ ( ( ( = = = = ( ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Halle 2 ) ( B A+ y ) )( ( B A B A ÷ + 9. Dadas las matrices 1 3 3 0 , . 1 4 1 5 A B ( ( = = ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ Halle X en: ( ) 2 . T T BA X B A + = + 10. Sean las matrices 3 3 3 3 3 3 , [ ] , [ ] i j i j x i j x x A a B b C c ( = = = ¸ ¸ cuyos elementos se definen por la siguientes reglas de formación: 2 , , , 2 , , 2 3 0, , i j i j ij ij i j i j i j i j a b i j i j c i j i ij i j ¦ + < + = ¦ ¦ = = ÷ = = + ´ ´ = ¹ ¦ ÷ > ¹ Halle: ( ). M AB BC CA = + ÷ 11. Calcule el determinante de cada una de las siguientes matrices: a) 3 2 4 5 A ÷ ( = ( ÷ ¸ ¸ b) 1 1 2 3 1 1 4 5 A ( = ( ( ¸ ¸ c) 2 4 5 3 2 1 1 1 2 A ( ( = ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ d) 3 2 0 4 5 2 5 3 0 A ÷ ( ( = ÷ ÷ ( ( ÷ ¸ ¸ e) 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 A ( ( ( = ( ( ¸ ¸ f) a b c c A a b c a b b a c + ( ( = + ( ( + ¸ ¸ g) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ( ( ÷ ÷ ( = ( ÷ ÷ ( ÷ ÷ ¸ ¸ 12. Reduzca las siguientes matrices a una matriz triangular superior, utilizando transformaciones elementales por fila: a) 3 2 0 4 5 2 5 3 0 A ÷ ( ( = ÷ ÷ ( ( ÷ ¸ ¸ b) 4 1 3 2 1 2 3 4 2 1 3 5 1 4 3 6 A ( ( ÷ ÷ ( = ( ÷ ( ÷ ¸ ¸ c) 3 3 3 2 3 4 4 2 3 4 5 3 2 2 3 2 A ÷ ÷ ( ( ÷ ÷ ( = ( ÷ ÷ ( ÷ ÷ ¸ ¸ Resolver los siguientes problemas sobre operaciones con matrices 13. La siguiente información corresponde a la cantidad de libros de la editorial A y B ordenados por género y condición, que una librería tiene a la venta. EDITORIAL A GÉNERO: CONDICIÓN: Terror Acción Cómicas Ficción Empastado 240 600 300 600 No Empastado 450 300 500 300 92 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA EDITORIAL B GÉNERO: CONDICIÓN: Terror Acción Cómicas Ficción Empastado 200 500 300 500 No Empastado 400 700 120 700 a) Represente esta información utilizando matrices. b) Escriba la matriz que representa el total de libros que la librería tiene por género y condición en ambas editoriales. 14. La primera tabla, representa las ventas (en miles de dólares) para la Walbash Company en el año 2008 en varias ciudades, y la segunda representa las ventas (en miles de dólares) para la misma compañía en el año 2009 en las mismas ciudades. a) Represente esta información utilizando matrices. b) Escriba la matriz que representa el total de ventas por tipo y ciudad para ambos años. c) Escriba la matriz que representa el cambio en ventas por tipo y por ciudad de 2008 a 2009. 15. Una empresa usa cuatro diferentes materias primas M 1 , M 2 , M 3 y M 4 en la elaboración de su producto. El número de unidades de M 1 , M 2 , M 3 y M 4 usadas por unidad del producto son 4, 3, 2 y 5, respectivamente. El costo por unidad de las cuatro materias primas es de 5, 7, 6 y 3 nuevos soles, respectivamente. Exprese el costo total de las materias primas por unidad del producto. 16. La compañía Wish produce cuatro tipos distintos de altavoces en tres plantas diferentes. La producción del mes de mayo fue: En la planta I, 320 del modelo A, 280 del modelo B, 460 de modelo C y 280 del modelo D; en la planta II, 480 del modelo A, 360 del modelo B, 580 de modelo C y ninguno del modelo D; en la planta III, 540 del modelo A, 420 del modelo B, 200 de modelo C y 880 del modelo D. La producción del mes de junio fue: En la planta I, 210 del modelo A, 180 del modelo B, 330 de modelo C y 180 del modelo D; en la planta II, 400 del modelo A, 300 del modelo B, 450 de modelo C y 40 del modelo D; en la planta III, 420 del modelo A, 280 del modelo B, 180 de modelo C y 740 del modelo D. Exprese estos datos en forma matricial y determine la producción total en mayo y junio. 17. Los tres locales de Burger Barn venden hamburguesas, papas fritas y refrescos. Barn I vende 900 hamburguesas, 600 órdenes de papas fritas y 750 refrescos diariamente. Barn II vende 1500 hamburguesas diarias y Barn III vende 1150. Las ventas de refrescos son de 900 al día en Barn II y de 825 al día en Barn III. Barn II vende 950 y Barn III vende 800 órdenes de papas fritas al día. a) Escriba una matriz S de 3x3 que muestre las ventas diarias de los tres locales. b) Las hamburguesas cuestan $ 1,5 cada una, la papas fritas $0,90 por orden y los refrescos $0,60 cada uno. c) ¿Qué producto muestra los ingresos diarios en cada uno de los tres locales? Año 2009 CIUDAD: TIPO: Chicago Atlanta Memphis Mayoreo 375 300 710 Menudeo 410 300 200 Año 2008 CIUDAD: TIPO: Chicago Atlanta Memphis Mayoreo 450 280 850 Menudeo 400 350 150 93 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 18. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1 000 estanterías grandes y 8 000 pequeñas de tipo A, 8 000 grandes y 6 000 pequeñas de tipo B, y 4 000 grandes y 6 000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. a) Representar esta información en dos matrices. b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los modelos de estantería. 19. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. a) Representar la información en dos matrices. b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos. 20. La economía de una nación en vías de desarrollo se basa en productos agrícolas, acero y carbón. Una producción de una tonelada de productos agrícolas requiere un consumo de 0.01 toneladas de productos agrícolas; 0,02 toneladas de acero y 0,05 toneladas de carbón. Una producción de una tonelada de acero requiere un consumo de 0,01 toneladas de producción agrícola; 0,13 toneladas de acero y 0,18 toneladas de carbón. Una producción de una tonelada de carbón requiere de 0,01 toneladas de productos agrícolas; 0,20 toneladas de acero y 0,05 toneladas de carbón. Escriba la matriz tecnológica para esta economía. Resolver los siguientes lineales sistemas usando el método de Cramer 21. Resolver 3 5 4 9 x y x y ÷ = ¦ ´ + = ¹ 22. Resolver 3 5 12 3 3 4 x y x y ÷ = ¦ ¦ ´ ÷ = ¦ ¹ 23. Resolver 2 11 1 18 16 x y x y + = ¦ ¦ ´ + = ¦ ¹ 24. Resolver 0.2 0.1 1.1 3 18 x y x y + = ¦ ´ + = ¹ 25. Resolver 7 3 3 5 15 35 x y x y ¦ ÷ = ¦ ´ ¦ ÷ = ¹ 26. Resolver 2 3 2 1 2 14 5 11 x y z x y x z ÷ + = ÷ ¦ ¦ + = ´ ¦ ÷ = ÷ ¹ 94 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Resolver los siguientes lineales sistemas usando el método de Eliminación Gaussiana 27. Resolver 2 5 2 2 8 3 3 4 5 x y z x y z x y z + ÷ = ÷ ¦ ¦ ÷ + = ´ ¦ + + = ¹ 28. Resolver 3 2 4 2 3 2 7 4 10 x y z x y z x y z + + = ¦ ¦ ÷ + = ÷ ´ ¦ + ÷ = ¹ 29. Resolver 2 3 2 1 2 14 5 11 x y z x y x z ÷ + = ÷ ¦ ¦ + = ´ ¦ ÷ = ÷ ¹ 30. Resolver 2 4 2 2 2 2 3 4 1 2 2 4 x y z x y z x y z ¦ ÷ + ÷ = ÷ ¦ ¦ ¦ + ÷ = ´ ¦ ¦ ÷ + = ¦ ¹ 31. Resolver 0.6 0.4 0.2 2.2 0.1 0.2 0.3 0.9 0.2 0.1 0.3 1.2 x y z x y z x y z ÷ + = ¦ ¦ ÷ ÷ + = ´ ¦ ÷ ÷ ÷ = ÷ ¹ 32. Resolver 3 5 3 6 10 2 1 7 4 11 6 x y z x y z x y z ÷ + + = ÷ ¦ ¦ ÷ ÷ = ´ ¦ ÷ + = ÷ ¹ 33. Resolver 1 2 1 4 3 1 x y z x y z x y z ÷ + = ¦ ¦ + ÷ = ´ ¦ ÷ + = ¹ 34. Resolver 3 2 15000 4 10000 2 5 5 35000 x y z x y z x y z + + = ¦ ¦ + + = ´ ¦ + + = ¹ Resolver los siguientes problemas usando la regla de Cramer 35. El día del estreno de una película se vendieron 1 200 entradas y se recaudó S/. 16 000. Si los adultos pagaron S/. 15 y los niños S/. 10. ¿Cuál es el número de adultos y niños que asistieron al estreno de la película? 36. El perímetro de un terreno rectangular es de 72 m. La longitud del terreno es 9 m. más larga que su anchura. ¿Cuál es la longitud y anchura del terreno? 37. Se dispone de dos mezclas diferentes de combustibles. Una de ellas contiene 4% de alcohol y la otra 12%. ¿Qué cantidad de cada mezcla tendría que usarse para obtener 20,000 litros de combustible que contenga 9% de alcohol? 38. La edad de un padre es el doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de sus hijos), la edad del padre era el triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de las edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre al momento de nacer sus hijos? 39. El dueño de un bar a comprado gaseosa, cerveza y vino por un importe total de S/. 500 (sin impuestos). El valor del vino es S/.60 menos que el de la gaseosa y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que las gaseosas deben pagar un impuesto del 6%, por la cerveza 12% y por el vino 30%, lo que hace que la factura total con impuesto resulte en S/. 592,40; calcula la cantidad invertida en cada bebida. 40. Una agencia que alquila autos, cobra una tarifa diaria más una tarifa por distancia en kilómetros. El señor Leyva pagó $ 85 por dos días y 100 km, y al señor Guzmán le cobraron $165 por 3 días y 400 km. ¿Cuál es la tarifa diaria de la agencia y cuál es su tarifa por kilómetro? 95 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Resolver los siguientes problemas usando el método de Eliminación Gaussiana 41. Se tiene tres denominaciones de billetes de dólar. Un paquete de 4 del primero, 1 del segundo y 2 del tercero hacen un total de $ 70. Otro paquete de 2 del primero, 4 del segundo y 3 del tercero hacen un total de $ 110 y un tercer grupo de 6 del primero, 8 del segundo y uno del tercero hacen un total de $ 130. ¿Cuál es el valor de cada billete? 42. El dueño de un bar a comprado gaseosa, cerveza y vino por un importe total de S/. 500 (sin impuestos). El valor del vino es S/. 60 menos que el de la gaseosa y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que por la gaseosa se debe pagar un impuesto del 6%, por la cerveza el 12% y por el vino el 30%, lo que hace que la factura total con impuesto resulte S/. 592,40; calcula la cantidad invertida en cada bebida. 43. Un fabricante produce tres artículos, A, B y C. la utilidad por cada unidad vendida de A, B y C es $1, $2 y $3, respectivamente. Los costos fijos son de $17 000 por año y los costos de producción por cada unidad son $4, $5 y $7, respectivamente. El año siguiente se producirán y venderán un total de 11 000 unidades entre los tres productos, y se obtendrá una utilidad total de $25 000. Si el costo total será de $80 000. ¿Cuántas unidades de cada producto deberán producirse el año siguiente? 44. Una empresa minera tiene tres campamentos mineros con la siguiente información: Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%) Campamento A 1 2 3 Campamento B 2 5 7 Campamento C 1 3 1 ¿Cuántas toneladas de cada campamento deben utilizar para obtener 7 toneladas de níquel, 18 toneladas de cobre y 16 toneladas de hierro? 45. Para determinar las intensidades de corriente eléctrica (en Ampere) en el circuito mostrado en la figura se utilizan las leyes de Kirchoff. Al aplicar dichas leyes se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones. Determine los valores de intensidades I 1 , I 2 , I 3 . ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = + = ÷ + 20 4 6 10 4 6 0 3 2 3 1 3 2 1 I I I I I I I 46. Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y alpiste. Cada kilo de trigo se vende por S/. 4, El de cebada por S/. 2 y el de alpiste por S/. 0.50. Si se vende 100 kilos en total y el número de kilos de alpiste excede en 36 kilos al trigo y la cebada juntos, obteniendo por la venta S/. 100, ¿Cuántos kilos de cada cereal se venden? 2Ω 4Ω 4Ω 2Ω 4Ω 10V 20V I 1 I 2 I 3 96 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA CAPÍTULO III GEOMETRÍA ANALÍTICA INTRODUCCIÓN 3.1. RELACIÓN BINARIA 3.1.1 PAR ORDENADO Un par ordenado es un conjunto con dos elementos en un orden específico. Notación: ( ; ) a b Usamos la notación ( ; ) a b para denotar el par ordenado en la cual el primer elemento o componente es “a” y el segundo elemento o componente es “b”. Propiedades del par ordenado: 1. ( ; ) ( ; ) a b b a = 2. ( ; ) ( ; ) a b c d a c b d = · = . = 3.1.2 PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano de dos conjuntos A y B (diferentes del conjunto vacío) es el conjunto de todos los pares ordenados ( ; ) a b donde A ae y B be . Es decir: {( ; ) / } A B a b a A b B × = e . e René Descartes, filósofo y matemático francés, nació en 1596. Entre sus principales aportes a la filosofía está su famoso "Discurso del Método", obra en la cual busca exponer reglas para "descubrir verdades". Descartes afirmó que los orígenes de esta obra filosófica estaban en la lógica, la geometría y el álgebra. Por otra parte, este pensador ilustre hizo una importante contribución a las Matemáticas. Al "Discurso del Método" le añadió un "anexo" titulado "Geometría", en el cual propuso un sistema nuevo para estudiar esta disciplina. Gracias al "sistema de coordenadas cartesianas" creado por Descartes y denominado así en su honor, diversas áreas de las Matemáticas tuvieron un rápido desarrollo en los años posteriores. René Descartes. 97 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Propiedades del producto cartesiano: 1. A B B A × = × 2. B A A B B A = · × = × 3. | | = × A 4. ) ( ) ( ) ( B n A n B A n × = × 5. ) ( ) ( ) ( C A B A C B A × × = × 6. ) ( ) ( ) ( C A B A C B A × · × = · × 7. ) ( ) ( ) ( C A B A C B A × ÷ × = ÷ × 8. ) ( ) ( ) ( ) ( F B E A F E B A · × · = · × · Ejemplo Sea } 6 ; 4 ; 2 { = A y { ; } B c s = determine el producto cartesiano B A× Solución Por definición se tiene: )} ; 6 ( ), ; 6 )( ; 4 ( ), ; 4 ( ), ; 2 ( ), ; 2 {( s c s c s c B A = × 3.1.3 RELACIÓN Dados dos conjuntos no vacíos A y B se define un conjunto R como una relación de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano B A× . Es decir: {( ; ) / } R x y A B x R y = e × Ejemplo Sean los conjuntos } 6 ; 5 ; 3 ; 2 { = A y } 4 ; 3 ; 1 { = B .Hallar las siguientes relaciones: a) 1 {( ; ) / } R x y A B x y = e × < b) 2 {( ; ) / 9} R x y B A x y = e × + < c) 2 3 {( ; ) / } R x y A B x y = e × s Solución a) 1 {( ; ) / } R x y A B x y = e × < 1 {(2;3), (2; 4), (3, 4)} R = b) 2 {( ; ) / 9} R x y A B x y = e × + < 98 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 2 {(1; 2), (1;3), (1;5), (1;6), (3; 2), (3;3), (3; 5), (4; 2), (4;3)} R = c) 2 3 {( ; ) / } R x y A B x y = e × s 3 {(2; 4)} R = DEFINICIÓN El dominio de una relación R es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados que forman la relación Notación: Dom (R) El rango de una relación R es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados que forman la relación Notación Ran (R) De los ejemplos anteriores. 1) 1 {(2;3), (2; 4), (3, 4)} R = { } 1 Dom( ) 2;3 R A = c { } 1 Ran( ) 3; 4 R B = c 2) 2 {(1; 2), (1;3), (1;5), (1;6), (3; 2), (3;3), (3; 5), (4; 2), (4;3)} R = { } 2 Dom( ) 1;3; 4 R B = c { } 2 Ran( ) 2;3;5;6 R A = c 3) 3 {(2; 4)} R = { } 3 Dom( ) 2 R A = c { } 3 Ran( ) 4 R B = c Relación en un solo Conjunto: Dado un conjunto no vacíoA, se define un conjunto R como una relación en A si: 2 R A A A c × = {( ; ) / } R x y A A x R y = e × Ejemplo Sea el conjunto {1; 2;3; 4;5;6} A= y 1 {( ; ) / 5} R x y A A x y = e × + = entonces 1 {(1; 4), (2;3), (3; 2), (4;1)} R = { } 1 Dom( ) 1; 2;3; 4 R A = c { } 1 Ran( ) 1; 2;3; 4 R A = c 99 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 3.1.4 PRODUCTO CARTESIANO DE RxR Es el gráfico que nos representa el producto cartesiano de R R × , donde R es el conjunto de los números reales. 3.1.5 GRÁFICA DE RELACIONES EN R 2 Método práctico para graficar una inecuación Si una inecuación tiene una de las formas ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 F x y F x y F x y F x y < ¦ ¦ s ¦ ´ > ¦ ¦ > ¹ para graficarla seguir dos pasos. 1. Graficar la frontera ( , ) 0 F x y = . La frontera divide al plano cartesiano en dos regiones. 2. Sombrear la región ( , ) 0 F x y < (0 ( , ) 0 F x y > ), eligiendo un punto cualquiera ( , ) x y del plano y verificando si dicho punto pertenece o no a la región definida por ( , ) 0 F x y < (0 ( , ) 0 F x y > ). EJERCICIOS RESUELTOS 1. Graficar la relación { } 2 ( , ) / 2 3 6 0 A x y R x y = e ÷ ÷ > Solución 1. Graficar la frontera 2 3 6 0 x y ÷ ÷ = Por tratarse de una relación lineal bastarán dos puntos arbitrarios que pertenecen a la frontera. Los puntos más sencillos se obtienen: haciendo 0 x = para obtener el valor de y, luego hacer 0 y = para obtener, el correspondiente valor de x. 2 ( ; ) x y R e x y R R × X Y 100 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Así: x y 0 -2 Si 0 x = , entonces 2(0) 3 6 0 2 y y ÷ ÷ = ¬ = ÷ 3 0 Si 0 y = , entonces 2 3(0) 6 0 3 x x ÷ ÷ = ¬ = Entonces la frontera es una línea recta que pasa por los puntos (0, 2) P ÷ y (3, 0) Q El gráfico de la frontera es 2. Sombrear. La frontera ha dividido al plano 2 R en dos regiones: 1 R y 2 R . ¿Cuál de las regiones debemos sombrear? Para sombrear hace lo siguiente: - Elegir un punto cualquiera de la región 1 R y reemplazar en la relación { } 2 ( , ) / 2 3 6 0 A x y R x y = e ÷ ÷ > . - Supongamos que elegimos el punto (0,0) e 1 R , al reemplazar en la relación A obtenemos: 2(0) 3(0) 6 0 ÷ ÷ > …. ¡ Esto es falso ! Este resultado nos indica que NO debemos sombrear la región 1 R porque el punto (0,0) e 1 R no satisface la relación A. En consecuencia se sombrea la región 2 R que se encuentra al otro lado de la frontera. - Si por el contrario, elegimos el punto (4,-3) e 2 R y reemplazamos en la relación A, obtenemos 2(4) 3( 3) 6 0 ÷ ÷ ÷ > …. ¡ Esto es verdadero ! Este resultado nos indica que debemos sombrear la región 2 R , porque el punto 2 (4, 3) R ÷ e y satisface a la relación A. Gráfico de la región 2 : 2 3 6 0 R x y ÷ ÷ > R 1 Y X Frontera 2x – 2y – 6 = 0 R 2 R 1 Y y X x R 2 101 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Nota: En el gráfico se observa que la línea recta se ha trazado con puntos o con rayas; se hace así, porque la relación dada { } 2 ( , ) / 2 3 6 0 A x y R x y = e ÷ ÷ > es estrictamente MAYOR. Si la relación fuera 2 3 6 0 x y ÷ ÷ > , entonces la frontera se traza con una línea continua. 2. Graficar el plano convexo, limitado por la intersección de las gráficas de las siguientes relaciones en R . A: 2 0 x y ÷ ÷ s B: 4 4 0 x y + ÷ > C: 5 7 35 x y + s D: 0 x > E: 0 y > Solución a) Graficar la relación A. 1. Graficar la frontera: 2 0 x y ÷ ÷ = ………….. (L A ) x y 0 -2 2 0 2. Sombrear: Elegir el punto (0, 0) y reemplazar en la relación A: 2 0 x y ÷ ÷ < ,el resultado es verdadero. Entonces sombrear la región donde se ubica el punto (0, 0) b) Graficar la relación B. 1. Graficar la frontera: 4 4 0 x y + ÷ = ………. (L B ) x y 0 1 4 0 2. Sombrear.- Elegir (0, 0) y reemplazar en B: 4 4 0 x y + ÷ > , el resultado esfalso. Entonces sombrear laregión opuesta a la región donde se encuentra el (0, 0) c) Graficar la relación C 1. Graficar la frontera: 5 7 35 x y + = ……….. (L C ) x y 0 5 7 0 2. Sombrear : Elegir (0, 0) y reemplazar en C: 5 7 35 x y + < , el resultado es verdadero Entonces graficar la región donde está el punto (0, 0) . d) La grafica de la relación { } 2 ( , ) / 0 D x y R x = e > es la parte derecha del eje Y incluyendo al eje Y. 102 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA e) La grafica de la relación { } 2 ( , ) / 0 E x y R y = e > es la parte superior del eje X (encima del eje X) incluyendo al eje X. La intersección de las regiones D ·E = PRIMER CUADRANTE. El gráfico del PLANO CONVEXOcontenido en 2 R : El plano Pes convexo de vértices P, Q, R, S y es la intersección de las cinco relaciones: A · B · C · D · E. 3. Graficar la inecuación: 2 2 4 4 5 0 xy x y + + ÷ > Solución 1. Se gráficala frontera: 0 5 4 4 2 2 = ÷ + + y x xy (1) Interceptos: x y - Con eje Y: hacer x=0 en la ecuación ÷ 0 1 , 1 ± 1 , 1 2 5 0 5 4 ) 0 ( 4 ) )( 0 ( 2 2 ± = ± = ¬ > ÷ + + y y y - Con eje Y: hacer x=0 en la ecuación ÷ 4 5 0 4 5 0 5 ) 0 ( 4 ) ( 4 ) 0 )( ( 2 = ¬ = ÷ + + x x x (2) Simetrías - Respecto al eje X: al cambiar y por y ÷ , la ecuación E: 0 5 4 4 2 2 = ÷ + + y x xy no varía. Entonces existe simetría respecto al eje X (esto, porque sólo la variable y tiene exponente entero par). (3) Determinación Del Dominio Y Del Rango a) Para hallar el dominio, despejar " y " de la Ecuación E: x x y 4 5 ) 4 ( 2 ÷ = + 4 4 5 + ÷ ± = x x y de aquí se tiene L C Q Y L A P R S 1 P 5 2 4 7 X L B -2 103 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 0 4 5 4 0 4 4 5 s + ÷ · > + ÷ x x x x Por lo que los puntos críticos son: 4 / 5 = x y 4 ÷ = x Por lo tanto, el dominio es: ( ¸ ( ( ¸ ( ÷ e 4 5 ; 4 x La asíntota vertical es: 4 ÷ = x b) Para hallar el rango, despejar " x " de la ecuación E: 2 2 4 5 ) 4 ( y y x ÷ = + 4 4 5 2 + ÷ = y y x Como esta expresión tiene sentido para todo y entonces el rango es: | | +· · ÷ e ; y (4) El gráfico de la frontera (curva) se hace con ayuda de algunos puntos ) , ( y x que satisfacen la ecuación E, dando a la variable “ x ” algunos valores del dominio. 2. Sombrear. Eligiendo el punto 1 ) 0 ; 0 ( R e y reemplazando en la relación, se tiene que 0 5 0 0 0 > ÷ + + lo cual es falso. Este resultado nos indica que NO debemos sombrear la región R 1 sino R 2 . x 1 ÷ y 7 , 1 ± -4 R 1 X - 4 x = - 4 Y R 2 5/4 + -4 5/4 + ÷ 104 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 4. Graficar la relación { } 2 / ) , ( 2 s + e = y x R y x R Solución 1. Graficar la frontera: 2 = + y x a) Definir cada valor absoluto ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ < . < = ÷ ÷ > . < = + ÷ < . > = ÷ > . > = + · = + 0 0 , 2 0 0 , 2 0 0 , 2 0 0 , 2 2 y x si y x y x si y x y x si y x y x si y x y x b) Graficar cada una de las cuatro ecuaciones (son 4 segmentos de recta=frontera) 2. Sombrear: Reemplazado { } 2 / ) , ( 2 s + e = y x R y x R (0,0) es verdadero 0 < 2, entonces sombrear la región interior. Recordar que: ¹ ´ ¦ < ÷ > = 0 , 0 , x si x x si x x ¹ ´ ¦ < ÷ > = 0 , 0 , y si y y si y y -4 R 1 X - 4 x = - 4 Y R 2 5/4 20 = + ÷ y x x 20 = + y x 20 = ÷ ÷ y x 20 = ÷ y x y R y x 105 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 5. Graficar la relación { } 2 2 1 / ) , ( 2 + ÷ ÷ = e = x x y R y x R Solución a) Graficar cada valor absoluto: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ÷ < . < ÷ ÷ ÷ + ÷ = ÷ > . < + ÷ + ÷ = ÷ < . > ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ > . > + ÷ ÷ = · + ÷ ÷ = 2 1 ), 2 ( 2 1 2 1 ), 2 ( 2 1 2 1 ), 2 ( 2 1 2 1 ), 2 ( 2 1 2 2 1 x x si x x y x x si x x y x x si x x y x x si x x y x x y ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ÷ < + = < s ÷ ÷ ÷ = + = > ÷ ÷ = · + ÷ ÷ = 2 , 5 1 2 , 3 3 , 3 3 1 , 5 2 2 1 x si x y x si x y vacío x y x si x y x x y Graficando se tiene 6. Un paciente requiere una dieta estricta a través de dos alimentos: A y B. Se sabe que cada unidad de del alimento A contiene 120 calorías y 2 gramos de proteínas; la unidad del alimento B contiene 100 calorías y 5 gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo 1000 calorías y 30 gramos de proteínas. Si el precio de cada unidad del alimento A es de S/. 60 y de cada unidad del alimento B es de S/. 80, ¿Cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta; para que el costo sea el mínimo? y 3 -2 1 -6 x Recordar que: ¹ ´ ¦ < ÷ + ÷ > ÷ ÷ = ÷ 0 1 , 1 0 1 , 1 1 x si x x si x x ¹ ´ ¦ < + ÷ ÷ > + + = + 0 2 , 2 0 2 , 2 2 x si x x si x x 106 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Solución Sea “x” el número de unidades de A Sea “y” el número de unidades de B Objetivo: Maximizar el costo y x y x C 80 60 ) , ( + = Restricciones Según los datos del problema se construye la siguiente tabla de doble entrada ALIMENTOS DIETA REQUIERE A B Calorías 120 100 Mínimo 1000 Calorías Gramos de proteínas 2 5 Mínimo 30 gramos de proteínas Luego, las restricciones son: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > > > + > + · > > > + > + 0 ; 30 5 2 50 5 6 0 ; 30 5 2 1000 100 120 y x y x y x y x y x y x Graficando cada restricción en el primer cuadrante se tiene el siguiente gráfico. Luego, evaluando los vértices en la ecuación costo se tiene = + = = + = = + = ( ; ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) C C C 0 10 60 0 80 10 800 15 0 60 15 80 0 900 5 4 60 5 80 4 620 La dieta debe contener 5 unidades del alimento A y de 4 unidades del alimentos B; para obtener el costo mínimo de S/. 620. 50 5 6 : 1 = + y x L x 0 25/3 y 10 0 30 5 2 : 2 = + y x L x 0 15 y 6 0 Los vértices son ) 0 ; 15 ( = A ) 10 ; 0 ( = C ) 4 ; 5 ( = A 4 ; 5 30 5 2 50 5 6 1 = = ¬ = + = + ÷ ¹ ´ ¦ y x y x y x X Y 0 25/3 6 B A C 2 L 1 L 10 15 5 4 107 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Sea el conjunto { } 1; 2; 3 A = ÷ y las relaciones ( ) { } 1 , / R x y A A x y = e × > y ( ) { } 2 ; / 3 R x y A A x y = e × + = Calcular el número de elementos del conjunto 1 2 R R · 2) Sean { } / es impar ]1;8[ A x N x x = e e y | | { } / es par 4;10 B x N x x = e e . Hallar el dominio y el rango de la relación { } ( , ) / 12 S x y A B x y = e × + < 3) Sea { } 1;2;3;4 U = , hallar el dominio, rango y gráfica de las siguientes relaciones a) { } ( , ) / 3 S x y U U y = e × = b) { } ( , ) / 2 T x y U U x = e × = c) { } ( , ) / R x y U U y x = e × < 4) Sean los conjuntos { } { } A= 1; 2; 3; 4; 5; 6 ; B= 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49 y la relación ( ) ( ) { } 2 ; / 2 1 e × = + R= x y A B y x . Halle el dominio y rango de la relación R. 5) Sean los conjuntos { } 2; 1;0;1;2 A= ÷ ÷ y { } 1;0;2;3 B = ÷ . Se definen las siguientes relaciones { } ( , ) / S x y A B x y A = e × + e y { } ( , ) / 2 1 T x y B A x y B = e × ÷ ÷ e a) Hallar ( ) n S T · b) ( ) ( ) Dom S T Ran S T · ÷ · 6) Halle el dominio y rango de las siguientes relaciones a) } 3 2 / ) , {( + = × e = x y R R y x R b) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + = × e = 2 5 / ) , ( x y R R y x R c) } 0 3 / ) , {( = ÷ × e = y x R R y x R d) } 0 3 2 / ) , {( = ÷ ÷ × e = y xy R R y x R 7) Dada la relación } 0 3 4 3 / ) , {( 2 = + ÷ ÷ × e = y x y x R R y x R . Determine el dominio de la relación. 8) El rango de la relación es: } 4 / ) , {( 2 + = × e = x y R R y x R 9) Dada la relación } 0 4 / ) , {( 2 2 = + ÷ × e = y x x R R y x R . Determine el dominio de la relación 108 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 10) Sea la relación } 0 4 4 / ) , {( 2 2 2 2 = ÷ + × e = y x y x R R y x R . Determine el dominio de la relación: 11) Sea la relación } 2 2 9 / ) , {( 2 = ÷ ÷ × e = x y y x R R y x R . Determine el dominio de la relación. 12) Halle el rango y la gráfica de la relación } 2 3 / ) , {( x y R R y x R ÷ = × e = 13) Halle el rango y la gráfica de la relación } [ 3 ; 2 [ ; 1 2 / ) , {( ÷ e ÷ = × e = x x y R R y x R . 14) Dada las siguientes relaciones indique el dominio, rango y grafique. a) { } ( ; ) / 3 5 R x y RxR x = e ÷ < < b) { } ( ; ) / 4 2 R x y RxR y = e ÷ s < c) { } ( ; ) / 2 5 R x y RxR x y = e + = d) { } ( ; ) / 3 R x y RxR x = e = 15) Grafique cada una de las siguientes relaciones indicando sus interceptos. a) 3 y x = ÷ b) 4 y x = c) 2 3 6 0 x y ÷ + = d) 2 1 y x = ÷ + e) 2 x = ÷ f) 5 y x = ÷ 16) Dada las siguientes relaciones indique el dominio, rango y grafique. a) { } 2 ( ; ) / 2( 3) 1 R x y RxR y x = e = + ÷ b) [} 6 ; 1 [ , 8 6 / ) , {( 2 e + ÷ = × e = x x x y R R y x R c) } [ 4 ; 0 ] , 10 2 / ) , {( 2 e + ÷ = × e = x x x y R R y x R 17) Dada las siguientes relaciones indique las intersecciones con los ejes coordenados, el dominio, rango y grafique. a) } ) 3 ( / ) , {( 2 ÷ = × e = x y R R y x R b) } 8 6 / ) , {( 2 + ÷ = × e = x x y R R y x R c) } 4 5 / ) , {( 2 ÷ + ÷ = × e = x x y R R y x R APLICACIONES 18) Un banco dispone de 18 millones de soles que serán ofrecidos para préstamos de riesgo alto y medio, con un beneficio del 14% y 7% respectivamente. Sabiendo que se debe ofrecer al menos 4 millones de soles para préstamos de riesgo medio, además que el dinero ofrecido para alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, entonces determinar cuánto debe de ofrecerse a cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio del banco y calcular éste. 109 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 19) Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son de 540 dólares por vagón de coches y 360 dólares por vagón de motocicletas, calcular cómo se deben distribuir los vagones para que el ingreso de un transporte de coches y motocicletas sea máximo y cuánto es dicho ingreso. 20) Un fabricante produce en dos talleres tres modelos distintos de archivadores, el A, el B y el C. Se ha comprometido a entregar como mínimo 12 archivadores del modelo A, 8 del B y 24 del C. Al fabricante le cuesta 720 soles al día el funcionamiento del primer taller y 960 soles el del segundo. El primer taller produce diariamente 4 archivadores del modelo A, 2 del B y 4 del C, mientras que el segundo produce 2, 2 y 12 archivadores, respectivamente ¿Cuántos días debe trabajar cada taller para, cumpliendo el contrato, conseguir reducir al máximo los costos de funcionamiento?. ¿Cuál es el valor de dicho costo? ¿Quedaría algún excedente de algún producto en los talleres? En caso afirmativo, determinar cuántos. 21) Una compañía fabrica y vende modelos de lámparas A y B. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo A y de 30 minutos para el modelo B; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo A y de 10 minutos para el modelo B. Se dispone para el trabajo manual de 6000 minutos al mes y para el de máquina de 4800 minutos al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 soles y de 10 soles para el modelo B, planificar la producción mensual para obtener el máximo beneficio y obtener éste. 22) Un paciente requiere una dieta estricta a través de dos alimentos: A y B. Se sabe que cada unidad de del alimento A contiene 120 calorías y 2 gramos de proteínas; la unidad del alimento B contiene 100 calorías y 5 gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo 1000 calorías y 30 gramos de proteínas. Si el precio de cada unidad del alimento A es de S/. 60 y de cada unidad del alimento B es de S/. 80, ¿Cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta; para que el costo sea el mínimo? 23) Fabricaciones “Gonza” tienes dos fábricas que produce tres clases de papel: de calidad baja, de calidad media y de calidad alta. Necesita proveer como mínimo 24 toneladas de papel de calidad baja, 6 de papel de calidad media y 30 de papel de calidad alta. Diariamente, la fábrica A produce 8 toneladas de papel de calidad baja, 1 de calidad media y 2 de calidad alta; siendo el costo diario de operación de $ 2000. La fábrica “B”, diariamente produce 2 toneladas de calidad baja, 1 de calidad media y 8 de calidad alta; siendo el costo diario de operación $ 4000. ¿Cuántos días debe operar cada fábrica a fin de cumplir con las órdenes, a un costo mínimo? 110 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 3.2. LA LÍNEA RECTA 3.2.1 DEFINICIÓN Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección. 1.1 LA PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente de una recta, es la tangente del ángulo de inclinación que forma la recta con el eje X positivo; la cual es un número que mide que tan inclinada está la recta y hacia dónde está inclinada. Usualmente se denota con la letra m a la pendiente; para encontrar la pendiente de una recta no vertical tomamos dos puntos ) , ( 1 1 y x P y ) , ( 2 2 y x Q de la recta y calculamos el cociente de la diferencia de los valores de y sobre la diferencia de los valores de x . Si la recta es vertical, todos los puntos de la recta tienen la misma primera coordenada, entonces el denominador de la expresión anterior vale cero y por lo tanto, no puede evaluarse m, así que las rectas verticales no tienen pendiente. X Y 1 2 1 2 ) tan( x x y y m ÷ ÷ = = u X Y Q P 1 2 y y ÷ 1 2 x x ÷ 2 x 1 x 1 y 2 y u u 111 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA OBSERVACIONES - La pendiente es positiva cuando la recta está inclinada hacia la derecha. - La pendiente es cero cuando la recta es horizontal. - La pendiente es negativa cuando la recta está inclinada hacia la izquierda. - Conforme el valor absoluto de la pendiente es mayor, la recta esta menos inclinada. - Una recta vertical no tiene pendiente. Ejemplo Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-2,5) y (3,-1) Solución 5 6 ) 2 ( 3 5 1 ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ = m 1.2 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES a) Si dos rectas L 1 y L 2 son paralelas sus pendientes son iguales. Esto es, si 1 m es la pendiente de la recta L 1 y 2 m es la pendiente de la recta L 2 entonces: 2 1 m m = Es la condición para que sean paralelas. b) Si dos rectas L 1 y L 2 son perpendiculares la pendiente de una de ellas es igual al reciproco (inversa) de la pendiente de la otra con signo contrario. Esto es, si 1 m es la pendiente de la recta L 1 y 2 m es la pendiente de la recta L 2 entonces: 1 1 2 1 2 1 ÷ = × · ÷ = m m m m Es la condición para que sean perpendiculares. 1.3 ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO LA PENDIENTE Y UN PUNTO DE ELLA Consideremos el problema de encontrar la ecuación de la recta no vertical L que pasa por un punto ) , ( 1 1 y x P y tiene pendiente “ m”. Si ) , ( y x Q es cualquier otro punto de la recta, se debe satisfacer: 1 1 x x y y m ÷ ÷ = De aquí se tiene ) ( 1 1 x x m y y ÷ = ÷ (1) X Y Q P 1 y y ÷ 1 x x ÷ x 1 x 1 y y 112 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Esta forma de la ecuación de la recta se llama ecuación punto-pendiente de la recta, ya que la obtuvimos conociendo la pendiente y un punto de ella, y recíprocamente si vemos una ecuación de ese tipo, podemos saber por qué punto pasa la recta y qué pendiente tiene. Ejemplo Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (4; 1) ÷ y tiene pendiente -2 Solución Del enunciado se tiene que: 2 ÷ = m y ) 1 ; 4 ( ) , ( 1 1 ÷ = y x . Reemplazando en (1), se tiene 8 2 1 ) 4 ( 2 ) 1 ( + ÷ = + ¬ ÷ ÷ = ÷ ÷ x y x y De aquí resulta que la ecuación de la recta es: 7 2 + ÷ = x y Podemos escribir la ecuación de una recta de varias maneras, dependiendo de los datos que sepamos de ella, y recíprocamente, si tenemos la ecuación de una recta, podemos llevarla a distintas formas, y obtener de esas expresiones distintas informaciones acerca de la recta. 1.4 ECUACIÓN PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN Es cuando conocemos la pendiente m y el punto donde corta al eje Y, que usualmente se denota con la letra b y se llama ordenada al origen. Tomando el punto ) , 0 ( b P y la pendiente dada, sustituimos en la ecuación (1) y obtenemos: ) 0 ( ÷ = ÷ x m b y que también puede escribirse como b mx y + = (2) Ejemplo Encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 y que corta al eje Y en el punto – 1. Solución Del enunciado se tiene que: 3 = m y 1 = b . Reemplazando en (2), se tiene ) 1 ( 3 ÷ + = x y De aquí resulta que la ecuación de la recta es: 1 3 ÷ = x y 113 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 1.5 ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS DE ELLA Veamos ahora como encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos ) , ( 1 1 y x P y ) , ( 2 2 y x Q dados. Conociendo dos puntos de la recta, podemos encontrar su pendiente: 1 2 1 2 x x y y m ÷ ÷ = Ahora, tomando como punto fijo cualquiera de los dos que conocemos, podemos sustituir en la ecuación (1) y obtener: ) ( 1 1 2 1 2 1 x x x x y y y y ÷ ÷ ÷ = ÷ (3) Ejemplo Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos ) 1 ; 4 ( ÷ P y ) 3 ; 8 ( Q Solución Hallemos la pendiente 1 4 4 8 4 3 1 = ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = m Así, la ecuación de la recta es: 5 ) 4 ( 1 ) 1 ( ÷ = ¬ ÷ = ÷ ÷ x y x y 1.6 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA La ecuación general de la recta se obtiene pasando todos los términos de la ecuación a un solo miembro de manera que este quede igualado a cero. 0 = + + C By Ax (4) Ejemplo Escribir 5 4 + = x y en la forma general Solución Haciendo la transposición respectiva se tiene: 0 5 4 = + ÷ y x 1.7 RECTAS VERTICALES Las ecuaciones anteriores sirven para representar cualquier recta excepto a las rectas verticales ya que estas no tienen pendiente. Sin embargo, las ecuaciones para las rectas verticales son muy sencillas, ya que todos los puntos de ella tienen la misma coordenada X o abscisa 114 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Así la ecuación de la recta vertical que pasa por el punto ) ; ( k h es h x = Ejemplo La recta vertical que pasa por ) 2 ; 3 ( tiene por ecuación: 3 = x EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hallar la ecuación de la recta L de pendiente 2, que pasa por el punto A(1, 3) Solución La ecuación de la recta es: ) ( : 1 1 x x m y y L ÷ = ÷ Reemplazando los datos del problema se tiene: ) 1 ( 2 3 : ÷ = ÷ x y L Simplificando se tiene: 0 1 2 : = + ÷ y x L 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-3, 5) y B(6, 2) Solución La ecuación de la recta es: ) ( 1 1 2 1 2 1 x x x x y y y y ÷ ÷ ÷ = ÷ Reemplazando los datos del problema se tiene: ) 6 ( 6 3 2 5 2 ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ x y Simplificando se tiene la ecuación 0 12 3 = ÷ + y x 3. Hallar el valor o valores de k para que las rectas de ecuación 0 3 2 : 1 = ÷ ÷kx y L y 0 2 4 ) 1 ( : 2 = + ÷ + x y k L sean perpendiculares Solución 115 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Sean ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ + = = ¬ ¹ ´ ¦ = + + + ÷ = ÷ + ÷ 1 4 2 0 2 ) 1 ( 4 : 0 3 2 : 2 1 2 1 k m k m y k x L y kx L Como 1 2 1 2 1 ÷ = × ¬ ± m m L L , de donde 3 1 1 2 1 1 4 2 ÷ = ¬ ÷ ÷ = ¬ ÷ = + × k k k k k Por lo tanto 3 1 ÷ = k 4. Determinar para que valores de “a” la recta 0 5 8 3 ) 9 ( ) 2 ( : 2 2 = + ÷ + ÷ + + a a y a x a L , es: a) Paralela el eje X b) Paralela al eje Y c) Pasa por el origen de coordenadas Solución Sea 9 2 0 5 8 3 ) 9 ( ) 2 ( : 2 2 2 ÷ + ÷ = ¬ = + ÷ + ÷ + + a a m a a y a x a L Sean ¹ ´ ¦ · = = ¬ ¹ ´ ¦ 2 1 2 1 0 : : m m Y eje L X eje L a) 1 1 // m m L L = · 2 0 9 2 2 ÷ = ¬ = ÷ + ÷ a a a b) 2 2 // m m L L = · 3 9 9 2 2 2 ± = ¬ = ¬ · = ÷ + ÷ a a a a c) 3 5 , 1 0 5 8 3 0 0 ) 0 , 0 ( 2 = = ¬ = + ÷ + + ¬ e a a a a L 5. Dada la recta L con ecuación 4 3 2 = ÷ x y y el punto P(1,-3) encontrar la ecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular a L Solución De 2 3 4 3 2 : = ¬ = ÷ m x y L Además 1 1 1 ÷ = × ¬ ± m m L L Por lo que 116 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 3 2 1 2 3 1 1 ÷ = ¬ ÷ = × m m De ) ( : 1 1 1 1 x x m y y L ÷ = ÷ , se tiene que ) 1 ( 3 2 3 : 1 ÷ ÷ = + x y L Por lo tanto 0 7 3 2 : 1 = + + y x L 6. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto ) 7 , 1 ( 0 P y es paralela a la recta 0 40 5 8 1 = + + = y x L Solución Como 5 8 // 1 1 ÷ = ¬ = ¬ m m m L L De ) ( : 1 1 1 x x m y y L ÷ = ÷ , se tiene que ) 1 ( 5 8 7 : 1 ÷ ÷ = ÷ x y L Por lo tanto 0 43 5 8 : = ÷ + y x L 7. Un vehículo fue comprado por una compañía en $ 20 000 y se supone que tiene un valor de rescate de $ 2 000 al cabo de 10 años (para efecto de impuestos). El valor se deprecia linealmente desde $ 20 000 hasta $ 2 000. a) Encuentre la relación lineal y = f(x) que relaciona el valor y en dólares con el tiempo x en años. b) Encuentre ) 4 ( f y ) 8 ( f , los valores de vehículo después de 4 y 8 años, respectivamente. Solución a) Inicialmente, es decir cuando 0 = t el valor del vehículo es de $20 000, por lo que se tiene el par ordenado ) 20000 , 0 ( ) , ( 1 1 = y x y después de 10 años, es decir cuando 10 = t el valor del vehículo es de $2000 por lo que se tiene el par ordenado ) 2000 , 10 ( ) , ( 2 2 = y x . Como se desea encontrar una relación lineal utilizaremos la ecuación de la recta ) ( 1 1 2 1 2 1 x x x x y y y y ÷ ÷ ÷ = ÷ , Así reemplazando se tiene ) 0 ( 0 10 20000 2000 20000 ÷ ÷ ÷ = ÷ x y Por lo que la relación lineal será: ) ( 20000 1800 x f x y = + ÷ = b) 12800 20000 ) 4 ( 1800 ) 4 ( = + ÷ = f 117 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 5600 20000 ) 8 ( 1800 ) 8 ( = + ÷ = f 8. Suponga que un fabricante de radios tiene como costo total ( ) 43 1850 C x x = + y como ingreso ( ) 80 R x x = , donde x representa la cantidad de radios. a) ¿Cuál es la expresión lineal de la ganancia para esta mercancía? b) ¿Cuántos radios se debe vender para evitar perder dinero? Solución a) Usemos la siguiente relación ( ) ( ) ( ) G x R x C x = ÷ Reemplazando se tiene ( ) ( ) ( ) 80 43 1850 37 1850 G x x x G x x = ÷ + = ÷ ( ) 37 1850 G x x = ÷ b) Para evitar perder dinero se tiene que hallar el punto de equilibrio ( ) ( ) C x R x = x x 80 1850 43 = + · 1850 37 = x · 50 = x Por lo tanto, se deben vender como mínimo 50 radios para evitar perder dinero 9. Una empresa vende un producto en S/. 55 por unidad. Los costos variables por unidad son S/. 35 y los costos fijos equivalen a S/. 50 000. ¿Cuántas unidades se deben vender para tener el punto de equilibrio? Solución El ingreso se determina usando la siguiente fórmula: x p x R V = ) ( Así según los datos del problema se tiene: x x R 55 ) ( = El ingreso se determina usando la siguiente fórmula: x p C x C C F + = ) ( Así según los datos del problema se tiene: x x C 35 50000 ) ( + = El punto de equilibrio se alcanza cuando los ingresos son iguales a los costos, así ) ( ) ( x C x R = x x 35 50000 55 + = · 50000 20 = x · 2500 = x Por lo tanto, se deben de vender 2500 unidades para alcanzar el punto de equilibrio 118 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 10. Un universitario emprendedor ha decidido comprar un negocio de lavado de automóviles en su localidad. El lavado de automóvil tendrá un precio de $5,50 y se espera que el costo variable por auto sea igual a $1,50. ¿Cuántos automóviles se deben lavar para recuperar el precio de compra de $150 000? Solución Usar la siguiente relación: ) ( ) ( ) ( x C x R x U ÷ = x x 5 . 1 5 . 5 150000 ÷ = · x 4 150000 = · 37500 = x Por lo tanto se deben lavar 37500 automóviles para recuperar el precio de compra de 000 150 $ . 119 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos: a) (2; 1) y (4; 7) b) (5;-2) y (1;-6) c) (2; 5) y (4; 5) d) (-3; 2) y (-3; 7) 2. Encuentre la ecuación de las líneas rectas que satisfacen las condiciones dadas a continuación. Haga una gráfica en cada caso. a) Pasa a través del punto (3; 2) y tiene pendiente 5. b) Pasa por el punto (1;5) y tiene pendiente 0. c) Pasa por el punto (-2; 3) y no tiene pendiente. d) Pasa por los puntos (2; 1) y (3; 4) e) Pasa por el punto (1; 3) y es paralela a la recta 2 3 0 x y ÷ + = 3. Determine la pendiente, la ordenada al origen y grafica cada una de las rectas siguientes. a) 2 4 0 x y ÷ + = b) 4 5 20 x y + = c) 2 3 0 y x ÷ + = d) 1 4 3 = + y x e) 0 6 3 = ÷ y f) 0 5 3 = + x 4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguno de estos tipos. Grafica cada una de ellas a) 2 3 6 3 2 6 x y x y + = . ÷ = b) 2 3 2 6 5 x y x y = ÷ ÷ . + = c) 1 y x x y = . + = d) 3 4 1 3 4 1 x y x y + = . ÷ = 5. Si las rectas :2 3 5 0 1 L x y ÷ + = y : 4 10 0 2 L ax y + ÷ = son paralelas, calcula el valor de “a”. 6. Si las rectas: :2 5 7 0 1 L x y ÷ + = y : (2 1) 3 5 0 2 L a x y + ÷ + = son perpendiculares, calcula el valor de “a”. 7. Encontrar el valor de k de tal forma que la recta : (2 ) (3 ) 4 14 0 L k x k y k + ÷ ÷ + + = pasepor el punto (2; 3). 8. Encontrar el valor de k de tal forma que la recta : (3 ) 7 0 L kx k y + ÷ + = tenga pendiente 7. 9. Hallar al área del triángulo sombrado X Y 0 2 : L y x = 1 : 10 L x y + = 120 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA APLICACIONESDE LAS ECUACIONES LINEALES 1. Una empresa de confecciones, determina que sus ingresos totales a partir de la venta de x vestidos son dados por la ecuación ( ) 200 50. R x x = + Halle ( ) ( ) 10 100 . R R + 2. La ecuación ( ) 280000 – 35 , q f p p = = es una ecuación de la demanda que expresa la cantidad demandada de un producto q como una ecuación que depende del precio p, expresado en dólares. Determine la cantidad demandada cuando el precio es de $ 5. 3. El propietario de un taller de maquinaria compra un torno en $ 1970 y espera que dure diez años. Se puede vender como chatarra en un valor de salvamento estimado de $270. Si y representa el valor del torno después de x años de uso, y x e y están relacionados por la ecuación de una recta. a) Encuentre la ecuación de la recta. b) Encuentre el valor del torno después de 2 ½ años. c) Encuentre el significado económico de la intersección y de la recta. d) Encuentre el significado económico de la pendiente de la recta. 4. Suponga que una empresa fabrica radios y los vende en $50 cada uno. Los costos en que se incurre en la producción y la venta de los radios son $200 000 más $10 por cada radio producido y vendido. Escriba la relación de utilidad para la producción y la venta de x radios 5. Una compañía fabrica sus productos con un costo de $4por unidad y los vende a $10 la unidad. Si los costos fijos de la empresa son de $12000 al mes, a) determinar el punto de equilibrio de la empresa. b) ¿Cuál es la pérdida o ganancia de la empresa si sólo se producen y venden 1 500 unidades por mes? c) ¿Cuál es la pérdida o ganancia de la empresa si sólo se producen y venden 3 000 unidades por mes? d) ¿Cuántas unidades debe producir y vender la empresa para obtener una ganancia mensual mínima de $9 000? 6. Una firma de confecciones, tiene costos fijos de 10 000 dólares por año. Estos costos, como arriendos, mantenimiento, etc.; que deben pagar independientemente de cuanto produzca la compañía. Para producir x unidades de un tipo de vestido, éste cuesta 20 dólares por prenda además de los costos fijos y el ingreso por vender los x vestidos es de 80 dólares por unidad. a) Halle el costo total C(x) e Ingreso total I(x) de producir x vestidos en un año y represente en una misma gráfica costo variable, costo fijo y costo total. b) Halle la función utilidad total c) Halle el punto de equilibrio 7. Un fabricante de filtros para agua, tiene costos fijos mensuales por $20000 , costos de producción de $20 por unidad y un precio de venta unitario de $30 . Determinar las ecuaciones de costos, ingresos y ganancia. 8. La ecuación demanda de barquillos de helados es ( ) 1000 2 P q q = ÷ . La ecuación oferta de barquillos de helados es ( ) 100 P q q = + . El precio de un barquillo se expresa en centavos, y las cantidades, en barquillos por día. a) Halle el precio y la cantidad de equilibrio del mercado b) Trace las graficas en un solo plano cartesiano 121 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 3.3. LA PARÁBOLA Definición: Una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P en el plano cuya distancia a un punto fijo F (foco), es igual a su distancia a una recta fija d (directriz). ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA: 1. Vértice: (V) Es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría. 2. Foco: Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría a p unidades del vértice. 3. Eje de simetría ( 1 l ) recta perpendicular a la directriz l y que pasa por el vértice y foco. 4. Cuerda (CE) es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola. 5. Directriz ( l ) recta fija, perpendicular al eje de simetría. 6. Cuerda focal (AB) Segmento de recta que une dos puntos de la parábola pasando por el foco. 7. Lado Recto (LR) Es una cuerda focal perpendicular al eje de simetría. 8. Radio Vector (PF): Segmento de recta que une el foco con un punto de la parábola. FORMAS CARTESIANAS DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA Eje de simetría es el eje x px y 4 2 = -Vértice (0,0) - Foco (p,0) - Directriz p x ÷ = 122 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Eje de simetría es el eje y py x 4 2 = -Vértice (0,0) - Foco (0,p) - Directriz p y ÷ = Observaciones: * Si en la ecuación px y 4 2 = - 0 > p la parábola se abre hacia la derecha - 0 < p la parábola se abre hacia la izquierda. * Si en la ecuación py x 4 2 = - 0 > p la parábola se abre hacia arriba - 0 < p la parábola se abre hacia abajo FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA Eje de simetría es paralelo al eje x ) ( 4 ) ( 2 h x p k y ÷ = ÷ (Horizontal) Vértice V(h,k) Foco F(h+p,k) Lado recto LR= p 4 Directriz p h x l ÷ = : Eje de simetría k y l = : 1 Coordenadas de los extremos del lado recto: ) 2 , ( p k p h L + + ) 2 , ( p k p h R ÷ + 123 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Eje de simetría es paralelo al eje y ) ( 4 ) ( 2 k y p h x ÷ = ÷ (Vertical) Vértice V(h,k) Foco F(h,k+p) Lado recto LR= p 4 Directriz p k y l ÷ = : Eje de simetría h x l = : 1 Coordenadas de los extremos del lado recto: ) , 2 ( p k p h L + + ) , 2 ( p k p h R + ÷ FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA 0 2 = + + + F Ey Dx y Eje horizontal 0 2 = + + + F Ey Dx x Eje vertical EJERCICIOS RESUELTOS 1. Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola y x = 2 Solución La parábola tiene la forma de py x 4 2 = , donde 1 4 = p , entonces 4 1 = p 0 > p se abre hacia arriba - Vértice (0,0) - Foco | . | \ | 4 1 , 0 - Directriz p y ÷ = 4 1 ÷ = y 124 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 2. Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola x y 12 2 ÷ = Solución La parábola tiene la forma de px y 4 2 = , donde 12 4 ÷ = p , entonces 3 4 12 ÷ = ÷ = p 0 < p se abre a la izquierda - Vértice (0,0) - Foco ( ) 0 , 3 - Directriz p x ÷ = ( ) 3 ÷ ÷ = x 3 = x 3. Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola 0 5 4 6 2 = + + + y x x Solución Completando cuadrados tenemos: 0 5 4 6 2 = + + + y x x 0 5 4 2 6 2 6 2 2 = + + | . | \ | ÷ | . | \ | + y x ( ) 0 5 4 3 3 2 2 = + + ÷ + y x ( ) 0 5 4 9 3 2 = + + ÷ + y x ( ) 0 4 4 3 2 = + ÷ + y x ( ) 4 4 3 2 + ÷ = + y x ( ) ) 1 ( 4 3 2 ÷ ÷ = + y x (es vertical) Tenemos: 3 ÷ = h 1 = k 4 4 ÷ = p entonces 1 ÷ = p -Vértice:V(h,k)= V(-3,1) -FocoF(h,k+p)=F(-3,1+(-1)) 125 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA F(-3,0) -Directriz: p k y l ÷ = : ( ) 1 1 : ÷ ÷ = y l 2 : = y l 4. Encuentre el vértice, el foco y la directriz de cada una de las siguientes parábolas, y hacer su gráfica a) ) 1 ( 6 ) 2 ( 2 ÷ ÷ = + y x Solución La forma ordinaria de este tipo de parábolas con eje focal vertical viene dado por 2 ( ) 4 ( ) x h p y k ÷ = ÷ , si comparamos con la ecuación que tenemos podemos obtener la siguiente información: 3 2, 1, 4 6 2 h k p p ÷ = ÷ = = ÷ ÷ = -Vértice:V(h,k)= V(-2,1) -FocoF(h,k+p)=F(-2,1+(-3/2)) F(-2,-1/2) -Directriz: p k y l ÷ = : 3 : 1 2 l y | | = ÷ ÷ | \ . 5 : 2 l y = x y 2 : L y x = F(-2,-1/2) V(-2,1) y=5/2 126 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA b) ) 2 ( 20 ) 3 ( 2 + ÷ = ÷ x y Solución La forma ordinaria de este tipo de parábolas con eje focal vertical viene dado por 2 ( ) 4 ( ) y k p x h ÷ = ÷ , si comparamos con la ecuación que tenemos podemos obtener la siguiente información: 2, 3, 4 20 5 h k p p = ÷ = = ÷ ÷ = ÷ -Vértice:V(h,k)= V(-2,3) -FocoF(h+p,k)=F(-2+(-5),3) F(-7,3) -Directriz: : l x h p = ÷ ( ) : 2 5 l x = ÷ ÷ ÷ : 3 l x = c) 0 24 4 4 4 2 = + ÷ ÷ x y y Solución Para desarrollar este ejercicio dividimos a toda la ecuación entre 4, nos queda de la forma: 2 6 0 y y x ÷ ÷ + = En el que procedemos a completar cuadrados con respecto a la variable y x F(-7,3) V(-2,3) x=3 y 127 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 23 6 6 2 4 2 4 y y x y x y x | | | | | | ÷ + ÷ = ÷ ÷ ÷ = ÷ + ÷ ÷ = ÷ | | | | | | \ . \ | | | \ . . \ . \ . Si comparamos la última ecuación con la ecuación ordinaria de la parábola de eje horizontal tenemos la información: 23 1 1 , , 4 1 4 2 4 h k p p = = = ÷ = -Vértice:V(h,k)= 23 1 , 4 2 V | | | \ . -FocoF(h+p,k)= 23 1 1 1 , 6, 4 4 2 2 F F | | | | + ÷ | | \ . \ . -Directriz: : l x h p = ÷ 23 1 : 4 4 l x = ÷ 11 : 2 l x = 5. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones que se indican a) Foco ( ) 3 3 , 0 F ; directriz 3 3 ÷ = y Solución Como la ecuación de la directriz es de la forma y k p = ÷ la ecuación ordinaria de la parábola es 2 ( ) 4 ( ) x h p y k ÷ = ÷ y las coordenadas del foco viene dado por ( , ) F h k p + , de donde de acuerdo a la x F V x=5.5 1 2 3 4 5 6 7 y 128 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA información brindada 0, 3 3, 3 3 h k p k p = + = ÷ = ÷ de estas dos últimas ecuaciones obtenemos que 0 k = y 3 3 p = , reemplazando la información obtenida en la ecuación ordinaria de la parábola se tiene: 2 12 3 x y = b) Foco F(3,2); directriz 4 ÷ = x Solución Como la ecuación de la directriz es de la forma x h p = ÷ la ecuación ordinaria de la parábola es 2 ( ) 4 ( ) y k p x h ÷ = ÷ y las coordenadas del foco viene dado por ( , ) F h p k + , de donde de acuerdo a la información brindada 2, 3, 4 k h p h p = + = ÷ = ÷ de estas dos últimas ecuaciones obtenemos que 1 2 h ÷ = y 7 2 p = , reemplazando la información obtenida en la ecuación ordinaria de la parábola se tiene: 2 1 ( 2) 14 2 y x | | ÷ = + | \ . c) Foco ( ) 4 , 3 F ; Vértice (3,7) Solución Como la primera componente del foco y del vértice coinciden la ecuación ordinaria de la parábola es 2 ( ) 4 ( ) x h p y k ÷ = ÷ y las coordenadas del foco viene dado por ( , ) F h k p + , de donde de acuerdo a la información brindada 3, 4 h k p = + = , de acuerdo a las coordenadas del vértice sabemos que 7 k = , esto significa que 3 p = ÷ ; reemplazando la información obtenida en la ecuación ordinaria de la parábola se tiene: 2 ( 3) 12( 7) x y ÷ = ÷ ÷ 6. Dada la parábola 2 8 y x = , hallar la ecuación de la cuerda focal cuya longitud sea 5 veces el lado recto Solución Tenemos 4 8 2 p p = ÷ = , es decir las coordenadas del foco es (2, 0) F Sean 1 1 1 ( , ) p x y y 2 2 2 ( , ) p x y los extremos de la cuerda. Siendo 1 2 , x x y p positivos, entonces: 1 1 2 2 2 ; 2 p F x p F x = + = + sumando estas igualdades se tiene ( ) 1 2 1 2 4 p F p F x x + = + + pero ( ) 1 2 1 2 1 2 4 5( ) 5(8) 40 p p p F p F x x LR = + = + + = = = de donde: 1 2 36 x x + = ……(*) Por otro lado podemos como la cuerda focal pasa por el foco su ecuación es de la forma: ( 2) y m x = ÷ , interceptando con la parábola se tiene ( ) 2 2 2 2 2 2 ( 2) 8 ( 2) 8 4( 2) 4 0 m x x m x x m x m x ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ + + = de esta última ecuación al ser una ecuación cuadrática, la suma de sus raíces cumple: 2 1 2 2 4( 2) m x x m + + = 129 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Reemplazando en (*), se tiene 2 2 2 4( 2) 1 1 1 36 4 2 2 m m m m m + = ÷ = ÷ = v = ÷ por tanto, las ecuaciones de las cuerdas focales son: 1 2 : 2 2 0 : 2 2 0 L x y L x y ÷ ÷ = v + ÷ = 7. El ingreso mensual por conceptos de la venta de x unidades de cierto artículo está dado por 2 12 0 01 R( x ) x . x = ÷ dólares. Determine el número de unidades que deben venderse cada mes con el propósito de maximizarse el ingreso. ¿Cuál es el correspondiente ingreso máximo? Solución Como podemos observar el modelo que determina el ingreso mensual es parabólico, además el coeficiente principal es negativo, de esta forma la cantidad que genera el ingreso máximo viene dado por la primera componente del vértice y el máximo ingreso viene dado por la segunda componente. 2 0 01 12 = ÷ + R( x ) . x x 12 600 2 2( 0.01) b h a ÷ ÷ = = = ÷ 2 0 01 600 12 600 3600 = ÷ + ÷ = k . ( ) ( ) k Por lo tanto deben vender 600 unidades al mes para obtener el máximo ingreso de 3 600 dólares. 8. La utilidad p( x ) obtenida por fabricar y vender por unidades de cierto producto está dado por 2 60 p( x ) x x = ÷ . Determine el número de unidades que deben producirse y venderse con objeto de maximizar la utilidad ¿Cuál es esta utilidad máxima? Solución Como podemos observar el modelo que determina la utilidad es parabólico, además el coeficiente principal es negativo, de esta forma la cantidad que genera la utilidad máxima viene dado por la primera componente del vértice y la máxima utilidad viene dado por la segunda componente. 2 60 = ÷ + p( x ) x x 60 30 2 2( 1) b h a ÷ ÷ = = = ÷ 2 30 60 30 900 = ÷ + ÷ = k ( ) ( ) k Por lo tanto deben vender 30 unidades para obtener la máxima utilidad de 900 dólares. 130 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 9. Una empresa tiene costos fijos mensuales de $ 2000 y costo variable por unidad de su producto es de $25. a) Determine la función de costo. b) El ingreso obtenido por vender x unidades está dado por 2 60 0 01 R( x ) x , x = ÷ , determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo que maximicen la utilidad. ¿cuál es la utilidad máxima? Solución a) Podemos observar que el costo variable ( cv ) es 25 cv x = , donde : x número de unidades De esta forma, el costo total ( C ) viene dado por 25 2000 C x = + , donde los $ 2000 son los costos fijos como muestra el enunciado. b) Como nos piden analizar la utilidad(U ), debemos genera su ecuación U R C = ÷ , reemplazando la ecuación del ingreso, el costo y luego simplificando se tiene: 2 0.01 35 200 U x x = ÷ + ÷ Al igual que en los ejemplos anteriores debemos determinar las coordenadas del vértice: 35 1750 2 2( 0.01) b h a ÷ ÷ = = = ÷ 2 0 01 1750 35 1750 200 30425 = ÷ + ÷ ÷ = k . ( ) ( ) k Por lo tanto deben vender 1750 unidades para obtener la máxima utilidad de 30 425 dólares. 10. La demanda mensual x, de cierto artículo al precio de p dólares por unidad está dada por la relación p x 45 1350÷ = . El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por unidad y los costos fijos son de $2000 al mes. ¿Qué precio por unidad p deberá fijarse al consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual? Solución Costo total C en dólares de producir x unidades al mes es C= costos variables + costos fijos C= 5x+2000 La demanda x está dada por p x 45 1350÷ = Sustituyendo este valor en C ( ) C 5 1350 45p 2000 = ÷ + C 8750 225p = ÷ El ingreso I obtenido por vender x unidades a p dólares por unidad es I=px ( ) I p 1350 45p = ÷ 2 I=1350p -45p 131 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA la utilidad U está dada entonces por la diferencia entre el ingreso y el costo U= I-C U= ) 225 8750 ( 1350 45 2 p p p ÷ ÷ + ÷ U= 8750 1575 45 2 ÷ + ÷ p p Utilidad total U es una función cuadrática de p con a=-45 b=1575 c=-8750 La gráfica de U es una parábola que se abre hacia abajo dado que a<0 y la primera componente del vértice es el precio que nos da la utilidad máxima. El vértice está dado por 5 . 17 2 = ÷ = a b p Rpta : El precio de 17.5 genera la utilidad máxima de: 2 45(17.5) 1575(17.5) 8750 5031.25 U = ÷ + ÷ = 11. Al producir q artículos, el precio es q p ÷ =32 y el costo total está dado por q C 8 80+ = . a) Determine la función de utilidad y el punto de equilibrio . b) ¿Cuál es la utilidad máxima? c) ¿Para qué cantidades de artículos se produce ganancia? Solución a) Para determinar la función utilidad, es necesario obtener la función ingreso, de la siguiente forma: 2 . (32 ) 32 I p q q q I q q = = ÷ ÷ = ÷ , además nos dan la función costo, esto significa que podemos obtener la función utilidad, restando la función ingreso menos la función costo, simplificando obtenemos: ( ) 80 24 2 ÷ + ÷ = q q q U Procedemos a calcular el vértice: 24 12 2 2( 1) b h a ÷ ÷ = = = ÷ 2 12 24 12 80 64 = ÷ + ÷ ÷ = k ( ) ( ) k Vértice: V(12; 64) Punto de equilibrio: ( ) 0 80 24 0 2 = + ÷ ÷ = q q q U 20 , 4 = = q q b) La utilidad máxima viene dada por el valor de la función en el vértice, es decir 64 unidades monetarias. c) ( ) 0 80 24 0 2 < + ÷ ÷ > q q q U ( )( ) 0 20 4 < ÷ ÷ q q | | 20 , 4 e q 132 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 12. Utilidad. Suponga que una compañía tiene costos fijos de $ 28000 y costos variables de dólares por unidad, donde es el número total de unidades producidas. Suponga también que el precio de venta de este producto es dólares por unidad. ¿Cuál es el número de unidades producidas y vendidas, de tal manera que se obtenga la máxima utilidad? Solución Se genera las ecuaciones según los datos Ingreso: Costo total: Donde x representa la cantidad de unidades producidas y vendidas. Obteniendo la ecuación utilidad: Como la función utilidad viene dada por: 2 U=-x +1028x-28000 , la cantidad que genera la utilidad máxima se encuentra precisamente en la primera componente del vértice (h), procedemos a calcularlo: 1028 514 2 2( 1) b h a ÷ ÷ = = = ÷ Es decir si la compañía desea obtener la máxima utilidad debe producir y vender 514 unidades de su producto. 13. Un agencia de e viaje local organiza un vuelo chárter a un centro vacacional bien conocido. El agente cotizó un precio de $300 si 100 personas o menos contratan el vuelo. Por cada persona por encima de la 100, el precio para todos bajará $2.50. Suponga que x equivale al número de personas por encima de los 100.Si cada unidad tiene un costo de $/. 200 entonces: a) Exprese la utilidad que dependa del precio de venta. b) ¿Cuál sería el precio de venta ideal de modo que se obtenga la utilidad máxima? Solución a) Sea x el número de incrementos de personas por encima de los 100. Observar el cuadro adjunto. ( ) precio p ( ) cantidad q Actual 300 $ 100 Nuevo x 5 . 2 300 $ ÷ x + 100 2 x 222 5 + x 3 1250 x 5 ÷ 3 I 1250 x x 5 | | = ÷ | \ . 2 C x 222 x 28 000 5 | | = + + | \ . 2 3 2 U I C 1250 x x x 222 x 28 000 x 1028x 28 000 5 5 ( | | | | = ÷ = ÷ ÷ + + = ÷ + ÷ | | ( \ . \ . ¸ ¸ 133 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA El nuevo precio está dado por p x x p 5 2 120 5 . 2 300 ÷ = ¬ ÷ = Nos pide hallar la utilidad que dependa del nuevo precio, es decir = ÷ U I C q pq U 200 ÷ = ¬ q p U ) 200 ( ÷ = ¬ ) 100 )( 200 ( x p U + ÷ = ¬ )] 5 2 120 ( 100 )[ 200 ( p p U ÷ + ÷ = ¬ ) 5 2 220 )( 200 ( p p U ÷ ÷ = ¬ ) 220 5 2 )( 200 ( ÷ ÷ ÷ = ¬ p p U Por tanto la ganancia que depende del precio está dado por la igualdad ) 220 5 2 )( 200 ( ÷ ÷ ÷ = p p U 2 0.4 300 44000 U p p p = ÷ + ÷ b) Nos piden calculara el precio que da la utilidad máxima y este precio se encuentra en la primera componente del vértice. 300 375 2 2( 0.4) b h a ÷ ÷ = = = ÷ El precio fijado deberá ser de $ 375, para obtener la utilidad máxima. 14. La potencia H , en caballos de vapor, que cierto automóvil necesita para vencer la resistencia del aire viene dado aproximadamente por: 2 ( ) 0.002 0.005 0.029, 10 100 H x x x x = + ÷ s s Donde x representa la velocidad del auto en millas/h. ¿Cuál sería la velocidad del auto que genera la potencia mínima? Solución Para responder la pregunta se recomienda primeramente calcular el vértice 0.005 5 1.25 2 2(0.002) 4 b h a ÷ ÷ ÷ = = = = ÷ 2 257 0.002( 5/ 4) 0.005( 5/ 4) 0.029 -0.032125 8000 k k ÷ = ÷ + ÷ ÷ ÷ = = La potencia mínima ocurre precisamente en el vértice, es decir cuando la velocidad es de -1.25 millas/h, el signo negativo indica que se está desacelerando. 134 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 15. Una pelota se lanza hacia arriba desde el nivel del piso con una velocidad inicial de 96 pies/s. La altura que alcanza la pelota con respecto al suelo está dada por la función cuadrática 2 ( ) 16 96 s t t t = ÷ + . a) En que intervalo de tiempo se cumple ( ) 0 s t > . b) ¿En qué instante la pelota está en el suelo y cuando alcanza la altura máxima? Solución a) Veamos para que valores de t se cumple ( ) 0 s t > , es decir: 2 2 2 16 96 0 16 96 0 6 0 ( 6) 0 t t t t t t t t ÷ + > ÷ ÷ s ÷ ÷ s ÷ ÷ s Resolviendo la última desigualdad, los valores que debe tomar la variable t , debe ser | | 0, 6 t e b) Como podemos observar de la parte a) los puntos críticos indican donde la altura es cero. Ahora calculamos el vértice: 96 3 2 2( 16) b h a ÷ ÷ = = = ÷ 2 16(3) 96(3) 144 k = ÷ + = La pelota estaba inicialmente en el suelo y después de 6 segundos nuevamente toca el suelo, alcanzando la altura máxima de 144 pies a los 3 segundos 16. La altura sobre el piso a la que llega un cohete de juguete lanzado hacia arriba desde la azotea de un edificio, se determina por medio de 2 ( ) 16 96 256 s t t t = ÷ + + , donde s esta medido en metros y el tiempo en segundos a) ¿Cuál es la altura del edificio? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el cohete? c) Calcule el tiempo para que el cohete llegue al suelo. Solución a) La altura del edificio despreciando la altura de la persona que lanza el cohete es el instante en el que es lanzado, es decir 0 t = , reemplazando en el modelo se tiene: 2 (0) 16(0) 96(0) 256 256 s = ÷ + + = , es decir es de 265 metros. b) La altura máxima que alcanza es precisamente en el vértice, veamos 96 3 2 2( 16) b h a ÷ ÷ = = = ÷ 2 16(3) 96(3) 256 400 k = ÷ + + = Es decir alcanza una altura máxima de 400 metros en el 3 segundo c) El cohete se encuentra en el suelo, cuándo la altura es 0, es decir 2 2 16 96 256 0 6 16 0 ( 2)( 8) 0 t t t t t t ÷ + + = ÷ ÷ ÷ = ÷ + ÷ = Es decir a los 8 segundos de haber sido lanzada. 135 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA EJERCICIOS PROPUESTOS 1) En los siguientes ejercicios, determine la ecuación canónica de la parábola; indique el valor del parámetro “p”, las coordenadas del foco, la longitud del lado recto y la ecuación de la directriz. a) 2 6 12 0 y x ÷ = b) 2 2 7 y x = ÷ c) 2 15 42 x y = ÷ d) 2 4 19 0 y x ÷ = 2) En los siguientes ejercicios, determine la ecuación ordinaria de la parábola; indique el valor del parámetro “p”, las coordenadas del vértice, del foco, la longitud del lado recto y la ecuación de la directriz. a) 2 6 8 17 0 y y x ÷ ÷ + = b) 2 2 6 5 0 x x y ÷ ÷ ÷ = c) 2 6 11 y x x = ÷ + d) 2 4 12 x y y = + ÷ 3) En los siguientes ejercicios, determine la ecuación general de la parábola que tiene las propiedades indicadas. Además determine la longitud del lado recto en cada caso. a) Coordenadas del foco: F(3; 0); ecuación de directriz: x = – 3 b) Coordenadas del foco: F(0; 5); ecuación de directriz: y = – 5 c) Coordenadas del foco: F(5;2); ecuación de directriz: x = 1 d) Coordenadas del foco: F(– 6;– 4); ecuación de directriz: y = 4 e) Coordenadas del vértice: V(0; 0); ecuación de directriz: y = 4 f) Coordenadas del vértice: V(2; 1); ecuación de directriz: x = 3.5 g) Coordenadas del vértice: V(– 3; 4); ecuación de directriz: y = 1 h) Coordenadas del vértice: V(1; –2); ecuación de directriz: x = – ½ i) Coordenadas del vértice: V(0; 0); coordenadas del foco: F(2; 0) j) Coordenadas del vértice: V(3; 2); coordenadas del foco: F(3;5) k) Coordenadas del vértice: V(1; 4); coordenadas del foco: F(3; 4) l) Coordenadas del vértice: V(– 2;3); coordenadas del foco: F(– 2;0) 4) Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los siguientes puntos: a) A(6, 1); B(– 2, 3) y C(16, 6) b) A(–1, 3); B(4, –1) y C(10, 8) 5) Hallar la ecuación de la parábola de eje horizontal y que pasa por los siguientes puntos: 136 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA a) A(4; 3),B(–1; –2) y C(8; –8) b) A(–6; 4),B(1; –1) y C(–3; –7) Resolver los siguientes problemas: 6) Una antena parabólica, tiene 3m de ancho en la parte donde esta situado su aparato receptor. ¿A qué distancia del fondo de la antena está colocado el receptor de señales? 7) Una antena parabólica tiene un diámetro de 8m y 1.4m de profundidad en su centro. ¿A qué distancia del vértice debe ubicarse el receptor? 8) Una antena parabólica de televisor tiene un diámetro de 300cm y una profundidad de 50cm. Al representar la antena en el plano, se obtiene una parábola. Determina la distancia del vértice de la antena al foco. 9) Un túnel de una carretera tiene la forma de un arco parabólico, que tiene 5m de ancho y 4m de altura. ¿Cuál es la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte de 3m de ancho, para poder pasar por el túnel? 10) En cierto pueblo, se va a construir un puente colgante. Los cables que lo sostienen forman una parábola y están unidos a dos grandes torres de 25m de altura separadas entre sí 200m. halla la ecuación para los cables 11) Cada uno de los cables del Golden Gate Bridge está suspendido (con la forma de una parábola) entre dos torres separadas 1 280 metros. La parte superior de cada una está a 152 metros de la calzada. Los cables la tocan a medio camino. i) Haga un bosquejo del puente. Ubique el origen del sistema coordenado rectangular en el centro de la calzada. Identifique las coordenadas de los puntos conocidos. ii) Escriba la ecuación de la parábola que modela la posición de los cables. iii) Completa la tabla determinando la altura “y” de los cables de suspensión sobre la calzada, a una distancia de “x” metros del centro del puente. Distancia “x” del centro 0 250 400 500 Altura “y” 137 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 3.4. LA HIPÉRBOLA Definición Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominan F 1 y F 2 , la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D 1 y D 2 . La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un puntoP de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto al centro. Ecuaciones de la hipérbola: 1) Hipérbola equilátera ( )( ) x h y k c ÷ ÷ = 138 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 2) Forma canónica a) Sobre el eje x 2 2 2 2 1 x y a b ÷ = b) Sobre el eje y 2 2 2 2 1 y x b a ÷ = 3) Con centro en (h, k) y los focos están situados a c unidades ala izquierda y derecha del centro. 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x h y k a b ÷ ÷ ÷ = 4) Con centro en (h, k) y los focos están situados a c unidades arriba y abajo del centro. 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 y k x h b a ÷ ÷ ÷ = Se cumple 2 2 2 b a c = ÷ 139 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA EJERCICIOS RESUELTOS 1) Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: ) 0 , 5 ( 1 ÷ F , ) 0 , 5 ( 2 F , ) 0 , 4 ( 1 V y ) 0 , 4 ( 2 ÷ V , respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola Solución Como os focos están sobre el eje X, la ecuación de la hipérbola es de la forma: 1 2 2 2 2 = ÷ b y a x En este caso: 5 ; 4 = = c a , de donde 3 16 25 2 2 2 2 = ¬ ÷ = ¬ ÷ = b b a c b En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es: 1 9 16 2 2 = ÷ y x 2) Hallar la ecuación de la hipérbola con vértice en los puntos ) 5 , 0 ( 1 ÷ V y ) 5 , 0 ( 2 V y la longitud de su lado recto 18 Solución Se conoce que 10 2 2 1 = = V V a de donde 5 = a Además 45 18 5 2 18 2 2 2 2 = ¬ = ¬ = = b b a b LR De los datos del problema la ecuación de la hipérbola es: 1 : 2 2 2 2 = ÷ b x a y H por lo tanto, reemplazando los valores de a y b se tiene: 1 45 25 2 2 = ÷ x y 3) Determinar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, de eje transversal sobre el eje Y, y que pasa a través de los puntos (4, 6) y (1, -3) Solución Como el eje focal o transverso esta sobre el eje y, y su centro es el origen, entonces la ecuación de la hipérbola es: 1 : 2 2 2 2 = ÷ b x a y H Además ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = ÷ = ÷ ¬ ¹ ´ ¦ e ÷ e 1 1 9 1 16 36 ) 3 , 1 ( ) 6 , 4 ( 2 2 2 2 b a b a H H Resolviendo este sistema de tiene: 4 , 5 36 2 2 = = b a 140 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA Reemplazando estos valores se tiene 1 4 5 / 36 : 2 2 = ÷ x y H , Por lo tanto 36 9 5 : 2 2 = ÷ x y H 4) Hallar la ecuación de la hipérbola si su focos son los puntos ) 0 , 3 ( ), 0 , 3 ( 2 1 F F ÷ y su excentricidad 2 3 Solución Se tiene que: 3 6 ) , ( 2 2 1 = ¬ = = c F F d c 2 2 3 = ¬ = = a a c e , además 2 2 2 a c b ÷ = Reemplazando se tiene: 5 4 9 2 2 = ¬ ÷ = b b De los datos del problema a ecuación de la hipérbola es: 1 : 2 2 2 2 = ÷ b y a x H Por lo tanto 1 5 4 : 2 2 = ÷ y x H 5) Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (3, -1), su centro está en (0, 0) y una de sus asíntotas es la recta 0 2 3 2 = + y x Solución En este problema la ecuación de la hipérbola es: 1 : 2 2 2 2 = ÷ b y a x H Como 1 1 9 ) 1 , 3 ( 2 2 = ÷ ¬ e ÷ b a H De donde 2 2 2 2 9 b a a b = ÷ (1) Además la ecuación de sus asíntotas es: x a b y ± = , y como su asíntota es 0 2 3 2 = + y x , se tiene: 9 2 9 2 3 2 3 2 2 2 2 2 a b a b a b x y = ¬ = ¬ = ¬ ÷ = (2) Reemplazando (2) en (1) se tiene: | | . | \ | = ÷ | | . | \ | 9 2 9 2 9 2 2 2 2 a a a a de aquí 2 9 , 9 2 2 2 2 2 = | | . | \ | = a a a a como 1 9 2 2 2 2 = ¬ = b a b Por lo tanto 141 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA 1 9 2 1 1 2 / 9 : 2 2 2 2 = ÷ ¬ = ÷ y x y x H 6) Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje transverso sobre el eje X. hallar su ecuación sabiendo que su excentricidad es 2 6 y que la curva pasa por el punto P(2, 1) Solución De los datos del problema la ecuación buscada es: 1 : 2 2 2 2 = ÷ b y a x H 2 2 2 2 2 2 4 1 1 4 ) 1 , 2 ( b a a b b a H P = ÷ ¬ = ÷ ¬ e (1) Además 2 3 2 6 2 6 2 2 a c a c a c e = ¬ = ¬ = = pero 2 2 2 b a c + = , asi 2 2 3 2 2 2 2 2 a b b a a = ¬ + = (2) Reemplazando (2) en (1) se tiene: 2 2 2 2 2 2 2 2 = ¬ | | . | \ | = ÷ a a a a a Si 1 , 2 2 2 = = b a por lo tanto 1 1 2 : 2 2 = ÷ y x H 7) Los focos de una hipérbola coinciden con los focos de la elipse 1 9 25 2 2 = + y x . Hallar la ecuación de la hipérbola de excentricidad igual a 2 Solución De la elipse 1 9 25 2 2 = + y x se tiene 9 , 25 2 2 = = b a , de donde 3 , 5 = = b a , como 4 9 25 2 2 2 2 = ¬ ÷ = ¬ ÷ = c c b a c , luego ) 0 , 4 ( ), 0 , 4 ( 2 1 F F ÷ La excentricidad de la hipérbola es: 2 2 2 = ¬ = ¬ = = a a c a c e y 4 = c , como 12 2 2 2 = ÷ = a c b , por lo tanto: 1 12 4 : 2 2 = ÷ y x H 8) Cuando las licuadoras eléctricas se venden a p dólares la unidad, los consumidores comprarán 8000 ( ) q D p p = = licuadoras al mes. Se estima que dentro de t meses, el precio de las licuadoras será 3/2 ( ) 0.04 15 p t t = + dólares. a) Asumiendo la variable p y q como continuas mostrar en un grafica la demanda de licuadoras relacionadas con el precio. 142 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA b) Después de 9 meses; ¿Cuál será la demanda de licuadoras? Solución a) La relación entre el precio y la cantidad demandada viene dada por 8000 pq = , analizamos la gráfica en el primer cuadrante, en el que tiene sentido. b) Nos piden hallar la demanda después de 9 meses, esto quiere decir que primero vamos a determinar el precio de las licuadoras después de 9 meses, asi: 3/2 ( ) 0.04(9) 15 16.08 p t = + = Ahora reemplazamos el precio en la ecuación de la demanda para encontrar la cantidad demanda, asi: 8000 498 16.08 q = ~ Es decir al cabo de 9 mesese la demanda es de 498 licuadoras. 9) El departamento de carreteras planea construir un área de excursión para automovilistas al lado de una carretera principal. Esta área será rectangular y tendrá 5000 pies cuadrados encerrados por un cercado en los tres lados no adyacentes a la carretera. a) Mostrar en un grafica las medidas del terreno que satisfagan el área requerida b) Determinar la cantidad de cercado, si el largo del terreno es de 100 pies. Solución a) Sean x el largo del terreno y y el ancho respectivo, como el área cercada será de 5000 pies cuadrados, se tiene 5000 xy = , se muestra la gráfica en el primer cuadrante: p q 0 100 200 300 100 200 300 143 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA b) Para determinar la cantidad de cercado, si el largo del terreno es de 100 pies, debemos conocer cuanto es el ancho y para eso reemplazamos en la ecuación de la hipérbola, asi: 100 5000 50 y y = ÷ = Como es un rectángulo necesitamos cercar una vez el largo, pues el lado paralelo no necesita, entonces el perímetro cercado es 100+2(50) = 200 pies. 10) Dos Observadores ubicados en los puntos A y B oyen el sonido de una explosión de dinamita en momentos distintos. Debido a que saben que la velocidad aproximada del sonido es de 1 100 pies/s o 335 m/s, determinan que la explosión sucedió a 1000 metros más cerca del punto A que del punto B. Si A y B están a 2 600 metros de distancia, demostrar que el lugar de la explosión está en la rama de una hipérbola. Deducir una ecuación de esta hipérbola Solución Veamos la siguiente figura: Se ha colocado los puntos A y B en el eje x, en (1300, 0) y (-1300,0), respectivamente. Si P(x,y) indica el lugar de la explosión, entonces: ( , ) ( , ) 1000 d P B d P A ÷ = B(-1300,0) P(x,y) B(1300,0) x y 100 200 300 100 200 300 x y 144 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA De acuerdo con la definición de la hipérbola, se ve que ésta es la rama derecha de una hipérbola, con la diferencia de distancias fijas 2 a =1000 y c=1300. Entonces la ecuación tiene la forma: 2 2 2 2 1 x y a b ÷ = , donde 0 x > O bien, después de despejar x , 2 2 1 y x a b = + Con 500 a = y 1300 c = , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1300 500 1200 b = ÷ = Al sustituir en la ecuación anterior se obtiene: 2 2 500 1 (1200) y x = + o sea 2 2 5 (1200) 12 x y = + 11) Una empresa fabricante de bicicletas produce dos modelos: Estrella y Planeta. Las cantidades de bicicletas que produce al año, x e y (en miles), están relacionadas por la siguiente ecuación: 12 xy = a) ¿Cuántas bicicletas Estrella produce cierto año en el que produce dos mil bicicletas Planeta? b) Grafique la curva de transformación de productos. Solución a) y = 2 ¬x (2) = 12 ¬ x = 6 Respuesta: Ese año la empresa produce seis mil bicicletas Estrella. b) Gráfica 145 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Encuentre la ecuación de la hipérbola con las condiciones dadas. Cada hipérbola tiene su centro en (0;0) a) Foco en (6;0), vértice (4;0) b) Foco en (12,0), Vértice en (9,0) c) Foco en (0;–3), vértice en (0;–2) d) Foco en (4;0), la longitud del eje conjugado es 6. 2. Determine las coordenadas de los vértices, focos y puntos extremos del eje conjugado y grafique a) 1 9 4 2 2 = ÷ y x b) 1 4 9 2 2 = ÷ y x c) 1 4 2 2 = ÷ x y d) 1 16 36 2 2 = ÷ x y e) 4 4 2 2 = ÷ y x f) 18 9 2 2 = ÷ x y g) 900 25 36 2 2 = ÷ x y 3. Si la ecuación de oferta y demanda están dadas por: ( ) 4 42, 2 2100, p q p q ÷ = + = respectivamente. Donde “p” es el precio en soles y “q” son las unidades a) Graficar ambas ecuaciones en un mismo plano cartesiano e identifique el punto de equilibrio. b) Encuentre el precio y la cantidad que dará como resultado el equilibrio del mercado. 4. Si la ecuación de oferta y demanda de una mercancía están dadas por 1200 10, q p q p = ÷ = respectivamente. Donde “p” es el precio en soles y “q” es la cantidad. a) Graficar ambas ecuaciones en un mismo plano cartesiano e identifique el punto de equilibrio. b) Encuentre el precio y la cantidad que dará como resultado el equilibrio del mercado. 5. La ecuación de oferta de un producto es 2 10 0 p q ÷ ÷ = , en tanto que la ecuación de demanda del mismo producto es ( )( ) 10 30 7200. p q + + = Donde “p” es el precio en soles y “q” es la cantidad a) Graficar ambas ecuaciones en un mismo plano cartesiano e identifique el punto de equilibrio. b) Encuentre el precio y la cantidad que dará como resultado el equilibrio del mercado.