LIBRO- MATEMÁTICA 2°CICLO-2015-Mendoza

DIRECCIÓNEDUCACIÓN PRIMARIA DirecciónDEde Educación Primaria AUTORIDADES PROVINCIALES Gobernador de Mendoza Francisco Pérez Vicegobernador de Mendoza Carlos Ciurca Directora General de Escuelas María Inés Abrile de Vollmer Jefe de Gabinete Andres Cazaban Subsecretaria de Educación Mónica Soto Subsecretaría de Gestión Educativa Walter Berenguel Subsecretario de Planeamiento y Evaluación de la Calidad Educativa Livia Sández Director de Educación Primaria Carlos González Subdirectora de Educación Primaria Alicia Lena Inspectora General María Elena Becerra EQUIPO TÉCNICO DE MATEMÁTICA 2° CICLO Referente Provincial María Fernanda Selva Capacitadoras María Beatriz Calderón Sabina del Carmen Sosa Acompañantes didácticos Darío Hernán Bagorda Gabriela Entz Julieta Infante Marcela Bunster Alberto Fernández Alicia Rapacioli Adriana Andino Mirtha Encinas Tania Cruz Patricia Rodriguez Mónica Romero Patricia Galán INDICE NUESTRA PROPUESTA: Carta a nuestros colegas 7 PRIMERA PARTE 9 CAPÍTULO 1 11 GESTIÓN DE LA CLASE Enfrentar a los alumnos a la resolución de problemas Habilitar en la clase momentos de discusión Coexistencia de diferentes procedimientos de resolución en el aula, representaciones y significados 12 LOS PROBLEMAS 14 LOS CONTEXTOS 15 LAS REPRESENTACIONES 16 EL DOCENTE COMO MEDIADOR ¿Qué alternativas se pueden pensar para plantear la consigna? ¿Qué alternativas se podrían plantear para la organización del grupo? ¿Cómo seleccionar los materiales para la realización de la propuesta, qué uso darle y cómo repartirla? LA PRODUCCIÓN DE SOLUCIONES LA VALIDACIÓN 19 ¿Qué tipo de intervenciones en la producción de soluciones? EL DEBATE SOBRE LAS PRODUCCIONES Y LAS CONCLUSIONES MATEMÁTICAS 20 ¿Qué preguntas podrán orientar el análisis de producciones? ¿Cuáles serían en general buenas intervenciones de docentes? ¿Qué actitud asumir para organizar el intercambio? ¿Cómo y por qué arribar a conclusiones y a una sistematización de las conclusiones? (Institucionalizaciones) 23 CAPÍTULO 2 TRABAJO MATEMÁTICO 23 Dimensiones de Análisis de Secuencia 25 CAPÍTULO 3 LA EVALUACIÓN 3 28 TIPOS DE EVALUACIÓN 30 CRITERIOS DE EVALUACIÓN 32 SEGUNDA PARTE CAPÍTULO 4 DISTRIBUCIÓN ANUAL DE LOS SABERES DE MATEMÁTICA SEGUNDO CICLO 4to Grado 5to Grado 6to Grado 35 1º Trimestre 35 2º Trimestre 36 3º Trimestre 36 1º Trimestre 37 2º Trimestre 38 3º Trimestre 38 1º Trimestre 39 2º Trimestre 39 3º Trimestre 40 43 CAPÍTULO 5 Nociones Didácticas Para avanzar en el conocimiento del Sistema de Numeración Secuencia de 4to 4 44 Propósitos de las actividades de la secuencia de Números naturales 46 Secuencia de Actividades de 4to 50 Propósitos de las actividades de la 61 LOS NÚMEROS NATURALES Secuencia de 5to 5.1 Secuencia de 6to secuencia de Números naturales Secuencia de Actividades de 5to 65 Propósitos de las actividades de la secuencia de Números naturales 75 Secuencia de Actividades de 6to 78 Nociones Didácticas 89 “Cálculo Mental y Cálculo Algorítmico CÁLCULOS MENTALES 5.2 La actividad Matemática en el Aula a propósito del Cálculo Mental 91 La gestión docente en el Cálculo Mental 92 El uso de la calculadora 92 Actividades de cálculo mental para 2 do ciclo 94 Cálculo mental de adición y sustracción 94 Cálculo mental de multiplicación y división 102 Nociones Didácticas 129 Para avanzar en el conocimiento de la Multiplicación Secuencia de multiplicación por dos cifras 4 to grado 5 Propósitos de las actividades de la secuencia de 133 Multip licación MULTIPLICACIÓN 5.3 Secuencia de multiplicación por dos cifras 5 to grado Secuencia de multiplicación por dos cifras 6 to grado Secuencia de Actividades de 4to 139 Propósitos de las actividades de la secuencia de Multiplicación c 150 Secuencia de Actividades de 5to 155 Propósitos de las actividades de la secuencia de Multiplicación 164 Secuencia de Actividades de 6to 168 DIVISIÓN Nociones Didácticas 5.4 La Enseñanza de la División en Naturales en la Escuela Primaria Secuencia de división con números naturales Secuencia de actividades de 4º Nociones Didácticas 178 198 207 Para avanzar en el conocimiento del Sistema de Referencia Sistema de Referencias de 4to SISTEMA DE REFERENCIA 6 Propósitos de las actividades de la secuencia de Sistema de Referencia 211 Secuencia de Actividades de 6to 215 5.4 Sistema de Referencias de 5to Sistema de Referencias de 6to Propósitos de las actividades de la secuencia de Sistema de Referencia 225 Secuencia de Actividades de 6to 231 Propósitos de las actividades de la secuencia de Sistema de Referencia 244 Secuencia de Actividades de 6to 247 Nociones Didácticas 264 Para avanzar en el conocimiento de Perímetro y Área de Figuras Qué relación existe entre el perímetro y el área de figuras PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS 5. 5 ANEXOS 7 Propósitos de las actividades de la secuencia de Perímetro y Área para 4to grado 267 Secuencia de 4to 269 Propósitos de las actividades de la secuencia de Perímetro y Área para 5to grado 274 Secuencia de 5to 276 Secuencia de 6to 282 286 NUESTRA PROPUESTA Queridos colegas: Inclusión, heterogeneidad, diversidad son términos que recorren nuestras aulas de manera cotidiana, sin embargo suele verse una uniformidad de los contenidos y procedimientos, y la búsqueda de la homogeneidad de los ritmos de aprendizaje. Si bien se han probado distintas estrategias para atender a todos y cada uno de nuestros niños y niñas, es muy difícil encontrar el modo de dar respuesta a la amplia variedad de capacidades y de estilos de aprendizaje que hallamos en el aula. “Preguntarse qué significa aprender Matemática; qué se entiende por enseñar mediante la resolución de problemas y qué se concibe como problema; analizar cómo influye la gestión de la clase en el tipo de aprendizaje que logren los alumnos; estar actualizado respecto de algunos avances de las investigaciones didácticas; todo ello puede ayudarnos a realizar una relectura de las prácticas habituales, encontrar nuevos sentidos para lo que hacemos y reinventar así nuestras propuestas. (…) En síntesis, “cómo” se hace Matemática en el aula define, al mismo tiempo, “qué” Matemática se hace, y “para qué” y “para quiénes” se la enseña, lo que plantea una disyuntiva central en relación con la construcción de las condiciones que posibilitan el acceso a la Matemática de unos pocos o de todos.” (Cuadernos para el aula, Matemática 4: 2007) El Plan Matemática para Todos se enmarca en la consolidación de políticas de enseñanza llevadas adelante por el Estado Nacional y provincial , teniendo como propósito general promover un mejoramiento de la enseñanza de la matemática en la escuela primaria. De este modo también tender al mejoramiento de los aprendizajes en el área mencionada. Comenzamos nuestro camino en esta apasionante aventura en búsqueda de una matemática desafiante y con sentido. Siendo al principio, algunos aventureros 8 cuyo entusiasmo impulsó a atreverse a recorrerla en forma apasionada y comprometidos con la educación. Hoy llegamos de diferentes maneras a cada una de las escuelas de nuestra amada provincia, hoy no es casual que los niños compartan un juego de cartas y argumenten sobre sus estrategias de juego, debatiendo con sus compañeros y docentes las nociones matemáticas puestas en juego. Muchos cuadernos han dejado de lado las actividades aisladas para dar paso a secuencias organizadas y muestran a modo de bitácora todo lo trabajado en el aula. El libro está diseñado en dos grandes apartados: por un lado ofrece diversas nociones trabajadas en los encuentros zonales y de núcleo sobre didáctica de la matemática y por otro, una serie de actividades organizadas en secuencias didácticas. Recalcamos la importancia de precisar ciertos términos para alcanzar una mejor comprensión de la propuesta. Términos como “problema”, “contextos”, “evaluación”, “secuencia didáctica”, “gestión de la clase”, han sido detallados en el primer apartado. Por otro lado se ofrecen secuencias de enseñanza pensadas para alumnos y alumnas de segundo ciclo dentro del enfoque que proponemos desde el Plan MPT. Las actividades, en su mayoría, han sido extraídas o modificadas de documentos de trabajo y libros que han llegado en diferentes momentos a las bibliotecas escolares, por ejemplo los Cuadernos para el aula, la serie Piedra Libre, los cuadernillos sobre el juego como recurso para la enseñanza, Aportes para la enseñanza, entre otros. Aún falta mucho para hacer, los esperamos en el camino. Equipo de Matemática de Segundo Ciclo ‘ 9 GESTIÓN DE LA CLASE El desafío actual en la enseñanza de la matemática es colocar a los alumnos como protagonistas de su aprendizaje. “Se trata de que los alumnos entren en el juego matemático, es decir, que se ocupen de producir conocimientos nuevos (para ellos) frente a los problemas que se le planteen, y que debatan para validarlos.” (Ministerio de Ed., Ciencia y Tecnología de la Nación, 2007). Luego a través de la intervención docente se los reconocerá como conocimientos matemáticos. Se busca promover cambios en las prácticas matemáticas poniendo el foco en una gestión de la clase que permita un alumno constructor de saberes. Mencionamos tres aspectos que consideramos fundamentales que estén presentes en la gestión de la clase: a) Se debe enfrentar a los alumnos a la resolución de problemas: entendidos como desafíos que debe resolver a partir de los saberes que posee pero que al mismo tiempo estos le sean insuficientes y deba evolucionar hacia nuevos conocimientos. No se queda sólo en la resolución sino que se debe reflexionar sobre ellos. Este punto marca una ruptura con la concepción clásica, que aún hoy perdura en algunas escuelas, donde los problemas son utilizados como un medio para aplicar un único algoritmo y la presencia de ciertas palabras clave facilitan al alumno la identificación de la operación a aplicar (total, faltan, repartir, etc.). La dificultad que surge ante esta concepción de problema es que el alumno al encontrarse con nuevas situaciones no sabe cómo resolverlas y si olvida el algoritmo aprendido no cuenta con otros procedimientos de resolución. 10 b) Habilitar en la clase momentos de discusión: Esto se da en la práctica a través de las puestas en común, entendidas como espacios de interacción de los alumnos con sus pares, conducidos por el docente. Instancia que debe ser planificada con el propósito de reflexionar sobre lo realizado. Es necesario que previamente haya habido un verdadero trabajo autónomo por parte del alumno, o grupo de alumnos, con el problema presentado para que el momento de discusión habilite la explicitación de los procedimientos utilizados, la argumentación y un lenguaje que pueda ser comprendido por los otros. Esto le permitirá adoptar una actitud reflexiva sobre sus conocimientos individuales. El papel del docente en estos momentos es fundamental ya que es el que invita a los alumnos a exponer sus procedimientos, no sólo los acertados, sino también los erróneos. Además reformula las producciones de ellos y realiza síntesis parciales y generalizaciones. Es un desafío llevar a cabo una efectiva puesta en común ya que representa un quiebre con respecto a la concepción que históricamente hemos tenido de ella. Muchas veces corremos el riesgo de que la puesta en común sea entendida como corrección o resolución colectiva. Se presenta un problema y luego se le da la voz sólo a aquellos alumnos que aplican el algoritmo “correcto”, el esperado por el maestro. El resto de los procedimientos se consideran erróneos, aun cuando se hubiera llegado a la respuesta correcta. Como podemos ver, en este caso la palabra la tienen algunos niños y el docente es el encargado de señalar los procedimientos acertados y los que tienen error, legitimando una única forma de resolución que de allí en más se debe reproducir mecánicamente para resolver situaciones similares. c) Coexistencia de diferentes procedimientos de resolución en el aula, representaciones y significados. En este aspecto, debemos en tener cuenta alternar contextos intramatemáticos y extramatemáticos. Para que esto ocurra es fundamental la selección de problemas. Al momento de producir una solución a un 11 problema planteado los alumnos pueden utilizar distintos procedimientos de resolución y representaciones: icónicas, simbólicas numéricas, simbólicas geométricas o expresiones lingüísticas. Aquí es importante marcar una primera ruptura, cuando surgen los procedimientos estos no irán necesariamente de lo concreto a lo abstracto, de lo fácil a lo difícil. El alumno no tiene obligadamente que realizar una representación gráfica primero para después pasar a las simbólicas numéricas, como tampoco tiene como paso obligado resolver primero con material concreto para luego hacer una resolución con mayor grado de abstracción. “Si el aprendizaje de las matemáticas es actualmente difícil, no es porque las matemáticas son abstractas, sino porque este aprendizaje no está basado en la actividad intelectual del alumno sino en la memorización y aplicación de saberes de los que el alumno no ha comprendido realmente el sentido. La solución a las dificultades actuales de los profesores y de los alumnos no está en buscar del lado de la dupla abstracto/concreto, que no es más que una coartada ideológica en la selección, sino del lado de un aprendizaje de las matemáticas fundado en la actividad intelectual de aquél que aprende.” (B. Charlot, 1986.) LOS PROBLEMAS “Un concepto no puede ser reducido a su definición, al menos si se está interesado en su aprendizaje y enseñanza. A través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver es como un concepto adquiere sentido para el niño” (Vergnaud) Como dijimos anteriormente no entendemos el problema como el momento de aplicar lo aprendido, lo que el maestro enseñó. Se pretende que el alumno pueda reflexionar a partir de la situación planteada. Hablamos de problemas en el sentido enunciado en la serie “Cuadernos para el aula”: 12 “…cada actividad constituye un problema matemático para un alumno en la medida en que involucra un enigma, un desafío a sus conocimientos matemáticos, es decir, si estos le permiten iniciar la resolución del problema y para hacerlo, elabora un cierto procedimiento y pone en juego las nociones que tiene disponibles, modificándolas y estableciendo nuevas relaciones…” El problema debe permitir al alumno construir conocimiento. Al momento de seleccionar las situaciones que presentaremos a nuestros alumnos podemos tener en cuenta los siguientes criterios:  Por ejemplo, en algunos textos escolares se propone, para el caso de la longitud, medir el largo del banco o de un libro, usando gomas o lápices con el propósito de descubrir que las medidas obtenidas son distintas y la convención resulta necesaria. En este caso, cabría preguntarnos, ¿cuál es la verosimilitud de esa situación? ¿Quién necesita ese dato? ¿Para qué? Si, en cambio, se trata de determinar si en el patio o el terreno de la escuela es posible delimitar una cancha para realizar un deporte, cabría la necesidad de realizar algunas mediciones para analizar si se pueden respetar las medidas que figuran en los reglamentos.  La posibilidad de dominar una noción matemática con suficiente nivel de generalidad como para poder utilizarla en distintas situaciones dependerá de que la variedad de problemas considerados al estudiarla sea representativa de la diversidad de contextos de uso, de significados y de representaciones asociados a la noción.  La noción que se quiere enseñar es necesario que surja como una “herramienta necesaria” para resolver el problema y no como una definición que hay que aplicar. La presentación de la información no debe fomentar ideas estereotipadas acerca de los modos de resolución.  Cada actividad constituye un problema matemático en la medida que involucra un enigma, un desafío a sus conocimientos matemáticos. 13  Para atender a la heterogeneidad respecto de sus conocimientos iniciales y dar a todos la posibilidad de construir una solución es necesario plantear buenas preguntas, confiar en que todos pueden responderlas de algún modo, admitir diferentes procedimientos y luego, trabajar con los conocimientos que surjan para avanzar hacia los que se quiere enseñar por medio del planteo de nuevas preguntas.  La propuesta no implica dejar de lado instancias tendientes a la consolidación de lo que se está aprendiendo. 14 LAS REPRESENTACIONES La posibilidad de avanzar en la comprensión de una noción implica reconocerla en sus distintas representaciones pudiendo pasar de una a otra y elegir la más conveniente en función del problema a resolver. Por ejemplo en el caso de los racionales para representar un mismo número se pueden escribir las siguientes expresiones: 1 + 1/2; 1 1/2; 3/2; 3 x 1/2; 1,5 y 1,50, utilizar la recta numérica, establecer equivalencias con otras expresiones fraccionarias y decimales o expresiones como: 1 + 5 x 1/10 o 150%. Sin embargo, y aunque podrían ser usadas indistintamente en tanto refieren al mismo número, los contextos de uso y las estrategias de cálculo suelen determinar la conveniencia de utilizar una u otra representación. 15 EL DOCENTE COMO MEDIADOR Desde un enfoque constructivista, no se piensa al maestro como alguien que sólo “acompaña los descubrimientos de los niños”. Reflexionemos….  ¿Cómo es esa intervención que plantea al alumno un problema para que “resuelva por sí mismo”?  ¿Qué recaudos tener al presentar el problema a los alumnos?  ¿Cómo intervenir de forma de no resolver nosotros, los maestros, pero si darles pistas para invitarlos a que ellos entren en la tarea de resolverlo?  ¿Qué dificultades pueden aparecer en la gestión del momento en que se quiere hacer circular en la clase el conocimiento producido en cada grupo, comparar las distintas resoluciones y formular una síntesis significativa para todos los alumnos y adecuada en términos del saber al que apuntó la clase? Veamos algunas estrategias que intentan dar respuesta a preguntas que formulan los maestros.  ¿Qué alternativas se pueden pensar para plantear la consigna? Una cuestión central al presentar el problema es que los alumnos “entren” en él y se “hagan cargo” de su resolución. Una alternativa es que cada alumno lea la consigna de manera individual y luego el docente pregunte si alguien no entendió. A partir de la cantidad de dudas que surjan, verá si es necesario explicarla para todos, o reunir solamente a los que no la entendieron, mientras los otros empiezan a trabajar. Si hay muchos que no entendieron, se podría pedir a un alumno que explicara en qué consiste la actividad, con la aclaración de que no hay que decir “cómo se resuelve”, sino contar “qué dice el enunciado”. 16 Lo fundamental al dar la consigna, es que el maestro no dé pistas de “lo que conviene hacer”, para no validar ningún procedimiento en voz alta. En cambio, sí podrán plantear reglas del trabajo en el aula, como “cada uno piense cómo resolver, recuerden que hay distintas formas de hacerlo”, o “anoten en las hojas para que después entendamos cómo lo pensaron.” Así, estas reglas irán formando parte del nuevo contrato didáctico, en el que el alumno esperará que el docente le presente situaciones que pueda resolver solo y luego tenga que “explicar cómo lo hizo y por qué”, sabiendo que cada solución, errónea o no, será de igual valor para el maestro cuando el foco esté puesto en que todos produzcan soluciones. Si se trata de un juego, el docente puede presentarlo con una explicación general a la clase y jugando con un alumno para que todos observen cómo se hace. En estos casos, no es necesario terminar la partida, ya que una vez entendida la dinámica del juego, es posible reconocer “quién gana”. Si el juego es simple, es conveniente plantear la lectura del instructivo y que comiencen a jugar. Cuando se trata de un juego ya conocido, pero con un cambio del material o de las reglas, el docente puede solamente señalar estas diferencias.  ¿Qué alternativas se podrían plantear para la organización del grupo? La forma de organizar el grupo se vincula con la decisión didáctica respecto de las interacciones que se pretenden establecer y cómo maximizar los intercambios entre de cada alumno con el “medio”, el problema y sus pares. La interacción con los pares favorece la confrontación y el intercambio entre diferentes perspectivas, diferentes formas de interpretar el problema y la comunicación de procedimientos y resultados entre los integrantes. En este intercambio es importante tener en cuenta que las primeras respuestas de unos alumnos pueden funcionar como punto de apoyo para otros, es decir, que algunos 17 niños tengan en cuenta el problema y también las primeras respuestas dadas por sus compañeros. De esta manera, se fomenta la descentración y la coordinación de distintos puntos de vista. El trabajo en pequeños grupos ofrece mayores posibilidades de interacción, ya que en ese interjuego, a partir de errores y sucesivas reconstrucciones, se arriba a mejores resultados. Cabe destacar que en el trabajo grupal a veces los alumnos pueden asumir diferentes roles. Por ejemplo, mientras algunos participan de un juego, otro es el encargado de registrar las respuestas, o bien de “cantar” mientras otros marcan en sus tableros. Se trata de reconocer que, en cada rol se realiza una actividad matemática diferente, y, por lo tanto, convendrá ir alternando los roles entre los integrantes de los equipos. Si bien a veces los grupos se forman espontáneamente, en ciertas ocasiones la decisión debe ser tomada por el maestro. Los grupos más heterogéneos pueden ser fértiles, por ejemplo, para que aparezcan variados procedimientos. Otro tema a pensar es el de la cantidad de niños por grupo. Si bien no se trata de dar normas generales -pues el criterio para decidir depende de cada situación-, es importante que cada alumno no tenga que esperar mucho para intervenir, porque esto da lugar a la desconexión con la tarea.  ¿Cómo seleccionar los materiales necesarios para la realización de la propuesta, qué uso darles y cómo repartirlos? En el caso de que sea necesario, se aconseja utilizar un material que complemente el enunciado. La selección del material no será un tema menor, pues determinará los conocimientos que se pondrán en juego en los procedimientos que realizarán los alumnos. La elección de utilizar o no materiales como parte del problema y, en caso de que se decida utilizarlos, sus características, dan lugar al empleo de diferentes conocimientos. Y, por ello, también a diferentes aprendizajes. Esto constituye una variable didáctica del problema. 18 LA PRODUCCIÓN DE SOLUCIONES, VALIDACIÓN Una vez iniciada la clase, ¿Qué papel jugarán los alumnos, el docente y los materiales?, ¿Qué interacciones se pueden producir a propósito del conocimiento en juego? ¿Qué características de la situación y de su gestión en el aula posibilitan estas interacciones? ¿Cómo sostener desde el maestro la “devolución” durante la resolución?  ¿Qué tipo de intervenciones en la producción de soluciones? Según venimos planteando, la intención es que los alumnos produzcan soluciones propias; no se trata de que busquen una respuesta para atender al “deseo del docente”, como una obligación impuesta arbitrariamente desde afuera. Se trata de que “entren en el juego”, vivencien la situación y se involucren en una búsqueda propia de una solución que a ellos les parezca adecuada. Una vez involucrados, podrán iniciar una resolución y controlar si han llegado a una conclusión que responde la pregunta planteada. Mientras los alumnos están enfrentando estas situaciones, desarrollando verdadera “actividad matemática”, son diversas las posibles intervenciones de los docentes. Esto nos lleva a pensar: ¿qué hace el docente mientras circula? Puede releer y explicar el enunciado a un chico o grupo de chicos que no hayan comenzado la tarea o se hayan detenido, para aclararles las dudas. Si algunos están “bloqueados”, puede sugerirles cómo empezar a hacer algo, por ejemplo, animándolos a realizar un dibujo o recordándoles lo realizado en alguna actividad anterior relacionada con esa. Otra forma de mediar un problema cuando un grupo se ha “estancado” en su resolución es jugar al “detective”. Este juego propone que durante un minuto (contralado por reloj), un alumno de cada grupo (elegido por sus propios compañeros) “espíe” qué están haciendo el resto de los grupos. El alumno debe observar, 19 comprender y luego comunicar al resto del grupo cómo están resolviendo la actividad los otros grupos de compañeros. Asimismo el docente buscará animar a los alumnos a preguntarse ¿Cómo pensaron su respuesta? ¿Pueden asegurar que es adecuada? ¿Por qué? ¿Qué razones pueden ofrecer? Se trata de que cada alumno, o cada grupo si han trabajado con esa organización, pueda pensar y explicitar argumentos que apoyen su trabajo. EL DEBATE SOBRE LAS PRODUCCIONES Y LAS CONCLUSIONES MATEMÁTICAS  ¿Qué preguntas podrían orientar el análisis de las producciones? La descripción y explicitación de lo sucedido durante la resolución permite hacer circular los conocimientos en forma pública en la clase, identificar los conocimientos utilizados y vincularlos con otros anteriores, y relacionar el conocimiento de esas producciones con los se esperaba ver aparecer, aquellos a los que apuntó la clase: los objetos de enseñanza. La puesta en común implica también la organización y conducción de un debate. Es tal vez este momento el más difícil para el docente. Se trata de crear un espacio de intercambio donde además de la explicitar lo producido habrá que discutir sobre su validez para obtener conclusiones a propósito de lo realizado avanzando hacia la descontextualización del contenido.  ¿Cuáles serían, en general, “buenas intervenciones del docente”? y ¿Qué actitud debería asumir para organizar el intercambio? En principio, podemos decir que buenas intervenciones serían aquellas que ayudaran a hacer explícito lo implícito y a establecer relaciones entre las diversas producciones. 20 Por ejemplo, ¿Cómo creen que pensó? ¿Por qué creen que…? ¿Dónde encuentran… en ese procedimiento? La organización del intercambio debe procurar el debate entre diferentes puntos de vista de los alumnos, dar lugar a que expliquen cómo lo pensaron, a que pregunten a otro cómo lo hizo o por qué lo hizo de tal modo. Debe, además promover el diálogo entre ellos, de manera que dirijan la explicación a sus compañeros y no solo a sí mismo, y que no consideren el error como ausencia de conocimiento. Es conveniente que el docente no valore los procedimientos en términos de mejor o peor. Con relación a los alumnos, podemos esperar que se involucren en la discusión, expliciten cómo pensaron y avancen en la necesidad de validar lo producido, que se preocupen por hacerse entender y convencer a sus interlocutores y no solo al docente, que no sientan la necesidad de esconder el error por temor a las posibles burlas de sus compañeros.  ¿Cómo y por qué arribar a conclusiones y a una sistematización de los conocimientos? (Institucionalizaciones) Realizar esta síntesis no es una tarea sencilla. En algunos casos, el docente propone a la clase una conclusión que implica un “salto” respecto de los conocimientos que muchos alumnos utilizaron en sus resoluciones. Esto no les permite establecer relaciones entre lo trabajado y lo nuevo. Realizar una síntesis y registrarla, preguntar para obtener sistematizaciones, son oportunidades de dejar establecido en la clase, qué conocimientos se han aprendido, con cuál representación, bajo qué formulación, cómo se relacionan entre sí. Es una manera de indicar, de dejar establecido que ellos pueden ser reutilizados. No se trata de pensar en la institucionalización como un momento que ocurre al final de la clase, sino como aquellas instancias en las que el docente se refiere al 21 saber culturalmente reconocido (a los objetos matemáticos tal como se conocen en la ciencia), en el que el conocimiento pasa a ser “aquello que habrá que recordar a futuro”. Podrán hacerse institucionalizaciones parciales o bien, si la resolución llevó más tiempo que el esperado, podrá plantearse al comienzo de la clase siguiente. Esos nuevos conocimientos, considerados “oficiales” por parte de ese grupo de alumnos, se convertirán en conocimientos de base para nuevas situaciones. BIBLIOGRAFÍA - Graciela Chemello, Mónica Agrasar, Silvia Chara y Analía Crippa (Equipo Áreas curriculares del Ministerio de Educación) Clases varias, ciclo formativo Plan Matemática para Todos (2012-2013) 22 TRABAJO MATEMÁTICO El trabajo matemático propuesto a partir de este enfoque sugiere la planificación de los saberes de cada año a través de secuencias didácticas. Las secuencias propuestas se han organizado partiendo de saberes incluidos en los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios para 4to, 5to y 6to grado, incluyendo algunas actividades de los Cuadernos para el Aula, elaborados por el Ministerio de Educación de la Nación. Las actividades apuntan a que se produzcan y analicen diferentes representaciones y procedimientos en diferentes contextos y tipos de tareas. Además se intenta brindar a todos los niños la posibilidad de participar activamente en la clase. “Por otra parte, sostener el foco de trabajo durante varias actividades brinda más tiempo para que todos puedan sumarse, volver sobre algo que se hizo para revisarlo o para usarlo en un nuevo problema, permite que los niños encuentren una nueva oportunidad para incluirse, si no lo hicieron antes, o para descubrir nuevas relaciones.”(Notas para la enseñanza 1, 2012) Estas secuencias no se presentan como actividades cerradas, sino que se brindan como una alternativa posible para organizar la enseñanza y se propone a los maestros ir analizándolas, resignificarlas para luego ponerlas a prueba e ir realizando los ajustes necesarios para su grupo. 23 Las secuencias didácticas se organizan con propósitos definidos teniendo en cuenta las características del tipo de trabajo matemático que se quiere promover. Cada actividad de una secuencia se apoya en algún saber elaborado en la actividad anterior y, a la vez, plantea alguna diferencia. Se realiza así un trabajo articulado en clases sucesivas sobre un mismo contenido. Las secuencias presentan, en su mayoría, la siguiente estructura: La actividad 0/11, tiene doble finalidad, al inicio como 0, permite diagnosticar el estado de esos saberes en cada alumno y, al final como actividad 11, permite conocer el nuevo estado de los saberes para analizar la distancia con los del inicio. Con la actividad 1 se busca recuperar el trabajo realizado en años anteriores con actividades que pongan de manifiesto lo antes visto con respecto al tema. Las actividades, de la 2 a la 8, pretenden trabajar los saberes específicos e ir realizando las institucionalizaciones parciales. Con la actividad 9 se busca recuperar las institucionalizaciones parciales y realizar las institucionalizaciones finales. 24 Con la actividad 10 se espera que el alumno revise su proceso de aprendizaje, que identifique lo que aprendió y lo que le queda pendiente. En este sentido, las preguntas apuntan a reafirmar esta identificación y a “subrayar” aquello que debe recordar a futuro. Por último, como se expuso al comienzo la actividad 0/11, como 11 implica un recorrido sobre los saberes centrales de la secuencia. “Volver sobre una tarea que se hizo el día anterior para revisarla o sobre una noción abordada para usarla en un nuevo problema, manteniendo el foco de trabajo, permite que los alumnos encuentren sucesivas y variadas oportunidades de acercarse a la noción en estudio. A la vez, posibilita que los niños afiancen lo aprendido o descubran nuevas relaciones. Este trabajo por aproximaciones sucesivas da lugar a que más alumnos avancen en el logro del propósito al que se apunta.”(Notas para la enseñanza 1, 2012) En la elaboración de las secuencias es importante tener en cuenta además de los propósitos las características del tipo de trabajo matemático que interesa promover. “En cuanto a las formas de interacción del alumno con el problema, por un lado, y con sus compañeros y el maestro, por el otro, toda secuencia tendría que incluir situaciones de acción sobre un medio (material o simbólico), situaciones de interacción con conocimientos que se han comunicado y que han sido formulados por otros, y situaciones de producción y discusión de argumentos que sostengan las afirmaciones realizadas.” (Notas para la enseñanza 1, 2012) Dimensiones de Análisis de Secuencia Al analizar una secuencia didáctica podemos encontrar con respecto a los contextos que sean distintos, que las representaciones sean variadas o bien que se presenten todos los significados del concepto trabajado, si nos encontramos con esta 25 situación no podríamos asegurar la consistencia interna de la secuencia analizada, el propósito no estaría claro. Si por el contrario se presentaran actividades con el mismo contexto, el mismo repertorio numérico, el mismo tipo de interacción, seguramente la propuesta sería repetitiva y no enriquecería el trabajo propuesto a los alumnos. Por lo tanto será necesario tener en cuenta que las actividades que propongamos aborden un significado que permita establecer un claro propósito a la secuencia. Presentar contextos intramatemáticos y extramatemáticos. Debemos tener en cuenta que la secuencia debe habilitar la construcción de conocimiento por parte del alumno y no ser un conjunto de actividades que sólo tienen el propósito de aplicar lo enseñado. 26 Como se ha mencionado en la Introducción, las actividades propuestas se han extraído de bibliografía que ha llegado a las escuelas en diferentes instancias, por ejemplo los Cuadernos para el aula de 4°, 5° y 6°; la Serie Piedra Libre, los Aportes para el seguimiento del aprendizaje en procesos de enseñanza. Las secuencias elaboradas, y que han sido organizadas de acuerdo a los ejes de los NAP, pueden visualizarse en el siguiente esquema: 27 LA EVALUACIÓN El concepto de evaluación se ha ido transformando. En la actualidad se hace visible una divergencia entre los conceptos de evaluación que se manejan a nivel teórico y la práctica real en las aulas. Una buena parte de los profesionales dedicados a la educación acuerdan en la necesidad de incorporar a los procesos de enseñanza un modelo de evaluación cualitativo, que sea capaz de ofrecer datos enriquecedores acerca del desarrollo del alumno y no sólo de los resultados que obtiene. El problema de su incorporación al quehacer en el aula proviene, precisamente, de que no supone sólo adoptar un nuevo concepto de evaluación, estar de acuerdo con él en un plano meramente intelectual, sino que implica cambiar las prácticas que se llevan a cabo en las aulas e invertir, en muchos casos, sus valores. Los alumnos estudian para aprobar. Los profesores enseñan para que sus alumnos superen las evaluaciones. La evaluación es importante, pero no como instrumento para la promoción u obtención de un título, no como exclusivo factor de comprobación de lo que se “aprende”, nunca como fin de la educación (que es lo que resulta ser en muchos casos para demasiados alumnos, profesores, padres o directivos). No se enseña para “aprobar”. Se enseña y se aprende para alcanzar una plena e integral formación como persona. Algunos autores definen a la evaluación como: -“La evaluación es el proceso mediante el cual se hace un balance objetivo, válido, confiable, comprometido, integral y significativo de los logros obtenidos por los alumnos, así como también de los obstáculos, retos y desafíos que presentan con vista a tomar decisiones de cambio para mejorar dicho proceso”( Rubio , 2008) 28 - “Desde la perspectiva constructivista, es dialogar y reflexionar sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje. Consiste en poner en primer término las decisiones pedagógicas, para promover una enseñanza verdaderamente adaptativa que atienda a la diversidad del alumnado; en promover (…) aprendizajes con sentido y con valor funcional para los alumnos; en ocuparse de los problemas de la enseñanza y el aprendizaje; en favorecer el traspaso de la heteroregulación evaluativa hacia la a autorregulación de los alumnos en materia de aprendizaje y evaluación”. (Frida DíazBarriga Arceo-Hernández Rojas.) La evaluación constructivista posee las siguientes características:  Considera todos los recursos cognitivos y afectivos que utilizan los alumnos.  Valora todo el proceso, de lo contrario al considerar sólo una fase, se ve limitada.  Tiene en cuenta las acciones docentes como: la planificación, actividades de enseñanza y factores contextuales del aula.  Pone énfasis en la evaluación de los procesos de aprendizaje. La evaluación no solo tiene sentido en relación con la acreditación de los alumnos, que es la finalidad más corriente asociada a esta práctica, sino también respecto de la detección del “estado de los saberes” puestos en juego por los alumnos durante el proceso de aprendizaje. Algunos puntos de partida respecto de la evaluación Coherencia con el proyecto de enseñanza impartida El tipo de saberes a evaluar debe ser consistente con el tipo de práctica matemática realizada durante las clases; si en ellas se han propuesto actividades en las que los alumnos deben resolver problemas, interpretar consignas, comunicar procedimientos, interpretar otros, explicitar razones que les permiten afirmar la 29 validez de una afirmación, será necesario tomar información acerca de los logros de los alumnos al realizar actividades de estos mismos tipos. La necesidad de concebirla como un proceso continuo e interactivo, con momentos específicos de toma de información. Si bien el docente está atento en todo momento a las respuestas que van dando los chicos frente a las distintas propuestas, es necesario incluir actividades específicas, con un tiempo previsto para tomar y registrar información sobre los saberes alcanzados, a fin de tomar decisiones respecto de la continuidad de la enseñanza. Conocimiento por parte de los alumnos, tanto de los objetivos como los criterios con los que serán evaluados Debe ser claro para los niños cuál es la valoración que se realizará de las producciones, para dedicar el tiempo necesario al desarrollo de aquellos aspectos que permiten mostrar mejor los aprendizajes realizados. Autoevaluación del docente y de los alumnos permite modificar las acciones a partir de la información que provee la evaluación La identificación de los saberes que los niños dominan y cuáles les quedan pendientes para seguir trabajando, permite a los docentes proponer nuevas tareas para todos o para algunos alumnos, y a éstos conocer qué tareas deberían realizar para avanzar; de este modo la evaluación se puede constituir en una herramienta para mejorar la enseñanza y el aprendizaje. TIPOS DE EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 30 Se realiza previamente al desarrollo de un proceso educativo, cualquiera que éste sea. Se realiza en concomitante con el proceso de enseñanza aprendizaje por lo que debe considerarse como una parte reguladora y consustancial del proceso. FORMATIVA SUMATIVA Se realiza al término de un proceso instruccional o ciclo educativo cualquiera. También se le denomina evaluación final. Un aspecto importante a considerar es la Evaluación por competencias tal como lo expresa Laura Frade Rubio: "es el proceso mediante el cual se hace un balance objetivo, válido, confiable, integral, significativo y transparente de los logros obtenidos por los y las estudiantes en si aprendizaje, tomando en cuenta como base el nivel de desempeño logrado y estableciendo los retos y obstáculos que se encuentran, con miras a tomar decisiones y diseñar estrategias para que el estudiante mejore de manera continua”. Por otra la evaluación puede hacerse en base a una norma o en base a un criterio. La evaluación normativa significa valorar con respecto a una “norma” definida por el docente en base a los resultados obtenidos por sus mejores alumnos, se comparan los aprendizajes de los alumnos con el aprendizaje del grupo más avanzado, profundizando las diferencias entre los alumnos con más y con menos posibilidades. La evaluación así aparece como una probabilidad de determinar en qué medida las acciones realizadas se ajustan o no a ese patrón normativo, no se plantea con un sentido constructivo, como una opción para revisar el proceso de enseñanza y aprendizaje, tampoco plantea buscar alternativas de enseñanza para superar las dificultades detectadas 31 La evaluación criterial significa valorar aprendizajes que logra cada alumno con respecto a los saberes que se establecen como fundamentales, hoy serían los NAP. Esta evaluación exige el análisis de los procesos que el niño utiliza para resolver una situación planteada, incluye analizar los errores y la búsqueda de alternativas de enseñanza para superar las dificultades detectadas. La evaluación para ser justa debe ser en base a un criterio, no en base a norma. CRITERIOS DE EVALUACIÓN Los criterios para analizar las producciones de los niños, permiten elaborar tablas para registrar los avances de cada niño. Por ejemplo, al considerar “qué mirar” cuando resuelven un problema, podemos usar como criterios:  Si identifican y usan los datos adecuados  Si usan un procedimiento que permite arribar a la respuesta correcta.  Si el procedimiento que usan es económico en relación con los trabajados en clase En el siguiente cuadro aparecen todos los alumnos y sus logros y dificultades, con un código que indique, por ejemplo:  NR (no responde): No escribe nada  PNA (no adecuado): Elige un procedimiento o información no adecuada.  EP (en proceso): Utiliza información y un procedimiento adecuado, pero resuelve incorrectamente.  RA (resolución adecuada): Utiliza información y resuelve mediante algún procedimiento correcto.  PE (procedimiento económico): Utiliza información adecuada y resuelve mediante el procedimiento más económico analizado en clase. 32 Con esta organización de la información, los docentes pueden evaluar cuál fue el desempeño de cada alumno mirando las filas, y lo que ocurrió en relación con el ítem en todo el grado observando las columnas ¿Qué criterios podemos considerar para las formas de calcular? - Resuelve utilizando cálculos memorizados adecuados con procedimientos inadecuados. - Resuelve utilizando cálculos memorizados con procedimientos adecuados. - Puede controlar el resultado - Realiza estimaciones Si el trabajo matemático en la clase se realiza según el enfoque planteado, también habrá que analizar cómo son los procesos de comunicación en lenguaje matemático y coloquial, y las formas de validación que utilizan. Por ejemplo: - Escribe la respuesta en forma incompleta - Usa el vocabulario adecuado - Las justificaciones son válidas, en el marco de lo aceptado en la clase. En cuanto a las actividades de remediación es posible presentar diversas propuestas según lo que debamos evaluar. Es común presentar un problema similar en otro contexto pero también podríamos:  Mostrar diversas respuestas para un mismo ítem (correctas y erradas), solicitando a los alumnos que las comparen, encuentren similitudes y 33 diferencias, y formulen una nueva respuesta que resulte correcta, a juicio del grupo.  Mostrar distintas justificaciones correctas para analizar cuáles les parecen “más apropiadas” y explicar el por qué. Luego se les puede pedir que redacten en pequeños grupos una nueva justificación. Frente a los “errores” descubiertos será necesario analizarlos, intentar comprender cómo y por qué se producen y plantear actividades de distinto tipo. Tanto en el caso de cuestiones presentes en las producciones de muchos alumnos del grupo como respecto de algunas ideas provisorias, habrá que volver sobre la noción involucrada en ese momento, cuestionándolos con ejemplos que contradigan sus ideas. BIBLIOGRAFÍA - Graciela Chemello, Mónica Agrasar, Silvia Chara y Analía Crippa. (2013) Buenos Aires. Módulo 3: Los desafíos de la enseñanza de las operaciones con fracciones y decimales. Clase Nº 9: La evaluación de los aprendizajes de los alumnos. Ministerio de Educación. (pp. 1-2) - Casanova. M. A. (1998), La evaluación educativa, México, Biblioteca para la Actualización del Maestro, SEP-Muralla, (pp.67-102). - Chevallard, Y. et al. (1997), Estudiar Matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. ICE-HORSORI, Barcelona - Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología Presidencia de la Nación NAP Núcleos de Aprendizajes Prioritarios, Serie Cuadernos para el Aula. Matemática Segundo Ciclo EGB Nivel Primario. (2007). - Esther Sánchez de Concatti, Sandra Intelisano, “Evaluación como aprendizaje y para el aprendizaje” 2012 primer documento para docentes de nivel primario, nivel secundario y adultos 34 Laura Frade Rubio, “La evaluación por competencias”, Mediación Inteligente, S. A. de C. V., Febrero del 2008. DISTRIBUCIÓN ANUAL DE SABERES DE MATEMÁTICA PARA SEGUNDO CICLO SEGÚN NAP CUARTO GRADO 1°TRIMESTRE En relación con el número y las operaciones: En relación con el número y las operaciones: En relación con la geometría y la medida: Números Naturales SECUENCIA I: Operaciones con números naturales (Notas para la enseñanza I) Sistemas de referencia El reconocimiento y uso de los números naturales, de la organización del sistema decimal de numeración y la explicitación de sus características, en situaciones problemáticas que requieran: • Interpretar, registrar, comunicar y comparar escrituras equivalentes para un mismo número. • Argumentar sobre la equivalencia de distintas descomposiciones de un número (aditivas, multiplicativas) usando unidades de distintos órdenes. Cuadernos para el aula: 4°: página 38 a 48 35 • multiplicar con distintos significados, utilizando distintos procedimientos y evaluando la razonabilidad del resultado obtenido. • elaborar y comparar distintos procedimientos de cálculo-, mental, escrito - de multiplicaciones por una cifra o más, analizando su pertinencia y economía en función de los números involucrados.  analizar relaciones numéricas para formular reglas de cálculo, producir enunciados sobre las propiedades de las operaciones y argumentar sobre su validez El reconocimiento y uso de relaciones espaciales y de sistemas de referencia en situaciones problemáticas que requieran:  ubicar objetos en el espacio y/o sus representaciones en el plano en función de distintas referencias  Interpretar y elaborar representaciones del espacio. Cuadernos para el aula: 4° página 121 hasta 134 2°TRIMESTRE En relación con la geometría y la medida: En relación con el número y las operaciones: En relación con la geometría y la medida: SECUENCIA III: Propiedades de las figuras geométricas (Notas para la enseñanza II) SECUENCIA II: Fracciones y números decimales (Notas para la enseñanza I) • Describir, reconocer y comparar triángulos, cuadriláteros y otras figuras teniendo en cuenta el número de lados o vértices, la longitud de los lados, el tipo de ángulos. • Interpretar, registrar o comparar el resultado de una partición a través de distintas escrituras con fracciones. Perímetro y superficie El análisis y uso reflexivo de distintos procedimientos para estimar y calcular medidas en situaciones problemáticas que requieran:  calcular cantidades evaluando la razonabilidad del resultado y la pertinencia de la unidad elegida para expresarlo  elaborar y comparar procedimientos para calcular áreas y perímetros de figuras  comparar figuras analizando cómo varían sus formas, perímetros y áreas cuando se mantienen alguna o algunas de estas características y se modifica/n otra/s. Cuadernos para el aula: • Copiar y construir figuras utilizando las propiedades conocidas mediante el uso de regla y escuadra evaluando la adecuación de la figura obtenida a la información dada. • Interpretar la equivalencia entre expresiones fraccionarias de uso frecuente para una misma cantidad. • Comparar, entre sí y con números naturales, fracciones de uso frecuente a través de distintos procedimientos • Componer y descomponer figuras estableciendo relaciones entre las propiedades de sus elementos. • Analizar afirmaciones acerca de propiedades de figuras dadas y argumentar sobre su validez. 4°: página 165 a 167 3°TRIMESTRE En relación con el número y las operaciones: En relación con la geometría y la medida: En relación con la geometría y la medida: SECUENCIA IV: Operaciones con fracciones y números decimales (Notas para la enseñanza II) La medida Propiedades de cuerpos geométricos • Sumar y restar cantidades expresadas con fracciones y decimales, utilizando distintos procedimientos y representaciones y evaluando la razonabilidad del resultado obtenido. • Elaborar estrategias de cálculo utilizando progresivamente resultados memorizados relativos a fracciones y expresiones decimales de uso corriente (½ + ½; ¼ +1 ½; ½ + ¾; 0,25 + 0,25; 0,50 + 1,50; dobles; etc.) La comprensión del proceso de medir, considerando diferentes expresiones posibles para una misma cantidad, en situaciones problemáticas que requieran:  estimar y medir efectivamente cantidades eligiendo el instrumento y la unidad en función de la situación  comparar diferentes formas de escribir una misma cantidad utilizando distintas expresiones Cuadernos para el aula: 4° Medidas de tiempo: desde página 170. 36  describir, reconocer y comparar cuerpos según la forma y el número de caras, y representarlos con diferentes recursos. Cuadernos para el aula: 4°: página 140 a 153 QUINTO GRADO 1°TRIMESTRE En relación con el número y las operaciones: En relación con el número y las operaciones: En relación con la geometría y la medida: Números Naturales SECUENCIA I: Operaciones con números naturales (Notas para la enseñanza I) Sistemas de referencia El reconocimiento y uso de los números naturales, de la organización del sistema decimal de numeración y la explicitación de sus características, en situaciones problemáticas que requieran: • Interpretar, registrar, comunicar y comparar escrituras equivalentes para un mismo número. • Argumentar sobre la equivalencia de distintas descomposiciones de un número (aditivas, multiplicativas) usando unidades de distintos órdenes. Cuadernos para el aula: 5°: página 38 a 47 37 • dividir con significado de partición evaluando la razonabilidad del resultado obtenido. • elaborar y comparar procedimientos de cálculo - exacto, mental, escrito y con calculadora- de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones por una o dos cifras, analizando su pertinencia y economía en función de los números involucrados.  argumentar sobre la validez de un procedimiento o el resultado de un cálculo usando relaciones entre números naturales y propiedades de las operaciones.  explicitar relaciones numéricas vinculadas a la división y la multiplicación (múltiplo, divisor, D = d x c+r) El reconocimiento y uso de relaciones espaciales y de sistemas de referencia en situaciones problemáticas que requieran:  ubicar objetos en el espacio y/o sus representaciones en el plano en función de distintas referencias  Interpretar y elaborar representaciones del espacio. Cuadernos para el aula: 5° GRADO: página 121 a 135. 2°TRIMESTRE En relación con la geometría y la medida: En relación con el número y las operaciones: En relación con la geometría y la medida: SECUENCIA III: Propiedades de las figuras geométricas (Notas para la enseñanza II) SECUENCIA II: Fracciones y números decimales (Notas para la enseñanza I)  Describir, reconocer y comparar cuadriláteros teniendo en cuenta la longitud y posición relativa de sus lados, la amplitud de sus ángulos.  Clasificar figuras de diferentes formas explicitando los criterios utilizados.  Construir cuadriláteros a partir de distintas informaciones mediante el uso de regla y escuadra evaluando la adecuación de la figura obtenida a la información dada. • Componer y descomponer figuras utilizando propiedades conocidas de las figuras iniciales para argumentar sobre las de las figuras obtenidas.  Interpretar, registrar, comunicar y comparar cantidades (resultados de distintos repartos) usando fracciones usuales, y ampliando el repertorio para establecer nuevas relaciones.  Interpretar la equivalencia entre expresiones fraccionarias para una misma cantidad. • Comparar fracciones entre sí y con el entero a través de distintos procedimientos (relaciones numéricas, expresiones equivalentes, representaciones gráficas). Perímetro y superficie El análisis y uso reflexivo de distintos procedimientos para estimar y calcular medidas en situaciones problemáticas que requieran:  calcular cantidades evaluando la razonabilidad del resultado y la pertinencia de la unidad elegida para expresarlo  elaborar y comparar procedimientos para calcular áreas y perímetros de figuras  comparar figuras analizando cómo varían sus formas, perímetros y áreas cuando se mantienen alguna o algunas de estas características y se modifica/n otra/s. Cuadernos para el aula: 5°: página 168 a 173 • Analizar afirmaciones acerca de propiedades de las figuras y argumentar sobre su validez. 3°TRIMESTRE En relación con el número y las operaciones: En relación con la geometría y la medida: En relación con la geometría y la medida: SECUENCIA IV: Operaciones con fracciones y números decimales (Notas para la enseñanza II) La medida Propiedades de cuerpos geométricos • Multiplicar y dividir cantidades expresadas con fracciones o decimales, utilizando distintos procedimientos y representaciones y evaluando la razonabilidad del resultado obtenido. • Explicitar procedimientos de cálculo mental que puedan utilizarse para facilitar otros cálculos (la mitad de la mitad es la cuarta parte, 0,25 x 3 = 0,75 = ¾) y para argumentar sobre la validez de los resultados obtenidos 38 La comprensión del proceso de medir, considerando diferentes expresiones posibles para una misma cantidad, en situaciones problemáticas que requieran:  Estimar y medir efectivamente cantidades eligiendo el instrumento y la unidad en función de la situación  Comparar diferentes formas de escribir una misma cantidad utilizando distintas expresiones Cuadernos para el aula: 5°: página 152 a 168  Describir, reconocer, comparar y representar cuerpos identifican-do la forma y el número de caras. Cuadernos para el aula: 5° página 135 a 152 SEXTO GRADO 1°TRIMESTRE En relación con el número y las operaciones: En relación con el número y las operaciones: En relación con la geometría y la medida: Números Naturales SECUENCIA I: Operaciones con números naturales (Notas para la enseñanza I) Sistemas de referencia El reconocimiento y uso de los números naturales, de la organización del sistema decimal de numeración y la explicitación de sus características, en situaciones problemáticas que requieran: • interpretar, registrar, comunicar y comparar cantidades y números tanto para los números naturales como para fracciones y/o expresiones decimales y eligiendo la representación más adecuada en función del problema a resolver. • argumentar sobre la validez de un procedimiento o el resultado de un cálculo usando propiedades de las operaciones con números naturales. • producir y analizar afirmaciones sobre relaciones numéricas vinculadas a la división y argumentar sobre su validez. • sistematizar resultados y estrategias de cálculo mental para operar con números naturales. El reconocimiento y uso de relaciones espaciales y de sistemas de referencia en situaciones problemáticas que requieran:  ubicar objetos en el espacio y/o sus representaciones en el plano en función de distintas referencias  Interpretar y elaborar representaciones del espacio. Cuadernos para el aula: 6° GRADO: página 124 a 135. 2°TRIMESTRE En relación con la geometría y la medida: En relación con el número y las operaciones: En relación con la geometría y la medida: SECUENCIA III: Propiedades de las figuras geométricas (Notas para la enseñanza II) SECUENCIA II: Fracciones y números decimales (Notas para la enseñanza I) Perímetro y superficie • Describir, comparar y clasificar triángulos y cuadriláteros en base a las propiedades conocidas. • Copiar y construir figuras a partir de diferentes informaciones sobre propiedades y medidas utilizando compás, regla y escuadra, evaluando la adecuación de la figura obtenida. • Analizar afirmaciones acerca de propiedades de las figuras y argumentar sobre su validez. 39 • Argumentar sobre la equivalencia de distintas representaciones y descomposiciones de un número. •Comparar fracciones y/o expresiones decimales a través de distintos procedimientos, incluyendo la representación en la recta numérica e intercalando fracciones y decimales entre otros números. • Analizar afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que diferencian a los números naturales de las fracciones y las expresiones decimales. El análisis y uso reflexivo de distintos procedimientos para estimar y calcular medidas en situaciones problemáticas que requieran:  calcular cantidades evaluando la razonabilidad del resultado y la pertinencia de la unidad elegida para expresarlo  elaborar y comparar procedimientos para calcular áreas y perímetros de figuras  comparar figuras analizando cómo varían sus formas, perímetros y áreas cuando se mantienen alguna o algunas de estas características y se modifica/n otra/s. Cuadernos para el aula: 6° grado: página 170 a 178 3°TRIMESTRE En relación con el número y las operaciones: En relación con la geometría y la medida: En relación con la geometría y la medida: SECUENCIA III: Operaciones con fracciones y números decimales (Notas para la enseñanza II) La medida Propiedades de cuerpos geométricos • Operar seleccionando el tipo de cálculo y la forma de expresar los números involucrados que resulte más conveniente en función de la situación y evaluando la razonabilidad del resultado obtenido. • Elaborar y comparar procedimientos de cálculo —exacto y aproximado, mental, escrito y con calculadora—de divisiones de expresiones decimales, incluyendo el encuadramiento de los resultados entre naturales y analizando la pertinencia y economía del procedimiento en relación con los números involucrados 40 La comprensión del proceso de medir, considerando diferentes expresiones posibles para una misma cantidad, en situaciones problemáticas que requieran:  Estimar y medir efectivamente cantidades eligiendo el instrumento y la unidad en función de la situación  Comparar diferentes formas de escribir una misma cantidad utilizando distintas expresiones Cuadernos para el aula: 6° grado: página153 a 169, 179 a 182  describir, reconocer, comparar y representar cuerpos identificando la forma y el número de caras Cuadernos para el aula: 6° grado: página 136 a 153 ORGANIZACIÓN DE LA PROPUESTA La planificación del trabajo áulico en base a secuencias revaloriza la enseñanza de los contenidos y garantiza, justo con una adecuada gestión de la clase una progresión de los aprendizajes. “Es necesario disminuir fuertemente en la escuela la organización de la tarea por medio de actividades sueltas. El desarrollo de una secuencia conjuga la extensión en el tiempo con la posibilidad de ingresar a los temas desde diferentes propuestas(…) es un modo de permitir que todos cobren conciencia acerca de lo que se está estudiando, se formulen preguntas, descubran relaciones entre distintas informaciones; hagan propios de algún modo, los propósitos de la tarea. La secuencia o el proyecto ayudan a que el tiempo escolar juegue a favor de la profundización del acercamiento de los niños a los contenidos. Los saberes que se van adquiriendo no se agotan en una única instancia de acercamiento a ellos; las situaciones sucesivas que se proponen en una secuencia o un proyecto van ayudando a los niños a anticipar cómo puede seguir.” (Torre, Mirtha; 2012, p 25) El material elaborado en base a la bibliografía mencionada, se encuentra organizado de la siguiente manera:  Marco téorico de la secuencia propuesta: poniendo el foco en la gestión de la clase.  Propósitos de cada una de las actividades que conforman la secuencia.  Propuesta de secuencia didáctica: elaborada a partir de las actividades presentadas en la bibliografía consultada. Esta propuesta no pretende ser una 41 “receta” a seguir en nuestras clases de matemática, sino que a partir de ella se pueda llevar al aula un cambio en la gestión de la clase. 42 Números naturales 43 NOCIONES DIDÁCTICAS: PARA AVANZAR EN EL CONOCIMIENTO DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN A lo largo de toda la escolaridad, los niños se van aproximando y van conociendo el sistema de numeración a partir de situaciones variadas y cada vez más complejas. En el Primer Ciclo se favoreció el uso implícito de las reglas del sistema de numeración mientras que en el Segundo Ciclo es fundamental su explicitación para avanzar en la reflexión sobre las mismas. Aumentar el tamaño de los números implica que los niños extiendan las regularidades ya descubiertas tanto en la serie oral como en la escrita en situaciones problemáticas que involucren contextos extramatemáticos como intramatemáticos. La elección de contextos extramatemáticos donde se presenten las cantidades puede estar asociada con proyectos de otras áreas. También es necesario que presentemos problemas de contexto intramatemático en los cuales se trabaje con números y no con cantidades. Para ello, es necesario apoyarse en la expresión de un número con diferentes descomposiciones: la aditiva, donde se explicita el valor posicional de cada cifra y la multiplicativa, donde se explicitan los órdenes de agrupación. Explicitar las relaciones de recursividad (cada 10 elementos de un orden se obtiene 1 del orden superior) y de equivalencia entre órdenes (10 unidades forman 1 decena, 10 decenas forman 1 centena o 100 unidades, etc.) permitirá reutilizarlas en las argumentaciones y poder establecer vínculos entre descomposiciones aditivas y multiplicativas de un número (1234 = 1000 + 200 + 30 + 4 = 1 x 1000 + 2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 1). Las actividades en las que los alumnos pueden realizar y analizar diferentes escrituras de los números incluyen, por una parte, aquellas en las que realizan composiciones y descomposiciones; esto les permite avanzar en el reconocimiento 44 de las reglas del sistema de numeración. Por otra parte algunas escrituras involucran el uso de distintas operaciones. Si damos la oportunidad de trabajar con formas diferentes de escribir un mismo número, haremos posible que los alumnos avancen en el uso de variadas estrategias de cálculo en función de los números involucrados y de lo que la situación pida, así como también en las posibilidades de comprender los distintos pasos de los algoritmos de cada operación. La comparación entre dos números permite establecer entre ellos las relaciones de mayor, menor o igual. La posibilidad de indagar acerca de semejanzas y diferencias entre algunos números, como la presencia de las mismas cifras en distinta posición, o buscar aquellos números que cumplan determinadas condiciones, como terminar en cero y/o estar entre, o de redondearlos, cuando tenga sentido hacerlo, permite avanzar en la argumentación oral y escrita respecto del orden y el valor posicional demandando tener disponible estas nociones en las instancias de validación sobre las comparaciones. Es importante destacar que la complejidad de las actividades no depende solamente de la cantidad de cifras de los números, sino del tipo de tarea que involucra su uso. En este sentido, la explicitación de conocimientos requeridos en las tareas de elaboración de formulaciones y argumentaciones implica una nueva reflexión sobre las relaciones establecidas cuando se resolvieron los problemas. Durante la puesta en común nuestras intervenciones apuntarán a que los niños expliquen cómo lo pensaron, lo que nos permitirá conocer el estado de sus conocimientos sobre las nociones utilizadas, así como la interpretación que hacen de términos como: cifra, decena, centena, ceros intermedios, etc. En consecuencia, será necesario compartir el significado de estas expresiones. BIBLIOGRAFÍA Ministerio De Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación. NAP. Serie Cuadernos para el Aula. Matemática, Segundo Ciclo / Nivel Primario. (2007). 45 PRÓPOSITOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA SECUENCIA DE NÚMEROS DE 4° grado En 4° grado nos proponemos que los alumnos puedan resolver problemas que impliquen usar, leer, escribir y comparar números hasta el orden de los millones. Explorar las regularidades de las series numéricas oral y escrita, resolver problemas que exijan descomponer aditiva y multiplicativamente los números y analizar el valor posicional de las cifras. Actividad 1: Los mundiales de fútbol Se propone trabajar con series numéricas, apoyados en un contexto extramatemático, apuntando así a avanzar en el conocimiento de las regularidades del sistema de numeración. Se usan escalas tanto ascendentes como descendentes con lo que avanzamos en el conocimiento acerca de orden y comparación. Se trabaja con distintas representaciones del número: cifrada y literal. En el punto c) donde se solicita que los alumnos ubiquen números en una recta numérica, se deberá tener presente que si los niños no han trabajado antes esta forma de representación, será necesario explicitar la forma de construcción y representación de los números en la recta numérica. Para la Tarea, los niños, inicialmente podrán apoyarse en el cuadro de numeración con el que han trabajado hasta 3° grado, para luego establecer las relaciones y reglas que harán que puedan reconocer fácilmente el orden de los números. 46 Actividad 2: En busca de la regularidad Se ofrece a los alumnos, cuadros de numeración donde se pueden visualizar fácilmente las regularidades del sistema. En la primera la escala es de uno en uno con lo que reforzamos la idea de anterior y posterior, qué cambia y qué continúa. En las tablas siguientes se hace hincapié en cambios y continuidades cuando se utilizan otros intervalos (de 100 en 100, de 1000 en 1000) para seguir avanzando en el conocimiento del sistema y principalmente del valor posicional de las cifras, su escritura cifrada y literal. Las actividades planteadas son en contexto intramatemático. Actividad 3: Juego armando y desarmando Seguramente en el primer ciclo los niños han trabajado en la composición y descomposición de cantidades usando monedas y billetes. Ya en el segundo ciclo es necesario avanzar hacia números más grandes, por lo tanto los billetes no serán suficientes, por lo que se propone un juego con tarjetas que abre las posibilidades de composición y descomposición. Este juego no sólo permite avanzar en el reconocimiento de las reglas del sistema de numeración, sino que también involucra algunas escrituras que requieren el uso de operaciones (3 tarjetas de 1000 forman el 3000, 3 x 1000 ó1000 + 1000 + 1000) planteando así las descomposiciones aditivas y las multiplicativas. También se plantean otras formas de descomposiciones al poner reglas como “sin usar papeles de 100 formar el número 2340” con lo que se abre el debate acerca de distintas formas de descomponer un número, equivalencias entre unidades de distinto orden, cálculos mentales, problemas que pueden tener más de una solución, o que no tengan solución (solamente usando papeles de 100 formar el número 675) 47 Actividad 4: A seguir las pistas Se plantea una actividad en contexto intramatemático, donde se propone analizar las condiciones que cumplen ciertos números, para que los niños establezcan relaciones de comparación y orden y consideren el valor posicional de las cifras. Otra vez se plantean problemas de respuesta única y de más de una respuesta En la Tarea se trabaja sobre distintas descomposiciones de un número y sobre la validación y argumentación. Actividad 5: Con la calculadora El uso de la calculadora es altamente motivacional, por lo que es muy conveniente utilizar este recurso, que por otra parte, es un recurso tecnológico con el que los niños tienen que estar familiarizados. Las actividades con calculadora no deben remitirse a la obtención de un resultado, en este caso las actividades planteadas apuntan a la reflexión sobre distintas descomposiciones aditivas de un número y entre ellas las relacionadas con la posicionalidad de nuestro sistema de numeración. Actividad 6: Juego “Adivinando números” (encuadramientos, recta numérica) En este juego el foco está puesto en los encuadramientos y en la ubicación de los números en la recta numérica. Al tener que elaborar las preguntas para adivinar el número se avanza en los procesos de argumentación, de validación, de escritura de mensajes, que además deberán ser reformulados luego de las respuestas del docente a cada pregunta. Plantea situaciones en las que la respuesta está dentro de un rango de soluciones posibles, si bien dicha respuesta es única. 48 Actividad 7: Después del juego El “después del juego” tiene como finalidad descontextualizar el objeto de enseñanza y profundizar haciendo reflexiones que permitan que el conocimiento adquirido sea aplicable a otras situaciones. En este caso se vuelve sobre los encuadramientos y sobre la ubicación correcta de los números en una recta numérica, instando a la argumentación mediante el análisis de casos. Actividad 8: Problemas El propósito de esta actividad es que los niños puedan verbalizar distintas situaciones y así avanzar en la comprensión de consignas y problemas, ya que esta es una de las dificultades que los docentes encontramos en nuestra aulas. Al tener que elaborar parte de la situación problemática y luego poner en común lo elaborado validando la razonabilidad de lo trabajado para la discusión se amplía el repertorio del que dispondrá en adelante. Actividad 9: ¿Vale o no vale? Es una actividad que tiene como finalidad de sistematizar y concluir los saberes abordados. Actividad 10: Mirá lo que aprendimos El propósito de esta actividad es que el alumno pueda realizar una autoevaluación sobre lo aprendido, reflexionando así sobre su propio proceso de aprendizaje. 49 Secuencia de Numeración con números naturales para 4° grado Actividad 1 LOS MUNDIALES DE FÚTBOL Identificar los años con números sirve para saber, por ejemplo, cuándo será el próximo mundial o cuándo fue el anterior, porque los campeonatos mundiales de fútbol se juegan cada 4 años. En el año 2012 fue en Brasil, el anterior se hizo en Sudáfrica ¿en qué año fue? El primer mundial fue en Uruguay en mil novecientos treinta, en Argentina se hizo en mil novecientos setenta y ocho, en México fue en mil novecientos setenta. Ordená los años de estos mundiales de menor a mayor y escribilos en números. En los carteles aparecen los años y los países en los que se jugaron algunos mundiales. En esta recta, indiquen con la letra de la inicial de cada país aproximadamente donde tendría que estar cada uno. Observen el ejemplo Brasil 1950 Italia 1934 Uruguay 1930 Chile 1962 Francia 1938 Suecia 1958 C 1.930 1.940 1.950 1.960 1.970 a) ¿Tomando en cuenta que los mundiales se hacen cada cuatro años, ¿en qué años se jugaron los últimos? País sede Año México Italia Estados Francia Corea- Alemania Sudáfrica Brasil Unidos Japón 1986 a) ¿En qué años serán los tres próximos mundiales luego del de Brasil 2014? 50 Actividad 2 EN BUSCA DE LA REGULARIDAD a) En el siguiente cuadro están representados los números desde el treinta mil cincuenta hasta el treinta mil cien. Completen los números que faltan 30.050 30.051 30.052 30.060 30.070 30.054 30.063 30.055 30.064 30.071 30.057 30.066 30.069 30.075 30.081 30.078 30.084 30.090 30.059 30.087 30.093 30.096 30.099 30.100  ¿Qué número es uno menos que 30.060?.........................................................  ¿Qué número es uno más que 30.099?.............................................................  ¿Qué números están en la fila del 30.080? Escribílos a continuación…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………....  ¿Qué números están en la columna del 30.055? Escribílos a continuación………………………………………..………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………....... b) En este otro cuadro los números van de 100 en 100. Completá todos los números que faltan 51 20.000 20.100 20.200 20.300 20.400 20.500 20.600 20.700 20.800 20.900 21.000 22.000 23.000  ¿Qué cifra cambia cuando al 22.100 le agregás 100?  ¿Y cuándo pasás del 20.900 al 21.000, o del 21.900 al 22.000 pasa lo mismo que con el 22.100? ¿Por qué? c) En este los números van de 1.000 en 1.000. Ubicá el 45.000; 56.000; 61.000 y 79.000 40.000 41.000 42.000 47.000 50.000 69.000 70.000 80.000 84.000  ¿Qué cifra cambia cuando a un número le sumás 1000?  ¿Pasa lo mismo con cualquier número? ¿Por qué? Actividad 3 JUEGO: ARMANDO Y DESARMANDO En una caja se colocan tarjetas con números de hasta 5 cifras. Se distribuyen a los chicos papeles con los valores 1; 10; 100; 1.000; 10.000 (10 papeles de cada valor para cada niño) 52 El docente saca de la caja un número y lo lee en voz alta (puede pegarlo en el pizarrón), cada chico deberá formar ese número con los valores que recibió y escribir cómo lo hizo. Después de haber extraído de la caja cinco tarjetas se puede hacer una puesta en común para discutir las diferentes maneras de formar los números y también las diferentes formas de registrarlo. Al hacer la puesta en común, podemos proponer a los alumnos que anoten lo realizado en una tabla como la siguiente Número de 10.000 de 1.000 de 100 de 10 de 1 …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… Variable didáctica: nos reunimos en grupos de 4, juntamos todos los valores y armamos los números, pero con ciertas condiciones y lo registramos en la tabla  Formar el número sin usar papeles de 1.000  Formar el número sin usar papeles de 100 Tarea Escribí cómo armar el número 35.728 a) Usando todos los valores b) Sin usar papeles de 10 c) Sin usar papeles de 10.000 53 Actividad 4 A SEGUIR LAS PISTAS a) Completá el cuadro colocando una X cuando el número cumpla con la condición planteada. El primero es un ejemplo. El número Tiene una cifra Está par en el lugar 40.000 de las decenas 50.000 x x 40.780 32.830 47.765 50429 entre Tiene menos de Tiene más de 4 y 40 unidades de decenas de mil mil x b) Buscá números que cumplan las condiciones El número Tiene una cifra Está par en el lugar 40.000 de las decenas 41.000 x  entre Tiene menos Tiene más de y de 3 unidades 50 decenas de mil x x X x x X ¿Existe una única posibilidad para cada caso?¿Por qué? (puesta en común) Tarea En 4° grado de una escuela, tres amigos discuten sobre la forma correcta de escribir un número - Damián dice que en 587 hay 5 veces 100; 8 veces 10 y 7 veces 1. - Ana opina que Damián está equivocado. Que en 587 hay 58 veces 10 y 7 veces 1. -Juan dice que en 587 hay 5 centenas, 8 decenas y 7 unidades. 54 - ¿Creés que alguno tiene razón? ¿Por qué? Actividad 5 CON LA CALCULADORA a) Escribí el número 5.837 en la calculadora. Luego, haciendo dos restas, conseguí que aparezca en el visor 5.007. ¿Hay una única forma de lograrlo? b) Escribí en el visor 23.456. Después, con cinco restas, hay que lograr que aparezca el 0 (cero) en el visor. ¿Hay una única forma de lograrlo? c) Escribí en el visor de la calculadora el 33.333. Anticipá qué aparecerá en el visor si sumás 3, mil veces. Luego, verificalo en la calculadora. En la puesta en común podemos promover que los chicos respondan a cuestiones tales como: ¿Cuál es la forma más fácil de lograrlo para cada uno? ¿Por qué? Se verán así las distintas estrategias utilizadas, y podrán ser compartidas por todos. Al finalizar el debate se puede proponer que escriban un mensaje explicando, para cualquier número, el procedimiento para hacer que aparezca el 0 en el lugar de las decenas y centenas haciendo restas. Actividad 6 JUEGO: “ADIVINANDO NÚMEROS” (ENCUADRAMIENTOS, RECTA NUMÉRICA) Se divide la clase en grupos. El maestro tiene una pila de sobres con un número de cuatro cifras en su interior y cada grupo saca un sobre y se lo entrega al docente quien informa que cada grupo tiene 5 preguntas para adivinar el número a las que el maestro podrá responder por sí o por no. El maestro dirá a cada grupo en su turno, el intervalo entre el que está el número del sobre elegido que será suficientemente amplio como para dar lugar a las cinco preguntas. Los alumnos harán las preguntas y 55 el docente puede dibujar una recta numérica con el intervalo dado y preguntar a los niños cómo se puede indicar en el dibujo la información de cada respuesta. Si aciertan el número son 100 puntos, si sólo aciertan una cifra obtienen 25 puntos, si aciertan 2 cifras 50 puntos y si aciertan 3 cifras 75 puntos. Es conveniente hacer una jugada de prueba con todo el grupo para que queden claras las reglas del juego. Actividad 7 DESPUÉS DEL JUEGO a) Un equipo recibió como dato que el número del sobre elegido se encuentra entre 1000 y 2000 y realizó estas cuatro preguntas: ¿Es mayor que 1.300? ¿Es menor que 1.400? ¿Es menor que 1350? Y obtuvo un sí por cada pregunta. Si estuvieras jugando ¿qué pregunta harías? ¿Qué números pueden ser? b) Dos chicos que estaban jugando marcaban así en sus rectas numéricas 1.000 1.300 1.000 1.100 1.350 1.300 2.000 1.500 ¿Coincidís con lo que marcó cada chico? ¿Por qué? c) Ubicá los números 2902; 3408; 3616; 3545 y 2503 de manera que queden ordenados en una lista de menor a mayor con los siguientes números: 2706 3418 3629 Tarea Completá el siguiente cuadro, luego elegí un número de cada fila y escribílo en letras. 56 Anterior (menos 1) Número Posterior (más 1) 65.769 20.000 35.090 51.999 Actividad 8 PROBLEMAS PARA ARMAR a) Agregale una pregunta a este problema, de manera que se usen todos los datos del enunciado. Después resolvélo. Un cajero automático tiene billetes de $10, de $50 y de $ 100. Una persona fue y sacó $4.800. ………………………………………………………………………………………………………………………… b) Inventá un enunciado a partir de cada una de las siguientes preguntas ¿Cuántos billetes de $10 necesito? ¿Cuántos billetes de $100 necesito? c) En un papel en un bar, quedó escrito éste cálculo 2 x 100 + 5 x 10 ¿Podrías inventar un problema que se resuelva con ese cálculo? Actividad 9 ¿VALE O NO VALE? Respondé V o F y justificá tu respuesta (podés dar ejemplos para explicar) a) Para escribir un número con sumas, o con sumas y multiplicaciones sólo hay una forma de hacerlo. b) Si un número es mayor que 999 seguro tiene más de tres cifras. c) Si un número está entre 30.000 y 40.000 la cifra de la decena de mil es 4. d) Si a un número le sumo 100, las cifras de la unidad y la decena no cambian. Actividad 10 MIRÁ LO QUE APRENDIMOS a) ¿Qué actividades te resultaron más fáciles? b) ¿Cuáles te costaron más? ¿Por qué? 57 c) ¿Cómo te das cuenta cuándo un número es mayor que otro? d) ¿Cómo le explicarías a un compañero las distintas formas de escribir un número? Actividad 0/11 1) Jugando a los dardos a) Esta es la jugada de un jugador. Escribí el puntaje obtenido b) En el partido siguiente cada uno tiró 10 dardos y anotaron el puntaje en una tabla. Algunos no embocaron en el tablero todos los dardos Nombres Vero Esteban Diego Dardos embocados 3 dardos en 10.000, 2 en mil, 4 en 100 5 en 1000, 3 en 100, 2 en 10 Puntaje total 4 en 10.000, 1 en 100 2) ¿Qué cálculo harías para transformar el 56.789 en 50.789? ¿Y en 57.789? ¿Y en 50.009? Anotalo y luego verificalo en la calculadora. 3) Para escribir de otra forma el 35.840 tres amigos los hicieron así María: 3 x 10.000 + 5 x 1.000 8 x 100 + 4 x 10 58 Pedro: 35 x 1000 + 84 x 10 Vale: 30.000 + 5.000 + 800 + 40  ¿Alguno tiene razón? ¿Por qué? 4) Para registrar lo que aprendiste a) Podrías explicar qué tenés en cuenta para ordenar números de menor a mayor? b) ¿Cómo ubicás aproximadamente los siguientes números en una recta numérica? 52.480; 52.140 y 52.250 52.000 52.100 52.200 52.300 52.400 52.500 c) Si tenés que escribir en letras el número 20.058 ¿de cuál de estas formas lo hacés?  Veinte mil quinientos ocho  Doscientos cincuenta y ocho  Veinte mil cincuenta y ocho REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Cuadernos para el aula, matemática 4 - 1a ed. – Buenos Aires, (2007) - Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Aportes para el seguimiento del aprendizaje en procesos de enseñanza 4°, 5° y 6° años, (2007) - Ministerio de Educación de la Nación, Serie Piedra Libre para todos. ¿Hay un lugar para los números?, (2010) 59 LINK RELACIONADOS CON LA SECUENCIA http://www.juegoseducativosvindel.com/ En este juego especificando hasta que número se quiere trabajar los ejercicios respetarán este rango. Recuperado el 22 de http://www.juegoseducativosvindel.com/ 60 agosto de 2014 en Propósitos de la secuencia de Números naturales de 5° grado En 5° grado nos proponemos que los alumnos resuelvan problemas que impliquen usar, leer, escribir y comparar números sin límite, con recursos como la recta numérica para representarlos, avanzar en la exploración de las regularidades del sistema de numeración para ordenar y realizar escalas para cualquier número, que sean capaces de resolver problemas más complejos sobre descomposiciones aditivas y multiplicativas, analizar la información que brinda la escritura de un número para resolver situaciones como la anticipación de resultados de sumas y restas de números redondos a cualquier número y el uso de la calculadora para explorar el comportamiento de los números. Actividad 1 LOS CENSOS Se propone un problema en contexto extramatemático para empezar a trabajar con “números más grandes”, su escritura cifrada y literal. Se centra en el uso de estrategias de comparación y el establecimiento de las relaciones de orden con números de 5 o 6 cifras, como “el mayor es el que tiene más cifras” o “el que manda es el de la izquierda” de las que se tomará registro para ser fácilmente reutilizadas. Se utiliza como recurso la recta numérica para establecer orden y encuadramientos. En el último ítem se hace foco en la reflexión acerca del valor posicional, las variaciones que sufre cada cifra de acuerdo al lugar que ocupa en el número, de un modo en el que el alumno es el que descubre esas variaciones en lugar de ser reglas impuestas. 61 Actividad 2 NÚMEROS DESUBICADOS En esta actividad, en contexto intramatemático, se ofrece a los alumnos información sobre los nombres de los números y sobre las escrituras de números formados por unidades seguidas de ceros para explorar las regularidades de la serie numérica oral y escrita que utilizarán para leer y escribir números convencionalmente. El hecho de que tengan que subsanar errores hace que el análisis deba ser más exhaustivo. Actividad 3 COMPRANDO TORNILLOS El propósito de esta actividad es avanzar en el uso de escalas ascendentes y descendentes de 1.000 en 1.000, de 2.500 en2.500 etc. analizando las regularidades que se presentan para basarse más en esas regularidades del sistema de numeración que en recurrir a cuentas. Actividad 4 JUEGO DE LAS PISTAS En esta actividad se propone, además de la comparación de números, la identificación de un número por la conjunción de varias características, algunas que tienen que ver con el uso de términos que hacen referencia a las posiciones de las cifras (ocupa el lugar de las centenas), otras con las relaciones de mayor y menor, otras con los encuadramientos. A las tarjetas sugeridas se podrán agregar otras o modificar las dadas de acuerdo a los conocimientos de que disponga el grupo, además podrían hacerse grupos de tarjetas para los distintos grupos del grado si hubiera niños integrados o con distintos niveles de aprendizajes. En este juego se plantean situaciones con solución única y otras con más de una respuesta posible, lo que abre el debate sobre las distintas posibilidades de solución de algunas situaciones. 62 Actividad 5 DESPUÉS DEL JUEGO En el “Después del juego” se plantea la reflexión sobre los cambios que deberían hacerse a una situación para que deje de tener varias respuestas posibles y pase a tener sólo una respuesta, los alumnos deberán hacer un análisis de condiciones y elaborar un mensaje con lo que avanzan en la verbalización y argumentación. Actividad 6 MULTIPLICO Y SUMO Esta actividad promueve la explicitación de las reglas del sistema de numeración, que en el primer ciclo se trabajaron en forma implícita, para avanzar en la reflexión sobre las mismas. Se apoya en la expresión de un número con diferentes descomposiciones: la aditiva, donde se explicita el valor posicional de cada cifra (279= 200+70+9) y la multiplicativa donde se explicitan los órdenes de agrupación (279= 2x100+7x10+9 ó 2 grupos de 100, 7 grupos de 10 y 9 sin agrupar). El dar la posibilidad de que los alumnos puedan escribir un mismo número de diferentes formas favorece el avance en las estrategias de cálculo y las posibilidades de comprender los pasos de los algoritmos de cada operación. La actividad también promueve la argumentación acerca de las descomposiciones numéricas y el uso de la calculadora como herramienta para controlar la estrategia de cálculo mental de otro. Luego de jugar se sugieren una serie de preguntas que, en la puesta en común, favorecerán el arribo a conclusiones sobre las transformaciones de un número al multiplicarlo por 10, 100 ó 1000, y también el discutir el modo de indicar, en un cálculo con más de una operación, cuál cálculo debo hacer primero, es decir el uso del paréntesis, la jerarquía de las operaciones y el uso de propiedades de la suma y de la multiplicación (asociativa, conmutativa, distributiva) 63 Actividad 7 CON CALCULADORA En esta actividad se continúa trabajando con los mismos saberes de las actividades anteriores, pero aparece el uso de la calculadora con una función diferente de la de encontrar un resultado. Se promueve la anticipación de resultados, para lo cual deberán realizar cálculos mentales, ya que para escribir un número en la calculadora se tiene que tomar la decisión de qué número va a utilizar. Actividad 8 MUCHAS ESCRITURAS PARA EL MISMO NÚMERO Se continúa avanzando en distintas descomposiciones y representaciones de un número, con el análisis de casos para validar las respuestas, y la posterior argumentación para apoyar las decisiones tomadas. También se propone reflexionar sobre la forma de leer los números y las operaciones que quedan implícitas en esta lectura. Actividad 9 ¿VALE O NO VALE? En esta actividad se favorece el proceso de institucionalizaciones de saberes trabajados, la verbalización y la argumentación. Actividad 10 MIRAR LO QUE APRENDIMOS Es una actividad de autoevaluación necesaria para reflexionar sobre los propios aprendizajes. 64 Secuencia didáctica para 5° grado “Números naturales” Actividad 1 LOS CENSOS Un censo de población es el recuento de la cantidad de habitantes de una zona. El primer censo en nuestro país se realizó en 1869 y el último en 2010. En este mapa se muestra la cantidad de habitantes de algunas de las provincias según el censo 2010. a) ¿En qué provincia de las señaladas hay mayor cantidad de habitantes?……………… …………………. b) ¿En cuál hay menor cantidad?.................. ………………………………… ………….. . c) ¿Cuál tiene más población Chaco o Corrientes? ….…………… ………………… d) Ubicá aproximadamente en la siguiente recta numérica los números que corresponden a los habitantes de La Pampa, Neuquén, Chubut y Catamarca que tiene trescientos treinta y cuatro mil quinientos sesenta y ocho habitantes. 200.000 300.000 400.000 500.000 e) ¿Cómo te das cuenta cuándo un número es más grande que otro? f) La provincia de Jujuy tiene 611.888 habitantes. Consultá con los integrantes de tu grupo y respondan: 65 -¿Cada cifra 8 del número 611.888 tiene el mismo valor? ¿Por qué? -¿Cuál es el valor de la cifra 6? -¿Conocen el nombre que recibe cada posición en un número? Expliquen lo que saben. -¿Cómo se escribe en letras ese número? Tarea Averiguá en internet cuál es la provincia de menor cantidad de habitantes, cuál la de mayor cantidad y cuál la población de Mendoza, según el censo de 2010. Escribí esos números en letras. Actividad 2 NÚMEROS DESUBICADOS a) En este cuadro los números van de 10.000 en 10.000, hay algunos están mal ubicados ¿podrías ubicarlos correctamente? 0 10.000 20.000 100.000 200.000 210.000 310.000 500.000 60.000 90.000 360.000 470.000 550.000 600.000 700.000 80.000 170.000 640.000 720.000 830.000 870.000 900.000 b) ¿Cuál de los siguientes números es trescientos tres mil treinta y tres? 330.303 303.033 303.330 330.330 303.303 Tarea ¿Cuál es el mayor número de 6 cifras que podés escribir con los dígitos 3; 6 ; 1 ; 4 ; 9 y 5 sin repetir? Escribilo con números y en letras. 66 Actividad 3 COMPRANDO TORNILLOS En un taller tienen 350.000 tornillos. Si compran 1.000 por semana, ¿cuántos tendrán en cada una de las siguientes semanas? Completá la tabla 1° semana 2° semana 3° semana 4° semana 5° semana 350.000 En el mes de abril aumentaron las ventas por lo que tuvieron que comprar 2.500 por semana. Si vuelven a tener para empezar 350.000 tornillos, ¿cuántos tendrán en cada semana? 1° semana 2° semana 3° semana 4° semana 5° semana 350.000 Actividad 4 JUEGO DE LAS PISTAS Se forman grupos, cada grupo recibe dos tarjetas con pistas para formar un número. Cada grupo debe escribir los números que cumplan las condiciones de cada tarjeta. Las tarjetas pueden tener condiciones que cumple un único número o condiciones que cumplen varios números, a cada grupo le dará una de cada una. Los puntajes: si es tarjeta de número único se obtienen 1000 puntos por el acierto, sino 200 puntos por cada dígito acertado. Si hay más de un número como solución se obtienen 500 puntos por cada número correcto y 500 más por escribir todas las respuestas posibles. 67 68 1 -Está entre 10.000 y 20.000 -Tiene exactamente 132 centenas -La cifra de las decenas es un número mayor que 3 y menor que 7 2 -La cifra de las unidades coincide con la de las decenas -Tiene exactamente 11 centenas -La cifra de las decenas supera en 2 a la de las centenas -Todas sus cifras son impares 3 -Tiene más de 98 centenas -Tiene cuatro cifras -Si le agregáramos 5 decenas pasaría a tener 5 cifras -La cifra de las unidades es cero 4 -Tiene una docena de decenas -Sus cifras son una serie ordenada (números consecutivos) -Tiene tres cifras 5 -Está entre 10.000 y 30.000 -Tiene una decena de unidades de mil -Si le agregáramos 5 centenas aumentaría una unidad de mil -Termina en doble cero 6 -La cifra de las unidades triplica a la de las unidades de mil -Tiene cuatro cifras -Tiene 300 decenas -Tiene dos ceros intermedios 7 -No es mayor que media decena de mil -Las cifras de las unidades, decenas y centenas son ceros -Comienza en una cifra par mayor que 3 -La suma de sus cifras es 4 8 -Está entre 4000 y 5000 -Tiene 47 centenas -La cifra de las unidades es igual a la diferencia entre la cifra de las centenas y la de las unidades de mil La cifra de las decenas es menor que la de las unidades 9 -Tiene 5 cifras -Son todas cifras consecutivas de mayor a menor -La unidad es mayor que 1 -La decena de mil es menor que 9 10 -Tiene 4 cifras Tiene más que 985 decenas y menos que 9870 unidades - Es un número impar Actividad 5 DESPUÉS DEL JUEGO a) ¿Qué le agregarías al mensaje de la siguiente tarjeta para que la respuesta sea un único número? -Tiene 3 cifras -Está entre 800 y 900 -Las cifras de unidad y decena son iguales y mayores que 7. -Es un número par b) Inventá con tu grupo 2 tarjetas para números de 6 cifras: una con respuesta única y otra que admita más de un número. Intercambien las tarjetas entre los grupos. Tarea (requiere puesta en común) Escribí una tarjeta de mensajes para el número doscientos cuatro mil ochocientos veinte. Actividad 6 MULTIPLICO Y SUMO Juego: Multiplico y sumo (calcular productos y adiciones con potencias de diez) Para jugar se necesitan: tarjetas con +10 +100 +1.000 x10 x100 x1.000 (Ver ANEXO) (Un juego para cada grupo). Cada dos niños una calculadora y una tabla de 4 columnas como la siguiente (con todas las filas necesarias para jugar varias veces) Número 34 x…………….. X10 +………………. + 100 Resultado 440 Se colocan las tarjetas en 2 pilas, una con las multiplicaciones, la otra con las sumas, boca abajo. Uno de los niños dice un número de dos cifras, el otro deberá 69 sacar una tarjeta de cada pila y primero multiplicar el número por lo que dice la tarjeta y luego sumar al resultado de esa multiplicación lo que dice su tarjeta de suma (todo esto mentalmente). Anota todo esto en la tabla y el que dijo el número controla en la calculadora la exactitud del resultado. Si es correcto le anota un punto. Luego invierten los roles. Luego de 10 jugadas se puede proponer la siguiente actividad a) ¿Qué transformación se produce en un número como el 34 al multiplicarlo por 10? ¿por 100? ¿y por 1000? ¿Por qué? b) ¿Qué transformación se produce en un número como el 34 al sumarle 10, ó 100 ó 1000? ¿Por qué? c) Si tengo el 34,¿da lo mismo primero multiplicar por 100 y después sumarle 100 que hacer al revés, primero sumarle 100 y después multiplicarlo por 100? ¿Por qué? d) Si quiero obtener el número más grande posible ¿qué me conviene hacer primero, multiplicar por 100 y después sumar 100 o al revés? ¿Por qué? Actividad 7 CON CALCULADORA a) Colocá en tu calculadora el número 3627 ¿cómo hacés para que, con una sola cuenta, en el lugar del 6 quede un 4 y los otros números no se modifiquen? b) Con el mismo número ¿cómo harías para que, también con una sola cuenta, en el lugar del 2 aparezca un 0 y en el del 7 aparezca un 4. ¿Lo lograste? Explicá cómo lo hiciste. c) ¿Cómo harías para que con una sola cuenta el 3627 se transforme en 36.270? d) ¿Y para que el 3627 se transforme en 8627? Tarea 70 Hacé tres restas en la calculadora para pasar de 444.444 a 0 usando sólo las teclas 4 y 0. Registrá los cálculos en tu carpeta. Actividad 8 MUCHAS ESCRITURAS PARA EL MISMO NÚMERO Me di cuenta de que en el nombre de los números puedo descubrir operaciones: cuando digo trece mil, pienso en 13 x 1000, o si digo 112 pienso en 100 + 12 1) Indiquen cuáles de estos cálculos representan el número 362.849. a) (3 x 100 + 6 x 10 + 2 ) x 1000 + 800 + 40 + 9 b) 3 x 100 + 6 x 10 + 2 x 1000 + 8 x 100 + 6 x 10 + 9 c) 362 x 100.000 + 849 d) (300 + 60 + 2 ) x 1000 + 8 x 100 + 4 x 10 + 9 e) 300.000 + 60.000 + 2.000 + 800 + 40 + 9 f) 3 x 100.000 + 6 x 10.000 + 2 x 1.000 + 8 x 100 + 4 x 10 + 9 2) Completen los espacios vacíos para que las equivalencias sean verdaderas 541.758= 54 x………………+ 1 x ………………..+ 75 x ……………….+ 8 702.327= 7 x …………………+2 x……………..+ 3 x …………………. + 2 x……………. + 7 3) Ana dice que el número 2.346 tiene 2 unidades de mil, tiene 23 centenas, tiene 234 decenas Y 2.346 unidades. ¿Tiene razón? ¿Por qué? 71 Entonces el 43.278 tiene………………………… decenas de mil …………………………unidades de mil ………………………….centenas ………………………….decena ……………………………unidades Actividad 9 ¿VALE O NO VALE? Es cierto que… (siempre justificá tus respuestas) a) ¿Cuánto más grande es un número más palabras se usan para nombrarlo? b) ¿Para escribir el mayor número de cuatro cifras uso cuatro nueves y para escribir el menor de cuatro cifras uso cuatro unos? c) ¿Para saber cuántas decenas tiene un número puedo dividirlo por 10 y el resultado son las decenas, y si quiero saber las centenas que tiene divido por 100? Actividad 10 MIRAR LO QUE APRENDIMOS a) ¿Qué actividades te resultaron más fáciles? b) ¿Cuáles te costaron más y por qué creés que te pasó? c) ¿Cómo le explicarías a un compañero qué tenés en cuenta cuando querés escribir un número con sumas y multiplicaciones? d) ¿Cómo te das cuenta cuando un número es mayor que otro? Actividad 0 /11 1) a) ¿Es o no es el mismo número? ¿Por qué? 70.345 = = 72 7000 + 300 + 45 70 x 1000 + 34 x 10 + 5 = 7 x 10.000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 5 b) En un juego hay tarjetas con diferentes puntajes: 100.000; 10.000; 1.000; 100; 10 y 1 ¿Cómo harías para formar los números 245.726 y 807.395 con la menor cantidad de tarjetas de cada valor? c) ¿Qué cálculo harías para transformar el 333.333 en 303.333? ¿Y en 333.033? 2) ¿Qué número es? ¿Hay una sola respuesta?  La centena de mil es el anterior a 8.  No tiene cifras pares.  La unidad de mil y la decena son ceros.  Tiene 6 cifras.  La suma de sus cifras da 16.  Las únicas cifras repetidas son los ceros. 3) Para explicar a) Si un número de 6 cifras tiene como centena de mil la cifra 8 ¿podés estar seguro, sin mirar las otras cifras que va a ser mayor que otro que en la centena de mil tiene al 7? ¿Por qué? b) ¿Qué cuenta hacés para que 75 unidades se transformen en 75 centenas? Explicá tu respuesta 4) Para registrar lo que aprendiste ¿De cuáles formas podés escribir un número? ¿Podrías dar ejemplos? REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Cuadernos para el aula, matemática 5 - 1a ed. – Buenos Aires, (2007) - Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Aportes para el seguimiento del aprendizaje en procesos de enseñanza 4°, 5° y 6° años, (2007) - Ministerio de Educación de la Nación, Serie Piedra Libre para todos. ¿Hay un lugar para los números?, (2010) 73 LINK RELACIONADOS CON LA SECUENCIA http://www.educapeques.com/los-juegos-educativos/juegos-de-matematicas-numerosmultiplicacion-para-ninos/portal.php?contid=32&accion=listo Cada botón ofrece distintas actividades de numeración. Seleccionas las que trabaja números naturales para ordenar, ordenar y serial entre otras. 74 Propósitos de la secuencia de Números Naturales para 6° grado Si bien se supone que los saberes involucrados en la secuencia se han trabajado en los grados anteriores, tal vez no hayan sido tratados desde este punto de vista del análisis, la reflexión, la argumentación, la validación, por lo tanto consideramos que nunca está demás reforzar lo que se tiene o avanzar en los procesos de cada grupo. En esta secuencia se propone abordar problemas que impliquen usar, leer, escribir, comparar números sin límite, descomponer aditiva y multiplicativamente y, a partir de analizar la información que brinda la escritura del número según el valor posicional, poder resolver cálculos, anticipar resultados. Actividad 1 LOS CENSOS Se propone un trabajo sobre comparación, orden, distintas escrituras (cifrada, literal), distintas descomposiciones para afianzar lo trabajado en años anteriores ampliando el rango numérico, en contexto extramatemático articulando con un contenido de las Ciencias Sociales. En la Tarea se presentan problemas que involucran los encuadramientos y resultados múltiples. Actividad 2 Juego UN NÚMERO CON CONDICIONES En este juego se trabaja nuevamente con los encuadramientos, las relaciones de mayor y menor, las validaciones y la argumentación ya que los participantes pueden objetar los números formados por los demás. Actividad 3 DESPUÉS DEL JUEGO El Después del juego busca afianzar lo trabajado en el juego, proponiendo un análisis de caso para validar una respuesta. 75 En la Tarea se analiza una regla de regularidad con respecto al posterior de un número natural, regla que deberán tener muy clara al momento de abordar posteriormente las reglas entre los números racionales. Actividad 4 LA RECTA NUMÉRICA La propuesta es trabajar fuertemente con representaciones en la recta numérica, para lo que deberán afianzar las reglas para estas representaciones (espacios entre intervalos, ubicación aproximada de los números). Los saberes abordados se refieren a encuadramientos, representaciones de los números, relaciones de orden. También se propone una actividad de validación entre compañeros para la misma tarea, volviendo sobre los problemas con soluciones múltiples y de argumentación de las decisiones tomadas. En la Tarea se trabaja sobre orden y se podrán analizar las modificaciones que se producen en los números cuando nos referimos al antecesor o al sucesor de un cierto número. Actividad 5 ANALIZANDO POSICIONES En esta actividad el foco está puesto en el valor posicional de las cifras de un número, las regularidades, los cambios y las permanencias cuando se realiza una operación de suma o de resta. También al solicitar que expliquen y que formulen reglas que se puedan utilizar para cualquier número con ciertas condiciones, se avanza en los procesos de argumentación y generalización que podrán ser reutilizados en otras situaciones. Actividad 6 CLAVES PARA ARMAR NÚMEROS En esta actividad se propone identificar números que cumplen con varias características que tienen que ver con el uso de términos que denominan las posiciones de las cifras y otras con las relaciones de mayor y menor. Es un 76 problema de respuesta única al que se podría agregar una variable en la que se solicite anular una de las consignas para que la respuesta deje de ser única y la explicitación de la respuesta. En el segundo ítem se presenta un problema en el que puede haber una solución, muchas o ninguna, siempre haciendo foco en las relaciones que se pueden establecer entre un número y algunas pistas. En la Tarea se propone otra forma de escritura de los números, haciendo uso del nombre que reciben las distintas posiciones en las que puede ubicarse cada cifra y el pasaje a escritura cifrada. Actividad 7 DISTINTAS FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO Se propone trabajar con las diferentes formas de expresar un número haciendo uso de valor posicional y distintas formas de descomposición. En la puesta en común se hará hincapié en las diversas formas de representación de los números. Actividad 8 ¿VALE O NO VALE? Es una actividad de sistematización de los saberes trabajados en la secuencia. Actividad 9 MIRAR LO QUE APRENDIMOS Se propone que los alumnos se autoevalúen y se hagan cargo de sus propios procesos de aprendizaje. 77 Secuencia para 6° grado Numeración con números naturales Actividad 1 LOS CENSOS A. a) Esta tabla muestra la población de la Argentina entre 1869, año en que se realizó el primer censo de población y 2010. Año 1869 1895 1914 1947 1960 1970 1980 1991 2001 2010 Población 1.800.000 4.000.000 7.900.000 15.800.000 20.000.000 23.300.000 27.800.000 32.600.000 36.200.000 40.100.000 a) Escriban en letras el número de habitantes del censo de 1914; 2001 y 2010 b) ¿En qué período creció más la población de Argentina? ¿Cómo se dieron cuenta? c) Este crecimiento tan grande en esos años tiene un motivo, averígualo y lo comentan entre todos B. Ariel buscó información sobre el uso de internet en Argentina y encontró estos datos: En 2008 el país tenía 2.557.413 conexiones a banda ancha de acuerdo con un estudio, basado en el censo nacional y en los proveedores del servicio, en 2008, de los 10,07 millones de hogares existentes, había 2,37 millones conectados por la banda ancha. Los expertos esperan que para 2015 se hayan superado los 4,2 millones de usuarios. 78 a) Escriban usando sólo números, los datos que registró Ariel con números y letras b) ¿Por qué piensan que se usó esa forma de escribir los números? c) Escriban en cada caso de qué número se trata Diez menos que cien mil………………………………………………….. Cien menos que un millón…………………………………………………… Diez millones más que cien mil……………………………………………… El triple de trescientos mil………………………………………………………. Uno menos que diez millones………………………………………………… Un millón más que tres millones doscientos mil cuarenta y tres………………………………………… Tarea (requiere puesta en común)  Escriban tres números que estén entre 10.000.000 y 10.000.054  Escriban 4 números que estén entre 100.000.000 y 100.000.100  Compará con tus compañeros ¿todos pusieron los mismos números? ¿Por qué? Actividad 2 Juego UN NÚMERO CON CONDICIONES Se necesitan cinco tarjetas con intervalos que pueden ir de 100.000 a 250.000; de 250.000 a 400.000; de 400.000 a 650.000; de 650.000 a 800.000 y de 800.000 a 999.999 y un mazo de cartas para cada grupo con los números del 0 al 9 (Ver ANEXO) tres veces cada uno. Reglas del juego  Pueden jugar entre 2 y 5 jugadores. 79  Se colocan las tarjetas con los intervalos en la mesa, boca abajo  Se reparten 6 cartas a cada jugador. Cada uno toma de la mesa una tarjeta de intervalos.  Cada jugador deberá ordenar sus cartas para obtener el mayor número posible comprendido dentro del intervalo que le marca su tarjeta.  El que forme correctamente el mayor número posible, de acuerdo a sus cartas, del intervalo que le tocó recibe un punto. Si hubiera error en la formación del número, por ejemplo que no estuviera en el intervalo o no fuera el mayor posible, resta un punto, si no pudiera formar un número dentro del intervalo no suma puntos ni resta.  Se juegan aproximadamente 6 rondas. Actividad 3 Después del juego a) A Juan le salieron las siguientes cartas 3 ; 3 ; 5 ; 8 ; 0 ; 1 y el intervalo que le tocó fue : de 250.000 a 400.000. dice que el mayor número que puede formar con sus cartas es 380.531. ¿Tiene razón? ¿Por qué? b) Con las cartas de Juan y armando el mayor número posible ¿en qué intervalo estaría ese número? Tarea ¿Cuál es?  El mayor número de 7 cifras y cuál el menor.  Matías dice que a un número de 6 cifras le sumó 1 y obtuvo un número de 7 cifras. ¿De qué número habla y cuál es el de 7 cifras que obtuvo? Actividad 4 LA RECTA NUMÉRICA a) Ubiquen en la recta los siguientes números: 400.000 80 450.000 300.000 600.000 575.000 0 100.000 500.000 200.000 b) Ubiquen en la recta cinco números que ustedes elijan y luego comparen con otros compañeros las coincidencias y diferencias 60 millones 70 millones 80 millones c) Decidan el intervalo más conveniente para ubicar los siguientes números en una recta y ubíquenlos 780.000 789.000 795.000 810.000 d) Comparen con otros grupos. ¿Todos hicieron las mismas rectas? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian? Copien en sus carpetas dos rectas de otros compañeros distintas a las de ustedes y expliquen cómo es posible que para ubicar los mismos números los intervalos sean diferentes. Tarea Completá el cuadro de anteriores y posteriores Anterior Número 67.000.000 Posterior 30.000.100 254.500.999 Actividad 5 ANALIZANDO POSICIONES a) Escriban un cálculo de suma para que se modifique solamente la cifra marcada en negrita 2.563.187 + ……………………=……………………………………. 812.709.122 + ……………….=…………………………………… 81 95.037.548 + ……………………=…………………………………….. 47.890.013 +………………………….=……………………………………… 840.002.329 + …………………………= ……………………………………. b) Para conversar y responder entre todos  ¿En todos los casos de la actividad anterior es posible hacer que, al sumar, sólo cambie la cifra marcada? ¿Por qué? Indiquen en cuáles y usen un ejemplo.  ¿En algunos casos hay más de una posibilidad de cálculo de sumar para que cambie sólo la cifra marcada? ¿Por qué? Indiquen en cuáles y usen un ejemplo.  ¿En algunos casos hay una única posibilidad de cálculo de sumar para que cambie sólo la cifra marcada? ¿Por qué? Indiquen en cuáles y usen un ejemplo.  Escriban en la carpeta una regla posible para generalizar, en el caso de los cálculos de sumar, cuándo hay una posibilidad de que se modifique una sola cifra, cuándo hay más de una y cuándo no hay ninguna. c) Escriban un cálculo de restar para que se modifique solamente la cifra marcada en negrita 2.563.187 - ……………….. =………………………………….. 812.709.122 - ……………………….= ………………………………… 47.091.346 - …………………………..= ………………………………… Tarea Teniendo en cuenta lo que respondiste para los casos de cálculos de sumar, respondé los mismos cuatro puntos, pero para los cálculos de restar. En el grado compará tus respuestas con las de tus compañeros. 82 Actividad 6 CLAVES PARA ARMAR NÚMEROS a) ¡Un planeta súper poblado! En junio de 2005 las Naciones Unidas y el Instituto Nacional de Francia estimaron el número de habitantes aproximado del Mundo Las claves te guían para conocer ese número  La cifra de la centena de millón y la cifra de la unidad de mil de millón no son iguales.  La cifra de la centena de millón es par.  La cifra de la unidad de millón es mayor que la cifra de la unidad de mil de millón.  Las cifras de la unidad de millón y de la decena de millón son iguales. Elegí la respuesta entre los siguientes números 7.746.000.000 6.477.000.000 7.578.000.000 5.889.000.000 9.075.000.000 b) ¿Cuál de estos números? Unilos con flechas 83 12.415.098.115 ¿tiene igual cifra en la centena y en la centena de millón? 75.240.827 ¿está entre el 483.900.000 y el 500.000.000? 295.604.238 ¿es 1 u. de millón menor que 431.945.029? 430.945.029 ¿es un número par? 483.751.267 ¿no tiene centena de mil? 496.841.000 ¿es menor que 295.500.000? 431.945.029 ¿tiene cifras pares en la c. de millón, d. de millón, c. y d.? Tarea Más números sobre la población mundial  Hacia el año 1.900 el número de habitantes del planeta era de……………………… (96 decenas de millón, 8.000 unidades de mil)  El aumento diario de la población actual es de………………………………………………. ( 2 centenas de mil, 1.000 decenas)  Para el 2050 se proyecta una población mundial de………………………………………. (9 u. de mil de millón, 7 d. de millón, 60.000 centenas) Actividad 7 DISTINTAS FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO a) ¿Podrías decir cuál o cuáles de estas formas de escribir el 230.405.789 es correcta? Después discutilo con tus compañeros de grupo y expliquen por qué decidieron que algunos están incorrectos  2 x 100.000.000 + 3 x 10.000.000 +4 x 100.000 + 5 x 1.000 + 7 x 100 +8 x 10 +x 9  230 x 1.000.000 + 405 x 1.000 + 789  Doscientos treinta mil cuatrocientos cinco mil setecientos ochenta y nueve  230 + 405 + 789  230.000.000 + 405.000 + 789 b) Completen el cuadro de descomposiciones con tu grupo, luego comparen si otros grupos hicieron lo mismo que ustedes. Número 145.068 34.409.003 680.205.040 84 valor posicional (u., d., c…..) Con sumas Con multiplicaciones sumas y Tarea Una o más de estas descomposiciones no corresponden al número 718.600. Descubrí cuál o cuáles y tachalas  71 d. de mil, 85 c., 10 d  5 c de mil, 20 d de mil, 17 u de mil, 16 c  5 c de mil, 11 d de mil, 86 c  7 c de mil, 14 u de mil, 460 d  70 d de mil, 18 d de mil, 6 c Actividad 8 ¿VALE O NO VALE? Decidí si las siguientes afirmaciones son ciertas y justificá tus respuestas a) En nuestro sistema de numeración 10 unidades de un orden forman 1 unidad del orden siguiente. b) El valor de cada cifra no depende de la posición que ocupa en el número c) Todos los números naturales, exceptuando al cero, tienen un anterior y un posterior d) Para componer y/o descomponer un número se debe tener en cuenta el valor posicional de sus cifras. Actividad 9 MIRAR LO QUE APRENDIMOS a) ¿Qué actividades te resultaron más fáciles? b) ¿Cuáles ejercicios te costaron más y por qué? c) ¿Por qué creés que decimos que nuestro sistema de numeración es decimal y posicional? d) ¿Cómo hacés para saber cuándo un número es mayor que otro? 85 Actividad 0/10 1) El censo de población realizado en nuestro país en 2010, dio como resultado aproximadamente 40.100.000. Los chicos de 6° de una escuela dicen que ese número se puede escribir de muchas formas:  Juan lo escribió así: 40,1 millones  Ana así: 4d de millón, 1 c de mil  Sabrina : 4 x 10.000.000 + 1 x 100.000  Elías escribió : 40 u de millón, 100 u de mil  Pedro : 401 x 100.000 ¿Con quién o quiénes estás de acuerdo? ¿Por qué? 2) Claves para armar números Señalá el o los números que se forman con todas las claves  No tiene decena de millón  Es mayor que 1.300.000  El valor de posición o relativo de la cifra 2 es 2000 unidades  La cifra de la u de mil es mayor que la cifra de la u de millón 8.683.285 1.392.500 23.392.600 1.298.116 3.152.090 3) Para explicar Estas son las poblaciones de algunas provincias según el censo 2010. Chaco 1.053.466 Entre Ríos 1.236.300 Mendoza 1.741.610 Tucumán 86 1.448.200 1.582.000 Observá la recta numérica dibujada y respondé 1.000.000 1.250.000 1.500.000 1.750.000 2.000.000 2.250.000 a) ¿Cuántas provincias ubicarías en el 1° intervalo? b) Juan dice que ubicaría a Mendoza entre 1,75 millones y 2 millones. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué? 4) Para registrar lo que aprendimos a) Varias expresiones y/o cálculos pueden expresar el mismo número. ¿Podrías dar algunos ejemplos con números de 7 u 8 cifras. b) ¿Cómo te das cuenta cuando un número es mayor que otro? 87 Cálculos mentales 88 NOCIONES DIDÁCTICAS: Cálculo mental y cálculo algorítmico El cálculo ha ocupado y ocupa un lugar importante en la escuela, su inclusión no es discutida. Pero surgen los siguientes interrogantes: ¿qué tipo de cálculo trabajamos? ¿Los algoritmos convencionales ya no deben enseñarse? ¿El cálculo mental debemos enseñarlo? A lo largo de este documento intentaremos responder a estos interrogantes. En primer lugar debemos tener claro a que nos referimos cuando hablamos de cálculo mental y algorítmico. Según Parra “cuando nos referimos a los cálculos mentales estamos tomando la idea de cálculos reflexionados.” Es decir que son aquellos que nos permiten tomar decisiones respecto de la descomposición de los números que intervienen en el cálculo y los cálculos parciales que debemos hacer. Además este tipo de cálculos no necesariamente deben ser orales, pueden ser escritos, ni tampoco ser resueltos con rapidez. Se caracterizan por la presencia de una diversidad de técnicas que se adaptan a los números en juego y a los conocimientos del sujeto que las despliega. El cálculo mental permite, a su vez, un trabajo sobre los números de manera descontextualizada ya que familiariza a los alumnos con una actividad matemática que también encuentra sentido en sí misma: hallar un procedimiento, confrontarlo con otros y analizar su validez. El cálculo algorítmico, en cambio, consiste en una serie de reglas aplicables en un orden determinado, siempre del mismo modo, independientemente de los datos que garantizan alcanzar el resultado buscado en un número finito de pasos. Las cuentas convencionales que se utilizan para resolver las operaciones constituyen procedimientos de este tipo: en ellas se recurre a una única técnica para una 89 operación dada, siempre la misma, independientemente de cuáles sean los números en juego. El hecho de que el cálculo mental se distinga del cálculo algorítmico no supone que se oponga a él. Todo cálculo algorítmico contempla momentos de apelación al cálculo mental y se enriquece con sus aportes, tanto para anticipar y controlar la magnitud del resultado como para comprender el sentido de los pasos del algoritmo convencional. Dentro de las estrategias de cálculo mental, también se espera que los alumnos desarrollen, basándose en los cálculos más sencillos, estrategias de estimación y de cálculo aproximado. El cálculo mental -incluyendo la construcción de procedimientos más personales y de repertorios de resultados memorizados – propone una ocasión privilegiada de hacer funcionar las propiedades de las operaciones en relación con las características del sistema de numeración posicional y decimal. Permite, una profundización en los conocimientos sobre las operaciones y sobre nuestro sistema de numeración. 90 LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA EN EL AULA A PROPÓSITO DEL CÁLCULO MENTAL Las decisiones a cargo del alumno que resuelve, los análisis que puede hacer mientras trabaja y las discusiones acerca de la validez de sus razonamientos con sus pares y con el docente van tejiendo una red de conocimientos que fundamentan el funcionamiento de los números y de las operaciones. Abrir el juego de la clase a la búsqueda de estrategias, a su explicitación y confrontación, a su circulación y difusión en momentos de intercambio permite a los alumnos –ayudados por el docenteidentificar los conocimientos retener relativos a los números y a los cálculos. Al mismo tiempo, los niños participan en la construcción de criterios de validación de los procedimientos elaborados y de criterios de elección de procedimientos adecuados en función de la tarea. De este modo, a través de este tipo de práctica se está comunicando a la clase que se espera que las producciones sean validadas y que puede haber varios modos de hacerlo, que hay razones que hacen a la corrección o incorrección de las resoluciones, que hay criterios para la selección de formas de resolver más o menos adaptadas en función de las situaciones particulares y que no se trata de hechos azarosos. Estos aspectos podrán ser objeto de reflexión en la clase para que los alumnos puedan identificarlos. Se apunta a posicionar a los alumnos desde cierta actitud intelectual frente a los problemas para que se animen a abordar la tarea con los conocimientos disponibles, a explorar, buscar por diferentes vías, equivocarse, comunicar a otros, analizar la validez de procedimientos, etc. A veces se cree que este posicionamiento depende de aptitudes o voluntades particulares de los niños; desde nuestra perspectiva, constituye un aprendizaje que se logra con un tipo de práctica sostenida en el tiempo. 91 LA GESTIÓN DOCENTE EN LAS CLASES DE CÁLCULO MENTAL La enseñanza del cálculo se enmarca, pues, en el mismo “clima” de trabajo matemático que queremos instalar en las clases: búsquedas, reflexiones, discusiones, argumentaciones, producción y análisis de escrituras matemáticas e identificación de nuevos conocimientos. La intervención del docente es fundamental: hacer explicitar y comparar los procedimientos para llevar a los alumnos a analizarlos y explicarlos, constituyen condiciones esenciales para promover avances en los conocimientos producidos en este espacio. Si bien los avances en los recursos del cálculo mental resultan beneficiosos para todos, lo son, en particular, para aquellos alumnos que presentan mayor grado de dificultad porque les permiten acceder a estrategias que, a veces, otros niños elaboran por su cuenta, estrategias que los posicionan mejor ante las situaciones, ya sea porque les abren diferentes posibilidades de solución o porque les permiten realizar anticipaciones y un control sobre las soluciones más convencionales. EL USO DE LA CALCULADORA El uso de la calculadora resulta esencial. Se ha convertido en una herramienta de cálculo muy extendida en la sociedad, se sostiene que la formación matemática de los alumnos debe incluir el aprender a decidir cuando utilizarla, y para ello, su uso, en términos generales, debe estar plenamente autorizado. Otro uso de la calculadora sumamente relevante. Con frecuencia, las situaciones planteadas requieren usos particulares de este recurso que no necesariamente están en función de obtener un resultado. Es así como, en ciertas situaciones, la calculadora será una herramienta para explorar propiedades , para encontrar una regularidad, para validar un procedimiento. La calculadora es un 92 soporte sobre el cual proponer problemas y una dinámica de trabajo muy fructíferos, desde el punto de vista de los conocimientos que pone en escena. La reflexión sobre las actividades que se realizan permitirá ir construyendo tanto una actitud de control sobre la utilización de la calculadora como la elaboración de conocimientos que permitan hacer efectivo este control. Por esa razón, el trabajo con la calculadora no degrada ni reemplaza el tratamiento de los cálculos convencionales con lápiz y papel u otros cálculos mentales, sino que los enriquece. BIBLIOGRAFÍA - Claudia Broitman. Estrategias de cálculo con números naturales. Segundo ciclo primaria. Ed. Santillana. - Ponce, Sadosky, Cálculo mental con números naturales. Apuntes para la enseñanza. 93 Actividades de cálculo mental para 2° ciclo Las actividades planteadas no corresponden a un grado determinado, ni a la estructura del tipo de las secuencias que se han venido trabajando, el docente evaluará cuáles son aplicables a su grado y a su grupo teniendo en cuenta sus saberes previos. Las estrategias de Cálculo Mental se apoyan en propiedades de las operaciones y de los números. Vamos a dividirlas en:  Cálculo mental de adiciones y sustracciones.  Cálculo mental de multiplicaciones y divisiones.  Para enseñar a hacer cálculos estimativos.  Cálculos para el uso de calculadora. 1- Cálculo mental de adiciones y sustracciones a) Actividades para favorecer la construcción de un conjunto de resultados memorizados Se propone que en cada año se presente un conjunto de cálculos sencillos para que formen el repertorio que los niños utilizarán para resolver otros. Durante un tiempo los niños podrán consultar esos resultados confeccionando carteles con los resultados que se van obteniendo, para finalmente memorizarlos. Para favorecer esta memorización se podrán realizar actividades como las siguientes. Los docentes acordarán los alcances de cada tipo de actividades con sus pares de grado anterior y posterior. 94  Registrar sumas ya conocidas en grupos pequeños y luego completar la lista en forma colectiva. Sumas que dan 10 6+4 Sumas que dan 100 30 +70 Sumas Dobles Sumas de números “redondos” que dan 1000 200 + 800 Sumas sencillas o muy usadas 2 +2 = 4 100 + 20 = 120 150 + 150 = 300 30 + 30 = 60 300 + 50 = 350 75 + 25 = 100 300 + 300 = 600 400 + 20 +3 = 423 125 + 125 = 250  Registrar restas ya conocidas en grupos pequeños y luego completar la lista en forma colectiva. Restas de números chicos 15 – 8 = 7 Restas que dan números “redondos” Restas fáciles 456 – 56 = 400 100 – 25 = 75 Restas que sabemos Restar 10 o 100 por los dobles 800 34 – 10 = 24 – 400 = 400 13 – 6 = 7 95 29 – 9 = 20 150 – 25 = 125 20 – 10 = 10 340 – 100 = 240 75 – 25 = 50 1456 – 100 = 1356 50 – 25 = 25  Sumas de números “redondos” (el docente elegirá un grupo de cálculos acorde a su grupo y a los saberes previos y avances que se esperan) 100 + 100 = 4 000 + 600 +30 + 6 = 100 000 + 600 + 1 = 1 000 + 1 000 = 8 000 + 400 +10 + 4 = 200 000 + 5 000 + 50 = 200 + 300 = 7 000 + 300 + 70 + 2 = 10 000 + 10 000 = 2 000 + 3 000 = 500 + 500 + 500 + 500 = 20 000 + 20 000 = 150 + 150 = 350 + 350 + 350 = 50 000 + 20 000 = 1 500 + 1 500 = 4 000 + 4 000 + 4 000 + 4 000 = 2 400 + 2 300 = 250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 3 300 + 2 700 = 30 000 + 4 000 + 500 + 70 + 4 = 2 000 + 300 + 50 + 2 = 20 000 + 5 000 + 600 + 30 + 2 = ¿Podrías explicar cuál es tu forma de resolver estos cálculos? Compartimos los procedimientos y analizamos en qué se parecen y en qué se diferencian Sumas y restas con algunos números “particulares” CONTENIDO Sumas y restas de 10, 100 y 1.000, a partir del análisis de las escrituras numéricas, relaciones entre la organización del sistema de numeración y los cálculos de sumas y restas. 96 Sumas y restas de números particulares (90, 900, 110, 80, 120, etc.) a partir de las sumas y restas de 10, 100 y 1.000 SUMAS Y RESTAS CON ALGUNOS NÚMEROS “PARTICULARES” 1) Calcula: a) 1.900 + 100 = 4) Busca una manera de rápidamente el resultado de: b) 990 + 10 = a) 43 + 99 = c) 3.900 + 1.100 = b) 1.362 + 99 = d) 790 + 110 = c) 2.240 + 900 = d) 3.572 + 990 = 2) Cuando hayas encontrado los resultados, explica si hay alguna forma rápida de hacer estas sumas. e) 368 + 9 = f) 262 – 90 = g) 5.639 – 900 = 3) Busca un modo de obtener h) 1.970 – 99 = rápidamente el resultado de: 5) Busca una manera de saber a) 86 + 11 = rápidamente el resultado de: b) 529 + 11 = a) 26 + 59 = c) 894 + 101 = b) 108 + 79 = d) 963 + 101 = c) 463 + 41 = e) 7.305 + 11 = d) 579 + 21 = f) 7.305 + 101 = g) 7.305 + 1.001 = Escribí cómo hacés para : - 97 Sumar rápido 90; 99; 900; 990; 999 conocer - Sumar rápido 11; 101; 1001 - Restar rápido 90; 99; 900; 990; 999 Compará tu forma de resolver con la de tus compañeros y analizá en qué se parecen y en qué se diferencian. Sumas y restas con múltiplos de 25 Contenidos  Sistematización y práctica de sumas y restas con múltiplos de 25.  Utilización de sumas y restas conocidas que involucran múltiplos de 25. Se trata de identificar que: 25+25 = 50 A partir de los cálculos anteriores, establecer también que: 25 + 25 + 25 + 25 = 100 50+ 50=100 25 + 25 + 25 = 75 50+25=75 75 + 25 = 100 Se plantearán además restas asociadas a estos cálculos, por ejemplo: 100 – 25 = 75 75 – 25 = 50, etc. 98 SUMAS Y RESTAS CON MÚLTIPLOS DE 25 1) Suma mentalmente: 2) Resta mentalmente: 150 + 25 = 375 – 175 = 350 + 125 = 125 – 75 = 425 + 150 = 125 – 50 = 1.025 + 350 = 450 – 125 = 1.325 + 350 = 475 – 125 = 175 + 125 = 450 – 75 = 425 + 275 = 675 – 150 = 375 + 425 = 1.075 + 125 = 1.025 + 175 = Cálculo de distancias entre números CONTENIDOS  Cálculo de complementos a unida des de mil o decenas de mil, a partir del análisis de las escrituras numéricas.  Relaciones entre suma y resta. 1- ¿Cuánto hay que sumarle a … para obtener…? 99 ¿Cuánto hay que sumarle a para obtener…? 358 1.000 699 3.000 2.455 10.000 678 15.000 8.322 7.200 6.189 10.000 199 10.000 9.999 5.000 Respuestas Anotaciones en borrador que necesites hacer para averiguarlo 2- ¿Cuánto hay que restarle a… para obtener…? ¿Cuánto hay que restarle a para obtener…? 1.000 755 2.000 898 10.000 4.570 10.000 999 Respuesta Anotaciones en borrador que necesites hacer para averiguarlo 3- “Tuti Fruti” de sumas y restas Hacer una lista de números de dos, tres o cuatro cifras dependiendo del grupo. Se juega en grupos de a cuatro o cinco alumnos. Uno de cada grupo lee en silencio los números de esta lista. Un compañero dice “basta” y el alumno que leía los números 100 anuncia cuál estaba leyendo. El resto de los chicos de ese grupo tienen que llenar la fila con dos cálculos de sumas y dos resta que tengan como resultado el número dicho, en un tiempo máximo acordado. Puntaje: si en los cálculos se utilizan números de dos o más cifras, cada cálculo tendrá 10 puntos, si en cambio se utilizan números de una cifra el puntaje para el cálculo será 5 puntos. Número 500 Sumas Restas 250 +250 600 – 100 300 + 200 550 – 50 Ganador Actividades para aprender a usar resultados, dados o memorizados, para hacer otros cálculos  Algunos cálculos ustedes ya los saben de memoria. Úsenlos para pensar en resultados de otros parecidos. 2 000 + 2 000 = 4 000 101 Usen ese resultado para averiguar: 2 002 + 2 002 = 2 001 + 2 001 = 2 300 + 2 300 = 2 250 + 2 250 = 2 000 + 2 000 + 2 000 =  Escriban otros cálculos que también se pueden hacer usando el resultado de 2 000 + 2 000.  1 200 + 1 200 = 2 400. Inventen cinco cálculos que se puedan resolver con mayor facilidad usando este cálculo.  Usar el cálculo 2 345 + 2 345 = 4 690 para resolver estos otros cálculos. Escribir los resultados, luego verificarlos con la calculadora. 2.345 + 2.346 = 2.347 + 2.348= 2.355 + 2.355 = 23.450 + 23.450= 2.340 + 2.340 = 2- Cálculo mental de multiplicaciones y divisiones 1- Dadas estas columnas. ¿Cuáles otras podrás completar? 102 X 0 1 2 3 4 0 0 0 1 3 4 2 6 8 3 9 12 4 12 16 5 15 20 6 18 24 7 21 28 8 24 32 9 27 36 10 30 40 5 6 7 8 9 10 Otras relaciones que los alumnos podrán encontrar son algunas “sumas y restas”. Por ejemplo, los productos de la columna del 3 sumados a los de la columna del 5 dan como resultado los productos de la columna del 8. Los productos de la columna del 7 también se obtienen de la suma de los de las columnas del 4 y el 3 o de la diferencia los de las columnas del 9 y el 2. Esto “funciona” por la propiedad distributiva de la multiplicación: 6x8=6x5+6x3 9x7=9x9–9x2 Para reutilizar estas relaciones los alumnos podrán realizar actividades como las siguientes: 103  A partir de estas columnas y sumando y restando, obtener los resultados de otras. X 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 2 4 6 3 6 9 4 8 12 5 10 15 6 12 18 7 14 21 8 16 24 9 18 27 10 20 30 5 6 7 8 9 10 Luego del estudio de estas relaciones entre los números de la tabla pitagórica y de la identificación de las propiedades que subyacen a estas relaciones, los alumnos estarán en mejores condiciones para la memorización. Ésta exigirá, sin duda, un tiempo de trabajo el que los chicos aumentarán progresivamente los resultados memorizados. Pueden proponerse tablas vacías y que los alumnos, durante varias semanas, completen en un tiempo dado con los resultados que ya conocen. Para la próxima vez deberán estudiar los que aún no lograron memorizar. O bien completar partes de la tabla pitagórica: 104 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 X 6 7 8 9 6 7 8 9 La tabla Pitagórica para resolver divisiones 1- Un número, multiplicado por 7, da 56 ¿Qué número es? Después de buscar el número, identifica entre las siguientes escrituras la que representa esta adivinanza: 7 + ….= 56 ……. x 7 = 56 ….. – 7 = 56 2- Para cada una de las siguientes preguntas, señala la respuesta correcta y anotá el cálculo que hiciste para responder:  ¿Cuál es el número que, multiplicado por 5, da 40? 5 8 10  ¿Cuál es el número que, multiplicado por 7, da 21? 105 6 3 9  ¿Cuál es el número que, multiplicado por 8, da 32? 7 3 4 3- Inventen adivinanzas similares y desafíen a sus compañeros. 4- A partir de los resultados de la tabla de multiplicaciones, completa el cociente de las siguientes divisiones: 36 : 6 = 36 : 4 = 48 : 8 = 42 : 7 = 81 : 9 = Multiplicación y división por 10, 100, 1 000 y por otros números terminados en ceros 1) a) En la tabla de multiplicaciones encontramos algo que ya sabíamos: al multiplicar un número por 10, el producto termina en cero. ¿Eso sucede siempre? ¿Podemos saber con certeza que si uno continúa con la tabla del 10 hasta un número cualquiera, el producto terminará en 0? ¿Por qué sucede eso? b) ¿Podés dar rápidamente el resultado de 25 x 10? ¿Y, luego el de 64 x 10? c) ¿Cuáles de estos números podrían ser el resultado de una multiplicación por 10? 168 – 7.980 – 7.809 – 9.800 – 5.076 – 3.460 106 2) Vamos a retomar las relaciones anteriores para analizar las multiplicaciones por 100. a) Calcula 23 x 100 20 x 100 105 x 100 123 x 100 120 x 100 b) ¿Cuáles de estos números podrían ser el resultado de una multiplicación por 100? 450; 400; 2.350; 2.300; 2.003; 2.030; 1.200.00 3) Calcula mentalmente: a) 45 x ... = 4.500 f) ... x 100 = 1.300 b) 128 x ... = 1.280 g) ... x 100 = 4.000 c) 17 x ... = 17.000 h) ... x 1.000 = 7.000 d) ... x 10 = 320 i) ... x 1.000 = 29.000 e) ... x 100 = 800 j) ... x 1.000 = 50.000 4) a) Anoten divisiones que se pueden conocer a partir de las multiplicaciones que hicieron en los problemas anteriores. Por ejemplo, si 45 x 100 = 4.500, entonces se puede escribir: 4.500 : 100 = 45 y 4.500 : 45 = 100 b) En parejas, traten de recordar o elaborar una regla que sirva para las divisiones por 10, 100 ó 1.000 5) Analiza estos cálculos para anticipar cuáles darán el mismo resultado. 107 Explica cómo lo pensaste. 4 x 2 x 10 = 80 x 10 = 4 x 2 x 10 x 10 = 6) a) Imagínate que el visor de la calculadora muestra cada uno de los números que aparecen en la columna de la izquierda. Anota cómo es posible, con una única operación en cada caso, lograr que aparezca en el visor de la calculadora el resultado escrito en la columna de la derecha. Como siempre, te pedimos que primero lo anticipes y, recién después, lo verifiques en tu calculadora. 28 280 6 120 470 47 8 2.400 6.300 63 12 3.600 4.000 40 b) Anota 35 en la calculadora y realiza una operación por vez para obtener sucesivamente los números de la “tira” 35 350 700 c) Calcula mentalmente: 108 7.000 1.000 10 180 6 4 x 60 = ….. x 200 = 800 12 x 20 = ….. x 50 = 4.000 15 x 30 = 8 x …. = 320 50 x 60 = …. X 50 = 1. 000 200 x 70 = …. X 80 = 16.000 d) ¿Puedes ahora proponer una regla para multiplicaciones y divisiones por cualquier número terminado en cero? (Por ejemplo,20 , 50, 200, 1400) e) Completa las primeras columnas de la tabla –sin usar calculadora-y luego verifica los resultados obtenidos. Número Operación Número original a realizar a obtener 45 Control con calculadora 45.000 X 10 50 X 100 200 00 34 340 : 100 24 000 f) ¿Cuál de estos cálculos dan el mismo resultado? No se puede hacer la cuenta. 109 3.000 x 4.000 = 300 x 4.000 = 12 x 1.000.000 = 300 x 40.000 = 300 x 400 = 12 x 100.000 = 400 x 30.000 = 3 x 4.000.000 = 3.000.000 x 4= g) ¿Se puede saber cuál será el cociente y el resto sin hacer la cuenta? Si no te sale, hacé la cuenta e intenta en el siguiente ver si se puede saber sin hacer cuentas. Número Dividido por 34 10 980 10 343 100 2 345 100 2 000 10 Cociente 3 Resto 4 Multiplicación por algunos números particulares Contenidos  Cálculo mental de multiplicaciones y divisiones apoyándose en propiedades de las operaciones y del sistema de numeración: - uso de la multiplicación por potencias de 10 y múltiplos de ellas para resolver otras multiplicaciones; - uso de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y de la resta. 1a) Multiplicar 3 x 20 es fácil. Ahora bien, ¿cómo se puede utilizar esa cuenta para calcular 3 x 19 mentalmente? 110 b) Calcula mentalmente estos productos: 5 x 19 = 7 x19 = 30 x 19 = En el problema 1 a), después de dejarles un tiempo a los alumnos para que piensen y busquen algún procedimiento para 3 x 19, se podrá analizar colectivamente en qué sentido la multiplicación por 20 es un recurso para multiplicar por 19, explicitando que 19 veces un número es equivalente a 20 veces ese mismo número menos una vez el número, es decir: 3 x (20 – 1) = 3 x 20 – 3 = 60 – 3 = 57 2- Calcula mentalmente estos productos y explica cómo los pensaste: a) 5 x 29 = c) 6 x 38 = b) 7 x 49 = d) 3 x 78 = 3- Calcula mentalmente estos productos explica cómo los pensaste: a) 7 x 39 = b) 9 x 22 = d) 5 x 59 = c) 6 x 22 = e) 4 x 53 = 4- Revisa los procedimientos que se usaron para los problemas anteriores. Propone otras multiplicaciones ayudándote con lo que sabes sobre los cálculos con números “redondos”. 111 Resolver cálculos a partir de uno conocido Contenidos  Cálculo mental de multiplicaciones y divisiones apoyándose en propiedades de las operaciones y del sistema de numeración.  Relaciones entre la multiplicación y la división.  Descomposiciones de cada uno de los factores y el producto. 1a) A partir de las siguientes multiplicaciones, ¿es posible completar la tabla sin volver a hacer toda la cuenta? 6 8 10 20 30 40 50 100 X 28 2 x 28 = 56 5 x 28 = 140 3 x 28 = 84 4 x 28 = 112 2a) A partir de los siguientes resultados, ¿cómo podrías resolver las multiplicaciones que aparecen a continuación? 112 1 x 34 2 x 34 3 x34 4 x 34 5 x 34 6 x34 7x 34 8 x34 9 x 34 10 x 34 34 68 102 136 170 204 238 272 306 340 12 x 34 = 11 x 34 = 15 x 34 = b) Anota tres multiplicaciones que se puedan calcular con la ayuda de los resultados que aparecen en la tabla anterior, luego, intercambia esas multiplicaciones con un compañero para que las resuelva sin hacer toda la cuenta. 3a) A continuación te damos el resultado de dos multiplicaciones. ¿Cómo podrías usar esos resultados para calcular el de las otras? Sabiendo que Sabiendo que 3 x 40 = 120 80 x 20 = 1.600 Calcula: Calcula: 3 x400 = 80 x 40 = 30 x 40 = 80 x 80 = 300 x 4 = 80 x 60 = 6 x 40 = 9 x 40 = 113 b) ¿Qué divisiones podrías plantear a partir de las multiplicaciones y los resultados que produjiste en el ejercicio anterior? c) A continuación te damos el resultado de una división ¿Cómo podrías usar ese resultado para resolver los cálculos que aparecen a continuación? 2.400 : 30 = 80 2.400 : 80 = 80 x30 = 4.800 : 30 = 4- Tomando en cuenta que 120 x 30 = 3.600, calcula los resultados de: 220 x 30 = 420 x 30 = 320 x 30 = Para cada caso explica cómo lo pensaste. A partir de estos cálculos, el docente analizará con sus alumnos que:  18 x5 = 90 y 180 : 2 = 90  120 x 5 = 600 y 1.200 : 2 = 600,  Etc. Los alumnos, conducidos por el docente, podrán advertir una regularidad que se cumple en estos ejemplos: pareciera que multiplicar por 5 es lo mismo que agregar un cero y dividir por 2. Se pedirá entonces a los alumnos que exploren si la regla vale para otros ejemplos. Luego, será necesario avanzar intentando buscar una explicación a la regularidad descubierta: si se hace la mitad de diez veces un cierto número, se está haciendo cinco veces ese número. Si los niños no logran identificar esta relación, el maestro la explicará. 114 A través de la siguiente tarea, se busca hacer funcionar la regla en diferentes cálculos. 5- 6a) Calcula mentalmente: a) Anota el resultado de los siguientes cálculos 24 x5 = 30 : 5 = 98 x5 = 70 : 5 = 72 x 5 = 120 : 5 = 23 x 5 = 340 : 5 = 15 x 5 = Será necesario que el docente preste b) Calcula mentalmente: especial atención a los dos últimos ejemplos donde los números impares 80 : 5 = pueden generar mayor dificultad. 90 : 5 = 130 : 5 = c) Calcula mentalmente y explica cómo lo pensaste 520 : 5 = c) Calcula mentalmente y explica cómo pensaste: 38 x 50 = 24 x 50 = 600 : 50 = 36 x 500 = 800 : 50 = 1200 : 50 = d) De a dos, piensen si se podría formular 3.000 : 500 = una regla para las multiplicaciones por 12.000 : 500 = 50 y por 500 y busquen una manera de esta 115 d) De a dos, piensen si se podría formular una regla para las divisiones por 50 y por 500, y luego, busquen una manera de estar seguros si esa regla se cumplirá en todos los casos. seguros de que se cumplirá en todos los casos. 7- Calcula mentalmente 48 x 5 = 80 : 5 = 24 x 5 = 90 : 5 = 120 x 5 = 120 : 5 = 280 x 5 = 260 : 5 = 37 x 5 = 320 : 5 = Seguramente, para resolver estos cálculos, los alumnos habrán recurrido a diferentes relaciones. Por ejemplo, para 36 x 5 pueden haber resuelto 30 x 5 + 6 x 5. Pero también esperamos que puedan apelar a relaciones recientemente identificadas:  Multiplicar por 5 equivale a multiplicar por 10 y dividir por 2;  Multiplicar por 50 es la mitad de multiplicar por 100;  Dividir por 5 equivale al doble de dividir por 10;es decir, a dividir por 10 y multiplicar por2. 116 Calcular mitades, dobles, triples y cuádruples de números “redondos” Número Mitad Doble Triple Cuádruple 100 1.500 2.500 2.200 500 Divisiones de números “redondos” 100 : 2 = 6.300 : 3 = 55.555 : 5 = 100 : 4 = 2.500 : 5 = 700 : 7 = 1.000 : 2 = 8.400 : 4 = 7.700 : 7 = 10.000 : 2 = 500 : 5 = 7.770 : 7 = 200 : 4 = 5.500 : 5 = 7.777 : 7 = 2.000 : 4 = 5.550 : 5 = 77.777 : 7 = 4.400 : 2 = 5.555 : 5 = 3. Enseñar a hacer cálculos estimativos Algunas razones por las que es necesario que los alumnos dispongan de estrategias de cálculo estimativo:  Gran cantidad de situaciones que se resuelven con un cálculo estimativo (cuánto va a costar aproximadamente la compra, cuánto saldrán aproximadamente unas vacaciones, etc.) 117  Permiten anticipar el resultado de un cálculo exacto, encuadrando su posible resultado, controlando y validando la razonabilidad del resultado exacto. Claudia Broitman en “Estrategias de cálculo mental” expresa: “Se sugiere darles un tiempo de exploración del primero al segundo cálculo, en cada caso, y luego se propone un espacio de comunicación de procedimientos, de manera que para los cálculos siguientes todos puedan reutilizar las estrategias que se encontraron y explicaron al conjunto de la clase. No son ejercicios para practicar algo aprendido, sino problemas novedosos para la mayor parte de los alumnos; por lo tanto requerirán de un tiempo de investigación, estudio, difusión de buenas ideas, reutilización de estrategias ajenas y de explicitación y registro de conclusiones.” 1. Sin hacer la cuenta, decidir cuál será el resultado aproximado. Luego verificar con la calculadora Menos de 2.000 Entre 4.000 2.000 y Más de 4.000 1.547 + 3.421 2.389 + 1.262 4.598 - 4.587 8.978 - 1.234 1.345 x 5 499 x 3 8.987 : 2 2.871 : 19 2. ¿Qué podés saber de estos cálculos antes de hacerlos? ¿Cuánto va a dar cada uno, aproximadamente? ¿más de cuánto? ¿menos de cuánto? 9.765 +76.438 +8.653= 118 9.874 – 8.765 = 10.234 + 10.456 + 10.432 = 3.465 – 1.254 = 20.457 x 4 = 9.217 : 9 = 7.777 x 3 = 6.551 : 7 = Verificá con la calculadora si las anticipaciones fueron correctas. Discutan entre todos cómo hacer para darse cuenta del resultado aproximado sin hacer la cuenta. (Los cálculos son a modo de ejemplo, el docente agregará cálculos según la necesidad de su grupo) 3. Sin hacer la cuenta, marcá los resultados que te parece que no pueden ser correctos y explicá cómo te diste cuenta 8.933 + 11.234 = 10.056 3.897 x 12 = 4.567 7.992 + 4561 = 12.553 9.812 x 98 = 961.576 9.742 – 4.561 = 5.181 10.345 : 5 = 12.395 9.742 – 4.561 = 6.181 98.124 : 2 = 49.062 4. Colocá el signo mayor o menor sin hacer la cuenta exacta 21.376 x 9 ………. 100.000 57.567 – 18.489 ……….. 30.000 23.457 + 21.098 + 35.987 ………. 70.000 34.765 : 9………… 5.000 5. Mirando la primera cuenta, anticipá si las otras van a dar más o menos. Justificá tu respuesta y luego comprobá con la calculadora 119 4.536 : 3 = 1.512 3.897 x 5 = 19.485 4.636 : 3 3.797 x 5 4.536 : 4 3.897 x 8 4.536 : 2 3.897 x 4 5.536 : 3 389 x 10 6. En algunos problemas es suficiente hacer cálculos estimativos a) El presidente de la cooperadora de la escuela calcula que para la fiesta de fin de curso tendría que haber alrededor de 200 gaseosas. ¿Alcanzan 21 paquetes de 12 botellas cada uno? b) Para una excursión hacen falta $540 para el micro, $270 para la merienda y $480 para las entradas. En el grado hay 31 chicos. ¿Alcanza si cada uno trae $50? 7. Estimando cocientes a) Sabiendo que: 24 x 10 = 240 24 x 100 = 2.400 24 x 1000 = 24.000 24 x 10.000 = 240.000 Decidí si: 260 : 24 dará un número mayor, menor o igual a 10 2.000 : 24 dará un número mayor, menor o igual a 100 23.598 : 24 dará un número mayor , menor o igual a 1.000 32.597 : 24 dará un número mayor, menor o igual a 1.000 120 8. Para cada una de las siguientes divisiones que figuran en la tabla, indicá en qué columna debería colocarse el cociente. Debés completarla señalando si dichos cocientes se encuentran entre: • 0 y 10; • 10 y 100; • 100 y 1.000; • 1.000 y 10.000 Por supuesto, deberás anticiparlo sin hacer la cuenta. Entre 0 y 10 Entre 10 y 100 Entre 1.000 100 y Entre 1.000 y 10.000 5.940 : 24 3.648 : 12 492 : 41 347 : 18 15.675 : 12 4.699 : 16 9.428 : 8 5.230 : 4 931 : 133 Se sugiere que los alumnos resuelvan los dos primeros cálculos y discutir en el grupo para difundir los procedimientos utilizados antes de continuar con las demás divisiones. Si presentara dificultad el docente podrá plantear al grupo para 5.940 : 24, cuánto es 24 x 10; 24 x 100; 24 x 1000 para llegar a la conclusión de que el 121 resultado estará entre 100 y 1.000. Si el docente desea avanzar puede preguntar a los niños a cuál de esas dos potencias de 10 se acerca más el cociente buscado. 9. Para cada una de las siguientes divisiones, te proponemos tres números. Señalá el más cercano al cociente y explicá cómo te diste cuenta. a) 436 : 25 b) 6.000 : 45 c) 738 : 95 20 100 10 10 200 15 30 300 5 10. A veces, para hacer divisiones es útil descomponer el dividendo de una manera que resulte “cómoda”, es decir, en números que “den justo” al dividirlos por el divisor dado. Por ejemplo, para 180 : 15 = Es conveniente pensar a 180 como 150 + 30, dividir cada una de esas partes por 15 y, luego, sumarlas: 150 : 15 + 30 : 15 = 10 + 2 = 12 También sabemos que no hay una única manera que resulte conveniente para descomponer el número: además, es posible pensar el 180 como 90 + 90 y hacer 90 : 15 + 90 : 15 = 6 + 6 = 12 ó 180 = 120 + 60 180 : 15 = 120 : 15 + 60 : 15 = 8 + 4 = 12 etcétera. A continuación, te proponemos una serie de divisiones. Para cada una de ellas, elegí una manera de descomponer el dividendo que facilite los cálculos: 122 Dividendo Divisor 784 7 672 6 372 6 1.224 12 968 8 1.484 7 3.672 18 Descomposición Divisiones Cociente Resto del Parciales dividendo Estas descomposiciones se basan en la propiedad distributiva a derecha de la división con respecto a la suma y a la resta (recordar que no se puede aplicar esta propiedad en el divisor, sólo puede hacerse en el dividendo) 4. Cálculos para aprender a usar la calculadora Algunas razones para enseñar a usar la calculadora en la escuela:  Es una herramienta potente para investigar propiedades de los números y de las operaciones.  En la sociedad actual tiene un uso y difusión crecientes, por lo que la escuela no puede ignorar su practicidad y economía, por lo que debemos enseñar su manejo para que puedan explicar y controlar lo que sucede y analizar la conveniencia de usarla.  Permite abordar una práctica anticipatoria, cuando se les pide a los alumnos que analicen cómo van a cambiar ciertos números al realizar algunos cálculos o que averigüen qué cálculos generaron ciertas transformaciones. 1) Actividades para aprender a usar la calculadora  Realizar en la calculadora cálculos cuyos resultados ya conozcas para ver si te salen bien 123  Realizar los siguientes cálculos y anotar los resultados 234 x 45= 1.546 + 398 = 567 – 179 =  Investigá qué sucede con el resultado cuando se aprieta varias veces un mismo signo. Por ejemplo 5+5==== 5+5+++++ 5+5 + + = = 2) Tenés que lograr que en la pantalla vayan cambiando estos números por el siguiente, pero sólo podés hacer un cálculo por vez 3 30 300 30.000 3 300 3 3.000 Los alumnos podrán probar con diferentes cálculos y registrar cada intento. Por ejemplo: 3 x 100 = 300 no me dio 300 x 100 = 30.000 sí me dio 3 x 100 = 3. 000 sí me dio 30.000 : 100 = 300 no me dio 3) Completar el número que falta y verificar con calculadora: 32 x = 320 32 x = 320.000 32 x = 3.200 47.000 : = 47 32 x = 32.000 47.000 : = 470 47.000 x = 470.000 47.000 : = 47 4) Escribir en la calculadora el 56. ¿Qué cálculo le harías para que se convierta en 560? ¿Y en 56.000? ¿y en 56.000.000? 5) Explorar propiedades de los números y de las operaciones 124  En relación con el uso de la propiedad asociativa de la multiplicación - En una calculadora se marcó 122 x 120, pero se cometió un error ya que se quería multiplicar por 60. ¿Cómo corregirlo sin borrar lo que ya está? - Juan tecleó 3.425 x 150, pero quería multiplicar por 50 ¿cómo corregirlo sin borrar? - Analía anotó 2.235 x 120, pero se dio cuenta de que tenía que multiplicar por 360 ¿cómo corregir sin borrar? En la división: - Gabriel quería hacer 3.636 : 12 y anotó 3.636 : 2 ¿cómo puede seguir sin borrar? - Alicia para el mismo cálculo se confundió y puso 3.636 : 3 ¿cómo lo puede corregir? - Osvaldo quiso hacer la misma cuenta, pero se distrajo y escribió 3.636 : 10. Él dice que si ahora divide por 2, le da lo mismo ¿tiene razón?  Completá la tabla y luego controlá tus anticipaciones con la calculadora Número en Se quiere Se pueden No se Anoto si el visor dividir por hacer estos pueden estaba bien dos cálculos hacer estos o no dos cálculos 125 4.480 20 666.666 6 6.666.666 12 31.292 48 Dividir por 4 y luego por 6 Dividir por 3 y luego por 8  Multiplicación y división por la unidad seguida de ceros ¿Cómo corregir sin borrar? Se marcó 1.322 x 100 pero se quería multiplicar por 10, corrección………… Se marcó 2.222 x 1.000, pero se quería multiplicar por 100, corrección………  Para analizar el valor posicional de una o más cifras - Hacer en la calculadora 2.345 + 8.365 sin usar la tecla del 3. - Hacer en la calculadora 7.896 – 3.245 sin apretar las teclas del 2 ni del 3. - Escribir en la calculadora el número 4.567 y con una sola operación convertirlo en 4.507. Ahora convertí el 4.567 en 4.067 y en 4.007.  Completar la tabla, sin usar la calculadora y al final comprobá si te dio bien Número en el Resta visor haré 34.598 98.761 126 que Se en transforma Pruebo y anoto - 4.000 98.061 98.761 98.001 - 800 913.245 6.097 900.005 BIBLIOGRAFÍA - Claudia Broitman. Estrategias de cálculo con números naturales. Segundo ciclo primaria. Ed. Santillana. - Ponce, Sadosky, Cálculo mental con números naturales. Apuntes para la enseñanza. 127 Multiplicación CAPÍTULO 5. 3 128 NOCIONES DIDÁCTICAS: PARA AVANZAR EN EL CONOCIMIENTO DE LA MULTIPLICACIÓN Con esta propuesta se trata de que los alumnos entren en el juego matemático, es decir, que se ocupen de producir conocimientos nuevos frente a los problemas que se les planteen, y que debatan para validarlos. Luego se pretende que con la intervención del maestro, los reconocerán como conocimientos que forman parte de la Matemática. Así, en la escuela, los niños deberían ser introducidos en la cultura matemática, es decir, en las formas de trabajar “matemáticamente”. Desde esta perspectiva, entendemos que saber Matemática requiere dominar los conocimientos de esta disciplina para utilizarlos como instrumentos en la resolución de problemas, y también para definirlos y reconocerlos como objetos de una cultura. Cuando la enseñanza de la Matemática, en lugar de plantearse como la introducción a la cultura de una disciplina científica, se presenta sólo como el dominio de una técnica, la actividad en el aula se limita a reconocer, luego de las correspondientes explicaciones del maestro, qué definición usar, qué regla hay que aplicar o qué operación “hay que hacer” en cada tipo de problema. Se aprende qué hacer, pero no para qué hacerlo ni en qué circunstancia hacer cada cosa. Cuando el aprendizaje se evalúa en términos de respuestas correctas para problemas tipo, deja afuera a muchos alumnos que no se sienten capaces de aprender Matemática de este modo. Por otra parte, lo así aprendido se demuestra claramente insuficiente en el momento en que se trata de usar los conocimientos para resolver situaciones diferentes de aquellas en las que se aprendieron. Otras veces, la actividad en el aula incluye la resolución de problemas diversos, y se pasa de uno a otro y a otro sin un trabajo reflexivo que vuelva sobre lo realizado. 129 Trabajar solo resolviendo problemas, sin explicar o fundamentar “matemáticamente”, también es insuficiente. El trabajo que implica volver sobre lo realizado, por uno mismo o por los compañeros, exige siempre una explicitación, un reconocimiento y una sistematización del conocimiento que se pone en juego en la resolución de los problemas, en las formas de obtenerlo y de validarlo. Sin este proceso, los conocimientos matemáticos aprendidos en la escuela (las nociones y las formas de trabajar en Matemática) no tendrán, a futuro, las mismas posibilidades de reutilización, ya que quedarían asociados a su uso en algunos casos particulares. Cómo se hace Matemática en el aula define, al mismo tiempo “qué” Matemática se hace, y “para qué” y “para quiénes” se la enseña, lo que plantea una disyuntiva central en relación con la construcción de las condiciones que posibilitan el acceso a la Matemática de unos pocos o de todos. El sentido de los conocimientos matemáticos se construye al resolver problemas y reflexionar sobre ellos, esto dependerá de que la variedad de problemas considerados al estudiarla sea representativa de la diversidad de contextos de uso, de significados y de representaciones asociados a la noción. También habrá que tener en cuenta que la noción que se quiere enseñar surja como una “herramienta necesaria” para resolver el problema y no como una definición que hay que aplicar, y que la presentación de la información no fomente ideas estereotipadas acerca de los modos de resolución. Consideramos que cada actividad constituye un problema matemático para un alumno en la medida en que involucra un enigma, un desafío a sus conocimientos matemáticos, es decir, si estos le permiten iniciar la resolución del problema y, para hacerlo, elabora un cierto procedimiento y pone en juego las nociones que tiene disponibles, modificándolas y estableciendo nuevas relaciones. Al elegir o elaborar problemas para enseñar una noción con el propósito de que los alumnos construyan su sentido, debemos tener en cuenta diversidad de contextos, significados, representaciones y tipos de tarea. Asimismo, habrá que 130 considerar las relaciones posibles entre datos e incógnitas, cuidando que sea la “herramienta matemática” más eficaz que permite resolverlos. Esta variedad de problemas no puede abordarse simultáneamente y por esta razón, se organizan secuencias de actividades con propósitos definidos, sosteniendo un trabajo articulado sobre un mismo contenido en clases sucesivas. Los problemas deben organizarse en secuencias con propósitos claros que orienten la selección de las actividades y su articulación. Es tarea del docente decidir qué intervenciones serían las más adecuadas para ajustar el trabajo en la clase de modo que todos aprendan la organización de las secuencias que se incluyen en este material, cabe señalar que en cada actividad se retoma algo elaborado en la anterior o las anteriores, manteniendo el foco de trabajo, pero cambiando el contexto, las representaciones que se usan o el tipo de tarea que se propone a los alumnos, o eventualmente, el significado dela noción en estudio. Al dar lugar al uso de distintas representaciones para una misma noción e incluir la producción y análisis de distintos procedimientos para resolver un mismo problema, se enriquece el sentido que los alumnos van construyendo de la noción en estudio y se brinda a todos los niños la posibilidad de participar activamente en la clase. Volver sobre algo que se hizo para revisarlo o para usarlo en un nuevo problema, permite que los niños encuentren una nueva oportunidad para incluirse, si no lo hicieron antes, o para descubrir nuevas relaciones. Para cada secuencia, se incluye además una propuesta específica para el seguimiento de los aprendizajes de los alumnos. Esta actividad está pensada para ser realizada tanto antes de iniciar el trabajo con la secuencia como después de finalizarlo. Comparar las producciones de los alumnos en estas dos instancias permite obtener información acerca de los avances en el aprendizaje: qué procedimientos o 131 representaciones nuevas aparecen, cómo se modifica su forma de explicar o de argumentar, etc. 132 Propósitos de la secuencia de Multiplicación para 4° grado Esta secuencia promueve la producción, análisis y validación de diferentes procedimientos de cálculo para multiplicar. Desde un primer uso de la multiplicación y la división en la resolución de problemas extramatemáticos, se avanza luego en el análisis de relaciones numéricas en la tabla pitagórica y en la memorización de los productos que ella contiene, luego se avanza con la discusión sobre la multiplicación por la unidad seguida de ceros, lo que permitirá a los chicos adquirir un repertorio que es fundamental para resolver multiplicaciones y divisiones por dos cifras, realizar cálculos aproximados tanto de multiplicar como de dividir y elaborar estrategias de cálculo diferentes de las utilizadas convencionalmente en función del tipo de números involucrados. En este sentido, es importante tener en cuenta que la elección de los factores puede promover, además del uso de productos por números redondos, el de distintas propiedades. Para finalizar con la explicitación de las propiedades de la multiplicación y su uso en diferentes cálculos. El conjunto de las actividades de la secuencia alterna el trabajo en contextos intra y extramatemáticos, incluyendo algún juego. Se alterna también el tipo de tarea que se solicita a los alumnos buscando dar lugar a que decidan, resuelvan, comuniquen en forma oral o escrita, justifiquen, formulen preguntas, cubriendo distintas prácticas propias del trabajo matemático. Si bien se incluyen problemas en contexto extramatemático, donde la multiplicación se usa con distintos significados, el foco de la secuencia está en el trabajo intramatemático a propósito del uso de las propiedades de la multiplicación para resolver problemas de cálculo. El repertorio de productos comprende las multiplicaciones de dos cifras. Cabe señalar que, si bien sería posible usar las propiedades para resolver multiplicaciones con números más grandes, en esta secuencia se prioriza la producción y el análisis de 133 procedimientos, y se busca fortalecer el repertorio de resultados memorizados y las estrategias de cálculo mental. En función del tiempo disponible, y de los conocimientos del grupo, las Tareas propuestas para cada actividad, pueden ser realizadas en la clase por todos o por algunos alumnos o quedar como “tarea para la casa”. En este último caso será necesario recuperarlas en la clase siguiente. La propuesta de seguimiento, que identificamos como Actividad 0/9, se ha pensado en relación con la utilización y explicitación de los procedimientos de cálculo y las propiedades de la multiplicación involucradas en la secuencia. El objetivo inicial es el de obtener información acerca de qué herramientas disponen los estudiantes para encarar las actividades previstas y, a partir de esta información, realizar los ajustes necesarios. Eventualmente podremos diseñar actividades complementarias con el fin de construir “puentes” entre lo que el grupo sabe y lo que consideramos necesario que sepa para encarar la secuencia. Al finalizar el trabajo con la secuencia, la actividad de seguimiento se presentará nuevamente a los alumnos. Para no mantener exactamente las mismas situaciones, en esta segunda presentación será necesario modificar los ejemplos sobre los cuales trabajar, pero prestando especial cuidado a no modificar el tipo de tarea que se requiere, ni el saber necesario para resolverla. Si esta información nos mostrara que algunos alumnos no han avanzado en el sentido previsto, podremos elaborar actividades específicas, que aseguren que todos y todas dispongan del repertorio de productos básicos y puedan usar la multiplicación para resolver problemas y calcular teniendo control sobre los procedimientos utilizados y los resultados obtenidos. 134 Actividad 1 TRABAJANDO CON LA TABLA PITAGÓRICA El objetivo inicial es el de obtener información acerca de qué herramientas disponen los estudiantes para encarar las actividades previstas y, a partir de esta información, realizar los ajustes necesarios. Para la construcción del repertorio multiplicativo, se propone armar la tabla denominada pitagórica, que contiene los productos de números hasta el 10. Se trata primero de establecer relaciones entre los resultados de una misma tabla y entre los de distintas tablas, para luego avanzar en la memorización de los productos. Paralelamente, se sugiere que cada alumno tenga en su cuaderno un cuadro donde registrará los productos que va memorizando para, luego, independizarse de su uso. Si bien es posible que los chicos ya conozcan la tabla desde tercer grado y la hayan usado para resolver multiplicaciones, seguramente será nueva la tarea de análisis y reflexión en torno a las relaciones numéricas involucradas y los procedimientos utilizados al completarlas. La explicitación oral de los procedimientos podrá dar lugar a expresiones como “fui sumando el mismo número”, o “en algunos hice el doble”, o “conté de 5 en 5”, o “si ya sé que 7 x 8 es 56, el 8 x 7 es lo mismo. Actividad 2 TRUCOS DE LAS TABLAS Esta actividad lleva a revisar las conclusiones obtenidas durante el desarrollo de las actividades anteriores, proponiendo una tarea distinta: la de revisar su formulación, ajustando el sentido de lo que se afirma, el lenguaje utilizado y el alcance de su validez. Esto contribuye a sistematizar los nuevos aprendizajes y a establecer relaciones con otros conocimientos. 135 El repertorio inicial de productos comprende las multiplicaciones de números de una cifra, que luego se amplía para obtener productos donde uno de los factores tiene dos cifras. Actividad 3 MULTIPLICANDO POR 10, 100, 1000... En esta actividad se retoma qué sucede cuando multiplicamos por la unidad seguida de ceros. Esto permitirá discutir sobre la multiplicación por los números terminados en ceros (o números redondos) en general, es decir x 20, x 30, x 40, x 100, x 200, etc., lo que permitirá a los chicos adquirir un repertorio que es fundamental para resolver multiplicaciones por dos cifras, realizar cálculos aproximados tanto de multiplicar como de dividir y elaborar estrategias de cálculo diferentes de las utilizadas convencionalmente en función del tipo de números involucrados En la tabla de multiplicaciones el alumno se encuentra con algo que posiblemente ya sabía: al multiplicar un número por 10, el producto termina en cero. El desafío será, que pueda comprobar si eso sucede siempre, o tener la certeza que si uno continúa con la tabla del 10 hasta un número cualquiera, el producto terminará siempre en cero teniendo que validar porqué sucede eso. Actividad 4 ABRIENDO NÚMEROS Esta actividad pone el foco en la explicitación de las propiedades de la multiplicación y su uso en diferentes cálculos. Es interesante que ante cada situación propuesta, se discuta la conveniencia de realizar un procedimiento de cálculo u otro en función del tipo de números involucrados, las propiedades conocidas y los cálculos mentales disponibles. 136 Actividad 5 JUEGO “GUERRA DE MULTIPLICACIONES” La actividad 5 busca que el alumno utilice diferentes procedimientos de cálculos para resolver las diversas situaciones de juego. Para ello deberá utilizar las estrategias de cálculo que tienen disponibles dependiendo de los números involucrados. En este sentido, es importante tener en cuenta que la elección de los factores puede promover, además del uso de productos por números redondos, el de distintas propiedades. Actividad 6 DESPUÉS DEL JUEGO El foco de esta actividad está en el trabajo intramatemático a propósito del usos de las propiedades de la multiplicación para resolver problemas de cálculo. Es interesante destacar que los niños comienzan a buscar descomposiciones en factores o sumandos de los números y fortalecen así las multiplicaciones. En el mismo sentido, luego de varias partidas, resulta conveniente discutir si hay algunos números que son “más fáciles de obtener”, explicitando y comparando la cantidad de descomposiciones en factores que admiten distintos números. En este juego, es necesario que los chicos establezcan relaciones para ganar, pero la rapidez requerida lleva a la conveniencia de memorizar algunas regularidades como por ejemplo al multiplicar por 11 o por 19. Al jugar en reiteradas oportunidades los alumnos podrán observar sus progresos en la utilización de la multiplicación para la agilización de cálculos mentales. 137 Actividad 7 VALE O NO VALE Esta actividad apunta al análisis de afirmaciones y a la producción de otras nuevas. Todas las afirmaciones que se incluyen derivan de las relaciones ya trabajadas. Recordemos que la actividad matemática en la clase debe incluir, necesariamente, la comunicación de las conclusiones que se obtienen y el análisis de su validez, así como la explicitación de aquello que se ha aprendido y su vinculación con otros conocimientos. Actividad 8 MIRAR LO QUE APRENDIMOS En esta actividad se propone revisar lo trabajado en las anteriores, contribuye a jerarquizar los conocimientos aprendidos. Al mismo tiempo, dado que se trata de una autoevaluación permite que el alumno tome conciencia de lo que repasó, de lo nuevo que aprendió y también promueve que pueda responsabilizarse de aquellos aprendizajes que aún no ha logrado. Actividad 0/9 Para cada secuencia, se incluye además una propuesta específica para el seguimiento de los aprendizajes de los alumnos. Esta actividad está pensada para ser realizada tanto antes de iniciar el trabajo con la secuencia como después de finalizarlo. Comparar las producciones de los alumnos en estas dos instancias permite obtener información acerca de los avances en el aprendizaje: qué procedimientos o representaciones nuevas aparecen, cómo se modifica su forma de explicar o de argumentar, etc. 138 Secuencia de multiplicación por dos cifras para 4° grado Actividad 1 TRABAJANDO CON LA TABLA PITAGÓRICA a- Comenzá completando esta tabla con los productos que ya sabés. Si el grupo de alumnos ya ha construido la Tabla Pitagórica no es necesario realizar el ítem a), pudiendo utilizar la confeccionada con anterioridad. En caso contrario, es necesario que, luego de realizada esta consigna, se abra un espacio de reflexión y análisis en torno de lo realizado, en el que los alumnos puedan explicitar los distintos procedimientos utilizados. Por ejemplo, algunos explicarán que la llenaron verticalmente sumando sucesivas veces el número de la columna; otros expresarán que, para completar los casilleros como 6 x 2 y 2 x 6, pensaron que algunos productos se repiten; otros dirán que escribieron primero las filas y las columnas de los números que les resultaban más familiares como 1, 2, 5 y/o 10. Una vez más, no se trata de elegir un procedimiento único sino de analizar los distintos procedimientos posibles. 139 b- Buscá los productos repetidos y escribí a qué multiplicaciones corresponden por ej: 36= 4x9 36= 9x4 c- Pablo dice que cuando no se acuerda de un producto como 9 x 8, lo piensa así: 9 x 8 = 9 x 4 x 2 = 36 x 2 = 72 Buscando en la tabla, escribí, en una hoja, otros ejemplos como el que pensó Pablo para resolver productos más fácilmente. Actividad 2 TRUCOS DE LAS TABLAS a- Decidí cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y explicá en una hoja porqué. AFIRMACIONES Todos los números de la tabla del 4 se obtienen sumando 2 a los números de la tabla del 2. Todos los números de la tabla del 4 son el doble de los números de la tabla del 2. Todos los números de la tabla del 8 se obtienen multiplicando por 2 tres veces. Todos los números de la tabla del 6 se obtienen multiplicando por 3 los números de la tabla del 2. V F b- Escribí qué tablas se podrían completar haciendo el doble de los números de otras tablas. c- Completá la Tabla Pitagórica multiplicando por 11, 12, 13...19. Para armar por ejemplo, la tabla del 12, los chicos podrán duplicar la tabla del 6 o triplicar la del 4, usando, en ambos casos, la descomposición del 12 en dos factores. También podrán sumar dos tablas, por ejemplo la del 10 y la del 2 o la del 8 y la del 4, lo que implica construir la tabla pensando en la propiedad distributiva. 140 Actividad 3 MULTIPLICANDO POR 10, 100, 1.000... a- Daniel sostiene que para resolver 9 x 10 se le puede agregar un cero al 9. Inventá dos multiplicaciones por 10 y ensayá si esto es verdadero para esos cálculos. b- Completá los siguientes cuadros: X 1 10 100 1.000 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Explicá qué cambia cuando en lugar de multiplicar por 10 multiplicás por 100 y por 1.000. X 10 20 30 1 10 2 3 4 60 80 5 30 6 60 120 180 7 8 9 10 180 200 11 330 Pablo dice que para multiplicar por 20, buscó en la Tabla Pitagórica los resultados en la fila del 2 y después los multiplicó por 10. ¿Creés que tiene razón? ¿Por qué? X 100 200 300 141 1 100 300 2 3 4 600 800 5 6 7 600 200 1.800 8 9 10 11 1.000 1.100 2.000 ¿Cuáles de los procedimientos utilizados para completar las tablas anteriores te sirvieron para completar esta última? Actividad 4 ABRIENDO NÚMEROS a) Para resolver 5 x 6, Marta y Jorge hacen estas cuadrículas y dicen que lo piensan como suma de productos. Esto les sirve para resolver un cálculo cuando no se acuerdan bien el resultado. Explicá en una hoja cómo pensó cada uno. Marta Marta Jorge Jorge 5x6 5x6 (2 + 3) x 6 5 x (2 + 4) (2 x 6) + (3 x 6) (5 x 2) + (5 x 4) b) Trabajando con cuadritos Materiales: cada niño debe disponer de hojas de papel cuadriculado, un lápiz, goma de pegar y una tijera. Organización de la clase: cada alumno trabajará en forma individual. Desarrollo: se propondrá la siguiente consigna Cortá distintos rectángulos, de modo que cumplan las siguientes condiciones.  8 cuadraditos de alto y 72 en total.  8 cuadraditos de alto y 144 en total.  12 cuadraditos de alto y no más de 120 cuadraditos en total, pero que se aproxime lo más posible.  144 en total, pero distinto del anterior. 1) Compará tus rectángulos con los de tus compañeros 2) Escriban cálculos que representen la cantidad de cuadritos que tienen los rectángulos 142 3) Expliquen al grupo cómo hicieron para encontrar el número que faltaba para completar el cálculo. 4) Divídanse en dos grupos y utilizando el rectángulo que tiene 72 cuadraditos en total, uno de los grupos resuelva como lo haría Marta y el otro como lo haría Jorge. Comparen ambas formas y encuentren semejanzas y diferencias. Estas actividades requieren puesta en común para que los niños puedan visualizar la conmutatividad de los factores (propiedad conmutativa), la posibilidad de descomponer en sumandos uno u otro factor según la conveniencia (propiedad distributiva), y las distintas formas de descomponer un número (por ejemplo en el caso del 8 se puede descomponer como 4+4, 2+6, 5+3) c) En casa de Marta necesitan embaldosar un patio con 13 filas de 28 baldosas cada una. ¿Cuántas baldosas se deben comprar? Ella lo pensó usando papel cuadriculado del siguiente modo: 1) Explicá cómo obtiene Marta cada uno de los números de su suma 2) Resolvé la cuenta 48 x 15 usando el procedimiento que utilizó Marta 143 Actividad 5 JUEGO “GUERRA DE MULTIPLICACIONES” Cantidad de jugadores: Dos o más. Materiales: 9 cartas con números del 11 al 19 por cada jugador. (Ver Anexo) Reglas del juego: Se juntan las cartas (que están en el anexo) de todos los jugadores, se mezclan y se reparten, dándole a cada jugador la misma cantidad de cartas. Cada uno coloca su pila de cartas boca abajo sobre la mesa. Al mismo tiempo, los participantes deben dar vuelta de su pila dos cartas y calcular el resultado al multiplicarlas. El que obtiene el resultado mayor se lleva todas las cartas Gana el que logra juntar más cartas al finalizar el juego. Actividad 6 DESPUÉS DEL JUEGO  Vero y Damián están jugando a la guerra de multiplicaciones. Marquen con una x quién ganó en cada partida. 144  Completen los números de las cartas que pudo haber sacado Damián para ganar  Los chicos utilizaron distintos procedimientos para resolver el juego anterior. Damián sacó las siguientes cartas: 18 x 16 y lo resolvió de diferentes forma A B 18 x 16 = 18 x 16 = 18 x 2 x 2 x 4= 18 x (10 + 6)= 36 x 2 x 4 = (18 x 10)+ (18 x 6) 72 x 4 = 288 180 + 108= 288 C D 18 x 16 48 (6x8) 60 (6x10) 80 (10x8) 100 (10x10) 288 145 18 x 16 108 180 288  ¿Llegó Damián al mismo resultado con todas las resoluciones?  ¿En qué se diferencian la resolución A y B?  Utilizando el procedimiento A, resolvé el siguiente cálculo: 15 x 13=  María empezó a resolver 18 x 16, pero no pudo terminar ¿la ayudás? 18 x 16= 18 x (10 + 6) (18 x 10) + (18 x 6) (18 x 10) + ( 10 + 8) x 6  Resolvé 12 x 14 utilizando el procedimiento que te resulte más sencillo. Actividad 7 VALE O NO VALE Decidí si las siguientes afirmaciones son ciertas o no y justificá tus respuestas  Para obtener los resultados de la tabla del 8 es lo mismo duplicar la tabla del 4 ó sumar los resultados de la tabla del 5 más la del 3.  15 x 20 = 15 x 10 x 10  12 x 14 puede resolverse como 12 x 2 x 7 ó como 12 x (10 + 4) Actividad 8 MIRAR LO QUE APRENDIMOS 1) ¿Qué actividades te costaron más? ¿Por qué? 2) ¿Para qué creés que abrimos los números al multiplicar? Actividad 0/9 1-Busquen una manera fácil de saber cuántas sillas hay en total 146 Explicá cómo lo resolviste. 2- En la escuela se organizó una fiesta, los padres de 4° deciden armar un bufet. Hay sándwiches de 4 tipos: chorizo, lomito, cuadril, pollo y 2 tipos de bebidas: gaseosas y vino. Los chicos colaboraron pensando un cartel para escribir los precios, incluyendo una bebida y un sándwich. Realizaron estos dos: CH L C P G CH-G CH-V P-G L-G C-V P-V V a- ¿Qué cartel les parece que eligieron los padres? ¿Por qué? b- ¿Cómo se puede asegurar que están todas las ofertas posibles? 3-Completá el siguiente cuadro a) El pan para los sandwichs viene en bolsas de la misma cantidad de panes y para comprarlo los padres hicieron una tabla para saber cuánto tenían que pedir. Ayudalos a completarla 147 Cantidad de bolsas Cantidad de panes por bolsa ………. 15 3 10 45 ………. 20 5 ……….. ………. 450 b) Explicá cómo hiciste para saber cuántas bolsas comprar para tener 450 panes. 148 LINK RELACIONADOS CON LA SECUENCIA TRUCOS PARA MULTIPLICAR http://www.youtube.com/watch?v=C5LkQbv-XP ¡A JUGAR! https://www.facebook.com/489919244390461/photos/a.489938261055226.1073741 828.489919244390461/505811546134564/?type=1&theater REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Cuadernos para el aula, matemática 4 - 1a ed. –Buenos Aires, (2007) - Ministerio de Educación de la Nación, Serie Piedra Libre para todos “Múltiples problemas”, (2010) - Ministerio de Educación de la Nación, Los Libros de 4° MATEMÁTICA de Graciela Chemello, MonicaAgrasar, Silvia Chara, (2004) - 149 Propósitos de la secuencia de Multiplicación para 5° grado Esta secuencia promueve la producción, análisis y validación de diferentes procedimientos de cálculo para multiplicar. Desde un primer uso de la multiplicación en la resolución de problemas extramatemáticos, se avanza luego en el análisis de relaciones numéricas en la tabla pitagórica y en la memorización de los productos que ella contiene y continúa presentando problemas que refieran a distintos significados para la multiplicación donde se vaya haciendo cada vez más necesario contar con un repertorio disponible de cálculos multiplicativos que permita abordarlos eficazmente. Se trabaja con problemas que involucran proporcionalidad simple donde es posible plantear problemas donde no se informa cuál es el valor unitario, y donde los chicos deban usar en forma implícita dos de las propiedades que caracterizan a las relaciones de proporcionalidad directa: Al doble de una cantidad le corresponde el doble de la otra y A la suma de dos cantidades le corresponde la suma de las cantidades correspondientes. Si proponemos estos problemas con las cantidades presentadas en tablas, facilitamos el establecimiento de estas relaciones. Otra posibilidad para analizar las relaciones de proporcionalidad es plantear problemas donde las colecciones de elementos se presentan ordenadas en filas, o columnas, es decir en organizaciones rectangulares. También en este caso hay dos magnitudes directamente proporcionales, la cantidad de filas y la cantidad total de sillas, siendo la constante de proporcionalidad la cantidad de sillas por cada fila. Si los chicos ya han trabajado la representación en tablas, podrán usarlas para resolver el problema como una alternativa a las operaciones conocidas. En cuanto a los problemas de combinatoria, es decir aquellos en los que hay que combinar elementos de diferentes colecciones, es importante considerar la experiencia previa que los niños puedan tener en situaciones donde se deban combinar “todos con todos”, partiendo de procedimientos artesanales. Al usar estos 150 procedimientos para colecciones con mayor cantidad de elementos es frecuente omitir algunas combinaciones y por ello conviene utilizar procedimientos más expertos. Actividad 1 “DESCUBRIR LA CARTA” El objetivo inicial es el de obtener información acerca de qué herramientas disponen los estudiantes para encarar las actividades previstas y, a partir de esta información, realizar los ajustes necesarios. En 5º año/grado es necesario todavía, retomar conocimientos sobre la multiplicación por dos cifras para profundizarlos. Los chicos ya han conocido diferentes formas de multiplicar un número natural por otro siendo un desafío extender los procedimientos conocidos para calcular productos de números más grandes y debatir sobre los conocimientos en los cuales se apoyan. Se propone un juego donde se deberá recurrir al repertorio multiplicativo disponible. Actividad 2 DESPUÉS DEL JUEGO En esta actividad se busca sistematizar los conocimientos numéricos ya explorados en la actividad anterior. Actividad 3 SEGUIMOS JUGANDO En esta actividad se retoma qué sucede cuando multiplicamos por la unidad seguida de ceros. Esto permitirá discutir sobre la multiplicación por los números terminados en ceros (o números redondos) en general, es decir x 10, x 20, x 30, x 40, x 100, mitades, dobles, triples, etc., lo que permitirá a los chicos adquirir un repertorio que es fundamental para resolver multiplicaciones por dos cifras, realizar 151 cálculos aproximados de multiplicar y elaborar estrategias de cálculo diferentes de las utilizadas convencionalmente en función del tipo de números involucrados. Actividad 4 DESPUÉS DEL JUEGO En esta actividad se toman los procedimientos utilizados por los alumnos como objeto de análisis para compararlos y explicitar las relaciones establecidas, a la vez que exigen la formulación de argumentos sobre su validez. Actividad 5 TRABAJANDO CON LA PROPORCIONALIDAD En 5º año/grado habrá que avanzar planteando problemas en los que se relacionan magnitudes directamente proporcionales, donde no se da el valor unitario. Es necesario analizar los datos de distintas situaciones para ver si presentan o no una regularidad que cumpla con las propiedades de la proporcionalidad directa. Por ejemplo las situaciones peso-edad y edad-altura. Actividad 6 PROPORCIONALMENTE Para continuar este trabajo, es posible plantear problemas donde no se informa cuál es el valor unitario, y donde los chicos deban usar en forma implícita dos de las propiedades que caracterizan a las relaciones de proporcionalidad directa: al doble de una cantidad le corresponde el doble de la otra y a la suma de dos cantidades le corresponde la suma de las cantidades correspondientes. Si proponemos estos problemas con las cantidades presentadas en tablas, facilitamos el establecimiento de estas relaciones. Actividad 7 ¿PROPORCIONALES O NO? Esta actividad lleva a revisar las conclusiones obtenidas durante el desarrollo de las actividad anterior, proponiendo una tarea distinta: la de revisar su 152 formulación, ajustando el sentido de lo que se afirma, el lenguaje utilizado y el alcance de su validez. Esto contribuye a sistematizar los nuevos aprendizajes y a establecer relaciones con otros conocimientos. Actividad 8 TRABAJANDO CON FILAS Y COLUMNAS Otra posibilidad para analizar las relaciones de proporcionalidad es plantear problemas donde las colecciones de elementos se presentan ordenadas en filas, o columnas, es decir en organizaciones rectangulares. Este caso hay dos magnitudes directamente proporcionales, la cantidad de filas y la cantidad total de sillas, siendo la constante de proporcionalidad la cantidad de sillas por cada fila. Si los chicos ya han trabajado la representación en tablas, podrán usarlas para resolver el problema como una alternativa a las operaciones conocidas. Actividad 9 COMBINANDO ELEMENTOS En cuanto a los problemas de combinatoria, es decir aquellos en los que hay que combinar elementos de diferentes colecciones, veremos problemas con dos y tres variables. En el caso de los primeros, ya trabajados en años anteriores, los retomaremos con mayor cantidad de elementos de cada tipo para que, al tener que combinar “todos con todos”, los chicos reconozcan en la multiplicación una herramienta eficaz que evita el trabajo de enumerar todos los pares. Luego de discutir con los alumnos sobre cuáles de los procedimientos permitieron llegar a un resultado válido, podemos plantearles diferentes modos de organizar la información, para así asegurarnos de que tienen en cuenta todos los casos posibles. Los cuadros de doble entrada y los diagramas de árbol son útiles para estos propósitos. 153 Actividad 10 Esta actividad ¿VALE O NO VALE? apunta al análisis de afirmaciones y a la producción de otras nuevas. Todas las afirmaciones que se incluyen derivan de las relaciones ya trabajadas. Recordemos que la actividad matemática en la clase debe incluir, necesariamente, la comunicación de las conclusiones que se obtienen y el análisis de su validez, así como la explicitación de aquello que se ha aprendido y su vinculación con otros conocimientos. Actividad 0/11 Para cada secuencia, se incluye además una propuesta específica para el seguimiento de los aprendizajes de los alumnos. Esta actividad está pensada para ser realizada tanto antes de iniciar el trabajo con la secuencia como después de finalizarlo. Comparar las producciones de los alumnos en estas dos instancias permite obtener información acerca de los avances en el aprendizaje: qué procedimientos o representaciones nuevas aparecen, cómo se modifica su forma de explicar o de argumentar, etc. 154 Secuencia de multiplicación por dos cifras para 5° grado Actividad 1 “DESCUBRIR LA CARTA” Materiales: un mazo de cartas españolas hasta el 10 por grupo y una hoja para anotar para cada chico. Organización de la clase: en grupos de tres integrantes, uno de ellos será elegido juez rotativamente en cada mano. Reglas del juego: se reparten las cartas entre dos jugadores. Cada jugador tiene su pila de cartas boca abajo y no debe mirarlas. Los dos jugadores levantarán al mismo tiempo una carta de sus pilas y la mirarán sin mostrársela al compañero. Tendrán que recordar el número de la carta que sacaron. Luego se la entregarán al juez para que diga en voz alta el resultado de la multiplicación de ambas cartas. Con ese resultado, cada jugador deberá anotar el producto de su carta por la que crea que es la de su compañero. Por ejemplo, si su carta era un 8 y el producto es 72, deberá anotar 72 = 8 x 9. El tercer jugador mira ambos productos y le da un punto a cada participante que haya anotado bien. El juego continúa hasta que no queden más cartas. El juez podrá recurrir a la tabla pitagórica para resolver cualquier discusión. Actividad 2 DESPUÉS DEL JUEGO a) Marcá en una tabla pitagórica individual, con azul los productos memorizados y con rojo los no memorizados. b) Dani dice que si el resultado es 24 las cartas seguro son 8 y 3. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué? 155 Actividad 3 SEGUIMOS JUGANDO Continuando con el juego anterior, incluir tarjetas en las que estén los números 20, 25, 30, 40, 50, hasta 100. (Ver Anexo) y jugar de la misma forma que en la actividad 1. Actividad 4 DESPUÉS DEL JUEGO a- En una jugada el juez dijo que el resultado era 240. Juan tenía el 6 y rápidamente dijo que la otra carta era 40 ¿Creés que tiene razón? ¿Cómo te parece que sacó el cálculo tan rápido? b- Cuando estaban jugando Vero entregó su carta y dijo que seguro el resultado no sería menor que 30. ¿Puede tener razón? ¿Por qué? Actividad 5 TRABAJANDO CON LA PROPORCIONALIDAD a- Indicá si cada una de las siguientes afirmaciones, son verdaderas o falsas  Para hacer una torta de manzana necesito 3 huevos, para hacer 3 tortas de manzana necesitaré el triple.  Si un bebé al nacer midió 50 cm y al año midió 75 cm a los 2 años medirá 1,50 m.  Para embaldosar dos aulas iguales, necesito 238 baldosas, para embaldosar solo una, necesito 119.  Si al año Ema pesa 12 kg, a los 10 años pesará 120 kg. b- Leé este texto. Luego contestá las preguntas y completá la tabla 156 En el parque acaban de instalar camas elásticas para saltar. Un cartel dice: $ 6 LOS 10 MINUTOS. Patricia tiene solo $3, mira al boletero y con su mejor sonrisa le dice: -¿Puedo pagarle $ 3 y saltar 5 minutos? Quiero practicar la vuelta carnero en el aire. –Está bien, nena –contesta el boletero–, hoy me agarraste bueno. Al escuchar este diálogo, Carlos se anima y le dice: –Yo sólo tengo 1 peso y 20 centavos, ¿puedo pagárselos y saltar el tiempo que me corresponde? –Bueno, pero ni un segundo más, le responde el boletero. Ambos se zambullen en las camas elásticas y comienzan a saltar. 1- ¿Durante cuánto tiempo pueden saltar juntos Patricia y Carlos? 2- Para no tener que estar sacando las cuentas, en la boletería diseñaron una tabla donde se muestre cuánto cuesta saltar distintos tiempos, pero no la terminaron ¿Los podés ayudar? Tiempo 1 min 2 min 3 min 4 min 5 min 8 min Pesos 10 min 45 min 1 hora $6 Actividad 6 PROPORCIONALMENTE a) En la pizzería quieren saber la cantidad de harina que necesitan para preparar sus pizzas. Completá esta tabla así los ayudás a saberlo. 157 Cantidad de pizzas 24 Kg de harina 6 400 12 3 60 b) También hacen empanadas y como no están calculando bien los kg de cebolla y de carne que tienen que comprar decidieron hacer otra tabla. Ayudalos también con ésta: Kg de carne 3 10 15 Kg de cebolla 8 30 10 Luego de completar las dos tablas compará tus resultados con tus compañeros y conversen sobre los procedimientos usados. Actividad 7 ¿PROPORCIONALES O NO? a) En un negocio mayorista habitualmente venden 3 kg de queso a $ 75. Esta semana anuncian como oferta que venderán 6 kg a $ 180. ¿Es realmente una oferta? ¿Por qué? b) La siguiente tabla muestra cómo varían las edades de dos hermanos a medida que vayan creciendo. Luego de completarla decí si es una relación de proporcionalidad. Edad de Agustina 10 Edad de Ariel 20 15 20 40 c) En un parque de diversiones del centro promocionan los juegos en un cartel que dice: 158 UN JUEGO $ 20 CUATRO JUEGOS $ 80 En el parque de un barrio el cartel dice así UN JUEGO $ 20 TRES JUEGOS $ 55 Ana dice que ella irá al del barrio porque los juegos allí le salen más baratos. ¿Tiene razón? ¿Por qué? d) Vuelvan a leer cada problema y decidan entre todos si cada una de estas situaciones es de proporcionalidad directa, expliquen por qué sí o por qué no y luego escríbanlo en sus carpetas y en un afiche para la pared del grado. Actividad 8 TRABAJANDO CON FILAS Y COLUMNAS En el Teatro las butacas están ubicadas como se muestran en el dibujo, de forma que todas las filas tienen igual cantidad de butacas. a) ¿Cuántas personas sentadas pueden asistir a cada función? b) Compará tu procedimiento con el de tus compañeros y anotá al menos dos formas distintas a la tuya c) Se quieren realizar reformas en el Teatro para ampliar la sala agregando 20 filas iguales a las que están. Una vez concluida la ampliación ¿Cuántas personas podrán asistir sentadas a la función? 159 Compará tus procedimientos con los de tus compañeros y discutí si llegaron al mismo resultado. Anotá dos procedimientos posibles para realizar el cálculo. Actividad 9 a) COMBINANDO ELEMENTOS En la fiesta de 15 años de Mariela, los invitados podían elegir entre 2 tipos de entradas, 3 platos principales y 2 tipos de postres. El hermanito, Nahuel, dijo: Así se puede elegir entre 10 menús diferentes ¿Puede ser cierto lo que dijo? Justificá tu respuesta Anotá el procedimiento que realizaste para calcular las combinaciones. b) María está preparando centros de mesa, todos diferentes, combinando una flor, una vela y una base, y tiene flores de 3 tipos distintos, 5 velas de diferentes colores y 2 bases de distintas formas. ¿Cuántos centros de mesa diferentes podrá armar? Anotá tu procedimiento. Comparalo con tus compañeros. ¿Todos llegaron a la misma respuesta? ¿Por qué? c) Si se agregaran invitados y María tuviera que armar 60 centros de mesa, combinando nuevamente los 3 tipos de flores y los 5 tipos de velas. ¿Cuántos tipos de bases distintas necesitaría? Actividad 10 ¿VALE O NO VALE? ¿Será cierto que:  si un litro de leche cuesta $ 7 y tres litros cuestan $ 21 esta compra representa un problema de proporcionalidad?  si el ½ kg de café cuesta $ 28 y el kg cuesta $ 50 estos precios aumentan en forma proporcional?  si una persona que a los 10 años pesa 40 kg, seguro que a los 20 pesará 80 kg y a los 40 va a pesar 160 kg?¿Por qué? 160  para saber cuántas cajas iguales hay apiladas en 8 filas de 6 cajas cada fila puedo multiplicar 8 x 6?  para averiguar de cuántas formas distintas puedo combinar tres remeras con cuatro pantalones puedo multiplicar 3 x 4? Actividad 0/11 1- En la verdulería quieren armar esta tabla de precios para saber rápido cuánto cuestan las chauchas según la cantidad de kilos. Ayudalos a terminarla. Kg de chauchas Precio 2 4 6 10 16 a) ¿Cuánto costará 1 kg? b) ¿Cómo averiguarías rápido el precio de 5 kg? ¿Hay solo una forma? c) El dueño de un comedor fue a comprar 20 kg ¿Cuánto le cobrarán? ¿Cómo lo averiguaste? d) Si el dueño de la verdulería decide poner de oferta 3 kg de chauchas a $ 22 ¿Ese precio iría en la tabla o no? ¿Por qué? 2- Embaldosados Este es un patio cubierto con baldosas. ¿Cuántas baldosas hay en total? Explicá cómo lo calculaste. Pensá otro procedimiento para llegar al resultado y escribilo. 161 3- El grupo de 5° grado tiene que decidir el menú para la fiesta de fin de año. María sostiene que pueden armarse 3 menús, porque hay sólo 3 postres, Tati le dice que los menús distintos son 12. ¿Con quién estás de acuerdo? ¿Por qué? COMIDAS POSTRES Empanadas Helados Pizzas Gelatinas Choripanes frutas de estación Panchos REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA - Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Cuadernos para el aula, matemática 5 - 1a ed. –Buenos Aires, (2007) - Ministerio de Educación de la Nación, Serie Piedra Libre para todos “Múltiples problemas”, (2010) - Ministerio de Educación de la Nación, Los Libros de 5° MATEMÁTICA de Graciela Chemello, Mónica Agrasar, Adriana Díaz, (2004) 162 LINK RELACIONADOS CON LA SECUENCIA TRUCOS PARA MULTIPLICAR http://www.youtube.com/watch?v=C5LkQbv-XPE 163 Propósitos de la secuencia de Multiplicación para 6° grado Esta secuencia promueve la producción, análisis y validación de diferentes procedimientos de cálculo para multiplicar. Desde un primer uso de la multiplicación en la resolución de problemas extramatemáticos, se avanza luego en el análisis de relaciones numéricas de tablas y en la memorización de los productos que ella contiene y continúa presentando problemas que refieran a distintos significados para la multiplicación donde se vaya haciendo cada vez más necesario contar con un repertorio disponible de cálculos multiplicativos que permita abordarlos eficazmente. Se trabaja con problemas que involucran proporcionalidad donde es posible plantear problemas donde no se informa cuál es el valor unitario, y donde los chicos deban usar en forma implícita dos de las propiedades que caracterizan a las relaciones de proporcionalidad directa: Al doble de una cantidad le corresponde el doble de la otra y A la suma de dos cantidades le corresponde la suma de las cantidades correspondientes. Si proponemos estos problemas con las cantidades presentadas en tablas, facilitamos el establecimiento de estas relaciones. Otra posibilidad para analizar las relaciones de proporcionalidad es plantear problemas donde las colecciones de elementos se presentan ordenadas en filas, o columnas, es decir en organizaciones rectangulares. También en este caso hay dos magnitudes directamente proporcionales, la cantidad de filas y la cantidad total de sillas, siendo la constante de proporcionalidad la cantidad de sillas por cada fila. Si los chicos ya han trabajado la representación en tablas, podrán usarlas para resolver el problema como una alternativa a las operaciones conocidas. Esto los lleva a resolver problemas que involucran la superficie de una figura. En cuanto a los problemas de combinatoria, es decir aquellos en los que hay que combinar elementos de diferentes colecciones, es importante considerar la experiencia previa que los niños puedan tener en situaciones donde se deban 164 combinar “todos con todos”, y avanzarlos a la conveniencia de utilizar procedimientos más expertos. Actividad 1 TUTTI FRUTI DE MULTIPLICACIONES El objetivo inicial es el de obtener información acerca de qué herramientas disponen los estudiantes para encarar las actividades previstas y, a partir de esta información, realizar los ajustes necesarios. En este grado, los alumnos irán construyendo el significado de las operaciones en la medida que tengan la oportunidad de trabajar con problemas en diferentes contextos donde las mismas cobren sentido. Al respecto, Ronald Charnay plantea lo siguiente: haciendo aparecer las nociones matemáticas como herramientas para resolver problemas es como se permitirá a los alumnos construir el sentido. Sólo después, estas herramientas podrán ser estudiadas por sí mismas. Se propone un juego donde se deberá recurrir al repertorio multiplicativo y estrategias de cálculo disponibles. Actividad 2 DESPUÉS DEL JUEGO En esta actividad se busca sistematizar los conocimientos numéricos ya explorados en la actividad anterior. Actividad 3 PROPORCIONALMENTE Este es el momento de que los alumnos, a partir de la reflexión, lleguen al concepto de constante de proporcionalidad en la proporcionalidad directa y que dicho concepto quede institucionalizado. Además que mediante el análisis del comportamiento de una magnitud con respecto a la otra (si una crece la otra también en la misma proporción) se establezca que estas situaciones corresponden a la proporcionalidad directa y plantear distintas situaciones en las que los alumnos confeccionen tablas, gráficos en ejes cartesianos y problemas 165 donde sólo se requiera una respuesta. Asimismo será conveniente plantear situaciones como las que se plantean en la actividad, en las que las propiedades de la proporcionalidad no puedan ser utilizadas descubriendo así los límites y alcances de esta propiedad. En 6° año/grado, avanzaremos con constantes de proporcionalidad, haciendo hincapié en el estudio de la constante. Actividad 4 TRABAJANDO FILAS Y COLUMNAS Otra posibilidad para analizar las relaciones de proporcionalidad es plantear problemas donde las colecciones de elementos se presentan ordenadas en filas, o columnas, es decir en organizaciones rectangulares. Este caso hay dos magnitudes directamente proporcionales, la cantidad de filas y la cantidad total de baldosas, siendo la constante de proporcionalidad la cantidad de baldosas. Si los chicos ya han trabajado la representación en tablas, podrán usarlas para resolver el problema como una alternativa a las operaciones conocidas. Actividad 5 COMBINANDO ELEMENTOS En cuanto a los problemas de combinatoria, es decir aquellos en los que hay que combinar elementos de diferentes colecciones, veremos problemas con dos y tres variables. En el caso de los primeros, ya trabajados en años anteriores, los retomaremos con mayor cantidad de elementos de cada tipo para que, al tener que combinar “todos con todos”, los chicos reconozcan en la multiplicación una herramienta eficaz que evita el trabajo de enumerar todos los pares. Es importante considerar el papel de las representaciones gráficas como diagramas de árbol o tablas para favorecer que los alumnos reconozcan la estructura multiplicativa de este tipo de problemas y puedan recurrir al cálculo. 166 En este problema será interesante que promovamos la discusión con los chicos acerca de las diferentes maneras de sistematizar la búsqueda de los resultados, para asegurarse de que esta ha sido exhaustiva. Actividad 6 Esta actividad ¿VALE O NO VALE? apunta al análisis de afirmaciones y a la producción de otras nuevas. Todas las afirmaciones que se incluyen derivan de las relaciones ya trabajadas. Recordemos que la actividad matemática en la clase debe incluir, necesariamente, la comunicación de las conclusiones que se obtienen y el análisis de su validez, así como la explicitación de aquello que se ha aprendido y su vinculación con otros conocimientos. Actividad 7 MIRAR LO QUE APRENDIMOS En esta actividad se propone revisar lo trabajado en las anteriores, contribuye a jerarquizar los conocimientos aprendidos. Al mismo tiempo, dado que se trata de una autoevaluación permite que el alumno tome conciencia de lo que repasó, de lo nuevo que aprendió y también promueve que pueda responsabilizarse de aquellos aprendizajes que aún no ha logrado. Actividad 0/7 Para cada secuencia, se incluye además una propuesta específica para el seguimiento de los aprendizajes de los alumnos. Esta actividad está pensada para ser realizada tanto antes de iniciar el trabajo con la secuencia como después de finalizarlo. Comparar las producciones de los alumnos en estas dos instancias permite obtener información acerca de los avances en el aprendizaje: qué procedimientos o representaciones nuevas aparecen, cómo se modifica su forma de explicar o de argumentar, etc. 167 Secuencia de multiplicación por dos cifras para 6° grado Actividad 1 TUTTI FRUTI DE MULTIPLICACIONES Cantidad de jugadores: 2 ó más Materiales: Tablas como las siguientes Reglas del juego: Los jugadores comienzan a completar la tabla al mismo tiempo. El primero en terminar dice: “basta para mí” y los demás deben dejar de escribir. Se anotan 2 puntos por cada resultado correcto. Gana el que logra anotar mayor cantidad de puntos. X 24 19 34 100 50 45 10 12 X 20 28 30 500 110 250 50 25 Actividad 2 DESPUÉS DEL JUEGO a) ¿Qué resultados te costaron menos? Explicá por qué. b) Conversá con tus compañeros sobre qué estrategias podrían usar para resolver más rápido los más difíciles. c) Completá con otro color los resultados faltantes. d) En una de las jugadas a otros chicos les tocó completar esta tabla, pero se equivocaron en algunos resultados. Marcalos con una cruz. 168 X 13 21 100 200 130 1000 13 169 260 130 260 169 13000 60 780 1260 600 1200 7800 6000 e) Lucas dice que resolvió más rápido estos cálculos: 13 x 21 60 x 200 13 x 1.000 ¿Qué procedimientos pudo haber realizado en cada caso? Actividad 3 PROPORCIONALMENTE a) Para vender autos las empresas muestran algunas características que hacen que ese modelo sea mejor que otros. Ésta es la publicidad de un nuevo modelo de auto, cuyo tanque tiene una capacidad de 60 litros y en la que se muestra el consumo de nafta según los kilómetros que recorre: Estos gráficos representan relaciones de proporcionalidad directa en una gráfica. Los puntos que se obtienen están alineados. Los valores correspondientes a una de las cantidades se representan en un eje “x” (horizontal) y los valores de la otra a) Observen cantidad, sobre el eje “y” (vertical). el 169 gráfico y vuelquen los datos en la siguiente tabla Cantidad de litros 5 10 30 Cantidad de km 150 350 b) Teniendo en cuenta la información dada indiquen cuántos km recorre con: 1/4 de tanque ……………. el tanque lleno ……………….. c) Otro auto de la misma empresa tiene un rendimiento de 400 kilómetros con 50 litros. ¿Será conveniente basar la publicidad en su consumo de nafta? ¿Por qué? d) Señalen en el gráfico anterior el consumo de este auto en 200 km ¿La recta estaría más o menos cerca del eje X? e) Y si en otro auto el consumo es de 25 litros en 300 km ¿Cómo queda la recta? ¿Podés decir cuál auto consume menos combustible? f) Completen la siguiente tabla que muestra el consumo de nafta de una moto Cantidad de litros 5 Cantidad de km 100 10 20 1 15 ¿Podrían explicar cómo calcularon cada valor? ¿Hay algún procedimiento que sirva para averiguar de forma fácil y segura la cantidad de km que recorre con 2; 3 o 7 litros? Algunas situaciones para analizar:  En una ciudad, para trasladarse en taxi, el pasajero debe pagar $ 8 por la bajada de bandera cuando inicia el viaje y $ 1,50 por cada km recorrido. ¿Cuánto deberá pagar por 2 km de viaje? ¿Y por 4 km? ¿Y por 20 km? Completá la siguiente tabla. 170 ¿Es una relación de proporcionalidad? ¿Por qué? Precio en $ Distancia en km  1 2 4 20 En un supermercado se ofrecen las siguientes ofertas: Café por ½ kg $ 45 Fideos largos el paquete $ 12 Llevando dos iguales pagás $ 80 Llevando 3 paquetes pagás $ 32 ¿Son situaciones de proporcionalidad directa? ¿Por qué? Actividad 4 TRABAJANDO FILAS Y COLUMNAS a) ¿Cómo hacer para averiguar la cantidad de baldosas de un patio rectangular, sabiendo que tiene 30 baldosas de ancho y 45 baldosas de largo? ¿Con qué procedimiento lo resolviste? Anotalo. b) Los patios de los departamentos A, B y C son cuadrados.  El patio del departamento A está cubierto con 81 baldosas. ¿Cuántas baldosas entran en cada lado?  El patio del departamento B tiene 12 baldosas a lo largo. ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir todo el patio?  En el departamento C se embaldosó el lunes la mitad del patio y los albañiles dicen que usaron 32 baldosas. ¿Cuántas baldosas entran en cada lado del cuadrado que forma el patio? c) En el departamento D quieren embaldosar sólo la parte pintada en el dibujo y se tienen los siguientes datos 171 50 baldosas 20 baldosas 40 baldosas 30 baldosas ¿Cuántas baldosas usarán en total? Escribí el cálculo que hiciste y después comparalo con los que hicieron tus compañeros. ¿Todos llegaron al mismo resultado? ¿Hicieron los mismos cálculos? Actividad 5 COMBINANDO ELEMENTOS 1- Combinando alimentos En el bar del club, pusieron un cartel que dice: a- ¿Cuántos sándwiches distintos se pueden hacer? 172 b- Organizá en un cuadro la información para que queden todas las posibilidades de sándwiches distintos. Hacé un cálculo que te permita saber cuántas son las posibilidades diferentes. c- Si al sándwich se le puede agregar también huevo duro, lechuga o tomate ¿Cuántos sándwiches distintos se pueden armar? ¿En qué cambia el cálculo que hiciste antes? d-¿Todos resolvieron de la misma forma? Comparen y decidan cuál o cuáles son las formas más fáciles y rápidas. 2- Combinando números Malena tiene una bolsa con estas bolillas: Saca una bolilla, anota el número y la vuelve a poner en la bolsa. Así lo repite tres veces y forma un número de tres cifras. a- ¿Cuántos números distintos puede formar? Escribí el cálculo con el que obtuviste el resultado y comparalo con los de tus compañeros. b- Y si ahora los números no pueden tener cifras repetidas ¿cuántos puede formar? En qué cambió el cálculo con respecto al que hiciste en el ejercicio anterior? c- Si agrega la bolilla con el número 6, ¿cuántos números diferentes puede armar? d- Si Malena logró armar 64 números distintos de tres cifras que pueden repetirse sacando de una bolsa bolillas con números de una cifra ¿cuántas bolillas tenía en la bolsa? 173 3- Combinando patentes Las patentes de los vehículos son alfa-numéricas, esto significa que están compuestas por letras y números. En nuestro país se usan tres letras y un número de tres cifras. Ambas pueden repetirse, por ejemplo AAA 222. ¿Podrían calcular cuántas patentes distintas se pueden formar? Comparen los resultados y los procedimientos con el resto de los compañeros. Actividad 6 ¿VALE O NO VALE? ¿Será cierto que:  hay una sola forma de multiplicar dos números cualquiera? Por ejemplo 15 x 12. Justificá tu respuesta.  si en una terminal de colectivos se sabe que todos los días llegan la misma cantidad de colectivos, se puede averiguar fácil cuántos llegarán en tres, cinco o diez días porque es una situación de proporcionalidad directa?  si puedo elegir 3 gustos de helado y hay 4 gustos diferentes, la cantidad de combinaciones posibles la obtengo calculando: 4 x 3 x 2 x 1?  cuando tengo elementos ordenados en filas y columnas la única forma de saber qué cantidad de elementos hay, es contar uno por uno? Actividad 7 MIRAR LO QUE APRENDIMOS a- ¿Cómo le explicarías a una persona de tu familia que para resolver una multiplicación por dos o más cifras no hay sólo una forma de hacerlo? b- ¿Cómo te das cuenta cuando un problema es de proporcionalidad directa? c- Si alguien quiere saber cuántas son las combinaciones posibles para elegir diferentes menús donde hay tres entradas, tres principales y dos postres ¿Qué cálculo le sugerís? 174 Actividad 0/8 1- Luis fabrica tableros para juegos de mesa y necesita saber la cantidad de casilleros que debe tener cada uno. Escriban debajo de cada tablero los cálculos que hicieron para averiguar la cantidad de casilleros que tienen. 2- En un salón de fiestas, ofrecen a los invitados los siguientes menús: 1er plato 2° plato Postre Sopa ravioles duraznos en almíbar Salpicón de ave pollo con papas helado Ensalada rusa ensalada de frutas flan ¿Cuántos menús distintos se pueden armar? 3- Indicá en cuáles de las siguientes situaciones hay relación de proporcionalidad directa y justificá tu respuesta: a) El consumo de combustible de un vehículo con respecto a los km recorridos. b) El tiempo que demora una persona, a una velocidad constante, en recorrer una cantidad de cuadras sabiendo que camina una cuadra en 3 minutos. 175 c) La altura de una persona sabiendo que en el primer año creció 20 cm. d) El tiempo que demorarán 3 albañiles en terminar una obra, si se sabe que si fueran 6 terminarían en 10 días. e) El precio de cierto producto sabiendo que diez iguales me costaron $200. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Cuadernos para el aula, matemática 6- 1a ed. –Buenos Aires, (2007) - Ministerio de Educación de la Nación, Serie Piedra Libre para todos “Múltiples problemas” “Relaciones múltiples” “Sobre las tablas”, (2010) - Ministerio de Educación de la Nación, Los Libros de 6° MATEMÁTICA de Graciela Chemello, MonicaAgrasar, Silvia Altman, (2004) 176 División CAPÍTULO 5. 4 177 Nociones didácticas La Enseñanza de la División en Naturales en la Escuela Primaria Un poco de historia… El conocimiento matemático es una construcción cultural que ha ido generándose y transformándose a lo largo de diferentes momentos históricos, como respuesta a problemas particulares o bien propios de la matemática. Teniendo en cuanta esta concepción, creemos oportuno realizar un breve recorrido de la división, especialmente con números naturales. Para ello, retomamos las palabras de Y. Perelman en su libro Aritmética recreativa, quien afirma: “En la antigüedad se consideraba “sabio” a quien hacia correctamente y con rapidez las divisiones; cada “maestro en división” (algo así como un especialista) debía comunicar a los demás el resultado de determinadas operaciones. Algunas veces, encendiendo un cerillo con un movimiento habitual, reflexionamos sobre cuánto trabajo costó a nuestros antecesores, de un pasado no muy remoto, obtener el fuego. Empero pocos sospechan que a los actuales métodos de realización de las operaciones aritméticas tampoco fueron, en su origen, así de sencillos y cómodos para que en forma tan rápida y directa condujeran al resultado. Nuestros antepasados emplearon métodos mucho más lentos y engorrosos, y si un escolar del siglo XX pudiera trasladarse tres o cuatro siglos atrás, sorprendería a nuestros antecesores por la rapidez y exactitud de sus cálculos aritméticos. El rumor acerca de él recorrería las escuelas y monasterios de los alrededores, eclipsando la gloria de los más hábiles contadores de esa época, y de todos lados llegarían gentes a aprender del nuevo gran maestro el arte de calcular” (Perelman, 1954) 178 De esta manera, además de que existían tantos métodos como calculistas, como afirma Perelman que “competían unos con otros, tanto en volumen como en complejidad. Dichos métodos se asimilaban con gran trabajo y solamente después de una prolongada práctica. Inclusive se consideraba que para poder dominar la multiplicación y la división de números de varias cifras significativas con rapidez y exactitud, era necesario un talento natural especial, una capacidad excepcional: sabiduría que para los hombres sencillos era inaccesible”. En el siglo XVI, se consideraba que el método más “elegante, fácil, exacto, usual y el más general de los existentes” era el denominado “Método de la galera”, que aparece minuciosamente detallado en la obra del matemático italiano Nicolás Tartaglia. El objeto de este documento no es desarrollar este método pero se puede obtener más información del mismo en la mencionada obra. En la actualidad, contamos con métodos más económicos y eficaces a la hora de resolver una división con cualquier número, pero también tenemos otros recursos didácticos como por ejemplo la calculadora, que nos permiten resolver un cálculo rápidamente. Pero, como educadores, tenemos “la inquietante tarea de recibir a los nuevos alumnos y de poner a disposición de todos y de cada uno de ellos nuestras mejores herramientas de indagación, de pensamiento y de creación. En el encuentro que se produce entre estudiantes y docentes reside la posibilidad de la transmisión, con todo lo que ello trae de renovación, de nuevos interrogantes, de replanteos y de oportunidades para cambiar el mundo en el que vivimos”. (Cuadernos para el aula, 2007:p.7) Así, nos parece oportuno retomar ciertos aspectos acerca de la tarea de enseñar que nos permiten fundamentar nuestra postura frente a la enseñanza de la Matemática y su aprendizaje. Para ello, nuevamente nos preguntamos qué significa aprender Matemática; qué se entiende por enseñar mediante la resolución de problemas y qué se concibe como problema; analizar cómo influye la gestión de la 179 clase en el tipo de aprendizaje que logren los alumnos; todo ello puede ayudarnos a realizar una relectura de las prácticas habituales, encontrar nuevos sentidos para lo que hacemos y reinventar así nuestras propuestas. A continuación explicitamos algunos de estos interrogantes, extraídos de los Cuadernos para el aula:  El proceso de construcción de un conocimiento matemático y las conclusiones resultantes tienen rasgos específicos: un modo particular de pensar y proceder. Estos conocimientos permiten anticipar el resultado de algunas acciones sin realizarlas efectivamente. Por otra parte, los resultados se consideran necesariamente verdaderos si, para obtenerlos, se han respetado reglas matemáticas. A la vez, la obtención de nuevos resultados conlleva la necesidad de crear un lenguaje para comunicarlos. Los números, las figuras y las relaciones tienen representaciones cuyo uso se conviene entre los matemáticos. De esta manera, la actividad matemática en la ciencia está muy fuertemente ligada a la resolución de problemas y a un modo particular de razonar y comunicar los resultados.  Esta forma de trabajar en Matemática debería ser también la que caracterice la actividad en el aula desde los inicios de la escolaridad. Se trata de que los alumnos entren en el juego matemático, es decir, que se ocupen de producir conocimientos nuevos (para ellos) frente a los problemas que se les planteen, y que debatan para validarlos. Luego, con la intervención del maestro, los reconocerán como conocimientos que forman parte de la Matemática. Así, en la escuela, los niños deberían ser introducidos en la cultura matemática, es decir, en las formas de trabajar “matemáticamente”.  Desde esta perspectiva, entendemos que saber Matemática requiere dominar los conocimientos de esta disciplina para utilizarlos como instrumentos en la resolución de problemas, y también para definirlos y reconocerlos como objetos de una cultura. 180 En segundo lugar, hablamos de la construcción del sentido de los conocimientos matemáticos. Este sentido según Brousseau (1983) se define:  No sólo por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado como teoría matemática; no sólo por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución,  Sino también por el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de economías que procura, de formulaciones que retoma, etc. Además, la construcción de significado de un conocimiento debe ser considerada en dos niveles:  Un nivel “externo”: ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento y cuáles son los límites de este campo?  Un nivel “interno”: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? La cuestión esencial de la enseñanza de la matemática es entonces: ¿cómo hacer para que los conocimientos enseñados tengan sentido para el alumno? El alumno debe ser capaz no solo de repetir o rehacer, sino también de resignificar lo aprendido en situaciones nuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas. Y es, en principio, haciendo aparecer las nociones matemáticas como herramientas para resolver problemas que se permitirá a los alumnos construir el sentido. Sólo después estas herramientas podrán ser estudiadas por sí mismas (Charnay en Parra, C. & Saiz, 1997: p. 52-53). 181 Teniendo en cuenta las diferentes situaciones que pueden resolverse mediante una división, encontramos problemas de proporcionalidad, problemas de organizaciones rectangulares, problemas de combinatoria, problemas de repartos no equitativo y equitativo, problemas con resto y sin resto, problemas en los que el resto hace necesario un análisis, entre otros. Existen otros tipos de problemas que involucran la división y que también son posibles de ser presentados a los niños, pero que son objeto de trabajo específico del segundo ciclo (Documento Nro. 4 de Actualización Curricular GCBA, 1997). Desde esta perspectiva, el propósito es favorecer la construcción de diferentes significados posibles de la división. Para ello es necesario que los niños resuelvan y conozcan diferentes tipos de problemas, ya que esta operación no sirve exclusivamente para resolver los de un solo tipo. Los niños reconocen más fácilmente la división en unos que otros problemas y será necesario precisamente abordar en la enseñanza aquellas situaciones donde experimenten dificultad (Broiman, 2010). En tercer lugar, sabemos que la mayoría de las nociones matemáticas que se enseñan en la escuela llevan mucho tiempo de elaboración, por lo que es necesario delinear un recorrido precisando el punto de partida y atendiendo al alcance progresivo que debiera tener el tratamiento de las nociones en el aula. Como nuestro propósito es la enseñanza de la división, retomamos el estudio de este objeto matemático y su recorrido en los NAP, específicamente en el eje “Número y Operaciones”. El tratamiento que se aborda en este eje es el de las operaciones básicas, tanto en relación con los problemas aritméticos que deben resolver los niños, como con las formas de calcular. En Segundo Ciclo, es esperable que los alumnos avancen en nuevos significados de la suma, la resta, la multiplicación y la división de los números naturales, y que calculen en forma exacta y aproximada con distintos procedimientos, incluyendo la construcción de otros más económicos. 182 Este trabajo contribuirá a lo largo del ciclo a sistematizar relaciones numéricas y propiedades de cada una de las operaciones. En relación con las formas de calcular, es importante considerar como inicio del trabajo el uso de diferentes procedimientos en función de los conocimientos disponibles de los alumnos sobre los números involucrados y sobre las operaciones, antes de analizar y utilizar procedimientos más económicos. La evolución de las formas de calcular con números naturales dependerá de la disponibilidad que tengan los alumnos tanto del repertorio multiplicativo como de las propiedades, de las intervenciones del docente y, de las comparaciones y validaciones que se hagan de las distintas formas de calcular que conviven en la clase. En particular, el cálculo escrito de la división debiera evolucionar desde estrategias de sucesivas aproximaciones en 4º año/grado, hasta lograr aproximaciones al dividendo en menos pasos. Los problemas y recursos de cálculo La enseñanza de la división, se iniciaba con la explicación del mecanismo de resolución con números pequeños y luego aparecían los problemas. Los primeros eran de “reparto equitativo”; en ocasiones la distribución en partes iguales se daba por supuesta como en el siguiente ejemplo: Hay que repartir 20 caramelos entre 5 niños. ¿Cuántos le doy a cada uno? Muchos docentes relatan que cuando aparecían los problemas ellos mismos ofrecían material concreto intentando producir alguna vivencia de dicho reparto. La dificultad se presentaba posteriormente: ¿cómo darle un marco numérico a aquello que los niños sólo podían resolver de manera concreta y/o gráfica? ¿cómo “pasar” a la cuenta que en ocasiones ya “sabían”? Sólo restaba la práctica de los algoritmos, para lo cual se insistiría en la memorización de las tablas y luego a la aplicación de los mismos a problemas de mayor complejidad. 183 Para enseñar el algoritmo de la división, algunos docentes comentan que permitían hallar el resto escribiendo el resultado de la multiplicación del cociente estimado por el divisor, que luego restarían del dividendo; a esto le llamaban “división con resta”. Un nuevo problema se planteaba: ¿cómo sacar la resta de la división? Es decir, aprender a dividir, significaba repetir ciertas reglas y pasos dados. El docente orientaba este proceso señalando, lo permitido, lo que no se puede hacer, lo incorrecto, lo desviado del modelo dado. En tanto que los problemas solo fueron excusas para abordar “la cuenta”. De esta forma, y a partir de nuestro enfoque, la enseñanza clásica de la división presenta algunas dificultades para su aprendizaje como son:  La ruptura entre los procedimientos espontáneos de los niños y la forma canónica de resolver;  Todo se plantea como nuevo, excepto “las tablas” y la resta en caso de “permitirse” hallar el resto de la forma anteriormente mencionada:  Los mecanismos de control de los procedimientos algorítmicos quedan fuera de la responsabilidad del alumno, quien, como consecuencia, no los asume como parte de su aprendizaje. De este modo, el maestro tiene toda la tarea de control. Así, la enseñanza de la división puede iniciarse con problemas de partir y repartir desde primer grado para que los alumnos resuelvan con los elementos que tengan disponibles, sin intención de formalizar “la cuenta”. De este modo, los alumnos irán adquiriendo cierta familiaridad con este tipo de problemas y confianza para resolverlos. A partir de tercer grado formalizarán los conocimientos explorados en años anteriores, iniciando la sistematización de los diferentes modos de resolver esas cuentas (Castro, Adriana; 2011). Dentro de los conocimientos que los alumnos 184 pueden tomar como apoyo para resolver y controlar sus procedimientos se encuentran:  El dominio creciente del sistema de numeración, particularmente del análisis del valor posicional;  Un conjunto de productos memorizados o en proceso de memorización ya que quizás los “visiten” con el uso de la tabla pitagórica:  El resultado de la unidad seguida de ceros;  La práctica frecuente, acompañada de discusiones que validen las diferentes construcciones grupales. De este modo los niños construirán conocimientos acerca de las propiedades de las operaciones y las relaciones entre los números que les permitirá reconocer cada vez con mayor precisión qué se “puede” hacer y que no “se puede” en función del análisis permanente de la pertinencia de los resultados hallados (Castro, Adriana; 2011). La cuenta o las cuentas de dividir Los procedimientos de los alumnos deben avanzar desde primer año a 3°, de utilizar dibujos, marcas, más bien espontáneos a sumas, restas, multiplicaciones teniendo disponibles recursos de cálculos mentales por la unidad seguida de cero, restas de números redondos, etc. Posteriormente se avanza hacia un algoritmo propuesto por Brousseau y que actualmente es tomado por varios textos y documentos curriculares. ¿Por qué “otro algoritmo” intermediario entre los procedimientos de los niños y el algoritmo convencional? Hay numerosos trabajos que muestran las dificultades importantes que tienen los niños con la cuenta de dividir (Saiz, 1994; Lerner, 1992) y textos que intentan promover recursos de cálculo más “transparentes”. Veamos algunos ejemplos: 185 |5 79 -50 10𝑥5 ← 10 29 -20 4𝑥5 ← ← -5 4 89 -45 44 -36 8 +4 9 1𝑥5 5x10 =50 → quedan 29 5x 4 =20 → quedan 9 5x 1 = 5 → quedan 4 1 5𝑥9 ← | 9 5+4 4x9 5x9 =45 → quedan 44 4x9 =36 → quedan 8 15 216 | 6 - 60 10 156 +20 -120 6 36 36 -36 0 216 o bien -180 36 - 36 0 | 6 30 + 6 36 ¿Cuáles son las ventajas de presentar a los niños este algoritmo en lugar de la enseñanza directa del convencional? Sin duda, el algoritmo convencional es más corto. Sin embargo, en este hay más cálculos escritos que posibilitan a los alumnos controlar lo que hacen en cada paso. Habitualmente, los niños se confunden en las cuentas de dividir y los resultados que obtienen muestran una distancia significativa de la solución posible. Cada paso del algoritmo convencional para los niños carece de significado, y por lo tanto hace perder de vista el posible campo de números que puede tener el resultado de la división. 186 En este algoritmo, al operar con la globalidad de los números, en lugar de separarlos en unidades, decenas y centenas permite desde el primer momento tener una idea aproximada del cociente. Favorece también la estimación y el control posterior. En el algoritmo convencional, cuando se coloca el primer número del cociente, por ejemplo 4, no se sabe si ese 4 “se convertirá” en un 4, un 40 o un 400. En este algoritmo “se trabaja” con el 400 directamente. 3456 - 3200 |8 400 En el algoritmo convencional, los niños tienen que encontrar el mayor número posible “que entra” en otro, es decir, el mayor múltiplo que sea menor al número que se considera parcialmente como dividendo. En este algoritmo, en cambio, los niños pueden ir “repartiendo” por partes y si les sobra pueden seguir repartiendo. Por ejemplo: Algoritmo convencional 475 - 32 15 |8 4 tengo que tachar y empezar de vuelta con 5 como sobran 15 puedo “más que 4” En este algoritmo 475 - 320 155 - 80 75 - 40 35 - 32 3 |8 40 10 + 5 4 59 Podía 50, pero calculo primero 40 y luego 10, luego podrá 9 pero tomo primero 5 y luego 4 y no hace falta empezar de vuelta. El algoritmo convencional es difícil para los niños de ser aprendido y, a pesar de su costo, solamente es útil para dividir por una cifra. Luego los niños tendrán que aprender otro, en el que las dificultades y errores aumentarán enormemente para dividir por dos cifras. Éste, en cambio, permite a los niños desde tercer año realizar divisiones con cocientes mayores de 10 que habitualmente son abordadas en cuarto, utilizando el mismo procedimiento: 187 321 - 21 6 321 - 150 171 - 150 21 - 15 6 | 15 21 | 15 10 10 + 1 21 E incluso podría utilizarse para dividir por tres cifras de números redondos: Por ejemplo: 4675 - 3600 | 120 30 ¿Qué sucede con el algoritmo convencional? Tal vez en algún momento ya no lo precisen, y la escuela pueda enseñar diferentes algoritmos para que cada alumno decida el que le resulte más conveniente. Pero, por ahora al menos, el uso social justifica el esfuerzo de “pasar” del algoritmo presentado al más difundido. A partir del dominio de estrategias de cálculo y de este algoritmo, los niños están en mejores condiciones de avanzar hacia el conocimiento del algoritmo convencional. ¿Cómo se produce este avance? Al principio, los niños utilizan variadas multiplicaciones para la búsqueda de cociente. Luego se les propone buscar el mayor posible, tratando de acortar la cuenta: La cuenta me salió bien, pero también se puede hacer más corta 526 - 300 226 - 150 76 - 75 1 188 |3 100 50 + 25 175 526 - 300 226 - 225 1 |3 100 75 + 175 Algunas actividades que permitan avanzar a procedimientos más cortos son: Estas dos cuentas son muy parecidas pero la segunda es más corta 189 - 60 129 - 60 69 - 60 9 - 6 3 |6 10 10 + 10 1 31 189 - 180 9 - 6 3 |6 30 1+ 31 En un momento posterior se les enseña a estimar la cantidad de cifras del cociente y a escribir los lugares del mismo: Ahora trata de acortar esta: 422 - 70 352 - 70 282 - 70 212 - 70 142 - 70 72 - 70 2 |7 10 10 10 + 10 10 10 60 457 | 5 10 x 5 = 50 100 x 5 = 500 Entre 10 y 100 pero más cerca del 100 va a tener dos cifras 457 - 450 7 - 5 2 | 5 9 1 1x5=5 hago 90 x 5 = 455 Posteriormente, se les presenta a los niños el algoritmo convencional, pero manteniendo la escritura de la resta. Se entiende que los niños dominen simultáneamente ambos, pues para algunos cálculos será mucho más breve este algoritmo que el que se usa actualmente. Por ejemplo: 189 15025 - 15000 25 25 0 O bien 4237 - 4200 37 35 2 | 5 3000 5+ 3005 | 7 600 5+ 605 Con respecto a los recursos de cálculo es relevante continuar abordando estrategias de estimación, control posterior acerca del resultado obtenido, recurso de cálculos mental, etc., aspectos necesarios para seguir avanzando tanto en la construcción del algoritmo convencional como en la utilización de variadas estrategias de cálculo (Parra, 1994 ; Saiz, 1994). Cómo avanzar con los diferentes procedimientos de cálculos. En cuanto al avance sobre formas de calcular divisiones, se pueden plantear situaciones que permitan a los alumnos descubrir otros procedimientos, tanto en casos con resto igual como distinto de 0. Conviene que en un primer momento los niños resuelvan en pequeños grupos problemas como los planteados en “Plantear situaciones para multiplicar y dividir”, del modo como ya se ha explicado. Un nuevo ejemplo es el siguiente: Marcelo compró 48 caramelos para repartir a 6 amigos en el día de su cumpleaños. ¿Cuántos caramelos colocará en cada bolsita? ¿Y si compra 57 caramelos? Luego es posible proponerles que comparen los procedimientos que ellos usaron con los propuestos en la siguiente situación, para que focalicen la relación de la división con la multiplicación. Analizá cómo pensó cada uno de estas chicas para resolver los cálculos. Mariela: –Yo pienso por cuánto multiplico a 6 para que me dé 48. Voy probando 6 x 5 = 30, me falta; 6 x 10 = 60, me paso. Entonces pruebo con 6 x 8 = 48. Ema: –Yo busco en la tabla pitagórica el número en la columna del 6 y miro en que fila está. 190 Mariela: –Yo pienso que 57 no está en la tabla del 6, entonces voy buscando 6 x 9 = 54 es más chico y si hago 6 x 10 = 60 es más grande. Entonces es 9 y me sobra algo. Ema: –Yo busco en la tabla pitagórica en la columna del 6 y, como con 60 me paso, elijo 54 que está en la fila del 9. Me sobran 3. • Usá las formas de Mariela y Ema para calcular 45 : 9 y 73 : 8. Para avanzar en el algoritmo de la división, será necesario considerar números más grandes de modo que no se pueda resolver la cuenta apelando únicamente a la tabla memorizada, ni recurriendo a la tabla pitagórica, como se propone en el primer punto del problema siguiente. Si los niños han trabajado antes con descomposiciones, es probable que esto los conduzca a descomponer los números de algún modo para poder resolver. El análisis de los nuevos procedimientos y la comparación con otros, tal como se plantea en el segundo y tercer puntos, facilitará la comprensión de propiedades y operaciones involucradas en cada uno. Cuando se consideran contextos, vincular los números de la cuenta con las cantidades del enunciado, tal como se plantea en el último punto, permite evaluar la razonabilidad del resultado obtenido. 191 Resolvé el problema siguiente Como Ayelén ya completó su álbum de figuritas, decidió repartir las 89 figuritas que le sobraron entre sus mejores amigas: Belén, Ana, Rosario y María. ¿Cuántas le dará a cada una? Analizá cómo lo pensó Ayelén y compará con el procedimiento que vos utilizaste. Primero repartí 10 a cada una. Como me sobraban le dí 10 más a cada una. Por último, pude darles otras 2 figuritas. Por lo tanto, cada una se quedó con 22 figuritas y me sobró una. Compará esta división con la que usó Ayelén. Señálá en la cuenta qué número indica: 192 El algoritmo que se plantea en el tercer punto es muy similar al que se trabaja en el Segundo Ciclo, tanto para las divisiones con cociente de una cifra, como de dos o más. Si bien esta cuestión será analizada en profundidad en el Cuaderno para el aula: Matemática 4, la comprensión de un algoritmo para dividir de manera económica requiere, además de tener disponibles los productos, tener cierto dominio de las propiedades y de las descomposiciones de los números. Las cuentas de dividir constituyen uno de los contenidos que genera muchas dificultades en la vida escolar y esto no puede atribuirse en todos los casos a la falta de conocimientos previos de los niños. El procedimiento que se aprendía de forma mecánica se apoya, en su enseñanza tradicional, sobre la verbalización de las acciones que se van realizando (algunas más explícitas que otras) y que aluden a los repertorios de la multiplicación, la resta y la descomposición de los números según su valor posicional. Si los niños han trabajado previamente con aproximaciones sucesivas de restas y han fortalecido suficientemente el repertorio de la multiplicación incluyendo productos por 10, 100, 20, 200, etc., como hemos planteado antes, podemos avanzar con cierta naturalidad hacia un algoritmo de aproximaciones sucesivas, acortando significativamente los procedimientos utilizados hasta el momento. En este sentido, proponemos mantener como expectativa la realización de un algoritmo por aproximaciones sucesivas de productos con resta incluida, cuyos pasos y resultados pueden ser controlados por los niños, y no forzar el uso del algoritmo tradicional, que 193 oculta muchas relaciones difíciles de explicitar y controlar por parte de los niños y por ello se vuelven fácilmente olvidables. En 4º año/grado es conveniente que retomemos el trabajo de división de 3 er año/grado, con situaciones de reparto, aumentando el número de elementos, para que los alumnos conserven el sentido de lo que hacen. Podemos empezar planteando una situación como la siguiente: Uno de los mercaderes más poderosos de Bagdad decide repartir 397 esmeraldas entre sus siete hijas mujeres en partes iguales. Les dijo que se las daría sólo después de que cada una indicara el número exacto que le correspondía. a) ¿Cómo lo harías vos? b) Analizá y compará los distintos procedimientos que usaron cuatro de las hijas mujeres del mercader de Bagdad: Estrella, Jazmín, Zafira y Felisa. 194 Cuando los chicos resuelven la consigna a), podemos conocer cuáles son los procedimientos de los que disponen para resolver esta situación. Al resolver la consigna b), favorecemos la comprensión y explicitación de las propiedades y las operaciones involucradas en los distintos procedimientos presentados. 195 Solo después de un intenso trabajo con cuentas, que muy probablemente sean largas, es decir que en el cociente aparezcan reiteradamente cienes y dieces, nuestras intervenciones podrán apuntar al acortamiento de dicho algoritmo. Para esto, podremos escribir dos cuentas en el pizarrón y fomentar que los niños establezcan relaciones entre números del cociente. Si, avanzados en este procedimiento, propusiéramos resolver cuentas en las que se incluyan divisores de dos cifras a partir del trabajo desplegado, esto no implicaría un obstáculo, puesto que los niños ya pueden extender este procedimiento en dichas cuentas. El desarrollo de este procedimiento está sostenido, no sólo en la comprensión del proceso de reparto y restas reiteradas, sino también en el cálculo mental (tablas, multiplicaciones por la unidad seguida de ceros) sin cuyo dominio la estrategia no se puede sostener. En síntesis, en este documento hemos tratado de analizar algunos aspectos didácticos que permiten sostener nuestra postura frente a la enseñanza de la matemática y en particular, de la división con números naturales en la escuela primaria. Algunos aspectos que compartimos mencionados por la autora Claudia Broitman (2010) en “Las operaciones en primer ciclo” son:  Abordar la construcción de los sentidos de la división a través de la resolución de problemas y la reflexión en torno a los mismos. 196  Instalar como objeto de estudio los problemas de la división aun cuando los niños no dispongan todavía de procedimientos expertos para resolverlos.  Presentar variedad de problemas, pues la divisiones un recurso que sirve para resolver diferentes tipos de situaciones.  Proponer luego de una instancia de resolución individual la comunicación y el debate sobre los resultados y los procedimientos incluyendo errores y procedimientos poco económicos.  Trabajar posteriormente a la resolución de problemas en forma colectiva, enfatizando las conclusiones a partir de lo realizado, para que dicho conocimiento empiece a tornarse disponible para nuevos problemas.  Favorecer la difusión de estrategias producidas por los niños para que sean posibles de ser apropiadas por todos.  Abordar la enseñanza de la división a lo largo de varios años.  Enseñar diferentes recursos de cálculo algorítmico y mental. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Broitman C. “Las Operaciones en primer ciclo”. Editorial Novedades Educativas. Buenos Aires, (2010) - Castro, A. y otros “Enseñar Matemática en la escuela primaria”. Serie Respuestas. Tinta Fresca. Bs As, (2011) - MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CIENCIA Y TECNOLOGÍA DE LA NACIÓN, Cuadernos para el aula, matemática 4 - 1a ed. – Buenos Aires, (2007) - Perelman, Y. “Aritmética Recreativa”. Capítulo 3: Algo de Historia. Editorial Estatal de Literatura Infantil, (1954) - Parra, Cecilia y Saiz Irma (comp.), “Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones”. Bs. As. Paidós. pp 52-53(cap. 2: ), (1997) 197 Secuencia de división con números naturales para 4° grado Aprender a dividir no se reduce a aprender el algoritmo, éste no es el conocimiento central de su aprendizaje. Propósitos de esta secuencia:  Elaborar y dominar recursos de obtención de resultados (entre ellos el algoritmo)  Reconocer cuáles son los problemas que se pueden resolver utilizando la división y cuáles no.  Identificar las relaciones que se pueden establecer entre la división y las demás operaciones aritméticas: suma, resta y multiplicación.  Validar los resultados obtenidos. Actividad 1 Un problema, distintos caminos Las latas de gaseosa se pueden reciclar. En la escuela de Tomás recogieron 75 latas. Las colocaron en cajas de 25 latas cada una. ¿Cuántas cajas pudieron llenar? Así lo resolvió Tomás 75 – 25 = 50 50 - 25 = 25 25 - 25 = 0 ¿Cómo supo cuándo parar de restar? ¿Cómo sabe cuál es el resultado? Así resolvió Analía 25 + 25 = 50 50 + 25 = 75 ¿A qué resultado llegó? ¿Cómo se dio cuenta de que había llegado al resultado? 198 Vero pensó así Si en cada caja entran 25 latas, en 2 cajas hay 50 latas y en 3 cajas hay 75 latas. ¿Será cierto? ¿Por qué? José, mirando lo que hizo Vero, dice que si 25 x 3 = 75 entonces 75 : 25 = 3 ¿Cuál es la cuenta que hizo José? Actividad 2 a) Completen la siguiente tabla x 2 5 Cálculos fáciles 8 12 25 30 10 100 1.000 ¿Qué les sucede a los números cuando se los multiplica por 10? ¿Y por cien? ¿Y por 1.000? b) Otra tabla para completar El número Multiplicado por 2 da Multiplicado por 20 da Multiplicado por 200 da 5 9 10 36 ¿Cómo pensaste los resultados para la columna por 20? ¿Y por 200? c) ¿Podrías usar la misma estrategia para resolver los siguientes cálculos? 7x3= 7 x 30 = 7 x 300 = 199 9x5= 8x8= 9 x 50 = 8 x 80 = 9 x 500 = 8 x 800 = Actividad 3 ¿Cuántas veces? a) ¿Cuántas veces entra el 10 en los números de la lista? Los primeros van como ejemplo, completen el resto de la tabla Número Cantidad de veces que entra el 10 80 8 veces justo 86 8 veces y sobran 6 50 100 105 150 157 b) Conversá con tu grupo y explicá cómo se dieron cuenta en la actividad anterior de si “entraba justo” o “sobraba”. Actividad 4 Multiplicar para dividir Ya nos dimos cuenta que los cálculos de multiplicación y de división están relacionados, entonces les proponemos estos desafíos: a) Si 25 x 5 = 125. ¿Se animan a completar los resultados de estos cálculos? 125 : 25 =…………………. 125 : 5 =……………… b) Si 150 x 10 = 1.500 ¿pueden escribir los resultados de estas divisiones? 1.500 : 150 =…………… 1.500 : 10 =…………………. c) Si 200 x 30 = 6.000 ¿cuánto dan estos cálculos? 6.000 : 200 = ……………………. 200 6.000 : 30 =………………………. Actividad 5 a) Cerca de…. ¿Cuál será el resultado aproximado de los cálculos de las tablas siguientes? Marquen con una cruz y luego comparen con las respuestas de sus compañeros b) ¿Cuánto da más o menos? 345 : 3 Cerca de 10 Cerca de 100 Cerca de 1000 Entre 0 y 10 Entre 10 y 100 Entre 100 y 1000 4.807 : 4 65 : 5 ¿Cuánto da más o menos? 1.632 : 12 630 : 15 168 : 24 Actividad 6 Una forma de dividir Estas son algunas formas de resolver 326 : 5, se trata de encontrar cuántas veces entra el 5 en 326 201 Cálculos que ayudaron a hacer estas cuentas 5 x 10 = 50 5 x 2 = 10 5 x 20 = 100 5 x 5 = 25 5 x 50 = 250 Luego de haber analizado entre todos esta forma de dividir, a) resolvé 428 : 12, antes de hacer la cuenta anticipá si el resultado va a estar entre 0 y 10, entre 10 y 100 o entre 100 y 1000 b) Inventá 2 cuentas de dividir con el divisor de dos cifras, resolvélas y mañana las mostrás a tus compañeros. 202 Actividad 7 Todo en cuotas a) En este negocio se pueden comprar electrodomésticos en cuotas. Para que los clientes sepan cuánto debían pagar por mes empezaron a hacer una tabla, pero no la han terminado ¿podés ayudarlos? Producto Valor de la cuota Plancha $ 20 Juguera Celular Tostadora Heladera 203 B )Cecilia quiere comprarse el abrigo de lana ¿en cuántas cuotas lo pagará? Actividad 8 ¿Vale o no vale? Decidí si la siguientes afirmaciones son ciertas o no y justificá tus respuestas  Si un problema se puede resolver con una división también se podría resolver con una suma, una resta o una multiplicación.  Si un problema se puede resolver con una resta siempre puede resolverse con una división.  Si sé que 14 x 12 = 168 sé también cuánto es 168 : 12 y 168 : 14.  Al terminar una cuenta de dividir el resto puede ser mayor que el divisor. Actividad 0 / 9 1) Si la cuenta es 259 /7 ¿Es cierto lo que dice Martín? 2) Ayudá al cocinero 204 3) Cuentas para resolver otras cuentas  Si sé que 23 x 15 = 395 ¿Qué divisiones podés resolver, sin hacer las cuentas, a partir de esta multiplicación? 4) Mi hermano quiere comprarse un celular que cuesta $ 3.250, se lo venden en 12 cuotas iguales sin interés. ¿las cuotas serán de más de $325? ¿Cómo lo pe 205 Sistemas de referencias CAPÍTULO 5. 5 206 Nociones conceptuales SISTEMAS DE REFERENCIA Desde antes de comenzar la escuela los niños han interactuado de manera permanente con el medio material y humano. Esta interacción puede observarse en relación con las posiciones de los objetos cotidianos y el propio cuerpo, con los objetos entre sí, con la estimación de distancias de un modo puramente práctico. Ya en los primeros años de la escolarización se comienza a describir el espacio con algunos términos más específicos: izquierda/derecha, arriba/abajo, atrás/adelante; de esta forma la matemática a través del tiempo va enriqueciendo las concepciones iniciales. Se requiere entonces que el niño pueda comunicar el espacio físico en el que se encuentra. Poder ejercer un control sobre el medio habilita para la manipulación de objetos, para su desplazamiento, para lograr fabricar y transformar estos objetos según necesidades concretas. En relación a la enseñanza de los sistemas de referencia, los Cuadernos para el aula nos sugieren lo siguiente: “Una de las funciones de la enseñanza en el área de Matemática es enriquecer estas concepciones iniciales, desarrollando la comunicación de la información sobre el espacio cotidiano, el poder de anticipación y el control de los efectos de las acciones sobre ese espacio. Esto ocurre, principalmente, cuando se propone pasar de la percepción del espacio en sentido práctico a la representación del espacio. Un campo de experiencias fecundo en relación con las prácticas sobre el espacio sienta las bases para el desarrollo del pensamiento geométrico en el niño. El control del espacio físico habilitaría en los chicos múltiples posibilidades:  desplazar objetos para encontrar y comunicar su posición en el espacio;  reconocer, describir, recorrer y transformar desplazamientos en el espacio y 207  reconocer, describir, fabricar y transformar objetos. Dado que muchos de estos conocimientos se generan de modo práctico fuera de la escuela, se podría pensar que todos los aprendizajes que se vinculan al dominio espacial se adquieren en toda su complejidad de esta forma. Sin embargo, son numerosos los indicios acerca de las dificultades que poseen los jóvenes y los adultos en relación con prácticas espaciales complejas que exigen la anticipación, el control, la comunicación y la representación de las relaciones que se ponen en juego en y con el espacio. El trabajo con las representaciones juega un papel fundamental en la evolución de los conocimientos espaciales, sobre todo cuando se trata de controlar un espacio mayor que el que se abarca manual o visualmente. Describir, comunicar e interpretar, tanto la ubicación de los objetos como sus posibles desplazamientos, permite la utilización de diagramas, dibujos o gráficos. En este sentido, entendiendo la comunicación oral de relaciones espaciales como una forma de representarlas, el vocabulario específico se irá introduciendo naturalmente cuando se necesite describir, comunicar o representar figuras, posiciones y desplazamientos. Las representaciones pueden ser objeto de estudio desde distintos aspectos. Entre ellos, su adecuación al problema para el cual son producidos o utilizados, lo que requiere seleccionar la información para resolver el problema que se plantee; la legibilidad, es decir la posibilidad de interpretación de los medios y los códigos utilizados; las relaciones entre lo representado y su representación; las variaciones de las representaciones según los puntos de vista del observador.” Podrá verse que en las secuencias para cuarto, quinto y sexto grado hay algunas actividades similares. La idea es que en cuarto grado los alumnos se inicien en el uso de estas nociones. Teniendo en cuenta que en algunas aulas de quinto y sexto no se ha trabajado previamente el juego “Batalla Geométrica”, se presente nuevamente (o 208 por primera vez) de modo que nos aseguremos los conocimientos previos necesarios para continuar con las actividades siguientes. Según los NAP, los contenidos y procedimientos de las secuencias en cuanto al reconocimiento y uso de relaciones espaciales y de sistemas de referencia en la resolución de problemas, son los siguientes: 4° grado 5° grado 6° grado El reconocimiento y uso de El reconocimiento y uso de El reconocimiento y uso de relaciones espaciales, en relaciones espaciales y de relaciones espaciales y de situaciones problemáticas que sistemas de referencia en sistemas de referencia en requieran: situaciones situaciones problemáticas que requieran: problemáticas que requieran: - establecer las referencias - ubicar objetos en el espacio - ubicar puntos en el plano en necesarias para ubicar objetos y/o sus representaciones en el función de un sistema de en el espacio tridimensional o plano en función de distintas referencia dado. sus representaciones en el referencias. plano. - interpretar y elaborar - interpretar y elaborar croquis - representaciones del espacio teniendo en cuenta interpretar, las comparar elaborar y representaciones próximo teniendo en cuenta relaciones espaciales entre los del espacio (croquis, planos) las relaciones espaciales entre elementos representados. los objetos representados. explicitando de utilizadas. 209 las relaciones proporcionalidad REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Cuadernos para el aula, matemática 4 - 1a ed. – Buenos Aires, (2007) - Núcleos De Aprendizajes Prioritarios. Segundo Ciclo E.G.B./Nivel Primario, Matemática. Abril de 2005. Propósitos de la secuencia de Sistemas de Referencias para 4° grado 210 Propósitos de la secuencia de Sistema de referencia para 4° grado Con el fin de que los chicos desarrollen aprendizajes que les permitan ubicarse en función de distintas referencias, tendremos en cuenta algunas propuestas para ubicar posiciones tanto en el espacio de dos como de tres dimensiones, variando la cantidad y el tipo de referencias. ACTIVIDAD 1: BATALLA NAVAL Con esta actividad se intenta que el alumno logre usar coordenadas para la ubicación precisa de puntos en el plano. Es necesario que ubique un objeto en una cuadrícula. “Se trata de un ejemplo particular de ubicación de una posición en la que el espacio es de dos dimensiones y donde se toman dos referencias: un eje horizontal, donde las posiciones sucesivas se indican con números y otro eje vertical donde las posiciones se indican con letras.”(Cuaderno para el Aula 4, 2007, p.123) Como ocurre con todos los juegos es conveniente jugarlo más de una vez teniendo en cuenta las experiencias de los alumnos. ACTIVIDAD 2: DESPUÉS DEL JUEGO El Después del juego busca afianzar lo trabajado en el juego, proponiendo un análisis de caso para validar una respuesta. “Esto significa una tarea de mayor complejidad, pues los chicos deben responder sin realizar efectivamente la jugada. Esta actividad permite discutir cuáles son las estrategias que los alumnos utilizan para intentar localizar las posiciones de los barcos que, en este caso, resultan de una sucesión de dos, tres, cuatro o cinco posiciones que tienen todas la misma letra (están en la misma fila) o todas el mismo número (están en la misma columna).” (Cuaderno para el Aula 4, 2007, p.125) 211 ACTIVIDAD 3: LA BATALLA GEOMÉTRICA En esta variante de la batalla naval se presentan tableros diferentes, con las mismas referencias en filas y columnas, pero reemplazando las celdas por puntos y cambiando las naves por formas geométricas, como rectángulos y cuadrados “La innovación del juego, que implica una doble complejización, suele suscitar un poco de sorpresa, desconcierto y también respuestas activas de búsqueda, ensayo y error, por parte de los chicos. Por un lado, el tamaño de las figuras pueden elegirlo ellos, pues la restricción “con uno a cuatro puntos interiores” conduce a que los cuadrados tengan uno o cuatro puntos interiores y los rectángulos uno, dos, tres o cuatro puntos interiores. Por otro lado, los puntos que determinan las figuras no están todos alineados, por lo tanto habrá que tener en cuenta las características de las figuras para elegir los puntos. En este sentido, es posible proponer diferentes niveles de complejidad: las figuras pueden tener los lados paralelos a los ejes o no. Esto podrá ser instrumentado por el docente según sus propósitos y las características de su grupo de alumnos.”(Cuaderno para el aula 4, 2007, p.126) ACTIVIDAD 4: DESPUÉS DEL JUEGO La actividad propuesta puede ser trabajada en forma individual y por escrito, luego de jugar varias veces a la batalla geométrica. El propósito de actividad sigue siendo que ubiquen o localicen puntos en el plano pero como el tablero está conformado por puntos y no casilleros se ajusta más a los requerimientos. Este aprendizaje irá siendo más relevante a medida que se avanza en la conceptualización del espacio matemático. 212 ACTIVIDAD 5: EL MAPA COMO REPRESENTACIÓN DEL ESPACIO En esta actividad se plantea el estudio y el análisis de mapas como representación del espacio y de los aspectos convencionales implicados. ACTIVIDAD 6: EL MISMO ESPACIO OTRA REPRESENTACIÓN “A partir de la resolución de problemas como el planteado, o de otros similares, y a través de una reflexión guiada, podemos esperar que los chicos se aproximen a reconocer que las representaciones seleccionadas, el mapa y la hoja de ruta, tienen algunos rasgos comunes, como el nombre de las localidades por las que se pasará durante todo el recorrido, y la señalización de rutas provinciales y nacionales.”(Cuaderno para el aula 4, 2016, p.130) ACTIVIDAD 7: PLANOS La actividad propuesta toma como eje el trabajo en la elaboración de croquis. Al tener que describir en un primer momento el croquis de una casa, y luego tener que elaborar uno a partir de los datos dados, aparece la necesidad de establecer convenciones o de utilizar las establecidas y de elegir las referencias que serán representadas. ACTIVIDAD 8: EL CROQUIS En esta actividad se continúa con lo propuesto en la anterior, partiendo del plano de un espacio conocido para anticipar una distribución de objetos en el mismo y, en otro, partimos de un espacio amplio real, que debe ser visitado por personas que no lo conocen. Aparece la necesidad de establecer convenciones o de utilizar las establecidas y de elegir las referencias que serán representadas. Actividad 9 El foco en esta actividad está puesto en el análisis de afirmaciones y la producción de otras nuevas. De esta manera se busca que se comunique las conclusiones que se obtienen y la explicitación de lo aprendido. 213 Actividad 10 Esta actividad es una autoevaluación que le permite al alumno jerarquizar lo aprendido. También le permite tomar conciencia de lo que repasó, de lo nuevo que aprendió y que se responsabilice de aquellos aprendizajes que aún no ha logrado. 214 Secuencia para 4° grado- Sistemas de referencias ACTIVIDAD 1: BATALLA NAVAL Material: 2 cuadrículas para cada pareja de alumnos. Cada una es de 11 x 11 con letras de la A hasta la J, en la primera columna, y con números de 1 al 10 en la primera fila, dejando en ambos casos el primer casillero vacío. 5 fichas que representan los barcos.: 2 fichas de 3 casilleros, 1 ficha de 2, 1 de 5 y otra de 4, como se indica a continuación: Organización de la clase: se divide en grupos de 4 alumnos, a la vez subdivididos en parejas. Desarrollo: el juego consiste en “hundir” las naves del equipo contrario. Las parejas de cada grupo se ubican de modo de no poder ver las cuadrículas de sus compañeros. Cada pareja debe colocar las fichas (naves) en una de sus cuadrículas, de modo tal que no resulten “vecinas” y en ella irán marcando las posiciones que diga la pareja opositora. Luego, cada uno a su turno, debe tratar de averiguar la posición de las naves de la pareja opositora. Para ello, deben usar pares de números y letras, por ejemplo: A; 4. La otra pareja contestará averiado, hundido o agua (X), según si el par corresponde a una parte de la nave, completa su localización o si no corresponde a la posición asignada respectivamente. El registro de esta información en la otra cuadrícula permite controlar las jugadas y facilita el logro del objetivo. a) Cuando se avería una nave, ¿cuáles son los pares de números y letras más convenientes para seguir nombrando? 215 b) ¿Cuáles serían los lugares menos convenientes para colocar las naves en la cuadrícula? c) ¿Cuál les parece que es la nave con más probabilidades de ser averiada? ¿Por qué? ACTIVIDAD 2: DESPUÉS DEL JUEGO Juan ya le había hundido dos barcos a Marcos: uno como la nave 2 y otro como la nave 1. Este es su tablero: a) A su turno, Juan le dice F8 y Marcos le contesta: Averiado. Indicá de cuántos casilleros puede ser el barco. b) Señala en la cuadrícula todos los lugares en los que podría estar el barco y luego escribí los pares que podrá nombrar Juan para intentar hundirlo. c) En la próxima jugada Juan dice F7 y Marcos responde Averiado. Escribí los pares que permitirían localizar exactamente el barco. 216 ACTIVIDAD 3: LA BATALLA GEOMÉTRICA En “La batalla geométrica” se propone cambiar los tableros de juego por otros, con las mismas referencias en filas y columnas, pero reemplazando las celdas por puntos y cambiar las naves por formas geométricas, como rectángulos y cuadrados. Cada jugador traza, en uno de los tableros, tres figuras que sean cuadrados o rectángulos. Cada una de las figuras debe tener desde uno y hasta cuatro puntos interiores y no pueden tocarse ni superponerse. El objetivo es descubrir dónde están ubicadas cada una de las tres figuras que dibujó el otro jugador. Para eso, por turno, los jugadores van diciendo posiciones y anotando en el segundo tablero la característica de ese punto según sus contrincantes respondan “vértice”, “lado”, si es un punto de un lado distinto de un vértice, o “interior”, si es interior a la figura o “nada” si no pertenece a ella. Gana el jugador que primero descubra la posición exacta de las tres figuras. a) ¿Qué estrategia será más adecuada pensando en ganar, el dibujo más chico y con menos puntos o la figura más grande posible para que el compañero tarde más en derribarla? 217 ACTIVIDAD 4: DESPUÉS DEL JUEGO Andy está jugando con Ema y puso sus barcos en este tablero: a. Cuando Ema dijo A8, Andy le contestó lado y cuando dijo A6 y C10, le respondió vértice. Indicá qué puede decir Ema para encontrar los otros vértices de la figura. b. Ema dijo F5 y F8 y Andy le contestó vértice. Si ahora dice I5, ¿qué figura cree que encontró? ACTIVIDAD 5: EL MAPA COMO REPRESENTACIÓN DEL ESPACIO La familia González, de la provincia de Mendoza, debe realizar un viaje en automóvil desde General Alvear hasta la Ciudad de Mendoza. Como es la primera vez que realizan el recorrido, consultan el siguiente mapa. 218 a) ¿Qué información pueden obtener del mapa? b) ¿Cuáles son las diferentes opciones que tiene la familia González para realizar el recorrido previsto? c) Escribir las instrucciones para realizar diversos recorridos sabiendo que: El papá desea realizar el viaje pasando por la mayor cantidad de lugares donde haya agua (ríos, embalses, arroyos o lagunas) ¿Cuál sería el recorrido posible? d) La mamá desea pasar por la localidad de Santa Rosa para visitar a una hermana. ¿Por dónde pueden ir? e) Intercambiar las instrucciones con otros compañeros identificando las referencias que se utilizaron para describir los caminos propuestos. 219 ACTIVIDAD 6: EL MISMO ESPACIO OTRA REPRESENTACIÓN Un amigo de la familia les sugirió que consultaran en Internet. Allí encontraron esta hoja de ruta para obtener más información. a. ¿Qué diferencias tiene esta hoja de ruta respeto del mapa que había consultado la familia anteriormente? b. ¿Qué otros datos les proporciona esta hoja de ruta? ACTIVIDAD 7: PLANOS a. A partir del siguiente plano deben hacer una descripción de la siguiente casa para poder venderlas. Deben indicar cuántas habitaciones tienen, cuántas puertas y ventanas, cuántos baños y dónde se ubica la cocina. Y describir los ambientes. 220 b. Comparte con tus compañeros la descripción realizada. c. Una familia quiere construir una casa. Le piden a un arquitecto que les dibuje un plano. La casa tiene que tener un patio, tres dormitorios, un comedor, una cocina, dos baños y un garaje. Dibujá el plano que cumpla el pedido. ACTIVIDAD 8: EL CROQUIS En la escuela se está por organizar la muestra de fin de año. Está se pensó con stand por materias a exponer que son Ciencias Naturales, Plástica y artesanías y los trabajos que se hacen en la comunidad como productos envasados, dulces, etc. A cada grado le ha tocado un trabajo en particular para ayudar a la organización. Cuarto debe organizar un croquis donde se distribuyan los stands que son los siguientes:  8 para Ciencias naturales de jardín a séptimo grado  5 de Plástica  3 de informática 221  5 Para la comunidad a. En grupo de cuatro alumnos propongan el o los lugares más convenientes dentro de la escuela para la actividad y realicen un croquis con los stands. b. Exponer por grupo lo producido. c. Realizar un croquis con todo el grado que será el definitivo para organizar el evento. ACTIVIDAD 9 ¿VALE O NO VALE? a. Escribí situaciones en las que utilizarías cada una de las representaciones del espacio y explica por qué.  UN MAPA  UN PLANO  UN CROQUIS ACTIVIDAD 10: MIRAR LO QUE APRENDIMOS a. ¿Qué actividades te resultaron más fáciles? b. ¿Cuáles te costaron más? ¿Por qué piensas que te resultaron más difíciles? c. ¿Qué información me brindan los mapas? d. ¿Qué debo tener en cuenta al momento de hacer un plano? e. ¿Qué importancia tienen las referencias en un croquis? ACTIVIDAD 0/11 1- Escribe las instrucciones para que un compañero pueda dibujar en su cuadrícula la siguiente figura. 222 2- Realiza un plano de tu casa 3- Indica que información se puede obtener de: a) El mapa b) El plano c) El croquis REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Cuadernos para el aula, matemática 4 - 1a ed. – Buenos Aires, (2007) - 223 RUTA 0 COMUNIDAD DE VIAJEROS. http://www.ruta0.com/ LINK RELACIONADOS CON LA SECUENCIA http://www.gatoconbota.com/gamon/board-game-battleship-torpedo-attack/ Se trata del clásico juego de la Batalla Naval, en que debes hundir los barcos del enemigo antes de que éste acabe con los tuyos. Cuando aciertes a todos los cuadros de un barco enemigo lo habrás hundido, y entonces pasarás a una escena 3d en tiempo real en que puedes apuntar un torpedo al barco enemigo: si aciertas ganarás puntos extra. Para colocar los barcos en el propio tablero, click y arrastrar hacia la posición final,y barra espaciadora para rotarlos. Durante la partida, click en el tablero del enemigo en el lugar al que quieras disparar. Un indicador blanco o rojo indica si dimos en agua o barco. 224 https://www.google.com.ar/maps Permite realizar distintas actividades de referencia en el mapa mundial e indicando posiciones y distancias. 225 Propósitos de la secuencia de Sistemas de Referencias para 5° grado Un sistema de referencia puede estar situado en el ojo de un observador y en ese sentido podríamos considerar infinitos sistemas de referencia. Con el fin de que los chicos desarrollen aprendizajes que les permitan ubicarse en función de distintas convenciones, tendremos en cuenta algunas propuestas para ubicar posiciones tanto en el espacio de dos como de tres dimensiones, variando la cantidad y el tipo de referencias. La propuesta es que los niños resuelvan en un primer momento simulaciones de situaciones en las que es necesario advertir un objeto en una cuadrícula. Ésta demanda la ubicación de una posición en la que el espacio es de dos dimensiones y donde se toman dos referencias: un eje horizontal (donde las posiciones sucesivas se indican con números) y otro eje vertical (donde las posiciones se indican con letras). Implica una tarea que permitirá evidenciar ciertas “convenciones” para que los chicos puedan responder sin realizar efectivamente la jugada. Con las mismas referencias en filas y columnas pero reemplazando algunos aspectos (cuadrículas por puntos, la representación de figuras por formas geométricas, como rectángulos y cuadrados), se avanza con otras situaciones como “La batalla geométrica”. Los puntos que determinan las figuras no están todos alineados, por lo tanto habrá que tener en cuenta las características de las figuras para elegir los puntos. Las actividades en las que se plantean jugadas simuladas resultan muy interesantes por la apropiación de nociones espaciales que demandan. Esta apropiación radica en que el tablero al estar conformado por puntos y no por 226 casilleros se ajusta más a las condiciones que se requieren para ubicar o localizar puntos en el plano y permite comenzar a construir la idea de par ordenado en el marco de las convenciones cuando se discuta, por ejemplo, cómo ubicar un punto si ambos ejes están referenciados por números. Para que los niños establezcan relaciones entre el espacio tridimensional y sus representaciones bidimensionales se proponen actividades que demandan interpretar croquis para que se familiaricen con las referencias que se han tenido en cuenta al dibujarlos. Existen algunos conocimientos referidos a la producción e interpretación de mapas y planos cuya adquisición involucra representaciones simbólicas convencionales. En este marco se exige para su construcción una interacción sistemática con esas representaciones y un caudal de información que debe ser comunicado. La lectura de mapas y hojas de ruta proporcionará información para contrastarlos en función a semejanzas y diferencias pero también a interpretar la información suministrada por ellos y poder resolver problemas que involucran cálculos de longitudes y tiempos estimados. Hacer varios croquis en grupos y contrastarlos, argumentando las decisiones que se tomaron para su realización, puede ser un contexto interesante para debatir puntos de vista acerca del modo de representar los objetos en ese espacio próximo representado y los recorridos en el espacio más amplio de la escuela. Será una buena ocasión para elegir las propuestas que se consideren más “convenientes”, explicitando los criterios para decidir esa conveniencia. 227 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - NAP. Serie Cuadernos para el Aula. Matemática, Segundo Ciclo / Nivel Primario. Ministerio De Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación. (2007) ACTIVIDAD 1: UBICÁNDONOS El propósito es recuperar nociones sobre la ubicación de un punto en función a un sistema de referencia. Para este caso se presenta una simulación de un juego en donde el propósito es discutir entre compañeros cómo ubicar casilleros en los cuales hay distintas figuras y para ello es necesario analizar cómo se han ubicados ya otras figuras. Para este caso la composición de la referencia está determinada por una letra vinculada a un número. ACTIVIDAD 2: REFERENCIAS EN EL CROQUIS Esta actividad pretende continuar con las nociones recuperadas/instaladas en la actividad anterior en cuanto a referenciar posiciones en un plano. En esta instancia con la representación del espacio en el plano bidimensional utilizando variados marcos de referencias, donde la tarea demanda realizar recorridos, localizaciones y estimaciones de longitudes en cuanto a aproximaciones que se sustentan en ciertas regularidades (una cuadra más/menos cien metros). ACTIVIDAD 3: RUTAS Y MÁS RUTAS La tarea se vincula con la anterior en cuanto a los propósitos e involucra nuevas representaciones con nuevas referencias. En este caso un mapa de rutas y una hoja de ruta suministran lo datos necesarios para calcular longitudes de acuerdo a las referencias, cruce de caminos y tiempos empleados de manera estimativa en función a una velocidad constante. La tarea demanda en su momento final realizar una hoja de ruta analizando el mapa e identificando las ciudades vinculadas. Una posible 228 conclusión podría advertirse en distinguir la información exacta del mapa contra la aproximada de la hoja de ruta. ACTIVIDAD 4: CALLES EN EL PLANO La tarea remite nuevamente a un mapa pero en este caso de una ciudad donde están representadas sus calles. El análisis de la información que suministra sus referencias se tornan un insumo elemental para ubicar cuadras. Estas discusiones podrían ampliarse a averiguar la numeración de sus casas o de la escuela, si es que el paraje de estos lugares se referencia de esta manera. Al finalizar este grupo de actividades se podría concluir qué tienen en común y en qué se diferencian los croquis, los mapas (de una provincia, de una ciudad) y las hojas de rutas. ACTIVIDAD 5: JUGANDO A SER ARQUITECTOS El croquis incompleto de una escuela representa un hipotético espacio muy conocido por los niños. Aquí la actividad se torna más próxima a su entrono. Demandará leer las disposiciones de ciertos grados que no puede ubicarse en cualquier lugar. La puesta en común y socialización de las representaciones habilitará a discutir si los distintos croquis cumplen o no con la consigna y argumentar al respecto. ACTIVIDAD 6 “BATALLA GEOMÉTRICA” El juego “Batalla geométrica” demandará reutilizar las conclusiones establecidas en la actividad 1 con respecto a la ubicación en el espacio mediante la intersección de dos datos originados por distintas posiciones. Habrá que advertir con los niños semejanzas y diferencias al respecto pues ahora se propone un cambio de tarea ya no se ubican “cuadraditos con figuritas” sino puntos. Al ubicar puntos y tener que identificar la ubicación de una figura los datos a ingresar deberán ser representativos de puntos pertenecientes a lados y vértices. Los puntos internos de 229 las figuras brindarán datos sobre qué figura puede estar representada y dónde podría estar un vértice o un lado. ACTIVIDAD 7: DESPUÉS DEL JUEGO Esta actividad retoma lo trabajado en las actividades anteriores y se pone énfasis en el uso de sistema de coordenadas con bastante aproximación a coordenadas cartesianas. Es esperable que las conclusiones parciales alcanzadas en las actividades previas (especialmente en la uno y seis) y las que se construyan en el desarrollo de la misma, permitan una primera aproximación al uso de coordenadas como par ordenado. ACTIVIDAD 8 VALE O NO VALE. Justifica la respuesta En esta instancia de validación los alumnos deben reutilizar nociones o conclusiones alcanzadas en el desarrollo de la secuencia. Tener disponible la diferencia en las distintas representaciones y las convenciones para determinar ubicaciones resultarán indispensables para argumentar sobre las justificaciones solicitadas. En consecuencia, es de suma importancia alcanzar en los grupos las conclusiones parciales que deberemos intentar garantizar en los momentos de socialización de las distintas actividades. ACTIVIDAD 9 MIRAR LO QUE APRENDIMOS Este tipo de ejercicio invita a los alumnos a reflexionar sobre su propia experiencia demando comunicar lo que pudo aprender y tomando conciencia de lo que aún le falta. 230 Secuencia para 5° grado- Sistemas de referencias ACTIVIDAD 1: UBICÁNDONOS 1) En el recreo un compañero trajo un tablero donde había que ubicar distintas figuritas y los demás, por turnos, tenían que descifrar el lugar correcto para poder retirarlas. Ganaba el que se llevaba más figurita. Observa el comienzo de una partida donde ya se expresó la ubicación del pajarito azul y del amarillo. a) ¿Qué ubicación tiene el pajarito celeste? b) ¿Qué datos darías para retirar la ficha de la mariposa? c) Con tu compañero de banco ubiquen otras figuras e intenten adivinarlas. ACTIVIDAD 2: REFERENCIAS EN EL CROQUIS 1) El siguiente es un croquis de un barrio donde ciertas calles han sido reemplazadas por números. Las calles horizontales se asignaron números impares y en las calles verticales números pares de acuerdo a la posición relativa del croquis. Para tener en cuenta: Cada cuadra tiene 100 metros de longitud. 231 a) Si salgo de la biblioteca y quiero ir al kiosco rápido, ¿qué recorrido debería realizar? ¿Hay un único recorrido? ¿Hay alguno que sea el más corto? b) Si Carlos está en el club y su mejor amigo en la escuela, ¿qué distancia los separa si no se camina por ninguna diagonal? Carlos asegura que al salir del Club toma la Calle del Palomar hasta la 30 y luego se dirige hacia la 123 llega más rápido a la escuela que si sigue cualquier otro recorrido. ¿Estás de acuerdo con él? ¿Por qué? ACTIVIDAD 3: RUTAS Y MÁS RUTAS 1) Respondan a las preguntas e indiquen de dónde obtuvieron los datos para responder. a) ¿Cuántos kilómetros del trayecto se recorren sobre la ruta Nº 27? b) ¿Qué parte del trayecto Esquina-Saladas podría ser realizado en una hora? ¿Y en media hora? c) Se podría saber, a partir de la hoja de ruta, dónde hay un cruce de rutas? ¿Por qué? 232 d) ¿Cuánto tiempo podría tardarse en recorrer el trayecto desde la ciudad de Goya hasta el cruce de la Ruta 19 con la 123? Realicen una aproximación. 233 Trayecto Esquina-Saladas: 238 km. Para este trayecto se calculan 2 hs 10 min, aproximadamente, tomando como velocidad promedio 110 km, que es la velocidad permitida en ruta. Consumos calculados para vehículos nafteros: Rendimiento: 10 km por cada litro de nafta. Valores de referencia: $ 10,99 cada litro de nafta. 2) Elaboren una hoja de ruta del trayecto Goya-9 de Julio, utilizando la información que puedan obtener del mapa y de la hoja de ruta. Identifiquen en ella cuál es la información exacta y cuál la aproximada. 234 ACTIVIDAD 4: CALLES EN EL PLANO 1) Este mapa muestra el centro de la ciudad de Corrientes. Sabiendo que la numeración de la calle Quintana, entre España y Santa Fe, está entre el 1600 y el 1700, y que la numeración de la calle Catamarca, entre 25 de Mayo y C. Pellegrini, está entre el 600 y el 700, resolvé las consignas siguientes. a) Indicá la cuadra que corresponde a Salta al 1100. b) Indicá la cuadra que corresponde a Junín al 400. c) ¿Cuál es la numeración de las calles a orillas del río? 235 ACTIVIDAD 5: JUGANDO A SER ARQUITECTOS 1) La Cooperadora de una escuela de EGB 1 y EGB 2, junto con el Ministerio de Educación, acaba de terminar la construcción de una parte de la escuela. Quieren ubicar en el ala derecha a los alumnos del Primer Ciclo. Se sabe que hay 2 secciones de cada año y que quieren que los de un mismo año estén cerca, pero que los de 1año sean los que estén más cerca del baño. Ubiquen, en el siguiente croquis, los cursos correspondientes a los dos ciclos colocando las paredes que separan las aulas. TAREA 1) Realiza el plano de la escuela. ACTIVIDAD 6 “BATALLA GEOMÉTRICA”: UBICAR PUNTOS EN EL PLANO  Organización de la clase: Se divide en grupos de 4 alumnos, los que a su vez se subdividen en parejas.  Materiales: Dos tableros por cada pareja de alumnos. Uno, entregado por el docente, con las figuras que la otra pareja tiene que adivinar, y otro tablero vacío, para que puedan tener un registro de lo que dictan a la pareja rival para adivinar la posición de sus 236 figuras. Cada una de las figuras debe tener entre uno y cinco puntos interiores y no pueden tocarse ni superponerse.  Desarrollo: El objetivo del juego es descubrir dónde están ubicadas cada una de las tres figuras que dibujó el otro jugador. Para esto, por turno, los jugadores deben ir diciendo posiciones (A1, B3, etc.) para ubicar la figura y anotar en el tablero vacío, según lo que los contrincantes respondan. Gana el que primero descubre la posición exacta de las tres figuras. ACTIVIDAD 7: DESPUÉS DEL JUEGO Analizá las conclusiones de Marisa a partir del siguiente tablero y determiná si son o no correctas. Fundamentá tu respuesta. 1) Marisa dijo que adivinó la figura cuando supo que C6, A6 y C10 son vértices, porque el único que cumple con esas condiciones es el rectángulo que deja 3 puntos interiores. Además, dijo que se dio cuenta de otra de las figuras cuando Juan 237 respondió vértice en C1 y C3 y lado en D1 y D3, ya que no podía ser otro más que un cuadrado. 2) Cuando Martín dijo B6, Juana le contestó lado y cuando dijo A6 y C8, Juana le respondió vértice. 3) Indicá qué pudo haber dicho Martín para encontrar los otros vértices de la figura. 4) Martín dijo C1 y D2 y Juana le contestó vértice. Si ahora Martín dice C3, porque cree que es un vértice, ¿qué figura considera que encontró? 238 5) ¿Da lo mismo decir primero 2 y después 5 que hacerlo en el orden inverso para ubicar el punto A? ¿Cómo se pueden anotar las posiciones de los vértices del rectángulo? 239 Sistematizar los acuerdos alcanzados permitirá una primera aproximación al uso de coordenadas del tipo (2;5). ACTIVIDAD 8 VALE O NO VALE. Justifica la respuesta -Para ubicar un punto en un plano sólo hace falta un dato como referencia. -Al jugar a la Batalla geométrica, cuando las referencias son sólo números, da lo mismo decir (4; 2) que (2; 4). -Para ir de una ciudad a otra el mapa rutero y la hoja de ruta dan la misma información. ACTIVIDAD 9 MIRAR LO QUE APRENDIMOS a) ¿Qué te resultó más fácil? b) ¿Qué actividad te costó más? ¿Por qué? c) En un plano de la ciudad que información son importante Actividad 0/10 1) Descubriendo el mensaje Claves: (3; 2), (3; 3), (6; 4), (5; 1), (5; 4), (1; 5) 240 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. M F A G T U 2. P D E H V L 3. Y S X T J B 4. A D U Z O I 5. S Y H U C T 6. L M R Ñ Q N 2) ¿Cómo harías para explicarle por teléfono a un amigo el recorrido marcado en el plano? 3) Marcá otro recorrido posible para ir hasta el Diario Los Andes que sea más corto que el anterior y explicalo para alguien que no está mirando tu dibujo. 4) La directora y la vicedirectora quieren ordenar los equipos y muebles que van en este lugar de la siguiente manera: 5 computadoras a la derecha de la puerta de entrada y bien pegadas a la pared. A la izquierda de la puerta de entrada, y también pegada a la pared, una mesa rectangular. En la esquina que está al terminar esta pared quieren ubicar la TV y, debajo de esta, la reproductora de videos. Entre las dos 241 ventanas quieren ubicar otras 2 computadoras. En el centro de la sala, desean ubicar una mesa redonda. Hagan, en forma individual, un croquis donde se observe cómo quedaría la sala. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Cuadernos para el aula, matemática 4 y 5 - 1a ed. – Buenos Aires, (2007) 242 LINK RELACIONADOS CON LA SECUENCIA Los mapas —en papel, en forma de láminas, digitales— son recursos básicos para trabajar en Ciencias Sociales y Geografía. No obstante, también podemos utilizarlos para trabajar algunos tópicos de la enseñanza de las matemáticas. En este artículo comentamos algunas herramientas e ideas que nos ayudarán a incorporar la cartografía como un recurso para aprender matemática. http://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/ver?id=121767&referente=noticias 243 Propósitos de la secuencia de Sistemas de Referencias para 6° grado ACTIVIDAD 1 LA BATALLA GEOMÉTRICA En esta actividad se retoma lo trabajado en el año anterior en cuanto al estudio de referencias para la ubicación de punto en el plano, con el propósito de ir aproximando a los alumnos a las condiciones del sistema de ejes cartesianos. El saber lo que tiene que adivinar (un cuadrado o un rectángulo) constituye una información valiosa a la hora de decir qué referencias dar y que, por lo que no haría falta identificar todos los vértices. En el caso de la “Batalla naval”, se habla de averiado/tocado, hundido o agua; aquí podría decirse: vértice, lado, adentro o afuera, según el punto nombrado pertenezca a un vértice, a un lado o sea interior o exterior a la figura. ACTIVIDAD 2 DESPUÉS DEL JUEGO Trabajo individual, con el objetivo de enfrentar a todos los alumnos con alguna situación especialmente pensada para discutir determinadas cuestiones que no están garantizadas por el solo hecho de jugar, y también para asegurarnos de que todos los alumnos participen. Se proponen jugadas simuladas con el objetivo de ofrecer situaciones que habilitan la argumentación. De esta manera se garantizan discusiones que tal vez no aparezcan en el juego. ACTIVIDAD 3 EN CÓDIGO Para avanzar hacia las convenciones propias del sistema cartesiano es posible discutir con los alumnos cómo ubicar los puntos en el tablero si en lugar de referencias con letras y números se usan solo números. 244 Sistematizar los acuerdos alcanzados permitirá una primera aproximación al uso de coordenadas del tipo (2;5). ACTIVIDAD 4 “DESCUBRIR LA CLAVE”: UBICAR PUNTOS EN EL PLANO El objetivo del juego es que los alumnos descubran que para fijar un punto en el plano hay que definir dos coordenadas, dado que con sólo una hay infinitas posiciones del punto y que cada coordenada indica la distancia del punto en relación con cada borde de la cartulina, que luego se vincularán con los ejes. ACTIVIDAD 5 “UN MENSAJE CON PUNTOS”: UBICAR LOS VÉRTICES DE FIGURAS GEOMÉTRICAS Este juego plantea utilizar lo trabajado hasta el momento, por lo que los alumnos utilizarán lo aprendido y ubicarán puntos en el sistema de ejes. Este tipo de actividad promueve que los alumnos reconozcan que las coordenadas de un punto son un recurso útil para definir los vértices que permiten la construcción de la figura. Cuando en la puesta en común explicitemos los procedimientos de los alumnos, resultará interesante que propongamos la discusión acerca de dónde se ubican los puntos cuando una de las coordenadas es cero. Como así también las semejanzas y diferencias de las coordenadas de los puntos que definen lados congruentes de una figura. ACTIVIDAD 6: CAMBIO DE ESCALA En 6º año/grado, los alumnos seguramente ya han interpretado algunas representaciones a escala, como mapas o planos, pero es probable que no hayan explicitado las relaciones de proporcionalidad que han utilizado. El trabajo planteado en el Eje “Número y Operaciones”, a propósito de la proporcionalidad, nos habilita ahora a realizar un análisis con mayor profundidad que, a la vez, permite articular estos ejes y ampliar el sentido de las nociones involucradas. En principio, y para 245 profundizar el conocimiento de los sistemas de coordenadas, se podría analizar la importancia de mantener una escala en dichos sistemas como se plantea en esta actividad. ACTIVIDAD 7: OBSERVANDO EL GRÁFICO El foco de esta actividad está puesto en la aplicación de los conocimientos trabajados hasta el momento Luego de continuar con el análisis de la actividad 6 se pueden elaborar las conclusiones respecto a los pares ordenados de las abscisas y las ordenadas. ACTIVIDAD 8: UBICAR PUNTOS EN EL PLANO Se presenta otra situación para integrar todos los conocimientos y promover la comunicación utilizando el vocabulario incorporado en las actividades anteriores. ACTIVIDAD 9: VALE O NO VALE Esta actividad a través de un verdadero o falso busca realizar las institucionalizaciones finales y fundamentales de lo trabajado. El alumno deberá realizar justificaciones que sintericen las conclusiones trabajadas anteriormente y explicitar acuerdos convencionales como en el caso del tercer punto en referencia de los ejes X e Y. ACTIVIDAD 10: MIRAR LO QUE APRENDIMOS Permite reflexionar sobre el conjunto de conocimientos trabajados en la secuencias, jerarquizar lo aprendido y responsabilizarse de aquellos aprendizajes que aún no ha logrado. ACTIVIDAD 0/11 ¿QUÉ SABEMOS? Está pensada para advertir las diferencias entre los saberes de entrada a la secuencia y los de salida en lo relativo la necesidad de definir dos coordenadas para determinar un punto en el plano en un sistema de referencia y apropiación de la noción de par ordenado. 246 Secuencia de 6° grado- Sistemas de referencias ACTIVIDAD 1: LA BATALLA GEOMÉTRICA El curso se debe dividir en grupos de 4 alumnos, los que a su vez se deben subdividir en parejas. Debe haber dos tableros por pareja de alumnos. Uno, entregado por el docente con las figuras que la otra pareja tiene que adivinar, otra tabla vacía, para que puedan tener un registro de lo que dicta la pareja rival para adivinar la posición de sus figuras. Cada una de las figuras debe tener entre uno y cinco puntos interiores y no pueden tocarse ni superponerse. Es conveniente que la cantidad de figuras sean 3. El objetivo del juego es descubrir dónde está ubicada cada una de las tres figuras que dibujó el otro jugador. Para esto, por turno, los jugadores deben ir diciendo las posiciones (A1, B3, etc) para ubicar la figura y anotar en el tablero vacío, según lo que los contrincantes respondan. Gana el que primero descubre la posición exacta de las figuras. Se debe registrar los resultados de cada jugada. 247 Sugerencias para el docente - La primera jugada el docente podrá proveer las figuras y en las jugadas restantes los alumnos dibujaran las figuras optando por distintas cantidad de puntos internos. - Es conveniente que, para que todos comprendan en qué consiste la actividad,se jueguen algunas partidas frente a los alumnos. Saber que lo que se tiene que adivinar es un cuadrado o un rectángulo constituye una información valiosa a la hora de decidir qué referencias dar y que, por lo tanto, no hace falta identificar todos los vértices. Según las decisiones que tomemos en relación con el tipo y la cantidad de figuras, la cantidad de puntos interiores, las posiciones en el plano, la distancia de los lados a la primera fila y/o columna, la tarea podría ofrecer distintos niveles de complejidad. - Se puede comentar con los alumnos la permutabilidad de los pares de letras y números que se dan para definir un punto, por ejemplo el punto B7 también se puede nombrar como 7B. La importancia de esta reflexión reside en que más adelante los pares que se den deberán cumplir con un orden al comenzar a trabajar con Ejes Cartesianos. - Si bien el objetivo del juego no es el estudio de figuras geométricas se puede realizar un análisis de algunas de ellas en forma oral a modo de repaso, como: números de lados, cantidad de lados paralelos, números de lados iguales, o si en los tableros es posible formar círculos. ACTIVIDAD 2: DESPUÉS DEL JUEGO Estas son algunas de las jugadas y las conclusiones de los chicos. 248 1) Mariana dijo que adivinó de qué figura se trataba cuando supo que C6, A6 y C10 son vértices porque el único que cumple con esas condiciones es el rectángulo más chico. ¿Cuál es el vértice que imaginó Mariana? Nombrá los puntos de alguno de los lados mayores a) Este es el tablero de Benja. Cuando Andrea le dijo B6, Benja le contestó lado y cuando dijo A6 y C8 Benja le respondió vértice. Indicá que pudo haber dicho Andrea para encontrar los otros vértices de la figura. 249 b) Andrea dijo C1 y D2 y Benja le contestó vértice. Si ahora Andrea dice C3 porque cree que es un vértice ¿Qué figura considera que encontró? c) Mariana dice que para ganar usa figuras de cuatro y cinco puntos interiores. Fabián elige figuras de uno y dos puntos interiores ¿Cuál estrategia usarías vos? ¿Por qué? ACTIVIDAD 3: EN CÓDIGO Los chicos armaron un tablero como el siguiente que les permitirá formar palabras que sólo ellos podrán descifrar. Reglas del juego: los alumnos elaborarán mensajes para que otro grupo pueda descifrarlo, utilizando los números del tablero como referencias para localizar las letras. a) Andrea le envía los siguientes pares de números a Benja (2,4) (7,8) (3,6) (0,9) y Benja dice que la palabra formada es KXYC, pero Andrea dice que ella quiso formar la palabra HOLA ¿Qué puede haber pasado? 250 b) Benja en cambio le envió el siguiente mensaje (3,7) (9,2) (0,9) (2,9) (1,4) (2,3) ¿Qué escribió? c) Kevin quiere saber cuáles son los pares de números que pertenecen a la diagonal del tablero y piensa - ¿La letra Z de los números (3,2), pertenece a la diagonal? ¿Cuáles son las características de los números que permiten obtener las letras que forman la diagonal? Sugerencias para el docente Si bien el ejercicio da la libertad de elegir el orden en el que se utilizarán los pares de números, sería conveniente inducir esta elección teniendo en cuenta que la finalidad en ejercicios posteriores es introducir pares ordenados de números de acuerdo a los ejes cartesianos, en los cuales la primer componente del par pertenece al eje horizontal (X) y la segunda pertenece al eje vertical (Y) ACTIVIDAD 4: “DESCUBRIR LA CLAVE”: UBICAR PUNTOS EN EL PLANO Materiales: cada grupo contará con papel del tamaño de una cartulina y un cartoncito o varilla de madera de 10 cm que funcionará como unidad. Organización de la clase: la clase se dividirá en un número par de grupos, de 4 ó 5 integrantes cada uno. Desarrollo: como se trata de un juego de comunicación, antes de comenzar a jugar se enumeran los grupos y se establece quiénes intercambiarán entre sí sus producciones. Cada grupo recibirá una tarjeta con cinco consignas, que deberán ser resueltas en la cartulina (distintos del de los demás). Por ejemplo: • Dibujen: a) Un punto a a una distancia de 4 unidades con respecto al borde inferior. 251 b) Un punto b a una distancia de 3 unidades con respecto al borde vertical derecho. c) Un punto c a una distancia de 5 unidades con respecto al borde vertical izquierdo. d) Un punto d a una distancia de 2 unidades con respecto al borde vertical izquierdo y de 4 unidades con respecto al borde inferior e) Un punto e a una distancia de 3 unidades con respecto al borde vertical izquierdo y a 5 unidades con respecto al borde inferior Una vez que los distintos grupos hayan resuelto las consignas, se intercambian las cartulinas. Cada grupo receptor deberá producir el mensaje que supone que recibió el grupo que marcó los puntos en la cartulina. Se escriben las consignas y se entregan al grupo emisor. Cada grupo obtiene un punto por cada consigna bien escrita. Gana el grupo que obtenga el mayor puntaje Para reflexionar: 1. ¿En qué casos hubo diferencias entre las consignas? ¿Por qué? 2. ¿En qué casos pudieron determinar los puntos sin dificultad? 3. ¿Cuántos datos es necesario definir para ubicar un punto en la hoja de papel? 4. ¿Qué ocurre si se cambia el orden de los datos en relación al punto que se determina? 252 Sugerencias para la docente - En este punto del trabajo es necesario precisar que el sistema de coordenadas es una convención con ciertas condiciones. Así, por ejemplo, el sistema de coordenadas cartesianas ortogonales está formado por un par de ejes perpendiculares sobre los que se define un segmento unidad y, en forma equidistante, se representan los números. Es decir, son dos rectas numéricas que se cortan en un punto llamado origen del sistema. El eje horizontal es el eje de las abscisas y el eje vertical, el eje de las ordenadas. - Todo punto del plano puede ubicarse por medio de un par ordenado de números llamados coordenadas del punto. Ubicar el punto P de coordenadas (3; 2) será diferente de ubicar un punto Q de coordenadas (2; 3). (ver Cuadernos Para el Aula 6º, pág 132) ACTIVIDAD 5 “UN MENSAJE CON PUNTOS” Materiales: cada grupo contará con una tarjeta con una determinada figura sobre un sistema de ejes, y otra tarjeta en la que sólo esté dibujado el sistema de coordenadas de las mismas dimensiones que el sistema anterior. Por ejemplo: 253 Organización de la clase: en un número par de grupos, de 4 ó 5 integrantes. Desarrollo: cada grupo recibirá una tarjeta con una figura del tipo de la tarjeta 1 y tendrá que elaborar un mensaje para que el grupo receptor pueda construir la figura. En el mensaje no podrá contener dibujos ni el nombre de la figura. Al intercambiar los mensajes, los grupos que ahora funcionan como receptores recibirán otra tarjeta como la 2 en la que estará dibujado el sistema de ejes sobre el que dibujarán la figura. Cuando hayan terminado de dibujar la figura, los emisores y receptores que forman el mismo equipo se reunirán para comparar las figuras. a) Julián y Marina estaban jugando al juego de los mensajes, y al ver las coordenadas de los vértices de la figura que recibieron en el mensaje, dijeron que es una figura simétrica. ¿Vos que pensás?, ¿Tienen razón Julián y Marina? 254 b) Los chicos que recibieron el mensaje de Julián y María dicen que antes de dibujar la figura, ya saben que es un cuadrado. ¿Cómo creés que se dieron cuenta? c) Completá las coordenadas de los puntos que faltan, para que la figura sea un cuadrado. A: (5;10) B: (5;4) C: (…;…) D: (…;…) d) Completá las coordenadas de los puntos que faltan, para que la figura sea un rectángulo M: (0;3) N: (…;…) P: (6;5) Q: (…;…) e) Explicá por escrito cómo pensaste en a) y en b), y luego discutí tu propuesta con un compañero. f) Discutí en grupo cómo se definirían las coordenadas de los vértices de un rombo. Escriban entre todos un ejemplo y luego verifíquenlo, dibujando el rombo en un sistema de coordenadas. g) Señalá en las coordenadas A: (0;8), B: (0;8), C: (3;0) E: (8,0). Explicá que ocurre cuando en el par de números hay un cero. 255 ACTIVIDAD 6: CAMBIO DE ESCALA Observá la siguiente figura: a) Discutí con un compañero cómo resultaría la figura, si cambian la escala de los ejes así: -conservando la unidad en el eje X y reduciendo a la mitad la unidad del eje Y -reduciendo a la mitad la unidad del eje X y conservando la del eje Y b) Una vez que acuerden cómo piensan que van a quedar las figuras verifíquenlo dibujando los sistemas y las figuras con las mismas coordenadas que las dadas. 256 Las figuras quedarían aproximadamente así a)¿Qué sucedería si ambas escalas se modifican respetando la misma regla? Por ejemplo la mitad de la unidad para el eje X y para el eje Y b) ¿Qué sucedería si se ampliaran las escalas? Sugerencias para la docente Si consideramos que la figura es muy compleja, podríamos reemplazarla por un cuadrado, un rectángulo u otro polígono. Esto permitiría, a la vez, analizar cuáles son las propiedades de la figura que se mantienen (amplitud de los ángulos, paralelismo de los lados) y cuáles se modifican (longitud de los lados), cuando se realizan ampliaciones o reducciones. Actividades de este tipo pueden encontrarse en el apartado “Plantear situaciones para producir e interpretar representaciones del espacio bi y tridimensional” incluido en “Para establecer y representar relaciones espaciales” de Cuadernos para el aula: Matemática 5. 257 ACTIVIDAD 7: OBSERVANDO EL GRÁFICO A. Observá la primera figura de la actividad anterior e indicá: 1. Las coordenadas de los puntos I, M, A, G 2. Encontrá las letras que corresponden a las siguientes coordenadas (4,3) = …….., (2,4) = ……, (4,10) = ………, (8;4) = …….. 3. Indicá dos letras que tengan el mismo número en las abscisas y dos que tengan el mismo número en sus ordenadas ACTIVIDAD 8: UBICAR PUNTOS EN EL PLANO a) Indicá un recorrido con trazos horizontales o verticales, que una los puntos (0;1) y (7;7) y que pase por el punto (5;3). b) ¿Cuántos recorridos posibles hay? ¿Por qué? c) Indiquen un recorrido con trazos horizontales y verticales, que una los puntos A y B pasando por C y D. escriban las coordenadas de los puntos que quedan en las esquinas. 258 ACTIVIDAD 9: VALE O NO VALE a) Indica V o F y justifica  En una batalla naval es necesario nombrar la letra y luego el número para ubicar una posición.  Al indicar un punto en los ejes es lo mismo escribir (3;1) que (1;3).  Cuando se arma un sistema de ejes cartesianos siempre se ubica el eje X en forma horizontal y el eje Y en forma vertical.  Si en un par de números aparece el cero seguro que el punto indicado se encuentra sobre alguno de los ejes ACTIVIDAD 10: MIRAR LO QUE APRENDIMOS a) ¿Qué actividades te costaron más? ¿Por qué? b) Observa el siguiente gráfico: c) ¿Podrías dar las coordenadas de los vértices de la figura? d) ¿Cuántos lados y vértice tiene la figura? ¿Qué nombre recibe? 259 ACTIVIDAD 0/11 ¿QUÉ SABEMOS? 1) El siguiente dibujo es la situación de Andrea en la batalla naval Los casilleros pintados de negro son las ocasiones en las que han averiado algún barco submarino o acorazado. En este caso a Andrea le han hundido un barco de 2 casilleros y están por hundir un submarino de 3 casilleros a) ¿Cuáles serían las coordenadas del casillero que falta para hundir el submarino? b) Si quisieras hundir el acorazado de 5 casilleros ¿qué indicaciones darías? 2) A Benja le dan el siguiente mensaje para dibujar en un sistema de ejes cartesianos ¿Cómo debería ubicar los puntos? “Dibuja una figura con los puntos (2,2) (6,4) (6,10) y (10,2)” 260 3) Para explicar ¿Qué información es imprescindible para ubicar un punto en un sistema de ejes cartesiano? 261 LINK RELACIONADOS CON LA SECUENCIA http://neoparaiso.com/imprimir/figuras-plano-cartesiano.html El alumno no necesita saber cómo elaborar un plano cartesiano ya que cada hoja contiene la cuadrícula, como si fuese papel milimetrado. El alumno empieza marcando el primer par ordenado utilizando como guía los números en el eje X y eje Y del mapa cartesiano. Luego de localizar el punto, debe trazar una recta hacia la siguiente coordenada cartesiana. Continúa de igual manera con todos los pares, únicamente interrumpiendo el trazo cuando aparezca el símbolo de la tijera, que significa que debe cortar la línea, levantar la mano. http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/39015/latitud___longitud.htm Mapa mundial en la que se pueden ensayar las coordenadas geográficas que son un conjunto de líneas imaginarias que permiten ubicar con exactitud un lugar en la superficie terrestre. El juego consiste en ubicar el lugar a partir de los datos brindados por el juego, cuando la ubicación es correcta lo indica con un visto verde. Caso contrario con una cruz roja. 262 Perímetro y área de figuras CAPÍTULO 5. 6 263 NOCIONES DIDÁCTICAS: ¿Qué relación existe entre el perímetro y área de figuras? Antes que nada es importante saber que numerosas investigaciones dan cuenta de que, en la escuela primaria, se subestima la adquisición de los conocimientos espaciales y geométricos. Relegados en relación con la aritmética, los contenidos de Geometría desarrollados muchas veces se repiten en distintos años sin mayor complejidad y en otras su enseñanza tiene algunos vicios como por ejemplo, la presentación “ostensiva” de los objetos de la geometría sin que haya una interacción del alumno con ellos. Mientras que para otros conocimientos, las prácticas de la enseñanza de la matemática tienden a apoyarse en la resolución de problemas, en el trabajo con geometría se privilegian actividades basadas en la presentación de los objetos geométricos y sus propiedades. Sin embargo, que un alumno aprenda geometría va más allá de que pueda reconocer, nombrar y representar figuras y cuerpos, sino que debe estimularse la búsqueda de relaciones entre sus elementos, a través de la observación, comparación y construcción. Los problemas de cálculos de áreas son problemas de Geometría vinculados a la medida. Es necesario devolverles a los alumnos del segundo ciclo, la responsabilidad de elegir una unidad de medida que sea pertinente al objeto, de ofrecer situaciones donde sea necesario estimar las medidas de determinadas figuras, que el error es un aspecto esencial de toda medición, entre otras consideraciones. Su desconocimiento en las actividades tradicionales, la insistencia en las conversiones, el énfasis en el trabajo en fórmulas para calcular áreas pone al alumno en el lugar de llegada, una fórmula, que representa una síntesis de procedimientos pero no el único. Al ingresar al trabajo con áreas y perímetros es importante la diferenciación de ambos conceptos. Los chicos suponen la existencia de alguna vinculación entre ellos 264 y tienden a pensar que la modificación de uno de estos atributos implica necesariamente una alteración en el otro. Uno de los factores que influyen para la confusión es que ambos atributos pueden calcularse a partir de los mismos datos de longitudes de los lados. Se debe abordar el concepto de área a partir de dos aspectos fundamentales: la distinción entre el área y el perímetro, y la medición de áreas por medio de comparaciones directas o utilizando diversas superficies como unidades de medida. Dos ideas centrales que los niños deberán aprender son:  área y perímetro son magnitudes independientes,  dos figuras de diferente forma pueden tener la misma área. La resolución de diversos problemas que involucren mediciones directas de superficies rectangulares con superficies cuadradas usadas como unidades de medida, de problemas de embaldosados, y de cálculo de superficies en hojas cuadriculadas, permitirá a los alumnos comenzar a apropiarse de un procedimiento vinculado al uso de longitudes para calcular áreas. Este procedimiento puede ser retomado para que todos los alumnos empiecen a tomar conciencia de que, para superficies rectangulares, la información sobre los lados es suficiente para el cálculo del área. Serán necesarias diversas oportunidades para que este conocimiento pueda ser utilizado por todos los niños con un control del significado de dichos datos. 265 Se planteará entonces la construcción de las fórmulas del área del cuadrado, del rectángulo, y luego, como derivadas de la anterior, las del área del triángulo y del rombo. Será interesante analizar con los alumnos que, en el caso del rombo, la medida del lado no determina la medida del área: existen infinitos rombos que tienen como lado una longitud dada, y todos ellos tienen diferentes áreas. La medición de las áreas de figuras más complejas se podrá realizar en este ciclo a partir de su descomposición en figuras más simples. Es importante que la utilización de fórmulas en la clase conviva con otros procedimientos para permitir a los alumnos la toma de decisiones en la resolución de problemas. La conveniencia de utilizar la fórmula o apoyarse en ciertas propiedades de la figura en cuestión dependerá del problema planteado y de los datos de los que se dispone. Con respecto a las unidades de medida convencionales, será interesante que los alumnos puedan utilizar superficies cuadradas cuyas medidas sean el m2, el dm2 y el cm2 como unidades de medida para mediciones directas y estimativas. Las equivalencias entre unidades son de una gran complejidad, aspecto que no se resuelve por la aplicación de algoritmos (correr comas o agregar ceros). Se trata de que los niños tengan que tomar decisiones vinculadas a cuáles unidades de medida conviene utilizar en un problema y cómo hacer para obtener equivalencias entre unidades distintas. La comprensión de las mismas precisará ser encarada a través de problemas específicos que permitan su elaboración y su reutilización. La respuesta a la pregunta inicial es que área y perímetro son magnitudes independientes que los niños naturalmente asocian y que dos figuras de diferente forma pueden tener la misma área, pero debe plantearse en situaciones problemáticas que involucren a los alumnos y que les permitan argumentar las diferencias a pesar de que ambos pueden ser obtenidos con los mismos datos. 266 Propósitos de la secuencia de Perímetro y Área para 4° grado Actividad 1 Contando cuadraditos Esta actividad se retoma el tema de las propiedades de las figuras como es la congruencia de lados y propone la discusión y argumentación en relación a la forma y perímetro. Aun conociendo la existencia de lados congruentes es posible que algunos alumnos afirmen que alguna figura tiene mayor perímetro que otra cuando en realidad se diferencian en su forma y área. Si así ocurre es importante que el niño lo verifique con instrumentos de medición. Actividad 2 A simple vista La propuesta es diferenciar área de perímetro sin necesidad de hacer mediciones en primera instancia, luego lo podrá corroborar contando los cuadritos que es la unidad disponible en la actividad. Actividad 3 Juego Este juego permite la puesta en práctica de estrategias personales de construcción de figuras tomando en cuenta las familias de aquellas que cumplen ciertas propiedades geométricas. Al disponer de las piezas recortadas, los alumnos tienen la posibilidad de manipularlas y poner en juego sus concepciones sobre, por ejemplo, equivalencia de áreas de figuras de diferente forma, perímetros, movimientos en el plano y simetrías y composición de figuras. 267 Actividad 4 Después del juego Esta actividad permite clasificar las figuras formadas durante el juego en cuenta las propiedades de las figuras trabajadas durante el año y ordenarlas por variación en el perímetro. Actividad 5 ¿Vale o no vale? Esta actividad lleva a revisar las conclusiones obtenidas durante el desarrollo de las actividades anteriores proponiendo una tarea distinta: la de revisar su formulación, ajustando el sentido de lo que se afirma, el lenguaje utilizado y el alcance de su validez. Esto contribuye a sistematizar los nuevos aprendizajes y a establecer relaciones con otros conocimientos Actividad 6 Mirar lo que aprendimos Esta actividad contribuye a tomar conciencia sobre el propio proceso de estudio a modo de autoevaluación, y a jerarquizar los conocimientos aprendidos. 268 Secuencia para 4 ° grado- Análisis de variaciones de perímetro y área Actividad 1 Contando cuadraditos a) En cada figura indica el contorno, considerando que cada cuadrado tiene 1 cm de lado y la cantidad de cuadraditos. b) ¿Qué varía en cada una? ¿Qué es lo que no varía? Actividad 2 A simple vista ¿Cuál de las siguientes figuras, sin medir, piensas que tiene mayor contorno? ¿Y superficie? 269 Actividad 3 Juego A diseñar patios Materiales • 48 cuadraditos, 24 para cada equipo • Mazo de cartas con los números de 1 a 20 Organización del grupo: • Se juega de a 4 integrantes: 2 equipos de 2 alumnos. Reglas del juego: 270 Se trata de armar patios de diferentes formas a partir de los cuadraditos, sin superponer piezas, y con la condición de que cada cuadradito debe tener, al menos, un lado común con otro. Se coloca el mazo de cartas boca abajo y el juego comienza cuando un jugador extrae una carta y la pone boca arriba. El número que allí aparece será el número de baldosas del patio. Cada equipo debe entonces formar con cuadraditos, como indica la carta, la figura de mayor perímetro posible. Gana y se anota un punto el equipo cuya figura tiene perímetro mayor. Si son perímetros iguales, hay empate y llevan un punto cada uno. El juego concluye luego de jugadas 10 manos. a) Al concluir cada mano, anoten en una tabla números de baldosas y el contorno de cada patio. Actividad 4 Después del juego 1) Dibuja en el cuaderno la familia de figuras de 2, de 3 y de 4 unidades de área 2) Luego de completada la familia de figuras identifiquen a) las figuras convexas b) las que tienen exactamente un eje de simetría c) un par de lados iguales d) igual cantidad de lados 3) En el cuaderno pueden ordenar por perímetro creciente las figuras de una cantidad fija de área. 271 Actividad 5 ¿Vale o no vale? Analiza cada una de las siguientes frases, indiquen si la consideran verdadera o falsa y justifiquen su conclusión:  Si dos figuras tienen la misma área deben tener el mismo perímetro.  Dos figuras tiene el mismo perímetro deben tener la misma área.  Dos figuras pueden tener diferentes perímetros y la misma área.  Si una figura tiene perímetro mayor que otra, entonces su área debe ser mayor.  Si una figura tiene área menor que otra, entonces su perímetro debe ser menor. Actividad 6 Mirar lo que aprendimos 1) ¿Qué actividades te resultaron más fáciles? 2) ¿Cuáles te costaron más? ¿Por qué? 3) ¿Qué le contestaría a Mercedes cuando afirma que si una figura tiene más perímetro que otra también tiene mayor superficie? ¿Por qué? Actividad 0/6 ¿Qué sabemos? 1) ¿Es posible afirmar que alguna de estas figuras tiene mayor perímetro que las otras o no? ¿Por qué? 272 2) Pamela dice que estas figuras tienen la misma superficie y Tomás que tienen el mismo perímetro. ¿Quién tiene razón y por qué? 273 Propósitos de la secuencia de Perímetro y Área para 5° grado Actividad 1 A dibujar La actividad pretende que el alumno componga figuras manteniendo invariable una magnitud y verifiquen cuál es el comportamiento de la otra. Por otro lado que justifique respuestas. Actividad 2 Diferentes La actividad lleva al alumno a que descomponga figuras para armar otras que le permitan determinar la semejanza de áreas, para ello puede dibujar y si fuera necesario copiar y recortar para alcanzar la respuesta que se solicita. Actividad 3 Contando cuadraditos Al implementar este tipo de actividades se favorece la visualización, interpretación y análisis de las situaciones planteadas. Se observa que con la manipulación del material asimilan y construyen el conocimiento ya que cada estudiante es el protagonista de su propio proceso Actividad 4 Jugando al Tangram Este conocido rompecabezas de origen chino da la posibilidad de trabajar en la composición y la equivalencia de figuras elementales. Con este juego se busca que los alumnos trabajen con las figuras y sus propiedades, con los movimientos de figuras en el plano y con las propiedades que se mantienen invariantes, con simetrías en figuras. También se requiere del uso de criterios de congruencia, de descomposición de superficies y de clasificación para la identificación y la reproducción de formas. 274 Actividad 5 Después del juego Para que los alumnos puedan verificar que se conserva el área deberán armar las figuras de la siguiente manera: La segunda figura tiene más “panza” porque se le agregó una franja de área igual a la del pie de la primera. Actividad 6 ¿Vale o no vale? Esta actividad lleva a revisar las conclusiones obtenidas durante el desarrollo de las actividades anteriores proponiendo una tarea distinta: la de revisar su formulación, ajustando el sentido de lo que se afirma, el lenguaje utilizado y el alcance de su validez. Esto contribuye a sistematizar los nuevos aprendizajes y a establecer relaciones con otros conocimientos. Actividad 7 Mirar lo que aprendimos Esta actividad contribuye a tomar conciencia sobre el propio proceso de estudio a modo de autoevaluación, y a jerarquizar los conocimientos aprendidos. 275 Secuencia para 5 ° grado- Análisis de variaciones de perímetro y área Actividad 1 A dibujar a) En una hoja de papel cuadriculado, recorten un rectángulo de 32 x 20 cuadraditos. Cada uno del grupo recorte su rectángulo en trozos y, sin perder ninguno, armen la figura que quieran. ¿Cuál es el área de esta nueva figura? b) Algunos chicos del grupo dicen que si dos figuras tienen igual área, entonces seguro tienen el mismo perímetro. ¿Es cierto? Escriban y expliquen su respuesta. c) Sobre este cuadriculado dibujen figuras de distinta forma que tengan igual área que la del modelo. d) Sobre este cuadriculado dibujen una figura que tenga el mismo perímetro que el modelo pero distinta área. Comparen sus resultados con los de otros compañeros y verifiquen sus propuestas. 276 Actividad 2 Diferentes Entre las siguientes figuras, hay cinco que tienen igual área. Encuentren la figura que tiene distinta área. Actividad 3 Contando cuadraditos a) Cuenta y escribe cuál es el área de cada figura.  ¿Tienen las dos figuras la misma forma y el mismo tamaño?  ¿Tienen las dos la misma área? ¿Por qué? Actividad 4 Jugando al Tangram Tangram: ¿Qué piezas? 277 Materiales • Piezas recortadas de los 2 tangram • Papel y lápiz para esbozar las soluciones Organización del grupo • Juegan 2 equipos de 2 alumnos, según la versión. Reglas del juego Se elige qué equipo comienza. Los integrantes de ese equipo, sin que los vea el equipo contrario, seleccionan 2 ó 3 piezas de sus juegos de fichas de Tangram, arman 278 una figura (yuxtaponiendo las piezas sin superponerlas) y copian el contorno en una hoja (conviene que armen la figura directamente sobre la hoja). Hasta el momento de controlar la respuesta, tapan las fichas que usaron y pasan la hoja con el contorno al otro equipo. Los integrantes del equipo que recibe la hoja tienen que reconstruir la figura usando 2 ó 3 piezas de su juego de fichas y, cuando terminan, mostrar la solución que encontraron. (Los alumnos del equipo que armó la figura inicial no anuncian cuántas figuras utilizaron, tarea que le corresponde “adivinar” al otro equipo.) Se destapa el armado original de la figura que realizó el primer equipo y se lo compara con el del segundo equipo. Si coinciden, el equipo que “adivinó” gana un punto. Si se propuso una solución alternativa válida, y hay acuerdo en que así es, gana dos puntos. Si no lo logra, no anota puntos en esa ronda. Gana el equipo que obtiene más puntos. Actividad 5 Después del juego Martín dice que en las figuras siguientes no se cumple el principio de conservación del área, ya que parecen iguales, pero a la segunda le falta el pie. 279 ¿Estás de acuerdo? Compruébalo armando las figuras con las piezas del tangram Actividad 6 ¿Vale o no vale? Analiza cada una de las siguientes frases, indiquen si la consideran verdadera o falsa y justifiquen su conclusión:  Si dos figuras tienen la misma área deben tener el mismo perímetro.  Dos figuras tiene el mismo perímetro deben tener la misma área.  Dos figuras pueden tener diferentes perímetros y la misma área.  Si una figura tiene perímetro mayor que otra, entonces su área debe ser  Si una figura tiene área menor que otra, entonces su perímetro debe ser mayor. menor. Actividad 7 Mirar lo que aprendimos a) ¿Qué actividades te resultaron más fáciles? b) ¿Cuáles te costaron más? ¿Por qué? Actividad 0/8 ¿Qué sabemos? 1- Escribe el área de cada figura y contesta 280  ¿Qué figuras tienen igual área? ¿Tienen la misma forma?  Dos figuras con la misma forma ¿tienen siempre la misma área? Explica por qué. 2- Tomando la figura M como unidad, construyan 3 figuras diferentes cuya área sea cuatro veces M. 281 Secuencia de análisis de variaciones de Perímetro y área para 6º grado Actividad Nº 1 1-En cada uno de estos cuadrados realiza una transformación para que quede otra figura con: a) Menor superficie y menor perímetro b) Menor superficie y mayor perímetro c) Menor superficie e igual perímetro Actividad Nº 2 Observa las figuras y contesta: a) ¿Están formadas las dos por el mismo número de cuadrados? b) ¿Tienen las dos igual área? 282 c) ¿Dos figuras con la misma área tienen siempre igual perímetro? Actividad Nº 3 Dobles 1) A partir del rectángulo que se presenta construí otro rectángulo que tenga el doble de área. ¿Hay una única posibilidad? 2) El siguiente dibujo es un cuadrado: a) si se duplica uno de sus lados, se obtiene un rectángulo. ¿se habrá duplicado el área? ¿y el perímetro? Actividad Nº 4 Iguales pero diferentes Observa y contesta ¿Tienen los dos triángulos la misma base y la misma altura? ¿Tienen los dos triángulos la misma área? ¿Por qué? Actividad Nº 5 Calcula el área de cada polígono regular sabiendo que la del triángulo marcado es de 20 cm2 283 Actividad Nº 6 ¿Vale o no vale? Analiza cada una de las siguientes frases, indiquen si la consideran verdadera o falsa y justifiquen su conclusión:  Si dos figuras tienen la misma área deben tener el mismo perímetro.  Dos figuras tiene el mismo perímetro deben tener la misma área.  Dos figuras pueden tener diferentes perímetros y la misma área.  Si una figura tiene perímetro mayor que otra, entonces su área debe ser mayor.  Si una figura tiene área menor que otra, entonces su perímetro debe ser menor. Actividad Nº 7 a) ¿Qué actividades te resultaron más fáciles? b) ¿Cuáles te costaron más? ¿Por qué? Actividad Nº 0/8 ¿Qué sabemos? 1-Halla el área de cada cuadrado. Después contesta 284 285  ¿Es el lado del cuadrado mayor el doble del lado del cuadrado menor?  ¿Es el área del cuadrado mayor el doble del área del cuadrado menor? 286 Anexo página 69 +10 +100 +1.000 x10 x100 x1.000 Anexo página 79 287 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 288 3 3 4 4 4 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 Anexo página 145 289 Anexo página 156 290 291 Anexo página 184 Anexo página 205 292 Anexo página 239 293 Anexo página 246 294 295