Libro Mate IV

EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR A DISTANCIAMatemáticas IV CUADERNILLO DE PROCEDIMIENTOS PARA EL APRENDIZAJE Con la colaboración de: Maricela Gutiérrez Carbajal Cuauhtémoc Olivares Jiménez Annael Servín Martínez Luis Suárez Méndez MATEMÁTICAS IV Cuadernillo de procedimientos para el aprendizaje Con la colaboración de : Maricela Gutiérrez Carbajal Cuauhtémoc Olivares Jiménez Annael Servín Martínez Luis Suárez Méndez EMSAD EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR A DISTANCIA MATEMÁTICAS IV Cuadernillo de Procedimientos para el aprendizaje Con la colaboración de: Maricela Gutiérrez Carbajal Cuauhtémoc Olivares Jiménez Annael Servín Martínez Luis Suárez Méndez Coordinación de Educación Media Superior a Distancia Martha Elena Fuentes Torres Departamento de Diseño de Material Didáctico y Capacitación: Antonio Cadena Magaña Revisión y asesoría académica: Víctor Manuel Mora González Diseño Gráfico: Mildred Ximena Uribe Castañón Corrección de Estilo: Cristina Miranda Huerta ©Secretaría de Educación Pública. México, febrero de 2008. Subsecretaría de Educación Media Superior Dirección General del Bachillerato Educación Media Superior a Distancia ISBN: En trámite Derechos Reservados ÍNDICE 1 2 3 4 RELACIONES Y FUNCIONES 9 FUNCIONES POLINOMIALES 56 83 FUNCIONES RACIONALES FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 102 RESPUESTAS 135 . 4 . 5 . particularmente de la Matemática. valorarás la utilidad del trabajo colaborativo en equipos y en el grupo. en Matemáticas II. como estudiante de bachillerato. así como para la comprensión e interpretación de tu realidad. económico y ambiental del desarrollo tecnológico. al participar en actividades grupales. amable estudiante. métodos y procesos lógicos. lo mismo que la importancia del respeto a las opiniones de los demás. y desarrollarás una actitud de aprecio hacia el trabajo científico. incorporaste el estudio de los conocimientos geométricos. El estudio de las Matemáticas te brinda. además de la formalidad. valorar su importancia actual y futura. Al cursar la asignatura de Matemáticas I.PRESENTACIÓN La asignatura de Matemáticas IV. indispensable para la explicación de fenómenos y la resolución de problemas en distintos campos del conocimiento. posibilitará asimismo el que desarrolles distintas formas de comunicación oral y escrita. el rigor y la exactitud. mediante el desarrollo de conceptos. y a utilizar distintos lenguajes y formas de representación simbólica. conjugaste los aspectos anteriores mediante el estudio de la Geometría Analítica. aprendiste a transitar de las operaciones numéricas de la Aritmética al lenguaje general del Álgebra. al aplicar los conocimientos para la modelación y resolución de problemas de diversos ámbitos. a la cual pertenece el Cuadernillo de Procedimientos para el Aprendizaje que tienes en tus manos. aprendiste a transitar de las formas algebraicas a las representaciones geométricas y viceversa. expresando tus ideas mediante diversas representaciones gráficas o interpretando y describiendo procesos. útiles para tu desarrollo y madurez intelectual. y tomar conciencia del impacto social. y en Matemáticas III. la oportunidad de desarrollar diversas formas de pensamiento y diferentes tipos de razonamiento. Entre los propósitos formativos de este campo se encuentran el desarrollo de conocimientos. te permitirá adquirir los elementos básicos para efectuar el análisis de la relación funcional entre dos variables. tanto personal como social. Al estudiar los conceptos de variación y aproximación ligados a la idea de función. habilidades y actitudes que te permitan –como estudiante– interpretar de manera reflexiva y crítica el quehacer científico. se incluye dentro del campo de conocimiento físico-matemático. el error y la aproximación. El estudio de esta asignatura. es decir. la asignatura de Matemáticas IV tiene entre sus propósitos desarrollar en ti un pensamiento flexible al constatar que la Matemática también admite el titubeo. utilizarás el pensamiento crítico al elaborar gráficas e identificar las diferentes formas de variación funcional al modelar situaciones. a partir de la idea de variabilidad y relación funcional de dos variables. análisis. constituirá una base importante en los semestres subsecuentes. mediante la participación en debates. tomadas de tu contexto inmediato. permitirá que apliques específicamente dichos conocimientos en la modelación de fenómenos. cúbicas y cuárticas) y se concluirá con el estudio del comportamiento de dos tipos especiales de funciones trascendentes. en la asignatura de Física II que se imparte en este mismo semestre y. las funciones exponencial y logarítmica. numéricas: tablas. Los contenidos sobre funciones que serán abordados en el curso de Matemáticas IV comprenden los temas de: Relaciones y funciones. operaciones y tipos básicos especiales de funciones (indispensables para la representación de la variación entre dos magnitudes) se pasará al estudio de las funciones algebraicas polinomiales y racionales (incluyendo propiedades algebraicas de polinomios. para el estudio del Cálculo Diferencial e Integral. etc. sus características algebraicas y geométricas. orales o escritas). cuadráticas. En cada unidad aprenderás a relacionar magnitudes para modelar diversas situaciones de tu entorno. Funciones racionales y Funciones exponencial y logarítmica. tendrás oportunidad de desarrollar actitudes de colaboración y respeto al participar en diversas actividades. Funciones polinomiales. exposiciones. incluyendo representaciones tanto matemáticas (algebraicas: ecuaciones. revisando propiedades básicas de logaritmos y resolviendo ecuaciones exponenciales y logarítmicas (lo que complementará el estudio de las funciones trascendentes iniciado ya en Matemáticas II con las funciones trigonométricas). de desarrollar una actitud crítica al realizar investigaciones y participar en el análisis de situaciones prácticas que requieran modelación. igualmente. más allá. geométricas: gráficas). raíces de ecuaciones lineales. vinculará y estructurará el estudio de tales contenidos. escolar o social. solución e interpretación de resultados. La idea general de interdependencia funcional entre dos variables. tales como factores.El estudio de las funciones. También. en el cuarto semestre del Plan de estudios del bachillerato general posibilita. Probabilidad y Estadística. así como sus distintas formas de representación. como no matemáticas (descripciones en lenguaje ordinario. En todas las unidades desarrollarás habilidades de comunicación al transitar por distintas formas de representación de las funciones. residuos. Matemáticas Financieras y. que concluyas el componente de formación básica consolidando y ampliando tus conocimientos algebraicos sobre variables y ecuaciones iniciado en Matemáticas I y los del comportamiento de las funciones trigonométricas abordados en Matemáticas II (ubicándolas como un tipo particular de funciones trascendentes) y los de representación gráfica de ecuaciones adquiridos mediante el estudio de la Geometría Analítica en Matemáticas III. que te resultará de utilidad para interpretar aspectos numéricos y lógicos de tus vivencias personales y de tu realidad social. en el componente de formación propedéutica. Partiendo de la idea general de función. como elaboración de tareas y exposiciones en equipo y grupales. 6 . destacando el carácter inverso de ambas. Los temas que incluye Matemáticas IV. 7 . Objetivo de la asignatura: Resolverás problemas que conlleven el concepto matemático de función. utilizando el pensamiento crítico y reflexivo. son: Unidad I. generando un ambiente escolar de tolerancia y respeto que favorezca el desarrollo de habilidades de exploración. Funciones polinomiales. mediante el desarrollo de técnicas y métodos algebraicos y geométricos. a partir de su clasificación y operaciones que conduzcan a un análisis particularizado de cada una y al manejo de las nociones de variación e interrelación de dos magnitudes. Unidad III. Funciones exponencial y logarítmica. Relaciones y funciones. Unidad II. Funciones racionales. Unidad IV. modelación y obtención de resultados. 8 . para construir modelos que sirven para dar soluciones adecuadas. además. del estudio de una noción fundamental en matemáticas: la función. revisando. ¡enhorabuena! La asignatura de Matemáticas IV. el uso de funciones inversas. algunas aplicaciones prácticas. a problemas que se presentan cotidianamente. Siendo específicos. lógico. codominio y rango. la realización de operaciones entre funciones. teóricos o prácticos. Su conocimiento y dominio hace que cualquier persona logre representar simbólicamente muchos fenómenos y situaciones. cuyo estudio estás emprendiendo. UNIDAD 1 ¡Sean bienvenidos! Estás comenzando el curso de Matemáticas IV. a veces insólitas. mediante el manejo de la relación funcional entre dos variables. por decirlo de manera muy resumida. De hecho las matemáticas modernas son herramientas tan poderosas porque se basan en el uso de las diversas funciones que existen. analógico y el desarrollo de actitudes de responsabilidad.¿ RELACIONES Y FUNCIONES Objetivo de la unidad: Resolverás problemas sobre relaciones y funciones. cooperación. trata. lo cual indica que tu esfuerzo a lo largo de tres semestres está dando fruto y estás iniciando la segunda parte de tu Bachillerato. De las funciones entenderás a qué se le llama dominio. Es por ello que esta unidad –la primera del curso– te proporciona las bases esenciales para ir profundizando poco a poco en los temas de las otras tres unidades. comenzarás por estudiar la noción de relación y de función para distinguirlas entre sí. ¿ 9 ¿Qué voy a aprender? ¿ . iniciativa y colaboración hacia el entorno en el cual te desenvuelves. y las transformaciones de gráficas. funciones especiales. en un ambiente escolar que favorezca la reflexión y razonamiento abstracto. 4. y otros. Precálculo. Publicaciones Cultural. Matemáticas IV. Precálculo. 2. Leithold. 2005. México. 10 Enciclopedia Encarta: Si tu Centro de Servicios cuenta con este software.Fuentes de consulta Bibliografía básica: 1. Ruiz Basto. Publicaciones Cultural. México. Prentice-Hall Hispanoamericana. Barnett. International Thomson Editores. Oup-Harla. Francisco J. México. Matemáticas previas al Cálculo. te recomendamos revisar estos artículos que tienen relación con los temas tratados en esta Unidad. Álgebra. Ortíz Campos. Precálculo: funciones y gráficas. 7. 1997. Ronald. Larson. 3. Raymond. Joaquín. 2000. Stewart. Bachillerato General. 2000. • Función (matemáticas) • Número racional • Asíntota . y otros. McGraw Hill Interamericana. 6. M. 2005. James. Publicaciones Cultural. México. 1994. México. Louis. Matemáticas IV. 5. Sullivan. México. México. Precálculo: funciones y aplicaciones. 1996. html#func 11 .html http://ponce.Páginas Web: Actualmente podemos encontrar en la red una gran cantidad de información y existen sitios altamente recomendables como los que enlistamos a continuación para que los visites: • • • • • http://www.geocities.fisicanet.html http://www.edu/csit/math/precalculo/sec3/cap3.com.inter.cica.php http://perso.ar/matematica/m2_funciones.wanadoo.com/funcion_ve/ http://thales.es/paquipaginaweb/funciones/index.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01. . Matemáticas IV. Por ejemplo. aunque ambos conceptos tienen similitudes. 12 Según esta definición. pues. analicemos a continuación cada uno de ellos. sino en un mundo cambiante. de tal manera que a cada elemento del dominio corresponde uno o más elementos del contradominio. ya que esto nos permite tomar decisiones. la posición en la que te encuentras y la de los objetos que observas a tu alrededor. Funciones. diagramas. etc. 2007. no son completamente iguales. que las ganancias en una tienda dependen de la cantidad de artículos que logran vender y así. sabemos que el tiempo que tardes en llegar a la escuela depende de la velocidad a la que camines. la posición del sol. que la producción agrícola depende del clima. ¿qué debe entenderse por “relación”? Estudiemos la definición siguiente: Una relación es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos de un primer conjunto (llamado dominio) con los elementos de un segundo conjunto (denominado contradominio o codominio). Para comprender su empleo y relevancia.¿Cómo aprendo? 1. parejas. México. gráficas y ecuaciones. notamos que no se establece ningún tipo de restricción respecto a cómo relacionarse un conjunto con otro. en el lenguaje común parece no tener relevancia. RELACIONES Y FUNCIONES Objetivo temático: Resolverás problemas que impliquen la noción de relación y función en forma teórica y práctica. la cantidad de artículos que podemos comprar con el dinero que tenemos. que el ángulo de inclinación del sol depende de la hora del día. podemos elegir a qué velocidad debemos caminar para llegar a tiempo. o bien. mediante el análisis de la asociación entre dos variables a través de tablas. Ortiz Campos. pero sólo una depende de la otra. La diferencia entre decir que unas magnitudes están en relación con otras. y que sus elementos estén asociados. en una relación necesitamos dos conjuntos de datos. Recordemos que tenemos siempre dos magnitudes. La observación de esos cambios y la dependencia que existe entre ellos son los que interesan al estudio de las matemáticas. que unas están en función de otras. Asimismo.1. pues “relación” se utiliza como sinónimo de “función”. donde existe un sinfín de magnitudes que varían. que permitan obtener su dominio y rango. Francisco J. como: el tiempo. el precio de las cosas. Sin embargo la diferencia en matemáticas es notable. en qué época del año sembrar determinado tipo de planta. Uno llamado dominio (primer conjunto) y otro contradominio (segundo conjunto). Puedes observar a tu alrededor y darte cuenta de forma inmediata que no vives en un mundo fijo. Publicaciones Cultural. NOCIÓN DE RELACIÓN En el ámbito matemático. al Español Cap. 13 Ejemplo 3. Estados Capitales Saltillo Monterrey Cd. B 3 4 5 Ejemplo 2. cuyos elementos asociados se unen por medio de flechas. un elemento del dominio está relacionado con varios elementos del contradominio ¿es relación? Nombre José Omar Ulises Israel Deporte Beisbol Futbol Basquetbol Voleibol . Para ilustrarlos de una manera más clara.Existen numerosos ejemplos de relaciones que utilizamos con frecuencia. a continuación te citamos algunos. El nombre de algunos alumnos y el deporte que practican. para el trab. de México Literatura II Lengua Adic. denominados dominio y contradominio. para el trab. . La relación entre los nombres de los estados colindantes con San Luís Potosí y sus capitales. Aquí. Victoria Jalapa Guanajuato Querétaro Pachuca Guadalajara Zacatecas Ejemplo 1. A Cap. que en latín se dice sagita). Soc. Las materias que cursas con el número de horas a la semana. de horas Matemáticas IV Física II Biología I Est. en donde se pueden apreciar ambos conjuntos. los representaremos por diagramas sagitales (nombrados así porque se utilizan flechas. Coahuila Nuevo León Tamaulipas Veracruz Guanajuato Querétaro Hidalgo Jalisco Zacatecas Asignaturas No. El conjunto A es el dominio de la función f. Hostetler. en donde ambos conjuntos son numéricos. como veremos. Publicaciones Cultural. Ortiz Campos. de las relaciones anteriores ¿cuáles son funciones? Discútelo con tus compañeros. a cada elemento de x del conjunto A. Asociemos los kilómetros que recorre con el tiempo que transcurre. de Querétaro. Una función f de un conjunto A respecto a un conjunto B es una regla de correspondencia que asigna. La velocidad a la cual se mueve es de 70 km/ h . exprésalos con un diagrama sagital. Publicaciones Cultural. Álgebra. 2007. Cita tres ejemplo de relaciones. Todos estos ejemplos son relaciones. es un tipo especial de relación. México. 1996. no existe ninguna restricción en la forma que deben relacionarse. Escríbelas en tu cuaderno y analízalas junto con tus compañeros y asesor. Larson. De acuerdo a lo anterior. Estudiemos ahora esta definición: La función es una relación en que a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. Existen numerosas definiciones. Aquí sí existe una condición respecto a cómo asociarse. Francisco J. no podemos descartar ninguno pues.Ejemplo 4. Matemáticas IV. exactamente un elemento y del conjunto B. que establece claramente que todos los elementos del dominio deben estar asociados estrictamente con uno del contradominio. 14 NOCIÓN DE FUNCIÓN Una función. Roland E. Tiempo (h) 1 2 3 Distancia (km) 70 140 210 Nuevamente nos encontramos con una relación uno a uno. . Un automóvil recorre 210 km de la Cd. Funciones. San Luis Potosí a la Cd. y Robert P. Veamos otra definición. y el conjunto B es el contradominio. Actividades: 1. como habíamos mencionado. México. 2. te sugerimos investigar algunas otras para que puedas construir tu propio concepto de relación. . Aunque ya hemos mencionado algunos de ellos es necesario que conozcas de manera explícita su significado. si los siguientes diagramas sagitales son funciones o sólo relaciones. Anota debajo de cada uno la palabra RELACIÓN o la palabra FUNCIÓN. veamos el siguiente diagrama donde se observan los elementos. los conjuntos y los subconjuntos. Investiga en los medios a tu alcance y completa el siguiente cuadro. según corresponda: A(x) B(y) 1 2 3 4 a b c d A(x) B(y) a b c d A(x) B(y) a b c d A(x) B(y) 1 2 3 4 a b c A(x) B(y) 1 2 3 4 a b c 2 4 2 4 En el estudio de las relaciones y las funciones utilizaremos algunos conceptos nuevos cuyo significado debe quedarnos suficientemente claro para apropiarnos de ellos y utilizarlos correctamente.3. 4. Determina. 15 TÉRMINO Dominio Codominio o contradominio Argumento Imagen Rango DEFINICIÓN Para aclarar el empleo de estos términos. tradominio. podemos definir a una función como una relación tal.4} b) El contradominio por C={a. Analiza el siguiente cuadro en donde se expresan las diferencias y similitudes entre una relación y una función: 16 RELACIÓN FUNCIÓN Cada elemento del dominio puede estar Cada elemento del dominio debe estar asoasociado a 0.no estar asociado a ningún elemento del dominio. 1. Considerando estos conceptos. 2 o más elementos del con.ciado a uno y sólo un elemento del contradominio. dominio. Si esto no ocurre entonces la relación no es función. Cada elemento del contradominio puede no Cada elemento del contradominio puede estar asociado a ningún elemento del domi.d} c) El rango está determinado por I={a.c.DOMINIO (conjunto) CONTRADOMINIO (conjunto) A(x) B(y) Imágenes (elementos) a 2 Argumentos (elementos) b c 4 d RANGO (subconjunto) Sigue revisando la imagen y trata de comprender las siguientes afirmaciones que se refieren a ella: a) El dominio está definido por D={2. . “b” es la imagen del argumento 4.b.b} d) “a” es la imagen del argumento 2. nio. Cada elemento del contradominio puede Cada elemento del contradominio puede estar asociado a uno o mas elementos del estar asociado a uno o más elementos del dominio. en la que a cada argumento le corresponde únicamente una imagen. Realiza un diagrama que relacione los siguientes conjuntos y determina si son funciones o no. de San Luís Potosí a la Cd. sin embargo existen otras formas: por medio de tablas. a) El nombre de tus maestros y las asignaturas que imparte en tu escuela. Retomemos un ejemplo antes mencionado.5. ¿Ambas afirmaciones son verdaderas? Argumenta tu respuesta. Analiza las siguientes frases: “Todas las relaciones son funciones”. “Todas las funciones son relaciones”. Anota tus conclusiones sobre la información del cuadro anterior: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ NOTACIÓN DE FUNCIÓN Se utiliza la notación f: A→B. 6. REPRESENTACIONES DE UNA FUNCIÓN Y UNA RELACIÓN Hasta ahora hemos representado las funciones y relaciones por medio de diagramas sagitales (método de flecha). es función porque cada persona no puede tener dos edades al mismo tiempo. b) Los días de la semana y el número de horas que dura cada una. 17 . de Querétaro. gráfica y ecuación. 7. para referirnos a una función entre el conjunto A del dominio y el B del contradominio. la F: P→E es la relación en la que a cada persona se le asocia con su edad. como conjunto de pares ordenados. para mostrar estas representaciones. Por ejemplo. Se lee “la función f de A a B”. c) Las materias que cursaste el semestre pasado y la calificación obtenida. en donde relacionamos el tiempo y la distancia recorrida por un automóvil de la Cd. Victoria Jalapa Guanajuato Querétaro Pachuca Guadalajara Zacatecas Estados Coahuila Nuevo León Tamaulipas Veracruz Guanajuato Querétaro Hidalgo Jalisco Zacatecas Tabla Capitales Saltillo Monterrey Cd. 18 Pero. esta función sólo tiene las dos representaciones anteriores.Representación sagital Tiempo (h) 1 2 3 Distancia (km) 70 140 210 Tabla 200 Gráfica 180 160 140 120 100 80 Tiempo Distancia (h) (km) 1 70 2 140 3 210 Pares ordenados: F: {(1. Victoria Jalapa Guanajuato Querétaro Pachuca Guadalajara Zacatecas Las representaciones en pares ordenados. (2. En el plano cartesiano los valores de x se ubican en el eje horizontal y los de y en el vertical. gráfica y ecuación son exclusivas para conjuntos numéricos. (3.140). Representación sagital Coahuila Nuevo León Tamaulipas Veracruz Guanajuato Querétaro Hidalgo Jalisco Zacatecas Saltillo Monterrey Cd. por lo tanto.70). Es importante que analices estas representaciones y reconozcas que muestran la misma variación entre los valores de dos conjuntos. Es muy importante que comprendas que no todas las relaciones y funciones. si cada hora. a pesar de ser dos conjuntos numéricos los que se relacionan.210)} Ecuación: y=70x 60 40 20 0 -1 0 1 2 3 Recuerda que convencionalmente se utiliza la letra x para designar los valores del dominio y y para los del contradominio. elaboras . ¿todas las funciones y relaciones se pueden representar de estas cinco formas? Analicemos ahora la función entre Estados de la República Mexicana que colindan con San Luis Potosí y sus capitales. tienen ecuación: por ejemplo. durante un día completo registras la temperatura ambiente. 19 Algo muy similar ocurre en la tabla. y para su estudio sólo se hacen aproximaciones de ecuaciones que se ajusten lo más posible. sólo que en esta no hay flechas. entonces la relación no es función. cada argumento debe tener una flecha. si al menos un argumento carece de ésta o bien tiene dos o más. El tabulador 3. Analiza los siguientes tabuladores: Tabulador 1 x 2 4 6 8 10 y 1 1 3 3 5 Tabulador 2 x -1 -2 -3 -4 -5 y a b c d e Tabulador 3 x y 1 3 3 Indet. es importante reconocer esta característica en las diferentes representaciones de una relación para establecer si es función o no. a un argumento corresponden dos imágenes. Si la relación está representada por un diagrama sagital. a menos que este elemento pueda ser eliminado del dominio. Hemos visto que en una función. observarás que no existe ninguna ecuación que se ajuste a todos los puntos que obtienes. para cada argumento existe uno y sólo un valor para la imagen.una tabla y construyes una gráfica. Este hecho no es aislado. muestra un argumento con imagen indeterminada. No son funciones porque en el primer caso a un argumento no le corresponde ninguna imagen y en el segundo. ¿Por qué no es función el tabulador 4? . hacer predicciones y tomar decisiones al respecto. para analizar su comportamiento. A(x) B(y) 2 4 6 8 10 1 3 5 A(x) B(y) -1 -2 -3 -4 -5 a b c d e A(x) B(y) 1 3 5 A(x) B(y) 3 5 6 7 2 4 6 8 10 3 5 Sí son funciones porque a cada argumento corresponde una imagen. en realidad la mayoría de los fenómenos que ocurren en la naturaleza varían de forma irregular. 5 5 Tabulador 4 x 3 3 5 6 7 y 2 4 6 8 10 Siendo las mismas relaciones apreciamos nuevamente que sólo los dos primeros tabuladores representan funciones. por ello no es función. cada elemento está relacionado directamente con el que está en la columna contigua. por lo tanto es función. Para encontrar la correspondencia entre argumento e imagen. se deciden los valores del argumento x y se calculan los de la imagen y. 2) (1. discútelos con tus compañeros y asesor.1). 11) y= + . (8. para cada valor de x se obtiene dos de y. 3) (2.5 (3.3+2= + .7 En el caso de la primera ecuación observamos que para cada valor de x se obtiene un único de y. en el eje horizontal se designa el dominio y en el vertical el contradominio. (10. Sin embargo en la segunda.5)} B= {(3. Para hacerlo. 11) (-2.2).4). hay que recordar que es conveniente despejar y. en caso de que no lo esté. Sugerimos cambiar a una representación sagital para que observes la asociaciones entre los elementos.4+2= + . ya que para la raíz cuadrada de un número positivo.6 y= + . (4.3). (5.8). Ejemplos: y = x2+2 y= (-3)2+2 = 9+2 =11 (-3. existen dos soluciones. Para graficar.6). 3) (0. (6. ¿Puedes diferenciar en la representación de pares ordenados si una relación es función o no? A continuación te mostramos algunos ejemplos. A= {(2.5+2= + .1).4= + -2 y= + . (3. 4) y2 = x+2 + y=+ x+2 20 y= (-2)2+2 = 4+2 =4 y= (-1)2+2 = 1+2 =3 y= (0)2+2 = 0+2 =2 y= (1)2+2 = 1+2 =3 y= (2)2+2 = 4+2 =4 y= (3)2+2 = 9+2 =11 + 0 = 0 y=.-2+2=+ + + y=-1+2 =1=1 + + y=0+2 =2 + + y=1+2 =3 + y=2+2= . (6. . pues x es la variable independiente y el valor de y es la variable dependiente. por ello no es función. 4) (-1. (7.8.10)} Veamos ahora la representación de relaciones por medio de ecuaciones.3). y se calcula sustituyendo a en la expresión: f(a)= a2+2. Sin embargo. ST Editorial. lo anterior se denotará de la siguiente manera: y=f(x). Cada representación de una función nos permite ir a otra. si esta existe. pero también desventajas. Veamos la siguiente definición: Sea x un argumento de la función f. si x=-2. 21 Para f(x)= x2+2. léase “y es la imagen de x” García Licona. Ejemplo: f(-2)= (-2)2+2 f(-2)= 4+2 f(-2)= 6 De tal manera que las coordenadas de un punto pueden ser expresadas como (x. y Manuel Rodríguez López. entonces (-2. evaluar una función en x=a. 2005. pues son formas distintas de expresar lo mismo. investiga la Prueba de la línea vertical para funciones. f(-2)) es un par ordenado que satisface la ecuación. cada una de ellas nos permite ciertas ventajas sobre las otras. f(x)). . México. de otra que no lo es. Una vez que se ha determinando que una ecuación es una función. Miguel A. y y su imagen. en este caso. entonces (a. Matemáticas 4.y = x2 + 2 10 y2 = x+2 8 2 6 0 -2 4 -2 2 0 2 4 6 0 -4 -2 0 2 4 6 9. podemos cambiar su notación para que esto se haga evidente. se expresa mediante la notación f(a). f(a)). Para que comprendas mejor cómo diferenciar la gráfica de una función. si x=a. REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN Representación sagital Tabla Pares ordenados Ecuación Gráfica VENTAJAS DESVENTAJAS DOMINIO. de acuerdo al contexto. y las concordancias que existen entre las tres representaciones. Una cubeta vacía de una capacidad de 25 litros. 22 Una ecuación es una expresión matemática que puede expresarse en un plano cartesiano como una curva formada por todos los puntos que la satisfacen.10. . cuya cantidad puede ser infinita. Lee atentamente los siguientes problemas: A. expresa mediante tabla. José tiene $25. si en la lonchería únicamente venden tortas de $5. Sin embargo. 11. expresa mediante tabla. CONTRADOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN El hombre creo las matemáticas con la finalidad de entender cómo funciona el mundo en términos numéricos. Analiza lo anterior en equipo con tus compañeros y escriban sus conclusiones en el siguiente cuadro. es importante definir el dominio en la que es válida. gráfica y ecuación. A partir de ahora nos enfocaremos al estudio de funciones numéricas. la diferencia está en el dominio. se pone a llenar con una llave cuyo gasto es de 5 litros/minuto. cuando ésta representa situaciones de la vida real. gráfica y ecuación. ecuaciones y gráficas. B. la función entre el número de tortas que compra y lo que paga por ellas. diferencia que apreciarás notablemente en la gráfica. expresadas mediante tablas. la función entre el tiempo que transcurre y la cantidad de agua almacenada. Ambos problemas parecen iguales. 2. 4.5 min el contenedor tiene exacta2 2 mente 7. es decir. 3. la notación que corresponde al primer caso es de conjunto. 10. 25} donde sólo son parte de la función los elementos mencionados. 15 ). . 5.Problema A Problema B y 25 25 y 20 20 15 15 10 10 5 5 -5 0 5 10 -5 0 5 10 x N° de tortas y Costo total $ x Tiempo (min) y Cantidad de agua (litros) 23 0 1 2 3 4 5 0 5 10 15 20 25 0 1 2 3 4 5 0 5 10 15 20 25 Sabemos que cada punto en el plano está representando un par ordenado de correspondencia entre dos magnitudes. al igual que en el contradominio. en el segundo caso. 20. 4 ó 5 tortas. existen 6 puntos en el plano ya que sólo se puede decidir entre comprar 0. En el segundo caso las magnitudes varían y toman valores no enteros. Para establecer esta diferencia existen notaciones distintas para el dominio. en el primer caso. 2. se expresa como D = [0. que en 1. 5} y C = {0. 15. pero no valores intermedios. 1. 25] e incluye no sólo el 0 y el 5. de tal manera que el dominio y contradominio quedan especificados como D = {0. ubicamos por ejemplo ( 3 . 3. 1. sino también sus valores intermedios.5 litros de agua.5] y C = [0. b) Si a<b.Existen también los casos en los que los extremos no se incluyen. xn-1.b] Si a<b.b] Si a<b. xn} D=[a. x2. y ambos son los extremos del intervalo D=(a. y ambos son los extremos del intervalo D=[a.10] C = {5000} 6000 4000 2000 0 0 2 4 6 8 10 6000 4000 2000 0 0 D = [0. y ambos son los extremos del intervalo Características de la gráfica .b) Si a<b. ¿Cual de las siguientes gráficas representa la variación entre la calificación que obtiene Omar y el dinero que le otorgan? D = (6. analiza en grupo las diferencias entre las siguientes formas de expresar el dominio y regístralas. Analiza el siguiente ejemplo: El padre de Omar le ha prometido que si obtiene en Matemáticas una calificación mayor a 6 le dará $5000 para sus vacaciones. y ambos son los extremos del intervalo D=(a. De acuerdo a las gráficas anteriores. 24 Representación D={x1.10] C = {5000} 2 4 6 8 10 12.10] C = {5000} 6000 4000 2000 0 0 2 4 6 8 10 D = [6.…. D= {x|x ≥3} D=[ 3. Matemáticas IV. Pedro y otros..1. Nueva Imagen. pues -3<x.1} Intervalo D=(-3. incluyendo el -1 pues se especifica que x ≤ . Salazar Vázquez. veamos la siguiente definición: Un intervalo es el conjunto de todos los números comprendidos en una porción continua del eje real.La notación de dominio y contradominio que hemos mostrado hasta ahora es una notación de intervalo. que a continuación te mostramos: Desigualdad D={x|-3<x ≤ . -1] -3 Representación gráfica -1 …. México. En el segundo caso x puede tomar cualquier valor x ≥3 (mayor o igual a 3). pero no -3. 2002. 13. ) 3 En el primer caso se refiere a una función cuyos valores de x varían entre –3 y -1. 25 3 2 2 1 1 0 0 -1 -1 1 2 3 4 -3 -2 -1 0 1 2 0 -3 -2 -1 Intervalo Desigualdad Intervalo Desigualdad . Te sugerimos repasar la utilización de los signos de tricotomía y su empleo para que no tengas dificultades en su uso. Además de ésta. Encuentra el dominio y contradominio de las siguientes funciones en intervalo y desigualdad. existe la notación de desigualdad. 3 2 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -1 -3 0 1 2 3 4 5 -2 -1 0 0 1 2 1 Intervalo Desigualdad DOMINIO IMPLÍCITO Intervalo Desigualdad 26 Aunque en la utilización de funciones. D={x|x ∈ R} -∞ 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -10 ∞ 2 y= x + 4x + 4 x-3 Sólo existe un valor en el que no está definida. puesto que todos ellos se pueden sustituir como valor de x. resolviendo x=3. y siempre encontraremos un valor definido de y. es decir x-3=0. b) Las raíces de índice par de números negativos. Expresamos esto como D= (-∞. y es cuando el denominador toma el valor de cero. pues existen operaciones con números reales que están indefinidas: a) La división entre cero. Analicemos las siguientes funciones: y=5x3 1 2 x2 . es necesario definir el dominio según el contexto.3)(3.3 Está definida en todos los reales.∞) o bien. su dominio se expresa D=(-∞. formado por todos aquellos valores de x para los cuales se puede evaluar la función. de modo tal que su dominio son todos los reales excepto el 3. cada función tiene un dominio implícito. Recordemos que no siempre se puede evaluar. para la representación de problemas.∞) o bien D={x|x 3} -∞ 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -10 ∞ . Expresamos el dominio como D=(-∞.9 Notamos aquí que sólo cuando x2-9>0. para poder hacer un uso adecuado. f(x)=x2 .-3][3. en este tema nos dedicaremos a analizar algunas de las características más importantes de las funciones que permiten su clasificación. En virtud de lo anterior. 1. así como las operaciones algebraicas y geométricas que permiten combinarlas.x2 ¿Cómo queda expresado el dominio de esta función? -∞ 0 2 4 6 8 -10 ∞ 14.x2 f(x)= x+3 2x+1 f(x)= x2+5x+4 27 1. exprésalo gráficamente. x2>9.6x f(x)=3 x 2 f(x)= x+4 f(x)= 16 . revísalo con atención: . En efecto. mayores o iguales a 3. resolviendo la desigualdad. como intervalo y como desigualdad.∞)) o bien D={x|-3≥ x≥ 3} -∞ 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -10 ∞ y= 0 -10 -8 -6 -4 -2 9 . Tipos de funciones El uso de las funciones para construir modelos de la vida real es de suma importancia para cualquier área de conocimiento.2. En la página siguiente se presenta de manera muy general un esquema de la forma en que se clasifican las funciones. debes poseer conocimientos que te permitan su correcto manejo algebraico y reconocer.y= x2 . a partir de la ecuación.1. tenemos que esto sólo se satisface con valores menores o iguales a -3 o bien. CLASIFICACIÓN Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos y prácticos utilizando las distintas clases defunciones y sus propiedades. la función está definida. Encuentra el dominio implícito de las siguientes funciones. las características de su representación gráfica y su interpretación.2. Aunque más adelante tendrás la oportunidad de estudiarlas con detalle. racionales e irracionales. te sugerimos que construyas las graficas de algunas funciones para que te familiarices con ellas. multiplicación. resta. . son aquellas que para obtener su valor se utilizan operaciones algebraicas (suma. se dividen en polinomiales. Para referirnos a los valores de y (variable dependiente) utilizaremos de aquí en adelante la palabra función y para los valores de x (variable dependiente) utilizaremos la palabra variable. división y extracción de raíces) de polinomios.Funciones Se clasifican según Las operaciones para obtener sus valores Sus gráficas La asociación entre su dominio y contadominio Algebráicas Por su trazo Uno a uno Polinomiales Discontinuas Sobre Racionales Continua Por sus variaciones de la función Biunívocas Irracionales Transententes Crecientes Trigonométricas Decrecientes 28 Exponenciales Logarítmicas A continuación citaremos las características de cada clasificación. POR LAS OPERACIONES PARA OBTENER SUS VALORES Funciones Algebraicas Como su nombre lo indica. A) FUNCIÓN POLINOMIAL Es aquella de la forma: f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + anx0 Siendo a0. su gráfica es una recta cuya ordenada de origen es cero y su inclinación respecto al eje de las abscisas es de 45°. su gráfica es una recta horizontal. 29 Actividades: 1. cuya ordenada de origen es k. Su gráfica corresponde a una senoidal. . b) La función identidad: f(x) = x El argumento y la imagen son iguales. an constantes y n ∈ N. Su gráfica corresponde a una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de las ordenadas. su dominio son todos los reales. para ello te proponemos un dominio específico en cada caso. los parámetros m y b. Identifica el nombre de las siguientes funciones polinomiales. Ejemplos: f(x) = 8x+2. e) Función cúbica: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d En donde a ≠0. d) Función cuadrática: f(x) = ax2 + bx + c En donde a ≠ 0. a1. g(x) = x2-2x-5 h(x) = 3x3-3 En esta clasificación encontramos: a) La función constante: f(x) = k Donde k es una constante. c) Función lineal: f(x) = mx + b Su gráfica es una recta. Grafícalas. se relacionan con la pendiente y la ordenada de origen.…. 3] x 4 3 1 0 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 f(x) 30 -6 -4 -2 2 0 c)f(x) = 1 x .x 4 3 2 1 0 -4 -3 -2 -1 1 0 1 2 3 4 f(x) a) f(x) = 3 D = [-3.3] .6] x f(x) 6 4 2 0 0 -2 -2 2 4 6 4 2 x 0 f(x) e) f(x) = x3 .3x + 1 -4 -2 -2 -4 0 2 4 D = [-3.12] d) f(x) = 1x2 -3x + 4 2 D = [0.3] x f(x) 4 2 0 -4 -2 -2 -4 0 2 4 b) f(x)= x D = [-3.3 2 D = [-6. por ejemplo: 2 f(x)=x . mediante su factorización y simplificación como: f(x)= (x-2)(x+2) x+2 f(x)=x . por ejemplo. Existen otras funciones que pueden ser reducidas. existe una indeterminación para la función (división entre cero). encontramos que cuando x= -2. Observa sus gráficas en la página siguiente: . pues en la primera. de manera tal que hemos de descartar como funciones racionales. la función: 2 f(x)= 2x +4x+2 2 Puede ser expresada.4 y f(x)=x . donde k es una constante. mientras que en la segunda.4 x+2 31 Puede expresarse. sin embargo. aquellos casos en donde Q(x)=k. su dominio son todos los reales.2 Teniendo ésta una línea recta como representación gráfica. como: f(x)= 2 x2+ 4 x+ 2 2 2 2 f(x)=x2+2x+1 Convirtiéndose en función polinomial.B. las expresiones: f(x)= x2 .2 x+2 no son iguales. es de la forma f(x)= P(x) Q(x) En donde: Q(x) ≠ 0 Es conveniente hacer notar algunos aspectos importantes. FUNCIÓN RACIONAL Está formada por el cociente de dos polinomios. realizando la división. incluso x=-2. -1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 1 3 1 2 3 5 2 3 . igualamos el denominador a cero y despejamos x: x + 2=0 x=-2 Para graficar. -2. P(x) Entonces. 3 y 4 efectuando los cálculos correspondientes al sustituir en la expresión de la función: x -6 -5 6 4 2 0 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 0 2 4 6 f(x) 3 2 5 3 2 3 Ind. se sigue considerando Q(x) racional. por ejemplo: -6.4 x+2 4 2 0 -4 -2 -2 -4 -6 -8 0 2 4 -4 2 f(x)=x .-5. la función es indeterminada. 0. -4.2 4 2 0 -2 -2 -4 -6 -8 0 2 4 El hueco de la primera gráfica indica que para x=-2 no existe valor de y. Para graficar funciones racionales es necesario que reconozcas en qué valores de x. -1. aunque la expresión Q(x) sea divisible f(x)= P(x) . -3. 1. 2. 32 Tomemos como ejemplo la función: f(x)= x x+2 Para identificar en cuáles puntos se tiene la indeterminación. elegimos algunos valores de x.f(x)= x . 4 C. FUNCIONES IRRACIONALES Se identifican por poseer raíces de expresiones que involucran a la variable.5 -3. se puede expresar.2x+1 Descartamos de esta clasificación aquellas funciones en las cuales se puede extraer x de la raíz. Grafica la función: f(x)= x 6 4 2 0 0 -2 -2 2 4 6 .3 -2. anulando el exponente con la raíz como f(x)=x f(x)=4x2+ 3x2+1.1 -2. 3.9 -2. Pero ¿cómo se unen los puntos? Es recomendable sustituir algunos valores de x cercanos a -2 para saber qué variaciones existen en este intervalo. se puede expresar.5 f(x) 2. puedes agregar todos los puntos que sean necesarios. por ejemplo f(x)= 3 x3 . Grafica la siguiente función: f(x)= x2+2x+1 x2 . por ejemplo: 33 f(x)= x-4 f(x)=3 2x2 f(x)= 3x + 3 .La línea punteada indica que en x=-2 la función no está definida. obteniendo la raíz como f(x)=4x2+x 3+1.7 -3. te sugerimos los siguientes valores de x para localizar los puntos que te ayuden a determinan la forma de la gráfica. x -3. Si aún así tienes dudas. en donde la raíz sólo afecta a la constante y no a la variable. pues no has tenido contacto con ellas. A continuación te mostramos algunos ejemplos: f(x)= 1 3 x f(x)=log 1 3 x 2 1 0 -2 -1 -1 -2 0 1 2 -2 -1 2 1 0 0 -1 -2 1 2 34 Probablemente estas funciones exponenciales y logarítmicas no te sean familiares. incluye a las funciones trigonométricas (seno. trigonométricas inversas.Funciones Trascendentes Son aquellas que no son algebraicas. exponenciales (en las cuales la variable está en el exponente) y logarítmicas. coseno. tangente. por eso te mostramos las gráficas sólo a manera de ilustración. b sen x= c a cos x= c b tan x= a c csc x= b c sec x= a a cot x= b c b x a . cotangente. Recuerda que las funciones trigonométricas surgen de la comparación por cociente de las magnitudes de un triángulo rectángulo. Más adelante las estudiarás a fondo y comprenderás las nociones que cada una de ellas implica. secante y cosecante). tenemos la representación del ángulo en posición normal. el valor de cada razón trigonométrica también. 2π]. Θ 0 y senΘ= r x cos Θ=r y tanΘ= x r cscΘ= y r sec Θ= x x cot Θ= y r (x. Analiza su dominio y contradominio. en donde el valor del ángulo puede tomar cualquier valor real. f(x)=senx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cscx f(x)=cesx f(x)=cotx 35 .y) 4. por lo tanto. Grafica las siguientes funciones en el intervalo de [-2π.De tal manera que si hacemos variar el valor del ángulo Θ. Extendiendo esta interpretación. las magnitudes de los lados del triángulo cambian. 5) y (3. (3. 3) y CRECE: (3. (1. De las gráficas anteriores ¿cuáles son continuas y cuáles discontinuas? A partir de la bibliografía que poseas. de lo contrario es discontinua.POR SUS GRÁFICAS Funciones continuas y discontinuas Observa las siguientes gráficas: 4 2 -6 0 -4 -2 -2 -4 0 2 4 -4 -6 -8 -4 -2 -2 4 2 0 0 2 4 6 0 -4 -2 -2 -4 0 2 4 4 2 Se dice de manera intuitiva que cuando la gráfica de una función puede dibujarse sin despegar el lápiz del papel. toma nota en tu cuaderno. hacer evidentes los cambios que existen. Funciones crecientes y decrecientes 6 En la siguiente gráfica puedes observar que existen variaciones en los valores de la variable y la función. correspondientes a los valores de x. re. en la gráfica se observa que los valores de y 2 4 crecen primero. para después establecer los intervalos tomando como referencia los valores de la variable. Existen dos puntos que marcan en dónde deja de crecer y comienza a decrecer.1). Intuitivamente para determinar si una gráfica es creciente o decreciente. está dado bajo intervalos de x. llamados puntos críticos.5) y otro en el cual deja de decrecer para crecer de nuevo. busca los bosquejos de al menos tres funciones continuas y tres discontinuas. Para definir estas variaciones gráficas te recomendamos que primero ubiques estos puntos. por 0 0 ejemplo.1). . 36 5.1). de tal manera que para esta gráfica decimos que: CRECE: (-∞. después decrecen y por último vuelven a crecer. entonces es una función continua. La notación para expresar esto. ∞) De los puntos (1. 4 de hecho esa es la importancia de las gráficas. DECRECE: (1. sólo utilizamos el 1 y el 3.2 corre la gráfica con la punta de tu lápiz de izquierda a derecha y mantente atento a los valores que toma y. 6. y en la última cumple con ambas condiciones. al momento de una comida. sólo decreciente. Los siguientes diagramas sagitales ilustran los casos mencionados: A Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4 Persona 5 B Plato 1 Plato 2 Plato 3 Plato 4 Plato 5 Plato 6 A Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4 Persona 5 B 37 PC f h A Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4 Persona 5 B Cepillo 1 Cepillo 2 Cepillo 3 Cepillo 4 Cepillo 5 g Las tres relaciones presentadas son funciones. esta función es suprayectiva (sobre). cada elemento del contradominio corresponde a por lo menos un valor del dominio. . En la primera cada elemento del dominio tiene una imagen diferente en el contradominio. esta función es inyectiva (uno a uno).La gráfica de una función puede ser sólo creciente. en la segunda. una computadora en la sala y un vaso con cinco cepillos dentales en el baño. Investiga. solamente un plato. sin embargo los elementos de los conjuntos tienen diferentes formas de asociarse. a partir de la bibliografía que poseas y completa el siguiente cuadro FUNCIÓN CRECIENTE DECRECIENTE CONSTANTE DEFINICIÓN POR LA ASOCIACIÓN ENTRE SU DOMINIO Y CONTRADOMINIO Analicemos la siguiente situación: En la casa de una familia de cinco elementos se encuentran 6 platos en la alacena. esta función en biyectiva (biunívoca). Es lógico pensar que cada elemento de la familia (conjunto A) usa. que toda la familia utiliza la misma computadora y que cada miembro posee sólo un cepillo del vaso y que éste es usado sólo por él. ambas o constante. Esta función es sobre porque cualquier fecha del calendario está asociada con alguna persona. Lee con atención el siguiente ejemplo en donde se explican de manera práctica los conceptos anteriores: La relación: N: P→F. Cita al menos tres ejemplos de funciones que correspondan a cada una de las clasificaciones anteriores. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 3 1 2 3 10. No es uno a uno porque muchas personas poseen la misma fecha de nacimiento. sobre o biunívocas. Publicaciones cultural. es una función porque ninguna persona pudo haber nacido en dos fechas distintas. 2006 9. . No es biunívoca debido a que no es ambas: uno a uno y sobre 38 Ruiz Basto. Precálculo: Funciones y Aplicaciones. que a cada persona p le asocia su fecha de nacimiento f. Joaquín.7. México. A partir de las siguientes funciones determina si son: uno a uno. Te sugerimos que investigues las definiciones precisas de cada una de estas clasificaciones y las anotes en el siguiente cuadro: FUNCIÓN INYECTIVA (uno a uno) SUPRAYECTIVA (sobre) BIYECTIVA (biunívoca) DEFINICIÓN 8. Matemáticas IV. pues esto garantiza que la función es biyectiva. cepillos). las demás son relaciones inversas pero no funciones. ¿son funciones? Actividades: 1. En sentido estricto. la condición imprescindible para poder llamar función a una regla matemática que relaciona dos conjuntos A y B. es que cada elemento del conjunto de salida A (dominio) tenga un elemento de correspondencia y sólo uno en el conjunto de relación B (contradominio). Para obtener la inversa en un conjunto de pares ordenados. Como hemos aprendido.2. CPU.2. si cambiamos en cada una de ellas el dominio por el contradominio y el sentido de las flechas. Dibuja los diagramas sagitales en tu cuaderno. y la llamamos función inversa de g. En resumen. Tiene inversa 8 6 4 2 -3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 1 2 3 4 5 6 7 39 No tiene inversa 8 6 4 2 -3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 1 2 3 4 5 6 7 . en general solamente las funciones biyectivas tienen función inversa. denotada por g-1.1. la inversa no siempre es función. A: {(x. x)} Gráficamente sabemos que una función tiene inversa si cualquier línea horizontal trazada sobre la gráfica la intersecta sólo una vez. obtendremos nuevas relaciones entre los conjuntos. solamente podemos llamar función a la tercera relación. Funciones Inversas Retomemos nuevamente las tres funciones anteriores (familia. y)} y A-1={(y. sin embargo. Pero estas nuevas relaciones. platos. una función inversa se obtiene de intercambiar el dominio y rango de una función. también se intercambian los valores de las variables x y y. intercambiando el conjunto A y el B. Una función lineal es una función biyectiva, por lo tanto tiene función inversa. Analicemos el siguiente caso: f(x)=2x - 2 Despejando x tendremos: f(x)=2x - 2 f(x)+2=2x f(x)+2 =x 2 1 f(x)+1=x 2 Si otorgamos algunos valores a x, podemos calcular los correspondientes valores para f(x). x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=2x - 2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 1 f(x)+1=x 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 40 Observa que calculando x con los valores obtenidos, los nuevos valores coinciden con los asignados en un principio. La función inversa de f(x)=2x - 2 es 1 f(x)+1=x 2 Para hacer esto explícito cambiamos f(x) por y: 1 y+1=x 2 Ahora intercambiamos las variables (recordemos que para obtener la inversa de una función cambiamos el dominio y rango): 1 x+1=y 2 f(x)=2x - 2 8 Cambiando a notación de función: 1 x+1=f-1(x) 2 La gráfica de las funciones obtenidas es: -3 -2 6 4 2 -1 -2 -4 -6 -8 1 I(x)=x f2=x = 0.5*f(x)+1 2 3 4 5 6 7 Observa que f y f -1 son simétricas con respecto a la función identidad I(x). O sea f(f -1) = I(x) (compruébalo algebraicamente). Las funciones inversas de funciones trigonométricas son especialmente útiles. Si obtenemos las razones correspondientes a cada función a partir de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, podemos calcular la medida de sus ángulos a partir de dichas funciones inversas, las cuales se nombran anteponiendo el prefijo arco o ángulo al nombre de la función: f(x) =seno x f -1(x) =arco seno x f(x) =coseno x f -1(x) =arco coseno x f(x) =tangente x f -1(x) =arco tangente x De manera idéntica para cotangente, secante y cosecante. Es importante que recuerdes lo anterior, porque en la mayoría de las calculadoras se expresa el arco seno como sen-1, lo cual es incorrecto. Esta abreviatura correspondería a la función trigonométrica cosecante. El dominio de la función seno está compuesto por todos los números reales (x ∈ R), pero su función inversa, arco seno, tiene un dominio limitado de -1 a 1. f(x)=seno (x) 1.0 0.5 0.0 -390 -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 -0.5 -1.0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 41 120 90 60 30 -1 -0.8 -0.6 -0.4 0.2 -30 -60 -90 -120 0.4 0.6 0.8 1 -0.2 f(x)=arco seno (x) 2. Traza las funciones inversas para los siguientes diagramas: A Estaño Plata Hierro Hidrogeno Fosforo Helio B A Guitarra Clarinete Violín Tuba Bajo B Instrumentos de cuerda Instrumentos de percusión Instrumentos de aliento Metales No Metales 3. Determina la función inversa de cada una de las siguientes funciones: f(x)=2x - 6 h(x)= 3x +1 2 42 m(x)=x2 + 2x 4. Haz una tabulación y grafica la función f(x)= -2x2. Determina si tiene función inversa. 5. Determina si las siguientes gráficas tienen inversa. En caso de que la tengan, grafícala. 10 3 8 2 6 1 4 0 -2 -1 -1 -4 -2 -2 0 1 2 3 2 0 0 -2 2 4 6 8 10 -3 -4 6. Grafica las funciones coseno y tangente, así como su respectiva inversa. por ejemplo |a|. asigna a cada valor del argumento.2. Funciones Especiales FUNCIÓN CONSTANTE Es una función que permanece constante a pesar de los valores de la variable. |0|=0. se lee. La función valor absoluto se denota por |x| y al igual que para los números se denota por: . y se define por: . Por ejemplo. se define por f(x)=k. su ecuación está dada por f(x)=x y su gráfica es una recta que pasa por el origen con un ángulo de inclinación respecto al eje x de 45°. k 0 0 FUNCIÓN IDÉNTICA La función idéntica. |-3|=3. se trata de hacer positivo al número si es negativo. 6 4 2 0 -6 -4 -2 -2 -4 -6 0 2 4 6 43 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número se representa por medio de dos líneas verticales. en donde k es una constante real. Su gráfica está determinada por una recta horizontal cuya ordenada al origen es precisamente k. o dejarlo positivo si es positivo.3.x si x<0 f(x)=x= x si x≥0 . “el valor absoluto de a”. |3|=3. el mismo valor de la imagen.a si a<0 a a si a≥0 Es decir.1. -4].Actividades: 1. .x + 6 10 8 6 4 2 f(x)=x2 .x + 6 f(x)=x2 . pero agrupadas. Por ejemplo a x=-2.∞). Para esto.3) y (3.2x+2 1 f(x)= x + 3 2 2 4 6 8 10 12 14 f(x)=x2 . Observa que los números -4.4x f(x)=x2 . ∞). [-1. considerándolas todas a la vez.2x+2 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 y f(x)= . (-4. pues para cada valor de la variable. por ejemplo: 10 8 6 4 2 y -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 Los intervalos que muestra la ilustración quedaron definidos por (∞. En equipos establece su dominio y su rango.3] y (3. corresponden 4 valores diferentes. -1 y 3 no se están considerando en ningún intervalo y ello es necesario. y=4. FUNCIONES COMPUESTAS En un mismo plano cartesiano podemos graficar varias funciones. Sin embargo. por eso. y y=10. es necesario dividir el eje x en intervalos consecutivos. definiremos los intervalos como: (∞.-1). Grafica las siguientes funciones: f(x) = |x| . por ejemplo: f(x)= 1 x + 3 2 f(x)= . y=8. a partir de ellas podemos construir lo que se llama una función compuesta formada por varias expresiones algebraicas. es decir. corresponde y=2. no lo son.-4). (-4. g(x) = 2 2.-1). (-1.4x 44 Cada una por sí misma es función. 4x 8 6 2 f(x)=x2 . por ejemplo: 10 y En (∞.4x 8 6 4 f(x)= .x . establece su dominio y contradominio. es decir.x . Grafica la relación existente entre el tiempo que pasa y la cantidad de agua que contiene la pila. si .∞) hacemos válida 1 f(x)= 2 x+3 f(x)=.-1) hacemos válida En [-1. si .1 f(x)= x2 .1). si . esto garantiza que a cada valor de x.6 1 f(x)= x + 3 2 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 2 -2 -4 4 6 8 10 12 45 f(x)=x2 .. si x ≤.En cada uno haremos válida sólo una función. encuentra su ecuación. Dada la función anterior calcula su dominio y rango 4. x=-1 y x=3.2x+2 En cada intervalo “borramos” las gráficas no validas y dejamos sólo el trazo de una. sólo corresponderá uno de y.0). Pasados 12 minutos. Podemos observar que en x=-4 es válida la función y para evaluar sustituimos f(-4) = ½(-4)+3=1 y el punto queda definido como (-4.2x+2 f(x)=-x2 .x2 .2x+2 1 2 x + 3. con x=-4.4x f(x)=-x+6 f(x)= -12 f(x)= .-4<x< . Una pila con una capacidad de 150 L se llena con una llave cuyo gasto es de 5 L por minuto.x+6.1≤x≤3 . .6 4 1 x+3 2 -8 -6 -4 -2 2 -10 2 -2 -4 4 6 8 10 12 f(x)=x2 . se abre otra llave de flujo igual. Sabemos que a cada valor de la variable debe corresponderle sólo uno de la función.x .3] hacemos válida En (3.x2 .4x. representamos un espacio vacío con un hueco como se muestra en la ilustración de la derecha: La expresión algebraica de esta función se representa por: f(x)=. en (-4. 10 y Es importante analizar qué pasa con los límites de los intervalos.-4] hacemos válida En (-4.4 .2x+2.x>3 3. Grafica la relación existente entre la calificación real y la que se reporta en su boleta de calificaciones. su calificación se redondea a 6. si obtuvo una calificación igual o mayor a 6.5 y menor que 7. tomemos como base la siguiente función: f(x)=x2-2x+3 46 x -2 -1 0 1 2 3 4 y 11 6 3 2 3 6 11 y 15 14 12 10 8 6 4 2 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 . su calificación se redondea a 7. haciendo translaciones o reflexiones respecto a algún eje. 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 1. Para analizar esto. Estos cambios generan modificaciones también en la ecuación y tabulador.2. Transformación de gráficas de funciones Una función expresada en su forma gráfica. analiza el siguiente ejemplo: 10 y En el sistema EMSaD.5. y así sucesivamente.FUNCIÓN ESCALÓN Es una función compuesta por funciones constantes.5. las calificaciones finales aprobatorias se obtienen de la siguiente manera: si el alumno obtuvo una calificación igual o mayor a 6 y menor que 6.4. puede ser transformada modificando su posición en el plano cartesiano. Los desplazamientos verticales de la gráfica y=f(x) se expresan como sigue: -Desplazamiento vertical de c unidades hacia arriba h(x) = f(x)+c -Desplazamiento vertical de c unidades hacia abajo h(x) = f(x) . Analiza el tabulador y observa la gráfica: y x -2 -1 0 1 2 3 4 y 11+2 6+2 3+2 2+2 3+2 6+2 11+2 15 2 y=x 2x+5 14 2 12 y=x . Y obtén la ecuación de la nueva curva. Hostetler. Roland E.TRANSLACIONES VERTICALES Si trasladamos cada uno de los puntos de la gráfica 2 unidades hacia arriba. Publicaciones Cultural. también es necesario hacer la misma operación (sumarle dos unidades) f(x)=x2-2x+3 h(x)=x2-2x+3+2 h(x)=x2-2x+5 Actividades: y 47 1.. 0 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 3. Describe cómo puedes lograr una translación hacia abajo. Construye un tabulador de la función f(x)=-3x+1 y grafica. observamos que el valor de la abscisa en cada uno no se modifica. por ejemplo: el punto (2.5). Calcula la ecuación de las curvas representadas en la gráfica de la derecha y que han sido trasladadas a partir de la original que se ubica enmedio de las otras dos. Después traslada la gráfica hacia abajo 3 unidades. . -6 -4 -2 2 4 6 En resumen: Si se supone que c es un número real positivo. 1996. 2. y Robert P.c Larson.2x+3 10 8 6 4 2 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 Ahora bien. México. construye un nuevo tabulador. Álgebra. para encontrar la ecuación de la nueva gráfica.3) queda ubicado en (2. Para realizar una translación horizontal.. Obtén la ecuación correspondiente.c) Para calcular la ecuación de la nueva gráfica tomamos c = 2 y h(x) = f(x+c) f(x)=x2-2x+3 h(x)= (x+2)2-2(x+2)+3 h(x)= x2 + 4x + 4 .2x – 4 + 3 h(x)= x2 + 2x + 3 4. En resumen: para realizar translaciones verticales basta con sumar un número (translación hacia arriba) o restarlo (translación hacia abajo) a la función. hay que sumar (translación hacia la izquierda) o restar un número (translación hacia la derecha) a la variable. Realiza una transformación de esta misma función. y Robert P. h(x) = f(x+c) h(x) = f(x .TRANSLACIONES HORIZONTALES Tomemos nuevamente la función f(x)=x2-2x+3 y traslademos su gráfica 2 unidades a la izquierda. México. Completa el tabulador y traza la nueva gráfica: y x y 15 14 12 10 8 6 4 2 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 Para obtener la ecuación de la nueva gráfica consideremos la siguiente regla: 48 -Desplazamiento horizontal de c unidades hacia la izquierda -Desplazamiento horizontal de c unidades hacia la derecha Larson. 3 unidades a la derecha hacia la derecha. . 1996. Álgebra. Hostetler. Roland E. Publicaciones Cultural. Para f(x)=x2-6x+10. x -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y 5 Para la reflexión x -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y 0 -5 0 5 10 -5 -10 -15 . Recuerda que la 8 distancia entre un punto y una recta es la me6 dida del segmento perpendicular a la recta. llegamos al punto (3. 14 Para cada punto de la gráfica de la función. Es posible realizar este tipo de transformación a la gráfica de una función. ambos puntos tienen la misma distancia al eje de reflexión. reflexionando respecto a un eje. 0 -6 -4 6 -2 4 2 Si continuamos con el proceso de obtener la reflexión de todos los puntos de la gráfica obtenemos la gráfica que aparece abajo a la izquierda. A cada punto del lado izquierdo. si medimos esta distancia 0 en sentido opuesto.REFLEXIÓN CON RESPECTO A LOS EJES Un eje de reflexión es una línea que funciona como un espejo. observa la figura. Veay mos el caso de la siguiente función f(x)=x2 . corresponde uno del lado derecho. por ejemplo: al punto A corresponde el punto A’.6x+10. 4 así. la distancia del punto (3. 12 hagamos corresponder otro que esté a la 10 misma distancia del eje x. Construye ahora un tabulador para cada gráfica y compara las diferencias y similitudes. 15 49 y 10 5. por ejemplo el eje x.-1).1) de la gráfica 2 al eje x es igual a 1. la línea recta es el eje de reflexión de la figura. grafica. construye un tabulador. . para obtener la ecuación de esta nueva gráfica. Grafica la función g(x)=x3 .6x+10) h(x)=-x2+6x -10 En resumen: Si h(x) es la reflexión respecto al eje x de y=f(x). Cambiemos ahora el eje de reflexión. construye un tabulador para la nueva gráfica.Puedes observar el cambio de signo de los valores de la función. también cambiamos de signo la función: f(x)=x2 . entonces. entonces: h(x)=f(-x) Encontremos la ecuación de la reflexión: f(x)= x3-6x2+9x+1 h(x)= (-x)3-6(-x)2+9(-x)+1 h(x)= -x3-6x2-9x+1 Reflexión respecto a la función identidad: 7. entonces: h(x)=-f(x) 6. un tabulador para la función reflexionada: x f(x) y x f(x) 6 5 50 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 Observarás que el cambio de signo se da ahora en los valores de la variable. traza su reflexión sobre el eje y construyendo. Dada la siguiente función f(x)= x3-6x2+9x+1. Para encontrar la ecuación de la nueva gráfica consideremos que: Si h(x) es la reflexión respecto al eje y de y=f(x).6x2+9x+4 y reflexiónala utilizando como eje a la función identidad.6x+10 h(x)=-(x2 . Grafica las siguientes funciones y realiza las transformaciones que se indican: 51 f(x) = 2x +4 g(x) = x2-4x+4 a) Translación de 4 unidades hacia arriba. los argumentos y las imágenes se intercambian. g) Reflexión respecto a la función identidad. c) Translación de 3 unidades a la derecha. b) Translación de 4 unidades hacia abajo. por ello es fácil obtener la ecuación de la nueva gráfica. pues ésta corresponde a la relación inversa. f) Reflexión respecto al eje y. . d) Translación de 3 unidades a la izquierda.x f(x) y 6 5 8 6 4 2 0 -6 -4 -2 -2 -4 -6 0 2 4 6 8 10 12 x f(x) Como puedes observar. 8. e) Reflexión respecto al eje x. (3. Para la función f(x) = 1 demostrar: x 1. 3f(-1). {(a. (c. (2/5. f(0). III. 3). irracionales o trascendentes. c). Realiza lo que se te pide: 1. 5.2 x +xh . IV.7x2 . b). La relación que asocia a un atleta olímpico de pista con las disciplinas en las que compite. 1).6x + 42 encontrar f(1). Determina el dominio de las funciones. ¿Qué es una variable dependiente o función? 6. {(1. 2). La relación que asocia a los miembros de una familia con la cama que está destinada al descanso de cada uno. I(z)= (2z+3)2 g( )=sen ( 2+2 +3) h(x)=(x+1)(x . 1)} V. 1. Escribe un fundamento para tu respuesta. racionales. La relación entre los elementos químicos y su número atómico. Elabora un diagrama sagital para cada uno de los siguientes conjuntos de pares ordenados y auxíliate de ellos para determinar cuáles representan una función. Define relación y cita tres ejemplos.f(b)=f( 2b ) b-2 h 2. Para la función: f(x) = x3 . {(1. f(z+2) VII. 3. (4. 1. represéntalo en una recta y por medio de notación de intervalos. Que f(x+h) . Explica el significado del símbolo “f(x)” 4. 2). 2)} 3. 4.5x II. Explica qué es el dominio y el rango de una función. 2. 2). La relación entre los elementos químicos y su masa atómica. ¿A que se le denomina intervalo de una variable? 7. Clasifica las siguientes funciones.2 1 x2 . 4). (3.6) f(x)= g(x)= x+3 h(x)=4 8 . La relación que asocia a los niños de una primaria y el grado que cursan. 3.1)-1 f(x)=3x2 . traza la gráfica correspondiente. Que f(2) . 2). (b.f(x)= . 2. ¿Qué es una variable independiente o argumento? 5. Define función y cita tres ejemplos. como: polinomiales. (5/2. f(x)= 4x . d)} 4.¿Qué he aprendido? I. (2. adicionalmente. {(5/2. 2)} 2. Aplica el concepto de función para determinar cuáles de las siguientes relaciones pueden serlo.2x+x1/2 y=log x3 52 VI.4 4 f(x)= 2 x (x +x . (2. f(x)=(x . Para la siguiente función compuesta traza la gráfica correspondiente: -2 2 si x < -2 si -1 ≤ x ≤ 1 si x > 2 -x +2 si -2 ≤ x <-1 f(x)= x2 2 -x +2 si 1 < x ≤ 2 -2 53 .3)x2 f(x)= x3 +3x2+3x f(x)=3 x IX. Grafica las siguientes funciones. en caso de tenerla grafícala también.VIII. determina si tienen o no inversa y. Para hacer exploraciones sobre la relación que existe entre los dos tipos de representaciones. la ecuación 0 = 2x . mediante una tabulación. la versión en inglés tiene información sobre los operadores que se utilizan. para escribir la función f(x) = 2x3-x2+x – 4.(-7) – 3 0 = -4 +7 -3 0=0 La gráfica de la ecuación es una línea formada por todas las soluciones que existen en un rango determinado. en que optimiza tiempos. se ha trabajado en el análisis de la correspondencia que existe entre los elementos de una representación y otra. despejando alguna de las variables y obteniendo el valor de la otra por métodos aritméticos y ubicando los puntos en el plano y. En la página de Internet: http://www8.y . La ventaja en su uso radica. para que logres reconocer la implicación que tiene cada uno de ellos y la manera en que ambas representaciones están relacionadas. (0. la conexión que existe entre la expresión analítica (ecuación) de una función o relación y su grafica. en ocasiones puede convertirse en una labor tediosa. Así.-3). busca la que está en español. por ejemplo: 0 = 2(-2) . Cuando hablamos de que satisfacen la ecuación nos referimos a que cada uno de los valores (x. 54 .3 tiene como soluciones (-2.7) y un conjunto infinito de puntos más. El lenguaje que utiliza el programa es distinto al de la notación convencionalmente utilizada en el papel y parecido al que utilizas en tu calculadora científica. Hasta el momento has trazado las gráficas de diversas funciones. que existen varias versiones.com/ksoft/ Existe una herramienta llamada Graphmatica en donde puedes hacer exploraciones como las que hemos mencionado. Pero también has analizado las ecuaciones ordinarias de algunas cónicas que hacen visibles los elementos necesarios para trazar la gráfica. (5. se escribe y = 2x^3x^2+x – 4.y) al ser sustituidos conservan la igualdad. sin necesidad de tabular. f(x) = sen x como y = sin x. entre otras. es posible variar los parámetros de las ecuaciones y observar las modificaciones que sufre su representación gráfica. Así. aunque es indispensable que conozcas estos procedimientos para trazar la curva de una función.-7). existen algunos programas computacionales diseñados para graficar ecuaciones automáticamente.pair. a este respecto.Quiero saber más Es importante que comprendas en un sentido amplio. por ello en la materia de Matemáticas III y en esta unidad. La gráfica de una función es el conjunto de puntos que la satisfacen. html http://gdf2004. comenta con tu asesor cualquier duda que tengas. 55 .com/programa/descargarL346.abcdatos.tripod.com/ Te invitamos a que experimentes y utilices este recurso como un apoyo en el manejo de funciones.A continuación citamos algunas páginas de Internet en donde puedes encontrar algunos programas interesantes: http://descargas. Específicamente en la unidad dos de Matemáticas I estudiaste los polinomios en una sola variable. el teorema fundamental del álgebra y la regla se los signos de Descartes. en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre el uso de estas funciones. como son: La función constante. los contenidos se han organizado de la siguiente manera: Iniciarás reconociendo el concepto. a lo cual le llamamos álgebra. restar. sacar radicales y potencias. resolveremos funciones polinomiales mediante el uso del teorema de las n raíces. . dividir e incluso. aprendiste a realizar operaciones con ellos e incluso. así como el desarrollo y práctica de los valores. Para lograr el objetivo de la presente unidad. coeficiente principal. dominio y rango de una función polinomial. características. haciendo uso del concepto de función que ya abordaste en la unidad anterior. pero al cursar secundaria y ahora que cursas tu educación media superior te diste cuenta que podías realizar operaciones con letras y números a la vez. el teorema de las raíces racionales. grado. que es una función polinomial de grado CERO. que se basan en polinomios y que analizaremos desde la perspectiva de la geometría analítica. utilizando sus propiedades algebraicas y geométricas. porque en ésta unidad estudiaremos las funciones polinomiales. en este último apartado de la unidad además de analizar el comportamiento y gráfica de dichas funciones. La función lineal. los cuales has podido sumar. la función cuadrática. notación. Posteriormente en Matemáticas III estudiaste algunos temas de Geometría Analítica la cual se basa en un sistema de ejes coordenados. que es de grado DOS y cuya gráfica es una parábola vertical. y finalmente las de grado TRES y CUATRO. a partir de ello enfocaremos el estudio de funciones polinomiales particulares. ¿ 2 UNIDAD A lo largo de tu vida estudiantil has trabajado con números.¿ 56 ¿ ¿Qué voy a aprender? FUNCIONES POLINOMIALES Objetivo de la unidad: Resolverás problemas que involucren funciones polinomiales. los usaste para resolver algunos problemas prácticos. Mencionamos lo anterior. que es una función polinomial de grado UNO y cuya gráfica es una recta. multiplicar. en ellos podrás encontrar la información que complementará tus actividades y además podrás profundizar en los temas que más te gusten y te llamen la atención.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/ funciones/polinomial/Funcion_Polinomial_6_ecuacion. te recomendamos revisar los artículos siguientes.Fuentes de consulta En este Cuadernillo encontrarás varias actividades de aprendizaje que deberás realizar. 2005. • Polinomio • Teoría de ecuaciones • Gráfica 57 Sitios Web: • http://tycho. Precálculo: funciones polinomiales. México. Enciclopedia Encarta: Si cuenta tu Centro de servicios con esta opción de consulta.com/zamarripaplus/mate2_1.edu. Álgebra. México. Matemáticas 4 Bachillerato. 2005. que en caso de que no cuentes con esta bibliografía puedes usar la que tengas a la mano en tu centro de servicios o te pueda facilitar tu asesor para realizar las actividades. ST Editorial.cl/~cpmatzen/GuiaTaller6_Anexo6.geocities. México.htm • http://matesup. No está por demás decirte. Publicaciones Cultural. • Larson/Hostetler. Joaquín.escuelaing. Bibliografía básica: • García Licona y Rodríguez López. que te servirán para realizar tus actividades de aprendizaje y para ampliar los conocimientos sobre el tema. • Ruiz Basto.umce.html • http://usuarios. Para que las desarrolles con éxito te recomendamos la consulta de los textos que se mencionan a continuación.utalca. Matemáticas IV para Bachillerato General.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones.htm • http://mx.lycos.es/juanbeltran/id412. asegurándote que de esta manera aumentarán tus conocimientos. 2003.htm • http://www.doc .geocities.cl/modelos/3clase/2_3FuncionesAjuste. Publicaciones Cultural.pdf • http://www. FUNCIONES POLINOMIALES de las cuales se estudiarán FUNCIÓN CONSTANTE (de grado Cero) FUNCIÓN LINEAL (de grado Uno) FUNCIÓN CUADRÁTICA (de grado Dos) FUNCIONES DE GRADO TRES Y CUATRO En las cuales se analizarán Donde resolveremos 58 Gráfica Dominio Rango Raíces Ecuaciones polinomiales .Sabemos que tal vez tengas dificultades en algunos de estos temas. pero para ello contarás con la ayuda de tu asesor quien sin duda te apoyará en todas las actividades que realices. Recuerda que para que logres tus objetivos de aprendizaje. debes mostrar disponibilidad para estudiar antes que nada. g) Si f(x)=x .3)? h) ¿Cómo es la pendiente de una recta vertical? i) Dos rectas son paralelas si sus pendientes son: j) Si la ecuación de una recta es 5x+4y+2=0 . 59 . f) Es una regla de correspondencia en la que a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento del contradominio. e) Es una regla de correspondencia o asociación entre los elementos de dos conjuntos no vacíos.¿Cómo aprendo? 2. notaciones y características. muestra disposición para hacerlo lo mejor posible. puedes apoyarte en lo visto en la unidad pasada y/o algunos conceptos conocidos de álgebra y geometría analítica. a) Es la suma de los exponentes de las letras que intervienen en un término algebraico b) El grado del término 3x7yz4 es: c) P(x) = a0xn + a1x n -1 + a2x n -2 +…+ an -1x + an es la expresión más general de un: d) En matemática superior se considera como un monomio de grado “menos infinito”. pues desde ahí te estás cerrando a aprender. aplicando correctamente los conceptos. abre tu mente a aprender y.4 .1 LA FUNCIÓN POLINOMIAL Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos y/o prácticos. Actividades: Para desarrollar esta actividad. utilizando sus propiedades geométricas y algebraicas. ¿a que es igual f(x . la ecuación de una recta perpendicular a ésta es: k) ¿Cuál es el grado del polinomio: 24x5+10x4+18x2? l) Es la comparación numérica de la elevación entre el recorrido. ya que es una actividad de apertura y te servirá para rescatar algunos conocimientos que posees sobre el tema. 1. Recuerda evitar decir “no puedo”. exponentes. lo demás vendrá sólo. tú eres tu propia llave del conocimiento. sobre todo. Contesta correctamente las preguntas con ayuda de los conceptos que se encuentran en el rectángulo de la siguiente página. que sean posibles de expresarse mediante una función polinomial de grado a lo más de cuatro. Allende.3)=x . es decir: Sueldo Semanal = 7(horas extra) + 120 y -y1= 60 Horas extra 0 1 2 3 4 5 15 Sueldo semanal 120 127 134 141 148 155 225 y x y x B. trabaja en una empresa donde le pagan 4 dls la hora con una jornada de 30 hrs a la semana. municipio de Gpe. Victoria.x1 Y obtenemos que y=7x+120 .¿Cual sería el sueldo semanal de César de acuerdo con las horas extra? Como puedes ver. César. el sueldo semanal va aumentado constantemente. Podemos deducir de acuerdo con lo que se vio en geometría analítica que se trata de una función lineal.10y+2 = 0 f (x . además si trabaja horas extra éstas se las pagan a 7dls (El máximo de horas extras que puede trabajar son 15).1.polinomio relación f (x . Se desea cercar el terreno de forma rectangular donde se está construyendo un parque ecológico que se encuentra en I.3)=x . Determinar la expresión algebraica de la función que describe el problema. Se dispone de 540 metros de cerca. donde su gráfica es una recta y su ecuación la podemos determinar con la forma punto-punto: (x . Si el perímetro es de 540 y el terreno es de forma rectangular.x1) y2 . entonces tenemos que: 2x +2y = 540 . de tal manera que su área sea la máxima posible. Concepto de Función Polinomial A.7 iguales Pendiente 10x + 8y + 20 = 0 2. el hermano de Lupita.7 grado función 12 5 infinita cero 8x .1.y1 x2 . podemos hacer lo siguiente: A = f(x) f(x)=270 x . Función polinomial tal que f(x) : R→R Cabe aclarar que el dominio y dominio de definición no son lo mismo. mientras que el dominio de definición es limitado.x.x) A = 270 x . Observa las siguientes funciones y discute la información con tus compañeros y tu asesor.…. las cuales son polinomiales de primer y segundo grado respectivamente. el rango también es limitado. En otras palabras. a1. En una función polinomial. .. 61 2. a2.x2 En las dos situaciones anteriores obtuvimos una función. si graficamos esas coordenadas obtendremos un segmento de recta como gráfica que inicia en x=0 y termina en x=15 (Te sugerimos comprobar esto trazando la gráfica en tu cuaderno de notas).. y si n es negativo. an son constantes y son coeficientes del polinomio. por ejemplo.x2 En esta ecuación tenemos el área del terreno expresada en función de uno de los lados. ya que éste depende de la función especifica. entonces estaría en el denominador y formaría parte de las funciones racionales. el dominio de definición es {0 a 15} y. si el primer coeficiente an≠0 entonces el polinomio será de grado n. ya que si n fuera fraccionario x estaría dentro de un radical. de ahí que. tendremos: A= xy Para trabajar con una sola variable sustituimos en esta ecuación la ecuación anterior y nos queda: A = x (270 .Por lo tanto y=270 . a3. ya que el primer término se refiere a todos los valores en general que puede tomar una función. Una función polinomial tiene la forma f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2 +. El domino de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales (R). n (exponente de la literal) se considera como número positivo. en la situación del ejemplo A. si para obtener el área se multiplica el largo por el ancho. por lo tanto.+a0 donde n es un entero positivo y los números a0. donde a0. Es una función racional.50 *Tomando en cuenta que el envase es de la misma capacidad. h(x)= h(x)= 41x7- 5 2 g(x)= 7x .1 2 f(x)=43 x2 . Es una función radical donde el exponente de la variable x es 2/3. a f(x) : R→a . Es una función polinomial de grado 7.1.6x .2.11 2.FUNCIÓN f(x)=5 x4 . es de la forma f(x)=a0.3 x+3 x+8 3 x3 4 CARACTERÍSTICAS Es una función polinomial de grado 4. por lo que no forma parte de las funciones polinomiales. es una constante. En la siguiente grafica sagital podemos verla de forma más simple: 62 Fanta Sprite Coca cola Manzana. La función constante f(x)=a tiene como dominio todos los Reales y como Contradominio (Rango) un único valor a. su coeficiente principal es 41 y el término constante es . su coeficiente principal es 7/2 y el término constante es -1/2. La Función Constante Es una función polinomial de grado CERO.. su coeficiente principal es 5 y el término constante es -3. Lift Fresca $6. Es una función polinomial de grado 5.9x +3x . es decir. es una función lineal decreciente y b>0. A partir de lo anterior discute la información con los demás equipos y con tu asesor. De forma general la expresión analítica de la función lineal será f(x)=mx+b.2. ¿qué valor adquiere el ángulo de inclinación de dicha recta? c) Si en una recta el valor de m<0. Dicho en otras palabras. Es una función lineal . Tiene un ángulo mayor a 90° pero menor a 180°. y contesta de manera análoga a la primera 1. En equipos de trabajo investiguen en la bibliografía recomendada o en la que tengan disponible en su Centro de servicios y/o si les es posible en Internet más sobre la función lineal y completen las siguientes preguntas.3. dependiendo de sus valores. su razón de cambio es constante. Función Lineal Es una función polinomial de grado UNO y tiene la forma f(x)=a1x+a0. ésta tiene la característica de que cuando la variable va creciendo de uno en uno. y b es la ordenada al origen o valor de la función cuando la variable vale cero. donde a1≠0. Función lineal f(x)=mx+b:R→R donde m≠0 3. ¿qué valor adquiere el ángulo de inclinación de dicha recta? d) ¿Qué pasa cuando el valor de b es cero? 63 e) Observa las siguientes gráficas. la principal característica es que su gráfica es una recta y.1. la expresión analítica de una función lineal es f(x)=mx+b. además. 4. ésta tiene dos parámetros (m y b). Como mencionamos anteriormente. a) ¿Cuándo una función lineal es creciente y cuándo es decreciente? b) Si en una recta el valor de m>0. la gráfica tiene un cierto comportamiento. Esta razón de cambio es a lo que le llamamos pendiente. donde m es la pendiente o la constante de crecimiento o decrecimiento. m<0. 2. 3. cuando se presenta una tabla de una función lineal. la función aumenta o disminuye de manera constante. f) ¿La recta horizontal es una función lineal?. te invitamos que las analices con tu asesor y resuelvas las que están marcadas como B y C A. biología. tiene una cocina económica y quiere saber el costo total por la producción de cierto número de tamales. si la expresión analítica de una función lineal es de y= mx + b tendremos que: y=2x + 220. con esto tendríamos el valor de b (intersección con el eje y) y el valor de m que es la constante de crecimiento que en este caso es 2. ¿por qué? 4. 64 a) ¿Cuál sería la expresión analítica que representará esta situación? b) ¿Cuántos tamales tendrá que elaborar para que el costo neto de cada tamal sea de $3. etc. el interés simple. por lo tanto. mercadotecnia.00 . Por ejemplo el valor contable de ciertos productos que se van depreciando año con año.5. es decir: costo total=(# tamales) + 220 C(t)=2t+220 C(t) =3 b) Para que el costo total neto de cada tamal sea de $3 tendríamos: t esto quiere decir que: 2t+220 =3 resolviendo esta ecuación tenemos que: t t 2t+220 2t+220=3t 220=3t .00? X #tamales (t) 0 1 2 3 Y Costo total C(t) 220 222 224 226 a) Como podemos darnos cuenta el costo inicial de un pedido sería de 220 pesos. El modelo de una función lineal tiene innumerables aplicaciones en economía. 7. el costo total de un artículo. 8. entre otros. sabiendo que el costo fijo por la producción diaria es de $220 a lo cual debe agregar $2. que vive en Durango. A continuación veremos ciertas situaciones que nos llevan a modelar una función lineal. física. 6.2t 220=t Por lo tanto mi tía tiene que elaborar 220 tamales para que el costo neto de cada tamal le salga a $3. Mi tía Anita.00 por cada tamal adicional. 2.1. La principal característica es que su gráfica es una parábola vertical. Todas las parábolas son simétricas con respecto a una línea recta llamada eje de simetría o eje focal. . b) ¿Cuál es el costo inicial de producción? c) ¿Cuántos artículos se deben producir como mínimo para que no haya pérdidas (ganancia=Venta.B. foco. y tiene la forma f(x)=a2x2+a1x+a0 . lado recto y parámetro). Justifica las respuestas: a) En un mismo plano cartesiano. donde el dominio y el rango son los reales. f) Traza la gráfica. ¿Cuántos elementos se deben vender? C. un cierto tipo de dulce tiene como funciones de costo y venta: C(x)=4x+360 y V(t) = 10x . directriz. traza las dos gráficas. En una fábrica de dulces de leche. dándole valores arbitrarios a x y así obtener los de f(x). b) La función ¿es creciente o decreciente? c) ¿Cuál es el valor de la pendiente o constante de crecimiento o decrecimiento? d) ¿Cuál es el valor de la intersección con el eje de las ordenadas? e) Determina la expresión analítica de dicha situación. Una función lineal está expresada mediante la tabla incompleta: -2 -1 0 0 -4 5 -16 a) Completa la tabla. el punto donde se cruza el eje focal y la curva (parábola) es llamado foco. Función Cuadrática La función cuadrática. respectivamente. la ecuación de una función cuadrática se acostumbra expresarse como: 65 f(x)=ax2+bx+c : R→R donde a≠0 Para graficar una función cuadrática basta con tabular la función. como ya se había visto en la unidad cuatro de Matemáticas III (recordemos que los elementos que definen por completo una parábola son 6: vértice.000 unidades de dinero. donde a2≠0.4.costo)? d) ¿Cuál es el costo por producir 120 elementos? e) ¿Cuánto se obtiene por vender 120 elementos? f) Para obtener una ganancia de 60. es una función polinomial de grado DOS. eje focal. se desea representar la función cuadrática f(x)=2x2-8x+6 en su forma estándar. te invitamos a que visites http://usuarios. además si a es positivo entonces se trata de una parábola que abre hacia arriba y si a es negativo entonces se trata de una parábola que abre hacia abajo Por ejemplo. donde el coeficiente principal a>0. esta nos sirve para identificar claramente el vértice de la parábola y algunos otros elementos. En forma individual grafica las siguientes funciones cuadráticas: a) y=x2 . o tú tienes la posibilidad de acceder a este servicio. 1.3x+1 d) f(x)=x2 b) f(x)=x2 .h)2+k Donde (h. donde encontraras algunos consejos para graficar una función cuadrática e incluso verás algunos ejemplos de graficas de otras funciones polinomiales 66 2.x2 . Esta forma se obtiene a partir de f(x) = ax2+bx+c mediante el procedimiento de completar cuadrados perfectos quedando: f(x)= a(x . k) es el vértice de la parábola y el eje de simetría es x=h. el eje de simetría es la línea punteada y el punto marcado es el vértice. con ello se nos facilita la graficación de la misma. htm. Si tu Centro de Servicios cuenta Internet.4 e) f(x)= . en dicho punto existe un mínimo valor. el eje de simetría es la línea punteada y el punto marcado es el vértice.es/juanbeltran/id412.lycos.x2+ 4 FORMA ESTÁNDAR DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA La función cuadrática tiene una forma Estándar. Actividades: Parábola vertical hacia arriba (cóncava positiva). en dicho punto existe un máximo valor.Parábola vertical hacia abajo (cóncava negativa). donde el coeficiente principal a<0. para ello completaremos el cuadrado perfecto como se muestra a continuación: *(Como trabajo extraclase te sugerimos demostrar lo anterior ayudándote del ejemplo que mostraremos enseguida) c) f(x)= . Cuatro: Finalmente. la parábola cruza en dos puntos al eje de las abscisas. que es el factor común que se sacó al inicio del procedimiento.4] f(x)=2[(x-2)2 . Además para no alterar la igualdad resto 4. tiene un mínimo valor el cual es -2 Como podemos observar en la gráfica. Segundo: Completo el TCP (agrupo los términos que contiene x.1] f(x)=2(x-2)2 . para graficar basta con dar dos valores menores y dos valores mayores que el valor de la abscisa del vértice.2 es la forma estándar de la función cuadrática f(x)=2x2-8x+6. -2). x 0 1 2 3 4 y 6 0 -2 0 6 67 V(2. Partiendo de la expresión matemática podemos obtener la siguiente información: El vértice es V(2. resolviendo la ecuación cuadrática). . La expresión que obtuvimos f(x)=2(x-2)2 . esos dos puntos son las raíces de la función las cuales son: x = 1 y x =3 (Estos dos valores los podemos obtener también. de esta manera obtengo el tercer término del TCP el cual siempre es positivo y en este caso es 4.f(x)=2x2-8x+6 f(x)=2[x2-4x+3] f(x)=2[x2-4x+_)+3] f(x)=2[x2-4x+4)+3 . para ello sacamos como factor común el 2 y trabajamos con la parte del interior del corchete.2 Primero: Para completar el trinomio cuadrado perfecto hacemos que el coeficiente principal (a) sea uno.-2). en este caso multiplico por el 2. luego le saco mitad a el coeficiente del término lineal y lo elevo al cuadrado. entonces es una parábola que abre hacia arriba y tiene su eje de simetría en x=2. como el primer término de la expresión obtenida es positivo. Tercero: Factorizo el TCP. 1 b) f(x)=(x . Organizados en grupos de tres.3 f(x)=x2. ¿qué puedes deducir? . si es así ¿cuántas? • Observando el comportamiento de las gráficas anteriores.1)2+5 f(x)=(x+5)2 .8 f(x)=5(x+4)2 f(x)=x2 f(x)=.4)2+3 d) f(x)=x2 +3 • ¿Cuál es el vértice de cada una de las parábolas anteriores? • ¿Tienen raíces? y.1 f(x)= . A partir de ello contesten lo que se pide: a) f(x)=(x .1)2 . Organizados en grupos de tres.(x+ 3)2 .k) Coeficiente Concavidad Valor del máximo o mínimo (k) principal (a) f(x)=3(x . grafiquen las siguientes funciones cuadráticas en un mismo plano cartesiano y a partir de ello contesten lo que se pide.1)2+3 c) f(x)= (x + 2)2 + 3 b) f(x)=(x . f(x)=a(x-h)2+k Vértice V(h. si es así.3. grafiquen las siguientes funciones cuadráticas en un mismo plano cartesiano. de acuerdo con los datos que te proporciona la forma estándar de la función cuadrática.1)2 • ¿Cuál es el vértice de cada una de las parábolas anteriores? • ¿Tienen raíces? y.1)2+5 c) f(x)= (x .1)2+3 d) f(x)=(x . a) f(x)=(x . ¿cuántas? • Observando el comportamiento de las gráficas anteriores. ¿qué puedes deducir? 5.x2 68 4. Llena el cuadro según se pide y. ejercicios tipo y/o pide a tu asesor que te proporcione algunos ejemplos para resolver. 8. grafiquen las siguientes funciones cuadráticas en un mismo plano cartesiano y. obtenemos que: A=xy. de tal manera que su área sea la máxima posible. ¿qué puedes deducir? 7.1)2+3 4 • ¿Cuál es el vértice de cada una de las parábolas anteriores? • ¿Tienen raíces?. h. en plenaria discutan sus conclusiones y elaboren un mapa conceptual sobre lo que pasa cuando cambiamos los parámetros a.1)2+3 b) f(x)=2(x . para trabajar con una sola variable sustituimos en esta ecuación la ecuación anterior y nos queda: A=x(270 . k de la forma estándar de la función cuadrática. a partir de ello. ya que ésta puede ser el resultado de modelar cierta situación. Si para obtener el área se multiplica el largo por el ancho. contesten lo que se pide: a) f(x)=4(x . MODELOS CUADRÁTICOS Y PROBLEMAS SENCILLOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Al igual que la función lineal.x2 x 2x +2y = 540 . municipio de Gpe.1)2+3 c) f(x)= (x . la función cuadrática también tiene innumerables aplicaciones. En parejas.1)2 + 3 e) f(x)=1 (x.6. Determinar la expresión algebraica de la función que describe el problema y resolverlo: 69 y x y Por lo tanto y=270 . Busca en la bibliografía que tengas a la mano. Se dispone de 540 metros de cerca. Posteriormente.1)2+3 1 d) f(x)= 2 (x2 .x.x) A=270x . como las que se muestran a continuación: Retomaremos un ejercicio anterior: Se desea cercar el terreno de forma rectangular donde se está construyendo un parque ecológico que se encuentra en I. Victoria. y si es así ¿cuántas? • Observando el comportamiento de las gráficas anteriores. Allende. 25.5x + 24.156.0064[(x2 .06] f(x)= .25 cuando x toma el valor de 156. la función cuadrática f(x)=270x .0. La trayectoria de la pelota está definida por la función cuadrática: f(x)= .0064 < 0.4x+0. y obtendremos: f(x)= .0064x2+2x+6 f(x)= .25 Como a = .0.5x .312. transformándola a su forma estándar obtenemos f(x)= .25 ft.937. cuando x toma el valor de 135.5 .414. el cual sería 18225.0.5x2 en donde C(x) es el costo total en pesos y x el número de unidades producidas.156. como a<0.0.24.06) .414. la función cuadrática la cambiamos a su forma estándar completando el TCP. ¿Cuántas unidades debe producir diariamente para obtener un costo mínimo? .56] f(x)= .25)2 + 162.135)2+18225. Así que el terreno tendrá un área máxima de 18. cuando la pelota ha recorrido una distancia horizontal de 156.25.0064[(x .225 m2 cuando su ancho (x) tenga una longitud de 135 m Ancho =x = 135 Largo =270-x = 270-135 = 135 Un jugador golpea una pelota de béisbol a una altura de 6 ft sobre el nivel del suelo. la parábola abría hacia abajo y por lo tanto existe un máximo. entonces existe un máximo cuyo valor es 162.0.312.0064(x .x2.351.25)2 .0.0064[x2 . Resuelve en equipo el siguiente ejercicio y posteriormente comparen su respuesta con los demás equipos de trabajo: Un fabricante de accesorios para bicicletas tiene costos diarios de producción por: C(x) =700 .937.0.5] f(x)= . ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota? Para obtener el valor del máximo.(x . a una velocidad de 100 ft/s.25 ft 70 9. en otras palabras la pelota alcanza una altura máxima de 162.Ahora bien.0064x2+2x+6 en donde f(x) es la altura que alcanza la pelota y x la distancia desde home. te recomendamos visitar el sitio:http://tycho.0) -50 .0) x 5 (-1. el dominio y rango de estas funciones son los reales. ya que cuenta con un programa graficador de uso fácil. Funciones Polinomiales de Grado Tres y Cuatro La función cúbica.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funciones/polinomial/Funcion_Polinomial_6_ecuacion. cuyos valores son: x1= .1. Ahora. ahí podrás graficar cualquier función polinomial que se te ocurra para observar y analizar su comportamiento. que si no es así y tienes acceso a Internet.htm.4 que es de grado 4. esto facilitaría la tarea.escuelaing. Sin embargo.2.50 2 4 y B.1.5.x2= . 200 150 100 50 71 -4 -2 .16x2+9x+36. La gráfica a la derecha muestra una función cúbica f(x)= . Enseguida se muestran las gráficas de algunas funciones polinomiales de grado tres y cuatro A. en este apartado de la unidad aprenderás a reconocer algunas características básicas de las gráficas de funciones polinomiales de grado tres y cuatro. Claro. que si tú o tu Centro de Servicios tienen acceso a una calculadora graficadora o algún programa de graficación para computadora.10x .5. edu.20x2 . donde a3 ≠0 .0) -5 ( 1.5.5. Esta es la gráfica la función polinomial f(x)= 2x4 . ya que estas funciones son más difíciles de trazar que las anteriores. El procedimiento para obtener las raíces lo veremos más adelante. en este sitio encontrarás un taller interactivo de funciones polinomiales. es una función polinomial de grado TRES y tiene la forma f(x)=a3x3 + a2x2 + a1x + a0 . Para graficar este tipo de funciones tabulamos con un número considerable de elementos en el dominio (x).5:x3=1. que tiene tres raíces.4x3 . para obtener una gráfica un poco más confiable. de manera análoga es la función de grado CUATRO f(x)=a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 donde a4 ≠0. 50 ( 0.4.36) (-4. . Función no continua • Tienen curvas suaves redondeadas. a) f(x)=x3 +8 b) f(x)=x4 . Actividades: 1. la gráfica se parece a la gráfica de la función cúbica. I.4x+3. la gráfica de la función polinomial se parece a la gráfica de la función polinomial de segundo grado (parábola). Expóngalas al grupo para comparar y analizar las funciones en conjunto. 72 • Las funciones polinomiales que tienen las gráficas más sencillas son los monomios de la forma f(x)=xn. ésta será igual a cero. de igual manera si tenemos f(x)=x2 .8 c) f(x)=(x .8)4 Ceros de funciones Polinomiales El cero en una función f es un valor x para el cual f(x)=0. En otras palabras los ceros de una función son las raíces (los puntos por donde cruza la gráfica al eje de las x. la cual tiene una sola raíz cuyo valor es x=0 Para graficar una función polinomial es necesario tener muy claro lo siguiente: • La grafica de una función polinomial es siempre continua. La siguiente gráfica muestra la función cúbica f(x)=x3.C. lo cual quiere decir que no tiene interrupciones. Cuando n es par. los valores x=3 y x=1 son ceros en la función cuadrática anterior. estos valores los puedes encontrar factorizando la función o aplicando la ecuación general para resolver ecuaciones de segundo grado). donde como ya se había mencionado n es un entero positivo. porque si sustituimos este valor en la función. y si n es impar.5 se halla en x=5. Organicen equipos de trabajo y en hojas de papel bond cuadriculado grafiquen las siguientes funciones polinomiales. Por ejemplo el cero de la función f(x)=x . como se muestra en la figura I. Función continua II. 2x2 + 4x x-4 .2 tendremos lo siguiente: 3x2 +2x +1 x . Para iniciar con este tema.4 hallar f(2) en dos formas distintas: Para hallar f(2) evaluamos la función con x=2 y tenemos lo siguiente: f(x)=3x3 . el Residuo es igual a f(r) Para determinar los Ceros de un Polinomio f(x) resulta de gran utilidad el uso del Teorema del Residuo.4(4) . TEOREMAS DEL RESIDUO Y DEL FACTOR 2.4 f(2)=24 .9x+14 entre x .4x2 .3x .4 lo dividimos entre x .3x .2 4x3 .4x2 . el cual introduciremos con un ejemplo: Si f(x)=3x3 .3(2) . x2 .Hasta el momento sabes obtener las raíces o soluciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas.3x .x+2 -2 73 .2 Ahora bien.r.4x2 .2 entre x+2 8x3+27 xentre 2x+3 TEOREMA DEL RESIDUO Si r es una constante y si se divide el Polinomio f(x) entre el Binomio x .4(2)2 .3x .16 .5x2+3x .2 3x3 . si el polinomio f(x)=3x3 .3x3 +6x2 2x2 .4 .6 . es necesario que repases el tema de la división de polinomio entre polinomio.4x2 . A continuación estudiaremos algunas propiedades de funciones de grado igual o mayor que 3. así como los respectivos ceros de dichas funciones. con el propósito de hacer su representación gráfica más fácil. donde r es un Número Real.4 f(2)=3(8) .4 f(2)=.3x . para ello te invitamos a que revises tus apuntes de álgebra de primer semestre en la unidad dos o en su defecto investigues sobre el tema en cualquier libro de álgebra que tengas a la mano y resuelvas los siguientes ejercicios (si no puedes resolverlos pide ayuda a tu asesor con algún ejemplo ilustrativo).4 f(2)=3(2)3 .6 . en relación con sus ceros o las raíces de sus ecuaciones correspondientes. 5x2+4 .4=(x .2 Como podemos observar f(2) = -2 y -2 es el residuo de dividir la función f(x) entre x-2.1)(x+1)(x+2) Efectuando las multiplicaciones y simplicando tenemos: f(x)=x4 . EJEMPLOS: 74 A. determinar dicha función polinomial Basándonos en el teorema del factor.64 f(4)=64 . se puede hacer notar la importancia de conocer el valor del Residuo. Con lo anterior.4 . Recordando el ejemplo anterior.2)(3x2+2x+1) . ya que el residuo fue -2. con cada una de las raíces formaremos el factor correspondiente quedándonos de la siguiente manera: f(x)=(x .64 f(4)=0 Por lo tanto la función tiene como factor x .4x2 . y es el valor r que se menciona en el teorema del residuo. entonces ello nos indica x-r es uno de los factores. Demostrar que x .3x .4 es un factor del polinomio f(x)=x3 . entonces x . de otra forma la función valuada en r debe ser igual a cero.-2.2)(x . Si los ceros de una función polinomial (las raíces) son los valores 2. el residuo debe ser igual a cero. es decir f(r)=0. en este caso r = 4. por lo tanto: f(x)=x3 . y que con ellos se pueden determinar los Ceros del Polinomio. en este caso r=-2.64 f(4)=(4)3 .3x . ya que si este es igual a Cero.4 sea un factor de dicha función.r es un factor de f(x).Entonces el Polinomio se puede expresar como: 3x3 . podemos decir que (x – 2) no es un factor de la función polinomial f(x)=3x3 .-1. TEOREMA DEL FACTOR El teorema del factor se establece con base en el teorema anterior y dice: Si r es una raíz de f(x)=0.64 Para que x .4x2 .1.4 y como una de sus raíces x = 4 B. Los coeficientes que quedan en el tercer renglón.Para simplificar un poco el procedimiento de la división de polinomios utilizaremos la división sintética (proceso abreviado de aquélla). El primer termino del dividendo se escribe como el primer término del tercer renglón f. Ejemplo: Usando la división sintética. a la división de un polinomio entre un binomio de la forma x . e. poniéndose dicho resultado en la tercera columna. por lo tanto. pero si no es así aquí veremos algunos ejemplos.3x+5 entre x+4 1 1 x3 0 -4 -4 x2 0 16 16 x1 -3 -64 -67 x0 5 -4 268 273 residuo 75 Por lo tanto. DIVISIÓN SINTÉTICA Para ilustrar el procedimiento de la división sintética. encuentra el cociente y el residuo de: x4 . c. sustituyendo por cero las potencias faltantes entre un término y otro del polinomio. y el último elemento del tercer renglón es el residuo. g. Después se multiplica el primer término del tercer renglón por el divisor y el producto resultante se escribe en el segundo renglón y en la columna dos.4x2+16x . tema que tal vez viste en álgebra de Matemáticas I. el cociente es el polinomio x3 . i. b. A la derecha del último elemento del dividendo se escribe el simétrico de r separado por una línea vertical. En el primer renglón se ponen sólo los coeficientes del dividendo.r. El dividendo debe estar ordenado de forma decreciente. son los coeficientes del cociente. Se traza una línea horizontal que separa al segundo y tercer renglón. • Procedimiento de la división sintética (Regla de Ruffini) a. Se suman los términos de la segunda columna y el valor resultante se multiplica por el divisor. h. d. resolveremos un ejemplo haciendo hincapié en que esta división sólo se aplica a divisiones con polinomios de una sola variable donde el divisor es de la forma x-r.67y el residuo es 273 . Este proceso se sigue hasta sumar los elementos de la última columna del divisor. ya que en el proceso para determinar los ceros de una función polinomial recurrimos al Teorema del Residuo y. 10x2+11x+10 entre x+3 x5+1 entre x+1 x3+8 entre x+2 TEOREMAS SOBRE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN Teorema fundamental del álgebra Toda ecuación polinomial de grado n≥1 tiene al menos una raíz.1). 76 Teorema de las n raíces Toda función polinomial f (x)=0 de grado n tiene exactamente n raíces. entonces el número complejo a+bi es también una raíz. Asimismo. siempre y cuando la multiplicidad de k de una raíz se cuente k veces. entonces u es un factor del término independiente y v es un factor del coeficiente principal. Hallar por división sintética el cociente y el residuo de las divisiones siguientes: 2x3 . estas ecuaciones fueron expresadas como producto de sus factores.x2 puede expresarse como: f(x)=x(270x . real o compleja.3.2 2x4+2x3 . como puedes observar. .x). f(x)=270x .7 entre x . Teorema de las raíces complejas Si el número complejo a+bi.3x2+5 . Teorema Todo polinomio de grado n≥1puede ser expresado como producto de n factores lineales.3)(x . Teorema de las raíces racionales u Si el racional irreducible v es una raíz de una función polinomial de coeficientes enteros. b≠0 es una raíz de una función polinomial con coeficientes reales. Por ejemplo: f(x)=x2 .4x+ 3 se puede factorizar y expresarse como: f(x)=(x . 5.±3. pues es un polinomio de grado 3. por lo tanto -4 es una de las raíces Y ya no seguimos probando con los demás valores. por lo tanto -1.±2.±12. (-1. ±2. de ahí que los divisores de 36 son u={±1. -4 -4 -16 6 -10 9 15 24 Como puedes ver el residuo es 0.±9.5.±12.±4.±36 }. Por lo tanto la gráfica que obtendremos será: y 50 ( 0.±2.5 -36 0 residuo Como puedes ver el residuo es 0.5.±4 }. Contamos con los puntos (-4.5.5 es una de las raíces 77 -4 -4 -16 16 0 9 0 9 36 -4 -36 0 residuo Como puedes ver el residuo es 0.± 9 v ={±1. 0). Encontrar las raíces racionales de la función polinomial f(x)=4x3 -16x2+9x+36 Nos basaremos en el teorema anterior.±36} 2 2 4 Si probamos estas posibilidades de izquierda a derecha.± 9 .± 3 . Ahora sólo hay que tabular con algunos valores intermedios entre estos puntos y además obtener el punto por donde cruza al eje de las ordenadas (cuando x=0).0) -50 .5 es una de las raíces. ya que por el teorema de las n raíces esta función polinomial a lo más tiene 3 raíces.0).±6.± 2 .± 3 4 .5 -36 0 residuo 36 -1. vemos que: -4 -4 -16 -6 -22 9 -33 -24 36 1.0) x 5 (-1. (1. 0).0) -5 ( 1.36) (-4. por lo tanto 1.±6.±4.±18.±9.±3.± 4 . las posibles raíces racionales son: u 1 1 . éstas nos ayudarán a construir la gráfica. Por lo tanto. y de -4 son v={±1.EJEMPLOS: A. Como ya conocemos las raíces de la función.±18. x. Encuentra las raíces (ceros) racionales de la función: f(x)=x3 + x2 .3x2 .3x2 .4x 7.7)(x2+4)=x2 .B. Se desea hacer una caja abierta de cartón corrugado.7)(x2+4) (x2 .2=0 entonces x2=2 x + 1=0 entonces x3= . 6. la cual tenga forma rectangular de 20 cm por 10 cm. 7)(x2+4) Factorización sobre los reales (3). cortando cuadros iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Halla todos los ceros de la función: f(x)=x4 . Hallar las dimensiones de la caja sabiendo que el volumen es de 156 cm3. elaboren una ficha temática donde se ilustre con dos ejemplos dichas reglas y el método de bisección.2x2 . Factorizando dicha función obtenemos: f(x)=2x3 . Halla todos los factores de la función polinomial f(x)=x4 .6x2 . A partir de lo anterior. Investiga en forma individual la historia de las funciones polinómicas y elabora un reporte sobre ello.28=(x2 . Halla los ceros reales de la función: f(x)=x4 . para que evalúes tus conocimientos.28 x4 .4x f(x)=2x ( x .2) (x+1) 2 2x=0 entonces x1=0 x . de ahí que la función anterior tiene dos ceros (Raíces) reales y dos complejos. Posteriormente expongan al grupo para su discusión.40 9. Si tienes dudas vuelve a repasar los temas y pregunta a tu asesor que sin duda te ayudará. 10. 4. 5. Hallar todos los ceros reales de la función f(x)=2x3-2x2-4x y graficar. ¡¡Suerte!! 78 .7)(x2 .1 C.2) f(x)=2x(x .7)(x+2i)(x+2i) Factores reales y complejos (4).7)(x2 . Factorizada por completo tendremos: (x2 .7)(x2+4)=(x2 7)(x2 Estos factores (2) son irreducibles sobre los racionales. En equipos de trabajo de 3 o 4 personas investiguen la relación que tiene la regla de los signos de Descartes con el número posible de ceros positivos y negativos en una función y el método de bisección para aproximación de ceros. Resuelve los ejercicios de la sección ¿Qué he aprendido?.3x2 + 2 8. I. pero si te surgen dudas acude con tu asesor. ¿Cual es el costo de producir 500 radioreceptores? . Compré una bicicleta en $2. Resuelve los siguientes ejercicios de funciones lineales: 1. b) ¿Cuál es el valor de la pendiente o constante de crecimiento o decrecimiento? c) ¿Cuál es el valor de la intersección con el eje de las ordenadas? d) Traza la gráfica.600. b) La función. según sus datos del departamento de producción indican que el costo fijo es de $10. ¿Cuál será el valor de la bicicleta después de 5 años? 4. Contesta correctamente las siguientes preguntas: a) ¿Cuáles son las principales características de una función polinomial? b) Se tiene la función polinomial f(x)= 3 x4 . c) ¿Una función polinomial es siempre continua? d) ¿Cuál es el rango de la función constante? e) La función constante. Una función lineal está expresada mediante la tabla incompleta: -3 -8 3 -6 4 6 79 a) Completa la tabla. f) Traza la gráfica. Si su valor se deprecia linealmente cada año un 15%. para ello desarrolla los siguientes ejercicios que seguramente podrás resolver sin ningún problema. ¿es una función lineal con pendiente cero?. La compañía Nazareno-Sebastián y Asociados se dedica a la fabricación de radios. ¿es creciente o decreciente? c) ¿Cuál es el valor de la pendiente o constante de crecimiento o decrecimiento? d) ¿Cuál es el valor de la intersección con el eje de las ordenadas? e) Determina la expresión analítica de dicha situación. y por cada radiorreceptor que produzcan el costo es de $95.¿Qué he aprendido? Ahora estás listo para aplicar lo que aprendiste a lo largo de esta unidad. valor del coeficiente 5 principal y término independiente.8+4x . determina: a) Si la función es creciente o decreciente. y reafirmar el aprendizaje adquirido. 2. La ecuación de una función lineal es f(x)= .x+2. 3.600. ¿por qué? f) ¿Cuál es la característica principal de una función lineal? II. menciona el grado. Si la ecuación de una función cuadrática es f(x)=a(x-h)2+k ¿que pasa cuando h>0. concavidad. La ecuación de una función cuadrática es f(x)=x2+6x .16.-3 b) 2. Resuelve los problemas de funciones cuadráticas. a) 5.4x2+4x d) f(x)=x2. determina: el vértice. b. c. con base en ella determina: a) f(x)=x3+4 b) f(x)=x3. A continuación se presenta la gráfica de la función cúbica f(x)=x3. en donde f(x) es la altura en pies y x la d. Determina la función polinomial que tenga los ceros dados. a. ¿Qué dimensiones producirán un máximo de superficie encerrada? 1 13 x+8 .III.1 c) -4. valor del máximo o del mínimo. 1. La trayectoria de un clavado es f(x)= 8 x2+ 8 distancia horizontal desde el extremo del trampolín ¿Cuál es la altura máxima del clavado? e. determina: el vértice. La ecuación de una función cuadrática es f(x)=(x-3)2 . hacia donde se mueve la parábola.4)3 e) f(x)=(x .4 . Don Ramón. quiere cercar un corral rectangular de 600 metros de perímetro. comportamiento de la función. valor del máximo o del mínimo.6x+1 3.-2.4 c) f(x)=(x+4)3 d) f(x)=(x.5.5x3+8x2 b) f(x)=6x2. que vive en Súchil.2x c) f(x)=x3. Resuelve los ejercicios de funciones polinomilales de grado tres y cuatro.2x2+2 e) f(x)=x2. a) f(x)=x4. cuando a y k se mantienen constantes? IV.5. comportamiento de la función. raíces y gráfica.-2.2 e) 0.5 d)-3. Halla los ceros reales de las siguientes funciones polinomiales. Durango. raíces y gráfica. concavidad.1)3+4 80 2. Bosqueja las siguientes funciones polinomiales (determina gráfica. posteriormente.3x2 . . Determina los ceros racionales de las siguientes funciones.x2+x .4x . a) Verifica que el volumen de dicha caja lo determina la función V(x)=400x80x2+4x3 b) ¿Cuál es el dominio de definición de esta función? c) Traza la grafica y determina el valor de la x (altura de la caja) para la cual el volumen es el máximo. cortando cuadros iguales en las esquinas y doblando hacia arriba.17x2 +4 d) f(x)=x2.2x2+2 e) f(x)=x3.9 x2+3x +18 6.4. Recuerda que puedes pedirle apoyo a tu asesor.4 b) f(x)=x4+x3 . a) f(x)=x3+x2. para que uses tu razonamiento libremente y no enfocándote al resultado.12 x+12 b) f(x)=x4. Se requiere construir una caja abierta de lámina cuadrada de 20 pulgadas. raíces y variación de la función) a) f(x)=3x3.2X En esta ocasión los ejercicios no traen respuesta sugerida.1 c) f(x)=x4. (apóyate con la figura).4x2.x3 . los compartan con sus compañeros de clases. Te sugerimos que los problemas de aplicación trates de resolverlos tu sólo. luego comparen sus razonamientos en equipo y.11x +30 5. X X 81 X 20 . 2 si . Signo y Entero mayor.x2 x si x= . . Por lo pronto. existen una infinidad de funciones polinomiales las cuales son el resultado de aplicaciones de la vida real. concepto que estudiarás a fondo en Cálculo diferencial.Quiero saber más Como pudiste darte cuenta.2} D2={. en el dominio de la función anterior está dividido en tres subconjuntos de los reales. 3 Por ejemplo la función: f(x) . Las funciones que hemos estudiado hasta el momento se han definido en una sola expresión analítica. en unidades posteriores estudiarás algunas funciones especiales de este tipo como lo es la función Escalón.2<x≤3 si 3<x≤6 82 A este tipo de funciones se les conoce como seccionadas. los cuales son: D1={. pero también existen funciones que están definidas en más de una expresión y estas expresiones dependen del comportamiento de la función sobre distintas secciones del dominio.2<x ≤3} D3={3<x ≤6} Otra característica de estas funciones es que debido a que están seccionadas se les considera funciones discontinuas. mediante el análisis del dominio. Además.¿ FUNCIONES RACIONALES Objetivo de la unidad: Resolverás problemas sobre funciones racionales. alrededor de los puntos donde la función racional no está definida. El trazo de las gráficas de estas rectas pueden ser: gráficas paralelas a los ejes coordenados. término independiente. aquellas formadas por el cociente de dos polinomios. del griego asumtotos que quiere decir “sin tocarse”. coeficiente principal. que se encuentran en las unidades de Matemáticas I. Asimismo. Para iniciar el estudio de los temas de esta Unidad deberás recordar la definición de función. temas. su variación gráfica para valores de x lejos del origen. rango e intervalo de definición e intersecciones con lo ejes. estudiaremos el análisis gráfico del comportamiento de rectas auxiliares que no pertenecen a la gráfica de la función racional pero que sirven de orientación en el trazo de las curvas (función racional). en un ambiente escolar que favorezca a la reflexión del análisis y razonamiento práctico. ley distributiva. el rango y la determinación de posibles asíntotas verticales. e incluso ser las gráficas de los propios ejes coordenados. así como el desarrollo de actitudes de responsabilidad. gráficas que cortan a los dos ejes. Además. horizontales y oblicuas. Las rectas auxiliares son conocidas con el nombre de asíntotas. y valores de x muy cercanos a los puntos donde el polinomio denominador se hace cero. es decir. En otras palabras. iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que te desenvuelves. así como los temas de recta y pendiente estudiados en Matemáticas III. UNIDAD 3 En esta unidad revisaremos las funciones racionales. ceros de polinomios. m =∞y m ≠ 0 Posteriormente estableceremos la relación existente entre la variación inversamente proporcional y las funciones racionales. su dominio. Por último mostraremos funciones racionales cuya asíntota es una función polinómica (asíntotas curvilíneas) o aquéllas que. cooperación. que se encuentran en las primeras unidades del curso de Matemáticas IV que estás estudiando. estudiaremos el valor m de la pendiente de la recta asintótica en los casos: m = 0. es decir. ¿ 83 ¿Qué voy a aprender? ¿ . grado del polinomio y función polinomial. todos ellos. conviene que repases los conceptos de polinomio. te será de mucha utilidad repasar los conceptos: potenciación. en el último de los casos no posee ningún tipo de asíntota. teóricos o prácticos. factorización y variación inversa proporcional. •Ruiz Basto. Busca en tu Centro de Servicios libros que te sirvan para este propósito y si tienes la oportunidad revisa alguno de la siguiente lista: •Barnett.com/funcion_ve/ •http://thales.html#func . Matemáticas IV. Bachillerato General. México.edu/csit/math/precalculo/sec3/cap3. Raymond.es/paquipaginaweb/funciones/index. Precálculo. 2000. Álgebra. Publicaciones Cultural. 1996. Publicaciones Cultural. 84 Enciclopedia Encarta: Si tu Centro de Servicios cuenta con este software. M.wanadoo. Francisco J. México. Prentice-Hall Hispanoamericana. Matemáticas IV.Fuentes de consulta Bibliografía básica: Para el desarrollo de las actividades de aprendizaje es importante contar con apoyo bibliográfico. como los que enlistamos a continuación para que los visites: •http://www.html •http://www.cica. Precálculo. México.com. •Leithold. Louis.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01. Precálculo: funciones y gráficas. te recomendamos revisar artículos que tengan relación con los temas tratados en esta Unidad.ar/matematica/m2_funciones. México. México. Precálculo: funciones y aplicaciones. Matemáticas previas al Cálculo.inter. International Thomson Editores. 2000.fisicanet. •Larson. 1994. 2005.php •http://perso.html •http://ponce. •Función (matemáticas) •Número racional •Asíntota Páginas web: Actualmente podemos encontrar en la red de redes una gran cantidad de información y existen sitios altamente recomendables. Oup-Harla. •Sullivan. Bachillerato General.geocities. Publicaciones Cultural. México. México. 1997. McGraw-Hill Interamericana. James y otros. •Ortíz Campos. •Stewart. 2005. Ronald y otros. Joaquín. 85 para valores de x en los cuales el denominador no es cero con an.∞.1. Df = IR x2. 2 h(x) = x 2. pero b2 ..x+1 En este caso el dominio de la función h es: Dh = IR – {x|x2 . b2 .∞) Ejemplo 2. 2 2 3 2 1 -8-7-6 -5 -4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 x y 4 3 2 1 -8-7-6 -5 -4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 x +3 >0 4 .1. o alrededor de lo ceros en el denominador. Si an es distinto de cero.bm≠0.+a2x2 a1x+a0. x + x+1 Dh = IR – {x|x2+x+1=0 }. que determinan asíntotas verticales horizontales y oblicuas.. Donde n es un entero no negativo y las a´s son constantes reales.x+1= x+1 2 Siempre es positivo..4ac<0.x+1 . Concepto de Función Racional La función polinómica se construye empleando multiplicaciones y adiciones repetidas de la función identidad y la función constante. Dh = IR.+a2x2 + a1x+a0. y Ejemplo 1.x+1=0 }. 4 h(x) = x +x+1 . Una función racional r(x) es una función que se expresa mediante el cociente de dos funciones polinómicas y se escribe de la siguiente manera: r(x) = anxn+an-1xn-1+.1 FUNCIÓN RACIONAL Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos o prácticos susceptibles de ser modelados a través de una función racional.x+1 no se anula y por tanto Dh = IR = (.4ac<0 Así el polinomio x2 .+b2x2 b1x+b0. Esta función se expresa como: f(x)=anxn+an-1xn-1+. mediante el análisis de los intervalos que constituyen el dominio y el rango. el grado de la función polinomial es n y an es conocido como el coeficiente principal.¿Cómo aprendo? 3. Veamos algunos ejemplos de funciones racionales con su dominio y un bosquejo de sus gráficas... se sigue que el polinomio x2 .. 3. p(q) = q(x) bmxm+bm-1xm-1+. ya que. o del comportamiento de su gráfica para valores muy grandes (en valor absoluto) de su dominio. 1) (. .4 .Ejemplo 3.1.2 ) (- x 3 .1)(x + 1) 2 y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 x 86 (x . .1) .1) (.1} Observa que la gráfica de h(x) tiene un hueco en: x = .+∞) Ejemplo 4.1.1) Dh = IR-{ x|x=.1 (x + 1) Dh =(. h(x) = 6(4x+1) .1) = (x .+∞) Ejemplo 5. 2 } 4 Observa que la gráfica no tiene huecos en ninguno -25 -3 de los puntos: x = 4 .1) (1. (4x+25)(2x +3) y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -3 Df = IR-{ x|x=-25 .∞. .1) y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 x (x+1 (x . 2 h(x) = (x+1) (x+1)(x .+∞) 2 .1.1) (1.1) Dh =(.1 } Observa que la gráfica de h(x) tiene un hueco en x = 1 pero no en x = -1 h(x) = (x .1. .4 ) (. Dh = IR-{ x|x=.1.∞.∞. (x+1)2 h(x) = (x+1)(x . 2 25 3 25 Dh =(. pero no así para x = 1 2 h (x) = (x+1) = (x+1)(x . 1. negativo o cero. Primero estudiaremos la definición de asíntota y luego las rectas asíntotas. Asíntotas Horizontales p(x) Considérese a la función r(x) = tal que los polinomios p(x) y q(x) no tengan facq(x) tores en común. Es importante observar que si la función racional tiene asíntotas su construcción permitirá trazar un bosquejo más preciso de la gráfica de la función racional.3.2. Resultado. Si la recta es paralela o coincide con el eje Y la asíntota es horizontal. entonces la asíntota es precisamente y = 0 (el eje X). necesitamos de varios resultados respecto a los grados de los dos polinomios que conforman la función. Veamos algunos ejemplos de funciones racionales en los que se aplique la relación “menor que” a los grados de los polinomios y que permita decidir sobre la naturaleza del signo de c en la asíntota y = c. En ambos casos  x aumenta por lo que la distancia vertical entre la asíntota y la curva decrece continuamente tendiendo a cero (comportamiento en infinito). si es paralela o coincide con el eje X la asíntota es vertical y por último si la recta no es perpendicular a ninguno de los ejes. Gráficas de Funciones Racionales Seguiremos nuestro estudio en la construcción de rectas auxiliares en el trazo de las gráficas de las funciones racionales. . Una recta es asíntota de una curva (la función racional) si la distancia entre un punto sobre la curva y la recta se aproxima a cero a medida que el punto se aleja del origen de coordenadas. la recta asíntota es inclinada (oblicua) 87 Para llevar acabo la identificación de la forma en que estas rectas se sitúan en relación con la gráfica de la función racional. se tiene n < m. positivo. Si n < m la gráfica de r(x) tiene una asíntota paralela o coincide con el eje X. bm≠0 por lo que la recta no es el eje X (y = 0) Si en cambio. an En el caso de la igualdad n = m. la asíntota es la recta horizontal y= bm ≠0 ya que en la definición de r(x) an. Esta definición condiciona a la curva a extenderse indefinidamente cada vez más en todo el plano a medida que las curvas y la recta se acerquen más y más una de la otra. Asíntota. 1=n<m=2 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x Asíntota y=0 el eje X y 6 88 Ejemplo C. los valores de x = r que anulan al polinomio q(x). 2x+1 r(x)= 2 3x . .n=2=m x +1 an=1.bm=1 Asíntota y= an bm = 1 =1≠0 2 -4 -3 -2 -1 y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x y Ejemplo B. En este análisis sobre los ceros de q(x). Asíntotas Verticales Para el estudio de las rectas asíntotas verticales se emplean los ceros del denominador. es decir.bm=-1 a 3 Asíntota y= n = =-3≠0 -1 bm Resultado. r(x)= 3x .n=3=m (1-x3 ) 3 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 x an=3.Ejemplo A. x2-1 r(x)= 2 . n > m. n son los grados se cumple exactamente una de las relaciones siguientes: n < m. a saber: si m. Para este caso se tiene el estudio sobre el comportamiento local puesto que x se acerca cada vez más a x = r y en el que |y| aumenta a medida que el punto sobre la curva se aleja cada vez más del origen. se excluye la posibilidad que r anule también al polinomio p(x) pues se ha solicitado que los polinomio p(x) y q(x) no tengan factores en común. n = m. Obsérvese que en este estudio los grados cumplen con la ley de tricotomía de los números.3 . r(x)= 2x2+3 2x4+2x2 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x Asíntotas x = r = 0. Si a=0 entonces n=m que contradice a n=m+1 por lo que la asíntota no puede ser horizontal. Veamos la situación de la pendiente a igual a cero. Si tal fuera el caso. r(x)= 3x3 (1 . Asíntotas oblicuas. condiciones que además de contradecir la ley de tricotomía muestran que los grados de los polinomios están variando y esto no es posible pues los números n y m están fijos. Por esta situación. r(x)= x2+1 x2 . Este polinomio tiene la forma y=ax+b con a≠0. pues el 1 es el cero de: q(x) con x2+x+1 Siempre positivo Resultado. ya que es el cero de: q(x)=2x4+2x2=2x2(x2+1) Ejemplo 3. por lo que la asíntota es un polinomio de primer grado. la asíntota horizontal debe cumplir con n≤m y la asíntota inclinada con n>m.-1 ya que q(1)=0 y q=0 en el polinomio q(x)=(x-1)(x+1) y Ejemplo 2.1 -4 -3 -2 -1 y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x Asíntotas x = r = 1.x3) -4 -3 -2 -1 y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x 89 Asíntota x=r =1. Ejemplo 1. una función racional no puede tener una asíntota horizontal y una inclinada. Esto quiere decir que el grado n de p(x) es exactamente un grado mayor que el de q(x). pues a es el coeficiente principal. . Para la existencias de asíntotas inclinadas los grados n y m de los polinomios deben cumplir con la relación n=m+1.Mediante algunos ejemplos calculemos las asíntotas verticales mostrando a la función con las rectas verticales. 1 x x +1 2 -1 x2+1 -x 2 2 x +1 x +1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 =-x+ Asíntota inclinada y=-x fracción propia es x x 2+ 1 Ejemplo C. Ejemplo A. y n=m+1 Ya que n >m efectuemos la división como antes: x2+1-1 x3 =-x =x2 + 1 x2 . x x2 .1 x.1 x. 3 r(x)= x x2 .1 2 1 +x 2 x -1 Fracción propia Ejemplo B.1 Asíntota inclinada y=x-1 con fracción propia x x +1 2 -4 -3 -2 -1 y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x .1 1 =-x+ x . m=2.1 2 x -1 x2 . r(x)= -x3 x +1 2 x y asíntota inclinada y=x x -1 2 y 4 3 2 1 x 1 2 3 4 90 Los grados muestran: n = 3. m=1. -x2+x+1 r(x)= x. efectuemos la división.1 =x+ 3 x 1 2 3 4 x -1+1 =x =x x2 . m=2.1 n = 2.1 x x2 . y n=m+1 Ya que n >m.n=3=m 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 y Los grados muestran: n = 3.1 . x-1 -x2+x+1 -x2+x 1 1 = + =-x + x 1 x.1 x.Procedamos a analizar las asíntotas oblicuas de algunas funciones racionales. y realicemos la división. r(x)=x+1x x2 + 1 x fracción propia x2 + 1 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 y Asíntota inclinada y=x+1 con x 1 2 3 4 x3+x2+1 Simplificando r. Veamos ejemplos de graficas de funciones racionales y sus asíntotas respectivas. 1 r(x)=x+1+ x2 1 Fracción propia x2 . -3x+3 r(x)=x+ 2 x +3 Fracción propia -3x+3 x2 +3 y asíntota y=x -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x y 4 3 Ejemplo F. r(x)= x2 + 1 y Ejemplo E. asíntota y=x -1 -4 -3 -2 -1 91 x 1 2 3 4 2 1 -1 -2 -3 -4 Nota: Obsérvese que en los ejemplos A. 3x3 r(x)= (1-x3) Asíntotas en x =1 y en y = -3 -4 -3 -2 -1 y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x . m=2. Ejemplo 1. n=3. D y E las asíntotas y la función se intersecan.Ejemplo D. B. Una gráfica muestra la forma en que están variando las cantidades. -1 y = x 3. Obsérvese que al aumentar el tiempo el número de llaves disminuye “y” si aumenta el número de llaves el tiempo disminuye. Una representación analítica está dada por la siguiente expresión xy=36 donde “y” es el número de llaves “y x” es el tiempo en horas empleado. digamos de agua.3. 4 llaves en 9 horas. 6 llaves en 6 horas.3 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x Asíntotas en x =1. r(x)= 2x+1 3x2 . x3 x r(x)= 2 =x+ x -1 (x-1)(x+1) Asíntotas en x =1. 3 llaves en 12 horas. Llaves Una llave llena un estanque. -1 y en y = 0 y Ejemplo 3. dos llaves en 18 horas. y 36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 x -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 Horas . Variación Inversa 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x 92 En distintos ámbitos se pueden encontrar variaciones de tipo inverso.y Ejemplo 2. Ejemplo A.1. en 36 horas. Decimos entonces que las dos cantidades son inversamente proporcionales. como lo es el tiempo que le lleva a un estanque llenarse considerando el número de llaves iguales que lo llenan. 36 se ha mantenido constante. En nuestro caso. Veamos este tipo de variación mediante ejemplos. Obtener el número de obreros si se construye en 18 días. Ejemplo B. Calcula el volumen del siguiente problema. Un gas está sometido a 25 atmósferas de presión P. Este modelo. En este ejemplo la relación esta dada por xy=27 X 24→y= Así y= 648 x →y= 27x24 =36 18 27x24 x con x=18. donde la temperatura no cambia. se expresa mediante la relación: VP=20 X 5 o equivalentemente xy=20 X 5→V= 100 =4 25 2. . sabiendo que su volumen V es de 20 metros cúbicos a 5 atmósferas.volumen 42 39 36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 x -2 -1 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 presión 36 39 y Este tipo de variación se puede ver como un caso particular de la función racional: k y= x Con k la constante de variación y como asíntotas los ejes coordenados. 27 obreros construyen una casa en 24 días. Actividades: 93 1. Calcular su volumen. Según la Ley de Boyle-Mariotte el volumen de un gas es inversamente proporcional a la presión si la temperatura no cambia (cte). A continuación se muestran algunos ejemplos Ejemplo A.01 = 2 →t2+1=2t2→t=1→C= 10 t t +1 10(1) La concentración C empieza a decrecer asintóticamente a partir de t = 1 y crece desde t = 0 hasta t = 1 Ejemplo B. ¿Cuál es el valor esperado del ingreso a medida que transcurre el tiempo? Se calcula la asíntota para determinar el ingreso I=500 El ingreso es de 500 mil 2000 x2+4 . Interprete la asíntota de la función racional dada.2t+C=0 t=b 2a =-0. Los ingresos totales en taquilla a nivel regional de cierta película son dados por la relación I(x)= 500x2 x2+4 donde I se mide en miles de pesos y x en semanas.01 Con C en miligramos por centímetro cúbico.APLICACIONES Diversos campos emplean funciones racionales para describir los procesos que se dan en la naturaleza o en la vida diaria.2 1 = 2c 10 C 1 1=1 94 →C= 1 0.0. A un paciente se la aplica un medicamento y su concentración en el torrente sanguíneo después de t horas está dado por: C 0.2t C( t )= 2 t +1 C=. La asíntota es C = 0 pues n < m Ahora calculemos la concentración máxima C( t )→Ct2.2t 1 =0. Calcule el porcentaje límite de respuestas a medida que el número de pruebas x crece.9 P =1 95 . es decir 0. Un modelo que predice el rendimiento en términos del número de pruebas x para determinada tarea esta dado por: 0.9(x .5+0.Ejemplo C.9(x .1) P= 1+0. Para responder sobre el porcentaje calculemos la asíntota horizontal.1) en donde P representa el porcentaje de respuestas correctas después de x pruebas.9 0. 1 x4+1 (x +2)(x2+3) 2 8. r(x)= 7. Obtener el dominio y corte con el eje X para cada una de las siguientes funciones racionales: x x -1 2 1. r(x)= 6.1 2. r(x)= x+1 96 II. r(x)= x3 +1 x2+1 10. r(x)= x(x3 -1) 11. r(x)= x2+1 x2+x 12. r(x)= x(x2+1) 6. r(x)= 7. r(x)= x+1 x2 .1 x2+1 8. r(x)= x3+1 x2 +1 4. r(x)= x+1 9. r(x)= x 2 (x . r(x)= x3+1 x4+x2 .1 x4+1 x3 .1 x4+1 x(x3 -1) 2.2 x+1 x3 . r(x)= 3. r(x)= 3.1) x2+x x+ 1 x2+1 (x +2)(x2+3) 2 5. r(x)=x - .¿Qué he aprendido? Realiza los siguientes ejercicios: I. r(x)= 4.2 x+1 x3 . r(x)= x2-1 x2 + 1 x+1 4 x +3x2+2 5. r(x)= x+1 x4+x2 . r(x)= x2. Determinar todas las asíntotas existentes en cada una de las funciones racionales: 1. ¿Por qué la gráfica a lo más tiene una asíntota horizontal? 3. ¿Por qué la asíntota vertical con la horizontal siempre se intersectan. 1. ¿Por qué la gráfica si puede tener asíntotas oblicuas y verticales? 11. ¿Por qué la gráfica no puede tener asíntotas oblicuas y horizontales? 8. ¿Cuál condición se le debe pedir a los polinomios p(x). ¿Por qué siempre se intersectan la asíntota vertical con la oblicua. ¿Pueden haber huecos en la gráfica al no presentar r(x) ningún tipo de asíntota? Sugerencia: utiliza las siguientes funciones racionales. ¿Por qué la gráfica puede o no intersectar a la asíntota oblicua? 5. ¿Por qué la gráfica si puede tener asíntotas horizontales y verticales? 10. r(x)= r(x)= x(x4 +2x2+1) x2 + 1 x(x2 +2x+1) x+1 =x3+x =x2+x 15. existe la asíntota oblicua? .III. ¿Si una función racional cumple con n = m + 1 y al efectuar el cociente únicamente se produce un término de la forma ax+b . ¿Por qué la gráfica nunca intersecta a la asíntota vertical? 2. ¿Por qué la gráfica si puede tener más de una asíntota vertical? 9. ¿Por qué la gráfica puede o no tener asíntotas verticales? 7. q(x) para que la gráfica de r(x) no tenga asíntotas? 97 14. cuando existen ambas? 12. ¿Por qué la gráfica puede o no intersectar a la asíntota horizontal? 4. ¿Por qué la gráfica de una función racional puede carecer de alguna asíntota? 6. en el supuesto de que existan las dos rectas? 13. Lee detenidamente cada pregunta y contesta utilizando la teoría de asíntotas. El costo promedio es dado por: c= C n 98 . El costo C en la producción de n artículos es C(n) = 0.2n2 + 10n + 5 . Resuelve los siguientes problemas de aplicación: 1.0≤t≤4 C(t)= 3 2t +1 donde C se mide en miligramos por centímetro cúbico. Determine cuando aumenta y disminuye la concentración.IV. La concentración de cierto medicamento en un paciente t horas después de la inyección está dada por: t2 . Durante una epidemia de influenza. está dada por: t P(t)= 2+t2 ¿Para cuál valor de t es p máxima? 3. 2. la proporción de la población baja en defensas que fue infectada. Calcular el número de artículos que deben producirse para obtener el costo promedio mínimo por unidad. Veamos algunos ejemplos de asíntotas curvilíneas donde se cumpla n . q(x) q(x) q(x) Para el caso de asíntotas curvilíneas de r(x) asíntotas que no representan polinomios de primer grado.x3+x)+ Asíntota curvilínea y=1 . m=2 Asíntota vertical x=0 .m>1.m≥1 Ejemplo 1. A estas asíntotas se les conoce como asíntotas rectilíneas donde r(x) es de la forma s(x) p(x) s(x) =(ax+b)+ con como fracción propia.x3+x)+ 1 x2 1 x2 x2 -5x+x3+1 = x2 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x 99 y Así se tiene que: r(x)=(1 . el resultado es el término 3x. donde el primer sumando es la asíntota -x x2 + 1 3x3+6x (x2 + 2) 1+xy el segundo. En ambos ejemplos el cociente es un polinomio de grado uno y la asíntota solo se encuentra en el primero de ellos.m>1 . pues en el otro la fracción propia no existe. r(x)=(1 . se requiere que los polinomios cumplan con la desigualdad n . Además de la existencia de la fracción propia. es decir. la fracción propia Nótese la situación al igual que presenta la función donde al realizar el cociente. la existencia de la asíntota como un polinomio necesariamente de grado ≥ 2.x3+x. n=5. n .Quiero saber más ASÍNTOTAS CURVILÍNEAS 3 2 En la descomposición en fracciones de la función x +x + 1 2 x +1 obsérvese que el cociente produce como resultado una suma de -x funciones (l+x)+ x2 + 1 . 4 . Asíntota vertical x=0 100 Ejemplo 4. (x2 . y 1 r(x)=(1. El siguiente ejemplo muestra una función r(x) que sólo tiene como asíntota. En el siguiente ejemplo se muestra una función que tiene dos asíntotas horizontales.x2+x+x3.Ejemplo 2. Las asíntotas son las rectas y=±1. pues contiene al valor absoluto |x|.x .1) donde |x|= y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x x. x= .x4+x2+1 1 = x x y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x Asíntota curvilínea y=. una asíntota curvilínea. es decir. r(x)=(1. |x| La función es de la forma: y= . m=1 Asíntota vertical x=0 Obsérvese que el polinomio y la asíntota se cortan Ejemplo 3. m=1 . x≥o -x. r(x)= y 8 6 4 2 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x x6 +3 x4+4x2+3 La asíntota curvilínea corresponde a una parábola. un polinomio de segundo grado de la forma: x2 .1 Ejemplo 5.x3+x)+ x . n=5.x3+x .x4 . x≤0 La función no es racional.x +x+x )+ x 4 2 3 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x Asíntota curvilínea y=1 . n=4. 3x+ r(x)= x3 -3x2+4 x 4 x -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x -4 -3 -2 -1 y 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x y 101 . r(x)= x2+x+ 1 x +1 2 6 5 4 3 2 1 x 1 2 3 4 y r(x)= x2+x+1+ 1 x2 + 1 x2 .Sugerencia: Construye las asíntotas curvilíneas para cada función racional e identifícalas con las gráficas adjuntas. en el crecimiento poblacional. sin embargo no podemos concluir nuestro curso sin el estudio de las funciones exponenciales y logarítmicas. Las encontramos. ¿ ¿Qué voy a aprender? FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Objetivo de la unidad: Resolverás problemas con funciones exponenciales y logarítmicas. en la forma en que se reproduce la llamada marea roja. teóricos o prácticos. el proceso continúa de modo exponencial hasta formarse una esfera celular hueca llamada MÓRULA la cual continua desarrollándose como embrión mediante sucesivas etapas hasta llegar al nacimiento de una nueva persona. sólo así podrás descubrir las maravillas que encierran cada una de las mismas y el modo en que éstas se presentan de manera sorprendente en la naturaleza. Química. no sin antes felicitarte por el esfuerzo que has realizado hasta el momento y te recomendamos que lo mantengas al estudiar esta unidad. la cual se divide en dos células. Este proceso lo analizaremos con mayor detenimiento dentro de los temas de la Unidad. que consiste en una gran colección de billones de protozoos que se multiplican a gran velocidad. Por lo pronto nos enfocaremos a revisar solamente la manera en que este tipo de fenómenos crecen o decrecen. así como en los problemas financieros. Es muy importante que sepas manejar las leyes de los exponentes de manera adecuada y comprender el significado de un exponente positivo y un exponente negativo para tener una cabal comprensión de las funciones que estudiaremos en esta Unidad. luego ocho y así. afectando a muchas especies marinas.¿ 102 Las funciones exponenciales están presentes en una gran variedad de fenómenos. . ya que para la misma requerirás un poco de tiempo para analizar el comportamiento de las funciones de acuerdo con algunos cambios que le haremos a ciertos parámetros. iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que te desenvuelves. esto último podrá visualizarse de modo grafico para distinguir los comportamientos de los fenómenos. Física. las especiales y las racionales. Geología y Medicina. entre otros. por ejemplo. ¿ UNIDAD 4 Hasta el momento has estudiado los diferentes tipos de funciones. en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre la utilidad de estos conocimientos y el desarrollo de actitudes de responsabilidad. desde las polinomiales con sus diferentes tipos de grados. cooperación. utilizando su relación como funciones inversas y sus propiedades algebraicas. El núcleo del espermatozoide del hombre se fusiona con el óvulo de la mujer dando origen a una única célula llamada CIGOTO. la cantidad en que suceden y la tendencia que van tomando. Las funciones exponenciales y logarítmicas las encontramos generalmente en algunas áreas como la Biología. luego en cuatro. Un ejemplo más cercano lo constituye la división celular que tiene lugar en el vientre materno cuando se gesta un ser humano. así como también la forma en que éstas se aplican a diferentes fenómenos. Prentice Hall.astroseti.htm • http://es.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial • http://huitoto.htm • http://usuarios.html • http://bc. Álgebra y Trigonometría con geometria analitica.udea. México. 1994.php?num=3490 • http://www.com/trabajos7/mafu/mafu. México.co/Matematicas/ContenidoUnidad2.org/matematicas/articulo.Fuentes de consulta Bibliografía básica: Te recomendamos ampliamente la consulta de los siguientes textos para apoyar el desarrollo de las actividades de aprendizaje: •Leithold.htm . Limusa.shtml • http://descartes.mec.mecd.edu/facultad/NTORO/expow. México. 1998 Sitios Web: Navega por los sitios que enlistamos. Si estudias su contenido.inter. •Fleming.es/materiales_didacticos/Funciones%20elementales_2/ exponencial.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1bach/ naturaleza/aplicacionesdelaexponencial/aplicaciones. ten por seguro que tu aprendizaje se enriquecerá: 103 • http://www. Walter.es/Descartes/Bach_HCS_1/Funcion_exponencial/Func-exp.lycos.cnice. Oup-Harla.juntadeandalucia. Smith.wikipedia.htm • http://w3.cnice.es/mislogaritmos/ • http://ciencia.edu. Louis. Matemáticas previas al Cálculo. Cálculo con aplicaciones. 2000 •Mett.monografias. Antes de comenzar a definir el concepto de una función exponencial.¿Cómo aprendo? 4. La función que representa este comportamiento es la siguiente: y = 2x 104 Mes (x) Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Toneladas (y) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Basura que se acumula en la ciudad de Susupuato 30 25 20 15 10 -5 Toneladas 2 4 6 Meses 8 10 12 14 . Michoacán. Como primer ejemplo proponemos una función lineal. el cual se recomienda que se divida en 12 meses para representar un año.1 FUNCIONES EXPONENCIALES. b) Considere el eje de las ordenadas como la cantidad de basura que se produce en toneladas. Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos o prácticos susceptibles de modelarse mediante funciones exponenciales o logarítmicas. se producen actualmente 2 toneladas de basura al mes y según reportes de estudios del grupo ecológico de la escuela que se encarga de cuidar del medio ambiente y crear una cultura ecológica. se observa que toda esta basura se acumula en un barranco sin recibir un tratamiento adecuado de reciclado ¿Cuánta basura se acumulará en tan solo un año? Tenemos que comenzar a graficar de la siguiente manera: a) Considera al eje de las abscisas como el eje que representa el tiempo de producción de basura. utilizando su interrelación como funciones inversas y sus propiedades. queremos que observes el comportamiento de algunas de las funciones al mismo tiempo que observas el comportamiento de una función exponencial. tanto gráficas como algebraicas. Supongamos que en la comunidad de Susupuato de Guerrero. Analiza los siguientes casos y elabora la gráfica correspondiente: A. lo cual indica que se da un aumento constante. entonces tenemos que: A(x)= x (240-2x). La gráfica resultante es una recta que muestra variación constante y similar conforme transcurre el tiempo. de 2 toneladas. lo cual nos permite obtener el valor de “y” cuando se hace variar a “x”. también. c) Si se despeja “y” del perímetro se obtiene y=240 . Si obtenemos la diferencia entre la cantidad de basura acumulada entre el mes de septiembre y el mes de agosto se obtiene una cantidad de 2 toneladas. o bien. A(x)=-2x2 +240x Esta última nos muestra la función del área con respecto al ancho del rectángulo x y=240-2x A=xy 220 2200 10 20 200 4000 5400 30 180 160 6400 40 7000 50 140 120 7200 60 70 100 7000 80 80 6400 60 5400 90 4000 100 40 110 20 2200 120 0 0 105 8000 7000 6000 Area 5000 4000 3000 2000 1000 20 40 60 80 Ancho 100 120 140 . la diferencia entre el mes de noviembre y octubre es. de la misma forma. definiendo así que la cantidad de basura acumulada durante un año es de 24 toneladas y su comportamiento es lineal. tal como se muestra en la figura.2x. 2x+y= 240 b) La función que me permite obtener el área es A=xy. cada mes se incrementan dos toneladas y la cantidad de basura que se acumula va en aumento. Se ha donado un terreno que colinda con el río para construir una escuela. d) Ahora se sustituye el valor de “y” del despeje en el área del rectángulo. Ahora consideremos el caso de una función cuadrática. ¿cuáles deberán ser las dimensiones x e y para que el área encerrada sea máxima? Considérese a “y” como la variable que indica el largo de la cerca y a “x” como el ancho de la misma. Una persona de la población donó 240 m de cerca y el director de la escuela quiere aprovecharla de tal forma que el terreno cercado sea el máximo posible. B. a) El perímetro de la cerca es “P” el cual se define por la ecuación P= 2x+y o bien.Como se puede ver en la tabla. el valor del área es de 7000-6400=600. la función y=2x es una función lineal que se representa mediante una línea recta. cada vez que se incrementa el ancho del rectángulo (x) el valor del área cambia pero no de manera constante. o bien. Grafica las siguientes funciones algebraicas en un solo plano con un intervalo de 0<x<4: a) y= x b) y= x2 c) y= x3 d) y= x4 e) y= x5 2. Completa la tabla.x 10 A(x)=-2x2+240x 2200 20 4000 30 5400 40 6400 50 7000 60 7200 70 7000 80 6400 90 5400 100 4000 110 2200 120 0 Si observas detenidamente la tabla de valores y la gráfica. ¿Qué observas de manera conjunta? (Apóyate en las tablas de valores de cada función y en su representación gráfica). el valor de área es de 4000-2200=1800 y entre el de 50 y 40 m. si obtienes la diferencia que existe entre el valor de 20 y 10 m. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ . Dicho de otra manera. Actividades: 1. mientras que la función y=-2x2+240x es una función cuadrática que se representa mediante una parábola con una variación que no es constante. x 0 1 2 3 4 y= x 0 y= x2 y= x3 y= x4 y= x5 0 0 0 0 1 1 1 27 64 81 256 243 1024 106 4 16 3. Por lo tanto. Ahora queremos resumir esta parte con tu ayuda. en las funciones lineales existe una variación constante mientras que en las cuadráticas la variación es diferente. Por ejemplo: (½)1 = 0.0625 (½)5 = 0.125 (½)4 = 0.03125 para: y= x y= x2 y= x3 y= x4 y= x5 Pero cuando los valores de la variable independiente (x) son mayores que la unidad (x>1). esto es: (2)1= 2 (2)2= 4 (2)3= 8 (2)4= 16 (2)5= 32 para: y= x y= x2 y= x3 y= x4 y= x5 Este comportamiento lo puedes observar en la gráfica siguiente: 107 y x5 x4 x3 x2 x 3 2 1 x -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 . cuando los valores de “x” varían entre cero y uno (0<x<1). a medida que el exponente aumenta. el valor de la función disminuye. entonces los valores de la función se van incrementando en una cierta proporción a medida que “x” aumenta. hasta aproximarse a cero.5 (½)2 = 0.Efectivamente.25 (½)3 = 0. 4000? Explica. 20. -2. 4. Pueden. Para realizar la siguiente actividad. asimismo. ¼. que 400. se llama función exponencial con base b. d) ¿Es posible encontrar algún valor de x para el cual 2x resulte negativa? ** 108 e) ¿Es posible encontrar algún valor de x para el cual 2x sea igual a 40? f) ¿Puede representarse gráficamente la expresión? Justifica tu respuesta. ¾.1. En esta actividad se pretende que comiences a construir una definición para las funciones exponenciales con las preguntas que se te citan a continuación: Dada la expresión y = 2x a) ¿Qué significa? b) ¿Siempre se puede calcular el valor de y? Proporciona ejemplos. h) ¿Conoces un fenómeno o situación que requiera de la expresión 2x? Definición: Una función f(x)=bx. 3. para b > 0. forma un equipo de trabajo y juntos grafiquen las siguientes funciones en el intervalo – 4 ≤ x ≤ 4 (usen un solo plano en el que se grafiquen todas las funciones. 4.1. ½.4. c) Calcula los valores correspondientes de y para x =2. y= 1x y= 2x y= 3x y= 4x y= 5x y= 6x . -1. 0. 5. 6. -3. ¿Podrías redactar una conclusión sobre el análisis que hemos estado haciendo y compartirla con tus compañeros y tu asesor? Inténtalo y estarás más cerca de obtener el concepto de una función exponencial. -1/3. Concepto de Función Exponencial. apoyarse en la tabla que se muestra en la siguiente página). g) ¿Es posible encontrar valores de x que hagan que 2x resulte mayor que 40. 7. Completa la tabla que se presenta a continuación con ayuda de tu calculadora, pide a tu asesor que te apoye. Compara tus respuestas con tus compañeros y concluye. X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y=2x 0.0625 0.25 0.5 1 2 8 81 32 729 128 256 512 16384 6561 262144 59049 1953125 9765625 10077696 60466176 78125 1024 0.03703704 0.11111111 y=3x y=4x 0.00390625 0.0625 1 4 64 625 7776 46656 y=5x 0.0016 0.00462963 0.04 0.16666667 1 6 36 y=6x 3 9 5 25 8. ¿Qué logras observar? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Obsreva que la función exponencial tiene algunas características importantes. 109 y y=6x y=5x 3 y=4x y=3x 2 y=2x 1 y=1x -2 -1 -1 1 2 3 x 4 -2 9. Califica como falsa (F) o verdadera (V) cada una de las proposiciones siguientes: a) Para todo valor -∞ ≤ x ≤ +∞ cuando b >1, la función ( f(x) crece o aumenta rápidamente cuando b también aumenta. b) Todas las funciones cuando b >1 intersectan al eje de las ( ordenadas en el punto f(0)= 1. c) El valor del exponente (x) puede tomar cualquier valor de los ( números reales. d) Los valores de la función f(x) no presentan ningún valor nega- ( tivo, esto es f(x) ≥ 0 para todo valor -∞ ≤ x ≤ +∞. ) ) ) ) El Dominio de una función exponencial de base b, cuando b > 1 es el conjunto de números reales y el contradominio o rango es el conjunto de números positivos. La función exponencial es una función de R en R+. 110 Algunos fenómenos naturales pueden ser representados mediante una función exponencial. Hay casos en los que se percibe un crecimiento exponencial como por ejemplo el aumento de la población. En otras situaciones se da un decrecimiento, como en los elementos radiactivos que se desintegran a un ritmo determinado. ¿Qué condiciones debe satisfacer la base b de una función exponencial para determinar si crece o decrece? Para responder a esta pregunta te proponemos algunas actividades: 10. Acude con un médico de tu localidad y solicítale información sobre cómo se desarrolla la división celular de un embrión. Entérate de la velocidad a la que se desarrolla el proceso y con este dato calcula la cantidad de células que se producen desde la concepción hasta el nacimiento. Esta es una oportunidad para que descubras una de las maravillas que existen en el ser humano. 11. Analicemos dos grupos de familias cuando una función crece y cuando otra decrece. Al graficar cada una de las funciones de cada inciso por grupo se observan los dos comportamientos mostrados en las gráficas de la página siguiente: a) y = 2x ; y = 3x y y = 4x en el intervalo -3≤ x ≤ 3 b) y = (0.2)x; y=(0.4)x ; y = (0.6)x y y= (0.9)x en el intervalo -3≤ x ≤ 3 a) Funciones exponenciales que presentan un crecimiento. y 4 3x 3 2 1 x 4 x 2x -4 -3 -2 -1 y -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 111 b) Funciones exponenciales que presentan un decaimiento, o bien, decrecen rápidamente. y 4 3 2 1 x -4 -3 x (0.6) -2 (0.4) -1 x (0.2)x -1 1 2 3 4 (0.9)x -2 -3 -4 Biblioteca de Consulta Microsoft® Encarta® 2003. Todos estos organismos se inician como una única célula que luego sufre una división o partición celular y se divide en dos células (proceso conocido como mitosis). que es una estructura con 3 capas embrionarias.2. CRECIMIENTO POBLACIONAL Los seres humanos y muchos otros animales presentan algunas características comunes en su desarrollo. entonces: T0=1 T1=1•2=2 T2=2•2=22=4 T3=22•2=23=8 y así sucesivamente Por lo cual se tiene que el total de células en la x-ésima división esta dada por la expresión: Tx=2x. Variación Exponencial. o bien.1. Reservados todos los derechos. si partimos de una sola célula. ¿Cuántas células se tendrían en un día? 1 hora No de división celular (x) 1a Tiempo (min) Cantidad de células 30 2 2a 60 4 3a 90 8 2 horas 4a 120 16 5a 150 32 3 horas 6a 180 64 … 24 horas … … … 48a 1440 2x Sea T el total de células en cada división. f(x)=2x . En un proceso denominado gastrulación ciertas células de la blástula emigran a zonas diferentes y se origina una gástrula. Posteriormente se forma una masa sólida de células llamada mórula. 112 Supongamos que en este proceso una célula se divide cada 30 minutos. © 1993-2002 Microsoft Corporation. Dentro de la mórula se origina una cavidad llena de fluido y la mórula se transforma en una blástula.4. se tendrían en la primera hora 22 = 4 células.De acuerdo con la tabla anterior y siendo x el número de división celular. en dos horas 24 = 16. Este es un caso de un comportamiento de crecimiento de población y como puedes observar. supóngase que se tienen inicialmente 50 células y que cada una de ellas se divide en tres diariamente a partir de hoy. en tres horas 26 = 64 y en un día 248 ≈ 2. es aquí donde se puede decir que estos fenómenos ¡crecen demasiado rápido! Definición de función exponencial En términos generales existe otra manera de expresar a las funciones exponenciales de base b y esta es: f(x) = C. ¿Cuántas células se tendrían al cuarto día (en la cuarta división celular)? Llamémosle Q a la cantidad inicial de células y T a la cantidad de células en cada división.8147•1014. T2 = T1•3 = (Q•3)•3= Q•32 T3 = T2•3 = (Q•32)•3= Q•33 T4 = T3•3 = (Q•33)•3= Q•34 Por lo tanto la regla es la siguiente: Tn=Q•3n f(x)= C•bx 113 Lo cual nos permite obtener la función exponencial de base b: f(x)= 50•3x . entonces: El día de hoy hay: Q = 50 = T0 En la primera división hay: 50•3= 150 = T1 En la segunda división hay: 150•3= 450 = T2 En la tercera división hay: 450•3=1350 = T3 En la cuarta división hay: 1350•3=4050 = T4 Q = 50 por lo tanto T0 = Q T1= Q •3 en la primera división. bx para C y b R+ . Ejemplo: Para el mismo caso de crecimiento poblacional. INTERÉS COMPUESTO Existen dos maneras de poder obtener ganancias de dinero cuando se deciden realizar algunos préstamos monetarios. el primero se representa mediante una función polinomial de primer grado y el segundo mediante una función exponencial. La figura muestra el crecimiento de la función f(x)=50•3x . también describe la relación y diferencia entre tasa y factor de crecimiento en el siguiente ejemplo de interés compuesto. el Monto solicitado por la empresa contratista es de $1000. quien es la gerente del Banco XYZ. ¿En cuánto tiempo esta cantidad se triplicará? . 114 12. Ejemplo: La Señorita Marie Audouit.y 200 150 100 50 x y 20000 15000 10000 5000 x -2 -5000 2 4 4 6 -4 -2 -50 -100 2 4 Gráfica que muestra el punto donde la función f(x)=50•3x corta al eje de las coordenadas. ¿Identificaste dónde corta la función exponencial anterioral al eje de las ordenadas? Justifica tu respuesta y trata de generalizar. ha decidido otorgar un préstamo a una empresa contratista de Monterrey tan solo para realizar obras de mantenimiento. Identifica y explica con tus compañeros y tu asesor el significado geométrico y algebraico de valor inicial.00 quien ha decidido pagar intereses compuestos al 12% anual. uno de ellos es a través del INTERÉS SIMPLE y el otro es el INTERÉS COMPUESTO. x f(x)=50(3x) 0 50 1 150 2 450 3 1350 4 4050 La cantidad de células que se reproducen en el cuarto día es de: f(4)= 50•34 = 4050. ¡lo lograrás! 13. o bien.00 de puros intereses.528=1404.12)3 = 1404.12)2 = 1254.4 I3=1254. Así. I= Intereses que se generan cada año. por lo tanto: Tx = T0(1+r)x.12)1 = 1120 f(2) =1000(1. en x≈10 Años . entonces: M0= $1000.12)0 = 1000 f(1) =1000(1.5194 f(9) =1000(1.00 el cual produce en el primer año un cantidad de (1000)(12/100)=$120.00). r = Tasa de interés anual.12)x. a Tx= Cantidad de dinero que se genera por los intereses de cada año. I1= T0(r)=1000(12/100)=120 T1=T0 + I1=1000+120= 1120 Dinero acumulado en el primer año.Observamos que el monto inicial es de $1000.528 T3=T2+I3=1254.12)9 = 2773. lo cual significa que los intereses anteriores generan intereses.4+150.00 porque de entrada no se pagarían intereses.4 3 Años T3=1404.00)(12/100)=$134.. para el segundo año se cobrarán intereses de la cantidad acumulada ($1000. T6 x ¿En cuánto tiempo se le triplicara la deuda a la empresa contratista f(x)=3000? 3000=1000(1.694 Esto es. I2=1120(12/100)=134. o sea ($1120.4(12/100)=150.928 Y así sucesivamente.928 f(4) =1000(1.4 f(3) =1000(1. entonces: f(0) =1000(1.4=1254.928 4 T4 5 T5 6.12)4 = 1573. por lo tanto: Llamemos a M0= Monto inicial. sino hasta que se llegue el primer año.0788 f(10)=1000(1.00+ $120.12)x x=9. f(x)= M0(1+r)x. Intereses que se cobran en el primer año.4 T2=T1+I2=1120+134. si usamos un poco de álgebra se tiene lo siguiente: 115 T1= T0+I1= T0+(T0)(r)=T0(1+r) T2=T1+I2=T1+T1(r)=T1(1+r)=T0(1+r)(1+r)=T0(1+r)2 T3=T2+I3=T2+T2(r)= T2(1+r)=T0(1+r)2(1+r)= T0(1+r)3. la cantidad de dinero que se acumula en x años es f(x)=1000(1.8482 T0=1000 0 1 T1=1120 2 T2=1254..40.00=$1120.00 T0=$1000.12)10 = 3105. La notación e aparece por primera vez en una carta que le escribió Euler a Goldbach en 1731. 2! 3! 4! n=0 n! x ∞ 116 También se define como el límite de la sucesión: x ex=lim (1+ )n n n→∞ Euler dio una aproximación de e con 18 decimales.71692393 10000 2.718281828459045235… Podemos calcular el valor de e con la siguiente expresión haciendo variar sus cifras decimales. completa la tabla de acuerdo con la expresión: (1+ 1 )x x 1 (1+ )x 2. El número e CARACTERIZACIÓN E IMPORTANCIA DEL NÚMERO e Al igual que √3 y p.71828047 . Euler hizo varios descubrimientos respecto a e en los años siguientes pero no fue sino hasta 1748 con la publicación de Introductio in Analysin Infinitorum cuando Euler dio un tratamiento completo a las ideas alrededor de e.71814593 100000 2. el valor de e es considerado como un numero irracional. esto es: n 2 4 3 x e =∑ =1+x+ x +x +x +..69158803 1000 2.4.. e = 2. Hubo varios personajes que se dedicaron al estudio de este número. Demostró que: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +...59374246 x x 10 50 2. = 1+ 1/1+1/2+1/6+1/24+1/120+… La función exponencial ex se define como una serie de potencias. pero se le atribuye el descubrimiento a Leonhard Euler quien sugirió su uso como base para logaritmo en uno de sus artículos publicados en 1728.3.71826824 1000000 2.1. 04)=4. n=1 T0=M0 I1 = T0(r/n) = 100(0.16 1 año .08. Ejemplo: Supóngase que se prestaron $100.16 T2=T1+I2 = 104+4. n=2 T0=M0 I1 = T0(r/n) = 100(0.04)=4 T1=T0+I1 = 100+4=104 I2 = T1(r/n) = 104(0. 1 b= e 1 e <b<1 y 4 3 2 1 0<b<1 1 e b<e b=e l<b<e x -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 Para poder identificar el lugar donde se localiza este valor. a) una vez . calcúlese los valores al final de 1 año.08/2)=104(0. b) semestralmente.16=108. el conjunto de los R+.Función exponencial natural Es la función f definida por f(x)= ex . El dominio de la función es el conjunto de los números reales (R). c) trimestralmente. A continuación se muestra la representación de la función exponencial natural.00 a una tasa del 8% de interés compuesto.08/2)=100(0. d) mensualmente y e) diariamente.08/1)=8 T1=T0+I1 = 100+8=108 T0 T1=108 117 b) M0=100.08. y su contradominio. r=0. r=0.16 T0 T1=104 1 año T2=108. obsérvese el siguiente ejemplo basado en un caso de interés compuesto. a) M0=100. 08 )n n n→365 . r=0.1208)(0. n=12 T0=M0 I1 = T0(r/n) = 100(0.1208)(0.122416 T4=T3+I4 = 106. n=4 T0=M0 I1 = T0(r/n) = 100(0.04 T3=106.1208+2.04 I3 = T2(r/n) = (104.2999507 T0 T1 T2 T3 T4 T5 T12=108.02)=2 T1=T0+I1 = 100+2=102 I2 = T1(r/n) = 102(0.08/12))12 T12 = 108.66)(0.08.08/4)=(104.08.08/4)=100(0.08/12)=100(0.122416=108.243216 1 año 118 d) M0=100. se tiene lo siguiente: e0.08=lim (1+ 0.08/12)=(100.c) M0=100.3277572 1 año Si comparamos la expresión: x ex=lim (1+ )n n n→∞ Con los datos anteriores.66=100.08/4)=106.04+2.04 T2=T1+I2 = 102+2.02)=2.02)=2.664356=101.08/365))365 T365 = 108.3277572 T0 T365=108.0066)=0.02)=2.0066)=0. r=0.66+0. r=0.664356 T2=T1+I2 = 100.2999507 1 año (e) M0=100.1208 I4 = T3(r/n) = (106.08.04=104.66 I2 = T1(r/n) = (100.243216 T0 T1=102 T2=104.0808 T3=T2+I3 = 104.324356 T12 = M0 (1+(r/n))n T12 = (100)(1+(0.66 T1=T0+I1 = 100+0.04)(0.66)(0.04)(0. n=365 T0=M0 Tn = M0 (1+(r/n))n T365 = (100)(1+(0.08/4)=102(0.1208 T4=108.0808=106. 3287068 La expresión empleada para calcular el interés compuesto continuamente es: T= Mo • er Donde: T= Monto a pagar en un año.htm . M0= Monto inicial.08) por lo tanto: T365 = 100(e0.Para calcular Tn = M0 (1+(r/n))n. En la siguiente dirección. r = Tasa de interés compuesto y e = rendimiento sobre una inversión de $1 durante un año a una tasa de interés de 100% compuesto continuamente. Determine: a) el monto que la persona deudora deberá pagar al cabo de un año considerando una tasa de interés a 5% compuesto continuamente y el monto exacto al finalizar un año.00 al 5% anual compuesto diariamente. La expresión empleada para calcular el interés compuesto continuamente diferente de un año es: T= M0 • ert Donde t= años de capitalización. considerando una tasa de interés anual del 5% compuesto 365 veces al año.juntadeandalucia.08) = 108. 119 Una persona otorga un préstamo por la cantidad de $600. 14. Resuelve el siguiente ejercicio y compara tu respuesta con tus compañeros. encontrarás ejemplos de problemas prácticos que utilizan el valor de la exponencial e para la resolución de los mismos: http://www. se puede hacer de la siguiente manera: Tn = M0(e0. 15.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1bach/ naturaleza/aplicacionesdelaexponencial/aplicaciones. susceptibles de modelarse con funciones logarítmicas. el resultado de 24 es 16.. Un poco de Historia En el siguiente texto se muestra una reseña histórica de lo que pudo ser cierto. utilizando su relación de función inversa de la función exponencial. quien se interesó fundamentalmente por el cálculo numérico y la trigonometría. sus propiedades gráficas y algebraicas y la simplificación de operaciones y expresiones con exponentes y logaritmos.. y hasta te han dicho que cuando existe un exponente entero pasa como la raíz. para la expresión 2x =13 ¿cuál seria el valor de x? Al elevar 23 se tiene que es igual a 8. ¿No te has enfrentado alguna vez a algún tipo de expresión matemática parecida a 2 x = 8 donde es necesario determinar el valor de x cuando ésta es un exponente? Por lo general. donde explica cómo se utilizan los logaritmos.? La invención de los logaritmos (palabra de origen griego: logos ( ) = tratado. dado que 23=2•2•2=8. podría ser que se cambiaron algunos nombres y/o fechas. pero no relata el proceso que le llevó a ellos. publicó su obra Logarithmorum canonis descriptio. pero ¿qué sucede cuando el valor de x se convierte en un número racional? Por ejemplo. En este caso fue sencillo obtener el valor de x.4.2. habrás resuelto ecuaciones de primero y segundo grado pero no cuando la variable es un exponente. se debe al matemático escocés John Napier. barón de Merchiston (1550-1617). FUNCIÓN LOGARÍTMICA Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos o prácticos. comúnmente te enfrentabas a despejes tales que cuando la variable está multiplicando pasa dividiendo o si está sumando pasa restando o viceversa. Podemos concluir entonces que el valor de x se encuentra entre x=3 y x=4. Si ahora tratas de despejar x de la expresión anterior. investígalo en las páginas web que se te indican al final de la misma. por otra parte. arithmos ( = números). ¿puedes obtener con ello su valor? Discútelo con el grupo. ¿Sabías que. En 1614 y tras veinte años de trabajo. llegaremos a la conclusión de que su valor es x=3 porque 23 es igual a 8. Si jugamos a adivinar el valor de x. A partir de este problema surgen los LOGARITMOS que nos ayudan a determinar el valor de x en este tipo de expresiones exponenciales. 120 . 2. . Por lo tanto. mediante la comparación de progresiones y la utilización de unas varillas cifradas.php 121 4. para estos tiempos no había ni calculadoras ni slide rules. y viceversa. Briggs publicó Logarithmorum Chiliaes prima.1. Este trabajo era tedioso y dado a cometer errores. Concepto de Función Logarítmica La función logarítmica de base b es la inversa de la Función Exponencial de base b.fisicanet. raíces y potencias con relativa facilidad. que no dudó en utilizarlos para la resolución de cálculos numéricos. en 1651. En 1618. Otra notación que se emplea con mayor frecuencia es: Loga N = x se lee «logaritmo en base a de N es igual a x». cocientes. para llegar a sus resultados sobre los logaritmos. Napier descubrió un mecanismo que permitía calcular productos. http://www. primer tratado sobre los logaritmos vulgares o de Briggs. había que hacer los cómputos a mano. Obviamente. Estos resultados fueron muy bien acogidos por el mundo científico del momento. él probablemente es el principal responsable del punto decimal que usamos hoy en día. Napier muere al cabo de dos años escasos y se queda Briggs con la tarea. llamadas varillas o regletas de Napier.Un año después. Briggs hizo el cálculo de las tablas de logaritmos de 1 a 200 000 y de 90 000 a 100 000. cuya base es el número 10. A Napier le agradó la idea y se comprometieron a elaborar las tablas de los logaritmos decimales. Esto es: y=logbx↔ by=x lo cual permite ir de la representación logarítmica a la representación exponencial. Algo que podemos decir es que dada la popularidad de las tablas de logaritmos de Napier. Las tablas de los logaritmos decimales de Briggs fueron completadas de 1 a 100 000 en 1628 por el matemático Vlacq. Frecuentemente los científicos en los tiempos de Napier necesitaban multiplicar o dividir números “grandes”. el matemático inglés Henry Briggs (1561-1631). loga N = x equivale a decir que ax = N NOTA: De y= logb x. visitó a Napier y le sugirió utilizar como base de los logaritmos el número 10.com. podemos obtener el valor de la variable “y” que anteriormente se encontraba como exponente. En 1620. el hijo de Napier publicó la obra de su padre Mirifici logarithmorum canonis constructio («Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos») donde ya se explica el proceso seguido por Napier.ar/matematica/funciones/ap05_funciones. Ejemplo 1. el 1/6 se convierte en 6-1. esto es: a) Si log6 (1/6)=y esto equivale a decir: por lo tanto: 6y = 1/6. es posible calcular los logaritmos tomando una base diferente a la que llamaremos b. Ahora es tu turno para efectuar las conversiones que se indican. debemos de transformarlos a la forma exponencial.01)= . 6y = 6-1 y así y= -1 . los siguientes incisos: 122 a) log9 (1/3)= (-1/2) b) log10 (0.2 Logaritmo de un número lo que equivale a decir: lo que equivale a decir: 9(-1/2) = 1/3 10. sin embargo.01 Las conversiones anteriores nos mostraron como obtener el logaritmo con base 10. Examinemos unos ejemplos: Ejemplo 3.2 = 0. te sugerimos comparar al final tus resultados con los de tus compañeros para asegurarte de que lo has hecho bien: c) 81-1/2 = 1/9 d) 70 = 1 e) a√π = z Ejemplo 2. Conviértase cada una de las expresiones exponenciales a la forma logarítmica a) 53 = 125 b) 16¼ = 2 lo que equivale a decir: lo que equivale a decir: log 5 125=3 log16 2= ¼ Actividades: 1. Convierte de la forma logarítmica a la exponencial. Determine el logaritmo para los siguientes casos: a) log6 (1/6) b) log3 81 c) log7 √7 Al resolver cada uno de los incisos. 123 . se tiene que y=logb (by). y g(x)=logbx. Ejemplo: Téngase presente lo siguiente: si 52 = 25. Observa que se han invertido las variables en y=2x y en x=2y. y= log2 x. que de otro modo sería. Lo cual nos indica que el exponente 2 es igual a Log5 25. 2y =x. Gráfica de la función logarítmica De lo anterior se deriva lo siguiente: Supóngase que f(x) es igual a bx . o bien y= bx. por lo tanto 3y = 34 y así y=4 Entonces: log3 81=4 2. b≠1 y x>0 Se observa que un logaritmo es un exponente. descomponiendo en factores el numero 81 tenemos 81=3•3•3•3=34. Te solicitamos que resuelvas el inciso (c) y compares tu resultado con el de tus compañeros. La función logarítmica como inversa de la función exponencial Son ecuaciones equivalentes by = x y y=logb x. o bien. Ahora vamos a graficar las funciones: a) f(x)=2x. logb x es el exponente al cual b debe ser elevado para obtener x. lo que nos permite ahora considerar a g(x) como la función. y=2x b) g(x)=log2 x. o bien.Entonces: log6 (1/6)=-1 b) Si log3 81=y esto equivale a decir 3y = 81. entonces: 5log25= 25. Asimismo. esto es. Si en la primera ecuación se sustituye “y” por logb x. se obtiene: b log x b=x Donde: b>0. entonces: f(g(x))=f(logbx)= blogbx =x y g(f(x))= g(bx) = logb bx = x Entonces g(x) es la función inversa de f(x). si x=by se sustituye en la expresión y= logb. 3x.25 0. ¿Qué puedes observar? Escribe tus conclusiones: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Dominio y rango de la función logarítmica 5. y=loge x f) y=(1/2)x. Traza las gráficas correspondientes a los siguientes pares de funciones en una hoja por par y obtén el dominio y rango de las funciones logarítmicas: a) y=1.3 x d)y=(1/4)x. y=log4 x e) y=(1/e)x.0625 0. grafica en tu cuaderno los datos y en las gráficas que se te muestran a continuación.5 1 4 8 16 18 16 14 12 10 8 6 4 2 g(x)=log2 x (2y = x) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 124 0 -5 5 4 3 2 1 0 0 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 10 12 14 16 18 4. y=log(1/2) x .3. y=log(1/4) x b) y=4x. y=log(1/e) x c) y=ex.5 1 4 8 x 0. y=log1. Si se grafican ambas en una sola.0625 0. indica dentro de los rectángulos a quién pertenece si a f(x) o a g(x). x -4 -3 -1 0 2 4 f(x)=2x 0.25 0. Completa las siguientes tablas. con tu calculadora científica se utiliza el siguiente procedimiento Log 1 = . loge x y Ln x denotan el logaritmo natural de x. El Dominio del logaritmo y=logb x es: _____________________________________.6. Si 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10000 105 = 100000 entonces entonces entonces entonces entonces entonces log10 1=0 log10 10=1 log10 100=2 log10 1000=3 log10 10000=4 log10 100000=5 ¿Cómo se obtienen los logaritmos decimales con tu calculadora? Log10 1 podemos escribir log 1.2.5x 125 -2 Representación gráfica de los logaritmos comunes y naturales. El logaritmo natural se denota por Ln (leído “ele-ene”). y 4 3 2 y=Logex=In x 1 y=Log5x x -1 -1 1 2 3 4 y=Log1.7182 son llamados logaritmos Naturales o logaritmos Neperianos.2. pero los más utilizados son los de base 10 también conocidos como logaritmos decimales. ¿Es verdad que el Rango de la función logarítmica de base b son todos los valores desde -∞> g(x) >+∞?. Los logaritmos con base e ≈ 2. justifica tu respuesta: _______________________________ 4. Comencemos por obtener el valor de los logaritmos de base 10. Logaritmos Comunes y Naturales Los logaritmos Comunes o logaritmos de Briggs están definidos para cualquier base positiva distinta de 1. Log1010 se escribe log 10 en tu calculadora científica así: Log 10 = Log10100 se escribe en la calculadora científica de la siguiente forma: Log Log 100 = = Para obtener Log10 4 podemos escribir log 4 en tu calculadora científica así: 4 y se obtiene 0.60205… 7. De la misma manera que se te mostró, determina los siguientes logaritmos y compára tus resultado con los de tus compañeros: a) Log10 50 = Log 50 = b) Log10 98.56 = Log 98.56 = c) Log10 40 = Log 40= d) Log10 0.15 = Log 0.15= e) Log10 (1/3) = Log (1/3)= *f) Log10 (-5) = Log (-5)= 8. *¿Esta última se podrá obtener? Si no es así, da una explicación y trata de concluir. Cambio de base Se usa para obtener los logaritmos comunes de base b positiva, basándonos en la base 10, observa el siguiente ejemplo: ¿Cómo se obtienen los logaritmos comunes con tu calculadora? Log25, se calcula de la siguiente manera: Log2 5= 0.6989 Log10 5 Log 5 = = =2.3219 0.3010 Log10 2 Log 2 126 Con la calculadora deberás seguir este procedimiento: Log 5 Log 2 = 9. De la misma manera que se te mostró, determina los siguientes logaritmos y compáralos con tus compañeros: a) Log3 50 = b) Log2.5 98.56 = c) Log6 40 = d) Log100 0.15 = e) Log-3 (1/3)= f) Log3 (-0.5)= Ejemplo de un problema en el que se emplean los logaritmos: En un cierto cultivo de bacterias se tienen inicialmente 2000 de ellas; después de t minutos se tendrán f(t) bacterias, donde f(t)=2000 e0.035t que es la función de comportamiento de reproducción. ¿En qué momento se tendrán 10,000 bacterias? A los t minutos se tendrán 10,000 bacterias, esto es: 10,000=2000 e0.035t despejando 10000/2000=e0.035t 5=e0.035t a lo que equivale decir: loge 5=0.035t, o bien, 0.035t =loge 5 Basándonos en los logaritmos de base 10 se tiene: 0.035t=(log 5 / log e) 0.035t=(0.6989/log2.7182) 0.035t=(0.6989/0.4342) 0.035t=1.6096 Despejando t: t=(1.6096/0.035) t=45.9893 t≈ 46 minutos Con esto regresamos a lo que se había comentado al principio de este tema en la expresión 2x = 8 ¿Cómo se obtiene el valor de x cuando no es fácil jugar al tanteo? Esto se realiza como el problema anterior; veamos nuevamente cómo se determinaría. 127 Si 2x = 8 esto equivale a decir: Log2 8=x, o bien, x= Log2 8 Por lo tanto: x = log8/log2 x = 0.9030/.3010 = 3 10. Ahora determina los valores de las variables para cada caso y compara tus respuestas con tus compañeros para cerciorarte de que lo has hecho bien: a) 7x = 2 b) 2x =7 c) ex-5 = 8 d) 42x+3 = 16 e) Un cultivo de bacterias tiene 105 organismos y duplica su población cada 4 horas. ¿Cuándo contendrá 1012 bacterias? 4.3. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Objetivo temático: Resolverás ecuaciones simples que contengan expresiones logarítmicas y exponenciales, aplicando las propiedades de exponentes y logaritmos y su relación como operaciones inversas. 128 En el modelado de diversos fenómenos se presentan con frecuencia ecuaciones exponenciales o logarítmicas, que se denominan así porque, en efecto, dentro de su estructura tienen algún o algunos términos que son funciones exponenciales o logarítmicas. Por ejemplo, la expresión: 32-x2 = 3 Es a todas luces, una ecuación exponencial, mientras que la expresión: log(x+6) = 1 + log(x-3) Es una ecuación logarítmica. En este apartado veremos los métodos básicos para darles solución. Métodos básicos de resolución algebraica para ecuaciones exponenciales y logarítmicas Iniciaremos por la explicación de los métodos que se aplican para la resolución de las ecuaciones logarítmicas partiendo de las propiedades de los logaritmos. Estudia atentamente la resolución de los ejemplos que se muestran. Escribe la siguiente expresión en términos de logaritmos: xy3 2z4 4. algunos ejemplos de resolución de ecuaciones exponenciales: 3 129 Ejemplo 1 Sea 3x = 7 Para poder obtener el valor de x. Escribe cada una de las expresiones en términos de logaritmos: a) log x2y3z4 = Solución: log x2y3z4 = log x2+ log y3+ log z4 = 2log x+ 3log y + 4log z b) log (x/(yz3)) = log x – log(yz3) Pero: log (yz3) = (log y + log z3) = (log y + 3logz) Uniendo todo y cambiando los signos según corresponde: log (x/(yz3)) = log x – log y – 3logz. tomaremos de ambos lados el logaritmo: log 3x = log 7 . Ubica en los medios que tengas a tu alcance las propiedades de los logaritmos y anótalas en el siguiente espacio: 2.Actividades: 1. Revisemos. Ahora es tu turno. 3. ahora. 7712 Ejemplo 2 Sea 52x-1 = 7x+2 Se obtienen logaritmos de ambos lados: log 52x-1 = log 7x+2 (2x-1) log 5 = (x+2) log 7 Se desarrolla la multiplicación en ambos lados: 2x log 5 – log 5 = x log 7 + 2 log 7 130 Se agrupan términos semejantes y se concluye con la solución: 2x log 5 – x log 7 = 2 log 7 + log 5 x (2Log 5 – Log 7) = 2Log 7 + Log 5 x = (2Log 7 + Log 5)/ (2Log 5 – Log 7) x= 4. Esperamos que hayas aprendido mucho y que te sea de gran utilidad para tu vida académica y personal. ¡Adelante y mucho éxito! .3 b) 4x = 32x-1 Hemos terminado la última Unidad de nuestro curso de Matemáticas IV.3216 5. Ahora resuelve los siguientes incisos y compáralos con tus compañeros para cerciorarte que están correctos: a) 2x-1 = 0.xLog 3= Log 7 Despejando se tiene: x= Log 7/ Log 3 x= 1. c) La función se vuelve. b) Siempre crecen las polinomiales. ya que b° = 1 8. en cualquier base. b) Es mayor que la unidad. la función toma el valor a: f(1) = b¹ = b 3.¿Qué he aprendido? I. es 0: logb 1 = 0. b>1. ¿Qué ocurre al acercarse los valores de x al infinito en una función exponencial que decrece? a) Deja de existir la función. II. ¿Qué ocurre al acercarse los valores de x al infinito en una función exponencial que crece? a) Deja de existir la función. c) Es igual a la unidad. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb b = 1. c) La función se vuelve. c) Es igual a la unidad. b) Desaparece la función. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: logb bm = m. ya que bm = bm 10. la función es decreciente. 4. 2. El logaritmo de 1. La función exponencial es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0. 5. Elige la respuesta correcta. 5. d) Es negativa. 1. c) Las exponenciales. ¿La diferencia que existe entre las funciones polinomiales y las exponenciales es? a) No hay diferencias. Si la base de la potencia es mayor que 1. d) El valor de la función se aproxima a cero. ya que b¹ = 1 9. Para x = 0. d) Es negativa. 6. Las funciones exponenciales sólo decrecen cuando su base: a) Adopta un valor mayor que cero y menor que la unidad. también. la función exponencial es creciente. b) Es mayor que la unidad. b<1. Para x = 1. Si la base de la potencia es menor que 1. d) El valor de la función se aproxima a cero. 3. crecen o decrecen de modo rápido. Estudia cada aseveración y califícala como falsa (F) o verdadera (V) según corresponda: 1. 4. la función toma el valor 1: f(0) = b° = 1 2. Si logb N = x equivale a decir que N = x b 131 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 7. b) Desaparece la función. también. d) Las exponenciales son parábolas y las polinomiales son líneas rectas. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero . por lo general. infinita. infinita. Las funciones exponenciales sólo crecen cuando su base: a) Es cero. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es b<1. El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. cuando b>1 es el conjunto de todos los números reales. 19. 26.. Algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo.logb Y ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) 17.11.. 20. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1. logb X/Y = logb X . 27. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia. Los logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs. es negativo si la base b del logaritmo es b>1. El Dominio de una función exponencial de base b. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es b>1. se cumple la ley exponencial y se dice que el elemento decrece o decae. El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos. Es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión 1 1 1+n . 0<N<1. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1. 14.. Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales. es decir. lim 1+ n =e n→∞ n n ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) 132 ( ) ) ) ) 22. 0<N<1. estrictamente. estrictamente. El rango de una función exponencial es el conjunto de todos los números positivos. 24. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1. 13. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es b<1. 15. estrictamente. 23. Una Función Exponencial se aplica a la química y física. 25. Xn) = logb X1 + logb X2 + . 12. ( ( ( ( ( ) ) ) . 0<N<1. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es b>1. esto es: logb(X1•X2 . es positivo si la base b del logaritmo es b<1. ( es positivo si la base b del logaritmo es b<1.. son llamados logaritmos comunes. Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales 21. + logb Xn 16. Logb Xn = nlogb X 18. 4x = 166.425 log m + 0. 103x – 2 = 37 35.046 m2 y su peso es de 90 kg. m el peso en kilogramos y h la altura en centímetros. log x + log 5 = 2 32.56 m2. Suponiendo que el experimento comienza un lunes. donde A representa el área en metros cuadrados.58 34.III. b) La altura de una persona si se sabe que el área de su superficie es de 2. log2x = 4 29.725 log h. c) El peso de una persona con altura de 152 cm y cuya área de superficie es de 1.0247)t Donde N es el número de moscas y t es el tiempo en días. ¿cuántas moscas habrá el domingo siguiente? 133 . log2(5x – 3) = 5 31. d) El área de superficie de una persona que mide 165 cm y pesa 73 kg 37. Resuelve lo que proponemos a continuación: 28.144 + 0. Un biólogo realiza un estudio sobre las moscas y después de estudiar su crecimiento obtuvo la siguiente expresión: N = 400(1. Calcula: a) El área de la superficie de una persona que pesa 80 kg y mide 170 cm. 53x = 148 36. log3x + log3(2x + 3) = 2 33. log4x = 6 30. Supongamos que para calcular la superficie de un cuerpo se utiliza la siguiente expresión: log A = -2. ” “¿Aceptas?” Para poder saber si aceptas o no. otro que tal vez no conozcas pero que hace algunos años causó encendidas polémicas es la llamada “catástrofe maltusiana” que se refiere al crecimiento desordenado de la población humana y a las terribles consecuencias que esto acarrearía. pero muy interesante– que lleva por nombre Cuando el destino nos alcance. 134 Existen muchos ejemplos de crecimiento exponencial que son de gran interés. ahora que has terminado el curso de Matemáticas IV y eres ducho en el manejo de las funciones exponenciales. Consulta la respuesta al final del Cuadernillo y a ver qué opinas. un empresario está interesado en ofrecerte trabajo y te dice lo siguiente: “Comenzarás el primer día de enero y deberás trabajar fuertemente a lo largo del día. Te invitamos a que lo hagas y si te cuesta mucho trabajo pide la ayuda de tu asesor. Te invitamos a profundizar en estos temas. El primer día te pagaré tan sólo un centavo. teniendo en mente que las funciones que has estudiado no se quedan sólo en la teoría sino que tienen aplicación cotidiana y son una herramienta poderosa para el análisis de diversos fenómenos. Un caso bien conocido. debes plantear la ecuación que represente el ofrecimiento que te hacen y posteriormente darle solución. Precisamente basándose en estas ideas se escribió el argumento de una película –ya antigua.EL CRECIMIENTO EXPONENCIAL Imagina por un momento que. pero ofrezco duplicarte el sueldo cada día durante el mes de enero. dentro del campo de la Biología. se encuentra en los cultivos bacterianos. . c). {(1. f(x)=4x-2 Reales f(x)= x4 (x + x . FUNCIÓN 4. RELACIÓN 2. Define función y cita tres ejemplos. 1. Explica que es el dominio y el rango de una función. d)} 4.5x 4 {x|x ≤ 8/5} . (5/2. 1. represéntalo en una recta y por medio de notación de intervalos y traza la gráfica correspondiente. Elabora un diagrama sagital para cada uno de los siguientes conjuntos de pares ordenados y auxíliate de el para determinar cuales representan una función. IV. Realiza lo que se te pide 1. 2).4 {x|x ≠ 2 y -2} I. 2). 2)} 2. (2/5. 2).RESPUESTAS 1 f(x)= 1 x2 . (4. {(5/2. 1). b). ¿Qué es una variable dependiente o función? 6. 3. FUNCIÓN III.6 2 {x|-3 < x < 2} 135 g(x)= x + 3 {x|x ≥-3} h(x)= 8 . 2). ¿Qué es una variable independiente o argumento? 5. 4). (c. {(a. FUNCIÓN 3. ¿A que se le denomina intervalo de una variable? 7. 2. Define relación y cita tres ejemplos. Explica el significado del símbolo “f(x)”. 3). FUNCIÓN 5. (2. Determina el dominio de las siguientes funciones. (3. {(1. 4. 2)} 3. (3. 1)} 1. (b. II. (2. .3)x2 No tiene inversa 1 x+h h x2+xh V. racionales.2 2b b-2 2.7x2 .Que f(x+h) .f(b)=f ( 2b ) b-2 2. Grafica las siguientes funciones.b = 2b h x2+xh f(x)=x3+3x2+3x f(x)=3 x No tiene inversa. f(z+2) f(1) = 30 f(0) = 42 3f(-1) = 120 f(z+2) =z3+7z2+10z+42 VII.2 )= 2b = b . polinomial I(z)= (2z+3)2 g( )=sen ( 2+2 +3) h(x)=(x+1)(x .Para la función f(x)= 1 demostrar: x 1.1) -1 trascendente racional irracional trascendente f(x)=3x2 .x = x2+xh = x2+xh VIII.1 2b f( b .6x + 42 encontrar f(1).2x+x1/2 y= logx3 136 VI.Que f(2) . f(0). f(x+h) .x+h h x+h . irracionales o trascendentes.f(x)= 1 1. Clasifica las siguientes funciones como polinomiales. en caso de tenerla grafícala también. f(x)=(x . 3f(-1). Para la función f(x) = x3 . f(x)= x 1 f(2)= 1 f(b)= b 2 1 1 b-2 2 . determina si tienen o no inversa y.f(x)= f(x+h) = 1 f(x) = x 1 1 x . IX. Para la siguiente función compuesta traza la gráfica correspondiente f(x) = -2 -x2+2 x2 -x2+2 -2 si si si si si x < -2 -2 ≤ x <-1 -1 ≤ x ≤ 1 1<x≤2 x>2 137 . Te sugerimos que los problemas de aplicación trates de resolverlos tu sólo. luego comparen sus razonamientos en equipo y posteriormente los compartan con sus compañeros de clases. 138 . para que uses tu razonamiento libremente y no enfocándote al resultado. Recuerda que puedes pedirle apoyo a tu asesor.RESPUESTAS 2 En esta ocasión los ejercicios no traen respuesta sugerida. Dr=IR . 1. Si n =m con asíntota horizontal y =1 x-1 x2+x r(x)=1+ x2+ 1 = 2 x+1 y 3 2 1 x -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 x4+1 1 x+1 x3 . 1. m=3 asíntota horizontal y = 1 y q(x) no tiene ceros.1} 2. n=2. Dr=IR 12. 2. Asíntotas verticales x2-1 = 0.RESPUESTAS 3 Asíntota vertical los ceros de q(x).1) Asíntota vertical los ceros de x(x3-1). p(x). 3. Función racional x que se le ha suprimido x = -1 sin ningún tipo de asíntota. con x-1 como asíntota oblicua y fracción propia.1) x(x . Dr=IR-{-1. m=2. 3. situación que contradice la ley de tricotomia. Dr=IR 7. 4 x4+1 x+1 =x. Dr=IR. a saber x=0. Dr=IR. x = 1. x+1 x(x3 . 1. . asíntota horizontal y= 1=1 5.1} 3. Dr=IR-{x IR x+1=0}=IR-{-1} II.1+1 =x + 3 =x+ 3 3 3 x -1 x -1 x -1 x -1 La asíntota oblicua es x pues se cumple que: n = m+1 y fracción propia. 8. pues x2+2 > 0 4. ya que los ceros de x(x3-1) son x = 0. 1 III. Además q(x) siempre es positiva 4. Dr=IR. ya que x3+1=(x2-x+1)(x+1) y x2-x+1>0 10. 7.3 3 3 x(x . n=1. -1 Asíntotas horizontales n<m. q(x) tienen como factor común x+1. x+1 x3 . ya que los ceros de x2-1 son x = -1. Además el factor común x+1 produce un hueco en x=-1 en el trazo de la gráfica. Si la gráfica tiene dos asíntotas horizontales. 6.x+x+1 =x-1.se tienen las condiciones n<m y n=m.x .1) I. y = 0 Asíntotas oblicuas no existen puesto que no se cumple: n = m+1 2. 1 8. pero localmente si puede existir la intersección como muestra el siguiente ejemplo: 139 1 1 La asíntota vertical es x=1 pues es el cero de q(x). Dr=IR-{-1. m=3 y la asíntota horizontal es y= =1.1) x(x . ya que x3 -1=(x2+x+1)(x-1)y x2+x+1> 0 9. ya que (x2+2)( x2+1) > 0 6. entonces 1 n=2. n<m con asíntota horizontal y=0. 1 11. a saber x=1 ya que x2+x+1 es positiva. Dr=IR. es por esto que la gráfica no puede cortar a las asíntotas verticales. ya que x2+1 > 0 5. Dr=IR. Los ceros de r(x) producen las asíntotas verticales y son precisamente los valores que se excluyen en la obtención del dominio de la función. A medida que x crezca a través de valores positivos o negativos la asíntota y la gráfica no se intersectan. Dr=IR.1 . 1 r(x)=x+ 4 x+1 x2 . n<m x+1 con asíntota y=0 Punto común (0.1).1 r(x)= x 4+ 1 y 3 2 1 x -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 x-0 x Si r(x)=0+ x2+ 1 = 2 . o en forma equix+1 valente: x5 +x2+x . Considérese a la función racional dada por: -1 r(x)=x+ 2 x+1 -1 Con fracción propia: 2 x+1 Donde s(x) no tiene ceros.1) A continuación damos un ejemplo en el que las gráficas no se cortan. y 3 2 1 x -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 y 3 2 1 x -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 En estos tres ejemplos: r(x)= r(x)= r(x)= x3+2x2 .0) y 3 2 1 x -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 4. Si se requiere que se intersecten las gráficas.1 x 4+ 1 x3 x +1 2 . Considérese el ejemplo dado por: x-1 1-1 r(x)=x+ x2+ 1 y r(x)=1+ 2 1 +1 y el punto en común(1.a).-1).(-1. La asíntota oblicua ax+b esta dada por la relación 140 s(x) r(x)=ax+b+ s(x) donde= es una fracción q(x) q(x) propia.Podemos generalizar para que las gráficas se corten en (a. basta con evaluar r(x) en los ceros de s(x).a r(x)=a+ 2 x+1 con asíntota horizontal y= a =a 1 En el siguiente ejemplo se muestra la intersección de las gráficas en los puntos(1. La función racional es dada por: x2 . definiendo r(x) como: x.1 x 2+ 1 x5+x2 +x.1 con la fracción propia 4 . Si se tuvieran ambas asíntotas se cumplirían las condiciones n=m+1 y n =m. por lo que en la gráfica hay un hueco en x = -1.Se aprecia que la asíntota es la misma función polinomial x y que las gráficas pueden intersectarse en un punto. nunca se hace cero para cualquier valor de x. entonces la función racional no tiene asíntotas verticales. la intersección entre las asíntotas siempre es posible ya que los ceros de q(x) pertenecen al dominio del polinomio de primer grado (la asíntota oblicua). 8. La condición que se le debe pedir a los polinomios que conforman a la función racional para que no tenga ni asíntotas oblicuas ni horizontales está dada por n>m+1. Debido a que las asíntotas oblicuas no se obtienen mediante los ceros de q(x). En la primera función después de cancelar el factor x2+1. Si se pide que se cumpla n > m+1 entonces n-m>1 pero 1>0. ambas asíntotas se pueden tener sin que una condicione a la otra.entonces r(x) tiene al me- . Si se considera a q(x) como los polinomios cuadráticos de la forma ax2+bc+c tales que b2 . No existe condición alguna sobre el grado de los polinomios que conforman a la función racional y los ceros de q(x). Ejemplos de q(x) son los polinomios cuadráticos ax2+bx+c tales que b2-4ac<0 . La simplificación produce un polinomio de segundo grado x2+x que no tiene asíntotas y cuya gráfica se le ha suprimido el punto de coordenadas (-1. 7. 6. es decir. Entonces m+1<m y 1<0 contradicción. para que no tenga asíntotas verticales. Si se tuviera el caso n=m+1y n < m. 11. el cociente es el polinomio x3+x. las asíntotas son las rectas y = x. 9. Si además se pide que q(x) no tenga ceros. x = -1 con fracción propia: x-1 1-1 r(1)= 3 3 x+1 y x+1 Por lo que el punto en común es (1.así n-m>0 y n>m por lo tanto no hay asíntota oblicua ni horizontal. En la segunda función. Además. 10. Si se pide que el polinomio q(x) no tenga ceros. Tampoco tiene asíntotas pues al simplificarse mediante la cancelación del factor común. Por tanto n= m+1 y 0=1 contradicción. en dos o no cortarse. Ya que ninguna de las asíntotas son rectas paralelas. Debido a que la asíntota oblicua es un polinomio y su dominio es todo IR. con asíntotas horizontales y sin asíntotas verticales. tampoco tiene asíntota vertical. o en su defecto.4ac>0. éstas se deben de intersectar.1 x 3+ 1 =x+ x-1 x+1 3 nos dos asíntotas verticales. 12. Se puede tener una función racional con asíntotas verticales y sin asíntotas horizontales. éste siempre es positivo. 14. 0) 5.1) y 3 2 1 x -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 141 13. por lo que la gráfica no tiene huecos. Las asíntotas verticales se obtienen de los ceros de q(x). el factor común es x+1. q(x) no debe tener ceros. En el ejemplo: r(x)= x4+2x . 10x . IV.05552 0.8 .n se obtienen después de cancelar los factores comunes en p(x) y q(x).07133 0.t=0 4+t2 b 1 Si t= entonces t= 2a 2p t 1 Por lo que p= = 4+t2 2t Así. x= 5c =50+2x Donde s (x) es distinto de cero. La respuesta es no.0996 0.0.04997 1 y 22 20 18 16 14 12 2 T 3 4 5 6 7 8 2.2x2 . c = c = x 0.15.06244 0.2x+9. Ya que la asíntota oblicua ax+b debe cumplir con la relación: r(x)=ax+b+ s (x) q (x) 3.2x2+10x2 +5 50+2x = x 5 x2 =25→x=5 P 142 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y1(x) 0 0.25 10 8 6 4 2 x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 0.5=0. que la concentración aumenta si 0<t<1 y disminuye si 1<t<4 y 3 2 1 x -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 0.08314 0.23529 0.16364 0.2x2+10x2 +5 x -10+c b =.33333 0. Para obtener el valor de t se utiliza la relación b t= 2a p= t →4p+pt2 .12403 0. Recuerda que los valores de m. 1.2 2a cx . Obsérvese según la gráfica y en la tabla de valores.0. 4+t2=2t2 y t=2 2 p(2)= 4+22 =0. c) 2.035 36.69 34. al final del mes de enero. x = 3. v 143 Sección Quiero saber más: Si aceptas. v 15. v 24. v 26. 1. !!!más de 21 millones de pesos!!! . Resuelve las siguientes ecuaciones: 28. habrás ganado. a) 4 III.8 m2 37. x = 20 32. v 8. v 18.1894 35. x = 7 31. A = 1. v 11.RESPUESTAS I. 1. v 12. v 6. v 16. v 20. f 7. x = 3/2 33. v 3. c) 4. v 25. f 9. v 14. x = 1. v 21. Las aseveraciones falsas (F) o verdaderas (V). v 23. v 13. x = 4096 30. v 2. x = 16 29. v 17. v 27.91 m2 h = 174 cm m = 60 kg A = 1. v 5. f 22. b) 5. v 10. x = 1. 463 moscas II. d) 3. v 19. v 4. MATEMÁTICAS IV Cuadernillo de Procedimientos para el Aprendizaje Derechos Reservados Número de registro en trámite 2007 Secretaría de Educación Pública/Dirección General del Bachillerato .