Libro de Teoria de Precalculo 3 de Agosto 2013

aq1 P r ó l o g o Precálculo es la continuación del manual de Matemática Básica. Está diseñado con el propósito de servir de base a aquellos futuros estudiantes de cálculo diferencial e integral. Dentro de los objetivos que se persiguen está desarrollar el pensamiento del estudiante para inclinarlo hacia el estudio y desarrollo de las matemáticas, y hacia la investigación y desarrollo científico. También aplicar los conocimientos adquiridos para resolver problemas específicos en las carreras de: Multimedia, software, tecnología de la información, manufactura, mecatrónica, ingeniería eléctrica, Ingeniería mecánica, Ingeniería civil, Ingeniería industrial, informática, Electrónica, estadística, etc. Entre los contenidos a desarrollar se encuentran funciones y ecuaciones trascendentes, vectores, matrices, sistema de ecuaciones lineales y no lineales, trigonometría y algunos temas optativos entre los cuales se encuentran Los números complejos, Las coordenadas polares, Solidos de revolución, Razonamiento matemático, Teoría y Operaciones conjuntista. Wilton Oltmanns 2 INDICE Página Módulo 6. Funciones y ecuaciones exponenciales………...……………….4-19 Módulo 7. Vectores……….. ………………………………….………....….20-28 Módulo 8. Matrices…………………………………………………...……...29-51 Módulo 9. Sistema de ecuaciones lineales y no lineales………………...…52-72 Módulo 10. Trigonometría………………………………………….…….…73-101 Módulo 11. Números complejos………………………………………...…102-121 Módulo 12.Coordenadas polares………..……………………………..…..122-131 Módulo 13. Solido de revolución………………………………………….132-136 Módulo 14. Razonamiento lógico matemático…………….........................137-148 Bibliografía…………………………………………………………….…….149 Módulo 15.teoria y operaciones de conjuntos……………………..………150-161 Bibliografía…………………………………………...……………………162-167 No es maestro el que transmite información, sino, el que es capaz de captar La atención de sus pupilos haciéndole comprender aquello que quiere enseñar. 3 Anónimo. Estudios Matemáticos Argentera. “Un matemático es un quijote moderno que lucha en el mundo real con armas imaginarias”. P. Corcho Leonhard Euler Nació en suiza 1707. Sus trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras. Realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica, abordó las superficies tridimensionales, trabajó el cálculo de variaciones, la teoría de números y el análisis infinito. Hizo aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Su productividad matemática fue extraordinaria. Nos encontramos su nombre en todas las ramas de las matemáticas. Hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales Eulerianas y líneas de Euler. Murió el 7 de septiembre de 1783. El problema de los 7 puentes de Königsberg En el siglo XVIII había en la ciudad de Königsberg (situada en la antigua Prusia, hoy Kaliningrado, perteneciente a Rusia) siete puentes que conectaban cada una de las orillas del río Pregel con dos islas interiores. Los ciudadanos estaban muy orgullosos de sus puentes y bromeaban sobre la posibilidad de recorrerlos todos pasando una sola vez por cada uno de ellos. El matemático Euler trato de darle solución, pero fue casi imposible pues por la geometría euclidiana no era posible por lo que este famoso problema dio origen a la geometría de grafos mediante la cual el famoso matemático le busco una posible solución Módulo 6: Funciones y Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas. 4 Importancia y uso de La Funciones exponenciales y Logarítmicas Las funciones logarítmicas y exponenciales son inversas, su aplicación real se puede ver a través de modelos de crecimiento y decrecimiento en diferentes áreas como la Biología, sociología, economía, ingeniería, estadística, probabilidades, trigonometría, física, química, cálculos complejos. Un ejemplo claro se encuentra en física acústica como es el caso de los decibeles los cuales son una unidad de medida de audio. En ingeniería para calcular el tiempo que tarda una masa en llegar a cierta temperatura o en biología para ver el crecimiento o decrecimiento de una especie específica. En ingeniería electrónica sirve para modelar el comportamiento de un capacitor o para predecir la corriente que va a consumir un circuito. El dB (debelio) relaciona la potencia de entrada y la potencia de salida en un circuito, 10 * Ps db Log PE N = Las computadoras también usan mucho los logaritmos. La función fundamental en teoría de la información es logarítmica. Los tipos de algoritmos y los rendimientos de diversas estructuras de datos pueden ser logarítmicos respecto al set de entrada. La escala sismológica de Richter, también conocida como escala de magnitud local (M L ), es una escala logarítmica arbitraria que asigna un número para cuantificar el efecto de un terremoto, denominada así en honor del sismólogo estadounidense Charles Richter (1900- 1985). ( ) ( ) ( ) M log10A mm 3log10 8 t s 2.92 = + A ÷ Definición de la función exponencial Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = b x , donde la base b, es una constante y el exponente es la variable independiente. Matemáticamente la definimos como 0, 1 b b ¬ = la ecuación x y b = y dominio (x) todos los números reales (R). 5 Propiedades de las funciones exponenciales de base a. 1. El dominio (x) de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales. 2. Su Rango (y) está representado por el conjunto de los números reales positivos. 3. La función es creciente cuando b 1, es decir que para Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=b x , con b 1, los valores de la función crecen cuando x aumenta y será decreciente cuando     1 o b < < . 4. La curva es cóncava hacia arriba cuando b 1 y también cuando     1 o b < < 5. La grafica tocara el punto (0,1). 1. Graficar y=f(x)=2 x La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos. X -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 1/8 1/4 ½ 1 2 4 8 ÷9 ÷8 ÷7 ÷6 ÷5 ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ÷8 ÷7 ÷6 ÷5 ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y y = (2)^x; -3.000000 <= x <= 3.000000 6 2. Graficar la función x 1  y    2 | | = | \ . x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 Logaritmos: Es el exponente al que hay que elevar una base positiva diferente a uno para que nos de ese número. Función logarítmica: Se define como log b y x = ; siendo 0, 1 b b ¬ = una base y dominio 0 x . Es equivalente a y b y lob x x b = ÷ = De la definición podemos deducir que: 1. No existe el logaritmo de un número con base negativa. 2. No existe el logaritmo de un número negativo. 3. No existe el logaritmo de cero. 4. El logaritmo de 1 es cero. 5. El logaritmo en base a de a es uno. ÷9 ÷8 ÷7 ÷6 ÷5 ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ÷8 ÷7 ÷6 ÷5 ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y y = (1/2)^x; -3.000000 <= x <= 3.000000 7 Tipos de logaritmos: Ambos tienen las mismas propiedades aunque a nivel del cálculo se usa más logaritmo natural, pues su derivada es más sencilla: - Logaritmos Decimales : Se llaman logaritmos decimales, vulgares o base 10 a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base. - Logaritmos Neperianos : Se llaman logaritmos neperianos, naturales, base e o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e. Cambio de una función logarítmica a exponencial y viceversa. La función logarítmica y la exponencial son inversas, es decir, log b y x = es equivalente a, y x b = donde en la que tendremos que: 1. y x b = , b es la base, y es el exponente, x es la potencia. 2. log b y x = , b es la base, y es exponente, x es la potencia. Ejemplos: a) 3 4 64 3 4 64 Log = ÷ = b) 2 5 5 25 25 2 Log = ÷ = Como ya sabemos que para toda constante 0, 1 b b = , la ecuación de la forma log b y x = , define una función logarítmica con base b y dominio toda x 0. Propiedades de la función Logarítmica: 1. El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos (x). 2. El rango, recorrido o contra dominio es el conjunto de todos los números reales (y). 8 3. La función es creciente para 1 b > y decreciente cuando 0 1 b < < . 4. La curva es cóncava hacia abajo cuando 1 b > y cóncava hacia arriba cuando 0 1 b < < . 5. El punto (1, 0) pertenece a la gráfica. No hay ordenada al origen. 6. El eje y es una asíntota vertical a la curva en dirección vertical a la curva en dirección hacia abajo cuando 1 b > y hacia abajo cuando 0 1 b < < . Cuanto mayor es la base del logaritmo más cerca del cero estará. Analicemos las siguientes gráficas: a) Cuando la Base es mayor que la unidad (a > 1). Aquí se tienen 6 funciones Log x, Log 3x, Log 5x, log (3x)-2, log (3x)+2, log (-x). Se unen en el punto (1,0). Analizando estas gráficas podemos concluir que mientras mayor es el valor de la variable x más cerca de cero estará. Y la constantes como es el 2 mueve la gráfica hacia arriba o hacia abajo, y si la v ariable la ponemos negativa cambia la posición de la gráfica. Ahora se analiza la Base positiva y menor que la unidad (0 < a < 1) ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 5 ÷2 ÷1 1 2 x y y = log (x) y = log (3x) y = log (5x) y = log (3x) -2 y = log (3x)+2 y = log (-x) ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 5 ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 x y (1/3)^y=x (1/5)^y=x (1/9)^y+2=x (1/9)^y-2=x 9 1 1 1 1 3 5 9 9 , , 2, log 2 Log x Log x Log x + ÷ Aquí tenemos 4 gráficas de las cuales 2 tiene traslaciones. En la función logarítmica (cuando 0 < a < 1) cuanto mayor es el denominador de la base de logaritmo más se cerca del eje X está. Partes de un logaritmo: Las partes de un logaritmo son característica y mantisa. 1. La característica: Es la parte entera de los logaritmos. Se consigue restándole uno a la cantidad de dígitos dados. Ejemplo: Log 859, su característica es 2 pues 3-1= 2 2. La mantisa: Es la parte decimal que está después del punto y se consigue a través de la calculadora electrónica. Log 859= 2.93399316331… Anti logaritmación: Es el proceso que consiste en dado un resultado hallar el número del cual ese es el logaritmo. - Antilogaritmo : Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número. Es decir, consiste en elevar la base al número resultante: 1)log log q a a anti q m m q a m · = · = = 3 2 2 log 3 8 2 8 2).log 8 3 anti · = · = = Cologaritmo: Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco. - Cambio de Base logarítmica : 10 0, 1 n a b R . ¬ e = es decir que para todo n mayor que 0, a y b siendo números reales positivos no igual a 1. Ejemplo: Calcular los siguientes logaritmos 4 652 5 6 4 9 log28 2.4036 log4 log82 1.9138 0.6797 log652 2.8156 log897 2.9440 4.2117 log5 0.6990 ln525 6.2634 3.4956 ln6 1.791 1). log 28 2). log 82 3). log 897 4). ln 525 5). ln 8 ln62 4.1271 2.9771 ln4 1.3863 ln172 62 6). ln 17 l 2 = = = = = = = = = = = = = = = 5.1475 2.3428 n9 2.1972 = = Ahora podemos ver que si usamos el logaritmo natural el resultado será el mismo. 7 log45 1.6532 45 1.9562 log7 0.8451 Log = = = 7 ln 45 3.8067 45 1.9462 ln7 1.9559 Log = = = Aunque sus equivalencias son diferentes, pero nos darán el mismo resultado. Pues recordemos que ya vimos que del logaritmo vulgar trabaja en base a 10 y el natural trabaja en base a 2.78... e = 11 1 1 (3) 5 5 5 1 1 5 1 1 Ejemplo3: R 8 32 2 2 3( 1) 5(5 1) 3 3 25 5 22 8 esolver 4 1   8 32 1   x x x x x x x x x x x x ÷ + + ÷ ÷ + = ÷ = ÷ + = ÷ + = ÷ ÷ = = = Ecuación exponencial: Es aquella donde la incógnita se encuentra en el exponente. Para resolver una ecuación exponencial debemos eliminar las bases iguales para que nos quede una ecuación lineal. En caso que estas no sean iguales debemos entonces igualarlas a través de artificios matemáticos. Ejemplo 1: Resolver la ecuación 4 6 3 11 2 2 x x + + = 4 6 3 11 2 2 4 6 3 11 4 3 11 6 5 x x x x x x x + + = ÷ + = + ÷ = ÷ ÷ = b) Si las bases son diferentes debemos convertir una en la forma de la otra y así nos quedara también una ecuación lineal pero con productos. Veamos. Ejemplo 2: Resolver la ecuación exponencial 2 8 4 20 27 3 x x + ÷ = 2 8 4 20 3(2 8) 4 20 27 3 3 3 6 24 4 20 2 44 22 x x x x x x x x + ÷ + ÷ = = + = ÷ = ÷ = ÷ Leyes de los logaritmos 1. Logaritmo de un producto Si M y N son positivos, b > 0 y b = 1 entonces: log log log b b b MN M N = + El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos. Ejemplo: ( )( ) 356 47 356 47 2.551 3.7 4 1 2 6 3 . 5 721 Log Log Log = + ÷ + = ( ¸ ¸ 12 2. Logaritmo de un cociente Si M y N son positivos, b> 0 y b = 1 entonces: log log log b b b M M N N = ÷ El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos. Ejemplo: ( ) ( ) 356 356 47 2.5514 1.672 0.879 1 3 47 Log Log Log ( = ÷ ÷ ÷ = ( ¸ ¸ 3. Logaritmo de un exponente Si M y N son positivos, b> 0 y b = 1 entonces: ( ) log .log k b b k N N = El logaritmo de una expresión exponencial es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. Ejemplos: ( ) ( ) 47 356 47 356 47 2.55 119.91 4 58 1 Log Log = ÷ = ( ¸ ¸ 4. Logaritmo de un radical Si M y N son positivos, b> 0 y b = 1 entonces: a y Log x = b Log 2 b Log N N = El logaritmo de una expresión radical es igual al logaritmo de la cantidad sub.-radical entre el índice del radical. Ejemplo: 47 356 1.6721 356 47 47 0.0356 Log Log = = = 13 ( ) ( ) ( ) 1 ln ln ln ln 2 1 ln ln ln ln ln ln ln ln 3).ln 2 n q x z w y n q x z w y c c t p k q n z a b n t q p k t p q n z a x q z n w z y a c b b k ( ( ¦ ¹ ( ( ¦ ¦ ´ ` ( ( ¦ ¦ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ( ÷ + ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ( ¸ ¸ ( = + ÷ + + + ÷ + ¸ ) ( ¸ Ejemplos: Aplicar las propiedades logarítmicas: Ecuación logarítmica: Es aquella donde la incógnita está afectada por un logaritmo. Resolver una ecuación logarítmica consiste en determinar para qué valores de la incógnita (x) la igualdad se convierte en identidad, es decir, para cuales valores se satisface la ecuación. Debemos aplicar las propiedades vistas anteriormente. Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas: 2     95 )  95 10 95 100 5 2 100 95 a Lo x x gx x x + = + = ÷ + = = ÷ = 6 6 4 8 3 )    4 8 3 6 6 2 Log x L x x o b x g x + = + + = + ÷ = ÷ ( ) ( ) ( ) ( ) | | 1).log 249 48 28 2).log 48 379 log 48 log 249 2 2.3962 0.8406 3.2368 1 log 28 og 48 log379 2 1.4472 0.8406 2.5786 1.9720 l ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ` ¦ + = + = ( = ÷ + ( ¸ ¸ = ÷ ÷ = ÷ ¦ ¹ ) ( )( ) ( ) ( )( ) { } { } { } 7 1 ln 23 570 7ln32 2 1 ln 23 ln570 7ln32 2 1 3.1355 23 570 4).ln 6.3456 24.2602 2 7.38 3 96 2 = ÷ ( ¸ ¸ = + ÷ = + ÷ = ÷ 14 ( ) ( ) 0 2 c)  aplicando las leyes logaritmicas inversas. x(x-1) Log x x 1 – log 6 0 log 0 6 Llevando esta ecuaci n a su forma exponen Lo cial ( 1) ( 1) 10 g x log x 1 – log 1 6 6 6 S 6 e nos forma 0 ra ó x x x x x x ÷ = ÷ = ( ¸ ¸ ÷ ÷ = ÷ = ÷ = ÷ + ÷ = ( ) ( ) { } 2 1 2 una ecuaci n de 2do grado, buscar sus raices. 6 0 x 3 x 2 0  por lo tanto 3 ^ 2 La soluci n es el conjunto 3, 2 ó x x x x ó ÷ ÷ = ÷ ÷ + = ÷ = = ÷ = ÷ 1 1 )  Aplicando Ln en ambos lados y luego resolviendo 7 7 3 7 ( 1) 3 7 R 0.7 1 1 3 3 esolver 3 7 7 12 x x d Ln Ln Ln Ln x Ln Ln x x Ln Ln x + + = ÷ + = ÷ = = + = ÷ ÷ ÷ = 3 27 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 cambio de base en la resta. Log Log Log 6 Log 6 Log 27 3 1 2 Log L ) Re Log 6 og 6 Log 6 Log 9 3 3 3 Haciendo x x x x x x x e x solver x x Log x ÷ = ÷ ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = = = ÷ 15 Actividades 1. Grafica las siguientes funciones Exponenciales. 1- 2- 3- 4- 5- 2. Grafica las siguientes funciones logarítmicas. 1) Y= [-2,2] 2) Y= [-2,2] 3) Y= [-2,2] 4) Y= [-2,2] 5) Y= [-2,2] 3. Calcular 1 ) log 2 8 = 2 ) log 97 = 3 ) log 23 = 4 ) log 3 6 = 5 ) log 5 0,2 = 6 ) log 2 0.7543245 = 7 ) log 0,5 16 = 8 ) log 1000 = 16 9 ) log 2 207 + log 4 19 = 10 ) log 8 215 ÷ log 4 7 = 11 ) log 4 64 + log 8 64 = 12 ) log 0.00003 = 13 ) Ln 5 = 14 ) log 2 ÷ log .00000097 = 15 ) log 3232 / log 20 = 16 ) Ln 569807 = 17 ) Ln 12349-Ln 136 = 18 ) log 2 64÷ log 2 7 = b) Buscar el valor de la variable: 1 ) log 3 64 = x 2 ) log 2 45.90 = x 3 ) log 2 81 = ( 2x÷ 9 ) /18 4 ) log 2 16 = x 2 / 24 5 ) log 2 x = ÷ 3 6 ) Log 3 x = 2 7 ) log 3 [ 8 ( x ÷ 1 ) ] = 18 8 ) log x 125 = 3 11 ) log 4 x + 6 162 = 4 4. Expresar como un solo logaritmo. 1) 17 2) 3) 4) ( 5) 5. Expresar los siguientes logaritmos como antilogaritmos o viceversa. 1) 2) 3) 4) 5) 6. Realice las siguientes ecuaciones exponenciales. a. b. c. d. e. f. g. ( ) h. i. j. 18 7. Real ice las siguientes ecuaciones logarítmicas. 1) 2 32 Log 2) 1 2 log 0.25 x = 3) 3 2 log 6 x = 4) ln(x+4)=ln3x-ln2 8. Cambia de una función a otra. a) 5 log 125 y = b) 4 log 3 x = c) 3 2 6 Log x = 4 ) )6 7 w d t u e = = 9. Con la fórmula para el cambio de base resolver los siguientes logaritmos: a) 3 log 28 b) 4 log 120 c) 5 log 95 d) 8 log 64 e) 12 log 257 f) log 12 9 = h) log 456 20 = i) log 254 16 = “El que se enaltece será humillado y el que se humilla será enaltecido” (Evangelio, San Lucas. 14, 1-7;14) 19 Estudios Matemáticos Argentera “Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filosofía”. Isócrates ” John Forbes Nash Jr. (Bluefield, 13 de junio de 1928). Matemático estadounidense ganador del premio Nobel de Economía en 1994 por sus aportes a la teoría de juegos. En su honor se firma la película Una mente brillante (2001). Acabó el doctorado en 1950 con la tesis Juegos No Cooperativos, pero se conoce popularmente como el Equilibrio de Nash. Actualmente está vivo y trabaja como matemático en la universidad de Princeton. La vida me ha enseñado " Que no son los golpes ni las caídas las que hacen fracasar al hombre; sino su falta de voluntad para levantarse y seguir adelante." He aprendido que realmente el fracaso no existe, simplemente este es un método utilizado por la vida para enseñarnos que por ahí no funciona el camino que hemos elegido. No hay que sufrir, ni caer en depresión, simplemente vuelve al principio donde empezaste, allá encontrarás la respuesta y el camino que debes ahora elegir. Wilton Oltmanns inspirada en un anónimato. 20 Vectores El origen del concepto de vector se asocia a José Luis LaGrange (1736-1813), quien en su libro Mecánica Analítica logró una representación matemática de las fuerzas, las velocidades y las aceleraciones. Más tarde, en la segunda mitad del siglo XIX, el estudio de los fenómenos eléctricos condujo al desarrollo del algebra vectorial. Santillana (2001) Alex Vidó (2009), plantea que los vectores son muy importantes porque en el estudio de la física no basta con saber solo las magnitudes sino que es muy importante representarlos vectorialmente porque así nos damos cuenta de cómo ocurre el fenómeno físico más allá de una perspectiva simple y mecánica. Los vectores se usan en cinemática (en el movimiento, son magnitudes vectoriales la velocidad y la aceleración, por ejemplo), en dinámica (fuerza, peso, impulso mecánico...), en electricidad (intensidad del campo eléctrico, fuerza electrostática...), en electromagnetismo (vector de inducción magnética). También en la vida diaria cuando caminamos o vamos para un sitio se usan diferentes vectores. 21 Conceptos y propiedades: Vector: Es cualquier número n-pla ordenado de números reales llamados componentes. Se representa como ⃗ . Ejemplo: ⃗⃗ = (2, 5,-4) tiene 3 componentes ⃗ = (-1,2) tiene 2 componentes = (5, 0, 3, 2, 4) tiene 5 componentes Propiedades de los vectores: Sea: = (z₁, z₂, z₃,… zn) ⃗⃗⃗ = (w₁, w₂, w₃,…, wn) a) Suma + ⃗⃗⃗ = (z₁ + w₁, z₂ + z₂, …, zn + wn) b) Producto de escalar por un vector ⃗⃗ . Es otro vector quedará tantas veces aumentado o disminuido como sea el escalar: Sea k un escalar y z un vector k = k (z₁, z₂, z₃ … zn) = (k z₁, k z₂, k z₃,…, k zn) Ejemplo: Si K = 2 y = (5, -3, 1) K = 2 (5, -3, 1) = (10, -6, 2) c) Vector nulo: Es aquel donde sus coordenadas son todas cero. ⃗ = (0, 0, 0,… 0) d) Vector opuesto: Dado un vector ⃗ = (v₁, v₂, v₃, …, vn), su opuesto es otro vector - ⃗ = (-V₁, -V₂, -V₃, …, -Vn), Ejemplo: Si u = (-2, 4, 5) su opuesto es –u = (2, -4, -5) 22 1. Modelo geométrico de un vector. Es un segmento de recta dirigido que tiene modulo, dirección y sentido. ⃗⃗⃗⃗⃗ B (x₂, y₂) A(x₁, y₁) - Modulo: es la distancia entre A y B, se representa | ⃗⃗⃗⃗⃗ |. | ⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(x₂ − x₁) 2 +(y₂ − y₁) 2 . También se llama norma de un vector y suele representarse como ‖‖ = √ 1 2 + 2 2 + 3 2 +⋯+ 2 Ejemplo: Calcular la norma de ⃗ = (3, 4, 0) ‖ ⃗ ‖= √(3) 2 + (4) 2 +(0) 2 = √25 = 5 - Dirección: Es la recta que pasa por los puntos A y B - Sentido: Es su orientación. 2. Vector unitario. Es aquel cuyo módulo es la unidad. El vector unitario ⃗⃗ de un vector dado ⃗ ≠ 0 es otro vector de igual dirección y sentido: ⃗⃗ = ⃗⃗ ‖⃗‖ Ejemplo: Calcular un vector unitario del vector ⃗ = (-3,0,4) ‖ ⃗ ‖= √(−3) 2 + (0) 2 + (4) 2 = √9 +16 = √25 = 5cm ⃗⃗ = ⃗⃗ ‖⃗‖ = (−3,0,4) 5 = (− 3 5 , 0, 4 5 ) → ⃗⃗ = (− 3 5 , 0, 4 5 ) Para comprobar se le debe sacar el modulo al vector obtenido y el resultado debe ser la unidad. : ‖ ⃗⃗ ‖ = √ (− 3 5 ) 2 + (0) 2 + ( 4 5 ) 2 = √ 9 25 + 16 25 = √ 25 25 = 1, ‖ ⃗⃗ ‖ = 1 23 3. Representación grafica de los componentes de un vector. La representación de un vector se hace respecto a los ejes cartesianos. Ejemplo: Sea A (5,0) y B (0,4) ⃗⃗⃗⃗⃗ = (5,0) + (0,4) = (5,4) → ⃗⃗⃗⃗⃗ = 5 + 4 4 5 4. Representación grafica de las operaciones vectoriales en el plano Si ⃗⃗ = (X 1 , Y 1 ), ⃗ = (X 2, Y 2 ) y ⃗⃗⃗ Es otro vector resultante, entonces, ⃗ = ⃗⃗ + ⃗ = (X 1, + X 2 , Y 1 + Y 2 ) Ejemplo: Sea ⃗⃗ = (4, 2); ⃗ = (1, 5) ⃗ = ⃗⃗ + ⃗ = (4, 2) + (1, 5) = (5, 7) 24 a) Método del poligono ⃗⃗ = (1, 2); ⃗ (3, 4); ⃗⃗⃗ = (-3, 1) ⃗ = ¿? ⃗ = ⃗⃗ + ⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗ = (1,2) + (3,4) + (-3,1) ⃗ = (1,7) b) Resta de vectores en el plano. Es la suma de un vector con el opuesto del otro. ⃗⃗ - ⃗ = ⃗⃗ + (- ⃗ ) Ejemplo: Dado ⃗⃗ = (4,-2) y ⃗ = (3,-1), opera ⃗⃗ - ⃗ ⃗⃗ - ⃗ = ⃗⃗ + (- ⃗ ) = (4,-2) + (-3,1) = (1,-1) → ⃗ = (1,-1) 5. Combinación lineal de vectores. Sea { 1 , 2 , 3 , … } un conjunto de vectores y {∝, , , ∅, , …} ∈ IR. El vector ⃗ es una combinación lineal de los vectores {Z 1 , Z 2 , Z 3 , … Z n } . Si se puede expresar: ⃗ = ∝ 1 + 2 + 3 , … Ejemplo: Calcular dos combinaciones lineales del vector ⃗ = {(1,-3,0) ; (2,0,4)} ∈ 3 ∝ (1,-3,0) + (2, 0,4); ∝, ∈ a) Si ∝ =2 y = 3 → = 2(1,-3,0) + 3(2, 0,4) = (2,-6,0) + (6, 0,12) = (8,-6,12) es una combinación lineal de vectores. 25 b) Si ∝ = -1 y = -2 → = -1 (1,-3,0) + (-2) (2, 0,4) = (-1, 3,0) + (-4, 0,-8) = (-5, 3,-8) por lo tanto (-5, 3,-8) es otra una combinación lineal de ⃗ = {(1,-3,0) ; (2,0,4)} ∈ 3 b) Vectores linealmente dependientes. Es cuando la combinación lineal de dos o más vectores da como resultado cero. Es decir que { 1 , 2 , 3 , … }, son linealmente dependiente si ∝ 1 1 + ∝ 2 2 + ∝ 3 3 +… ∝ Para ∝ ≠ 0. De lo contrario el vector es linealmente independiente. c) Producto escalar de dos vectores ( ⃗⃗ . ⃗⃗ ) Se le llama también producto interno. Se multiplican las respectivas componentes y luego se suman. Su resultado es un número. Si ⃗⃗ = ( 1 , 2 , 3 ,…, ) y ⃗ = ( 1 , 2 , 3 , …, ) ⃗⃗ . ⃗ = 1 1 + 2 2 + 3 3 + …+ Ejemplo1: Conseguir e producto escalar l ⃗⃗ . ⃗ , sabiendo que ⃗⃗ = (2,-5) ⃗ = (3,4) ⃗⃗ . ⃗ = 2(3) + 4(5) = 6-20= -14 ⃗⃗ . ⃗ = -14 Otra forma es: ⃗⃗ .V ⃗⃗ = | ⃗⃗ | . | ⃗ | Cos Para encontrar el ángulo comprendido será Cos θ= U ⃗⃗ .V ⃗⃗ |U ⃗⃗ | .|V ⃗⃗ | Ejemplo 2: ¿Cuál es el producto escalar de dos vectores ⃗⃗ y ⃗ de modulos 3 y 5 y que forman un angulo de 60 0 ? ⃗⃗ . ⃗ = | ⃗⃗ | . | ⃗ | cos 60 0 = (3) (5) cos 60 0 = 15 cos 60 0 = 7.5 d) Producto vectorial y Módulo de un producto vectorial. Si ⃗⃗ y ⃗ son dos vectores, su producto vectorial o exterior ⃗⃗ x ⃗ es un vector perpendicular a los planos de los vectores ⃗⃗ y ⃗ . 26 Ejemplo 1. Dado ⃗⃗ = i- 2j+ k y ⃗ = 3i – j + 4k determinar ⃗⃗ x ⃗ . ⃗⃗ x V ⃗⃗ = | 1 −2 1 3 −1 4 | = | −2 1 −1 4 | - | 1 1 3 4 | + | 1 −2 3 −1 | ⃗ = (-8 + 1) - (4-3) + (-1+6) ⃗ = -7 - + 6 ⃗ ⃗⃗ x V ⃗⃗ = -7 - + 6 ⃗ b) El módulo de un producto vectorial ⃗⃗ x V ⃗⃗ = | ⃗⃗ |. | ⃗ | Sen Ejemplo2: Calcular el módulo de ⃗⃗ = 2i+ 3j+ 5k; ⃗ = i + j- 2k. Si el ángulo comprendido es de 30 0 |U|= √2 2 + 3 2 + 5 2 = √38 |U|= √ |V| = √1 2 + 1 2 + (−2) 2 = √ | ⃗⃗ x V ⃗⃗ | = |U| . |V| Sen = (√38) (√6) Sen = 15.1 (0.5) →| ⃗⃗ x ⃗⃗ |= 7.55 27 Actividades I) Grafica los siguientes vectores en los puntos dados. 1) A(3,-1); B(5,3) 2) P(-1,7); B(4,0) II) Obten los vectores unitarios asociados a los siguientes vectores. * ( 4, 1) * (3, 10, 2) * (1, 0, 1) * ( 2, 2,1, 4) P Q R W = ÷ ÷ = ÷ = ÷ = ÷ III) Realiza las siguientes operaciones vectoriales. * ( 3, 4) (5, 7) 3 * ( 2, , 6) 4( 1, 0, 2) 5 1 * 4(0, 2, 7) ( , 3, 2) 2 ÷ ÷ + = ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ + ÷ = IV) Determina los siguientes productos interior y el ángulo comprendido. * ( 2, 4); (5,1) * (9, 5); ( 3,1) * ( 5, 4); (2 / 5, 1) P W P r A B ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = 28 Estudios Matemáticos Argentera En estos días el ángel de la topología y el demonio del algebra abstracta luchan por el alma de cada dominio de la matemáticas. Herman Hayek Módulo 8: Matrices …….…….. Gabriel Cramer: (Ginebra, Suiza, 1704- Francia, 1752) Matemático y filosofo suizo. En 1750 expuso en Introducción al análisis de las curvas algebraicas la teoría newtoniana referente a las curvas algebraicas, clasificándolas según el grado de la ecuación. Reintrodujo el determinante, algoritmo que Leibniz ya había utilizado al final del siglo XVII para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Editó las obras de Jakob Bernoulli y parte de la correspondencia de Leibniz. El sistema de cramer para resolver ecuaciones es compatible determinado, tiene solución única y es para sistema de la forma n=m. Matrices Tecnológicas Son piezas o moldes diseñados para la construcción de maquinas. Su campo de aplicación lo podemos encontrar en industria automotriz, Aeronáutica, La naval, Electrónica, la informática. Dentro de la industria de la matricería, el desarrollo técnico y tecnológico de los últimos tiempos ha hecho que las máquinas utilizadas en este campo permitan trabajar a grandes velocidades que hace pocos años era imposible. Por tal razón la programación de máquinas de C.N.C. y CAD-CAM es necesaria y habitual si realmente queremos ser competitivos en un mercado cada vez más abierto y globalizado. Debemos tener presente, que la mayoría de sus piezas están sometidas a largos y costosos procesos de mecanizado que implican muchas horas de trabajo y dedicación, pues cada pieza del diseño se trabaja individual y como única. 29 Matrices Las matrices aparecen por primera vez en el año 1850. Fueron introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W. R. Hamilton en 1853, aunque en el 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Se emplean en cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc... La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos. Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,… Filas i y columnas j. Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe a ij . Si aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: A = (a ij ) 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ( ) ij a a a A a a a a a a a | | | = = | | \ . 30 Vector fila: Es un ordenamiento de elementos dispuestos horizontalmente. Vector columna: Es un ordenamiento de elementos dispuesto verticalmente. Matriz: Es un ordenamiento de elementos en vectores filas y vectores columnas. 5 8 ( ) 0 3 7.6 7 ij a B b d k m | | | ÷ | = = | | | \ . Esta matriz es de orden 3*3= 9 elementos. Orden de una matriz El orden de una matriz viene dado por "p × q" donde p representa las filas y q las columnas. El orden de una matriz también se denomina tamaño, siendo m y n números naturales. También m x n representa la cantidad de elementos que intervienen en la matriz. 2 32 Esta ma 6 9 0 12 triz 5 es de orden 3*3. m a u a A | | | = | | \ . 31 Tipos de Matrices Rectangular: Es aquella matriz que tiene distinto número de filas y columnas, siendo su orden p*q, para p ≠ q 6 1 4 5 0 3 B ÷ | | | = | | \ . Transpuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por A t ó A T 5 3 5 2 2 4 3 4 t E E ÷ | | | | = ÷ = | | ÷ \ . \ . Opuesta: La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A. 5 3 5 3 2 4 2 4 E E ÷ ÷ | | | | = ÷÷ = | | ÷ ÷ \ . \ . Nula: Si todos sus elementos son cero. Cuadrada: Es aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, p = q. * 3*3 6 5 8 6 0 4 9 7 p q A k = ÷ | | | = ÷ | | \ . 32 Diagonal principal y secundaria Diagonal principal: son los elementos a i=j : a 11 , a 22 ,... Diagonal secundaria: son los elementos a ij con i+j = n+1. 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a | | | = | | \ . Diagonal principal Diagonal secundaria: Traza de una matriz cuadrada: es la suma de los elementos de la diagonal principal. T 11 22 33 1 ( ) ... n nn ii i tr A a a a a a = = + + + + = ¿ 1 3 1 7 8 0 7 A trA ÷ | | = ÷ = + = | \ . Simétrica Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = A t , a ij = a ji 2 8 9 2 8 9 8 4 7 8 4 7 9 7 6 9 7 6 t P p | | | | | | = ÷ = | | | | ÷ ÷ \ . \ . Por lo que t p p = 33 Anti simétrica. Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su transpuesta. A = -A t , a ij = -a ji Necesariamente aii = 0 0 2 4 9 2 1 4 2 1 4 1 5 7 4 5 7 4 5 7 4 7 6 9 7 6 9 7 6 2 4 9 2 1 4 0 5 5 ( ) 1 5 7 4 5 7 5 0 14 4 7 6 9 7 6 5 14 0 t t t P p p p p ÷ ÷ ÷ ÷ | | | | | | | | | = ÷ = ÷ ÷ ÷÷ = ÷ | | | | | | ÷ ÷ ÷ ÷ \ . \ . \ . ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ | | | | | | | | | + ÷ = + ÷ = | | | | | | ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ \ . \ . \ . Diagonal Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal Escalar Es una matriz diagonal que tiene iguales los elementos de la digonal principal Identidad o unidad Es una matriz escalar donde los elementos de la diagonal principal es la unidad 34 Matriz Triangular Es una matriz cuadrada que tiene nulo todos los elementos por encima y por debajo de la diagonal principal. Puede ser triangular inferior y superior. Será Triangular superior cuando sea cero por debajo de la diagonal principal, sin embargo si es cero por arriba de la diagonal principal se le llama triangular inferior. Normal Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, anti-simétricas u ortogonales son necesariamente normales. OPERACIONES MATRICIALES Suma y resta de matrices: Para sumar o restar dos matrices estas deben de ser del mismo orden. El resultado es otra matriz cuyos elementos se obtienen al sumar o restar los elementos que estén en la misma posición. 11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13 21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23 31 32 33 31 32 33 31 31 32 32 33 33 a a a b b b a b a b a b a a a b b b a b a b a b a a a b b b a b a b a b + + + | | | | | | | | | + = + + + | | | | | | + + + \ . \ . \ . 5 2 3 6 9 0 11 11 3 4 1 9 2 8 1 2 9 8 0 2 7 1 0 4 1 2 3 ÷ ÷ | | | | | | | | | ÷ + ÷ = ÷ | | | | | | ÷ \ . \ . \ . 35 Resta de matrices ( ) 6 2 3 1 3 3 6 3 2 1 5 6 2 7 7 1 5 2 6 7 ÷ | ÷ ÷ ÷ | | | | | | | ÷ = = | | | | ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ \ . \ . \ . \ . Producto de un escalar por una matriz Cuando multipliquemos un escalar k por una matriz de orden m*n esta quedará tantas veces aumentado o disminuido tal como sea su escalar (k). 11 12 11 12 21 22 21 22 a a ka ka k a a ka ka | | | | = | | \ . \ . Visto en números tenemos que 5 6 10 12 2, 8 3 16 6 k A kA ÷ ÷ | | | | = = ÷ = | | \ . \ . Producto de matrices La multiplicación de matrices es my importante porque por medio de ella podemos resolver un sin número de problemas tanto de la ciencia como de nuestra vida diaria, por tal razón es importante que la tomemos en cuenta por eso tratamos de hacerla lo más didáctica posible. Para dos matrices ser multiplicables tienen que cumplir que el numero de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda. Esto significa que si tenemos una matriz de 1x3 y otra de 3x4 si se pueden operar y la matriz resultante será igual a 1x4. El producto de matrices no es por posición como en la suma y la resta, sino de la siguiente manera: Se toma la primera fila de la primera matriz y la primera columna de la segunda, y lo que se hace es multiplicar una posición de fila por una de columna, así sucesivamente. 36 Ejemplos: Multiplica las Siguientes Matrices: 1) A= 16 10 5 24 | | | \ . ; B= 3 9 4 6 | | | ÷ \ . 16 10 3 9 48 40 144 60 88 84 * 5 24 4 6 15 96 45 144 111 99 + ÷ | | | | | | | | = = | | | | ÷ + ÷ ÷ \ . \ . \ . \ . 2) A= 14 3 5 9 4 2 | | | ÷ | | \ . ,B= 10 7 5 12 9 2 1 4 8 | | | ÷ | | \ . 14 3 5 10 7 5 140 36 5 98 27 20 70 6 40 181 145 104 9 4 2 * 12 9 2 90 48 2 63 36 8 45 8 16 44 35 69 1 4 8 + + + + ÷ + | | | | | | | | | | | | ÷ ÷ = ÷ + ÷ + + + = | | | | | | | | \ . \ . \ . \ . División de Matrices La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1. Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar. DETERMINANTE. Determinantes es un número real asociado a una matriz. Propiedades de los determinantes Las propiedades que vamos a enunciar son generales para determinantes de cualquier orden. Pueden comprobarse en los de orden dos o tres. 1. El determinante no varía si se traspone la matriz. Es decir: det A = det A t . (Esta propiedad permite enunciar las demás sólo para filas o columnas). 37 2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo. 3. Si multiplicamos (o dividimos) una fila o columna por un número el determinante queda multiplicado por dicho número. 4. Si dos filas o dos columnas son iguales la determinante es cero 5. si los elementos de una fila o una columna de una matriz cuadrada son los correspondientes múltiplos de los elementos de otra fila o columna, el determinante de dicha matriz es cero. Determinante de segundo orden (2*2) En una matriz cuadrada de dos por dos la determinante será igual al producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria. 11 12 21 22 a a A a a | | = | \ . 11 22 12 21 . ( . ) A a a a a ÷ = ÷ Ejemplo: Calcular la determinante de A. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 1 5 4 3 20 17 17 5 1 A A A ( = ÷ = ÷ = ÷ = = ( ¸ ¸ Determinante de tercer orden (3x3) (método de zarrus) Para determinar el valor de un determinante de tercer orden utilizamos el método de Zarrus, que consiste en lo siguiente: Dado el determinante de tercer orden, calcular su valor. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a B b b b c c c | | | = | | \ . Procedimiento: Podemos trabajar en filas o columnas, en caso de trabajar en filas lo que debemos hacer es repetir las dos primeras filas y si es en columnas repetir las dos primeras columnas. 38 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 3 a a a a a a a a a a a b b b B b b b b b b c c b b c c a a a c c c c c c c b b b = = = Luego determinamos la diagonal principal y sus dos paralelas, según podemos ver en el determinante. Estas van desde el extremo superior izquierdo hasta el extremo inferior derecho. Estas líneas estarán formadas por tres elementos cada una precedidas del signo (+). Así, se constituyen los tres términos positivos del polinomio correspondiente al desarrollo del determinante del tercer orden luego la diagonal secundaria, y sus dos paralelas, que van desde el extremo inferior izquierdo al superior derecho. Estas líneas estarán formadas por tres elementos precedidos de signo menos. Así, se constituyen los tres términos negativos del desarrollo del polinomio de dicho determinante. Expresemos la determinante en columnas: | | | | 1 1 2 1   2    3 1 2   1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 2 1 3   +a b c c b a +c b a +c b a a a a b b b c c a a b b c c B c ( ( ÷ ( ( = ¸ + ¸ ÷ 2 3 3 1 a b c a b c Ahora lo veremos en filas y haremos una comparación de la determinante. Revisar esta matriz | | | | 1 1   3 1 2 2      1 2 2 3 1 2 3 3 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 3 3 1 2 2 +a b c   c b a +c b a +c b a a a a a a b b b c c a b b c b B ÷ = + ÷ 2 3 3 1 a b c a b c 39 Observando tendremos que | | | | | | | | 1 1   3 1 2 2      1 2 3 2 3 1 3 1   2    3 1 2   1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 +a b c   c b a +c b   +a b c c b a +c b a +c b a a +c b a = B B ÷ + ÷ = + 2 2 3 3 1 3 3 1 a a b c a b c b c a b c Eso significa que no importa como trabajemos si es fila o columna como quiera dará lo mismo. También podemos poner la determinante de esta forma. Ejemplo: Buscar la determinante de la siguiente matriz. 1 2 3 0 4 5 1 0 6 B | | | = | | ÷ \ . | | 1 2 3 1 2 0 4 5 0 4 (1*4*6) (2*5* 1) (3 0 0) (2*0*6) (1*5*0 (3*4* 1)) 1 0 6 1 0 B ( ( = = + ÷ + + + ÷ + + ÷ ( ÷ ÷ ( ¸ ¸ (24 10 0) (0 0 12) 14 12 26 = ÷ + ÷ + ÷ = + = 26 B = Método Triangular para Determinante de tercer orden (3x3) También podemos determinar un determinante de tercer orden por el método triangular, el cual consiste en encontrar tres productos negativos y tres productos positivos por medio de triángulos dentro del determinante. Ejemplos: Obtener el valor de la determinante. 2 3 4 0 5 0 1 1 6 A ÷ | | | = | | \ . Productos diagonal principal Productos diagonales secundarias 2 3 4 0 5 0 1 1 6 A ÷ | | | = | | \ . 2 3 4 0 5 0 1 1 6 A ÷ | | | = | | \ . 40 | | 60 0 0) (20 0 0) 60 20 40 A A A = + + ÷ + + = ÷ = Matrices invertibles Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que AB = BA = I, siendo I la matriz identidad. Se denomina a la matriz B la inversa de A y la denotamos por 1 A ÷ . Ejemplo: Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra Matriz inversa Toda matriz inversa debe cumplir que 1 1 . . A A A A I ÷ ÷ = = . La inversa de una matriz cuadrada es única. 1. Buscar la determinante (Si det 0 = no hay matriz inversa) 2. matriz complementaria 3. matriz adjunta. Inversa de una matriz 2*2 por medio de cofactores. ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 21 22 1 1 11 1 2 12 21 4 1 Ejemplo: Busca la matriz inversa de 1   11 3 1) la 1 3 3 1 11 1 determinante 2)   1 comp A Buscar a a A Matriz c A a o a mplementaria a a a + + | | = | \ . | | = = ÷ = = ÷ = ÷ = | \ . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 22 1 1 1 1 4 4 3 11 1 4 comp a A + + = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ | | = | ÷ \ . 41 .   :           3) . 3 1 11 4   Adj Matriz Adjunta eslatraspuestadelamatriz complen A taria ÷ | | = | ÷ \ . . 1 Matriz inversa . 3 1 4) 11 4 Adj A A Det ÷ = ÷ | | = | ÷ \ . 1 1 5) . 4 1 3 1 12 11 4 4 1 0 . 11 3 11 4 33 33 11 12 Pr 0 1 ue A a A I b A A ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ + | || | | | | | = = = | | | | ÷ ÷ ÷ + \ .\ . \ . \ . Cálculo directo de la inversa de una matriz cuadrada de segundo orden Como ya sabemos que una matriz cuadrada A tiene inversa 1 A ÷ , si se verifica que A·A -1 = A -1 ·A = I por lo que este método que sigue a continuación puede ser muy sencillo a la hora de hacer el cálculo rápido de la inversa de una matriz de 2*2, por lo que debemos seguir estos pasos 11 12 21 22 a a A a a | | = | \ . a) Se determina el valor del determinante A, recordando que este debe ser diferente de cero. b) Se intercambian los elementos a 11 y a 22 c) Se sustituyen los elementos a 12 y a 21 por los opuestos correspondientes d) Dividimos cada uno de estos elementos por el valor del determinante de la e) matriz. 42 Ejemplo: Buscar la inversa de la matriz 4 5 2 3 A | | = | \ . ( ) ( )( ) 4 5 Det. A= 4 3 2 5 12 10 2 2 3 = ÷ = ÷ = Intercambiamos los elementos 4y3 y sustituimos 2 y 5 por sus opuestos 3 5 2 4 ÷ ( ( ÷ ¸ ¸ Ahora procedemos a dividir cada uno de los elementos anteriores por el valor del determinante A. el resultado obtenido es la matriz inversa de la matriz dada, como podemos ver. 3 5 2 2 1 1 2 A ÷ ÷ ( = ( ÷ ¸ ¸ Ejemplo 2: Inversa de una matriz de 3*3 por medio de los cofactores. ( ) ( ) ( ) 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 1 11 31 1 2 12 32 2 1 13 1 2 3 4 0 5 6 1 3 1) 53 2)     0 5 1 5                10 1 3 4 5 1 18             21 6 3 4 0 1 6 comp A A a a a A a a a Matriz complementaria a a a a a a a a + + + | | | = ÷ | | ÷ ÷ \ . = | | | = | | \ . | | = ÷ = = | ÷ ÷ \ . ÷ | | = ÷ = ÷ = | ÷ \ . ÷ = ÷ ÷ ( ) ( ) ( ) 33 2 2 21 2 2 22 5 23 11 12 13 21 22 23 31 32 33 4                8 1 2 3 1 3        1 8 1 3 1 21        6 3 1 2 1 13        6 1 5 18 4 3 21 13 10 21 8 3)   comp a a a a a a a A a a a a a a Matriz + + | | = = | \ . | | = ÷ = | ÷ ÷ \ . ÷ | | = ÷ = ÷ | \ . | | = ÷ = | ÷ \ . ÷ | | | | | | = = ÷ | | | | \ . \ . 1 . :             . 5 3 10 5 3 10 1 18 21 21 , 18 21 21 53 4 13 8 4 13 8 Adj Adjunta es latraspuestadelamatriz complentaria A A ÷ | | | | | | = ÷ ÷ = ÷ ÷ | | | | \ . \ . 43 Inversa de una matriz por medio de sistema de ecuaciones. Aunque los sistemas de ecuaciones están en el siguiente capítulo aquí dejamos a opción del lector, la explicación de la búsqueda de la inversa de una matriz inversa por medio de sistema de ecuaciones. 4 5 2 3 A | | = | \ . El determinante no es nulo, esta matriz tiene inversa. El paso siguiente es encontrar una matriz cuadrada de segundo orden que multiplicada por A nos de la matriz identidad de segundo orden. 1 x y Sea A la matriz inversa z w ÷ ( = ( ¸ ¸ Por consiguiente 4 5 1 0 . 2 3 0 1 x y Obteniendo el producto z w ( ( = ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ 2 3 4 5 0 1 3 0 5 1 2 4 y w y x z w x z + ( ( = ( ( ¸ ¸ ¸ + + ¸ + Por igualdad de matrices tenemos: 1) 4x + 5z = 1 2) 2x + 3z = 0 3) 4y + 5w = 0 4) 2y + 3w = 1 Para obtener el valor de las variables x, y, z, w aplicamos el método de resolución de ecuaciones simultáneas. 4x 5z 1 2x 3z 0 + = + = 44 Seleccionamos la ecuación 2 y la multiplicamos por -2 y se la sumamos a la ecuación 1, obtenemos: Sustituyendo en la ecuación 2 el valor Z=-1, obtenemos x Para obtener a w procedemos a multiplicar la ecuación número 4 por -2 y se la sumamos a la ecuación 3, es decir 4y 5w 0 2y 3w 1 + = + = multiplicada por -2. Para obtener a y sustituimos a w en la ecuación 4 que es 2y+2w=1 Por consiguiente 3 5 4 5 2 2 2 3 1 2 x y esta matriz es la inversa de z w ÷ | | | | | | | = | | | \ . \ . ÷ \ . Poe lo tanto tenemos que 4 5 1 0 . 2 3 0 1 x y z w | | | | | | = | | | \ . \ . \ . Multiplicando la matriz dada y su inversa tenemos 3 5 2 2 4 5 1 0 . 2 3 1 2 0 1 ÷ | | | | | | = | | | ÷ \ . \ . \ . Por lo que es correcta. “La educación es la clave del futuro. La clave del destino del hombre y de su posibilidad de actuar en un mundo mejor.” John Fitzgerald Kennedy ( ) 2 3 1 0 3 2 3 2 x x x + ÷ = = ÷ = 4 5 1 4 6 0 1 1 x z x z z z + = ÷ ÷ = ÷ = ÷ ÷ = 4y 5 0 4 6 2 2 2 w y w w w + = ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ = ÷ 2y 3w 1 2y+3(2)=1 5 y=- 2.5 2 + = ÷ = ÷ 45 ACTIVIDADES 10. Resuelva las siguientes sumas de matrices, de ser posible: a) 4 5 8 2 1 9 6 1 2 8 4 4 5 0 7 3 1 2 ÷ ÷ | | | | | | + = | | | | \ . \ . b) 5 8 0 2 2 1 5 7 ÷ ÷ | | | | + = | | \ . \ . c) 12 47 88 12 15 10 30 70 6 45 30 11 23 30 2 7 8 10 ÷ ÷ ÷ | | | | | | ÷ + ÷ = | | | | ÷ ÷ ÷ \ . \ . 11. Halle el resultado de las siguientes operaciones: a) 9 4 8 3 3 1 6 9 | | | | ÷ = | | ÷ ÷ \ . \ . b) 3 9 0 3 9 3 6 3 7 0 5 2 4 1 4 9 6 0 ÷ | | | | | | ÷ = | | | | \ . \ . c) 12 37 41 30 29 8 88 0 | | | | ÷ = | | \ . \ . 12. Realice las siguientes multiplicaciones de matrices: a) 0 7 2 9 4 6 6 3 | || | = | | \ .\ . b) ( ) 5 0 1 0 3 0 2 7 7 3 8 6 ÷ | | | ÷ ÷ = | | ÷ ÷ ÷ \ . c) ( ) 5 2 7 3 | | = | \ . 46 13. Calcular las determinantes de las siguientes matrices: a) 10 114 49 8 A ÷ | | = | ÷ \ . b) 53 60 100 11 B ÷ | | = | \ . c) 25 2 42 29 A ÷ | | = | ÷ \ . d) 34 3 101 14 B | | = | ÷ \ . e) 27 2 41 50 A ÷ | | = | ÷ \ . 14. Calcular las siguientes determinantes utilizando el método de Zarrus: a) 2 7 0 10 19 1 0 15 0 A ÷ ÷ | | | = ÷ ÷ ÷ | | ÷ \ . b) 26 13 1 15 39 2 43 70 0 B ÷ | | | = ÷ ÷ | | ÷ \ . c) 1 5 12 2 8 35 0 1 7 A ÷ ÷ ÷ | | | = ÷ ÷ ÷ | | ÷ ÷ \ . d) 8 11 29 7 33 9 3 22 5 B | | | = ÷ | | ÷ \ . 46 15. Calcular las siguientes determinantes utilizando el método triangular: a) 0 9 7 6 8 4 5 3 1 A ÷ | | | = ÷ | | ÷ \ . b) 2 0 2 1 5 0 0 3 7 B ÷ | | | = ÷ ÷ | | ÷ ÷ \ . c) 0 5 7 13 0 3 10 2 1 A ÷ | | | = ÷ | | ÷ ÷ \ . d) 1 0 8 0 1 0 2 0 5 B ÷ | | | = ÷ | | ÷ \ . 16. Determine la inversa de las siguientes matrices: a) 2 1 4 6 A | | = | \ . = b) 6 4 3 8 B | | = | \ . = c) 12 3 7 9 C | | = | \ . = d) 3 4 6 8 D | | = | \ . = e) 13 10 9 7 R | | = | \ . = f) 3 4 1 2 6 7 1 0 3 F | | | = ÷ | | \ . = g) 1 3 6 4 2 1 2 0 4 G | | | = | | \ . = h) 1 1 0 2 1 0 0 0 0 H | | | = | | \ . = 49 “La principal razón de existir del matemático es resolver problemas, y por lo tanto en lo que realmente consisten las matemáticas es en problemas de soluciones”. . Autor Pendiente Ennemond Camille Jordan: Nació el 5de enero de 1838 en Lyon, Francia. Su padre era ingeniero y su madre artista. Ingresó a la Escuela Politécnica en 1855 para estudiar matemáticas. Seis años más tarde ya era matemático e ingeniero. A partir de 1861 trabajó como matemático en Paris.Estudió en la Escuela Politécnica (promoción 1855). En 1876 entró como profesor en el Colegio de Francia, sustituyendo a Joseph Liouville. Dentro de sus trabajos encontramos la teoría de grupos, el teorema de la curva de Jordan (un resultado topológico recogido en análisis complejo).La forma normal de Jordan y método matemático para resolver sistema de ecuaciones en lineal. El teorema de Jordan-Holder, que es el resultado básico de unas series de composiciones. El 4 de abril de 1881 fue elegido miembro de la Academia de la Ciencia y de 1885 a 1921 dirige la «Revista de matemáticas puras y aplicadas» fundado por Liouville.Murió el 22 de enero de 1922 en Paris, Francia. Relación entre matemáticas puras y aplicadas La matemática aplicada se focaliza principalmente en el empleo de instrumentos matemáticos en disciplinas de diversos órdenes, mientras que la Matemáticas pura se encarga del estudio de sí misma como verdades abstractas. Según el matemático Hardy La matemática aplicada busca expresar verdades físicas dentro de un marco matemático, mientras que las matemáticas puras buscan expresar verdades independientes del mundo físico. Para Hardy, la matemática pura es la verdadera matemática, que ostenta un valor estético permanente, una belleza intrínseca que la hacen comparable a la pintura o a la poesía. Estudios Matemáticos Argentera 50 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES Historia e Importancia. Los babilonios fueron los primeros en resolver sistemas de ecuaciones, su procedimiento se basaba en el manejo de grandes tablas. Los sistemas de ecuaciones son de mucha importancia por sus aplicaciones en física, ingeniería y economía y su estudio está principalmente dentro del algebra lineal. Por medio de dicho sistema se expresan las condiciones de equilibrio de una estructura en ingeniería, mediciones para levantamientos topográficos y los sistemas no lineales nos pueden ayudar a buscar posibles soluciones a muchos problemas relacionados con la dinámica de las poblaciones. Solamente un 5% de los problemas que se presenta con sistema de ecuaciones tienen solución exacta, todos las demás tienen soluciones aproximadas, por lo que hay que dominar diferentes métodos para llegar a través del camino más fácil, pues si tenemos un sistema de n=10 incógnitas por el método de Cramer se nos cogerá un promedio de 40,000 multiplicaciones, mientras que por el método de Gauss Jordan llegaremos a solo 300 multiplicaciones y divisiones. En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma ordinaria como: 11 12 1 1 21 22 2 2 31 32 3 3 ... ... ... ... .... ... n n n a x a y a z k a x a y a z k a x a y a z k + + + = + + + = + + + = Donde , ... x y z son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo K. 51 Sistema de ecuaciones: Es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Clasificación: a) Sistema de ecuaciones compatible: Es aquel que tiene solución. 3 5 5 2 1 u w u w + = ¦ ´ ÷ = ÷ ¹ b) Sistema de ecuaciones incompatibles: Es aquel que no tiene solución 2 6 2 8 2 8 10 4 12 4 6 m n w m n m n w ÷ + ÷ = ¦ ¦ + = ´ ¦ ÷ + = ¹ c) Sistema de ecuaciones compatibles determinado: Es aquel que tiene al menos una solución. 2 3 8 4 2 x y x y + = ¦ ´ ÷ = ¹ d) Sistema de ecuaciones compatibles Indeterminado: Es aquel que tiene infinitas soluciones. 6 2 8 6 2 4 m n n w ÷ = ¦ ´ + = ¹ e) Ecuaciones dependientes: Es cuando en un sistema una ecuación depende de la otra. 6 2 8 18 6 24 j k n w ÷ = ¦ ´ ÷ = ¹ f) Sistema independiente: Es cuando en un sistema una ecuación no depende de la otra. 6 2 8 5 7 24 j k n w ÷ = ¦ ´ ÷ = ¹ 52 Métodos para resolver sistema de ecuaciones. 1. Método de Sustitución 2. Método de Igualación 3. Método de Reducción 4. Método Gráfico 5. Método de Cramer (Determinantes) 6. Método de inversión de matrices. 7. Método de Gauss (Reducción) 8. Método de Gauss-Jordan (Eliminación) 9. Método de Gauss-Seidel 10. Método de Jacobi 1. Método de sustitución Consiste en despejar una incógnita en cualquiera de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema inicial para calcular el valor de la otra incógnita. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema 2 3 8 4 2 x y x y + = ¦ ´ ÷ = ¹ a) Despejamos x en I. 8 3 / 2 x y = ÷ b) Sustituimos en la otra ecuación. 8 3 4( ) 2 2 y y ÷ ÷ = c) Resolvemos la ecuación obtenida 16 6 2 7 14 2 y y y y ÷ ÷ = ÷ = ÷ ÷ = 53 d) Sustituimos e y=2 en la ecuación 2 3 8 x y + = eso implica que ser 2x+3(2)=8 por lo que tenemos que 2x=2 dividiendo será x=1. Por lo tanto este sistema se satisface para X=1 y Y=2. 2. Método de igualación: Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones iníciales. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 2 3 8 4 2 x y x y + = ¦ ´ ÷ = ¹ .Despejamos Y de la primera y segunda ecuación. 8 3 2 3 8 2 2 4 2 4 y x y x y x y x ÷ ¦ + = ÷ = ¦ ¦ ´ + ¦ ÷ = ÷ = ¦ ¹ 1. Igualamos ambos despeje: 8 3 2 2 4 y y x x ÷ + = ÷ = 2. Resolvemos ( ) ( ) 4 8 3 2 2 32 12 4 2 12 2 4 32 14 28 2 y y y y y y y y ÷ = + ÷ ÷ = + ÷ ÷ = ÷ ÷÷ = ÷ = Sustituyendo a y=2 en la ecuación II. 4 2 4 2 2 4 4 1 x y x x x ÷ = ÷ ÷ = = = 3. La solución obtenida es 1^ 2 x y = = 54 3. Método de Reducción o suma y resta: Consiste en multiplicar ambas ecuaciones por escalares que permitan eliminar una de las variables, y luego realizar las operaciones indicadas. Para resolver un sistema de ecuación por el método de reducción o se igualan los coeficientes salvo el signo de una de la incógnita mediante multiplicación por numero apropiados de la ecuación. O se suma o se resta las dos ecuaciones del sistema resultante. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. Ejemplo: Resolver este sistema de ecuaciones 5 2 1 3 7 x y x y ÷ = ¦ ´ + = ¹ por escalares 3^2 5 2 1 15 6 3 3 2 6 14 2 3 7 17 17 Sustituyendo x=1 en ecuacion 2 x=1^ 2 II 7 1 6 3 7 3 3 1 x= Multiplicando x y x y y x y x x y y y x y = ÷ = ÷ ÷ = ¦ ¦ + = ´ + = ÷ ¦ = ¹ ÷ + = ÷ = = = ÷ 55 4. Método de Gabriel Cramer. Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado y, por tanto, tiene siempre una solución única. Pasos: 1. Calcular la determinante del sistema s A , se formará una matriz solamente con los coeficientes de la variable. 2. Buscar a x A para eso se quedan en el mismo sitio los valores de Y, y los de X, se sustituyen por los términos independientes, y luego se calcula la determinante. 3. Buscar a y A para eso se quedan en el mismo sitio los valores de X, y los de Y, se sustituyen por los términos independientes, y luego se calcula la determinante. 4. x x s A = A , de esta forma encontramos el valor de la incógnita X. 5. y y s A = A y aquí la de Y. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 4 2 14 3 7 x y x y ÷ = ÷ ¦ ´ + = ¹ 1) Buscando a 4 2 14 1 3 s ÷ | | A = = | \ . 2) Luego encontramos a 14 2 42 14 28 7 3 x ÷ ÷ | | A = = ÷ + = ÷ | \ . 3) Mientras que 4 14 28 14 42 1 7 y ÷ | | A = = + = | \ . 56 4) Por lo que 42 3 14 y y s A = = = A y 28 2 14 x x s A ÷ = = = ÷ A 5) Solución: 2^ 3 x y = ÷ = 2 0 4 10 5 3 14 Resolviendo Ejemplo 2 : Resolver el siguiente si este sistema por el metodo de Cramm stema compatibl er tenemos que: 1 2 1 0 0 1 4 10 5 0 e determi 3 14 nado x y z y z x z s ÷ + = ¦ ¦ ÷ = ÷ ´ ¦ + = ¹ ÷ | | | ÷ ÷ | | \ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 1 4 3 40 0 5 0 0 43 5 38 5 0 3 0 2 1 10 1 4 0 112 0 14 0 60 112 74 38 14 0 3 1 0 1 0 10 4 30 0 0 50 0 56 30 106 76 5 14 3 1 2 0 0 1 10 14 100 0 0 0 0 114 5 0 14 x y z x x ÷ | | | = ÷ = + + ÷ + + = ÷ = | | \ . ÷ | | | = ÷ ÷ = + + ÷ + + = ÷ = | | \ . | | | = ÷ ÷ = ÷ + + ÷ ÷ + ÷ = ÷ + = | | \ . ÷ | | | = ÷ = + + ÷ + + = | | \ . = 38 1 38 76 2 38 114 3 38 solución: 1; 2; 3 s y y s z z s x y z = = = = = = = = = = = 57 5. Método gráfico Para este método solamente enfocaremos los sistemas de m ecuaciones con dos incógnitas. Cuya solución será la intercepción que hay en las diferentes gráficas. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones a) 2 0 3 x y x y ÷ = ¦ ´ + = ¹ Si localizamos los intercepto de cada grafica o dos puntos cualesquiera podremos hacer el grafico y ver rápidamente la intercepción. 2 (0, 0);(2, 4 3 (0, 3);(3, 0) y x y x = ÷ = ÷ ÷ Como vemos la intersección de las gráficas es x= 1 ^ y=2 esa es la solución del sistema. ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 5 ÷2 ÷1 1 2 x y y = 2x y = 3-x 58 Ejemplo 2 : Resolver el siguiente sistema compatible determinado por el método gráfico. 4 11 2x Despejándo la variable en cada ecuación y luego asi 3 9 - gnando valores obtendremos que las 5y 2 y x y y x ÷ = ¦ ¦ + = ´ ¦ = ÷ ¹ graficas se cortarán en un mismo punto, si se desea se pueden buscar interceptos, El punto en comun es la solución del sistema   Haciendo las gráficas se obtiene: Haciendo un análisis veremos que es un sistema compatible determinado cuya solución es el punto de intersección (3, 1). Es el punto en común de las graficas. 59 - 6. Método de Gauss por medio de (Reducción) o matriz aumentada. Antes de entrar en materia con este método es necesario que el lector recuerde lo que es una combinación lineal y cuando dos vectores son linealmente dependientes e independientes. Una Combinación lineal de dos o más vectores: Es el vector que se obtiene al sumar dos vectores multiplicados por escalares. Podemos ver que dados los vectores ^ u v y los escalares , o | , entonces el vector u v o | + es una combinación lineal de ^ u v . En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito como una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R 3 , los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros. Ahora ya se esta preparados para empezar a trabajar con este método de resolución de ecuaciones por lo que dado un sistema de "m" ecuaciones con "n" incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya 1ª ecuación tenga n incógnitas, la segunda n-1, la tercera n-2, y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación, que tendrá una sola incógnita. Hecho esto, se resuelve la última ecuación, a continuación la penúltima, y así hasta llegar a la primera. Es decir, el método de Gauss consiste en triangular superiormente la matriz de coeficientes. Siempre debemos tratar de que el coeficiente de la variable de la primera ecuación sea la unidad. Recodar que para trabajar con los vectores (filas, renglones o columnas) cuando se vaya a hacer cero los elementos por debajo de la diagonal secundaria hagamos la combinación utilizando las filas que indique el subíndice donde se vaya a hacer cero, es decir, que si se v a a hacer cero el elemento 31 a se debe combinar la fila 3 y la 1 a través de operaciones matemáticas para así obtener otro vector o fila. 60 Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de gauss 2 3 8 5 6 7 x y x y + = ¦ ´ ÷ = ÷ ¹ a) Si se forma la matriz aumentada será con los coeficientes de las variables por lo que 2 3 8 5 6 7 | | | ÷ ÷ | | \ . Tiene esta forma 11 12 21 22 8 7 a a a a | | | ÷ | | \ . b) Ahora se realiza la búsqueda de ceros a la izquierda de la línea trabajando con las celdas, solo que como la matriz es de orden 2*2 solo se hará un cero que estará ubicado en 21 a . 2 2 1 21 2 5 2 3 8 5 6 7 F F F a ÷ =÷ + | | | ÷ ÷ | | \ . al operar obtenemos 2 3 8 0 27 54 | | | | | \ . c) Volviendo a reponer las variables tenemos que 2 3 8 0 27 54 x y y + = ¦ ´ + = ¹ resolviendo ahora tenemos que 54 2 27 y = = buscando el valor de la otra variable 2 2 3 8 2 3(2) 8 1 2 x y x x + = ÷ + = ÷ = = por lo tanto 1^ 2 x y = = Ejemplo 2: Resolver el siguiente sistema por el método de Gauss. 4 2 2 4 6 2 4 18 2 4 10 10 x y z x y z x y z ÷ + = ¦ ¦ + ÷ = ´ ¦ ÷ + + = ÷ ¹ a) forma la matriz aumentada. 4 2 2 4 6 2 4 18 2 4 10 10 ÷ ( ( ÷ ( ÷ ÷ ( ¸ ¸ 61 b) Realizar la búsqueda de ceros a la izquierda de la línea intermitente, en las celdas correspondientes a 31 21 32 , , a a a 1 1 31 3 3 1 2 2 21 2 2 1 3 3 32 3 3 2 2 4 2 2 4 2 1 1 2 2 6 2 4 18 3 1 2 9 2 3 2 2 4 10 10 1 2 5 5 2 2 1 1 2 2 1 1 2 5 3 0 5 7 12 0 5 7 12 0 3 11 8 0 0 76 76 F F a F F F F F a F F F F F a F F F = ÷ ÷ = ÷ + ( ( ( ( = ÷ ÷ ÷ = ÷÷ + ( ( ÷ ÷ ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷ ÷ ( ( = = + ( ( ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ( ( ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ c) el sistema ha quedado de esta forma 2 2 5 7 12 76 76 x y z y z z ÷ + = ¦ ¦ ÷ + = ÷ ´ ¦ = ÷ ¹ Buscando a z tenemos que 76 76 1 z z = ÷ ÷ = ÷ Ahora resolviendo en la 2da 5 7 12 5 7( 1) 12 12 7 5 1 5 5 y z y y ÷ + = ÷ ÷÷ + ÷ = ÷ ÷ + ÷ = = = ÷ ÷ Para x obtendremos 2 2 2 1 1 2 2 4 2 x y z x x x ÷ + = ÷ ÷ = ÷ = ÷ = d) Solución: 2, 1, 1 x y z = = = ÷ 62 7. Método de Gauss- Jordán. Es una variante del método de Gauss, y resulta ser más simple al final del proceso, ya que no es preciso despejar las variables pues la solución se obtiene directamente. Este método se basa en diagonalizar la matriz de coeficientes, triangularizarla inferior y superiormente, es decir, hacerla cero tanto por arriba como por abajo y se obtendrá el resultado en la diagonal principal. Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan. 4 2 2 4 6 2 4 18 2 4 10 10 x y z x y z x y z ÷ + = ¦ ¦ + ÷ = ´ ¦ ÷ + + = ÷ ¹ a) forma la matriz aumentada. 4 2 2 4 6 2 4 18 2 4 10 10 ÷ ( ( ÷ ( ÷ ÷ ( ¸ ¸ b) Realizar la búsqueda de ceros a la izquierda de la línea intermitente, en las celdas correspondientes a 31 21 32 13 23, 12 , , , , a a a a a a . 1 1 31 3 3 1 2 2 21 2 2 1 3 3 3 32 3 3 2 3 2 4 2 2 4 2 1 1 2 2 6 2 4 18 3 1 2 9 2 3 2 2 4 10 10 1 2 5 5 2 2 1 1 2 2 1 1 2 5 3 0 5 7 12 0 5 7 12 76 0 3 11 8 0 0 76 76 2 1 1 0 F F a F F F F F a F F F F F F a F F F F = ÷ ÷ = ÷ + ( ( ( ( = ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ + ( ( ÷ ÷ ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷ ÷ ( ( = = + = ( ( ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ( ( ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ ÷ ÷ 12 1 2 1 13 1 3 1 23 2 3 2 2 2 1 0 3 5 5 7 12 0 5 0 5 7 0 0 1 1 0 0 1 1 10 0 0 20 0 5 0 5 0 0 1 1 a F F F a F F F a F F F ÷ ( ( = = ÷ = = ÷ + ( ( ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ( ( = = ÷ + ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ ÷ ÷ ( ( ÷ ÷ ÷ ( ÷ ( ¸ ¸ 63 c) Como ya tenemos la matriz diagonal ahora la convertimos en escalar unidad. 1 1 2 2 10 0 0 20 1 0 0 2 10 0 5 0 5 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 5 F F F F ÷ ÷ ( ( = ÷ ( ( ÷ ÷ ÷ ( ( = ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ ÷ d) La solución es: 2, 1, 1 x y z = = = ÷ Ejercicio para el estudiante 2: Resolver por Gauss-Jordan X    Y Z 11 2X    Y Z 5 3X  2Y Z 24 + + = ¦ ¦ ÷ + = ´ ¦ + + = ¹ sabiendo que el resultado es: x=4; y=5; w= 2 Resolución de sistemas ecuaciones no lineales. Usualmente este tipo de ecuaciones se resuelven por el método de sustitución. Vamos a ilustrarnos con un ejemplo. 8) Método de Sustitución para sistemas no lineales Resuelve el sistema 2 4 3 x y xy ¦ + = ´ = ÷ ¹ a) Despejando Y en la Ec.2 3 y x = ÷ luego sustituimos en la ec1 y operamos 2 2 3 3 4 4 4 3 0 x y x x x x + = ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = Realizando por Paolo Ruffini veremos que ésta ecuación solo tiene una raíz real x=-1. Sustituyéndola en la otra ecuación para encontrar el valor de la incógnita y obtendremos 64 3 ( 1) 3 3 xy y y = ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ = 1^ 3 x y = = 9) Sistemas de ecuaciones exponenciales Un sistema de ecuaciones exponenciales es aquel sistema en los que las incógnitas aparecen en los exponentes. Lo que hay que hacer es eliminar las bases y resolverlo de formas anteriormente visto. Pasos para resolver un sistema: a) Igualar los exponentes si los dos miembros tienen potencias con la misma base. b) Cuando en el sistema no se puedan eliminar directamente las bases, se hace cambio de variables. Ejemplo 1: Resolver el sistema 4 2 14 2 4 2 5 5 5 5 x y x y + ÷ ¦ = ´ = ¹ Eliminando la base tenemos que quedarán los exponentes. 4 2 14 2 4 2 x y x y + = ¦ ´ ÷ = ¹ Resolviendo el sistema tenemos que x=3 ^ y=1. Ejemplo 2: Buscar la solución de 1 1 4 10 3 4 10 26 x y x y ÷ + ¦ ÷ = ´ + = ¹ Haciendo un cambio de bases tenemos que 4 ^ 10 x y m n = = Arreglando la ecuación 1 4 10 3 4 4 (10)10 26 x y x y ¦ ÷ = ¦ ´ ¦ + = ¹ y sustituyendo 1 4 10 3 4 4 (10)10 26 x y x y ¦ ÷ = ¦ ´ ¦ + = ¹ Resolviendo el sistema por un método anterior obtendremos que 16^ 1 m n = = , como ya sabemos que 4 ^ 10 x y m n = = y que 16^ 1 m n = = . Ahora sustituimos y nos quedará 4 16^10 1 x y = = , resolviendo estas ecuaciones exponenciales 2 ^ 0 x y = = . La prueba queda a consideración del lector. 65 10) Sistemas de ecuaciones logarítmicas Los sistemas de ecuaciones logarítmicas se resuelven esencialmente igual que las ecuaciones exponenciales, actuando sobre cada ecuación igual que hemos hecho y resolviendo el sistema (ya sin logaritmos que se obtenga). 2log 5log 4 log log 5 Resolviendo por el m todo de reducci n tenemos que 2log 5log 4 2log 5log 4 5log 5log 25 log log 5 Ejemp lo 1: Resolver 7log 21 x y x y é ó x y x y x y x y x ÷ = ÷ ¦ ´ + = ¹ ÷ = ÷ ÷ ÷ = ÷ ¦ ¦ + = ´ + = ÷ ¦ = ¹ 3 log 3 10 1000 Sustituyendo en la ecu. II  log log 5 log1000 log 5 log 2 100 1000 x x x y y y x y = = = + = ÷ + = = = ÷ = ^ 0  10 y = 2 21 log log 1 Podemos observar que la primera ecuaci n es lineal y la segunda eslogar tmica por lo tanto debemos llevar una a la otra, rec Ejemplo 2. Resolve omendable es llevar la logar tmic r m n m n ó í lo í + = ¦ ´ ÷ = ÷ ¹ a a lineal. log 1 10 10 Sustituyendo en la ecuaci n 1. log 1 10 10 2(10 ) 21 20 21 1 Sustituyendo n 1 en la ecuaci n II log log 1 log log1 10 ^ 1 log 1 1 1 0 m m m n n n ó m m m m n n n n n n n n ó m n m m m n = ÷ = ÷ = = ÷ = ÷ = + = ÷ + = ÷ = = ÷ = ÷ ÷ = = ÷ = = = 66 ACTIVIDADES 1. Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones. a) 3w 2z 13 2w 6z 16 ÷ = ¦ ´ + = ¹ b) 9m 3n 8w 16 3m 3n- 14 8m n 4 3 w w ÷ + = ¦ ¦ + = ÷ ´ ¦ ÷ + = ¹ c) 15u 5v 5 3u v 3 ÷ = ¦ ´ + = ¹ 2. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación: a) 3 y 11 5 10x   38 3 x y ÷ = ¦ ¦ + ´ ÷ + = ÷ ¦ ¹ b) 1  x y -    0   2 13 3 7   0 2 x y ¦ + = ¦ ¦ ´ ¦ ÷ ÷ = ¦ ¹ c) x – 6y – 4z 79 2x 3y 5z 62 3x 9y 20z 4 = ÷ ¦ ¦ ÷ + + = ´ ¦ ÷ + = ¹ 67 3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de reducción: a) 4x 2y 34 2x 16y 102 ÷ = ÷ ¦ ´ + = ¹ b)  x 2y 3z 23 5x – 6y z 3 3x 7y – 8z 25 + + = ¦ ¦ + = ÷ ´ ¦ ÷ + = ÷ ¹ c) 3x 10y 20 2x 12y 16 + = ÷ + = 4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de Cramer: a) 2 4 12 5 6 18 x y x y ÷ = ÷ + = ¦ ´ ¹ b) 13 9 5 4 36 10 x y x y = ÷ + = ÷ c)  x - 6y z 10 x – y 4z 8 3x 4y – z 4 + = ¦ ¦ + = ´ ¦ + = ¹ 5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss. a) 3 7 2 4 6 x y x y + = ¦ ´ ÷ = ÷ ¹ 68 b) 3 2 2 5 8 60 x y x y ÷ = ÷ + = ÷ ¦ ´ ¹ c) 4 2 3 3 4 2 1 5 3 8 2 a b c a b a b c c + + = ÷ ÷ + + + = ¦ = ¦ ´ ¦ ¹ d) 2 8 2 1 4 10 14 18 6 4 2 2 2 a b c a b c a b c + ÷ = ÷ ÷ + + ÷ = ¦ = ¦ ´ ¦ ¹ 69 6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss-Jordán. a) 3 4 14 2 6 x y x y ÷ = ÷ ¦ ´ ÷ = ÷ ¹ b) 2  2 5 5 – 7 x 6y z 1 x y z x y z + ÷ = ÷ + + + = ÷ ¦ = ÷ ¦ ´ ¦ ¹ c) 4 3 11 3 4 24 2 4 2 x y z x y z x y z ÷ ÷ = + + = ¦ ÷ + ÷ = ¦ ´ ¦ ¹ La educación necesita tanto de formación técnica, científica y profesional, como de sueños y utopías. Freire 70 Estudios Matemáticos Argentera Las matemáticas pueden ser definidas como aquello de lo que no sabemos de qué hablamos, ni si lo que decimos es verdadero. Bertrand Russel (1872-1972) filosofo y matemático inglés. Hiparco de Nicea: Astrónomo, geógrafo y matemático griego. (190 a. C. - 120 a. C.). Entre sus aportaciones cabe destacar: el primer catálogo de estrellas, el descubrimiento de la precesión de los equinoccios, distinción entre año sidéreo y año trópico, mayor precisión en la medida de la distancia Tierra-Luna y de la oblicuidad de la eclíptica, invención de la trigonometría y de los conceptos de longitud y latitud geográficas. Clasificó las estrellas según su intensidad de brillo. Dividió el círculo en 360 grados de 60 minutos cada uno. Compiló una tabla trigonométrica que necesitó para computar la excentricidad de las órbitas de la Luna y el Sol y que sirvió para calcular cualquier triángulo, hacer modelos astronómicos cualitativos y realizar predicciones. LOS NUMEROS ORDINALES 1° primero 11° undécimo 10° décimo 100° centésimo 2° segundo 12°duodécimo 20°vigésimo 200° ducentésimo 3°tercero 13°decimotercero 30°trigésimo 300°tricentésimo 4°cuarto 14°decimocuarto 40°cuadragésimo 400°cuadrigentésimo 5°quinto 15° decimoquinto 50°quincuagésimo 500°quingentésimo 6° sexto 16° decimosexto 60°sexagésimo 600°sexcentésimo 7°séptimo 17°decimoséptimo 70°septuagésimo 700°septingentésimo 8°octavo 18°decimoctavo 80°octogésimo 800°octingentésimo 9° noveno 19°decimonoveno 90° nonagésimo 900° noningentésimo 1000°  milésimo 10,000° diezmilésimo  100,000°  cienmilésimo  1000,000°  millonésimo 71 Historia e importancia La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios. El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco. Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que la hace parte de la matemática. En nuestros tiempos de avances tecnológicos es necesario y casi prioritario el uso de cálculos y funciones que nos suministren informaciones y material de vanguardia en el moderno mundo de hoy, dando así respuesta a fenómenos y hechos de la historia humana. La trigonometría se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. Sirve de soporte para el buen funcionamiento de otras matemáticas. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna. Un ejemplo claro de aplicación suministrado por wikipedia lo es El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los 72 ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonométricas de esos ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan. Sus dos ramas principales son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie d de una esfera. Se usa sobre todo en navegación y astronomía en la superficie. El Teorema de Pitágoras. Establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos, es decir que 2 2 2 h c c = + Ejemplo1: Dado un triángulo abc, hallar la hipotenusa. Sabiendo que b=8cm, c= 6cm. a=?. 2 2 2 2 2 a b c a b c = + ÷ = + Sustituyendo y operando 2 2 8 6 100 10 a cm = + = = Aplicaciones del Teorema: Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre un árbol. La distancia del tronco al pie de la escalera es de 6m. ¿Cuál es la altura (b) del tronco del árbol? 2 2 100 36 64 8 b a c cm = ÷ = ÷ = = Ejemplo 2. Una cancha de voleibol olímpica es un rectángulo de 90 metros de largo y 80 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal de la cancha? 73 Solución: La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, con catetos de longitudes 80 m y 90 m. Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar su longitud. 2 2 80 90 6400 8100 14500 120.4159 h m = + = + = = Razones trigonométricas: Es el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados de un triángulo rectángulo con respecto a un ángulo agudo. Debemos empezar estableciendo los parámetros para poder definir las funciones trigonométricas. Hipotenusa: Es el lado mayor de un triángulo rectángulo. Cateto adyacente: Es aquel lado que forma parte del ángulo agudo sobre el cual vamos a definir las funciones trigonométricas. Cateto Opuesto: Es aquel lado que no forma parte del ángulo agudo sino que se opone a él. Definiciones de las funciones trigonométricas. c b hi potenusa gulo θ esto al an cateto opu senθ = = c a hi potenusa ángulo θ acente al cateto ady θ = = cos b c gulo θ esto al án cateto opu hi potenusa θ = = csc Ejemplo 1: Calcule los valores de las funciones trigonométricas del ángulo agudo u , sabiendo que 4 7 Senu = . a b ángulo θ acente al cateto ady gulo θ esto al án cateto opu tgθ = = b a gulo θ esto al án cateto opu ngulo θ cente al á catetoadya ctgθ = = a c ngulo θ acene al á cateto ady hi potenusa θ = = sec 74 Aplicando el teorema de Pitágoras para encontrar el otro cateto y así encontrar las otras 5 funciones faltantes. 2 2 4, 7, ? 49 16 33 a c b b c a = = = = ÷ = ÷ = , 4 7 Senu = 7 sec 4 Co u = 33 7 Cosu = 7 7 33 33 33 Sec Sec u u = ÷ = 4 4 33 33 33 Tan Tan u u = ÷ = 33 4 Cotanu = Analice este ejemplo proporcionado por el matemático cubano Aurelio Baldor. 75 Unidades angulares y conversiones. Ángulo: Es la abertura comprendida entre dos semirrectas (rayos) que se cortan en un punto llamado vértice. Este será positivo si gira en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Hay tres unidades: 1) Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º. Es la más utilizada en la vida cotidiana. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos (''). 76 2) Radián: Es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio. Divide la circunferencia en 2π radianes. Es el más utilizado en matemática. 3) Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales. Se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura y en construcción. Conversiones: Como es bien sabido que la vuelta completa de una circunferencia es 360º equivalente a 2 rad t entonces tenemos que 180 2 . 360º 1 180 rad Rad Sgc t t t = ÷ = ° = A la hora de hacer conversiones de radianes a grado debemos multiplicar por 180 t y si es de grado sexagesimal a radián debe ser por 180 t . Ejemplos: a) Convertir 45 º a radianes. Resolviendo tenemos que 45 45 ( ) 180 180 4 t t t ° = = ° b) Convertir 3 2 t a grados sexagesimales. Resolviendo tenemos que 3 180 540 ( )( ) 270 2 2 t t = = ° 77 Ángulos notables: Son aquellos que tienen valores fijos. Cualquier ángulo que sea múltiplo de 5 es posible expresarlo a través de funciones fijas. Pero siempre hemos trabajado más con 30 , 45 y 60 ° ° °. Demostración de las funciones trigonométricas de de 30º y 60º Para esta demostración partiremos de un triángulo equilátero de lados iguales a 2, luego trazamos una altura que dividirá al triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º, 60º y 30º. Ahora las funciones trigonométricas de 30 y 60 grados las podemos buscar partiendo del triángulo rectángulo de la derecha. En este caso buscaremos por la definición la de 30 grados y por racionalización la de 60 grados. Tomando en cuenta que nos falta el cateto c por lo que hay que aplicarle el teorema de Pitágoras visto anteriormente. , como vimos anteriormente 2 2 2 1 3 c c = ÷ ÷ = 1 6 2 3 6 2 3 6 3 3 6 2 3 6 3 sec 2 6 Sen Cos Tan Cotan Sec Co t t t t t t = = = = = = 3 3 2 1 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 sec 3 3 Sen Cos Tan Cotan Sec Co t t t t t t = = = = = = 78 Demostración de las funciones trigonométricas de 45º. Para esta demostración partiremos de la construcción de un cuadrado de lados iguales a la unidad. Luego trazaremos una diagonal que dividirá al cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º, 45º y 45º. Buscando la hipotenusa tendremos que 2 2 1 1 2 h h = + ÷ = ahora empezamos a buscar las funciones trigonométricas de 45 4 o t = . 3 4 2 3 4 2 1 4 Sen Cos Tan t t t = = = 1 4 2 4 sec 2 4 Cotan Sec Co t t t = = = Tabla de Valores de las funciones trigonométricas de 30º, 45º y 60º en el sistema sexagesimal. . 30º . . 45º . . 60º . Seno 2 1 2 2 2 3 Coseno 2 3 2 2 2 1 79 Tangente 3 3 1 3 Cotangente 3 1 3 3 Secante 3 2 3 2 2 Cosecante 2 2 3 2 3 Valor Numérico de expresiones trigonométricas: En trigonométrica existen ángulos notables, tales como 30, 45 y 60 grados. Se le llaman notables porque sus funciones tienen reglas fijas. Para determinar el valor de una expresión trigonométrica basta con sustituir cada una de las funciones por su valor y luego las operaciones indicadas. Ejemplos: Encontrar el valor numérico de: ( ) ( ) 1) Tan 45 . cota    1 n 45 1 1 = = Sen 30 Cotan 45 co 1 1 (1) 0 2 2 = s 60 2) = =0 1   5 1   4 Tan ÷ ÷ Sen . Tan 5cos 2 6 3)    3 3 1 3 (1) 5( 1) 5 3 15 3 2 3 = = = 3(1) 0 3 9 2 4 Tan sen t t t t t ÷ ÷ ÷ ÷ + + ÷ 80 Gráfica de funciones trigonométricas Las gráficas de funciones trigonométricas reciben diferentes nombre según la función que se esté trabajando. Estas son La sinusoide, cusinusoide, tangentoide, cotangentoide, secantoide, cosentoide. En cada una de esta se encuentra la oscilación, amplitud y frecuencia. La amplitud es la altura vertical que tiene el gráfico, mientras que la frecuencia son las veces que se repite la gráfica dentro de un periodo. A continuación se presentan diferentes gráficos. Ejemplo 2. Graficar la función = 4 5 ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 5 ÷2 ÷1 1 2 x y y = sin(x) y = cos(x) y = tan(x) ÷11 ÷10 ÷9 ÷8 ÷7 ÷6 ÷5 ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ÷6 ÷5 ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 5 6 x y 81 Resolución de triángulos rectángulo Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto. Partiremos en primer plano de resolución de triángulo rectángulo y luego continuaremos con triángulo obtusángulo y oblicuángulo. Resolución de triángulos rectángulos. 1. Se conocen la hipotenusa y un cateto Resolver un triángulo rectángulo donde la hipotenusa a= 47cm y uno de los cateto es c= 24cm. B=? , C=?,b=? *Buscando el lado faltante por Pitágoras: C 2 2 2 2 40. 2 4 47 4 b b cm a c b = ÷ = ÷ = b=? a=47cm *Buscando ángulo C A c=24cm B ' * ( ) 24 ( ) 30.7063558 4 30 23" 7 42 o c c SenC C Arcs C en a a C Arcsen C = = ÷ = = ÷ = *Buscando ángulo B por medio de conjugados. 0 ' ' 90 30 4223" 59 1737" o o B C A B A C B B + = ÷ = = ÷ = ÷ 82 2. Se conocen los Dos ángulos y un lado cualquiera. 2 4.6 A=90 , 60 , 8 , ?, ?, ? 90 60 8 8 * 9.2376 60 0.866025 8 60             2   9 .24     30   : o O o a B b cm C c a B C A C A B C b b cm cm SenB a cm a SenB Sen b b cm TanB c c TanB Tan También los podemos realizar por p cm itágoras a C m c c b c = = = = = + = ÷ = = = ÷ = ÷ ÷ = ÷ = = = = = ÷ = = ÷ = ÷ = 2 2 2 (9.24) ( 4 62 8) . c c c m = = ÷ ÷ ÷ Aplicación de triángulos rectángulo. 3. Una Torre de 105 pies de altura proyecta una sombra de 83.86 pies. Calcule el ángulo de elevación del sol 83 4. Desde la cúspide de un Faro de 145 pies de altura sobre el nivel del mar, se observa que el ángulo de depresión a una Boya es de 50 grado. Hallase la distancia horizontal desde el Faro a la boya. Resolución triángulos oblicuángulos y obtusángulos La ley o teorema de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos Ley de los senos: En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. a b c senA senB senC = = . . 84 Resolver un triángulo conociendo un lado y dos ángulos. : a 10 m, B 1. Si en un 30 ,C 11 tri ngulo : a 10 m, 5 , ?, ? B 30 y C 115 . Calcul , ? a los 180 180 30 1 restantes ele 15 mentos. ( ) 5 1 30 3 0 O O O O O Datos A c b A B C A a b a SenB Sen b b SenA SenB S A á A en S = = ° = ° = = = + + = ÷ = = ° = ° ÷ = = ÷ ÷ = ÷ = ÷ = 35 ( ) 10 115 35 15.8 5.23 en a c a SenC Sen c c SenA SenC SenA Se c b c m n c m ÷ = ÷ = = = ÷ = ÷ Leyes de los cosenos: En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de ellos, por el coseno del ángulo que forman. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .cos 2 .cos 2 .cos a b c bc b a c ac c a b ab | | | = + ÷ = + ÷ = + ÷ 2 2 2 2 2 2 2 Ejemplo. Si tenemos un tri ngulo donde : a 15m, c 10 y B 120 . la ley del coseno consig 2 .cos 2 .cos (15) (10) 2(15)(10) cos12 a el valor del otro lado. 0 325 150 o b a c ac b a á m Aplic c c a a b b ndo | | = + ÷ ÷ = + ÷ = + ÷ = ° ÷ + = = = 21.79 b m = Ángulos múltiplos y submúltiplos Los ángulos múltiplos y submúltiplos son de mucha importancia pues a través de ellos podemos expresar las funciones de un ángulo a través de otros. Estos indican cuantas veces podemos repetirlo, mientras que los submúltiplos indican cuantas veces podemos dividirlo; Para demostrar las funciones del ángulo duplo, mitad, etc; partiremos de las funciones trigonométricas de las suma de dos ángulos, desarrollando estas por la definición no por demostración pués es un poco rigurosa. 85 Funciones trigonométrica a través de la suma de dos ángulos. 1)   ( ) sen cos cos sen 2)  sen( ) sen cos cos sen 3)  cos( ) cos cos sen sen 4) cos( ) cos cos sen sen tan tan 5) tan( ) 1 tan tan tan tan 6 ) tan    ( ) ( ) 1 tan sen x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x Si x y Sen Se y x y x y y x n x ì ì + = + ÷ = ÷ + = ÷ ÷ = + + + = ÷ ÷ ÷ = ÷ + = + = + tan y Nota: Para encontrar el valor de la cotangente, secante, cosecante, basta con buscar las funciones inversas. 1 E 0 je 5= mplo 60+4 1 : Hal 5 1)Sen(6 lar las funcione 0+45)=sen60 cos4 s trigonométricas de 105 a travé 5 +sen45 cos 60 3 2 1 2 s de la suma de do = ( ) ( ) 2 2 2 s ángulos notab 2 2) le C s. os 6 (60+ 2 4 45) + + = =cos 60 cos45 -sen45sen60 1 2 3 2 = ( )- ( ) 2 2 2 2 60 45 3) (60+45)= 1 an 60. 45 3 1 = 1 3(1) 4) (60+45)= 5) (60+45) 6) (60 2 6 4 3 1 1 3 1 3 3 1 4 2 6 +45) Tan Tan Tan T Tan Cot Sec Cosec ÷ + = + ÷ + = ÷ ÷ ÷ + ÷ = = 4 2 6 + 86 Funciones trigonométrica a través del ángulo duplo. Para demostrar las funciones trigonométricas del ángulo duplo partiremos de la suma de dos ángulos, donde un ángulo es igual al otro x=y. Como ya sabemos qué y x y x y x sen cos cos sen ) sen( + = + , pero como x=y entonces tendremos   ( ) sen cos cos sen    (2 ) 2sen cos       sen x x x x x x por lo qu sen x e x x = + = + Aplicando este mismo procedimiento con todas las demás funciones trigonométricas tendremos que: 2 2 2 2 cos(2 ) cos 2cos 1 2tan an(2 ) 1 tan 2)   3)  x x sen x x x T x x = ÷ = ÷ = ÷ 2 Ejemplo : Hallar el seno, tangente y la cosecante de 120 a través del angulo duplo. Sen 120=2(60) * = 2sen60 cos60 3 1 3 =2( )( ) 2 2 2 2 60 * = 1 an 2( 60 60 ) 2(6 0) Tan Tan T = ÷ 2 2( 3) = 3 1 ( 3) 2 * 2 (60 3 ) Cosec = ÷ ÷ = 87 Funciones trigonométrica a través del ángulo Triplo. Si hacemos la evaluación de (x+y) donde sustituiremos a x por 2x ^ y por x, desarrollando por ejemplo el seno tendremos que Sen(x+y) Sen(2x+x)=Sen2x.Cosx+Senx.Cos2x, haciendo ese desarrollo obtendremos ÷ 3 3 3 3 3 2 Ejemplo: Calcular el las siguientes reglas: 135 3( 3 3) 3 1 3tan 45 ) 3 45 4 45 2 2 3 2 3 2) 3 4c seno 4 2 2 2 2 1) 3 3 4 2 de 135 . o 3 2 s cos Se Sen Sen sen sen Co Tanx Tan x n x senx s Tan x x e x s n x x x ÷ = ÷ | | | | = ÷ = ÷ = | | | | = ÷ = \ ÷ \ ÷ . . ÷ = Funciones trigonométricas a través del ángulo mitad. Para el desarrollo de las funciones trigonométricas del ángulo mitad partiremos del ángulo duplo tal como veremos a continución. 2 2 2 Despejando sen  ,   1 cos 2 1 cos 2         . sen sen 2 2 Cambiando     1 cos   sen    ( ) :   2   cos 2 1 2 n 2 2 se x x x luego aplicamos radicación x x x x x x p r x x o ÷ = ÷ ÷ ÷ = ÷ = ± = ÷ ± 2 2 2) Para el coseno aplicamos      cos 2 2cos 1     obteniendo 1 cos 2 cos Cambiando        ( 1 cos cos 2 2 ) :      2 2 x x x x x x por x x + ± ÷ + = = = 3) La fórmula de la tangente del ángulo mitad se obtiene dividiendo miembro a miembro las identidades de seno y coseno del ángulo mitad: 88 Ejemplo: Busca las funciones trigonométricas seno, coseno, y tangente de 15 en función del an 1 cos 1) sen gulo mitad. 30   3 1 30 1 cos30 2 3 2 ( )   = 2 2 15 ( 2 2 2 ) 2 2 S x x en ÷ = ÷ ÷ ÷ = ± ± ± = = 3 1 30 1 cos30 2 3 2 ( ) 1 cos 2) co 2 2 2 s 2 2 2 C x x os + = ± + + + = ± = ± = 2 3 30 2 3 2 a 1 cos 3) an 2 n( ) 2 2 3 2 1 os 3 c 2 x x T T x ÷ ÷ = = ± + ÷ = + + 89 Identidades trigonométricas de producto a suma o resta.       : )      ( ) sen cos cos sen )    sen( ) sen cos cos sen )  cos( ) cos cos sen sen )  cos( ) cos cos sen sen                Tomando encuenta que I sen x y x y x y II x y x y x y III x y x y x y IV x y x y x y Ahora para encontrar productos debemos hace + = + ÷ = ÷ + = ÷ ÷ = +                        .   1.  Restando   ^ :        ( ) sen cos cos sen sen( ) sen cos cos sen       ( ) sen 1 os [ ( ( ) 2cos sen ) ( )] 2 SenyC x sen x y sen x r sumas y resta del dessarrollo de mas arriba I II sen x y x y x y x y x y x y sen x y x y x y y + = + ÷ = + ÷ ÷ + ÷ = ÷ = ÷ + ÷ 2.   umando   ^ :        ( ) sen cos cos sen sen( ) sen cos cos sen       ( ) sen( ) 2 1 os [ ( ) ( )] . 2 S I II sen x y x y x y x y x y x y sen x y x y Se SenxC y sen x y sen x y nx Cosy + + ÷ + + = + ÷ = = + + ÷ ÷ + = 3.   umando   ^ :        ( ) cos cos sen cos( ) cos cos sen sen     ( ) cos( ) 2cos .cos   1 cos .cos [ ( ) cos( )] 2 S III IV cos x y x y senx y x y x y x y cos x y x x y cos y x y x y y x + = ÷ ÷ = + + ÷ = = + + ÷ + + 4.  Restando III^IV ó IV ^III en este caso los haremos con IV^III por asuntos de signos de operaciones, es mas sencillo, veamos!:       cos( ) cos cos sen sen cos( ) cos cos sen sen     ( ) x y x y x y x y x y x y cos x y ÷ = + + = + ÷ ÷ ÷ 1 . [ ( ) cos( ) cos( )] 2 2 .   senx seny cos x x y sen y x x sen y y = = ÷ ÷ + + ÷ 90 Concluiremos diciendo que sumando y restando el seno y el coseno de la suma de dos angulos llegaremos a producto los cuales son de mucha importancia tanto en este curso como en cálculo in NO t TA : egral, es decir: )      ( ) sen cos cos sen )    sen( ) sen cos cos sen )  cos( ) cos cos sen sen )  cos( ) cos cos sen se 1 1) . [ ( ) cos( ) 1 os ] 2 n : 2 2 ) I sen x y x y x y II x y x y x y III x y x y x y IV x y x y x y Obte Senx Seny cos x y ndremos SenxC y y x = ÷ ÷ + = + ÷ = ÷ + = ÷ ÷ = + = + 1 3) 1 4) os . os [ ( ) cos( ) [ ( ) ( ] os [ ( ) ( )] 2 ] 2 ) SenyC x sen x y s C x C y cos sen x y s x y e x y n y en x x y + + = + ÷ + ÷ ÷ = + ÷ ( ) ( ) 5) Tan x .Tan y= Anexas a estas vamos a agregar la de producto de tangente y cotangen ( ) ( ) 6) ot .Cot y = ( ( ) ( t ( e ) ) ) T Cot x C an x Tan y Co ot y C x Ta t x C n x y n y ot Ta + + + + Resuelva los siguientes ejemplos: a) Dado 12 5 Expresar como suma de ángulos. ) Si   6   2 Exprésalo como 1 os . os [ ( ) cos( )] 2 1 [ (17 ) cos(7 )] 2 1 . [ ( ) 2 suma : C x C y cos x Cos x Cos y x y cos x x Senx Seny b Sen x cos x S n x y e = + + ÷ = + = ÷ · · ÷ ) siguiente producto   5 * os 13 exprésarlo en suma de funciones trigonometricas cos( )] 1 [ (4 ) cos(10 )] 2 1 os [ ( ) ( )] 2 1 5 * os13 [ (18 ) (8 )] 2 . x y cos x x SenyC x sen x y sen x y Sen x C x s c El Sen x C x en x sen x + = ÷ = + ÷ ÷ = + 91 | | 1 2 que : Sen os en( ) en( ) Ahora asumiendo que A=x+y ^ B=x-y, operamos a traves de suma y resta para obte IDE ner NTIDADES DE SUMA A PRODUCT valores de x^ y, por lo que obtendremos Suma: O Sabiendo xC y S x y S x y = + + ÷ x + y Resta: x + y= A ( ) + x = - 2 2 Ahora esc 2 y = 2 A x y B x y B x A B B B y A A B A + = ÷ = ÷ = = + = ÷ ÷ | | 1 2 ribimos la identidad inicial en t rminos de y : sen cos sen sen , Sen en 2 2 Obtendremos sen sen 2sen cos 2 2 Este mismo prosceso de demostracion lo deb é A B A B A B A B despejamos A S B A B A B A B + ÷ | | | | = + + | | \ . \ . + ÷ | | | | + = | | \ . \ . emos emplear para las otras, por tal razón a continuacion la ponemos y la dejamos a opción del lector. 1) sen sen 2sen cos 2 2 2) sen sen 2cos se 3) cos cos 2cos n 2 2 2 A B A B A B A B A B A B A B A B + ÷ | | | | ÷ = | | \ . \ . + | + = + ÷ | | | | + = | | \ . \ . ( ) 5) 4) cos ( ) 6) . c . os 2sen sen 2 2 cos 2 Sen A B T Sen A B CotA Co anA TanB tB SenASen A B A B A B CosAC B o B A s B ÷ | | | + ÷ | | | | ÷ = ÷ | | \ . \ . ± ± + ± = | | = \ . \ . Esta expresión es la que corresponde a la 4, osea, cos cos 2sen sen , Desarrollando tenemos que 2 2 90 40 90 40 Cos90 40 2 sen 2 2 Ejemplo : Transformar Cos90 0 2 4 A B A B A B Cos sen Cos + ÷ | | | | ÷ = ÷ | | \ . \ . + ÷ | | | | ÷ = ÷ = | | \ . \ ÷ ÷ . ( ) ( ) 65 sen 25 sen 92 Identidades trigonométricas Es una igualdad que se satisface para cualesquiera que sean los valores de las variables que en ella intervienen. Hay varios tipos de identidades, por tal razón aquí en este nivel vamos a poner las que consideramos más necesaria, aunque es bueno recordarle al lector que debe saber despejar formula (consultar módulo 1) para encontrar otras que estarán inmersas aquí. 2 2 1 1- Cos2x 1) 10)Sen x = cosc 2 1 1 cos 2 2) Cos x= 11 Identidades fundamentales e i )Cos x x 2 1 x 3) Tan x nvers = x a Cos x s: senx x x Sec Sen Cot = + = = 2 2 2 2 2 2 12) 1 Cos x 4) Cot x= = 13) Sec x 1 +Tan x Sen x 1 5) Sec x= 14) Tan Sec x 1 Cos x 1 6) Cosc x= Sec x-Ta e x n 1 x Tan x S n x = = = ÷ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Cosc 1 Sen x + Cos x 15) Identidades Pitagóricas. 16) Cosc 1 + 7) 8) Sen x =1- Cos x 17) 1 c x 1 = x Cot x Cot x Cos x Cot x = ÷ = = ÷ 2 2 2 2 Identidades para c alculo inte 1- Cos2x 1+ Cos2x a) Sen x 9)Cos x 1 x = gral: b) Cos x = 2 2 Sen = ÷ 93 Aquí tenemos otra tabla de identidades aun más general. Sen x Cos x Tan x Cot x Sec x Csc x Sen x 2 1 cos x ÷ 2 Tan x 1 Tan x + 2 1 Cot x 1 + Sec 1 x 2 x Sec ÷ x 1 Csc Cos x 2 1 Sen x + 2 1 Tan x 1 + Cot x 2 1 Cot x + x 1 Sec Csc 1 x 2 x Csc ÷ Tan x Sen x 2 1 Sen x ÷ 1- Cos x 2 x Cos x 1 Cot 2 Sec x - 1 2 Csc x 1 - 1 Cot x 1- Sen x 2 x Sen Cos x 2 1- Cos x x 1 Tan 2 Sec x 1 - 1 2 Csc x - 1 Sec x 2 1- Sen x 1 x 1 Cos 2 1 Tan x + 1 Cot x 2 x Cot + Csc x 2 Csc x 1 ÷ Csc x Sen x 1 2 1- Cos x 1 1 x 2 Tan x Tan + 2 1 Cot x + 2 Sec x Sec x 1 ÷ Demostracion de una identidad trigonométrica En la demostración de identidades trigonométricas no hay procedimientos matemáticos específicos, por lo que en la mayoría de los casos va a depender de nuestra destreza, habilidad mental y conocimientos matemáticos. Recomendamos que debemos trabajar desde adentro hacia fuera tratando siempre de convertir las expresiones en función de senos y cosenos. 94 1 Si aplicamos la prop.1 tendremos que Ejemplos :Demostrar las siguientes identidades trigonom tricas. 1) . 1 2) . 1 3) . 1- 1 1 1 Coscx Coscx Cosx Senx Cosx S é Senx Coscx Senx Cotx Senx enx Senx | | ÷ = | \ . ~ | | ~ | \ . ~ ~ ~ ( ) 2 2 2 2 2 1- Cos x Se elige uno de los miembros cualquiera o ambos y se trata de llegar a una igualdada común. En este caso vamos a trabajar en el miembro izqui Cos x 4) 1- Tanx Senx Sen x Sen x Se Coscx Sec x x n ÷ ÷ ~ ~ ~ erdo para llegar al derecho (1- Tanx). . . 1- Tanx 1 1 1- Tanx 1- 1- Tanx 1- Tanx Tanx Senx Coscx Senx Secx Senx Senx Senx Cosx Senx Senx Senx Cosx ÷ ~ | | | | ÷ ~ | | \ . \ . =~ ÷ ~ ÷ Ecuaciones trigonométricas: Son expresiones que contienen funciones trigonométricas de un ángulo desconocido. Suelen tener infinitas soluciones. Pasos para resolver una ecuación trigonométrica: 1. Si hay ángulos diferentes, reescribirla en función de un solo ángulo. 2. Si tenemos varias razones trigonométricas ponerla como una sola. 3. Aplicar funciones arco para conseguir el valor de la incógnita. 95 ( )( ) ( ) 1 1 Resuelve las siguientes ecuaciones trigonometricas 1) 2 1 1 Cos = arccos 2 2 3 2 0 2 2 0 2 1 0 ^ 2 1 0 1 cos -1=0 2) ^ 0 2 ) 2 6 3 ^ 2 Sen C Sen Cos Sen Cos Cos Cos Sen Cos o Sen Cos Sen os t ì t ì t ì ì ÷ ÷ O | | ÷ = ÷ = | \ . O÷ O = ÷ O O÷ O = O O÷ = ÷ O = O÷ = | | O = O = ÷O = O = | = . O \ 2 2 2 2 2 2 1 1 2 cos 1 0 2(1 cos ) cos 1 0 2cos cos 1 0 2cos cos 1 0 cambio de base tenemos que cos 2 1 0 2 1 1 8 1 4 1 1 3 1 1 w 4 2 2 1 3 2 1 co s sen x x x x x x x x haciendo w x w w a sen x b x w c w w ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ + = ÷ + ÷ = = + ÷ = = ¹ ÷ ± + ¦ = = ` ¦ = ÷ ) ÷ + = = = ÷ = = ÷ ÷ 2 1 1 4 1 1 ) arccos 2 2 ) x=-1 x=arccos ( 3 - = 1 x ) x w Sustituyendo a Cos x x b Cos t t = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ ÷ ÷ = Cuando me preguntaron sobre algún arma capaz de contrarrestar el poder de la bomba atómica yo sugerí la mejor de todas, la paz. Albert Einstein (1879-1955) Científico alemán. 96 ACTIVIDADES: 1. Resolver los siguientes problemas por medio del teorema de Pitágoras a- Una parcela es un cuadrado con catetos de longitudes de 60 cm. Usar el Teorema de Pitágoras para determinar la longitud de la parcela. b- Un joven de 5.6 pies de alturas se encuentra a una distancia de 14 pies de una pelota. Que distancia recorre su mirada para poder ver la pelota diagonalmente, quedándose en posición firme. 2. Convertir los siguientes ángulos de grados a radianes a- 45° b- 75° 3. Convertir los siguientes ángulos de radianes a grados a- 7 t b- 3 2 t 4. Calcular los valores de las funciones trigonométricas del ángulo agudo sabiendo que: a- 2 5 Cos| = b- 2 7 Cotç = 5. Racionaliza el denominador: 97 3 4 2 7 3 2 5 3 10 ÷ 6. Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones trigonométricas a- ( ) 50 * 60 5 0 60 3 45 90 Tan Sen Cos Cos Tan Sen ° ° ° | | | | + ° = | | ° ° \ . \ . b- 2 3 2 3 2 2 Cos Tan Tan Cos Sen t t t t t | || | ÷ | | \ .\ . = ÷ 7. Resolución de triángulos rectángulos a) Resolver un triángulo rectángulo donde la hipotenusa a= 20cm y uno de sus catetos es c= 14 cm b) Resolver un triángulo rectángulo donde un cateto es b= 5cm y otro cateto es B= 50 grados. 8. Aplicar ley de los senos para resolver los siguientes ejercicios a- Resuelva el triángulo ABC, donde A=55°, B=28° y a=15 cm b- Resuelva el triángulo HIJ, donde H=120°, I=40° y j=20 cm 9. Hallar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos a través de la suma de dos ángulos notables a- 100° b- 15° 98 10. Hallar el seno, tangente y la cosecante de los siguientes ángulos a través del ángulo duplo a- 60° b- 1300° 11. Buscar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos en función del ángulo mitad a- 30° b- 120° 12. Hacer uso de las identidades producto – suma para resolver los siguientes ejercicios. a- 9 * 5 Cos x Cos x = b- 50 * 20 Sen x Cos x = 13. Hacer uso de las identidades suma-Producto para resolver los siguientes ejercicios a- 45 25 Cos Cos °÷ ° = b- 120 80 Sen Sen °+ ° = 14. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas a- 2 * 0 Cosx Senx Cosx ÷ = b- 2 os 0 C Sen u + 2 u ÷ 2 = 99 Instituto Tecnológico de las Américas ITLA “Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber. Albert Einstein Albert Einstein: (1879-1955), Científico Alemán, nacionalizado estadounidense. Es uno de los científicos más conocidos y trascendentes del Siglo XX. En 1905, Hizo la ecuación de la física más conocida, masa- energía, E=mc², también publicó ciertos escritos concernientes a la física estadística y la mecánica cuántica. En 1915 presentó la teoría restringida de la relatividad, la teoría sobre foto efecto y explicación del movimiento Browniano. Obtuvo el Premio Nobel de Física en 1921 por su explicación del efecto fotoeléctrico y sus numerosas contribuciones a la física teórica. La crisis según Albert Einstein…. “No pretendamos que las cosas cambien, si siempre hacemos lo mismo. La crisis, es la mejor bendición que puede sucederle a personas y países, porque la crisis trae progresos. La creatividad nace de la angustia como el día nace de la noche oscura. Es en la crisis que nace la inventiva, los descubrimientos y las grandes estrategias. Quien supera la crisis se supera a sí mismo sin quedar superado. Quien atribuye a la crisis sus fracasos y penurias, violenta su propio talento y respeta más a los problemas que a las soluciones. La verdadera crisis, es la crisis de la incompetencia. El inconveniente de las personas y los países es la pereza para encontrar las salidas y soluciones. Sin crisis no hay desafíos, sin desafíos la vida es una rutina, una lenta agonía. Sin crisis no hay méritos. Es en la crisis donde aflora lo mejor de cada uno, porque sin crisis todo viento es caricia. Hablar de crisis es promoverla, y callar en la crisis es exaltar el conformismo. En vez de esto, trabajemos duro. Acabemos de una vez con la única crisis amenazadora, que es la tragedia de no querer luchar por superarla.” 100 Números complejos Historia Los números complejos surgen para dar soluciones a ecuaciones como 2   1  0 x + = , pues como sabemos no existe ningún número real x cuyo cuadrado sea -1, por lo que los matemáticos de la antigüedad concluyeron que no tenía solución. Los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la falta de un equivalente dentro de las geometrías. Para ellos, todo número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda la matemática y esto, por supuesto, retardo considerablemente el desarrollo de los sistemas numéricos. Sin embargo, a mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Luego el matemático suizo Leonhard Euler introdujo el moderno símbolo i para 1 ÷ en 1777 y formuló la expresión 1 0 i e t + = la ecuación más misterios de la historia de las matemáticas. El matemático alemán Carl F. Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. Después para 1825, continuando con el estudio de las funciones complejas, el matemático francés Augustin L. Cauchy generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para funciones de variable compleja. Importancia de los números complejos. En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas. El número i aparece explícitamente en la ecuación de onda de Schrödinger que es fundamental en la teoría cuántica del átomo. El análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño de alas de avión. 101 Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. Definición de Número Imaginario. Es la raíz cuadrada de todo número negativo. Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad: Todo número imaginario se puede expresar como el producto de un número real por la unidad imaginaria. Ejemplo: 25 5; 36 6 j ÷ = ± ÷ = ± Potencia de un número imaginario. Para determinar a que es igual la potencia de un imaginario donde su exponente sea mayor o igual a cuatro, dividimos dicho exponente entre 4 y el residuo resultante lo colocamos como exponente de i. Ver las siguientes reglas. 3 1 2 2 1 3 4 1 1 1 Re : 1 o i i i i i i gl i i i i i i as ÷ ÷ ÷ = = = ÷ = ÷ = ÷ = = = 17 1 54 2 Ejemplos: Buscar las siguientes potencias a) 1 b) 1 i i i i = = = = ÷ En b el proceso fue que 54 dividido entre 4 es igual a 13 y sobran 2, cuando chequeamos las anotaciones tenemos que 2 1 i = ÷ 102 Número complejo en forma canoníca. Se define como un par ordenado de números reales cuya primera componente es la parte real y cuya segunda componente es la parte imaginaria. Ejemplo 1: (5,2) es un complejo cuya parte real es 5 y cuya parte imaginaria es 2. Ejemplos 2: Escribir en Forma Canónica los siguientes números complejos Solución: a) 2+3i = (2,3) c) 5-7i = (5,-7) b) -4+i = (-4, 1) d) 9-i = (9,-1) Números complejo en forma binómica Sea ( , ) a b un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma: ( , ) ( , 0) (0, ) (1, 0) (0,1) a b a b a b = + = + Pero como (1, 0) 1 = y (0,1) i = , entonces ( , ) a b a bi = + . En este caso a bi + se llama forma binómica o binomia del número complejo. Se expresa de la forma “a+bi”, siendo a y b números reales. El primer término a se llama parte real y el segundo bi se llama parte imaginaria. Ejemplo: 2-4i su parte real es 2 y la parte imaginaria es -4i. Ejemplos: Escribir en Forma binómica los siguientes números complejos Solución: a) (6,2) = 6+2i c) (-3,-4) = -3-4i b) (7,-4) = 7-4i d) (2,-1) = 2-i Complejo Real Puro: Es aquel cuya componente imaginaria es nula. Ejemplos: 8+0i = 8; -3+0i = -3 ; 7-0i = 7 103 Complejo Imaginario Puro: Es aquel cuya componente real es nula. Ejemplos: 0+9i = 9i; 0-3i = -3i; 0+6i = 6i Complejos opuestos Si al número complejo lo representamos por ( + ) a bi , El opuesto de este complejo seria = ( ) a bi ÷ ÷ , Por lo tanto, para determinar el opuesto de un complejo se le cambian los signos a ambas partes. Ejemplos: 1) El Opuesto de: 3+4i = -3-4i 2) El Opuesto de: -8+3i =8-3i 3) El Opuesto de: 1-i = -1+i Conjugado de un número complejo. Es aquel que difiere únicamente en el signo de de su componente imaginaria. Ejemplo: 2 3 25 2 3 25 i i i i + ÷ ÷ ÷ ÷ + Reciproco de un número complejo: También llamado inverso multiplicativo de un número complejo corresponde al único número complejo que multiplicado con el número complejo inicial ( ) a bi + da como resultado el neutro multiplicativo ( ) 1, 0 . Y este único número lo encontramos de la siguiente forma: Demostración: Encontrar el inverso de ( ) a bi + 1. Elevar el complejo a 1 ( ) a bi ÷ + 2. Representar el complejo de forma 1 ( ) a bi + 104 3. Multiplicar por su conjugado 1 a bi a bi a bi ÷ × + ÷ Realizar la multiplicación 2 2 2 1 ( ) a bi a bi a bi a bi a abi abi b i ÷ ÷ × = + ÷ ÷ + ÷ Simplificamos 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1 )( 1) a bi a b abi i a a a bi a bi a bi a bi a bi a a bi i a b b b b i ÷ ÷ ÷ = = = ÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ + + ÷ × Por lo que obtendremos 2 2 a bi a b ÷ + Ejemplos: Encuentra el reciproco de (8, 6 ) i . 1. Eleva el complejo a -1 1 (8, 6 ) i ÷ 2. Representa el complejo de forma 1 (8 6 ) i + 3. Multiplica por su conjugado 1 8 6 8 6 8 6 i i i ÷ × ÷ ÷ Realiza la multiplicación 2 1 8 6 8 6 8 6 8 6 64 48 48 36 i i i i i i i ÷ ÷ × = + ÷ + ÷ ÷ 2 1 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 64 48 48 36 64 (36)( 1) 64 36 100 i i i i i i i i i i ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ × = = = = + ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ + 4. Simplificando obtendremos : 4 3 50 i ÷ Para comprobar si este es el reciproco basta con multiplicar nuestro compuesto original (8, 6 ) i con el reciproco encontrado 4 3 50 i ÷ . Así: 2 4 3 32 24 24 18 32 18 50 8 6 1 50 50 50 50 (1, 0) i i i i i ÷ ÷ + ÷ + + × = = = = ÷ . Representación Gráfica de los Números Complejos. La Representación Gráfica de Números Complejos se debe a Carlos Federico Gauss. Este empleó el sistema de Coordenadas Rectangulares. En donde el eje (x) sería el eje Real, y el eje (y) sería el eje Imaginario. Por esta razón a este plano se le denomino plano Gaussiano. 105 El Punto que corresponde a un complejo se le denomina afijo del complejo. Operaciones de números complejos - Suma y diferencia de números complejos ( ) ( ) La suma y diferencia de n meros complejos se realiza sumando las partes reales y las partes imaginarias, la parte imaginaria tambi n la podemos representar con una j. (a bj) (c dj) a c b d ú é + + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (a bj) (c dj) a c b d Ejemplo : Realizar las siguientes operaciones. 9 2  1 3  4 2   9 1 4 2 3 2   4 7   j j i i i i i + ÷ + = ÷ + ÷ + + ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + = - Multiplicación de números complejos ( ) ( ) ( ) ( ) : Re 5 2  · 2 (a b ) · (c 3  d )    ac bd ad bc 10 15   4   6  ²  10 11   6   16 11 Ejemplo i i i i i i i aliza i i i + + = ÷ + + ÷ + ÷ = + ÷ ÷ = ÷ + 106 2 zz z = - División de números complejos El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste. 2 2 x iy a ib 2 i Ejemplo: Resolver 5 x iy ( ) ( ) . a ib 2 i 5 - 3i (10 3) (5 6 ) . 5 3i 5 - 3i 1 25 9 3 3i 34 a ib ax by ay bx i a ib a b i i i + ÷ + + ÷ = = + ÷ ÷ + + + ÷ = = = + + + ÷ + + + Forma modulo argumental de un complejo z ì . Sea ( , ) z a b a bi = = + un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo , al número real dado por 2 2 a b + y lo denotaremos por 2 ( )( ) ( ) ( ) 0 z z a bi a bi abi abi yi a b ab ab i a b i a b z = + ÷ = + ÷ = + + ÷ + = + + = + = El módulo se interpreta como la distancia al origen del número z. Cálculo del argumento. arg( ) arctan( ) b z a = Demostración: 107 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) 0 zz a bi a bi a abi abi y i a b ab ab i a b i a b z = + ÷ = ÷ + ÷ = + + ÷ + = + + = + = Ejemplo 1: Expresar en forma módulo argumental ( 2, 2 ) Z i = ÷ 2 2 2 2 y z = x +y α=arctang x 2 z = (-2) +(2) α=arctang -2 z = 4+4 α=arctang-1 8 135 2 2 z z z ì o = = = 135 2 2   ° = Ejemplo 2: Determinar módulo y argumento de 2 2i + ; 2 2 2 2 2 2 8 2 2 i + = + = = 2 arg(2 2 ) 1 2 4 i arctg arctg t + = = = 4 2 2 z t ì = Operaciones de números complejos en su forma de Módulo argumental. | | 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 90 30 60 3 5 2 2 Ejemplos: Realiza las siguientes operaci a) Producto. ^ . . a) 9 4 36 ) 7 2 14 ones. z z z z z z z z z z b o o c o c o c o t t t + = = = = ( ¸ ¸ ( ( = ¸ ¸ ¸ ¸ ( = ( ¸ ¸ 108 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 100 45 55 2 3 2 2 b) Divisi . ^ Ejemplos: Realizar la siguiente operaciones 8 1) 2 4 50 2) 10 5 n Si z z z z z z z z z z o o o c o c c o o c o t t t ÷ = = ( = = ( ( ¸ ¸ ( = ( ( ¸ ¸ ( ( = ( ( ¸ ¸ ó | | ( ) 1 1 1 1 1 3 3 50 3(50 c) Potenciaci . Si es un conplejo en su forma mod-arg. y n es un expoente positivo, por lo tanto tendremos que: Ejemplos: Realiza las siguientes operaciones 1) 7 7 n n n n n z z z z z o c c c = ( ÷ = ¸ ¸ ( = ¸ ¸ ó ) 150 2 5 10 7 7 343 2) 4 16 o o t t = ( = ( ¸ ¸ 109 d) Radicaci . En la extracci de raices hay que tener presente que todo numero complejo diferente de cero tiene dos raices cuadradas, tres c bicas, cuatro raices cua- dradas y asi sucesivamente hasta n n n ó ó ú 1 2 - sima raices. Si w es un conplejo en su forma mod-argumental entonces sus raices la podemos calcularlas por medio de las expresiones. ) En radianes: w= ; 0,1, 2, 3, 4, 5 n n k n z a z z k c c t c + = ( ÷ = ¸ ¸ é 1 360 45 Ejemplos: Realiza las siguientes operaciones , 6,..., 1 ) En Sexagesimal: w= ; 0,1, 2, 3, 4, 5, 6,..., 1 a) Buscar las tres raices cúbicas de 8 en forma módulo argumental. 1) Cua n n k n n a z z k n o o c c + ÷ ( ÷ = ÷ ¸ ¸ 3 45 360 (0) 0 3 1 45 360 (1) 3 2 45 360 (2) 3 13 6 2 15 (0) 4 6 0 4 255 4 5 2 ndo k=0 8 2) Cuando k=1 2 3) Cuando k=2 2 ) Busca las cuatro raices cuartas de 1 . 1) Cuando k=0 2 2 2 1 1 2) w w w b w o o o o o o t t t t ° ° ° + + + + ÷ = ÷ = ÷ = = = ÷ = = = 2(1) 4 6 1 4 2(2) 4 6 2 4 2(3) 4 6 3 25 13 24 4 4 7 2 3 24 Cuando k=1 1 3) Cuando k=2 1 4) Cuando k=3 1 1 1 1 w w w t t t t t t t t t + + + ÷ = = ÷ = = ÷ = = Forma trigonométrica de un número complejo Viene dado por la expresión ( ) w cos isen w o o = + donde ya sabes que z es el modulo y o su argumento. 110 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1: a) Product 20( 90 5( 30 30 o. ( ) ^ ( ) . . 5 4 30 ) ^ 4( 60 60 ) 60 3 90 ) 0 60 Ejemplo Multiplicar w Co w w Cos isen w w Cos isen w s Cos isen w Cos ise w w w Cos isen w w Co i s isen s n en o c c o o c o c o ° ° ° ° = + = + = + + + ( ¸ ¸ = + = = + + + ( ( ¸ + ¸ ¸ ¸ = + ° ( ) ( ) ( ) Ejemplo 2: 5 cos90 i sen90 .  3 cos60 :15 i co sen s150 6 i se 150 0 n Solucion + + + División de números complejos Para dividir dos números complejos en forma trigonométrica se dividen los módulos y se restan los argumentos. ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 b) División. ( ) ^ ( ) w w Cos isen w w Cos isen w w Cos isen w w c c o o c o c o = + = + = ÷ + ÷ ( ¸ ¸ ( ) ( ) 1 1 2 2 1: Dividir 10( 300 300 ) ^ 5( 1 10 300 120 300 20 2( 180 180 ) 120 12 5 0 ) Ejemplo w Cos isen w Cos Cos i w Cos is is n en en se w o ° ° ° ° = + = + ° ( = ÷ + ÷ = ( ¸ ¸ ( ¸ ¸ + 1 1 2 2 5 5 7 7 2: 32( ) ^ 8( ) 7 7 2 2 32 8 7 2 7 2 4 Ejemplo Dividir w Cos isen w Cos Cos isen w Cos isen w isen t t t t t t t t t t ( ( | | | | = ÷ + ÷ | | ( ( ¸ ¸ \ . \ . = | | ÷ | \ ¸ = + + ¸ . = 111 Es a trav s del cual podemos desarrollar cualquier potencia sin tener que desarrollar la formula de Newton. [ (cos i sen )] (cos + i Teorema de De Moivre Ejemplo 1: Determine  sen ); . n n n é z w w n n n z u + u u u + = = e 3 3 El argumento de 1 3 es   y su modulo es 3 1 3 2 3 2(cos sen ) ahora aplicando potencia tenemos que 3 3 2(cos sen ) (1 3) mediante el Teore 8(cos ma de De Moi ) vre 8( 1 + 3 3 z i i z i i ise i n t u t t t t t t = + = , 1+ ,= + = = + ( + = + = ÷ ( ¸ ¸ + 0 8 ) i = ÷ | | ( ) ( ) ( ) 5 5 Ejemplo 2: Determine  2( 30 30) mediante el Teorem 2 5*30 32 os150 15 a de D 5 e Moivr * e 0 0 3 Cos is Cos ise en C e n iS n = + = + ¸ + ( ¸ 112 5 3 9 14 15 3 2 7 4 1 5 1 5 2 4 100 200 143 521 i i i i i i i i i i + = + = ÷ = = ÷ = ÷ = + = + = ÷ = ÷ = ACTIVIDADES I. Identifique la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos: II. Encuentre el opuesto de: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 4 1 7 2 4 9 45 3 37 5 i i i i i i + = + = + = + = ÷ = ÷ + = 2 0, 3 3 (9 30 ) (8 15 ) (14 17 ) i i i i | | ÷ = | \ . + = + = ÷ = 113 III. Encuentra el conjugado de: 5 3 9 14 15 1 4 235 7 1000 1 12 9 3 25 4 60 30 22 44 i i i i i i i i i i + = + = ÷ = ÷ = + = ÷ = + = ÷ = + = ÷ = IV. Encuentra el reciproco de: ( ) ( ) ( ) ( ) 768 881 315 1 4 235 7 1000 1 12 4 1 7 2 4 9 45 3 i i i i i i i i i i + = ÷ = ÷ = + = ÷ = + = + = + = + = ÷ = 114 5 3 9 14 15 3 2 7 4 1 5 1 5 2 4 100 200 143 521 i i i i i i i i i i + = + = ÷ = = ÷ = ÷ = + = + = ÷ = ÷ = V. Representa en forma binómica los siguientes pares ordenados. ( ) ( ) ( ) ( ) 4,1 7, 2 4, 9 45, 3 (5, 3 ) (9,14 ) (15, ) (1, 4 ) (235, 7 ) (1000, ) i i i i i i i i i i = = = ÷ = = = = ÷ = = ÷ = VI. Grafica los siguientes complejos: 115 VII. Determinar el módulo y argumento de los siguientes números complejos: ( 1, 3 ) Z i = ÷ ÷ (4 8 ) Z i = ÷ (1 44 ) Z i = + (4 8 ) Z i = ÷ EJERCICIOS PROPUESTOS Expresa en forma trigonométrica: - 4 + 4i - −2 + 2i - -3 + 3i - 2+ 2i - 5 / 3i - √3 +1 - 3 – 4i - 17i - 2 + 5i VIII. En los ejercicios siguientes utilice el teorema de De Moivre para determinar la potencia indicada del número complejo. Escriba respuesta en la forma estándar a + bi. 1. 3 cos sen 4 4 i t t | | + | \ . 2. 3 3 3 cos 2 2 i sen t t ( | | + | ( \ . ¸ ¸ 3. 4 3 3 2 cos 4 4 i sen t t ( | | + | ( \ . ¸ ¸ IX. En los ejercicios siguientes utilice el teorema de De Moivre para determinar la potencia indicada del número complejo. Escriba respuesta en la forma estándar a + bi. 4. 3 cos sen 4 4 i t t | | + | \ . 5. 3 3 3 cos 2 2 i sen t t ( | | + | ( \ . ¸ ¸ 6. 3 3 3 2 cos 4 4 i sen t t ( | | + | ( \ . ¸ ¸ 7. ( ) 5 1 i + 8. ( ) 20 3 4i + 9. ( ) 3 1 3i ÷ 10. 3 1 3 2 2 i | | + | | \ . 117 “El poeta debe ser capaz de ver lo que los demás no ven, debe ver más profundamente que otras personas y el matemático debe hacer lo mismo. Sofía Sonia Kovalevskaya Sofía Sonia Kovalevskaya: Nació en Moscú el 15 de enero de 1850-1891, vivió su niñez encerrada, con su habitación empapelada con las conferencias de un matemático sobre cálculo diferencial. Se fue a estudiar a Alemania pero era imposible para una mujer por lo que contrajo matrimonio ficticio con Vladimir Kovalevsky y pudo estudiar allá primero en Heidelberg (1868) luego en Berlín. En estas universidades no se aceptaban mujeres pero Karl Weierstrass profesor de la universidad de Berlín vio el talento de esta joven y decidió darle clase particular (1871-1874), luego volvió a Rusia y este maestro le seguía dando clase por correspondencia. En 1884 fue invitada como conferencista a la Universidad de Estocolmo. En 1888 la Academia de las Ciencias de París le concedió un importante premio por su trabajo sobre rotación de un sólido alrededor de un punto fijo. En 1889 fue nombrada profesora en la universidad de Suecia gracias a su gran capacidad. En el 1891 una epidemia de gripe en Estocolmo la lleva a la muerte pero dejo una gran labor matemática y varias obras literarias. La Multimedia Es a través de la cual podemos unir audio, video e imágenes para llevar informaciones al mundo. Esta hace que la comunicación de la información sea más fácil y rápida. Las presentaciones multimedia pueden verse en escenarios y proyectarse y transmitirse a grandes distancia. La multimedia encuentra su uso en varias áreas: Arte, Educación, entretenimiento, ingeniería, medicina, matemática, negocio, y en la investigación científica. En la educación, la multimedia se utiliza para producir cursos de aprendizaje computarizado. En República Dominicana se puede estudiar multimedia en el Instituto Tecnológico de Las Américas (ITLA). 118 COORDENADAS POLARES Historia de las coordenadas polares. Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias tienen que ver con aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco, creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función del ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posición de las estrellas. También se describe la espiral de Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo. El concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, es el de coordenadas polares. Jakob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar. Aplicación de las coordenadas polares Las coordenadas polares son importantes para realizar ciertos cálculos y procedimientos que no podrían realizarse exitosamente con coordenadas cartesianas. No se trata de que un sistema de coordenadas sea mejor que el otro, sino que ambos son importantes pero uno servirá algunas veces y el otro servirá en otras ocasiones, dependiendo de nuestras necesidades y del trabajo que estemos realizando. Las coordenadas polares se usan a menudo en la navegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una 119 distancia al objeto considerado. Las Aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegación. Los sistemas que presentan simetría radial poseen unas características adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Algunos ejemplos son las antenas radioeléctricas. Coordenadas Polares Son un sistema de coordenadas que define la posición de un punto en un espacio bidimensional en función de los ángulos directores y de la distancia al origen de referencia. Es decir que un sistema de coordenadas en dos dimensiones están formadas por (r, θ), donde r es la distancia desde el origen polar y θ es el ángulo polar que se forma con el eje polar y el rayo vector r. Coordenadas polares(r,u ) de un punto q: 1. Partimos del eje polar y giramos un ángulo de medida u para determinar el rayo u 2. Sobre el rayo u nos movemos r unidades a partir del polo 0 para localizar q. 120 Ejemplo1: Localizar los siguientes puntos con estas coordenadas polares: ( ) : Localizar los siguientes puntos en coordenadas polares ) 3, ; ) 4,120º 4 Ejemplos a b t | | | \ . , Conversión de coordenadas polares a rectangulares. Para ver la relación que existe entre las coordenadas polares y las rectangulares, sobreponemos un sistema rectangular en un sistema polar de modo que el polo coincida con el origen, el eje polar con la parte del eje x y el rayo 2 t con la parte positiva del eje y. Relación entre coordenadas polares y rectangulares de un punto. Las coordenadas en ambos sistemas del punto P son:P (x, y) y P (r, φ) En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x. 121 Conversión de coordenadas polares a rectangulares Como sabemos las coordenadas polares r se definen como P (r, θ). Y las cartesianas como P (x, y) , siendo x=r cosu , y= r senu . ( ) 60º cos x 2 co Ejemplo: Dad s 60º 2 o2 converti 1 rlo en coordenas ca p x, y p (1,  3 y r sen y 2 sen 60º 2 rtesianas. 3 ) x r u u = ÷ = = = ÷ = ÷ = = = Conversión de coordenadas rectangulares a polares Como vimos en temas anteriores r es la distancia y u es el ángulo 2 2 2 r x y = + tanu = y x → Ejemplo: Dadas las coordenadas cartesianas del punto P (1,- 3 ) determinar las coordenadas polares: Se sabe que: r = 2 2 x y + , sustituyendo las coordenadas conocidas del punto, se tiene que r = ( ) 2 2 1 3 + ÷ = 1 3 + = 2 Por otra parte para buscar el ángulo se debe conocer a x y Y: sen| = y r = 3 2 ÷ | = Arcosen( 3 2 ÷ )=300º= 5 3 t | = 5 3 t Por lo que las coordenadas polares de P son: 5 ( 2,  ) 3 p t 122 Gráficas de Ecuaciones Polares Este tipo de gráficas las representamos con la forma r= f (t). Adquieren diversas formas como corazón, flores, pétalos, etc. A lo largo de la historia de las matemáticas se encuentran figuras que podemos realizar a través de gráficos en coordenadas polares tales como Rosas, Cardiodes, Limaçon o caracol, Circunferencia, Lemniscata, Nefroide de Freeth, Concoide de Nicómenes, Cisoide de Diocles, Parábola, Espiral. Entre otras, aunque en estas son las más importantes y a la vez comunes. Haciendo un análisis de algunas de estas graficas encontramos por ejemplo: La Cardiode: las cuales son curvas que adquieren la forma de corazón y que se forman con las ecuaciones polares de la forma r = a(1 cos t) ó con r=a(1 cos ) t ± ± , si utilizamos la función seno su simetría está en el eje normal o vertical pero si es coseno entonces será en el eje polar. Rosas: Las cuales son curvas que tiene forma de pétalos de rosas, se forman a través de las ecuaciones ( ) ó Cos ( ) r a Sen n r a n t t = = . Tomando a n como la cantidad de pétalos. Como sabemos las cardiodes se forman con las ecuaciones de la forma r = a(1 cos t) ó con r=a(1 cos ), pero entonces la ecuacion que nos estan dando Ejemplo: Discutir y graficar la curva r= cos (t)-1 t ± ± convertirla en la forma por lo que r= -1(1-cos ), al hacer los valores que estos quedan opuestos. 30 60 120 90 0 1 0.13 0. 0 2 0 0 0.87 0.5 6 3 3 2 1 5 r= -1(1-co os s ) debemos observam C os o o o o o t t t t t t t t t t ÷ ÷ ÷ ÷ 150 210 240 300 330 180 270 360 5 7 4 5 11 3 2 6 6 3 2 1 1 0 1 0.5 0.87 3 6 1 2 0 1.5 1.87 1.87 1.5 0.5 0.1 0.87 0.5 0.5 .87 3 1 o o o o o o o o t t t t t t t t ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 123 Ejemplo 2: Graficar la función f (t)=4cos (3t) ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 5 ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 x y r = cos(t)-1; 0.000000 <= t <= 6.283190 ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 5 ÷4 ÷3 ÷2 ÷1 1 2 3 4 x y r = 4cos(3t); 0.000000 <= t <= 6.283190 124 Actividades I. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. a. (1, ) 2 t b. 2 (4, ) 3 t ÷ c. 3 ( 3, ) 2 t ÷ d. ( 1, ) t ÷ e. ( 1, ) 3 t ÷ II. Localice los puntos siguientes en un mismo sistema de coordenadas polares. 1. (1,30º), (-1,30º), (1,-30º), (-1,-30) 2. (2,90º), (-2,90º), (2,-90º), (-2,-90º) III. Convierta las siguientes coordenadas polares a coordenadas rectangulares. 3. 5 7, 2 t | | ÷ | \ . 4. 13 8, 6 t | | ÷ | \ . 5. 3 5 , 2 2 t | | ÷ | \ . 6. IV. Convertir las siguientes coordenadas polares a coordenadas rectangulares: a. 270º 2 c. 30º 2 b. 0º 2 d. 60º 2 125 V. Convertir las siguientes coordenadas rectangulares a coordenadas polares: a.(0,2) c.(-1,- 3 ) b.(-2,0) d.(1, 3 ) VI. Graficar: 1. R= 2 2. R = 3. R = sin() 4. R = (1/2) + cos 5. R = 6 sin La voluntad necesita ser más fuerte que la habilidad. Muhammad Alí 126 “Debe haber un mundo ideal, una especie de paraíso matemático donde todo sucede como en los libros de texto”. Bertrand Russell (1872-1970) Matemático y filósofo galés Sophie Germain:Nació en Paris 1776. Se entusiasmo por las matemáticas a partir de los 13 años, por su inquietud de saber cómo murió Arquímedes. A los 18 años quiso ingresar a L’Ecole Polytechnique, pero no admitían mujeres, por lo que sus amigos le pasaban los apuntes y así se iba puliendo hasta que pudo vestirse y presentarse con el nombre de Mesie Leblanc alumno del instituto que se había ido, así presentó sus apuntes e investigaciones en el mundo de la ciencia. LaGrange uno de los profesores y matemáticosmás destacado de la época sintió admiración por su estudiante al saber que era una mujer , quiso conocerlo y decidió darle clase particular. Luego estableció comunicación con Gauss y para 1801 presentó el tema la teoría de números, después trabajo en física, matemática, acústica, elasticidad.Gauss se dio cuenta que su amigo Mesie Leblanc era una mujer cuando la invasión de Alemania por parte de Napoleón esta intercedió ante el emperador para defenderlo de la guillotina. Le iban a otorgar el título de doctora honor y causa por sus aportes a la ciencia, pero murió un mes antes.Paris 1831 El Agua en exceso Las dietas en base a agua son muy delicadas y peligrosas. No se debe consumir agua en exceso, pues se conoce que existe un tipo de intoxicación por agua. El exceso de agua en el organismo ocasiona que los minerales como el potasio, sodio y magnesio se diluyan rápidamente en el torrente sanguíneo, ocasionando cansancio, calambres y pérdida de agilidad mental. El consumo de agua diario depende del gasto de esta misma por el organismo y diversos factores como el clima, la humedad, altitud, edad, constitución física, edad y actividad diaria. La necesidad de agua es individual para cada organismo. Según investiga se debe consumir un estimado de 8 vasos diario, y después de la 5 pm no se debe consumir mucho liquido pues no nos deja dormir ni descansar correctamente. Estudios Matemáticos Argentera 127 SOLIDOS DE REVOLUCION Cuerpos redondos:Son aquellos que no están limitados por polígonos, es decir, por figuras planas. Los sólidos de revolución: Se engendran al hacer girar una figura plana sobre un eje.Entre estos encontramos: El cilindro Es el cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados. Sus partes: Eje: Es el ladofijo alrededor del cual gira elrectángulo. Altura: Es la distancia entre las dos bases. Generatriz: Es el lado opuesto al eje de giro que engendra el cilindro. Es igual a laaltura. ( ) T L 2 T L rea lateral del cilindro     rea total del cilindro    A A 2B Volumen de un cilindro V B.h Donde :    A 2 .r.h A B rea de la bas 2 .r. h e r r   Á Á á t t t = + = = = = = + 2 . V h y r t = Ejemplos: Hallar el área total de un cilindro circular Cuyo diámetro es 10 cm. Y altura 20 cm. = 2 ( +) = 2(3.14)(5)(20+25) = 85.40 2 = 2 . = (3.14)(5) 2 (20) = 150 2 ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) 2 2 8 v = r . h 24 v = 3.14 4 . 24 4 v = 3.14 16 24 3.14 v = 3.14 384 ? el volumen de un cilindro, cuyo diametro mide 8m si su altura es de 24m. D m h m Calcule r cm v t t = = = = = 3 v =1205. 76m 128 CONO El cono se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Base: Es el círculo que forma el otro cateto. Altura: Es la distancia del vértice a la base. Generatriz: Es la hipotenusa del triángulo rectángulo. 2 2 2 : rea lateral :     Area total: A    ( )   : 3 l t Generatriz g r h Á A rg r g r r h Volumen V t t t = + = = + = ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 3 . v =? v = 3 3.14 3 . 10 3.14 9 10 r =3cm v = 3 3 3.14 90 282.6 h =10cm 94. el volumen de un cono de 3cm de radio y 10 de altura. Datos 3 : 4.2 3 9 2 H r allar v cm h x x t = ¬ = = ¬ = 129 ESFERA La esfera es un sólido de revolución que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Cuerda: Segmento que une dos puntos de la esfera. Diámetro: Cuerda que divide la esfera en dos partes iguales. Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica. 2 3 3 4 ; V r 4 S r t t = = ( )( ) ( )( ) 3 3 4 4 3.14 2 4 ? : Determine el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 4cm. Datos : 43.4 3 3 12.56 8 100.48 33. 49 3 3 9 d cm r v v Ejemplos v cm v t = = = = = = = = 130 1) el volumen de un cono de 5cm de radio y 12 de altura. 2) El radio y la altura de un cono miden 7 y 14 cm respectivamente, Calcular su volumen. 3) ACTIVIDADES Hallar La generatriz y el radio de un cono miden 16 y 6 cm respectivamente, Calcule el volumen del cono. 4) Calcula el volumen de un cilindro, cuyo diametro mide 8m si su altura es de 24m. 5) El area d 2 e las bases de un cilindro mide 12cm ; Calcula el volumen del cilindro sabiendo que la generatriz del mismo es igual a 10cm. 6) Halle el volumen de un cilindro de 8cm de altura si el radio es igual ( ) a 10cm. 7) Calcule el volumen de una esfera cuyo radio mide 5cm. 8) El diametro de una esfera es igual al duplo del valor de -3; Determine su volumen. 9) La generatriz de un cono mide 5cm. Calcule el v t olumen del mismo sabiendo que mide 3cm. 131 Estudios Matemáticos Argentera “El hombre está dispuesto siempre a negar todo aquello que no comprende”. Blaise Pascal (1623-1662) Matemático, físico, filósofo y escritor francés. María Gaetana Agnesi: Nació en Milán en 1718. Lingüista, matemática y filósofa. Dominaba más de 7 idiomas, en la universidad sustituía a su padre por eso fue la primera mujer en ocupar una cátedra de matemáticas. En 1748, se publicó su libro "InstituzioniAnalithe" sobre cálculo diferencial, que fue muy popular; se tradujo a muchos idiomas y se usó en Europa durante muchos años. Le decían La Bruja de Agnesi por error en la traducción de curva de agnesi, Murió también en Milán en 1799. Paradoja de albertainstein. Albert Einstein recorría América explicando su teoría de la relatividad. Siempre le acompañaba su chófer, que se sentaba al fondo de la sala, mientras Einstein daba su conferencia. De tanto oír las tesis del maestro llegó a aprenderlas de memoria. "No entiendo a los americanos -comentó en una ocasión el chófer- ¿Cómo es posible que le concedan tanta importancia a algo tan sencillo?" Einstein quiso darle una lección y le respondió: "La próxima vez darás tú la conferencia." Y así fue. El chofer expuso magníficamente la teoría, mientras Einstein le escuchaba desde un rincón. Después de los aplausos, llega el turno de preguntas y la primera es la siguiente: “¿Podría decirme la relación entre el Big-Bang y la teoría de la relatividad?" El supuesto Einstein respondió: "Mire, eso es tan sencillo que incluso mi chófer, que se encuentra sentado en el fondo de la sala, puede contestarla," lógicamente, el falso chófer respondió a la perfección. 132 Razonamiento matemático Razonamiento: Es el arte de pensar lógicamente. A través de él podemos dar respuestas a diferentes conjeturas del conocimiento y del saber científico y general. El razonamiento es una facultad únicamente humana, los demás animales actúan por instintos. Tipos de razonamientos: Razonamiento Argumentativo: Justifica las acciones humanas como verdad o como acciones razonables. Razonamiento lógico: Es aquel que partiendo de ciertas primicias o juicios en muchos casos aceptados como verdaderos llegamos a conclusiones asumidas como buenas y válidas. Puede ser deductivo e inductivo. Razonamiento no lógico: Se basa en el contexto en la experiencia. ¡Lógicamente!... es una expresión muy usada dentro del contexto coloquial, el individuo que la usa, está asumiendo juicios como verdaderos y secuenciales que lleva a una verdad que se debe asumir tan evidente por ser tan fácil de ver o pensar. Los razonamientos Lógicospueden ser deductivos e inductivos a) Razonamiento deductivo: Es aquel que va desde lo general a lo particular. P1: Todos los felinos son carnívoros. P2: El gato es un felino. C: El gato es carnívoro. b) Razonamiento inductivo: Es aquel que partiendo de proposiciones particulares llega a una proposición general, este tipo de razonamiento expresa una verdad relativa. P 1 : Las mujeres sanjuaneras son hermosas. P 2 : Las mujeres azuana son hermosas. P 3 : Las mujeres seibanas son hermosas. P 4 : Las mujeres de Bonao son hermosas. P 5 : Las mujeres santiagueras son hermosas C: Las mujeres dominicanas son hermosas 133 Lógica matemática La lógica: Es la rama de la matemática que estudia el razonamiento del pensamiento humano. Enunciado: Es todo aquello que decimos tenga o no, sentido. Es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia validas. Esta examina la valides de los argumentos en función de su estructura. Rige las leyes del proceso del pensamiento humano. Desde sus orígenes la han vinculado como rama de la filosofía, hasta que en el siglo XIX hacen una vinculación de esta hacia el mundo de las matemáticas, dándole el nombre de lógica matemática o formal la cual es pura ciencia. Historia: Aristóteles es considerado como el padre de la lógica, es uno de los más grandes filósofos de la antigüedad. En su obra ORGANON la cual es un tratado de lógica donde se enfoca el raciocinio y estructura del pensamiento. A partir de la segunda mitad del siglo XIX, la lógica sería revolucionada profundamente. En 1847, George Boole publicó un breve tratado titulado El análisis matemático de la lógica, y en 1854 otro más importante titulado Las leyes del pensamiento. La idea de Boole fue construir a la lógica como un cálculo donde sus valores de verdad se representan mediante el 0 (falsedad) y el 1 (verdad). Al mismo tiempo, Augusto de Demorganpublica en 1847 su obra Lógica formal, donde introduce las leyes de Demorgan. También es bueno mencionar a John Vennquien en 1881 publicó su libro Lógica Simbólica, donde introdujo los famosos diagramas de Venn. La verdadera revolución de la lógica vino de la mano de GottlobFrege, quien frecuentemente es considerado como el lógico más importante de la historia, junto con Aristóteles. En el caso de Freege su lógica escrita en un lenguaje formal fue la base para el desarrollo de Las ciencia de la computación. En 1910, Bertrand Russell y Alfred North Whiteheadpublican Principio matemáticoun trabajo monumental en el que logran gran parte de la matemática a partir de la lógica. 134 La lógica: Es la rama de la matemática que estudia el razonamiento del pensamiento humano. Enunciado: Es todo aquello que decimos tenga o no, sentido Ejemplo: ¡llueve!, ¡llueve! ¡llueve! Proposición: Es un enunciado que puede ser o verdadero o falso Ejemplo 1: 5+6=10 Ejemplo 2: Duarte es el padre de la patria dominicana. Valor de verdad: Es la veracidad o falsedad de una proposición. Ejemplos: Escribir el valor de verdad 3+8=11:______________________________________. Cristóbal Colon descubrió América:____________. Te amo: ______________________________________. Clasificaciones de las proposiciones a) La proposición simple:Es aquella que tiene un solo enunciado Ejemplo: 2+1=3 b) Proposición compuesta: Es aquella que tienes más de un enunciado y se unen mediante conectivo. Ejemplo: El sol sale para todos y amo a mi hermana Conectiva:Símbolo lógico que se usa para unir proposiciones. TABLA SÍMBOLO LENGUAJE COLOQUIAL Conjunción ٨ y disyunción inclusiva ٧ o condicional o implicación → Si entonces bi. condicional o doble implicación ↔ Si…solo si,, Negación ÷ no 135 Lenguaje coloquial y lenguaje simbólico o matemático Si tenemos que: p: En Plutón no hay vida q: 3+6=9 r : La vida es hermosa. 1) Traducir del lenguaje simbólico al lenguaje coloquial. a) p ^ q: En Plutón no hay vida y 3+6=9. b) (q v r): Si 3+6=9 o la vida es hermosa entonces en Plutón hay vida. 2) traducir del lenguaje coloquial al lenguaje simbólico. a) Si la vida no es hermosa entonces en Plutón no hay vida. ( ÷r → p) b) 3+6=9 si solo si la vida es hermosa q ↔ r. Tabla de verdad: Es la representación grafica de la proposiciones, en ella podremos ver las combinaciones que se pueden hacer con los valores de verdad. El número de filas depende del número de proposiciones simples que la compone. P, q → 2 proposiciones P, q, r →3 proposiciones La base es siempre 2 P, q → 2 proposiciones Las proposiciones compuestas son: La conjunción, la disyunción, la implicación y la doble implicación. a) Conjunción: Es una proposición compuesta que establece que solo será verdaderas cundo ambas proposiciones simple que formen sean verdadera. Se representa por la conectiva y (^) . 136 En los códigos computacionales la Verdad (v) se representa como 1; y la falsedad (f) se representa como (o). Siempre debemos partir de la verdad. Ejemplo: Buscar la verdad p ^ q. Por lo que 2 2 2 4 n = = Filas, 2 verdaderas y dos falsas. B) Disyunción: Hay dos tipos las cuales son: inclusiva y exclusiva. 1) Disyunción inclusiva: Es una proposición compuesta que establece que solo será falsa cuando ambas proposiciones simples que la formen sean falsa. Se representa por la conectiva. “0 “(v). Ejemplo: Grafica (p v q) 2) Disyunción exclusiva: Establece que solo es verdadera cuando ambas proposiciones simples que la formen tengan diferentes valores de verdad.Se representa por o…o, v. p q P^ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 p q P v q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 137 Ejemplo: Graficar p v q c) Negación : Es una proposición simple que expresa lo contrario se representa Por “no” ( ÷). p q p v q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 P ÷p 1 0 0 1 138 d) Implicación o incondicional:Expresa condiciones, establece que solo es falsa cuando el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Se representa Por “si entonces “(→). Ejemplo: Graficar la proposiciones (p → q). e) Doble implicación o Bi-condicional: Establece que solo es verdadera cuando ambas proposiciones que la formen tengan igual valor de verdad. Se representa por “si… solo si “ ( ↔ ). Ejemplo: Graficar ( p ↔ q ) p q P → q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 P q P ↔ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 139 Ejemplo general: Represente gráficamente la siguiente proposición (p ^ q) →÷ r Obtenga una conclusión, sabiendo que: p: El sol sale para todo, q: Eres mi amo, r: 3+2=5. P q r (p ^ q) ÷r (p^ )q) →÷r 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 f) Tautología. Es cuando lo valores de verdad resultantes son siempre verdaderos. Ejemplo: Analicemos la tabla [(p → q) ^ p] → q P q P → q [( p → q)^p] [ ( p → q ) ^ p] → q 1 1 1 1 V 1 0 0 0 V 0 1 1 1 V 0 0 1 0 V 140 g) Contradicción: Es cuando los valores de verdad resultantes son siempre falsos. Representa gráficamente (P ^÷ p) p ÷p P ^÷ p 1 0 0 0 F 0 h) Contingencia: Es cuando los valores de verdad resultantes son verdaderos y falsos. (p → r) → q p q R (p → r) (q → r) →q 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 141 i) Falace. Es cuando lo valores de verdad resultantes son siempre falsos. Ejemplo: Analicemos la tabla [(p → q) ^ p] → q p q P → q [( p → q)^p] ÷ [ ( p → q ) ^ p] → q ÷ [ ( p → q ) ^ p] → q 1 1 1 1 V f 1 0 0 0 V f 0 1 1 1 V f 0 0 1 0 V f Dios nos ayude a ser sincerosen lo más íntimo de nuestras almas y a saber decir la verdad sin temory sin herir innecesariamentela suceptibilidad de los demás. Autor pendiente 142 1. Escribe 5 proposiciones simples. 2. Escribe 5 proposiciones compuesta. 3. Defina lo que es una proposicion. 4. Exponga brevemente sobre la importancia de la lógica. . 5 Actividades Defina razonamiento y cada una de su clasificación. 6. Establezca la diferencia entre Tautología, contingencia, y falacia. II. Dado: p: 7-2=3 q: Duarte es el padre de la patri dominicana. r: El oro es un | | metal. Traducir al lenguaje coloquial y representela graficamente. 1) p r 2)( ) 3) 4)( ( ) ) 5) ( ) pvq r p r q pv pvq r r pv q ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ . v ÷ ÷ . ÷ ÷ ÷ 143 Bibliografía http://www.sectormatematica.cl/contenidos.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Razonamiento La lógica http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica La lógica http://www.liceodigital.com/filosofia/logica.htm Padre de la lógica http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid Biografía de María Gaetana Agnesihttp://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/mujeres/mujer.htm http://www.google.com.do/imgres?imgurl=http://3.bp.blogspot.com/-c-xd6- lmyCw/TVfhIhL3BuI Imagen de presentación de los dados fue tomada de la página http://www.google.com.do/imgres?imgurl=http://1.bp.blogspot.com/_i-NXzP_- sac/TM2RgJ_dm-I/AAAAAAAACbY/xiza4sBDFLI/s1600/ Imagen de la logica.jpg&imgrefurl=http://lalocura decadadia.blogspot.com/2010/10/logico-fallecimiento.html&usg 144 Estudios Matemáticos Argentera Las matemáticas no mienten, lo que hay son muchos matemáticos mentirosos. Henry David Thoreau. Módulo 15: Teoría y operaciones De Conjuntos. George Cantor: Nació el 3 de marzo de 1845. Matemático alemán, fue uno de los inventores de la teoría de conjuntos, base de la matemática moderna. Demostró que no siempre el todo es mayor que una de sus partes. Formulo la teoría de los conjuntos infinitos. Falleció en Alemania el 6 de enero del 1918, a los 73 años de edad bajo una enfermedad maniaco- depresiva. Murió sin poder demostrar la teoría del continuo. C U B I S M O Fue un movimiento artístico donde se empezó a usar en diferente estilo del arte las figuras geométricas. Tuvo como exponentes a Picaso y a Braque. Paris fue uno de los países que comenzó con esta abstracción geométrica, luego Rusia y Holanda. Se unió el misticismo de malevich y el constructivismo de Tatling quienes después dieron paso a que sus seguidores hicieran excelsas obras tridimensionales. La abstracción Geométrica ha tendido a soñar con un entorno utópico para el hombre moderno creado a la imagen de su arte. Este tipo de arte influencio la arquitectura, diseño de interiores, muebles y tipografía Luego llego a Francia donde tuvo excelentes exponentes que hacían obras relacionadas directamente con modelos matemáticos. Finalmente este estilo de crear obras a través de figuras geométricas es un arte que viene de décadas en décadas y todavía hoy en día lo usamos, todo queda a gusto de cada pintor o matemático, pues la matemática están en todo, en el arte, la ciencia, la música y en nuestro diario vivir. 145 TEORIA Y OPERACIONES CONJUNTISTAS. Historia e Importancia de los conjuntos La teoría de conjuntos cambio siglos de conocimientos. Sus inicio se remonta al siglo XIX a cargo del matemático George Cantor , quien sentó las bases para el desarrollo de la teoría de conjuntos moderna. Con ésta se inició una revolución en las matemáticas, pues motivó una profunda revisión de la idea de número; principalmente en lo que tiene que ver con un concepto abstracto como el del infinito. La teoría de conjunto desempeña un papel muy importante dentro de las artes. Conjunto: Es una colección de elementos con cualidades comunes. Se representan con letras mayúscula. Sus elementos se encierran entre llaves y en minúsculas. Ejemplos: 1) { } , , 9 D a b = 2) M = Los calderos de la cocina 3) N = Los carros de Santo Domingo Norte. Pertenencia (e): Es cuando un elemento pertenece a un conjunto. A:{2,3,♥} ; 2eA; 3eA; 5eA. Diagrama de Euler-Venn: Se utiliza para representar gráficamente los conjuntos. Esta formados por curvas que encierran a los elementos de un conjunto. La letra mayúscula que lo nombra se coloca afuera de la curva. 146 Conjunto extensión y comprensión: Son las distintas formas de expresar los conjuntos •Conjunto extensión: un conjunto esta expresado por extensión cuando los elementos se nombran uno a uno. A= {a,e,i,o,u} •Conjunto por comprensión: Es cuando los elementos de un conjunto se nombran todos bajo una frase general. A={x/x es una vocal}. Ejemplos: Diga cuales de los siguientes conjuntos esta expresado por comprensión y cuales por extensión. { } { } { } { } a, b, c, d, e   es un grano de arena de la playa es mes del año Lunes, martes, miercoles, jueves, viernes, sabado, domingo A x B x x C x D = = = = Conjuntos finitos e infinitos Conjuntos finito: intuitivamente es cuando podemos contar sus elementos. En Análisis matemático un conjunto será finito cuando pueda ponerse en biyección con un subconjunto de N. Conjunto infinito: Es cuando no pueda ponerse en biyección con ningún n N e . 147 U A Ejemplo: Diga el cardinal de cada conjunto { } a, b, c, d, e A= ____________________________ E= _______________ Subconjunto (c) y superconjunto ( ). Un conjunto A es subconjunto ( c) de B si todos los elementos de A están contenidos en B, ; Ac B. por lo tanto Si A es subconjunto de B entonces B es s superconjunto ( ) de A. A={3,5,7,} ; B={1,3,5,7,8,9} si A B B A c ÷ B Conjuntos especiales: a) El conjunto vacío: ( | ): Es aquel que carece de elementos. b) El conjunto universal ( U): Es el que reúne todos los elementos. El único conjunto que se representa gráficamente de un modo distinto es el universal U, pues para él se utiliza un rectángulo y su nombre se coloca en el interior, generalmente en el ángulo superior izquierdo. { } Lunes, martes, miercoles, jueves, viernes, sabado, domingo D= 148 La Inclusión Un conjunto A está incluido en otro conjunto B si, y sólo si, todos los elementos de A lo son también de B. B x A x B A e ¬ e · c Propiedades de la inclusión: 1º) Propiedad Reflexiva: todo conjunto está incluido en sí mismo. A A A c ¬ : 2º) Propiedad Transitiva: C A C B B A c ¬ c . c 3º) El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto. A A c ¬ | : 4º) Todo conjunto está incluido en el Universal U A A c ¬ : Conjuntos iguales: Se dice que dos conjuntos serán iguales cuando tengan los mismos elementos, pero matemáticamente lo definiríamos como A B B A B A c . c · = Propiedades de la igualdad de conjuntos: 1º) Propiedad Reflexiva: A A A = ¬ : 2º) Propiedad Simétrica A B B A = ¬ = 3º) Propiedad Transitiva: C A C B B A = ¬ = . = 149 1 2 3 a b c 1 2 3 a b c Conjuntos disjuntos: Es cuando dos conjuntos no tienen elementos comunes. A B A y B son disjuntos Conjuntos Equipotentes: Es cuando dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos. A B A y B son equipotentes Conjunto Universal (U): Es aquel que contiene todos los elementos en su totalidad. Conjunto Potencia: Es el formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado. En este también se incluye el conjunto vacio y el mismo conjunto. Las cantidades de subconjuntos se obtienen con 2 n , donde n es la cantidad de elementos. Ejemplo1: Hacer el conjunto potencia de { } , , A a b c = . { } { } { } { }{ } { } { } ( ) ; , ; , , ; , ; ; P A a b c a b a c b c A = C Ejemplo 2: Dado { } 2, 3 B = hacer el conjunto potencia. { } { } { } ( ) 2 ; 3 ; ; P B B = C 150 OPERACIONES CONJUNTISTA Al igual que hay un algebra aritmética, un algebra abstracta, una algebra de grafo, pués también hay un algebra conjuntista que es la que se encarga de las operaciones que podemos hacer entre dos o más conjuntos tales como; Unión, intersección, diferencia relativa, diferencia aritmética, complemento, tanto en forma analítica como gráfica. A continuación se hace el desarrollo de las diferentes operaciones y gráficas. a) Unión conjuntista: Es aquella que está formada por los elementos de dos o más conjuntos sin que hayan elementos repetidos. Se representa por ( ), su definición es { } / X Y x x X x Y · e v e Ejemplo 1. Dados A= {1,3,4,5,6}; B={2,4,6,8,10} Hallar A∪B: AUB={1,2,3,4,5,6,8,10} Ejemplo 2: Dado { } { } 1, 3, 4, 6, 7,8 ; 2, 4, 5, 6, 9 X Y = = Hallar el conjunto unión. { } 1, 2, 3, 4, 6,8, 9 X Y = 151 Propiedades: 1º) Propiedad de Idempotencia: X X X = 2º) Propiedad Conmutativa: X Y Y X = 3º) Propiedad Asociativa: ( ) ( ) X Y Z X Y Z = b) Conjunto Intersección: Es aquel que está formado por los elementos comunes de dos o más conjuntos. Se representa por ( ·), su definición dice que { } / X Y x x X x Y · = e . e Ejemplo: A={1,3,4,5,6}; B={2,4,6,8,10} A·B= {4,6} Gráficamente: 152 Propiedades: 1) Propiedad de Idempotencia: X X X · = 2) Propiedad Conmutativa: X Y Y X · = · 3) Propiedad Asociativa: ( ) ( ) X Y Z X Y Z · · = · · c) Conjunto diferencia relativa: Es aquel que está formado por los elementos que pertenecen al primer conjunto pero no al segundo. Se representa ( ) ÷ . Ejemplo: Dado A={1,3,4,5,6} ; B={2,4,6,8,10} A-B= {1, 3,5} U A B A Debemos saber que la diferencia relativa de conjuntos no es conmutativa A-B = B-A 153 Conjunto diferencia simétrica (∆): Esta formada por los elementos de ambos conjuntos, excepto los de la intersección. Ejemplo : Dado A={1,3,4,5,6} ; B= {2,4,6,8,10}, Hallar { } 1, 2, 3, 5,10 A B A = . d) Conjunto complemento: Es aquel que está formado por los elementos que le faltan a A para ser igual a U, es decir que matemáticamente { } ' / ^ A U A ì ì ì = e e . se representa por '       c A o A . Dado: { } U 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10 = y { } { } A 1, 3, 4, 5, 6 ; B 2, 4, 6,8,10 = = Hallar el complemento de los conjuntos dados. En forma gráfica: 154 Ejercicios resueltos de operaciones conjuntista. U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A={2,3,4,5,9} ; B={3,5,7,8} D={1,4,5,6,7} Realizar: 1) (AUB) Solución: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9} 2) (A∩D) Solución = {2, 3, 8, 9} 2) (B∩D) Δ c A = B∩D= {5,7} c A = {1, 6, 7, 8} (B∩D) Δ c A = {1, 5, 6, 8} A B U D Leyes de algebra de conjunto Leyes de idempotencia: 1ª) AUA=A 1b) A∩A=A Leyes asociativas 2ª) (AUB) UC= AU (BUC) 2b) (A∩B) ∩C= A∩ (B∩C) Leyes conmutativas 3ª) AUB =BUA 3b) A∩B=B∩A Leyes distributivas 4a) AU (B∩C)=(AUB) ∩(AUC) 4b) A ∩ (BUC)=(A∩B) U (A∩C) Leyes de identidad 5ª) AUØ=A 5b) A∩U=A 155 6ª) A∪U =U 6b) A∩Ø=Ø Leyes del complemento 7ª) AU c A =U 7b) A∩A c A =Ø 8ª) ( ) c c A A = 8b) c U =Ø; U c Ø = Leyes de Morgan 9ª) ( ) AUB A B c c c = · 9b) ( ) A B A B c c c · = Verificación de las leyes de De-morgan 1) ( ) AUB A B c c c = · { } { } { } { } { } { } { } Si U 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 A 2, 4, 5, 6, 7 y B 1, 2, 5, 7       (A ) 1, 2, 4, 5, 6, 7 A {1, 3,8}        (A )  3,8   A B 3,    B 3, 4, 6,8   8 c c c c c tenemos que B y B = = = = = = = = · 2) ( ) A B A B c c c · = { } { } { } { } { } { } { } Si U 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 A 2, 4, 5, 6, 7 y B 1, 2, 5, 7       (A ) 2, 5, 7 A {1, 3,8}             B 3, 4, 6 (A )  1,3, 4, 6,8 A B 1,3, 4, 6,8 , 8 c c c c c tene B mos que B y = = = · · = = = = = Cada día que vivimos puede ser un milagro... La magia esta en creer, que hay algo más allá de lo que vemos, sentimos y hacemos. Luchar por mantener siempre, la esperanza y el amor. Extraido de la película premonición 156 Bibliografía Seymour lipschutz, ph.D. (1970). Teoría y problemas de conjuntos y temas afines Editor McGraw-Hill México. Morel Roberto, Ventura Eduardo (2008); Matemática Superior I. Santo Domingo Rep. Dom: Universidad Católica de santo Domingo. Santillana I. serie umbral, (educación media). (2001), 1ra ediccion, Rep.Dom: Editora Santillana Peña Geraldino, Fafael. Matemática Básica Superior, (2005), 4ta edición, Republica Dominicana. Editorial Antillanas. Un Picasso geométrico. albaderamon.wordpress.com Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Precálculo. 6ta edición, México: editora Pearson Educación. Baldor Aurelio, (1994). Algebra. Undécima edición, México: editora Codice América, S.A. Santillana I. serie umbral, (educación media). 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