Libro de Semejanza y Congruencia y Ejercicios

Área de ΜατεµατιχαTexto San Mateo 2º Medio PROGRAMACIÓN DEL ALUMNO. SECTOR DE FORMACIÓN MATEMÁTICA ÁREA TEMÁTICA MATEMÁTICA NIVEL SEGUNDO AÑO MEDIO PROFESOR MARCIA MEDINA TORRES UNIDAD DIDÁCTICA No 3 MANOS A LA OBRA TIEMPO 40 a 45 hrs APRENDIZAJES ESPERADOS: Los alumnos: 1. Dividirán armónicamente un segmento dado en una razón dada usando regla y compás. 2. Trazarán la circunferencia de Apolonio en un segmento dado. 3. Comprenderán el Teorema de Thales y lo aplicarán en la resolución de problemas. 4. Realizarán conjeturas y demostraciones de propiedades geométricas asociadas a las proporcionalidad de trazos. 5. Conocerán los criterios de congruencia de triángulos y los aplicarán en el análisis de diferentes polígonos y en la resolución de problemas. 6. Conocerán los criterios de semejanza de triángulos y los aplicarán en el análisis de diferentes polígonos y en la resolución de problemas. 7. Aplicarán la semejanza de triángulos para deducir los teoremas de Pitágoras y Euclides. 8. Aplicarán los teoremas de semejanza para deducir otros relacionados con los segmentos proporcionales en el círculo. 9. Valorarán la influencia de la geometría en expresiones artísticas. ACTIVIDADES SUGERIDAS: • Realizan construcciones geométricas necesarias como introducción al tema. • Aprecian la importancia de las construcciones geométricas con regla y compás para comprobar los resultados. • Dividen interior y exteriormente un segmento en una razón dada. • Usan los métodos de división interior y exterior en forma simultánea para dividir un segmento armónicamente. • Trazan la circunferencia de Apolonio. • Aplican el teorema de Thales y de la bisectríz. • Identifican figuras congruentes. • Aplican los criterios de congruencia en demostración de teoremas sobre triángulos y polígonos • Diferencian figuras semejantes de las figuras congruentes. • Aplican los criterios de semejanza en demostración de teoremas sobre triángulos y polígonos. • Deducen los teoremas de Euclides y de Pitágoras usando semejanza de triángulos. • Aplican los teoremas de Euclides y de Pitágoras. • Investigan y profundizan los contenidos en la bibliografía sugerida: Matemática 2 , Gonzalo Riera Lira, del Ministerio de educación, Cap.4 pág. 136 –163 Álgebra Arrayan ,Editores Cap. 3 pág. 151 – 174 • Realizan un constante trabajo individual y grupal. • Trabajan en los apuntes de Unidad 3. CONTENIDOS : 1. División de un trazo en una razón dada. 2. División interior y exterior de un trazo en una razón dada. 3. División armónica. 4. La circunferencia de Apolonio 5. Teorema de Thales 6. Coingruencia de triángulos 7. Semejanza de triángulos 8. Teorema de Pitágoras 9. Teorema de Euclides 10. Segmentos proporcionales en el círculo. 11. Sección Aurea o divina Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio I. DIVISIÓN EN “ DEDANS ” Y EN “ DEHORS ” PERO ANTES… Presentaré la importancia de dividir segmentos en geometría. Más aún, el aporte que dejaron algunos matemáticos en esta parte de la geometría… la Geometría de Proporciones… Lagrange, matemático francés dio nombre de división interior a la división por defecto porque “ el producto del divisor por el cociente cae dentro ( en dedans ) del dividendo. Y dio nombre de división exterior a la división por exceso porque “ el producto del divisor por el cociente cae fuera ( en dehors ) del dividendo…. ¿ qué otras cosas realizó Lagrange ? CONTENIDO I : Se ve interesante el tema... Y es Geometría… será más entretenido . Ahora comenzaré a investigar de qué se trata DIVISIÓN DE UN SEGMENTO. SEGMENTOS PROPORCIONALES. La razón entre dos trazos es el cuociente entre los números que expresan sus longitudes, si se han medido en la misma unidad. B A Ejemplo : d Los trazos AB y CD están en la razón de 3 : 4 , porque la unidad “d” cabe 3 veces en AB y 4 veces en CD . C D “ Dos trazos son proporcionales a otros dos , cuando la razón que existe entre las dos primeras , es igual a la razón entre las dos últimas “ . a b c Ejemplo : Si se dan los 4 trazos siguientes : a = 4 cm ; b = 2 cm c = 6 cm ; d = 3 cm a 4 = = 2 La razón entre los dos primeros trazos es : b 2 d Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio c 6 = = 2 d 3 Se dice , entonces que los trazos “a” y “b” son PROPORCIONALES con “c” y “d” , es a c = decir : b d La razón entre los dos últimos trazos es : DIVIDIR UN TRAZO EN UNA RAZON DADA. Problema: Dividir un trazo AB en un número cualquiera de partes iguales. A B Solución : Sea AB , el segmento. Lo dividimos en 5 partes iguales. Se traza un rayo indefinido AC ( línea auxiliar ). A partir del punto “A” , AC se divide en 5 partes de igual longitud arbitraria. Se une C con B. Por los puntos de división de AC ,se trazan paralelas a CB . Estas paralelas , que determinan partes iguales sobre AC , determinan también partes iguales sobre AB . C cuyas distancias a los extremos Teorema : En un trazo AB existe un sólo punto C A y B del trazo , están en una razón dada. Ejemplo : Dado el trazo AB Supongamos que AC CB y sea C ese punto. = 3 4 A C B Se dice en este caso que “ C divide interiormente al trazo AB “ en la razón 3 : 4. PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN TRAZO INTERIORMENTE. Problema : Dividir un trazo AB interiormente en la razón 2 : 3. Solución : Sea AB el trazo dado . Por los extremos del segmento AB se trazan E L1 y L2 tales que L1 // L2 Se hace : AE = 2 unidades arbitrarias BF = 3 unidades arbitrarias A Se une E con F y se obtiene el punto C L AC 2 1 = Resulta : CB 3 C F L2 B Teorema : Sobre la prolongación de un trazo AB , existe un sólo punto cuyas distancias a los extremos del trazo están en una razón dada. A B C Sea D el punto dado en la prolongación de AB . Supongamos que AC BC = 4 3 Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Se dice que “ D divide exteriormente al segmento AB “ en la razón de 4 : 3 . PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN TRAZO EXTERIORMENTE. Problema : Dividir exteriormente un trazo AB en la razón de 3 : 2 . L1 E L2 F Solución : Sea AB el trazo dado. Por los extremos del segmento AB se trazan L1 y L2 tales que L1 // L2 Se hace : AE = 3 unidades arbitrarias. A B BF = 2 unidades arbitrarias. Se une E con F y se prolonga hasta intersectar la proyección de AB en D. Resulta : AD DB = AF BE = 3 2 D DEFINICIÓN: Dividir un trazo armónicamente, es dividirlo interior y exteriormente en una razón dada PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN SEGMENTO ARMÓNICAMENTE EN UNA RAZÓN DADA Problema : Dividir un trazo dado AB , armónicamente , en la razón de 5 : 3 . Solución : Se dibuja el segmento AB . En ambos extremos copiamos segmentos paralelos las longitudes dando origen a los puntos R y T . sobre 5 y 3 R L1 L2 S - Uniendo R y T se determina el punto P de división interior de AB Así , P divide interiormente al trazo AB la razón 5 : 3 es decir : AP PB = 5 3 A P T B D - en - En dirección opuesta a BT de longitud 3. dibujamos BS - Se une R con S y se prolonga hasta intersectar la proyección de AB en D y encontramos el punto exterior D . Así, AD BD - D = 5 3 divide exteriormente al trazo AB en la razón 5: 3 , es decir : - Luego , resulta : AP PB = AD BD = 5 3 Divide el segmento dado en cinco partes iguales 150. t t’ Es decir.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio LA CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO Es la circunferencia que tiene por diámetro el segmento o trazo formado por el punto de división INTERIOR y el punto de división EXTERIOR de un trazo divido armónicamente . 3:5 5:4 Divide armónicamente los segmentos dados en la razón dada y además traza la circunferencia de Apolonio : 4:5 5:3 TEOREMA DE THALES Teorema 1 : Si varias paralelas determinan segmentos iguales en una de dos rectas transversales. 153. cuyo centro es E J E R C I C I O S. Por lo tanto. Divide en la forma indicada : 149. O. N es el punto de división exterior en m : n. Así . M es el punto de división interior en m : n. A M T B O N = AN BN = m n es el diámetro de la circunferencia de APOLONIO . el trazo AB está armónicamente. determinan también segmentos iguales en la otra transversal. Así . transversales y si AB = BC A' B' = B' C' 40 cm d d d d A B A’ B’ son dos entonces C C’ . L1 Ejemplo : Sea AB un trazo dado. 152. Divide exteriormente el trazo dado en la razón II. AM MB MN L2 la razón la razón dividido m: n . según la figura : d Si t y t’ AA' // CC' . Divide interiormente el trazo dado en la razón 151. I. en una razón dada. por M y N . Es decir . anterior si Si AD DB = AE EC entonces DE // BC A Teorema 5 : El segmento que une los puntos medios de un triángulo. entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos proporcionales. Es decir : Si t y t’ son dos transversales. es paralela al tercer lado e igual a su mitad. . Es decir. y si si AA' // BB' // CC' AB entonces AB BC = A' B' B' C' t A B t’ A’ B’ = BC C C’ Teorema 3 : Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo. Es decir .Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Teorema 2 : ( Teorema de Thales ) Si varias paralelas cortan a dos transversales entonces estas determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales. Es decir. en el triángulo ABC . en el triángulo ABC : Si DE AD AE = DB EC A D entonces B E // BC C Teorema 4 : ( Recíproco ) Si una recta divide dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales. entonces es paralela al tercer lado. en el triángulo ABC : Si AD biseca al ángulo A entonces AB AC = BD DC B D C E J E R C I C I O S. en el triángulo ABC : Si M y N son los puntos medios de AB y AC BC entonces MN // BC y MN = 2 M N B A C Teorema 6 : La bisectríz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados que forman ese ángulo. BC = 8 C D E A 2x D 3x . Determina el valor de “x” en cada caso : D AE = 2x . AC = 155. entonces x = ? B Encuentra CD . BC = x . 161. BD biseca el 159. Encuentra la medida que falta 160. AB // 10 CD 4 x + 13 B D . si DE // AB AD = 9 . CD = 2x . AD 3 A 162. CE = 2 . AB = x + 3 ..1 C L2 158.5 12 D x-3 B 1 D 3 x+4 C C A 15 B 164. AC = 3x . si 12 A x D X+4 B DE // BC .1 DE = x + 4 A 157. Si AB // EF // CD A B E C 4 7 5 E 2x+1 F 5x–4 D Para la siguiente figura. la recta que intersecta a dos de los lados del triángulo es paralela al tercer lados. En la fig. 156. ángulo B . 9 6 x 4 C A AD 4 A 163.1 . 9 es bisectriz x C X+1 C es bisectriz X+1 A 2x .Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio 154. En el triángulo ABC . C L1 // L2 .1 C A B En los ejercicios 160 y 161. AB = 2x EB = x + 1 E B L1 . . si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.. .. ¿crees tú que somos figuras congruentes ? De que somos figuras..Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Congruencia de triángulos.. Oye. sí. Pero.. ¿ seremos congruentes? ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUENTES Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño. es decir. BC =B' C' .LADO ( L .ANGULO .Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Esto significa que deben tener lados y ángulos iguales : C C’ AB = A' B' . ) α’ β’ B’ LADO . A . L .L ) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos : C’ C L : AC A' C' = α A 3. ∠ A =∠ A' ∠ B =∠ B' ∠ C =∠ C' A B A’ B’ ∆ ABC La notación de que un triángulo es congruente con otro lo anotamos ≅ ∆ A’B’C’ Reconoce las figuras congruentes y pinta de un mismo color aquellas que los sean: Existen criterios que permiten afirmar que dos triángulos son congruentes : 1.ANGULO . AC = A' C' .LADO .LADO .ANGULO ( A . CRITERIO ANGULO .A) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los ángulos adyacentes a él : C A : ∠ α = ∠ α’ L : AB = A : ∠ β = ∠ β’ α A β B A’ α’ β’ B’ A' B' C’ 2. A . CRITERIO β B A : ∠ α = ∠ α’ L : AB = A' B' A’ ( L . CRITERIO LADO . L. A. si dos triángulos son congruentes.L. así : ∠ ADC + ∠ CDB = 180º ( son ángulos adyacentes ) y como éstos son iguales. ) Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales : C γ L : AC A' C' = = = A’ α’ C’ γ’ L : BC B' C' α A β L : AB B β’ B’ EJEMPLOS DE APLICACIÓN : TEOREMA : La bisectriz correspondiente al ángulo basal de un triángulo isósceles es perpendicular a la base y la biseca.D. ( Queda Esto Demostrado ) F E 2) En la figura : A C D . Además : AD = DB ( por ser elementos homólogos ) Q.E. Hipótesis : Tesis : ∆ ABC es isósceles CD es bisectríz ∠ ADC = ∠ CDB = 90º AD = DB C 1 2 Demostración : En primer lugar se deben ubicar los datos de la hipótesis en la figura para luego darse cuenta cuál es el criterio a utilizar . L.LADO ( L . así : L : A: L : Por tanto : = BC ∠1=∠2 CD = CD AC A D (lados iguales de un triángulo isósceles ) (por ser CD bisectríz ) ( lado común a los dos triángulos ) ∆ DBC ( por criterio L.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos : C γ L : AC A' C' = = α’ A’ C’ γ’ L : BC α A β B B' C' A : ∠ α = ∠ α’ β’ B’ 4. entonces todos sus elementos respectivos son iguales ( se dice que los elementos homólogos son iguales) .) B ∆ ADC ≅ Ahora. CRITERIO LADO . L .LADO . cada uno mide 90º ( los ángulos homólogos son los opuestos a lados iguales ). D. A D A AB = AB ∠ DAB = ∠ CBA ∠ DBA = ∠ CAB B B AB = BC = AC DE = DF = FE C E F Señala en qué condiciones serían congruentes ( Realiza un dibujo ) 169.E.L. ¿ En qué casos se puede asegurar la congruencia del par de triángulos ? Indica el criterio utilizado en cada caso : E F B C 165. Considera los siguientes pares de triángulos.) ( lados homólogos ) i) ≅ ∆ ADE ii) AC = AE Q. en los que se indica los lados o respectivamente congruentes.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Hipótesis : Tesis : Demostración A : ∠ L : A : ∠ por tanto : AF = AD y ∆ ADE i) ∆ ACF ≅ ∠ CFA = ∠ EDA CE ii) A es el punto medio de : CFA = ∠ EDA AF = AD CAF = ∠ EAD ∆ ACF ( por hipótesis ) ( por hipótesis ) ( ángulos opuestos por el vértice ) ( por criterio L.) ( ángulos homólogos ) ii) ∠ ACB = ∠ ADB Demostración : L : AC = AD L : BC = BD L : AB = AB Así : i) ∆ ABC D ≅ ∆ ABD ii) ∠ ACB = ∠ ADB E J E R C I C I O S. 3) En la figura : Hipótesis : Tesis : i) AC C = AD y BC = BD A B ∆ ABC ≅ ∆ ABD ( por hipótesis ) ( por hipótesis ) ( por hipótesis ) ( por criterio L.L.A. Dos trazos o segmentos. Dos rectángulos . D A E C AB =DE AC =FE BC =DF D A B AC =DF F AB =DE ∠ CAB =∠ EDF 167. D C 168.L. 166. 170. Z DZ =FY DE ⊥ EF .Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio 171. Z F Y A D E B Hipótesis : BD ⊥ AC B es punto medio de AC Tesis : ∠1=∠2 D Hipótesis : ∆ ABC es isósceles. Dos circunferencias Responde . Un cuadrado tiene un lado igual a uno de los lados de otro cuadrado. Dos cuadrados 172. ¿ Son los cubos congruentes ? En los casos siguientes demuestra lo que se indique : 177. ¿ Son los cuadrados necesariamente congruentes ? 176. ∠ 3 = ∠ 4 Tesis : ∆ RZS ≅ Hipótesis : ∠3 = ∠ 4 = 90º 178. Un cubo tiene igual arista a una arista de otro cubo. AC = BC 182. Hipótesis : Tesis AC = BC CD = CE S Hipótesis : ∠D = ∠ Y : ∆ ACD C ≅ ∆ EBC Tesis E :∆ DEF ≅ ∆ XYZ X D 181. ¿Pueden dos artículos manufacturados en serie llamarse congruentes en el más estricto sentido matemático ? 175. EN EL CUADERNO . Hipótesis : ∠1 = ∠ 2 . ¿Pueden dos triángulos ser congruentes sin ser coplanares? 174.las siguientes preguntas ( Justifica tus respuestas ) 173. XY ⊥XZ 3 4 Z S 180. D y F puntos medios de AC y BC Tesis : AF =BD y ∠ 1 = ∠ 2 C D A 1 B 2 C A F B Usando congruencia de triángulo demuestra las siguientes propiedades de los paralelógramos : . RS =RT ∆ RZT Tesis R 1 2 :∆ RZS ≅ ∆ RZT T R 3 4 T 179. Las diagonales de un rectángulo son iguales. paralelógramo se dimidian : AE = EC y BE = DE D E C 186. Los lados opuestos de los paralelógramos son iguales. ∠ ABC = ∠ ADC y ∠ DAC = ∠ BCD D E C A B A Hipótesis : AD Tesis D : ∆ ACD BC B y AB DC Las diagonales de un 185. ≅ ∆ ACB C A B A B 187. Los ángulos opuestos de los paralelógramos son iguales.Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio 183. AB = CD y AD = BC D C 184. Hipótesis : ABCD es rombo Tesis : AC ⊥ DB C D C 2 A B A 189. Hipótesis : ABCD es rectángulo Tesis : AC = DB D B C A B CONTROL FORMATIVO 5 . Hipótesis : AB = DC y ∠2 = ∠4 Tesis D 4 : ∆ ACD ≅ ∆ ACB AD = BC y 188. Dibuja un segmento AB = 4cm y determina. calcular la longitud de los segmentos que forma la bisectriz del ángulo α sobre el lado opuesto. A α D β B . Hipótesis: ABCD paralelogramo AB // CD AD // CB AC diagonal Tesis : AB = CD AD = CB D C A B C 10. En la figura AB // DE . m : n . A B 2. ¿ Cuánto mide cada uno A 4. Los lados del ángulo α miden 12 cm y 13 cm . En la figura . Congruencia: 9. Divide armónicamente el segmento dado en la razón son los segmento que se indican. 3. Dibuja la circunferencia de Apolonio que se obtiene al dividir armónicamente el segmento dado PQ en la razón 3: 1 P L4 L5 E D F B D L3 C Q A si “m” y “n” B 6. m n 5.el valor de x . L3 // L4 // L5 AC = 2x CE = x+7 BD = 3 DF = 5 Determina . Divide el segmento AB dado en 3 partes iguales.Demuestra que: “En todo triángulo isósceles los ángulos basales son iguales” Hipótesis: ∆ABC isósceles CD = tc Tesis : ∠α=∠β tc Objetivo transversal. Divide el trazo AB en partes proporcionales a de los segmentos obtenidos ? 1 : 4 : 5 . Además indica la medida de los segmentos AD y DB .el valor del segmento AE L1 L2 B 7. AB = x + 2 . DE = 3x+10 Determina los valores de los segmentos AB y DE C 3 A 12 E 8.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio 1. Demuestra que: “Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales”. un punto D tal que D divida al segmento AB en la razón 3 : 5. El perímetro de un triángulo es 30 cm . en él. de Chile están . los diseñan previamente una rectángulos congruentes En muchas ciudades las calles de las poblaciones más pobres no calles albañiles serie de entre sí.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Para pavimentar las con hormigón armado. Si los vecinos tienen un año de plazo para juntar el dinero. el Ministerio aporta el resto de los recursos y se encarga de la obra. puesto que las calles se transforman en un barrial por donde es muy difícil transitar.. esto trae como consecuencia una mayor contaminación.000. Para solucionar estos problemas el Ministerio de Vivienda y Urbanismo ha desarrollado un programa de pavimentación comunitario. NO IGUALES. y grandes dificultades en el invierno. Este programa consiste en que los vecinos presentan a la Municipalidad su solicitud y entre ellos deben poner al menos el 10% del costo de la obra si se trata de una calle. si en ella viven 24 familias que deben aportar el 10% del total. ( lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales ) Es decir : C C’ b a b’ A B A’ a’ c c’ B’ . ¿Qué problema ocasiona una calle sin pavimento? ¿Qué otras posibles soluciones se te ocurren? PARECIDOS. ¿cuánto deben juntar mensualmente?. Compara este porcentaje con otras ciudades de la décima Región. Cuando ya está reunido el dinero y se cumplan otros requisitos. no necesariamente el mismo tamaño. PERO . y al menos el 20% si se trata sé un pasaje.. Si los rectángulos tienen 5 metros de largo. - Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. El costo aproximado de 100 metros de calle es de $12. ¿cuánto aporta cada familia?. y con dos de ellos se cubre el ancho de la calle : ¿Cuántos rectángulos son necesarios para pavimentar los 100 metros? Investiga en tu Municipalidad qué porcentaje de calles están sin pavimentar. - Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma.000. producto del polvo en suspensión.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio pavimentadas.. ∠ B = ∠ B’ . si ¿ es E A A B B . entonces ∠D = ∠B ( alternos internos entre paralelas ) y ∠E = ∠ A ( alternos internos entre paralelas) por lo tanto : ∆ABC ∼ ∆DCE A D E CRITERIO lado . entonces estos dos triángulos son semejantes. ∠ B = ∠ B’ . GQ = 5 Encuentra WQ = A K Q G CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS CRITERIO ángulo .A ) Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de un segundo triángulo. ∆ABC ∼ ∆DCE ? C Si AB // DE .Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio ∆ ABC ssi : ∼ ∆ A’B’C’ i) ii) ( triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’ ) ∠ A = ∠ A’ . ∠ C = ∠ C’ a b c = = a' b' c' B 10 6 Ejemplo : En efecto : Los triángulos siguientes son semejantes : ∠ A = ∠ A’ . QK // GA AK = 4 .lado ( L .L ) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y congruentes B C .A . ∠ C = ∠ C’ a b c = = =2 a' b' c' C Postulado : en el triángulo ABC : Si A' B' // AB . entonces : AB BC AC = = A' B' B' C' A' C' B’ 3 C’ 4 5 C 8 A A’ A’ B’ A B W Ejemplo : En el triángulo GAW .ángulo .ángulo ( A . KW = 8 . en los triángulos ABC y DEF : ∠A = ∠D y ∠B=∠E Entonces C F ∆ABC ∼ ∆DEF D AB // DE Ejemplo : Según la figura. Es decir . Si ∠A=∠D y AC DF = AB DE D Entonces ∆ABC ∼ ∆DEF E F C 15 B 8 35º 10 R 35º L 12 A J Q Ejemplo : ¿ Son semejantes los triángulos ? como 15 12 = 10 8 y ademas ∠ R = ∠ B = 35º entonces ∆CRJ ∼ ∆LBQ CRITERIO lado .lado . 190. Es decir . en los triángulos ABC y DEF . L . PQ = PR Se sabe que PX biseca ∠QPR . AC = 25 A 15 3 B E C Q ¿Para cuáles de los siguientes ángulos . el R X R D 191. ) Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. L . en los triángulos ABC y DEF : Si AB DE = BC EF = AC DF B D C Entonces ∆ABC ∼ ∆DEF E F Ejemplo : ¿ son semejantes los triángulos TMQ y CJX ? como T 18 12 15 = = 12 8 10 18 12 Q 15 M C J 8 12 10 X entonces ∆ABC ∼ ∆DEF E J E R C I C I O S. y que Demostrar que ∆QPX ∼ ∆QPR P Q ∆ RNQ es semejante al ∆ VBX ? X N V B .Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio el ángulo comprendido entre ellos.lado ( L . decir . Encuentra el valor de AD . ∼ F C A ∆ DEF 201. JN =? K N K L B M Hipótesis : WZ = XY . Dado que ∠ T = ∠ NGV ∆ NGV 195. ∠C = ∠E F . ∠B = ∠D 203. ∠ N = 73º ∠ V = 62º . ML ⊥ JL NK = 4 . Dado que R J ∠R=∠W Demostrar que N ∼ ∆ NTX Demostrar que ∆ JYW N ∼ ∆ JMR V G X T Y W 196.Demostrar que: ∆ LKM ∼ ∆ BCM C L M Dado que LK CB . Tesis : ∆ FBE ∆ DEC BD ⊥ AC ∼ W Z C D X V Y E T B ? ¿ En qué casos el 200.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio 192. ∠ R = 62º . = . 198. 199. NK ⊥ JL . J Según la fig. = ∠B = ∠E E D A B 202. ML = 6 . Tesis : ∆ WTZ ∆ VWX WX = ZY ∼ Hipótesis : CF ⊥AB . ∠ Q = 80º ∠ V = 71º . ∠ A = ∠D . AB DE AB BC BC EF = BC EF DE EF AC DF = ∆ ABC CA FD . 197. ∠ R = 71º ∠ X = 70º 194. JM = 15 . . ∠ B = 73º 193. PQ ⊥PT y Demostrar que : ST ⋅ ST ⊥PR RQ = PS ⋅ PQ K Q R T R S G P H P Q homotecia La proyección de una diapositiva es un buen modelo físico del concepto de homotecia. GK = HK . RQ ⊥PQ . La homotecia puede usarse para realizar copias de dibujos y hacerlos más grandes o más pequeños: .En el triángulo GHK . 205.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio 204. 206. PR ⊥GK y PQ ⊥HK Demostrar que GR ⋅ PQ = PR ⋅ HQ Según la figura. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo dado es semejante al triángulo dado. ∆ OKJ ∼ ∆ O’K’J’ . // A' K' . B’ H • . Esta depende de un punto O. los ángulos correspondientes son congruentes. Como los segmentos de cada polígono son paralelos a los segmentos correspondientes del otro polígono. JK // J' K' . La figura se construyó de modo que AB // A' B' . FG // F' G' . llamada escala o factor de conversión.5). Por lo tanto ∆ OAK ∼ ∆ O’A’K’. Ejercicio: 207. Al ser los triángulos semejantes se tiene que sus lados homólogos son proporcionales. llamado centro de homotecia y de una constante k. HJ // H' J' . GH // G' H' . BC // B' C' . luego todos los lados correspondientes se encuentran en una misma razón. Copia en tu cuaderno la figura y el punto H y realízale una homotecia (H. EF // E' F' . Por lo tanto las figuras son semejantes Una homotecia es una transformación en el plano que permite obtener un polígono semejante a un polígono conocido.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio O H’ K’ G’ J’ F’ D’ B’ A’ C’ J H E’ G F E K B D A DE AK C CD // C' D' . Encuentra el centro de homotecia O y el factor de conversión k = OA' OA = A' B' AB C C’ A B A’ 208. // D' E' . ¿Qué otras parejas de triángulos son semejantes?. determinar la medida de BD .8 12 Así : A 5 C D x B Teorema de Euclides . es decir : dado ∆ ABC . es decir : dado ∆ ABC . PITAGORAS & EUCLIDES. Dibuja una figura y realízale una 1  homotecia  O . se verifica que los triángulos así formados son semejantes. En todo triángulo rectángulo. rectángulo en C . la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa . entonces se cumple que : ∆ ABC hc ∼ ∆ ADC ∼ A ∆ BDC D B Teorema de Euclides . cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella . BD = q . ( Referente a la Hipotenusa ) En todo triángulo rectángulo. entonces : C p hc = hc q hc ⇔ hc = p ⋅ q A p D C q B 2 Ejemplo : En el triángulo ABC. ( Referente al cateto ). rectángulo en C y CD = hc . altura correspondiente sobre la hipotenusa c .6 210. Dibuja una figura y realízale una homotecia de factor de conversión 3. con AD = p . Una homotecia con factor de conversión menor que uno y mayor que cero nos permite obtener una figura más pequeña. es decir : hc A p D c q B . 3     III. Solución : hc2 = AD ⋅ BD 144 = 5 ⋅ BD BD = 28.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio 209. C Teorema 1 : Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa . rectángulo en C. CD = hc . CD = hc c a = a q c b = b p ⇒ a2 = c ⋅ q ⇒ b2 = c ⋅ p Ejemplo : ∆ ABC rectángulo en C . rectángulo en C . En un triángulo ABC . es decir : Si ∆ ABC es rectángulo y a . calcula p. En un ∆ ABC . rectángulo en C : a) b) p = 8 cm hc = 6 m y y hc = 12 cm . 214.b = catetos c = hipotenusa C b a A c B . hc q = 0. Si la hipotenusa mide cm . En todo triángulo rectángulo. la proyección del cateto “b” sobre la 25 hipotenusa mide 2 cm menos que él . la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa. con las medidas indicadas. Calcula las medidas de las proyecciones de “a” y “b” sobre la hipotenusa. “p” hc = 12 cm. recto en C . determinar los valores de AC y BC Solución : b C a 1) b = 6 ⋅ 13 2 hc b2 = 78 b = 8. entonces 3 calcula la medida de “b”.54 A 6 D 7 B Aplicaciones de los Teoremas de Euclides : C 211. y b = 12 cm . mide 7 cm más que “q” . Determina la medida de 213. rectángulo en C . Teorema de Pitágoras . A p D q “q” si B 212.83 2) a2 = 7 ⋅ 13 a = 9. En el triángulo ABC . calcula q. Las medidas de los catetos de un triángulo ∆ ABC .9 m . son a = 9cm.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio dado ∆ ABC . entonces el triángulo es rectángulo .1 . se tiene que : a) si b) si c) si c2 = a2 + b 2 c2 > a2 + b 2 c2 < a2 + b 2 . Un lado mide 26 m .( CN )2 = ( CQ )2 . 10 . b son los otros dos lados .Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio c2 = a2 + b2 NOTA : Vale tener presente que . 221. q = 20 cm b) 220. Encuentra la medida de la longitud de la otra diagonal. 0. 6 2 . . y a.9 y 8 m. 8 0.4 12 . . Determina cuánto mide el TQ 227. entonces el triángulo es obtusángulo . 219. Calcula la altura h c si mide el doble que la menor de las proyecciones de los catetos. . TC ⊥ Demostrar : ( TN )2 . 36 4 2. 222.En un ∆ ABC rectángulo en C . se conocen las medidas de “p” y “q” . b = x 2 . Clasifica los triángulos para los lados que se dan : 6 . en un triángulo en que c es el lado mayor. en cada caso . q = 2 cm a) p = 5 cm . 10 0.En un ∆ ABC rectángulo en C . entonces el triángulo es acutángulo.En un triángulo equilátero la altura mide perímetro del triángulo. calcula el perímetro de cada uno de los triángulos en que la altura divide al triángulo dado. Aplicaciones del Teorema de pitágoras : 215.5 13 b) d) f) 15 .Calcula la medida de la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide : 2 3 cm a) 5 cm b) 6 3 cm c) 3 223. 226. 15 36 7 2.3 .En un triángulo rectángulo tal que la hipotenusa mide 20 y un cateto mide 16 .Comprobar que las expresiones a = 2x .Calcula el área de un rectángulo si la base mide 15 cm y una diagonal miden 36 cm. a) c) e) 216. . . 218.Calcula la medida del lado de un triángulo equilátero cuya altura mide : 2 3 a) h = 3 3 cm b) h = 6 cm c) h= cm 3 224.Dado : TC ⊥ CN . la proyección del cateto “a” mide 12 cm más que la proyección del cateto “b” sobre la hipotenusa. Calcula la diagonal de un rectángulo cuyas dimensiones son 217.1 y c = x2 + 1 corresponden a las medidas de los lados de un ∆ ABC rectángulo en C .( TQ )2 C W N H T Q . Calcula . si x>1. la altura hc del triángulo : p = 8 2 cm . 225.Una de las diagonales de un rombo mide 20 m de largo . Dado : JH ⊥ XBJ Demostrar : ( XJ )2 + ( HB )2 = ( XH )2 + ( JB )2 X B 3 3 . Determina los valore de p. ¿Cuánto sirve sacar fotocopias ? ¿Qué crees tú que le pasa a los alumnos que fotocopian la materia y apenas la leen?. Determina el valor de DE A B 4. Muchos alumnos sacan fotocopias de los cuadernos de sus compañeros ya sea porque faltaron a clases o porque no quisieron copiar. ¿quién crees tú que sale perjudicado al fotocopiarlo?. ¿Aprenden mejor los alumnos que escriben la materia en el cuaderno?. hc y c. Determina el valor de AB D C 16 hc a A p c D 12.8 A B B 3. ¿Existe alguna forma de evitar la reproducción ilegal de textos? CONTROL FORMATIVO 6 En cada caso . lo que reduce los costos. q.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Objetivo transversal. BD = 16 . A P D E 3 hc 4 q C D C B . ABCD es cuadrado de perímetro 24 cm. Las reducciones son copias a escala que permiten obtener una gran cantidad de información en una menor cantidad de hojas usando menos tinta. encuentra el valor que se indique : 1. Sea ABC triángulo rectángulo en C. Sea ABCD rombo. Si ahora piensas en los libros. ABC triángulo rectángulo en C. AC = 12 . Determina los valores de p y hc C 2.  Determinarán áreas y volúmenes de cuerpos geométricos ACTIVIDADES SUGERIDAS: Demuestran teoremas relativos a los ángulos formados por los elementos lineales de la circunferencia. Hallar el cateto que falta y la hipotenusa del triángulo dado. Calcular el perímetro del triángulo si los otros lados son números pares consecutivos.  Conocerán y demostrarán los teoremas relacionados con los ángulos del centro y de los ángulos inscritos en una circunferencia . En un triángulo rectángulo que tiene un cateto igual a 16 cm .  Aplicarán los teoremas relativos a los ángulos formados por los elementos lineales de la circunferencia ( radio . 51 cm y 24 cm Resuelve los problemas : 6.  Aplicarán los teoremas relativos a ángulos en loa circunferencia para deducir otros relacionados con los segmentos proporcionales en el círculo.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio 5. Demuestran los teoremas sobre segmentos en la circunferencia usando semejanza de triángulos. Aplican los teoremas sobre segmentos en la circunferencia. Clasifica el triángulo si la medida de sus lados son 45 cm . 7. . cuerda .  Determinarán áreas y perímetros de figuras planas. SECTOR DE PORMACIÓN ÁREA TEMÁTICA NIVEL PROFESOR UNIDAD DIDÁCTICA Nº 3 TIEMPO PROGRAMACIÓN DEL ALUMNO. Analizan y establecen las condiciones para que un cuadrilátero se pueda inscribir en una circunferencia.6 cm más que la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa. secante)  Analizarán propiedades y relacionarlos en figuras geométricas que se pueden inscribir o circunscribir a una circunferencia. tangente. conos y esferas) para establecer las condiciones para que estos cortes generen círculos e interpreten curvas de nivel como representación plana de algunos cuerpos. El ∆ ABC rectángulo en C . MATEMÁTICA MATEMÁTICA. la proyección de éste sobre la hipotenusa tiene 5. la hipotenusa mide 10 cm . SEGUNDO AÑO MEDIO MARCIA MEDINA TORRES CIENCIA DE LA EXTENCIÓN II 20 A 25 HORAS APRENDIZAJES ESPERADOS: Los alumnos:  Desarrollarán cortes en cuerpos redondos (cilindros. Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio - - Calculan áreas y perímetros de figuras planas. Elementos lineales en la circunferencia. “ BUSQUEMOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA “ . “SOBRE LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS“ 1. 8. Enuncia algunos elementos que conoces sobre la circunferencia. Cap.289 Álgebra y Geometría II . Gonzalo Riera Lira.144 y 199 –220 Realizan un constante trabajo individual y grupal. Ángulo formado por dos secantes. Calculan áreas y volumen de cuerpos geométricos básicos Investigan y profundizan los contenidos en la bibliografía sugerida: Matemática 2 . pág 135 . caracterizan la circunferencia. ¿ Qué tipos de ángulos se podrían formar con estos elementos ? 3.. 4. Ángulo inscrito y semi-inscrito. Cap. Áreas y volumen de cuerpos geométricos. del Ministerio de educación. 9. pág. 7. Ángulos formados por dos radios 3. VI. 2. Ángulo formado por dos cuerdas. Áreas y perímetros de figuras planas. 2. y IX.7. ¿Dónde se ubicarán los vértices de éstos ángulos? Antes de comenzar la unidad deseo proponerte lo siguiente. cono y esfera ) estableciendo las condiciones para que estos cortes generen círculos. CONTENIDOS : 1. Santillana. 5. ¿ Cuáles son sus posibles combinaciones de tal modo que se puedan formar ángulos ? 4. 6. Ángulo formado por una tangente y una secante. 10. Ángulo formado por dos tangentes.. Trabajan en los apuntes de Unidad 3. 243. Imaginan o realizan diversos cortes en cuerpos redondos ( cilindro . Construyen curvas de nivel como representación plana de algunos cuerpos. Arcos que forman dos rectas paralelas. en diversos sentidos.. que se coloca este cilindro en una caja que se va llenando con agua : ¿ qué forma se genera por la intersección de la superficie del agua con las paredes del cilindro ? .. Determina el rango de variación de los radios de los diversos círculos que se pueden obtener.Hace cortes imaginarios. Supone que un cono se coloca dentro de una caja (ojalá de paredes transparentes ) en la que se va poniendo agua. A L1 CIRCUNFERENCIA : I.Dibuja las curvas de nivel de una semiesfera. Si se colocan dos alfileres en puntos cualesquiera de la esfera y se unen por medio de un elástico se marca un arco que es parte de un círculo mayor. ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN : 228. y toma las medidas de los radios y r altura como se ve en la figura que se muestra. R 229. paralelos a la base de un cono recto. ¿ cuál es el gráfico que relaciones en nivel de agua con el radio del círculo correspondiente a cada corte ? 230. 232.Imagina un cono recto en el que se hacen diversos cortes . en un mismo dibujo. en forma similar al ejemplo anterior. si es necesario. h Varía los radios y sus respectivas alturas y anota los valores en una tabla. 231.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Se ve interesante el tema. Caracteriza el corte que permite obtener el círculo de mayor radio ( círculo máximo). los círculos que se generan al hacer cortes equidistantes.analiza qué condiciones debe satisfacer un corte para que genere un círculo. Traza cortes que generen círculos menores. Se puede utilizar esferas de plumavit.Traza. en una esfera. Describe el dibujo e interprétalo. Te recomiendo que esto lo hagas con regla y compás. de una pirámide recta de base cuadrada o de otros cuerpos geométricos.¿ Qué formas se obtienen si se hicieran diversos cortes a un cilindro recto? Supone. Grafica la relación entre la altura del nivel del agua y el radio de los círculos correspondientes. Ahora voy a investigar de que se trata esto para luego aplicar lo que haya aprendido. ELEMENTOS DE UNA L2 C O = centro de la circunferencia OA = OB = OC = radio de la circunferencia AB = diámetro de la circunferencia L1 = recta tangente a la circunferencia L2 = recta secante a la circunferencia DE = cuerda de la circunferencia H D O B E . BD α 2 g) Angulo formado por dos tangentes A •D 2 h) Angulo formado por una cuerda y una tangente A P Ox α C• Ox B B . B Ox b) Angulo formado por dos cuerdas B C Ox A A Relación entre el ángulo y el arco : α β Relación entre el ángulo y el arco : α circunferencia : B = AB ∩ β= mismo arco C ∩AC 2 c) Los dos ángulos anteriores en una misma e) Varios ángulos inscritos formando el β Oxα β δ α x O A Relación entre los ángulos: α = 2β Angulo formado por dos cuerdas C Ox B Relación entre los ángulos: α=β=δ Angulo formado por dos secantes A Ox D A Medida del ángulo α α= C Medida del ángulo α α= B D d) f) α P α ∩ ∩ BC + AD ∩ ∩ AC . se pueden trazar ángulos que son muy importantes en su aplicación. en la circunferencia. Estos tienen una relación con los arcos que forman: a) Angulo formado por dos radios.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Con estos elementos. ∠ y = 112º A C yx O . Hallar ∠ BAC A O x46º x C B B 234.AB 2 α: k) Arcos formados por rectas paralelas que cortan a una circunferencia D A Ox B Relación entre arcos C l) Angulos opuestos de un cuadrilátero inscrito : A α Ox D β B C Relación entre ángulos : ∩ ∩ AB = CD α + β = 180° ejercicios 233.ADB 2 α= AB 2 i) Angulos que forma una semicircunferencia : C A j) Angulo formado por una secante y una tangente : A α Ox Ox B α P B Medida del ángulo C α: Medida del ángulo α= 90° α= ∩ ∩ AC .Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Medida del ángulo α: Medida del ángulo α: α= ACB . ∠ x = 75º y= A 60º D Ox x y C 236. x = y= A Ox 3x+10º B 3x B D 244. α = 72º x= y= 238. x= y= A x D y Ox 65º C B B 237. x= y= D x A 70º Ox E 25º y Ox C y C 243.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio ∠x= 235. ∠ y = 115º ∠x= C 240. ∠ x = 61º y= A x B 242. C A x Ox y = 140º ∠ BDC = y Ox B B y C 239. ∠ x = 40º ∠y= D A α Oxx y B 200º A Ox D y B C x E A 241. x = y= C A Ox 3x+6 B y 2x D x C y E 2x . Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio 245. Dado: AB diámetro del círculo O. Gonzalo Riera Lira IV. barrio. curso. SEGMENTANDO EL CÍRCULO . . ya que no somos ni tenemos que ser todos iguales . otros) Averigua qué aporte a la paz hicieron los premio nobel Mahatma Gandhi. humildad. ser tolerantes y aceptar a los demás con sus diferencias. ¿Conoces otro premio nobel cuya vida al servicio de la paz sea un testimonio admirable. evitar descalificar a las personas y saber resolver nuestras diferencias sin intentar derrotar al otro sino más bien aceptando y valorando nuestros acuerdos y aprendiendo de nuestros desacuerdos. Hoy. círculo O es tangente al círculo O’ en B. etc. la humanidad está más consciente que nunca de la necesidad de tener paz. sino también tranquilidad. colegio.? CONTROL FORMATIVO 7 Realiza. la autoevaluación de la página 286. lo que implica saber comunicarnos. iglesia. del libro del ministerio. Teresa de Calcuta y Adolfo Pérez Esquivel. por ejemplo. por su valentía. AC bisectriz ∠ BAD ∠ BAC = ∠ AEB = ∠ BDC = ∠ ADB = B E Ox A A y x O B x O’ x C 160º C 80º D Objetivo transversal. una paz que no significa solamente ausencia de guerra. Demuestra que ∠ x = ∠ y 246. BC es un diámetro del círculo O’. Organícense para desarrollar dinámicas grupales y reflexionar sobre este tema y que de ello surjan propuestas para comunicar o crear espacios de vivencias de paz en los grupos o comunidades a las que ustedes pertenecen (familia. entonces : 2 A se OX B C P AP = PC ⋅ BP Teorema 4 : Si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia . AP . ∠ OPA = ∠ OPB A B Teorema 2 : Si se trazan dos rectas secantes desde un punto exterior a una circunferencia . entonces : AP ⋅ BP = PD ⋅ PC B OX C D P Teorema 3 : Si desde un punto exterior a una circunferencia traza una recta tangente y una recta secante. Según la figura : P C OX A B P . Según la figura : OX C D EJERCICIOS 248. entonces : AE ⋅ BE = CE ⋅ DE A OX E C B D B A 247.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Teorema 1 : Los dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son congruentes y determinan ángulos iguales con el segmento que une el punto exterior al centro. BP AP = BP A OX P segmentos tangentes : . AB = 3⋅ BP . DE = 5 .En la figura : 250. EB = 2⋅ AE . Determina AB Determina AE C D OX E A C D . 252. Determina AD B D C OX E C 255. EC = 14 . BP = 15 y PC = 8 . En la figura : OD = 10 . AC = 18 .En la figura: AB = 12 . En la figura : . AE = 6 . Determina BP B O X A P B P A O X E A D B A B E OX 251. En la figura: BP = 5 . BD = 4 . En la figura: . Determina CD A D OX D A C B 254.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Si AP = 6 . AO = 5 . AD = 3 AB = 6 Determina AC B OX C 253. AE = 4 Determina AD B OX B . En la figura: AD = DB . CD = 15 . Si y BP = 5 determina AP PC = 20 249. OC = 5 . Determina PTT 256. OE = 8 .261 determinar PD . En la figura: PT = 4 6 . La razón entre el segmento completo y el trazo mayor es la misma que hay entre los segmentos mayor y menor determinados por el punto interior.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio 257. de C. De allí derivaría su nombre : proporción áurea o divina. EF y AH miden 146 . ¿ Cuál es la longitud del otro segmento ? 258. Las longitudes de los segmentos de una cuerda son 4 y 6 . Calcular la medida del segmento EH sabiendo que AB . 259. Si la longitud de un segmento de la otra cuerda es 3. entonces al reemplazar ocurre que : a x = ⇒ x2 + ax . Sea PQ = a .Dos cuerdas AB y EF se cortan en H . 1 DP . Desde el renacimiento (1500 d. = 2 P B = = 16 En la figura: AP = 90. PQ PD = PD DQ P D Q PD representa los términos medios de la proporción. de modo que entre el trazo completo y sus segmentos se puede establecer una proporción especial llamada sección áurea o divina. CP 21 . BP = 4 . como sello de armonía que Dios imprimía a sus creaturas.) se consideraba que la sección áurea estaba presente en muchas manifestaciones de la naturaleza.a2 = 0 ⇒ x a−x x = -a±a 2 5 . AB : BP = 7 : 8.Dos cuerdas de una circunferencia se intersectan. PD = x . 142 y 90 cm . Sea PQ el segmento dado y D el punto de división interior del mismo. respectivamente. En la figura: CD 260. DP Determina CP C Determina AP A OX D D P C B OX A LA SECCIÓN AUREA O DIVINA Una aplicación del teorema de la tangente y la secante a una circunferencia es la construcción geométrica que nos permite encontrar un punto interior de un trazo. a+ a 5  = = a⋅   2 2   5 −1 ⋅ a ≈ 0.6180339 ⋅ a 2 Entonces el segmento mayor . llamado áureo o divino mide aproximadamente 0. en la proporció áurea. Realiza geométricamente la división o sección áurea del segmento AB dado en cada caso : a) AB = 40 cm b) AB = 30 cm c) AB = 15 cm 262. EJERCICIOS 261.6180339 veces la longitud de “a” . la razón áurea PQ 0. El punto C divide al segmento AB .618a ≈ 1. Sea PD = x y PQ = 3.24 cm.618 ⋅ a. Acerca de la razón áurea presente en algunas pinturas realizadas por Miguel Angel.24 = 2 cm. el cálculo de la medida “x” del segmento áureo se reduce al producto Ahora.6180338 Ejemplo : Calcular la medida del segmento áureo que se obtiene al dividir un trazo que mide 3. su sección áurea (en el ejemplo AC es: - Investiga: Acerca de la presencia de la sección áurea en el arte griego. entonces PD = x = 0. a⋅ −1+ 5 2 ( ) CONTROL FORMATIVO 8 . Se decía que toda obra artística debía tener la proporción áurea o divina. La sección áurea es una proporción que interesó mucho a los griegos y a los renacentistas.24 cm . : PD está dada por PQ PD = a 0.618⋅ 3. Encuentra algebraicamente un punto D que divida en sección áurea o divina al trazo AB : a) AB = 12 cm b) AB = 8 cm c) AB = 32 cm Objetivo transversal.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio descartamos el valor negativo de la raíz y queda : x= -1+ 5  . pues AB AC = AC CB A C B Al resolver cierta ecuación de segundo grado se obtiene que si un segmento tiene longitud “a”. Así. CD = 4 cm . b) la longitud de una cuerda que dista 9 cm del centro. 4. El radio de una circunferencia es de 15 cm . En una circunferencia. una cuerda que mide 16 cm está a la distancia de 6 cm del centro. AD = DG = 6 cm .: . 3. En la circunferencia de centro O.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio 1. BC = 9 cm . ¿ Cuál es la distancia de A al centro de la circunferencia ? 2. Hallar la longitud de una cuerda cuya distancia al centro es de 8 cm. PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS. ¿Cuánto mide DE ? A E D x O B C 5. ¿Cuánto mide AB ? F B E Q 6. CD = 10 cm . BE = 8 cm . Si el radio de la circunferencia es 7 cm . se traza un segmento secante de 16 cm que determina una cuerda de 5 cm . . Desde un punto A situado fuera de la circunferencia. Hallar : a) la distancia del centro a una cuerda cuya longitud es de 18 cm. En la centro circunferencia BQ = EF = 8 cm EQ = 6 cm de O. A C D G x O . Realiza geométricamente la división o sección áurea del segmento AB dado en cada caso : b) AB = 20 cm b) AB = 12 cm I. AE = 6 cm . Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Perímetro de una figura plana es la medida de la longitud del contorno que conforma la figura. Area de una figura es la medida de la superficie que encierra dicha figura. POLÍGONO C h A D c B DIBUJO PERÍMETRO ÁREA P = AB + BC + CA TRIÁNGULO A= h⋅c 2 CUADRADO a a P = 4a A = a2 RECTÁNGULO a b P = 2a + 2b A=a⋅b TRIÁNGULO EQUILÁTERO a a a P = 3a A= a2 4 3 P = 4a a A = a⋅h ROMBO h D a a C AB = e BD = f P = 2 ⋅ e2 + f 2 A b B A= e⋅f 2 ROMBOIDE a h b c a P = 2⋅(a + b) A=b⋅h TRAPECIO a h b d P=a+b+c+d A= (a + c) ⋅ h 2 CIRCUNFERENCIA O r P = 2⋅ π⋅r A= π ⋅ r2 r O α r . RESUMEN DE FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE ÁREAS Y PERÍMETROS. 10 4 10 cm D 265.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio SECTOR CIRCULAR P = 2r + π ⋅r ⋅ α 180º A= π ⋅ r2 ⋅ α 360º SEGMENTO CIRCULAR r O α r B A P = AB + π ⋅ r ⋅α 180º A= A∆ABC π ⋅ r2 ⋅ α 360º ejercicios : Calcula el área y el perímetro de la parte sombreada de las siguientes figuras : 263. 6 O 6 C 266. 5 12 . 16 268. 8 269. 8 267. 4 4 4 270. A 24 cm B 264. 273. 272.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio 271. 12 x4 277. x 12 16 16 275. ÁREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS. A 10 B 4 D 3 E C III. 276. . 16 0x 3 x0’ 5 9 8 x 274. 2 cm. Un estanque de agua mide 6 cm de largo. En una cilindro recto de altura 8 m se ha inscrito una esfera : a) ¿ Cuál es el volumen del cilindro ? b) ¿ Cuál es el volumen de la esfera ? c) ¿ Cuál es la diferencia entre los dos volúmenes ? d) ¿ Cuál es la razón entre el volumen de la esfera y el del cilindro ? e) ¿ Cuál es el volumen de aire contenido en un globo de 45 cm de diámetro ? 281. 280. 4 m de ancho y 2 m de profundidad. Se deja caer una esfera de 50 cm de radio que flota a la mitad.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio CUERPO FIGURA ÁREA VOLUMEN a CUBO a PARALELEPIPEDO RECTO b A = a2 3 TETRAEDRO REGULAR a 0x CILINDRO RECTO r Alateral= 2·π·r·h h Atotal= 2·π·r·(h+r) V = π·r2·h a a AB = a A = 6a2 V = a3 a c A= 2ab+2bc+2ac V = a·b·c a 2 3 V= 1 AB · h 3 4 CONO RECTO h r g Alateral= π·r·g Atotal= π·r·(g+r) V= 1 π ⋅ r2 ⋅ h 3 ESFERA r A = 4 · π · r2 V= 4 π · r3 3 ejercicios Resuelve ahora los siguientes problemas : 278. cuyo diámetro interior es de 30 cm. Calcula el volumen y el área de la superficie esférica de un globo cuyo círculo máximo tiene un radio de 3. Un macetero tiene forma de semiesfera. ¿ Cuánto sube el nivel del agua ? 279. ¿ cuál es la cantidad de tierra que se necesita para llenar el macetero ? . h h d) Si los neumáticos de un auto se van desgastando de modo que el radio ha disminuido en un 1 % ¿Cómo de expresa la variación de la velocidad y el kilometraje en sus instrumentos?. la medición que marca el instrumento puede estar distorsionada. ¿en cuánto se altera la velocidad y el kilometraje? c) ¿Qué velocidad marca el velocímetro cuando éste alcanza una velocidad de 100 km km ? . a) Averigua con un mecánico cómo y por qué se puede distorsionar la medida del kilometraje y velocidad de un auto al cambiar el tamaño de los neumáticos. b) Si el radio de los neumáticos aumenta en un 25% . se le colocan neumáticos más grandes. El velocímetro de un automóvil funciona mediante un mecanismo que consiste en una “piola” que gira en correspondencia al giro del eje de la rueda. CONTROL FORMATIVO 9 . Establece y redacta tus conclusiones. Si a un vehículo.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio 282. una semiesfera y un cono tiene el mismo radio 6 cm . Calcula el volumen del prisma 2cm 6cm 4cm 2cm 12cm 18cm Objetivo transversal. ¿Qué velocidad real tiene cuando el velocímetro km marca 100 ? h e) ¿Por qué no es bueno alterar el tamaño de las ruedas ?. La altura del cilindro y del cono vale 10 cm. ¿ y cuando va a 60 ?. Un cilindro . : a) Calcula el volumen de cada uno b) ¿ Cuántas veces está contenido el volumen del cono en el volumen del cilindro ? c) ¿ Cuántas veces está contenido el volumen del cono en el volumen de la semiesfera? d) ¿ Cuántas veces está contenido el volumen de la semiesfera en el volumen del cilindro ? 283. O’. G. O’’’ centro de circunferencias tangentes de radio 3 cm 5. C Q T D C H F A B S C A 3. O. Calcula el área total y el volumen de la 5 cm 10 cm siguiente figura: A B 4 cm . QRST cuadrado circunscrito a la circunferencia. ABCD cuadrado de lado 18 cm. F. H puntos medios. ABC triángulo rectángulo C B O’’’ x O’’ x 10 cm x O x O’ 6. G 2. ABC triángulo equilátero de lado 6 cm. AB = 30 cm E D B R 4. E. O’’.Área de Ματεµατιχα Texto San Mateo 2º Medio Calcula el área y el perímetro de la parte sombreada en las siguientes figuras: 1.