IALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON APLICACIONES PROFESOR CEFERINO RODRIGUEZ MELGAR INTRODUCCIÓN Este libro es continuación del de cuarto, la intención es mejorar el nivel académico de nuestros estudiantes para que puedan seguir estudiando en cualquiera de las Universidades locales o solicitar becas en el extranjero, se ha procurado hacer recopilaciones de los contenidos de matemáticas en otros países, con el fin de que cualquiera de nuestros alumnos que desee ir a estudiar a otro país, no tenga problemas en adaptarse a nuevos contenidos, pues creemos que las bases las poseerá. Los temas, al igual que en el libro de cuarto, están escritos en forma mucho mas clara que en las algebras existentes, para que cuando el alumno los lea, sea capaz de comprender con mayor facilidad cualquier libro de álgebra que se le presente. Damos en el mismo todo lo que es necesario conocer para poder comprender los temas de los capítulos posteriores. De acuerdo a nuestros intereses, todas las secciones de este libro están basadas a lo que realmente necesitamos que nuestros alumnos puedan conocer para poderlo aplicar en cuestiones de la vida diaria, así mismo, prepararlos en los temas antes mencionados para que puedan ingresar a las Universidades que deseen. Centro Educativo Kinal II La continuidad que presentamos respecto al libro de cuarto, hará que nuestros alumnos dominen con mayor precisión y perfección el Algebra. Agradezco a Dios el que me haya iluminado y dado los conocimientos necesarios para poder elaborarlo y a las autoridades del Centro Educativo Kinal, para poder presentarlo y a la vez utilizarlo con nuestros alumnos, que estoy seguro será aprovechado eficientemente. El autor. Centro Educativo Kinal III INDICE DE CONTENIDOS UNIDAD 1 SISTEMAS DE ECUACIONES 1.1 Sistemas de ecuaciones Objetivos 1.1.1 Método gráfico 1.1.2 Método de sustitución 1.1.3 Método de igualación 1.1.4 Método de eliminación suma y resta 1.1.5 Método de determinantes 1.1.6 Ecuaciones con mas de dos variables 1.2 Matrices 34 1.3 Teorema del binomio 42 1.3.1 Binomio de Newton 42 UNIDAD 2 . 7 7 8 9 10 11 18 30 FUNCIONES Y GRÁFICAS Objetivos 2.1 Algoritmo de Horner 2.2 Funciones y gráficas 2.3 Gráficas de funciones 2.3.1 Función constante 2.4 Simplificación de un cociente Diferencia UNIDAD 3 53 53 60 62 63 73 FUNCIONES CUADRÁTICAS 3.1 Funciones cuadráticas Objetivos 3.1.1 Vértice de una parábola 3.1.2 Intersección de la parábola con los ejes 3.2 Operaciones con funciones 3.3 Composición de funciones 3.4 Funciones inversas Centro Educativo Kinal 83 83 84 87 102 105 109 IV UNIDAD 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES 4.1 División sintética Objetivos 4.2 Teorema del residuo 4.3 Teorema del factor 4.4 Funciones Polinomiales y Racionales 4.4.1 Funciones Polinomiales 4.4.2 Funciones Racionales 4.5 Funciones Exponenciales y Logarítmicas 4.5.1 Funciones Exponenciales 4.5.2 Funciones Logarítmicas 4.5.3 Gráficas de funciones logarítmicas UNIDAD 5 119 119 120 121 126 124 136 147 147 152 158 SECCIONES CÓNICAS 5.1 Secciones Cónicas Objetivos 5.1.1 Parábola 5.1.2 Elipses 5.1.3 Hipérbolas 5.2 Leyes de los Senos 5.3 Ley de los Cosenos 163 163 164 176 191 203 217 Bibliografía 224 Centro Educativo Kinal 5 Centro Educativo Kinal . 6 Centro Educativo Kinal . 2. 1. 4. Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de suma y resta. si hay tres variables habrá 3 ecuaciones y así sucesivamente. 5. 3.7 SISTEMAS DE ECUACIONES Objetivos: Dibujar y trazar las gráficas de dos ecuaciones en un plano de coordenadas cartesianas Determinar gráfica y algebraicamente si los sistemas de ecuaciones son a) consistentes e independientes.1 SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de ecuaciones es cuando existe más de una variable. Nosotros veremos los siguientes: 1. Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas podemos utilizar varios métodos. b) inconsistentes c) dependientes. si es de dos variables habrá dos ecuaciones. Gráfico Sustitución Igualación Reducción Determinantes Centro Educativo Kinal . por lol tanto las soluciones son estas. – 3).1. Ejemplo 2 Resolver el sistema y = 2x2 – 3 y = – 2x + 1 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 -2 -3 -4 -5 Centro Educativo Kinal .8 1. 0) y en (– 1.1 MÉTODO DE GRÁFICO Ejemplo 1 Resolver el sistema Y = x2 – 4 y=x–2 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 -2 -3 -4 -5 En la gráfica podemos observar que en donde se cruzan las líneas es en (2. 9 1.1. en una de las ecuaciones se despeja una de las dos variables y este resultado se sustituye en la otra ecuación . la resolvemos para encontrar el valor de x 5x – 11 + 3x =13 5x + 3x = 13 + 11 8x = 24 x=3 Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la ecuación en donde tenemos la “y” despejada.2 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Para resolver un sistema de ecuaciones porl método de sustitución. Ejemplo 3: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema. y = 11 – 3x y = 11 – 3(3) y = 11 – 9 y=2 Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto es x=3 y “y”=2 Centro Educativo Kinal . y = 11 – 3x Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado 5x – (11-3x)=13 Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita. Solución: Despejemos la “y” en la primera ecuación por ser más fácil ya que su coeficiente es uno. 1. Ejemplo 4: Resolver el sistema 3x + 2y = 8 2x – y = 3 Solución: Despejamos la “y” en las dos ecuaciones 2y = 8 – 3x y 8 3x 2 2x – 3 = y Ahora que tenemos despejada la “y” en las dos ecuaciones. más fácil la segunda Centro Educativo Kinal .3 MÉTODO DE IGUALACIÓN Para resolver un sistema de ecuaciones por este método. y resolvemos la ecuación con una variable que nos queda para encontrar su valor. despejamos la misma variable en las dos ecuaciones e igualamos los dos resultados. sin importar cual de los dos resultados escribamos de primero. igualamos los resultados. 2x 3 8 3x 2 2(2x – 3) = 8 – 3x 4x – 6 = 8 – 3x 4x + 3x = 8 + 6 7x = 14 x 14 7 x=2 Ahora sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones en donde se encuentra despejada la “y”.10 1. Ejemplo 5: Resolver por el método de suma y resta el siguiente sistema de ecuaciones: 2x – 5y = -4 3x + 5y = 19 Solución: Como el objetivo es eliminar por suma y resta. La forma de eliminar a una de las variable por este método es son suma y resta.4 MÉTODO DE ELIMINACIÓN SUMA Y RESTA Pudimos darnos cuenta que en todos método que hemos visto. 2x – 5y = -4 Centro Educativo Kinal . que tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones pero con signo contrario. tomamos cualquiera de las ecuaciones para encontrar el valor de la y.1.11 2x – 3 = y 2(2) – 3 = y 4–3=y y=1 1. para ello debemos hacer a la variable que vamos a eliminar. que eliminar de una vez la “y” puesto que una es 5 y la otra -5 2x – 5y = -4 3x +5y = 19 5x = 15 x 15 5 x=3 Ya que encontramos el valor de la x. en este caso no tenemos nada más que hacer. el objetivo es eliminar una de las variables para trabajar ecuaciones solo con una variable. 12 2(3) – 5y = -4 6 – 5y = -4 -5y = -4 – 6 -5y = -10 y 10 5 y2 Ejemplo 6: Resolver el sistema por el método de suma y resta 4x +5y = 11 2x – 2y = 10 Solución: En este caso no tenemos ninguna variable que se pueda eliminar de una vez.4x + 4y = -20 0 +9y = -9 9 y 9 y 1 Luego tomamos cualquiera de las ecuaciones para encontrar el valor de la “y” 4x 4x 4x 4x 4x + 5y = 11 + 5(-1) = 11 – 5 = 11 = 11 + 5 = 16 16 x 4 X=4 Centro Educativo Kinal . pero si podemos ver que si multiplicamos -2 por la segunda ecuación la x se convierte en -4 y así ya la podemos eliminar. 4x +5y = 11 -2(2x – 2y = 10) 4x + 5y = 11 . entonces: Intercambiamos el coeficiente de la variable que queramos eliminar y cambiamos un signo. si queremos encontrar el intercepto en el eje x.42 12x .46 46 23 y2 Nuevamente tomamos cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de la x.13 Ejemplo 7: Resolver el sistema por el método de suma y resta 4x +5y = 14 3x – 2y = – 1 Solución: En este caso. no tenemos variables que se puedan eliminar de una vez ni existe ninguna ecuación que se pueda multiplicar por algún número y quede igual al coeficiente de la otra. debemos igualar a cero la “y” y nos queda 4x = 14 14 x 4 Centro Educativo Kinal x 7 2 . procedemos a despejar la variable “y” en las dos ecuaciones con el fin de trazar la gráfica en el plano 4x + 5y =14 3x – 2y = – 1 Podemos encontrar los interceptos en cada uno de los ejes.8y = -4 0 – 23y = . -3(4x+5y = 14) 4(3x – 2y = -1) -12x – 15y = . Por ejemplo. y 4x + 5y = 14 4x + 5(2) = 14 4X + 10 = 14 4x = 14 – 10 4x = 4 4 x 4 x 1 Resolvamos ahora el mismo sistema por el método gráfico Principiando por el método gráfico. para encontrar el intercepto en el eje “y” igualamos a cero el eje x y nos queda Esto significa que al eje x lo atraviesa en 5y = 14 14 y 5 Trazamos entonces la recta que cruza los ejes en los valores encontrados. Luego trazamos la otra recta haciendo las mismas operaciones. 3x – 2y = – 1 Igualando a cero la x – 2y = – 1 1 2 1 y 2 y Centro Educativo Kinal .14 7 2 Luego. 15 Igualando a cero la “y” 3x = – 1 1 x 3 1 x 3 1 1 al eje “y” y en al eje x 2 3 luego trazamos la recta en el mismo plano Sabemos entonces que cruza los ejes en Y encontramos que las líneas se cruzan en el punto (1. x Centro Educativo Kinal . 4x +5y = 14 3x – 2y = – 1 Despejamos la x en la primera ecuación 14 5 y 4 Luego sustituimos en la otra ecuación el valor encontrado de x y despejamos la única variable que nos queda. 2) Resolviéndolo por el método de sustitución: Despejamos una de las variables en una ecuación y sustituimos este resultado en la otra ecuación en donde se encuentre esta variable. 14 5 y 3 2 y 1 4 42 15 y 2 y 1 4 Multiplicando toda la ecuación por 4 para eliminar el denominador 42 – 15y – 8y = – 4 Despajando la “y” – 15y – 8y = – 4 – 42 – 23y = – 46 y 46 23 y=2 Luego sustituimos este valor en la ecuación en donde tenemos la variable x despejada para encontrar el valor de ella.16 NOTA: Cualquier método que utilicemos a excepción del gráfico. el objetivo es eliminar una de las variables para encontrar el valor de la otra. x 14 5 y 4 x 14 5(2) 4 x 14 10 4 x 4 4 x=1 Centro Educativo Kinal . despejamos la misma variable en las dos ecuaciones e igualamos los dos resultados.17 Al resolver el mismo sistema por el método de igualación. resolviendo luego la ecuación que nos quedó con una sola variable x 14 5 y 4 x 2y 1 3 14 5 y 2 y 1 4 3 3(14 – 5y) = 4(2y – 1) 42 – 15y = 8y – 4 – 15y – 8y = – 4 – 42 – 23y = – 43 y 46 23 y=2 Luego sustituimos este valor en la ecuación en donde tenemos la variable x despejada para encontrar el valor de ella. x 14 5 y 4 x 14 5(2) 4 x 14 10 4 x 4 4 x=1 Centro Educativo Kinal . 18 1. - 7+5 18 .2 x 7(2) 5(18) 19 Centro Educativo Kinal . el determinante se encuentra de la siguiente forma: ax by c dx ey f El determinante se obtiene ae bd El determinante sirve para resolver el sistema in utilizar ecuaciones.1.5 METODO DE DETERMINANTES En Matemáticas se define el determinante como una forma no-lineal alterna de un cuerpo. Ejemplo 8: Resolver por determinantes el siguiente sistema 2x + 5y = -7 3x – 2y = 18 Primero encontramos el determinante Determinante = 2(-2) – 5(3) = – 4 – 15 = .19 El determinante es entonces -19 Para encontrar el valor de la x. En un sistema de dos por dos. Se utiliza como un método alterno para resolver sistemas de ecuaciones lineales y tiene una manera sencilla de calcularlo. sustituimos la columna de la x con los valores de los términos independientes y procedemos de la misma forma que lo hicimos para encontrar el determinante y el resultado lo dividimos entre el determinante. 19 y 36 21 19 y 57 19 y 3 Ejercicios: Resolver por el método gráfico 1) y = x2 y = 2x + 3 2) x = – y2 + 6 x + 2y = – 2 3) x2 + y2 = 25 x=4 4) y = x2 – 4 y = 2x – 1 5) y = x2 + 1 x+y=3 6) 7) y = x2 – 2 y=x 8) 9) x = y2 + 1 y=–x+3 10) x = – 2y2 + 3 11) y = x2 + 2 Resolver por el método de sustitución. 1) 5x + 3y = 1 2x + y = 0 3) 3x + 4y = 6 x – 5y = 2 Centro Educativo Kinal y2 = x x + 2y + 3 = 0 y = 2x2 + 1 y = 2x + 5 12) 2x + y = 10 x + 2y = 11 2) 3x – y = 11 2x + 3y = – 11 4) 2x + 3y = 3 4x + 5y = 5 . 1) 3x + 4y = 6 x – 5y = 2 2) 2x + 3y = 3 4x + 5y = 5 3) y – 2x = 6 x + 2y = 2 4) x + y = 12 x–y=8 5) 2x + 4y = 9 6x + 2y = 7 6) Centro Educativo Kinal 3x – 4y = – 2 9x + 3y = 9 .20 5) 2x + 4y = 9 6x + 2y = 7 7) 2x + 5y = 10 6) 8) 3x + 2y = 3x – 10y = 10 9) x + y = 11 x–y= –3 3x – 4y = – 2 9x + 3y = 9 6x – 8y = 3 10) 3x – y = 7 2x + 3y = 12 Resolver por el método de igualación. 1) 5x + 3y = 1 2x + y = 0 2) 3x – y = 11 2x + 3y = – 11 3) x + y = 11 x–y= –3 4) 3x – y = 7 2x + 3y = 12 5) 3x + y = 3 4x + 2y = – 2 6) 2y – 6 = 5x y–x=9 7) y – 2x = 6 x + 2y = 2 8) x + y = 12 x–y=8 9) 4x – 5y = 2 5x + 3y = 21 10) 3x + 4y = 6 2x – 5y = 4 Resolver por el método de suma y resta. Se fabricará una crayón de 8 cm de largo y 1 cm de diámetro con 5 cm3 de cera de color. ¿cuántos de cada clase se vendieron? 2. cobra una tarifa de $45 a Phoenix y de $60 de Los Ángeles a Albuquerque.50 para el público en general.500. Centro Educativo Kinal . ¿Cuántos bajaron en Phoenix? 3. Si se vendieron 450 boletos para un total $1. Encuentra la longitud x del cilindro y la altura “y” del cono. Un total de 185 pasajeros abordó el avión en los Angeles y la venta de boletos hizo un total de $10.21 4 x 7) 8 x 6 4 y 9 1 y 5 6 4 x y 9) 10 12 8 x y 3 x 8) 2 x 4 7 y 8 2 y 2 x 10) 4 x 1 11 y 12 1 13 y 12 Problemas del libro de swokowski 1. Un hombre rema y recorre 500 pies en 10 minutos en una corriente constante y luego rema 300 pies río abajo (con la misma corriente) en 5 min. con una escala en Phoenix.555. 4.00 para estudiantes y $4. Debe tener la forma de un cilindro con una pequeña punta cónica (ver la figura).50. Encuentra la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente a la que puede remar en aguas tranquilas. El precio de admisión a una obra de teatro de secundaria fue de $3. Una línea aérea que vuela de los Angeles a Albuquerque. al cerrar uno de los Centro Educativo Kinal . Una mujer tiene S15. Todas las hembras adultas. incluyendo las nacidas el año anterior. tienen una camada cada mes de junio.000 para invertir en dos fondos que pagan interés simple de 6% y 8% anual. Un tanque de agua de 300 galones de capacidad se llena con un solo tubo de entrada. no así los de 8%. pero se pueden usar dos tubos de salida idénticos para alimentar de agua dos campos circundantes (ver la figura). Se va a construir una mesa grande en forma de rectángulo con dos semicírculos en los extremos (ver la figura) para una sala de conferencias. ¿Hay forma de invertir el dinero de modo que reciba $ 1000 de intereses al término de un año? 7. La población en primavera de cierta región se estima en 6. Calcula el número de adultos y de cachorros en la población. con un promedio de tres gatitos por camada.000 y la proporción de machos y hembras es uno a uno.22 5. 6. 8. Los intereses del fondo de 6% son sin impuestos. Dado que está en un grupo de i9mpuestos altos. Una población de gatos está clasificada por edad en cachorros (de menos de un año) y adultos (por lo menos de un año). Debe tener un perímetro de 40 pies y el área de la porción rectangular tiene que ser el doble de la suma de las áreas de los dos extremos. Encuentra la longitud l y el ancho w de la porción rectangular. la mujer no desea invertir toda la suma en la cuenta de más rendimiento. Se emplean cinco horas para llenar el tanque cuando está vacío y ambos tubos de salida están abiertos. ¿Cuánto de cada una debe fundir y combinar para obtener 100 g de una aleación con 50% de plata? 11. Una compañía papelera vende dos tipos de cuadernos a librerías de escuelas. Si el pedido no Centro Educativo Kinal . contra el viento le toma 2 1 h. en ¢70. se necesitan tres horas para llenarlo. 12. una de las cuales contiene 35% de plata y la otra 60%. Encuentra 2 la velocidad del aeroplano y la velocidad del viento (suponiendo que ambas son constantes). Encuentra el flujo (en galones por hora: gal/h) que entra y sale por los tubos. La compañía recibe un pedido de 500 cuadernos. el primero a un precio de mayoreo de ¢50 y el segundo. 9.23 tubos. el viaje de regreso. Una aeronave. para obtener 60 lbs de una mezcla con valor de $5 por libra ¿ Cuántas libras de cada variedad debe mezclar? 10. Un platero tiene dos aleaciones. junto con un cheque de $286. Un comerciante desea mezclar cacahuates que cuestan $3 por libra con nueces de la India que valen $8 la libra. que vuela con viento de cola recorre 1200 mi en 2 h. su velocidad v(t) (en centímetros por segundo: cm/s) en el tiempo t (en segundos) está dada por y v(t ) v o at para una velocidad inicial v o y aceleración a (en cm/s2). A medida que una pelota rueda hacia abajo en un plano inclinado. ¿cómo se debe despachar el pedido? 13. ¿Cuántas onzas de avena y harina de maíz se requieren para satisfacer las metas nutricionales de 200 g de proteína y 1320 g de carbohidratos por ración? Centro Educativo Kinal . Cada sofá requiere 8 h de mano de obra y $60 en materiales. y 1 onza de harina de maíz. 3 g de proteína y 24 g de carbohidratos. Un ganadero está preparando una mezcla de avena y harina de maíz para ganado. ¿Cuántos sillones y sofás puede producir si debe utilizar todos los recursos materiales y humanos? 15. Una pequeña compañía mueblera fabrica sofás y sillones. Si v(2) 16 y v(5) 25 encuentra v o y a 14. en tanto que un sillón se puede construir por $35 en 6 h. La compañía dispone de 340 h de mano de obra por semana y puede comprar $2 250 en materiales. Cada onza de avena proporciona cuatro gramos de proteína y 18 g de carbohidratos.24 especifica el número de cada tipo. por lo que paga Q. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si se cuentan las cabezas. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos.1000. si se cuentan las patas. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada mujer y un cuaderno a cada varón. Ante la amenaza de nuevas subidas.00.90. Se quieren mezclar vino de Q. son 134.00 con otro de Q. Un comerciante compra en un depósito 6 quintales de café y 3 de azúcar.60. Si en total han sido 55 regalos.00. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. 4. vuelve al día siguiente y compra 1 quintal de café y 10 quintales de azúcar por lo que paga Q. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente? 7. son 50. No se fija en el precio y plantea el problema a su hijo de 13 años.50. ¿Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas). Con Q.00 Si la bolsa de comida para perro adulto cuesta Q.825.25 PROBLEMAS 1. de modo que resulte vino con un precio de Q.00 y la bolsa para Centro Educativo Kinal . ¿Cuántos animales hay de cada clase? 2. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? 5. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. En una granja se crían gallinas y conejos.00 el litro. En mi clase están 35 alumnos.35.1530.960. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. ¿Cuántos conejos y jaulas hay? 3. ¿Podrías tú llegar a resolver el problema? 9.00 que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 bolsas de comida para perro adulto y cachorros por un total de Q. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla? 6. ¿cuántos varones y mujeres están en mi clase? 8.00. Un pastelero compra pasteles a Q.19. mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174. Centro Educativo Kinal . En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a Q. ¿Cuántos bolsas de comida ha comprado de cada tipo? 10.00 más de lo que le costaron perdería en total Q.00 con los que han obtenido Q. tiene café de dos clases.285. Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 193 y la diferencia sea 95. 11. Halla una fracción equivalente a 3/5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen 544. Un comerciante. 16. Calcula el precio de cada ciento de naranja y plátanos.1.00 el Kg ¿Cuál es el precio del Kg.00 cada uno por un total de Q.3. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9.800. 18. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15.00. Halla dicho número. de cada calidad de café? 12.00 la unidad y pies a Q.5.1. 17.00 y los niños Q.835.221.75.00.00 más y cada pastel a Q.65.585.26 perros cachorros cuesta Q. Si los adultos pagaban Q. Como se le estropean 2 pasteles y 5 pies calcula que si vende cada pie a Q. El día del estreno de una película se vendieron 600 entradas y se recaudaron Q.00 y otros a Q. ¿Cuántos libros han vendido de cada precio? 14.196.200. ¿Cuántos pasteles y pies compró? 15. cuando toma 2 Kg de la primera calidad y 3 Kg de la segunda resulta la mezcla a Q.25.00.00. 19. y 4 cientos de naranjas y 2 plátanos por Q.115. En un puesto de verduras se han vendido 2 cientos de naranjas y 5 cientos de plátanos por Q.00.00 el Kg y cuando toma 3 Kg de la primera clase y 2 Kg de la segunda entonces resulta la mezcla a Q. ¿Cuál es el número de adultos y niños que acudieron? 13.400.00.80. Determina dos números tales que la diferencia de sus cuadrados es 120 y su suma es 6.00.200.150.250. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades.00. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruple del menor.? 24. Tengo 30 monedas. ¿Puedo tener en total 78 centavos. ¿Cuánto dinero tengo? 27.300. Unas son de cinco centavos. Como a última hora ha acudido un compañero más nos han dado a todos una bebida menos y han sobrado 17. El otro día mi abuelo de 70 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. En una bolsa hay 16 monedas con un valor de Q. Ahora tengo la misma cantidad en dinero pero 60 monedas menos. En la fiesta de un compañero se han repartido entre los 20 asistentes el mismo número de bebidas.27 20.00 ¿Cuántos nietos tiene? ¿Qué cantidad quería repartir? 29. y otras de un centavo. 22.00.1000. 23. y si nos daba Q. Al preguntar en mi familia cuántos hijos son. pero si yo te quito 4.600. Si nos daba Q. ¿Cuántos hijos e hijas somos? Centro Educativo Kinal . Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al segundo entre 6. Las monedas son de 5 y 25 centavos. los cocientes se diferencian en 1. ¿Cuál es el número? 21. tendré tantas como tú" Roberto: "Sí.2.500.1. Oscar y Roberto comentan: Oscar: "Si yo te tomo 2 monedas. Si se toma la cuarta parte del número y se le agregan 45 resulta el número con las cifras invertidas.00. entonces tendré 4 veces más que tú". ¿Cuantas bebidas para repartir se tenía? 28.00. a cada uno le sobraban Q.00 le faltaban Q. yo respondo que tengo tantas hermanas como hermanos y mi hermana mayor responde que tiene doble número de hermanos que de hermanas. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 15.20. ¿Cuántas monedas hay de cada valor? 26. Tenía muchas monedas de 25 centavos y las he cambiado por monedas de Q. ¿Cuántas monedas tienen cada uno? 25. 4. Sabemos que mi tío tiene 27 años más que su hijo y que dentro de 12 años le doblará la edad. El perímetro de un rectángulo mide 36 metros. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano. a cada nieta y Q. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro.1. Mi padrino tiene 80 años y me contó el otro día que entre nietas y nietos suman 8 y que si les diese Q. La altura de un trapecio isósceles mide 4 cm. Calcula sus dimensiones. la superficie aumenta en 4 metros cuadrados. pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4. Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años sólo será el doble. "Hoy tu edad es 1/5 de la mía y hace 7 años no era más que 1/7".500. Calcula las dimensiones del rectángulo.00 ¿Cuántos nietos y nietas tiene mi padrino? 33. la suma de las bases es de 14 cm.28 30. ¿Cuántos años tiene cada uno? 34. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi hermano? 31.6. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Qué edad tienen mi tío y su hija? Problemas de Geometría 1.00 .600.00 a cada nieto se gastaría Q. Si se aumenta en 2 metros su base y se disminuye en 3 metros su altura el área no cambia. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos? 6. 2. Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Averigua las bases del trapecio. Mi tío le dijo a su hija. Centro Educativo Kinal . Un rectángulo mide 40 m2 de área y 26 metros de perímetro. ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo? 7. 3. 5. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura en otros 5 la superficie no varía.000. ¿qué edad tienen cada uno? 32. Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. y los lados oblicuos miden 5 cm. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más de largo que de ancho. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. el perímetro y el área de dicho rombo. 9. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. respectivamente. Centro Educativo Kinal . Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm. Si a las dos las aumentamos en 2 m el área aumenta en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales. 10. Calcula los catetos. y los no paralelos 13 y 20 cm.29 8. Calcula la altura del trapecio. ......2z = 4 . la sumamos con la tercera y escribimos la respuesta en el lugar donde está la tercera......2z = 4 Copiamos las dos ecuaciones primeras y luego multiplicamos -3 por la primera ecuación.... (segunda ecuación) 3x + y ... un número infinito de soluciones o no tiene solución. -4(x + 2y + 3z = 9) -3y ..... para esto copiamos la primera ecuación tal y como está.6 ECUACIONES CON MAS DE DOS VARIABLES Para sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables.1. -3(x + 2y + 3z = 9) -3y ........ Además.. lleva la técnica de matrices que estudiaremos en esta sección......6z = -12 -5y .........11z = -23 Centro Educativo Kinal .......... (tercera ecuación) Solución: Aplicando el método de suma y resta para introducirnos a las matrices... (primer ecuación) 4x + 5y + 6z = 24 ..... El método de eliminación por suma o resta es la técnica más breve y fácil de hallar soluciones..... podemos usar cualquier método de los aprendidos......... Cualquier sistema de ecuaciones lineales con tres variables tiene una solución única. procedemos de la siguiente manera: Eliminaremos primero las x. Utilicemos para el siguiente sistema. Método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones lineales: Ejemplo 1: Resuelve el sistema: x + 2y + 3z = 9 .30 1....... multiplicamos la primera ecuación por -4 y sumamos el resultado con la segunda fila y escribimos el resultado en la segunda fila..6z = -12 3x + y ....... el método de eliminación por suma y resta (por adición o sustracción)................. x + 2y + 3z = 9 5(y + 2z = 4) -z = -3 Nos queda entonces el sistema escalonado y el último resultado es el valor de esa variable. z = 3 x + 2y + 3z = 9 y + 2z = 4 z=3 Para encontrar el valor de las otras variables sustituimos: Tomando la segunda ecuación y sustituyendo la z con el valor que encontramos nos queda: y +2(3) = 4 y+6=4 y=4–6 y = -2 Centro Educativo Kinal . la otra debía ser -3x. dividimos la ecuación entre 3 y escribimos la respuesta en su mismo lugar x + 2y + 3z = 9 y + 2z = 4 -5y -11z = -23 Ahora ya podemos eliminar la variable “y” en la tercera ecuación multiplicando la segunda por 5 y sumando el resultado con la tercera y escribiendo el resultado en el lugar de la tercera. la segunda con 2 y la tercera con 1 Nos falta entonces llevar a la tercera ecuación a que sea solo con una variable. el objetivo es llevar a escalonarlas: la primera con 3 variables. para eliminar la 3x. Los coeficientes de la primera variable deben de ser 1. Tenemos ahora la primera ecuación con tres variables y la segunda y tercera con dos variables. pero la segunda ni la tercera no. la primera ecuación ya es uno. de igual forma en el segundo. en este caso.31 La razón de haber multiplicado por -4 la primera ecuación en el primer paso es porque teníamos 4x y para eliminarla. Para que la segunda sea 1. la otra tenía que ser -4x. x x x x + 2y + 3z = 9 + 2(-2) + 3(3) = 9 –4+9=9 =4 x = 4. x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24 3x + y . y = -2. resolveremos el sistema por determinantes. Centro Educativo Kinal . Los productos de las flechas negras es suma. Los productos de las flechas rojas se restan. escribimos solo los coeficientes numéricos y volvemos a copiar al final las primeras dos columnas 1 2 3 1 2 4 5 6 4 5 3 1 -2 3 1 Luego multiplicamos como indican las flechas.2z = 4 Para encontrar el determinante. 1(5)(-2) + 2(6)(3) + 3(4)(1) – 3(5)(3) – 1(6)(1) – (-2)(4)(2) -10 + 36 + 12 – 45 – 6 + 16 = 3 El determinante entonces es 3.32 Conociendo los valores de “y” y de z. Antes de introducirnos al tema de matrices. Se procede de forma similar al de dos variables. procedemos a sustituir el valor de los términos independientes en la columna de la incógnita que se desea conocer su valor. z = 3. Para encontrar cada una de las variables. los sustituimos en la primera para encontrar el valor de la x. Este seré el divisor para encontrar el valor de cada una de las variables. 33 x= 9 2 3 9 2 24 5 6 24 5 4 1 -2 4 1 9(5)(2) (2(6)(4) 3(24)(1) 4(5)(3) 1(6)(9) (2)(24)(2) 3 90 48 72 60 54 96 x 3 12 x 3 x4 x Para encontrar “y” sustituimos la columna de los coeficientes de la “y”. 1 y= 4 3 9 3 1 9 24 6 4 24 4 -2 3 4 1(24)(2) 9(6)(3) 3(4)(4) 3(24)(3) 4(6)(1) (2)(4)(9) 3 48 162 48 216 24 72 y 3 y 6 3 y 2 y Para encontrar z Centro Educativo Kinal . por los valores que están en el lado derecho del signo igual. 34 z= 1 2 9 1 2 4 5 24 4 5 3 1 4 3 1 1(5)(4) 2(24)(3) 9(4)(1) 3(5)(9) 1(24)(1) 4(4)(2) 3 20 144 36 135 24 32 z 3 9 z 3 z3 z 1. escribimos los coeficientes de las variables en una matriz. En seguida anotamos los números que intervienen en las ecuaciones de esta forma: Una ordenación de números de este tipo se llama matriz.2 MATRICES Con referencia al sistema anterior.2z = 4 Primero comprobamos que las variables aparezcan en el mismo orden en cada ecuación y que los términos sin variables estén a la derecha de los signos de igualdad. Los renglones (o filas) de la matriz son los números que aparecen uno a continuación del otro en sentido horizontal: Centro Educativo Kinal . x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24 3x + y . En vista de que podemos tener la matriz del sistema a partir de la matriz coeficiente agregando una columna. la restante ordenación es la matriz de coeficiente. cuando usemos matrices para hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.35 1 2 3 9 primer renglón R1 4 5 6 24 segundo renglón R2 3 1 -2 4 tercer renglón R3 Las columnas de la matriz son los números que aparecen uno junto del otro en sentido vertical Primera columna C1 1 4 3 Segunda columna C2 2 5 1 Tercera columna C3 3 6 -2 Cuarta columna C4 9 24 4 La matriz obtenida del sistema de ecuaciones lineales del modo anterior es la matriz del sistema. introduciremos un segmento de línea vertical en la matriz aumentada a fin de indicar dónde aparecerían los signos de igualdad en el sistema de ecuaciones correspondiente. Sistema Ejemplos: Sea la matriz: Centro Educativo Kinal Matriz coeficiente Matriz aumentada . Si borramos la última columna. le decimos matriz coeficiente aumentada o simplemente matriz aumentada. Después. c) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro Renglón. Resuelve el sistema: x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24 3x + y ." Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices." Sea la matriz: por tanto.36 por tanto. es una "matriz de orden 2 x 3.2z = 4 Comenzaremos con la matriz del sistema. Vamos a resolver ahorael primer ejemplo a través del uso de matrices. es una "matriz de orden 3 x 1. es decir. Ejemplo. b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. Pondremos símbolos adecuados entre matrices Centro Educativo Kinal . Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales. la matriz aumentada: Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. resulta una matriz de un sistema equivalente si: a) Se intercambian dos renglones. Símbolo: Ri Rj. Símbolo: kRi + Rj Rj. Símbolo: kRi Ri. leyendo de izquierda a derecha. (-4)R1 + R2 R2 (-3)R1 + R3 R3 (-(1÷ 3))R2 (-1)R3 (-5)R2 + R3 Con la matriz final R2 R3 R3 regresamos al sistema de ecuaciones: Que equivale al sistema original.37 equivalentes. Centro Educativo Kinal . y = -2.La diagonal de izquiera a derecha deben todos ser números 1 c) Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz. En general. b. La solución x = 4. es 1.. z = 3 se puede encontrar ahora por sustitución. debajo de la diagonal. La matriz final de la solución es una forma escalonada. una matriz está en forma escalonada si satisface estas condiciones: a) El primer número diferente de cero de cada renglón. Ejemplo: Resuelve el sistema: Centro Educativo Kinal . (f) Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada. Localizar la próxima columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón con objeto de obtener el número 1 en el segundo renglón de esa columna. (c) Hacer caso omiso del primer renglón. (b) Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj Rj.38 Ejemplo: Sea la matriz: . Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales. para j >2 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (c) en cada uno de los renglones restantes. para j > 1 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en cada uno de los renglones restantes. (d) Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj Rj. (e) Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. (a) Localizar la primer columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón a fin de obtener 1 en el primer renglón de esa columna. Localizar la siguiente columna que contenga elementos diferentes de cero y repetir el procedimiento. es "una matriz escalonada" Guías para hallar la forma escalonada de una matriz. según se describe en las guías.39 Solución: Comenzamos con la matriz aumentada y luego obtenemos una forma escalonada. R1 R4 R2 R3 (1)R1 + R3 R3 (-2)R1 + R4 R4 (-1)R2 Centro Educativo Kinal R2 (-(1÷ 2))R2 R2 (-1)R2 + R3 R3 (-1)R2 + R4 R4 . x 3 y z 3 3 x y 2 z 1 2 x y z 1 y = 1.2(-2) . x = 1.(-1) = 6 y+4+1=6 y=1 z=-2 Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación: x + z + 2w = -3 x + (-2) + 2(-1) = -3 x . el sistema tiene una solución: w = -1.2 .w = 6 y . Ejercicios: Resuelve los siguientes sistemas utilizando matrices. 1. x 2 y 3 z 1 2 x y z 6 x 3 y 2 z 13 Centro Educativo Kinal 2. .2 = -3 x=1 Por lo tanto.2z .40 (3)R3 + R4 R4 La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de ecuaciones: (-(1÷ 2))R4 R4 Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación vemos que w = -1. z = -2. de la tercera ecuación vemos que Sustituimos en la segunda ecuación. y obtenemos: y . 5 x 2 y z 7 x 2 y 2z 0 3 y z 17 4.41 3. 4 x y 3 z 6 8 x 3 y 5 z 6 5 x 4 y 9 5. x 3 y z 0 x y z 0 x 2 y 4z 0 2 x y z 0 10. x y 2 z 0 2 x 3 y z 0 Centro Educativo Kinal . x 3 y 3 z 5 2 x y z 3 6 x 3 y 3 z 4 7. 2 x 6 y 4 z 1 x 3 y 2z 4 2 x y 3 z 7 6. 2 x 3 y z 2 3 x 2 y z 5 5 x 2 y z 0 9. 2 x 3 y 2 z 3 3 x 2 y z 1 4 x y 3 z 4 8. 42 1.1BINOMIO DE NEWTON. para determinar los coeficientes que debe llevar cada término. Centro Educativo Kinal . 1. (a + b)n La siguiente tabla muestra los coeficientes que tendrá cada término después de desarrollarlo.3. (Esto es para dejarla expresada como suma) por el teorema del binomio. Antes de entrar a conocer directamente este teorema.3 TEOREMA DEL BINOMIO Un binomio es un polinomio que consta de solamente dos términos (a+b) si este binomio se eleva a un entero positivo n. En esta sección usaremos la inducción matemática para establecer esta fórmula general. Exponente 0 coeficiente 2 3 4 5 Y así sucesivamente. las flechas escritas indican los números que se sumaron para encontrar el siguiente. entonces existe una fórmula para expandir este binomio (a + b)n. conoceremos el Binomio de Newton. Y nos queda: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 El Teorema del Binomio Sirve para encontrar solamente un término específico. Ahora los coeficientes los buscamos en el triángulo de pascal en donde dice exponente 5. y k es el exponente de la b. Si tenemos el binomio (a + b)n en donde n es un número real. a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5 Podemos ver que los términos inician y terminan con el mismo exponente que tiene afuera el paréntesis.k)! Centro Educativo Kinal . para resolver un binomio de exponente n se procede de la siguiente manera: Encontremos ahora el tercer término de (a + b)5 Para encontrar el coeficiente sabemos que podemos utilizar la fórmula C= n! k!(n . se utiliza la siguiente fórmula n! En donde n es el exponente que se encuentra afuera del k!(n . a5 + a4 + a3 + a2 + a Ahora los exponentes del segundo término van en orden ascendente pero principia en el segundo término.k)! paréntesis.43 Los exponentes van en orden descendente iniciando con el mismo número y con el segundo término van en orden ascendente. para encontrar el coeficiente de cualquier término. C= En general. Ejemplo (a + b)5 Vamos a escribir sólo la primera letra con sus exponentes. Para resolver un factorial. 2. 1. k es 2 porque como k inicia con cero entonces el tercer término corresponde a k: 0. 4. 3. Definición de n! Si n = 0 0! = 1 Si n > 0 n! = n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-n) por ejemplo si me indican que encuentre 5! = 5*4*3*2*1 = 120 Encontrar 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720 Encontrar 7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040 Encontrar 8! = 8*7*6*5*4*3*2*1 = 40320 C= n! k!(n . 2 . El exponente de afuera del paréntesis es n El exponente del término b es k El exponente de a es n – k k se encuentra restando 1 del número de términos Centro Educativo Kinal .k)! C= 5! 5 * 4 * 3 * 2 *1 5 * 4 10 2!(5 . El signo ! se lee factorial.44 En donde n = 5 y k = 2. es una multiplicación sucesiva que inicia con el número indicado y va multiplicando por sus consecutivos descendientes.2)! 2 * 1(3 * 2 * 1) 2 Y el tercer término completo quedaría 10a3b2 OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE: 1. n=9 k=5–1=4 El exponente de a es n – k = 9 – 4 = 5 Podemos encontrar entonces el coeficiente 9 9! 9! 9 * 8 * 7 * 6 * 5! 3 * 7 * 6 126 4 4!(9 4)! 4!5! 4 * 3 * 2 *1 * 5! Tenemos ya el coeficiente y como conocemos los exponentes podemos escribir El quinto término del binomio (a + b)9 es 126a5b4 Encontrar el coeficiente del quinto término de (a + b)9 Solución: Procedemos a aplicar la fórmula C= n! k!(n . 1. .45 Otro ejemplo Si tenemos el binomio (a + b)9 y nos dicen que encontremos el quinto término. y 0 1 2 3 4 5 Centro Educativo Kinal . . 4 9! 9 *8* 7 * 6 *5* 4 *3* 2 9 *8* 7 * 6 9 * 7 * 2 126 y el término 4!(9 .k)! En donde n = 9 k = 4 porque k: 0. 2. 3.4)! 4 * 3 * 2(5 * 4 * 3 * 2) 4 *3* 2 1 quedaría: 126a5b4 C= n Evaluación de k Ejemplo 1 5 5 5 5 5 5 Encuentra . . 46 Solución: Estos 6 números son los coeficientes de la expansión de (a+b)5 que resolvimos antes. 4 y 1 y sabemos que los exponentes principian con el mismo y van disminuyendo y el segundo inicia en el segundo término y va aumentando Centro Educativo Kinal . 4. Veamos: 5 5! 5! 5! = 1 0 0!(5 0)! 0!5! 1 5! 5 5! 5! 5! 5 * 4! 5 4! 1 1!(5 1)! 1!4! 1 4! 5 5! 5! 5! 5 * 4 * 3! 20 10 2 * 3! 2 2 2!(5 2)! 2!3! 2 * 3! 5 5! 5! 5! 5 * 4 * 3 * 2 *1 10 3 3!(5 3)! 3!2! 3 * 2! 3 * 2 *1 * 2 *1 5 5! 5! 5 * 4 * 3 * 2 *1 5 4 4!(5 4)! 4!1! 4 * 3 * 2 *1 * 1 5 5! 5! 5 * 4 * 3 * 2 *1 1 5 5!(5 5)! 5!0! 5 * 4 * 3 * 2 *1 *1 Ejemplo 2 R Encuentra la expansión binomial de (2x + 3y2)4 Solución: Si utilizamos el triángulo de pascal para encontrar los coeficientes tendremos Exponente 0 coeficiente 1 1 2 1 3 4 1 1 2 1 3 4 3 6 1 4 1 Entonces los coeficientes son 1. 6. podemos hallar el término 12 12! 12! 12 *11 *10 * 9 * 8 * 7! 792 5 * 4 * 3 * 2 *1 * 7! 5 5!(12 5)! 5!7! 1 Y el término es 792 3 Centro Educativo Kinal 7 792 7 10 88 7 10 1 p (q 2 ) 5 792 p 7 q 10 p q p q 2187 243 2187 . entonces el término será k + 1 = 5 + 1 Sabemos entonces que q10 se encuentra en el término número 6 y com solamente nos falta encontrar el coeficiente. Conociendo ya los exponentes. el exponente de b del quinto término es k = 5 – 1 = 4 y por consiguiente el exponente de a es n – k = 13 – 4 = 9. 13 3 9 x 4 y 4 4 4 1 13! 13! 27 2 13 * 12 *11 *10 * 9! 27 2 x 27 y 2 x y x y 715 x 27 y 2 4!(13 4)! 4!9! 4 * 3 * 2 * 1 * 9! Ejemplo 4 Encuentre el término en donde está q10 en la expansión 12 1 2 binomial de p q 3 Solución: De acuerdo con el enunciado del teorema del binomio n = 12 k no lo conocemos pero sí sabemos que q 2 k q 10 . entonces k = 5 1 y el exponente de p es n – k = 12 – 5 = 7 3 Como también sabemos que k es igual al término menos 1. busquemos entonces el coeficiente.47 (2x + 3y2)4=1(2x)4+ 4(2x)3(3y2) + 6(2x)2(3y2)2 + 4(2x)(3y2)3 + 1(3y2)4 (2x + 3y2)4 = 16x4 + 4(8x3)(3y2) + 6(4x2)(9y4) + 8x(27y6) + 81y8 (2x + 3y2)4 = 16x4 + 96x3y2 + 216x2y4 + 216xy6 + 81y8 Ejemplo 3 Encuentra el quinto término de la expansión de x 3 y Solución: Tomando a = x3 y b 13 y . 2. (2t – s)5 5 9. 2 En los siguientes ejercicios. n! (n 2)! n 1! (n 1)! 3. (a – b)7 6. (4x – y)3 2. (a – b)5 7. (3x – 5y)4 Centro Educativo Kinal 8. 3!4! 3. 2 3x x 6 1 12. (x2 + 2y)3 3. 2!6! 2. c d 3 2 4 1 11. 9! 6! 5 5 9. (a + b)4 5. 8! 5! 6. (3n 1)! (3n 1)! Escribe de forma expandida los siguientes binomios. 7! 5! 8. 4 7 11. 7!0! 4. 4 7 10. puedes utilizar el teorema del binomio o el triángulo de pascal para encontrar los coeficientes e cada término 1. 5 52 14. (a + b)6 4. 1 2 x y 3 1 10. 0 13 13. 5!0! 5. x x 5 1 14. 6! 3! 7.48 Ejercicios: Evalúa la Expresión 1. 8 12. x x 5 . 3 2 x x 5 1 13. escribe nuevamente la expresión pero que no contenga factoriales 1. (2n 2)! (2n)! 4. c d 8 Término que contiene c2 Centro Educativo Kinal . (rs2 + t2)7 Los dos términos del medio 11. (4b 1 3b)15 Ultimos tres términos 4.49 Sin expandir por completo. (2y + x2)8 Término que contiene x10 12. 25 1. Encuentra los términos indicados de la expresión dada. 1 12 x y 2 Término del medio 3 5 x 2 20 Primeros tres términos 7 Sexto término 9 Quinto témino 8 8 10. (x2 – 2y3)5 Término que contiene y6 13. ( s 2t 3 )12 Ultimos tres términos 5. (3x2 – y3)10 Cuarto término 9. 4 52 3c c 5 Primeros tres términos 2. 3a b 7. x 3. (3b3 – 2a2)4 Término que contiene b9 14. 3 c2 c 4 6. 1 u 4v Quinto término 3 8. 50 Centro Educativo Kinal . 51 Centro Educativo Kinal . 52 Centro Educativo Kinal . así sucesivamente. vamos calculando el primer monomio: primero sacamos 73. pero ¿Y si necesitamos evaluar un polinomio una y otra vez para varios valores distintos de x? Vamos a plantearnos cómo hacerlo lo mejor posible con la ayuda del esquema de Horner.. un poco de análisis y reflexión permiten construir algoritmos más eficientes. cuando x vale 7. y lo multiplicamos por 3. que cuando tenemos que implementar un algoritmo para evaluarlos tendemos a interpretar tal cual la expresión y a codificarla tal y como lo haríamos a mano con ayuda de una calculadora. y luego lo sumamos todos los resultados. luego 72. como de costumbre con un enfoque básico. Por ejemplo para evaluar un polinomio como P(x)=3x3-2x2+5x-1.. como x=7. El algoritmo de Horner propone una forma de evaluar los polinomios descritos como una suma de monomios..53 2. Centro Educativo Kinal . y lo multiplicamos por 2.. Simplemente pretendemos ilustrar cómo a veces.1 ALGORITMO DE HORNER OBJETIVOS: Aprender el concepto intuitivo de función Determinar el dominio de una función Enunciar la definición formal de función Calcular valores de funciones Calcular cocientes diferencia Efectuar operaciones con funciones Definir la gráfica de una función Encontrar el dominio y el contradominio de una función Dibujar la gráfica de funciones Estamos tan acostumbrados a ver los polinomios expresados como suma de monomios. Esto no supone mayor problema cuando evaluamos un polinomio sencillo para un solo valor. Ese número es el grado del monomio. Cada monomio es un coeficiente que multiplica a una variable x. un matemático inglés del siglo XIII. P(x)=3x3-2x2+5x-1 Paso 1: Sin importar el grado del polinomio. Bien. lo tomamos como si fuera de segundo grado y factorizamos la x 3x2 – 2x = x(3x – 2) Centro Educativo Kinal . encontremos p(7) P(7) = 3(7)3 – 2(7)2 + 5(7) – 1 P(7) = 3(343) – 2(49) + 35 -1 P(7) = 1029 – 98 + 34 P(7) = 965 Este ejercicio no presenta mayor dificultad al resolverlo de la forma tradicional que hemos aprendido. un aparato que mostraba imágenes creando la ilusión de animación. Tomemos 3 como ejemplo el que hemos comentado al principio: 2 P(x)=3x -2x +5x-1 Este polinomio está compuesto de cuatro monomios. que está elevada a un número. sin embargo implica multiplicaciones que debemos resolver aún sin tener calculadora Resolvámoslo ahora por el algoritmo de Horner siempre con x = 7. El primer monomio es de grado 3 y el último es de grado 0. Hagámoslo primero de la forma tradicional. vamos a calcular el valor del polinomio para un valor cualquiera de x. más conocido por la invención del Zootropo.54 El algoritmo se basa en el Esquema de Horner. una forma de reescribir los polinomios atribuida a William George Horner. P ( x) x 7 3x 6 4 x 5 2 x 4 x 3 4 x 2 2 x 6 Centro Educativo Kinal . Hagamos otro ejemplo de mayor grado.55 Paso 2: Escribimos ahora nuevamente la x afuera de un corchete y dentro de él lo que ya tenemos y adicionamos el tercer término y sin la x porque ya la factorizamos. xx(3 x 2) 5 Paso 3: Como el último término ya no tiene x no escribimos más símbolos de agrupación sino que solamente agregamos este término y sustituimos con el valor que nos dieron y resolvemos. P (7) 77(3 * 7 2) 5 1 P (7) 77(21 2) 5 1 P (7) 77(19) 5 1 P(7) = 7(133+5) – 1 P(7) = 7(138) – 1 P(7) = 966-1 P(7) = 965 Al parecer como si fuera más complicado. P ( x) xx(3 x 2) 5 1 Si duda que este polinomio es el mismo del que iniciamos. resuélvalo y se dará cuanta que no es diferente. sucede que es la primera vez que lo vemos. 56 Paso 1: Nuevamente tomamos los primeros dos términos factorizados como si fueran de segundo grado x( x 3) Paso 2: Tomando ahora los 3 términos xx( x 3) 4 Paso 3: xxx( x 3) 4 2 Paso 4: No importa qué signo queramos agregar. todos los símbolos de agrupación son iguales x xxx( x 3) 4 2 1 Paso 5: xx( xxx( x 3) 4 2 1) 4 Paso 6: xxx xxxx 3 4 2 1 4 2 6 p(x) = xxx xxxx 3 4 2 1 4 2 6 Ahora ya podemos encontrar cualquier valor Encontremos P(5) P(5) = 5555555 3 4 2 1 4 2 6 P (5) 5555552 4 2 1 4 2 6 Centro Educativo Kinal . 57 P (5) 5555510 4 2 1 4 2 6 P (5) 5555514 2 1 4 2 6 P (5) 555570 2 1 4 2 6 P (5) 555568 1 4 2 6 P (5) 555340 1 4 2 6 P (5) 555341 4 2 6 P (5) 551705 4 2 6 P (5) 551701 2 6 P (5) 58505 2 6 P (5) 58507 6 P (5) 42535 6 P (5) 42529 Después de este ejercicio podemos darnos cuenta que el número de pasos es uno menos que el exponente. sin importar qué símbolo escribimos primero. x xxx Centro Educativo Kinal . podemos escribir entonces de una sola vez el resultado del siguiente polinomio P(x) = 3x5 – 4x4 + 2x3 – 6x2 -5x + 2 Escribimos entonces cuatro veces las x cada una del lado izquierdo de un símbolo de agrupación. iniciamos a cerrar los símbolos con los primeros dos términos. el primer coeficiente y la x con el segundo coeficiente y así sucesivamente. solamente coeficientes.58 Como ya escribimos 4 veces la x. al ir cerrando los símbolos ya no se escriben x. P ( x) x xxx3 x 4 2 6 5 2 Encontremos ahora p(3) P (3) 33333 * 3 4 2 6 5 2 P (3) 33339 4 2 6 5 2 P (3) 33335 2 6 5 2 P (3) 33315 2 6 5 2 P (3) 33317 6 5 2 P (3) 3351 6 5 2 P (3) 3345 5 2 P (3) 3135 5 2 P (3) 3130 2 P (3) 390 2 P (3) 392 Centro Educativo Kinal . 3x5 – 4x4 + 6x3 – 8x2 + 3x – 3 9. 3 y 4.59 Ejercicios: Aplicando el algoritmo de Horner encuentre el valor de los siguientes polinomios para x = 2. 1. 2x3 – 6x2 + 4x + 4 4. 3x6 + 2x5 – 6x4 – 5x3 – 6x2 + 2x – 1 10. x2 – 6x + 1 2. 2x5 – 7x4 + 4x3 – 9x2 + 4x -10 8. x4 – 5x3 + 2x2 -4x + 2 6. x2 – 9x + 3 3. x6 – 6x5 + 2x4 – 6x2 + 2x – 6 Centro Educativo Kinal . 4x3 – 5x2 + 8x – 6 5. x4 – 6x3 + 2x2 – 6x + 5 7. Si no aparece entre comillas. valores dependientes. se les denomina Dominio y a los valores de la variable dependiente o eje “y” se les denomina Codominio. será una conjunción. nosotros no estudiaremos la historia de las matemáticas sino que iremos directamente a estudiar lo que nos interesa para poder comprender correctamente nuestro tema y hacer así mejores aplicaciones del mismo. A los valores del eje x se les llama independientes y a los del eje “y”. utilizando para su graficación un plano cartesiano en el cual se localizan pares ordenados (x. nos es más fácil escribirla de esta forma cuando deseamos encontrar valores de una función. contradominio. siempre lo escribiremos entre comillas. en este caso no la escribiremos entre comillas ya que no hay forma de equivocarse Los valores. la palabra Función. Cuando escribimos una función y 3x 2 2 x 5 . Por ejemplo Centro Educativo Kinal .60 2. Nota: cuando hagamos referencia a la variable dependiente o sea al eje “y”. excepto cuando esté escrita la función como ecuación. A los valores que pueda tener el eje x o variable independiente. imagen o rango.y) a los cuales se les llama variables. es un término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. como de la variable independiente. leída “y” es función de x indica la interdependencia entre las variables x y “y”. como sabemos que f ( x) y . tanto de la variable dependiente. En matemáticas. son números reales o complejos.2 FUNCIONES Y GRAFICAS FUNCION: En este capítulo. La expresión y = f(x). por ejemplo f ( x) y o con subíndices o exponentes. es decir que para cada valor de x existirá uno y solo uno en el eje “y”. Se traza una línea recta vertical y si esta toca dos puntos de la gráfica.61 Dada la función f ( x) 3x 2 2 x 5 encuentre f (2) Solución: En este ejemplo nos piden que encontremos cual es el valor de “y” cuando la x vale 2 f (2) 3(2) 2 2(2) 5 f (2) 3(4) 4 5 f (2) 11 Definición de Función: Una función es una relación de correspondencia de parejas uno a uno. Nota: Cuando tenemos una gráfica. Y y x No es función Centro Educativo Kinal x Si es función . existe una forma de comprobar si es función o no. entonces no es función. tal y como se le pone nombre a las personas. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.3 GRÁFICAS DE FUNCIONES Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida. Definición f: R —> R / f(x) = ax+b donde a y b son números reales. La letra que aparece con la variable x. rango o imagen. Hacemos esta observación porque en algunas ocasiones encontramos las funciones con otros nombres no solamente como f(x) Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7 f(x) = 2x + 5 + 7x . y la expresión analítica es un polinomio de primer grado.x+b Para mejor comprensión.3 Centro Educativo Kinal b(x) = -4x+3 .62 2. y solo uno. g: g(x) = 3x+7. Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. escribiremos la ecuación estandar tal y como la aprendimos en la ecuación de la recta f(x) = mx + b Por ejemplo. en el codominio. son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 . llamado Codominio. es el nombre que se le pone a la función. es una función lineal Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a. Contradominio. llamado Dominio. y los elementos de un conjunto de llegada. su contradominio son también todos los números reales. de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno. Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales. h: h(x) = 4 Definición: Las funciones lineales son polinomios de primer grado. 63 De estas funciones, vemos que la f(x) no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma mas sencilla, f(x) = 9x + 2 Vamos a graficar una función, que tal como lo vimos en la definición, y en la ecuación de la recta, es una función lineal por ser de primer grado. Ejemplo 1: Graficar f(x) = 2x – 6 Solución: Esta es una línea recta que atraviesa al eje “y” en -6 y por cada x que avanza sube 2 en “y” por ser su pendiente 2 y positiva. La gráfica es la siguiente. 2.3.1 FUNCION CONSTANTE: Una función es constante cuando su gráfica es una recta horizontal, es decir, que cuando se avanza en el eje x, en el eje “y” se mantiene constante, no sube ni baja. Ejemplo 2: analicemos las gráficas que aparecen a continuación Centro Educativo Kinal 64 ¿Que diferencia fundamental y muy importante hay entre las funciones h y j? Parecería, a primera vista, que son muy parecidas, las ecuaciones ambas son iguales. h(x)=3 y j(x)=3 de Sin embargo, son muy distintas porque mientras la función h tiene como dominio todos los números reales, la función j tiene como dominio los números naturales. Y como entre dos números naturales consecutivos no hay ningún otro número natural, no existe gráfica ni puntos entre ellos. Esto es, entre el 17 y el 18 no hay ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay infinitos número reales. He ahí la diferencia. La representación gráfica de h es una línea recta, pero la de j son puntos aislados, aunque son infinitos. Esto, por supuesto, ocurre no solo si son funciones constantes. Es para cualquier función. El dominio es muy importante. Cuando no se especifica el dominio y contradominio, se supone que son los mayores posibles. En el caso de las funciones lineales, es de R en R. Centro Educativo Kinal 65 Veamos otro ejemplo: Esta función, llamada q, ¿ será lineal ? Supongamos, además, que es una función de R en R. Para determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón. Dominio Codominio X y 4 1 7 2 13 4 16 9 Dominio: de 4 a 7 aumenta en 3 en 1 Codominio: de 1 a 2 aumenta Dominio: de 7 a 13 aumenta en 6 en 2. Por ahora, parece que si Codominio: de 2 a 4 aumenta Dominio: de 13 a 16 aumenta en 3 en 5 Se rompió la relación Codominio: de 4 a 9 aumenta Cada 3 unidades de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9" no esta de acuerdo con esto, por lo tanto no es una función lineal. ¿Que número tendría que estar, en lugar del "9", para que sea una función lineal ? Centro Educativo Kinal 66 RESUMEN: Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio o contradominio real, cuya expresion analítica es f: R números reales. —> R / f(x) = mx+b con m y b La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente m, y la ordenada en el origen ¿como puedo hallar el punto de corte de la recta con el eje x? Igualando o cero el eje “y” ¿cómo puedo hallar el punto de corte de la recta con el eje “y”? Igualando a cero el eje x ¿Cómo se obtiene la ecuación de una recta? Conociendo la pendiente y un punto por donde pasa ¿Cómo puedo encontrar la pendiente de una recta? a. Conociendo dos puntos por donde pasa, utilizando la fórmula y y1 m x x1 b. Si la ecuación está escrita de forma estandar o canónica: f(x) = mx+b, ya está dada , m c. es la pendiente Si la ecuación está dada en forma general: Ax + by + c = 0 A m= B Centro Educativo Kinal es b. 67 ¿Cómo puedo encontrar el punto de intersección de la recta en el eje “y” conociendo su ecuación? a. los valores que contiene el eje “y” en una función. es f(x) = mx+b. reflejo o imagen. Sea f la función con dominio en los reales tal que f(x)=4x2 + 5x – 3. Ejemplo 3. Encuentre f (6) . b b. debemos sustituit el valor que nos dan. Rango. f (a b) . la intercección “y” se encuentra de la siguiente forma b= C B Nota: Siempre que nos digan Codominio. f (6) 4(6) 2 5(6) 3 f (6) 4(36) 30 3 f (6) 144 33 f ( 6) 111 Esto significa que cuando la x vale -6. se están refiriendo al mismo conjunto. la “y” vale 111 f 3 4 3 f 3 4(3) 5 3 3 f 3 12 5 2 5 3 3 3 3 Centro Educativo Kinal . f 3 . en todos los lugares en donde se encuentre la x en la ecuación. f (a) f (b) . Solución: Para resolver estos ejercicios. contradominio. Si la ecuación está dada en forma estandar el punto de intersección ya está dado. Si la ecuación está dada en forma general. vemos si existe alguna operación que no se pueda resolver. encuentre 1 x a) El dominio b) g(7). por lo tanto x + 2 ≥ 0.68 f 3 9 5 3 Significa que cuando la x vale 3 . despejando la x x ≥ -2 Significa que la x no puede tener valores menores que -2 porque el resultado sería un número negativo.66 f (a b) 4(a b) 2 5(a b) 3 f (a b) 4(a 2 2ab b 2 ) 5a 5b 3 f (a b) 4a 2 8ab 4b 2 5a 5b 3 f (a) f (b) (4a 2 5a 3) (4b 2 5b 3) f (a) f (b) 4a 2 5a 3 4b 2 5b 3 f (a) f (b) 4a 2 5a 4b 2 5b 6 Observemos que f (a b) f (a) f (b) Ejemplo 4. Solución: a) Para encontrar el dominio. g(-2). que son todos los valores que puede tener x. Dada la función g ( x) x2 . la “y” vale aproximadamente 17. no se le puede sacar raíz cuadrada a los números negativos. Centro Educativo Kinal . En este caso. entonces: 1–x≠0 1≠x la x entonces no puede ser igual a 1 porque el denominador se volvería cero y no se podría dividir. incluido. sustituimos con x 72 1 7 g (7) g (7) 9 6 g (7) 3 6 g (7) 1 2 g (2) 22 1 (2) g (2) 0 1 2 g (2) 0 3 g ( 2 ) 0 Centro Educativo Kinal . el dominio que en los intervalos D 2. hasta el infinito. Por lo tanto: Los valores que puede tener x en el numerador son desde -2. ) c) Para hallar los valores de g. pero como en el denominador no puede ser 1.1U (1.69 A continuación podemos darnos cuanta que también hay una variable en el denominador y sabemos que no se puede dividir entre cero. entonces sería una parábola horizontal hacia la derecha. vemos que la “y” solamente tiene valores positivos. que en este caso sería la “y”. El codominio como son los valores de “y”. por lo tano el el codominio es 0. la gráfica es de una semicircunferencia en el eje positivo de las “y” y radio 3. entonces la gráfica nos queda de la siguiente forma Centro Educativo Kinal . entonces el resultado tiene que ser positivo. Para encontrar el dominio tenemos que encontrar los valores que puede tener x. Trazar la gráfica de f ( x) 9 x 2 y encontrar el dominio y codominio Solución: Usando nuestra imaginación. sabemos que no se le puede sacar raíz cuadrada a los números negativos. codominio Trazar la gráfica de f ( x) x 1 y encontrar su dominio y Solución: Para trazar la gráfica podemos imaginarnos y x 1 y ver cual es la variable que estaría elevada al cuadrado. Ejemplo 6. Luego nos alejamos dos del vértice y decimos dos al cuadrado igual a cuatro y nos alejamos 4 hacia la derecha y así sucesivamente. pero como es una raíz. la parábola está restringida solamente al lado positivo de las “y”. el dominio es 1. pero como es una raíz. por lo tanto buscamos el vértice que es cuando la raíz se vuelve cero. luego nos alajamo uno hacia arriba y decimos uno al cuadrado es uno y nos alejamos una hacia la derecha. En la gráfica presentada anteriormente podemos ver cual es el dominio y su codominio x–1≥0 x ≥ 1 Como no tenemos denominador.70 Ejemplo 5. que corresponde a una circunferencia. sería cuando la x valga 1. podemos darnos cuenta que x2 + y2 = 9. 71 Quedando el dominio cerrado de – 3 hasta 3 y el codominio también cerrado de 0 a 3 Podemos encontrar el dominio también analíticamente de la siguiente forma. para localizar con mayor facilidad los intervalos y hacemos la tabla. + - . 3 + + + Centro Educativo Kinal 3. 9 – x2 ≥ 0 Factorizando (3 + x)(3 – x) ≥ 0 Igualamos a cero cada factor para encontrar los intervalos en los cuales el resultado es positivo 3+x=0 3–x=0 x = -3 3=x Localicemos los ceros del polinomio en la recta numérica.3 + - -3. Procedemos a encontrar el dominio. 3+x 3–x . x2 – 9 ≥ 0 Factorizando (x + 3)(x – 3) ≥ 0 Igualamos a cero cada factor para encontrar los intervalos en los cuales el resultado es positivo x+3=0 x–3=0 x = -3 x=3 Localicemos los ceros del polinomio en la recta numérica al igual que el anterior. + + + . el resultado después de haber extraído la raíz cuadrada. Procedemos a encontrar el dominio. Sabemos entonces que la gráfica estará en el eje negativo de las “y”. tiene que ser negativo por el signo que se encuentra afuera del radical. de -3 hasta 3.72 Y encontramos el mismo dominio analizado anteriormente. x+3 x–3 . sin embargo.3 + -3. para localizar con mayor facilidad los intervalos y hacemos la tabla. Ejemplo 7 Trazar la gráfica de f ( x) x 2 9 y encontrar el dominio y codominio Solución: Sabemos que no se le puede sacar raíz cuadrada a números negativos. 3 + - Centro Educativo Kinal 3. 4 SIMPLIFICACION DE UN COCIENTE DIFERENCIA. La gráfica que nos queda es la siguiente. El codominio es 0 2. Ejemplo 8 Simplifique el cociente de diferencia para simplificar la función f ( x) x 2 6 x 4 Solución: Centro Educativo Kinal .73 El dominio se encuentre entonces en los intervalos positivos desde menos infinito hasta menos 3 unido con el otro intervalo de 3 al infinito Dominio . La forma de simplificar un cociente de diferencia es la siguiente: m f ( x h) f ( x ) h En donde m es la pendiente de la recta tangente al punto dado.3U 3. Expresa el volumen V (en pies3) del tanque como función de r (en pies).74 f ( x h) f ( x) ( x h) 2 6( x h) 4 x 2 6 x 4 h h f ( x h) f ( x) x 2 2 xh h 2 6 x 6h 4 x 2 6 x 4 h h f ( x h) f ( x) x 2 2 xh h 2 6 x 6h 4 x 2 6 x 4 h h f ( x h) f ( x) 2 xh h 2 6h h h f ( x h) f ( x) h(2 x h 6) h h f ( x h) f ( x ) 2x h 6 h Ejemplo 9 Hay que fabricar un tanque de acero para gas en forma de cilindro circular recto de 10 pies de altura. Encontramos el l volumen de la parte cilíndrica del tanque y luego el de los extremos y la suma de estos será el volumen del tanque. Aún no se establece el radio r. con una semiesfera unida a cada extremo. Solución: El tanque aparece en la figura. El volumen de un cilindro se encuentra multiplicando el área de la base por la altura. Vc r 2 h Vc r 2 (10) Vc 10r 2 Centro Educativo Kinal . Solución: El problema aparece en la figura anterior. expresa la distancia d entre los barcos como función de t.75 Las dos semiesferas de los extremos forman una esfera completa. a 17t b 12t d (17t ) 2 (12t 2 ) d 289t 2 144t 2 Centro Educativo Kinal . Si t es el tiempo (en h) después de su salida. sus trayectorias forma un triángulo rectángulo el cual podemos resolver por el teorema de Pitágoras. uno hacia el oeste a razón de 17 miph y el otro al sur a 12 miph. d 2 a2 b2 Y como la distancia es igual a la velocidad por el tiempo. La fórmula para encontrar el volumen de la esfera es: 4 Ve r 3 3 El volumen total del tanque es 4 V 10r 2 r 3 3 2 Factorizando V r 2 (15 2r ) 3 Ejemplo 9 Dos barcos salen de un puerto al mismo tiempo. de esta forma podemos visualizarlo correctamente. Como nos indican que uno va hacia el oeste y e otro hacia el sur. Halla f(-2). f(x) = 3 – 4x 7. f(x) = x2 – x + 3 10.x2 – x – 4 Encuentra f(-2). Si f ( x) x 4 3x Halla f(4).x3 – x2 + 3 Encuentra f(-3).8t Ejercicios: 1.76 d 433t 2 d 20. Encuentra a) 1 g a b) 1 g (a) c) g a 11. si a > 0. f(8) y f(13) x 4. si h ≠ 0 h d) f(a + h) 5. Si f ( x) . g ( x) Centro Educativo Kinal x2 x 1 d) g (a ) . f(x) = 2x2 + x – 7 En los ejercicios que se presentan a continuación. g(x) = 4x2 12. f(0) y f(2) 3. f(x) = 5x – 2 6. f(0) y f(3) x3 En los siguientes ejercicios. encuentra a) f(a) b) f(-a) c) – f(a) e) f(a) + f(h) f) f ( a h) f ( a ) . f(x) = . si a y h son números reales. f(x) = 3 – x2 9.x2 + x + 4 8. Si f(x) = . Si f(x) = . g ( x) 2x 2 x 1 14. g(x) = 2x – 5 13. f(0) y f(4) 2. Determina los intervalos en los que f aumenta. determina a) El dominio. Centro Educativo Kinal 20. Para la gráfica de la función f dibujada en la figura. b. 15. . B) El rango o contradominio c) f(1) d) Toda x tal que f(x) = 1 e) Toda x tal que f(x) > 1 17. 19. 18. 16. En las funciones que aparecen en las siguientes gráficas a.77 determina el dominio D y la Imagen R de la función representada en la figura. disminuye o es constante. Halla el dominio D y la imagen R de f. 45. 40. decreciente o constante. En las a) b) c) d) 37. 43.2 si x . encuentre el dominio 21.x 2 . 28. f ( x) 2 x 7 22. 50. 42.x 1 si x 2 . 32. 48. f ( x) 2 3x 23.78 En las siguientes funciones. f ( x) 9 x 2 24.3 si x 2 51.2 x 3 f ( x) . si x -1 si x 1 52. f ( x) x 2 2 x f ( x) x 2 8 x 12 36.1 si . 44.2 si x no es un entro . f ( x) x 2 16 x 1 f ( x) 3 x 4x 4x 3 f ( x) 2 x 4 x4 f ( x) x2 34. 33. 47. f ( x) 27. 29.2x f ( x) x 2 . si x 1 f(x) = f(x) = f ( x) f(x) = -2x + 3 x2 – 1 4 x 3 f ( x) 16 x 2 . si x .x 4 si x . 41. x2 x2 siguientes funciones: Traza la gráfica Encuentra el dominio D Encuentra la imagen R Encuentra los intervalos en los cuales f es creciente. 35.1 si x es un entero f ( x) .2 3 f (x) .1 49. f(x) = f(x) = f ( x) f(x) = 3x – 2 4 – x2 x4 2 38. 39. f ( x) x 2 9 x 1 f ( x) 2 x 4x 2x 3 f ( x) 2 x 5x 4 2x f ( x) 2 6 x 13x 5 1 f ( x) ( x 3) x 3 26. 30. 31. f ( x) 25 x 2 3 si x -1 f ( x) . x 2 f ( x) x 3 x 3 Centro Educativo Kinal 46.1 x 1 si x 1 si x -2 si .2 x 1 si x 1 . f ( x) 4 x 2 25. f ( x) x 3 55. para h ≠ 0 h f(x) = -2x2 + 3 1 f ( x) 2 x Simplifica el cociente de diferencias 61. 63. f(x) = x2 – 3x 62. f ( x) 2 x 57. f ( x) f ( x h) f ( x ) . Centro Educativo Kinal 1 x 2 . f ( x) x 3 54. f ( x) x 2 59. f ( x) x 58. f ( x) 2 x 56. f ( x) x 2 60. f(x) = x2 + 5 64. Traza la gráfica de: 53.79 El símbolo x denota valores de la función mayor entero o máximo entero. 80 Centro Educativo Kinal . 81 Centro Educativo Kinal . 82 Centro Educativo Kinal . escribo aquí dos funciones cuadráticas muy sencillas con su respectiva gráfica: f(x) = x2 Centro Educativo Kinal f(x) = -x2 .83 3. Como ejemplo.1 FUNCIONES CUADRATICAS OBJETIVOS: Identificar cuando una ecuación corresponde a una función cuadrática Trazar gráficas de funciones cuadráticas Encontrar los ceros de una función cuadrática Resolver problemas que impliquen funciones cuadráticas Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f ( x) ax 2 bx c donde a. Si representamos "todos" los puntos (x. obtenemos siempre una curva llamada parábola. b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.y) de una función cuadrática. que en este caso será un mínimo por ser positivo el valor de a. por tanto. Para que sea función debe estar ubicado en el eje “y”. en el eje de las ordenadas (eje “y”). que será el máximo o mínimo. se ubicará el punto máximo o mínimo. encuentro primero la coordenada en el eje x Como a = 2 b = -4 Aplicando la fórmula x b 2a x 4 4 x=1 2(2) 4 Tenemos ya la abscisa. Por ejemplo: si me dan la ecuación f ( x) 2 x 2 4 x 7 .84 3. solamente nos falta encontrar la ordenada para tener el vértice. para encontrar el vértice. tomamos la ecuación y sustituimos el valor que encontramos de x. Para encontrar la coordenada del vértice en el eje x. podemos utilizar la fórmula x b y luego este valor lo sustituimos en la ecuación para 2a encontrar la coordenada en el eje “y”.1 Vértice de una parábola El vértice de una parábola está situado en su eje. su abscisa será el punto medio y este será su eje de simetría.1. En este punto. y 2(1) 2 4(1) 7 y 247 y5 Centro Educativo Kinal . Para encontrar la coordenada en el eje “y”. dependiendo hacia donde se abra la parábola. que es el coeficiente de la x2. f (x) a(x h) 2 k y a ( x h) 2 k y k a ( x h) 2 En donde el vértice es V(h. k) y a es el coeficiente que se multiplicará por el número que se aleje del vértice elevado al cuadrado. Tracemos ahora su gráfica. nos confundirá menos Para demostrar que es la misma.85 Tenemos entonces que el vértice es V(1. escribiré la otra partiendo de esta misma y es la que más me servirá posteriormente. 5). que aunque es la misma. pero nosotros la trabajaremos de otra forma. Podemos decir entonces que su eje de simetría es 1 y su valor mínimo es 5. inclusive para las secciones cónicas. necesitamos conocer su ecuación estandar que es la siguiente: f ( x ) a ( x h) 2 k Esta es la forma que aparecerá en cualquier libro de algebra que consultemos. Para trazar la gráfica de una función cuadrática. La ecuación anterior f ( x) 2 x 2 4 x 7 la podemos escribir y 2 x 2 4 x 7 para llevarla a la forma y 7 2x 2 4x Centro Educativo Kinal . 5) los números.86 El número que tiene la x2 hay que escribirlo afuera del paréntesis aunque no sea factor común y en lo que nos queda dentro del paréntesis hay que hacer una Completación al cuadrado y 7 2( x 2 2 x) Recordemos que para hacer la completación al cuadrado. localizamos el vértice y luego nos alejamos uno hacia los lados. lo elevamos al cuadrado y lo multiplicamos por dos. multiplicamos el número que estamos agregando por el que está afuera del paréntesis y este resultado se le agrega del otro lado y 7 2 2( x 2 2 x 1) ( y 5) 2( x 1) 2 Tenemos nuevamente que el vértice es V(1. ya que el número que está afuera del paréntesis es dos. el coeficiente del término del medio se divide entre dos y el resultado se eleva al cuadrado. para que la ecuación no cambie. en este caso. lo elevamos al cuadrado que nos da 4 y luego lo multiplicamos por dos que es el número que está afuera y nos da 8. Para trazar la gráfica. salen con el signo cambiado. seguidamente nos alejamos 2 unidades. entonces nos alejamos 8 a partir de la dirección del vértice Centro Educativo Kinal . la ecuación no tiene soluciones reales y la parábola no cortará al eje x. Si D = 0.2 Intersección de la parábola con los ejes Intersección con el eje “Y”: Como todos los puntos (c) de este eje tienen la abscisa x = 0.c) Intersección con el eje X: Como todos los puntos del eje X tienen la ordenada y = 0. se pueden presentar tres situaciones distintas: i. el punto de corte de la parábola con el eje “Y” tendrá de coordenadas (0. Discriminante: Se le llama así al resultado de la operación que se efectúa dentro del radical b 2 4ac Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación.87 3. Si D > 0. la ecuación tiene una solución real y.1. para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0. la parábola cortará al eje x en un punto el cual será el vértice iii. Centro Educativo Kinal . la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje x en dos puntos distintos ii. Si D < 0. por tanto. c) Los cortes con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0. en la ecuación de la función cuadrática. en uno o en ninguno. pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos. b . las ramas van hacia arriba y si a < 0. hacia abajo. representa una parábola tal que: Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2. la variable x por aquellos valores que deseemos Resumen Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c. que es el (0. Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda. Si a > 0. arriba o abajo. Cuanto más grande sea el valor absoluto de a.88 Cálculo de puntos de la parábola Podemos hallar los puntos de la parábola que necesitemos sin más que sustituir. derecha. 2a La ecuación estandar de la parábola es f ( x) a( x h) 2 k La coordenada del vértice es x Ejemplo 2 Dala la función f ( x) 3x 2 24 x 50 a) b) c) d) Encuentre el eje de simetría El valor máximo o mínimo El Vértice Trace la gráfica Centro Educativo Kinal . Existe un único punto de corte con el eje “Y”. más cerrada es la parábola. entonces contamos 3 unidades hacia abajo por ser negativo. procedemos a encontrarla y 50 3x 2 24 x y + 50 . para trazar la gráfica nos ubicamos en el vértice y nos alejamos uno hacia el derecho o izquierdo y lo elevamos al cuadrado y lo multiplicamos por 3. por 3 = 12 y en esa .89 Solución: Como sabemos que todo lo podemos adquirir de la ecuación estandar.48 = -3(x2 – 8x + 16) y +2 = -3(x – 4)2 Podemos responder entonces todas las preguntas. Para no confundirnos indiquemos primero el vértice V(4.misma línea nos alejamos 12 hacia abajo. Valor máximo y = -2 Luego. Nos alejamos ahora 2 y decimos: dos al cuadrado 4. -2) De aquí podemos indicar que el eje de simetría es x = 4 Como a es negativo. Centro Educativo Kinal . concluimos que la parábola tiene un máximo. esto significa que tenemos que encontrar cuando vale la x cuando la y valga cero. nos piden que encontremos los puntos en donde la gráfica corta al eje x. b b 2 4ac La fórmula cuadrática es x 2a x 1 12 4(2)(3) 2( 2) x 1 1 24 4 x 1 25 4 x x1 1 5 4 1 5 4 4 4 x1 1 x2 1 5 6 4 4 x2 Centro Educativo Kinal 3 2 . o bien.90 Ejemplo 3: Utilice la fórmula cuadrática para encontrar los ceros de la función f ( x) 2 x 2 x 3 Como nos piden que encontramos los ceros de la función. 91 Ejemplo 4 Encuentre la ecuación estandar de la parábola que tiene su vértice en V(3. entonces sustituimos 21 3 a(4 1) 2 18 a(3) 2 18 9a a 18 9 a2 Centro Educativo Kinal . suponiendo que a = 1 Solución: Como nos piden la ecuación estandar. 3) y uno de sus brazos pasa por el punto P(4. 21). procedemos a escribirla como hemos aprendido y 5 ( x 3) 2 f ( x) ( x 3) 2 5 Ejemplo 5 Encuentre la ecuación general de la recta cuyo vértice es V(1. Solución: Procedemos a resolverla escribiendo la forma estandar. 5). pero como en este caso no nos dicen que a = 1. procedemos a buscar el valor de a para escribir la ecuación de cualquier forma que nos indiquen. y 3 a( x 1) 2 x y “y” son los valores que tiene la ecuación en el punto que nos dan. 92 Podemos escribir entonces la ecuación estandar. el ancho del canal queda 12 – 2x. resolvemos las operaciones indicadas f ( x) 2( x 2 2 x 1) 3 f ( x) 2 x 2 4 x 2 3 f ( x) 2 x 2 4 x 5 Ejemplo 6: A partir de una lámina metálica rectangular y larga de 12 pulgadas de ancho. Centro Educativo Kinal . hay que fabricar un canal doblando hacia arriba dos lados. ya que conocemos el vértice y a y 3 2( x 1) 2 f ( x) 2( x 1) 2 3 Esta es la ecuación estandar. pero como nos piden la ecuación general. de modo que sean perpendiculares a la lámina. ¿Cuántas pulgadas deben doblarse para dar al canal su máxima capacidad? Solución: Recordemos que los máximos o mínimos están en el vértice y son valores que corresponden al eje “y”. Denotemos entonces x como la cantidad de pulgadas que se deben doblar x x Como tenía 12 pulgadas de ancho y se le está doblando una cantidad x o sea desconocida. el área en este caso es “y” y nos queda y = x(12 – 2x) y = 12x – 2x2 y = – 2x2 + 12x Entonces el área máxima nos quedará encontrando el valor de x en el vértice. Centro Educativo Kinal . como el alto es x y el ancho 12 – 2x. y = -2(3)2 + 12(3) y = -2(9) + 36 y = -18 + 36 y = 18 Deben doblarse tres pulgadas a cada lado de la lámina y el área máxima del canal será de 18 pulgadas cuadradas.93 El área máxima que le queda al canal para que baje el agua es alto por ancho. x b 2a x 12 2(2) x=3 Este es el lugar en donde se encuentra el área máxima aunque esta no sea. el ancho queda de 10 pulgadas y el alto de 1 A = 10 * 1 = 10 Doblando 2 pulgadas a cada lado A = 8 * 2 = 16 Doblando 3 pulgadas a cada lado A = 6 * 3 = 18 Doblando 4 pulgadas a cada lado A = 4 * 4 = 16 Doblando 5 pulgadas a cada lado A = 2 * 5 = 10 Doblando 6 pulgadas a cada lado.94 Buscando lo que se debe doblar por ensayo y error: Si no doblamos nada. Centro Educativo Kinal . el ancho es el mismo A = 12 * 0 = 0 Doblando 1 pulgada de cada lado. ya no nos queda ancho A=0*6=0 Podemos ver que el área va aumentando desde cero hasta llegar al máximo y luego vuelve a bajar hasta cero nuevamente. 00 a cada boleto. de descuentos. a) Calcula las ganancias obtenidas en función del número de descuentos en el precio b) Cuál es el máximo de descuentos que puede hacer. en el precio de la entrada.5 Centro Educativo Kinal . descuento 0 1 2 x Precio 300 300 –10 300 – 20 300 –10 x No espectado res 500 500+100*1 500+100*2 500+ 100x (300-10)(500+100*1) (300-20)(500+100*2) (300-10x)(500+100x) Ingresos 300*500 Los ingresos obtenidos son G ( x) = (300 10 x)(500 + 100 x) G ( x) = 150000 + 30000 x 5000 x 1000 x 2 G ( x) = 150000 + 25000 x 1000 x 2 siendo x el no.300.00 por persona.95 Ejemplo 7 El director de un teatro estima que si organiza una presentación y cobra Q.10. esto le supondría un ingreso de 100 personas más. c) Cuál se máxima ganancia Observa la tabla: Q. b 2a 25000 x 2(1000) 25000 x 2000 x x 12. podría contar con 500 espectadores. pero calcula que por cada descuento de Q. f(x) = 2x2 – 12x + 22 8.106.4x2+ 16x – 13 12. f(x) = -x2 – 6x – 10 7. f(x) = 3x2 – 6x + 5 10. f ( x) 1 2 5 x x 2 2 1 15.3 4. f ( x) x 2 x 3 3 3 17.x2 – 2x – 8 6. f(x) = . f ( x) 1 2 5 x x 2 2 14. f ( x) 3 2 x 6 x 14 4 En los siguientes ejercicios a) utiliza la fórmula cuadrática para encontrar los ceros de f (esto es en donde cruza la gráfica el eje x b) Encuentra el valor máximo o mínimo c) Traza la gráfica Centro Educativo Kinal . f(x) = . f(x) = -x2 – 2x + 8 5.00 por la cantidad de personas que son 1250 El máximo de descuentos que puede hacer para obtener la máxima ganancia es de 12.5.5x2 – 20x + 17 13. f(x) = 3x2 + 12x +3 11. f(x) = -x2 – 4x .96 La ganancia máxima se puede encontrar buscando f(12. y su ganancia es de Q.250. f(x) = .5) o bien encontrando lo que cobra que es Q. 175. f ( x) 2 2 12 23 x x 5 5 5 18. f ( x) x 2 3x 5 3 1 4 7 16. f(x) = 2x2 + 12x + 7 9.00 Ejercicios: En los ejercicios que se le dan a continuación: a) Localice el vértice b) establezca el valor máximo o mínimo c) indique el eje de simetría d) Trace la gráfica 1. f(x) = x2 –6x + 4 2. f(x) = x2 + 2x +3 3. 2) Encuentre la ecuación general de la parábola cuyo vértice está dado y un punto por donde pasa uno de sus brazos. 12) V(1. 0) V(4. -1) 5) V(0. 9) Centro Educativo Kinal . 3) V(5. P(3. 2) 3) V(-4. -3) 6) 7) 8) 9) 10) V(-2. 0) V(2 1) . P(4. -5) V(-4. 0). P(4. 3). 2) V(3. 1).3x2 – 6x – 6 9) f(X) = .97 1) f(x) = x2 – 4x 2) f(x) = -x2 – 6x 3) f(x) = 3x2 – 6x – 1 4) f(x) = 6x2 + 7x – 24 5) f(x) = 9x2 + 24x + 16 6) f(x) = . 1) .4x2 + 4x – 1 7) f(x) = x2 + 4x + 9 8) f(X) = . P(2. – 1). 4) V(0. P(2. 1) 2) V(0.2x2 + 20x – 43 10) f(x) = 2x2 – 4x – 11 Los siguientes datos son vértices correspondientes a parábolas. -2). P(2. P(3. 10) (2. P(5. 36) V(-2. suponiendo que a =1 1) V(3. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) V(3. Encuentre la ecuación estandar de cada una. 5) 4) V(-3. 15) V( -3. 3) V(3. 4). en libras. 6) En la construcción de 6 jaulas para animales han de utilizarse 1000 pies de maya como se ve en la figura.98 Resolver correctamente los siguientes problemas. Exprese el ancho “y” como función de la longitud “x” b. 1) La tasa de crecimiento “y”. mediante la formula y = cx(21 . Exprese el área A como función de “x” c. de un niño. a. ¿A que peso se tiene la tasa máxima de crecimiento? 2) El número de millas M que puede viajar cierto automóvil con un galón de gasolina. 3) Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio. Calcula el tiempo en el cual se encuentra el objeto a 388 pies Obtenga la altura del edificio 4) Calcule dos números reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea máximo. en libras por mes. es 1 5 M v2 v para 0 v 70 30 2 a) Calcule la velocidad más económica para un viaje. se relaciona con su peso actual x. Encuentre las dimensiones que maximicen el área encerrada. b) Obtenga el valor máximo de M. y 0 x 21 . con velocidad inicial de 144 pies/seg Su distancia s(t) en pies sobre el piso a los t segundos esta dada por la ecuación s ( t ) 16 t 2 144 t 100 a) b) c) Calcule su altura máxima sobre el piso.x). Centro Educativo Kinal . a una velocidad de v millas por hora. en la cual c es una constante positiva. 5) Calcule dos números reales cuya diferencia sea 40 y su producto sea mínimo. Emmanuel Zacchini realizaba con regularidad el acto de la bala humana en el circo Ringling Brothers and Barnum & Bailey. Qué dimensiones dará el área rectangular máxima? 8) Las trayectorias de los animales saltadores son normalmente parabólicas. Si solo cuenta con 1 000 yardas de maya. b) Centro Educativo Kinal Encuentra la altura máxima alcanzada por la bala humana. . Encuentre la ecuación de la trayectoria del salto de la rana. colocando dos cercas paralelas a uno de los lados.99 7) Un granjero desea cercar un campo rectangular para luego dividirlo en tres lotes rectangulares. y la altura máxima sobre el piso es de 3 pies. a) Con la información dada. Cuando el cañón se apunta a un ángulo de 45o la ecuación del tiro parabólico (ve la figura) tiene la forma y = ax2 + x + c. determina una ecuación del vuelo. La longitud del salto de una rana es de 9 pies. La boca del cañón estaba a 15 pies del suelo y la distancia horizontal total que recorría era de 175 pies. 9) En la década de 1940. se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. de la pelota sobre el nivel del suelo viene 2 dada por: y 5 t 20 t 80 . haga una representación grafica que muestre la trayectoria de la pelota. El cable sujeto entre los extremos de las torres tiene la forma de una parábola y su punto central está a 10 pies sobre la calzada. 12) Se quiere cercar un terreno rectangular con 30 m de tela metálica. a.100 10) El peso de una sección de un puente colgante se distribuye de manera uniforme entre dos torres gemelas que están a 400 pies de distancia una de la otra y se elevan 90 pies sobre la calzada horizontal. Que altura alcanza la pelota para x = 0. Las funciones que relacionan el espacio y el tiempo son. a) b) Encuentre una ecuación para la parábola Se utilizan 9 cables verticales equidistantes para sostener el puente. ¿Llega a producirse el alcance? . La altura. x = 2 y x = 5? b. donde t es el numero de segundos que han transcurrido desde el instante que se lanzo la pelota. en cada caso: Viajero: Sv = 400t Tren: St = 500 + 30t2 Representa las graficas correspondientes. 11) Desde un tejado situado a 80 metros de altura.A que altura está ese punto? c. Cuando alcanzara el punto mas alto? . Indica la longitud total de estos soportes. Si se introducen ejes coordenados.¿En que momento? Centro Educativo Kinal . “y”. Como el área cercada depende de la longitud de la tela ¿Cuanto deben medir los lados del cercado para que la superficie delimitada sea máxima? 13) Un viajero quiere alcanzar un tren en marcha. a. para vehículos es de 100 km/h y para automóviles con remolque es de 80 km/h.101 14) La distancia que un vehículo recorre a partir del momento en que se empieza a frenar depende del cuadrado de la velocidad del vehículo. . de acuerdo con la siguiente formula: d = V2/100 donde la velocidad v viene expresada en km/h y d es la distancia recorrida en metros (distancia de frenado). para camiones. ¿que distancia recorres hasta que se detiene el vehículo? b.Cual es la distancia de frenado para cada uno de estos vehículos a esa velocidad? Centro Educativo Kinal . Si circulas en caravana y la distancia que te separa del vehículo que va delante de tí es de unos 100 metros. Si vas circulando a 90 km/h y pisas el freno. ¿cual es la velocidad máxima a la que debes circular para evitar una colisión? c. En autopistas la velocidad máxima es de 120 km/h. 3 = x.2 OPERACIONES CON FUNCIONES Con las funciones también podemos realizar las operaciones de suma. encuentre a) f (1) b) f (0) c) f (2) d) f (2 x 2 1) e) f (a) f (h) f ( a h) f ( a ) f ( a h) g) h Solución: Como nos están dando una función y datos para evaluar la función. f y g son inversas pues. en todos los lugares en donde se encuentre la x. la suma f g . la diferencia f f g . multiplicación. la “y” vale – 1 c) f (2) 2(2) 2 3(2) 1 Centro Educativo Kinal f) .102 3. la “y” vale 4 b) f (0) 2(0) 2 3(0) 1 f (0) 0 0 1 f (0) 1 Significa que cuando la x vale cero. Ejemplo 1 Si f (x) = x + 3 y g(x) = x . f (g(x)) = (x .3. a) f (1) 2(1) 2 3(1) 1 f (1) 2 3 1 f (1) 4 Esto lo podemos interpretar que cuando la x vale 1.Veamos: Consideremos las dos funciones f y g .3) + 3 = x y g( f (x)) = (x + 3) . el producto f g y el cociente se definen como sigue: g i ( f g )( x) f ( x) g ( x) ii ( f g )( x) f ( x) g ( x) iii ( f g )( x) f ( x) g ( x) f f ( x) ( x) g ( x) g El dominio en cada caso consiste en la intersección de los dominios de f y g y en el cociente g ( x) 0 iv Funciones inversas: Si f y g son dos funciones tales que f (g(x)) = g( f (x)) = x. entonces f y g son funciones inversas. resta. división y otras más (composición de funciones). sustituimos len la función con los valores dados. Ejemplo 2 Dada f ( x) 2 x 2 3x 1 . 103 f (2) 2(4) 6 1 f (2) 1 Cuando la x vale –2 la “y” vale 1 d) f (2 x 2 1) 2(2 x 2 1) 2 3(2 x 2 1) 1 f (2 x 2 1) 2(4 x 4 4 x 2 1) 6 x 2 3 1 f (2 x 2 1) 8 x 4 8 x 2 1 6 x 2 4 f (2 x 2 1) 8 x 4 2 x 2 3 e) f (a) f ( g ) (2a 2 3a 1) (2h 2 3h 1) f (a) f ( g ) 2a 2 3a 1 2h 2 3h 1 f (a) f (h) 2a 2 3a 2h 2 3h f (a h) 2(a h) 2 3(a h) 1 f (a h) 2(a 2 2ah h 2 ) 3a 3h 1 f (a h) 2a 2 4ah 2h 2 3a 3h 1 f) f (a h) f (a) 2(a h) 2 3(a h) 1 2(a) 2 3(a) 1 h h 2 2 f (a h) f (a) 2(a 2ah h ) 3a 3h 1 (2a 2 3a 1) h h 2 2 f (a h) f (a) 2a 4ah 2h 3a 3h 1 2a 2 3a 1 h h 2 f (a h) f (a) 4ah 2h 3h h h Factorizando la h f (a h) f (a) h(4a 2h 3) h h 2 f ( a h) 4a 2h 3 g) Ejemplo 3 Si f(x) = x – 5 Encuentre: a) y g(x) = x2 – 1 ( f g )( x) b) ( f g )( x) c) ( f * g )( x) d) f ( x) g g e) ( x) f Y su dominio en cada una Solución: Primero procedemos a efectuar las operaciones indicadas ( f g )( x) f ( x) g ( x) ( f g )( x) ( x 5) ( x 2 1) ( f g )( x) x 5 x 2 1 Centro Educativo Kinal . el dominio de la función resultante es la intersección de las funciones principales Entonces: como el dominio de F(x) son los números reales y el dominio de g(x) también son los números reales. 1) Centro Educativo Kinal . b) ( f g )( x) f ( x) g ( x) ( f g )( x) ( x 5) ( x 2 1) ( f g )( x) x 5 x 2 1 ( f g )( x) x 2 x 4 Dominio los Reales c) ( f * g )( x) ( x 5)( x 2 1) ( f * g )( x) x 3 x 5 x 2 5 ( f * g )( x) x 3 5 x 2 x 5 Dominio los Reales f x5 Dominio los Reales excepto –1 y 1 porque es d) ( x) 2 x 1 g donde el denominador se vuelve cero g x2 1 e) ( x) Dominio los Reales Excepto 5 pues cuando x vale x5 f 5 el denominador se vuelve cero Ejemplo 4 x 1 1 . g ( x) Encuentre ( f g )( x) y el dominio en cada una x 1 x x 1 1 ( f g )( x) x 1 x x( x 1) 1( x 1) ( f g )( x) x( x 1) 2 x x x 1 ( f g )( x) x( x 1) Si f ( x) x 2 2x 1 x( x 1) Dominio de f(x) Los Reales excepto 1 ( f g )( x) Dominio de g(x) Los reales excepto cero Dominio de ( f g )( x) Los reales excepto (0.104 ( f g )( x) x 2 x 6 Sabemos que al efectuar operaciones con funciones. entonces la intersección de números reales con números reales son los números reales. al elevarlos al cuadrados siempre serán positivos y a este resultado sumarle 2 seguirán siento positivos. para encontrar su dominio. la función denotada por f g (x) . El dominio de la función compuesta son todos los valores de x que estén en el dominio de la segunda y que pertenezcan al dominio del resultado de la composición La función compuesta es la función de una función. se define como ( f g )( x ) f ( g ( x )) . El dominio de f(x) son los números reales.105 3. Y como el dominio de la composición son los números reales. el dominio de g(x) es 3. como el segundo es f(x).3 Composición de funciones: Dadas las funciones f y g. Dominio de ( f g ) 3. El dominio de la composición son también los números reales. Ejemplo ilustrativo: Ejemplo 5 Dadas f ( x) x 2 1 y g ( x) x 3 Hallar a) ( f g )( x) . sabemos que no se le puede sacar raíz cuadrada a los números negativos. b) ( g f )( x) y determinar el dominio en cada una Solución: 2 a) ( f g )( x) x 3 1 ( f g)x x 3 1 ( ( f g )( x) x 2 Como la segunda es g(x). ya que aunque le asignemos números negativos a la x. x + 3 0 X-3 Por los tanto. el dominio de este es el que tiene que estar completo en el dominio de la composición. Centro Educativo Kinal . porque es todo el conjunto g(x) que está contenido en el dominio de la composición b) ( g f )( x) x 2 1 3 = ( g f )( x) x 2 2 Ahora. Como el dominio de g(x) son los números reales y el dominio de la composición x2 – 4 0. ) Ejemplo 6 Si f ( x) 1 x y g ( x) x Encuentre a) ( f g )( x) . Solución: a) ( f g )( x) ( x 2 2) 2 ( f g )( x) x 2 4 Ahora para encontrar el dominio. sabemos que tenemos que tomar en cuenta la segunda que es g(x) y el resultado. por lo tanto. b) ( g f )( x) y el dominio de cada una. Ejemplo 6 Si f ( x) x 2 y g ( x) x 2 2 Encuentre a) ( f g )( x). que esté contenida en la composición.2U 2. b) ( g f )( x) y determinar el dominio en cada una Solución: 1 ( f g )( x) x Como el dominio de la g(x) x 0 y el dominio de la composición son los números reales excepto 0. Centro Educativo Kinal . el dominio de ( f g )( x) son los reales que estén contenidos en x2 – 4 0. entonces Dominio ( f g )( x) (0. b) ( g f )( x) x 2 ( g f )( x) x 2 2 ( g f )( x) x 4 2 2 Para encontrar el dominio. buscamos el dominio de la segunda.106 Por lo tanto. ) Dominio de ( g f )( x) (. como dominio de f(x) (. que ahora es f(x). Entonces el dominio es: . ) Sin tomar en cuenta el cero. entonces el dominio son los números mayores o iguales a 2 que estén contenidos en los números reales. f ( x) x 5 g ( x) x 5 d) e) El dominio de cada operación f ( x) 3 2 x g ( x) x 4 x 2x g ( x) 7. f ( x) x4 x5 x 3x g ( x) 8. f(x) = 2x – 5 g(x) = 3x + 7 12. f(x) = 5x – 7 g(x) = 3x2 – x + 2 6. f ( x) x2 x4 En los ejercicios que se le dan a continuación encuentre: b) ( g f )( x) a) ( f g )( x) c) ( f f )( x) d) ( g g )( x) g ( x) x 2 9. f(x) = 5x + 2 g(x) = 6x – 1 2 13. 4. f(x) = 3x – 1 g(x) = 4x2 g(x) = 2x – 1 15.x2 f (3) g g(x) = x2 g(x) = 2x – 1 d) En los siguientes ejercicios encuentra: a) ( f g )( x) b) ( f g )( x) c) ( fg )( x) 3.107 Como el dominio de f(x) es x – 2 0 y el dominio de la composición son los números reales. f(x) = 2x2 + 3x – 4 16. f ( x) 2 x 1 g ( x) x 1 10. f(x) = 3x + 4 g(x) = 5x 14. f ( x) x 2 2 f ( x) x 2 x f ( x) g g ( x) 2 x 2 1 g ( x) x 2 3 5. f(x) = x + 3 f(x) = . Ejercicios: En los ejercicios que se dan a continuación. 2. encuentre: a) ( f g )(3) b) ( f g )(3) c) ( fg )(3) 1. Dominio 2. En los siguientes ejercicios encuentra: Centro Educativo Kinal . f ( x) 3x 2 En los siguientes ejercicios encuentra: b) ( g f )( x) a) ( f g )( x) c) f ( g (2)) d) g ( f (3)) 11. f ( x) x 4 g ( x) x 2 16 23 f ( x) x 2 g ( x) x 5 24.108 a) ( f g )( x) b) c) El dominio de cada una 17. 2 x x2 x 1 f ( x) x2 x2 f ( x) x 1 Centro Educativo Kinal g ( x) x 1 1 x3 3 g ( x) x x3 g ( x) x4 x5 g ( x) x4 . f ( x) x 3 5 3x 5 f ( x) 2 1 f ( x) x 1 g ( x) 3 x 5 2X 5 g ( x) 3 27. f ( x) x 1 g ( x) x 21. f ( x) x 2 4 g ( x) 3 x 20. f ( x) x 2 3x ( g f )( x) g ( x) x 2 18. f ( x) x 2 g ( x) 28. f ( x) 25. 30. f ( x) 3 x g ( x) x 2 22. 29. 26. f ( x) x 15 g ( x) x 2 2 x 19. 4 FUNCIONES INVERSAS Antes de definir lo que es la función inversa de una función f necesitamos conocer qué es una función uno a uno (función inyectiva que también se le llama función biunívoca). pero en este caso todas las f(x) serán iguales puesto que es una línea recta horizontal. entonces f no es una función uno a uno. y diferentes coordenadas x.1 2) f(x) = 4 .2x es uno a uno.x2 Ejercicio de práctica: Determina si f(x) = 4 . para a diferente de b . Por ejemplo: En la función f(x) = x2+ 4x + 3 f(1) = (1)2 + 4(1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 f(1) = 8 f(-5) = (-5)2 + 4(-5) + 3 = 25 – 20 + 3 = 8 f(-5) = 8 Como f(1) = f(-5). Teorema: Funciones uno a uno 1) Si f(a) = f(b) para al menos un par ordenado de valores del dominio a y b. entonces f no es una función uno a uno. Centro Educativo Kinal . Definición: Una función es uno a uno (función inyectiva) si ninguno de los pares ordenados tienen la misma coordenada “y”.109 3. 1) f(x) = 2x . Pero si encontramos que f(a) = f(b) f(c) no será una función constante como en el ejemplo 1 si tomamos otro valor por ejemplo f(3) f(3) = (3)2 + 4(3) +3 = 9 + 12 + 3 = 24 f(1) = f(-5) f(3) Ejemplos para discusión: Determina si f es uno a uno. Nota: La única forma que sea función uno a uno y que f(a) = f(b) es cuando es una función constante. Recordemos que para ver si la gráfica corresponde a una función. entonces la función es uno a uno que se le llama Inyectiva o biunívoca. Ejemplos: 1. Centro Educativo Kinal . (es función biyectiva) porque al trazar una recta horizontal sobre ella toca dos puntos de la gráfica. trazamos una recta vertical y si toca dos puntos de la gráfica. Nota: Una función constante es función uno a uno. Si por el contrario. Ahora. f(x) = x2 Trazamos la gráfica No es función uno a uno (No es Función inyectiva). para ver si la gráfica corresponde a una función inyectiva se traza una recta horizontal y si intersecta solo un punto de la gráfica o ninguno. Teorema: Prueba de la recta horizontal Una función es uno a uno si y sólo si cada recta horizontal intersecta la gráfica de la función en un punto o en ninguno cuando es función constante. entonces la función no es uno a uno.110 Existe un procedimiento gráfico para determinar si una función es uno a uno similar al de identificar si una gráfica corresponde a una función. si cada recta horizontal intersecta la gráfica en más de un punto. entonces no es función. restringiendo parte del dominio.111 2. Funciones inversas Definición: Si f es una función uno a uno. Teorema: Si una función f es creciente o decreciente en todo su dominio o toda su trayectoria. y) está en f} Si f no es una función uno a uno. x)/(x. denotada por f 1 . entonces la inversa de f. es la función formada al invertir todos los pares ordenados en f. entonces f es una función uno a uno (Función inyectiva). f(x) = x3 es una función creciente en su dominio que es los números reales. Centro Educativo Kinal . pero sí es posible convertirla para que tenga función inversa. entonces f no tiene una inversa y f 1 . F(x) = x2 no es función uno a uno porque tiene una parte decreciente y otra creciente (es función biyectiva). las funciones lineales son crecientes o decrecientes en los números reales . f(x) = 2x + 4 Sí es función uno a uno porque al trazar rectas horizontales no toca dos puntos de la gráfica. Por ejemplo. Por tanto: f-1 = {(y. -1. Centro Educativo Kinal .2. ¿cómo se halla la inversa de una función definida por una ecuación? Veamos el procedimiento algebraico en los siguientes ejemplos para discusión. Existe una relación importante entre la gráfica de una función y su inversa. 6. 2). 3) dominio de f 1 es {2. Ejemplos para discusión: 1) Dibuja la gráfica de f(x) = x . 1). (que aparece en la gráfica en color rojo) Intercambia las coordenadas de los pares ordenados de f(x) y construye la nueva gráfica. asigna a x los valores: -3. Pero. Observa que los puntos de f(x) y los puntos de f-1(x) son simétricos con respecto a la recta y = x. (3.4. Por tanto. pues sólo se intercambian los valores de x por los de “y”. 4. esto es.112 Ejemplo: Sea f = {(1. 4) recorrido de f 1 es {1. (2. 0. 9)}. 2). 3. 3)}.3}. Propiedades de las funciones inversas: Si f 1 existe.9} Dominio de f-1 es el recorrido de f. que es la inversa de f(x) (esta gráfica de f – 1 (x) es la que aparece en azul). 2) recorrido de f es {2. 4). (9.2. y) y (y.3}. Dominio de f es el recorrido de f 1 .4. 2. en un sistema de coordenadas. entonces: 1) f 1 es una función uno a uno 2) dominio de f 1 = recorrido de f 3) recorrido de f 1 = dominio de f En nuestro ejemplo anterior: 1) dominio de f es {1. Recorrido de f-1 es el dominio de f.9} Recorrido de f es el dominio de f 1 . -2. x) son simétricos con respecto a la recta y = x. (4. f = {(2. 5.5 usando tablas de valores. 7. 1. los puntos (x. Como observarás hallar la inversa de una función definida por un conjunto de pares ordenados es fácil. Luego dibuja en el mismo plano la gráfica de y = x. Observa que f es una 1 función uno a uno. f(x) = x – 5 Y=x–5 Despejando la x y+5=x Centro Educativo Kinal . localicemos los valores de y conforme a los valores de x que di anteriormente de –3 a 7. Si y = x – 5. que los valores de f(x) se invierten para la función inversa. podemos comprobarlo con este ejercicio. basta con que tomemos algunos valores.113 Como ya expliqué anteriormente. Y sin hacer nada más cambiemos el orden de los números para ver si coincide con los valores encontrados en la otra gráfica X -3 -2 -1 0 1 2 y -3 – 5 = -8 -2 – 5 = -7 -1 – 5 = -6 0 – 5 = -5 1 – 5 = -4 2 – 5 = -3 x y -8 -7 -6 -5 -4 -3 -3 -2 -1 0 1 2 Esto también se puede hacer despejando la x y luego cambiando los ejes. x cambiarlo por “y”. Ejercicios: En los siguientes ejercicios. x g(x) -1 -1 0 -2 1 -1 2 2 3.114 Cambiando la x por y y=x+5 Trazando ahora esta gráfica encontramos la misma que hicimos anteriormente. encuentra f existe y porqué x 1 2 3 4 1. x g(x) 1 2 2 3 3 2 4 -1 1 (1) . x F(x) -1 -3 0 0 1 3 2 6 4. F(x) 2 4 6 8 2. g-1(3) o establece que no Determine si las funciones correspondientes a los siguientes ejercicios son biunívocas 1 1 8) f ( x) 1) f ( x) 4 x2 x3 2) 9) f ( x) x 2 1 1 10) f ( x) 3 x 2 2 f ( x) 2x 4 11) f ( x) 2 1 3) f ( x) 2 12) f ( x) 5 x 13) f ( x) x 3 1 1 1 14) f ( x) x 3 2 4) f ( x) 2 2 2x 1 5) 15) f ( x) 2 x 1 1 f ( x) 2 1 x 1 16) f ( x) 1 x2 6) 1 f ( x) 2 x 4 7) 1 f ( x) 1 x2 Centro Educativo Kinal . x2 17) f(x) = 3x – 2 g ( x) 3 2 g ( x) x 5 18) f(x) = x + 5 19) f(x) = -x2+ 3 g ( x) 3 x 3 g ( x) 3 x 4 20) f(x) = x – 4 En los siguientes ejercicios encuentra la función inversa de f 1 21) f(x) = 3x – 2 27) f ( x) x3 3x 2 22) f(x) = 2x + 1 28) f ( x) x5 23) f(x) = -x + 4 29) f(x) = 2 – 3x2 24) f(x) = 2x2 – 4 30) f(x) = 4x2 + 2 25) f(x) = 3x2 + 6 31) f ( x) 3 x 32) f ( x) 3 2 x 26) f ( x) 1 3x 2 Centro Educativo Kinal .115 En los siguientes ejercicios utiliza el teorema de funciones inversas para probar que g(x) es función inversa de f(x) y trace la gráfica en el mismo plano coordenado cartesiano. 116 Centro Educativo Kinal . 117 Centro Educativo Kinal . 118 Centro Educativo Kinal . 3 -5 4 -10 12 –3 3 A continuación multiplicamos el valor que habíamos encontrado de la x por el número que bajamos y el resultado lo escribimos debajo del Centro Educativo Kinal . a cero y despejamos x x+3=0 x= –3 Luego escribimos todos los coeficientes del polinomio dividendo.119 4. Por ejemplo: si dividimos 3x4 – 5x3 + 4x2 –10x + 12 entre x + 3 Solución Primero procedemos a igualar el divisor. 3 -5 4 -10 12 –3 Colocamos a continuación una línea horizontal y debajo de la misma. que es x + 3.1 DIVISION SINTETICA Objetivos Encontrar los factores de una expresión algebraica a través de la división sintética Trazar la gráfica de funciones polinomiales de grado mayor que 2 Encontrar las asíntotas de funciones racionales Trazar la gráfica de funciones racionales La división sintética es un proceso práctico para encontrar el cociente y el residuo de una división de un polinomio entero de grado mayor que 2. con su mismo signo. colocando una línea vertical en cualquier lado y el valor que encontramos de la x. escribimos el mismo coeficiente que tiene el primer termino. entre otro polinomio de grado 1. el cociente se forma con todos los números que quedaron debajo de la línea.2 TEOREMA DEL RESIDUO Teorema que establece que si un polinomio de x.120 siguiente término y sumamos o restamos dependiendo del signo que nos queda. donde a es cualquier número real o complejo. si tomamos el polinomio anterior 3x4 – 5x3 + 4x2 –10x + 12 y lo dividimos entre x + 3. Por ejemplo. a excepción del último.14 4 -10 12 –3 Siguiendo este mismo procedimiento de multiplicar por el resultado que quede en cada término y colocándolo en el siguiente. que es el residuo. llegamos al siguiente resultado 3 -5 4 -10 12 –3 3 -9 . es equivalente. podemos encontrar el residuo solamente con encontrar f(-3) Centro Educativo Kinal . 3 -5 3 -9 . entonces el residuo es f(a).a). 456. escribiendo la letra con un exponente menor del que tenía 3x3 – 14x2 + 46x – 148 Cociente y el residuo es el último número que queda. se divide entre (x .14 42 46 -138 444 -148 456 Y con esto ya está resuelta. f(x). 456 Residuo 4. Como solamente nos piden encontrar el residuo. Centro Educativo Kinal . Este teorema nos es muy útil para factorizar. buscamos f(2) f(2) = (2)3 – 3(2)2 + 2 + 5 f(2) = 8 – 12 + 7 f(2) = 3 4. el residuo tendrá que ser cero. al dividir.121 f ( x) 3x 4 5 x 3 4 x 2 10 x 12 f (3) 3(3) 4 5(3) 3 4(3) 2 10(3) 12 f (3) 3(81) 5(27) 4(9) 30 12 f (3) 243 135 36 30 12 f (3) 456 Ejemplo 1. si f(2) = 0 hemos comprobado que x – 2 si es factor de f(x) = x3 – 4x2 + 3x + 2. Ejemplo 2 Prueba que x – 2 es un factor de f(x) = x3 – 4x2 + 3x + 2 Solución: Si una expresión algebraica es factor de otra. entonces podemos utilizar el teorema del residuo para probar el teorema del factor. cuando la expresión es muy grande o de grado mayor que 2. también demostramos que x – 2 no es factor del polinomio dado.3 TEOREMA DEL FACTOR Este teorema se utiliza para ver si un número es factor de una expresión algebraica. f(2) es el residuo cuando f(x) se divide entre x – 2 . Si f(x) = x3 – 3x2 + x + 5 usa el teorema del residuo para hallar f(2) Solución: Según el teorema del residuo. buscamos entonces f(2) f(2) = (2)3 – 4(2)2 + 3(2) + 2 f(2) = 8 – 16 + 6 + 2 f(2) = 0 Entonces ya probamos que x – 2 es factor de f(x) = x3 – 4x2 + 3x + 2 puesto que f(2) nos dio cero. si no nos da cero. 122 Ejemplo 3 Factorice la expresión x3 + x2 – 12 Solución: Por los métodos tradicionales que conocemos es difícil encontrar los factores. podemos utilizar el teorema del residuo para comprobar si un número es factor. pero nosotros utilizaremos de una vez la división sintética para poder resolver y encontrar de una sola vez el factor y los coeficientes que le quedan al polinomio cociente.6 y 12 Escribimos los coeficientes de la expresión. el coeficiente es cero. esto significa que x – 1 no es factor de la expresión.2. pero por los que hemos visto ahora nos lo facilitan. Probamos entonces con x+1 1 1 0 -12 -1 1 -1 0 0 0 0 -12 Tampoco es factor. probemos entonces con x – 2 1 1 0 -12 2 6 12 3 6 0 2 1 Centro Educativo Kinal . no nos dio cero.3. si no existe algún exponente de la variable. Probemos primero con 1 1 1 0 -12 1 1 1 2 2 2 2 -10 Como el último resultado.4. Primero vemos los factores del término independiente que es 12 y estos son: 1. que es el residuo. significa que el residuo es cero. (x – 2)(x + 1)(x – 3) = (x2 – x – 2)(x – 3) = x3 – x2 – 2x – 3x2 + 3x + 6 = x3 – 4x2 +x +6 Entonces el polinomio que tiene ceros 2. conociendo los factores podemos encontrar el polinomio multiplicando los factores. x + 1. cuando la “y” vale cero. es decir. por lo tanto debemos llenar el espacio con un cero y del divisor x+3 solamente escribimos -3 2 2 5 0 -1 -8 -6 3 -9 30 -1 3 -10 22 -3 Si no hubieran dicho que probáramos si x + 3 es factor del polinomio 2x4 + 5x3 – x – 8 diríamos que no porque el residuo no fue cero. Nota: Los ceros de un polinomio es cuando la gráfica cruza al eje x. Solución: Los factores son: x – 2. Centro Educativo Kinal .123 Como ahora si nos dio cero el último resultado. -1 y 3 es: f(x) = x3 – 4x2 +x +6 Ejemplo 5 Utiliza la división sintética para hallar el cociente y el residuo del polinomio 2x4 + 5x3 – x – 8 entre x + 3 Solución: Escribimos los coeficientes tomando en cuenta que no hay x2. y x – 3 Ahora. Podemos entonces escribir x3 + x2 – 12 = (X2 + 3x + 6)(x – 2) Y el trinomio que nos quedó ya no es factorizable Ejemplo 4 Encuentra un polinomio f(x) de grado 3 que contenga ceros 2. -1 y 3. los otros números son los coeficientes del polinomio que queda como cociente y debe tener un exponente menor del que tenía. por lo tanto x – 2 si es factor de x3 + x2 – 12. Solución: Puede encontrarse f(4) también por el teorema del residuo. Nota: Si utilizamos el teorema del residuo para encontrar f (11) y el resultado es cero. Solución: Como en este caso no me están indicando de qué forma lo encuentre. como no nos están diciendo que dividamos entre x + 4 sino que encontremos f(4) por división sintética. Hago esta observación para que nos demos cuenta que no son cosas diferentes. puedo proceder directamente por el teorema del residuo. 3 0 3 12 12 -38 5 48 10 40 45 Coeficientes del cociente 0 -1 180 720 180 719 4 Residuo Entonces f(4) = 719 Ejemplo 7 Demuestra que – 11 es un cero del polinomio f(x) = x3 + 8x2 – 29x + 44. no se le cambia signo al 4.124 El cociente es 2x3 – x2 + 3x – 10 y el residuo 22.1331 +8(121) + 319 + 44 . procedemos a efectuarlo. Ejemplo 6 Si f(x) = 3x5 – 38x3 + 5x2 -1 Halla f(4) mediante la división sintética. pero como nos lo piden por división sintética. este punto está ubicado en el eje x f(-11) f(-11) f(-11) f(-11) = = = = (-11)3 + 8(-11)2 – 29(-11) + 44 .1331 + 968 + 363 0 Entonces como f(-11) es 0. ya demostramos que – 11 es un cero del polinomio. f(x) = 2x4 – x3 – 3x2 + 7x – 12 Centro Educativo Kinal p(x) = x – 3 . está demostrado que -11 es un cero de f(x) Ejercicios: Encuentre el cociente y residuo si f(x) se divide entre p(x). 1. es decir. a través de la división sintética. En este caso. 2x4 + 10x – 3 p(x) = x – 3 11. f(x) = 2x3 – 3x2 + 4x – 5 p(x) = x – 2 6. f(x) = 3x3 + 2x – 4 p(x) = 2x – 1 4. f(x) = . f(x) = 3x3 – 4x2 – x + 8 p(x) = x + 4 7. f(x) = 3x4 + 2x3 – x2 – x – 6 p(x) = x + 1 3. f(x) = 9x3 – 6x2 + 3x – 4 p(x) = x 1 3 Centro Educativo Kinal .125 2. f(x) = 4x4 – 5x2 + 1 p(x) = x 1 2 12. f(x) = x3 – 8x – 5 p(x) = x + 3 8. f(x) = 5x3 – 6x2 + 15 p(x) = x – 4 9. f(x) = x3 – 6x2 – 4x + 6 p(x) = 3x + 1 5. f(x) = 3x5 + 6x2 + 7 p(x) = x + 2 10. solamente cruza una vez el eje x y es en el origen. En la práctica a menudo es necesario dibujar sus gráficas y encontrar o calcular sus ceros. esto ya lo aprendimos en las gráficas de ecuaciones. El objetivo de calcular sus ceros es para encontrar los puntos en los cuales atraviesa al eje x. La gráfica es la siguiente. 4.1 FUNCIONES POLINOMIALES Las funciones polinomiales son las que se definen solo en términos de suma. pues al estar escrita la función de esta forma.126 4. como es un solo término.4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES. es decir. Trazar la gráfica de f ( x) 1 3 x 2 Solución: En este caso.4. cuando la “y” vale cero. Centro Educativo Kinal . no es necesario buscar los ceros del polinomio. sin importar el grado. Ejemplo 1. resta y multiplicación. Se les denomina polinomiales por ser de grado mayor que 2. entonces necesariamente tiene que cruzar el eje de las x. significa que este punto está en el eje positivo de las “y”. por lo tanto existe un cero entre uno y dos. Solución: Como nos están pidiendo que se demuestre que existe un cero entre 1 y 2. significa que está en el eje negativo de las “y” y f(2) nos dio signo positivo. hemos demostrado que si existe un cero porque atraviesa al eje x. solamente tenemos que encontrar f(1) y f(2) si al resolver encontramos valores con el mismo signo. pero si encontramos signos diferentes. f(1) = x5 +2(1)4 – 6(1)3 + 2(1) – 3 f(1) = 1 + 2 – 6 + 2 – 3 f(1) = -4 f(2) = 25 + 2(2)4 – 6(2)3 + 2(2) – 3 f(2) = 32 + 32 – 48 + 4 – 3 f(2) = 17 Como f(1) nos dio signo negativo. 17 1 -4 Centro Educativo Kinal 2 . tiene que cruzar el eje x en alguna parte. significa que no existe ningún cero entre uno y dos.127 Ejemplo 2 Demuestra que f(x) = x5 + 2x4 – 6x3 + 2x – 3 tiene un cero entre 1 y 2. Como sea el comportamiento de la gráfica. El signo menos del coeficiente cambiará de lugar la gráfica.128 Ejemplo 3 Trace la gráfica de f(x) = x3 + x2 – 4x – 4 Solución: Para trazar la gráfica de una función de este tipo. los valores de la x será en donde cruce la gráfica. f(x) 0= 0= 0= 0= 0= = x3 + x2 – 4x – 4 x3 + x2 – 4x – 4 (x3 + x2) – (4x + 4) x2(x + 1) – 4(x + 1) (x + 1)(x2 – 4) (x + 1)(x + 2)(x – 2) Igualando cada paréntesis a cero para encontrar el valor de las x X+1=0 X=-1 X+2=0 X=-2 X–2=0 X=2 Centro Educativo Kinal . debemos de observar el signo del coeficiente y el exponente de la variable x. la gráfica estará en el segundo cuadrante puesto que este resultado corresponde al eje “y”. Si el exponente es par: todas las x negativas. Si se puede factorizar. por lo tanto la gráfica estará en el tercer cuadrante. por lo tanto antes de llegar al primer cero. todas las x negativas nos darán como resultado “y” negativas. si es par o impar. Si el exponente es impar. al multiplicarlas un número par de veces se volverán positivas. Antes de trazar la gráfica debemos encontrar los ceros del polinomio. la mitad es 2 1 3 2 2 3 Entonces buscamos f 2 3 f x3 x 2 4x 4 2 3 2 3 3 3 3 f 4 4 2 2 2 2 27 9 3 64 f 8 4 2 3 7 f 2 8 Entonces en el intervalo de -2 a -1 encontramos que tiene un máximo por ser positivo el resultado. tiene un máximo o un mínimo aproximadamente a la mistad de este intervalo. En el intervalo de -2 a -1. la gráfica viene en el segundo cuadrante desde el menos infinito hasta el 2. entonces buscamos el valor de la “y” en la mitad del intervalo. Ahora hacemos el análisis siguiente: Como el exponente es par y el coeficiente positivo. Busquemos ahora si hay máximo o mínimo en el siguiente intervalo de -1 a 2. -2 y 2. Centro Educativo Kinal .129 Esto significa que la gráfica cruza al eje x en -1. Luego de punto a punto. Centro Educativo Kinal .130 En el plano en donde ya fueron localizados los puntos en donde cruza la gráfica es fácil ver en donde se encuentra la mitad. Localicemos entonces los puntos en el plano y luego trazamos la gráfica. Como ya tenemos los puntos medios de los intervalos. pero podemos hacerlo mediante la fórmula del punto medio Pm x x1 2 Pm 1 2 2 Pm 1 2 1 Buscamos entonces f 2 3 2 f x x x 4 x 4 3 2 1 1 1 1 f 4 4 2 2 2 2 1 1 1 f 24 2 8 4 45 1 f 8 2 Encontramos un mínimo. solamente nos queda analizar los extremos del lado izquierdo del primer punto y del lado derecho del último. 131 Observando el exponente. la gráfica llega al primer punto en el tercer cuadrante. todo número de la x negativo sigue siendo negativo. todo número positivo elevado a un exponente impar sigue siendo positivo. Centro Educativo Kinal . por lo tanto. en el último intervalo la gráfica sube en el primer cuadrante. Ejemplo 4 Trazar la gráfica de f ( x) x 4 4 x 3 3 x 2 Solución: Comenzamos por factorizar si es posible para encontrar los ceros del polinomio 0 = x4 – 4x3 + 3x2 0 = x2(x2 – 4x + 3) 0 = x2(x – 3)(x – 1) Los ceros son entonces x = 0 x=3 x=1 Localicemos estos ceros en el plano para que nos sea fácil identificar los puntos medios de los intervalos. por lo tanto. Y en el último intervalo. en este caso que es impar. vemos el exponente y como es par. los valores negativos de la x se vuelven positivos para la “y”.3 2 16 f (2) 2 4 4(2) 3 3(2) 2 f (2) 16 32 12 f ( 2 ) 4 Para analizar los extremos de la gráfica. por lo tanto la gráfica baja por el segundo cuadrante hasta el primer punto que es en el origen. Y el último que es positivo sigue siendo positivo su resultado.132 Puntos medios son 1 y2 2 Encontramos los máximos o mínimos de los intervalos 4 3 1 1 1 1 f 4 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 3 f 2 16 8 4 1 1 1 3 f 2 16 2 4 1 5 f 0 . Centro Educativo Kinal . Si necesito la ecuación solamente hay que multiplicar los factores. Localicemos entonces primero estos puntos en el plano para encontrar los puntos medios del intervalo y hallar así los máximos o mínimos. luego solo x porque toca al eje x en el origen. traza la posible gráfica. 0 y 2. Ahora ya podemos encontrar los máximos o mínimos. f(-2) = (-2 + 3)(-2 + 1)2(-2)(-2 – 2) f(-2) = 8 Máximo Centro Educativo Kinal . no puedo encontrar los máximos o mínimos. pero como no conozco aún la ecuación. f(x) = (x + 3)(x + 1)2x(x – 2) La razón por la que deduje que x + 1 estaba elevada al cuadrado fue porque en los dos intervalos tenemos el mismo signo positivo. . pero conociendo los factores puedo encontrar la ecuación. y 1 2 Ya tengo los puntos medios. Encontramos los puntos medios que son: 1 2. Signo de f(x) - + -3 + -1 0 + 2 Solución: Por la forma en que está dada la tabla sabemos que los puntos en los cuales toca al eje x la gráfica es en x = -3. -1.133 Ejemplo 5 Dada la siguiente tabla. escribimos el polinomio de la siguiente forma: f(x) = a(x – 2)(x + 1)(x – 3) f(1) = 5 Centro Educativo Kinal . (x + 1) y (x – 3). con ceros 2. -1 y 3 y que satisfaga f(1) = 5 Solución: Por el teorema del factor sabemos que el polinomio en mención tiene factores (x – 2).8 máximo f 2 32 f (1) (1 3)(1 1) 2 (1)(1 2) f (1) 16 Mínimo Ejemplo 6 Encuentra un polinomio f(x) por la forma de factorización que tenga grado 3. Ahora bien. como nos indican que debe cumplir que f(1) = 5.134 2 1 1 1 1 1 f 3 1 2 2 2 2 2 2 1 25 0. 135 5 = a(1 – 2)(1 + 1)(1 – 3) 5 = a(-1)(2)(-2) 5= 4a 5 a 4 Entonces 5 ( x 2)( x 1)( x 3) 4 5 5 15 f ( x) x 3 5 x 2 x 4 4 2 f ( x) Ejercicios: Trazar la gráfica de las siguientes funciones. f(x) = 2x4 + 3x – 2 a b 2 4 Dibuja la gráfica de un polinomio dado el diagrama de signos. b=4 a = . 1. 6. 9. Signo de f(x) + -4 Centro Educativo Kinal 0 + 1 3 . f(x) = x3 – 4x2 + 3x – 2 f(x) = 2x3 + 5x2 – 3 f(x) = – x4 + 3x3 – 2x + 1 a = 3. 2. 13. 3. demuestra que f tiene un cero entre a y b 11. 8. f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) = = = = = = = = = = 2x3 + 3 -2x3 + 3 x3 – 2x2 – x + 2 x3 +2x2 – 5x – 6 x4 – 2x3 -5x2 + 6x x4 +2x3 – 11x2 – 12x 2x2 + 3x2 – 18x + 8 3x3+8x2 – 33x + 10 -3x3 + 5x2 + 34x – 24 -2x3 + 5x2 + 39x + 18 En las siguientes funciones. 12. 15. 5. b=3 1 3 14. 4. 10. 7.3. b = -2 a = 2. Si m < n la asíntota es el eje x. Ejemplo 1 Encuentra las asíntotas verticales y horizontal y trazar la 1 gráfica de f ( x) x2 Solución: Sabemos que la asíntota vertical es cuando el denominador se convierte en cero X–2=0 X=2 El denominador es cero cuando la x vale 2 La gráfica tiene asíntota horizontal y = 0 puesto que el exponente del denominador es mayor que el del numerador.4. Si m = n la asíntota es b 3. Centro Educativo Kinal . porque “y” = 0 a 2. Una gráfica tiene asíntota horizontal si ocurren los siguientes casos: ax m Sea f ( x) n bx 1.2 FUNCIONES RACIONALES Las funciones racionales son las que tienen como denominador también x. Signo de f(x) + + -3 -2 + 0 2 4. Estas funciones se caracterizan por tener asíntotas horizontales y verticales. Una gráfica tiene una asíntota vertical cuando el denominador se convierte en cero. Si m > n entonces la función no tiene asíntota horizontal.136 16. baja hasta el infinito negativo de las “y” Luego. La asíntota vertical sabemos que se encuentra cuando el denominador se vuelve cero x2 – x – 6 = 0 (x – 3)(x + 2) = 0 x=3 x = -2 Centro Educativo Kinal . en el otro lado de la recta vertical de x = 2.137 La gráfica viene desde el infinito de las x por la parte negativa de las x y de las “y” y al llegar a la recta vertical de x = 2. la gráfica viene desde el infinito positivo de la “y” y cruza hacia la derecha del eje x y la gráfica completa queda de la siguiente forma Ejemplo 2. Encuentra las asíntotas verticales y horizontal y trazar la 3x 1 gráfica de f ( x) 2 x x6 Solución: Primero encontramos las asíntotas tanto horizontal como vertical. Ejemplo 3 Encuentra las asíntotas verticales y horizontal y trazar la 5x 2 1 gráfica de f ( x) 2 3x 4 Centro Educativo Kinal . ya que el grado del numerador es menor que el del denominador Queda entonces desde menos infinito en x y baja por la izquierda de la primera asíntota vertical. baja desde el infinito y tiene su punto de inflexión en y = 0 3x 1 x x6 0 3x 1 0 2 1 3x 1 x 3 1 Entonces el punto de inflexión o sea el cambio está en x . 3 El lado derecho baja desde el infinito y cruza hacia la derecha sobre la asíntota horizontal. En el intervalo de -2 a 3.138 Tenemos entonces dos asíntotas verticales en x = 3 y en x = -2 La asíntota horizontal es y = 0. 139 Solución: Las asíntotas verticales son cuando el denominador se vuelve cero. en este caso 3x2 – 4 = 0 3x2 = 4 4 x2 3 Asíntotas verticales x 4 3 Como el grado del numerador y denominador es igual. esto es cuando la x vale cero. En el lado derecho de la asíntota vertical también. buscamos por donde cruza en el eje “y”. entonces la gráfica queda sobre la asíntota horizontal porque la x está elevada al cuadrado tanto en el numerador como en el denominador. de modo que la gráfica que queda es la siguiente. y Centro Educativo Kinal . comprobamos que queda una parábola hacia abajo que no cruza las asíntotas. Para poder encontrar el comportamiento de la parábola entre las asíntotas verticales. la asíntota horizontal es y 5 3 Para trazar la gráfica. f ( x) 5x 2 1 3x 2 4 f ( x) 1 4 1 4 Colocando valores a la x a entre las asíntotas y el cero. sabemos que todo número negativo elevado al cuadrado se vuelve positivo. Centro Educativo Kinal . f ( x) Asíntota vertical 2x – 5 = 0 2x = 5 5 x 2 Asíntota horizontal: como el exponente de la x del numerador es igual al de la x del denominador. la gráfica queda debajo de la asíntota horizontal del lado izquierdo y arriba de la asíntota en el lado derecho.140 Ejemplo 4 gráfica de Encuentra las asíntotas verticales y horizontal y trazar la 3x 2 x 4 f ( x) 2 2x 7x 5 Solución: Antes de trazar la gráfica veamos si son factorizables tanto el numerador como el denominador (3 x 4)( x 1) (2 x 5)( x 1) 3x 4 f ( x) 2x 5 Como ya sabemos encontrar las asíntotas y hacer el análisis del comportamiento de la gráfica nos es mucho más fácil. entonces nos queda 3 Asíntota horizontal y 2 Como el exponente de la x es uno. 141 Tiene un vació en x = 1 porque en ese punto no existe imagen porque al sustituir en la ecuación queda cero sobre cero. Ejemplo 5 Encuentre la ecuación racional que cumpla con las condiciones siguientes: Intersección x = 4 Asíntota vertical x = 2 Asíntota horizontal y 3 2 Y un hueco en x = 1 Solución: La intersección en x = 4 implica que en el numerador existe un factor (x – 4) y una asíntota vertical x = -2 implica que hay un factor (x + 2) en el denominador. como la asíntota horizontal es . colocamos estos números en 5 la forma correspondiente 3( x 4) 5( x 2) Centro Educativo Kinal . Podemos principiar entonces con la forma x4 x2 3 Luego. 142 Si no hubiera más información. la gráfica tendrá dos asíntotas verticales por tener dos factores en el denominador. La gráfica viene desde el infinito por debajo de la asíntota horizontal y cruza hacia abajo siguiendo la primera asíntota vertical. Centro Educativo Kinal . quiere decir que tanto en el numerador como en el denominador existe un factor (x – 1). Las asíntotas verticales son x = 3 y x = -2 La asíntota horizontal es “y” = 0 por ser mayor el exponente del denominador que el del numerador. como no se puede eliminar ningún factor. f ( x) x 1 ( x 3)( x 2) En este caso. significa que el exponente es igual. la función ya estaría terminada puesto que solo tiene una asíntota vertical y como la asíntota horizontal está en 3 . por lo tanto la función queda f ( x) 3( x 4)( x 1) 5( x 2)( x 1) f ( x) 3x 2 15 x 12 5 x 2 5 x 10 Ejemplo 6 Traza la gráfica de f ( x) x 1 x x6 2 Solución: Factorizamos el denominador para ver si se puede eliminar algún factor. 5 La información que tiene un vacío en x = 1. 2x 4 x 2 0x 9 1 x 2 2x 4 x 2 0x 9 x 2 2x 2x – 9 Centro Educativo Kinal . efectuemos entonces la división para encontrar la asíntota inclinada. 2x – 4 = 0 2x = 4 4 x 2 x=2 Al ver la función podemos darnos cuenta que no tiene asíntota horizontal ya que el exponente del numerador es mayor que el denominador.143 x2 9 2x 4 Buscamos la asíntota vertical igualando el denominador a Ejemplo 7 Trace la gráfica de f ( x) Solución: cero. 144 1 x 1 2 2x 4 x 2 0x 9 x 2 2x 2x – 9 -2x + 4 -5 2 x 9 1 5 x 1 2x 4 2 2x 4 1 x 1 que es una línea recta 2 Buscamos las intersecciones en los ejes La asíntota es el cociente Intersecciones en el eje “y” x tiene que ser cero y 9 4 y 9 4 Intersecciones en el eje x “y” tiene que ser cero x2 9 2x 4 0 = x2 – 9 x=3 x = -3 0 Las intersecciones en el eje x son 3 y -3 La gráfica es la siguiente Centro Educativo Kinal . f ( x) 2 . f ( x) 10. f ( x) 6. f ( x) 2 x 3 x 10 x2 x 6 22. f ( x) 2 x x 12 3x 2 3x 6 17. f ( x) 2 x 4 2x 2 2x 4 16. x4 15. f ( x) 2. f ( x) x2 9 x2 x 6 18. f ( x) 5. f ( x) 2 x 3x 4 x 2 3x 4 19. f ( x) 3. f ( x) x2 x 2 2 x 2 4 x 48 21.145 EJERCICIOS: En los siguientes ejercicios: Encuentra las asíntotas horizontales y verticales y traza la gráfica. f ( x) 8. f ( x) 11. 1. f ( x) 2 x x6 3x 2 3x 36 20. f ( x) 3 x4 3 x3 3x x2 4x 2x 5 4x 1 2x 3 5x 3 3x 7 4x 2 9x 2 2x 2 x 6 5x 2 8x 3 3x 2 4 x 7 x2 2 x x6 x 1 2 x 2x 3 4 2 x 4x 4 Centro Educativo Kinal 2 x 2x 1 x3 13. f ( x) 9. f ( x) x 1 12. f ( x) 2 x 1 14. f ( x) 7. f ( x) 4. f ( x) Centro Educativo Kinal . f ( x) 2 x 9 23.146 2x 2 x 3 x2 8 x3 24. f ( x) 2x 2 x3 1 25. 1 FUNCIONES EXPONENCIALES Definición.la función exponencial es una función de . la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio. En el siguiente teorema.147 4. 1. ax Cuando a 1 y es decir. Como en para todo . Sea a un número real positivo.5. se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial. cuando la base a es mayor que 1 y el exponente es un número real. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llama función exponencial de base a y exponente x. Centro Educativo Kinal .5 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 4. cuando la base a < 1. la gráfica queda de la siguiente forma Note que cuando la base a es mayor que 1. Observación. cuando x toma valores grandes pero negativos. estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1). función exponencial Centro Educativo Kinal . en valor absoluto. Cuando la base es positiva pero menor que 1. Cuando a = e . significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.se llama: función exponencial de base e. crece sin límite al aumentar la variable x. que se presentan en la próxima sección..2) no está acotada superiormente.la función exponencial (fig. crece sin límite.7182818284…. Así. ésta función tiene al cero como extremo inferior. tiende a cero(0).Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa (función logarítmica). Igualmente. El hecho de ser la función exponencial con a > 1.la .donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales.1) no está acotada superiormente. pero su comportamiento para valores grandes de x. Es decir . Además. cuando la variable x toma valores grandes positivos.148 2. es e = 2. es diferente. Esto es . pero negativos y tiende a cero. al tomar x valores grandes. la función exponencial (fig. la “y” se aproxima a cero por lo tanto la gráfica viene sobre el eje x y sube Centro Educativo Kinal . la gráfica es creciente en todo su recorrido. Resuelva la ecuación 6 x 6 2 x Solución: Uno de los métodos para resolver ecuaciones exponenciales es que la base sea igual. como la base es igual x=2–x x+x=2 2x = 2 x=1 Ejemplo 2. podemos hacerla igual ya que existe forma de hacerlo porque 9 3 2 34 x 32 x 6 3 4 x 3 2 x 12 Ahora que ya es igual la base 4x = 2x – 12 4x – 2x = -12 2x = -12 x = -3 Ejemplo 3 Traza la gráfica de f ( x) 3 x Solución: Cuando la base es mayor que uno. se prescinde de ella y solamente se igualan los exponentes y se resuelve esta ecuación En este caso. Ejemplo 1. se presentan ciertas y que por su interés y combinaciones de las funciones características especiales merecen ser consideradas con algún tratamiento. cuando x viene desde menos infinito.149 En algunos problemas de Física e Ingeniería. al ser igual la base. Resolver la ecuación 3x 9 x6 Solución: Como sabemos que la base debe ser igual y en este caso no lo les. Tales combinaciones reciben el nombre de funciones hiperbólicas. y = 9 y así sucesivamente x 1 Ejemplo 4 Trazar la gráfica de f ( x) 2 Solución: Cuando la base es menor que uno. la y es uno y luego sube.150 cuando se acerca al origen de tal modo que cuando la x es cero. y = 3 Cuando x = 2. la “y” = 1 Cuando x = 1. la gráfica es decreciente y queda de la siguiente forma: Centro Educativo Kinal . Podemos decir: Cuando la x vale 0. C es el capital inicial depositado n es el número de períodos que se ha capitalizado durante un año. es decir.151 Fórmula del Interés Compuesto nt i A C 1 n En donde A es la cantidad acumulada durante t años. i Es la tasa de interés anual. es la cantidad de dinero depositada más el interés que ha ganado durante el tiempo que ha estado depositado.00 a una tasa de interés del 9% compuesto mensualmente. t es la cantidad de años que ha estado depositado el capital. esto es el número dividido 100 Ejemplo 5 Si se invierten Q.09 A 1.09 A 1. es decir.0075) 60 A = 1565.68 Para 10 años 12 (10 ) 0.0001 12 0. Encuentre la cantidad acumulada después de 5.000(1.000 9 i 9% 0.0001 12 A 1. n es 6 porque el año tiene 6 bimestres.000.09 100 n=12 por estar capitalizado mensualmente t 5 12 ( 5 ) 0. Solución: Escribiendo los datos para aplicar la fórmula durante 5 años tenemos C = 1.1.0001 12 120 Centro Educativo Kinal .09 A 1. 10 y 15 años. si se ha capitalizado bimestralmente. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”. (Observa que un logaritmo es un exponente. Si y es el número. Nota: El dominio de una función logarítmica es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los Centro Educativo Kinal . Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2.) 2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.5.09 A 1. se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b.36 Para 15 años 0. Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”. en lugar de usar la notación f-1(x). si b > 0 y b es diferente de cero. Ejemplos: 1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2.09 A 1. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa.04 12 (15 ) 180 4.2 FUNCIONES LOGARITMICAS Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. De manera que. entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas.152 A = 2451. b es la base y x es el exponente.0001 12 0. Definición: El logaritmo de un número es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a dicho número. entonces logb y = x si y sólo si y = bx. Si f ( x) b x .0001 12 A = 3838. log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo. ya que 52 = 25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Ejemplo 3: Encuentre el valor de x si log 3 81 x Solución: Como sabemos escribir las ecuaciones logarítmicas en forma exponencial. pero 0 y -5 no lo son. 5) logb 100 = 2. 3) log2 y = 7.153 números reales. 2) logb 8 = 3. 6) log2 x = -3. De manera que. la transformamos y despejamos la x 3x = 81 Entonces x es el número de veces que se debe multiplicar la base 3 para obtener 81.5) x 4 . por lo tanto x = 4 Ejercicios: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial: 1 1) log 3 9 2 5) log 36 6 2 1 2) log 49 7 1 2 6) log 3 2 9 1 3) log 2 2 4 4) log 3 27 3 Pasar de la forma exponencial a la forma logarítmica: 1) 81 = 92 1 2) 3 1 3 1 3) 100 2 10 5) 2 3 8 6) 1 4 2 16 4) 64 4 3 Resolver las siguientes ecuaciones 1) log3 9 = x. pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. 3 es un valor del dominio logarítmico. Esto es. log10 3 está definido. 7) 7 x6 7 3 x4 Centro Educativo Kinal 8) 6 7 x 6 2 x 1 9) 3 2 x 3 10) 9 ( x2 ) 3( x 2 ) 33 x 2 11) 2 29 x (0. 4) log3 27 = y. el exponente es 1 logb b = 1 3) Si la base es igual al número escrito de forma exponencial.154 6 x x 2 2 17) f ( x) 5 x 13) 4 x 3 8 4 x 2 18) f ( x) 5 1 12) 2 14) 27 x 1 9 1 15) 4 x 2 2 x 3 3 2 x 1 16) 9 2 x 3 8(2 x) 2 x 1 19) f ( x) 5 3 2 20) f ( x) 8(4) x 2 x 21) x2 27(3 x) 2 22) 1 f ( x) 4 2 f ( x) 3 x 9 Trace la gráfica de: 17. entonces: 1) Si la base es diferente de cero y el exponente es cero. el exponente es igual logb bx = x 4) Cuando los números se multiplican. el logaritmo resta M log b M log b N 5) log b N Centro Educativo Kinal . el logaritmo suma logb MN = logb M + logb N 5) Cuando los números se dividen. y p y x son números reales. el número es 1 logb 1 = 0 2) Si la base es igual al número. 2 f ( x) 5 2 18) f ( x) 5 x x 20) f ( x) 8(4) x 2 x 21) 22) 1 f ( x) 4 2 f ( x) 3 x 9 x 1 19) f ( x) 5 3 2 Propiedades de las funciones logarítmicas: Si b. b es diferente de uno. M y N son números reales positivos. al eliminar la base nos queda 4x – 5 = 2x + 1 4x – 2x = 1+5 2x = 6 X=3 Para comprobar si la respuesta encontrada es solución. nos indican que es logaritmo de base 6 en ambos lados. encuentre el valor que falta 1) 2) 3) 4) 5) 6) log5 1 = log10 10 = log10 0. esta se elimina y se igualan los exponentes.01 = log10 1 = log5 25 = log10 10 -5 = Usa las propiedades para expandir cada expresión: 1) logb 5x = 2) logb x9 = 1 3) log 2 5 xy 4) log 3 5 7) log b uv 3 8) log b 5) log 2 2 3 6) log b uv 9) log b r xy 1 5 u v3 Ejemplo 4 Resuelva la ecuación log 6 (4 x 5) log 6 (2 x 1) Solución: Aplicando las propiedades que hemos visto.155 6) Cuando es exponencial. Centro Educativo Kinal . la respuesta es solución. sabemos que si a los dos lados está la misma base. el exponente baja a multiplicar al logaritmo del número 6) logb Mp = p logb M En los siguientes ejercicios. En este caso. se sustituye en la ecuación original y si el resultado es positivo. ecuación no tiene solución. si es negativo. 156 Nota: al sustituir. Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e. Si y = ex entonces x = loge y Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales.1) = 2 log10 (x) + log10 (y) + log10 (3) = Logaritmos comunes y naturales Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. En particular: 1) ln e 1 2) ln 1 0 3) ln(uv ) ln u ln v u ln u ln v v 5) ln u n n ln u Ejercicios: Usa las propiedades de los logaritmos para expandir: 4) ln 2x 1 x2 2) ln 3 x 2 y 1) ln Centro Educativo Kinal .1) + log10 (3) . Notación: Logaritmo común: log x = log10 x Logaritmo natural: ln x = loge x El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b.log3 (4) = log10 (x . la ecuación no tiene solución.log3 ( x . con un solo valor que se encuentre negativo.3 log10 (x) = log10 (5) + log10 (3) = log3 (x + 2) . Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo: 1) 2) 3) 4) 5) 6) log3 (x) + log 3 (6) = log3 (24) . 1 = 7 representa una ecuación exponencial y la ecuación log(x + 1) . 53x = 29 3x-2 2.157 Escribir como un solo logaritmo: 3) ln y ln ( x 6) 4) x ln 1. log 3 ( x) log 3 ( x 2) 1 1 log 8 3 log 8 25 log 8 x 2 Centro Educativo Kinal 10. log 3 ( x 4) log 3 (1 x) =7 4. 35 6.log x = 3 representa una ecuación logarítmica. log 5 ( x 2) log 5 (3x 7) 11. logx2 = log(-3x-2) . Ejemplo 5 Resuelva la ecuación log(x+1) – logx = 3 Solución: Cuando no tiene escrito ningún subíndice. log(x+3)+log(x)=1 5. 2 7. resolvemos entonces un logaritmo de base 10. log(x-15)=2-log(x) =5 1-2x 3. log 4 x log 4 (8 x) 9.05 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas La ecuación 2x . el logaritmo es común. por lo tanto se sobreentiende que la base es 10. 8. sabiendo que la propiedad de la división es resta x 1 log 3 x x 1 10 3 x 1000x = x + 1 1000x – x = 1 999x = 1 1 x 999 Resuelve las siguientes ecuaciones para aplicando las propiedades de los logaritmos: 1. Las propiedades de los logaritmos nos ayudan a resolver estas ecuaciones. 2 3 2 16. ln x 2 2 4. La gráfica de y = bx tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = logb x tiene al eje de y como asíntota vertical. log 9 x 20. Así que la gráfica de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = bx.3 Gráficas de funciones logarítmicas Las funciones y = bx y y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. e 2 ln x 9 14. e x ln 3 27 22. e x ln 2 0. log 2 ( x 5) 4 15. log 5 ( x 4) 2 19. Ejemplo: 8 3 6 2 1 4 -4 -2 0 2 -1 0 0 -2 0 y = 2x Centro Educativo Kinal 2 4 2 4 -3 y = log2 x 6 8 .25 3 2 17. log x 2 4 13.5. lnx2 = ln(12 – x) 18. log 4 x 21. e ln x 0.158 12. luego localizamos los valores en el plano y trazamos la gráfica. x vale 1 Cuando “y” vale 1. la gráfica de y = log2 x es una reflexión de la gráfica de y = 2x sobre la recta y = x. 1 9 1 Cuando “y” vale -1. Ejemplo 6 Trace la gráfica de f ( x) log 3 x Podemos escribir la ecuación de la siguiente manera y log 3 x 3y x Ahora no buscaremos valores de “y” sino de x. x vale 3 Decimos entonces cuando “y” vale -2. por tanto.159 Las funciones y = 2x y y = log2 x son funciones inversas una de la otra. El dominio de y = log2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales. x vale Cuando “y” vale 0. x vale 3 Cuando “y” vale 2 x vale 9 Y así sucesivamente. quedándonos de la siguiente forma Ejercicios: 1) f ( x ) log 2) f ( x) log 2 x Centro Educativo Kinal 2 x . El dominio de y = 2x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero. 160 3) f ( x) 2 log 3 x 4) f ( x) log 3 ( x 2) 5) f ( x) log 3 ( x 1) 6) f ( x) log 3 x 2 7) f ( x) log 3 x 1 8) f ( x) log( x 1) 9) f ( x) log( x 5) 10) f ( x ) log 4 3 Centro Educativo Kinal . 161 Centro Educativo Kinal 162 Centro Educativo Kinal 163 5.1 SECCIONES CÓNICAS Objetivos: Definir una sección cónica Obtener ecuaciones estándares de secciones figuras cónicas Trazar la gráfica de una figura cónica Identificar la figura cónica correspondiente a una ecuación Encontrar propiedades de las figuras cónicas Definición Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono, de ahí se deriva su nombre. Elipse (h)Parábola Centro Educativo Kinal (h)Hipérbola (h) 164 PARÁBOLA Una parábola son todos los puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz que se encuentran en el mismo plano. Ecuación de la parábola: Con vértice en el origen V(0, 0) x2 = 4py y2 = 4px Con vértice en V(h,k) (x – h)2 = 4p(y – k) (y – k)2 = 4p(x – h) En donde 4p es el número que aparece con la letra que no esté levada al cuadrado o el paréntesis que no esté elevado al cuadrado y p es la distancia del vértice al foco en todos los casos. La directriz es una línea recta que se encuentra a la misma distancia del vértice que el foco, es decir, el vértice está al la mitad del foco y la directriz. Las gráficas tendrán la siguiente forma x2 = 4py d1 = d 2 Centro Educativo Kinal 165 Comportamiento de la parábola 1. (x – h)2. Si la variable que está elevada al cuadrado es la x: x2. la parábola se abre de la siguiente forma: a. X2 = -4py p 2. Si p es positiva se abre hacia arriba. (y – k)2. Si p es negativa se abre hacia abajo. la parábola se abre de la siguiente forma: Centro Educativo Kinal . X2 = 4py Foco p Vértice Directriz b. Si la variable que está elevada al cuadrado es la “y”: y2. por la forma de la ecuación tiene su vértice en el origen y 4p vale 8. Centro Educativo Kinal .166 a. y2 = 4px b. despejamos entonces la p para encontrar la distancia del vértice al foco. el foco y la ecuación de la directriz de la parábola cuya ecuación es x2 = 8y y trace su gráfica mostrando los focos y la directriz. Si p es negativa se abre hacia la izquierda. Si p es positiva se abre hacia la derecha. Solución: Como la ecuación es x2 = 8y. y2 = -4px Los valores de h y de k siempre saldrán con signos contrarios Ejemplo 1 Encuentre el vértice. Ejemplo 2. Dada la ecuación de la parábola y2 = -4x. Encuentre el vértice. la parábola tiene su vértice en el origen V(0.167 4p 8 8 p 4 p=2 Para encontrar hasta donde se abre la parábola alineada con el foco. La gráfica que queda es la siguiente: En estas gráficas ya formales podemos ver que la distancia de cualquier punto al foco es igual que la distancia de ese mismo punto a la directriz. el foco. 0) 4p = -4 Centro Educativo Kinal .0) P=2 Extremos x 2 p x 2(2) Esto me indica que se aleja 4 hacia los lados del foco y la directriz 2 hacia abajo por estar a la misma distancia que el foco pero hacia el otro lado del vértice. Solución: Por la forma que tiene. la ecuación de la directriz y trace la gráfica mostrando el foco y la directriz. utilizaremos la siguiente fórmula x 2 p o y 2 p Teniendo entonces los datos son: V(0. Resolvamos ahora la ecuación (x – 2)2 = -12y Solución: El vértice ahora ya no se encuentra en origen. el foco siempre se encuentra ubicado dentro de la parábola y la directriz afuera de ella. como ahora la variable que está elevada al cuadrado es la “y”. este siempre debe estar alineado con el foco. este eje si tiene su vértice sobre su eje. alineado con el foco. como la “y” no tiene ningún número sumando ni restando. 2 hacia arriba y dos hacia abajo. La ecuación de la directriz es más fácil obtenerla graficándola en el plano y viendo el eje que atraviesa.168 4 4 p 1 Extremos del lado recto. y 2 p p y 2(1) y 2 Esto significa que nos debemos alejar. Trazamos la gráfica y luego escribimos la ecuación de la directriz. 0) 4p = -12 12 p 4 p 3 Extremos x 2 p x 2(3) x 6 Centro Educativo Kinal . Ejemplo 3. esta se localiza a la misma distancia del foco pero hacia el otro lado. V(2. 0) 4p = 3 3 p 4 Extremos del lado recto y 2 p 3 y 2 4 3 y 2 Centro Educativo Kinal . la ecuación de la directriz y trace la gráfica de y2 – 3x + 6 = 0 Solución Como en este caso nos dan la ecuación general de la parábola. el foco. entonces sacamos el 3 que tiene la x aunque no fuera factor común Y2 = 3(x – 2) Con esto ya tenemos los datos que necesitamos V(2. procedemos entonces a resolverla Primero dejamos la letra que está elevada al cuadrado sola Y2 = 3x – 6 Ninguna de las letras tiene que tener coeficiente diferente de uno. Encuentre el vértice. debemos llevarla a la ecuación estandar puesto que sabemos que de esta forma ya lo podemos encontrar todo.169 Ejemplo 4. 2 4 p 8 8 p 4 p 2 Extremos del lado recto x 2 p x 2(2) x 4 Centro Educativo Kinal .170 Ahora ya podemos trazar la gráfica Ejemplo 5 Graficar x2 + 4x + 8y = 0 Solución: Aunque no nos pidan encontrar los elementos necesarios para trazar la gráfica. Primero escribimos la ecuación estandar x2 + 4x = -8y Completamos al cuadrado y nos queda x2 + 4x + 4 = -8y + 4 1 ( x 2) 2 8 y 2 Tenemos entonces todos los datos 1 V 2. debemos buscarlos. 171 Ejemplo 6 Graficar y2 -4y -2x +6 = 0 Solución: Llevamos la ecuación general a ecuación estandar Dejamos la y2 con la “y” y2 – 4y = 2x – 6 y2 – 4y + 4 = 2x – 6 + 4 (y – 2)2 = 2x – 2 (y – 2)2 = 2(x – 1) V(1. 2) 4p 2 1 p 2 Extremos y 2 p 1 y 2 2 y 1 Centro Educativo Kinal . 3) 4p 1 2 1 8 En este caso nos es más difícil encontrar los extremos del lado recto para trazar la gráfica.172 Ejemplo 7 Trazar la gráfica de 2y2 – 12y – x + 16 = 0 Solución 2y2 – 12y = x – 16 Para completar al cuadrado debemos quitar el número que tiene y2 2(y2 – 6y) = x – 16 2(y2 – 6y + 9) = x – 16 + 18 Agregamos 18 del lado derecho ya que del lado izquierdo aumentamos 9 dos veces puesto que el número que está afuera del paréntesis multiplica a lo que está adentro. por lo tanto debemos pasarlo del otro lado. ( y 3) 2 1 ( x 2) 2 V(-2. porque están muy amontonados los puntos. procedemos entonces a trazar la gráfica de la forma (x – h) = a(y – k)2 p (x+2) = 2(y – 3)2 Centro Educativo Kinal . 2(y – 3)2 = x + 2 la letra o paréntesis que está elevado al cuadrado no debe tener coeficiente. 2). Vemos entonces que la parábola pasa por el punto P(8. luego nos alejamos uno hacia arriba por ser y2 y decimos uno al cuadrado uno por dos igual a 2. como no conocemos p. luego nos alejamos 2 siempre en “y” y decimos 2 al cuadrado = 4 por 2 = 8 y nos elajamos 8 y como es simétrica con el eje x. entonces procedemos a encontrar la ecuación. X2 = 4py En donde x y “y” son los valores del punto por donde pasa. (8)2 = 4p(2) Centro Educativo Kinal . pero sabemos que el vértice lo tiene en el origen porque nosotros así lo decidimos. poniendo el vértice en el origen para poder darnos una idea de lo que tenemos que hacer. buscamos los mismos números en la parte de abajo del eje de simetría que en este caso es -2 Ejemplo 8: El interior de una antena de televisión por cable es un disco con forma de paraboloide (finito) con un diámetro de 16 pies y una profundidad de 2 pies. Encuentre la distancia desde el centro del disco a la cual se debe colocar el foco para que este pueda recibir toda la señal que la antena obtenga.173 Localizamos el vértice. Solución: Dibujamos la antena en un plano de coordenadas cartesianas. Expresa la ecuación de la parábola de la forma y = ax2 + bx + c Solución: Como conocemos el vértice y la directriz. entonces ya podemos escribir su ecuación pues es x menos lo que vale x en el vértice entre paréntesis y este se eleva al cuadrado y escribimos el signo igual. luego escribimos 4p que en este caso es 4 x 1 = 4 y a continuación “y” menos lo que vale “y” en el vértice (x + 2)2 = 4(y – 1) Ejemplo 10: Una parábola tiene vértice V(-4. Ejemplo 9: Encuentre la ecuación de la parábola que se muestra en la figura Solución: Para encontrar la ecuación de una parábola necesitamos conocer el valor de p. ya que sabemos que la distancia del vértice a la directriz es igual que del vértice al foco. como la vemos que se abre hacia arriba. p 52 p3 Centro Educativo Kinal . 2) y directriz “y” = 5. solamente cambie el signo. podemos encontrar p. En este caso. es x2 y p es 1 ya que p nos indica la distancia del vértice al foco. el vértice y en qué eje se abre.174 64 = 8p 64 p 8 P=8 Encontramos entonces que el foco debe colocarse a una distancia de 8 pies del vértice. y2 = 4x 12. -2) V(3. 21. x2 – 4x + 2y = 0 3. 3) F(-3 . 5) V(-2.0) F(-2. -1) F(-2. 0) F(0. (x – 3)2 = 12(y – 2) 1. y2 – 4x + 8 = 0 2 6. 27.12x 16. x2 = 8y 2. (x + 1)2 = 6y 14. 28. 25. (y + 2)2 = . 3) V(4. 19. 24. 4) V(-1. 5) F(4. la parábola se abre hacia abajo. 20. 5) Directriz Directriz Directriz y y x x = = = = -2 3 4 -1 y=2 y=0 x=2 . -1) F(0. x2 + 4y – 8 = 0 2 4. 3x2 + 12y – 12x – 48 =0 En los ejercicios 19 al encuentre una ecuación de la parábola que cumpla con las condiciones establecidas. 10. 29. Trace su gráfica mostrando el foco y la directriz.175 Nota: Si la directriz está arriba del vértice. 26. 3) Centro Educativo Kinal Directriz Directriz Directriz Directriz V(2. x2 + 6x – 8y + 41 = 0 8. 23. X2 + 8x + 16 = -12y + 24 X2 + 8x + 16 – 24 + 12y = 0 12y = -x2 – 8x + 8 y 1 2 8 8 x x 12 12 12 y 1 2 2 2 x x 12 3 3 Ejercicios: En los siguientes ejercicios encuentre el vértice. y = 3x 13. y2 – 2x + 6 = 0 5. por lo tanto p = -3 (x + 4)2 = -12(y – 2). Esta ya es la ecuación estandar. x2 = 12y 11. x2 – 4x + 4y + 20 = 0 7. (x – 2) = 10y 15. (x + 1) = 16(y -2) 18. 2x2 + 4x – 6y + 14 = 0 2 9. F(3. 5) V(4. 22. el foco y la directriz de la parábola. (y – 3)2 = -10x 17. 2) V(-1. para escribirla de la forma que nos la piden debemos resolver. 4) F(2. Vértice en el origen. la longitud del eje será igual a 2a. Vértice en el origen.2 ELIPSES Una elipse es el conjunto de los puntos en un plano que se obtienen al deformar un círculo. Vértice en V(2.176 30.2) 33. simétrica al eje “y” y pasa por el punto (3. eje de simetría paralelo al eje x y pasa por el punto (5. por lo tanto. 3). Vértice en V(3. 1) 5. 5) 34. eje de simetría paralelo al eje x y pasa por el punto (-1. -2).y) a los focos nos dará como resultado la longitud de su eje. Definición de elipse Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano. simétrica al eje “y” y pasa por el punto (1.1. La suma de las distancias de cualquier punto p(x. d1 + d2 = 2a Centro Educativo Kinal . V(2. 3) Directriz x = -2 31. es decir. al estirar un círculo hacia cualquier lado. P(x. 4) 32. el centro se separa y estos puntos se van alejando hacia los extremos del lado que se está estirando. a estos puntos se les llama focos.y) d2 d1 EJE FOCO FOCO Si a es la distancia del centro a uno de los vértices. 177 La ecuación estandar de la elipse es: Con centro en el origen C(0. Nosotros. B le llamaremos a la distancia del centro al vértice en el eje “y” c es la distancia del centro a los focos. Esta se encuentra de la siguiente forma Centro Educativo Kinal . por conveniencia. llamaremos a ala distancia del centro al vértice en el eje x.0) x2 y2 1 a2 b2 b c a F V Con centro en C(h. k) je ( x h) ( y k) 1 2 a b2 2 2 -10 0 1 e Como la elipse tiene dos ejes. nombraremos a a la distancia del centro a uno de los vértices en el eje mayor o simplemente eje y b es la distancia del centro a uno de los vértices en el eje menor. en este caso que nos la dieron de forma general. Para que el lado derecho sea 1. pero para nuestra conveniencia pasaremos a dividir el número que está como coeficiente de la letra x y2 1 18 18 2 9 x2 y2 1 9 2 Tenemos ahora que a2 9 a 9 a 3 b2 2 b 2 b 1. la ecuación siempre debe estar escrita de forma estandar.6 Centro Educativo Kinal .178 c2 = a2 – b2 es decir. en este caso. al mayor de los denominadores que está elevado al cuadrado se le resta el menor de ellos Ejemplo 1 Trace la gráfica de la ecuación 2 x 2 9 y 2 18 Solución: Para trazar una gráfica. debemos dividir toda la ecuación por ese mismo número. debemos llevarla a forma estandar o sea igualada a 1.4 Y para encontrar C c2 9 2 c2 7 c 7 c 2. por 18 2 x 2 9 y 2 18 18 18 18 Podemos simplificar. k ) y los focos F ( h c. V(2. k ) Si la elipse es vertical. -3) Como sabemos que a es la distancia del centro a los vértices en el eje x a 2 64 b 2 100 c 2 100 64 36 a 8 b 10 c 6 Para trazar la gráfica localizamos el centro.-310) F(2. luego nos alejamos 10 del centro hacia los extremos del eje “y” ya que sabemos que a y b nos indican cuantas unidades nos alejamos del centro hacia los vértices.-36) Centro Educativo Kinal . C(2.179 Podemos entonces escribir una sola ecuación para los vértices y los focos. Luego nos alejamos 8 unidades hacia los lados siempre a partir del centro. k a) y los focos F (h. k c) Ejemplo 2 Encuentre los focos. Si la elipse es horizontal. los vértices y trace la gráfica de la elipse cuya ( x 2) 2 ( y 3) 2 ecuación es 1 64 100 Solución: En este caso la ecuación ya está escrita en forma estandar por no tener número ni el paréntesis de la x ni el de la “y” y estar igualada a 1. Los focos se localizan en el eje “y” porque siempre se localizan en el eje mayor. entonces procedemos a indicar y encontrar lo que necesitamos para trazar la gráfica. Los vértices serán los que se encuentran en el eje mayor. los vértices serán V (h. los vértices siempre serán V (h a. tenemos que hacerle arreglos para que esté en forma estandar. los vértices y trace la gráfica de la elipse cuya ecuación es 4 x 2 16 y 2 1 Solución: Esta ecuación.0 2 3 F .0 16 Ejemplo 4 Encuentre los focos. Centro Educativo Kinal .0) 1 4 1 a 2 a2 1 16 1 b 4 b2 1 1 4 16 3 c2 16 3 c 16 c2 1 V . x2 y2 1 1 1 4 16 C (0. Sabemos que cuando no está igualada a uno dividimos toda la ecuación por el número que esté del lado derecho de la igualdad pero como en este caso ya es uno. a pesar de estar igualada a 1.180 Ejemplo 3 Encuentre los focos. ya que tanto la x como la “y” tienen coeficientes diferentes de 1. bajamos el coeficiente de cada variable a dividir al 1 que por naturaleza divide a cualquier número. los vértices y trace la gráfica de la elipse cuya ecuación es 9x2 + 25y2 + 54x + 50y -119 = 0 Solución: Para encontrar lo que necesitamos para trazar su gráfica tenemos que encontrar la ecuación estandar. -1) a2 = 25 a = 5 V(-35.181 Para encontrar esta ecuación. agrupamos en un paréntesis las x2 con las x y las y2 con las “y” y pasamos del lado derecho los valores que no tienen variable (9x2 + 54x) + (25y2 + 50y) = 119 Luego sacamos del paréntesis los coeficientes de la x2 y de la y2 aunque no fueran factores comunes. para que este sea 1 dividimos toda la ecuación por 225 9( x 3) 2 25( y 1) 2 225 225 225 225 Pasando a dividir el coeficiente de cada paréntesis al denominador ( x 3) 2 ( y 1) 2 1 225 225 9 25 2 ( x 3) ( y 1) 2 1 25 9 C(-3. 9(x2 + 6x) + 25(y2 + 2y) = 119 y completamos al cuadrado cada paréntesis. debiendo agregar del lado derecho cada cantidad que haya agregado del lado izquierdo multiplicada por el número que sacamos 9(x2 + 6x + 9) + 25(y2 + 2y + 1) = 119 +81 + 25 Luego factorizamos cada paréntesis 9(x + 3)2 + 25(y + 1)2 = 225 Como del lado derecho no nos quedó uno. -1) Centro Educativo Kinal F(-34. -1) b2 = 9 b = 3 c2 = 25 – 9 c2 = 16 c = 4 . para encontrar la ecuación de una elipse necesitamos conocer el centro y la longitud de sus ejes. el eje mayor ahora es b y como c se encuentra el mayor menos el menor c2 = 36 – a2 a2 = 36 – 4 a2 = 32 Centro Educativo Kinal . que en este caso. los focos y la longitud de su eje mayor ya que nos indican su vértice y este siempre se encontrará en su eje mayor. su vértice en V(4. Como están los vértices en el eje “y”. es igual que la anterior. ±2) y centro en el origen. vértices y = ±6. ±6) y focos F(0. También conocemos la longitud del eje mayor. a2 = 16 c2 = 9 c2 = a2 – b2 en este caso a = 16 y b = 3 el eje mayor es en donde se encuentran los vértices 9 = 16 – b2 b2 = 16 – 9 b2 = 7 Ya podemos encontrar la ecuación porque conocemos el centro y la longitud de los ejes.182 Ejemplo 5 Encuentre la ecuación de la elipse que tiene su centro en El origen. 0) Solución: En general. x2 y2 1 16 7 Ejemplo 6 Encuentre la ecuación de la elipse con vértices V(0. 0) y sus focos F(±3. Como estamos tomando el valor de a como la distancia del centro a los vértices en el eje x. los vértices están en el eje “y”. Solución: Como nos indican que tiene centro en el origen. En este caso conocemos el centro. solamente la longitud del foco. Como sabemos que los focos siempre se encuentran en el eje mayor. este está nuevamente en el eje “y” y a está en el eje “y” c2 = 10 c2 = b2 – a2 10 = b2 – a2 a2 = b2 – 10 Escribiendo la ecuación estandar por tener centro en el origen x2 y2 1 a2 b2 Sustituyendo la x y la “y” por los valores que tienen en el punto por donde pasa y escribiendo la b como función de a nos queda 22 32 1 b 2 10 b 2 4 9 2 1 b 10 b 4(b 2 ) 9(b 2 10) 1 b 2 (b 2 10) 2 4b 2 9b 2 90 b 4 10b 2 13b 2 90 b 4 10b 2 Centro Educativo Kinal . 10 ) y pasa por el punto P(2.183 y la ecuación es x2 y2 1 32 36 Ejemplo 7 Encuentre la ecuación de la elipse con centro en el origen. 3) Solución: En este caso no conocemos la longitud de ninguno de los ejes. focos F (0. 184 b 4 10b 2 13b 2 90 0 b 4 23b 2 90 0 (b2 – 18)(b2 .5) = 0 a2 = 18 a2 = 5 Al sustituir en donde despejamos la a a2 = b2 . pues al restar nos da una respuesta negativa y sabemos que todo número elevado al cuadrado es positivo. Solución: Centro Educativo Kinal 1 y pasa por 2 . si su excentricidad es cero. si su excentricidad es 1 se convertirá en una línea recta e Longitud del centro al foco longitud del centro al vértice en el eje mayor e c a2 b2 a a Ejemplo 8 Encuentre la ecuación de la elipse cuya excentricidad es e el punto (1.c2 a2 = 18 – 10 a2 = 8 El 5 nos damos cuenta que no puede ser. 3) con vértices en el eje x. Ahora ya podemos escribir la ecuación porque ya conocemos a2 y b2 x2 y2 1 8 18 La excentricidad de una elipse es la forma que tiene. la elipse es una circunferencia. esto significa que el eje mayor es a.185 Como nos indican que tiene vértices en el eje x. 1 e 2 c pero no podemos asumir que c = 1 y que a = 2 a puesto que nos indican que pasa por el punto (1 . de lo que sí debemos estar seguros es de lo siguiente: Sabemos que e 1 c entonces a = 2c 2 a Como c a 2 b 2 c (2c) 2 b 2 c 4c 2 b 2 c2 = 4c2 – b2 b2 = 4c2 – c2 b2 = 3c2 como sabemos que a = 2c a c 2 a b 3 2 2 2 a2 b 2 3 4 b2 3 2 a 4 Escribiendo ahora la ecuación estandar x2 y2 1 a2 b2 Centro Educativo Kinal .3). La distancia más pequeña a la que el cometa Halley pasa del Centro Educativo Kinal .967 .186 Sustituyendo por el punto en donde pasa y escribiendo b2 en función de a2 12 32 1 a2 3 a2 4 1 9 1 2 3 2 a a 4 1 36 2 1 2 a 3a 1 12 1 a2 a2 13 1 a2 a2 = 13 Como ya sabemos que 3 2 a 4 3 b 2 (13) 4 39 b2 4 b2 Conociendo a2 y b2 podemos escribir la ecuación x2 y2 1 13 39 4 x2 4y2 1 13 39 Ejemplo 9: El cometa Halley tiene una órbita elíptica con excentricidad e 0. 967 c 0.567629 = 0.000 millas) Solución: Haremos una ilustración del cometa y el sol.2 Como a = 0.567629 + 0.587 + c Como e c a 0. 1UA ≈ 931000. asumiendo que el sol es el foco.187 sol es = 0.587 + 17.967c 0.2 Centro Educativo Kinal .587 a = 0.967c = c 0.967(0. (unidad astronómica.567629 0.033c c 0.587 UA. hasta la décima de UA más próxima.587 c 0.033 c = 17. Calcula la distancia máxima del cometa al sol. entonces a – c = 0.567629 = c – 0.587 c) c 0.587 + c a = 0. Observando la figura podemos darnos cuenta que la distancia mínima entre el cometa y el sol es a – c. Trace su gráfica mostrando los focos. Como nos indican que encontremos cercana. 4x2+ y2 = 16 6. 4x2 + 25y2 = 1 8. x 1 17 2 . x2 y2 1 25 16 3. x2 y2 1 9 4 2.2 + 17. La décima es 9 y como la se convierte en 10 y esto aproxima el la distancia hasta la décima más tenemos décimas. Entonces la distancia máxima es 17.987 UA. en el número encontrado milésimas. ( x 3) 2 ( y 4) 2 1 16 9 ( x 2) 2 ( y 3) 2 10. 1 25 4 ( x 3) 2 11. entonces el 9 34 a 35 R: La distancia más lejana del sol es aproximadamente de 35 UA. y2 + 9x2 = 9 7.188 a = 17. 10y2 + x2 =5 Centro Educativo Kinal 9. centésimas y siguiente cifra es 8. y2 1 9 ( y 2) 2 12. x2 y2 1 15 16 4.787 = 34. Ejercicios: Encuentre los vértices y los focos de la elipse. 1. x2 y2 1 45 49 5.787 La distancia más lejana es c + a. Excentricidad . como se muestra en la figura. Pasa por P(2. Focos F(±5.0) 2. ±8) Focos F(0. Excentricidad 13. 2) 6. 0) Eje menor de longitud 2 5. 3) 7. Intersecciones x ±2 Intersecciones y ± 3 1 12. 25x2 + 4y2 – 250x – 16y + 541 = 0 16.3) Vértices en el eje x 2 1 10. ±4) 3. x2 + 2y2 + 2x – 20y + 43 = 0 15. 1. pasa por P(1. Intersecciones x ± Intersecciones y ±4 2 8. Vértices V(±4. 0) 5 1 9. ±5) Eje menor de longitud 3 4. 0) Pasa por P(2. Excentricidad . La base del arco mide 30 pies de longitud y su parte más alta 10 pies por arriba del camino horizontal. ±6) Pasa por P(3. Encuentre la altura del arco a 6 pies por arriba del centro de la base. Vértices V(0. ±4) 2 Vértices V(±3. Vértices V(±5. El arco de un puente es semielíptico con eje mayor horizontal. 4x2 + y2 = 2y En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la elipse que tenga centro en el origen y cumpla con las condiciones dadas. Centro Educativo Kinal . -1) Vértices en el eje “y” 2 1 11. Excentricidad 3 4 Vértices V(0. Vértices V(0.189 13. 4x2 + 9y2 -32x -36y +64 =0 14. 0) Focos F(±3. Vértices V(0. 206 y su eje mayor tiene una longitud de 0. El planeta Mercurio se desplaza en una órbita elíptica de excentricidad 0. Asume que la longitud del eje mayor de la órbita de la tierra mide 1861000. Aproxima a las 1000 millas más próximas la distancia máxima y mínima entre la tierra y el sol.000 millasy que la excentricidad es 0.190 14. Calcule la altura del arco a la mitad del puente. Encuentre una ecuación para el arco. Encuentre la distancia máxima y mínima entre el planeta y el sol. 15. El arco del puente será semielíptico y debe construirse de bodoque una embarcación de menos de 50 pies de ancho y 30 pies de altura pueda pasar seguramente por el arco. Se construirá un puente a través de un río de 200 pies de ancho. a.774 UA. b. Centro Educativo Kinal . como se muestra en la figura. 16.017. y) d1 Eje F La ecuación estandar de la hipérbola con centro en el origen y vértices y2 x2 x2 y2 en el eje x es: 2 2 1 y con vértices en el eje “y” 2 2 1 .1. una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.3 HIPÉRBOLAS Una hipérbola es una sección cónica.y) a los focos de la misma nos dará como resultado la longitud de su eje (x. Con a b b a 2 2 ( x h) ( y k) centro en C(h. k) es 1 2 a b2 Al eje en el que se encuentran los vértices se le llama eje transverso y al del eje en el cual no están los vértices sino que solamente sirve para trazar el rectángulo en donde pasan las asíntotas se le llama eje conjugado. Centro Educativo Kinal .191 5. a la distancia del centro a los vértices en el eje x y “b” a la distancia del centro a los vértices en el eje “y”. en donde el valor absoluto de la diferencia entre la distancia de cualquier punto (x. Definición de Hipérbola Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos ubicados en una curva abierta. Llamaremos “a”. Trace la gráfica asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 16 49 correspondiente mostrando las asíntotas y los focos. Centro Educativo Kinal . como estas son líneas rectas. los focos y la ecuación de las x2 y2 1 . a2 = 16 a = ±4 b2 = 49 b = ±7 c2 = a2 + b2 c2 = 16 + 49 c2 = 65 c = ± 65 La gráfica que queda es la siguiente: Ecuación de las asíntotas. Trace la asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 9 16 gráfica correspondiente mostrando las asíntotas y los focos. si el centro está en el origen y b x a en donde la pendiente m b a 7 y x 4 Ejemplo 2: Encuentre los vértices. Solución: Por la forma que está escrita es una hipérbola con centro en el origen que se abre en el eje x por ser la variable positiva. los focos y la ecuación de las ( y 2) 2 ( x 3) 2 1 .192 Ejemplo 1: Encuentre los vértices. 2) Para la ecuación de las asíntotas. Sabemos que para encontrar la ecuación de una recta necesitamos conocer la pendiente y un punto por donde pasa. y y1 m( x x1 ) 3 y 3 ( x 2) 4 Centro Educativo Kinal .193 Solución: Esta gráfica no tiene su centro en el origen por la forma en que está escrita sino su centro está en C(2. b2 = 9 a2 = 16 c2 = a2 + b2 b = ±3 a = ±4 c2 = 16 + 9 c2 = 25 c=±5 La gráfica es la siguiente: Para encontrar los vértices. localizamos el centro y vemos en qué eje se abre. cuando el centro no está en el origen. luego escribimos la coordenada del centro en este eje y a este le sumamos y restamos el valor de b dado que la parábola se abre en el eje “y”. V(-33. por consiguiente a está ahora en el eje “y” ya que a siempre le llamaremos al eje en donde está el vértice. solo que ahora sumamos y restamos c F(-35. 2) De igual forma para encontrar los focos. -3) y se abre en el eje “y” por ser la variable positiva. 194 Ejemplo 3: Encuentre los vértices, los focos y la ecuación de las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 9 x 2 4 y 2 36 , Trace la gráfica correspondiente mostrando las asíntotas y los focos. Solución: Esta ecuación no está escrita de forma estandar, debemos entonces escribirla como tal. Para que el lado derecho quede uno, debemos dividir toda la ecuación por este número 9 x 2 4 y 2 36 36 36 36 x2 y2 1 4 9 a2 = 4 a = 2 b2 = 9 b = 3 c2 = 4 + 9 c2 = 13 c = 13 c 3 .6 A continuación aparece la gráfica V(2, 0) F(3.6, 0) 3 Asíntotas y x 2 Ejemplo 4 Encuentre los vértices, los focos y la ecuación de las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 7 y 2 9 x 2 54 x 14 y 137 0 , Trace la gráfica correspondiente mostrando las asíntotas y los focos. Centro Educativo Kinal 195 Solución: Esta ecuación está dada en forma general, para convertirla en ecuación estandar debemos primero agrupar las variables iguales y luego completar al cuadrado (7y2 + 14y) – (9x2 – 54x) = 137 Antes de completar al cuadrado debemos sacar los coeficientes que tienen las letras que están elevados al cuadrado y cuando ya se sacaron estos coeficientes se completa al cuadrado debiendo tener cuidado que el número que se agrega al completar al cuadrado se está agregando la misma cantidad de veces que tiene el coeficiente que se sacó del paréntesis. 7(y2 + 2y + 1) – 9(x2 – 6x + 9) = 137 + 7 – 81 7(y + 1)2 – 9(x – 3)2 = 63 7( y 1) 2 9( x 3) 2 63 63 63 63 ( y 1) 2 ( x 3) 2 1 9 7 Centro C(3, - 1) a2 = 7 a = 2.65 b2 = 9 b=3 c2 = 9 + 7 c=±4 La gráfica V(0, 3) F(0, 4) Asíntotas y 3 3 7 7 7 Centro Educativo Kinal c2 = 16 196 Ejemplo 5: Encuentre la ecuación de la hipérbola que tiene vértices en (±3, 0) y pasa por el punto P(5, 2). Solución: Aunque no nos lo mencionen, esta hipérbola tiene su centro en el origen por tener la misma distancia del cero hacia los dos lados. x2 y2 1 9 b2 Sustituimos la x y la “y” con los valores del punto por donde pasa 52 2 2 1 9 b2 25 4 1 9 b2 25 4 1 2 9 b 16 4 9 b2 16b2 = 4(9) b2 36 16 b2 9 4 x2 y2 1 9 9 4 2 x 4y2 1 9 9 x2 – 4y2 = 9 Centro Educativo Kinal 197 Ejemplo 6: Encuentre la ecuación de la hipérbola que tiene focos F(±10,0) y pasa por el punto P 6, 105 Solución: Como sabemos que: el valor absoluto de la diferencia entre la distancia de cualquier punto (x,y) a los focos de la misma nos dará como resultado la longitud de su eje, Sabemos también que la longitud del eje es 2a (6, -10 eje ) 10 d 1 d 2 2a (6 10) 2 105 2 (6 10) 2 105 2 2a (16) 2 105 (4) 2 105 2a 256 105 16 105 2a 361 121 2a 19 11 2a 8 2a 8 a 2 a4 Ya que encontramos a y conocíamos c, podemos encontrar b Centro Educativo Kinal m. Un barco navega a 50 millas al norte y en forma perpendicular a la línea divisoria entre los dos países (véase figura). nos queda la siguiente figura. la señal desde Guatemala llega al barco 400 microsegundos después que la señal enviada de Honduras. Desde las dos estaciones se envían señales de radio a una velocidad de 980 pies (pies por s microsegundo). Si a la 1:00 p. localiza la ubicación del barco en ese instante. Centro Educativo Kinal . Solución: Poniéndole A a la estación de Honduras y B a la estación de Guatemala y colocando las estaciones sobre el eje x y el barco en el eje “y”.198 c2 = a2 + b2 c2 – a2 = b2 100 – 16 = b2 84 = b2 Luego escribimos la ecuación x2 y2 1 16 84 Ejemplo 6: La estación guardacostas de Honduras está a 200 millas hacia el este de la estación guardacostas de Guatemala y ambas están a la misma distancia de la línea divisoria entre los dos países. 199 Como a la 1 p.m. la diferencia entre las distancias indicadas en ese momento es: d1 d 2 (980)(400) 392. la llegada de la señal desde B tarda 400 microsegundos más que la llegada de la señal de A.000 pies Como sabemos que la diferencia entre las dos distancias nos da como resultado la longitud de su eje. podemos encontrar la coordenada del eje x. 392.000 pies * a2 1milla 1225 millas 5280 pies 33 1500625 1089 a 2 1378 Conociendo a y c podemos encontrar b c2 = a2 + b2 c2 – a2 = b2 10000 – 1378 = 8622 Escribimos la ecuación x2 y2 1 1378 8322 Teniendo la ecuación y la coordenada en el eje “y”. 50 2 x2 1 1378 8322 Centro Educativo Kinal .000 = 2a 392000 2 a = 196000 a Convirtiendo a millas por estar dadas las distancias entre las estaciones en millas. a 196. y2 x 1 8 6.33 x2 La posición del barco es (42. Traza la gráfica correspondiente mostrando las asíntotas y los focos. 1. y2 x2 1 16 25 4.200 x2 2500 1 1378 8322 x2 2500 1 1378 8322 x2 10822 1378 8322 10822(1378) 8322 14912716 x2 8322 x = 42. y 2 4 x 2 16 2 y2 1 15 Centro Educativo Kinal .33. los focos y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola. x2 7. x2 y2 1 49 16 3. 50) Ejercicios: Encuentre los vértices. y2 x2 1 25 16 5. x2 y2 1 9 4 2. Encuentre la ecuación de la trayectoria.201 8. 144x2 –25y2+864x–100y–2404=0 18. En la figura se ilustra trayectoria de una partícula que empieza 1 hacia el origen a lo largo de la recta y x y llega hasta menos 2 de 3 unidades del núcleo. x2 – 4y2 + 2x – 3 = 0 14. 19. Un avión Un desplaza a lo largo Centro Educativo Kinal avión de se la . En 1911. y2–4x2 – 12y–16x+ 16 =0 15. 25x2 – 9y2+100x+54y+10=0 17. terminan siendo rechazadas por este en trayectorias hiperbólicas. x 2 9 y 2 1 11. 16 x 2 4 y 2 1 10. el físico Ernest Rutherford (1871—1937) descubrió que si se disparan partículas alfa hacia el núcleo de un átomo. ( x 3) 2 ( y 2) 2 1 9 7 12. 4y2 –x2 +40y–4x+60 = 0 16. ( x 1) y 2 1 25 4 13. y 2 2x 2 8 9. localice las coordenadas en donde se encuentra el barco.202 trayectoria hiperbólica que se ilustra en la figura.2 LEYES DE LOS SENOS La ley de los senos se utiliza especialmente para resolver triángulos oblicuángulos. se determina que el barco se encuentra a 160 millas más cerca de B que de A. 0). Los triángulos oblicuángulos se subdividen en triángulos acutángulos y ángulos obtusángulos. Triángulos obtusángulos son los que tienen un ángulo obtuso. Centro Educativo Kinal . y encuentra el valor mínimo de S) 20. Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ningún ángulo recto. 5. El barco envía una señal de peligro la cual reciben dos estaciones guardacostas A y B. Un barco navega con un curso a 100 millas de una costa recta y paralelo a la misma. Triángulos acutángulos son los que sus tres ángulos son agudos. (Sugerencia: Sea S el cuadrado de la distancia de un punto (x. Si una ecuación de la trayectoria es 2y2 – x2 = 8. Al medir la diferencia en los tiempos de recepción de la señal.0). determina cuán cerca llega el avión a una ciudad ubicada en (3. como se muestra en la figura. y) sobre la trayectoria a (3. situadas a 200 millas de distancia entre sí. Para colocar los ángulos y lados en un triángulo. el lado opuesto será a. sen sen sen a b c Ejemplo 1: Resolver el triángulo 30 0 95 0 a = 25 Solución: Para resolver triángulos aplicando la ley de los senos. ángulo y lado opuesto del mismo y otra Centro Educativo Kinal . el seno de un ángulo dividido entre su lado opuesto es igual al seno del otro ángulo dividido entre su lado opuesto. debemos conocer una pareja. su lado opuesto será b Si lo que necesitamos encontrar es un lado. colocamos los lados en el numerador a b c sen sen sen Si necesitamos encontrar un ángulo.203 En las leyes de los senos. si a un lado renombramos A o . Si a un ángulo le nombramos β. 204 pareja que se conozca sólo un lado o ángulo. Por conveniencia trazaremos un triángulo como el anterior y le colocamos los datos como referencia para poderlo resolver sin confundirnos 300 c b 950 25 Como conocemos la pareja de alfa y a, tomamos el valor desconocido que es b, con su ángulo 25 b 0 sen95 sen30 0 b 25sen95 0 sen30 0 b = 49.8 De la otra pareja no conocemos nada pero sabemos que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 1800, podemos encontrar el ángulo puesto que conocemos dos 180 0 30 0 95 0 55 0 Luego podemos encontrar el otro lado. 25 c 0 sen55 sen30 0 25sen55 0 c sen30 0 c = 41 Ejemplo 2: Resolver el triángulo Centro Educativo Kinal 205 46.47 = 650 b= 40 c = 32 32 40 β 46.470 a sen46.47 sen 32 40 sen 40sen46.47 0 32 sen 0.90627 El seno de un ángulo es igual en un ángulo agudo que en uno obtuso, por ejemplo, el seno de 300 es igual que el seno de 1500. Como encontramos el seno de un ángulo, este valor puede ser de un agudo o de un obtuso. Encontremos el ángulo agudo sen 1 0.90627 65 0 Como ya tenemos dos ángulos, podemos encontrar el tercero 180 0 65 0 46.47 0 68.530 Ahora podemos encontrar el otro lado Centro Educativo Kinal 206 40 a 0 sen68.53 sen65 0 a 40sen68.530 sen65 0 a = 41 Como sabemos que el seno de un ángulo tiene el mismo valor un ángulo agudo que uno obtuso, resolveremos el triángulo pero con el ángulo obtuso 40 32 46.470 a Los lados conocidos podemos ver que no cambia su longitud pero sí los ángulos restantes y el lado a Como ya encontramos el seno del ángulo β, buscaremos el ángulo obtuso que sería el ángulo suplementario del de 650 β = 1800 – 650 β = 1150 Luego procedemos igual que el anterior, a encontrar las partes restantes. 180 0 115 0 46.47 0 18.530 40 a 0 sen18.53 sen65 0 Centro Educativo Kinal 207 a 40sen18.530 sen65 0 a=14 Ejemplo 3: Resolver el triángulo 35 0 a = 25 b = 75 75 25 350 c sen sen35 0 75 25 sen 75sen35 0 25 sen 1.720729 Concluimos que no existe triángulo con estos datos puesto que el seno de un ángulo no puede ser mayor que uno ni menor que menos uno Ejemplo 4: Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 64°, un poste de teléfono inclinado a un ángulo de 9° en dirección opuesta al Sol proyecta una sombra de 21 pies de largo a nivel del suelo, Calcula la longitud del poste. Solución: Como nos indican que el poste está inclinado en dirección opuesta del sol, esto significa que el ángulo debe medirse a partir del eje “y” Centro Educativo Kinal La altura del poste es de 33 pies. buscamos entonces el ángulo complementario y dibujamos nuestro triángulo con su ángulos correspondientes θ h 640 810 21 Para aplicar la ley de los senos debemos conocer una pareja. ángulo y su lado opuesto. en este caso no los conocemos pero sí podemos encontrar el ángulo opuesto al lado de que mide 21 θ = 1800 – 640 – 810 θ = 350 21 h 0 sen64 sen35 0 21sen64 0 sen35 0 h = 33 h R. Centro Educativo Kinal .208 El ángulo que conocemos es el de afuera del triángulo. se miden a partir del norte o del eje “y”.209 Ejemplo 5: Un punto P a nivel del suelo está a 3. Un corredor avanza en dirección N25°E desde Q al punto R. Solución: Principiamos dibujando los datos que nos dan P Q Cuando los ángulos están dados de esta forma. y luego de R a P en dirección S70°O. los ángulos que quedan entre ellas son iguales R P q 450 3Km p 250 Centro Educativo Kinal 250 700 . Haremos planos cartesianos por separado y luego los uniremos R 250 R Q 700 Cuando trazamos una línea inclinada entre dos rectas paralelas.0 kilómetros al norte del punto Q. Calcula la distancia recorrida. 79 kilómetros. la cual se mueve en dirección N5l°O a razón de 8 millas por hora (figura I Centro Educativo Kinal . La distancia que recorrió el corredor fue de 5. Una embarcación pesquera comercial utiliza equipo de sonar para detectar un banco (o cardumen) de peces a 2 millas al este de la embarcación.79+4 d = 5.79 Km.79 Km. R.210 Q Podemos encontrar el lado q 3 q 0 sen25 sen45 0 q 3sen25 0 sen45 0 q = 1. Para encontrar p necesitamos conocer el ángulo P P = 1800 – 250 – 450 P = 1100 3 p 0 sen110 sen45 0 p 3sen110 0 sen45 0 p=4 La distancia recorrida es entonces p + q d = 1. luego la dirección que debe tomar la embarcación es de N75.580 Como el ángulo que encontramos es el agudo y medido a partir de la horizontal. el cual nos da de 75.420E. buscamos el ángulo complementario para poder escribir su dirección. en este caso tenemos dos lados con estas medidas.25173 θ = 14. puesto que están dados en velocidades y las dos están en las mismas dimensionales. β 20mi / h 8mi / h 390 θ 2 millas Para resolver un triángulo. Centro Educativo Kinal . las medidas de los lados deben ser homogéneas. Para encontrar cualquier distancia necesitamos conocer el valor del ángulo β. calcula en qué dirección debe avanzar la embarcación para interceptar el cardumen.42. Dibujamos entones nuestro triángulo. (b) Encuentra el tiempo que tardará en interceptar el banco de peces. sen sen39 0 8 20 8sen39 0 sen 20 sen 0.211 (a) Si la embarcación navega a 20 millas por hora. SOLUCIÓN: Sabemos que los ánulos dados de esta forma se miden a partir del eje vertical. Denotemos con x la distancia del barco y encontremos su distancia.420 390 2 x 0 sen39 sen126. x 14.212 β = 1800 – 390 – 14. 40 0 70 0 a = 56 t 2. 50 0 115 0 b = 48 3.420 Ahora podemos escribir nuevamente el triángulo con los datos que encontramos.78 minutos t 5 minutos Problemas propuestos Resuelve el triángulo ABC 1. ya sea la del barco o la de los peces puesto que solamente conocemos la velocidad de cada uno.580 β = 126. necesitamos conocer cualquiera de las dos distancias.42 0 x 2sen39 0 sen126.42 0 x 1.56millas Encontrando el tiempo d v 1.078 horas convertido a minutos 0.580 2 millas 126.078*60 = 4.56 t 20 t = 0. Para encontrar el tiempo. 60 0 75 0 c = 150 Centro Educativo Kinal . 12. Como se muestra en la figura. respectivamente.4 millas uno del otro y el globo se encuentra entre ambos. los puntos A y B están a 8. a = 62 b = 55 58 0 6. Un camino recto hace un ángulo de 15° con la horizontal. como se muestra en la figura. en el mismo plano vertical. 50 0 40´ 35 0 30´ a = 40 8. 72 0 75 0 b = 50 5. un poste vertical que está a un lado del camino proyecta una sombra de 75 pies de largo directamente cuesta abajo. Calcula la longitud del poste. 430 11. Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 57°. b = 76 c = 45 70 7. 14 0 25´ 55 0 35´ a = 25.213 4. Calcula la altura del globo sobre el suelo.25 0 a = 15 a = 60 c = 35 10. 65. Los ángulos de elevación de un globo desde los puntos A y B a nivel del suelo son de 24°10’ y 47°40’. Centro Educativo Kinal .28 0 100.36 9. Desde un punto P sobre el camino. Originalmente una torre estaba perpendicular al suelo y medía 179 pies de altura. ahora se ha inclinado cierto ángulo θ con respecto a la perpendicular como se muestra en la figura. desde un punto Q situado a 100 metros cuesta arriba. La distancia de A a B es de 239 yardas y la distancia de B a C es 374 yardas. Debido al hundimiento del terreno. advierte el mismo incendio en N52040´O. Un Guardabosques ubicado en un punto de observación A localiza un incendio en dirección N27°lO’E. Calcula la distancia entre cada punto de observación y el incendio. 17. que debe instalarse en un techo que forma un ángulo de 25° con la horizontal. En la figura se muestra un panel solar de 10 pies de ancho. el ángulo de elevación de un aeroplano A es de 57°. Un camino recto hace un ángulo de 22° con la horizontal. Calcula la distancia de A a C.214 13. Calcula la distancia desde P al aeroplano. Cuando se observa la parte alta de la Centro Educativo Kinal . Calcula la longitud d del soporte que se requiere para que el panel haga un ángulo de 45° con la horizontal 14. Q y A están en el mismo plano vertical. el ángulo de elevación al mismo aeroplano es de 63°. 16. Otro guardabosques ubicado en un punto de observación B a 6 millas directamente al este de A. 15. En el mismo instante. Como se indica en la figura. Un agrimensor observa que la dirección del punto A al B es S63°O y la dirección de A a C es S380O. los p. Una catedral se encuentra sobre una colina. cuando la observación se hace desde una distancia de 200 pies de la base de la colina. como se muestra en la figura.3°. 19. la cual mide 5210 pies de altura. La colina se eleva en un ángulo de 32 la altura de la catedral. como se indica en la figura. e1 ángulo de elevación es de 53. Cuando se observa la parte superior del campanario desde la base de la colina. El ángulo de inclinación de la colina es de 320. 18.215 torre desde un punto situado a 150 pies del centro de su base. el ángulo de elevación es de de 410. Calcula la altura de la catedral. el ángulo de elevación es de 48°. Si desde el Centro Educativo Kinal . Un helicóptero vuela a una altitud de 1000 pies sobre la cima de una montaña. a) b) Calcula el ángulo de desviación θ Calcula la distancia d que se ha movido el centro de parte superior de la torre con respecto a a perpendicular. Desde lo alto de esa montaña y desde el helicóptero se ve una segunda más elevada que la primera. Centro Educativo Kinal . el ángulo de depresión es de 430.3 LEY DE LOS COSENOS La ley de los cosenos. nos sirve para resolver cualquier triángulo. Para resolver triángulos aplicando la ley de los cosenos. ángulo y lado. (a) Calcula la distancia de pico a pico de cada montaña. (a) Calcula h. donde B es el área de la base y h es la altura 3 del prisma. y desde la cima de la montaña el ángulo de elevación es de 180. lado. necesitamos conocer las tres partes que se encuentren juntas. la utilizaremos específicamente para resolver triángulos oblicuángulos. (b) Calcula V.216 helicóptero. al igual que la ley de los senos. (b) Calcula la altitud de la montaña más alta. 20. 5. El volumen V del prisma triangular recto que se muestra en la 1 figura es de Bh . el ángulo tiene que ser el que forman los dos lados que se tomen en cuenta. los de enfrente de este lado serían b.217 a b c En donde el lado opuesto a cualquier ángulo se encuentra de la siguiente forma c a 2 b 2 2ab cos Con palabras podríamos decirlo: raíz cuadrado de la suma de los cuadrados de los lados menos 2 por los dos lados por el coseno del ángulo que forman los dos lados a b β c De igual forma podemos encontrar cualquier otro lado. a b 2 c 2 2bc cos Para encontrar los ángulos podemos también seguir un procedimiento que nos facilitará la solución de los triángulos. analizando los mismos. a b β c Centro Educativo Kinal . por ejemplo si tomamos el lado a. c y . 09 – 350 Centro Educativo Kinal .09 0 El l otro ángulo se puede encontrar por diferencia.07 2 5 2 3 2 2 * 3.07 2 2 0 Ahora ya podemos encontrar otro ángulo de la forma que aprendimos 3. β = 1800 – 39. los lados que forman este ángulo son b y c y por supuesto su lado opuesto a b2 c2 a2 2bc cos 1 Ejemplo 1: Resolver el triángulo a=3 b=5 Solución: Dibujamos el triángulo para orientarnos 35 0 β c 3 350 5 c 3 5 2 * 3 * 5 * cos 35 c=3. sería encontrando el coseno inverso de la suma de los cuadrados de los lados que lo forman menos el lado opuesto al ángulo también elevado al cuadrado y todo esto dividido entre el producto de 2 por los dos lados que forman el ángulo Por ejemplo: si queremos encontrar el ángulo β a2 c2 b2 2ac cos 1 Para encontrar .218 Si queremos encontrar cualquier ángulo.07 * 5 cos 1 34. Solución: Hacemos una figura con los datos dados para poder visualizar lo que necesitamos conocer.160 Ejemplo 3: Un paralelogramo tiene lados de longitud de 30 cm.19 0 El otro ángulo se puede encontrar por diferencia o por la misma fórmula 2 2 2 1 25 12 34 cos 2 * 25 * 12 130.650 cos 1 34. Si uno de sus ángulos mide 650 calcula la longitud de cada diagonal. Un triángulo de esta forma no se puede resolver por ley de senos.219 β = 105. únicamente por la de cosenos. y 70 cm. Centro Educativo Kinal . 34 2 25 2 12 2 2 * 34 * 25 34 2 12 2 25 2 2 * 34 * 12 cos 1 β = 15.910 Ejemplo 2: Resolver el triángulo 34 a = 34 b = 12 c = 25 12 25 Solución: En este caso no conocemos ningún ángulo pero conocemos los tres lados. 220 En la figura podemos ver que nos piden encontrar las distancias AD y BC.44cm R: La longitud de cada diagonal es de 87 cm y 63. Ejemplo 4: Un poste vertical de 40 pies de altura está en una cuesta que forma un ángulo de 17° con la horizontal. Como el ángulo CDB es suplementario. d1 0 70 115 30 d1 30 70 2 * 30 * 70 * cos1150 2 2 d1 87cm Para encontrar d 2 dibujamos el otro triángulo 70 d2 650 30 d 2 70 2 30 2 2 * 70 * 30 * cos 650 d 2 63. Calcula la longitud mínima de cable que llegará de la parte superior del poste a un punto a 72 pies cuesta abajo medido desde la base de poste.44cm. Centro Educativo Kinal . entonces D = 1800 – 650 D=1150. aplicamos la ley de los cosenos b 72 2 40 2 2 * 72 * 40 * cos107 0 b = 92 R: La mínima longitud del cable será de 92 pies. Ejemplo 5: Calcula el área del triángulo ABC con a = 4. podemos encontrar cualquiera. no como ángulo. b 1070 40 170 72 170 Como conocemos dos lados y el ángulo que forman estos dos lados. así también los ángulos opuestos por el vértice. Para ayudarnos podemos dibujar el triángulo A 7 C Centro Educativo Kinal 4 5 B .221 SOLUCIÓN: Recordemos que si tenemos una línea inclinada y le trazamos infinitas líneas horizontales. b = 7 y c = 5 Solución: Existen dos formas de encontrar el área de un triángulo oblicuángulo. 1ª. los ángulos correspondientes serán iguales. A= 1 cosθ*lados que forman el ángulo 2 Como no conocemos ningún ángulo. Encontrando cualquier ángulo y escribiendo A como área. c = 14 a = 87 Centro Educativo Kinal . A s ( s a )( s b)( s c ) En donde s es el semiperímetro del triángulo s abc 2 S 745 2 S=8 A 8(8 4)(8 7)(8 5) A 8(4)(1)(3) A 96 A = 9. 60 0 b = 20 c = 30 2.42 0 (7)(4) 2 A 9.8 cm2 EJERCICIOS: Resuelva los siguientes triángulos.79cm 2 2ª.222 7 2 42 52 C cos 1 2*7*4 C cos 1 (0. Si conocemos los tres lados del triángulo podemos utilizar la fórmula de Herón. 150 0 a = 150 c = 50 4. 450 b = 12 a = 15 3.714286) C = 44.420 A 1 sen44. 730 50 . 1. y navega al S200O a 18 millas por hora. Centro Educativo Kinal . la distancia desde el punto final al punto de partida de la pista. a = 10 b = 20 c = 30 9. Una embarcación sale del puerto a la 1:00 PM. Si viajan a 60 y 45 millas por hora. ¿a qué distancia aproximada se hallarán uno de otro al cabo de 20 minutos? 14. calcula la distancia entre A y B.? 16. a = 2 b=3 c=4 8. Dos automóviles salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan en carreteras rectas que difieren 840 en dirección. Calcula la longitud del tercer lado y el área del terreno. Otra sale del mismo puerto a la 1:30 PM. 230 40 ' c = 4. respectivamente. y navega al S350E a una velocidad de 24 millas por hora. Para hallar la distancia entre los puntos A y B. 15.3 b = 3. Calcula. a = 25 b = 150 c = 60 10. ¿A qué distancia aproximada se encontrará del punto A 17. 350 y 18O pies de longitud.2 7. al décimo de milla más cercano. Si el ángulo ACB mide 63°l0’. Calcula el ángulo más pequeño entre los lados y el área del terreno. un agrimensor escoge un punto C que está a 420 yardas de A y a 540 yardas de B. 12. 13. Un trotador corre a una velocidad constante de una milla cada 8 minutos en dirección S40°E durante 20 minutos y luego en dirección N20°E durante los siguientes 16 minutos.2 6. Un terreno triangular tiene lados de 420. a=3 b=5 c = 15 11. Un aeroplano vuela 165 millas desde el punto A en dirección 1300 y luego 80 millas en dirección 245°.1 b = 2. ¿Aproximadamente a qué distancia se encuentran una de otra a las 3:00 PM. El ángulo de una esquina de un terreno triangular mide 73040' y los lados que se unen en esta esquina miden 175 y 150 pies de largo. 115010 ' a = 1.223 5. Encuentra la dirección en que recorrió el tercer lado. Recorrió el primer lado en dirección N20°O y el segundo en dirección SθoO donde θ es la medida en grados de un ángulo agudo. Una lancha de motor navegó a lo largo de una ruta triangular con lados de 2 km. Los puntos P y Q ubicados a nivel del suelo están en lados opuestos de un edificio.224 18. respectivamente. 4 km. un agrimensor escoge un punto R que está a 3 pies del punto P y a 438 pies del Q y luego determina que el ángulo PRQ mide 37°40' . y 3km. 19. Para hallar la distancia entro los puntos. BIBLIOGRAFÍA Algebra y Trigonometría con geometría swokowski Matemáticas previas al cálculo de Leithold Algebra de Baldor Algebra de Lehman Algebra elemental de Alfonse Gobran Internet Centro Educativo Kinal analítica de . Calcula la distancia entre P y Q..