UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉSFACULTAD DE INGENIERIA CARRERA DE INGENIERIA PETROLERA Ing. Hermas Herrera Callejas La Paz, Febrero de 2011 PROGRAMACION APLICADA MATERIAL DE ESTUDIO Ing. Hermas Herrera Callejas Página : 1 de 3 PROGRAMACION APLICADA CONTENIDO DE LA ASIGNATURA CAPITULO 1 - CONSIDERACIONES GENERALES Página 1.1 La Informática y sus Alcances en la Ingeniería de Petróleos 1 de 20 1.1.1 Uso General 1 de 20 1.1.2 Exploración 1 de 20 1.1.2.1 Autocad 1 de 20 1.1.2.2 Cpspc 1 de 20 1.1.2.3 Petcom 1 de 20 1.1.2.4 Daniel Geophysical 1 de 20 1.1.2.5 Landmark 1 de 20 1.1.2.6 Lopatin 1 de 20 1.1.3 Perforación 1 de 20 1.1.3.1 Des-II (Drilling Expert System II) 2 de 20 1.1.3.2 Caesar II 2 de 20 1.1.4 Producción 2 de 20 1.1.4.1 Production Analyst 2 de 20 1.1.4.2 Automate 2 de 20 1.1.4.3 Flow System y Pan System 2 de 20 1.1.5 Ingeniería de Reservorios 2 de 20 1.1.5.1 Saphir 2 de 20 1.1.5.2 Eclipse 2 de 20 1.1.5.3 Boast 2 de 20 1.1.5.4 Simbest II 2 de 20 1.1.5.5 Imex 2 de 20 1.1.5.6 Chemcad 2 de 20 1.1.6 Área Administrativa y Financiera 3 de 20 1.1.6.1 Org Plus 3 de 20 1.1.6.2 Foas 3 de 20 1.1.6.2.1 Activos Fijos 3 de 20 1.1.6.2.2 Presupuestos 3 de 20 1.1.6.2.3 Cuentas por Cobrar 3 de 20 1.1.6.2.4 Cuentas por Pagar 3 de 20 1.1.6.2.5 Flujo de Caja 3 de 20 1.1.6.3 Opics 3 de 20 1.1.6.4 Hrias (Human Resources Information Application System) 3 de 20 1.1.6.4.1 Personal 4 de 20 1.1.6.4.2 Compensación y Beneficios 4 de 20 1.1.6.4.3 Planillas de Pagos de Haberes 4 de 20 1.2 Algoritmos 4 de 20 1.3 Uso de Lenguajes de Programación 4 de 20 1.4 Técnicas Avanzadas de Programación 5 de 20 1.4.1 Programación Estructurada 5 de 20 1.4.2 Programación Orientada a Objetos 5 de 20 1.4.3 Seudo Código 5 de 20 1.4.4 Documentación de los Programas 5 de 20 1.5 Problemas y Prácticas 6 de 20 PET230 – Programación Aplicada Contenido de la Asignatura Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 2 de 3 CAPITULO 2 – ECUACIONES NO LINEALES Página 2.1 Solución de Ecuaciones No-Lineales 1 de 13 2.1.1 Método de Punto Fijo 1 de 13 2.1.2 Método de Newton-Raphson 3 de 13 2.1.2.1 Descripción del Método 4 de 13 2.1.3 Método de la Secante 7 de 13 2.1.4 Método de la Bisección 9 de 13 CAPITULO 3 – SISTEMAS DE ECUACIONES Página 3.1 Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 de 33 3.2 Métodos Directos de Solución 1 de 33 3.2.1 Eliminación de Gauss 1 de 33 3.2.2 Eliminación de Gauss con Pivoteo 3 de 33 3.2.3 Eliminación de Gauss – Jordan 5 de 33 3.2.4 Métodos de Factorización de Doolitle y Crout. 6 de 33 3.3 Métodos Iterativos 9 de 33 3.3.1 Métodos de Jacobi y Gauss-Seidel 10 de 33 3.3.1.1 Iteración de Jacobi (Desplazamientos Simultáneos) 11 de 33 3.3.1.2 Iteración de Gauss-Seidel (Desplazamientos Sucesivos) 12 de 33 3.3.2 Re-Arreglo de Ecuaciones. 16 de 33 3.4 Sistemas de Ecuaciones No-Lineales 18 de 33 3.4.1 Dificultad en Solución de Sistemas de Ecuaciones No-Lineales 18 de 33 3.4.1.1 Reducción de Ecuaciones 18 de 33 3.4.1.2 Partición de Ecuaciones 19 de 33 3.4.1.3 Tanteo de Ecuaciones 19 de 33 3.4.1.4 Valores Iniciales 20 de 33 3.4.2 Método de Punto Fijo Multivariable 21 de 33 3.4.3 Método de Newton-Raphson Multivariable 25 de 33 3.4.3.1 Generalización 28 de 33 3.4.4 Método de Newton-Raphson Modificado 30 de 33 CAPITULO 4 – APROXIMACION FUNCIONAL E INTERPOLACION Página 4.1 Introducción 1 de 21 4.2 Aproximación Polinomial Simple e Interpolación 2 de 21 4.3 Polinomios de Lagrange 5 de 21 4.4 Diferencias Divididas 9 de 21 4.5 Aproximación Polinomial de Newton 12 de 21 4.6 Aproximación Polinomial con Mínimos Cuadrados 15 de 21 4.7 Aproximación Multilineal con Mínimos Cuadrados 20 de 21 CAPITULO 5 - INTEGRACION Y DIFERENCIACION Página 5.1 Introducción 1 de 17 5.2 Métodos de Newton – Cotes 1 de 17 5.2.1 Método Trapezoidal 2 de 17 5.2.2 Método de Simpson 4 de 17 5.3 Caso General 6 de 17 5.4 Métodos Compuestos de Integración 7 de 17 PET230 – Programación Aplicada Contenido de la Asignatura Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 3 de 3 5.4.1 Método Trapezoidal Compuesto 7 de 17 5.4.2 Método de Simpson Compuesto 8 de 17 5.5 Cuadratura de Gauss 11 de 17 CAPITULO 6 – DIFERENCIACION NUMERICA Página 6.1 Introducción 1 de 8 6.2 Derivación con Polinomios de Lagrange 2 de 8 CAPITULO 7 - APLICACIONES A INGENIERIA DE RESERVORIOS 7.1 Cálculo de M, Tc, Pc, Vc y Tb (Método de Ahmed-Katz-Firozabadi o Riatzi-Daubert) 7.2 Cálculo del Factor Acéntrico (Edminster) 7.3 Determinación de la Permeabilidad (Varios métodos) 7.4 Cálculo de Rs (Varios métodos) 7.5 Cálculo de Pb (Varios métodos) 7.6 Cálculo de Bo (Varios métodos) 7.7 Cálculo de Co (Varios métodos) 7.8 Cálculo de ρo (Varios métodos) 7.9 Cálculo de μo (Varios métodos) 7.10 Cálculo de σo (Varios métodos) 7.11 Cálculo del Factor z de Compresibilidad de los Gases (Varios métodos) 7.12 Cálculo de μg (Varios métodos) 7.13 Cálculo de las Presiones de Fondo (Varios métodos) 7.14 Cálculo de Intrusión de Agua CAPITULO 8 - APLICACIONES A PRODUCCION 8.1 Cálculo de Pseudopresión 8.2 Diseño de Separación en Tres Etapas 8.3 Diseño de Sistemas de Separación por Etapas 8.4 Determinación del Diámetro Optimo de Tuberías 8.5 Diseño de Sistemas de Gas Lift CAPITULO 9 - APLICACIONES VARIAS 9.1 Aplicaciones a Transportes 9.2 Aplicaciones a Perforación 9.3 Aplicaciones a Refinación 9.4 Optimización por Programación Lineal 9.5 Fundamentos de Modelaje y Simulación Matemática Ing. Hermas Herrera Callejas Página : 1 de 20 CAPITULO 1- CONSIDERACIONES GENERALES 1.1 La Informática y sus Alcances en la Ingeniería de Petróleos Existe una gama de paquetes de software desarrollados para las distintas áreas de la industria petrolera, se dará un vistazo a los más utilizados en las distintas funciones sobre la base del acuerdo mínimo de estandarización logrado entre un grupo importante de empresas con la finalidad de buscar un lenguaje común. 1.1.1 Uso General Empecemos analizando el software de uso general disponible para diversas funciones sin ser específica para cada área. En este caso tenemos los siguientes: Para procesamiento de la palabra y editor de texto el Microsoft Word, el WodrPerfect y SPFPC Para manejo de hojas electrónicas el Microsoft EXCEL o el LOTUS 123 Para gráficos de presentaciones el LOTUS Freelance, el Hardvard Graphics, el Microsoft Power Point, el Zenographics Pixie o el Zenographics Mirage. Manejadores de bases de datos el Microsoft ACCESS, el DBase, el Oracle o el Focus Como sistemas operativos el Windows, o el DOS Como herramienta de publicidad y propaganda el Microsoft Word, WordPerfect, Aldus Pagemaker o el Ventura Publishing. Análisis y control de proyectos el Microsoft Project en PC’s y Projacs en equipos mayores Si revisamos las distintas funciones específicas de la industria y el software disponible para cada área podemos nombrar los siguientes: 1.1.2 Exploración Para las funciones de EXPLORACION se tienen las siguientes alternativas: 1.1.2.1 AUTOCAD.- Para gráficos y dibujos en computadora, incluyendo las opciones tridimensionales de curvas de nivel y mapas. 1.1.2.2 CPSPC.- Para mapas geográficos, permite la transferencia de mapas a la computadora ya sea mediante digitizadores o scanners y su correspondiente proceso. 1.1.2.3 PETCOM.- Aplicación que corre en una PC bajo el sistema operativo DOS o Windows. Permite la captura de información desde las cintas magnéticas de sísmica y se utiliza en el análisis petrofísico y de registros de pozos, generando los reportes y gráficos relacionados a este campo. 1.1.2.4 DANIEL GEOPHYSICAL.- Software utilizado para la obtención de sismogramas sintéticos 1.1.2.5 LANDMARK.- Software dirigido a la interpretación sísmica ya sea en dos o en tres dimensiones, provisto por la Halliburton. PETREL por Shlumberger 1.1.2.6 LOPATIN.- Paquete usado en el trabajo con modelos térmicos. 1.1.3 Perforación Para las funciones de PERFORACION de pozos se tienen las siguientes alternativas: Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 2 de 20 1.1.3.1 DES-II (Drilling Expert System II).- Permite analizar y optimizar las tareas operativas diarias de perforación de pozos. Corre en PC’s con Windows. Tiene siete módulos independientes pero relacionados entre sí tales como el de perforación direccional, diseño de perforación, optimización de la perforación, sistema experto de perforación, hidráulica y cementación, ingeniería de lodos, control del pozo y detección de presiones anormales. 1.1.3.2 CAESAR II.- Dirigido a las tareas de análisis y diseño de tuberías. 1.1.4 Producción Para las funciones de PRODUCCION DE PETROLEO podemos mencionar las siguientes alternativas de programas: 1.1.4.1 PRODUCTION ANALYST.- Aplicación en línea que se procesa en una PC bajo el sistema operativo DOS o Windows. Brinda las facilidades para registrar la producción diaria de agua, petróleo y gas en los campos productivos de una industria petrolera. Sobre la base de las pruebas de pozos efectuadas y parámetros de presión y otros, se puede asignar la producción a cada estrato productor. Es un sistema de cómputo diseñado para almacenar, para manejar, para analizar e interpretar la mayor parte de los tipos de datos que se encuentran en una operación productora de petróleo. Programa que fue diseñado y desarrollado para profesionales petroleros por profesionales petroleros. 1.1.4.2 AUTOMATE.- Programa que permite efectuar un análisis de los distintos tipos de presiones en los pozos productores y los reservorios petrolíferos. 1.1.4.3 FLOW SYSTEM Y PAN SYSTEM.- Orientado a las pruebas de producción 1.1.5 Ingeniería de Reservorios Para las funciones de INGENIERIA DE RESERVORIOS tenemos una gama más amplia de programas, entre los que podemos indicar los siguientes: 1.1.5.1 SAPHIR.- Programa de modelaje y simulación producido por la Kappa Software Engineering. Aplicación que corre en una PC ya sea bajo el sistema operativo DOS o bajo WINDOWS. Utilizado en el área de modelaje y simulación de reservorios petrolíferos. 1.1.5.2 ECLIPSE.- Otro programa de modelaje y simulación de reservorios. 1.1.5.3 BOAST.- Programa de simulación de reservorios petroleros generado por el Departamento de Energía de los EEUU 1.1.5.4 SimBest II.- Para simulación de reservorios de la Scientific Software Inc, emplea el paquete ESPIDO (Equation Solution Program based on an Incomplete Direct Method acelerated via Orthomin), que usa la eliminacion de Gauss para problemas pequeños y SOR (successive over relaxation) para los grandes. 1.1.5.5 IMEX.- Software para simulación de reservorios de Computer Modelling Group, utiliza el método Fully Implicit que provee una discretización muy estable. 1.1.5.6 CHEMCAD.- Aplicación que corre en una PC bajo el sistema operativo DOS o Windows. Tiene como fin la preparación de reportes y gráficas relacionadas a la composición de hidrocarburos de gas y petróleo producido en campos petrolíferos. Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 3 de 20 1.1.6 Área Administrativa y Financiera Para las funciones ADMINISTRATIVAS Y FINANCIERAS de una empresa petrolera podemos mencionar los diferentes programas que cubren las distintas funciones administrativas y financieras de una compañía petrolera: 1.1.6.1 ORG PLUS.- Programa utilizado por el departamento de personal o recursos humanos en la confección de organigramas de la empresa. 1.1.6.2 FOAS.- Sistema considerado como el cerebro central que se encarga del proceso contable de la compañía petrolera. Permite captar la información de los asientos contables de todo el movimiento económico generado en la empresa y una vez procesada muestra los resultados de la operación, emite los estados financieros de la compañía y los libros legales correspondientes. Permite generar reportes financieros detallados por proyectos o reservorios así como consolidados de la compañía. Esta característica permite el proceso contable de multicompañías. Como funciones adicionales se tienen los siguientes módulos que complementan el FOAS 1.1.6.2.1 ACTIVOS FIJOS.- Ayuda en el control de los activos de la compañía, calculando la depreciación anual y manteniendo la depreciación acumulada para cada activo. 1.1.6.2.2 PRESUPUESTOS.- Aplicación utilizada en la preparación y el control presupuestario. Una vez preparado y aprobado el presupuesto anual de la compañía, la información de cada centro de costo y para cada elemento de gasto es introducida al sistema. De la información de contabilidad aplicada a cada centro de costo toma los valores ejecutados para imprimir reportes de control relacionados a la ejecución del presupuesto. 1.1.6.2.3 CUENTAS POR COBRAR.- Aplicación en línea que permite captar la información de las facturas emitidas por la compañía por conceptos de venta de gas y petróleo. También permite introducir las cobranzas o los pagos parciales y llevar un control de las deudas, calculando intereses por montos vencidos así como clasificar las facturas vencidas por períodos de 30 días, 60 días, 90 días, 120 días, 180 días, o más de 180 días. 1.1.6.2.4 CUENTAS POR PAGAR.- Aplicación en línea que permite hacer un control y seguimiento a las facturas pendientes de pago y las canceladas. Ayuda en la planificación de los pagos y a controlar la no-duplicación de estos últimos, especialmente aquellos casos de contratos que implican el pago mensual por servicios. 1.1.6.2.5 FLUJO DE CAJA.- Una herramienta de control de los movimientos bancarios de las distintas cuentas en moneda nacional y extranjera de la compañía proporcionando saldos en las cuentas bancarias, calculando las perdidas o ganancias por las diferencias en el tipo de cambio de la moneda. 1.1.6.3 OPICS.- Aplicación interactiva en línea para el control de inventarios. Permite llevar un control de los materiales de la compañía en los distintos almacenes, así como hacer un seguimiento a las ordenes de compra y generar los asientos contables en forma automática para cada transacción que debe ser contabilizada. 1.1.6.4 HRIAS (Human Resources Information Application System).- Permite contar con información de recursos humanos en línea. Incluye los siguientes módulos: Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 4 de 20 1.1.6.4.1 Personal.- Información de personal relacionada a su nivel de educación, su familia, idiomas extranjeros que habla, experiencia laboral, historia ocupacional, logros significativos, historia de las vacaciones tomadas, etc. 1.1.6.4.2 Compensación y beneficios.- Provee asistencia en la preparación del plan de incrementos salariales, mantiene una historia salarial por empleado. 1.1.6.4.3 Planillas de pagos de haberes.- Sistema que ayuda en el proceso de pago de sueldos y salarios y la emisión de los reportes de planillas de la compañía para las distintas instituciones, además de generar de manera automática los correspondientes asientos contables. 1.2 Algoritmos En matemáticas, método de resolución de problemas complicados mediante el uso repetido de otro método de cálculo más sencillo. Un ejemplo básico es el cálculo de la división larga en aritmética. En la actualidad, el término algoritmo se aplica a muchos de los métodos de resolver problemas que empleen una secuencia mecánica de pasos, como en el diseño de un programa de ordenador o computadora. Esta secuencia se puede representar en la forma de un diagrama de flujo para que sea más fácil de entender. Al igual que los algoritmos usados en aritmética, los algoritmos para ordenadores pueden ser desde muy sencillos hasta bastante complejos. En todos los casos, sin embargo, la tarea que el algoritmo ha de realizar debe ser definible. Esta definición puede incluir términos matemáticos o lógicos o una compilación de datos o instrucciones escritas. En el lenguaje de la informática, quiere decir que un algoritmo debe ser programable, incluso si al final se comprueba que el problema no tiene solución. Diagrama de Flujo es una secuencia gráfica empleada en muchos campos para mostrar los procedimientos detallados que se deben seguir al realizar una tarea, como un proceso de fabricación. También se utilizan en la resolución de problemas, como por ejemplo en algoritmos. Los diagramas de flujo se usan normalmente para seguir la secuencia lógica de las acciones en el diseño de programas de computadoras. 1.3 Uso de lenguajes de programación Los lenguajes de programación o software para desarrollo e implementación de aplicaciones en computadoras personales se tienen el Visual Basic, el DBASE y el CLIPPER, aunque para aplicaciones técnicas es más usado aún el FORTRAN. Bajo ciertas circunstancias el “C” es usado aunque no es muy apropiado para desarrollo de aplicaciones administrativas. Tratándose de equipos medianos, el UNIX es el sistema operativo más usado como sistema operativo para estaciones de trabajo del área de Ingeniería. Para aplicaciones del área administrativa/comercial estamos hablando de computadoras mainframe o de tamaño mediano que continúa soportando aplicaciones de producción que no tienen equivalente en plataformas de PC’s, varias tecnologías diferentes están siendo usadas para desarrollo y mantenimiento de aplicaciones, entre las que podemos mencionar: DB2 como manejador de bases de datos, COBOL como lenguaje de programación, CSP para proceso de transacciones en línea, QMF para consultas rápidas a las bases de datos DB2. Otras interfaces de alto nivel, tales como RAMIS y FOCUS son también usadas bajo condiciones especiales. Nuevamente para aplicaciones técnicas se tiene el uso del FORTRAN. Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 de 20 1.4 Técnicas avanzadas de programación En general, un programa consiste en una secuencia de instrucciones que ha de procesar la computadora con el objetivo de obtener resultados o datos de salida a partir de unos datos iniciales o datos de entrada. Desde el punto de vista funcional, un programa se estructura en tres pasos: Entrada, Proceso y Salida Con la finalidad de optimizar la programación de aplicaciones se han desarrollado técnicas que permiten un desarrollo estructurado y óptimo tanto en tiempo de desarrollo como de proceso de los mismos. Entre estas técnicas podemos mencionar: 1.4.1 Programación estructurada Se refiere a un tipo de programación que produce código con un flujo limpio, un diseño claro y un cierto grado de modularidad o de estructura jerárquica. Entre los beneficios de la programación estructurada se encuentran la facilidad de mantenimiento y la legibilidad por parte de otros programadores 1.4.2 Programación orientada a objetos Un estilo de programación en el que un programa se contempla como un conjunto de objetos limitados que, a su vez, son colecciones independientes de estructuras de datos y rutinas que interactúan con otros objetos. Una clase define las estructuras de datos y rutinas de un objeto. Un objeto es una instancia de una clase, que se puede usar como una variable en un programa. En algunos lenguajes orientados a objetos, éste responde a mensajes, que son el principal medio de comunicación. En otros lenguajes orientados a objeto se conserva el mecanismo tradicional de llamadas a procedimientos. 1.4.3 Seudo Código Término genérico para nombrar las instrucciones del programa, utilizadas en dos sentidos generales derivados del diagrama de flujo. 1.4.4 Documentación de los programas Constituida por todos los documentos que se elaboran en cada una de las etapas del análisis, diseño y desarrollo de la aplicación, es muy importante para facilitar su mantenimiento y obtener un mayor rendimiento. Denominamos documentación interna al contenido del propio programa fuente. Debe incluir los comentarios explicativos suficientes que posibiliten su comprensión y actualización. Asimismo, se debe utilizar un código autodocumentado; es decir, debe ser escrito de una forma clara y legible. La documentación externa la forman el resto de documentos que se acompañan con el programa sin formar parte de él. Dentro de ellos están los manuales internos del sistema que incluyen detalles de técnicas y diseños de bases de datos, programas, etc, que constituyen la aplicación; los manuales del usuario que describen la manera en que el usuario puede obtener mejor provecho de la aplicación así como una explicación de los reportes y la información que proporciona. También forma parte de este tipo de documentación los manuales en línea de las aplicaciones así como los textos de ayuda a los que el usuario puede acudir Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 6 de 20 1.5 Problemas y prácticas 1.- Diagrama de Flujo para calcular el área de 2.- D.F. para hallar el cociente y el residuo un triángulo de A\B enteros 3.- D.F. para hallar la longitud de una circunferencia y el área del círculo 4.- D.F. para convertir metros en Km y cm 5.- D.F. para convertir Kb a Gb, Mb y bytes 6.- Hallar el mayor de 3 números diferentes 7.- Hallar el mayor y el menor de 3 números diferentes 8.- Hallar el mayor y el menor de 3 números cualesquiera 9.- Determinar si un número es par o impar 10.- Desplegar los números enteros de N hasta M 11.- Imprimir la tabla del 4 12.- Hallar la suma de los primeros 10 números pares 13.- Hallar la suma de los primeros 10 números impares 14.- Hallar los cuadrados de los primeros 10 números pares 15.- Determinar si el número introducido es positivo o negativo 16.- Hallar el factorial de un número entero positivo 17.- Crear el vector I = 1, 2, 3, …10 Inicio V(I) = I Imprimir V Fin I = 1 … 10 Def I, V(I) I Inicio Leer A, B C = A Mod B D = A\B Def A, B, C, D Imprimir C, D Fin Inicio Leer b, h A = b*h Def b, h Imprimir A Fin Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 7 de 20 18.- Generar e imprimir los primeros N números primos Si No No Si Si No No No Si Si No Si Inicio Def P(I), I, N, K, J, DIVE Fin ? Leer N Ejecutar ? N>0 ? Fin N debe ser > 0 A A A J = 1, K = 0 DIVE = 0 I = 1, J J Mod I = 0 ? DIVE = DIVE + 1 I B B K = K + 1 P(K) = J DIVE>2 ? K=N ? J=J+1 I = 1, N Imprimir P(I) I C A C Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 8 de 20 19.- Crear el vector de N elementos donde 20.- Inicializar un vector de N elementos c/elemento sea 2 elevado a ‘i’ donde cada elemento sea 0 21.- Inicializar un vector de N elementos 22.- Crear el vector de N elementos con donde c/ elemento sea N – I (I = 1, 2, …) c/ elemento igual al cuadrado de I Inicio V(I) = 2 ^ I Imprimir V Fin I = 1 … N Def I, V(I), N I Leer N N > 0 ? Inicio V(I) = 0 Imprimir V Fin I = 1 … N Def I, V(I), N I Leer N Inicio V(I) = I * I Imprimir V Fin I = 1 … N Def I, V(I), N I Leer N Inicio V(I) = N - I Imprimir V Fin I = 1 … N Def I, V(I), N I Leer N Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 9 de 20 23.- Crear el vector de N elementos donde 24.- Sea N un Nro entero. Hacer un D.F. c/elemento a partir del 3ro sea la suma para invertir sus dígitos (Ej, 3457 a 7543) de los dos anteriores y V(1)=1 V(2)=2 Inicio Leer N A = N N1 = 0 Def A, N, N1, Dig Imprimir N, N1 Fin A > 0 ? Dig = A Mod 10 N1 = N1 * 10 + Dig A = A Div 10 Inicio V(I) = V(I-1) + V(I-2) Imprimir V Fin I = 3 … N Def I, V(I), N I Leer N N > 2 ? V(1) = 1 V(2) = 2 Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 10 de 20 25.- Generar la serie de Fibonacci para 26.- Crear un vector con N elementos, valores menores a N (0,1,1,2,3,5,8,13…) luego obtener el máximo y su posición Inicio Imprimir Max, K Fin Def V(I),N,X,K,I,Max Leer N N > 0 ? V(I) = X Max = V(I) K = I I = 1 … N Leer X I I = 1 … N Max = V(I) K = I I V(I) > Max ? Inicio Impr F(I) Def F(I), N, I Leer N N>3 ? F(I) = F(I-1) + F(I-2) Fin ? Fin Ejec? A A A I = 3… N I I = 1… N I A F(1) = 0 F(2) = 1 Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 11 de 20 27.- Crear un vector de N elementos y ordenar sus elementos en forma ascendente (método de la burbuja) Inicio Imprimir V(I) Fin Def V(I),N,I,J,X,Aux Leer N N > 0 ? V(I) = X I = 1 … N Leer X I J = 1 … N-I Aux = V(J) V(J) = V(J+1) V(J+1) = Aux J I = 1 … N-1 V(J) > V(J+1) ? I I I = 1 … N Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 12 de 20 28.- Suma de Vectores. Si A = (a, b, c) 29.-Multiplicación de vectores. Si A = (a,b,c) y B = (d, e, f) A+B = (a+d, b+e, c+f) y B = (d, e, f) A*B = (a*d, b*e, c*f) Inicio Imprimir C(I) Fin Def A(I),B(I),C(I),N,I,X Leer N N > 0 ? A(I) = X I = 1 … N Leer X I I I = 1 … N I I I = 1 … N Leer X B(I) = X I = 1 … N C(I) = A(I) * B(I) Inicio Imprimir C(I) Fin Def A(I),B(I),C(I),N,I,X Leer N N > 0 ? A(I) = X I = 1 … N Leer X I I I = 1 … N I I I = 1 … N Leer X B(I) = X I = 1 … N C(I) = A(I) + B(I) Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 13 de 20 30.- Crear una matriz de N filas por N 31.- Crear una matriz de N filas por M co- columnas cuyos elementos sean ceros lumnas cuyas filas pares sean unos y las impares sean ceros Inicio Imprimir A Fin Def A(I, J), N, M, I, J Leer N, M N>0 y M>0? A(I, J) = 1 I = 1 … N J J = 1 … M I I Mod 2 = 0? A(I, J) = 0 Inicio Imprimir A Fin Def A(I, J), N, I, J Leer N N>0 ? A(I, J) = 0 I = 1 … N J J = 1 … N I Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 14 de 20 32.- Crear una matriz N por N con la 33.- Crear una matriz N por M con diagonal principal igual a 1 numeración correlativa ascendente Inicio Imprimir A Fin Def A(I, J), N, M, I, J, C Leer N, M N>0 y M>0? C = C + 1 I = 1 … N J J = 1 … M I A(I, J) = C C = 0 Inicio Imprimir A Fin Def A(I, J), N, I, J Leer N N > 0 ? A(I, J) = 1 I = 1 … N J J = 1 … N I I = J? A(I, J) = 0 Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 15 de 20 34.- Construir una matriz N por N con N 35.- Construir la matriz N por N 1 2 3 4 N impar y mayor a 2. Calcular la suma 2 4 2 2 4 5 6 de la siguiente manera (suma = 17) 1 2 3 3 5 6 7 2 7 9 4 6 7 8 Inicio Imprimir A(I, J) Fin Def A(I, J), N, I, J Leer N N>1 ? A(I, J) = I + J I = 2 … N J J = 2 … N I I = 1 … N A(1, I) = I A(I, 1) = I I I = 1 … N J = 1 … N J I Inicio Imprimir S Fin Def A(I, J),N,I,J,C,S,K Leer N N>2 y N Mod 2=1 I = 1 … N J J = 1 … N I A(I, J) = C Leer C S = 0 K = N\2 + 1 I = 1 … N S = S + A(I, K) S = S + A(K, I) I S = S – A(K, K) Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 16 de 20 36.- Formar la matriz caracol N por N para N > 2 A(J, F) = R J=C-1…F+1, -1 J R = R + 1 F = F + 1 C = C - 1 A R>NxN Imprimir A(I, J) Fin B Inicio Def A(I, J),N,I,J,F,C,R Leer N N > 2 ? A(F, J) = R J = F…C J F = 1 C = N R = 0 J J=C-1…F, -1 J R = R + 1 J = F+1…C R = R + 1 A(J, C) = R R = R + 1 A(C, J) = R A B Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 17 de 20 37.- Formar la matriz zigzag N por N 38.- Convertir un número decimal a binario para N > 2 Inicio Def A(I),N,M,I,J Leer M M > 0 ? A(I) = N Mod 2 N = M K I = I + 1 J= I…1, -1 Imprimir A(J) Fin I = 0 N = N\2 N = 0 ? Inicio Def A(I, J),N,I,J,C,K Leer N N > 2 ? A(I, J) = C I = 1…N C = 0 J K C = C + 1 L = I + 1 C = C + 1 A(L, K) = C J = 1…N K= N…1, -1 I Imprimir A Fin L > N ? Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 18 de 20 39.- Sumar los elementos de cada fila y cada columna de una matriz N por M J A Fin J = 1…M C(I) = 0 I = 1…N C(J) = C(J)+A(I,J) J I I = 1…N Imprimir F(I) I J = 1…M Imprimir C(J) Inicio Def A(I, J),C(I),F(I),N,I,J,M Leer N,M N>1 M>1? A(I, J) = R I = 1…N J J I F(I) = 0 F(I) = F(J)+A(I,J) A J= 1…M Leer R I I = 1…N J= 1…M Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 19 de 20 40.- Determinar la transpuesta de una 41.- Determinar la suma de dos matrices matriz N x M Inicio Def A(I,J),B(I,J),C(I,J),N,M,I,J Leer N,M N>1 M>1? A(I, J) = R I = 1…N J J I B(I, J) = R J= 1…M Leer R I I= 1…N J= 1…M Leer R A Inicio Def A(I,J),T(I,J),N,I,J,M Leer N,M N>1 M>1? A(I, J) = R I = 1…N J J I T(J, I) = A(I, J) J= 1…M Leer R I J= 1…M I= 1…N Imprimir T(I,J) Fin C(I, J) = A(I,J) + B(I,J) I = 1…N J J= 1…M I A Imprimir C(I, J) Fin Programación Aplicada Capítulo 1 – Consideraciones Generales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 20 de 20 42.- Hacer un diagrama de flujo para la multiplicación de dos matrices C(I, J) = 0 I= 1…M J J I J = 1…O I I= 1…M J = 1…O Fin Imprimir C(I, J) K= 1…N C(I, J) = C(I,J)+A(I,K)*B(K,J) K A Inicio Def A(M,N), B(N,O), C(M,O), M, N, O, I, J, K, R Leer M,N,O M>1 N>1 O>1? A(I, J) = R I= 1…M J J I B(I, J) = R J = 1…N Leer R I I = 1…N J = 1…O Leer R A Ing. Hermas Herrera Callejas Página : 1 de 13 CAPITULO 2 – ECUACIONES NO LINEALES 2.1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES Uno de los problemas que se presenta con frecuencia en ingeniería es encontrar las raíces de ecuaciones de la forma f(x) = 0, donde f(x) es una función real de una variable x, como un polinomio en x f(x) = 4x 5 + x 3 – 8x + 2 o una función trascendente f(x) = e x sen x + ln 3x + x 3 Existen distintos algoritmos para encontrar las raíces o ceros de f(x) = 0, pero ninguno es general; es decir, no hay un algoritmo que funcione con todas las ecuaciones; por ejemplo, se puede tener un algoritmo que funciona perfectamente para encontrar las raíces de f 1 (x ) = 0, pero al aplicarlo no se pueden encontrar los ceros de una ecuación distinta f 2 (x) = 0 Sólo en muy pocos casos será posible obtener las raíces exactas de f(x) = 0, como cuando f(x) es un polinomio factorizable, tal como ) )...( )( ( ) ( 2 1 n x x x x x x x f donde i x , 1 ≤ i ≤ n denota la i-ésima raíz de f(x) = 0. Sin embargo, se pueden obtener soluciones aproximadas al utilizar algunos de los métodos numéricos de este capitulo. Se empezará con el método de punto fijo (también conocido como de aproximaciones sucesivas, de iteración funcional, etc.). 2.1.1 MÉTODO DE PUNTO FIJO Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma x = g(x) Si la ecuación es f(x) = 0, entonces puede despejarse x ó bien sumar x en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada. Ejemplos: 1) La ecuación: cos x – x = 0 se puede transformar en: cos x = x. 2) La ecuación: tan x – e -x = 0 se puede transformar en: x + tan x – e -x = x. Dada la aproximación x i , la siguiente iteración se calcula con la fórmula: ) ( 1 i i x g x Supongamos que la raíz verdadera es x r , es decir, ) ( r r x g x Restando las últimas ecuaciones obtenemos: ) ( ) ( 1 i r i r x g x g x x Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si g(x) es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) entonces existe ξ Є (a, b) tal que a b a g b g g ) ( ) ( ) ( ' x . En nuestro caso, existe ξ en el intervalo determinado por x i y x r y tal que: i r i r x x x g x g g ) ( ) ( ) ( ' x De aquí tenemos que: ) )( ( ' ) ( ) ( i r i r x x g x g x g x Programación Aplicada Capítulo 2 – Ecuaciones No Lineales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 2 de 13 O bien, ) )( ( ' 1 i r i r x x g x x x Tomando valor absoluto en ambos lados, | || ) ( ' | | | 1 i r i r x x g x x x Observe que el término |x r –x i+1 | es precisamente el error absoluto en la (i+1)ésima iteración, mientras que el término |x r -x i | corresponde al error absoluto en la i-ésima iteración. Por lo tanto, solamente si |g’(ξ)| < 1, entonces se disminuirá el error en la siguiente iteración. En caso contrario, el error irá en aumento. En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si |g’(x)| < 1 para x en un intervalo [a, b] que contiene a la raíz y donde g(x) es continua y diferenciable, pero diverge si |g’(x)| > 1 en dicho intervalo. Analicemos nuestros ejemplos anteriores: En el ejemplo 1, g(x) = cos x y claramente se cumple la condición de que |g’(x)| < 1. Por lo tanto el método sí converge a la raíz. En el ejemplo 2, g(x) = x+tan x– e -x , en este caso |g’(x)| = |1 + sec 2 x + e -x | > 1. Por lo tanto, el método no converge a la raíz. Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos: Ejemplo 1 Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = cos x – x. comenzando con x 0 = 0 y hasta que |Є a | < 1%. Solución Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz. Aplicando la fórmula iterativa tenemos, x 1 = g(x 0 ) = cos 0 = 1 Con un error aproximado de 100% Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos, x 2 = g(x 1 ) = cos 1 = 0.540302305 Y un error aproximado de 85.08%. Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es: x 13 = 0.7414250866 Con un error aproximado igual al 0.78%. Ejemplo 2 Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = x 2 – 5x – e x . comenzando con x 0 = 0 y hasta que |Є a | < 1%. Solución Si despejamos la x del término lineal vemos que la ecuación equivale a x e x x 5 2 de donde, Programación Aplicada Capítulo 2 – Ecuaciones No Lineales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 3 de 13 5 ) ( 2 x e x x g En este caso, tenemos que 5 2 ) ( ' x e x x g . Un vistazo a la gráfica, nos convence que |g’(x)| < 1, para x Є [-1, 1], lo que es suficiente para deducir que el método sí converge a la raíz buscada. Aplicando la fórmula iterativa, tenemos: x 1 = g(x 0 ) = -0.2 Con un error aproximado del 100%. Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos: x 2 = g(x 1 ) = -0.1557461506 Con un error aproximado igual al 28.41%. En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: f(x) = x 2 – 5x – e x 5 ) ( 2 x e x x g x 5 2 ) ( ' x e x x g 5 2 1 i x i i e x x De donde vemos que la aproximación buscada es: x 5 = -0.164410064 Veremos a continuación un ejemplo del método de Punto Fijo con la siguiente ecuación: X 3 + X + 16 = 0 Se ve que no converge 2.1.2 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Este método, que es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. El método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo. En análisis numérico, el método de Newton-Raphson i Xi % de Error 0 0,0000000000 1 -0,2000000000 100,000000 2 -0,1557461506 28,414089 3 -0,1663039075 6,348472 4 -0,1638263720 1,512293 5 -0,1644100640 0,355022 Programación Aplicada Capítulo 2 – Ecuaciones No Lineales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 4 de 13 (conocido también como el método de Newton o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. 2.1.2.1 DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen. Supongamos que tenemos la aproximación x i a la raíz x r de f(x), Trazamos la recta tangente a la curva en el punto (x i , f(x i )); ésta cruza al eje x en un punto x i+1 que será nuestra siguiente aproximación a la raíz x r . Para calcular el punto x i+1 , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente m = f’(x i ) Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: y – f(x i ) = f’(x i )(x – x i ) Hacemos y = 0: - f(x i ) = f’(x i )(x - x i ) Y despejamos x: ) ( ' ) ( i i i x f x f x x Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación: ) ( ' ) ( 1 i i i i x f x f x x si 0 ) ( ' i x f Programación Aplicada Capítulo 2 – Ecuaciones No Lineales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 de 13 Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia. También observe que en el caso de que f’(x i ) = 0, el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intercepta al eje x en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso x i misma es una raíz de f(x). Ejemplo 1 Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de f(x) = e -x – ln x, comenzando con x 0 = 1 y hasta que |Є a | < 1%. Solución En este caso, tenemos que x e x f x 1 ) ( ' De aquí tenemos que: 1 )) ln( 1 ( 1 )) ln( ( 1 ) ln( 1 ) ln( 1 i i i i i i i i i x i i x x i i x i i x i i i x i x i i x i x i i e x x e e x x e x x e x x x e x e x x e x e x x Comenzamos con x 0 = 1 y obtenemos: 268941421 . 1 1 )) ln( 1 ( 0 0 0 0 0 0 0 1 x x x e x x e e x x x En este caso, el error aproximado es, % 19 . 21 % 100 268941421 . 1 1 268941421 . 1 0 x Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: De lo cual concluimos que la aproximación obtenida es: x 3 = 1.309799389 Ejemplo 2 Usar el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de f(x) = arctan x + x – 1, comenzando con x 0 = 0 y hasta que |Є a | < 1%. i X i % de Error 0 1,0000000000 1 1,2689414214 21,194156 2 1,3091084033 3,068270 3 1,3097993887 0,052755 1 )) ln( 1 ( 1 i i i x i i x x i i i e x x e e x x x Programación Aplicada Capítulo 2 – Ecuaciones No Lineales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 6 de 13 SOLUCIÓN En este caso, tenemos que 1 1 1 ) ( ' 2 x x f La cual sustituimos en la fórmula de Newton-Raphson para obtener: 1 1 1 1 ) arctan( 2 1 i i i i i x x x x x Comenzamos sustituyendo x 0 = 0 para obtener: 5 . 0 1 1 1 1 ) arctan( 2 0 0 0 0 1 x x x x x En este caso tenemos un error aproximado de % 100 % 100 5 . 0 0 5 . 0 x a Continuamos con el proceso hasta lograr el objetivo. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: De lo cual concluimos que la aproximación obtenida es: x 3 = 0.5202689918 Ejemplo 3 Usar el método de Newton-Raphson para aproximar raíces cuadradas de números reales positivos. Solución Sea R > 0.Queremos calcular x tal que R x ; elevando al cuadrado x 2 = R, o bien: x 2 – R = 0 Esto nos sugiere definir la función f(x) = x 2 – R de donde f’(x) = 2x. Al sustituir estos datos en la fórmula de Newton-Raphson nos da: i i i i x R x x x 2 2 1 La cual simplificada nos da: i i i x R x x 2 1 1 Esta fórmula era conocida por los antiguos griegos (Herón). Para fijar un ejemplo de su uso, pongamos R = 26 y apliquemos la fórmula obtenida, comenzando con x 0 = 5. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: i X i % de Error 0 0,0000000000 1 0,5000000000 100,000000 2 0,5201957728 3,882341 3 0,5202689918 0,014073 1 1 1 1 ) arctan( 2 1 i i i i i x x x x x Programación Aplicada Capítulo 2 – Ecuaciones No Lineales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 7 de 13 De lo cual concluimos que 26 ≈ 5.0990195136, la cual es correcta en todos sus dígitos. La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raíces n - ésimas de números reales positivos. Observe que cuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz, lo hace de una forma muy rápida y de hecho, observamos que el error aproximado disminuye a pasos agigantados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestro objetivo establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los métodos que hemos estudiado, cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor precisión la rapidez ó lentitud del método en estudio. Veremos a continuación un ejemplo del método de Newton Raphson, con la siguiente ecuación: X 3 + X + 16 = 0. f(x) = X 3 + X + 16 f’(x) = 3X 2 + 1 1 3 16 2 3 1 i i i i i x x x x x Al analizar con el método de la Newton Rapshon, en este ejemplo con un error menor a 0.0001 %; se encuentra la última raíz X(i): -2.3876865534 con 7 iteraciones. 2.1.3 MÉTODO DE LA SECANTE Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la derivada usando la siguiente aproximación: i i i i i x x x f x f x f 1 1 ) ( ) ( ) ( ' Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos: i i i i i i i i i i x x x f x f x f x x f x f x x 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) )( ( 1 1 1 i i i i i i i x f x f x x x f x x Que es la fórmula del método de la secante. Nótese que para poder calcular el valor de x i+1 , necesitamos conocer los dos valores anteriores x i y x i-1 . Obsérvese también que el método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo, encuentra la aproximación casi con la misma rapidez que el método de i X i % de Error 0 5,0000000000 1 5,1000000000 1,9607843 2 5,0990196078 0,0192271 3 5,0990195136 0,0000018 I x(i) % de Error aprox 1 1,0000000000 2 -3,5000000000 128,5714285714 3 -2,6953642384 29,8525798526 4 -2,4199896516 11,3791638155 5 -2,3880927130 1,3356658411 6 -2,3876866187 0,0170078584 7 -2,3876865534 0,0000027332 i i i x R x x 2 1 1 i i i x x x 26 2 1 1 Programación Aplicada Capítulo 2 – Ecuaciones No Lineales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 8 de 13 Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de éste último de no converger a la raíz. Ejemplo 1 Usar el método de la secante para aproximar la raíz de x e x f x 2 ) ( , comenzando con x 0 = 0, x 1 = 1 y hasta que |Є a | < 1% Solución Tenemos que f(x 0 ) = 1 y f(x 1 ) = -0.632120558, que sustituimos en la fórmula de la secante para calcular la aproximación x 2 : 612699837 . 0 ) ( ) ( ) )( ( 1 0 1 0 1 1 2 x f x f x x x f x x ) ( ) ( ) )( ( 1 1 1 i i i i i i i x f x f x x x f x x Con un error aproximado de: % 2 . 63 % 100 2 1 2 x x x x a Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: ) ( ) ( ) )( ( 2 2 1 2 1 1 1 i x i x i i i x i i x e x e x x x e x x i i i Haciendo operaciones algebraicas se resume a: 1 1 1 2 2 1 2 2 1 i i x x x i x i i x x e e e x e x x i i i i De lo cual concluimos que la aproximación a la raíz es: x 5 = 0.652918640 Ejemplo 2 Usar el método de la secante para aproximar la raíz de f(x) = arctan x - 2x + 1, comenzando con x 0 = 0 y x 1 = 1, y hasta que |Єa| < 1%. Solución Tenemos los valores f(x 0 ) = 1 y f(x 1 ) = -0.214601836, que sustituimos en la fórmula de la secante para obtener la aproximación x 2 823315073 . 0 ) ( ) ( ) )( ( 1 0 1 0 1 1 2 x f x f x x x f x x ) ( ) ( ) )( ( 1 1 1 i i i i i i i x f x f x x x f x x Con un error aproximado de: % 46 . 21 % 100 2 1 2 x x x x a Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: ) 1 2 ) (arctan( 1 2 ) arctan( ) )( 1 2 ) (arctan( 1 1 1 1 i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x Haciendo operaciones algebraicas se llega a: i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x 2 2 ) arctan( ) arctan( ) arctan( ) arctan( 1 1 1 1 1 1 i x(i) % Error Aprox 0 0,000000000 1 1,000000000 100,00000 2 0,612699837 63,21206 3 0,653442133 6,23503 4 0,652917265 0,08039 5 0,652918640 0,00021 i x(i) % Error Aprox 0 0,000000000 1 1,000000000 100,00000 2 0,823315073 21,46018 3 0,852330280 3,40422 4 0,853169121 0,09832 5 0,853164044 0,00060 Programación Aplicada Capítulo 2 – Ecuaciones No Lineales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 9 de 13 De lo cual concluimos que la aproximación a la raíz es: x 5 = 0.853164044 Veremos a continuación un ejemplo del método de la secante, con la siguiente función: f(x) = x 3 + x + 16, comenzando con x 0 = -3 y x 1 = -2 ) ( ) ( ) )( ( 1 1 1 i i i i i i i x f x f x x x f x x Reemplazando las funciones y variables: ) 16 ( 16 ) )( 16 ( 3 1 3 1 1 3 1 i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x Realizando operaciones algebraicas se tiene: i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x 1 3 3 1 1 3 1 3 1 1 16 16 Terminando de analizar el método de la secante, en este ejemplo con un error menor al 0.0001 %; se encuentra la última raiz (X i ): -2.3876865535 con 7 iteraciones. 2.1.4 MÉTODO DE LA BISECCIÓN El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo: Teorema del Valor Intermedio Sea f(x) continua en un intervalo [a, b] y supongamos que f(a) < f(b). Entonces para cada z tal que f(a) < z < f(b), existe un x 0 Є (a, b) tal que f(x 0 ) = z. La misma conclusión se obtiene para el caso que f(a) > f(b). Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios. En particular, si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente z = 0, y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir x 0 Є (a, b) tal que f(x 0 ) = 0, es decir, debe haber por lo menos una raíz de f(x) en el intervalo (a, b). El método de bisección sigue los siguientes pasos: Sea f(x) continua, 1) Encontrar valores iniciales x a , x b tales que f(x a ) y f(x b ) tienen signos opuestos, es decir, f(x a ).f(x b ) < 0 2) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre x a y x b , 2 b a r x x x : 3) Evaluar f(x r ). Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos: a) f(x a ).f(x r ) < 0 En este caso, tenemos que f(x a ) y f(x r ) tienen signos opuestos y por tanto la raíz se encuentra en el intervalo [x a , x r ]. b) f(x a ).f(x r ) > 0 En este caso, tenemos que f(x a ) y f(x r ), tienen el mismo signo y de aquí que f(x r ) y f(x b ) tienen signos opuestos. Por tanto, la raíz se encuentra en el intervalo [x r , x b ]. c) f(x a ).f(x r ) = 0 En este caso se tiene que f(x r ) = 0 y por tanto ya localizamos la raíz. i x i % de Error 0 -3,0000000000 1 -2,0000000000 50,000000 2 -2,3000000000 13,043478 3 -2,4029550034 4,284516 4 -2,3871468897 0,662218 5 -2,3876833053 0,022466 6 -2,3876865541 0,000136 7 -2,3876865535 0,000000 Programación Aplicada Capítulo 2 – Ecuaciones No Lineales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 10 de 13 El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que: |Є a | < Є r , es decir, r actual previa actual x x x x < % 100 Ejemplo 1 Aproximar la raíz de f(x) = e -x – ln x hasta que |Є a | < 1% Solución La única raíz de f(x) se localiza en el intervalo [1, 1.5]. Así que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos controlar que f(1) y f(1.5) tengan signos opuestos. En efecto, tenemos que f(1) = e -1 – ln 1 = e -1 > 0 (Sabemos que e = 2.71828182845905 Mientras que f(1.5) = e -1.5 – ln (1.5) = -0.18233 < 0 Cabe mencionar que la función f(x) sí es continua en el intervalo [1, 1.5]. Así pues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección. Comenzamos: 1) Calculamos el punto medio (que es nuestra primera aproximación a la raíz): 25 . 1 2 5 . 1 1 1 r x 2) Evaluamos f(1.25) = e -1.25 – ln(1.25) = 0.0636 > 0 3) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la siguiente tabla: Por tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1.25, 1.5]. En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo [1.25, 1.5]. Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz): 375 . 1 2 5 . 1 25 . 1 2 r x Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación previa: % 09 . 9 % 100 2 1 2 x x x x r r r a Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso. Evaluamos f(1.375) = e -1.375 – ln(1.375) = - 0.06561 < 0, y hacemos la tabla de signos: Programación Aplicada Capítulo 2 – Ecuaciones No Lineales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 11 de 13 Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1.25, 1.375]. Calculamos el punto medio, 3125 . 1 2 375 . 1 25 . 1 3 r x Y calculamos el nuevo error aproximado: % 76 . 4 % 100 3 2 3 x x x x r r r a El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo. Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla: i a R b f(a) f(r) f(b) % de Err 0 1,000000 1,250000 1,500000 0,367879 0,063361 -0,182335 1 1,250000 1,375000 1,500000 0,063361 -0,065614 -0,182335 9,090909 2 1,250000 1,312500 1,375000 0,063361 -0,002787 -0,065614 4,761905 3 1,250000 1,281250 1,312500 0,063361 0,029854 -0,002787 2,439024 4 1,281250 1,296875 1,312500 0,029854 0,013427 -0,002787 1,204819 5 1,296875 1,304688 1,312500 0,013427 0,005294 -0,002787 0,598802 6 1,304688 1,308594 1,312500 0,005294 0,001247 -0,002787 0,298507 La aproximación buscada y con un rango de error menor al originalmente planteado se alcanza en la 6ta iteración y es igual a: x ri = 1.308594 Ejemplo 2 Aproximar la raíz de f(x) =arctan x + x - 1 hasta que |Є a | < 1%. Solución Como vimos en el ejemplo 2 de la sección anterior, la única raíz de f(x) se localiza en el intervalo [0, 1]. Para poder aplicar el método de bisección, es importante controlar que se cumplen las hipótesis requeridas. Sabemos que f(x) es continua en el intervalo [0, 1], y controlamos que f(0) y f(1) tengan signos opuestos. En efecto, f(0) = arctan 0 + 0 – 1 = -1 < 0 Mientras que, f(1) = arctan 1 + 1 – 1 = 0.7853 > 0 Por tanto, sí podemos aplicar el método de bisección. Calculamos el punto medio del intervalo [0, 1], 5 . 0 2 0 1 1 r x Que es la primera aproximación a la raíz de f(x) Evaluamos f(0.5) = arctan(0.5) + 0.5 – 1 = -0.0363 < 0 y hacemos nuestra tabla de signos, Programación Aplicada Capítulo 2 – Ecuaciones No Lineales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 12 de 13 Puesto que f(0.5) y f(1) tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en el intervalo [0.5, 1] En este punto, solo contamos con una aproximación, a saber x r1 = 0.5, que es el primer punto medio calculado. Repetimos el proceso, es decir, calculamos el punto medio ahora del intervalo [0.5, 1] 75 . 0 2 5 . 0 1 2 r x Que es la nueva aproximación a la raíz de f(x). Aquí podemos calcular el primer error aproximado: % 33 . 33 % 100 75 . 0 5 . 0 75 . 0 x a Puesto que no se cumple el objetivo, continuamos con el proceso. Evaluamos f(0.75) = arctan(0.75) + 0.75 – 1 = 0.3935 > 0. y hacemos la tabla de signos: Puesto que f(0.5) y f(0.75) tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en el intervalo [0.5, 0.75]. Calculamos el punto medio, 625 . 0 2 75 . 0 5 . 0 3 r x Y el nuevo error aproximado: % 20 % 100 625 . 0 75 . 0 625 . 0 x a El proceso se debe continuar hasta que se logre el objetivo. Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla: i a R b f(a) f(r) f(b) % de Error 0 0,000000 0,500000 1,000000 -1,000000 -0,036352 0,785398 1 0,500000 0,750000 1,000000 -0,036352 0,393501 0,785398 33,333333 2 0,500000 0,625000 0,750000 -0,036352 0,183599 0,393501 20,000000 3 0,500000 0,562500 0,625000 -0,036352 0,074889 0,183599 11,111111 4 0,500000 0,531250 0,562500 -0,036352 0,019584 0,074889 5,882353 5 0,500000 0,515625 0,531250 -0,036352 -0,008306 0,019584 3,030303 6 0,515625 0,523438 0,531250 -0,008306 0,005659 0,019584 1,492537 7 0,515625 0,519531 0,523438 -0,008306 -0,001319 0,005659 0,751880 8 0,519531 0,521484 0,523438 -0,001319 0,002171 0,005659 0,374532 9 0,519531 0,520508 0,521484 -0,001319 0,000427 0,002171 0,187617 De lo cual, vemos que la aproximación buscada es x r9 = 0.520508. El método de bisección por lo general es lento y en casos como el de la siguiente gráfica, puede ser demasiado lento. Programación Aplicada Capítulo 2 – Ecuaciones No Lineales Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 13 de 13 En un caso como éste, el proceso de bisección comienza a acercarse a la raíz de forma muy lenta, ya que el método solamente toma en cuenta que la raíz se encuentra dentro del intervalo, sin importar si se encuentra más cerca de alguno de los extremos del intervalo. Veremos a continuación un ejemplo del método de la bisección. Aproximar la siguiente función: f(x) = x 3 + x + 16 hasta un rango de error menor a 0.01 % i a r b f(a) F(r) f(b) % de Error 0 -3,000000 -2,500000 -2,000000 -14,000000 -2,125000 6,000000 1 -2,500000 -2,250000 -2,000000 -2,125000 2,359375 6,000000 11,111111 2 -2,500000 -2,375000 -2,250000 -2,125000 0,228516 2,359375 5,263158 3 -2,500000 -2,437500 -2,375000 -2,125000 -0,919678 0,228516 2,564103 4 -2,437500 -2,406250 -2,375000 -0,919678 -0,338531 0,228516 1,298701 5 -2,406250 -2,390625 -2,375000 -0,338531 -0,053257 0,228516 0,653595 6 -2,390625 -2,382813 -2,375000 -0,053257 0,088066 0,228516 0,327869 7 -2,390625 -2,386719 -2,382813 -0,053257 0,017514 0,088066 0,163666 8 -2,390625 -2,388672 -2,386719 -0,053257 -0,017844 0,017514 0,081766 9 -2,388672 -2,387695 -2,386719 -0,017844 -0,000159 0,017514 0,040900 10 -2,387695 -2,387207 -2,386719 -0,000159 0,008679 0,017514 0,020454 11 -2,387695 -2,387451 -2,387207 -0,000159 0,004261 0,008679 0,010226 12 -2,387695 -2,387573 -2,387451 -0,000159 0,002051 0,004261 0,005113 13 -2,387695 -2,387634 -2,387573 -0,000159 0,000946 0,002051 0,002556 Se logró aproximar la raíz de la función f(x) = x 3 + x + 16, además de analizar el método de la bisección. En este ejemplo con un error de 0.002556; se encuentra la última raiz(X i ): -2.387634 en 13 iteraciones. Ing. Hermas Herrera Callejas Página : 1 de 33 CAPITULO 3 – SISTEMAS DE ECUACIONES 3.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un gran número de problemas prácticos de ingeniería se reduce al problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, puede citarse la solución de sistemas de ecuaciones no lineales, la aproximación polinomial, la solución de ecuaciones diferenciales parciales, entre otros. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene la forma general 1 1 2 12 1 11 ... q p a p a p a n n 2 2 2 22 1 21 ... q p a p a p a n n 3.1 ... ... ... . m n mn m m q p a p a p a ... 2 2 1 1 Con la notación matricial se puede escribir la ecuación anterior como mn m m n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11 x n p p p ... 2 1 = m q q q ... 2 1 Y concretamente como A p = q., donde A es la matriz coeficiente del sistema, p el vector incógnita y q el vector de términos independientes. Dados A y q, se entiende por resolver el sistema (Ec. 3.1) encontrar los vectores p que lo satisfagan. A continuación estudiaremos las técnicas que permiten encontrar p mediante los métodos directos y los métodos iterativos. 3.2 MÉTODOS DIRECTOS DE SOLUCIÓN Son aplicables a sistemas de ecuaciones lineales de tamaño pequeño o mediano. La particularidad es que obtienen las soluciones exactas mediante operaciones algébricas y trabajando con todo el sistema a la vez. Los sistemas grandes presentan la inconveniencia de requerir mucha memoria del computador, la cual a veces puede ser insuficiente. Han sido planteados diversos métodos de solución y la literatura sobre solución de sistemas lineales está enriquecida con interesantes aportes. A continuación se describirán algunos de los métodos mas aplicables a la simulación matemática de reservorios con una relativamente pequeña cantidad de bloques. El prototipo de todos estos métodos se conoce como la eliminación de Gauss y se presenta a continuación. 3.2.1 ELIMINACIÓN DE GAUSS Considérese un sistema general de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas a 11 p 1 + a 12 p 2 + a 13 p 3 = q 1 a 21 p 1 + a 22 p 2 + a 23 p 3 = q 2 3.2 a 31 p 1 + a 32 p 2 + a 33 p 3 = q 3 Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 2 de 33 Que es representado de la siguiente manera: 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a 3 2 1 p p p = 3 2 1 q q q A p = q Básicamente este método tiene el objetivo de convertir la matriz A en una matriz triangular, cuyos elementos inferiores son ceros; para ello hay que multiplicar convenientemente una fila por un elemento y sumarla a otra. Como primer paso, se remplaza la segunda ecuación con lo que resulte de sumarle la primera ecuación multiplicada por (-a 21 /a 11 ), con lo que se obtiene un 0 en la posición de a 21 . Similarmente se sustituye la tercera ecuación con el resultado de sumarle la primera ecuación multiplicada por (-a 31 /a 11 ). Esto da lugar al nuevo sistema: 11 31 13 33 11 31 12 32 11 21 13 23 11 21 12 22 13 12 11 / / 0 / / 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 3 2 1 p p p = 11 31 1 3 11 21 1 2 1 / / a a q q a a q q q Simbólicamente los nuevos valores pueden representarse más simplificadamente así: ' 33 ' 32 ' 23 ' 22 13 12 11 0 0 a a a a a a a 3 2 1 p p p = ' 3 ' 2 1 q q q 3.3 Donde las a’ y las q’ son los nuevos elementos que se obtienen de las operaciones ya mencionadas, y donde p 1 se ha eliminado en la segunda y tercera ecuaciones. Ahora, multiplicando la segunda ecuación de 3.3 por (-a 32 ‘/a 22 ’) y sumando el resultado a la tercera ecuación de 3.3, se obtiene el sistema triangular: ' 22 ' 32 ' 23 ' 33 ' 23 ' 22 13 12 11 / 0 0 0 a a a a a a a a a 3 2 1 p p p = ' 22 ' 32 ' 2 ' 3 ' 2 1 / a a q q q q Que simbólicamente puede representarse más simplificadamente así: " 33 ' 23 ' 22 13 12 11 0 0 0 a a a a a a 3 2 1 p p p = " 3 ' 2 1 q q q 3.4 Donde a 33 ” y q 3 “, resultaron de las operaciones realizadas y P 2 se ha eliminado de la tercera ecuación. El proceso de llevar el sistema de ecuaciones 3.2 a la forma de la ecuación 3.4 se conoce como triangularización. El sistema en la forma de la ecuación 3.4 se resuelve despejando de su última ecuación p 3 , sustituyendo p 3 en la segunda ecuación y despejando P 2 de ella, por último, con p 3 y p 2 sustituidas en la primera ecuación de 3.4 se obtiene p 1 . Esta parte del proceso se llama sustitución regresiva. Antes de ilustrar la eliminación de Gauss con un ejemplo particular, nótese que no es necesario conservar p 1 , p 2 y p 3 en la triangularización y que ésta puede llevarse a cabo usando solamente la matriz coeficiente A y el vector q. Para mayor simplicidad se empleará la matriz aumentada B. Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 3 de 33 B = 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 q a a a q a a a q a a a = [A | q] Con esto se incorporan la notación matricial y todas sus ventajas a la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Ejemplo 3.1 Resuelva por eliminación de Gauss el sistema: 4p 1 - 9p 2 + 2p 3 = 500 2p 1 - 4p 2 + 6p 3 = 300 p 1 - p 2 + 3p 3 = 400 SOLUCIÓN La matriz aumentada del sistema es 400 3 1 1 300 6 4 2 500 2 9 4 Triangularización.- Al sumar la primera ecuación multiplicada por (-2/4) a la segunda, y la primera ecuación multiplicada por (-1/4) a la tercera, resulta: 275 5 . 2 25 . 1 0 50 5 5 . 0 0 500 2 9 4 Obsérvese que en este paso la primera fila se conserva sin cambio. Sumando la segunda fila multiplicada por (-1.25/0.5) a la tercera se obtiene la matriz 150 10 0 0 50 5 5 . 0 0 500 2 9 4 Que en términos de sistemas de ecuaciones quedaría como 4p 1 - 9p 2 + 2p 3 = 500 0.5p 2 + 5p 3 = 50 3.5 -10p 3 = 150 Un proceso de sustitución regresiva produce el resultado buscado. La tercera ecuación de 3.5 da el valor de p 3 = -15. De la segunda ecuación se obtiene entonces 0.5P 2 = 50 - 5p 3 = 125. Y por tanto P 2 = 250 Finalmente al sustituir p 2 y p 3 en la primera ecuación de la forma 3.5 resulta 4p 1 = 500 + 9p 2 – 2p 3 = 2780. De modo que p 1 = 695 Con la sustitución de estos valores en el sistema original se verifica la exactitud de los resultados. 3.2.2 ELIMINACIÓN DE GAUSS CON PIVOTEO En la eliminación de p 1 de la segunda y tercera ecuaciones de la forma 3.2 se tomó como base la primera, por lo cual se denomina ecuación pivote o, en términos de la notación matricial, fila pivote. Para eliminar P 2 de la tercera ecuación de la Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 4 de 33 forma 3.3, la fila pivote utilizada fue la segunda. El coeficiente de la incógnita que se va a eliminar en la fila pivote se llama pivote. En la eliminación que dio como resultado el sistema de ecuaciones 3.4, los pivotes fueron a 11 y a 22 ’. Esta elección natural de los pivotes a 11 , a 22 ’, a 33 ”, etc., es muy conveniente tanto para trabajar con una calculadora como con una computadora, desafortunadamente falla cuando alguno de esos elementos es cero, puesto que los multiplicadores quedarían indeterminados (por ejemplo si a 11 fuera cero, el multiplicador (a 21 /a 11 ) no está definido). Una manera de evitar esta posibilidad es seleccionar como pivote el coeficiente de máximo valor absoluto en la columna relevante de la matriz reducida. Como antes, se tomarán las columnas en orden natural de modo que se vayan eliminando las incógnitas también en orden natural p 1 , p 2 , p 3 , etc. Esta técnica, llamada pivoteo, se ilustra con la solución del siguiente sistema. Ejemplo 3.2 Resuelva el sistema 10p1 + p 2 - 5p 3 = 100 -20p1 + 3p 2 + 20p 3 = 200 3.6 5p1 + 3p2 + 5p 3 = 600 SOLUCIÓN La matriz aumentada es 600 5 3 5 200 20 3 20 100 5 1 10 El primer pivote debe ser (-20), ya que es el elemento de máximo valor absoluto en la primera columna. Vamos a la forma triangular en la eliminación. Para esto es necesario, por ejemplo en la ecuación 3.6, intercambiar la segunda fila (donde se encuentra el elemento de máximo valor absoluto) con la primera, con lo que se obtiene 600 5 3 5 100 5 1 10 200 20 3 20 Se elimina entonces P 1 de la segunda y tercera filas de la ecuación 3.6. Para ello, se suma a la segunda fila la primera multiplicada por (-10/(-20)), y a la tercera fila la primera multiplicada por (-5/(-20)). Con esto se reduce en la primera eliminación a 650 10 75 . 3 0 200 5 5 . 2 0 200 20 3 20 El siguiente pivote debe seleccionarse entre la segunda y tercera filas (segunda columna) y en este caso es (3.75). se intercambian la segunda y la tercera filas de la matriz anterior para obtener 200 5 5 . 2 0 650 10 75 . 3 0 200 20 3 20 Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 de 33 Sumando a la tercera fila la segunda multiplicada por (-2.5/3.75), al eliminar p 2 resulta 3 . 233 666 . 1 0 0 650 10 75 . 3 0 200 20 3 20 Que tiene ya la forma triangular y está lista para la sustitución regresiva que proporciona los siguientes valores: 140 666 . 1 3 . 233 3 p . De la tercera ecuación 200 75 . 3 ) 140 ( 10 650 2 p . De la segunda ecuación. Y finalmente: 100 20 ) 140 ( 20 ) 200 ( 3 200 1 p . De la primera ecuación Para terminar el tema, comparemos las técnicas de eliminación de Gauss con pivoteo y sin éste. Por brevedad, la primera se denominará GP y la segunda G. 1. La búsqueda del coeficiente de mayor valor absoluto que se usará como pivote y el intercambio de filas significa mayor programación en GP. 2. Encontrar en GP un pivote igual a cero significaría que se trata de una matriz coeficiente A singular y que el sistema A p = q no tiene solución única. Encontrar en G un pivote igual a cero detendría el proceso de triangularización. A pesar de la programación adicional y el mayor tiempo de máquina que se emplea en el método de Gauss con pivoteo, sus otras ventajas borran totalmente estas desventajas en la práctica. 3.2.3 ELIMINACIÓN DE GAUSS - JORDAN Es posible extender los métodos vistos de modo que las ecuaciones se reduzcan a una forma en que la matriz coeficiente del sistema sea diagonal y ya no se requiera la sustitución regresiva. Los pivotes se eligen como en el método de Gauss con pivoteo, y una vez intercambiadas las filas se eliminan los elementos arriba y debajo del pivote. El sistema del ejemplo 3.3 ilustra este método. Ejemplo 3.3 Por eliminación de Jordan, resuelva el sistema 4p 1 - 9p 2 + 2p 3 = 500 2p 1 - 4p 2 + 6p 3 = 300 p 1 - p 2 + 3p 3 = 400 SOLUCION La matriz aumentada del sistema es 400 3 1 1 300 6 4 2 500 2 9 4 Como en la primera columna el elemento de máximo valor absoluto se encuentra en la primera fila, ningún intercambio es necesario y el primer paso de eliminación produce Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 6 de 33 275 5 . 2 25 . 1 0 50 5 5 . 0 0 500 2 9 4 El elemento de máximo valor absoluto en la parte relevante de la segunda columna (filas 2 y 3) es 1.25; por tanto, la fila 3 debe intercambiarse con la 2. 50 5 5 . 0 0 275 5 . 2 25 . 1 0 500 2 9 4 Sumando la segunda fila multiplicada por (-(-9)/1.25), a la primera fila y la segunda multiplicada por (-0.5/1.25) a la tercera, se obtiene el nuevo arreglo 60 4 0 0 275 5 . 2 25 . 1 0 2480 20 0 4 Donde se han eliminado los elementos de arriba y abajo del pivote (nótese que en este paso el primer pivote no se modifica porque sólo hay ceros debajo de él). Por último, sumando la tercera fila multiplicada por (-20/4) a la primera fila y la tercera multiplicada por (-2.5/4) a la segunda 60 4 0 0 5 . 312 0 25 . 1 0 2780 0 0 4 Que escrita de nuevo como sistema de ecuaciones da 4p 1 = 2780 1.25p 2 = 312.5 4p 3 = -60 De donde el resultado final se obtiene fácilmente 695 4 / 2780 1 p 250 25 . 1 / 5 . 312 2 p 15 4 / 60 3 p 3.2.4 MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN DE DOOLITLE Y CROUT. Consiste en descomponer la matriz A en dos matrices: una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U para aplicarse al sistema A p = q sin intercambio de filas. El resultado anterior permite resolver el sistema A p = q, ya que sustituyendo A por LU se tiene LUp = q Se hace U p = g, donde g es un vector desconocido T n g g g g ... 3 2 1 , que se puede obtener fácilmente resolviendo el sistema Lg =q Con sustitución progresiva o hacia adelante, ya que L es triangular inferior. Una vez calculado g, se resuelve Up = g Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 7 de 33 Con sustitución regresiva, ya que U es triangular superior y de esa manera se obtiene el vector solución p. Para encontrar las matrices triangulares se analiza la factorización de A en las matrices generales L y U, dadas a continuación 3 , 3 2 , 3 1 , 3 2 , 2 1 , 2 1 , 1 0 0 0 l l l l l l 3 , 3 3 , 2 2 , 2 3 , 1 2 , 1 1 , 1 0 0 0 u u u u u u = 3 , 3 2 , 3 1 , 3 3 , 2 2 , 2 1 , 2 3 , 1 2 , 1 1 , 1 a a a a a a a a a 3.7 Se multiplican a)Primera fila de L por las tres columnas de U 1 , 1 1 , 1 1 , 1 a u l 2 , 1 2 , 1 1 , 1 a u l 3 , 1 3 , 1 1 , 1 a u l b)Segunda fila de L por las tres columnas de U 1 , 2 1 , 1 1 , 2 a u l 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 , 1 1 , 2 a u l u l 3 , 2 3 , 2 2 , 2 3 , 1 1 , 2 a u l u l c) Tercera fila de L por las tres columnas de U 1 , 3 1 , 1 1 , 3 a u l 2 , 3 2 , 2 2 , 3 2 , 1 1 , 3 a u l u l 3 , 3 3 , 3 3 , 3 3 , 2 2 , 3 3 , 1 1 , 3 a u l u l u l Se llega a un sistema de nueve ecuaciones con 12 incógnitas , , , , , , 3 , 3 2 , 3 1 , 3 2 , 2 1 , 2 1 , 1 l l l l l l 3 , 3 3 , 2 2 , 2 3 , 1 2 , 1 1 , 1 , , , , , u u u u u u , por lo que será necesario establecer tres condiciones arbitrarias sobre las incógnitas para resolver dicho sistema. La forma de seleccionar las condiciones ha dado lugar a diferentes métodos; por ejemplo, si se toman de modo que 1 3 , 3 2 , 2 1 , 1 l l l , se obtiene el método de Doolitle; si en cambio se selecciona 1 3 , 3 2 , 2 1 , 1 u u u , el algoritmo resultante es llamado método de Crout. Se continuará el desarrollo de la factorización. Tómese 1 3 , 3 2 , 2 1 , 1 l l l Con estos valores se resuelven las ecuaciones directamente en el orden en que están dadas De (a) u 1,1 = a 1 , 1 u 1,2 = a 1,2 u 1,3 = a 1,3 3.8 De (b) y sustituyendo los resultados (Ec. 3.8) 1 , 1 1 , 2 1 , 1 1 , 2 1 , 2 a a u a l 2 , 1 1 , 1 1 , 2 2 , 2 2 , 1 1 , 2 2 , 2 2 , 2 a a a a u l a u 3.9 3 , 1 1 , 1 1 , 2 3 , 2 3 , 1 1 , 2 3 , 2 3 , 2 a a a a u l a u De (c) y sustituyendo los resultados de las ecuaciones 3.8 y 3.9 Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 8 de 33 1 , 1 1 , 3 1 , 1 1 , 3 1 , 3 a a u a l 2 , 1 1 , 1 1 , 2 2 , 2 2 , 1 1 , 1 1 , 3 2 , 3 2 , 2 2 , 1 1 , 3 2 , 3 2 , 3 a a a a a a a a u u l a l 3.10 3 , 1 1 , 1 1 , 2 3 , 2 2 , 1 1 , 1 1 , 2 2 , 2 2 , 1 1 , 1 1 , 3 2 , 3 3 , 1 1 , 1 1 , 3 3 , 3 3 , 2 2 , 3 3 , 1 1 , 3 3 , 3 3 , 3 a a a a a a a a a a a a a a a a u l u l a u Las ecuaciones 3.8, 3.9 y 3.10, convenientemente generalizadas constituyen un método directo para la obtención de L y U, con la ventaja sobre la triangularización de que no se tiene que escribir repetidamente las ecuaciones o arreglos modificados de Ap = q. A continuación se resuelve un ejemplo. Ejemplo 3.4 Resuelva por el método de Doolitle el sistema 4p 1 -9p 2 + 2p 3 = 5 2p 1 -4p 2 + 6p 3 = 3 p 1 -p 2 + 3p 3 = 4 SOLUCIÓN Con 1 3 , 3 2 , 2 1 , 1 l l l , se procede al cálculo de la primera fila de U u 1,1 = 4 u 1,2 = -9 u 1,3 = 2 Cálculo de la primera columna de L l 1,1 = 1 (dato) l 2,1 = 2/4 = 0.5 l 3,1 = ¼ = 0.25 Cálculo de la segunda fila de U u 2,1 = 0 (recuérdese que U es triangular superior) u 2,2 = -4 –(2/4)(-9) = 0.5 u 2,3 = 6 –(2/4)(2) = 5 Cálculo de la segunda columna de L l 1,2 = 0 (ya que L es triangular inferior) l 2,2 = 1 (dato) l 3,2 = (-1-(1/4)(-9))/(-4-(2/4)(-9)) = 2.5 Cálculo de la tercera fila de U, o más bien sus elementos faltantes, ya que por ser triangular superior u 31 = u 32 = 0 u 3,3 = 3 -(1/4)(2) -[(-l-(1/4)(-9))/(-4-(2/4)(-9))](6-(2/4)(2)) = - 10 Con esto se finaliza la factorización. Las matrices L y U quedan como sigue L = 1 5 . 2 25 . 0 0 1 5 . 0 0 0 1 U = 10 0 0 5 5 . 0 0 2 9 4 Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 9 de 33 Cuyo producto, como ya se comprobó, da A. Se resuelve el sistema Lg = q, donde q es el vector de términos independientes del sistema original 1 5 . 2 25 . 0 0 1 5 . 0 0 0 1 3 2 1 g g g = 4 3 5 g 1 = 5 g 2 = 3 –0.5(5) = 0.5 g 3 = 4 –0.25(5) –2.5 (0.5) = 1.5 Y, finalmente, al resolver el sistema Up = g se tiene la solución del sistema original 10 0 0 5 5 . 0 0 2 9 4 3 2 1 p p p = 5 . 1 5 . 0 5 p 3 = -0.15 p 2 = (0.5 –5(-0.15))/0.5 = 2.5 p 1 =(5 + 9(2.5) -2(-0.15))/4 = 6.95 p = 15 . 0 5 . 2 95 . 6 Las ecuaciones 3.8, 3.9 y 3.10 se generalizan para factorizar la matriz coefi- ciente del sistema Ap = q, que puede resolverse por eliminación de Gauss sin intercambio de filas; se tiene entonces 1 1 , , , , i k j k k i j i j i u l a u j = i+1, … ,n ) ( 1 1 1 , , , , , j k k i j k j i j i j i l u a u l i = j+1, … ,n 3.11 1 , i i l i = i+1, … ,n Con la convención en las sumatorias que 0 1 0 k Puede observarse al seguir las ecuaciones 3.8, 3.9, 3.10 o bien las ecuaciones 3.11, que una vez empleada a i,j el cálculo de u i,j o li,j según sea el caso, esta componente de A no vuelve a emplearse como tal, por lo que las componentes de L y U generadas pueden guardarse en A y ahorrar memoria de esa manera. 3.3 MÉTODOS ITERATIVOS Al resolver un sistema de ecuaciones lineales por eliminación, la memoria de máquina requerida es proporcional al cuadrado del orden de A, y el trabajo com- putacional es proporcional al cubo del orden de la matriz coeficiente A. Debido a esto, la solución de sistemas lineales grandes (n 50), con matrices coeficiente densas, se vuelve costoso y difícil en una computadora con los métodos de eliminación, ya que se requiere amplia memoria. Además, como el número de operaciones que se debe ejecutar es muy grande, se pueden producir errores de Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 10 de 33 redondeo también muy grandes. Sin embargo, se han resuelto sistemas de orden 1000, y aun mayor, con los métodos que se estudiarán en esta sección. Estos sistemas de un número muy grande de ecuaciones se presentan en la so- lución numérica de ecuaciones diferenciales parciales, en la solución de los modelos resultantes en la simulación de columnas de destilación, etc. En favor de estos sis- temas, puede decirse que tienen matrices con pocos elementos distintos de cero y que éstas poseen ciertas propiedades (simétricas, bandeadas, diagonal dominantes, etc.), que permiten garantizar éxito en la aplicación de los métodos de esta sección. La solución se obtiene mediante aproximaciones sucesivas; la ventaja que tienen sobre los métodos directos es que pueden manejar sistemas grandes de ecuaciones, porque no es necesario que todas las ecuaciones estén en la memoria del computador. La desventaja relativa radica en el hecho de que los métodos pueden crear inestabilidad y perder la convergencia de las soluciones. Considérese el siguiente sistema: Ap = q Asumiendo que se obtiene una solución aproximada p 0 , esta aproximación tendrá un error ε 0 respecto a la solución exacta, tal que: p = p 0 + ε 0 Por lo tanto: Ap = Ap 0 + Aε 0 O sea: Aε 0 = q - Ap 0 Este vector se llama vector residual, y naturalmente es 0 para solución exacta. 3.3.1 MÉTODOS DE JACOBI Y GAUSS-SEIDEL Se puede aplicar esta técnica para elaborar métodos de solución de Ap =q, de la manera siguiente. Se parte de Ap =q para obtener la ecuación Ap - q =0, 3.12 Ecuación vectorial correspondiente a f(p) = 0. Se busca ahora una matriz B y un vector c, de manera que la ecuación vectorial p =Bp + c, 3.13 Sea sólo un arreglo de la ecuación 3.12; es decir, de manera que la solución de una sea también la solución de la otra. La ecuación 3.13 correspondería a p =g(p). A continuación se propone un vector inicial p (0) como primera aproximación al vector solución p. Luego, se calcula con la ecuación 3.14 la sucesión vectorial p (1) , p (2) , ...,de la siguiente manera p (k+1) = Bp (k) +c, k = 0, 1, 2, ... Donde T k n k k k p p p p ... 2 1 ) ( p (k) 3.14 Para que la sucesión p (0) , p (1) , ..., p (n) , ..., converja al vector solución p es necesario que eventualmente p j m , 1 j n (los componentes del vector p (m) ), se aproximen tanto a p j, 1 j n (los componentes correspondientes a p) que todas las diferencias j m j p p , 1 j n sean menores que un valor pequeño previamente fijado, y que se conserven menores para todos los vectores siguientes de la iteración; es decir j m j m p p lim 1 j n 3.15 La forma como se llega a la ecuación 4.13 define el algoritmo y su convergencia. Dado el sistema Ap =q, la manera más sencilla es despejar p 1 de la Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 11 de 33 primera ecuación, p 2 de la segunda, etc. Para ello, es necesario que todos los elementos de la diagonal principal de A, por razones obvias, sean distintos de cero. Para ver esto en detalle considérese el sistema general de tres ecuaciones (naturalmente puede extenderse a cualquier número de ecuaciones). Sea entonces a 11 p 1 + a 12 p 2 + a 13 p 3 = q 1 a 21 p 1 + a 22 p 2 + a 23 p 3 = q 2 a 31 p 1 + a 32 p 2 + a 33 p 3 = q 3 Con , a 11, a 22 y a 33 distintos de cero. Se despeja p 1 de la primera ecuación, p 2 de la segunda y p 3 de la tercera con lo que se obtiene 33 3 2 33 32 1 33 31 3 22 2 3 22 23 1 22 21 2 11 1 3 11 13 2 11 12 1 a q p a a p a a p a q p a a p a a p a q p a a p a a p 3.16 Que en notación matricial queda 3 2 1 p p p = 0 0 0 33 32 33 31 22 23 22 21 11 13 11 12 a a a a a a a a a a a a 3 2 1 p p p + 33 3 22 2 11 1 a q a q a q 4.17 Y ésta es la ecuación 3.14 desarrollada, con B = 0 0 0 33 32 33 31 22 23 22 21 11 13 11 12 a a a a a a a a a a a a y c = 33 3 22 2 11 1 a q a q a q Una vez que se tiene la forma 3.17, se propone un vector inicial p (0) que puede ser p (0) = 0, o algún otro que sea aproximado al vector solución p. Se presenta a continuación un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método iterativo, en sus dos versiones, desplazamientos simultáneos y desplazamientos sucesivos 3.3.1.1 ITERACIÓN DE JACOBI (DESPLAZAMIENTOS SIMULTÁNEOS) Si k k k k p p p p 3 2 1 ) ( 3.18 Es el vector aproximación a la solución p después de k iteraciones, entonces se tiene para la siguiente aproximación Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 12 de 33 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 2 32 1 31 3 33 3 23 1 21 2 22 3 13 2 12 1 11 1 3 1 2 1 1 ) 1 ( k k k k k k k k k k p a p a q a p a p a q a p a p a q a p p p p 3.19 O bien, para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas y usando notación más compacta y de mayor utilidad en programación, se tiene n i j j k j ij i ii k i p a q a p 1 1 1 , para 1 i n 3.20 3.3.1.2 ITERACIÓN DE GAUSS-SEIDEL (DESPLAZAMIENTOS SUCESIVOS) En este método los valores que se van calculando en la (k+1)-ésima iteración se emplean para calcular los valores faltantes de esa misma iteraciónes decir, con ) (k p se calcula ) 1 ( k p de acuerdo con ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 1 2 32 1 1 31 3 33 3 23 1 1 21 2 22 3 13 2 12 1 11 1 3 1 2 1 1 ) 1 ( k k k k k k k k k k p a p a q a p a p a q a p a p a q a p p p p 3.21 O bien, para un sistema de n ecuaciones n i j k j ij i j k j ij i ii k i p a p a q a p 1 1 1 1 1 1 , para 1 i n 3.22 Ejemplo 3.5 Resuelva el siguiente sistema por los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel 15 4 3 4 9 4 5 4 4 3 4 3 2 3 2 1 2 1 p p p p p p p p p p 3.23 SOLUCIÓN Despejando p 1 de la primera ecuación, p 2 de la segunda, etc., se obtiene Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 13 de 33 4 15 4 4 3 4 4 4 9 4 4 4 5 4 3 4 4 2 3 3 1 2 2 1 p p p p p p p p p p 3.24 Vector inicial.- Cuando no se tiene una aproximación al vector solución, se emplea generalmente como vector inicial el vector cero, esto es T p 0 0 0 0 ) 0 ( a) Método de Jacobi El cálculo de ) 1 ( p en el método de Jacobi se obtiene remplazando ) 0 ( p en cada una de las ecuaciones de 3.24 4 15 4 0 4 3 4 0 4 0 4 9 4 0 4 0 4 5 4 0 4 3 2 1 p p p p 75 . 3 4 15 75 . 0 4 3 25 . 2 4 9 25 . 1 4 5 Y entonces T p 4 15 , 4 3 , 4 9 , 4 5 ) 1 ( Para calcular ) 2 ( p se sustituye ) 1 ( p en cada una de las ecuaciones de 3.24. Para simplificar la notación se han omitido los superíndices. 5625 . 3 75 . 0 375 . 2 8125 . 1 4 15 4 75 . 0 4 4 3 4 75 . 3 4 25 . 2 3 4 9 4 75 . 0 4 25 . 1 2 4 5 4 25 . 2 1 p p p p A continuación se presentan los resultados de subsecuentes iteraciones, en forma tabular K 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 1 1,250000 2,250000 -0,750000 3,750000 1,2500 2,2500 -0,7500 3,7500 2 1,812500 2,375000 0,750000 3,562500 0,5625 0,1250 1,5000 -0,1875 3 1,843750 2,890625 0,734375 3,937500 0,0313 0,5156 -0,0156 0,3750 4 1,972656 2,894531 0,957031 3,933594 0,1289 0,0039 0,2227 -0,0039 5 1,973633 2,982422 0,957031 3,989258 0,0010 0,0879 0,0000 0,0557 6 1,995605 2,982666 0,992920 3,989258 0,0220 0,0002 0,0359 0,0000 7 1,995667 2,997131 0,992981 3,998230 0,0001 0,0145 0,0001 0,0090 8 1,999283 2,997162 0,998840 3,998245 0,0036 0,0000 0,0059 0,0000 9 1,999290 2,999531 0,998852 3,999710 0,0000 0,0024 0,0000 0,0015 10 1,999883 2,999536 0,999810 3,999713 0,0006 0,0000 0,0010 0,0000 k p 1 k p 2 k p 3 k p 4 k 1 e k 2 e k 3 e k 4 e Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 14 de 33 11 1,999884 2,999923 0,999812 3,999953 12 1,999981 2,999924 0,999969 3,999953 13 1,999981 2,999987 0,999969 3,999992 14 1,999997 2,999988 0,999995 3,999992 15 1,999997 2,999998 0,999995 3,999999 16 1,999999 2,999998 0,999999 3,999999 17 1,999999 3,000000 0,999999 4,000000 18 2,000000 3,000000 1,000000 4,000000 Tabla 3.1 Solución del sistema 3.23 por el método de Jacobi. b) Método de Gauss-Seidel Para el cálculo del primer elemento del vector ) 1 ( p , se sustituye ) 0 ( p en la primera ecuación de 3.24, para simplificar la notación se han omitido los superíndices. 25 . 1 4 5 4 5 4 0 1 p Para el cálculo de p 2 de ) 1 ( p , se emplea el valor de p 1 ya obtenido (1/4) y los valores de p 2 , p 3 y p 4 de ) 0 ( p . Así 5625 . 2 4 9 4 0 4 25 . 1 2 p Con los valores de p 1 y p 2 ya obtenidos y con p 3 y p 4 de p (0) se evalúa p 3 de ) 1 ( p . 109375 . 0 4 3 4 0 4 5625 . 2 3 p Finalmente, con los valores de p 1 , p 2 y p 3 calculados previamente y con p 4 de p (0) , se obtiene la última componente de ) 1 ( p 722656 . 3 4 15 4 109375 . 0 4 p Entonces T p ] 722656 . 3 109375 . 0 5625 . 2 25 . 1 [ ) 1 ( Para la segunda iteración (cálculo de p 2 ) se procede de igual manera. 890625 . 1 4 5 4 5625 . 2 1 p 6953125 . 2 4 9 4 109375 . 0 4 890625 . 1 2 p 854492 . 0 4 3 4 722656 . 3 4 6953125 . 2 3 p 963623 . 3 4 15 4 854492 . 0 4 p Con lo que T p ] 963623 . 3 854492 . 0 695313 . 2 890625 . 1 [ ) 2 ( En la tabla 3.2 se presentan los resultados de las iteraciones subsecuentes. K 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 1 1,250000 2,562500 -0,109375 3,722656 1,2500 2,5625 -0,1094 3,7227 2 1,890625 2,695313 0,854492 3,963623 0,6406 0,1328 0,9639 0,2410 3 1,923828 2,944580 0,977051 3,994263 0,0332 0,2493 0,1226 0,0306 4 1,986145 2,990799 0,996265 3,999066 0,0623 0,0462 0,0192 0,0048 k p 1 k p 2 k p 3 k p 4 k 1 e k 2 e k 3 e k 4 e Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 15 de 33 5 1,997700 2,998491 0,999389 3,999847 0,0116 0,0077 0,0031 0,0008 6 1,999623 2,999753 0,999900 3,999975 0,0019 0,0013 0,0005 0,0001 7 1,999938 2,999960 0,999984 3,999996 0,0003 0,0002 0,0001 0,0000 8 1,999990 2,999993 0,999997 3,999999 9 1,999998 2,999999 1,000000 4,000000 10 2,000000 3,000000 1,000000 4,000000 Tabla 3.2 Solución del sistema 3.23 por el método de Gauss-Seidel. En la aplicación de estas dos variantes son válidas las preguntas siguientes: 1. ¿La sucesión de vectores ) 1 ( p , ) 2 ( p , ) 3 ( p , ... , converge o se aleja del vector solución T n p p p p ] ... [ 2 1 ? 2. ¿Cuando se detendrá el proceso iterativo? Las respuestas correspondientes, conocidas como criterio de convergencia, se dan a continuación: 1. Si la sucesión converge a p, cabe esperar que los elementos de ) (k p se vayan acercando a los elementos correspondientes de p, es decir, K p 1 , a 1 p , K p 2 , a 2 p , etc., o que se alejen en caso contrario. 2. Cuando: a) Los valores absolutos k k p p 1 1 1 , k k p p 2 1 2 , etc., sean todos menores de un número pequeñoε cuyo valor será dado por el programador. O bien b) Si el número de iteraciones ha excedido un máximo predeterminado MAXIT. Por otro lado, es natural pensar que si la sucesión ) 0 ( p , ) 1 ( p ,…, converge a p, la distancia de ) 0 ( p a p, de ) 1 ( p a p, etc., se va reduciendo. También es cierto que la distancia entre cada dos vectores consecutivos ) 0 ( p y ) 1 ( p , ) 1 ( p y ) 2 ( p , etc., se decrementa conforme el proceso iterativo avanza; esto es, la sucesión de números reales: ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 1 ( ,..., , k k p p p p p p 3.25 Convergirá a cero. Si, por el contrario, esta sucesión de números diverge, entonces puede pensarse que el proceso diverge. Con esto, un criterio más es c) Detener el proceso una vez que ) ( ) 1 ( k k p p < ε Al elaborar un programa de cómputo para resolver sistemas de ecuaciones lineales, generalmente se utilizan los criterios (a), (b) y (c) o la combinación de (a) y (b), o la de (b) y (c). Si se observan las columnas de las tablas 3.1 y 3.2, se advertirá que todas son sucesiones de números convergentes, por lo que ambos métodos convergen a un vector, presumiblemente la solución del sistema 3.23. Si se tomara el criterio (a) con ε = 2 10 y el método de Jacobi, ε se satisface en la sexta iteración de la tabla 3.1; en cambio si ε = 3 10 , se necesitan 10 iteraciones. Si se toma ε = 3 10 el método de Gauss-Seidel y el criterio (a), se requerirían sólo seis iteraciones, como puede verse en la tabla 3.2. Aunque hay ejemplos en los que Jacobi converge y Gauss-Seidel diverge y viceversa, en general puede esperarse convergencia más rápida por Gauss-Seidel, o una manifestación más rápida de divergencia. Esto se debe al hecho de ir usando Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 16 de 33 los valores más recientes de 1 k p que permitirán acercarse o alejarse más rápidamente de la solución. 3.3.2 RE-ARREGLO DE ECUACIONES. Para motivar el re-arreglo de ecuaciones, se propone resolver el siguiente sistema con el método de Gauss-Seidel y con ε = 2 10 aplicado a ) ( ) 1 ( k k p p 3 2 2 15 4 8 9 10 2 5 3 4 3 2 1 4 2 4 3 2 1 4 3 2 1 p p p p p p p p p p p p p p 3.26 Al resolver para 1 p de la primera ecuación, para 2 p de la segunda, 3 p de la cuarta y 4 p de la tercera se obtiene 2 3 2 9 15 9 4 9 8 9 10 2 5 3 2 4 4 2 1 3 4 3 1 2 4 3 2 1 p p p p p p p p p p p p p p Con el vector cero como vector inicial, se tiene la siguiente sucesión de vectores. Nótese que el proceso diverge. K DIFERENCIAS 0 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 1 -10,00000 2,77778 14,22222 -0,77778 -10,00000 2,77778 14,22222 -0,77778 2 67,88889 -18,17284 -121,38272 20,17284 77,88889 -20,95062 -135,60494 20,95062 3 -631,08642 170,717421108,62826 -168,71742 -698,97531 188,890261230,01097 -188,89026 Tabla 3.3. Aplicación del método de Gauss-Seidel al sistema 3.26. Si el proceso iterativo diverge, como es el caso, un re-arreglo de las ecuaciones puede originar convergencia; por ejemplo, en lugar de despejar 1 p de la primera ecuación, 2 p de la segunda, etc., cabe despejar las diferentes i p de diferentes ecuaciones, teniendo cuidado de que los coeficientes de las i p despejadas sean distintos de cero. Esta sugerencia presenta, para un sistema de n ecuaciones, n! distintas formas de re-arreglar dicho sistema. A fin de simplificar este procedimiento, se utilizará el siguiente teorema Teorema 3.1 Los procesos de Jacobí y Gauss-Seidel convergirán si en la matriz coeficiente cada elemento de la diagonal principal es mayor (en valor absoluto) que la suma de los valores absolutos de todos los demás elementos de la misma fila o columna (matriz diagonal dominante). Es decir, se asegura h convergencia si: > n i j j ij ii a a 1 n i 1 k P 1 k P 2 k P 3 k P 4 Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 17 de 33 y 3.27 > n i j j ji ii a a 1 n i 1 Este teorema no será de mucha utilidad si se toma al pie de la letra, ya que contados sistemas de ecuaciones lineales poseen matrices coeficiente diagonalmente dominantes; sin embargo, si se arreglan las ecuaciones para tener el sistema lo más cercano posible a las condiciones del teorema, algún beneficio se puede obtener. Ésta es la pauta para reordenar las ecuaciones y obtener o mejorar la convergencia, en el mejor de los casos. A continuación se ilustra esto, re- arreglando el sistema 4.26, despejando 1 p de la ecuación 4, 2 p de la ecuación 2, 3 p de la ecuación 1 y 4 p de la ecuación 3 para llegar a: 2 5 10 5 2 5 3 5 9 15 9 4 9 8 9 2 3 2 2 2 2 4 4 2 1 3 4 3 1 2 4 3 2 1 p p p p p p p p p p p p p p Los resultados para las primeras 18 iteraciones con el vector cero como vector inicial se muestran en la tabla 3.4 Antes de continuar las iteraciones, puede observarse en la tabla 3.4 que los valores de ) 18 ( p parecen converger al vector T p 2 1 0 1 Con la sustitución de estos valores en el sistema 3.26, se comprueba que 1 p = -1, 2 p = 0.0, 3 p = 1 y 4 p = 2 es el vector solución y por razones obvias se detiene el proceso. K DIFERENCIAS 0 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 1 -1,50000 1,83333 0,60000 0,16667 -1,50000 1,83333 0,60000 0,16667 2 -2,63333 1,35185 0,59556 0,64815 -1,13333 -0,48148 -0,00444 0,48148 3 -2,14963 1,08807 0,65798 0,91193 0,48370 -0,26379 0,06242 0,26379 4 -1,91705 0,88950 0,71811 1,11050 0,23258 -0,19856 0,06014 0,19856 5 -1,74856 0,72907 0,76865 1,27093 0,16849 -0,16043 0,05053 0,16043 6 -1,61339 0,59784 0,81025 1,40216 0,13516 -0,13124 0,04160 0,13124 7 -1,50296 0,49026 0,84439 1,50974 0,11044 -0,10758 0,03414 0,10758 8 -1,41245 0,40204 0,87239 1,59796 0,09051 -0,08822 0,02800 0,08822 9 -1,33824 0,32970 0,89535 1,67030 0,07422 -0,07234 0,02296 0,07234 10 -1,27737 0,27038 0,91418 1,72962 0,06086 -0,05932 0,01883 0,05932 11 -1,22747 0,22173 0,92962 1,77827 0,04991 -0,04865 0,01544 0,04865 12 -1,18654 0,18183 0,94229 1,81817 0,04093 -0,03990 0,01266 0,03990 13 -1,15297 0,14911 0,95267 1,85089 0,03356 -0,03272 0,01038 0,03272 14 -1,12545 0,12228 0,96119 1,87772 0,02753 -0,02683 0,00852 0,02683 15 -1,10287 0,10028 0,96817 1,89972 0,02257 -0,02200 0,00698 0,02200 Tabla 3.4. Aplicación del método de Gauss-Seidel al sistema 3.26, re-arreglando las ecuaciones para obtener una aproximación a un sistema diagonal dominante. k P 1 k P 2 k P 3 k P 4 Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 18 de 33 3.4 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Se vio cómo encontrar las raíces de una ecuación de la forma f(x) = 0. Además se vieron técnicas iterativas de solución de sistemas de ecuaciones lineales Ax = b. Ahora veremos sistemas de ecuaciones no lineales donde se tiene un sistema de varias ecuaciones con varias incógnitas, cuya representación es: f 1 (x 1 , x 2 , x 3 , …, x n ) = 0 f 2 (x 1 , x 2 , x 3 , …, x n ) = 0 . . 3.28 f n (x 1 , x 2 , x 3 , …, x n ) = 0 donde fi(x 1 ,x 2 ,x 3 …, x n ) para 1 ≤ i ≤ n es una función (lineal o no) de las variables independientes x 1 , x 2 , x 3 , …, x n . Si la ecuación 3.28 consiste sólo en una ecuación de una incógnita (n = 1), se tiene la ecuación del tipo f(x) = 0. En cambio si n > 1 se tendrá un sistema de ecuaciones lineales y f 1 , f 2 , … f n son todas funciones lineales de x 1 , x 2 , x 3 , …, x n . Por todo esto, es fácil entender que los métodos iterativos de solución de la ecuación 3.28 son extensiones de los métodos para ecuaciones no lineales en una incógnita y emplean las ideas que se aplicaron al desarrollar los algoritmos iterativos para resolver A x = b. A continuación se dan algunos ejemplos. a) 0 4 ) , ( 2 2 2 1 2 1 1 x x x x f 0 ) , ( 2 1 2 2 1 2 x x x x f b) 0 ) ( 10 ) , ( 2 1 2 2 1 1 x x x x f 0 1 ) , ( 1 2 1 2 x x x f c) 0 10 ) , , ( 2 3 1 3 2 1 3 2 1 1 x x x x x x x x f 0 15 ) ( 2 ) , , ( 2 3 2 1 3 2 1 2 x sen x x x x x x f 0 3 3 5 ) , , ( 3 3 3 1 2 2 3 2 1 3 x x x x x x x f 3.4.1 DIFICULTAD EN SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Antes de desarrollar los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales con varias Incógnitas, se destacarán algunas de las dificultades que se presentan al aplicar estos métodos. Es imposible graficar las superficies multidimensionales definidas por las ecuaciones de los sistemas para n > 2. No es fácil encontrar ‘buenos” valores iniciales. Para atenuar estas dificultades se darán algunas sugerencias aplicables antes de un intento formal de solución de la ecuación 3.28. 3.4.1.1 REDUCCIÓN DE ECUACIONES Resulta muy útil tratar de reducir analíticamente el número de ecuaciones y de incógnitas antes de intentar una solución numérica. En particular, trátese de resolver alguna de las ecuaciones para alguna de las incógnitas. Después, sustitúyase la Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 19 de 33 ecuación resultante para esa incógnita en todas las demás ecuaciones; con esto el sistema se reduce en una ecuación y una incógnita. Continúese de esta manera hasta donde sea posible. Por ejemplo, en el sistema 0 ) ( 10 ) , ( 2 1 2 2 1 1 x x x x f 0 1 ) , ( 1 2 1 2 x x x f se despeja x 1 en la segunda ecuación x 1 = 1 y se sustituye en la primera 10(x 2 – 1 2 ) = 0 cuya solución, x 2 = 1, conjuntamente con x 1 = 1 proporciona una solución del sistema dado, sin necesidad de resolver dos ecuaciones con dos incógnitas. 3.4.1.2 PARTICIÓN DE ECUACIONES A veces resulta más sencillo dividir las ecuaciones en subsistemas menores y resolverlos por separado. Considérese por ejemplo el siguiente sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas 0 ) , , , , ( 5 4 3 2 1 1 x x x x x f 0 ) , , , ( 5 4 2 1 2 x x x x f 0 ) , , , ( 5 4 3 1 3 x x x x f 0 ) , ( 4 2 4 x x f 0 ) , ( 4 1 5 x x f En vez de atacar las cinco ecuaciones al mismo tiempo, se resuelve el subsistema formado por 5 4 2 , , f f f . Las soluciones de este subsistema se utilizan después para resolver el subsistema compuesto por las ecuaciones f 1 y f 3 En general, una partición de ecuaciones es la división de un sistema de ecuaciones en subsistemas llamados bloques. Cada bloque de la partición es el sistema de ecuaciones más pequeño que incluye todas las variables que es preciso resolver. 3.4.1.3 TANTEO DE ECUACIONES Supóngase que se quiere resolver el siguiente sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas 0 ) , ( 3 2 1 x x f 0 ) , , ( 4 3 2 2 x x x f 0 ) , , , ( 4 3 2 1 3 x x x x f 0 ) , , ( 3 2 1 4 x x x f No se pueden dividir en subsistemas, sino que es preciso resolverlas simultáneamente. Sin embargo, es posible abordar el problema por otro camino. Supóngase que se estima un valor de x 3 . Se podría obtener así x 2 a partir de f 1 , x 4 de f 2 y x 1 de f 3 . Finalmente, se comprobaría con f 4 la estimación hecha de x 3 Sí f 4 fuese cero o menor en magnitud que un valor predeterminado o criterio de exactitud Є, la estimación x 3 y los valores de x 2 , x 4 y x 1 obtenidos con ella, serían una aproximación Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 20 de 33 a la solución del Sistema dado. En caso contrario, habría que proponer un nuevo valor de x 3 y repetir el proceso. Nótese la íntima relación que guarda este método con el método de punto fijo, ya que un problema multidimensional se reduce a unidimensional en x 3 : h(x 3 ) = 0. 3.4.1.4 VALORES INICIALES a) De consideraciones físicas Sí el sistema de ecuaciones 3.28 tiene un significado físico, con frecuencia es posible acotar los valores de las incógnitas a partir de consideraciones físicas. Por ejemplo, si alguna de las variables x i , representa la velocidad de flujo de un fluido, ésta no podrá ser negativa. Por tanto x i ≥ 0 En el caso de que x i represente una concentración expresada como fracción peso o fracción molar de una corriente de alimentación, se tiene que 0 ≤ x i ≤ 1. b) De consideraciones geométricas En caso de tener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 0 ) , ( 2 1 1 x x f 0 ) , ( 2 1 2 x x f Cada una define, en general, una curva en el plano x 1 – x 2 y el problema de resolver el sistema puede verse como el problema de encontrar el punto o los puntos de intersección de estas dos curvas. Graficando (puede usarse el software GC, el Math-CAD, o un programa que grafique) pueden obtenerse buenos valores iniciales. Sea por ejemplo el sistema 0 ) , ( 2 1 1 x x f 0 ) , ( 2 1 2 x x f Al graficar f 1 y f 2 se obtiene la figura 3.1, en donde se podrán apreciar valores iniciales muy cercanos a la solución. Figura 3.1 Solución gráfica de un sistema de dos ecuaciones Por último, resulta muy conveniente conocer bien las características de cada método de solución del sistema 3.28 para efectuar la elección más adecuada del mismo. Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 21 de 33 3.4.2 MÉTODO DE PUNTO FIJO MULTIVARIABLE Los algoritmos discutidos aquí son, en principio, aplicables a sistemas de cualquier número de ecuaciones. Sin embargo, para ser más concisos y evitar flotación complicada, se considerará sólo el caso de dos ecuaciones con dos incóg- nitas. Estas generalmente se escribirán como f 1 (x, y) = 0 f 2 (x, y) = 0 3.29 y se tratará de encontrar pares de valores (x, y) que satisfagan ambas ecuaciones. Como en el método de punto fijo, se resolverá la primera ecuación para alguna de las variables, x por ejemplo, y la segunda para y. x = g 1 (x, y) y = g 2 (x, y) 3.30 Al igual que en los métodos mencionados, se tratará de obtener la estimación (k + 1)-ésima a partir de la estimación k-ésima con la expresión ) , ( 1 1 k k k y x g x ) , ( 2 1 k k k y x g y 3.31 Se comienza con valores iniciales x 0 , y 0 , se calculan nuevos valores x 1 , y 1 y se repite el proceso, esperando que después de cada iteración los valores de x k , y k se aproximen a la raíz buscada y x, , la cual cumple con ) , ( 1 y x g x ) , ( 2 y x g y Por analogía con los casos discutidos, puede predecirse el comportamiento y las características de este método de punto fijo multivariable. Como se sabe, en el caso de una variable la manera particular de pasar de f(x) = 0 a x = g(x), afecta la convergencia del proceso iterativo. Entonces debe esperarse que la forma en que se resuelve para x = g 1 (x, y) y y = g 2 (x, y) afecte la convergencia de las iteraciones 3.31. Por otro lado, se sabe que el reordenamiento de las ecuaciones en el caso lineal afecta la convergencia, por lo que puede esperarse que la convergencia del método en estudio dependa de si se despeja x de f 2 o de f 1 . Finalmente, la convergencia - en caso de existir - es de primer orden, cabe esperar que el método iterativo multivariable tenga esta propiedad. Ejemplo 3.6 Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales f 1 (x, y) = x 2 – 10x + y 2 + 8 = 0 f 2 (x, y) = xy 2 + x – 10y + 8 = 0. SOLUCIÓN Con el despeje de x del término (-10x) en la primera ecuación y de y del término (- 10y) en la segunda ecuación, resulta 10 8 2 2 y x x 10 8 2 x xy y o con la notación de la ecuación 3.31 Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 22 de 33 10 8 ) ( ) ( 2 2 1 k k k y x x 10 8 ) ( 2 1 k k k k x y x y Con los valores iniciales x 0 = 0, y 0 = 0, se inicia el proceso iterativo Primera iteración 8 . 0 10 8 0 0 2 2 1 x 8 . 0 10 8 0 ) 0 ( 0 2 1 y Segunda iteración 928 . 0 10 8 ) 8 . 0 ( ) 8 . 0 ( 2 2 2 x 9312 . 0 10 8 8 . 0 ) 8 . 0 ( 8 . 0 2 2 y Al continuar el proceso iterativo, se encuentra la siguiente sucesión de vectores k x k y k 0 0.00000 0.00000 1 0.80000 0.80000 2 0.92800 0.93120 3 0.97283 0.97327 4 0.98937 0.98944 5 0.99578 0.99579 6 0.99832 0.99832 7 0.99933 0.99933 8 0.99973 0.99973 9 0.99989 0.99989 10 0.99996 0.99996 11 0.99998 0.99998 12 0.99999 0.99999 13 1.00000 1.00000 Para observar la convergencia del proceso iterativo, se pudieron usar criterios como distancia entre dos vectores consecutivos o bien las distancias componente a componente de dos vectores consecutivos. También existe un criterio de convergencia equivalente que dice: Una condición suficiente aunque no necesaria, para asegurar la convergencia es que 1 2 1 < M x g x g ; 1 2 1 < M y g y g 3.32 para todos los puntos (x, y) de la región del plano que contiene todos los valores (x k , y k ) y la raíz buscada ) , ( y x . Por otro lado; si M es muy pequeña en una región de interés, la iteración converge rápidamente; si M es cercana a 1 en magnitud, entonces la iteración puede converger lentamente. Este comportamiento es similar al del caso de una función univariable discutido anteriormente. Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 23 de 33 Por lo general es muy difícil encontrar el sistema 3.30 a partir de la ecuación 3.29, de modo que satisfaga la condición 3.32. De todas maneras, cualquiera que sea el sistema 3.29 a que se haya llegado y que se vaya a resolver con este método, puede aumentarse la velocidad de convergencia usando desplazamientos sucesivos en lugar de los desplazamientos simultáneos del esquema 3.31. Es decir, se iteraría mediante ) , ( 1 1 k k k y x g x ) , ( 1 2 1 k k k y x g y Si la iteración por desplazamientos simultáneos diverge, generalmente el método por desplazamientos sucesivos divergiría más rápido; es decir, se detecta más rápido la divergencia, por lo que se recomienda en general el uso de desplazamientos sucesivos en lugar de desplazamientos simultáneos. Ejemplo 3.7 Resuelva el sistema del ejemplo 3.6 utilizando el método de punto fijo multivariable con desplazamientos sucesivos f 1 (x, y) = x 2 – 10x + y 2 + 8 = 0 f 2 (x, y) = xy 2 + x – 10y + 8 = 0. Sugerencia: Se pueden seguir los cálculos con un pizarrón electrónico o se programa una calculadora. SOLUCIÓN Al despejar x del término (-10x) y y del término (-10y) de la primera y segunda ecuaciones, respectivamente, resulta 10 8 ) ( ) ( ) , ( 2 2 1 1 k k k k k y x y x g x 10 8 ) ( ) , ( 1 2 1 2 1 k k k k k k x y x y x g y Al derivar parcialmente, se obtiene 10 2 1 k x x g 10 2 1 k y y g 10 1 ) ( 2 2 k y x g 10 2 1 2 k k y x y g y evaluadas en x 0 = 0 y en y 0 = 0 0 1 x g 10 1 2 x g para x 0 y y 0 0 1 y g 0 2 y g para x 0 y y 0 con lo que se puede aplicar la condición 3.32 x g 1 + x g 2 = 0 + 1/10 = 1/10 < 1 y g 1 + y g 2 = 0 + 0 = 0 < 1 Que se satisface; si los valores sucesivos de la iteración: x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ; x 3 , y 3 ; …la Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 24 de 33 satisfacen también, se llega entonces a ) , ( y x . Primera iteración 8 . 0 10 8 0 0 2 2 1 x 88 . 0 10 8 8 . 0 ) 0 ( 8 . 0 2 1 y Cálculo de la distancia entre el vector inicial y el vector [x 1 , y 1 ] T 18929 . 1 ) 0 . 0 88 . 0 ( ) 0 . 0 8 . 0 ( 2 2 ) 0 ( ) 1 ( x x Segunda iteración 94144 . 0 10 8 ) 88 . 0 ( ) 8 . 0 ( 2 2 2 x 96704 . 0 10 8 94144 . 0 ) 88 . 0 ( 94144 . 0 2 2 y Cálculo de la distancia entre [x 2 , y 2 ] T y [x 1 , y 1 ] T 16608 . 0 ) 88 . 0 96704 . 0 ( ) 8 . 0 94144 . 0 ( 2 2 ) 1 ( ) 2 ( x x A continuación se muestran los resultados de las iteraciones k x k y k |x (k+1) -x k | 0 0.00000 0.00000 1 0.80000 0.88000 1.18929 2 0.94144 0.96705 0.16608 3 0.98215 0.99006 0.04677 4 0.99448 0.99693 0.01411 5 0.99829 0.99905 0.00436 6 0.99947 0.99970 0,00135 7 0.99983 0.99991 0.00042 8 0.99995 0.99997 0.00013 9 0.99998 0.99999 0.00004 10 0.99999 1.00000 0.00001 11 1.00000 1.00000 0.00001 Nótese que se requirieron once iteraciones para llegar al vector solución (1, 1) contra 13 del ejemplo 3.6, donde se usaron desplazamientos simultáneos. A continuación se presenta un algoritmo para el método de punto fijo multivariable en sus versiones de desplazamientos simultáneos y desplazamientos sucesivos. ALGORITMO 3.1 Método de punto fijo multivariable Para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones no lineales g(x) = x, proporcionar las funciones G(I, x), I = 1, 2, …, N y los DATOS: El número de ecuaciones N, el vector de valores iniciales x, el criterio de convergencia EPS, el número máximo de iteraciones MAXIT y M = 0 para desplazamientos sucesivos o M = 1 para desplazamientos simultáneos. Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 25 de 33 RESULTADOS: Una solución aproximada x o mensaje ‘NO HUBO CONVERGENCIA’. PASO 1. Hacer K = 1 PASO 2. Mientras K ≤ MAXIT, repetir los pasos 3 a 14. PASO 3. Si M = 0, hacer xaux = x. De otro modo continuar PASO 4. Hacer I = 1 PASO 5. Mientras I ≤ N, repetir los pasos 6 y 7. PASO 6. Si M = 0, hacer X(I) = G(I, x). De otro modo hacer XAUX(I) = G(I, x) PASO7. Hacer I = I + 1 PASO 8. Hacer I = 1 PASO 9. Mientras I ≤ N, repetir los pasos 10 y 11. PASO 10. Si ABS(XAUX(I) - X(I)) > EPS ir al paso 13. De otro modo continuar. PASO 11. Hacer I = I + 1 PASO 12. IMPRIMIR x Y TERMINAR. PASO 13. Si M =1 hacer x = xaux. De otro modo continuar PASO 14. Hacer K = K + 1 PASO 15. IMPRIMIR mensaje ‘NO HUBO CONVERGENCIA’ y TERMINAR. Sugerencia: Desarrolle este algoritmo con Math-CAD o un software equivalente. 3.4.3 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MULTIVARIABLE El método iterativo para sistemas de ecuaciones converge linealmente. Como en el método de una incógnita, puede crearse un método de convergencia cuadrática es decir, el método de Newton-Raphson multivariable. A continuación se obtendrá este procedimiento para dos variables; la extensión a tres o más variables es viable generalizando los resultados. Supóngase que se está resolviendo el sistema f 1 (x, y) = 0 f 2 (x, y) = 0 donde ambas funciones son continuas y diferenciables, de modo que puedan expandirse en serie de Taylor. Esto es ... ) ( ) )( ( 2 ) ( ! 2 1 ) ( ) ( ) , ( ) , ( 2 2 2 2 2 b y y y f b y a x y x f a x x x f b y y f a x x f b a f y x f donde f(x,y) se ha expandido alrededor del punto (a,b) y todas las derivadas parciales están evaluadas en (a ,b) Expandiendo f 1 alrededor de (x k , y k ) ) ( ) ( ) , ( ) , ( 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k k k k y y y f x x x f y x f y x f ... ) ( ) )( ( 2 ) ( ! 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 k k k k k k k k y y y y f y y x x y x f x x x x f 3.33 donde todas las derivadas parciales están evaluadas en (x k ,y k ). De la misma forma puede expandirse f 2 como sigue ) ( ) ( ) , ( ) , ( 1 2 1 2 2 1 1 2 k k k k k k k k y y y f x x x f y x f y x f Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 26 de 33 ... ) ( ) )( ( 2 ) ( ! 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 k k k k k k k k y y y y f y y x x y x f x x x x f 3.34 Al igual que en la ecuación 3.33, todas las derivadas parciales de 3.34 están evaluadas en (x k , y k ) Ahora supóngase que x k+1 y y k+1 están tan cerca de la raíz buscada ) , ( y x que los lados izquierdos de las dos últimas ecuaciones son casi cero; además, asúmase que x k y y k están tan próximos de x k+1 y y k+1 que pueden omitirse los términos a partir de los que se encuentran agrupados en paréntesis rectangulares. Con esto las ecua- ciones 3.33 y 3.34 se simplifican a ) ( ) ( ) , ( 0 1 1 1 1 1 k k k k k k y y y f x x x f y x f ) ( ) ( ) , ( 0 1 2 1 2 2 k k k k k k y y y f x x x f y x f 3.35 Para simplificar aún más, se cambia la notación con x k+1 – x k = h y k+1 – y k = j 3.36 y así queda la (k+1)-ésima iteración en términos de la k-ésimas, como se ve a con- tinuación x k+1 = x k + h y k+1 = y k + j 3.37 La sustitución de la ecuación 3.36 en la 3.35 y el rearreglo dan como resultado ) , ( 1 1 1 k k y x f j y f h x f ) , ( 2 2 2 k k y x f j y f h x f 3.38 El cual es un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas h y j (recuérdese que las derivadas parciales de la ecuación 3.38, así como f 1 y f 2 están evaluadas en (x k ,y k ) y, por tanto, son números reales). Este sistema de ecuaciones lineales resultante tiene solución única, siempre que el determinante de la matriz de coeficientes o matriz jacobiana J no sea cero; es decir si 0 2 2 1 1 y f x f y f x f J Precisando: El método de Newton-Raphson consiste fundamentalmente en formar y resolver el sistema 3.38, esto último por alguno de los métodos vistos. Con la solución y la ecuación 3.37 se obtiene la siguiente aproximación. Este procedimiento se repite hasta satisfacer algún criterio de convergencia establecido. Es interesante notar que como en el caso unidimensional, este método puede obtenerse encontrando un plano tangente a cada f de la ecuación 3.29 en (x k ,y k ) y luego encontrar el cero común de estos planos; es decir, hallar un plano tangente en (x k , y k ) tanto a la superficie f 1 como a la superficie f 2 , y luego la intersección de cada Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 27 de 33 plano tangente con el plano x-y, con lo cual se obtienen dos líneas rectas en el plano x-y y, por último, la intersección de estas dos líneas rectas, que da el cero común de los planos tangentes. Cuando converge este método, lo hace con orden dos, y requiere que el vector inicial (x 0 , y 0 ) esté muy cerca de la raíz buscada ) , ( y x Ejemplo 3.8 Use el método de Ncwton-Raphson para encontrar una solución aproximada del sistema f 1 (x, y) = x 2 – 10x + y 2 + 8 = 0 f 2 (x, y) = xy 2 + x – 10y +8 = 0 con el vector inicial: [x 0 , y 0 ] T = [0, 0] T SOLUCIÓN Primero se forma la matriz coeficiente del sistema 3.38, también conocida como matriz de derivadas parciales 10 2 1 2 10 2 2 2 2 1 1 xy y f y x f y y f x x f que aumentada en el vector de funciones resulta en 8 10 8 10 10 2 1 2 10 2 2 2 2 2 y x xy y x x xy y y x Primera iteración Al evaluar la matriz en [x 0 , y 0 ] T se obtiene 8 8 10 1 0 10 que al resolverse por eliminación de Gauss da h = 0.8, j = 0.88 al sustituir en la ecuación 3.37 se obtiene x 1 = x 0 + h = 0 + 0.8 = 0.8 y 1 = y 0 + j = 0 + 0.88 = 0.88 Cálculo de la distancia entre x (0) y x (1) 18929 . 1 ) 0 88 . 0 ( ) 0 8 . 0 ( 2 2 ) 0 ( ) 1 ( x x Segunda iteración Al evaluar la matriz en [x 1 , y 1 ] T resulta 61952 . 0 41440 . 1 592 . 8 7744 . 1 76 . 1 4 . 8 que por eliminación gaussiana da como nuevos resultados de h y j h = 0.36497, j = 0.1117 de donde x 2 = x 1 + h = 0.8 + 0.36497 = 1.16497 y 2 = y 1 + j = 0.88 + 0.1117 = 0.9917 Cálculo de la distancia entre x (1) y x (2) Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 28 de 33 38168 . 0 ) 88 . 0 9917 . 0 ( ) 8 . 0 16497 . 1 ( 2 2 ) 1 ( ) 2 ( x x Con la continuación de este proceso iterativo se obtienen los resultados siguientes k x k y k |x k+1 -x k | 0 0.00000 0.00000 1 0.80000 0.88000 1.18929 2 1.16497 0.99170 0.38168 3 1.31255 1.08099 0.17250 4 0.98255 0.98599 0.00020 Se requirieron cuatro iteraciones para llegar al vector solución (1,1) contra once del ejemplo 3.7, donde se usó el método de punto fijo con desplazamientos sucesivos. Sin embargo, esta convergencia cuadrática implica mayor número de cálculos, ya que -como se puede observar- en cada iteración se requiere a) La evaluación de 2 x 2 derivadas parciales b) La evaluación de 2 funciones c) La solución de un sistema de ecuaciones lineales de orden 2. Sugerencia: Los cálculos, incluidas las derivadas parciales y la inversa de la matriz, se pueden ejecutar en Math-CAD o con otro software 3.4.3.1 GENERALIZACIÓN Para un sistema de n ecuaciones no lineales con n incógnitas (véase Ec. 3.28) y retomando la flotación vectorial y matricial, las ecuaciones 3.38 quedan n n n n n n n n n n f h x f h x f h x f f h x f h x f h x f f h x f h x f h x f ... . . . . . . . . . ... ... 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 3.39 o J h = -f donde las funciones f i y las derivadas parciales ∂f i /∂x j , i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n están evaluadas en el vector x (k) y k i k i i x x h 1 1 ≤ i ≤ n 3.40 De donde i k i k i h x x 1 1 ≤ i ≤ n 3.41 o ) ( ) ( ) 1 ( k k k h x x y la matriz de derivadas parciales (matriz jacobiana), ampliada en el vector de funciones queda Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 29 de 33 n n n n n n n f f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f . . . ... . . . . . . . . . ... ... 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 3.42 o bien [ J | f ] Se presenta a continuación un algoritmo para este método. ALGORITMO 3.2 Método de Newton-Raphson Multivariable Para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones no lineales f(x) = 0, proporcionar la matriz jacobiana ampliada con el vector de funciones (véase Ec. 3.42) y los DATOS: El número de ecuaciones N, el vector de valores iniciales x, el número máximo de iteraciones MAXIT y el criterio de convergencia FF5. RESULTADOS: El vector solución xn o mensaje ‘NO CONVERGE”. PASO 1. Hacer K = 1 PASO 2. Mientras K = MAXIT, repetir los pasos 3 a 9. PASO 3. Evaluar la matriz jacobiana aumentada (3.42). PASO 4. Resolver el sistema lineal (3.39). PASO 5. Hacer xn = x + h (operación vectorial) PASO 6. Si |xn – x| > EPS ir al paso 8. De otro modo continuar. PASO 7. IMPRIMIR xn y TERMINAR. PASO 8. Hacer x = xn PASO9. Hacer K = K ± 1 PASO 10. IMPRIMIR “NO CONVERGE” Y TERMINAR. Ejemplo 3.9 Con el algoritmo 3.2, elabore un programa de propósito general para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Luego úselo para resolver el Sistema f 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) = 3x 1 - cos(x 2 x 3 ) - 0.5 = 0 f 2 (x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 - 625x 2 2 = 0 f 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) = e -x1x2 + 20x 3 + (10π -3)/3 = 0 SOLUCIÓN La matriz jacobiana ampliada para el sistema es 3 3 10 20 625 5 . 0 ) cos( 3 20 0 1250 2 ) ( ) ( 3 3 2 2 2 1 3 2 1 1 2 2 1 3 2 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 p x e x x x x x e x e x x x x x sen x x x sen x x x x x x x Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 30 de 33 Al ejecutar el programa con el vector inicial [1 1 1] T debe producir los siguientes resultados k x 1 x 2 x 3 Distancia 0 1.00000 1.00000 1.00000 1 0.90837 0.50065 -0.50286 1.5863 2 0.49927 0.25046 -0.51904 0.47982 3 0.49996 0.12603 -0.52045 0.12444 4 0.49998 0.06460 -0.52199 0.61446E-01 5 0.49998 0.03540 -0.52272 0.29214E-01 6 0.49998 0.02335 -0.52302 0.12052E-01 7 0.49998 0.02024 -0.52309 0.31095E-02 8 0.49998 0.02000 -0.52310 0.23879E-03 9 0.49998 0.02000 -0.52310 0.14280E-05 La solución del sistema es X 1 = 0.49998176 X 2 = 0.19999269E-01 X 3 =.-0.52310085 Nótese que en cada iteración se requiere a) La evaluación de n 2 derivadas parciales b) La evaluación de n funciones c) La solución de un sistema de ecuaciones lineales de orden n, lo que representa una inmensa cantidad de cálculo. Debido a esto, se han elaborado métodos donde los cálculos no son tan numerosos y cuya convergencia es en general, superior a la del método de punto fijo (superlineal). A continuación se presenta el método de Newton-Raphson modificado. 3.4.4 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO El método de Newton-Raphson modificado que se describe a continuación consiste en aplicar el método de Newton-Raphson univariable dos veces (para el caso de un sistema de n ecuaciones no lineales en n incógnitas, se aplicará n veces), una para cada variable. Cada que se hace esto, se consideran las otras variables fijas. Considérese de nuevo el sistema f 1 (x, y) = 0 f 2 (x, y) = 0 Tomando los valores iniciales x 0 , y 0 . se calcula a partir del método de Newton- Raphson univariable un nuevo valor x 1 así x f y x f x x 1 0 0 1 0 1 ) , ( ∂f 1 /∂x evaluada en x 0 , y 0 Nótese que se ha obtenido x 1 a partir de f 1 y los valores más recientes de x,y y: x 0 ,y 0 Ahora se usa f 2 y los valores más recientes de x,y y (x 1 , y 0 ) para calcular y 1 y f y x f y y 2 0 1 2 0 1 ) , ( Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 31 de 33 donde ∂f 2 /∂y se evalúa en x 1 , y 0 . Se tiene ahora x 1 y y 1 . Con estos valores se calcula x 2 , después y 2 , y así sucesivamente. Este método converge a menudo si x 0 , y 0 está muy cerca de ) , ( y x , y requiere la evaluación de sólo 2n funciones por paso (cuatro para el caso de dos ecuaciones que se está manejando). Nótese que se han empleado desplazamientos sucesivos, pero los desplazamientos simultáneos también son aplicables. Ejemplo 3.10 Resuelva el sistema f 1 (x, y) = x 2 – 10x + y 2 + 8 = 0 f 2 (x, y) = xy 2 + x – 10y +8 = 0 con el método Newton-Raphson modificado, usando los valores iniciales x 0 =0, y 0 =0. SOLUCIÓN Primero se obtiene 10 2 1 x x f y 10 2 2 xy y f Primera iteración Se evalúan f 1 y ∂f 1 /∂x en [0,0] T f 1 (0,0) = 8 y 10 0 0 1 y x x f se sustituye 8 . 0 10 8 0 1 x Para el cálculo de y 1 se necesita evaluar f 2 y ∂f 2 /∂y en x 1 , y 0 F2(0.8, 0) = 0.8(0) 2 + 0.8 - 10(0) + 8 = 8.8 10 10 ) 0 )( 8 . 0 ( 2 0 1 2 y x y f se sustituye 88 . 0 10 8 . 8 0 1 y Segunda iteración f 1 (0.8, 0.88) = 1.4144 y 4 . 8 1 1 1 y x x f 96838 . 0 4 . 8 4144 . 1 8 . 0 2 x Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 32 de 33 Ahora se evalúan f 2 y ∂f 2 /∂y en (x 2 , y 1 ): F2(0.96838, 0.88) = 0.91829 y 29565 . 8 1 2 2 y x y f de donde 99070 . 0 29565 . 8 91829 . 0 88 . 0 2 y Continuar las iteraciones y calcular las distancias entre cada dos vectores consecutivos. Continuar hasta que x k ≈ 1 y y k ≈ 1. Comparar además la velocidad de convergencia de este método con la velocidad de convergencia del método de Newton-Raphson y el de punto fijo para este sistema particular. En la aplicación de este método se pudo tomar f 2 para evaluar x 1 y f 1 a fin de evaluar y 1 , asÍ x f y x f x x 2 0 0 2 0 1 ) , ( y f y x f y y 1 0 1 1 0 1 ) , ( Esto puede producir convergencia en alguno de los arreglos y divergencia en el otro. Es posible saber de antemano si la primera o la segunda forma convergirán para el caso de sistemas de dos ecuaciones, pero cuando n ≥ 3 las posibilidades son varias (n!) y es imposible conocer cuál de estos arreglos tiene viabilidad de convergencia, por lo cual la elección se convierte en un proceso aleatorio. Esta aleatoriedad es la mayor desventaja de este método. En general, para un sistema de n ecuaciones en n incógnitas: x 1 , x 2 , …, x n , el algoritmo toma la forma: ) ,..., , ,..., , ( ) ,..., , ,..., , ( 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 k n k i k i k k i i k n k i k i k k i k i k i x x x x x x f x x x x x f x x 1 ≤ i ≤ n 3.43 ALGORITMO 3.3 Método de Newton-Raphson modificado Para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones no lineales f(x) = 0, proporcionar las funciones F(I, x) y las derivadas parciales D(I, x) y los DATOS: El número de ecuaciones N, el vector de valores iniciales x, el número máximo de iteraciones MAXIT, el criterio de convergencia EPS y M = 0 para desplazamientos sucesivos o M = 1 para desplazamientos simultáneos. RESULTADOS: El vector solución xn o mensaje “NO CONVERGE”. PASO1. Hacer K= 1 PASO2. Mientras K ≤ MAXIT, repetir los pasos 3 a 11. PASO3. Si M = 0 hacer xaux = x (operaciones vectoriales) PASO4. Hacer I = 1 PASO5. Mientras 1 ≤ N, repetir los pasos 6 y 7. PASO6. Si M = 0 hacer X(I) = X(I)-F(I,x)/D(I, x), de otro mo- Programación Aplicada Capítulo 3–Sistemas de Ecuaciones Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 33 de 33 do hacer XAUX(l) = X(I) - F(I, x)/D(I, x) PASO7. Hacer I = I + 1 PASO8. Si | xaux – x | > EPS ir al paso 10. De otro modo continuar. PASO9. IMPRIMIR x y TERMINAR. PASO10. Si M = 1 hacer x = xaux PASO11. Hacer K = K + 1 PASO12. IMPRIMIR “NO CONVERGE” Y TERMINAR Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 1 de 21 CAPITULO 4 – APROXIMACION FUNCIONAL E INTERPOLACION 4.1 INTRODUCCIÓN La enorme ventaja de aproximar información discreta o funciones “complejas”, con funciones analíticas sencillas, radica en su mayor facilidad de evaluación y ma- nipulación, situación necesaria en el campo de la ingeniería. Las funciones de aproximación se obtienen por combinaciones lineales de ele- mentos de familias de funciones denominadas elementales. En general tendrán la forma a 0 g 0 (x) + a 1 g 1 (x) + …, + a n g n (x) 4.1 Donde a i , 0 ≤ i ≤ n, son constantes por determinar y g i (x), 0 ≤ i ≤ n, funciones de una familia particular. Los monomios en x (x 0 , x, x 2 , ..) constituyen la familia o grupo más empleado; sus combinaciones generan aproximaciones del tipo polinomial a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n 4.2 El grupo conocido como funciones de Fourier 1, sen x, cos x, sen 2x, cos 2x… al combinarse linealmente, genera aproximaciones del tipo n i n i i i ix sen b ix a a 1 1 0 ) ( ) cos( 4.3 El grupo de las funciones exponenciales 1, e x , e 2x , … También puede usarse del modo siguiente n i ix i e a 0 4.4 De estos tres tipos de aproximaciones funcionales, las más comunes por su facilidad de manejo en evaluaciones, integraciones, derivaciones, etc., son las aproximaciones polinomiales (4.2) y son las que se estudiarán a continuación. Sea una función f(x) dada en forma tabular Puntos 0 1 2 … n x x 0 x 1 x 2 … x n f(x) f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 2 ) … f(x n ) Para aproximar a f(x) por medio de un polinomio del tipo 4.2, se aplica alguno de los criterios siguientes: el de ajuste exacto o el de mínimos cuadrados. La técnica del ajuste exacto consiste en encontrar una función polinomial que pase por los puntos dados en la tabla (véase Fig. 4.1). El método de mínimos cua- drados consiste en hallar un polinomio que pase entre los puntos y que satisfaga la condición de minimizar la suma de las desviaciones (di) elevadas al cuadrado; es decir, que se cumpla mínimo d n i i 0 2 ) ( Cuando la información tabular de que se dispone es aproximada hasta cierto número de cifras significativas, por ejemplo la de tablas de logaritmos o de funciones de Bessel, se recomienda usar ajuste exacto. En cambio si la información tiene errores considerables, como en el caso de datos experimentales, no tiene sentido Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 2 de 21 encontrar un polinomio que pase por esos puntos sino más bien que pase entre ellos; entonces, el método de mínimos cuadrados es aplicable. Una vez que se obtiene el polinomio de aproximación, éste puede usarse para obtener puntos adicionales a los existentes en la tabla, mediante su evaluación, lo que se conoce como Interpolación. También puede derivarse o integrarse a fin de obtener información adicional de la función tabular. A continuación se describen distintas formas de aproximar con polinomios ob- tenidos por ajuste exacto y su uso en la interpolación. Más adelante se describe la aproximación polinomial por mínimos cuadrados y en los siguientes capítulos la derivación y la integración. Fig. 4.1 Aproximación polinomial con criterio de ajuste exacto (curva discontinua) y con mínimos cuadrados (curva llena). 4.2 APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE E INTERPOLACIÓN La interpolación es de gran importancia en el campo de la ingeniería, ya que al consultar fuentes de información presentadas en forma tabular, es frecuente no encontrar el valor buscado como un punto en la tabla. Por ejemplo las tablas 4.1 y 4.2 presentan la temperatura de ebullición de la acetona (C 3 H 6 O) a diferentes presiones. Puntos 0 1 2 3 4 5 6 T( o C) 56,5 78,6 113 144,5 181 205 214,5 P(atm) 1 2 5 10 20 30 40 Tabla 4.1 Temperatura de ebullición de la acetona a diferentes presiones Puntos 0 1 2 3 T(oC) 56,5 113 181 214,5 P(atm) 1 5 20 40 Tabla 4.2 Temperatura de ebullición de la acetona a diferentes presiones Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 3 de 21 Supóngase que sólo se dispusiera de la segunda y se desease calcular la temperatura de ebullición de la acetona a 2 atm de presión. Una forma muy común de resolver este problema es sustituir los puntos (0) y (1) en la ecuación de la línea recta; f(p) = a 0 + a 1 p, de tal modo que resultan dos ecuaciones con dos incógnitas que son a 0 y a 1 . Con la solución del sistema se consigue una aproximación polinomial de primer grado, lo que permite efectuar interpolaciones lineales; es decir, se sustituye el punto (0) en la ecuación de la línea recta y se obtiene 56.5 = a 0 + a 1 y al sustituir el punto (1) 113 = a 0 + 5a 1 sistema que al resolverse da a 0 = 42.375 y a 1 = 14.125 Por lo tanto, estos valores generan la ecuación T = f(p) = 42.375 + 14.125p 4.5 La ecuación resultante puede emplearse para aproximar la temperatura cuando la presión es conocida. Al sustituir la presión p = 2 atm se obtiene una temperatura de 70.6 0 C. A este proceso se le conoce como interpolación. Gráficamente la tabla 4.2 puede verse como una serie de puntos (0), (1), (2) y (3) en un plano P vs T Fig. 4.2 en donde si se unen con una línea los puntos (0) y (1), por búsqueda gráfica se obtiene T = 70.6 0 C, para P = 2 atm. En realidad, esta interpolación solo ha consistido en aproximar una función analítica desconocida [T = f(P)] dada en forma tabular por medio de una línea recta que pasa por los puntos (0) y (1). Para aproximar el valor de la temperatura correspondiente a P = 2 atm se pu- dieron tomar otros dos puntos distintos, por ejemplo (2) y (3), pero es de suponer que el resultado tendría un margen de error mayor, ya que el valor que se busca está entre los puntos (0) y (1). Si se quisiera una aproximación mejor al valor ‘verdadero’ de la temperatura buscada, podrían unirse más puntos de la tabla con una curva suave (sin picos), por ejemplo tres (0), (1) y (2) (véase Fig. 4.3) y gráficamente obtener T correspondiente a P = 2 atm. Analíticamente el problema se resuelve al aproximar la función desconocida [T = f(P)] con un polinomio que pase por los tres puntos (0), (1) y (2). Este polinomio es una parábola y tiene la forma general T = f 2 (p) = a 0 + a 1 p + a 2 p 2 4.6 Fig. 4.2 Interpolación gráfica de la temperatura de ebullición de la acetona a 2 atm. Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 4 de 21 Fig. 4.3 Interpolación gráfica con tres puntos donde los parámetros a 0 , a 1 y a 2 se determinan sustituyendo cada uno de los tres puntos conocidos en la ecuación 4.6; es decir 56.5 = a 0 + a 1 1 + a 2 1 2 113 = a 0 + a 1 5 + a 2 5 2 181 = a 0 + a 1 20 + a 2 20 2 4.7 Al resolver el sistema se obtiene a 0 = 39.85, a 1 = 17.15, a 2 = -0.50482 De tal modo que la ecuación polinomial queda T = f 2 (p) = 39.85 + 17.15p - 0.50482p 2 4.8 y puede emplearse para aproximar algún valor de la temperatura correspondiente a un valor de presión. Por ejemplo si p = 2 atm, entonces T = f 2 (2) = 39.85 + 17.15(2) - 0.50482(2) 2 = 72.1 o C La aproximación a la temperatura “correcta” es obviamente mejor en este caso. Obsérvese que ahora se ha aproximado la función desconocida [T = f(P)] con un polinomio de segundo grado (parábola) que pasa por los tres puntos más cer- canos al valor buscado. En general, si se desea aproximar una función con un po- linomio de grado n, se necesitan n + 1 puntos, que sustituidos en la ecuación poli- nomial de grado n: f n (p) = a 0 + a 1 p + a 2 p 2 + ... + a n p n 4.9 Generan un sistema de n + 1 ecuaciones lineales con las incógnitas a i , i=0, 1, 2, …, n Una vez resuelto el Sistema se sustituyen los valores de a i en la ecuación 4.9, con lo cual se obtiene el polinomio de aproximación. A este método se lo conoce como aproximación polinomial simple. Por otro lado, como se dijo al principio de este capitulo, puede tenerse una función conocida pero muy complicada, por ejemplo 0 1 ) ln( ) ( ) ( m m m x C x x x k x f 4.10 o ) ( 2 ) ( 2 1 x sen x x f 4.11 la cual conviene, para propósitos prácticos, aproximar con otra función más Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 de 21 sencilla como un polinomio. El procedimiento es generar una tabla de valores mediante la función original y a partir de dicha tabla aplicar el método descrito arriba. ALGORITMO 4.1 Aproximación polinomial simple Para obtener los (n + 1) coeficientes del polinomio de grado n (n > 0) que pasa por (n +1) puntos, proporcionar los DATOS: El grado del polinomio N y las N + 1 parejas de valores (X(I), FX(I), I = 0, 1, …,N). RESULTADOS: Los coeficientes A(0), A(1), …, A(N) polinomio de aproximación. PASO1. Hacer I = 0 PASO2. Mientras I ≤ N, repetir los pasos 3 a 9. PASO3. Hacer B(I, 0) = 1 PASO4. Hacer J = 1 PASO5. Mientras J ≤ N, repetir los pasos 6 y 7 PASO6. Hacer B(lJ, J) = B(I, J-1l) * X(I) PASO7. Hacer J = J ± 1 PASO8. Hacer B(I, N + 1) = FX(I) PASO9. Hacer I = I + 1 PASO10. Resolver el sistema de ecuaciones lineales Ba = fx de orden N + 1 con alguno de los algoritmos conocidos PASO11. IMPRIMIR A(0), A(1), …, A(N) y TERMINAR. 4.3 POLINOMIOS DE LAGRANGE El método de aproximación polinomial dado anteriormente, requiere la solución de un Sistema de ecuaciones algebraicas lineales que, cuando el grado del polinomio es alto, puede presentar inconvenientes. Existen otros métodos de aproximación polinomial en que no se requiere resolver un sistema de ecuaciones lineales y los cálculos se realizan directamente; entre éstos se encuentra el de aproximación polinomial de Lagrange. Se parte nuevamente de una función desconocida f(x) dada en forma tabular y se asume que un polinomio de primer grado (ecuación de una línea recta) puede escnibirse: f(x) = a 0 (x —x 1 ) + a 1 (x —x 0 ) 4.12 donde x 1 y x o son los argumentos de los puntos conocidos [x 0 , f(x0)], [x 1 ,f(x1)], y a 0 y a 1 son dos coeficientes por determinar. Para encontrar el valor de a 0 , se hace x = x 0 en la ecuación 4.12, que al despejar da 1 0 0 0 ) ( x x x f a 4.13 y para hallar el valor de a 1 , se sustituye el valor de x con el de x 1 , con lo que resulta 0 1 1 1 ) ( x x x f a 4.14 de tal modo que al sustituir las ecuaciones 4.13 y 4.14 en la 4.12 queda Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 6 de 21 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 1 1 1 1 0 0 x x x x x f x x x x x f x f 4.15 o en forma más compacta f(x) = L 0 (x)f(x 0 ) + L 1 (x)f(x 1 ) 4.16 donde 1 0 1 0 ) ( x x x x x L y 0 1 0 1 ) ( x x x x x L 4.17 De igual manera, un polinomio de segundo grado (ecuación de una parábola) puede escribirse f 2 (x) = a 0 (x - x 1 ) (x - x 2 ) + a 1 (x - x 0 ) (x - x 2 ) + a 2 (x - x 0 ) (x – x 1 ) 4.18 donde x 0, x 1 y x 2 son los argumentos correspondientes a los tres puntos conocidos [x 0 , f(x o )], [x 1 , f(x 1 )], [x 2 , f(x 2 )]; los valores de a 0 , a 1 y a 2 se encuentran sustituyendo x = x 0, x = x 1 y x = x 2 , respectivamente, en la ecuación 4.18 para obtener ) )( ( ) ( 2 0 1 0 0 0 x x x x x f a , ) )( ( ) ( 2 1 0 1 1 1 x x x x x f a y ) )( ( ) ( 1 2 0 2 2 2 x x x x x f a 4.19 cuyo reemplazo en dicha ecuación genera el siguiente polinomio f 2 (x) = L 0 (x) f(x 0 ) + L 1 (x) f(x 1 ) + L 2 (x) f(x 2 ) 4.20 Donde ) )( ( ) )( ( ) ( 2 0 1 0 2 1 0 x x x x x x x x x L , ) )( ( ) )( ( ) ( 2 1 0 1 2 0 1 x x x x x x x x x L y ) )( ( ) )( ( ) ( 1 2 0 2 1 0 2 x x x x x x x x x L 4.21 Por inducción se puede obtener polinomios de tercer, cuarto o n-ésimo grado; éste último queda como se indica a continuación f n (x) = L 0 (x) f(x 0 ) + L 1 (x) f(x 1 ) + … + L n (x) f(x n ) donde ) )...( )( ( ) )...( )( ( ) ( 0 2 0 1 0 2 1 0 n n x x x x x x x x x x x x x L , ) )...( )( ( ) )...( )( ( ) ( 1 2 1 0 1 2 0 1 n n x x x x x x x x x x x x x L , …., ) )...( )( ( ) )...( )( ( ) ( 1 1 0 1 1 0 n n n n n n x x x x x x x x x x x x x L que en forma más compacta y útil para programarse en un lenguaje de computadora quedaría n i i i n x f x L x f 0 ) ( ) ( ) ( 4.22 donde n i j j j i j i x x x x x L 0 ) ( ) ( ) ( 4.23 (sabiendo que n i n i x x x x x x x x 1 2 1 ) )...( )( ( ) ( ) Al combinarse linealmente con f(x i ), los polinomios L i (x), denominados poli- nomios de Lagrange, generan la aproximación polinomial de Lagrange a la infor- mación dada en forma tabular. Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 7 de 21 Ejemplo 4.1 Para la tabla que se presenta a continuación a) Obtenga la aproximación polinomial de Lagrange con todos los puntos b) Interpole el valor de la función f(x) para x = 1.8 I 0 1 2 3 f(x i ) -3 0 5 7 X i 0 1 3 6 SOLUCIÓN a) Obsérvese que hay cuatro puntos en la tabla, por lo que el polinomio será de tercer grado. Al sustituir los cuatro puntos en las ecuaciones generales 4.22 y 4.23 se obtiene ) 0 ( ) 6 1 )( 3 1 )( 0 1 ( ) 6 )( 3 )( 0 ( ) 3 ( ) 6 0 )( 3 0 )( 1 0 ( ) 6 )( 3 )( 1 ( ) ( 3 x x x x x x x f ) 7 ( ) 3 6 )( 1 6 )( 0 6 ( ) 3 )( 1 )( 0 ( ) 5 ( ) 6 3 )( 1 3 )( 0 3 ( ) 6 )( 1 )( 0 ( x x x x x x al efectuar las operaciones queda 90 7 ) 3 4 ( 18 5 ) 6 7 ( 6 1 ) 18 27 10 ( ) ( 2 3 2 3 2 3 3 x x x x x x x x x x f y finalmente resulta 3 30 46 30 1 30 1 ) ( 2 3 3 x x x x f b) El valor de x = 1.8 se sustituye en la aproximación pollnomial de Lagrarige de tercer grado obtenida arriba y se tiene f(1.8) ≈ 2.2176 Obsérvese que si se reemplaza x con cualquiera de los valores dados en la tabla, en la aproximación polinomial, se obtiene el valor de la función dado por la misma tabla. Ejemplo 4.2 Encuentre tanto la aproximación polinomial de Lagrange a la tabla 4.2 como el valor de la temperatura para una presión de 2 atm utilizando esta aproximación. SOLUCION a) Aproximación polinomial de Lagrange mediante dos puntos (n = 1) ) ( ) ( ) ( 1 0 1 0 0 1 0 1 p f p p p p p f p p p p p f T al sustituir los primeros dos puntos de la tabla resulta p p p p f T 125 . 14 375 . 42 113 1 5 1 5 . 56 5 1 5 ) ( 4.24 Observe que la ecuación 4.24 es equivalente a la 4.5 y, por lo tanto, al sustituir p = 2 se obtiene el mismo resultado T ≈ 70.6 o C, como era de esperar. b) Aproximación polinomial de Lagrange con tres puntos (n = 2) ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( 2 1 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 0 2 0 1 0 2 1 2 p f p p p p p p p p p f p p p p p p p p p f p p p p p p p p p f T al sustituir los primeros tres puntos de la tabla, se obtiene Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 8 de 21 181 ) 5 20 )( 1 20 ( ) 5 )( 1 ( 113 ) 20 5 )( 1 5 ( ) 20 )( 1 ( 5 . 56 ) 20 1 )( 5 1 ( ) 20 )( 5 ( ) ( 2 p p p p p p p f T T = 39,850876 + 17,153948p – 0,504824p 2 4.25 polinomio que puede servir para interpolar la temperatura de ebullición de la acetona a la presión de 2 atm; así el resultado queda T = 72.14. Observe que la ecuación 4.25 equivale a la 4.8. c) La tabla 4.2 contiene cuatro puntos, por lo que la aproximación polinomial de mayor grado posible es 3. Se desarrolla la ecuación 4.22 para n = 3 ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( 1 3 1 2 1 0 1 3 2 0 0 3 0 2 0 1 0 3 2 1 3 p f p p p p p p p p p p p p p f p p p p p p p p p p p p p f T ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( 3 2 3 1 3 0 3 2 1 0 2 3 2 1 2 0 2 3 1 0 p f p p p p p p p p p p p p p f p p p p p p p p p p p p 4.26 Al Sustituir los puntos de la tabla, se obtiene 113 ) 40 5 )( 20 5 )( 1 5 ( ) 40 )( 20 )( 1 ( 5 . 56 ) 40 1 )( 20 1 )( 5 1 ( ) 40 )( 20 )( 5 ( ) ( 3 p p p p p p p f T 5 . 214 ) 20 40 )( 5 40 )( 1 40 ( ) 20 )( 5 )( 1 ( 181 ) 40 20 )( 5 20 )( 1 20 ( ) 40 )( 5 )( 1 ( p p p p p p y al simplificar queda f 3 (p) = 0.01077p 3 - 0.78323p 2 + 18.4923p + 38.774 el cual puede emplearse para encontrar el valor de la temperatura correspon- diente a la presión de 2 atm. Con la sustitución de p = 2 y al evaluar f 3 (p) queda: T = f(2) ≈ f 3 (2) = 0.01077(2) 3 - 0.78323(2) 2 + 18.4923(2) + 38.774 = 72.71 ALGORITMO 4.2 Interpolación con polinomios de Lagrange Para interpolar con polinomios de Lagrange de grado N, proporcionar los DATOS: El grado del polinomio N, las N + 1 parejas de valores (X(I), FX(l), I = 0, 1, …, N) y el valor para el que se desea la interpolaclón XINT. RESULTADOS: La aproximación FXINT, el valor de la función en XINT. PASO 1 Hacer FXINT = 0 PASO 2 Hacer I = 0 PASO 3 Mientras I ≤ N, repetir los PASOS 4 a 10 PASO 4 Hacer L = 1 PASO 5 Hacer J = 0 PASO 6 Mientras J ≤ N, repetir los pasos 7 y 8 PASO 7 Si I ≠ J Hacer L = L*(XINT - .X(J))/(X(l)-X(J)) PASO 8 Hacer J = J + 1 PASO 9 Hacer FXINT = FXINT + L*FX(I) PASO 10 Hacer I = I + 1 PASO 11 IMPRIMIR FXINT y TERMINAR Ejemplo 4.3 Elabore un programa para aproximar la función f(x) = cos x en el intervalo [0, 8π], con polinomios de Lagrange de grado 1, 2, 3,..., 10. Use los puntos que se requieran, distribuidos regularmente en el intervalo. Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 9 de 21 Determine en forma práctica el error máximo que se comete al aproximar con los polinomios de los diferentes grados y compare los resultados. SOLUCIÓN Para calcular el error máximo dividir el intervalo [0, 8π] en 20 subintervalos y calcular el valor con el polinomio interpolante y el valor verdadero con la función cos x, determinando el error absoluto. Se obtienen los siguientes resultados Grado Error máximo 1 2.23627 2 2.23622 3 3.17025 4 2.23627 5 4.04277 6 4.1879 7 5.68560 8 33.74134 9 12.82475 10 35.95174 Se observa que al aumentar el grado del polinomio, el error absoluto máximo va aumentando. 4.4 DIFERENCIAS DIVIDIDAS Por definición de derivada en el punto x 0 de una función analítica f(x) se tiene 0 0 0 ) ( ) ( lim ) ( ' x x x f x f x x x f Sin embargo, cuando la función está en forma tabular la derivada sólo puede obtenerse aproximadamente; por ejemplo, si se desea la derivada en el punto x, donde (x 0 < x < x 1 ), puede estimarse como sigue 0 1 0 1 ) ( ) ( ) ( ' x x x f x f x f , x 0 < x < x 1 Puntos 0 1 2 … n X x 0 x 1 x 2 … x n f(x) f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 2 ) … f(x n ) El lado derecho de la expresión anterior se conoce como la primera diferencia dividida de f(x) (se llama también diferencia dividida de primer orden) respecto a los argumentos x 0 y x 1 y se denota generalmente como f[x 0 , x 1 ]; así 0 1 0 1 1 0 ) ( ) ( , x x x f x f x x f La relación entre la primera diferencia dividida y la primera derivada queda establecida por el teorema del valor medio Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 10 de 21 ) , ( ), ( ' ) ( ) ( 0 1 0 1 0 1 x x f x x x f x f xe x siempre y cuando f(x) satisfaga las condiciones de aplicabilidad de dicho teorema. Para obtener aproximaciones de derivadas de orden más alto, se extiende el concepto de diferencias divididas a órdenes más altos como se ve en la tabla 4.3, donde para uniformar la notación se han escrito los valores funcionales en los argumentos x i , 0 ≤ i ≤ n, como f[x i ] y se les llama diferencias divididas de orden cero. Información Diferencias Divididas X f(x) Primeras Segundas Terceras x 0 f[x 0 ] 0 1 0 1 1 0 ] [ ] [ ] , [ x x x f x f x x f x 1 f[x 1 ] 0 2 1 0 2 1 2 1 0 ] , [ ] , [ ] , , [ x x x x f x x f x x x f 1 2 1 2 2 1 ] [ ] [ ] , [ x x x f x f x x f ... ] , , [ ] , , [ ] , , , [ 0 3 2 1 0 3 2 1 3 2 1 0 x x x x x f x x x f x x x x f x 2 f[x 2 ] 1 3 2 1 3 2 3 2 1 ] , [ ] , [ ] , , [ x x x x f x x f x x x f 2 3 2 3 3 2 ] [ ] [ ] , [ x x x f x f x x f ... ] , , [ ] , , [ ] , , , [ 1 4 3 2 1 4 3 2 4 3 2 1 x x x x x f x x x f x x x x f x 3 f[x 3 ] 2 4 3 2 4 3 4 3 2 ] , [ ] , [ ] , , [ x x x x f x x f x x x f 3 4 3 4 4 3 ] [ ] [ ] , [ x x x f x f x x f ... ] , , [ ] , , [ ] , , , [ 2 5 4 3 2 5 4 3 5 4 3 2 x x x x x f x x x f x x x x f x 4 f[x 4 ] 3 5 4 3 5 4 5 4 3 ] , [ ] , [ ] , , [ x x x x f x x f x x x f 4 5 4 5 5 4 ] [ ] [ ] , [ x x x f x f x x f x 5 f[x 5 ] Tabla 4.3 Tabulación general de diferencias divididas Por otro lado, de acuerdo con la tabla 4.3, la diferencia de orden í es 0 1 1 0 2 1 2 1 0 ] ,..., , [ ] ,..., , [ ] ,..., , , [ x x x x x f x x x f x x x x f i i i i En esta expresión puede observarse que a) Para formarla se requieren i + 1 puntos y b) El numerador es la resta de dos diferencias de orden i y de i–1, el denominador la resta de los argumentos no comunes en el numerador. Ejemplo 4.4 La información de la tabla siguiente se obtuvo del polinomio y = x 3 - 2x 2 - 2 Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 11 de 21 Puntos 0 1 2 3 4 5 X -2 -1 0 2 3 6 f(x) -18 -5 -2 -2 7 142 A partir de ella, elabore una tabla de diferencias divididas. SOLUCIÓN Las primeras diferencias divididas mediante los puntos 0,1 y 1,2, respectivamente, son 13 ) 2 ( 1 ) 18 ( 5 ] , [ 1 0 x x f ; 3 ) 1 ( 0 ) 5 ( 2 ] , [ 2 1 x x f La segunda diferencia dividida mediante los puntos (0), (1) y (2) es 5 ) 2 ( 0 13 3 ] , , [ 2 1 0 x x x f de igual manera se calculan las demás diferencias divididas, que se resumen en la siguiente tabla Puntos x f(x) 1er orden 2do orden 3er orden 4to orden 0 -2 -18 13 1 -1 -5 -5 3 1 2 0 -2 -1 0 0 1 3 2 -2 3 0 9 1 4 3 7 9 45 5 6 142 Debe notarse que todas las diferencias divididas de tercer orden tienen el mismo valor, independientemente de los argumentos que se usen para su cálculo. Obsérvese también que las diferencias divididas de cuarto orden son todas cero, lo cual concuerda con que la tercera y cuarta derivada de un polinomio de tercer grado son – respectivamente - una constante y cero, sea cual sea el valor del argumento x. El razonamiento inverso también es válido: si al construir una tabla de diferencias divididas en alguna de las columnas el valor es constante (y en la siguiente columna es cero), la información proviene de un polinomio de grado igual al orden de las diferencias que tengan valores constantes. ALGORITMO 4.3 Tabla de diferencias divididas Para obtener la tabla de diferencias divididas de una función dada en forma tabular, proporcionar los DATOS: El número de parejas M de la función tabular y las parejas de valores (X(l), FX(I), I = 0, 1, 2,…, M-l). RESULTADOS: La tabla de diferencias divididas T. PASO 1 Hacer N = M – 1 PASO 2 Hacer I = 0 Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 12 de 21 PASO 3 Mientras I ≤ N - 1, repetir los pasos 4 y 5. PASO 4 Hacer T(l,0) = (FX(I+1)-FX(l))/(X(l+1)-X(l)) PASO 5 Hacer = 1+1 PASO 6 Hacer J = 1 PASO 7 Mientras J ≤ N - l, repetir los pasos 8 a 12. PASO 8 Hacer I = J PASO 9 Mientras I ≤ N - 1, repetir los pasos 10 y 11. PASO 10 Hacer T(I,J) = (T(l,J-1)–T(I-1,J-1)/(X(I+1)-X(I-J)) PASO 11 Hacer I = I + 1 PASO 12 Hacer J = J + 1 PASO 13 IMPRIMIR T y TERMINAR. 4.5 APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON Supóngase que se tiene una función dada en forma tabular como se presenta a continuación Puntos 0 1 2 3 … n X x 0 x 1 x 2 x 3 … x n f(x) f[x 0 ] f[x 1 ] f[x 2 ] f[x 3 ] … f[x n ] y que se desea aproximarla preliminarmente con un polinomio de primer grado que pasa por ejemplo por los puntos (0) y (1). Sea además dicho polinomio de la forma f(x) = a 0 + a 1 (x - x 0 ), 4.27 donde x 0 es la abscisa del punto (0) y a 0 , a 1 son constantes por determinar. Para encontrar el valor de a 0 se hace x = x 0 de donde a 0 = f(x o ) = f[x 0 ] y a fin de encontrar el valor de a 1 se hace x = x 1 , de donde a 1 = (f[x 1 ] - f[x 0 ])/(x 1 – x 0 ), o sea la primera diferencia dividida f[x 0 , x 1 ]. Al sustituir los valores de estas constantes en la ecuación 4.27 ésta queda f(x) = f[x 0 ] + (x – x 0 )f[x 0 , x 1 ] o sea un polinomio de primer grado en términos de diferencias divididas. Y si ahora se desea aproximar la función tabular con un polinomio de segundo grado que pase por los puntos (0), (1) y (2) y que tenga la forma f 2 (x) = a 0 + a 1 (x - x 0 ) + a 2 (x - x 0 )(x –x 1 ) 4.28 donde x 0 y x 1 vuelven a ser las abscisas de los puntos (0) y (1) y a 0, a 1 y a 2 , son constantes por determinar, se procede como en la forma anterior para encontrar estas constantes; o sea si x = x 0 , a 0 = f 2 (x 0 ) = f[x 0 ] si x = x 1 , a 1 = 0 1 0 1 x x x f x f = f[x 0 , x 1 ] si x = x 2 , a 2 = ) )( ( ) ( 1 2 0 2 0 1 0 1 0 2 0 2 x x x x x x x f x f x x x f x f al desarrollar algebraicamente el numerador y el denominador de a 2 se llega a: Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 13 de 21 ) ( 0 2 0 1 0 1 1 2 1 2 2 x x x x x f x f x x x f x f a = f[x 0 , x 1 , x 2 ] que es la segunda diferencia dividida respecto a x 0 , x 1 y x 2 . Con la sustitución de estos coeficientes en la ecuación 4.28 se obtiene f 2 (x) = f[x 0 ] + (x – x 0 )f[x 0 , x 1 ] + (x – x 0 )(x – x 1 )f[x 0 , x 1 , x 2 ] que es un polinomio de segundo grado en términos de diferencias divididas. Por inducción se puede establecer que, en general, para un polinomio de grado n escrito en la forma f n (x) = a 0 + a 1 (x–x 0 ) + a 2 (x–x 0 )(x–x 1 ) + …+ a n (x–x 0 )(x–x 1 )…(x–x n-1 ) 4.29 y pasa por los puntos (0),(1),(2),…,(n); los coeficientes a 0, a 1 ,…,a n están dados por a 0 = f[x 0 ] a 1 = f[x 0 , x 1 ] a 2 = f[x 0 , x 1 , x 2 ] . a n = f[x 0 , x 1 , x 2 , …, x n ] Esta aproximación polinomial se conoce como aproximación polinomial de Newton, la cual se puede expresar sintéticamente como n k k i i k n x x a x p 0 1 0 ) ( ) ( 4.30 Ejemplo 4.5 Elabore una aproximación polinomial de Newton para la información tabular de las presiones de vapor de la acetona (tabla 4.2) e interpole la temperatura para una presión de 2 atm. SOLUCIÓN Para el cálculo de los coeficientes del polinomio de Newton, se construye la tabla de diferencias divididas Diferenciad divididas Puntos P T=f(p) Primera Segunda Tercera 0 1 56,5 14,12500 1 5 113 -0,50482 4,53333 0,01085 2 20 181 -0,08167 1,67500 3 40 214,5 a) Para n = 1 T = f 1 (p) = a 0 + a 1 (p-p 0 ) = f[p 0 ] + f[p 0 , p 1 ](p-p 0 ) de la tabla se tiene f[p 0 ] = 56.5 y f[p 0 , p 1 ] = 14.125, de donde T = f 1 (p) = 56.5 + 14.l25(p - 1) = 42.375 + 14.125p ecuación que equivale a las obtenidas anteriormente (4.5 y 4.24). Si p = 2, f(2) ≈ f 1 (2) = 56.5 +14.125(2 - 1) = 70.6 0 C b) Para n = 2 T = f 2 (p) = a 0 + a 1 (p-p 0 ) + a 2 (p-p 0 )(p-p 1 ) = f[p 0 ] + f[p 0 , p 1 ](p-p 0 ) + f[p 0 , p 1 , p 2 ](p-p 0 )(p-p 1 ) Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 14 de 21 de la tabla se obtienen a 0 = f[p 0 ] = 56.5, a 1 = f[p 0 , p 1 ] = 14.125, a 2 = f[p 0 , p 1 , p 2 ] = -0.50482, que al sustituirse en la ecuación de arriba dan T = f 2 (p) =56.5 + 14.125(p - 1) - 0.50482(p - 1)(p - 5) T = f 2 (p) = 39.8509 + 17.15392p – 0.50482p 2 ecuación que equivale a 4.8 y 4.25 Si p = 2, f(2) ≈ f 2 (2) = 56.5 + 14.125(2 - 1) - 0.50482(2 - 1)(2 - 5) = 72.14 o C e) Para n = 3 T = f 3 (p) = a 0 + a 1 (p-p 0 ) + a 2 (p-p 0 )(p-p 1 ) + a 3 (p-p 0 )(p-p 1 )(p-p 2 ) = f[p 0 ] + f[p 0 , p 1 ](p-p 0 ) + f[p 0 , p 1 , p 2 ](p-p 0 )(p-p 1 ) + f[p 0 , p 1 , p 2 , p 3 )(p-p 0 )(p-p 1 )(p-p 2 ) de la tabla se obtienen a 0 = f[p 0 ] = 56.5, a 1 = f[p 0 , p 1 ] = 14.125, a 2 = f[p 0 , p 1 , p 2 ] = -0.50842, a 3 = f[p 0 , p 1 , p 2 , p 3 ] = 0.01085 que sustituidas generan el polinomio de aproximación f 3 (p) = 56.5 + 14.125(p - 1) - 0.50482(p - 1)(p - 5) + 0.01085(p - 1)(p - 5)(p - 20) f 3 (p) = 38.7659 + 18.51017p - 0.78692p 2 + 0.01085p 3 y que es esencialmente el polinomio obtenido con el método de Lagrange - (ec. 4.26) Si p = 2, f(2) ≈ f 3 (2) = 56.5 + 14.125(2 - 1) - 0.50482(2 - 1)(2 - 5) + + 0.01085(2 - 1)(2 - 5)(2 - 20) = 72.73 o C Ejemplo 4.6 Aproxime la temperatura de ebullición de la acetona a una presión de 30 atm usando aproximación polinomial de Newton de grado dos (véase Ej. 4.5). SOLUCIÓN Se hace pasar el polinomio de Newton por los puntos (1), (2) y (3), con lo que toma la forma T = f 2 (p) = a 0 + a 1 (p – p 1 ) + a 2 (p – p 1 )(p – p 2 ) con los coeficientes dados ahora de la siguiente manera a 0 = f[p 1 ] = 113 a 1 = f[p 1 , p 2 ] = 4.53333 a 2 = f[p 1 , p 2 , p 3 ] = -0.08167 Al sustituir T = f 2 (p) = f[p 1 ] + f[p 1 , p 2 ](p – p 1 ) + f[p 1 , p 2 , p 3 ](p – p 1 )(p – p 2 ) = 113 + 4.533(p - p 1 ) – 0.08167(p – p 1 )(p – p 2 ) T = f 2 (p) = 82.16635 + 6.57508p – 0.08167p 2 y al evaluar dicho polinomio en p = 30, se obtiene la aproximación buscada T = f 2 (30) = 113 + 4.53333(30 - 5) - 0.08167(30 - 5)(30 - 20) = 205.92 El valor reportado en la tabla 4.1 es 205, por lo que la aproximación es buena. ALGORITMO 4.4 Interpolación polinomial de Newton Para interpolar con polinomios de Newton en diferencias divididas de grado N, proporcionar los DATOS: El grado del polinomio N, las N + 1 parejas de valores (X(I), FX(I), I = 0, 1, 2, …, N) y el valor para el que se desea interpolar XINT. RESULTADOS: La aproximación FXINT al valor de la función en XINT. PASO 1 Realizar los pasos 2 a 12 del algoritmo 4.3. PASO 2 Hacer FXINT = FX(0) PASO 3 Hacer I = 0 Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 15 de 21 PASO 4 Mientras I ≤ N - 1 repetir los pasos 5 a 11. PASO 5 Hacer P = 1 PASO 6 Hacer J = 0 PASO 7 Mientras J ≤ I, repetir los pasos 8 y 9. PASO 8 Hacer P = P * (XINT – X(J)) PASO 9 Hacer J = J + 1 PASO 10 Hacer FXINT = FXINT + T(I, I) * P PASO 11 Hacer I = I + 1 PASO 12 IMPRIMIR FXÍNT y TERMINAR 4.6 APROXIMACIÓN POLINOMIAL CON MÍNIMOS CUADRADOS Hasta ahora el texto se ha enfocado en encontrar un polinomio de aproximación que pase por los puntos dados en forma tabular. Sin embargo, a veces la información (dada en la tabla) tiene errores significativos; por ejemplo cuando proviene de medidas físicas; en estas circunstancias no tiene sentido pasar un polinomio de aproximación por los puntos dados, sino sólo cerca de ellos (véase Fig. 4.4). Fig. 4.4 Aproximación polinomial que pasa por entre los puntos No obstante, esto crea un problema, ya que se puede pasar un número infinito de curvas entre los puntos. Para determinar la mejor curva se establece un criterio que la fije y una metodología que la determine. El criterio más común consiste en pedir que la suma de las distancias calculadas entre el valor de la función que aproxima f 1 (x i ) y el valor de la función f(x i ) dada en la tabla, sea mínima (véase Fig. 4.5); es decir, que mínimo d x f x f m i i m i i i 1 1 1 ) ( ) ( Para evitar problemas de derivabilidad más adelante, se acostumbra utilizar las distancias d i elevadas al cuadrado: mínimo d x f x f m i i m i i i 1 2 1 2 1 ) ( ) ( En la figura 4.5 se observan los puntos tabulados, la aproximación polinomial f 1 (x) y las distancias d i , entre los puntos correspondientes, cuya suma hay que mini- mizar. Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 16 de 21 Fig. 4.5 Ilustración de las distancias d i a minimizar Si se utiliza f 1 (x) = a 0 + a 1 x 4.31 para aproximar la función dada por la tabla, el problema queda como el de minimizar m i i i x f x a a 1 2 1 0 ) ( 4.32 Nótese que del número infinito de polinomios que pasan entre los puntos, se selecciona aquel cuyos coeficientes a 0 y a 1 minimicen 4.32. En el cálculo de funciones de una variable, se ha visto que para encontrar el mínimo o máximo de una función, se deriva y se iguala con cero esa derivada. Después se resuelve la ecuación resultante para obtener los valores de la variable que pudieran minimizar o maximizar la función. En el caso en estudio, donde se tiene una función por minimizar de dos variables (a 0 y a 1 ), el procedimiento es derivar parcialmente con respecto a cada una de las variables e igualar a cero cada derivada, con lo cual se obtiene un sistema de dos ecuaciones algebraicas en las incógnitas a 0 y a 1 o sea, 0 )) ( ( 1 2 1 0 0 m i i i x f x a a a 4.33 0 )) ( ( 1 2 1 0 1 m i i i x f x a a a Se deriva dentro del signo de sumatoria 0 1 ) ( 2 ) ( 1 1 0 1 2 1 0 0 m i i i m i i i x f x a a x f x a a a 0 ) ( 2 ) ( 1 1 0 1 2 1 0 1 i m i i i m i i i x x f x a a x f x a a a al desarrollar las sumatorias se tiene [a 0 + a 1 x 1 – f(x 1 )] + [a 0 + a 1 x 2 – f(x 2 )] + …+ [a 0 + a 1 x m – f(x m )] = 0 [a 0 x 1 + a 1 x 1 2 – f(x 1 )x 1 ] + [a 0 x 2 + a 1 x 2 2 – f(x 2 )x 2 ] + … + [a 0 x m + a 1 x m 2 – f(x m )x m ] = 0 que simplificadas quedan Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 17 de 21 m i m i i i x f x a ma 1 1 1 0 ) ( m i m i m i i i i i x x f x a x a 1 1 1 2 1 0 ) ( El sistema se resuelve por la regla de Cramer y se tiene m i m i i i m i i i m i i m i i m i i x x m x x f x x x f a 1 2 1 2 1 1 1 2 1 0 ) ( ) ( 4.34 m i m i i i m i i m i i m i i i x x m x x f x x f m a 1 2 1 2 1 1 1 1 ) ( ) ( que sustituidos en la ecuación 4.31 dan la aproximación polinornial de primer grado que mejor ajusta la información tabulada. Este polinomio puede usarse a fin de aproximar valores de la función para argumentos no conocidos en la tabla. Ejemplo 4.7 En la tabla siguiente se presentan los alargamientos de un resorte corres- pondientes a fuerzas de diferente magnitud que lo deforman Puntos 1 2 3 4 5 Fuerza (kgf) x 0 2 3 6 7 Longitud del resorte (m) y 0,120 0,153 0,170 0,225 0,260 Determine por mínimos cuadrados el mejor polinomio de primer grado (recta) que represente la función dada. SOLUCION Para facilitar los cálculos y evitar errores en los mismos, primero se construye la siguiente tabla Puntos Fuerza x i Longitud y i x 1 2 x i y i 1 0 0,120 0 0,000 2 2 0,153 4 0,306 3 3 0,170 9 0,510 4 6 0,225 36 1,350 5 7 0,260 49 1,820 Σ x i = 18 Σ y i = 0.928 Σ x i 2 = 98 Σ x i y i = 3.986 Los valores de las sumatorias de la última fila se sustituyen en el sistema de ecuaciones 4.34 y se obtiene a 0 = 0.11564 y a 1 = 0.019434, de donde f 1 (x) = 0.11564 + 0.019434x. El grado del polinomio no tiene relación con el número de puntos usados y debe seleccionarse de antemano con base en consideraciones teóricas que apoyan el fenómeno estudiado, el diagrama de dispersión (puntos graficados en el plano x-y) Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 18 de 21 o ambos. El hecho de tener la mejor recta que aproxima la información, no significa que la información esté bien aproximada; quizá convenga aproximarla con una parábola o una cúbica. Para encontrar el polinomio de segundo grado f 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 que mejor aproxime la tabla, se minimiza m i i i i x f x a x a a 1 2 2 2 1 0 ) ( 4.35 donde los parámetros a 0 , a 1 y a 2 se obtienen al resolver el sistema de ecua- ciones lineales que resulta de derivar parcialmente e igualar a cero la función por minimizar con respecto a cada uno. Dicho sistema queda m i m i m i i i i x f x a x a ma 1 1 1 2 2 1 0 ) ( m i m i m i i i i i m i i x x f x a x a x a 1 1 1 3 2 2 1 1 0 ) ( 4.36 m i m i m i i i i i m i i x x f x a x a x a 1 1 1 2 4 2 3 1 1 2 0 ) ( cuya solución puede obtenerse por alguno de los métodos vistos anteriormente Ejemplo 4.8 El calor específico Cp (cal/K gmol) del Mn 3 0 4 varía con la temperatura de acuerdo con la siguiente tabla Puntos 1 2 3 4 5 6 T ( o K) 280 650 1000 1200 1500 1700 Cp (cal/K gmol) 32,70 45,40 52,15 53,70 52,90 50,30 Aproxime esta información con un polinomio por el método de mínimos cuadrados. SOLUCIÓN El calor específico aumenta con la temperatura hasta el valor tabulado de 1200 o K, para disminuir posteriormente en valores más altos de temperatura. Esto sugiere utilizar un polinomio con curvatura en vez de una recta, por ejemplo uno de segundo grado, que es el más simple. Para facilitar el cálculo de los coeficientes del sistema de ecuaciones 4.36, se construye la siguiente tabla Puntos i T xi Cp yi 2 i x 3 i x 4 i x i i y x 2 i i x y 1 280 32,70 0,78x10 5 0,022x10 9 0,062x10 11 9156 2,56x10 6 2 650 45,40 0,42x10 6 0,275x10 9 1,785x10 11 29510 19,18x10 6 3 1000 52,15 1,00x10 6 1,000x10 9 1,000x10 12 52150 52,15x10 6 4 1200 53,70 1,44x10 6 1,728x10 9 2,074x10 12 64440 77,33x10 6 5 1500 52,90 2,25x10 6 3,375x10 9 5,063x10 12 79350 119,03x10 6 6 1700 50,30 2,89x10 6 4,900x10 9 8,350x10 12 85510 145,37x10 6 Σ Totales 6330 287,15 8,08x10 6 11,3x10 9 166,7x10 11 320116 415,62x10 6 Los coeficientes se sustituyen en el sistema de ecuaciones 4.36 y se obtiene: 6a 0 + 6330a 1 + 8.08x10 6 a 2 = 287.15 Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 19 de 21 6330a 0 + 8.08x10 6 a 1 + 11.30x10 9 a 2 = 320116 8.08x10 6 a 0 + 11.30x10 9 a 1 + 166.70x10 11 a 2 = 415.62x10 6 Cuya solución por el método de eliminación Gaussiana da como resultados a 0 = 22.4066, a 1 = 0.0458, a 2 = -1.694x10 -5 que forman la aproximación polinomial siguiente Cp(T) ≈ f 2 (T) = 22.4066 + 0.0458T - 1.694x10 -5 T 2 NOTA Muchas de las calculadoras de mano cuentan con un programa interno para obtener esta aproximación; por otro lado, puede usarse un pizarrón electrónico para los cálculos (sumatorias, solución de ecuaciones, etcétera). Ejemplo 4.9 Use la aproximación polinomial de segundo grado obtenida en el ejemplo anterior para aproximar el calor especifico del Mn 3 0 4 a una temperatura de 800 o K SOLUCIÓN Con la sustitución de T = 800 o K en el polinomio de aproximación se tiene Cp (800) ≈ f 2 (800) = 22.4066 + 0.0458(800) - 1.694x10 -5 (800) 2 = 48.2 cal/K gmol ALGORITMO 4.5 Aproximación con mínimos cuadrados Para obtener los N + 1 coeficientes del polinomio óptimo de grado N que pasa entre M parejas de puntos, proporcionar los DATOS: El grado del polinomio de aproximación N, el número de parejas de valores (X(I), FX(l), I = 1, 2, …, M) RESULTADOS: Los coeficientes A(0), A(1), …, A(N) del polinomio de aproximación. PASO 1 Hacer J = 0 PASO 2 Mientras J ≤ (2*N - 1), repetir los pasos 3 a 5. PASO 3 Si J ≤ N Hacer SS(J) = 0. De otro modo continuar. PASO 4 Hacer S(J) = 0 PASO 5 Hacer J = J + 1 PASO 6 Hacer I = 1 PASO 7 Mientras I ≤ M, repetir los pasos 8 a 15 PASO 8 Hacer XX = 1 PASO 9 Hacer J = 0 PASO 10 Mientras J ≤ (2*N - 1), repetir los pasos 11 a 14. PASO 11 Si J ≤ N hacer SS(J) = SS(J) + XX*FX(l) De otro modo continuar. PASO 12 Hacer XX = XX*X(l) PASO 13 Hacer S(J) = S(J) + XX PASO 14 Hacer J = J + 1 PASO 15 Hacer I = I + 1 PASO 16 Hacer B(0, 0) = M PASO 17 Hacer I = 0 Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 20 de 21 PASO 18 Mientras I ≤ N, repetir los pasos 19 a 24. PASO 19 Hacer J = 0 PASO 20 Mientras J ≤ N, repetir los pasos 21 y 22. PASO 21 Si I ≠ 0 y J ≠ 0. Hacer B(I, J) = S(J – 1 + I) PASO 22 Hacer J = J + 1 PASO 23 Hacer B(I, N + 1) = SS(I) PASO 24 Hacer I = I + 1 PASO 25 Resolver el sistema de ecuaciones lineales B a = ss de orden N + 1 con alguno de los algoritmos para sistemas lineales. PASO 26 IMPRIMIR A(0), A(1), …, A(N) y TERMINAR. 4.7 APROXIMACIÓN MULTILINEAL CON MÍNIMOS CUADRADOS Con frecuencia se tienen funciones de más de una variable; esto es, f(u, v, z). Si se sospecha una funcionalidad lineal en las distintas variables; es decir, si se piensa que la función y = a 0 + a 1 u + a 2 v + a 3 z puede ajustar los datos de la tabla siguiente Puntos u v Z y 1 u 1 v 1 z 1 F(u 1 , v 1 , z 1 ) 2 u 2 v 2 z 2 F(u 2 , v 2 , z 2 ) 3 u 3 v 3 z 3 F(u 3 , v 3 , z 3 ) . . . . . . . . . . . . . . . M u m v m z m f(u m , v m , z m ) se puede aplicar el método de los mínimos cuadrados para determinar los coeficientes a 0 , a 1 , a 2 y a 3 que mejor aproximen la función de varias variables tabuladas. El procedimiento es análogo al descrito anteriormente y consiste en minimizar la función m i i i i i y z a v a u a a 1 2 3 2 1 0 ) ( que derivada parcialmente con respecto de cada coeficiente por determinar: a 0, a 1 , a 2 y a 3 e igualada a cero cada una, queda 0 1 ) ( 2 ) ( 1 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 0 m i i i i i m i i i i i y z a v a u a a y z a v a u a a a 0 ) ( 2 ) ( 1 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 i m i i i i i m i i i i i u y z a v a u a a y z a v a u a a a 0 ) ( 2 ) ( 1 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 2 i m i i i i i m i i i i i v y z a v a u a a y z a v a u a a a 0 ) ( 2 ) ( 1 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 3 i m i i i i i m i i i i i z y z a v a u a a y z a v a u a a a ecuaciones que rearregladas generan el sistema algebraico lineal siguiente m a 0 + a 1 Σu + a 2 Σv + a 3 Σz = Σy Programación Aplicada Capítulo 4 – Aproximación funcional e interpolación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 21 de 21 a 0 Σu + a 1 Σu 2 + a 2 Σuv + a 3 Σuz = Σuy a 0 Σv + a 1 Σvu + a 2 Σv 2 + a 3 Σvz = Σvy 4.37 a 0 Σz + a 1 Σzu + a 2 Σzv + a 3 Σz 2 = Σzy en las incógnitas a 0 , a 1 , a 2 y a 3 . Para simplificar la escritura se han omitido los índices i de u, v, y z y los límites de las sumatorias, que van de 1 hasta m Ejemplo 4.10 A partir de un estudio experimental acerca de la estabilización de arcilla muy plástica, se observó que el contenido de agua para moldeo con densidad óptima dependía linealmente de los porcentajes de cal y puzolana mezclados con la arcilla. Se tuvieron así los resultados que se dan abajo. Ajuste una ecuación de la forma: y = a 0 + a 1 u + a 2 v a los datos de dicha tabla. Agua(%) Cal(%) Puzolana(%) y U v 27.5 2.0 18.0 28.0 3.5 16.5 28.8 4.5 10.5 29.1 2.5 2.5 30.0 8.5 9.0 31.0 10.5 4.5 32.0 13.5 1.5 SOLUCIÓN El sistema lineal por resolver es una modificación del sistema de ecuaciones 4.37 para una función y de dos variables u y v n a 0 + a 1 Σu + a 2 Σv = Σy a 0 Σu + a 1 Σu 2 + a 2 Σuv = Σuy a 0 Σv + a 1 Σvu + a 2 Σv 2 = Σvy Con objeto de facilitar el cálculo del sistema anterior se construye la siguiente tabla: I u i v i y i u i 2 u i v i v i 2 u i y i v i y i 1 2,0 18 27,5 4 36 324 55 495 2 3,5 16,5 28,0 12,25 57,75 272,25 98,00 462,00 3 4,5 10,5 28,8 20,25 47,25 110,25 129,60 302,40 4 2,5 2,5 29,1 6,25 6,25 6,25 72,75 72,75 5 8,5 9,0 30,0 72,25 76,50 81,00 255,00 270,00 6 10,5 4,5 31,0 110,25 47,25 20,25 325,50 139,50 7 13,5 1,5 32,0 182,25 20,25 2,25 432,00 48,00 Σ Totales 45,0 62,5 206,4 407,50 291,25 816,25 1367,85 1789,65 Los coeficientes se sustituyen en el sistema de ecuaciones y al aplicar alguno de los métodos de solución para sistemas de lineales, se obtiene a 0 = 28.69, a 1 = 0.2569, a 2 = 0.09607 al sustituir estos valores se tiene y = 28.69 + 0.2569u + 0.09607v Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 1 de 17 CAPITULO 5 - INTEGRACION NUMERICA 5.1 INTRODUCCION En este capitulo se abordan los temas clásicos de integración con procesos finitos de aproximación. Una vez que se ha determinado un polinomio p n (x)* de manera que aproxime satisfactoriamente una función dada f(x) sobre un intervalo de interés, puede espe- rarse que al integrar p n (x) en forma definida, también aproxime satisfactoriamente la integral definida correspondiente a f(x). Figura 5.1 Integración del polinomio de interpolación En el proceso de integración (véase Fig. 5.1), el valor de n x x d x x f 0 ) ( está dado por el área bajo la curva de f(x), mientras que la aproximación n x x n d x x p 0 ) ( está dada por el área bajo la curva de p n (x) y los errores que se cometen en diferentes segmentos del intervalo tienden a cancelarse entre sí o a reducirse. Por esto el error total al integrar p n (x) entre x 0 y x n puede ser muy pequeño, aún cuando p n (x) no sea una buena aproximación de f(x) En resumen: Si la aproximación polinomial p n (x) es buena, la integral n x x n d x x p 0 ) ( puede dar una aproximación excelente de n x x d x x f 0 ) ( . Los métodos de integración comúnmente usados pueden clasificarse en dos grupos: los que emplean valores dados de la función f(x) en abscisas equidistantes, que se conocen como fórmulas de Newton-Cotes y aquellos que utilizan valores de f(x) en abscisas desigualmente espaciadas, determinadas por ciertas propiedades de familias de polinomios ortogonales, conocidas como fórmulas de cuadratura gaussiana. 5.2 METODOS DE NEWTON - COTES Para estimar b a d x x f I ) ( , los métodos de Newton-Cotes funcionan en general en dos pasos Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 2 de 17 1. Se divide el intervalo [a, b] en n intervalos de igual amplitud cuyos valores extremos son sucesivamente ) ( 0 n a b i x x i , i = 0, 1, 2, …, n 5.1 Para quedar en la nueva notación x 0 = a y x n = b. 2. Se aproxima f(x) por un polinomio de grado n, p n (x) y se integra para obtener la aproximación de I. Es evidente que se obtendrán valores diferentes de I para distintos valores de n, como se muestra a continuación. 5.2.1 MÉTODO TRAPEZOIDAL En el caso de n = 1, el intervalo de integración [a, b] queda tal cual y x 0 = a, x 1 = b; la aproximación polinomial de f(x) es una línea recta (un polinomio de primer grado p 1 (x)) y la aproximación a la integral es el área del trapezoide bajo esta línea recta, como se ve en la Figura 5.2. Este método de integración se llama regla trapezoidal. Figura 5.2 Integración numérica por medio de la regla trapezoidal Para llevar a cabo la integración n x x d x x p 0 ) ( 1 , es preciso seleccionar una de las formas de representación del polinomio P 1 (x), y como f(x) está dada para valores equidistantes de x con distancia h, la elección lógica es una de las fórmulas en diferencias finitas (hacia delante, hacia atrás o centrales). Si se eligen las diferencias finitas hacia delante, se tendrá entonces que: f(x) ≈ p 1 (x) Donde p 1 (x) es: p 1 (x) = p 1 (x 0 + sh) = f(x 0 ) + s Δ f(x 0 ) Se remplaza p 1 (x) en la integral y se tiene / b a x x d x x f s x f d x x f 1 0 ) ( ) ( ) ( 0 0 5.2 Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 3 de 17 Para realizar la integración del lado derecho de la ecuación 5.2 es necesario tener a toda la integral en términos de la nueva variable s que, como se sabe, está dada por la expresión x = x 0 + sh, De ésta, la diferencial de x queda en términos de s dx = h ds, ya que x 0 y h son constantes. Para que los limites de integración x 0 y x 1 queden a su vez en términos de s, se sustituyen por x en x = x 0 + sh y se despeja s, lo que da respectivamente x 0 = x 0 + sh de donde s = 0 x 1 = x 0 + sh de donde s = 1, Y resulta d s x f s x f h d x x f s x f x x ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 1 0 0 0 1 0 / / Al integrar se tiene / / / 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 x f x f h x f s x sf h d s x f s x f h como Δf(x 0 ) = f(x 0 + h) – f(x 0 ), Se llega finalmente a: ) ( ) ( 2 ) ( 1 0 x f x f h d x x f b a 5.3 El algoritmo del método trapezoidal Nótese que el lado derecho de la ecuación 5.3 es el área de un trapezoide de altura h y lados paralelos de longitud f(x 0 ) y f(x 1 ) (véase Fig. 5.2). Antes de empezar a resolver ejercicios, es conveniente observar que los métodos vistos y los siguientes sirven también cuando la función f(x) está dada analíticamente y las técnicas estudiadas en el cálculo integral no dan resultado, o bien cuando esta función es imposible de integrar analíticamente. En esos casos, la tabla de puntos se elabora evaluando la función del integrando en abscisas seleccionadas adecuadamente. Ejemplo 5.1 Uso del algoritmo trapezoidal a) Aproxime el área A 1 bajo la curva de la función dada por la tabla 5.1, en el intervalo a = 500, b = 1800. Tabla 5.1 Valores de Función Puntos 0 1 2 3 4 5 F(x) 9 13,4 18,7 23 25,1 27,2 X 500 900 1400 1800 2000 2200 b) Aproxime d x x A ) 3 2 ( 5 0 2 c) Aproxime d x x x A ) 3 2 1 ( 2 4 2 3 Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 4 de 17 d) Aproxime 2 / 0 4 ) ( p d x x se n A SOLUCION Con la ecuación 5.3 se tiene a) h = 1800 - 500, x 0 = 500, x 1 = 1800 20 80 0 ) 23 9 ( 2 1 3 0 0 1 A b) h = 5 - 0, x 0 = 0, x 1 = 5 5 . 4 7 ) ) ) 5 ( 3 2 ( ) ) 0 ( 3 2 ( ( 2 5 2 A c) h = 4 - (-2), x 0 = -2, x 1 = 4 1 98 ) ) 4 ( 3 ) 4 ( 2 1 ) ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 1 ( ( 2 6 2 2 3 A d) h = π/2 – 0, x 0 = 0, x 1 = π/2 4 / ) ) 2 / ( ) 0 ( ( 2 2 / 4 p p p se n se n A Comparar los resultados obtenidos analíticamente, [incisos (b), (c) y (d)]. 5.2.2 MÉTODO DE SIMPSON Si n = 2; esto es, el intervalo de integración [a, b] se divide en dos sub- intervalos, se tendrán tres abscisas dadas por la ecuación 5.1 como x 0 = a ) ( 2 1 2 2 2 1 0 1 a b a b a a b x x x 2 = b Se aproxima f(x) con una parábola [un polinomio de segundo grado p 2 (x)], y la aproximación a la integral será el área bajo el segmento de parábola comprendida entre f(x 0 ) y f(x 2 ) como muestra la figura 5.3 Esto es Figura 5.3 Integración numérica mediante la regla de Simpson d x x p d x x f x x b a 2 0 ) ( ) ( 2 Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 de 17 para realizar la integración d x x p x x 2 0 ) ( 2 , se usa la formula de Newton en diferencias finitas hacia adelante para expresar p 2 (x) ) ( ! 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 0 0 0 2 2 x f s s x f s x f sh x p x p / / al sustituir p 2 (x) y expresar toda la integral en términos de la nueva variable s, queda d s sh x p h d x x p d x x f x x b a ) ( ) ( ) ( 2 0 0 2 2 2 0 d s x f s s x f s x f h d s sh x p h ) ) ( ! 2 ) 1 ( ) ( ) ( ( ) ( 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 / / / / / / / ) ( 3 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) ( ! 3 ) ( 2 ) ( 0 2 0 0 2 0 0 2 2 0 2 3 0 2 0 x f x f x f h x f s x f s x f s x sf h De la definición de la primera y segunda diferencia hacia adelante se tiene Δf(x 0 ) = f(x 0 + h) – f(x 0 ) = f(x 1 ) – f(x 0 ) y Δ 2 f(x 0 ) = f(x 0 + 2h) – 2f(x 0 + h) + f(x 0 ) = f(x 2 ) – 2f(x 1 ) + f(x 0 ) que sustituidas en la última ecuación dan lugar a ) ( ) ( 4 ) ( 3 ) ( 2 1 0 x f x f x f h d x x f b a 5.4 que es el algoritmo de Simpson. Ejemplo 5.2 Con el algoritmo de Simpson aproxime las integrales del ejemplo 5.1. SOLUCION Con la ecuación 5.4 se tiene a) 65 0 2 5 0 0 1 80 0 h , x 0 = 500, x 1 = x 0 +h = 500+650 = 1150, x 2 = 1800 f(x 0 ) = 9 f(x 1 ) = 16.08 f(x 2 ) = 23 [ f(x1) se obtiene interpolando con un polinomio de segundo grado en diferencias divididas ] 3 3 . 20 869 ) 23 ) 0 8 . 1 6 ( 4 9 ( 3 65 0 1 A b) 5 . 2 2 0 5 h x 0 = 0 x 1 = 0+2.5 = 2.5 x 2 = 5 5 . 4 7 ) ) 5 ( 3 2 ) ) 5 . 2 ( 3 2 ( 4 ) 0 ( 3 2 ( 3 5 . 2 2 A c) 3 2 ) 2 ( 4 h x 0 = -2 x 1 = -2 + 3 = 1 x 2 = 4 90 ) ) 4 ( 3 ) 4 ( 2 1 ) ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 1 ( 4 ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 1 ( 3 3 2 2 2 3 A Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 6 de 17 d) 4 2 0 2 p p h x 0 = 0 x 1 = 0+π/4 = π/4 x 2 = π/2 0 0 23 . 1 ) ) 2 / ( ) 4 / ( 4 ) 0 ( ( 3 4 / 4 p p p se n se n se n A Se recomienda la comparación y discusión de los resultados obtenidos en forma analítica [casos de los incisos (b), (c) y (d)] y con los obtenidos en el ejemplo 5.1. 5.3 CASO GENERAL A continuación se vera el caso más general, donde el intervalo de integración [a,b] se divide en n sub-intervalos y da lugar a n + 1 abscisas equidistantes x 0 , x 1 , ..., x n , con x 0 = a y x n = b (véase Fig. 5.1). Esta vez el polinomio de interpolación es de n-ësimo grado p n (x). La aproximación a la integral d x x f b a ) ( esta dada por d x sh x p h d x x p d x x f n n x x n b a n ) ( ) ( ) ( 0 0 0 ) ( ! 3 ) 2 ) ( 1 ( ) ( ! 2 ) 1 ( ) ( ) ( ( 0 3 0 0 2 0 0 x f s s s x f s s x f s x f h n / / / d s x f n n s s s s n ) ) ( ! ) ) 1 ( ) ...( 2 ) ( 1 ( ... 0 / Con la integración de los cinco primeros términos se tiene / / / ) ( ) 6 6 24 ( ) ( ) 4 6 ( ) ( 2 ) ( ( ) ( 0 3 2 3 4 0 2 2 3 0 0 2 0 0 x f s s s x f s s x f s x sf h d s sh x p h n n n x f s s s s 0 0 4 2 3 4 5 ) ( ) 8 72 1 1 1 6 1 20 ( / + terminos faltantes Todos los términos son cero en el límite inferior, por lo que ) ( ) 6 6 24 ( ) ( ) 4 6 ( ) ( 2 ) ( ( ) ( 0 3 2 3 4 0 2 2 3 0 2 0 x f n n n x f n n x f n x n f h d x x f b a / / / ) tan _ min ) ( ) 8 72 1 1 1 6 1 20 ( 0 4 2 3 4 5 te s f a l os te r x f n n n n / 5.5 A continuación se dan las formulas de Newton-Cotes para integrar cuando n = 1, 2, 3, 4, 5 y 6. El lector puede verificarlas sustituyendo el valor seleccionado de n y las diferencias correspondientes en términos de sus valores funcionales en la ecuación 5.5. n = 1 ) ) ( ) ( ( 2 ) ( 1 0 1 0 x f x f h d x x f x x trapezoidal n = 2 ) ) ( ) ( 4 ) ( ( 3 ) ( 2 1 0 2 0 x f x f x f h d x x f x x Simpson 1/3 Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 7 de 17 n = 3 ) ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) ( ( 8 3 ) ( 3 2 1 0 3 0 x f x f x f x f h d x x f x x Simpson 3/8 n = 4 ) ) ( 7 ) ( 3 2 ) ( 1 2 ) ( 3 2 ) ( 7 ( 4 5 2 ) ( 4 3 2 1 0 4 0 x f x f x f x f x f h d x x f x x 5.6 n = 5 ) ) ( 1 9 ) ( 75 ) ( 5 0 ) ( 5 0 ) ( 75 ) ( 1 9 ( 288 5 ) ( 5 4 3 2 1 0 5 0 x f x f x f x f x f x f h d x x f x x n = 6 ) ) ( 4 1 ) ( 21 6 ) ( 27 ) ( 272 ) ( 27 ) ( 21 6 ) ( 4 1 ( 1 4 0 ) ( 6 5 4 3 2 1 0 6 0 x f x f x f x f x f x f x f h d x x f x x 5.4 MÉTODOS COMPUESTOS DE INTEGRACIÓN Algunas veces el intervalo de integración es tan amplio, que resulta conveniente dividirlo en sub-intervalos y aproximar cada uno por medio de un polinomio. 5.4.1 MÉTODO TRAPEZOIDAL COMPUESTO Por ejemplo, en vez de aproximar la integral de f(x) en [a, b] por una recta (véase Fig. 5.4 a), conviene dividir [a, b] en n sub-intervalos y aproximar cada uno por un polinomio de primer grado (véase Fig. 5.4 b). Una vez hecho esto, se aplica la formula trapezoidal a cada sub-intervalo y se obtiene el área de cada trapezoide, de tal modo que la suma de todas ellas da la aproximación al área bajo la curva f(x). Esto es Figura 5.4 Integración por el método trapezoidal compuesto. b x x n x x x x a b a n n d x x p d x x p d x x p d x x f I 1 2 1 1 0 ) ( ... ) ( ) ( ) ( 2 1 donde p i (x) es la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x i-1 , f(x i-1 )), (x i , f(x i )). Con la ecuación 5.3 se tiene ) ) ( ) ( ( 2 ... ) ) ( ) ( ( 2 ) ) ( ) ( ( 2 1 1 2 1 1 2 1 0 0 1 n n n n x f x f x x x f x f x x x f x f x x I 5.7 Si todos los sub-intervalos son del mismo tamaño h, esto es, si x i+1 - x i = h, para i = 0, 1, …, (n-1), entonces la ecuación 5.7 puede anotarse ) ) ( ) ( 2 ... ) ( 2 ) ( 2 ) ( ( 2 1 2 1 0 n n x f x f x f x f x f h I Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 8 de 17 Que puede escribirse con la notación de sumatoria ) ) ( ) ( 2 ) ( ( 2 1 1 0 n n i i x f x f x f h I 5.8 Ejemplo 5.3 Mediante el algoritmo trapezoidal compuesto, aproxime el área bajo la curva de la siguiente función dada en forma tabular, entre x = - 1 y x = 4. Puntos 0 1 2 3 4 5 X -1 0 1 2 3 4 F(x) 8 10 10 20 76 238 SOLUCION Si se toman todos los puntos de la tabla, se puede aplicar cinco veces el método trapezoidal. Como todos los intervalos son del mismo tamaño (h = 1), se usa la ecuación 5.8 directamente 23 9 ) 23 8 ) 76 20 1 0 1 0 ( 2 8 ( 2 1 A Compárese este resultado con la solución analítica (los datos de la tabla corresponden a la función f(x) = x 4 – 2x 2 + x + 10). ALGORITMO 5.1 Método trapezoidal compuesto Para aproximar el área bajo la curva de una función analítica f(x) en el intervalo [a, b], proporcionar la función por integrar F(x) y los DATOS: El número de trapecios N, el limite inferior A y limite superior B. RESULTADOS: El área aproximada AREA. PASO 1 Hacer X = A PASO 2 Hacer S = 0 PASO 3 Hacer H = (B - A)/N PASO 4 SI N = 1, ir al paso 10. De otro modo continuar. PASO 5 Hacer l = 1 PASO 6 Mientras I ≤ N – 1, repetir los pasos 7 a 9. PASO 7 Hacer X = X + H PASO 8 Hacer S = S + F(X) PASO 9 Hacer l = I + 1 PASO10 Hacer AREA = H/2 * (F(A) + 2 * S + F(B)) PASO11 IMPRIMIR AREA y TERMINAR. 5.4.2 MÉTODO DE SIMPSON COMPUESTO Como para cada aplicación de la regla de Simpson se requieren dos sub- intervalos, a fin de aplicarla n número de veces, deberá dividirse el intervalo [a, b] en un número de sub-intervalos igual a 2n (véase Fig. 5.5). Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 9 de 17 Figura 5.5 integración por el método de Simpson compuesto Cada par de sub-intervalos sucesivos se aproxima por un polinomio de segundo grado (parábola) y se integra usando la ecuación 5.4, de tal manera que la suma de las áreas bajo cada segmento de parábola sea la aproximación a la integración deseada. Esto es b x x n x x x x a b a n n d x x p d x x p d x x p d x x f I 2 4 2 2 0 ) ( ... ) ( ) ( ) ( 2 1 donde p i (x), i = 1, 2,..., n, es el polinomio de segundo grado que pasa por tres puntos consecutivos. Al sustituir la ecuación 5.4 en cada uno de los sumandos se tiene ... ) ) ( ) ( 4 ) ( ( 3 ) ) ( ) ( 4 ) ( ( 3 4 3 2 2 2 1 0 1 x f x f x f h x f x f x f h I ) ) ( ) ( 4 ) ( ( 3 1 2 n n n n x f x f x f h 5.9 Donde h 1 = x 1 - x 0 = x 2 - x 1 h 2 = x 3 – x 2 = x 4 – x 3 . . h n = x n-1 – x n-2 = x n – x n-1 Si h1 = h2 = … = hn, la ecuación 5.9 queda como sigue ... ) ) ( ) ( 4 ) ( ( 3 ) ) ( ) ( 4 ) ( ( 3 4 3 2 2 1 0 x f x f x f h x f x f x f h I ) ) ( ) ( 4 ) ( ( 3 1 2 n n n x f x f x f h Que usando la notación de sumatoria queda de la siguiente manera ) ) ( ) ( 2 ) ( 4 ) ( ( 3 2 2 2 1 2 1 0 n n i i i n i i i x f x f x f x f h I / / 5.10 Donde Δi significa el incremento de i. Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 10 de 17 Ejemplo 5.4 Mediante el algoritmo de Simpson de integración, aproxime el área bajo la curva del ejemplo 5.3. SOLUCION Con los puntos dados de la tabla, se puede aplicar la regla de Simpson en dos ocasiones; por ejemplo, una vez con los puntos (0), (1) y (2) y otra con los puntos (2), (3) y (4). Como la integración debe hacerse de x = - 1 a x = 4, se integra entre los puntos (4) y (5) con el método trapezoidal y la suma será la aproximación buscada: a) Método de Simpson aplicado dos veces: h 1 = h 2 = h 3 = h 4 = 1, entonces puede usarse la ecuación 5.10 666 . 74 ) 76 ) 1 0 ( 2 ) 20 1 0 ( 4 8 ( 3 1 1 A b) Método trapezoidal aplicado a los puntos (4) y (5) 1 5 7 ) 23 8 76 ( 2 1 2 A por lo tanto, la aproximación al área es A = 74.666 + 157 = 231.666 Compare este resultado con el obtenido en el ejemplo 5.3 y el resultado de la solución analítica (la función tabulada es f(x) = x 4 – 2x 2 + x + 10). ALGORITMO 5.2 Método de Simpson compuesto Para aproximar el área bajo la curva de una función analítica f(x) en el intervalo [a, b], proporcionar la función por integrar F(x) y los DATOS: El número (par) de sub-intervalos N, el límite inferior A y el límite superior B RESULTADOS: El área aproximada AREA. PASO 1. Hacer S1 = 0 PASO 2. Hacer S2 = 0 PASO 3. Hacer X = A PASO 4. Hacer H = (B - A)/N PASO 5. Si N = 2, ir al paso 13. De otro modo continuar. PASO 6. Hacer l = 1 PASO 7. Mientras I ≤ N/2 - 1, repetir los pasos 8 a 12. PASO 8. Hacer X = X + H PASO 9. Hacer S1 = S1 + F(x) PASO10. Hacer X = X + H PASO11. Hacer S2 = S2 + F(x) PASO12. Hacer I = I + 1 PASO13. Hacer X = X + H PASO14. Hacer S1 = S1 + F(x) PASO15. Hacer AREA = H/3 * (F(A) + 4*S1 + 2*S2 + F(B)) PASO16. IMPRIMIR AREA y TERMINAR Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 11 de 17 5.5 CUADRATURA DE GAUSS Gauss investigó y encontró que es factible disminuir el error en la integración cambiando la localización de los puntos sobre la curva de integración f(x). El investigador desarrolló su propio método, conocido como Cuadratura de Gauss, el cual se describe a continuación. a) Método trapezoidal b) Método de Gauss con dos puntos Figura 5.6 Desarrollo del método de integración de Gauss usando dos puntos a partir del método trapezoidal En la figura 5.6 se tiene la curva de la función f(x) que se desea integrar entre los límites a y b. La parte (a) de la figura muestra cómo se integraría usando un trapezoide: uniendo el punto A de coordenadas (a, f(a)) con el punto B (b, f(b)) mediante un segmento de recta p 1 (x). Esto forma un trapezoide de base h = (b-a), cuya área es: T = h/2[f(a) + f(b)] y que podría escribirse como: T = w 1 f(a) +w 2 f(b) 5.11 Donde w 1 = w 2 = h/2 (De hecho, cualquiera de las fórmulas de integración desarrolladas anteriormente puede ponerse en la forma ) ( ) ( 1 i n i i b a x f w d x x f , donde, por ejemplo, la regla de Simpson aplicada una vez tendría w 1 = w 3 = h/3 y w 2 = 4h/3. Véase la Ec. 5.4) El área del trapezoide calculada T, aproxima el área bajo la curva f(x). Por otro lado, en la aplicación de la cuadratura de Gauss, en lugar de tomar los dos puntos A y B en los extremos del intervalo, se escogen dos puntos interiores C y D (véase la parte b de la Fig. 5.6). Se traza una línea recta por estos dos puntos, se extiende hasta los extremos del intervalo y se forma el trapezoide sombreado. Parte del trapezoide queda por encima de la curva y parte por abajo. Si se escogen adecuadamente los puntos C y D, cabe igualar las dos zonas de modo que el área del trapezoide sea igual al área bajo la curva y el cálculo del área del trapezoide resultante dé la integral exacta. El método de Gauss consiste esencialmente en seleccionar los puntos C y D adecuados. La técnica se deduce a continuación: Considérese primero, sin que esto implique perder generalidad, que se desea integrar la función mostrada en la figura 5.7 entre los límites -1 y +1 (si los límites son distintos, se hace un cambio de variable para pasarlos a -1 y +1). Los puntos C y D se escogen sobre la curva y se forma el trapezoide con vértices E, F, G, y H. Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 12 de 17 Figura 5.7 Derivación del método de integración de Gauss. Sean las coordenadas del punto C (z 1 , F(z 1 )) y las del punto D (z 2 , F(z 2 )). Motivado por la formula trapezoidal (Ec. 5.3), Gauss se propuso desarrollar una formula del tipo A = w 1 F(z 1 ) + w 2 F(z 2 ) 5.12 Ya que esto simplificaría relativamente el cálculo del área. El problema, planteado de esta manera, consiste en encontrar los valares de z 1 , z 2 , w 1 y w 2 . Entonces hay cuatro parámetros por determinar y, por tanto, cuatro condiciones que se pueden imponer. Estas se eligen de manera que el método dé resultados exactos cuando la función por integrar sea alguna de las cuatro siguientes o combinaciones lineales de ellas: F(z) = 1 F(z) = z F(z) = z 2 F(z) = z 3 Los valores exactos de integrar estas cuatro funciones entre -1 y +1 son: 2 ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 z d z I 0 2 ) 1 ( 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 z d z z I 3 2 3 ) 1 ( 3 1 3 3 3 1 1 3 1 1 2 3 z d z z I 0 4 ) 1 ( 4 1 4 4 4 1 1 4 1 1 3 4 z d z z I Suponiendo que una ecuación de la forma 5.12 funciona exactamente, se tendría el siguiente sistema de ecuaciones 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 1 w w I 0 2 2 1 1 2 z w z w I 3 2 2 2 2 2 1 1 3 z w z w I Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 13 de 17 0 3 2 2 3 1 1 4 z w z w I De la primera ecuación se tiene que w 1 + w 2 = 2; nótese también que si w 1 = w 2 y z 1 = -z 2 Se satisfacen la segunda y la cuarta ecuaciones. Entonces se elige w 1 = w 2 = 1 y z 1 = -z 2 y al sustituir en la tercera ecuación se obtiene 3 2 ) ( 2 1 2 1 z z o bien 3 1 2 1 z de donde ... 5 773 5 . 0 3 1 1 z y queda entonces z 1 = - 0.57735... z 2 = 0.57735... con lo que se tiene la formula: ...) 5 773 5 . 0 ( ...) 5 773 5 . 0 ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 1 1 F F z F w z F w d z z F 5.13 que, salvo porque se tiene que calcular el valor de la función en un valor irracional de z, es tan simple como la regla trapezoidal; además, trabaja perfectamente para funciones cúbicas, mientras que la regla trapezoidal la hace solo para líneas rectas. Anteriormente se comentó que para integrar en un intervalo distinto de [-1, 1], se requiere un cambio de variable a fin de pasar del intervalo de integración general [a, b] a [-1, 1] y así aplicar la ecuación 5.13; por ejemplo, si se desea obtener d x e x 5 0 se puede cambiar a 1 5 2 x z , de modo que si x = 0, z = -1 y si x = 5, z = 1. El resto de la integral se pone en términos de la nueva variable z y se encuentra que 2 / ) 1 ( 5 z x e e y d z z d d x 2 5 ) ) 1 ( 2 5 ( entonces la integral queda d z e d x e z x 1 1 2 / ) 1 ( 5 5 0 2 5 de modo que las condiciones de aplicación del método de Gauss quedan satisfechas. Al resolver se tiene: Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 14 de 17 ...) ) 5 773 5 . 0 ( ...) 5 773 5 . 0 ( ( 2 5 2 5 2 1 1 1 2 / ) 1 ( 5 F w F w d z e z 91 75 2 . 0 ) ) 1 ( ) 1 ( ( 2 5 2 / ) 1 5 773 5 . 0 ( 5 2 / ) 1 5 773 5 . 0 ( 5 e e Esto es 91 75 2 . 0 5 0 d x e x El valor exacto de esta integral es 0.99326. En general, si se desea calcular d x x f b a ) ( aplicando la ecuación 5.13, se cambia el intervalo de integración con la siguiente fórmula a b b a x z ) ( 2 de donde 2 2 b a z a b x 5.14 (Solo es aplicable cuando los límites de integración a y b son finitos) ya que si x = a, z = -1; y si x = b, z = 1 El integrando f(x)dx en términos de la nueva variable queda ) 2 2 ( ) ( b a z a b F x f y d z a b b a z a b d d x 2 ) 2 2 ( Por lo que la integral queda finalmente como d z b a z a b F a b d x x f b a ) 2 2 ( 2 ) ( 1 1 ) ) 2 ) 5 773 5 . 0 ( 2 ( ) 2 ) 5 773 5 . 0 ( 2 ( ( 2 b a a b F b a a b F a b 5.15 Una cuestión importante es que el método de Gauss puede extenderse a tres o más puntos; por ejemplo, si se escogen tres puntos no equidistantes en el segmento de la curva F(z) comprendida entre -1 y 1, se podría pasar una parábola por los tres como en la regla de Simpson, excepto en que dichos puntos se escogerían de modo que minimicen o anulen el error. Similarmente es factible elegir cuatro puntos y una curva cúbica, cinco puntos y una curva cuártica, etc. En general, el algoritmo tiene la forma: ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 2 2 1 1 1 1 n n z F w z F w z F w z F w A d z z F 5.16 donde se han calculado los valores de w i y z i por usar y la tabla 5.2 da valores hasta para seis puntos. Con dos puntos, el método de Gauss está diseñado para obtener exactitud en polinomios cúbicos; con tres, se tendrá exactitud en polinomios de cuarto grado y así sucesivamente. Los coeficientes y abscisas dadas en la tabla 5.2 sirven para integrar sobre todo el intervalo de interés, o bien puede dividirse el intervalo en varios sub-intervalos (como en los métodos compuestos de integración) y aplicar el método de Gauss a cada uno de ellos. Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 15 de 17 Número de puntos Coeficientes w i Abscisas z i 2 w 1 = w 2 = 1.0 -z 1 = z 2 = 0.5773502692 3 w 2 = 0.888888… w 1 = w 3 = 0.555555… -z 1 = z 3 = 0.7745966692 z 2 = 0.0 4 w 1 = w 4 = 0.3478548451 w 2 = w 3 = 0.6521451549 -z 1 = z 4 = 0.8611363116 -z 2 = z 3 = 0.3399810436 5 w 1 = w 5 = 0.2369268851 w 2 = w 4 = 0.4786286705 w 3 = 0,56888… -z 1 = z 5 = 0.9061798459 -z 2 = z 4 = 0.5384693101 z 3 = 0.0 6 w 1 = w 6 = 0.1713244924 w 2 = w 5 = 0.3607615730 w 3 = w 4 = 0.4679139346 -z 1 = z 6 = 0.9324695142 -z 2 = z 5 = 0.6612093865 -z 3 = z 4 = 0.2386191861 Tabla 5.2 Coeficientes y abscisas en el método de la cuadratura de Gauss Legendre. Ejemplo 5.5 Integre la función 2 2 2 1 x e p en el intervalo (-0.8, 1.5) por cuadratura de Gauss. SOLUCION a) Con dos puntos Cambio de límites de la integral con la ecuación 3 . 2 7 . 0 2 ) ( 2 x a b b a x z Si x = -08, z = -1; si x = 1.5, z = 1 Con el cambio de la función en términos de la nueva variable z queda: d x e I x 5 . 1 8 . 0 2 2 2 1 p d z e d z e z z 1 1 8 / ) 7 . 0 3 . 2 ( 2 / ) 2 5 . 1 8 . 0 2 ) 8 . 0 ( 5 . 1 ( 1 1 2 2 2 2 3 . 2 ) 2 ) 8 . 0 ( 5 . 1 ( 2 1 p p De la Tabla 5.2 w 1 = w 2 = 1.0; -z 1 = z 2 = 0.5773502692 Al evaluar la función del integrando en z 1 , z 2 5 980 684 . 0 ) 5 773 5 0 2692 . 0 ( 8 / ) 7 . 0 ) 5 773 5 0 2692 . 0 ( 3 . 2 ( 2 e F 95 1 91 1 1 5 . 0 ) 5 773 5 0 2692 . 0 ( 8 / ) 7 . 0 ) 5 773 5 0 2692 . 0 ( 3 . 2 ( 2 e F Se aplica la ecuación 5.13 71 1 1 0 5 . 0 ) ) 95 1 91 1 5 . 0 ( 1 ) 5 980 684 . 0 ( 1 ( 2 2 3 . 2 p I b) Con tres puntos De la Tabla 5.2 w 1 = w 3 = 0.55555..., w 2 = 0.88888... -z 1 = z 3 = 0.7745966692, z 2 = 0.0 Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 16 de 17 Al evaluar la función del integrando en z 1 , z 2 y z 3 y emplear la ecuación 5.16 se tiene 721 825 . 0 ...) ) 863 9 . 0 ...( 5 5 5 5 5 . 0 ...) 94 0 5 . 0 ...( 88888 . 0 ...) 4 63 1 . 0 ...( 5 5 5 5 5 . 0 ( 2 2 3 . 2 p I Ejemplo 5.6 Halle d x x se n ) ( 2 0 p , por el método de la cuadratura de Gauss utilizando tres puntos. SOLUCION Se cambian variable y límites de integración con la expresión a b b a x z ) ( 2 como a = 0, b = 2π, entonces p p p p p x x x z 1 2 2 2 se despeja x: x = π z + π de donde dx = π dz Se sustituye en la integral p p p p p p p 2 0 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( d z z se n d z z se n d x x se n Con el empleo de la ecuación 5.16 con n = 3 y los valores de la tabla 5.2 queda A ≈ π{0.55555…[sen(π(-0.7745966692) + π)] + 0.88888…[sen(π(0) + π)] + 0.55555…[sen(π(0.7745966692) + π)]} Comparar este resultado con la solución analítica. La expresión 5.15 puede ponerse en forma más general y adecuada para programarla así: 2 ) ( 2 ) ( 1 a b z a b F w a b d x x f i n i i b a 5.17 La cual puede deducirse de los ejemplos resueltos A continuación se presenta un algoritmo para la cuadratura de Gauss-Legendre. ALGORITMO 5.3 Cuadratura de Gauss-Legendre Para aproximar el área bajo la curva de una función analítica f(x) en el intervalo [a, b], proporcionar la función a integrar F(X) y los DATOS: El número de puntos (2, 3, 4, 5 o 6) por utilizar: N, el límite inferior A y el límite superior B. RESULTADOS: El área aproximada AREA. PASO 1. Hacer (NP(I), I = 1, 2,..., 5) = (2, 3, 4, 5, 6) PASO 2. Hacer (IAUX(I), I = 1, 2, …, 6) = (1, 2, 4, 6, 9, 12) PASO 3. Hacer (Z(I), I = 1, 2, …, 11) = (0.577350269, 0.0, 0.774596669, 0.339981044, 0.861136312, 0.0, 0.538469310, 0.906179846, 0.238619186, 0.661209387, 0.932469514) Programación Aplicada Capítulo 5-Integración Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 17 de 17 PASO 4. Hacer (W(I), I = 1, 2, …, 11) = (1.0, 0.888888888, 0.555555555, 0.652145155, 0.347854845, 0.568888888, 0.478628671, 0.236926885, 0.467913935, 0.360761573, 0.171324493) PASO 5. Hacer I = 1 PASO 6. Mientras I ≤ 5, repetir los pasos 7 y 8. PASO 7. Si N = NP(I), ir al paso 10. De otro modo continuar. PASO 8. Hacer l = I + 1 PASO 9. IMPRIMIR “N NO ES 2, 3, 4, 5, a 6” y TERMINAR. PASO 10. Hacer S = 0 PASO 11. Hacer J = IAUX(I) PASO 12. Mientras J ≤ IAUX(l + 1) -1, repetir los pasos 13 a 17. PASO 13. Hacer ZAUX = (Z(J) * (B - A) + B + A) / 2 PASO 14. Hacer S = S + F(ZAUX) * W(J) PASO 15. Hacer ZAUX = (-Z(J) * (B - A) + B + A) / 2 PASO 16. Hacer S = S + F(ZAUX) * W(J) PASO 17. Hacer J = J + 1 PASO 18. Hacer AREA = (B - A) / 2 * S PASO 19. IMPRIMIR AREA y TERMTNAR. Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 1 de 8 CAPITULO 6 – DIFERENCIACION NUMERICA 6.1 INTRODUCCION En este capitulo se abordan temas clásicos de derivación con procesos finitos de aproximación. Figura 6.1 Diferenciación del polinomio de aproximación Una vez que se ha determinado un polinomio p n (x), ya sea por el criterio de ajuste exacto o el de mínimos cuadrados, de manera que aproxime satisfactoriamente una función dada f(x) sobre un intervalo de interés, puede espe- rarse que al diferenciar p n (x) en forma definida, también aproxime satisfactoriamente la derivada correspondiente a f(x). Sin embargo, si se observa la figura 6.1, donde aparece la gráfica de un polinomio p n (X) que aproxima la curva que representa la función f(x), puede anticiparse que aunque la desviación de p n (x) y f(x) en el intervalo [x 0 , x n ] es pequeña, las pendientes de las curvas que las representan pueden diferir considerablemente; esto es, la diferenciación numérica tiende a ampliar pequeñas discrepancias o errores del polinomio de aproximación. En resumen: Aunque la aproximación polinomial p n (x) sea buena, la diferencial ) (x p dx d n , que da la pendiente de la línea tangente a p n (x), puede variar en magnitud respecto a ) (x f dx d significativamente, aunque p n (x) sea una buena aproximación a f(x). Por tanto, la diferenciación numérica debe tomarse con el cuidado y reservas que lo ameritan; particularmente cuando los datos obtenidos experimentalmente puedan tener errores significativos. Cuando se va a practicar una operación en una función tabulada, el camino es aproximar la tabla por alguna función y efectuar la operación en la función aproximante. Así se procedió en la integración numérica y así se procederá en la Programación Aplicada Capítulo 6 – Diferenciación Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 2 de 8 diferenciación numérica; esto es, se aproximará la función tabulada f(x) y se diferenciará la aproximación p n (x). 6.2 DERIVACIÓN CON POLINOMIOS DE LAGRANGE Si la aproximación es polinomial y con el criterio de ajuste exacto (si la aproximación es por mínimos cuadrados, la diferenciación numérica consistirá en diferenciar el polinomio que mejor ajuste la información tabulada), la diferenciación numérica consiste simplemente en diferenciar la formula del polinomio interpolante que se utilizó. Sea en general f(x) = p n (x) + R n (x) donde R n (x) es el error que se comete al aproximar f(x) por p n (x) y la aproximación de la primera derivada queda entonces dx x dp dx x df n ) ( ) ( O en general n n n n n dx x p d dx x f d ) ( ) ( 6.1 Al diferenciar la fórmula fundamental de Newton dada anteriormente se tiene n n n n n n n n dx x R d dx x p d dx x f d ) ( ) ( ) ( 6.2 donde n n n dx x R d ) ( es el error que se comete al aproximar n n dx x f d ) ( por n n n dx x p d ) ( Si las abscisas dadas x 0 , x 1 , …, x n están espaciadas regularmente por intervalos de longitud h, entonces p n (x) puede escribirse en términos de diferencias finitas. Al sustituir f[x 0 ], f[x 0 , x 1 ] etcétera en la ecuación de diferencias finitas en términos de diferencias finitas, se obtiene ... ! 2 ] [ ) )( ( ] [ ) ( ] [ ) ( 2 0 2 1 0 0 0 0 i i h x f x x x x h x f x x x f x p n n n n h n x f x x x x x x ! ] [ ) )...( )( ( 0 1 1 0 i y se tendrá dx h x f x x x x d dx h x f x x d dx x df dx x dp dx x df n ] ! 2 ] [ ) )( [( ) ] [ ) (( ] [ ) ( ) ( 2 0 2 1 0 0 0 0 i i dx h n x f x x x x x x d n n n ] ! ] [ ) )...( )( [( ... 0 1 1 0 i 6.3 Se desarrollan algunos de los primeros términos y se tiene 2 0 2 1 0 0 ! 2 ] [ ) 2 ( ] [ ) ( ) ( h x f x x x h x f dx x dp dx x df n i i 3 0 3 2 1 2 0 1 0 2 1 0 2 ! 3 ] [ )) ( ) ( 2 3 ( h x f x x x x x x x x x x x i 6.4 Programación Aplicada Capítulo 6 – Diferenciación Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 3 de 8 Selecciónese ahora un valor particular para n; por ejemplo, tómese n = 1, es decir que se aproxime la función tabulada f(x) por una linea recta. Entonces h x f x x x f x p x p n ] [ ) ( ] [ ) ( ) ( 0 0 0 1 i y la primera derivada de f(x) queda aproximada por 0 1 0 1 1 0 0 1 ) ( ) ( ) , ( ] [ ) ( ) ( x x x f x f x x f h x f dx x dp dx x df i h x f x f dx x df ) ( ) ( ) ( 0 1 6.5 y, como es de esperarse 0 ) ( ) ( 2 1 2 2 2 dx x p d dx x f d y así cualquier otra derivada superior de f(x) quedará aproximada por cero. Geométricamente esto equivale a tomar como primera derivada la pendiente de la recta que une los dos puntos de la curva f(x) de abscisas x 0 y x 1 (véase Fig. 6.2). La primera derivada de f(x) en todo el intervalo [x 0 , x 1 ] queda aproximada por el valor constante (f(x 1 ) – f(x 0 )) / h, el cual es muy diferente del valor verdadero df(x)/dx en general. Figura 6.2 Aproximación lineal de la primera derivada Si ahora n = 2, es decir, aproximando la función tabulada f(x) por un polinomio de segundo grado, se tiene 2 0 2 1 0 0 0 0 2 ! 2 ] [ ) )( ( ] [ ) ( ] [ ) ( ) ( h x f x x x x h x f x x x f x p x p n i i y la primera derivada de f(x) queda aproximada por 2 0 2 1 0 0 2 ! 2 ] [ ) 2 ( ] [ ) ( ) ( h x f x x x h x f dx x dp dx x df i i Se desarrollan las diferencias hacia adelante y se tiene Programación Aplicada Capítulo 6 – Diferenciación Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 4 de 8 ) ( 2 2 ) ( 2 2 2 4 2 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 1 0 1 2 1 0 0 2 1 0 x f h x x x x f h h x x x x f h h x x x dx x df 6.6 La segunda derivada puede calcularse derivando una vez más con respecto a x, o sea ] , , [ 2 ] [ ) ( ) ( 2 1 0 2 0 2 2 2 2 2 2 x x x f h x f dx x p d dx x f d i ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 2 1 2 0 2 2 2 x f h x f h x f h dx x f d 6.7 De igual modo se obtienen las distintas derivadas para n > 2. Es importante recordar que hay una estrecha relación entre las diferencias divididas y las derivadas. Ejemplo 6.1 La ecuación de Van der Waals para un gmol de CO 2 es RT b v v a P ) )( ( 2 donde: a = 3.6 x 10 -6 atm cm 6 / gmol 2 b = 42.8 cm 3 I gmol R = 82.1 atm cm 3 I (gmol K) Si T = 350 K, se obtiene la siguiente tabla de valores Puntos 0 1 2 3 P (atm) 13,782 12,577 11,565 10,704 v (cm 3 ) 2000 2200 2400 2600 Calcule ∂P/∂v cuando v = 2300 cm 3 y compárelo con el valor de la derivada analítica. SOLUCION Al usar la ecuación 6.6 con los puntos (0), (1) y (2) se obtiene 2 2 1 0 1 2 1 0 0 2 1 0 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 P h v v v P h h v v v P h h v v v v P ; con h = 200 577 . 12 200 * 2 200 * 2 2200 * 2 2300 * 4 2000 * 2 782 . 13 200 * 2 200 * 2 2200 2000 2300 * 2 2 2 00506 . 0 565 . 11 200 * 2 2200 2000 2300 * 2 2 La derivada analítica es 005048 . 0 2300 ) 10 6 . 3 ( 2 ) 8 . 42 2300 ( 350 * 1 . 82 2 ) ( 3 6 2 3 2 x v a b v RT v P Nótese que la aproximación es muy buena (error relativo = - 0.24%) a pesar de haber aplicado un polinomio de segundo grado para aproximar la ecuación de Van der Waals que, como se sabe, es un polinomio de tercer grado en v. Programación Aplicada Capítulo 6 – Diferenciación Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 de 8 Ejemplo 6.2 Obtenga la primera derivada del polinomio general de Lagrange SOLUCION De la ecuación n i j j j i j i n i n x x x x x f x p 0 0 ) ( ) ( se deriva con respecto a x n i j j j i j i n i n x x x x dx d x f x x p 0 0 ) ( ) ( Se hace n i j j j i j x x x x y 0 y se toman logaritmos en ambos lados, con lo que se tiene ln y = ln j i j n i j j n i j j j i j x x x x x x x x 0 0 ln ya que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Ambos miembros se derivan con respecto a x n i j j j j i j n i j j x x x x x x dx d dx dy y y dx d 0 0 1 ln 1 ) (ln Se despeja dy / dx n i j j j x x y dx dy 0 1 Se sustituye y en el lado derecho n i j j j n i j j j i j x x x x x x dx dy 0 0 1 y finalmente n i j j n i j j j j i j i n i n x x x x x x x f dx x dp 0 0 0 1 ) ( ) ( Obsérvese que esta ecuación no sirve para evaluar la derivada en una de las abscisas de la tabla, ya que significaría dividir entre cero en la sumatoria dentro del paréntesis. Sin embargo, manipulado algebraicamente el lado derecho puede escribirse en la forma Programación Aplicada Capítulo 6 – Diferenciación Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 6 de 8 n i n i k k n i k j j j n i j j j i i n x x x x x f dx x dp 0 0 , 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 6.16 La cual ya no tiene la limitante mencionada. Ejemplo 6.3 En una reacción química A + B k, Productos, la concentración del reactante A es una función de la presión P y la temperatura T. La siguiente tabla presenta la concentración de A en gmol / l como función de estas dos variables T(K) P (kg/cm 2 ) (T 0 ) 273 (T 1 ) 300 (T 2 ) 325 (T3) 360 1 0.99 0.97 0.96 0.93 2 0.88 0.82 0.79 0.77 8 0.62 0.51 0.48 0.45 15 0.56 0.49 0.46 0.42 20 0.52 0.44 0.41 0.37 Calcule la variación de la concentración de A con la temperatura a P = 8 Kg/cm 2 y T = 300 K, usando un polinomio de segundo grado SOLUCION Lo que se busca es en si 8 , 300 P T A T C , que se puede evaluar con la ecuación 6.16. Al desarrollarla para n = 2 se tiene 2 0 2 0 2 , 0 2 0 2 ) ( ) ( ) ( ) ( i i k k i k j j j i j j j i i x x x x x f dx x dp ) )( ( ) ( )) ( ) (( ) )( ( ) ( )) ( ) (( ) )( ( ) ( )) ( ) (( ) ( 1 2 0 2 2 0 1 2 1 0 1 1 0 2 2 0 1 0 0 1 2 2 x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x dx x dp ) )( ( ) ( ) 2 ( ) )( ( ) ( ) 2 ( ) )( ( ) ( ) 2 ( ) ( 1 2 0 2 2 1 0 2 1 0 1 1 2 0 2 0 1 0 0 2 1 2 x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x x x x f x x x dx x dp donde f(x) representa a C A y x a T; de tal modo que sustituyendo los tres puntos enmarcados de la tabla queda ) 325 300 )( 273 300 ( 51 . 0 ) 325 273 300 * 2 ( ) 325 273 )( 300 273 ( 62 . 0 ) 325 300 300 * 2 ( ) ( 8 300 2 P T A T C dx x dp Programación Aplicada Capítulo 6 – Diferenciación Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 7 de 8 K gmol 1 0026 . 0 ) 300 325 )( 273 325 ( 48 . 0 ) 300 273 300 * 2 ( Ejemplo 6.4 Obtenga la primera y segunda derivadas evaluadas en x = 1 para la siguiente función tabulada Puntos 0 1 2 3 4 x -1 0 2 5 10 f(x) 11 3 23 143 583 SOLUCION Al construir la labia de diferencias divididas se tiene Tabla 6.3 Diferencias divididas de la función Puntos X f(x) Diferencias divididas Primeras Segundas 0 -1 11 -8 1 0 3 6 10 2 2 23 6 40 3 5 143 6 88 4 10 583 Obsérvese que un polinomio de segundo grado puede representar exacta- mente la función (ya que la segunda diferencia dividida es constante). El polinomio de Newton de segundo grado en diferencias divididas es p 2 (x) = f[x 0 ] + (x – x 0 )f[x 0 , x 1 ] + (x – x 0 )(x – x 1 )f[x 0 , x 1 , x 2 ] p 2 (x) = f[x 0 ] + (x – x 0 )f[x 0 , x 1 ] + (x 2 – x 1 x - x 0 x + x 0 x 1 )f[x 0 , x 1 , x 2 ] p 2 (x) = f[x 0 ] + (x – x 0 )f[x 0 , x 1 ] + (x 2 – x 0 x - x 1 x + x 0 x 1 )f[x 0 , x 1 , x 2 ] que al derivarse da 2 1 0 1 0 1 0 2 , , ) 2 ( , ) ( x x x f x x x x x f dx x dp y al derivarlo nuevamente se obtiene 2 1 0 2 2 2 , , 2 ) ( x x x f dx x p d con la sustitución de valores finalmente resulta 10 6 * ) 0 ) 1 ( 1 * 2 ( 8 ) 1 ( 2 dx dp y 12 ) 1 ( 2 2 2 dx p d Programación Aplicada Capítulo 6 – Diferenciación Numérica Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 8 de 8 ALGORITMO 6.1 Derivación con polinomios de Lagrange Para obtener una aproximación a la primera derivada de una función tabular f(x) en un punto x, proporcionar los DATOS: El grado N del polinomio de Lagrange por usar, las (N + 1) parejas de valores (X(I), FX(I), I = 0, 1, 2, …, N) y el punto XD en que se desea la evaluación. RESULTADOS Aproximación a la primera derivada en XD: DP. PASO 1. Hacer DP = 0 PASO 2. Hacer I = 0 PASO 3. Mientras I ≤ N, repetir los pasos 4 a 21. PASO 4. Hacer P = 1 PASO 6. Hacer I = 0 PASO 6. Mientras J ≤ N, repetir los pasos 7 a 8. PASO 7. Si I <> J Hacer P = P*(X(I) - X(J)) PASO 8. Hacer J = J + 1 PASO 9. Hacer S = 0 PASO 10. Hacer K = 0 PASO 11. Mientras K ≤ N, repetir los pasos 12 a 19. PASO 12. SI I < > K, realizar los pasos 13 a 18. PASO 13. Hacer P1 = 1 PASO 14. Hacer J = 0 PASO 16. Mientras J ≤ N, repetir los pasos 16 a 17. PASO 16. SI J<>I y J<>K Hacer P1 = P1*(XD - X(J)) PASO 17. Hacer J = J + 1 PASO 18. Hacer S = S + P1 PASO 19. Hacer K = K + 1 PASO 20. Hacer DP = DP + FX(I) / P * S PASO 21. Hacer l = I + 1 PASO 22. IMPRIMIR DP y TERMINAR. CAPITULO 7 - APLICACIONES A INGENIERIA DE RESERVORIOS 7.1 VISCOSIDAD DEL GAS La viscosidad del gas es la medida de la fricción interna del fluido o resistencia al flujo que afecta a la caída de presión por influjo del reservorio al agujero del pozo y a lo largo de las instalaciones. Si la fricción entre capas del fluido es pequeña, o sea, baja viscosidad, una fuerza distribuida aplicada resultará en un gradiente de velocidad grande. Mientras la viscosidad aumenta, cada capa del fluido ejerce una mayor fricción de arrastre en las capas adyacentes y el gradiente de velocidad decrece. La viscosidad de un fluido generalmente se define como la relación de la fuerza distribuida por unidad de área al gradiente de viscosidad local. Las viscosidades se expresan en términos de poises, centipoises o micro-poises. Un poise es igual a la viscosidad de 1 dina-seg/cm 2 y puede ser convertido a otras unidades de campo por las siguientes relaciones: 1 poise = 100 centipoises 10= 1 x 6 micropoises 10= 6.72 x 2 lb mass/ft-sec 10= 2.09 x 3 lb-sec/ft 2 La viscosidad del gas comúnmente no se mide en laboratorio porque puede estimarse con precisión de correlaciones empíricas. Como todas las propiedades intensivas, la viscosidad del gas natural es descrita completamente por la siguiente función: μ g = f(p,T,yi) donde μ g = viscosidad de la fase gas. La relación anterior simplemente establece que la viscosidad es una función de la presión, temperatura, y composición. Varias de las correlaciones para la viscosidad del gas ampliamente usadas pueden ser vistas como modificaciones de la expresión anterior. La viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia al flujo. Los líquidos presentan una viscosidad mucho más alta que un gas, pero de todas maneras aunque la viscosidad del gas sea tan baja en algunos casos es necesario evaluarla. La unidad de viscosidad más común es el centipoise (Cp), 1 Cp, caso del agua, o tan alta como varios miles de Cp, caso de crudos muy pesados; para el caso de gases la viscosidad es del orden de milésimas de Cp. El método más preciso para determinar la viscosidad de un fluido es midiéndola directamente a las condiciones dadas, pero esto normalmente no es posible y se debe recurrir a correlaciones. Dos métodos son comúnmente usados en la industria petrolera, estos son: Método de Correlación de Carr – Kobayasi – Burrows, Metodo de Lee – Gonzalez – Eakin. 7.1.1 CALCULO DE LA VISCOSIDAD - METODO DE LEE GONZALEZ- EAKIN Lee Gonzalez y Eakin (1966) presentaron una relación semi empírica para calcular la viscosidad del gas natural. Los autores expresaron la viscosidad del gas en función a la temperatura del reservorio, densidad del gas, y el peso molecular del gas. La expresión general de esta correlación esta dada por: ) exp( 10 4 Y g g X K r m ..................................................................................... (1) T M T M K w w 26 . 19 2 . 209 ) 01607 . 0 379 . 9 ( 5 . 1 ............................................................................. (2) w M T X 01009 . 0 4 . 986 448 . 3 .........................................................................(3) X Y 2224 . 0 447 . 2 ...........................................................................................(4) Donde: µg = Viscosidad del gas Ρg = Densidad del gas a presión y temperatura del reservorio (lb/ft 3 ) T = Temperatura del reservorio (R) Mw = Peso molecular aparente de la mezcla de gas. Esta correlación puede predecir valores de viscosidad con una desviación estándar de 2.7% y una desviación máxima de 8.99%. 7.2 VISCOSIDAD DEL PETROLEO La viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales. Un fluido que no tiene viscosidad se llama fluido ideal, en realidad todos los fluidos conocidos presentan algo de viscosidad, siendo el modelo de viscosidad nula una aproximación bastante buena para ciertas aplicaciones. Imaginemos un bloque sólido (no fluido) sometido a una fuerza tangencial, por ejemplo, una goma de borrar sobre la que se sitúa la palma de la mano que empuja en dirección paralela a la mesa; en este caso, el material sólido opone una resistencia a la fuerza aplicada, pero se deforma (b), tanto más cuanto menor sea su resistencia. Si imaginamos que la goma de borrar está formada por delgadas capas unas sobre otras, el resultado de la deformación es el desplazamiento relativo de unas capas respecto de las adyacentes, tal como muestra la figura (c). Deformación de un sólido por la aplicación de una fuerza tangencial. En los líquidos, el pequeño rozamiento existente entre capas adyacentes se denomina viscosidad. Es su pequeña magnitud la que le confiere al fluido sus peculiares características; así, por ejemplo, si arrastramos la superficie de un líquido con la palma de la mano como hacíamos con la goma de borrar, las capas inferiores no se moverán o lo harán mucho más lentamente que la superficie ya que son arrastradas por efecto de la pequeña resistencia tangencial, mientras que las capas superiores fluyen con facilidad. Igualmente, si revolvemos con una cuchara un recipiente grande con agua en el que hemos depositado pequeños trozos de corcho, observaremos que al revolver en el centro también se mueve la periferia y al revolver en la periferia también dan vueltas los trocitos de corcho del centro; de nuevo, las capas cilíndricas de agua se mueven por efecto de la viscosidad, disminuyendo su velocidad a medida que nos alejamos de la cuchara. Ejemplo de la viscosidad de la leche y el agua. Líquidos con altas viscosidades no forman salpicaduras. Cabe señalar que la viscosidad sólo se manifiesta en fluidos en movimiento, ya que cuando el fluido está en reposo adopta una forma tal en la que no actúan las fuerzas tangenciales que no puede resistir. Es por ello por lo que llenado un recipiente con un líquido, la superficie del mismo permanece plana, es decir, perpendicular a la única fuerza que actúa en ese momento, la gravedad, sin existir por tanto componente tangencial alguna. Si la viscosidad fuera muy grande, el rozamiento entre capas adyacentes lo sería también, lo que significa que éstas no podrían moverse unas respecto de otras o lo harían muy poco, es decir, estaríamos ante un sólido. Si por el contrario la viscosidad fuera cero, estaríamos ante un superfluido que presenta propiedades notables como escapar de los recipientes aunque no estén llenos (véase Helio-II). La viscosidad es característica de todos los fluidos, tanto líquidos como gases, si bien, en este último caso su efecto suele ser despreciable, están más cerca de ser fluidos ideales. 7.2.1 Medidas de la viscosidad La viscosidad de un fluido puede medirse a través de un parámetro dependiente de la temperatura llamada coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad: Coeficiente de viscosidad dinámico, designado como η o μ. En unidades en el SI: [µ] = [Pa·s] = [kg·m -1 ·s -1 ] ; otras unidades: 1 Poise (P) = 10 -1 Pa·s = [10 -1 kg·s -1 ·m -1 ] Coeficiente de viscosidad cinemático, designado como ν, y que resulta ser igual al cociente del coeficiente de viscosidad dinámica entre la densidad ν = μ/ρ. (En unidades en el SI: [ν] = [m 2 .s -1 ]. En el sistema cegesimal es el Stoke(St). 7.2.2 Variación de la viscosidad con la temperatura. Existen varias formulas que nos permiten evaluar la variación de la viscosidad del aceite al cambiar la temperatura. Las mas importantes son: Poiseuille (1840) donde es la viscosidad dinámica a 0 gC. es la temperatura en gC. , son coeficientes constantes. Andrade (1930) donde , son constantes es la temperatura absoluta. En forma logarítmica, esta ecuación es Barr donde es la viscosidad cinemática en Ecuación de la viscosidad ASTM fue deducida por Walther: donde es la temperatura absoluta y Los coeficientes son, a su vez, funciones de Si la viscosidad no es demasiado baja, algunos de los términos se pueden despreciar. Para calcular la viscosidad a una temperatura dada, se puede utilizar la expresión más simple: Los petróleos crudos que se extraen de los diferentes campos petrolíferos son de naturalezamuy variada, incluso en su apariencia externa. Así por ejemplo existen petróleos de color amarillento, de gran volatilidad y fluidez, otros de color negro de menor fluidez; otros de color negro-castaño oscuro, viscosos y de extrema dificultad para fluir, algunos otros que incluso solidifican a temperatura ambiente, dando lugar a una masa de consistencia semi-sólida etc. A pesar de estas diferencias externas, en algunos casos muy pronunciadas, considerados químicamente se asemejan grandemente unos a otros ya que son fundamentalmente mezclas de hidrocarburos, es decir combinaciones de los elementos químicos Carbono (C) e Hidrógeno (H). De estas combinaciones surge una enorme variedad de posibilidades y de formación de compuestos análogos, denominados “familias” de hidrocarburos, que se van formando según la cantidad de átomos de carbonos que formen la molécula. Las propiedades físicas, tales como punto de ebullición, peso específico, punto de escurrimiento, viscosidad, etc. varían siempre proporcionalmente a medida que aumenta el número de átomos de carbono, por lo que en la medida que las “cadenas” de carbono se hacen más numerosas y complejas, esos valores aumentan. La viscosidad es una propiedad física que se puede definir como la resistencia interna que un fluido opone al desplazamiento de sus partículas, resistencia que se debe al frotamiento de las moléculas cuando se deslizan unas contra otras. En forma práctica, la viscosidad es la resistencia que ofrece un líquido para moverse. La viscosidad es una propiedad característica de un determinado fluido, es un criterio particularmente importante para definir el diseño de los conductos. No sólo se trata de resistencias internas del fluido sino que este efecto físico también interactúa con las paredes del caño, de tal manera que un fluido muy viscoso necesitará un mayor esfuerzo para moverse que uno de baja viscosidad y por consiguiente el efecto de fricción con las paredes del tubo será mucho mayor en el de mayor viscosidad. La consecuencia final de esta situación es que frente a una mayor viscosidad es mayor la fricción y mayor el gradiente de presión necesario para movilizar dicho fluido dentro de esa cañería. La viscosidad de un fluido depende fundamentalmente de la temperatura y de la cantidad de gas disuelto que contenga. Al contener mayor cantidad de gas disuelto o al suministrarle calor a un fluido, el efecto que se obtiene es aumentar la energía interna de sus moléculas, por lo que aumenta la actividad molecular y las mismas se alejan unas de otras dando por resultado una menor fricción y por lo tanto una menor resistencia interna al movimiento, o sea una menor viscosidad. Por esta razón, en general y sobre todo en los líquidos, la viscosidad disminuye cuando aumenta la temperatura del fluido, y aumenta cuando su temperatura disminuye. En el fondo del pozo el petróleo está a mayor temperatura y a mayor presión que en superficie, por lo que es mayor también la cantidad de gas disuelto que contiene y como consecuencia su viscosidad será menor que en superficie. Cuando sube a superficie, la temperatura del petróleo disminuye y la presión a la que está sometido también, por lo que el gas disuelto contenido es cada vez menor, ya que éste se va liberando. Esta condición (menor temperatura y menor gas disuelto), hace que aumente gradualmente su viscosidad a medida que llega a superficie. Una vez en la cañería de conducción y cuando es necesario desplazar un petróleo viscoso a baja temperatura, es cuando se requiere una mayor diferencia de presión. En lugares de baja temperatura ambiental será conveniente (y a veces imprescindible) disminuir la viscosidad de alguna manera, lo que generalmente se logra calentando el fluido. Para obtener los valores de viscosidad se hace necesario realizar ensayos en laboratorio utilizando viscosímetros de alta calidad. Para expresar estos resultados se utilizan diferentes unidades, según sea el sistema de que se trate. En el CGS, la unidad para expresar la viscosidad absoluta (que es la del propio interior del líquido) es el POISE (o el centipoise), y para la viscosidad cinemática se utiliza el STOKES (o el centistokes) que se obtiene dividiendo la viscosidad dinámica por la densidad. Junto a esta medida absoluta de viscosidad existen en los diferentes países varias escalas empíricas de la misma, como por ejemplo los sistemas Engler, Redwood y Saybolt. Los viscosímetros correspondientes determinan el tiempo que tarda en fluir una cantidad conocida de líquido a través de un orificio calibrado. Así por ejemplo en la escala Saybolt existen dos tipos distintos de orificios calibrados. Uno estándar, en el que el tiempo se expresa en Segundos Saybolt Universales (0.176 cm) y otro de mayor diámetro, en el que el tiempo se expresa en Segundos Saybolt Furol (0.315 cm), para los líquidos muy viscosos. Como la viscosidad es dependiente de la temperatura, es necesario siempre relacionar ambos valores, la viscosidad y la temperatura a la que se tomó. Es también conveniente contar con dos o tres lecturas a distintas temperaturas para observar el comportamiento y la variación que se produce. 7.2.3 MÉTODOS PARA CALCULAR LA VISCOSIDAD DE PETROLEO MUERTO Se proponen varios métodos empíricos para estimar la viscosidad del petróleo muerto, incluyendo: La correlación de o Beal o La correlación de Beggs-Robinson la correlación de o Glaso Estos tres métodos se presentan debajo. 7.2.3.1 La Correlación de Beal De un total de 753 valores para la viscosidad de petróleo muerto y anteriormente 100°F, Beal (1946) desarrolló una correlación gráfica por determinar la viscosidad del petróleo muerto como una función de temperatura y la gravedad del API del crudo. Standing (1981) expresó la correlación gráfica propuesta en un la relación matemática como sigue: 7.2.3.2 La Correlación de Beggs-Robinson Beggs y Robinson (1975) desarrolló una correlación empírica para determinando la viscosidad del petróleo muerto. La correlación originó de analizar 460 dimensiones de viscosidad de petróleo muerto. La relación propuesta se expresa matemáticamente como sigue: Un error medio de 0.64% con una desviación normal de 13.53% era informado para la correlación cuando probó contra los datos usados para su el desarrollo. Sutton y Farshad (1980) informó un error de 114.3% cuando la correlación se probó contra 93 casos de la literatura. 7.2.3.3 La Correlación de Glasso Glaso (1980) propuso una relación matemática generalizada para computando la viscosidad de petróleo muerto. La relación se desarrolló de las dimensiones experimentales en 26 muestras de petróleo crudo. La correlación tiene la forma siguiente: La expresión anterior puede usarse dentro del rango de 50-300°F para la temperatura del sistema y 20-48° para la gravedad del API del crudo. Sutton y Farsead (1986) concluyó la correlación de Glaso mostró la exactitud mejor de las tres correlaciones anteriores. La evaluación de viscosidad de petróleo muerto es un paso importante en el plan de varios funcionamientos en el yacimiento petrolífero y refinerías. Por consiguiente, debe evaluarse viscosidad de petróleo crudo que es función de la presión y la temperatura puede ser evaluada en ambos casos como ingeniería de reservorios y diseños de operación. La variación en la viscosidad con la temperatura y el cambio de presión normalmente se predice empíricamente. A pesar de la importancia de viscosidad diseñando el plan, nuestra comprensión de tal propiedad está inferior al de propiedades de equilibrio. Hay dificultades obteniendo las dimensiones de viscosidad fiables, sobre todo para petróleo vivo que es una propiedad muy importante que precisamente debe evaluarse para la simulación del depósito. Sin embargo, esta propiedad que usar la viscosidad de petróleo muerto fácilmente puede evaluarse. La viscosidad de petróleo crudo varía, dependiendo de su origen, mientras el tipo y la naturaleza de su composición química, particularmente los componentes polares para que las interacciones del intermolecular pueden ocurrir. Hay varias correlaciones por predecir la viscosidad de petróleo crudo. Estas correlaciones pueden ser categorizado en tres grupos principales: la viscosidad de petróleo muerto (μod), viscosidad de punto de burbuja (μob) y la viscosidad de petroleo de baja saturación (μb). En general, las correlaciones utilizan densidad y temperatura de petróleo para determinar μod. La correlación de Beal• fs se desarrolló en 1946 datos usando obtenidos de California el aceite crudo . Todavía se usa ampliamente a lo largo de la industria del petróleo y se considera que es bastante exacto. Beggs y Robinson en 1975. En 1980 de Glaso; Labedi en 1992; Kartoamodjo & Schmidt en 1994; y Petrosky & Farshad en 1995 [6] desarrolló sus correlaciones para los tipos diferentes de aceites crudos. Elsharkawy y Alikhan en 1999 también ha presentado otras correlaciones empíricas por estimar viscosidad de petróleo muerto de Este del Medio crudo. Recientemente, Naseri et al. En 2005 ha desarrollado una correlación para la predicción de la viscosidad de petróleo muerto Iraní. La información breve para algunas de las correlaciones antedichas, se presenta en la mesa (1). La mayoría de ellos han expresado la viscosidad de petróleo muerto μod como una función de los dos el aceite la gravedad de • ‹API y temperatura. Sin embargo, en 1990 Egbogah y Ng mejoró Beggs y correlación de Robinson• fs agregando la temperatura de punto de lluvia como un nuevo parámetro, pero ni no se informa en cualquier PVT usual informe ni moderado en el campo. Mehrotra y Svrcek en 1988 [10] presentó una one.parameter viscosidad ecuación para el betún. Esta ecuación estaba después extendida por Mehrotra en 1991 [11] para predecir la viscosidad de luz y los hidrocarburos elemento. Este parámetro se evalúa de la masa del molar, el punto de ebullición normal, temperatura crítica, y el factor acéntrico de componentes que no están disponibles para más crudo. Varias otras correlaciones empíricas y semi-empíricas también se han desarrollado de la ecuación estatal correspondiente, por ejemplo Johnson y Mehrotra en 1987 [12]. Aunque, estas correlaciones estatales correspondientes involucran los numerosos cómputos y utilizan la composición fluida como las variables de la entrada, su habilidad de la predicción de viscosidad de aceite muerta es relativamente pobre. La aplicación de correlaciones de viscosidad de petróleo muerto a los aceites crudos de los resultados de las fuentes diferentes en los errores grandes. Estas desviaciones se atribuyen a la diferencia en el asphaltenic, la naturaleza parafínica y/o mixta de los aceites. El objetivo de este trabajo es desarrollar las correlaciones de viscosidad de petróleos muertos comprensivas para offshore y onshore los petróleos crudos Iraníes con respecto a su naturaleza que puede emplearse fiablemente por el depósito ingenieros por evaluar la viscosidad de aceite viva así como por ingenieros del químico para el plan de yacimiento petrolífero y los procesos de la refinería. Los materiales y Métodos Un juego fiable grande de 438 Iraní fuera de y en-orilla las viscosidades de petróleo muerto eran reunido en Crudo Engrase la sección de la Evaluación a RIPI los ocho años encima de pasados. Estos datos se seleccionan meticulosamente de un juego de los datos de 473 puntos. El método de la prueba normal de ASTM D-445 se usó para los dimensiones de viscosidad de cinemática. Las viscosidades de petróleo todo crudas estaban moderadas en temperaturas 10, 20, y 40 °C. ASTM el método de D-5002 fue utilizado para medir la densidad y densidad del pariente de aceites crudos. Con respecto a la gravedad de °API, los datos eran divididos en dos grupos del comandante. El primer grupo incluyó 85 El aceite fuertemente crudo Iraní (°API=17 a 28) los datos-puntos y el segundo uno contuvo 353 luz Iraní el aceite crudo (°API=28 a 45) los datos-puntos. Cada juego de los datos también es dividido en entrenar y prueba los subconjuntos. Al azar, se seleccionan 17 y 43 puntos de los datos para los subconjuntos de la prueba de pesado y luz que los datos de aceite crudo pone, respectivamente. Se presenta información veraniega de los juegos de los datos en Mesa 2. Los datos proporcionados contienen más de puesto de datos de viscosidad para cada aceite crudo, mientras manteniendo la información el efecto de temperatura. La media desviación absoluta (AAD) y raíz el error cuadrado (RMSE) se usa para comparar y evalúe la habilidad de la predicción de correlaciones debajo de que se definen como: Donde n es el número de puntos de los datos, el yi exp es la viscosidad obtenida experimentalmente y yi pred se predice la viscosidad. Ejemplo 2-34 Además de los datos de PVT experimentales cedidos Ejemplo 2-29, el los datos de viscosidad siguientes están disponibles: Usando todas las correlaciones de viscosidad de aceite discutidas en este capítulo, calcule la viscosidad μod, FACTOR Z Definimos el factor de compresibilidad Z como: . Para un gas ideal Z=1 para todo rango de temperaturas y presiones. La discrepancia de Z con respecto a la unidad nos indica la desviación del gas con respecto al comportamiento ideal. Cuando Z < 1, el gas ejerce una presión menor que la que ejercería un gas ideal. Con Z > 1 la presión del gas es superior a la del gas ideal. A presiones bajas y temperaturas elevadas los gases se comportan idealmente y el factor de compresibilidad toma valor 1. Por tanto, un gas real cumple la ecuación de estado . El problema de esta ecuación radica en que Z depende de la temperatura, presión y del tipo de gas. Es necesario disponer de tablas con valores de Z para cada gas a diferentes presiones y temperaturas para que la ecuación anterior sea útil. El Factor de compresibilidad (Z) se define como la razón entre el volumen molar de un gas real (V real ) y el correspondiente volumen de un gas ideal (V ideal ), ideal real V V Z (16) Y se utiliza para comparar el comportamiento de un gas real respecto al establecido por la ecuación de los Gases Ideales. Es decir Z representa un factor de corrección para la ecuación de los gases ideales. Con base en esto se encuentra tres tipos de comportamiento distintos: Z = 1: comportamiento de Gas Ideal. (altas temperaturas y bajas presiones). Z > 1: gases como el Hidrógeno y Neón, difícilmente compresibles (altas temperaturas y presiones). Z < 1: gases como el O 2 , Argón y CH 4 , fácilmente compresibles (bajas temperaturas y altas presiones). Es importante resaltar que a bajas presiones las desviaciones de la idealidad son despreciables sobretodo en el caso del nitrógeno, Lo cual resalta la importancia de la ecuación de los gases ideales en cálculos en los que no se precisa de una gran exactitud, ya que aun a presiones de 100 bar la desviación respecto al comportamiento ideal no pasa de un 5%. Los tres tipos de comportamiento que se mencionan en realidad son dependientes de la temperatura a la que se realice la medición. El hidrógeno puede presentar valores de Z tanto mayores como menores a la unidad, de lo cual se desprende que a las condiciones adecuadas todos los gases presentaran comportamientos equivalentes. 4.1 DETERMINACIÓN DEL FACTOR Z Para poder aplicar la ecuación (1) se requiere conocer el factor Z, el cual, como ya se dijo, depende de las condiciones de presión y temperatura y del tipo de gas. El cálculo de Z se puede hacer a partir de correlaciones. 4.1.1 CÁLCULO DE Z PARA GASES PUROS En este caso se requiere conocer la temperatura y presión crítica del compuesto. Las condiciones críticas son características de cada componente y se pueden obtener de tablas de propiedades físicas. a) Presión crítica.- Valor límite de la presión de saturación cuando la temperatura de saturación se aproxima a la temperatura crítica. b) Temperatura crítica.- Máxima temperatura a la que los estados bien definidos de líquido y vapor pueden existir. Puede definirse como la máxima temperatura a la que es posible hacer que un gas cambie al estado líquido (se licue) solamente mediante la presión. 4.1.1.1LOS PARÁMETROS REDUCIDOS Son condiciones de temperatura, presión y volumen corregidas o normalizadas, mediante la división entre sus condiciones reducidas. La idea, tal como fue sugerida por van der Waals, es de que todas las sustancias se comporten en forma similar en su estado reducido, es decir, "corregido". En particular, cualquier sustancia tiene el mismo volumen reducido a la misma temperatura y presión reducida. En términos matemáticos se puede indicar que: (17) En donde "r" es cierta constante. Y se puede aplicar a muchas sustancias pues no dependen de constantes específicas se les llama ecuaciones de estado generalizadas. Una vez conocidas las condiciones críticas se obtienen las condiciones reducidas, que se definen como: P r = P/P c (18) T r = T/T c (19) donde: P r : presión reducida. T r : temperatura reducida. como se ve son adimensionales. 4.1.2 CÁLCULO DE Z PARA MEZCLAS También se utiliza la correlación de Standing pero en este caso las condiciones reducidas no se pueden obtener de tablas porque las mezclas no son compuestos puros, además cuando se trata de mezclas no se habla de condiciones críticas o reducidas sino de condiciones seudocríticas y seudoreducidas. Para obtener las condiciones seudocríticas se debe conocer la composición de la mezcla o la gravedad específica. Cuando se tiene la composición se puede aplicar el procedimiento de Kay para obtener las condiciones seudocríticas. El procedimiento de Kay es el siguiente: sP c = Σx i .P ci (20) sT c = Σx i .T ci (21) donde: sP c : presión seudocríticas de la mezcla. sT c : temperatura seudocríticas de la mezcla. x i : fracción molar de cada componente en la mezcla. P ci : presión crítica de cada componente en la mezcla. T ci : temperatura crítica de cada componente en la mezcla. Una vez calculados los valores de sT c y sP c , se calculan las condiciones seudoreducidas: sP r = P/sP c (22) sT r = T/sT c (23) donde: sP r : presión seudoreducida de la mezcla. sT r : temperatura seudoreducida de la mezcla. 5. DESARROLLO El desarrollo del presente trabajo se basa en el cálculo del factor de desviación de los gases reales del factor Z por el método de Beggs y Brill. El cálculo del factor Z se los realiza con la siguiente ecuación: D pr B P C e A A z * 1 (24) El cálculo de los parámetros de la anterior ecuación se lo realiza con las siguientes ecuaciones: 101 , 0 * 36 , 0 ) 92 , 0 ( * 39 , 1 5 , 0 pr pr T T A (25) 6 ) 1 ( 9 2 * 10 32 , 0 * ) 037 , 0 86 , 0 066 , 0 ( * ) * 23 , 0 62 , 0 ( pr T pr pr pr pr P P T P T B pr (26) pr T C log * 32 , 0 132 , 0 (27) ) 1824 , 0 49 , 0 3016 , 0 ( 2 10 pr pr T T D (28) Los datos de Tpr y Ppr pueden ser introducidos directamente o ser calculados en el mismo programa por medio de una base de datos: Para el uso de esta base de datos necesitamos introducir: Valor de Presión y Temperatura del sistema. Número de componentes del sistema. Elección de los componentes del sistema. Porcentaje molar de cada uno de los componentes del sistema, la suma de los porcentajes molares siempre debe resultar 1. Se obtendrán como resultados: Presión pseudocrítica del sistema. Temperatura pseudocrítica del sistema. Factor de desviación Z. FACTOR DE COMPRESIBILIDAD.- Si en la ecuación de estado para un gas perfecto, se introduce un cierto coeficiente corrector Z, se puede extender su aplicación a un gran número de gases reales. El factor corrector es de la forma: La ecuación, p v = Z R T, recibe el nombre de Ecuación Técnica de Estado; para un número n de moles toma la forma: p V = Z n R T. En la Fig II.7 se ha representado el diagrama del factor de compresibilidad generalizado de Nelson- Obert para altas presiones, y en la Fig II.8 para presiones medias. Para presiones bajas existe para Z un límite general, para cualquier sustancia y temperatura, de la forma: Si se acepta como válido el postulado de la Ley de estados correspondientes, es lógico pensar en la existencia de una correlación general para el factor de compresibilidad Z en términos de Tr y pr, es decir: Los gráficos de Obert dan errores menores del 6% salvo en el punto crítico. La temperatura de Boyle es aquella para la cual: es decir, es el límite de las T de las curvas de Boyle a temperaturas muy bajas. A la temperatura de Boyle se anula el primer coeficiente del virial: El interés de la curva de Boyle radica en que expresa la máxima discrepancia del comportamiento del gas perfecto, mientras que en las proximidades de la temperatura de Boyle el comportamiento del gas es similar al de un gas perfecto. Cálculo de Z para gases puros: En este caso se requiere conocer la temperatura y presión crítica del compuesto. Las condiciones críticas son características de cada componente y se pueden obtener de tablas o de graficas de propiedades físicas. Presión crítica: Valor límite de la presión de saturación cuando la temperatura de saturación se aproxima a la temperatura crítica. Temperatura crítica: Máxima temperatura a la que los estados bien definidos de líquido y vapor pueden existir. Puede definirse como la máxima temperatura a la que es posible hacer que un gas cambie al estado líquido (se licue) solamente mediante la presión. Una vez conocidas las condiciones críticas se obtienen las condiciones reducidas, que se definen como: P r = P/P c (5) T r = T/T c (6) donde, P r : presión reducida. T r : temperatura reducida. como se ve son adimensionales. Obtención de Z para mezclas: También se utiliza la correlación de Standing pero en este caso las condiciones reducidas no se pueden obtener de tablas porque las mezclas no son compuestos puros, además cuando se trata de mezclas no se habla de condiciones críticas o reducidas sino de condiciones seudocríticas y seudoreducidas. Para obtener las condiciones seudocríticas se debe conocer la composición de la mezcla o la gravedad específica. Cuando se tiene la composición se puede aplicar el procedimiento de Kay para obtener las condiciones seudocríticas. El procedimiento de Kay es el siguiente: sP c = Σx i .P ci (7) sT c = Σx i .T ci (8) donde, sP c : presión seudocríticas de la mezcla. sT c : temperatura seudocríticas de la mezcla. x i : fracción molar de cada componente en la mezcla. P ci : presión crítica de cada componente en la mezcla. T ci : temperatura crítica de cada componente en la mezcla. Una vez calculados los valores de sT c y sP c , se calculan las condiciones seudoreducidas: sP r = P/sP c (9) sT r = T/sT c (10) donde, sP r : presión seudoreducida de la mezcla. sT r : temperatura seudoreducida de la mezcla. Aunque existen más correlaciones para obtener el factor de compresibilidad, para los objetivos del presente trabajo se considera suficiente la presentada de Standing - katz. La ecuación de estado de Starling presenta la siguiente forma donde, s ρ r : se conoce como densidad seudoreducida y está dada por: sρ r = 0,27.sP r /Z.sT r (12) las constantes A i tienen los siguientes valores: A 1 = 0,3265 A 2 = -1,0700 A 3 = -0,5339 A 4 = 0,01569 A 5 = -0,05165 A 6 = 0,5475 A 7 = -0,7361 A 8 = 0,1844 A 9 = 0,1056 A 10 = 0,6134 A 11 = 0,7210 Reemplazando s ρ r por su expresión en la ecuación (11) se tiene: (13) donde, (14) (15) (16) (17) (18) F = A 11 .(0,27.sP r /sT r ) ² (19) Para encontrar el valor de Z que sea solución de la ecuación (13) se aplica el método de Newton - Raphson que involucra los siguientes pasos: Se calcula sT r y sP r Se calculan las constantes A - F. Se escribe la ecuación (13) como: (20) Se supone un valor de Z(Z 0 ), se recomienda mayor que 1, y se chequea si hace F(Z 0 ) = 0 dentro de la tolerancia requerida. Si F(Z 0 ) = 0, el valor supuesto es el correcto y es el valor que se está buscando. si F(Z 0 ) ≠ 0 se busca un nuevo valor de Z(Z 1 ) de la siguiente manera: Z 1 = Z 0 - F(Z 0 )/F’(Z 0 ) (21) Donde F’(Z 0 ) es la derivada de F(Z), dada por: (22) y calculada en Z 0 . Con Z 1 se chequea si F(Z 1 ) = 0 y si no lo es se calcula un valor Z 2 usando la ecuación (22) cambiando Z 1 por Z 2 y Z 0 por Z 1 . El procedimiento continua hasta encontrar un valor Z n que haga F(Z) = cero; después del primer valor supuesto para Z(Z 0 ) los demás valores usados se obtienen a partir de la ecuación (21) usando Z n en lugar de Z 1 y Z n-1 en lugar de Z 0 . COMPORTAMIENTO REAL Se presenta a altas P donde la ec de estado antes presentada ya no es aceptada por los errores que presenta. Esta desviación del comportamiento ideal aumenta con la T y la complejidad de la mezcla de gases, esta desviación se da por las consideraciones planteadas en la teoría cinética de los gases. Para describir este comportamiento real, distintas ecuaciones de estado fueron desarrolladas, sin embargo el caso que se aplica en mayor proporción en la industria petrolera es el de la ecuación de estado corregida con la inserción del factor de desviación z, esto es: PV = znRT FACTOR “Z” Este factor es adimensional y generalmente varía entre 0,7 y 1,2, donde para el caso en que z= 1, representa el comportamiento ideal, matemáticamente se define por: Para el caso del gas natural considerando distintas composiciones, se observo que este factor puede ser generalizado con suficiente exactitud para propósitos de ingeniería cuando es expresado en función de términos pseudo reducidos de P y T, los cuales a su vez se calculan con ayuda de las propiedades críticas de los compuestos y las pseudo-crítas de la mezcla. PROPIEDADES CRÍTICAS Es el conjunto de condiciones físicas de presión, temperatura y volumen, a las cuales la densidad y otras propiedades del líquido y gas se vuelven idénticas, es decir, es un punto a una presión y temperatura dada donde físicamente no puede diferenciarse si se trata de gas o líquido. Estas propiedades críticas son únicas (una sola presión, una sola temperatura) para una sustancia dada o mezcla, en cuyo caso son propiedades pseudo-criticas. Estas se requieren para la determinación de otras propiedades del sistema en análisis ya sea sustancia pura o mezcla gaseosa. Como en la determinación de los términos reducidos La presión crítica, Pcr, y la temperatura crítica, Tcr, son medidas en el laboratorio y usualmente son desconocidas por lo que se requiere para su determinación el empleo de correlaciones, como: Brown et al que las determina en función de la gravedad especifica de la mezcla, y considera dos casos: o Para sistemas de Gas Seco: o Para sistemas de gas y condensado: TPR Y PPR La presión y temperaturas reducidas son términos adimensionales que en el caso de mezclas gaseosas, están definidos por: Donde: Estas propiedades pseudo críticas no son exactamente las propiedades de la mezcla, sin embargo para efectos de estimación de otras propiedades se las emplea como propiedades generadoras aceptables. Con estos datos es posible determinar el valor de z, ya sea mediante La grafica presentada por Standing-katz Métodos directos de cálculo de Z, como: o Hall-Yarborough o Dranchuk-Abu-Kassem o Dranchuk-Purvis-Robinson Hall-Yarborough Se caracteriza por: Método basado en la ecuación de estado de Starling-Carnahan. Coeficientes obtenidos del ajuste realizado a los datos de la grafica de Standing-Katz. No recomendado para rangos de Tpr < 1 La expresión matemática presentada es: Donde: Ppr Presión pseudo-reducida t Tpc/T Y densidad reducida, obtenida de: Donde: Dranchuk-Abu-Kassem Se caracteriza por: Método basado en la densidad critica, definida por: Donde la densidad reducida se calcula con: Y los coeficientes R1 a R5 están definidos por: Coeficientes A1 a A11 fueron obtenidos del ajuste realizado a los datos de la grafica de Standing-Katz: Aplicable con un error de 0.585 % en rangos de: 0.2 < Ppr < 30 1.0 < Tpr < 3,0 Dranchuk- Purvis-Robinson Se caracteriza por: Método basado en la ecuación de estado de Benedict-Webb-Rubin: Donde la densidad reducida se define por: Y los coeficientes T1 a T5 están definidos por: Coeficientes A1 a A8 fueron obtenidos del ajuste realizado a los datos de la grafica de Standing-Katz: Aplicable con un error de 0.585 % en rangos de: 0.2 < Ppr < 3.0 1.05 < Tpr < 3,0 4.2 CORRECCIÓN POR SUTTON Como la grafica de Standing-Katz, fue preparada con datos provenientes de mesclas binarias C1+C2, C1+C3, C1+C4, etc considerando un amplio rango de composiciones para el metano, sin embargo no es tan exacta para mezclas con contaminantes como H2S, CO, N2 ni para mezclas de hidrocarburos más pesados, es decir con un porcentaje considerable de C7+, y por lo tanto con un peso molecular no mayor a 40. De esta manera Sutton analizando la eficacia del grafico de Standing-Katz, denoto lo siguiente: Los métodos de cálculos de Ppc y Tpc clásicos de Kay, para mezclas debían ser corregidos debido a la presencia de C7+ Estos no deben ser utilizados si la GEg > 0.75 Sin esta corrección los valores de z calculados en función de estos parámetros, para mezclas de gases de M elevado, son erróneos. Esta desviación puede ser minimizada empleando la técnica de Stewart et al y tres factores de corrección adicionales (FJ, EJ, EK), los cuales se refieren al ajuste debido a la presencia de C7+. El procedimiento planteado por Sutton es el siguiente: (1) Calcular los parámetros J y K: Donde: J Parámetro de Correlación de Stewart-Burkhardt-Voo [ºr/psi] K Parámetro de Correlación de Stewart-Burkhardt-Voo [ºr/psi] yi Fracción molar del componente i en la mezcla (2) Calcular los parámetros de corrección: Donde: (Tc)C7+ : Temperatura critica del C7+ (Pc)C7+: Presión critica del C7+ yC7+ : Fracción molar del C7+ (3) Ajustar los parámetros J y K con EJ y EK. (4) Calcular las propiedades pseudo criticas ajustadas a partir de las siguientes expresiones (5) Con estas propiedades corregidas calculadas, se procede a calcular las propiedades pseudo-reducidas ' Ppc P Ppr ' Tpc T Tpr (6) Y con estos datos es posible calcular el factor z, ya sea de manera grafica o con los métodos analíticos presentados anteriormente: 4.3 MÉTODOS DE PROGRAMACIÓN En el desarrollo del presenta trabajo, se emplean herramientas de programación como: Programación orientada a objetos, Visual Basic 6.0 Componentes especiales del entorno: o Microsoft ADO Data Control o Microsoft Chart Control o Microsoft Flexgrid control o Microsoft Tabbed Dialog Control Procedimientos iterados con Bucles For…Next Procedimientos compuestos de resolución de ecuaciones no lineales por el método Newton Rapson DESARROLLO 5.1 RECOLECCIÓN DE DATOS Se la Realiza con la ayuda del control Microsoft ADO Data Control, el cual permite enlazar los datos almacenados en una base de datos de Microsoft Access, los datos que empela el programa son: COMP SIMBOLO M PC TC METANO C1 16,042 673,1 343,2 ETANO C2 30,068 708,3 549,9 PROPANO C3 44,094 617,0 666,0 BUTANO C4 58,120 529,0 734,5 ISO-BUTANO i-C4 58,120 550,0 765,7 PENTANO C5 72,146 483,5 829,6 ISO-PENTANO i-C5 72,146 489,8 846,2 HEXANO C6 86,720 440,1 914,2 HEPTANO+ C7+ 5.2 TRATAMIENTO INICIAL Para el caso del C7+, debido a que sus propiedades críticas son función de su GE y su M se calculan en el programa, con las ecuaciones planteadas en el marco teórico, el programa presenta la interfaz necesaria para la introducción de estos datos mediante cuadros de texto. 5.3 CÁLCULOS INTERMEDIOS Posteriormente se calculan los parámetros: J, K FJ, EJ, EK J’ y K’ Con las expresiones correspondientes ya detalladas. 5.4 CÁLCULO PPC Y TPC CORREGIDOS Finalmente se calculan los parámetros pseudo críticos corregidos de P y T, los cuales se presenta en el entorno del programa como: 5.5 CÁLCULO DIRECTO DE “Z” En la pestaña 2 del programa, se calcula z para condiciones determinadas de P y T del sistema, presentándose dos casos: Factor z corregido con Ppc’ y Tpc’, para esto se calculan las propiedades pseudo reducidas: ' Ppc P Ppr ' Tpc T Tpr Factor z no corregido con Ppc y Tpc, de la misma forma: Luego se calcula z de forma directa con la ayuda de los métodos analíticos presentados en el marco teórico, considerando sus rangos de aplicación para Ppr y Tpr, lo cual determina el método a utilizar en el programa. El cálculo de z se lo realiza por sub rutinas incrustadas en un modulo que contiene el código correspondiente para cada método. Los resultados finales se presentan tanto para z corregida como para z sin corrección por C7+, en cuadros que resaltan esta diferencia. Finalmente en la tercera pestaña, se muestra la grafica de z corregida y no corregida, para que de forma más didáctica se resalte su desviación y comportamiento una respecto de la otra. Para esta grafica se toma como referencia: La temperatura del sistema ingresada en la pestaña 2. Un rango de P que varían entre 300 y 10000 psi, para que de esta forma se observe el comportamiento de z entre estos valores. La grafica se genera a partir de incrementos de 20 psi. Usos del factor de compresibilidad El factor de compresibilidad se usa para dos sistemas diferentes: Sistemas gaseosos(puros) con un solo componente Ej, metano, etano, etc. Sistemas de gaseosos de dos o más componentes. Ej. Gas natural Para sistemas gaseosos e solo componente se toman en cuenta, en general los siguientes datos: 1.presión 2.volumen 3.Temperatura absoluta 4. número de moles lb-mol 5.constante universal de los gases Sistemas de gaseosos de dos o más componentes. 1.Presión (sistema) 2.volumen(sistema) 3.Temperatura absoluta (sistema) 4. composición de cada gas en el sistema 5.Propiedades de cada componente del sistema(M, Pc, Tc). 6.constante universal de los gases OBTENCIÓN DE Z PARA SISTEMAS GASEOSOS Estudios de los factores de compresibilidad para sistemas de gas natural de diferentes composición demostraron que el factor Z puede se generalizado con suficiente precisión para usos en ingeniería en base a dos términos. – Presión seudo- reducida – Temperatura seudo- reducida No representan las condiciones críticas verdaderas del sistema, demás Estos valores son usados como parámetros correlativos para generar las propiedades del sistema. Estos valores son adimensionales. PRESIÓN PESUDO REDUCIDA Donde la presión pseudo-crítica: i i i PC Pc y P * 1 Donde: Pci = Presiones críticas de cada componente [psia] Yi = Composición de cada componente TEMPERATURA PESUDO REDUCIDA R ica pseudocrít a temperatur R sistema del a temperatur T Pr Donde la temperatura pseudo-crítica: i i i PC Tc y T * 1 Donde: Tci = temperaturas críticas de cada componente [R] Yi = Composición de cada componente psia ica pseudocrít presión psia sistema del presión P Pr En base a los valores de la presión y temperatura pesudo reducida, Standing y Katz (1942) desarrollaron un cuadro en el cual se representa el factor z para sistemas de gas natural dulce (sin contaminantes) como función de PPC y TPC. DESVENTAJAS DE LA GRÁFICA DE Z • EL gas natural frecuentemente contiene materiales diferentes o extraños a los componentes hidrocarburíferos, como por ejemplo nitrógeno, dioxido de carbono y ácido sulfhídrico. • El gas de un yacimiento es clasificado como dulce o amargo según el contenido de H2S y otros gases ácidos. • En estos casos la gráfica de Standing y Katz sólo se limita a sistemas de gas con muy bajas concentración de gases ácidos y contaminantes, generando resultados no cercanos a los reales. • Para la corrección de los datos se tienen 2 métodos: • Método de corrección de Wichert-Aziz • Método de corrección de Carr- Kobayashi-Burrows Método de corrección de Wichert-Aziz El Gas natural que contiene H2S y/o CO2 frecuentemente tiene un comportamiento diferente del factor de compresibilidad .Wichert y Aziz (1972) desarrollaron un sistema sencillo para el cálculo de estas diferencias Este método permite el uso del gráfico de Standing-Katz con el uso de un factor de ajuste a la temperatura pseudo-critica. Este factor está en función a la concentración de H2S y CO2 en el gas amargo: Con la temperatura pseudo-crítica corregida es posible hallar una presión pseudo-crítica corregida y con estos valore hallamos z con la gráfica de Standing-Katz. PASOS A SEGUIR: P-1: Calcular las propiedades pseudo críticas de todo el sistema gaseoso en base a datos obtenidos de la composición o mediante el uso de la gravedad específica: Con datos de campo: i i i PC Pc y P * 1 i i i PC Tc y T * 1 En base a gravedad específica: Sistemas de gas natural: 2 5 . 37 0 . 15 677 g g PC P g g 2 5 . 12 325 168 g g PC T g g Sistemas de gas y condensado: 2 1 . 11 7 . 51 706 g g PC P g g 2 5 . 71 330 187 g g PC T g g P-2: Cálculo del factor de ajuste e : ) ( 15 120 0 . 4 5 . 0 6 . 1 9 . 0 B B A A e Donde: A= Suma de las fracciones molares de H2S y CO2: B= fracción molar de H2S en la mezcla de gas: P-3: Ajuste de las propiedades pseudocríticas: e e ) 1 ( * ' ' ' B B T T P P T T PC PC PC PC PC PC Donde: Tpc = temperatura pseudocrítica [R] Ppc = Presión pseudos crítica, [psia] T’pc= temperatura pseudocrítica corregida [R] P’pc= presión pseudocrítica corregida [psia] P-4: Cálculo de las propiedades pseudo-reducidas: psia ica pseudocrít presión psia sistema del presión P Pr R ica pseudocrít a temperatur R sistema del a temperatur T Pr P-5: Leer el valor del factor z en gráfica Standing-Katz. MÉTODOS DIRECTOS PARA EL CÁLCULO DE Z Después de varios años de existencia, el gráfico de z realizado por Standing-katz continúa siendo utilizado. Como resultado exitió una necesidad aparente para una descripción matemática sencilla de este gráfico. Estas tres correlaciónes fueron desarrollaas para este fin: HALL-YARBOROUGH DRANCHUK-ABU-KASSEM DRANCHUK-PURVIS-ROBINSON HALL-YARBOROUGH Esta ecuación de estado presentada por en 1973, representa la gráfica de z. Esta ecuación está basada en la ecuación de estado de Starling- Carnahan. Los coeficientes de la correlación fueron determinados haciendo coincidir estos con datos tomados de la gráfica de z. …………..(1) Donde: Ppr = presión pseudo reducida t =recíproco de la temperatura pseudo-reducida, Tpc/T Y =densidad reducida que puede ser obtenida por: …………(2) Donde: La ecuación (2) es una ecuación no lineal y puede ser resuelta con la densidad reducida Y usando el método Newton Raspón. PASOS A SEGUIR: P-1: Realiza una suposición inicial para el parámetro desconocido Y K , donde K es el contador de la iteración. Para tener un valor inicial se tiene la siguiente ecuación: P-2: sustituir el valor inicial en la ecuación (2) y evaluar la función no lineal. Si el valor correcto fue encontrado entonces F(Y)=0 sino F(Y)diferente de 0 : P-3: Una mejor estimación para Y por ejemplo Y K+1 , es calculada a partir de la siguiente expresión: Donde f’(Y K ) es obtenida evaluando la derivada de la ecuación (2) en Y K : P-4: pasos 2-3 son repetidos n veces, hasta un error dado, ej. ABS(Y K -Y K+1 ) sea más pequeño que una tolerancia por ejemplo: 10 E-12. P-5: El valor correcto de Y es usado en la ecuación (1) para el factor de compresibilidad: Éste método no es recomendable cuando el valor de la temperatura pseudo-reducida el menor a uno. DRANCHUK-ABU-KASSEM: Derivó una expresión analítica para el cálculo de la densidad reducida del gas de tal forma que puede ser utilizada para estimar el factor de compresibilidad. La densidad reducida del gas ρ r es definida como la relación entre la densidad del gas a una presión y temperatura específicas y la densidad del gas en su presión crítica o temperatura crítica. El factor de compresibilidad crítico Zc es aproximadamente 0.27 lo cual nos da la siguiente expresión para la densidad reducida del gas: Los autores propusieron una ecuación de estado de once constantes para calcular la densidad reducida del gas Con coeficientes R1 a R5 los cuales son definidos por: Las constantes A1 hasta A2 fueron determinadas coincidiendo la ecuación usando modelos no lineales de regresión de 1500 puntos de datos de la gráfica de Standing-Katz. Los coeficientes tienen los siguientes valores: La ecuación (4) puede ser resuelta para la densidad reducida del gas aplicando Newton Raphson siguiendo los siguientes pasos: P-1: Realizar una suposición inicial para el parámetro desconocido ρ r K , donde K es el contador de la iteración. Para tener un valor inicial de ρ r K se tiene la siguiente ecuación: P-2: sustituir el valor inicial en la ecuación (4) y evaluar la función no lineal. Si el valor correcto fue encontrado entonces F(ρ r K )=0 sino F(ρ r K )diferente de 0 : P-3: Una mejor estimación para ρ r K por ejemplo ρ r K+1 ,es calculada a partir de la siguiente expresión: Donde: P-4: pasos 2-3 son repetidos n veces, hasta un error dado, ej. ABS(ρ r K -ρ r K+1 )sea más pequeño que una tolerancia por ejemplo 10 E-12. P-5: El valor correcto de es usado ρ r K en la ecuación (3) para el factor de compresibilidad: Éste método produce valores de z con un error absoluto medio con relación al gráfico de Standing-Katz de 0.585 % y es aplicable sobre los rangos de: DRANCHUK-PURVIS-ROBINSON: Desarrollaron un correlación basada en un tipo de ecuación de estado de Benedict-Webb-Rubin. Haciendo coincidir la ecuación con 1500 puntos de la gráfica de z se optimizaron 8 coeficientes de la ecuación propuesta: ……………………(5) Donde ρ r K está definida por la ecuación (4) y los coeficientes desde A1 hasta A8 tienen los siguientes valores: El procedimiento de la solución de la ecuación (5) es similar a la de Abu-Kassem. Éste método es aplicable entre los rangos de : INTRUCION DE AGUA ACUIFERO RESECTOR Aplicación del proceso de intrusión de agua.- En todo proyecto de intrusión, es condición previa hacer una evaluación de los factores determinantes – tanto físicos como geológicos – para ver si las posibilidades de aplicación se muestran favorables. Factores geológicos.- Los factores geológicos que deben ser analizados son: Fallamiento.- El área donde se propone efectuar la intrusión piloto, no se halla atravesada por ninguna de las fallas existentes en el campo, es decir, no hay ningún tipo de fallamiento que pueda frustrar el proyecto de intrusión. Textura.- Se ha evidenciado que las arenas de grano grueso se muestran mas favorables a la intrusión de agua, mientras que las arenas de grano fino son mejores en cuanto a uniformidad de permeabilidad se refiere. Sin embargo, el aspecto determinante parece ser la presencia o ausencia de protuberancias, que juegan rol fundamental en lo concerniente a eficiencia de barrido. Profundidad.- Los proyectos de intrusión de agua abarcan en profundidad desde unos pocos cientos de pies hasta algunos miles de pies, siendo lo ideal contar con una profundidad media. Porosidad.- Este factor solo tiene trascendencia desde el punto de vista del contenido de hidrocarburos en la estructura, razón por la que, su influencia en el presente análisis no es determinante. Permeabilidad.- La permeabilidad esta ligada íntimamente con la profundidad, requiriéndose alta permeabilidad solo en el caso de campos poco profundos o muy profundos Factores físicos.- Los factores físicos que influyen en el resultado final de un proyecto de intrusión son: Control.- Las acumulaciones que poseen un mecanismo de impulsión de tipo volumétrico son las más favorables en la intrusión de agua por el elevado porcentaje de petróleo residual existente después de la producción primaria, El mismo que puede ser eficientemente barrido por el agua de intrusión. Los yacimientos de empuje hidráulico se muestran exitosos a la intrusión, siempre que las zonas bajo consideración no hayan sido completamente invadidas por el agua marginal y de fondo. En caso de que esto ultimo haya sucedido, y cuando el proceso conduce a la producción de grandes cantidades de agua pozo petróleo, una RAP que fluctúe entre 20 : 1 a 40 : 1, es sumamente aceptable. Saturación de petróleo.- Cuando se dispone de una saturación inicial de petróleo de 0.40, la aplicación del proyecto debe hacerse con muchas reservas y después de un cuidadoso estudio. Una saturación de petróleo de 0.35 representa el valor límite debajo del cual la intrusión nunca debe intentarse. Saturación de agua.- La importancia de la saturación de agua reside en al relación que guarda con al permeabilidad relativa, pues a variaciones en la saturación corresponden variaciones en la permeabilidad relativa. La condición necesaria en todo proyecto, es que la saturación de agua sea superior a la del petróleo para que sea posible que la formación de un frente de invasión. Lo ideal es contar con saturaciones que fluctúen entre 20 y 30 %. Viscosidad.- Lo óptimo es contar con viscosidades de petróleo tan bajas como sea posible. Sin embargo, es la relación de viscosidades petróleo agua, a condiciones del yacimiento, lo que realmente tiene importancia. Experimentalmente se sabe que cuando la relación de viscosidad del petróleo al agua es menor a 30, se espera que el agua barra al petróleo hasta un valor muy aceptable se saturación residual. Permeabilidad relativa.- Se define como la facilidad con que un fluido cualquiera puede desplazarse bajo ciertas condiciones de saturación. Como se menciono líneas arriba, la permeabilidad relativa esta relacionada con al saturación, y variaciones e estas corresponden cambios en la permeabilidad. En todo proyecto de intrusión de agua es necesario contar, desde el inicio del proceso y hasta una etapa más o menos avanzada con una permeabilidad relativa de petróleo que exceda a la del agua, pues de suceder lo contrario, se produciría una conificaciòn prematura en lugar de un verdadero avance frontal. Movilidad.- La movilidad de un fluido se define como la relación existente entre la permeabilidad efectiva al fluido sobre la viscosidad del mismo. La relación de movilidad de petróleo agua tiene singular influencia en cuanto se refiere a la recuperación final de petróleo. Una relación de movilidad alta hace posible recuperar una cierta cantidad de petróleo con un volumen inferior de agua que el que emplearía cuando se posee una relación de movilidad baja. Se dice que la relación de movilidad es alta cuando la relación de permeabilidad relativa petróleo agua es mayor que la relación de viscosidades. La Intrusión ocurre debido a: (a) Apreciable expansión del agua del acuífero. A medida que se reduce la presión, el agua se expande y reemplaza parcialmente los fluidos extraídos del reservorio. (b) El acuífero es parte de un sistema artesiano. El agua que rodea al reservorio de petróleo esta en contacto con agua proveniente de la superficie. Dependiendo de la forma como ingresa el agua al reservorio de petróleo, los reservorios por empuje de agua se denominan: (a) Reservorios por empuje de fondo, en la cual la formación es usualmente de gran espesor con suficiente permeabilidad vertical, tal que el agua puede moverse verticalmente. En este tipo de reservorios la conificación puede convertirse en un gran problema. (b) Reservorios por empuje lateral, en la cual el agua se mueve hacia el reservorio desde los lados. Algunos indicadores para determinar la presencia de un empuje de agua son: (a) El hidrocarburo (petróleo o gas) esta rodeado por agua. (b) Debe existir suficiente permeabilidad para permitir el movimiento del agua (por lo menos 50 md). (c) A medida que el tiempo transcurre, la producción de agua incrementa. (d) El método de balance de materiales es el mejor indicador. Entre los métodos para estimar la recuperación se tiene: Buckley- Leverett, la técnica de Dykstra-Parsons, el método de Stiles, Balance de Materiales, Correlaciones y Simulación Numérica. Para estimar el influjo tenemos las teorías de Van-Everdingen y Fetkovich. RESERVORIOS DE IMPULSION POR AGUA CARACTERÍSTICAS TENDENCIA Presión del Reservorio Permanece alta GOR de superficie Permanece bajo. Producción de agua Inicia muy temprano e incrementa a cantidades apreciables. Comportamiento del pozo Fluye hasta que la producción de agua es excesiva. Recuperación esperada 10 al 70 % del OOIP Comportamiento de flujo.- Se ha considerado que la presión existente en el yacimiento es inferior a la de saturación, y por lo tanto, se tendrá las tres fases presente: agua, petróleo y gas. El papel principal de la fase de gas libre consiste en proporcionar adecuado espacio para hacer llenado pro agua de intrusión. Durante las etapas iníciales de la invasión, el petróleo moviéndose delante del agua, desplaza al gas hasta alcanzar una saturación de gas inmóvil que constituye el gas residual. Con forme el agua es inyectada continuamente, el frente de petróleo se acumula y avanza hacia los pozos productores. Como el gas es el más apto para fluis de los tres fluidos presentes, será el primero en alcanzar a los pozos productores, pudiendo acarrear consigo algo de petróleo que muestra los primeros incrementos en la producción como consecuencia de la inyección de agua. Cuando el frente de petróleo llega a los pozos la recuperación entra a un periodo de alto nivel y cuando finalmente el agua alcanza los pozos productores, comienza una etapa de declinación en al producción de petróleo que dura hasta que los pozos producen completamente agua. En resumen, el proceso de desplazamiento se divide en: Desplazamiento de petróleo por agua y de gas por petróleo. El proceso de intrusión en el área experimental presenta tres zonas o regiones bien definidas: la primera o región de flujo radial, se extiende hasta donde el radio de invasión alcanza su máximo valor y es cuando empieza el proceso de restauración; la segunda o zona intermedia que abarca el proceso completo de restauración del petróleo y donde se hace difícil predecir el comportamiento de flujo; y finalmente la tercera llamada también zona estabilizada, que comprende desde que el frente de petróleo y avanza los pozos productores hasta que se produce la llegada del frente de invasión (Water breakthrough). Zona de flujo radial.- El régimen inicial de agua de intrusión depende de: La permeabilidad efectiva a l agua, del espesor neto de la formación, de la viscosidad del agua, del radio efectivo del pozo, de la presión del yacimiento y de la presión de inyección. La ecuación fundamental para calcular el régimen diario de intrusión esta basada en la relación propuesta por Darcy para flujo radial: Volumen acumulativo.- El volumen acumulativo de agua durante la etapa de flujo radial es posible calcularlo de la siguiente relación: Tiempo empleado.- El tiempo es posible calcularlo de la ecuación que relaciona el cambio en el régimen de influjo que se produce en un cierto periodo de tiempo, para en barrido de tipo radial, y que tiene la siguiente expresión. Relación que puede ser resuelta par los diferentes valores de Qi en [bbl/Dìa]. Zona intermedia.- En esta región denominada también de transición, que empieza cuando el radio de invasión considerado sea acerca a su valor máximo, se produce un cambio brusco en la disminución del régimen de intrusión, a causa de que el flujo pasa de radial a régimen estable. Volumen acumulado.- El volumen acumulado de agua desde el principio de la inyección hasta la finalización de la segunda etapa, podemos calcularlo mediante la siguiente relación: Zona estabilizada.- Una vez que ha finalizado el proceso de restauración, se entra a la región estabilizada donde el caudal diario de intrusión será constante La mayoría de los yacimientos se encuentran limitados de manera parcial o total por rocas saturadas con agua que se denominan acuíferos, éstos pueden ser muy grandes, caso en el cual se consideran de extensión infinita o también pueden ser tan pequeños que su efecto sobre el comportamiento del yacimiento se puede considerar insignificante. El acuífero puede estar limitado totalmente por una roca impermeable y forma junto con el yacimiento una unidad volumétrica o cerrada, por otro lado también pueden existir acuíferos prácticamente horizontales con el yacimiento adyacente o también puede hallarse por encima del yacimiento. Al producir el yacimiento puede existir una caída de presión que hace que el acuífero reaccione retardando la declinación de dicha presión por medio de una invasión o intrusión de agua. Dicha intrusión puede ocurrir debido a la expansión de agua, expansiones de otras acumulaciones de hidrocarburos conocidas, la compresibilidad de la roca del acuífero y el flujo artesiano donde el acuífero se puede elevar por encima del yacimiento. Analíticamente el acuífero se puede considerar como una unidad independiente que es capaz de suministrar agua al yacimiento debido a las variaciones con tiempo de la presión en el límite, es decir, la presión promedio en el contacto agua-petróleo o gas-agua. Figura 01. Conos de intrusión de agua salada de fondo como resultado de la disminución de sobrecarga El tipo más simple de intrusión de agua ocurre en un acuífero en condiciones de flujo continuo donde la rata de intrusión de agua es directamente proporcional a la presión en el yacimiento (pi-p), tomando en cuenta que la presión inicial permanece constante en alguna parte del acuífero y que el flujo del yacimiento es proporcional a la presión diferencial según la Ley de Darcy, además se supone que la viscosidad el agua, permeabilidad promedia y geometría del acuífero permanecen constantes Donde k es la constante de intrusión de agua expresada en pies cúbicos o barriles por día por lpc. Al determinarse el valor de k se puede encontrar el valor de la intrusión cumulativa de agua W conociendo siempre la historia de presión del yacimiento. Por otro lado si la rata de producción y la presión del yacimiento permanecen prácticamente constantes, la rata volumétrica de producción o rata de vaciamiento del yacimiento es igual a la rata de intrusión de agua entonces + De manera analítica la ecuación anterior puede expresarse como Donde dNp/dt es la rata diaria de producción de petróleo en BF/día y (R- Rs)dNp/dt es la rata diaria de gas libre en PCS/día. La razón de gas disuelto- petróleo, Ro, se obtiene de la razón de gas-petróleo neta diaria o actual, ya que incluye el factor volumétrico del petróleo en término de rata de vaciamiento de petróleo. La ecuación anterior puede convertirse en una equivalente si se emplea el factor volumétrico total agregando y sustrayendo el término es el factor volumétrico total βt Cuando se obtenga dW/dt en función de las ratas de vaciamiento se puede encontrar entonces la constante de intrusión k. A pesar de que la única forma de calcular la intrusión de agua es de ésta manera, es decir, cuando la presión del yacimiento se ha estilizado también puede aplicarse a yacimientos donde varían las mismas. Determinación de la Intrusión de Agua por medio de la Ecuación de Difusividad Se considera un yacimiento circular de radio rw, en un acuífero horizontal de radio re, donde el espesor, porosidad, permeabilidad y compresibilidades de la roca y agua son uniformes. Considerando también el acuífero formado por una serie de elementos concéntricos y cilíndricos, entonces los volúmenes de los tanques son proporcionales a los volúmenes cilíndricos de los elementos y representan el volumen de agua que cada elemento puede suministrar por dilatación de agua y compresibilidad de la roca debido a la caída de presión de pi a cero. Aunque los modelos hidráulicos y eléctricos son prácticos en el estudio del comportamiento de los acuíferos es importante calcular el comportamiento en base a las variaciones con tiempote la presión promedia en el límite. La ecuación de difusividad en forma radial expresa la relación entre la presión, radio y tiempo para un sistema radial donde el potencial desplazante del sistemas la expansión del agua y compresibilidad de la roca Donde p,r y t son presión, radio y tiempo y r es la constante de difusividad Donde k es la permeabilidad µ es la viscosidad ø es la porosidad y c es la compresibilidad efectiva desagua que para un acuífero es la suma de las compresibilidades de la formación y del agua cf+cw. La solución La Ecuación de difusividad expresa la presión en cualquier elemento como función de las variaciones de tiempo en la presión del límite de yacimiento. Al conocer la presión en cada elemento se puede calcular el agua suministrada por dichos elementos cuando se reduce la presión de su valor inicial pi a una presión cualquiera. La dilatación del Agua del enésimo elemento cilíndrico se calcula Por último, la intrusión cumulativa o total de agua W proveniente de todos los elementos es igual a la suma del agua dilatada de cada uno de ellos. Figura 02. Elementos Cilíndricos de un acuífero que rodea un yacimiento circular Reconocer un empuje de agua Para reconocer el empuje de agua se puede saber a través de la disminución de la tasa de declinación de presión con incremento del vaciamiento acumulado, con un incremento gradual de la relación gas-petróleo (RGP) en yacimientos inicialmente saturados, balance de materiales a través del método de Campbell, entre otras. Clasificación de los acuíferos Estos se pueden clasificar según: Grado de mantenimiento de presión Condición de borde externo Regímenes de flujo Geometrías de flujo Grado de mantenimiento de presión Los tipos de empuje por agua son: Activo el influjo de agua es igual al yacimiento total La presión permanece constante Parcial Limitado Condición de borde externo Infinito El efecto de la declinación de presión no se siente en el borde externo. La presión en el borde externo es igual a pi Finito El efecto de la declinación de presión se siente en el borde externo. La presión en el borde externo cambia en función del tiempo Regímenes de flujo Existen tres regimenes de flujo que influencian la tasa de influjo de agua hacia el yacimiento: Estado estable La caída de presión se transmite en todo el yacimiento y el acuífero reacciona en forma instantánea Estado inestable La caída de presión se transmite en todo el yacimiento y el acuífero reacciona en forma gradual Geometrías de flujo Los sistemas yacimiento-acuífero se pueden clasificar con base a las geometrías de flujo como: Empuje lateral Empuje lineal Empuje de fondo FACTOR “ Z ” ECUACIÓN DE REDLICH Y KWONG Gases Reales El modelo de “gas ideal” permite definir un marco de referencia para estudiar el comportamiento de los gases. En algunas ocasiones, podremos modelar los gases geológicos utilizando Leyes Ideales; sin embargo, es de gran importancia tener una noción de las desviaciones que sufren éstos bajo determinadas condiciones de temperatura, presión y volumen. Los gases naturales o reales presentan las siguientes desviaciones del comportamiento ideal: - para altas presiones: Vreal > Videal - para moderadas presiones: Vreal < Videal - para moderadas temperaturas: Vreal > Videal Factor de compresibilidad (Z).- Como se ve en las figuras anteriores, estas desviaciones aparecen producto de la diferencia de volumen, por lo que definiremos el factor de compresibilidad (Z), que corresponde a una medida de la “no-idealidad” en el comportamiento de un gas: Para un Gas Ideal, el factor de compresibilidad es unitario, mientras que para Gases Reales es mayor o menor que 1. Ejemplos para el H 2 O, CO 2 y O 2 gaseosos: Ecuación de Van der Waals; Es la ecuación de estado “por excelencia” de los Gases Reales. Van der Waals atribuyó las desviaciones de los gases de la idealidad debido a: - El volumen de las moléculas sí importa, no es despreciable - Las fuerzas de interacción entre moléculas de los gases influye Efecto del Volumen de las Partículas b = covolumen (volumen efectivo ocupado por 1 mol de gas) V = volumen total (ocupado por el gas) Vdisponible = (Vreal – nb) nb = volumen ocupado por “n” moles de gas Reemplazando en la Ley Ideal: P = nRT/(V – nb) Efecto de las Fuerzas de Interacción Cuando las moléculas interactúan, la presión total disminuye en un factor proporcional a la densidad de moléculas. a = parámetro de interacción, que indica cuan fuertes son las atracciones P = nRT/(V – nb) – an2 /V2 Con lo que se llega a la Ecuación de Van der Waals, para Gases Reales con desviaciones moderadas de la Idealidad: Donde a y b son las “constantes de Van der Waals”, conocidas para los distintos gases. Unidades de los parámetros de Van der Waals: a [atm l2 /mol2]; b [l/mol] Ejemplo Nota: los valores grandes de “a” indican gran interacción entre las moléculas A parte de la ec. de Van der Waals, existen una serie de ecuaciones de estado que definen el comportamiento de los Gases Reales para determinadas condiciones: ECUACIÓN DE REDLICH-KWONG Difiere de la ec. de Van de Waals al expresar el potencial de atracción (o de interacción) como una función más complicada de la temperatura y el volumen molar: [P + an2 / (T1/2V(V+b))] (V – nb) = nRT Si llenamos una olla a presión con agua pura y calentamos lentamente, pasaremos de agua líquida (1 fase) a la “campana de ebullición”, donde coexistirán agua líquida y vapor de agua en equilibrio (2 fases). Si la temperatura y presión siguen aumentando, llegaremos a un punto superior de la campana denominado punto crítico, sobre el cual el líquido y el gas pierden sus límites de fase y se transforman en una sola fase, denominada fluido supercrítico. Este estado de la materia es muy importante en Geología. En espacio PVT, diagrama de fases tiene el siguiente aspecto: El diagrama PVT en 3 dimensiones nos permite observar el estado crítico en los espacios PV y PT: Por fortuna, las ecuaciones termodinámicas de estado para gases reales también pueden utilizarse para los fluidos supercríticos. Cada especie de gas puro (agua, dióxido de carbono, oxígeno, etc.) tiene un único punto crítico, sobre el cual desaparecen los límites entre el líquido y el vapor. Para el punto crítico se tiene que: (∂p/∂V)Tc = 0 y (∂2p/∂V2)Tc = 0 Si aplicamos estas condiciones a la Ecuación de Van der Waals, podremos expresar las constantes a y b en función de la presión y temperatura críticas (variables conocidas y tabuladas para cada especie): a VdW = 0.4219 (R2T2c)/Pc b VdW = 0.1250 (RTc)/Pc Y para el caso de la ECUACIÓN DE REDLICH-KWONG, también es válido expresar los parámetros a y b en función de las propiedades críticas: a R-K = 0.4275 (R2T2.5c)/Pc b R-K = 0.0866 (RTc)/Pc Factor de compresibilidad “Z” El factor de compresibilidad es uno de los parámetros que, con mayor precisión diferencia el comportamiento de los fluidos en estado líquido del estado gaseoso. Define el comportamiento de los gases a determinadas condiciones de presión y temperatura y se vuelve elemento fundamental para todos los diseños e instalaciones que trabajan con fluidos compresibles. A los efectos de este tema se hará especial referencia al gas natural con la advertencia previa de que todos los otros fluidos en estado gaseoso obedecen al mismo comportamiento, sin obviar la naturaleza físico-química del compuesto. Existen diferentes definiciones que se dan a este factor tales como: factor Z: factor de compresibilidad, parámetro con el cual se corrige el comportamiento de los gases para ajustarlo a las condiciones reales o actuales. Que expresa la manera como realmente se comportan los fluidos compresibles. La primera definición nos lleva al análisis de los fluidos compresibles, de cuya consideración aparecen algunas interrogantes que pudieran servirnos para analizar el tema. Cuando uno dice que un gasoducto transporta, por ejemplo, 100 millones de pies cúbicos normales por día, ¿pudiéramos garantizar que, en efecto, así es, y que el caudal que estamos considerando es el que en la realidad está transportando la tubería? La primera interrogante nos lleva a una respuesta polémica: ¡No! Eso solamente aplica con alguna aproximación cuando nos referimos a conductos que trabajan a presión atmosférica; por ejemplo los que se utilizan para el aire acondicionado en las edificaciones. En los casos prácticos, de uso común en la industria del gas natural, esa apreciación no es cierta y con frecuencia nos conduce a errores notables. Para conocer el volumen actual o real que transportan las tuberías es necesario expresar dicho volumen en sus condiciones verdaderas que se corresponden con los valores de presión y temperatura a la cual estamos trabajando. Allí aparece la necesidad de calcular el valor de Z. Los métodos de cálculo más antiguos nos llevan al empleo de las gráficas, tradicionalmente empleadas en la industria del gas. Tales como. - Factor de compresibilidad del gas natural. Método de Katz..- Esta representa una curva y que es la más antigua y conocida se apoya en las presiones y temperaturas seudo reducidas para determinar el valor de “Z”. De la cual se han producido dos ampliaciones para bajas presiones. - Para hacer los cálculos respectivos se aplicó la conocida Ley Combinada de los gases. 4.4.2.- factor Z: factor de compresibilidad, el cual corrige el comportamiento de los gases para ajustarlo a las condiciones reales o actuales. Que expresa la manera como realmente se comportan los fluidos compresibles. 4.4.3.- factor de compresibilidad (Z): factor de desviación entre el comportamiento ideal de los gases y el comportamiento real. Parámetro con el cual se mide el efecto de comprimir un gas para llevarlo a sus condiciones reales, actuales o de operación. Se trabaja con las relaciones de presión, volumen y temperatura (P.V.T.). Por lo general, se identifica con "Z", que contribuye a expresar la relación entre un volumen real de un gas a una determinada presión y temperatura con respecto al volumen del mismo gas en condiciones ideales Otras aplicaciones contribuirán a entender mejor la contribución de este parámetro y el comportamiento real de los gases. Para estudiar el efecto que se produce sobre la velocidad del fluido imaginemos que los 100 MM pcdn son conducidos por una tubería de 4” (DI: 4,026”), Al dividir el caudal del gas entre el área de la tubería nos resultaría una velocidad de 172,79 pies/seg. Ello nos obligaría a tomar otro tipo de decisiones, porque a esas condiciones la velocidad de erosión sería igual a 49,70 pies/seg, lo cual equivaldría destruir el gasoducto debido a la erosión excesiva que le estamos produciendo. El incremento sucesivo del diámetro permisible nos llevaría a utilizar, como mínimo, uno de 8” Std. (DI = 7,981), con el cual la velocidad de la tubería bajaría a 43,97 pies/seg, con una velocidad de erosión de 49,70 pies/seg. Siempre que la velocidad del gas esté por debajo del límite de velocidad que produce erosión, estaremos dentro de los límites permitidos, no obstante, es preferible ubicarla un 20% por debajo del máximo permisible. Se hace evidente que no se debe calcular un gasoducto sin tomar en cuenta las velocidades que se producen dentro del tubo y su posible impacto sobre los materiales. Adicionalmente, es necesario considerar el impacto que se produciría en la misma tubería al bajar la presión, caso en el cual se incrementaría el caudal real y -por lo tanto- la velocidad del gas, con el impacto correspondiente. El valor de Z también nos establece una diferencia fundamental entre el comportamiento del gas natural vs. el de los líquidos. Los ingenieros adquieren la costumbre de pensar en función de lo que para ellos resulta el trabajo diario o de rutina. Desde este punto de vista, es más común el transporte de líquidos antes que de gas natural, por lo tanto se tiene la tendencia a pensar que la velocidad del gas en las tuberías es constante, tal como ocurre en el caso del agua. En el caso del gas natural se suele reportar un volumen de gas constante referido a las condiciones normales, estándar o de referencia, no obstante, los parámetros de operación (presión y temperatura) cambian en cada tramo de la tubería, por lo cual también cambiará el volumen real del fluido. Dado que el diámetro de la tubería y el área seccional son constantes, a medida que cae la presión aumenta el volumen real del gas y también la velocidad. Así el sitio de más alta velocidad en un gasoducto será siempre el punto de descarga o de más baja presión. Otra consideración adicional que permite considerar la diferencia entre un fluido no compresible y el gas natural es la cantidad de dicho fluido que puede almacenar la tubería. Para saber la cantidad de agua que almacena una tubería es suficiente calcular el volumen interno del tubo y tendremos la respuesta; en el caso del gas el volumen aumenta proporcionalmente a la presión promedio de la tubería (en lpca). Por ejemplo, un tubo cuya presión promedio sea de 300 lpca almacenará cinco veces más caudal que uno cuya presión promedio sea de 60 lpca. ECUACIÓN DE REDLICH-KWONG R = constante de los gases (8.31451 J/mol·K) Introducida en 1949, la ecuación de Redlich-Kwong fue una mejora considerable sobre las otras ecuaciones de la época. Aún goza de bastante interés debido a su expresión relativamente simple. Aunque es mejor que la ecuación de Van der Waals, no da buenos resultados sobre la fase líquida y por ello no puede usarse para calcular precisamente los equilibrios líquido-vapor. Sin embargo, puede usarse conjuntamente con expresiones concretas para la fase líquida en tal caso. La ecuación de Redlich-Kwong es adecuada para calcular las propiedades de la fase gaseosa cuando el cociente entre la presión y la presión crítica es menor que la mitad del cociente entre la temperatura y la temperatura crítica. 4.8.- Representación del punto crítico Desde el punto de vista de la temperatura, el punto crítico representa la temperatura máxima a la cual un elemento permanece en estado líquido, y la presión crítica, es la presión medida a esta temperatura. 4.9.- Factor Acéntrico.- El factor acéntrico de un componente químico puro se define con referencia a su presión de saturación reducida: w = f(prsat). Como el logaritmo de la presión de vapor de un fluido puro es aproximadamente lineal respecto al inverso de la temperatura absoluta, se puede poner: Siendo x la pendiente de log pr sat en función de . Si el teorema de estados correspondientes con dos parámetros tuviera validez general, la pendiente x sería la misma para todos los fluidos puros; se ha observado que ésto no es verdad, por cuando cada fluido tiene su propio valor característico de x, el cual, en principio, puede servir como un tercer parámetro de la ley de estados correspondientes. Pitzer comprobó que todos los datos de presión de vapor de fluidos simples, Ar, Kr, Xe, estaban contenidos sobre la misma línea en el diagrama y que dicha línea pasaba por el punto P definido por: Como se indica en la siguiente figura: Los datos correspondientes a otros fluidos definen otras líneas cuya localización se fija en relación con la de los fluidos simples (FS) mediante la diferencia: Por tanto el factor acéntrico se define como la diferencia logarítmica evaluada a la temperatura, Tr = 0,7. Por definición, el valor del factor acéntrico w es cero para el argón, criptón y xenón; los datos experimentales que permiten calcular el factor de compresibilidad Z para estos tres fluidos se correlacionan por la misma curva cuando Z se representa como función de Tr y pr. Por ésto, el teorema de estados correspondientes con tres parámetros indica que todos los fluidos que tienen el mismo valor de w, poseen el mismo valor de Z cuando se comparan a las mismas Tr y pr. Fig .- Dependencia de la presión de saturación reducida respecto a la temperatura reducida DESARROLLO Y PLANTEAMIENTO Para poder estudiar el comportamiento (P,V,T) de determinados fluidos en un amplio intervalo de temperaturas y presiones, se requiere de una ecuación que nos permita determinar el factor Z, para diferentes tipos de fluidos específicamente de gases. Esta ecuación debe ser lo suficientemente general como para poder aplicarse a diferentes tipos de gases, y no ser tan compleja a la hora de su utilización. Las ecuaciones polinomiales, que son cúbicas respecto al volumen molar, son las más simples y las que mejor representan el comportamiento tanto de gases como de vapores: 5.1.- El desarrollo moderno de las ecuaciones cúbicas de estado se inició con la publicación de la ecuación de REDLICH-KWONG de la forma: Que tiene tres raíces para el volumen, de las que dos pueden ser complejas; físicamente, los valores significativos de v siempre son reales, positivos y mayores que la constante b. En la siguiente figura se observa que: - Cuando, T > Tc, cualquier valor positivo de p conduce a una solución con una sola raíz real positiva. - Cuando, T = Tc, lo antes dicho sigue siendo verdad, excepto a la presión crítica donde existe una raíz triple,vc. - Para, T < Tc, a presiones elevadas solo existe una raíz real positiva, pero en el intervalo de presiones bajas se tienen tres raíces reales positivas (puntos A, D, B; en este caso, la raíz intermedia no tiene significado físico, la raíz menor es un volumen líquido o casi-líquido y la raíz may or es un volumen de vapor o casi-vapor. Los volúmenes de líquidos y vapores saturados están dados por la raíz menor y mayor, respectivamente, cuando p es la presión de saturación o presión de vapor. Aunque las raíces de una ecuación cúbica de estado se pueden encontrar explícitamente, es más frecuente que se empleen técnicas iterativas, que resultan prácticas solamente si convergen en la raíz deseada. No se puede dar una seguridad absoluta a este respecto, pero con frecuencia, las consideraciones que presentamos a continuación resultan efectivas en la ecuación de Redlich/Kwong. 5.1.- Técnicas de Iteración Para la determinación del factor de compresibilidad Z, por técnicas de iteración, se puede utilizar una forma alternativa de la ecuación de Redlich/Kwong: Que consiste en multiplicarla por lo que permite obtener: En la que: Y Tr y pr son la temperatura y presión reducidas, respectivamente. Estas ecuaciones facilitan la determinación de la solución del factor de compresibilidad Z mediante iteración para cualquier gas y para cualquier valor de Tr y pr. Para un valor inicial de, Z = 1: y con el valor de h así obtenido, la ecuación: Proporciona un nuevo valor de Z que se sustituye en la ecuación: y así sucesivamente se continúa hasta que se llega a un valor Z con un error menor que un cierto valor preestablecido. 5.2.- Planteamiento del Problema Leemos N (donde N es el número de componentes de la mezcla) Seleccionamos los componentes que integrarán nuestro gas. Establecemos el porcentaje molar que cada uno de ellos representará en el gas. Se copia todos los parámetros de los componentes a una tabla de datos (Ej MSFlexGrid). Leemos los valores de Presión y Temperatura respectivamente Se calcula Se halla un valor h, con Z = 1 y la ecuación: Se determina un nuevo valor de Z con la ecuación: Este nuevo valor Z, se sustituye en h y luego h en Z y sí sucesivamente La iteración termina cuando el error entre Z final y Z anterior es la preestablecida antes del programa. Se imprime Z Cálculo del factor Z de los gases con corrección por H 2 S, CO 2 y N 2 método de Carr-Kobayashi-Burrows 1. Introducción Para entender y predecir el comportamiento volumétrico que van a presentar los reservorios de gas y petróleo en función a la presión, debemos conocer el comportamiento de sus propiedades, las mismas que pueden ser determinadas gracias a experimentos de laboratorio efectuados a las muestras de fluido de reservorio, en algunos otros casos, estas propiedades no pueden ser medidas directamente, sino que requieren el uso de correlaciones empíricas para su cálculo. COMPORTAMIENTO DE LOS GASES REALES Las condiciones o postulados en que se basa la teoría cinética de los gases no se pueden cumplir y la situación en que más se aproximan a ellas es cuando la presión y la temperatura son bajas; cuando éstas son altas el comportamiento del gas se aleja de tales postulados, especialmente en lo relacionado a que no hay interacción entre las moléculas de tipo gravitacional, eléctrica o electromagnética y a que el volumen ocupado por las moléculas es despreciable comparado con el volumen total ocupado por el gas; en este caso no se habla de gases ideales sino de gases reales. Como el gas real no se ajusta a la teoría cinética de los gases tampoco se ajusta a la ecuación de estado y se hace necesario establecer una ecuación de estado para gases reales. La ecuación más sencilla y la más conocida para analizar el comportamiento de los gases reales presenta la siguiente forma: P.V = Z.R.T P: presión absoluta. v: volumen. R: constante universal de los gases. T: temperatura absoluta. Z se puede considerar como un factor de corrección para que la ecuación de estado se pueda seguir aplicando a los gases reales. En realidad Z corrige los valores de presión y volumen leídos para llevarlos a los verdaderos valores de presión y volumen que se tendrían si el mol de gas se comportara a la temperatura T como ideal. Z se conoce como factor de supercompresibilidad, y depende del tipo de gas y las condiciones de presión y temperatura a que se encuentra; cuando éstas son bajas, próximas a las condiciones normales, Z se considera igual a uno. Cuando se trata de gases reales, la presión indicada por el registrador de presión es menor que la presión a la que se encontraría el gas si fuera ideal pues hay que descontar las interacciones entre las moléculas y por otra parte el volumen disponible para el movimiento de las moléculas es menor que el volumen del recipiente pues no se puede despreciar el volumen ocupado por las moléculas. Mezclas de Gases Reales Cuando se trata de mezclas no se habla de peso molecular sino de peso molecular aparente y se calcula de acuerdo con la composición aplicando la ecuación: M a = Σx i .M i donde: x i : fracción molar del componente i respectivamente. M i : peso molecular del componente i respectivamente. M a : peso molecular aparente. De igual manera si se quiere expresar la composición en porcentaje por peso se aplica la ecuación: Para calcular la densidad (ρ) se aplica la ecuación: ρ = P.M/Z.RT. = m/V Determinación del factor Z Para poder aplicar la primera ecuación se requiere conocer el factor Z, el cual, como ya se dijo, depende de las condiciones de presión y temperatura y del tipo de gas. El cálculo de Z se puede hacer a partir de correlaciones y se hará énfasis fundamentalmente en la correlación de Standing - Katz por ser la más conocida. Una vez conocidas las condiciones críticas se obtienen las condiciones reducidas, que se definen como: P r = P/P c T r = T/T c donde, P r : presión reducida. T r : temperatura reducida. como se ve son adimensionales. - Obtención de Z para mezclas: También se utiliza la correlación de Standing pero en este caso las condiciones reducidas no se pueden obtener de tablas porque las mezclas no son compuestos puros, además cuando se trata de mezclas no se habla de condiciones críticas o reducidas sino de condiciones pseudocríticas y pseudoreducidas. Para obtener las condiciones pseudocríticas se debe conocer la composición de la mezcla o la gravedad específica. Cuando se tiene la composición se puede aplicar el procedimiento de Kay para obtener las condiciones pseudocríticas. El procedimiento de Kay es el siguiente: P pc = Σx i .P ci T pc = Σx i .T ci donde, P pc : presión seudocríticas de la mezcla. T pc : temperatura seudocríticas de la mezcla. x i : fracción molar de cada componente en la mezcla. P ci : presión crítica de cada componente en la mezcla. T ci : temperatura crítica de cada componente en la mezcla. Una vez calculados los valores de T pc y P pc , se calculan las condiciones pseudoreducidas: P pr = P/P pc T pr = T/T pc donde, P pr : presión pseudoreducida de la mezcla. T pr : temperatura pseudoreducida de la mezcla. Debe puntualizarse que estas propiedades pseudocríticas no representan las propiedades actuales de la mezcla de gas, sino que estas son empleadas como parámetros de correlación para generar otras propiedades del gas. Basados en el concepto de las propiedades pseudocríticas, Standing and Katz (1942) presentaron un cuadro generalizado que se muestra en la siguiente figura, que representa el factor de compresibilidad del gas natural dulce como una función de los parámetros pseudoreducidos. En el caso de que no se tenga a disposición los datos de composición del gas natural, los parámetros psudoreducidos pueden ser predecidos a través del valor de la gravedad específica y las ecuaciones de Brown (1948), presentados en forma gráfica con una aproximación conveniente de las propiedades pseudocríticas de los gases cuando solo tenemos este dato disponible. Las expresiones matemáticas que pueden emplearse para efectuar el cálculo son las siguientes: Caso 1: Sistemas de Gas Natural T pc =168 +325 g -12.5 g 2 P pc =677 +15.0 g -37.5 g 2 Caso 2: Sistemas de Gas Condensado Tpc 187 330 g 71.5 g 2 ppc 706 51.7 g 11.1 g 2 Donde: T pc =Temperatura pseudo crítica, °R P pc = Presión Pseudo crítica, Psia g = Gravedad específica de mezcla de gas Limitaciones: Máximo. 5% N2 2% CO2 2% H2S EFECTO DE LOS COMPONENTES NO HIDROCARBURÍFEROS EN EL FACTOR Z Los gases naturales frecuentemente contienen componentes no hidrocarburíferos como el nitrógeno, dióxido de carbono y sulfuro de hidrógeno. Podemos clasificar al gas natural en amargo (si contiene elevadas cantidades de ácido sulfhídrico) o dulce (si el contenido de ácido sulfhídrico es bajo). Ambos tipos de gas natural pueden o no contener nitrógeno, dióxido de carbono o ambos. La común ocurrencia de pequeños porcentajes de nitrógeno y dióxido de carbono, que en parte es considerado en las ecuaciones anteriormente presentadas, llegando a considerar como admisible una concentración inferior al 10% de estos componentes, una vez que esta rebasa estos límites se presentan errores y consideramos esta presencia como elevada, por lo que se hicieron modificaciones para efectuar el cálculo correspondiente. Métodos de Ajuste para Mezclas con elevado contenido de compuestos No Hidrocarburíferos Existen dos métodos que han sido desarrollados para ajustar las propiedades pseudocríticas del gas considerando la presencia de los components no hidrocarburíferos, estos dos métodos son: • Método de corrección de Wichert-Aziz • Método de corrección de Carr-Kobayashi-Burrows El Método de Corrección de Wichert-Aziz Cuando el gas natural presenta un contenido considerable de H2S y/o CO2 suele presentar un comportamiento muy distinto respecto de los gases dulces en cuanto a su factor de compresibilidad. Wichert-Aziz (1972) desarrollaron un procedimiento de cálculo simple para determinar esas diferencias, que nos ayuda a emplear el gráfico de Standing-Katz, empleando un factor de ajuste a la temperatura pseudocrítica, y luego ajustar la presión pseudocrítica de acuerdo a las siguientes expresiones: Donde: Tpc = temperatura pseudocritica, °R ppc = presión pseudocritica, psia T’pc = Temperatura pseudocritica corregida, °R P’pc = Presión pseudocritica corregida, psia B = fracción molar del H2S en la mezcla de gas ε = Factor de temperature pseudocrítica, definido como: Donde a es el coeficiente es la suma de las fracciones molares de H2S y CO2 en la mezcla de gas: A = yH2S + yCO2 El Método de Corrección de Carr-Kobayashi-Burrows Carr, Kobayashi, y Burrows (1954) propusieron un procedimiento simplificado para ajustar las propiedades pseudocríticas del gas natural cuando se tiene la presencia de compuestos no hidrocarburíferos. Este método puede ser usado tambíen cuando la composición del gas no está disponible. El procedimiento propuesto se resumen en los siguientes pasos: Paso 1. Conociendo la gravedad específica del gas natural, calcular la presión y temperatura pseudocritica, aplicando las ecuaciones de Brown. Paso 2. Ajustar los valores estimados de las propiedades pseudocriticas, empleando las siguientes expresiones: Donde T’pc = temperatura pseudocritica, °R Tpc = temperatura pseudocritica no ajustada, °R yCO2 = fracción molar de CO2 yH2S = fracción molar de H2S yN2 = fracción molar de N2 p’pc = presión pseudocritica ajustada, psia ppc = presión pseudocritica no ajustada, psia Paso 3. Usando los valores pseudocríticos ajustados calcular las propiedades pseudoreducidos. Paso 4. Calcular el factor Z de la gráfica de Standing Katz o por correlaciones. CÁLCULOS DIRECTOS PARA OBTENER EL FACTOR DE COMPRESIBILIDAD Luego de cuatro décadas de existencia, el gráfico de Standing Katz aún es empleado como una fuente para la obtención de los factores de compresibilidad. Como resultado, existe una aparente necesidad para una descripción matemática simple de este gráfico. Varias correlaciones empíricas para el cálculo del factor Z han sido desarrolladas, a continuación, se describen tres ecuaciones empíricas: • Hall-Yarborough • Dranchuk-Abu-Kassem • Dranchuk-Purvis-Robinson El Método de Hall-Yarborough Hall y Yarborough (1973) presentaron una ecuación de estado que representa en forma cercana al gráfico de Z de Standing y Katz. La expression propuesta se basa en la ecuación de estado de Starling-Carnahan. Los coeficientes de la correlación han sido determinados de un ajuste de los mismos con los datos del gráfico de Standing Katz. La ecuación de estado de Starling presenta la siguiente forma (11) donde, las constantes A i tienen los siguientes valores: A 1 = 0,3265 A 2 = -1,0700 A 3 = -0,5339 A 4 = 0,01569 A 5 = -0,05165 A 6 = 0,5475 A 7 = -0,7361 A 8 = 0,1844 A 9 = 0,1056 A 10 = 0,6134 A 11 = 0,7210 Reemplazando s ρ r por su expresión en la ecuación (11) se tiene: (13) donde, (14) (15) (16) (17) (18) F = A 11 .(0,27.sP r /sT r ) ² (19) La ecuación reajustada de Yarborough y Hall es la siguiente: Donde: ppr = presión pseudoreducida t = recíproco de la temperature pseudoreducida, Tpc/T Y = densidad reducida que puede obtenerse de la siguiente expresión: Donde: Esta ecuación no lineal puede ser convenientemente resuelta gracias al método iterativo de Newton-Raphson El procedimiento computarizado para resolver la ecuación a condiciones específicas de ppr y Tpr de acuerdo a los siguientes pasos: Paso 1. Asumir un valor inicial del parámetro Yk, donde k es el contador de la iteración, de acuerdo a la siguiente relación: Paso 2. Sustituya el valor inicial en la ecuación y evaluar la función no lineal, hasta que el valor correcto de Y haya sido seleccionado, la ecuación correspondiente tendrá un valor determinado de F(Y) Paso 3. Un Nuevo valor estimado de Y, como Yk1 es cálculado con la siguiente expresión: Donde f’(Yk) se obtiene por evaluación de la derivada de la ecuación correspondiente en Yk: Paso 4. Los pasos 2 y 3 son repetidos n veces hasta tener un valor de error menor al predeterminado o también denominado tolerancia. Paso 5. El valor corregido de y es usado para evaluar la ecuación de z. Hall y Yarborough puntualizaron que este método no es susceptible de ser aplicado cuando la temperatura pseudoreducida es menor a uno. El Método de Dranchuk-Abu-Kassem Dranchuk y Abu-Kassem (1975) derivaron una expresión analítica para calcular la densidad pseudoreducida que puede ser usada para estimar el factor de compresibilidad del gas. La densidad reducida del gas es definida como la razón de la densidad de gas a una presión y temperatura específica: Dranchuk-Abou-Kassem, Nishiumi-Saito, Nishiumi, y Brill-Beggs proveen corelaciones del factor de gas real, donde para el método de Dranchuk-Abou-Kassem la expresión se basa en la ecuación de estado de Han-Starling adaptada de la ecuación de Benedict-Webb-Rubin y es considerada como la forma más común para predecir la densidad de gas. La ecuación de Drachuk – Abou – Kassem está dada por: 2 2 8 7 6 5 5 4 4 3 3 2 1 1 r r r r r r r r T A T A A T A T A T A T A A z r r ) exp( ) 1 ( 2 11 3 2 2 11 10 5 2 8 7 9 r r r r r r r A T A A T A T A A r r r r Donde los valores numéricos de sus constantes están dados por: A 1 =0.3265 A 5 =-0.05165 A 9 =0.1056 A 2 =-1.0700 A 6 =0.5475 A 10 =0.6134 A 3 =-0.5339 A 7 =-0.7361 A 11 =0.7210 A 4 =0.01569 A 8 =0.1844 El factor de compresibilidad crítico zc es aproximadamente 0.27 que conduce a la siguiente ecuación simplificada: Que por motives de cálculo puede asimilarse a: Donde los coeficientes están definidos según: Y los valores de las constantes están dados por: La ecuación de la presión puede resolverse mediante el método iterativo de Newton – Raspón de acuerdo a los siguientes pasos: Paso 1. Determinar un valor adecuado de ρrk, donde k es el contador de la iteración, podemos lograr un valor adecuado de ρrk mediante la expresión: Paso 2. Sustituya este valor inicial en la ecuación correspondiente para evaluar la función no lineal, hasta que se determine el valor correcto de densidad pseudoreducida. Paso 3. Un Nuevo valor estimado de densidad pseudoreducida, como ρrk1, es calculado de la siguiente expresión: Paso 4. Los pasos 2 y 3 se repiten n veces hasta que el error sea menor a la tolerancia Paso 5. El valor corregido de la densidad es empleado en la ecuación del factor de compresibilidad: Un error absoluto promedio de 0.585% es aplicado en los siguientes rangos: El Método de Dranchuk-Purvis-Robinson Dranchuk, Purvis, y Robinson (1974) desarrollaron una correlación basada en la ecuación de estado de Benedict-Webb-Rubin. Con una aproximación efectuada en base a 1500 datos del gráfico de Standing and Katz, optimizando ocho de los coeficientes de la ecuación propuesta: Donde se tiene: Donde el valor de la densidad reducida se define en base a la ecuación: Y los coeficientes A1 a A8 tienen los siguientes valores: El método de resolución es similar al de Dranchuk y Abu-Kassem. Este método es válido en los siguientes rangos de presión y temperatura pseudoreducida: 1.05 ≤Tpr < 3.0 0.2 ≤ppr ≤3.0 Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 1 de 40 CAPITULO 8 - APLICACIONES A PRODUCCION J USTIFICACION Se describe y aplica un algoritmo basado en el concepto de regiones de confianza en la optimización de sistemas de producción de gas conociendo propiedades pseudo-criticas necesarios, Sin embargo estas propiedades pseudo-criticas, ppc y Tpc, no representan las propiedades críticas actuales de la mezcla de gas. Estas propiedades son usadas como parámetros de correlación dentro de la generación de propiedades de gas En orden de expresar una relación mas exacta entre las variables p,V, y T, un factor de corrección llamado factor de compresibilidad del gas. Básicamente ,representan la magnitud de desviación de los gases reales que aumentan con el incremento de la presión y temperatura a diferencia de los gases ideales además varían ampliamente con la composición de los gases, es así que los gases reales tienen diferente comportamiento que los gases ideales.. El problema de optimización se establece considerando que un sistema de producción de gas dado debe producir de manera óptima la cantidad suficiente para satisfacer una demanda El sistema de producción de gas se describe utilizando dos unidades conceptuales: pozo y factor de compresibilidad. Así, el algoritmo propuesto realiza la simulación del proceso para determinar las propiedades pseudo-criticas, peso molecular total o aparente, densidad total del reservorio, gravedad especifica así como el factor de compresibilidad del gas para una topología previamente fijada de pozo. Los pozos se modelan rigurosamente a ciertos métodos haciendo varias consideraciones del mismo lo que resulta en un sistema de ecuaciones. Las propiedades termodinámicas son calculadas con métodos de aproximaciones de temperatura y presión pseudo-criticas de Standing –Katz y Brown. La evidencia de los resultados obtenidos muestra la bondad del algoritmo propuesto. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA El caso de formulación incluye el modelado del método de Standing-Katz y Brown para determinar Tscr, y Pscr de la mezcla gaseosa. Sin embargo, la simulación del yacimiento en sí y los pozos inyectores no es considerada en este trabajo. Así, el problema se reduce a los cálculos de parámetros básicos necesarios en el pozo. Las propiedades pseudo-criticas en particular juegan un papel muy importante lo que requiere una explicación adicional. El flujo a través de un reservorio puede ser crítico o supercrítico. El flujo supercrítico ocurre cuando la mezcla fluyente a través de la garganta de la roca reservorio y es menor que la velocidad del fluido en superficie. El flujo crítico ocurre cuando la mezcla fluye en el fondo del pozo , si analizamos este aspecto , es necesario el calculo de la Tscr, y Pscr para determinar la magnitud de desviación que influye en el caudal de producción de gas. La implicación práctica es que el flujo depende de la presión corriente abajo sólo cuando es supercrítico, y esta dependencia se elimina radicalmente cuando el flujo es crítico . Después de alcanzar el flujo crítico, la presión corriente abajo puede disminuirse aún más sin afectar el flujo. La mayoría de los simuladores no reproducen este efecto, lo que provoca un aborto en la ejecución o, en el mejor de los casos, la obtención de un flujo inferior al crítico. Cuando la topología del proceso ha sido establecida, los petroleros con gas en solucion tienen el problema de determinar si la red satisface la demanda dada ó, eventualmente, realizar las operaciones para que la satisfaga. Asumiendo coeficientes de costo asociados a PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 2 la producción de los pozos, entonces el problema se formula como la minimización del costo de la producción sujeto a las restricciones técnicas debidas a la topología y a la demanda en sí. Para evitar problemas de almacenamiento, el sistema no produce mas que lo demandado. En nuestro caso nos limitamos solamente a determinar el algoritmo y el programa para el calculo de estos parámetros pseudo-critico, factor z, peso molecular aparente, gravedad especifica y densidad con el objetivo de determinar la magnitud de desviación de los gases reales en función a su temperatura y presión. OBJ ETIVOS Determinar los parámetros pseudo-críticos y factor de desviación Comparar por ambos métodos Standing-Katz y Brown los resultados obtenidos Consideraciones que se debe tomar en cuenta para elegir el método apropiado Diseñar el algoritmo aplicando ambos métodos Diseñar el programa aplicando ambos métodos Poner en ejecución el programa con un problema practico de pozo gasifero MARCO TEORICO Estudios del factor de compresibilidad de los gases para gases naturales de varias composiciones han demostrado que el factor de compresibilidad puede ser generalizado con suficiente precisión para estudios de ingeniería cuando estos son expresados en términos de las siguientes propiedades adimensionales: presión- pseudo reducida Temperatura-pseudo reducida Estos términos adimensionales son definidos por las siguientes expresiones: Donde P = presión del sistema, psia p pr = presión-pseudo reducida, adimensional T = temperatur del sistema, °R Tpr = temperatura-pseudo reducida, adimensional ppc, Tpc = presión y temperatura-pseudo critica, respectivamente, y definido por la siguiente relación: PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 3 Sin embargo estas propiedades pseudo-criticas, i.e., ppc y Tpc, no representan las propiedades críticas actuales de la mezcla de gas. Estas propiedades son usadas como parámetros de correlación dentro de la generación de propiedades de gas. En casos donde la composición del gas natural no es disponible, las propiedades pseudo- criticas i.e., ppc y Tpc, pueden ser predecidas únicamente de la gravedad especifica de los gases. Brown et al. (1948) presento un método grafico para una aproximación conveniente de la presión y temperatura pseudo-critica, respectivamente, de gases cuando se cuenta solamente con la gravedad especifica de los gases. La correlación se dada en la figura 2- 2.Standing (1977) expreso esta correlación grafica en las siguientes formas matemáticas: Donde Tpc = temperatura pseudo-critica, °R ppc = presión pseudo critica, psia gg = gravedad especifica de la mezcla de gas PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 4 DISEÑO DE SEPARADOR TRIFASICO 1. Objetivo de La Aplicación: Realizar el diseño para dimensionar separadores de tres fases (horizontales y verticales), en función a parámetros conocidos de análisis previos de laboratorio, datos de producción estimaciones. 2. Conceptos Fundamentales: 2.1 Objetivos básicos del proceso de separación: a) Incrementar volúmenes de recuperación (gas y petróleo) por separado con objeto de industrializarlos para La obtención de derivados. b) Mayor recuperación de hidrocarburos líquidos c) Efectuar una buena separación de gas, con objeto de reciclaje de gas para incrementar la recuperación de hidrocarburos líquidos. 2.2. Fuerzas que intervienen en un proceso de separación: a) Fuerza centrífuga b) Fuerza de gravedad c) Fuerza de choque 2.3. Requisitos para el uso de separadores de tres fases: PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 a) El líquido puede provenir directamente de la producción del pozo o de un proceso de separación de dos fases a alta presión. b) La velocidad del gas debe ser lo más baja posible para permitir la separación de los líquidos. c) El agua y el petróleo deben ser derivados a sus compartimientos respectivos. d) Los líquidos deben ser retenidos el tiempo suficiente para obtener una buena separación. Dependiendo de los análisis de laboratorio se puede usar un tiempo de retención entre 3 a 10 minutos. Si no se dispone de esta información, se puede estimar en 10 minutos los tiempos de retención del petróleo y agua. e) La interfase agua-petróleo debe ser mantenida. f) El agua y el petróleo son drenados mediante sus respectivas válvulas controladas por sus flotadores. 3. Diseño: 3.1. Datos necesarios: Gravedad Especifica del gas (Yg) Presión de Operación (P), psia Temperatura de Operación (T), 0 R Flujo de gas (Q g ), MM scf / d Flujo de agua (Q w ), bbl / d Flujo de petróleo (Q o ), bbl / d Gravedad del petróleo (API), 0 API Gravedad especifica del agua (SGw) Diámetro de la gota de liquido (agua+pet) a ser separada del gas (D ml ), micras Diámetro de la gota de agua a ser separada del petróleo (D m ), micras Tiempo de retención del agua (t rw ), minutos Tiempo de retención del petróleo (t ro ), minutos Viscosidad del petróleo (Lvis), cp 3.2. Cálculos generales: a) Peso molecular del gas: M = 28.97 *Yg b) Gravedad específica del petróleo: Yo = 141.5/(API + 131.5) c) Densidad promedio de líquido (petróleo y agua), gr / cm 3 ρ l = (Yo * Qo + Yw * Qw / (Qo + Qw) ρ l = Y l * 62.4 (lb/pie 3 ) d) Diferencia de gravedad específica petróleo - agua: Δγ ow = Yo – Yw e) Factor de compresibilidad Z: (ver subrutinas, 3.5) f) Densidad del gas: ρ g = (2.7 * P * y g ) / (Z * T) (gr / cm 3 ) ρ gl = ρ g / 62.4 (lb / pie 3 ) g) Viscosidad del gas: (ver subrutinas, 3.5) h) Constante de separación: PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 6 (ver subrutinas, 3.5) 3.3. Diseño de Separador Horizontal: a) Capacidad de Gas: a1) Longitud efectiva: Para un diámetro interno D en plg, la longitud efectiva donde ocurrirá la separación será: Leff = (420 * Z * T * Q g * K) / (P * D) (pies) b) Capacidad de líquido: b1) Máximo espesor de interfase agua - pet (plg): (H o ) max = (0.00128 * t rw * ΔY ow * d m 2 ) / Lvis b2) Diámetro máximo del separador con un máximo espesor de interfase: D max = (H o ) max / AZ (plg) Donde AZ es un coeficiente para calcular el máximo diámetro del separador que puede permitir una gota de agua a ser separada del petróleo, y es calculado por prueba y error utilizando la siguiente ecuación empírica: 2 4 1 ) * 2 cos( _ * * * 5 . 0 AZ AZ AZ Arc Q t Q t t Q w rw o ro rw w p p Es recomendable una tolerancia menor o igual a 0.005 b3) Para un diámetro interno D en plg, la longitud efectiva donde ocurrirá la separación será: L eff = (1.42 (t ro * Q o + t rw * Q w )) / D 2 (pies) b4) Longitud costura a costura total: L cc = 4 * L eff / 3 (pies) b5) Relación longitud / diámetro: R = (L cc * 12) / D 3.4. Diseño de Separador Vertical: La capacidad de gas está basada en la velocidad de gas, v, que debe ser menor a la velocidad final de la partícula, V t . a) Capacidad de gas: a1) Diámetro mínimo: El diámetro mínimo que satisface la capacidad de gas está expresado por la ecuación: D min = (5040 * T * Z * Q g * K / P) 0.5 (plg) a2) Longitud del separador: PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 7 L = (Q o * t ro + Q w * t rw ) / (0.1399 * D 2 ) (pies) D = Diámetro interno en pies b) Capacidad de líquido: b1) Diámetro mínimo: El diámetro mínimo que satisface el asentamiento de las gotas de líquido esta dada por la ecuación: D min = ((6690 * Q o * Lvis) / (ΔY ow * d m 2 )) 0.5 (plg) b2) Altura del líquido: La altura del líquido (agua + petróleo) para los tiempos de retención se puede determinar mediante la ecuación: para un diámetro interno dado D: H = h 0 + h w = (Q 0 * t ro + Q w * t rw ) / (0.12 * D 2 ) (plg) b3) Altura total del separador: L cc = (H + 76) / 12 (pies) b4) Relación Longitud / Diámetro: R = (Lcc / D)*12 3.5. Subrutinas: a) Factor de Compresibilidad Z: El factor de compresibilidad Z, se puede calcular en base a tres métodos: a1) Método de Yarborough & Hall (1974): Usa la ecuación de Starling-Carnaham y es recomendable cuando T pr = 1 y Ppr >= 1. Utiliza la siguiente ecuación: 2 ) 1 ( 2 . 1 06125 . 0 t pr e t p z ¸ donde: P pr = Presión pseudo-reducid T pr = Temperatura pseudo _ reducida ρ r = densidad reducida La densidad reducida, ρ r , se calcula por prueba y error de la siguiente ecuación: 0 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 ) ( 4 2 3 4 3 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ X X X X F 2 ) 1 ( 2 . 1 06125 . 0 1 t pr te p X 3 2 58 . 4 76 . 9 76 . 14 2 t t t X 3 2 4 . 42 2 . 242 7 . 90 3 t t t X t X 82 . 2 18 . 2 4 PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 8 Esta es una ecuación no lineal y puede ser resuelta por el método de Newton Raphson (técnica interactiva): ) ( ' ) ( 1 x f x f Y Y x x a2) Método de Dranchuk (1974): Se basa en la ecuación de estado de Benedict – Webb - Rubin. Es un método por prueba y error en base a 8 factores y es recomendable cuando Tr = 1 y Pr < 1. Utiliza ia siguiente ecuación: 0 ) 1 ( 1 5 ) ( 2 8 2 4 5 3 2 2 1 2 8 r A r r r r r T e A T T T T r r r r r r r r con 3 3 2 1 1 pr pr T A T A A T pr T A A T 5 4 2 pr T A A T 6 5 3 3 7 4 pr T A T pr pr T p T 27 . 0 5 donde ρ r se define por la Ecuación 5.42 y los coeficientes A 1 al A 8 tienen los siguientes valores: A 1 = 0.31506237 A 3 = -0.57832720 A 5 = -0.61232032 A 7 = 0.68157001 A 2 = -1.0467099 A 4 = 0.53530771 A 6 = -0.10488813 A 8 = 0.68446549 El procedimiento de solución de la Ecuación es similar a la de Dranchuk y Abu-Kassem. El método es válido dentro de los siguientes rangos de temperatura y presión seudo reducida: 1.05 ≤ T pr < 3.0 0.2 ≤ p pr ≤ 3.0 Para resolver este método se debe emplear dos tipos de iteración usando el método de Newton - Raphson. a3) Método de Dranchuk y Abou-Kassem (1975): Se basa en la ecuación de estado de Standing. Es un método por prueba y error en base a 11 factores y es recomendable cuando 1 < Tr < 1.: Dranchuk y Abu-Kassem (1975) derivaron una expresión analítica para calcular la densidad reducida del gas que puede usarse para estimar el factor de compresibilidad del gas. La densidad reducida del gas, ρ r se define como la PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 9 relación de la densidad del gas a una presión y temperatura especificadas a la del gas a su presión y temperatura críticas, o c c c c c a c a c r T z p zT p RT z M p zRT pM r r r El factor de compresibilidad crítico del gas z c es aproximadamente 0.27 que conduce a la siguiente expresión simplificada para la densidad reducida del gas: pr pr r zT p 27 . 0 r Los autores propusieron la siguiente ecuación de estado de once constantes para calcular la densidad reducida del gas: 0 1 ) 1 )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 11 2 2 11 4 5 3 2 2 1 r A r r r r r r e A R R R R f r r r r r r r Con los coeficientes R 1 a R 4 definidos por las siguientes relaciones: 5 5 4 4 3 3 2 1 1 pr pr pr pr T A T A T A T A A R 2 8 7 6 2 pr pr T A T A A R 2 8 7 9 3 pr pr T A T A A R 3 10 4 pr T A R Las constantes A 1 a la A 11 fueron determinadas ajustando la ecuación, usando modelos de regresión no lineal, a 1,500 puntos de datos de la gráfica del factor z de Standing y Katz. Los coeficientes tienen los siguientes valores: A 1 = 0.3265 A 2 = -1.0700 A 3 = -0.5339 A 4 = 0.01569 A 5 = -0.05165 A 6 = 0.5475 A 7 = -0.7361 A 8 = 0.1844 A 9 = 0.1056 A 10 = 0.6134 A 11 = 0.7210 La Ecuación puede resolverse para la densidad reducida del gas ρ r aplicando la técnica de iteración de Newton-Raphson como se resume en los siguientes pasos: Paso 1. Hacer una estimación inicial del parámetro desconocido, ρ r k , donde k es un contador de iteraciones. Una estimación inicial apropiada de ρ r k se da por la siguiente relación: pr pr r T p 27 . 0 r Paso 2. Sustituir este valor inicial en la Ecuación 5.42 y evaluar la función no lineal. A menos que el valor correcto de ρ r k haya sido seleccionado inicialmente, la Ecuación 5.42 tendrá un valor distinto de cero para la función f(ρ r k ). Paso 3. Se calcula un nuevo valor estimado mejorado de ρ r , o sea, ρ r k+1 , de la siguiente expresión: PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 10 ) ( ' ) ( 1 k r k r k r k r f f r r r r donde 2 11 2 11 4 4 3 2 1 1 ( 2 1 ) ( 2 ) ( 5 ) ( 2 ) ( ) ( ' 2 11 r r A r r r r A A e R R R R f r r r r r r r r Paso 4. Los pasos 2 y 3 se repiten n veces, hasta que el error, o sea, |ρ r k - ρ r k+1 |, llegue a ser más pequeño que una tolerancia pre-establecida, por ejemplo de 10 -12 . Paso 5. El valor correcto de ρ r es entonces usado para evaluar la Ecuación para el factor de compresibilidad, esto es: pr r pr T p z r 27 . 0 La correlación propuesta se reportó que duplicó los factores de compresibilidad de la gráfica de Standing y Katz con un error promedio absoluto de 0.585 % y es aplicable a los rangos: 0.2 ≤ p pr < 30 1.0 < T pr ≤ 3.0 b) Viscosidad del Gas: Lee, Gonzalez y Eakin (1966) presentaron una relación semi-empírica para calcular la viscosidad de los gases naturales. Los autores expresaron la viscosidad del gas en términos de la temperatura del reservorio, densidad del gas y el peso molecular del gas. Su ecuación propuesta está dada por: Y g X g Ke 4 . 62 4 10 r m donde T M T M K a a 19 209 ) 02 . 0 4 . 9 ( 5 . 1 a M T X 01 . 0 986 5 . 3 X Y 2 . 0 4 . 2 ρ g = densidad del gas a presión y temperatura del reservorio, lb/ft 3 T = temperatura del reservorio, °R M a = peso molecular aparente de la mezcla del gas La correlación propuesta puede predecir valores de viscosidad con una desviación estándar de 2.7% y una desviación máxima de 8.99%. La correlación es menos exacta para gases con gravedades específicas muy altas. Los autores resaltaron que el método no puede usarse para gases agrios (sour). c) Constante de separación: - Densidad iiquido - gas: ρ = ρ l - ρ g PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 11 - Velocidad del gas: v = 0.0204 (ρ * d ml / ρ g ) 0.5 - Número de Reynols: Nre = (0.0049 * ρ g * v) / μ g - Factor de fricción: f = 24 / Nre + 3 / (Nre^0.5) + 0.34 - Velocidad final de la partícula de gas. V t = 0.0119 (ρ * d ml / ρ g * f)^0.5 Si |V - V t | > 10 -6 v = V t ; retornar a calcular el Nre case contrario: Nre = (0.0049 * ρ g * v t ) / μ g f = 24 / Nre + 3 / (Nre^0.5) + 0.34 - Constante de separación: K = ((ρ g * f) / (d ml * ρ))^0.5 4. Aplicación Computarizada: En función a los conceptos teóricos descritos anteriormente, se elabora un programa en lenguaje VS BASIC, El programa estará compuesto por cinco módulos: a) Lectura y validación de dates b) Cálculos generales c) Diseño de Separador Horizontal d) Diseño de Separador Vertical e) Subrutinas comunes: - Cálculo del Factor de Compresibilidad Z - Cálculo de la Viscosidad del Gas - Cálculo de la constante del Separador 5. Análisis de Resultados: De acuerdo a los resultados adjuntos obtenidos para datos de prueba, se debe tomar en cuenta que para separadores verticales, según Lockhart (1986) establece dentro de otros factores que la relación Longitud / Diámetro debe estar en el rango de 1.5 a 3. En tai sentido se puede escoger razonablemente un separador vertical entre 84” y 96”, dependiendo de las disponibilidades en la industria. PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 12 En forma similar, para separadores horizontales, se debe tomar en cuenta la relación Longitud / Diámetro en el rango de 3 a 5, por lo que se puede utilizar separadores entre 72” y 84” de diámetro, dependiendo de las disponibilidades de la industria, sin embargo el diámetro del separador debe ser menor que el diámetro máximo calculado. 6. Bibliografía: - Bizanti and Yu Hancheng, “Program Acelerates Three-phase Oil-Gas Separator Desing”, Petroleum Engineer,May/1988 - Sanjay Kumar, “Gas Production Engineering”, Gulf Publishing Co., 1987. - Tarek Ahmed, “Hydrocarbon Phase Behavior”, Gulf Publishing Co., 1989. Simbología API Gravedad del petroleo, 0 API AZ Coeficiente en función del diámetro de la gota de liquido D Diámetro interne, pies D máx Diámetro máximo del separador, plg D min Diámetro mínimo, plg D m Diámetro de la gota de agua a ser separada del petróleo, micras D ml Diámetro de la geta de liquido (agua + pet) a ser separada del gas, micras F Factor de fricción H Altura del liquido, plg h o Altura de petróleo, plg h w Altura de agua, plg (H o ) max Máximo espesor de interfase agua-pet, plg K Constante de separación Lcc Longitud costura a costura total, pies Leff Longitud efectiva, pies Lvis Viscosidad del petroleo, cp M Peso molecular del gas Nre Número de Reynols P Presión de Operación, psia Ppr Presión pseudo reducida Qg Flujo de gas, MM scf/d Qo Flujo de petróleo, bbl/d Qw Flujo de agua, bbi/d R Relación longitud /diámetro SGw Gravedad especifica del agua T Temperatura de Operación, 0 R Tpr Temperatura pseudo reducida Tro Tiempo de retención del petroleo, minutes Trw Tiempo de retención del agua, minutes V Velocidad del gas, pies/seg Vt Velocidad final de la partícula de gas, pies/seg Z Factor de compresibilidad de gas Zc Factor de Compresibilidad critico, (= 1) γg Gravedad Especifica del gas γo Gravedad especifica del petroleo ρl Densidad promedie de liquido (petróleo y agua), gr/cm 3 : Δγow Diferencia de gravedad especifica petroleo - agua ρg Densidad del gas, gr/cm ρgl Densidad del gas, lb/pie 3 ρr Densidad reducida μg Viscosidad del gas, cp PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 13 ρ Densidad liquido - gas, gr/cm 3 RESULTADOS DISEÑO DE SEPARADOR DE TRES FASES GAS-PETROLEO INGRESO DE DATOS GENERALES PARA EL DISEÑO Gravedad específica del Gas 0.6 Presión (psia) 100 Temperatura [ o R] 550 Flujo de Gas [MM scf/d] 5 Flujo de Agua (Bbl/d] 3000 Flujo de Petróleo [Bbl/dia] 5000 Gravedad API del Petróleo [API] 30 Gravedad especifica del Agua 1.07 Diámetro de la gota de liquido (micras) 100 Diámetro de la gota de agua (micras) 500 Tiempo de retención del agua (minutos) 10 Tiempo de retención del petróleo (minutos) 10 Viscosidad del petróleo [cpl 10 DATOS ADICIONALES CALCULADOS Factor de Compresibilidad Z 0.9869 Viscosidad del Gas (cp) 0.0160 Constante de Separación K 0.0159 Presión reducida Pr 0.1483 Temperatura reducida Tr 1.5497 Peso Molecular M 17.3820 Densidad del gas Gden 0.2985 Densidad del Liquido Lden 59.2083 DIMENSIONAMIENTO SEPARADOR HORIZONTAL CAPACIDAD DEGAS D (plg) Leff (pies) 60 3.028 72 2.524 84 2.163 96 1.893 CAPACIDAD DE LJGUIDO Dmax 237.65 (PIg) D (pig) Leff (pies) Lss (pies) 12Lss/D 60 31.556 42.074 8.415 72 21.914 29.218 4.870 84 16.100 21.466 3,067 96 12.326 16.435 2.054 108 9.739 12.986 1.443 DIMENSIONAMIENTO SEPARADOR VERTICAL CAPACIDAD DEGAS Diámetro Minino 46.70 (pIg) CAPACIDAD DE LIQUIDO PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 14 Diámetro Mínimo 83.08 (pIg) D )plg) H (plg) Lss (pies) 12Lss/D 84 94.48 14.207 2.030 90 82.30 13.192 1.759 96 72.34 12.361 1.545 102 64.08 11.673 1.373 108 57.16 11.096 1.233 Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 1 de 40 CAPITULO 9 - APLICACIONES VARIAS “CÁLCULO DE CAUDAL PARA FLUJO DE GAS HORIZONTAL EN GASODUCTOS” Panhandle A Panhandle B Weymouth INTRODUCCION El gas natural fluye debido a la diferencial de presiones entre los extremos de un ducto. Asimismo, el flujo se ve afectado por la composición del gas, la diferencia de alturas sobre el nivel del mar, temperatura y por las características físicas del ducto: diámetro, rugosidad de las paredes internas y la longitud. El transporte directo por gasoducto parece ser una solución sostenible, sin pasar por la fase de Gas Natural Licuado, parece más eficiente y sustituye poco a poco a la flota de buques metaneros. No obstante, la construcción de gasoductos tiene un impacto considerable sobre el paisaje que debe ser reducido. TRANSPORTE POR GASODUCTO Hace millones de años, capas de materia orgánica se fueron depositando entre los sedimentos del fondo de estuarios y pantanos, en un ambiente muy pobre en oxígeno. Al mezclarse estos sedimentos con partículas arenosas y arci llosas y restos de organismos vegetales, aumenta la presión y la temperatura y se forma el gas natural. El gas natural que se formó, cuyas proporciones dependen de la temperatura y presión a que estuvieran sometidas, pugnaba entonces por ascender entre las capas de terreno permeable hasta que quedaba acumulado en lo que hoy PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 2 llamamos yacimientos o reservas y que se van descubriendo hoy en día. Los yacimientos de gas natural son así una acumulación de hidrocarburos, que pueden encontrarse saturando los poros o las fisuras de las rocas en las que se encuentra. Al igual que las emanaciones de petróleo, las de gas han servido a los exploradores, desde el comienzo de la industria, para rastrear posibilidades de hallazgos de yacimientos gasíferos o petrolíferos. El proceso de extracción del gas natural es muy parecido al del petróleo y su transporte se realiza mediante gasoductos hasta los centros de consumo. Las emanaciones de gas difieren de las de petróleo en que se disipan en la atmósfera y no dejan huellas visibles sobre el suelo. Sin embargo, si por causas naturales se incendian, su presencia se hace más notoria y las características de la llama pueden servir para apreciar mejor los aspectos e intensidad del flujo, contenido de agua y matices de la combustión. Sin embargo, la utilización del gas que fluye de los pozos como gas asociado o como gas solo, presenta una variedad de consideraciones que al traducirse en inversiones y costos de operaciones conducen a la realidad económica de las alternativas comerciales. Entre esas consideraciones cabe mencionarse: Ubicación geográfica de los yacimientos con referencia a centros seguros de consumo. Magnitud de las reservas y calidad del gas: seco, húmedo, condensado, dulce o agrio. Características de los yacimientos y volúmenes sostenidos de producción a largo plazo. Productividad de los pozos. Presión inicial y presión de abandono. Perforación y desarrollo de los yacimientos, en tierra y/o costafuera. Instalaciones para recolección, compresión, separación, tratamiento, acondicionamiento, medición, recibo y despacho del gas. Plantas y terminales. Transmisión del gas: gasoducto madre, troncales y derivaciones con sus instalaciones auxiliares requeridas. Comportamiento del mercado. Demanda máxima, media y baja. Precio del gas. Inversiones, costos y gastos de operaciones. Rentabilidad. El gas natural es una de las fuentes de energía más limpias y respetuosas con el medio ambiente ya que es la que tiene menos contenido de dióxido de carbono y la que menos emisiones produce a la atmósfera. Es además, una energía económica y eficaz. Una alternativa energética segura y versátil capaz de satisfacer la demanda energética en los sectores domésticos, comercial e industrial. Los hallazgos de yacimientos de gas seco, gas húmedo y gas condensado y la separación del gas natural asociado con el petróleo en los yacimientos petrolíferos apuntaron la necesidad de aplicaciones tecnológicas específicas a la exploración, perforación y producción de los yacimientos. Por otra parte, el manej o, tratamiento, acondicionamiento, transporte, distribución, comercialización y mercadeo del gas y sus líquidos son operaciones que han experimentado avances tecnológicos significativos en las últimas cuatro décadas. La liquefacción del gas es importantísima. Las propias características del gas, como son su composición molecular, comportamiento, movilidad, compresibilidad, reacción a la temperatura, convertibilidad a líquido, poder calorífico, etc., ameritan estudios e investigaciones para el mejor aprovechamiento de esta valiosa fuente de energía. PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 3 El mercado del gas y sus derivados, en forma directa como gas al usuario o en forma de líquido embotellado que sale como gas, tiene sus características propias, modalidades y normas para su utilización. En resumen, las operaciones de exploración, perforación, producción, transporte y procesamiento del gas se han convertido en una importantísima industria dentro de la industria petrolera global. Las conducciones de transporte llegan a tener diámetros entre 42 y 48 pulgadas (unidad aceptada internacionalmente para esta industria), equivalentes a 1 y 1,20 m, mientras que las de distribución oscilan entre 18 y 22 pulgadas (40 y 70 cm) para los cuales se hace importante el calculo de los caudales de gas que se van a transportar por el gasoducto ya sea que tenga ramales o no, lo importante es saber cuando flujo de gas va poder ser atravesado hasta llevarlo al final de entrega del gasoducto y para esto se ha hecho necesario encontrar ecuaciones de flujo horizontal a través de tuberías que se mencionan en el presente trabajo, las cuales son las ecuaciones de Panhandle A, Panhandle B y de Weymouth, mismas que han sido y son necesitadas para el calculo del flujo de gas en gasoductos que actualmente están llevando el gas. MARCO TEORICO ¿A qué se conoce como gas natural? A la mezcla de hidrocarburos que comúnmente se emplea para propósitos energéticos y que, por lo general, se utiliza para fines domésticos e industriales. Es conveniente aclarar que - en su composición - no aparecen únicamente los hidrocarburos, sino también las impurezas (ver Figura1), como el agua, el dióxido de carbono y el sulfuro de hidrógeno, citados a título de ejemplo. Adicionalmente, el personal que trabaja en este tipo de operaciones debe vigilar la presencia de arena, que produce la erosión. Las parafinas y los asfaltenos se depositan y crean problemas. Cuando el agua está en forma líquida y en presencia de sulfuro de hidrógeno (H2S), forma ácidos que corroen las instalaciones. El ingeniero encuentra su razón de ser en la solución de estos problemas. Figura 1. Contaminantes del Gas Natural Desde el punto de vista de su composición, el gas natural es una mezcla de hidrocarburos formado principalmente por metano, aunque también suele contener una proporción variable de nitrógeno, etano, CO2, H2O, butano, propano, PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 4 mercaptanos y trazas de hidrocarburos más pesados. Esta proporción varía en función de los yacimientos en los que se encuentre y también depende de si en éstos, el gas natural se encuentra solo o acompañado. El metano consiste en un átomo de carbono unido a cuatro de hidrógeno (CH4) y puede constituir hasta el 97% del gas natural. Contaminantes del Gas Natural El principal componente de la mezcla que conforma el gas natural es un hidrocarburo llamado metano. Los demás componentes, en pequeñas cantidades, son otros gases como el etano, dióxido de carbono (CO2) y vapor de agua, principalmente. Los otros hidrocarburos, unos en forma de gas y otros como líquidos, son parte del gas en menores porcentajes. Sin embargo, por medio del porcentaje real que enseñe el análisis de muestras de gas de un yacimiento se podrá calcular la cantidad de líquidos susceptibles de extracción y las posibilidades de comercialización. Además, se notará también que el gas natural puede contener otros gases fuera de la serie parafínica de hidrocarburos. El sulfuro de hidrógeno aparece en el gas de muchos yacimientos petrolíferos y gasíferos, generalmente desde trazas hasta 10 %, pero también en cantidades excepcionalmente mayores. Este gas es muy tóxico y en pequeñísimas cantidades, 0,01 a 0,10 % en la atmósfera, puede causar severa y dolorosa irritación de la vista y hasta la muerte rápida. De allí que si en las operaciones hay que manejar gas y/o crudos que contengan sulfuro de hidrógeno se deben tomar todas las precauciones y medidas de seguridad correspondientes. TABLA 1. Componentes y caracteristicas del Gas Natural Nombre común Formula química Estado Variación de porcentaje molar % Metano CH4 gas 55-98 Etano C2H6 gas 0.10-20 Propano C3H8 gas 0.05-12 n-butano C4H10 gas 0.05-3 Iso-butano C4H10 gas 0.02-2 n-Pentano C5H12 liquido 0.01-0.80 Iso-pentano C5H12 liquido 0.01-0.80 Hexano C6H14 liquido 0.01-0.50 Heptano + C7H16 liquido 0.01-0.40 Nitrógeno N2 gas 0.01-0.50 PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 Dióxido de carbono CO2 gas 0.20-30.00 Oxigeno O2 gas 0.09-0.30 Sulfuro de hidrogeno H2S gas Trazas-28.00 Helio He gas Trazas-4.00 Fuente: El Pozo Ilustradohttp://www.insituh.com/bajadas/pozo_Ilustrado.pdf Para el profesional de la ingeniería, el gas natural no es únicamente la mezcla de componentes parafínicos y de sus respectivas impurezas, sino también las condiciones que aparecen en virtud de cada uno de esos elementos contenidos en el fluido. La presión y la temperatura a la cual se debe conducir el gas nos habla de la cantidad de líquido que se puede depositar en el sistema, del espesor de la pared metálica de los equipos, del diámetro de la tubería que se utiliza para conducir el fluido y de muchos otros aspectos que configuran el diseño. Del conocimiento que se tenga de estas variables y del dominio en su utilización dependerá el éxito del profesional que se dedica a profundizar en el manejo de esta información. ¿Cómo se sabe lo que hay en el gas natural? La técnica más comúnmente utilizada para saber lo que contiene el gas natural es el análisis cromatográfico(Ver Figura 2). Los cromatógrafos son equipos provistos de columnas construidas con acero inoxidable o de plástico, rellenas de substancias que atraen individualmente a cada uno de los componentes en función de su composición. Así, a medida que el gas avanza dentro del tubito, cada componente se adhiere a la superficie de la sustancia utilizada como relleno y se queda retenida por un determinado lapso. Eso permite que se vayan separando los diferentes componentes que integran la muestra. A la salida del tubito existe un detector encargado de registrar el momento en el cual pasó un componente puro (Ver Figura 3). FIGURA 2. CROMATOGRAMA TIPICO DE UNA MUESTRA DE GAS NATURAL El área del pico es proporcional a la concentración PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 6 El analista (persona encargada de operar los equipos) se encargará de que el usuario del conocimiento reciba el informe de manera apropiada. De su interpretación posterior vendrá el buen uso de los diseños existentes o la prevención necesaria para que las instalaciones sean capaces de manejar los fluidos tal como lo previó el diseñador. Con los análisis que se hacen en el laboratorio se van identificando los diversos integrantes de la muestra. Cuando ya se ha ensayado el uso de la herramienta, el proceso se vuelve rutinario y el analista identifica con seguridad la composición de cada una de las muestras que le llegan al laboratorio. FIGURA 3. Cromatógrafo de gases Por ello se requieren estos equipos en las plantas de procesamiento de gas natural. Los profesionales de experiencia trabajan con la seguridad requerida cuando las circunstancias obligan. Así no solamente se garantiza la operabilidad eficiente de la instalación sino que, además, el operador se puede anticipar con los correctivos que sean necesarios antes que el problema se haga evidente. Cuando las plantas de gasolina natural no disponían de los cromatógrafos en línea, el operador se daba cuenta del cambio de la composición cuando ya habían pasados doce horas y se requería de otro medio día para estabilizar la torre. De hecho, la producción se salía de especificaciones. Ahora, cada veinte minutos se puede tener el análisis de la composición que está llegando y, en caso de que el producto cambie, se producirán las acciones inmediatas que sean necesarias para corregir las desviaciones. PROPIEDADES DEL GAS NATURAL Densidad y Gravedad Específica Cuando se habla de la densidad (relación masa/volumen) de los líquidos o de los sólidos, el punto de referencia es el agua, y se dice que la densidad del agua es 1, o sea que un gramo de agua ocupa un centímetro cúbico, o 1.000 gramos de agua ocupan un litro, o 1.000 kilos de agua ocupan un metro cúbico. Así que PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 7 cualquier sólido o líquido en su relación masa/agua, con referencia al agua, pueden ser igual o más denso o menos denso que el agua si su valor de relación es igual, mayor o menor que uno. Para los crudos se introdujo la fórmula °API o gravedad específica, para determinar si los crudos son más, igual o menos pesados que el agua. Para los gases, debido a que son afectados por la temperatura y por la presión, se usa como referencia la relación de igual, mayor o menor peso que un gas pueda tener con respecto al peso molecular del aire, cuyo valor se ha determinado en 28,96. La relación molecular tiene la ventaja de que el peso molecular de los elementos no es afectado por la presión o por la temperatura. Por ejemplo, si se desea conocer la gravedad específica de un gas se divide su peso molecular entre el peso molecular del aire. En el caso del gas butano C4H10, su peso molecular (C=12,01; H=1,008) se obtiene así: Peso molecular del gas butano = (4 x 12,01) + (10 x 1.008) = 58,12 Gravedad específica = 58,12 = 2,007 28,96 El peso del aire se ha estimado en 1,308 gramos por litro, a presión de una atmósfera, o sea 1.308 gramos (1,308 kilos) por metro cúbico. Su equivalente en el sistema angloamericano es de 1,3 onzas o 0,0812 libras por pie cúbico. Así que el gas del ejemplo anterior, cuya gravedad específica es de 0,941 pesa 0,941 x 1,308 = 1,23 kilogramos por metro cúbico. Para determinar directamente la gravedad específica en el laboratorio o en operaciones de campo, se recurre al método rápido utilizando uno de los varios aparatos o balanzas, como la botella de Schillling, la balanza de Edward o la de AC- ME, o similares. Figura 5. Esquema de la balanza de Edward, utilizada para medir la gravedadespecífica de los gases Factor de Compresibilidad “z” Una de las características de los gases es que al aplicarles presión pueden ser comprimidos y, por ende, pueden ser almacenados o confinados en recipientes de determinados volúmenes. Las condiciones o postulados en que se basa la teoría cinética de los gases no se pueden cumplir y la situación en que más se aproximan a ellas es cuando la presión y la temperatura son bajas; cuando éstas son altas el comportamiento del gas se aleja de tales postulados, especialmente en lo relacionado a que no hay interacción entre las moléculas de tipo gravitacional, eléctrica o electromagnética y a que el volumen ocupado por las moléculas es despreciable comparado con el PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 8 volumen total ocupado por el gas; en este caso no se habla de gases ideales sino de gases reales. Como el gas real no se ajusta a la teoría cinética de los gases tampoco se ajusta a la ecuación de estado y se hace necesario establecer una ecuación de estado para gases reales. Las relaciones de composición, presión, volumen y temperatura detalladas antes e incluidas en la fórmula que define la ley sobre gases perfectos, todavía no está completa porque falta tomar en cuenta el factor de compresibilidad (Z). El físico Juan Van Der Waals (1837- 1923), estudió la atracción molecular y el tamaño de las moléculas de los gases e introdujo en la fórmula el factor de corrección, para que en su forma final la ecuación más sencilla y la más conocida para analizar el comportamiento de los gases reales presenta la siguiente forma: PV = znRT (1) P: presión absoluta. V: volumen. R: constante universal de los gases. T: temperatura absoluta. De manera que para un determinado gas y n = 1: z = PV RT Z se puede considerar como un factor de corrección para que la ecuación de estado se pueda seguir aplicando a los gases reales. En realidad Z corrige los valores de presión y volumen leídos para llevarlos a los verdaderos valores de presión y volumen que se tendrían si el mol de gas se comportara a la temperatura T como ideal. Z se conoce como factor de supercompresibilidad, y depende del tipo de gas y las condiciones de presión y temperatura a que se encuentra; cuando éstas son bajas, próximas a las condiciones normales, Z se considera igual a uno. Cuando se trata de gases reales, la presión indicada por el registrador de presión es menor que la presión a la que se encontraría el gas si fuera ideal pues hay que descontar las interacciones entre las moléculas y por otra parte el volumen disponible para el movimiento de las moléculas es menor que el volumen del recipiente pues no se puede despreciar el volumen ocupado por las moléculas. Z es adimensional y depende de las presiones y temperaturas a las que sea sometido el gas. Por tanto, valores de Z pueden determinarse por experimentación. De allí que en la industria existen catálogos, tablas y manuales de consultas sobre infinidad de muestras y análisis del gas natural. Sin embargo, a través del conocimiento de la temperatura y presiones críticas, determinadas por experimentos, correspondientes a cada uno de los componentes que forman el gas natural se pueden calcular presiones y temperaturas “reducidas” que facilitan la obtención de supuestas “seudo presión crítica” y “seudo temperatura crítica” para tomar en consideración la contribución porcentual de cada componente, de acuerdo a la composición del gas. El siguiente ejemplo hipotético servirá para calcular el factor de compresibilidad. Mezclas de Gases Reales PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 9 Cuando se trata de mezclas no se habla de peso molecular sino de peso molecular aparente y se calcula de acuerdo con la composición aplicando la ecuación: Ma = Σxi.Mi (2) Donde: xi: fracción molar del componente i respectivamente. Mi: peso molecular del componente i respectivamente. Ma: peso molecular aparente. De igual manera si se quiere expresar la composición en porcentaje por peso se aplica la ecuación: (3) Para calcular la densidad (ρ) se aplica la ecuación: ρ = P*M/z*R*T = m/V (4) Figura 6. Comportamiento del volumen y estado de un gas con la presión Determinación del “factor z” Para poder aplicar la ecuación (1) se requiere conocer el factor z, el cual, como ya se dijo, depende de las condiciones de presión y temperatura y del tipo de gas. El cálculo de Z se puede hacer a partir de correlaciones y se hará énfasis fundamentalmente en la correlación de Standing - Katz por ser la más conocida. a) Cálculo de Z para gases puros En este caso se requiere conocer la temperatura y presión crítica del compuesto. Las condiciones críticas son características de cada componente y se pueden obtener de tablas de propiedades físicas. Presión crítica: Valor límite de la presión de saturación cuando la temperatura de saturación se aproxima a la temperatura crítica. Temperatura crítica: Máxima temperatura a la que los estados bien definidos de líquido y vapor pueden existir. Puede definirse como la máxima temperatura a la que es posible hacer que un gas cambie al estado líquido (se licue) solamente mediante la presión. En otras palabras la temperatura máxima a la cual puede licuarse un gas, o sea la temperatura por encima de la cual no puede existir el líquido se denomina temperatura crítica y la presión requerida para efectuar la licuefacción a esa PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 10 temperatura se le llama presión crítica, que a la vez representa la presión más alta que los valores del líquido pueden ejercer. Una vez conocidas las condiciones críticas se obtienen las condiciones reducidas, que se definen como: Pr = P/Pc (5) Tr = T/Tc (6) Donde: Pr: presión reducida. Tr: temperatura reducida. Como se ve son adimensionales. Los cálculos para el ejemplo dado muestran que la pseudo temperatura crítica dio 198 °K (columna E) y la pseudo presión crítica resultó ser 45,78 atms. abs. Si se desea obtener el factor de compresibilidad del gas en cuestión, a determinada presión y temperatura, entonces se procede a calcular los valores de presión y temperatura reducidas, Pr y Tr. Sea el caso que se desee conocer el valor de Z a temperatura de 44 °C y a presión de 50 atms. abs. 90 , 1 78 . 45 50 r P 60 , 1 198 317 r T Con estos dos valores se recurre a un gráfico de pseudo temperatura reducida y pseudo presión reducida para determinar el valor de z = 0,90. Para esto ver el Anexo 1 que muestra el grafico para obtener el factor de corrección z utilizando valores de seudo presión y seudo temperatura reducidos, calculados previamente. b) Obtención de Z para mezclas También se utiliza la correlación de Standing pero en este caso las condiciones reducidas no se pueden obtener de tablas porque las mezclas no son compuestos puros, además cuando se trata de mezclas no se habla de condiciones críticas o reducidas sino de condiciones pseudocríticas y pseudoreducidas. Para obtener las condiciones pseudocríticas se debe conocer la composición de la mezcla o la gravedad específica. Cuando se tiene la composición se puede aplicar el procedimiento de Kay para obtener las condiciones pseudocríticas. 1. Procedimiento de Kay Se aplica la siguiente ecuación: sP c = Σxi.P ci (7) sT c = Σxi.T ci (8) Donde: sP c: presión pseudocríticas de la mezcla. sT c: temperatura pseudocríticas de la mezcla. xi: fracción molar de cada componente en la mezcla. P ci: presión crítica de cada componente en la mezcla. T ci: temperatura crítica de cada componente en la mezcla. Una vez calculados los valores de sT c y sP c, se calculan las condiciones pseudoreducidas: PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 11 sP r = P/sP c (9) sT r = T/sT c (10) Donde: sP r: presión pseudoreducida de la mezcla. sT r: temperatura pseudoreducida de la mezcla. Ecuación de Starling La ecuación de estado de Starling presenta la siguiente forma: (11) Donde: s ρ r: se conoce como densidad pseudoreducida y está dada por: sρr = 0,27.sP r/Z.sT r (12) Las constantes Ai tienen los siguientes valores: A1 = 0,3265 A2 = -1,0700 A3 = -0,5339 A4 = 0,01569 A5 = -0,05165 A6 = 0,5475 A7 = -0,7361 A8 = 0,1844 A9 = 0,1056 A10 = 0,6134 A11 = 0,7210 Reemplazando s ρ r por su expresión en la ecuación (11) se tiene: (13) Donde: (14) (15) (16) (17) (18) PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 12 F = A11.(0,27.sP r/sT r) ² (19) Para encontrar el valor de z que sea solución de la ecuación (13) se aplica el método de Newton - Raphson que involucra los siguientes pasos: - Se calcula sT r y sP r - Se calculan las constantes A - F. - Se escribe la ecuación (13) como: (20) - Se supone un valor de Z(Z0), se recomienda mayor que 1, y se chequea si hace F(Z0) = 0 dentro de la tolerancia requerida. - Si F(Z0) = 0, el valor supuesto es el correcto y es el valor que se está buscando; si F(Z0) ≠ 0 se busca un nuevo valor de Z(Z1) de la siguiente manera: Z1 = Z0 - F(Z0)/F'(Z0) (21) Donde F'(Z0) es la derivada de F(Z), dada por: (22) y calculada en Z0. - Con Z1 se chequea si F(Z1) = 0 y si no lo es se calcula un valor Z2 usando la ecuación (22) cambiando Z1 por Z2 y Z0 por Z1. - El procedimiento continua hasta encontrar un valor Zn que haga F(Z) = cero; después del primer valor supuesto para Z(Z0) los demás valores usados se obtienen a partir de la ecuación (21) usando Zn en lugar de Z1 y Zn-1 en lugar de Z0. Poder calorífico del gas natural Una de las características del gas natural es su poder calorífico, el cual se determina por análisis de laboratorio, utilizando uno de los varios tipos de calorímetros disponibles. Además, el poder calorífico del gas se considera para determinar su calidad como combustible y, por ende, su precio. En el sistema angloamericano a la unida de caloría se le llama Unidad Térmica Británica (BTU) y se define como la cantidad de calor requerida para aumentar la temperatura de 1 libra (453,592 gramos) de agua a un grado Fahrenheit hasta la temperatura de su máxima densidad que es 39,2 °F. Una BTU es, aproximadamente, igual a 0,252 kilocalorías. El gas natural puede tener de 8.000 a 11.115 kilocalorías/metro cúbico, lo que equivale a 900 y 1.250 BTU/pie cúbico, respectivamente. El petróleo crudo tiene poder calorífico que va de 8.500 a 11.350 calorías por gramos o 15.350 a 22.000 BTU por libra. Así que, por medio del poder calorífico del gas natural en general o de sus componentes en particular, y el poder calorífico de los crudos, es posible hacer cálculos que permiten determinar que tantos metros cúbicos o pies cúbicos de gas equivalen a un metro cúbico o barriles de petróleo. Este tipo de equivalencia es de referencia común en la industria. Específicamente, el precio que se le asigna a determinado gas se basa en una unidad de volumen: metro cúbico o pie cúbico. Sin embargo, como los PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 13 volúmenes de entrega por lo general son muy grandes se opta por el millar de metros o pies cúbicos. También se emplea el poder calorífico, expresado en millones de calorías o de BTU. En el caso de gases licuados, en vez del volumen o del poder calorífico, se hace referencia al peso en kilos o libras. Viscosidad del gas natural Así como la viscosidad es una característica física importante de los líquidos, también lo es para los gases. La unidad de medida en ambos casos es el poise, en honor al médico y físico francés J.L.M. Poiseuille († 1869). La definición de poise se deriva de la determinación de la fuerza requerida por centímetro cuadrado para mover a velocidad de un centímetro por segundo un plano móvil y paralelo a otro plano fijo distantes un centímetro entre sí y cuyo espacio está lleno del líquido o fluido objeto de la medición de viscosidad. La viscosidad del gas natural es expresión de su resistencia al flujo y tiene aplicaciones importantes en la producción, procesos de acondicionamiento y mercadeo. Figura 7. Grafico explicativo acerca de la viscosidad Debido a los incrementos de temperatura a que puede ser sometido el gas natural, su viscosidad tiende a aumentar como resultado del incremento de la actividad molecular, si se mantiene a bajas presiones. En el caso de los líquidos, aumentos de temperaturas reducen su viscosidad. (Ver Figura 8). Tomando en consideración las relaciones entre las propiedades físicas de los componentes del gas natural (peso molecular, presión, temperatura, gravedad específica, etc.) los investigadores, por estudios, experimentos y observaciones, han enriquecido el acervo de información y correlaciones sobre la viscosidad y otras propiedades del gas natural. FIGURA 8. Comportamiento de la viscosidad con la presión en un gas PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 14 Por ejemplo, el gas metano, que porcentualmente es en casi todo caso el mayor componente del gas natural, a presión de una atmósfera y a temperatura de 10 °C y 204 °C muestra viscosidad de 0,0107 y 0,0163 centipoises, respectivamente. Esto significa un incremento de viscosidad de 0,00003 centipoises por °C, debido al aumento de temperatura de 194 °C. Presión de punto de burbuja y Presión de Punto de Rocío En el caso de un gran volumen de líquido (petróleo) que contiene un cierto volumen de gas disuelto y que se encuentran en equilibrio en el yacimiento, se observará que a medida que se reduce la presión se registrará una presión que permitirá el inicio del desprendimiento de una burbuja de gas. A esta presión se le denominará presión de burbujeo. A medida que continúe disminuyendo la presión, más gas seguirá desprendiéndose de la fase líquida. Un ejemplo común y corriente de este mecanismo se observa cuando muy cuidadosa y muy lentamente se destapa una botella de gaseosa. Es muy importante conocer la presión de burbujeo en el caso de yacimientos petrolíferos para obtener el mayor provecho del gas en solución como mecanismo de producción del petróleo. La presión de rocío y su mecanismo se observa cuando un volumen de gas que contiene pequeñísimas cantidades de líquidos en equilibrio se somete a compresión. La presión a la cual aparece la primera gota de líquido es la presión de rocío. Figura 9. El conocimiento de la presión y temperatura crítica de un gas es importante para apreciar la relación de fase gaseosa-líquida. . VENTAJAS DEL GAS NATURAL Disponibilidad - Llega a la industria, comercio o al hogar a través de tuberías subterráneas. - El suministro de gas se disfruta de manera continua. - No hay que solicitar su abastecimiento. - No es necesario que ninguna persona ajena se introduzca al centro de consumo. Confiable - Es 40% más ligero que el aire, no se acumula y se dispersa en forma natural en la atmósfera. - Como está odorizado es sencillo detectar su presencia. PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 15 - No se requiere el almacenamiento. - Se distribuye por ductos subterráneos de polietileno y acero, materiales probados en zonas sísmicas: México, Tokio, San Francisco, etc. - Todas las instalaciones cumplen las Normas Oficiales Mexicanas. - Las distribuidoras de gas natural supervisan y monitorean constantemente las redes de distribución y cuentan con equipos técnicos disponibles las 24 horas, los 365 días del año. Ecológico - Comparado con otros hidrocarburos, poseé la menor relación de hidrógeno- carbón en su composición química, por ello su combustión es más limpia y la que menos emisiones contaminantes libera al ambiente. - La combustión de gas natural no produce residuos contaminantes. - No genera partículas sólidas ni emite residuos tóxicos. - El protocolo de Kyoto reconoce al gas natural como el combustible fósil más amigable con el medio ambiente. - Son innecesarias instalaciones de almacenamiento masivo, ni vehículos transportadores y/o repartidores. Económico - Es el combustible más económico del mercado, no importa el destino del consumo, con gas natural solo paga lo que consume. Comodidad - El gas natural llega por tubería directamente a los hogares, al comercio y a la industria. Tranquilidad - No tiene que cargarse ni recarga incómodos ni pesados cilindros. USOS El gas natural tiene diversas aplicaciones en la industria, el comercio, la generación eléctrica, el sector residencial y el transporte de pasajeros. Ofrece grandes ventajas en procesos industriales donde se requiere de ambientes limpios, procesos controlados y combustibles de alta confiabilidad y eficiencia. En el siguiente cuadro se presentan algunas de las aplicaciones más comunes de gas natural: Sector Aplicaciones/Procesos Industrial Generación de vapor Industria de alimentos Secado Cocción de productos cerámicos Fundición de metales Tratamientos térmicos Temple y recocido de metales Generación eléctrica Producción de petroquímicos Sistema de calefacción Hornos de fusión Comercio y Servicios Calefacción central PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 16 Aire acondicionado Cocción/preparación de alimentos Agua caliente Energía Cogeneración eléctrica Centrales térmicas Residencial Cocina Calefacción Agua caliente Aire acondicionado Transporte de pasajeros Taxis Buses TABLA Combustibles que el Gas Natural puede sustituir Adicionalmente, el gas natural es utilizado como materia prima en diversos procesos químicos e industriales. De manera relativamente fácil y económica puede ser convertido a hidrógeno, etileno, o metanol; los materiales básicos para diversos tipos de plásticos y fertilizantes. Uno de los usos del gas natural que ha tomado mayor importancia en el último tiempo en nuestro país, dada la disminución en el recurso hídrico, es la generación eléctrica. Debido a que el gas natural puede ser utilizado con grandes beneficios en un amplio número de aplicaciones, puede sustituir a los energéticos alternativos que se señalan a continuación: TABLA Combustibles que el Gas Natural puede sustituir Sector Energía y/o combustible que puede sustituir Industrial Carbón Electricidad Diesel Fuel Oil Gas licuado Gasolina Kerosene Leña Generación eléctrica Carbón Fuel Oil Comercio Carbón Electricidad Fuel Oil Gas natural Gas licuado Kerosene Residencial Electricidad Gas natural Gas licuado Kerosene Leña Transporte de pasajeros Gasolina Petróleo Diesel RESERVAS MUNDIALES DE GAS NATURAL PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 17 Antes de hablar de las reservas actualmente existentes en el mundo, es indispensable aclarar como se efectúa el proceso de búsqueda de gas natural además de algunos conceptos relacionados con este tema. La búsqueda de gas natural se inicia con exploraciones, que consisten básicamente en realizar perforaciones en zonas donde existen indicios de la existencia de gas. Una vez que algún yacimiento de gas natural es encontrado, el próximo paso es analizarlo de manera de determinar tanto la cantidad como la calidad del gas natural contenido en ese yacimiento, calculándose así la duración de ese yacimiento de acuerdo a la cantidad de gas que tenga y a una estimación del consumo. Una vez que estos análisis son efectuados, el gas natural de ese yacimiento pasa a ser una "reserva probada" de gas natural. Pero, dado el alto costo que este proceso implica, no todos los yacimientos son analizados. Lo que si se realiza constantemente son perforaciones para localizar yacimientos, de manera de que en el momento que se necesiten probar las reservas, se tengan ubicadas y lo único necesario por realizar sea un análisis de manera de determinar la calidad y la duración del gas natural. Como norma, las empresas productoras de gas natural deben mantener reservas probadas por lo menos como para cumplir con los contratos de extracción o de suministro que mantenga vigentes. Respecto a las reservas mundiales de gas natural, éstas son aproximadamente 145 trillones de metros cúbicos estándar, las que están principalmente concentradas en la ex Unión Soviética y en el Medio Oriente. Y dentro de la ex Unión Soviética, Rusia tiene el 85% de esas reservas. En el caso del Medio Oriente, es Irán el país que tiene la mayor cantidad de reservas de esa zona, con un 47%. En el esquema que se presenta a continuación se muestra la distribución por zonas de estas reservas. Figura 10. Distribución del gas natural por reservas En el siguiente gráfico se esquematiza la distribución mundial de las reservas de gas natural PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 18 A continuación se esquematiza la distribución de las reservas de gas natural dentro de Latinoamérica y posteriormente su evolución. Distribución de Reservas de Gas Natural en Latinoamérica (1998) Fuente: BP Statistical Review of World Energy 1999 Las reservas probadas de gas natural en el mundo a principios de 2006 eran de más de 182 billones de m 3 . Las principales reservas están localizadas en Oriente Medio (41%) y en los países de la antigua URSS (31,7%), mientras que Europa Occidental sólo posee el 3,6% de las reservas mundiales. Evolución de las reservas mundiales probadas de gas natural por zonas (Billones de m 3 ) Fuente: SEDIGAS PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 19 Con los datos disponibles hoy en día las reservas evaluadas de gas natural son suficientes para abastecer al mundo, con un consumo como el de 2005, durante más de 65 años. Reservasmundiales probadas de gas natural (Billones de m 3 ) Fuente: SEDIGAS 2004 2005 2006 América del Norte 7 7 7 América Central y Sur 7,4 7,3 7,3 Europa-OCDE 6,3 6,2 6,5 Europa Oriental 57,8 57,8 57,8 África 13,9 14,1 14,4 Oriente Medio 71,5 73,3 74,6 Asia-Oceanía 13,7 14,3 14,5 TOTAL MUNDIAL 177,6 180 182,1 CONSUMO DE GAS NATURAL Distribución Consumo Latinoamericano de Gas Natural durante 1998 Fuente: BP Statistical Review of World Energy 1999 Evolución del Consumo Latinoamericano de Gas Natural durante el período 1988-1998 Fuente: BP Statistical Review of World Energy 1999 TRANSPORTE Y ENTREGA DE GAS A LOS MERCADOS PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 20 La parte final del manejo del gas la constituye el transporte desde las instalaciones de los campos y las entregas de volúmenes determinados a los mercados en ruta. Estas dos fases representan en la práctica el mercadeo y la comercialización del gas. De acuerdo con las modalidades mundiales para este tipo de operaciones cabe mencionar aspectos interesantes: • Se da el caso de que existen empresas integradas cuyas operaciones (exploración, perforación, producción, transporte y mercadeo) están dedicadas exclusivamente al gas y no producen petróleo. Son empresas especializadas en el negocio del gas. • Existen otras empresas integradas que se dedican mayoritariamente al petróleo y que pueden disponer de grandes volúmenes de gas asociado y de gas libre que las pueden inducir a comercializar el gas parcialmente o totalmente. Esto es que venden su gas a otras empresas y no se ocupan del mercadeo o podría optar por transportar, distribuir y vender gas directamente. • Hay casos en que el gas lo manejan varias empresas. Primero, la que lo produce y acondiciona. Segundo, la que lo transporta y es dueña del sistema de gasoductos, y tercero, la que se encarga de la distribución y venta del gas en determinados mercados de su competencia. GASODUCTO Definicion Un gasoducto es un conducto que transporta o transmite gas natural, en general a largas distancias y grandes volúmenes y cuya presión de diseño es igual o mayor a 40 bares Un gasoducto es una conducción que sirve para transportar gases combustibles a gran escala. Es muy importante su función en la actividad económica actual. Impropiamente, y puede que por analogía con el oleoducto, se le llama con frecuencia gaseoducto. Construcción Consiste en una conducción de tuberías de acero, por las que el gas circula a alta presión, desde el lugar de origen. Se construyen enterrados en zanjas y se entierran a una profundidad típica de 1 metro. Excepcionalmente, se construyen sobre la superficie. Si la distancia es larga, puede haber estaciones de compresión a intervalos. Por razones de seguridad, las regulaciones de todos los países establecen que a intervalos determinados se sitúen válvulas en los gasoductos mediante las que se pueda cortar el flujo en caso de incidente. Además, si la longitud del gasoducto es importante, pueden ser necesarias estaciones de compresión a intervalos. El inicio de un gasoducto puede ser un yacimiento o una planta de regasificación, generalmente situada en las proximidades de un puerto de mar al que llegan buques (para el gas natural, se llaman metaneros) que transportan gas natural licuado en condiciones criogénicas a muy baja temperatura (-161 ºC). Para cruzar un río en el trazado de un gasoducto se utilizan principalmente dos técnicas, la perforación horizontal y la perforación dirigida. Con ellas se consigue que tanto la flora como la fauna del río y de la ribera no se vean afectadas. Estas técnicas también se utilizan para cruzar otras infraestructuras importantes como carreteras, autopistas o ferrocarriles. PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 21 El tendido por mar se hace desde barcos especialmente diseñados, los cuales van depositando sobre el lecho marino la tubería una vez soldada en el barco. Regulaciones estatales en muchos países requieren que los gasoductos enterrados estén protegidos de la corrosión. A menudo, el método más económico es revestir el gasoducto con algún tipo de polímero de modo que la tubería queda eléctricamente aislada del terreno que la rodea. Generalmente se reviste con pintura y polietileno hasta un espesor de 2-3 mm. Para prevenir el efecto de posibles fallos en este revestimiento, los gasoductos suelen estar dotados de un sistema de protección catódica, utilizando ánodos de sacrificio que establecen la tensión galvánica suficiente para que no se produzca corrosión. El impacto ambiental que producen los gasoductos, se centra en la fase de construcción. Una vez terminada dicha fase, pueden minimizarse todos los impactos asociados a la modificación del terreno, al movimiento de maquinaria, etc. Queda, únicamente, comprobar la efectividad de las medidas correctivas que haya habido que tomar en función de los impactos, repoblaciones, reforestaciones, protección de márgenes, etc. Unidades Constructivas que componen la construccion de un gasoducto - Replanteo - Apertura de pista de trabajo (desbroce y movimiento de tierras). - Excavación de la zanja. - Distribución y manipulación de la tubería. - Soldadura y radiografiado. - Revestimiento de juntas de soldadura. - Puesta en zanja. - Pretapado, tapado y restitución de los terrenos. - Cruces especiales. - Pruebas hidráulicas. - Restitución de los terrenos Circulación del gas La presión a la que circula en gas por el gasoducto es normalmente de 72 bar para los de la redes básicas de transporte y 16 bar en las redes de distribución. Para llevar el gas hasta los hogares y comercios, es preciso bajar la presión de transporte hasta límites razonablemente seguros. Esto se consigue instalando estaciones de regulación a lo largo del gasoducto en las que se baja la presión hasta la presión habitual de distribución. El cambio de presiones se hace de forma análoga a las redes eléctricas (alta tensión/baja tensión), en este caso se utilizan estaciones de regulación y medida, por medio de reguladores de presión de membrana se regula la presión de salida que se necesite. Obstáculos en el gasoducto Los grandes exportadores no pueden acaparar el mercado global de gas porque, para su mala suerte, éste no existe. "A largo plazo vamos hacia una OPEP del gas", dijo Chakib Khelil, ministro de energía de Argelia en una reciente reunión de grandes productores en Qatar. Es una idea espeluznante, pues el suministro mundial de gas está concentrado en aún menos países que el de petróleo. Qatar, Rusia e Irán controlan casi 60% y, con excepción de Qatar, no están entre los aliados más confiables de Occidente (ver gráfica). PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 22 Sin embargo, una crisis del gas similar a la del petróleo ocurrida en los años 70 es un escenario improbable por una razón: crear el citado cártel llevaría mucho tiempo. Hasta ahora sus eventuales miembros se han conformado con elaborar un vago aunque ligeramente inquietante "estudio de precios". Aun si se creara una organización de países exportadores de gas (OPEG), existen varias formas de generar electricidad y calefacción para los hogares; así, si el gas se vuelve demasiado caro, los consumidores pueden recurrir a alternativas. En contraste, la gasolina es el único combustible con el cual funciona la mayoría de los autos, por lo cual la demanda de petróleo seguirá siendo relativamente inelástica a largo plazo. Afección Medioambiental de un Gasoducto Cualquier canalización de gas, al ser una infraestructura enterrada, no tiene incidencia apreciable sobre el medio ambiente, limitándose su afección casi exclusivamente al período de construcción, y siendo extremadamente reducido si se compara con el de otras obras lineales, tales como carreteras, vías férreas o tendido de líneas eléctricas. Las principales afecciones que puede producir el trazado del gasoducto sobre el medio natural durante la fase de obras son: - Impactos sobre la vegetación - Impactos sobre la fauna - Impactos sobre los cursos de agua - Impacto sobre zonas húmedas - Impactos sobre el Patrimonio Cultural - Impactos sobre el paisaje a) Impactos sobre la vegetación La vegetación se verá afectada principalmente por el despeje y desbroce en la apertura de la pista de trabajo. La afección sobre la flora, depende de la facultad, por la cobertera vegetal, de reconstruirse después de finali zados los trabajos. Esto, salvo en el caso de árboles de tallo o tronco alto, es siempre posible. Cuando esto no fuera posible, se minimiza la afección replantando especies adecuadas preservando únicamente el pasillo inmediato a la conducción (4 metros aproximadamente). b) Impactos sobre la fauna La afección sobre la fauna se limita a las molestias producidas durante el período de construcción, es decir a una temporada o estación, por la presencia de personal y funcionamiento de maquinarias en lugares donde la fauna no esta acostumbrada a encontrarlos. Mediante la aplicación de medidas preventivas como la reducción al mínimo de presencia de personal, elección de fechas de intervención en función de las costumbres de vida de la especie, etc, se reduce al máximo y en medida de lo posible la duración de la obra, por lo que la afección a la fauna se verá disminuida. c) Impactos sobre los cursos de agua - Afección sobre la fauna piscícola durante los trabajos: Generalmente suelen tomarse medidas adecuadas de acuerdo con la Administración, Organismos Oficiales o Asociaciones de pesca para reducir o incluso suprimir la posible afección. Cada travesía de río o curso de agua presenta normalmente circunstancias particulares que hay que analizar específicamente. - Incremento de los sólidos en suspensión en las aguas superficiales como consecuencia de las obras: Durante la fase de construcción podría producirse un aumento de los sólidos en suspensión en los cursos de agua superficial cercanos PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 23 debido al arrastre de finos desde las superficies desnudas (desmontes, terraplenes, y otras superficies de actuación) que puedan sufrir un lavado y arrastre de tierras importantes por las aguas de escorrentía procedentes de las lluvias. El arrastre de finos y materiales particulados daría lugar a un aumento de la turbidez, del residuo seco y de la conductividad de las aguas superficiales. d) Impactos sobre zonas húmedas Estos entornos son especialmente sensibles a cualquier tipo de impacto debido fundamentalmente a delicado equilibrio existente entre los aportes de agua, la fauna existente (en muchos casos migratoria), etc. De tal manera, la minimización de cualquier tipo de impacto es de especial importancia. e) Impactos sobre el Patrimonio Cultural Durante las obras de despeje y desbroce, apertura de zanja, excavaciones, etc. pueden darse potenciales afecciones al patrimonio arqueológico. Dada la importancia de este factor, se suspenderán las actividades en caso de encontrar vestigios de valor histórico y se dará aviso al Centro Regional del Instituto Nacional de Antropología e Historia. Instalaciones que constituyen el sistema gasista El sistema gasista comprende las instalaciones incluidas en la Red Básica de Transporte, la Red de Transporte Secundario, la Red de Distribución y demás instalaciones complementarias. Red Básica de Transporte. Forman parte de la red básica de transporte: Las plantas de Licuefacción: transforman el gas natural al estado líquido para facilitar su almacenamiento y transporte en buques metaneros. Las Plantas de Regasificación: transforman el gas natural líquido de los buques metaneros al estado gaseoso mediante la aportación de calor para introducirlo en la red de gasoductos. Los Gasoductos de Transporte Primario: son aquellos cuya presión máxima de diseño es igual o superior a 60 bares. Los Almacenamientos Subterráneos: almacenan gas en el subsuelo para asegurar la continuidad y suministro de gas en caso de fallo de los aprovisionamientos y modular la demanda. Generalmente son antiguos yacimientos. Las Conexiones Internacionales: gasoductos que conectan el sistema gasista español con otros sistemas o con yacimientos en el exterior. Red de Transporte Secundario: Forman parte de la red de transporte secundario aquellos cuya presión máxima de diseño está comprendida entre 60 y 16 bares. Red de Distribución: Forman parte de la red de distribución los gasoductos cuya presión máxima de diseño sea igual o inferior a 16 bares, y aquello otros que, con independencia de su presión máxima de diseño, tengan por objeto conducir el gas a un único consumidor partiendo de un gasoducto de la red básica o de transporte secundario. Ecuaciones de Flujo para tuberías con flujo monofásico Ecuacion de Panhandle B El gas natural fluye debido a la diferencial de presiones entre los extremos de un ducto. Asimismo, el flujo se ve afectado por la composición del gas, la diferencia de alturas sobre el nivel del mar, temperatura y por las características físicas del ducto: Diámetro Rugosidad de las paredes internas PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 24 Longitud Para ductos de grandes diámetros y longitudes y elevadas presiones una de las ecuaciones que mejor se aproxima al comportamiento del gas es la ecuación Panhandle- B, en unidades inglesas: 51 . 0 961 . 0 2 2 1 2 2 2 1 53 . 2 02 . 1 ) ( 0375 . 0 737 L T z GE T z P h h GE P P D P T Eff Q av av av av av i o o La presión promedio es: 2 1 2 1 2 1 * 3 2 P P P P P P P av Ecuacion de Panhandle A Eff L T z GE z T P h h GE P P D P T Q av av av av av i b b 5394 . 0 8538 . 0 2 1 2 2 2 2 2 1 6182 . 2 0778 . 1 * * * ) ( * * 0375 . 0 87 . 435 Donde: Q= Flujo transportado en Pies cubicos estandar por dia [STBD] Di= Diametro interno del ducto en pulgadas [inch] L= Longitud en millas zav= Factor de compresibilidad del gas natural que es adimennsional calculado a las condiciones de Presion promedio y Temperatura promedio TO y Po= Temperatura y Presion a las condiciones base de medicion en [ o R] grados Rankine y [psia] P1 y P2= Presiones al inicio y al final del tramo del ducto en [psia] Pav = Presion promedio en el tramo, es la presion utilizada en el calculo del factor de compresibilidad GE= gravedad especifica del gas , es decir, la densidad relativa a la del aire h1 y h2=alturas sobre el nivel del mar a los extremos del ducto: inicio y final Tav = Temperatura promedio en el tramo, es la temperatura utilizada en el calculo del factor de compresibilidad que normalmente es constante en los ductos subterraneos Eff= Eficiencia de flujo adimensional depende principalmente de la rugosidad y edad del ducto, generalmente en el sistema de ductos PGPB se tienen una eficiencia del 85% pues resulta coherente con los datos de campo Ecuacion de Weymouth La ecuación de Weymouth se ha utilizado desde hace muchos años como ecuación de análisis de ductos, y por lo general proporciona resultados muy conservadores. Los volúmenes mostrados en los diagramas de flujo se expresan en millones de pies cúbicos medidos a 14.73 psia. y a 60° F. PET230 – Programación Aplicada Capítulo 7 - Aplicaciones a Ingeniería de Reservorios Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 25 Eff L T z GE P P D P T Q av av i b b 5 . 0 2 2 2 2 1 667 . 2 * * * 433 Donde: Q= Flujo transportado en Pies cubicos estandar por dia [STBD] Tb y Pb= Temperatura y Presion a las condiciones base de medicion en [ o R] grados Rankine y [psia] GE= gravedad especifica del gas , es decir, la densidad relativa a la del aire zav= Factor de compresibilidad promedio del gas natural L= Longitud del gasoducto en millas Di= Diametro interno del ducto en pulgadas [inch] P1 y P2= Presiones de entrada y salida del tramo del ducto en [psia] Eff= Eficiencia de flujo adimensional depende principalmente de la rugosidad y edad del ducto