Libro de matematicas 3° Secundaria

Recursosdidácticos Matemáticas 3 (a) CS5.indd 1 1/31/14 2:19 PM ESP3SECTJSEPRDp19.indd 296 1/29/14 7:36 PM Recursos didácticos SMAT3LRCONAPL01-001-016.indd 1 1/30/14 5:47 AM Matemáticas 3. Recursos didácticos fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo: Dirección General de Contenidos Antonio Moreno Paniagua Autor del libro del alumno Alejandro de Icaza Peña Dirección de Ediciones Wilebaldo Nava Reyes Autores de Recursos didácticos Mayra Martínez de Garay, Jaime Omar Lugo de la Tejera y Jesús Alberto Villegas Cardoso Gerencia de Secundaria Iván Vásquez Rodríguez Edición Rubén García Madero, Leticia Martínez Ruiz y Lina Moreno Gerencia de Arte y Diseño Humberto Ayala Santiago Asistencia editorial Ana Victoria Moreno Ayapantecatl, Enrique Martínez Sánchez y Ana Elvia Francisco Solano Coordinación de Secundaria Óscar Díaz Chávez Corrección de estilo Pablo Mijares Muñoz y Mónica Méndez García Coordinación de Matemáticas Ma. del Pilar Vergara Ríos Coordinación de Diseño Carlos A. Vela Turcott Coordinación de Iconografía Nadira Nizametdinova Malekovna Coordinación de Realización Gabriela Armillas Bojorges Edición de Realización Haydée Jaramillo Barona Edición Digital Miguel Ángel Flores Medina Diseño de portada e interiores Raymundo Ríos Vázquez Diagramación Eduardo Sevilla González Iconografía Miguel Bucio Trejo Ilustración Héctor Ovando Jarquín, Ricardo Ríos Delgado y Alma Julieta Núñez Cruz Fotografía Shutterstock.com, Thinkstock.com, Durga Archivo digital, Latinstock, Wikipedia, cocinarecetas.hola.com Digitalización de imágenes Gerardo Hernández Ortiz La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3. Recursos didácticos son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor. D. R. © 2014 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V. Avenida Río Mixcoac 274, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez, México, D. F. ISBN: 978-607-01-2121-0 Primera edición: febrero de 2014 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México/Printed in Mexico SMAT3LRCONAPL01-001-016.indd 2 1/30/14 7:31 PM E ditorial Santillana pone en sus manos Matemáticas 3. Recursos didácticos, que le proporciona los siguientes apartados para apoyar su trabajo con el texto del alumno: La naturaleza y los propósitos de la Articulación. Argumenta los propósitos de la reforma curricular de la educación básica. Una educación basada en competencias. Contextualiza y explica la necesidad de esta nueva forma de enseñanza. El perfil de egreso de la educación básica. Presenta los rasgos que los estudiantes deberán mostrar al término de la educación básica. Mapa curricular de la educación básica. En él aparecen las asignaturas organizadas por nivel y grado, y agrupadas por campo de formación. El papel del docente. Explica los nuevos retos que tiene ante sí el profesor en una enseñanza basada en competencias. La evaluación, una propuesta integral. Ofrece una guía para evaluar de manera continua los avances de los estudiantes en las competencias. Didáctica de las Matemáticas. Desarrolla una propuesta actual sobre la manera de abordar conocimientos, habilidades, actitudes y valores en una lección propia de la asignatura. Una secuencia de trabajo para los docentes. Se sugieren pautas para desarrollar el trabajo en el aula. Recursos digitales. Se ofrece un disco compacto que incluye tanto recursos digitales para enriquecer el trabajo en el aula como recursos administrativos para apoyar la labor docente. El material del alumno. Se reproducen los apartados del libro del alumno en los que se describe nuestra propuesta didáctica para trabajar competencias, plasmada en esta nueva serie. Para el desarrollo didáctico en el aula Matemáticas 3. Recursos didácticos, le ofrece los siguientes recursos: • Planeación didáctica por lección • Reproducción del libro del alumno con sugerencias y respuestas • Acompañamiento didáctico: s Propuestas didácticas. Ofrece información propia de la asignatura para desarrollar actividades. Además, especifica el propósito de aprendizaje de las actividades y propone cómo realizarlas. s Información complementaria. Proporciona información adicional sobre el contenido que se aborda en la lección. s Respuestas. Sugerencias de respuestas a las actividades del libro Deseamos que nuestra propuesta educativa lo acompañe en su importante labor como formador de individuos competentes para la sociedad que buscamos construir. Los editores Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL01-001-016.indd 3 3 1/30/14 5:47 AM Presentación 3 La Articulación de la Educación Básica 6 La naturaleza y los propósitos de la 6 Articulación Una educación basada en competencias 7 El perfil de egreso de la educación básica 8 Mapa curricular de la educación básica 9 El papel del docente 10 La evaluación, una propuesta integral 11 Didáctica de las Matemáticas 11 Una secuencia de trabajo para los docentes 13 Bienvenidos a Todos Juntos 14 Recursos digitales 18 Índice del libro del alumno 19 Recursos didácticos 21 Fuentes de información 318 4 SMAT3LRCONAPL01-001-016.indd 4 22 Planeaciones didácticas 23 El trabajo con el libro del alumno 32 86 Planeaciones didácticas 87 El trabajo con el libro del alumno 94 Prohibida su venta 1/30/14 5:47 AM 142 Planeaciones didácticas 143 El trabajo con el libro del alumno 150 204 Planeaciones didácticas 205 El trabajo con el libro del alumno 212 266 Planeaciones didácticas 267 El trabajo con el libro del alumno 274 Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL01-001-016.indd 5 5 1/30/14 5:47 AM . organiza en un plan de estudios. la educación básica tiene elementos comunes que hacen posible su articulación: Las reformas curriculares. Prohibida su venta 1/30/14 5:47 AM . de tal manera que en los planteamientos curriculares los alumnos son el centro de las propuestas formativas y las escuelas se conciben como espacios generadores de experiencias de aprendizaje interesantes y retadoras para los alumnos. a partir de aprendizajes esperados y del establecimiento de estándares curriculares. La naturaleza y los propósitos de la Articulación El documento Acuerdo por el que se establece la Articulación de la Educación Básica (2011). La Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB) es una política pública que impulsa la formación integral de todos los alumnos de preescolar. introducen una visión del aprendizaje de los alumnos. por tanto. distinta de la que se sostenía en la educación básica mexicana. En estas reformas se reconocen las capacidades de los niños y los adolescentes y sus potencialidades para aprender. Mejorar la calidad educativa y responder a las demandas del nuevo milenio son los propósitos principales de la puesta en marcha de las reformas curriculares de la educación preescolar en 2004. elaborar explicaciones. que los hacen pensar. El año 2011 representa la fase de integración de los diferentes momentos de la articulación de la educación básica en México. de secundaria en 2006 y de primaria en 2009. Implica concebir los niveles de preescolar. a los conocimientos específicos. implementadas de manera independiente. primaria y secundaria con el 6 SMAT3LRCONAPL01-001-016.indd 6 • • • • • • • Perfil de egreso Enfoque por competencias Enfoques didácticos de las disciplinas Organización curricular Aprendizajes esperados Estándares curriculares Evaluación de los aprendizajes La Articulación de la Educación Básica es el inicio de una transformación que generará una escuela centrada en el logro educativo al atender las necesidades específicas de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes. primaria y secundaria como un solo trayecto formativo en el que se da continuidad a las competencias que se pretende que los estudiantes desarrollen y. cuestionarse. una escuela que al recibir asesoría y acompañamiento pertinentes a las necesidades de la práctica docente cotidiana genere acciones para atender y prevenir el rezago. Tras el proceso de reforma.La Articulación de la Educación Básica objetivo de favorecer el desarrollo de competencias para la vida y el logro del perfil de egreso. para que adquieran las competencias que permitan su desarrollo personal. de la función de la escuela y de la práctica docente. las habilidades. las actitudes y los valores que se proponen como parte del currículo. los programas de las diferentes asignaturas y los estándares curriculares correspondientes a los niveles de preescolar. y constituya redes académicas de aprendizaje donde todos los integrantes de la comunidad escolar participen. comunicarse cada vez mejor y aplicar de manera evidente lo que estudian y aprenden en la escuela. de desempeño docente y de gestión. primaria y secundaria. La competencia. A partir de estas experiencias se puede esperar una toma de conciencia de ciertas prácticas sociales y comprender. El profesor Enfoques tradicionales Enfoques por competencia El alumno Recibe la información Transmite la información Competencia: vincula. actitudes y valores para el logro de propósitos en contextos y situaciones diversas.Una educación basada en competencias Una competencia implica un saber hacer (habilidades) con saber (conocimiento). Por ejemplo: escribir un cuento o un poema. emociones. por ejemplo. editar un periódico. Sin conocimiento no hay manera de ser competente. que escribir un cuento no solo es cuestión de inspiración. la variabilidad de las competencias introduce un problema suplementario: la identificación y selección de las más adecuadas. así como extrapolar o prever lo que hace falta. así como de los variados niveles dentro de cada una de ellas. valores. pero completamente inútil cuando se trata de aprender conceptos abstractos o redes conceptuales que obligan a una gran actividad intelectual. diseñar y aplicar una encuesta. de ahí que se utilice la idea de movilizar conocimientos. condiciones y en qué momento es necesaria su activación. Así pues. de las situaciones que se presenten y de los contextos. Relación entre competencias y habilidades La competencia. perseverancia y método. Lo que sí se ha planteado es en qué Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL01-001-016. Habilidades Por tanto.indd 7 7 1/30/14 5:47 AM . así como la valoración de las consecuencias de ese hacer (valores y actitudes). es la capacidad o habilidad para efectuar tareas o enfrentarse con eficacia a situaciones diversas en un contexto determinado. etc. sociales o afectivas satisfacen esta condición y también otra: el proceso de adquisición puede ser un proceso de entrenamiento sin la participación relevante del pensamiento (ya sea en forma de pensamiento reflexivo o crítico). o desarrollar un proyecto de reducción de desechos sólidos. Esta conceptualización del término permite suponer que habrá múltiples formas de competencia dependiendo. Por ejemplo. Lograr que la educación básica contribuya a la formación de ciudadanos con estas características implica plantear el desarrollo de competencias como propósito educativo central. más bien. habilidades. Las habilidades se consolidan como respuestas dadas a contextos definidos y generalmente ante tareas sencillas. integra y pone en marcha los tres componentes. reestructurarlos en función de la situación. hay un desarrollo desvinculado: Conocimientos Relación entre los conocimientos y las competencias Habilidades Conocimientos Actitudes y valores Actitudes y valores No hay una sola línea escrita por parte de pensadores o colectivos innovadores en contra de la memoria. En otras palabras. claro está. porque demanda trabajo. actitudes. la manifestación de una competencia revela la puesta en juego de manera integrada de conocimientos. puede ser definida como un tipo de aprendizaje caracterizado por la forma en que cualquier persona logra combinar sus múltiples recursos personales (saberes. es absolutamente indispensable para interiorizar conocimientos factuales (por ejemplo. se complementan.) para lograr una respuesta satisfactoria a una tarea planteada en un contexto definido. La movilización de saberes se manifiesta tanto en situaciones comunes como complejas de la vida diaria y ayuda a visualizar un problema. entonces. Las habilidades tanto mecánicas como cognitivas. Las habilidades pueden ser consideradas como unidades integradas de comportamientos y vinculadas a una misma respuesta. poner en práctica los conocimientos pertinentes para resolverlo. Las competencias no se contraponen con el conocimiento. los momentos clave del proceso de la Revolución Mexicana). reconoce. y emprende y se esfuerza por lograr proyectos personales o colectivos. Utiliza el lenguaje materno. Promueve y asume el cuidado de la salud y del ambiente como condiciones que favorecen un estilo de vida activo y saludable. aprecia la dimensión estética y es capaz de expresarse artísticamente. analiza. además. respeta y aprecia la diversidad de capacidades en los otros. a partir del conocimiento y de la comprensión del sentido formativo de cada uno de los niveles. f. Busca. cultural y lingüística. Conoce y valora sus características y potencialidades como ser humano. Se expresa en términos de rasgos individuales y sus razones de ser son: a. los niños y los adolescentes mediante el planteamiento de desafíos intelectuales. además de conocimientos y habilidades. La escuela en su conjunto. el alumno mostrará los siguientes rasgos: SMAT3LRCONAPL01-001-016. El logro del perfil de egreso podrá manifestarse al alcanzar de forma paulatina y sistemática los aprendizajes esperados y los estándares curriculares. Ser un referente común para la definición de los componentes curriculares. Interpreta y explica procesos sociales. formula preguntas. selecciona. b. Aprovecha los recursos tecnológicos a su alcance como medios para comunicarse. sabe trabajar de manera colaborativa. El perfil de egreso plantea rasgos deseables que los estudiantes deberán mostrar al término de la educación básica. a. en consecuencia. e interactuar en distintos contextos sociales y culturales. Conoce y ejerce los derechos humanos y los valores que favorecen la vida democrática. h. Reconoce diversas manifestaciones del arte. culturales y naturales para tomar decisiones individuales o colectivas que favorezcan a todos. Argumenta y razona al analizar situaciones. c. económicos. evalúa y utiliza la información proveniente de diversas fuentes. La articulación de la educación básica se conseguirá en la medida en que los docentes trabajen para los mismos fines. Dichos rasgos son el resultado de una formación que destaca la necesidad de desarrollar competencias para la vida que. Valora los razonamientos y la evidencia proporcionados por otros y puede modificar. primaria y secundaria). oral y escrito para comunicarse con claridad y fluidez. financieros. Prohibida su venta 1/30/14 5:47 AM . Como resultado del proceso de formación a lo largo de la educación básica. incluyen actitudes y valores para enfrentar con éxito diversas tareas. y en particular los maestros y las madres. como garantía de que podrán desenvolverse satisfactoriamente en cualquier ámbito en el que decidan continuar su desarrollo.indd 8 e. actúa con responsabilidad social y apego a la ley. Ser un indicador para valorar la eficacia del proceso educativo. emite juicios. c. 8 d. j. la consolidación de lo que se aprende y su utilización en nuevos desafíos para seguir aprendiendo. posee herramientas básicas para comunicarse en inglés. afectivos y físicos. Definir el tipo de ciudadano que se espera formar a lo largo de la educación básica. i. el análisis y la socialización de lo que estos producen. los propios puntos de vista.El perfil de egreso de la educación básica El perfil de egreso define el tipo de alumno que se espera formar en el transcurso de la escolaridad básica y tiene un papel preponderante en el proceso de articulación de los tres niveles (preescolar. aplica estrategias y toma decisiones. los padres y los tutores deben contribuir a la formación de las niñas. Asume y practica la interculturalidad como riqueza y forma de convivencia en la diversidad social. propone soluciones. identifica problemas. g. obtener información y construir conocimiento. b. II y III Exploración de la Naturaleza y la Sociedad Desarrollo físico y salud 5. II y III Segunda lengua: Inglés Segunda lengua: Inglés I. II y III (Música.° Español I. II y III Matemáticas Matemáticas I. Danza.° 3.° 3.° Periodo escolar Geografía La entidad donde vivo Historia Geografía de México y del mundo Historia I y II Asignatura estatal Formación Cívica y Ética I y II Formación Cívica y Ética Desarrollo personal y social Desarrollo personal y para la convivencia Expresión y apreciación artísticas Tutoría Educación Física Educación Física I.° 1. II y III Ciencias Naturales Ciencias I (énfasis en Biología) Ciencias II (énfasis en Física) Ciencias III (énfasis en Química) Tecnología I. Teatro o Artes visuales) Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL01-001-016.indd 9 9 1/30/14 5:47 AM .° Periodo escolar Primaria Lenguaje y comunicación Lenguaje y comunicación 3.° Secundaria 4.° 1. II y III Educación Artística Artes I.° Habilidades digitales 6.° Segunda lengua: Inglés Pensamiento matemático 3.° Pensamiento matemático 2.er Periodo escolar 2.° Español Exploración y conocimiento del mundo Exploración y comprensión del mundo natural y social 4.Mapa curricular de la educación básica El trayecto de la educación básica consta de los siguientes campos formativos y las asignaturas que les corresponden: Estándares Curriculares Campos de formación para la educación básica 1.° 2.er Periodo escolar Preescolar 1.° 2. Atender la diversidad. También es esencial disponer el mobiliario del salón de la manera que permita la interacción y el desarrollo de las actividades. Con el propósito de que el docente aproveche mejor los programas de su asignatura. • Promueve el debate dentro del aula. • Genera desafíos en el aprendizaje. aunque en cada una adopta formas particulares. debe tomarse como una oportunidad para enriquecer la calidad de la educación. interpersonales y afectivos. Optimizar el uso del tiempo y del espacio. sino gestionar su propio aprendizaje y buscar a otras personas para lograrlo. Además del libro de texto. f. Para ello será indispensable conocer a los alumnos. evaluar no es sinónimo de calificar o examinar. c. b. Prohibida su venta 1/30/14 5:47 AM . es decir. es importante reducir la carga del trabajo externo a la clase. La heterogeneidad de los estudiantes en los aspectos étnico. Deben considerarse aquí los aspectos académicos. La evaluación es un proceso continuo de obtención de información que permite al docente emitir juicios sobre el desempeño de los alumnos y tomar las acciones pertinentes que ayuden a mejorarlo. • Estimula la reflexión sobre lo que han aprendido y cómo lo han aprendido (metacognición). Español y Formación Cívica y Ética. d. Seleccionar los materiales adecuados. Para asumir estas responsabilidades. mensual. como la administración. cultural y lingüístico. se deben evaluar de manera permanente las actividades realizadas. Pero esto no significa que deban aislarse para hacerlo. • Organizar la distribución del tiempo y el uso de materiales. Evaluar. a. Además. Resulta fundamental la organización del docente para aprovechar mejor el tiempo en las actividades del aula. Con esta idea. 10 SMAT3LRCONAPL01-001-016. sus intereses. Impulsar la autonomía de los estudiantes. En este sentido. Incorporar los intereses. Nos referimos a la capacidad de los alumnos para aprender por su cuenta. Los materiales didácticos constituyen un valioso auxiliar en el aula. los tiempos.indd 10 e. Esto puede lograrse si el docente: • Permite que los alumnos apliquen lo aprendido de maneras distintas. las ceremonias. • Propicia la exposición de las propias ideas de los estudiantes. las necesidades y los conocimientos previos de los alumnos. el cuándo.El papel del docente Algunas de las principales responsabilidades de los docentes: • Dar cumplimiento a los programas de estudio. bimestral y anual. Diversificar las estrategias didácticas. los festivales y los concursos. y el con qué (los materiales). deben considerarse otros materiales de lectura e incorporarse desde la planificación misma del trabajo semanal. individuales. g. • Promueve las experiencias de investigación. motivaciones y conocimientos previos. • Promover diversas formas de interacción dentro del aula. se le proporcionan las siguientes orientaciones didácticas. El trabajo por proyectos es una de las estrategias más provechosas en la enseñanza por competencias. aunque los exámenes pueden ser una manera de obtener esa información. el cómo (las tareas). Se recomienda particularmente en las asignaturas de Ciencias. h. Promover el trabajo grupal y la construcción colectiva del conocimiento. se recomienda planificar el trabajo considerando el qué (los contenidos) de la lección. Evaluación formativa Evaluación sumativa ¿Qué evaluar? Los aprendizajes esperados La evaluación se realiza en tres momentos. Exámenes Proyectos y actividades integradoras Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL01-001-016. cómo pone en práctica lo aprendido con una actitud propicia en contextos diferenciados. ya que la reflexión continua sobre él mismo le ayuda a comprender si está aprendiendo y cómo lo está logrando. es decir. El nuevo planteamiento permite experimentar en el ambiente del salón de clases: ahora se busca que los alumnos piensen. Es recomendable aprovechar este momento para identificar las necesidades de orientación y apoyo del alumnado. La propuesta de evaluación es integral. ya que en este enfoque es necesario que el alumnado sea responsable de su proceso de aprendizaje como un practicante reflexivo que se enfrenta con una situación problema. Didáctica de las Matemáticas Inventario de recursos Propósitos de la asignatura Rúbricas Ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas implica un cambio en el papel del maestro que ha trabajado con la idea de que su función es transmitir información. el docente obtiene de la evaluación la información necesaria para tomar decisiones sobre la mejor manera de apoyar al alumnado en el logro de los propósitos y los aprendizajes esperados. Por su parte. tanto por los instrumentos que emplea como por los propósitos que persigue: Evaluación diagnóstica ¿Para qué evaluar? Propósitos Conocimientos Habilidades Evaluación formativa: se realiza durante el desarrollo de la secuencia didáctica con el propósito de observar los avances en el logro de los aprendizajes esperados e identificar las dificultades y aspectos que requiere fortalecer cada estudiante. discutan con interés y aprendan. reflexiona sobre su proceso y finalmente valora sus logros.La evaluación. La evaluación formativa fortalece la responsabilidad del alumnado en su proceso de aprendizaje. comenten. el docente no solo se fija en los conocimientos. habilidades o destrezas adquiridas. habilidades y actitudes previas. Asimismo. una propuesta integral La evaluación se concibe como parte integral del proceso de aprendizaje y del desarrollo de competencias. Puede ser de utilidad para tomar decisiones sobre la manera de apoyar a los escolares en su proceso o bien aportar elementos para asignar una calificación. Evaluación sumativa: se realiza al cierre de cada secuencia didáctica y al final del bloque con el propósito de observar el desempeño final del alumnado en el logro de los aprendizajes esperados.indd 11 11 1/30/14 5:47 AM . sino en el desempeño total de la persona. Este es el punto de partida en el proceso de aprendizaje y en el desarrollo de competencias. Actitudes Capacidad de aplicar lo aprendido ¿Cómo evaluar? Evaluación diagnóstica: al inicio de cada secuencia didáctica el alumnado hace un balance de sus saberes. cumpliendo en cada caso propósitos específicos para el logro de los aprendizajes esperados. También favorece la toma de conciencia de sus estrategias de aprendizaje y le ayuda a encontrar pistas para construir modelos de acción personal y técnicas para la resolución de problemas. planifica cómo resolverla. Que los alumnos se interesen en resolver los problemas que se les plantean. fórmulas y definiciones solo es importante si los alumnos lo puedan usar. es necesario trabajar para lograr: a. el maestro debe insistir en que todos los integrantes asuman la responsabilidad de la tarea que se trata de resolver de manera colectiva. La escuela en su conjunto debe dar a los docentes oportunidades para el aprendizaje significativo. junto con ellos. • La búsqueda de argumentos para validar sus resultados o la aceptación de los que imponga el maestro. que transitan de lo informal a lo convencional. de manera flexible. es determinante el papel que desempeña el medio. b. En esta propuesta didáctica. c. para solucionar problemas. tendrán acuerdos y desacuerdos. d. entendido como el conjunto de las situaciones problemáticas que hacen pertinente el uso de las herramientas matemáticas que se pretende estudiar.Ante esta situación. aclarar ideas y. El conocimiento de reglas. así como los procesos que siguen los alumnos para construir nuevos conocimientos y superar los obstáculos que surgen en el proceso de aprendizaje. aportar la información necesaria para su avance. sus producciones. El enfoque de enseñanza De acuerdo con este enfoque. Pero es necesario garantizar que. pues con frecuencia los errores en la resolución de estos se deben a las malas interpretaciones de los enunciados. Por ello. siempre que sea pertinente. tanto en términos de lenguaje como de representaciones y procedimientos. a buscar formas de resolver los problemas y a esgrimir argumentos para validar los resultados. la construcción de ese conocimiento requiere procesos de estudio prolongados. la experiencia que vivan los jóvenes al estudiar matemáticas en la escuela puede tener consecuencias opuestas: 12 SMAT3LRCONAPL01-001-016. algoritmos. Sin embargo. La actividad intelectual en estos procesos se apoya más en el razonamiento que en la memorización. Tampoco es suficiente con plantearles problemas y esperar a que los resuelvan sin ninguna ayuda. también son necesarios los ejercicios de práctica o el uso de la memoria para conservar ciertos datos. se expresarán con libertad y reflexionarán en torno al problema que tratan de resolver. Los conocimientos adquiridos y las habilidades y actitudes desarrolladas durante la educación básica determinarán en gran parte la formación matemática que permita a las personas enfrentar y responder a determinados problemas de la vida moderna. Que manejen de modo adecuado el tiempo para concluir las actividades. Para ello será de gran ayuda que los profesores compartan sus experiencias. Que los maestros busquen espacios para compartir experiencias. Más vale dedicar el tiempo necesario para que los alumnos adquieran conocimientos con significado. en lugar de repetirles información que pronto olvidarán. hablar de ellas y escuchar a sus pares les permitirá mejorar su trabajo.indd 12 Prohibida su venta 1/30/14 5:47 AM . aunque no siempre sean exitosas. • El gusto o el rechazo por su estudio. La metodología didáctica que proponen los programas oficiales pone el énfasis en llevar a las aulas actividades de estudio que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar. se deben analizar. de esta manera compartirán sus ideas. • La creatividad para buscar soluciones o la pasividad para imitar las de otros. Por eso. los alumnos podrán avanzar hacia la solución de problemas más complejos. tanto los alumnos como el maestro se enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático e ideas diferentes sobre lo que significa enseñar y aprender. desarrollen habilidades y sigan aprendiendo. Que los estudiantes lean con cuidado la información que hay en los problemas. si lo olvidan. e. de este modo. Que muestren una actitud adecuada para trabajar en equipo. tengan opciones para reconstruirlo. Una secuencia de trabajo para los docentes El material del alumno está organizado por lecciones.indd 13 13 1/30/14 5:47 AM . Preparar materiales didácticos. Revisar la dosificación del bimestre propuesta en el CD de Recursos digitales para el profesor. incluidas en este libro. Después de la clase Sin duda. la experiencia del docente. Observar activamente las argumentaciones de los alumnos y preguntarles en qué se basan para responder. en las cuales se trabajan las habilidades y los conocimientos científicos que establecen el programa oficial. Leer con una semana de anticipación la lección que se va a trabajar. Apoyar a los equipos en todo momento aclarándoles sus dudas y proporcionándoles la información necesaria para que avancen. Anotar en el formato de planeación didáctica las fechas. Cerciorarse de que los alumnos entiendan con toda claridad qué trabajo desarrollarán en la lección. Revisar los ejercicios que requieren una solución y buscar esta en su libro de Recursos didácticos. Reflexionar sobre la dinámica de la clase. Al final del bimestre. Repasar los conceptos definidos en este libro para explicarlos al grupo en la siguiente clase. aplicar las evaluaciones sugeridas en el libro del alumno y calificarlas. revisar los procedimientos y resultados de la sección. sumada a estas recomendaciones. conocer el enfoque didáctico y los contenidos del programa oficial de la asignatura. Conocer la planeación de cada una de las lecciones del bloque. A continuación sugerimos estas pautas para desarrollar el trabajo en el aula. hará de su trabajo un logro de enseñanza y de aprendizaje. Durante la clase Tratar de ceñirse a los tiempos de avance propuesto en la planeación de las lecciones. Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL01-001-016. Si es la última clase de la lección. Antes de la clase Al inicio del bimestre. de acuerdo con el calendario escolar. Explorar los programas y proyectos digitales que se sugieren en este libro. Moderar las sesiones grupales y recordar a los alumnos la necesidad de una escucha respetuosa. Estudiar los apartados que acompañan a las páginas en reducción. Leer los aprendizajes esperados y contenidos de cada bloque. Anotar las observaciones más importantes sobre el proceso y las conductas de los estudiantes. Definir estrategias de trabajo. Repasar la planificación de la clase siguiente. con lo que el álgebra pudo estudiar clases de ecuaciones y concentrarse en la estructura de los problemas y no en su forma particular. es un movimiento uniforme acelerado cuya velocidad inicial es cero. C) números. Los árabes. En él se incluyen los siguientes elementos: ria de las matemáticas. pues propuso usar “parámetros” por primera vez en la histo- Entrada de bloque Este apartado está integrado por una doble página con un texto relacionado con uno o algunos de los contenidos a trabajar en el bloque y una fotografía que hace alusión a ellos. además de una invitación a la lectura. y lograron gran desarrollo en álgebra y trigonometría. Viète la escribiría como 2Aq – 5A aeq 23. por ejemplo. ¿La forma como planteaba las ecuaciones Viète era mejor que la usada por Al-Khwarizmi? Explica por qué. 5 Aprendizajes esperados Orientan tus procesos de aprendizaje al señalar lo que se espera que logres al final del bloque. 5 4. y las consonantes para las magnitudes o números dados o supuestamente conocidos (parámetros). con el número y el título del bloque. François Viète (1540-1603) tuvo gran influencia en ello. donde A es la incógnita. una expresión como: 2x2 – 5x = 23. pero fue un gran avance en relación con la descripción en palabras. 2 Invitación a la lectura El propósito de este apartado es propiciar el desarrollo de tu habilidad lectora mediante un texto que guarda relación con algunos de los contenidos que se trabajan en el bloque. El descenso en paracaídas. y se resolvían ecuaciones con coeficientes específicos. La idea de los parámetros es fundamental en matemáticas. D) consonantes. La aceleración que actúa sobre los cuerpos es la de gravedad. las cuales están numeradas para que las identifiques con mayor facilidad. lo que da veinticinco. 3 Presentación del bloque 2.indd 16 11/25/13 4:32 PM PM3STJCONA-PL02-17-32. no hay letras ni símbolos algebraicos. que es cinco. a lo largo de la edad de oro del mundo musulmán. esta es parte de una de sus explicaciones para resolver una ecuación cuadrática: “El método de resolución consiste en esto: toma la mitad de las raíces. Viète facilitó el estudio de las ecuaciones. 1 4 2 Invitación a la lectura Representación de ecuaciones cuadráticas en la historia D iversos personajes han hecho aportes al álgebra para desarrollarla como la conocemos. 16 1 Bloque Hace referencia al bloque de estudio correspondiente del libro. 3 Comprensión lectora Las preguntas que se plantean en este apartado tienen el propósito de que los estudiantes desarrollen competencias lectoras mediante la búsqueda y recuperación de información.. 1 A continuación te mostraremos el propósito de cada sección que integra el libro Matemáticas 3. ¿Cuál fue la aportación de François Viète al álgebra actual? A) Estudiar varias clases de ecuaciones C) Usar letras del alfabeto en el álgebra B) Solucionar ecuaciones específicas D) Plantear parámetros para geometría Aprendizajes esperados: 3. encontrarás una doble página muy atractiva. mutuamente excluyentes e independientes. Al-Khwarizmi indicaba con palabras el planteamiento y la solución de las ecuaciones. Su notación tiene diferencias en comparación con la actual. Después responde.” Como puedes ver. Mediante una ecuación cuadrática se puede determinar la altura de la que se lanzan los paracaidistas o su velocidad final. Por ejemplo. conocido como caída libre. pero no existía un modelo que representara “todas” las ecuaciones cuadráticas (de forma similar a como en geometría un diagrama de triángulo ABC representaba “todos” los triángulos). i Lee y subraya las respuestas correctas. Fue en el siglo XVI cuando se introdujeron los símbolos para plantear ecuaciones. de C. B) palabras.indd 17 11/25/13 4:33 PM El propósito de esta página es que conozcas lo que aprenderás y que compartas con tus compañeros y el profesor (y si lo decides también con tus familiares) los conocimientos del periodo que estudiarás.indd 14 17 PM3STJCONA-PL01-01-16. En su tratado sobre álgebra. el cuadrado y aeq significa “igual”. Las explicaciones sobre las ecuaciones cuadráticas en los tratados árabes incluían: A) símbolos. entre los años 700 y 1200 d. Al-Khwarizmi explica cómo resolver ecuaciones cuadráticas. 4 Fotografía Muestra una gran imagen relacionada con el título de la sección. Viète utilizó las letras del alfabeto para simbolizar términos variables y constantes: las vocales para representar incógnitas. ¿Cuál fue la principal aportación de los matemáticos árabes? • Explica la diferencia entre eventos complementarios. 1.. 14 SMAT3LRCONAPL01-001-016. El más recordado de los matemáticos árabes es Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi. la multiplicas por sí misma. en álgebra se estudiaban casos especiales. tradujeron y divulgaron los conocimientos de la Grecia antigua e India. Prohibida su venta 1/30/14 5:47 AM . q. Hasta entonces..En cada inicio de bloque. El patinaje sobre hielo surgió como medio de transporte en las zonas frías. a. a. Expónganlo al resto del grupo y valídenlo con argumentos geométricos. para que tengas una idea clara de su ubicación. Es una transformación que se da respecto de un punto o centro de simetría y que debe cumplir con las siguientes condiciones: a) Un punto P y su simétrico P’ deben estar a igual distancia del centro de simetría. i Socialicen sus anticipaciones y propongan maneras de verificarlas. Lluvia investigó algunas posiciones y movimientos básicos del patinaje artístico e hizo los trazos correspondientes para poder anticipar qué cuerpos se generan en el aire con los giros. aunque igual de correctos. llámenlo C. hagan lo que se indica y respondan. 180 PM3STJCONA-PL12-177-192. a. El ángulo que forman ambos con el centro de rotación es siempre el mismo.indd 180 11/25/13 4:49 PM 6 Lecciones Las lecciones presentan las situaciones didácticas necesarias para tratar de manera adecuada los contenidos.Sólidos de revolución 226 Eje: Forma.indd 84 11/25/13 4:40 PM Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL01-001-016. • Utilicen el procedimiento empleado en la estrella de la página anterior. O M Q P 11 Glosario Presenta definiciones de términos O’ N’ M’ Q’ matemáticos que pueden resultarte desconocidos para que complementes tus ideas acerca de los mismos. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos 8 9 Patinaje artístico 1. un semicírculo y un rectángulo. realicen lo que se pide. Organizados en equipo. al aplicar la simetría central se obtiene la misma figura con una rotación de 180°.indd 15 15 1/30/14 5:47 AM . 7. 7 Contenido: Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje. espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos 8 Contenido Se menciona el Eje. Por tanto. 10 Desarrollo A lo largo de la lección tendrás 10 oportunidad de explicitar tus ideas. son más eficientes que otros. Actualmente es un deporte olímpico. Lluvia asistió a un concurso de patinaje artístico y notó que las patinadoras. b. así como validar aquellos procedimientos que. 9 Inicio Se plantean actividades que te permiten resolver problemas al aplicar lo que conoces acerca del tema que se estudia en cada lección. Usen dibujos para validarla. lograban formar en el aire algunos cuerpos geométricos. la figura que se obtiene cumple con las condiciones de simetría central. si girara hacia la derecha. su simétrico P’ y el centro de simetría pertenecen a una misma recta. como se observa en la imagen. Analicen la información obtenida y compárenla con sus conclusiones y con el siguiente texto. i Socialicen sus respuestas y acuerden sobre los criterios que determinan que dos figuras tengan rotación. A B C D E F G H Rotar una figura significa moverla a la derecha o a la izquierda respecto de un punto específico o centro de rotación dado el valor del ángulo de giro. • Cuando la rotación es de 180°. b. al realizar algunos movimientos en distintas posiciones. En pareja. tracen en su cuaderno un ejemplo en el que se aplique la rotación. En pareja. el punto O que encontraron representa el centro de rotación. • Observen la fotografía de la patinadora. un triángulo rectángulo. Tema y Contenido a trabajar en la lección. Escriban qué cuerpo geométrico se puede generar con los trazos y completen la tabla. Trazo A B C D E F G 90° H A A’ Cuerpo geométrico B’ • ¿Es posible generar el mismo cuerpo con diferentes trazos? ¿Por qué? simetría central. En el caso de la estrella de la página anterior. B c. Investiguen en un medio impreso o electrónico las propiedades de la rotación y sus diferencias con la traslación y la simetría axial. Determinen el centro de rotación de las figuras. El centro de rotación de una figura 8. b) El punto P. probar distintos procedimientos para resolver las situaciones y desafíos matemáticos. P’ 84 PM3STJCONA-PL06-81-96. • Con base en lo anterior validen si el rehilete y la estrella cumplen con las propiedades de la rotación. utilizando como eje de rotación la punta de su pie. N 7 Título Cada lección tiene un título relacionado con el contenido que construirás con tus compañeros y profesor. 11 Una figura es rotación de otra si los vértices de las dos se encuentran a la misma distancia del centro de rotación y si cada uno de los ángulos que se forman al unir dos vértices correspondientes con el punto O miden lo mismo que el ángulo de rotación. ¿qué cuerpo geométrico generaría con su movimiento? • Comenten su respuesta con otros equipos. la escala de medida de un suceso siempre está comprendida entre 0 y 1. S).indd 31 11/25/13 4:33 PM • ¿Qué significado pueden asociar al hecho de que dos eventos tengan elementos comunes? ¿Y al hecho de que dos eventos no tengan elementos comunes? 13 i Socialicen sus conclusiones con el grupo. Determinen en cada caso. coméntalo con tus compañeros y juntos busquen la solución. (5. sin embargo pueden tardar un poco en abrir. • ¿Cuántos metros de cable reforzado se necesitan para la nueva carpa? Justifiquen su respuesta. La probabilidad de que ocurra un evento es igual al cociente del número de eventos favorables entre el total de eventos posibles. Si algún “Reto” te resulta difícil. Evento o suceso A: Cae un número par y sol. pondrás en juego lo aprendido en el bloque. con la intención de que integres saberes al resolver los problemas. S)} P(A) = 3 12 A c. La compañía circense decidió ampliar el espectáculo y. por el espacio muestral. (4. Mástil Armella Carpa de circo • Si la altura del mástil es de 16 m y la distancia entre la base del mástil y cada armella es de 13 m. Determinen el espacio muestral de lanzar un dado y una moneda al mismo tiempo. Obtener sol o águila al lanzar una moneda es un suceso seguro. Él sabe que se deben fijar los cables que sostienen cada mástil vertical a una armella colocada en el piso a cierta distancia de la base. En cada bloque se aborda un tema diferente. S). ya que buscan aplicar las herramientas matemáticas en la solución de problemas sociales y ambientales. C B d. las cuales no afectan a la computadora y se pueden descargar sin problemas. N 60° B 14 ¿Congruente o semejante? 35° D E Figura 1 C R A B Figura 2 b. A). 114 PM3STJCONA-PL08-113-128. a. Comenta en clase tus resultados y los procedimientos que empleaste. En él se plantean diversas situaciones. procedimientos y explicaciones para que enriquezcas el trabajo en clase y reafirmes o elabores tus conclusiones matemáticas. (6. www. com/archivoCAR/ Interactivo_Semejanza_ Triangulos_Factor_ Escala. el cual estudiaste en la lección 12. Resuelvan en equipo las siguientes actividades. a. • ¿Pueden darse al mismo tiempo los eventos A y B? Argumenten. D: Cae número impar y sol.indd 114 16 Para resolver las actividades de esta sección. la medida de ocurrencia de un suceso A se llama probabilidad de A y se representa como P(A). haz una construcción o composición geométrica con figuras semejantes y congruentes. (2. 4 000 5 000 SMAT3LRCONAPL01-001-016. (consulta: 14 de noviembre de 2013) 31 PM3STJCONA-PL02-17-32. (6. S). es/˜pepemar/ mateprimero/ trigonometria/angulos/ ang_semeja. Utilicen trazos en su descripción. escuchar puntos de vista. En tu cuaderno. (6. La sección puede trabajarse fuera del aula escolar. B = {(2. Mario trabaja en un circo y es el encargado de instalar la carpa. Con el trabajo diario podrás comunicar de manera clara tus argumentos matemáticos y validarlos en la clase. (6. Una empresa española le propuso el siguiente modelo. S). Si tienen dudas. Conoce tu libro Cuando se realiza un experimento aleatorio. (3. en las que se ponen a prueba los conocimientos adquiridos. y gradualmente aprenderás a redactar conclusiones como producto del debate escolar. i Socialicen sus respuestas y argumentos.indd 57 16 Para saber más 57 saber más 16 Para Esta sección se diseñó pensando en un conjunto de Aplicaciones del teorema de Pitágoras 11/25/13 4:35 PM actividades que te permitirán ir más allá de lo estudiado en las lecciones del libro.upct. Resultados posibles del evento Probabilidad A = {(2. coméntenlas con el profesor.tecnológico 14 Apoyo En esta sección se sugieren páginas electrónicas donde tendrás la oportunidad de ampliar tus conocimientos respecto a los contenidos estudiados. S). Completa los triángulos y justifica por qué se trata de una familia de figuras semejantes. i Discutan en grupo sus experiencias: anoten las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para aclararlas. A). • ¿Pueden darse al mismo tiempo los eventos F y E? ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra uno u otro? Justifiquen sus respuestas. por lo cual es necesario que tengas acceso a una computadora con Internet. Un evento imposible es aquel que no tiene ningún elemento dentro del espacio muestral. html. (3. PM3STJCONA-PL04-49-64.htm Discute con tus compañeros la información de las páginas y analicen sus ejemplos. A). ¿cuántos metros de cable debe usar Mario para cada soporte lateral? • Describan el procedimiento utilizado para contestar la pregunta anterior. En esta sección aplicarás tus conocimientos acerca del teorema de Pitágoras. ¿pueden darse al mismo tiempo ambos? Expliquen su respuesta. Discutan y registren acuerdos sobre las condiciones geométricas necesarias para construir figuras congruentes y figuras semejantes. Mario debe calcular la cantidad de cable que se necesitará para montar la carpa del circo según el siguiente diseño: En las lecciones se incluyen definiciones. además de profundizar en el estudio del álgebra. A)}. ya que son Interactivos o Applets. (2. • Si la línea roja representa un tipo especial de cable reforzado. 15 E = {(1. (5. A). Todas las direcciones web se revisan constantemente. por consiguiente. Por otro lado. Todas las direcciones electrónicas están vigentes y actualizadas. b. A). Si se tienen los eventos: H = {(1. Argumenten sus respuestas. 12 Complementarios y mutuamente excluyentes 4. En pareja. i Socializa tus respuestas y llega a acuerdos con el grupo. La validación es fundamental para construir los contenidos matemáticos que estudias.indd 16 13 000 10 000 36 000 13 000 Las actividades retoman contextos interesantes como determinar la posición de una persona o de un objeto mediate el uso de GPS. Comenta tus dudas en el salón de clases para que las resuelvan en grupo.dmae. ¿Cuánto debe medir? Describan el procedimiento que siguieron para encontrar el resultado. algunas páginas requieren instalar aplicaciones como Java o Descartes. • ¿La figura que trazaste es congruente a la figura original? D Argumenta. resuelvan los problemas. 15 Reto 1. • Determina los lados que son congruentes. podrás confrontar tus ideas 11 000 6 760 4 000 con las de tus compañeros. (4. F = {(4. • Con la información proporcionada. En pareja analicen el planteamiento que se propone y contesten en su cuaderno. Tirar un dado y obtener 7 es un evento imposible. C Reto M Cada lección cierra con un reto. usará una carpa más grande. Por ello. 12 Conceptos y procedimientos 1. escriban los datos faltantes en la tabla. En estos sitios encontrarás más información sobre figuras semejantes: tutormatematicas. a. Las medidas están dadas en milímetros: 11/25/13 4:42 PM Prohibida su venta 1/30/14 5:47 AM . S)} y G = {(4. S). A)} D A C: Cae un número mayor que 3 y águila. ¿se puede calcular el total de cable necesario para la carpa? ¿Por qué? 13 Socialización Al final de cada actividad. A). A)} • Comparen los eventos A y F. S)} c. de las formas geométricas y la representación de la información. Investiguen y comenten lo que entienden por eventos mutuamente excluyentes y registren sus acuerdos. cuáles figuras son congruentes y cuáles son semejantes. • Considera el segmento BC como eje de simetría y construye una figura simétrica a la que se muestra. } • S={ b. es decir. Es un evento seguro el que está formado por todos los posibles resultados. Analiza la figura y realiza lo que se indica. Considerando el espacio muestral. ¿tienen elementos en común? ¿Qué los hace diferentes? • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o F? Expliquen su respuesta. Socializan experiencias y argumentos. Visitan los sitios de Internet que se sugieren en Apoyo tecnológico y aplican lo aprendido a lo largo de la lección al resolver la actividad del Reto llamado “Medidas de los segmentos”. Describen las características de los triángulos construidos. Comparan respuestas con distintas parejas. Analizan una construcción y comprueban un planteamiento con base en las características de los trazos hechos. Con base en las características de una serie de trazos determinan si un conjunto de rectas son paralelas.indd 145 145 1/30/14 5:54 AM . Exponen y validan respuestas de forma grupal. El teorema de Tales Bloque: 3 Eje temático: Forma. Aplicación del teorema de Tales en diversos problemas Analizan el uso de rectas paralelas para cortar a dos segmentos que se unen para encontrar relaciones proporcionales entre ambos segmentos de recta. Comentan en grupo distintos resultados argumentando las ideas. Utilizan las proporciones entre medidas para establecer razones entre los lados de una serie de figuras. Aplican individualmente el teorema de Tales para encontrar las medidas de los segmentos solicitados. Calculan la razón de semejanza entre distintos segmentos de recta. Completan una tabla para establecer la razón de semejanza entre un conjunto de triángulos. En grupo comentan las aplicaciones del teorema de Tales y registran conclusiones. Siguen indicaciones para realizar los trazos que les permitirán resolver distintos planteamientos acerca de las razones de semejanza. Leen información acerca del teorema de Tales. En pareja analizan una serie de trazos y completan los enunciados. Describen las características de las razones de semejanza obtenidas. Trazan un segmento de recta en el cuaderno y utilizando el teorema de Tales. Encuentran relaciones de semejanza en diferentes figuras.Lección 16. 132 y 133 134 y 135 136 y 137 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL10-145-160. Describen el procedimiento como una aplicación del teorema de Tales. Utilizan los lados del triángulo trazado para construir otros triángulos semejantes. Comentan en grupo los procedimientos empleados para validar un planteamiento dado. Explican los procedimientos empleados. Segmentos y razones En pareja analizan una construcción geométrica y responden a los cuestionamientos argumentando y socializando las respuestas. espacio y medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Figuras y cuerpos Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales Desarrollo Sesión(es) 1 2 2 Actividades Páginas del libro Trazos y relaciones de semejanza Se reúnen en pareja para realizar distintos trazos que lleven a la construcción de un triángulo rectángulo. Analizan un enunciado y comprueban su veracidad. lo dividirán en siete partes iguales. Calculan la razón entre dos elementos. En grupo registran conclusiones acerca de la relación que existe entre segmentos trazados entre dos rectas cortadas por varias líneas paralelas. Registran las conclusiones obtenidas. Determinan el centro de homotecia y la razón de homotecia de dos figuras. Trazan una figura homotética en el plano cartesiano e identifican sus propiedades. espacio y medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Figuras y cuerpos Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas Desarrollo Sesión(es) 1 1 2 1 Actividades Homotecia y semejanza En parejas analizan un triángulo utilizando un plano cartesiano. Trazan semirrectas para construir figuras homotéticas con una razón de homotecia dada.Lección 17. Con base en el resultado de multiplicar las coordenadas de los vértices de una figura construyen una nueva figura para identificar relaciones y características de proporcionalidad y semejanza. ¿Cuál es cuál? Determinan si dos figuras son homotéticas. Completan una tabla identificando afirmaciones falsas o verdaderas. Exponen los procedimientos validando las construcciones con argumentos geométricos. Exponen el procedimiento para trazar polígonos en una construcción homotética. Figuras homotéticas Bloque: 3 Eje temático: Forma. Obtienen razones de semejanza con base en las medidas de un conjunto de segmentos correspondientes. Determinan la razón de homotecia con base en las medidas de las figuras. Construyen una figura homotética y calculan el centro y la razón de homotecia. Realizan Apoyo tecnológico y Reto. Explican las características invariables y las que varían en las construcciones homotéticas. Calculan el cociente de las razones entre lados de los polígonos. Determinan la razón de homotecia de distintos polígonos y explican el procedimiento. Trazan una semicircunferencia que interseca a cuatro semirrectas para construir un polígono. Presentan los trazos a los compañeros exponiendo el procedimiento seguido. Comparan las construcciones. Calculan la razón de homotecia y señalan el centro de la homotecia. Determinan las características que la figura homotética conserva con relación al polígono original. Identifican las propiedades del polígono inicial en una figura homotética. Reconocen las relaciones entre los lados de dos triángulos y la relación de la distancia entre el punto de intersección de los segmentos con dos puntos correspondientes en los triángulos. Leen acerca de la homotecia negativa. Comentan resultados grupalmente.indd 146 Prohibida su venta 1/30/14 5:54 AM . Figuras homotéticas con razón menor que 1 En equipo responden la actividad. Trazan un polígono homotético y otro polígono con cierta razón de semejanza. Leen información acerca del centro y el factor de homotecia. Con base en los trazos en una serie de imágenes homotéticas identifican al polígono original. Identifican diferencias en los procedimientos. Obtienen la razón de parejas de segmentos. Páginas del libro 138 y 139 140 y 141 142 y 143 144 y 145 Observaciones 146 SMAT3LRCONAPL10-145-160. Comentan y validan respuestas en grupo. Construcción de figuras homotéticas con compás En parejas trazan los segmentos de una serie de figuras homotéticas. Función de una gráfica Trabajan en parejas para completar una tabla con base en la expresión que modela una gráfica. Grafican dos funciones en el plano cartesiano para validar distintos razonamientos. Utilizan los valores propuestos en una tabla para determinar el comportamiento de una función. 146 y 147 148 a 150 151 y 152 153 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL10-145-160. Socializan argumentos. Responden a distintas preguntas acerca de la gráfica que modela una expresión algebraica de un objeto en caída libre. Determinan si una expresión algebraica dada corresponde a una función cuadrática. Elaboran en el cuaderno las gráficas asociadas a cada expresión. Leen información referente al ingreso bruto. Funciones cuadráticas en inversiones Trabajan en parejas para leer y utilizar información para responder a una serie de planteamientos. Gráficas En equipos grafican distintas funciones. Determinan el tipo de función que representa la gráfica. Utilizan distintas expresiones para modelar distintos planteamientos. Determinan el ingreso bruto con base en los datos de la gráfica. Determinan diferencia entre distintas gráficas. Leen un texto que hace referencia al signo del coeficiente del término cuadrático así como de los valores de los demás términos en una función cuadrática. satélites y las funciones cuadráticas Leen un texto y analizan la información expresada tanto en el planteamiento de la situación problemática como también en la información representada en la gráfica asociada. Gráficas de funciones cuadráticas Bloque: 3 Eje temático: Manejo de la información Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Proporcionalidad y funciones Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos Desarrollo Sesión(es) 1 2 1 1 Actividades Páginas del libro Equinoccios. Completan una tabla con base en los datos analizados.Lección 18. Analizan la gráfica asociada a un problema para responder a distintas preguntas referentes a las funciones. Ubican el cuadrante en donde se encuentran tanto el punto mínimo como el punto máximo de las gráficas. Trazan la gráfica de la función y analizan la información planteada. En Apoyo tecnológico analizan ejercicios propuestos y realizan la actividad del Reto. Funciones cuadráticas en otras situaciones Trabajan en parejas para leer y analizar la información contenida en un cierto planteamiento. Con base en la función seleccionada construyen una tabla para comprobar que la expresión es la correspondiente para la gráfica. Leen información referente a las funciones cuadráticas o funciones polinomiales de segundo grado. Analizan la gráfica obtenida para determinar el significado de los valores.indd 147 147 1/30/14 5:54 AM . Socializan argumentos y registran en el cuaderno las conclusiones grupales acerca de la forma de las gráficas en funciones cuadráticas. Socializan respuestas y argumentos. Con base en una función completan una tabla y grafican dichos datos. Expresan las características de distintas gráficas considerando ciertos rangos de valores para la variable independiente. Gráficas de llenado En pareja determinan la gráfica que corresponde al llenado de una cisterna. en Apoyo tecnológico. Socializan respuestas y argumentos para establecer acuerdos grupales. Reconocen una función lineal en cada segmento de recta de la gráfica. La producción de salmuera Leen en parejas información acerca del proceso para preparar salmuera. llenado de recipientes. Describen el comportamiento de las diferencias y el significado de cada gráfica. Curvas que modelan situaciones en movimiento Bloque: 3 Eje temático: Manejo de la información Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Proporcionalidad y funciones Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento. B. Interpretan la gráfica para extraer información y responder a distintos cuestionamientos. D. Analizan una gráfica que muestra el tiempo de fermentación de una col regular. Practican la construcción de gráficas de llenado. Páginas del libro 154 y 155 156 157 158 y 159 160 y 161 Observaciones SMAT3LRCONAPL10-145-160. Recorridos y trayectos Analizan un trayecto presentado en una gráfica. La camioneta de Demetrio En parejas analizan dos gráficas y responden las preguntas. Describen las características de la forma de la cisterna mediante las gráficas. Explican las diferencias entre las dos gráficas.Lección 19. Describen de manera individual las distintas situaciones que pueden modelarse con el análisis de dos gráficas. etcétera Desarrollo Sesión(es) 1 1 1 1 1 148 Actividades Fermentación ácido láctico En pareja leen sobre la industria alimentaria y el proceso de fermentación. Completan una tabla con base en los datos de la gráfica. Plantean problemas y preguntas con base en la información de las gráficas A. Reflexionan acerca de la fermentación utilizando los datos de las gráficas. Socializan los planteamientos validándolos en grupo. Elaboran la gráfica que representa el proceso de la elaboración de la salmuera. Determinan distancias y tiempos utilizando la información contenida en la gráfica. Leen un texto con información útil para la construcción de una gráfica. Pruebas de fermentación En equipo analizan cuatro gráficas y responden las preguntas con los datos de las gráficas. Ingresan a sitios de Internet con ejercicios para la construcción de gráficas. C. Socializan la gráfica y la validan en grupo.indd 148 Prohibida su venta 1/30/14 5:54 AM . Elaboran gráficas que describen el llenado de una pecera. Identifican patrones de crecimiento en los datos. Leen información y analizan una nueva gráfica. Escriben la función para cada segmento. Responden a diferentes planteamientos utilizando los datos de la gráfica. y resuelven la actividad del Reto llamado “Velocidad y tiempo”. Extraen información de una tabla para responder a una serie de cuestionamientos que lleven a la construcción de la gráfica. señalando la correspondencia de los diferentes eventos. Probabilidad de eventos independientes Bloque: 3 Eje temático: Manejo de la información Duración: 1 semana Número de sesiones: 7 Tema: Nociones de probabilidad Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto) Desarrollo Sesión(es) 1 2 2 1 1 Actividades Páginas del libro Lanzamiento de un dado En parejas determinan un evento con base en el análisis de una gráfica. Socializan resultados y registran acuerdos. Socializan y verifican ejemplos. Completan una tabla al escribir la probabilidad teórica de cada resultado. Resuelven la evaluación tipo PISA del bloque 3. Escriben la probabilidad teórica de los distintos eventos independientes. Determinan la probabilidad de distintos eventos en un experimento aleatorio. Comparan argumentos con otros compañeros. 162 163 a 165 166 y 167 168 y 169 170 y 171 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL10-145-160. Resuelven la actividad de la sección “Para saber más”. Escriben la probabilidad teórica de que sucedan diversos eventos. Argumentan sus respuestas. Leen información referente a los eventos independientes y la regla del producto. Las urnas y la moneda Leen un texto para responder a los cuestionamientos. Aplicación de la regla del producto Resuelven en equipo distintos problemas que requieren la aplicación de la regla del producto. Eventos independientes y compuestos En pareja completan una tabla con el espacio muestral del experimento descrito. Explican los problemas anteriores con base a lo leído. Aplicando la regla del producto calculan la probabilidad de distintos eventos en los planteamientos propuestos.indd 149 149 1/30/14 5:54 AM . Socializan respuestas en grupo. Sustentan el porqué de que suceda un evento compuesto. Utilizan el modelo de lanzamiento de dados para plantear dos eventos que sean independientes. Completan un diagrama de árbol para comprobar la probabilidad de que ocurran diferentes eventos. Determinan los posibles resultados así como la probabilidad teórica de que sucedan. Completan una tabla para determinar la probabilidad de un evento en una situación dada.Lección 20. Leen acerca de los eventos independientes y argumentan la veracidad de tal afirmación. Interactúan con una página para reforzar las aplicaciones de la regla del producto de la información en el apartado Apoyo tecnológico y aplican lo aprendido a lo largo de la lección al resolver la actividad del Reto llamado “Regla del producto”. Socializan y registran en grupo los acuerdos. dan 180 grados por el triángulo grande que forman. y el historiador Heródoto narra que predijo a los jónicos el año en que sucedería un eclipse solar. Conocía muchas de las bases de la geometría. ¿Cuál es la diferencia entre la geometría egipcia y la de Tales? R. si la información proporcionada es clara y completa y si estuvieron lo suficientemente concentrados en la lectura. 118 PM3STJCONA-PL08-113-128. de O a B y de O a C. Si requieren dar una segunda lectura después de haber leído las preguntas. en consecuencia. Se cuenta que Tales aplicó esto al comparar la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides de Egipto y medir. B B a A O C A O i Subraya la respuesta correcta y contesta. Por sus saberes en áreas como comercio. dos de sus ángulos son iguales como se muestra en la figura de la derecha. Invite a sus estudiantes a trazar un par de circunferencias con cualquier diámetro en el cuaderno. astronomía y geometría. Asia Menor (en lo que hoy es Turquía) y murió en el año 548 a. Tales de Mileto N ació alrededor del año 624 a. de C.indd 118 12/24/13 2:42 PM 1/30/14 5:54 AM . entonces el triángulo ABC. Así. ¿Quién narró cómo Tales predijo un eclipse de sol? Pida a los estudiantes que comenten brevemente si les pareció complicado el texto. El primero se refiere al establecimiento de la proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas.El trabajo con el libro del alumno 3 Información complementaria Invitación a la lectura Los alumnos harán uso de sus juegos de geometría al finalizar el texto sobre Tales de Mileto. 1. Tales predijo cómo sería la cosecha de aceitunas. hacia el 585 a. Llevó de Egipto a Grecia múltiples conocimientos de geometría. Además. Pero Tales se dedicó mucho menos al estudio de las superficies y mucho más a las líneas y a las curvas. en Mileto. luego medirán con su transportador el ángulo ABC. es la misma. por tanto. que localicen cualquier punto sobre la circunferencia y que unan los puntos A. los triángulos formados son triángulos isósceles y. permita que lo hagan. Tales de Mileto hizo notables contribuciones a la geometría. A) Aristóteles SMAT3LRCONAPL10-145-160. por semejanza. empleando sus conocimientos astronómicos. ingeniería. de C. como el hecho de que cual- Explique a los estudiantes que la demostración de uno de los teoremas que se menciona en la lectura es muy sencillo y bonito. Explique que con la práctica irán perfeccionando su lectura y. ¿Cuánto miden los ángulos de todos los triángulos que se trazaron en el salón? Explique paso a paso la demostración. distinto de A y de C. con lo que acumuló una gran fortuna y demostró la utilidad del saber. Entonces 2 veces alfa más 2 veces beta. Existen varias anécdotas sobre su vida. B y C. La proporcionalidad entre los segmentos de rectas paralelas cortadas por una transversal Solicite que respondan las preguntas que se ofrecen en la página. siempre la distancia de A a O. L. dio una explicación científica de un eclipse. de ahí que alfa más beta = 90 grados (solo se despejó) y. pues es el radio de la circunferencia. de C. El segundo teorema se refiere a que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que lo circunscribe es un triángulo rectángulo. fue considerado uno de los Siete Sabios de Grecia. su comprensión lectora. b b a quier diámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular.indd 150 Prohibida su venta C) Los jónicos D) Quíos 3. El teorema enuncia que: “Sea B un punto sobre la circunferencia de diámetro AC. es un triángulo rectángulo”. así que en el invierno compró todas las prensas de aceite de Mileto y Quíos. ¿Qué opción no representa ámbitos en los que destacó Tales de Mileto? C A) Comercio y geometría C) Ingeniería y comercio B) Astronomía e ingeniería D) Ingeniería y aritmética 2. pues los alumnos ya tienen los conocimientos que se necesitan. por tanto. la altura de las pirámides de Egipto. Los egipcios habían aplicado algunos de estos conocimientos para la división y parcelación de sus terrenos. 150 B) Heródoto y el triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia cuya hipotenusa representa su diámetro. el ángulo ABC es rectángulo. con lo que su geometría alcanzó mayor grado de complejidad y abstracción. si lo consideraron interesante. Las aportaciones de Tales generaron dos teoremas que llevan su nombre. Aristóteles narra que. Se dice que Tales fue el primero en dividir el año en estaciones y en 365 días. Lo primero es darse cuenta de que no importa cuál punto B se elija. y en la época de la recolección las alquiló. 4. Indica dos contribuciones por las que crees que Tales de Mileto es considerado uno de los Siete Sabios de Grecia. Propuestas didácticas Diga a los estudiantes que den lectura a los aprendizajes esperados en el bloque y que expliquen la información o los conocimientos que tienen al respecto. Presentación del bloque SMAT3LRCONAPL10-145-160.indd 151 Luego dé lectura al recuadro que describe la fotografía y explique que el teorema de Tales se estudiará en una lección más adelante. similar a la de Croacia. Illinois. de modo que valdrá la pena retomar el planteamiento del recuadro una vez que se estudie para saber de qué manera es posible conocer la altura de los edificios utilizando sus sombras. en Chicago. tiene 281 metros de profundidad y 4 918 kilómetros cúbicos de agua. Aprendizajes esperados: • Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. Wisconsin y Michigan. Aplicando el teorema de Tales es posible determinar la altura de grandes edificios con base en la sombra que proyectan. Illinois. está rodeado por los estados de Indiana. río? ¿Qué hora del día podría ser y en qué época del año se pudo haber tomado la fotografía? ¿Desde qué punto se tomó la fotografía? ¿Qué parte del mundo podría ser? ¿Qué se puede determinar a partir del patrón de ondas que se forman en el agua? ¿Qué pasa con el espacio que queda entre las barras en relación con el patrón de ondas que se forma en ese punto? Vista aérea del lago Michigan. es el quinto lago más grande del mundo. Es uno de los cinco lagos más grandes de Norteamérica (los otros lagos se comparten con Canadá). 12/24/13 2:42 PM Prohibida su venta 151 1/30/14 5:54 AM . Pídales que analicen la imagen de la entrada del bloque 3 y que le den toda la información que puedan extraer de la imagen sin leer el recuadro que la describe. lago. EUA.indd 119 Información complementaria El lago Michigan tiene una superficie de 57 750 kilómetros cuadrados. Es el único lago que se ubica completamente dentro del territorio de Estados Unidos. • Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura. Formule preguntas como: ¿Qué hay en la imagen? ¿De qué son las sombras? ¿Para qué sirven las barras que aparecen en el agua? ¿Parece mar. 119 PM3STJCONA-PL08-113-128. porque 120 × 80 = 9 600 i Socializa con el grupo tus respuestas. En esta ocasión debe entregar un espejo rectangular con una superficie de 9 600 cm2. si hay una fórmula. cada uno representado por un monomio. ponga a discusión grupal por qué consideran que se pide igualar a cero y en qué casos tendría sentido hablar de una solución negativa. de Cancún a Tijuana. 152 SMAT3LRCONAPL10-145-160. ¿qué signo deben tener los factores de los binomios? ¿Por qué? Uno positivo y uno negativo.indd 120 12/24/13 2:42 PM 1/30/14 5:54 AM . porque es 97. R. Ecuaciones cuadráticas 1. No. b. • ¿Cuál de los valores encontrados para r se considera para la medida del espejo? 80 • ¿Cuáles son las dimensiones de largo y ancho del espejo? Justifica. r + 40r – 9 600 = 0 Pida a los adolescentes que determinen de los cuatro marcos de espejo que aparecen en la imagen. a. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones Recuerde a los jóvenes que un monomio es una expresión algebraica con un término que tiene exponentes naturales y variables literales. es decir. 2.. cuál o cuáles corresponden al problema planteado en el punto 1 y que expliquen por qué. Raúl se dedica a la fabricación de espejos para decorar interiores. De esta forma Ramón tardó un tiempo total de ida y vuelta de 14 horas. fue 60 km/h más rápido que el vuelo de ida. • ¿Qué factores obedecen a la condición anterior? 120 y –80 Una vez que hayan resuelto las actividades correspondientes al punto 1. Baja California. es decir cuando r es menor que cero. Escribe la expresión algebraica que modela la situación. Lean en pareja la información y resuelvan en su cuaderno. Dados los factores del binomio. iguala cada uno con cero y obtén en cada caso los valores que puede adquirir r: (r + 120) = 0 y (r – 80) = 0. L. Lee la información y resuelve. ¿tiene sentido el valor negativo de r? Argumenta. r(r + 40) = 9 600 • Si la expresión anterior se escribe como un trinomio. Que sumandos den 40 y multiplicados den –9 600. • ¿El término 9 600 tiene raíz cuadrada exacta? Explica. haga notar que en el cuadrado no es posible que el largo sea mayor que el ancho. Comenten si creen que exista una manera más simple de resolver ecuaciones cuadráticas. los valores de r son –120 y 80. y en el que tiene líneas curvas se necesitaría otro tipo de información para conocer su área. • Si la expresión anterior se factoriza. Quintana Roo. ¿cuál es la expresión que 2 resulta? Iguálala con cero. El vuelo de regreso. Una vez que hayan dado sus ideas. cuyo largo es 40 cm mayor que el ancho. • ¿Qué condición tienen que cumplir los factores para ser la solución del problema? Pregunte al grupo si es necesario calcular la raíz cuadrada de 9 600 para responder la penúltima pregunta del inciso a o basta con saber si 96 tiene raíz cuadrada entera. debido a su empleo requiere viajar a Cancún.. Ramón trabaja en Tijuana. un binomio es una expresión algebraica con dos términos que se suman o restan y un trinomio cuenta con tres sumandos. Justifica tus respuestas. 80 y 120. que mide r centímetros.97. No.indd 152 Prohibida su venta 120 PM3STJCONA-PL08-113-128. • En el contexto del problema. porque no hay longitudes negativas.14 Propuestas didácticas Ecuaciones de segundo grado Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Contenido: Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. como los que se muestran. La distancia que hay de una ciudad a otra es aproximadamente de 4 400 km. lo cual modifica el tiempo de vuelo en la ida con respecto a la vuelta. L. cuando las cantidades que se involucran son muy grandes se puede utilizar la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas. b y c son los coeficientes de la ecuación de segundo grado. No • ¿Cuáles son los valores de v? ¿Cuál es la velocidad del avión en el trayecto TijuanaCancún? 600 y –31. no necesariamente se toma la misma ruta de ida que de vuelta y la otra es el viento.indd 153 12/24/13 2:42 PM Prohibida su venta 153 1/30/14 5:54 AM . Lean la siguiente información con la finalidad de enriquecer lo realizado: R. lo cual se refleja en el denominador. pues no es lo mismo volar con el viento a favor que en sentido contrario. uno positivo y uno negativo • ¿Ambos resultados son positivos?.indd 121 SMAT3LRCONAPL10-145-160. se debe de considerar el signo que antecede a los términos para los valores de los coeficientes a. v(v + 60) • Si ambos miembros de la expresión anterior se multiplican por v(v + 60). Comenten las ventajas de resolver una ecuación cuadrática por medio de la fórmula general y registren sus acuerdos. 121 PM3STJCONA-PL08-113-128. ¿es posible que con la factorización se pueda determinar la velocidad solicitada? No es posible. debido a varios factores. 600 km/h b. la velocidad es un vector que está conformado por una magnitud escalar que representa la rapidez y una dirección. un número que nos indica la distancia que avanza un móvil en un cierto intervalo de tiempo. r = – 40 ± 40 – 4(1)( – 9 600) r1 = 80 2 r2 = –120 i Comparen y contrasten sus respuestas. Retomen el problema de la primera actividad de la lección y resuélvanlo con la fórmula 2 general. Sí. Haga notar que ya que la velocidad es igual a la distancia entre el tiempo. la cual es: 2 x = –b ± b – 4ac donde a. f. sin embargo. cuando en realidad nos referimos a la rapidez. Para determinar la velocidad. y lo único que se está haciendo es sumar los tiempos. Generalmente utilizamos la palabra velocidad. Resuelvan la expresión algebraica de la respuesta anterior e iguálenla con cero. Dos. Cuando se tiene una ecuación de segundo grado y esta se resuelve a través de la fórmula general. ¿qué significa ello? Justifiquen. y c. de ahí que la rapidez es igual a la distancia entre tiempo. R. sin embargo. algunos son el tanteo y la factorización. La rapidez es una razón de cambio. c. el numerador es el mismo porque la distancia permanece igual tanto de ida como de vuelta. el tiempo es igual a distancia entre velocidad. L. El 2a signo ± de la fórmula significa que x puede obtener hasta dos valores y por ello la expresión se debe resolver para: 2 – – b2– 4ac . de ahí que el problema plantea una velocidad diferente en la ida y en la vuelta. lean el siguiente texto y discutan las dudas que surjan.42. • Argumenten y justifiquen por qué de la expresión anterior es posible obtener la siguiente: 4400(v + 60) + 440 (v) = 14. i Comparen sus respuestas. • ¿A qué velocidad viajó el avión de Tijuana a Cancún? Justifiquen.a. Las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas se resuelven por diferentes métodos. En el inciso b se muestra una expresión algebraica con dos fracciones que se están sumando en las que aparece la velocidad v. v v + 60 • ¿Cómo se obtuvieron los términos de cada lado de la expresión? R. porque un término está elevado al cuadrado. Utilicen la fórmula general para resolver la expresión: 14v – 7960v – 264000 = 0 y de esta última determinen el valor de a: 14 b: –7969 c: –264 000 En física. Consideren que la velocidad se obtiene de la relación t = d donde v es la velocidad. d v es la distancia y t es el tiempo. • ¿Qué valores puede obtener v? Expliquen. uno puede ser la ruta. 14v2 – 7960v – 264000 = 0 • ¿Obtuvieron una expresión algebraica de segundo grado? Expliquen. 600 km/h • ¿Cuál es la velocidad del avión de Cancún-Tijuana? 660 km/h e. la velocidad de vuelta fue mayor que la de ida. x = –b + b – 4ac y x = b 2a 2a Información complementaria 2 d. L. ¿qué expresión algebraica resulta? 4 400(v + 60) + 4 400v = 14v(v+ 60) Propuestas didácticas Explique al grupo que los vuelos en avión pueden variar en tiempo si se compara la ida con la vuelta. • A partir de la expresión anterior. para fines prácticos. b. es necesario relacionar el tiempo de ida y vuelta con la expresión: 4400 + 4400 = 14. ¿Para cuál o cuáles casos.4 y –4. Lo importante es.indd 122 12/24/13 2:42 PM 1/30/14 5:54 AM . entonces ese número puede ser tanto positivo como negativo.4 c = 49 a= 1 h2 + 30h + 200 = 0 –30± 302 – 4(1)(200) 2 b = 30 Dos –10 y –20 c = 200 a = 25 Ponga varios ejercicios en el pizarrón en los que la ecuación cuadrática no esté igualada a cero ni los términos semejantes estén reducidos. La ecuación general no puede aplicarse si la ecuación no se ha igualado a cero. 25q2 + 70q + 49 = 0 b = 70 –70± 702 – 4(25)(49) 2(25) Una –1. 154 SMAT3LRCONAPL10-145-160. si es necesario pidan ayuda a su profesor para validar su información. no tiene parte literal.indd 154 Prohibida su venta 122 PM3STJCONA-PL08-113-128. b= 4 –4± 42 – 4(1)(–2) 2 Dos 0. da el número que está dentro de la raíz. por ejemplo. además de aplicar correctamente la fórmula general. Encuentren las soluciones de las ecuaciones y completen la tabla. y a es el coeficiente del término cuadrático. b es el coeficiente del término que tiene por exponente uno y c es el número que no está multiplicado por la incógnita. y en los que haya que identificar los coeficientes a. • se tienen dos soluciones diferentes con valor negativo? Para la cuarta • se tiene una solución con valor negativo y otra con valor positivo? Para la segunda • se tienen dos soluciones y ambas con el mismo valor positivo? Ninguna • se tienen dos soluciones y ambas con el mismo valor negativo? Ninguna • se tienen dos soluciones diferentes con valor positivo? Para la primera i Socialicen sus respuestas con el resto del grupo..4 c = –2 a = 25 25d2 – 70d + 49 = 0 Aclare a los estudiantes que los coeficientes a. porque la raíz cuadrada significa que hay un número que. la raíz cuadrada de 81 es 9 y –9 porque 9 × 9 = 81 y (–9) × (–9) = 81. se utilizan dos signos. el resultado –5 no tiene sentido aunque sea solución a la ecuación de segundo grado. a. b y c. para que los estudiantes se familiaricen con los coeficientes antes de aplicar la fórmula general en las ecuaciones de la página. multiplicado por sí mismo.. b y c. Propuestas didácticas Ecuación cuadrática Explique al grupo que en la fórmula general. si queremos conocer la longitud del lado de un polígono.La fórmula general 3. los resultados negativos pueden no tener sentido. corresponden a cada uno de los términos de la ecuación que se ha igualado a cero. –(–70)± (–70)2 – 4(25)(49) 2(25) b = –70 Una 1.4 c = 49 b. saber interpretar los resultados. por ejemplo. 2 20w = 20(5w – 6) Valor de: a = 20 Sustitución de valores en la 2 fórmula = –b ± b – 4ac 2a –(–100)± (–100)2 – 4(20)(120) 2(20) Número de soluciones y signo de las mismas Dos 3y2 b = –100 c = 120 a= 1 x2 + 4x – 2 = 0 Cuando se habla de longitudes. Reúnanse en equipo y realicen lo que se indica. más y menos. tiempos o cantidades relacionadas con los números naturales. • 2g2 = –5 –40. ninguna solución Elija a uno de los estudiantes para que dé lectura de la información que aparece en color azul y tengan más elementos que aporten información sobre la solución de la ecuación a través del discriminante. si b2 – 4ac = 0 la ecuación cuadrática tiene una sola solución y si b2 – 4ac < 0. • Solo una solución que puede ser positiva o negativa. dos soluciones o ninguna solución. usted puede poner a prueba los alcances que tienen en la manipulación de la fórmula poniendo ejemplos como: y Una manera de anticipar si una ecuación cuadrática tiene dos soluciones. ¿cuál es el valor del coeficiente c? Cero • ¿Es posible que en una ecuación cuadrática el coeficiente del término cuadrático a sea cero? No 123 PM3STJCONA-PL08-113-128. es un buen ejercicio de concentración. Cuando una expresión algebraica de segundo grado se grafica. una solución negativa y otra positiva. una solución o ninguna. • De la expresión 2g2 = –5. Permita que den todo tipo de ideas antes de aclararles el motivo. 6 5 –ax2 – bx = c bx2 + cx + a = 0 bx2 + ax + c = 0 cx2 + ax + b = 0 4 Si b2 – 4ac > 0 la ecuación cuadrática tiene dos soluciones.indd 155 12/24/13 2:42 PM Prohibida su venta 155 1/30/14 5:54 AM .El discriminante en la fórmula general 4. Una ecuación cuadrática puede tener las soluciones que se mencionan en seguida: Propuestas didácticas • Dos soluciones positivas o dos negativas. una vez o ninguna. dos soluciones • 8n2 – 10n = –10 –220. respondan las siguientes preguntas que refieren al discriminante: D = b2 – 4ac. tanto en la identificación de los coeficientes. o bien. • f = 0 0. De los resultados que obtuvieron. • Ninguna solución. la igualación a cero y la aplicación de la misma. Suele suceder que hay confusiones sobre qué son a. dos soluciones • j2 + 6 = 8j 40. b y c de la fórmula en relación con los de la ecuación porque se usan las mismas literales. determinen cuáles de las siguientes ecuaciones cuadráticas tienen dos soluciones. en la fórmula general. asociación en el que la identificación de los coeficientes no debe ser mayor problema cuando se tiene bien comprendido el tema. ninguna solución 2 • –3a + 8a – 10 = 0 –56. b. una solución 2 Pregunte al grupo por qué creen que se utiliza el discriminante para saber si una ecuación de segundo grado tiene una solución. como se muestra a la derecha. sin embargo. una solución o ninguna solución es encontrar.indd 123 SMAT3LRCONAPL10-145-160. Con base en la información sobre el discriminante. la curva que se genera interseca al eje de las abscisas (eje x) dos veces. ya que dan mucha idea de cómo son las soluciones a diferentes ecuaciones de segundo grado. Una vez que han trabajado con la fórmula general. 3 2 Ninguna solución 1 –4 –3 –2 –1 Una solución 0 1 2 3 Ecuaciones para las cuales deberán identificar los coeficientes que van en la fórmula general. siendo D = b2 – 4ac. Lean la siguiente información y realicen lo que se solicita. la ecuación cuadrática no tiene solución. lo que se conoce como el discriminante (D). ninguna solución • c2 – 3c = 0 9. x –1 –2 Dos soluciones –3 a. Apóyese en las funciones que se grafican. A estas intersecciones se les conoce como solución de la ecuación cuadrática o raíces de la ecuación cuadrática. ¿cuál es el valor del coeficiente b? Cero • Para el caso c2 – 3c = 0. Justifíquenlas. Y. Ojo. en su cuaderno. es decir. donde i es igual a la raíz cuadrada de –1. fraccionarios o decimales. x2 + (22. la raíz cuadrada se elimina y la ecuación tiene una sola solución porque ya no está la opción de más menos. el –27 es un número que pertenece al conjunto de los números reales. pidan ayuda a su profesor para validarlas. 2x2 – 6x + 9 = 625 La expresión anterior. mientras que el ancho mide 3 m menos que el largo. Dos. Dos.indd 124 12/24/13 2:42 PM 1/30/14 5:55 AM . i Registren sus conclusiones y valídenlas en grupo. el hecho de que la ecuación de segundo orden tenga dos soluciones. donde t es el tiempo medido en años. utiliza la expresión algebraica 500t2 – 600t = 6500. finalmente. si el discriminante es positivo o mayor que cero. –16. no significa que necesariamente el problema tenga dos soluciones. ¿cuáles son los –3. Haga notar que todo este planteamiento se refiere específicamente a la raíz cuadrada de un número porque sí puede haber raíces cúbicas de un número negativo. tal es el caso de ␲. es por ello que si el discriminante es menor que cero. 1 4 • ¿Cuántas soluciones tiene la expresión algebraica? Justifiquen su respuesta.52)2 = x2 • Escriban la expresión algebraica que modela el lado del triángulo. Se prevé que aumente la población y después de un tiempo disminuya como producto de la actividad económica pesquera.indd 156 Prohibida su venta 124 PM3STJCONA-PL08-113-128. los siguientes problemas. se dice que no tiene solución en los números reales.11 y 19. 2g = –5 y –3a + 8a – 10 = 0. Un número complejo es la suma de un número real más un número imaginario. denotado por la letra i. porque (–3) × (–3) × (–3) = 9 × (–3) = –27. • • • • ¿Qué expresión algebraica modela la situación? Expliquen su respuesta.2 • ¿Qué casos tienen dos soluciones positivas? j + 6 = 8j • ¿Cuántas soluciones tiene 8n2 – 10n = –10? Ninguna 2 2 2 • ¿Qué casos no tienen solución y por qué? 8n –10n = –10. Resuelvan en pareja. para el cual sí es válida la raíz cuadrada de un número negativo. y es una solución real. Comente a los alumnos que se especifica que no hay solución en el conjunto de los números reales porque existe otro conjunto.255 y • Si utilizan el discriminante para verificar la respuesta anterior. siendo estos los números naturales. 500 y –6 500 • ¿Para qué año la población de peces será la misma que la estimada en enero de 2013? 4. ¿cuántas soluciones tiene? Justifiquen su respuesta. Cuando es necesario obtener la raíz cuadrada de un número y este es negativo. i Socialicen con el resto del grupo sus respuestas. Dos • ¿Cuál es la medida de los lados del triangulo? 26 cm i Socialicen con el resto del grupo sus respuestas y con la ayuda del profesor verifiquen la veracidad de sus resultados. • ¿La expresión que ha modelado Germán es una expresión lineal. La altura de un triángulo equilátero es de 22. Germán es biólogo marino y estudia la población de cierta especie de pez. Cuadrática • ¿Cuántas soluciones tiene la expresión anterior? Justifiquen su respuesta. Analicen con su profesor la siguiente información y compárenla con los casos en los que determinaron que no hay soluciones.44 m c. que es lo mismo. la ecuación tiene dos soluciones porque habrá que considerar el signo positivo de la raíz cuadrada y el signo negativo. Haga notar que se utiliza el discriminante para obtener la información descrita en el libro por la raíz cuadrada. 156 SMAT3LRCONAPL10-145-160.52 cm. Para estimar la población de este animal para el año 2013. puede darse el caso que solo una de las soluciones tenga sentido para el problema en concreto. La diagonal de un terreno rectangular mide 25 m. la ecuación de segundo grado no tiene solución. a. Si el discriminante es negativo o menor que cero. porque el discriminante es negativo. Propuestas didácticas c. cuadrática o de otro tipo? Justifiquen su respuesta. la raíz cúbica de –27 es igual a –3.86 m2 ¿Y el perímetro? 70. Discriminante y la fórmula general 5.055 valores que se sustituyen en dicha expresión? –600.25 años b. 4.11 ¿Cuál es el área de dicho terreno? 307. por ejemplo. Si el discriminante es cero. así como los irracionales. la ecuación no tiene solución porque no existe ningún número real que multiplicado por sí mismo dé un número negativo. Si es necesario. el conjunto de los números complejos. Leonhard Euler (se pronuncia “oiler”).06. i Comenten sus respuestas y con la ayuda del profesor verifiquen los resultados. decía que la raíz cuadrada de –1 era una especie de anfibio entre el ser y la nada. Si das clic en el botón de “Reiniciar”. Ecuación 2 2x + 3x + 7 = 0 3 6d(d – 1) = 21– d 8z2 – z = 0 y2 = –10 3q2 = 1 2w2 + 3w = 7 3 Propuestas didácticas Solución y justificación Ninguna. Ninguna. Sí. el discriminante es –9. puede usted pedirles que paralelamente hagan uso de la fórmula general para verificar que se llega al mismo resultado. 0 y 300 es 900. donde i es el número imaginario. realicen lo que se solicita. Consideren explicitar las ventajas o desventajas de aplicar la fórmula general para resolverlas.indd 125 SMAT3LRCONAPL10-145-160. magnetismo. 0. tanto en electricidad. Información complementaria • Situación 1: • Situación 2: • Situación 3: i Elaboren en grupo una conclusión sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas. Comparte con tus compañeros tus resultados y valida con ellos la veracidad de tus respuestas. 1 0 y 8 . De las siguientes expresiones algebraicas. Analiza y resuelve el problema. Escribe las operaciones que consideres necesarias en tu cuaderno. b. discriminante b.6. pues no le daba un sentido real. como en cuántica.57. L. solicitó al área de ventas que modele por qué con algunos distribuidores no hay ganancia y de ello resultó la siguiente ecuación: g = 30e – ( 1 )e2 10 donde g es la ganancia y e representa los electrodomésticos. el discriminante es 529. L. Reunidos en pareja. R. Si bien es importante que aprendan a utilizar el discriminante de la fórmula para obtener más información de la ecuación y que aprendan a aplicar la fórmula general para darle solución. a. los números complejos e imaginarios adquieren mucho sentido y representan situaciones reales de modelos físicos que tienen sentido en la aplicación tanto teórica como experimental. Por ello. para el cual la parte real es igual a cero. Dos. en física es un número muy empleado. (consulta: 14 de noviembre de 2013) 125 PM3STJCONA-PL08-113-128. decía que era un número que no existía.html Resuelve el problema que se plantea y verifica tu resultado. porque el a.56 y –2.5 y 2 1 3 . fue quien designó como número imaginario a la raíz cuadrada de –1 en 1 777. el discriminante es 27. es válido. Si los estudiantes resuelven alguno de los problemas sin aplicar directamente la fórmula general. en ese caso. ¿La ecuación tiene soluciones? Justifica tu respuesta. el discriminante es 1. solicita ayuda a tu profesor. Gottfried Leibniz (se pronuncia “laibniz”) en el siglo XVII. determinen por medio del discriminante cuáles no tienen solución y calculen el valor de las que sí tengan. –1. el discriminante es –40. Un número complejo se escribe como z = x + iy. R. Un número imaginario también es un número complejo. Un fabricante de electrodomésticos se ha percatado de que con ciertos distribuidores las ganancias que obtiene no son buenas. los datos del problema cambian. De ser necesario. también son válidos otros métodos o procedimientos que quieran utilizar. Elabora una conclusión sobre cómo interpretar las soluciones obtenidas. Al menos resuelve tres problemas.57 y –0. c. Sin embargo. 0. En el siguiente sitio podrás practicar el tema en el interactivo “Baldosas algebraicas”. Reto Ganancias a largo plazo 1. telesecundaria.sep. dgme.6.mx/ interactivos/3_ tercero/3_ Matematicas/ INTERACTIVOS/3m_b03_ t02_s01_descartes/ index.gob.indd 157 12/24/13 2:42 PM Prohibida su venta 157 1/30/14 5:55 AM . ¿Cuántas soluciones hay? Explica por qué. Otro matemático.66. óptica y otras ramas. el discriminante es 12. porque recupera la inversión a muy largo plazo o no hay ganancia. i Socializa con el resto del grupo tus respuestas y valídalas con ayuda del profesor. Elijan tres ecuaciones de la tabla y planteen una situación que se pueda modelar con cada una. y le llamó la atención que estas son huecas por dentro. Una fotografía interesante 1. y en caso de que no se haya dado una propuesta similar a la del libro. 3. P Invite a los adolescentes a dibujar en sus cuadernos cualesquiera triángulos rectángulos construidos como se hace en el problema y que verifiquen si los lados correspondientes son proporcionales entre sí. y que las apliquen para verificarlo posteriormente. espacio Tema: Figuras y cuerpos Contenido: Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas Elija a algún estudiante para que dé lectura del planteamiento del problema 1 sin llegar al inciso a. Luego dé instrucciones de realizar las actividades de la página. • Tracen otro segmento que pase por los puntos FGHIJ. Pregunte entonces al grupo de qué manera ellos podrían comprobar que efectivamente las muñecas rusas son semejantes entre sí tal como lo afirma Lluvia.5. muñecas tradicionales rusas. por lo que se dice en la explicación anterior. Al punto de intersección llámenlo P. • ¿Con base en los datos anteriores se puede afirmar que las muñecas son semejantes? ¿Por qué? Sí.4 6. 6. • Prolonguen los segmentos hasta que se intersequen. 5.15 Propuestas didácticas Congruencia y semejanza de triángulos Ej i y medida did Eje: FForma. BG. 158 SMAT3LRCONAPL10-145-160.6. desde el momento en que comparten dos ángulos: Haga el trazo en el pizarrón. Lluvia dice que las matrioskas son semejantes. pregunte a los alumnos por qué esos pasos llevan a la comprobación de que las matrioskas son semejantes entre sí. DI y EJ. 4. CH.indd 126 1/9/14 11:37 AM 1/30/14 5:55 AM . Hagan los trazos que se indican y confirmen si lo que opina Lluvia es verdad. Lean los pasos propuestos en el inciso a. Lluvia encontró en Internet una fotografía de unas matrioskas.5. 2.9. Permita que den todo tipo de ideas.indd 158 Prohibida su venta 126 PM3STJCONA-PL08-113-128. • Tracen un segmento de recta que pase por los puntos ABCDE.0. En equipo. y que cada una en su interior contiene una nueva muñeca. hagan los trazos y resuelvan.9 3. Triángulos Medida de los lados Medida del ángulo con vértice P APF BPG CPH DPI EPJ 7. Registren en la tabla los datos de los triángulos que se formaron y analícenlos. 3.3. 2. 3. Muestre a los alumnos que los triángulos dispuestos en la forma que sigue da por resultado una serie de triángulos semejantes entre sí. a.1. b. i Socialicen sus respuestas y concluyan qué características tienen los triángulos semejantes.6 4. • Tracen los segmentos AF.2.3 28° 28° 28° 28° 28° • ¿Cómo son los lados de los triángulos? Proporcionales • ¿Cómo son los ángulos de los triángulos? Congruentes • ¿Cómo son los triángulos que se formaron: semejantes o congruentes? ¿Por qué? Semejantes.4 5. 1.2. 3. porque sus ángulos correspondientes miden lo mismo y los lados son proporcionales.8. Porque están formadas por triángulos equiláteros.Semejantes o congruentes 2. pida a los alumnos que expliquen los pasos que se siguieron para reproducir la figura que aparece en la cuadrícula. si la respuesta es afirmativa. Abra un espacio para discutir las características que debe tener un polígono para que al trazar sus diagonales se formen triángulos congruentes. con razón de semejanza 1 respecto del molino A. las transformaciones realizadas las deberán escribir en sus cuadernos. I Propuestas didácticas L U J S K Figura 1 Solicite a los jóvenes que definan con sus propias palabras qué es una diagonal y cómo se pueden identificar en un polígono. describirán y redactarán los pasos para llegar de uno al otro triángulo. entonces pregunte si cada uno de los lados de los polígonos es una diagonal. ¿En cuál de las figuras anteriores. y luego dé instrucciones de realizar las actividades que se ofrecen en la página. Son figuras semejantes. R Figura 2 H A M E D Q O B F C Figura 3 Figura 4 N G Figura 5 Haga notar que las líneas que se trazan en un polígono de un vértice a otro contiguo. R. T a. deberán comprobar si los triángulos ABC y DEF son semejantes entre sí y.indd 127 SMAT3LRCONAPL10-145-160. se formaron dos triángulos congruentes? En la figura 1 y en la figura 2 c. al trazar la diagonal. Luego. a partir del triángulo ABC. 2 Molino A Molino B • ¿Los triángulos de los molinos A y B tienen lados proporcionales? ¿Por qué? Sí. L. Justifica por qué tu construcción cumple con la 2 condición solicitada. Realiza lo que se solicita. cada una de ellas se generó a partir de aplicar una rotación a ΔABC y ΔDEF. no dan como resultado el trazo de una diagonal. F CO AO C BO Molino C B A E D Pida al grupo que explique qué significa que dos triángulos tengan entre sí una razón de semejanza de 1 . • Traza en la retícula un molino C que tenga como base al Δ A0B0C0. P b. Las siguientes construcciones representan molinos. En relación con el inciso c. Determina si son semejantes o congruentes. indique al grupo que determine rápidamente el número de diagonales que tiene cada uno de los polígonos presentados en el punto 2. Traza una diagonal de cada polígono. Después. en su caso. una a una.indd 159 1/9/14 11:37 AM Prohibida su venta 159 1/30/14 5:55 AM . Pregunte al grupo si una diagonal es un segmento de recta que va de un vértice a otro. 127 PM3STJCONA-PL08-113-128. llamada constante de proporcionalidad. donde m es una constante. R. Submarino 2 • ¿Cómo son las medidas de los ángulos de Δ DEF y Δ D1E1F1? Iguales • ¿Sus lados son proporcionales? Explica. 3 . 3 5 2 i Compara tus respuestas con las de tus compañeros. • ¿Cómo son entre sí todos los submarinos que trazaste? Semejantes i Expón tus trazos y respuestas a tus compañeros. con la figura 2.indd 160 Prohibida su venta 128 PM3STJCONA-PL08-113-128.67 cm E1 E Submarino 1 Cuando dos figuras son semejantes. Recuerde al grupo que la proporcionalidad entre dos cantidades está dada por la ecuación y = mx. H Solicite que enuncien los criterios de semejanza e indiquen cuál de ellos se utilizarán en cada uno de los triángulos para verificar que se trata de polígonos semejantes. • ¿Cuáles son las medidas de sus lados? R. Plantee a qué conclusión se llegaría si partimos del supuesto de que dos triángulos semejantes entre sí tienen perímetros que no son proporcionales. ¿qué sucede con Δ HIG y Δ H I G ? También son semejantes. y otro que sea congruente con el submarino 2.indd 128 12/24/13 2:42 PM 1/30/14 5:55 AM . x y y son las variables.63° EF = 5. Pregunte al grupo cómo se calcula la razón de semejanza de dos triángulos. la figura A y la figura B. valídalas.46 cm I1 E1D1 = 2. A2 d. • Si las condiciones de semejanza se cumplen para Δ DEF y Δ D1E1F1. 160 SMAT3LRCONAPL10-145-160. Construye un Δ A2B2C2 que sea semejante a los ya construidos. 11 1 • En tu cuaderno. M.47 cm Información complementaria 131. La homotecia que transforma la figura A en la figura B. porque la razón entre los lados correspondientes es la misma.39 cm K1 G1 21.57° K F D1 D1F1 = 4. 3. Con la figura 1. está definida por la razón de semejanza de las figuras A y B. los alumnos necesitarán su juego de geometría. J1 G I D DF = 9 cm 26.21 cm ED = 4. M. M. digamos. Analiza las construcciones que hicieron dos alumnos de secundaria. 3 y con la figura 3. Con ayuda del profesor. Semejantes Congruentes H1 J Invite a los jóvenes a trazar submarinos en sus cuadernos. entonces la razón de semejanza de la figura B sobre la figura A es igual al cociente de la longitud de un segmento de la figura B entre la de su homólogo en la figura A. arguméntalas y valídalas con ayuda del profesor. 3 unidades por lado B2 • Determina la razón de semejanza con respecto a los otros molinos. Determina si son semejantes. R. C2 Propuestas didácticas Para realizar las actividades propuestas en la página.1 5 • ¿Cuál es la razón de semejanza del Δ A0B0C0 con respecto de Δ DEF? • ¿Cuánto mide el perímetro del Δ A B C ? 3 unidades 0 0 0 • ¿Los perímetros de los tres triángulos son proporcionales? ¿Por qué? Sí.8° F1 F1E1 = 2. utilizando diferentes razones de semejanza. Sí. porque son figuras semejantes. traza un submarino semejante al submarino 1. En pareja. hagan los trazos en su cuaderno y validen sus respuestas.indd 161 1/9/14 11:51 AM Prohibida su venta 161 1/30/14 5:55 AM . Don Raúl es carpintero y tiene colgada en la pared de su negocio la fotografía de su nieta.7 1 0. con ayuda del profesor. en el segundo no necesariamente. lleguen a una conclusión. Pregunte cómo creen que fueron trazados los triángulos que forman el marco de la fotografía del punto 5. Dos triángulos isósceles PQR y WXZ. R. 129 PM3STJCONA-PL09-129-144. Lee y resuelve. en vez de una fracción de la forma p 3 q .04 5. por ejemplo. si es información suficiente o información equivalente para llenar la tabla de datos. 1 2 Clientes 3 4 5 QT 17 10 5 24 9 QS 17.2 cm T Q 12 cm b. Una vez que hayan realizado la actividad 4.M.75. i Explica cómo obtuviste los datos faltantes. Caso 1.Caso 1 4.5 2. un par de triángulos isósceles semejantes entre sí y dos triángulos isósceles más que no sean ni semejantes ni congruentes entre sí para los cuales el ángulo desigual mida 36 grados. dos que sean semejantes entre sí y dos más que no sean ni semejantes ni congruentes entre sí. partiendo de la razón de semejanza. N L M W O De manera análoga.9 Razón de semejanza 17 12 5 6 5 12 2 3 4 Discuta con el grupo cómo se puede llegar a los datos faltantes en la tabla del inciso b. solicite a los estudiantes que refuercen la actividad con la siguiente extensión del ejercicio: que tracen en sus cuadernos dos triángulos isósceles congruentes entre sí. • ¿Qué triángulos son semejantes al Δ STQ? Justifica. Problemas de semejanza y congruencia 5. Dos triángulos rectángulos cualesquiera. En el primer caso sí son semejantes.indd 129 SMAT3LRCONAPL11-161-176. Complétala. en los que el ángulo desigual mide 36°. como un decimal. • ¿Qué triángulos son congruentes con Δ LMN? Argumenta. que se diera 0. R • ¿Qué características tienen los triángulos que forman el marco? Todos son triángulos rectángulos. i Comenten sus respuestas y.04 ST 1. Propuestas didácticas • Analicen los trazos que hicieron y determinen si son semejantes. Caso 2. depende de los trazos. Don Raúl anotó en la siguiente tabla algunas de las medidas para elaborar los marcos que le pidieron sus clientes. (que significa tres partes de cuatro).02 24. deberán trazar dos triángulos rectángulos congruentes entre sí. No tiene triángulos semejantes porque sus ángulos no son iguales a los de otros triángulos. Es congruente al triángulo LMN. Pregunte a los jóvenes si la razón de semejanza se diera. dispuestos de tal forma que se logre un marco como el de la fotografía.1 9.4 0. ponga a discusión las estrategias que se utilizaron o se pudieron utilizar para obtener los triángulos rectángulos congruentes. Pida que hagan en sus cuadernos los trazos necesarios para obtener triángulos rectángulos congruentes entre sí. El triángulo STQ V U P S 1.08 10. Caso 2 a. A varios clientes les gustó el marco y ya le han hecho pedidos de marcos semejantes. en vez de 4 . c. Δ GHI: HI = 10 cm. En relación con el problema del inciso d. en este caso en particular sería 1 y 2 = 2. porque sus ángulos correspondientes miden lo mismo y sus lados son proporcionales. En la siguiente representación gráfica se muestra un velero que está navegando cerca de la playa. y eso da más idea de 2 1 la diferencia entre una y otra escala. Son semejantes. Describe el procedimiento que seguiste. • ¿Cuánto mide el segmento AB? 24. Invite a los alumnos a pasar al pizarrón a hacer los trazos que consideren necesarios para resolver el problema.indd 162 Prohibida su venta 130 PM3STJCONA-PL09-129-144. 5. Una vez que hayan explorado el planteamiento y sus posibles soluciones. Deben partir de que no es posible medir la altura del faro. Cuando hayan dado sus argumentos. la altura del faro. a cierta distancia de la playa. Sí. d. i Comenta tus respuestas con tus compañeros y valídalas con ayuda del profesor. • Calcula la altura del faro. un faro. 11. solicite a los adolescentes que expliquen la diferencia entre reproducir un triángulo a escala 1:2 y reproducirlo a escala 2:1. G G H I H I • Escribe las medidas de ambos triángulos. Propuestas didácticas Antes de abordar el problema que se plantea en el inciso c.2 cm Δ G’H’I’: 5 cm. Reproduce en tu cuaderno el siguiente triángulo a escala 1:2 y llámalo G’H’I’.6 cm • ¿Los ΔGHI y ΔG’H’I’ son semejantes? Argumenta tu respuesta.825 m.97 m • ¿Cómo son Δ ABD y Δ EBC? Justifica tu respuesta.55 cm. GI 11. recuérdeles que también se puede expresar la escala como una razón usando una fracción. 162 SMAT3LRCONAPL11-161-176. Pida que determinen qué datos necesitan saber para calcular (no medir). Pregunte al grupo cómo se les ocurre que se podría calcular la altura del faro.5. De manera análoga. aplicando la semejanza de triángulos.0 y 0. pida que resuelvan el problema utilizando los datos que aparecen en el libro. pues solo cuentan con un flexómetro de 10 metros. se puede escribir en decimales: 2. dibuje en el pizarrón un velero a cierta distancia de la orilla del mar y. HG = 5. porque los lados son proporcionales y los ángulos correspondientes miden lo mismo.indd 130 12/24/13 2:43 PM 1/30/14 5:55 AM . CD indica la distancia de la playa al faro.1 cm. El BC corresponde a la distancia de la playa al velero. 2. respectivamente. M. X • Un alumno hizo la siguiente construcción para resolver el problema. como se muestra en la figura de la derecha. J KJ = 6. pida que de manera individual resuelvan el problema del inciso b escribiendo todos los pasos necesarios hasta llegar al resultado. Reto El problema de los puentes 1.indd 163 12/24/13 2:43 PM Prohibida su venta 163 1/30/14 5:55 AM .8 m i Comenten en grupo los procedimientos que siguieron para resolver los problemas. cch. • Calculen la profundidad del pozo. se puede calcular la longitud E F aplicando el teorema de Pitágoras.43° 5c • ¿Son proporcionales las medidas de los lados? Sí m G F GF = 1. solicite que argumenten sus respuestas.3 • ¿Qué distancia hay entre los puntos DJ? 22. se unen por dos puentes. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Invite a los adolescentes a ingresar a la página de Internet que se ofrece en el recuadro de Apoyo tecnológico para que ejerciten los conocimientos adquiridos.76 m • ¿Cuál es la razón de semejanza de Δ ABD y Δ KJB? 0. Justifiquen sus respuestas. 131 PM3STJCONA-PL09-129-144. resuelvan los problemas. • Tracen en su cuaderno un triángulo semejante al Δ PQR y uno congruente al Δ EFG. en los que se requiera aplicar estos criterios. Pregunte al grupo si en el triángulo E FG. los cuales se cruzan por un punto O. resuelvan lo solicitado.Otros problemas 6. Mencionen algunos contextos. deberán describir el criterio de semejanza utilizado para determinarlo. En pareja. Porque Q RQ = 2. L. E a.89 cm PA = 2.4 m A AB = 6 m B K Ponga a discusión si es o no válido el procedimiento diseñado por el estudiante para calcular la profundidad del pozo y pídales que digan en qué condiciones esto funciona. usando como referencia el trazo del alumno. ¿cómo se resolvería el problema si los caminos no fueran paralelos?.5 m x 16. R. R. x = 17 m • ¿Cuál es la longitud total de cada puente? 42.mx/ alumno/aprende/ matematicas2/ semejanzatriangulos/ page/0/8 En clase. En pareja.43° ángulos miden lo mismo y la razón entre los lados corresponR dientes es la misma. pide apoyo al profesor. ya que se conocen las longitudes de los lados E G y GF. Después. BK = 2.4 cm sus ángulos son congruentes y sus lados correspondientes. • ¿Cuál es la longitud de x y de y? y = 24.25 m O y 25. 14. Analicen la construcción y expliquen por qué el Δ JKB y el Δ BCD son semejantes.62 m 26. Dos caminos que son paralelos entre sí. planteen un problema que se pueda resolver con los triángulos PQR y EFG. • ¿Cómo son entre sí todos los triángulos? ¿Por qué? Semejantes entre sí. • En su cuaderno.7 63. Pida que den ideas sobre cómo se puede calcular la longitud solicitada. D En relación con el recuadro de Reto.indd 131 SMAT3LRCONAPL11-161-176. Resuelve los problemas propuestos. Cuando determinen si los triángulos son o no semejantes.5 m y 40.5 m 39. si te surgieron dudas en los procedimientos que seguiste. • ¿Cuánto mide el lado EF? 1.6 m b. comparte tus resultados. Porque sus 63.34 cm • ¿Los triángulos son semejantes? ¿Por qué? Sí. formule preguntas como: ¿es necesario que los caminos sean paralelos para que el problema se pueda resolver con la información proporcionada?.83 cm P Propuestas didácticas EG = 0.6 cm RP = 1. a.43 o 2. ¿se trata de triángulos congruentes. portalacademico. Porque la medida de sus ángulos correspondientes es igual y sus lados correspondientes son proporcionales. Intercámbienlo con sus compañeros y resuélvanlo.37 m. de triángulos semejantes o ninguno de los dos? C En el siguiente sitio podrás ampliar la información sobre los criterios de congruencia y semejanza de triángulos. proporcionales. Analicen los triángulos y respondan. que aparece en el inciso a del problema 6. ponga a discusión en el grupo si el problema se podría resolver de la misma manera si los dos caminos que se unen por dos puentes no fueran paralelos entre sí.unam.75 m i Comenten en grupo las dificultades o dudas que encontraron y cómo las resolvieron. La figura representa un pozo que tiene 6 m de ancho y se desea conocer su profundidad. B R Ponga a discusión qué sucede con los ángulos de las líneas paralelas que cruzan un mismo segmento de recta.indd 164 Prohibida su venta 132 PM3STJCONA-PL09-129-144. 164 SMAT3LRCONAPL11-161-176. PP’. Información complementaria A Q’ P’ R’ C • Ubiquen el punto medio del segmento AB y nómbrenlo P. a. espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido: Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales Los estudiantes utilizarán su juego de geometría para apoyar la actividad. Después lo verificarán utilizando su juego de geometría. Semejantes.indd 132 1/9/14 11:51 AM 1/30/14 5:55 AM . Ubiquen el punto medio de los segmentos AP y AP’. Para hallar el punto medio de un segmento de recta AB. Invite a los jóvenes a hallar similitudes y relaciones entre los ángulos y longitudes de los lados de los triángulos. • Localicen el punto medio del segmento AC y llámenlo P’. y pídales que identifiquen los ángulos que son iguales y definan por qué lo son. se hará el trazado de una recta que divide exactamente a la mitad al segmento AB. y se traza un arco de circunferencia. se puede hacer uso del compás. tracen un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 4 cm y 6 cm. Tracen el segmento QQ’. Al unir los puntos de intersección de los arcos. se coloca la punta en el otro extremo del segmento y se traza de igual manera un arco de circunferencia de tal manera que ambos arcos se crucen en dos puntos. Encuentren el punto medio de los segmentos PB y P’C y denomínenlos R y R’. Denoten sus vértices como ABC. Reúnanse en pareja. Se coloca la punta del compás sobre uno de los extremos del segmento. P Q Haga énfasis en que es importante que señalen correctamente los puntos que se indican en la actividad para obtener las figuras necesarias. a este segmento se le llama mediatriz. En el siguiente espacio. RR’? Paralelas A • ¿Qué características tienen los triángulos que construyeron? Son triángulos rectángulos semejantes. • ¿Cuántos triángulos construyeron? Cuatro • ¿Cómo son los triángulos entre sí? Semejantes • • • • • ¿Qué tipo de líneas forman los segmentos QQ’.16 Propuestas didácticas El teorema de Tales Eje: Forma. Deberán señalar si hay ángulos o lados que compartan. • ¿Cómo son los triángulos ABC y APP’ entre sí? Justifiquen. luego solicite que describan los triángulos que se construyeron en relación con los demás polígonos. B i Expongan sus respuestas al grupo y valídenlas. Trazos y relaciones de semejanza Organice al grupo en parejas para que hagan los trazos que se indican en la página. 1. con la misma abertura del compás. Tracen el segmento R y R’. sus ángulos miden lo mismo y sus lados correspondientes son proporcionales. y denomínenlos como Q y Q’. • Tracen el segmento PP’. para ello podrán hacer uso de su juego de geometría. cuya abertura es menor a la longitud del segmento AB. hagan los trazos que se indican y respondan. los ángulos AR1R. sustituyan por sus valores numéricos las razones 1 anteriores y obtengan el cociente.8 • AR y AQ 5.21 Q1 C R P AB = 7. Q1AQ y CAB. AQQ1 y ABC. 133 PM3STJCONA-PL09-129-144. d.6 o 7. Recuerden que una proporción es una igualdad entre dos razones y puede expresarse como: ab = dc . 2 o 2 Triángulos Dé instrucciones a los adolescentes de resolver las actividades que se ofrecen en la página.indd 165 12/24/13 2:43 PM Prohibida su venta 165 1/30/14 5:55 AM . Dado un triángulo ABC. ¿por qué? A continuación pregunte a los jóvenes qué pueden decir de los ángulos que forman R1AR. b. • ¿Cuál es la relación entre las razones anteriores? La razón es la misma en ambos casos. sin embargo.2.6 • Establezcan la razón entre los lados AB y AP. i Comenten qué procedimientos siguieron para validar la conjetura anterior . 1 • ¿Cuál es la razón de semejanza de los triángulos ABC y APP1? 2 o 2 Ponga a discusión en grupo si consideran que estos resultados solo se pueden encontrar en el triángulo que se construyó en el problema planteado o sucede lo mismo para cualquier triángulo rectángulo construido con la misma lógica. Lleve más lejos el tema y proponga al grupo explorar lo que sucede en un triángulo isósceles. con base en este.indd 133 SMAT3LRCONAPL11-161-176. usando el transportador. Propuestas didácticas A a. Comparten un ángulo y CB es paralelo a P1P.5 3 Luego solicite que midan. ¿es necesario hacer la medición con el transportador para llegar a dicho resultado?. En grupo registren sus conclusiones acerca de la relación que existe entre los segmentos que se forman entre dos rectas cortadas por varias paralelas. uno equilátero y uno escaleno que no sean triángulos rectángulos. afirma que los triángulos ABC y APP1 son semejantes. Una manera de probar lo anterior es establecer la proporción entre las medidas de los lados de los triángulos indicados. pida al grupo que midan con su transportador los ángulos ARR1. 1. c. ¿a qué se debe?.21 cm Q B Haga notar que debido a la construcción de los triángulos se puede deducir que todos tienen ángulos de igual medida aunque las longitudes de sus lados correspondientes sean diferentes. 6 3 • Establezcan la razón entre los lados AC y AP1. ¿es necesario hacer mediciones para verificar que se trata del mismo ángulo? • Midan los segmentos indicados.5 • AR1 y AQ1 4. 3 o 6 7. y formule las siguientes preguntas: ¿cómo son los ángulos de estos triángulos?. y plantee a los estudiantes preguntas como: ¿cómo son los ángulos de estos triángulos?. P1AP. Analicen el siguiente enunciado y comprueben su veracidad. Establezcan la razón de semejanza entre los siguientes triángulos: Razón de semejanza APP1 y AQQ1 2 o 1. al concluir la actividad ya se habrán dado cuenta de que se trata de longitudes proporcionales. Midan los siguientes segmentos y establezcan la razón entre ellos.21 3. APP1. Invítelos a trazar triángulos rectángulos diferentes en sus cuadernos para que verifiquen si se cumple lo mismo que hallaron anteriormente. Después. si se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados. Observen la construcción y respondan.4 1. R1 Un estudiante hizo el trazo de la derecha y. se obtienen dos triángulos semejantes. 3. AQ1Q y ACB. P1 AC = 6 cm • Comprueben la conjetura del alumno y escriban el procedimiento que siguieron. ¿a qué se debe? AQQ1 y ARR1 1 o3 3 i Socialicen sus experiencias y argumentos.5 • ¿Qué relación hay entre las razones de los segmentos? Es la misma. AP1P. ¿Están de acuerdo con Guadalupe? Sí. R1 Q D B 134 PM3STJCONA-PL09-129-144. PP’ y CB? Justifiquen su P’ B O Pida a los adolescentes que resuelvan las actividades del punto 3. llámala R1. Sigue los pasos y responde. En pareja. • Ubica el punto medio del AB y llámalo Q. porque comparten un ángulo y los lados opuestos al ángulo son paralelos. 4. • Identifiquen todos los triángulos trazados y compárenlos. y qué esperarían obtener al medir los ángulos correspondientes de cada uno de los triángulos que se forman dentro del triángulo ABC. Guadalupe afirma que la razón entre la medida de AM con respecto de AC es 1 . Haz los trazos y resuelve. 8 i Socialicen lo que han realizado.Segmentos y razones 3. es la misma en ambos casos. soliciten el apoyo de su profesor. analicen la construcción y respondan lo que se pide. Justifiquen con argumentos geométricos. cuando se solicita al alumno que trace una recta perpendicular al segmento AB que pase por el punto medio del mismo segmento. porque el segmento AM P 2 mide la mitad del segmento AC.indd 166 Prohibida su venta S’ R2 R T’ R3 S Q’ R4 T • Mide los segmentos AB y CD. pida que den ejemplos en los que esto no es así (cuando los triángulos son congruentes entre sí) y guíe la discusión para obtener conclusiones grupales. C R’ R5 A 166 SMAT3LRCONAPL11-161-176. Semejantes. b. • Traza una recta perpendicular a AB que pase por el punto Q y que interseque a CD. los estudiantes harán uso de su juego de geometría. Son paralelos. respuesta. En relación con el punto 4. Guadalupe hizo el siguiente trazo. indique a los estudiantes que se está pidiendo que se trace la mediatriz del segmento AB y pídales que lo hagan utilizando el compás para hallar los dos puntos por los que pasa la mediatriz del segmento AB. K Pregunte al grupo cómo son las líneas entre sí que se han trazado dentro del triángulo ABC. • ¿Qué relación hay entre las razones anteriores? Son iguales. MM’. Después registren las conclusiones obtenidas. Pregúnteles si basta con que dos triángulos tengan dos ángulos iguales para determinar que se trata de dos triángulos semejantes.indd 134 1/9/14 11:51 AM 1/30/14 5:55 AM . C • ¿Cuál es la relación entre AM’ y AB ? AM’ mide la mitad de AB. NN’. Luego solicite que comprueben sus suposiciones midiendo los ángulos con el juego de geometría. KK’. 1 • ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos ABC y AM’M? 2 o 2 1 • ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos AMM’ y AKK’? 2 o 2 L’ M’ L N’ M O’ N • ¿Cómo son entre sí JJ’. a. En caso de que tengan dudas. ¿Cómo son entre sí? Justifiquen su respuesta. Propuestas didácticas A a. Nombra Q’ al punto donde se intersecan. OO’. • ¿Cómo son entre sí los triángulos AJJ’ y AKK’? Semejantes J’ J K’ Para reforzar esta actividad. LL’. • ¿Cuál es la razón entre AJ y AC entre AJ’ y AB? ¿Qué observan? 1 u 8. el más corto con respecto al mayor.9 = 7 x 1 • ¿Cuánto mide CP’? Una vez que hayan resuelto el inciso b. Teorema de Tales Si se cortan dos rectas transversales por varias rectas paralelas. • Para cada punto R. 7. 135 PM3STJCONA-PL09-129-144. respectivamente. pregunte a los estudiantes qué esperarían obtener si en cada uno de los casos. P3 y P4 R2 R1 B’ B C’ C b. CQ' y CD . AB = 11 A’B’ 10.4 2. S y T. • Nombra como R.5 11 BC a A’B’. P2. S y T a cada uno de los puntos sobre la recta.indd 167 12/24/13 2:43 PM Prohibida su venta 167 1/30/14 5:55 AM . traza una recta que atraviese CD que sea paralela a R1.6 1. CS' . porque su longitud es mayor. • A los puntos de intersección del segmento CD con las rectas.7 AT = 2.2 3.• Divide AQ en cuatro partes iguales. es decir. S’ y T’. Expliquen sus procedimientos y valídenlas con ayuda del profesor. Por tanto: AB = A’B’ BC B’C’ 5. la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón de los correspondientes de la otra.6 CT’ 6. D’ P2 P3 P4 c. ya que se limita la medición hasta milímetros. denomínalos como R’. • Traza una recta R5 que pase por los puntos A y C. Abra un espacio para discutir el contenido del texto. mismas que cada estudiante deberá escribir individualmente en el cuaderno. Propuestas didácticas Para dividir AQ en cuatro partes iguales.9 1 3. R3 y R4. no así con el uso de una regla. Son rectas paralelas: P1. a.5 11 AB B’C’ = 10. intercambiaran numerador por denominador y denominador por numerador. En pareja. solo que lo aplicarían más veces y por secciones. analicen el trazo y completen los enunciados. AR = CR’ AQ = CQ’ 0.4 7 • ¿Cómo son entre sí las razones obtenidas? Iguales • Si se traza un segmento paralelo PP’ a los anteriores y la distancia de AP es de 7 cm. pero con este método garantizarían que los segmentos se han dividido en partes iguales. guíe las participaciones para obtener conclusiones grupales.5 d. Son rectas transversales: R1 y R2 P1 A’ A D Invite a algún estudiante a dar lectura al texto que aparece en color azul y pregunte al resto de la clase por qué se pide que las rectas sean paralelas y qué cambiaría si no lo fueran. b. ¿cómo puedes determinar la longitud de CP’? Por medio de semejanza de triángulos 0. CT' .indd 135 SMAT3LRCONAPL11-161-176.5 AS = CS’ AB = CD 1. lo único que se tiene que cuidar es que se siga el mismo razonamiento para cada comparación de longitudes de segmentos correspondientes. Calcula la razón entre los segmentos. Calcula la razón entre los segmentos. Discuta con el grupo qué es lo que representa una y otra forma de hallar una razón de semejanza y haga notar que son equivalentes. utilizando solo regla y compás. Considera con ellos la siguiente información para que lleguen a acuerdos. Dé instrucciones de calcular las razones y que AR AS AT AQ' AB las comparen. pueden recurrir al mismo procedimiento que el que utilizaron para trazar la mediatriz del segmento AB. i Comparen sus respuestas con las que obtuvieron otras parejas. que calculen CR' . Mide con tu regla la longitud de los segmentos en milímetros. denomina cada recta como R2. solo cambia el hecho de comparar un segmento más largo con uno más corto o viceversa. AB es mayor BC = 11 10.77 i Comenta en grupo tus resultados con argumentos. Utiliza tu regla para medirlos.5 B’C’ A’B’ = 10. vivió entre el año de 624 y 546 antes de nuestra era. • Con centro en el punto de intersección anterior. Utilicen el teorema de Tales para dividirlo en siete partes iguales. geográficos. entonces compró en el invierno todas las prensas de aceite y cuando llegó la época de cosecha. desarrolló aspectos matemáticos. después trazo un segmento BD’ y segmentos paralelos a este que pasarán por B’ y C’. resuelvan los problemas. lo cual le dio muchas ganancias. Aristóteles cuenta que se criticaba mucho a Tales por ser pobre y por no centrarse en problemas relacionados con lo material. CC’ y B’B’’? Paralelos Otra anécdota más de Tales es una que refiere Herodoto sobre la predicción que hizo a los jonios del eclipse solar. R. En pareja.indd 168 Prohibida su venta 136 PM3STJCONA-PL09-129-144. A A’ B’ C’ D’ a. astronómicos. Al último punto llámenlo C. Sigan el procedimiento. Propuestas didácticas Osiris necesita dividir una solera (AB) en partes proporcionales a las representadas en A’D’. R. b. M. Se cuentan algunas anécdotas. de ingeniería y tuvo mucha influencia política. • Por el teorema de Tales se cumple que: AB’’ = AC = AB . con centro en A. • Tracen un nuevo segmento que pase por el punto A. Otra anécdota es la que cuenta Platón. metafísicos. R. Impulsó en Grecia la investigación científica. que dice que un día Tales se cayó en un pozo mientras miraba las estrellas y una de ellas le dijo: “¿Cómo pretendes. • ¿Cómo son entre sí D’B. Trazó los segmentos de manera que coincidieran en uno de sus extremos. tracen un arco que interseque al nuevo segmento. sabía que habría una buena cosecha de aceitunas en la siguiente temporada. en la Grecia jónica del Asia menor. • Unan los puntos B y C. tracen otro arco. las alquiló. M. A’B’ A’C’ A’D’ A B C c. Para dividir AB de manera proporcional a A’D’. se le considera uno de los siete sabios de Grecia y como pionero de la indagación filosófico-científica acerca del cosmos como un todo. Discutan y propongan un procedimiento para resolver el problema aplicando lo estudiado. con la misma apertura del compás. L. entonces Tales utilizó sus conocimientos astronómicos. Osiris hizo el siguiente trazo para dividir la solera. el eclipse ocurrió en medio de una batalla. Apóyate en los trazos anteriores y divide el segmento AB en siete partes iguales. tal y como se muestra en la construcción: Tales de Mileto nació en la ciudad de Mileto.indd 136 12/24/13 2:43 PM 1/30/14 5:55 AM . pero que su ambición era diferente. B’’ C B A = A’ B’ C’ D’ • Describan el procedimiento que siguió Osiris. tracen un segmento AB. Tales. • Argumenten por qué en su construcción los segmentos resultantes son iguales. 168 SMAT3LRCONAPL11-161-176. saber acerca de los cielos. lo que provocó que se hiciera un acuerdo de paz por temor a que el eclipse fuera una advertencia divina. • Con el compás. una de ellas dice que Tales logró desviar el río Halys para que fuera cruzado por el ejército de Creso. cuando no ves lo que está debajo de tus pies?” B • ¿Estas líneas cortan AB en los puntos B’’ y C? ¿Por qué? Sí. físicos. En su cuaderno. Porque las distancias que se fueron marcando en cada recta tienen la misma longitud y las rectas trazadas son paralelas. Con esto demostró que los filósofos podían ser ricos si así lo deseaban.Aplicación del teorema de Tales en diversos problemas 6. Repitan lo anterior siete veces. si aún persisten dudas.indd 137 SMAT3LRCONAPL11-161-176. Realiza las actividades.90 cm B a B C b C Segmento a: 7. AP = 24 cm y PB = 54 cm. ¿cuánto mide EF? 8 cm • Si los valores fueran: FG = 6 cm. l y k. cl/geometria/Teorema_ de_Tales. ¿cuánto B C mediría BC? 7 cm D • Si los valores fueran: EF = 20 cm. sino que hay que comprobarlo utilizando la información que ya conocemos. realiza los ejercicios 1 y 2.175 cm Segmento a: 7. ¿cuánto mediría EF? 10. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Para cerrar el tema. gob.mx/index.html Discute con tus compañeros la información que se encuentra en la página y analicen los ejemplos propuestos. A • Si AB = 5 cm. htm Ingresa al siguiente sitio y ve el video: “Utilizando el teorema de Tales” televisioneducativa. PC = 10 cm y CD = 5 cm.5 cm e. A C B D l k • Si PB = 12 cm. por ello es conveniente no confiarse en lo que nuestros ojos ven. Permita que haya un espacio para preguntas y respuestas por parte del resto del grupo. Reunidos en pareja.23 cm C’ 14. ¿cuánto mide DP ? 36 cm i Comenten sus experiencias.65 cm 10 cm 3. A 4 cm B’ Caso 1 Caso 2 b a 8. i En grupo. la aplicación del teorema de Tales sea el camino o uno de los caminos para resolverlo. Hagan lo que se indica y comprueben si lo que dice es correcto. anoten las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para aclararlas en grupo.35 cm 6. Consideren las medidas de los segmentos dados y encuentren el valor que se piden en cada caso. analiza la información de la sección llamada “Aplicación del Primer Teorema de Tales”. ¿cuánto mide AB? 4 cm • Si PC = 18 cm. BP = 30 cm y PD = 27 cm. Reto Explique a los estudiantes que en algunas ocasiones a simple vista podría parecer que dos rectas son paralelas cuando en realidad no lo son. En el siguiente sitio podrás ampliar la información sobre el teorema de Tales. L.mec.php/ videos-telesecundaria Primer teorema de Tales. ¿cuánto E F Propuestas didácticas G H En relación con el inciso d.es/ clobo/geoweb/semej2. Invite a los estudiantes a ingresar a las páginas de Internet que se ofrecen en el recuadro de Apoyo tecnológico con la finalidad de poner en práctica sus conocimientos adquiridos y repasar el tema. a. 137 PM3STJCONA-PL09-129-144. Visita la siguiente página y lee. Deberán presentar el planteamiento ante el grupo y resolverlo describiendo paso a paso y argumentando por qué es válido el procedimiento realizado. R. es buen momento para despejarlas. DC = 50 cm y AB = 40 cm. CD = 21 cm y GH = 18 cm. hagan lo que se pide. ponga a discusión en grupo si se parte de que la distancia CD es igual a 15 unidades y la distancia GH es igual a 24 unidades.pntic. ¿es posible que con estos datos se pueda partir de que las rectas rojas son paralelas?. Joshua afirma que las rectas rojas son paralelas. Medidas de los segmentos P 1.indd 169 12/24/13 2:43 PM Prohibida su venta 169 1/30/14 5:55 AM . ¿cuánto es la medida de AP? 20 cm • Si PC = 16 cm. www. m Al triángulo PDB lo intersecan las rectas m.profesorenlinea.d. comenten las aplicaciones del teorema de Tales y registren sus conclusiones. podrían parecer rectas transversales cuando en realidad son paralelas.8 cm Segmento b: 13. Apliquen el teorema de Tales y encuentren las medidas de los segmentos a y b para cada uno de los siguientes casos. Intercámbienlo con sus compañeros y resuélvanlo. organice al grupo en equipos de 3 o 4 integrantes y pídales que inventen un problema que tenga alguna relación con la vida cotidiana para el cual. Además. Comparte tus experiencias en clase y consulta las dudas con el profesor. AB = 15 cm y BC = 30 cm. CD = 15 y GH = 24 cm. planteen un problema. mimosa.3 cm Segmento b: 5 cm • Busquen una aplicación del teorema de Tales y con los datos que recaben. y viceversa. ¿por qué? mediría GH? 25 cm • Si los valores fueran: FG = 21 cm. C: (6. BC y B’C’. localizando en el plano cartesiano puntos (a. • ¿Qué propiedades del Δ ABC se mantienen en el Δ A’B’C’? La medida de los ángulos y la proporción entre los lados. en relación con el inciso b.Figuras homotéticas 17 Propuestas didácticas Eje: Forma. a. A’: (4. y + m). AB = 0.2 • ¿Qué relación hay entre los cocientes de las longitudes de los lados correspondientes del Δ ABC y del Δ A’B’C’? Son iguales. Ponga algunos ejemplos en el pizarrón que puedan resolver sus estudiantes. espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido: Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas Explique a los estudiantes que un número real puede multiplicar a las coordenadas de un punto en el plano cartesiano. y B´C´ AB AC BC • Unan los puntos de las coordenadas y tracen el Δ A’B’C’. plantee a los jóvenes qué significaría hallar los siguientes cocientes. • Tracen un segmento que una los puntos A y A’. otro punto P´. • ¿Cómo es OB respecto de BB’? Miden lo mismo. • Prolonguen los segmentos hasta que se intersequen. CC’. por ejemplo. A: (2. Homotecia es una transformación geométrica que asigna a cada punto P del cuerpo o figura geométrica.b). A´C´ . otro que una los puntos B y B’ y unan con otro segmento los puntos C y C’. OC. 4) 11 Una vez que hayan terminado de resolver los ejercicios de la página. La homotecia es un método de proyección en el que a partir de un punto fijo se multiplican todas las distancias por un mismo factor.indd 170 Prohibida su venta 138 PM3STJCONA-PL09-129-144. Obtengan los siguientes cocientes.6 A’C’ 3. luego respondan. • ¿Cómo es OC respecto de CC’? Miden lo mismo. B: (3. En pareja. qué representan los datos y qué relación tienen con los valores hallados en el inciso b: 10 A’ 8 7 B’ 6 . 2) y 16 15 • Multipliquen por 2 las coordenadas de los vértices del Δ ABC.6 A’B’ AC = 1.indd 138 12/24/13 2:44 PM 1/30/14 5:55 AM . 8). Midan AA’.1 B’C’ 2. Midan AB y A’B’. Escriban las coordenadas que obtuvieron. ¿En qué coordenada se intersecaron? En el origen 9 C’ B’ 3 2 C B 1 Pregunte a los adolescentes qué les sugiere la imagen que resultó en la cuadrícula al seguir las instrucciones del inciso a. Localicen los vértices del triángulo y escriban las coordenadas de cada uno. C’: (12.2 BC = 1. 4). Homotecia y semejanza 1. • ¿Qué relación hay entre las medidas de AA’ y OA? Son iguales. b. OA.y) = (mx. si se tiene la pareja (x. analicen el triángulo y respondan. Haga notar que el resultado es diferente a la adición de un número. OB y BB’. C’’ 5 A 4 A´B´ . 2). 14 13 A’’ 12 B’: (6. 170 SMAT3LRCONAPL11-161-176. my).b) y k(a. tenemos que m(x. donde k es un natural. 4). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Información complementaria 19 x • ¿Qué características tienen los lados AB y A’B’? ¿Y los lados BC y B’C’? Son proporcionales 1 a 2. c. y) y se multiplica por un escalar m. AC y A’C’. ya que suele haber confusión al momento de integrar el factor y localizar las coordenadas como (x + m.8 1. Dibuje dos polígonos homotéticos y dé instrucciones a un voluntario que pase al pizarrón y que una los vértices correspondientes de los polígonos. e. pida que den argumentos a su respuesta. b. tracen una figura homotética a Δ ABC con razón de homotecia 3. Haga notar que los lados correspondientes de los polígonos. que sean homotéticos entre sí. se dice que los polígonos son homotéticos.indd 139 SMAT3LRCONAPL11-161-176. Tracen. El número por el que se multiplica la distancia del centro de homotecia al vértice de la figura original se denomina factor de homotecia. y luego alargue las rectas hasta que se crucen en un punto.indd 171 12/24/13 2:44 PM Prohibida su venta 171 1/30/14 5:55 AM . 139 PM3STJCONA-PL09-129-144. con ayuda del profesor. Plantee si es posible hallar dos polígonos que no sean semejantes entre sí pero que respondan a una transformación homotética.5 = 4 D’E’ = 20 DE 5 =4 E’A’ = 20 EA 5 =4 y Dé instrucciones de resolver las actividades de la página y permita que comparen resultados al finalizar los ejercicios. En una homotecia los segmentos correspondientes de las figuras son paralelos. Propuestas didácticas Cuando las rectas que unen los vértices correspondientes de dos polígonos se cortan en un punto fijo o centro de homotecia. Invite a un estudiante a dar lectura al texto que aparece en azul y pídale que haga las asociaciones correspondientes del contenido del texto con los trazos realizados en el pizarrón. 2. A’B’ = 36 AB 9 =4 B’C’ = 24 BC 6 =4 C’D’ = 18 CD 4. Pregunte al grupo si tiene sentido hablar de un factor de homotecia menor que uno y que argumenten por qué. • ¿Qué propiedades del pentágono ABCDE se conservaron en el pentángono A’B’C’D’E’? La medida de los ángulos y la proporción entre los lados. en el plano cartesiano una figura homotética de ABCDE a partir el vértice B’. Solicítele que identifique el centro de homotecia. Si k es mayor que uno (k > 1). concluyan. Si el factor o la razón de homotecia es mayor que cero y menor que uno (0 < k < 1) se trata de una reducción. Consideren como centro de homotecia el origen. entonces se trata de una ampliación. 0). (0. Lean la información y respondan. son paralelos ente sí. que determine si el factor de homotecia está entre cero y uno o es mayor que uno. cuyo centro de homotecia sea (0. 2 • En el plano cartesiano de la página anterior. Calculen el cociente de las razones.• ¿Qué relación hay entre la distancia que guarda el punto donde se intersecan los segmentos con dos puntos correspondientes de los polígonos? Es el doble con relación al más cercano. Respuestas en milímetros y son medidas aproximadas. es decir. d. a. en su caso cómo esperarían que fuera la figura homotética con respecto a la original. B’ 12 11 10 9 D’ C’ 8 7 6 5 E’ 4 3 B 0 D C 2 1 A’ E A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 x • ¿Qué relación hay entre los resultados? Es el mismo. Respondan. Ver plano. • ¿Cuál es la razón de homotecia? 4 i Comenten sus resultados con sus compañeros y. i Comenten sus respuestas y procedimientos con sus compañeros. Con base en la información anterior. si aún persisten dudas invítelos a compartirlas con el resto del grupo para que sean sus propios compañeros de clase quienes las resuelvan. 0) • la razón de homotecia de Δ ABC y Δ A’B’C’. determinen: • el centro de homotecia de Δ ABC y Δ A’B’C’. bajo la guía de usted. C1. porque la distancia de los vértices A1. H Propuestas didácticas A0 A1 A A2 D0 B0 Indique al grupo que construyan las figuras homotéticas solicitadas en el punto 3 y respondan las preguntas relacionadas de manera individual en sus libros. La razón es 2.Construcción de figuras homotéticas con compás 3. B2 C1 Cuando hayan terminado de responder las preguntas. Tracen los segmentos que pasen por los puntos A1. Reúnanse en pareja para realizar lo que se solicita. porque sus ángulos correspondientes miden lo mismo y la proporción entres sus lados es la misma. • ¿Las figuras homotéticas son semejantes? Argumenten. D2 para formar los polígonos correspondientes. • ¿Cómo son los polígonos que trazaron respecto del polígono original ABCD? Son semejantes. D1 y A2. posteriormente podrán reunirse con una pareja para comparar respuestas y discutir las diferencias en resultados y procedimientos. C2. Haga notar que dichos cuadriláteros son paralelogramos.indd 140 12/24/13 2:44 PM 1/30/14 5:55 AM . Obtengan conclusiones grupales y pídales que de manera individual las escriban en sus cuadernos utilizando sus propias palabras. i Socialicen sus respuestas y argumentos. • Usen su compás para determinar la razón de homotecia de los polígonos. 172 SMAT3LRCONAPL11-161-176. homotéticos. respectivamente • ¿Qué propiedades del polígono A2B2C2D2 se conservan en el polígono A1B1C1D1? La medida de los ángulos y la proporción entre los lados.indd 172 Prohibida su venta 140 PM3STJCONA-PL09-129-144. pase al frente del pizarrón a alguna de las parejas y dé instrucciones de explicar el procedimiento que siguieron para hallar la razón de homotecia y que expliquen al resto de los compañeros por qué las figuras homotéticas también son semejantes entre sí. Sí. C1 y D1 al centro de homotecia es el doble que la de los vértices correspondientes de la figura original. Después registren sus conclusiones. La razón es 2 y 3. Pregunte al grupo si es necesario hacer uso explícito del plano cartesiano para trazar figuras homotéticas. B1. B1. B2. • ¿Cuál es la razón de homotecia del polígono ABCD y del polígono A1B1C1D1? Expliquen el procedimiento que siguieron. D C0 B D1 D2 C B1 Haga énfasis en que las líneas que trazaron al unir los puntos de cada cuadrilátero son paralelas a los lados correspondientes del cuadrilátero original y al resto de cuadriláteros homotéticos. C2 a. • ¿Cuál es la razón de homotecia del polígono ABCD y del polígono A2B2C2D2? 3 • ¿Cuál es la razón de homotecia del polígono A2B2C2D2 y del A1B1C1D1? ¿Y con 2 1 A0B0C0D0? 3 y 6 . quedando la pantalla con respecto al proyector.indd 173 1/9/14 11:52 AM Prohibida su venta 173 1/30/14 5:55 AM . • ¿Cuál es la razón de homotecia del polígono x0y0z0w0 respecto del polígono x1y1z1w1? 6 • ¿Qué propiedades del polígono x0y0z0w0 en relación con el original se conservan? La medida de los ángulos y la proporción entre los lados. ¿es una imagen homotética?. Frente al proyector se localiza a una distancia x una pantalla blanca sobre la cual se refleja dicha fotografía. homotéticas?. ¿Son las fotografías proyectadas. en cada caso. Tracen una semicircunferencia con origen en el punto O. ¿de qué tipo de razón de homotecia se trata? Z W0 W Z1 W1 Abra espacio para la discusión y luego solicite que continúen respondiendo las preguntas de la lección. luego x + 5 unidades y x + 8 unidades. y. cinco unidades y luego ocho unidades. • ¿Qué tipo de polígono se formó? Un trapecio c. utilizando únicamente compás.indd 141 SMAT3LRCONAPL11-161-176. con radio x y que interseque a las cuatro semirrectas. Invítelos a pasar al pizarrón a hacer los trazos necesarios para que se apoyen en los dibujos y sus explicaciones sean más gráficas. determinen: • ¿Qué características debe cumplir un polígono x0y0z0w0 respecto del original para que la razón de homotecia sea 1 ? Que la distancia entre los vértices y el punto O 2 y los vértices correspondientes debe ser la mitad de la figura original. • Ubiquen los puntos de intersección de la circunferencia y las semirrectas para formar un polígono y llámenlos x. Y1 Y Y0 Z0 Diga a los estudiantes que se imaginen un proyector que muestra una fotografía. w. • Tracen el polígono x1y1z1w1 que cumpla la condición anterior. a una distancia de x + 1 unidades. • ¿Qué características debe tener un polígono x1y1z1w1 respecto del original para que la razón de homotecia sea 3? Los vértices correspondientes deben estar al triple de la distancia a la que se encuentra la figura original. 141 PM3STJCONA-PL09-129-144. ¿Qué sucederá con la fotografía proyectada?. ¿cómo se puede saber? En su caso. z. Ver figura. Ver figura. sino que se acerca. ¿por qué?. X1 Propuestas didácticas x X0 O Pregunte al grupo si dos figuras homotéticas pueden ser congruentes entre sí y que den argumentos a sus respuestas. ¿de qué tipo de factor de homotecia se trata? Ahora bien. Nombren al polígono que trazaron como polígono original y.b. • Tracen el polígono x0y0z0w0 que cumpla la condición anterior. La pantalla se desplaza hacia adelante una unidad. imaginarán que la pantalla ya no se aleja del proyector. comenten a qué se debe esto. • Hagan una figura cuya razón de homotecia sea 1 respecto de la original. si son diferentes.4 OH OJ OL • ¿Cuál es la razón de homotecia de M1H1J1L1 respecto de MHJL? 0. OJ1 . D.4 cm • ¿Cuánto mide OM1? 3. 174 SMAT3LRCONAPL11-161-176. 3 Pida a los alumnos que determinen de qué tipo de polígono se trata la figura verde. pregunte al grupo cómo esperan que sea la figura que reproduzcan respecto de la original y cuál es el procedimiento que piensan seguir. Analicen cómo son las figuras de los demás. Invítelos a compartir con el resto de los compañeros el método que piensan utilizar para verificar el paralelismo. F E • Tracen semirrectas con origen en Z de manera que cada una pase por los puntos A. 6.2 cm • ¿Cuál es el cociente OM1 ? 0.5 3. i Hagan los trazos necesarios y validen su respuesta. B. Figuras homotéticas con razón menor que 1 Solicite que marquen con colores iguales las parejas de lados de cada polígono que son correspondientes y que utilicen algún método para verificar que se trata de lados correspondientes.indd 174 Prohibida su venta 142 PM3STJCONA-PL09-129-144. ¿se puede obtener una figura cuya razón de homotecia tenga valores negativos? ¿Por qué? Sí. a. En la siguiente figura se muestran dos cuadriláteros homotéticos. F. I. OL1 . i Presenten sus trazos a sus compañeros y expongan el procedimiento que siguieron. H. Reúnanse en equipos y hagan lo que se solicita. J J1 O L1 L • ¿Cuánto mide OM ? 6.d. A B I Propuestas didácticas C H Z D G Los educandos harán uso de su juego de geometría para apoyar las actividades propuestas en la página. E. Analicen la figura y realice lo que se indica. M Pida que midan los ángulos interiores de los cuadriláteros usando el transportador y que verifiquen que los ángulos correspondientes son congruentes entre sí. paralelos entre sí. Dado que la razón de homotecia que se pide es de 1/3. G. esta queda del lado opuesto del centro de homotecia. 4. retome lo discutido en ese momento para abordar el tema de Figuras homotéticas con razón menor que 1. H M1 H1 Páginas atrás se preguntó a los estudiantes si consideraban que un factor de homotecia menor que uno tendría sentido. C.2 OM • Calculen la razón de los segmentos OH1 .indd 142 12/24/13 2:44 PM 1/30/14 5:55 AM .5 • Si O es el centro de la homotecia. 5 OJ OL’ = 4. apóyense en trazos en el pizarrón para mostrar de manera gráfica sus justificaciones. ¿Pueden existir don figuras homotéticas y simétricas entre sí con respecto a un eje de simetría?. retome la discusión previa y formule nuevamente la pregunta que realizó al inicio de esta misma lección: ¿Pueden dos figuras geométricas ser homotéticas y congruentes entre sí? J L’ O J’ L Abra espacio para la discusión. en su caso. es decir. 143 PM3STJCONA-PL09-129-144. retomando los argumentos antes dados. L. Lee la información y realiza lo que se te indica. argumenten y ejemplifiquen.5 4.3 cm y 4.3 cm • Obtengan la razón de: R. y formule más preguntas que encaminen la discusión a conclusiones generales: ¿Pueden entonces haber dos figuras homotéticas y semejantes entre sí? Expliquen por qué. L’M’ y respondan. 2 A Guíe la discusión para obtener conclusiones grupales. Tracen un polígono A’B’C’D’E’F’ homotético al polígono ABCDEF que tenga una razón de semejanza de – 1 . c. –1. • Si se aplicara una razón negativa a M’H’J’L’.4 = 4. H’ M’ • ¿Cuánto miden OM y OM ’? 4. trácenlo en el pizarrón y explíquenlo al resto del grupo. La figura original es el cuadrilátero MHJL. J’L’. 4 i Expongan el procedimiento que siguieron para realizar los trazos de los polígonos y validen sus construcciones con argumentos geométricos. ¿Es posible construir dos figuras homotéticas de tal forma que con una transformación de traslación se llegue de una a la otra?. mismas que deberán escribir en el cuaderno utilizando sus propias palabras y haciendo los trazos necesarios para representarlas.3 OH’ 4. • Tracen M’H’.indd 175 12/24/13 2:44 PM Prohibida su venta 175 1/30/14 5:55 AM . el punto O es el centro de homotecia. OM’ 4. del mismo lado de la figura original.b. pongan un ejemplo. M Propuestas didácticas H Ahora que han estudiado la posibilidad de que la razón de homotecia puede ser también menor que cero. i Verifiquen respuestas y registren sus acuerdos.5 OL ¿Es posible construir dos figuras homotéticas de tal forma que con una transformación de rotación se llegue de una a la otra?. Cuando la razón de homotecia es menor que cero se considera una homotecia negativa.3 = OM 4. • Con base en los resultados que obtuvieron determinen la razón de homotecia.4 OH OJ’ = 4.indd 143 SMAT3LRCONAPL11-161-176.5 4. expliquen su respuesta y pongan ejemplos gráficos en el pizarrón para compartirlos con el resto de los compañeros de clase. B C’ B’ F A1 D’ E’ A’ F1 F’ E1 B1 D1 E C1 C D • Tracen un polígono A1B1C1D1E1F1 homotético al polígono ABCDEF que tenga una razón de homotecia 1 . • En la siguiente imagen. H’J’. Justifiquen su respuesta. ¿qué ocurriría con la imagen homotética? Quedaría del lado opuesto del centro de homotecia. la nueva figura está del lado opuesto de la figura original con respecto al centro de homotecia. 5 cm D 5. luego trabajarán para establecer si se trata de triángulos homotéticos y resolverán las actividades propuestas en el punto 5.indd 176 c. luego identificarán los vértices correspondientes en los polígonos homotéticos. ¿qué tanto se acercaron al resultado correcto? ¿Cuál es cuál? En cuanto al punto 5. Prohibida su venta 144 PM3STJCONA-PL09-129-144. se trazaron dos figuras homotéticas. y compararán los resultados con sus estimaciones: ¿Era lo que esperaban?. M. con centro de homotecia el punto G • Determinen un centro de homotecia para los polígonos homotéticos? ¿Cuál sería la razón de homotecia? G para las figuras 1 y 3 con razón de homotecia –1 y H para las figuras 2 y 3 con razón de homotecia 5 i Comenten en grupo sus respuestas y valídenlas. a. 176 SMAT3LRCONAPL11-161-176. Sí son. Consideren los puntos G y H como centros de homotecia. De manera individual. realiza lo que se pide. calcula el centro y la razón de homotecia. De serlo. i Compara con tus compañeros tus construcciones y valídenlas en grupo. el centro de homotecia es C y la razón es –4 o – 1 . Identifiquen el polígono original y nombren sus vértices como ABCDEF. 5.62 cm 8.d. A C D E 2 En relación con el inciso d. de modo que para esta actividad se requerirá de la utilización de colores. pida a los estudiantes que analicen los triángulos y que determinen si se trata de triángulos congruentes. Usa tus trazos para argumentar tus respuestas. Luego deberán realizar las actividades del inciso d en las que harán uso de sus colores para trazar las rectas correspondientes al aplicar la transformación.indd 144 12/24/13 2:44 PM 1/30/14 5:55 AM . triángulos semejantes o ninguna de las dos opciones. pida al grupo que identifiquen el polígono original y que nombren sus vértices.09 cm E b. Explica qué características permanecen invariables en las construcciones homotéticas y cuáles cambian. 4 A R.4 cm C 6. Determina si los triángulos de la construcción son homotéticos.09 cm 24. Propuestas didácticas 1 G H B 3 El uso de colores para distinguir entre una y otra recta al aplicar la transformación de proyección es de gran utilidad para identificar fácilmente los puntos correspondientes. c. La medida de los ángulos y la proporción entre los lados se conserva y cambia el tamaño. Construye una figura homotética al Δ ABC cuya razón de homotecia sea mayor que 1. aproximadamente. y otra que sea menor que –1. • ¿Qué figuras tienen como centro de la homotecia el punto H? Figuras 2 y 3 • ¿Cuál es la razón de homotecia? 5 • ¿Cuál es la razón de homotecia con respecto al otro polígono? –1. Pida al grupo que estimen la razón de homotecia en cada caso y que la escriban en sus libros. 22. A partir de una de las figuras. como se indica en las instrucciones.5 cm B 32. coméntalas con la finalidad de solucionarlas. Dicha tabla quedará registrada en sus cuadernos. i Socializa tus respuestas y registra los acuerdos del grupo.htm En esta dirección hay diversos ejercicios. Analízalos y escribe tus conclusiones. www. es un ejercicio interesante que vale la pena estudiar paso a paso junto con el grupo. PM3STJCONA-PL10-145-160. Invite a los estudiantes a ingresar a las páginas de Internet que se ofrecen en el recuadro de Apoyo tecnológico para que pongan en práctica los conocimientos adquiridos. L.es/Dibujo_ Tecnico_Primero/UD2/ dt1_U2_tema_2_v01/ 32_figuras_homotticas. Falso (F) Afirmación El centro de homotecia es el punto donde concurren las rectas que determinan los puntos de una figura. es decir. realiza lo que se pide. La razón de homotecia de dos figuras se obtiene calculando el cociente de OA y OA’. solicite a los estudiantes que una vez que hayan resuelto la tabla de verdadero o falso propuesta en el punto 6. es/descartes/web/ materiales_didacticos/ Semejanza_y_ homotecia/Homote1.gobiernodecana rias. los enunciados que no son verdaderos. Si hay dudas.org/educacion/3/ Usrn/matematicas/ Geometria/ Actividades/ Transformaciones/ homotecias. dé oportunidad de que compartan sus respuestas con el resto del grupo. www. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Propuestas didácticas Para cerrar el tema de la lección. Verdadero (V) V V F i Socializa tus respuestas con el grupo y en conjunto reescriban.6. y viceversa. resuélvelos y practica lo aprendido a lo largo de la lección. menor o mayor que 1 o que –1. b. pues su posición dará la clave para la obtención del polígono imagen. com/matematicascoordenadas/curso/ Lecc-12.indd 177 En el siguiente sitio podrás resolver situaciones asociadas a las figuras homotéticas. siendo A un punto cualquiera y O el centro de homotecia.aulafacil.indd 145 SMAT3LRCONAPL12-177-192. html • Realiza lo propuesto y verifica tus resultados. Analiza los textos y marca en la columna “Falso” (F) o “Verdadero” (V). si se utiliza un factor de homotecia que afecte los ángulos internos de dicho hexágono. Propóngales resolver las actividades del recuadro Reto. De manera individual. Retoma la construcción anterior y plantea un problema que se resuelva con esta. Discútela en grupo. repasen el tema y resuelvan dudas si es que aún las hay. Reto Homotecias 1. htm Discute con tus compañeros la información que se encuentra en las páginas y analiza con ellos los ejemplos propuestos. Analiza la siguiente familia de pentágonos. recursostic. y una vez que lo hayan resuelto. que escriban en el cuaderno el enunciado correspondiente que resulte ser lo contrario a lo que escribieron en la tabla. a. Después realiza las actividades y la autoevaluación. •Ninguna tiene razón negativa y. Una homotecia transforma un polígono hexagonal regular. En la página sugerida se da una definición de homotecia. I Razón = 3 o 1 3 J D C E E C B A F B H E C A I Razón = 3 o 1 3 D J G F G I Razón = 3 o 1 3 F H H D A I Razón = 3 o 1 3J J H D C E B B A G F G • Encuentra la razón de la homotecia y explica si alguna de ellas es producto de una razón que es igual. si una de las afirmaciones de la tabla es verdadera. entonces deberán redactar la información contraria de modo que resulte falsa. en su cuaderno. R. • Mide los lados de los pentágonos en cada caso y obtén la razón de homotecia correspondiente. pero no sus lados correspondientes. Ninguna es igual a 1. según sea el caso. www. El signo de esta dependerá de la posición de O respecto de A y A’. sugiérales que primero traten de identificar en dónde se encuentra el centro de homotecia en cada caso. entonces deberán redactar una afirmación contraria para que sea verdadera.departamento dedibujo. si una afirmación es falsa. htm#DEFINICION En este sitio encontrarás información y ejemplos adicionales a los descritos. se puede determinar si la razón es mayor o menor que 1. La imagen de los pentágonos cuyo centro coincide con el centro de homotecia.educacion. según cuál se tome como original. 145 12/24/13 2:46 PM Prohibida su venta 177 1/30/14 5:56 AM . 5 i Compara tus respuestas y tu argumetación con las de otros compañeros. coméntenlas en grupo con la idea de resolverlas.17d – 5. el 20 o 21 de marzo y el 22 o 23 de septiembre. Debido a que estos aparatos funcionan con celdas solares.17d + 7. y hacia la izquierda si el signo de y es negativo. Información complementaria Equinoccio y eclipse son fenómenos diferentes que no están relacionados entre sí. • m(d) = 0. realiza y responde lo que se solicita. La palabra equinoccio proviene del latín y significa noche igual.17d – 5.17d2 + 7. Por la forma de la gráfica d.indd 146 12/24/13 2:46 PM 1/30/14 5:56 AM . y ese día el Sol alcanza el cenit. Un equinoccio sucede cuando el Sol está en el plano del ecuador terrestre. R. etcétera. 45 minutos de batería? Los días 9 y 33 c. Alejandro es ingeniero en Comunicaciones y Electrónica y su especialidad son las comunicaciones satelitales. satélites y las funciones cuadráticas 1. ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde con la gráfica? Argumenta. entonces la curva está acostada y abrirá hacia la derecha si el signo de y es positivo. existen eclipses de Sol y eclipses de Luna que ocurren cuando el Sol y la Luna se alinean con la Tierra.17d – 5. R. algunos de estos fenómenos son los equinoccios de primavera o de otoño.17d – 5. ¿cuántos días se emplean las baterías de respaldo? 42 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 x Días • ¿En qué días usan. Analízala y responde lo que se solicita. pues el día y la noche tienen la misma duración. M. aproximadamente. Minutos Un eclipse es un fenómeno en el cual la luz de un cuerpo celeste es bloqueada por otro cuerpo celeste. Cuadrática. cuando ocurren eclipses. –0. M.5 • m(d) = 0. trabaja para una compañía internacional que se dedica a fabricar satélites que se venden a diferentes países.17d2 + 7. Un equinoccio ocurre solo dos veces al año. Si es de la forma y = x2. si es de la forma y = –x2. entonces la curva abre hacia abajo y si la x se intercambia por la y. cuando un satélite hace sombra sobre otro cuerpo celeste. si existen dudas o diferencias.indd 178 Prohibida su venta 146 PM3STJCONA-PL10-145-160. Minutos de batería que utiliza un satélite y 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 • ¿Qué día utiliza más minutos de batería? ¿Cuántos minutos? El día 21. 70 minutos b.17d2 + 7. Aproximadamente. Equinoccios. esto ocurre para los dos equinoccios.Gráficas de funciones cuadráticas 18 Propuestas didácticas Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido: Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos Recuerde a los estudiantes que la gráfica de una función cuadrática es una curva. el de otoño y el de primavera. imaginando los cuatro cuadrantes de un plano cartesiano. ¿Qué tipo de función representa la gráfica? Justifica tu respuesta. sus valores corresponden a los de la gráfica.5 • m(d) = –0. Por ejemplo. a. pero también se pueden dar eclipses cuando la sombra de un satélite toca la superficie de un planeta. Alejandro diseña las baterías de respaldo que los integran.5. la y es la que va al cuadrado. Porque al sustituir la incógnita. Analiza la información. que es justamente cuando los dos polos de la Tierra están a la misma distancia del Sol. es decir. es decir. El ingeniero usa la siguiente gráfica para modelar los minutos que el satélite debe utilizar las baterías de respaldo durante el equinoccio de primavera. las cuales se cargan a través de paneles solares que se activan cuando la Tierra o la Luna se interponen entre el Sol y el satélite. la curva abre hacia arriba. 178 SMAT3LRCONAPL12-177-192. A estas intersecciones se les conoce como solución de la ecuación cuadrática o raíces de la ecuación cuadrática. c.56 65.17d – 5.76 32. Recuérdeles que el hecho de que una función cuadrática tenga dos soluciones no significa que el problema concreto las tenga. a. los términos b o c. Reúnete con un compañero.46 31. 200 4 180 3 160 140 2 Ninguna solución 120 1 100 80 –4 cuadráticas.17d – 5. 5 Se tiene una función cuadrática cuando esta tiene la forma f(x) = ax2 + bx + c.74 178.2 128.indd 147 SMAT3LRCONAPL12-177-192.54 25. ¿alguna no representa una función cuadrática? Expliquen qué hace diferente una expresión de la otra. retomen el problema anterior y resuelvan.17d + 7. • Si el coeficiente a fuera igual a cero. m(d) = 0.2 152.48 –4. –3 –2 –1 Una solución 0 1 2 3 x 60 –1 40 20 –2 Dos soluciones 0 –3 5 10 15 20 i Socialicen sus argumentos en grupo y con ayuda del profesor valídenlos. una vez o ninguna.5 d 1 2 3 4 6 b. Ver plano de la página anterior y en las propuestas didácticas.52 17.4 d 10 12 14 16 18 m(d) 49. Cuando una expresión algebraica de segundo grado se grafica. b. completen la tabla: sustituyan d por el valor que se indica y verifiquen la relación de la gráfica con la expresión algebraica. elaboren en el cuaderno una tabla para determinar el comportamiento de la función m(d) = 0. revisando también los ejercicios y problemas ahí planteados.5 y tracen la gráfica correspondiente en el plano de la página anterior. que hagan un repaso revisando la información de la lección 14.24 Pida al grupo que analicen las representaciones gráficas de las funciones cuadráticas del punto 2 y que traten de determinar el tipo de expresión algebraica que las define. donde a.5 8. y 6 2. la curva que se genera interseca al eje de las abscisas (eje x) dos veces.16 14. • ¿Cuál de las expresiones de la página anterior no representa una función cuadrática? Justifiquen.48 d 21 22 24 26 28 m(d) 70.06 61. además a no puede ser cero y x es la variable independiente.Función de una gráfica 2. b y c son números reales.2 105. 147 PM3STJCONA-PL10-145-160. ¿Qué aspecto las hace diferentes? La primera abre m(d) 1. de las siguientes funciones f(x) = ax2 + bx. Analicen la siguiente información y respondan las preguntas. Todas son Haga énfasis en que la posición de las gráficas es relevante para obtener información acerca de las soluciones a dichas funciones.84 9.86 41.48 20. A la función cuadrática también se le conoce como función polinomial de segundo grado. ¿qué tipo de función se obtendría? Una función lineal • Con base en la información teórica. Dé instrucciones al grupo de que resuelvan las actividades de la página y. si lo consideran necesario.98 d 32 34 36 38 42 Propuestas didácticas m(d) 49. de modo que la solución era única.7 68.66 66 61. pues ya se vio que hay situaciones para las cuales una de las soluciones no tenía sentido.3 21. Los estudiantes recordarán que las funciones que no cruzan el eje de abscisas no cuentan con una solución. f(x) = ax2 + c y f(x) = ax2.1 69. d 1 2 3 4 6 m(d) 1.96 68.64 hacia abajo y la segunda hacia arriba.64 d 10 12 14 16 18 m(d) 83.17d2 + 7. las que lo tocan en un solo punto tendrán una solución y si la función cruza el eje x en dos puntos. como se muestra a la derecha. Con base en la expresión que modela la gráfica. • Comparen ambas gráficas. entonces tendrá dos soluciones. Con base en los primeros diez valores propuestos en las tablas.2 56.9 43.indd 179 12/24/13 2:46 PM Prohibida su venta 179 1/30/14 5:56 AM . Si hacen uso de una calculadora ordinaria.02x. • • • • ingreso bruto. Propuestas didácticas Raúl es oriundo de León.indd 180 Prohibida su venta 148 PM3STJCONA-PL10-145-160. por lo que solicitó ayuda a su hijo Jesús. posteriormente. la literal x representa los pares de zapatos. .02)(35000) = 700. operarlo como un sumando con signo negativo. Jesús investigó para dar su punto de vista y utilizó las siguientes expresiones para determinar: En relación con la expresión algebraica del precio según la demanda. pueden utilizar las opciones que tiene de paréntesis y de elevar a un exponente un número para obtener los resultados de forma inmediata. utilicen calculadora: 200 700 x 600 0 2 500 5 000 7 500 10 000 12 500 15 000 500 400 300 200 100 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 ib(x) = x(700 – 0. así. 180 SMAT3LRCONAPL12-177-192. 5 000. el precio según la demanda (pd): pd = 700 – 0. se señala que x representa el número de pares de zapatos vendidos. para resolver la actividad del inciso b como se sugiere. al eje de las abscisas y al de las ordenadas. justificando cada respuesta. En la primera expresión x representa el número de pares de zapatos vendidos. analicen la siguiente información y respondan lo que se solicita. el cual debe ser mayor que cero. según la demanda. pd = 0. Además de que el precio máximo que pagaría una persona sería de 700 pesos. quien es actuario. es cuadrático. Si lo consideran pertinente.02x) – (100x + 1000000) En las expresiones. el cual debe ser mayor que cero pero menor que 35 000. ya que los cuadrados los deberán calcular aparte. Reunidos en pareja. 35 000. Cuando x adquiere valores mayores a 35 000. (punto dos) • Con base en la función ib(x) = xpd. Pregunte: ¿Por qué se da esta restricción?. pd = 700 – 0. Ver gráfica en la parte de propuestas didácticas. no tendría sentido hablar de precios negativos.02x2 ib = ib = ib = ib = ib = ib = ib = 6 125 000 6 000 000 5 625 000 5 000 000 4 125 000 3 000 000 0 c.Funciones cuadráticas en inversiones 3.02x • ¿Es esta una función cuadrática? ¿Por qué? No. a. Después respondan. Si ib se escribe en función de x. completen la siguiente tabla. La segunda expresión representa el producto del número de pares de zapatos por el precio en que se vendan.02x) = 700x – 0. a. una vez que hayan dado ideas los alumnos. porque ninguno de sus términos Comente a los estudiantes que en caso de hacer uso de su calculadora científica. • Elaboren en su cuaderno una gráfica de la función anterior. Guanajuato.. pero menor que 35 000 (0 < x < 35000).02x2 ib = ib = ib = ib = ib = ib = ib = 0 1 625 000 3 000 000 4 125 000 5 000 000 5 625 000 6 000 000 x 17 500 20 000 22 500 25 000 27 500 30 000 35 000 ib(x) = x(700 – 0. Para realizar un tipo especial de zapatos. es decir pd(x) = 700 – 0. utilicen valores para x de 0. • ¿Qué tipo de función es? Lineal b. por ello se hace la restricción de que 0 < x < 35000. En el plano de la siguiente página. Son todas las percepciones que se tienen sin considerar los gastos e impuestos. los resultados son menores que cero y. 2 500. realizar el producto por el coeficiente de la ecuación y. grafiquen los datos de la tabla. de modo que cuando x = 35000.. ¿qué sucedería o qué implicaría que x adquiriera valores superiores a 35 000?. Si Pd la escriben en función de x.02x) = 700x – 0.indd 148 12/24/13 2:46 PM 1/30/14 5:56 AM . coloquen título a la gráfica.02x el ingreso bruto (ib): ib = xpd los costos de producción (cp): cp = 100x + 1000000 la ganancia (g): g = x(700 – 0. explíqueles que se está partiendo de que el precio por un par de zapatos no rebasa los 700 pesos. ocurre que (0. deberán tener cuidado en el orden en el cual introduzcan los números.02x2 3. entonces.. Ib(x) = 700x – 0. debe hacer una fuerte inversión de capital. es decir. y se dedica a la fabricación de calzado. ib(x) = x(pd) • ¿Es esta una función cuadrática? Escriban la función de tal forma que se muestre el término cuadrático. siempre y cuando se garantice cierta cantidad de pares de zapatos vendidos. pago de servicios e impuestos. es decir. Discuta con el grupo cómo cambiaría la curva si se aumentara el coeficiente que multiplica a la equis cuadrada. • Elaboren en su cuaderno una gráfica de la función anterior. La cuarta expresión modela la ganancia en pesos que podría tener la fabricación del nuevo calzado. ¿qué término representa la inversión inicial? ¿Qué término significa el costo de producción por cada par de zapatos? 1 000 000. e. Si cuenta con un salón de medios o una graficadora. La tercera expresión indica el costo de producción de cada par de zapatos: salario de los trabajadores. 5 000. para ello se ha previsto una ganancia de. Por ejemplo. el término cuadrático tiene un signo negativo. 35 000.02x) – (100x + 1000000). lo cual nos indica la dirección hacia donde abre la curva. y queda como 3000000 = x(700 – 0. 149 PM3STJCONA-PL10-145-160.y 7000 000 6000 000 Propuestas didácticas 5000 000 4000 000 Comente a los alumnos que una forma de graficar es tabulando. está cada vez más lejos del cero en la parte negativa de los números. es el punto más alto de la gráfica. 100x • Si la expresión cp = 100x + 1000000. (punto tres) pérdidas por la venta. ¿qué sucedería si se vendieron 40 000 pares de zapatos? Habría 3. después tracen la gráfica. Respondan en su cuaderno. y cómo afecta a la curva un coeficiente mayor que uno. obteniendo algunos puntos de la función al asignar valores a x.indd 181 12/24/13 2:46 PM Prohibida su venta 181 1/30/14 5:56 AM . ¿esta es una función cuadrática? Justifiquen. Sí. d. 5 000 000 4 500 000 4 000 000 3 500 000 3 000 000 2 500 000 2 000 000 1 500 000 1 000 000 5 000 000 • De la expresión cp = 100x + 1000000. $6 125 000.02x) – (100x + 1000000). 2 500. para 25 000 pares • ¿Cuántos pares de zapatos se deben vender para lograr un ingreso bruto de $6 000 000? 15 000 y 20 000 pares • Dada la gráfica. la escriben en función de x y realizan la gráfica. es decir. Luego dé instrucciones de seguir resolviendo las actividades que se ofrecen en el libro. Ver gráfica en la parte de propuestas didácticas.indd 149 SMAT3LRCONAPL12-177-192... invite al grupo a jugar con las funciones cuadráticas. No.. Para eso es necesario determinar un precio mínimo y uno máximo de zapatos. . d. al menos $3 000 000. 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 • La expresión para la última información es: g = x(700 – 0. 3000 000 2000 000 1000 000 0 0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 x • ¿En qué puntos la curva interseca al eje de las abscisas? En cero y 35 000 • ¿Qué significan los valores anteriores? Que no hay ganancias. Para 17 500 pares. utilicen valores para x de 0. • ¿Cuál es el ingreso bruto por la venta de 10 000 pares de zapatos? ¿Hay alguna otra cantidad de pares vendidos por lo que se obtenga el mismo ingreso? $5 000 000. porque ningún término es cuadrático. • ¿Para qué cantidad de pares de zapatos vendidos se tiene el mayor ingreso bruto? Argumenten. se puede analizar la expresión algebraica para obtener información que nos dé un esbozo de cómo va la curva que representa la ecuación. sin embargo. Completen la tabla de la siguiente página para los diferentes valores de x. sumando términos independientes para que vean cómo se desplaza la curva y a multiplicar coeficientes por el término cuadrático para que analicen las variaciones en la misma. ¿Qué tipo de función representa? Lineal. además de la inversión inicial para el diseño de modelos y adecuaciones de maquinaria. Prohibida su venta 10 000 –1 000 000 También puede sugerirles que escriban en el cuaderno la ecuación algebraica y que reduzcan los términos semejantes. i Socialicen y comparen sus respuestas y argumentos con el grupo. En la expresión p = 700 – 0. qué pasaría con las ganancias en la medida en la que x va adquiriendo valores cada vez mayores. respectivamente • ¿La función que modela la ganancia es una función cuadrática? Sí • ¿En qué puntos la curva interseca al eje de las abscisas? Aproximadamente 10 000 y 20 000 Información complementaria • ¿Qué significan los valores anteriores? El número de pares que deben vender para obtener $3 000 000 de ganancia. 1 000 000 0 20 000 25 000 30 000 35 000 x –3 000 000 • ¿Qué variable se representa en el eje de las abscisas? ¿Y en el eje de las ordenadas? El número de zapatos y la ganancia en pesos. Con ayuda del profesor validen su veracidad. 182 5 000 d • ¿Para qué cantidad de pares de zapatos vendidos se tiene la mayor ganancia? ¿Cuál sería el precio de venta? ¿Cómo se aprecia esto en la gráfica? Para 15 000 pares. Así pues.02x. Las ganancias económicas de la empresa se pueden expresar con una ecuación algebraica. 3 500 000. porque como se observa en la gráfica para 5 000 pares la ganancia es negativa. debe tomar decisiones sobre el nivel de producción que maximiza las ganancias. en su caso. la equis. es decir. • Sustituyan los valores de x donde la curva interseca al eje de las abscisas. para determinar la mayor ganancia. ¿Qué resultados se obtienen? 300 y 500 Una empresa tiene que tomar muchas decisiones para mantener una buena producción y ganancias que le sean favorables. para los valores que se muestran en la tabla. SMAT3LRCONAPL12-177-192. 3000000 = (700x–0. al resultado que muestra la gráfica que trazaron ($500 000) le sumen los $3 000 000 que restaron al igualar la expresión a cero.3000000 = (700x–0. No. que resuelvan –0.02x2 + 600x – 4000000 = 0. En particular. Guíelos para que. primero deberán quitar paréntesis aplicando la ley de los signos para el segundo paréntesis y sumar los términos que tienen como parte literal. Registren sus conclusiones en su cuaderno. • ¿Se podría decir que si se venden 5 000 pares de zapatos hay ganancia?Justifiquen. se representa por el punto más alto de la gráfica más los 3 000 000 que se restaron al igualar a cero la ecuación.indd 150 12/24/13 2:46 PM 1/30/14 5:56 AM . explique a los alumnos que basta con que respeten los paréntesis de la ecuación para obtener el resultado final de manera directa. el problema de decisión de la empresa para maximizar las ganancias se centra en elegir los niveles adecuados del factor capital y del factor trabajo.02x2) – (100x + 1000000) x –4 000 000 0 –2 625 000 2 500 –1500 000 5 000 – 625 000 7 500 10 000 0 12 500 375 000 15 000 500 000 Propuestas didácticas Oriente a los estudiantes para que al completar la tabla y trazar la gráfica. 150 PM3STJCONA-PL10-145-160.02x2) – (100x + 1000000) x 375 000 17 500 0 20 000 – 625 000 22 500 –1 500 000 25 000 –2 625 000 27 500 –4 000 000 30 000 –5 625 000 32 500 y 4 000 000 3 000 000 2 000 000 Si hacen uso de la calculadora científica.indd 182 15 000 –2 000 000 Abra un espacio en su clase para discutir si una curva que abre hacia arriba puede representar las ganancias de un negocio y. igualen a cero la expresión que se muestra en ella y reduzcan términos semejantes. que aparecen al inicio de la página. de lo contrario les conviene resolver por partes la ecuación e ir tomando nota de los valores que se van obteniendo. donde la expresión que se utiliza es una función exclusivamente de los factores de producción que emplea. a. • ¿Cuál de las siguientes funciones modela la gráfica? Argumenten su elección. Analicen la gráfica y respondan.Funciones cuadráticas en otras situaciones 4. • De las funciones dadas.5 toneladas de grano. 2 • Escríban las dos expresiones anteriores de manera que tengan estructura de la 2 2 forma f(x) = ax2 + bx + c.5 4 Toneladas 3. 153 6.indd 151 –2x2 −40 Determina hacia donde abre la curva. replanteen su análisis y vuelvan a elegir la función correcta. Con base en la función que determinaron. 2 x(3 – 1 x) = 3x – x 2 2 • f(x) = –4x(3 – 1 x) • f(x) = x(3 – 1 x) • f(x) = 4x(–3– 1 x) • f(x) = 4x(3 – x) 2 2 2 P. pregunte: ¿Tiene sentido la curva?. Para ello realizó la siguiente gráfica.indd 183 2x2 x2 12/24/13 2:46 PM Prohibida su venta 183 1/30/14 5:56 AM .5 1 0. Formule preguntas como: ¿Cuántas toneladas se cosechan en cero metros cuadrados?. ¿en cuántos metros de terreno se da la mayor cantidad 2 de toneladas de granos de sorgo? 3 m • ¿En qué pares de metros cuadrados se obtiene la misma cantidad de granos? En 1 m y 5 m y en 2 m y 4 m • ¿El modelo que muestra la gráfica es una función cuadrática? Sí Luego dé instrucciones de que resuelvan las actividades ofrecidas en la página. ¿tiene sentido?. – 2x – 12x 8x2 40 4x2 20 −3 • En las funciones –4x(3 – 1 x) y 4x(–3 – 1 x). ¿cuál es el valor del coeficiente a? 2 2 2 y −2 0 −20 • ¿Cómo influye el signo del coeficiente a en el comportamiento o forma de la gráfica? 3 –4x2 –8x2 −60 151 PM3STJCONA-PL10-145-160. ¿cuántas toneladas se cosechan en un metro cuadrado? Si en un metro cuadrado se cosechan 2. ¿se cosechará el doble de toneladas en dos metros cuadrados?. 1. 60 b. elaboren en su cuaderno una tabla y corroboren que esta corresponde con la gráfica. permita que se dé una lluvia de ideas y argumentaciones.5 3 2. ¿se cosecha el doble de toneladas en 4 metros cuadrados? a. ¿por qué? Si en dos metros cuadrados se cosechan 4 toneladas. SMAT3LRCONAPL12-177-192.5 0 1 2 3 4 5 6 7 x Metro cuadrado • Según los datos de la gráfica. Concluyó que el sorgo es lo más adecuado porque sus tierras son de temporal y porque la cantidad de grano por metro cuadrado es variable. valdría la pena que analizaran las funciones señaladas al final del inciso a. Si no es así. Al finalizarlas. ¿cuál es la diferencia entre f(x) = –4x(3 – 1 x) y 2 f(x) = 4x(–3 – 1 x)? El signo del coeficiente del término cuadrático. Toneladas de grano por metro cuadrado y 5 4. Propuestas didácticas Analice junto con el grupo la gráfica de la función y pídales que describan la situación representada por la curva según el planteamiento del problema. ¿por qué consideran que llega un momento en el que la producción disminuye aunque los metros cuadrados de sembradío aumenten?. 2x – 12x. ¿por qué consideran que esta relación entre metros cuadrados sembrados y toneladas de grano obtenidas no es una relación lineal?. y que las graficaran en el pizarrón para ver cómo cambian las curvas en función de los signos y los coeficientes que tengan multiplicados.5 2 Abra un espacio para discutir el comportamiento de la curva en relación con la cantidad de toneladas cosechadas de grano en función del aumento de metros cuadrados sembrados. Gustavo heredó algunas hectáreas de tierra e investigó qué le conviene sembrar y la cantidad de semillas por metro cuadrado que se requieren para obtener la mayor cantidad de toneladas de siembra por hectárea. Reunidos en pareja analicen la información y realicen lo que se indica. donde a es un número real.indd 184 –x2 – x – 2 16 −600 60 −5 14 −500 P. 6 3 x2 – 3 −4 0 −2 Cuando se tiene una función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c. quedando dentro de la curva original y otra. explique que en el primer caso se tiene una curva de la forma y = ax2. se tiene una curva de la forma y = ax2 + c. c. Ramón es estudiante de Física e hizo el exprimento de lanzar un objeto hacia arriba. el signo del coeficiente del término cuadrático determina hacia dónde se abre la curva. −2 −3 a.indd 152 12/24/13 2:46 PM 1/30/14 5:56 AM . La expresión que modela el experimento es: h(t) = – 1 t2 + t + 60. la curva se va cerrando. −15 Prohibida su venta 152 PM3STJCONA-PL10-145-160. b. Una vez que hayan dado sus ideas. y 200 Propuestas didácticas 100 0 Invite a algún voluntario a leer en voz alta de la información que aparece en color azul. tracen la gráfica de las dos funciones anteriores y validen el razonamiento de la última pregunta. La altura de la que lo lanzó fue de 60 metros. la curva siempre estará sobre el eje de la ordenadas. luego una curva también que abra hacia arriba pero más delgada. P. 4 −200 60 Trace en el pizarrón un plano cartesiano con una parábola que abre hacia arriba con su vértice en el origen. 2 8 −300 8 Trace después una parábola que abra hacia arriba. es decir. la curva se abre mucho. en la medida en la que sea más grande. 10 x2 – x + 2 12 −400 15 x +x + 2 10 x Comente al grupo que el coeficiente que multiplica al término cuadrático es el que influye en la abertura de la curva. 153 6.c. Cabe mencionar que el término independiente c indica la ordenada del punto (0. en el segundo caso. desde la azotea de un edifico. 2 −100 0 x 0 5 10 15 20 25 30 35 i Socializa tus argumentos y con ayuda del profesor valida la veracidad de tus respuestas en cada inciso. 153 6. luego una parábola con vértice sobre el eje y en la parte positiva. la curva se abre hacia abajo. abre hacia arriba. si se trata de un número menor que uno. pero si el término lineal es mayor o menor que cero la curva estará en algún cuadrante del plano cartesiano. que contenga a las dos primeras. Si el término lineal bx es cero. −1 2 4 6 0 1 2 x2 + 3 i Socialicen sus respuestas y argumentos y con ayuda del profesor corroboren su veracidad. y en el tercer caso se tiene una curva de la forma y = ax2 + c. y si es positivo. Realiza lo que se indica en cada problema planteado. ¿hacia dónde se abre la curva? Hacia abajo 70 • ¿Por cuál punto interseca al eje de las ordenadas? En 60 • Grafica la función propuesta por Ramón. En el siguiente plano cartesiano. más abierta. Lean la siguiente información teórica para hacer sus conclusiones. para determinar la altura máxima que alcanza y el tiempo que tarda en llegar al suelo. y si se trata de un número mayor que uno. 10 y • Si dicha función se grafica. c) por el que interseca la curva al eje de las ordenadas. si el coeficiente a tiene signo negativo. y una tercera curva con vértice sobre el eje y en la parte negativa y pregunte a los alumnos qué tipo de expresión algebraica tiene cada una de esta curvas. donde a y c son reales y c es un número positivo. y pregunte de qué manera influye en la función un término que se suma o resta al término cuadrático que depende solo de x. donde a y c son reales y c es un número negativo. y responde: • ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto lanzado? 62. 5.5 m • ¿Cuánto tiempo tarda desde que es lanzado hasta llegar al piso? 30 segundos 50 40 −0 −3 −2 −1 1 2 3 30 20 −5 10 −10 184 SMAT3LRCONAPL12-177-192. Pregunte al grupo de qué manera consideran que influye en la curva el término bx. Ver gráficas página 152 del libro del alumno. y 2. • ¿Cómo afecta el signo del término independiente a las funciones? • ¿Cuántas soluciones tienen las ecuaciones anteriores? ¿Cómo lo determinaron? d. • Considerando el valor original del término independiente. ¿cómo serían las gráficas? 4 3 2 3 ¿En qué se diferencian con respecto de las funciones originales? 2 2 b. con ayuda del profesor. b es positiva pero donde la curva cruza el eje de las ordenadas es cuando x = –3. y de forma análoga. ¿Es posible ampliarlo? ¿En qué rango? i Socialicen sus argumentos y. 15 x2 + x + 2 10 x2 – x + 2 −5 −0 −3 −2 −1 1 2 3 −5 −10 –x2 – x – 2 −15 153 PM3STJCONA-PL10-145-160.5 para la variable independiente. Propuestas didácticas Explique al grupo que el término bx hace que la curva se desplace hacia la derecha o hacia la izquierda con respecto al eje y. el vértice de la parábola se desplaza hacia la parte positiva. Por ejemplo. Reunidos en pareja. i Discutan en grupo sus experiencias. 6. •La curva se cierra. •El signo del coeficiente. Invite al grupo a ingresar a las páginas de Internet para repasar el tema y aclarar dudas si aún las hay. –8. Observa qué sucede con el gráfico y escribe tus conclusiones. Consideren el rango de valores de –2. • f(x) = –x2 + 2 • f(x)= –x2 – 2 Cambia el punto donde las gráficas interesan al eje y. R. 2 . Consideren el rango de valores entre –2. registren en su cuaderno las conclusiones del grupo sobre la forma de las gráficas de funciones cuadráticas. Ver en el libro de recursos. Consideren el rango de valores de –2. Grafiquen en el cuaderno o en una hoja de papel milimétrico las siguientes funciones. ¿cuál puede ser el rango de valores que puede tomar la variable independiente? R.5 para la variable independiente. L. es/descartes/ web/Descartes1/ experiencias/mvi/ representacion_fun_ cuadratica. Grafiquen las siguientes funciones.5 abiertas. la forma de la curva es algo similar a la curva azul. página 186.5 a 2. Dos y ninguna respectivamente. y = x2 + 3x. L. • Con base en lo anterior.indd 153 SMAT3LRCONAPL12-177-192. Grafiquen las funciones f(x) = x2 + 3 y g(x) = x2 – 3.htm • Retoma la función resuelta en el “Reto” y varía el término independiente. Grafiquen las siguientes funciones.5 para la variable independiente. Consideren el rango de valores de –6 a 6.5 para la variable independiente. • Retoma algunas funciones del inciso c de esta página y grafícalas. Por los puntos donde las gráficas interesan al eje y. • ¿Qué significa que a las funciones se les haya agregado el término independiente? Que se les sumó una constante. es decir. Realicen en equipo lo que se solicita y respondan en su cuaderno. a. • f(x) = x2 + x + 2 • f(x) = –x2 – x – 2 • f(x) = x2 – x + 2 • f(x) = x2 – x – 2 Ver gráficas en la parte de propuestas didácticas. Reto Función cuadrática 1.edu/ es/nav/frames_ asid_109_g_4_t_2. c. Gráficas • f(x) = x2 • q(x) = –x2 • g(x) = 2x2 • r(x) = –2x2 • h(x) = 4x2 • s(x) = –4x2 • p(x) = 8x2 • t(x) = –8x2 • ¿Cuál es la diferencia que hay entre las funciones f(x) = x y q(x) = –x ? • ¿Qué sucede con las primeras cuatro funciones a medida que aumenta el coeficiente a? • Si los coeficientes de las funciones fueran 3 . es decir. escriba en el pizarrón: y = x (ax + b) y = ax2 + bx De esta expresión podemos saber que la curva atraviesa al eje y cuando x es cero y cuando ax es igual a –b. Ingresa a cualquiera de los siguientes sitios web. Ver gráficas en libro de recursos página 184.5 a 2. realicen en su cuaderno lo que se pide. • Para todos los casos en los que han graficado. el rango de valores para la variable independiente se ha restringido. L.usu. y gráficamente la primera abre hacia arriba y la segunda hacia abajo.educacion. •Las curvas serían más Utilicen el color correspondiente de cada una. el vértice de la curva se desplaza con respecto al eje y hacia la izquierda. • Según sea el caso. realicen la gráfica correspondiente. ahora varía el valor del coeficiente del término cuadrático por –6. d. si b es positivo. Analiza si estas coinciden con las que hiciste. anoten las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para aclararlas. Sí. Comparte tus experiencias y discute con tus compañeros tus conclusiones. tenemos que x(x + 3). Analicen la función g(x) = 100 – 4x y respondan las siguientes preguntas: 2 • ¿La función es cuadrática? Sí • Si esta se grafica. Ver gráficas en libro de recursos página 183.html? open=activities&from =topic_t_2. y si b es negativo. (consulta: 14 de noviembre de 2013) 3 –3 Estos consejos ayudarán a los estudiantes a comprender mejor la representación gráfica de las ecuaciones de segundo grado en sus diferentes presentaciones. Analiza qué sucede con el gráfico al variar este dato y escribe tus conclusiones. pide apoyo al profesor.5 a 2. ¿en qué cuadrante se ubica el punto mínimo o máximo de las gráficas? Sobre el eje y. 1 y 1 . R. 6. Consideren el rango de valores de –2. así tenemos una curva de la forma de la curva verde. Seleccionen una función del punto 6 y planteen un problema que se resuelva con ella. 2. –10. Si hay dudas. ¿la curva se abre hacia arriba o hacia abajo? Hacia abajo • Si consideran el uso de números negativos.indd 185 12/24/13 2:46 PM Prohibida su venta 185 1/30/14 5:56 AM . practica con el interactivo y después realiza lo que se te solicita nlvm.html recursostic. Esto se puede entender mucho mejor si factorizamos x. la ecuación y = x2 – 3x.a. cuando b = –3. 153. En la actualidad. −60 −40 0 0 −20 1 Días Producción de ácido láctico (%) 1 2 3 4 5 0.05% 0.5% 0.45% Entre 4 y 5. • ¿Con qué argumentos pueden sustentar el tipo de crecimiento de producción de ácido láctico al fermentar la col? R.2 0 2 3 4 Tiempo de fermentación en días 5 6 x a. no tendría mucho sentido hablar de tiempo negativo a menos que se hable de lo que ocurría antes de ese punto temporal. L. en la industria alimentaria. tenemos que trabajar con números naturales. ¿cuál es el incremento porcentual de ácido láctico? 0. Fermentación ácido láctico 1. en este caso en el eje x. En pareja realicen lo que se plantea.35% b. R.8 0.6 0. Reto 1.indd 154 12/24/13 2:46 PM 1/30/14 5:56 AM . La gráfica crece más rápi. En el caso de la fermentación de un alimento. es un proceso natural que ocurre en determinados compuestos o elementos a partir de la acción de diferentes actores y que se podría simplificar como un proceso de oxidación incompleta. llenado de recipientes.8% 1. se pueden considerar todos los números reales positivos. por ejemplo. el tiempo antes de la fermentación no proporciona ninguna información.4 2 Haga notar a los alumnos que cuando se representa el tiempo. De forma análoga ocurre con el porcentaje de ácido láctico que contiene el alimento fermentado.• ¿Entre qué días el incremento fue mayor? ¿Cómo se refleja esto en la gráfica? do en este intervalo.2 1 0. fermentación. Con base en los datos de la gráfica. • ¿Cuál fue el incremento del porcentaje de ácido láctico del día 1 al 2? 0. si se trata de objetos. se usa con mucho éxito el proceso de fermentación ácido láctico. se trabaja solo con la función que está en las coordenadas positivas. ¿se puede predecir qué porcentaje de acido láctico se producirá en el día 6? Sustenten. Describan en el cuaderno el crecimiento que muestran los datos de la gráfica. etcétera Explique al grupo que en algunas representaciones gráficas se tienen datos discretos y en otras situaciones es posible tener una continuidad en los datos representados.indd 186 Prohibida su venta 154 PM3STJCONA-PL10-145-160. como en muchos otros. justificando cada una de sus respuestas. y % de ácido láctico 4 6 8 P. Gráfica de fermentación de la col 1. • En promedio. donde los azúcares presentes en vegetales se transforman en ácido láctico.67% Entre los días 3 y 4 • ¿En qué día se tuvo la mitad de la producción final de ácido láctico? Explica. −6 −4 −2 20 60 40 80 120 100 Pida a los alumnos que respondan las preguntas de la página. i Comenten en clase sus respuestas y explicaciones y registren sus acuerdos. Curvas que modelan situaciones en movimiento −8 • Con estos datos.4 objetos. Después el vegetal puede ser envasado para comercializarse. 186 SMAT3LRCONAPL12-177-192. no tiene sentido hablar de porcentajes negativos de ácido láctico. de modo que no tiene sentido considerar valores negativos para t.65% 0.19 Propuestas didácticas Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido: Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento.4 0. por ello en este problema. completen los datos de la tabla. una gráfica o una función cuadrática pueden modelar el problema en cuestión y solo hay que considerar los puntos que sean de utilidad. En la siguiente gráfica se muestra el tiempo de fermentación de una col regular (450 g) y el porcentaje de producción de ácido láctico. sin embargo. L. que solo se pueden contar con los naturales. etanol y dióxido de carbono. pues no tendría mucho sentido hablar de 3. En la gráfica aparecen señalados puntos para indicar los días. No se puede saber con exactitud su comportamiento. Muchos de los alimentos y bebidas que consumes a diario pasaron por un proceso de fermentación. 5 0 Diga a los estudiantes que comparen las dos gráficas que aparecen en el inciso a del punto 2. L. ¿por qué?. • ¿Cómo es la producción de ácido láctico de la gráfica A en comparación con la B? R.1 0 1 2 3 4 5 6 Tiempo de fermentación en días 7 x Gráfica D • • • • ¿Cuál de las gráficas corresponde a los datos de la gráfica A? La gráfica D ¿Cuál corresponde a los datos de la gráfica B? La gráfica C Describan el comportamiento de las diferencias en ambas gráficas y su significado. Pregúnteles qué significado tiene el hecho de que el porcentaje de producción de ácido láctico disminuya de un día a otro. Las siguientes gráficas muestran la producción de ácido láctico en dos distintas temperaturas.25 0.4 0. En medicina forma parte de una sustancia que se inyecta por vía intravenosa a personas que han perdido sangre debido a una quemadura. por día.2 0.5 El ácido láctico es un compuesto que juega diferentes roles en varios procesos bioquímicos.5 2 1 0. R. el título de las gráficas y las curvas que se han trazado en cada caso.6 1 0. Analícenlas y respondan en el cuaderno. Producción de ácido láctico (%) Producción de ácido láctico (%) 1. que identifiquen el tipo de escalas que se utilizan en ambos ejes. • ¿En cuántos días la mayor producción de la gráfica B se logra en la gráfica A? En el día 4 • ¿Qué significado le pueden asociar a la respuesta anterior? A mayor temperatura. una cirugía o un traumatismo. por ejemplo.3 0.45 0. según los datos de las gráficas A y B.4 0.2 2. la representación de cada eje.15 0. En una empresa se hacen pruebas de fermentación.4 0. • ¿Identifican algún patrón en el crecimiento de los datos? Expliquen. ¿en qué día la diferencia de producción de ácido láctico fue menor? ¿Y en la gráfica D? En los días 3 y 4 y en los días 4 y 5.3 0. x Gráfica B • ¿Qué gráfica representa mayor producción de ácido láctico? Argumenten. ¿son las mismas escalas utilizadas en el eje y?.05 0 Diferencia por día de la producción de ácido láctico 1 2 3 4 5 6 Tiempo de fermentación en días Gráfica C 7 Producción de ácido láctico (%) Producción de ácido láctico (%) y x y Por último. L. la fermentación. b. mayor producción de ácido láctico. También se utiliza el ácido láctico como alternativa a la salina fisiológica para recuperar volumen. Trabajen en equipo las siguientes actividades.2 0.Pruebas de fermentación 2.1 0. donde se muestra la diferencia de producción de ácido láctico. La gráfica A • Describan las características de las gráficas A y B.6 0. El crecimiento es más regular. no es una función creciente y muestra picos que los estudiantes deberán explicar en términos del planteamiento del problema.indd 187 12/24/13 2:46 PM Prohibida su venta 187 1/30/14 5:56 AM . Respondan en su cuaderno. ya que. pregunte similitudes y diferencias entre las cuatro gráficas y haga especial énfasis en la cuarta gráfica que aparece en el libro en color violeta. Formule preguntas como: ¿Se pueden comparar a simple vista?.8 1. • ¿En qué día se produjo la mayor diferencia de ácido láctico? En ambas del 6 al 7 155 PM3STJCONA-PL10-145-160. ¿Cómo es el crecimiento de los datos que se muestran? El crecimiento es variable. qué se imaginan que pudo ocurrir para tener un resultado así.5 0. Las gráficas indican la diferencia del día correspondiente menos el día anterior. R.indd 155 SMAT3LRCONAPL12-177-192. Analicen las gráficas C y D. 0. ¿y en el eje x? Gráfica de la fermentación de la col con menor temperatura dentro del dato promedio y Gráfica de la fermentación de la col con mayor temperatura dentro del dato promedio y Propuestas didácticas 0. 0. a diferencia de las otras tres gráficas. M.2 1 2 3 4 5 6 Tiempo de fermentación en días 7 x 0 1 2 Gráfica A 3 4 5 6 Tiempo de fermentación en días 7 Luego solicite que comparen ese par de curvas con las otras dos correspondientes al inciso b. considerando que las modificaciones en la temperatura del laboratorio influyen en la producción del ácido láctico. dé instrucciones de resolver las actividades de la página. respectivamente. De acuerdo con la información de la gráfica C. Información complementaria Diferencia por día de la producción de ácido láctico 0. a.35 0. Comente que la salmuera tiene varios usos. • Si esto es cierto. La salmuera es agua con una alta concentración de sal disuelta. junto con el vapor. y b. y antiguamente los marineros la usaban para endurecer o curtir la piel de las manos. a. R. en el año de 1800 Alessandro Volta usó la salmuera junto con dos metales: cobre y zinc para construir una pila. La salmuera. como la carne o para preparar encurtidos fermentados. Se deja reposar por 3 horas y está lista para usarse en la cocina. d. Después respondan. o sal gruesa y una cabeza de ajo. Una receta para preparar salmuera es: un litro de agua. R. por ejemplo. Decrece para luego mantenerse constante. puede generar un fluido motor para mover turbinas y generar electricidad. En la siguiente tabla se muestran los datos requeridos para la elaboración de salmuera. con base en un tubo de agua. Plantea al menos 5 preguntas o problemas que se puedan contestar con la información de las gráficas A. Lean en pareja la información y realicen lo que se indica. Propuestas didácticas Pregunte al grupo si con los datos de la tabla se puede saber qué tipo de curva se forma. entre otros usos. 70 • ¿Se parece la gráfica a la anticipación que hicieron de la misma? R. pregunte a los estudiantes si se trata de una función cuadrática. C y D. usada en encurtidos fermentados. Semana Cantidad de sal (g) La salmuera sirve para conservar alimentos como sustituto del sistema de refrigeración. R. lineal o ninguna de las dos y que justifiquen sus respuestas. 4 10 • ¿En qué semana se requirió mayor cantidad de sal? 5 10 6 10 7 10 8 10 En la primera semana • Expliquen las características de la gráfica que represente los datos de la tabla. Conforme transcurre el tiempo disminuye la sal y después se mantiene constante.indd 188 3 20 • ¿Cuál es el incremento de sal de la semana 1 a la semana 2? Disminuye 20 g. elaboren la gráfica que represente el proceso de elaboración de la salmuera. Luego dé instrucciones de responder las preguntas que se ofrecen en la página. ¿en qué datos de las gráficas anteriores se corrobora la idea? Expliquen para cada caso. Con los datos anteriores. después establezcan sus acuerdos con respecto a lo realizado.c. A mayor temperatura. En el crecimiento de cada una. M. Se tiene la hipótesis de que cuando hay mayor número de bacterias se acelera el proceso de producción de ácido láctico. Se coloca el litro de agua tibia en una jarra y se mezclan la sal y la cabeza de ajo. 100 gramos de sal de mar. 80 Prohibida su venta 2 60 • ¿Identifican algún patrón en los datos? Expliquen. La producción de salmuera Información complementaria 3. M. Este producto se usa para conservar alimentos. mayor producción. Encurtidos preparados. para purificar la misma sal. B.indd 156 12/24/13 2:46 PM 1/30/14 5:56 AM . L. 90 188 1 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 156 PM3STJCONA-PL10-145-160. i Socialicen sus respuestas y argumentos al grupo. como verduras. se utiliza también en procesos de estimulación de pozos petroleros. • Expliquen las razones por las que en un proceso se obtiene mayor o menor producción de ácido láctico. 60 50 40 i Socialicen con el grupo sus experiencias y registren sus conclusiones acerca de representación de gráficas con secciones rectas que modelan situaciones como las estudiadas. Añadir sal al agua produce salmuera. no solo para cocinar. M. 30 20 10 0 0 SMAT3LRCONAPL12-177-192. se usa también para deshacer la nieve en carreteras. • Intercambia tus preguntas con otro compañero y respóndelas. La temperatura influye en la producción. Por la pendiente de la recta. Distancia (metros) y 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 Propuestas didácticas Recorrido del policía Una de las confusiones que suelen tener los estudiantes cuando ven una gráfica de distancia contra tiempo es pensar que la curva describe la trayectoria que siguió el móvil. De manera individual realiza lo que se pide. Formule preguntas como: ¿En algún momento descansó o se quedó quieto?. en línea recta u otro?. ¿y al tiempo uno?. 15 minutos • ¿Cuánto tiempo estuvo sin moverse el policía? Argumenta tu respuesta. 1 000 m. • Si llegó a las 9 horas al parque.Recorridos y trayectos 4. etcétera. 5 10 15 20 25 30 Tiempo (minutos) 35 40 x • ¿En cuánto tiempo llegó al punto más lejano de su base? 25 minutos ¿Cómo se representa en la gráfica? El punto más alto Después. ¿qué representa la coordenada (40. Formule preguntas como: ¿La trayectoria del cuerpo fue en círculo. 157 PM3STJCONA-PL10-145-160. ¿qué distancia recorrió en total? • ¿Cuánto tiempo tardó en hacer su rondín el policía? 40 minutos ¿Cómo lo determinaste? Es el punto a donde llega la gráfica. Recuerde a los alumnos que la razón de cambio entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido nos da información sobre la rapidez que tuvo el móvil. ¿en qué intervalos de tiempo adquirió mayor rapidez?. ¿por qué?. a. pida que analicen la gráfica que aparece en el inciso a del problema 4 y que traten de describir el desplazamiento del móvil. Aclare que una gráfica así muestra la distancia recorrida en cierto intervalo de tiempo pero no nos proporciona información directa sobre la trayectoria que siguió el móvil. i Socialicen sus respuestas y valídenlas con la guía de su maestro. Un policía realiza diariamente su rondín. 500 m en 3 minutos • ¿Qué tiempo estuvo en el parque el policía antes de regresarse? 12 minutos • En la situación de la gráfica. de su base al parque de la colonia que tiene asignada y de regreso. • ¿En qué momento del recorrido.indd 157 SMAT3LRCONAPL12-177-192. M. Abra un espacio para discutir esa gráfica sencilla y que se aclare la relación que tiene la curva con el desplazamiento de un cuerpo. ¿a qué distancia con respecto al punto de partida estaba el cuerpo al tiempo cero?. Sumar las distancias recorridas de ida y vuelta. El trayecto se muestra en la siguiente gráfica. es el tiempo en el cual la línea de la gráfica está horizontal. • ¿Cuál es la distancia recorrida por el policía en su rondín? Describe lo que hiciste para determinarlo. Trace en el pizarrón una gráfica de distancia contra tiempo y una línea recta que represente una constante y pregunte al grupo cuál fue la distancia recorrida por el cuerpo relacionado con dicha gráfica. 17 minutos. R. avanzó más rápido? ¿Cómo lo sabes? De regreso.indd 189 12/24/13 2:46 PM Prohibida su venta 189 1/30/14 5:56 AM . 0)? El regreso del policía a su base. ¿a qué hora salió de su base? 8:35 • ¿A qué distancia de la base se detuvo? ¿Después de caminar cuánto tiempo? A 200 m. y que la intercambien con algún compañero para que cada quien realice la representación gráfica. ambos tardaron el mismo tiempo. Reunidos en pareja. pide ayuda a una patrulla. Recibe una alerta a su radio para atender una emergencia y corre durante 5 minutos. bien. en 5 minutos 5 km. se sube a ella y recorre. como la que elaboraron junto con su pareja o. Se volverán a juntar para comentar gráficos y verificar que se ha hecho correctamente. en cada cuadro. Permanece ahí durante 35 minutos. permita que le consulten a usted. Si hay diferencias entre las gráficas o dudas. lo que ha sucedido con el tanque de gasolina. Invite a los estudiantes a dibujar en sus cuadernos una historieta en la que se muestre minuto a minuto. los estudiantes deberán traducir el texto a un lenguaje matemático a través de un gráfico. y Distancia desde su base (metros) 8 000 Sugiera que escriban en sus cuadernos la descripción del desplazamiento de un móvil.indd 190 Prohibida su venta 158 PM3STJCONA-PL10-145-160. Las gráficas representan el tiempo de llenado del tanque en dos días distintos. coméntenlas con la finalidad de solucionarlas. Propuestas didácticas • ¿Cuánto tiempo hizo en su recorrido hasta regresar a su base? 2 horas 47 minutos • Supón que el policía recorre cada tramo a una velocidad constante. que lo hace en línea recta y traza la gráfica del recorrido del policía. en su defecto. Demetrio tiene una camioneta de reparto y todas las tardes llena su tanque de gasolina. Retoma su recorrido y avanza 420 m durante 15 minutos. Día 1 Día 2 y Llenado del tanque de gasolina y 70 60 60 Gasolina (litros) Gasolina (litros) 50 40 30 20 10 0 Llenado del tanque de gasolina 50 40 30 20 10 1 2 3 Tiempo (minutos) 4 x 0 1 2 3 Tiempo (minutos) 4 x • ¿Qué día compró más litros de gasolina? El día 2 • ¿Qué día tardó más tiempo en llenarse el tanque de gasolina? Expliquen su respuesta. para llegar al lugar de la urgencia. se detiene 25 minutos para vigilar un punto de su sector. Camina 1 120 metros en 32 minutos. tanto la de los policías que se desplazan. 675 m. pueden consultar a otra pareja de compañeros que tenga más claridad o. sin importar la gasolina que contenga. 0 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0 20 40 60Tiempo 80 (minutos) 100 120 140 160 180 x i Socializa tu gráfica y en grupo valídenla. Las mismas parejas resolverán el problema 5. si tienen dudas. Podrán hacer lo mismo con las otras gráficas. La camioneta de Demetrio 5. después regresa a su base. lean la información. inventar otra diferente pero siempre deberá estar acompañada la historieta de una gráfica donde el tiempo se represente en el eje x. El ejercicio del inciso b es de gran utilidad para que usted y los alumnos determinen el nivel de comprensión que ha adquirido el grupo en relación con la representación gráfica de funciones o situaciones. Ninguno.b.indd 158 12/24/13 2:46 PM 1/30/14 5:56 AM . a. 4 minutos. Otro policía sale de su base para hacer su recorrido habitual. para lo cual tarda 50 minutos. similar a la del libro. analicen las gráficas y respondan. Después. 190 SMAT3LRCONAPL12-177-192. x. con lo que ingresó en el minuto 2 a 3. Pregunte a los estudiantes qué representan m. Propuestas didácticas porque la cantidad de gasolina que entra cada minuto no es constante. la pendiente se calcula como sigue: Demetrio leyó. en el minuto 1. lean la información y respondan en su cuaderno. ese número de unidades que hay que subir hasta tocar otro punto sobre la recta es la pendiente. 159 PM3STJCONA-PL10-145-160. Disminuye la temperatura. y1) y (x2. una de ellas es si conocen dos puntos sobre la recta. y = 10x y = 10x + 10 y = 20x + 20 y = 10x + 40 • Compara el ingreso de gasolina en el minuto 1. y2). que durante el funcionamiento del motor la temperatura alcanzada en el interior de los cilindros supera los 2 000 ºC. ingresaron poco más de 10 litros y del minuto 2 al 3. Ver tabla. • ¿Cuál es la temperatura máxima que alcanza el motor durante todo el ciclo? Un poco más de 2 100 ºC • ¿En qué ciclo de trabajo el motor tiene la mitad de la temperatura máxima? En la compresión y el escape. d. por ejemplo. y. se tiene toda la información para dar la ecuación de una recta. • Expliquen cuáles son las diferencias entre las dos gráficas. R. (y – y ) m = (x 2 – x 1) 2 a. ingresaron al tanque. En el inciso d se afirma que en las gráficas estudiadas cada segmento de recta representa una función lineal de la forma y = mx + b. b en la ecuación y de qué forma es posible obtener la expresión algebraica que se representa en cada intervalo de las gráficas antes estudiadas. No.indd 159 SMAT3LRCONAPL12-177-192. porque es el tiempo que transcurre. por ejemplo (x1. por lo que es necesario un buen sistema de refrigeración que ayude a evacuar el calor producido durante la combustión hasta obtener su máximo rendimiento. Escriban la función que representa cada segmento en ambas gráficas. L. • ¿Qué sucede en la etapa de “explosión” del ciclo de trabajo? Argumenten. avanzar una unidad en x y ver cuántas unidades hay que subir verticalmente en y. Considerando a x como 1 en cada caso. 6. Gráfica 1 R. Gráfica 2 R. Ahora.indd 191 12/24/13 2:46 PM Prohibida su venta 191 1/30/14 5:56 AM . Una forma es colocarse sobre un punto de la recta. La gráfica 2 muestra un ingreso mayor de litros de gasolina en el mismo tiempo que la gráfica 1. M. Analicen la gráfica del primer día. Reúnanse en equipo. • ¿Cuántos litros entraron al tanque en los primeros dos minutos? 20 • ¿Cuántos litros entraron al tanque en los últimos dos minutos? 30 • ¿El llenado del tanque de gasolina fue constante? Expliquen su respuesta. b.b. analicen la gráfica del segundo día. entonces la pendiente de esa recta es 3. M. • ¿Cuál es la temperatura mínima registrada en el ciclo de trabajo? Aproximadamente 100 ºC • ¿En algún momento la variación de temperatura es constante? No 1 2100 1800 1500 1200 900 600 300 0 Gráfica de la temperatura del motor 180° 360° 540° 720° x ciclo de trabajo admisión explosión compresión escape i Expongan sus respuestas a la clase y registren sus acuerdos. Con el valor de la pendiente m y el valor de la ordenada al origen. y luego se tiene que subir 3 unidades en y hasta volver a tocar la recta. d. cada segmento de recta en cada gráfica representa una función lineal de la forma y = kx + b. Describan las características de la gráfica. Diferentes. i Socialicen sus respuestas y valídenlas con la guía de su maestro. Lo anterior se muestra en la siguiente gráfica. en el manual de la camioneta. Tiempo Al minuto 1 Del 1 al 2 Del 2 al 3 Del 3 al 4 • ¿De qué minuto a qué minuto entró la mayor cantidad de gasolina al tanque? ¿Cómo se muestra esto en la gráfica? Del minuto 2 al 3 La pendiente de la recta la pueden obtener de diferentes maneras. Aumenta. y = 11x y = 11x + 11 y = 23x + 22 y = 15x + 45 ¿Cómo fueron los ingresos de gasolina? Expliquen. y Temperatura del motor (°C) • ¿Cuál es el comportamiento de la temperatura en la etapa de la “admisión” del ciclo de trabajo? Expliquen. Como pueden notar. si se está en un punto sobre la recta y se avanza a la derecha una unidad en x. • Describan el comportamiento de la temperatura del motor en la etapa “compresión” del ciclo de trabajo. • ¿Qué pasa con la temperatura en la etapa del “escape” del ciclo de trabajo? Disminuye. aproximadamente 25 litros. c. La gráfica 2 muestra un llenado rápido y luego empieza a disminuir. Describe en tu cuaderno una situación que pueda modelarse con cada una de las gráficas que se muestran.0 15. Discuta con los jóvenes diferentes posibilidades de llenados de cisternas que concuerden con las tres gráficas restantes.0 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x i Socializa tus planteamientos y valídalos con tus compañeros.7. así como colocar nombre a cada uno de los ejes de ambas gráficas. se detiene.0 10. pueden usar como variable la forma de la cisterna o la caída de agua. a. Selecciona la gráfica que representa el llenado de la cisterna que se muestra a la izquierda. R. La caída de agua. y y 800 700 600 500 400 300 200 100 0 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 5. solicite a los adolescentes que en los problemas que elaboren para representarlos con las gráficas. tanto de la cantidad de flujo como el número de llaves de agua que se abren o cierra al paso del tiempo. con una caída de agua constante. ¿Qué sucede en la cisterna representada en la gráfica 3 cuando la recta es horizontal? R. L. además. mientras el tiempo sigue transcurriendo. Describan o tracen en su cuaderno las características de la forma de las cisternas que representan las gráficas restantes. Gráficas de llenado En cuanto al punto 8. 192 SMAT3LRCONAPL12-177-192. R. lleguen a conclusiones sobre el tipo de gráfica que corresponde a cada caso. y. llena distintas cisternas con capacidad de 1 750 litros. M. • Reflexionen. señalando las unidades que se están representando en cada caso. y con tu profesor. M. De manera individual realiza lo que se pide. Propuestas didácticas En relación con el planteamiento del punto 7.indd 160 12/24/13 2:46 PM 1/30/14 5:56 AM .0 20. deberán también dar todos o como mínimo 10 datos de los que se muestran en las gráficas. Se dio a conocer el tiempo en que una pipa. a partir del análisis grupal. i Socialicen con el grupo sus argumentos y describan en qué coincidieron o cuáles fueron sus diferencias. Vayan estudiando cada una de las diferentes opciones que se les ocurran y. 8. permita que respondan las preguntas y luego coméntenlas en grupo.indd 192 Prohibida su venta 160 PM3STJCONA-PL10-145-160. Escribirán también un título para cada gráfica. Reunidos en pareja realicen lo que se plantea. a. deberán hacer una tabla con los datos de las gráficas y nombrar renglones y columnas. y Agua (litros) Agua (litros) y Tiempo (minutos) x Tiempo (minutos) Gráfi Gráfica ca11 x Gráficaca22 Gráfi y Agua (litros) Agua (litros) y Tiempo (minutos) Gráfica 3 x Tiempo (minutos) x Gráfica 4 b. htm Comparte tus experiencias con el interactivo y discute con tus compañeros tus conclusiones . Carlos tiene una pecera como la que se muestra. Por ejemplo.indd 193 El inciso b del problema 9 no es del todo sencillo. si la llena bajo una llave con una caída de agua constante. pide apoyo al profesor. Analiza las características de cada recipiente y determina la gráfica que representa su llenado. R. Luego de esto frena durante 20 segundos hasta obtener un alto total.9. (consulta: 14 de noviembre de 2013) PM3STJCONA-PL11-161-176. disminuye por 4 segundos su velocidad hasta llegar a una velocidad de 30 m/s. R. L. Nivel de agua 2 3 1 x 2 3 Tiempo i Socialicen sus experiencias con respecto a la lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones estudiadas. y 1 Propuestas didácticas 40 y 12/24/13 2:49 PM Prohibida su venta 193 1/30/14 5:57 AM . Cada una de estas fases las deberán representar en la gráfica conociendo el significado de las curvas y de las rectas. Elabora la gráfica que represente el llenado de la pecera.amolasmates. R. Haga énfasis en que deben partir de que la caída de agua que llena cada uno de los recipientes es constante. Intercámbialo con un compañero y pídele que lo resuelva. revisen la sección titulada “Construcción de gráficas cartesianas a partir de tablas”. anoten las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para que en grupo sean aclaradas. 30 10 20 Nivel de agua 0 10 20 30 50 40 70 60 0 x Tiempo b. Realiza lo que se solicita. Considera que la caída de agua es constante. Con estos elementos podrán resolver las actividades de la página.indd 161 Ponga a discusión qué sucedería si no fuera constante la caída de agua. 2. 161 SMAT3LRCONAPL13-193-208. Ahora saben que una recta implica que el llenado se va dando de forma constante y una curva. dependiendo de su concavidad. es/anaya/anaya1ESO/ datos/14/05. de modo que el llenado cada vez es más lento. puede representar un llenado cada vez más rápido o cada vez más lento. cuáles serían las variables. M. Ingresa al siguiente sitio web donde se da información acerca de “Procesamiento de la información: tablas y gráficos”. cómo se podrían representar en la gráfica o qué tipo de información haría falta para trasladar esa situación a un gráfico. 60 Reto 50 a. cl/matematica/ Graficos.profesorenlinea. al cabo de 10 segundos adquiere una velocidad de 60 m/s y permanece a esa velocidad durante 20 segundos.Si hay dudas. Cada semana se encarga de lavarla.html Después realicen lo planteado en: www. Revisa la gráfica y valida la respuesta. M. i Discutan en grupo sus experiencias. Plantea un problema que se modele con una gráfica. luego llega a un punto de máximo ensanchamiento a partir del cual comienza a disminuir hasta un punto donde el llenado será el mismo porque ya no varía el volumen del cuello del recipiente. Elabora en tu cuaderno una gráfica de la siguiente situación. www. el recipiente con número 1 se va ensanchando de abajo hacia arriba. Reto Velocidad y tiempo 1. Un mecánico está probando los frenos de un auto y para ello inicia su recorrido. Sugiera a los estudiantes que dividan en partes los recipientes en función de sus formas y que vayan describiendo verbalmente si el llenado es lento o rápido en relación con la segunda fase. • ¿Cómo son estos eventos? Justifiquen. porque los resultados anteriores no influyen. su calificación depende de lanzar dos veces el dado. por ejemplo. si en la siguiente tirada Virginia escoge el número 1.indd 194 Prohibida su venta 162 PM3STJCONA-PL11-161-176. si sale impar tienen 10 de calificación. Sí. o si se lanzara un dado de 12 caras con números del 1 al 12 y cada número del 1 al 10 representara su calificación y si cayera 11 o 12 estarían reprobados. pregunte entonces cómo se llaman o cómo se clasifican estos dos eventos: estar reprobado y sacar una calificación mayor que 5. luego solicíteles que definan eventos independientes con sus propias palabras. es decir. Reunidos en pareja realicen lo que se solicita. Todos tienen 6 de probabilidad. el material del que esté hecho debe ser homogéneo para que cada una de las caras tenga la misma probabilidad de salir. Porque son eventos independientes. probabilidad teórica (P). formule preguntas como: ¿Estar reprobados o sacar 10 en el curso. Argumenten la veracidad de la siguiente afirmación: El resultado de dos lanzamientos son eventos independientes. • ¿Al lanzar el dado. Virginia y Cecilia analizan la gráfica en la que se muestran los resultados de simular 100 veces el lanzamiento de un dado. porque es un evento o experimento de azar. Lanzamiento de un dado 1. es decir. No necesariamente 15 10 Recuerde a los jóvenes que en un juego de azar justo el dado debería estar.indd 162 12/24/13 2:49 PM 1/30/14 5:57 AM . ¿ganará el juego? ¿Por qué? No. habrán reprobado el curso. es el cociente de resultados favorables de un evento entre todos los resultados o eventos posibles. Antes de escoger un número. ¿perderá la partida? Expliquen. si. y si en el segundo tiro sale un número par. Virginia y Cecilia juegan a tirar un dado. gana quien obtenga más veces el número que escogió. No. depende del número que salga en el dado en el primer lanzamiento?. en otro juego. Luego pregunte si es posible que al tirar el dado de 12 caras es posible reprobar y sacar una calificación mayor que 5 al mismo tiempo. 5 0 1 2 3 4 Número en el dado 5 6 x • Si Virginia selecciona el número 2 o el 4. equilibrado. algún número tiene mayor probabilidad de salir más veces? No 1 Argumenten su respuesta. d. Pida al grupo que den diferentes ejemplos de eventos independientes. porque todos los números tienen las mismas posibilidades. i Comparen sus argumentos con otros compañeros y registren sus conclusiones.Probabilidad de eventos independientes 20 Propuestas didácticas Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad Contenido: Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto) Inicie la clase preguntando a los estudiantes qué opinarían si sus calificaciones dependieran de un juego de azar. 25 20 Frecuencia Después. ¿pueden saber qué número saldrá en más ocasiones? Justifiquen. Dé instrucciones al grupo de que resuelvan las actividades de la página. Independientes. porque la ocurrencia de uno no afecta al otro. • Si se lanzan 100 veces más los dados. en principio. Escriban la probabilidad teórica (P) de cada resultado. pregunte cómo se les llama a estos dos eventos. se lanzara una moneda al aire y si cae sol están reprobados y si cae águila habrán aprobado el curso. la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. a. b. c. ¿puede ganar en el lanzamiento 101? Argumenten. ¿por qué? • Si Cecilia elige 5. y Resultados de lanzamiento de un dado 30 • Según los resultados de la gráfica. En un experimento aleatorio. Número en el dado Probabilidad (P) 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 • ¿Cómo son las probabilidades obtenidas? Iguales • ¿El resultado de un lanzamiento influye en el resultado del siguiente? No Expliquen su respuesta. plantee que. 194 SMAT3LRCONAPL13-193-208. 1) (1. una vez que lleguen a que son 36 las diferentes posibilidades. pregunte a los estudiantes por qué en el libro se es1 . calcularán las frecuencias de los resultados obtenidos y comprarán la suma que tuvo mayor frecuencia con la de sus otros compañeros. 1) (6. 4) (6. ¿cuál es la probabilidad de que salga un número non? 2 1 • ¿Y de que en el dado rojo salga 5? 6 • Escriban la probabilidad de que. 1 • Al lanzar el dado azul. Multiplicando 1 por 1 . 6) 4 (4. 6) 2 (2. al lanzarlos juntos? Expliquen. 5) (2. Elija a uno de los estudiantes para que dé lectura al planteamiento del problema ofrecido en el punto 2. • Al lanzar ambos dados. Virginia y Cecilia decidieron lanzar dos dados (uno azul y uno rojo) y predecir el resultado de la suma de ambos. 6) 5 (5. y por qué es en el denominador donde se representa cribe 16 × 16 = 36 el número total de diferentes resultados y no en el numerador. 2) (1.indd 195 12/24/13 2:49 PM Prohibida su venta 195 1/30/14 5:57 AM . • ¿Qué relación hay entre la probabilidad de obtener 4 en cada dado. Multiplicando 6 por 6 . 5) (3. ¿cuál es la probabilidad de que caiga el número 4 en los dos? 1 1 1 ¿Cómo lo determinaron? 36 R. Discutan qué tanto se aproximan a lo esperado teóricamente. 5) (5. 2) (6. 1 2 3 4 5 6 1 (1. • ¿Qué representa la operación 1 × 1 = 1 . Propuestas didácticas a. al lanzarlos individualmente. Ninguna. La probabilidad de obtener números iguales en ambos dados. 6) 6 (6. 4) (3. 1) (2. Dé instrucciones de resolver los ejercicios correspondientes al punto 2. 2) (3. 2) (4.Eventos independientes y compuestos 2. 3) (5. y el rojo en 5. Determinen el espacio muestral del experimento descrito. 1) (3. calcularán las frecuencias relativas y absolutas y discutirán esos resultados con la probabilidad teórica. • ¿Cuántos son los posibles resultados? 36 ¿Se puede saber con anticipación el resultado de un lanzamiento? ¿Por qué? No. ¿Cómo lo determinaron? 12 2 6 163 PM3STJCONA-PL11-161-176. 4) (1. M.indd 163 SMAT3LRCONAPL13-193-208. 4) (5. al lanzar los dos dados. porque es un experimento de azar. 1) (5. en el contexto de las situaciones plantea6 6 36 das? Expliquen. No. basta con que cada estudiante cuente con un dado para trabajar en parejas con dos dados. los alumnos harán uso de un par de dados. 3) (3. 5) (4. y de que caiga 4 en ambos dados. Pida al grupo que enumeren y escriban todas las posibilidades diferentes que hay al lanzar dos dados. 3) (2. y una vez que hayan concluido. Recuerde a los adolescentes que en la medida en que se realicen más lanzamientos los resultados se parecerán más a los esperados según la teoría. el azul caiga en número non 1 . 3) (1. 5) (6. 6) 3 (3. ¿afecta o influye en la probabilidad de un resultado el otro? Expliquen por qué. la probabilidad de obtener 4 no cambia en cada uno si se lanzan juntos o separados. 4) (2. 1) (4. 2) (2. Luego de 20 tiros. Resuelvan en pareja. 2) (5. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar únicamente el dado azul salga 4? 6 1 • ¿Cuál es la probabilidad de que en el dado rojo también salga 4? 6 • En los dos casos anteriores. 6) Para reforzar la actividad de la página. 3) (4. 1 b. 3) (6. invite al grupo a jugar en parejas a lanzar dos dados y anotar la suma que se obtiene con los dos tiros. porque la ocurrencia de uno no afecta al otro. 4) (4. 5) (1. extraigan una canica o una tarjeta de la caja 1. L. • Sustenta por qué. M. y de extraer una bola negra de la urna 2 es 2 1 de 1 .indd 164 12/24/13 2:49 PM 1/30/14 5:57 AM . 12 Propuestas didácticas Para reforzar esta actividad. Urna 1 Urna 2 a. Anoten los resultados obtenidos después de hacer varias veces el experimento. se saca una bola de la urna 1. 6 • Determinen la probabilidad de que salga un número par en el dado azul. ¿cuál es la probabilidad de que ocurran ambos eventos? Argumenta. deberán extraer una canica o tarjeta de la caja 2. se deberá regresar la canica o tarjeta a su caja original. el resto de las canicas o tarjetas se meterán en la otra caja a la que se llamará caja 2. se podrá sustituir con dos bolsas negras y siete tarjetas del mismo tamaño. se saca una bola de la urna 2. tres canicas azules y cuatro canicas transparentes o de agua y una moneda. R. en caso de no contar con ese material. como las que se muestran. i Socialicen sus respuestas y registren en grupo sus acuerdos. L. en cuatro de ellas se escribirá “color blanco” y en las otras tres “color negro”. Porque se involucran dos eventos simples. al lanzar los dos dados. • Evento 1: R. Las urnas y la moneda 3. es un evento compuesto. Responde. • Evento 2: R. Dentro de una de las cajas meterán dos canicas azules y una de agua. • ¿Cuál es la probabilidad de que ambos eventos ocurran al mismo tiempo? ¿Cómo lo determinaron? R. Se tiene una moneda y dos urnas. se requerirán dos cajas. Pida que describan el espacio muestral de este juego e invite a los estudiantes a pasar al pizarrón a escribirlo. L. uno seguido del otro: si son independientes. juegue con los estudiantes a lanzar una moneda al aire. Se lanza una moneda: si cae águila. Ponga a discusión con los estudiantes el tipo de eventos que se dan. De manera individual realiza lo que se indica.1 • Escriban la probabilidad de que salga 2 al lanzar el dado rojo. c. Pregunte cuál tiene mayor probabilidad de salir. Caiga sol y sacar una bola blanca. el que salga sol y bola negra. a esa caja la llamarán caja 1. Utilicen el modelo del lanzamiento de los dos dados para escribir dos eventos que sean independientes y determinen la probabilidad de cada uno. Multiplicando la probabilidad de ambos eventos.indd 196 Prohibida su venta 164 PM3STJCONA-PL11-161-176. si cae sol. Cada vez que se haga una extracción. uno caiga en número par y otro 1 1 1 caiga en 2. cuál tiene menos probabilidad de salir y de qué manera se les ocurre que se puede calcular la probabilidad de cada evento. • Si la probabilidad de que caiga sol es de 1 . Antes de abordar el tema de los eventos compuestos planteados en el punto 3 de las urnas y el volado. mutuamente excluyentes o compuestos. si cae sol. ¿Cómo lo determinaron? Multiplicando 2 por 6 . si sale águila. 196 SMAT3LRCONAPL13-193-208. 1 2 • Anoten la probabilidad de que. 8 4 • ¿Cuál es la probabilidad de que caiga sol y de extraer una bola blanca? • ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y sacar una bola blanca? 1 • ¿Cuál es la probabilidad de sacar águila y bola negra? 3 3 8 1 6 • ¿Qué evento tiene mayor probabilidad de ocurrir? Explica tu respuesta. aplica la regla del producto: Porque se combinan dos eventos independientes. si se omitió algo. luego pregunte si es posible que dos eventos sean independientes y compuestos. Como viste antes. Si A y B son eventos independientes. Después contesta.b. Con base en la discusión que se genere en la clase. i Socializa tus respuestas con el grupo. completa el diagrama de árbol. R. L. Probabilidad Águila Probabilidad de ocurrencia 1 2 Probabilidad Probabilidad de ambos eventos 1 3 1 6 1 6 1 6 Blanca 1 4 1 Blanca 4 Blanca 1 4 Negra 1 4 1 8 1 8 1 8 1 8 Blanca 1 3 Negra Negra 1 3 Propuestas didácticas El inciso b muestra un arreglo que permite llevar un orden para determinar el espacio muestral de la experiencia aleatoria. M. apliquen lo que saben sobre la regla del producto y determinen en qué situaciones es válido aplicarla y en qué situación no lo es y por qué. Podrán entonces comparar el diagrama de árbol con todas las posibilidades en relación con el espacio muestral que escribieron en el pizarrón. Después. • ¿Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de que ocurran ambos puede calcularse mediante el producto de la probalidad de uno por la probabilidad del otro? Explica. dos eventos son independientes si el resultado del segundo no es afectado por el resultado del primero. en el que se representa el espacio muestral de la experiencia aleatoria. Lo anterior se conoce como regla del producto. Pregunte si dos eventos pueden ser independientes pero no compuestos y solicíteles que argumenten por qué y que den un ejemplo que valide su respuesta. solicíteles que argumenten por qué y que den un ejemplo que valide su respuesta. i Socialicen sus ejemplos y verifiquen que sean correctos. L. bajo la guía de usted. sin que se omita o repita un resultado. bajo la guía del maestro discutan la siguiente información teórica: Luego dé instrucciones de terminar de resolver las actividades de la página. Experimento aleatorio Sol Probabilidad de ocurrencia 1 2 Den lectura en voz alta del texto que aparece en color azul y discútanla en grupo. en el que la probabilidad obtenida siempre es menor que la probabilidad de que ocurra cualquiera de los dos eventos considerados. Pregunte si coincide todo lo que escribieron en ambos casos. la probabilidad de que ambos ocurran es igual al producto de las probabilidades de los eventos individuales: P(A y B) = P(A) × P(B). Obtener águila y 2 en el dado. si se duplicó un evento y cuál fue la lógica o razonamiento seguido en cada caso. • ¿Coinciden tus resultados anteriores con los que muestra el diagrama de árbol? R. Sí. 165 PM3STJCONA-PL11-161-176. • Expliquen por qué en el problema de las urnas y la moneda. • Escriban un ejemplo de experiencia aleatoria que cumpla con la regla del producto: R. Para comprobar las respuestas de la actividad anterior.indd 197 12/24/13 2:49 PM Prohibida su venta 197 1/30/14 5:57 AM .indd 165 SMAT3LRCONAPL13-193-208. • la máquina C hace el otro 20% y 3% de estos resultan defectuosos. Multiplicando 65 por 1 y 35 por 1 . 30 con respaldo y 20 sin él. Su forma. ¿cuál es la probabilidad de escoger una con respaldo? 0. 798 no sea defectuoso. que realicen un diagrama de árbol para estudiar todas las posibilidades. 7 50 • Si se selecciona una silla que no es nueva. Luego deberán determinar el espacio muestral o al menos hacerse una idea clara de este. tres son nuevas y entre las sillas con respaldo hay siete nuevas.99 = 0. En una fábrica de tornillos hay tres máquinas. • Si se toma una silla al azar. • la máquina B fabrica 50% de los tornillos.6 = 30 50 10 • ¿Cuál es la probabilidad de elegir una silla nueva? Justifiquen. no será tan complicado resolverlo. b.3 × 0. 100 3 100 2 198 SMAT3LRCONAPL13-193-208. 50 • ¿Cuál es la probabilidad de que sea nueva y con respaldo? Expliquen su respuesta. Comente a los jóvenes que si tienen que realizar algún dibujo o trazo. sugiera al grupo que primero den lectura a cada problema al menos un par de veces. la mitad practica danza y el resto equitación. De las mujeres. Resuelvan en equipo los siguientes problemas.5 × 0. y deberán en principio identificar si se trata o no de eventos independientes.Aplicación de la regla del producto 4. En un aula escolar hay 50 sillas. De las sillas sin respaldo. con estas características: Propuestas didácticas Para resolver las actividades del punto 4.indd 198 Prohibida su venta 166 PM3STJCONA-PL11-161-176. ¿cuál es la probabilidad de que sea sin 17 respaldo? Argumenten. 0. deberán determinar la probabilidad de cada evento y entonces calcular el producto de las probabilidades de los eventos individuales.194 = 97 • ¿Y producido por la máquina C y que no esté defectuoso? 500 17 • ¿Cuál es la probabilidad de tomar un tornillo defectuoso? 1000 983 ¿Y de elegir uno sin defectos? 1000 • Determinen la probabilidad de escoger un tornillo fabricado por la máquina A o B que Ya que saben que deben aplicar la regla del producto. 50 c. 13 • ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y juegue futbol? 60 • ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y practique danza? 7 40 • Expliquen cómo obtuvieron las respuestas.indd 166 12/24/13 2:49 PM 1/30/14 5:57 AM . Se quiere elegir un alumno al azar. 1 • ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la máquina B y que esté defectuoso. 200 0. Argumenten su respuesta.294 = 147 defectuoso? 500 ¿Cómo lo determinaron? Multiplicando 10 por 100 . depende de su uso. • la máquina A produce 30% de los tornillos. 65% son hombres y 35% son mujeres. y en los casos en que lo requieran. Existe una gran variedad de tornillos. La tercera parte de los hombres juega futbol y el resto basquetbol. de los cuales 1% es defectuoso.789 = 1000 Si los alumnos comprenden bien el problema. pero ellos mismos deberán asegurarse de que lo han comprendido bien. a.98 + 0. tamaño y material. de los cuales 2% salen defectuosos. • Determinen la probabilidad de elegir al azar un tornillo de cada máquina: 3 1 1 Máquina B: Máquina C: Máquina A: 10 2 5 • ¿Cuál es la probabilidad de tomar un tornillo fabricado por la máquina A y que no esté 3 98 0. es conveniente que lo hagan para que tengan mayor claridad del problema planteado. En un grupo de matemáticas. Viaja por negocios Viaja por placer Mujer 9 12500 39 50000 Hombre 7 25000 7 10000 Invite a resolver las actividades del recuadro de Reto. Resalta las ventajas del uso de la regla del producto en la resolución de los problemas implicados. a. L. si tuvieron dificultades. Registren sus acuerdos con la validación del maestro. Reto Indique al grupo que realicen primero el diagrama de árbol para el caso en que tienen dos monedas y que luego realicen el diagrama de árbol para el caso en que tienen las dos monedas y el dado de seis caras. corrijan sus respuestas. mientras que de las mujeres.indd 167 SMAT3LRCONAPL13-193-208. por ejemplo que se tuvieran tres monedas y un dado o cuatro monedas y un dado. lo más importante es saber contar bien. L.d. Se lanzan primero las dos monedas y al final el dado. R. águila.org/MI/ master/interactivate/ discussions/pd9. que ofrece actividades ideales para el cierre de la lección. Justifiquen lo anterior. y el resto es mucho más sencillo. En: www. Según el registro de una terminal aérea. tener una estrategia que permita conocer todas las posibilidades sin omitir ninguna y sin repetir.eduteka. Registren las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para aclararlas. Determinen la probabilidad de ocurrencia de los siguientes eventos: 1 • Cae sol. Ponga a discusión cómo iría cambiando el diagrama de árbol en la medida en que se incluyeran más monedas. (consulta: 14 de noviembre de 2013) 167 PM3STJCONA-PL11-161-176. 5}? 24 R. según el caso. 1 . Evento: c. Planteen tres eventos independientes en los que sea necesario aplicar la regla del producto para calcular su probabilidad. es decir. Todo está en practicar en el conteo. Porque 200 i Socialicen sus resultados.html Analiza la “Discusión sobre probabilidad de eventos simultáneos”. a.indd 199 12/24/13 2:50 PM Prohibida su venta 199 1/30/14 5:57 AM . En un experimento aleatorio se tienen dos monedas y un dado. Evento: i Discutan en grupo sus experiencias. b. 48% viaja por negocios y 52% por placer. • Determinen la probabilidad de que la persona que recibe la llamada haya perdido un vuelo. el resto ya lo saben hacer. 200 Si sus resultados no coinciden. que 30% son 200 mujeres. sol y múltiplo de 3: 12 1 • Cae águila. y que de los hombres 80% viaja por negocios y 20% por placer. Regla del producto 1. Finalmente. Resuelvan en pareja las siguientes actividades. pida que vayan analizando tendencias en los cambios que adquiere el espacio muestral. 1 representa 100% de los posibles resultados. La terminal decidió llamar a los pasajeros para encuestarlos acerca del servicio que ofrece. una de cada 200 personas pierde un vuelo. Comparte tus experiencias en clase. si hay dudas. Evento: b. Las autoridades saben que 70% de los pasajeros son hombres. Representen en su cuaderno el experimento aleatorio en un diagrama de árbol. extérnenlas con la finalidad de solucionarlas. Luego plantee lo inverso. que sea el número de dados el que varíe. ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre y haya perdido un 7 1 7 ¿Qué operación permite obtenerla? 10 × 200 vuelo? 2000 Comente al grupo que en el tema de probabilidad. águila y número primo: 6 2. invite a los estudiantes a ingresar a las páginas de Internet que se ofrecen en el recuadro de Apoyo tecnológico y pídales un trabajo final sobre el tema estudiado a lo largo de la lección. pide apoyo al profesor. Propuestas didácticas • Al hacer una llamada. 1 • ¿Cuál es la probabilidad del evento {águila. • La suma de las probabilidades de la tabla debe ser igual a 1 . Es interesante que exploren un experimento aleatorio en el cual se consideran tres eventos. sol y número par: 8 1 • Cae águila. L. En el plano que se muestra. a. Pida a los estudiantes que analicen la ecuación de segundo grado y determinen la forma que tiene la curva que la representa. M. ¿hacia dónde está desplazada con respecto al eje de las ordenadas?. realicen lo que se pide y contesten. en particular la creación de presas es una manera muy utilizada y que tiene un fuerte impacto ambiental con efectos irreversibles. Apliquen la expresión algebraica para determinar los valores de la tabla. • Expliquen las características de la gráfica. ya que las turbinas que se utilizan requieren de aceites y productos químicos altamente contaminantes que afectan tanto a la flora como a la fauna de los alrededores en extensiones muy grandes. el ingeniero Rodríguez se basó en el consumo energético de los últimos bimestres para obtener la expresión algebraica: −x2 + 155x + 145. ¿qué representa la literal x? Los bimestres Explique que existen diferentes maneras de generar electricidad. todo en conjunto afecta negativamente las actividades agrícolas. 200 SMAT3LRCONAPL13-193-208. hacia dónde abre la curva?. • ¿Cuál es el bimestre en el que la fábrica A registró mayor consumo de electricidad? El sexto • Expliquen por qué la situación anterior se puede modelar como una función de segundo grado o cuadrática. los campamentos de construcción. industriales. Bimestre 1 2 3 4 5 6 y 700 600 500 400 300 200 100 0 1 2 3 4 5 6 x Consumo energético (Kw/H) 301 451 609 749 895 1 039 • Con los datos de la tabla. describan cómo será el consumo eléctrico de la fábrica A. R.Para saber más Propuestas didácticas Eficiencia en el consumo de energía eléctrica Inicie el tema preguntando al grupo por qué es importante ahorrar luz. Formule preguntas como: ¿De acuerdo con el signo del término cuadrático. social y económico. el mantenimiento que requiere y su funcionamiento afectan el medio ambiente además de los caminos que se tienen que construir para su acceso. además de que en su construcción se genera polvo. La fábrica A estudia la posibilidad de unirse al proyecto. entre otras. Son comunes las inundaciones debido a las presas y se han dado casos en los que poblaciones enteras quedan bajo el agua por desbordamientos de presas. en la calidad del agua del río. desde luego. La propia construcción de la presa. Porque hay un término cuadrático. además. las líneas de transmisión de la electricidad. de economizar dinero. R.indd 200 Prohibida su venta 168 PM3STJCONA-PL11-161-176. En una delegación del Distrito Federal se ha iniciado un proyecto de ahorro de electricidad. construyan la gráfica que modele la situación anterior. las aguas subterráneas. Información complementaria • Con base en la información. En esta sección tendrás la oportunidad de favorecer tus habilidades para investigar y organizar información relevante acerca de un problema vinculado con experiencias de la vida cotidiana en los ámbitos familiar. R. ¿hacia dónde está desplazada la curva con respecto al eje de las abscisas? 1.indd 168 12/24/13 2:50 PM 1/30/14 5:57 AM . b. que le permite modelar cómo será el consumo de los siguientes seis bimestres. En pareja. L. llamado “Eficiencia energética”. erosión y movimiento de tierras. invite a algún voluntario a pasar al pizarrón a hacer un esbozo de la curva correspondiente y determinen si la mayoría del grupo identificó las curvas de la gráfica del libro con las que corresponden a las ecuaciones. argumenten su selección. d.indd 169 SMAT3LRCONAPL13-193-208. debido a: Fábrica C Bimestre Consumo energético (Kw/H) Bimestre Consumo energético (Kw/H) 1 286 1 243 2 327 2 399 3 387 3 484 4 423 4 541 5 435 5 570 Además de las que los estudiantes le describan y propongan. R. escriba las diferentes opiniones al respecto y realice diferentes trazos en el pizarrón de las curvas que pudieran contener a las que se muestran en el inciso c. completen los datos de la tabla. curvas que abren hacia abajo. En la gráfica B • Para cada fábrica. B • –12x2 + 120x + 135: modela los datos asociados a la fábrica R. el consumo fue mayor? En el quinto bimestre la B y en el sexto bimestre la C • Para cada fábrica. L. Posteriormente resolverán las actividades ofrecidas en la página. e. Porque su consumo energético fue menor que la otra en el tiem• En la gráfica. 300 200 100 0 x 1 2 3 4 5 6 Bimestres • Con los datos de la gráfica. L. ¿qué color modela el consumo energético de la fábrica B? Rojo po que se muestra. ¿en qué mes.indd 201 12/24/13 2:50 PM Prohibida su venta 201 1/30/14 5:57 AM . curvas con vértices que correspondan a los últimos de la derecha.c. ¿en qué mes el consumo fue disminuyendo? En el séptimo bimestre la C y en el sexto bimestre la B i Socialicen en grupo sus inquietudes y comenten cómo las matemáticas ayudan en la economía del hogar. En las siguientes gráficas se representa el consumo de enegía de la fábrica B que ingresó al proyecto y otra que no. Las siguientes expresiones algebraicas muestran el consumo energético de las empresas B y C. una vez representadas todas las posibilidades que se les ocurran a los jóvenes. • ¿Esta representación gráfica permite que los usuarios tengan clara la información que se representa? Expliquen su respuesta. que abren hacia la derecha. hacia dónde pareciera que abren y hacia dónde pareciera que está su vértice. ¿se puede saber qué fábrica se incorporó al programa y cuál no? ¿Por qué? Sí. la fábrica C. Pregunte qué tipo de curvas son las que corresponden a un término cuadrático con signo negativo y con un término con equis positivo y un término independiente también positivo. • ¿Qué fábrica tiene menor consumo de energía? Expliquen. L. Ambas tienen el mismo número de empleados y comparten rutinas similares. Respondan en su cuaderno. y con base en el título y el nombre de los ejes. pídales que comparen sus suposiciones con las ecuaciones que aparecen en el inciso d. C debido a: • –14x2 + 155x + 145: modela los datos asociados a la fábrica R. 169 PM3STJCONA-PL11-161-176. cuando x = 5. trace usted curvas con vértices en los puntos cuando x = 1. Determinen cuál corresponde a cada una. Eficiencia en el consumo energético de las fábricas B y C y Propuestas didácticas Consumo energético (kwh) 600 500 400 Pida al grupo que analicen las curvas que aparecen en el inciso c. solicite que escriban en el cuaderno diez preguntas relacionadas con la gráfica. Fábrica B Pregunte a sus estudiantes cómo creen que vayan las curvas. la representada con rojo. Aplicando la ecuación algebraica. empleando los datos de los triángulos del reactivo 4. se sabe que los números que cumplenx con la condición son: 6 600 Una vez que los estudiantes hayan resuelto el examen tipo PISA. de modo que hay un número infinito de respuestas. Argumenta tu respuesta. y = 8 cm C) x = 12 cm. 202 SMAT3LRCONAPL13-193-208. L. por tanto. al plantear la ecuación: 4 = x2 . Puede comentar que en algunas ocasiones los reactivos de las evaluaciones de opción múltiple requieren de un razonamiento lógico. Escoge el número que multiplicado por 3 es 40 unidades menor que su cuadrado. y = 6. anotando en el pizarrón paso a paso y explicando con detalle el razonamiento seguido para que quede claro para el resto de compañeros. considerando que los triángulos son semejantes y las medidas están dadas en centímetros. Selecciona los números cuyo producto es 600. en su caso. P1 Q1 B) –8 y 5 2 cm 12 cm A) x = 12. por sustitución.Evaluación tipo PISA Propuestas didácticas i Elige la opción con la respuesta correcta. solicite que indiquen qué tipo de transformación se aplicó para llegar de una a la otra. A) 8 y –5 Haga notar al grupo que hay infinidad de números reales que cumplen esta característica. A) 20 y 30 B) –20 y 30 C) 20 y –30 D) ±20 y ±30 2. saben que los resultados pueden tener dos signos. por ejemplo. entonces se escribe xy = 600.indd 202 Prohibida su venta 170 PM3STJCONA-PL11-161-176. pida que determinen si son homotéticas y. A) 6 y –1 B) –6 y 1 C) 6 y 1 D) –6 y –1 3. 5. ya que hay un cuadrado (x2). R G B E B En relación con el punto 5. y en el caso de figuras que sean semejantes entre sí. Identifica si las parejas de polígonos son semejantes. para las parejas de figuras que sean congruentes entre sí. i Realiza lo que se indica en cada caso. esto se puede escribir como que cuatro veces un número es igual a seis veces el otro número: 4x = 6y. congruentes o ninguna de las anteriores.32 cm B) x = 16 cm. considera que si el producto es 600. un número es x y el otro 600.6 cm. Elige la opción que determina la medida correcta de x y y. 1.indd 170 12/24/13 2:50 PM 1/30/14 5:57 AM . un ejemplo de ello es el punto uno. R. y resolverse. Determina los números que cumplen con la siguiente condición: el número cuyo quíntuplo aumentado en 6 unidades es igual a su cuadrado. y = 24 cm D) Ninguna de las anteriores O1 M1 x 4 cm N1 Una observación que podría hacer entonces es que. la respuesta que por lógica corresponde a la solución es el inciso d porque es el único que ofrece las dos posibilidades de signos. De ahí se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas y se pueden resolver de diferentes maneras. el problema pone otra restricción y es que los números están en una razón de 4:6. explique que una forma de resolverlo es suponiendo que x y y son dos números reales que si se multiplican dan 600. invite a voluntarios a pasar al pizarrón a resolver frente al grupo los reactivos del examen. sin tener que hacer todo el desarrollo algebraico. que localicen el centro de homotecia. sin embargo. Plantea un problema donde se estudie la semejanza y congruencia de triángulos. y 6 cm C) –8 y –5 D) 8 y 5 4. Primero. C D F A L F F’ C D Q P N O H E’ B’ G’ D’ C’ K J P’ O’ Q’ N’ E J R’ I Caso 1 Semejantes M L H G Caso 2 J’ K’ Congruentes H’ L’ K M R S V U N T Q P O Caso 3 Semejantes 6. y que además están en la razón 4:6. Oración Veracidad Las expresiones algebraicas que tienen la forma ax2 + bx + c = 0 y con a ≠ 0. 25. 9. 10. ¿La medida del perímetro del polígono amarillo es tres veces mayor que la medida del perímetro del polígono verde? Explica tu 5 3 respuesta. se conocen como ecuación cuadrática. que elaboren un enunciado análogo tal que la afirmación sea verdadera. En grupo. Utiliza los términos siempre. busquen estrategias para superar dichas dificultades. es decir. deberá escribir matemáticamente las relaciones que hay entre los lados correspondientes de los polígonos. x = 15. pida que justifiquen por qué lo son y. la ecuación cuadrática no tiene solución o soluciones. Indicadores Resuelvo problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado.indd 171 SMAT3LRCONAPL13-193-208. un número negativo. y si b2– 4ac < 0. H D 12 x I En la tabla del punto 9 se dan diferentes afirmaciones que deberán determinar si son verdaderas o falsas. Los polígonos que se muestran son semejantes. en caso de ser falsas.indd 203 1/9/14 11:55 AM Prohibida su venta 203 1/30/14 5:57 AM .61 C A b.2 8. haga énfasis en que la raíz cuadrada es lo que determina si la incógnita tiene una. Corrige y escribe las oraciones que sean falsas de manera que comuniquen información verdadera. con el apoyo del maestro. No. dos o ninguna solución. Halla la medida del lado x en cada caso: a. Determina si las siguientes aseveraciones son verdaderas (V) o falsas (F). es decir. si b2– 4ac = 0. x = 14. sino que comprendan por qué sirve analizar el discriminante en términos de si es mayor. 2a 2a 2 Si b – 4ac > 0 la ecuación cuadrática tiene dos soluciones.40 F Pida al voluntario que esté al frente del pizarrón para resolver el punto 7. F V Invite al grupo a hacer una reflexión sobre sus aprendizajes y el aprovechamiento que tuvieron a lo largo del bloque. a veces o poco. la ecuación cuadrática solo tiene una solución.97 7.95 x Propuestas didácticas 14.366 G B 8. 171 PM3STJCONA-PL11-161-176. x puede adquirir máximo dos valores. V 2 En la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas: x = –b ± b – 4ac . el signo ± 2a significa que x puede obtener más de dos valores y por ello la expresión se debe resolver para 2 2 x = –b ± b – 4ac y x = –b ± b – 4ac . Para el párrafo que aparece en el último renglón de la tabla es importante que no tengan la información de memoria. Resuelvo problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura.7. En el polígono amarillo. menor o igual a cero. En el polígono verde. En clase externa las dificultades que hayas tenido al resolver la evaluación. y completa la tabla.. Valoro mi avance Reflexiona acerca del trabajo realizado en el bloque. que conteste qué significa en términos algebraicos que los polígonos sean semejantes.. porque la razón de semejanza es 3 o 5 . indd 204 Prohibida su venta 1/30/14 5:57 AM .4 204 SMAT3LRCONAPL13-193-208. Completan las tablas y las analizan para verificar la regla algebraica de una sucesión. Socializan y validan argumentos en grupo. Comentan en grupo las estrategias realizadas para encontrar la regla de una sucesión cuadrática. Determinan si una sucesión es cuadrática. Sucesiones cuadráticas Bloque: 4 Eje temático: Sentido numérico y pensamiento algebraico Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Patrones y ecuaciones Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión Desarrollo Sesión(es) Actividades Páginas del libro Leen el texto “Historia de la trigonometría” y responden. Con base en los datos de una tabla determinan la relación entre los valores de la tabla. Visitan y realizan las actividades interactivas de los sitios de Internet que se sugieren en Apoyo tecnológico y aplican lo aprendido a lo largo de la lección al resolver la actividad del Reto llamado “Sucesión cuadrática con racionales”. Consideran la altura y la base de sucesiones de figuras como reglas. Comparan resultados en equipos. Completan una tabla que relaciona la figura con la cantidad de losetas. Socializan y validan respuestas. Utilizan la información de la tabla para comparar el desarrollo de distintos casos.Planeaciones didácticas Lección 21. Determinan los tipos de sucesiones presentadas. 178 y 179 1 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL13-193-208. 174 3 Expresión general cuadrática Analizan en pareja información acerca de una situación que muestra una sucesión y la base de la regla en dicha sucesión. Con base en las reglas obtenidas escriben una expresión algebraica que representa una sucesión. Analizan un grupo de sucesiones para determinar la regla geométrica. Determinan la regla algebraica que modela una sucesión. Identifican la relación entre el número de elementos y la altura de una sucesión geométrica. 172 Sucesión lineal y sucesión cuadrática Analizan información referente al uso de sucesiones con las reglas 2n y n2. Leen información referente a la regla de una sucesión cuadrática. 175 a 177 1 Más reglas de sucesiones cuadráticas Analizan una sucesión de círculos para determinar la regla que genera una sucesión. Completan una tabla para determinar la regla de la sucesión con base en el análisis de los datos. Reflexionan acerca de si la situación es cuadrática. Con base en una regla algebraica determinan la sucesión correspondiente. Determinan cuáles sucesiones son cuadráticas.indd 205 205 1/30/14 5:57 AM . Comentan en grupos propuestas para llegar a acuerdos. Socializan argumentos. Completan una tabla para conocer la relación que existe entre una figura y las características de alto y ancho de una figura. Escriben los términos de una sucesión para determinar la regla. validan resultados. Analizan una sucesión de triángulos para responder a los planteamientos. Comentan en grupo las experiencias y resultados. Utilizan tubos de cartón para corroborar las ideas acerca de las características del desarrollo plano del cilindro. Páginas del libro 180 a 182 183 184 185 a 187 Observaciones SMAT3LRCONAPL13-193-208. Comentan respuestas entre equipos. Completan una tabla escribiendo los cuerpos geométricos que se pueden generar. Socializan argumentos y registran conclusiones. Leen información relativa a la esfera. Completan conclusiones al leer información relativa a los cuerpos de revolución. cono y esfera. Analizan una serie de trazos para conocer la medida de la generatriz. Sólidos de revolución Bloque: 4 Eje temático: Forma. Utilizan conos de papel para determinar la medida de la generatriz. Giros en el patinaje Trabajan en binas para trazar imágenes en cartoncillo o foami para recortarlas y construir sólidos girando las figuras. Leen información referente a la medida del ángulo del sector circular. espacio y medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Figuras y cuerpos Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje. Realizan distintas actividades para verificar las respuestas expresadas. Señalan las diferencias entre los cuerpos. Proponen otros procedimientos para obtener sólidos de revolución. Utilizan cartoncillo y palos de madera para construir distintos sólidos. Comparan los resultados obtenidos. eje de rotación. Muestran trabajos al resto del grupo compartiendo experiencias y comentando respuestas. Desarrollos planos de conos y cilindros rectos En parejas describen cómo es el desarrollo plano de conos y cilindros. Otros procedimientos para formar sólidos En equipo construyen un cilindro utilizando distintos materiales. Registran en una tabla las características de los distintos sólidos construidos. un triángulo rectángulo. Socializan respuestas y argumentos. Visitan y realizan las actividades de los sitios de Internet que se sugieren en Apoyo tecnológico y aplican lo aprendido a lo largo de la lección al resolver la actividad del Reto llamado “Sólidos de revolución”. Identifican la relación entre el perímetro de la base y la longitud del arco de la circunferencia. Identifican las diferencias al girar distintos tipos de triángulos. cilindro. Subrayan el procedimiento con el que se obtienen la medida de la generatriz. Leen información acerca de la generatriz. Numeran los desarrollos planos realizados. Construyen los desarrollos planos de dos cilindros. Explican razonamientos para encontrar la respuesta correcta. Completan una tabla con los distintos cuerpos geométricos generados a partir de una semicircunferencia o de un arco. Socializan argumentos y conclusiones. Completan una tabla con información referente a desarrollos planos. un semicírculo y un rectángulo. Exponen sus cilindros al grupo y comentan resultados y procedimientos.Lección 22. Socializan respuestas y proponen métodos para verificarlas. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos Desarrollo Sesión(es) 1 1 1 2 206 Actividades Patinaje artístico Organizados en equipo leen un texto con una situación que plantea la construcción de sólidos de revolución.indd 206 Prohibida su venta 1/30/14 5:57 AM . En grupo comentan resultados y elaboran conclusiones acerca de otras figuras con ayuda del profesor. Comparan la pendiente de dos triángulos. Trazan dos triángulos y determinan el cateto opuesto y el cateto adyacente para cada uno. Completan una tabla con las características de cada propuesta. Describen la relación entre el valor de la pendiente de una recta. espacio y medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Medida Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta. Leen un texto referente a la tangente del ángulo. Socializan los resultados. Trazan una recta asociada a una función lineal cuya medida de la tangente del ángulo que se forma en un triángulo rectángulo sea menor que los resultados anteriores. Rampas de acceso Determinan diferencias y semejanzas entre dos gráficas. Relaciones lineales del tipo y = b y la pendiente En parejas escriben las características de las rectas horizontales. observan en gráficas la inclinación de una recta. Con base en la tabla. Determinan el ángulo de inclinación utilizando el transportador. Establecen la medida del ángulo de inclinación. argumentando y llegando a acuerdos. Proponen métodos para calcular la inclinación de unas escaleras. Socializan en grupo.Lección 23. Pendiente de una recta Bloque: 4 Eje temático: Forma. En equipo. 188 y 189 190 y 191 192 193 194 y 195 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL13-193-208. Registran mediciones de ángulos en una tabla.indd 207 207 1/30/14 5:57 AM . así como y = b. Comentan en grupo las conclusiones. Tangente En parejas determinan el valor de la tangente y completan una tabla con la medida de algunos ángulos. Trazan en su cuaderno las rectas que representan las escaleras de la página 190. Con base en la información dada determinan cómo obtener la medida de la inclinación. Discuten cuál es el valor de la pendiente en una recta horizontal. Considerando dos triángulos determinan el valor de la tangente del ángulo que se forma en cada caso. Comentan respuestas. Determinan el valor de la tangente del ángulo en tres triángulos. Visitan los sitios de Internet que se sugieren en Apoyo tecnológico y resuelven el Reto. determinan la relación que existe entre la pendiente de la recta y el cociente de los catetos. Relaciones lineales del tipo y = kx + b y pendiente Señalan las características de una recta asociada a una función del tipo kx + b. Trazan un triángulo con base en una recta asociada a una función y obtienen la medida de la pendiente. las funciones y = kx + b cuando no pasa por el origen. el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente de los catetos. En parejas determinan la pendiente de dos rectas. el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente Desarrollo Sesión(es) 1 1 1 1 1 Actividades Páginas del libro Relaciones lineales del tipo y = kx y la pendiente Comparan dos planteamientos e identifican sus características. En equipo leen información relativa a las funciones del tipo y = kx cuando pasan por el origen. Analizan una gráfica y determinan si las rectas pertenecen a una misma familia. Socializan respuestas y plantean procedimientos para validar conjeturas. Comparan respuestas en grupo. Aplican la razón entre la variación vertical y la variación horizontal. En equipo analizan una imagen y miden los ángulos que se forman para responder a distintos planteamientos relacionados con los ángulos de las figuras. En equipo analizan la veracidad de una afirmación. En equipo analizan un triángulo isósceles. En la sección Apoyo tecnológico ampliarán los contenidos vistos para apoyar el trabajo de la lección y realizan la actividad del Reto llamada “Razones trigonométricas”. Páginas del libro 196 197 y 198 199 y 200 201 a 203 Observaciones 208 SMAT3LRCONAPL13-193-208. Hipotenusa y catetos Establecen la hipotenusa. Trazan triángulos rectángulos con ángulos agudos de igual medida. Determinan la razón de semejanza de distintos triángulos. Muestran conclusiones a los compañeros.indd 208 Prohibida su venta 1/30/14 5:57 AM . Comparan los cocientes cateto opuesto entre hipotenusa y cateto adyacente entre hipotenusa de ambos triángulos. Determinan distintos planteamientos relacionados con los valores de la tabla. Comentan y registran conclusiones en grupo. Comparan los mismos cocientes de otros triángulos semejantes. Determinan distintas características del triángulo rectángulo. Utilizan la imagen de un triángulo para argumentar una afirmación a los ángulos de un triángulo rectángulo. En grupo leen y analizan información acerca de las razones trigonométricas. Buscan información en un medio electrónico para complementar la información acerca de las características de un triángulo. Leen información acerca de triángulos congruentes y triángulos semejantes. espacio y medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Medida Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo Desarrollo Sesión(es) 1 1 1 2 Actividades Ángulos y triángulos rectángulos En pareja trazan un triángulo rectángulo. Comentan en grupo los resultados y argumentan respuestas. Ángulos agudos de un triángulo rectángulo Bloque: 4 Eje temático: Forma. Determinan las medidas de los ángulos en el triángulo isósceles.Lección 24. Completan una tabla calculando las razones trigonométricas de dos triángulos. coseno y tangente. Socializan acuerdos y conclusiones. Explican el procedimiento empleado. Leen una tabla con información de las razones trigonométricas. Leen información acerca del seno de un ángulo y de la tangente de un ángulo. el cateto opuesto y el cateto adyacente y completan una tabla. Exploran en una calculadora las funciones seno. Comentan en grupo los resultados obtenidos. Con base en el primer triángulo isósceles trazan otro triángulo y obtienen las medidas de sus ángulos. Completan una tabla calculando el valor del coseno de dos ángulos. Realizan acuerdos finales con el grupo. Analizan una familia de triángulos para determinar aquellos que cumplen una condición. Completan una tabla con los cocientes del cateto opuesto entre hipotenusa y cateto adyacente entre hipotenusa. Obtienen distintos valores con la calculadora y verifican que los resultados coincidan con otros ejercicios. Nombran los lados de un triángulo correspondientes con la hipotenusa. el cateto opuesto y el cateto adyacente a un ángulo en un conjunto de triángulos. Determinan las coordenadas de distintos puntos en la construcción. En equipo analizan un triángulo para describir todas las características que se conozcan de él. Observan el esquema de los ángulos de una sombra e identifican distintas características de los ángulos que se forman en él. espacio y medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Medida Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno. Comparan respuestas en equipos. coseno y tangente Desarrollo Sesión(es) 2 1 2 Actividades Páginas del libro Ángulos agudos en triángulos rectángulos Trazan dos triángulos rectángulos y calculan el valor tanto de la tangente como del coseno para distintos ángulos en particular. Completan una tabla determinando las razones trigonométricas de ciertos ángulos. coseno y tangente para tres ángulos notables. En pareja calculan la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Razones trigonométricas Bloque: 4 Eje temático: Forma. Resolución de problemas con razones trigonométricas En parejas calculan distintos elementos de un triángulo. Determinan la medida de la hipotenusa y del cateto opuesto a un ángulo en un triángulo en particular.indd 209 209 1/30/14 5:57 AM . Socializan en grupo respuestas y argumentos. Calculan el seno de un ángulo al interno de la construcción hecha. Consultan tablas trigonométricas al acceso a un sitio en internet. En la sección Apoyo tecnológico analizan ejercicios propuestos y realizan la actividad del Reto llamada “Cálculos trigonométricos”. coseno y tangente de un ángulo y completan una tabla. Analizan los valores del seno. Explican cómo es posible calcular el perímetro de un polígono regular utilizando trigonometría. Determinan el valor del seno. Calculan seno. coseno y tangente de un ángulo y completan una tabla. Leen información referente a las razones trigonométricas. Determinan la medida del perímetro de un hexágono utilizando las razones trigonométricas. Construyen distintos elementos en la circunferencia. Aplican las razones trigonométricas para determinar las distancias de las sombras en distintas horas del día. Comparan distintos resultados. Analizan un triángulo y aplican el teorema de Pitágoras para encontrar la medida del cateto opuesto. Trazan distintos ángulos en una circunferencia y completan una tabla calculando distintos valores.Lección 25. Comparan respuestas con las de los compañeros. 204 a 206 207 208 y 209 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL14-209-224. La circunferencia y algunas de las razones trigonométricas Trazan una circunferencia en un plano cartesiano. Determinan la razón en un problema propuesto. Determinan la razón de cambio con base en los datos de la gráfica. Socializan argumentos y registran conclusiones en el cuaderno. Determinan la mejor opción entre los diferentes planteamientos. Determinan la razón de cambio para diferentes situaciones. Leen información teórica referente a la razón de cambio. Comparten las conclusiones con el grupo y validan argumentos. Con base en los datos presentados en una gráfica. Completan una tabla con base en una serie de datos propuestos. Utilizan una razón de cambio para resolver distintas situaciones. identifican la información que se modela en el eje de las ordenadas. Trabajan en pareja con los datos de un problema anterior para responder a distintas preguntas. Analizan los factores que modifican la razón de cambio en las distintas situaciones planteadas. Ingresan a distintos sitios en Internet para interactuar con ejercicios referentes a la probabilidad. Socializan y validan argumentos. Razón de cambio y la inclinación de la función lineal Analizan una situación y determinan la función asociada a la situación planteada. en el apartado Apoyo tecnológico. Socializan argumentos en grupo y escriben una conclusión acerca de la relación entre la razón de cambio y la función lineal de la forma y = mx + b. Comparan los datos de la tabla con los datos de una gráfica. y aplican lo aprendido durante la lección al resolver la actividad del Reto. Razón de cambio en diferentes contextos Analizan la información propuesta y determinan la razón de cambio para diferentes valores. Cálculo de la razón de cambio Analizan en pareja información y escriben una situación que se modele con los datos de dos gráficas. Razón de cambio y pendiente de una recta Bloque: 4 Eje temático: Manejo de la información Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Proporcionalidad y funciones Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal.indd 210 Prohibida su venta 1/30/14 5:57 AM . Elijen pares ordenados y calculan la razón de cambio correspondiente. Calculan la razón de cambio con base en los datos de dos gráficas distintas. Comparan la razón de cambio de dos diferentes gráficas. Escriben una conclusión acerca de los planteamientos de un problema. Trazan las gráficas que representan distintas situaciones en un problema. Calculan la razón de cambio entre dos periodos mostrados en una gráfica.Lección 26. Páginas del libro 210 211 212 y 213 214 y 215 Observaciones 210 SMAT3LRCONAPL14-209-224. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa Desarrollo Sesión(es) 1 1 2 1 Actividades Razón consumo-distancia Analizan la información presentada y responden a distintos planteamientos. Resuelven las actividades de la sección “Para saber más”. Completan una tabla para organizar los resultados de una comparación. Completan una tabla calculando el valor promedio para cada uno de los rubros. Elaboran una tabla considerando distintos niveles. Análisis de registros gráficos En parejas analizan los datos representados en una gráfica. Argumentan cuáles datos se acercan o se alejan más de la media. Determinan cómo obtener la dispersión de un conjunto de datos. Resuelven la evaluación tipo PISA del bloque 4. Determinan un significado para distintos promedios. Socializan y verifican respuestas. Sustentan cuándo un conjunto de datos puede representarse a través de la media y tener diferente dispersión.indd 211 211 1/30/14 5:57 AM . Determinan cuáles datos son más dispersos.Lección 27. Determinan el rubro en el que es mayor la desviación o dispersión entre los datos registrados y los promedios. En parejas analizan información teórica que hace referencia a la dispersión y a la desviación media. Socializan respuestas llegando a acuerdos. Leen una tabla para conocer acerca de la planificación previa y la aplicación de una encuesta. Comentan dudas. Analizan tablas y responden cuestionamientos relativos a la información presentada en la tabla. Socializan con el grupo los argumentos y respuestas. Desviación media en un conjunto de datos Bloque: 4 Eje temático: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos Duración: 1 semana Número de sesiones: 7 Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Trabajan en parejas para elaborar una gráfica de barras y representar datos relacionados con el promedio y la frecuencia. Completan una tabla con base en los datos propuestos. desviación media y rango o recorrido. Argumentan resultados. 216 217 y 218 219 220 y 221 222 y 223 224 y 225 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL14-209-224. Dispersión y desviación media En equipos analizan una situación. Comparan respuestas en grupo y registran conclusiones. así como el valor de la desviación media. Leen información acerca de la dispersión. Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión Desarrollo Sesión(es) 1 1 1 2 1 1 Actividades Páginas del libro Las redes sociales en Internet Organizados en pareja analizan información de una encuesta y responden a distintas preguntas. Socializan respuestas y registran acuerdos. Completan una tabla calculando la desviación media y el rango de distintos datos. Música favorita Leen información contenida en una tabla y la completan con los promedios de cada rubro. Completan una tabla aplicando el procedimiento leído para determinar la desviación media. Obtienen el rango de cada caso. Organizados en equipos seleccionan un tema para diseñar una encuesta. En grupo leen información teórica y discuten las medidas de dispersión. 1. para el cos x y para la tan x. Por su parte. A finales del siglo VIII trabajaron con la función seno y para el siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. en la cual hay una columna de números interpretada como una tabla de funciones trigonométricas. A) definir las funciones trigonométricas. los antiguos babilonios lograron aproximar las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados de triángulos rectángulos. Newton encontró la serie para el sen x. A partir de los ángulos. que era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. bien. lados de triángulos rectángulos. i Subraya la respuesta correcta y contesta..indd 212 Prohibida su venta Encontró la serie para el sen x.. 2.indd 172 12/24/13 2:50 PM 1/30/14 5:57 AM . En la Grecia antigua. 212 SMAT3LRCONAPL14-209-224. encerrándolas en un rectángulo para distinguirlas de las que fueron rodeadas por desconocer su significado. Sugiera a los estudiantes que identifiquen palabras que les parezcan clave de una idea principal o de información que consideren relevante. Historia de la trigonometría E l estudio de la trigonometría se inició en la Antigüedad. Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. como se demuestra en la tablilla Plimpton 322. C) aproximar la medida de los ángulos y D) construir tablas de cuerdas. sugirieron usar un valor r = 1. En su obra Almagesto incluyó una tabla de cuerdas. Trescientos años después. rodeando las palabras que desconozcan y subrayando la información que consideren relevante. con la invención del cálculo. demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría. junto con la explicación del método para compilarla y ejemplos de cómo usarla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Es un aporte de los antiguos matemáticos griegos: A) Definición de la función seno C) Uso del valor r = 1 B) Medición de los ángulos en grados D) Construcción de tablas de cuerdas 3. B) medir los ángulos en grados. en el siglo XV. esas palabras las deberán señalar con otro color o. Al mismo tiempo. sin detenerse en datos. lo que originó los valores modernos de las funciones trigonométricas. seno. las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis. en el que todavía hoy son fundamentales tanto en la matemática pura como en la aplicada.El trabajo con el libro del alumno 4 Propuestas didácticas Invitación a la lectura Solicite a los estudiantes que den una primera lectura rápida al texto sobre la historia de la trigonometría. Al concluir esta primera lectura. los astrónomos de India desarrollaron un sistema trigonométrico basado en la función Comente con el grupo las dificultades que presentaron con su primer intento. solo para tener una idea global del tema que se está tratando y sobre las ideas principales de la lectura. También.. Además. minutos y segundos. 172 PM3STJCONA-PL11-161-176. En el siglo XVII. El cálculo y uso de funciones trigonométricas continuaría en los siguientes siglos. Los astrónomos árabes retomaron los conocimientos trigonométricos de la Grecia antigua e India. el astrónomo Tolomeo contribuyó notablemente a la trigonometría. La trigonometría árabe se difundió en Europa y. Finalmente. indíqueles que vuelvan a dar lectura al mismo texto pero esta vez sin prisas. dado que corta a una circunferencia de radio r. En la civilización mesopotámica. ¿Cuál fue el principal aporte de Isaac Newton a la trigonometría? para el cos x y para la tan x. ¿Qué importancia tiene el trabajo de los matemáticos árabes en la trigonometría? Demostraron los teoremas fundamentales de la trigonometría. el matemático y astrónomo alemán Johann Müller escribió el primer trabajo en esta materia. los egipcios establecieron la medición de ángulos en grados. esta indicaba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central. Los babilonios son considerados iniciadores del estudio de la trigonometría por. dé instrucciones de resolver las preguntas que se ofrecen en la página siguiente. de C. en el siglo II a. 4. luego. • Calcula y explica el significado del rango y la desviación media. • Resuelve problemas que implican el uso de las razones trigonométricas seno. fue China. sin embargo. Reloj solar. Londres. Inglaterra. Pida al grupo que miren la imagen de la entrada del bloque 4 y que traten de explicar qué representa y cómo funciona. es decir. Este fue el comienzo de la trigonometría. aproximadamente 2700 años antes de Cristo. Luego pregúnteles cómo medirían el tiempo si estuvieran en una habitación cerrada. si se pueden fragmentar infinitas veces o se llega a un punto en el cual ya no se puede partir en secciones más pequeñas. sin ventanas ni muebles ni sonidos. 173 PM3STJCONA-PL11-161-176.indd 213 12/24/13 2:50 PM Prohibida su venta 213 1/30/14 5:57 AM . coseno y tangente. Introduzca a la discusión el planteamiento de si la distancia y el tiempo son magnitudes continuas o discretas. la primera civilización en medir el paso del tiempo utilizando el ángulo solar y la longitud de la sombra que proyectaba una vara clavada en el suelo.Propuestas didácticas Inicie la clase preguntando al grupo por qué surge la necesidad de medir el tiempo y de qué forma ellos medirían el tiempo si no existiera el movimiento. El primer reloj creado por el ser humano fue el solar y se atribuye a los egipcios. que la Tierra no rotara ni se trasladara y que los cuerpos celestes estuvieran inmóviles. Presentación del bloque Aprendizajes esperados: • Utiliza en casos sencillos expresiones generales cuadráticas para definir el enésimo término de una sucesión. Discuta con los estudiantes la relación que tiene el tiempo con el movimiento y plantee si tendría sentido hablar de tiempo si nada en el universo se moviera.indd 173 SMAT3LRCONAPL14-209-224. Pregunte a los jóvenes si un año luz es una unidad de tiempo y que enlisten unidades de tiempo. Justifica cada respuesta. dé instrucciones de resolver las actividades que se ofrecen en la página. La maestra también mostró las siguientes sucesiones de figuras. las diferencias y similitudes e invítelos a asociarles una sucesión numérica en vez de figuras. a las cuales asociarán las correspondientes sucesiones numéricas. con ayuda del profesor. porque una regla representa una función lineal y la otra una cuadrática.indd 214 Prohibida su venta 174 PM3STJCONA-PL11-161-176. • Uno de los términos de una de las sucesiones es 529. 3 y 4 y que describan el tipo de sucesión que es cada una. No. Juan. Posteriormente. que hacen referencia a las reglas mencionadas.21 Propuestas didácticas Sucesiones cuadráticas Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Contenido: Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión Antes de abordar el tema sobre sucesiones lineales y cuadráticas y de dar lectura al planteamiento del problema 1. indique a los alumnos que analicen las figuras que aparecen en la página como sucesiones 1. 2 3 4 1 2 3 Sucesión 1 1 2 3 Sucesión 3 La sucesión 2 y la 4 4 Sucesión 2 4 1 2 3 4 Sucesión 4 • ¿Qué sucesión o sucesiones corresponden a la regla 2n? Argumenta tu respuesta. Analiza la información y resuelve en el cuaderno. ¿a qué sucesión pertenece? ¿A qué número de término corresponde? A la 1. escribiendo un valor a cada término para luego hallar la regla que determina a cada una de las sucesiones. La maestra les presentó las siguientes reglas: 2n y n2. Al término 23 i Socializa tus argumentos y. 1 Una vez que hayan terminado. de modo que ene representa el enésimo término de la sucesión y los coeficientes o sumandos que la acompañan dan por resultado la cantidad que le corresponde al enésimo término de la sucesión. después aclare a los jóvenes que en el caso de las sucesiones n toma valores naturales porque una sucesión consiste en asociarle a cada natural un número que se obtiene de una regla determinada. b. 214 SMAT3LRCONAPL14-209-224. pregunte a los adolescentes qué valores puede tomar ene y si ene puede ser cualquier número real. • ¿Cuáles corresponden a la regla n2? ¿Por qué? La sucesión 1 y la 3 c. Responde en tu cuaderno. Sucesión lineal y sucesión cuadrática 1. a. solicite que justifiquen sus respuestas. • ¿Las expresiones representan la misma sucesión? Justifica tu respuesta. Luego. Considera que las reglas dadas se refieren a la base y altura de las sucesiones de figuras. valídalos con el grupo. solicite que den ejemplos de sucesiones de figuras con progresión geométrica y sucesiones de figuras con progresión aritmética. 2.indd 174 12/24/13 2:50 PM 1/30/14 5:57 AM . • ¿Qué sucesión corresponde a la regla 2n? La 4 • ¿Cuál a la regla n2? La 1 • ¿Cómo varía el valor de los términos en cada regla? En la primera aritméticamente y en la segunda geométricamente. e invítelos a escribir la regla que las determina en cada caso. Karla y Mónica están estudiando el tema de sucesiones en su clase de Matemáticas. Analicen en pareja la información y respondan. 25.? 2n 175 PM3STJCONA-PL11-161-176. (8. se relacionan con los términos 1 con 1. justificando cada respuesta. verticalmente y hacia los lados. Luis puso como ejemplo la siguiente sucesión: Solicite al grupo que describa la lógica que se sigue en el acomodo de cada figura de la sucesión. 4. luego le restamos 1 y el resultado se eleva al cuadrado. 3 con 5. le comenta que en la forma de ponerlas se muestra un patrón y que esto se puede describir con base en una regla. • ¿Qué patrón observan entre la diferencia de figuras consecutivas? Son múltiplos de 8. 16. término a término. Son el cuadrado de los números nones consecutivos. deberán identificar el número de cuadrados que se agregan horizontalmente.. Luis. 81. mientras que verticalmente se agregan 2. 49. 5 a. Completen la tabla que relaciona el número de figura con la cantidad de losetas. su hijo..Expresión general cuadrática 2. 2 con 3. 24. lo cual corresponde a una sucesión igual a 2n solo en la cantidad de cuadritos que se suman verticalmente. de término Valor del término 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81 10 100 n n2 • ¿Qué valores. 6. Multiplicando el número del término por 2. puede usted jugar con el grupo a formar sucesiones a partir de las sucesiones de figuras. que de hecho es n2. Una manera de determinar la regla de la sucesión de losetas es mediante el siguiente análisis. • ¿Cómo pueden determinar la regla de la sucesión? R. M. en la sucesión 3 explique que horizontalmente se agrega un solo cuadrito. 4 con 7. es decir. R.).L. un cierto patrón que se sigue en la construcción de cada figura. cuadritos y así sucesivamente. i Comenten en grupo sus propuestas y lleguen a acuerdos. 8. Completen la tabla para los primeros diez términos de la sucesión n2. • ¿Cuál es la regla que genera la sucesión de los números pares.. 7 y 12. pues por un lado hay una regla que determina el número total de cuadritos azules y amarillos de cada término y. sucesiones que están contenidas o que se pueden desprender de la sucesión principal. Con este ejemplo.indd 215 12/24/13 2:50 PM Prohibida su venta 215 1/30/14 5:57 AM . 32. 5 con 9. b...indd 175 SMAT3LRCONAPL14-209-224. 2. 4. Tabla 1 Figura Número de losetas 1 1 2 9 3 25 4 49 5 81 6 7 12 121 169 529 n (2n – 1)2 • Describan cómo obtuvieron el número de losetas para las figuras 6. • ¿Qué característica tienen estos términos? R. pida que hagan lo mismo usando las sucesiones de figuras de la página anterior. por otro.. se relacionan con la sucesión de las losetas? 1. Propuestas didácticas José se dedica a colocar losetas. 1 2 3 4 Una vez que describan la lógica con la que se trazan los cuadrados. y de qué términos. es decir. Tabla 2 Núm.. usted hallará distintas propuestas que pueden ser válidas todas. 6. por ejemplo. la representación algebraica de cada figura se debe calcular aparte. Permita que den todo tipo de opiniones. 9.. M. explore con los estudiantes los valores que pueden tomar a. anoten los primeros diez términos de la sucesión de números impares y determinen la regla. permita que lo compartan con sus compañeros y haga énfasis en que hay una gran diversidad en la construcción de sucesiones con figuras que responden a una misma regla algebraica. Tabla 3 Núm. abra espacio para la discusión y obtengan conclusiones grupales. d. Complétenla y precisen la regla que genera dicha sucesión.. 3. La tabla muestra la relación que existe entre el número de figura y el ancho o alto de cada una. ¿cuál es la regla de la sucesión de losetas? (2n – 1) an2 + bn + c.indd 176 12/24/13 2:50 PM 1/30/14 5:57 AM . 169. Ya se discutió sobre los valores que puede tomar ene. relaciona el número de figura y la cantidad de losetas de color morado. de término Valor del término Propuestas didácticas Invite a un voluntario a dar lectura en voz alta del texto que aparece en color azul y solicítele que explique su contenido usando sus propias palabras. en ese caso formule la siguiente pregunta: ¿a. 1 2 3 4 5 a. b y c. ahora ponga a discusión qué tipos de valores pueden tomar a. Tabla 4 Figura Ancho o alto de la figura 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 6 52 53 1 051 11 103 105 2 101 n 2n – 1 • ¿La regla que genera dicha sucesión es cuadrática? Justifiquen su respuesta. 2 • Con base en lo anterior. 49. Con base en las sucesiones propuestas. b y c son diferentes de cero.c. Junto con el grupo construyan un par de sucesiones que tengan la forma: 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 6 11 7 13 8 15 9 17 10 19 n 2n – 1 • ¿Cuál es la relación entre los valores de las tablas 2 y 3 con los valores de la tabla 1? Los valores de la tabla 3. Supongan que la sucesión es infinita y completen la tabla 4.. La tabla 5. donde a. b y c podrían tomar valores negativos?. 121. La forma de colocarlas generó la siguiente sucesión: Utilice la sucesión propuesta en el punto 3 para que los jóvenes construyan en sus cuadernos otra sucesión de figuras que siga el mismo patrón algebraico. 25. de la siguiente página. • De las reglas obtenidas hasta el momento. ¿cuál es el valor de los primeros siete términos? 1. Continúen trabajando en pareja y resuelvan las actividades.indd 216 Prohibida su venta 176 PM3STJCONA-PL11-161-176. i Socialicen sus respuestas y valídenlas con el resto del grupo y el profesor. en la que n representa al enésimo término. tanto positivo como negativo y por qué. b. b y c. • Si la regla de la sucesión de la tabla 3 se eleva al cuadrado. porque no tienen términos elevados al cuadrado. la variedad reside en la disposición y lógica que sigan para su representación. 9. unas que se puedan representar con figuras y otras que no. comenzando por sugerirles que c sea un valor negativo. 216 SMAT3LRCONAPL14-209-224. 81. 225. Analicen la siguiente información y respondan. No. si pueden tomar cualquier número real. La regla de una sucesión cuadrática es una expresión algebraica que tiene la forma an2 + bn + c. El señor José también pondrá losetas en la cocina. En la siguiente tabla.. Plantee dos tipos de sucesiones. ¿cuáles son cuadráticas? Las correspondientes a la tabla 1 y 2. elevados al cuadrado representan los valores de la tabla 1. R. R. • A partir de las reglas obtenidas. M. Verifiquen la regla algebraica de la sucesión. • ( n2+ 1 )2 2 • n 2+ 1 • ( n 2– 1 )2 2 • n –1 2 i Socialicen sus argumentos y validen sus resultados. dé instrucciones de utilizarlas para construir una sucesión más con cada una de ellas... Tabla 7 Figura Total de losetas 1 1 2 5 3 13 4 5 6 52 25 41 61 5 305 53 1 051 5 513 2 207 101 Invite al grupo a analizar cada una de las expresiones algebraicas que se muestran en el inciso e. La tabla 6 relaciona el número de figura con la cantidad de losetas color de rosa. luego deberán quitar paréntesis en las expresiones que los tengan y hallar con esos desarrollos los primeros 10 términos. Registren en el cuaderno sus acuerdos. considerando las escaleras que se van formando u otras figuras que identifiquen y vayan creciendo con una cierta lógica.. 177 PM3STJCONA-PL12-177-192. n 2n2 – 2n + 1 • ¿De qué tipo es la regla que genera la sucesión? Cuadrática • De la regla que modela la sucesión del total de losetas. Tabla 8 Figura Total de losetas 1 1 3 5 5 13 7 25 9 41 11 61 13 85 Sugiera que para cada una den valores a n para tener los primeros términos de la sucesión correspondiente. escriban una expresión algebraica que represente la 2 2 regla de la sucesión de losetas. • ¿Qué información se indica en la primera fila? El número de la figura. que hagan los cambios necesarios. pregunte a los alumnos si el resultado es el mismo y que justifiquen sus respuestas. por ejemplo. en caso de no serlo. verifiquen si la expresión a la que llegaron y esta última son equivalentes. L. ¿cuántos términos algebraicos tiene la expresión? Tres • ¿La regla algebraica 2n2 – 2n + 1 es la que obtuvieron para modelar la sucesión? Si no es el caso. c.. apoyándose siempre en las figuras de la sucesión original. Tabla 6 Figura Losetas rosas 1 0 2 1 3 4 4 5 6 9 16 25 52 53 1 051 2 601 2 704 1 102 500 n (n – 1)2 • ¿La regla de esta sucesión es cuadrática? Argumenten. Sí. Porque el término está elevado al cuadrado. Complétenla e indiquen la regla que genera esta sucesión. pero falta determinar qué dato debe ir en la primera fila. R. n + (n – 1) En relación con el inciso d. completando la tabla 7. pida a los escolares que encuentren otras expresiones equivalentes y que las escriban en el cuaderno. b y c para cada expresión. • ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la regla que modela la sucesión de la tabla 8? Subráyala. e.Tabla 5 Figura Losetas moradas 1 1 2 4 3 9 4 5 6 16 25 36 1 051 n 2 704 2 809 1 104 601 n2 52 53 Propuestas didácticas • ¿La regla que genera dicha sucesión es cuadrática? ¿Por qué? Sí. luego dé instrucciones de compartirlas con el resto de compañeros y que verifiquen si efectivamente son equivalentes.indd 177 SMAT3LRCONAPL14-209-224. dada la fórmula an2 + bn + c. Comenten en grupo acerca de la estrategia a seguir para encontrar la regla de una sucesión cuadrática. . Analicen las sucesiones anteriores para saber cuál es. Una vez que hayan completado las tablas. d. . Los datos de la tabla 8 tienen relación con las figuras de las losetas. L. Pida a los jóvenes que identifiquen los coeficientes a. dada la expresión algebraica 2n2 –2n + 1.indd 217 12/24/13 2:52 PM Prohibida su venta 217 1/30/14 5:57 AM . de modo que para hallar el total de círculos de cada término se multiplicará el tres por x. con el total de círculos que contiene el término correspondiente. Pida a los estudiantes que representen x en términos de n. donde x es el número de renglones. prácticamente habrán deducido la regla de la sucesión. • ¿Cuál es el número de cuadrados que hay a lo alto en cada figura? 1.indd 178 12/24/13 2:52 PM 1/30/14 5:57 AM . 3. a. para posteriormente juntarse con su equipo a comprobar y comparar resultados. luego pregunte de qué manera se puede calcular el total de círculos que tiene cada figura sin tener que contar uno por uno.. los escolares deberán notar que el número de columnas es una constante mientras que lo que está variando término a término es el número de filas horizontales.. una vez que lleguen a que x = n2.. 2 • ¿Cuál es la expresión algebraica que muestra la relación anterior? n • ¿Cuántos círculos hay a lo ancho en cada figura? 3 Haga notar a los estudiantes que existe una relación entre el número de renglones de cada figura con respecto al lugar que ocupan en la sucesión. 218 SMAT3LRCONAPL14-209-224.. • ¿Cuál es el número de círculos que hay a lo alto en cada figura? 1. ¿son las mismas?.). ¿en qué difieren? ¿Cuál es la regla algebraica correcta? R. 2.. 5. • ¿Qué hay que agregar a la expresión anterior para obtener la regla de la sucesión de 2 cuadrados? Justifiquen su respuesta. 16. ... La siguiente tabla se relaciona con la sucesión de figuras que se muestra del lado izquierdo. 3n2. 1 2 3 • Si relacionan su respuesta anterior con una expresión algebraica. Figura Cuadrados 1 3 2 9 3 19 4 33 . • ¿Cuántos círculos tendrá a lo alto la figura 5? 25 • ¿Qué relación hay entre el número de término y los círculos a lo alto? El número de círculos a lo alto es igual al número de término elevado al cuadrado. 3n Pida a los alumnos que resuelvan el problema 4. Motive a los adolescentes a que traten de relacionar el lugar que ocupan cada una de las figuras. 16. es decir. Sí • Comparen esta regla con la que obtuvieron antes. Propuestas didácticas • ¿Cuál es la regla que genera la sucesión de círculos? Expliquen la forma como 2 llegaron a ella. que representa el cuadrado morado. b.indd 218 Prohibida su venta 178 PM3STJCONA-PL12-177-192. 10 201 2 • ¿Cuál es la regla que genera la sucesión de cuadrados? 2n + 1 Invite al grupo a resolver el inciso b del punto 4 de manera individual. • ¿Es la misma expresión que obtuvieron antes? ¿En qué difieren? R. 4. será inmediato que deduzcan que se trata de 3 veces n2. 9. • ¿Cuántos cuadrados tendrá a lo alto la figura 5? 25 • ¿Qué relación hay entre el número de término y los cuadrados a lo alto? El número de cuadrados a lo alto es igual al número de término elevado al cuadrado. 4. donde n corre en los naturales (1.. 4.. ya que si hallan el patrón que se sigue para la construcción de las figuras. ¿cuál es la 2 expresión algebraica que se obtiene? 3n 4 • ¿Es esta la regla de la sucesión de círculos que se muestra? Aplíquenla para comprobar su respuesta. • ¿Cuál es la expresión algebraica que muestra la relación anterior? n2 2 • ¿Cuántos cuadrados verdes hay a lo ancho en cada figura? 2n 1 2 3 4 • Si relacionan su respuesta anterior con la expresión algebraica que obtuvieron.. analícenla y respondan. L. Analicen la sucesión de círculos y respondan.Más reglas de sucesiones cuadráticas 4. L. Realicen en equipo lo que se indica. 9.. 2n + 1 • ¿Cuál es la regla algebraica que modela la sucesión? R. L. sugiera que analicen las figuras de cada término para que identifiquen la lógica con la que se está construyendo término a término.. ¿cuál es la nueva expresión? Sumar 1. . 12. Si hay dudas.. ¿Cuál es la regla algebraica que modela la sucesión? n3 o 1 3 n b. 45. Entre todos registren sus conclusiones acerca del trabajo de la lección. Comparte tu experiencia con el interactivo en grupo y discute con tus compañeros tus conclusiones. ¿Cuántos términos algebraicos tiene la regla que modela la sucesión? Uno c. Elaboren una tabla. con ayuda del profesor. 29. 21 1 . • Lo anterior se puede escribir con una expresión algebraica.. • Con base en las últimas dos expresiones algebraicas.. 15. tanto las sucesiones con progresión aritmética como las sucesiones con progresión geométrica.c. ¿cuál? Expliquen su 2 respuesta. 23. 6. ¿Cuál de las sucesiones se obtiene a partir de la regla algebraica n2 + n + 3? b. Porque es de la forma an + bn. 179 PM3STJCONA-PL12-177-192. 40. i Comparen sus resultados con los de otros equipos y valídenlos con la ayuda del profesor. 15.. 12. n • ¿Cuál es la relación entre el número de triángulos verdes de cada figura? Es igual al número del término. 24. 3 3 3 3 3 3 2 2 a. recordando al grupo que expresiones como 1 14 es una fracción mixta que representa 1 + 14 y no el producto del entero con el cuarto como suelen confundir los estudiantes.html? open=activities&from =topic_t_2. 16 1 . 35.indd 219 12/24/13 2:52 PM Prohibida su venta 219 1/30/14 5:57 AM . • ¿Cuál es la relación entre el número de triángulos rojos de cada figura?Se eleva al cuadrado el número del término. para que resuelvan las actividades que ahí se ofrecen.usu. a. Luego dé instrucciones de resolver las actividades de la página. 15. Ingresa al siguiente sitio web.. 8. Reto Sucesión cuadrática con racionales 1. Si existen dudas o diferencias..... discutan para llegar a acuerdos. practica con el interactivo y realiza lo que se solicita. 8.html Resuelve las cuatro actividades que se plantean y determina qué sucesiones son cuadráticas y cuáles son las reglas algebraicas que las modelan. 33. http://nlvm.. analicen los términos de la sucesión para que determinen la lógica con la que se va construyendo figura a figura y pida que dibujen en sus cuadernos los términos 6º. b. Analicen la siguiente lista de sucesiones y respondan en su cuaderno. 23. para clasificar las que corresponden a sucesiones lineales y las que corresponden a sucesiones cuadráticas. 7º. pide apoyo al profesor. retomando las sucesiones propuestas por los alumnos a lo largo de ella. 9.. Obtengan la regla algebraica que modela las otras dos sucesiones. Reunidos en pareja. 9º y 10º.. 5 1 . • 5. • ¿Cuál es el número de triángulos en cada figura? 2. Propuestas didácticas 1 2 3 4 5 En relación con el inciso c.. 48. 9. • Plantea la expresión algebraica que modela la sucesión de triángulos.. n2 + 2n y n2 + 4 i Socialicen sus argumentos y.. Pregunte al grupo si una sucesión con progresión aritmética puede ser una sucesión cuadrática y solicite que justifiquen sus respuestas.indd 179 SMAT3LRCONAPL14-209-224. 20. 1 1 . • 3. 45. 8º. 33. • 5. 13. ¿Cuál es el coeficiente que multiplica a la literal cuadrática? 1 3 i Discutan en grupo sus experiencias. 5. indique a los estudiantes que antes de resolver las actividades relacionadas.. 3. n Cierre el tema propuesto en la lección. 5. n2 + n 2 • ¿Esta es una sucesión cuadrática? ¿Por qué? Sí. determinen la regla o expresión algebraica para la sucesión de triángulos. Invite al grupo a resolver las actividades propuestas en el recuadro de Reto. valídenlos con el resto del grupo. hagan un repaso del tema de la lección y despejen dudas si aún las hay. Analicen la siguiente sucesión: 1 . 8 1 . anoten las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para aclararlas. Analicen la siguiente sucesión de triángulos y respondan. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Finalmente pida que ingresen a la página de Internet que se ofrece en el recuadro de Apoyo tecnológico. 30. 20. realicen en su cuaderno lo que se pide. edu/es/nav/frames_ asid_328_g_4_t_2. Usen dibujos para validarla. espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido: Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje. Porque solo cambia el tamaño o las medidas de la base y la altura. al formarse el cuerpo geométrico. Si las superficies son ásperas o irregulares mayor será la fricción que estas generen.indd 220 Prohibida su venta 180 PM3STJCONA-PL12-177-192. Para que los estudiantes puedan resolver la actividad del inciso c. si girara hacia la derecha. ya que la fricción en el hielo es menor que la fricción en el piso de concreto. El hielo permite que los patinadores continúen en movimiento durante más tiempo y generalmente deben utilizar fuerza para frenarse. lograban formar en el aire algunos cuerpos geométricos. de madera u otros materiales. Trazo A B C D E F G H Cuerpo geométrico Cono Cono Cilindro Cilindro Cilindro Cono Cono Cono • ¿Es posible generar el mismo cuerpo con diferentes trazos? ¿Por qué? Sí. utilizando como eje de rotación la punta de su pie. El hielo ejerce poca resistencia contra los objetos que se desplazan sobre él. Actualmente es un deporte olímpico. El patinaje sobre hielo surgió como medio de transporte en las zonas frías. • Observen la fotografía de la patinadora. La fricción es una fuerza que se opone al movimiento entre dos cuerpos cuando están en contacto entre sí. Escriban qué cuerpo geométrico se puede generar con los trazos y completen la tabla. dichas líneas o ejes ya no son tomadas en cuenta. a. como una consecuencia de la primera ley de Newton. siguiendo sus trayectorias. i Socialicen sus anticipaciones y propongan maneras de verificarlas. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos Inicie la clase preguntando al grupo si han visto las olimpiadas de invierno.Sólidos de revolución 22 Propuestas didácticas Eje: Forma. basta con que recorten un rectángulo y un triángulo y a cada uno le peguen un lápiz y lo hagan girar sobre su propio eje. ¿qué cuerpo geométrico generaría con su movimiento? R. si les gusta el deporte de patinaje sobre hielo y qué principios físicos están involucrados. realicen lo que se pide. sugiera que pongan particular atención en los vértices de los polígonos. b. M. al realizar algunos movimientos en distintas posiciones.indd 180 12/24/13 2:52 PM 1/30/14 5:57 AM . Información complementaria • Comenten su respuesta con otros equipos. Una esfera o un óvalo Puede utilizar material de reúso para que sea más claro para los alumnos el cuerpo que se forma. Organizados en equipo. M. 220 SMAT3LRCONAPL14-209-224. Patinaje artístico 1. La fricción disipa la energía del movimiento. un triángulo rectángulo. en particular los patines de hielo. explique que las líneas verticales funcionarían como el eje alrededor del cual giran los polígonos y que. para determinar el cuerpo geométrico que forman. un semicírculo y un rectángulo. R. Lluvia asistió a un concurso de patinaje artístico y notó que las patinadoras. Lluvia investigó algunas posiciones y movimientos básicos del patinaje artístico e hizo los trazos correspondientes para poder anticipar qué cuerpos se generan en el aire con los giros. la ley de la inercia. A B C D E F G H c. 2. Realicen las siguientes actividades para validar si se forman los cuerpos que registraron en la tabla. Para llevar a cabo las actividades, necesitarán cartoncillo o foami, palos de madera, tijeras y cinta adhesiva. Propuestas didácticas a. En cartoncillo o foami tracen tres triángulos rectángulos como los siguientes. Si lo consideran pueden reproducir las figuras a una escala mayor. R. L. Invite a los alumnos a jugar con diferentes tipos de triángulos y a dibujar en sus cuadernos los diferentes cuerpos geométricos que se obtienen de cada uno al hacerlo girar desde uno de los catetos. Hipotenusa Cateto a Hipotenusa Cateto a Hipotenusa Cateto b Pregunte cómo cambiaría el cuerpo geométrico si el eje sobre el cual se hace girar el triángulo, se colocara en el otro cateto. Jueguen a formar un cuerpo haciendo girar el triángulo con el eje a lo largo de la hipotenusa y discutan todas las diferencias que se van generando con solo cambiar de posición el palo. Cateto b Cateto a Una vez que hayan definido las formas que se obtienen con el palo en cada lado del triángulo, invítelos a explorar los cuerpos que se obtienen cuando el palo está dentro del triángulo, ellos y ellas podrán hacer diferentes pruebas para generar distintos cuerpos. Sugiera que pongan especial atención en los vértices de los triángulos, pues la trayectoria que sigan dará información sobre cómo va el cuerpo generado. Cateto b • Recorten los triángulos, usen el rectángulo café como pestaña para pegar el palo. • Giren el palo al que pegaron cada triángulo rectángulo. b. Registren en la tabla las características del cuerpo geométrico que se formó al girar cada triángulo sobre su eje. Ponga a discusión si los vértices de los triángulos generan otros vértices en los cuerpos sólidos generados o no y por qué. Triángulo rectángulo Rojo Amarillo Verde Cono Cono Cono Cuerpo geométrico Círculo Círculo Círculo Forma de las bases Forma de las caras No tiene caras laterales No tiene caras laterales No tiene caras laterales Uno Uno Uno Número de vértices Información complementaria Un cuerpo sólido, en matemáticas, es un objeto con tres dimensiones, es decir, vive en R3 y cuenta con volumen y superficie. En un cuerpo sólido la distancia entre dos puntos es invariante ante rotaciones y traslaciones. • ¿Se generará el mismo cuerpo geométrico con cualquier triángulo rectángulo? ¿Por qué? Sí. R. M. Siempre se coloca el palo en uno de los catetos. • ¿Qué diferencias identifican entre los cuerpos geométricos que se generan al girar los triángulos? El radio de la base y la altura de los conos que se generan. • ¿Cómo es el cuerpo que se crea cuando el cateto a es de mayor longitud que el cateto b? R. M. Se genera el mismo cuerpo, pero con otras dimensiones de base y altura. • ¿Qué pasa cuando la longitud del cateto a disminuye o es la medida de menor longitud en el triángulo rectángulo? La altura del cono disminuye o es menor. i Comparen los resultados que obtuvieron con los que anticiparon. Si hubo diferencias, identifiquen a qué se debieron. En grupo lleguen a conclusiones. 181 PM3STJCONA-PL12-177-192.indd 181 SMAT3LRCONAPL14-209-224.indd 221 1/9/14 12:01 PM Prohibida su venta 221 1/30/14 5:57 AM c. En cartoncillo o foami tracen las figuras que se proponen y recórtenlas. R. L. • Peguen un palo de madera sobre la altura de los triángulos. • En el caso de los rectángulos, peguen los palos en el área café. • Giren el palo al que pegaron cada figura geométrica. Propuestas didácticas Una vez que los estudiantes hayan terminado de resolver las actividades propuestas en la página de su libro, sugiérales que modifiquen la posición del palito dentro de los rectángulos, iniciando por colocarlo en cada uno de sus lados, haciéndolo girar y ver qué cuerpo se obtiene, luego deberán colocar el palito a lo largo y también a lo ancho del rectángulo e imaginar qué tipo de cuerpo sólido se obtiene. Haga notar a los estudiantes que cuando se coloca el palito a lo largo o ancho del rectángulo, el eje sobre el cual se hace girar al paralelogramo, pasa justo por el centro de la circunferencia que trazarán los vértices del rectángulo, es decir, la distancia del punto donde se junta el eje con el lado del polígono a cada vértice correspondiente (superior e inferior desde los lados del cuadrilátero), es justamente el radio del círculo del cilindro que se genera, es decir, si llamamos a a la longitud del rectángulo el a radio del cilindro es igual a 2 cuando el eje de rotación se coloca a la mitad como se muestra en la figura; a diferencia de cuando el eje se localiza sobre el lado del rectángulo, donde el radio del cilindro es igual a a. Eje de rotación d. Registren en la tabla las características del cuerpo geométrico que se formó. Isósceles café Cuerpo Forma de las bases Forma de las caras Número de vértices Eje de rotación Genera el cilindro de radio igual a la mitad de la longitud del lado del rectángulo. radio a Genera el cilindro de radio igual a la longitud del lado del rectángulo. Amarillo Verde Cilindro Cono Cono Cono Cilindro Círculo Círculo Círculo Círculo Círculo No tiene caras laterales No tiene caras laterales No tiene caras laterales No tiene caras laterales No tiene caras laterales Uno Uno Uno Ninguno Ninguno • ¿Qué cuerpo geométrico se genera al girar un rectángulo? Un cilindro • ¿Aplica para cualquier rectángulo? ¿Por qué? Sí. R. L. Verifique que a los estudiantes les quede claro que con un rectángulo se puede generar un cilindro y no un prisma, como suelen confundir ellos. SMAT3LRCONAPL14-209-224.indd 222 Equilátero • ¿Se genera el mismo cuerpo geométrico al girar cualquier triángulo? ¿Por qué? Sí. R. M. Siempre que el palo sea perpendicular a la base. • ¿Por qué en el caso de los triángulos rectángulos el eje de rotación es un cateto y en los triángulos isósceles y equilátero este pasa por el centro de la base y el vértice opuesto a esta? R. M. Para generar el vértice del cono. Longitud a a 2 222 Rectángulo • ¿Cuáles son las diferencias entre los cuerpos que se forman al girar los tres triángulos? La medida de la base y de la altura del cono que forman. Longitud a radio Triángulo Isósceles azul Prohibida su venta i Socialicen sus respuestas y argumentos. Registren sus conclusiones y acuerdos con apoyo del profesor. 182 PM3STJCONA-PL12-177-192.indd 182 12/24/13 2:52 PM 1/30/14 5:57 AM Giros en el patinaje 3. En pareja, realicen lo que se pide. a. Para responder la actividad inicial, Lorena trazó un arco en la fotografía de la patinadora, como se muestra en la imagen. R. L. Propuestas didácticas • Tracen en cartoncillo o foami una semicircunferencia y un arco. • Recorten sus trazos y péguenlos en los palos, como se muestra a continuación. Ponga a discusión en su grupo qué tipo de trayectoria sigue un punto que se encuentra sobre la circunferencia de la media circunferencia. Dé a los alumnos puntos clave sobre la media circunferencia para ser analizados, por ejemplo, los puntos que tocan al eje de rotación y el punto más lejano al palito y la trayectoria que siguen al ser rotada la semicircunferencia. Haga notar al grupo que cualquier punto sobre la media circunferencia dista igual longitud al centro de la misma, a diferencia del arco, en el cual no resulta igual distancia al centro para cada punto del mismo. Juegue con los alumnos a determinar las trayectorias que siguen los puntos que están dentro del arco y de la media circunferencia y posteriormente invite a los adolescentes a cambiar de posición el eje de rotación, por ejemplo, colocándolo verticalmente sobre la media circunferencia y haciéndola girar en torno al palito. Formule preguntas como: ¿Cuál es la trayectoria que sigue cada punto del medio círculo?; ¿se forma otra esfera?; ¿se forma media esfera?; ¿se forma un cuarto de esfera?; ¿cómo podemos saber? • Giren sobre su eje las figuras construidas y registren en la tabla las características de los cuerpos geométricos que se generan. Semicircunferencia Arco Cuerpo geométrico Esfera Óvalo Forma de las bases No tiene No tiene Forma de las caras No tiene caras laterales No tiene caras laterales Número de vértices Ninguno Ninguno Proponga una actividad análoga utilizando el arco y comparando los resultados entre uno y otro sólido generado. • ¿Qué diferencias hay entre los cuerpos que se formaron al girar la semicircunferencia y el arco? Que solo con la semicircunferencia se forma una esfera y con el arco un óvalo. • Expliquen a qué se debe esto. R. L. • Comparen sus resultados con los de la actividad inicial. Si es necesario, corrijan. i En grupo, comenten sus resultados y, con ayuda del profesor, elaboren conclusiones acerca de las características de los cuerpos geométricos que se generan al girar sobre un eje: triángulos, curvas y rectángulos. 183 PM3STJCONA-PL12-177-192.indd 183 SMAT3LRCONAPL14-209-224.indd 223 12/24/13 2:52 PM Prohibida su venta 223 1/30/14 5:57 AM 4. En grupo, lean la siguiente información y complementen sus conclusiones. Los cuerpos de revolución son aquellos sólidos que se obtienen al girar una figura plana, alrededor de un eje de rotación. El cilindro, el cono y la esfera son sólidos de revolución. Propuestas didácticas La esfera se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Elija un alumno para que lea en voz alta la información que aparece en color azul y coméntenla de manera grupal. El cilindro es el cuerpo generado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados. En el esquema de la derecha, el lado AB es el eje de giro o eje del cilindro y es la altura del sólido. El lado CD produce la superficie lateral del cilindro y se denomina generatriz. De los lados AC y BD resultan dos círculos que son las bases del cilindro. Explique a los estudiantes que un cuerpo sólido es un cuerpo que tiene volumen y todo sólido de revolución tiene también volumen pero no todo cuerpo sólido es un sólido de revolución. Pida a estudiantes que den ejemplos de cuerpos sólidos que no sean cuerpos de revolución. El cono se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. El cateto fijo es el eje del cono y la longitud de dicho cateto es la altura. La rotación del otro cateto genera un círculo perpendicular a la altura y corresponde a la base del cono; la longitud de esta base es el radio del cono. La hipotenusa del triángulo que se rota es la generatriz. El punto de intersección de la generatriz con el eje se llama vértice del cono. Haga énfasis en que se llama cuerpo de revolución o sólido de revolución, justamente porque se genera con un eje de rotación a partir de una figura plana. Pida a los jóvenes que den un ejemplo en el cual, a partir de un semicírculo y un eje de rotación con alguna posición particular sobre el semicírculo, no se genere una esfera. Luego, solicite a los adolescentes que den un ejemplo en el cual, a partir de un rectángulo y un eje de rotación con alguna posición particular sobre el rectángulo, no se genere un cilindro. De manera análoga solicite un ejemplo en el cual con un triángulo no se genere un cono si se coloca de una manera particular el eje de rotación. C A D B A C D B cara curva h G G r h r base plana i Propongan otros procedimientos para obtener sólidos de revolución y verifíquenlos. Otros procedimientos para formar sólidos 5. Organizados en equipos, reúnan el siguiente material y realicen las actividades. Utilice el ejercicio de las fichas que se desplazan hacia arriba y abajo sobre un eje que pasa por el centro de las fichas para discutir con los alumnos los distintos cortes que se pueden hacer en los sólidos de revolución y así obtener diferentes figuras. • Un rectángulo de papel de 15 cm de largo • Diez fichas del mismo tamaño a. Tomen el rectángulo por uno de sus lados y, sin doblarlo, júntenlo con su lado opuesto y péguenlo con una cinta adhesiva. • ¿Cómo son las bases del sólido que se formó? Son círculos. b. Construyan una fila de fichas y desplácenla de abajo hacia arriba, como se muestra en la imagen. • ¿Qué cuerpo resulta cuando una ficha se traslada en dirección perpendicular al plano que lo contiene? Un cilindro c. Comenten con sus compañeros qué cuerpos se generaron con estos procedimientos. i En grupo, comenten sus experiencias y resultados. 224 SMAT3LRCONAPL14-209-224.indd 224 Prohibida su venta 184 PM3STJCONA-PL12-177-192.indd 184 12/24/13 2:52 PM 1/30/14 5:57 AM Desarrollos planos de conos y cilindros rectos 6. En pareja, realicen las actividades que se indican. a. Consideren las características de las figuras que al rotarse generan conos y cilindros y describan cómo sería el desarrollo plano de estos cuerpos. • Cilindro. Un rectángulo y dos círculos Propuestas didácticas Es importante que aclare a los estudiantes que el rectángulo que se obtiene de “desenvolver” un cilindro es un rectángulo diferente al rectángulo que generó al mismo cilindro al ser girado con respecto a un eje de rotación, aunque, sin duda alguna, los rectángulos están relacionados entre sí por el radio del cilindro. • Cono. Un círculo y un sector circular Explique que si el rectángulo que generó el cilindro se hizo girar en torno a un eje que corre a lo largo de uno de los lados del rectángulo, entonces el lado del rectángulo que equivale al radio del cilindro que genera, al multiplicarse por 2π, dará por resultado la longitud de uno de los lados del desarrollo plano del cilindro, la longitud del otro lado del rectángulo será igual a la altura del rectángulo original al partir del cual se construyó el sólido de revolución. b. Consigan tubos de cartón de diferentes tamaños, como los que se muestran en la imagen, y corroboren sus anticipaciones acerca de las características del desarrollo plano del cilindro. R. L. • Elijan un tubo y tracen en cartoncillo o foami dos círculos, tomen en cuenta la medida de una de sus bases para hacer las “tapas”. • Tracen en el tubo un segmento de recta perpendicular a la base y recorten el tubo por esta línea. • Abran el tubo, alísenlo y cálquenlo en el mismo material en que trazaron los círculos. • Repitan el procedimiento anterior con cada uno de los tubos que llevaron. Para verificar que les ha quedado clara la explicación anterior, solicite al grupo que expresen la relación que hay entre las dimensiones que tiene un rectángulo que se hace girar a lo largo de un eje, pasando el eje de rotación exactamente en medio y a lo largo del rectángulo, y las dimensiones del desarrollo plano del cilindro que genera. c. Numeren los desarrollos planos que hicieron. En su cuaderno, hagan una tabla como la que se muestra y registren las medidas de los desarrollos planos. R. M. Número de cilindros Cilindro 1 Altura (cm) 10 cm Desarrollo plano Longitud del Radio (cm) rectángulo (cm) 3 cm 18.84 cm Perímetro de la base (cm) 18.84 cm 12 cm • ¿En su primer planteamiento consideraron trazar la tapa? ¿Por qué? R. L. Los alumnos deberán llegar a que ahora se trata de 12 de l, igual a r, donde l es la longitud del lado del rectángulo que genera la circunferencia, tapa del cilindro, y r el radio de dicha circunferencia, de modo que la longitud de uno de los lados del desarrollo plano del cilindro es igual a (π)( l). 31.41 cm 5 cm • ¿Qué relación identifican entre el perímetro de la base y la longitud del rectángulo? Es la misma. • ¿Es correcto afirmar que la cara curva del cilindro corresponde en su desarrollo plano a un rectángulo? Argumenten. Sí. R. L. 8 cm • Contrasten sus resultados con las características que habían propuesto inicialmente. Si lo consideran necesario, corrijan. R. L. 25.13 cm 8 cm d. Construyan los desarrollos planos de dos cilindros con las medidas que se indican. Al trazarlos dejen una pestaña para pegarlos y poder armarlos. • Radio de 5 cm y 12 cm de altura • Diámetro de 8 cm y 8 cm de altura i Expongan sus cilindros al resto del grupo y comenten cómo los hicieron. 185 PM3STJCONA-PL12-177-192.indd 185 SMAT3LRCONAPL15-225-240.indd 225 12/24/13 2:52 PM Prohibida su venta 225 1/30/14 5:58 AM e. Consigan conos de los que se usan para beber agua y hagan lo que se solicita. R. L. • • • • Tracen la circunferencia, que corresponderá a la tapa. En el cono, tracen un segmento de recta como se muestra en la imagen. Recórtenlo por la línea. Extiendan y alisen el cono y cálquenlo en cartoncillo o foami. • Determinen la medida de la altura del cono. R. L. • ¿Cuál es la medida de la generatriz? R. L. Propuestas didácticas Juegue con los alumnos a hacer cortes del cono generado a partir del triángulo rectángulo y un eje de rotación que corre sobre uno de los catetos del triángulo. Pregunte qué figura se obtiene si se hace un corte horizontal en el cono, si el cono está dispuesto como aparece en el libro, indique que la figura que deben identificar es la que se observaría visto desde abajo o, bien, como si fuera una especie de sello, cuál sería la figura que quedaría impresa con dicho corte. • ¿Cuánto mide el radio de la base del cono? R. L. • ¿Cuál es la medida del perímetro de la base del cono? R. L. • ¿Qué relación hay entre el perímetro de la base y la longitud del arco de la circunDeben tener la misma longitud. ferencia? i Muestren sus trabajos al resto de sus compañeros, compartan sus experiencias y comenten sus respuestas. Verifiquen que sean correctas con el profesor. Luego plantee al grupo qué cuerpo se obtiene si se hacen dos cortes horizontales en el cono; los estudiantes deberán identificar una especie de ficha o moneda que va cambiando su radio de mayor a menor; explique entonces que un cono también se puede generar con un círculo que va cambiando su radio desde r hasta cero, concepto que los jóvenes deberán imaginar ya que físicamente habría que construir una infinidad de círculos con radios entre cero y r para luego juntarlos y obtener el cono, lo cual no es realizable. f. Analicen la información y aplíquenla al resolver las actividades que se solicitan. R. L. Por el teorema de Pitágoras la generatriz g de un cono es: g = h2 + r2, donde h es la altura del cono y r el radio de su base. g. Analicen los trazos que hicieron un par de alumnos y respondan. Juegue con los estudiantes a hacer otro tipo de cortes en el cono, por ejemplo, partiéndolo justo a la mitad hacia lo alto y ver qué figura plana se obtiene; luego, hacer un corte a una cuarta parte del cono, verticalmente, y cortes transversales. g h g r Puede hacer uso de plastilina para construir los conos y que los cortes sean más obvios para los alumnos. g r • Si se sabe que el radio mide 2 cm y la altura del cono es de 4 cm, ¿cuál es la medida de la generatriz? 4.47 cm • Subrayen el procedimiento con el que se obtiene la medida de la generatriz de un cono cuyo radio mide 4.5 cm y su altura 6 cm. g 2 = h2 + r 2 g2 = 62 + 4.52 g2= 36 +20.25 g = 56.25 g = 7.5 cm g 2 = h2 + r 2 g2 = 4.52 + 6 g2 =20.25 + 6 g = 26.25 g = 5.1 cm g2 = h + r g2= 4.5 + 6 g2= 10.5 g = 10.5 g = 3.2 cm i Expliquen su razonamiento para encontrar la respuesta correcta. Identifiquen los errores en los otros procedimientos y coméntenlos en clase. 226 SMAT3LRCONAPL15-225-240.indd 226 Prohibida su venta 186 PM3STJCONA-PL12-177-192.indd 186 12/24/13 2:52 PM 1/30/14 5:58 AM a. ya que un giro equivale a 360 grados. donde k es una constante que corre en el conjunto de los números reales. El desarrollo plano de un cono está formado por un círculo y un sector circular. y y x. y esa razón. La medida del ángulo del sector circular se calcula con la fórmula: a = 360( gr ).sceu. Solicite al grupo que ingrese a las páginas de Internet que se ofrecen en el recuadro de Apoyo tecnológico para que se despejen dudas y repasen los conceptos aprendidos a lo largo de la lección. P.utn. • Entre ellas. son las variables. cuando sea el caso. i Socialicen sus argumentos y. se está obteniendo una razón de cambio entre el radio y la generatriz del cono. la primera variable dependiente y la segunda variable independiente. Triángulo rectángulo Permita que compartan con el resto de sus compañeros sus propuestas algebraicas sobre la relación de proporcionalidad entre la medida del ángulo que determina el arco de circunferencia y la medida del perímetro de la circunferencia de la base. R. En equipo. 187 Reto Características del cuerpo de revolución que se genera. Elijan un sólido de revolución. La esfera no tiene desarrollo plano.25º • ¿Qué relación hay entre la medida del ángulo que determina el arco de circunferencia y la medida del perímetro de la circunferencia de la base? R. la esfera es el cuerpo generado por un semicírculo que gira alrededor de su diámetro.5 cm. Prohibida su venta Rectángulo Cilindro: Base circular No tiene caras laterales. discútanlas grupalmente.htm matematicasysudi dactica0809. dos cantidades se relacionan de la siguiente forma algebraica: y = kx. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Invite a los estudiantes a realizar las actividades que se ofrecen en el recuadro de Reto y a jugar con otro tipo de polígonos. 2.dav. concluyan. Como se dijo antes.cnice. Semicírculo Rectángulo Características del cuerpo de revolución que se genera.com/w/ page/20505007/ cuerpos_redondos_ hexagono_matematico Discute con tus compañeros el contenido de las páginas y analicen los ejemplos propuestos. 227 1/30/14 5:58 AM . Sí i Socialicen sus argumentos y registren sus conclusiones. ¿se puede establecer una relación de proporcionalidad? Expliquen. que debe ser igual al perímetro de la circunferencia. Recuerde a los estudiantes que en una relación de proporcionalidad. Observen la siguiente figura y analicen la información propuesta.edu.es/cnice2006/ material098/ geometria/geoweb/ revol3. cuyo radio es igual a la generatriz g del cono y cuyo arco S tiene la misma longitud que el perímetro de la circunferencia de la base. lean y resuelvan.indd 227 1/9/14 12:02 PM Triángulo rectángulo Semicírculo Cono: Base circular No tiene caras laterales. i Discutan en grupo sus experiencias. Al punto O se le llama centro de la esfera y el segmento OT es el radio de la esfera.6 cm. redacten las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje y completen la tabla. L. planteen un problema que implique obtener las medidas del cuerpo seleccionado y construir su desarrollo plano.7. No tiene caras laterales. hagan las modificaciones necesarias para que efectivamente se trate de una relación proporcional.ar/ homovidens/amideiferreyra/proyecto%20 final/desarrollored. da como resultado el ángulo del sector circular que se muestra en la figura del inciso a del libro. A A T O B B • Discutan por qué la esfera no tiene un desarrollo plano como el cono o el cilindro. Reto Sólidos de revolución 1. con ayuda del profesor. anoten las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para aclararlas. multiplicada por 360. 187 PM3STJCONA-PL12-177-192. En pareja. No tiene vértices. M. Tiene un vértice Esfera: Sin forma en la base. ¿cuál es la medida del ángulo del sector circular? 118. y su radio 2. Ver al margen. La medida del ángulo determina la medida del arco. S • Si la generatriz de un cono mide 7. g r Círculo Propuestas didácticas g g Invite a un alumno a que dé lectura de la información que aparece en azul en el inciso a. y coméntenla en grupo. donde r es el radio de la base del cono y g es la generatriz. diferentes a los propuestos en la tabla. pbworks. frba. b. Haga notar que al calcular gr . para que determinen qué cuerpos sólidos generan. htm concurso.indd 187 SMAT3LRCONAPL15-225-240. mec. Lean y contesten lo que se pide. En los siguientes sitios podrás ampliar la información sobre la generación de los sólidos de revolución. www. vean si hay equivalencias y. No tiene vértices. Propuesta B. Propuesta B • ¿Cómo es la inclinación de ambas escaleras? Expliquen. Braulio comentó que las medidas recomendadas para construir escaleras son las que se muestran en la imagen. y qué es la pendiente de una recta. Por tan3 1 to. 2. en grupo. Huella Entre 0. subiendo 45 cm con respecto del suelo. avanzando 30 cm verticalmente. El ángulo de inclinación es de 58º. del mismo ancho que los escalones que conforman la escalera. anímelos a que hagan uso de expresiones algebraicas para su explicación. Por En la primera escalera. • ¿Cómo puede determinarse la medida de la inclinación de las escaleras? R. Propuesta A. sobre el piso. En pareja. El ángulo de inclinación es de 45º. que aquellas en las que el ángulo de inclinación es menor. Braulio es carpintero y debe hacer dos escaleras para el patio de un centro de convenciones. eje x.indd 188 12/24/13 2:52 PM 1/30/14 5:58 AM . espacio y medida Tema: Medida Contenido: Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta. Así que presentó dos propuestas. la razón entre la altura de la escalera y la distancia horizontal de donde empieza la escalera a la parte más alta. Justifiquen su respuesta.23 Propuestas didácticas Pendiente de una recta Eje: Forma. Utilice el ejemplo de la escalera para explicar y reforzar el concepto de pendiente de una recta. analizando cuántas unidades se avanzan en el eje x en relación con la cantidad de unidades que se avanzan en el eje y. Analicen ambas propuestas y respondan. 228 SMAT3LRCONAPL15-225-240.indd 228 Prohibida su venta 188 PM3STJCONA-PL12-177-192. Propuesta A En el ejemplo de la escalera. el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente Inicie preguntando a los estudiantes cómo definen recta. las escaleras más empinadas son más difíciles de subir. la pendiente la podemos representar como la razón de las dos cantidades: 30 que equivale a 36 = 12 .25 y 0. La escalera de la propuesta B es más inclinada que la de la propuesta A. • ¿Qué diferencias hay entre ambas propuestas? R. considerando que la inclinación de estas determina la facilidad para subirlas.45 m Alzada entre 0. lean la información y contesten lo que se solicita. 2 i Socialicen sus respuestas y planteen.18 m • Retomen sus conclusiones iniciales y determinen cómo pueden obtener la medida de la inclinación de la escalera con los datos de Braulio. es una escalera menos inclinada que otra en la que cada 60 centímetros horizontales se suban dos escalones. Para determinar la pendiente de la recta debemos ver qué tan inclinada está dicha recta con respecto al eje horizontal. Relaciones lineales del tipo y = kx y la pendiente 1. Retomen la información anterior y resuelvan. a. M. Si imaginamos una escalera en la que cada 60 centímetros horizontales se suben dos escalones. Dígales que imaginen escalones en la parte horizontal. Por la razón de la alzada entre la huella. 4 es una pendiente mayor que . un procedimiento para validar su conjetura acerca de cómo medir el ángulo de inclinación de las escaleras.10 y 0. a. R. M. equivaldría a analizar cuántos pasos o escalones se avanzan horizontalmente en relación con los pasos o escalones que se suben verticalmente. Es decir. M. mientras que en el segundo 60 45 3 caso. la pendiente de la escalera se puede representar como 60 = 4 . anímelos a que determinen cuál es esa relación. en su caso. con pendiente igual a 2.• ¿La medida de los ángulos que se forman en los trazos realizados en las propuestas de Braulio tienen relación con la inclinación de la escalera? Argumenten su respuesta. formule preguntas como: Si avanzamos una unidad en el eje x.8° 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 x Braulio comentó que “la inclinación de la recta es proporcional a la razón entre la alzada y la huella. G Variación vertical (alzada) Variación horizontal (huella) 20 B C Luego dé instrucciones al grupo de resolver las actividades de la página. y F 50 40 D 30 E Pida que utilicen su juego de geometría para verificarlo.4 Propuestas didácticas • Hagan lo mismo con las medidas mayores de la huella y de la alzada. la alzada y la huella pueden relacionarse geométricamente como la variación vertical y horizontal entre dos puntos de una recta. Con estos ejemplos. etc. dibuje una recta de 45 grados que pase por el origen y pregunte a los estudiantes cuántas unidades se avanzan en el eje y cada vez que se avanza una unidad en el eje x. respectivamente. 189 PM3STJCONA-PL12-177-192.indd 189 SMAT3LRCONAPL15-225-240.5 grados. y que midan los ángulos que forman las diferentes rectas con el eje de las x.indd 229 12/24/13 2:52 PM Prohibida su venta 229 1/30/14 5:58 AM . • Comparen este método con el que propusieron en la actividad inicial. es decir. 0. pendiente igual a 14 . L. c. pendiente igual a 3. Sí • Consideren las medidas menores tanto de la huella como de la alzada y calculen la razón entre estas. la mitad de 45 grados. • ¿Están de acuerdo con lo que afirma Braulio? Sí ¿Por qué? R. ¿cuál es el ángulo que forma la recta con el eje x? • Escalera A: 40 cm de huella y 16 cm de alzada • Escalera B: 30 cm de huella y 12 cm de alzada 0. Un método para determinar la inclinación de una rampa o una escalera consiste en encontrar el grado de inclinación de la recta. b. L.. • Discutan si la razón que hay entre la huella y la alzada determina el ángulo de inclinación de la escalera. ¿todos los escalones tienen la misma inclinación? ¿Por qué? Sí. • ¿Qué escalera tendrá mayor inclinación? Las dos tienen la misma inclinación. porque las medidas son proporcionales. Braulio decidió que las escaleras tendrán las siguientes medidas: Ponga algunos ejemplos sencillos en el pizarrón: trace un plano cartesiano y dibuje una recta que parta del origen y que quede horizontal sobre el eje x.4 Pregunte al grupo si existe una relación entre la pendiente de una recta y el ángulo que forma dicha recta con el eje x. 0. En este caso. o bien. A la razón entre la variación vertical y horizontal se le llama pendiente y está relacionada con la inclinación de la recta”. Luego. entre la variación vertical y horizontal de cada escalón. R. los alumnos podrán llegar a que una pendiente igual a cero corresponde a cero grados. ¿Usaron como estrategia esta razón para dar respuesta a los planteamientos anteriores? Argumenten.4 • ¿Cuál es la inclinación de cada escalera? • En cada caso. invítelos a hacer uso de diferentes rectas. ¿cuántas unidades subimos en el eje y?. por ejemplo. Pregunte entonces si una pendiente de 14 equivale a 22. 10 0 10 20 H A 21. y una pendiente igual a 1 equivale a 45 grados. R. las comparen con las demás escaleras y determinen cuál es la más fácil de subir y cuál la más difícil o pesada de subir. depende de las necesidades. a. Propuestas didácticas Solicite al grupo que haga uso de las cuadrículas que aparecen en la página de su libro para que sobre estas hagan trazos de otro par de escaleras diferentes a las ya trabajadas para que determinen la pendiente en cada caso.5 17 0. P = vh Escriban sus resultados en la columna “Medida de la pendiente”.8º • ¿Qué medidas conviene usar para construir las escaleras A y B? Justifiquen su respuesta. hagan lo que se solicita. analice si todas las escaleras miden dos cuadritos de ancho y discuta con el grupo cómo se pueden comparar escaleras que tienen diferentes anchos. Calculen la pendiente de las escaleras dadas las siguientes medidas.8º 28 11.d. i Comenten sus respuestas con sus compañeros y. P como la pendiente.8º 34 13.4 21. con ayuda del profesor. Apliquen la razón vv . • ¿Qué relación identifican entre esta información y la medida del ángulo que se forma Ponga a discusión las diferentes propuestas.4 21. Cualquiera. Abra un espacio para discutir estas variantes en las escaleras y la manera en la que se pueden comparar entre sí. todas tienen la misma inclinación.4 21. vv es la variación vertical y vh la variación horizontal. un cuadrito o tres cuadritos en el eje x. midan el ángulo que forma la recta correspondiente.6 0.indd 230 Prohibida su venta 10 20 30 A 40 50 60 70 H 80 H 90 100 110 120 130 140 150 160 x 190 PM3STJCONA-PL12-177-192. y en estos casos es donde se ha aplicado la razón indicada en el inciso d. Pregunte si es válido aplicar esta razón en rectas que no pasan por el origen y que argumenten sus respuestas. Rampas de acceso 3. Propuesta C Propuesta C y 40 Pendiente: 0. En equipo. Analicen las propuestas que trazó y calculen la pendiente en ambos casos. Braulio diseñó dos rampas de acceso. todas las rectas a las cuales se les ha calculado la pendiente pasan por el origen. donde P es la pendiente.25 F 30 C B 10 I 0 10 20 30 A 40 G E D 20 50 60 70 H 80 H 90 100 110 120 130 140 150 160 x Propuesta D y 80 Propuesta D Pendiente: 0.8º 40 16 0.4 21.5 15 0. Haga notar que hasta el momento. M. al intersecarse las rectas trazadas en las propuestas A y B de la actividad inicial? Es la misma. por ejemplo.2 0. concluyan cómo calcular la medida de la pendiente.4 21.8º 42.5 70 F 60 G 50 E 40 30 B 20 C 10 I 0 230 SMAT3LRCONAPL15-225-240.indd 190 12/24/13 2:52 PM 1/30/14 5:58 AM . Huella (cm) Alzada (cm) Medida de la pendiente Medida del ángulo con respecto del eje x (°) 37. Permita que hagan uso de sus propios recursos para resolver el planteamiento. de la pendiente. • ¿Qué relación existe entre la pendiente de la recta y el cociente de los catetos? Es el mismo cociente. θ • En la propuesta D.25 10 40 = 0. En la propuesta C.57º y 10 Pendiente = x = 40 y 20 Pendiente = x = 40 Trace en el pizarrón un plano cartesiano y algunas rectas que no pasen por el origen. Características Puntos de intersección con el eje de las abscisas Medida del ángulo de inclinación con respecto del eje x Expresión algebraica que la representa. Al valor del cociente del cateto opuesto entre cateto adyacente se le conoce como tangente del ángulo ␣. c. ⌬ CDB. Completen la tabla. d. Es decir. i Comenten sus respuestas con sus compañeros y lleguen a un acuerdo. Propuesta C: 14º Propuesta D: 26.5 Cateto opuesto θ i Comenten sus respuestas con otros equipos. como su nombre lo indica. a partir del punto donde cruza la recta el eje y. Según el ángulo que se elija. resuélvanlas con ayuda del profesor. como su nombre lo indica. Propuesta C Pendiente Propuesta D Pendiente 40 40 14º 26. luego haga notar que el razonamiento es prácticamente el mismo. otra con pendiente igual a uno y otro par más de rectas. ⌬ CDB. ⌬ ABI ⌬ CDB ⌬ EFD Cateto opuesto (CO) 10 10 10 Cateto adyacente (CA) 40 40 40 Cociente CO CA 10 40 = 0.indd 191 SMAT3LRCONAPL15-225-240. ⌬ EFD.25 10 40 = 0. Discutan qué tipo de rampa es la que conviene construir y argumenten por qué.57º Propuestas didácticas b. consideren los ⌬ABI. en la parte opuesta al ángulo en cuestión. 0. Si tienen dudas. Cateto adyacente 191 PM3STJCONA-PL12-177-192. Midan los catetos opuestos y adyacentes del ángulo de la pendiente en cada triángulo. el cateto será opuesto si el lado del triángulo está. solo que hay que obtener la diferencia en y. Pregunte al grupo cómo se puede determinar la pendiente de cada una de esas rectas que no pasan por el origen e invite a voluntarios a pasar al frente del pizarrón a realizar sus propuestas. • En ambas propuestas establezcan la medida del ángulo de la pendiente. mientras que el ángulo adyacente es. el que está junto al ángulo. Describan las características de las pendientes. se aplica la fórmula de la pendiente en términos de las variaciones verticales y horizontales.• ¿Qué diferencias o semejanzas se pueden establecer entre las gráficas de las propuestas C y D? Que la pendiente es mayor en la propuesta D. por ejemplo. digamos que es parte del segmento de recta que conforma al ángulo elegido. Lean el siguiente texto. una con pendiente igual a cero. ⌬ EFD formados por la recta y el eje de las abscisas.25. determinen el valor de la tangente del ángulo ␣. una con pendiente igual a un medio y otra con pendiente igual a dos. que se forma en ⌬ ABI. De esta forma. 0.25 Información complementaria En un triángulo rectángulo el cateto opuesto y el cateto adyacente son los lados cuyas longitudes son más cortas y el lado mayor se llama hipotenusa. Después registren sus mediciones en la tabla.indd 231 Cateto adyacente 12/24/13 2:52 PM Prohibida su venta Cateto opuesto 231 1/30/14 5:58 AM . Compara la medida de sus pendientes y. Traza una recta paralela al eje de las x. de manera que pase por el punto D. e. realiza lo que se solicita. ¿Qué puedes concluir? Que la pendiente es la misma porque son triángulos semejantes. 2 • Mide los catetos y obtén la pendiente. pero que en ⌬ ADE no sucede lo mismo. plantea una conclusión de lo realizado. el punto donde la recta intersecta al eje de las ordenadas. si se trata de relaciones de proporcionalidad directa.51° C B –2 –1 0 1 2 3 x 4 • Mide los catetos y obtén la pendiente. Observa que en el ⌬ ABC uno de sus catetos coincide con el eje de las x. paralela al eje x. es decir. A 5 b. Analiza el ⌬ABC y el ⌬ ADE. En relación con el ángulo ␣. donde b es la ordenada al origen. la pendiente es la misma. Registra los acuerdos que concluyan con ayuda del profesor. ya que en una relación de proporcionalidad directa se tiene una expresión de la forma y = kx. entonces no se trata de una relación de proporcionalidad. Propuestas didácticas y a. i Comparte tus experiencias con tus compañeros de grupo.indd 192 12/24/13 2:52 PM 1/30/14 5:58 AM . y por qué. por tanto. Haga notar que se trata de relaciones del tipo y = kx + b. –4 –5 –6 232 SMAT3LRCONAPL15-225-240. Traza el triángulo rectángulo ABD.5 c. y si b es diferente de cero. esto lo pueden comprobar trazando rectas paralelas sobre el mismo plano cartesiano y midiendo con su transportador el ángulo formado.indd 232 Prohibida su venta 192 PM3STJCONA-PL12-177-192. La pendien- Dé instrucciones de resolver las actividades de la página. 4 = 4 1 y 6 5 B 4 3 y = 4x + 1 2 D 1 A –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 1 2 3 4 5 x • Prolonga la recta asociada a la función y = 4x + 1. Construye el triángulo rectángulo ADE. Es 1 = 2 d. Haga énfasis en que al prolongar la recta hasta que toque el eje de las abscisas y medir el ángulo que forma con ella es equivalente a tomar cualquier punto sobre la recta y medir el ángulo que forma con una horizontal.Relaciones lineales del tipo y = kx + b y pendiente 4 . se sabe que el ángulo BAD mide 76°. En la imagen de la izquierda se muestra una recta asociada a la función del tipo y = kx + b. Haga notar a los estudiantes que rectas paralelas a la azul o a la roja conservarán el mismo ángulo que forman con el eje x. De manera individual. • Asigna las medidas necesarias a los catetos y obtén la medida de la pendiente. 4 y = 2x + 1 D 3 Pregunte entonces a los estudiantes qué tipo de relaciones se están graficando. determina el cateto opuesto y el cateto adyacente del ⌬ABC. Traza el segmento AC.25 • Contrasta tu generalización anterior con los resultados obtenidos. si son relaciones lineales y de qué tipo de linealidad se trata. –2 –3 i Comenta tus conclusiones con el grupo. sí o no. y. ␣ = 63. 1. te es la misma porque los triángulos son semejantes. trace en el pizarrón un plano cartesiano y diferentes rectas que crucen el eje y en puntos diferentes al origen y que uno de sus extremos toque el eje de las abscisas. de manera que cruce el eje de las x. con base en tus respuestas. 6 Para abordar el tema de relaciones lineales del tipo y = kx + b. Traza el triángulo rectángulo correspondiente y obtén la medida de la 5 =4 pendiente. • ¿Qué características tienen este tipo de rectas? ¿Por qué? Son rectas que no pasan por el origen. E 2 1 Pida al grupo que den alguna propuesta algebraica que las represente. La pendiente es igual a 5 = 2 2. cuya pendiente tiene valor cero. pueden ser positivos o negativos. • Otra función que no pasa por el origen es y = b. donde k es la pendiente de la recta. • ¿Qué características tiene en general este tipo de rectas? Expliquen. En la imagen se muestran dos rectas asociadas a una función del tipo y = b. y los valores asociados a k pueden ser positivos o negativos. cuya inclinación con respecto al eje x es la misma que con respecto al eje y. y = 54° 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 x 16 cm • Tracen en su cuaderno las rectas que representan las escaleras de la tabla de la página 190. Son paralelas Propuestas didácticas al eje x. • Discutan cómo obtener la medida de la pendiente de la recta que modela la función y = 4. aclare a los alumnos que en el caso de las relaciones lineales de la forma y = b. x = 36° x y 6 5 P. Ver en la parte de propuestas didácticas. se modela como la función y = kx + b. y donde los valores asociados a b. a. En equipo. y viceversa. más lejos del origen estará el punto de intersección con el eje x en la parte negativa.Relaciones lineales del tipo y = b y la pendiente 5. lean la información y hagan lo que se indica. Ver tabla de la página 190. Todas las escaleras son proporcionales a la que se muestra 21. 0 b. cuanto mayor sea la pendiente de una recta. la recta sí pasa por el origen cuando b = 0. más cerca del eje y estará. para cada punto de x. 193 y = 1x + 2 2 4 y=3 Cuanto mayor sea la medida de la pendiente. Si hay dudas. donde k es la pendiente de la recta. • Utilicen un transportador y determinen la medida del ángulo de inclinación que se forma entre la recta y el eje de las abscisas. Registren sus resultados en la tabla de la página 190.indd 233 12/24/13 2:53 PM Prohibida su venta 233 1/30/14 5:58 AM . generando una constante. con ayuda del profesor lleguen a acuerdos. Pregunte al grupo qué pendiente tiene una recta y qué ángulo forma con el eje x. mayor es el ángulo de inclinación de la recta respecto del eje x. y es la constante cero. L. la recta se acercará más al eje y. se le asigna el mismo valor en y. mayor es la medida de su pendiente. 3 y=2 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x Haga notar al grupo que cuanto mayor sea el valor negativo que adquiere la ordenada al origen b. realicen lo que se solicita. Cuanto mayor sea la medida del ángulo de inclinación de una recta respecto del eje x. Reunidos en pareja.8º. más lejos del origen estará el punto de intersección con el eje x en la parte positiva. R. • ¿Cuál es la medida de la pendiente de este tipo de rectas? Expliquen. Los estudiantes deberán concluir que cuanto mayor sea el ángulo que forma la recta con el eje x. los valores asociados a k pueden ser positivos o negativos. • Si esta no pasa por el origen. y y=4 4 Una vez que hayan dado lectura al texto que aparece en color azul. El ángulo de inclinación de una recta que se describe a través de una función puede tener los siguientes casos: y • Si esta pasa por el origen. 21. i Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.indd 193 SMAT3LRCONAPL15-225-240. Explique a los estudiantes que en el caso de rectas de la forma y = b. cuanto mayor sea el valor positivo que adquiere la ordenada al origen b. en la columna “Medida del ángulo” con respecto del eje x. cuya pendiente también es igual a cero. y de igual forma. se modela como la función y = kx.80 40 cm 193 PM3STJCONA-PL13-193-208. los jóvenes harán uso de su juego de geometría. En pareja. con los triángulos BCD y EFG.42 2.4 Valor de la tangente 0.83 i Socialicen en grupo sus resultados. En la tabla se registraron las medidas de algunos ángulos que se forman al trazar una familia de funciones lineales que pasa por el origen del eje de coordenadas. Para apoyarse en las actividades ofrecidas en el libro. Harán uso de su juego de geometría para construirlos y de su transportador para verificar el tamaño de los ángulos solicitados. Comente que la tangente de un ángulo es una de las funciones trigonométricas que estudiarán más adelante. Pendiente 5 = 0. • Consideren los valores de los ángulos ␣ y ␤ de ⌬ BCD y ⌬ EFG y obtengan el valor de la tangente del ángulo que se forma en cada uno de los casos. y = 2x + 2 9 ␣ B 8 C ␣ = 63. arquitectura y otras más. Aclare que existen infinidad de triángulos con un ángulo que mide 10 grados o cualesquiera de los valores que aparecen en la tabla y que es conveniente que elijan las longitudes que sean fáciles de utilizar en los cálculos. ␤ F 6 y=x+2 4 3 2 A 1 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x • ¿Se trata de rectas de una misma familia? Expliquen.46 0. pidan ayuda al profesor.73 5. Sí. lo cual significa que tiene mayor pendiente.43° G 7 E ␤ = 45° 5 Pida a los estudiantes que describan con sus propias palabras el significado de la tangente de un ángulo. Propuestas didácticas a. y D 10 Solicite que construyan diferentes triángulos utilizando la cuadrícula del inciso b y las rectas que ahí se muestran para que verifiquen si la pendiente es la misma en cualquier parte de la recta. en ambas funciones b es igual a 2. Recuerde a los alumnos que es conveniente analizar la pendiente de una recta contando una unidad en el eje x y ver cuántas unidades se avanzan en el eje y. geometría. Si lo consideran necesario. Si surgieron dudas en los procedimientos que siguieron. b. ángulo 21. haga énfasis en que se trata de una razón entre dos intervalos o dos longitudes. Ver gráfica. En la función y = 2x + 2 la tangente es mayor. tracen los triángulos en su cuaderno. 10° 25° 40° 45° 55° 70° 75° 80° 85° 1 1. • Tracen una recta asociada a una función lineal cuya medida de la tangente del ángulo que se forma al trazar un triángulo rectángulo sea menor que los obtenidos antes.8º 234 SMAT3LRCONAPL15-225-240. ingeniería.indd 194 12/24/13 2:53 PM 1/30/14 5:58 AM . Ángulos Solicite a los estudiantes que tracen en sus cuadernos los triángulos cuya medida de uno de sus ángulos es cada una de las que se muestran en la tabla de datos.75 3.indd 234 Prohibida su venta 194 PM3STJCONA-PL13-193-208. Determinen en qué caso la medida de la tangente es mayor y qué significado pueden asociarle a ello.4. Obtengan el valor de la tangente del ángulo que se crea en cada uno de los casos.Tangente 6. La figura muestra dos rectas asociadas a funciones lineales.67 11. química. cuyas aplicaciones están en diferentes áreas como en la física. 2 Expliquen lo realizado. hagan lo que se solicita.17 0. en la componente y no se avanza ninguna unidad y no importa cuántas unidades se avancen en x. Con el ratón es posible mover el punto B a otras posiciones del plano. solo queda la ordenada al origen que es uno. en la segunda recta. Abra un espacio para que se dé una lluvia de ideas. www. ángulo 71. En pareja. M. 3 2 y=1 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x • Recta roja: Razón 0. R. en y no se sube una sola. y se puede comprobar fácilmente viendo que con cada unidad que se avanza sobre el eje x. pues es el coeficiente que está multiplicando a la x. dé a los estudiantes las ecuaciones de las rectas: y = 3x + 2. • En su cuaderno. pues al avanzar una unidad en x. L. • Planteen un problema que se resuelva con las rectas que trazaron. Antes de solicitar que resuelvan las actividades del problema 7. basta con identificar cuánto es m de la expresión algebraica y = mx + b. y 8 7 y = 3x + 2 6 y = 2x 5 4 Explique que de la ecuación de una recta es fácil obtener la pendiente. y es fácil comprobar que la pendiente es cero. se suben 3 unidades en y. la pendiente es igual a cero. y = 2x. m = 3. quiere decir que el coeficiente de x es cero. En el primer caso. por tanto.4º • Recta morada: Razón 3. la constante igual a uno.• ¿Qué relación existe entre el valor de la pendiente de una recta. i Comenten en grupo sus respuestas y valídenlas con ayuda del profesor. ángulo 0º • Recta azul: Razón 2.indd 195 SMAT3LRCONAPL15-225-240. de modo que podemos saber que es una recta que pasa por el origen cuya pendiente es igual a 2. y = 1. Reto La pendiente de una recta 1. Expliquen las relaciones de semejanza que hay entre los triángulos construidos. La pendiente es igual al cociente de los catetos y representa la tangente del ángulo correspondiente. y = ax + b. En pareja.org/cabripendiente Comenta con tus compañeros la información que se encuentra en la página y analicen los ejemplos propuestos. ángulo 63. y puesto que no tiene término de x. lo cual se puede corroborar fácilmente sobre la gráfica al avanzar una unidad en x y subir 2 en y. Finalmente. se cuenta con una recta constante. Con la ayuda del profesor. Al hacerlo podrás calcular la variación vertical (incremento vertical) y la variación horizontal (incremento horizontal) al pasar de la posición del punto A a la del punto B. i Comenten sus respuestas con sus compañeros. Argumenten y lleguen a acuerdos. luego pida a los jóvenes que grafiquen las rectas en sus cuadernos y que verifiquen que las pendientes calculadas a partir de las ecuaciones coinciden con las obtenidas de las gráficas. Determinen la medida del ángulo de inclinación y la medida de la tangente. el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente de los catetos? R. discutan sus experiencias y lleguen a acuerdos. a. Determinen la pendiente de las rectas asociadas a funciones lineales y argumenten lo realizado. la ordenada al origen es cero. realicen lo que se pide.5º i Socialicen en grupo. En este applet podrás observar cómo varía la pendiente de una recta al modificar su inclinación. Propuestas didácticas 7.indd 235 12/24/13 2:53 PM Prohibida su venta 235 1/30/14 5:58 AM . y pregunte si es posible conocer la pendiente de cada recta con solo conocer su ecuación.iesmarques desantillana. (consulta: 14 de noviembre de 2013) 195 PM3STJCONA-PL13-193-208. tracen diferentes rectas asociadas a funciones de la forma y = ax. hagan lo que se solicita. L. obtusos y cóncavos. los ángulos rectos miden 90 grados. llanos. los estudiantes harán uso de su juego de geometría. dibuje en el pizarrón diferentes ángulos y pida a los estudiantes que los clasifiquen según su medida. de los ángulos agudos. El cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este. realizó el siguiente esquema: Hipotenusa cateto adyacente al ángulo • ¿Están de acuerdo con lo que afirma Héctor? ¿Por qué? Sí. 236 SMAT3LRCONAPL15-225-240.indd 196 12/24/13 2:53 PM 1/30/14 5:58 AM . Socialícenla y. Los ángulos cóncavos tienen una medida mayor a 180 grados y los ángulos obtusos tienen una medida entre 90 y 180 grados. adyacente. a. como suelen confundir los estudiantes. Recuérdeles los diferentes tipos de ángulos que existen: agudos. rectos. con ayuda del profesor. cateto Un ángulo es la medida de la abertura que forman dos segmentos de recta que se juntan en un punto llamado vértice. Tracen un triángulo rectángulo. lleguen a una conclusión. A _ Después.24 Propuestas didácticas Ángulos agudos de un triángulo rectángulo Eje: Forma. espacio y medida Tema: Medida Contenido: Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo Para resolver las actividades de la página. ` B C • Nombren y midan los ángulos del triángulo rectángulo. en las que. Opuesto a Luego dé instrucciones de resolver las actividades de la página. _. AB. Registren los acuerdos y lleguen a una conclusión. En pareja. 1. respectivamente. Los ángulos agudos son los que tienen una medida menor a 90 grados. Opuesto a ` AB y adyacente BC Información complementaria i Socialicen en grupo. para trazar el triángulo solicitado. Héctor comentó que el cateto adyacente de un triángulo rectángulo es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia. Luego. • Determinen cuál de los lados del triángulo rectángulo es la hipotenusa. i Busquen información en un medio electrónico o impreso para complementar sus respuestas. Hipotenusa cateto cateto opuesto al ángulo b. BC. de forma equivalente. Aclare que un ángulo no es una figura geométrica. hagan lo que se solicita y respondan. o bien.indd 236 Prohibida su venta 196 PM3STJCONA-PL13-193-208. Los ángulos llanos miden 180 grados. Ángulos y triángulos rectángulos Inicie la clase preguntando a los alumnos cómo definen el concepto de ángulo y anote en el pizarrón las ideas que aporten a la discusión y las que definan el concepto. ni su medida depende de la longitud de los segmentos de recta que lo forman. R. deberán hacer uso de su juego de geometría. como también suelen pensar erróneamente algunos. podemos definir un ángulo como el giro que tiene un segmento de recta con respecto a otro. el cateto opuesto y el cateto adyacente. ¿Cuál es la razón de semejanza en7 = 1. DHG y DFE? 61º • Si se prolonga el segmento DF y DE. con base en ella. Observen la imagen de la derecha y midan los ángulos que se indican para responder: • ¿Cuánto miden los ángulos JDI. • ¿Cuánto miden los ángulos DJI. Ponga a discusión si al modificar la unidad de medida de cada cuadrado se modifica de algún modo la medida o la unidad de los grados que miden los ángulos de los triángulos. Recuérdeles que a veces.64º Figura 3 H CA CO K 60º CO J H Figura 4 • Expliquen el procedimiento que siguieron para obtener el valor de los ángulos. pida al grupo que identifiquen los triángulos que son congruentes y los que son semejantes entre sí. ¿qué sucede con la medida del ángulo que se D forma en D? Sigue teniendo la misma medida. a. Propuestas didácticas • Determinen el valor de los ángulos faltantes en cada caso. sus conclusiones. i Comenten en grupo sus respuestas y registren. creer que no es recto y en realidad sí lo es. realicen lo que se pide. Consideren la afirmación de Héctor y. por ello es importante hacer uso del juego de geometría. por tanto. mide lo mismo. En equipo. el cateto opuesto (CO) y el cateto adyacente (CA) al ángulo marcado. i Expongan sus respuestas y. en este caso. H J E I G • ¿Qué tipo de ángulo se crea? Agudo b. ya sea que utilicen la escuadra con ángulo recto o el transportador. para verificar que se trata de triángulos rectángulos y localizar cuál es el ángulo de 90 grados. Consideren que cada unidad cuadrada mide 1. HDG.43° 45° H 45º CO CO I1 C F Pregunte a los estudiantes de qué forma piensan identificar el ángulo recto de cada uno de los triángulos que se presentan en la página. a simple vista. entonces la longitud de cada lado del cuadrito mide 1 cm.indd 197 SMAT3LRCONAPL15-225-240.4 o 5 tre los triángulos rectángulos DEF y DHG? ¿Y con respecto del 7 5 7 =2 1 o 3 triángulo DIJ? 3 3 7 • ¿Qué relación pueden establecer entre una familia de triángulos semejantes y la medida. a. nos puede engañar el ojo y no tratarse de un ángulo recto o viceversa. de manera que se forme un cuarto triángulo. lleguen a acuerdos. y que respondan las actividades correspondientes.Hipotenusa y catetos 2. en el cuaderno. FDE? 29º • ¿Qué relación hay entre las medidas de los tres ángulos? Es la misma. DHG y DFE? El ángulo es el mismo para los tres triángulos. 3. 197 PM3STJCONA-PL13-193-208. si es que los hay.57º I D 56. Resuelvan en parejas. A 180º se le resta 90º y la medida del ángulo que se muestra en cada figura. con ayuda del profesor. establezcan en cada triángulo la hipotenusa (H).31° 30° CA H G 33. Haga explícito a los alumnos que si se está partiendo de que cada unidad cuadrada mide 1 cm2. Utilice esta discusión para argumentar por qué se trata de triángulos semejantes y para reforzar el hecho de que la longitud de los segmentos de rectas no modifica o no afecta el tamaño del ángulo que forman. de los ángulos DJI. Figura 2 H 71. Figura 1 CA A CA E B 18.indd 237 12/24/13 2:53 PM Prohibida su venta 237 1/30/14 5:58 AM . F En relación con el punto 3. forman un ángulo de 90 grados. solicite a los alumnos que utilicen su juego de geometría para resolver la actividad del inciso c. Lean la siguiente información y. 238 SMAT3LRCONAPL15-225-240. invite a un voluntario a que pase al frente del pizarrón a dibujar algunos ejemplos que representen los criterios de congruencia. Son semejantes. verifiquen que se aplica el enunciado en el ejercicio del inciso c. Argumenten su respuesta. solicíteles que construyan en sus cuadernos triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos sean de igual medida pero solo utilizando regla y compás. con el compás abierto a la misma distancia. i Muestren sus construcciones a sus compañeros y expliquen si estos son semejantes o congruentes. se obtendrán segmentos perpendiculares entre sí que. se construye una segunda circunferencia. Tracen triángulos rectángulos.c. Uniendo los dos centros y los dos puntos donde se intersectan las circunferencias. A B D I Propuestas didácticas E K H Pida a los estudiantes que le recuerden cuáles son o en qué consisten los criterios de congruencia de dos triángulos. d.indd 238 Prohibida su venta 198 PM3STJCONA-PL13-193-208. Los triángulos rectángulos. por tanto. M. A’B’C’ y A’1B’1C’1. Se sabe que al menos tres de ellos son triángulos congruentes.indd 198 12/24/13 2:53 PM 1/30/14 5:58 AM . e. y. Analicen la siguiente familia de triángulos. con base en esta. cuyos ángulos agudos son de igual medida. R. M. M F • ¿Cuáles son los triángulos rectángulos que cumplen con la condición dada? Argumenten. cuyos ángulos agudos sean de igual medida. Invite a un alumno a que lea en voz alta la información que aparece en color azul y discutan su contenido. conforme los vayan enunciando. Los triángulos ABC. Una vez que lo hayan resuelto. L J C Luego. R. • Son triángulos semejantes si la medida de sus lados correspondientes es proporcional. Pregunte a los adolescentes de qué manera piensan trazar los triángulos solicitados y permita que los tracen utilizando sus propios recursos. escríbalos en el pizarrón. cumplen alguna de las siguientes condiciones: • Son triángulos congruentes si la medida de sus lados es la misma para todos. Invite a los alumnos a compartir las estrategias que usaron para trazar sus triángulos. Recuérdeles cómo trazar un ángulo de 90 grados con dos circunferencias: trazan una circunferencia y sobre cualquier punto sobre esta. posteriormente. Los lados son proporcionales. validen la respuesta anterior. dé instrucciones a los jóvenes de construir en el cuaderno dos parejas de triángulos rectángulos que sean congruentes entre sí. el tamaño de los ángulos del triángulo ABC es igual a los del triángulo ADB. b. • Identifiquen el  AFE y respondan.01 se puede calcular fácilmente el tamaño del tercer ángulo. A Propuestas didácticas = 32. y. • ¿Cuánto mide el cateto adyacente (CA) al ángulo  en el ABD? 8 • ¿Cuál es la medida de la hipotenusa del  ABD? 9. los triángulos rectángulos que se vayan formando con las intersecciones de los lados del triángulo isósceles son también triángulos rectángulos que comparten el ángulo α. Tracen una recta R1 paralela al segmento DC.53 0.7 • Obtengan los siguientes cocientes: 0. para que identifiquen los triángulos rectángulos y sus partes. Aproveche los valores que se dan en la actividad para que los alumnos calculen la equivalencia de 32.85 • CO • CA H= H= • Comparen los cocientes que obtuvieron en los triángulos ADB y AFE y expliquen qué relación encuentran entre estos.01 grados a grados y minutos. de modo que deberán escribir en cada uno de ellos cuáles son los catetos opuestos. por la simetría del problema.4 = 0. los adyacentes y las hipotenusas.5 • ¿Cuánto mide el cateto adyacente al ángulo ? 4 • ¿Cuánto mide la hipotenusa del AFE? 4.53 • Obtengan el cociente de la medida del cateto adyacente al ángulo  sobre la medida 8 = 0. En equipo. C • Analicen el  ABD y determinen la medida del cateto opuesto (CO) del ángulo . analicen el  ACD y hagan lo que se solicita. recuerde a los alumnos que se trata de un sistema sexagesimal. 5 Recuerde a los estudiantes que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a 180 grados.4 Para hacer los cálculos de los ángulos. a. dé instrucciones de resolver las actividades de la página. puede sugerirles que apliquen la regla de tres para las conversiones.4. luego. 9.01° F R1 D E B DC = 10 Diga a los estudiantes que utilicen la imagen del triángulo del inciso a. Marquen los puntos de intersección entre R1 y los segmentos AC y AD. Consideren que AB es la altura del triángulo isósceles ACD. que pase por el punto medio de AB (E).indd 199 SMAT3LRCONAPL15-225-240. de modo que sabiendo que uno de sus ángulos es de 90 grados y el otro es de 32. Los cocientes son los mismos porque los triángulos son semejantes. de modo que deberán tomar en cuenta que 60 minutos equivalen a un grado y 60 segundos equivalen a un minuto. G Haga notar al grupo que si se traza cualquier recta paralela a DC.4 • Obtengan el cociente de la medida del cateto opuesto al ángulo  sobre la medida de 5 la hipotenusa (H). • ¿Cuánto mide el cateto opuesto al ángulo ? 2. 199 PM3STJCONA-PL13-193-208. y que el tercer ángulo que se forma es el mismo que el ángulo ADB y que el ángulo ACB. Llámenlos F y G. 9.85 de la hipotenusa.indd 239 12/24/13 2:53 PM Prohibida su venta 239 1/30/14 5:58 AM . • Por ejemplo. adyacentes e hipotenusas en los triángulos que aparecen en el inciso c y solicíteles que escriban los nombres sobre la imagen de su libro.03 5. calculen los valores de los tres ángulos de cada triángulo utilizando los datos conocidos de α y β. Haga notar que dado que el ángulo recto mide 90 grados. como se muestra en la tabla de la siguiente página. Discuta con el grupo el significado que tiene el enunciado sobre la medida de los cocientes y su relación con los triángulos semejantes.8 2.05 = 0. particularmente entre catetos. 240 SMAT3LRCONAPL15-225-240.39 = 0.05 = 0.39 8 10 = 0. se necesita conocer al menos el valor de uno de sus ángulos. y además que son rectángulos. • Para establecer las razones de los lados de un triángulo rectángulo cualquiera. lo cual implica que las razones entre lados correspondientes. Dé lectura a la información que aparece al final de la página en color azul y pida a los estudiantes que expliquen el contenido con sus propias palabras. Acuerden con sus compañeros y profesor las cifras decimales con las que es conveniente operar. es suficiente con conocer la medida de un ángulo agudo de cualquiera de los triángulos para conocer la medida del resto de los ángulos de todos los triángulos y que expliquen por qué. después. lean y analicen la información. la suma de los otros dos ángulos debe ser igual a 90 para que la suma de los tres ángulos interiores sea igual a 180 grados.6 10 3. Estas son razones trigonométricas. Indique a los alumnos que identifiquen los catetos opuestos. L. Con la ayuda del profesor definan acuerdos. Sugiera a los estudiantes que trabajen hasta con tres cifras decimales. Para verificar o refutar el enunciado anterior. Propuestas didácticas CO La medida de los cocientes CA H y H es siempre la misma cuando se trata de triángulos semejantes. en el caso del HIJ. J K ␤ = 36. también se mantenga porque la pendiente del segmento de recta que forma la hipotenusa es la misma. R. las medidas de los ángulos se conserva.13° LM = 4.005 ␥ N O M 2. En grupo.74 3.indd 200 12/24/13 2:53 PM 1/30/14 5:58 AM . por fuerza.CA Son los mismos • ¿Qué sucede con los cocientes de CO H y H en los  ABC y  AEG? de los triángulos ABD y AFE. Haga notar que cuando se trata de triángulos semejantes.8 i Comenten con el grupo sus resultados. partiendo de que se trata de triángulos semejantes. c.74 ␦ P Pregunte al grupo cuánto deberían sumar los ángulos α y β y por qué.6 2.05 5.05 I L NO = 2. Pregunte si sabiendo que se trata de triángulos semejantes. para el HIJ se definen las razones trigonométricas para el ángulo agudo . al conservar la proporcionalidad directa con las longitudes de los ángulos correspondientes. • Analicen la veracidad de la siguiente afirmación. y. Triángulo rectángulo Ángulo HIJ  KLM  NOP  CO H CA H 6 = 0. Para realizar las operaciones pueden hacer uso de la calculadora.87º HI = 8 H Sin hacer uso de su juego de geometría.6 3. Es decir. con base en los triángulos propuestos. pida a los estudiantes que. Argumenten sus respuestas. que verifiquen sus respuestas haciendo la suma correspondiente.indd 240 Prohibida su venta 200 PM3STJCONA-PL13-193-208. se sabe que 36.8 4. ␣ = 53.87° es la medida del ángulo  y que la razón entre dos lados del triángulo rectángulo es constante.005 = 0. d. completen los datos de la tabla. contesten lo que se plantea. Explora tu calculadora e identifica las teclas asociadas a las funciones seno (sin). de manera análoga ocurre con el coseno del ángulo. Analicen si la afirmación es verdadera: • Con base en el triángulo de la derecha argumenten la afirmación. En equipo. SMAT3LRCONAPL16-241-256. L. Con ayuda del profesor validen sus respuestas y registren en el cuaderno sus conclusiones acerca de lo estudiado. se verá claramente que el mayor valor que puede tomar el seno es uno y el menor menos uno.69º 6 tangente de a = 6 = 1. ¡ + a = 90º tangente de ¡ = 4 = 0.6 b = 0.87° I H Trace en el pizarrón una circunferencia unitaria y construya un triángulo dentro de ella. coseno (cos) y tangente (tan). Obtén el seno y el coseno de los ángulos y compáralos con los cocientes obtenidos en a = 0. siempre que la medida de los ángulos sea la misma. R.69º + 56. i Relacionen la información con las conclusiones que plantearon en el inciso c. ␤ = 36.indd 201 x Coseno ␥ Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo siempre son complementarios.31º 4 33. mostrando el seno. ya que suman 90º. lo cual muestra que es una función periódica. θ Tg y x x' = 1 7.indd 241 θ α C a. ya que la hipotenusa es igual a uno. y' 1=r i Comenta con tus compañeros los resultados que obtuviste.8 a = 0. lee el manual para que puedas usarla correctamente. α Seno 6. haciendo el razonamiento similar al realizado con la función seno. pues la altura es cero. Sí.6 Coseno: ` = 0. y si se va moviendo esta altura haciendo girar el radio alrededor de la circunferencia como si fuera una manecilla de reloj.6 la tabla del inciso c del punto 4. a.5 = tangente de 56. Consigue una calculadora científica y haz lo que se te indica. b. y la función se hace cero cuando el ángulo es cero. Haga notar al grupo que construir una circunferencia de radio igual a uno facilita los cálculos.8 • ¿Los resultados coinciden con la medida de los ángulos que hay en el inciso c de la actividad 4? Justifica.66 = tangente de 33.8 b = 0. Si lo consideras necesario. se repiten los valores para el seno. que se señalan en la imagen de la derecha. Aclare a los alumnos que el seno corresponde a la altura vertical por dentro de la circunferencia.31º = 90º α 1=r y 12/24/13 2:53 PM Prohibida su venta 241 1/30/14 5:59 AM . • ¿Los cocientes que resultan de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa son constantes? ¿Por qué? Sí.Razón trigonométrica Definición Sen ␤ Cateto opuesto a ␤ entre la hipotenusa JI HJ Cos ␤ Cateto adyacente a ␤ entre la hipotenusa HI HJ Tan ␤ Cateto opuesto a ␤ entre el cateto adyacente a ␤ JI HI ΔHIJ J Propuestas didácticas Explique al grupo que las funciones trigonométricas son razones de longitudes de lados de triángulos rectángulos que se pueden construir a partir de una circunferencia. el coseno y la tangente del ángulo α. 5. como se muestra en las figuras que a continuación aparecen. 4 cm B ␧ 6 cm A 201 PM3STJCONA-PL13-193-208. Seno: ` = 0.21 cm Discuta con su grupo los valores máximos y mínimos que toman las funciones coseno y tangente. por tanto. y si seguimos dando vueltas se repiten las alturas y. 650 Cos Ángulo (␦) (␩) (␦) (␩) (␦) (␩) Valor 0. ` SMAT3LRCONAPL16-241-256. escribieron la palabra jiba que se mal interpretó por escribirse abreviada como jb. no fue sino hasta los años 1700 que comenzó a difundirse por toda Europa. aproximadamente 800 años antes de nuestra era. la antigua Grecia y científicos musulmanes. al cateto opuesto y al cateto adyacente.04 cm  CAd A2 CO `  A CA o 1 d. 202 PM3STJCONA-PL13-193-208. cuando Leonhard Euler estableció un tratamiento analítico de las funciones trigonométricas a través de series infinitas a las que les llamó “Fórmulas de Euler”.453 • ¿Qué relación hay entre el coseno de un ángulo y la tangente del del mismo ángulo y el coseno del ángulo complementario? El coseno de un ángulo es igual al producto del coseno del ángulo complemento por la tangente del ángulo complementario. Nombren los lados que corresponden a la hipotenusa. quedó como seno.909 0. y sinus. si la hipotenusa tiene una longitud igual al doble.498 2 0. Valor (␧) (␥) Cos (␧) (␥) Tan (␧) • ¿Qué relación identifican entre el seno de un ángulo y el coseno del complemento del ángulo obtenido de la función seno? El valor es el mismo.759 Sen 0. Propuestas didácticas Razón trigonométrica Ángulo 0. según el ángulo indicado en el triángulo de la página anterior y calculen las razones trigonométricas y completen la tabla. C1 Fue en la India donde aparece el primer uso de la función seno. según el ángulo indicado en cada uno de estos triángulos.83 1. Calculen las razones trigonométricas y completen la tabla. • ¿Qué relación se establece entre la tangente de un ángulo y el seno del complemento del ángulo obtenido de la función seno? El producto de la tangente de un ángulo por el seno de su complementario es igual a seno del primer ángulo. pero cuando los árabes hicieron la traducción al sánscrito. 242 o Tan Cos Ángulo (␤) (␶) (␤) (␶) (␤) (␶) Triángulo ⌬ A2B2C2 Valor Razón trigonométrica 0.7071 Los babilonios ya hacían uso de las funciones trigonométricas y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por matemáticos de la India.b. que en realidad tenía originalmente el nombre de ardhá-jya. sin embargo. Nombren los lados que corresponden a la hipotenusa.909 0.71 cm 3.55 0.83 0. que significa mitad de cuerda.857 1.453 0. cateto opuesto y cateto adyacente. traducido al español. y que un italiano tradujo al latín como sinus que significa hueco.650 0. c. Luego.22 cm CA ` 6.66 (␥) Sen Comente a los alumnos que generalmente se utilizan letras griegas para representar las medidas de los ángulos y letras mayúsculas para las longitudes de los segmentos.indd 242 C2  d 7 cm CO o B1 9. para cualquier triángulo semejante la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante.166 Tan 0. respondan las preguntas y justifiquen cada caso. Prohibida su venta b Cateto CO ` CO o CO b COd opuesto (CO) Cateto CA o CA b CAd adyacente (CA) CA ` Las proporciones entre los lados correspondientes de triángulos semejantes son las que expresan las funciones trigonométricas. Aclare al grupo que para resolver las actividades de la página deben identificar claramente los catetos y la hipotenusa en los triángulos rectángulos.indd 202 12/24/13 2:53 PM 1/30/14 5:59 AM . 6 cm Triángulo ⌬ A1B1C1 Razón trigonométrica Sen Aria Bhatta fue un astrónomo y matemático hindú quien estudió el concepto de seno.759 0. así lo serán los catetos.5 0. Información complementaria • ¿Cuál es el coseno de un ángulo que mide 45°? 0.55 0.1 cm  CA b B2 CO b COd 6. tangente) para cada uno de los triángulos rectángulos. Luego solicite que ingresen a las páginas de Internet ofrecidas en el recuadro de Apoyo tecnológico con la finalidad de repasar el tema estudiado a lo largo de la lección. poner en práctica sus conocimientos y despejar dudas si aún las hay.707 0. lean la siguiente información: El seno de un ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario. El resultado es 1. resuelvan. sectormatematica.e. hagan los cálculos y completen la tabla.66 cm 8 cm ␤ 10.mec. co/funcionestrigonometricas-deun-angulo-cualquiera/ En este applet encontrarás una definición de las razones trigonométricas de ángulos agudos. Comparen las respuestas que obtuvieron en los tres triángulos y comenten si estas fueron las mismas en los tres casos.indd 203 SMAT3LRCONAPL16-241-256. Dé instrucciones de identificar puntos clave para el seno y el coseno como sus valores para los ángulos igual a cero. R. • Obtengan el producto de la tangente de un ángulo de 35° por la tangente de un ángulo de 55°. L. L.574 0. En pareja. Que el coseno de un ángulo es igual al seno del complemento y viceversa y el producto de las tangentes es 1. Elijan un triángulo del punto 1 y planteen un problema que se pueda resolver con los cálculos obtenidos.819 Propuestas didácticas Coseno 0. a 60 grados y a 90 grados.htm Discute con tus compañeros la información que se encuentra en las páginas y analicen los ejemplos propuestos. Para cerrar el tema de la lección. La tangente de un ángulo es recíproco o inverso multiplicativo a la tangente del complemento de su ángulo.819 0.707 0.894 Tan (␥) Tan (␤) Tan (␦) 1. • Retomen la información y validen las respuestas anteriores. para introducirse al estudio de las funciones trigonométricas. Expliquen a qué se debe esto. Solicite que elaboren una tabla de datos en sus cuadernos donde muestren los valores correspondientes.cl/ proyectos/tabla. • ¿Qué conclusión pueden plantear con base en lo trabajado? R. también podrán verificar que la tangente de un ángulo es inverso multiplicativo a la tangente del complemento de su ángulo. escriban las razones trigonométricas (seno. R.55 0. En equipo. 7. con ayuda del profesor. En pareja.422 Solicite al grupo que utilicen los valores que han obtenido de las funciones seno y coseno de diferentes triángulos rectángulos para que verifiquen que efectivamente se cumple que el seno de un ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario. L 4 cm J D 9 cm G F 5. pida que identifiquen los ángulos para los cuales el seno y el coseno adquieren los mismos valores y explique que esto equivale a los puntos para los cuales las funciones trigonométricas se intersectan. Medida del ángulo 35° 55° Seno 0. M. • Expliquen cómo obtuvieron la medida del coseno en los casos anteriores.indd 243 12/24/13 2:53 PM Prohibida su venta 243 1/30/14 5:59 AM . utilizando los datos de su tabla. coseno. así como algunas de sus aplicaciones prácticas: centros5. Invite al grupo a resolver las actividades del recuadro Reto. igual a 30 grados. L. es/˜marque12/ matem/funciones/ seno7.pntic. i Hagan acuerdos finales respecto de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera.83 0. Anoten las dificultades o dudas que enfrentaron y.447 Cos (␥) Cos (␤) Cos (␦) 0. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Invite a los estudiantes a verificar que la tangente de un ángulo es igual a la razón del seno entre coseno y. i Comenten sus experiencias en grupo. permitiendo que verifiquen resultados haciendo uso de sus calculadoras científicas. www. En el siguiente sitio encontrarás la tabla de las razones trigonométricas asociadas a lo que has estudiado en esta lección. trigonometria. algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas. R. 203 PM3STJCONA-PL13-193-208.82 cm ␥ ␦ I 4 cm H E K Razón Razón Razón trigonométrica ⌬ DEF trigonométrica ⌬ GHI trigonométrica ⌬ JKL Sen (␥) Sen (␤) Sen (␦) 0.htm En el sitio se ofrece una explicación sobre los triángulos semejantes.5 1 0. Reto Razones trigonométricas 1. a.5 2. Haz los trazos y responde. siempre dan un total de 180 grados. hagan lo que se solicita y resuelvan. Traza un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos mida 35° y calcula el valor de la tangente para ese ángulo. y al dividir un ángulo a la mitad nos queda de 30 grados. a. que son los ángulos solicitados en el ejercicio del libro. pida a los estudiantes que calculen el seno de 30 grados y el coseno de 60 grados utilizando un triángulo equilátero cuyas longitudes de cada lado sean iguales a dos unidades. Cos (50°) = 0.64 En relación con el inciso c. coseno y tangente Una vez que los estudiantes hayan trazado los triángulos solicitados en el punto 1. sean o no rectángulos. y que la suma de los ángulos interiores de todos los triángulos. El utilizar el triángulo equilátero nos garantiza que sus ángulos interiores son iguales a 60 grados. Traza un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos mida 50° y calcula el valor del coseno para ese ángulo. espacio y medida Tema: Medida Contenido: Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno. 0. No.70 b.57 Pida a los alumnos que apliquen el teorema de Pitágoras para que calculen la longitud del otro lado del triángulo rectángulo construido a partir de un triángulo equilátero. de modo que. M. En pareja.64 G 2. Ángulos agudos en triángulos rectángulos 1. Al trazar los triángulos y al relacionar los lados y los ángulos. la suma de los otros dos ángulos interiores debe ser igual a 90 grados y ambos ángulos serán siempre agudos. a.07 cm ␧ x 5 cm • ¿Cuánto mide el ángulo ␧? 45º ángulo ␤? 45º ␤ H 244 SMAT3LRCONAPL16-241-256.indd 204 12/24/13 2:53 PM 1/30/14 5:59 AM . porque la suma de los dos ángulos agudos no es de 90º. y Cos (50°) = 0. La medida de los catetos del triángulo rectángulo isósceles que se muestra es de 5 cm. haga énfasis en que las funciones trigonométricas estudiadas hasta el momento solo se pueden aplicar en triángulos rectángulos.5. porque el Sen (35°) = 0. Pregunte a los estudiantes cuánto deben medir los ángulos agudos juntos. • ¿Cuánto mide la hipotenusa? 7. 0. 35º 50º • ¿Un mismo triángulo puede cumplir con las dos condiciones anteriores? ¿Por qué? No. c.Razones trigonométricas 25 Propuestas didácticas Eje: Forma. luego calcularán la tangente de 35 grados y compararán ese último resultado con el obtenido de hallar la razón de seno entre coseno. solicíteles que calculen el seno y el coseno de 35 grados.indd 244 Prohibida su venta 5 cm ¿Y el I 204 PM3STJCONA-PL13-193-208.6 • ¿Estás de acuerdo con lo que obtuvo? ¿Por qué? R. en el caso de los triángulos cuya medida en uno de sus ángulos es igual a 90 grados. y dividido a la mitad se formará un triángulo rectángulo cuya longitud de un cateto es uno y la de la hipotenusa será igual a 2. un alumno determinó lo siguiente: Sen (35°) = 0. verifiquen los resultados de la tabla. Con una calculadora científica. pregunte a los estudiantes si el mismo razonamiento seguido con el triángulo equilátero es válido para un triángulo isósceles.707 Tan (␧) 1 Propuestas didácticas • ¿Los valores obtenidos serán los mismos para el ángulo ␤? porque ambos miden 45º. Calculen el valor del seno. a. ␤ y ␥. β y γ es igual a 60 grados. D ␦ ␣ 5 cm 5 cm ␥ ␤ A Permita que den sus opiniones y expongan sus dudas a la clase para que sean sus propios compañeros quienes las resuelvan. deberán llegar a la conclusión de que se trata de un triángulo equilátero y. ␥ B E B 5 cm • Obtengan la medida de los ángulos ␣. C Una vez que hayan terminado de resolver las actividades propuestas en la página. sus ángulos interiores son iguales. Sí. ␣: 60º ␤: 60º ␥: 60º • ¿Qué tipo de triángulos se forman al trazar una de las alturas del ⌬ABC? Triángulos rectángulos b. En equipo. realicen lo que se solicita. ¿Por qué? Partiendo de que la suma de todos los ángulos interiores de un triángulo es de 180 grados. apliquen el teorema de Pitágoras y encuentren la medida del cateto opuesto al ⬔␥. entonces dividiendo 180 entre 3 se obtendrá que el valor de α. en consecuencia. de modo que la medida del ángulo δ es igual a la mitad del ángulo α. DE = 4. desde luego siempre bajo la guía de usted. Haga notar a los estudiantes que el triángulo rectángulo es igual a la mitad del triángulo equilátero.indd 205 SMAT3LRCONAPL16-241-256. coseno y tangente para el ángulo ␧. i Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten cómo las obtuvieron. Pida a los estudiantes que analicen la imagen del inciso a del punto 3 y pregunte qué tipo de triángulo se construyó. y que cada uno mide lo mismo. 205 PM3STJCONA-PL13-193-208. Analicen el ⌬ DEB.5 cm i Comenten sus respuestas y procedimientos con sus compañeros. Corrijan si lo consideran necesario.707 Cos (␧) 0.indd 245 12/24/13 2:53 PM Prohibida su venta 245 1/30/14 5:59 AM . describan todas las características y propiedades que conozcan acerca de este tipo de triángulo. Expresen la igualdad y completen la tabla. Razones trigonométricas Valor numérico Sen (␧) 0. Es equilátero porque sus lados y ángulos miden lo mismo. con base en su análisis. invítelos a hacer algunos trazos en sus cuadernos y determinar las funciones trigonométricas de estos y de los triángulos rectángulos que los conforman. 3.b. Analicen el ⌬ABC.33 cm • ¿Cuánto mide el ⬔␦? 30º • ¿Cuánto mide el cateto adyacente al ⬔␥? 2. también se pueden calcular para ángulos mayores a 360° y se debe a que estas funciones son periódicas. Si se tiene un triángulo rectángulo cualquiera y se conocen las medidas de sus lados y de uno de sus ángulos agudos. Razones trigonométricas Valor numérico Sen (␥) 0. los cuales son ángulos notables. Analicen los valores de seno. 246 SMAT3LRCONAPL16-241-256. Lean y discutan la siguiente información.indd 206 12/24/13 2:53 PM 1/30/14 5:59 AM . Propuestas didácticas d.c. pregunte a la clase si los valores de estas funciones están acotados. mientras que en el caso de la función seno únicamente decrece. Pida a los adolescentes que calculen la función del seno de dos ángulos diferentes. por ejemplo. 40. si existe un valor máximo para el seno y el coseno y si existe un valor mínimo que puedan tomar.5 1. 45° y 60°. Mencione que a pesar de que se utilizan triángulos para definir estas funciones. el valor mínimo de las dos funciones es –1 y el máximo es 1. uno recto y uno obtuso para encontrar el valor máximo.indd 246 Prohibida su venta 206 PM3STJCONA-PL13-193-208.866 Cos (␥) 0. coseno y tangente asignados a los ángulos de 30°. Dado el hexágono que se muestra. lo que permite que haya distintos ángulos que den los mismos valores para las funciones. De hecho. valídenlas.2 cm E G D ␣ = 60° GH = 5. i Comparen sus respuestas con las de otros equipos. 8 F C H A B • ¿Cuál es la medida de cada uno de sus lados? 6. por lo que al evaluar las funciones siempre se obtienen valores entre –1 y 1. Haga notar que el signo del coseno cambia al pasar del ángulo recto. Sugiera que se ayuden calculando los valores de las funciones para un ángulo agudo.732 Tan (␥) e. se pueden calcular los valores para ángulos mayores a 180° porque se trata de funciones cíclicas. se le pueden asociar tres razones trigonométricas: seno. pero cuyo seno sea el mismo. f. Determinen el valor del seno. coseno y tangente. Ángulo Sen Cos Tan 30° 1 2 3 2 1 3 45° 2 2 2 2 1 60° 3 2 1 2 3 • ¿Qué relación pueden establecer entre los datos que proporciona la tabla con la exploración que hicieron? R. Con ayuda del profesor. el seno de 70° y el de 110°. es decir. coseno y tangente para el ángulo ␥ y completen la tabla.7 cm • Expliquen por qué calcular las razones trigonométricas con respecto del ángulo ␣ es de utilidad para determinar la medida del perímetro del hexágono. M. Coinciden con los valores encontrados. determinen la medida de su perímetro. Después de que los alumnos hayan trabajado con la tabla para los ángulos notables. es decir. Resolución de problemas con razones trigonométricas 4.5 cm y cateto opuesto = 5 cm c. Pida que conviertan los ángulos del ejercicio 4 a radianes y.879.74° L M • Si el edificio está representado por el rectángulo JDEK. M. ␩ = 75. además. Validen con sus operaciones el resultado. Hipotenusa = 10. el ángulo que subtiende eso es 2π. Por último. La idea es la siguiente: sabemos que el perímetro de una circunferencia es 2πr. que cambien la configuración de su calculadora a radianes para verificar que los valores de las funciones trigonométricas son los mismos.7143 = CO = 5 7 7 • ¿Cuál es la medida del perímetro y del área del cuadrilátero? 31.54 = 0. identifique la equivalencia en radianes de los ángulos notables. por ejemplo. El ⌬JKL es rectángulo. del ángulo recto y del llano. Propuestas didácticas a. para medir ángulos.47° D ED = 8 m J J Comente con el grupo sobre las distintas unidades y subunidades que ya conocen en el sistema internacional de unidades para medir. la medida de la tangente del ángulo ␤ es 0. el metro y el centímetro. K 7 • Verifiquen su resultado. L • Consideren que las unidades están dadas en centímetros y determinen la medida de la hipotenusa y del cateto opuesto al ángulo ␤. pida a los alumnos que dibujen un círculo cuyo centro y radio conozcan. ␪ y ␶ de las sombras proyectadas en EM ? R. Discutan cómo debe ser la conversión entre grado y radián. ␤ = 28. Tangente de 35. b.96° K Para introducir el concepto de radián. el ángulo que subtiende a toda la circunferencia es de 360°. 2 m • EL = 8 m • EM = 14 m 207 PM3STJCONA-PL13-193-208. sin embargo. además del grado. marcando con dos radios los extremos de esta.indd 247 12/24/13 2:53 PM Prohibida su venta 247 1/30/14 5:59 AM . Se reducen conforme avanza la sombra del edificio.2 u y 35 u2 M x ␤ = 35. En la siguiente figura. • EF. En pareja. M. por lo que se tiene que 2πrad = 360°. de ser posible. En el esquema se muestra la longitud de la sombra que proyecta un edificio en tres horas distintas del día. Se sabe que la medida del coseno del ángulo ␤ mide 0. • ¿Cuál es la medida de LK o la diagonal del cuadrilátero? 5 L • ¿Qué razón trigonométrica es de utilidad para resolver el problema? R. Una vez dibujado. solicíteles que recorten un pedazo de cuerda o hilo del tamaño del radio y lo peguen sobre la circunferencia.54° J Luego pregunte si existirá alguna otra unidad.22 K ␭ E El ángulo que forman estos dos radios es la definición de un radian: el ángulo que abarca una longitud de arco igual al radio. ␦ ␬ 9.7143. permita que den todo tipo de opiniones. resuelvan y respondan. ␪ = 45° F ␶ = 29. ¿qué sucede con los ángulos ␩.indd 207 SMAT3LRCONAPL16-241-256. • Apliquen las razones trigonométricas y determinen la distancia de las sombras que se proyectan en las tres distintas horas. sin importar cuál sea. es decir. con ayuda del profesor concluyan. vale 1. traza una circunferencia con centro en el origen. discuta qué sucede para los ángulos de 0° y de 90°. Para esta circunferencia. • Traza un ángulo de 53° de manera que coincida con el radio de la circunferencia sobre el eje horizontal. por lo que se puede identificar al seno como el cateto opuesto y al coseno como el adyacente.707 0.04° 45° 60. marca sobre el eje de las abscisas el punto B y obtén el triángulo rectángulo CAB. o de un metro. Después.indd 208 12/24/13 2:53 PM 1/30/14 5:59 AM .sectormatematica. Ángulo Propuestas didácticas Medida 14. • Marca el punto donde se intersecan la circunferencia y el lado del ángulo ␣ que no coincide con el eje x. 12 Y _ = 53° 10 Una vez aclarado esto. En particular. al igual que la hipotenusa. ` = 78° A 8 b = 37° 6 m = 12° 4 2 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 C 0 ` _ 2 b m 4 –2 6 8 10 12 X B –4 Información complementaria –6 –8 –10 Es bien sabido que la división entre cero no está definida.8 • Aplica la razón sen ␣ = CO y establece la medida de seno de ␣: 0.868 Cos 0.242 0.8 H 248 SMAT3LRCONAPL16-241-256. Es por eso que la función tangente no está definida para un ángulo de 90°.496 Tan 0. aumentando y disminuyendo el ángulo x y notando cómo crecen o decrecen los catetos. • Traza una recta perpendicular al eje x que pase por el punto A. Ingresen a la página www. sen x = CO H H identifiquen los catetos opuestos y adyacentes al ángulo x. a. llámalo A. • ¿Cuáles son las coordenadas del punto A? (6. mientras que el coseno decrece.d.cl/proyectos/tabla.htm para consultar las tablas trigonométricas o hagan los cálculos con su calculadora.970 0. Por otro lado. i Externen sus respuestas y argumentos.750 • Interpreten los datos anteriores en el contexto del problema.707 0. llámalo ␣. pero el radio que sea se tomará como unidad) y un triángulo rectángulo cuya hipotenusa coincida con un radio al igual que su base. la hipotenusa del triángulo. se dice que si el ángulo va aumentando de los 0° a los 90° el valor de la función seno aumenta.250 1 1. El ángulo que se forma en el centro del círculo le llamaremos x. punto C cuya medida del radio sea 10. pues coincide con el radio de la circunferencia. dibuje diferentes triángulos rectángulos. 5. el cos (90°) = 0 (recuerde que se puede identificar al coseno con el cateto adyacente). En el plano cartesiano. 8) • Divide el valor de la segunda coordenada entre 10 y escribe el cociente. Sen 0.indd 248 Prohibida su venta 208 PM3STJCONA-PL13-193-208.26° ␦ ␦+␬ ␦ + ␬+ ␭ En un plano cartesiano trace una circunferencia de radio 1 (no tiene que ser 1 cm. Resuelve lo que se solicita. 0. Determinen los valores y completen la tabla. Como el cateto opuesto aumenta conforme aumenta el ángulo. La circunferencia y algunas de las razones trigonométricas Pida a los alumnos que recuerden las definiciones de las funciones seno y cos x = CA e y coseno en términos de los catetos. Determinen la medida del largo y ancho del rectángulo.447.96 A a = 0. los estudiantes habrán hecho un repaso de todo lo estudiado en la lección. Calculen el valor de las razones trigonométricas a partir del valor de una de ellas.4540 • Cos A = 0. ¿Cómo son los valores obtenidos? Son las mismas. concurso. De esta manera. se abrirá un espacio para preguntas y respuestas y al final de cada exposición los alumnos deberán escribir tres preguntas relacionadas con el tema expuesto. FG = 10.18 × 0. Área = 0.891 c=1 • Cos B = 0. retomar alguno de los problemas planteados a lo largo de la lección para ser explicado paso a paso frente al grupo.cnice. Discute con tus compañeros la información de la página y analicen los ejemplos propuestos. asociado al rectángulo del inciso b. explicando de dónde sale. En pareja. resuelvan los siguientes problemas.• Compara los cocientes que obtuviste en los dos puntos anteriores.57° F G c.509 • Sen B = 0. Cuando hayan terminado de responder los incisos. b. i Socializa en grupo tus respuestas y argumentos.454 • Tan B = 1. qué significa o qué representa.202 u2. i Comenten sus resultados con sus compañeros. DF = 11. R. A = 27° y B = 63° b.345 u • Obtengan la medida de los ángulos. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Sugiera a los estudiantes resolver las actividades que aparecen en el recuadro de Reto.2 6 10 = 0.891 B • Tan A = 0. retándolos a que lo hagan lo más rápido posible. a. Sen de 26. L. Planteen un problema. que se pueda resolver con los cálculos obtenidos. Registren sus operaciones y expliquen el procedimiento que siguieron.978 Cierre el tema de la lección organizando al grupo en equipos de 3 o 4 integrantes y cada equipo deberá explicar alguna de las funciones trigonométricas estudiadas.indd 249 12/24/13 2:54 PM Prohibida su venta 249 1/30/14 5:59 AM .6 1 =1 1 Ángulo 12° 37° 78° Propuestas didácticas Sen (aplicando la CO razón: sen = H ) 0. 209 PM3STJCONA-PL14-209-224. Pídales que escriban todas las operaciones involucradas en sus cuadernos. manteniendo un orden en los pasos que se van siguiendo. Reto Cálculos trigonométricos 1.es/˜pepemar/ mateprimero/ trigonometria/ raztrigcualquier. para obtener información adicional y resolver dudas si aún las hubiese. Sen (usando datos de la circunferencia) 2 10 = 0.18 ␤ = 26. después contesta lo que se pide.es/cnice2006/ material098/ geometria/geoweb/ trigo1.4540 C b • Obtengan la medida del área y del perímetro del triángulo ABC. En el siguiente sitio repasa lo que sabes acerca de las razones trigonométricas de un ángulo agudo cualquiera. pero cuidando que sus resultados sean correctos.447 = 5.htm Ingresa a esta página: www. Con ayuda del profesor lleguen a acuerdos. • ¿Qué ventajas o desventajas identificas en cada uno de los métodos estudiados? R. por usted o pueden.207 0. incluso.htm y lee la información. D H DG = 11. upct. Si te surgieron dudas. Perímetro = 2. deberán mostrar algunos valores clave y resolverán algún problema planteado por el equipo mismo. darán ejemplos en los que se haga uso de la función trigonométrica en cuestión. consúltalas con el profesor. aplicando el teorema de Pitágoras. L.dmae. • ¿Cuál de los dos métodos es más preciso? R. M. Traza en la circunferencia anterior los ángulos que se indican y completa la tabla. mec. permita que compartan respuestas con el resto de las parejas y que comenten los procedimientos que siguieron para obtener las soluciones.60 0.indd 209 SMAT3LRCONAPL16-241-256. • Sen A = 0. Por equipos invítelos a que ingresen a las páginas de Internet que se ofrecen en el recuadro de Apoyo tecnológico. R.57° = 0. L. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa Razón consumo-distancia 1. y1). 10) d. a partir de esto. y1) y (x2 .indd 250 Prohibida su venta 210 PM3STJCONA-PL14-209-224. valídalos con el resto del grupo. explique a los estudiantes que lo que determina cuál es el auto más ahorrador es la pendiente de la recta que representa a la función correspondiente. se obtiene el cociente de y2 menos y y1 y1 entre x2 menos x1. y cómo debe ser la de un automóvil que consume más. es decir.indd 210 12/24/13 2:54 PM 1/30/14 5:59 AM . Razón de cambio y pendiente de una recta Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido: Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. a lo cual se le conoce como razón de cambio (r). ¿qué datos se modelan en el eje de las abscisas? Los litros de gasolina 60 40 Sin saber las razones de cambio exactas. 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 • ¿Qué información se modela en el eje de las ordenadas? x Los kilómetros recorridos. L. ¿Cuántos litros de gasolina se consumen por 5 km recorridos? 0. Al frenar también se consume más gasolina ya que hay que contrarrestar la inercia. ¿Cuántos litros de gasolina se gastan por 10 km recorridos? 0. Con base en la información proporcionada. Justifica cada respuesta. r = x2 – –x . Hable del porqué de la condición de la velocidad constante. pues en esta interviene la inercia del auto. discuta qué sucedería si el automóvil cambiara de velocidad en relación con la gráfica que lo representa. Formule preguntas como: ¿Se puede conocer el consumo de gasolina para cualquier cantidad de kilómetros recorridos? Dada una cantidad de litros de gasolina. Siempre que dos variables (magnitudes) están relacionadas mediante una función. ¿cuál es la razón de cambio del problema planteado? 12 • ¿Qué representa el resultado anterior? Los kilómetros por litro i Socializa tus argumentos y.41 L • Escribe la relación anterior como el par ordenado (x1. Lee la información teórica y responde las preguntas. (0. mayor será este y viceversa. 120 100 80 a. La gráfica de la izquierda muestra las condiciones de consumo que deben cumplirse cuando un automóvil se desplaza a 90 km/h de manera constante. y Roberto es ingeniero automotriz. una de sus funciones es diseñar y adecuar el consumo de combustible (litros de gasolina por kilómetro) de los automóviles que se lanzan a la venta. • ¿Es posible determinar el consumo de combustible por cada kilómetro? R. (0. Una vez agotadas las participaciones. con ayuda del profesor. y2). Analiza la información y responde.26 Propuestas didácticas Diga al grupo que analicen la gráfica del consumo de combustible y discutan cómo debería de ser la gráfica si se tiene un automóvil que consume menos gasolina que el que vende Roberto. permita que den sus propuestas y pídales que las justifiquen. Cuanto mayor sea la pendiente de la recta que modela su consumo. 160 140 Pregunte a la clase qué determina cuán ahorrador es un automóvil. esta razón de cambio se puede dar cuando se ubican dos pares ordenados (x1. Invite a los estudiantes a hacer propuestas haciendo trazos en el pizarrón donde se pueda apreciar la comparación con la gráfica que se ofrece en el libro. ¿se puede saber cuántos kilómetros rinden? ¿Por qué creen que el consumo muestra cuándo el auto tiene una velocidad constante y no cuando va acelerando? b. Aclare que un automóvil consume más gasolina cuando empieza a acelerar que cuando llega a una velocidad constante. 250 SMAT3LRCONAPL16-241-256. 2 1 • A partir de lo anterior. 5) c.83.83 L • Escribe la información como par ordenado (x2. se puede estudiar el cambio relativo de una respecto de la otra. Pregunte a los alumnos qué implicaciones tiene el hecho de que la gráfica sea una línea recta. podemos obtener información de las gráficas a partir de la comparación.41. y2) de la relación funcional y. ¿qué hay que hacer? Recuerde a los alumnos que la razón de cambio nos dice la inclinación de una recta. y = – 15 x + 60. debe ser fácil para los estudiantes concluir que la razón es la misma. e. Las gráficas representan dos fenómenos distintos. Para obtener la razón de cambio en la gráfica A. • Gráfica B: R. la razón de cambio obtenida en ambas gráficas es distinta. Analicen en pareja la información y realicen lo que se solicita. b.Cálculo de la razón de cambio 2.indd 211 SMAT3LRCONAPL16-241-256. pues facilita el entendimiento de cómo funcionan las ecuaciones lineales. i Socialicen sus argumentos y valídenlos con el resto del grupo.2 c. recordando que esta necesita tener una pendiente. y2) pueden usar? R. 5) R. ¿qué par ordenado (x1. Las expresiones son las siguientes: para la gráfica A. y2) pueden utilizar? (4. 2 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 4 6 8 10 x x a.indd 251 12/24/13 2:54 PM Prohibida su venta 251 1/30/14 5:59 AM . 10) • ¿Cuál es la razón de cambio? 2. la cual corresponde a la razón de cambio. L. 20) 20 – 40 –20 • ¿Cuál es la razón de cambio? r = 200 – 100 = 100 = – 0. referidos a una misma situación. (200. Si se quiere obtener la ecuación de una recta paralela. • Reflexionen. para la gráfica B. pero sí se obtiene una recta que cambia el sentido de la inclinación y además mantiene la razón de cambio. L. R. 211 PM3STJCONA-PL14-209-224. A partir de la discusión anterior. • ¿Qué par ordenado (x2. L. Elijan dos pares ordenados en cada gráfica y calculen la razón de cambio. L. • Describan cuáles son las características de una función lineal y si las gráficas A y B la representan.5 d. L. pida a los alumnos que escriban la expresión algebraica correspondiente a las dos rectas. (2. y una ordenada al origen. pregunte qué pasaría si movemos las gráficas a lo largo del eje y. Como pudieron notar. ¿qué par ordenado (x1. • Gráfica A: R. Registren en su cuaderno sus conclusiones acerca de cómo obtener la razón de cambio. por lo que la ecuación de una recta paralela a otra conocida debe tener la misma pendiente (o razón) y puede o no tener una ordenada al origen distinta. M. y1) pueden emplear? Justifiquen. Escriban una misma situación que se modele con ambas gráficas. y cómo es que este movimiento afecta a la razón de cambio. • ¿Qué observan? ¿Qué relación hay con los resultados que obtuvieron antes? Las razones de las gráficas correspondientes son las mismas a las anteriores. (100. Es conveniente remarcar que lo que se está haciendo al encontrar una paralela es lo mismo que trasladar la recta original. Comente que el cambio de signo en la pendiente no resulta en una recta que es perpendicular a la original. Al terminar con los incisos de la página. Para obtener la razón de cambio en la gráfica B. y Gráfica A Propuestas didácticas Gráfica B 70 y 60 25 50 20 40 15 30 10 20 5 10 0 Después de resolver los incisos b y c. L. y1) pueden utilizar? ¿Por qué? R. R. M. Pregunte al grupo qué pasaría si se invirtiera el orden de los pares ordenados para calcular la razón (o pendiente) y grafiquen. pues una traslación en el eje es lo mismo que encontrar una recta paralela pero con distinta ordenada. • ¿Qué otra característica distingue las gráficas? Una es creciente y la otra decreciente. ¿Cómo afecta lo anterior a cada gráfica? R. y = 52 x. 40) • ¿Qué par ordenado (x2. M. por las coordenadas (1. Además. Supongan que la presa se llena con el cauce de un río que corre de manera constante y que el agua no se utilizará hasta que esta se encuentre a 100% de su capacidad. R.40 0.indd 212 12/24/13 2:54 PM 1/30/14 5:59 AM . es una función lineal que se conoce como función resultante. Analicen la información y realicen lo que se solicita. En la que h representa el nivel de agua (en metros).00 100. Representa el nivel del agua que tenía la presa antes de empezar a llenarse. la traslación de la recta a la ordenada 15? ¿Cómo interpretarían el traslado a la ordenada 0 en el problema de la presa? Nivel (m) 1 6 2 6 29 1 43 1 6 3 1 2 4 6 5 6 57 1 2 71 2 3 85 5 6 1 2 1 4 5 16 16 12 16 16 1 100 114 1 128 1 142 1 156 2 170 5 6 3 2 3 6 2 185 b. donde la razón es justamente el factor de proporcionalidad.indd 252 Prohibida su venta 212 PM3STJCONA-PL14-209-224.60 1. ¿de qué manera se registra el tiempo? Por décimos de año • ¿Cuál es el nivel de agua cuando se considera t = 0? 15 m • ¿Qué interpretación le pueden dar a su última respuesta? R. M. Grafiquen la función inversa para compararla con la original.00 0. es posible conocer cómo cambia una de las cantidades cuando se modifica la otra.00 140.00 1. Pregunte a sus estudiantes: ¿Cómo interpretarían.00 80. Año Pida que trasladen la recta que modela la expresión del nivel del agua al origen y que escriban su correspondiente expresión. porque es de la forma y = mx + b a. podemos relacionar cualquier función lineal con una regla de tres.00 Altura de la presa en metros 180.60 0. ¿cuál es dicha razón entre el primero y el tercero? 85 • ¿Entre el quinto y el noveno? 85 252 SMAT3LRCONAPL16-241-256. • ¿Qué tipo de función es la que se modela con dicha expresión? Justifiquen.00 2.20 1.80 2. en este planteamiento. existe un factor de proporcionalidad que aparece en la expresión algebraica correspondiente a la regla de tres. a diferencia de la función h que nos dice la altura que tendrá el agua a partir de un tiempo dado. según el cauce de un río. Es una función lineal. ¿cuál es la razón de cambio? 85 ¿Qué hicieron 185 – 100 = 85 para obtenerla? 2 – 1 1 c. la pendiente y el factor de proporcionalidad son el mismo. A partir de esto completen la tabla que indica el nivel del agua para los dos primeros años. mientras que t es el tiempo en años.00 20. La información que tiene es que el agua que suministrará dicha presa está dada por la siguiente expresión: h = 85t + 15. 160.00 40. 100) y (2.20 x Tiempo en años • ¿La gráfica corresponde a la tabla de valores que obtuvieron? ¿Cómo lo sabes? Sí. a partir de una regla de tres. t = 85 17 la función inversa de h. Llenado de la presa y 200. Recuerde a los alumnos la regla de tres. Ahora planteen entre todos un problema de proporcionalidad que corresponda a la expresión anterior. pida que despejen el tiempo de la expresión de la altura. h’ = 85t. Propuestas didácticas Ramón es arquitecto y participa en la construcción de una nueva presa que tiene una altura de 208 metros y un ancho de coronación de 628 metros. y si graficamos esta expresión.00 Por último.00 60. Por tanto. La h – 3 . Cuando se tiene una relación proporcional entre dos cantidades.00 120. • A partir de la gráfica. 185) • En la gráfica. siempre que se tiene una regla de tres.20 0.00 0. Si se quiere determinar la razón de cambio por bimestres. Comparen los resultados que obtuvieron en la tabla con la siguiente gráfica.40 1.80 1.Razón de cambio y la inclinación de la función lineal 3. es decir. pues para cualquier valor de la altura se va a obtener el tiempo que tardará en llegar a esta. solicite a los alumnos que encuentren las funciones inversas de h – 3 cada una. La siguiente gráfica muestra las funciones que modelan las distintas condiciones: las ideales. 45 b. la velocidad es la razón del cambio de la distancia en el cambio del tiempo.00 Regresando a las funciones originales.20 Tiempo en años Que el nivel del agua al empezar a llenarse es el mismo en los tres casos.indd 213 SMAT3LRCONAPL16-241-256. y corresponde a la pendiente de la gráfica que representa la posición de un objeto: x = vt + b. aumenta o disminuye? Aumenta. Información complementaria Un ejemplo de razón de cambio muy cotidiano es la velocidad. ¿Qué significa que las tres funciones tengan por coordenada (0. porque se llena más rápido. Propuestas didácticas i Socialicen sus respuestas y argumentos con el resto del grupo.60 1. • Si la razón de cambio de la función 2 fuera mayor.indd 253 12/24/13 2:54 PM Prohibida su venta 253 1/30/14 5:59 AM . v = dt . Al graficar las tres funciones resultan ser la misma y su gráfica corresponde a una recta horizontal que corta al eje de las ordenadas en 15 Función 2 100. El ángulo de inclinación aumenta cuando la razón aumenta y disminuye si esta lo hace. pues es una recta horizontal y no hay diferencia de alturas. Dicho con otras palabras.60 0. Analicen la gráfica y respondan en su cuaderno. • ¿Cómo es dicha función comparada con la función 2? Es menor. h. Una vez obtenidas las funciones que modelan las distintas condiciones del clima. sin embargo. y t = 45 3 las grafiquen.00 1. pida a los adolescentes que quiten la dependencia del tiempo. • ¿Cómo es en comparación con la función 3? Es mayor. Llenado de la presa en diferentes condiciones Esto se cumple para cualesquiera conjuntos de funciones. se llena más lento.00 180. 15)? ¿Cuál función modela el caso de excesos de lluvia? 125t + 15 ¿Cuál el caso de sequía? 45t + 15 ¿Cuál es la razón de cambio de la función 2 y de la función 3? En la función 2. registren sus conclusiones. por lo que se tiene una razón nula. despejando el tiempo.80 1. 2 y 3.00 Función 3 80.00 Altura de la presa en metros 160. de modo que hallarán que la inversa de la función 3 es la que tiene la razón de cambio mayor. aumenta o disminuye? ¿Por qué? Disminuye. explique que el cambio en las coordenadas de x. Retomen el problema de la presa y resuelvan en pareja. 213 PM3STJCONA-PL14-209-224. En física se define la velocidad como la distancia que se recorre en un intervalo de tiempo.00 20.00 140. su inversa será la de menor razón. Al arquitecto Ramón le comentaron que la expresión h = 85t + 15 para el llenado de la presa es para condiciones ideales del clima.00 85t + 15 120. Estas funciones resultan ser: t = 125 25 h – 1 para la función 3. Retomen la razón de cambio de la función 85x + 15. Escriban una conclusión acerca de lo que sucede con la inclinación de una función lineal con respecto del eje de las abscisas a medida que la razón de cambio aumenta o disminuye.40 0. sin embargo. 125 y en la función 3.00 60. Si una función tiene la mayor razón de cambio de varias funciones.00 40. a. puede ser tan grande o pequeño como queramos.00 0. su razón de cambio respecto de esa variable siempre será cero. ¿el tiempo en que el agua alcanza su mayor nivel.20 0. c. la gráfica y la tabla de valores? Es el valor del coeficiente de t. con ayuda del profesor. • Si la razón de cambio de la función 3 fuera menor. ¿el tiempo en que el agua alcanza el mayor nivel. mientras que para las funciones originales es la función 2 la de la razón mayor. i Compartan su conclusión con el grupo y. el tiempo de sequía y el exceso de lluvia. 4. • • • • Formule las siguientes preguntas: ¿Cómo es la razón de cambio de esta última función h= 15?. Por lo tanto.20 1. Una presa se construye generalmente en el caudal de un río con el fin de almacenar agua para su aprovechamiento. si tenemos una función que no depende de otra variable.80 2. 200.• ¿Y del sexto al decimosegundo? 185 – 100 = 85 2–1 • ¿Cómo son entre sí los últimos resultados? ¿Cómo se justifica? Son iguales • ¿Cómo se relaciona la razón de cambio con la expresión algebraica. con t la variable del tiempo y b cualquier ordenada al origen. es necesario considerar las épocas de exceso de lluvia o de sequías. Con la ayuda del profesor. Indique a los jóvenes que para la función 2.00 2. es decir. validen sus argumentos. gráficamente es la pendiente de la recta.00 0.40 1. no existe ningún cambio en las coordenadas de y. Mencione algunas otras razones de cambio que se utilicen en la vida cotidiana y diga a los estudiantes qué elementos se deben graficar para tener la pendiente correspondiente.81 m/s².indd 214 12/24/13 2:54 PM 1/30/14 5:59 AM . sin embargo. ¿le conviene a Rosa aceptar alguna de las opciones o quedarse con la actual empresa? Argumenten. El valor de esta razón es una constante llamada la constante de gravedad y es aproximadamente igual a 9. La siguiente gráfica muestra lo que Rosa percibe en su trabajo actual. por lo que sí existe una razón de cambio. a = vt . Tracen las gráficas que corresponden a las tres opciones que le ofrecen. Los equipos tienen un costo medio de $40 000. en función del tiempo. al graficar distancia contra tiempo. contra los $12 000 de su trabajo actual. cuando se pone en contacto con fuego. al denominador. la relación entre distancia y tiempo en este caso no es lineal. y el eje de las abscisas. De hecho.indd 254 Prohibida su venta 214 PM3STJCONA-PL14-209-224.00 mensuales más una comisión de 5% por cada equipo que venda. 12 000 11 000 10 000 9 000 8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0 1 2 3 4 5 6 7 x Equipos vendidos • ¿Cuál es la razón de cambio de la opción 1? 1 200 • ¿Cuál es la razón de cambio de la opción 2? 1 600 • ¿Cuál es la razón de cambio de la opción 3? 2 000 • ¿Cuál es la razón de cambio de su trabajo actual? 2 400 254 SMAT3LRCONAPL16-241-256. Rosa es ingeniera en comunicaciones y electrónica y actualmente trabaja en el área de ventas de una compañía que fabrica dispositivos de telecomunicaciones de radiofrecuencia y satelitales.00 mensuales más una comisión de 3% por cada equipo que venda. Le conviene la opción 3. etcétera. cuanto más tiempo se tarde en aumentar la temperatura de un objeto. un sueldo base de $3 000. un sueldo base de $5 000. Proyección de lo que ganaría Rosa en cada opción de trabajo y Información complementaria 16 000 Opción 3 15 000 14 000 Opción 2 Opción 1 Percepción en pesos 13 000 En el estudio de la caída libre de un objeto. hay otras tres empresas que están interesadas en que Rosa trabaje con ellos y le han realizado las siguientes ofertas: • Opción 1. b. mayor será su calor específico (la cantidad de calor que necesita un gramo. a. Por ejemplo: la aceleración.00 y Rosa vende en promedio cinco equipos mensuales. para elevar un grado celsius su temperatura). el cambio de la temperatura de un objeto. • Opción 2. Sin embargo. Propuestas didácticas Comente al grupo que siempre que se tiene una división de variables. porque obtendría $13 000. • Según lo anterior. Analicen la información. un sueldo base de $4 000.Razón de cambio en diferentes contextos 5. y realicen lo que se solicita. el cambio de la longitud de una sombra proyectada por algún objeto conforme avanza el día. También explique el significado físico de que la razón sea mayor o menor para cada ejemplo: en el caso de la temperatura. pero no corresponde a ninguna pendiente. de cuerpo o una sustancia. A ella le pagan 6% de comisión por cada equipo que vende. se podría pensar que se obtendrá una recta con cierta razón de cambio. la distancia recorrida es una función cuadrática del tiempo.00 mensuales más una comisión de 4% por cada equipo que venda. • Opción 3. esta se puede asociar a la razón de cambio de una gráfica cuyo eje de las ordenadas corresponde al numerador de la división. obtendría el mismo sueldo. ¿Cuál es la temperatura del globo antes de iniciar su recorrido? 20 °C b. Reto Pida a los estudiantes que también simulen el movimiento de otro auto que tarda 20 minutos en recorrer 50 km. i Socialicen sus argumentos y.indd 215 SMAT3LRCONAPL16-241-256. anoten las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para aclararlas en grupo. 85 km/h. Formule preguntas como: ¿Cómo son las dos razones de cambio? La temperatura y la altura de un globo 1. solicite al grupo que sobre un plano cartesiano representen una gráfica de distancia contra tiempo. le toma 20 minutos recorrer los otros 35 km.telesecundaria. www. “Problemas” y “Comparación”. ¿le convendría? Sí • ¿Qué le conviene más a Rosa: mayor sueldo base o mayor porcentaje por cada equipo que venda? Mayor porcentaje • ¿Qué sucede con la función lineal si aumenta o disminuye el porcentaje por la venta de cada equipo con respecto del eje de las abscisas? A mayor porcentaje la inclinación aumenta. Roberto está estudiando Física y tiene que realizar el siguiente experimento: Se sabe que. la razón de cambio es la misma.indd 255 12/24/13 2:54 PM Prohibida su venta 255 1/30/14 5:59 AM . si un globo se infla con aire caliente. • Si la opción 3 modificara su oferta y le mantuviera un sueldo base de $3 000 pero aumentara a 6% la comisión por cada equipo vendido. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Discuta con los alumnos que el segundo automóvil tiene tres razones de cambio diferentes. Planteen un problema de razón de cambio asociado a una función lineal del tipo y = ax o y = ax + b.c. practica con el interactivo y realiza y manipula lo que se indica en las secciones “Exploración”. pide apoyo al profesor. en grupo. y 24 Relación de altura que recorre un globo y la temperatura del aire del globo Temperatura en °C 20 16 12 8 4 0 2 4 6 8 Ingresa al siguiente sitio web. y como cierre de la misma. si hay dudas. Aparte del porcentaje que ofrece cada opción. y problemas de ese tipo de la vida cotidiana se pueden aproximar bien utilizando modelos que se acerquen a la descripción de la realidad. x Altura del globo en kilómetros a. ¿Cuál es la razón de cambio que se modela en la gráfica? –2 d. es muy común que la velocidad no sea constante debido a la presencia de otros autos o de las curvas. sin embargo. Propuestas didácticas Para reforzar las actividades de la lección. 215 PM3STJCONA-PL14-209-224. La distancia entre las dos ciudades es de 85 km y le tomó 1 hora llegar. ¿cuál es la expresión algebraica que modela la función de la gráfica? –2n + 20 2. En promedio. Comente que para un caso real de un auto en la autopista. simulando el movimiento de un auto que viaja del Distrito Federal a la ciudad de Cuernavaca con una velocidad constante. La función que modela este ascenso según la temperatura. A partir de la razón de cambio. los autos no describen el mismo movimiento. el aire que contiene se expande y enfría. ¿le convendría? No. dgme. es por este motivo que también se define una razón de cambio instantánea. ¿qué otro aspecto diferencia las tres opciones de su trabajo actual? El sueldo base • Si la opción 2 modificara su oferta y le ofreciera un sueldo base de $8 000 y 2% de cada equipo vendido.mx/ recurso/rcr_02. cómo va cambiando la posición (o cualquier otra variable) en intervalos de tiempo cortos.sep. php?id=1301# Comparte con tus compañeros tu experiencia y discutan sus conclusiones. pero en promedio siempre se puede aproximar con una recta. ¿Y cuando este se encuentra a 4 km? 12 °C c. está dado por la siguiente gráfica. sube de manera vertical: a medida que la altura del globo aumenta. escriban una conclusión acerca de la relación entre la razón de cambio y una función lineal de la forma y = mx + b. es decir. i Discutan en grupo sus experiencias. realicen lo que se pide. Reunidos en pareja.gob. por último. se detiene durante 20 minutos y. pues tiene distintas velocidades durante su recorrido y la representación gráfica se puede dividir en tres partes. Mencione que cuanto más grande sea la muestra. especialmente en todo lo que se refiere a las redes sociales por Internet. ¿qué grupo está más alejado y cuál se acerca más a la media? Argumenten. Si no hay una gran variación de datos. se podría encuestar a menos personas. Fuente: www. R. en la escuela de Néstor realizaron una encuesta: entrevistaron a mil jóvenes y los datos recabados se muestran en la siguiente tabla. solicite al grupo que estimen si habrá datos muy alejados de la media o muy cercanos. M. • ¿Cuál es la población del estudio? Jóvenes de 11 a 20 años • ¿Cuál es la muestra? Expliquen. • De los grupos de hombres. Para ello se entrevistó a una muestra representativa nacional de mil jóvenes de 11 a 20 años de edad. Que el número de mujeres y de hombres encuestados es el mismo.6 • ¿Qué significado pueden asociar a los promedios anteriores? R. Pregunte por qué llegaron a esas hipótesis. El objetivo de la encuesta es analizar los hábitos.fundacionpfizer. Es el valor que se obtiene de sumar todos los resultados de una muestra y dividirlos entre el número de ellos. proponga un número que se aleje por completo de ellos. valoran y entienden esta nueva forma / vía de comunicación digital. usos y comportamientos de la juventud española en relación con las TIC. ¿cuántos hombres fueron encuestados? 166. así como estudiar cómo viven. a. 256 Desviación media en un conjunto de datos Rango de edad 11 a 13 años 14 a 16 años 17 a 20 años Hombres 170 159 171 Mujeres 145 212 143 Total 315 371 314 • En promedio. a la población (de lo que se encarga la demografía). más general es el resultado. • ¿Por qué piensan que es importante este tipo de estudios? b. Después. Analicen la información y contesten. por tanto. Siguiendo el modelo del estudio anterior. más representativos se vuelven los datos y.M.pdf (3 de diciembre de 2012. Compare la media con el dato más cercano y el más alejado. Organizados en pareja realicen lo que se pide. promedio. Más alejado el de 14 a 16 años y más cercano el de 11 a 13 años. Formule preguntas como: ¿Qué pasa con estos datos? ¿Son representados por el promedio? ¿Sirve de algo calcular el promedio en este caso? Comente otros ejemplos en donde los datos se puedan alejar mucho del promedio.6 • En promedio. Completen la tabla y respondan.indd 256 R. luego pregunte: ¿Qué tan alejados estaban de las estimaciones? Prohibida su venta Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos Contenido: Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). solicite a los estudiantes que calculen la media de horas de sueño y pregunte si ese número está cerca de las horas de sueño de cada quien. Grupo 1 2 3 Para evitar que los datos se alejen tanto de la media. 1 000 jóvenes de la población Antes de calcular los promedios de la escuela de Néstor. La siguiente información corresponde a un estudio llamado “La juventud y las redes sociales en Internet”. a las 1:48 h) Platique a la clase sobre el Instituto Nacional de Estadística y Geografía (Inegi). ¿cuántas mujeres fueron encuestadas? 166. pregunte a los alumnos cuántas horas duermen al día o durmieron ese día y anote los nombres y sus correspondientes horas.indd 216 12/24/13 2:54 PM 1/30/14 5:59 AM . Pida a los adolescentes que estimen el valor del promedio antes de calcularlo exactamente.org/docs/pdf/Foro_Debate/INFORME_FINAL_Encuesta_Juventud_y_Redes_Sociales. Los de mujeres son más dispersos. Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión Antes de empezar con la lección.27 Propuestas didácticas Las redes sociales en Internet 1. SMAT3LRCONAPL16-241-256. entre otras cosas. encargado de hacer encuestas para poder estudiar. 216 PM3STJCONA-PL14-209-224. L. • ¿Qué diferencias identifican en las listas de datos? Expliquen. Dispersión y desviación media 2. es la mayor diferencia respecto de la media. R. los de hombres o los de mujeres? Argumenten su respuesta. • ¿Están de acuerdo con esta afirmación? Justifiquen. Pregunte: ¿Qué concluirían de los nuevos lentes de contacto?. El de 11 a 13 años • ¿Qué grupo de mujeres está más alejado del promedio? Argumenten. Para terminar con la primera actividad. El de 14 a 16 años. Que la mayoría calificó como excelente el servicio. L. ¿Qué grupo está más cerca de la media aritmética? Expliquen. ¿cuál está más cerca y cuál más alejado de la media? Expliquen. 217 PM3STJCONA-PL14-209-224.2 22.8 1. mujeres de 11 a 13 años. Revísenla y pregunte a los estudiantes cómo analizarían los datos de la encuesta del laboratorio. Adaptación al lente de contacto 5. elaborados con hidrogel de silicón.• Comparen el número de mujeres de los tres grupos. con la finalidad de sacar el promedio de una muestra grande y que este represente a la mayoría de las medidas. Los grupos encuestados pueden representarse por un mismo dato: el promedio. a. Propuestas didácticas dispersión. Más cerca. Información complementaria En los laboratorios de investigación se hacen mediciones de experimentos para después interpretarlas o compararlas con los resultados teóricos y buscar la manera de aplicarlo a la tecnología. Pero para obtener resultados confiables. Diseño del lente de contacto 2. discuta con su grupo si la dispersión es menor. • ¿Qué datos son más dispersos. pídales que reporten en sus cuadernos y comparen su procedimiento y resultados con el resto del ejercicio. Durabilidad del lente 4. c. L. Comodidad de uso 3. hay una mayor diferencia con respecto a la media. pida a los alumnos que cierren el libro y explique la situación de la encuesta.indd 257 12/24/13 2:54 PM Prohibida su venta 257 1/30/14 5:59 AM . se reporta la desviación de los resultados con el fin de justificar el margen de error. un material que permite una adecuada transmisibilidad de oxígeno y fluido lagrimal que mejora la calidad visual del usuario. hombres de 11 a 13 años y más lejano. • ¿Qué significado puede darse a la escala “Regular” y “Malo”? R. escribiendo la tabla del inciso a. L. ¿qué interpretación pueden darle a los que corresponden a la escala “Excelente” y “Muy bueno”? R. Sin embargo. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. L. retome los datos de las horas de sueño. Sustenten cuándo un conjunto de datos puede representarse a través de la media y tener diferente dispersión en relación con ella.6 Bueno 5 4 5 8 7 Regular 1 1 1 3 1 Malo 1 2 0 1 1 5. Conocimiento de cuidados básicos Promedio Excelente Muy bueno 26 21 24 23 18 30 23 19 25 20 23. respondan en su cuaderno. Rubro 1.2 • Observen los promedios obtenidos. Después. haciendo subgrupos o con el total? Mide qué tan lejos están los valores de un conjunto de datos respecto de un valor (normalmente la media aritmética) en una muestra representativa. Si se separan los datos entre hombres y mujeres. • ¿Qué interpretación se puede asignar a la escala “Bueno”? R. • De los seis grupos. i Socialicen sus respuestas y registren sus acuerdos.4 1 Para comparar el resultado experimental con el teórico. Los de las mujeres. Con relación al ejercicio 2. Completen la tabla. M. formule preguntas como las siguientes: ¿Cómo es la media total comparada con la media para mujeres y para hombres? ¿Qué tanto se alejan los promedios de cada grupo con el promedio del total? ¿Cómo se representan mejor los datos. d. Un laboratorio oftálmico realizó una encuesta de satisfacción sobre los lentes de contacto blandos. Organizados en equipos realicen lo que se pide. R. • ¿Cuál es el promedio de usuarios que califican como “Excelente” los rubros de la encuesta? 23. tienen diferente dispersión respecto de este. el experimento debe repetirse varias veces.indd 217 SMAT3LRCONAPL17-257-272. analicen la siguiente información y realicen lo que se indica. • ¿Qué significado.8 3 18 23.• Al comparar los promedios de los cinco rubros. se suman dichos valores y se divide entre el total.8 5.8 5. 5.36 Regular 0.2 5. se calcula el promedio de la diferencia de cada dato con la media del conjunto. Excelente • Comparen con el promedio obtenido el número de usuarios que calificaron en cada rubro como “Excelente”. Registren sus conclusiones al respecto. ¿en cuál es más alto? Expliquen.indd 218 12/24/13 2:54 PM 1/30/14 5:59 AM .6 22. Para organizar los resultados de la comparación anterior completen la tabla.12.6 + 23 – 22. Apliquen el procedimiento anterior para determinar la desviación media de los niveles de calificación de los rubros de la encuesta: Rubro Desviación media 258 SMAT3LRCONAPL17-257-272.6.2 5 25 23. bueno. considerando la información anterior.6 rubro Rubro Bueno: 1 5 2 4 3 5 4 8 5 7 Promedio 5. Por ejemplo.8.6 22. para enriquecer la discusión. para medir la dispersión de la escala “Muy bueno”.2 1. una vez que las terminen. i Comparen sus respuestas con el grupo.2 1. Analice junto con el grupo la fórmula de desviación media y pida que expliquen por qué se hace uso de la sumas de los valores absolutos de las diferencias de dos datos. Elaboren en el cuaderno una tabla similar a la anterior para cada uno de los niveles considerados en la encuesta (muy bueno. • se calcula el valor absoluto de la diferencia de cada dato en relación con el promedio. a.12 5 Por tanto.8 Diferencia entre el promedio y el 0.4 1. Discuta con su grupo la información y.6 2. la dispersión del conjunto de datos es 3. y que identifiquen los datos con los que se calculan las diferencias y a qué intervalo corresponde cada una. A este resultado se le conoce como desviación media. Comenten el significado de “Desviación media” y su utilidad en un conjunto de datos como los presentados.2 4 23 23. 0. ¿qué escala o qué números determinarían ustedes que representan una dispersión alta en el conjunto de datos.16 Bueno 1.6 + 20 –22. 5 20 Promedio Abra espacio para la discusión y vayan obteniendo conclusiones grupales.64 Malo 0. Calculando el promedio de las diferencias.4 1.6 22.4 1. Para determinar la dispersión o separación de la media de un conjunto de datos.8 b.8 5.2 0.indd 258 Prohibida su venta Excelente 2. L. En pareja.8.8 1.6 0.8 0. qué número les indicaría que se trata de una dispersión baja en el conjunto de datos y qué valor esperarían obtener si no hubiera dispersión en el conjunto de datos? Rubro Excelente Promedio Diferencia entre el promedio y el rubro 1 26 23.6 22. mismas que escribirá en el pizarrón y solicitará a los estudiantes que las reproduzcan en el cuaderno utilizando sus propias palabras.8 2.6 + 19 – 22. regular y malo).4 1. Propuestas didácticas Dé instrucciones al grupo de resolver las actividades que se ofrecen en la página y.2 2.8 • ¿En qué rubro es mayor la desviación o dispersión entre el dato registrado y el promedio obtenido? ¿En cuál es menor? 18 es mayor y 23 es menor. es decir: • se obtiene el promedio simple del conjunto de datos. se tiene: D= 21 – 22. Rubro Muy bueno: 1 21 2 23 3 30 4 19 c. ¿pueden dar ejemplos de ello?. dentro del contexto de la encuesta. M.4 3.2 0.8 5.2 rubro Rubro Regular: 1 1 2 1 3 1 4 3 5 1 Promedio 1. ¿qué información relevante se puede extraer al analizar la dispersión de datos?. 2.6 + 30 – 22. 22.4 1.4 rubro Malo: Rubro 1 1 2 2 3 0 4 1 5 1 Promedio 1 1 1 1 1 Diferencia entre el promedio y el rubro 0 1 1 0 0 • ¿Cómo pueden obtener la dispersión del conjunto de datos en comparación con el promedio de cada nivel? ¿Cuál será la utilidad de dicho dato? R.4 0. pueden dar a los dos resultados R.4 7.6 = 3.8 2 24 23.4 0.4 218 PM3STJCONA-PL14-209-224. formule preguntas como: ¿Por qué consideran que es de utilidad analizar la dispersión de un conjunto de datos?. pida a un alumno que dé lectura a la información que aparece en color azul. 3. 0.2 y 1.2. 0. ¿cuál es la dispersión entre ambos? Expliquen. anteriores? c.4 Diferencia entre el promedio y el 0.6 Diferencia entre el promedio y el 1. i Si hay dudas. b. El rango es mayor a la desviación media. ¿en qué escala está representado cada uno de los ejes?. retomen la encuesta del laboratorio oftálmico y realicen lo que se pide. i Socialicen sus respuestas y verifiquen que sean correctas. sería como preguntar si 30 es mucho o poco. de dónde se obtiene y qué es lo que representa. 30 kilos de chocolates son muchos con respecto a lo que se puede comer cada quién pero es muy poco si se habla en términos de la producción anual de una fábrica de chocolates. Pregunte a los estudiantes qué es lo que determina un valor central. Luego solicite a los adolescentes que analicen la gráfica de barras que aparece en el punto 4 y formule preguntas como: ¿Qué representa el eje de las abscisas?. En pareja. ¿qué representa la altura de cada barra?.• ¿Para qué nivel de calificación la desviación media es mayor? ¿Para cuál es menor? Mayor para excelente y menor para malo. Como se sabe. siempre es necesario decir con respecto a qué se está comparando. pues depende. Nos indica la amplitud del conjunto de datos. ¿cuántos datos consideraron? Los cinco datos • Comparen los rangos y las desviaciones medias.indd 219 SMAT3LRCONAPL17-257-272. Con base en lo anterior. Algunas medidas de dispersión son: Dé lectura a la información que aparece en color azul y coméntela con el grupo. coméntenlas en grupo con la finalidad de solucionarlas. • Rango o recorrido: es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de los datos de una distribución estadística. Resultado de la encuesta para la escala “Bueno” y Luego. Estas nos permiten tener una visión del comportamiento de una serie de datos.indd 259 12/24/13 2:54 PM Prohibida su venta 259 1/30/14 5:59 AM . ¿qué información proporciona el título de la gráfica?. • Desviación media: es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto de la media (promedio) del conjunto de datos. regístrenlo en la siguiente tabla: Escala Rango Excelente 8 Muy bueno 11 Bueno 4 Regular 2 Malo 2 • Para determinar el rango. obtengan el rango de los datos de la encuesta realizada por el laboratorio oftálmico. 9 8 7 Frecuencia En la siguiente gráfica se representaron los resultados de la encuesta de satisfacción del laboratorio oftálmico con respecto de la escala de satisfacción para “Bueno”. Abra un espacio para que los estudiantes aporten sus ideas y haga énfasis en la importancia que tiene establecer un sistema de referencia a partir del cual se puedan hacer comparaciones. En sesión grupal discutan la siguiente información teórica: Propuestas didácticas Las medidas de dispersión nos informan acerca de cuánto se alejan o acercan la distribución de datos en relación con un valor central. ¿qué representa el ancho de cada barra?. dé instrucciones de terminar de resolver las actividades de la página. Análisis de registros gráficos 4. de lo contrario no se puede determinar si una cantidad es mucho o poco. busquen argumentos para sustentar qué características tienen el rango y la desviación media. entonces solicíteles que expliquen por qué se compara un conjunto de datos con el valor central y no con cualquiera de los datos del conjunto en cuestión. Después escriban sus reflexiones. 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x Rubro 219 PM3STJCONA-PL14-209-224. ¿qué representa el eje de las ordenadas?. ¿qué diferencias y semejanzas identifican? Expliquen. ¿se modificaría en algo la representación de datos si las barras estuvieran una seguida de otra? i Socialicen sus respuestas en grupo.8. ¿cuántos datos se consideran? Dos en cada caso • Para determinar la desviación media. el promedio de las personas que contestaron con esta escala de satisfacción (Bueno) es de 5. ¿por qué se muestran las barras separadas unas de otras?. c. la dispersión es la capacidad que tiene una población de colonizar nuevos hábitats. Todas tienen el mismo rango. Solicite un reporte de la encuesta que realizaron. para hombres es de 1. ¿también tiene la menor desviación media? Argumenta. 1. rangos. Organice al grupo en equipos de tres integrantes para que realicen una encuesta similar a la presentada en el punto 5 de la página. Música favorita 5.77 Información complementaria b. redacten en el cuaderno sus conclusiones. En las siguientes listas se registraron los resultados de una encuesta realizada a estudiantes de secundaria para determinar el tipo de música de su preferencia. pues la dispersión de la luz provoca que no veamos el cielo siempre negro. 1. 0. etcétera.El trabajo con el libro del alumno a. paralela al eje de las x. Y en todas estas áreas es aplicable el concepto de dispersión media una vez que se tiene un conjunto de datos que represente a una situación dada. 3 • ¿Cuál lista de datos tiene menor rango? Explica. b. 1.5 2 1 1 a. Ahora. dentro o fuera del salón de clases. Hombres. Regístralos en la tabla. Calcula el promedio (hombres y mujeres) de cada género musical y determina la desviación media de cada uno. Todas tienen el mismo rango. recabados por ellos mismos.indd 220 12/24/13 2:54 PM 1/30/14 5:59 AM .55 y mujeres. 4 y mujeres. luego.06 y para mujeres.5 2 2 Jazz 0 1 Hip hop 3 2 Rap 4 1 Pop 0 4 Clásica 1 1 Otro 1 1 0. • ¿Cuál es la de mayor rango? Justifica. describiendo los procedimientos que utilizaron desde la recopilación de los datos hasta el cálculo de las medidas de tendencia central y que. Sí.22 C 3 3 3 2 1 1 1 2 2 0.44 2 2 2 B 3 2 2 2 2 2 2 2 1 0. La de mujeres • Esa misma lista. traza una línea. a partir del análisis que hagan de la información obtenida. calcula la desviación media y el rango de los siguientes conjuntos de datos.86. i Socializa con el grupo tus argumentos y respuestas. En la gráfica de la página anterior. pierden la dirección original. que calculen el promedio.indd 260 Prohibida su venta 220 PM3STJCONA-PL14-209-224. La dispersión en matemáticas significa el grado de distanciamiento de un conjunto de valores con respecto a su valor medio. Después registra los acuerdos que de ello resulten.5 2. Lee la información y resuelve en tu cuaderno. Obtén el rango de cada caso. al colisionarse con las partículas del medio en el que se desplazan.36 i Comparen sus resultados con las de otros compañeros y registren en su cuaderno una conclusión acerca de la utilidad de las gráficas para determinar la desviación media en un conjunto de datos. esta es una de las razones por las cuales el cielo se ve azul.5 2. R. Usando la información de la gráfica. dispersión se refiere al fenómeno en el cual un conjunto de partículas que viaja en una misma dirección. ¿se puede determinar la desviación media? Expliquen. 260 SMAT3LRCONAPL17-257-272. Sí. la desviación media correspondiente. en física. 1. Género Hombres Mujeres Promedio Posteriormente solicite a los jóvenes que resuelvan las actividades que se ofrecen en la página. Lista En biología. que represente el promedio. que identifiquen la lista de datos que tiene el menor rango. L. Alternativa Country 2 1 2 3 Rock 2 1 1. A Datos 3 2 2 1 2 2 2 3 Desviación media Rango 1 0.66 • ¿Cuál es la lista de datos con menor rango? Explica. Pídales que llenen una tabla similar a la del problema de su libro pero con datos reales. determinen la desviación media y comparen sus respuestas con lo solicitado en la actividad 3. 2 y 3 • ¿Qué rubros de la encuesta están debajo del promedio? • ¿Cuáles están arriba del promedio? Propuestas didácticas 4y5 • Con los datos de la gráfica. Hombres. c. • ¿Qué significa la frecuencia en el registro gráfico? El valor del dato • ¿Qué significa en cada gráfica la línea que parte verticalmente las barras del valor 2? Justifiquen. pues seguro les será de gran utilidad en la vida cotidiana y en particular en la profesión que desempeñen. L. L. Determinen la desviación media y el rango del conjunto de datos. L. física y biología.33 4 b. Comparte tus experiencias en clase y. Desviación media y rango 1. a. www. (consulta: 14 de noviembre de 2013) 221 PM3STJCONA-PL14-209-224.• ¿Cuál es la lista de datos que tiene mayor desviación media? Argumenta. y escriba en el pizarrón las palabras que considere representan las áreas de aplicación. pregunte al grupo qué aplicaciones consideran que puede tener el tema de Desviación media en un conjunto de datos.html Discute con tus compañeros la información que se encuentra en la página y analicen los ejemplos propuestos. 1 0. Posteriormente. mercadotecnia. DM Rango A 5 5 4 1 4 2 2 3 1 1. en pareja. La lista C. por ello es de gran importancia que manejen bien el tema. tienen muchas aplicaciones en áreas científicas como química.5 2 1. medicina y muchas otras áreas más.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x A menor desviación media. Valídenlos con la ayuda del profesor y registren sus conclusiones respecto del tema trabajado en la lección. Después obtengan la gráfica que los representa. economía.33 5 C 5 3 3 5 1 5 1 2 2 1. R. L. ingeniería.cetic. En el siguiente sitio podrás ampliar la información sobre las medidas de dispersión. El promedio • ¿Cómo se relaciona en términos generales la medida de la desviación media (DM) con la forma de la gráfica de frecuencias? Argumenten. en administración. pide apoyo al profesor. i Discutan sus experiencias. Al ingresar. L. pregúnteles en qué áreas o rubros consideran que es de utilidad.ve/ files/ced/2005/ medidas_dispersion/ index. Reto Invite a los adolescentes a realizar en parejas o de manera individual. resuelvan los siguientes problemas. Reunidos en pareja. R. La lista B. las medidas de tendencia central y en general los temas estadísticos. • ¿Qué significado asignan a los datos que El número de dato ubicaron en el eje horizontal? Expliquen.indd 221 SMAT3LRCONAPL17-257-272.33 4 D 4 5 4 5 2 2 1 1 3 1. en la que se indique el promedio y se identifique la desviación media. los datos se acercan más al promedio o coinciden con él. comparen sus respuestas y argumentos. publicidad.edu. • ¿Cuál con menor? Explica. las actividades que se ofrecen en el recuadro Reto. Ahora.5 Comente que las medidas de desviación. elaboren la gráfica de barras correspondiente al conjunto de datos B. si hay dudas. Planteen algunas preguntas que puedan responderse con la información dada e intercámbienlas en el grupo. Propuestas didácticas y Para cerrar la lección. Respondan en su cuaderno.indd 261 1/9/14 12:07 PM Prohibida su venta 261 1/30/14 5:59 AM . deje de tarea que ingresen a la página de Internet que se ofrece en el recuadro de Apoyo tecnológico. i En sesión grupal. para que obtengan más información sobre las medidas de dispersión y despejen dudas si aún las hay y de esta forma también les ayudará a repasar el tema. y que además se utilizan también en áreas comerciales.33 4 B 4 2 2 6 2 4 2 4 1 1. anoten las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para aclararlas en grupo. R. te muestran tres opciones. R. d. 3 2. • Sustenten la veracidad de la siguiente oración: R. México. M. En pareja.98 millones Producción total de petróleo en México Millones de barriles por día 3. a mayor rango. De producir 748 000 barriles diarios durante la década de 1970. Tiene una extensión aproximada de 15 500 km2. En el año de 1972. 2. se le denomina medida o parámetro de tendencia central. Información complementaria Las medidas de tendencia central sirven para analizar un conjunto de datos. El efecto Cantarell se hizo sentir rápidamente. Se le llama rango a la diferencia que existe entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos. dividida entre el número de sumandos. la media aritmética es la cantidad total de la variable distribuida en partes iguales. R.cfm?action=content&sectionid=137&catid=12222 a. Dicho en otras palabras.5 1. El apellido del descubridor le dio nombre al lugar: Cantarell.8 millones 0.0 2. 2 312 000 ¿Cuál es la desviación media de estos datos? 782 000 La producción de ¿Qué dato muestra una desviación mayor respecto del promedio? 1970. descubrió una mancha de aceite que brotaba de las profundidades del mar.2 millones en el periodo 2000-2007.5 • Con los datos de la gráfica. lean la información y realicen lo que se pide.pemex. entre las medidas de tendencia central se encuentran la moda.com/index. que es el promedio o la media de las desviaciones absolutas. Los primeros barriles de petróleo de Cantarell se produjeron en junio de 1979. La media aritmética también se conoce como promedio o media. quedó al descubierto que México había localizado un yacimiento petrolero gigante. que represente el promedio. Poco tiempo después. Por los datos de 1970 b. las barras pueden estar pegadas unas con otras o separadas. de 2003 a 2011. El rango de un grupo da información sobre la dispersión de los datos. es una medida de tendencia central de un conjunto finito de datos que se calcula con la suma de todos los datos. L. ¿Cuál fue la media de producción de 1970 a 2007? Argumenten. 1. • ¿Cuál fue la media en la producción de petróleo en los años que muestra la gráfica? 2.0 1. Gráfica 1 12/24/13 2:54 PM 1/30/14 5:59 AM . • ¿Qué información muestra la gráfica? La producción anual de petróleo en México • • • • La desviación media también se conoce como desviación promedio. Campeche. el promedio de producción diaria del país creció hasta alcanzar 2. por ello. mayor dispersión en el conjunto de datos. Fuente: www. en la zona conocida como la Sonda de Campeche. la media y la mediana. Analicen la gráfica y respondan. ¿se puede identificar la desviación media? Expliquen. respondan en su cuaderno. 3. Con base en la información. Yacimiento Cantarell. un pescador. la producción alcanzaba los 239 000 barriles diarios. 748 000 ¿Cuál es la media de producción de 1980 a 2007? ¿Cuál es la desviación media de estos datos? 2 833 333 • ¿Por qué varía tanto la media y la desviación media obtenidas? R. algunos números pueden de alguna manera resumir la información que describe cierto grupo.0 • ¿Cuál es el rango de los datos? 0. de manera vertical y en algunos casos también se encuentran de manera horizontal.indd 262 Prohibida su venta 222 PM3STJCONA-PL14-209-224. L.5 0 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Año 262 SMAT3LRCONAPL17-257-272.5 millones de barriles en la década de 1980. con un promedio diario de 4 290 barriles.indd 222 • ¿Qué significado pueden asociar a la medida del rango obtenido? R.8 millones en los noventa y 3. dicho número puede hallarse en torno al centro de la distribución de datos y. 2. Rudesindo Cantarell. Para diciembre.Para saber más Propuestas didácticas La producción de petróleo en México Recuerde a los estudiantes que en una gráfica.5 • Tracen una línea paralela al eje de las x. 2.48 0. En grupo. • ¿Cómo es la dispersión de los datos obtenidos en las gráficas 1 y 2? Varía para cada caso. L. Registren en su cuaderno sus acuerdos. • ¿Qué región del país aporta mayor cantidad de petróleo? Región Marina noreste • ¿Qué región del país genera menor cantidad de petróleo? Región Norte Millones de barriles por día 2.indd 263 2/5/14 12:54 PM Prohibida su venta 263 2/5/14 12:57 PM . Las medidas de dispersión permiten juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia central. después contesten lo que se pide. • ¿Es posible comparar la dispersión de las gráficas 1 y 2? R.5 0 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Año Gráfica 2 Región Promedio Desviación media (DM) Rango Marina noreste Marina suroeste 1. R.2 0. de la mediana o media.0 0. ¿cuál es el comportamiento de las medidas de dispersión identificadas? Expliquen. cuanto menor sea este número. Se utiliza un número que indica cuán lejos o cerca están las diferentes puntuaciones de una variable.3 Sur Norte 0. Producción de petróleo por región 2. Planteen preguntas en las cuales involucren a las medidas de dispersión estudiadas. entonces. después expónganlas en clase y valídenlas.• ¿En qué año la desviación respecto del promedio es mayor? ¿En cuál es menor? 2011 mayor y 2007 menor • ¿Cuál es la desviación media de los datos de la gráfica? 0.1 En una gráfica de barras. se puede hacer uso de dos o más conjuntos de datos que se representen al mismo tiempo.04 0. se puede desprender información sobre si todos los casos son similares o hay mucha variación entre ellos. ¿cuál es la desviación entre ambos datos? 0. se emplean barras múltiples. i Socialicen sus argumentos y registren sus conclusiones. La variabilidad de una distribución con respecto a su media se calcula con la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. En la gráfica se muestra la producción de petróleo en cuatro regiones del país. L.92 0. Comenten acerca de la importancia para la economía mexicana del hallazgo del yacimiento Cantarell. a mayor variabilidad. más homogénea será la mediana o media y. L. con la finalidad de facilitar o hacer más entendible una comparación y con ello hacer más sencillo el análisis de los diferentes conjuntos de datos.105 0. b.8 millones en la década de 1980).13 0.53 0. se toma el valor absoluto de las desviaciones o bien las desviaciones al cuadrado.32 millones • Al comparar el promedio obtenido en la gráfica y el dato dado por Pémex (2.36 1 0.18 millones Propuestas didácticas i Comparte tus respuestas con el grupo y valídenlas con el profesor. c. que reflejan la producción nacional. Para ello.indd 223 SMAT3LRCONAPL17-257-272.5 Región Marina noreste Región Marina suroeste Región Sur Región Norte a. Las medidas de dispersión también se conocen como medidas de variabilidad ya que sirven para analizar la variabilidad de una distribución de datos.068 0. R.5 1. Con base en los datos de la gráfica. obtengan las medidas estadísticas que se solicitan. • A partir de la afirmación anterior. lean la información y resuelvan. 223 PM3STJCONA-PL14-209-224. mayor será el número en cuestión.0 1. entonces que identifiquen si se trata de una respuesta equivalente. 5. la fórmula es n! / (n – r)! En el caso de las combinaciones el orden no importa como ocurre en la permutación. 2... En un conjunto de datos. una vez que hayan obtenido una respuesta. 2. L. qué tan cercano está el promedio de la media ponderada. 72. ¿se puede modelar una sucesión cuya regla represente una ecuación cuadrática? A) No. En un torneo de basquetbol. SMAT3LRCONAPL17-257-272. 50 400 y n(n – 1) D) 30. C) cuando se grafican. si acaso no coincide con ninguna.indd 264 Prohibida su venta 7 . 224 PM3STJCONA-PL14-209-224. en el caso del conjunto de los números {1. Sugiera que lean bien las preguntas y que se aseguren de que han comprendido bien el planteamiento del problema antes de intentar resolverlo. 2. 380. 42. en un caso. Determina la desviación media y el rango del conjunto de datos y explica tu procedimiento. R. 90. de partidos 0 2 6 12 20 A) 30. 20 . explique la diferencia entre permutación y combinación. la situación planteada se modela mediante permutaciones y combinaciones. En la tabla se relaciona el número de juegos según los equipos participantes. si se tienen los números {1. 3} se tendría un total de seis permutaciones posibles. 4. incluido el término n? Información complementaria Núm. cada equipo jugará dos veces contra otro: uno como local y el otro como visitante. Con el número de partidos que se jugarán en el torneo. se permite repetir los elementos del conjunto. Hay dos tipos de permutaciones. 1. las medidas de dispersión nos permiten saber: A) cuánto se alejan o acercan los valores de la media. Solicite que escriban todas las operaciones involucradas en la resolución de los problemas y. de equipos 1 2 3 4 5 Núm. sino con una ecuación lineal.Evaluación tipo PISA Propuestas didácticas i Elige la opción con la respuesta correcta. B) Sí...indd 224 12/24/13 2:54 PM 1/30/14 5:59 AM . es válida la opción 2. 39 800 y n(n – 1) Una permutación es una combinación ordenada de los elementos de un conjunto. 3}. Antes de dar instrucciones al grupo de resolver la evaluación tipo PISA. Y en la permutación sin repetición no se permite usar más de una vez cada elemento del conjunto. 380. ¿Qué opción muestra los datos que completan la tabla. y hay también dos tipos de combinaciones: con repetición y sin repetición. la situación planteada modela una sucesión cuadrática. 380. 42. 264 6 A) media aritmética B) mediana C) media ponderada D) moda i Realiza lo que se indica en cada caso. C) Sí. 50 400 y n(n + 1) C) 30.525 b. 2. 42. 50 400 y n(n – 1) 3. Rango: 5. ¿Qué opción completa la oración? Las permutaciones con repetición se calculan como nr. Desviación media: 1. La desviación media se puede entender como la ________ de los valores absolutos de las desviaciones respecto de la media o promedio.. por ejemplo. donde n es el número de elementos y r la cantidad de elementos a elegir. B) las tendencias de una gráfica de frecuencias. n B) 56. Para el caso de las permutaciones sin repetición. 2. 225 . si hay x equipos. de lo contrario deberán regresar a sus operaciones y revisar paso por paso para localizar posibles errores. A 5 6 4 1 4 6 2 3 1 B 4 4 2 6 2 4 2 6 1 C 4 3 3 5 6 5 1 3 2 D 4 5 6 5 2 2 6 1 2 a. pero no con una ecuación cuadrática. D) Ninguna de las opciones de respuesta dadas es correcta. D) ninguna de las anteriores. que la comparen con las que se ofrecen en las opciones múltiples.. indd 265 1/9/14 12:09 PM Prohibida su venta 265 1/30/14 5:59 AM . se eleva al cuadrado y tiene la forma an2 + bn + c. a veces o poco. pida que hagan una reflexión sobre su aprovechamiento a lo largo del bloque y cuáles son los temas que consideran que aún necesitan trabajar más. coseno y tangente. Permite determinar la distancia del punto donde se pararon al punto más alto de la rueda.5 m • Teorema de Pitágoras R. obtén la altura de la rueda de la fortuna: 13. 7. realicen una redacción en sus cuadernos. en su caso. haciendo uso de triángulos semejantes y. La media ponderada se calcula con el cociente de la suma de los productos de cada dato por su peso o ponderación y la suma de los pesos. Explica el procedimiento empleado para determinar la altura de la rueda de la fortuna y de la hipotenusa del triángulo formado a partir de los siguientes conocimientos: CO • Razones trigonométricas R. Solicite al grupo que para aquéllos párrafos en los que se afirme algo falso. Veracidad La regla de una sucesión cuadrática es una expresión algebraica en la que la literal. expresiones generales cuadráticas para definir el enésimo término de una sucesión. pero que sea verdadera. con el apoyo del maestro. Propuestas didácticas a. 15 = 0. CO = 13. Indicadores Uso. y completa la tabla. al mirar desde este punto al punto más alto de la rueda. así como las propiedades y las aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Resuelvo problemas que implican el uso de las razones trigonométricas: seno. haga un repaso del tema o los temas que la mayoría de los estudiantes consideren que requieren estudiar nuevamente. Comunico y sustento mis intervenciones orales y escritas. en casos sencillos. V Si lo considera necesario. 225 PM3STJCONA-PL15-225-240. Identifiquen si existen otras formas de darle solución al mismo. que se encuentra en alguno de los términos de dicha expresión algebraica. Determina si las siguientes aseveraciones son verdaderas (v) o falsas (f).6. qué otros datos podrían obtener Joshua y Bibi para la construcción de los triángulos necesarios para la resolución del problema. En grupo.5 m Una vez que los estudiantes hayan respondido las actividades del punto 6 sobre la altura de la rueda de la fortuna en su punto más alto. como se muestra en la imagen. b. Utiliza los términos siempre. M. La media ponderada es una de las medidas de tendencia central que se utiliza cuando los datos de un conjunto tienen diferente peso en relación con el resto de los datos. Con los datos que se dan. busquen estrategias para superar dichas dificultades. Calculo y explico el significado del rango y la desviación media. Joshua y Bibi se subieron a la rueda de la fortuna y al bajar decidieron calcular su altura. M. El rango o recorrido de un conjunto de datos es el producto entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística. La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Tan de 42º = 0.900.900. invítelos a ingresar a las páginas de Internet que se ofrecen en los recuadros de Apoyo tecnológico. En clase externa las dificultades que hayas tenido al resolver la evaluación. por ejemplo. donde n hace referencia a la posición. El seno de un ángulo es igual al coseno del complemento del ángulo de la función seno. invite a uno de los estudiantes a pasar al frente del pizarrón a determinar cómo resolvió el problema. Se pararon a 15 metros del juego y. Oración Luego.indd 225 SMAT3LRCONAPL17-257-272. y la tangente de un ángulo es recíproco o inverso multiplicativo a la tangente del complemento de su ángulo. F V V Información complementaria Valoro mi avance Reflexiona acerca del trabajo realizado en el bloque. su ángulo de elevación era de 42º. indd 266 Prohibida su venta 1/30/14 6:00 AM .5 266 SMAT3LRCONAPL17-257-272. cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Resolución de una ecuación lineal Analizan información que requiere conocer el significado de la palabra depreciación. utilizando una segunda figura y modelando la representación del área con una nueva expresión algebraica. Problemas con ecuaciones lineales y cuadráticas En equipo analizan y resuelven problemas que requieren de modelar dos expresiones algebraicas. Plantear problemas a partir de expresiones algebraicas Resuelven en equipo distintas ecuaciones lineales y cuadráticas. Analizan las ecuaciones planteadas y completan una tabla para expresar el total de ecuaciones lineales. Explican el procedimiento empleado para resolver la ecuación. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada Desarrollo Sesión(es) Actividades Páginas del libro 226 Leen el texto “Las secciones cónicas y su utilidad”. Distintos tipos de ecuaciones Bloque: 5 Eje temático: Sentido numérico y pensamiento algebraico Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Patrones y ecuaciones Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales. Determinan la forma que tiene la expresión algebraica que modela la situación propuesta. Analizan una gráfica para determinar la forma en la que un bien se deprecia con el tiempo. Describen el procedimiento empleado. Visitan y realizan las actividades de los sitios de Internet que se sugieren en Apoyo tecnológico y aplican lo aprendido a lo largo de la lección al resolver la actividad del Reto. cuadráticas y de sistemas de ecuaciones en el ejercicio anterior. cuadráticas o de sistema de ecuaciones para cada caso. Identifican la expresión que representa el área del terreno. 1 2 2 Oferta y demanda En pareja analizan información y para responder a los distintos planteamientos. Con base en las expresiones algebraicas determinan si se trata de un sistema de ecuaciones. determinan la expresión algebraica que modela el área de una parte del terreno de equitación. Describen en el cuaderno el procedimiento empleado para determinar en el problema. Comparan resultados y estrategias para validarlos en grupo. Identifican el procedimiento más conveniente para resolverlas.Planeaciones didácticas Lección 28. Intercambian y discuten en grupo los problemas propuestos.indd 267 267 1/30/14 6:00 AM . Identifican la expresión algebraica que modela la situación. Con base en una gráfica determinan la expresión algebraica correspondiente. Resuelven un problema que requiere calcular el largo de un terreno de equitación en función del ancho del mismo. Determinan cuál es la expresión que representa la demanda y cuál la oferta. Con base en una figura. Determinan el número de postes y vigas para cercar un terreno de equitación. Socializan argumentos para validarlos en grupo. Determinan el área de juego al interior del terreno de equitación. Comparan respuestas en equipo para comprobar los resultados. Señalan cuáles expresiones son ecuaciones lineales y cuáles son cuadráticas. 228 229 a 231 232 y 233 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL17-257-272. Socializan argumentos. el precio del producto y la cantidad de productos a vender. Construyen y plantean problemas utilizando alguna de las ecuaciones lineales. Trazan la gráfica que representa la relación entre la altura y el radio de los círculos del cono. Radios de los cortes al cono paralelos a su base En parejas elaboran un cono con plastilina y discuten si se pueden establecer relaciones entre la medida del radio y su altura. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto Desarrollo Sesión(es) 1 1 1 1 1 Actividades Modelaje con frutos En equipos leen una situación y observan imágenes para resolver los planteamientos. Razones trigonométricas para obtener datos del cono Determinan las medidas de los radios de un cono al realizar cortes paralelos a la base de este. la altura y la generatriz de un cono. Razón de semejanza para obtener datos del cono Determinan la figura plana que se genera entre la base. Identifican diferencias entre las formas.indd 268 Prohibida su venta 1/30/14 6:00 AM . Completan descripciones de figuras geométricas. perpendicular u oblicuo a la base. Utilizan la razón de semejanza para determinar el radio de los círculos de los cortes. realizan distintos cortes a cuerpos cilíndricos. Cortes al cono En equipos elaboran conos con plastilina. Identifican los triángulos formados por la altura. el círculo y el rectángulo como resultado de cortes a un cilindro. Estiman la forma de las bases según los distintos cortes. Cortes a cuerpos cilíndricos Organizados en parejas.Lección 29. Describen los cortes que deben hacerse a un cilindro para obtener las figuras planteadas. Leen información teórica acerca de la oblicuidad. Completan una tabla utilizando razones trigonométricas para determinar el radio de la base de un cono. Socializan argumentos. Confrontan observaciones con la información teórica. Realizan cortes paralelos a la base del cono para completar una tabla y analizar el radio de los círculos resultantes. espacio y medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Medida Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Explican la relación de proporcionalidad entre la medida de la altura y el radio del cono. Páginas del libro 234 235 236 y 237 238 239 a 241 Observaciones 268 SMAT3LRCONAPL17-257-272. el radio y la generatriz de un cono. Visitan y realizan las actividades de los sitios de Internet que se sugieren en Apoyo tecnológico y aplican lo aprendido a lo largo de la lección al resolver la actividad del Reto. Comentan las respuestas obtenidas y registran en el cuaderno las diferencias con otros equipos. Establecen la igualdad entre las razones para obtener la medida del radio de un cono. Completan una tabla con las características de cada corte resultante. Secciones cónicas Bloque: 5 Eje temático: Forma. ya sea paralelo. Leen información de la elipse. Determinan la razón trigonométrica para determinar el valor del radio al hacer un corte paralelo a la base del cono. En parejas consiguen objetos cilíndricos para modelar distintos cortes. Describen el resultado de hacer cortes rectos a un cono. Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL17-257-272. resuelven una situación que relaciona el cálculo del volumen de conos y cilindros.Lección 30. Comparan resultados con los obtenidos mediante semillas. Visitan los sitios de Apoyo tecnológico y resuelven el Reto. Plantean conclusiones respecto a la relación entre el volumen de un cono y el de un cilindro. Explican por qué la fórmula del cono se divide entre tres. Registran acuerdos. Argumentan acerca de las características que tiene el procedimiento correcto para calcular el volumen de un cilindro. espacio y medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Medida Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos. Volumen de cilindros y conos Bloque: 5 Eje temático: Forma. Analizan distintos procedimientos para calcular el volumen de un cilindro. Reflexionan acerca de la base poligonal de una pirámide en confrontación con la base de un cono. Analizan distintas pirámides y responden cuestionamientos. Plantean formas de verificar si la equivalencia es verdadera o no. Determinan la fórmula para calcular el volumen de un cono. Socializan resultados. Explican las ventajas de usar una fórmula para calcular el volumen de cilindros. Leen información relativa al volumen de un cono. cuyo volumen se relaciona con el cilindro. En pareja calculan el volumen de tres conos. Discuten la argumentación de distintos procedimientos para calcular el área de un cilindro. Fórmula del volumen del cono En parejas discuten si existe relación entre el cilindro y el cono. Determinan cuál tiene mayor volumen. Reflexionan acerca de usar la fórmula del volumen de una pirámide en el cálculo de un cono. Determinan coincidencias entre distintos procedimientos para calcular el volumen de un cilindro. Fórmula del volumen del cilindro Analizan tres prismas regulares cada uno con un diferente número de lados. Socializan argumentos y registran conclusiones.indd 269 242 243 244 245 a 247 247 2 269 1/30/14 6:00 AM . tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides Desarrollo Sesión(es) 1 1 1 1 1 Actividades Páginas del libro Comparación de conos y cilindros En parejas reflexionan sobre la equivalencia entre el volumen de un prisma y el volumen de tres conos. Reflexionan acerca de la medida de la base de un cilindro con base en las características de un cono. Comparan los resultados obtenidos al calcular el volumen de tres cilindros y tres conos cuya altura es correspondiente uno a uno. Volumen del cono y del cilindro En parejas. Revisan una situación en la que se iguala el volumen de un cilindro con el volumen de tres conos. Comentan grupalmente las respuestas y registran las observaciones. Pirámides y conos En parejas proponen un procedimiento para calcular el volumen de un cono. Aplican la fórmula para calcular el volumen del cono y del cilindro. Trazan tres cilindros y calculan el volumen de cada uno. En grupo leen información para calcular el volumen de un cilindro. Páginas del libro 248 a 250 250 252 y 253 Observaciones 270 SMAT3LRCONAPL17-257-272. Comparan y complementan conclusiones. Otros problemas En parejas resuelven distintos problemas que requieren utilizar lo aprendido acerca del cálculo del volumen de conos y cilindros. También analizan si cuando en un cono o en un cilindro la medida de su altura mantiene constante. En equipo analizan gráficas y responden a distintos planteamientos. Cálculo del volumen de cilindros y conos Bloque: 5 Eje temático: Forma. Completan una tabla para calcular el área de la base y el volumen de distintos conos y reflexionar acerca del volumen del cono cuando el radio de la base cambia. Expresan las diferencias entre la variación del volumen de un cilindro cuando la medida de la altura permanece constante y la medida del radio cambia en confrontación con un cilindro cuya medida del radio permanece constante y la medida de la altura es la que cambia. Determinan cómo aumenta el volumen de un cono cuando varía la medida de la altura a diferencia de cómo varía el volumen de un cono cuando varía el radio de este. Completan una tabla con el área de la base y el volumen de conos. Cilindros En parejas registran las características de un cilindro recto. Determinan la relación que existe entre la medida del volumen y la altura del cono. Completan una tabla calculando el volumen de distintos conos para responder a distintas preguntas. Responden a cuestiones que implican conocer la relación entre el volumen y la medida de la altura de un cilindro. Reflexionan acerca de las conclusiones y argumentan las respuestas. Justifican resultados. Completan tablas calculando el área de la base y el volumen de cilindros. Calculan el volumen de un cilindro con base en el volumen de un cono con la medida de la altura igual a la del cilindro. Plantean ejemplos para validar las conclusiones. En la sección Apoyo tecnológico ampliarán los contenidos vistos para apoyar el trabajo de la lección y realizan la actividad del Reto llamado “Volumen”. Analizan una gráfica para determinar la relación existente entre el volumen de un cono y la medida de la altura del mismo. Comparan gráficas y explican cómo cambia el volumen en cada caso. espacio y medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Medida Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas Desarrollo Sesión(es) 1 2 2 Actividades Dulces cónicos y cilíndricos En equipo expresan los datos necesarios para calcular el volumen de un caramelo en forma de cono. Comparan resultados y comentan los procedimientos. Determinan el tipo de gráfica que se obtiene cuando se representa el cambio del volumen en función del radio de la base en el cilindro.indd 270 Prohibida su venta 1/30/14 6:00 AM . Comentan respuestas entre compañeros y analizan si es posible que la altura y el volumen de un cono o de un cilindro varíen proporcionalmente cuando la medida del radio permanece constante.Lección 31. de los cuales unos varían en la medida del radio y otros en la medida de la altura. se establece una relación cuadrática entre la medida del radio (constante) y su volúmen. Analizan una tabla para comparar dos conjuntos de conos. Identifican la función con la cual se modela la oferta de ramos de flores en venta en una florería. Trazan una gráfica con base en los datos de la tabla. Comparan respuestas con las de otros compañeros. Determinan la expresión algebraica que modela a dicha función. Leen información teórica acerca de las funciones cuadráticas y las características que tendrá la gráfica dependiendo de los términos de la expresión algebraica. Determinan la expresión algebraica que permite modelar una situación referente al volumen de una cisterna. Señalan el tipo de proporcionalidad representada en las gráficas. Socializan respuestas y las validan en grupo. Determinan el tipo de expresiones algebraicas. Completan una tabla para determinar el total de cartón necesario para hacer cajas. Utilizan los registros tabulares para trazar las gráficas que modelan cada caso.indd 271 271 1/30/14 6:00 AM . la biología. en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades Desarrollo Sesión(es) 1 1 2 1 Actividades Páginas del libro Gráficas y expresiones algebraicas de variación En pareja analizan información para escribir una expresión algebraica que modele una cierta cantidad de árboles. En la sección Apoyo tecnológico realizarán actividades de modelados de funciones para apoyar el trabajo de la lección y realizan la actividad del Reto llamado “Vacaciones en familia”. Variación lineal y cuadrática Bloque: 5 Eje temático: Manejo de la información Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Proporcionalidad y funciones Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física. Analizan la gráfica y contrastan las respuestas obtenidas. Sustentan en el cuaderno con argumentos el procedimiento utilizado para relacionar las expresiones cuadráticas y lineales con su respectiva gráfica.Lección 32. Analizan dos registros tabulares para determinar el tipo de función que representan. Elaboran un registro tabular. 254 255 256 y 257 258 y 259 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL17-257-272. la economía y otras disciplinas. Obtienen la gráfica que modela la situación en el plano cartesiano. Socializan y validan respuestas en grupo. Señalan distintas características que describen a cada una de las gráficas. Describen las diferencias entre diferentes gráficas. Determinan cuáles graficas representan situaciones de proporcionalidad y cuáles no. Gráficas y tablas de variación En equipo resuelven situaciones que requieren de plantear una expresión algebraica. Comparan las respuestas grupalmente. En grupo escriben en el cuaderno los acuerdos acerca de los fenómenos en donde existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades. Relación entre gráficas y expresiones algebraicas Relacionan la expresión algebraica con la gráfica correspondiente. Modelar con gráficas y expresiones algebraicas Analizan problemas respondiendo en el cuaderno a los planteamientos. En pareja seleccionan la gráfica que modela la situación descrita. Determinan el número que tiene mayor probabilidad de salir en cada ruleta. Resuelven en parejas una situación para predecir cómo se tomará una carta. Resuelven las actividades de la sección “Para saber más”. Generan una conclusión con base en los datos de probabilidad de ocurrencia de los eventos. Analizan una gráfica que muestra la probabilidad de ganar en la ruleta. Observan las tarjetas de un juego de lotería y explican las condiciones para que el juego sea justo con tarjetas repetidas. Juegos equiprobables y no equiprobables En parejas analizan información y determinan si las condiciones o reglas permiten que un juego de azar sea justo o de resultados equiprobables. Explican un procedimiento para que el juego de la ruleta sea justo. al cambiar las reglas del mismo. Resuelven la evaluación tipo PISA del bloque 5. Explican cómo se modifican las probabilidades de un juego y el hecho de que sea justo o no. Leen información teórica referente a los sucesos y resultados equiprobables. Justifican los resultados equiprobables de ambas ruletas. En la sección Apoyo tecnológico utilizan interactivos y realizan la actividad del Reto. Juegan con la ruleta 2 y registran resultados. Argumentan acerca de las características que debe tener el juego de azar para tener mayores posibilidades de ganar. Determinan la probabilidad de ganar con un evento en un juego de dados y argumentan cuándo dos eventos son equiprobables. En cuartetos completan una tabla con los eventos de la ruleta 1. Determinan la probabilidad del evento “comprar tres boletos” en un juego de azar. Completan una tabla para determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio. Resultados equiprobables Con base en un diagrama determinan por parejas los eventos que han ocurrido en un juego de azar. Argumentan validando o negando la afirmación de que un número en particular tenga mayores probabilidades de salir en un juego de azar. Proponen ejemplos de resultados equiprobables y no equiprobables. Determinan la probabilidad de que algún jugador gane el juego.Lección 33. Juegos equitativos Analizan y argumentan en qué ruleta hay mayor probabilidad de que se dé un cierto evento. Páginas del libro 260 261 262 y 263 264 y 265 266 y 267 268 y 269 Observaciones SMAT3LRCONAPL17-257-272. Reflexionan acerca de si un juego de lotería es justo o no. Registran la probabilidad de ocurrencia de distintos eventos. con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables. Argumentan la probabilidad de que algún punto cardinal tenga mayor probabilidad de salir. Desarrollo Sesión(es) 1 1 2 1 1 1 272 Actividades De regresos a casa Se organizan en parejas para jugar un juego de azar que implica avanzar en un tablero hacia los cuatro puntos cardinales. Registran los resultados obtenidos para cada lanzamiento.indd 272 Prohibida su venta 1/30/14 6:00 AM . Determinan si los resultados del juego “Regreso a casa” son equiprobables. Analizan una gráfica con los resultados de lanzar 100 veces un dado con cuatro posibles resultados. Equiprobabilidad en juegos de azar Bloque: 5 Eje temático: Manejo de la información Duración: 1 semana Número de sesiones: 7 Tema: Nociones de probabilidad Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo. Formato de planeación Lección: Bloque: Eje temático: Duración: Número de sesiones: Tema: Periodo: del __________________ al __________________ de _______________________________________________________________________ Contenido Desarrollo Sesión(es) Actividades Páginas del libro Observaciones MATERIAL FOTOCOPIABLE SMAT3LRCONAPL18-273-288.indd 273 Prohibida su venta 273 1/30/14 6:00 AM . los frentes de ondas emitidos por un dispositivo. Uno de Comente con el grupo las aplicaciones que han tenido las cónicas.) logró incendiar naves romanas usando. El matemático griego Apolonio de Perga (262-190 a. satélites. de C. En la actualidad. antenas de televisión y en espejos solares. destacados personajes renovaron el estudio de las cónicas. Las antenas parabólicas.. en el siglo V d. y que originalmente son esféricos. Las secciones cónicas y su utilidad L as secciones cónicas fueron estudiadas desde la antigua Grecia. Una leyenda narra que. de tal forma que los rayos incidentes sean paralelos al eje del espejo. ¿para qué sirven las secciones cónicas? En radares. ¿Quién descubrió las secciones cónicas? A) Apolonio B) Hipatia C) Menecmo D) Kepler C) Elipse D) Parábola 2. de C. si en el foco de un espejo parabólico se pone un papel y el eje del espejo se apunta hacia el Sol. entre otros aparatos. En la actualidad dicha propiedad se emplea en los radares. Este fenómeno tiene diferentes aplicaciones. Por ejemplo.indd 274 Prohibida su venta 226 PM3STJCONA-PL15-225-240. en el área de óptica y de comunicaciones ha sido de gran importancia. René Descartes desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. demostró propiedades de las curvas cónicas que hoy se utilizan para definirlas. la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. las antenas de televisión y espejos solares. lo que provoca que las ondas sean más coherentes que las producidas por otras antenas. En el caso de las antenas parabólicas receptoras. Arquímedes (287212 a. Desde el principio. Y en las antenas parabólicas emisoras. el estudio de las secciones cónicas reveló fenómenos interesantes. El matemático griego Menecmo. subrayando las palabras de las que desconozcan su significado y señalando entre corchetes o paréntesis. si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico. utilizan superficies cónicas. en donde se reflejan las ondas electromagnéticas generadas por una fuente localizada en el foco del paraboloide. de C. telescopios. Luego indique que respondan las preguntas de la página siguiente. que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje también es útil: sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio siempre es una curva cónica. las propiedades de los espejos parabólicos. quien vivió alrededor del año 350 a. La propiedad análoga. A partir del Renacimiento. ellos son las propiedades de reflexión descritas por Apolonio y su aplicación en espejos elípticos. de C. En el siglo XVI. las ideas principales del texto. 274 SMAT3LRCONAPL18-273-288. es en el foco donde se concentran los rayos paralelos de las ondas incidentes. estudió las propiedades geométricas de la parábola y actualizó el trabajo de Apolonio. durante la defensa de Siracusa. el papel se enciende.) fue el primero en analizar con detalle las hipérbolas y parábolas. Más tarde. ¿Con qué tipo de curva cónica se asocia el movimiento de los planetas? Elipse 4. Hipatia.indd 226 12/24/13 2:56 PM 1/30/14 6:00 AM . 1. parabólicos o hiperbólicos. Las antenas parabólicas tienen una superficie paraboloide de revolución.El trabajo con el libro del alumno 5 Propuestas didácticas Invitación a la lectura Dé instrucciones a los alumnos de leer el texto que se ofrece en la página. Información complementaria La antena parabólica puede ser transmisora o receptora y se utiliza a frecuencias altas. se transforman en frentes de onda planos al reflejarse en la superficie de la antena. mientras que Johannes Kepler descubrió que las órbitas de los planetas son elipses que tienen al Sol como uno de sus focos. nuestros ojos. Apolonio demostró que. descubrió las secciones cónicas. Además. ¿Qué tipo de curva estudió Hipatia? A) Ninguna B) Hipérbola 3.. i Subraya la respuesta correcta y contesta. precisamente. gráfica y algebraicamente. como la hitita y otras civilizaciones que procedieron de civilizaciones europeas o de otras zonas de Asia Menor. con capacidad para albergar a una ciudad entera de hasta veinte mil habitantes. • Resuelve problemas que implican calcular el volumen de cilindros y conos o cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas que se utilicen. El tradicional paseo en globo aerostático permite apreciar las formas cónicas de Capadocia. En 1985. • Resuelve problemas que implican calcular la probabilidad de eventos complementarios. se equipaban los refugios con todo lo necesario. Capadocia es una región de gran importancia debido a su posición geográfica que la ha colocado en una encrucijada de rutas comerciales durante siglos. la Ciencia y la Cultura). relaciones lineales y cuadráticas. Turquía. 227 PM3STJCONA-PL15-225-240.576 ha.Información complementaria Inicie su clase comentando a los estudiantes que Capadocia se caracteriza por tener una formación única en el mundo. es patrimonio de la humanidad.indd 227 SMAT3LRCONAPL18-273-288. Capadocia es famosa por el aprovechamiento que ha hecho la gente de esa formación geológica y de la facilidad que presenta la tierra para adaptarla para sus viviendas que no representan un impacto ambiental como en las ciudades ordinarias. sistemas de ecuaciones y ecuaciones de segundo grado.indd 275 12/24/13 2:56 PM Prohibida su venta 275 1/30/14 6:00 AM . contaban con respiraderos. • Lee y representa. La Unesco (Organización de las Naciones Unidas para la Educación. panaderías. la tierra es de tipo toba calcárea que ha adquirido formas extraordinarias gracias a la erosión a través de millones de años. pozos de agua. En la región de Capadocia se han asentado diversas civilizaciones desde hace miles de años. lo cual también ha traído consigo invasiones múltiples. Para poder resistir ahí dentro durante meses. la incluyó en 1985 como patrimonio de la humanidad. con una extensión de 9. la Unesco determinó que la zona de Capadocia. mutuamente excluyentes e independientes. Presentación del bloque Aprendizajes esperados: • Resuelve y plantea problemas que involucran ecuaciones lineales. los habitantes de la región construyeron refugios subterráneos enormes. caballerizas. etcétera. Anticipa cómo cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las dimensiones. por ello. que han aportado con su cultura a la región. indd 276 Prohibida su venta 228 PM3STJCONA-PL15-225-240. quiere decir que la recta cortará al eje y en el 2000. Sistema de ecuaciones • ¿Qué tipo de ecuaciones representan cada situación? Lineales i Comparen sus resultados y estrategias con los de otros compañeros y valídenlos en grupo. y = 2 000 – 4x Oferta • ¿Cuál de las dos expresiones representa la oferta? La 2. pero depende del tipo de análisis o del tipo de información que se requiera que conviene hacer uso de una u otra. además de que a partir de una de ellas se puede obtener la otra.indd 228 12/24/13 2:57 PM 1/30/14 6:00 AM . cada término en dicha expresión y qué quiere decir que una ecuación tenga un signo negativo en la parte literal. Oferta y demanda 1. d. gráficamente. y qué representaría en el problema del negocio?. Jorge y Raúl iniciaron un negocio que consiste en comercializar sistemas de audio y video. que el valor 2000 en la ecuación de la demanda. después aclare a los adolescentes que si no hubiera x. ¿cuál de las dos expresiones representa la demanda del producto? La 1. pues es importante saber que estas son equivalentes. pregúnteles si saben qué significa. permita que den sus propias explicaciones. 276 SMAT3LRCONAPL18-273-288. Jorge utiliza las expresiones algebraicas: (1) x + 2y = 1400 (2) 4y – 3x = x • ¿Cuál de las dos expresiones representa la demanda del producto y cuál la oferta? 4y – 3x = x la demanda y x + 2y = 1 400 la oferta • ¿Qué representa la literal x? La cantidad de productos a vender • ¿Qué representa la literal y? El precio de los sistemas de audio • ¿Cuántos productos colocará en el mercado y a qué precio tendrían que venderse? 466 y se deben vender a $466. y el signo menos quiere decir que la pendiente es negativa. Para vender un artículo de video. y a. el cual tiene relación con los precios que ofrecen los proveedores y lo que una persona está dispuesta a pagar.66. El precio y el número ideal de productos vendidos. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada Una vez que los estudiantes hayan identificado a qué gráfica corresponde cada expresión. si de la ecuación o de la gráfica. brindan la misma información. y = 2000 – 4x • ¿Qué representa la literal y? El precio de los sistemas de audio • ¿Qué representa el punto de equilibrio en la gráfica? R. y = 9x + 50 • ¿Qué representa la literal x? La cantidad de productos a vender Punto de equilibrio Formule la siguiente pregunta al grupo: ¿Cómo serían las gráficas si no hubiera un término que contenga a la x. Explique. En pareja. Un sistema de ecuaciones Pregunte de dónde es más fácil obtener información. c.Distintos tipos de ecuaciones 28 Propuestas didácticas Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Contenido: Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales. • ¿Cuántos y a qué precio deben vender los productos de audio? 150 a $1 400 cada uno Demanda x b. Describan en su cuaderno el procedimiento que utilizaron para responder lo anterior. analicen la siguiente información y resuelvan. entonces la gráfica sería una recta paralela al eje x. lo cual representaría que el precio no depende de la cantidad de productos. por ejemplo. Jorge trazó una gráfica donde se muestra la oferta y la demanda de un producto de audio y las modeló con las siguientes expresiones algebraicas: Oferta y demanda de un producto de audio (1) Discuta con los jóvenes cómo serían las gráficas de demanda y oferta si cambiara el signo de la pendiente y qué parte de la gráfica se modificaría si el signo de la ordenada al origen cambiara. es decir. (2) y = 9x + 50 • De acuerdo con los datos de la gráfica. Describan en su cuaderno el procedimiento que utilizaron para determinar el precio del producto y la cantidad de productos a vender. M. Ellos saben que debe existir un equilibrio entre la oferta y la demanda. cuadráticas o sistemas de ecuaciones. con la intención de que puedan identificar cómo debe ser la gráfica de una ecuación lineal o cómo debe ser la ecuación de una gráfica en general. cuya vida útil es de 20 años.5%.indd 277 12/24/13 2:57 PM Prohibida su venta 277 1/30/14 6:00 AM . realiza y responde lo que se solicita. la ganancia total por intereses en ambos bancos es de $18 860. • ¿Qué representa la Depreciación de la maquinaria en 20 años 5 000 000 Costo de la maquinaria Los directivos de una empresa de la construcción adquirirán maquinaria que tiene un costo de $4 500 000. Problemas con ecuaciones lineales y cuadráticas 3. mientras que el banco B le dio 4. Al concluir este periodo.055x + 0. por tanto. en la siguiente gráfica. tampoco existe solución.05x + 0. Sí.035y = 16 450 • ¿Las dos expresiones anteriores representan un sistema de ecuaciones? Argumenten su respuesta. y Propuestas didácticas 4 000 000 Después de contestar el punto 2. b el precio inicial y y el precio final. Depende de la ecuación o del sistema de ecuaciones en concreto. L. una única solución o puede que no exista solución en el conjunto de los números reales. Al concluir los seis meses. y = mx + b.5%. lo cual no tiene sentido. se necesitan dos ecuaciones (correspondientes a rectas que se intersecan) para tener una única solución.86 229 PM3STJCONA-PL15-225-240. • ¿Qué expresión algebraica modela la primera inversión? 0. Información complementaria a. y) el cual cumple con la ecuación. Si además esas rectas se intersecan en un punto. donde m representa la depreciación anual. José invirtió su dinero en dos bancos diferentes a un plazo de seis meses. por ejemplo. y = 4 500 000 – 225 000x Gráficamente.045y = 18 860 • ¿Qué expresión algebraica modela la segunda inversión? 0. y el banco B. Disminución del valor de un bien por su uso. El banco A le ofreció 5% de interés. Rodolfo. Reunidos en equipo. pero ahora el banco A le ofrece una tasa de interés de 5. • ¿Cuál fue la inversión inicial en cada banco? $110 551.00. José tendrá una ganancia por los intereses de $16 450. pero hay soluciones que no significan situaciones reales.5%. • ¿Qué significa el par ordenado (20. Por lo que la expresión algebraica debe ser: 3 000 000 2 000 000 1 000 000 0 coordenada (0. recuerde a los alumnos que la solución a una ecuación es un par ordenado (x. un par de soluciones. la solución de la ecuación es cualquier punto que esté en la recta. que es contador. • ¿Cuál procedimiento les resulta más conveniente para resolver dichas expresiones? R.Resolución de una ecuación lineal 2. Si las rectas no se intersecan. la cual debe ser negativa. porque hay dos ecuaciones en las que se presentan las mismas dos incógnitas.00. informó a los directivos la depreciación anual que sufrirá la maquinaria a lo largo de los 20 años. justifica cada respuesta. discuta con los estudiantes cómo es la ecuación correspondiente a la gráfica de la depreciación de la maquinaria. de 3. Analiza la información. en el caso de la máquina los puntos que estarían a la izquierda del eje y se referirían a cuando aún no se ha comprado.72 y $296 275. y como una recta contiene infinitos puntos. sin embargo. depreciación.indd 229 SMAT3LRCONAPL18-273-288. se pueden hallar un número infinito de soluciones.00. quiere decir que existe una única solución (un único punto) que satisface las dos ecuaciones simultáneamente. quiere decir que no existe un punto que cumpla con las dos ecuaciones. 4 500 000)? El precio inicial de la máquina 5 10 15 20 25 x Años Además. En la primera pregunta aparece la ordenada al origen y en la tercera debieron contestar el valor de la pendiente. Si tenemos dos ecuaciones lineales. hay una infinidad de soluciones. x y y. esos puntos cumplen con la ecuación. Para el siguiente periodo retiró los intereses y dejó en cada banco la cantidad inicial. Es por eso que cuando se tiene un problema con dos variables. también tenemos dos rectas que representan todas las soluciones de cada una. • y = mx • y = mx2 + b • y = x2 • y = mx + b i Socializa tus argumentos y con ayuda del profesor valídalos con el resto del grupo. analicen y resuelvan cada problema. 0)? El precio de la máquina en 20 años • ¿Qué cantidad se deprecia la maquinaria por año? $225 000 • ¿Cuál es la expresión algebraica que modela la situación? y = 4 500 000 – 225 000x • ¿Cuál de las siguientes formas tiene la expresión algebraica? Expliquen. 144 • ¿Qué expresión algebraica permite modelar los postes que se necesitan para cercar el terreno? 0. mientras que los términos naturales. • ¿Es el único que puede utilizarse para determinar la medida de los lados? Argumenten. representa una de las medidas del terreno. permita que los estudiantes hagan uso de sus propios recursos.b. afectará en qué tan “gorda” será la parábola. con ayuda del profesor. es decir. En el centro de equitación tienen un espacio donde se guardan los caballos.3x = 360 – 2. Joaquín trabaja en un centro de equitación y le encargaron cotizar las vallas para cercar el perímetro del campo de entrenamiento.indd 230 12/24/13 2:57 PM 1/30/14 6:00 AM . qué tan abierta o cerrada esté con respecto al eje. L. Después cambie los signos de los términos de la expresión para que el grupo analice cómo cambia la parábola y exploren qué sucede cuando se multiplica un coeficiente natural por el término cuadrático. los estudiantes llegarán a la conclusión de que el coeficiente natural que está multiplicado al término cuadrático. En el inciso b preguntan el largo y ancho del campo. El campo tiene forma rectangular.2x • ¿Qué expresión permite modelar las vigas que se necesitan? 2. R. pero no es posible considerarla como tal ya que no hay medidas reales negativas.2x = 360 – 0. por lo que la gráfica no corresponde a una recta sino a una parábola. valídenlas. como se muestra en la imagen. • ¿Cuál es el área total del campo de entrenamiento? 6 075 m2 Pida a los alumnos que grafiquen esta parábola e identifiquen en ella cada término de la expresión cuadrática x² + 30x = 5 400.8 m de altura. • ¿Cuál es la expresión algebraica que permite modelar la medida del largo del campo de entrenamiento en función de la medida del ancho? 3x • ¿Cuál es la medida del largo del campo? 135 m • ¿Cuál es la medida del ancho? 45 m La expresión algebraica que modela el área en el inciso c es una expresión cuadrática.indd 278 Prohibida su venta 230 PM3STJCONA-PL15-225-240. el 5 400 y el 30. • ¿Cuántas soluciones negativas tiene la ecuación? ¿Qué representa en este caso? Una. en x = 60 y x = –90. • ¿Qué representa cada término? 0. El largo mide 90 m y el ancho 60 m. Este lugar ocupa una superficie de 5 400 m2 y se sabe que el largo mide 30 m más que el ancho. c. 278 SMAT3LRCONAPL18-273-288. mientras que las vigas.3x • ¿Cuántas vigas hacen falta para cubrir una fila en todo el terreno? 143 • ¿Cuántas vigas se requieren en total? 429 Mencione que. nos dan las coordenadas del vértice (–30. Propuestas didácticas Las vigas y los postes tienen forma de prisma cuadrangular.3x el grosor de los postes. posteriormente aclare a los jóvenes que el signo positivo del término x² quiere decir que la parábola abrirá hacia arriba.135). Pida al grupo que identifiquen las dos expresiones algebraicas que hacen únicas las medidas (en la que se implica al perímetro y la que relaciona el largo con el ancho) y dé instrucciones de trazar la gráfica correspondiente para confirmar que el punto de intersección es. • ¿Cuántos postes se requieren para cercar el terreno? Justifiquen su respuesta. la base de los postes mide 30 cm por lado y estos miden 1. miden de base 0.2 m de largo. • ¿Cuál es el perímetro del área donde guardan los caballos? 300 m • ¿Cuál es la expresión algebraica que permite modelar el perímetro? 2x + 2(x + 30) = 4x + 60 = 300 • Dicha expresión. efectivamente. Discuta con los alumnos si esas respuestas son únicas y solicite que justifiquen sus respuestas. es decir. su perímetro es de 360 m y se sabe que el largo es tres veces la medida del ancho. ¿es una ecuación lineal o cuadrática? Lineal i Comparen en grupo sus respuestas y. es decir. 2.3 m de lado y 2. –5 400). • ¿Qué expresión algebraica permite modelar el área de dicho espacio? x2 + 30x = 5 400 • ¿La expresión anterior es una ecuación lineal o cuadrática? Cuadrática • Expliquen qué procedimiento siguieron para resolver la ecuación. La valla está compuesta por postes de madera colocados verticalmente y vigas puestas de manera horizontal. R. L.2x la longitud de las vigas y 360 el perímetro. las soluciones son los puntos de la parábola que cortan al eje x. (45. en este caso. con ayuda del profesor. a grandes rasgos. las gráficas asociadas a cada una de las expresiones algebraicas de las áreas y compare entre las gráficas de los dos ejercicios. la solución existe. la cual se muestra en la siguiente figura. 4 800 m i Socialicen sus argumentos y. Comente que un problema de áreas no siempre implica una expresión algebraica cuadrática. La figura que se muestra es una reproducción a escala del área de exhibición del centro de equitación donde trabaja Joaquín. pero ¿qué representan las soluciones negativas? Como se está hablando de las dimensiones de un campo. pregunte cómo deben ser. sin embargo. en donde es importante la dirección en la cual se está midiendo. serán los jóvenes quienes enuncien la expresión algebraica correspondiente. En el inciso e las expresiones son cuadráticas. A = 60a • Analicen las dos expresiones anteriores. ¿Representan ecuaciones lineales o cuadráticas? Justifiquen su respuesta.d. no tiene sentido una medida negativa. Cuadrática y lineal a Antes de comenzar con el inciso d. 231 PM3STJCONA-PL15-225-240. El área en color verde es el campo de juego. mientras que la gris son las gradas.indd 279 12/24/13 2:57 PM Prohibida su venta 279 1/30/14 6:00 AM . 72.11 m 60 m 20 m Una vez concluidos los incisos d y e. las soluciones negativas representarían el mismo campo pero ubicado en el cuarto cuadrante del plano cartesiano. Cuadrática 2 2 • ¿Cuál es el área del campo de juego y del área de gradas? Campo 3 200 m y gradas. valídenlos en grupo.indd 231 SMAT3LRCONAPL18-273-288. haga un breve repaso del teorema de Pitágoras sin enunciarlo algebraicamente. Recuérdeles que el teorema de Pitágoras se utiliza únicamente en triángulos rectángulos y sirve para determinar la medida de alguno de sus lados a partir de la medida de los otros dos: c² = a² + b². solo recurriendo a dibujos que representen su contenido. Tomando en cuenta esto. 40 m a Se puede introducir la idea del marco de referencia.44 m a + 40 20 m • ¿Las medidas del campo de juego son mayores o menores que las del área de exhibición anterior? Mayores • ¿Cuál es la expresión algebraica que permite modelar el área del campo de juego? a(a + 40) = a2 + 40a • ¿Qué tipo de ecuación representa? Justifiquen. 89. todo depende del sistema de referencia a partir del cual se esté midiendo y el significado que se le dé a este. Elabore preguntas al grupo como: ¿En qué cambian y en qué se parecen? 2 2 • ¿Cuál es el área del campo de juego y del área de gradas? Gradas 4 000 m y campo 2 400 m e. • ¿Cuál es la expresión algebraica que permite mo2 delar el área de la gradas? 80 – 60a Propuestas didácticas 40 m • ¿Cuál es la expresión algebraica que permite modelar el área del campo de juego? Determínenla a partir de a y de la diagonal del rectángulo. El centro de equitación tiene otra área de exhibición. más bien depende de cuánta información tengamos al respecto. –86x + 5 = –75 Explique a los estudiantes que la ecuación del inciso a se puede escribir como dos ecuaciones: y = x + 85 y y = 209. 209) y compare con la solución que los alumnos encontraron. g. y = 168 + x x = 200 – y j. –50.5x – 1. x = 96. soliciten ayuda del profesor para solucionarlas. Puede sugerirles usar programas graficadores.24 x = 96. x = –4500 f. no hay solución.1 i Comparen sus resultados con otro equipo para comprobar la veracidad de sus respuestas.5x + 4y 2 k. 280 SMAT3LRCONAPL18-273-288. j y l para que comparen las soluciones gráficas con las que obtuvieron algebraicamente. 9x – 54x = 81 x1 = 7. cuando reflejamos la parábola respecto al eje x. Propuestas didácticas a.8x + 24. Después.22 Invite a algún voluntario a pasar al pizarrón a graficar la parábola y = x². 9x2 = 96x x = 3. Resuelvan en equipo las siguientes ecuaciones. solicite que hagan un esbozo de cómo son las gráficas de las ecuaciones restantes. por tanto.409 x = 16 y = 184 x = 14. pida que grafiquen las ecuaciones de los incisos c. x = 7. Pida a los alumnos que la encuentren.8 x = 0.1912 g. 86x + y = 500 5x – 7y – 800 = 0 d.08 y = –109.93 e. Pregunte qué sucede con la ecuación e.indd 232 12/24/13 2:57 PM 1/30/14 6:00 AM .409 c. la ecuación –x² = –4 500 sí tiene solución.24 y = –187. luego explique que esta se encuentra en la intersección que corresponde al punto (124. Explique que debido a que no existe ningún punto de intersección entre estas dos gráficas.81 l.91 x2 = –1. d. x = 0. Pida al grupo que grafiquen las dos ecuaciones y que interpreten la solución.5 2 x = 0 y 10 3 i. ¿Por qué no tiene solución? x2 = –14. no existe ningún punto que satisfaga las dos ecuaciones al mismo tiempo y. y la recta y = –4 500.Plantear problemas a partir de expresiones algebraicas 4. Por último. por tanto. 1096x – 8650 = 512x 2 Dibuje en el pizarrón la parábola correspondiente a la ecuación b y solicite que identifiquen cada término de la ecuación con la gráfica. esta intersecta a la recta y = –4 500.indd 280 Prohibida su venta 232 PM3STJCONA-PL15-225-240.8 y = 12. 4x2 + 16x = 600 x = 124 x1 = 10. Sin embargo.6y = 190 –96. Si hay dificultades.2 = y x = No tiene soluciones x = 2. f. 25x + 80 = 105x – 200 h. x + 85 = 209 b. sep. pide apoyo al profesor. ¿Qué tipo de ecuación modela dicho problema? Comparte con tus compañeros tu experiencia con el interactivo y discute tus conclusiones. realicen en su cuaderno lo que se pide. j b. ¿y si está un poco inclinada? Pida a los adolescentes que expliquen cómo debe ser la inclinación de la hoja de tal forma que al cortar el cono. Analicen las ecuaciones de la actividad anterior y realicen lo que se pide. xy = 2 000 • La expresión algebraica x para obtener el área en color gris. cuadráticas o pertenecen a un sistema de ecuaciones. 40y + xy • A partir de las expresiones anteriores. Verifiquen que los problemas planteados por el otro equipo puedan resolverse con la ecuación correspondiente. ¿cuáles son las medidas de los lados del rectángulo rojo? y = 100. una ecuación cuadrática y un sistema de ecuaciones. pregunte a los alumnos si los valores de x y de y son únicos o no y que expliquen por qué.indd 281 12/24/13 2:57 PM Prohibida su venta 281 1/30/14 6:00 AM . k c. L. e.5. l Propuestas didácticas En relación con la sección de Reto. Dibuje la parábola con su foco y la directriz para ejemplificar la idea de las distancias. L. De no ser así. Planteen un problema que se pueda modelar con la figura propuesta. Trace medio cono y pregunte a los alumnos qué pasaría si lo cortara con una hoja de papel. no existe ninguna relación entre las variables y tampoco una única solución.html Haz lo que se indica en el problema del marco rectangular de la pintura.telesecundaria. h. Intercambien y discutan sus problemas con otros equipos para analizar su pertinencia. d. Reunidos en pareja.indd 233 SMAT3LRCONAPL18-273-288. g. 233 PM3STJCONA-PL15-225-240. f. Tipo de ecuación Lineal Cuadrática Sistema de ecuaciones Inciso a. y planteen un problema para cada caso. • Ecuación lineal: • Ecuación cuadrática: Información complementaria c. • Sistema de ecuaciones: Pregunte a los estudiantes: ¿Qué datos tendrían que fijar para que la solución fuera única? Explique que si se determina el área de la figura completa o se fija el valor de una de las variables. con ayuda del profesor. Identifiquen cuáles son ecuaciones lineales. llamado foco.mx/ interactivos/3_ tercero/3_ Matematicas/ INTERACTIVOS/3m_ b05_t01_s01_ descartes/index. i. Analicen la figura y determinen: • La expresión algebraica 40 cm para obtener el área en color rojo. Elijan una ecuación lineal. b.gob. Pida al menos dos soluciones diferentes y que analicen cómo cambia el área de la figura completa. Plantee la siguiente pregunta: ¿Qué figura quedaría si la hoja corta paralelamente a la base?. 1 600 + 40x + 40y Área de 2 000 cm2 5x 40 cm 1 600 + 40x + • La expresión algebraica para obtener el área de toda la figura. Reto Modelos geométricos 1. i Discutan en grupo sus experiencias. entonces la solución es única. R. Si hay dudas. y de una recta llamada directriz. Ingresa al siguiente sitio web. a. R. x = 20 b. d. dgme. También se podría establecer el perímetro de alguna de las figuras. anoten las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para aclararlas. practica con el interactivo y después realiza lo que se solicita: www. Regístrenlas en la siguiente tabla. valídenlos en grupo. (consulta: 14 de noviembre de 2013) También recuerde la otra definición de parábola: el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto. a. se obtenga una parábola. i Socialicen sus argumentos y. indd 234 12/24/13 2:57 PM 1/30/14 6:00 AM . Organizados en pareja. Hagan un esquema para ejemplificarlo en su cuaderno. identificando el eje de rotación. tomando como eje de rotación el eje mayor de estas. R. • Alfonsina dice que los frutos que usó se asocian con un cuerpo geométrico. una lata. El árbol de pepino tiene rebanadas de forma de cilindro oblicuo. M. lean la situación. la cual se llama toro. espacio y medida Tema: Medida Contenido: Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. y pregunte si a alguien se le ocurre una figura geométrica plana que pueda generar a la carambola (o carambolo). mientras que una recta (o un perímetro) solo tienen una dimensión. consigan objetos con forma cilíndrica (por ejemplo. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto Antes de comenzar con la actividad. pero también se pueden girar los perímetros para obtener figuras huecas. Alfonsina está preparando un manual sobre cómo elaborar figuras con frutos. Elemento base: kiwi Recuerde al grupo que un círculo. L. El árbol de kiwi tiene rebanadas de forma de cilindro recto. Organizados en equipos. Comente que no todas las frutas se pueden generar al rotar un plano. M. Describan el cuerpo geométrico que se obtendrá si a un cilindro se le hace un corte paralelo a la base. Si en lugar de ser círculos los que se ponen a girar. • Completen la descripción de Alfonsina. • Completen la descripción de Alfonsina. por lo que al girarlos generan únicamente dos dimensiones. M. a. R. a. b. M. En el corte que se hizo a cada fruto. Modelaje con frutos 1. en vez de obtener una esfera sólida. supongan que les hacen diferentes cortes y hagan lo siguiente. una vela u otro vegetal). Otro cilindro 234 PM3STJCONA-PL15-225-240. Kiwi Pepino 282 SMAT3LRCONAPL18-273-288. Observen la forma de los frutos y respondan. son circunferencias. para construir los árboles? R. pida que entre todos digan lo que es un sólido de revolución y cómo se forma. • ¿En qué se diferencia la forma de las rebanadas de pepino y las de kiwi empleadas En el caso de girarlo sobre uno de sus diámetros. tenemos una esfera hueca. • Piensen cómo cortó Alfonsina el kiwi y el pepino para obtener las rebanadas de cada árbol. Mencione que un plano tiene dos dimensiones y al girarlo se obtiene una figura de tres. Circular y ovalada • Comenten qué características tiene el cuerpo asociado a los frutos y descríbanlas. genera a una esfera y haga el siguiente planteamiento: ¿qué figura se generará si lo ponemos a girar alrededor de un punto externo a este? Dibuje el círculo y el punto para comenzar con la discusión. observen las imágenes y respondan.indd 282 Prohibida su venta 2. Analicen las imágenes de cada modelo de árbol y respondan.29 Propuestas didácticas Secciones cónicas Eje: Forma. la figura que se obtiene se le llama superficie de revolución. al girarlo sobre uno de sus diámetros. ¿cuál puede ser: esfera. Discuta cómo debe cortarse cualquier sólido de revolución para obtener la figura que lo generó. horizontal e inclinado. para poder llegar a la conclusión de que se forma una figura parecida a una dona. Finalmente se puede concluir que es necesario girar un plano para obtener sólidos. Invite a un voluntario a que pase al pizarrón a resolver las actividades del punto 1 y pregunte cuáles son las figuras planas que hay que girar para generar un kiwi y un pepino. Elemento base: Pepino La base de los árboles son frutos de forma R. cono o cilindro? Cilindro Explique que las dos frutas se pueden generar al girar elipses (u óvalos). R. resulta un círculo. lean la información de la siguiente página y compárenla con sus conclusiones. R. • Realicen cuatro cortes oblicuos al cuerpo cilíndrico. Por tanto. después de elipse Pregunte a los alumnos cuáles son los ejes de simetría del cilindro y trace las figuras resultantes de cortar con planos paralelos a esos ejes. Seleccionen cuerpos cilíndricos (elabórenlos con plastilina o consigan vegetales o frutos) y hagan esta actividad en el laboratorio de Ciencias. rectángulos. si se conoce el radio de la esfera. trace solamente media esfera y un corte paralelo a la base (de todas formas. Concluyan la descripción para el manual de Alfonsina. Para el árbol de kiwi se hacen cortes paralelos a la base. Después. es imposible obtener una figura circular haciendo cortes con planos. L. los radios de los círculos obtenidos con cortes se pueden determinar a partir de la siguiente relación: r = R2 – d 2 . 3. La altura de la base al plano es d. a. R. el otro a r y la hipotenusa es R. Además. Línea o plano que corta a otra u otro formando un ángulo que no es recto. L. R. M. r. c. Mencione que si se empieza con cortes paralelos a la base y se inclinan hasta llegar al corte perpendicular a esta. por último. La manera de obtenerlo es recurriendo al teorema de Pitágoras: uno de los catetos corresponde a d. De las bases Circular Perpendicular a la base Semicircular De las caras generadas Circular Rectángulo Características Paralelo a la base Oblicuo a la base (1) Sector circular Oblicuo a la base (2) Sector circular Elipse Elipse Para ilustrar esta idea. es fácil saber qué radio. y la distancia del centro de esta al corte que se haga. realicen lo que se solicita. i Comenten en grupo sus respuestas y registren sus acuerdos en el cuaderno.indd 283 12/24/13 2:57 PM Prohibida su venta 283 1/30/14 6:00 AM . Compare con una sandía y explique que como no tiene ningún lado recto. Paralelo a la base Perpendicular a la base Oblicuo a la base (1) Oblicuo a la base (2) Cualquier corte que se haga en una esfera con un plano. c. consecutivos e iguales a los mostrados en la imagen superior de esta página. Analícenla considerando que el fruto es un cuerpo asociado con un cilindro. cortando un cilindro con un plano. en el aula o en casa. Así que solo se pueden obtener tres lugares geométricos distintos. las figuras empiezan siendo círculos. Elijan otros cuerpos cilíndricos y háganles estos cortes (uno a la vez). Describan los cuerpos obtenidos luego de hacer el corte. oblicuo. Elípticas Información complementaria b. 235 PM3STJCONA-PL15-225-240. Organizados en pareja. R. tendrá ese círculo. d. Debido a que el prisma tiene seis lados rectos. i Comenten con otra pareja las respuestas a las actividades anteriores y registren en el cuaderno las diferencias.b. es imposible obtener cualquier polígono. de hecho solo se pueden obtener círculos y elipses. siempre se puede acomodar la esfera para que el plano que la haya cortado sea paralelo a algún diámetro). Cortes a cuerpos cilíndricos Pida que le digan qué sucede con un cubo o un prisma cuadrangular y dibuje la figura al momento de hacer cortes. después elipses y. • ¿Qué forma tendrán las bases del cilindro antes y luego de hacer el corte? Expliquen. Expliquen cómo son las bases del cilindro luego de hacerle cada corte. Para el árbol de pepino se hacen cortes oblicuos o transversales a la base. Propuestas didácticas Antes de círculo.indd 235 SMAT3LRCONAPL18-273-288. Luego cuestióneles cómo son estas figuras en comparación con cualquier otro corte. La imagen de la derecha representa un fruto que será rebanado con cortes oblicuos. Registren sus conclusiones en el cuaderno. Después. respectivamente. Pregunte entonces cuántas posibles elipses o círculos distintos pueden generarse a partir de un cono dado. luego. círculos o rectángulos y en la medida de sus ejes. si se le hace un corte oblicuo. ¿cómo son las formas que se generan? Descríbanlas. se generan diferentes formas dependiendo del corte: si el plano hace un corte paralelo a la base. L. elipses. Jacinto. • Si se realiza un corte recto y paralelo a la base de cada cono. de ser necesario. Información complementaria Las figuras planas generadas con cortes a sólidos pueden considerarse en sí mismas (por sus dimensiones y forma) o como caminos sobre la superficie del sólido. modeló con plastilina conos como los siguientes. 4. sino oblicuo a la base. un alumno de secundaria. d. b. a. a uno horizontal que genera un círculo. comprueben sus estimaciones haciendo los cortes. corrijan sus respuestas. no solo genera un rectángulo. es decir. Retomen la situación de las páginas 234 y 235. den sus conclusiones. si se le hacen cortes paralelos a la base. R.indd 284 Prohibida su venta 236 PM3STJCONA-PL15-225-240. sino que cada vez genera el mismo rectángulo. pero es igual en cada cono. haga notar que en realidad el círculo es un caso especial de la elipse. Lean la situación y respondan. Y resulta que varios cortes generan la misma figura. Cortes al cono Muestre esto con ejemplos: cortes distintos de un cilindro que generen la misma elipse. digamos. si es perpendicular a la base. radios o lados. hay dos aspectos al realizar una sección a un sólido: el corte que se hace y la figura que se obtiene. Estimen qué forma tendrán sus bases si les hacen cortes verticales y horizontales. Revisen lo que contestaron en la descripción de cada árbol y. Comente que esto obedece a que el cilindro es un sólido de revolución generado a partir de un rectángulo. Expliquen con lenguaje geométrico qué forma tienen las secciones y el corte que debe hacerse para obtenerlas. se generan círculos. y si es oblicuo. Una vez resuelto el punto 3. y que puede pasarse continuamente de un corte oblicuo. con el ejemplo del cilindro y la esfera. i Socialicen sus respuestas y lleguen a acuerdos en grupo. círculo.Al cortar un cilindro recto con un plano. Es decir. Introduzca este concepto brevemente. sobre el cilindro. Explique que cada curva depende de la altura y el ángulo del corte. o pensarlas como una trayectoria recorrida por una hormiga. Hagan esta actividad en equipos. • Si el corte no es recto. rectángulo si se le hace un corte perpendicular a su base. observen que cualquier corte de un cilindro perpendicular a la base. que genera una elipse. podemos fijarnos en si son elipses. Elaboren diferentes conos con plastilina. rectángulos. pero que no es necesario considerar todos los ángulos para tener todas las figuras posibles. aunque en posiciones diferentes. Elipses 284 SMAT3LRCONAPL18-273-288.indd 236 12/24/13 2:57 PM 1/30/14 6:00 AM . El cilindro cortado tiene caras con forma de: Propuestas didácticas elipse. si se considera dentro del sólido. ¿qué formas se obtienen? Círculos ¿Cómo serán entre sí dichas formas? Se forma un cono y un cono truncado. así que pida a los alumnos varios ejemplos de aplicaciones del círculo y pregunten por qué creen que se use ahí. la sección es una hipérbola. y paralelo a una de las generatrices del cono. se llaman antenas parabólicas. Círculo • Confronten sus observaciones y experiencias con la información teórica.indd 285 12/24/13 2:57 PM Prohibida su venta 285 1/30/14 6:00 AM . Los megáfonos tienen forma de cono. pregunte a los alumnos en dónde han visto esas figuras para ayudar a reafirmar los nombres. conocidas como secciones cónicas. esta figura se utiliza en muchos lugares. Observen los cuerpos y sus cortes. Escriban qué forma tiene la cara del cono destacada con azul y cuáles son sus características. e eje Si el plano es oblicuo al eje e interseca a las generatrices de un mismo lado del vértice. ¿se obtiene siempre la misma forma? No. Por ejemplo. Cuando un plano corta a un cono. estas son superficies de revolución que se generan haciendo girar una parábola sobre su eje focal (es necesario aclarar cuál es este eje con un dibujo). • ¿Sucede lo mismo con un corte perpendicular al eje? ¿Y con cualquier tipo de corte? Expliquen. Oblicuo a Perpendicular Paralelo a la Paralelo a la base a la base generatriz la base Elipse Hipérbola Parábola Al terminar las actividades del inciso c.• Al cortar un cono cualquiera de manera recta. las antenas que usan las compañías de televisión satelital. las formas que se obtienen son diferentes. • Después. • Si tienen dudas. No. la sección se llama elipse. registren sus acuerdos y conclusiones sobre lo realizado. ya que proporcionan un buen soporte arquitectónico. En cuanto al círculo. 237 PM3STJCONA-PL15-225-240. e eje e eje Si el plano interseca a todas las generatrices. ya que esta ayuda a que el sonido viaje en una misma dirección sin que se disperse. se obtienen diferentes secciones. Existen espejos con formas de hipérbolas que se usan para reflejar un haz de luz en una dirección alejada a la del haz incidente. también se ha observado que los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos (también es conveniente hacer un diagrama para ubicar los focos). depende del tipo de corte.indd 237 SMAT3LRCONAPL18-273-288. coméntenlas en grupo para solucionarlas. la sección es una parábola. Los arcos que están debajo de los puentes generalmente tienen la forma de una elipse. Propuestas didácticas c. e eje Si el corte es oblicuo al eje. la sección es un círculo. Si el plano corta al cono de forma perpendicular a su eje. pero no en un mismo lado del vértice. puede comentar que se usa esta figura pues es la más eficiente para recibir o emitir la señal. Radios de los cortes al cono paralelos a su base 5. Organizados en pareja, realicen lo que se solicita. a. Elaboren un cono con plastilina (u otro material de fácil acceso) que mida 20 cm de altura y 4 cm de radio en la base. R. L. Propuestas didácticas 20 cm Antes de comenzar la actividad, haga notar que un cono es un sólido de revolución generado por un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y la altura del cono. • Discutan si puede establecerse alguna relación entre la medida del radio del cono y su altura. Anoten sus argumentos. R. M. En este caso la relación es 5 a 1. 4 cm • Al cortar un cono de forma paralela a la base, este pierde altura; ¿cómo afecta esto a la medida del radio del cono obtenido? Es menor al radio original. Recuerde a los estudiantes el teorema de Pitágoras y precise cómo se aplica a un cono. Después de la actividad, pregunte qué relación guardan la altura de un corte sobre el cono y el radio del círculo resultante de tal corte. Propóngales que observen que se trata de una relación de proporcionalidad inversa: a mayor altura, menor radio, proporcionalmente. b. Hagan cortes paralelos a la base del cono. Cada corte será de 1 cm de altura. Luego, realicen lo que se indica. R. L. • Comparen los círculos que resultan en cada corte y registren sus observaciones. R. M. El círculo de la base resultante cada vez es menor. Invite a los alumnos a trazar en sus cuadernos los triángulos correspondientes al cono completo y a uno que resulte de un corte paralelo a la base. Pida que imaginen un cono y el triángulo rectángulo que lo genera trazado dentro de este, ahora, deberán imaginar que se modifica su altura, obteniendo un cono más grande; pregunte cómo van variando las dimensiones del triángulo que genera al cono en función de la altura y pídales que analicen si existe alguna relación entre el radio del círculo que resulta ser la base del cono y la altura, cuando esta última va variando. • Midan el radio de los círculos obtenidos y completen la tabla. Abra un espacio para la discusión y posteriormente dé instrucciones de resolver las actividades ofrecidas en la página. h (altura del cono en cm) r (radio de la base en cm) h (altura del cono en cm) r (radio de la base en cm) 1 0.2 11 2.2 2 0.4 12 2.4 3 0.6 13 2.6 4 0.8 14 2.8 5 1 15 3 6 1.2 16 3.2 7 1.4 17 3.4 8 1.6 18 3.6 9 1.8 19 3.8 10 2 20 4 • ¿Cuánto mide el radio del círculo superior del cono cuando ha perdido la mitad de su 2 cm altura? ¿Y cuando ha perdido 3 ? 1 cm 4 • ¿Cuál sería la medida del radio del círculo, si su altura fuera de 22 cm? Expliquen. 4.4 cm, porque la relación entre el radio y la altura es proporcional. • Expliquen cuál es la relación entre la pérdida de altura del cono al hacerle a este cortes paralelos a su base, y la medida del radio del círculo formado con el corte. Por cada centímetro que se corta, el radio pierde 0.2 cm. 286 SMAT3LRCONAPL18-273-288.indd 286 Prohibida su venta 238 PM3STJCONA-PL15-225-240.indd 238 12/24/13 2:57 PM 1/30/14 6:00 AM 6. Haz esta actividad de forma individual. a. Traza la gráfica que representa la relación entre las alturas del cono obtenidas al hacer cortes paralelos a su base, y el radio de los círculos que se van formando. Propuestas didácticas y 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 Radio de la base (cm) Haga notar a los alumnos que el estudio de muchas de las propiedades de un cono se reduce al estudio de propiedades de triángulos rectángulos. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Altura del cono (cm) Resalte la importancia que tienen entonces las razones trigonométricas para hablar de proporcionalidad y del cambio del radio en función del cambio de altura. Como actividad complementaria, se puede indicar a los alumnos que investiguen un poco acerca del origen del estudio de las cónicas en la Grecia Antigua. x Información complementaria • Explica si la medida de la altura y el radio del cono tienen una relación de proporcionalidad y por qué. Sí, porque aumentan o disminuyen proporcionalmente. El estudio de las secciones cónicas es importante para la geometría porque ellas dan origen a curvas con propiedades geométricas muy especiales, que sirven para describir o modelar numerosos fenómenos y relaciones que no son lineales o proporcionales. Por ejemplo, la parábola sirve en balística para representar la trayectoria de un proyectil, y junto con la hipérbola posee propiedades de reflexión de ondas y luz útiles para la construcción de antenas y lentes para telescopios. i Socializa tus argumentos con tus compañeros. Acuerden si la relación explorada les sirve para determinar el radio de los círculos que se obtienen al hacer al cono cortes paralelos a su base. Razón de semejanza para obtener datos del cono 7. Observa el cono de la derecha y responde. a. ¿Qué figura plana se forma con la altura del cono, el radio de la base y la generatriz? Remárcala y explica sus características. Un triángulo rectángulo 40 cm b. Argumenta por qué se puede afirmar que: Por otro lado, las elipses representan en astronomía las órbitas de los planetas. Comente al grupo que, además, el enfoque de los cortes a un cono no es el único para abordar tales curvas, sino que también pueden definirse como lugares geométricos cuyos puntos cumplen ciertas propiedades. Ejemplifique esto último definiendo el círculo como el conjunto de puntos que equidistan de un mismo punto, y la elipse como el conjunto de puntos cuyas distancias a dos puntos fijos suman una constante. 10 cm Al disminuir la medida de la altura del cono se forman dos triángulos semejantes. R. M. Porque la medida de los ángulos no se modifica. c. Socializa tus argumentos con el grupo y registra los acuerdos. Con base en ello, establece la igualdad entre las razones para obtener la medida del radio al disminuir 2 cm la altura del cono: 40 x 38 = 10 38 cm 40 cm x 10 cm 239 PM3STJCONA-PL15-225-240.indd 239 SMAT3LRCONAPL18-273-288.indd 287 12/24/13 2:57 PM Prohibida su venta 287 1/30/14 6:00 AM d. Al establecer la igualdad entre las razones, ¿pueden obtenerse las medidas que tendrán los radios al hacer cortes consecutivos de x medida al cono? Explica cómo. Sí. R. M. Mediante regla de tres o encontrando la razón de semejanza. Propuestas didácticas e. Un cono mide 15 cm de altura y tiene una base con un radio de 8 cm. Usa la razón de semejanza para determinar el radio de los círculos formados al hacer los siguientes cortes paralelos a la base. • 1 cm 7.46 • 0.5 cm 7.73 Invite a alguno de los estudiantes a pasar al frente del pizarrón a hacer un breve repaso sobre las razones trigonométricas, explicando en resumen de dónde sale el seno, el coseno y la tangente y cuáles son sus expresiones en forma de razón, a partir de un triángulo rectángulo. Luego, dé instrucciones al grupo de resolver las actividades de la página. • 4.5 cm 5.6 • 7.5 cm 4 • 3 cm 6.4 • 6 cm 4.8 i Socializa tus respuestas. Si es necesario corrígelas. Después, registra los acuerdos a los que lleguen bajo la guía de su profesor. Durante la actividad, haga notar a los adolescentes que en cada una de las razones trigonométricas intervienen tres elementos y que basta conocer dos de ellos para obtener el tercero. Así, para saber qué función trigonométrica resulta útil para conocer un cierto dato, hay que fijarse en qué datos ya son conocidos y en cuál razón trigonométrica involucra a los tres. Como consecuencia de esto, si uno sabe más de dos datos, puede usar más de una razón trigonométrica para conocer un mismo dato. Pida que expresen algebraicamente el radio del cono obtenido en función de la altura del corte, aplicando al menos dos funciones trigonométricas distintas. Razones trigonométricas para obtener datos del cono 8. Reúnanse en pareja y realicen lo que se plantea. En un cono que mide 16 cm de altura y 6 cm de radio en su base, se hacen cortes paralelos de 0.5 cm a su base. • Identifiquen en la imagen de la izquierda el triángulo rectángulo formado por la altura, el radio y la generatriz y respondan: ¿con qué valores pueden determinar la medida del ángulo formado por la generatriz y el radio? Por medio de la tangente. Solicite que escriban en sus cuadernos los pasos necesarios para realizar las actividades del inciso a. Permita que los jóvenes compartan los datos de sus tablas para verificar que se han obtenido los mismos valores; invítelos a compartir también los pasos que siguieron para llegar a ellos. • ¿Cuál es la medida del ángulo que se genera? 69.44º • ¿Qué razón trigonométrica es de utilidad para determinar el valor del radio (x) al hacer un corte paralelo a la base del cono? Sustenten su respuesta. La tangente, porque al dividir la altura entre el radio se obtiene el valor de dicha razón trigonométrica del ángulo correspondiente. a. Con base en la medida del ángulo y el procedimiento anterior, que involucra el uso de razones trigonométricas, completen la tabla. h (altura del cono en cm) 15 14 13 12 11 10 9 288 SMAT3LRCONAPL18-273-288.indd 288 Prohibida su venta r (radio de la base en cm) 5.625 5.25 4.875 4.5 4.125 3.75 3.375 h (altura del cono en cm) 14.5 13.5 12.5 11.5 10.5 9.5 8 r (radio de la base en cm) 5.437 5.062 4.687 4.312 3.937 3.562 3 240 PM3STJCONA-PL15-225-240.indd 240 12/24/13 2:57 PM 1/30/14 6:00 AM b. Revisen la tabla anterior y respondan. • ¿Qué patrón o regularidad pueden identificar en los datos de la tabla? Que son proporcionales. • ¿Este procedimiento es de utilidad para obtener datos de otros conos? Expliquen. R. L. Propuestas didácticas • ¿Qué otros procedimientos pueden aplicar para responder lo solicitado? R. M. Regla de tres ¿Los datos de la tabla tienen una Para cerrar la lección, organice al grupo en equipos de tres integrantes para que hagan un resumen sobre la importancia del estudio de las cónicas como herramienta en el estudio de procesos no lineales y la abundancia de ellos en la ciencia y la vida cotidiana. Pida a los alumnos que mencionen ejemplos de fenómenos que pueden representarse mediante curvas cónicas. Luego, invite a un representante de cada equipo a pasar al frente del grupo a compartir las ideas principales. relación proporcional? ¿Por qué? Sí, porque al hacer cortes, la altura y el radio disminuyen en la misma proporción. • De ser afirmativa su respuesta, expliquen de qué tipo de proporcionalidad se trata. Directa. i Socialicen sus respuestas y registren sus acuerdos. Retome la idea del cono como sólido de revolución para exponer cómo intervienen las funciones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras para ayudarnos a obtener datos sobre un cono. Exponga cómo la mayor variedad de figuras producto de seccionar un cono, con respecto a las que se producen al seccionar un cilindro, obedece precisamente a la razón de cambio entre el radio y la altura del corte. 9. En grupo, revisen lo que han hecho en esta lección. Todas son R. L. • Comenten acerca de sus experiencias al analizar las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. • Describan la forma de las secciones cónicas. • Acuerden cómo son los procedimientos empleados para calcular las medidas de los radios de los círculos que resultan de hacer cortes paralelos en un cono recto. • Complementen sus experiencias visitando los sitios sugeridos en la sección de apoyo tecnológico. i Registren sus conclusiones después de que hayan sido validadas por su maestro. Expresen las dificultades que enfrentaron para realizar las tareas de la lección y compartan cómo las resolvieron. Reto Círculos al cortar un cono 1. Responde en el cuaderno. a. Se tienen dos conos, el azul y el amarillo. A ambos se les hacen cortes paralelos a la base de 2 cm. 37 cm 35 cm 25 cm 27 cm x x 11 cm 11 cm • Determina cuántos cortes se deben realizar a cada cono para que en ambos la medida de la altura sea 19 cm. Con esa altura, ¿cuál cono tiene mayor radio? Al azul cuatro cortes y al amarillo nueve. El cono azul, su radio sería de 7.74 m. 2. Retoma los conos anteriores y plantea un problema que se pueda resolver con los datos dados. • Discute tus experiencias en grupo, anota las dificultades o dudas que tuviste y socialízalas para que sean aclaradas en grupo. En el siguiente sitio podrás ampliar la información sobre: Cortes al cilindro www.matematicas visuales.com/html/ geometria/planenets/ cylinderobliq.html Visualización de secciones cónicas: www.dmae.upct. es/~pepemar/ conicas/index.htm Secciones cónicas: www.disfrutalas matematicas.com/ geometria/conicas -secciones.html Ingresa a la página que se indica; busca el título Álgebra, y selecciona los videos “Identificando secciones cónicas 1, 2 y 3”. www.khanacademy. org/intl/es Discute con tus compañeros la información de la página y analicen los ejemplos propuestos. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Invite a los estudiantes a resolver la actividad propuesta en el recuadro de Reto y posteriormente a que ingresen a las páginas de Internet que se ofrecen en el recuadro de Apoyo tecnológico para que resuelvan las actividades que ahí se presentan, de modo que puedan fortalecer los conocimientos adquiridos a lo largo de la lección. 241 PM3STJCONA-PL16-241-256.indd 241 SMAT3LRCONAPL19-289-304.indd 289 12/24/13 2:59 PM Prohibida su venta 289 1/30/14 6:01 AM 30 Propuestas didácticas Volumen de cilindros y conos Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida Contenido: Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides Antes de iniciar la lección, hable a grandes rasgos de cómo calcular el volumen de un cubo por sumas infinitas. Diga a los estudiantes que imaginen que cortamos cuadrados de un papel muy delgado y los apilamos de tal manera que forme un cubo. Comparación de conos y cilindros 1. Organizados en pareja, realicen lo que se pide. Para calcular el volumen de ese cubo necesitamos saber cuál es el espacio que ocupa la pila de papeles, por lo que se puede pensar que depende del área de cada hoja de papel y de la altura que ocupa, es decir, la altura del cubo. Es por eso que el volumen de un cubo se calcula por medio de la fórmula V = L²L = L³, donde V es el volumen del cubo y L la longitud de cada una de las aristas, de modo que el área de los cuadrados que conforman al cubo está dada por L2. a. En una neveria sirven malteadas en envases como los que se muestran. Se sabe que una malteada está servida en un vaso cilíndrico cuya base mide 90 mm de diámetro y que tiene 165 mm de altura; cada copa tiene como base 90 mm de diámetro y 165 mm de altura. • Si un vaso cuesta lo mismo que tres copas, ¿en qué opción se adquiere mayor cantidad de mal- Pregunte a los alumnos si consideran que este método es válido para cualquier sólido y pida que encuentren la fórmula del volumen de cualquier prisma de base regular, posteriormente que hagan el razonamiento para el cilindro, por el método infinitesimal. teada? Expliquen por qué. En las dos opciones se obtiene la misma cantidad. • Discutan esta afirmación: “Si el vaso de malteada cuesta lo mismo que las tres copas, entonces, las copas contienen igual cantidad de malteada que el vaso”. ¿Están de acuerdo con ella? Expliquen por qué. R. M. La capacidad de un cilindro es igual a tres veces la capacidad de un cono con la misma base y la misma altura, pero esto no necesariamente podría determinar el precio. • Planteen una forma de verificar si la afirmación anterior es verdadera o en qué condiciones puede serlo. Escriban sus conclusiones en el cuaderno. R. M. Volumen del cilindro, 1 049.68 cm3 y del cono, 349.89 cm3 b. Para comprobar la afirmación planteada en el inciso anterior, se puede calcular el volumen del vaso y el de las tres copas. Discutan y propongan un procedimiento para calcular el volumen de un cilindro. R. L. Haga el siguiente planteamiento: ¿Funciona también para la esfera? Enfatice el hecho de que conforme hacemos cortes paralelos en la esfera, el tamaño de los círculos va cambiando y pida propuestas para solucionar el problema. Pregunte por otras figuras que tengan el mismo problema de “variación”. Algunos ejemplos pueden ser el volumen de una botella de agua, el de un jarrón o el de un cono. Una vez reportado lo anterior, solicite a los estudiantes que comparen los resultados con los del punto 1. Pregunte: ¿Las fórmulas y el procedimiento para calcularlas fue el mismo? ¿Están de acuerdo con los resultados de los equipos 1 y 2? c. A continuación se presentan los procedimientos que siguieron dos equipos. Analícenlos y compárenlos con el que ustedes hicieron. Equipo 1. Repasamos lo que ya sabemos sobre los prismas: el volumen de un prisma es igual al área de la base por la altura. Entonces, si tomamos un prisma parecido a un cilindro (por ejemplo, un prisma cuya base tenga 20 lados), para obtener el volumen de un cilindro se puede aplicar un procedimiento similar al de dicho prisma. 290 SMAT3LRCONAPL19-289-304.indd 290 Prohibida su venta Equipo 2. Obtuvimos la medida del área de una de las bases del cilindro. Si imaginamos el cilindro como un grupo de muchos círculos, apilados unos encima de otros, entonces su volumen puede obtenerse al multiplicar la medida del área de la base por la de su altura. 242 PM3STJCONA-PL16-241-256.indd 242 12/24/13 2:59 PM 1/30/14 6:01 AM • ¿Les parece razonable el argumento del equipo 1 para relacionar el cálculo del volumen del prisma con el cálculo del volumen del cilindro? Expliquen por qué. Sí, porque el volumen es igual al área de la base por la altura. • ¿Con qué fórmula podemos calcular el volumen de un prisma regular? V = Abh Propuestas didácticas • Analicen el procedimiento indicado por el equipo 2, y el argumento que dan para justificarlo. ¿Les parece válido? Indiquen por qué. Sí. R. L. Plantee a los adolescentes que ya que el volumen de un prisma depende de la base y de la altura, deberán analizar ahora qué tanto cambia el área conforme se aumentan los lados del polígono de la base. • Supongan que cortan 100 cilindros de 1 mm de altura y los colocan uno encima del otro. ¿Qué cuerpo se forma y cuál sería su altura? Un cilindro de 10 cm de altura Antes de empezar con el punto 2, pida al grupo que calculen el área de un pentágono, de un dodecágono y de un triacontágono (30 lados) que tengan el mismo radio, es decir, que estén inscritos en círculos del mismo radio. • Expliquen si hay coincidencias entre los procedimientos de los equipos 1 y 2 y el que ustedes plantearon y registren cuáles son. R. M. Sí, porque ambos procedimientos permiten obtener el volumen de un cilindro, cuya fórmula es parecida a la de un prisma. i Socialicen sus argumentos bajo la guía del profesor y registren sus conclusiones. Recuerde que para calcular el apotema de un polígono, se puede recurrir al teorema de Pitágoras, ya que el apotema, el radio del polígono y la mitad de uno de sus lados, forman un triángulo rectángulo. Fórmula del volumen del cilindro 2. En pareja, realicen estas actividades. Por otro lado, pida que calculen el área del círculo en el que están inscritos los polígonos y comparen el resultado. Entonces formule la siguiente pregunta: ¿Cuál de los polígonos resulta tener la mejor aproximación al área de un círculo? ¿Podríamos pensar que el volumen de un cilindro es igual, o muy parecido, al volumen de un prisma triacontagonal? a. Analicen los prismas regulares y determinen la medida del volumen de cada uno. 20 lados en la base Lado de la base: 3.1 cm Apotema: 9.87 cm Altura del prisma: 10 cm Volumen 3 059.7 cm 3 10 lados en la base Lado de la base: 6.2 cm Apotema: 9.5 cm Altura del prisma: 10 cm Abra espacio para la discusión y, una vez que se haya dado una lluvia de ideas, mencione a los jóvenes que matemáticamente, en un proceso infinito como el de los cálculos de volúmenes de la página anterior, es posible llegar a la aproximación de un prisma cuya base tenga un número infinito de lados. 3 Volumen 2 945 cm • ¿Qué prisma tiene mayor volumen? El prisma de veinte lados b. El prisma de la derecha: tiene 30 lados en su base. Cada lado mide 2.1 cm, su apotema 9.9 cm y su altura es de 10 cm. ¿Cuál es su volumen? 3 118.5 cm3 • Si se construye un prisma recto de 1 000 lados en su base, ¿puede considerarse 3 141.59 cm3, considerando la misma altura de los prismas. como un cilindro recto? Expliquen por qué. R. L. c. En todos los prismas trabajados, la medida de los vértices de la base al centro de la misma es de 10 cm. • ¿Cuál es volumen de un cilindro con cuyo radio de la base es de 10 cm? • ¿Qué relación observan entre el número de lados de los prismas y su volumen con el volumen del cilindro? R. M. Entre más lados tiene la base de un prisma, más se acerca su volumen al de un cilindro. d. En pareja, relean los procedimientos del inciso c de la página 242. • Argumenten si ahora están de acuerdo con que el volumen de un cilindro se puede calcular de forma similar a como se calcula el volumen de un prisma y por qué. Sí, la fórmula es la misma, área de la base por la altura. 243 PM3STJCONA-PL16-241-256.indd 243 SMAT3LRCONAPL19-289-304.indd 291 12/24/13 2:59 PM Prohibida su venta 291 1/30/14 6:01 AM analizarán cómo cambia el volumen. dejando la altura constante. a. un integrante del equipo 1.67 cm Altura = 9. Lean y respondan las preguntas. es decir. • Discutan y propongan un procedimiento para calcular el volumen de un cono. Gilberto. En relación con el punto 3. cuando la altura se aumenta al doble. así. Analicen las pirámides y respondan las preguntas. luego explique que el exponente del radio es cuadrado. Pregunte: ¿Cómo cambia uno con respecto al otro? ¿Tiene algo que ver con el exponente del radio? Aclare al grupo que cada vez que el radio varía por un cierto factor. Pirámides y conos 4. Pida a los alumnos que calculen el volumen del mismo cilindro pero ahora modificando el radio al doble y luego a la mitad. a. con respecto al cilindro 1. Formule el siguiente planteamiento: En la definición de volumen del cilindro. resulta que este aumenta cuatro veces. afirma que para determinar la fórmula para calcular el volumen del cono pueden emplearse los conocimientos sobre las pirámides regulares. usando la expresión o fórmula V = ␲r2h. Registren sus acuerdos. Explique. • Identifiquen a qué cuerpo se refiere esta afirmación: “La altura es la perpendicular que parte del vértice y llega a la base”: A una pirámide b. Se multiplica el área de la base por la altura y el resultado se divide entre tres. Invite a un voluntario de clase para que escriba en el pizarrón la fórmula del volumen de un cilindro de radio R y luego exprese una para un cilindro de radio 2R.92 cm i Socialicen sus resultados y corríjanlos. Propuestas didácticas • Expliquen por qué en la fórmula se escribió ␲r2 y qué significa cada elemento que integra la 2 expresión. repasen la situación planteada en la página 242 y hagan estas actividades. de ser necesario. dejando constante el radio. ¿qué exponente tiene el radio?. • ¿Es cierto lo que dice Gilberto? Expliquen por qué. ¿qué relación hay entre el radio y el volumen del cilindro?. será el mismo por el que se modifique el volumen. El volumen de un cilindro cualquiera puede calcularse multiplicando el área de la base por la altura. En grupo.indd 292 Prohibida su venta Radio Pirámide tetragonal Radio Pirámide icosagonal 244 PM3STJCONA-PL16-241-256. Altura Altura Altura Radio Pirámide heptagonal 292 SMAT3LRCONAPL19-289-304. πr representa la fórmula para el área de la base y h la altura del cilindro. pregunte a los alumnos cómo cambia el volumen si la altura se aumenta al doble o se reduce a la mitad de la original. el volumen también crece al doble. el volumen también lo hará pero no en la misma proporción.4248 cm • Cilindro 2 Radio de la base = 2 cm Altura = 6 cm 3 Volumen 75. así. que debido a que la relación entre el volumen de un cilindro y su altura es lineal (puede aclarar esto en términos de los exponentes que tienen el volumen y la altura). lean la información y luego hagan lo que se indica. • Cilindro 1 Radio de la base = 1 cm Altura = 3 cm 3 Volumen 9.indd 244 12/24/13 2:59 PM 1/30/14 6:01 AM .34 cm 3 Volumen 639. permita que den sus explicaciones. 5. el factor por el que se modifique la altura. Expliquen las ventajas de usar una fórmula para calcular el volumen de cilindros.398 cm • Cilindro 3 Radio de la base = 4.3. Trabajen en equipo para trazar en su cuaderno los cilindros y calcular su volumen. En pareja. el volumen se modifica por el cuadrado del mismo factor. se utiliza la misma fórmula. cuando calculamos el volumen del doble del radio del cilindro 1. lo que implica que su relación con el volumen no es lineal y cuando el radio varía. Sí. conforme se incrementa su número de lados? A un círculo ¿Qué relación tiene esa figura con la base del cono? Es la misma que la base de un cono. no lo es y para demostrarlo continúe con la actividad de las semillas. i Comenten con otras parejas sus respuestas a las actividades anteriores y tomen nota de sus observaciones. estos son generados por un rectángulo y un triángulo rectángulo. Para calcular el volumen de un cono cualquiera se multiplica el área de la base por la altura. Construyan un cono y un cilindro que tengan la misma medida de la base y altura (acuerden las medidas en grupo). haga notar que los dos triángulos que están entre el triángulo que corresponde al cono y el rectángulo que corresponde al cilindro tienen las mismas medidas que el triángulo rectángulo que generó al cono. R. Utilizando semejanza y congruencia de triángulos. Llenen el cono con las semillas y vacíenlo en el cilindro. a. posteriormente. Que representa un tercio del volumen de un cilindro con la misma base y misma altura. arroz u otra semilla. es decir. y 2 el producto obtenido se divide entre tres. solicite a los estudiantes que dibujen la figura que resulta de cortar al cilindro con un plano perpendicular a la base y que pase por un diámetro (es decir. Organícense en pareja y realicen lo que se pide. 245 PM3STJCONA-PL16-241-256. • Expliquen si acertaron sus anticipaciones de los incisos a y b. ¿cuál sería la fórmula para calcular el voluAh men de un cono? La misma 3b Propuestas didácticas Antes de comenzar con el punto 6. uno podría concluir que el volumen del cono también es la mitad que el del cilindro. El volumen de un cono representa un tercio del volumen de un cilindro con la misma base y altura. Lean la información en sesión grupal. comente a los alumnos que si se considera un cilindro cuya altura mida lo mismo que su radio entonces existe una figura geométrica. ¿cuántas veces se necesitará vaciar el contenido de este en el cilindro para llenarlo? Tres • ¿Qué parte del volumen del cilindro representará el volumen del cono? Una tercera parte c. cortará a la mitad al cilindro hacia lo largo) y. Fórmula del volumen del cono 6. Para trabajar un poco con la intuición. De este resultado. L. con un plano que también sea perpendicular a la base y que pase por un diámetro. b. recuerde a los alumnos que si pensamos en el cilindro y en el cono como sólidos de revolución. sin embargo. M. la suma de las áreas de esos dos triángulos es igual al área del triángulo que corresponde al cono. 3b • Con base en lo que han visto hasta ahora.indd 293 12/24/13 2:59 PM Prohibida su venta 293 1/30/14 6:01 AM . solicíteles que dibujen la figura que resulte de cortar un cono. Ah • ¿Cuál es la fórmula para calcular el volumen de una pirámide? R. dentro de la figura plana que hayan trazado al imaginarse dicho corte. de la misma altura y radio que el cilindro. Al terminar el punto 6. Consigan frijol. 7.indd 245 SMAT3LRCONAPL19-289-304. 3 • Expliquen qué significado se asocia con el hecho de que “el producto obtenido se divide entre tres” en la fórmula anterior. Discutan si existe alguna relación entre el cilindro y el cono y especifiquen cuál es. Los estudiantes deberán trazar primero un rectángulo y. un triángulo dentro de este. • Anticipen: si se llena el cono con las semillas. cuyo volumen más el volumen del cono con el mismo radio y altura del cilindro resultan ser iguales al volumen del cilindro. esto se resume con la fórmula: V = ␲r h . entonces formule la pregunta: ¿Se imaginan cuál es? • ¿Qué relación hay entre el volumen del cilindro y el volumen del cono? El volumen del cilindro es tres veces mayor. respectivamente.• ¿A qué figura tiende a parecerse el polígono de la base de la pirámide. • Registren sus conclusiones. Repitan el procedimiento hasta que el último se llene. indd 294 Prohibida su venta Misma altura. Haga notar a los estudiantes que utilizando el teorema de Pitágoras se tiene que el radio resultante del círculo de la esfera cumple con la condición de que R² = r² + d². d. su volumen es igual a y tres altura iguales veces el volumen de dicho cono. Vértice Altura Altura Base Cilindro 294 SMAT3LRCONAPL19-289-304. Permita que el resto de sus compañeros hagan sus aportaciones con respecto al contenido de la teoría. • Comparen la medida del cilindro 1 con la medida del volumen del cono 1.67 cm Altura = 9. ¿Qué relación hay? La misma que en el caso anterior c. R. • Cono 1 Radio de la base = 1 cm Altura = 3 cm 3 Volumen 3. • Comparen los volúmenes del cilindro 2 y del cono 2. R. Completen la expresión. siempre y cuando la medida de la altura y base del cono sean iguales a la medida de la altura y base del cilindro. un cono con las mismas medidas y una semiesfera del mismo radio.• Apliquen las fórmulas que han justificado para calcular el volumen del cono y del cilindro que construyeron en la actividad 6. • Comparen los resultados obtenidos en el punto anterior. y discuta con los alumnos cómo son los radios de los círculos resultantes del corte. • Lean la información y complementen su respuesta anterior. El volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro.1328 cm • Cono 3 Radio de la base = 4. que corte a las tres figuras a la misma altura. dibuje un plano paralelo a la base del cilindro y del cono. Revisen las actividades 3a y 8a y hagan lo siguiente. L. de ser necesario. misma medida de la base Base Cono 246 PM3STJCONA-PL16-241-256. utilizando sus propias palabras y anotando algún ejemplo en el que apliquen las fórmulas con valores numéricos. Para concluir con el punto 7. ¿Cómo son los volúmenes? El volumen del cilindro es tres veces el volumen del cono.indd 246 12/24/13 2:59 PM 1/30/14 6:01 AM . Calculen el volumen de los conos. Luego.34 cm 3 Volumen 213. dibuje en el pizarrón un cilindro que tenga un radio igual a su altura.30 cm b. dé instrucciones de que escriban en sus cuadernos esta conclusión. Luego. Expliquen cómo se relacionan estos con lo observado al transvasar las semillas. 8. radio Cuando un cilindro recto tiene a las de un cono. Propuestas didácticas Solicite a los adolescentes que resuelvan las actividades de la página. así como los del cilindro 3 y del cono 3. a. R. de preferencia que las tres figuras estén alineadas. Elija a alguno de los estudiantes para que dé lectura en voz alta a la información que aparece en color azul al final de la página y solicítele que argumente la afirmación que ahí se presenta. L. Trabajen en pareja para resolver lo siguiente.1416 cm • Cono 2 Radio de la base = 2 cm Altura = 6 cm 3 Volumen 25. con base en lo que saben ahora. wordpress. frba. Reunidos en pareja. ¿cuál sería la medida de la base del garrafón? El radio El primer término corresponde al área del cilindro que resulta de la esfera y el segundo corresponde a la del círculo que resulta del cono. R. • Presenten su producto al grupo y valídenlo. En un congreso se instaló el servicio de cafetería. anoten las dificultades o dudas que tuvieron y socialícenlas.us/ district/depts/ edmedia/videoteca/ curso1/htmlb/SEC_53. para resolverlas. es decir. entonces el área del círculo del cilindro se puede escribir como π(r² + d²) = πr² + πd².utn. concluyan respecto de la relación entre el volumen de un cono y el de un cilindro. y el de la esfera completa debe ser el doble. 247 PM3STJCONA-PL16-241-256. Aproximadamente: 6 cm de radio y 8.indd 247 SMAT3LRCONAPL19-289-304. entonces el volumen de la semiesfera debe ser dos terceras partes del volumen del cilindro. por tanto. discutan sus experiencias. Corríjanlos de ser necesario. com/2008/02/10/ el-cilindro-y-el-conose-alian-contra-laintuicion/ Discute con tus compañeros la información de la página anterior y analicen los ejemplos propuestos. se suministró agua en garrafones de forma cilíndrica que miden 37 cm de alto. Después. Cualquiera de las dos. porque en ambos casos la cantidad de malteada es la misma. mide 13. el volumen del cilindro es igual a la suma del volumen de la semiesfera y el del cono con las medidas ya mencionadas. para el cual se tiene que el radio resultante del círculo de la esfera cumple con la condición de que R² = r² + d². 9. Tomen nota en su cuaderno. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Por último. esta relación es la misma para cualquier altura a la que hagamos el corte con el plano. explique al grupo que debido a que el volumen del cono es una tercera parte de la del cilindro.dav. Se obtiene el volumen de los 80 vasos y este dato se divide entre la altura del garrafón multiplicada por pi. ¿cuáles pueden ser las medidas de cada uno? Expliquen. explique a los alumnos que para el cono se tiene que el radio del círculo resultante debe ser igual a la distancia d. cuatro terceras partes de la del cilindro. 6 cm de radio y 8.8 cm de altura i Revisen sus respuestas y argumentos. tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides. Propuestas didácticas i Con la guía de su profesor.k12. Invite a algún voluntario de la clase para que pase al frente del pizarrón a realizar algunos ejemplos numéricos aplicando la información anterior.pps. Consideren que el vaso cilíndrico tiene capacidad de 1 litro. a. Revisen la oferta planteada al inicio de la página 242 y. Reto Volúmenes 1. a. • Elaboren un tríptico informativo o un mapa conceptual que concentre las ideas fundamentales del tema. En el siguiente sitio podrás encontrar información sobre la relación entre el cono y el cilindro: www. y para quienes no consumen café.d.edu. Volumen del cono y del cilindro Partiendo del teorema de Pitágoras. • Expliquen cuáles podrían ser las medidas del cilindro para que cumpla con la condición anterior. Se estima que con cada garrafón se llenarán 80 vasitos cónicos.56 cm 3 • Describan el procedimiento para obtener cada respuesta. resultado que se sigue utilizando congruencias de triángulos. L. realicen lo que se pide. b.indd 295 12/24/13 2:59 PM Prohibida su venta 295 1/30/14 6:01 AM .ar/ homovidens/amideiferreyra/proyecto%20 final/desarrollored. expliquen qué promoción conviene más adquirir y por qué. Planteen un procedimiento con el fin de construir las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos. • Según los datos anteriores. R. Además.or.sceu. M. tengan en cuenta su experiencia al resolver las actividades de esta lección. y finalmente se obtiene la raíz cuadrada de este último dato. Dé instrucciones al grupo de resolver las actividades que se ofrecen en el recuadro de Reto y pídales que ingresen a las páginas de Internet que se ofrecen en el recuadro de Apoyo tecnológico. Reúnete con dos compañeros y resuelvan. Las mismas. HTM En esta página encontrarás datos sobre el cono y el cilindro y sus características: www.9 cm • ¿Cuál sería la capacidad del garrafón? 22 690. Como el área del círculo resultante en el cilindro es πR² y R² = r² + d². Para servir el agua se pusieron vasitos cónicos de 92 mm de diámetro por 128 mm de altura. htm En esta dirección se profundiza en la relación entre el cono y el cilindro: sferrerobravo. Retomen el planteamiento que está al inicio de esta lección.85 cm de altura • Si el recipiente cilíndrico y las tres copas contienen la misma cantidad de malteada. Haga notar a los alumnos que el caso del cilindro es muy cercano al del prisma y que para calcular el volumen de un cono hay que tomar en cuenta la razón de cambio del área de los círculos. no puede calcularse. • un caramelo cilíndrico de 5 cm de altura. volúmenes a partir de las áreas que los conforman. • ¿Qué datos se requieren para calcular el volumen de caramelo de un pirulí? El radio de la base y la altura Información complementaria b. Más aún.79 243. estrictamente hablando.indd 248 12/24/13 2:59 PM 1/30/14 6:01 AM . los pirulís solo miden entre 6 y 10 cm. No. Mencione a los estudiantes que cada vez pueden realizarse cortes más y más finos. c. siempre obtendremos el mismo resultado. ¿Por qué? R. con respecto a la altura.31 Propuestas didácticas Cálculo del volumen de cilindros y conos Eje: Forma. La tabla muestra las medidas de los moldes que emplea un fabricante para hacer los pirulíes. al considerar cortes paralelos a alguno de los ejes coordenados. Los pirulís son caramelos en forma de cono que miden entre 6 cm y 10 cm de alto.. M. que se van superponiendo unos a otros.28 201. Calculen y completen.26 50. que afirma que uno puede calcular un área midiendo las líneas que la conforman. En equipo. Mencione a los jóvenes que el volumen del inciso b. diámetro de la base. realicen lo que se solicita. etcétera.26 167. a.53 184.54 251. nos dice que no importa el orden que elijamos para hacerlo matemáticamente. M. espacio y medida Tema: Medida Contenido: Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas Antes de comenzar la lección. Algunos caramelos tienen diferentes formas geométricas. este principio más general. como el cilindro) por un matemático italiano del siglo XVII llamado Bonaventura Cavalieri. resultado de hacer cortes paralelos a la base.04 217. Dulces cónicos y cilíndricos 1. al tener un radio fijo.26 50. hasta ser infinitamente pequeños. recalque la idea de aproximar el volumen de un sólido regular mediante el cálculo del volumen de sucesivos cortes paralelos a la base. Mismo caso que el anterior. porque falta la medida del radio o El método descrito antes para calcular volúmenes fue establecido (aunque solo para sólidos cuyos cortes horizontales tienen área constante. con Guido Fubini a principios del siglo XX.3 248 PM3STJCONA-PL16-241-256. ¿Por qué? R.indd 296 Prohibida su venta Algunos caramelos tienen forma cilíndrica y pueden medir entre 2 cm y 16 cm de alto. pues según la información de la figura. Molde 1 Molde 2 Molde 3 Molde 4 Molde 5 Molde 6 10 11 12 13 14 15 4 4 4 4 4 4 50. Pregunte si después de completar la tabla alguien nota un patrón en el cambio de volumen con respecto al cambio en la altura. • un pirulí de 15 cm de altura.26 50.26 50. Altura (cm) Radio de la base (cm) 2 Área de la base (cm ) 3 Volumen (cm ) 296 SMAT3LRCONAPL19-289-304.26 50. Con base en la información que se proporciona en las imágenes determinen si es posible estimar el volumen de. Después.. y es conocido como Principio de Cavalieri. el Principio de Cavalieri pasó a ser un caso particular del más general Principio de Fubini. Observen las imágenes y respondan. y con ayuda del profesor discutan las conclusiones que obtuvieron acerca del volumen de los pirulís. te y la medida del radio cambia? Argumenten. Aumenta proporcionalmente.64 12 4.88 12 4. M. 249 PM3STJCONA-PL16-241-256. • ¿Las conclusiones que obtuvieron aplican para todos los conos? Argumenten sus respuesta. y el protagonismo de la noción de razón de cambio en ellos.indd 297 12/24/13 2:59 PM Prohibida su venta 297 1/30/14 6:01 AM . planteen al menos dos ejemplos para validarlas. M. R.0 Área de la base (cm2) 50.26 Volumen (cm3) 201. y la elaboración de cajas o contenedores.6 cm3 • ¿En cuál de las siguientes opciones se ocupa mayor cantidad de caramelo: en 12 piezas de pirulís de 10 cm de alto o en 6 piezas de 15 cm de alto? ¿Por qué? En las 12 piezas de 10 cm de lado.52 12 5.8 cm .41 221. e.2 55.04 12 4. El radio y la altura deben ser las menores posibles (con los datos de las tablas. Argumenten. dé instrucciones de resolver las actividades de la página. ya que se ocupan 2 010. La tabla muestra la medida de pirulís que utiliza otro fabricante. y que esto le otorga una relación distinta con el volumen. R.indd 249 SMAT3LRCONAPL19-289-304.0 78. R.53 314.28 12 4. la demografía. Propuestas didácticas 3 mientras que en las 6 piezas. • Analicen los datos que obtuvieron en las tablas anteriores y determinen las medidas que puede tener un pirulí si se quiere hacer con la menor cantidad de caramelo. Los problemas de optimización han motivado el estudio matemático de la razón de cambio entre dos o más magnitudes.36 cm3 de caramelo. Haga notar que en este caso el radio interviene elevado al cuadrado en la fórmula del volumen. la química.6 66. hagan los cálculos y complétenla. la biología. 4 cm de radio y 10 cm de altura). y tienen una amplia gama de aplicaciones en la industria. • ¿Cómo varía la medida del volumen cuando el radio permanece constante y la altura cambia? Argumenten. L.47 265.8 72. Pregunte a los estudiantes si el volumen cambiaría de igual forma al permanecer la altura fija y variar el radio en los cuerpos que se han comentado en la clase.12 Medida de la altura (cm) Radio de la base (cm) 12 Pida que expliquen las diferencias entre relaciones lineales y relaciones cuadráticas apoyándose en sus representaciones gráficas. Comenten sus respuestas con sus compañeros de grupo.4 60.82 243. d. 1 507. mediante la idea de razón de cambio. Después.38 289.• ¿Qué volumen de caramelo se requiere para elaborar 12 pirulís con el molde 6? 3 015. Pirulís con forma cónica 4. como las latas o pipas. Ejemplifique con casos concretos como la fabricación de envases para líquidos. etc. Información complementaria • ¿Cómo es el volumen de caramelo cuando la altura de los pirulís permanece constanAumenta de forma cuadrática. Consideren la información. Este tipo de problema ha sido incluso protagonista en el desarrollo de ramas de las matemáticas como el cálculo diferencial y la investigación de operaciones. Haga hincapié en la importancia de plantear y resolver problemas de optimización. las cuales se centran en la idea de obtener el máximo o mínimo resultado en un determinado proceso. economía y las ciencias como la física. 73 12 3. En la tabla se muestran las medidas del volumen de dos tipos de cono. con la misma proporción.26 10 1.66 10 1. e incluso se puede hacer variar el volumen dejando fija la altura o el radio y analizar cómo cambia la otra variable.8 241. desde luego.566 175. Calculen y completen.42 10 2 12. porque el área de la base Recalque que en el caso del cono o el cilindro interviene un exponente 2.523 45.58 13 3.6 221.8 226.57 8 2 12.6 8.566 75. Si lo consideran necesario.27 14 3.157 61.566 50. conviene primero fijar una dimensión y variar la otra.4 202. operan las mismas dimensiones. registren las características de un cilindro recto.566 100.39 10 1. a mayor exponente. a.1416 31. crece más rápido que una recta. • ¿Cómo aumenta el volumen de los conos cuando la altura varía y se mantiene fija la medida del radio? Argumenten. curva que a partir de los valores que distan en una unidad del origen.042 80. • ¿Cómo son los volúmenes de los conos tipo A respecto de los conos tipo B? Mayores • ¿Cómo aumenta el volumen de los conos cuando la medida de la altura se mantiene fija y el radio varía? Argumenten.indd 250 12/24/13 2:59 PM 1/30/14 6:01 AM . términos (el radio) se eleva al cuadrado. se multiplica por una cantidad x. luego dejar fijo el radio y hacer variar a la altura y estudiar cómo cambia el volumen.8 10.72 11 3. Aumenta de manera lineal.78 12 2 12.82 Haga notar a los estudiantes que el volumen está expresado como función de dos variables: el radio y la altura.566 125. habrá un cambio más drástico en el volumen total. dejar fija la altura y variar el radio para ver cómo cambia el volumen. Haga énfasis en que en el fondo.70 10 5 261. compleméntenlas.8 196. en las fórmulas del volumen de ambos cuerpos geométricos. 2. y.f.66 14 2 12.45 10 4. porque uno de los Explique que es determinante el exponente que lleva cada una de las variables en la fórmula.566 125.2 184.4 6.8 181.416 4 2 12. en el tipo de variación. Aumenta de forma cuadrática.80 15 3.58 10 4.53 10 1.178 101.92 250 PM3STJCONA-PL16-241-256. Cono tipo A Propuestas didácticas Medida de la altura (cm) Radio (cm) Volumen (cm3) Medida de la altura (cm) Radio (cm) Volumen (cm3) 10 4. i Comparen sus conclusiones con las que obtuvieron en el inciso e. en comparación con lo que ocurre para un cono. Explique por qué no pasa para valores más cercanos al 0. pero para analizar las variaciones. En pareja.23 6 2 12.8 166.8 211.2 4. y después hacer lo contrario. comparen la información y respondan las preguntas. Cilindros Pregunte a los alumnos si notan cómo varía en volumen del cilindro al cambiar una de sus dimensiones. el cual corresponde a una parábola. Altura (cm) 298 SMAT3LRCONAPL19-289-304.79 10 2 12.33 10 4.566 150. cuando el exponente es mayor que uno. Las tablas muestran las medidas de caramelos cilíndricos. es decir.indd 298 Prohibida su venta Cono tipo B Radio de la Área de la base (cm) base (cm2) Volumen (cm3) Altura (cm) Radio de la Área de la base (cm) base (cm2) Volumen (cm3) 10 1 3. En equipo analicen las gráficas y respondan. Volumen del cilindro (cm3) y En relación con la pregunta del punto 3.59 2. esta se acercaría a la gráfica de una parábola. y observar cómo cambia la magnitud en cuestión con respecto a ella.99 (todos tienen aproximadamente 5 cm de altura).indd 299 2/5/14 12:54 PM Prohibida su venta 299 2/5/14 12:59 PM . Pregunte a la clase si podrían decir cómo son estas relaciones de cambio y de qué dependen. en función del cambio de sus componentes. 150 100 50 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x Altura del cilindro (cm) • ¿Qué relación representa la gráfica? Proporcional • ¿Qué características presenta la gráfica? Es lineal. Volumen del cilindro (cm3) a. 125) (2. pregunte a los estudiantes cómo se puede conocer la altura de cada cilindro si dicho valor no se representa en la gráfica.82 3.01. 75) 2. • ¿Cómo es la medida del radio de la base en cada caso? Oscila aproximadamente entre 2 y 3. La gráfica representa la variación del volumen de un cilindro. Enfatice que el cambio del volumen con respecto al radio de la base está dado por una relación cuadrática y que se observe cómo en la gráfica. al preguntarse cómo cambia el volumen al dejar fijas las medidas de la altura o el radio de la base.39. • ¿Qué tipo de gráfica es? Cuadrática Pregunte cómo se relaciona este método con el ya mencionado Principio de Cavalieri para el cálculo de volúmenes de sólidos regulares. 4. es fijar todas ellas menos una.04 Haga notar también que la idea central en el análisis del cambio de una magnitud. 90) (3. por ejemplo.95.19 2. • ¿Qué sucede con el área de la base? Es constante. si se agregaran muchos más puntos. 5.04.02. solicite a los estudiantes que analicen las gráficas. Antes de pedir que resuelvan las actividades de la página. 4.59.97.98. y 160 140 120 100 80 (1. 60) 60 40 20 0 1. se pasa de uno que envuelve una relación cúbica a una relación cuadrática o lineal. inciso a. • ¿Cuál es el radio de la base de cada cilindro? 2 cm 251 PM3STJCONA-PL16-241-256. Analicen la gráfica y contesten.82. 5. b. o bien cómo varía este último con respecto a los primeros.39 2. respectivamente. Propuestas didácticas 3. 4. 145) (2. 5. x Radio de la base del cilindro (cm) Enfatice cómo esto es en realidad cambiar la dimensión del problema. 300 250 200 Haga notar que uno puede también preguntarse cómo cambia la altura con respecto al volumen y al radio.95 (2.• ¿Cómo varía el volumen del cilindro cuando la altura permanece constante y la medida del radio cambia? De manera cuadrática • ¿Qué sucede con el volumen del cilindro cuando la medida del radio permanece constante y la altura cambia? Cambia de manera proporcional. • Escriban la medida de la altura de cada cilindro.indd 251 SMAT3LRCONAPL19-289-304. 105) (2. que corresponde a una ecuación de segundo grado. que se toma como variable.19. pues. seis a lo ancho y cuatro a lo alto.04 cm Invítelos a considerar la siguiente situación para analizarla y responder a las preguntas: Se tiene un sólido o superficie cualquiera en el espacio y se quiere saber si es o no un sólido o superficie de revolución.indd 252 12/24/13 2:59 PM 1/30/14 6:01 AM .21 cm . A = 201. 600 500 Volumen del cono (cm3) Propuestas didácticas Pida a los alumnos que completen el inciso c al inicio de la página. resuelvan los problemas y justifiquen sus resultados. proponga a los adolescentes la idea de una superficie de revolución generada por un triángulo obtusángulo. para transportarlos. 3 • Si envía 560 cajas de estos conos. Pregúnteles si podrían decir cómo aproximar el volumen total de dulce empleado para fabricar un caramelo tipo salvavidas. pregunte si conocen otros cuerpos o superficies de revolución. Con ayuda del profesor establezcan acuerdos y validen su respuesta anterior. que gira alrededor de uno de sus lados adyacentes a su ángulo obtuso. V = 157.c. Después de que hayan resuelto el inciso b. Un fabricante de conos decorativos de cristal. 6 y 7. Pídales que describan la superficie obtenida y pregúnteles si podrían decir cómo calcular el volumen de cuerpo geométrico generado y qué datos requerirían para ello. b y c y expliquen cómo varía el volumen.7 cm3 3 • ¿Y si se enrrolla a lo ancho? 5 975.4 cm b.5 cm de alto.81 cm gira 360º alrededor de su cateto mayor.5 cm de radio y 10. suponiendo que es un cilindro con un hueco circular en el centro. Pídales que den una expresión algebraica para calcular dicho volumen y que lo describan como sólido de revolución. • Si en cada caja caben seis botes a lo largo. Varía de manera proporcional. calculando el volumen del radio del cono en cada caso. Los botes miden 4. Cada bote contiene 222. i Comenten sus respuestas con sus compañeros y en grupo analicen si es posible afirmar que: “La altura y el volumen tanto del cono como del cilindro varían proporcionalmente cuando el radio permanece constante. Después. En cambio. ¿Qué 3 volumen de cristal transporta en cada caja? 32 063.66 cm3 de volumen de cristal. para así poder calcular las áreas de cada una de sus caras.indd 300 Prohibida su venta 252 PM3STJCONA-PL16-241-256. L. Haga notar que para calcular el área total de la superficie de un cuerpo basta pensar en su desarrollo plano.3 cm • Un triángulo rectángulo de lados 5. Analicen la gráfica y hagan lo que se solicita. pregunte si al enrollar una hoja tamaño carta para formar la cara lateral de un cilindro el volumen del resultado es el mismo si se enrolla a lo largo que si se hace a lo ancho. Otros problemas 4. ¿cuál sería su capacidad si se enrolla a lo largo?8 176. cuando en un cono o en un cilindro la medida de su altura se mantiene fija. permita que se dé una lluvia de ideas en el salón de clases. ¿qué volumen de cristal exporta? 17 955 302. a. luego enfatice la relación que tiene esta pregunta con el Principio de Cavalieri. ¿Cómo se puede saber si un sólido o superficie corresponde a una figura geométrica o curva que gira a lo largo de algún eje?. los envuelve de manera individual en botes de plástico que guarda en cajas. Si se construyera la cara lateral de un envase cilíndrico con una lámina de latón de 38 cm de ancho por 52 cm de alto. como se muestra en la imagen. • ¿Qué superficie genera? De un cono 2 3 • Calculen el área y el volumen de la superficie generada.07 cm 300 SMAT3LRCONAPL19-289-304. En pareja. R. • Comparen las gráficas de los ejercicios a. se establece una relación cuadrática entre la medida del radio (que es constante) y la medida de su volumen”. 400 300 200 100 0 5 10 15 20 25 Altura del cono (cm) • ¿Qué relación representa la línea roja? La altura de un cono y su volumen Antes de continuar con la siguiente actividad. portalplane tasedna. Volumen (mm3) Cono Altura (mm) Diámetro (mm) A 140 42 64 654.01 C 148 48 89 271. Con ayuda del profesor.indd 253 SMAT3LRCONAPL19-289-304.99 E 132 48 76 620. y que luego comprueben sus resultados. etcétera. Además.11 2 144 49 90 515.ar/ volumenes. usando las fórmulas del volumen del cilindro y el cono. Lluvia y sus hermanas están interesadas en vender conos rellenos de ate elaborados con frutos de la temporada. Para prepararlas usan un colador chino que tiene 23 cm de diámetro y 20 cm de altura.41 5 116 48 69 969. Volumen 1. la pulpa se reduce 25%. Analicen tanto el planteamiento como los resultados que obtuvieron.com. En los siguientes sitios podrás ampliar la información sobre el cálculo del volumen del cono y el cilindro: www. el cilindro y el paraboloide. Reto Puede pedirles que lleven a la práctica la propuesta utilizando una botella de agua y una regla. puede realizarse otra práctica.htm Ingresa a esta página y haz la actividad 3. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Finalmente. 253 PM3STJCONA-PL16-241-256.70 D 131 45 69 448. utilizando la actividad propuesta en una de las ligas como autoevaluación del tema.12 B 138 45 73 160. la industria. En la tabla se muestran las medidas de los conos que están considerando.htm Comenta con tus compañeros la información que encontraste y analicen los ejemplos propuestos.84 cm Una vez que los alumnos hayan realizado las actividades hasta el inciso d. Lluvia y su familia elaboran y envasan mermeladas de frutas de temporada. concluyan.72 i Intercambien sus problemas con sus compañeros. Propuestas didácticas • ¿Cuál es el volumen de pulpa que se obtiene al llenar un colador 3 chino con las medidas dadas? 2 769. así como la de los problemas de optimización (maximización. solicite que expliquen un método para estimar cuántos conos de papel pueden llenarse con un litro de agua. com/geometria/ cono. minimización). la economía. que tiene que ver con el cálculo del volumen del cilindro: www.66 cm d.disfrutalas matematicas. • Una vez que se tiene el almíbar. Volumen (cm3) Cono Altura (cm) Diámetro (cm) 1 132 39 52 562. pídales que reflexionen sobre su aprovechamiento a lo largo de la lección y qué tanto adquirieron conocimientos así como el nivel de manejo del contenido del tema al que llegaron. Invite al grupo a resolver la actividad propuesta en el recuadro de Reto.html www. ¿Qué cantidad de pulpa se 3 requiere para llenar un tarro de 500 cm3? 666. como el que se muestra en la imagen. problema que compartirán con el resto de sus compañeros y juntos analizarán si efectivamente el planteamiento corresponde a la tabla de datos.71 • ¿Qué cono puede contener el volumen máximo de fruta? El cono C • ¿Cuál el mínimo? El cono A i Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Determinen el volumen de ate que puede contener cada uno y después contesten las preguntas.aplicaciones. con el fin de fortalecer y cerrar el tema estudiado a lo largo de la lección. deje de tarea navegar por Internet en las páginas que se ofrecen en el recuadro de Apoyo tecnológico.c. Vuelva a hacer énfasis en la omnipresencia de sólidos de revolución como el cono. info/decimales/ geoes04. Retoma los datos de la tabla y plantea un problema en el que se requiera calcular el volumen de conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas. Luego vierten el contenido en una cacerola con azúcar para preparar la mermelada. en la vida diaria. Comenten los procedimientos que siguieron y si es necesario corrijan. en este depositan la pulpa de la fruta para eliminar el exceso de agua.78 3 150 50 98 175 4 112 47 64 771.indd 301 12/24/13 2:59 PM Prohibida su venta 301 1/30/14 6:01 AM . el transporte. en la que se aproxime teórica y prácticamente el volumen de un paquete de dulces tipo salvavidas. el tiempo de caída de un cuerpo y la distancia que recorre. dibuje la misma gráfica con una escala diferente en el eje x y pida a los estudiantes que calculen la razón de cambio para concluir que la pendiente es independiente de la escala. discutan cuál sería el significado de que las funciones que modelan la situación fueran cuadráticas y por qué. • Samuel: y = 8x • Joel: y = 4x • Vicente: y = 6x • Antonio: y = 10x • ¿Qué tipo de función modelan las expresiones algebraicas anteriores: lineal o cuadrática? Justifiquen.indd 254 12/24/13 2:59 PM 1/30/14 6:01 AM . Comente que si consideramos la relación entre el número de árboles que se descargan del camión por viaje y el número de personas que participan. 6. tiene una expresión algebraica que la modela. En pareja. el volumen de un cono y el radio de su base. Directa 500 0 20 40 y 60 80 100 120 140 x Gráfica 2 1 400 • Dada la gráfica 2. 60 y 100 viajes? Argumenten. Vicente y Antonio. pregunte si la pendiente. se divide 3 500 entre el total de árboles que descargan en un viaje. ya sea directa o inversa. se necesita que las cantidades conserven siempre una razón. modelar. Argumenten su elección.Variación lineal y cuadrática 32 Propuestas didácticas Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido: Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física. 1 680. mientras que para la inversa tiene la forma y = mx (una hipérbola). solicite a los jóvenes que estimen cuál pendiente será mayor o menor. 400 i Socialicen sus respuestas y valídenlas en grupo con ayuda del profesor. la economía y otras disciplinas. 10. Los cuatro realizan la misma cantidad de viajes para descargarlo. Al finalizar el inciso a. etcétera. • ¿Cuántos viajes deben realizar para descargar el camión? Expliquen su respuesta. es decir. Samuel heredó 17 hectáreas para sembrar y decidió cultivar 3 500 árboles de naranja. para el caso de los árboles de Samuel. la relación es inversamente proporcional. También retome el hecho de que una relación de proporcionalidad. y Antonio. En matemáticas. ecuaciones u otros procedimientos. es representar mediante gráficas. Escriban una expresión algebraica que modele la cantidad de árboles que puede descargar cada persona. Gráficas y expresiones algebraicas de variación 1. a. 200 0 302 SMAT3LRCONAPL19-289-304. el factor de proporcionalidad depende de la escala que se utilice en los ejes. por lo que la gráfica correspondiente es una hipérbola. 1 120. porque descargan 28 1 200 1 000 800 600 árboles por viaje. en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades Antes de comenzar la lección. ¿cuántos árboles descargan las cuatro personas después de realizar 40. Joel. La gráfica 2 4 000 3 500 3 000 2 500 • ¿La gráfica modela una situación de proporcionalidad? Expliquen. analicen la información y realicen lo que se solicita. De ser necesario.indd 302 Prohibida su venta • ¿Qué diferencias encuentran entre la gráfica 1 y la 2? R. El valor de las pendientes 20 40 60 80 100 120 140 x 254 PM3STJCONA-PL16-241-256. Recuérdeles qué representa la m en la expresión para la proporcionalidad directa y qué sucede cuando esta crece o decrece. 125 viajes. Gráfica 1 y b. y dé ejemplos en donde no se puede utilizar esta: el precio de un producto y la cantidad de productos en compras al mayoreo. Para el caso de la directa. M. 2 800. 4. Seleccionen la gráfica que modela la situación descrita. Lineales Una vez identificado el significado de la pendiente. pero en cada trayecto Samuel baja 8 árboles. Sí 2 000 1 500 Por último. la biología. la expresión es de la forma y = mx (una recta que pasa por el origen). un hecho o fenómeno. Para descargar de un camión los árboles que va a sembrar. contrató a Joel. Vicente. 1 000 • ¿Qué tipo de proporcionalidad es? Justifiquen. recuerde a los alumnos que para poder utilizar las relaciones de proporcionalidad. y explique entonces que dado el volumen. se necesitan dos ecuaciones que las relacionen para que la solución sea única. en caso necesario. una pirámide u otro cuerpo geométrico? Para contestar esta pregunta. Formule la siguiente pregunta: ¿Sería lo mismo si la caja tuviera otra forma como otro prisma.8 1 1. Determinen una expresión algebraica que permita conocer la cantidad de cartón que se requiere para las caras laterales y la base de las cajas.37 m³. Resuelve en equipo la actividad. 5x .6125 4. L.indd 303 12/24/13 2:59 PM Prohibida su venta 303 1/30/14 6:01 AM . escríbalo en el pizarrón y analicen su volumen.74 m².8125 3.80 0. Total de cartón (m2) 0. Propuestas didácticas • Sin considerar las pestañas de la caja.55 0.65 0. Por ejemplo. 255 PM3STJCONA-PL16-241-256. sin considerar las pestañas ni la 2 tapa. 1.2 0. Alfonsina es la encargada del área de costos de producción en una fábrica de cartón.8 m .70 0. para la temporada navideña. es necesario analizar las fórmulas de volúmenes.6.6 0.5125 1. este depende de dos variables: el radio y la altura. Si hay más de una variable. la esfera o el cubo?.00 Retome el tema de los sistemas de ecuaciones para comentar que si se tienen dos variables.indd 255 SMAT3LRCONAPL19-289-304. Luego. Anote también la relación del área de la esfera: A = 4πr² y pregunte: ¿Cuánto debe medir el radio? ¿Qué figura utiliza más cartón. i Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y valídenlas con el profesor. Una parábola b. Pregunte: ¿Qué otra condición se le podría poner a las cajas para que tengan forma cilíndrica y solo puedan ser esas medidas? Determine condiciones y a partir de la solución del sistema de ecuaciones. • ¿La expresión algebraica que obtuvieron representa una función lineal o cuadrática? Sustenten su respuesta. Utilicen la siguiente tabla y complétenla con la información que hace falta.Gráficas y tablas de variación 2. corrijan.2 3. a. donde hacen cajas con forma de cubo.1125 2. Una de las cuales tiene un volumen de 0. ¿cuánto cartón se requiere para las 2 caras laterales y la base? Expliquen. porque la raíz cúbica de 0.4 0.8 2. Analicen la gráfica y contrasten las respuestas que dieron a las primeras cuatro preguntas.45 0.45 2. como las que se muestran. auxiliándose de esos datos. Plantee cómo se puede hallar el volumen de cuerpos que no tienen caras paralelas y que no son pirámides.85 0. solo exista una caja con ese volumen. menor que el que utiliza la caja aun considerando que no tiene tapa y que la esfera se cubre completa.216 m3. las caras.25 1. la solución no es única. Cuadrática • Al graficar la expresión algebraica. en el caso del volumen del cilindro. Argumenten su expresión. así como la expresión algebraica correspondiente.216 es 0. ni la tapa. es decir.60 0. Se puede concluir que la esfera es la figura que minimiza el área para un volumen dado. 6 5 4 3 Si nadie mencionó el volumen de la esfera. luego explique que la esfera debe tener un radio de aproximadamente 0. donde x representa la longitud de los lados de Pregunte a los alumnos qué garantiza la unicidad de la caja.50 0. por lo que el área que la cubre es de 1.95 1.5125 5 y 7 Total de cartón (m2) Largo de la base (m) 0.40 0.2 x Largo de la base (m) c. Ella debe calcular los costos del material para cada caja. que representa la longitud del lado de cada cara de la caja.0125 1. 2 1 0 0.8 1. ¿se obtiene una línea recta o una curva? Argumenten su respuesta.75 0. el radio que lo determina es único. 0)? Expliquen. que es de 43 πr³. solicíteles que determinen la cantidad de cartón que se necesita usar en cada caja. dado el volumen. qué garantiza que.90 0. tracen la gráfica correspondiente. • ¿Es posible que a partir de algún dato real la gráfica pase por las coordenadas (0. R. Pida a los estudiantes que entre todos escriban en el pizarrón las que se sepan y analicen las variables de las que depende el volumen. No.05 4. donde x representa el volumen y y la cantidad de litros. • ¿Con qué cantidad de ramos no se obtiene ninguna ganancia? Con 22 ramos Plano cartesiano 2 y • ¿Qué tipo de función es la que modela la cantidad de ramos y el precio? Cuadrática 180 160 140 120 100 80 60 40 20 • ¿Qué cantidad de ramos de flores es la que se vende a mayor precio? 11 ramos a $121 5 10 15 20 25 x • Obtengan la gráfica que modela la situación en el plano cartesiano. Remarque que las raíces de la ecuación son los puntos en donde la gráfica cruza al eje de las x. calculen las raíces de esta y. ¿cuál es precio al que debe venderlos? $85. 9 y 18 ramos respectivamente. a. Propuestas didácticas 3 • ¿Cuál es el volumen de la cisterna? 10 m Mauricio calcula que. antes de empezar a contestarlo. En relación con el inciso b. Mauricio decidió construir una cisterna en su casa. donde x representa periodos de 15 minutos. 2 m de largo y 2.Modelar con gráficas y expresiones algebraicas 3. y escriba el planteamiento de proporcionalidad múltiple. encontrando valores distintos a los que se pidieron en el inciso a. 19 o 3. Plano cartesiano 1 y En relación con el punto 3. Roberto es comerciante de flores y su hijo le comentó que la expresión: –x2 + 22x = 0 le ayudaría a determinar la cantidad de ramos que necesita vender para obtener la mayor ganancia posible. • ¿Cuál es la expresión algebraica que permite modelar la situación? 33x. ya que el factor de proporcionalidad es 1 000. es decir. • ¿La expresión que obtuvieron es una función lineal o cuadrática? Lineal 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x • Construyan en el plano cartesiano 1 la gráfica que modela la situación. comente a los alumnos que 1 000 litros de agua caben en un cubo cuyas aristas miden un metro de longitud. respectivamente • Si Roberto vende los ramos a $57. Si existen dudas o diferencias. resuélvanlas con el apoyo del profesor. sin tabular. luego explique que. Después pídales que comparen sus resultados con los del ejercicio del libro. 304 SMAT3LRCONAPL19-289-304. al llenar su cisterna. Solicite que mediante el método de factorización. elaboren en su cuaderno un registro tabular. Cinco horas Discuta con el grupo cuál es la capacidad en litros de la cisterna. Elaboren un registro tabular. • Si Roberto tiene 5.indd 304 Prohibida su venta 256 PM3STJCONA-PL16-241-256. respectivamente i En sesión grupal. es lineal? 450 400 350 300 250 200 150 100 50 Pida a los estudiantes que escriban esta expresión algebraica y que la grafiquen. entonces pregunte: ¿La relación entre la cantidad de litros de agua que se tengan y el volumen que ocupan. 1 716 L b. pregunte cuánto tiempo tardará en llenar todo el volumen y a cuántos litros equivale. comparen sus respuestas con las de otros compañeros. • ¿Cuántos litros de agua se tendrán en la cisterna después de 9 horas? ¿Y si pasan 13 horas? 1 188 L. entonces la expresión algebraica que representa a la situación planteada es de la forma y = 1000x. Pida que encuentren la expresión algebraica para el tiempo de llenado y los metros que ocupa el agua.5 m de altura. • ¿Cuánto tiempo transcurre para que en la cisterna entren 132 litros de agua? ¿Y para 660 litros? Una hora. ¿cuántos ramos de flores tiene? Justifiquen. pregunte a los alumnos cómo debe ser la gráfica y cuál es el significado gráfico de las raíces. Analicen los problemas y realicen lo que se indica. 7 o 15 y 10 o 12. Respondan en el cuaderno. cuando y = 0 = –x² + 22x. La capacidad real para almacenar agua es de 2 m de ancho. caen 33 litros de agua cada 15 minutos. $117 y $72. escriba la ecuación para los ramos y analicen cada término.indd 256 12/24/13 2:59 PM 1/30/14 6:01 AM . $105 y $120. mutuamente excluyentes e inde- D) ±20 y ±30 pendientes. Matecuentos Cuentamates. Plantea un problema donde se estudie la semejanza y congruencia de triángulos. Matecuentos Cuentos con problemas 2.mi avance 18 Valoro En este apartado. • — (1998). 5. Completa la tabla con los términos siempre. • C. • M. Carlavilla (2003). Argumento y comunico de manera oral y escrita las diferencias entre eventos complementarios. 3. Barcelona: Anagrama. Identifica si las parejas de polígonos son semejantes. 1. R G C L F F’ C D D F Q P N O H E’ B’ G’ D’ C’ K J P’ O’ Q’ N’ E J R’ I M Caso 1 Valoro mi avance Reflexiona acerca del trabajo realizado en el bloque. 11/25/13 4:36 PM 11/25/13 4:48 PM tipo PISA 17 Evaluación Al final del bloque se encuentra una serie Fuentes de información 19 Para el estudiante de actividades que debes resolver de manera individual. Estos son eventos debido a que 6. El señor del cero. Rodríguez (2003). • I. P1 2 cm 12 cm Los eventos cae un número mayor que 3 y sol y cae un número menor que 4 y águila son eventos mutuamente excluyentes. dada una experiencia aleatoria. • J. En este apartado encontrarás sugerencias impresas y electrónicas. y = 6. España: Nivola. Barcelona: Nivola. y resolverse. Ernesto el aprendiz de matemago. • M. además de problemas. encontrarás una tabla en la cual podrás evaluar tus avances respecto a los aprendizajes esperados.indd 17 17 1/30/14 5:48 AM . Andrés y el dragón matemático. Eventos independientes: 5. Calculo la probabilidad teórica de eventos complementarios. Se proponen preguntas abiertas y de opción múltiple. España: Alba Editorial. México: Ediciones de Bolsillo. Teatromático: divertimentos matemáticos teatrales. estos eventos son eventos dependientes. i Elige la opción con la respuesta correcta. Forges (2006). se sabe que los números que cumplenx con la condición son: 6 600 A) 20 y 30 B) –20 y 30 C) 20 y –30 c. Madrid: Alfaguara. El país de las mates para novatos. Burgos (1994). Barcelona: Anagrama. El gran juego. ya que no pueden ocurrir al mismo tiempo. y = 8 cm C) x = 12 cm. externa las dificultades que hayas tenido al resolver la evaluación. España: Nivola. congruentes o ninguna de las anteriores. • I. A) 6 y –1 B) –6 y 1 C) 6 y 1 8. El matemático del Rey. al plantear la ecuación: 4 = x2 . • J. España: Siruela. con el fin de enriquecer el trabajo realizado a lo largo del ciclo escolar. México: SM. • — (2002). Enzensberger (1998). Póngame un kilo de Matemáticas. a. • R. sea el evento A: cae 4 y 2. Malditas Matemáticas: Alicia en el País de los Números. Arce (2003). España: Nivola. En grupo. • R. • M. Si el ratón avanza el cociente de los números que salen al lanzar dos dados. • R. • C. Una historia de las Matemáticas para jóvenes. Madrid: Alfaguara. Guzmán (2007). eventos complementarios. Argumenta tu respuesta. Molina (2004). En clase. Se modifica el juego del gato y del ratón y ahora se lanzan dos dados. 2. S N T Q V U P O Caso 3 6. • — (2002). Madrid: Alfaguara. • J. El barco de Vapor. Cuentos del cero. y que además están en la razón 4:6. Elige la opción que determina la medida correcta de x y y. España: Nivola. Muñoz (2008). 4. • D. Cuentos y cuentas de los matemáticos. Historia de las Matemáticas en comics. Vegas (2002). España: Catapulta Editores. las cuales te permitirán poner en práctica lo que aprendiste en el bloque. • — (2002). Barcelona: Alfaguara. Números pares. D) –6 y –1 Oración A) 8 y –5 y Q1 6 cm B) –8 y 5 C) –8 y –5 D) 8 y 5 Cuando la probabilidad de un evento A no es afectada por el resultado de otro B. y B: cae 6 y 3. Escoge el número que multiplicado por 3 es 40 unidades menor que su cuadrado. Moreno y J. 69 170 PM3STJCONA-PL05-65-80.indd 69 PM3STJCONA-PL11-161-176. El país de las mates para expertos. España: Nivola. España: Planeta. Millás y J. los eventos son: debido a que 7. mutuamente excluyentes e independiente. Collantes y A. Selecciona los números cuyo producto es 600. todos relacionados con los aprendizajes esperados. empleando los datos de los triángulos del reactivo 4. • L. • T. Frabetti (2000). • — (2005). Madrid: Fundación General UPM. busquen estrategias para superar dichas dificultades. Gómez (2000). mutuamente excluyentes e independientes. N1 18 i Realiza lo que se indica en cada caso.indd 270 11/25/13 4:55 PM Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL02-017-032. Balbuena (2005). • J. a veces o poco. que significa Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes. Guedj (2000). y = 24 cm D) Ninguna de las anteriores O1 M1 x 4 cm Los eventos independientes tienen probabilidad menor que 1 y mayor que 0. Reescribe las oraciones falsas de manera que ahora comuniquen una verdad. Barcelona: Reverté. El diablo de los números.6 cm. considera que si el producto es 600. • M. España: Laertes. y el evento B: cae 5 y 3. Sea el evento A: cae 6 y 4. Cuentos con cuentas. La selva de los números.indd 170 Veracidad Dos eventos o más son complementarios cuando su unión da el espacio muestral y la suma de sus probabilidades es menor que 100%. 4. España: Nivola. considerando que los triángulos son semejantes y las medidas están dadas en centímetros. Andradas (2005). impares e idiotas. 270 PM3STJCONA-PL17-257-272. 19 Fuentes de información • J. • L. Los relatos de Gudor Ben Jusá. Campos (2002). Pérez (2004). Saber núm.32 cm B) x = 16 cm. mutuamente excluyentes e independientes. La medida del mundo. para ti. Roldan (2003). El curioso incidente del perro a medianoche. Malba (1998). así como sugerencias impresas y electrónicas para el profesor. El hombre que calculaba. tus habilidades y tus actitudes. Matecuentos Cuentos con problemas 3. con el apoyo del maestro. México: Proyecto Sur de Ediciones. Determina los números que cumplen con la siguiente condición: el número cuyo quíntuplo aumentado en 6 unidades es igual a su cuadrado. El teorema del loro. que aparece al final de 17 Evaluación tipo PISA cada evaluación. Explica la diferencia entre eventos complementarios. Determina si las siguientes aseveraciones son verdaderas o falsas. A) x = 12. Norman (2002). El metro del mundo. • — (2003). España: Nivola. Barcelona: Salamandra. España: Nivola. B E B A L H G Caso 2 J’ K’ H’ L’ Indicadores M R K Identifico y planteo. En ellas se sigue el modelo de PISA. Resuelvo problemas de manera autónoma asociados a las nociones de probabilidad. Impresas • J. Desde la Antigüedad hasta el Renacimiento. un número es x y el otro 600 . Haddon (2004). España: Nivola. permiten que el estudiante se desenvuelva en una sociedad que se transforma de manera vertiginosa por impulso de las TIC. Recursos digitales didácticos to no c om er cia liz ab le. consciente de esta necesidad. R. SMAT3LRCONAPL02-017-032. Textos que sirven como guía de uso y de aplicación de los recursos digitales. que constan de: – Sugerencias metodológicas. – Un recurso principal.indd 18 • Evaluaciones bimestrales imprimibles. ofrece junto con este libro un disco compacto con una serie de recursos digitales que enriquecen el trabajo del docente y del alumno en el aula. A . 18 – Actividades. democrática y tecnológicamente avanzada. incluidos en el disco compacto.P 201 C. Las TIC comprenden no solo las herramientas relacionadas con la computación. Además. D. la radio y el video.V 3 po DE r EDIT S. © c du ro . que presentan las respuestas y una tabla de los contenidos evaluados. Son ejercicios interactivos que refuerzan los conceptos desarrollados en el recurso principal. interactivo o video. – Incluyen los objetivos conceptuales y pedagógicos.Recursos digitales 3 El aprovechamiento de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en la enseñanza es necesario porque uno de los objetivos básicos de la educación es preparar a los alumnos para ser ciudadanos de una sociedad plural. Recursos didácticos para un desempeño de excelencia en el aula. describen las actividades y proponen una forma de trabajo en el aula. se incluyen también varios documentos administrativos editables. Los recursos digitales que apoyan el trabajo didáctico. son de tres clases: • Planes de lección por bimestre. se complementan con unas páginas para el maestro. además. y porque estas tecnologías ofrecen posibilidades didácticas de gran alcance. Son formatos que pueden trabajarse de manera impresa o digital: • • • • • • • • • • • Dosificación bimestral Control de asistencia Registro de alumnos Diagnóstico académico Planeación de sesión Planeación de clase Ficha personal del alumno Seguimiento a estudiantes con bajo rendimiento académico Planeación de actividades Autorización de salidas escolares Reconocimientos Haga de su disco compacto de Recursos digitales un elemento tan importante como Matemáticas 3. sino otros medios como el cine. Prohibida su venta 1/30/14 5:48 AM . Se trata de un objeto digital de aprendizaje en formato de animación. Los exámenes contienen reactivos para evaluar los contenidos vistos en el bloque. la televisión. Recursos digitales administrativos Editorial Santillana. ORIAL SANTILL ANA. que desarrolla el tema principal del plan de lección. Para apoyar al docente en su labor. Índice del libro del alumno Presentación Conoce tu libro Alumno Docente Dosificación 3 4 4 5 12 Bloque 2 70 Lección 8 Ecuaciones cuadráticas por factorización Bloque 1 16 72 Lección 9 Rotación y traslación 78 Lección 10 Lección 1 Simetría axial. rotación y traslación Problemas con ecuaciones cuadráticas 18 Lección 2 86 Lección 11 Cuadrados y triángulo rectángulo Construcción de figuras congruentes y semejantes 24 Lección 3 Lección 12 El teorema de Pitágoras Criterios de congruencia y semejanza 32 Lección 4 Gráficas. mutuamente excluyentes e independientes 54 Lección 7 Diseño y análisis de una encuesta 60 Para saber más Evaluación tipo PISA 66 68 24 Bloque 3 118 Lección 14 Ecuaciones de segundo grado 120 Lección 15 Congruencia y semejanza de triángulos 126 Lección 16 El teorema de Tales 132 Lección 17 Figuras homotéticas 138 Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL02-017-032.indd 19 19 1/30/14 5:48 AM . tablas y expresiones algebraicas 94 100 Lección 13 Mutuamente excluyentes y complementarios 106 Para saber más Evaluación tipo PISA 114 116 40 Lección 5 Relaciones de variación cuadrática 48 Lección 6 Complementarios. .......................................................... 170 Bloque 4 172 174 180 Lección 23 Pendiente de una recta 196 Lección 25 Razones trigonométricas Distintos tipos de ecuaciones 228 Lección 29 Secciones cónicas 234 Lección 30 Volumen de cilindros y conos 242 Cálculo del volumen de cilindros y conos 248 Lección 32 254 Lección 33 Equiprobabilidad en juegos de azar 260 Para saber más Evaluación tipo PISA 266 268 Fuentes de información Para el estudiante Para el docente Electrónicas Consultadas 270 271 272 272 188 Lección 24 Ángulos agudos de un triángulo rectángulo Lección 28 Variación lineal y cuadrática Lección 22 Sólidos de revolución 226 Lección 31 Lección 21 Sucesiones cuadráticas Bloque 5 204 Lección 26 Razón de cambio y pendiente de una recta 210 Lección 27 20 SMAT3LRCONAPL02-017-032.................................................................................................Índice Lección 18 Gráficas de funciones cuadráticas 146 Lección 19 Curvas que modelan situaciones en movimiento 154 Lección 20 Probabilidad de eventos independientes 162 Para saber más ...........................indd 20 Desviación media en un conjunto de datos 216 Para saber más Evaluación tipo PISA 222 224 Prohibida su venta 1/30/14 5:48 AM ... 168 Evaluación tipo PISA ................................. Recursos didácticos Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL02-017-032.indd 21 21 1/30/14 5:48 AM . 1 22 SMAT3LRCONAPL02-017-032.indd 22 Prohibida su venta 1/30/14 5:48 AM . Completan una tabla para obtener el área de diferentes habitaciones de una casa. 22 y 23 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL02-017-032. Comparten resultados de forma grupal. Comentan en grupo los procedimientos empleados. Representan de forma algebraica el área de distintas figuras. Calculan el área total de la casa. Operaciones inversas Resuelven distintos planteamientos mediante expresiones algebraicas. Problemas con ecuaciones cuadráticas Bloque: 1 Eje temático: Sentido numérico y pensamiento algebraico Duración: 2 semanas Número de sesiones: 10 Tema: Patrones y ecuaciones Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas. utilizando procedimientos personales u operaciones inversas Desarrollo Sesión(es) Actividades Páginas del libro 16 Realizan la lectura “Representación de ecuaciones cuadráticas en la historia”. 1 2 El desarrollo inmobiliario Analizan situaciones que involucran el uso de perímetros y el cálculo del área. Discuten grupalmente sus resultados y elaboran conclusiones. Seleccionan las expresiones necesarias para calcular el área total y el área del fondo de un portarretratos. Resuelven problemas en los que se debe obtener un máximo del área basándose en un perímetro. Comparten las estrategias utilizadas. Comparten respuestas con los compañeros. mismo perímetro Utilizan la información contenida en un texto y una figura para calcular el área de diferentes habitaciones de una casa.indd 23 23 2/5/14 1:17 PM . Comparan las expresiones algebraicas en grupo para validarlas. Leen información sobre ecuaciones cuadráticas. Área máxima. Verifican la información aplicándola en problemas ya resueltos. 21 y 22 1 Completan una tabla para obtener distintas opciones de área tanto para el fondo rosa como para el total del portarretratos. Visitan los sitios que se sugieren en Apoyo tecnológico para trabajo interactivo y resuelven las actividades del Reto.Planeaciones didácticas Lección 1. 18 19 y 20 1 De cuadrado a rectángulo Leen en equipos información para obtener las expresiones algebraicas con el fin de representar el área resultante de la superposición de dos figuras. Justifican su elección. Socializan argumentos para llegar a acuerdos grupales. Analizan una figura y determinan si existe congruencia en algunas de sus partes. Justifican la semejanza en un conjunto de triángulos. Segmentos y ángulos congruentes Trabajan en binas para identificar segmentos congruentes en una serie de figuras geométricas. Arte en plata Comparan dos conjuntos de triángulos para señalar aquellos que cumplen con las características pedidas. Páginas del libro 24 25 y 26 27 y 28 29 30 y 31 Observaciones 24 SMAT3LRCONAPL02-017-032. Leen información sobre la semejanza de dos polígonos para establecer las características de dos conjuntos de triángulos.Lección 2. Analizan representaciones gráficas de distintos triángulos. Completan una tabla determinando las medidas de las fotografías ampliadas. Comparten y socializan respuestas y procedimientos. Reconocen relaciones de proporcionalidad en el modelo 1. Construcción de figuras congruentes y semejantes Bloque: 1 Eje temático: Forma. Determinan el factor de proporcionalidad entre los lados de dos polígonos. Definen congruencia y trazan segmentos y ángulos como ejemplos de la definición. Socializan respuestas y procedimientos de forma grupal. cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades Desarrollo Sesión(es) 1 1 1 1 1 Actividades La cancha de futbol En parejas analizan la imagen de una cancha de futbol y responden preguntas sobre la congruencia o semejanza de las formas de la cancha de futbol. Describen los procedimientos utilizados. Determinan la congruencia de distintos ángulos justificando sus respuestas. Señalan si las fotografías son semejantes o congruentes. Socializan y sustentan conclusiones. Completan una tabla con las características de los triángulos del modelo 1 y 2. Ubican puntos en el plano cartesiano y señalan si las figuras que se forman son congruentes o semejantes. ¿Semejantes o congruentes? En parejas responden preguntas referentes a las medidas ampliadas de un conjunto de fotografías. Problemas de construcciones semejantes Trazan un hexágono regular teniendo como referencia un segmento. Comunican sus procedimientos al llenar una tabla. Utilizan las gráficas de dos modelos con triángulos para comparar sus ángulos y establecer la congruencia de los elementos de cada modelo. identificando las características de cada una. Proponen pares ordenados para construir figuras semejantes y congruentes. Responden distintos cuestionamientos referentes a la congruencia de ángulos. Leen información acerca de la congruencia de dos segmentos. Reconocen las figuras que no tienen segmentos congruentes.indd 24 Prohibida su venta 1/30/14 5:48 AM . Realizan las actividades de Apoyo tecnológico y resuelven el Reto. Comentan conclusiones y registran acuerdos. espacio y medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Figuras y cuerpos Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos. Completan una tabla dibujando figuras congruentes y semejantes. 32 y 33 34 35 36 a 39 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL02-017-032. Socializan respuestas y registran acuerdos. Analizan figuras para determinar si la expresión planteada describe la relación entre las figuras. Criterios de congruencia y semejanza Bloque: 1 Eje temático: Forma. Concluyen acerca de la congruencia de dos triángulos “cuando los lados y ángulos de uno miden lo mismo que los correspondientes del otro”. Comentan en grupo las respuestas. En grupos analizan información relativa a los criterios de congruencia de los triángulos. Socializan respuestas y argumentan criterios. En pareja analizan una figura en la que determinarán si las partes son triángulos semejantes. Determinan las medidas de los ángulos de los triángulos construidos y las longitudes de sus lados. Trazan un triángulo y después hacen una construcción de dos triángulos dentro del primero.indd 25 25 1/30/14 5:48 AM . Leen información relativa a los ángulos consecutivos. En pareja retoman un procedimiento para determinar la congruencia de dos triángulos al interior de un rectángulo. Trazan en el cuaderno triángulos con base en distintas expresiones propuestas. Realizan las actividades de los sitios que se sugieren en Apoyo tecnológico y aplican lo aprendido al resolver el Reto. En grupo redactan criterios de congruencia y semejanza de triángulos. Identificación de congruencia en triángulos Analizan parejas de triángulos para determinar si son congruentes utilizando el juego de geometría. Comparan construcciones con las de los compañeros. Determinan características de simetría y congruencia de diferentes figuras. Figuras congruentes Analizan una construcción geométrica y responden a los cuestionamientos argumentando las respuestas. Buscan objetos con formas triangulares congruentes para describir propiedades y utilizar los criterios para comprobar su congruencia. espacio y medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Figuras y cuerpos Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada Desarrollo Sesión(es) 1 1 1 2 Actividades Páginas del libro Banderas y figuras congruentes Leen información y responden a distintos cuestionamientos sobre congruencia en imágenes de banderas. Construcción de triángulos congruentes Construyen triángulos con ciertas características y responden cuestionamientos sobre criterios de congruencia. Leen y discuten información relativa a los triángulos congruentes. Leen información relativa a los criterios de congruencia. Criterios de semejanza Trabajan en parejas para determinar y comparar las características de dos triángulos estableciendo si son semejantes. Comparten argumentos y registran en grupo las conclusiones obtenidas. En parejas analizan si dos triángulos son semejantes aplicando criterios de semejanza. Socializan conclusiones.Lección 3. Leen información acerca de los criterios de semejanza. Gráfica de los servicios de banca en línea Observan distintas gráficas para determinar cuál representa mejor la información propuesta. Registran la ecuación correspondiente. Comparan resultados de forma grupal. la gráfica y la expresión algebraica con las respectivas de la actividad 3.indd 26 Prohibida su venta 1/30/14 5:48 AM . Gráficas. Determinan si la situación analizada es de proporcionalidad. Comparan y registran sus conclusiones. Indican las opciones que no representan una relación de proporcionalidad. Completan una tabla utilizando la expresión algebraica de una relación proporcional. Completan la información planteada en una gráfica. Plantean una expresión algebraica para modelar un incremento proporcional. tablas y expresiones algebraicas Bloque: 1 Eje temático: Manejo de la información Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Proporcionalidad y funciones Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Análisis de representaciones (gráficas. Indican cuáles son lineales y de proporcionalidad. tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Completan una tabla y elaboran una gráfica ya sea con los datos planteados o con una expresión algebraica. Expresan la razón por la cual una gráfica representa una situación de proporcionalidad y por qué las otras tres gráficas no representan dicha situación. Explican las características de la representación gráfica. Responden a cuestionamientos acerca de una relación proporcional. Comparan resultados con el resto de sus compañeros. Determinan las características de una gráfica que representa los datos de una tabla. Elaboran una tabla para mostrar los datos de la gráfica. Registran acuerdos y características de las representaciones de la forma y = kx. Comparan una tabla. eligen las que se relacionan con dos expresiones algebraicas y dos tablas. Observan gráficas y eligen la que modela la relación planteada. Cajas de cristal En equipos completan una tabla. Escriben un problema que se pueda modelar con la información mostrada en las distintas representaciones. una expresión algebraica y una gráfica para ver si representan una misma relación de proporcionalidad. Comparan la tabla. gráficas y tablas que representan situaciones de proporcionalidad directa. Páginas del libro 40 41 y 42 43 y 44 45 a 47 Observaciones 26 SMAT3LRCONAPL02-017-032. Distintas representaciones En equipo seleccionan expresiones algebraicas. completan las oraciones y plantean problemas que se resuelvan con dichas representaciones. Relación entre distintas representaciones Entre cuatro gráficas. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad Desarrollo Sesión(es) 1 1 2 1 Actividades Servicios de banca en línea Leen información para identificar una relación proporcional. Las máquinas de serigrafía Analizan información para responder y argumentar los cuestionamientos.Lección 4. Determinan las constantes de proporcionalidad de cada una de las expresiones. Socializan y discuten respuestas grupalmente. identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física. Determinan las variables dependiente e independiente de una situación con una expresión algebraica cuadrática. Determinan la altura máxima del cohete con base en la información contenida en la tabla. Socializan respuestas y discuten el tipo de relación o función entre los datos de los problemas vistos.Lección 5. Determinan la variable dependiente y la variable independiente de la expresión algebraica. Determinan si el movimiento del balón representa una relación de proporcionalidad lineal. 48 49 50 50 y 51 52 y 53 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL02-017-032. Determinan la expresión algebraica que permite obtener el área de un rectángulo en términos de uno de sus lados. Identifican patrones en los datos de la tabla. Funciones cuadráticas en áreas y perímetros Trabajan en parejas para resolver un problema que implica obtener una expresión que represente tanto la medida de uno de los lados como también una expresión algebraica que represente el área del rectángulo en función de la medida del perímetro. la economía y otras disciplinas Desarrollo Sesión(es) 1 1 1 1 1 Actividades Páginas del libro Los efectos de la ley de gravedad Extraen información de un texto y una tabla sobre los efectos de la gravedad en un balón. Socializan respuestas. En la sección Apoyo tecnológico analizan ejercicios propuestos y realizan la actividad del Reto llamada “Modelación matemática”. la biología. Utilizan los datos de la nueva tabla para encontrar la altura máxima que alcanzará el cohete. Plantean la expresión algebraica cuadrática con base en los datos de una tabla. Construyen una tabla en la que el cohete tiene una velocidad inicial mayor. Identifican una expresión algebraica que modele el movimiento del balón.indd 27 27 1/30/14 5:48 AM . Problemas cuadráticos Leen un problema que implica analizar una expresión algebraica cuadrática. Socializan respuestas comparando procedimientos. Socializan respuestas y acuerdan la ecuación que representa la función cuadrática. Plantean la ecuación que modela dicho problema. Completan una tabla utilizando una expresión algebraica para responder a distintas preguntas referentes al área y perímetro de la figura. Determinan características de una función cuadrática. Completan un registro tabular con base en la información de un problema cuadrático. Relaciones de variación cuadrática Bloque: 1 Eje temático: Manejo de la información Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Proporcionalidad y funciones Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática. Representación algebraica En equipo resuelven actividades con base en el experimento del balón. Completan los datos de una tabla con base en la expresión algebraica planteada en el problema. Analizan el movimiento del balón al rebotar contra el suelo e investigan el nombre de la curva que sigue dicho movimiento. Registran acuerdos y conclusiones en el cuaderno. Analizan una situación de áreas las cuales dependen de una cierta distancia. Analizan un texto acerca de la caída libre y su expresión algebraica para determinar la altura desde donde cae un objeto. Completan una tabla con datos del despegue de un cohete. Eventos independientes Leen información acerca de experimentos aleatorios y responden en el cuaderno a los planteamientos propuestos acordes a la probabilidad de cada evento. Completan una tabla con cuatro experimentos aleatorios. Ingresan a distintos sitios en Internet para interactuar con ejercicios referentes a la probabilidad. Reflexionan cómo se representa la probabilidad de dos eventos distintos. Escala de probabilidad Resuelven en parejas una situación para predecir cómo se tomará una carta. Registran y validan conclusiones en grupo. Comparan ambos resultados referentes a las colisiones de asteroides y en particular la del asteroide Apophis. Socializan en grupo las propuestas argumentando cada caso. Comparan resultados en grupo y registran conclusiones en el cuaderno. Leen un texto acerca de la probabilidad. Responden preguntas sobre la probabilidad de que ocurra un evento. Escriben en su cuaderno tres eventos de ocurrencia segura y tres imposibles. Páginas del libro 54 55 56 57 y 58 59 Observaciones 28 SMAT3LRCONAPL02-017-032. Comparan y analizan los eventos del experimento aleatorio. Analizan distintas situaciones para determinar la probabilidad de los eventos de un experimento aleatorio. Complementarios y mutuamente excluyentes Trabajan en equipo para llevar a cabo experimentos aleatorios. en el apartado Apoyo tecnológico. mutuamente excluyentes e independientes Bloque: 1 Eje temático: Manejo de la información Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Nociones de probabilidad Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Conocimiento de la escala de la probabilidad. Comparan los eventos para responder a las preguntas sobre probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes Desarrollo Sesión(es) 1 1 1 1 1 Actividades Impacto del asteroide Apophis contra la Tierra Leen información acerca de la probabilidad de impacto de un asteroide con la Tierra.Lección 6. de los eventos seguros y los eventos imposibles. Completan una tabla para determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio. Completan una tabla considerando el espacio muestral de un experimento aleatorio. Socializan conclusiones. y aplican lo aprendido durante la lección al resolver la actividad del Reto llamado Tres tipos de eventos aleatorios. Socializan y comparan argumentos con base en un texto referente a eventos independientes. Socializan argumentos y discuten un texto referente a los eventos mutuamente excluyentes y a los eventos complementarios. En parejas determinan la probabilidad de que ocurran los eventos descritos en una tabla. con eventos mutuamente excluyentes y eventos complementarios. Complementarios. Socializan resultados. Obtienen la probabilidad de que choque un asteroide contra la Tierra. Analizan en grupo respuestas y argumentos. Leen acerca de otros eventos de impactos de asteroides en la Tierra. Responden a preguntas relativas a la probabilidad del evento.indd 28 Prohibida su venta 1/30/14 5:48 AM . señalando la correspondencia de los diferentes eventos. Ubican en la recta numérica la probabilidad de que ocurran los eventos señalados en la tabla. Resuelven las actividades de la sección “Para saber más” . En grupo leen en voz alta las definiciones de encuesta. Trabajan en una encuesta. Resuelven la evaluación tipo PISA del bloque 1. Completan una tabla con información de las encuestas de otros equipos. Socializan respuestas y llegan a acuerdos. Renovación tecnológica en equipos de cómputo En equipo leen información correspondiente a los datos de una encuesta. Explican en el cuaderno las características de cada gráfica. Asocian representaciones gráficas con los resultados de una tabla.Lección 7. Interactúan con una página para reforzar el procesamiento de la información en el apartado Apoyo tecnológico y aplican lo aprendido a lo largo de la lección al resolver la actividad del Reto llamado “Una síntesis necesaria”. Responden a cuestionamientos acerca de las encuestas. Socializan dudas y registran conclusiones. Analizan tablas y responden cuestionamientos relativos a la información presentada en la tabla. población y muestra. Escriben los elementos a considerar en el diseño de encuestas. Leen una tabla para conocer acerca de la planificación previa y la aplicación de una encuesta. Registran conclusiones. registrando experiencias. Leen información acerca de un cuestionario estructurado. Socializan respuestas llegando a acuerdos. Presentan los planes de acción a nivel grupal. Trabajan en parejas para resolver actividades relacionadas a los criterios de una encuesta. 60 y 61 62 y 63 64 y 65 66 y 67 68 y 69 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL02-017-032. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación Desarrollo Sesión(es) 2 1 1 1 1 Actividades Páginas del libro La Profeco y la importancia de las encuestas En equipo leen un texto y responden en el cuaderno preguntas relativas a las encuestas. Hagamos una encuesta Organizados en equipos seleccionan un tema para diseñar una encuesta. Reflexionan acerca de los tiempos de aplicación de una encuesta. Socializan respuestas y registran conclusiones. aplicación y resultados de la encuesta. Diseño y análisis de una encuesta Bloque: 1 Eje temático: Manejo de la información Duración: 1 semana Número de sesiones: 6 Tema: Análisis y representación de datos Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Comentan en grupo sobre el tipo de encuesta que se puede realizar en la escuela. Responden en el cuaderno distintas preguntas concernientes al desarrollo.indd 29 29 1/30/14 5:48 AM . Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Analizan los textos para responder a las preguntas relativas a las encuestas y sus características. indd 30 Prohibida su venta MATERIAL FOTOCOPIABLE 1/30/14 5:48 AM .Formato de planeación Lección: Bloque: Eje temático: Duración: Número de sesiones: Tema: Periodo: del __________________ al __________________ de _______________________________________________________________________ Contenido Desarrollo Sesión(es) Actividades Páginas del libro Observaciones 30 SMAT3LRCONAPL02-017-032. Formato de planeación Lección: Bloque: Eje temático: Duración: Número de sesiones: Tema: Periodo: del __________________ al __________________ de _______________________________________________________________________ Contenido Desarrollo Sesión(es) Actividades Páginas del libro Observaciones MATERIAL FOTOCOPIABLE SMAT3LRCONAPL02-017-032.indd 31 Prohibida su venta 31 1/30/14 5:48 AM . no hay letras ni símbolos algebraicos. Fue en el siglo XVI cuando se introdujeron los símbolos para plantear ecuaciones. que es cinco. Las explicaciones sobre las ecuaciones cuadráticas en los tratados árabes incluían: A) símbolos. y lograron gran desarrollo en álgebra y trigonometría.. de C. lo que da veinticinco.El trabajo con el libro del alumno 1 Propuestas didácticas Invitación a la lectura Informe a los estudiantes que la lectura es parte importante no solo de la asignatura de Español. porque usaban simbolos que permitían generalizar. En su tratado sobre álgebra. i Lee y subraya las respuestas correctas. y se resolvían ecuaciones con coeficientes específicos. la multiplicas por sí misma. Después responde. donde A es la incógnita. Al-Khwarizmi indicaba con palabras el planteamiento y la solución de las ecuaciones. Una pequeña discusión sobre aquello que ya se sabe al respecto y una ojeada rápida permitirá al estudiante obtener información importante antes de comenzar la lectura de manera formal. M. ¿La forma como planteaba las ecuaciones Viète era mejor que la usada por Al-Khwarizmi? Explica por qué. ¿Cuál fue la aportación de François Viète al álgebra actual? A) Estudiar varias clases de ecuaciones C) Usar letras del alfabeto en el álgebra B) Solucionar ecuaciones específicas D) Plantear parámetros para geometría 3. La idea de los parámetros es fundamental en matemáticas. R. tradujeron y divulgaron los conocimientos de la Grecia antigua e India.. entre los años 700 y 1200 d. Representación de ecuaciones cuadráticas en la historia D iversos personajes han hecho aportes al álgebra para desarrollarla como la conocemos. q.indd 32 Prohibida su venta 16 PM3STJCONA-PL01-01-16. sino que el comprender lo que se lee es también esencial en otras asignaturas como Matemáticas para la mejor interiorización de los contenidos y la mejor resolución de los problemas. en álgebra se estudiaban casos especiales. 32 SMAT3LRCONAPL02-017-032. El más recordado de los matemáticos árabes es Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi. pero no existía un modelo que representara “todas” las ecuaciones cuadráticas (de forma similar a como en geometría un diagrama de triángulo ABC representaba “todos” los triángulos). François Viète (1540-1603) tuvo gran influencia en ello. pues propuso usar “parámetros” por primera vez en la histo- Recuerde que para una mejor comprensión de la lectura.. Viète facilitó el estudio de las ecuaciones. 4. con lo que el álgebra pudo estudiar clases de ecuaciones y concentrarse en la estructura de los problemas y no en su forma particular. por ejemplo. el cuadrado y aeq significa “igual”. y las consonantes para las magnitudes o números dados o supuestamente conocidos (parámetros). esta es parte de una de sus explicaciones para resolver una ecuación cuadrática: “El método de resolución consiste en esto: toma la mitad de las raíces. Sí. una expresión como: 2x2 – 5x = 23. C) números. a lo largo de la edad de oro del mundo musulmán. Su notación tiene diferencias en comparación con la actual.” Como puedes ver. B) palabras. pero fue un gran avance en relación con la descripción en palabras. Los árabes. el lector debe situarse antes en el tema. Hasta entonces. ria de las matemáticas. por lo que la evaluación de la lectura será parte fundamental de su aprendizaje. Por ejemplo. ¿Cuál fue la principal aportación de los matemáticos árabes? Lograron un gran desarrollo en ´algebra y en trigonometría. Al-Khwarizmi explica cómo resolver ecuaciones cuadráticas. 2. Viète utilizó las letras del alfabeto para simbolizar términos variables y constantes: las vocales para representar incógnitas. Viète la escribiría como 2Aq – 5A aeq 23.indd 16 12/24/13 2:29 PM 1/30/14 5:48 AM . 1. D) consonantes. . 6 8 x i Socialicen sus respuestas y valídenlas en grupo con apoyo del profesor . luego.. Ahora supongan que el maestro o la maestra aportará la décima parte del cuadrado del número de días que han transcurrido... a los veinte días aportará $40. etcétera. . que comx2 la cual corresponde a una paparen sus propuestas con la de y = 95 x + 10 rábola que abre hacia arriba.. 257 PM3STJCONA-PL17-257-272. ¿es de proporcionalidad? Justifiquen. Para comprobar sus respuestas. . Para saber cuánto dinero habrá para la celebración. • ¿Cuál es la expresión algebraica que modela dicha función? x3 • Escriban un problema que se pueda modelar con ella: R. además la maestra o maestro aporta $50 cada vez que el grupo aporte. Realicen lo que se pide a partir de los siguientes registros tabulares. una manera rápida es a través de una expresión que nos diga cómo será el ahorro conforme pasen los días. m p 0 0 20 36 Tabla 2 40 60 80 100 120 72 108 144 180 216 ..indd 257 SMAT3LRCONAPL20-305-320. Lo determina que es una expresión del tipo y = ax. Propuestas didácticas a.indd 305 12/24/13 3:00 PM Prohibida su venta 305 1/30/14 6:02 AM . Entre todos celebraremos el fin de año escolar. ¿Cómo se modifica la expresión algebraica con el aporte de la maestra? • Si esta representa una función lineal.. ¿es una recta o curva que pasa por el origen? Una curva que pasa por el origen.8x • ¿Es una recta o curva que pasa por el origen? ¿Qué determina lo anterior? Sí. ¿es de proporcionalidad? Sí • Escriban un problema que se pueda modelar con dicha función: R.4. tracen la gráfica que modela cada caso en el plano cartesiano correspondiente. No. L. proponga a los estudiantes la siguiente situación: • ¿Cuál es la expresión algebraica que modela dicha función? y = 1. porque es una función cúbica. • Si esta representa una función cuadrática. Del registro de la tabla 2: • ¿Qué tipo de función representa? Lineal En relación con la tabla 2. L. solicite entonces que factoricen la expresión para encontrar las soluciones que se encuentran en x = 0 y x = –18. r t 0 0 1 1 Tabla 1 2 3 4 8 27 64 5 125 6 216 . b. Pregunte: ¿La relación sigue siendo proporcional? c.. Cada 20 días de clases el grupo aportará $36 a la alcancía. con la finalidad de reforzar la actividad propuesta. Del registro de la tabla 1: • ¿Qué tipo de función representa? Cúbica • Si se grafica. a los 40 días aportará $160. así que decidimos que se va a poner una alcancía en el salón. Discuta con el grupo cuál debe ser la expresión algebraica y a partir de esta pídales que esbocen la gráfica correspondiente. es decir. –100 –50 y y 200 200 150 150 100 100 50 50 0 –50 0 –2 –50 –100 –100 –150 –150 –200 –200 50 100 x –8 –6 –4 2 4 Permita que los jóvenes exploren diferentes posibilidades. dada la información de los registros tabulares. R. pida que escriban las expresiones resultantes al modificar la razón de cambio de la ecuaciones dadas al principio. es decir. las figuras traslapadas coinciden perfectamente. Pregunte si ocurriría lo mismo si las parábolas no tuvieran su vértice en el origen.Relación entre gráficas y expresiones algebraicas 5. en un punto que no sea el origen? El valor del término lineal • ¿Qué determina que la curva de la función cuadrática abra hacia arriba o hacia abajo sobre el eje de las ordenadas? El signo del término cuadrático • ¿Cuál es el comportamiento de la función cuadrática en la medida que el valor del coeficiente del término cuadrático tiende a ser cero? Se abre más la curva. de trasladar una distancia dada.5x –2 –3 1 2 x a.5x2 • y = 0. por lo que si reflejamos dos veces. escriban cada expresión algebraica junto a la gráfica correspondiente. Por el tipo de expre. 8 y y 6 8 7 7 5 6 6 4 5 5 3 4 4 2 3 2 y=x 1 3 y=x 1 Una vez que los alumnos hayan contestado el inciso b. –3 y y 8 7 y 6 2 5 4 3 5 Solicite a los educandos que dibujen algunas gráficas que sean simétricas respecto al eje y. a lo largo de una línea que juega el papel de eje de reflexión. y si es posible que escriban su expresión algebraica. contesten en su cuaderno: • ¿Qué término de una función cuadrática falta para que el vértice esté sobre el eje de las ordenadas. • y = 5x • y = –3x2 + 5 • y = 5x2 • y = 0. y haga ver a los jóvenes que esta acción es equivalente a cambiarle el signo a la pendiente de la recta original.5x2 2 3 –4 x –3 –2 –1 0 1 x 4 y 7 7 5 –2 6 –1 0 1 2 x 6 –1 4 –2 3 5 5 4 y = –3x2 –3 3 y = –3x + 5 2 1 0 –1 3 y y y Recuerde a los estudiantes que la reflexión de una figura plana se puede obtener al doblar la hoja de papel sobre la cual está dibujada. y de reflejar con respecto a cada eje. Considerando únicamente las funciones cuadráticas. plantee la siguiente pregunta: ¿Qué sucede con las expresiones algebraicas al reflejar las parábolas respecto al eje y? 2 1 3 –4 1 –5 0 y = 5x 2 y = –3x 1 –1 1 2 x –3 x 2 4 2 –2 –1 0 –6 –1 –1 –7 –2 –2 –8 –3 1 x –1 –2 Explique que en este caso. luego. b. 1 3 –1 SMAT3LRCONAPL20-305-320. sión y los puntos donde cortan a los ejes. cada una de las gráficas por el eje y y por el eje x. M. En su cuaderno sustenten el procedimiento que utilizaron para relacionar las expresiones cuadráticas y lineales con su respectiva gráfica. 2 –1 0 1 2 3 4 5 x 6 1 –1 –3 –2 0 –1 1 2 y = 0. de ser posible. quedando la misma función en el mismo lugar. al hacer el doblez correspondiente. la misma expresión algebraica. 306 y = –3x2 + 5 2 1 4 258 PM3STJCONA-PL17-257-272. por separado.a. que escriban su expresión algebraica. ya que nos da idea de los valores que toma la función y nos puede ayudar a identificar soluciones a un problema modelado con dicha función.indd 306 Prohibida su venta 0 1 2 3 4 5 x –2 –1 0 1 2 x –1 2 y = 5x2 1 –2 –1 0 –1 y = 0.5x • y = –3x Propuestas didácticas • y = x2 • y=x • y = –3x + 5 • y = –3x2 y Explique a los adolescentes que es importante desarrollar la interpretación gráfica. En pareja. por lo que las expresiones algebraicas permanecen igual.indd 258 12/24/13 3:00 PM 1/30/14 6:02 AM . Para las expresiones algebraicas de las rectas que pasan por el origen. solicite que reflejen con respecto a uno de los ejes. Pida que dibujen algunas gráficas que sean simétricas respecto al origen y. volvemos a obtener la misma recta. la curva se aleja del eje de las ordenadas. Corrijan o completen lo que consideren necesario. donde xi es la posición inicial y vi la velocidad inicial. dependiendo cómo se vaya a medir. en el ejemplo anterior. La imagen 2 muestra el kilometraje del automóvil al llegar a su casa. Reto Vacaciones en familia 1. como por ejemplo ax2. i De manera grupal. respondan en su cuaderno.indd 259 Mencione que el eje de las abscisas corresponde a la variable del tiempo. Exponga el caso de una pelota que se deja caer desde lo alto de un edificio. el término lineal. Propuestas didácticas • Considerando las funciones lineales.5x • ¿Qué gráficas no son de proporcionalidad? ¿Por qué? El resto de las gráficas y la lineal no proporcional y = –3x + 5. En la imagen 1 se muestra el kilometraje total del automóvil (050522 km). Además. (consulta: 14 de noviembre de 2013) PM3STJCONA-PL17-257-272.thatquiz. puede tener signo positivo o negativo. Raúl regresa de vacaciones con su familia. Analicen la gráfica y determinen cuál de las siguientes expresiones algebraicas la modela: I = 400 – 3x I = 400x – 3x2 400 I = 400 – 3x2 300 • Planteen un problema que se pueda modelar con la gráfica y expresión algebraica. y = –3x. • ¿Qué gráficas tienen una pendiente negativa? Argumenten. si se va a contar el tiempo antes de que empiece el movimiento del cuerpo. tiene un significado físico: escoger un marco de referencia desde el cual se va a comenzar a medir.indd 307 Para cerrar la lección. es decir. a. vit. 259 SMAT3LRCONAPL20-305-320. el término cuadrático. la curva se abre hacia arriba. si hay dudas. donde el término independiente. mientras que el dato de 750. comente al grupo que podemos hacer un puente entre las matemáticas y la física por medio de las ecuaciones de segundo grado. representa el marco de referencia para el tiempo. ya sea hacia arriba o hacia abajo.html Analiza el problema planteado y obtén en tu cuaderno la gráfica que modela la situación. pero si el coeficiente es positivo. la curva se abre hacia abajo.sep. este término debe ser distinto de cero. consideremos la expresión algebraica de la posición. Reunidos en pareja. y = –3x + 5. Analicen la siguiente información y contrástenla con su última respuesta. la curva se acerca al eje de las abscisas.org/ es-0/matematicas/ algebra/ Comparte tu experiencia con el interactivo y discute con tus compañeros tus conclusiones. 12 gt2. es decir.telesecundaria. es decir. escriban en su cuaderno los acuerdos que hagan sobre las características de situaciones problemáticas. y en la gráfica representa una traslación en el eje de las abscisas. • 30 minutos • • • Imagen 1 Imagen 2 ¿Qué expresión algebraica modela la relación distancia-tiempo? d = 110t A partir de los datos de las imágenes. 200 100 i Socialicen sus respuestas en grupo y registren sus acuerdos en su cuaderno. x = xi + vit + 12 gt2.81 es la constante de la gravedad con la cual los cuerpos se aceleran hacia el centro de la Tierra. ¿qué gráficas representan una relación de proporcionalidad? Expliquen. El modificar la dirección en la cual abre una parábola. solo representa una traslación sobre el eje de las ordenadas. Entra al siguiente sitio y practica lo realizado durante la lección: www. Pregunte cómo afecta cada término de la expresión en la gráfica y cómo debe ser cada término para que esta sea simétrica respecto al eje de las ordenadas. 12/24/13 3:00 PM Prohibida su venta 307 1/30/14 6:02 AM . o dónde se coloque el marco de referencia. Las expresiones de la forma y = ax. R. Supongan que Raúl viajó a una velocidad constante de 110 km/h. y = 0. pide apoyo al profesor. ¿Es esta una relación de proporcionalidad? Sí es de proporcionalidad directa y b. –15 –10 –5 0 5 10 15 x Ingresa al siguiente sitio web y practica con el interactivo: www. y = 5x. xi. y = –3x • ¿Cuál es el comportamiento de la función lineal en la medida que el valor de la pendiente tiende a ser cero? Justifiquen. el eje de las ordenadas corta a la curva de la función en dos partes iguales. asociadas con distintos fenómenos en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.c. que se puede interpretar físicamente como empezar a medir la posición desde el suelo y no desde lo alto del edificio. si el coeficiente a es negativo.mx/ interactivos/3_ tercero/3_ Matematicas/ INTERACTIVOS/3m_b03_ t05_s01_descartes/ index. que la relación entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido de un cuerpo en caída libre es cuadrática.9 corresponde al kilometraje recorrido desde que salieron del hotel a cierto punto del camino. justo la letra g = 9. Cuando se tiene una función cuadrática. mientras que el de las ordenadas corresponde a la posición. ¿qué tiempo hizo Raúl en ese trayecto? ¿Cuánto tardó en ir del hotel a su casa? 7 horas 19 minutos Realicen la gráfica correspondiente a la situación mencionada. Discuta con los estudiantes el significado físico de cambiar los parámetros de la parábola. Después. Disminuye su ángulo de inclinación con respecto al eje de las abscisas. por ejemplo. representa la razón de cambio de la caída. de las clases de Física. por último. y = x. resuelvan los siguientes problemas.gob. recuerde a sus alumnos. L. dgme. ¿Qué tipo de función es la que se modela con los problemas planteados? Resuelve el problema propuesto en el interactivo y verifica tus respuestas con tus compañeros. Otro aspecto es que en la medida que el coeficiente a tiende a ser cero. M. • ¿Alguno de los jugadores tiene mayor probabilidad de ganar el juego? ¿Por qué? No. Gana el jugador que llegue primero. respondan. y ejemplos de los que sí sean justos. R. con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables Para esta lección los estudiantes requerirán de su juego de geometría. de lo contrario habrán construido un dado cargado que implicará un peso diferente a cada cara y por lo tanto una probabilidad no equitativa en cada una. 260 PM3STJCONA-PL17-257-272. Resultados de lanzar 100 veces un tetraedro y 40 • Si se lanza 100 veces más el dado en el simulador. Construyan su tablero (no consideren las huellas. Abra un espacio para discutir con los alumnos qué condiciones se deben establecer para que un juego de azar sea justo. R. Después registren sus conclusiones en el cuaderno. • ¿Están de acuerdo con ella? Expliquen. El juego consiste en avanzar por un camino para regresar a casa. Para jugar. Norte Sur Este Oeste x i Comenten su respuesta con el grupo y valídenla con el profesor. L. Jueguen “De regreso a casa”. Karla usó un simulador virtual y graficó los resultados de lanzar 100 veces el tetraedro. 30 308 NORTE a. Sí es justo. R. Pida que den ejemplos de juegos de azar en los que no se pueda decir que son justos. TE Karla ES Brenda SU Aproveche el juego del punto 1 para pedir a los estudiantes que tracen sobre cartoncillo el desarrollo plano de un tetraedro no olvidando marcar las pestañas necesarias en las caras para que queden bien pegadas en su construcción. Con base en ello afirma que sí hay ventaja para uno de los jugadores. R • Cada jugador se coloca en una de las esquinas superiores del tablero. pegamento y cartoncillo. Pida a los alumnos que analicen bien cómo deben estar distribuidas las pestañas para que al construir el dado tetraédrico quede lo más homogéneo posible. por turnos.Equiprobabilidad en juegos de azar 33 Propuestas didácticas Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad Contenido: Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo. tijeras. ponga a discusión si los resultados experimentales que determinan la probabilidad experimental pueden determinar si un juego de azar es justo o no y que expliquen por qué. De regreso a casa 1. L. necesitan un dado con forma de tetraedro con los nombres o iniciales de los puntos cardinales y un tablero.indd 260 12/24/13 3:00 PM 1/30/14 6:02 AM . lanza el dado y avanza una casilla en la dirección que marque la cara del dado que quede abajo. c. pierde el turno. No. porque salió “Sur” 35 de 100 veces.indd 308 Prohibida su venta • Discutan si el juego es justo para ambos jugadores y anoten sus acuerdos. solo la retícula) y su dado. 20 • ¿Qué significado pueden darle al hecho de que en un juego de azar existan resultados equiprobables? Todos tienen la misma probabilidad teórica de ocurrir. Si al lanzar el dado la dirección indica que el movimiento sea hacia afuera del tablero. Porque los resultados son independientes y los resultados previos no influyen en los siguientes. b. ¿se tendrían los mismos resultados? ¿Por qué? No. 10 0 SMAT3LRCONAPL20-305-320. después registren los resultados obtenidos en cada lanzamiento y determinen si alguno de ustedes tuvo alguna ventaja o no. Una vez que hayan terminado de resolver las actividades. Haga énfasis en que el tamaño de las pestañas debe ser el mismo y la cantidad de pegamento también debe tener las mismas proporciones en cada una. porque están a la misma distancia de la casa o meta. como los que se muestran: Las reglas del juego son: Inicie la clase preguntando a los estudiantes qué les sugiere el título de la lección “Equiprobabilidad en juegos de azar”. Antes de jugar. Reúnanse en pareja para jugar “De regreso a casa”. no se sabe si obtuvo O o N al inicio. ¿cómo son entre sí? Iguales Dé lectura al texto que aparece en color azul y pida a los alumnos que redacten en sus cuadernos la definición del concepto de equiprobables utilizando sus propias palabras. • ¿Cómo podría modificarse la regla propuesta por Karla para que el juego sea justo para ambas jugadoras? Expliquen. ¿algún punto cardinal tiene mayor probabilidad de salir? Argumenten. si sale Oeste. • ¿Qué conclusión pueden registrar de lo anterior? R. M. porque todas las caras del dado tienen la misma probabilidad de caer. Las huellas representan el avance de las niñas. no se sabe si le salió N o E al inicio y si perdió el turno. Se dice que dos posibles sucesos de un experimento son equiprobables cuando la probabilidad de ocurrencia de ambos es la misma. 261 PM3STJCONA-PL17-257-272. Aunque Karla está más cerca. avanzan dos casillas. cuando hayan explicado las modificaciones que propondrían a la regla propuesta por Karla para que el juego sea justo. S. O y S. R. a. C y D. i Socialicen sus argumentos y registren sus acuerdos. • ¿Y a Karla? Anótenlos. M. No R. S. B. M. la regla que propongan deberá corresponder a un juego justo. después lean la siguiente información teórica: Abra un espacio para discutir qué otros juegos de azar han jugado desde que eran niños y si consideran que las reglas de ellos los hacían justos y por qué. ¿alguna de ellas tiene ventaja para ganar el juego? Expliquen. mientras que Karla podría avanzar. Expliquen y registren sus acuerdos. S. Propuestas didácticas • ¿Qué resultados le han salido a Brenda? Regístrenlos. i Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. En grupo discutan qué compensación o beneficio puede recibir un jugador que en un juego de azar tenga menor probabilidad de ganar. Registren la probabilidad de ocurrencia de los siguientes eventos: 1 • Evento A: que caiga Norte. M. los eventos A y B son resultados equiprobables. una hacia ese punto cardinal y la otra en dirección de la casa. en el segundo caso. solicite que piensen en algunas variaciones de las reglas de los juegos de azar que mencionaron para que estos no fueran juegos justos. Aplicar la misma regla cuando saliera este. P(A): 4 1 • Evento B: que caiga Sur. Que todos los resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir. S. es decir: P(A) = P(B). al lanzar el dado. por tanto. No. por tanto.indd 309 12/24/13 3:00 PM Prohibida su venta 309 1/30/14 6:02 AM . Karla tendría ventaja. S. R. P(B): 4 1 • Evento C: que caiga Este. c. Argumenten su conjetura. En el tablero de la página anterior se muestra el juego que iniciaron Brenda y Karla. no deberá responder a un juego justo. Permita que los estudiantes jueguen el juego utilizando la regla que propusieron para que fuera justo. el juego es justo para las jugadoras. S. • ¿Es justa para ambas jugadoras la propuesta de Karla? Argumenten. luego. P(C): 4 1 • Evento D: que caiga Oeste. porque si sale oeste al inicio. Realicen en pareja lo que se solicita. en un caso. P(E): 8 • Al comparar las probabilidades de A.Resultados equiprobables 2. S. S y S. En relación con el inciso c. invite a los estudiantes a que hagan otro par de propuestas para reglamentar el juego “De regreso a casa”. Brenda pierde un turno. Analicen y determinen si los resultados del juego “De regreso a casa” son equiprobables. P(D): 4 1 • Evento E: que caiga dos veces seguida Norte. R. E. • En este momento. b. Respondan en su cuaderno.indd 261 SMAT3LRCONAPL20-305-320. Karla le propuso a Brenda cambiar las reglas del juego: ahora. no es posible determinarlo. S. M. • Al lanzar los dados. y deberán dar tres ejemplos de experimentos equiprobables. la probabilidad es la misma para “Premio” tiene mayor probabilidad. Para el caso de la rifa.Juegos equiprobables y no equiprobables 3. Porque todos los boletos tienen la No. mayor tiene mayor probabilidad de Ruleta: ganar un premio al girarla. 310 SMAT3LRCONAPL20-305-320. anímelos a que den valores. Sí. saldrán las tarjetas. porque todos tienen la misma probabilidad de salir. 500 • En este juego de azar. pregunte cuántas personas del salón creen que van a ganar el juego. No • En este juego. 3 b. y a cuánto dinero equivale esa inversión y que lo confronten con el premio que se ofrece en el raspadito. R. El juego del “raspadito” es un juego que vale la pena que analicen con detenimiento. En el siguiente recuadro se registraron algunos juegos de azar clásicos. discutan cuántos cartoncitos consideran que tendrían que comprar para tener una probabilidad mayor al 50%. determinen la probabilidad del evento “comprar tres boletos”. porque no se sabe el orden en que Sí. analicen la información y resuelvan las actividades. Rifa: ganar el premio al comprar tres boletos de 500 posibles. si esto afectaría en la probabilidad y si el hecho de que tengan diferentes colores los boletos afecta en algo a que el juego sea o no justo. M.indd 310 Prohibida su venta 262 PM3STJCONA-PL17-257-272. Para la rifa. Reunidos en pareja. ¿la elección del boleto ganador resulta justa para todos? Justifiquen su respuesta. por ejemplo. Sí. M. 15/30. Todos los que no hayan ganado el juego deberán raspar todas las opciones y analizar cuántas posibilidades diferentes hay para construir cartoncitos diferentes. porque la probabilidad de ganar es No. Lanzar un dado: ganar si sale un número menor que 3. 7/30. No es justo para todos los resultados. Pregunte a los jóvenes las características que deben tener los boletos dentro de la urna para que todos tengan la misma probabilidad de salir. Pida al grupo que obtengan conclusiones sobre jugar este tipo de juegos de azar. ocurrir. porque obtener 3 o un número misma oportunidad de salir. R. En primero de secundaria estudiaron que en los juegos de azar las posibilidades de ganar o perder están determinadas por la probabilidad de ocurrencia de los eventos favorables. qué sucedería si algunos fueran de papel más grueso o de dimensiones más grandes que otros. Volados: ganar si sale sol. y anote sus propuestas en el pizarrón para ir viendo tendencias en las expectativas que tiene su grupo sobre este tipo de juegos. si en el salón son 30 estudiantes que digan. ¿se tendrían mayores posibilidades de ganar? Argumenten. • Si los boletos fueran de numeración no consecutiva. Propuestas didácticas Para esta actividad conviene que los alumnos lleven un cartoncito del juego de raspadito para analizarlo en la clase. Lotería mexicana: ganar en la primera jugada. a. ambos resultados. menor a la de no ganar. y que representen la probabilidad no como fracción sino como porcentaje. pida que justifiquen todas sus respuestas. etcétera. Analice junto con el grupo cada uno de los juegos de azar que se proponen en la página. Analicen el evento citado en cada caso y determinen si las condiciones o reglas permiten que sean juegos de azar justos o de resultados equiprobables. Sí. luego pídales que lo raspen a ver si alguien gana el juego y comparen resultados de sus expectativas con la realidad. No. pregunte qué probabilidad tendrían de ganar el premio si tuvieran tres boletos. Lotería instantánea o raspadito: ganar el premio si raspas consecutivamente tres figuras iguales. si los alumnos llevaron a clase uno de estos cartoncitos.indd 262 12/24/13 3:00 PM 1/30/14 6:02 AM . ¿influye que los números de los boletos comprados sean consecutivos? Expliquen. Porque en la urna se revuelven los boletos y no se sabe cuál saldrá. ¿qué jugador tiene ventaja de ganar? ¿Por qué? No se sabe. discuta las variaciones que pueden tener las ruletas como. ¿cuál es la probabilidad de ganar con el evento que se indica? 2 6 Propuestas didácticas Para reforzar las actividades de esta página se requiere que los jóvenes lleven a la clase un juego de lotería. • ¿Qué evento puede ser equiprobable al evento B? 0. pídales que analicen las posibilidades que hay en el juego en función del número total de cartas. pida que determinen cuántos jugadores de la lotería puede haber con cartoncillos de 3 × 3 imágenes. y haga énfasis en que los cartoncillos pueden tener imágenes en común pero no tener las nueve imágenes iguales. y en un evento B. R. es 1 6 . que las secciones sean de diferentes tamaños y de qué manera afecta esto a que el juego sea o no justo. Prohibida su venta 311 1/30/14 6:02 AM . Explique que aún existen lugares en los que se puede jugar a la lotería. tarifa en plan gratis 0. concierto gratis gratis de factura unos son más probables que otros. es decir. No porque la probabidor gana si cae número impar. • ¿Qué eventos no son equiprobables? Expliquen. el juego de la ruleta. paso a paso. Entrada al concierto. M. • Al lanzar un dado.indd 311 12/24/13 3:00 PM Aclare al grupo que en realidad no se venden los cartoncillos porque se deben devolver al final del juego. Sí.10 • ¿Los resultados de la ruleta son justos o equitativos? 0 Premio Entrada al Tarifa en plan Mensajes Gratis a un año Expliquen. Utilicen la que se muestra en la imagen de la página para analizar el número de diferentes posibilidades que se tienen y. Las siguientes imágenes muestran cuatro de las nueve tarjetas que forman un juego de lotería. Luego. Aunque todos los resultados tienen premio. Porque la probabilidad de obtener las figuras consecutivas para ganar es muy pequeña. Porque no se conoce el • ¿En qué condiciones se puede hacer un juego que no sea justo? Expliquen. es solo como una renta. justo para ambos jugadores? Argumenten. no puede haber dos cartoncillos idénticos. de todas. ¿cómo modificarían la premiación para que el juego fuera justo para ambos participantes? Dando 6 puntos cada Probabilidad teórica al girar la ruleta que saliera 4. 0. que representa la probabilidad teórica de ganar al girar la ruleta. ¿cuál es la probabilidad de obtener tres figuras igua6 les consecutivamente? Expliquen. No. 263 PM3STJCONA-PL17-257-272. d. casi cero.No. • Si hay seis figuras en cada tarjeta.indd 263 SMAT3LRCONAPL20-305-320.30 • ¿Identifican eventos equiprobables? De ser así. orden en que saldrán las tarjetas. si los alumnos llevaron a la clase un juego de lotería. Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4 No. 1 2 • Si en cada lanzamiento el ganador recibe 2 puntos. 0. luego pida que calculen con cuánto se queda la casa si el premio representara 5% de lo recabado al vender todos los cartoncillos.c.60 R. R. con el número total de imágenes que tiene la lotería que llevaron a la clase. 0. 1 y 4 • ¿Este hecho influye en que tengan mayor o menor probabilidad de ganar? Expliquen. Que al sacar cierta tarjeta. Probabilidad de ocurrencia • ¿Obtener 6. Respondan en su cuaderno. 5 o 3 son eventos equiprobables? Expliquen. de forma que solo pueda haber un ganador. • Al jugar una ronda de lotería. la que representa el premio mayor. 720 • ¿Qué es más probable: ganar o no ganar un premio? ¿Por qué? No ganar.40 Obtener premio y mensajes gratis con el resto de eventos. f. Que caiga un número par. Retomen el juego de la lotería instantánea. Solicite a los estudiantes que determinen de cuánto sería el premio mayor que se puede ofrecer si todos los cartoncillos diferentes posibles con nueve imágenes se vendieran a $10 cada uno. otro juga. se paga por cada cartoncillo y el ganador se lleva una cierta cantidad de dinero. • Sustenten por qué el juego del raspadito es o no justo. M. Porque la probabilidad es casi cero. Analicen la siguiente gráfica. durante un año. y si la casa no ganara nada.20 cuáles. • ¿Qué jugadores tienen el mayor número de figuras comunes? 1 y 3. En el caso del lanzamiento del dado. 0. indiquen Sí. i Socialicen sus argumentos y registren sus acuerdos en el cuaderno. porque no se conoce el orden en que saldrán las tarjetas. y de obtener un número impar. ¿Estos eventos son equiprobables? ¿El juego resulta lidad de obtener 4. esta no se cuente. Analice con los alumnos. porque todos tienen la misma probabilidad de ocurrir. por ejemplo. en un evento A un jugador gana si cae 4. M.50 e. haga un repaso del tema para que sea más inmediata la aplicación. Luego dé instrucciones de analizar las dos ruletas que aparecen en la página identificando similitudes y diferencias. ejemplos que discutirán en el resto del grupo para estar seguros de que son correctos y. mismas que reportarán en sus cuadernos y compararán con las probabilidades teóricas. porque sus sectores Ruleta 1 circulares correspondientes son iguales. L. 312 SMAT3LRCONAPL20-305-320. invite a los alumnos a enunciar afirmaciones de probabilidades utilizando las ruletas. Dando más puntuación a los números con menor probabilidad de salir. mayor premio). L. Reunidos en equipo analicen la información y realicen lo que se pide.indd 264 12/24/13 3:00 PM 1/30/14 6:02 AM .indd 312 Prohibida su venta 264 PM3STJCONA-PL17-257-272.Los números 4 y 3. Si lo considera necesario. M. Deje de tarea a los equipos que hagan la construcción de dos ruletas como las de la página de sus libros para que jueguen con ellas y haciendo el experimento 100 veces que obtengan frecuencias relativas y absolutas. No hay. el jugador B tiene que ganar 5 puntos. Justifiquen por qué debe darse esa puntuación a cada jugador. a. Por ejemplo. En caso de que alguno tenga mayor probabilidad. A cada jugador le corresponde al azar un número y gana un punto. ponga a discusión en su grupo si se trata de un problema de permutación o de combinatoria. • ¿Cómo modificarían la puntuación para que el juego resulte equitativo? R. dé instrucciones de resolver las actividades que se ofrecen en la página. • ¿En qué ruleta es más probable que caiga 1? Argumenten. y si se trata de un problema de repetición o sin repetición. escriba en el pizarrón algunas de las propuestas de su grupo y coméntelas con el resto de los compañeros para analizar su veracidad o no en relación con las ruletas 1 y 2. Solicite que den otros ejemplos análogos a los que se presentan en el párrafo que ejemplifiquen la misma situación. El sector circular de este es mayor. Cuatro alumnos juegan con las siguientes ruletas. cuando estén seguros de ello. el jugador con menor probabilidad debe tener una compensación u obtener mejor premio. Para que el juego sea equitativo. A y B. Propuestas didácticas Para saber el número de cartoncillos distintos de 3 × 3 imágenes diferentes que se pueden tener con un cierto número de imágenes. juegan a los dados. • ¿Cuáles son equiprobables en la ruleta 2? Justifiquen. invite a algunos de los estudiantes a dar lectura de la información teórica que aparece en color azul al inicio de la página y coméntela con el grupo. Primero jueguen con la ruleta 1. si resulta 2. • ¿Cuál es la probabilidad de que en la ruleta caiga 1? R. dos jugadores. Para equilibrar la probabilidad con la premiación que se obtiene (a menor probabilidad. Un juego de azar es justo o equitativo. b. el punto lo gana el jugador B. • ¿Qué resultados son equiprobables en la ruleta 1? Expliquen. los escribirán en sus cuaderno. Luego. R. ¿quién piensan que gane? Expliquen. Marquen con una  la casilla del ganador. si al girarlas cae dicho número. L. Organícense en cuartetos y construyan las ruletas 1 y 2. en cada ruleta. Posteriormente. cuando todos los jugadores tienen la misma probabilidad de ganar.Juegos equitativos 4. porque los sectores circula- Ruleta 2 res correspondientes son diferentes. Porque son más probables de salir. El jugador A gana un punto si al lanzar el dado sale cualquier número excepto 2. cada que salga el número 2. • Si se realiza otra vez el juego. • ¿Qué número escogerían? ¿Por qué? El 2 en la ruleta 1 y 4 en la ruleta 2. R. En la ruleta 2. Jugador A B C D Número elegido Giro 1 Giro 2 Giro 3 Giro 4 Giro 5 Veces que cayó • ¿Quién ganó? R. c. Elijan al azar un número y registren los resultados en la tabla. L. pregunte quién ganó y discutan si los juegos llevados a la práctica favorecen notablemente a la casa. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Una opción alternativa a la construcción de los dados con cartulina es utilizar plastilina. L. L. en ambos casos. • Avanza una casilla quien saque 1. en su caso. No.indd 265 SMAT3LRCONAPL20-305-320.gob. Realiza las actividades y comenta en clase tus experiencias. Reto Permita que jueguen entre equipos alguno de los juegos propuestos y solicíteles que escriban las frecuencias en los resultados obtenidos. gana quien llegue primero a la meta. • ¿Consideran que el juego de las ruletas es justo para todos los participantes? Expliquen. I n i c i o Dado A m e t a Dado B b. • ¿Cómo modificarían las condiciones para que sea un juego justo? R. Finalmente.gob. con las caras numeradas del 1 al 4 y del 1 al 6. dgme. www. según corresponda. invite al grupo a jugar con la actividad interactiva de los coches que se ofrecen en la liga del recuadro Apoyo tecnológico y solicite que diseñen un juego similar al de los coches. En el siguiente sitio podrás ingresar al interactivo “Lanza monedas”. Elaboren un dado en forma de tetraedro y otro de cubo.indd 313 12/24/13 3:01 PM Prohibida su venta 313 1/30/14 6:02 AM .mx/ interactivos/1_ primero/1_ Matematicas/1m_b03_ t09_s01_interactivo/ index. demostrando que efectivamente es la casa quien lleva la ventaja y determinando el porcentaje de probabilidad que le favorece. indicándoles que los desarrollos planos de la pirámide cuadrangular y del cubo les servirán para construir sus dados. invite a los estudiantes a diseñar por equipos algún juego con ruleta o dados que favorezca a la casa. a. 265 PM3STJCONA-PL17-257-272. R. L. R. 2. R. 1. Reunidos en pareja. pide apoyo al profesor. deberán escribir claramente y con precisión las reglas del juego y hacer un análisis teórico de las probabilidades de los diferentes resultados posibles al jugar dicho juego de azar. • ¿Qué número tiene mayor probabilidad de salir en cada ruleta? El 2 en la ruleta 1 y el 4 en la ruleta 2. Respondan en su cuaderno. en donde se utilice un dado de más de 6 caras y para el cual sea justo para todos los participantes.d. Jueguen con la ruleta 2 y registren los resultados en la siguiente tabla. la probabilidad en cada dado es de 1 . 2 c. explique a los estudiantes que las dimensiones de cada cara debe ser la misma para que estas tengan la misma probabilidad de salir al lanzar el dado.html Analiza el video y analiza en clase la información que se da en: www. valídenlos en grupo y registren sus conclusiones. Propongan ejemplos donde se tengan resultados equiprobables y no equiprobables. ¿el juego es justo? Argumenten. Jugador A B C D Número elegido Giro 1 Giro 2 Giro 3 Giro 4 Giro 5 Veces que cayó Propuestas didácticas Como cierre de la lección.telesecundaria. y recuérdeles que deben cuidar la distribución homogénea de las pestañas y del pegamento que utilicen para que los dados no queden cargados. ¿Se trata de un juego justo? Expliquen. • Diseñen un tablero como el que se muestra. anoten las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para aclararlas. L. flv&titulo=Pron% F3sticos%20 nacionales Comparte tu experiencia en clase. Justo o equitativo Luego. • Un jugador lanza el dado de seis caras y otro el tetraedro.sep. i Socialicen sus argumentos. si hay dudas. realicen lo que se pide. No. php?vid=mat1_ Pronosticos Nacionales. Planteen un juego equitativo y otro que no lo sea. i Discutan en grupo sus experiencias. Discutan las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo.mx/ medios/medio3. dgme.sep. • Si se cambian las reglas y ahora avanza quien obtenga un número par. dé instrucciones de resolver las actividades del recuadro de Reto.telesecundaria. Sí. el juego sea equitativo. quien lanza el tetraedro tiene mayor probabilidad de ganar. Propongan una regla para que. 7 2.35 2.39 28. 5m 0.53 5. y bocas de descarga en la base o a un lado.8 m 6.9 2.61 23. como granos.indd 314 Prohibida su venta Altura cilindro (m) 5 7.89 132 159.35 2.1 1. luego el de un prisma rectangular. A partir de las medidas que se muestran.indd 266 12/24/13 3:01 PM 1/30/14 6:02 AM .39 28.89 361.3 1.84 266 PM3STJCONA-PL17-257-272.52 75.83 6. entre 760 kg y 800 kg de frijol y de 640 kg a 680 kg de garbanzo. La tabla muestra las medidas de distintos silos. harinas.89 171. • Estimen cuánto maíz puede contener el silo de la figura.28 kg • ¿Y cuántos kg de garbanzo? 98 489.76 206.5 10 Altura cono (m) Techo Tolva 1. calculen su volumen. En pareja analicen y resuelvan el siguiente problema. luego de cilindros y finalmente de conos.5 10 5 7.1 392.83 6.5 m Continúe ejercitando con el grupo el cálculo de volúmenes.89 92. ahí deberán aplicar el teorema de Pitágoras y el hecho de que los triángulos que forman al hexágono regular son triángulos equiláteros. es casi inmediato el cálculo del área del mismo. Se utilizan para el almacenamiento o conservación de distintos productos. recuerde a los alumnos que los ángulos interiores de los triángulos equiláteros miden 60 grados. Los silos son contenedores de distintas formas y capacidades. ahora de pirámides.35 2. Apliquen las razones trigonométricas.39 28.04 5. generalmente cerca del extremo superior. en este punto haga un paréntesis para recordar junto con los jóvenes cómo se calcula el área de un polígono regular dado la apotema y la longitud de uno de sus lados y trabaje algunos ejemplos en los que haya que calcular el área de un hexágono regular si se conoce solo la longitud de uno de sus lados.9 Capacidad Capacidad del cono (m³) Capacidad cilindro (m³) total (m³) Techo Tolva 79. Haga una analogía entre el cálculo de volúmenes de pirámides con el del cono. En la figura de la izquierda se tiene un silo típico que se utiliza para almacenar distintos granos.92 922.16 kg c.7 2.1 1.52 75.82 23.5 10 5 7.52 75.49 785. 2. Invite a los alumnos a pasar al frente del pizarrón a resolver ejercicios que involucren el cálculo de un cubo para iniciar. Los silos son un instrumento muy útil en la agricultura para almacenar granos y semillas.1 2.25 10 314 SMAT3LRCONAPL20-305-320.1 1. Diámetro (m) 4.25 119.83 6.226 m3 b. forraje o líquidos.Para saber más Propuestas didácticas Contenedores para granos Haga un repaso con los estudiantes de cómo calcular los volúmenes de diferentes cuerpos.3 1.92 726. La capacidad está dada en m3 pero se puede calcular el peso del grano si se conoce su densidad expresada en kg/m3.89 465.92 530. 1.4 61. que pueden ser abiertos o estar herméticamente cerrados.7 2.5 m a.05 61.1 1.28 5.14 589. Por ejemplo. El almacenamiento de granos en silos es una práctica muy frecuente. 105 950. Complétenla para calcular las alturas de las tolvas o conos inferiores. en un metro cúbico se pueden almacenar entre 680 kg y 740 kg de maíz.3 1.1 1. Todos tienen aberturas de alimentación.41 23.69 309. Considerando la capacidad promedio. consideren que tienen un ángulo de inclinación de 30º.89 412. 149. de modo que también es posible utilizar las funciones trigonométricas o razones trigonométricas para hallar la altura del triángulo en cuestión y. como los ejemplos que se muestran. por tanto.5 7. de modo que es fácil obtener su altura si se dividen a la mitad para trabajar con uno de los triángulos rectángulos que lo conforman.7 61.9 2.46 kg • ¿Cuánto frijol puede contener? 116 396.89 258. conociendo la apotema y la longitud del lado del polígono. continuando con prismas con caras poligonales. y su tapa o base circular tiene un radio r.8 121 949. coméntenlas para llegar a acuerdos. ¿cómo tienen que cambiar el largo y la altura de la caja? Propongan dos soluciones. • V = x(y – 2x)(z – 2x) • A = (y – 2x)(z – 2x) + 2(x)(y – 2x) + 2(x)(z – 2x) c.7 256 941.9 206 952 Silo 5 294 940. respectivamente. L.6 67 342. pero en una presentación más alargada. tendrá una tercera parte del volumen que tiene dicho cilindro. Calculen en su cuaderno la cantidad de los siguientes granos que puede contener cada silo. y de igual manera pida que justifiquen sus respuestas y que den ejemplos que queden claros a sus compañeros. V = 108 cm3 • Expliquen en su cuaderno el procedimiento que siguieron para obtener los resultados.indd 315 12/24/13 3:01 PM Prohibida su venta 315 1/30/14 6:02 AM . y el volumen de la pirámide tendrá la tercera parte del volumen del prisma. A = (15 – 6)(10 – 6) + 2(3)(9) + 2(3)(4). el volumen de un 2 cilindro está dada por πr3h . es decir.35 170 735.1 592 089. Si y mide 15 cm.9 289 512 Silo 7 Silo 8 Trigo 760-840 • ¿Cómo obtuvieron los datos? Multiplicando el punto medio de cada grano por la capacidad de cada silo. Si existen dudas o diferencias. pues. utilizando el mismo desarrollo plano.4 87 120 113 361. Otro tipo de contenedores Silo 6 379 056. Figura 2 d. 10 cm y x. R.5 306 966 339 523 330 221 372 080 Propuestas didácticas Explique a los alumnos que el volumen de un cilindro se calcula haciendo el producto de la tapa del cilindro. el área del círculo que es igual a pi por radio al cuadrado. Escriban las expresiones algebraicas para calcular el volumen y el área de la caja sin tapa. 2 caja sin tapa? ¿Cuál es su volumen? A = 114 cm . como la del cilindro con la misma base.4 387 002.5 96 360 125 384.35 2. Si se quiere conservar el volumen anterior. por tanto el volumen de un cilindro está dado por la fórmula: πr 2h.4 264 179. e.75 107 580 139 984. una de frijol y una de garbanzo. igual a la del cilindro.7 183 669. 376 399. 432 064. z. Luego solicite que resuelvan las actividades que se ofrecen en la página de su libro. Grano Silo 1 (kg/m³) Arroz Arroz 780-850 Silo 2 Garbanzo 60 885 Soya Silo 3 75 183. modificar el ancho.5 93 720 Soya 700-760 Trigo 73 800 105 600 137 408 Sorgo 680-740 Silo 4 210 832. 267 PM3STJCONA-PL17-257-272.4 479 483. • ¿Qué expresión representa el largo de la base de la caja? y – 2x 581 192 x x z • ¿Con qué expresión algebraica se puede representar el ancho y el largo de la caja? y – 2x y z – 2x y Figura 1 b. pida que den ejemplos y que los muestren en el pizarrón.4 515 807.35 238 847. L. Las líneas punteadas representan los dobleces que se hacen para formarla. pero variando la medida del doblez. ¿cuál es el área de la x Abra un espacio para discutir en grupo si dos figuras geométricas pueden tener el mismo perímetro pero área diferente.7 En una fábrica de cartón producen cajas sin tapa para almacenar distintos productos.2 530 337. según su capacidad por metro cúbico.d.4 188 843. El doblez o valor de x debe ser de 2 cm. La figura 1 es el desarrollo plano de una caja. Propongan medidas de tres silos.6 Garbanzo 640-680 Sorgo 65 497. así. Analicen y resuelvan el siguiente problema. como se muestra en la figura 2. Encuentren cuáles deben ser las medidas de la caja para obtener el máximo volumen. V = (9)(4)(3) Con el volumen de un prisma y una pirámide cuyas bases poligonales y alturas son iguales ocurre algo similar. Luego ponga a discusión si dos cuerpos pueden tener la misma área de sus desarrollos planos pero diferentes volúmenes. Un cono cuya altura es h. i Socialicen sus resultados y procediemientos con el grupo. el volumen de un prisma está dado por la fórmula: área de la base por la altura.9 424 112 a. e. para que cada uno pueda contener una tonelada de maíz. llamémosle a la altura h. sin V = (11)(6)(2) = 132 cm3. 3 cm. 349 892. R.indd 267 SMAT3LRCONAPL20-305-320. i Comparen sus resultados con los de otros compañeros y valídenlos con el maestro. por la altura del cilindro. ¿Cuál es la estatura de Raúl y la de Mónica? Ten en cuenta que Raúl es más alto que Mónica. A) Raúl 1. si no coincide con ninguna de ellas. Cuando hacen pirámides. 5. asegurándose de que han comprendido bien el planteamiento de cada uno. recta y d = vot + at . Indique al grupo que primero obtengan la respuestas antes de buscarla en las opciones múltiples. parábola 2 2 1 2 D) Ninguna de las anteriores C) vf = vo + at. ¿Cuál problema es posible resolver a través de una ecuación de segundo grado? A) Joaquín compró 3 pantalones y 3 camisas.42 m C) Raúl 1. Considera que la medida de los hombros de Raúl a su cabeza es de 20 cm. Dadas las gráficas. 3. y su diferencia de estatura es de 16 cm. Raúl y Mónica están en un equipo de porristas.68 m y Mónica 1. ¿cuál es la edad de Ángeles? C) Ramón y José pintaron una pared de 49 m2. Solicite al grupo que escriban las expresiones algebraicas relacionadas con cada uno de los problemas presentados en los incisos del punto 3. de lo contrario.indd 316 Prohibida su venta B) Raúl 1. escribiendo paso a paso los procedimientos seguidos en la obtención de las respuestas. pregunte a los estudiantes si la información de que Raúl es más alto que Mónica es relevante o indistinto y por qué. En relación con el punto 2. utilizando los valores que ahí se proporcionan y posteriormente que comparen su propuesta con las opciones múltiples que se ofrecen como posibles respuestas. ¿y el de una camisa? B) La edad de Roberto es el doble que la de Ángeles más 5 años.47 m y 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 5 10 d = 16t + t2 15 20 25 30 x v = 16 + 2t 268 PM3STJCONA-PL17-257-272. pida a los jóvenes que justifiquen sus respuestas escribiendo las argumentaciones en sus cuadernos. ¿Qué utilizarías para determinar las estaturas de Raúl y Mónica? A) Una ecuación de la forma ax + b = cx + d B) Una ecuación de la forma ax = b C) Un sistema de ecuaciones 2 × 2 D) Una ecuación cuadrática de la forma ax2 = c 2. Un tren inicia su viaje a una velocidad de 16 m/s y a medida que avanza acelera a 2 m/s2. Si la diferencia entre un pantalón y una camisa es de $75.indd 268 12/24/13 3:01 PM 1/30/14 6:02 AM . deberán identificar si se trata de respuestas equivalentes. Si se tienen las fórmulas: d = vot + 1 at2 y vf = vo + at que modelan cada situación 2 del problema.50.62 m Pida que escriban la ecuación correspondiente al planteamiento del problema uno. a este punto ya deberán estar familiarizados con las preguntas correspondientes al análisis de una gráfica. Recuerde a los estudiantes dar lectura cautelosa a cada uno de los problemas planteados en la evaluación. En relación con el punto 4.49 m D) Raúl 1. tendrán que revisar paso por paso en sus operaciones si hubo algún error.58 m y Mónica 1.5 hectáreas a metros cuadrados.Evaluación tipo PISA Propuestas didácticas i Elige la opción con la respuesta correcta. ¿qué tiempo transcurre si el tren avanza 720 metros? ¿En qué tiempo alcanza una velocidad final de 56 m/s? A) 40 s y 20 s B) 20 min y 20 min C) 20 s y 20 s D) 20 s y 20 min 316 SMAT3LRCONAPL20-305-320. ¿Cuál es longitud de cada lado de la pared? D) Calcular el equivalente de 10. por lo cual pagó $985. recta y d = vot + 1 at2. 1.65 m y Mónica 1. ¿qué opción muestra el tipo de gráfica de cada una? A) d = vot + 1 at2. recta y vf = vo + at.00. parábola B) vf = vo + at.63 m y Mónica 1. ¿cuál es el precio de un pantalón?. si Roberto tiene 21 años. Mónica se para sobre los hombros de Raúl y juntos miden 330 cm. 4. recta 2 Sugiera a los estudiantes que analicen la gráfica del punto 5 como se ha estado realizando a lo largo del bloque. necesarias para obtener su solución. busquen estrategias para superar dichas dificultades.54 centímetros o su equivalente a 25. sugiérales que para los temas que les representan dificultad ingresen a las páginas de Internet que se ofrecen en los recuadros de Apoyo tecnológico. R. con el apoyo del maestro. en este caso.898 57.127 62. El volumen de un cono es tres veces mayor que el volumen de un cilindro. la mitad habla inglés y el resto francés e italiano. con enteros y fracciones menores que el entero. Recuérdeles también que cuando se escribe 1 14 . 269 PM3STJCONA-PL17-257-272. Veracidad V F Valoro mi avance Una vez que todos los alumnos hayan resuelto el examen. que es diferente a representar el producto de un entero por un cuarto.112 78.. Recuerde a los alumnos que una pulgada equivale a 2. La tercera parte de los hombres habla inglés. es decir.441 47. 1 14 es igual a un entero más un cuarto.426 70. 17% de mujeres. mutuamente excluyentes e independientes.79 101. La evaluación tipo PISA es una buena oportunidad para identificar los puntos débiles y repasar las lecciones que no dominan aún del todo. sistemas de ecuaciones y ecuaciones de segundo grado. Completa la tabla. Reflexiona acerca del trabajo realizado en el bloque.056 Volumen (cm3) Altura del cono (mm) 150 160 170 180 200 210 220 230 240 39. ¿Qué altura deben tener el cono y el cilindro para tener el mismo volumen? La altura del cono debe ser tres veces mayor a la del cilindro.827 44. Una herramienta cónica de acero tiene un diámetro de 1 1 pulgadas y altura de 300 mm.741 Volumen (cm3) b.indd 317 12/24/13 3:01 PM Prohibida su venta 317 1/30/14 6:02 AM .i Realiza lo que se indica en cada caso.954 94. y completa la tabla. a. 8. con ayuda de sus compañeros y compañeras.513 60.58 cm a. Leo y represento. den solución paso a paso cada uno de los reactivos. En clase externa las dificultades que hayas tenido al resolver la evaluación.213 41. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Radio = 1.6% Para resolver el problema 7. que realicen las actividades que ahí se presentan y si aún hay dudas. Altura del cilindro (mm) 150 140 130 120 100 90 80 70 60 117. Propuestas didácticas 6.64 109.. Utiliza los términos siempre. 7.4 milímetros. la curva abre hacia arriba.741 54. sugiera a los estudiantes que hagan un dibujo de la población que se está describiendo o que tracen algún diseño que lo represente y que les deje más claras las características del problema.056 52. a veces o poco. Observa cómo varía el volumen de la pieza a medida que se modifica la altura de cada parte. ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre y hable dos idiomas? 27.284 54. L.898 47. Resuelvo problemas que implican calcular la probabilidad de eventos complementarios. bajo la condición de que la altura y base de ambos sean iguales. Indicadores Resuelvo y planteo problemas que involucran ecuaciones lineales. si muestran dificultad en hacerlo. Al escoger un geólogo al azar. pero si es positivo. que le consulten a usted directamente. De las mujeres. la curva se abre hacia abajo. 4 La mitad de la altura de la herramienta es un cono y la otra mitad es un cilindro. si el coeficiente a es negativo. Afirmaciones Cuando se tiene una función cuadrática. 60 mm y 180 mm. En grupo. se trata de una fracción que se está escribiendo en forma mixta. y el resto francés e italiano. como ax2.5% Invite a los adolescentes a hacer una reflexión sobre su aprovechamiento a lo largo del bloque y a identificar los temas en los que tuvieron mayor dificultad. gráfica y algebraicamente. pase al pizarrón a quienes hayan encontrado mayor dificultad en resolverlo para que.584 62. Anticipo cómo cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las dimensiones.indd 269 SMAT3LRCONAPL20-305-320. Un grupo de geólogos está integrado por 83% de hombres. ¿y de que sea mujer y hable inglés? 8. relaciones lineales y cuadráticas. Resuelvo problemas que implican calcular el volumen de cilindros y conos o cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas que se utilicen. Vegas (2002). España: Laertes.indd 318 Prohibida su venta 1/30/14 6:02 AM . Campos (2002). • D. España: Catapulta Editores. La medida del mundo. Balbuena (2005). Malditas Matemáticas: Alicia en el País de los Números. El matemático del Rey. • I. El diablo de los números. España: Nivola. • — (2002). 318 SMAT3LRCONAPL20-305-320. Barcelona: Salamandra. México: Ediciones de Bolsillo. Enzensberger (1998). • M. Barcelona: Nivola. • — (2005). Moreno y J. • T. Frabetti (2000). España: Nivola. Matecuentos Cuentos con problemas 2. El barco de Vapor. España: Siruela. Póngame un kilo de Matemáticas. España: Alba Editorial. España: Nivola. México: Proyecto Sur de Ediciones. • J. • M. Burgos (1994). • R. Guzmán (2007). • J. Matecuentos Cuentamates. Muñoz (2008). Desde la Antigüedad hasta el Renacimiento. • — (1998). Madrid: Alfaguara. Números pares. El gran juego. • — (2002). Barcelona: Anagrama. Pérez (2004). • J. El curioso incidente del perro a medianoche. Barcelona: Anagrama. Arce (2003). España: Nivola. 4. Molina (2004). El metro del mundo. Los relatos de Gudor Ben Jusá. Gómez (2000). España: Planeta. Madrid: Alfaguara. • C. Ernesto el aprendiz de matemago. Collantes y A. • M. • — (2003). Madrid: Alfaguara. • J. Carlavilla (2003). Malba (1998). El señor del cero. Saber núm. Matecuentos Cuentos con problemas 3. • C. Haddon (2004). Andrés y el dragón matemático. Andradas (2005). El teorema del loro. • J. España: Nivola. • M. Una historia de las Matemáticas para jóvenes.Fuentes de información Para el estudiante Impresas • J. • R. Millás y J. Madrid: Fundación General UPM. impares e idiotas. • L. El hombre que calculaba. Cuentos con cuentas. Cuentos del cero. Forges (2006). México: SM. España: Nivola. Guedj (2000). Historia de las Matemáticas en comics. La selva de los números. Barcelona: Alfaguara. pp. Didáctica de la Estadística. Serrano (1995). España: Nivola. pp. Salinas y E. México: Grupo Editorial Iberoamérica. España: Nivola. • I. UNO. Rojano (2007). Batanero (2001). sus significados e implicaciones didácticas. “Didáctica del álgebra”. Editor: Cinvestav-IPN.indd 319 319 1/30/14 6:02 AM . Granada: Grupo de Investigación en Educación Estadística. El país de las mates para novatos. Los indivisibles de Cavalieri: una perspectiva plausible para el aprendizaje del cálculo de volúmenes. 15-28. • C. Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL20-305-320. Pensamiento aleatorio. Barcelona: Reverté. Zubieta (1997). Batanero y L. Manejo de la información • C. México). Camacho. Filloy (1999). 343-353. Actas del X Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática.). pp. Salinas-Herrera (2007). Forma. Azar y probabilidad: fundamentos didácticos y propuestas curriculares.• L. • C. Granada: Grupo de Investigación en Educación Estadística. • G. “Identificación de propiedades y relaciones en un ambiente de geometría dinámica”. en M.Teatromático: divertimentos matemáticos teatrales. González y M. España: Editorial Síntesis. El país de las mates para expertos. 5. • E. 1. 61-69. Bolea.). Educación Matemática Vol. España: Nivola. Departamento de Matemática Educativa. espacio y medida • J. Sánchez y J. Moreno (Eds. La aleatoriedad. en P. • E. Norman (2002). 9. Roldan (2003).J. Batanero (1998). Cuentos y cuentas de los matemáticos. 205-216. M. • R. Sánchez (2006). Para el docente Sentido numérico y pensamiento algebraico • E. “Sentido (lógico) numérico y resolución de problemas aritmético-algebraicos.). España: Universidad de Granada. Filloy (1995). pp. en Encarnación Castro y José Lupiañez (Eds. Flores y P. en Simposio Internacional sobre Investigación en Educación Matemática (4°: 1992. Revista de didáctica de las matemáticas. • E. Ago 4-6: Universidad Autónoma de Ciudad Juárez. núm. • — (2002). Investigaciones en Educación Matemática: Pensamiento Numérico”. Aspectos teóricos del álgebra educativa. “Estudio exploratorio sobre el uso de herramientas culturales para la enseñanza de la demostración en la geometría euclidiana”. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Filloy y T. Actas del XI Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática. Bolea (Eds. Rodríguez (2003). P. • Juan Díaz Godino (1991). Coll. Consultadas: 14 de noviembre de 2013. Ahí se pueden encontrar recursos de audio. Carretero.mx/buscador/buscador. Peter (2002). Lorna Earl y Jim Ryan (2000). Buenos Aires: Biblioteca del Normalista. Traducción (1993). Sergio de y Concepción Ruiz Ruiz-Funes (2003). México: Cinvestav-IPN. Tesis para obtener el grado de Doctor en Ciencias. Serie Fundamentos. España: Edición IMAF. — (2003). Reinventar la educación de los adolescentes.indd 320 Airasian. César (1999). para los profesores de educación primaria y secundaria. Cómo piensan los niños y cómo deberían enseñar las escuelas. Reflexiones en torno al concepto de aprendizaje significativo”. recursos y actividades referentes a temas de educación matemática. El piropo matemático: de los números a las estrellas. principalmente. Mario (1993). Constructivismo y Escuela. España”. (colección: Investigación y enseñanza. La mente no escolarizada. Giordan.org/numeros/ Página “ Revista de Didáctica de las Matemáticas” NÚMEROS. “Los profesores y la concepción constructivista” en César Coll. Serie Fundamentos. Departamento de Matemática Educativa. Constructivismo y educación. en las que podrá consultar materiales educativos y artículos especializados.php#1135 En la página del “Buscador de Recursos Informáticos de la DGME” para el nivel de Telesecundaria.dgme. applets y otros para trabajar contenidos matemáticos. Una educación para el cambio. Isabel Solé y Antoni Zabala. El acceso es gratuito y está editada por la Sociedad Canaria de profesores de Matemáticas: “Isaac Newton” • www. Hacia un modelo de enseñanza basado en la investigación.educacion. Consultadas • • • • • • • • 320 SMAT3LRCONAPL20-305-320. André y Gérard de Vecchi (1997).sep. encontrará información. video. 19:00 h.Biblioteca de Aula y biblioteca normalista • Gardner. en Aprendizaje escolar y construcción del conocimiento. Mirela (2009). 1). Buenos Aires: Biblioteca del Normalista.sep. es una publicación que incluye trabajos. Mariana Miras. México: Editorial Paidós Mexicana. • Hargreaves. Howard (1997).sinewton. Madrid: Edelvives. Los orígenes del saber: de las concepciones personales a los conceptos científicos. “La cultura de racionalidad en el aula de matemáticas de la escuela primaria”. Sevilla: Díada Editora. 4) Rigo. núm. interactivos. núm. de Serveis Pedagògics. El constructivismo en el aula.UoU-vImLJhp En esta página encontrará bibliotecas virtuales sugeridas por la SEP. Javier Onrubia. Prohibida su venta 1/30/14 6:02 AM . Especialidad en Matemática Educativa.gob.gob. Sevilla: Díada Editora (colección: Investigación y enseñanza. • ntic. • Régules Ruiz-Funes. Guy (1986). Brusseau. La evaluación en el salón de clases. Porlán. Primero: Biblioteca de Aula Electrónicas • www. Rafael (1997). Fundamentos y métodos de la didáctica de la matemática. Barcelona: Editorial Graó. Teresa Mauri.es/v5/web/profesores/secundaria/matematicas/ En la página del “Ministerio de Educación. “Significado y sentido en el aprendizaje escolar. Andy.mx/swb/sep1/sep1_Bibliotecas#. Córdoba.telesecundaria. • www. México: Biblioteca de actualización del maestro. y ya que están a kilómetro y medio de distancia con respecto del piso. Mediante una ecuación cuadrática se puede determinar la altura de la que se lanzan los paracaidistas o su velocidad final. ¿han hecho figuras en el cielo? ¿A qué velocidad creen que estén descendiendo los paracaidistas? ¿Por qué creen que doblan las piernas al descender? ¿A qué distancia del piso se avientan? ¿Cuánto tiempo tardarán en caer? Una vez motivados los alumnos. Presentación del bloque Comente al grupo que Kittinger rompió el récord mundial al descender en caída libre durante 4 minutos y 36 segundos. Y en otro de sus saltos su guante falló y la mano derecha se le hincho hasta alcanzar dos veces su tamaño original.Propuestas didácticas Inicie la clase preguntando al grupo: ¿Alguna vez se aventarían en paracaídas?. mutuamente excluyentes e independientes. 17 PM3STJCONA-PL02-17-32. alcanzando más de mil kilómetros por hora.indd 17 SMAT3LRCONAPL03-033-048. La aceleración que actúa sobre los cuerpos es la de gravedad. saltando a más de 31 mil metros de altura.indd 33 12/24/13 2:34 PM Prohibida su venta 33 1/30/14 5:49 AM . comente que con ecuaciones cuadráticas se pueden responder algunas de las preguntas formuladas. Pueden alcanzar velocidades cerca de 250 kilómetros por hora y el descenso depende del momento en el cual abran su paracaídas. Diga a los jóvenes que algunos paracaidistas se avientan de un avión a una altura de cuatro mil metros y hacen sus piruetas algunos segundos. pero algunas caídas duran un minuto. abren su paracaídas. ¿han visto paracaidistas?. es un movimiento uniforme acelerado cuya velocidad inicial es cero. Aprendizajes esperados: • Explica la diferencia entre eventos complementarios. En uno de sus saltos su traje falló y perdió el conocimiento pero el paracaídas automático le salvó la vida. Información complementaria El descenso en paracaídas. conocido como caída libre. alcanzando una velocidad cercana a los mil kilómetros por hora. Solo Felix Baumgartner lo superó en altura y velocidad. lo que no sucede a la inversa. Analiza las propuestas de los asistentes del arquitecto Balderas. ¿Cómo pueden determinar el valor de a? Respuesta libre (R. Pídales que jueguen a formar diferentes rectángulos con ella. luego pregunte si cambió el área. a. • ¿Qué expresión algebraica representa el perímetro del terreno? 2a + 2(a + 2) = 4a + 4 = 120 2 • ¿Qué expresión algebraica representa el área del terreno? a(a + 2) = a + 2a • Reflexionen. Lleguen a acuerdos y registren sus conclusiones en su cuaderno.5 m Solicite a los estudiantes que expliquen cómo sería posible construir diferentes rectángulos del mismo perímetro pero con área diferente. Pida a los jóvenes que expliquen por qué el área tiene unidades cuadradas y por qué el perímetro tiene unidades lineales. de manera que tenga la máxima área posible sin utilizar medidas fraccionarias. si caben 20 cuadritos. 30 m por 30 m o un rectángulo de 31 m por 29 m d. El rectángulo. Supongan que el largo del terreno mide a m y el ancho mide a + 2 m. Permita que den todo tipo de ideas.indd 18 1/9/14 11:11 AM 1/30/14 5:49 AM .5 m 40 m 17. Rectangular o cuadrada.5 m 30 m c. porque hay medidas que permi- expresión algebraica. estas deben ser cantidades lo más cercanas posible. más anchos. • ¿Estás de acuerdo con el arquitecto? Justifica. El arquitecto Balderas se inclinó por la forma rectangular. un rectángulo no puede ser un cuadrado. porque el cuadrado es un caso particular del rectángulo. tiene efectivamente la mayor área posible? Permita que den todo tipo de ideas y lleguen a conclusiones grupales. es decir. 20 m 30 m 30 m 17.Problemas con ecuaciones cuadráticas 1 Propuestas didácticas Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas. utilizando procedimientos personales u operaciones inversas Pida a los alumnos que utilicen un pedazo de hilo. 12. SMAT3LRCONAPL03-033-048. más angostos. cuyo perímetro sea 120 m. de modo que se está contemplando cuántos de esos cuadritos caben dentro de dicha superficie. Lee la información y resuelve. pero sabe que el diseño presentado no ocupa la máxima área posible para un rectángulo. etc. km2. y = 1 x − 10 es una 2 expresión algebraica.). Sí. ponga a discusión en el grupo a qué estrategias se pueden recurrir o qué métodos se pueden aplicar para cumplir con las condiciones establecidas por el arquitecto Balderas. y pregunte si cambió el perímetro en cada caso. Si fueras el arquitecto Balderas. etcétera. pregúnteles: ¿Cómo podemos estar seguros de que la casa con el perímetro de 120 metros. El área es el tamaño que tiene una superficie.) Despejándola en la expresión que representa el perímetro. • ¿Las medidas cumplen con las condiciones dadas? Sustenten su respuesta. más altos. el arquitecto Balderas tiene el reto de diseñar una casa muestra cuyo perímetro mida 120 m. Sí. 18 PM3STJCONA-PL02-17-32. se está comparando con cuadritos que tienen un centímetro de cada lado. ¿qué forma propondrías para la casa? ¿Qué medidas usarías para cumplir las dos condiciones dadas? b. ocurre con metros cuadrados. El desarrollo inmobiliario 1. M. y las unidades son lineales porque representan una distancia. Es una combinación de letras y números con signos de operación. i Comparen sus respuestas con sus compañeros y discutan la última pregunta. 30 m por 30 m a. Uno de los asistentes propuso que las medidas fueran 30 m de largo y 30 m de ancho. R. El perímetro es la longitud que tiene el contorno de una figura plana. decimos que el área de la superficie es igual a 20 cm2. Respuesta Modelo (R. L. De forma análoga. Prohibida su venta 10 m 20 m Información complementaria 34 Para la construcción de un desarrollo inmobiliario. ocupa 800 m2. • Discutan en parejas qué medidas debe tener un rectángulo que cumpla las condiciones dadas por el arquitecto y regístrenlas en su cuaderno. M. e.indd 34 20 m 10 m • ¿Cuál de las figuras anteriores tiene mayor área? Explica. ten obtener la mayor área. 1. cuerda o agujeta para que la amarren en sus extremos y formen un rectángulo con ella. 10 m 10 m Una vez que hayan dado lectura a las instrucciones del punto 1. al medirse. b. qué representan los renglones y qué representan las columnas. Completa la tabla que muestra cómo varía la medida de cada lado del terreno rectangular del jardín al mantener constante la medida del perímetro. propone que el largo mida 6 m más que el ancho. mismo perímetro 2. ¿Qué diferencia hay entre las expresiones que representan el área del jardín y las de la forma ax + b que trabajaron en segundo grado? R. Para el proac ducto se opera de la siguiente manera: ab × dc = bd • ¿Qué hicieron para determinar el área en cada caso? R.75 75 Expresión que representa el área a(a + 6) = a2 + 6a a(a + 8) = a2 + 8a a(a + 9) = a2 + 9a a(a + 10) = a2 + 10a La resta es igual pero en vez del símbolo más.indd 35 12/24/13 2:34 PM Prohibida su venta 35 1/30/14 5:49 AM . Para otro proyecto. M. va el menos. por ello. 3. • Representen algebraicamente la propuesta del arquitecto: 2a + 2(a + 6) = 4a + 12 = 40 • ¿Cuál es la medida del largo y la del ancho del terreno que ocupará el jardín de la casa? Expliquen cómo obtuvieron la respuesta. Explique que 2r = r + r. como suelen confundir los alumnos. pues se puede confundir con la variable o la incógnita equis. comenten qué tipo de expresiones representan al área del jardín y las estrategias que siguieron para resolverlas. escriba algún ejemplo en el pizarrón. entonces no se pueden sumar. i Socialicen sus respuestas y. Lean en pareja la información y resuelvan en su cuaderno. que es muy diferente a rr = r2 1 r 2 Dé instrucciones de resolver las actividades de la página y solicite que cuando sea el caso. a este nivel. a partir del perímetro y sustituirlos en la fórmula del área correspondiente. se pueden sumar o restar. Analiza la información y haz lo que se solicita. r r • Representa en la figura el espacio que tendrá el estacionamiento. el cual representa la superficie de una de las ocho casas. y no 2r. • Reflexionen. 13 m y 7 m.indd 19 SMAT3LRCONAPL03-033-048. pero solo cuenta con las medidas del cuadrado que se muestra. ya no suele usarse el símbolo × para denotar una multiplicación. el resultado es r cuadrada. Si el estacionamiento ocupará 1 del largo y 1 del ancho de la casa. L. No. Con ayuda del profesor revisen sus procedimientos. 2 a. Propuestas didácticas Solicite a los estudiantes que analicen la tabla de datos que aparece en el inciso b y pregúnteles qué tipo de información se proporciona. ¿Cuál es el área del cuadrado? r b. en grupo. porque hay otras medidas con las que se puede obtener mayor área. si la parte literal es igual pero el exponente no. M. En este caso un término está elevado al cuadrado. a. lo cual podrán lograr dividiendo numerador y denominador por el mismo número hasta que no sean múltiplos de un número natural. 19 PM3STJCONA-PL02-17-32. ¿cuál será su área? 2 6 1 2 12 r Recuerde a los estudiantes que en álgebra. resta. multiplicación y división de fracciones. para multiplicaciones se ac utiliza un puntito o se hace uso de paréntesis: ( ab ) ( dc ) = bd 1 r 6 Haga notar a los adolescentes que cuando se multiplica r por r. el arquitecto Balderas quiere conocer la cantidad de material necesario para cimentar una casa. Explique a los estudiantes que para sumar dos fracciones con diferente denominador se hace de la siguiente forma: a + c = ( ad + bc ) b d bd Área (m2) 91 84 79. R. Como el arquitecto Balderas quiere que la casa muestra incluya un jardín con perímetro de 40 metros. Largo (m) a+6 a+8 a+9 a + 10 Ancho (m) a a a a Perímetro (m) 40 40 40 40 Haga un breve repaso de los algoritmos de suma. reduzcan las fracciones a su equivalente irreducible. Calcular los valores de a. Recuérdeles que cuando los términos cuya parte literal es igual con los mismos exponentes. ¿representa el área máxima que puede ocupar un rectángulo con perímetro de 40 m? Justifiquen. por ejemplo: a + 2a = 3a a + a2 = a + a2 2 • ¿Cuál es el área del terreno? 91 m • La propuesta anterior.Área máxima. que 5 minutos. y de las unidades: metros por metros. sala-comedor. r2 • ¿Qué resultado se obtiene? El área de toda la casa Pida a su grupo que escriban las expresiones correspondientes al inciso c. Hacer un análisis dimensional ayuda a determinar el tipo de unidades que se van a expresar en un resultado. Largo (m) Ancho (m) Área (m2) Casa r r r2 Cocina 1 r 6 r 1 r2 6 Baño 1 r 6 1 2 1 2 12 r Sala-comedor Es el doble del baño r 1 r2 3 Recámara 1 r 3 r 1 r2 3 Estacionamiento 1 r 6 1 r 2 1 2 12 r • Suma las expresiones algebraicas del área de la cocina. coméntenlas para solucionarlas. que 5 hectáreas. baño. Propuestas didácticas Comente al grupo que cuando se representan cantidades es muy importante especificar las unidades. ¿Cuánto mide el largo del rectángulo anaranjado? 8 cm f. d. a. recámara y estacionamiento. 36 SMAT3LRCONAPL03-033-048. ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo anaranjado? 3 cm g. el resultado se obtiene calculando el producto de los números 2 por 4 igual a 8. La tabla muestra las áreas de las habitaciones que tendrá cada una de las casas del desarrollo. ¿Cuál es la expresión algebraica que modela el área total del cuadrado? 16x c. ¿Cuál es la media de cada lado del cuadrado? 12 cm e. Completa la información. luego si estamos calculando el área de un rectángulo. 6 r + 12 r + 3 r + 3 r + 12 r = 1r i Compara tus expresiones algebraicas con las de otros compañeros y valídalas con la guía del profesor. reduciendo términos semejantes. Juegue con sus alumnos a dar valores a r para obtener resultados numéricos. indicándoles que escriban correctamente las expresiones algebraicas correspondientes. que 5 litros. ¿Cuál es la expresión algebraica que modela el área en color anaranjado? 2 2 2 3 x 4x ( 2 )(4x) 3 4x ( 1 )(4x) 4 2 b. y cada uno de los pasos que los llevan a las expresiones reducidas. haciendo explícitas las unidades de los resultados.46 centímetros que 3. Si hay dudas. ¿Cuál es el área del rectángulo anaranjado? 24 cm i Comparte tus respuestas con las de otros compañeros. Si el área total es de 144 cm2.c. ¿cuál es la expresión algebraica que la representa? 16x2 = 144 o 16x2 – 144 = 0 d.indd 20 12/24/13 2:34 PM 1/30/14 5:49 AM . no es lo mismo 5 metros cuadrados. 4. si multiplicamos las longitudes de un rectángulo. por ejemplo 2 por 4 metros. solicite a los alumnos que expliquen la estrategia a seguir para determinar el área de la sección anaranjada.46 kilómetros. en este caso. por ejemplo. Una vez que hayan resuelto las actividades del punto 4. unidades de área. Escribe el área total de la casa como la suma de las áreas de las habitaciones que la 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 forman. por ello es esencial dar el resultado con las unidades.indd 36 Prohibida su venta 20 PM3STJCONA-PL02-17-32. igual a metros cuadrados: m × m = m2. el resultado debe tener unidades consecuentes. Analiza el diseño de la izquierda y responde. ya que no es lo mismo 3. identifiquen cuáles tienen la forma ax2 + bx + c y cuáles tienen la forma ax2 + c. solicite que determinen cuál de las expresiones corresponde a las medidas del portarretratos. lean y respondan. ¿Cuál es el área total del portarretratos? 1 600 cm2 b. Completen la tabla. Hágales notar que es diferente una expresión como 40x. Un artesano trabaja el ónix. Recuérdeles que en los binomios todos los términos de un paréntesis se multiplican por todos los términos del otro paréntesis y luego se reducen los términos semejantes.indd 21 SMAT3LRCONAPL03-033-048.indd 37 12/24/13 2:34 PM Prohibida su venta 37 1/30/14 5:49 AM . Pida a los alumnos que para cada una de las expresiones del inciso b. La figura 1 representa las medidas de un portarretrato. Propuestas didácticas Con respecto al punto 6. Área del portarretrato 1 600 cm2 Área del fondo 4x2 – 160x + 1 600 = x cm x cm Figura 1 Medida de Área que ocupa el marco x (cm) 1 600 – (4x2 –160x + 1 600) 1 296 cm2 2 304 cm2 784 cm2 6 816 cm2 1 156 cm2 3 444 cm2 900 cm2 5 700 cm2 i Compartan sus inquietudes y estrategias de solución con las de otros equipos. Sí c. es decir. En equipo. a. como los que se muestran a la derecha. Para elaborar una lámpara. Modelos para portarretratos. necesita una placa cuadrada que mide n cm de lado. y a 40 – x. De ser necesario. El mismo artesano hizo un convenio con una tienda departamental para fabricar portarretratos de madera. soliciten apoyo del profesor para trabajar en grupo. 21 PM3STJCONA-PL02-17-32. con la guía de usted. L. inciso b. cuánto vale n? 30 cm • Describan el procedimiento que siguieron para resolver la actividad. a. Abra un espacio para que se viertan las dudas que hayan surgido en las actividades y permita que sean los propios estudiantes quienes las despejen. el valor de x. La madera que usarán de fondo es la que se encuentra en color rosa. es decir. ¿cuáles son las medidas de la placa inicial. n n 20 cm 6. determinen el grosor del marco en cada caso. R. ya desarrolladas y con términos reducidos. después le agrega una tira rectangular de 20 cm como se muestra: • ¿Cuáles son las medidas del largo y ancho de la tira rectangular? n y n + 20 • ¿Cuál es la medida del área de la tira rectangular? 20n • ¿Cuál es el área del cuadrado original en términos de n? n2 • ¿Qué expresión algebraica muestra el área de la placa final? n2 + 20n • Si la cantidad de ónix utilizada es de 300 cm2. solicite al grupo que desarrolle las expresiones algebraicas para quitar paréntesis en cada caso. a 40 + x. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas determina el área del fondo del portarretratos (área rosa)? La cuarta 40 cm • (40 – x) (40 – x) • (40 + 2x)(40 – 2x) • (40 + 2x)2 • 4x2 – 160x + 1 600 40 cm • ¿La expresión algebraica que determina el fondo del portarretratos es de la forma ax2 + bx + c? Justifiquen. Consideren que todos los portarretratos miden 40 cm de lado y que el grosor máximo del marco es de 8 cm.De cuadrado a rectángulo 5. Analicen el siguiente problema y resuelvan en su cuaderno. por consiguiente. i Comenten la información en grupo y registren sus conclusiones. o bien. ¿qué se obtiene? 1 500 Respecto al punto 8. con q diferente de cero. b. el conjunto de números reales también tiene por subconjunto al conjunto de los números enteros y al conjunto de los números naturales. Verifiquen en cuáles de los problemas resueltos se cumple lo anterior. El doble del cuadrado de un número más cuatro veces el mismo número más 2 es igual a 50. a. Propuestas didácticas Operaciones que revierten los efectos de otra operación. En ellas. Comenten sus inquietudes y las estrategias que aplicaron. b. Analicen la información y realicen lo que se indica. de segundo grado. se refiere a que pueden tomar cualquier valor en el conjunto de los números reales. bx. La operación inversa a la potenciación es la raíz cuadrada. i Compartan con el grupo sus resultados. término lineal y c. Operaciones inversas 8. Comparen los procedimientos utilizados para resolverlos y lleguen a acuerdos. ¿cuál es ese número? 40 • Expresión algebraica: x2 – 800 = 0 2 • Si al valor de este número le aumentamos 10. ¿Cuál es el valor de ese número? 2x² + 4x – 48 = 0 x = 4 Pregunte cuál corresponde al enunciado del inciso a. se sabe que la operación inversa a la potenciación es la raíz cuadrada. operaciones inversas. y dé instrucciones de escribir en el cuaderno el enunciado que correspondería a cada una de las expresiones algebraicas. y. 38 SMAT3LRCONAPL03-033-048. como por ejemplo: Sea x un número real. Algunas de estas expresiones se pueden resolver utilizando recursos como el tanteo u operaciones inversas. b y c son números reales. Cuando se dice que a. Expresiones algebraicas de la forma ax2 + bx + c = 0 representan una ecuación cuadrática o de segundo grado.7. haga un paréntesis y escriba usted en el pizarrón las posibles expresiones algebraicas correspondientes al enunciado. La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 52. p y q números enteros). término cuadrático. R. b y c son números reales). siendo este el de mayor valor en el exponente y con coeficiente diferente de cero (a. ¿cuál es el nuevo resultado? 950 • Si se le vuelve a aumentar 10 al resultado. a. ¿cuánto vale a cuando x es igual a 1? 5 f. Invite a algún voluntario a dar lectura a la información que aparece en color azul y comente que a este tipo de ecuaciones se les llama cuadráticas justamente porque el término de mayor exponente es un cuadrado.indd 38 Prohibida su venta 22 PM3STJCONA-PL02-17-32. Determinen el área del rectángulo: ( x )2 – 300 = 500 6y 2 ( 2x – 300)2 = 500 14 y – 5 x – 300 = 500 22 (x2 – 300)2 – 300 = 500 2 2 (x – 300) – 300 = 500 2 x2 2 Solución: x = 40 • Expresión algebraica: 6y(14y – 5) Valor de y: 84y2 – 30y • Área del rectángulo: c. Los términos de esta fórmula se llaman: ax2. término independiente. ¿Cuáles son esos dos números? 9 y 11 d. L. L.indd 22 12/24/13 2:35 PM 1/30/14 5:49 AM . La suma de los cuadrados de dos enteros impares consecutivos es 202. ¿Cuáles son esos números? 12 y 14 – 300 = 500 e. R. en uno de sus términos. La mitad del cuadrado de un número menos 300 da como resultado 500. En el trinomio ax2 + 3x + 7 = 15. Escriban la expresión algebraica que representa cada caso y resuélvanla. Por ejemplo. inciso a. dicho conjunto tiene como subconjuntos al conjunto de los números racionales (los p números que son de la forma q . la incógnita se encuentra elevada a la segunda potencia y se conoce como término cuadrático. y el conjunto de los números irracionales (números con una cantidad infinita de decimales no periódicos). sep.gob. Comparta con todo el grupo las ecuaciones escritas en la tabla y discutan cuáles corresponden a los enunciados de la primera columna y. i Comparen sus respuestas con las de otros compañeros para validarlas. por ejemplo: “x es 3 unidades menor que y”. tiene la forma 2n – 1.95 c. 2x2 + 4x – 160 = 0 Estos planteamientos son diferentes de cuando se dice que una cantidad es tantas veces mayor que otra.telesecundaria. lean y realicen en su cuaderno lo que se propone. lo cual significa que a aumenta al doble y en otros casos cuatro veces. o bien x = y + 3. “x es 3 unidades mayor que y”.sep. donde n es un número entero. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Recuerde a los alumnos que un número par es de la forma 2n. se escribe x – 3 = y. 3 2. en donde se relacionan las cantidades con un producto o una división. Puede ejemplificar con números concretos para verificar las ecuaciones planteadas. basta con elevar a la 1 ambos términos de la ecuación. ¿Cuáles son esos dos números? 10 y 12 Ecuación Propuestas didácticas x2 + 5x – 66 = 0 8x2– 128 = 0 Explique a los estudiantes que cuando se comparan dos cantidades y se dice que una es cierta cantidad menor que otra. 8 4 Primera figura: m2 – 28 Segunda figura: z2 – 11 z + 24 i Socialicen sus respuestas y registren sus acuerdos. También explíqueles que cuando se habla de dos números consecutivos. ¿Cuál es el valor de ese número? 8 La suma del cuadrado de dos enteros impares consecutivos es 130. Reto Datos desconocidos 1. L. R. por ejemplo x + 5? Argumenten su respuesta.mx/ interactivos/3_ tercero/3_ Matematicas/ INTERACTIVOS/3m_b02_ t01_s01_descartes/ index.html En esta dirección descarga el archivo “Hoja para el alumno” y realiza las actividades 1 y 2 de la sesión 1. pide apoyo al profesor. b. No. L.gob. a. L. www. Además indiquen qué implica resolver problemas asociados a ecuaciones cuadráticas sencillas. ¿Una expresión lineal puede representar el área de un rectángulo. dgme. No b. se escribe y – 3 = x. tampoco en el conjunto de los números irracionales. ¿Las ecuaciones cuadráticas únicamente modelan el área de figuras geométricas? Escriban un ejemplo que justifique su respuesta. se obtiene una ecuación cuadrática. ¿Cuáles son esos dos números? 7 y 9 La diferencia del cuadrado de dos enteros pares consecutivos es 44. si hay dudas o dificultades. ya que no existen dos números consecutivos en el conjunto de los números racionales. ¿Cuáles son las ventajas de representar mediante una ecuación cuadrática los planteamientos anteriores? Expliquen.mx/ interactivos/3_ tercero/3_Matematicas/ INTERACTIVOS/3m_b02_ t01_s02_aulademedios/ index. se está haciendo referencia a números naturales o a números enteros. porque la medida de las áreas está m z dada en unidades cuadradas. escriban de manera grupal el enunciado correspondiente 23 PM3STJCONA-PL02-17-32. R. por ejemplo: “x es 3 veces mayor que y”. No. a. se escribe como 3x = y. ¿Cuáles son las medidas del largo y ancho del rectángulo? 6 y 11 El doble del cuadrado de un número más cuatro veces el mismo número más 15 es igual a 175. o bien x + 3 = y. Escriban la ecuación cuadrática asociada a cada enunciado. consulten a su maestro. la medida del largo mide 5 metros más que el ancho. ¿Están de acuerdo con el alumno? Expliquen. Después. Un alumno de secundaria afirma que si un número a se eleva al cuadrado. R. En parejas. donde n es un número entero.9. por ejemplo. mientras que un número impar. dgme. entonces se está hablando de una resta. en el caso de las expresiones algebraicas que no correspondan en la tabla. www. En el siguiente sitio encontrarás el interactivo “Ecuaciones no lineales”. Sí.telesecundaria. ¿Estás de 2 acuerdo con el alumno? Expliquen y determinen el valor de m. utilice números sencillos para facilitar los cálculos. m=10.indd 39 12/24/13 2:35 PM Prohibida su venta 39 1/30/14 5:49 AM . Resuelvan las ecuaciones en grupo.indd 23 SMAT3LRCONAPL03-033-048. y si hay dudas. utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. d. Enunciado El área de un rectángulo mide 66 cm2. o bien x = 3y. propongan un enunciado y la ecuación cuadrática que lo representa. 4x2 + 8x + 4 – 4x2 – 44 = 0 8x – 40 = 0 Si se dice que una cantidad es mayor tantas unidades que otra. El mismo alumno afirma que si se da la expresión m2 = 120 y se quiere conocer el valor de m.html Comparte tus experiencias en clase. Escriban la expresión algebraica que z m 7 determina el área sombreada en azul de los siguientes cuadrados. cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades Pregunte al grupo qué características tienen dos figuras cuando se dice que son congruentes y qué características tienen dos figuras cuando se afirma que son semejantes entre sí. Eje: Forma. • Usen su compás y comprueben que FG. analicen la cancha de futbol y contesten lo que se pide. Con la ayuda del profesor validen sus resultados. L. argumentando cada una de sus afirmaciones y poniéndolas a discusión con el resto del grupo. JL y EH miden lo mismo. • Tracen varios segmentos y pidan a otros compañeros que los reproduzcan en su cuaderno. • ¿Cómo son HG e IJ? Congruentes Expliquen su procedimiento y justifiquen sus resultados. L. R. Describan el procedimiento que siguieron. Para hacerlo. L. Anote las ideas principales en el pizarrón y pida que identifiquen triángulos.32 m 90 m A 40. lo cual indica que se trata del segmento de recta que va de A a B. ¿Consideran que el esquema de la cancha de futbol es simétrico? ¿Por qué? Sí. 40 SMAT3LRCONAPL03-033-048. como parte de las actividades de promoción del deporte.32 m E F Área de meta Línea de medio campo I 7. pero las medidas y propiedades en las figuras correspondientes se conservan. se pintarán las líneas de las canchas de futbol. i Socialicen sus respuestas y procedimientos. b. espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos. J 18. Comprueben que EF mide lo mismo que KL. La cancha de futbol 1.indd 40 Prohibida su venta c. En pareja. Al hacer el esquema de la cancha se consideraron las medidas reglamentarias. R. R. • Si esta línea se trazara a 70 m de alguna de las porterías. segmento de recta. cuadrados y rectángulos dentro del salón y que determinen si son congruentes o semejantes entre sí o ninguno de los dos. Verifiquen que sean congruentes. • ¿Cuál es el eje de simetría? La línea del medio campo. los lados y ángulos correspondientes. de tal forma que si se toman dos puntos correspondientes de cada lado de dicha línea. son iguales. los responsables hicieron el esquema de la izquierda. la distancia de cada uno de los puntos al eje es siempre la misma. se conservarían las propiedades de la simetría que identificaron? Argumenten.32 m Utilice la imagen de la página para plantear a los estudiantes que identifiquen las figuras planas congruentes y las semejantes entre sí en caso de que las haya. Si miden lo mismo. Dejarían de ser simétricas.44 m H Portería G K D L C 120 m Información complementaria a. en cada caso. por ejemplo A y B. R. Recuerde a los estudiantes que un eje de simetría es una línea que divide a una figura en dos partes iguales. El segmento comprendido entre los puntos A y B se denota como AB. ¿Qué observan? Son simétricas con respecto a la línea del medio campo. 24 PM3STJCONA-PL02-17-32. • Comparen las figuras de cada medio campo. Analicen la información: Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida. L. una junto a la otra y se coloca una pequeña línea encima de las letras.indd 24 12/24/13 2:35 PM 1/30/14 5:49 AM . Construcción de figuras congruentes y semejantes 2. se escriben las letras que representan los puntos.2 Propuestas didácticas Explique a los alumnos que para representar segmentos de recta dados dos puntos. Parte de recta comprendida entre dos puntos. B En un centro deportivo. b. R. los estudiantes se equivocan al creer que cuanto más se aleja uno del vértice el ángulo va aumentando.indd 25 SMAT3LRCONAPL03-033-048. los equiláteros tres. Propongan una estrategia para modificar las figuras y que estas tengan al menos un par de lados congruentes. Figura 3 B D C Figura 5 Información complementaria Figura 6 C • ¿Cuáles figuras no tienen lados congruentes? Las figuras 1 y 4 Explique a los estudiantes que un vértice es el punto donde convergen dos segmentos de recta. sí Figura 4 Figura 5 a. c. i Comenten en grupo sus conclusiones y registren sus acuerdos. ¿Cuántos ángulos congruentes tiene un hexágono regular? Seis d. Reflexionen: “Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida”. una vez que se han fijado en el punto llamado vértice. Realicen la construcción en su cuaderno. mientras que los ángulos rectos. luego aclare que un ángulo es la abertura que tienen o que forman dichos segmentos de recta entre sí. Nombren los vértices de las figuras. es decir. Analicen la cancha de futbol e identifiquen cuáles ángulos son congruentes. ¿Cuántos ángulos congruentes tiene la figura 2? Dos b. ¿Todos los triángulos tienen el mismo número de ángulos congruentes? No todos. Determinen si los ángulos resaltados en cada caso son congruentes. 3. Argumenten por qué su construcción cumple con la condición solicitada. Reúnete con un compañero para hacer lo siguiente. no Figura 1 sí Figura 2 sí sí Figura 3 Hágales notar que los ángulos menores a 90 grados se señalan con una pequeña curva que va de un punto sobre uno de los segmentos a otro punto del segmento pareja. a. A D D Propuestas didácticas C Figura 2 A D C A B B Solicite que definan con sus propias palabras el concepto de ángulo. los isósceles dos y los escalenos ninguno. L. Todos los que se forman en los rectángulos miden 90°. se señalan usando una pareja de segmentos de recta perpendiculares entre sí. determinen cuáles tienen lados congruentes. deberán contar al menos con regla y transportador. pida a los estudiantes que saquen su juego de geometría. los que miden 90 grados. Justifiquen sus respuestas.Segmentos y ángulos congruentes 2. A A B B Figura 4 D C B C C Figura 1 A Antes de abordar el contenido de la página.indd 41 1/9/14 11:12 AM Prohibida su venta 41 1/30/14 5:49 AM . Remarquen los lados correspondientes. 25 PM3STJCONA-PL02-17-32. Por lo general. Sí e. c. Luego. otra forma de verlo es qué giro ha dado un segmento con respecto al otro. Ponga a discusión en su grupo qué características deben tener dos ángulos que son congruentes entre sí. Coméntenlas con otros compañeros. En pareja. el ángulo que es diferente a los dos ángulos iguales se comparará con el ángulo del otro triángulo que también es diferente a los dos ángulos iguales. 4. • ¿Qué procedimiento deben seguir para comprobar si los tres triángulos que forman cada arete son congruentes? Escríbanlo a continuación. • dos lados congruentes. Un cliente solicitó a un joyero diseñar aretes que incluyeran tres triángulos congruentes. b. L. este mismo método lo pueden emplear para verificar qué lados tienen la misma longitud. ya que los primeros tienen lados de diferente medida. Explique a los estudiantes que se nombran a los ángulos de los triángulos como ␣. ¿Los modelos cumplen con las condiciones que el cliente solicitó? Justifiquen su respuesta. Modelo 1: triada en plata Información complementaria Modelo 2: triada en oro y plata a. Sugiera a los jóvenes que calquen en una hoja blanca los triángulos que aparecen al final de la página y que los recorten. hagan lo que se les solicita y respondan las preguntas. ␤'y ␤''. luego deberán sobreponer los picos de los triángulos para identificar los ángulos que tienen la misma medida.f.indd 42 Prohibida su venta ␪ ␣” 1’’ ␪’ f C’ ␤’ a’ E’ g ␤” G E ␦ e ␪” f’ F G’ E’ g’ ␦’ e’ Modelo 2 F’ E’’ ␦” 26 PM3STJCONA-PL02-17-32. ␣'y ␣''. es decir. ¿en qué casos se trata de ángulos congruentes y qué relación hay entre los correspondientes ángulos internos? Si dos ángulos interiores de un polígono son congruentes. Propuestas didácticas i Clasifiquen las figuras que trazaron y determinen otras de sus características. expliquen qué es congruencia y en su cuaderno tracen figuras con: R. Argumenten cada caso. En grupo. en dos triángulos isósceles.indd 26 1/9/14 11:12 AM 1/30/14 5:49 AM . El joyero propuso los siguientes modelos. con base en lo que han trabajado. para referirse a los ángulos que son correspondientes. ␤. Solo el segundo. • dos ángulos congruentes. E A’ A b’ b ␣ C 1’ ␤ c a B c’ ␣’ B’ Modelo 1 42 SMAT3LRCONAPL03-033-048. ¿lo son también los ángulos complementarios correspondientes?. Los siguientes trazos son representaciones geométricas de los modelos 1 y 2. por ejemplo. ¿cómo lo podemos comprobar? Abra espacio para la discusión y anote en el pizarrón las conclusiones a las que llegue el grupo. y ␪. qué ocurre con los ángulos complementarios de los polígonos trabajados en la página anterior. Analícenlos. Modelo 1 Modelo 2 R. lean la información y resuelvan el problema. ¿por qué?. L. ␪' y ␪''. Arte en plata Ponga a discusión con los alumnos. Modelo 1 • Obtengan la medida del ángulo  y compárenla con la medida de los ángulos  y . porque son figuras congruentes. se compararán a con a'. • ¿Cómo son los cocientes obtenidos en EFG y E’F’G’? Igual a 1. Porque la razón entre los lados correspondientes es la misma en cada caso. análogamente. ΔA'B'C'.5 c = c’ 0. ¿Los ángulos son congruentes? Sí Solicite a los adolescentes que hagan uso de su transportador para medir los ángulos solicitados en la página de su libro y que comparen los resultados obtenidos con los que recogieron al trabajar con los triángulos recortados. Elijan dos triángulos del modelo 1 y nómbrenlos ABC y A’B’C’. • ¿Qué sucede con la medida de los lados de los triángulos EFG y E’F’G’? Son iguales.9 cm b = 0.8 cm a = a’ 0. y  son congruentes? Sí • Nombren .8 cm b’ =1. se hace referencia a un triángulo cuyos vértices van en correspondencia con el triángulo anterior: A con A'. qué tipo de información proporcionan estas divisiones y qué resultados esperarían obtener en los casos en los que se tratase de triángulos semejantes y qué resultados esperarían obtener en los casos de triángulos congruentes.9 cm c = 0.8 cm E’F’G’ e’ =1. d. y al utilizarse las comas en las letras.8 cm g = 2. y a sus lados efg y e’f’g’. y a sus lados abc y a’b’c’.indd 27 SMAT3LRCONAPL03-033-048. es utilizando el símbolo ∠ que sustituye a la palabra ángulo. por ejemplo. gruentes? Sí c. ⬔ y ⬔? Congruentes • ¿Los ángulos . b y c se refieren a la longitud de los lados del triángulo y. i Socialicen sus respuestas y discutan cuándo dos figuras son congruentes y cuándo son semejantes. Modelo 2 • ¿Cómo son las medidas de ⬔.9 cm A’B’C’ a’ =1. Después respondan. 27 PM3STJCONA-PL02-17-32. por ejemplo.indd 43 12/24/13 2:35 PM Prohibida su venta 43 1/30/14 5:49 AM . • ¿Qué significan los cocientes obtenidos en ABC y A’B’C’? La proporción entre los lados correspondientes.8 cm g’ = 2. ΔABC. es decir. una.8 cm c’ = 1. • ¿Cómo son las medidas de los ángulos .  y ? Congruentes Propuestas didácticas • Nombren . Midan los lados de los triángulos y completen la tabla. b' y c' son los lados correspondientes con el triángulo anterior. B con B' y C con C'.5 b = b’ 0. e.5 e = e’ 1 f 1 f’ = g = g’ 1 Comente a los alumnos que para referirse matemáticamente a los ángulos se recurre a notaciones diferentes. Triángulo Información complementaria Medida ABC a = 0. a'. ¿Los ángulos son con- Pregunte al grupo por qué aparecen las razones (en forma de fracción) de las longitudes de los lados correspondientes de la pareja de triángulos.  y  a los ángulos que no están marcados. Cuando aparece un pequeño triangulito seguido de tres letras. de ahí que se observe en el libro ∠ ␪. las letras minúsculas a.  y  a los ángulos que no están marcados. Lleguen a acuerdos y registren sus conclusiones. Elijan dos triángulos del modelo 2 y nómbrenlos EFG y E’F’G’. R. • Discutan por qué se puede afirmar que los lados de los triángulos ABC y A’B’C’ tienen una relación de proporcionalidad. por ejemplo. M. miden 60°. ¿Cómo son las medidas de los tres ángulos entre sí? Congruentes.8 cm f’ = 2.8 cm EFG e = 1. se está haciendo referencia a un triángulo cuyos vértices son los puntos ABC. respectivamente. Anoten sus argumentos.8 cm f = 2. b con b' y así sucesivamente. • Con base en el concepto anterior. Analicen la siguiente información y realicen lo que se indica. Figura original Figura semejante Figura congruente Información complementaria Recuerde a los alumnos que dos conjuntos de cantidades son proporcionales entre sí cuando existe una constante tal que al multiplicar cada uno de los elementos de un conjunto se obtienen por resultado los elementos del otro conjunto. Tracen una figura semejante y una congruente a la figura original. • ¿Qué razón de semejanza aplicaste al trazar las figuras? R.indd 44 Prohibida su venta 28 PM3STJCONA-PL02-17-32. pida que expliquen frente al grupo las estrategias que utilizaron para hacer los trazos correspondientes. a.indd 28 12/24/13 2:35 PM 1/30/14 5:49 AM . • Se puede afirmar que una figura es congruente a otra cuando todos sus lados y ángulos correspondientes son iguales.M. por ejemplo. Propuestas didácticas A la razón de dos lados correspondientes de dos figuras semejantes se le llama razón de semejanza. Una vez que hayan trazado las figuras semejantes y las congruentes a los polígonos de la tabla. i Socializa tus conclusiones con el grupo y susténtalas con ejemplos. Dos polígonos son semejantes si los lados de uno son proporcionales a los lados correspondientes del otro y si los ángulos de uno miden lo mismo que los ángulos correspondientes del otro. y = mx. guíe la discusión de tal forma que obtengan conclusiones grupales que determinen en qué situaciones es posible lo anterior y cuándo no sucede esto. 5. De manera individual.f. donde m es la constante de proporcionalidad o factor constante de proporcionalidad. • Se puede afirmar que una figura es semejante a otra cuando tienen ángulos iguales y lados correspondientes proporcionales. Con ayuda del profesor lleguen a acuerdos. seleccionen el término que representa la propiedad de los triángulos estudiados en la página anterior y completen las conclusiones. L. Para realizar los trazos de figuras semejantes y congruentes ayuda usar el compás para trazar los ángulos. • Congruentes semejantes • Semejantes porque tienen lados correspon- • Los triángulos ABC y A’B’C’ son dientes proporcionales y sus ángulos correspondientes miden lo mismo. R. i Socialicen sus argumentos y lleguen a acuerdos en grupo. ángulos correspondientes iguales. • Los triángulos EFG y E’F’G’ son congruentes porque tienen todos sus lados y Ponga a discusión por qué dos polígonos que tienen lados de diferente longitud pueden tener ángulos interiores con la misma medida. Una expresión algebraica es. Pida a los menores que definan con sus propias palabras cuándo dos conjuntos de cantidades son proporcionales entre sí y solicíteles que escriban una expresión algebraica que represente dicha relación. 44 SMAT3LRCONAPL03-033-048. Después responde. analiza las figuras que trazaste y concluye. M. Si tienen dudas. Para trazar una figura semejante como la que aparece en el inciso b. sugiera a los alumnos identificar los vértices del cuadrilátero que aparece en el centro y los puntos que se localizan en el perímetro de la imagen. en el inciso c se da un valor para x. • ¿Cómo lo calcularon? Multiplicar las medidas por 1. Ella quiere ampliar la fotografía que se muestra. Información complementaria 7. • ¿Cuál es la razón de semejanza entre la fotografía original y la ampliada? Justifiquen. de manera que el segmento que mide 6 cm. c. con base en esos datos. Ponga a discusión qué tipo de figuras se obtienen.5 cm • ¿Cuánto miden los lados de la figura que trazaron? 15. Ahora consideren que x = 5 cm y determinen las medidas de las fotografías ampliadas con base en la razón de semejanza que se indica en la tabla. porque sus lados correspondientes son proporcionales. Determinen las medidas de la fotografía ampliada.indd 29 SMAT3LRCONAPL03-033-048. cuando las longitudes de los lados correspondientes son iguales. Propuestas didácticas 16 cm Guadalupe utilizará un programa de fotografía que le permite incluir modelos geométricos con distintas imágenes. Son figuras semejantes. En el cuaderno tracen una figura semejante a la que se muestra. Indique a los alumnos que escriban sobre la imagen de su libro las longitudes de los lados de los rectángulos que forman a la fotografía mayor para que. mida 15 cm.8 cm. M. i Socialicen sus respuestas con el grupo. Invite a los estudiantes a dar ideas sobre el procedimiento a seguir para trazar la figura semejante a la del inciso b. resuelvan las actividades propuestas. extérnenlas al profesor. semejantes o congruentes. Razón de semejanza Medidas 1 2 3 2 3 Lado 20 cm 30 cm 15 cm • ¿Las fotografías son semejantes o congruentes? ¿Por qué? Son semejantes. • ¿Cuáles serían las medidas de los lados de los rectángulos amarillos? 15 cm y 29 cm 6 cm • ¿Cuáles serían las medidas de los lados de los rectángulos azules? 40 cm y 10 cm • ¿Qué características comparten la fotografía original y la fotografía ampliada? Justifiquen su respuesta. En pareja.5x cm. 29 PM3STJCONA-PL02-17-32. • ¿Cuál fue la razón de semejanza que se aplicó? R. mida 1. 0.indd 45 12/24/13 2:35 PM Prohibida su venta 45 1/30/14 5:49 AM . y 3x x 3 cm b.5. de modo que sustituyendo el valor de x en el primer renglón de la tabla y calculando el producto de los dos factores se obtendrá el número requerido para llenar la tabla. R. a. en la que el segmento que mide x. así como el procedimiento empleado. realicen lo que se pide.¿Semejantes o congruentes? 18 cm 6. R. cuando solo una parte de los lados tienen una longitud proporcional a los lados correspondientes de la otra figura y cuando todas las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales entre sí. de esta forma quedarán completamente señalados los puntos más importantes y bastará unirlos para obtener lo solicitado en la actividad. L. 2 3 Recuerde a los estudiantes que x se suele utilizar para denotar una variable.4 • Describan el procedimiento que siguieron para responder las preguntas anteriores. cuando son diferentes. (–2. (2. 1). 3). (2. (–4. comenzando por la ubicación de un punto en el eje x y luego un punto sobre el eje y. (0. (3. Determina el factor de propor2. 2). (5. R. –5). R.indd 46 Prohibida su venta 30 PM3STJCONA-PL02-17-32. dando un total de 60 grados que corresponden a la medida de los ángulos interiores del polígono. De manera individual haz lo que se indica. 5). –3). 1). (–4. 3) Congruentes Caso 2. 5). Explica si las figuras que se forman en cada caso son congruentes o semejantes.6 cionalidad entre ellos. Sustenta con argumentos. Para construir un polígono regular. 2). Si tienes acceso a un programa de geometría dinámica. -5). A’ • Compara los lados homólogos de ambos polígonos. 7) y (–4. se dividirán los 360 grados de la circunferencia entre 6. L. (1. • Determina el factor de proporcionalidad entre las figuras semejantes. (–4. Congruentes: (2. Propuestas didácticas Indique a los estudiantes que harán uso de su juego de geometría para realizar las actividades que se presentan en la página de su libro. realízalo en él. y Se le llama par ordenado al punto (x. 46 SMAT3LRCONAPL03-033-048. Son congruentes.y). (–1. (–8. 1).Problemas de construcciones semejantes 7. (5. En el caso de un hexágono. x Caso 1. M. (3. Permita que den todo tipo de ideas y deje que hagan uso de sus propios recursos para hacer el trazo del hexágono solicitado en la actividad. –3). –7) y (–1. (–4. semejantes: (–2. (–4. (3. Construye un hexágono regular semejante al que se muestra. que corresponde al cuadrante I y de ahí se sigue en sentido a las manecillas del reloj. –3). –2). sin importar su tamaño. 1).indd 30 12/24/13 2:35 PM 1/30/14 5:49 AM . (6. Los cuadrantes del plano cartesiano se cuentan a partir del cuadrante superior derecho. –7). que se localiza en un plano cartesiano. se puede utilizar un compás con el que se trace la circunferencia que se dividirá en tantas partes iguales como lados tenga el polígono regular en cuestión. –5). b. 7). Uniendo los puntos marcados sobre la circunferencia quedará construido el hexágono regular. –7). (0. Son los lados correspondientes de polígonos semejantes o congruentes. 3) y (2. C E B F B’ A Información complementaria lados homólogos. –2). Ubica en el plano cartesiano los pares ordenados que se muestran y une los puntos. porque todos los ángulos de los hexágonos regulares tienen la misma medida (60°). (5. i Socializa con el grupo tus propuestas para validarlas. • Etiqueta los vértices y establece cómo son los ángulos correspondientes entre ambos hexágonos. (–8. (–2. y (1. –1). Usa como referencia el segmento A’B’. –1). –7). (5. (6. El transportador les será de ayuda para marcar los ángulos delimitados por segmentos de recta que partirán del centro de la circunferencia a un punto sobre ella misma. –4). a. D Pida a los menores que den ideas sobre la estrategia a seguir para trazar un polígono regular. –5). –3) Semejantes • Propón pares ordenados para construir dos figuras semejantes y dos congruentes. es/˜pepemar/ mateprimero/ trigonometria/angulos/ ang_semeja. sugiera a los jóvenes que primero determinen cuáles son todas las figuras que se forman. ¿podemos afirmar que al menos uno de los ángulos de cada triángulo tienen la misma medida?. apuntando las letras de los vértices de los polígonos correspondientes. Determinen en cada caso. Sí. Argumenten sus respuestas. Discutan y registren acuerdos sobre las condiciones geométricas necesarias para construir figuras congruentes y figuras semejantes.htm Discute con tus compañeros la información de las páginas y analicen sus ejemplos.dmae. En pareja. porque las figuras simétricas D Propuestas didácticas C B cumplen con esa propiedad.indd 47 1/9/14 11:13 AM Prohibida su venta 47 1/30/14 5:49 AM . html. Dé instrucciones de medir los ángulos interiores de los triángulos formados. AB = AC y BD = DC • Considera el segmento BC como eje de simetría y construye una figura simétrica a la que se muestra. Porque sus ángulos miden lo mismo y los lados correspondientes son proporcionales. www. por tanto. com/archivoCAR/ Interactivo_Semejanza_ Triangulos_Factor_ Escala. i Socializa tus respuestas y llega a acuerdos con el grupo. En estos sitios encontrarás más información sobre figuras semejantes: tutormatematicas. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Información complementaria Dado que un eje de simetría funciona como si fuera un espejo. entonces se reproduce una figura que conserva las mismas propiedades que la original. • Determina los lados que son congruentes. R. resuelvan los problemas. i Discutan en grupo sus experiencias: anoten las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para aclararlas. la forma ni la longitud de sus lados y. Completa los triángulos y justifica por qué se trata de una familia de figuras semejantes. cuáles figuras son congruentes y cuáles son semejantes.A c. es decir. a. Haga notar a los alumnos que no es necesario medir las longitudes de los lados de los triángulos para determinar cuáles segmentos son congruentes.upct. En el Reto. Plantee lo siguiente: Si uno de los lados de dos triángulos miden lo mismo. 31 PM3STJCONA-PL02-17-32. solicite que tracen las diagonales respectivas y que determinen si los triángulos que se forman son o no congruentes entre sí y que argumenten por qué. Analiza la figura y realiza lo que se indica. En tu cuaderno. haz una construcción o composición geométrica con figuras semejantes y congruentes. M. Trazando ángulos congruentes y segmentos proporcionales. sugiera a los estudiantes basarse en la imagen que aparece en la página del libro. Reto En el caso de los cuadriláteros. • ¿La figura que trazaste es congruente a la figura original? Argumenta.indd 31 SMAT3LRCONAPL03-033-048. no cambian los ángulos. A D C ABD  ADE M R N 60° B 35° D E Figura 1 C A B Figura 2 DNR  RMB ADR  CBR RDC  RBA ADB  BCD b. ¿por qué? Abra espacio para discutir el punto y obtener conclusiones grupales. la imagen simétrica con respecto al eje de simetría. pregunte si son todos iguales y si esto influye en que dos figuras sean semejantes o no. d. es siempre congruente a la figura original. ¿Congruente o semejante? 1. primero deben razonar cuándo dos figuras son congruentes y luego lo verificarán con su juego de geometría o reproduciendo y recortando las figuras para superponerlas. enumerándolas y presentándolas al resto del grupo. a. lo cual es suficiente para determinar que estos triángulos son congruentes entre sí. llegarán a una lista consensada. Cada equipo escribirá en el cuaderno las características a las que llegaron. estos deben ser igual que sus correspondientes. Lee la información y resuelve. • Aplica tu procedimiento y determina si los triángulos que conforman la bandera de Seychelles son congruentes. Bandera de Antigua y Barbuda Pregunte a los jóvenes qué tipo de polígonos se observan en las banderas. R. 32 PM3STJCONA-PL02-17-32. Para responder. En la bandera de Antigua y Barbuda los triángulos rojos cuentan con un ángulo de 90 grados y dos de sus lados correspondientes son de la misma longitud. ␦’ ␪’ 3. Trazó la diagonal del rectángulo. espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido: Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada Indique a los estudiantes que harán uso de su juego de geometría.indd 48 Prohibida su venta 1. • Guadalupe afirma que los triángulos verde y azul de la bandera de Eritrea son congruentes. Discute con el grupo los procedimientos que empleaste en la resolución de las preguntas anteriores y lleguen a acuerdos. bajo la guía de usted. Bandera de Seychelles b. Guadalupe participará en la ceremonia conmemorativa del día de la ONU y debe elaborar una bandera.Criterios de congruencia y semejanza 3 Propuestas didácticas Eje: Forma. Para comprobarlo hizo lo siguiente: ␣’ ␣ ␦ Bandera de Papua Nueva Guinea 48 SMAT3LRCONAPL03-033-048. ¿Es correcto? ¿Por qué? Sí. tijeras y hojas de papel. M. Entre todos discutirán cada una de las propuestas de los equipos y. Analiza las banderas y responde. puede elegir entre las tres opciones que se muestran a la izquierda. Organice al grupo en equipos de 3 o 4 integrantes para que discutan cuáles deben ser los criterios de congruencia y semejanza entre dos figuras. Argumenta. papel y tijeras). Lo cortó por su diagonal. Tendrán que explicar cómo se utiliza el material (juego de geometría.indd 32 12/24/13 2:35 PM 1/30/14 5:49 AM . • Propón un procedimiento para comprobar que los triángulos rojos de la bandera de Antigua y Barbuda son congruentes. Superpuso los triángulos resultantes. Si se comprueba que los tres lados correspondientes de dichos triángulos son de igual longitud. para decidir si las figuras cumplen dichas características. será también información suficiente para determinar que se trata de triángulos congruentes entre sí. Banderas y figuras congruentes 1. porque sus ángulos y lados correspondientes no miden lo mismo. i Socializa tus argumentos. 2. No son congruentes. Medir los Información complementaria Bandera de Eritrea lados y ángulos con una regla y un compás respectivamente. Mariana analizó la bandera de Papua Nueva Guinea y afirma que los triángulos que la forman son congruentes. Porque los lados y ángulos correspondientes miden lo mismo. Sí. dé instrucciones de utilizar también su juego de geometría. S. sigan el procedimiento y respondan.• ¿Coincides con la afirmación de Mariana? ¿Por qué? Sí. con el fin de que expliquen cómo se comprueba la congruencia mediante estas herramientas. y paralelogramos con ángulos diferentes a 90 grados. Información complementaria • Si la bandera tuviera forma de cuadrado. Luego solicíteles que argumenten cómo son los triángulos que se forman en un cuadrilátero que no es paralelogramo al trazar una de las diagonales. solo se obtienen triángulos congruentes en los paralelogramos. En pareja. primero empleando solamente el compás y después solo el transportador. • ¿Qué características hacen que los triángulos sean congruentes? Que sus lados y ángulos correspondientes midan lo mismo. triángulos isósceles. solicite a los alumnos que expliquen por qué podemos afirmar que en todo paralelogramo. Analicen la conclusión y valídenla. • Tracen una de sus diagonales y recórtenlo. Iguales • ¿Puede ser ⬔␦ = ⬔␦’? Argumenta. • RV: TS • RS: TV Plantee a los estudiantes si puede ocurrir que en un cuadrilátero que no tenga sus lados paralelos una de sus diagonales forme dos figuras congruentes. c. por ejemplo. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyas parejas de lados son paralelos entre sí. V. 33 PM3STJCONA-PL03-33-48. como el caso del rectángulo y el cuadrado. Escriban qué lados coinciden con los siguientes. T. porque los lados y ángulos correspondientes miden lo mismo. Porque al sobreponer las figuras. Sí es correcto. como ocurre en un romboide. ¿se obtendría el mismo tipo de triángulo? ¿Por qué? Serían triángulos rectángulos. podemos determinar la congruencia. Hay paralelogramos con ángulos rectos. los lados opuestos del cuadrilátero deben ser paralelos. d. ¿Es correcto? Justifiquen su respuesta. R Ya que los estudiantes harán uso de papel y tijeras para superponer triángulos. se forman triángulos congruentes. Sí. después completen sus conclusiones. Propuestas didácticas • ¿Cómo son los ángulos ␣ y ␣’? Justifica. al trazar una diagonal. Un cuadrilátero es un polígono conformado por cuatro lados. • Tracen un rectángulo en papel grueso.indd 49 12/24/13 2:36 PM Prohibida su venta 49 1/30/14 5:50 AM . Es decir. i Comparte tus respuestas en grupo y registra los acuerdos. soluciónenlas con ayuda del profesor. Superpongan los triángulos formados. No son congruentes porque no miden lo mismo. si todos su lados coinciden. Para construir triángulos congruentes al trazar una diagonal de un cuadrilátero. Lean y discutan la información. Una pareja de estudiantes afirmó que los triángulos RST y RVT son congruentes. S 2. i Socialicen sus conclusiones y. si hay dudas. Pero en este caso. los lados y ángulos de uno miden lo mismo que los lados y ángulos correspondientes del otro”.indd 33 SMAT3LRCONAPL04-049-064. b. Invite a los alumnos a pasar al pizarrón a hacer los trazos necesarios para apoyarse conforme vayan dando sus explicaciones. • ¿Qué tipo de triángulos se formaron? Triángulos rectángulos V Una vez que hayan realizado las actividades de la página. Obtengan la medida de los ángulos SRT y RTV. porque ambos miden 90°. al sobreponerlos. • Etiqueten sus vértices como R. Los estudiantes concluyeron que “dos triángulos son congruentes si. como por ejemplo un trapecio. • ¿Cómo son entre sí? Congruentes¿Y los ángulos TRV y RST ? Argumenten. e. T a. Marca en los cuadrados los ángulos opuestos. En el caso de los triángulos: • ¿ Los ángulos CAB y C’A’B’ son congruentes? Sí • ¿ Los ángulos ABC y A’B’C’ son congruentes? Sí Información complementaria • ¿La medida de los ángulos internos de los ⌬ABC y ⌬A’B’C’ son congruentes? ¿Por qué? Sí. significa que se está haciendo referencia al ángulo formado por los segmentos de recta CA y AB. Porque miden lo mismo. pero ángulos diferentes. Que la medida de sus lados sea la misma. En el caso de los cuadrados.indd 50 Prohibida su venta 34 PM3STJCONA-PL03-33-48. • Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes. de todas esas rectas. Determina si las figuras son congruentes. porque las figuras simétricas conservan todas sus propiedades. La línea trazada a la que se le medirá la longitud. Harán lo mismo eligiendo puntos sobre los polígonos. B C R R’ Q’ B’ C’ A’ S’ P’ a. se pueden trazar una infinidad de rectas que los unan. P Propuestas didácticas S A Q Pida a los adolescentes que señalen los vértices de cada polígono y midan la distancia de cada vértice al eje de simetría. Sí. i Socializa tus respuestas y argumenta qué criterios determinan que dos figuras sean congruentes. No. Porque los rombos y romboides pueden tener lados iguales. y medirán la distancia de dichos puntos al eje de simetría. que indica congruencia. Argumenta cada respuesta. para ello deberán ser muy cuidadosos. Analiza la construcción geométrica y realiza lo que se pide. donde el punto de intersección de las rectas. S P ␪ b. c. la letra de en medio señala el vértice. medida de ángulos y de lados. pero que no coincidan con los vértices. sugiera que elijan. Usa el símbolo ⬵. • Explica qué condiciones son necesarias para que dos cuadrados sean congruentes. ¿Cómo es la medida de los ángulos consecutivos? Todos miden 90°. En un polígono dos ángulos son consecutivos cuando estos comparten el mismo lado. con extremos en el punto dado y la recta. Dado un punto y una recta. luego compararán las longitudes de los vértices correspondientes. los ángulos consecutivos suman 180°. R. es el punto A. formará un ángulo de 90 grados con la recta. Cuando se escribe ∠CAB. 50 SMAT3LRCONAPL04-049-064. En el ΔPRS. • ¿Estas condiciones se pueden generalizar para todos los paralelogramos? ¿Por qué? No. • ¿Todas las figuras congruentes son simétricas? Argumenta y propón varios ejemplos para sustentar tus respuestas. procurando elegir el punto correspondiente en el polígono reflejo.indd 34 12/28/13 4:08 PM 1/30/14 5:50 AM .Figuras congruentes 3. Por tanto. por ejemplo. puntos medios de los lados del cuadrado o del triángulo para garantizar que se han marcado dos puntos correspondientes. • ⌬ABC ␦ R  ⌬A’B’C’ • RSPQ  R’S’P’Q’ • ¿Dos figuras son congruentes cuando existe una relación de simetría axial? Justifica. los ángulos ␦ y ␪ son consecutivos. por ejemplo. y que forma al vértice. sin embargo. por tanto. L. la que tenga menor longitud corresponde a la distancia del punto a la recta. ángulo consecutivo. • Criterio LLA.indd 51 12/24/13 2:36 PM Prohibida su venta 51 1/30/14 5:50 AM . 35 PM3STJCONA-PL03-33-48. de forma análoga se marcan los ángulos correspondientes. pida a los alumnos que expliquen con detalle la diferencia entre cada uno. ALA LLA a. y la del ángulo que se forma entre ambos lados. Compara tus construcciones con las de tus compañeros y responde las preguntas. • Dos triángulos que tengan un lado y ángulos consecutivos iguales. Un triángulo que tiene todos sus lados de diferente longitud se llama triángulo escaleno. La medida de los tres lados de un triángulo es igual que la de los lados correspondientes del otro triángulo. Hay triángulos rectángulos que son isósceles y triángulos rectángulos que son escalenos. L. Las medidas de dos ángulos de un triángulo son congruentes a los dos ángulos correspondientes del otro triángulo. i Registren sus acuerdos. LLL LAL Información complementaria Un triángulo que tiene dos de sus lados de igual longitud. son congruentes a los del otro triángulo. 5. • Dos triángulos que tengan sus tres lados iguales. invite a uno de los alumnos a dar lectura de la información que aparece en azul y coméntenla en grupo. analicen la información y compárenla con sus conclusiones. Un triángulo que tiene los tres lados de igual longitud se llama triángulo equilátero. iguales. Porque con las condiciones dadas solo es posible trazar triángulos iguales. Sí. M. Propuestas didácticas Una vez que hayan realizado las actividades propuestas en la página. Construye en tu cuaderno los triángulos que se solicitan. mide lo mismo que el correspondiente. se llama triángulo rectángulo. aunque es similar. Las medidas de dos lados son iguales y el ángulo opuesto al mayor de ellos. • ¿Las figuras que trazaste son congruentes? ¿Qué criterios utilizaste para determinarlo? Sí. no es el mismo que el criterio de congruencia LLA. L. ya que el razonamiento sería análogo si se eligiera el otro ángulo. • Dos triángulos que tengan dos lados.indd 35 SMAT3LRCONAPL04-049-064. R. • Criterio LAL. Las medidas de dos lados de un triángulo. si aún tienen dudas. • Dos triángulos que tengan dos lados y el ángulo que forman entre ellos respectivamente iguales. • ¿Estas condiciones se pueden generalizar para todo tipo de triángulo? Justifica tu respuesta. Comente que elegir el ángulo opuesto al lado de mayor longitud en el criterio LLA es simplemente por convención. Los criterios de congruencia de triángulos son las condiciones mínimas que permiten determinar si dos triángulos son congruentes. por simetría del problema.Construcción de triángulos congruentes 4. Y dos de sus ángulos son de igual medida. R. Y tiene sus tres ángulos del mismo tamaño. Un triángulo que tiene un ángulo de 90 grados. R. Los criterios son los siguientes: • Criterio LLL. Explique que se suelen utilizar pequeños segmentos de recta perpendiculares a los lados del triángulo para señalar los lados correspondientes en dos o más figuras y el número de dichos segmentos cambiará de acuerdo al número de lados señalados. i Comenta tus respuestas con el grupo y registra en tu cuaderno las conclusiones. es decir. Haga notar que el criterio LAL. En grupo. soluciónenlas con ayuda de su profesor. Busquen objetos con formas triangulares que sean congruentes. • Criterio ALA. un ángulo recto. El lado que se encuentra entre ambos ángulos mide lo mismo que el lado correspondiente del otro triángulo. y el ángulo opuesto al mayor de ellos. describan sus propiedades y comprueben su congruencia. se llama triángulo isósceles. el opuesto al lado de menor longitud. a. Porque ambos miden 60°. Justifica. Usa el signo ⬵. Si pudieran utilizar algún programa de geometría dinámica. porque sus lados y ángulos correspondientes son iguales. AB = AC. Invite a un voluntario para que pase al pizarrón y haga un trazo de un par de figuras en las que las longitudes de los segmentos AC y BD sean iguales y las longitudes de los segmentos de recta AD y BC también tengan las mismas dimensiones. Analiza las parejas de triángulos y determina si son congruentes. AB y AC.indd 52 Prohibida su venta D B D 36 PM3STJCONA-PL03-33-48. a.5 cm y AD lo comparten ambas figuras. D C A B • ¿Cuál de las siguientes expresiones es correcta? Subráyala y justifícala. • Dado que AB = DE. A C C D • Dado que AD = DB y AC = CB y en uno de ellos ⬔␦ + ⬔␥ = 90°. se tiene que: ⌬ACB ⬵ ⌬DFE. 2. ya que comparten un lado. así que se puede aplicar tanto el criterio de congruencia LLL. C b i Comparte tus argumentos con tus compañeros y registra. B D C • ¿⌬ADB ⬵ ⌬ADC? Explica. Validen sus argumentos con su profesor. en tu cuaderno. una conclusión acerca de lo realizado. c. BD. • Indica si los tres lados del ⌬ADB y los correspondientes del ⌬ADC son iguales. B ⌬ABC⬵ ⌬ABD E ⌬ABC⬵ ⌬BAD d.Identificación de congruencia en triángulos 6. Construye en tu cuaderno el par de triángulos que corroboran el criterio de congruencia que se indica en cada caso. Utiliza tu juego de geometría. se tiene que: ⌬ACD ⬵ ⌬BCD. podrían jugar a alargar y reducir la longitud del lado que comparten los triángulos y ver que el ángulo recto puede cerrarse formando un ángulo agudo y mantener la congruencia entre los dos triángulos. y D es el punto medio de BC.2 cm. AC = FD y BC = EF. sugiérales prolongar los segmentos de recta que forman los lados. como cuando resultan no serlo. tanto para el caso en que los polígonos resultan congruentes. Propuestas didácticas H E W P Pida a los estudiantes que identifiquen de qué tipo de triángulos se trata en cada caso. Pida que lo hagan para un polígono tal que el número de lados sea diferente a tres. R F C G Caso 1 ABC  PQR A I Caso 2 EFG  HIJ J C O N X Y B Caso 3 MNO  YXW D Caso 4 ABC  ADC b. A M A Q B Con respecto al inciso c de la página. Sí. pero que los polígonos formados no sean congruentes entre sí.indd 36 12/24/13 2:36 PM 1/30/14 5:50 AM . AD y BC. como el criterio de congruencia LAL. Lee la información y responde. Sí son iguales. En el triángulo de la izquierda. Para medir los ángulos de los triángulos. además de que ambos triángulos son rectángulos. porque BD y CD miden 1. pregunte al grupo si puede ocurrir que dados los segmentos como los de la imagen: AC. Analiza la siguiente figura. • ¿⬔B ⬵ ⬔C? ¿Por qué? Sí. donde AC = BD y AD = BC. a A 52 SMAT3LRCONAPL04-049-064. Haga énfasis en que la forma en la que se construyeron los dos triángulos del inciso c obliga a la congruencia. siempre ocurrirá que se formarán dos triángulos congruentes. Realicen en pareja estas actividades. pues DF = FE es equivalente a CB( DF ) = FE equivalente a AC CB AC CB CB AC ( FE ) DF = AC equivalente a FE = DF . entonces los triángulos son semejantes: DF = FE . Propuestas didácticas a. ␦ = ␧ ␪ C DF = FE = DE AC CB AB • Si en una pareja de triángulos dos ángulos de uno son iguales a dos ángulos de otro. entonces los triángulos son semejantes: Luego realice el siguiente planteamiento: Si dos triángulos tienen dos de sus ángulos correspondientes de la misma medida. entonces estaremos pasando del triángulo cuyas longitudes en cada lado son menores a las del triángulo que se compara. y sería equivalente dividir los lados correspondientes de menor longitud entre los lados de mayor longitud y viceversa. Obtengan las medidas necesarias y regístrenlas en las figuras correspondientes.Criterios de semejanza 7. A R Q Explique que la diferencia entre las razones depende del triángulo que se considere como el “original”. Los tres ángulos correspondientes deben medir lo mismo. ␥ = ␪. pida que hagan el trazo en el pizarrón o en el cuaderno. esto se puede demostrar algebraicamente. son proporcionales.indd 53 12/24/13 2:36 PM Prohibida su venta 53 1/30/14 5:50 AM . por ejemplo. pero que las longitudes de sus lados correspondientes sean diferentes. P Haga notar a los estudiantes que al dividir las longitudes de los segmentos correspondientes se están representando razones de cambio. manteniendo la proporcionalidad. los triángulos son semejantes: ␣ = ␤. cuando la razón es un número mayor que uno.indd 37 SMAT3LRCONAPL04-049-064. • ¿Cómo es AB con respecto de PQ? ¿Y cómo es AC al compararlo con PR? ¿Y BC con respecto de QR? ¿Qué relación pueden establecer? Los lados correspondientes Pregunte si es posible tener dos triángulos con todos sus ángulos correspondientes de igual medida. es como si redujéramos el triángulo de mayor perímetro al de menor perímetro. C B • ¿Cómo es la medida de los ángulos del ⌬ABC respecto del ⌬PQR? Iguales • ¿Cuántos ángulos deben ser iguales para considerarlos triángulos semejantes? Explica. y cuando la razón es un número menor que uno. Después compárenlas con la siguiente información: Criterios de semejanza de triángulos: • Si en una pareja de triángulos los lados correspondientes son proporcionales. que expliquen por qué. Analicen los triángulos y respondan. ␥ = ␪ AC CB 37 PM3STJCONA-PL03-33-48. de lo contrario. • En grupo revisen sus respuestas y registren sus conclusiones. pida que argumenten sus respuestas e invíteles a que pasen al pizarrón a hacer los trazos que apoyen sus explicaciones. F ⌼ ␣ A ␦ B ␤ D ␧ E • Si en una pareja de triángulos dos lados correspondientes son proporcionales y el ángulo comprendido entre estos es de igual medida. ¿es posible trazar un par de triángulos que no sean semejantes? Si es así. establezcan la proporcionalidad de sus lados cuando UV = 3 cm. puede sugerirles que hagan recortes de figuras con los ángulos señalados para que los superpongan y comprueben la medida de los ángulos que se solicitan en la actividad. esto se ve si se imaginan que uno de los segmentos se traslada hasta llegar al segmento paralelo. • Traza una recta paralela a PR que pase por el punto Z. Después registren sus conclusiones en el cuaderno. y determina la medida de los siguientes ángulos. porque los ángulos correspondientes son iguales y los lados son proporcionales. luego. analicen los casos en grupo y. Sí.4 cm y 5. Esta paralela cruzará PQ. Haga diferentes trazos en el pizarrón como ejemplos de la explicación. • ¿Cuánto mide WR y ZR? 5. M. R. Une los puntos PQR y forma un triángulo. 9. •Q Propuestas didácticas x z • Une los puntos XZQ y WZR.1 cm. • Traza una recta paralela a PQ que pase por Z. Al punto donde se interseca la paralela con PR llámalo W. entonces será evidente que la inclinación de ambos segmentos de recta forman exactamente los mismos ángulos que al principio. • Ubica un punto en QR y llámalo Z. P • w a. analicen si ⌬SRT y ⌬VTU son semejantes. RS es paralelo a UV.8 cm. ¿Qué figuras se forman? Dos triángulos Antes de abordar el punto 8. Luego.indd 54 Prohibida su venta 38 PM3STJCONA-PL03-33-48. respectivamente . pregunte si dados cualesquiera cuatro puntos. incluso permita que utilicen su juego de geometría en caso de que tengan esa iniciativa.4 cm y QZ = 4 cm: • ¿Cuál es la medida de QX y de XZ? 3. es posible trazar un triángulo que los contenga aunque no formen parte de sus vértices. i Confronta con tus compañeros tus argumentos y respuestas.8. QR = 8 cm y RP = 10. resuélvanlas con ayuda del profesor.05 cm y 4 cm.indd 38 12/24/13 2:36 PM 1/30/14 5:50 AM . Si la longitud de PQ = 6. respectivamente . En la figura. Si les surgen dudas. En pareja. con ayuda del profesor. La razón es 3 o 1 3 R • ¿⌬SRT y ⌬TVU son semejantes? Argumenten sus respuestas aplicando los criterios de semejanza.05 cm. T U S V i Socialicen sus respuestas y registren sus acuerdos. • ⬔XQZ: 80° • ⬔QZX: 49° •R • ⬔ZXQ: 51° • ⬔ZRW: 49° Permita que hagan uso de sus propios recursos para resolver las actividades del punto 8. realiza lo que se indica y responde. haga un repaso y explique que dados dos segmentos de recta que se cruzan en un punto. WZ = 3. a. Luego. Invite a los estudiantes a pasar al pizarrón a realizar los trazos necesarios que apoyen sus explicaciones. lleguen a acuerdos. TV = 4 cm y TR = 12 cm. pregunte al grupo cuántos puntos como mínimo se necesitan para que se pueda trazar un único triángulo que pase por estos tres puntos en cada uno de sus vértices. tendrán la misma medida en los ángulos formados con la intersección que una recta paralela a uno de los segmentos que cruce al otro segmento. a esta intersección llámala punto X. 54 SMAT3LRCONAPL04-049-064. • ⬔WZR: 80° • ⬔RWZ: 51° b. ⬔QRP = 49º y ⬔RPQ = 51º. Si hay dudas. Considera que ⬔PQR = 80º. En grupo. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Una vez que los estudiantes hayan realizado las actividades propuestas en la página de su libro. B X Y D b. Con la ayuda del profesor determinen la veracidad de sus respuestas.indd 39 SMAT3LRCONAPL04-049-064. En pareja. ambos son triángulos equiláteros. B D C 11. A Propuestas didácticas b. coméntenlas en grupo con la finalidad de solucionarlas. i Socialicen sus respuestas y registren sus acuerdos. Si surgen dudas. Determinen todos los triángulos congruentes que se forman en la figura V U A E de la derecha. i Escriban las dificultades a las que se enfrentaron al resolver los problemas y socialícenlas para que. analicen la figura y respondan. Reto Congruente o semejante 1. pues están localizadas en lugares diferentes del plano e incluso podrían estar orientadas de distinta manera. En este sitio podrás ampliar la información sobre los criterios de congruencia de triángulos. por lo que los lados son proporcionales. o que 3. a. Expliquen si cada uno de los dos triángulos son semejantes al ⌬ABC.a. Obtengan las medidas necesarias para comprobar que los ⌬BAD y ⌬DAC son semejantes. En pareja.tec-digital. R. son figuras distintas. Criterios de congruencia de triángulos Criterios de semejanza de triángulos i Comparte tus experiencias en clase y.cr/ revistamatematica/ GeometriaInteractiva/ GEOMETRIA_Sandra_ Schmidt/Capitulo4/ node13.4 cm de longitud de un lado es igual a 3. redacten los criterios de congruencia y semejanza de triángulos. ExW Z pliquen los criterios que consideraron para responder.indd 55 12/24/13 2:36 PM Prohibida su venta 55 1/30/14 5:50 AM . en grupo. Sí. Sus ángulos correspondientes miden lo mismo. si hay dudas. Realiza las actividades de Laboratorio 2. resuelvan los siguientes problemas. pide apoyo al profesor. F a. Sí son. para cerrar el tema de la lección pregunte a los estudiantes por qué consideran que se les llama a dos figuras que cumplen alguno de los criterios de congruencia. para cada caso. recurran al uso del juego de geometría. 3 y 4.4 cm de longitud de otro lado correspondiente en otra figura. 39 PM3STJCONA-PL03-33-48. planteen un ejemplo. Capítulo 4.ac. Expliquen los criterios que utiC lizaron.L. ya que son números que representan o la longitud o la abertura de dos segmentos de rectas entre sí. itcr. Explique a los adolescentes que cuando se utiliza la palabra igual. Abra un espacio para la discusión y anote en el pizarrón las ideas que considere relevantes y las que sirvan para aclarar o ampliar la discusión. en matemáticas se está refiriendo a que son lo mismo. Lo que sí se puede afirmar es que sus medidas son iguales. aunque tengan la misma forma y dimensiones tanto en las longitudes de sus lados correspondientes como las medidas de sus ángulos correspondientes. www. Todos los triángulos de los picos son congruentes. 10.htm Discute con tus compañeros la información de la página y analiza los ejemplos propuestos. porque la medida de sus ángulos es la misma que la de los triángulos anteriores. sean aclaradas. congruentes y no iguales. y en el caso de dos figuras geométricas. Estudia el tema de Geometría. Determinen si ⌬XCY es semejante a ⌬DFB. De ser necesario. es válido decir que 40 grados (de un ángulo) es igual a 40 grados (de otro ángulo). Completa la tabla utilizando la expresión algebraica que modela la situación.cnn. ¿cuántas personas utilizan la banca en línea? 17 864 000 b. ¿A qué número de usuarios pretenden llegar los dueños de los bancos? 35 728 000 c. a. Ellos consideran que. ¿la estrategia propuesta representa una situación de proporcionalidad? Sí • Si es el caso. 44% afirmó usar operaciones de banca en línea.com/tecnologia/2012/05/17/los-usuarios-de-internet-aumentan-un-14-en-mexico-segun-un-estudio (consulta: 12 de noviembre de 2013) Al conocer los resultados del estudio. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad Antes de abordar el tema de la lección. el aumento mensual en el número de usuarios debe ser constante. Respecto a sus ocupaciones más comunes. tablas de datos y las expresiones algebraicas. ¿a qué se dedica el otro porcentaje? Si se llegó a 40 600 000 usuarios de Internet y se afirma que el último año creció 14%. aclare al grupo que aunque se da la información referente a pasados los nueve meses. hasta ser 40 600 000 usuarios. Proporcionalidad directa. Lee la información y resuelve. qué ventajas tienen y cuál es la relación entre las gráficas. para alcanzar la meta programada. 56 SMAT3LRCONAPL04-049-064. i Socializa tus respuestas con el grupo y discutan las características de una gráfica que represente situaciones de proporcionalidad. ¿cuántos nuevos usuarios se espera que puedan realizar operaciones de banca en línea en tres meses? 5 954 666 • ¿Y en seis meses? 11 909 333 • ¿Y en nueve meses? 17 864 000 d. Según lo anterior. En relación con el inciso c. Ayudará si los alumnos determinan la expresión algebraica que representa el problema planteado.indd 56 Prohibida su venta 40 PM3STJCONA-PL03-33-48. hace compras en línea y utiliza Internet para buscar empleo?.indd 40 12/28/13 4:08 PM 1/30/14 5:50 AM . Plantee las siguientes preguntas: De acuerdo con el problema del punto 1. pida a los alumnos que expliquen con sus palabras para qué sirven. ¿qué tipo de proporcionalidad representa? Justifica tu respuesta. Después registren sus acuerdos. La tabla de datos del inciso f. ¿qué porcentaje de personas en total utiliza operaciones de banca en línea. la cantidad de usuarios lo hace en la misma proporción.4 Propuestas didácticas Gráficas. De acuerdo con el número de usuarios de Internet. e. ¿cuántos usuarios de Internet había el año pasado? Fuente: mexico. Mes 1 2 3 4 Incremento de usuarios 1 984 888 3 969 777 5 954 666 7 939 555 5 6 7 8 9 924 444 11 909 333 13 894 222 15 879 111 9 864 00 g. anímelos a dar ejemplos en los que estos conceptos sean de utilidad y ejemplos en los que se requieran en situaciones de la vida cotidiana. el número de usuarios de este medio en México creció 14% durante 2011. ¿Cómo sería una gráfica que represente los datos de la tabla? Una recta que pasa por el origen. les podrá dar idea de cómo va la regla buscada. porque al aumentar el número de meses. tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. tablas y expresiones algebraicas Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido: Análisis de representaciones (gráficas. ¿Qué expresión algebraica modela el incremento mensual de usuarios? y = 1 984 888x f. se tiene que partir de que la relación establecida es de proporcionalidad. Según un estudio elaborado por la Asociación Mexicana de Internet. 29% dijo hacer compras en línea y 18% lo utiliza para buscar empleo. Servicios de banca en línea 1. los dueños de los bancos se establecieron como objetivo duplicar el número de usuarios de la banca en línea durante los próximos nueve meses. de modo que las preguntas elaboradas a los tres y seis meses se refieren a números proporcionales a los periodos establecidos. Considerando únicamente el incremento estimado por los dueños de los bancos. por lo que no representan una relación de proporcionalidad directa. Justifiquen su decisión. el punto en donde la recta cruza al eje y. d. que es el vertical. a. si los datos que aparecen en el eje y los ponen en el eje x y viceversa.Gráfica de los servicios de banca en línea 2. lean la información de la página anterior y resuelvan. i Comparen sus respuestas en grupo y valídenlas con el profesor.y). Son de la forma y = kx. si la recta pasa por el punto (0. qué tan inclinada está con respecto a los ejes. según las horas de trabajo? y = 500x 41 PM3STJCONA-PL03-33-48. porque muestra una relación de proporcionalidad directa.indd 41 SMAT3LRCONAPL04-049-064. entonces la ordenada al origen es cero (b = 0) y la expresión algebraica que la representa. Determinen si la gráfica elegida es de proporcionalidad y por qué las otras no corresponden a la situación planteada. $24 000 y $48 000 b. y en el cuarto. compararlas y completarlas o hacerles los ajustes necesarios. y b es la ordenada al origen. c. y el eje de las ordenadas. discutirlas. comentarlas. Gráfica A Propuestas didácticas Gráfica B Haga que los estudiantes confronten la ecuación de una recta que pasa por el origen con la expresión algebraica de una relación de proporcionalidad y ponga a discusión la representación o significado que tiene la pendiente de la recta m. una vez que hayan respondido la actividad. Aumento de usuarios de la banca en línea y y 60 000 000 Número de usuarios 20 000 000 18 000 000 50 000 000 16 000 000 14 000 000 40 000 000 12 000 000 10 000 000 30 000 000 8 000 000 20 000 000 6 000 000 4 000 000 10 000 000 2 000 000 0 2 4 6 8 10 x 0 2 4 6 8 Discutan qué sucedería con la gráfica si intercambiaran los ejes. es y = mx. En el mes de octubre trabajaron cuatro proyectos. Porque es una recta que La ecuación de una recta tiene la forma y = mx + b donde m es la pendiente de la recta. en el segundo. 3. Determinen cuál de las gráficas representa la relación de usuarios con respecto del incremento mensual esperado.indd 57 12/24/13 2:36 PM Prohibida su venta 57 1/30/14 5:50 AM . a. $6 000. x b.0). ¿Cuánto cobraron en cada proyecto? $8 000. 12 horas. x 10 Meses Gráfica C y 40 000 000 y 40 000 000 35 000 000 35 000 000 30 000 000 30 000 000 25 000 000 25 000 000 20 000 000 Información complementaria 20 000 000 15 000 000 15 000 000 10 000 000 10 000 000 5 000 000 0 En cuanto al inciso c. es decir. es decir. Argumenten su elección. 48 horas. el eje y. en el tercero. la gráfica es una recta que pasa por el origen y al aumentar una cantidad la otra lo hace en la misma proporción. donde primero se escribe el número de unidades que avanzan por el eje x y después las unidades que suben sobre el eje y. o sea. realicen y justifiquen lo que se solicita. pasa por el origen y con las otras no sucede esto. La gráfica A. invítelos a compartir sus respuestas en grupo. Un grupo de asesores financieros cobra 500 pesos por cada hora de trabajo. Agreguen a la gráfica correcta el título y pongan nombre a los ejes horizontal y vertical. Escriban tres características de una relación de proporcionalidad. En el primero laboraron 16 horas. es decir. Analicen en equipo los problemas. Gráfica D 2 4 6 8 10 x 5 000 000 0 2 4 6 8 10 Recuerde a los estudiantes que el eje de las abscisas es el eje x. En pareja. 96 horas. Las parejas ordenadas de números se escriben como (x. Si la recta pasa por el origen. que es el horizontal. ¿Qué expresión algebraica modela el cobro. Sustenten sus respuestas. con la constante de proporcionalidad k de la relación de proporcionalidad. se hacen las restricciones necesarias para dar sentido al problema. pregunte a los estudiantes si tendría sentido seguir graficando números negativos en el eje x. • Completa la información que falta en la gráfica. cuando se aplica a un problema en cuestión. donde k es el factor constante de proporcionalidad. según el tiempo de trabajo. 15 18 x i Socialicen sus respuestas con el grupo y discutan las características de las gráficas y de las tablas representadas. b. i Socialicen sus respuestas con el grupo y discutan la relación entre la representación gráfica. a. Justifiquen con argumentos matemáticos. Validen con su profesor. en el plano de la izquierda. Sí. por ejemplo.c. Registren en el cuaderno los acuerdos que resulten. y Páginas escaneadas Abra un espacio para la discusión. Si es así. tabular y algebraica de situaciones de proporcionalidad. 2. ¿se puede graficar la recta que toca también otro cuadrante diferente al uno? 75 • ¿Cuáles en el eje vertical? El cobro en miles de pesos • ¿Qué tipo de relación representa la situación? De proporcionalidad directa x 0 • ¿Qué característica tiene la gráfica que trazaron? Es una recta que pasa por el origen. 5. será más sencillo utilizar la expresión algebraica que la gráfica. Tiempo (horas) Tiempo en el que una fotocopiadora escanea páginas e. L. por ejemplo en la expresión y = kx. ¿cómo son entre sí las relaciones numéricas que hay en ambas gráficas? Ambas son proporcionales y forman rectas que pasan por el origen. Determinen si ambos casos representan una situación de proporcionalidad. pregunte si en una expresión algebraica de proporcionalidad es válido utilizar valores negativos. como las estudiadas antes. Sin considerar la unidad utilizada en cada caso. 360 300 240 180 Minutos 1 2 4 5 7 8 120 Páginas escaneadas 20 40 80 100 140 160 60 Elabore diferentes preguntas para cada problema planteado en la página.indd 42 12/24/13 2:36 PM 1/30/14 5:50 AM . si quisiéramos saber cuántos documentos se pueden escanear con la fotocopiadora en una jornada de 8 horas. • Representa la información en la tabla. 0 3 6 9 12 Tiempo (minutos) Haga notar que en algunos casos es fácil identificar en una gráfica los datos requeridos. La gráfica de la izquierda muestra el tiempo en minutos que emplea una fotocopiadora en escanear las páginas de un documento. 4.indd 58 Prohibida su venta 42 PM3STJCONA-PL03-33-48. c. comparen las expresiones algebraicas y las gráficas de los problemas de la actividad 3 y respondan. En pareja. 58 SMAT3LRCONAPL04-049-064. elaboren la gráfica que modele la situación. Cantidades en miles de pesos Propuestas didácticas Horas 10 15 20 30 40 50 70 80 90 120 150 Cobro 5 7. Incluye el número de páginas escaneadas en 1. 4. ¿qué representarían los valores negativos tanto en x como en y? En el caso del problema de la fotocopiadora que escanea documentos. sin embargo. R. 7 y 8 minutos. Con base en la expresión algebraica del inciso b o los datos de la tabla anterior. ¿qué significaría que x y y tomaran valores negativos? Después de que hayan dado sus propias explicaciones. por ejemplo. Justifiquen sus respuestas. mencionen de qué tipo. Registren en el cuaderno sus conclusiones. aclarando que una recta puede tomar todos los valores reales. pero en otros es más práctico utilizar directamente la expresión algebraica que representa la situación planteada. Registren en la tabla el cobro de los asesores.5 10 15 20 25 35 40 45 60 Cobro de los asesores según el tiempo de trabajo d. ¿Cómo son entre sí las expresiones algebraicas? Ambas representan una relación de proporcionalidad y son de la forma y = kx. ¿cuántos documentos escanea la fotocopiadora en 19 y 20 minutos? Y pida que empleen las gráficas para responder sus preguntas. • ¿Qué datos se ubican en el eje horizontal? Las horas y Cobro (miles de pesos) En relación con el inciso d. d. 45 • Describan el procedimiento que siguieron para completar la tabla. En equipo. gráficas y expresiones algebraicas? Justifiquen su respuesta. haciendo las conversiones necesarias para. Asígnenle un título y nombren los ejes. 2000 1500 1000 500 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 x Altura (cm) • Expliquen las características de la representación gráfica que modela el problema. La gráfica representa los datos del problema anterior. Abra un espacio para discutir los cambios que presentan estas ecuaciones junto con sus representaciones gráficas y las constantes que permanecen. mililitros para otro equipo.indd 59 1/9/14 11:15 AM Prohibida su venta 59 1/30/14 5:50 AM . haga énfasis en que la relación que existe en la pendiente de la recta que pasa por el origen. b. para obtener la medida de la altura. A x le corresponde la altura y a y el volumen. Relación entre el volumen y la altura de las cajas y Volumen (cm3) 4500 4000 3500 3000 2500 Al final. la tabla y la gráfica de los problemas del punto 3 con las respectivas del problema de Brenda. Volumen (cm3) Altura 1 500 2 000 2 500 3 000 4 000 4 500 15 20 25 30 40 Una vez que hayan terminado de realizar las actividades de la página. 2 500. que es la medida del área de la base. en vez de utilizar centímetros cúbicos. en ambos casos se tienen relaciones lineales que pasan por el origen del plano cartesiano. • Expliquen qué tipo de proporcionalidad caracteriza los problemas estudiados. • ¿Los tres problemas se pueden representar con tablas. realicen lo que se indica y justifiquen sus respuestas. Sí. Dividir el volumen entre 100 cm2. Información complementaria c. como la de la imagen que se muestra a la derecha. a. Es una recta que pasa por el origen. Después compartirán sus gráficas con el resto del grupo y anotarán en el pizarrón las expresiones algebraicas que representen el problema con las unidades establecidas. Propuestas didácticas Plantee al grupo qué sucedería tanto con la gráfica como con la expresión algebraica correspondiente si se cambiaran las unidades a otras equivalentes. Si se cuenta con el área de la base. es equivalente a la constante de proporcionalidad de la expresión algebraica que representa el problema. entonces basta con multiplicar dicha área por la altura del prisma. 4 000 y 4 500 cm3. ancho y profundidad. 3 000. Comparen la expresión algebraica. organice a los estudiantes en equipos de 3 integrantes y deles instrucciones de realizar la gráfica correspondiente en sus cuadernos.indd 43 SMAT3LRCONAPL04-049-064. Algunas tienen un volumen de 1 500. Su forma es de prismas con base cuadrada de 100 cm2 y altura variable. 43 PM3STJCONA-PL03-33-48. De proporcionalidad directa i Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y determinen las características de las gráficas y expresiones algebraicas que modelan el tipo de relaciones de proporcionalidad trabajadas. litros (para un equipo).Cajas de cristal 5. Recuerde a los estudiantes que el volumen de un prisma rectangular se calcula multiplicando las longitudes de su altura. Completen los datos faltantes en la tabla. La expresión algebraica y = 100x modela el problema de las cajas de cristal. metros cúbicos para otros equipo y así sucesivamente. • ¿Qué representa el 100? ¿Qué valores corresponden a x y cuáles a y? El área de la base. Brenda fabrica cajas de cristal para flores de polietileno. 2 000. R. L. y2). L. la diferencia entre las coordenadas en y nos dará un intervalo sobre el eje y que se puede utilizar como otro de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es ni más ni menos que un segmento de la recta en cuestión.Distintas representaciones 6. para relaciones de proporcionalidad directa.indd 44 12/24/13 2:36 PM 1/30/14 5:50 AM . por ejemplo. Propuestas didácticas • y = 3x + 4 • y = 4. proporcionalidad directa. Indique a los estudiantes que hagan uso de esta información para aplicarla utilizando las rectas que aparecen en el inciso b de la página del libro. donde k es una constante. Expresiones algebraicas: • Planteamiento: R.5x y = 4. la razón entre estas diferencias nos da por resultado la pendiente de la hipotenusa que.5 18 22. braica? Justifiquen su respuesta. ¿Por qué las opciones no elegidas no representan una relación de proporcionalidad? R. la pen(y – y ) diente m de la recta se calcula como la división de ( x2 – x1) = m. b. Seleccionen. por la forma en la que ha sido construido el triángulo. i Compartan sus resultados con el grupo y registren sus conclusiones. L. Por tanto. R. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en cada representación? 4. la que represente una situación de proporcionalidad directa. Tablas: Tabla 1 Información complementaria Una relación lineal tiene la forma y = mx + b.indd 60 Prohibida su venta 44 PM3STJCONA-PL03-33-48. donde A = (x1. Porque no cumplen con las características mencionadas. ¿Todas las gráficas de proporcionalidad son lineales? Justifiquen su respuesta. c. completen la oración y planteen un problema que se solucione con ella. ¿El problema del inciso c se puede modelar con una gráfica o con una expresión algeSí. 2 a.5 2 • La tabla representa una relación de proporcionalidad directa. debido a que es una recta que pasa por el origen. f. en cada caso. • Planteamiento: R. en cada caso.5 27 31.5x representa una relación de • La expresión algebraica que es de la forma y = bx. y B = (x2. coincide con la inclinación de la recta. En equipo. es un caso particular de la relación lineal en el cual b = 0. L. analicen y hagan lo que se pide.5 e. La diferencia entre las coordenadas en equis. los puntos A y B. Una relación de proporcionalidad que tiene la forma y = kx. y1). donde m es una constante. Gráficas: Gráfica 1 Gráfica 2 y 63 y 30 54 25 45 20 36 15 27 10 18 9 5 0 2 4 6 8 10 12 14 x 0 2 4 6 8 10 x 1 1 • La gráfica representa una relación de proporcionalidad directa. d. a • Planteamiento: R. M. L. y que se representan en las expresiones algebraicas. Tabla 2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 7 10 13 16 19 22 4. de forma análoga. las de proporcionalidad inversa son una curva. g.5 9 13.5 en cada caso. dará un intervalo sobre el eje x que nos servirá para construir un triángulo cuyo cateto sea ese intervalo. debido que los datos aumentan en la misma proporción. dos gráficas y dos tablas. En la siguiente actividad se presentan dos expresiones algebraicas. Así pues. 60 SMAT3LRCONAPL04-049-064. debido a Explique a los alumnos que la inclinación de una recta se puede hallar a partir de conocer dos puntos que están sobre ella. No. hallando las pendientes 3 y 4. pídales que nombren cada uno de los ejes en las cuatro gráficas para que tengan presente qué representan los valores anotados. 64) 4 50 (2.1) (160. 196) 12 150 10 (12.14) 12 (8.indd 45 SMAT3LRCONAPL04-049-064. Registren la ecuación o expresión algebraica correspondiente: y = 1 000x. d.3) (80. ¿qué diferencia hay entre una y otra situación?. y a.5) 500 600 700 45 PM3STJCONA-PL03-33-48. donde 1 000 representa los vasos que producen las cinco máquinas en un día. 4) 0 Invite a los jóvenes a pasar al frente a explicar qué representa cada una de las gráficas y a argumentar por qué sí o por qué no corresponde a la relación de proporcionalidad directa. en la medida en la que se utilice mayor número de máquinas?. Se sabe que con tres máquinas produce 1 800 logos en tres días. La gráfica D Gráfica A Gráfica B 300 20 18 (1. mayor número de logos impresos?. 200 (200. y que utilicen las respuestas para sus argumentos. ¿la empresa podrá cumplir la entrega? No 6 000 5 000 • ¿Cuántos vasos grabados puede producir en los tres días? 3 000 vasos 4 000 3 000 b. Sugiera que formulen preguntas como: ¿qué sucede con y en la medida en la que x crece?. playeras y otros artículos.1) 2 10 15 (320. ¿ambas son situaciones de proporcionalidad? 7 000 nen la misma capacidad de producción. ¿de qué forma aumenta o disminuye y cuando x toma valores cada vez mayores?. En la empresa graficaron la relación entre el costo de producción por pieza. Cuando lleguen al inciso e.indd 61 12/28/13 4:08 PM Prohibida su venta 61 1/30/14 5:50 AM .2) 4 (6. Tracen la gráfica que representa la situación en el plano de la derecha. 8. ¿podemos afirmar que a mayor número de máquinas mayor será el tiempo que les lleve imprimir los logos?. que sí aumenta conforme aumenta el número de máquinas. Una empresa de serigrafía tiene cinco máquinas para grabar logos en vasos. 256) 250 (100. considerando que todas tie- Propuestas didácticas Ponga a discusión el problema planteado en el punto 7. Formule preguntas como: ¿Qué sucede con el número de logos grabados en vasos.5. 16) 0 (6.18) 14 (300.5) 14 (14. c. a diferencia del número de logos. según el número de artículos grabados. de forma análoga. 16) 2 0 100 200 300 400 500 600 3 (5. Consideren que esto representa una relación de proporcionalidad.12) 150 10 (400. 16. 2. 128) (500. 4. Analicen y respondan con argumentos lo que se solicita.10) 8 (7. e. 100) 100 8 6 (8. 144) (10.Las máquinas de serigrafía 7. La empresa necesita entregar 4 000 vasos para una graduación en tres días. 64) 50 (4.8) 6 100 (640. ¿podemos afirmar que a mayor cantidad de máquinas. Si utiliza las cinco máquinas. 0. 1) 100 200 300 400 (640. 36) 5 (40. ¿La situación anterior es de proporcionalidad? Sí 2 000 1 000 • Si la respuesta anterior fue sí. Analicen y elijan la gráfica que modela dicha relación. 32) 4 6 8 10 700 Gráfica C Gráfica D 18 250 16 200 (20. ¿de qué tipo de proporcionalidad se trata? Proporcionalidad 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x Permita que den todo tipo de ideas y que lleguen a concluir que a mayor número de máquinas menor será el tiempo de impresión.16) 16 (4. playeras y otros artículos. indd 46 12/24/13 2:36 PM 1/30/14 5:50 AM . Invite a un voluntario o voluntaria a pasar al pizarrón a graficar las expresiones algebraicas y = 3x primero y. L. que representan distintas relaciones de proporcionalidad. Gráfica 1 Gráfica 2 Aclare al grupo que una relación de la forma y = kx. Después registren sus conclusiones.25 a. Con este ejemplo verán que la orientación en cada caso es diferente y que el signo de la pendiente nos da información de la recta que representa a la expresión algebraica. con la guía del profesor. sobre el mismo plano cartesiano. la expresión y = –3x. El conjunto de los números reales contiene al conjunto de los números racionales. es una relación de proporcionalidad directa. Sobre las gráficas deberán escribir los nombres de los ejes de acuerdo al problema que han inventado y elaborar un par de preguntas que se puedan responder con base en dichas gráficas. Analiza la información y contesta con argumentos matemáticos lo que se pide. por ende. R. Escriban en su cuaderno un problema que se pueda modelar con la gráfica. Elaboren en su cuaderno una tabla de datos que muestre la información de la gráfica anterior. • ¿Cuál es la expresión algebraica que modela la situación de proporcionalidad estable330 cida? y = x Propuestas didácticas g. contiene también al conjunto de los enteros y al de los naturales. donde k es una constante que puede tomar valores en el conjunto de los números reales. la tabla o la expresión algebraica anteriores. ¿Cuáles gráficas se relacionan con las tablas? La gráfica 1 con la tabla 2 y la gráfica 4 con la tabla 1 62 SMAT3LRCONAPL04-049-064. 8 10 12 x Gráfica 4 y 30 y 35 25 30 25 20 20 15 15 10 10 5 5 0 6 2 4 6 8 10 12 0 x 2 4 6 8 Expresión 1: y = 3x Expresión 2: y = 2x + 5 Tabla 1 Tabla 2 10 x 0 2 4 6 8 1 2 4 6 8 20 17 14 11 8 50 25 12. compartan sus respuestas. Pida a los alumnos que analicen las gráficas que se presentan en el punto 8 y que escriban en el cuaderno un problema que pueda representarse con cada una de ellas. ¿Qué gráficas se relacionan con las expresiones algebraicas? La gráfica 3 con la expresión 1 y la gráfica 2 con la expresión 2 b. los números irracionales y.indd 62 Prohibida su venta 46 PM3STJCONA-PL03-33-48.• ¿Qué tipo de proporcionalidad modela la gráfica seleccionada? Inversa f. Información complementaria En seguida se muestran cuatro gráficas. Relación entre distintas representaciones 8. i Expongan al grupo sus planteamientos y. dos expresiones algebraicas y dos tablas de datos.50 8. el signo de la pendiente m determina la orientación de la recta. y y 60 30 50 25 40 20 30 15 20 10 10 5 0 2 4 6 8 0 10 x 2 4 Gráfica 3 Explique a los estudiantes que en una relación lineal que tiene la forma y = mx + b.33 6. Reto Relaciones de la forma y = kx 1. Plantea en el cuaderno un problema que se pueda resolver con cada gráfica. cada vez que se avanza un paso o una unidad sobre el eje x. en el sector izquierdo de la pantalla se puede descargar cualquiera de las unidades.indd 47 SMAT3LRCONAPL04-049-064. cómo son cuando la pendiente es un número mayor que uno. 0.educ. • Algebraica: Son de la forma y = ax.25 y 800 Expresión algebraica: y = 4. también son de proporcionalidad? ¿Por qué? La gráfica 3. pidan apoyo al profesor. registren en el cuaderno los acuerdos acerca de las características de las distintas representaciones de relaciones de la forma y = kx. Registren las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para aclararlas en grupo.5 9.5 2.25 24. en situaciones en las que al aumentar una magnitud la otra disminuye. 300 200 100 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 x i Comenten con el grupo sus resultados y propuestas. Con la ayuda del profesor. • y = 1 200x • y = 0. Planteen en su cuaderno un problema para cada caso. 9. Una vez hecho esto. a. • Gráfica: Son rectas que pasan por el origen.indd 63 12/24/13 2:36 PM Prohibida su venta 63 1/30/14 5:50 AM . Definan las características de cada representación para una relación de proporcionalidad. En pareja. Representen por medio de una tabla de valores. ¿Cuáles gráficas representan una relación lineal? Explica tu respuesta. f. en cada caso. lo que se consigue en la sección de descarga del sitio Descartes. las siguientes expresiones algebraicas.75 11. ¿Cuáles son de proporcionalidad y de qué tipo? Justifica. i Discutan en grupo sus experiencias. Discute con tus compañeros la información que se encuentra en la página y analicen juntos los ejemplos propuestos. Realiza lo que se indica. 47 PM3STJCONA-PL03-33-48. Porque es una recta que pasa por el origen. cómo cambia la inclinación de la recta cuando se trata de un número menor que uno y. Si hay dudas.75 20. ¿Cuáles gráficas. resuelvan los problemas.5 2. la otra también aumenta en proporción. pida que escriban en el cuaderno la diferencia entre una relación lineal que no sea de proporcionalidad directa y una que sí lo sea. Comente a los adolescentes que hasta el momento han estudiado relaciones de proporcionalidad directa en las que cuando una magnitud aumenta. 2y4 d. también pueden ser de proporcionalidad.5 7.5 15.5 4. Para cerrar el tema.5 5. pero no directa sino inversa.75 38. Sí. Las gráficas 3.5x •y= 1 x 2 b. como si se estuviese en línea. es necesario bajar el applet para que puedas ver las aplicaciones en las diferentes páginas.25 6. a. cómo cambia la recta si es un número negativo.75 29.5 10.5 1. Podrán verse los sitios con sus respectivas actividades en el navegador que se posea. relación que se estudiará más adelante.25 33.5 8. sugiérales que se apoyen con gráficas y tablas de datos. además de ser lineales. Si tomas la primera. la tabla y la expresión algebraica representan una misma relación de proporcionalidad. Las tres representaciones son de proporcionalidad directa.c. ar/dinamico/ UnidadHtml__get__ ff09e8f7-7a0a-11e182be-ed15e3c494af/ index. Discuta con el grupo cómo cambian las gráficas de las funciones lineales o de proporcionalidad directa en función de la pendiente. Determina si la gráfica.25 3. Explique a los estudiantes que la pendiente de una recta o de una función lineal se puede entender como la cantidad de “pasos” o unidades que se dan hacia arriba.5 6. L. Escribe en el cuaderno un problema que se pueda modelar con la información que muestran las distintas representaciones. Explica de qué tipo de proporcionalidad se trata.75 47.25 42.html Al ingresar a la página aparecen dos opciones: una para descargar el sitio y poder navegar sin conexión a Internet y otra para hacerlo en línea. y gráficamente. Propuestas didácticas e. R. La gráfica 1 de proporcionalidad inversa y la 3 de proporcionalidad directa. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Permita que exploren diferentes posibilidades para que obtengan sus propias conclusiones y vean que el valor y signo de la pendiente proporciona mucha información de cómo va la gráfica que representa a la expresión algebraica en cuestión. • Tabla de datos: Los datos aumentan en la misma proporción.5x 700 600 500 400 b. En este sitio de Internet podrás ampliar la información sobre el tema estudiado: www. L.50 18. a partir de los datos de la tabla. ¿Qué relación hay entre el tiempo que el balón alcanza su máxima altura y el tiempo que tarda en regresar a 0 cm? Es el mismo tiempo. La imagen de la izquierda muestra el movimiento que siguió el balón al rebotar contra el suelo.0 g. 64 SMAT3LRCONAPL04-049-064.00 15. No. después sitúelos de frente al balón.2 1.Relaciones de variación cuadrática 5 Propuestas didácticas Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido: Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática.75 4. formule entonces la siguiente pregunta: ¿qué tipo de movimiento observarán que hace la pelota? Permita que den todo tipo de opiniones. tenemos tres sistemas de referencia desde los cuales se puede describir el movimiento del balón. como sucede en la imagen que aparece en la página.0 f. 2.00 0. En los intervalos de tiempo que has analizado.2 1. la diferencia entre las alturas varía. 3. sin lograr apreciar el desplazamiento horizontal? Abra un espacio para la discusión haciendo ver que dependiendo del punto desde el cual uno haga la observación será la descripción que se haga. Los resultados se muestran en la tabla de la izquierda. Una vez que hayan discutido las dos posiciones. a. ¿Existirá alguna relación entre el movimiento que sigue el balón y la gráfica que lo represente? Sí i Socializa tus respuestas. y hay otro en el que se pueden apreciar ambos movimientos. explique a los estudiantes que en el primer caso no se apreciará que el balón sube y baja sino que se desplaza una cierta distancia.1 cm c. Los efectos de la ley de gravedad Tiempo (s) Altura (cm) 0. ¿Qué sucede con la altura del balón en los segundos 2 a 4? Disminuye. ¿Cuál es la diferencia de altura entre 0. b.75 12.25 19.7 0.75 17. la descripción del movimiento será diferente.00 15.25 y 0. Lee la información y resuelve.00 0.00 20. en uno solo se aprecia el desplazamiento en x.0 1. después sucede lo contrario. la biología.2 3. ¿Cómo cambia la altura del balón en el intervalo de 0 a 2 segundos? Aumenta hasta llegar a 20 cm. i.7 d.indd 64 Prohibida su venta 48 PM3STJCONA-PL03-33-48. 2.25 4.8 1. La diferencia entre las alturas de cada intervalo cada vez es menor hasta los dos segundos. identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física. por tanto. mientras que en la segunda posición se observa la trayectoria parabólica del balón. Pregunte entonces: ¿en qué posición tendríamos que estar para observar que el balón solo sube y baja. En equipo.0 2.2 3.25 17.8 0. Parábola j.50 s? 4. Investiga el nombre del movimiento que muestra la trayectoria del balón. la economía y otras disciplinas Este problema es muy interesante. haga que los estudiantes imaginen que se encuentran sentados en la copa de un árbol y observan cómo se mueve el balón.25 12.50 8. h. en otro se aprecia el desplazamiento en y. ¿Qué patrón identificas entre los datos de la tabla? Explícalo. a este punto se le llama sistema de referencia y.0 Mónica y Paulina realizan un experimento que consiste en lanzar un balón para analizar cómo influye la ley de gravedad (la cual dice que un objeto atrae a los demás con una fuerza que es directamente proporcional a las masas) en el cambio de altura.8 3.7 4. Paulina registró los tiempos del rebote mientras Mónica lanzaba el balón. reflexiona cómo sería una gráfica que muestre el movimiento del balón. 2 segundos. Con la ayuda del profesor de Física. en x y y. Haga notar a los estudiantes que dependiendo del lugar desde el cual se sitúen para ver cómo se desplaza el balón. Por ejemplo. ya que se puede estudiar de diferentes maneras.indd 48 12/24/13 2:36 PM 1/30/14 5:50 AM . ¿En qué tiempo el balón alcanza la mayor altura? En 2 segundos 1.8 e.50 8.7 2. 0.75 19. ¿Cómo se puede describir la manera como el balón aumenta su altura en cada lapso de tiempo? R.50 18. ¿la altura que se recorre en cada uno es la misma? Argumenta tu respuesta. La expresión algebraica o ecuación de la actividad anterior es un caso particular del fenómeno que se conoce como caída libre. El tiempo es la independiente y la Información complementaria altura la dependiente. las que corresponden a relaciones de proporcionalidad y las que corresponden a relaciones de variación cuadrática. amplíen la información sobre una relación de variación cuadrática en un medio electrónico o impreso. R.Representación algebraica 2. • h = 5t2 • h = 5t2 – 20t • h = 20t • h = –5t2 + 20t En cuanto al inciso c. Lean la información. Pida a los alumnos que analicen la tabla de datos del punto anterior y determinen si se trata de una recta. argón y demás gases que conforman nuestra atmósfera. c. Con base en lo anterior. y lo visto en la lección 1. usando la expresión algebraica de la caída libre. Todos los cuerpos estamos siendo acelerados de igual manera. En este tipo de planteamientos de caída libre se está aproximando el problema despreciando la fricción. M. pero es tan pequeña esta interacción que se puede despreciar para fines prácticos. de una relación lineal o no y que argumenten por qué. es decir. es decir. 3. Consideren que cuando un objeto se lanza hacia arriba. Dicha expresión es h = ( 1 )gt2 + vot. g. oxigeno. Si lo consideran pertinente. ya que se considera que no hay otra fuerza actuando sobre el móvil cuando en realidad las partículas que hay en el ambiente: de agua. L. para determinar la altura desde la que cae un objeto. y cuando un cuerpo cae en caída libre. R. el desplazamiento que tiene está dado por la ecuación d = 12 at2 donde d es la distancia recorrida por el móvil. están causando fricción con el balón y de alguna manera lo están deteniendo. se sabe que vo = 180 m/s. Tiempo (segundos) 3 8 17 18 19 Altura (m) 495 1 120 1 615 1 620 1 615 49 PM3STJCONA-PL04-49-64. donde g es la fuerza de gravedad y tiene un valor de 9. y t el tiempo en el cual el cuerpo se mueve.indd 49 SMAT3LRCONAPL05-065-080. En una prueba de despegue de un cohete. expliquen por qué los datos del lanzamiento del balón representan una relación de variación cuadrática. porque las variables no aumentan proporcionalmente. f. a es la aceleración. b.8 m/s2 2 (en el ejemplo del balón de basquetbol se redondeó a 10 m/s2). ¿Representa una relación lineal? Justifiquen. h = –5t + 20t. ¿Los datos de la tabla de la página anterior representan una relación de proporcionalidad? Argumenten su respuesta. solicite al grupo que identifique las expresiones que corresponden a relaciones lineales.indd 65 12/24/13 2:37 PM Prohibida su venta 65 1/30/14 5:51 AM . vo es la velocidad inicial y se mide en m/s. En equipo. Propuestas didácticas a. d. que no está siendo impulsado o detenido por ningún otro cuerpo u otra fuerza. t es el tiempo y se mide en segundos. a. Con base en lo comprobado. Después analicen en grupo la siguiente información. porque la diferencia entre las alturas no es constante. Porque La fuerza de gravedad en realidad no es una fuerza en sí misma sino una aceleración que se aproxima a 9. porque al sustituir t por el tiempo. utilizamos la expresión h = –5t2 + vot. No.81 m/s2 en nuestro planeta. Completen la tabla. No. Analicen estas expresiones algebraicas y observen los valores de la tabla. se obtiene el valor de la altura. e. R. uno de los términos está elevado al cuadrado. nitrógeno.81 t2. Revisen las respuestas de la página anterior y. 2 • ¿Cuál de las expresiones modela la situación? Argumenten su respuesta. Determinen cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente de la expresión algebraica y qué representa cada una. de modo que la expresión algebraica se puede escribir como: d = 9. en este caso la gravedad. corríjanlas con el apoyo de su profesor. Utilicen esta información para complementar sus acuerdos. completen la tabla y respondan las preguntas de la siguiente página. g se representa con signo negativo. L. resuelvan las actividades a partir del problema de Mónica y Paulina. si es necesario. i Socialicen sus respuestas y lleguen a acuerdos. Propuestas didácticas • Construyan una tabla que muestre la relación entre el tiempo y la altura. Chapulín proviene del náhuatl chapolin. la dependiente.4 0 • ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el chapulín? 3. Y no deben perder de vista que las unidades de la gravedad son las mismas que las de la aceleración: m/s2. i Socialicen sus respuestas y lleguen a acuerdos en función de las características de un registro tabular y de la ecuación que representa una función cuadrática. y olli.2 1. • ¿Cuál es la variable dependiente en esta expresión algebraica? Las ganancias (G) • ¿Cuál es la variable independiente? Los pesos por pintura (p) 66 SMAT3LRCONAPL05-065-080. por eso significa “insecto que brinca como pelota de hule”. h = –5t2 + 180t b. entonces como s/s = 1.6 segundos b. como bien aparece en el libro.8 segundos • ¿Cuánto tiempo dura su salto? 1. tenemos metros por segundo entre segundo (ms/s). Alfonsina consideró la expresión algebraica G = p(110 – p). Problemas cuadráticos 4. Explique a los alumnos que cuando se estudia el desplazamiento de un móvil a partir de una velocidad inicial.indd 66 Prohibida su venta 50 PM3STJCONA-PL04-49-64. Por convención. Ella piensa incrementar sus ganancias aumentando el precio de los cuadros.2 m • ¿En qué tiempo logra la altura máxima? En 0. y las del tiempo son segundos (s).8 1 1. lo que está ocurriendo es que se está partiendo de una posición inicial. rebotar. Si analizamos las unidades (a este tipo de análisis se le llama análisis dimensional). cuando tenemos una relación lineal. Analicen los planteamientos y resuelvan. de modo que al calcular el producto. Míriam es zoóloga y está caracterizando al chapulín (Tettigonia viridíssima).4 1. en el cohete lanzado se modifica la velocidad inicial a vo = 200 m/s. por ello en la expresión algebraica aparece el sumando del producto Vot.4 1. si aumenta demasiado el precio. En sus estudios determinó que la expresión algebraica que representa la relación entre la altura del brinco de este insecto y el tiempo se puede expresar como: h = –5t2 + 8t. el signo negativo de la gravedad indica la posición del móvil. En otra prueba.2 3 2.6 Altura (m) 0 1. en la cual G representa sus ganancias si cobra p pesos por cada pintura. así pues. a.6 0.indd 50 12/24/13 2:37 PM 1/30/14 5:51 AM . Tiempo (segundos) 0 0. hule. Alfonsina es pintora y vende sus cuadros.4 2. Tiempo (segundos) 3 5 10 19 20 21 25 Altura (m) 555 875 1 500 1 995 2 000 1 995 1 875 • ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el cohete? 2 000 m • ¿En cuánto tiempo llegará nuevamente al suelo? En 40 segundos • ¿Cuál es la variable dependiente y cuál es la independiente? El tiempo es la variable independiente y la altura.• ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el cohete? 1 620 m • ¿Cuántos segundos transcurren desde que se lanza hasta que cae al piso? 36 • Anoten la ecuación que modela el problema. Recuerde a los adolescentes que es muy importante tener claro con qué unidades se está trabajando para no tener inconsistencias en los resultados. Otra observación es que debe quedar claro el sistema de referencia ya que.4 0.4 3 3. Sin embargo. por ejemplo y = mx. de chapa(nia). x en este caso es la variable independiente porque puede tomar cualquier valor y según los valores que tome será que y adquiera los suyos. la variable dependiente es y. veremos que las unidades de la velocidad son metros por segundo (m/s). si se está desplazando hacia arriba o hacia abajo. Para estimar sus ingresos. • ¿Qué representan las literales h y t en la expresión algebraica? h la altura y t el tiempo • Consideren la expresión algebraica y completen los datos de la tabla. nos queda solamente la unidad de metros (ms/s = m) que va de acuerdo con el otro lado de la igualdad que nos indica la altura.2 0. La variable dependiente y la variable independiente se elegirán conforme a cómo se esté representando un problema. corre el riesgo de que. ya que está en función de los valores de x para obtener su propio valor. sus ganancias disminuyan. ganancia hasta $60. ¿cuál es la expresión que determina el número consecutivo? x + 1 • ¿Qué expresión representa el producto de los números anteriores? x(x + 1) • ¿Es posible que el producto sea una expresión cuadrática? ¿Por qué? Sí. se obtiene la suma de los productos de cada sumando por el número que multiplica a la suma. sugiérales que los usen para comprobar la forma que tiene la curva de la función. • Dada la expresión anterior.indd 51 SMAT3LRCONAPL05-065-080. A Osiris le dejaron de tarea escribir una expresión algebraica que modele la multiplicación de un número natural por su consecutivo. para que al encontrar la expresión algebraica que representa el producto de un número natural por el número consecutivo. 51 PM3STJCONA-PL04-49-64. Si existen dudas o diferencias. considerando que se toman valores en el conjunto de los números reales. para ello le pidieron verificar dicha expresión con los datos de la siguiente tabla. • Escriban una literal con la cual se pueda determinar cualquier número natural. Porque al calcular el producto se obtiene la expresión x2 + x. i Socialicen sus respuestas y comparen sus procedimientos con otros compañeros. obtengan su representación gráfica. Sí es correcta. Incremento Ganancia mensual 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 1 000 1 800 2 400 2 800 3 000 3 000 2 800 2 400 1 800 1 000 0 Propuestas didácticas -1 200 • ¿Cuál es el precio que le dará a Alfonsina la ganancia máxima? $50 y $60 • ¿Cuál es el patrón que se observa en los datos del registro tabular? Se incrementa la Utilice el problema que se plantea en el inciso c.indd 67 2/5/14 11:57 AM Prohibida su venta 67 2/5/14 12:00 PM .• Completen el siguiente registro tabular. Registren en el cuaderno sus acuerdos y conclusiones acerca de lo trabajado. y hay que tener en cuenta la ley de los signos al aplicar la propiedad distributiva y al realizar las operaciones. • Expliquen por qué los dos planteamientos anteriores corresponden a una función cuadrática. Aclare que si bien en la tabla de datos se muestran números discretos. Consideren cantidades a partir de $10 con incrementos de la misma cantidad. valídenlas con el profesor. incluso una calculadora con graficador. Número 10 Producto del número por su consecutivo Si tienen acceso a algún programa que grafique funciones. verifiquen que la relación de la tabla sea correcta. c. x • Con base en la literal escrita. después empieza a descender. cada pareja de números ordenados forma parte de la curva que se obtiene al graficar la expresión algebraica. Porque uno de los términos está elevado al cuadrado. 110 15 240 20 420 25 650 30 930 35 1 260 40 1 640 45 2 070 50 2 550 55 3 080 60 3 660 Información complementaria Recuerde a los alumnos que al aplicar la propiedad distributiva del producto sobre la suma de dos sumandos. Cualquiera de los sumandos e incluso el factor que los multiplica puede tener tanto signo positivo como negativo. en uno de los términos. El área aumenta hasta que k es igual a 5. Invite a alguno de los estudiantes a que pase al pizarrón a realizar las operaciones necesarias para hallar el valor del lado más corto. por tratarse de una longitud.Funciones cuadráticas en áreas y perímetros 5.9. Pregúnteles si el perímetro tiene una fórmula cuadrática y si ocurre lo mismo con la fórmula para calcular el área de un rectángulo.indd 52 12/24/13 2:37 PM 1/30/14 5:51 AM . ¿cuál es la variable independiente y cuál la dependiente? La longitud k de uno de los lados es la variable independiente y el área es la dependiente. Determinen una expresión algebraica para obtener el área del rectángulo en función de la medida del perímetro y del lado k. • Consideren el uso de números decimales hasta décimos.indd 68 Prohibida su venta 52 PM3STJCONA-PL04-49-64. Anótenla dentro de la figura. Sí. es posible obtener el dato faltante. 2 • En este caso. R. ¿Cuál es el mínimo y el máximo valor que puede adquirir k? 0. incluso puede adquirir un valor mayor a la longitud del otro lado y entonces el lado menor sería el que inicialmente era el lado menor. ¿qué sucede con la medida escrita en función de k y del perímetro? La medida disminuye y el perímetro es constante. k. Proponga a los adolescentes que jueguen a variar los valores del perímetro. aclare que al variar los valores de k lo que se está haciendo es dejar fijo el otro lado del rectángulo: al disminuir el valor de k. • En la ecuación establecida. Usen la expresión algebraica que modela el problema para completar la tabla. Propuestas didácticas Área = 10k – k2 Invite a los alumnos a que definan los conceptos de área y perímetro de una figura plana. En pareja. 2 • ¿Cuál es la mayor área posible de un rectángulo con ese perímetro? 25 cm • ¿Qué patrones identifican entre los datos de la tabla? Explíquenlo. invitando a hacer siempre uso primero de la representación algebraica de la expresión cuadrática correspondiente. Escriban una expresión que represente la medida del otro lado del rectángulo en fun(20 – 2k) ción del perímetro y de k. No. ¿qué significa k? La medida de uno de los lados del rectángulo Haga notar que en el problema 5 nunca se da información sobre la longitud del lado más grande. • ¿Se puede afirmar que k representa una variable? Argumenten. • ¿Qué sucede cuando el lado k mide 10 cm o más? El área es cero o adquiere valores negativos. en función de k y del perímetro 10 – 1 10 – 2 10 – 3 10 – 4 10 – 5 10 – 6 10 – 7 10 – 8 10 – 9 Área (cm2) k(10–k) 9 16 21 24 25 24 21 16 9 • Conforme aumenta la longitud del lado k. b. Luego variarán los valores del perímetro para obtener el valor del área. resuelvan lo siguiente. Longitud de k (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Longitud del lado.1 y 9. k. 68 SMAT3LRCONAPL05-065-080. El perímetro del rectángulo que se muestra mide 20 cm y uno de los lados tiene una longitud k cm. con la información proporcionada sobre el perímetro y la longitud del lado más corto. de ahí empieza a disminuir. Si la longitud del lado k es de 8 cm. se hace más ancho. • ¿La expresión algebraica anterior es una ecuación cuadrática? ¿Por qué? Sí. • ¿Cuántos valores puede tener k? ¿El valor de k puede ser cero? Justifiquen sus respuestas. cuando usted determine el valor de k. ¿cuál es la medida de su área? 16 cm d. 2 c. porque Una vez que hayan terminado de resolver las actividades de la página. L. está elevada al cuadrado. Una infinidad. dejando fija la longitud de uno de los lados y calculando la longitud del otro lado del rectángulo para que practiquen despejes y operaciones. k a. sin embargo. el rectángulo se hace más delgado y al aumentar el valor de k. etcétera. i Socializa tus respuestas con el grupo y discute las características de una gráfica que represente una relación cuadrática como las estudiadas.25 20. edu. A = (18 + l)l i Comparen su trabajo en clase. Distancia entre el proyector y la pantalla (m) 1 2 3 Área de la imagen en m2 4 16 36 Pantalla a. R. siempre que se determina el perímetro del rectángulo y se fija el valor de uno de sus lados. Determina la expresión algebraica que modela la relación entre la distancia y el área en 2 cada uno de los momentos de la proyección de las diapositivas. sugiera a los estudiantes que recurran a los problemas que se han resuelto a lo largo de la lección. pero la restricción establece un intervalo en el cual se pueden mover estas longitudes. Escriban en el cuaderno sus conclusiones. automáticamente queda determinado el valor del otro lado del rectángulo. La medida del área de la pantalla depende de la distancia entre el proyector y la misma. ya que no pueden superar en su suma la cantidad fijada. • Determinen la expresión algebraica que permite obtener su área en términos de g. En pareja. el área de una figura geométrica. a = g(55 – g) = 55g – g2 • ¿Cuál es la mayor área posible de un rectángulo con ese perímetro? 756 cm 2 g Propuestas didácticas i Socialicen sus respuestas y discutan qué tipo de relación o función se establece entre los datos de los problemas propuestos. entonces existirán muchas más posibilidades. que se puede expresar en términos de las dimensiones del rectángulo. H = –16t2 + 8t c. Después registra los acuerdos que concluyan. Analiza la información y resuelve. 2 • Son de la forma ax + bx + c. Registra los datos faltantes en la tabla.25 2. 72.utn.frba.htm Comparte tus experiencias en clase. 12/24/13 2:37 PM Prohibida su venta 69 1/30/14 5:51 AM . utilicen el rectángulo de la página para hacer la representación algebraica correspondiente.25 Formule la siguiente pregunta: ¿Será posible expresar el perímetro de un rectángulo en términos del área?. • Los valores de la variable dependiente crecen o decrecen hasta un punto y después sucede lo contrario.ar/homovidens/ lloret/aplicaciones. Determina al menos tres características de una función cuadrática. pide apoyo al profesor.25 3. tanto la altura de un móvil. 4x 3m 2m b.indd 69 Si solamente se determina el perímetro del rectángulo y las longitudes de sus lados pueden variar. Si tienes dudas. 1m De forma análoga ocurre con el área. Distancia entre el proyector y la pantalla (m) 1.25 d. 6.e. Invítelos a ingresar a la página que se ofrece en el recuadro de Apoyo tecnológico para que se autoevalúen. A = x2 – 6x b. Analiza los ejercicios propuestos y contesta la autoevaluación 1 y 2. de manera que el área de la imagen sea de 25 m2.5 m Proyector c. como se ilustra en la imagen de la derecha. M. • Uno de los términos está elevado al cuadrado. planteen un problema que se represente con cada una de estas expresiones algebraicas y elaboren la tabla de datos correspondiente. Aplica la expresión algebraica que construiste y determina a qué distancia se debe colocar el proyector.25 4. En cuanto al Reto.indd 53 SMAT3LRCONAPL05-065-080. En este sitio podrás evaluar qué tanto aprendiste del tema estudiado. Rolando es biólogo marino y en una presentación usó un proyector de diapositivas para mostrar organismos unicelulares.sceu. El rectángulo de la derecha tiene un perímetro de 110 m y un lado de longitud g cm. en su caso. a. www. (consulta: 14 de noviembre de 2013) 53 PM3STJCONA-PL04-49-64.25 42. ya sea de las longitudes de sus dos lados diferentes o del perímetro y uno de sus lados.25 Área de la imagen en m2 6. Registren las dificultades o dudas que enfrentaron y extérnenlas para aclararlas con ayuda del grupo y del profesor. Reto Modelación matemática 1. Aclare a los adolescentes que cuando se dan dos valores del rectángulo hay restricciones y dicha figura no puede tomar cualquier valor en el conjunto de los números reales.dav. por ejemplo. 2. 04:22 p. En este caso.m.6 Propuestas didácticas Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad Contenido: Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes Recuerde a los estudiantes en qué consiste un juego de azar y en qué condiciones son justos. y en su trayectoria atraviesa la órbita de la Tierra dos veces en cada vuelta al Sol.indd 54 12/24/13 2:37 PM 1/30/14 5:51 AM . ¿cómo se calcula?. Explica por qué la medida de la probabilidad puede ser representada por una razón entre los eventos favorables y el total de eventos posibles. pero puede ser tan pequeña que para fines prácticos se considera igual a cero. la probabilidad es un número. en términos científicos. Entre Marte y Júpiter hay un cinturón de asteroides. cualquier evento que nos venga a la mente tiene una probabilidad diferente de cero.html (Consulta: 20 de octubre de 2012. ¿Cómo son entre sí las diferentes representaciones numéricas de la probabilidad de un evento? Equivalentes e.) 70 SMAT3LRCONAPL05-065-080. la respuesta es sí o no. L. ¿qué significa la medida numérica asociada al impacto del asteroide con la Tierra? La probabilidad de que suceda el evento. La investigación ha analizado 300 impactos de pequeños meteoritos ocurridos en la atmósfera desde 1994. mientras que si se pregunta sobre la posibilidad de que ocurra un evento. ¿en qué casos o ejemplos se aplica? Impacto del asteroide Apophis contra la Tierra 1. Las últimas observaciones permitieron establecer que en 2068 el asteroide se aproximará a la Tierra con tres posibilidades en un millón de hacer impacto en nuestro planeta. pudieron calcular que la probabilidad de que un asteroide impacte contra la Tierra es de uno por cada 1 000 años. Información complementaria c. 04:04 p. con ejemplos.asp?i=4137 (Consulta: 20 de octubre de 2012. Pida que den ideas sobre los diferentes factores que pueden afectar en la trayectoria del asteroide. pregunte a los estudiantes por qué se habla de probabilidad al considerar la posibilidad de que el asteroide Apophis se impacte contra nuestro planeta.com/ciencia/miscelanea/articulo.net/Una-nueva-investigacion-eleva-a-1-000-anos-la-probabilidad-de-choquecon-un-gran-asteroide_a58. formule preguntas como: ¿qué es la probabilidad?. Fuente: www. Explique al grupo que. Luego ponga a discusión el concepto de probabilidad. todos los eventos son posibles. Fuente: www. Lee la información y resuelve lo que se solicita. En otra investigación realizada con el apoyo de satélites militares. Esta aclaración les mostrará la diferencia entre los conceptos de probabilidad y posibilidad. R. En relación con el punto 1. ¿Entre qué números es posible representar la probabilidad de que se impacte el asteroide Apophis contra la Tierra? Justifica tu respuesta.tecnologiahechapalabra. es decir. Cálculos realizados con base en nuevas técnicas y datos actualizados demuestran que la probabilidad de choque del asteroide Apophis con la Tierra en 2036 es cinco veces menor que la que se estimaba antes.) El asteroide Apophis tiene un periodo orbital de 323 días. 0 y 1 b. afirmaron Steve Chesley y Paul Chodas. Complementarios. científicos del Jet Propulsion Laboratory de la Agencia Aeroespacial Norteamericana (NASA).m. 1000000 Un asteroide es una roca que puede contener metales y hielo.tendencias21.indd 70 Prohibida su venta 54 PM3STJCONA-PL04-49-64. a. mutuamente excluyentes e independientes Científicos reducen la probabilidad de impacto del asteroide Apophis contra la Tierra en 2036. d. ¿Qué formas numéricas permiten representar la probabilidad de que ocurra un evento? 3 Escríbelas usando el fenómeno descrito. ya que no se puede tener certeza de si ocurrirá. es más pequeño que un planeta y orbita alrededor del Sol. PPP Formule preguntas como: ¿Es la misma probabilidad la que se obtiene si Joshua devuelve las cartas a la bolsa. L. cada vez que extrae una carta. L. Resuelvan en pareja lo siguiente. ¿Cuáles son los resultados posibles que obtendrá Joshua al realizar el experimento con las tres cartas? Expliquen su respuesta. i Analicen en grupo sus respuestas y argumentos. al realizar el experimento de extraer tres cartas de una bolsa oscura para predecir si saldrá con cara posterior o delantera. sin regresar las cartas a la bolsa. se debe tomar en cuenta que las condiciones sean las mismas para cada objeto. DPD. Pida a los adolescentes que incluyan las filas que consideren necesarias en la tabla para que queden expresados todos los resultados o eventos posibles del experimento. Obtén la probabilidad de que choque un asteroide contra la Tierra. En grupo. 55 PM3STJCONA-PL04-49-64. ¿Son los mismos? R. Ocho posibles resultados: DDD. la otra sería con una modificación sutil: Joshua. que si no lo hace? ¿Qué está cambiando en el resultado del experimento? Permita que los alumnos den todo tipo de ideas y anote en el pizarrón las que considere relevantes y que aporten a la discusión que más adelante se dará sobre los eventos complementarios. Esto lo realiza tres veces. como el planteado en el punto 2. DPP. una sería la planteada en el punto uno. DDP. c. Escala de probabilidad Cara posterior (P) 2. solicite a los jóvenes que expliquen con sus propias palabras el significado de un espacio muestral. Joshua realizará un experimento que consiste en extraer tres cartas iguales de una bolsa oscura y predecir si saldrá la cara delantera (D) o la posterior (P). Compara la probabilidad anterior con la probabilidad de que el asteroide Apophis colisione contra la Tierra. la vuelve a meter dentro de la bolsa. Se denota con la letra S. la coloca sobre una mesa cubriéndola con la palma de la mano.indd 71 12/24/13 2:37 PM Prohibida su venta 71 1/30/14 5:51 AM .f. espacio muestral. Es el conjunto de todos los resultados o eventos posibles de un experimento aleatorio.001 g. son del mismo material y tienen el mismo grosor. PPD. La baraja inglesa es un conjunto formado por 52 naipes o cartas. b. PDP.indd 55 SMAT3LRCONAPL05-065-080. Para ello. de modo que la probabilidad de sacar alguna de ellas es la misma. mutuamente excluyentes e independientes. Una vez que hayan dado lectura al recuadro del glosario que aparece en el libro. PDP. R. realicen los ajustes necesarios a su explicación y registren en el cuaderno sus conclusiones. Cuando se realiza un experimento. L. L. Este último. ¿Qué evento es más probable que ocurra? Justifica tu respuesta. Reflexiona sobre cómo podrías representar la probabilidad de que ocurran dos eventos distintos para poder compararlos. PDD. ¿Qué hicieron para tener la respuesta? R. a. Comenten lo que saben o lo que crean que significa la escala de la probabilidad de un evento y cómo se representa. 0. que un asteroide se impacte contra la Tierra. Carta 1 D D Carta 2 Carta 3 D D P D P P P Resultado del experimento DDD DDP PPP • Contrasten los resultados de la tabla con los que respondieron en el inciso a. Propuestas didácticas h. toma una carta de la bolsa y. Elaboren conclusiones y registren sus acuerdos. i Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. sin verla. después observa la cara obtenida. • ¿Qué evento tiene mayor probabilidad de ocurrir? Dos cartas iguales • ¿Cuál tiene menos probabilidad de ocurrir? Tres cartas iguales • ¿Cómo explicarían a una persona la forma de determinar y representar el espacio muestral del experimento anterior? R. Completen en el cuaderno una tabla como la que se muestra para determinar el espacio muestral del experimento anterior. Cara delantera (D) Ponga a discusión dos situaciones similares pero que conducen a resultados diferentes. en el caso de las cartas estamos partiendo de que todas tienen el mismo tamaño. L. No.375 37.5% 0. ¿cuál tiene mayor probabilidad de ocurrir? Dos caras iguales • ¿Cuáles tienen la misma probabilidad de ocurrencia? Tres caras iguales • ¿Alguno de ellos es un evento imposible? Justifiquen su respuesta.5% 0. • ¿Qué sucede si la probabilidad de ocurrencia es 1? Que es seguro que suceda el evento. Abra un espacio para que las parejas compartan sus dudas con el resto del grupo y permita que sean los propios compañeros quienes las despejen. con ayuda del profesor. 0 y 1 • ¿Qué significa que la ocurrencia de un suceso sea cero? Que no es parte del espacio muestral. Determinen la probabilidad de que ocurran los eventos de la tabla. R. d. cuya probabilidad sea igual a uno y otros cuya probabilidad sea igual a cero. Dos caras delanteras Con respecto al inciso b. • ¿Es posible que la probabilidad de un suceso aleatorio sea mayor que 1 o menor que cero? Argumenten su respuesta. 2 .125 12. Ninguna cara delantera Tres caras posteriores Tres caras delanteras Invite a los jóvenes a proponer otros eventos. 1 8 3 8 • ¿Qué escala utilizaron? ¿Entre qué números se puede definir la probabilidad de que ocurra un evento? Expliquen su respuesta. al realizar el experimento.375 37. Aclare al grupo que cuando se habla de la ocurrencia segura de un evento se está garantizando que el evento ocurrirá.indd 72 Prohibida su venta 56 PM3STJCONA-PL04-49-64. Reflexionen lo siguiente y respondan en su cuaderno. porque solo hay dos posibles eventos. siempre bajo la guía de usted. Ubiquen en la recta numérica la probabilidad de cada evento de la tabla. Sí. lo que equivale a decir que la probabilidad de que ocurra es igual a uno. No. Después.125 12. Sigan trabajando en pareja para hacer lo que se indica. porque solo puede suceder • ¿Es posible que. respondan en su cuaderno. Formule el siguiente planteamiento: Si un evento se considera imposible. 72 SMAT3LRCONAPL05-065-080. Si hay dudas. diferentes a los que aparecen en la tabla del inciso a.3.5% 0.125 12. dos caras amarillas porque no hay caras amarillas. Propuestas didácticas Probabilidad del evento Fracción común Dos caras posteriores 1 8 1 8 1 8 1 8 3 8 3 8 Dos caras amarillas 0 Ninguna cara posterior Pida al grupo que expliquen en qué consiste un experimento aleatorio y pregunte por qué consideran que extraer de una bolsa cartas de una baraja inglesa es un experimento aleatorio. lo que se está preguntando es el intervalo numérico en el cual se pueden asignar valores a la probabilidad correspondiente de que ocurra cada uno de ellos.5% 0 0 • De los eventos anteriores. c. b. • ¿Por qué en un experimento aleatorio dos o más eventos posibles no pueden ocurrir al mismo tiempo? Porque la ocurrencia de un evento no permite que suceda el otro. ¿cuál es la probabilidad de que ocurra dicho evento? • ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una sola carta. de acuerdo con el experimento anterior. de modo que la probabilidad correspondiente es de 100%. Justifiquen su registro. la cara sea posterior o 1 delantera? Argumenten su respuesta.5% 0. Expresión decimal Porcentaje 0.5% 0. el resultado de una carta sea cara delantera y cara posterior al mismo tiempo? Expliquen su respuesta. i Socialicen sus resultados. cuando se pregunta sobre la escala utilizada al ubicar en la recta numérica la probabilidad de cada evento.indd 56 12/24/13 2:37 PM 1/30/14 5:51 AM . y completen los espacios. a. L. Escriban en su cuaderno tres eventos de ocurrencia segura y tres imposibles. Validen sus acuerdos con la siguiente información. uno de los dos eventos. coméntenlas en grupo para solucionarlas.125 12. R. Cuando se realiza un experimento aleatorio, la medida de ocurrencia de un suceso A se llama probabilidad de A y se representa como P(A). La probabilidad de que ocurra un evento es igual al cociente del número de eventos favorables entre el total de eventos posibles. Por ello, la escala de medida de un suceso siempre está comprendida entre 0 y 1. Propuestas didácticas Es un evento seguro el que está formado por todos los posibles resultados, es decir, por el espacio muestral. Obtener sol o águila al lanzar una moneda es un suceso seguro. Un evento imposible es aquel que no tiene ningún elemento dentro del espacio muestral. Tirar un dado y obtener 7 es un evento imposible. Elija a uno de los estudiantes para que dé lectura de la información que aparece en el texto azul al inicio de la página y coméntenla para que queden claros los conceptos. Complementarios y mutuamente excluyentes 4. Resuelvan en equipo las siguientes actividades. Antes de resolver las actividades planteadas en el punto 4, ponga a discusión qué les sugieren los conceptos de eventos complementarios y mutuamente excluyentes. Pida a los estudiantes que los definan usando sus propias palabras. Anote en el pizarrón las ideas que considere más importantes, las más significativas y las que aporten a la discusión. a. Determinen el espacio muestral de lanzar un dado y una moneda al mismo tiempo. • S = { (S, 1), (S, 2), (S, 3), (S, 4), (S, 5), (S, 6), (A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6) } b. Considerando el espacio muestral, escriban los datos faltantes en la tabla. Evento o suceso Resultados posibles del evento A: Cae un número par y sol. A = {(2, S), (4, S), (6, S)} B: Cae un número par y águila B = {(2, A), (4, A), (6, A)} C: Cae un número mayor que 3 y águila. C = { (4, A), (5, A), (6, A) } D: Cae número impar y sol. D = { (1, S), (3, S), (5, S) } E: Cae un número menor que 4 y águila E = {(1, A), (2, A), (3, A)} F: Cae número mayor que 3 y sol F = {(4, S), (5, S), (6, S)} Haga notar a los jóvenes que se utilizan corchetes { } para encerrar los resultados posibles del suceso, y como se está utilizando un dado y una moneda, la pareja de resultados que se obtienen cada vez que se realiza el experimento, se escriben dentro de un paréntesis redondo, ( ), separados entre sí por una coma. Esta es la notación con la que se deben familiarizar pues será la que utilizarán al trabajar con probabilidades, resultados posibles, espacio muestral, etcétera. Probabilidad P(A) = 3 12 3 P(B) = 12 3 P(C) = 12 3 P(D) = 12 3 P(E) = 12 3 P(F) = 12 Pregunte al grupo cuál es la diferencia entre cuestionar ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran los eventos A o F? y ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran los eventos C y E? Permita que den sus ideas, después aclare que al utilizar "o", se excluye uno de los eventos, es decir, o sucede uno o sucede el otro, pero no los dos a la vez, mientras que cuando se utiliza "y", se está refiriendo a que sucedan ambos a la vez, es decir, simultáneamente. • Comparen los eventos A y F; ¿tienen elementos en común? ¿Qué los hace diferentes? Sí, (4, S) y (6, S). Tienen un elemento diferente (2, S) y (5, S). 4 • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o F? Expliquen su respuesta. 12 porque tienen dos eventos comunes y dos diferentes. • ¿Pueden darse al mismo tiempo los eventos F y E? ¿Cuál es la probabilidad de que 6 ocurra uno u otro? Justifiquen sus respuestas. No. 12 porque son mutuamente excluyentes. • ¿Pueden darse al mismo tiempo los eventos A y B? Argumenten. No, porque son mutuamente excluyentes. c. Si se tienen los eventos: H = {(1, S), (2, S), (3, S)} y G = {(4, A), (5, A), (6, A)}, ¿pueden darse al mismo tiempo ambos? Expliquen su respuesta. No. R. L. • ¿Qué significado pueden asociar al hecho de que dos eventos tengan elementos comunes? ¿Y al hecho de que dos eventos no tengan elementos comunes? Que pueden ocurrir al mismo tiempo o no. i Socialicen sus conclusiones con el grupo. Investiguen y comenten lo que entienden por eventos mutuamente excluyentes y registren sus acuerdos. 57 PM3STJCONA-PL04-49-64.indd 57 SMAT3LRCONAPL05-065-080.indd 73 12/24/13 2:37 PM Prohibida su venta 73 1/30/14 5:51 AM 5. Analicen las situaciones y resuélvanlas en pareja. a. Determinen la probabilidad de los eventos J y K. J = {(1, S), (2, S), (3, S), (4, S), (5, S), (6, S)} Propuestas didácticas K= {(1, A), (2, A), (3, A), (4, A), (5, A), (6, A} 1 1 • P(J): 2 • P(K): 2 • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el evento J o K? 1 Invite a un voluntario para que lea en voz alta la información que aparece en el texto de color azul. b. Consideren los eventos A, B y C, al lanzar un dado, y determinen su probabilidad. A = {1, 2} Para aclarar cómo se calcula la probabilidad de dos eventos que son mutuamente excluyentes, plantee otra situación sencilla, por ejemplo, al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que caiga un número par o un número impar? Naturalmente, al caer una de las caras del dado, no puede ocurrir que el número que salga sea al mismo tiempo par que impar, esto será obvio, de modo que se trata de eventos que son mutuamente excluyentes, y puesto que se está considerando que suceda uno u otro, lo cual siempre ocurre porque no hay otra posibilidad, entonces la probabilidad es la suma de cada uno de los eventos, en este caso 12 + 12 = 1, lo cual es lógico, ya que la probabilidad de que salga un número par o impar en el dado son eventos complementarios. 1 3 B = {3, 4} 1 • P(C): 3 • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A, el B o el C? 1 • P(A): • P(B): C = {5, 6} 1 3 i Socialicen sus argumentos. Una vez establecidas sus conclusiones, discutan la siguiente información para complementarlas. Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir en forma simultánea. Por ejemplo, cuando al lanzar un dado y una moneda: el evento E = {(1, A), (2, A), (3, A)} no puede ocurrir al mismo tiempo que el evento F = {(4, S), (5, S), (6, S)} y viceversa. Cuando dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de uno u otro es igual a la suma de ambos. Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes, para calcular la probabilidad de que suceda uno u otro se suman las probabilidades y al resultado se le resta la probabilidad del evento común; por ejemplo, como ocurrió en la tabla de la página anterior: Dos eventos o más se denominan complementarios cuando su unión da el espacio muestral y la suma de sus probabilidades es 1. Ahora bien, cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes, significa que pueden ocurrir simultáneamente pero no indica que deban ocurrir siempre a la vez, solo que existe la posibilidad de que eso suceda. Esto es algo que debe quedar bien claro para los estudiantes. c. Retomen los datos de la tabla de la página anterior y determinen cuáles son mutuamente excluyentes, cuáles no, y calculen la probabilidad en cada caso. 4 no son 6 • P(B o C) = 12 • P(D o E) = 12 sí son Realice diferentes ejercicios con los alumnos sobre calcular la probabilidad cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes, y que, con base en el espacio muestral, ellos mismos lo escriban. Al elegir los resultados posibles, obtendrán la probabilidad correspondiente, misma que calcularán además utilizando la fórmula que se explica en el libro y que compararán para verificar que los resultados son los mismos. 6 sí son • P(A o E) = 12 6 • P(B o F) = 12 sí son d. Ahora escriban cuatro experimentos que dependan de la probabilidad. En cada caso debe haber un ejemplo de eventos mutuamente excluyentes y uno de eventos complementarios. Si es necesario, construyan la tabla en su cuaderno. R. L. Experimento Espacio muestral Eventos mutuamente excluyentes Eventos complementarios i Socialicen en clase sus propuestas. Sustenten con argumentos cada caso. Si hay dudas, coméntenlas con el profesor y lleguen a un consenso de grupo. 74 SMAT3LRCONAPL05-065-080.indd 74 Prohibida su venta 58 PM3STJCONA-PL04-49-64.indd 58 12/24/13 2:37 PM 1/30/14 5:51 AM Eventos independientes 6. Lee la información y resuelve en tu cuaderno. a. En un juego, se lanzan cuatro volados consecutivos y en todos ellos cae sol. • ¿Cuál es la probabilidad de que en el quinto volado también caiga sol? Argumenta. 1 2 • ¿Los resultados de los cuatro primeros eventos afectan el resultado del quinto? Justifica tu respuesta. No, porque son independientes. • ¿Cuál es el espacio muestral de cada volado? {S, A} • ¿La probabilidad de ocurrencia de un evento influye en la probabilidad de que suceda nuevamente al repetir el experimento n veces? Argumenta. No, porque son eventos independientes. b. En una urna se tienen cinco fichas: una verde, una amarilla, una azul, una negra y una roja. Sin ver se saca una ficha... Propuestas didácticas Volado, juego de azar que consiste en predecir qué lado de una moneda caerá cara arriba. • si se extrae la ficha negra y no se regresa a la urna, ¿cuál es la probabilidad de sacar la ficha verde en la segunda extracción? Explica tu respuesta. ¿Este resultado se ve . Sí. Porque aumenta su probabilidad, porque disminuye el número afectado por la primera extracción? ¿Por qué? 1 4 de fichas en la urna. • si se extrae la ficha negra y se regresa a la urna y en la segunda extracción sale la ficha azul y se regresa, y en una tercera nuevamente sale la negra, ¿qué probabilidad hay de sacar la ficha amarilla en una cuarta extracción? 1 5 • ¿Esta probabilidad se ve afectada por los resultados anteriores? Justifica. No, porque regresan las fichas a la urna. i Socializa en grupo tus argumentos y compáralos con la siguiente definición. Son eventos independientes cuando la probabilidad de ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia de otro. En el caso de la urna, el hecho de extraer y regresar una ficha no afecta el resultado de la siguiente toma; la probabilidad de cada evento sigue siendo la misma. i En grupo, registren en el cuaderno sus conclusiones y valídenlas con el profesor. Reto Tres tipos de eventos aleatorios 1. En pareja, señalen en cada caso qué tipo de eventos corresponden y por qué. a. Experimento: Lanzamiento de un dado y dos monedas • Evento B = {2, sol, sol} • Evento C = {4, águila, águila} • Los eventos: son mutuamente porque no tienen eventos comunes. excluyentes b. Experimento: Lanzamiento de tres monedas: • Evento B = {S, S, S} • Evento C = {S, A, A} no son mutuamente • Los eventos: porque tienen eventos comunes. excluyentes 2. Planteen un problema en el que se tenga que identificar la escala de probabilidad de un suceso aleatorio; tal como se estudió con el impacto del asteroide Aphopis contra la Tierra. i Discutan en grupo sus experiencias. Registren las dificultades o dudas que encontraron y pidan ayuda de su profesor para aclararlas. PM3STJCONA-PL04-49-64.indd 59 Analice junto con el grupo situaciones en las que los eventos son independientes y contrástelos con ejemplos de situaciones en las que los eventos no lo sean, por ejemplo, en el experimento de lanzar un dado y que si no cae 5, se vuelva a lanzar; la pregunta sería: ¿cuál es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento caiga el 5? Explique que la probabilidad no cambia, ya que no afecta qué número haya salido en el primer lanzamiento, en cualquier cantidad de lanzamientos que se hagan la probabilidad de que salga el 5 es siempre la misma, por tanto, tenemos eventos independientes porque el resultado de uno no afecta el resultado del otro. Otro ejemplo que puede poner es el de colocar canicas de colores dentro de una urna, se extrae una de un color, se devuelve y se vuelve a sacar otra canica; en este caso, si se pregunta la probabilidad de extraer una canica de un cierto color, la probabilidad no cambia por haber sacado una canica de cualquier color, se trata también de eventos independientes siempre y cuando la canica extraída se regrese a la urna. Solo si la canica no se regresa a la urna, entonces sí afectará al segundo resultado, ya que el número de canicas cambia y la probabilidad será diferente según el color que haya salido en la extracción, en estos casos se trata de eventos que no son independientes. En este sitio podrás aplicar lo estudiado al interaccionar con el recurso: www.telesecundaria. dgme.sep.gob.mx/ interactivos/2_ segundo/2_ Matematicas/2m_b04_ t04_s01_descartes/ TS_2_index_05_04.html En la página siguiente, revisa los conceptos que se enuncian y realiza las actividades. Analiza los ejemplos para saber resolver los ejercicios. www.amschool.edu. sv/paes/e6.htm Comparte tus experiencias en clase y, si hay dudas, pide apoyo al profesor. (consulta: 14 de noviembre de 2013) 59 SMAT3LRCONAPL05-065-080.indd 75 Antes de pedir al grupo que realicen las actividades de la página, pídales que expliquen qué les sugiere el título Eventos independientes, y que pongan ejemplos de experimentos en los cuales consideren que dos eventos son independientes. 12/24/13 2:37 PM Prohibida su venta 75 1/30/14 5:51 AM 7 Propuestas didácticas Diseño y análisis de una encuesta Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos Contenido: Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación Inicie la clase formulando preguntas como: ¿Qué es una encuesta?, ¿una encuesta es un experimento?, ¿cuál es la diferencia entre encuesta y experimento?, ¿para qué sirven las encuestas?, ¿qué tipos de encuestas conocen?, ¿cuál ha sido la población de estudio?; ¿alguna vez han realizado alguna encuesta?, en su caso, ¿con qué finalidad y cuál fue la población de estudio? ¿Qué es un muestreo?, ¿cómo se elige un muestreo? Permita que den todo tipo de ideas y opiniones y si han tenido experiencias con encuestas, abra un espacio para que las compartan con el resto del grupo. La Profeco y la importancia de las encuestas 1. En equipo lean la información y respondan las preguntas en su cuaderno. R.L. a. México es el segundo país de Latinoamérica que cuenta con una Ley Federal de Protección al Consumidor y el primero en crear una procuraduría del consumidor: la Profeco. Una de las funciones de la Profeco es difundir, para conocimiento de los consumidores, los resultados de encuestas y sondeos que realiza sobre diferentes productos. • ¿Qué tipo de encuestas piensan que aplica la Profeco? • ¿A qué tipo de público o personas consideran que encuesta la Profeco? • ¿Han participado o han sido encuestados? Si es así, describan su experiencia; en caso de que no, comenten en qué tipos de encuesta les gustaría participar. • ¿Cuál es la utilidad de realizar encuestas y sondeos? Discutan la función de la Profeco y comente a los estudiantes sobre la ley de protección al consumidor, ya que tiene derechos y es conveniente conocerlos para hacerlos valer, sobre todo cuando se presentan situaciones de abuso del comerciante. b. México cuenta con una gran variedad de productos. Por eso, ante tantas opciones, algunas personas buscan información en encuestas para elegir qué comprar. Por ejemplo, en 2012, la Profeco realizó una encuesta sobre hábitos de renovación tecnológica con respecto de la telefonía celular. Explique que en una encuesta, a diferencia de un experimento, el investigador no modifica el entorno ni controla el proceso que está en observación, aunque en ambos se recaudan datos y son parte de un estudio. Ponga a discusión en grupo si en un experimento es válido formular preguntas a personas que se consideran parte del mismo experimento y solicite que den ejemplos en los que las preguntas tienen lugar dentro de un experimento. aleatorio. Se dice que un evento es aleatorio cuando no es posible predecir o anticipar su comportamiento. • ¿Quiénes pueden tener interés en los resultados de este estudio? • ¿Qué tipo de preguntas creen que se plantearon? Propongan algunas. • ¿Cuántas personas sería necesario encuestar para tener información suficiente y darla a conocer? Expliquen su respuestas. i Comenten en grupo acerca del tipo de encuesta que podrían realizar en la escuela y sus características. Registren sus acuerdos en su cuaderno. 2. Reúnete con un compañero, analicen la información de la tabla y la de la siguiente págiR.L. na y resuelvan. En la tabla se enlistan algunos criterios que consideraron en la encuesta de la Profeco. Objetivo Población objetivo Periodo de referencia Datos de la muestra Identificar los hábitos de renovación y compra de nuevas tecnologías para teléfonos celulares. Personas mayores de 18 años que viven en el Distrito Federal y que hayan comprado en el periodo de referencia al menos un teléfono celular. Del 18 al 28 de enero de 2012 Se aplicó un cuestionario estructurado de 144 preguntas a 663 personas en 17 puntos de afluencia en 13 de las 16 delegaciones políticas del Distrito Federal. Los puntos, como los entrevistados, fueron seleccionados aleatoriamente. Los resultados reportan 95% de confianza y 4% de error. Fuente: www.Profeco.gob.mx/encuesta/mirador/2012/E_renov_tec_telefonia.pdf (consulto: 10 de abril de 2013) 76 SMAT3LRCONAPL05-065-080.indd 76 Prohibida su venta 60 PM3STJCONA-PL04-49-64.indd 60 12/24/13 2:37 PM 1/30/14 5:51 AM Un cuestionario estructurado es una lista de preguntas elaboradas previamente, las cuales siguen un orden que no se altera. Un cuestionario semiestructurado se basa en una lista de preguntas elaboradas, pero con la diferencia de que se pueden cambiar o reestructurar. a. Analicen y discutan qué características se consideraron en la encuesta de la Profeco y respondan. Propuestas didácticas • ¿Por qué es necesario que una encuesta tenga un objetivo? Proponga a un alumno para que lea la información que aparece en el texto de color azul que aparece al inicio de la página y coméntenla entre todos con la finalidad de que el contenido quede claro. • Por el tipo de encuesta, ¿importa el género de los encuestados? ¿Por qué? • ¿Qué ventajas o desventajas puede tener un cuestionario estructurado en comparación con uno semiestructurado? En el inciso a, se pregunta por qué es importante que una encuesta tenga un objetivo; una vez que lo respondan, incluya la pregunta de cuál consideran que sería el interés del objetivo de la encuesta realizada planteada en la página anterior. • ¿Por qué no se consideró encuestar a menores de 18 años? • ¿Por qué se usa el título de “Población objetivo”? Haga notar a los estudiantes que los resultados suelen expresarse en términos de porcentajes y explique que reportar el porcentaje de error estimado es de suma importancia, ya que da información sobre la confiabilidad de los resultados. Pregúnteles si consideran que una encuesta en la que se estimó una confiabilidad de 50% es representativa y por qué. • Reflexionen: ¿por qué se considera un periodo para aplicar la encuesta? ¿Qué sucede si no se cuenta con él? b. Lean la información de la columna “Datos de la muestra” y contesten en su cuaderno. • ¿Por qué piensan que eligieron puntos de afluencia aleatoriamente? Expliquen. • Reflexionen: ¿qué sucedería con los resultados si la población objetivo fuera de otra entidad, cambiarían los resultados? ¿Por qué? • ¿Cuál es la relación que puede establecerse entre “población” y “muestra”? • ¿Qué significa tener 95% de confianza y 4% de error? Información complementaria c. En seguida se muestran algunos de los resultados de la encuesta anterior. Con base en estos, respondan en su cuaderno Existen diferentes tipos de encuestas, por ejemplo, las encuestas descriptivas sirven para saber en qué situación o en qué condiciones se encuentra una determinada población. Las encuestas analíticas ayudan a explicar por qué la población en cuestión se encuentra en la situación hallada por la encuesta descriptiva. Las encuestas se pueden aplicar por medio de llamadas telefónicas, por correo o personalmente. • La mayoría (63%) de los encuestados contestó que compró teléfonos celulares; el que más adquirieron fue el aparato convencional. • La razón principal por la que compraron un teléfono celular la última vez fue por renovar tecnología. • Antes de realizar su compra solicitaron información con el vendedor. • Con el teléfono celular realizan principalmente dos actividades: efectuar llamadas y enviar mensajes. • ¿Qué preguntas creen que hicieron para obtener las respuestas anteriores? Propongan una para cada resultado. • Si fueran encuestados, ¿qué tipo de preguntas les gustaría responder? • ¿Usarían los datos de la encuesta para comprar un teléfono celular? Argumenten. • Si aplicaran una encuesta, ¿cómo organizarían la información obtenida para darla a conocer? ¿Qué información matemática usarían en su estudio? d. Escriban los elementos por considerar en el diseño de una encuesta y las condiciones que se requieren para llevarla a cabo. i Socialicen sus respuestas. Analicen si en una encuesta es importante contemplar la calidad del producto, en este caso, del celular; su precio, el modelo, entre otros. Registren sus conclusiones. 61 PM3STJCONA-PL04-49-64.indd 61 SMAT3LRCONAPL05-065-080.indd 77 12/24/13 2:37 PM Prohibida su venta 77 1/30/14 5:51 AM Renovación tecnológica en equipos de cómputo 3. En equipo lean la información y respondan. Resuelvan en el cuaderno. a. Los datos que se muestran son resultados de una encuesta sobre la renovación de equipos de cómputo. Propuestas didácticas • El 50.5% de los entrevistados dijo que compró algún equipo de cómputo. • La característica más importante tomada en cuenta al comprar el equipo de cómputo fue su funcionamiento. • Los entrevistados mencionaron que sí compararon las características de otras marcas y modelos en diferentes tiendas, como los precios, antes de comprar. • Las formas de pago para este artículo fueron en orden de importancia: de contado y a meses sin intereses con tarjeta bancaria o de tienda comercial. • Los principales puntos de compra de los equipos de cómputo fueron tiendas de autoservicio y departamentales. • Con los equipos de cómputo realizan principalmente dos actividades: usar paquetería para realizar tareas y trabajos y navegar por Internet. • ¿Qué herramienta matemática es conveniente utilizar para representar los datos del primer aspecto que se menciona? Expliquen por qué. • ¿Qué preguntas se pueden plantear con los resultados mostrados? Propongan algunas en su cuaderno. Pida a los alumnos que analicen las gráficas que aparecen en el inciso b; ayúdeles formulando preguntas como: ¿Qué tipos de gráficas observan?, ¿qué se está representando en cada una de ellas?; ¿qué diferencia hay entre la gráfica que aparece en la parte superior derecha y las dos gráficas que están al final de la página?; ¿qué porcentaje total esperan que sumen los porcentajes de cada una de las gráficas?, ¿por qué?; ¿cuánto suman los porcentajes en cada una de las gráficas?; ¿para qué creen que en la gráfica que se encuentra en la parte superior derecha se representan los porcentajes correspondientes a la respuesta sí, seguida del porcentaje que representa la respuesta no?; ¿cuánto suman los porcentajes de cada una de las parejas de barras de color azul y rojo? Información complementaria b. Asocien el tipo de representación gráfica con los datos del inciso a. La gráfica de pastel Características consideradas para la compra Las gráficas de barras se pueden representar con las columnas horizontales o verticales. Sus longitudes o alturas ayudan a comparar y contrastar los valores representados. En una gráfica de doble barra se representan dos conjuntos de datos que están relacionados entre sí y que se quieren contrastar. ¿Comparó entre diferentes marcas y modelos antes de comprar? Tablet Funcionamiento 50.1% Diseño exterior 20.9% Las gráficas circulares, o también conocidas coloquialmente como gráficas de pastel, muestran el tamaño proporcional de los datos obtenidos de un cierto estudio, generalmente tomando como unidad al círculo completo. Son de gran utilidad cuando se quiere resaltar algún valor de un dato relevante. Notebook Marca 12.5% Otros 2.1% Tipo de tiendas donde realizó la compra del equipo de cómputo 78 SMAT3LRCONAPL05-065-080.indd 78 Prohibida su venta 12.8% 4.9% 3.0% 1.8% 1.8% 0.9% 0.6% 0.3% 0.3% 0.3% Laptops Computadoras Precio 14.4% Tienda departamental Tienda de autoservicio Tienda especializada Papelerías de cadena Mueblería tradicional y de cadena Clubes de precios Amigo o familiar Feria de la computación En internet Se lo vendió la compañía en que trabaja En otro país Casa de empeño Puestos ambulantes Netbook No, 30.8% Sí, 69.2% Sí, 71.4% No, 28.6% Sí, 77.8% No, 22.2% Sí, 85.1% No, 14.9% Sí, 76.3% No, 23.7% Actividades más importantes para las que compró su equipo de cómputo (porcentaje del número de menciones, respuesta múltiple) 25.9% Usar paquetería (para realizar tareas y trabajo) 25.3% Navegar por Internet (consultas, bajar música, etc.) 22.0% Entrar a redes sociales (Facebook, Twiter, Hi5, MySpace, etc.) Consutar su correo Para jugar videojuegos Edición de video y audio Usar el quemador No sabe No contestó Hacer videollamadas Fue para regalo 49.0% 37.1% 6.6% 3.7% 1.5% 0.7% 0.4% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 62 PM3STJCONA-PL04-49-64.indd 62 12/24/13 2:37 PM 1/30/14 5:51 AM analicen las tablas y respondan. R. etcétera. Después registren una conclusión acerca de cuáles son las herramientas matemáticas adecuadas para presentar información obtenida en una encuesta. se recaban los datos con distinto procedimiento. Se considera que debe ser al menos 10% de dicho grupo. L. Consideren la información que se presenta en seguida. • Expliquen con sus propias palabras qué entienden por mediciones cuantitativas. 4. Expliquen en su cuaderno las características de cada gráfica y las ventajas o desventajas de usarlas para representar los datos de una encuesta. aunque evidentemente las preguntas no se hacen a esas poblaciones: en esos casos. mediciones u observaciones.indd 63 SMAT3LRCONAPL05-065-080. Muestra: es una parte representativa de la población específica de la que interesa conocer su opinión. Pueden usar una tabla: R. si se quiere estudiar los tipos de árboles frutales que se dan en cierta región del país. o si se quiere estudiar la fauna que habita en un bosque de niebla.c. En grupo. • ¿Qué conclusión pueden obtener de los datos de la tabla? R. Lean en pareja la información. M. no necesariamente se está haciendo referencia a personas. • ¿Cuál es el total de la población? 508 • ¿Cómo obtendrían una muestra representativa de la población? R. etc. Una encuesta se efectúa.. i Socialicen sus dudas o dificultades con la finalidad de solucionarlas. a. se hace un muestreo de la población total de árboles frutales. Encuesta: es una técnica cuantitativa que consiste en realizar una investigación sobre una muestra de sujetos que representa a un grupo o población específica. también se practica un muestreo de la población animal. Pregunte a los jóvenes a qué se refiere la definición de encuesta cuando se habla de una técnica cuantitativa. etcétera. utilizando procedimientos de interrogación para conseguir mediciones cuantitativas sobre una cantidad de características de la población. 63 PM3STJCONA-PL04-49-64. por ejemplo. d. si se quiere estudiar una población de un millón y medio de habitantes. Aclare al grupo que cuando se hace referencia a una población. y qué diferencia habría entre una técnica cualitativa y una técnica cuantitativa. Establezca poblaciones en términos numéricos para preguntar de cuántos integrantes como mínimo debe ser la muestra. Calculando 10% de la población.° de secundaria y se obtuvieron los siguientes datos: Hombres Horas de lectura Mujeres Horas de lectura 100 1 h 15 min 145 1 h 22 min 78 1 h 45 min 90 1 h 52 min 50 2 h 10 min 45 2 h 15 min En relación con lo planteado en el punto 4. L. Los directores de una escuela preguntaron la cantidad de horas promedio que leen los alumnos de 3. Por ejemplo. Población: se trata de un conjunto de elementos sobre los cuales se realizan estudios. lean en voz alta la información y realicen lo que se indica. • Determinen al menos tres características de una encuesta. i Socialicen sus respuestas y lleguen a acuerdos en función de las ideas expresadas. en el contexto de la vida cotidiana. • • • • Tipo de escala Otras características Ventajas de su uso en la representación de datos Desventajas de su uso en la representación de datos Propuestas didácticas Den lectura en voz alta a la información que aparece en color azul y formule preguntas al grupo sobre las definiciones de los tres conceptos para verificar si están claros entre los estudiantes. minerales. pregunte a los alumnos por qué creen que se representaron separados los datos de hombres por un lado y de mujeres por otro. L. ¿cuántos habitantes como mínimo se considerarán en la muestra?.indd 79 12/24/13 2:37 PM Prohibida su venta 79 1/30/14 5:51 AM . un tipo de árboles. sino que también puede referirse a animales. i Presenten al grupo el plan de acción de su encuesta. la complica o la hace confusa. edad. etcétera. a. con base en esto. Luego. 6. Explique a los estudiantes que en algunas ocasiones es conveniente no colocar muchos datos en la gráfica con la finalidad de no saturarla de texto y números que. inciso a. R. R. Propuestas didácticas • ¿Cuáles son las expectativas de un alumno al concluir el tercer grado de secundaria? • ¿Cuáles son los intereses o gustos de un estudiante de secundaria? • ¿Cuáles son las diferencias entre un alumno de secundaria y uno de educación media superior? Plantee al grupo la actividad del punto 5. posteriormente.indd 80 Prohibida su venta 64 PM3STJCONA-PL04-49-64. ¿Qué voy a hacer con los datos? Organizar los datos y obtener resultados. inclúyanlo. organice al grupo en equipos de 3 o 4 integrantes para realizar las actividades que se ofrecen en la página del libro. Trabajen en su encuesta y registren sus experiencias durante el desarrollo.Hagamos una encuesta 5.indd 64 12/24/13 2:37 PM 1/30/14 5:51 AM . seleccionen un tema relacionado con las siguientes preguntas para diseñar una encuesta. Determinar si el cuestionario será estructurado o semiestructurado. en vez de hacer muy visual la investigación. ¿Cómo los voy a presentar? Seleccionar la herramienta matemática adecuada para representar los datos. así como el periodo de aplicación. • Si consideran que falta algún elemento importante en el diseño de su plan para diseñar la encuesta. y que pueden recurrir a un pequeño recuadro que acompañe a su gráfica en un extremo lateral que contenga la información necesaria con algún símbolo equivalente que se use como clave. resuélvanlas en grupo. Comente a los alumnos que es importante que antes de graficar organicen sus datos en una tabla y. organícense para presentar al grupo sus resultados. De acuerdo con las indicaciones del maestro. b. utilicen la escala adecuada en su gráfica para que sea sencilla su lectura. pictogramas o simplemente la representación de puntos. histogramas. Organizados en equipos realicen lo siguiente. a. cuadros de resultados. Procesamiento de datos Aplicación de la encuesta Determinar cómo organizarlos. Consideren al menos 10% de la población escolar. tales como gráfica de frecuencias. elaborar el instrumento. ¿A quién voy a preguntar? Seleccionar la población y la muestra. Si tienen dudas. completen la siguiente tabla: Encuesta: Objetivo: Población: Muestra: Resultados: 80 SMAT3LRCONAPL05-065-080. gráficas. En consenso. Consideren las acciones de la tabla y elaboren su plan para realizar la encuesta. Antes definir el tipo de preguntas y la cantidad de estas. ¿Qué voy a preguntar? Diseñar el objetivo de la encuesta. recuerden que el objetivo consiste en definir qué aspecto de la población se va a investigar y. Si es necesario. conforme exponga el equipo que la trabajó.L. También pueden elegir otro. Deben tener claro el porqué utilizarán una u otra representación gráfica de sus datos obtenidos a partir de la encuesta. ya que a partir de ella podrán hacer un análisis del conjunto de datos para extraer resultados y conclusiones de su investigación. mediante tablas.L. realicen los ajustes pertinentes. clasificarlos por género. Presentación de datos Seleccionar la manera de mostrarlos al grupo. Planificación previa Haga un breve repaso de los diferentes tipos de gráficas que pueden utilizar además de la gráfica circular y la de barras que aparecen en la página anterior. Seleccionen el tema de una encuesta diferente de la suya y. discuta con los alumnos cuáles podrían ser los objetivos de cada uno de los temas establecidos en el libro e invítelos a sugerir más temas especificando claramente cuál es el objetivo en cuestión. ¿Cómo ha sido el alza o la baja de la canasta básica a lo largo de un año? c. organizar. procesar e interpretar datos en tablas y gráficos • Etapas para la recopilación y procesamiento de la información • Apliquen lo analizado en el diseño de su encuesta. ¿qué recomendaciones pueden dar a cualquier sujeto que diseñe. diferente a las dados anteriormente. En cuanto al punto 7. R. cl/matematica/ Graficos. Características de la población de estudio c. El tríptico solicitado en las actividades lo puede plantear como un trabajo que será de utilidad para los estudiantes que cursan años anteriores. La presentación del tríptico puede ser buena actividad como cierre de la lección. Registren las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para aclararlas. Si hay dudas. Apliquen lo anterior y realicen un estudio estadístico sobre cualquiera de los siguientes temas: a. elaboren un tríptico que contenga lo siguiente: R. 65 PM3STJCONA-PL05-65-80. Condiciones para diseñar una encuesta b. de modo que los jóvenes deberían hacerlo con textos muy descriptivos y una redacción clara para que se entienda cada uno de los puntos enlistados en el recuadro. Recomendaciones para representar y mostrar la información recabada Sugiérales que empleen figuras para mostrar los diferentes gráficos que se pueden utilizar para representar la información. ¿Cuál fue el comportamiento del peso frente al dólar a lo largo del mes? b. Con base en los resultados de su encuesta respondan. Compartan sus experiencias en clase. implemente e informe de una encuesta? • ¿Cuáles son las ventajas o desventajas de la manera como decidieron presentar los datos de la encuesta? • ¿Qué tipo de herramientas matemáticas son más convenientes para representar los resultados obtenidos al aplicar una encuesta? 7. indíqueles que deberán elaborar sus propias preguntas sobre el tema elegido. De acuerdo con los resultados de su encuesta. Estrategias para elegir una muestra representativa d.indd 65 SMAT3LRCONAPL06-081-096. tips y sugerencias que ayuden a mejorar y facilitar el trabajo de investigación en el futuro.indd 81 12/24/13 2:38 PM Prohibida su venta 81 1/30/14 5:51 AM . con la finalidad de analizar los datos recabados con su encuesta y de esta manera será más sencillo obtener las conclusiones de su trabajo de investigación. ¿Cuál es el impacto de la contaminación química en México? 3. visiten la siguiente página y lean el tema: “Procesamiento de la información: tablas y gráficos”: www.b. por ejemplo. Reunidos en pareja.L. en la que sea necesario diseñar una encuesta. a. • ¿Cuáles son las expectativas de la mayoría al concluir el tercer grado de secundaria? ¿Coinciden con las suyas? • ¿Cuáles son los intereses o gustos de un alumno de secundaria? ¿Son iguales a las suyas? • ¿Por qué es importante saber las diferencias entre un alumno de secundaria y uno de educación media superior? i Socialicen sus respuestas y lleguen a acuerdos en función de las ideas expresadas.profesorenlinea. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Propuestas didácticas Es importante que cada equipo comparta con el resto de sus compañeros las dificultades a las que se enfrentaron a lo largo de su trabajo. Discutan en qué otros contextos es necesario conocer la opinión de la gente y planteen una situación. 2. Descripción de cómo obtener los datos de una muestra e. Reto Antes de trabajar en su encuesta. si alguno de los equipos eligió un tema diferente a los propuestos en el libro. primero o segundo de secundaria. Organice a los equipos para que. presenten su trabajo al resto del grupo.html Discutan la información contenida en: • Formas de recopilar. i Discutan en grupo sus experiencias. pidan apoyo al profesor. Una síntesis necesaria 1. una vez obtenidas las conclusiones. Registren sus conclusiones acerca del trabajo realizado por el grupo. ya que de los errores y dificultades se aprende mucho y sirve compartirlos para escuchar opiniones.L. • ¿Qué ventajas y desventajas tiene el tipo de encuesta realizada? • ¿Qué dificultades pueden presentarse al obtener los datos de una muestra? • Sobre la elección de una muestra. contesten en el cuaderno: • ¿Qué dificultades tuvieron para identificar la población estudiada? • ¿Los resultados obtenidos pueden generalizarse a toda la población de estudio? Expliquen. 1. ¿qué creen que harían con los datos?.L. ¿la regresarías a su dueño? • Si al hacer una compra te dieran cambio de más. pero basándose en el recuadro del glosario que aparece en la página de su libro. 82 SMAT3LRCONAPL06-081-096. Cuando calculen porcentajes deberán especificar qué cantidad están considerando como 100%. Ponga a discusión en su grupo. En esta sección ampliarás tus conocimientos sobre formas de elegir una muestra. ¿regresarías el dinero extra? • Si al pagar un artículo notas que se han cambiado las etiquetas y vas a pagar mucho menos por la prenda. El desafío consiste en encontrar una que represente la población de manera adecuada. R. El plan se diseña de acuerdo con las características de la información que se quiere obtener de la población. primero. Supongan que 49 569 790 personas llamaron para responder la encuesta del canal y que 48 349 566 presionaron la tecla 1 a la pregunta 2. Es una estrategia para elegir la muestra de una población. M. plantee al grupo que si ellos fueran a realizar las encuestas.indd 82 Prohibida su venta 66 PM3STJCONA-PL05-65-80. ¿Qué porcentaje de gente contestó “No” a la pregunta? 2. Solicite que escriban también la definición de “plan de muestreo”. • ¿Cuál piensan que es el plan de muestreo para esta encuesta? Justifiquen su respuesta. ¿lo usarías para llamar a tus amigos sin pedir autorización? • ¿Navegarías en Internet aunque el pago se realice con la tarjeta de crédito de alguien más? Dé instrucciones de resolver las actividades planteadas en su libro y solicite a la clase que escriban en el cuaderno todas las operaciones necesarias.4% • De acuerdo con el último censo realizado por el Inegi. si tomarían en consideración la edad de la persona encuestada o qué otras características tomarían en consideración. ¿cuál sería la finalidad?. se sabe que la población en México es de 112 336 538 habitantes. si es o no importante la profesión. a una mujer. por qué consideran que un canal de televisión nacional estaría interesado en realizar una encuesta con esas características.Para saber más Propuestas didácticas Cómo seleccionar una muestra Elija a alguno de los alumnos para dar lectura al problema planteado. ¿Qué porcentaje de la población total del país contestó la encuesta? 44.indd 66 12/24/13 2:38 PM 1/30/14 5:51 AM . Un canal de televisión nacional pidió a la audiencia que llamara por teléfono para contestar cinco preguntas sobre la honradez: ¿Son honrados los mexicanos? Teclea 1 si tu respuesta es “Sí” y 2 si es “No”. R. ¿serías honesto y pagarías el precio real? • Tienes acceso a un teléfono con crédito. Resuelvan en pareja lo siguiente. ¿de qué les servirían los resultados obtenidos de la encuesta? En la lección 7 aprendiste a diseñar una encuesta y cómo identificar la población que se estudia. Permita que den todo tipo de ideas y. ¿qué aplicaciones pudiera tener una encuesta de este tipo?. si preferirían hacer las preguntas a un hombre. La población es la gente que ve la televisión y la muestra la gente que llama al programa. de qué manera elegirían a las personas a las que llamarían o cómo harían las llamadas telefónicas. plan de muestreo. una vez agotada la lluvia de ideas. • ¿Cuáles son la población y la muestra? Expliquen. utilizando sus propias palabras. ¿qué resultados esperarían?.1% • ¿Puede ser representativa la muestra que contestó la encuesta? ¿Por qué? Sí. • Si hallaras una billetera. a. Porque supera 10% de la población. • ¿Qué respuesta puede darse a la pregunta: ¿Son honrados los mexicanos? Expliquen. Pida que escriban en el cuaderno un ejemplo diferente a los que aparecen en el libro.L. R. • Determinen las ventajas y desventajas de los planes de muestreo de los cuatro equipos. la del equipo 2 es un ejemplo de muestreo sistemático. 67 PM3STJCONA-PL05-65-80. y el último es un muestreo aleatorio. complétenla y contesten lo que se pide. Equipo 3: Cada integrante buscará voluntarios para ser entrevistados durante el recreo. les quedará más clara la diferencia entre uno y otro. qué opinan de las cadenas de televisión nacionales y qué opinión les merece la televisión de paga. con esto. No. Equipo 1: Cada integrante entrevistará a los alumnos que van en su ruta en el transporte escolar. El grupo se divide en cuatro equipos. Cuando un método de muestreo no logra representar adecuadamente una población. Lean la siguiente información y respondan en su cuaderno. en las clasificaciones que se pueden utilizar para seleccionar los diferentes canales y programas y pregunte si consideran la televisión una alternativa educativa y por qué. y cada uno traza un plan de muestreo para conseguir una muestra de la población de la escuela. uno en el que se aplique el muestreo aleatorio.L.indd 67 SMAT3LRCONAPL06-081-096. Equipo 4: Cada miembro seleccionará al azar 10 alumnos de cada grupo de primero.indd 83 12/24/13 2:38 PM Prohibida su venta 83 1/30/14 5:52 AM . dé instrucciones de resolver las actividades del punto 2. por último. En la clase de Matemáticas de Porfirio quieren determinar cuántos estudiantes tienen acceso a televisión de paga. Para ello. porque se consideró más de 10% de la Pregunte a los estudiantes qué opinión tienen de la televisión local. otro más donde se aplique el muestreo de respuesta voluntaria y. Luego. • ¿Qué conclusiones pueden establecer con los datos de la tabla anterior? R. No • ¿Las conclusiones serían las mismas si la encuesta hubiera sido contestada por menos de 10 000 personas? Expliquen. • ¿Qué plan proporciona la mejor muestra representativa para el estudio? • Propongan otro plan de muestreo distinto. segundo y tercero de secundaria. pidan ayuda al profesor. otro ejemplo de muestreo sistemático. pues aclare a los estudiantes que las encuestas tienen un costo. i Socialicen sus respuestas con el grupo y registren sus acuerdos. Equipo 2: Cada estudiante entrevistará a cada tercer alumno en la fila de la cafetería. por tanto. tener una participación de más de cuarenta mil personas sería bastante significativo y seguramente costoso. La estrategia del equipo 1 es un ejemplo de muestreo de conveniencia. Abra un espacio para discutir el tipo de programas que se ofrecen en la televisión. Si tienen dudas. Indiquen cuál es la ventaja de utilizarlo. población. de muestreo de conveniencia. se dice que hay un sesgo de selección. lean la siguiente información e investiguen más sobre los distintos tipos de muestreo. Después. En la siguiente tabla se muestran algunas de las respuestas de los encuestados. Consideren la información de la página anterior. escribirán los números de lista en papeles y extraerán 10 de ellos. 2. La participación de los alumnos en las encuestas favorece la expresión libre de ideas. Pregunta Sí No 1 45 678 456 3 891 334 3 28 335 578 21 234 212 5 47 987 876 1 581 914 Propuestas didácticas Haga notar al grupo que si la población total en México es de 112 336 538 habitantes. de modo que un porcentaje importante de la población menor de edad no podría responder las preguntas planteadas en la encuesta y.b. se está tomando en cuenta también a la población infantil. i Comenten sus respuestas con otra pareja. la estrategia del equipo 3 es una estrategia de muestreo de respuestas voluntarias. la evaluación PISA no evalúa el aprendizaje de los contenidos programáticos de la SEP ni está diseñada para evaluar el desempeño del personal docente en cuanto a los programas de estudio actuales. C) eventos independientes. si lo requieren. PISA evalúa el grado de competencias y habilidades de diferentes sistemas educativos y su finalidad es utilizar los resultados para tomar decisiones en relación con las políticas educativas que permitan a los alumnos desarrollar y adquirir las habilidades y competencias que necesitan para estar mejor preparados ante los problemas a los que se enfrentan en la vida cotidiana en un contexto internacional. i Realiza lo que se indica en cada caso. a. P (A o B) = 3 + 2 . P(C o D) = 3 + 3 6 6 A) eventos complementarios.indd 68 12/24/13 2:38 PM 1/30/14 5:52 AM . En la urna K se tienen 17 bolas blancas y 23 bolas negras. los eventos C y D son: ratón avanza si caen números impares. D) eventos seguros. urna K: P(A) = 17 . 2.indd 84 Prohibida su venta 68 PM3STJCONA-PL05-65-80. B) eventos mutuamente excluyentes. Eventos mutuamente excluyentes: R. C) eventos independientes.L. en sí misma. Durante el desarrollo del juego se presentan distintos eventos para determinar al ganador. P(B) = 30 40 A y B son: A) eventos complementarios. Información complementaria 1. y por lo tanto P (A o B) = 5 . de modo que. Se lanza un dado. 3. B) eventos mutuamente excluyentes. La ocurrencia de 6 6 6 los eventos A o B es un ejemplo de: La evaluación tipo PISA es una prueba estandarizada internacional en la que se hace uso solo de papel y lápiz. Por tanto se tiene que: P (A o B) = P(A) + P (B). que realicen los dibujos o trazos necesarios en sus cuadernos y. después de que obtengan la respuesta al problema.Evaluación tipo PISA Propuestas didácticas i Elige la opción con la respuesta correcta. b. tiene una duración de dos horas y contiene diferentes tipos de preguntas con respuesta de opción múltiple. D) eventos incluyentes. y sea el evento A: el gato avanza si cae tres o números menores que tres. dos eventos complementarios y un par de eventos independientes. Con los datos del problema de la carrera del ratón y del gato y del de las urnas. 84 SMAT3LRCONAPL06-081-096. Considera dos urnas. Sugiera a los estudiantes que lean cuidadosamente los enunciados de cada uno de los problemas que aparecen en la evaluación PISA. B) eventos simples. Se tiene el evento A: sacar una pelota blanca de la 16 . un gato y un ratón compiten en una carrera para llegar a la meta. sea el evento C: el gato avanza si caen números pares. el evento B: sacar una bola blanca de la urna L. C) eventos simples.L. Al lanzar un dado. plantea dos eventos mutuamente excluyentes. hay 16 blancas y 14 negras. Por tanto. M E T A En un juego de mesa. el evento D: el . Eventos complementarios: R. que busquen la que coincida en las opciones que se ofrecen. por tanto. 4. D) eventos complementarios. el evento B: el ratón avanza si cae cinco o mayores que él. En la urna L. A) eventos imposibles. 8. resolver e interpretar problemas matemáticos en una variedad de situaciones que incluyen conceptos matemáticos cuantitativos. Resuelvo problemas de manera autónoma asociados a las nociones de probabilidad. razonar y comunicar de forma eficaz. explicando cada paso al resto de sus compañeros de clase. de probabilidad. Verdadero Cuando la probabilidad de un evento A no es afectada por el resultado de otro B.indd 69 SMAT3LRCONAPL06-081-096. ya que no pueden ocurrir al mismo tiempo. estos eventos son eventos dependientes. busquen estrategias para superar dichas dificultades. sea el evento A: cae 4 y 2. Calculo la probabilidad teórica de eventos complementarios. resuelvan grupalmente el examen para que se vayan despejando dudas. Indicadores Identifico y planteo. Valoro mi avance Además. Los complementarios representan el espacio muestral. en la que deberán ser honestos para que el indicador sea representativo. Sea el evento A: cae 6 y 4. eventos complementarios. a. dada una experiencia aleatoria. Si el ratón avanza el cociente de los números que salen al lanzar dos dados. el resultado de un evento no afecta el del otro. Reflexiona acerca del trabajo realizado en el bloque. En clase. mutuamente excluyentes e independientes. emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse con las matemáticas de forma que pueda satisfacer las necesidades de la vida diaria de un ciudadano constructivo. Si lo considera pertinente. Se modifica el juego del gato y del ratón y ahora se lanzan dos dados. Reescribe las oraciones falsas de manera que ahora comuniquen una verdad. mutuamente excluyentes e independientes.indd 85 12/24/13 2:38 PM Prohibida su venta 85 1/30/14 5:52 AM . o de otro tipo. debido a que tienen el único elemento en común. Completa la tabla con los términos siempre. Verdadero Los eventos independientes tienen probabilidad menor que 1 y mayor que 0. Argumento y comunico de manera oral y escrita las diferencias entre eventos complementarios. Eventos independientes: R. pida a los jóvenes que hagan una reflexión sobre cómo se sintieron en el examen y que se pongan la calificación que crean que obtendrán en la evaluación. Propuestas didácticas 6. Estos son eventos Mutuamente excluyentes debido a que no tienen elementos comunes. los mutuamente excluyentes no tienen eventos comunes y en los independientes. externa las dificultades que hayas tenido al resolver la evaluación. los eventos son: Iguales Recuerde a los alumnos comprobar resultados en los casos en los que sea posible. Explica la diferencia entre eventos complementarios. 7. Información complementaria La competencia matemática: “es la capacidad de un individuo para analizar. a la vez de plantear. comprometido y reflexivo”. En grupo. esta competencia tiene que ver con la capacidad para identificar y entender la función que desempeñan las matemáticas en el mundo. Determina si las siguientes aseveraciones son verdaderas o falsas. Oración Veracidad Dos eventos o más son complementarios cuando su unión da el espacio muestral y la suma de sus probabilidades es menor que 100%. a veces o poco. Verdadero Al final de la página se ofrece una sección titulada “Valoro mi avance”. 5. con el apoyo del maestro. mutuamente excluyentes e independiente. mutuamente excluyentes e independientes.L. Verdadero Los eventos cae un número mayor que 3 y sol y cae un número menor que 4 y águila son eventos mutuamente excluyentes. y B: cae 6 y 3. espaciales. Una vez que hayan terminado de resolver toda la evaluación. 69 PM3STJCONA-PL05-65-80. y el evento B: cae 5 y 3. permitiendo que sean los propios estudiantes quienes por turnos pasen al pizarrón a resolver los problemas.c. 2 86 SMAT3LRCONAPL06-081-096.indd 86 Prohibida su venta 1/30/14 5:52 AM . 70 72 73 y 74 75 76 y 77 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL06-081-096. Socializan respuestas. Comparten respuestas y procedimientos con el resto del grupo. sobre el factor común y de los trinomios cuadrados. Analizan distintos procedimientos para obtener el área de un triángulo.Planeaciones didácticas Lección 8. Visitan y realizan las actividades de los sitios de Internet que se sugieren en Apoyo tecnológico y aplican lo aprendido a lo largo de la lección al resolver la actividad del Reto: “Física y ecuaciones cuadráticas”. validando en grupo los distintos métodos de resolución. resolviendo un crucigrama. Comparan y discuten respuestas en grupo. Crucigrama matemático Analizan en pareja un planteamiento y responden a las preguntas sobre ecuaciones cuadráticas.indd 87 87 1/30/14 5:52 AM . ¿Modelar con matemáticas? Leen un planteamiento para resolver el inciso en equipo. Ecuaciones cuadráticas por factorización Bloque: 2 Eje temático: Sentido numérico y pensamiento algebraico Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Patrones y ecuaciones Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización Desarrollo Sesión(es) 1 1 1 2 Actividades Páginas del libro Realizan la lectura “El teorema de Pitágoras en las culturas antiguas”. Escriben la expresión algebraica para calcular el área de un rectángulo en particular. En parejas leen información acerca de la propiedad distributiva de la multiplicación. Comentan en grupo las diferencias de los distintos procedimientos. Discuten y registran acuerdos. de la factorización. Factorizan distintas ecuaciones verificando las soluciones con modelos geométricos. Leen información acerca de las expresiones algebraicas cuadráticas. Socializan argumentos y procedimientos para llegar a acuerdos. Discuten y registran acuerdos. así como también acerca de una diferencia de cuadrados. Describen procedimientos y argumentan la veracidad de los resultados de forma grupal. Analizan problemas que implican trabajar con la fórmula para determinar el área de distintos rectángulos. Comparan respuestas de todos. Resuelven ecuaciones cuadráticas igualando a cero. argumentando los resultados. Escriben expresiones algebraicas planteadas en distintos incisos. Solución de ecuaciones cuadráticas En equipo leen un planteamiento para determinar el área de un triángulo con base en una expresión algebraica. Resuelven las ecuaciones para determinar el área de un rectángulo despejando x. Método de factorización En parejas analizan una figura geométrica y leen distintos planteamientos para resolver en el cuaderno. Comparan procedimientos entre equipos. Traslación de figuras regulares e irregulares Analizan las construcciones geométricas realizadas en una bandera. Visitan y realizan las actividades en los sitios que se sugieren en Apoyo tecnológico y aplican lo aprendido en el Reto. Socializan respuestas y redactan conclusiones. espacio y medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Figuras y cuerpos Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras Desarrollo Sesión(es) 1 2 1 1 Actividades Simetría axial. Transformaciones en el plano: rotación Comparan distintos triángulos para determinar sus características y comprobar si son simétricos. Comentan los procedimientos seguidos para el trazo de estrellas. Calculan la medida del ángulo de rotación de un grupo de figuras. Páginas del libro 78 79 a 81 82 y 83 84 y 85 Observaciones 88 SMAT3LRCONAPL06-081-096. Describen los procedimientos realizados. el centro de rotación y la simetría central. Determinan el centro de rotación de dos figuras en el plano cartesiano.Lección 9. Comentan entre compañeros los procedimientos empleados. Obtienen las medidas de segmentos así como las características de los lados de figuras para determinar si son congruentes. Investigan y leen información acerca de la rotación. Exponen y validan sus propuestas. En pareja trazan un ejemplo de la rotación. Rotación y traslación Bloque: 2 Eje temático: Forma. Socializan experiencias y procedimientos de forma grupal. Acuerdan criterios para determinar que dos figuras tengan rotación. Comentan en grupo los procedimientos para trazar más figuras. Analizan los segmentos entre distintas estrellas y reconocen paralelismo de los segmentos que se forman al unir vértices correspondientes. Comparten respuestas. Reconocen congruencia en los ángulos internos de distintas figuras. Discuten el término traslación.indd 88 Prohibida su venta 1/30/14 5:52 AM . con los elementos correspondientes. Completan la bandera de la Unión Europea. Analizan las figuras y establecen los criterios para determinar cuándo una figura es rotación de otra. Utilizan los vértices de una estrella para determinar las características de los segmentos que se forman uniendo distintos vértices. análisis de sus propiedades Analizan una situación en la que en un mandala deben aplicar las propiedades de la simetría axial. En grupo completan distintas afirmaciones referentes a la simetría axial. Leen acerca de la traslación de una figura. El centro de la rotación de una figura En parejas determinan el centro de rotación de distintas figuras. Distinguen la dirección y el número de grados que deben girar un triángulo para lograr una posición. Analizan la figura resultante para determinar si cumple con las propiedades de la simetría axial. Determinan el punto y el ángulo de rotación de un triángulo. Analizan en parejas una figura y resuelven los planteamientos. Discuten lo que entienden por traslación. Analizan el término trasladar en el sentido geométrico. Investigan las propiedades de la traslación. Argumentan sobre la traslación de un conjunto de trazos. Argumentan procedimientos y validan respuestas con argumentos geométricos. Completan una tabla con las coordenadas de distintas figuras. Rotan un triángulo 180° y después trasladan cinco veces el resultado para construir un mosaico simétrico. Construyen patrones simétricos con figuras irregulares y aplican simetrías axial y central. Construyen rotaciones de figuras. Describen mosaicos que combinan distintas simetrías y comentan en grupo. Redactan instrucciones para construir traslaciones. Analizan una construcción y trazan nuevas figuras teniendo en cuenta la medida del ángulo de rotación. 86 y 87 88 y 89 90 y 91 92 93 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL06-081-096.Lección 10. Simetría axial. Señalan en qué caso se utilizó rotación y cuántos grados giró. Socializan y validan definiciones en grupo. Trazan una tercera figura con base en otras dos y describen el procedimiento. Utilizan una retícula para trazar un cuadrado y fijan las coordenadas de los vértices. Analizan un mosaico y escriben el procedimiento necesario para llevarlo a cabo. Exponen trazos y explican procedimientos. Trazan mosaicos geométricos con distintos polígonos regulares y definen condiciones para construir un mosaico simétrico. Construyen mosaicos simétricos con base en triángulos equiláteros. Socializan los procedimientos empleados en la construcción de cada figura ya sea trasladada o rotada. Analizan mosaicos y escriben los procedimientos necesarios para realizarlos. rotación y traslación Bloque: 2 Eje temático: Forma. Reflejan una figura con respecto a un eje y después reflejan el resultado respecto a otro eje. Escriben el procedimiento y conjeturan el resultado de reflejar figuras sobre rectas secantes. Descripción de mosaicos simétricos Analizan mosaicos para describir el tipo de simetría construida a la figura original. Algunas conclusiones Trabajan en parejas para llegar a conclusiones sobre las características que debe tener un mosaico según las reflexiones. Describen el resultado de reflejar figuras sobre rectas y sobre sus paralelas. rotaciones y traslaciones realizadas. En pareja intercambian las instrucciones. traslaciones y rotación. Realizan una construcción con dos tipos de simetría. espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central. Comentan en grupo los procedimientos. trasladando varias veces. Leen información sobre la reflexión. Trasladan una figura con respecto a un punto. Combinación de simetrías Realizan trazos y validan construcciones. Mosaicos simétricos Trazan un triángulo y construyen su simétrico. la rotación y la traslación de figuras Desarrollo Sesión(es) 1 1 1 1 1 Actividades Páginas del libro Simetría Analizan distintas construcciones y describen el procedimiento utilizado. Visitan los sitios de Apoyo tecnológico y aplican lo aprendido mediante el Reto: ”Mosaicos simétricos”.indd 89 89 1/30/14 5:52 AM . isósceles y rectángulos. Analizan y reescriben el planteamiento de los terrenos. Cuadrados y triángulo rectángulo Bloque: 2 Eje temático: Forma. Realizan la actividad del Reto llamado “Problemas de áreas”. Calcan el diseño ya visto en el cuaderno para realizar algunos trazos y llegar a distintas conclusiones y respuestas. Realizan los trazos necesarios para encontrar una relación entre las áreas de los cuadrados asociados a los catetos del triángulo con el cuadrado de su hipotenusa. Áreas y lados Trabajan en pareja para llevar a cabo distintos planteamientos para después hacer un análisis y validarlos. Completan una tabla con las conclusiones alcanzadas. Páginas del libro 94 a 96 97 y 98 99 Observaciones 90 SMAT3LRCONAPL06-081-096. Socializan conclusiones. En la sección Apoyo tecnológico tendrán la oportunidad de manipular virtualmente lo estudiado. Reconocen la validez de las conclusiones solo para los triángulos rectángulos. Analizan una imagen para observar la disposición de un grupo de terrenos en venta y escoger la mejor opción.Lección 11.indd 90 Prohibida su venta 1/30/14 5:52 AM . Socializan respuestas y conjeturas para llegar a acuerdos en grupo. Comparan las respuestas obtenidas con otros equipos. utilizando la nomenclatura formal del triángulo. Localizan en las figuras las distintas opciones propuestas. Analizan las construcciones realizadas y responden a distintos cuestionamientos. Socializan razonamientos y obtienen una conclusión final. Señalan cuál de las opciones es la mejor según cada alumno. espacio y medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Medida Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo Desarrollo Sesión(es) 2 1 2 Actividades ¿Cuál es la mejor opción? En equipo leen información acerca de una situación en la que se aplica el teorema de Pitágoras. Determinan si las conclusiones obtenidas son válidas para cualquier tipo de triángulo. Describen los procedimientos para validar conjeturas comparando resultados con el grupo. argumentando el porqué de la selección. Completan una tabla con la información obtenida. Triángulos y cuadrados Calculan los cuadrados de los catetos y de la hipotenusa de diferentes triángulos. Llevan a cabo los planteamientos propuestos para analizar y discutir las respuestas a distintas preguntas. Comprueban las medidas de un triángulo y describen el procedimiento empleado. Resuelven distintos problemas geométricos utilizando el teorema de Pitágoras. Determinan la medida de uno de los catetos con base en la medida de la hipotenusa y el otro cateto. Trabajan individualmente para resolver problemas que requieren la utilización del teorema de Pitágoras. Plantean problemas en los que se requiere utilizar el teorema de Pitágoras. Otro problema En equipo discuten el procedimiento para resolver un problema que requiere calcular la hipotenusa de un triángulo dados ciertos valores. Calculan el área de un trapecio isósceles. 100 y 101 102 a 104 105 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL06-081-096. criterios de congruencia y transformaciones. Leen información acerca de los teoremas y acerca del teorema de Pitágoras. En la sección Apoyo tecnológico para realizar los problemas propuestos y realizan la actividad del Reto llamado “Teorema de Pitágoras”. Socializan conclusiones.Lección 12. Calculan el área de un triángulo con base en el resultado de aplicar el teorema de Pitágoras para conocer la altura de dicha figura. Intercambian problemas con otros equipos para resolverlos. Suman las áreas de las diferentes figuras realizadas. utilizando el teorema de Pitágoras. Comparan respuestas y procedimientos entre compañeros. El teorema de Pitágoras Bloque: 2 Eje temático: Forma. Discuten los diferentes contextos en los que se puede utilizar el teorema de Pitágoras. Proponen procedimientos para comprobar el teorema de Pitágoras. Completan una tabla con los resultados obtenidos. Aplicación del teorema de Pitágoras en la resolución de problemas En parejas resuelven problemas relativos al teorema de Pitágoras. Trazan un cuadrado con el cual construyen triángulos rectángulos y un cuadrado para demostrar el teorema de Pitágoras. Establecen relaciones entre la igualdad obtenida y el teorema de Pitágoras.indd 91 91 1/30/14 5:52 AM . Comparan respuestas y procedimientos para validarlas en grupo. espacio y medida Tema: Medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Explicitación y uso del teorema de Pitágoras Desarrollo Sesión(es) 2 2 1 Actividades Páginas del libro El teorema de Pitágoras Leen un texto en donde se plantea el teorema de Pitágoras. Lección 13. Resuelven las actividades de la sección “Para saber más”. Describen si los eventos son mutuamente excluyentes. La encuesta sobre viajes de trabajo Completan una tabla considerando el espacio muestral de un experimento aleatorio. escriben el espacio muestral y calculan su probabilidad. con eventos mutuamente excluyentes y eventos complementarios. Considerando un evento complementario de otro. Establecen qué eventos son complementarios. Eventos simples. Completan una tabla con cuatro experimentos aleatorios. Hacen una tabla en el cuaderno para determinar el espacio muestral del experimento. Señalan si los nuevos eventos son mutuamente excluyentes. Determinan las diferencias entre eventos y discuten los resultados y procedimientos. Registran el espacio muestral de dos nuevos eventos. Determinan los eventos mutuamente excluyentes.indd 92 Prohibida su venta 1/30/14 5:52 AM . así como eventos compuestos y complementarios. Leen información acerca de los experimentos aleatorios. Discuten un texto referente a los eventos mutuamente excluyentes y complementarios. Leen información para completar una tabla y determinan si los eventos son mutuamente excluyentes. Retoman el problema inicial de la lección para discutir acerca de la probabilidad de que dos eventos ocurran al mismo tiempo. Resuelven la evaluación tipo PISA del bloque 2. eventos simples o elementales. Determinan la probabilidad de ocurrencia para dos eventos. Determinan el espacio muestral de un experimento aleatorio. eventos compuestos y eventos complementarios Retoman el experimento aleatorio para responder distintos planteamientos. Escriben la expresión para calcular la probabilidad. Registran en una tabla el espacio muestral de cada evento en un experimento aleatorio. Determinan la probabilidad de que ocurran distintos eventos en un sorteo. Completan una tabla para determinar si los eventos son mutuamente excluyentes. Calculan la probabilidad de ocurrencia de distintos eventos. complementarios y compuestos de un experimento aleatorio. Leen información acerca de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes. Problemas de aplicación Trabajan en parejas para analizar los planteamientos referentes a un concurso. Calculan la probabilidad de que ocurran dos eventos al mismo tiempo. Mutuamente excluyentes y complementarios Bloque: 2 Eje temático: Manejo de la información Duración: 1 semana Número de sesiones: 7 Tema: Nociones de probabilidad Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma) Desarrollo Sesión(es) 1 1 2 1 1 1 Actividades La urna con pelotas En parejas leen información acerca de un experimento aleatorio. Validan en grupo dicho espacio muestral. Páginas del libro 106 107 y 108 109 a 111 112 y 113 114 y 115 116 y 117 Observaciones 92 SMAT3LRCONAPL06-081-096. Dicen ejemplos de eventos mutuamente excluyentes y que no lo sean. Registran los procedimientos para determinar la probabilidad de dos eventos. Determinan la probabilidad de los eventos. indd 93 Prohibida su venta 93 1/30/14 5:52 AM .Formato de planeación Lección: Bloque: Eje temático: Duración: Número de sesiones: Tema: Periodo: del __________________ al __________________ de _______________________________________________________________________ Contenido Desarrollo Sesión(es) Actividades Páginas del libro Observaciones MATERIAL FOTOCOPIABLE SMAT3LRCONAPL06-081-096. utilizando métodos muy diversos. ¿Para qué se usó el teorema de Pitágoras en Mesopotamia y en el antiguo Egipto? Para resolver problemas referentes a triángulos rectángulos. Precisamente. 25]. 20 B) 18. 4. se encontró que contiene una lista de ternas pitagóricas.. Los mesopotámicos dejaron constancia de esto en tablillas grabadas con escritura cuneiforme. Los egipcios emplearon el teorema en forma práctica para construir ángulos rectos. el ángulo opuesto al lado mayor siempre es un ángulo de 90º. 94 SMAT3LRCONAPL06-081-096. 16. En las culturas mesopotámica y egipcia. 5 D) 14. cumplen que a2 + b2 = c2. El triángulo sagrado egipcio.indd 94 Prohibida su venta 70 PM3STJCONA-PL05-65-80. 1. Pitágoras es recordado en gran parte por el teorema que lleva su nombre e indica la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. de proporciones 3. D) los pitagóricos lo usaron primero. se construye tomando una cuerda y haciéndole una serie de nudos de forma que en ella queden 12 partes iguales. pero se sabe que fue usado mucho antes de la existencia de Pitágoras. 16. ¿Qué se entiende por terna pitagórica? Son tercias de números que cumplen con el teorema de Pitágoras. para demostrar el teorema de Pitágoras es necesario que se cumpla para cualquier triángulo rectángulo.. si ponemos como ejemplo el triángulo rectángulo con longitudes en sus lados 3. El teorema de Pitágoras en las culturas antiguas P itágoras y sus seguidores (conocidos como los pitagóricos) fueron un grupo de antiguos griegos que se dedicaron al estudio de las matemáticas y plantearon la importancia del número en el cosmos. El teorema lleva ese nombre porque su descubrimiento y exposición teórica recae sobre la escuela pitagórica. 4. 10]. números a. Es decir. 4 y 5 unidades. Estas ternas se usaban para resolver problemas referentes a triángulos rectángulos. En particular. ¿Cuál de las opciones no es una terna pitagórica? A) 12. 5]. de C. [12. no es lo esencial. Abra un espacio para que los estudiantes comenten con sus compañeros el texto sobre el teorema de Pitágoras en las culturas antiguas.indd 70 12/24/13 2:38 PM 1/30/14 5:52 AM . El teorema de Pitágoras debe su nombre a que. C) la escuela pitagórica hizo su descubrimiento. 24. y de forma paulatina se logrará ir aumentando la velocidad. 49 3. entre otros). Consideraban que todas las cosas son numerables y la relación entre dos cosas se puede expresar por una proporción numérica. el teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes. Al poner la cuerda para hacer un triángulo cuyos lados sean 3. al finalizarlas. [6. 13]. La pirámide de Kefrén. se conocía la existencia de ternas de valores que se corresponden con los tres lados de un triángulo rectángulo: las llamadas ternas pitagóricas que consisten en conjuntos de tres números enteros que verifican el teorema de Pitágoras. 4. Explique a los alumnos que probar que una afirmación es válida para una situación particular no significa que lo sea para todos los casos. no significa que hemos hecho una demostración. es decir. y mostramos que el teorema de Pitágoras se cumple. [7. 12. 24. 4 y 5. Actualmente. construida en el siglo XXVI a. lo más importante es entender la información o el mensaje que se está transmitiendo. lo cual es muy útil al realizar obras arquitectónicas. La demostración de un teorema requiere de una generalización. A) los pitagóricos plantearon su importancia. 2. 5. al descifrar la tablilla llamada Plimpton 322. [5.El trabajo con el libro del alumno 2 Propuestas didácticas Invitación a la lectura Pida al grupo que resuelvan las preguntas de la página y.. 48. B) el matemático le puso ese nombre. 4. pero la rapidez en la lectura. comente que dar lectura veloz a un texto no significa necesariamente que se haya comprendido. i Subraya la respuesta correcta y contesta. b y c que cumplen que a2 + b2 = c2 (algunos ejemplos son: [3. En el siglo XIX. por ejemplo. 30 C) 3. se construyó basándose en el triángulo sagrado egipcio. 20]. 8. Dé algunos ejemplos de triángulos rectángulos con las dimensiones siguientes: 6 cm. Información complementaria Explique a los estudiantes que la pirámide de Kefrén originalmente se llamaba pirámide de Jafra. En el museo de El Cairo se exhibe una estatua de Jafra.Propuestas didácticas Indique a los estudiantes que utilicen la imagen del libro para trazar sobre la pirámide de Kefrén. Identifica las propiedades que se conservan. Presentación del bloque Comente a los adolescentes que Kefrén fue el cuarto faraón de la dinastía IV de Egipto. La pirámide se encuentra en Egipto. esta pirámide se construyó en el siglo XXVI antes de nuestra era. un triángulo rectángulo cuya relación de los lados es 3-4-5. 10 cm y 11 cm Pregunte cuáles de ellos cumplen con la relación que presenta la pirámide de Kefrén. un triángulo con las características señaladas en el recuadro que explica la fotografía. rotación o traslación) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada.indd 71 SMAT3LRCONAPL06-081-096. Antiguamente se llamaba La Gran pirámide porque parecía más alta que la de Keops. La altura de la pirámide es de más de 140 metros. 8 cm y 10 cm 6 cm. ya que la construyeron en un nivel más alto de la meseta. mejor conocido como Kefrén. 7 cm y 8 cm 9 cm. al cual le llaman ángulo sagrado egipcio (aproximadamente 53 grados). 71 PM3STJCONA-PL05-65-80.indd 95 12/24/13 2:38 PM Prohibida su venta 95 1/30/14 5:52 AM . denominada antiguamente la Gran Pirámide. a unos 20 kilómetros de El Cairo. en la Necrópolis de Guiza. capital de Egipto. Aprendizajes esperados: • Explica el tipo de transformación (reflexión. la cual fue hallada en el año de 1860. Elija a uno de los estudiantes para que lea en voz alta los aprendizajes esperados en el bloque. 12 cm y 15 cm 9 cm. además de que en sus caras tiene un ángulo más inclinado. hace más de dos mil quinientos años antes de nuestra era. • Resuelve problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras. fue diseñada con base en el Triángulo Sagrado Egipcio. La pirámide de Kefrén. a. 1 2 3 f 9 a 10 11 c 14 15 t 18 19 o 22 23 r 25 i 27 z 29 30 a 33 34 c a t o r c 37 i 39 ó 40 n A continuación. Escriban la suma de las expresiones anteriores igualadas a 210. Un grupo de estudiantes participa en un concurso para ganar dos pases dobles para asistir a un concierto. de modo que 2x no es una ecuación. i Socialicen sus argumentos y lleguen a acuerdos. en cambio. Representen con una literal el número que se quiere encontrar. Igualen a cero la expresión anterior.. 96 SMAT3LRCONAPL06-081-096.. sugiera que revisen las definiciones de los conceptos matemáticos relacionados. escriba en el pizarrón expresiones como: 2x.Ecuaciones cuadráticas por factorización 8 Propuestas didácticas Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Contenido: Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización Solicite a los jóvenes que expliquen con sus propias palabras qué es una ecuación y cómo se puede saber si una expresión numérica o algebraica es una ecuación o no. Lean los enunciados y escriban las respuestas en el crucigrama. x2 + x = 210 c. al igual que los valores x encontrados.. se dice que ambos términos tienen un factor. Vertical 1.indd 72 12/24/13 2:38 PM 1/30/14 5:52 AM . Dada la operación (3 × 2) (3 × 4). Cuando se tiene un trinomio cuadrado perfecto y este se expresa como la multiplicación de dos expresiones. se dice que se ha realizado una. y = –2x2 + 1. x Invite a los alumnos a que elaboren un enunciado que represente alguna expresión matemática y que sean sus compañeros quienes la escriban en el pizarrón. 4 f a 12 c 16 t 20 o r 5 6 7 8 13 17 21 24 c o m ú n 26 28 31 e 35 32 36 38 a. Comenten acerca de los procedimientos empleados en la resolución de los problemas anteriores. 33. Analicen en pareja el siguiente planteamiento y resuelvan. 4. (x – 14)(x + 15) = 0 Sí f. y pregunte si una de estas. Las expresiones son las mismas. Retomen la pregunta 33 del crucigrama y resuelvan en el cuaderno. Analicen la expresión y establezcan qué relación tiene con los valores de x que encontraron. Luego. o todas. y en los miembros hay tanto valores conocidos como incógnitas. Para resolver el crucigrama. pida que definan qué es una ecuación cuadrática y a qué se refiere la palabra factorización que aparece en el título del libro. Un número elevado al cuadrado y sumado por sí mismo da como resultado 210. ¿Qué valores puede adquirir x? x = 14 y x = – 15 • La expresión anterior puede representarse como el producto de dos factores con un término común.indd 96 Prohibida su venta 72 PM3STJCONA-PL05-65-80. aclare al grupo que la palabra ecuación se refiere a una igualdad matemática de dos expresiones algebraicas. Es decir. Horizontal 24. representa una ecuación y que expliquen por qué. como tampoco lo es 3x + 1. discutan para acordar las respuestas correctas. x2 b. 2. o al menos una incógnita. • Representen la literal anterior elevada al cuadrado. Crucigrama matemático 1. ¿Cómo determinaron el número de la pregunta 33 del crucigrama? i Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. El concurso consiste en completar el siguiente crucigrama matemático. o ninguna. en estos casos.. Si existen diferencias. Es uno de los elementos que se encuentra en una multiplicación. ¿Qué tipo de ecuación se forma? Cuadrática d. Aproveche los ejercicios propuestos en el punto 2 para hacer un breve repaso de la nomenclatura matemática y la forma en que se representan matemáticamente los enunciados de cada inciso. y = mx + b. son equivalentes. ¿cuál es ese número? b. Si así lo considera. si se trata de una ecuación. 3x + 1. x2 + x – 210 = 0 e. una de cada lado del símbolo igual. las otras dos expresiones cuentan con una igualdad que indica que las dos son expresiones algebraicas. indd 97 12/24/13 2:38 PM Prohibida su venta 97 1/30/14 5:52 AM . en el área de pintura para cajas de carga de las camionetas y camiones que vende la compañía. inciso a. que hagan las correcciones correspondientes.¿Modelar con matemáticas? 3. así como en las instituciones que realizan pronósticos económicos. Comenten si es posible representar las expresiones anteriores como el producto de dos factores con un término común. x Dé instrucciones de resolver los incisos a y b de manera individual. explíqueles que un modelo matemático se utiliza para expresar relaciones entre variables de forma que representen comportamientos en ciertas circunstancias. Consideren el siguiente modelo que representa la caja de otro camión. por ejemplo. escriban la expresión algebraica que permite calcular el área del rectángulo: x(2 + x) • Si el área del rectángulo es igual a 2x2. En las empresas que se dedican al desarrollo de materiales o productos. Algunos ejemplos son los siguientes: Propuestas didácticas Los estudiantes deberán explicar qué significado tiene para ellos un modelo matemático. entre otros. Entonces organice al grupo en equipos de tres integrantes para que revisen sus resultados y. y que propongan más situaciones de la vida cotidiana en las que se podría recurrir a un modelo matemático para resolver el problema. x 2+x • Con base en la información. Raúl trabaja en la industria automotriz. los modelos matemáticos pueden ser de ayuda para analizar situaciones concretas de manera abstracta. Cuando hayan vertido sus ideas. • Escriban la fórmula para determinar el área de cualquier rectángulo: bh • Sustituyan en la fórmula las expresiones algebraicas de la imagen para determinar el área del rectángulo de la caja del camión. Dado que los estudiantes suelen confundir el producto con la suma al utilizar literales. y 3xx a diferencia de 3x + x. demográficos. las matemáticas sirven para hacer modelos y tomar decisiones. Dada una expresión matemática. Raúl debe pintar la parte lateral externa de la caja de un camión que tiene un área de 27 m2. en vez de xx = x2. ¿cuál es el valor de x? 3 Información complementaria b. en los casos que sea necesario.indd 73 SMAT3LRCONAPL07-097-112. Aclare la diferencia entre x(2 + x) y x + (2 + x). escriban la expresión algebraica que representa su área: x2 + 2x = 2x2 o x2 – 2x = 0 • ¿Cuál es el valor de x? 2 i Describan su procedimiento. 73 PM3STJCONA-PL05-65-80. Sus medidas aparecen en la imagen. es común que den el resultado de xx = 2x. Lean la información y resuelvan en equipo. 3x Pida que lean el planteamiento del problema 3. Existen diferentes técnicas de factorización que ya han estudiado anteriormente. compárenlo con otros equipos y argumenten la veracidad del resultado y valídenlo con su profesor. la factorización es la descomposición de sus miembros en una multiplicación. a. x(3x) • ¿Cuál es el producto de la multiplicación anterior? 3x2 • A partir de la última expresión algebraica. pero del otro lado permanece el –22. ¿por qué x = 0 no puede ser la solución? Porque un rectángulo no puede tener una longitud de cero unidades. se debe hacer también del otro para mantener la equivalencia. la expresión w + 10 = –w2 + 22. haciendo las mismas operaciones en ambas partes de la igualdad. Supongamos que el largo del rectángulo de la caja del camión de la página anterior mide 3 + x. Por ejemplo. ya que se anula con el –22. y el área es igual a 2x2. • En el contexto del problema de la actividad anterior. por ejemplo. Por ello. por lo que ambos factores se x–2=0 pueden igualar a cero. Como podrán notar. Ejemplifique dando valores a y.4. de la siguiente manera: • Escriban la expresión anterior igualada a cero: 2x2 – x2 – 2x =0 • Simplifiquen los términos semejantes: x – 2x = 0 2 • Escriban el término cuadrático como dos factores: (x)(x) – 2x = 0 w + 10 = –w2 + 22 w + 10 + w2 = w2 – w2 + 22 w + 10 + w2 – 22 = 22 – 22 w + 10 + w2 – 22 = 0 • Con base en lo anterior. a. • ¿Qué valor puede adquirir x en el primer factor para que el resultado sea 0? 0 • ¿Qué valor puede adquirir x en el segundo factor para que el resultado sea 0? 2 c. Reunidos en pareja. Plantear la ecuación x – 3x = 0 y despejar la incógnita. x = 0 Haga hincapié en que el símbolo de igualdad representa un equilibrio entre las expresiones de cada lado. y lo que se hace de un lado. Igualen por separado ambos factores a cero. 3+x 2 • Describan el procedimiento que siguieron. x 2x2 d. 2. Una manera de resolver problemas como los anteriores es mediante el uso de las propiedades de los números que han estudiado en grados anteriores. 3. i Compartan su respuesta y su procedimiento con el resto del grupo. analicen la información y realicen lo que se indica. R. Propuestas didácticas La propiedad distributiva de la multiplicación establece que multiplicar una suma por un número es igual que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los productos. al igualarla a cero tenemos: w + 10 + w2 – 22 = 0. del lado izquierdo permanece este término mientras que del otro se anula con el –w2. Registren en el cuaderno sus conclusiones.indd 74 12/24/13 2:38 PM 1/30/14 5:52 AM . como la propiedad distributiva de la multiplicación. porque cero no puede representar la medida de una longitud. • ¿Qué valores puede adquirir x? 0 y 3 • ¿Ambos valores pueden ser solución del problema? Argumenten su respuesta. como una balanza. Verifiquen que dichos valores cumplen con la igualdad 2x2 = 2x + x2. ¿qué factor común tienen ambos términos? • Factoricen el primer miembro o lado izquierdo de la ecuación: (x) (x – 2)=0 b. Por ejemplo. Retomemos el problema del inciso b de la página anterior: • ¿Qué significa la expresión algebraica 2x2 = 2x + x2? El área del rectángulo Haga un paréntesis para explicar al grupo qué significa igualar a cero. Una manera de resolver una ecuación cuadrática es agrupar todos los miembros de un lado de esta. –1 y 2 o 1. haciendo paso por paso las agrupaciones. pida a su voluntario que lea el segundo párrafo. Algo similar sucede con el 22. Invite a algún voluntario para que lea el primer párrafo que aparece en azul al inicio de la página y pídale que explique el contenido. x y w con números enteros sencillos. Recalque la importancia de cuidar cada paso para conservar la equivalencia. decimos que la expresión quedó igualada a cero. el producto anterior es igual a cero. Una vez que su grupo se sienta cómodo con la información del primer párrafo. M. 1. 98 SMAT3LRCONAPL07-097-112. y se simplifican los términos semejantes: w2 + w + 10 – 22 = w2 + w – 12.indd 98 Prohibida su venta 74 PM3STJCONA-PL05-65-80. al sumar de ambos lados de la igualdad w2. para que comprueben la equivalencia de las expresiones. la expresión x(8 + 9w + y) se puede escribir como 8x + 9xw + xy. el alto se mantiene como x. No. Se ordenan los términos. como se muestra en la ilustración de la izquierda. considerando el de grado mayor. Plantear una ecuación. cuya área se calcula como el producto de la base por la altura y. ya que algebraicamente se obtienen dos soluciones para x. y altura h. En particular. son dos procedimientos los que se pueden seguir: 2 2 Es importante que recalque que no basta con resolver una ecuación cuadrática para obtener el resultado de un problema. 75 PM3STJCONA-PL05-65-80. 2 Muestre que las expresiones bh y ( 1 ) bh. como el modelo triangular que se muestra a la derecha. forma un rectángulo o un cuadrado. • Cada factor se iguala con cero y se obtiene: (x + 12) = 0. ciones ( 1 ) ( bh ) = [(1)(bh)] = bh 2 1 2 [(2)(1)] Pida a los estudiantes que escriban los pasos que se realizan para llegar de la expresión x2 = 144. entonces (a + b) (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 • Utilizando operaciones inversas. i Comenta con el grupo las diferencias entre estos procedimientos y los que tú empleaste.indd 75 SMAT3LRCONAPL07-097-112. se tiene que: 360 = ( )(x)(5x). se calcula como base por altura sobre dos ( bh ) porque con cual2 quier triángulo es posible construir un paralelogramo si se reproduce un triángulo congruente al original y se unen. ¿Por qué en cada factor hay signos opuestos? Por el signo de término independiente (–144) c. es necesario hacer uso de la lógica para el problema en cuestión. Describan el procedimiento que siguieron para obtener la solución del problema. Primer procedimiento: De la expresión 144 = x2 se obtiene la raíz cuadrada en ambos miembros y esta queda como 144 = x2 . i Comparen su procedimiento con el de otros equipos y argumenten la veracidad del resultado. explicando 2 2 que bh es lo mismo que bh . por tanto. En una empresa se dedican a la construcción de grandes vitrales. donde las medidas están dadas en centímetros. a x2 – 144 = 0 5x 360 x a. • ¿Cuál es el valor de x? 12 y – 12 Segundo procedimiento: La expresión x2 = 144 se iguala a cero. ¿Los valores obtenidos para x pueden ser solución del problema? Justifica tu respuesta. • A partir de la expresión 144 = x2. (x – 12) = 0. porque no hay longitudes negativas. Para realizar este diseño. R. 2 • Se utilizan operaciones inversas y se obtiene: 720 = 5x2. Vitral triangular. • Se factoriza el miembro del lado izquierdo: (x – 12) (x + 12) = 0. cualquier triángulo rectángulo.Solución de ecuaciones cuadráticas 5. • La expresión para determinar el área de un triángulo es: A = bh = ( 1 2 2 1 • Al sustituir la fórmula en el problema. M. ensamblados con varillas de plomo. al juntarse con un triángulo congruente a él. un estudiante realizó el siguiente procedimiento: )bh. b. Analiza la información y responde. como en el caso del problema 6. Lean en equipo la información y resuelvan.indd 99 12/24/13 2:38 PM Prohibida su venta 99 1/30/14 5:52 AM . Con ayuda del profesor. primero hacen un modelo como el de la figura verde. Solo 12. son equivalentes. igualarla a cero y factorizarla para despejar la incógnita. la expresión 720 = 5x queda como 144 = x . sin embargo. y como ab = ba. elaborado con vidrios de colores. discútanlo y registren sus acuerdos. la mitad del paralelogramo se calcula como bh que es exactamente el área del triángulo que lo formó. • Sustituyan las expresiones algebraicas en la fórmula para determinar el área del x(5x) 2 triángulo del modelo y determinen la expresión resultante: 2 = 360 o 5x -720 = 0 • ¿Cuál o cuáles son valores de x? 12 y –12 b. y queda como x2 – 144 = 0. mas no suficiente. una de ellas no tiene sentido para la situación planteada. ¿Qué hizo para obtener 720 = 5x2? Multiplicó por 2 ambos términos. Escriban la fórmula para determinar el área de cualquier triángulo: 2 Propuestas didácticas Recuerde a los alumnos que el área de un triángulo cuya base es b. puede ser necesario. bh a. Recuérdeles que (a + b) (a – b) = a2 – ab + ba – b2. 1 Para resolver el problema anterior. de modo que se hace el producto de las frac- 6. Es la relación de dos expresiones matemáticas que tienen el mismo valor y están relacionadas con el signo igual. R. igualen con cero cada factor. A partir de la expresión que seleccionaron. Recuérdeles que suele ser conveniente escribir todos los pasos para evitar errores. dos. Después. multiplican ambos miembros de la igualdad por 2. • ¿Cuál es la igualdad que relaciona las expresiones algebraicas del modelo? 2x2 = 20x – 25 • ¿Cuál es el valor de x? 1. de esta forma identificarán a cuál de los binomios se refiere cada una de las ecuaciones. • Si ahora la expresión se iguala a cero. ¿qué resultado obtienen? 4x2 = 40x – 50 • De la última expresión. L. L. Propuestas didácticas En relación con el último punto del inciso b. R. generalice con su grupo los siguientes resultados: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. ¿conviene utilizar la propiedad de dividir ambos miembros de la igualdad entre 5? Argumenten su respuesta. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. y en el caso de las ecuaciones cuadráticas. Si en la igualdad 4x2 = (5)(4x – 5) se obtiene el producto del miembro del lado derecho. 100 SMAT3LRCONAPL07-097-112.indd 76 12/24/13 2:39 PM 1/30/14 5:52 AM . sobre todo si aún no se tiene control total en los pasos algebraicos. ¿cuál es el resultado? 5 Haga énfasis en que siempre que se halla un resultado. igualdad. ¿cuál es el resultado? Dos. se debe comprobar sustituyendo el valor obtenido en la ecuación. respondan las preguntas. ¿cuántos términos tiene cada factor? 4x2 – 20x + 25 = 0 • Si se obtiene la raíz cuadrada del término cuadrático.5. ¿cuál es el resultado? x • ¿Qué relación tienen los resultados anteriores con los factores del producto para obtener el trinomio? 5 • ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones corresponde al trinomio 4x2 – 20x + 25? Justifiquen su respuesta.indd 100 Prohibida su venta 76 PM3STJCONA-PL05-65-80. ¿el resultado es el mismo? Justifiquen y con ayuda de su profesor elaboren conclusiones. de lo contrario hay que revisar cada uno de los pasos hasta identificar dónde estuvo el error. b. y una vez que se ha igualado a cero. Después encuentren las soluciones de estas ecuaciones. se obtiene un trinomio del lado izquierdo. R. Con base en la información que se proporciona. a. (2x – 5)(2x – 5) • Si se obtiene la raíz cuadrada del término independiente. En pareja lean el planteamiento. x1 = –1 • 3x2 + 8x – 9 = 2x • 108a + 6a2 = 15a2 • 196x2 + 196x = 200x2 a1 = 0 x1 = 0 • –15x2 – 40x = –20x2 – 8x p1 = 0 x1 = 0 • y2 = –45 + 14y y1 = 9 • 24p2 – 12p = 24p – 12p2 x2 = 3 a = 12 2 x2 = 49 p =1 2 x2 = 6. (2x – 5) = 0 (2x – 5) = 0 • ¿Cuál o cuáles valores puede adquirir x? Tiene una sola solución 2.Método de factorización 7. hay que reducir a términos semejantes. y si la igualdad se satisface entonces es correcta.4 y 8. L. analicen la figura y resuelvan en su cuaderno. lean la siguiente información y discutan las ideas centrales. d. (a + b) (a – b) = a2 – b2 4x – 5 Solicite a los jóvenes que desarrollen paso a paso las expresiones algebraicas y que las escriban en sus cuadernos hasta dejar una expresión similar a alguna de las que se mostraron en los resultados anteriores. ¿cuál es dicha expresión? 4x2 = 20x – 25 • Si el trinomio se escribe como el producto de dos factores. e.5 • Si en la igualdad escrita antes. La figura de la izquierda tiene un área de 2x2. • (2x + 5)(2x + 5) • (2x + 5)(2x – 5) • (2x – 5)(2x – 5) c. Comparen el resultado anterior con el que obtuvieron en el inciso a.4 y =5 2 i Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y en grupo validen los métodos de resolución. Las expresiones algebraicas como las que han trabajado en la lección se conocen como cuadráticas o de segundo grado, y se pueden resolver utilizando la factorización, como viste en el ejemplo anterior. Este método se utiliza cuando otros recursos, como el cálculo mental o las operaciones inversas, no son los más pertinentes. Propuestas didácticas Al igualar a cero los términos de un polinomio o una ecuación de segundo grado, esta se puede factorizar. Después, cada factor se iguala a cero y, a partir de ello, se obtienen las soluciones de la ecuación, por ejemplo: • Cuando los términos de un polinomio o ecuación de segundo grado tienen un factor común. En este caso, 3x2 – 3x se puede factorizar como: 3x(x – 1) Explique al grupo que una función cuadrática de la forma y = kx2 + c, donde k y c toman valores en el conjunto de los números reales, es una función cuya curva representa una parábola; una parábola puede cruzar el eje de las abscisas en dos puntos. Otras funciones pueden representar curvas que crucen en varios puntos al eje x. • Cuando tenemos un trinomio cuadrado perfecto, se deben cumplir las siguientes condiciones, usando la expresión general ax2 + bx + c, a y c: deben tener raíz cuadrada exacta y b tiene que ser igual al producto de las raíces de a y c multiplicado por 2. Aquí los factores pueden ser de suma o resta, como se muestra a continuación: De suma: x2 + 4x + 4 = 0 queda como (x + 2)(x + 2); de resta: x2 – 4x + 4 queda como (x – 2)(x – 2). Cuando se igualan a cero las ecuaciones de segundo grado, lo que se está haciendo es buscar los puntos para los cuales la función se hace cero, es decir, los puntos para los cuales la función atraviesa el eje de las equis. Cuando se tiene una diferencia de cuadrados, ambos términos deben tener raíz cuadrada exacta, y el binomio en cada factor debe tener signos opuestos, por ejemplo: 4x2 – 16, factorizado queda: (2x + 4)(2x – 4). Por ejemplo, cuando se tiene x2 + 4x + 4, al factorizar hallamos que la expresión equivalente es (x + 2) (x + 2) = (x + 2)2. Nos preguntamos entonces qué valores debe tener x para que esta expresión sea igual a cero; es decir (x + 2)2 = 0; pues basta que x sea igual a –2 para que la igualdad se cumpla; en este caso, se tiene una solución. 8. Factoricen las ecuaciones y verifiquen las soluciones con un modelo geométrico. a. 49 – a2 (–a + 7)(a + 7) c. x2 + 2xy + y2 (x + y)(x + y) e. 81g2 + 54g + 9 (9g + 3)(9g + 3) g. w2 – 10w + 21 (w – 7)(w – 3) b. x2 – 2xy + y2 (x – y)(x – y) d. 9m2 – 24m + 16 (3m – 4)(3m – 4) f. 64k2 – 100 (8k – 10)(8k + 10) h. 9c2 + 21c + 10 (3c + 5) (3c + 2) i Socialicen sus respuestas y, con la ayuda de su profesor, elaboren enunciados que indiquen los pasos a seguir para factorizar los casos g y h. i Seleccionen una de las ecuaciones anteriores y planteen, en su cuaderno, un problema que se pueda resolver con ella. Reto Física y ecuaciones cuadráticas 1. Analiza la información y resuelve el problema. Calcula el tiempo que tardaría en caer un objeto que se lanza hacia arriba a una velocidad inicial de 400 pies (ft) por segundo. La expresión que modela dicha situación es: h = –16t2 + v0t, donde h es la altura, t el tiempo y v0 es la velocidad inicial. a. ¿En qué tiempo regresaría el objeto al piso? Considera que h = 0 y v0 = 400 ft/s 25 segundos b. Si después de un tiempo el objeto recorre una altura de 2 400 pies, ¿qué tiempo tarda en llegar a esa altura? Considera que h = 2 400 10 segundos i Comparte tus experiencias en clase, y si hay dudas, pide apoyo al profesor. Para el caso en el que la factorización nos dé la expresión (x + 2) (x – 2), tenemos que encontrar los valores que toma x para los que la igualdad se cumple: (x + 2) (x – 2) = 0; en este caso tenemos dos valores x1 = 2, y x2 = –2; es decir, esta curva intersecta al eje X en dos puntos, –2 y 2. En el interactivo “Baldosas algebraicas” del siguiente sitio podrás practicar: nlvm.usu.edu/ es/nav/frames_ asid_189_g_2_t_2.html? open=actiities&from= topic_t_2.html Del lado derecho de la pantalla aparecen algunas preguntas que se relacionan con lo que solicita el interactivo. Conforme obtengas las respuestas, pasa a la siguiente pregunta. Respóndelas todas. Comparte tus experiencias en clase y, si hay dudas, pide apoyo al profesor. (consulta: 14 de noviembre de 2013) En algunos casos, para completar el binomio al cuadrado perfecto, es necesario sumar o restar algún natural a la expresión algebraica para completar el cuadrado natural, y esto se vale al igualar a cero y sumando o restando, según sea el caso, de ambos lados el número necesario para conservar la igualdad. 77 PM3STJCONA-PL05-65-80.indd 77 SMAT3LRCONAPL07-097-112.indd 101 12/24/13 2:39 PM Prohibida su venta 101 1/30/14 5:52 AM 9 Propuestas didácticas Rotación y traslación Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido: Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras Pida a los estudiantes que definan los conceptos de rotación y traslación y de qué manera se relacionan estas con los ejes de simetría. Permita que den todo tipo de opiniones, después dé instrucciones de resolver las actividades de la página. Simetría axial, análisis de sus propiedades 1. Analiza la situación y realiza lo que se solicita. Recuerde a los estudiantes que un eje de simetría funciona como un espejo, y es fácil comparar dos figuras si se dobla por el eje de simetría y se comprueba que las figuras coinciden perfectamente, en cuyo caso se trata de figuras simétricas con respecto a esa línea llamada eje axial. Kabindú es maestro de yoga y eligió, como logotipo de su escuela, un mandala de forma circular. Él afirma que para trazar el logotipo se deben aplicar las propiedades de la simetría axial. a. Completa el mandala. Considera que es simétrico respecto a la recta m. b. Localiza el vértice simétrico de A y nómbralo A’. c. Traza un segmento de recta que una los puntos A y A’. Solicíteles que analicen la figura que se presenta en la página y que traten de identificar los polígonos y figuras geométricas que se trazarían si se continuara dibujando la figura hasta completar la circunferencia que contiene a los puntos A y m. A Pregunte a los jóvenes de qué manera se puede trazar un polígono regular inscrito en una circunferencia. m Información complementaria Un polígono inscrito en una circunferencia tiene todos sus vértices sobre la circunferencia; un polígono regular inscrito en una circunferencia tiene su centro en el centro de la circunferencia y el número de lados que tenga, dividido entre 360 da por resultado la medida de sus ángulos interiores, pues 360 es un giro completo. A’ • ¿Cómo es el segmento que une los puntos A y A’ respecto al eje de simetría? Perpendicular • Mide la distancia del punto A y del punto A’ al punto m. ¿Cómo son A y A’ con respecto de m? La distancia es la misma. • Elige un ángulo de la figura original y localiza su correspondiente. ¿Cómo son los ángulos entre sí? Son iguales, miden lo mismo. • Justifica por qué el mandala cumple con las propiedades de la simetría axial. R. M. Porque las figuras correspondientes tienen las mismas propiedades, la medida de lados, de ángulos y la distancia de cada uno al eje de simetría es la misma, en cada caso. i Comenta con tus compañeros el procedimiento que seguiste para completar el mandala. En grupo socialicen sus argumentos con base en la geometría y lleguen a acuerdos. 102 SMAT3LRCONAPL07-097-112.indd 102 Prohibida su venta 78 PM3STJCONA-PL05-65-80.indd 78 12/24/13 2:39 PM 1/30/14 5:52 AM d. En grupo, completen las siguientes afirmaciones. En cualquier construcción de simetría axial... es la misma • la medida de los lados de la figura original que la medida de los Propuestas didácticas lados de la figura simétrica. • La medida de los ángulos de la figura original es la misma que la medida de los ángulos de su simétrico. En relación con el inciso d, ponga a discusión en su grupo si dos figuras simétricas respecto a un eje, son figuras semejantes, congruentes, las dos opciones o ninguna y por qué. Obtengan conclusiones grupales a partir de las consecuencias que tiene el que dos figuras sean simétricas entre sí, en cuanto a sus áreas, perímetros, formas, etcétera. • Para trazar el simétrico de una figura original es suficiente trazar el simétrico de cada vértice porque al unirlos se forma la figura simétrica. i Validen sus resultados con la ayuda de su profesor. Traslación de figuras regulares e irregulares Debatan si dada una figura geométrica, al reproducir otra igual a ella pero a escala, es posible colocarlas de tal forma que sean simétricas entre sí respecto a un eje; pida que argumenten las respuestas. 2. Analiza los trazos y responde en el cuaderno. En una clase de matemáticas, la maestra pidió a sus alumnos reproducir las siguientes banderas: Recuerde el significado de vértices correspondientes, lados correspondientes, y trace en el pizarrón un par de polígonos para que algún voluntario pase a señalar los vértices correspondientes, nombrándolos con letras (a con a', b con b' y así sucesivamente). Bandera de la Unión Europea Bandera de Bosnia y Herzegovina Pida a los estudiantes que diseñen en el cuaderno una bandera y que la reproduzcan en la misma hoja haciendo una traslación. Invítelos a analizar las relaciones que hay entre las líneas que unen los vértices correspondientes. Pregunte cómo serían dichas líneas que unen puntos correspondientes si alguna de las figuras se gira un cierto grado. Héctor, uno de sus alumnos, trazó la bandera de Bosnia y Herzegovina. E1 E2 E3 Haga notar que las estrellas que van dentro de la bandera que dibujaron de Bosnia Herzegovina, son estrellas congruentes entre sí y que han sido trasladadas respecto de E1, por ejemplo (también podría ser respecto de E7 u otra); de manera similar, las estrellas que están en la bandera original son polígonos trasladados entre sí y con respecto a la bandera dibujada, siempre y cuando esta última haya sido dibujada como un traslado de la bandera original. E7 a. Verifica que todas las estrellas sean iguales. Sí, todas las estrellas son iguales. b. Considera únicamente las estrellas completas; ubica la estrella que ocupa la posición 7 y llámala E7. Traza un segmento que una los vértices correspondientes de E7 con los de E1. • ¿Cómo son los segmentos que unen los vértices de E1 y E7? Paralelos • ¿Cómo es la distancia entre los vértices de E1 y los correspondientes de E7? Todas miden lo mismo. • ¿Qué sucede con el segmento que trazaste y los vertices de las otras estrellas? Pasa por los vértices • ¿E1 ⬵ E7? ¿Entonces E2 ⬵ E7’? Explica. Sí, porque son traslaciones. correspondientes de • ¿Qué propiedades conservaron las estrellas? Todas, forma y tamaño todas las estrellas. • Al analizar las construcciones, un estudiante afirmó que las estrellas “se trasladan”. ¿A qué se refiere con “trasladar”? R. M. Que se mueven de un lugar a otro, en línea recta, sin modificar sus propiedades. i Comenta con tus compañeros y profesor los procedimientos que seguiste para trazar las estrellas. Discutan qué entienden por “traslación”. 79 PM3STJCONA-PL05-65-80.indd 79 SMAT3LRCONAPL07-097-112.indd 103 12/24/13 2:39 PM Prohibida su venta 103 1/30/14 5:52 AM 3. Completa la bandera de la Unión Europea y responde. A’ E’ E B’ 1 D’ C’ Propuestas didácticas E2 La actividad del punto 3 en relación con la actividad anterior, puede utilizarse para contrastar dos situaciones aparentemente diferentes, y con su análisis se apoyará la comprensión del concepto de traslación. Pregunte al grupo si las estrellas de la bandera de la Unión Europea son estrellas trasladadas o rotadas, si son congruentes entre sí o semejantes y que argumenten cada una de sus respuestas. a. Describe el procedimiento que seguiste para trazar las estrellas. R.L. Pida que utilicen las dos banderas de Bosnia Herzegovina que aparecen en la página anterior y que unan los vértices correspondientes de las estrellas de una bandera con respecto a la otra; luego, pregunte: ¿cómo son las líneas que unen los vértices de cada pareja de estrellas? Solicite que elijan un par de estrellas, no importa cuáles y que tracen una línea recta entre sus vértices correspondientes. Pregunte: ¿Cómo son estas líneas entre sí?, ¿se cruzan en algún punto?, ¿se trata entonces de estrellas trasladadas o rotadas una con respecto a la otra?, ¿era lo que pensabas inicialmente? b. Elige la estrella E1; y etiqueta sus vértices como A, B, C, D, E. • Ubica la estrella que se encuentra inmediatamente a la derecha de E1 y nómbrala E2. Etiqueta los vértices de E2, como A’, B’, C’, D’, E’. • Une los vértices A y A’. Haz lo mismo con los vértices B, B’; C, C’; D, D’ y E, E’. • Registra la longitud de los siguientes segmentos: AA’: 1 cm BB’: 1 cm CC’: 1 cm DD’: 1 cm EE’: 1 cm Generalmente los estudiantes creen que por la posición circular de los polígonos, se trata de rotaciones, pero al verificar que las líneas que unen vértices correspondientes son paralelas, verán que se trata de estrellas trasladadas. • Prolonga los segmentos AA’ y BB’. ¿Cómo son entre sí los segmentos que se forman? Son paralelos c. Traza y mide los segmentos AB y A’B’, ¿cómo son entre sí las medidas obtenidas? Iguales • Mide todos los lados de E1 y E2. Identifica los lados correspondientes y compara las mediciones obtenidas. ¿Qué relación puedes establecer entre la medida de los lados? Tienen la misma medida. Pregunte entonces cuántas traslaciones se requieren para llegar de una estrella a otra dentro de la misma bandera, donde una traslación la pensamos como un desplazamiento sobre una línea recta, ya sea hacia un lado o hacia el otro, pero si se requiere un desplazamiento en otra dirección, entonces se tratará de una segunda traslación. • ¿Es posible generalizar esta relación para las demás estrellas? ¿Por qué? Sí. Porque en todos los casos se da la misma relación. d. Prolonga los segmentos AB y A’B’; CD y C’D’. • ¿Cómo son entre sí las rectas que se construyen en cada caso? Paralelas • ¿Qué relación puedes establecer de lo analizado? R. M. Que las estrellas son congruentes y son una traslación. • ¿Esta relación se puede generalizar para las demás estrellas? ¿Por qué? R. M. Sí, tienen la misma propiedad, todas pueden ser una traslación de cualquiera de ellas. 104 SMAT3LRCONAPL07-097-112.indd 104 Prohibida su venta 80 PM3STJCONA-PL05-65-80.indd 80 12/24/13 2:39 PM 1/30/14 5:52 AM • Mide los ángulos internos de E1 y E2. ¿Cómo son los ángulos de ambas figuras? Iguales, miden lo mismo. • ¿Qué puedes concluir a partir de las mediciones realizadas? Que todas las figuras son congruentes. Propuestas didácticas i Socializa tus respuestas y, con ayuda de tu profesor, redacta una conclusión acerca de las propiedades que estudiaron. Una vez que hayan respondido la actividad del inciso e, invite al grupo a compartir las propiedades escritas en su libro con los compañeros; póngalas a discusión y obtengan conclusiones grupales, mismas que quedarán escritas en el pizarrón. e. Al trazar las estrellas de las banderas, tanto de la Unión Europea como de Bosnia y Herzegovina, aplicaste la traslación. Analiza las conclusiones a las que llegaste en las actividades anteriores y escribe tres propiedades de la traslación. R. M. • El movimiento es en línea recta. Luego invite a un voluntario a dar lectura al texto que aparece en azul. • Conservan su orientación. • Las figuras trasladadas son congruentes con la original. Dados los dos triángulos, a simple vista se podría pensar que está girado uno con respecto a otro, sin embargo, la forma de comprobar si las figuras geométricas son una traslado de la otra, es aplicar la estrategia de unir con líneas los vértices correspondientes. Si las líneas son paralelas entre sí, entonces se trata de una traslación. i Socializa tus respuestas en grupo y, junto con su profesor, redacten los criterios que determinan que una figura sea traslación de otra. 4. Investiguen en un medio impreso o electrónico las propiedades de la traslación. R. L. • Analicen la información obtenida y compárenla con las propiedades que enunciaron anteriormente y con el siguiente texto. Pregunte por qué en una transformación como la traslación, se conservan las longitudes de los lados y el tamaño de los ángulos de la figura original. Ponga a discusión si es posible aplicar una o más traslaciones, de manera que la figura trasladada tenga una orientación diferente a la de la figura original, en su caso, que dibujen un ejemplo en el pizarrón, de lo contrario, que argumenten por qué no es posible. Una figura es traslación de otra cuando: • Todos los vértices y lados de esta se desplazan en una misma dirección; es decir, en una trayectoria recta. • Conserva la medida de los lados y de los ángulos de la figura original. • Los segmentos que unen los vértices correspondientes de ambas figuras son paralelos. • Conserva la misma orientación. • Los lados correspondientes de la figura original y de la figura que se trasladó son paralelos. A A’ B C Finalmente, cuestione qué relación tienen los lados correspondientes de una figura trasladada con respecto a la original y que expliquen a qué se debe dicha relación. B’ C’ i Analicen el ejemplo anterior y argumenten, con base en la información proporcionada, por qué los trazos que realizaron son traslaciones. 81 PM3STJCONA-PL06-81-96.indd 81 SMAT3LRCONAPL07-097-112.indd 105 12/24/13 2:40 PM Prohibida su venta 105 1/30/14 5:52 AM Transformaciones en el plano: rotación 5. Analiza los trazos y responde. Osiris construye un rehilete como el que se muestra a partir de los siguientes triángulos. Propuestas didácticas Indique a los alumnos que tracen sobre el rehilete que aparece en la página los ejes de simetría, si es que los hay; en caso de no haberlos, entonces que traten de explicar el tipo de transformaciones que se practicaron para llegar de un triángulo a otro. A B B’ Para trabajar las transformaciones, puede hacer uso de cartoncillo o papel; se traza el triángulo o figura en cuestión sobre el cartoncillo, se recorta y se hacen con ella los movimientos de rotación y traslación sobre el papel hasta llegar de un punto al otro y se va trazando el contorno de la figura que se traslada; de manera análoga se reproducen diferentes figuras a partir de la original que se gira y desplaza sobre la hoja de papel. Con este método, los estudiantes podrán identificar el tipo de transformaciones que se aplicaron para obtener el rehilete. C Triángulo original A’ C’ Figura 1 3 2 1 Figura 3 Figura 2 Solicite a los jóvenes que establezcan a simple vista el ángulo que giró cada vez el triángulo señalado con el número 1, para llegar a la posición del triángulo 2, luego del 1 al 3 y del 1 al 4; y de forma análoga del triángulo 2 al triángulo 3, del 2 al 4 y del 3 al 4. Luego, ponga a discusión de qué manera se puede comprobar que efectivamente se ha realizado el giro con el ángulo descrito al realizar el análisis a simple vista. Otro punto muy importante que deberán identificar es el punto respecto al cual se hace el giro. a. Compara los triángulos ABC y A’B’C’ y enuncia qué propiedades geométricas los caracterizan. R. M. Son triángulos rectángulos congruentes. b. ¿Los triángulos ABC y A’B’C’ son simétricos? Explica con argumentos geométricos. No, porque no hay un eje o centro de simetría entre ellos. c. Considera al triángulo ABC como la figura original. El triángulo A’B’C’, se obtuvo al girar el triángulo ABC con base en un punto y en un ángulo. Osiris giró 90° a la derecha el vértice A del triángulo original, y obtuvo el vértice A’. ¿Cuánto giró, y en qué dirección, los vértices B y C para obtener B’ y C’? 90° a la derecha d. Para trazar el triángulo 2, de la figura 2, ¿cuántos grados y hacia dónde debe girar Osiris los vértices A, B y C? ¿Por qué? 180° hacia cualquiera de los dos lados e. ¿Cuánto debe girar y en qué dirección para construir el triángulo 3? 90° a la izquierda o 270° a la derecha f. ¿Cuántos grados debe girar el triángulo original para quedar en la misma posición? Justifica tu respuesta. 360° i Comparte tus respuestas con el grupo y valídalas con el profesor. 106 SMAT3LRCONAPL07-097-112.indd 106 Prohibida su venta 82 PM3STJCONA-PL06-81-96.indd 82 12/24/13 2:40 PM 1/30/14 5:52 AM Obtengan la medida de los siguientes ángulos: • ⬔COC’: 50° • ⬔DOD’: 60° • ¿Los segmentos AD y A’D’ son congruentes? Argumenten. mediatriz. Sí • ¿Cómo es la medida de los ángulos correspondientes del cuadrilátero ABCD y A’B’C’D’? Es la misma. B. se aplicó una rotación. Juegue con los estudiantes a girar el polígono recortado desde diferentes puntos. • Prolonguen las mediatrices de los segmentos anteriores hasta que se intersequen. B.indd 107 12/24/13 2:40 PM Prohibida su venta 107 1/30/14 5:52 AM . Pregunte qué tipos de transformaciones se tienen que realizar y con respecto a qué punto es que se hacen los giros. R. los dibujos quedarán trazados en el cuaderno y tratarán de determinar el tamaño del giro que se practicó en cada caso para obtener cada una de las figuras congruentes en los dibujos. La mediatriz de un segmento de recta es la recta perpendicular que pasa por su punto medio. B’. En pareja. C y D. L. lo pueden calcar para facilitar su obtención. • Determinen la mediatriz de los segmentos CC’ y DD’. C’ y D’. a. De manera análoga. B’ • Observen el cuadrilátero en el que se muestran los vértices A. Para trazar los triángulos que forman el rehilete y los cuadriláteros que forman la estrella. marcando sobre una hoja de papel las figuras congruentes y cuidando que no se sobrepongan los polígonos entre sí. Valídenlos con ayuda de su profesor. A Propuestas didácticas A’ B D’ D C O C’ Indique al grupo que tracen el cuadrilátero de la figura en una hoja de papel. después intentarán hacer las transformaciones correspondientes para llegar a los otros cuadriláteros que conforman la estrella. • Denominen el punto de intersección como O. • ¿Los lados correspondientes del cuadrilátero ABCD son congruentes al cuadrilátero A’B’C’D’? Sustenten con base en la geometría. Primero sosteniéndolo de su vértice marcado con la letra C y haciéndolo girar con respecto a dicho punto. Sí. Analicen nuevamente las figuras y establezcan qué criterios determinan que una figura sea rotación de otra. luego lo deberán recortar y colocar sobre el cuadrilátero que tiene señalados sus vértices como A. Invítelos a comprobar el tamaño del giro utilizando el transportador.6. • Unan los puntos de C con C’ y D con D’. analicen la figura y hagan lo que se solicita. porque son figuras congruentes. Ponga a discusión en el grupo de qué manera consideran que se puede determinar el punto que fija la orientación del giro de la figura original para reproducir las figuras congruentes.indd 83 SMAT3LRCONAPL07-097-112. 83 PM3STJCONA-PL06-81-96. C y D. i Comenten con sus compañeros las respuestas y los criterios que establecieron. b. identifiquen los vértices correspondientes en alguno de los otros cuadriláteros y nómbrenlos como A’. que construyan la figura que se obtiene de girar el cuadrilátero desde sus otros vértices señalados con las letras B y A. L. Investiguen en un medio impreso o electrónico las propiedades de la rotación y sus diferencias con la traslación y la simetría axial. En pareja. L. y otra más con un giro de 180 grados. posteriormente verán qué tan cerca o lejos estaban de sus predicciones. y ese es justamente el motivo por el que las distancias correspondientes son iguales. Es una transformación que se da respecto de un punto o centro de simetría y que debe cumplir con las siguientes condiciones: a) Un punto P y su simétrico P’ deben estar a igual distancia del centro de simetría. una haciéndolo girar 90 grados. El centro de rotación lo deberán verificar trazando las correspondientes mediatrices. En el caso de la estrella de la página anterior. tracen en su cuaderno un ejemplo en el que se aplique la rotación. N O M C Q P O’ N’ M’ 108 SMAT3LRCONAPL07-097-112. hagan lo que se indica y respondan. solo puede describir una trayectoria circular. R. B Invite al grupo a construir diferentes imágenes formadas a partir de un polígono que se gira con respecto a un punto. Propuestas didácticas Rotar una figura significa moverla a la derecha o a la izquierda respecto de un punto específico o centro de rotación dado el valor del ángulo de giro. pida a los estudiantes que marquen con su lápiz el punto que consideren que corresponde al centro de rotación. L. R. El ángulo que forman ambos con el centro de rotación es siempre el mismo. Plantee: ¿Qué otros giros son fáciles de identificar utilizando la cuadrícula? Antes de trazar las mediatrices respectivas del punto 8 para identificar el centro de rotación. • Cuando la rotación es de 180°. su simétrico P’ y el centro de simetría pertenecen a una misma recta. Expónganlo al resto del grupo y valídenlo con argumentos geométricos. R. Por tanto.indd 108 Prohibida su venta Q’ P’ 84 PM3STJCONA-PL06-81-96. como se observa en la imagen. otra con giros de 45 grados.7. • Utilicen el procedimiento empleado en la estrella de la página anterior. B’ simetría central. al aplicar la simetría central se obtiene la misma figura con una rotación de 180°. y deberán escribir el tamaño del giro realizado en cada figura congruente. b. El centro de rotación de una figura 8. pregunte si son las mismas o no y a qué se debe este resultado.indd 84 12/24/13 2:40 PM 1/30/14 5:52 AM . Una figura es rotación de otra si los vértices de las dos se encuentran a la misma distancia del centro de rotación y si cada uno de los ángulos que se forman al unir dos vértices correspondientes con el punto O miden lo mismo que el ángulo de rotación. el punto O que encontraron representa el centro de rotación. Invite a los alumnos a usar el mismo polígono para construir diferentes imágenes. la figura que se obtiene cumple con las condiciones de simetría central. Analicen la información obtenida y compárenla con sus conclusiones y con el siguiente texto. llámenlo C. • Con base en lo anterior validen si el rehilete y la estrella cumplen con las propiedades de la rotación. En pareja. Utilicen hojas cuadriculadas para realizar más imágenes a partir de polígonos que giran con respecto a un punto. y cualquier punto sobre la figura. i Socialicen sus respuestas y acuerden sobre los criterios que determinan que dos figuras tengan rotación. como se mostró en la página anterior de su libro. pues una circunferencia tiene todos sus puntos a la misma distancia de su centro. a. a. b) El punto P. Haga notar al grupo que fijar un punto respecto del cual se hace girar la figura geométrica restringe el movimiento de dicha figura. 90° A A’ Solicite que midan la distancia que hay entre cada uno de los vértices al centro de rotación y comparen las distancias correspondientes. Determinen el centro de rotación de las figuras. 1) b. 1). a. ¿en qué coordenada se ubica el vértice C? (1. –4). Propuestas didácticas Sí. como se indica en una de las actividades. independientemente de la dirección del giro? Que no pierden sus propiedades. -1) C 6 2 –10 –8 –6 –4 0 –2 O F E 2 4 5 8 También pueden determinar dos vértices de uno de los polígonos y a partir de ellos. hagan una construcción geométrica como las que hicieron en la lección. Si al girar a la derecha el cuadrilátero el vértice F se ubica en la coordenada (9. 80° • ¿Qué características tienen dos o más figuras al ser rotadas n grados.es/gauss/web/ materiales_didacticos /eso/actividades/ geometria/simetrias /simetria_rotacional /actividad.educacion . y las simetrías que se obtienen de los resultados obtenidos.html Rotación Realiza las actividades con el interactivo y después contesta las preguntas 1 a 4. • Tracen una figura con el mismo centro de rotación. recursostic. En los siguientes sitios podrás encontrar información sobre: Traslación jmora7. valídenlas con ayuda de su profesor. –6 B’ –8 C’ i Socialicen sus resultados y valídenlos con su profesor. 85 PM3STJCONA-PL06-81-96. A 4 • ¿Cuánto mide el ángulo de rotación? 95° a la derecha • ¿Cuáles son las coordenadas del punto O? (-1. • ¿Estas condiciones se pueden generalizar para todo tipo de forma geométrica? Justifiquen su respuesta.com/Mosaicos /2110trasfoto. con el fin de poner en práctica sus conocimientos y despejar dudas en caso de que las haya. Sus trabajos los presentarán al resto del grupo. y 6 5 E 4 F 3 C D 2 1 A B G 0 1 2 3 Invite a jugar a los estudiantes con los polígonos que aparecen en el recuadro de Reto cambiando de posición el centro de rotación y determinando un ángulo de rotación. ¿cuál es el ángulo de rotación que se aplicó? 30° i Socialicen en grupo sus argumentos y con ayuda del profesor lleguen a conclusiones. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Como cierre. Reto La posición inicial 1. b. Justifica tus respuestas.• Determinen la medida del ángulo de rotación. i En su cuaderno. i Comenten sus respuestas y registren sus conclusiones. de modo que tendrán que hallar los polígonos congruentes. también tracen un polígono congruente en el segundo cuadrante que sea resultado de una rotación respecto al centro de rotación hallado. R. Una vez que los alumnos hayan identificado el centro de rotación del polígono que se muestra en el inciso b.indd 109 12/24/13 2:40 PM Prohibida su venta 109 1/30/14 5:52 AM . –4 A’ D’ D –2 F’ E’ B 4 5 6 7 8 9 x Invite a los alumnos a ingresar en las páginas de Internet que se ofrecen en el recuadro lateral para que realicen las actividades ahí propuestas. solicite que además de trazar los vértices del polígono que se encuentra en el cuarto cuadrante.html Discute con tus compañeros la información que se encuentra en la página y analicen los ejemplos propuestos. Determinen el centro de rotación de las figuras del plano cartesiano y llámenlo O. L. Si el triángulo tiene un ángulo de rotación de 120º a la derecha. Planteen preguntas a sus compañeros acerca de qué movimiento aplicaron y pidan que los argumenten. En cada figura el punto rojo representa el centro de rotación.indd 85 SMAT3LRCONAPL07-097-112. resultan figuras congruentes. proponga que por equipos construyan algún dispositivo con movimiento que ayude a comprender y estudiar las transformaciones que se pueden aplicar a una figura geométrica. identificar el resto de vértices y el centro de rotación. cuyo vértice A" esté sobre la coordenada (2. Analiza las figuras y resuelve. M. ¿de qué manera sirve la cuadrícula para especificar la transformación aplicada. lleguen a acuerdos. para cuantificarla? ¿Qué cambia en el resultado si se decide tomar como figura original uno u otro polígono? Solicite al grupo que realicen las actividades de la página y que en la tabla escriban el procedimiento seguido. con ayuda del profesor. arguméntalas geométricamente y. espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido: Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central. de forma que deberán especificar no solo el ángulo de giro sino también las unidades que se trasladó el polígono. escribirán en el cuaderno los procedimientos utilizados para obtener las imágenes correspondientes. Argumenta tu respuesta. rotación y traslación Eje: Forma. e invítelos a realizar en el pizarrón los trazos que requieran para apoyarse en ellos con sus explicaciones.indd 86 12/24/13 2:40 PM 1/30/14 5:52 AM . Luego pida a los alumnos que analicen las figuras de las cuadrículas que aparecen en la página de su libro y que traten de determinar la transformación aplicada en cada caso. Simetría Antes de abordar el tema de la lección. utilizando alguno de los obtenidos con la transformación y el original pasará a ser imagen resultante. 180° c. pregunte al grupo qué relación tienen las transformaciones de rotación y traslación. 90° y en la imagen 2. es decir. Analiza cada caso y escribe el procedimiento que se siguió para hacer las construcciones. 1. considerando la longitud de cada cuadrito como una unidad. Original Original Imagen 1 Imagen 1 Imagen 22 Imagen Original Original Caso 1 Plantee las siguientes preguntas: ¿Se necesita la cuadrícula para determinar las transformaciones aplicadas a los polígonos de la página?. con la simetría axial. Retoma el caso 2 y traza la tercera cruz. sin hacer todavía ninguna comprobación. Caso 3 Rotación Caso 4 Traslación.indd 110 Prohibida su venta 86 PM3STJCONA-PL06-81-96. Trazar segmentos paralelos y congruentes a partir de cada vértice de la figura original y uniendo los extremos de los segmentos. simetría axial o reflexión b. a. R. 110 SMAT3LRCONAPL07-097-112. deberán cambiar de polígono original. Describe el procedimiento que seguiste. Caso 3 Original Original Original Caso 4 Caso 2 Construcciones Luego. i Compara tus respuestas con tus compañeros. la rotación y la traslación de figuras Indique a los adolescentes que harán uso de su juego de geometría en esta lección. Realiza lo que se solicita. Procedimiento Caso 1 Traslación o simetría axial o central Caso 2 Traslación. • ¿En qué sentido o dirección giró? A la derecha • ¿Cuál es la medida del ángulo de rotación? En la imagen 1.10 Propuestas didácticas Simetría axial. Analiza el caso en el que se aplicó la rotación y responde. también puede ser una rotación. Un objeto es simétrico respecto a otro si no se pueden distinguir entre sí. 15) A’ B’ (12. 12) C’ (16. • Tanto el centro de simetría como el punto sobre el polígono original y el punto correspondiente sobre el polígono imagen están sobre una misma recta. así pues. C’’ y D’’. es decir. 15) D (3. B’’: (25. Analiza la construcción. En una simetría central. 8) D’ (12. 12) (16. Analiza las figuras y haz lo que se solicita . Coordenadas A (3. En una traslación están implicadas la dirección. un cambio de posición de una figura geométrica determinada por un vector. ¿Y con respecto de la figura 3? 270° C’ C B B’ 3 1 A A’ i Socialicen los procedimientos empleados en la construcción de figuras que se trasladan y que se rotan. y Propuestas didácticas A B Haga que los estudiantes calquen los polígonos originales para trasladarlos o girarlos sobre las cuadrículas de su libro con la finalidad de que practiquen implicaciones al determinar los centros de rotación y procedimientos de traslación. 1) La traslación y la rotación son un tipo de isometría. aplica el mismo ángulo de rotación y traza las figuras 2 y 3. 1) y D’’: (21. C’’: (25. 3. 19) Figura original B C (7. traza otro cuadrado cuyas coordenadas del punto A’’ sean (21. original Original D C A’ B’ ra 1 gu Fi Simétrico D’ C’ A” Información complementaria B” D” C” x Simetría viene del griego y significa: con medida. 5). a. no se podría saber cuál fue el objeto original. • ¿Qué procedimiento se siguió para obtener las tres figuras? Valida tus respuestas con argumentos geométricos. • En la retícula.indd 111 12/24/13 2:40 PM Prohibida su venta 111 1/30/14 5:52 AM . 8) La palabra isometría. donde iso significa: igual y metría significa: medida. la transformación en la que cada punto sobre el polígono original se asocia a otro punto en el polígono imagen debe de cumplir con los siguientes puntos: • Un punto sobre el polígono original y el punto correspondiente sobre el polígono imagen deben tener la misma distancia al centro de rotación. tiene sus raíces en el griego.2. a.indd 87 SMAT3LRCONAPL07-097-112. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos B’’. si la figura se desplaza vertical u horizontalmente. ya obtenidos. de ahí que el significado es: igual medida. 19) (7. qué tanto se desplazó. Dos objetos son simétricos entre sí cuando uno se puede obtener a partir del otro aplicando ciertas operaciones. ¿Cuál es la medida del ángulo de rotación de la figura original con respecto de la figura 2? 180° b. 5). es decir. D Original D’ 2 87 PM3STJCONA-PL06-81-96. Una traslación de la figura original. Completa la tabla con las coordenadas de los cuadrados ABCD y A’ B’ C’ D’. es decir. y la magnitud. la traslación es una isometría en la que se aplica un desplazamiento. Al cambio de orientación de una figura se le llama rotación. a. Al aplicar una simetría axial. • En el cuaderno dibuja la figura original. es la misma. en donde se cumplen las siguientes condiciones: • Un punto cualquiera sobre la figura original mantiene una distancia constante con respecto a un punto fijo llamado centro de rotación. Comenten si las instrucciones que recibieron fueron suficientes. es decir. i Compara tus figuras con las de tus compañeros. Trazar un segmento AA´ y segmentos congruentes y paralelos al anterior y unir los extremos del segmento para formar la figura. según un sentido dado”. sino con respecto a un eje de simetría. • Completa la siguiente idea: Una traslación hace coincidir dos puntos X y Y cualesquiera de una figura con los puntos X’ y Y’ de la figura trasladada de manera que: Los segmentos formados por los puntos correspondientes sean paralelos y congruentes. • ¿Cuál es la relación de una figura y su imagen resultante al rotarse? Son congruentes. formará un ángulo de 90 grados. Explica el procedimiento que seguiste para trazarlas. como en la simetría central. y el eje de simetría será. i En pareja. Sí “Las rotaciones son giros alrededor de un punto. M. M. esa línea será perpendicular al eje de simetría. R.indd 88 12/24/13 2:40 PM 1/30/14 5:52 AM . W O W • Analiza la siguiente afirmación y valida su veracidad. con relación a la distancia del punto correspondiente sobre la figura imagen. cumpliendo las siguientes condiciones: • La distancia al eje de simetría de cualquier punto sobre la figura plana original. Si se hace en un cierto sentido la rotación. depende de la traslación que se aplique. Corrijan si lo consideran necesario. Rota la figura con respecto al punto O y con giro a la derecha de 120°. Haz los trazos que se indican. se considera negativo cuando el giro va en el mismo sentido que las manecillas del reloj y se considera positivo si el giro va en sentido contrario a las manecillas del reloj. • El giro se hace con un determinado ángulo. b. L. A cada punto de la figura geométrica original se le asocia un punto en la figura geométrica imagen. 112 SMAT3LRCONAPL07-097-112. ¿Algunos puntos de las figuras quedan en la misma ubicación después de trasladarlas? Explica. No necesariamente. Después valida tus construcciones. A’ A • ¿Qué instrucciones darías a otro compañero para que traslade la figura original de manera sucesiva? R.indd 112 Prohibida su venta 88 PM3STJCONA-PL06-81-96. ¿qué figura se obtiene? R.Combinación de simetrías 4. en consecuencia. • Utiliza la información anterior y construye en tu cuaderno la figura original y cinco traslaciones. rótala con un ángulo de 180° hacia la derecha sobre el vértice W. Traslada la figura con base en el punto A’. se conservan las distancias pero no las direcciones de los ángulos. la mediatriz del segmento que une a los puntos correspondientes. intercambien las instrucciones que escribieron y hagan los trazos. Información complementaria En una simetría axial se aplica una transformación no con respecto a un punto. • Si se une con una línea un punto sobre la figura original con el punto correspondiente sobre la figura imagen. A’ b. • Construye una conjetura sobre el resultado de reflejar una figura sobre dos rectas secantes y demuéstrala con un ejemplo. chocan con ella y se desvían con el mismo ángulo de incidencia. Trazar segmentos perpendiculares de los vértices de la figura al eje de simetría. Nombren los vértices de la figura como A’’B’’C’’D’’. 5. M. R. L. ¿Qué figura se formó? Expliquen. original. a un lado de este. R. la normal a la superficie (una recta perpendicular a la superficie) y el rayo reflejado están en el mismo plano. porque entre las figuras no quedan huecos ni se sobreponen. realicen los trazos y respondan. aplicarán sobre su libro el procedimiento usando su juego de geometría.c. una vez obtenido el triángulo imagen harán el siguiente doblez sobre la otra recta y a contraluz podrán hallar el polígono imagen. medir y seleccionar puntos a la misma distancia del eje de simetría y trazar la figura. conviene que en un inicio los estudiantes se familiaricen con los resultados de cada aplicación. apliquen la traslación respecto del punto D’’. • Escribe el procedimiento que seguirías para trazar la segunda figura a partir de la figura original. Tracen el cuadrado A’B’C’D’ rotado. La tercera es una traslación de la figura Después de haber utilizado el procedimiento con dobleces de la hoja. Ver figura. La reflexión es una simetría en la cual todos los puntos se reflejan con respecto de una recta que actúa como espejo. 89 PM3STJCONA-PL06-81-96. ¿se puede construir un teselado? ¿Por qué? Sí. C B h C’ B’ D A Información complementaria En nuestra vida cotidiana estamos en constante contacto con reflexiones. cuando vemos reflejadas imágenes en el agua o en un espejo. a. Pregunte al grupo si es lo mismo primero reflejar sobre la recta M1 y después sobre la M2 que primero usar la recta M2 y después reflejar con respecto a la M1.indd 113 12/24/13 2:40 PM Prohibida su venta 113 1/30/14 5:53 AM . i Hagan una construcción en la que combinen dos tipos de simetría y preséntenla al grupo. entonces harán los dobleces pertinentes para hallar las imágenes del triángulo. El rayo que choca con la superficie. Nombren los vértices de la figura simétrica como A’B’C’D’. Al doblar la hoja de papel a lo largo del eje de simetría. Tracen el simétrico del cuadrado ABCD con respecto del eje de simetría h. B C Propuestas didácticas M1 Dado que se aplicará más de una transformación en el inciso c. Un cuadrado • Al considerar como patrón las simetrías anteriores. A • Refleja el triángulo ABC sobre la recta M1.indd 89 SMAT3LRCONAPL08-113-128. de modo que puede hacerles la siguiente sugerencia: M2 En una hoja blanca calcarán el triángulo ABC y las rectas que ahí aparecen. c. • ¿Qué sucede si reflejas una figura sobre una recta y luego reflejas la imagen sobre otra recta que es paralela a la primera? Para sustentar tu respuesta. Por ejemplo. con ángulo de rotación de 90° respecto del punto D. Por ello podemos apreciar simetría en las imágenes que se ven en los lagos. si ven la hoja contra la luz. En pareja. haz los trazos en tu cuaderno y escribe tus conclusiones. podrán apreciar la posición del triángulo imagen y podrán trazarlo con su pluma o lápiz. Luego refleja la figura obtenida sobre la recta M2. lo que está ocurriendo es que los rayos de luz que inciden en esa superficie. Tracen el simétrico de la figura A’’B’’C’’D’’. • Repite este patrón cinco veces. Dígales que es muy importante que queden claras las transformaciones que deben aplicarse en cada caso. R P Q • Aplica las simetrías axial vertical y axial horizontal a otras figuras regulares y crea mosaicos simétricos. y aplica la simetría axial vertical y traza su simétrico de manera que el punto Q’ coincida con el punto Q. se encuentran muchas riquezas decorativas que contienen exóticos mosaicos simétricos.Mosaicos simétricos 6. Propuestas didácticas • • • • Una vez que hayan formado los mosaicos del punto 6. dado el segmento PQ. Compara tus propuestas en clase. R. también conocido como arte andalusí o hispano árabe. • Propón otros polígonos y aplica en tu cuaderno el patrón simétrico. 114 SMAT3LRCONAPL08-113-128. No. M. sobre la recta m. y se pueden apreciar en edificios y monumentos. Información complementaria • Traslada sobre m cinco veces la figura que obtuviste. Ubica un punto Y de manera que puedas construir el triángulo rectángulo YZW. Dado el segmento BA. Ubica en la recta dos puntos.indd 114 Prohibida su venta 90 PM3STJCONA-PL06-81-96. pero ahora consideren como figura original un triángulo equilátero o un triángulo isósceles. W Z m • ¿Se puede afirmar que tu construcción es un mosaico simétrico? Explica. R. R. Rota la figura 180° con respecto del punto A. B m A C • Compara tus trazos con los de tus compañeros. construye un triángulo rectángulo ABC. En particular.indd 90 12/24/13 2:40 PM 1/30/14 5:53 AM . construyan los mismos mosaicos simétricos. el arte hispano musulmán. cuenta con muchas estructuras ornamentadas con mosaicos simétricos. Construye. En particular. orfebrería y textiles. R. ¿Son iguales? Expliquen a qué se debe esto. R. un triángulo rectángulo PQR. Traslada la figura resultante cinco veces. Muestren su construcción al grupo. a. que se desarrolló en España entre los siglos VIII y XV. Las transformaciones las escribirán en el cuaderno y las compartirán con otros compañeros de clase que seguirán las instrucciones para comprobar que efectivamente se construyen mosaicos simétricos a partir de los triángulos. y que con diferentes transformaciones a las propuestas en su libro. Sigue los pasos y traza lo que se indica. en los que se pueden identificar fácilmente las transformaciones de rotación y traslación aplicadas para obtenerlos. M. c. De manera individual. Realizarán lo mismo para los mosaicos que ellos mismos diseñen. la Alhambra. además de cerámica. pida a los alumnos que utilicen los mismos triángulos de los incisos a. España. L. realiza lo que se pide. L. Traza su simétrico con respecto de m. llámalos Z y W. b. En diferentes culturas se encuentran mosaicos simétricos construidos a partir de polígonos. porque las figuras son una traslación. b y c. ciudad andalusí ubicada en Granada. i Retomen las instrucciones del inciso b. • Aplica simetría axial horizontal a la figura obtenida. L. • Rota el triángulo 2 con respecto del punto B. es decir. En una hoja cuadriculada. L. • En su cuaderno. Si es necesario. M. R. Muestren al resto del grupo el patrón que formaron. Traza un triángulo rectángulo ABC.3). junto con la dirección. con giro a la izquierda y con ángulo de rotación de 270°. Aplica la simetría central de manera que el centro de simetría quede sobre el vértice del ángulo recto. Describan su experiencia. Además traza los triángulos 1 y 2. construye el cuadrado ABCD. si se consideran dos Invite a los estudiantes a jugar con los triángulos 1 y 2 que aparecen en la cuadrícula modificando el orden de las transformaciones y las transformaciones mismas para que pongan en práctica rotación y traslación. A Propuestas didácticas B En relación con el punto 8. corrígelo o amplíalo. de manera que no dejes espacios entre estas. como unidades de traslación. Repite este patrón cinco veces. al de las coordenadas (1. ¿cuánto miden los ángulos internos del triángulo original?. 7. Si el punto D fuera el origen O. podrían formar también mosaicos simétricos aplicando diferentes transformaciones. por ejemplo. En equipo.d. i Reúnete con cinco compañeros y usen su figura como patrón para construir un mosaico.indd 115 12/24/13 2:40 PM Prohibida su venta 115 1/30/14 5:53 AM . • Socialicen su definición y valídenla en grupo. ¿cambiaron los ángulos en la imagen? Harán un análisis similar con el triángulo dos. • Definan las condiciones mínimas para construir un mosaico simétrico mediante la combinación de las simetrías estudiadas. ¿dónde quedarían los otros dos?. explicando el número de transformaciones realizadas y el tipo de transformación aplicada. C • Rota el triángulo 1 con respecto del punto D. ¿cuál es el área del triángulo original?. que hagan los trazos en el cuaderno y que les pongan color para luego compartirlos con el resto de sus compañeros. como se muestra en la imagen. Traslada la figura obtenida. figuras como la original. ¿qué área tiene el triángulo imagen?. Mosaico Procedimiento R. considerando que la longitud de cada cuadrito es de una unidad. y cuantificando tanto ángulos de giro y centro de rotación. M. Entonces sugiérales que pongan atención a uno de los vértices del triángulo. C • Compara tu construcción con las de tus compañeros y valídala con argumentos geométricos. e. Utilizando estos polígonos. con giro a la izquierda y con ángulo de rotación de 270°. i Comenta con tus compañeros el procedimiento que propusiste. 8. las resultantes son simétricas o traslaciones de esta .indd 91 SMAT3LRCONAPL08-113-128. haga notar a los estudiantes que 270 es múltiplo de 90. R. hagan los trazos y respondan. y este punto girara tres veces 90 grados: ¿en qué punto de la cuadrícula quedaría dicho vértice?. equivale a tres cuadrantes del plano cartesiano. 2’ B 1 D 2 1’ A 91 PM3STJCONA-PL06-81-96. Analiza el mosaico y escribe el procedimiento que debe seguirse para construirlo. tracen mosaicos geométricos con polígonos regulares que no hayan sido considerados en el grupo. Se aplicó simetría axial a cada figura resultante. Valida tus procedimientos con ayuda del profesor. L. xilografías (técnica de impresión en la que se utiliza una plancha de madera) y litografías (otro procedimiento de impresión que data del año 1796). 116 SMAT3LRCONAPL08-113-128. Vivió en Holanda. i Expón tus trazos y explica el procedimiento que seguiste para hacerlos. Figura original Mosaico Escher diseñó varias teselaciones. Italia y Suiza y visitó en varias ocasiones la Alhambra. i Muestren sus mosaicos al resto del grupo y valídenlos. R. con centro de rotación en el vértice inferior derecho. ubicada en España. Después registren sus acuerdos. Explica qué simetría se aplicó en cada caso. L. particularmente sus teselados. R. Descripción de mosaicos simétricos 10. teselaciones (figuras que llenan el plano) y mundos surrealistas. • Describe qué tipo de simetría se aplicó a la figura original para construir el mosaico. Analiza cada mosaico y escribe el procedimiento que debe seguirse para trazarlo. Si hay dudas. • • • • Información complementaria Maurits Cornelis Escher nació en Holanda en 1898. tanto de figuras geométricas como de animales u otras representaciones gráficas en las que se pueden apreciar diferentes transformaciones. Construye en tu cuaderno un patrón simétrico con figuras irregulares. siguiendo tu procedimiento.indd 92 12/24/13 2:40 PM 1/30/14 5:53 AM . Se hizo famoso por sus grabados en madera. que tienen la característica de que cubren el plano sin dejar huecos y sin superponerse.9. En varias páginas de Internet se pueden hallar sus obras. Simetría axial horizontal y vertical Simetría axial y una traslación Simetría central y una rotación Traslación seguida de una simetría horizontal que dé como resultado una simetría axial vertical. Rotación de 90° con la figura verde. 11. 180° con la amarilla y 270° con la rosa. en los que parte de figuras geométricas para construir imágenes interesantes y con las que suele jugar a unir opuestos que completen el plano. Elemento básico de diseño o figura básica Figura 1 Traslación Figura 2 Rotación Figura 3 Rotación • Elige dos mosaicos y. que muestran situaciones que en la vida cotidiana resultan imposibles. reprodúcelos en tu cuaderno. estudios que abandonó más tarde para ser alumno de la escuela de artes gráficas.indd 116 Prohibida su venta 92 PM3STJCONA-PL06-81-96. coméntenlas en clase con la finalidad de solucionarlas. que resultó ser una gran inspiración en sus obras. Estudió arquitectura bajo presión de su padre. Una teselación es un patrón de figuras. Aplica el tipo de simetría que se indica en cada caso. teselas. Analiza el mosaico y realiza lo que se indica. solo aplicándoles transformaciones tales como la rotación y traslación. Algunas conclusiones 12. siguiendo algunas reglas sencillas. de forma análoga la esquina superior derecha del cuadrado se trasladará al extremo lateral izquierdo. ¿Qué características debe tener un mosaico si en su diseño se aplicó lo siguiente? • Reflexión. elaboren un diseño que combine la simetría axial central. del cuadrado harán dos trazos iguales en las esquinas superiores. L. L.usu. i Validen su trabajo con ayuda del profesor. ya que los cortes realizados y sus traslados se construyeron de esa forma. Con esta tesela se pueden hacer diferentes figuras. Propuestas didácticas Para cerrar la lección.usu. Pida a los estudiantes que tracen en una hoja blanca un cuadrado. la traslación y rotación de figuras.html? open=activities&from =topic_t_3. mismas que utilizarán para cubrir el plano. Muestren el diseño a sus compañeros. L.edu/ es/nav/frames_ asid_298_g_4_t_3.edu/ es/nav/frames_ asid_301_g_3_t_3.usu. R. (consulta: 14 de noviembre de 2013) Con esta idea. el cuerpo de un pececillo u otro.edu/ es/nav/frames_ asid_207_g_1_t_3.html? open=activities&from =topic_t_3. con base en las exploraciones anteriores. a. b. proponga a los estudiantes construir teselas. R. quedando su ángulo recto en el extremo izquierdo del cuadrado. embona perfectamente en lo que sería su cabeza. 93 PM3STJCONA-PL06-81-96. Complétenla si fuera necesario. el triángulo superior izquierdo se trasladará a la parte inferior del cuadrado. Movimientos aplicados Procedimiento Diseño Reflexión vertical.html Rotación nlvm. formando un par de triángulos iguales. dependiendo de la imaginación de cada quién. aplicando transformaciones de rotación y traslación. descríbanlos y argumenten sus respuestas. reflexión horizontal y traslación Rotación y simetría central Traslación más simetría central y simetría axial i Intercambien su trabajo con otros compañeros. R. analicen si se proporcionó la información suficiente. i Comenten sus respuestas con sus compañeros y valídenlas con ayuda del profesor. 2.html? open=activities&from =topic_t_3. En su cuaderno. L. R. • Rotación. • Traslación. En pareja. Reto Mosaicos 1. destaquen la figura base. y pregúntenles qué movimientos hicieron. quedando juntos los vértices de los triángulos que corresponden a los ángulos rectos. sugiérales que le pongan color a su teselación para darle vida. los estudiantes podrán formar un sinfín de teselas diferentes para llenar el plano. concluyan. Pueden comenzar construyendo en clase una tesela sencilla para entender cómo funciona y posteriormente podrán emplear su creatividad para construir las imágenes que se les ocurran. ¿Encontraron mosaicos que combinen distintos tipos de movimientos? Si es así. L.html Traslación nlvm. por ejemplo la cabeza de un pato. Reúnete con un compañero y. Describan el procedimiento que seguirían para crear un diseño con los movimientos indicados y trácenlo. sigan los procedimientos que indicaron y hagan los trazos. En los siguientes sitios podrás manipular virtualmente objetos geométricos para practicar lo estudiado: Simetría axial nlvm. Nótese que lo que sería la colita del pez. R.indd 117 12/24/13 2:40 PM Prohibida su venta 117 1/30/14 5:53 AM . Si esta tesela se traslada un número infinito de veces llenará el plano. Estos triángulos serán trasladados.indd 93 SMAT3LRCONAPL08-113-128.html Comparte en clase tus experiencias al manipular los interactivos. completen la tabla. En grupo. espacio y medida Tema: Medida Contenido: Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo Para esta lección. 118 SMAT3LRCONAPL08-113-128. Parque AC 1 Luego pídales a los jóvenes que nombren cada lado del parque con una letra. Indique a los alumnos que analicen el croquis que aparece en la página de su libro y que expliquen qué es lo que se está representando. cuál creen que la tenga menor y que piensen cómo sería el área del cuadrado morado en comparación con la suma de las áreas de los cuadrados menores. Opción 1 AC 3 Opción 2 a. Independencia Proponga a los estudiantes las dimensiones de 30 metros. Pídales que sugieran el uso que Ana le puede dar a los terrenos cuadrados. Pregunte cuál de los terrenos consideran que tiene mayor área. Con base en las necesidades de Ana. ¿Cuál es la mejor opción? 1. anímelos a que respondan haciendo una estimación a simple vista. En equipo.indd 94 12/24/13 2:40 PM 1/30/14 5:53 AM . Un terreno cuadrado cuya medida del lado corresponde con el lado más largo del parque.indd 118 Prohibida su venta 94 PM3STJCONA-PL06-81-96. • Escribe en las figuras los números que corresponden con las opciones expuestas por Pedro. aquéllas que son perpendiculares entre sí y las calles que no son ni paralelas ni perpendiculares. la que ellos prefieran. Pedro dice que el área de los dos terrenos de la opción 1 es la misma que la del terreno de la opción 2. Dos terrenos. La imagen muestra la disposición de los terrenos que Pedro le ofrece a Ana. lean la información y contesten lo que se solicita. cada uno con forma cuadrada. y que las utilicen para representar tanto el perímetro de los terrenos como del parque y posteriormente el área de cada uno. en combinación o siendo consecuentes con el hecho de que están frente a un parque. Am arg ura Opción 1 AC 2 Av. 40 metros y 50 metros de cada lado en el triángulo que forma el parque para que con esas cantidades representen tanto el área del triángulo como la de los cuadrados que se forman y que representan los terrenos que Pedro le ofrece a Ana. Pedro tiene a la venta tres terrenos que se encuentran a los lados de un parque que tiene forma de triángulo rectángulo.11 Propuestas didácticas Cuadrados y triángulo rectángulo Eje: Forma. Anímelos a que identifiquen las calles paralelas. La medida de los lados de los terrenos es la misma que la medida de los lados más cortos del parque. Ana comprará un terreno para construir su casa y establecer un negocio familiar. • Opción 2. los colegiales harán uso de su juego de geometría. las que son paralelas y las que forman ángulos agudos. Permítales que le den nombre a las calles y que escriban en el cuaderno los nombres de las que forman un ángulo de 90 grados. Pedro le ofrece dos opciones: • Opción 1. L. aclárenlas en colectivo. Por el teorema de Pitágoras Propuestas didácticas Pida a los alumnos que utilicen una hoja de reúso para que en ella tracen un triángulo rectángulo. De manera que cada cuadrado quede divido en cuatro partes. Realicen lo que se solicita. R. a partir del vértice inferior izquierdo. AC3 al de mayor área y AC2 al mediano. porque la suma de las áreas de los cuadrados chicos es igual al área del cuadrado mayor. i Socialicen sus respuestas y sus conjeturas.• Si Ana solicitara su punto de vista. Semejantes • Recorten las figuras obtenidas en los cuadrados AC1 y AC2 y cubran con estas el área C A B del cuadrado AC3. A continuación dé instrucciones de recortar dichos cuadrados.indd 119 12/24/13 2:40 PM Prohibida su venta 119 1/30/14 5:53 AM . es igual al área del cuadrado que se forma sobre la hipotenusa. Pregunte cómo harán para construirlo utilizando su juego de geometría y cuáles son las características que garantizan que se trata de un triángulo rectángulo y no otro. los lados contiguos formar un ángulo de 90 grados y las longitudes de los lados. R. un cuadrado. pregunte cómo construirán un cuadrado utilizando su juego de geometría. Luego. si hay dudas. AC3 • Escriban una expresión matemática y un enunciado que relacione el área de los tres cuadrados: • Expresión matemática: AC12 + AC22 = AC32 • Enunciado: La suma del área de los cuadrados que se forman sobre los catetos. Entre todos lleguen a acuerdos y. Ver figura • Sobre los otros dos vértices de cada cuadrado. Ver figura • Tracen la diagonal del cuadrado AC2. Una vez que hayan terminado las actividades de la página. Calculando el área de los cuadrados. a. Si la hoja no tiene cuadrícula. Verifiquen que las áreas de los terrenos de la opción 1 corresponden al área del terreno de la opción 2. de tal forma que construyan un rompecabezas. siguiendo el procedimiento anterior. ¿Se pudo cubrir el área? ¿Por qué? Sí. • Analicen la veracidad de la información que proporcionó Pedro. Argumenten y lleguen a una conclusión. tracen segmentos paralelos a la hipotenusa del terreno del parque hasta el punto donde intersequen a la diagonal. L. con los colores que se muestran y solicite que expliquen qué representa y qué significa la distribución de colores. Ver figura • ¿Cómo son entre sí las figuras que se obtienen al trazar las diagonales en cada cuadrado? Justifiquen. trace en el pizarrón la siguiente imagen. Haga énfasis en que los lados opuestos deben ser paralelos. i Analicen al menos tres conjeturas de otros equipos. Escriban una conjetura que les permita validarla. i Comparen sus respuestas con las de otro equipo. 95 PM3STJCONA-PL06-81-96. porque ambas ocupan la misma superficie. Calquen los cuadrados que modelan los terrenos y etiqueten como AC1 al de menor área.indd 95 SMAT3LRCONAPL08-113-128. • Tracen la diagonal del cuadrado AC1. iguales. • Describan el procedimiento que siguieron para validar su conjetura y comparen sus resultados con el resto del grupo. • Verifiquen que la medida de sus lados corresponde a las medidas de los lados del triángulo. b. ¿cuál de las dos opciones le recomendarían? ¿Por qué? Cualquiera de las dos. 2. dígales que deberán construir en cada uno de los lados del triángulo. dentro del cuadrado de área mayor sin que sobre ni falte espacio y sin que se superpongan las piezas recortadas. El objetivo es colocar los dos cuadrados con área menor. Registren en su cuaderno sus acuerdos sobre la relación que se da entre las áreas de los cuadrados que se forman y los lados de un triángulo. Sugiérales que hagan lo mismo pero ahora con un triángulo isósceles cuyo lado diferente a los otros dos.indd 96 12/24/13 2:40 PM 1/30/14 5:53 AM . por lo visto en las actividades previas (teorema de Pitágoras). y con su regla verificarán que las longitudes son las mismas. Completen la tabla con sus conclusiones.indd 120 Prohibida su venta Triángulo equilátero Los tres cuadrados sobre los lados del triángulo tienen la misma área.3. Al final de la página se pide que realicen el rompecabezas utilizando un triángulo equilátero. a. hágales notar que sin hacer los cortes. incluso la esquina de una hoja les puede ser de utilidad para verificar que los ángulos del cuadrilátero miden 90 grados. • ¿Qué sucedería con los cuadrados si el triángulo de la construcción fuera equilátero? Los tres cuadrados tendrían la misma medida. Triángulo rectángulo El área del cuadrado sobre la hipoteR. Porque los lados de los triángulos no son proporcionales. dé instrucciones de intercambiar el libro con algún otro compañero para que cada quién verifique con su juego de geometría que efectivamente los trazos corresponden a cuadrados. nusa. no ocurre lo mismo con el cuadrado que se tiene que trazar utilizando la hipotenusa del triángulo. Propuestas didácticas Los trazos de los cuadrados correspondientes a los catetos del triángulo rectángulo no tienen mayor problema. cuando hayan terminado. • ¿El triángulo que trazó el alumno es semejante al del parque? ¿Por qué? No. • Sigan el procedimiento dado en la actividad 2 y superpongan las figuras resultantes en el cuadrado 3. Analicen sus construcciones y respondan. una vez que hayan trazado el cuadrado de la hipotenusa. por ello. Pueden medir los ángulos con transportador o utilizar la escuadra recta. • ¿Es posible cubrir toda la superficie del cuadrado 3 con los otros triángulos? ¿Por qué? Sí. de modo que la suma de dos de ellos no cabrá en uno de los cuadrados. tendrá cada uno la misma área y el mismo perímetro que los otros dos. sin embargo. los cuadrados serán de las mismas dimensiones. Discutan la relación que hay entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo y entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre un triángulo equilátero. • Tracen un cuadrado sobre la hipotenusa y llámenlo cuadrado 3. para que verifiquen si es posible que el cuadrado correspondiente al mayor de los lados del triángulo se puede cubrir con los otros dos cuadrados correspondientes a los lados de igual longitud del triángulo isósceles. • Repitan la actividad con un triángulo equilátero para validar su respuesta. 96 PM3STJCONA-PL06-81-96. por ejemplo el doble o triple. sea de una longitud mayor. Reúnanse en pareja y sigan el procedimiento dado. los cuadrados 120 SMAT3LRCONAPL08-113-128. L. b. es igual a la suma de las áreas de Relación entre las áreas de los cuadrados sobre los catetos. Un alumno de tercero de secundaria hizo el siguiente trazo para verificar lo que dice Pedro y aplicó el procedimiento de la actividad 2. Cuadrado 3 Cuadrado 2 Cuadrado 1 • Tracen un cuadrado sobre el otro cateto y nómbrenlo cuadrado 2. generalmente los estudiantes encuentran dificultad y es común que el trazo del polígono no resulte un cuadrado. es igual al área del cuadrado de la hipotenusa. R. 97 PM3STJCONA-PL07-97-112. Dé instrucciones de realizar las actividades que se ofrecen en la página. hip ote nu sa Propuestas didácticas 90° cateto Recuerde a los estudiantes que un triángulo rectángulo puede ser un triángulo escaleno. trace el siguiente diagrama en el pizarrón y pida al grupo que lo analice y que traten de descifrar los pasos que deben seguirse para trazar un cuadrado dado un segmento de longitud AB. discutan y respondan. los que construyeron un triángulo isósceles con un ángulo de 90 grados. • En cada triángulo tracen los cuadrados que coinciden con la medida de los catetos y la hipotenusa. Si encontraron discrepancias. ¿Qué relación hay entre las áreas de los cuadrados que trazaron en cada cateto con el del cuadrado que trazaron en la hipotenusa? En los dos casos. Hagan lo mismo con el plano. Tracen un triángulo rectángulo isósceles y un triángulo rectángulo escaleno. R. de modo que en la actividad que usted les propuso en la página anterior. i Socialicen sus conclusiones y junto con el profesor planteen una conclusión grupal. 5. utilizando regla y compás. Analicen la información y reescriban en su cuaderno las opciones que ofrece Pedro en el problema inicial. Analicen.indd 121 12/24/13 2:41 PM Prohibida su venta 121 1/30/14 5:53 AM .Los lados de un triángulo rectángulo se pueden identificar como se muestra en la figura. No. Luego plantee al grupo si es posible construir un triángulo rectángulo que también sea equilátero y que justifiquen su respuesta. a. Áreas y lados cateto c. L. solo en los triángulos rectángulos de cualquier tipo. es decir. Luego. R. M. respondan y validen lo que se solicita. a. • Comparen su respuesta anterior con la conclusión a la que llegaron en el inciso b del punto 2. pues basta que sus dos catetos tengan la misma longitud. también puede ser isósceles. usando los términos que se muestran en la figura. L. la suma de las áreas A B D C D C A B A B de los cuadrados de los catetos. ¿Su conclusión describe la relación de las áreas de los cuadrados que se trazan en los lados de cualquier triángulo rectángulo? Argumenten. b. ajústenla. En pareja analicen.indd 97 SMAT3LRCONAPL08-113-128. habrán podido cubrir el cuadrado de mayor área con las superficies de los cuadrados de área menor. 4. que todos sus lados tienen diferente longitud. indd 122 Prohibida su venta 98 PM3STJCONA-PL07-97-112. Donde se cruzan las circunferencias le llamaremos q. el cual correspondería a cada uno de los lados del triángulo rectángulo. Si hay dificultades o dudas. El punto p será el punto donde corta la semicircunferencia al segmento AB.b.indd 98 12/24/13 2:41 PM 1/30/14 5:53 AM . inciso b? ¿Por qué? R. que se muestran en el diagrama que trazó en el pizarrón. la suma de las áreas de los cuadrados que se trazan en los catetos es igual al área del cuadrado que se traza en la hipotenusa”. solo en los triángulos rectángulos y equiláteros. Se traza un arco de circunferencia con centro en B y radio AB y uno más con centro en D y radio AB. T4 T2 T5 T3 T6 Se traza una recta que pase por A y t. D • ¿En todos los casos se cumple la conclusión a la que llegaron en la actividad 3. Esto nos garantiza que los lados son rectos y que las longitudes de cada uno de los lados es la misma. t c. utilizando regla y compás. coméntenlas en clase con la finalidad de aclararlas. Con base en lo anterior. validen la siguiente afirmación. donde r es menor que AB. y un arco más con centro en s. T1 Primero se toma el segmento AB. La longitud será tan larga como la del AB. En q se coloca el compás y se traza nuevamente otro arco de circunferencia con centro en q. Se coloca el compás en p y se traza otra semicircunferencia con radio r. el punto de intersección de estos arcos será el punto C que corresponde al cuarto vértice del cuadrado. 122 SMAT3LRCONAPL08-113-128. que resulta ser la mediatriz del segmento sq y por tanto perpendicular a AB. la afirmación es correcta. Nótese que la recta que pasa por s y q es paralela al segmento AB. B r p i Socialicen sus argumentos geométricos y registren sus acuerdos. s q A “En los triángulos rectángulos. particularmente el de la hipotenusa que es el más complicado de trazar. Escriban sus argumentos. Luego se coloca la punta del compás en el punto A y se traza una semicircunferencia de radio r. Sí. Propuestas didácticas Abra un espacio para explicar los pasos que deben seguirse para trazar un cuadrado dado un segmento de longitud AB. Sí. En cada uno de los lados de los siguientes triángulos tracen un cuadrado cuya medida sea la misma del lado correspondiente. M. Triángulos y cuadrados 6. Con este método garantizamos que los ángulos interiores miden 90 grados y que las longitudes de los lados del cuadrilátero son iguales.83 4. En el siguiente sitio podrás manipular virtualmente lo estudiado. de modo que se traza un segmento de recta que vaya desde A. Reto 2. a.56 4. i Socialicen sus razonamientos y registren una conclusión final. se coloca la escuadra que tiene un ángulo recto.4 cm Triángulo A nos a lo que puede suceder en la realidad.442 = 19. L. Investiguen en un medio electrónico o impreso el nombre de la relación geométrica estudiada. Revisen que los contextos sean cerca.41 4 2.562 = 6.32 2. Aplica las relaciones entre las áreas de los cuadrados que encontraste a lo largo de la lección y valida que se cumplen en los triángulos de la actividad. el lado izquierdo de la escuadra es perpendicular al segmento AB. i Comenten en grupo las dificultades que enfrentaron a lo largo de la lección y cómo las resolvieron. Después coméntenlo en clase. 2.26 T1 2. com/archivoCAR/ Interactivo_Teorema_ Pitagoras. Calcula y justifica lo que se solicita. la longitud de este segmento se mide colocando el compás con puntas en AB. 3. b. La animación te permitirá explorar visualmente la figura geométrica. (consulta: 14 de noviembre de 2013) 99 PM3STJCONA-PL07-97-112.63 T3 T2 Propuestas didácticas 2.832 = 8. L. 16 cm2 y 36 cm2 a. b. El cuarto lado del cuadrado queda ya determinado por los vértices. 2. En esta página se enuncia el teorema de Pitágoras. de esta forma.412 = 5. sobre el segmento perpendicular.262 = 18.808 2. como se muestra en la imagen 2. Analiza la figura y determina el área de los cuadrados que se trazarían en los catetos del triángulo A. Intercambien los problemas y resuélvanlos.indd 123 4. R.44 3.00 3. Considera las medidas dadas y calcula el área de los cuadrados de los catetos y de la hipotenusa de cada triángulo.indd 99 SMAT3LRCONAPL08-113-128.html Comparte con tus compañeros la experiencia de manipular la animación. Dado el segmento AB. la escuadra se coloca sobre el nuevo segmento como se muestra en la imagen 3 y se traza el segmento perpendicular con la longitud igual a la abertura del compás. R. 5. tutormatematicas.00 2. 12/24/13 2:41 PM Prohibida su venta 123 1/30/14 5:53 AM .632 = 13.55 3. y esa misma abertura se coloca desde A. Problemas de áreas 1. De forma similar. Se llama teorema de Pitágoras.51 Triángulo T1 Área de los cuadrados Triángulo T2 Triángulo T3 2. 4. Reúnete con un compañero y planteen un problema que se pueda modelar con la fi52 cm2 gura de la derecha. sobre el segmento como se muestra en la imagen 1.17 1. L.512 = 12.832 = 8.713 3.83 Explique a los estudiantes otro método para trazar un cuadrado utilizando escuadra y compás.147 42 = 16 4. R. indd 100 1/9/14 11:20 AM 1/30/14 5:53 AM . en Aristóteles.12 Información complementaria Es muy conocido el teorema de Pitágoras. Sumen las áreas del cuadrado interior con las áreas de los cuatro triángulos. obtengan el punto medio del segmento AB. Completen la tabla. • Unan el vértice B con el punto medio del segmento AD. En equipos. espacio y medida Tema: Medida Contenido: Explicitación y uso del teorema de Pitágoras Hasta el momento no se han hallado escritos originales de Pitágoras. Paola investigó el teorema de Pitágoras. b2 – 2ab + a2 + 2ab = b2 + a2 2. además de tener un carácter religioso. c A D C • En el cuadrado ABCD. la ética y la política. así como otras teorías y descubrimientos. • Tracen los vértices del cuadrado central y dividan el área restante en cuatro triángulos rectángulos congruentes. El teorema de Pitágoras 1. c • ¿Cuánto miden los lados del cuadrado interior que se formó? b – a a. cateto SMAT3LRCONAPL08-113-128. Establezcan la igualdad entre el área del cuadrado original y la suma anterior. 100 PM3STJCONA-PL07-97-112.indd 124 B b a hip ote nu sa 90° cateto Prohibida su venta Eje: Forma. la filosofía. pero ¿quién fue Pitágoras? Pitágoras de Samos nació aproximadamente en el año 580 antes de nuestra era y murió en el año 495 antes de nuestra era. • Ubiquen el punto medio del segmento CD y tracen la recta que pase por él y por el vértice A. • Tracen un segmento de recta que pase por el punto medio y por el vértice C. Fue un filósofo y matemático griego que tuvo muchas aportaciones al desarrollo de la matemática helénica. pues los pocos escritos que se han hallado tienen información que se transmitió de manera oral en aquella época y por lo mismo hay ciertas contradicciones en la información de uno u otro documento. de modo que no se sabe a ciencia cierta si el teorema de Pitágoras es realmente un descubrimiento de Pitágoras o de sus discípulos. en la música y en la astronomía. que dice lo siguiente: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a. entre otros filósofos. Resuelvan en equipo lo siguiente. a la geometría y a la aritmética. 124 El teorema de Pitágoras Figura Fórmula Área Cuadrado original c×c c2 Cuadrado interior (b – a)2 b2 – 2ab + a2 Triángulos ab 2 2ab b. además de lograr un fuerte impacto en el desarrollo de la matemática y la filosofía del mundo occidental. hagan los trazos y respondan. la cosmología. • Obtengan el punto medio del segmento BC y tracen un segmento que pase por él y por el vértice D. Esta sociedad tuvo mucha influencia en Platón. ¿Cuánto mide la hipotenusa de cada triángulo? Lo mismo que los lados del cuadrado. • Llamen a al cateto menor y b al cateto mayor de cada uno de los cuatro triángulos rectángulos que se formaron. además de que se muestra poco objetiva. Simplifiquen la igualdad. Pitágoras fundó una sociedad llamada hermandad pitagórica que se interesaba por la medicina. Poca información se tiene de su vida. ya que en algunos casos se muestra a Pitágoras incluso como un ser sobrenatural. cuyas aplicaciones están en varias áreas como en el comercio. construyó un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 6 cm y uno de los catetos 3 cm. Para obtener el lado interno. a2 + b2 = c2 rectángulo. Lleguen a una conclusión grupal. b y c.23 cm • ¿Cuál es el área del cuadrado ABCD? 25 cm a b • Escriban el procedimiento que siguieron para contestar las preguntas anteriores. ya que de la figura 1 se nota que a. luego de b y finalmente de c. a. puede estar hecha a escala.2 cm a a • ¿Cómo la obtuvieron? Restándole al cuadrado de seis el cuadrado de tres y al resultado calcularle la raíz cuadrada. cuyas medidas son 10 cm. donde por convención. aplicando el teorema de Pitágoras. d.47 cm y 2. Claramente el área de ese cuadrado es c2. el área de la figura 3 es la suma del área de los cuadrados: a2 + b2. c se le nombra a la hipotenusa. b c. junto con su profesor. más la longitud del cuadrito amarillo. Verifiquen que el triángulo. Jacinto. planteen una conclusión final. • ¿Cuál es la medida del segundo cateto? 5. solicite que escriban todos los pasos a seguir para el despeje de a. Pídales que identifiquen cuál es la incógnita en cada caso y de qué manera se despeja. Los catetos del triángulo rojo miden 4. A B Utilice la imagen del inciso b para demostrar el teorema de Pitágoras. Es la misma. motive a los estudiantes a hacer uso del álgebra para responder a las preguntas. es un triángulo b Luego. b. Pida a los alumnos que tracen en una hoja una figura similar a la del libro.indd 125 12/24/13 2:41 PM Prohibida su venta 125 1/30/14 5:53 AM . L. Sí.• ¿Qué relación se puede establecer entre la expresión algebraica obtenida en el inciso b y el teorema de Pitágoras? Argumenten sus respuestas. porque c2 = b2 + a2. Recortarán las piezas para construir la figura 2 que se muestra a continuación: D Figura 1 C • ¿Qué relación hay entre la hipotenusa del triángulo rojo y uno de los lados del cuadrado ABCD? Miden lo mismo. compañero de Paola. Propuestas didácticas En relación con las primeras preguntas de la página. 100 = 64 + 36 i Socialicen sus conclusiones y. restando la medida de los catetos del triángulo y para Figura 3 el área del cuadrado.indd 101 SMAT3LRCONAPL08-113-128. ¿es posible obtener la medida del tercero aplicando el teorema de Pitágoras? ¿Por qué? Sí. El cuadrado representa la construcción de Paola. y como se hizo con las mismas piezas que conforman al cuadrado cuya área es igual a c2. c Figura 2 b b a a • ¿Cuánto mide de lado el cuadrado interno? 2. luego.24 cm respectivamente. 6 cm y 8 cm. por tanto. R. Describan el procedimiento que emplearon. deberán ponerle nombre a cada uno de los lados del triángulo rojo. 101 PM3STJCONA-PL07-97-112. es igual a b. 102 = 82 + 62. i Socialicen sus argumentos y respuestas. • Dada la medida de dos lados de un triángulo rectángulo. verán que esa construcción es equivalente a la de la figura 3. al aplicar sus conocimientos sobre los despejes de una incógnita. • ¿Cuánto mide AB? 4.8 cm A a b 2 • ¿Cuál es el área de Δ ADC? 24 cm .8 2 2 2 solicitado? Calculando 8 + 6 = 10 . por fuerza el área del cuadrito amarillo más el área del cuadrado azul es igual al área del cuadrado gris y.indd 126 Prohibida su venta 8. Si a y b son las longitudes de los catetos y c es la longitud de la hipotenusa.56 cm • ¿Cómo obtuvieron las medidas solicitadas? R. AC por A medio de razones. Determinen la medida de AC y de DC. se puede construir una figura como la de en medio. A = 15. el procedimiento que aplicaron. como ambos cuadrados contienen cuatro triángulos idénticos y cada cuadrado igual área. 6. resuelvan los siguientes problemas. • Propongan un procedimiento para comprobar el teorema de Pitágoras. la suma de las áreas de los cuadrados que se trazan en cada uno de los catetos es igual al área del cuadrado que se traza en la hipotenusa. en cada caso. El uso de material más resistente como fomi o cartoncillo facilitará el trabajo con los estudiantes a quienes puede organizar en equipos para realizar estos rompecabezas. Expongan.3. construido con el cuadrado de lado c y cuatro triángulos como el original. a. M. • ¿Qué procedimiento siguieron para obtener el dato 4. por tanto tienen lados proporcionales y DC por medio del AB = 5 cm D 126 SMAT3LRCONAPL08-113-128. Calculen el área de Δ ADC. 10 × 2 = 24.6 cm • Escriban la medida de BC y calculen el área de Δ ABC. por tanto: a2 + b2 = c2 Aplicación del teorema de Pitágoras en la resolución de problemas 4. Si se reproducen tres triángulos más como el original. En pareja. En matemáticas. Otra forma de demostrar el teorema de Pitágoras es a partir de las siguientes figuras con las que también pueden jugar los estudiantes si recortan los polígonos. aplíquenlo y escriban su conclusión.66 cm B teorema de Pitágoras. Un teorema es una afirmación que debe ser demostrada formalmente. De ahí se desprende que. cuya área es igual al cuadrado de la derecha. analicen la siguiente información. 8 cm 6 cm c D B C 3. • AC = 5.36 cm2 b. que corresponde con una de sus alturas. expongan sus análisis y con ayuda de su profesor elaboren una conjetura. el teorema se representa como: a2 + b2 = c2.4 cm.indd 102 12/24/13 2:41 PM 1/30/14 5:53 AM . Se parte de un triángulo rectángulo y los cuadrados correspondientes como en la primera figura de la izquierda. En grupo. porque ABC es semejante a ABD. los teoremas pueden probarse a partir del álgebra y de la geometría. para ello obtengan la medida de AB. En pareja.8 cm • DC = 11. C 102 PM3STJCONA-PL07-97-112. Propuestas didácticas Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo. Determinen la medida del área comprendida entre el cuadrado JIHG y el círculo inscrito en él. inscrito en una circunferencia. haciendo la regla de tres tenemos que x = 72 que es el tramito de segmento que falta para tener la longitud de uno de los catetos del triángulo rectángulo E FD. Dos tercios de la longitud de cada mediana están entre el vértice y el baricentro. E • es un triángulo equilátero. • ¿Cuál es el área del Δ CDE? 63. por tanto E F mide 72 + 7 = 10. se encuentra en la intersección de las tres medianas del triángulo..5 veces la medida del radio C del círculo y el lado FD es igual a la raíz cuadrada del D F cuadrado de 7 menos el cuadrado de 3.c. lo que implica que la otra tercera parte del segmento se encuentre entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto. Consideren que Δ CDE. 2 12 + 12 = 16. en el que conocemos la longitud AF y la AD que es el radio y con esa información se aplica el teorema de Pitágoras para hallar FD. Calculen el área del cuadrado CDEF inscrito en la circunferencia con centro en A. Las medianas son segmentos de recta cuyas propiedades son las siguientes: dividen al triángulo en dos regiones iguales. como 13 es a x.5 cm.5 cm.indd 103 SMAT3LRCONAPL08-113-128. E F • ¿Cómo obtuvieron la medida del lado del cuadrado? 2 Las tres medianas se juntan en un punto llamado baricentro. D • ¿Cuál es el área de CDEF? 288 cm 2 C e.7 cm2 • ¿Qué procedimiento siguieron para obtener el área? 2 82 + 82 – ( 128 2 ) π I E G A De aquí también tenemos el triángulo rectángulo AFD. es un punto de equilibrio ya que la masa está distribuida en igual proporción hacia todos los lados con respecto al baricentro. • el centro de la circunferencia (punto A) es el baricentro de Δ CDE.25 cm2 Propuestas didácticas AE = 7 H G • Expliquen el procedimiento que siguieron. 7 centímetros del radio de la circunferencia equivale a dos terceras partes del lado E F. B y C. La altura En relación con el inciso c..97cm A Así pues.indd 127 12/24/13 2:41 PM Prohibida su venta 127 1/30/14 5:53 AM . Haga notar a los estudiantes que el triángulo equilátero está conformado por cuatro triángulos iguales a AFD. si la medida del cuadrado ABCD tiene 16 cm de lado. cuya medida del radio es de 12 cm. cuya medida del radio es 7 cm. también conocido como centro de gravedad. ya que en un cuerpo homogéneo en ese punto está el centro de masa. explique a los estudiantes que el baricentro de un triángulo con vértices en A. B A del triángulo es igual a 1. 2 • ¿Cuál es el área del cuadrado JIHG? 128 cm D C J • ¿Cuánto mide la superficie de color? 27. con esta información. K F H B 103 PM3STJCONA-PL07-97-112. porque 23 es a 7. d. por lo que las áreas de cada lado de la mediana son iguales. Diámetro es igual a la raíz cuadrada del cuadrado de 6.66 cm. resuelve los siguientes problemas. de modo que solo basta identificar más distancias en los catetos necesarios para aplicar el teorema de Pitágoras y encontrar el área del trapecio. son de igual longitud. si en el problema nos han dado la longitud de cada uno de sus lados.83 Haga notar a los estudiantes que hay varias maneras de resolver el problema. 128 E A DE = 3. formando un ángulo de 90 grados con dicho segmento. consideren que la medida del perímetro es de 21. (12 – 10.99 Área: 49.76 cm2 Perímetro: 25. hagan correcciones. En caso necesario. expongan sus procedimientos para validarlas. tenemos también la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto es la mitad del lado del hexágono. Por tanto. una es encontrando el área de cada uno de los triángulos que conforman al trapecio. De manera individual. la otra es hallando la altura del trapecio isósceles.59 cm 2 2 • Explica tu procedimiento. A • ¿Qué datos se requieren para obtener la longitud de la circunferencia? La medida del radio o del diámetro B C CD = 6. 5. D DC = 6 cm C D DC = 6 cm C E BA = 10 cm F Propuestas didácticas Recuerde a los alumnos que en un trapecio isósceles los lados que no son paralelos entre sí.99 cm B E • ¿Y para obtener el área del círculo? El dato anterior • Si en la construcción no se encuentran todos los datos necesarios para calcular lo que se solicita. Permita que se haga una lluvia de ideas. Calcula el área de la corona circular.007 cm i Compara tus respuestas y procedimientos con los de tus compañeros y valídalos con ayuda del profesor. Haga notar a los adolescentes que el otro cateto va de G al punto medio de los lados del hexágono. Determina la medida de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.832 – 22 = 2 y las áreas aplicando las fórmulas correspondientes.83 cm • Tengan en cuenta que DE es homólogo de CF y determinen la medida de ambos.89 más el cuadrado de 3. Calculen el área del trapecio isósceles. 2 cm 2 • ¿Cuál es el área de Δ DEF? 6 cm Pregúnteles de qué manera piensan resolver el problema. Luego explique que en la imagen que aparece en el inciso f ya se ha dividido el trapecio en triángulos rectángulos. Prohibida su venta BA = 10 cm • ¿Cuál es la medida de AD? 2. En cuanto al punto 5.indd 128 F • ¿Cuál es la medida del área del trapecio ABCD? 16 cm2 • ¿Cómo obtuvieron los datos faltantes? AD y BC son igual a (21. 104 PM3STJCONA-PL07-97-112. Escribe tus operaciones.indd 104 12/24/13 2:41 PM 1/30/14 5:53 AM .89 cm D SMAT3LRCONAPL08-113-128. E F 2 • Área de la corona circular: 112. ya que el área de un trapecio se calcula sumando la longitud de la base menor con la longitud de la base mayor. i Comparen sus respuestas con las de otros compañeros.4 )π D C G a. recuerde a los jóvenes que un hexágono regular se puede descomponer en seis triángulos equiláteros cuyos dos vértices son vértices del hexágono y el tercero se junta en el centro con todos los demás. multiplicada la suma por la altura y al resultado se divide entre dos.66 – 16) ÷ 2 = 2. A A B B y DE = 2. escribe el procedimiento que debes seguir para obtenerlos.f. Considera que el hexágono regular que se muestra mide 12 cm de lado. Otro problema 6. si no quieren elegir ninguna de las tres opciones anteriores como tema de exposición. b.45 entre 7. En equipo. Discutan en qué otros contextos puede aplicarse el teorema de Pitágoras. Analicen si se proporcionó la información suficiente. analicen la imagen y planteen un problema asociado con el teorema de Pitágoras. M. 2. Ofrezcan sugerencias si es necesario. pueden escoger uno de los problemas que resolvieron a lo largo de la lección en donde fue necesario aplicar el teorema de Pitágoras. L. R. “El teorema de Pitágoras establece la relación entre las longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo”. y luego que expongan al grupo cómo le hicieron para resolver el problema. Justifiquen la veracidad del siguiente enunciado: R. es/descartes/web/ materiales_didacticos/ aplicaciones_teorema_ pitagoras/pitagoras. para que las peguen en alguno de los espacios del salón de clase. L. (consulta: 14 de noviembre de 2013) 105 PM3STJCONA-PL07-97-112. ac. Planteen un problema que se pueda resolver con el triángulo verde. i Intercambien su problema con otros compañeros y resuélvanlo.educacion. 2.htm recursostic.cr/revis tamatematica/Geome triaInteractiva/IIICiclo/ NivelIX/Aplicacionesde Pitagoras/Aplicaciones dePitagoras. pueden inventar en equipo algún problema en el cual se tenga que aplicar el teorema de Pitágoras para darle solución. o bien. Durante las actividades anoten las dificultades o dudas que encontraron y socialícenlas para resolverlas. A lo largo de las actividades de la lección se ha demostrado. R. Propuestas didácticas a. R. discutan el procedimiento que deben seguir para resolver el problema y respondan.indd 105 SMAT3LRCONAPL09-129-144. i Intercambien sus problemas con otros equipos y resuélvanlos. Invite a los alumnos a dibujar sobre cartulina y con colores la representación de las demostraciones del teorema de Pitágoras estudiadas en clase. podría usted proponerles que calculen la distancia que hay desde uno de los vértices del salón ubicados en el suelo. Pueden elegir exponer un poco de historia sobre Pitágoras u optar por utilizar el material didáctico que se trabajó a lo largo de la lección para demostrar el teorema de Pitágoras con triángulos. Consideren que pueda aplicarse el teorema de Pitágoras. preferiblemente. L.51 cm Cierre la lección organizando al grupo en equipos de 3 o 4 integrantes para que elaboren dentro del aula una exposición breve sobre el teorema de Pitágoras. • ¿Es posible calcular la altura de cada escalón con la información proporcionada? ¿Por qué? Sí.itcr. En una escalera se colocará un refuerzo de madera que va desde el primer escalón hasta el descanso.indd 129 12/24/13 2:41 PM Prohibida su venta 129 1/30/14 5:53 AM . i Discutan en grupo sus experiencias.16 cm • ¿Qué distancia hay entre el inicio de un escalón y el siguiente? 40 cm • ¿Qué relación hay entre el triángulo anaranjado y el triángulo amarillo? Argumenten. hasta el vértice opuesto localizado en el techo. que es el número de escalones. ¿Cuánto medirá el refuerzo? Expliquen su procedimiento. que tenga que ver con una situación de la vida cotidiana. Visita la siguiente página y resuelve los problemas que ahí se plantean. html Comparte tus experiencias con tus compañeros y consulta tus dudas con el profesor. cuadrados y rectángulos en cualesquiera de sus formas. Motívelos a que. Reto Teorema de Pitágoras 1. se divide 1. • ¿Cuál es la medida del ancho del escalón? 34. En pareja. www.tec-digital. que midan las longitudes necesarias y que calculen la longitud de dicha diagonal. La urna con pelotas 1. 4). elaboraran dos cajas de cartón con tapa. A = {(1. L. (4. 2).indd 106 12/24/13 2:41 PM 1/30/14 5:54 AM . (3. (6. (2. 6). (4. con seis pelotas etiquetadas con los números del 1 al 6 en cada una. 6) (5. Un espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles al realizarse un experimento aleatorio. (4. (5. por ejemplo: ¿Quién me puede decir qué es un espacio muestral? ¿Qué es un evento. no es posible predecir o reproducir el resultado con precisión. registren en una tabla el espacio muestral del experimento. ¿un evento es lo mismo que un experimento? ¿Cómo le explicarían a un compañero o compañera de primero de secundaria qué es la probabilidad. 5). En su cuaderno. 3). puede presentar resultados diferentes y. (6. (6. 1). Escriba en el pizarrón las ideas que considere relevantes o que aporten a la aclaración de los conceptos. 2)} de las pelotas sea 12. parecida a la que se muestra. ¿por qué? Pida que den ejemplos. en caso de que haya errores o alguno no corresponda con el experimento. cómo se representa y qué se tiene que tomar en cuenta para calcularla? ¿Cómo definirían con sus propias palabras el concepto de experiencia aleatoria?. sobre todo las ideas que no sean del todo precisas o correctas. 2)} de ambas pelotas sea 8. B = {(4. bajo las mismas condiciones iniciales. Evento G: R. 4). b. Registren en la tabla el espacio muestral de cada evento y la probabilidad de que ocurra. (3. cómo lo definen usando sus propias palabras?. realicen lo que se solicita. por tanto. Permita que se dé una lluvia de ideas para que vayan recordando el tema y retomando lo aprendido anteriormente. 3). elaborando las preguntas indicadas que los lleven hasta las respuestas correctas. i Validen en grupo que el espacio muestral sea correcto. Reunidos en pareja. Un experimento aleatorio es aquél para el cual. registrar los números obtenidos y regresarla. 5). L. El experimento consistía en extraer una pelota de cada urna. 4)} 3 P(B) = 36 Evento C: que el producto de los números C = {(2. Un evento es un subconjunto del espacio muestral el cual es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio. 4 P(D) = 36 Evento E: R. simulando una urna. Permita que sean los propios estudiantes quienes despejen dudas y concreten las definiciones de los conceptos. L. i Comparen sus respuestas con las de otros compañeros.13 Propuestas didácticas Mutuamente excluyentes y complementarios Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad Contenido: Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma) Inicie su clase formulando al grupo preguntas que conecten con el tema de probabilidad. Evento F: R. 2 P(C) = 36 Evento D: que el producto de los números D = {(2. 6)} 6 P(A) = 36 Evento B: que la suma de las pelotas extraídas sea 10. realicen los ajustes necesarios. bajo la guía de usted. a. ¿toda experiencia es aleatoria?. 4). 130 SMAT3LRCONAPL09-129-144.indd 130 Prohibida su venta 106 PM3STJCONA-PL07-97-112. En las últimas tres filas escriban tres eventos asociados a la experiencia aleatoria. La maestra de un grupo de secundaria propuso a sus alumnos que. para realizar un experimento. Información complementaria Enunciado del evento Espacio muestral Probabilidad (P) Evento A: extraer una pelota de cada urna y que ambas tengan el mismo número. Validen en grupo los eventos que propusieron. • Si consideramos los eventos A. ¿puede suceder al mismo Sí tiempo que la suma de esos números sea 12? • ¿Estos eventos son mutuamente excluyentes? ¿Por qué? eventos pueden suceder al mismo tiempo. Después. porque no tienen eventos comunes. d. Al evento B • ¿Cuál es la probabilidad de que en este mismo evento la suma de las pelotas extraídas sea 9? Cero Una vez que se hayan familiarizado con el tema. 2). (2. eventos compuestos y eventos complementarios 2. cuándo se trata de un evento compuesto y cuándo se habla de un evento complementario.Eventos simples. Porque ambos Después dé instrucciones de resolver las actividades de la página. pregunte al grupo qué les sugiere el título de la página. páginas 58 y 59 del libro. 5). 2)} • ¿Los eventos anteriores son mutuamente excluyentes? Justifiquen su respuesta. permita que exploren diferentes posibilidades pues ya se irán afinando o aclarando a lo largo de la lección. si hay dudas. 1). Lean nuevamente los eventos A. (1. R. ¿Estos eventos pueden ocurrir al mismo tiempo? Expliquen por qué. (2. Después. Sí. 107 PM3STJCONA-PL07-97-112. resuélvanlas en grupo con el apoyo del maestro. Propuestas didácticas a. (5. Registren en su cuaderno el procedimiento que siguieron para determinar la probabilidad de las dos últimas preguntas. No. Retomen el experimento anterior y los datos de la tabla y respondan. P(J) = 36 • ¿Qué resultados tienen en común? {(2. Registren el espacio muestral de los siguientes eventos. un alumno obtuvo las pelotas que se muestran. No se preocupe si las ideas vertidas por los adolescentes no son el todo precisas o correctas. L. porque tienen un evento común. 6)} • Evento J. (3.indd 107 SMAT3LRCONAPL09-129-144. 4). • Evento I. B y C. • ¿Es posible que la suma de esos números sea 11? ¿Podemos decir que estos eventos son mutuamente excluyentes? Expliquen. Al realizar el experimento. respondan. 4). i Socialicen sus respuestas y argumentos. 6 3 • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra cada evento? P(I) = 36. (4. registren en el cuaderno sus conclusiones. Se obtienen dos números iguales: {(1. c.indd 131 12/24/13 2:41 PM Prohibida su venta 131 1/30/14 5:54 AM . complementarios e independientes. (6. ponga algún ejemplo de un experimento aleatorio y que traten de explicar en qué situación se puede hablar de un evento simple. eventos compuestos y eventos complementarios. No. tema que se estudió en el bloque 1 en la lección 6. 2)} 1 • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran los dos eventos al mismo tiempo? 36 8 • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra uno u otro evento? 36 e. El producto de ambos números es cuatro: {(4. No. Al realizar una extracción se obtienen dos números iguales. Antes de abordar el tema de eventos simples. 3). B y C de la tabla de la página anterior. No. sugiérales que revisen los ejemplos de los experimentos aleatorios que se trabajaron a lo largo de la lección para que aclaren y recuerden el contenido. porque no tienen eventos comunes. ¿a cuál de ellos correponde este resultado? Argumenten su respuesta. b. indique a los estudiantes que revisen el libro para repasar el significado de eventos mutuamente excluyentes. Urna 1 Urna 2 Además de revisar las definiciones que aparecen en los textos en color azul. 1). L. {(A. • ¿Qué evento tiene menor probabilidad? Expliquen.indd 108 12/24/13 2:41 PM 1/30/14 5:54 AM . B). B y C tienen que checar su hora de entrada a la escuela todos los días. es decir. la suma de los números es 26 igual o mayor que 6. 4. R. P(A y B) = probabilidad de que ocurran simultáneamente los eventos A y B. retoman el problema de la urna. todos los días el encargado controla cuánto tiempo tarda en cargar un videojuego en una misma consola. (A. a. B). B. P(H) = 36 c. cuando es posible que ocurran al mismo tiempo. A)} • El espacio muestral del orden de llegada de los tres profesores. 6 + 3 – 1 = 8 36 36 36 36 36 • ¿Lo anterior se puede representar como P(A) + P(B) – P(A y B)? Expliquen su postura. A. A. {(B. Consideren lo anterior como un experimento aleatorio en el que puede ocurrir alguno de los siguientes eventos: Información complementaria La regla de la adición establece que la probabilidad de que ocurran al menos dos eventos A y B es: • Evento A: "El videojuego se inicia inmediatamente". aunque esto no significa que necesariamente ocurran de forma simultánea. C. a. (C. respuestas y procedimientos en grupo. (B. R. • Describan el complemento del evento B. • Formulen dos eventos mutuamente excluyentes. a partir del conteo sobre dichos resultados. • Evento C: "El videojuego se inicia después de 10 minutos". (C. Propuestas didácticas En el punto 4. A. {(A. A). 8. Si solo hay un checador. que encuentren la probabilidad y la comparen con la obtenida aplicando la fórmula anterior. Reunidos en equipo. R. cuando A y B son no excluyentes. B. C). P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P (B). P(B) = probabilidad de que ocurra el evento B. Retomen los siete eventos registrados en la tabla de la actividad inicial. En una tienda. (B.3. cuando A y B son mutuamente excluyentes. determinen: {(A. C. 5} i Socialicen sus argumentos. R.indd 132 Prohibida su venta 108 PM3STJCONA-PL07-97-112. B. P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B). lleguen a consensos y regístrenlos en su cuaderno. A)} c. R. C). A)} • El evento de que el profesor A no llegue en segundo lugar. R. (A. Retomen el problema de la urna de la actividad inicial para resolver las actividades. Donde P(A) = probabilidad de que ocurra el evento A. ya que el que ocurra uno de los eventos impide la ocurrencia del otro. (C. {Inmediatamente. es decir. B. ¿cuáles son los resultados favorables? Expliquen. Retomen la tabla y discutan. 5). L. B). (C. (A. B. 10} • Describan el complemento del evento C. • El evento de que el profesor B llegue primero. B). b. C. A. L. C. C). L. • Escriban dos eventos que no sean mutuamente excluyentes. proponga diferentes situaciones en las que sea necesario calcular la probabilidad. 36 132 SMAT3LRCONAPL09-129-144. Tres profesores de matemáticas A. Determinen si al mismo tiempo pueden ocurrir los eventos H y C y calculen la probabili2 dad de ocurrencia de ambos eventos. porque es resultado de ambos eventos. Sí. A)} • El complemento del evento anterior. C). ¿pueden ocurrir al mismo tiempo los eventos A y B? Expliquen su respuesta. pero solicite a los estudiantes que dibujen o representen en el cuaderno todos los resultados posibles y. Las respuestas dependen de los eventos que se propongan. para verificar si la probabilidad se puede representar como P(A) + P(B) – P(A y B). Calculen la probabilidad del evento. (5. B. cuando no pueden ocurrir simultáneamente. B). C. (B. Sí • De ser afirmativa la respuesta anterior. • ¿Cuál de los siete eventos tiene mayor probabilidad de ocurrir? Expliquen. C). C. L. • Evento B: "El videojuego se inicia después de 5 minutos". b. A). {Inmediatamente. Consideren el evento H: al extraer una pelota de cada urna. (C. apliquen lo analizado y realicen en su cuaderno lo que se pide. Sí. (B. • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra uno u otro evento? Argumenten su respuesta. L. escriban el espacio muestral del evento M y calculen su probabilidad. por ejemplo. 6} son eventos compuestos. con la finalidad de ofrecer paquetes de hospedaje a personas que viajan frecuentemente por motivos de trabajo. (5. 1). 1). los eventos A = {1} y B = {5} son simples. 9 • M = {(1. Un evento complementario del evento A es otro evento formado por los resultados del experimento que pertenecen al espacio muestral. 5} y D = {4. lean la siguiente información teórica. 3). con ayuda del profesor. e. 5). El producto es un número non. (5. 3. 5. Se tiene el evento K: extraer dos pelotas con números distintos. Como viste en la lección 6. al lanzar un dado. identifiquen los tipos de eventos involucrados y. Frecuencia de viajes al mes 12 6 Total Número de mujeres 120 40 160 Número de hombres 160 80 240 Total de personas 280 120 400 109 PM3STJCONA-PL07-97-112. Completen los datos faltantes de la siguiente tabla. El complemento del evento A se simboliza como Ac. (1. Consideren el evento L: extraer dos pelotas. en el experimento de lanzar un dado: C = {1. qué información proporciona la primera columna y qué información se representa en el primer renglón. un evento compuesto y un evento complementario. registren sus conclusiones. 1)} i Socialicen sus estrategias y respuestas y registren sus ideas acerca de lo trabajado. Calculen P(L) = 27 36 Propuestas didácticas Solicite al grupo que terminen de resolver las actividades de la página y elija a uno de los estudiantes para que dé lectura a la información que aparece en el texto en color azul. Comenten en el grupo las definiciones de los conceptos y si los ejemplos dados por sus compañeros son correctos o no y por qué. i Observen la imagen de la derecha y . Solicite a los estudiantes que analicen la tabla que aparece al final de la página y dígales que expliquen qué es lo que está representando. Luego indíqueles que escriban en el cuaderno las definiciones utilizando sus propias palabras y sus propios ejemplos.indd 109 SMAT3LRCONAPL09-129-144.con base en esta. i Retomen los problemas resueltos en la actividad anterior. (3. (5. Un evento compuesto es el subconjunto del espacio muestral que incluye dos o más eventos simples. Después. un evento simple o elemental es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento. Reunidos en pareja. En un experimento aleatorio. Pregunte qué conclusiones se pueden extraer de ese conjunto de datos y de qué manera esa encuesta aporta a la cadena hotelera. Para cada uno de los conceptos. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra? 30 36 • ¿Qué relación hay entre el evento K y el evento A que aparece en la tabla? Justifiquen su respuesta. La siguiente tabla muestra los resultados de una encuesta realizada por una cadena hotelera en la terminal aérea de la Ciudad de México. porque no tienen eventos comunes y la suma de sus resultados posibles representan todo el espacio muestral. (3. por ejemplo. un espacio muestral es un conjunto de posibles resultados de una experiencia aleatoria. 5). La probabilidad de un evento complementario Ac es: P(Ac)= 1 – P(A). planteen un evento simple. f. pero que no son parte del evento A. El evento M es complementario de L.indd 133 12/24/13 2:41 PM Prohibida su venta 133 1/30/14 5:54 AM . Son complementarios. La encuesta sobre viajes de trabajo 5. (3. una de cada urna y que el producto sea un número par. a. pídales que den otro ejemplo que represente un evento simple o elemental. • P(M) = 36 (1.d. 5). otro en el que se muestre un evento compuesto y uno más en el que se muestre la probabilidad de un evento complementario. 3). realicen lo que se indica. 3). evento C: viaja 6 veces al mes. Propuestas didácticas • Al realizar el sorteo. Viaja 12 veces al mes o viaja 6 Sí veces al mes y es mujer. Para hacerse promoción. Después registren sus acuerdos. i Socialicen sus productos.indd 134 Prohibida su venta 110 PM3STJCONA-PL07-97-112. como a B. Pida que utilicen ejemplos para apoyar sus argumentos para que todo quede más claro. se puede establecer lo siguiente: Evento A: viaja 12 veces al mes. también viaje 6 veces? Expliquen su respuesta. No Justificación Porque tienen 120 eventos comunes. y evento D: es hombre. Porque si viaja 6 veces. Evento G: Viaja 12 veces o viaja 6 y • Ejemplo 1: Evento F: Es hombre o es mujer es hombre. respondan en su cuaderno. • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran los eventos anteriores al mismo tiempo? 40 Describan cómo obtuvieron la respuesta. Analicen los siguientes eventos y determinen si son eventos mutuamente excluyentes. al compartir una región. bajo la guía de usted. • ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador sea hombre? 60% • ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador viaje 12 veces al mes? 70% • ¿El ganador puede ser mujer y al mismo tiempo viajar 6 veces al mes? ¿Qué tipo de eventos son los anteriores? No. ¿la ocurrencia de un evento hace imposible que suceda el otro evento? Argumenten. Es hombre o viaja 6 veces al mes y es mujer. Sí Viaja 6 veces al mes o viaja 12 Sí veces al mes y es hombre. Centren la discusión en el procedimiento empleado en las dos últimas preguntas. ¿este puede ser una persona que viaja 12 veces al mes y que comunes.b. Dependiendo de cómo sea la relación entre los conjuntos es que se determinará la posición de los círculos. Sí • ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? ¿Por qué? No. es decir. el conjunto A y el conjunto B. Analicen los datos y escriban dos ejemplos de eventos mutuamente excluyentes: R. Los diagramas de Venn. permitiendo que sean sus compañeros quienes despejen dichas dudas. la cadena hotelera realizará un sorteo para regalar dos noches de hospedaje con alimentos. 280 + 40 = 80 = 80% 400 400 100 i Socialicen sus respuestas. porque no pueden ocurrir al mismo tiempo. pertenece al otro conjunto.indd 110 12/24/13 2:41 PM 1/30/14 5:54 AM . Sí. por ejemplo. con la ayuda del profesor. Ponga a discusión si en el problema planteado los eventos son o no mutuamente excluyentes y por qué. evento B: es mujer. ¿Son mutuamente excluyentes? Eventos Viaja 12 veces al mes o es mujer. si se tienen dos conjuntos. que sus resultados sean correctos. De acuerdo con lo anterior. Si algunos de los círculos está completamente contenido en el otro círculo. Información complementaria c. Proponga representar con diagramas de Venn las situaciones que se establecen en el problema para identificar de manera gráfica las intersecciones y situaciones ajenas. no puede viajar 12 veces. Justifiquen cada caso. Porque tienen resultados • Al obtener al ganador. Invite a los estudiantes a pasar al frente del pizarrón a plantear sus dudas y a explicar las dificultades que enfrentaron al realizar las actividades de la página. Los diagramas de Venn se utilizan para mostrar cómo se agrupan cosas. es subconjunto del conjunto. donde cada conjunto se representa utilizando un círculo o un óvalo. d. • Cuando se tienen dos eventos mutuamente excluyentes. No. M. cómo están dispuestos elementos de un conjunto. ¿puede ganar una persona que viaja 12 veces al mes y que sea mujer? Expliquen su respuesta. significa que todos los elementos que estén en el área compartida. Porque no pueden viajar 12 y 6 veces al mismo tiempo. Son mutuamente excluyentes. 134 SMAT3LRCONAPL09-129-144. significa que todos los elementos de uno de los conjuntos. pertenecen tanto a A. • Ejemplo 2: Evento H:Viaja 12 veces y es Evento I: Viaja 6 veces y es mujer hombre o es mujer o es hombre. Porque no puede ser hombre y mujer a la vez. argumenten lo realizado y verifiquen en grupo. porque no tiene eventos comunes. Al modelar matemáticamente la situación. 400= 10% • ¿Cuál es la probabilidad de que la persona ganadora viaje 12 veces al mes o que viaje 6 veces al mes y sea mujer? Escriban la expresión para calcular la probabilidad. es decir. son representaciones gráficas utilizadas en teoría de conjuntos. que asocien el uso de la “y” y de la “o” con la disposición de los conjuntos. Reunidos en pareja. Si los eventos no son mutuamente excluyentes. 6 y 6.6. cuando solo sucede una o sucede la otra. la probabilidad de ocurrencia de uno u otro se puede determinar al sumar las probabilidades de ambos: Si ya hicieron uso de los diagramas de Venn. el total de mujeres encuestadas y el total de personas que participaron en dicha encuesta. se debe aplicar la fórmula P(A) + P(C) – P(A y C). ¿Cuál es la P(B)? 700 o 20% • Carlos dice que para calcular la probabilidad de los eventos A o B se puede usar la expresión P(A) + P(B). la probabilidad de que ocurra uno de los dos eventos 36 es: 11 + 5 − 2 = 14 . y además se sabe que son mutuamente excluyentes. luego aclare a los alumnos que cuando se utiliza la conjunción “y” se está representando la intersección de los conjuntos. de que la suma sea 8.indd 111 SMAT3LRCONAPL09-129-144. es decir: P(A) + P(B). si A y B son eventos mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B). al lanzar dos dados. se puede hacer uso de la fórmula que suma las probabilidades de dos eventos. completen la tabla y resuelvan en su cuaderno. Por tanto. pregunte en qué situaciones. Por ejemplo. si se selecciona una persona al azar. ¿Están de acuerdo con lo anterior? Justifiquen. La tabla muestra algunos datos de la encuesta realizada por la misma cadena hotelera en la temporada de mayor demanda. 36 36 36 36 i Comenten sus experiencias en grupo y registren sus acuerdos. Luego. la probabilidad de que ocurra uno u otro se puede determinar al sumar las probabilidades de cada evento. entonces se puede afirmar que los dos sucesos no son mutuamente excluyentes porque hay resultados que pueden estar presentes en ambos eventos. Sí. un jugador puede ganar un premio si en cualquiera de los dados sale 6 o si la suma de ambos es igual a 8 puntos. La probabilidad de obtener 6 es 11 . a. ¿Cuál es 1 la P(A)? 2 o 50% 140 • Sea el evento B: viaja 6 veces al mes y es mujer. ¿cuál es la probabilidad de que al seleccionar a una persona esta cumpla con el evento A y el C al mismo tiempo? Justifiquen. a diferencia de cuando se hace uso de la “o”. de manera análoga ocurre un evento A y un evento B simultáneamente. porque son mutuamente excluyentes. al calcular la probabilidad de un evento. solicite que dejen claro al resto de sus compañeros de clase qué significa cuando se escribe A y C. ¿Cómo son? Expliquen. 5 y de que sucedan 36 36 ambos casos es 2 (2. Pregunte a los alumnos si sería posible calcular las probabilidades de los diferentes eventos sin esta información y por qué. es decir. 2). Frecuencia de viajes al mes Mujeres Hombres Total de personas 12 6 Total 170 180 140 210 310 350 350 Propuestas didácticas 390 700 Pregunte a los estudiantes cuál es la importancia de saber el total de hombres encuestados. • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A o el B? 70% • ¿Cuántas personas viajan 12 veces al mes y además son hombres? 180 • Dado el evento C: es hombre. 111 PM3STJCONA-PL07-97-112. • Sea el evento A: viaja 12 veces al mes. permita que los estudiantes empleen sus propios recursos. 350 + 390 – 180 = 560 700 700 700 700 • ¿Cuántas son las personas que cumplen con el evento A o el evento C? • ¿La expresión P(A) + P(C) – P(A y C) ayuda a determinar la probabilidad de uno u otro evento? Justifiquen su respuesta. al calcular una probabilidad de que ocurra un cierto evento. cuál es el papel de la conjunción o para qué se utiliza la “y” y cuál es la diferencia cuando se hace uso de la letra “o”. Es la misma. Sí 560 • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra uno u otro evento? 700 • Comparen los resultados de las dos preguntas anteriores. menos la probabilidad de que sucedan al mismo tiempo: Si A y B no son excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B). Cuando dos eventos que son parte de un mismo espacio muestral. antes de la validación en grupo. Por ejemplo. Incluyan en la discusión la siguiente información teórica: Pida a los adolescentes que expliquen al resto del grupo en qué situaciones. los elementos que pertenecen simultáneamente al conjunto A y al B.indd 135 12/24/13 2:41 PM Prohibida su venta 135 1/30/14 5:54 AM . i Discutan sus argumentos y registren sus conclusiones. Invite a los estudiantes a dar diferentes ejemplos en los que sea válido aplicar esta fórmula. ¿por qué los resultados favorables del evento que sea mujer y que sea hombre son mutuamente excluyentes? Sustenten su respuesta.Problemas de aplicación 7. con la que establezcan un problema y elaboren cinco preguntas que escribirán en el cuaderno e intercambiarán con otro compañero para dar solución al problema.indd 112 12/24/13 2:41 PM 1/30/14 5:54 AM . obtengan la probabilidad de cada evento: 3 1 • P(C) = 12 • P(D) = 12 4 • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra C o D? P(C o D) = 12 Información complementaria i Discutan los resultados obtenidos y la forma de obtenerlos. ¿cuántas secciones hay?. y el evento B: que la ruleta se detenga en “premio”. al final. Si el evento C es 10 mensajes gratis. Sea el evento A: que la ruleta se detenga en un año de “factura gratis”. dejando un margen para la casa del 2. Guadalupe concursa. Como son complementarios basta con calcular la probabilidad de uno de los eventos. Sí Frecuencia Mujer 35 Hombre 44 Total 79 No Probabilidad 35 133 44 133 79 133 Frecuencia 23 31 54 Probabilidad 23 133 31 133 54 133 Total Frecuencia 75 Probabilidad 58 133 75 133 133 1 58 • Al realizar la rifa. en caso de que sea necesario. Propuestas didácticas Pida a los estudiantes que analicen la ruleta que aparece en el punto 7. exprésenla. Determinen si existe alguna diferencia en estos eventos. En un programa de concursos. ¿cuántas opciones diferentes hay? Cada una de las secciones de la ruleta. y. es decir. La ruleta es un juego de azar. Más adelante se añade a las ruletas el doble cero. realizar las correcciones pertinentes. La ruleta se usaba como entretenimiento. En 1842. más de 5% a su favor. entradas a un concierto. al parecer la eligió porque la suma de los primeros 36 naturales da por resultado 666. En el programa de hoy. b. ¿es posible sacar simultáneamente un premio y una factura gratis? a. con el fin de que el casino tenga en beneficio 2/38. La creación de la ruleta y sus reglas se deben a Blaise Pascal quien inventó una ruleta con 36 números. 8. Porque no pueden ocurrir al mismo • Escribe cómo calcular la probabilidad de los eventos “que sea mujer” y “que sea hombre”. y si es el caso. Invítelos a construir una ruleta diferente a la del punto 7. En la siguiente tabla se registran los resultados de una encuesta relacionada con la pregunta: ¿Alguna vez has viajado en avión? Escriben el nombre de los entrevistados y. completen los datos de la tabla y respondan en su cuaderno. analicen los planteamientos que se describen y resuelvan. • ¿Los eventos son mutuamente excluyentes? Sustenten su respuesta. su nombre viene del francés que significa ruedita. 1 • ¿Cuál es la probabilidad del evento A? P(A) = 12 6 • ¿Cuál es la probabilidad del evento B? P(B) = 12 • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? 7 P(A o B) = 12 Luego. y el evento D. los hermanos Blanc modificaron la ruleta agregándole el 0 para tener una proporción de premios de 1/37 y lo introducen al Casino de Montecarlo. Reunidos en pareja. realizan una rifa. Apliquen lo estudiado para analizar su situación. Formule preguntas al grupo como: ¿Cuáles son las opciones que se ofrecen en la ruleta?. solicite a los alumnos que resuelvan las actividades propuestas en la página de su libro. porque no pueden suceder al mismo tiempo. Lean la información. ¿tienen la misma probabilidad de caer en la flecha roja?.indd 136 Prohibida su venta 112 PM3STJCONA-PL07-97-112. 136 SMAT3LRCONAPL09-129-144.7%. a. Sí. una compañía telefónica propuso como estrategia publicitaria otorgar premios y regalos a los usuarios por medio de la ruleta que se muestra. tiempo. posteriormente se juntarán de nuevo para revisar las respuestas de cada uno de los problemas. porque no pueden suceder al mismo tiempo. i Discutan en grupo sus experiencias. 12 24 • Evento C: la consonante M y la vocal A están juntas. juegue con los estudiantes alguno de los juegos que propusieron (utilizando sus reglas) y tomen nota de las palabras que vayan saliendo para escribir la probabilidad experimental después de jugar un rato a sacar al azar las palabras. Justifiquen cada caso. 113 SMAT3LRCONAPL09-129-144. 12 24 • Evento D: la consonante M y la vocal O están en los extremos. No son. Evento A: ha viajado en avión. Sí son. Analiza los ejemplos para apoyarte en la resolución de las actividades. como en el caso de la ruleta. Sí son. con la supervisión del maestro. 12 24 • Evento B: las vocales A y O no están juntas. No Escriban un evento que sea mutuamente excluyente al evento D. M. (consulta: 14 de noviembre de 2013) PM3STJCONA-PL08-113-128. porque es posible que sucedan ambos.indd 137 En relación con la sección sobre eventos aleatorios que se localiza en el recuadro de Reto. Ha viajado en avión o es hombre. Eventos P(A o B) P(B y C) P(B o D) P(C o D) Probabilidad del evento 1 7 24 14 24 14 24 d. Para la rifa se tienen los siguientes eventos. pide apoyo al profesor. tener una posibilidad más o una menos. En este sitio podrás aplicar lo estudiado. y si hay dudas. tengan o no sentido. Evento B Escriban un evento complementario al evento B. R. consideren los siguientes eventos: • Evento A: las vocales A y O están juntas. c. R. se quiere formar todas las palabras posibles sin repetir ninguna de ellas. R. y evento D: es hombre.b. argumenten lo realizado y verifiquen. porque es posible que sucedan ambos. 12 y 4 • Escribe al menos tres ejemplos de eventos mutuamente excluyentes. com/page. 4 24 • ¿Cuántos son los resultados favorables de cada evento? 12. evento B: es mujer. No son. evento C: no ha viajado en avión. a. una cierta lógica en el arreglo que se va desarrollando para escribir todas las posibilidades y no omitir ninguna. Evento D Escriban un evento compuesto y determinen su probabilidad. qué tipo de reglas pondrían en el juego para que fuera equitativo y qué juego inventarían. 133 Propuestas didácticas c. • • • • • • • Ha viajado en avión o es mujer. 35 . tengan o no un significado? 24 b. no necesariamente al mismo tiempo. Es mujer y sí ha viajado en avión. puede hacer una gran diferencia. 12/24/13 2:42 PM Prohibida su venta 137 1/30/14 5:54 AM . Como cierre de la lección. Reunidos en pareja. pregunte a los jóvenes que si se premiaran ciertas palabras en un juego de azar. resuelvan los siguientes problemas. Ha viajado en avión o no ha viajado en avión. Después respondan. Reto Eventos aleatorios 1. revisa los conceptos que se enuncian y realiza las actividades. L. Es hombre o es mujer. abra un espacio para discutir con los alumnos de qué manera pueden organizar todas las posibles palabras que se pueden formar con las letras que tiene la palabra AMOR. Si se selecciona una palabra al azar. porque no pueden suceder al mismo tiempo. M.php/ resources/view_ all?id=probability_ classical_distinguish_ experimental_and_ subjective_probabilit y_t_page_11_ 609&from=search En la página siguiente. Con las letras A. Calcula lo que se pide. O. aunque no fuera equitativo. php/resources/view_ all?id=probability_ simple_probability_ problems_ independence_ compound_ experiments_ page_2_160&from= search Comparte tus experiencias en clase. Registren las dificultades que encontraron y socialícenlas para aclararlas juntos. Retomen la imagen de la página 109 y planteen un evento mutuamente excluyente y eventos complementarios. • • • • ¿Pueden ocurrir al mismo tiempo los eventos A y C? Expliquen. 12. que sus resultados sean correctos. Haga notar a los estudiantes que el número total de palabras formadas determinará la probabilidad de que ocurra cada uno de los eventos que se describen en el inciso b y. http://tareas. no necesariamente al mismo tiempo. yaprende. para favorecer ciertos resultados.indd 113 Los estudiantes darán diferentes ideas y deben notar que es de suma importancia llevar un cierto orden. al interaccionar con el recurso: tareas. ¿Cuántas palabras se pueden formar. Una vez que hayan escrito todas las posibilidades. para garantizar que no se repitan las palabras y que tampoco se omita ninguna.com/page.yaprende. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra “ha viajado en avión” o “no ha viajado en avión”? 1 35 ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra “ha viajado en avión” o “es mujer”? 133 ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra “es hombre” o “es mujer”? 1 i Socialicen sus respuestas. Analicen cada uno de los siguientes eventos y determinen si son o no mutuamente excluyentes. 210. √162 + 132 • Con la información proporcionada. usará una carpa más grande. Sirve. y1) Recuerde a los estudiantes que la distancia entre dos puntos es la longitud de la línea recta que los une. ¿cuántos metros de cable debe usar Mario para cada soporte lateral? 20.6 m • Describan el procedimiento utilizado para contestar la pregunta anterior. Porque se sabe la longitud y el número de soportes laterales que se requieren.8 m.8 m i Socialicen sus respuestas y argumentos. el cual estudiaste en la lección 12. En pareja analicen el planteamiento que se propone y contesten en su cuaderno.9 m √1802 + 1102 • ¿Cuántos metros de cable reforzado se necesitan para la nueva carpa? Justifiquen su respuesta. es 164. y2). 1.Para saber más Propuestas didácticas Aplicaciones del teorema de Pitágoras Explique a los alumnos que el teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones. ¿Cuánto debe medir? Describan el procedimiento que siguieron para encontrar el resultado. Las medidas están dadas en milímetros: Así pues. para hallar la distancia de un punto a otro. Mario debe calcular la cantidad de cable que se necesitará para montar la carpa del circo según el siguiente diseño: B(x2. donde A es el punto (x1. b. Mario trabaja en un circo y es el encargado de instalar la carpa. la distancia se define como la trayectoria más corta. Utilicen trazos en su descripción. podemos construir un triángulo rectángulo como el que sigue: En esta sección aplicarás tus conocimientos acerca del teorema de Pitágoras. de todas las trayectorias por las que se puede llegar de A a B. como en el caso: si se tienen dos puntos A y B. Entonces la distancia de A a B viene dada por la ecuación: 11 000 6 760 4 000 d(A. y1) y B tiene coordenadas en (x2.indd 138 Prohibida su venta 114 PM3STJCONA-PL08-113-128. de forma análoga. coméntenlas con el profesor. 421. ¿se puede calcular el total de cable necesario para la carpa? ¿Por qué? Sí. al representarlos en el plano cartesiano. a. por ejemplo. x2 – x1 corresponde a la longitud del segmento horizontal. Si tienen dudas. Armella Carpa de circo • Si la altura del mástil es de 16 m y la distancia entre la base del mástil y cada armella es de 13 m. y2) Mástil A(x1. B) = (y2 – y1)2 + (x2 – x1)2 4 000 5 000 13 000 10 000 36 000 13 000 • Si la línea roja representa un tipo especial de cable reforzado. por consiguiente. la distancia de los catetos se halla calculando la diferencia de y2 – y1 verticalmente y. Una empresa española le propuso el siguiente modelo. 138 SMAT3LRCONAPL09-129-144. Él sabe que se deben fijar los cables que sostienen cada mástil vertical a una armella colocada en el piso a cierta distancia de la base. La compañía circense decidió ampliar el espectáculo y.indd 114 12/24/13 2:42 PM 1/30/14 5:54 AM . Cuando se desea determinar la posición de un objeto. Consideren que es necesario medir las distancias de los receptores para calcular su posición con respecto del satélite A. i Comenten en grupo las exposiciones y con ayuda del profesor resuelvan las dudas que surjan. etcétera. Información complementaria Existen satélites naturales y satélites artificiales. Por ejemplo. calcula la distancia a dichos satélites y así. Unos tienen fines de comunicación. fijo o móvil.3 km. ¿cuál es la distancia que recorre la información? 78. Lean el texto y respondan en su cuaderno.indd 139 12/24/13 2:42 PM Prohibida su venta 139 1/30/14 5:54 AM . En equipos. se usa un aparato que recibe las señales que mandan los satélites y. C y D también forman un triángulo rectángulo. Justifiquen el uso del teorema y busquen imágenes para ejemplificarlas. de tal manera que B. fines científicos. Si la distancia que hay del satélite B al C es la misma que hay del satélite C al D. dado su éxito. B y C forman un triángulo rectángulo. 184 753. ¿cuál es la distancia total que recorre la información? Tracen el triángulo que se forma y utilicen literales para escribir su respuesta.58 AD = 27. Otros satélites de observación terrestre sirven para estudiar el medio ambiente. Las armas antisatélite son satélites que tienen como finalidad destruir satélites enemigos. • Expongan sus ejemplos al resto del grupo y expliquen detalladamente por qué las eligieron y cómo se aplica el teorema. Observen la imagen de la derecha. • Determinen la distancia que recorrerá la información si del satélite B se transmite al satélite A y entre estos existe una distancia aproximada de 53 116 km. 128 049 km • Supongan que hay un satélite D. enviaron el Sputnik 2 llevando como pasajera a una perra llamada Laika. por sus siglas en inglés GPS (Global Positioning System). 3. son naves espaciales que se lanzan al espacio con un cohete y no funcionan para siempre. cartografía. El sistema consta de veinticuatro satélites organizados en seis órbitas que recorren dos veces al día. por lo que se quedan en el espacio como basura espacial. 115 PM3STJCONA-PL08-113-128. Esta tecnología determina la posición de una persona o un objeto. del satélite al receptor B y finalmente se regresa la señal al receptor C. A su vez. la Luna que orbita alrededor del planeta Tierra es un satélite natural.41 km Los satélites artificiales se clasifican según su misión y la órbita que van a desempeñar. muchos de ellos ya como basura espacial. El Sistema de Posicionamiento Global (SPG).indd 115 SMAT3LRCONAPL09-129-144. los satélites contienen información que les indica dónde se encuentran los otros satélites del sistema.2. A Los satélites de comunicación son los que se usan para las telecomunicaciones.25 km • Si se manda una señal del receptor C al satélite A. es un sistema de navegación basado en satélites y receptores. AC = 29. otros bélicos y solo unos pocos. a su vez. B C A Hoy día hay cientos de satélites orbitando alrededor del planeta Tierra. L b. Consideren que los satélites A. La Unión Soviética lanzó el primer satélite artificial en el año 1957. dentro de un programa llamado Sputnik. el GPS tiene una gran cantidad de aplicaciones. en la Tierra. y siendo C el ángulo recto. • Si las distancias están dadas en kilómetros. Los satélites artificiales han sido construidos por los humanos. recorriendo 34 837 km y de este último al B. Por su confiabilidad y eficiencia. metereología. ¿cuál es la distancia que hay entre los receptores B y C? 19. Hay también satélites espías que observan y comunican movimientos de personas con fines militares y de inteligencia. por medio de una triangulación. Los satélites astronómicos se utilizan para observar planetas y galaxias y otros objetos astronómicos. Observen la imagen de la derecha.97 B C i Comparen sus respuestas y registren sus acuerdos. R. su posición. Esto se logra al tomar el tiempo que tarda en recibir la señal de un satélite y compararlo con el tiempo que tarda en recibir la señal de otros. a. investiguen dos aplicaciones del teorema de Pitágoras en distintos contextos que consideren importantes. la información pasa del satélite A al C. Los satélites artificiales pueden orbitar alrededor de un planeta o de un satélite natural. Estos satélites se encuentran a una distancia aproximada de 20 000 km de la superficie terrestre. seguido de este. x = 8. y que después la comparen con los 4 incisos. x = 14 – 8. pues están habituados.7 – 0. pero no es tan inmediato que vean que se trata de un isósceles con un ángulo recto.indd 140 Prohibida su venta 116 PM3STJCONA-PL08-113-128. que comprueben el resultado. Dígales que. es decir. son importantes porque ponen un reto a los estudiantes: identificar un triángulo rectángulo en diferentes posiciones. B) La piñata está a 2 m del suelo. escribiendo paso a paso en sus cuadernos y sin ver las opciones que se ofrecen como respuesta.7.7. sugiera que revisen en el cuaderno los pasos que siguieron. 5. Porque se necesita calcular el lado de un triángulo rectángulo en cada caso y a partir de este conocer las otras dos medidas. si es el caso.7 m del suelo. K P 3. ¿Cuál es la medida del perímetro del pentágono? T 3 ZV = 3 cm Z G 5. haga un ejercicio en el cual tracen en su cuaderno triángulos rectángulos que no tengan sus catetos paralelos a los lados de su cuaderno. desde la primaria. Ya que: 202– 182 = 8. M.6 m x A) La piñata está a 9. En una fiesta se colgó una piñata y quedó justo a la mitad de una cuerda de 40 m. esto les ayudará a familiarizarse más con los triángulos rectángulos y a asimilar que la posición no modifica el hecho de que sean rectángulos. El modelo geométrico que se muestra representa un vitral que se usará para decorar la pared en una galería de arte. para hallar el error y hacer la corrección necesaria.7. Comente a los alumnos que ver las posibles respuestas a los problemas planteados.07 cm W D H L F I J M N 9 cm 7 cm 9.7 + 0.indd 116 12/24/13 2:42 PM 1/30/14 5:54 AM . C) La piñata está a 8.7. Se calcula la diferencia de cuadrados de los lados del triángulo y después se obtiene la raíz cuadrada: 202– 182 – 182 = 8.3 m del suelo. Analiza el modelo geométrico y determina a qué altura del suelo está la piñata.Evaluación tipo PISA Propuestas didácticas i Elige la respuesta correcta. ¿Cuál es la medida del perímetro y del área del cuadrado CBIF? C A) P = 81 × 4 y A = ( 81)2 B) P = 53 × 4 y A = ( 53)2 C) P = 36 y A = 81 D) P = 7 + 2 × 4 y A = ( 7 + 2)2 E 4 cm S x V A) 28. analicen si es razonable o no y. R. 1.14 cm D) 26. tal como se muestra en la imagen. ¿Cuál de los dos triángulos rectángulos que se muestran tienen mayor perímetro? Recuérdeles que el teorema de Pitágoras solo se puede aplicar a triángulos rectángulos y que un triángulo rectángulo cuenta con un ángulo de 90 grados. a ver triángulos con uno de sus lados horizontal.56 cm A) ⌬MNO B) ⌬PQR C) Miden lo mismo. AB = 7 A Imágenes como las del problema 4. si no coincide con ninguna de las opciones. 20 m 20 m 14 m 18 m Sugiera al grupo que en cada una de las figuras identifiquen la información que requerirán para resolver el problema y que determinen los tipos de polígonos que la conforman. 140 SMAT3LRCONAPL09-129-144. D) No se puede saber porque faltan datos. en los casos en los que haya uno o más triángulos. B AC = 2 U B) 24. que está atada a los extremos de dos postes. puede darles idea de cómo resolver el problema.3.7 m del suelo.28 cm A1 UV = 10 cm y 7.49 cm O Q R 4. Sí. una vez que hayan elegido una respuesta. debido a que la raíz y el exponente se cancelan: 202– 182 = 2.14 cm C) 18. D) La piñata está a 4. de modo que si lo considera necesario. un triángulo rectángulo. 2. ya que: 202– 182 = 8. que establezcan si se trata o no de un triángulo rectángulo. 18 m 0.6 = 9. Explica por qué los problemas 1 a 4 se pueden resolver aplicando el teorema de Pitágoras. No es complicado que identifiquen el triángulo VWU como un isósceles. Solicite a los alumnos que resuelvan todos los problemas que se presentan en la evaluación tipo PISA.6 = 4.63 cm i Realiza lo que se indica en cada caso. es decir. con centro de L’ J’ J’’ rotación en L y se repite el patrón.indd 141 12/24/13 2:42 PM Prohibida su venta 141 1/30/14 5:54 AM . pues el procedimiento que puedan describir los estudiantes requiere por un lado de una redacción clara y. se dice que es una traslación. rotación o traslación) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada. Construye la figura 4 de manera que sea una traslación de unidades de la figura 2. 1 0 A’1 E’1 D’1 –3 –4 B’1 G Figura 1 1 2 –5 4 5 C” D” B” E” A” F” –6 C’1 3 –1 –2 F’1 7. ángulos.indd 117 SMAT3LRCONAPL09-129-144. –7) para el vértice G’.6. conservando las distancias. con el apoyo del maestro. A estas transformaciones se les conoce como “isometrías”. Con base en la imagen. Indicadores Explico el tipo de transformación (reflexión. Trazarla por medio de simetría central. Da las instrucciones para armar un teselado. paso a paso. en trayectoria recta. después de M’’ rotar la figura resultante 90º. Valoro mi avance Reflexiona acerca del trabajo realizado en el bloque. busquen estrategias para superar dichas dificultades. Haga un repaso de los conceptos si así lo considera pertinente. b. Identifico las propiedades que se conservan. de la comprensión del tema y el uso de los conceptos. y además conservan la medida de sus lados. Determina si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). –3 –2 –1 G’1 c. K’ K’’ 8. y completa la tabla. Invite a los adolescentes a verificar que la figura del punto 7 es una tesela. Es necesario revisar con calma el problema del punto 6. Considera (4. C’ 6 a. Expón cuál es el procedimiento para trazar la figura 3 a partir de la figura 2. Resuelvo problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras. Utiliza los términos siempre. la distancia entre dos puntos es igual a la distancia entre sus puntos transformados. las áreas y las formas. es decir. M. con ayuda del grupo. Describe el procedimiento. de modo que ya deberían. a veces o poco. a partir de la rotación de la figura. Aplicando simetría central. los problemas. La figura 1 con la figura 3 C I 5 B’ D’ D B 4 E’ F’ A’ Figura 2 G’ 3 E A F Propuestas didácticas 2 –5 –4 d. Aplicando simetría axial. En grupo. pase al pizarrón a los que más trabajo les haya costado para ir resolviendo. estar familiarizados con el lenguaje técnico. calcándola en papel y recortándola para girarla en una hoja de papel donde trazarán los perímetros. V En una rotación se tiene solo la característica de un punto denominado “centro de rotación”. M’ 7 –7 Figura 3 Figura 4 G” R. en este momento. a partir de la figura 1. En clase externa las dificultades que hayas tenido al resolver la evaluación. F Las transformaciones en el plano hacen corresponder a cada punto del plano con otro punto. por otro. realiza lo que se indica. V Una vez que los alumnos hayan terminado de contestar las preguntas del examen. 117 PM3STJCONA-PL08-113-128. Afirmación Veracidad Cuando todos los vértices y lados de una figura se mueven en una misma dirección. Explica el procedimiento para trazar la figura 2. ¿Qué figuras están relacionadas con simetría central? Explica tu respuesta. indd 142 Prohibida su venta 1/30/14 5:54 AM .3 142 SMAT3LRCONAPL09-129-144. Planeaciones didácticas Lección 14. Dado el contexto del problema. Comparan respuestas. Socializan en grupo la veracidad de las respuestas. una o ninguna solución. El discriminante en la fórmula general Resuelven distintas ecuaciones cuadráticas con base en la información leída en un texto referente al discriminante. Realizan las actividades de Apoyo tecnológico y del Reto. Registran y validan conclusiones. En parejas completan una tabla donde determinarán. Comentan en grupo las ventajas de resolver una ecuación cuadrática. Discriminante y la fórmula general En pareja resuelven una serie de problemas con ecuaciones de segundo grado mediante la fórmula general y el discriminante. Comparan y contrastan respuestas. Leen información relativa a la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas. Señalan la condición que los factores deben cumplir para ser la solución del problema. Utilizan la fórmula general para resolver una ecuación cuadrática. ya sea negativo o positivo. Elaboran en grupo conclusiones sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas. Analizan información relativa al discriminante en el caso en el que la ecuación de segundo grado no tiene solución. Expresan el número de soluciones de una ecuación cuadrática y mencionan qué casos tienen dos soluciones positivas y cuáles no tienen solución. además de calcular el valor de las que sí tienen solución. Determinan el discriminante de un conjunto de ecuaciones cuadráticas para expresar cuáles ecuaciones tienen dos. 120 y 121 122 123 124 y 125 Observaciones Prohibida su venta SMAT3LRCONAPL09-129-144. La fórmula general En equipo completan una tabla con las soluciones de ecuaciones cuadráticas. con distintos valores e igual signo. Señalan ventajas y desventajas de aplicar la fórmula general. Ecuaciones de segundo grado Bloque: 3 Eje temático: Sentido numérico y pensamiento algebraico Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Patrones y ecuaciones Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Con base en el discriminante calculan el valor de varios coeficientes en distintas expresiones. Leen en pareja información de una situación problemática y la resuelven en el cuaderno. Utilizan la información del discriminante para conocer el número de soluciones que tienen las ecuaciones para cada problema. por medio del discriminante. Ecuaciones cuadráticas Escriben expresiones algebraicas para modelar una situación.indd 143 143 1/30/14 5:54 AM . Factorizan la expresión algebraica. Escriben la expresión algebraica como trinomio. argumentan la imposibilidad de que uno de los valores sea negativo. Leen información acerca de los signos en una ecuación cuadrática. Modelan y plantean situaciones utilizando las ecuaciones de la tabla. qué ecuaciones no tienen solución. Determinan las distintas combinaciones de soluciones: con distintos signos. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones Desarrollo Sesión(es) 2 1 1 1 Actividades Páginas del libro Leen el texto “Tales de Mileto” y responden las preguntas. Resuelven un problema sobre el cálculo de la velocidad de un vuelo. Páginas del libro 126 127 y 128 129 y 130 131 Observaciones 144 SMAT3LRCONAPL09-129-144. Otros problemas Trabajan en parejas para responder distintos problemas sobre el cálculo de longitudes en figuras geométricas. Explican los procedimientos realizados para calcular los valores faltantes. Congruencia y semejanza de triángulos Bloque: 3 Eje temático: Forma. Comparan dos triángulos para señalar tanto la razón de semejanza como la proporcionalidad en los perímetros. Completan una tabla en la que calculan la razón de semejanza. Comentan en grupo los procedimientos que siguieron para resolver los problemas. Analizan una imagen para determinar la longitud entre dos vértices de una figura. espacio y medida Duración: 1 semana Número de sesiones: 5 Tema: Figuras y cuerpos Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido w Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas Desarrollo Sesión(es) 1 2 1 1 Actividades Una fotografía interesante En equipo realizan una serie de trazos para determinar la semejanza de un conjunto de figuras en una situación dada. determinan la congruencia o semejanza de dos figuras.Lección 15. Utilizan imágenes como patrón para trazar en el cuaderno. Reproducen un triángulo a escala y determinan si ambos triángulos son semejantes.indd 144 Prohibida su venta 1/30/14 5:54 AM . Problemas de semejanza y congruencia Leen un texto y responden a los planteamientos presentados. tanto figuras semejantes como figuras congruentes y analizarlas entre ellas. Comparan respuestas en grupo argumentándolas y validándolas. Construyen en el cuaderno triángulos congruentes y semejantes. Exponen trazos y respuestas entre compañeros. Semejantes o congruentes Trazan las diagonales de una serie de polígonos. Socializan respuestas y concluyen las características de los triángulos semejantes. Dadas las diagonales de distintos polígonos. Analizan construcciones para determinar si son semejantes. En pareja construyen distintas figuras en el cuaderno y validan respuestas a los planteamientos. Utilizan una retícula para trazar una figura con una razón de semejanza de ½. Visitan y realizan las actividades de los sitios de Internet que se sugieren en Apoyo tecnológico y aplican lo aprendido a lo largo de la lección al resolver la actividad del Reto. Reconocen triángulos congruentes. argumentando las repuestas. Comentan respuestas para llegar a conclusiones. Registran en una tabla datos para analizar si las características de unos triángulos los hacen ser semejantes. Determinan la razón de semejanza respecto a distintas figuras. indd 296 1/29/14 7:36 PM .ESP3SECTJSEPRDp19. valiosa información conceptual y respuestas modelo a los ejercicios. con recursos digitales para el docente Matemáticas 3 (b) CS5. En estos recursos para el profesor encontrará planeaciones precisas. sugerencias didácticas.3 Al trabajar todos juntos. Este libro proporciona diversas herramientas que usted como docente podrá utilizar en su función mediadora entre los estudiantes y las situaciones de aprendizaje propuestas en el libro del alumno. profesores y estudiantes. desarrollamos las competencias para la vida y para la asignatura.indd 1 1/31/14 2:20 PM .