Geometría vectorial y analítica Una introducción al álgebra lineal Geometría vectorial y analítica Una introducción al álgebra lineal Alberto Jaramillo Atehortúa Grimaldo Oleas Liñán Rector de la Universidad de Antioquia Alberto Uribe Correa Vicerrector de Docencia Óscar Sierra Rodríguez Decano de la Facultad de Ingeniería Elkin Libardo Ríos Ortiz Vicedecano de la Facultad de Ingeniería Carlos Alberto Palacio Tobón Asesor metodológico del Programa de Educación Ude@ Guillermo León Ospina Gómez Autores Alberto Jaramillo Atehortúa Grimaldo Oleas Liñán Jefe del Departamento de Recursos de Apoyo e Informática (DRAI) Juan Diego Vélez Serna Coordinadora de Producción Lyda Yaneth Contreras Olivares Corrector de estilo Daniel Aldana Estrada Diagramación y diseño Maribel Salazar Estrada Duván Mejía Zapata Impresión Cátedra Litografía Primera edición, 2006 Segunda edición, 2007 Segunda edición, primera reimpresión, 2008 Tercera edición, 2009 Esta publicación es un producto del Programa de Educación a Distancia Ude@. Reservados todos los derechos. No se permite la reproducción, archivo o ransmisión total o parcial de este texto mediante ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico, de fotorreproducción, memoria o cualquier otro tipo sin permiso de los editores Ude@. © Universidad de Antioquia ISBN: 978-958-714-027-9 Impreso en Medellín (Colombia) Imagen de la portada Fotografía de la escultura Girasoles Este campo de girasoles, compuesto por cuatro esculturas de concreto vaciado y reforzado, hace parte de un proyecto artístico de «sustitución de cultivos» que busca contrarrestar con las «flores alegres» la imagen negativa que ha generado la amapola fuera del país. Los girasoles, cada uno de tres metros de altura y una tonelada de peso, fueron donados por la artista bogotana Ana Mercedes Hoyos en junio de 2001 y se encuentran ubicados en la parte trasera del teatro al aire libre de la Universidad de Antioquia. A la artista Ana Mercedes Hoyos, una de las figuras más sobresalientes del arte latinoamericano actual, nuestra institución le otorgó honoris causa el título de Maestra en Artes Plásticas. Acerca de los autores Alberto Jaramillo Atehortúa Grimaldo Oleas Liñán Alberto Jaramillo Atehortúa Ingeniero industrial (1975) y magíster (1996) en Sicopedagogía (Pen- samiento Lógico-Matemático) de la Universidad de Antioquia. Ac- tualmente es profesor titular vinculado al Departamento de Matemáti- cas de esta Institución. Es autor de los textos Fundamentos de lógica y teoría de conjuntos (http://docencia.udea.edu.co/cen/logica), Apli- caciones de los vectores geométricos a la Física (http:// docencia.udea.edu.co/cen/vectorfisico) y Proyecto de aula Geome- tría Integrada (http://docencia.udea.edu.co/cen/geometrias) , y coau- tor de Geometría vectorial (http://ayura.udea.edu.co/~vectorial) y Mo- delos de razonamiento lógico en algunos temas de la Matemática (http://ayura.udea.edu.co/logica) Correo electrónico:
[email protected] Grimaldo Oleas Liñán Profesor jubilado del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Licenciado en Matemáticas y Física (1967) de esta insti- tución y magíster en Estadística (1973) de la Universidad Complutense de Madrid. Es autor de los textos El geoplano como mediador en la enseñanza de la Geometría; Solución, con regla y compás, de ecuaciones cuadráticas; Construcción de las estructuras de grupo y espacio vectorial, con el uso del geoplano (en proceso de publica- ción). Además, es coautor de Camino a la universidad (matemáticas) y Geometría vectorial (http://ayura.udea.edu.co/~vectorial). Correo electrónico:
[email protected] Cómo usar este texto Como estudiante del programa de educación no presencial de la Universidad de Antioquia, Ude@, usted es el centro del modelo educativo y puede controlar el proceso de aprendi- zaje mediante la organización del tiempo alrededor de sus intereses. La autonomía, la disciplina, la creatividad y el trabajo en equipo son características que le ayudarán en su formación para solucionar problemas reales de la sociedad, recurriendo al método de la ingeniería. Los cursos Ude@ permiten fortalecer estas características mediante el desarrollo de diferentes actividades1. Estudio individual, apoyado en diferentes medios (impresos, audiovisuales, multimedia). Estudio en grupo y acompañamiento del profesor a través del aula virtual. Tutorías presenciales, cuya finalidad es apoyar el aprendizaje y afianzar los temas estudiados. El texto Ude@ En el modelo Ude@ los contenidos educativos son aportados por cada medio te- niendo en cuenta las fortalezas propias de cada uno de ellos. Desde el punto de vista pedagógico, el texto impreso es por tradición un medio idóneo para los procesos de educativos ya que facilita el aprendizaje de hechos, la compresión de principios generalizados o abstractos y el desarrollo del razonamiento lógico. En estos aspec- tos, el texto Ude@ es un medio muy eficaz para desarrollar y adquirir tales destrezas. Estructura del texto El texto Geometría vectorial y analítica ha sido desarrollado como parte del material educativo de los estudiantes del programa; sin embargo, su contenido puede ser de gran utilidad para cualquier persona que desee estudiar este tema. La estructura del texto es lineal, con una progresión gradual de cada tema, lo cual hace más fácil la transmisión del contenido de una manera lógica. La división del texto está dada por capítulos que, a su vez, agrupan módulos o temas. Al empezar cada capítulo se encuentra un «Contenido breve» que muestra el número y el título de los módulos que componen el capítulo. Por su parte cada módulo contiene, en su primera página, una introducción, los objetivos de aprendizaje, unas preguntas básicas (relacionadas con los conocimientos previos requeridos) y el índice temático del contenido, que le guiarán en el proceso de aprendizaje sobre el tema en particular de cada sesión de clase. 1 Los cursos tienen un cronograma semanal de actividades que lo orientará en su proceso de aprendizaje. Los iconos y la interrelación de medios El material Ude@ ha sido producido de manera integral, teniendo como objetivo primordial el autoestudio. Por tanto, la producción de los contenidos se desarrolla en los diferentes formatos (audiovisuales, web, multimedia, videoconferencias), con enlaces entre los mismos. La esencia de estos enlaces está dada por los iconos Ude@. Los iconos, como representaciones gráficas de la realidad, serán los elementos gráfi- cos que le ayudarán a guiarse en su navegación por los diferentes medios. Sugerencias para los estudiantes En la lectura del libro: Antes de iniciar el estudio de un capítulo, lea el contenido breve y la presen- tación. Trate de resolver las preguntas básicas de cada módulo; estas preguntas están diseñadas para ayudarle a comprender los conceptos o temas presentados a lo largo del mismo. Lea los ejemplos intercalados en los bloques de texto y trate de resolver los ejercicios con el fin de mejorar sus habilidades en la solución de problemas reales. Complemente la lectura del libro con las herramientas de comunicación que posee en el aula virtual y en su correo electrónico. Recuerde que sobre el tema que está estudiando en el módulo impreso tam- bién existe material disponible en otros medios, y que ese material representa valor agregado puesto que el contenido de los diferentes formatos no se re- pite sino que se complementa. En el aula virtual: Aprenda cómo funcionan las herramientas indispensables para participar en un curso por red: sistema de correo electrónico, sistema de chat, grupos de discusión, búsquedas en Internet, consulta en bases de datos especializadas, entre otras. Revise el correo electrónico todos los días. Visite con relativa frecuencia el sitio Ude@ y la plataforma donde se publica el curso en Internet para enterarse de cualquier nueva información. Apóyese en la red como un sistema de consulta y establezca criterios para seleccionar la información requerida. Introduzca sus datos personales en el aula virtual para que sus tutores y compañeros tengan acceso a ellos. Desarrolle, en la primera semana, las actividades preparativas para el curso indicadas en el aula virtual. Dedique al menos tres horas semanales por cada crédito asignado a un curso para leer los módulos, realizar trabajos, participar en los foros de discusión y presentar evaluaciones, de acuerdo con lo establecido en el cronograma. Planee su agenda personal para participar activamente en cada curso y entre- gar oportunamente sus tareas. En caso de algún imprevisto, debe comunicarse inmediatamente con el tutor. Participe de las actividades propuestas para realizar en forma individual y en grupos de trabajo. Haga parte de grupos de trabajo conformados con sus compañeros de curso y en ningún caso pretenda realizar todas las actividades sin ayuda de los demás. Manifieste oportunamente a sus compañeros y al profesor las dificultades que se le presentan con las actividades propuestas. Elabore su propio horario de trabajo independiente para el curso y cumpla con el cronograma del curso. Realice con honradez las actividades de evaluación, autoevaluación y co- evaluación que encuentre programadas en el curso. Durante su proceso de aprendizaje trate de adquirir autonomía con el conoci- miento, es decir, intente construir nuevos conocimientos recurriendo a fuen- tes de información bibliográfica y a sus habilidades de comparación, análisis, síntesis y experimentación. Mantenga una actitud de colaboración con compañeros, tutores y monitores, y esté siempre dispuesto a realizar las actividades de aprendizaje. Relaciónese de manera respetuosa y cordial con los demás estudiantes, con el tutor y con los monitores. Tabla de contenido Capítulo 0: Solución de sistemas de Módulo 0 25 ecuaciones lineales de órdenes Sistemas de ecuaciones lineales de órdenes 2 × 2 y 3 × 3 y las interpretaciones geométricas del conjunto solución 2 × 2 y 3 × 3 y las interpretaciones geométricas del Ejercicios conjunto solución 39 Pág. 63 Módulo 5 85 La transpuesta de una matriz y sus propiedades Módulo 6 91 Sistemas de ecuaciones lineales Módulo 7 101 Tipos de solución de un S . n ) Ejercicios 114 Módulos 3 al 7 Módulo 8 123 Matrices invertibles Módulo 9 131 Inversas de las matrices elementales Módulo 10 135 El algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa multiplicativa Ejercicios 140 Módulos 8 al 10 . 41 Otras propiedades asociadas al conjunto \ como un espacio vectorial n Ejercicios 61 Módulos 1 y 2 Módulo 3 65 Capítulo 2: El conjunto \ m× n Álgebra matricial Módulo 4 73 y sistemas de Operaciones en el conjunto \ m× n ecuaciones lineales Pág. 23 Módulo 1 43 Capítulo 1: El conjunto \ y sus operaciones básicas n El conjunto R n y sus operaciones Módulo 2 51 Pág.L.(m .E. n ) Ejercicios 179 Módulos 11 al 13 Capítulo 4: Módulo 14 189 Vectores libres Vectores geométricos Pág. 145 Módulo 12 159 Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales Módulo 13 171 La función determinante y sus relaciones con la inversa multiplicativa de A( n . 293 Módulo 21 305 Proyección ortogonal Módulo 22 217 Producto escalar y geometría analítica Ejercicios 339 Módulos 20 al 22 . 187 Módulo 15 195 Operaciones con vectores libres Ejercicios 211 Módulos 14 y 15 Módulo 16 227 El espacio vectorial de los vectores libres Ejercicios 244 Módulo 16 Capítulo 5: Módulo 17 251 Correspondencia entre los vectores geométricos Vectores coordenados y los vectores coordenados Pág. 249 Módulo 18 265 Lugares geométricos Módulo 19 281 Intersecciones entre lugares geométricos Ejercicios 290 Módulos 17 al 19 Capítulo 6: Módulo 20 295 El producto escalar Producto escalar en E y \ 3 3 Pág.Capítulo 3: Módulo 11 147 La función determinante La función determinante: dominio y codominio Pág. 385 Módulo 25 Módulo 26 421 Cinemática Ejercicios 444 Módulo 26 Módulo 27 447 Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo Ejercicios 457 Módulo 27 Módulo 28 459 Momento de una fuerza respecto de un punto Ejercicios 479 Módulo 28 Capítulo 9: Módulo 29 485 La circunferencia Las cónicas: un enfoque cartesiano Ejercicios 495 Pág.Capítulo 7: Módulo 23 355 Producto vectorial El producto vectorial Pág. 353 Módulo 24 363 Producto vectorial y geometría analítica Ejercicios 372 Módulos 23 y 24 Capítulo 8: Módulo 25 387 Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Ejercicios 414 Pág. 483 Módulo 29 Módulo 30 501 La parábola Ejercicios 526 Módulo 30 Módulo 31 539 La elipse Ejercicios 562 Módulo 31 Módulo 32 573 La hipérbola . Ejercicios 591 Módulos 32 Apéndice 1 603 Estructuras algebraicas básicas Apéndice 2 617 Método de demostración por inducción Bibliografía 625 . a la estudiante de la Licencia- a modo de impronta. diaria. en las áreas de la geo. 4. esfuerzo colectivo. Los autores 2. 3. que aspectos: digitó y diseñó la versión inicial de los textos Geometría vectorial y Algunas aplicaciones de los vectores 1. y las ilustraciones y aplicaciones. El tránsito gradual y asistido desde la teoría a la prác- tica en aplicaciones fundamentales de la geometría vectorial a la Física. están identificadas en los siguientes tura en Matemáticas y Física. enriquecido por los aprendizajes les en todos los tiempos de un gran número de hombres y mutuos en las aulas y fuera de ellas. 5. vectorial. Agradecemos a todos y cada uno de los integrantes del En él materializamos las concepciones adquiridas como pro.. que fortalecen la adquisición de los automatismos y destrezas necesarias para el dominio ope- rativo y algorítmico de los conceptos básicos. Diana Milena Escobar F. programa Ude@ que han permitido la materialización de este ducto de la reflexión sobre nuestra práctica docente y que. que ofrecen al lector la posibilidad real de introducirse con una buena fundamentación en esta impor- tante área del conocimiento que tiene en el cálculo vectorial su instrumento vital para su formulación. el cálculo vectorial y el álgebra lineal. que exige del lector el empleo a fondo y la ampliación continua de sus estructuras cognitivas en la construcción de su pensamiento formal. lidación como objeto matemático altamente refinado y fun- damental en la construcción del cálculo vectorial y de innu- merables áreas aplicadas. El equilibrio entre el desarrollo deductivo en la cons- trucción de la teoría. Los referentes históricos. de quienes aprendemos en nuestra actividad geométricos euclidianos del vector geométrico y su conso. El empleo cuidadoso del lenguaje universal de la Matemática (la teoría de conjuntos). Prólogo El texto Geometría vectorial y analítica: una introducción 7. la geometría analítica. geométricos a la Física en formato electrónico. como también las estructuras algebraicas comunes que facilitan su síntesis como espacios vectoriales y que permiten identificar sus propiedades comunes y ha- cen más natural y enriquecedor su estudio. está orientada a movilizar y ampliar sus estructuras de pensamiento y no se limita a los objeti- vos meramente instrumentalistas o informativos. 6. la geometría la cultura. La construcción de los temas fundamentales con la convicción de la prevalencia del carácter formativo de esta área de estudio en los estudiantes a los cuales va dirigido y que. y a nues- llo de sus contenidos. que muestran los fundamentos tros alumnos. el rigor y la articulación en el desarro. . en consecuencia. que permiten concebir el al álgebra lineal es la síntesis de un proceso pedagógico desarrollo científico como la unión de los aportes individua- de más de dos décadas. mujeres que con sus esfuerzos y trabajo han tejido y tejerán metría euclidiana. que fomenta la com- prensión conceptual y la exigencia de una redacción preci- sa cuando se trata de la comunicación en esta ciencia. así mismo. La coherencia. La determinación explícita de la naturaleza subya- cente en las operaciones definidas en cada conjunto y su carácter unificador. entre otras. . en este caso los vectores y desarrollos teóricos buscan la reflexión del estu- sus propiedades. Los apéndices proporcionan un apoyo per- manente para apuntalar y ampliar las construccio- 2. en cada aparecen permanentemente en la formulación de uno de los conjuntos estudiados. de sus elemen. Los mapas conceptuales permiten analizar y mentos básicos de la geometría vectorial y analíti. los siguien. presentes en la geometría. unos y otras. enseñanza y aprendizaje en los cuales estamos comprometidos. El diseño muestra una cuidadosa selección desarrollados en los cursos previos (Álgebra y en la presentación de los temas y problemas desa- trigonometría y Geometría euclidiana) y poste. así: . ca. rrollados (estos últimos argumentados paso a paso riores (Álgebra lineal. . en todos los conjuntos estudiados y en forma natural. Éstos serán generalizados. en forma de «ilustraciones» o ejemplos). Las razones mencionadas nos llevaron a estructu- rar el texto en diez capítulos y dos apéndices. 1. las demostraciones. Las secciones de ejercicios propuestos que versa. de allí la importancia que le asignamos al estudio detallado de las estructuras previas y a Conscientes de que el estudiante es la persona las estructuras derivadas del espacio vectorial. . a la vez que muestran el papel funcional de mas teóricos y prácticos de diferente naturaleza. ¿A quién va dirigido el texto? analogías. acompañan cada tema desarrollado buscan reafir- mar en los estudiantes los temas tratados. de una matriz cuadrada. ubicar rápidamente los objetos y las relaciones más ca y del álgebra lineal. importantes en el tejido completo de la teoría cons- que lo habilitan para plantear y resolver proble. El espacio vectorial como estructura consolidante nes de la teoría y un proceso demostrativo vital en los temas estudiados. unificándolas y facilitando la comprensión. . temática. Destacamos en particular la importancia de algu- tes aspectos: nos mediadores en el texto. Estudiar en todos sus aspectos los dos pri. favore- ciendo los procesos de análisis y síntesis y las 4. terminación del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales y el cálculo de la matriz in. Identificar las estructuras algebraicas bási- cas que subyacen en las distintas operaciones. truida. . a modo de interrogantes. Introducción Destacamos algunos elementos fundamentales de la es- tructura del texto Geometría vectorial y analítica: una in- troducción al álgebra lineal para que el lector tenga una mejor idea del trabajo que ponemos a su disposición. e igual- mente un desarrollo sencillo de los conceptos teó- . Proveer al estudiante de Ingeniería de los ele. Cálculo y Física). y su diante y tratan de crear en él una actitud crítica estudio será completado en el curso de Álgebra como elemento muy importante en los procesos de lineal. en las observaciones y en los tos característicos. más importante en este proceso dialógico. ricos. la estructura del espacio vectorial. . nos he- . Las preguntas que. Articular en forma eficiente los contenidos . sin mayor dificultad por los estudiantes. como lo es la inducción ma- A manera de columna vertebral del texto se desta. Organización temática 3. tratando de que su estudio sea emprendido meros objetos de estudio del álgebra lineal: la de. . entre otros. Aspectos metodológicos Está orientada a satisfacer. bajo el producto. Los autores . Agradecemos a los estudiantes y profesores que estudien este texto las observaciones. recomendaciones y sugeren- cias que puedan hacernos para mejorarlo. con la seguridad de que las tendremos en cuenta. como los procesos mentales desencadenados. sino con el ri- gor que debe tener un curso formativo del cual se espera obtener aprendizajes válidos y significati- vos que generen la movilización y ampliación del pensamiento lógico-matemático y en el cual son tan importantes el dominio por parte del estudian- te de los conceptos y aplicaciones propias del área. mos propuesto desarrollar los temas tratados no sólo con coherencia y continuidad. Mapa conceptual principal: Geometría vectorial y analítica . . . . . . Ejercicios muchas de las cuales permiten construir modelos que explican comportamientos de fenómenos en diversas áreas del conocimiento. Esto nos permite hacer ahora una genera- lización de este concepto y la introducción de las operaciones que desde el punto de vista intuitivo son de fácil comprensión para el estudiante. . en temas como las relaciones binarias. que le capacitan para identificar el par ordenado y su representación gráfica. La primera corresponde a un principio didáctico mediante el cual aprovechamos los conceptos previos que el estudiante de este nivel debe haber consolidado en su formación anterior en el ciclo medio. Capítulo 1 El conjunto \ y sus operaciones 1n Contenido breve Módulo 1 El conjunto \ n y sus operacio- nes básicas Módulo 2 Otras propiedades asociadas al conjunto \ n como un espacio vectorial. Los conceptos matemáticos se articulan creando estructuras organizadas que se van ampliando para dar origen a nuevas teorías. La segunda atiende un principio de las estructuras lógicas en cuanto a los temas tratados. de todas las n estructuras algebraicas que se estudian en los demás conjuntos objeto de trabajo del curso. facilitando la presentación. el pro- ducto cartesiano y la geometría analítica básica. y permitiendo tomarlo siempre como referencia y herramienta de apoyo. el conjunto \n es un referente básico para entender otros espacios más complejos pero que presentan estructuras similares. inicialmente en el conjunto \ . sin desconocer el grado de abstracción que éste y ellas suponen. Presentación Iniciamos este trabajo con el tema del conjunto de las n-tuplas de componentes reales ( \ n ) atendiendo a dos razones fundamentales. Módulos 1 y 2 Así. 42 . quien le informó que padecía de tuberculosis. de carácter 6.2 Diferencia en el conjunto \ n 1. retornó a Noruega bastante débil. continuó 1. «Investigaciones sobre las funciones elípticas». La facilidad de su manejo nos permite tomarlo como referencia y ejemplar de comparación Abel publicó en 1823 escritos de ecuaciones funcionales e para identificar las operaciones y propiedades que caracterizan a los otros dos conjuntos integrales y dio la primera solución de una ecuación integral. 4. para inducir un término general –la n-tupla ordenada de El matemático noruego Niels Henrik Abel nació el 5 de agosto componentes reales–. en su honor) 3.3. le dio estabilidad al análisis matemático sobre bases rigurosas. ¿Qué es el conjunto \ ? n escribiendo y estudiando. donde entró en contacto con otros vectorial que es isomorfo a los demás espacios que estudiaremos. que a su vez nos permite introducir el conjunto \ n con una serie de de 1802 y falleció el 16 de abril de 1829. Joseph Louis Lagrange y Pierre Simon Laplace. y donde publicó sus principales trabajos. ¿Es el conjunto \ n con las operaciones definidas un espacio vectorial? internacional. ¿Qué tipo de operación caracteriza a la adición en \ n ? 5. matemáticos de la época. sobre todo sobre las funciones 2.3 Operaciones en el conjunto \ o que involucran este conjunto n 1. 1.3 Producto de un número real por una n-tupla Geometría vectorial y analítica 43 . Introducir un conjunto fundamental \ con sus operaciones como un modelo de espacio n Abel viajó a París y Berlín. También pertinente. En objeto de nuestro estudio en este curso: las matrices de componentes reales y los vectores 1824 probó que era imposible resolver algebraicamente ecuaciones geométricos. n 1 El conjunto \ y sus operaciones básicas Introducción Aprovechamos la familiaridad que el lector tiene en este momento de su trabajo académico con las correspondencias establecidas entre el conjunto de los números reales ( \ ) y el conjunto de los puntos de una recta. Su profesor. lo en el espacio vectorial. Después de su visita a París.1 Adición en el conjunto \ n Vea el módulo 1 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica 1. había animado a hacerlo. fue publicado en 1827 en el primer volumen del diario Crelle. Su mayor trabajo.3. Una importante clase de funciones trascendentales se denomina (después de su descubrimiento. como Leonhard operaciones generales que identifican las estructuras algebraicas básicas y que se consolidan Euler.3. grupos y cuerpos abelianos». el primer periódico dedicado Objetivos del módulo enteramente a las matemáticas. quedó instituido el Premio Abel. Contenidos del módulo 1.1 El conjunto \ n 1. ¿Qué operaciones se definen en el conjunto \ ? n «ecuaciones.2 Igualdad en el conjunto \ n 1. convencido del talento del joven Abel para las matemáticas. el conjunto de los pares ordenados de números reales y los puntos del plano cartesiano. Mientras estuvo en la «ciudad luz» visitó a Preguntas básicas un doctor. Muy joven comenzó operaciones de fácil comprensión y a través de las cuales caracterizaremos los tipos de a leer las obras de grandes matemáticos. ¿Qué tipo de operación caracteriza al producto de un real por una n-tupla? Con motivo de la conmemoración del bicentenario de su nacimiento. En esta forma cumplimos con un doble objetivo inherente en todos los procesos de quinto grado y de su propio costo realizó publicaciones con de enseñanza y aprendizaje: la precisión en la selección y ordenación temática y la didáctica la esperanza de obtener reconocimiento por su trabajo. en reconocimiento a grandes aportaciones realizadas en el campo de las matemáticas. Pero a pesar de su mala salud y la pobreza. ¿Cuándo dos n-tuplas son iguales? elípticas. y el conjunto de tripletas ordenadas de números reales y los Niels Henrik Abel puntos del espacio tridimensional. .. si es posible. 0. α 3 ∈ R} . β 2 . es decir. A este conjunto lo llama- mos conjunto de n tuplas de componentes reales. − 3. e = (λ . Dadas a = (−1 5. A este conjunto lo llamamos Escuche la biografía de William Rowan Hamilton conjunto de parejas o pares ordenados de componentes reales y tiene su represen- en su multimedia de Geometría vectorial y tación como puntos en el plano cartesiano.. α 2 ) α1 .. 7. en cada caso para los cuales se cumplen las siguientes igualdades: a=b a=c a=d a=e 44 . puesto que su existencia es independiente de su posibilidad de representación geométrica. si n = 2. ∀i = 1. del mismo número de componentes. pero en general los designaremos como n-tuplas ordenadas de 5. α 3 ) α1 . β. Ilustración 1 1...2 Igualdad en el conjunto R n Sean a. Si n = 4. b = (−1 5. A este conjunto lo llama- 4 mos conjunto de cuartetas ordenadas de componentes reales y no es posible hacer una interpretación geométrica como en los casos anteriores. α n ) α i ∈ R . Esto no significa que no podamos determinar este conjunto y los de órdenes superiores para n. β ). Para estos conjuntos. 5).. c = (1 5. β n ).. en su orden estricto.. α 3 . 0. α + λ .. α 2 . Entonces. θ ). 0. y se lee «R ene». A este conjunto lo llamamos conjun- to de tripletas ordenadas de componentes reales y tiene su representación como puntos en el espacio tridimensional. 5).... θ . Esto significa que dos n-tuplas del mismo orden.Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones 1. determinemos los valores de α. a = b si y sólo si α1 = β1 ∧ α 2 = β 2 . Se lee «R dos». donde a = (α1 ... β i .. ∧ α n = β n ...... α 2 ∈ R} . etc... α 2 . λ . componentes reales. 1. α n ).. ∧ α i = β i ... α 2 . R3 = {(α1 .. 0). b ∈ R n .. n} . sextetos ordenados de componentes reales en el caso del conjunto R 6 .. α 2 . son iguales únicamente si sus respectivas componentes son iguales. . α 2 .. analítica. α 3 . .. α i . 7. d = (−1 5. dada la limitación de nuestro espacio de representación máximo a tres dimensiones.. 6. R 2 = {(α1 . podemos referirnos a sus elementos como quintetos ordena- dos de componentes reales en el caso del conjunto R5. 0. α . α 2 .1 El conjunto Rn Definimos R n = {(α1 . b = ( β1 . α 4 ) α1 . En particular. R = {(α1 . α 4 ∈ R} . Si n = 3. − 2. a y e nunca pueden ser iguales. De acuerdo con la definición. Entonces se define a + b = (α1 + β1 .. b = ( β1 .. con a = (α1 .1 Adición en el conjunto R n Sean a. a = e si sólo si a ∈ R 4 ∧ e ∈ R 4 ∧ −1 5 = λ ∧ α = α + λ ∧ 0 = 0 ∧ 5 = 5. Se propone al lector la determinación de los valores respectivos para las variables mencionadas siempre que sea posible... β 2 . 2.. entre las n-tuplas dadas.... nunca a y d pueden ser iguales. b ∈ R n .. a = b cuando α y β toman los valores anotados. ¿puede concluirse que m = n? ¿puede concluirse que m = t? 1. 2.. la última igualdad no puede siquiera determinarse. En con- secuencia. lo cual es falso. β i . − 2. 0). α n ). − 2.. n = (2 5.. 0).. Módulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones básicas Solución a = b si sólo si a. para establecer la igualdad de las restantes combinaciones posibles. La conjunción de la derecha es falsa porque una de las proposiciones es falsa (d ∉ R 4 ) .. α 2 + β 2 .3.. −1 5 ≠ 1 5. α 2 .3 Operaciones en el conjunto Rn o que involucran este conjunto 1. 0)... debe cumplirse que λ = −1 5.. la conjunción de la derecha es verdadera para α = 7 y β = 5.. t = (2 5.. además. 2. 0.. α i + β i . Para que la conjunción sea verdadera. β n ). α = α −1 5. y por tanto nunca se cumple que a y c sean iguales. c ∈ R 4 ∧ −1 5 = 1 5 ∧ α = 7 ∧ 0 = 0 ∧ 5 = θ . Si m = (2 5. Geometría vectorial y analítica 45 . a = c si sólo si a. La conjunción de la derecha es falsa porque una de las proposiciones que la integran es falsa. 2. α i . y en consecuencia 0 = − 1 5 (¿por qué?). b ∈ R 4 ∧ −1 5 = −1 5 ∧ α = 7 ∧ 0 = 0 ∧ 5 = β . α n + β n ). a = d si sólo si a ∈ R 4 ∧ d ∈ R 4 ∧ −1 5 = −1 5 ∧ α = −3 ∧ 0 = 0 ∧ 5 = ?. Por tanto.. puesto que las demás proposiciones son verdaderas. por tanto.. 0.. 0. En general designaremos por o la n-tupla nula de cualquier orden. 1 2.. n 2. αn).. − α 2 . En esta forma podemos construir el sistema R . En efecto. b = (2 3. − 1) = a. o ∈ \ n ... Observaciones 1. De (0... ( β1 . 1 5. Demostremos la propiedad 2: Sea a ∈ \ n . − 1).. β n ) = (α1 + β1 . α 2 + β 2 .... 1).. − 4. o = (0. tal que a = (α1 . + ... a ∈ \ n .. c ∈ \ n . 4.. tal que para todo a.. Se deja al lector la determinación de los otros resultados. a + b = b + a (propiedad conmutativa). existe una n-tupla que designamos –a. α2 . α n′ ) que a + a ′ = a... 0) se dice que es la n-tupla nula y es el módulo bajo la operación adición (propiedad modulativa). entonces se cumple: 1. 0). α 2′ . Esta definición nos permite concluir que la suma en R n es una operación binaria. α n ). 0. 0.. d = (3. El término –a se lee inverso adivitivo de a (propiedad invertiva)... − 4... α 2 . α n + β n ). α n ) + ( β1 . 0. su estructura corresponde a la siguiente función: + : Rn × Rn → Rn ((α1 . α i′. veamos que existe una n-tupla y designémosla por tal a ′ = (α1′. a = (α1 .. 1).... 0. 0. (a + b) + c = a + (b + c) (propiedad asociativa). 0. −1 5.. tal que –a = (−α1 ..... c = (−7. Teorema 1: Propiedades de la adición en el conjunto Rn Sean a.. a + o = a. β 2 . b.. α 2 . a + c = (0... 0)... − α n ) con la propiedad de que a + (–a) = o = (0. 2... entre las n-tuplas indicadas. − 1 5. 0. a ∈ \ n . 0). 0). β 2 .... a + d = ? Esta operación no puede efectuarse por la condición establecida en la de- finición. determinemos la suma de todas las parejas posibles.. −1 5.... 3. α 2 .. Para todo a. 0.. Solución a + b = (23 3. − a ∈ \ n .. β n )) → (α1 .. Existe o = (0. − 1. 0. 0). 46 . α n ).0)..Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones Ilustración 2 Dadas a = (7. a + o = (7. Módulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones básicas En efecto, asumiendo que a + a′ = a, tenemos: (α1 + α1′, α 2 + α 2′ ,..., α i + α i′,..., α n + α n′ ) = (α1 ,..., α i ,..., α n ), y por la igualdad entre n-tuplas se establece que: α1 + α1′ = α1 ∧ α 2 + α 2′ = α 2 ∧ ... ∧ α i + α i′ = α i ∧ ... ∧ α n + α n′ = α n . 1 2 i n A su vez, en cada una de las ecuaciones anteriores se obtiene: α1′ = 0 ∧ α 2′ = 0 ∧ ... ∧ α i′ = 0 ∧ ... ∧ α n′ = 0, y en consecuencia (α1′,..., αi′,..., αn′ ) = (0,...0,...,0), esto es, a + o = a, establecién- dose la existencia del módulo. Observación Con base en las estructuras algebraicas estudiadas, podemos afirmar que el sistema R n , + es un grupo abeliano o conmutativo. 1.3.2 Diferencia en el conjunto R n Sean a, b ∈ \ n , con a = (α1 , α2 ,..., αn), b = (β1 , β2 ,..., βn). Entonces se define a − b = a + (−b) = (α1 − β1 , α 2 − β 2 ,..., α i − βi ,..., α n − β n ). Ilustración 3 Sean a = (3, − 2, 7), b = (0, 4, 1), o = (0, 0, 0), f = (5, 4, 1, 1 3). Determinemos la diferencia entre todas las parejas posibles de n-tuplas. Solución a − b = a + (−b) = (3, − 2, 7) + (0, − 4, − 1) = (3, − 6, 6). b − a = b + (− a ) = (0, 4, 1) + (−3, 2, − 7) = (−3, 6, − 6). a − o = a + (−o) = (3, − 2, 7) + (0, 0, 0) = (3, − 2, 7). o − a = o + (− a ) = (0, 0, 0) + (−3, 2, − 7) = (−3, 2, − 7). a − f = a + (− f ) no está definida. ¿Por qué? Se deja al lector la determinación de los otros resultados. Geometría vectorial y analítica 47 Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones 1.3.3 Producto de un número real por una n-tupla Sean λ ∈ R , a ∈ \ n , donde a = (α1 , α2 ,..., αi, ..., αn). Entonces se define λ • a = (λα1 , λα2 ,..., λαi, ..., λαn). Ilustración 4 Dadas c = (−2 5, 0, − 3, 1 10), f = (2, − 1, 3), o = (0, 0), determinemos 5 ⋅ c, 2 3 ⋅ f , 4 ⋅ o, o ⋅ c . Solución 5 • c = (−2, 0, − 15, 1 2). 2 3 • f = (4 3, −2 3, 2). 4 • o = (0, 0). 0 • c = (0, 0, 0, 0). Observaciones 1. Esta definición nos permite afirmar que este producto corresponde a una ley de composición externa entre los conjuntos R y Rn . En efecto, su estructura corresponde a la siguiente función: • : R × Rn → Rn (λ , (α1 , α 2 ,..., α i ,..., α n )) → λ • (α1 , α 2 ,..., α i ,..., α n ) = (λα1 , λα 2 ,..., λα i ,..., λα n ). 2. El producto de un número real por una n-tupla lo designamos también como un múltiplo escalar de la n-tupla. Teorema 2: Propiedades del producto de un real por una n-tupla Sean λ , β ∈ R; a, b ∈ R n ; entonces se cumplen: 1. λ • (a + b) = λ • a + λ • b. 2. (λ + β ) • a = λ • a + β • a. 3. λ • ( β • a ) = (λ ⋅ β ) • a. 4. 1 • a = a. 5. −1 • a = −a. Demostremos la propiedad 2: Sean λ , β ∈ R y a ∈ R n , tal que a = (α1 , α2 ,..., αi, ..., αn). Hipótesis. 48 Módulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones básicas Tenemos que: (λ + β ) • a = (λ + β ) • (α1 , α 2 ,..., α i ,..., α n ), por sustitución. = ((λ + β )α1 , (λ + β )α 2 ,..., (λ + β )α i ,..., (λ + β )α n ), por la defini- ción de la operación producto. = (λα1 + βα1 , λα 2 + βα 2 ,..., λα i + βα i ,..., λα n + βα n ), por la pro- piedad distributiva de los números reales. = (λα1 , λα 2 ,..., λα i ,..., λα n ) + ( βα1 , βα 2 ,..., βα i ,..., βα n ), por la definición de la operación adición en \ n . = λ • (α1 , α 2 ,..., α i ,..., α n ) + β • (α1 , α 2 ,..., α i ,..., α n ), por la defini- ción de la operación producto. λ • a + β • a, por sustitución de la hipótesis. Conclusión: (λ + β ) • a = λ • a + β • a (transitividad en la igualdad). Observaciones 1. Las propiedades 1 y 2 suelen designarse en general como leyes distributivas del producto respecto a la suma. No obstante, la propiedad 2 no es una ley distributiva y estrictamente podemos designarla como una seudodistributi- vidad (falsa distributividad), puesto que la operación «+» indicada en la igual- dad no corresponde a la misma operación; así, en el término de la izquierda representa la suma entre dos números reales, en tanto que en el término de la derecha representa la suma entre n-tuplas. 2 Atendiendo a la estructura de las propiedades antes mencionadas, nos re- feriremos a ellas como «factorización sobre la n-tupla» en el segundo caso y «factorización sobre el número real» en el primero. 3. La propiedad 3 no corresponde estrictamente a una asociatividad en el pro- ducto, puesto que en el término de la derecha el primer producto correspon- de al producto entre números reales, en tanto que el segundo designa el pro- ducto de un número real por una n-tupla. 4. Las observaciones anteriores podrían sugerirnos la posibilidad de ambigüe- dades cuando designamos bajo un mismo símbolo operaciones diferentes; sin embargo, los contextos previos y la notación mediante la cual designa- mos las variables en los diferentes conjuntos permiten precisar los resulta- dos. Este tratamiento es utilizado en general en todos los textos y por ello queremos que los estudiantes se introduzcan rápidamente en su compren- sión. 5. Remitiéndonos nuevamente a las estructuras algebraicas básicas, podemos concluir que el sistema R , + se constituye en un espacio vectorial en el n Geometría vectorial y analítica 49 Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones conjunto R , que designaremos como (R , +), (R, +, ⋅), • o, en forma abre- n viada, R , R . n Esto lo fundamentamos en los resultados del teorema 1, donde hemos esta- blecido que el sistema R , + es un grupo abeliano y en el teorema 2 con n las propiedades de la ley de composición externa. Tenemos así dos operaciones: la adición en \ n y el producto de un real por una n-tupla sobre las que se sustenta este espacio vectorial. En consecuencia, bajo estas operaciones los elementos de \ n son vectores. Aunque avanzaremos en el estudio de algunas propiedades características del es- pacio vectorial, en particular en el conjunto \ n , es en el curso de Álgebra lineal donde se estudiarán a fondo todas las propiedades que se desprenden de esta estructura consolidante. 50 Otras propiedades asociadas al conjunto 2 n \ como un espacio vectorial Introducción Una vez identificado el conjunto \ como un espacio vectorial con las operaciones defini- n das, queremos acercar al lector a las nociones derivadas de esta estructura, como son: la Las operaciones definidas en el conjunto \n o asociadas a combinación lineal de un conjunto de vectores, la dependencia e independencia lineal de un él, así como sus propiedades, lo dotan de una dinámica propia conjunto de vectores y la base y dimensión de un espacio vectorial. De esta manera propicia- que lo constituyen en un espacio vectorial, «creando», como mos el manejo de éstas y su identificación en otros espacios vectoriales, e igualmente la lo muestra por analogía la figura, una estructura compleja designación común bajo el término «vector», para los elementos de conjuntos de naturaleza pero perfectamente definida. diferente, pero de estructuras subyacentes análogas. Objetivos del módulo 1. Introducir el producto escalar en el conjunto \ como un caso particular de una función n importante en las estructuras algebraicas, como lo es el producto interno. 2. Presentar nociones comunes asociadas al espacio vectorial, buscando familiarizar al lector con sus propiedades y su fácil identificación en los otros conjuntos estudiados. Preguntas básicas 1. ¿Cómo se define el producto escalar en \ ? n 2. ¿Cuándo dos n-tuplas son ortogonales? 3. ¿Qué es una combinación lineal de n-tuplas? 4. ¿Cuándo un subconjunto de \ es linealmente dependiente o linealmente independiente? n 5. ¿Qué es una base en el espacio vectorial \ ? n 6. ¿Cuál es la dimensión del espacio vectorial \ ? n Contenidos del módulo 2.1 Producto escalar en \ n 2.2 n-tuplas ortogonales en \ n 2.3 Combinación lineal en el conjunto \ n 2.4 Dependencia e independencia lineal en \ n 2.5 Base del espacio vectorial \ n 2.6 Dimensión del espacio vectorial \ n Vea el módulo 2 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 51 Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones 2.1 Producto escalar en Rn Sean a, b ∈ \ n , donde a = (α1 , α2 ,..., αi, ..., αn), b = (β1 , β2 ,..., βi, ..., βn). Entonces se define a • b = α1 ⋅ β1 + α 2 ⋅ β2 + ... + αi ⋅ βi + ... + α n ⋅ βn , donde a ⋅ b se lee «produc- to escalar entre a y b». Escuche la biografía de Josiah Willard Gibbs en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Ilustración 5 Dadas a = (0, − 5, 2, 1), b = (2, − 1, 1, 0), c = (7, 2, 5, 0), o = (0, 0, 0, 0), d = (1, 7, 1/ 5, 5, 0), determinemos todos los productos escalares posibles, entre las parejas de n-tuplas indicadas. Solución a • b = 0 × 2 + (−5) × (−1) + 2 × 1 + 1 × 0 = 7. a • c = 0. a • o = 0. a • d no está definida. ¿Por qué? Se deja al lector la determinación de los otros resultados. 2.2 n-tuplas ortogonales en Rn Sean a, b ∈ \ n , con a ≠ o y b ≠ o, siendo o la n-tupla nula en \ n . Entonces decimos que a y b son ortogonales si a • b = 0 .* Ilustración 6 De las n-tuplas indicadas en la ilustración 5 tenemos que a y c son ortogonales, pero a y o no son ortogonales, como tampoco lo son b y o, c y o. ¿Por qué? Teorema 3: Propiedades del producto escalar en Rn Sean a, b, c ∈ \ n , λ ∈ \. Entonces se cumplen: 1. a • b = b • a. 2. (a + b) • c = a • c + b • c. 3. (λ ⋅ a ) • b = a • (λ ⋅ b ) = λ ⋅ ( a • b ). 4. a • a ≥ 0. 5. a • a = 0 si y sólo si a = o; o : n-tupla nula. * Introduciremos inicialmente esta restricción por la correspondencia que estableceremos entre ortogonalidad en las n-tuplas y perpendicularidad en los vectores geométricos, como una primera aproximación. Posteriormente generalizaremos este concepto a todo par de vectores cuyo producto interno es igual a cero, como lo definimos en el módulo 20 y lo tratamos en el texto Álgebra lineal. (n. a.). 52 Módulo 2: Otras propiedades asociadas al conjunto \ n como un espacio vectorial Demostremos la propiedad 3: Supongamos: a, b ∈ R n , λ ∈ R, tales que a = (α1 ,..., α i ,..., α n ), b = ( β1 ,..., β i ,..., β n ). Hipótesis. Tenemos que: (λ ⋅ a ) • b = (λα1 , λα 2 ,..., λα i ,..., λα n ) • ( β1 , β 2 ,..., β i ,..., β n ), por la defi nición del producto de un real por una n-tupla. = (λα1 β1 ) + (λα 2 β 2 ) + ... + (λα i β i ) + ... + (λα n β n ), por la definición del pro- ducto escalar en Rn. = (α1 ⋅ (λβ1 )) + (α 2 ⋅ (λβ 2 )) + ... + (α i ⋅ (λβ i )) + ... + (α n ⋅ (λβ n )), propiedades conmutativa y asociativa del producto en los números reales. = (α1 , α 2 ,..., α i ,..., α n ) • (λβ1 , λβ 2 ,..., λβ i ,..., λβ n ), por la definición del producto escalar en Rn. = a • (λ ⋅ b ), producto de un real por una n-tupla y sustitución de la hipótesis. = λ ⋅ (α1 β1 + α 2 β 2 + ... + α i β i ,... + α n β n ). ¿Por qué? = λ ⋅ ( a • b). ¿Por qué? Conclusión: (λ ⋅ a ) • b = a • (λ ⋅ b) = λ ⋅ (a • b). Observaciones 1. Con base en las estructuras algebraicas estudiadas, podemos afirmar que el producto escalar es un producto interno en Rn. En efecto, su estructura co- rresponde a la siguiente función: •:R × Rn → R n ((α1 ,..., α i ,..., α n ), ( β1 ,..., β i ,..., β n )) → (α1 ,..., α i ,..., α n ) • ( β1 ,..., β i ,..., β n ) = α1β1 + ... + αi βi + ... + α n β n , y además las propiedades establecidas en el teorema 3 lo caracterizan como tal. 2. La propiedad 2 del teorema 3 es una seudodistributividad (falsa distributivi- dad) porque la suma en el término de la izquierda está definida en el conjunto \ n , en tanto que la de la derecha está definida en el conjunto R. 3. La propiedad 3 del teorema 3 no corresponde a una ley asociativa en el producto. Justifique esta afirmación. 4. Debemos agregar además que el producto interno se define en un conjunto que se estructura como un espacio vectorial, lo que ya ha sido establecido para el conjunto \ n con las operaciones definidas. Geometría vectorial y analítica 53 Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones 2.3 Combinación lineal en el conjunto Rn Sea A = {a1 , a2 ,..., ai ,..., ak } , A ⊂ R n . De todo término x que satisface la ecuación: x = λ1a1 + λ2 a2 + ... + λi ai + ... + λk ak , con λi ∈ R, ∀i = 1... k , decimos que es una combinación lineal de los vectores del conjunto A, o también, en forma abreviada, que es una combinación lineal del conjunto A. Ilustración 7 1. Sean a = (2, 0, − 1), b = (−3, 2, − 5), c = (0, 0, 3), A = {a, b, c} . Determinemos las siguientes combinaciones lineales del conjunto A. x1 = 2a + 1b + 3c. 1 1 x2 = a − 1b + c. 2 4 x3 = 1a + 0b + 0c. x4 = 0a + 0b + 0c. 2. ¿Es ( −1, 2, 0) una combinación lineal del conjunto A? 3. ¿Es (4, 4, −3 ) una combinación lineal del conjunto A? Solución x1 = 2(2, 0, − 1) + (−3, 2, − 5) + 3(0, 0, 3) = (4, 0, − 2) + (−3, 2, − 5) + (0, 0, 9) = (1, 2, 2). Esto es, (1, 2, 2) = 2a + 1b + 3c. 1 1 x2 = (2, 0, − 1) + (−1)(−3, 2, − 5) + (0, 0, 3) 2 4 = (1, 0, − 1/ 2) + (3, − 2, 5) + (0, 0, 3 / 4) = (4, −2, 21/ 4). 1 1 Esto es, (4, − 2, 21/ 4) = a − 1b + c. 2 4 x3 = 1(2, 0, −1) + 0(−3, 2, −5) + 0(0, 0,3) = (2, 0, − 1) + (0, 0, 0) + (0, 0, 0) = (2, 0, − 1). 54 Módulo 2: Otras propiedades asociadas al conjunto \ n como un espacio vectorial Esto es, (2, 0, 1) = 1 ⋅ a + 0 ⋅ b + 0 ⋅ c. x4 = 0(2, 0, − 1) + 0(−3, 2, − 5) + 0(0, 0, 3) = (0, 0, 0) + (0, 0, 0) + (0, 0, 0) = (0, 0, 0). O sea, (0, 0, 0) = 0 ⋅ a + 0 ⋅ b + 0 ⋅ c. Para dar respuesta a la pregunta planteada en el numeral 2, utilicemos la definición; en estos términos, dada ( −1, 2, 0), ¿es posible determinar tres números reales que permitan expresarla como una combinación lineal del conjunto A? Asumamos a prueba de hipótesis que ello es posible y determinemos los valores, si existen, de estos números reales. ? (−1, 2, 0) = λ1 (2, 0, − 1) + λ2 (−3, 2, − 5) + λ3 (0, 0, 3) y ¿ λ1 , λ2 , λ3 ∈ R ? = (2λ1 , 0, − 1λ1 ) + (−3λ2 , 2λ2 , − 5λ2 ) + (0, 0, 3λ3 ) = (2λ1 − 3λ2 , 2λ2 , − λ1 − 5λ2 + 3λ3 ). De la definición de igualdad entre n-tuplas se tiene: −1 = 2λ1 − 3λ2 , (1) 2 = 2λ2 , (2) 0 = −λ1 − 5λ2 + 3λ3 . (3) En la ecuación (2) tenemos que λ2 = 1, y sustituyendo en la ecuación (1) se despeja λ1 = 1 y, por último, de la ecuación (3) sustituimos y despejamos λ3 = 2. En esta forma concluimos que ( −1, 2, 0) es una combinación lineal de los vectores del conjunto A, y específicamente: (−1, 2, 0) = 1 ⋅ a + 1 ⋅ b + 2 ⋅ c. Se deja al lector la solución de la pregunta planteada en el numeral 3. Observaciones La definición presentada y las características de las operaciones que intervienen en ella nos permiten afirmar que: 1. Toda combinación lineal de vectores de un espacio es otro vector del mismo espacio. 2. Todo vector es una combinación lineal de sí mismo. 3. Todo vector es una combinación lineal del conjunto al cual pertenece. Geometría vectorial y analítica 55 Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones 4. El vector nulo (módulo) es una combinación lineal de cualquier conjunto de vectores en su espacio. 5. La combinación lineal en la cual todos los escalares son iguales al número cero se denomina combinación lineal trivial. 2.4 Dependencia e independencia lineal en Rn Dado un conjunto A = {a1 , a2 ,..., ak } , A ⊂ R n , nos planteamos el problema de obtener una representación del vector o (módulo) como combinación lineal de los vectores del conjunto A. Esto es: dado o = α1a1 + α 2 a2 + ... + α k ak veamos cómo son los coeficientes. Como 0 ⋅ x = o , cualquiera que sea el vector x siempre es posible obtener tal repre- sentación, pues es suficiente expresarlo como o = 0 ⋅ a1 + 0 ⋅ a2 + ... + 0 ⋅ ak . Entonces, según lo anterior, sólo son posibles dos casos: 1. La única combinación posible es la trivial, esto es, que la ecuación se satis- face única y exclusivamente para α1 = α2 = ... = αk = 0. 2. Existe alguna combinación lineal diferente de la trivial, esto es, con al me- nos un coeficiente diferente de cero que satisface la ecuación: o = α1a1 + α 2 a2 + ... + α k ak . En el caso 1 decimos que el conjunto A es linealmente independiente (en forma abreviada, LI). En el caso 2 decimos que el conjunto A es linealmente dependiente (en forma abreviada, LD). Ilustración 8 Dados A = {(1, 0), (0, 1)} , B = {(3, 0, − 1), (1, 1, 2), (5, 2, 3)} , C = {(3, 0, − 1), (1, 1, 2), (−1, 0, 1)} , D = {(−1, 2), (3, 1)} , determinemos para cada uno si es linealmente independiente o linealmente depen- diente. Solución Para el conjunto A. Como A ⊂ R , su módulo es o = (0, 0) ; y apoyándonos en la definición se 2 tiene: 56 0 = −3λ3 + 3λ3 ∴ λ3 = λ3 . 0) + (0. λ2 . 1. y por la igualdad entre n-tuplas se concluye que: 0 = λ1 (1) 0 = λ2 (2) como única solución. 0) = λ1 (3. 0) = (3λ1 . λ2 + 2λ3 . 2. Para el conjunto B B ⊂ R 3 . λ2 . 0) = λ1 (1. determinemos los valores de λ1 . 0. (0. 0. Las soluciones obtenidas corresponden a: λ1 = − λ 3 ⎫ ⎪ λ 2 = − 2λ3 ⎬ λ3 ∈ R λ 3 = λ 3 ⎪⎭ Por tanto. 0. 3). − λ1 + 2λ2 + 3λ3 ). 0). λ3 . 2λ3 . Módulo 2: Otras propiedades asociadas al conjunto \ n como un espacio vectorial Dada (0. y se obtiene en consecuencia el siguiente sistema: 0 = 3λ1 + λ2 + 5λ3 (1) 0 = λ2 + 2λ3 (2) 0 = −λ1 + 2λ2 + 3λ3 (3) De (2) se tiene λ2 = −2λ3 . λ2 ). su módulo es o = (0. esto es. fuera de la solución trivial λ1 = λ2 = λ3 = 0. (0. 0) + λ2 (0. 2λ2 ) + (5λ3 . y sustituyendo en (1’). λ3 es cualquier número real. 2) + λ3 (5. determinemos los valores de λ1 . = (λ1 . λ2 . 0. − λ1 ) + (λ2 . λ2 ) = (λ1 . tenemos infinitas so- Geometría vectorial y analítica 57 . y sustituyendo en (1) y (3) nos quedan 0 = 3λ1 + 3λ3 (1’) 0 = −λ1 − λ3 (2’) De (2’) λ1 = −λ3 . por tanto el conjunto A es linealmente independiente. 1). − 1) + λ2 (1. 3λ3 ) = (3λ1 + λ2 + 5λ3 . 0. . Sin pérdida de generalidad asumamos que λi ≠ 0 . + λi ai + .. 2) + 1(5. Se deja al lector la determinación respectiva para los conjuntos C y D. 3). a2 . A es linealmente dependiente si y sólo si al menos un vector del conjunto A se puede expresar como combinación lineal de los vectores restantes del conjunto A. Se deja al lector la demostración de la implicación recíproca. − 1) + (−2)(1. Así por ejemplo. es un conjunto linealmente dependiente. + ⎜ k ⎟ ak . así: (0. En adelante utilizaremos los símbolos « ⇒ » y « ⇐ » para indicar las dos implicaciones que integran una equivalencia. (2) λ ⎝ i ⎠ λ ⎝ i ⎠ ⎝ λi ⎠ La ecuación (2) nos permite concluir que ai es una combinación lineal de los k − 1 vectores restantes del conjunto A.. entonces λ1 = −1 y λ2 = −2. 58 . 0) = −1(3. Teorema 4: Primer criterio sobre la dependencia lineal de un conjunto Sea A = {a1 . y despejando en la ecuación (1) tenemos: ⎛ −λ ⎞ ⎛ −λ ⎞ ⎛ −λ ⎞ ai = ⎜ 1 ⎟ a1 + ⎜ 2 ⎟ a2 + . debemos demostrar cada una de las implicaciones independientemente.. de la definición de dependencia lineal podemos afirmar que en la ecuación o = λ1a1 + λ2 a2 + . Demostración Como el enunciado corresponde a una equivalencia.. En consecuencia. 2. + λk ak (1) al menos un coeficiente es diferente de 0. dentro de las condiciones de la definición.. A ⊂ R n . Estos valores los podemos verificar en la ecuación inicial. Corolario Todo conjunto que tenga al módulo como elemento. lo que nos permite concluir que el conjunto B es linealmente dependiente. 0. 1. Supongamos que A es linealmente dependiente (hipótesis).. ak } ...Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones luciones diferentes de la trivial.. 0. si λ3 = 1 . 5 Base del espacio vectorial Rn Una base en un espacio vectorial es todo subconjunto del espacio que satisface dos condiciones: 1. Ilustración 9 Dados A = {(1.. − 1)} . 1)} verifiquemos que: A es una base para el espacio R2 . tenemos que A ⊂ R . Hipótesis. B = {(−2. o el módulo de \ n . y) = x ·(1. (x. Geometría vectorial y analítica 59 .. Sea ( x. (0. C es una base para el espacio R3 .. 1). por el teorema 4. o} .. B es una base para el espacio R2 . esto es. 0). + 0 ⋅ ar entonces. A ⊂ \ n ... ai . Todo vector del espacio se puede expresar como una combinación lineal de los vectores del subconjunto. Solución Para el conjunto A. (0. En esta forma hemos demostrado que cualquier elemento de R 2 se puede expresar como combinación lineal de los elementos de A. 1. (0.. el conjun- to A es linealmente dependiente. 1). El subconjunto es linealmente independiente.... ar . 2. Probemos que cualquier vector de R 2 se puede expresar como combinación lineal de los vectores de A. y se probó en la ilustración 8 que es 2 linealmente independiente. 0). + 0 ⋅ ai + . x. Como o = 0 ⋅ a1 + 0 ⋅ a2 + . Se deja al lector la verificación respectiva para los conjuntos B y C.. 0. a2 . y) ∈ R2 (un elemento genérico que representa a cualquier elemento de este espacio). (0. (x. 0) + y ·(0. 0). 2. y) es una combinación lineal del conjunto A. Módulo 2: Otras propiedades asociadas al conjunto \ n como un espacio vectorial Demostración Sea A = {a1 . 0. 1)} . y ∈ R .. C = {(1. 6 Dimensión del espacio vectorial Rn La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores que constituyen una cualquiera de sus bases.Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones 2. Ilustración 10 Podemos afirmar así que la dimensión de R 2 es 2. Verifique que la dimensión de R n es n. 60 . En la misma forma la dimensión de R 3 es 3. 0. 1 c. 0. ¿Es (0. los valores de λ . x1 = 3 ⋅ a + 2 ⋅ b − c. cuáles de ellas son ortogonales. a. Dados: B = {(1. C = {( −1. 0. 0. 4. 2. 0. (0. g} . (3. − 1. x4 = 0 ⋅ f + 0 ⋅ g. ¿Es (−5. β . (2. 0). (3. B = { f . s = (10. Sean u = (−1. 1). b. 0)} : a. 1. 5). a. los valores de θ y β para los cuales b = c. d. 0).Ejercicios del capítulo 1 (módulos 1 y 2) 1. 2λ. Determine. − 2/ 5. 1/ 5). − 1) una combinación lineal del conjunto A? Justifique su respuesta. los valores de λ y β para los cuales a = b. 0). 2)} . F = {(−1. ¿Es B una base para \ 2 ? Justifique su respuesta. 2). 2. Con relación a los conjuntos A y B del numeral anterior: a. l = (0. ¿Es (−1. Sean las n-tuplas a = (1/ 2. Determine de todas las parejas posibles de n-tuplas. 1). Determine para cada uno de los conjuntos anteriores si es LI o LD. x3 = ⋅ f + 5 ⋅ g. 1. 0)} . − 2). b. si es posible. b. t = (5. 1). 1). 1). b = (1/ 3. ¿Es G una base para \ 3 ? Geometría vectorial y analítica 61 . g = (0. ¿Es C una base para \ 2 ? Justifique su respuesta. si es posible. 3). 0. b. f = (3. Sean: a = (−2. A = {a. (0. 0. c. si es posible. 0) una combinación lineal del conjunto B? Justifique su respuesta. ¿Es F una base para \ 3 ? e. Determine. c} . c. 5. ¿Es x = 2 ⋅ f + 5 ⋅ g + 0 ⋅ (0. G = {(2. − 1) una combinación lineal del conjunto A? Justifique su respuesta. b. 2 d. 8)} . d. 0. Determine. 0) una combinación lineal del conjunto B? Justifique su respuesta. 0. c = (θ . 0. c = (1. 0). 0). θ y β para los cuales a = c. 5. 0). 3. 2. 0. 0. b = (1/ 2. Determine las siguientes combinaciones lineales en los conjuntos A y B. (0. − 9). β ). c. 5. 5. x2 = 0 ⋅ a + 0 ⋅ b + 1 ⋅ c. 5 h. 0. 5. 3). 2a + (c • d )b. −1. 0 ⋅ a + 0 ⋅ b + 0 ⋅ c + 0 ⋅ d. −1. Determine para cada una de las expresiones siguientes si corresponde a una n-tupla. 62 . f.0. 5 ⋅ a − 2 ⋅ b + (c ⋅ d ). a. un número real o si carece de sentido. a − 3 ⋅ b + 0 ⋅ d. Sean: a = (−2. d. 0). b.6.0. −1. 0). 3 ⋅ (c • d ) ⋅ ( a ) − ⋅ b. e. c. b = (7. 2). (a • d ) + (a • b). 1. d = (3.0) − (c • d ) ⋅ d . c = (0. a • (b + (c • d )). (a • b) ⋅ (0. (a • b) g. sa multiplicativa Ejercicios Módulos 8 al 10 . Inversas de las matrices elemen- tales El tercero tiene que ver con la importancia que el álgebra matricial cobra en el planteamiento y solución de problemas en las diferentes ramas de la Inge.E. Módulo 10 niería. que lo dotan en sí mismo como un objeto de estudio propio de las matemáticas. La foto ilustra la memoria de matrices de ferrita. con sus aplicaciones y propiedades características. La transpuesta de una matriz y sus propiedades Presentación Módulo 6 Sistemas de ecuaciones lineales En el estudio que ahora abordamos del conjunto de las matrices de componentes Módulo 7 reales ( \ m× n ) destacamos tres aspectos que están presentes en su desarrollo y que Tipos de solución de un S . Módulo 8 Matrices invertibles El segundo obedece a identificar en el álgebra matricial una herramienta vital para la fundamentación de los procesos algorítmicos de amplia aplicación Módulo 9 en áreas diferentes de la matemática. herramienta de primer para la determinación de la inver- orden para el ingeniero. El algoritmo de Gauss-Jordan gado de los programas y del software computacional. y que adquieren mayor vigencia por constituirse en un lenguaje obli.(m . n) caracterizan la selección y el orden de los temas: Ejercicios El primero corresponde a la estructura de este conjunto como un espacio Módulos 3 al 7 vectorial. las más utilizadas Módulo 5 en un comienzo en la construcción de las memorias principales de los computadores. Capítulo 2 Álgebra 2 matricial y sistemas de ecuaciones lineales Contenido breve Módulo 3 El conjunto \ m× n Módulo 4 Operaciones en el conjunto \ m× n El álgebra matricial está integrada a la estructura interna de una de las herramientas imprescindibles y quizá la más valiosa en el desarrollo de la humanidad en los dos últimos siglos: el computador.L. 64 . Presentar una clasificación inicial de algunas matrices importantes. 3.1 Matriz de orden m × n en un campo k ( m .1 El conjunto de matrices con componentes reales 3. ¿Cómo se representa una matriz? 3. ¿Cuándo dos matrices son iguales? 4. 4. escalar? Contenidos del módulo 3. El diagrama muestra como el conjunto \ n . 2. ¿Qué es una matriz: nula. diagonal.1. la estructura de espacio vectorial real. Estudiar el problema de la existencia de la inversa multiplicativa para una matriz cuadrada. Definir la igualdad entre matrices. además de aprovechar cómo se conectan entre sí los núcleos de ferritas para sus múltiples aplicaciones en la solución de problemas reales.2 Igualdad en \ m× n televisión Geometría vectorial y analítica 3. Presentar la noción de matriz de orden m × n en un campo general y específicamente en el campo real.1. ¿Qué es una matriz de un orden determinado en un campo? 2. 3. 2. identidad. triangular inferior. Identificar las operaciones propias de este conjunto y concluir que alcanza. triangular superior.1. Preguntas básicas 1. El conjunto \ m ×n 3 Introducción Iniciamos ahora el estudio del conjunto de las matrices de elementos reales y éste estará orientado a lograr cuatro objetivos básicos: La matriz. Proveer todos los elementos teóricos y prácticos sobre los que se fundamentará el curso de Álgebra lineal. el desarrollo de ramas muy importantes en las matemáticas como también en sus aplicaciones. Abordar el primer problema objeto de estudio del álgebra lineal.3 Diagonal principal de una matriz 3. analizar cada uno de los criterios que se derivan de su existencia y mostrar una vez más la importancia del algoritmo de Gauss-Jordan para su determinación. que corresponde a la determinación del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales.1 4 Algunas matrices especiales Geometría vectorial y analítica 65 . Acordar las convenciones en su notación. propiciar la circulación de corriente generando el almacenamiento de información. n ∈ ] + ) Vea el módulo 3 del programa de 3. ha permitido 1. como núcleo del álgebra matricial. Objetivos del módulo 1. analizando detalladamente los tipos de solución y fundamentando desde el álgebra de matrices el algoritmo de Gauss-Jordan dirigido a la determinación del mismo. ¿Qué es la diagonal principal de una matriz? 5. que podemos designar como extensiva. R m ×n o M m×n (R ) designan en consecuencia el conjunto de matrices de orden m × n en el campo R . n ∈ Z + ) Esta matriz es un arreglo rectangular de m ⋅ n números de k. Generalmente se representa una matriz con todos sus elementos o entradas en la forma siguiente. La matriz anterior se denotaría en forma abreviada como A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ m× n y se lee «A es la matriz de elemento genérico aij .1 El conjunto de matrices con componentes reales 3. Una matriz m × n tiene m filas y n columnas. Las líneas horizontales se denominan filas y las verticales columnas. ⎢ ai1 ai 2 " aij " ain ⎥ ⎢ # # # # ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ am1 am 2 " amj " amn ⎥⎦ ( m. ⎡ a11 a12 " a1 j " a1n ⎤ ⎢a a22 " a2 j " a2 n ⎥⎥ ⎢ 21 ⎢ # # # # ⎥ A=⎢ ⎥ . que caracteriza a todos los elementos del arreglo. 1 ≤ j ≤ n.Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 3. i: designa el orden de la fila.1 Matriz de orden m × n en un campo k (m. Como veremos más adelante. j: designa el orden de la columna. aij : término o elemento genérico. 1 ≤ i ≤ m. 66 . Notación abreviada o comprensiva. de orden m × n ». utilizando letras latinas mayúsculas en su designación. n ) 2. Convención Designamos por k m× n o por M m× n (k) al conjunto de matrices de orden m × n en el campo k. esta notación agiliza notablemente las operaciones y demostraciones en este contexto. Notaciones 1. Usualmente la letra designante del elemento genérico es la minúscula aso- ciada a la designante de la matriz. En particular. Se utiliza cuando es posible determinar una propiedad genérica.1. n ) ( ) ⎧⎪∀i = 1. ( m . B ∈ R m×n . para destacar la submatriz conformada por una columna particular. B=⎢ ⎥ . 3. Si en una matriz el número de filas es igual al número de columnas decimos que la matriz es cuadrada y la denotamos en forma abreviada como A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ . n Esto significa que dos matrices son iguales cuando tienen el mismo orden y todos y cada uno de los elementos de la primera son respectivamente iguales a los corres- pondientes de la segunda y en el mismo orden. en tanto que el de las columnas lo hace de izquierda a derecha. los valores de λ y θ para los cuales se cumple que: A=B Escuche la biografía de James Joseph Sylvester en su multimedia de Geometría vectorial y A=C analítica... ⎣ θ 3⎦ ⎣3 + λ 3⎦ ⎣ 1 1−θ ⎦ determinemos si es posible. con A = ⎡⎣aij ⎤⎦ . B = ⎡⎣bij ⎤⎦ m.1) y la designamos como la matriz columna j. 5..1. C=⎢ ⎥. utilizamos como convención ⎡ a1 j ⎤ ⎢a ⎥ ⎢ 2j ⎥ ⎢ # ⎥ Aj = ⎢ ⎥ ⎢ aij ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ amj ⎦⎥ ( m .. n . Módulo 3: El conjunto \ m× n Debemos observar que en una matriz el orden de las filas aumenta de arriba hacia abajo. ain ⎤⎦ (1. Para destacar en una matriz una fila en particular como un nuevo arreglo o submatriz utilizaremos la notación Ai = ⎡⎣ai1 ai 2 . B=C Geometría vectorial y analítica 67 . m A = B si y sólo si aij = bij ⎨ ⎪⎩∀ j = 1....2 Igualdad en R m×n Sean A. para cada caso. En forma análoga. 4. aij .1 Dadas A = ⎢ ⎥ . Ilustración 1 ⎡ −2 λ ⎤ ⎡ −2 0⎤ ⎡ −2 2 ⎤ 1. (n) 3. n) y la designamos como la matriz fila i.. Dejamos al lector la igualdad planteada en el tercer caso.4 ( ) ( ) 68 . así: la primera es de orden 1× 4 y la segunda lo es de 4 × 1. n} .1. lo que no significa que las dos matrices sean iguales. n) ..3) ¿por qué G ≠ F ? 3. ⎢⎣ 7 1 9 ⎥⎦ 3. a22 . pero en este caso las condiciones fijadas conllevan a una contradicción (¿por qué?). Ilustración 2 ⎡ −1 4 0 ⎤ ⎡ −1 5 7 0 ⎤ Dadas = A = ⎢⎢ 0 0 3 ⎥⎥ .3 ⎢⎣ 0 3 9 4 ⎥⎦ 3. . 1. akk } . A = C si y sólo si −2 = − 2 ∧ λ = 2 ∧ θ = 1 ∧ 3 = −θ + 1. B = ⎢⎢ 2 0 1 −2 ⎥⎥ .Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Solución A = B si y sólo si −2 = −2 ∧ λ = 0 ∧ θ = λ + 3 ∧ 3 = 3.. lo que nos permite concluir que A y C nunca pueden ser igua- les. Al respecto debemos aclarar que en muchas situaciones es necesario expre- sar una misma n-tupla ordenada como una matriz fila o como una matriz columna. ⎣ −2 ⎣ −2 1 0⎦ ( 2.3 Dadas las matrices: ⎡1 1 ⎤ ⎡ 1 1 3 0⎤ G=⎢ F =⎢ 3 1 ⎥⎦( 2. De las condi- ciones establecidas se tiene que λ = 0 y θ = 3 . ⎡ −2 ⎤ ⎢ ⎥ 3 0 1⎤ .. independien- temente de que tengan los mismos elementos. Llamaremos diagonal principal de A al conjunto ordenado {a11 .2) ⎥ .2 Dadas S = ⎡ −2 ⎣ ⎦ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥ Solución Estas dos matrices corresponden a órdenes diferentes. siendo k = mínimo {m. T = ⎢ ⎥ .3 Diagonal principal de una matriz Sea A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ (m . luego no son iguales. ¿es S = T? 3 1.. dependiendo de la aplicación que se requiera. para la fundamentación de las propie- dades que necesitamos presentar.4) = [ 0 0 0 0] . n) = ⎡⎣eij ⎤⎦ . Diagonal principal de B : {−1.1.n ) Geometría vectorial y analítica 69 . O(3. n I ( n. Notación ⎧⎪∀i = 1.. 9} . n Ilustración 3 Veamos algunas matrices nulas: ⎡0 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ O(1.3) = ⎢⎢0 0 0 ⎥⎥ .n ) ⎪⎩∀ j = 1. O(3.. Notación ⎧1 si i = j ⎪⎧∀i = 1.3) . Diagonal principal de C : {5} . n) = ⎡⎣oij ⎤⎦ . Matriz nula Es aquella en la cual todos sus elementos son iguales a cero. Módulo 3: El conjunto \ m× n ⎡ 8⎤ ⎢ ⎥ C = [5 −4 8](1.. n ( n . 3... donde eij = ⎨ ⎨ ⎩0 si i ≠ j ⎩⎪∀ j = 1.1) determinemos las diagonales principales para cada matriz. D = ⎢ −1 ⎥ .. Solución Diagonal principal de A : {−1. Matriz identidad Es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y todos los demás elementos son iguales a cero. ⎢ 2⎥ ⎣ ⎦ ( 3.2) = ⎢0 0 ⎥ . Diagonal principal de D : { 8}. donde oij = 0 ⎨ ( m ... 0. 9} . m O( m .4 Algunas matrices especiales Destacamos a continuación las matrices que se constituyen en las herramientas más importantes dentro del álgebra matricial. 0. (1). ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ (2). . A es triangular superior si aij = 0 para i > j = ⎨ ( n. I ( 4..2) = ⎢ ⎥ . B es triangular inferior si bij = 0 para i < j = ⎨ ( n... (3). Matriz diagonal Es aquella matriz que es triangular superior y triangular inferior. n ) ⎪⎩∀ j = 1. por convención se utiliza la letra e.. donde d ij = 0 para i ≠ j . Matriz escalar Es aquella matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales. ⎣0 1⎦ ⎢0 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1⎦ Obsérvese que de acuerdo a la convención usual... 70 . del término y del orden.. para evitar la doble designación con el elemento i. Notación ⎧⎪∀i = 1. n (6). Matriz triangular superior Es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son iguales a cero.... n (5). sin embargo.4) =⎢ .. n ) ⎪⎩ ∀ j = 1. Notación ⎧⎪∀i = 1. Matriz triangular inferior Es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son iguales a cero. ⎨ ( n. el elemento genérico debería designarse por iij . Notación ⎧⎪∀i = 1. n D = ⎡⎣ d ij ⎤⎦ . n Sea B = ⎡⎣bij ⎤⎦ . n Sea A = ⎣⎡aij ⎦⎤ . n (4). n) ⎪⎩∀ j = 1.Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Ilustración 4 Veamos algunas matrices identidad: ⎡1 0 0 0⎤ ⎢0 1 0 0⎥⎥ ⎡1 0 ⎤ I ( 2. E es la matriz identidad de orden 1 y es escalar. E = [1](1. n ⎪ ∀ j = 1. ⎡0 0 0 1⎤ ⎢0 ⎡0 0 0 ⎤ ⎡1 0 0 0⎤ 0 ⎥⎥ B = ⎢0 0 0 ⎥ . ¿Por qué? F no tiene ninguna categoría.. ⎢0 1 0 0⎥ ⎢⎣ 0 0 8⎥⎦ 3. .4) ⎣0 0 0 0 ⎦ ( 4. D es una matriz diagonal y por tanto es triangular superior e inferior. F=⎢ . ¿Por qué? C no tiene ninguna categoría.. n Sea H = ⎡⎣hij ⎤⎦ .1) . Geometría vectorial y analítica 71 . ⎢0 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢0 0 0 ⎥⎦ (3. Módulo 3: El conjunto m× n Notación ⎧0 para i ≠ j ∀i = 1. triangular superior e inferior. dentro de la clasificación establecida. T es una matriz escalar y por tanto diagonal. H es escalar si hij = ⎨ ( n..3 ⎢ ⎥ ( ) ⎣1 0 0 0 ⎦ (4. n ) ⎪ k para i = j (k constante) ⎩ Ilustración 5 Caractericemos cada una de las matrices siguientes. dentro de la clasificación establecida. C = ⎢⎢0 1 0 0 ⎥⎥ ⎢ ⎥ 0 0 A=⎢ . de acuerdo a la clasificación establecida.3) ⎣⎢0 0 1 0⎦⎥ (3. ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 5 ⎦⎥ ( 3.4) ⎡0 0 0 1⎤ ⎡ −8 0 0 ⎤ ⎢0 0 1 0 ⎥⎥ D = ⎢⎢ 0 −8 0⎥⎥ .4) ⎡ 5 0 0⎤ ⎢ ⎥ T =⎢ 0 5 0⎥ . B es la matriz nula de orden 3 y es una matriz escalar.3 ) Solución A es una matriz triangular superior.. Operaciones en el conjunto 4 m ×n Introducción Fundamentaremos las operaciones básicas en el conjunto m×n que lo caracterizan como un espacio vectorial. Cayley se había 5. estaba en el 8. y conocía además el alemán 3.1. ¿Qué propiedades caracterizan al producto matricial? permitiera hacer lo que quería durante algunos años. que emprendía para divertirse. Se hallaba. ¿Es m× n un espacio vectorial con las operaciones definidas? primero».1. bajo las dos operaciones anteriores. al King’s College School de Londres. sus compañeros fue considerado como «un simple matemático» con una aguda pasión por la lectura de novelas. Desde joven. ¿Es la adición una operación binaria? tan fácilmente como el inglés. Destacar cómo.1. ¿Cuándo es posible definir el producto entre matrices y cómo podemos calcularlo? matemáticos. que nos permiten múltiples aplicacio- nes.2 Diferencia en m×n 4. en condiciones de que se le 10. y puede decirse que constituyó entre ellos ra de espacio vectorial real. m× n 4.5 Producto de matrices Geometría vectorial y analítica 73 . Así mismo estudiaremos el producto matricial como una nueva operación que provee a m×n de nuevas características estructurales y la modelación de problemas reales de gran Arthur Cayley aplicación. el aprendizaje de idiomas. ¿Qué es una combinación lineal de matrices? primer puesto de la universidad en los concursos 9. Al comenzar el estudio 3. nació el 16 de agosto de 1821 en Richmond y murió el 26 de enero de 1895 en Objetivos del módulo Cambridge.1 Adición en m×n 4.1. Cayley demostró 2. poniéndolo en una categoría especial «por encima del 7. Igualmente. propiedades. En 1829 fue enviado a una escuela privada. le deleitaban. Preguntas básicas Las representaciones de Shaskespeare. El griego. formal de la Matemática rápidamente superó al resto de m×n sus compañeros. En 1842.4 Combinación lineal de matrices 4. Su 1. exhibiendo diferentes criterios para calcularlo y mostrando la importancia de esta operación en la formulación y Cayley comenzó su carrera universitaria a los 17 años de edad. Contenidos del módulo 4. el conjunto alcanza la estructu. 5.3 Producto de un número real por una matriz Vea el módulo 4 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica 4. manifestaciones de su talento superior fueron semejantes a las de Carl Friedrich Gauss. en el Trinity College de Cambridge. ¿Corresponde este producto a una ley de composición externa? matemáticos que el profesor trazó una línea bajo su nombre. Leía y escribía el francés 2. Arthur Cayley. ¿Cómo se multiplica un número real por una matriz? alejado ya tanto del resto de los compañeros en los estudios 6. Presentar la operación correspondiente al producto de un número real por una matriz y sus una asombrosa habilidad para los largos cálculos numéricos. analizando además sus propiedades. en particular en el pusieron de acuerdo en que era un matemático innato que conjunto m×n debería elegir esta ciencia como carrera. Introducir la adición entre las matrices y mostrar que el sistema conformado es un grupo genio matemático se reveló precozmente y las primeras abeliano. ¿Es un grupo aditivo? y el italiano. fue elegido tutor ayudante del Trinity College por un periodo de tres años. No obstante.1. fue siempre 1. lo mismo que ocurrió más tarde n cuando llegó a la Universidad. y más tarde. Definir la noción de combinación lineal ya presentada en el espacio . especialmente las comedias. Definir el producto matricial y las condiciones de compatibilidad. ¿Cómo se suman las matrices? para él un lenguaje de fácil lectura. cuando sus maestros se 4. pues. en 1835. una categoría especial. aprendido en la escuela. a los 21 años de edad.1 Operaciones en las matrices 4. matemático británico. Entonces. entre solución de problemas reales. ¿Cómo se restan las matrices? Al terminar su tercer año en Cambridge. durante su periodo de Solución servicio jurídico publicó entre 200 y 300 trabajos matemáticos. pero no más que lo suficiente. donde cij = aij + bij ⎨ . C ∈ R m× n . para continuar su obra. Es decir.n ) ( m ..1. Ya había comenzado el estudio de la geometría de n dimensiones (que él creó). superior al cargo de procurador). Siguiendo la costumbre habitual de quienes en Inglaterra querían obtener. Dejamos al lector la última suma. en la carrera de leyes. Esto significa que la matriz nula es el módulo bajo la suma. A+C = ⎢ ⎣3 2 1 ⎥⎦ ⎣0 0 0⎦ ⎥ estas dos matrices?) A + O = A. n) ⎪⎩∀ j = 1. B ∈ R m×n . cuatro el segundo y tres el tercero. primeros trabajos fueron hechos cuando aún no tenía 25 (m . n) Sin otro quehacer que lo que deseaba realizar. Existe O( m . cuando tenía 20 años. A + B = B + A..1 Adición en m× n publicada en 1841. después de obtener su título universitario. n) cualquiera. 2. ( m . A+C. 4. n) ( m. B=⎢ . Cayley ingresó ⎡3 − 5 1 ⎤ ⎡ −2 1 1 ⎤ ⎡ −3 5 − 1 2 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ A=⎢ . n ) ces se cumplen los siguienes enunciados: 1. ( m.n ) . C = ⎡⎣ cij ⎤⎦ . n) tal que para A( m . ⎡1 −4 2⎤ 3 ⎡ 0 0 0 ⎤ (¿qué características presentan A+ B = ⎢ . ( A + B ) + C = A + ( B + C ). B = ⎡⎣bij ⎤⎦ . n ) enumerativa de curvas planas y su contribución esencial a la teoría de funciones elípticas. Evariste Galois y muchos 4. aprovechándose de la oportunidad para obtener renombre Calculemos: A+B. B = ⎡⎣bij ⎤⎦ . muchos de los cuales se han hecho clásicos. 2 en el Colegio de Lincoln a estudiar abogacía. 74 . resolvió no dejarse invadir por completo ⎣0 7 1⎦ ⎣ 3 5 0 ⎦ ⎣ 0 7 1 ⎦ ⎣ ⎦ por las leyes. Cayley abandonó Cambridge. existe − A = ⎡⎣ − aij ⎤⎦ tal que A + (− A) = O( m . − A es la ( m . A+O = A. y en consecuencia rechazó más asuntos que los que aceptó. A+O. la geometría Esto es. Enton- ( m . Durante 14 años llevó una vida cómoda. Ilustración 6 En 1846. 4. Pero al dedicarse ⎥ − ⎥ − − a esa profesión. n) ( m . surgió de su estudio de las obras de los matemáticos franceses Joseph Louis Lagrange y Pierre Simon Laplace. n) inversa aditiva de A. m primer año. tales que A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ .. cuando tenía 25 años. y para ganar lo suficiente. Su primera obra. ocho trabajos el ⎧⎪∀i = 1. Dada A. C=⎢ ⎥ .1 Operaciones en las matrices otros grandes de las matemáticas. O = ⎢0 0 0 ⎥ . Cayley publicó. 3. un grado distinguido Sean (es decir.Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Lo mismo que Niels Henrik Abel. Teorema 1: Propiedades de la adición en R m ×n Sean A. Sean A. tales que A = ⎡⎣aij ⎤⎦ . B. A + B = ⎡⎣aij + bij ⎤⎦ . Cayley se dedicó a leer a los maestros por propia iniciativa. Estos Definimos A + B = C = ⎡⎣ cij ⎤⎦ . la teoría de invariantes.. B+C. n años y en el último se plantea gran parte de la obra que iba a ocuparle durante los siguientes 50 años. Sin embargo. 4) . definimos A − B = A + (− B ) = ⎡⎣ aij − bij ⎤⎦ .. ⎣ 0−3 Observemos que la diferencia no es conmutativa. ⎣3 ⎣ 0 1 1 ⎦ ( 2.. ( m.1.. . C=⎢ ⎥ . La suma es una operación binaria en R m ×n .3) Calculemos A − B y B − A. Definimos λ ⋅ A = C = ⎡⎣cij ⎤⎦ m. A ∈ R m×n .3 Producto de un número real por una matriz Sean λ ∈ R. 2 Geometría vectorial y analítica 75 .3) ⎥ . m cij = λ aij ⎨ esto es. 1 vectorial y analítica.2) 1 Calculemos 4 ⋅ A. Módulo 4: Operaciones en el conjunto m× n Observaciones 1.3) . ⎣ 3−0 ⎡ 12 − 2 5 −2 + 4 3 − 0 ⎤ ⎡ 110 2 3 ⎤ B− A= ⎢ = 1 − 0 1 + 5 ⎥⎦ ⎢⎣ −3 1 6 ⎥⎦ ( 2. n) ( ) ⎧⎪∀i = 1. (m . + .1. n) ( m . n. conformándose el sistema R m× n . n) Ilustración 8 Escuche el audio Arthur Cayley y el álgebra de ⎡2 0 −8 3⎤ ⎡ 3 −2 ⎤ matrices en su multimedia de Geometría ⎡ 5 ⎤⎦ Sean A = ⎣ − 2 . 4. donde ( m . + alcanza la estructura de grupo conmutativo o abeliano.n ) Ilustración 7 ⎡ 2 5 −4 0 ⎤ ⎡ 1 2 − 2 3⎤ Sean A = ⎢ B=⎢ 0 −5 ⎥⎦ ( 2. donde A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ . λ ⋅ A = ⎡⎣λaij ⎤⎦ .3) ⎣1 0 0 ⎣ 5 1 5 ⎦ ( 2.n ) ( m . − ⋅ B. El sistema R m× n .n . 2. B = ⎡⎣bij ⎤⎦ . B=⎢ 1 ⎥⎦ ( 2.3) .2 Diferencia en R m×n Sean A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ . 2 (1.. ⎪⎩∀ j = 1. 4. 0 ⋅ C. Solución ⎡ 2 5 − 1 2 −4 + 2 0 − 3 ⎤ ⎡ − 110 −2 −3 ⎤ A− B = ⎢ = 0 − 1 −5 − 1⎥⎦ ⎢⎣ 3 −1 −6 ⎥⎦ ( 2. decimos que es una combinación lineal del conjunto A. Usualmente cuando el contexto es claro podemos omitir el punto que indica la operación. Observaciones 1. con estas dos operaciones definidas (adición y producto de un real por una matriz). como puede concluirse de las propiedades establecidas en los teoremas 1 y 2. 1⋅ A = A.... 3.4 Combinación lineal de matrices Sean A = { B1 . λ ⋅ ( β ⋅ A) = (λ ⋅ β ) ⋅ A. 2.} .. (1. Bk } ⊂ R m×n ..3) 1 ⎡ −1 0 4 − 3 2 ⎤ − ⋅B = ⎢ ⎥ . ∀i = 1. λ ⋅ ( A + B ) = λ ⋅ A + λ ⋅ B. 2. A. (λ + β ) ⋅ A = λ ⋅ A + β ⋅ A. 4. + λk Bk .Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Solución 4 ⋅ A = ⎡⎣ −4 2 2 20⎤⎦ . k . De todo X que satisface la ecuación X = λ1 B1 + λ2 B2 + . con λi ∈ R. −1⋅ A = − A. Ilustración 9 Dadas ⎡ −2 0 1⎤ ⎡ 12 −4 − 12⎤ ⎡0 0 −5 ⎤ B=⎢ C=⎢ D=⎢ 2 ⎥⎦ −7 ⎥⎦ 1⎥⎦ . Teorema 2: Propiedades del producto de un real por una matriz Sean λ . β ∈ R. alcanza la estructura de espacio vectorial real. 76 .. 3. 5. y ⎣ 0 −3 ⎣ 0 0 ⎣7 1 K = { B. 2 ⎣ − 1 2 0 0 − 1 2 ⎦ ( 2. 4. . El conjunto R m ×n .4 ) Dejamos al lector el último producto. D. B2 ... C . Este producto corresponde a una ley de composición externa. B ∈ R m× n .1. entonces se cumplen: 1. El orden de la matriz producto es igual al número de filas de la primera por el número de columnas de la segunda. Definimos A ⋅ B = C = ⎡⎣cij ⎤⎦ . En este caso afirmamos que A y B son compatibles para el producto. donde ( m . 3. ⎣ 35 8 X 2 = B.5 Producto de matrices Sean A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ . La definición anterior exige. 2. Toda matriz es combinación lineal de todo conjunto que la tenga como elemento.r ) n cij = ∑ aik bkj . X 3 = 0 ⋅ B + 0 ⋅ C + 0 ⋅ D.calculemos: Módulo 4: Operaciones en el conjunto m× n X 1 = − 1 ⋅ B + 2 ⋅ C + 5 ⋅ D. n) ( n. para la existencia del producto. k =1 Observaciones 1. ¿Es el producto matricial una operación binaria en R m×n ? Geometría vectorial y analítica 77 . Toda combinación lineal de matrices de un orden dado es otra matriz del mismo orden. Ilustración 10 ⎡ −1 −4 0 ⎤ Dada G = ⎢ ⎥ . ¿Por qué? 2. Observaciones 1. ¿Por qué? 3. r ) ( m. La matriz nula de un orden dado es combinación lineal de cualquier conjunto de matrices del mismo orden. 4. X 3 = O( 2. ¿es G una combinación lineal del conjunto K determina- ⎣2 0 0⎦ do en la ilustración anterior? Dejamos la solución del problema al lector. Solución ⎡2 0 −1⎤ ⎡ 1 −8 −1 ⎤ ⎡ 0 0 −25⎤ X1 = ⎢ + + ⎣0 3 −2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 −14⎥⎦ ⎢⎣ 35 5 5 ⎥⎦ ⎡ 3 −8 − 27 ⎤ =⎢ − 11⎥⎦ ( 2. B = ⎡⎣bij ⎤⎦ . siempre y cuando todas las matrices del conjunto tengan el mismo orden. X 2 = 1 ⋅ B + 0 ⋅ C + 0 ⋅ D.3) .3) . que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segun- da.1. AyC 4. ByC 6. ⎡ b1 j ⎤ ⎢b ⎥ ⎢ 2j ⎥ ⎢ ⎥ Esto es. Podemos recurrir a otras formas más dinámicas que nos llevan al mismo resultado y cuya aplicación depende de la presentación de los datos iniciales y de los resultados que se requieran destacar.. Criterio alterno 1 Bajo las mismas condiciones anotadas para A y B en la definción del producto. B = ⎢ 0 . 78 . y para aquellas que lo sean calculemos la matriz producto utilizando el criterio alterno 1. + ain bnj = ∑ aik bkj . AyB 2. Los designaremos como criterios alternos y los desarrollaremos a continuación. 1. donde dij = Ai ⋅ B j y veamos cómo se cal- (3. cij = ⎡⎣ ai1 ai 2 … aij … ain ⎤⎦ ⋅ ⎢ ⎥ .3) ⎢⎣ 2 5 ⎥⎦ 3. k =1 Ilustración 11 ⎡3 −1⎤ ⎡ −7 1⎤ Sean A = ⎢ 1 0 ⎥⎥ .r ) donde cij = Ai ⋅ B j ..3) cula cada uno de los elementos de D. tenemos que: A ⋅ B = C = ⎡⎣cij ⎤⎦ . CyA 5. ByA 3. ⎢ ⎣0 2 5 ⎥⎦( 2.2) .Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 4. ⎢ bij ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ bnj ⎥⎦ n cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + . Designemos A ⋅ B = D = ⎡⎣dij ⎤⎦ . y donde la operación «·» representa el producto escalar exten- dido.2 ( ) Indiquemos de las siguientes parejas cuáles son compatibles para el producto. CyB Solución A y B son compatibles para el producto. C = [9 4](1. ( m . ⎣5⎦ Calcule en forma análoga los elementos restantes. Módulo 4: Operaciones en el conjunto m× n ⎡−7⎤ d11 = A1 ⋅ B1 = [3 −1] ⋅ ⎢ ⎥ = −21 + 0 = −21. C y A no son compatibles para el producto.3 ( ) B y A son compatibles para el producto. ⎢⎣−14 10 27 ⎥⎦ 3. Geometría vectorial y analítica 79 . Designemos B ⋅ A = F = ⎡⎣ fij ⎤⎦ .2) Observación Podemos concluir que el producto matricial en general no es conmutativo. ⎣ 12 25⎦( 2. ⎢⎣2⎥⎦ ⎡ −1⎤ f12 = B1 ⋅ A = [ −7 0 1] ⋅ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ = 7 + 0 + 5 = 12. 2 ⎣⎢ 5 ⎦⎥ ⎡3⎤ f 21 = B2 ⋅ A = [ 0 2 5] ⋅ ⎢⎢1⎥⎥ = 0 + 2 + 10 = 12. donde fij = Bi ⋅ A j . ¿Por qué? A y C no son compatibles para el producto. ⎣ 2⎦ ⎡1⎤ d13 = A1 ⋅ B3 = [3 −1] ⋅ ⎢ ⎥ = 3 − 5 = −2. ⎣0⎦ ⎡0⎤ d12 = A1 ⋅ B 2 = [3 −1] ⋅ ⎢ ⎥ = 0 − 2 = −2. 1 ⎢⎣2⎥⎦ ⎡ −1⎤ f 22 = B2 ⋅ A2 = [ 0 2 5] ⋅ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ = 0 + 0 + 25 = 25. B y C no son compatibles para el producto. ( 2.2) ⎡3⎤ f11 = B1 ⋅ A1 = [ −7 0 1] ⋅ ⎢⎢1⎥⎥ = −21 + 0 + 2 = −19. ⎡ −21 −2 −2⎤ A ⋅ B = ⎢⎢ −7 0 1 ⎥⎥ . ⎢⎣ 5 ⎥⎦ ⎡−19 12 ⎤ B⋅ A = ⎢ ⎥ . 000 15 20 6 10 C 200.Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales C y B son compatibles para el producto. n) ( n. r C = ∑ bij A (combinación lineal j i ⎡ i =1 ⎢ delas columnasde A) A ⋅ B = C = ⎡⎣cij ⎤⎦ .000 Calculemos.1 y 4. Designemos C ⋅ B = G = ⎡⎣ gij ⎤⎦ . como también los precios de costo y de venta de cada uno. C. donde gij = Ci ⋅ B j . donde ⎢ ( m. 3. r ) ⎢ ⎢ n i = 1. B..3) C ⋅ B = [ −63 8 29](1. 5. r ) n j = 1. Valor de las utilidades mensuales por artículo.3) . Criterios alternos 2 y 3 Combinación lineal de columnas y combinación lineal de filas. Tabla 4. Valor de las ventas totales por mes. 6. Valor de la utilidad total por mes. Dadas A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ . Problema de aplicación Las tablas 4. 2. 4. Valor del costo total por mes. Valor de las ventas mensuales de cada artículo.000 Marzo D 156. entonces: ( m .000 129. 80 .000 150..000 84. m ⎣ C = a B (combinación lineal i ∑ j =1 ij j de las filas de B) Nota: las dos expresiones anteriores nos permiten tener una idea más estructurada del producto matricial y de gran aplicación en la solución de problemas reales.2 muestran el volumen de ventas de cuatro artículos A.1 Tabla 4. Valor del costo mensual de cada artículo.. utilizando el producto matricial: 1. como el que se propone a continuación..500 Febrero 20 25 10 15 B 120.000 117. D durante un periodo de tres meses.2 Artículos Precios unitarios Mes A B C D Artículo De venta De costo Enero 18 25 12 10 A 185. (1. B = ⎡⎣bij ⎤⎦ . 400.330.4) ⎢ 200.000 ⎥⎦ ⎡10.000 ⎥⎦ ⎢⎣1.000 ⎤ = ⎢⎢11.000 ⎤ ⎡1.000 150. Módulo 4: Operaciones en el conjunto m× n Solución ⎧ S : matriz de artículos vendidos por mes Designemos por ⎨ ⎩ P : matriz de precios A su vez.100.170.000.560.500.942.000⎤ ⎡1.000 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢156. siendo S ⋅ P(3.400.560. respectivamente.331.000 ⎢ 25⎥ + 200.340.000⎤ ⎡ 2. ⎡18 ⎤ ⎡ 25⎤ ⎡12 ⎤ ⎡10⎤ ( S ⋅ P) 2 ( 3.000⎤ = ⎢⎢7. ⎢ ⎥ ⎣⎢15 20 6 10 ⎦⎥ (3.000 117.000 ⎦⎥ (4.000⎥⎥ .755. 120.2) Observemos inicialmente que S y P son compatibles para el producto.000 ⎤ ⎡ 2.000⎥⎦ ⎡7.000 ⎥⎥ + ⎢⎢ 2.500 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡18 25 12 10 ⎤ ⎢ ⎥ S = ⎢⎢ 20 25 10 15 ⎥⎥ .040.680.000 ⎥⎦ ⎢⎣1.692.1) =185.000 ⎢⎢15⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣15 ⎥⎦ ⎢⎣ 20⎥⎦ ⎢⎣ 6 ⎥⎦ ⎢⎣10⎥⎦ ⎡3.000 ⎥⎥ + ⎢⎢ 2. en la matriz P identificamos sus columnas así: V: submatriz de precios de venta.000. y la matriz suma representa en consecuencia el valor de las ventas totales por mes.1) =129.000⎥⎥ ⎢⎣1.000⎤ = ⎢⎢ 2. C y D.200.000 ⎥⎥ . Para el cálculo solicitado. C: submatriz de precios de costo. ⎢⎣ 7. Determinemos las matrices designadas: ⎡ V C ⎤ ⎢185.000 ⎢10 ⎥ + 117.500 ⎥⎦ Geometría vectorial y analítica 81 .000⎥⎥ + ⎢⎢ 2.000 ⎢10⎥ + 156.000 ⎢⎢15⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢15 ⎦⎥ ⎣⎢ 20 ⎦⎥ ⎣⎢ 6 ⎦⎥ ⎣⎢10⎦⎥ ⎡ 2.000 ⎥⎦ ⎢⎣1. B.590.800.000⎥⎥ ⎢⎣ 2.935.000 ⎢20 ⎥ + 120.000 ⎢ 25⎥ + 150. así (¿por qué?): ⎡18 ⎤ ⎡ 25⎤ ⎡12⎤ ⎡10⎤ ( S ⋅ P) 1 ( 3. ⎢⎣5.000 129.100.000 ⎤ ⎡3.401.000 ⎤ ⎡1.700.500 ⎥⎦ ⎢⎣1.2) .000.000 ⎥ P=⎢ .000 ⎥⎥ + ⎢⎢3.170.000 ⎥⎥ + ⎢⎢1.000⎥⎥ + ⎢⎢1.000 ⎥⎦ Podemos afirmar que cada columna correspondiente a las sumas parciales repre- senta el valor de las ventas mensuales de los artículos A.945.000 ⎥⎦ ⎢⎣ 900.290.000⎥⎦ ⎢⎣ 2.775. es más útil obtener el producto como combinación lineal de columnas de S.000 84.5000 ⎢20 ⎥ + 84.000 ⎤ = ⎢⎢3. B( n. C y D.2 ( ) En esta matriz ya hemos interpretado el significado de sus dos columnas. r ) . hemos observado cómo un problema real y sencillo. respectivamente.t ) .t ) . C( r . Ello nos confirma además la necesidad de una interpretación adecuada de la información que nos permita organizarla y presentarla correctamente para proceder a los cálculos matriciales requeridos. ⎢⎣2. En consecuencia.n ) .242. y la matriz suma representa en consecuencia el valor invertido en las compras totales por mes. B. Representamos ahora la matriz producto. Teorema 3: Propiedades del producto matricial Sean A( m . como lo hemos podido observar hasta el momento.401. D( r . ⎢⎣ 7. que en muchos problemas son más importantes los resultados parciales que se obtienen durante el proceso de los cálculos. E( n. Para nuestro caso. Entonces se cumple: 1.945. que las cifras consolidadas en el resultado final.290. Es fundamental anotar.000 7.500 ⎥⎦ 3.000 ⎤ S ⋅ P = ⎢⎢11.935. A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B) ⋅ C Propiedad asociativa 2.Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Cada una de las columnas asociada a la suma parcial representa el valor invertido en las compras mensuales de los artículos A. pero no todos permiten recoger los resultados pedidos.500 ⎥⎦ 3. (λ A) ⋅ B = A ⋅ (λ B ) = λ ( A ⋅ B) 82 . tiene su fundamentación en herramientas del álgebra matricial.692. (B + E) ⋅ D = B ⋅ D + E ⋅ D Propiedad distributiva a la derecha 4. ¿Cómo se obtienen las utilidades por cada artículo y en cada mes? Calculemos finalmente la utilidad total por mes: ⎡2. la matriz producto se puede obtener por distintos procedimien- tos.1 ( ) que corresponde a la diferencia entre las dos matrices columna de la matriz produc- to. ⎡10. λ ∈ R.095.889.000 ⎥⎥ .000 ⎥⎥ .040. r ) .000 5.000 ⎤ S ⋅ V − S ⋅ C = S ⋅ (V − C ) = ⎢⎢3. pero prácti- co. A ⋅ (B + E) = A ⋅ B + A ⋅ E Propiedad distributiva a la izquierda 3.000 7. I ( m .n) = A . si A( n.n ) el módulo bajo la operación producto. Módulo 4: Operaciones en el conjunto m× n 5.n) ⋅ A = A ⋅ I( n. Geometría vectorial y analítica 83 . m) ⋅ A = A ⋅ I ( n . siendo I( n . n ) = A Modulativa a la izquierda y modulativa a la derecha En particular. entonces I( n. n ) . n. n. a. j.. ( A ⋅ B = A ⋅ C ) ⇒ ( B = C ). n ) identidad. k. Toda matriz escalar es triangular superior. En el siguiente contexto A. Toda matriz con unos en la diagonal principal y ceros en los restantes elementos. Sea C = ⎡⎣cij ⎤⎦ . Sea A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ ( n .. m. donde bij = 0 si i ≠ j ∀i = 1.. Toda matriz escalar es diagonal. m. m.. A ⋅ B = 0 ⇔ A = 0 o B = 0.. ( n . c. 2. Justifique su afirmación. entonces B es una matriz diagonal. ( A + B ) ⋅ ( A − B) = A2 − B 2 . ∀ j = 1. n. Sea B = ⎡⎣bij ⎤⎦ . ( A + B ) 2 = A2 + 2 A ⋅ B + B 2 .Ejercicios del capítulo 2 (módulos 3 al 7) 1. donde cij = 0 si i ≠ j y cij = 1 si i = j. h. b.. Para cada una de las afirmaciones siguientes indique si es verdadera o falsa.. Toda matriz triangular inferior es cuadrada. que la proposición no es un teorema).. donde aij = λ para ∀i = 1. Muestre en cada literal un contraejemplo que pruebe que la igualdad establecida no es verdadera (esto es. n. es una matriz identidad. n) . f. An = A ⇔ A = I o A = 0. g. e. Toda matriz nula es escalar. B y C designan matrices. En una matriz simétrica los elementos de la diagonal principal pueden ser iguales a cero. b. entonces C es una matriz ( m. e. ∀ j = 1. g. f.. l. Toda matriz diagonal es escalar. ∀i = 1. n. A⋅ B = B ⋅ A . ∀ j = 1. c. Toda matriz triangular superior e inferior es escalar.m ) o. Toda matriz nula es cuadrada. a. Ninguna matriz simétrica puede ser antisimétrica. i. d.. 114 . entonces A es una matriz escalar. Toda matriz identidad es escalar. ( A ⋅ B ) 2 = A2 ⋅ B 2 ... d. En una matriz antisimétrica los elementos de la diagonal principal son necesariamente iguales a cero. para un periodo de dos semanas.843 296 4. Sd: salario devengado. B.997 385 0 0 Utilice el producto matricial para calcular. El producto matricial nunca es conmutativo. Ret: retenciones para pagos de salud y seguridad social.. t. Todos los índices corresponden a valor por cada hora. n..124 395 He 1.331 256 5. p. u.d Ho He H. s. Analice el producto matricial por filas y por columnas e interprete la información parcial obtenida.d A 48 24 8 48 24 8 B 48 12 8 48 24 4 C 48 24 4 48 24 4 D 48 0 0 48 0 0 Tabla 2 Trabajador Datos A B C D Tipo de horas Sd Ret Sd Ret Sd Ret Sd Ret Ho 1. Sea H = ⎡⎣ hij ⎤⎦ . He: horas extras.164 321 0 0 Hd 2. el valor total de las retenciones. el valor retenido a cada trabajador en cada semana. Tabla 1 Horas laboradas Semana 1 Semana 2 Trabajador Ho He H. ∀i = 1. En las tablas 1 y 2 se presenta la información sobre la nómina de cuatro trabajadores. el valor total pagado por dominicales.590 122 2.562 197 3. El producto de dos matrices compatibles y cuadradas es otra matriz cuadrada.385 184 3.. A. y hij ≠ 0 si i = j. El número de elementos de una matriz producto siempre es mayor que el de cada una de las matrices factores. en pesos. el valor total pagado por salarios. entonces necesariamente los factores son matrices cuadradas.. donde hij = 0 si i ≠ j . n. 3. Si el producto matricial de dos matrices es una matriz cuadrada. el valor total pagado por horas extras. las siguientes cantidades: el salario neto recibido por cada trabajador en cada semana. n ) lar una matriz diagonal. C y D. el valor total pagado por la empresa en salarios ordinarios. Geometría vectorial y analítica 115 . r.988 153 3. Hd: horas dominicales. ∀ j = 1. entre otras. Se han adoptado las siguientes convenciones: Ho: horas ordinarias.203 247 4. El producto matricial nunca puede ser una operación binaria en el conjunto de mxn . q. entonces H es en particu- ( n. Si A ∈ n× n . d. entonces ( A m) s = Ami s . Encuentre el conjunto solución del sistema. d. (a) (b) x + 5 y + 11z = −5 x − 2y = 0 2x + 3 y + 8z = 4 2x + y = 5 − x + 2 y + 3z = 3 3 x + 2 y = −2 (c) (d) 2 x + 3 y − 6 z = −3 x − y − z − w = −1 4x − 3 y =1 x + y − z + w = −5 4 x + 3 y + 12 z = 13 x+ y + z + w =1 x+ y+ z−w=9 (e) (f) 2x − y − z = 0 x + 2 y + 2z + w = 4 5x + y + 2z = 2 2 x + 3 y + 3z − w = 2 11x + 5 y + 8 z = 4 x − y − 2 z + 2w = 3 6. Escriba el sistema equivalente reducido de ecuaciones lineales. Utilice el principio de inducción matemática para demostrar: a. determine las variables principales y los parámetros. c. Si el sistema es consistente. Determine la matriz de coeficientes. e. entonces Am ⋅ As = Am+ s . B ∈ n×n y A · B = B · A. Determine qué tipo de solución tiene el sistema. Analice toda la información suministrada y la información solicitada y trate de organizar sus resultados en la forma más eficiente posible. f. definimos An así: i. ¿Cuál es el rango fila? c. ii. 116 . 5. b. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones dados: a. entonces An = A( n −1) ⋅ A . a. b. Si n ≥ 2 . ¿Cuáles son m y n en el sistema inicial? b. Sea A( n . Si A. n ) . Aplique el método de reducción de Gauss-Jordan para resolver el sistema. A1 = A. Si el sistema es consistente determine el conjunto solución y muestre una solución particular. Asuma que la matriz E dada en cada uno de los siguientes casos es la matriz aumentada de un sistema reducido de ecuaciones lineales. c. En los problemas siguientes téngase en cuenta la siguiente definición recursiva para potencias de una matriz. Escriba la ecuación matricial correspondiente. 4. Si A ∈ n×n . entonces ( A ⋅ B ) m = Am ⋅ B m . Para cada uno de los siguientes sistemas determine los valores de K para los cuales el sistema resultante tenga: a.L. Infinitas soluciones. Solución única. Infinitas soluciones. c. Ninguna solución (inconsistente). Solución única. tenga: a. c. (a) (b) x1 + x2 + x3 = 2 x1 + 3x2 + 2 x3 = 5 x1 + ( K 2 − 8) x2 = 3 2 x1 + 3x2 + ( K 2 − 1) x3 = K + 1 x1 + ( K 2 − 8) x2 = K 8. (a) (b) ⎡ 1 −2 1 0 −3 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 1 0 0 −2 ⎤ ⎢ 0 0 0 1 2 0 0⎥ ⎢ ⎥ E=⎢ 0 0 0 0 0 1 0⎥ E=⎢ 0 1 0 5⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1 0 ⎥⎦ ⎢ 0 0 0 0 0 0 1⎥ ⎣ ⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 ⎥⎦ (c) (d) ⎡1 0 0 0 1 ⎤2 ⎢0 1 0 0 −2 ⎥⎥ ⎢ ⎡1 0 0 3 1 5⎤ ⎢0 5⎥ ⎢0 E=⎢ 0 1 0 ⎥ 1 0 −2 −1 15 ⎥⎥ −1 ⎥ E=⎢ ⎢0 0 0 1 ⎢0 0 1 0 2 0⎥ ⎢0 0 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 0 0 0⎦ ⎣⎢0 0 0 0 0 ⎦⎥ (e) (f) ⎡ 1 0 1 1 2 0 3⎤ ⎡ 1 1 0 −3 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −2 ⎥ E=⎢ E=⎢ 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0⎥ ⎢ 0 0 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0⎦ ⎣ 0 0 0 0 0⎦ 7.E. Determine el valor de K para que el S. Ninguna solución (inconsistente). b. Kx1 + x2 − x3 = 0 x1 + 3x2 + x3 = 0 3x1 + 10 x2 + 4 x3 = 0 Geometría vectorial y analítica 117 . b. 000 unidades del primer alimento cada día. Ninguna solución (inconsistente). Determine para qué valores de α el siguiente sistema: a. Infinitas soluciones. El conjunto solución del problema. c. Asumiendo que todo el alimento es consumido. a32 = 3. La capacidad de atención semanal de cada unidad se da en la tabla 3.L. tenga: a. Suponga que se tienen tres especies de bacterias dentro de un tubo de ensayo y que se nutren con tres tipos de alimentos. Determine los valores de λ y β para que el S. El sistema de ecuaciones lineales y su conjunto solución. a12 = 1. Suponga que una bacteria de la especie i consume en promedio por día una cantidad aij del alimento j. Suponga además que hay 20. 30. b. Tiene solución única. 2 x − α y + z = −2α + 5 x + y −α z = 1 4x + y − α z = α Resuelva cada uno de los problemas siguientes (11 al 17) indicando explícitamente: 1. ¿cuáles son las poblaciones de las tres especies que pueden coexistir en este ambiente? 12.9. Las variables. Tabla 3 Unidad I II III Servicio Cirugía 10 0 20 Materno-infantil 20 10 30 Consulta externa 30 0 60 118 . Un servicio seccional de salud puede construir tres tipos de unidades intermedias (I. b. a13 = 1. a21 = 1. λ x1 + (2λ − β ) x2 = λ + β − 3 5 x1 + 4 x2 = 1 10. Solución única.000 unida- des del tercero. II. a33 = 5. c. a23 = 3. a22 = 2. III) con el propósito de atender a la población en servicios de cirugía. Es inconsistente. Tiene infinitas soluciones.E. atención materno-infantil y consulta externa. suponiendo que: a11 = 1. 11. 2.000 unidades del segundo y 40. a31 = 1. 3. a. 80 pacientes. B. En la figura 1 se indica el flujo de tráfico en algunas vías de Medellín. si se requiere atender toda la población que demanda el servicio y cada unidad debe operar a su máxima capacidad? b. asumiremos que los valores dados representan tráfico promedio en periodos picos. lo cual incrementa el tráfico en las vías adyacentes. 210 pacientes. b. Los camiones están equipados para el transporte de dos clases de maquinaria pesada. Determine el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden. Las estadísticas realizadas indican que para el próximo año se requieren atender semanalmente: cirugía. materno-infantil. asumiendo que cada camión debe estar completamente cargado y el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe despachar. pero donde sea mayor el tipo III. Dado que el flujo de tráfico varía notablemente durante el día. ¿Cuántas unidades de cada tipo deberán construirse. ¿cuál es la mejor solución bajo este criterio? 13. las unidades corresponden a número de vehículos por hora. Tabla 4 Camión Máquinas A B C Clase 1 2 1 1 Clase 2 0 1 2 La firma consigue una orden para transportar 32 máquinas de la clase 1 y 10 máquinas de la clase 2. Figura 1 Supongamos que trabajos de mantenimiento y reparaciones obligan a un cierre parcial sobre la avenida Bolívar entre Colombia y la avenida Primero de Mayo. 240 pacientes. y consulta externa. Una firma de transporte posee tres tipos de camiones A. a. La capacidad de cada camión se indica en la tabla 4. Si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma. C. ¿cuál es la solución más económica? 14. Geometría vectorial y analítica 119 . Analice el sistema resultante bajo esta condición. Si un criterio posterior de elección recomienda elegir la opción que incluya los tres tipos de construcción. Determine el valor mínimo posible del tráfico sobre la avenida Bolívar entre Colombia y la avenida Primero de Mayo que se puede permitir sin causar embotellamientos en las otras vías. y una ciudad fuera del país.400 pasajeros en vuelos internacionales. Cada una de ellas opera total o parcialmente una misma ruta. a. Si un criterio adicional recomienda escoger la opción en la cual la empresa que atiende simultáneamente los tres tipos de vuelo tiene mayor presencia. Tabla 6 Productos Máquina 1 2 3 A 300 50 50 B 100 160 100 C 40 150 90 La sección ha recibido una orden de producción para un día específico. 120 .700 unidades del artículo 1.200 en vuelos regionales. ¿cuál es la mejor solución? c.15. Si el costo de operación de una orden de A es el doble del correspondiente a una de B. b.950 unidades del artículo 3. designadas por A. La capacidad de cada orden de servicio integrada. Una compañía aérea ha integrado estratégicamente a tres empresas A.030 unidades del artículo 2. Cada empresa tiene organizados sus equipos para atender las diferentes rutas. mediante órdenes de servicio integradas. B y C. que incluye una ciudad intermedia. en una semana específica de navidad. pero utilizando las tres empresas. para esa ruta se indica en la tabla 5: Tabla 5 Empresa Clase de vuelo A B C Internacional 600 200 0 Nacional 300 200 100 Regional 0 100 100 Por razones prácticas de la programación de los servicios en diferentes rutas. considerada como un vuelo internacional. consideradas como vuelos nacionales. en términos de número de pasajeros movili- zados. y el de una de C es igual a 0. ¿cuál es la opción de menor costo de operación? 16 Una sección de producción de una empresa dispone de tres tipos de máquinas. 3. para cada empresa. Calcule el número de órdenes de servicio integradas de cada empresa que se requieren para atender exacta- mente la demanda utilizando plenamente la capacidad de cada orden. La capacidad de producción diaria de cada máquina se muestra en la tabla 6. el siguiente número de pasajeros: 5. dos ciudades capitales. Si un criterio posterior recomienda escoger la opción que demande el menor número de órdenes. La compañía requiere movilizar en esta ruta. Si un criterio posterior recomienda escoger la opción que demande el menor número de órdenes. 1. que producen tres productos diferentes.900 en vuelos nacionales y 1. 3. entonces ¿cuál es la mejor opción? e. B.1 del de A. ¿cuál es la mejor solución? d. discriminada así: 2. las órdenes de servicio integradas deben ser valores enteros. considerada como un vuelo regional. C. el elemento a21 indica que la industria I2 consume 2/6 del total de la producción de la industria I1. I3. Si el costo de producción diario de una máquina tipo A es la mitad del correspondiente al de una máquina tipo C. y el de una tipo B es 0. La suma de las componentes de cada columna es igual a 1. de que el gasto debido al consumo es igual al ingreso generado por la renta de la producción. ¿cuál es la mejor opción? e. El problema anterior ha sido adaptado de Ben Noble. Asumiendo la condición de equilibrio anotada anteriormente. las industrias son interdependientes de tal forma que el ingreso debido a las ventas de la producción es igual al gasto generado por el consumo. ¿cuál es la mejor opción? d. Supongamos que los ingresos de las industrias I1. 8 tipo B y 12 tipo C. designadas por I1. 7 tipo B y 10 tipo C. Si un criterio posterior recomienda escoger la opción que demande el menor número de máquinas pero utilizando los tres tipos. Si la sección sólo dispone para programar en ese día de 6 máquinas tipo A. Input-Output (Leontief closed) models. Nota: el método cerrado de Leontief puede ampliarse a n industrias y se caracteriza por las siguientes propiedades: 1. ¿cuál es la mejor solución? c. Para cada componente aij de la matriz se cumple que 0 aij 1. T3. a. I2 e I3 son respectivamente T1. 2. La fracción de la producción que consume cada una de las industrias se indica en el siguiente cuadro: Producción Consumo I1 I2 I3 I1 1/6 5/16 5/16 I2 2/6 4/16 8/16 I3 3/6 7/16 3/16 En la matriz anterior el término aij representa la fracción de bienes producidos por el personal que trabaja en la industria j y que es consumida por el personal que labora en la industria i. a33 que la industria I3 consume 3/16 del total de su propia producción. T2. determine los ingresos de cada industria. Si la sección sólo dispone para programar en ese día de 5 máquinas tipo A. 3. Summer Conference for College Teachers on Applied Mathematics. I2. Geometría vectorial y analítica 121 .7 del de C. ¿cuál es la opción que tiene el menor costo de producción? 17 Un modelo de Leontief Supongamos que en un modelo cerrado de economía. Calcule el número de máquinas de cada tipo que deben programarse para satisfacer exactamente la orden de producción. Asumamos que se tienen tres industrias en estas condiciones. b. Se cumple la condición de equilibrio. Universidad de Missouri. Así por ejemplo. 2 1 b. A puede expresarse siempre como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica. c. 20 Sean A. b. 19 Sean A. Demuestre que: a. b. d. A ⋅ B ⋅ A es simétrica.18 Dada A( n . Demuestre que: a. A ⋅ ( AB + BA) − ( AB + BA) ⋅ A es simétrica. A ⋅ B ⋅ A es antisimétrica. n ) demuestre que: 1 a. c. A ⋅ B + B ⋅ A es simétrica. B ∈ R n×n . ambas antisimétricas. 122 . B ∈ R n×n . ( A − AT ) es antisimétrica. ( A + AT ) es simétrica. A ⋅ B − B ⋅ A es antisimétrica. 2 c. ambas simétricas. A ⋅ B − B ⋅ A es antisimétrica. A ⋅ B + B ⋅ A es simétrica. como podemos observarlo a través de las matrices simétricas y antisimétricas y en la definición de nuevas matrices. ¿La transpuesta de una matriz puede ser la misma matriz? 3. lo cual tendremos oportunidad de estudiar en el capítulo 3 y en el curso de Álgebra lineal con las mismas componentes La transposición genera un arreglo rectangular en el cual las complejas.1 Matriz simétrica 5. 2. Destacar dos matrices fundamentales –simétricas y antisimétricas– que surgen de la matriz transpuesta.1. Objetivos del módulo 1.2 Matriz antisimétrica Vea el módulo 5 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 85 . Este nuevo arreglo presenta una serie de propiedades y relaciones importantes en relación con la matriz inicial. 3. ¿Cómo se transpone una matriz? 2. Preguntas básicas 1. La transpuesta de una matriz y sus 5 propiedades Introducción La transposición de matrices y sus propiedades desempeñan un papel importante en el álgebra de matrices. Cómo expresar una matriz cuadrada como una combinación de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica? Contenidos del módulo 5. Presentar las propiedades de las matrices simétricas y antisimétricas.1.1 Transpuesta de una matriz 5. Introducir la matriz transpuesta y sus propiedades. filas de la matriz inicial son ahora las columnas de la nueva matriz. Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 5.1 Transpuesta de una matriz Sea A = ⎡aij ⎤ . Definimos la transpuesta de A y la denotamos AT como ⎣ ⎦( m , n ) AT = ⎡⎣a'ij ⎤⎦ , a ' = a ji . ( n , m) donde ij Ilustración 12 Determinemos la transpuesta de las siguientes matrices: ⎡ −1 2 0 3 5 ⎤ ⎡ 5 −1 9 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ −1 0 3 1⎥⎥ A=⎢ 1 4 5 7 ⎥ , B=⎢ , ⎢ ⎥ ⎢9 3 −1 2 3⎥ ⎢⎣ −2 0 1 −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ (3,4) ⎣0 1 3 8⎦ ( 4,4) ⎡ 0 7 −2 ⎤ C = ⎢⎢ −7 0 −5⎥⎥ . ⎢⎣ 2 5 0 ⎥⎦ 3,3 ( ) Solución ⎡ −1 2 1 −2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 0 −7 2 ⎤ ⎢0 0 ⎥ ⎢ 0 5 ⎥⎥ ; esto es, C T = −C. 4 A =⎢ T ⎥ ; B = B; C = ⎢ 7 T T ⎢3 5 1 ⎥ ⎢⎣ −2 −5 0 ⎥⎦ 3,3 ⎢ ⎥ ( ) ⎣5 7 −1 ⎦( 4,3) Notas 1. Al determinar la transpuesta de una matriz, de acuerdo con la definición, las filas de la matriz original pasan a ser, en su orden, las columnas de la matriz transpuesta y en forma análoga para las columnas. 2. La ilustración nos muestra además que la transpuesta de una matriz puede ser la misma matriz o también la inversa aditiva de ella. Estas dos situaciones motivan la caracterización de las matrices que definimos a continuación. 5.1.1 Matriz simétrica Sea A( n, n ) A es simétrica si y sólo si AT = A. Así, en la ilustración 12 tenemos que la matriz B es simétrica. 5.1.2 Matriz antisimétrica Sea A( n,n) . A es antisimétrica si y sólo si AT = − A. 86 Módulo 5 : La transpuesta de una matriz y sus propiedades En particular, en la ilustración 12 la matriz C es antisimétrica. Observaciones 1. Las nociones de antisimétrica y simétrica no son opuestas. Encuentre una matriz que sea a la vez simétrica y antisimétrica. 2. Observe en la matriz simétrica la disposición de los elementos respecto a la diagonal principal. ¿Puede establecer alguna generalidad? 3. Observe en la matriz antisimétrica la disposición de los elementos respecto a la diagonal principal. ¿Puede establecer alguna generalidad? 4. ¿Es accidental que en la ilustración propuesta los elementos de la diagonal principal en la matriz antisimétrica sean iguales a cero? Teorema 4: Propiedades de la matriz transpuesta Sean A, B ∈ R m×n , C ∈ R n× r , λ ∈ R. Entonces se cumple: 1. ( AT )T = A. 2. ( A + B )T = AT + BT . 3. ( A ⋅ C )T = C T ⋅ AT . 4. (λ A)T = λ AT . 5. ( I )T = I. Demostración de la propiedad 3 Los elementos estudiados nos posibilitan su integración en la prueba siguiente, e invitamos a los lectores interesados en este campo a continuar desarrollando este aspecto. 1. Sean A = ⎡⎣aij ⎤⎦ m ,n , C = ⎡⎣ cij ⎤⎦ n ,r . Hipótesis. ( ) ( ) n 2. A ⋅ C = D = ⎡⎣ dij ⎤⎦ m , r , donde dij = ∑ aik ckj (1). Definición de producto ( ) k =1 matricial. 3. ( A ⋅ C )T = DT = ⎡⎣ d´ij ⎤⎦ , donde d ´ij = d ji (2). Definición de matriz ( r ,m ) n transpuesta. Esto es, d´ij = ∑ a jk cki . k =1 Sustituyendo (2) en (1). 4. C T = ⎡⎣ c'ij ⎤⎦ , donde c'ij = c ji (3). Definición de matriz transpuesta en1. ( r , n) 5. AT = ⎡⎣ a'ij ⎤⎦ , donde a'ij = a ji (4). Definición de matriz transpuesta en1. ( n ,m ) Geometría vectorial y analítica 87 Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales n 6. C T ⋅ AT = F = ⎡⎣ f ij ⎤⎦ r , m , donde f ij = ∑ c'ik a'kj (5). Definición de producto ( ) k =1 matricial. Pero sustituyendo (3) y (4) en (5) tenemos n n f ij = ∑ cki ⋅ a jk = ∑ a jk ⋅ cki . (6) k =1 k =1 7. DT = F de 3 y 6. Por la definición de igualdad de matrices. 8. ( A ⋅ C )T = C T ⋅ AT . Transitividad 3 y 6; de 7. Ilustración 13 Suponiendo que A, B ∈ R n× n y que ambas son antisimétricas, demostremos que A ⋅ B − B ⋅ A es antisimétrica. Antes de iniciar la prueba, precisemos cuál es la tesis. Para concluir que A⋅ B − B ⋅ A es antisimétrica, debemos, de acuerdo con la defini- ción, llegar a la ecuación ( A ⋅ B − B ⋅ A)T = −( A ⋅ B − B ⋅ A) . Procedamos en conse- cuencia a lograr esta expresión como objetivo. Demostración 1. Supongamos que A, B ∈ R n× n , A y B son antisimétricas. Hipótesis. 2. A = − A de 1. T Definición de matriz antisimétrica. 3. B = − B de 1. T Definición de matriz antisimétrica. 4. ( A ⋅ B − B ⋅ A) = ( A ⋅ B + ( − ( B ⋅ A))) . T T Definición de diferencia de matrices. 5. ( A ⋅ B − B ⋅ A)T = ( A ⋅ B + ( −1( B ⋅ A)))T . Propiedad producto de un real por matriz. 6. ( A ⋅ B − B ⋅ A)T = ( A ⋅ B )T + (−1( B ⋅ A))T . Propiedad transpuesta de la suma. 7. ( A ⋅ B − B ⋅ A) = ( A ⋅ B ) + (−1)( B ⋅ A) . T T T Propiedad transpuesta de real por matriz. 8. ( A ⋅ B − B ⋅ A)T = BT ⋅ AT + (−1)( AT ⋅ BT ) . Propiedad transpuesta de un producto. 9. ( A ⋅ B − B ⋅ A)T = ( − B ) ⋅ ( − A) + ( −1)( − A) ⋅ ( − B) . Sustituyendo 2 y 3 en 8. 10. ( A ⋅ B − B ⋅ A)T = ( −1)( −1)( B ⋅ A) + ( −1)( −1)( −1)( A ⋅ B ) . Propiedad producto de un real por un producto matricial. 11. ( A ⋅ B − B ⋅ A)T = ( −1)((−1)( B ⋅ A) + ( −1)( −1)( A ⋅ B )) . Propiedad producto de un real por una matriz. 12. ( A ⋅ B − B ⋅ A)T = −(− B ⋅ A + A ⋅ B) . Propiedad producto de un real por matriz y producto en R . 88 Módulo 5 : La transpuesta de una matriz y sus propiedades 13. ( A ⋅ B − B ⋅ A)T = − ( A ⋅ B + (− B ⋅ A)) . Conmutatividad en la suma de matrices. 14. ( A ⋅ B − B ⋅ A) T = − ( A ⋅ B − B ⋅ A) . Definición de diferencia de matrices. 15. A⋅ B − B ⋅ A es antisimétrica, de 14. Por definición de matriz antisimétrica. Geometría vectorial y analítica 89 Sistemas de ecuaciones lineales 6 Introducción El primer problema objeto de estudio del álgebra lineal, como ya lo mencionamos inicialmente, consiste en la determinación del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. Para resolverlo, apelamos a los instrumentos que nos provee el álgebra matricial, fundamentando dos algoritmos básicos que entraremos a construir. La fotografía con gran angular muestra el interior del Objetivos del módulo módulo de mando de una nave espacial. Todos sus dispositivos están perfectamente identificados y ordenados, con funciones 1. Caracterizar un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (S.E.L.(m,n)) y todos los exactamente definidas e interrelacionadas, todos ellos dirigidos a un propósito común: llevar a buen término una elementos asociados a él desde el álgebra matricial, así: conjunto solución, matriz equiva- misión que arrojará respuestas a problemas planteados. lente de un S.E.L.(m,n). Como una analogía, el primer problema que se plantea el 2. Presentar dos matrices fundamentales en la estructuración de los métodos para la determi- álgebra lineal consiste en la determinación del conjunto nación del conjunto solución: matriz escalonada reducida y matriz escalonada. solución de un sistema de ecuaciones lineales, utilizando 3. Definir las operaciones elementales aplicables a las filas de una matriz, y cómo surgen, para ello algoritmos matriciales precisos que nos garantizan apoyadas en éstas, las matrices equivalentes. el logro de este objetivo. 4. Fundamentar y sistematizar dos algoritmos claves en la determinación del conjunto solu- ción de un S.E.L.(m,n): el algoritmo de Gauss y el de Gauss-Jordan. Preguntas básicas 1. ¿Qué es una matriz de la forma escalonada reducida? 2. ¿Qué es una matriz de la forma escalonada? 3. ¿Qué es un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (S.E.L.(m,n))? 4. ¿Qué es el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales? 5. ¿Qué es una operación elemental entre filas en una matriz? 6. ¿Qué son matrices equivalentes? 7. ¿Cuándo dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes? 8. ¿Cómo se determina la ecuación matricial equivalente de un S.E.L.(m,n)? 9. ¿En qué consiste el algoritmo de reducción de Gauss y Jordan? 10. ¿En qué consiste el algoritmo de Gauss? 11. ¿Cómo se obtiene el conjunto solución de un S.E.L.(m,n) por aplicación de cualquiera de los dos algoritmos? Contenidos del módulo 6.1 Sistemas de ecuaciones lineales 6.1.1 Matriz escalonada reducida 6.1.2 Matriz escalonada 6.1.3 Ecuación lineal en n-variables reales 6.1.4 Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas 6.1.5 Conjunto solución de un S.E.L.(m,n) 6.1.6 Ecuación matricial equivalente de un S.E.L.(m,n) 6.1.7 Sistemas equivalentes 6.1.8 Fundamentación de los algoritmos empleados para determinar el conjunto solución de un S.E.L.(m,n) Vea el módulo 6 del programa de 6.1.9 Matriz aumentada de un S.E.L.(m,n) televisión Geometría vectorial y analítica 6.1.10 Algoritmo de reducción de Gauss-Jordan 6.1.11 Algoritmo de reducción de Gauss Geometría vectorial y analítica 91 Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 6.1 Sistemas de ecuaciones lineales Antes de introducir este tema, revisemos dos matrices que se constituyen en ele- mentos fundamentales de los procesos algorítmicos que apuntan a la determinación del conjunto solución de cualquier sistema de ecuaciones lineales. 6.1.1 Matriz escalonada reducida Una matriz A = ⎡⎣aij ⎤⎦ es de la forma escalonada reducida si y sólo si satisface ( m ,n ) todas las condiciones siguientes. 1. Si presenta filas nulas, entonces éstas deben ir debajo de cualquier fila no nula. 2. La primera componente distinta de cero de una fila no nula (de izquierda a derecha) debe ser el número 1. Esta componente se denomina 1 capital o 1 principal. 3. El número de ceros al comienzo de cada fila (de izquierda a derecha) aumenta o se hace constante (en el caso de filas nulas únicamente) a medida que se desciende en la matriz. 4. Todos los demás elementos de cada columna donde figura un 1 capital de- ben ser iguales a cero. 6.1.2 Matriz escalonada Una matriz A = ⎡⎣aij ⎤⎦ es de la forma escalonada si y sólo si satisface las condi- ( m ,n ) ciones 1, 2 y 3 de la definición anterior. Observación Toda matriz escalonada reducida es escalonada. ¿Qué puede afirmarse de la propo- sición recíproca? Ilustración 14 Determinemos de las matrices siguientes cuáles son escalonadas, cuáles son esca- lonadas reducidas y cuáles no son escalonadas. ⎡0 1 −8 0 1 0⎤ ⎡1 0 0 8⎤ ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎡1 0 7 −5 0 0⎤ 0 0 0 1 0⎥ 0 1 0⎥⎥ ⎢0 0 0 0 1 0⎥ , A=⎢ ,B = ⎢ ,C = ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 0 0 1⎥ ⎢0 1 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0 0 0 1⎥⎦(3,6) ⎣0 0 0 0 0 0⎦(4,6) ⎣0 0 0 0⎦ (4,4) ⎡0 1 0 0 0⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢0 ⎡0 1 0 3 9 0⎤ 0 1 0 0⎥⎥ I 3 = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ , D = ⎢ , E = ⎢⎢0 0 0 0 0 1⎥⎥ , ⎢0 0 0 0 0⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ (3,3) ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0 0 0 0⎥⎦(3,6) ⎣0 0 0 0 1⎦ (4,5) 92 Módulo 6: Sistemas de ecuaciones lineales ⎡1 3 0 0 8⎤ ⎡0 0⎤ F = ⎢⎢0 0 1 0 0⎥⎥ , O(3,2) = ⎢⎢0 0⎥⎥ . ⎢⎣0 0 1 0 3⎥⎦(3,5) ⎢⎣0 0⎥⎦ 3,2 ( ) Solución A es una matriz escalonada; pero no es escalonada reducida puesto que en la columna quinta donde figura un 1 principal, no todos los restantes ele- mentos son iguales a cero. B no es una matriz escalonada porque no cumple la condición 3. C es una matriz escalonada reducida. I 3 es una matriz escalonada reducida. D no es una matriz escalonada porque no cumple la condición 1. E es una matriz escalonada reducida. F no es una matriz escalonada. ¿Por qué? O(3,2) es una matriz escalonada reducida. ¿Por qué? 6.1.3 Ecuación lineal en n -variables reales Es una expresión algebraica de la forma a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, con: ai ∈ , ∀i = 1... n, que se denominan coeficientes (constantes). xi ∈ , ∀i = 1... n, que se denominan variables, incógnitas o indetermina- das. b ∈ , que se denomina término independiente (constante). 6.1.4 Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas Es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas que representamos así: (1) a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ⎫ ⎪ (2) a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 ⎪ ⎪⎪ Si bi = 0, ∀i = 1... m ⎬ (i ) ai1 x1 + ai 2 x2 + ... + ain xn = bi ⎪ decimos que el sistema ⎪ es homogéneo. ⎪ (m)am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm ⎪⎭ Convención En adelante nos referiremos a un sistema de ecuaciones lineales, de m ecuaciones y n incógnitas, con la abreviatura S.E.L.(m,n). Geometría vectorial y analítica 93 Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 6.1.5 Conjunto solución de un S.E.L.(m,n) Es el conjunto de todas las n-tuplas que satisfacen todas y cada una de las m ecuaciones del sistema. Lo designaremos por S. En consecuencia, podemos definir- lo por comprensión así: S = {(c1 , c2 ,..., cn ) / ai1c1 + ai 2 c2 + ... + ain cn = bi , ∀i = 1... m} . 6.1.6 Ecuación matricial equivalente de un S.E.L.(m,n) Dado un S.E.L. (m,n) como el indicado anteriormente, definimos: ⎡ a11 a12 a1n ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1. A = ⎢ ai1 ai 2 ain ⎥ que llamaremos matriz de coeficientes. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣am1 am 2 amn ⎥⎦ ( m,n ) ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ 2. X = ⎢ 2⎥ que llamaremos matriz de variables o indeterminadas. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦( n,1) ⎡ b1 ⎤ ⎢b ⎥ 3. B = ⎢ 2⎥ que llamaremos matriz de términos independientes. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣bm ⎦ ( m,1) 4. La ecuación A ⋅ X = B la llamaremos ecuación matricial equivalente del S.E.L.(m,n). Observación Puede comprobarse que la ecuación matricial mencionada soporta exactamente la misma información presente en el S.E.L.(m,n). Además tiene la ventaja de sistematizar en términos matriciales lo expuesto en el sistema, permitiendo su manejo algebraico en forma óptima, como lo veremos a continuación. Ilustración 15 1. Dado el S.E.L.(3,4), determinemos su ecuación matricial equivalente. ⎡ x1 ⎤ (1) 3x1 − 2 x2 + 5 x4 = 1⎫ ⎡ 3 −2 0 5⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 1 ⎤ Ecuación ⎪ ⎢ 0 1 −2 1⎥ ⋅ ⎢ x2 ⎥ = ⎢−3⎥ matricial (2) x2 − 2 x3 + x4 = −3 ⎬ ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ (3) 2 x1 + x2 + 4 x3 + 3 x4 = 2 ⎪⎭ ⎢⎣ 2 1 4 3⎦⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣⎢ 2 ⎥⎦ equivalente ⎣ x4 ⎦ 94 Módulo 6: Sistemas de ecuaciones lineales 2. Dada la ecuación matricial equivalente, determinemos el S.E.L. Carl Friedrich Gauss ⎡ x⎤ ⎢ y⎥ Cuando Carl Friedrich Gauss tenía diez años de edad y asistía ⎡ 5 −1 2 0 1⎤ ⎢ ⎥ ⎡0⎤ (1) 5 x − y + 2 z + t = 0⎫ a la escuela, uno de sus maestros solicitó a sus alumnos que ⎢ 2 0 1 −2 1⎥ ⋅ ⎢ z ⎥ = ⎢0⎥ ⎬ S.E.L.(2,5) + z − 2v + t = 0⎭ encontraran la suma de todos los números comprendidos ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (2) 2 x entre uno y cien. Con ello quería tenerlos ocupados durante ⎢v⎥ algún tiempo, pero quedó asombrado cuando rápidamente ⎢⎣ t ⎥⎦ Gauss le dio la respuesta correcta. Gauss reveló que encontró la solución usando el álgebra y el maestro se dio cuenta de que el niño era una promesa en las matemáticas. 6.1.7 Sistemas equivalentes Hijo de un humilde albañil, Gauss dio señales de ser un genio antes de que cumpliera los tres años. A esa edad aprendió Dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. a leer y hacer cálculos aritméticos mentales con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Cuando tenía doce años 6.1.8 Fundamentación de los algoritmos empleados para determinar el criticó los fundamentos de la geometría euclidiana. Años después descubrió que era posible construir un polígono conjunto solución de un S.E.L(m,n) regular de diecisiete lados usando sólo la regla y el compás y aportó métodos para construir con estas dos herramientas Dado un S.E.L.(m,n) se trata de encontrar un S.E.L. (m,n) equivalente más sencillo en el figuras de 257 y 65.537 lados. Probó, además, que era cual se pueda determinar fácilmente el conjunto solución. imposible construir con regla y compás un heptágono regular, o figura de siete lados, y que la construcción de un polígono regular con un número de lados impar sólo era posible Para lograr este objetivo se utilizan únicamente las siguientes operaciones que se cuando ese número era un primo de la serie 3, 5, 17, 257 y denominan elementales, y que pasamos a describir. 65.537 o un producto de dos o más de estos números. El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atención del Operación tipo 1: Cambiar de posición entre sí dos ecuaciones. duque de Brunswick, quien dispuso, cuando el joven tenía Notación: Eij : intercambiar de posición las ecuaciones i, j. catorce años, costear tanto su educación secundaria como universitaria. Gauss se graduó en Gotinga en 1798, y al año siguiente recibió su doctorado en la Universidad de Operación tipo 2: Multiplicar ambos miembros de una ecuación por un λ , λ ∈ , Helmstedt. Sin embargo, las matemáticas no fueron el único tema que le interesó: también fue astrónomo, físico, λ ≠ 0. geodesta e inventor. Hablaba con facilidad varios idiomas, Notación: λEi : la ecuación i se multiplica por λ . e inclusive dominó el ruso a la edad de sesenta años. En 1807 fue nombrado director del observatorio y profesor de astronomía en la Universidad de Gotinga. Operación tipo 3: Sumarle a una ecuación un múltiplo escalar de otra ecuación. A principios del siglo XIX, Gauss publicó sus Disquisiciones aritméticas, que ofrecían un análisis lúcido de su teoría de Notación: λ Ei + E j : a la ecuación j le sumamos « λ veces » la números y una exposición de la convergencia de una serie infinita. Estudió la teoría de los errores y dedujo la curva ecuación i (λ ∈ , λ ≠ 0). normal de la probabilidad, llamada también curva de Gauss, que todavía se usa en los cálculos estadísticos. En 1833 inventó un telégrafo eléctrico que usó entre su casa y el observatorio, a una distancia de unos dos kilómetros. Inventó Observación también un magnetómetro bifilar para medir el magnetismo y, con el físico alemán Wilhelm Eduard Weber, proyectó y construyó un observatorio no magnético. Tanto Cuando se efectúan estas operaciones, los que se modifican en última instancia Gauss como su colega alemán Bernhard Riemann, que fue son los coeficientes de las variables; en consecuencia, como en los arreglos discípulo suyo, pensaban en una teoría electromagnética matriciales está considerado el orden, la presencia de las variables queda implícita que sería muy semejante a la ley universal de la gravitación, y sólo se opera sobre éstos. Esta es la razón por la cual entramos ahora a presentar de Newton. Empero, la teoría del electromagnetismo fue ideada más tarde, en 1873, por James Clerk Maxwell, la matriz objeto de trabajo en este proceso de determinación del conjunto solución aunque Gauss ya poseía los cimientos matemáticos para la para un S.E.L (m,n). teoría. En 1840, las investigaciones de Gauss sobre la óptica tuvieron especial importancia debido a sus deducciones relacionadas con los sistemas de lentes. 6.1.9 Matriz aumentada de un S.E.L.(m,n) Gauss falleció en 1855 en Gotinga, a la edad de 78 años (había nacido en Brunswick, en 1777). Se ha dicho que la lápida que señala su tumba fue escrita con un diagrama, Dado un S.E.L. (m,n), de ecuación matricial equivalente A ⋅ X = B, definimos que construyó el mismo Gauss, de un polígono de diecisiete C = [ A B ]( m, n +1) y la denominamos matriz aumentada del sistema. lados. Durante su vida se reconoció que era el matemático Geometría vectorial y analítica 95 Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales En forma extensiva tenemos: más grande de los siglos XVIII y XIX. Su obra en las matemáticas contribuyó sin duda a formar una base para ⎡a11 a12 a1n b1 ⎤ encontrar la solución de problemas complicadísimos de las ⎢ ⎥ ciencias físicas y naturales. ⎢ ⎥ C = ⎢ai1 ai 2 ain bi ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣am1 am 2 amn bm ⎥⎦ 6.1.10 Algoritmo de reducción de Gauss-Jordan Consiste en reducir la matriz aumentada del sistema a una matriz de la forma escalo- nada reducida, mediante la aplicación únicamente de operaciones elementales. En esta forma el conjunto solución es inmediatamente determinable. 6.1.11 Algoritmo de reducción de Gauss Consiste en reducir la matriz aumentada del sistema a una matriz de la forma escalo- nada, mediante la aplicación únicamente de operaciones elementales, resolver para la última incógnita y luego, por sustitución hacia atrás, resolver las demás incógni- tas. Ilustración 16 Resolvamos los siguientes sistemas utilizando el método de reducción de Gauss- Jordan. a. (1) 3x − 2 y + z − 2v = 1. (2) x − 2 z + v = 0. Procedimiento 1. Determinamos la matriz aumentada del sistema y aplicamos ordenadamente la secuencia de operaciones elementales requerida, para transformarla en una matriz escalonada reducida. ⎡3 −2 1 −2 1 ⎤ ⎯⎯⎯ E12 → ⎡ 1 0 −2 1 0 ⎤ −3 E1 + E2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎣1 0 −2 1 0⎦ ⎣3 −2 1 −2 1⎦ ⎡1 0 −2 1 0⎤ − 2 E2 ⎡(1) 0 − 2 0⎤ 1 1 ⎢ 0 −2 7 −5 1⎥ ⎯⎯⎯ →⎢ − 1 2 ⎥⎦ . ⎣ ⎦ ⎣ 0 (1) − 2 7 5 2 El proceso de reducción ha culminado porque la matriz obtenida es de la forma escalonada reducida. 2. Pasamos ahora a determinar el sistema equivalente reducido. Para ello plan- teamos la ecuación matricial equivalente asociada a la matriz escalonada re- ducida, que designamos por A′ ⋅ X = B′, donde A′ y B ′ representan las trans- formaciones finales inducidas en A y B, respectivamente. 96 z. Para z = v = 0. v ) = ⎜ 2 z − v. 0). (1) 2 x − 4 y + 2z =1. (2) y + 2 z = 4. (3) 3x − 6 y + z = 0. b. 2. v ∈ (3) z = z ⎪ ⎪ (4) v = v ⎪⎭ 4. z . z. Veamos algunas soluciones particulares. ⎩ ⎝ 2 2 2 ⎠ ⎭ Lo anterior nos indica que el conjunto S tiene infinitas soluciones. y. Las variables que no están asociadas a unos principales se igualan por identidad a sí mismas y se constituyen en los parámetros del sistema. Procedemos ahora a despejar en cada ecuación únicamente la variable que tiene como coeficiente un 1 principal. z . que se generan cada vez que a los parámetros z y v se les asigna un par de valores en el conjunto . 13 / 2. 1). v ) / ( x. se tiene la solución (1. v ∈ ⎬ . − + z − v. se tiene la solución (4. como lo explicaremos más adelante. Presentemos finalmente el conjunto solución del sistema: ⎧ ⎛ 1 7 5 ⎞ ⎫ S = ⎨( x. (1) x = 2z − v ⎫ 1 7 5 ⎪ (2) y = − + z − v ⎪⎪ 2 2 2 ⎬ z. Módulo 6: Sistemas de ecuaciones lineales ⎡x⎤ ⎡ (1) 0 −2 1 ⎤ ⎢⎢ y ⎥⎥ ⎡ 0 ⎤ ⎢ 0 (1) − 7 =⎢ 5 ⎥⎢z⎥ ⎥ ⎣ 2 2⎦ ⎣− 12 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣v ⎦ y el sistema equivalente reducido asociado es: (1) 1x − 2z + v = 0 ⎫ ⎪ 7 5 1⎬ (2) 1y − z + v = − ⎪ 2 2 2⎭ 3. Para z = v = 1. y . 1. 0. Para z = 2 y v = 0. 1/ 2. 0). Procedimiento Escuche más sobre la vida de Carl Friedrich Gauss en su multimedia de Geometría vectorial y ⎡2 −4 2 1⎤ ⎡ 1 −2 1 1 2 ⎤ analítica. se tiene la solución (0. v ⎟ . − 1/ 2. ⎢ ⎥ ⎢ 1 − E3 4 ⎥⎥ ⎯⎯⎯ 1 E ⎢0 1 2 4 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢0 1 2 1 2 2 → ⎢3 − 3 E + E −6 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 −2 − 3 2 ⎥⎦ 1 3 ⎣ 1 Geometría vectorial y analítica 97 . Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales ⎡ (1) −2 1 1 2⎤ ⎢ 0 (1) 2 4 ⎥⎥ * ⎢ ⎢⎣ 0 0 (1) 3 ⎥ 4⎦ ∗ Observemos que la matriz que se tiene por la aplicación del proceso es una matriz de la forma escalonada. ⎟⎬ . ⎩⎝ 4 2 4 ⎠⎭ Esto significa que el sistema tiene solución única. Volvamos a la última matriz y continuemos la reducción para aplicar el método de Gauss-Jordan. termina el proceso de reducción y pasamos al sistema equivalente reducido. 2 2 4 4 ⎧⎛ 19 5 3 ⎞⎫ Como consecuencia. ⎢ 0 0 (1) 3 ⎥ ⎣ 4 ⎦ Como la matriz obtenida es de la forma escalonada reducida. 2 2 1 1 3 19 (3)' 1x = + 2y − z = + 5 − = . S = ⎨⎜ . condición suficiente para terminar el proceso de reducción y proceder por el método de Gauss. ⎡ 1 −2 1 1 ⎤ 2 ⎡1 0 5 17 ⎤ 2 ⎢0 1 2 −5E3 + E1 ⎢ 4 ⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢⎢0 1 2 ⎥ 2 E2 + E1 4 ⎥⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯→ −2 E3 + E2 ⎣⎢ 0 0 1 3 ⎥ ⎣⎢0 0 1 3 ⎥ 4⎦ 4⎦ ⎡ (1) 0 0 19 ⎤ 4 ⎢ ⎥ ⎢ 0 (1) 0 5 2 ⎥. 98 . . 4 3 5 (2)' 1y = 4 − 2z = 4 − = . 3 (1)' 1z = en (3). despejando en (1) y sustituyendo de (1)' y ( 2) '. despejando en (2) y sustituyendo de (1)'. Ilustraremos este método aquí: Sistema equivalente reducido: 1⎫ (1) 1x − 2 y + z = 2⎪ ⎪ (2) 1y + 2 z = 4 ⎬ 3⎪ (3) 1z = ⎪ 4⎭ Despejemos ahora a partir de la última variable asociada a un 1 principal y continua- mos por sustitución despejando las otras variables asociadas a los «unos principa- les». lo que nos muestra que el sistema no tiene solución y. el procedimiento puede y debe terminarse allí porque necesariamente el sistema no tiene solución. puesto que el resultado es el mismo. c. el método de reducción de Gauss-Jordan requiere un mayor número de operaciones elementales. con excepción del último. 4 ⎧ 19 5 3 ⎫ = . Módulo 6: Sistemas de ecuaciones lineales 19 (1) 1x = . en consecuencia. S = ∅ . ⎟⎞ ⎬ . procedi- miento que en muchas ocasiones puede causar dificultades para la determinación del conjunto solución. Procedimiento ⎡ 1 −2 3 0⎤ ⎡1 −2 3 0⎤ ⎢ ⎥ −3E1 + E2 ⎢ ⎥ ⎢ 3 1 −1 3 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢0 7 −10 3 ⎥∗ ⎢−4 4E1 + E3 ⎢ ⎣ 8 −12 1 ⎥⎦ ⎣0 0 0 1 ⎥⎦ ∗ Aunque la matriz obtenida no es escalonada. Geometría vectorial y analítica 99 . (1) x − 2 y + 3z = 0. 4 Observación Como se desprende en forma inmediata del proceso. pero tiene la ventaja de que no se requiere posteriormente la sustitución hacia atrás. (2) 3x + y − z = 3. puesto que independientemente de las operaciones restan- tes. Observación Si en un paso cualquiera del proceso de reducción se llega a obtener una fila donde todos los elementos son iguales a cero. (3) − 4 x + 8 y − 12 z = 1. esto es: 0 = 1 →←. que lleva a una contradicción. podemos suspender el proceso de reducción en este caso. 5 (2) 1y 2 ⎩⎝ 4 2 4 ⎠ ⎭ 3 (3) 1z = . Pero queda a discreción del lector aplicar uno cualquiera de los dos. al recuperar el sistema equivalente reducido la última ecuación en éste es: 0 x + 0 y + 0z = 1 . lo que nos conduce de nuevo a S = ⎨⎜⎛ . . sacerdote que trabajaba en Luxemburgo. introduciendo Además. Caracterizar un sistema inconsistente y un sistema consistente.E. Wilhelm Jordan coeficientes variables a fin de condicionar los resultados.n) 7 Introducción Fundamentados los algoritmos de reducción. Matemático alemán nacido en 1842 y fallecido en 1899. para hacer una lectura exacta de éstos y caracterizar los tipos de solución que pueden presentarse.E. ¿Cuándo un sistema es inconsistente? ¿Cuándo un sistema es consistente? 5. ¿Qué es un sistema equivalente reducido? 2.1 Anotaciones en torno a la interpretación de resultados obtenidos por la aplicación del algoritmo de Gauss-Jordan 7. Tipos de solución de un S. Handbuch der vermessungskunde (manual Gauss-Jordan. En un problema particular. aplicación el planteamiento y la solución de sistemas de ecuaciones lineales.2 Problemas aplicados Vea el módulo 7 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 101 .L. Participó en la medición de varias 1. I.L.E.L. por B. Jordan fue un prolífico autor cuya obra principal. con situaciones reales o muy próximas a la realidad. Mostrar modelos. ¿Qué es una variable principal y qué es un parámetro? 4. de manera independiente y en la misma época. parece que dicho método fue descubierto también. nuestro trabajo se centra ahora en la interpreta- ción de los resultados que ellos nos muestran. ¿Qué es el rango fila de una matriz escalonada reducida? 3. de geodesia). a partir de la teoría. Analizar.1. En un modelo particular. ¿cómo se obtiene el conjunto solución del problema? 7. como también identificar los términos que inciden en los tipos de solución e introducir.1.n) 7.(m. los resultados arrojados por el método de reducción de regiones de Alemania. que tienen como Jordan ha sido atribuido a Camille Jordan (1838-1922). ¿Qué tipos de solución puede presentar un S.(m. Asistió a la Universidad en Stuttgart y en 1868 se convirtió Objetivos del módulo en profesor de tiempo completo de geodesia en la Escuela Técnica de Karlsruhe. fue traducida al francés. Por desgracia.L.(m. el conocido método de reducción de Gauss- 4. 3.n) 7. 2. en determinados problemas.n)? ¿De quién depende finalmente el tipo de solución? 6. Observar en los sistemas consistentes cómo los tipos de solución están en función del Fue considerado un magnífico autor y un excelente maestro. orientaciones metodológicas precisas para su tratamiento. Preguntas básicas 1.1 Tipos de solución que puede presentar un S.E. Clasen. número de variables y del rango fila de la matriz escalonada reducida. al italiano y al ruso.2 Tipos de solución que puede presentar un S. ¿el conjunto de soluciones del problema es igual siempre al conjunto de soluciones del sistema? Contenidos del módulo 7.(m. n) 7. Si γ < n . Las restantes m − γ filas son nulas. se tiene: 1.L.n) consistente. S = ∅ .L. Si γ = n. Teorema 5 Un S. En caso contrario el sistema es consistente y S ≠ ∅ . esto es.2 Tipos de solución que puede presentar un S. Asociado a cada uno principal.E. luego el número de variables principales es igual a γ y. γ el rango de fila de E. 3.(m. γ ≤ n (¿por qué?). 2.n) Las proposiciones siguientes nos permiten precisar totalmente los tipos de solu- ción que pueden darse en los sistemas de ecuaciones lineales y cuáles son exacta- mente las condiciones que los determinan.n) es inconsistente si la matriz E asociada tiene al menos una fila en la cual todos los elementos son iguales a cero. el sistema tiene solución única. salvo el último. 102 . 2.(m. sean: C = ⎡ A B ⎤ la matriz aumentada.L.1 Tipos de solución que puede presentar un S. en consecuencia. el sistema tiene infinitas soluciones. 5. Este valor lo llamaremos rango fila de A´ y. expresadas en función de n − γ parámetros. Las restantes n − γ variables se denominan parámetros. hay una variable que llamaremos variable principal.1 Anotaciones en torno a la interpretación de resultados obtenidos por la aplicación del algoritmo de Gauss-Jordan Dado un S.E. ⎣ ⎦ La matriz A ' tiene: 1.n). en consecuencia. ⎣ ⎦ E = ⎡ A ' B '⎤ la matriz escalonada reducida obtenida a partir de C.E.(m. en consecuencia. Cada variable principal aparece sólo una vez en el sistema equivalente reducido (¿por qué?). Teorema 6 Dado un S. 7.(m.Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 7.L.L. 1 ≤ γ ≤ m . γ filas no nulas (γ ≥ 1).(m.E. 4.1.1. 0 = bi ∧ bi ≠ 0 →← y.E. 3. n) 3. entonces γ < n.E. Corolarios 1. 3. porque como γ ≤ m ∧ m < n. La matriz equivalente reducida es: ⎡(1) 0 −2 3 0 −24 ⎤ ⎢ ⎥ E = ⎢ 0 (1) −2 2 0 −7 ⎥ ⎢0 0 (verifique el proceso de reducción) ⎣ 0 0 (1) 4 ⎥⎦ (3. m = 3 y n = 5. Módulo 7: Tipos de solución de un S. (Demuéstrelo). 2. y.n) tiene solución única si y sólo si A' = I ( n . Todo sistema homogéneo en el cual n > m.5) (1) 3 y − 6 z + 6v + 4t = − 5. Geometría vectorial y analítica 103 . tiene infinitas soluciones. El conjunto solución del S. Si m < n.L.E. Teorema 7 Un S.(3.L.E. 5. Ilustración 17 Dado el S. m y n en el sistema inicial. γ = 3. (3) − 3x + 9 y − 12 z + 9v − 6t = −15. 6.E. Un sistema es inconsistente si el rango fila de A´ es menor que el rango de fila de E.(m. 2.L.L. El sistema equivalente reducido. t. Todo sistema homogéneo es consistente.6) Determinemos: 1. 3. Parámetros: z. Solución 1. 2.(m. v. Las variables principales y los parámetros. (2) 3x − 7 y + 8z − 5v + 8t = 9. n ) . Tres soluciones particulares. el sistema tiene infinitas soluciones. 4. Variables principales: x. γ : rango fila de E. Demuestre cada corolario. se tiene la solución (–24.2 Problemas aplicados Modelo 1: Un problema de planeación académica Una institución universitaria ofrece cursos compartidos a los estudiantes del primer nivel de tres programas diferentes. 0. Veamos algunas soluciones particulares. 6. 0. Geometría y Álgebra. t ) / ( x. 5. con base en un estudio previo de la capacidad de aulas. se tiene la solución (–32. se tiene la solución (–27. v ∈ }. Para z = 0 y v = 1. Sistema equivalente reducido. Tabla 7. tenemos: (1) x = − 24 + 2 z − 3v ⎫ (2) y = − 7 + 2 z − 2v ⎪⎪ ⎪ (3) z= z ⎬ z. Despejando ordenadamente las variables principales y destacando los parámetros. Los cupos de cada curso para los estudiantes de los tres programas se indican en el cuadro siguiente (tabla 7. t ) = (−24 + 2 z − 3v. 0. v ∈ (4) v= v⎪ ⎪ (5) t=4 ⎪⎭ Podemos presentar formalmente el conjunto solución así: S = {( x. v. –12. y . 3. z . 4). Conjunto solución. (1) 1x − 2 z + 3v = −24.1). –7. − 7 + 2 z − 2v.1 Cursos Programas Computadores Álgebra Geometría Programa 1 20 20 10 Programa 2 0 10 10 Programa 3 10 30 25 La universidad ha programado admitir para el próximo semestre el siguiente número de estudiantes en estos programas: 104 . z. 1/2. (3) 1t = 4. 1. Para z = v = 0. Para z = 1/2 y v = 3.Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 4. v. –9. z . (2) 1 y − 2 z + 2v = − 7. y. en las asignaturas: Computadores. 7. 4). v. 4). 4). z . Si la universidad tiene disponibles en ese horario solamente 3 salas de cómputo y 7 aulas con capacidad para 60 estudiantes. por el lector. de las relaciones que se establecen entre ellos. 3.(m. y determinación del conjunto solución del sistema Este paso requiere el análisis de toda la información aportada por el problema. Si se quiere tener el menor número posible de aulas programadas. m. y proceder en consecuencia a modelar el problema y apli- car los algoritmos necesarios para obtener las soluciones demandadas. así mismo. Si se atiende a un criterio adicional en el sentido de programar el menor número posible de grupos. Programa 2: 80 estudiantes. Planteamiento del S. si se quiere atender a toda la población simultáneamente (en un horario de 8 a 10 a. i = 1. Programa 3: 270 estudiantes. constituyéndose en las variables.L. Con la información anterior. proponemos una secuencia de acciones que facilitan la organiza- ción de la información y el planteamiento de los sistemas que se generan. n) Programa 1: 220 estudiantes. obviamente dentro de las condiciones anteriores. responda las siguientes preguntas: 1. Si la universidad tiene disponible en ese horario 7 salas de cómputo. ¿cuál es la mejor solución? 5. como su solución. Por estas razones. ¿Cuántos grupos de cada curso se requieren programar. en el primer numeral se pregunta por el número de grupos de cada curso. del significado de cada uno de los términos expuestos. Paso 2. para poder traducir correctamente. siendo: x1 = número de grupos de Computadores. de las Geometría vectorial y analítica 105 . x2 = número de grupos de Álgebra. En el problema que estamos analizando.E. pero que se programen simultáneamente los tres cursos.) y cada grupo debe quedar completo? 2. Paso 1. ¿cuál es la mejor solución? 3. así: Designamos por xi el número de grupos de cada curso que se requieren programar. ¿cuál es la mejor solución? Solución Este tipo de problema exige una comprensión total. ¿cuál es la mejor solución? 4. 4 aulas de 60 estudiantes y 5 aulas de 45 estudiantes. x3 = número de grupos de Geometría. 2. en las expresiones matemáticas adecuadas.L.E. Módulo 7: Tipos de solución de un S. Identificación y designación de las variables del problema Usualmente las variables se identifican porque el problema hace una demanda explícita sobre las cantidades de un objeto específico que se quiere determinar. unos y otras. las ecuaciones que vamos a plantear se originan en las condiciones establecidas de atender a toda la población simultáneamente y que cada grupo debe quedar completo. 1 ⎫ (1) x1 = 3 + x3 2 ⎪ ⎪ (2) x2 = 8 − x3 ⎬ x3 ∈ (3) x3 = x3 ⎪ ⎪ ⎭ ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎫ En consecuencia. 8 − x3 . 1E ⎢ ⎥ 20 1 10 2 1 → E ⎢⎣10 30 25 270⎥⎦ 10 3 ⎢⎣1 3 5 2 27 ⎥ ⎦ ⎡1 1 1 11⎤ 2 ⎡1 0 − 1 2 3⎤ ⎢0 1 − + 1 8 ⎥⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢0 1 1 8 ⎥⎥ . negativo). 5 grupos de Geometría y. ⎡ 20 20 10 220⎤ 1 ⎡1 1 1 11 ⎤ 2 ⎢ 0 10 10 80 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − E1 + E3 → ⎢⎢0 1 1 8 ⎥⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ E. (1) 20 x1 + 20 x2 + 10 x3 = 220.L(3. por caso.Capítulo 2: Algebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales cantidades que intervienen. Determinación del conjunto solución del problema Para el lector desprevenido este paso podría parecer irrelevante. E 2 E1 ⎢ −2 E2 + E3 ⎢ ⎢⎣ 0 2 2 16⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0⎥⎦ Sistema equivalente reducido 1 (1) x1 − x3 = 3. puesto que. (2) 10 x2 + 10 x3 = 80. de las condiciones fijadas. lleva implícita unas restricciones. Procedemos a la determinación del conjunto solución del S.3). En nuestro caso. es la lectura correcta lo que nos permite hacer una traducción exacta del lenguaje ordinario al modelo matemático adecuado. S = ⎨( x1 . ⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎭ lo que nos indica que el sistema tiene infinitas soluciones. Debemos entonces analizar la naturaleza particular de las variables.E. x2 . Pero una rápida observación al conjunto determinado nos obliga a preguntarnos si tiene sentido para el problema tener. Paso 3. por designar el número de grupos. como son que únicamente pueden tomar valores enteros no negativos. x3 ⎟ x3 ∈ ⎬ . identificadas las variables como lo hicimos en el paso anterior. que para nues- tro caso. irracional. x3 ) = ⎜ 3 + x3 . 2 (2) x2 + x3 = 8. dado que ya se obtuvo el conjunto solución del sistema planteado. x2 . en forma análoga. x3 ) / ( x1 . La respuesta es que esto no es posible. positivo. cualquier número real (racional. Haciendo explíci- 106 . (3) 10 x1 + 30 x2 + 25 x3 = 270. (6. 0.E. n) tas dichas restricciones. Pastar +200 2. esto es. (4. debemos acotar aún más este intervalo y restringirlo a los números pares (¿por qué?). 3 + x3 ≥ 0 ∴ x3 ≥ −6. 2). esto es.2. y descansar. x3 ⎞⎟ y 0 ≤ x3 ≤ 8 ∧ x3 par ⎬ . De (3) x3 ≥ 0. esto es. Tabla 7. La adquisición y el gasto de calorías en cada actividad se indican en la tabla 7. ¿Por qué? Para el numeral 5. 2 De (2) x2 ≥ 0 . x3 ) = ⎛⎜ 3 + x3 .2 Energía Actividad Calorías hora 1. (7. Módulo 7: Tipos de solución de un S. ¿Por qué? Para el numeral 3. 8. (5.L. 6). ¿Por qué? Modelo 2: Un modelo de programación o distribución de actividades en el tiempo Las actividades de un rumiante pueden clasificarse así: pastar. Sin embargo. Restricciones de las variables: xi ∈ + ∪{0} . la mejor solución es (4. 8)} es el conjunto de so- luciones del problema. así: Para el numeral 2. 0). lo que nos permite determinar el conjunto solución del problema. Volvamos al conjunto solución del sistema y fijemos las restricciones. 8. ⎧ ⎫ Así. la mejor solución es (3. A partir del conjunto solución del problema podemos determinar las soluciones específicas. 8 − x3 . 4. 4). Si se quiere que el número de calorías adquiridas sea igual al número de calo- rías gastadas. moverse en busca de nuevos pastos o para huir de los depredadores. 2). Moverse –150 3. xi ≥ 0 ∧ xi ∈ . La intersección de estas tres desigualdades nos muestra que 0 ≤ x3 ≤ 8 y x3 ∈ . ¿cómo debe dividirse el día en las tres actividades? Geometría vectorial y analítica 107 . Descansar –50 1. 2. 4. 6. x2 . S' = ⎨( x1 . la mejor solución es (5. 8 − x3 ≥ 0 ∴ x3 ≤ 8. 0). x3 ) / ( x1 . 1 De (1) x1 ≥ 0. bajo los criterios adicionales. no hay solución.(m. 6. x2 . 1 ⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎭ luego S' = {(3. ¿Por qué? Para el numeral 4. podemos encontrar el intervalo de variación del parámetro. 4). ⎡200 −150 −50 0 ⎤ E12 ⎡1 1 1 24 ⎤ − 350 1 E2 ⎢ 1 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯ → ⎣ 1 1 24⎦ −200E1 + E2 ⎣0 −350 −250 −4800⎦ ⎡1 1 1 24 ⎤ − E2 + E1 ⎡1 0 2 572 ⎤ ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ 7 7 ⎢0 1 5 ⎥ ⎣ 7⎦ ⎣0 1 7⎦ 96 5 96 7 7 Sistema equivalente reducido 2 72 (1) x1 + x3 = . ¿Cómo de- be dividirse el día en las tres actividades bajo esta condición? Solución Paso 1. 3. b. 7 7 5 96 (2) x2 + x3 = . Identificación de las variables del problema Designamos por xi el tiempo invertido en cada actividad. x3 = tiempo invertido en la actividad de descansar.(2. (1) 200 x1 − 150 x2 − 50 x3 = 0 ⎫ ⎬ S . Suponga que el rumiante debe descansar al menos 6 horas al día. x2 = tiempo invertido en la actividad de moverse.3) (2) x1 + x2 + x3 = 24 ⎭ Procedamos a determinar el conjunto solución del S. 2. siendo x1 = tiempo invertido en la actividad de pastar.L.E. La condición de que el número de calorías obtenidas en la única actividad que lo permite (pastar).Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 2.3).E. La duración de un día completo (24 horas).(2. debe ser igual al número de calorías gastadas en las actividades que así lo demandan (moverse y descansar). i = 1.L. y determinación del conjunto solución del sistema Podemos formular dos ecuaciones que surgen de considerar dos aspectos: a. 7 7 72 2 ⎫ (1) x1 = − x3 ⎪ 7 7 ⎪ 96 5 ⎪ (2) x2 = − x3 ⎬ x3 ∈ 7 7 ⎪ (3) x3 = x3 ⎪ ⎪ ⎭ 108 .L.E. Paso 2. Planteamiento del S. Introduciendo estas restricciones en el conjunto solución del sistema. debe dedicar 8 horas a pastar y 8 horas a moverse. 8) es una solución particular del problema que nos muestra que si el rumiante dedica 8 horas al descanso. esto es. x3 ⎟ x3 ∈ ⎬ . excepto los valores negativos. En cada cruce hay instalado un sistema de semáforos electrónico y computarizado. Geometría vectorial y analítica 109 . − x3 . podemos determinar los valores correspondientes a x1 y a x2 y obtener así una nueva solución. x2 . x3 ) = ⎜ − x3 . Módulo 7: Tipos de solución de un S. 7 7 5 De (3) x3 ≥ 0. en la realidad. tenemos xi ∈ + ∪ {0} . En forma similar. Los valores indican el promedio de vehículos sobre los cruces respectivos en una hora pico. S = ⎨( x1 . y así: 72 2 De (1) x1 ≥ 0. x3 ) / ( x1 . La intersección de los tres intervalos nos permite concluir que 96 0 ≤ x3 ≤ y x3 ∈ . 8. en este caso el tiempo. esto es. nos indica que éstas pueden tomar valores continuos en el conjunto de los números reales. Determinación del conjunto solución del problema La naturaleza de las variables. si x3 = 8 horas. Paso 3. 7 7 96 5 96 De (2) x2 ≥ 0. x1 = x2 = 8 horas. x2 . x3 ≥ 0. x2 . ⎥ ⎬ . puesto que el flujo puede variar notablemente. Modelo 3: Un problema de flujo de tráfico La figura 7. puesto que no tienen ningún sentido. tiempos negativos. Luego el conjunto solución S ' es: ⎧ ⎛ 72 2 96 5 ⎞ ⎡ 96 ⎤ ⎫ S ′ = ⎨( x1 .E. 5 Esto significa que el problema tiene también infinitas soluciones. − x3 . (8. n) ⎧ ⎛ 72 2 96 5 ⎞ ⎫ En consecuencia. x3 ) / ( x1 . si le asignamos un valor particular a la variable x3 dentro del rango establecido. ¿Cómo puede dividirse el día en las tres actividades? Se propone al lector la determinación del conjunto solución para el nuevo problema propuesto. que puede programarse con el fin de au- mentar o disminuir el flujo vehicular en un momento determinado. ⎩ ⎝ 7 7 7 7 ⎠ ⎣ 5 ⎦⎭ En particular. pero restringidas al intervalo de variación del parámetro x3 . − x3 ≥ 0 ∴ x3 ≤ 36.(m. − x3 ≥ 0 ∴ x3 ≤ . Las variables representan el flujo de tráfico entre dos cruces.1 muestra el flujo de tráfico vehicular sobre una glorieta y sus accesos. x2 .L. x3 ⎟ y x3 ∈ ⎢0. Suponga que el rumiante debe descansar al menos 6 horas al día. x3 ) = ⎜ − x3 . ⎩ ⎝7 7 7 7 ⎠ ⎭ lo que nos indica que el sistema tiene infinitas soluciones. esto es. tenemos: Cruce A. Figura 7. lo que obliga a hacer mínimo el flujo de tráfico entre estos cruces. Planteamiento del S. x3 + x5 = 330 + x4 . x2 = número de vehículos que circulan entre B y C. teniendo en cuenta que el número de vehículos que ingresan al cruce es igual al número de vehículos que salen del mismo.E. Cruce C. y determinación del conjunto solución del sistema Las características específicas del problema y la naturaleza de las variables nos conducen a plantear en cada cruce una ecuación. x4 = número de vehículos que circulan entre D y A.1 Se requiere adelantar una reparación parcial sobre la vía de la glorieta entre los cruces A y B. x2 + 250 = x3 + 120. Paso 2.Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Vea la animación Diagramas de flujo de tráfico en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Cruce D. Cruce B. x5 = número de vehículos que circulan entre B y D. x1 + 100 = x2 + x5 . de tal forma que el sistema vial continúe en funcionamiento evitando un «infarto vial»? ¿Cuál es el estado real del sistema en cada cruce bajo la condición anterior? Paso 1. ¿Cuál es el valor mínimo de vehículos que pueden transitar entre A y B. x4 + 300 = 200 + x1. x3 = número de vehículos que circulan entre C y D. Identificación y designación de las variables del problema x1 = número de vehículos que circulan entre A y B. 110 .L. En consecuencia. E. (4) x4 = x4 ⎪ ⎪ (5) x5 = x5 ⎪⎭ lo que nos muestra que el sistema tiene infinitas soluciones que se expresan en términos de los parámetros x4 y x5 . ⎢0 0 −1 1 −1 −330⎥ − E3 ⎢ 0 0 (1) −1 1 330 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 1 −1 1 330 ⎦ ⎣0 0 0 0 0 0 ⎦ Sistema equivalente reducido (1) x1 − x4 = 100 ⎫ ⎪ (2) x2 − x4 + x5 = 200⎬ (3) x3 − x4 + x5 = 330 ⎪⎭ Despejando las variables principales y estableciendo los parámetros. o también xi ≥ 0 y xi ∈ .(4. Geometría vectorial y analítica 111 .5).L. n) Organizando las ecuaciones. (4) x3 − x4 + x5 = 330. Paso 3. Determinación del conjunto solución del problema La naturaleza de las variables.E. x5 ∈ (parámetros). (2) x1 − x2 − x5 = −100. en este caso el número de vehículos que circulan entre dos cruces. Así. tenemos: (1) x1 = 100 + x4 ⎫ (2) x2 = 200 + x4 − x5 ⎪⎪ ⎪ (3) x3 = 330 + x4 − x5 ⎬ x4 .L. generamos el S. xi ∈ + ∪ {0} . Apliquemos el método de reducción de Gauss-Jordan: ⎡1 0 0 −1 0 100 ⎤ ⎡1 0 0 −1 0 100 ⎤ ⎢1 −1 0 0 −1 −100⎥⎥ −E1 + E2 ⎢⎢0 −1 0 1 −1 −200⎥⎥ 1E2 + E3 ⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎢0 1 −1 0 0 −130⎥ ⎢0 1 −1 0 0 −130⎥ −E2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 1 −1 1 330 ⎦ ⎣0 0 1 −1 1 330 ⎦ ⎡1 0 0 100 ⎤ −1 0⎡(1) 0 0 −1 0 100 ⎤ ⎢0 1 0 200 ⎥ 1E3 + E4 ⎢⎢ 0 (1) 0 −1 1 200⎥⎥ ⎥−1 1 ⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯ → .(m. nos indica que éstas sólo pueden tomar valores discretos en el conjunto de los enteros no negativos. (3) x2 − x3 = −130. Módulo 7: Tipos de solución de un S. (1) x1 − x4 = 100. 330 − x5 . ¿Por qué no es correcta? Sustituyamos en la ecuación (x1 = 100 + x4) y se obtiene 0 = 100 + x4 . x3 . Tenemos que el conjunto solución S ′ al problema planteado corresponde a: S ′ = {( x1 . x2 . el valor mínimo de vehícu- los que pueden circular es 100. pero este valor no puede estar en el conjunto solución (¿por qué?). 0 ≤ x5 ≤ 200 y x5 ∈Z. x3 . luego x5 ≤ 200. En esta forma el estado final del sistema. Ello se logra programando los tiempos de los semá- foros o con personal de control que actúe directamente sobre el cruce. en la situación analizada. manteniendo las condiciones que garanticen el funcionamiento del sistema.Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Pero analicemos ahora qué nos demanda el problema en cuanto a su solución. desde las intuiciones previas. x5 ). en las condiciones anotadas. 0 ≤ x5 ≤ 200 ∧ x5 ∈ }. x5 ) /( x1 . De la ecuación (3) x3 ≥ 0 ∴ 330 − x5 ≥ 0. Se nos pide determinar el flujo mínimo de vehículos entre A y B. Por tanto. luego x4 = −100. puesto que no es posible cerrar el tráfico entre A y B. Si queremos minimizar la variable x1. entonces ello es posible cuando x4 = 0 (¿por qué?). no se contem- pla. Pero la conclusión menos esperada corresponde a la necesidad de suspender el tránsito de vehículos entre los cruces D y A. x4 . De la ecuación (5) x5 ≥ 0. es: 112 . Una respuesta inmediata podría llevar al lector a considerar como solución x1 = 0 . determinemos las restricciones para el parámetro x5 y los rangos de variación de las variables restantes. De la ecuación (2) x2 ≥ 0 ∴ 200 − x5 ≥ 0. 0. (1) x1 = 100 ⎫ (2) x2 = 200 − x5 ⎪⎪ ⎪ (3) x3 = 330 − x5 ⎬ (4) x4 = 0 ⎪ ⎪ (5) x5 = x5 ⎪⎭ Las soluciones nos muestran algo que. x2 . x4 pasa a ser constante y en esta nueva condición podemos revisar de nuevo el sistema para determinar su comportamiento ante esta situación. pero garantizando el funcionamiento del sistema. 200 − x5 . En esta forma. x4 . Para tener una visión completa del estado del sistema. luego x5 ≤ 330. x5 ) = (100. Ello nos obliga a analizar con más detalle la respuesta al problema planteado. (2) 0 ≤ x2 ≤ 200. Módulo 7: Tipos de solución de un S.(m. Con ello queremos motivar la investi- gación sobre las herramientas matemáticas y computacionales que demandan los diseños de estos programas. n) (1) x1 = 100.L. (5) 0 ≤ x5 ≤ 200. (3) 130 ≤ x3 ≤ 330. Las soluciones determinadas les permiten a los controladores del sistema adoptar las decisiones necesarias para garantizar el funcionamiento pleno del tráfico vehicular. (4) x4 = 0. Geometría vectorial y analítica 113 . como el propuesto en la ilustración. si un solo nodo. El lector puede comprender la complejidad que conlleva un programa que soporta una malla vial en la ciudad. nos demanda un análisis sencillo pero detallado.E. su relación con los S. 3. Éstos.2 Matrices equivalentes 8. ¿Qué son matrices equivalentes? 3.E.1.1 Matrices invertibles o no singulares 8. ¿Cuáles son las propiedades principales de la inversa multiplicativa? Contenidos del módulo 8. como son la matriz elemental y las matrices equiva- lentes. ¿Qué es una matriz elemental? 2. 1. Preguntas básicas 1.L. Analizar las propiedades de la matriz inversa. A partir de la definición.n) y la fundamentación en el algoritmo de Gauss. en Charlottenburg en 1917. ¿Cómo se determina la ecuación matricial asociada a un proceso de reducción mediante operaciones elementales? 4. Analizaremos además las propiedades que Ferdinand Georg Frobenius nació en Berlín en 1849 y murió caracterizan a esta matriz.1 Matriz elemental de orden n × n 8. hacen posible un tránsito entre el proceso algorítmico de reducción y su expresión mediante una ecuación matricial. Abordar el problema de la existencia de la inversa multiplicativa de una matriz cuadrada. estableceremos diferentes criterios de existencia para esta matriz. a su vez. sus trabajos versaron sobre la teoría algebraica de los grupos finitos y sobre la sistematización Objetivos del módulo del álgebra a la luz de la axiomática y la lógica matemática.3 Matriz invertible o no singular Vea el módulo 8 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 123 . Estudiar los conceptos previos que permitirán consolidar un algoritmo para determinar la inversa multiplicativa de una matriz. Matemático y profesor en la Universidad de Berlín.1. como también la estructura algebraica que conforma. ¿Cuál es el papel funcional de la inversa y su relación simbólica? 6. 2. 4.(n. Ferdinand Georg Frobenius Jordan para su determinación cuando ella existe. Fundamentar el papel funcional de la inversa multiplicativa. ¿Cuándo una matriz tiene inversa multiplicativa? ¿Toda matriz es invertible? 5. Matrices invertibles 8 Introducción Nuestro trabajo se orientará ahora al estudio de nuestro segundo objetivo fundamental dentro del álgebra matricial y que corresponde a la determinación de la inversa multiplicativa de una matriz cuadrada.1. ⎡0 0 1 0⎤ ⎡1 0 0 0⎤ ⎢0 ⎢0 0 ⎥⎥ 1 0 0⎥⎥ 1 0 A=⎢ .4) . B=⎢ . 8. y la denotamos Fij (λ). luego es elemental y B = F3 (− 15) . a la matriz que se obtiene al aplicar λ Ei + E j a I ( n . determinemos de las siguientes matrices cuáles son elementales y cuáles no lo son. y la denotamos Fi (λ). analizaremos algunos conceptos y teoremas previos que constituyen su fundamentación. n ) . ⎢1 0 1 0⎥ ⎢0 1 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1⎦ ⎣0 0 0 1⎦ Solución Podemos observar que A = I ( 4. 4) ⎯⎯ ⎯→ . n ) una y sólo una operación elemental de cualquiera de los tres tipos. y la denotamos Fij . luego es elemental y A = F13 .Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 8. n ) . Llamaremos matriz elemental tipo 3. Notación Llamaremos matriz elemental tipo 1.1 Matrices invertibles o no singulares Para su presentación. Llamaremos matriz elemental tipo 2. n ) . 124 . − 15 E3 Tenemos también que B = I (4. ⎢1 0 0 0⎥ ⎢0 0 − 15 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1⎦ ⎢⎣ 0 0 0 1 ⎥⎦ ⎡1 0 0 0⎤ ⎡1 0 0 0⎤ ⎢0 1 0 0⎥⎥ ⎢1 0 1 0⎥⎥ C=⎢ . D=⎢ .1. 4) ⎯⎯→ E13 . a la matriz que se obtiene al aplicar λ Ei a I ( n .1 Matriz elemental de orden n xn Es toda matriz que se obtiene al aplicar a I ( n . indicando para las primeras la notación fijada. a la matriz que se obtiene al aplicar Eij a I ( n . Ilustración 18 Dada I (4. Geometría vectorial y analítica 125 . Se deja al lector la determinación de cada una de las matrices elementales de orden 4 × 4 y la verificación de la igualdad establecida en la ecuación. asociada a la operación. ¿Por qué? Teorema 8 Sea A = ⎡⎣aij ⎤⎦(m. n) . Con base en el teorema 8.4) ⎯⎯ ⎯→ . λE +E (3) A ⎯⎯⎯→ i j = Fij (λ ) ⋅ A. 3 34 2 23 12 y como la operación producto es asociativa. el resultado de aplicarle a A una operación elemental cualquiera es equivalente a premultiplicar a la matriz A por la matriz elemental del mismo tipo. E=⎢ .n) ). Entonces. Esto es: A ⎯⎯ →= Fij ⋅ A. Ilustración 19 Dadas: ⎡ 1 0 0 −1 0 100⎤ ⎡1 0 0 −1 0 100 ⎤ ⎢ 1 −1 0 0 −1 −100⎥ ⎢0 1 0 −1 1 200 ⎥⎥ A=⎢ ⎥. podemos expresar el proceso algorítmico anterior como una ecuación matricial así: ( F (−1) ( F (1) ⋅ ( F (−1) ⋅ ( F (1) ⋅ ( F (−1) ⋅ A))))) = E . C = I ( 4. prescindimos de los paréntesis y tenemos: F3 (−1)· F34 (1) ⋅ F2 (−1) ⋅ F23 (1) ⋅ F12 (−1) ⋅ A = E. 4 ) ⎯ ⎯⎯ → ⎯1⎯ ⎯→ E23 Afirmamos también que toda matriz identidad en sí misma es una matriz elemental. E (1) ij λ Ei (2) A ⎯⎯→ = Fi (λ ) ⋅ A. (Vea el mo- delo 3 en problemas de aplicación de S . 4 ) . así: E1 + E 2 D = I ( 4. ⎢0 1 −1 0 0 −130⎥ ⎢0 0 1 −1 1 330 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 1 −1 1 330⎦ ⎣0 0 0 0 0 0⎦ −1E1 + E2 1 E2 + E3 − E2 1E3 + E4 − E3 Tenemos que A ⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯→ ⎯⎯ ⎯→ = E .(m. La matriz D no es elemental porque en ella pueden identificarse dos opera- ciones aplicadas sobre I ( 4 .L. y en consecuencia es elemental y C = F13 (1) .E. Módulo 8: Matrices invertibles 1 E1 + E3 Y en este caso. si una de ellas se puede transformar en la otra a través de operaciones elementales. La justificación está dada por el algoritmo de Gauss-Jordan. Es decir. por así decirlo. ⎯⎯ Ei → . n ) .. n ) tal que: A ⋅ B = B ⋅ A = I ( n. puesto que en ella reside gran parte de la comprensión de sus propiedades y de los procedimientos algorítmicos empleados en sus cálculos.... A es equivalente a B si existen E1 . Y en forma matricial: Fk ⋅ . Es necesario que esta definición sea entendida plenamente. E2 ... en términos de una ecuación matricial en función de la operación producto. ⋅ F2 ⋅ F1 ⋅ A = B. como también de las estrategias seguidas en las demostraciones de los teoremas relacionados con la inversa de una matriz. Ek operaciones elementa- les. Decimos que A es invertible bajo el producto o no singular si existe B( n . ⎯⎯ Ek →=B.. 8. B ∈ R m×n . n ) .n) .Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Observación El teorema anterior es de suma importancia en el álgebra matricial.1. Teorema 9 Toda matriz A( m. n ) es equivalente a una matriz de la forma escalonada reducida E( m . n ) . Observaciones 1.. recíprocamente. Ei . En la ilustración 19 tenemos que las matrices A y E son equivalentes.2 Matrices equivalentes Sean A. B es equivalente a A. A es equivalente a B y. De esta manera podemos. sistematizar todo proceso algorítmico de reducción y expresarlo como una ecuación matricial en términos de las matrices elementales..3 Matriz invertible o no singular Sea A( n. y en consecuencia en la ecuación inicial se tiene: A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I ( n .... 8. puesto que nos permite transcribir el desarrollo algorítmico cuando se aplican operaciones elemen- tales. ⋅ Fi ⋅ .. En este caso decimos que B es la inversa multiplicativa de A y lo denotamos B = A−1 .1. 126 . tales que A ⎯⎯ E1 → ⎯⎯ E2 → .. si en un contexto demostrativo nos piden.. Módulo 8: Matrices invertibles 2. Para probar que una matriz dada B es la matriz inversa multiplicativa de otra matriz A.n) . demostrar que K −1(n.. 2. que D −1 = C . Teorema 10: Propiedades de la inversa multiplicativa Sean A.... ⋅ A2 −1 ⋅ A1−1 . 3. esto significa que D ⋅ C = C ⋅ D = I ( n . si K ⋅ S = S ⋅ K = I ( n . Ak ∈ n×n y todas son invertibles. es suficiente.. «inversa −1 multiplicativa» está asociado a ( ) ). 1.. 3. Geometría vectorial y analítica 127 . ⋅ ( Ak −1 )T . B ∈ n× n . Así. probar que K ⋅ H = H ⋅ K = I ( n... afirmamos: «S es la inversa multipli- cativa de K». n) = H . Si A es invertible. A2 . que denotamos S = K −1 . Si A es invertible... entonces AT es invertible y ( AT ) −1 = ( A−1 )T . Recíprocamente... A2 . Ak ∈ n×n y son invertibles.. 5. entonces ( A1 ⋅ .. ⋅ Ak ) −1 = Ak −1 ⋅ . ⋅ Ak )T es invertible y (( A1 ⋅ . ⋅ Ak ) es invertible y ( A1 ⋅ A2 ⋅ . 4. Si A y B son invertibles.. ⋅ Ak ) −1 )T = ( A1−1 )T ⋅ . entonces ( A1 ⋅ A2 ⋅ . Generalizando la propiedad anterior: Si A1 . 4. entonces A ⋅ B es invertible y ( AB) −1 = B −1 ⋅ A−1 . Queremos insistir en lo que llamaremos el papel funcional de la inversa multiplicativa y se reduce a la observación de la ecuación que la caracteriza.. Si A es invertible. que denotamos K = S −1 (observe la correspondencia entre el lenguaje y los símbolos designantes: «es» está asociado a =. entonces ( A−1 ) −1 = A. Generalizando la propiedad anterior: Si A1 . si tomamos a S como referencia. 6.. ⋅ Ak )T ) −1 = (( A1 ⋅ . así. demos por caso. n ) podemos tomar a K como referencia y afirmamos: «K es la inversa multipli- cativa de S».. es suficiente con verificar que su producto es igual a la identidad y que conmutan.n ) . Ahora.... entonces su inversa es única. cuando se tiene. demos por caso. en consecuencia. Observemos que la notación tiene un papel fundamental en la interpretación correcta del «papel funcional» de la inversa. Posteriormente demostraremos que no hay necesidad de verificar la conmutatividad. ) −1 De (1) tenemos que A ⋅ A = I (¿por qué?). contradiciendo lo afirmado en la hipótesis auxiliar. multipliquemos a la izquierda por C −1 en la ecuación anterior y así se tiene C −1 ⋅ ( A ⋅ A−1 ) = C −1 ⋅ I y a su vez (C −1 ⋅ A) ⋅ A−1 = C −1 . Ahora. que nos permite concluir que A−1 = C −1 (¿por qué?). ⎝λ⎠ Demostración de 1 Supongamos que A( n . n ) son invertibles. ( A ⋅ B ) ⋅ ( B −1 ⋅ A−1 ) = A ⋅ ( B ⋅ B −1 ) ⋅ A−1 . Basta probar que ( A ⋅ B) ⋅ ( B−1 ⋅ A−1 ) = ( B −1 ⋅ A−1 ) ⋅ ( A ⋅ B) = I ( n. Conclui- mos. n ) . ¿Por qué? = I .) Demostración de 2 La demostración de 2 es inmediata. si se tiene en cuenta el «papel funcional de la inversa». En efecto. (1) Razonemos por reducción al absurdo: Supongamos que existe C −1 . Si A es invertible y λ ≠ 0 . n ) (¿por qué?). 128 . que A−1 es única. ¿Por qué? En forma análoga se prueba la conmutatividad y. Hipótesis general. entonces λ A es invertible y (λ A) −1 = ⎜ ⎟ ⋅ A−1 . (Propiedad asociativa del producto. n ) y B( n . Se deja su prueba al lector.) = A ⋅ I ⋅ A−1 . n ) es invertible. n ) . tal que A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I. Esto significa que existe A−1( n. C −1 ≠ A−1 y tal que A ⋅ C −1 = C −1 ⋅ A = I (2) (Hipótesis auxiliar por reducción al absurdo. n ) y también B ⋅ B −1 = B −1 ⋅ B = I ( n. (Método de reducción al absurdo. ( A ⋅ B ) −1 = B −1 ⋅ A−1 .Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales ⎛1⎞ 7. Demostración de 3 Supongamos que A( n . en consecuencia.) Esto significa que existen A−1 y B −1 tales que A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I ( n . en consecuencia. (Hipótesis general. .. Se deja su prueba al lector.. A2 ∈ n×n y son invertibles. ( A1 ⋅ . ⋅ Ak +1 ) −1 = (( A1 ⋅ . ⋅ A1−1 .... A2 .... ⋅ Ak ) −1 Por lo demostrado en la primera parte. Geometría vectorial y analítica 129 . en consecuencia.. Ak +1 ∈ n× n y cada una de ellas es invertible afirmamos que: ( A1 ⋅ A2 ⋅ .. para lo cual debe aplicar el método de inducción matemática. (Hipótesis de inducción. Supongamos que la propiedad se cumple para n = k . Ak . La demostración del numeral 5 es inmediata... entonces ( A1 ⋅ A2 ⋅ . A2 . q u e s i A1 .. En efecto... si A1 . si A1 . Transitividad en la igual- dad. Ak ∈ n× n y cada una de ellas es invertible. ⋅ Ak ) −1 = Ak −1 ⋅ . ( A1 ⋅ ... A2 . si se tiene en cuenta «el papel funcio- nal de la inversa».. por el método de inducción matemático.. ⋅ An ) −1 = An−1 ⋅ . ⋅ Ak ) ⋅ Ak +1 ) −1 Propiedad asociativa del producto matricial. ⋅ A2−1 ⋅ A1−1 . Módulo 8: Matrices invertibles Demostración de 4 Utilizando el método de demostración por inducción matemática verifiquemos que la propiedad se cumple para n = 2 . asumamos como verdadero que A1 ... −1 −1 −1 entonces ( A1 ⋅ A2 ) = A2 ⋅ A1 ... = ( Ak +1 ) −1 ⋅ ( Ak−1 ⋅ . Así.. ⋅ A1−1 . Propiedad asociativa en el producto.. ⋅ Ak ) es invertible y ( A1 ⋅ A2 ⋅ ...) Es decir... ⋅ A1−1 ) Sustituyendo por lo afir- mado en la hipótesis de inducción.. esta proposición se demostró en el numeral ante- rior. = Ak−+11 ⋅ Ak−1 ⋅ . Concluimos. An ∈ n×n son invertibles.. Esto es.. Se propone la demostración del numeral 6 al lector.⋅ Ak ⋅ Ak +1 ) −1 = Ak−+11 ⋅ Ak−1 ⋅ . = ( Ak +1 ) −1 ⋅ ( A1 ⋅ ... Demostremos que la propiedad se cumple para n = k + 1.. ⋅ A2 −1 ⋅ A1−1 . ⋅ An ) es invertible y ( A1 ⋅ A2 ⋅ .. E. Presentar los tres primeros criterios de invertibilidad de una matriz y sus relaciones con la ≠ 0 matriz identidad. y la transcripción del Teorema de Rouché-Frobenius proceso algorítmico en términos de una ecuación matricial donde intervienen las matrices 1.n) homogéneo. es un menor principal la solución del sistema es Primera columna Preguntas básicas c1 − a1r +1 xr +1 − − a1n xn a12 a1r 1. a21 a22 a2 r 2. ar1 ar 2 arr 3. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de elementales como el instrumento principal.(n. ecuaciones lineales tenga solución es que la matriz de los coeficientes de las incógnitas y la matriz ampliada con los términos constantes tengan igual rango.1 Inversas de las matrices elementales Segunda columna a11 c1 − a1r +1 xr +1 − − a1n xn a1r a21 c2 − a2r +1 xr +1 − − a2 n xn a2 r ar1 cr − a2r +1 xr +1 − − arn xn arr x1 = a11 a12 a1r a21 a22 a2 r ar1 ar 2 arr Geometría vectorial y analítica 131 .L. ¿cuáles son sus inversas? c2 − a2r +1 xr +1 − − a2 n xn a22 a2 r 2. Si se verifica la igualdad de rangos y a11 a12 a1r 1. las matrices elementales y la solución de un S. ¿Son invertibles las matrices elementales? En caso afirmativo. y también la del algoritmo para obtener la inversa. cuando ella exista. ¿Qué otras propiedades están asociadas a las matrices invertibles? x1 = a11 a12 a1r a21 a22 a2 r Contenidos del módulo ar1 ar 2 arr 9. ¿Cuáles son los criterios básicos. Consolidar a modo de síntesis de la teoría expuesta el algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa multiplicativa. para determinar cuándo una matriz es invertible? cr − a2 r +1 xr +1 − − arn xn ar 2 arr 3. Ello nos permite fundamentar los dos primeros criterios de invertibilidad bajo el producto. fuera de la definición. Inversas de las matrices elementales 9 Introducción Estudiaremos a continuación la importancia de las matrices elementales mediante su caracte- rización como matrices invertibles y así mismo sus inversas como matrices elementales. Caracterizar las matrices elementales como invertibles y determinar sus inversas. Objetivos del módulo 2. .1 Inversas de las matrices elementales a11a12 c1 a1r +1 xr +1 − − a1n xn Introduciremos enseguida la caracterización de la invertibilidad de las matrices ele- a21a22 c2 a2r +1 xr +1 − − a2 n xn mentales y.... F3 ( 1 7 ) ⋅ F3 (7) = I (4.4) ? La respuesta es bien sencilla: F14 ⎯⎯ E14 → = I(4.. La demostración se deja al lector.. en consecuencia.... determine- mos sus inversas.... ( Fij )−1 = Fij . en consecuencia.. así: 1. Ilustración 20 Dadas las matrices elementales de orden 4 × 4 F14 . F3 (7) ⎯⎯⎯ 7 3 → = I(4.4) ? La pregunta anterior es equivalente a esta otra: ¿qué operación elemental debemos aplicarle a F14 para transformarla en la matriz I(4... la importancia que tienen en la fundamentación teóri- ca del algoritmo que explicaremos posteriormente para el cálculo de la inversa de ar1ar 2 cr a2 r +1 xr +1 − − arn xn una matriz cuadrada. F13 ( − 5) ..4) =⎢ F14 = ⎢ ⎢0 0 1 0⎥ ... 1 E En forma análoga para el segundo caso....... 9.. podemos plantearnos la siguiente pregunta: ¿qué matriz multi- plicada por F14 da por resultado I(4. 2...4) ... ⎢0 0 1 0⎥ . F13 (−5) = ⎢ . ⎡1 0 0 0⎤ ⎡0 0 0 1⎤ ⎢0 1 0 0 ⎥⎥ ⎢0 1 0 0⎥⎥ I ( 4. ( F14 ) −1 = F14 . cuando ésta exista..... Luego F14 ⋅ F14 = I ( 4...4) .... ⎢ ⎥ ⎢ −5 0 1 0⎥ ⎣0 0 0 1⎦ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 1⎦ Solución Para el primer caso...... F3 (7). 4) y. esto es.. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1⎦ ⎣1 0 0 0⎦ ⎡1 0 0 0⎤ ⎢0 ⎡ 1 0 0 0⎤ 1 0 0 ⎥⎥ ⎢ 0 F3 (7) = ⎢ 1 0 0⎥⎥ ⎢0 0 7 0⎥ . x1 = a11 a12 a1r a21 a22 a2 r Teorema 11: Inversas de las matrices elementales r-ésima ar1 ar 2 arr columna Toda matriz elemental es invertible y su inversa es otra matriz elemental del mismo tipo. ( Fi (λ )) −1 = Fi (1/ λ ) ..Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales . 132 .......4) y ( F3 (7)) −1 = F3 ( 1 7 ) ....... 3..... ( Fij (λ ))−1 = Fij (−λ ) . . (1) Además. n ) es invertible si y sólo si existen F1 . Teorema 12: Primer criterio de invertibilidad de matrices Sea A( n . tales que Fk ⋅ . A (respectiva... (2) con Fk ⋅ .⋅ F1 ⋅ A = I ( n ..⋅ Fi ⋅ . Corolario 1: Segundo criterio de invertibilidad de matrices Sea A( n . A( n . A( n . Se deja al lector la demostración de la implicación recíproca. en consecuencia. n ) es invertible si y sólo si A es equivalente a I ( n .. tomamos las inversas en la ecuación ( Fk ⋅ .. Módulo 9: Inversas de las matrices elementales Se deja al lector la solución del tercer caso.. Geometría vectorial y analítica 133 .. ⋅ Fi ⋅ . A( n . n ) es invertible....n ) . n ) . Esto es.. y aplicando las propiedades estableci- das concluimos que F1−1 ⋅ . Vea el módulo 9 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica mente A−1 ) se puede expresar como producto de matrices elementales. Multiplicando a la derecha por A−1 en la ecuación (2) se tiene ( Fk ⋅ .. tenemos que Fk ⋅ ... ⋅ F1 = A−1 . Demostración "⇒" Demostremos la implicación de izquierda a derecha... ⋅ Fi ⋅ . F2 ... n ) ... n ) es invertible si y sólo si A se puede expresar como un producto de matrices elementales.. ⋅ Fi −1 ⋅ . ⋅ F1 matrices elementales. . ⋅ Fk−1 = A y.⋅ F1 )−1 = ( A−1 )−1 (3) . n ) . ⋅ F1 ⋅ A = I ( n.. (Hipótesis) Existe. ⋅ Fi ⋅ . A−1 tal que A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I ( n ... ⋅ F1 · A) ⋅ A−1 = I ⋅ A−1 que nos permite afirmar que Fk ⋅ .. en consecuencia. por el primer criterio de invertibilidad. n ) . (3) Como el producto de la izquierda es invertible (¿por qué?).. n ) . Supongamos que A( n . Fk elementales de orden n × n . ⋅ Fi ⋅ ... n ) .) Existe. 134 . La unicidad está fundamentada en el hecho de que A es quivalente a I ( n . y en consecuencia Χ = A−1 ⋅ B . Si A ⋅ B = I ( n . entonces el siste- ma tiene solución única y Χ = A−1 B .1) tiene como solución única Χ = 0 ( n .n). en consecuencia. Demostración Supongamos que en el S. n ) . de ecuación matricial AΧ = B . A es invertible. n ) es invertible si y sólo si el sistema homogéneo de ecuación matricial AΧ = 0 ( n. B ∈ n×n .n). por tanto.Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Teorema 13 Si en un S.L. Teorema 14 Sean A.1) .L.(n. entonces A es invertible (respectivamente. B es invertible) y A−1 = B (respectivamente. B −1 = A ). de ecuación matricial AΧ = B .E. (Hipótesis. AΧ = B tiene solución única (teorema 7). A−1 tal que A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I . A( n . Multiplicando a la izquierda por A−1 la primera ecuación tenemos: A−1 ( AΧ) = A−1 ⋅ B . Teorema 15: Tercer criterio de invertibilidad de matrices Sea A( n . n ) (primer criterio de invertibilidad de matrices) y. n ) o B ⋅ A = I ( n .E. La demostración es muy sencilla y se deja al lector. A es invertible.(n. ( B · C · A) −1 ⎡ −1 0 5⎤ ⎢ 2 7 1⎥⎥ 4. c. Escriba cada una de las siguientes matrices de orden 4 × 4 . g. f. d. Si A = ⎢ ⎢ −1 2 2⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 4 9 2 ⎦ (4. ( A · B · C ) −1 c. indique su notación. F31 (1) · A 140 . determine: a. Si A = F32 (−5). b. F23 (− 1 5 ) b. ⎡1 0 0 0⎤ ⎡1 0 0 0⎤ ⎡0 0 0 1⎤ ⎡1 0 0 0⎤ ⎢0 0 1 0 ⎥⎥ ⎢0 1 0 0⎥⎥ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ 1 0 0 ⎥⎥ ⎢0 0 0 1⎥⎥ ⎢ ⎢0 1 0 0⎥ ⎢0 0 1 0⎥ ⎢0 0 1 0⎥ ⎢0 1 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 0⎦ ⎣0 2 0 0⎦ ⎣1 0 0 0⎦ ⎣0 0 1 0⎦ 2. F3 (− 3 4 )· A d. F24 · A c. C = F1 (3) son matrices de orden 3 × 3. a. F2 (−7) 3. h. En caso afirmativo. F34 (1) d. ( B · C · A) d. F23 (− 1 2 ) · A b. Para cada una de las matrices siguientes determine si es una matriz elemental.Ejercicios del capítulo 2 (módulos 8 al 10) 1. ⎡ 1 0 0⎤ ⎡0 0 1⎤ ⎡ −2 0 0 ⎤ ⎡ 1 0 0 0⎤ ⎢ 0 1 0⎥ ⎢0 1 0⎥ ⎢ 0 1 0⎥ ⎢0 1 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 7 4 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 1 0 0⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 7 1 0⎥⎦ e. A· B ·C b. F34 c. a.3) determine: a. B = F12 . c. los cuales cumplen además las siguientes propiedades: ⎣ a21 a112 + a122 = 1 y a21 2 + a22 2 = 1. escriba una ecuación matricial que las relacione. Demuestre que si A. B = ⎢⎢ 0 1 2 3⎥⎥ . Demuestre que si A . A es invertible y B no es invertible. Sea A = ⎢ ⎥ .1) tiene como única solución X = 0(n . Demuestre que A( n . ⎡ a11 a12 ⎤ Sea A = ⎢ a22 ⎥⎦ 9. 17. Dada A = ⎢ ⎥ ⎣ 1 0⎦ a. b. F3 tales que F3 · F2 · F1 · A = I . entonces A es invertible y B es invertible. B ∈ n×n y A · B es invertible. Geometría vectorial y analítica 141 . simétrica y transitiva. Demuestre que si A( n . entonces ( ABA) −1 es antisimétrica. Exprese la matriz A como un producto de tres matrices elementales para concluir ⎣0 c⎦ que A es invertible. (a11 . entonces ( ABA) −1 es simétrica. ⎡a b⎤ 8. Sean ⎡4 5 6 7⎤ ⎡ −8 −10 −12 −14⎤ ⎡ 0 0 0 0⎤ A = ⎢⎢ 0 1 2 3⎥⎥ . 12. ⎢⎣ 8 9 10 11⎥⎦ ⎢⎣ 8 9 10 11⎥⎦ ⎢⎣ 0 −1 −2 −3⎥⎦ a. entonces A−1 es antisimétrica. Demuestre que si A. escriba una ecuación matricial que las relacione. donde a · c ≠ 0 . escriba una ecuación matricial que las relacione. 14. C = ⎢⎢−4 −5 −6 −7 ⎥⎥ . Exprese A−1 como producto de matrices elementales. n ) es invertible y simétrica. 6. B ∈ n×n son invertibles y antisimétricas. ⎡ 2 3⎤ 7. 15. En caso afirmativo. entonces B = C . a12 ) ⋅ (a21 . En caso afirmativo. 16. . Determine si B y C son equivalentes. Demuestre que si A( n . Exprese A como producto de matrices elementales. entonces AB y BA no son invertibles.1) . c. B ∈ n×n son invertibles y simétricas. entonces A−1 es simétrica. n ) es invertible y antisimétrica.5. n ) es invertible si y sólo si AX = 0( n . Determine si A y C son equivalentes. Demuestre que si A . Determine las matrices elementales F1 . En caso afirmativo. b. −1 Demuestre que A es invertible y que A = A . a22 ) = 0. Determine si A y B son equivalentes. con elementos no negativos. F2 . Demuestre que si A es invertible y A · B = A · C . 11. Demuestre que la equivalencia entre matrices es una relación reflexiva. T 10. 13. B ∈ n×n . 20. Indique la ecuación matricial asociada al proceso anterior. 21. utilizando el método de inducción matemática. entonces ( An ) 1 ( A1 ) n para todo entero positivo n . 2 0 12 4 no es invertible. 6 3 9 0 1 0 1 3 3 2 0 0 1 1 1 1 2 4 3 3 9 3 6 1 0 1 1 1 1 1 1 3 3 2 d. b. Si A es invertible. a.. n ) es invertible. Si A1 . Sea A 0 0 6 0 7 8 ¿Para qué valores de y es invertible la matriz de A ? 142 . 1 2 0 1 e. (4). c. Si A( n . 1 3 5 7 1 0 0 0 1 1 3 2 0 0 2 1 2 3 2 1 0 1 1 2 1 1 0 1 0 2 1 0 0 6 15 0 21 2 5 4 5 g.Demuestre... An n n y son invertibles. (2). Determine la matriz escalonada reducida equivalente a la matriz A.. (3). b. Determine la ecuación matricial que relaciona a las matrices A y E como equivalentes. Pruebe que A 6 3 2 3 3 a.. los problemas 18 y 19..·A2-1 · A1-1 19. entonces ( A1 · A2 ·. Para cada una de las matrices que se dan a continuación: (1).. indique A como un producto de matrices elementales.. Si A es invertible. 2 5 0 7 f. determine A1 y exprese A1 como un producto de matrices elementales. Utilice el algoritmo [ A ] [ E P] para determinar si es o no invertible. A2 .·An )-1 = An-1·. 18. 2 0 1 5 h. 2 1 4 2 1 0 0 1 0 0 0 1 2 3 0 2 0 1 2 3 1 0 0 1 0 2 3 4 2 3 1 0 1 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 5 6 22. L.23. Determine.E. A = ⎢⎢ 2 1 0 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ 0 3 1⎥⎥ . x + 2 y + 3z = 9 2 x − y + z = −2 3x −z=0 Geometría vectorial y analítica 143 . No tiene que calcular A. aplicando la factorización LU. Resuelva los siguientes S. ⎢⎣−3 1 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 4⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣ −7 ⎥⎦ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ 4 −1 2 ⎤ ⎡ 3⎤ ⎡ 1⎤ c. B2 = ⎢ ⎥ . A = ⎢⎢ 5 1 0⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ 0 2 1⎥⎥ . ⎢ 0 2 1 0⎥ ⎢ 0 0 −2 −1⎥ ⎢ 5⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −2 −1 3 1⎦ ⎣ 0 0 0 2⎦ ⎣ 1⎦ ⎣ 1⎦ 25. ⎢⎣−3 2 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 −7 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 2 ⎥⎦ ⎢⎣ −7 ⎥⎦ ⎡ 1 0 0 0⎤ ⎡ 2 1 0 −2 ⎤ ⎡ 2⎤ ⎡ 25⎤ ⎢ 3 1 0 0⎥⎥ ⎢⎢ 0 3 1 −1⎥⎥ ⎢ − 3⎥ ⎢ 1 ⎥ A=⎢ ⋅ B1 = ⎢ ⎥ . a. ⎡ 1 0⎤ ⎡ 2 2⎤ ⎡ −5 ⎤ ⎡ 12⎤ a. para cada una de las matrices siguientes. a. B1 = ⎢⎢ −8⎥⎥ . ⎣ − 1 2 1⎦ ⎣ 0 3⎦ ⎣7⎦ ⎣3⎦ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ 2 −1 0 ⎤ ⎡ 2⎤ ⎡ 32⎤ b. En cada uno de los numerales siguientes utilice la descomposición LU de la matriz A para resolver el sistema A · X = B . A=⎢ ⋅ . B1 = ⎢⎢ 0⎥⎥ . ⎡ 2 −2 6 −4 ⎤ ⎢ 2 −5 2 2⎥⎥ ⎢ ⎢ 4 −1 −3 −2⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1 −5 −1 2 ⎦ 24. B1 = ⎢ ⎥ . B2 = ⎢⎢ 1⎥⎥ . ⎡ 2 1 3⎤ b. ⎡ 1 3 2 −1⎤ ⎢ −2 5 1⎥ ⎢2 ⎢ ⎥ ⎢ 6 4 −2 ⎥ ⎢ 5 3 −2 ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 2 4 ⎥⎦ ⎢⎣ −3 −2 4⎥⎦ ⎢ 3 −2 1 −2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 1 3 1⎦ d. B2 = ⎢ ⎥ . 2 d. B2 = ⎢ ⎥ . su factorización LU (triangular inferior. ⎢ −3 9 1 0⎥ ⎢ 0 0 −2 1⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1 4 −2 1⎦ ⎣ 0 0 0 2⎦ ⎣ 0⎦ ⎣ −4 ⎦ ⎡ 1 0 0 0⎤ ⎡ −3 −1 2 1⎤ ⎡ −2 ⎤ ⎡ 15 ⎤ ⎢ 3 1 0 0⎥⎥ ⎢⎢ 0 4 −1 2 ⎥⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ 2⎥ e. . para cada valor de B. B2 = ⎢⎢ −1⎥⎥ . ⎡ 3 −2 −1⎤ c. triangular superior). B1 = ⎢ ⎥ . A=⎢ ⎥⋅⎢ ⎥. C Para A( m. ¿Por qué en los algoritmos de reducción de Gauss y Gauss-Jordan se aplican únicamente operaciones elemen- tales por filas. a. pero con la letra C. Asuma una versión adaptada del teorema 8. Defina en forma análoga a las matrices elementales por fila (F). Verifique que la matriz resultante es la misma si se procede a multiplicar a la derecha. por las matrices elementales asociadas a las columnas. Asuma que E es una matriz elemental obtenida mediante operaciones elementales por filas. f. Determine en forma descriptiva una lista de las tres operaciones elementales por columnas y desígnelas con convenciones similares. Suponga que a una matriz A( m. b. podemos aplicar tres tipos similares pero por columnas. n ) se le aplica una secuencia de operaciones elementales por columna. en lugar de multiplicar a la izquierda de A. se multiplica a la derecha. las matrices elementales por columnas y denótelas mediante la letra (G). Para cada una de las operaciones por fila. Observemos ahora que así como definimos las operaciones elementales por filas. de acuerdo al orden establecido. pero en este caso. b. n ) ij d. c. determine si es posible obtener la misma matriz E mediante operaciones elemen- tales por columna. e. para la operación tipo 1: A ⎯⎯ →= AGij . y no se aplican operaciones elementales por columnas? 144 . x+ − 2 z + 3w = 2 y + 2 z + 3w = − 5 2y +w=3 2x − z + 5w = 1 26. Así por ejemplo. ¿cómo factorizarla en términos de matrices elementales? intercambios intersectoriales entre las distintas industrias de un país. Dada una matriz A(n. Presentar el algoritmo de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa multiplicativa de A(n. ¿cómo calcular su inversa? puede demostrar gráficamente la manera como fluyen los 3. conocido en forma abreviada como [ A I ] ⎯⎯ → [ E P] . El algoritmo de Gauss-Jordan para la 10 determinación de la inversa multiplicativa Introducción Como conclusión lógica de los desarrollos teóricos que hemos estudiado. Las tablas describen el flujo de bienes y servicios entre todos los sectores industriales de una economía durante un determinado periodo y se basan en la Preguntas básicas distinción entre los inputs. Si A(n. Ilustrar la aplicación del algoritmo en algunas matrices y los resultados derivados como la el cual le fue otorgado el Premio Nobel de Economía en factorización de A y A–1 en términos de matrices elementales.n) es invertible.n) invertible. y por 2. consistentes con nuestra orientación en torno a identificar las estructuras algebraicas Leontief cursó estudios superiores en las universidades de subyacentes. ¿cómo factorizar A–1 en términos de matrices elementales? este sistema para analizar. y como resultados Wassily Leontief derivados e igualmente importantes. ¿cómo determinar si es invertible? finales que produce. bajo esta operación. o bienes y servicios 1. y después se incorporó a la Oficina Nacional de Investigación Económica de Estados Objetivos del módulo Unidos.n) es invertible. 1973. 6. como lo veremos en el capítulo siguiente. y cómo se Moscú y Leningrado y se doctoró en la Universidad de Berlín. permaneció hasta 1975. Posteriormente ingresó a la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Harvard. ¿Es posible determinar un subconjunto en que bajo la operación producto alcance la Leontief dejó varias obras. se nacionalizó. ¿Es el sistema ( n×n ) . cuando pasó a la Universidad de Nueva York. en donde 1. y los outputs. El gran aporte de Leontief a las ciencias económicas. donde el cálculo de la función determinante. Mediante este método de análisis se 2. En 1931 emigró a los Estados Unidos. Debido a ello. Por último.n). Identificar el conjunto de las matrices invertibles como un grupo no conmutativo bajo la sobre la estructura y relaciones de los intercambios operación del producto matricial. la estructura de álgebra lineal. El economista ruso Wassily Leontief nació el 5 de agosto de Estos procesos facilitan la operatoria en general para las matrices cuadradas y específicamente 1906 en San Petersburgo y murió el 5 de febrero de 1999 en Nueva York.1 Algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa multiplicativa de una matriz Vea el módulo 10 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 135 . Tras doctorarse en 1929 ejerció durante un año el cargo de consejero del gobierno chino. los economistas también utilizan 4.i un grupo? económicos. intersectoriales. presentamos final- mente el algoritmo para la determinación de la inversa multiplicativa. destacamos un grupo no conmutativo bajo la operación producto. Contenidos del módulo 10. institución en la cual permaneció hasta su retiro. o sea los bienes y servicios que adquiere una empresa. alcanza. Dada una matriz A(n. fue la creación de las denominadas tablas input-output 3.n). entre las que se destacan n×n Estructura económica americana (1941) y Análisis económico estructura de grupo conmutativo? input-output (1966). planificar y predecir los cambios 5. la factorización en términos de matrices elementales para una matriz invertible y la factorización parcial para aquellas que no son invertibles. Si A(n. . k + 1) [ Fk −1 ⋅ . A ⎯⎯ E1 → ⎯⎯ E2 → .. Procedemos a la reducción de la matriz aumentada. [ A I ] ⎯⎯ E1 → = [ F1 · A F1 I ] . ⋅ F2 ⋅ F1 ⋅ A Fi ⋅ Fi −1 ⋅ .. cuando ésta ( A−1 ) existe. ii... ⋅ F2 · F1 ] = [Ε Ρ ]. Si E = I . n ) . ⋅ Fi ⋅ .. [ A I] . n ) . ⋅ F2 ⋅ F1 ] [ Fk · Fk −1 ⋅ . y en caso de tenerla. a modo de síntesis. ⋅ Fi ⋅ . Sea A( n . comprender cabalmente el algoritmo que designaremos abreviadamente como [ A I ] →→→ [ E P ] ... Si E ≠ I . k + 2) Si Ε = I.. Esquema operativo del algoritmo 1.. ⋅ Fi ⋅ .... n ) la matriz problema (matriz de la cual vamos a determinar si tiene o no inversa multiplicativa...... 3. Criterio de invertibilidad: i. aumentada en la matriz I ( n ..... ⋅ Fi ⋅ . 2....· F2 · F1 · A = E. [F1 · A F1I] ⎯⎯ E2 →= [F2 · F1 A F2 ⋅ F1 ].. n ) . ⋅ F2 · F1 ] ⎯⎯ Ei → = [ Fi · Fi −1 ⋅ . ⋅ F2 · F1 A Fk −1 ⋅ .⋅ F2 · F1 ] ⎯⎯ Ek → [ Fk · Fk −1 ⋅ . ⋅ Fi ⋅ .· Fi ·. ⋅ F2 · F1 ⋅ A Fk · Fk −1 ⋅ . entonces A no es invertible. 136 . Estructura teórica subyacente 1.. ⋅ F2 ⋅ F1 ⋅ A Fi −1 ⋅ . 3.. 2.... 4. ⎯⎯ Ei → ...· Fi ·.1 Algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa multiplicativa de una matriz La fundamentación teórica que hemos consolidado nos permite ahora. ⋅ F2 ⋅ F1 ]. La ecuación matricial equivalente al proceso descrito es: Fk ·.. ⋅ F2 ⋅ F1 ⋅ A Fk Fk −1 ⋅ ... ⋅ Fi ⋅ . o algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa de una matriz A( n.. entonces A−1 = P. i + 1) [ Fi −1 ⋅ . Partimos de la matriz A( n ... ⎯⎯ Ek → = E. se calculará la misma).... entonces A es invertible y A−1 = ( Fk ·.. Aplicamos las operaciones elementales a la matriz A hasta reducirla a una matriz E de la forma escalonada reducida..· F2 · F1 ) .Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 10. Si A es invertible. Si A es invertible. 2. indiquemos la matriz A como un producto de matrices elementales. Si A es invertible. Solución 1. ⎡1 2 3 1 1 0 0 0⎤ ⎡1 2 3 1 1 0 0 0⎤ ⎢1 3 3 2 0 1 0 0⎥⎥ −1E1 + E2 ⎢⎢0 1 0 1 −1 1 0 0⎥⎥ −1E1 + E4 ⎢ ⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯⎯ → ⎢2 4 3 3 0 0 1 0⎥ −2 E1 + E3 ⎢0 0 −3 1 −2 0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 1 1 1 0 0 0 1⎦ ⎣1 1 1 1 0 0 0 1⎦ ⎡1 2 3 1 1 0 0 0⎤ ⎡1 2 0 2 −1 0 1 0⎤ ⎢0 1 0 1 −1 1 0 0⎥⎥ 1E2 + E4 ⎢⎢0 1 0 1 −1 1 0 0⎥⎥ −2 E2 + E1 ⎢ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯ → ⎢0 0 −3 1 −2 0 1 0⎥ 1E3 + E1 ⎢0 0 −3 1 −2 0 1 0⎥ −2 E4 + E3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 −1 −2 0 −1 0 0 1⎦ ⎣0 0 −2 1 −2 1 0 1⎦ ⎡1 0 0 0 1 −2 1 0⎤ ⎡1 0 0 0 1 −2 1 0⎤ ⎢0 1 0 0⎥ 2E3 +E4 ⎢⎢0 ⎥ 1 −1 1 0 1 0 1 −1 1 0 0⎥⎥ 1E4 +E2 ⎢ ⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯⎯ → ⎢0 0 1 −1 2 −2 1 −2⎥ ⎢0 0 1 −1 2 −2 1 −2⎥ −1E4 +E3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 −2 1 −2 1 0 1⎦ ⎣0 0 0 −1 2 −3 2 −3⎦ ⎡1 0 0 0 1 −2 0⎤ 1 ⎢0 1 0 0 1 −2 2 −3⎥⎥ −1 E4 ⎯⎯⎯ →⎢ ⎢0 0 1 0 0 1 −1 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1 −2 3 −2 3⎦ Geometría vectorial y analítica 137 .4) 1. indiquemos la matriz A−1 como un producto de matrices elementales. Módulo 10: El algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa multiplicativa Ilustración 21 ⎡1 2 3 1⎤ ⎢1 3 3 2 ⎥⎥ Sea A = ⎢ ⎢2 4 3 3⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 1 1 1⎦ (4. [ A I ] → [ E P]. 4. si A es o no invertible. Expresemos la ecuación matricial que relaciona por equivalencia a las matrices A y E. 5. utilizando el algoritmo de Gauss-Jordan. 3. determinemos la matriz A−1 . Determinemos. utilizando el algoritmo [ B I ] → [ Ε Ρ ]..3) Determinemos. entonces A es invertible y A−1 = P. que: A−1 = F4 (−1)· F43 (−1)· F42 (1)· F34 (2)· F43 (−2) · F21 (−2)· F31 (1)· F24 (1)· F14 (−1)· F13 (−2)· F12 (−1).4) .. Como E = I (4.4) Se deja al lector la verificación A ⋅ A−1 = I . Solución ⎡6 2 0 1 0 0⎤ ⎡1 1 03 0 0⎤ 1 6 ⎡1 1 03 1 6 0 0⎤ ⎢ 0 1 1 0 1 0 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ 1 E → ⎢ 0 1 0 ⎥⎥ ⎯⎯⎯⎯ −1E 2 + E3 → ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ ⎥ −3 E1 + E3 ⎢0 1 1 1 1 0 6 1 ⎢ ⎢⎣ 3 2 1 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 1 1 −1 2 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 −1 2 −1 1⎥⎦ 138 . 5. de la ecuación anterior tenemos: A = ( A−1 ) −1 = ( F4 (−1)· F43 (−1)·. 4. ¿Por qué? Ilustración 22 ⎡6 2 0⎤ ⎢ ⎥ Sea B = ⎢0 1 1⎥ ⎢⎣ 3 2 1⎥⎦ (3. en caso afirmativo. si B es o no invertible y. De la definición de matriz invertible tenemos.Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 2. en la ecuación anterior. ⎡ 1 −2 1 0⎤ ⎢ 1 −2 2 − 3⎥ Esto es: A−1 = ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 −1 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −2 3 −2 3⎦ (4. 3. F4 (−1)· F43 (−1)· F42 (1)· F34 (2)· F43 (−2)· F21 (−2) · F31 (1)· F24 (1)· F14 (−1)· F13 (−2)· F12 (−1)· A = I. Determinemos la ecuación matricial que relaciona a las matrices A y I como equivalentes. expresemos las matrices B y B −1 como producto de matrices elementales.· F13 (−2)· F12 (−1)) −1 y en consecuencia: A = F12 (1)· F13 (2)· F14 (1)· F24 (−1)· F31 (−1) · F21 (2)· F43 (2)· F34 (−2)· F42 (−1)· F43 (1)· F4 (−1). A su vez. alcanza la estructura de algebra lineal. 2. En esta forma podemos presentar a la matriz B como el producto de una matriz triangular inferior por una matriz triangular superior. con las operaciones adición y producto de un real por una matriz. . 3. F23 (−1) · F13 (−3)· F1 ( 1 6 ) · B = U .3 ) (¿por qué?).L. Esto es. Observaciones 1. Lo que hemos observado en la última parte de la ilustración anterior corresponde a un proceso general designado como la factorización LU de una matriz. con la operación producto entre matrices. tenemos ⎡6 0 0⎤ F1 (6)· F13 (3)· F23 (1) = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥ = L. Módulo 10: El algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa multiplicativa Terminamos aquí el proceso de reducción puesto que la matriz B no puede ser equivalente a I ( 3 . De todas formas. ⎢⎣ 3 1 1⎥⎦ (3. designadas respectivamente por L y U. Si designamos por ′n× n el conjunto de matrices invertibles bajo el producto. 2. El conjunto n× n . Consideraciones finales con relación a las estructuras algebraicas subyacentes en el conjunto ( m×n ) y en algunos de sus subconjuntos 1. Designamos por ⎡1 1 3 0⎤ U = ⎢⎢0 1 1⎥⎥ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ (3. El conjunto n×n . podemos plantear la ecuación matricial asociada al proceso de reducción. alcanza la estructura de espacio vectorial en el conjunto . y en consecuencia B no es invertible. entonces ′n × n .E.3) la matriz equivalente a B y tenemos que corresponde a una matriz triangular supe- rior. Podemos «despejar la matriz B» en la ecuación anterior: B = ( F23 ( −1) · F13 ( −3) · F1 ( 1 6 )) −1 ·U = F1 (6)· F13 (3) · F23 (1)·U. Geometría vectorial y analítica 139 . Efectuando el producto de las matrices elementales. ⋅ es un grupo.3) donde L es una matriz triangular inferior. Se deja como tema de consulta al lector la factorización LU de una matriz y sus aplicaciones en la determinación del conjunto solución de un S. n×n . a fin de que el lector tenga un dominio pleno de los objetos matemáticos que se operan. para el cual. Esta forma nos permite lograr una presentación coherente dentro de n× n las estructuras algebraicas que en todo momento hemos buscado precisar. Nos referimos específicamente a la determinación del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. conocido con el nombre de la regla de Cramer. pero de todas formas importante en el campo matemático. se obtiene un método restringido en su aplicación. que por otros medios puede ser. Además nos brinda una forma dinámica y ágil de comprender sus propiedades y facilita el cálculo de esta función. Esta orientación nos muestra además en una forma precisa y lógica cómo los dos problemas centrales estudiados en el capítulo anterior vuelven a ser revisados a la luz de la función determinante. a través de la función determinante. Los procedimientos o laciones con la inversa multipli- algoritmos utilizados para determinar el valor asignado y las aplicaciones de esta función. en la práctica. Capítulo 3 La función determinante 3 Contenido breve Módulo 11 La función determinante: dominio y codominio. se constituyen en un campo de estudio importante en la matemática. aportando nuevos elementos a su solución. cativa de A( n . cual es que su determinante sea distinto de cero y la única fórmula matemática para el cálculo de la inversa multiplicativa de . n ) Ejercicios Presentación Módulos 11 al 13 Presentamos la noción de determinante como una función definida del conjunto en . así como su carácter histórico. Módulo 12 Procedimiento para evaluar el de- terminante utilizando matrices ele- mentales Módulo 13 La función determinante y sus re- La función determinante le asigna a cada matriz cuadrada de componentes reales un número real único. imposible. En el mismo sentido. la función determinante aporta un nuevo criterio de invertibilidad para una matriz A( n× n ) . dado el alto número de operaciones que ésta involucra. cuando se trata de la construcción de teoremas o propiedades relacio- nadas con la inversa de una matriz. Este aporte es en sí mismo de gran importancia en la matemática. cuando ésta existe. no significando esto que renunciaremos al rigor y el equilibrio que lo caracteriza. 146 . mas no para su construcción teórica. Estas razones nos conducen a destacar más la naturaleza. las propiedades y las aplicaciones de esta función que algunas demostraciones muy complicadas para el nivel de este texto.Capítulo 3: La función determinante A( n× n ) . puesto que las demás herramientas estudiadas nos dotan de procedimientos algorítmicos eficientes para su cálculo específico. que no se reduce a una simple fórmula. Objetivos del módulo 1.2 El cálculo de la función determinante para toda A(n. dirigido a calcular esta función Tokio en octubre de 1708.2.2. además de proporcionar mayor coherencia con los tratamientos en los temas anteriores y posteriores a él. ¿Cómo se calcula el valor de un determinante mediante expansión por cofactores? 6. ¿En qué consiste la regla de Sarrus? 9. 1). ¿Qué es el cofactor asociado a una componente? 5.3 Cofactor asociado a una componente Geometría vectorial y analítica 147 .2 Menor complementario de una componente Geometría vectorial y analítica 11. ¿Qué es el menor complementario de una componente? 4. 7 × 7. Mostrar el método de expansión por cofactores como un procedimiento para evaluar la función determinante. Esta formulación axiomática se Takakazu Seki Kowa nació en una familia de guerreros debe al gran matemático alemán karl Weierstrass (1815 . 4. mediante expansión por cofactores? 8. y cuya eficiencia analizaremos posteriormente. por ser ésta la que mejor Takakazu Seki Kowa responde a los objetivos generales del texto.1 La función determinante 11. 3)? 3. ¿Cuántos productos requiere el cálculo del determinante de una matriz de orden 5 × 5. ¿Puede generalizarse la regla de Sarrus? Contenidos del módulo 11. n) 11. Preguntas básicas 1. ….1897). ¿Es posible calcular en un computador el determinante de cualquier matriz cuadrada. 3. 6 × 6. ¿Cómo se calcula un determinante para A(1. n × n mediante expansión por cofactores? 7. Mostrar cómo esta función permite aportar nuevos elementos a los dos problemas centra- les estudiados en el capítulo 2. Así mismo presentamos la samurai en marzo de 1642 en Fujioka (Japón) y murió en expansión por cofactores como un primer método inductivo. hemos elegido la correspondiente a una presentación axiomática de su definición.2. Señalar cómo las propiedades inherentes a su definición marcan pautas que facilitan su evaluación. ¿Qué es un determinante? 2. La función determinante: dominio y 11 codominio Introducción De las diferentes formas como puede presentarse la noción del determinante. Presentar el determinante como una función para destacar su papel en forma dinámica y ágil.1 Submatriz Aij Vea el módulo 11 del programa de televisión 11. A(2. 2) y A(3. 2. Ai .. m... n ) B = ( A1 .. An ) = λ det (A).. det (A1 ...n) Notas: 1.. A2 . A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ → det (A).. 2. A-2. A2 ....... A2 ..... 4. siendo Ai la fila i de A.. A-2..... Ai .. Ai .. La imagen de esta función también se designa por det ( A1 ... ( n.. A2 . entonces el valor de su determinante es igual a cero.n) = 1. A2 . ( ) det I( n.. C = ⎡⎣cij ⎤⎦ : matriz fila. Ai + C .. A-3 y A-4.... A2 .. Esta propiedad afirma que si la matriz presenta dos filas iguales... An ) + det (A1 . An ) o por A . Axiomas asociados a la función A-1... 148 ..1 La función determinante Definimos una función del conjunto R n× n en el conjunto R que llamaremos deter- minante y en forma abreviada notamos por det. A-3.. Am ).. Ai .... λ Ai ..... Dada A = ⎡⎣aij ⎤⎦ . An ) = λ det (A1 . Si A = ( A1 ... ∀i = 1.. A2 . A2 . Si Ai = A j para i ≠ j ... C . Ai .. introducimos una nueva convención para su designa- ( m. Esto es..... entonces det (A) = 0. Esta función se define únicamente para matrices cuadradas. An ). y (1. A2 .. caracterizada a su vez por cuatro axiomas ó propiedades de definición que designaremos por A-1.. An ). entonces det (B) = λ det (A).... An ) entonces det (B ) = det (A1 .. A-4...Capítulo 3: La función determinante 11. An ) y B = ( A1 ... Ai ... A2 . λ Ai .. 3... n ) ción que llamaremos notación de la matriz A por filas y que representamos así: A = ( A1 . det ( A) ∈ .así: Escuche una Breve historia de los determinantes en su multimedia de Geometría vectorial y det : R n×n ⎯⎯⎯→ R analítica.. An )..... Si A = ( A1 .... (λ ≠ 0). S = ⎢⎢10 −2 1 ⎥⎥ . ⎢⎣ 9 −4 −11⎥⎦ ⎢⎣ 2 3 9 ⎥⎦ Escuche la biografía de Takakazu Seki Kowa en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Ai . ∀i = 1. B = ⎢ 7 0 −1⎥ .. Notas: 1. siendo Ai la columna i de A.. n.. ⎢ −4 10 0 −2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 3 9 ⎥⎦ ⎢⎣ −10 −15 −45⎥⎦ ⎣0 −3 1 1 ⎦ ⎡ −1 2 5 ⎤ ⎡ −1 2 5⎤ D = ⎢⎢ 7 0 −1 ⎥⎥ . El axioma A-2 afirma que si en una matriz una fila cualquiera está multipli- cada por un λ . C = ⎢ −35 0 5 ⎥⎥ . E = [3 −2 2](1. A . An ). 2. entonces el determinante de esta matriz es igual al producto del número λ por el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar el factor λ en la respectiva fila.. d-3 y d-4 respectiva- mente. Sean A = ⎢ . llegando al mismo resultado. 3.. Módulo 11: La función determinante: dominio y codominio Observaciones 1. podemos formularlos para las columnas y desarrollar de esta manera la función determinante. entonces el determinante de dicha matriz es igual a la suma de los determinantes de las dos matrices que resultan al «distribuir» la fila asociada a la suma en las dos matrices fila que la componen asociando a cada una de las matrices una de la dos componentes y manteniendo las demás filas iniciales. En forma exactamente análoga a los cuatro axiomas planteados para las filas. 2 2.. Ilustración 1 ⎡2 −5 0 1 ⎤ ⎢3 ⎡ −1 2 5 ⎤ ⎡ 5 −10 −25⎤ −1 2 1 ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1. El axioma A-3 afirma que si en una matriz una fila cualquiera se puede expresar como la suma de dos matrices fila..3) . introducimos una nueva convención para su designa- ( m. El axioma A-4 afirma que el determinante de toda matriz identidad es igual a 1. n ) ción que llamaremos notación de la matriz A por columnas y que representa mos así: A = ( A1 .. Dada A = ⎡⎣aij ⎤⎦ . 4. d-2. Geometría vectorial y analítica 149 . En adelante nos referiremos también a los axiomas como propiedades de definición y los designaremos en su orden por d-1... det (C ) = det (−5B1 . Solución ⎡2 −5 0 1 ⎤ ⎢3 −1 2 1 ⎥⎥ 1. B2 .3. corresponde a: C = (−5B1 . B2.Capítulo 3: La función determinante Utilizando los axiomas de definición de la función determinante: 1. Designamos la matriz B por filas. B2 ) por A-3 150 . A4 ) ⎢ ⎥ ⎣ 0 − 3 1 1 ⎦ Luego det (A) = det (A1 . − 5 B3 ) (¿por qué?). B2 . A4 ) por A-2 = −2 × 0 por (A-1) = 0. − 5 B2 . − 2 B1 + B2 ) = det (B1 . Evaluemos det (A). utilizando los axiomas de definición. ⎢ −4 10 0 −2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 −3 1 1 ⎦ ⎡ 2 −5 0 1 ⎤ Si denotamos la matriz A por ⎢ 3 −1 2 ⎥ filas tenemos A=⎢ ⎥ ⎢ −2 × 2 −2 × −5 −2 × 0 −2 ×1⎥ A = ( A1 .2. B2 .1.4. podemos determinar la matriz D así: D = ( B1 . la matriz C. 1. 1. B2 . Ahora. B3 ). B3). = (–5) · (–5) · (–5) det (B1. − 2 A1 . 1. A2 . A2 . en su designación también por filas. 1. A2 .1. A1 .3. B2 . así: B = ( B1 . A4 ) = −2det (A1 . Expresemos la matriz S en términos de la matriz B y evaluemos su determinante en términos parciales del det (B). − 2 A1 .2. por A-2 = –125 ·det (B). A=⎢ . 1. − 5 B2 . en consecuen- cia. Expresemos la matriz D en términos de la matriz B y evaluemos su d e t e r m i - nante. A partir de la designación de la matriz B en el numeral anterior. Expresemos la matriz C en términos de la matriz B y calculemos el det (C) en función del det (B). − 2 B1 + B2 ) (¿por qué?) y det ( D) = det ( B1 . utilizando los axiomas de definición. − 2 B1 ) + det (B1 . − 5 B3 ). det (S ) = det (B1 . B2 + E . 1. entonces det (λ A) = λ ⋅ det ( A). De esta forma hemos expresado el determinante de la matriz S en términos parciales de la matriz B. Sea A( n. B3 ) = det (B1 . B2 .2. 11. Si una fila cualquiera de A es el resultado de la combina- ción lineal de una o más filas de A. Geometría vectorial y analítica 151 . B2 ). así: Si A( n. E . entonces det ( A) = 0. Con este objetivo. Podemos ahora generalizar algunos de los resultados particulares obteni- dos en el numeral anterior. Para n = 1. Tomando de nuevo la matriz B como referencia.4. Módulo 11: La función determinante: dominio y codominio = −2det (B1 . Teorema 1: Determinante de las matrices de órdenes y 1 x 1 y 2 x 2 1. n 2. E . definimos : det : R1×1 ⎯⎯→ R A = [a11 ] → det (A) = a11 .2 El cálculo de la función determinante para toda A(n. B2 . designamos la matriz S por filas: S = ( B1 . B3 ). Las demostraciones se dejan al lector. 2. n ) . el determinante de esta matriz es igual al número real asociado a su única componente. B2 ) por A-2 = −2 × 0 + 0 por A-1 = 0. utilizando desde luego los axiomas de defini- ción de la función determinante. presentamos los siguientes teoremas. B3 ) + det (B1 . Esto significa que para toda matriz de orden 1 × 1. n ) . λ ∈ R. B2 + E .n ) Los axiomas en la definición de esta función nos han permitido asignarle como imagen el cero o el uno para algunas matrices particulares.1. B3 ) por la propiedad de A-3 = det ( B) + det ( B1 . B2 . Pero nuestro problema inmediato consiste en establecer con precisión cuál es el valor que corresponde al determinante de cualquier matriz cuadrada. B1 ) + det (B1 . 2. por tanto. Antes de establecer una expresión general que permita su cálculo para matrices de orden mayor o igual a 2.1) . Sea I (1. Podríamos continuar en forma recursiva definiendo el determinante para matrices de orden 3 × 3 .Capítulo 3: La función determinante 2. a.1) = [1]. Dejamos al lector la prueba para la función definida para las matrices de orden 2 × 2 . Si Ai = A j con i ≠ j . Si A = [ a11 ] y C1 = [ c11 ] ( matriz fila ) . Probemos que la función definida para n = 1 satisface los cuatro axiomas de la definición para la función determinante.1) (definición dela función determinante para matrices deorden1×1) = det [a11 ] + det [c11 ] (¿por qué?). entonces (1.1) det [a11 + c11 ] = det [a11 + c11 ](1.1) ) = 1. b.2. entonces det (B) = λ a11 = λdet (A) (¿por qué?). Para n = 2. ⎣ a21 a22 ⎥⎦ Esto significa que para toda matriz de orden 2 × 2 su determinante es igual a la diferencia entre el producto de las componentes de la diagonal principal y el producto de las componentes de la diagonal secundaria. n ) designamos por Aij la submatriz que se obtiene al eliminar simul- 152 . Como el antecedente de esta implicación es necesariamente falso. definamos unos términos básicos que fundamentan esta expresión. d. entonces det (A) = 0. 4 × 4 y así sucesivamente. 11. definimos: det : R 2× 2 ⎯⎯→ R ⎡a a12 ⎤ A = ⎢ 11 → det (A) = a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21 . En efecto: sea A = [a11 ](1. Si A = [a11 ]y B = [λa11 ]. puesto que la matriz sólo tiene una fila. entonces det (I (1. c.1 Submatriz Aij Dada A = [aij ]( n. se concluye en consecuencia que la implica- ción es verdadera (¿por qué?). ⎣ 7 2 ⎦ ( 2. El menor complementario de a12 . A12 = ⎢ ⎥ . Llamamos menor complementario asociado a la componente aij . M ij = det (Aij ). El menor complementario de a31. Geometría vectorial y analítica 153 . A12 . Ilustración 3 Con relación a la matriz A de la ilustración 2. es: M 31 = det (A31 ) = 6 + 5 = 11. Ilustración 2 ⎡ 3 2 −5 ⎤ A = ⎢0 1 3⎥ Sea ⎢ ⎥ ⎢⎣ −2 7 2 ⎥⎦ 3. n ) . El menor complementario de a21. que corresponde a la componente −2.2) ⎡ 2 −5⎤ ⎡ 2 −5⎤ A21 = ⎢ ⎥ . al número real correspondiente al det ( Aij ) . que corresponde a la componente 2. ⎣7 2⎦ ( 2.2) ⎣ −2 7 ⎦ ( 2. A31 = ⎢1 3 ⎥ .2 Menor complementario de una componente Sea A = [aij ]( n . Aij es de orden (n − 1) × (n − 1) .2) 11.2. En consecuencia. es: M 11 = det (A11 ) = 2 − 21 = −19. A13 = ⎢ ⎥ . que corresponde a la componente 3. y lo denotamos por M ij . es: M 13 = det (A13 ) = 0 + 2 = 2. que corresponde a la componente −5. A13 . es: M 12 = det (A12 ) = 0 + 6 = 6. A21 . ⎡1 3 ⎤ ⎡ 0 3⎤ ⎡ 0 1⎤ A11 = ⎢ ⎥ . El menor complementario de a13 . que corresponde a la componente 0.3 ( ) Determinemos las matrices A11 . tenemos: El menor complementario de a11. Esto es. es: M 21 = det (A21 ) = 4 + 35 = 39. Módulo 11: La función determinante: dominio y codominio táneamente en A la fila de orden i y la columna de orden j. A31.2) ⎣ −2 2⎦ ( 2.2) ⎣ ⎦ ( 2. C 21 = ( − 1) 2 +1 M 21 = ( − 1) × 39 = − 39. De acuerdo al valor de i seleccionado. 1 ≤ j ≤ n. n ) . La primera fórmula se puede evaluar de n formas diferentes.3 Cofactor asociado a una componente Sea A = [aij ]( n .2. Así. Cada una de las fórmulas indicadas nos proporcionan un valor único para cada matriz A( n . n ) . Teorema 2: Cálculo del determinante de una matriz mediante la expansión por cofactores Para n ≥ 2. definimos det : R n×n ⎯⎯⎯→ R ⎧ n ⎪ ∑ aij Cij . Cij = (−1)i + j det ( Aij ) . al núme- ro real correspondiente a (−1)i + j det (Aij ) . si se fija i =1. Llamamos cofactor asociado a la componente aij . la expansión se efectúa para los 154 . tenemos: C11 = ( − 1)1+1 M 11 = 1 × ( − 19) = − 19. C13 = ( − 1)1+ 3 M 13 = 1 × 2 = 2. pero i fijo ⎪ j =1 A = [aij ]( n. Esto es. 2. pero j fijo ⎪⎩∑ i =1 ij ij Observaciones 1. C12 = ( − 1)1+ 2 M 12 = ( − 1) × 6 = − 6. n ) → det (A) = ⎨ n ⎪ a C . C 31 = ( − 1) 3 +1 M 31 = 1 × 11 = 11. según el valor particular que se fije para i entre 1 y n.Capítulo 3: La función determinante 11. diremos que el cálculo del determi- nante se desarrolla mediante expansión por cofactores sobre la fila del orden seleccionado. Ilustración 4 Con relación a la matriz A de la ilustración 2 y a los menores complementarios determinados en la ilustración 3. y lo denotamos por Cij . 1 ≤ i ≤ n. j =1 3 ∑a j =1 1j C1 j = a11C11 + a12 C12 + a13C13 = 3 ⋅ (−19) + 2 ⋅ (−6) + (−5) ⋅ (2) (valores determinados en la ilustración 4) = −79. 2. con i = 1. Se deja al lector calcular el determinante de la matriz A por otra fila cualquiera y por otra columna cualquiera. Solución 1. diremos que el cálculo del determi- nante se desarrolla mediante expansión por cofactores sobre la columna del orden seleccionado. 3. la expansión se efectúa por los cofactores de la primera columna y así para las demás. 4. correspondiendo éstas a la expansión por cualquiera de las n columnas o cualquiera de las n filas. En concordancia con lo establecido en los numerales anteriores. Evaluemos el determinante con la segunda fórmula así: 3 det (A) = ∑ aij Cij . entre 1 y n. i =1 3 ∑a C i =1 i1 i1 = a11C11 + a21C21 + a31C31 = 3 ⋅ (−19) + 0 + (−2) ⋅ (11) = −79. La segunda fórmula se puede evaluar análogamente de n formas diferentes. Geometría vectorial y analítica 155 . Sobre la columna 2. Ilustración 5 ⎡ 3 2 −5 ⎤ Calculemos el determinante de A = ⎢⎢ 0 1 3 ⎥⎥ utilizando la expansión por ⎣⎢ −2 7 2 ⎥⎦ ( 3. Módulo 11: La función determinante: dominio y codominio cofactores de la primera fila y así para las demás.con j = 1. De acuerdo al valor de j seleccionado. Evaluemos el determinante en la primera fórmula así: 3 det (A) = ∑ aij Cij .3) cofactores así: 1. según el valor particular que se fije para j. si se fija j =1. Sobre la fila 1. Así. el determi- nante de una matriz de orden n × n se puede calcular de 2n formas distintas. 2. 1 ≤ j ≤ n. en términos como cofactor y menor asociado. 3. entonces det (AT ) = det (A) . en ocasiones puede ser necesario tener la visión completa de los términos primitivos que la integran. Si A( n . entonces su determinante es igual a cero. j =1 n Expansión por columnas: det (A) = ∑ ( −1)i + j aij det (Aij ). Por esta razón consideramos pertinente expresarla también en estas formas: n Expansión por filas: det (A) = ∑ (−1)i + j aij det ( Aij ). respectivamente. que se inician en los dos elementos siguientes de la primera fila de A.3) Paso 1 Se amplía la matriz A. Las fórmulas establecidas en el teorema 2. Se deja al lector la justificación de los corolarios propuestos. a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 Paso 2 Se determina la diagonal principal del nuevo arreglo y las diagonales paralelas a ella. Si una matriz cuadrada tiene al menos una fila o una columna nula. El determinante de una matriz triangular inferior o superior es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. 2. con i =1 j : fijo. aunque recogen los resultados en forma sintética de un proceso previo. que opera así: ⎡ a11 a12 a13 ⎤ Dada A = ⎢⎢ a21 a22 a23 ⎥⎥ ⎢⎣ a31 a32 a33 ⎥⎦ (3.Capítulo 3: La función determinante Corolarios 1. conocido como la regla de Sarrus. 2. Observaciones 1. colocando estrictamente a continuación de la columna 3 las columnas 1 y 2. 1 ≤ i ≤ n. con i :fijo. 156 . Para el cálculo de una matriz de orden 3 × 3 se puede utilizar un algoritmo muy sencillo. n ) . Extendió el método de las Paso 3 variaciones a las integrales múltiples para resolver el problema de determinar el máximo de una función. Su obra más conocida es Método para hallar las condiciones de Se determina la diagonal secundaria del nuevo arreglo y las diagonales integrabilidad de una ecuación diferencial. Ilustración 6 ⎡ 2 −1 3 5⎤ ⎢0 1 7 −2 ⎥⎥ Dada A = ⎢ calculemos su determinante. Sarrus demostró el lema fundamental del cálculo de variaciones y publicó numerosas obras sobre la resolución de ecuaciones de varias incógnitas. utilizada para el cálculo de determinantes. Se efectúan los productos de los elementos que se encuentran sobre las segundas diagonales y se obtiene su suma algebraica. que se inician en los dos elementos siguientes de la última también sus estudios de las órbitas de los cometas. a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 Paso 4 Se efectúan los productos de los elementos que se encuentran sobre las primeras diagonales y se obtiene su suma algebraica. Módulo 11: La función determinante: dominio y codominio a11 a12 a13 a11 a12 Pierre Frédérique Sarrus a21 a22 a23 a21 a22 El matemático francés Pierre Frédérique Sarrus nació y a31 a32 a33 a31 a32 murió en Saint-Afrique (1798-1861). Por ello se preceden también los resultados de las primeras flechas con signo (+) y los de las segundas con el signo (–). Destacables son paralelas a ella. ⎢ 1 −5 1 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 3 4 −2 ⎦ Solución Para simplificar los cálculos procedemos a efectuar la expansión por los cofactores de la primera columna puesto que ésta presenta dos términos iguales a cero que reducen notablemente el número de operaciones. Finalmente. a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 det (A) = (a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ a32 ) − (a31 ⋅ a22 ⋅ a13 + a32 ⋅ a23 ⋅ a11 + a33 ⋅ a21 ⋅ a12 ). fila de A. al resultado en la primera suma se le resta el resultado de la segunda suma. A él se le debe la «regla de Sarrus». Geometría vectorial y analítica 157 . 14 –18 20 Luego det (A) = 2 ⋅ (−9) + (−91) = −18 − 91 = −109. –6 4 70 1 7 −2 1 7 −5 1 1 −5 1 = (−2 + 21 + 40) − (−6 + 4 + 70) 3 4 −2 3 4 –2 21 40 = 59 − (68) = −9. con j = 1 i =1 4 = ∑ (−1)i +1 ai1det (Ai1 ) i =1 = (−1) 2 i 2 idet (A11 ) + 0 + (−1)3+1 i 1 i det (A31 ) 1 7 −2 −1 3 5 = 2 −5 1 1 + 1 1 7 −2 3 4 −2 3 4 −2 Apliquemos la regla de Sarrus a cada determinante. 105 8 –6 −1 3 5 −1 3 1 7 −2 1 7 = (14 − 18 + 20) − (105 + 8 − 6) 3 4 −2 3 4 = 16 − (107) = −91. 158 .Capítulo 3: La función determinante 4 det (A) = ∑ (−1)i + j aij det (Aij ) 1 ≤ j ≤ 4. Al respecto consideramos importante traer una cita del profesor Bernard Kolman: Vea el módulo 12 del programa de «La mayor parte de los problemas del álgebra lineal de tamaño considerable se televisión Geometría vectorial y analítica resuelven con computadoras. solamente son temporales. Procedimiento para evaluar el determinante 12 utilizando matrices elementales Introducción 1. y en su Teoría analítica de las probabilidades expuso el método de los «mínimos A su vez cada determinante de orden 5 × 5 requiere para su cálculo por expan. Este número es demasiado grande para una matriz de un orden tan pequeño. París. cada uno de los cuales está expresado en términos su tratado Mecánica celeste resumió y sistematizó las investigaciones en gravitación de varias generaciones de del determinante de una submatriz de orden 5 × 5. Normandía. como los cometas. Supongamos que vamos a calcular el determi. ministro. sino que interaccionan entre sí j =1 de diversas formas. conocérsele como el Newton de Francia y sus principales En consecuencia. Demostró que los movimientos planetarios son estables y que las perturbaciones producidas = (−1) 2 a11 det ( A11 ) + (−1)3 a12 det ( A12 ) + . marqués. cada uno de los cuales se expresa a su vez en términos del (transformación que asocia a cada función real una función determinante de una submatriz de orden 4 × 4. Lavoisier (considerado el fundador de la química moderna) dirigió experimentos sobre la acción capilar y sobre el calor Lo anterior nos permite concluir que el número de productos requeridos en el cálculo específico. cada uno de los cuales se expresa en términos de un determinante de colaboración con el químico francés Antoine Laurent de orden 2 × 2 cuyo cálculo es inmediato. (Francia). y se destacó como astrónomo y matemático. A los 24 años de edad Laplace era un estudioso de la aplicación Asumamos el desarrollo por expansión sobre la fila 1. siendo desde luego el resultado único e igual al que hemos presentado en el teorema 2. senador. el cálculo mediante expansión de un determinante de orden 3 × 3 requiere el comportamiento de los gases y la capilaridad. en la cual ninguna de sus componentes es igual a cero. que ha demostrado ser una de las herramientas más útiles en el estudio de las ecuaciones diferenciales Ahora el cálculo del determinante de una matriz 4 × 4 requiere cuatro sumandos. de modo que es natural comparar dos métodos esti- Geometría vectorial y analítica 159 . sin preferencia. lo. Cualquiera de las definiciones que se utilizan para evaluar la función determinante tiene Pierre Simon Laplace nació el 28 de marzo de 1749 en un problema práctico y es el alto número de operaciones que demanda su cálcu. por cualquier fila o co.6) . 3 × 3. Finalmente. podemos hacer expansión. cada lineales. 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 6! (6 factorial) Pierre Simon de Laplace murió el 5 de marzo de 1827 en = 720. Veamos un caso muy sencillo. Este resultado se conoce en física como la «ley de Laplace». pero sobre todo.. La función determinante puede definirse también mediante las permutaciones. Su fama fue tal que llegó a nante de una matriz A( 6. matemáticos ilustres. de la ley de gravitación de Newton al sistema solar como un 6 1+ j sistema en el que los planetas y sus satélites no están det ( A) = ∑ (−1) a1 j · det ( A j ) 1 gobernados sólo por el Sol. lo que nos confirma las dificultades prácticas de este método. probabilidades. Pierre Simon Laplace 2. compleja). Laplace fue conde. científico. + (−1)7 a16 det ( A16 ). la termoquímica. En que comprende seis sumandos. En tres sumandos. campos de interés fueron la mecánica celeste y la teoría de lumna. Esta transformada se utiliza frecuentemente en uno de ellos expresado en términos del determinante de una submatriz de orden análisis de circuitos eléctricos y en servosistemas. cuadrados» y su famosa «transformada de Laplace» sión cinco sumandos. y llegó a establecer la relación que expresa la del determinante de esta matriz es igual a: presión capilar ejercida sobre una superficie líquida curvada. Laplace también hizo aportes a la ciencia en campos tan diversos como el electromagnetismo. por la influencia mutua de los planetas o por cuerpos externos.. Para n > 5.. n). Por otro lado. lo que nos obliga a encontrar un método eficiente para su cálculo. cual es la determinación de los valores y los vectores propios para A( n× n ) . Objetivos del módulo 1. en forma eficiente. 2.L. el cual se puede desarrollar con respecto a cualquier fila o columna dados. que requiere 24 multiplicaciones. con n de cualquier orden. con frecuencia se utiliza el número de multiplicaciones como base para comparar dos procedimientos numéricos. reduciendo la misma matriz mediante el método de reducción por Gauss-Jordan a una matriz triangular superior cuyo determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. 3. este procedimiento requiere cerca de 253 / 3 multiplicaciones y hallaríamos la solución en menos de un segundo. Así. 25).( n× n ) (cuando la matriz de coeficientes es invertible) por medio de fórmulas o ecuaciones únicas.. basado en el método de reducción de Gauss-Jordan y que fundamentaremos teóricamente a continuación. Como la suma es mucho más rápida que la multiplicación.Capítulo 3: La función determinante mando el tiempo de cómputo para el mismo problema.E. 160 .000 años en evaluar el det (A). del determinante de una matriz n × n para cualquier valor de n. cada determinante en cada sumando corresponde a una matriz de orden 24 × 24. aunque teóricamente viable. digamos. Todo lo anterior nos muestra cómo el cálculo del determinante por el método de expansión por cofactores.. objeto de estudio del álgebra lineal. Por supuesto. la importancia de los determinantes no recae en su uso computacional.15 × 1019 por año). Como veremos posteriormente los métodos con determinantes permiten expresar la inversa de una matriz y la solución de un S . Ahora. Obsérvese que si se dispone de cada cofactor. + ( − 1) 26 a1 25 det ( A1 25 ). Consideremos el cálculo del determinante de A (25. Presentar nuevamente el algoritmo de Gauss-Jordan como una vía óptima y alterna en el cálculo del determinante de A(n.. × 2 × 1 = 25! multiplicaciones. el cálculo de det (A) necesita más de 25 × 24 × . det ( A ) = ( − 1)1 + 1 a11 det ( A11 ) + ( − 1) 3 a12 det ( A12 ) + . necesitamos 25 multiplicaciones. 3. donde hemos desarrollado el det (A) por la primera fila. los métodos que utili- zan determinantes son mucho menos eficientes que el de la reducción de Gauss- Jordan»1. n ≥ 4 . Otra razón importante para el estudio de los determinantes es que éstos desempe- ñan un papel central en el estudio del tercer problema general. se hace en la práctica imposible para matrices de órdenes incluso no muy grandes. Destacar nuevamente el papel fundamental que desempeñan las matrices elementales y las matrices equivalentes en el cálculo. Aunque fuésemos a utilizar una computadora del futuro (futuro no tan lejano) capaz de realizar 1012 multiplicaciones por segundo (3. n). Mostrar la necesidad real de recurrir a un método diferente a la expansión por cofactores para evaluar el determinante para A(n. En general. Podemos hacer esto median- te el desarrollo por cofactores. si estamos buscando respuestas numéricas. entonces se puede emplear cualquier método con determinantes para n ≤ 4. tarda- ría cerca de 49. lo que es fundamental en el trabajo teórico cuando no se busca solamente un resultado numérico. ¿En qué consiste el algoritmo abreviado? Contenidos del módulo 12. Álgebra lineal con aplicaciones y matlab. 118. ¿Por qué no es posible en la práctica evaluar siempre el det (A)(n × n) por cofactores? 2. ¿Cuál es el algoritmo general para evaluar el determinante de A(n.2 Algoritmo general para el cálculo del determinante por matrices elementales 1.. Kolman B.1 Procedimiento general para evaluar el det (A)(n × n). n) siendo n de cualquier orden? 4. Módulo 12: Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales Preguntas básicas 1. 6. p. Geometría vectorial y analítica 161 .a ed. ¿Cuáles son los determinantes de las matrices elementales? 3. utilizando matrices elementales 12. ¿Se resuelve en esta forma el problema práctico presentado en el método de expansión por cofactores? 6. México: Prentice Hall. ¿En qué se fundamenta el algoritmo general? 5. 3. A j + Ai . Si en una matriz A se intercambian dos filas cualesquiera o.. Demostración de 1 Sea A( n× n ) . det (B) = 0 (por A-1. Definamos a su vez una matriz B.. An ).Capítulo 3: La función determinante 12... si se le aplica una operación elemental tipo 2. entonces el determinante de la nueva matriz es igual al determinante de la matriz A..1 Procedimiento general para evaluar el det (A)(n x n) utilizando matrices elementales Teorema 3: Propiedades de la función determinante Escuche más sobre Augustin Louis Cauchy en su Sea A(n x n).. así: A = ( A1 .. Si en una matriz A a una fila cualquiera se le suma un múltiplo escalar de otra fila o. A2 . Expresemos esta matriz mediante la notación por filas.. det ( Fij (λ ) A) = det ( A). 3. entonces se cumplen: multimedia de Geometría vectorial y analítica. Las propiedades enunciadas podemos interpretarlas así: 1. Ai .. 2. An ).... A2 . si se aplica una operación elemental del tipo 1. podemos afirmar que: det ( B ) = det ( A1 .. Aj .. superando los problemas ya analizados. ¿porqué?).. An ) (aplicando A-3). lo que es equivalente. An . y denotémosla por filas. si se le aplica una operación elemental de tipo 3. multiplicado por − 1. λ ≠ 0...... A su vez. Si en una matriz A una fila se multiplica por un real λ ... A2 . A2 .. ) + det ( A1 .. det ( Fij A) = − 1det ( A).. así: B = ( A1 . o. Ai . Por ser este teorema la piedra angular sobre la cual fundamentaremos un procedi- miento óptimo para el cálculo de la función determinante.. lo que es equivalente. Aj + Ai . entonces el determinante de la nueva matriz es igual al determinante de A. 162 . 1. A j + Ai . det ( Fi (λ ) A) = λ det ( A)... lo que es equivalente.. procederemos a su demostración.. 2. entonces el determinante de la nueva matriz queda multiplicado por λ . Ai + A j .. A j .. . Geometría vectorial y analítica 163 .. Aj . λ Ai .. An ) (aplicando nuevamente A-3). Demostración de 3 Sea A( n× n ) .. Aj . Ai ... An ) (aplicando A-1)... Ai . A su vez: det ( B ) = λ det ( A1 .. λ ≠ 0.. Ai . Luego det B = det ( A1 ...... 2.. An ) + det ( A1 .. Aj .. Módulo 12: Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales y a su vez se tiene que: det ( B ) = ( A1 .. A2 .. Ai .. An ) + 0 + 0 + det ( A1 .. 3. An ) (aplicando A-2... Ai ..... A2 . Ai . Aj . Ai . en consecuencia....... A2 . Ai . Ai .... A2 .... An ) (aplicando A-3). det ( Fij A) = −1det ( A).. An ) + det ( A1 . pero esto corresponde a): det ( B ) = 0 + det ( A) (por aplicación de A-1). Ahora.... An ). Ai . An ) .... Ai ..... Definamos una matriz B designada por filas como: B = ( A1 . tenemos: 0 = det ( A1 . A2 ... Ai ... Corolario 1: Determinante de las matrices elementales 1.. lo que nos permite concluir que det ( Fij (λ )) = det ( A). A2 .. A j . Aj ...... A2 . A2 ..... Aj .... esto significa que B = ( Fij (λ ) A) (¿por qué?).. Ai .. det ( Fij ) = − 1.. A2 ......... Pero en la ecuación anterior tenemos que: 0 = det ( A) + det ( Fij A) (¿por qué?) y. det ( Fi (λ )) = λ ..... A2 . An ) + det ( A1 . A2 . det ( Fij (λ )) = 1.. por transitividad en la expresión inicial para el det (B).... La demostración de 2 es inmediata y se deja al lector. An ) + det ( A1 . que expresada mediante la notación por filas corresponde a: A = ( A1 .... Aj . λ Ai + A j . A j .. A2 . An ) + det ( A1 ..... Fn ∈ n× n donde todas las matrices son elementales. ·. det ( Fij ) = −1det ( I ( n× n ) ) (por lo afirmado en la parte 1 del teorema 3). det (F · A) = det (F) · det (A).. Luego det ( Fij ) = − 1 (¿por qué?). 2. Ahora podemos afirmar que los determinantes de las matrices elementales son valores elementales. Demostración Procedamos por el método de casos y consideremos inicialmente F = Fij. esto es lo que ha sido probado en la parte 1 de este mismo corolario. ·. entonces det ( Fn . En efecto. En forma análoga se puede proceder en las demostraciones de los otros dos casos. donde F es una matriz elemental de uno cualquiera de los tres tipos. det ( Fij ) = det ( Fij I ( n× n ) ) (aplicando la función determinante en la igualdad inicial)..· det ( F1 ) · det ( A ). La demostración se efectúa por inducción matemática así: Paso 1 Verifiquemos que la propiedad se cumple para n = 1. Corolario 2 1. que nuevamente las matrices elemen- tales desempeñan un papel fundamental. A( n . Fij = Fij I ( n×n ) por la propiedad modulativa de I ( n×n) . reduciéndose a 1. entonces tenemos: det ( Fij A) = −1 ·det ( A) (por el teorema 3. de las proposiciones anteriores. entonces. F2 .. 164 . − 1 o λ .. de acuerdo a las convenciones establecidas. Esto es. Generalizando el resultado anterior tenemos: Si . como tuvimos ya la oportunidad de estu- diarlo con relación a sus inversas. F( n× n ) . Sean A( n× n ) .· F2 · F1 · A ) = det ( Fn ) . parte 1) = det ( Fij ) · det ( A) (sustituyendo a partir del numeral 1 del co- rolario 1). Demostración de 1 Sea F i j ( n × n ) una matriz elemental tipo 1.... n ) y F1 . Las demostraciones de los otros dos corolarios son muy sencillas y se dejan al lector. (λ ≠ 0). que det ( F1 A) = det ( F1 ) · det ( A)..Capítulo 3: La función determinante Se concluye. ·F2 · F1 · A) = det ( Fk ) · det ( Fk −1 )·..·det ( F1 ) · det ( A).. Probemos que la propiedad se cumple para n = k + 1.· det ( F2 ) · det ( F1 ) Geometría vectorial y analítica 165 ..· det ( F1 ) · det( A)) (sustituyendo de la hipó- tesis de inducción).. i =1 n ∏t ii det ( A) = i =1 .· F1 · A) (demostrado en el paso 1. Paso 2 Se aplican los corolarios del teorema 3 y se despeja det (A).· F1 · A)) (asociatividad en el producto matricial). = det ( Fk +1 ) · det ( Fk ·... Conclusión det ( Fk +1 · Fk ·..· F1 · A) = det ( Fk +1 ) · det ( Fk ) ·....... Paso 1 Se reduce la matriz A mediante operaciones elementales hasta llevarla a una matriz triangular superior equivalente.· F1 · A) = det ( Fk +1 ·( Fk ·.. n ) ...·det ( F2 ) ·det ( F1 ) · det ( A) = ∏ tii .·F2 · F1 · A) = det (T ).. que puede calcularse en el computador en menos de un segundo por el número reducido de operaciones que conlleva.· F2 · F1 · A = T( n . ¿por qué?) = det ( Fk +1 ) · (det ( Fk )·. En efecto: det ( Fk +1 · Fk ·. T.. que det ( Fk ·. Módulo 12: Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales Paso 2 Supongamos que la propiedad se cumple para n = k (hipótesis de induc- ción). det ( Fk ) ·.· det ( F1 ) · det ( A). Esto es: det ( Fk ·...2 Algoritmo general para el cálculo del determinante por matrices elementales Sea A( n× n ) la matriz problema.... n det ( Fk ) ·. 12. así: Fk ·. Esto es.. El teorema 3 y sus corolarios nos permiten fundamentar un algoritmo práctico y eficiente en el caso de matrices de órdenes grandes. Luego det (A) = 1. tangentes. el análisis infinitesimal adquirió bases sólidas. Evaluemos el det (A). Numerosos términos matemáticos llevan el nombre de este famoso matemático: el teorema integral de Cauchy. también investigó la A = ⎢ 3 10 −1⎥ . ⎡ 2 −1 3 5⎤ población cercana a París. curvas sin 1 × 1 × 1 · det ( A) = 1. Solución ⎡2 −1 3 5 ⎤ ⎡2 −1 3 5 ⎤ ⎢0 1 7 − 2 ⎥ − 2 E1 + E3 ⎢⎢ 0 ⎥ 1 1 7 − 2 ⎥⎥ 92 E 2 + E3 ⎢ ⎯⎯ ⎯ ⎯ → ⎯⎯ ⎯ ⎯ → ⎢1 −5 1 1 ⎥ ⎢0 − 92 − 12 − 3 2 ⎥ −3 E2 + E4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 3 4 −2 ⎦ ⎣0 3 4 −2 ⎦ ⎡2 −1 3 5 ⎤ ⎡ 2 −1 3 5 ⎤ ⎢ −2 ⎥ ⎥ 17 ⎢ −2 ⎥⎥ ⎢0 1 7 0 1 7 E3 + E4 ⎯⎯⎯⎯ 31 →⎢ . 1×1×1×1 62 166 . para fundarla sobre la det ( F21 (−3)· F13 (2) · F12 (−3) · A) = det (T ). de límite y de Solución continuidad en la forma en que se conocen actualmente. det (T ) ( − 109) det ( B ) = = 2 × 1 × 31 × = −109.Capítulo 3: La función determinante Augustin Louis Cauchy Ilustración 7 El matemático y astrónomo francés Augustin Louis Cauchy ⎡ 1 3 −2 ⎤ ⎡1 0 −17 ⎤ nació el 21 de agosto de 1789 en París. En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. tal que F ( −3)· F (2) · F ( −3) A = T = ⎢0 1 5 ⎥ . Pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos.4) Calculemos el det (B) utilizando el algoritmo mediante la reducción a una matriz triangular superior. las ecuaciones de Cauchy-Riemann y las secuencias de Cauchy. las Sea ⎢ ⎥ 21 13 12 ⎢ ⎥ ecuaciones diferenciales. geométrica que entonces quedó eliminada. Cauchy precisó los conceptos de función. tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal. ⎢0 1 7 −2 ⎥⎥ Sea B = ⎢ ⎢ 1 −5 1 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 3 4 −2 ⎦ (4. convergencia y la divergencia de las series infinitas. algebraica o no. Gracias a Cauchy. es decir. de acuerdo a este último procedimiento. que en aquellos tiempos estaban apoyados en una intuición det ( F21 (−3)) · det ( F13 (2)) · det ( F12 (−3)) · det ( A) = det (T ). Los conceptos aritméticos otorgaron rigor a los fundamentos del análisis. la probabilidad ⎢⎣ −2 −6 5 ⎥⎦ (3×3) ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ y la física matemática. ⎢0 0 31 − 21 2 ⎥ ⎢ 0 0 31 − 21 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 − 17 4 ⎦ ⎣ 0 0 0 − 109 62 ⎦ La ecuación matricial que relaciona estas matrices es: F34 (17 / 31) · F24 (−3) · F23 (9 / 2) · F13 (−1/ 2) · B = T . Ilustración 8 Augustin Louis Cauchy falleció el 23 de mayo 1857 en Sceaux. noción de correspondencia. sobre todo cuando más tarde sufrió un rudo golpe al demostrarse que había funciones continuas sin derivadas. las determinantes. ⎢ ⎥ ⎢0 3 0 4 0⎥ ⎢⎣ 8 0 0 0 9 ⎥⎦ (5. Ilustración 9 ⎡0 0 5 0 0⎤ ⎢0 6 0 7 0 ⎥⎥ ⎢ 1. T designa la matriz triangular superior equivalente a la matriz inicial A.· = f1 · f2 ⋅ . Podemos resumir el esquema operativo del algoritmo abreviado así: Sea A(nxn) la matriz problema.. Solución 0 0 5 0 0 1 0 0 0 2 0 6 0 7 0 0 6 0 7 0 A = 1 0 0 0 2 = −1 × 1 0 0 5 0 0 0 3 0 4 0 0 3 0 4 0 8 0 0 0 9 0 0 0 0 −7 Operación tipo 1 entre filas 1 y 3 Operación tipo 3 entre filas 1 y 5 Geometría vectorial y analítica 167 .. en particular el hecho de que la aplicación de una operación elemental tipo 3 no afecta el valor del determinante en la matriz a la cual se le aplica. En la expresión anterior..5) calculemos el det (A) aplicando el algoritmo abreviado. −1 o λ . que corresponde en cada caso a un número real: 1. f1 designa el factor afectante. Módulo 12: Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales Observaciones 1. Ei designa la matriz equivalente a A que se obtiene al aplicar en cada paso una operación elemental. A = f1 · E1 = f1 · f2 · E2 = f1 · f 2 · f3 E3 = ·. 3. El algoritmo anterior puede simplificarse aún más reduciendo la matriz problema a una matriz triangular superior y aplicando únicamente los resultados del teorema 3.. Dada la matriz A = ⎢ 1 0 0 0 2⎥ . manteniendo siempre la igualdad entre el determinante de la matriz problema inicial y la matriz triangular superior equivalente. según la propiedad aplicada. lo que implica que en lugar de dividir por algún coeficiente para obtener un «1» principal. Se aprovecha de esta forma el valor de los determinantes de las matrices elementales. ⋅ fk T . sólo se factorizará por el valor requerido sobre la fila respectiva. 2. Capítulo 3: La función determinante 1 0 0 0 2 0 1 0 7 6 0 = −1 × 1 × 6 · 0 0 5 0 0 Propiedad 2 en fila 2 0 3 0 4 0 0 0 0 0 −7 1 0 0 0 2 0 1 0 7 6 0 = −1 × 1 × 6 × 1 · 0 0 5 0 0 Operación tipo 3 entre filas 2 y 4 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 −7 1 = −6 × 5 × × (−7) = 105. 0 2 1 −1 1 0 0 −1 Operación tipo 3 entre las filas 2 y 4 0 2 −3 5 = − 18 × 0 0 −4 7 0 0 4 −6 168 . 2 ⎡1 2 −3 4 ⎤ ⎢18 0 0 −18⎥⎥ 2. Solución 1 2 −3 4 1 2 −3 4 18 0 0 −18 1 0 0 −1 B = = 18 · Propiedad 2 en fila 2 4 0 −4 3 4 0 −4 3 −3 2 1 2 −3 2 1 2 1 0 0 −1 1 2 −3 4 = 18 × ( − 1) Operación tipo 2 entre filas 1 y 2 4 0 −4 3 −3 2 1 2 1 0 0 −1 0 2 −3 5 Operaciones tipo 3 entre la fila1 = − 18 × 0 0 −4 7 y las filas 2. ⎢4 0 −4 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −3 2 1 2 ⎦ calculemos el det (B) aplicando el algoritmo abreviado. Dada la matriz B = ⎢ . respectivamente. 3 y 4. Módulo 12: Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales 1 0 0 −1 0 2 −3 5 Operación tipo 3 entre las filas 3 y 4 = − 18 × 0 0 −4 7 0 0 0 1 = −18 × 2 × (−4) = 144. Geometría vectorial y analítica 169 . 170 . se obtiene un método restringido en su aplicación. la función determinante aporta un nuevo criterio de invertibilidad para una matriz A( n× n ) . imposible. así como su carácter histórico. Capítulo 3 La función determinante 3 Contenido breve Módulo 11 La función determinante: dominio y codominio. aportando nuevos elementos a su solución. cativa de A( n . se constituyen en un campo de estudio importante en la matemática. En el mismo sentido. Los procedimientos o laciones con la inversa multipli- algoritmos utilizados para determinar el valor asignado y las aplicaciones de esta función. Nos referimos específicamente a la determinación del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. para el cual. Esta forma nos permite lograr una presentación coherente dentro de n× n las estructuras algebraicas que en todo momento hemos buscado precisar. a través de la función determinante. Además nos brinda una forma dinámica y ágil de comprender sus propiedades y facilita el cálculo de esta función. dado el alto número de operaciones que ésta involucra. conocido con el nombre de la regla de Cramer. pero de todas formas importante en el campo matemático. n ) Ejercicios Presentación Módulos 11 al 13 Presentamos la noción de determinante como una función definida del conjunto en . Módulo 12 Procedimiento para evaluar el de- terminante utilizando matrices ele- mentales Módulo 13 La función determinante y sus re- La función determinante le asigna a cada matriz cuadrada de componentes reales un número real único. que por otros medios puede ser. Esta orientación nos muestra además en una forma precisa y lógica cómo los dos problemas centrales estudiados en el capítulo anterior vuelven a ser revisados a la luz de la función determinante. a fin de que el lector tenga un dominio pleno de los objetos matemáticos que se operan. en la práctica. cual es que su determinante sea distinto de cero y la única fórmula matemática para el cálculo de la inversa multiplicativa de . cuando se trata de la construcción de teoremas o propiedades relacio- nadas con la inversa de una matriz. no significando esto que renunciaremos al rigor y el equilibrio que lo caracteriza. puesto que las demás herramientas estudiadas nos dotan de procedimientos algorítmicos eficientes para su cálculo específico. las propiedades y las aplicaciones de esta función que algunas demostraciones muy complicadas para el nivel de este texto. Estas razones nos conducen a destacar más la naturaleza.Capítulo 3: La función determinante A( n× n ) . cuando ésta existe. Este aporte es en sí mismo de gran importancia en la matemática. 146 . mas no para su construcción teórica. En este caso se trata de aportar nuevos elemen- El matemático suizo Gabriel Cramer nació en Ginebra en tos a la solución de este problema. n)? Contenidos del módulo 13.E. n). 4. ¿Por qué no siempre se utiliza la fórmula para calcular la inversa? 6. por medio de la función determinante? 2. En 1731 presentó en la Academia de Ciencias de París una memoria sobre las causas de la inclinación de las órbitas de los planetas. Editó las obras de los matemáticos Johann Bernoulli (1742) y Jacques Objetivos del módulo Bernoulli (1744). ¿Es siempre A adj (A) una matriz escalar? 4.1. cuyo estudio adelantamos ya en el capítulo 2. 3.E. ¿La regla de Cramer se puede aplicar para resolver cualquier S. ¿Hay una fórmula para calcular la inversa multiplicativa de una matriz? 5. y el Comercium epistolarum de Gottfried Wilhelm Leibniz. objetivo de estudio del álgebra lineal: la invertibilidad bajo la Gabriel Cramer operación producto de una matriz cuadrada. Mostrar la relación entre la función determinante y la inversa multiplicativa.E. 1724-1727. Lo propio 1704 y murió en Bagnols en 1752.2 La función determinante y sus relaciones con la determinación del conjunto solución de un S. y de filosofía en 1750. n) Vea el módulo 13 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 171 .1.1 Matriz de cofactores de A(n.L. n).L.1 La función determinante y sus relaciones con la inversa multiplicativa de una matriz cuadrada 13. análisis de las curvas algebraicas (1750). ¿En qué consiste la regla de Cramer? 8. En la Universidad de haremos con respecto al primer problema: la determinación del conjunto solución de un Ginebra fue profesor de matemáticas durante el periodo S.2 Matriz adjunta de A(n. 2. Construir y fundamentar la única fórmula matemática para calcular A–1. ¿Qué es una matriz de cofactores? ¿Qué es una matriz adjunta? 3. n) 13. Generalizar la función determinante al producto matricial. La función determinante y sus relaciones con 13 la inversa multiplicativa de A(n.L.(n.n ) Introducción Precisaremos a continuación las relaciones de la función determinante con las respuestas al segundo problema general. n) 13.(n. Su obra más conocida es Introducción al 1.L. Establecer la relación entre la función determinante y la determinación del conjunto solu- ción de un S.(n. aportando también un nuevo criterio.(n. Preguntas básicas 1.E. ¿Qué es más práctico en matrices de orden superior: el algoritmo de reducción de Gauss- Jordan o la fórmula? ¿Cuál es la importancia de ésta? 7. ¿Cómo se puede saber si una matriz es invertible. De niño demostró gran precocidad. Pasó todos sus exámenes con distinciones. compró un esqueleto para estudiar anatomía « ⇐ ». que su padre le inculcó el interés por las matemáticas y la teología. escritor.. y aplicando la fun- el problema empezara a preocuparlo.. y algunos de los maravillosos y ción determinante tenemos que: desconcertantes efectos de sus últimas obras fueron conseguidos por el modo como lo manejaba. da. lo que significa que Fk ·... ⋅ An ) = det ( A1 ) ⋅ .. matemático y lógico inglés conocido principalmente Vamos a estudiar nuevamente el problema de la invertibilidad de una matriz cuadra- por su inmortal creación Alicia en el país de las maravillas. y. Generalizando el resultado anterior tenemos: relacionados con el tiempo.. se casó. trabajo literario y empezó a escribir para distintas revistas. mantenía una prodigiosa correspondencia que tenía catalogada y llegó a ser uno de Teorema 5: Determinante de un producto matricial los mejores fotógrafos de su tiempo. aplicando el primer criterio de internacional de cambio de fecha. que incluía una prematura preocupación por el significado Teorema 4: Cuarto criterio de invertibilidad para una matriz A(n xn) de los logaritmos. excepcional en matemáticas y En consecuencia. y analizaremos un nuevo criterio y la Carroll nació en Daresbury.Capítulo 3: La función determinante 13. En enero de 1851 Carroll ingresó en el Christ Church College de Oxford. precedida por largos años de autoexamen y de recelos. Inglaterra. no llegó nunca a ordenarse sacerdote y su misma ordenación de diácono fue det ( Fk ) ·. Pero debido a que sus aficiones no eran las mismas de sus compañeros. no fue feliz en Rugby. Sin embargo.. Este era un problema real. Alicia creció. Una de ellas contiene curiosos artículos sobre rompecabezas matemáticos de diversos tipos. Usaba cinco razone por reducción al absurdo).. Su tartamudez y sus dudas doctrinales no fueron los únicos esto es. durante la A( n× n ) es invertible si y sólo si det ( A) ≠ 0. esta vez desde la función determinante.. Más tarde escribiría: Demostración «No sé si ninguna consideración humana podría inducirme a pasar de nuevo por estos tres años»..· F2 · F1 · A = I ( n× n ) . Allí estuvo 47 años.· F2 · F1 · A) = det ( I ( n× n ) ). Sea A( n× n ) . Siempre estuvo obsesionado por el tiempo. 172 . obstáculos que le impidieron entrar al sacerdocio. An ∈ ( n× n ) . además. Sus dos libros principales. surgidas precisamente y tercer hijo de una familia de once hermanos. Se propone al lector la demostración de la implicación recíproca (sugerencia: e instaló termómetros y estufas de gas en sus habitaciones porque sentía horror a las corrientes de aire.. aun cuando no destacase extraordinariamente como tal. Reunió una biblioteca de 5000 volúmenes. ensayos más controvertidos llamado «Un problema hemisférico» o «¿Dónde cambia el día de nombre?».. tartamudos.. y una enorme habilidad para inventar jeroglíficos matemáticos. Se refugió en su Demostremos inicialmente la implicación de izquierda a derecha « ⇒ ». que incluyen uno de sus Supongamos que A( n× n ) es invertible (hipótesis). se det ( Fk ) ·.· det ( F2 ) · det ( F1 ) · det ( A) = det ( I ( n× n ) ) = 1. donde también estudió. Carroll ingresó en un colegio privado en Richmond. El día cambia su nombre en la línea Podemos afirmar que A es equivalente a I ( n×n ) . entró a formar parte de su que se expresa también como: personal docente y en 1861 fue ordenado diácono de la Iglesia de Inglaterra. en 1832. Después de una temprana educación familiar. de lo cual podemos concluir que det ( A) ≠ 0 (¿por qué?). pero esta demarcación no fue inventada hasta 25 años más tarde después de que invertibilidad. Su profesión de matemático le gustaba más.· det ( F2 ) · det ( F1 ) · det ( A) = 1. todos ellos de esta función. resistía a someterse a ciertas reglas impuestas por la costumbre a los que se ordenaban sacerdotes. Sean A.1 La función determinante y sus relaciones con la inversa Lewis Carroll multiplicativa de una matriz cuadrada Lewis Carroll es el seudónimo de Charles Lutwidge Dodgson. tamaños de papel para escribir. primer varón única fórmula o ecuación matemática para su determinación. su amistad Si A1 . entonces. Alicia en el país de las maravillas 1. A2 . det ( A · B ) = det ( A) · det ( B ). det ( Fk ·. Fue un buen estudiante. hasta su muerte. En sus lecciones a los niños utilizaba un sistema de diapositivas de su invención. B ∈ ( n× n ) . son alegorías en las que están fundidos dos temas: su inexpresado amor por Alicia Liddell y la atracción que sentía por los misterios matemáticos 2.... aceptable en disciplinas clásicas. una gran afición por las marionetas y los espectáculos mágicos. A( n× n ) no es invertible si y sólo si det ( A) = 0. Su padre era un clérigo acomodado que ascendió a archidiácono. y La caza del Snak. ⋅ det ( An ). entonces det ( A1 · A2 ⋅ .. tenía mucho tiempo para llevar hasta sus últimas y absurdas consecuencias cualquier inofensiva fantasía. que ( Fk ·. por el segundo criterio de cosas. un libro entero debe significar mucho más de lo que su autor cree». y multiplicando a la derecha por B tenemos también trabajaba en la cama sin luz.· F1 · B ) = det ( A · B ) (3) respiratorias y murió ocho días después. más intolerante y difícil. Asumiendo que A no es invertible. Imaginaba sin cesar sistemas para mejorar como un producto de matrices elementales. No obstante.. rompecabezas y En este caso A y B son invertibles y en consecuencia A se puede expresar paradojas lógicas.. Sustituyendo este resultado en la ecuación (4). concluimos que: det ( A) · det ( B) = det ( A · B). b. Conclusión: det ( A · B) = det ( A) · det ( B). Como padecía de insomnio crónico y su salud era invertibilidad.. se hizo más susceptible. (2) mantenía la escritura recta y la pluma sobre el papel. La demostración de la proposición del numeral 2 se efectúa por el método de induc- ción matemática y se deja al lector. y en consecuencia. Fue evadiéndose cada vez más del mundo real a otro imaginario de juegos.. literarias y de imaginación.· F1 = A (1) el hábito de trabajar durante toda la noche en su escritorio. Esto significa que excelente. Carroll escribió: «Las palabras tienen más y esto nos conduce a: sentido del que nosotros les damos al usarlas. salieron años después de su pluma. ésta. A medida que fue entrando en años. por det ( Fk ) ·. tenemos que: det ( A · B) = 0 y det ( A) = 0 . a. para enjuiciar sus propias y extrañas obras maestras.· det ( F1 ) · det ( B ) = det ( A · B) (4) consiguiente. En este caso A no es invertible o B no es invertible. afirmamos que det ( Fk ) ·.· det ( F1 ) = det ( A) (5). aplicando la función determinante en la ecuación (1) y por la misma razón exhibida en el paso anterior. Ninguna opinión tan profunda como (por el corolario 2 del teorema 3). det ( A · B) = det ( A) · det ( B) (¿por qué?) (lo mismo ocurre si asumi- mos que B no es invertible). Tenía Fk ·.· F1 ) · B = A · B .. Corolario 1 Si A( n× n ) es invertible.. varias obras de matemáticas... Analicemos dos casos posibles para el producto A · B. det ( A) Geometría vectorial y analítica 173 . Aplicamos ahora la función determinante: El 6 de enero de 1898 contrajo una infección de vías det ( Fk ·.. En una carta dirigida a un amigo. Si A · B es invertible. con ayuda de un instrumento de su propia invención llamado nictógrafo. entonces det ( A−1 ) = . Ahora.. Si A · B no es invertible. n) Demostración de 1 con ella se acabó y también su inspiración. Módulo 13: La función determinante y sus relaciones con la inversa multiplicativa de A(n. 7 2 174 . del teorema inmediatamente anterior podemos afirmar que: det ( A) · det ( A−1 ) = 1 y concluimos que: 1 det ( A−1 ) = . 3) Calculemos A .Capítulo 3: La función determinante Demostración Supongamos que A( n× n ) es invertible (hipótesis).1 Matriz de cofactores de A(n. n) . y aplicando la función de- terminante en esta ecuación tenemos que: det ( A · A−1 ) = det ( I ( nxn ) ) = 1. 13. Definimos la «matriz de cofactores de A» y la denotamos por A así: A = ⎡⎣Cij ⎤⎦ . Luego existe A−1 tal que A · A−1 = I ( n×n ) (¿por qué?). ( n× n ) Ilustración 10 ⎡ 2 −1 2⎤ ⎢ 0 ⎥⎥ Sea A = ⎢ 3 5 ⎢⎣ −1 7 2 ⎥⎦ (3.1. det ( A) Veamos finalmente cómo la función determinante interviene en la construcción de la inversa multiplicativa de una matriz. donde Cij = (−1)i + j det ( Aij ). 3) 5 0 C11 = (−1) 2 det ( A11 ) = 1. Solución A = ⎡⎣Cij ⎤⎦ . Con este objetivo introduciremos los siguientes elementos. = 10. y por tanto tenemos: (3. n) Sea A( n. donde Cij = (−1)i + j det ( Aij ). −1 2 El matemático escocés Colin Maclaurin nació en Kilmodan en 1698 y murió en 1746 en Edimburgo. Este teorema establece que el producto de una matriz por su adjunta es igual a una matriz escalar. donde el escalar corresponde al inverso multiplicativo del determinante de la misma. el papel absoluto que en ella desempeña la función determinante. Esto es. Podemos observar en la estruc- tura de la fórmula. En su Tratado de álgebra.3) La curva conocida como «trisectriz de Maclaurin» fue estudiada por él en 1742. publicada en 1720. obra póstuma aparecida dos años después de su muerte. y aunque hoy en Sea A( n× n ) día con las nuevas tecnologías es realmente fácil hacerla con mucha precisión. tratando de solucionar el problema de la trisección del ángulo. universitarios a la edad de 11 años. ⎢⎣ −10 6 13 ⎥⎦ (3. Geometría vectorial y analítica 175 . Y hay que decir 13. pues la curva que inventó no se puede trazar sólo con regla y compás.1. Corolario: Fórmula única para la determinación de la inversa de una matriz ⎛ 1 ⎞ Si A( n×n ) es invertible. pero no como los antiguos griegos querían. entonces A−1 = ⎜⎜ ⎟⎟ · adj ( A). Expuso un original método de generación de las cónicas en su obra Geometría orgánica.2 Matriz adjunta de A(n. entonces. El lector puede verificar que los cofactores restantes son los que se indican a y sentó las bases para una fundamentación lógica del cálculo infinitesimal en el Tratado de las fluxiones. A · adj ( A) = det ( A) · I( n×n) . aparecida dos continuación: años más tarde. n) que efectivamente consiguió trisecar un ángulo. ⎡10 16 −10 ⎤ adj ( A) = ( A) = ⎢⎢ −6 6 T 6 ⎥⎥ ⎢⎣ 26 −13 13 ⎥⎦ (3. De ahí su nombre. cuyo valor constante corresponde al determinante de la matriz A. = − 6. = 26. la matriz A . Módulo 13: La función determinante y sus relaciones con la inversa multiplicativa de A(n. adj ( A) = ( A)T . aplicó el método ⎡ 10 −6 26 ⎤ de los determinantes a la resolución de ecuaciones con cuatro A = ⎢⎢ 16 6 −13⎥⎥ incógnitas. a la transpuesta de tiempos. Ilustración 11 Determinemos la adjunta de la matriz A en la ilustración 10. y la denotamos adj (A). fue profesor en la −1 7 Universidad de Aberdeen a los 19 y posteriormente en la de Edimburgo. ⎝ A⎠ Este resultado establece que la inversa multiplicativa de una matriz cuadrada es un múltiplo escalar de la matriz adjunta de dicha matriz. es justo reconocer el mérito que Maclaurin se merece por el dibujo que de ella hizo en sus Definimos como «matriz adjunta de A». Empezó estudios 3 5 C13 = ( −1) 4 det ( A13 ) = 1. n) 3 0 Colin Maclaurin C12 = (−1)3 det ( A12 ) = − 1 . 3) Teorema 6 Sea A( n×n ) . menos formal que el de Jacobi. pero su genio fue más filosófico. Jacobi pudo haber A su vez. preparándolo para que ingresara al Instituto de Postdam. el Ministro de Educación pronto tuvo conocimiento de la obra de Jacobi. y lo puso a la cabeza de sus colegas para el cargo de profesor asistente. A−1 · ( A adj ( A)) = A−1 · ( det ( A) . Calculemos det (A). Habiendo observado que Jacobi tenía genio en este campo. clásicos para que constituyeran la disciplina de toda su vida. y Jacobi continuó su estudio privado de maestros. y por la fórmula demostrada colega. un renombrado humanista que había 2. I ( n×n ) ). 3) . 3) propuesta en la ilustración 10: Los estudios de Jacobi en Berlín duraron desde abril de 1821 hasta mayo de 1825. Esta precoz autoinstrucción iba a dar como resultado la primera obra sobresaliente de Jacobi. Más tarde. a la filología y a las matemáticas. Por su aguda capacidad para tratar problemas de y a su vez ⎜ ⎟ · adj ( A) = A puesto que det ( A) ≠ 0. pues las conferencias universitarias de temas matemáticos eran consideradas por él como pura 1. como no sea el ⎝ det A ⎠ genio matemático hindú Srinivasa Ramanujan. llegó a ser el maestro matemático más inspirado de su época. Como es natural. tenemos: charlatanería. El desarrollo matemático de Jacobi ofrece en ciertos respectos un curioso paralelo con el de su gran rival. logrado una gran reputación en filología. Lo anterior nos permite afirmar que A es invertible. fueron los primeros en decir que se había hecho justicia y felicitaron a su brillante y joven 3. determinemos A mediante la fórmula única. Durante los primeros dos años dedicó 1. en el último corolario tenemos: 176 . si no le hubieran atraído más fuertemente las matemáticas. los y por el teorema 6 se concluye que det (A) = 78 (¿por qué?). en 1826. En el seminario filológico atrajo la atención de Auguste Boeckh. en 1829. pero dos años más tarde. publicado. adj ( A) = det ( A) · ( A−1 · I ( n×n ) ) (¿por qué?). una excelente edición de Píndaro. álgebra. ⎣⎢ −1 7 2 ⎦⎥ ⎢⎣ 26 −13 13 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 0 78 ⎦⎥ cuando comenzó a desarrollar sus propias ideas con una velocidad sorprendente. en la Universidad de Berlín sobre las aplicaciones del cálculo a las superficies curvas y a las curvas alabeadas. sobre funciones ⎛ 1 ⎞ −1 elípticas. las obras de Leonhard Euler y Joseph Louis Lagrange le enseñaron álgebra y cálculo y le hicieron conocer la teoría de números. cuando Jacobi publicó su 2. en un cargo semejante en la de Berlín. el 10 de diciembre de 1804. Tomando la matriz adj (A). primera obra maestra. determinada en la ilustración 11. Euler y Jacobi no han tenido rival. su tiempo igualmente a la filosofía. matemático alemán. Niels lo que nos conduce a que Henrik Abel. A · adj ( A) = det ( A) · I(n×n) por lo afirmado en el teorema 6. En matemáticas poco era lo que se ofrecía para un Solución estudiante ambicioso. Como éste no era un ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ hombre que se emocionara fácilmente. después Multiplicando a la izquierda en la ecuación anterior por A −1 . negándose a aprender matemáticas de memoria y siguiendo reglas de aprendizaje. Calculemos A · adj (A). Para la matriz A(3. El primer maestro que tuvo fue uno de sus tíos maternos. ⎡ 2 −1 2 ⎤ ⎡10 16 −10⎤ ⎡78 0 0⎤ Después de obtener su título Jacobi pronunció conferencias A · adj ( A) = ⎢⎢ 3 5 0 ⎥⎥ . Como Carl Friedrich Gauss. cuando tenía 23 años. Ilustración 12 cuando así deseaba. Abel también trataba las fórmulas como un maestro. Si A es invertible. Nuevos fundamentos de la teoría de las funciones elípticas. pretendientes a la plaza protestaron contra el ascenso. Un año más tarde. después de haber permanecido durante seis meses ⎡1 0 0⎤ A · adj ( A) = 78 · ⎢⎢0 0 ⎥⎥ = 78 ⋅ I (3. felizmente para las matemáticas. ⎢⎢ −6 6 6 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 78 0 ⎥⎥ . Su talento como maestro le Esto es: aseguró una posición en la Universidad de Königsberg. quien le enseñó lenguas clásicas Luego existe A−1 tal que A · A−1 = A−1 · A = I ( n×n ) . algunos resultados que publicó sobre la teoría de números 1 provocaron la admiración de Gauss.Capítulo 3: La función determinante Demostración Carl Gustav Jacobi Carl Gustav Jacobi. Pero Boeckh. entre otras obras. −1 fue incapaz de atraer a su notable discípulo a los estudios 3. en el siglo XX. tenemos: de una prolongada discusión en la que Jacobi se reveló. y matemáticas. el maestro Heinrich Bauer dejó que trabajara como quisiera. det (A) = 78. nació en Postdam Supongamos que A( n× n ) es invertible (hipótesis). Jacobi también leía a los maestros. hasta entonces insospechadas.(3. n). n) 1 En 1849 Jacobi era. L. indudablemente el camino a seguir es la aplicación del algoritmo de re. de 1851.(n. 3) es invertible y para ello evaluemos su determinante. 13.n) Analicemos. enton- ces la solución única está dada por: det ( Bi ) xi = . y además su bello análisis le permitió ver las diversas maneras en que cualquier entero puede ser expresado como Podemos verificar. donde los arabescos de la ingeniosa álgebra revelan = ⎢ −6 6 inesperadamente relaciones.n) la columna de orden i.. Jacobi fue el primero en aplicar las A funciones elípticas a la teoría de los números..E.(n..E. i = 1. Ilustración 13 Resolvamos si es posible. 3) .E. 1 ⎢ 6 ⎥⎥ . conocido como la regla de Cramer. el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x1 − 2 x2 = −4⎫ ⎪ 3x1 + 5x2 − x3 = 1 ⎬ S.L. det ( A) siendo Bi la matriz obtenida al sustituir en la matriz A(n. utilizando la regla de Cramer.(3. Determinemos ahora si la matriz A(3. Geometría vectorial y analítica 177 . 78 ⎢⎣ 26 −13 13 ⎥⎦ entre todos los números comunes.E.n) es invertible. cuando el objetivo es básicamente el resultado como sus amigos predecían. n). de la fórmula. una aplicación de la función determinante dirigida a la deteminación del conjunto solución de un S. el matemático A −1 = · adj( A) más famoso de Europa. operaciones y de procesos que requiere la determinación de la inversa por medio Jacobi no murió tempranamente por exceso de trabajo.. n. cuando tenía apenas 47 años. Módulo 13: La función determinante y sus relaciones con la inversa multiplicativa de A(n.L. Teorema 7: La regla de Cramer Si en un S. 3) 2 x1 + 7 x2 + 4 x3 = 0 ⎪⎭ Solución La primera condición para la aplicación del teorema se satisface puesto que tene- mos un S.2 La función determinante y sus relaciones con la determinación del conjunto solución de un S. En consecuencia. de ecuación matricial AX = B la matriz A(n.L. por la columna B de términos independientes. Por este medio Jacobi demostró la famosa afirmación de Pierre de Fermat de que cualquier número entero es una suma de cuatro cuadrados de números enteros (siendo considerado el cero como un Observación entero). en un caso tan sencillo como el propuesto. por último.E. campo que se iba a convertir en la diversión favorita para algunos de los ⎡10 16 −10 ⎤ grandes matemáticos que le sucedieron. exceptuando a Gauss.L. Es un tema curioso. en Berlín. sino de viruela el 18 de febrero numérico. ducción de Gauss-Jordan.(n. el alto número de tal suma. Al cumplirse la segunda condición. Las razones anteriores nos llevan.3) (¿por qué?). 178 . podemos determinar la solución así: −4 −2 0 1 5 −1 0 7 4 −4 ⋅ (20 + 7) + 2 ⋅ (4) −100 −20 x1 = = = = . en consecuencia. la regla de Cramer sólo es aplicable a sistemas de ecuaciones lineales con dos restricciones: 1. A 55 55 11 1 −4 0 3 1 −1 2 0 4 1 ⋅ (4) + 4 ⋅ (14) 60 12 x2 = = = = . El sistema debe tener igual número de ecuaciones que incógnitas. a caracterizar la regla de Cramer como un método muy restringido en la determinación del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. A 55 55 11 1 −2 −4 3 5 1 2 7 0 2 ⋅ (18) − 7 ⋅ (13) −55 x3 = = = = −1. det (A) = 1 ⋅ (20 + 7) + 2 ⋅ (12 + 2) = 55 ⎢⎣ 2 7 4 ⎥⎦ (3. La matriz de coeficientes asociada al sistema debe ser invertible. 2.Capítulo 3: La función determinante ⎡ 1 −2 0 ⎤ A = ⎢⎢ 3 5 −1⎥⎥ . A 55 55 Observaciones Como podemos concluir a partir de este último teorema. Los cuaterniones de Hamilton fueron los precursores de los vectores. William Rowan Hamilton (1805-1865) publicó su Teoría de las funciones conjugadas o parejas algebraicas. Fuerza. d. –b) kq = (–d. –c. a. . c. Los escalares son números reales. trabajo. es preciso considerar varios tipos de cantidades. área. aceleración y momento son ejemplos de cantidades vectoriales. c) jq = (–c. En Módulo 16 su teoría. Uno de estos tipos lo constituyen aquellas cantidades que tienen asociadas como medi- da una cantidad no dirigida y se denominan cantidades escalares o simplemente escalares. con un ensayo preliminar y elemental sobre el álgebra como ciencia del tiempo puro. presentados por primera vez en 1853 en Lecciones sobre los cuaterniones. b. j. Un segundo tipo de cantidades físicas lo forman aquellas que tienen asociados dos elementos básicos: magnitud y dirección. volumen. de modo que: iq = (–b. tiempo. Hamilton escribe un cuaternión en la forma q = (a. Masa. de acuerdo con alguna escala o unidad de medida previamente escogida. –d. Capítulo 4 Vectores geométricos 4 Contenido breve Módulo 14 Vectores libres Módulo 15 Operaciones con vectores libres Ejercicios Módulo 15 Módulo 16 El espacio vectorial de los vectores libres En 1837. Éstas son llamadas cantidades vectoriales o simplemente vectores. en la cual expuso una representación geométrica de los números Ejercicios complejos. velocidad. densidad. Hamilton definió su célebre relación fundamental: i2 = j2 = k2 = i jk = –1. Toda cantidad escalar puede ser representada por un número real que indica su magnitud. Para los operadores. Este trabajo desembocó en los cuaterniones. carga eléctrica y temperatura son ejemplos de cantidades escalares. a. por lo cual se pueden combinar según las leyes del álgebra de los números reales. b. a). Presentación Al estudiar el espacio físico. d) e introduce los operadores i. distancia. k. independencia lineal. 188 . y a través de dicho espacio se estudiarán en particular los conceptos ya definidos en otros contextos como base. Adicionalmente se ilustrará la importancia de los vectores libres en la solución de problemas de la geometría euclidiana. Se mostrará el espacio de los vectores libres como un caso particular de un espacio vectorial. combinación lineal.Capítulo 4: Vectores geométricos En este capítulo se estudiará en detalle el concepto de vector libre. el cual será de gran utilidad para resolver problemas que involucren las llamadas cantidades vectoriales. dimensión. ¿Cuántos sentidos hay en una dirección? 5. a su vez. Gran parte del Matemática. Vectores libres 14 Introducción Se empieza introduciendo el paralelismo entre rectas como una relación de equivalencia. moderno. espacial. Grassmann nació en Stettin (Alemania) en 1809 y murió en Objetivos del módulo esa misma ciudad en 1877. Con motivo de un trabajo que realizó sobre las mareas. mediante la asignación de dirección y senti- do a los segmentos geométricos. fundado en los vectores. Un año después del tud no escalar. Definir una relación de equivalencia en el conjunto de los segmentos orientados y con base en ella presentar el concepto de vector libre.1 Segmentos orientados Vea el módulo 14 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 189 . 2. ¿Qué objetos geométricos tienen dirección? 3. ¿Qué diferencia hay entre vector libre y segmento orientado? Contenidos del módulo 14. que contiene gran parte del análisis vectorial resto del texto gira en torno a este objeto de la geometría. ¿Qué es el sentido? 4. Los conceptos de Grassmann presentó por primera vez su sistema de análisis dirección y sentido sirven de base para la definición de segmento orientado como una magni. permite definir el concepto de vector libre. una nueva rama de la En este módulo se presenta un concepto de interés central: el de vector libre. descubrimiento de los cuaterniones de Hamilton publicó La teoría de la extensión lineal. Preguntas básicas 1. A la vez. Éste. ¿Qué es un vector libre? 7. Cada Hermann Günther Grassmann clase (conjunto de rectas paralelas entre sí) definida por esta relación se denomina dirección. ¿Qué es la dirección? 2. Construir el concepto de segmento orientado. opuestos entre sí. ¿Qué elementos constituyen un segmento orientado? 6. en cada dirección se reconocen dos sentidos. 1. A este segmento le correspon- den: ←⎯→ La dirección de la recta AB en la cual está contenido. contrarios entre sí. l1 .1 Segmentos orientados Dirección Sea l una recta.1. en toda dirección hay dos sentidos. a cada segmento AB le corresponde una dirección. Cada recta de esta figura 14.) es un representante de la dirección. como lo establece el axioma de separación de la recta. al segmento AB acompañado de su dirección. A) . Llamamos segmento orientado ⎯→ ←⎯→ AB. Existen en l dos sentidos. Se llama dirección de l al conjunto ρ [l ] de todas las rectas parale- las a l. l2 . tienen la misma dirección... Nótese que toda recta l tiene una (única) dirección: la de todas la rectas paralelas a ella. B ) y s (B. Consideremos un segmento cualquiera AB no nulo. Dichos sentidos son comunes a todas las rectas que tienen la misma dirección. y en ésta. Figura 14. sentidos contrarios entre sí: s (A.1 (l1 . Vea la animación Dirección en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. contrarios entre sí. B ) . Aquí s (A. * *Los sentidos contrarios u opuestos de una recta están asociados a la existencia de dos semirrectas opuestas generadas en toda recta por un punto cualquiera En síntesis. En la figura 14.Capítulo 4: Vectores geométricos 14. Es decir. ←⎯→ Los dos sentidos de la recta AB . y de su longitud AB . 190 .. denotado AB .. Segmento orientado Sean A y B puntos distintos en una recta l. la de AB . l2 .. de su sentido s (A. B ) indica el sentido ←⎯→ en el que A precede a B en la recta AB .. dos perteneciente a ésta. Estos dos sentidos se hacen extensivos a la dirección de l.1 Sea l una recta en el espacio. el interés de Hamilton creció de manera importante después de un encuentro casual a los 15 años con Zerah Colburn. bengalí y varios ⎯→ otros. a pesar de importantes de matemáticas de su tiempo. * universidad. árabe. A es cualquier punto del espacio. desarrollara otros intereses. Aunque disfrutó las matemáticas desde niño. y en cada una. William Rowan Hamilton fue sin duda el más grande matemático irlandés. sánscrito. a pesar de que tengan la misma dirección. hebreo. En el seg- El padre (un abogado) y la madre de Hamilton murieron ⎯→ cuando era apenas un niño. había impresionado tanto a sus maestros que fue nombrado tos. Un año después entró al Trinity College en Dublín. Sir William Rowan Hamilton con todas las direcciones. Escuche el audio Hamilton y los cuaterniones en su multimedia de Geometría vectorial y *Dos segmentos orientados. hindú. el americano que calculó las descargas eléctricas de los rayos. chino. Si A y B son dos puntos distintos en una recta l. de modo que A ≠ A´. Para su quinto cumpleaños. ambos segmentos quedan contenidos en un mismo semiplano respecto a esta última recta. su vida. ⎯→ ⎯→ Poco tiempo después. además de los idiomas del continente europeo. Esto motiva la introducción de un nuevo concepto. tienen el mismo sentido si al analítica. Hamilton fue armado caballero en 1835. tanto cuando era niño Sus puntos: sus extremos y los puntos interiores. En 1823. en donde pasó la mayor parte de cero. Hamilton no pudo desarrollar una multiplicación para ternas Figura 14. los puntos A y B se denominan. con los dos sentidos y con longitud Nacido en Dublín en 1805. un segmento dirigido AB consta de: Hamilton disfrutaba escribir poesía. Módulo 14: Vectores libres ⎯→ Llamamos segmento orientado nulo. Según la definición. no cabe Brougham en Dublín en 1843. persa. malasio. El primer artículo puramente matemático de Hamilton apareció en 1833. los segmentos dirigidos AB y A´B´ son distin. Geometría vectorial y analítica 191 . Vector libre asociado ⎯→ Sea AB un segmento dirigido. Hamilton podía mo) inicial y punto (extremo) final. Los diferencia el sentido. Este trabajo da las reglas que se usan hoy en día para sumar. Durante diez años estudió este problema y se dice que lo resolvió en un rato de inspiración mientras caminaba por el puente de Si bien dos segmentos orientados como los de la figura 14. su dirección y su longitud. Cuando cumplió 13 años dominaba. sentido y longitud.2 o n-eadas ordenadas de números para n > 2. latín y griego. se hizo cargo mento dirigido AB . La clave era descartar la duda de que tienen gran similitud. A los segmentos orientados se les llama también segmentos dirigidos. 18 años. al segmento nulo AA. en un principio. descubrió un error en la Mécanique céleste de Simon Laplace y escribió un artículo impresionante sobre el tema. restar. siendo todavía estudiante de licenciatura. Poco después escribió lo que ahora se considera un trabajo clásico en óptica. la poesía de Hamilton se Dirección: la misma de la recta AB . respectivamente. a los coincidir en sus puntos. leer inglés. B).2). contenidos en rectas paralelas distintas. Longitud: AB = BA . En él describió una manera algebraica de manipular pares de números reales. Más tarde los físicos confirmaron esta teoría. Se llama vector libre asociado al segmento dirigido ⎯→ ⎯→ AB al conjunto formado por AB y todos los segmentos dirigidos que coinciden con él en dirección. especialmente en matemáticas. multiplicar y dividir números complejos. denotado AA. como de adulto y entre sus amigos se contaban los grandes poetas ingleses Samuel Taylor Coleridge y William ←⎯→ Wordsworth. consideraba tan mala que resultó una fortuna que Sentido: s (A. En parte debido a ese trabajo. el mismo sentido y la misma longitud Astrónomo Real de Irlanda y profesor de astronomía en la (figura 14. un lingüista. los 21 años. Usando sólo la teoría matemática. los segmentos dirigidos AB y BA son distintos. Hamilton comenzó a leer los libros En consecuencia. predijo la refracción cónica en cierto tipo de cristales. A una recta l´. Sin embargo. punto (extre- de su educación. No obstante.2 no son iguales. determinar la recta que pasa por sus puntos iniciales. Su tío. y A´y B´ son puntos distintos en ⎯→ ⎯⎯→ La carrera universitaria de Hamilton fue sobresaliente. se encuentra la función hamiltoniana que con Notación frecuencia representa la energía total de un sistema. EF . son representantes del mismo vector libre. b . sentido y longitud. se dice que AB es una extranjero. igual direc- Sir William Rowan Hamilton ción. y a B. Claramente. una placa incrustada en el puente cuenta Se ha definido el vector libre asociado a un segmento dirigido AB como el conjun- la historia. que vector libre. por lo tanto. Su trabajo monumental sobre este tema. Aunque Hamilton murió en 1865 antes de terminar esta obra. en el espacio. y las ecuaciones diferenciales de dinámica de Hamilton Jacobi. Treatise on quarternions. En particular. x . ⎯→ to de todos los segmentos dirigidos equivalentes a AB . fueron los precursores de lo que ahora se conoce como vectores. de un vector libre → a . la fórmula fundamental para la multiplicación de cuaterniones ⎯→ ⎯→ Si AB es nulo.. Hamilton pasó la mayor parte del tiempo desarrollando el álgebra de cuaterniones.Capítulo 4: Vectores geométricos ⎯→ ⎯→ ⎯→ En la figura 14. punto final.. es un representante del vector libre.. esto es. por ejemplo. A pesar del gran trabajo desarrollado. Al punto A se le llama punto inicial de la aplicación. Elements of quaternions. En física matemática. AB . i = j = k = ijk = − 1 2 2 2 y la grabó en una piedra de este puente.. pertenecen al mismo familiar propiedad conmutativa de la multiplicación. ⎯→ En la actualidad. Durante el resto de su vida. Se usarán corrientemente letras latinas minúsculas con una flecha encima para nom- En la teoría de matrices. y él fue atacado por el alcoholismo. El resultado de cualquier aplicación.. Después trabajó en una extensión del tema. Él pensaba que tendrían un significado revolucionario en la física matemática.. CD . el vector libre asociado a AB se llama vector libre nulo.3 Los estudiantes de matemáticas y física conocen a Hamilton dentro de muchos otros contextos. Es gratificante. etc. señalar que durante estos últimos años la recién formada American National Academy of Sciences eligió a → ⎯→ ⎯→ Sir William Rowan Hamilton como su primer miembro Si a es un vector libre asociado a un segmento AB . CD . Estrictamente hablando. AB . el teorema de Hamilton-Cayley brar vectores libres: establece que toda matriz satisface su propia ecuación → → → característica. ⎯→ el 16 de octubre de 1843. y ser aplicado en cual- ⎯→ quier punto particular. mientras caminaba.3 los segmentos dirigidos AB . el conjunto de Aquí. descubrió. a . Su esposa estaba semiinválida Al vector libre nulo se le denota o. todos los segmentos dirigidos que tienen con AB . si éste no es nulo. fue publicado en 1853. → aplicación del vector libre a en el punto A. un vector libre es susceptible de una infinidad de aplicaciones: tiene tantas como puntos hay en el espacio. su hijo publicó el trabajo en 1866. si AB es una apli- 192 . Los ⎯→ ⎯→ nuevos objetos que creó se llamaron cuaterniones. Por esta razón se interpreta que el vector libre puede desplazarse paralelamente a sí mismo. Figura 14. para cualquier punto A el segmento nulo AA es una aplicación (es un → ⎯→ representante) del vector libre nulo o.. en un instante de genialidad. los últimos años de → Hamilton fueron un tormento. → ⎯→ → ⎯→ ⎯→ ⎯→ a = AB y a = CD. por comodidad. carece de puntos concretos (a diferencia de los segmentos orientados). como se ha definido. el pentágono ABCDE es cualquiera de los dos de la figura 14. No obstante. Si bien el vector libre. se le asignará la dirección. ⎯→ ⎯→ → Así.5 Figura 14.5 Geometría vectorial y analítica 193 . con el ánimo de no congestio- → nar la escritura. si a = AB . aunque estas igualdades no sean estrictas.4. entonces a tiene la dirección de la ←⎯→ → ⎯→ → → recta AB . B ) y la longitud a = AB . pero ninguno de los dos de la figura 14. Así. debe escribirse AB ∈ a. → ⎯→ → ⎯→ Módulo 14: Vectores libres cación del vector libre a . el sentido s (A. cuando se denote un polígono por sus vértices (letras latinas mayús- culas) se entenderá que las letras consecutivas representan vértices consecutivos (contiguos). AB pertenece al → vector libre a. Figura 14. para efectos prácticos. y. Convención En adelante. se dirá. el sentido y la longitud de → ⎯→ → cualquiera de sus aplicaciones. esto es. Notación Al conjunto de todos los vectores libres en el espacio se le denota E3. Además. si AB y CD son aplicaciones del vector libre a . por tanto. a = o si y sólo si → a = 0. Así. se confundirá el vector libre a con cualquiera de sus aplicaciones. que AB = CD.4 Vea la animación Vector libre en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. 6). Los puntos finales de estos segmentos están en el mismo semiplano de ←⎯→ ⎯→ ⎯→ borde AD. Figura 14. así. Prueba (figura 14. ←⎯→ Sea AD la recta determinada por los puntos iniciales de los segmentos orientados ⎯→ ⎯→ AB y DC . Por tanto.Capítulo 4: Vectores geométricos Antes de enunciar la primera proposición de este capítulo. Teorema 1 ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo si y sólo si AB = DC o BA = CD o ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ AD = BC o DA = CB (cada par de vectores no colineales). AB y DC tienen el mismo sentido. La siguiente proposición caracteriza los paralelogramos con base en los vectores libres.6 (⇒ ) Sea ABCD un paralelogramo. puede escribirse: AB = DC . La prueba del recíproco se deja al lector. AB y DC coinciden en longitud y en dirección. En consecuencia. ⎯→ ⎯→ AB y DC son equivalentes y tienen. Con la ⎯→ ⎯→ convención hecha. ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ Por definición: AB = CD y AB & DC . recordemos un concepto geométrico de paralelogramo: «El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo si y sólo si tiene dos lados opuestos paralelos y congruentes». 194 . el mismo vector libre asociado. ⎯→ ⎯→ En suma. ¿Cómo se adicionan vectores libres? 2.2 Multiplicación de escalares por vectores libres 15. Objetivos del módulo 1. la cual es un número real). aunque tienen asociados escalares (todo vector libre tiene longitud. Extender a los vectores libres el concepto geométrico de ángulo. multiplicación de vectores por escalares. estudiado en la geometría euclidiana. denominada multiplicación de escalares por vectores libres. En su obra Elementos de dinámica. cuyo estudio se inició en el módulo 14. ¿Qué es una combinación lineal de vectores libres? 6. ¿Cómo se determina el ángulo entre dos vectores libres? Contenidos del módulo 15.3 Ángulo entre vectores libres Vea el módulo 15 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 195 . Clifford introdujo para producen nuevos vectores libres. ¿Qué se requiere para que un conjunto de vectores libres sea linealmente independiente? 7. Preguntas básicas 1. ¿Qué propiedades tienen la adición y la multiplicación de escalares por vectores libres? 5.1 Adición de vectores libres 15. y sus propiedades. ¿Cómo se multiplican escalares por vectores libres? 4. Operaciones con vectores libres 15 Introducción Los vectores libres. y una ley de composición externa. Definir en el conjunto de los vectores libres dos operaciones: una ley de composición interna llamada adición. 2. El concepto de ángulo. bajo condiciones específicas. Estas operaciones son la adición y la multiplicación de los vectores las operaciones usuales de adición y escalares por vectores. ¿Cómo se restan vectores libres? 3. se extiende a los vectores libres Clifford nació en Devon (Inglaterra) en 1845 y murió en las Islas Madeira (Portugal) en 1879. son objetos diferentes a los escalares. William Kingdom Clifford Con los vectores libres se pueden definir operaciones que. entonces a + b es el → → vector diagonal principal del paralelogramo asociado a a y b en un punto arbitrario O. ya que OC = AB (recuérde- se el teorema 1) (figura 15. así: → Se aplica el vector a en el punto O. 3 3 3 + es una adición de vectores libres bajo las siguientes condiciones: → → → → (A1). es un paralelogramo. Adición de vectores libres Sea + : E × E → E . A este paralelogramo se le denomina paralelogramo → → asociado a a y b en el punto O. Si a y b son vectores libres no nulos y no paralelos. Sea A el punto final de esta aplicación Vea la animación Adición de vectores libres en su multimedia de Geometría vectorial y ⎯→ → analítica. Figura 15. entonces a + b 196 . Sea B el punto final de esta aplicación ( AB = b ). Sea C el punto final de la aplicación ⎯→ → ( OC = b ). Si a y b son vectores no nulos. en O se aplica el vector b. → → → → (A2).1). ( OA = a ). pero con igual dirección. → A continuación. → ⎯→ → En A se aplica el vector b .1 ⎯→ Al vector libre asociado al segmento dirigido OB se le llama vector diagonal prin- cipal del paralelogramo OABC. OABC.Capítulo 4: Vectores geométricos 15.1 Adición de vectores libres → → Dos vectores libres a y b no nulos y con direcciones diferentes (no paralelos) determinan en un punto O cualquiera del espacio un paralelogramo. ⎯→ ⎯→ El cuadrilátero resultante. El concepto de vector diagonal nos servirá de soporte para la definición de la adición de vectores libres. Teorema 2 La adición de vectores libres tiene las siguientes propiedades: (G1). no depende del punto O. o.2). Sea AB el resultado de la aplicación (figura 15. La adición es conmutativa en E3 . que se obtiene así: → En un punto arbitrario O se aplica el vector libre a. → → → → → Si b = o. Módulo 15: Operaciones con vectores libres ⎯→ es el vector libre asociado al segmento dirigido OB . La adición es invertiva en E3 . → → → → → (A3). c en E3 . → Por esta razón. se llama módulo de E 3 para la adición. el vector libre nulo. Geometría vectorial y analítica 197 . (G3).2 La adición de vectores libres está bien definida. (G4). Esta propiedad se enuncia así: → → → ⎛→ →⎞ → → ⎛→ →⎞ Para cada a . (G2). entonces a + b = a . ⎜ a + b ⎟ + c = a + ⎜ b + c ⎟ . el vector libre nulo ⎜⎜ o ⎟⎟⎟ es tal que: ⎜⎝ ⎠ → → → → → → → Para todo a ∈ E3 . b . Explicación (G1) + es asociativa en E3 . La adición es modulativa en E3 . entonces a + b = b . Figura 15. La adición (+) es asociativa en E3 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (G2) + es modulativa en E 3 . → ⎯→ En A se aplica el vector b. a + o = a y o + a = a . ⎛→ ⎞ Según la definición de adición. esto es. Sea A el punto ⎯→ → final de esta aplicación ( OA = a ). Si a = o. Esto puede probarse mediante aplicación reiterada del teorema 1. es decir. Es decir. a +⎜⎜⎜− a⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜− a⎟⎟⎟ + a = o . (G3) + es invertiva en E3 . deno- → tado − a. Figura 15. G2. + es 3 un grupo. AB + BA = AA . → → Sea a un vector libre no nulo.Capítulo 4: Vectores geométricos También se llama elemento neutro para la adición en E3 . → → → → → Por otra parte. de ⎯→ → modo que AB = a (figura 15.3 → ⎯→ Sea b el vector libre asociado al segmento dirigido BA . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → Es fácil probar que el vector − a no depende del punto donde sea aplicado el → vector a. pero tienen sentidos contrarios. b + a = 0 . Por tanto. Las propiedades G1. De esta → ⎛ →⎞ ⎛ →⎞ → → manera. cuya suma con el primero es ⎛→ ⎞ el vector libre nulo ⎜⎜ o ⎟⎟ . en → consecuencia. ⎜⎝ ⎠⎟ → → El vector a y su opuesto − a coinciden en dirección y magnitud. → → → Similarmente. a + b = 0 .3). Podemos afirmar. → → → Al vector b se le llama inverso aditivo de a y se le denota − a . que todo vector libre a tiene asociado un vector libre. Apliquemos a en un punto A cualquiera. el vector nulo es inver- so aditivo de sí mismo. llamado su opuesto o inverso aditivo. Es el único con esta propiedad. G3 pueden resumirse así: la estructura E . 198 . −o = o . o + o = o . ⎯→ ⎯→ ⎯→ → → → Según la definición de adición. 4): Figura 15. Por definición de adición. así: → → → ⎛ →⎞ a − b := a + ⎜ − b ⎟. Por ejemplo: → → → → → → → → ⎛ →⎞ → si a ≠ o. se le llama diferencia entre a y b . a − b . agregada a las tres anteriores. a − o = a. Se define la sustracción entre a y b. Módulo 15: Operaciones con vectores libres (G4)+ es conmutativa. La propiedad invertiva de la adición permite introducir la operación sustracción. b ∈ E 3 : a + b = b + a . ya que en → → → → general los vectores a − b y b − a no son iguales. ⎝ ⎠ Para obtener gráficamente la diferencia entre dos vectores no nulos. ⎝ ⎠ Geometría vectorial y analítica 199 . El orden en que se escriben los vectores en la diferencia es esencial. OB′ = a + ⎜ − b ⎟ . y se denota → → a − b . se aplica el vector a : OA = a . es decir. Seguidamente. se aplica → ⎯→ → − b en A : AB′ = − b . hace que la estructura E 3 . Esta cuarta propiedad. OB ′ = a − b . Esta propiedad consiste en que: → → → → → → Para todo a . Sustracción → → → → Sean a y b vectores libres. Vea la animación Diferencia entre vectores libres en su multimedia de Geometría ⎯→ → ⎛ →⎞ ⎯→ → → vectorial y analítica. se procede de la siguiente manera (figura 15. + sea un grupo abeliano (o conmutativo).4 → ⎯→ → En un punto arbitrario O. ⎝ ⎠ → → → → Al vector resultante. pero o − a = o + ⎜⎜⎜− a⎟⎟⎟ = − a . OB = b .5): Figura 15. de modo que OB′′ = b . B′′A = OB′ . entonces el cuadrilátero OB ′AB ′′ es un paralelogramo (¿por qué?). + a n −1 ⎟ + an . ⎯→ → → ⎯→ → → Así se obtienen las dos diferencias: BA = a − b y AB = b − a . B ′′A también representa al vector diferencia a − b . válidas para todas las estructuras de este tipo. ⎝ i =1 ⎠ Las propiedades asociativa y conmutativa permiten escribir los sumandos en cual- quier orden y sin el uso de paréntesis. + es un grupo abeliano. + an : = ⎜ a1 + a2 + . Es decir. El siguiente teorema recoge las más usuales. Ejemplo: → → → → → → → → a1 + a2 + a3 + a4 = a3 + a1 + a4 + a2 . → → → ⎛→ → → ⎞ → a1 + a2 + ..Capítulo 4: Vectores geométricos Si a la construcción indicada (figura 15. Como consecuencia del hecho de que la estructura E . así: Para n ∈ `. n ≥ 3. una sencilla construcción para la diferencia es la siguiente (figura 15... 3 se obtienen para la adición de vectores libres algunas propiedades. En consecuencia.4) se agrega una aplicación en O del vector → ⎯→ → b . La adición de vectores libre puede generalizarse a cualquier número finito de vectores. ⎝ ⎠ De manera simplificada: n → ⎛ n −1 → ⎞ → ∑a i =1 i = ⎜ ∑ ai ⎟ + an . 200 . ⎯⎯→ ⎯→ ⎯⎯→ → → Por tanto.5 → → En un punto arbitrario O se aplican los vectores a y b : ⎯→ → ⎯→ → OA = a .. −⎜ a + b ⎟ = − a − b. ⎝ ⎠ → → → → 2. Figura 15.7). obtenido al operar con dos vectores libres. → → L2. ⎛ →⎞ → 7. entonces a + b = b + a = b . −⎜ − a ⎟ = a. → → → 6. Módulo 15: Operaciones con vectores libres Teorema 3 → → → Cualesquiera sean a . Con relación a la longitud (o magnitud) del vector suma. → → → → → → 10. La ecuación x + a = b tiene solución única en E3 . a = b ⇔ −a = −b. → 9.6). − a es único. se tiene: ⎛→ →⎞ → → 1. Si a = o. se tiene: Geometría vectorial y analítica 201 . ⎝ ⎠ → 8. Si a y b son vectores libres no nulos con la misma dirección. → → → 5. a + c = b + c ⇔ a = b. → → → → → → 4. Si a y b son vectores libres no nulos con igual dirección. a = b ⇔ a−b = o. pero con sentidos contrarios (figura 15. entonces: → → → → a+b = a + b . es pertinente hacer algunas anotaciones basadas en el texto de David Hilbert Fundamentos de la geometría. y con el mismo sentido (figura 15. c vectores libres (elementos de E 3 ).6 → → L3. La ecuación a + x = b tiene solución única en E3 . a − b = b − a ⇔ a = b. → → → → → → → L1. o es único. → → → → → 3. b . entonces: a + b = a − b . entonces: a + b = 0 . OB = a + b . (Léase: «la longitud de a + b es el valor → → absoluto de la diferencia entre las longitudes de los vectores a y b ». Si a y b son vectores no nulos y tienen direcciones diferentes (figura 15. → → → → → → Si a < b .) En la figura 15.7 → → L4. si a y b son vectores libres cualesquiera.7: ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ → → OA = a .8 → → En resumen.8). Figura 15.Capítulo 4: Vectores geométricos → → → → → → Si a > b . 202 . Figura 15. AB = b . entonces: a + b = b − a . la desigualdad triangular garantiza que: → → → → a+b < a + b . → → → → Si a = b . a + b = a − b . entonces se satisface la desigualdad triangular: → → → → a+b ≤ a + b . → → → → → → En resumen. entonces λ a tiene el sentido de a si y sólo si λ > 0.. Módulo 15: Operaciones con vectores libres → → → → → → La igualdad se da sólo cuando a = o o b = o. denota el conjunto de los números reales. λ a = 0. denotado λ a. a ⎞⎟ es un vector libre. β . M ⎛⎜ λ . Si λ ≠ 0 y a ≠ o. → → Supóngase que λ a = o . Se define a continuación una particular ley a la que se llama multiplicación de un escalar por un vector libre. Si λ ≠ 0 y a ≠ o. Multiplicación de un escalar por un vector libre Sea M : \ × E3 → E3 . → → Por M 4. λ . Usualmente se recurrirá a las letras griegas (α . → → → → M 3. 15. en esta definición y a través del texto. \ . Si λ = 0 o a = o . entonces λ a tiene la dirección de a. o cuando a y b son vectores no nulos y coinciden en dirección y sentido. con las siguientes → → → ⎝ ⎠ condiciones: → → → → M 1.2 Multiplicación de escalares por vectores libres Vea la animación Dilatación y contracción de vectores en su multimedia de Geometría Mediante una ley de composición externa los vectores libres pueden ser dilatados. → Por tanto. M es una multiplicación de escalares por vectores libres si para cada λ ∈ \ y a ∈ E3 . entonces λ a = o . vectorial y analítica. → → M 4. y a sus elementos se les llamará escalares.. λ a = o si y sólo si λ = 0 o a = o . λa = λ a .) para denotarlos. Prueba (⇒ ) .. → → → → M 2. λ a = λ a . Teorema 4 → → → → → Para todo λ ∈ \ y todo a ∈ E3 . contraídos o invertidos en su sentido. Geometría vectorial y analítica 203 . Figura 15.Capítulo 4: Vectores geométricos → → Como λ y a son reales.9). con cambio de sentido (figura 15.10).11 λ < −1 . Figura 15. → → En consecuencia. (Véase M 1). La multiplicación de vectores no nulos por escalares produce en aquéllos un efecto que puede observarse gráficamente y que depende del escalar. 204 . → → El vector λ a es una contracción de a. entonces λ = 0 o a = 0. como se verá ense- guida.9 0 < λ < 1.10 −1 < λ < 0 . → → El vector λ a es una dilatación de a (figura 15. (⇐).11). λ = 0 o a = o . → → El vector λ a es una contracción de a (figura 15. λ > 1. Figura 15. el vector no se altera. entonces λ a = λ b ⇔ a = b . Pero estrictamente no se cumple la ley distributiva. ⎛→ →⎞ → → M 3. con respecto a la adición de vectores libres». 1 a = a .η reales. entonces λ a = η b ⇒ a & b o λ = η = 0. se obtiene el inverso aditivo del vector. (−1) a = − a . Figura 15. → → M 2. Si a ≠ o y b ≠ o. λ ⎜η a ⎟ = η ⎜ λ a ⎟ = (λη ) a . Si λ ≠ 0. Módulo 15: Operaciones con vectores libres → → El vector λ a es una dilatación de a. He aquí algunos comentarios acerca del enunciado: Si un vector se multiplica por el real uno (1). La propiedad M 4 puede llamarse «distributividad de la multiplicación por un escalar ( M ). λ ⎜ a + b ⎟ = λ a + λ b . con cambio de sentido (figura 15. ⎛ →⎞ ⎛ →⎞ → M 5. Si un vector se multiplica por (−1) . b vectores libres: → → M 1.12). ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → → → M 6. Teorema 5 → → Para todo λ . → → → → → → → → M 7. ¿Por qué? De la propiedad M 7 se deduce que si dos vectores no nulos tienen direc- ciones distintas. ninguno de los dos puede ser múltiplo escalar del otro.12 A continuación se enuncian algunas propiedades importantes de la multiplicación por un escalar. con respecto a la adición de escalares». y a. La propiedad M 3 puede llamarse «distributividad de la multiplicación por un escalar ( M ). (λ + η ) a = λ a + η a . A continuación se prueban algunos de los resultados: Geometría vectorial y analítica 205 . ⎝ ⎠ → → → M 4. Queda así probado M 7.Capítulo 4: Vectores geométricos → → → → → → M 2. Esta propiedad la designa- remos como el «primer criterio vectorial del paralelismo». Si a = o . Si con este supuesto. → → M 7. (−1) a = − a . a es un múltiplo escalar de b. b ≠ o . → → Consideremos el caso en que a ≠ o . → → → → → Además. y que podemos → → → → → → → → → resumir así: a ≠ o . b ≠ o y λ a = η b . es decir. entonces (−1) a = o . a & b si y sólo si a = λ b . Por M 6. Debe tenerse en cuenta que dos vectores libres no nulos m y n son paralelos si y sólo si cada uno es múltiplo escalar del otro. pero sentido contrario. Este es un enunciado de la forma P ∨ Q . Se hará uso de un método de demostración llamado modus tollendo ponens. → → El vector (−1) a tiene la dirección de a. Neguemos Q. en este caso → → (−1) a = − a . λ ∈ \. las hipótesis son: a ≠ o . y utilizando H se deduce Q. → → Debe probarse que a & b o (λ = 0 y η = 0) . Luego (−1) a es el inverso aditivo de a. Pero o = − o . → → → → → → En este numeral 7. que consiste en lo siguiente: Si bajo ciertas hipótesis (H) queremos probar una proposición de forma de disyunción ( P ∨ Q). → → Por tanto. entonces de H se deduce P ∨ Q . λ ≠ o . puede escribirse: → η→ → → a= b (ya que λ a = η b ). 206 . Por tanto. con : → → P : a & b y Q : (λ = 0 y η = 0) . a y b son paralelos. (−1) a = (−1) a = a . supongamos que λ ≠ 0 o η ≠ 0 y analicemos el caso λ ≠ 0 (el otro es similar). En consecuencia. puede procederse así: Se niega P. λ → → → → Así. a3 .. → → La última implicación se interpreta así: «la única combinación lineal de a y b que produce el vector cero. entonces: → → → α a+ β b = o ⇒ α = 0 y β = 0 .. es aquella en que los dos coeficientes son ceros». Los α i son coeficientes de la combinación lineal. 5 (figura 15.. a2 . Ilustración 1 ⎯→ → → → OA3 = 3 a1 − 2 a2 + 5 a3 .. ⎯→ → → → OA3 es una combinación lineal de los vectores a1 . Módulo 15: Operaciones con vectores libres De la propiedad M 7 que acaba de probarse puede deducirse (realmente es una → → reescritura de su enunciado) que si a y b son vectores libres no nulos y no paralelos.13). por supuesto. con coeficientes respec- tivos: 3.. Dicha combinación produce. entonces se dice que el conjunto a . independiente. Figura 15. ak es el vector suma de múltiplos escalares de ellos: → → → α1 a1 + α 2 a2 + . → → Si a y b son vectores tales que la única combinación lineal de ellos que produce { } → → Vea la animación Combinación lineal de el vector cero es la trivial. + α k ak . a2 . el vector nulo. se llama combi- nación lineal trivial. b es linealmente vectores en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. → → → Una combinación lineal de los vectores libres a1 . − 2.13 Una combinación lineal en la que todos los coeficientes son ceros.. Geometría vectorial y analítica 207 . Lo anterior puede enunciarse así: Teorema 6 { }→ → Si el conjunto a . b .15 puede observarse además que tres vectores libres no nulos a . b de vectores libres es linealmente independiente. dos vectores libres no nulos y no paralelos determinan en cada punto O del 3 espacio un plano.15). un conjunto de tres vectores libres no nulos a .14 ←⎯→ ←⎯→ Las rectas OA y OB determinan (véase el texto Fundamentos de la geometría) un ⎛ → →⎞ → → plano. Sean OA = a . { → → → } En este caso. c es linealmente dependiente. así: → → ⎯→ → ⎯→ → Apliquemos a y b en O. esto es.Capítulo 4: Vectores geométricos En E . si ninguno de los vectores es combinación lineal de los restantes (figura 15. Dicho plano es π ⎜ O. → → → En la figura 15. a . un plano π ⎜ O. Figura 15. b . c puede ser linealmente independiente si éstos no son coplanarios.14). con a y b no nulos. se dice que el conjunto a . c . → → → En el espacio. a . b . en cada punto O del espacio. c determinan en cada punto O del espacio un paralelepípedo de dimensiones 208 . son coplanarios si alguno de ellos es combinación lineal de los otros dos. determinado por los vectores libres a y b en ⎝ ⎠ el punto O. ⎝ ⎠ Vectores coplanarios → → → → → Tres vectores libres a . entonces los ⎛ → →⎞ dos vectores determinan. b . OB = b (figura 15. b ⎟ . b ⎟ . +.16). Módulo 15: Operaciones con vectores libres → → → a . y las propiedades M1 . se define un ángulo entre ellos con las siguientes condiciones: → → A1. Se dice real porque los escalares son números reales. puede definirse ángulo entre ellos. enunciados en el teorema 1. M5 de la multiplicación por escalares enunciados en el teorema 4 se resumen diciendo que la estructura E . curso de Álgebra lineal se analizarán otros espacios vectoriales. M4 . En el. el ángulo entre ellos es el ángulo entre sus aplicacio- ⎯→ ⎯→ nes respectivas OA y OB en un mismo punto O (figura 15. formada por el con- 3 junto de los vectores libres. c . M3 . M . 15. Geometría vectorial y analítica 209 . Figura 15.15 Las propiedades de la adición de vectores libres. la adición y la multiplicación de escalares por vectores. Se tienen así tres espacios vectoriales en los conjuntos estudiados hasta el presen- te. Si a y b son no nulos. Ángulo entre vectores libres → → Si a y b son vectores libres. b . es un espacio vectorial real.3 Ángulo entre vectores libres Si bien los vectores libres pueden «desplazarse» paralelamente a sí mismos en forma arbitraria. En adelante. E denotará el 3 espacio vectorial de los vectores libres. Para λ > 0. Si a = o o b = o .Capítulo 4: Vectores geométricos Figura 15. el ángulo entre a y b es el mismo que entre a y λ b . 210 . → → 4.16 → → → → → → A 2 . → → De las propiedades del ángulo es fácil deducir que el ángulo entre a y b no depen- de del punto de aplicación. Si θ es la medida en radianes del ángulo entre a y b y λ < 0. → → → → 3. He aquí algunas: → → 1. entonces el ángulo entre a y b es π 2 radianes (90º). El ángulo entre − a y − b es el mismo que hay entre a y b . las propiedades para ángulos entre segmentos dirigidos se conservan para los ángulos entre vectores libres. → → → → 2. entonces el → → ángulo entre a y λ b es π − θ . El ángulo θ entre a y b varía entre 0 radianes y π radianes (ambos valores incluidos). Además. → → → → → → → → → i. → → → → → → j. entonces c + d = c − d . entonces a = b . Determine. En el caso de enunciados falsos muestre un contraejemplo apropiado. Si a = b . → → → → → → e. Geometría vectorial y analítica 219 . Si a + b = a + b para a . con a = b y a & b . Si a = b . entonces a = − b . → → → → → → → → a. → → → → → → l. si es verdadera o falsa. b ∈ E 3 . entonces a = b y a & b . Si a & b . b ∈ E3 . → → → → c. entonces a y b están sobre la misma recta. entonces a y b son opuestos. Si a = b y a ≠ b . Si a & b y a = b y a ≠ b . → → → → d. Si a . entonces c + ⎜ − a ⎟ = o . entonces a + b = a + b . entonces a & b . entonces a & b . para cada una de las afirmaciones siguientes. Si c > d . → → → ⎛ →⎞ → g. → → → → → → b. ⎝ ⎠ → → → → → → h. → → → → → → k. entonces a y b tienen sentidos opuestos. Si c = − a. y justifique su afirmación.Ejercicios propuestos Para facilitar la solución de una buena parte de los ejercicios se sugiere elaborar un gráfico que ilustre la situación descrita en el enunciado sin establecer generalizaciones inválidas. → → → → → → → → f. Si a . b ≠ o . Si a & b . entonces a + b = a + b . 1. Si a + b = a − b . c ≠ o y a + b + c = c − b − a . Explique por qué AB = DC . → → → → → → → → → → o. Si a . ABCD representa un paralelogramo. a y b tienen sentidos opuestos al de c . → ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ Si designamos: u = AD . entonces b y d son de sentidos opuestos. En la figura 1. 2. b tienen distintas direcciones. → → → → → → → → → → m. → → → (6). → → → (2). x = BA . ⎯→ → → c. a & b & c. a y b tienen el mismo sentido. Calcule los siguientes vectores. b . Si b . → → → (4). −a− b− c = c − a − b . a+b− c = a + b + c . Si e . w = CB . c > a+b . entonces: → → → (1). ⎯→ ⎯→ b. resuelva los literales c. Exprese AC en términos de u y v . → → → → → → (8). → → (3). entonces e + f tiene el mismo sentido de f . c . expresando los resultados en términos de los vértices del paralelogramo: → → ⎛ → →⎞ → ⎛⎛ → →⎞ →⎞ → x + u. Exprese AC en términos de x y w. → → → → (5). f ≠ o y e + f = f − e . b > a . → → → → → → (9). → → (7). ⎯→ → → d. e. ⎜ x + u ⎟ + v. a . a + b + c tiene el mismo sentido de a. ⎯→ ⎯→ a. → → → → → → → → → n. d ≠ o y b − d = b + d . ⎜⎜ x + u ⎟ + v ⎟ + u . v = DC . e. d. ⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠ 220 . Explique por qué AD = − CB . Figura 1 3. Si u = PA . Figura 3 → → 5. En las mismas condiciones de la figura anterior para t y u . En la figura 2 se tiene un paralelogramo A y B son puntos medios de los lados. b ∈ E 3 : → → → → → → → → → a. Use la figura 3. y puede suponerse que los vectores que se observan como paralelos evidentemente lo son. a y b tienen sentidos opuestos y a + b tiene el sentido de a . t = PB . Si a & b . Para a . designe todos los vectores que aparecen con interrogación en términos de u . o terminan en → ⎯→ → ⎯→ → → P. ¿qué puede afirmarse de a y b en su relación de orden? Geometría vectorial y analítica 221 . t . exprese los vectores que aparecen con incógnita en → → función de u y t . Figura 2 → → 4. Los vectores señalados tienen su origen en P. ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ (2). b y a − b . β ≠ 0 . Si a > b y los vectores tienen sentidos opuestos. → → → → b. → → → Si a ∈ E y λ ∈ \. entonces λ a y a pueden ser vectores opuestos. entonces λ a & β b con λ ≠ 0. → → → → b. AB + HM − HF − FB + MK . 9. b ∈ E 3 . a. calcule la magnitud de cada vector en términos de las magnitudes de a y b . Si a . a− b. respectivamente? → → c. → → → → a. ¿qué puede afirmarse de los sentidos de: → → → → → → → → a+ b. CD − KF + KC − AD + DF . Determine para cada una de las afirmaciones siguientes si es verdadera o falsa y justifique su afirmación. Dadas las gráficas siguientes (figura 4) resuelva a y b. Dibuje un triángulo con lados asociados a los vectores no nulos a . Figura 4 8. Encuentre el vector resultante en cada una de las operaciones siguientes: ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ (1). Cuándo uno de los vectores representa la diferencia de los otros dos. Si a & b . 3 a. b. 222 . b − a. ¿es posible que a − b = a − b ? 7. → → → → → → b. − a− b ? → → d. Si b > a y los vectores tienen sentidos opuestos. En el literal anterior. ¿qué puede afirmarse del sentido de a + b con respecto → → al sentido de a y de b . Cuándo uno de los vectores representa la suma de los otros dos. → → → → 6. Explique por qué a − b ≥ a − b . 2 OC − 3 DO + 5 FO = o . → → → → c. entonces λ a > a . sean E. En un paralelogramo ABCD. En un cuadrilátero ABCD. Si λ a y β b tienen sentidos opuestos. → → → → i. Si λ a y β b tienen sentidos opuestos. M . entonces λ = θ = 0 . 13. Si λ a + β a = λ a + β a . 17. si M. OA − OB + OC + OB = OC . Demuestre vectorialmente que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero determinan un paralelogramo. OC + OB = OH . entonces a y b tienen sentidos opuestos. punto de referencia) son colineales. 15. ⎯→ ⎯→ ⎯→ → 16. Demuestre vectorialmente que las diagonales de un paralelogramo se intersecan en sus puntos medios. respectivamente. entonces λ > 0 y β > 0 o λ < 0 y β < 0. F. Si a & b y λ > 0. BC y CA . → → → → g. 3 5 15 1 ⎯→ 4 ⎯→ 1 ⎯→ ⎯→ 6 ⎯→ b. 14. Si a ≠ o y λ a y β a tienen el mismo sentido. → → j. Si a & b y λ a = θ b . G. entonces λ a y β b tienen el mismo sentido. 11. respectivamente. En un ΔABC . entonces λ > 0 y β < 0. R son los puntos medios de AB. N . CD y DA. Demuestre vectorialmente que en un paralelogramo los segmentos que unen un vértice con los puntos medios de los lados opuestos dividen la diagonal opuesta en tres segmentos congruentes. → → → → e. Demuestre vectorialmente que los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero y los puntos medios de las diagonales de éste son los vértices de un paralelogramo o son colineales. 2 5 2 5 ⎯→ ⎯→ ⎯→ → c. BC . Utilice el criterio de colinealidad para determinar en cada literal si los tres puntos diferentes de O («O». 2 ⎯→ 1 ⎯→ 13 ⎯→ a. → → → → f. 12. respectivamente. entonces λ > 0 y β < 0 o λ < 0 y β > 0. H los puntos medios de los lados AB. 10. N son puntos medios de AB y CD . entonces λ > 0 y β < 0 o λ < 0 y β > 0. demuestre vectorialmente que AMCN es un paralelogramo. → → → → h. Si a ≠ o y λ a y β a tienen sentidos opuestos. → → d. Si λ ≠ 0. Geometría vectorial y analítica 223 . Demuestre que AN + BR + CM = o . β > 0. MN AB y MN DC . 2 DC AB c. En el trapecio ABCD. N son puntos medios de AD y BC. Figura 5 Demuestre vectorialmente que: 1 a. M. 19. 224 . Figura 6 Demuestre vectorialmente que: 1 a. En el trapecio ABCD. de bases AB y CD . MN AB DC . M. Demuestre vectorialmente que AF BG CH DE o . respectivamente (figura 5). N son los puntos medios de las diagonales (figura 6). 18. MN AB DC . 2 c. 2 1 b. MN AB y MN CD . MN DC AB . MN . 2 d. O un punto de referencia y P el punto medio del segmento determinado ⎯→ 1 ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎞ por los puntos medios de las diagonales. 22. ⎯→ = . En el paralelogramo ABCD. En la pirámide triangular de base en el ΔABC y vértice Q. Demuestre vectorialmete que BD y AM se cortan en un punto que divide a ambos segmentos en la razón 1:2. Demuestre vectorialmente que el baricentro G de un triángulo de vértices A. 3⎝ ⎠ 23. demuestre vectorialmente que AB + AC + AD + AE + AF = 3 AD . M es el punto medio de CD. los segmentos AB. a & b y tales que − λ a + β b = 2 a + 2 b − β a . Sea a . En la figura 7. P3 es el punto de intersección de BP2 y CP1 . respectivamente. En un ΔABC se tiene: ⎯→ = . En un exágono regular ABCDEF. y P es el punto medio de AD . B. BC y AC tienen por puntos medios M. ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ 21. 1 2 3 6 BD siendo O punto de referencia. Sean ABCD un cuadrilátero cualquiera. Demuestre vectorialmente que OP = OA + OB + OC . ⎯→ = .20. Demuestre vectorialmente que OP = ⎜ OA+ OB + OC + OD ⎟ . 4⎝ ⎠ ⎯→ CD ⎯→ 2 1 ⎯→ 1 ⎯→ 1 ⎯→ 24. ⎯⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ N y L. 27. b ∈ E 3 . Demuestre vectorialmente que en un triángulo isósceles las medidas de los segmentos trazados desde los puntos medios de los lados iguales al punto medio del tercer lado son iguales. Determine vectorialmente los valores de λ y β . siendo O un punto de referencia cualquiera. 5 Geometría vectorial y analítica 225 . 26. Demuestre vectorialmente que QM + QN + QL = QA + QB + QC . Figura 7 ⎯→ ⎯→ AP1 AP2 1 1 25. 3 3 PB 1 P2C Determine vectorialmente las razones en las que P3 divide al segmento CP1 y al segmento BP2 . C se puede expresar como ⎯→ 1 ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎞ OG = ⎜ OA+ OB + OC ⎟ . → → → → → → → → 2 → 28. al parecer 1. Por otra parte. Introducir el concepto de subespacio vectorial. Estos subconjuntos se denominan bases. ¿Qué es una base? 6.1 El espacio vectorial de los vectores libres 16. el matemático más famoso de subconjuntos que. generen el conjunto de todos la antigüedad y quizás el más nombrado y conocido de la los vectores del espacio. Se conoce poco de su vida. para los espacios E . Esta última tiene asociados los conceptos de combinación lineal. conducen a dos estructuras matemáticas de suma importancia: grupo y espacio vectorial.3 El espacio vectorial E 2 16. particularizando vigente. pero se cree que vivió entre los años 330 y 275 a. con las operaciones adición y multiplicación por un escalar. ¿Qué representa la dimensión de un espacio vectorial? Contenidos del módulo 16. Allí fundó una escuela de estudios matemáticos. base y dimensión. C. pero su obra es ampliamente Objetivos del módulo conocida. también se dice que estudió E3 como un espacio vectorial real. recibe el título de Elementos. en la escuela fundada por Platón. Sabemos que vivió en Alejandría (Egipto). Preguntas básicas 1. ¿Qué es un subespacio vectorial? 5. Todo lo que sabemos de su vida nos ha llegado a través de los comentarios de un historiador griego llamado Proclo. 3 2 1 Las fechas en que nació y murió Euclides son inciertas. E y E . C. cuyo contenido aún sigue 3. con el menor número posible de elementos.4 El espacio vectorial E3 16. Definir los conceptos de base y dimensión para espacios vectoriales. ¿Qué es una estructura de espacio vectorial? 4. 3 Su obra más importante es un tratado de geometría que E 2 y E1 . El espacio vectorial de los vectores libres 16 Introducción Los vectores libres.2 El espacio vectorial E 1 16. ¿Qué relación existe entre paralelismo y colinealidad? 3. 2. Definir el concepto general de espacio vectorial y mostrar el conjunto de los vectores libres alrededor del año 300 a. sin lugar a dudas. ¿Qué debe suceder para que dos vectores sean colineales? 2. independencia lineal. Euclides En el estudio de los espacios vectoriales es preciso indagar acerca de la existencia de Euclides es.5 Bases ortonormales derechas Vea el módulo 16 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 227 . historia de las matemáticas. con la exhibición de dos subespacios de E . → 1. Colinealidad Si se escoge en el espacio una recta l. En esta unidad se estudiarán algunas características especiales de este espacio vectorial.Capítulo 4: Vectores geométricos 16. Como puede observarse. a y b tienen sentidos contrarios. → → 4. En este caso diremos también que a y b son paralelos. → → → → 2. 3. a y b son colineales si existe un escalar α tal que b = α a o existe un escalar → → → → β tal que a = β b . entonces a y b son colineales y existe un → → → → → → escalar α tal que b = α a ( b = 0 a ). entre ellas las relativas a los subespacios E1 y E 2 y los conceptos de base y dimensión. 2. Se dijo que las propiedades de la adición enunciadas en el teorema 2 y las propiedades 1.1 El espacio vectorial de los vectores libres En el módulo 15 se definieron las operaciones adición (+) y multiplicación por un escalar (M ) en el conjunto E 3 de los vectores libres en el espacio. Dos vectores libres pueden ser colineales bajo las siguientes condiciones: → → 1. Un vector libre a está en la recta l si tiene su misma dirección. la colinealidad es sinónimo de paralelismo. a y b tienen el mismo sentido. En este caso α > 0. → → → → → 2. M > sea un espa- cio vectorial real. → → b. Notas 1. pero no existe un escalar β tal que a = β b . 3. entonces existe un escalar α no nulo de → → modo que b = α a . Ahora α < 0. Hay dos posibilidades: → → a. 228 . Si a y b son no nulos y colineales. Si el vector a es no nulo y b = o . El vector libre nulo está en toda recta l. ésta determina –como se verá– un subespacio de E3 . + . o es colineal con cualquier vector libre a . 4 y 5 de M recogidas en el teorema 5 hacen que la estructura < E 3 . El vector nulo es paralelo a cualquier vector (tiene todas las direcciones). ⎜ a ⎟ a ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ → Lo anterior permite. También se dice que e1 es el vector → a normalizado. Consideremos los vectores a = AB + CB + 2 BA.1). C puntos en el espacio. B. b = α a (definición de M ). a → ⎛ → ⎞ → → b → ⎜ b ⎟→ Si a y b tiene el mismo sentido. dado un vector libre a no nulo. ⎜ a ⎟ a ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ → ⎛ → ⎞ → → b → ⎜ b ⎟→ Si a y b tiene sentidos contrarios. α = → . → → → 1 ⎯→ yb= AC . obtener dos vectores → unitarios (de longitud uno) en la direccion de a (figura 16.1 → → Del vector e1 (unitario y con la dirección y el sentido de a ) se dice que se → → obtiene por normalización del vector a. → 1 → → −1 → e1 = → a y e2 = → a. entonces α = − → y b = ⎜− → ⎟ a. Ilustración 2 → ⎯→ ⎯→ ⎯→ Sean A. → b Por tanto. entonces α = → y b = ⎜ → ⎟ a. Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres → → En cualquier caso. ¿Son a y b colineales? ¿Por qué? 3 Geometría vectorial y analítica 229 . a a Figura 16. son paralelos a l). → → → Consideremos en E1 un conjunto unitario {a}. → → En consecuencia. Es decir. modulativa ( o ∈ E1 ). que lo notamos también como E1 .Capítulo 4: Vectores geométricos Solución → ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ a = ( AB + BA) + (CB + BA). Es el espacio de los vectores libres en una recta dada (o simplemente en la recta). M > es un espacio vectorial real. a = − AC . pues contiene al vector cero ( o ) y a los vectores ⎯→ ⎯→ definidos por cualquier par de puntos A y B en l ( AB y BA). b en E1 y λ real. (?) → → ⎯→ a = 0 + CA. → → → → d. a y b son colineales (aunque de sentidos contrarios). Todo lo anterior se resume en el siguiente teorema. → Este conjunto E1 es no vacío. (?) → ⎯→ → ⎯→ → → Luego a = CA . (λ + μ ) a = λ a + μ a . → → → → c.2 El espacio vectorial E1 Dada una recta l. De hecho. \ . λ ( μ a ) = μ (λ a ) = (λμ ) a . En particular: → → 1. +. 16. con a ≠ o . E1 tiene infinitos vectores. para cada a en E1 y λ . Las operaciones adición y multiplicación por un escalar definidas en E 3 conservan sus propiedades en E1 . para cada a en E1 y λ . 2. 230 . μ reales. llamemos E1 al conjunto de todos los vectores libres que están en l (son colineales con l. λ ( a + b ) = λ a + λ b . μ reales. a = −3 b . entonces − a ∈ E1 ) y conmutativa. En resumen < E1 . + > . → → → → → → b. invertiva (si a está → en E1 .es un grupo abeliano. La multiplicación por un escalar (M ) satisface en E1: → → → a. Por tanto. para cada a . La adición (+) es en E1: asociativa. Teorema 7 La estructura < E1 . para cada a en E1 . 1 a = a . tienen la dirección de l. } La dimensión de E1 es uno (1): dim E1 = 1. 16. pues. o E1 = gen{a}. si dicho vector es paralelo al plano. cabe la siguiente definición. → → λ b = (λα ) a . El vector nulo ( o ) es coplanario con cualquier vector. Geometría vectorial y analítica 231 .. escribirse: { → → → E1 = b ∈ E3 : b = α a . No obstante. {a} es una base para E1 : {a} es linealmete independiente y genera a E1. entonces → α = 0. ak son coplanarios si existe un plano π paralelo a cada uno de ellos. estrictamente hablando. → 3. a2 . Además. Las operaciones adición y multiplicación por un escalar pueden hacerse utilizando → las representaciones de los vectores de E1 en la base {a} .. Dicho de otro modo: {a} genera a E1 . → → En suma. → → → → Si b = α a y c = β a . → → → 2. Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres → → → El conjunto {a} es linealmente independiente.. Es decir. para cualquier vector b en E1 existe un escalar α tal que b = α a → → (ya que a y b son colineales). Puede. cualquier vector de E1 es una combinación → → → lineal de a. Es decir.3 El espacio vectorial E 2 Recordemos que. el vector libre carece de puntos. Los vectores a1 . entonces: → → → b + c = (α + β ) a . la única combinación lineal de a que produce el vector cero es la → → → trivial. Un vector libre puede estar en un plano π bajo las siguientes condiciones: → 1. Esta última expresión se lee: E1 es el espacio generado por el conjunto formado por → el vector a . Un vector libre a está en un plano π . En efecto: si α a = o .. para algún α real . Esto es por el hecho de que para generar E1 sólo se requiere un vector. así como en E1 . +. { } → → Se sabe que a . Dicho de otro modo: la 232 . entonces el segmento orientado OA tiene todos sus puntos en el plano π.2) y en éste se aplica el vector libre a de ⎯→ → ⎯→ modo que OA = a . Cualquier plano paralelo a π determina el mismo conjunto E2. b formado por dos vectores libres no nulos y no colineales. se denota E2 al conjunto de los vectores libres que están en dicho plano. entendiéndose que hay un plano que lo determina. El vector nulo (0) hace parte de E 2 .Capítulo 4: Vectores geométricos → La expresión «el vector libre a está en el plano π » se entiende en el sentido de que → si se escoge en π un punto O (figura 16. Figura 16. \ . En adelante se hablará → de E 2 . puede enunciarse que E1 y E2 son 3 subespacios de E3 . Como E2 y E1 son subconjuntos de E . { } → → Consideremos en E2 un subconjunto a . Lo notamos también como E2 . entonces α y β deben ser iguales a cero. Las operaciones adición y multiplicación por un escalar definidas en E3 conservan en E 2 . esto es. M > es un espacio vectorial real.2 Dado un plano π . puede concluirse el siguiente teorema: Teorema 8 La estructura < E 2 . Por similitud con el análisis hecho para E1 . sus propiedades. si → → → α a + β b = o. b es un conjunto LI (linealmente independiente). Escojamos en el plano un punto O y apliquemos en él los tres vectores (figura 16. c no es colineal con a ni con b . como combinación lineal de a y b . de manera única. ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ → Como resultado de la aplicación tenemos que OA = a . → → 2. → → Es claro que c ≠ o . → → → 3. tales que c = α a + β b . Prueba → Debe probarse que para cualquier vector libre c de E 2 existen escalares α y β . Este caso es similar al anterior. en cualquiera de las dos situaciones presentadas en la figura 16. Teorema 9 { } → → Si a .3 multimedia de Geometría vectorial y analítica. → → En este caso existe α real tal que c = α a . Vea la animación Expresión de un vector libre como combinación lineal de otros dos en su Figura 16. c es colineal con a . OB = b y OC = c .3. entonces todo vector de E 2 puede expresar- 2 → → se. Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres → → única combinación lineal de a y b que produce el vector cero es la trivial. → → → Luego c = α a + 0 b ( β = 0).3). c es colineal con b . úni- → → → cos. Geometría vectorial y analítica 233 . b es un subconjunto LI en E . Existencia Hay tres casos posibles: → → 1. { } → → a . { } → → El conjunto a . en el paralelogramo OA´CB´. b del teorema cumple dos condiciones: 1. ⎯→ ⎯→ ⎯→ OC = OA´ + OB´. 234 . y la recta HJJG HJJG paralela a OB y que corta a OA en B´. Es decir. Esta es una forma más simple de decir que todo vector → → { } → → de E 2 es combinación lineal de a y b . β 2 de modo que: → → → c = α 1 a + β1 b → → = α 2 a + β2 b . Por diferencia se obtiene: → → → (α1 − α 2 ) a + ( β1 − β 2 ) b = o . ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ Pero es claro que OA´ y OA son colineales. deben ser: α1 − α 2 = 0 y β1 − β 2 = 0. β1 y α 2 . 2. b es LI. Por definición de adición. b . α1 = α 2 y β1 = β 2 . c = α a + β b . Unicidad Supongamos que existen parejas de escalares α1 .Capítulo 4: Vectores geométricos HJJG HJJG Por C tracemos una recta paralela a OB y que corta a OA en A´. con α y β únicos. así como OB´ y OB . Luego existen esalares α y β tales que: ⎯→ → ⎯→ → OA´ = α a y OB´ = β b . { } → → Como el conjuntoes a . { } → → a . En símbolos: E 2 = gen a . → → → Por tanto. → → → Luego c = α a + β b . b genera a E 2 . b LI. ⎯→ ⎯→ Por otra parte. Luego AC = 4 b − 2 a .4 Solución ⎯→ ⎯→ AB = 2 PM (ejercicio resuelto). De hecho.4). AC = 2 AP . en E 2 hay infinitas bases: cualquier par de vectores de E 2 constituyen una base con la única condición de ser no nulos y no colineales. P y M son puntos medios de AC y BC . llamemos respectivamente e1 y e2 a los vectores Geometría vectorial y analítica 235 . Ilustración 4 → → En el rectángulo OABC (figura 16. AP = 2 b − a . ⎯→ ⎯→ ⎯→ → → → Pero AP = BP + AB = a + (2 b − 2 a ). b es una base para E 2 . Sean a = BP y b = MC . respecti- → ⎯→ → ⎯→ vamente. b es una base { } → → ⎯→ ⎯→ para E 2 . Figura 16. los vectores AB y AC . Exprese. ⎯→ → → ⎯→ → → Por tanto. en términos de esta base. ⎯→ ⎯→ ⎯→ PM = BM − BP (?) ⎯→ ⎯→ = M C − BP (?) → → = b − a.5 ). ⎯→ → → → → Luego AB = 2( b − a ) = 2 b − 2 a . Es evidente que el conjunto a . Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres { } → → Por 1 por 2 se dice que a . Ilustración 3 En el triángulo ABC (figura 16. Ilustración 5 { } → → → → → → Sea e1 . AQ = e2 . Se dice entonces que es { } → → e1 . ⎯→ ⎯→ ⎯→ Para calcular PQ debe tenerse en cuenta que PQ = P′A (con P′ punto medio de OC ). ⎯→ Figura 16. ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ PQ = PO + OA + AQ . 236 . e2 una base ortonormal para E 2 . Exprese el vector PQ en la base { } → → e1 . OA = 9 e1 . lo mismo que Q de A. e2 una base ortonormal para E 2 y b un vector tal que b = α e1 + β e2 .Capítulo 4: Vectores geométricos ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ OA y OC normalizados.5 Solución → → Los vectores e1 y e2 son unitarios y ortogonales entre sí. El punto P ⎯→ dista de C una unidad. Por el teorema de Pitágoras: ⎯→ P ′A = 2 2 + 9 2 Luego ⎯→ PQ = 85. ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ → → Pero PO = −3 e2 . e2 y calcule PQ . Supongamos además que OA = 9 y OC = 4. Luego PQ = 9 e1 − 2 e2 . entonces. De igual forma. exactamente. puede afirmase que en E 2 el máximo número de vectores en un conjunto LI es 2. c quees un conjunto linealmente dependiente (LD). b una base para E 2 . b se le agrega un → { → → → } vector c de E 2 . Solución { } → → → Por ser a . Luego α a + β b − c = o . entonces el conjunto a . para cualquier real → → α no nulo. Ilustración 6 { } → → { } → → Sea a . En general. c ya no es LI. En consecuencia. → → {} → a = o . toda base para E 2 tiene. la dimensión de un espacio vectorial es «el número máximo de vectores que puede tener un conjunto LI». el conjunto a es LD. α a = o . Demuestre que si al conjunto a . o también «el número de vectores de cualquier base para el espacio». En este caso. Se dice. ya que α a = o solamente si α = 0. b . Ahora el conjunto a es LI. Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres → Demuestre que b = α 2 + β2 . Luego el conjun- { → → → } to a . b una base para E 2 (teorema 7) y c un vector de E . b . que la dimensión de E 2 es 2: dim E 2 = 2. {} → En E 2 un conjunto unitario a presenta dos posibilidades: a. → → → Se tiene así una combinación lineal de los vectores a . Geometría vectorial y analítica 237 . b y c que producen el vector cero y no es la trivial (no todos los coeficientes son ceros). { → → → } En este caso se dice a . Se deja como ejercicio al lector. → → {} → → → a ≠ o . dos vectores. En efecto. c no es LI. b. b . existen escalares 2 → → → → → → → α y β tales que c = α a + β b . una de cuyas bases es a . B) y por tanto → → → → → no es coplanar con a y b . Por los axiomas de la geometría elemental. entonces existe al menos un vector c de E 3 tal que es analítica. entonces α = 0. El vector c no está en el plano π (O. de manera que OA = a ⎯→ → y OB = b (figura 16. c también LI. B ). para el cual no existen → → → escalares α . por ello. si α a + β b + λ c = o . b . λ = 0.6 Se determina así un plano π (O. b . A. → → → → En consecuencia. Prueba → → ⎯→ → Apliquemos en un punto O del espacio los vectores a y b . se ha hallado un vector c . A. → ⎯→ → Llamemos c al vector OC .4 El espacio vectorial E3 Abordaremos a continuación el problema de la formación de bases para el espacio E3 . Figura 16. Esto significa que c no es combinación lineal de a y b { } → → y.6). existe en el espacio al menos un punto C que no está en dicho plano. b es un conjunto LI. β = 0. no nulo obviamente. Teorema 10 Vea la animación Expresión de un vector libre { } como combinación lineal de otros tres en su → → → multimedia de Geometría vectorial y Si a . β tales que c = α a + β b . 2 → En síntesis. el 238 .Capítulo 4: Vectores geométricos 16. { } → → → a . no pertenece al espacio E . Así. ni con b y c .7 → → → → Apliquemos en un punto O del espacio los vectores a . OB = b . b y c . d es coplanario con a y b . b . c es LI. c son vectores coplanarios si y sólo si a . { → → → } Teorema 11 { → → → } Si a . Colorario → → → a . entonces existen escalares 3 → → → → α . → → → c. de manera única. OC = c y OD = d .7). c es linealmente independiente. → → → como combinación lineal de a . ni con a y c . entonces todo vector de E 3 puede expresarse. Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres { → → → } conjunto a . Geometría vectorial y analítica 239 . b . b . Analizaremos únicamente el caso d (figura 16. Existencia Cosideremos los cuatro casos posibles: → → → a. de tal manera ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ → que OA = a . Figura 16. b . d es coplanario con a y c . Prueba → Debe probarse que si d es un vector de E . d es coplanario con b y c . d no es coplanario con a y b. c y d . b . → → → b. tales que d = α a + β b + λ c . c es LD. únicos. β y λ . → → → → → → → d. Por tanto. ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ Luego OD = OA′ + OB ′ + OC ′ (?) ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ⎯→ → Ahora bien. π (O. { → → → } Según este último teorema. el {→ → → → } nuevo conjunto a . C ) en H . que corta al plano π (O. 240 . que corta al plano π (O. Unicidad Se deja como ejercicio al lector. Se determina así el paralelepípedo OA′EB ′C ′FDH . todo conjunto a . Pero OE = OA′ + OB ′ . En ninguno de los tres planos está el punto D. λ tales que: → → → → d =α a+ β b+λ c. β . b . El segmento OD es una diagonal de dicho poliedro. A. C ). b . la dimensión de E 3 es tres: dim E3 = 3 . C ) en F . B). B. necesariamente. c de E 3 que sea LI es una base de E3 . → Una paralela al vector c . B. b . que corta al plano π (O. c en E 3 gene- { } → → → → ra a E3 . c se le agrega un vector d . B) en E. Tracemos por el punto D: → Una paralela al vector a . todo conjunto LI de tres vectores a . A. Puede afirmarse. π (O. A. ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ Es claro que OD = OE + ED .Capítulo 4: Vectores geométricos Hay tres planos para destacar: π (O. OB ′ y OC ′ son respectivamente colineales con OA ( a ). Esto significa que si al conjunto LI a . C ). c . OB ( b ) ⎯→ → y OC ( c ). Por tal razón. { → → → } Además. b . A. que en E 3 el máximo número de vectores en un conjunto LI es tres. LD. existen escalares α . OA′. → Una paralela al vector b . en consecuencia. d es. Sea además G el baricentro del triángulo OAB (la cara OAB). ⎯→ 1 ⎯→ ⎯→ Como OM es una mediana.8 Solución → → → { } → → → Es evidente que a . 2 ⎯→ ⎯→ ⎯→ → 1 → → Pero (problema resuelto) OG = 2 OM .8. 3 3 Geometría vectorial y analítica 241 . } Figura 16. Luego CG = − c + ( a + b ). b y c son no coplanarios y. c . 2 ⎯→ 1 → → Es decir. b = OB y c = OC . OM = (OA+ OB ) (?). a . b . OM = ( a + b ). por tanto. → ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ Sean a = OA. el poliedro OABC es un tetraedro (tiene cuatro caras) llamado pirámide triangular. c es una base de E3 . 3 3 ⎯→ → → → Finalmente. ⎯→ { → → → Exprese el vector CG en la base a . CG = 1 a + 1 b − c . ⎯→ ⎯→ ⎯→ CG = CO + OG . Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres Ilustración 7 En la figura 16. Llamemos M al punto medio de la arista AB. b . { } → → Partamos ahora de una BOND i . es de 90º. j no así en la figura 16. 242 .9 los vectores forman sistemas derechos.10 { } → → En adelante. Figura 16. en sentido antihorario desde su posición hasta J.5 Bases ortonormales derechas → → En E 2 consideremos dos vectores unitarios i . j .Capítulo 4: Vectores geométricos 16. Formemos un conjunto ordenado {→ → } → → → → i . { } → → En la figura 16. en las condiciones descritas. k agregando k . j para E2 .9 Figura 16. al conjunto ordenado i . j ortogonales entre sí. j . lo llamare- mos base ortonormal derecha (BOND) para E2 . con OI = i . OJ = j . Con ellos { } → → puede formarse un conjunto ordenado i . vector unitario ortogonal. i . j al que llamaremos derecho si al apli- ⎯→ → ⎯→ → carlos en un punto O del plano (que define a E 2 ). el ángulo descrito por el punto I al rotar alrededor de O. a i y a j .10. j . ⎯→ → ⎯→ → → OJ = j . barriendo el ángulo recto I OJ { → → → } que i . { → → } → En la figura 16. lo que no sucede en la figura 16. y el sentido de k es el de un «tornillo de rosca derecha» al l . k es una base ortonormal derecha (BOND) para E3 . En este caso. con OI = i .12 Geometría vectorial y analítica 243 . j . Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres ⎯→ → Supongamos que al aplicar los tres vectores en un mismo punto O. diremos «enroscar» de I a J. OK = k .12.11 Figura 16. k es una BOND para E .11 i . 3 Figura 16. respecto a un sistema de referencia que podemos elegir Ejercicios arbitrariamente. así. con una 3 identificación entre sus operaciones respectivas. propiciando un tránsito natural entre el análisis geométrico en E 3 y la geometría analítica propiamente dicha desa- rrollada en \ 3 . \ . Si se ha elegido convenientemente el sistema de referencia y la ⎯→ ⎯→ base del espacio de los vectores geométricos. Geometría vectorial y analítica 249 . Q se les puede asignar el vector PQ . \ . Estas estructuras nos permitirán establecer una correspondencia específica y de gran importancia entre el espacio vectorial de los vectores geométricos. los vectores de posición y los vectores libres. por elementos de \ . \ . a cada 3 Módulos 17 al 19 ⎯→ par de puntos del espacio P. Capítulo 5 Vectores 5 coordenados Contenido breve Módulo 17 Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados Módulo 18 Lugares geométricos Módulo 19 Intersecciones entre lugares Una interpretación que podemos dar al tema que iniciaremos es la siguiente: el espacio en que nos movemos y que designaremos como geométricos el espacio físico puede interpretarse como un conjunto infinito de puntos que. se pueden expresar por medio de ternas ordenadas de números reales. a su vez cada punto se localiza en forma única por medio de los vectores P y Q que llamaremos vectores localizados o de posición. bajo la designación genérica de vectores. 3 y el espacio vectorial de las n-tuplas de componentes reales. estableciendo de esta manera correspondencias entre los puntos del espacio. Presentación Los conjuntos que hemos estudiado hasta el momento nos han permitido identifi- car estructuras algebraicas comunes a estos conjuntos. esto es. E . y a sus elementos en particular. que nos han llevado a caracterizarlos como espacios vectoriales reales. Iniciamos este estudio con la revisión de elementos fundamentales. y E1 (vectores paralelos a una recta dada) y el conjunto \. Estas características convierten este tema en un verdadero desafío. para el cálculo vectorial. Así. que invita al estudiante a lograr el mejor despliegue de los conocimientos adquiridos. 250 . determinar las ecuaciones vectoriales que caracterizan diversos lugares geométricos en forma sorprendentemente simple y luego proceder a desarrollar su estudio analítico en términos de sus coordenadas. entre muchas aplicacio- nes. tiende un puente entre ambos espacios. y que progresivamente incrementaremos al introducir nuevas operacio- nes vectoriales como el producto escalar. Este hecho hace que las situaciones problema que pueden plantearse demanden la creatividad. sobre todo. y en particular la conservación de operaciones. la gama de aplicaciones se amplía totalmente. mostrando cómo lugares geométricos que presentan ecuaciones algebraicas bastante complejas se pueden construir desde ecuaciones vectoriales relativamente sencillas. el manejo correcto de unos instrumentos sencillos: el vector geométrico y sus operaciones. Las razones anteriores nos llevan a presentar este estudio en un grado variable de complejidad. Esta herramienta se constituye en un instrumento matemático invaluable. en particular como soporte vital en la formulación y solución de una gran variedad de problemas en las diversas ramas de la Ingeniería. La correspondencia establecida. para crear las imágenes requeridas en los diferentes espacios y luego traducirlos a las estructuras vectoriales fundamentales. como son la recta y el plano. iniciando en los conjuntos más simples y familiares. que nos permite. pero cuya integración consideramos necesaria. el producto vectorial y el producto mixto. y el límite de las mismas es incalculable. Por ello invitamos al estudiante a avanzar permanentemente en su estudio. algunos de ellos ya conocidos. el análisis y.Capítulo 5: Vectores coordenados Esta correspondencia se establece análogamente entre los subespacios vectoriales de E 2 y \ 2 . y final- mente su expresión en una ecuación algebraica. como tendremos la oportunidad de estudiarlo. en el sentido más positivo del término. describir vectorialmente las propiedades de cualquier conjunto de puntos que presenta una característica expresable en términos de operaciones vectoriales. Correspondencia entre los 17 vectores geométricos y los vectores coordenados Introducción Retomamos algunos conceptos ya desarrollados previamente.1 Nociones básicas 17. E2 y R2.1. Hacer una recopilación de algunos elementos fundamentales para la estructuración de los nuevos elementos que se van a presentar dentro de la teoría. Mostrar las ventajas que presentan las bases ortonormales en E 3 para la operatoria vectorial. para el desarrollo de la teoría y sus geométricos y los vectores coordenados nos permite resultados.1 Vector unitario o vector normalizado 17. ¿Qué son vectores ortogonales? 4. vectores ortogonales. E1 y R. como son vector unitario. vectores ortonormales y bases ortonormales. ¿Qué son vectores ortonormales? 5. ¿Qué es un vector de posición o vector localizado? 6. ¿Qué es un vector unitario o normalizado? 2. mediada por los vectores de posición. Preguntas básicas 1. la cual iniciaremos en su estudio en el módulo siguiente. ¿Qué correspondencias se pueden establecer entre los conjuntos: E 0 (vectores de posición con origen en el punto 0). La correspondencia establecida es fundamental para la construcción de la geometría analítica. Objetivos del módulo 1. E 3 (vectores geométricos en el espacio) y \ 3 (n-tuplas de tres componentes reales)? 8. ¿Qué operaciones se definen entre los vectores de posición o relacionados con ellos? 7. para Estas correspondencias están mediadas por un conjunto de nuevos vectores que entramos a luego ser traducidas en ecuaciones analíticas en función de estudiar y que corresponden a los vectores de posición o vectores localizados. 2.1. 3. con el propósito de El establecimiento de una correspondencia entre los vectores fundamentar en este capítulo una correspondencia vital.2 Vectores ortogonales Geometría vectorial y analítica 251 . ¿Cómo se normaliza un vector no nulo? 3. ¿Qué consecuencias se derivan de las correspondencias establecidas? Contenidos del módulo Vea el módulo 17 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica 17. entre los conjuntos: E3 y R3. destacando las propiedades y consecuencias que se desprenden de ella. las coordenadas. Establecer una correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados. 3 Vectores ortonormales 17.4 Correspondencia entre los conjuntos E3 y E0 17.2 Vector de posición o vector localizado 17.1 Operaciones básicas que incluyen los vectores de posición 17.5.1 Propiedades derivadas de estas correspondencias 17.5.5 Correspondencia entre los conjuntos E3 y R3 17.2 Interpretación geométrica de la correspondencia entre los conjuntos E3 y R3 252 .3 Correspondencia biunívoca entre los conjuntos E0 y R3 17.2.Capítulo 5: Vectores coordenados 17.1.1.4 Sistemas de coordenadas ortonormales 17. 3 Observaciones 1. pero con la dirección y el sentido del vector especificado. Geometría vectorial y analítica 253 . si b ∈ E y b ≠ o .a ≠ o. Figura 17. tiene G t = 3 unidades. como se indica en la figura 17. → → → a ∈E .1 Nociones básicas Inicialmente presentaremos todos los elementos fundamentales para soportar teó- ricamente la correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados (ver numeral 17. En este contexto la expresión «normalizar un vector geométrico determinado» significa determinar un vector de magnitud igual a uno.5) 17. entonces el vector ⎜ → ⎟ b es un vector unitario y lo 3 ⎜ b ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ denotamos así: ⎛ ⎞ → ⎜ 1 ⎟→ u b = ⎜ → ⎟ b. a ≠ o . Módulo 17: Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados 17. ⎛ ⎞ → → → ⎜ 1 ⎟→ En general. G Así. → → → → → Sea a ∈ E3 .1 ⎛ ⎞ → ⎜ 1 ⎟→ ⎛1⎞→ Entonces u →t = ⎜ → ⎟ t = ⎜ ⎟ t es un vector normalizado en la dirección y ⎜ t ⎟ ⎝ 3⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ → el sentido de t .1 Vector unitario o vector normalizado Escuche la biografía de René Descartes en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.1.1. → ⎜ b ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ que leeremos «vector unitario o normalizado en la dirección y el sentido del vector → b ». Decimos que a es unitario si a = 1 . supongamos que un vector t . x ≠ 0 . como lo indicamos en la figura 17.2 Vectores ortogonales → → → → → → → Sean a . a . k son mutuamente perpendiculares y unitarios. con los semiejes positivos de un sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones. en su orden.3 Vectores ortonormales → → → → → → → → Sean a . Generalmente asociamos cada uno de estos vectores. k una base ortonormal en E3 . j . j . Los vectores a y b son ortonormales si y sólo si a y → b son unitarios y ortogonales. los denotamos a ⊥ b . b ≠ o .1. → → → → → → Esto es. a . como veremos más adelante. entonces x = x u →x .2: Figura 17. b ∈ E3 . Dado x ∈ E3 . 17.1. La ecuación anterior es una consecuencia inmediata de la definición del vector «normalizado» (¿por qué?) y tiene una importancia fundamental en las aplicaciones del vector geométrico en el cálculo vectorial y en las aplica- ciones a la física. b ∈ E3 .2 254 .1. Esto significa que i .Capítulo 5: Vectores coordenados → → → → → → 2. 17. Notación → → → → Si a y b son ortogonales. b ≠ o . 17.4 Sistemas de coordenadas ortonormales { } → → → → → → Designaremos por i . a y b son ortonormales si y sólo si a = b = 1 y a ⊥ b . Los vectores a y b son ortogonales si al aplicarlos en un punto común forman ángulo recto. Generalmente designamos por «O» el origen de los vectores de posición. e3 bases ortonormales en E3 . Notación 1. así (figura 17. e2 .5). La diferencia entre dos vectores de posición es un vector libre (figura 17. 17.3 2. Módulo 17: Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados Observación { → → → } { → → → } Designaremos también por ux .2 Vector de posición o vector localizado Son vectores geométricos con un origen fijo y en consecuencia no son libres. uz o e1 . u y .1 Operaciones básicas que incluyen los vectores de posición 1. entonces λ A es un vector de posición (figura 17. 2.3): Figura 17. Designaremos por E 0 el conjunto de todos los vectores de posición de origen en el punto O.2. 17. → → 3. Designaremos un vector de posición con una letra mayúscula asociada al punto que corresponda a su extremo. La suma entre un vector de posición y un vector libre es un vector de posición (figura 17. Si λ ∈ R y A es un vector de posición.6). con la flechita característica del vector geométrico.4). Geometría vectorial y analítica 255 . 7). como lo indicamos a continuación (figura 17. no está definida.7 Obsérvese que al no definirse en forma general. bajo un contexto restringido.5 Figura 17.4 Figura 17. no general. esta suma no puede caracte- rizarse como una operación binaria. bajo el concepto general establecido para los vectores geométricos. una definición para el caso de vecto- res de posición no nulos y no paralelos. La suma entre vectores de posición. Sin embargo se establece.Capítulo 5: Vectores coordenados Figura 17. 256 . Figura 17.6 Observaciones 1. como el vector asociado a la diago- nal principal del paralelogramo determinado por los dos vectores de posi- ción. 17.3 Correspondencia biunívoca entre los conjuntos E0 y R3 {→ → → } Dados E 0 . definimos una función f 3 entre los conjuntos E 0 y R 3 así: f : E0 → R3 . a cada vector de posición la función le asigna las coordenadas asociadas al punto correspondiente al extremo del vector expresadas en el sistema de coorde- nadas ortonormales. a cada tripleta de coordenadas le corresponde un vector localizado único.8): Figura 17. R 3 y i . α 2 . Esta función es inyectiva y sobreyectiva («1 a 1» y sobre) y se denomina también biyectiva o correspondencia biunívoca. 2. Módulo 17: Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados → → → → 2. y recíprocamente. A + b es un vector de posición. ⎝ ⎠ Esto es. j . α 2 . Geometría vectorial y analítica 257 . → ⎛→⎞ A → f ⎜ A ⎟ = A(α1 . α 3 ). Esto significa que a cada vector de posición le corresponde una tripleta única.8 Observaciones 1. así (figura 17. La correspondencia anterior la denotamos: → A ↔ A(α1 . k una base ortonormal en E . α 3 ). pero b + A no está definido (¿por qué?). que la indicamos como OA ↔ A . designamos al vector OA como «el vector libre asociado → al vector A ». 258 . la misma dirección y el mismo sentido del → vector a .9): Figura 17. a cada vector libre a la función le asigna como imagen el vector de posi- → ción A. Dado el vector A . Cuando operamos en particular en una base ortonormal como en este caso.9 Observaciones 1. puesto que a un vector de posición determinando le pueden corresponder diferentes vectores libres (desde luego iguales entre sí).4 Correspondencia entre los conjuntos E3 y E0 { → → → } Dados E 3 . E 0 y i . mas sí es sobreyectiva («sobre»). definimos una función g entre los conjuntos E3 y E 0 así: g : E3 → E0 . Esta función no es una correspondencia biunívoca. k una base ortonormal en E 3 . En este caso podemos establecer una correspondencia ⎯→ → ⎯→ → biunívoca entre OA y A. j . → ⎯→ 2. en consecuencia. → ⎛→⎞ → a → g ⎜ a ⎟ = A. así (figura 17. ⎝ ⎠ → Esto es. 3. todo vector geométrico tiene una expresión única en ella y en consecuencia la correspondencia se plantea en general entre E 3 y E 0 . no es una función inyectiva («1 a 1»).Capítulo 5: Vectores coordenados 17. que tiene la misma magnitud. → → a → h( a ) = A(α1 .5 Correspondencia entre los conjuntos E3 y R3 {→ → → } Dados E 3 . el conjunto de los vectores de posición E 0 y una base orto- normal en E 3 nos permiten transitar entre E 3 y R 3 estableciendo finalmen- te la correspondencia definida. Esto es. Dicha tripleta es la correspondiente al vector libre asociado al vector de posición con magnitud. α 2 .4. k una base ortonormal en E . Módulo 17: Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados 17. La función h es precisamente igual a la función compuesta entre las funciones g y f. En esta forma. Observaciones 1. R 3 y i . α 3 ) → o a ↔ A(α1 . E 0 . definimos una función 3 h entre los conjuntos E 3 y R 3 así: h : E3 → R3 .10): → ⎯→ a ↔ OA ↔ A(α1 . α 2 .10 Geometría vectorial y analítica 259 . j . 2. La correspondencia establecida la denotamos así (figura 17. a todo vector libre esta función le asigna una tripleta única.3 y 17. definidas en las secciones 17. α 3 ). Figura 17. α 3 ). α 2 . → dirección y sentido iguales a los del vector a. m (TS ) es la dis- tancia del punto T al eje x. Observaciones 1. θ 3 ± δ 3 ). puesto que en lugar de operar geométricamente con éstas lo hacemos indirectamente a través de sus n-tuplas asociadas. λ A ↔ (λα1 . α 3 ) en la base ortonormal i . k tenemos. λα 2 . θ 2 ± δ 2 .5. m ( AT ) es la distancia del punto A a dicho plano. c ↔ (θ1 . A ± c ↔ (α1 ± θ1 . α 2 − β 2 . → → 4. j . λθ 2 .5. d ↔ (δ1 . TS es perpendicular al eje x. α 2 ± θ 2 . α 2 . 2. como se indica en la figura 17. λ c ↔ (λθ1 . en consecuencia. λθ 3 ). se tiene: → → 1. TF es perpendicular al eje y. 260 . En forma análoga se establecen las correspondencias y con idénticas propiedades entre los conjuntos: E 2 (conjunto de vectores geométricos contenidos en un plano) y R 2 .Capítulo 5: Vectores coordenados 17. y por último se establece la correspondencia entre el vector final resultante y la n-tupla obtenida en las operaciones asociadas. B ↔ ( β1 . 17. en consecuencia. δ 3 ) λ ∈ R . → → 2. α 3 − β 3 ). E1 (conjunto de vectores geométricos contenidos en una recta) y R . β 2 . α 3 ± θ 3 ). y. α 2 . Las correspondencias establecidas nos facilitan totalmente el cálculo con las operaciones vectoriales. m (TF) es la dis- tancia del punto T al eje y. en consecuencia. β 3 ). θ 2 . → 3. que resulta operativamente mucho más sencillo.11: AT es perpendicular al plano determinado por los ejes x. λα 3 ).2 Interpretación geométrica de la correspondencia entre los conjuntos E 3 y R3 { } → → → → Dados a ↔ (α1 . → 5. δ 2 . θ 3 ). α 3 ). c ± d ↔ (θ1 ± δ1 . A − B ↔ (α1 − β1 .1 Propiedades derivadas de estas correspondencias → → → → Dados A ↔ (α1 . Geometría vectorial y analítica 261 . Figura 17. m (TS ) == α2 .11 Ahora. m(TF) == α1 . podemos afirmar. Módulo 17: Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados Vea la animación Correspondencia entre E3 y \3 en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.12): m( AT ) == α3 . z. que (figura 17.12 ⎯→ Expresemos el vector OA en términos de vectores paralelos a los ejes x. Figura 17. teniendo en cuenta que las coordenadas del punto A indican las distancias dirigidas a un plano y a dos ejes. con base en las designaciones anteriores. y. Capítulo 5: Vectores coordenados ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ (1) OA = OS + ST + TA (suma generalizada). ⎯→ → → (3) OT = α1 i + α 2 j . c ↔ (1/ 2. b ↔ (5. → ∴a ↔ (α1 . ⎯→ → (6) TA = α3 k = α3 (¿por qué?). 3). ⎯→ ⎯→ → → ⎫ OS = OS i = α1 i ⎪ ⎪ ⎯→ ⎯→ → → ⎪ ST = ST j = α 2 j ⎬ (¿por qué?). ⎯→ → (5) TA = α3 k . ⎯→ 2 → 2 → 2 (4) OT = α1 i + α2 j (teorema de Pitágoras en el ΔOST ). = α1 + α 2 2 2 (¿por qué?). 3. 0. − 1). Las coordenadas del vector s = −1a + 3b + 2 c . α 2 . → Finalmente. demostremos que a = α12 + α 22 + α 32 . La ecuación (3) nos permite concluir que las coordenadas del punto asociadas al vector geométrico son los coeficientes que nos permiten expresar el vector como una combinación lineal de los vectores de la base ortonormal. determinemos: → → → → 1. ⎯→ ⎯→ 2 ⎯→ 2 (2) OA = OT + TA (teorema de Pitágoras en el ΔOTA) . ⎯→ (7) OA = α12 + α 22 + α 32 (sustituyendo (4) y (6) en (2)). − 2). 262 . Ilustración 1 → → → Dados a ↔ (−2. ⎯→ ⎯→ ⎯→ (1) OA = OT + TA . 1. (2) ⎪ ⎯→ ⎯→ → →⎪ TA = TA k = α3 k ⎪ ⎭ ⎯→ → → → (3) OA = α1 i + α 2 j + α 3 k (sustitución de (2) en (1)). α 3 ) . − 3) + ( −3 / 2. − 9. Por la correspondencia tenemos: → t ↔ 2 ( −2. → → → } Solución 1. entonces el vector pedido corresponde a ⎛ 5 ⎞ →→ 5 ⎛ 18 9 6 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ u s (¿por qué?) y sus coordenadas son ⎜ . 1. − 10. 2 Geometría vectorial y analítica 263 . 6). ⎝ ⎠ 4. y del numeral anterior tenemos que: ⎜ s ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ → → ⎛ 1 ⎞→ s = 182 + 92 + 62 = 441 . − 2) + ( −5. − 1. 3) − 3 (1/ 2. y en consecuencia ⎝ 441 ⎠ → ⎛ 18 9 6 ⎞ us ↔ ⎜ → . 7 441 . 1) + (15. j . Tomando como referencia u s . luego u s = ⎜ → ⎟ s . − 1) − (5. 6) ⎛ 21 ⎞ ↔ ⎜ − . teniendo en cuenta el significado geométrico de las coordenadas. Por la correspondencia tenemos: → s ↔ −1(−2. 0. ⎟. 9. 3. → → → → { Si t = 2 a − b − 3 c . 5 3. 1. k . 3.1 ⎟ . expresarlo en términos de la base ortonormal i . us → = ⎜ → ⎟ s . − 1) + 3(5. ⎛ ⎞ → ⎜ 1 ⎟→ 2. 3) + 2(1/ 2. 0. 4. 6. ⎟ o 7 ⎝ ⎠ 7 ⎝ 441 441 441 ⎠ ⎛ 18 5 9 5 6 5 ⎞ ⎜⎜ 7 441 . Módulo 17: Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados → 2. ⎝ 2 ⎠ Ahora. conclui- → 21 → → → mos que t = − i + (−10) j + k . . − 4) ↔ (18. 3. 9) + (1. 0. 7 441 ⎟⎟ . . Las coordenadas del vector u →s . 0. ⎝ 441 441 441 ⎠ → → 3. Las coordenadas de un vector de magnitud en la dirección y el sentido 7 → de s . − 2) ↔ (2. − 2) ↔ ( −4. 2. continuaremos con su estudio analítico. → → tos asociados. ¿Cómo se determina la ecuación vectorial de una recta en el espacio. semirrectas. ¿Cómo se determinan una ecuación vectorial. las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de un plano en el espacio cuando se conocen tres puntos distintos y no colineales. pero no paralelos entre sí? 10. 0).1 La recta en el espacio 18. 1. ¿Cómo se determinan las ecuaciones paramétricas. y el plano en el espacio. simétricas y la ecuación cartesiana de esta misma recta? 5. -1) y es paralelo a los vectores a y b . el plano π que pasa G G por el punto (1. ¿Cómo se determinan las ecuaciones paramétricas y simétricas de esta misma recta? 3. ¿Por qué no es posible determinar una ecuación cartesiana para una recta en el espacio? 9. ¿Cómo se determinan otros subconjuntos de la recta en el plano o en el espacio. intersección de los dos conjuntos anteriores. Aplicar el procedimiento anterior en el estudio analítico de los lugares geométricos.1. 0). Preguntas básicas → → 1. 1. recta y plano. cuando se conocen un t. rayos? 8. ¿Cómo se determina la ecuación vectorial de una recta en el plano. 1). Para la primera. 2. ¿Qué ocurre con la ecuación vectorial de la recta en el plano. y la analítica.1. 2. para efectuar un tránsito natural entre la geometría vectorial y la geometría con a ↔ (1. revisaremos su tratamiento en el plano. correspondiente a {(1. iniciaremos la determinación de sus ecuaciones vectoriales y mediante un tránsito sencillo. 2. 1. 1. las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de un plano en el espacio cuando se conocen un punto del plano y dos vectores paralelos al plano.1 Lugares geométricos 18. ¿Cómo se determina la ecuación vectorial de una recta en el espacio cuando se conocen dos puntos? 6.t ↔ punto de ella y un vector paralelo a la misma? 2. -1) y es → → Objetivos del módulo paralela al vector t . Para ambos lugares. t ↔ (1. adelantaremos su estudio en el espacio y. Utilizar la correspondencia establecida entre los conjuntos E 3 y \ 3 y los demás conjun. como una consecuencia natural. Lugares geométricos 18 Introducción Presentaremos como consecuencias derivadas de la correspondencia entre vectores geométricos y vectores coordenados el estudio de dos lugares geométricos muy sencillos pero no por ello menos importantes: la recta y el plano. ¿Cómo se determina una ecuación vectorial. − 1)} . bajo estas mismas condiciones? 7. iniciando con la recta en el espacio y en el plano. b ↔ (2. La gráfica nos muestra simultáneamente en el espacio lo siguiente: la recta que pasa por el punto (1. asistido por las correspondencias estudiadas. tales como segmentos. pertenecientes al plano? Contenidos del módulo 18. cuando se conocen un punto de ella y un vector paralelo a la misma? 4.2 El plano en el espacio Vea el módulo 18 del programa de televisión Geometría Vectorial y Analítica Geometría vectorial y analítica 265 . Figura 18.1) o también la recta → que pasa por P0 y tiene la dirección del vector t . Para su análisis utiliza- multimedia de Geometría vectorial y analítica.1 La recta en el espacio → ⎛ → ⎞ Sean P0 ( x0 .1 Lugares geométricos Iniciamos las aplicaciones de la correspondencia establecida entre los vectores geométricos y los vectores coordenados con el estudio de la determinación de algunos lugares geométricos. y que sea satisfecha única y exclusivamente por los puntos del conjunto. Designaremos por L ⎜ P0 . en el espacio y en el plano.1 Sea P ( x. z0 ). remos el siguiente procedimiento: 1. 18. en términos de las coordena- das. avanzando en el estudio propiamente analítico del lugar geométrico espe- cífico.2). 2. entendidos como el con- Vea la animación La recta en el espacio determinada por un punto y un vector en su junto de puntos que satisfacen una propiedad característica. t ↔ (a. t ⎟ la recta en el espa- ⎝ ⎠ → cio que pasa por el punto P0 y es paralela al vector t (figura 18. Para un punto genérico perteneciente al conjunto establecemos una ecua- ción vectorial. Mediante la correspondencia. en función de los datos que se conozcan o las invariantes presentes. establecemos las relaciones duales entre las n-tuplas asociadas a la ecuación vectorial y procedemos a formular las res- pectivas ecuaciones y propiedades derivadas. 266 . Esta ecuación la designaremos como la ecuación vectorial o la propiedad característica del lugar geométrico objeto de estudio. y0 . z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a esta recta. c) . b. Localice- mos o asociemos a los puntos P0 y P sus respectivos vectores de posición (figura 18.1. y.Capítulo 5: Vectores coordenados 18. por el criterio del paralelismo tenemos: ⎯⎯→ → (3). ⎛ → ⎞ → → ⎯⎯→ En efecto. en consecuencia. no se sa- tisface la ecuación vectorial. pero como ⎝ ⎠ ⎯⎯→ → ⎯⎯→ → P0 P ′ & t (¿por qué?). tenemos: Geometría vectorial y analítica 267 . en consecuencia. Vea la animación La recta en el espacio determinada por dos puntos en su multimedia de Geometría vectorial y Aplicando la correspondencia establecida a partir de la ecuación vectorial analítica.2 Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto de la recta y solamente a puntos de ésta. ⎯⎯→ → (2). G Esta es la ecuación vectorial de la recta L( P0 . P = P0 + P0 P (suma entre un vector de posición y un vector libre). z ) P = P0 + λ t . así: ⎝ ⎠ ⎛ ⎝ → ⎞ ⎠{ → → → } L ⎜ P0 . λ ∈ R (sustituyendo (3) en 1). t ) o también su propiedad característica. entonces P0 P ′ ≠ λ t . P = P0 + λ t . t ⎟ se cumple que P ′ = P0 + P0 P ′ . λ ∈ R . Módulo 18: Lugares geométricos Figura 18. t ⎟ = P( x. Esta ecuación se cumple para todos los puntos que están sobre la recta y únicamente para éstos. → → → (4). P0 P & t (de la hipótesis) y. λ ∈ R. Designamos la recta L ⎜ P0 . si P´∉ L ⎜ Po . Observaciones 1. y. y. ⎛ → ⎞ 2. → → ⎯⎯→ (1). t ⎟ por comprensión. P0 P = λ t . z0 ) son precisamente las coordenadas de un punto particular de la recta.Capítulo 5: Vectores coordenados → P ↔ ( x0 . f ⎟ (figura 18. z0 + λ c ). − 5) = (−2 + λ . z = 3 − 5λ ⎪⎭ 268 . c). ⎝ ⎠ Solución ⎛ →⎞ Sea P( x. (3) z = z0 + λ c ⎪⎭ ⎛ → ⎞ Este sistema se designa como las ecuaciones paramétricas de L ⎜ P0 . 3). La ecuación de una recta está en función de un solo parámetro. z ) ∈ L ⎜ B. P ( x. f ⎟ . 5. 2. z ) = (−2. Ilustración 2 → Dados B (−2. Revisando las ecuaciones paramétricas podemos concluir que los términos independientes ( x0 . y. y0 . De este vector decimos que es el que le da la dirección a la recta. 3 − 5λ ). λ ∈ R (ecuación vectorial de la recta). ⎝ ⎠ → → → 1. las ⎛ →⎞ ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de L ⎜ B. determinemos la ecuación vectorial. y. y0 . Y de la igualdad de n-tuplas se obtiene: (1) x = x0 + λ a ⎫ ⎪ (2) y = y0 + λ b ⎬ λ ∈ R. ⎝ ⎠ Observaciones 1. t ⎟ . 5. 3) + λ (1. b. z0 ) + λ ( a. z ) = ( x0 + λ a. y0 + λ b. Por la igualdad de n-tuplas se concluye que: x = −2 + λ ⎫ ⎪ y = 5 − λ ⎬ λ ∈ R (ecuaciones paramétricas de esta recta).3). − 1. los términos asociados al parámetro corresponden a las coordenadas de un vector paralelo a la recta. P = B + λ f . − 5). 5 − λ . f ↔ (1. 2. y. Por la correspondencia tenemos: ( x. − 1. Asignémosle valores específicos al parámetro. y. y = 4. y = 12. x = −1. Los ejes x. → ⎝ ⎠ ⎛ →⎞ x = −9 . 2. Los ejes x. 4. 2. Módulo 18: Lugares geométricos Despejando el parámetro λ en cada una de la ecuaciones anteriores obtenemos: x + 2 y − 5 z − 3 (ecuaciones simétricas de esta recta). f ⎞⎟ . Determinemos dos puntos. 1/ 2) y T (1. b. c. ⎝ ⎠ Geometría vectorial y analítica 269 . 9 / 2. 12. Solución 1. diferentes de B. z. f ⎟ . Dados los puntos S (−3 / 2. z. Así por ejemplo. determinemos si pertene- cen o no a la recta. = = 1 −1 −5 Figura 18. Determinemos los interceptos de esta recta con los planos determinados por: a. luego D(−9. 3. luego A(−1. para λ = −7 . 8). Los ejes y. z = 38 . pertenecientes a la recta. z = −2 . para λ = 1 . 3.3 Ilustración 3 Con relación a la recta determinada en la ilustración 2: 1. − 2) ∈ L ⎛⎜ B. 38) ∈ L ⎜ B. (3) 8 = 3 − 5λ ⎪⎭ En la ecuación (3). simétricas y la ecuación cartesiana de L ⎛⎜ B. si existe un valor único del parámetro que satisfaga las ecuaciones paramétricas. 5 5 5 5 luego el intercepto con este plano corresponde al punto de coordenadas ⎛ 7 22 ⎞ ⎜− . 270 . λ = 1 2. . 8 = 3 − 15 = −12 →← . 9 2 = 5 − 1 2 = 9 2. de donde se tiene que λ = 3 5 y.Capítulo 5: Vectores coordenados 2. f ⎟ . → ⎝ ⎠ Solución Estamos ubicados en este caso en el plano y procedamos. así: (1) − 3 / 2 = −2 + λ ⎫ De la ecuación (1). ⎪ (2) 2 = 5 − λ ⎬ En la ecuación (2). Ilustración 4 → Dados B(−2. por analogía. para el punto S. f ⎟ . determinemos las ecuaciones vectorial. ⎛ →⎞ Lo que nos permite concluir que S ∈ L ⎜ B. ⎛ →⎞ Por tanto. 3 7 3 22 x = −2 + = − . 2 = 5 − 3 = 2. en consecuencia. f ⎞⎟ . ⎝ ⎠ Para el punto T: (1) 1 = −2 + λ ⎫ Dela ecuación (1). ⎪ (2) 9 / 2 = 5 − λ ⎬ Sustituyendo en(2). y. ⎝ 5 5 ⎠ Se deja al lector la determinación de los interceptos con los otros dos planos. ⎝ ⎠ 3. λ = 3.4). concluimos que T ∉ L ⎜ B. Con el plano determinado por los ejes x. cualquier punto de este plano tiene la tercera coordenada z = 0 (¿por qué?). Determinemos los puntos de intersección así: a. y sustituyendo este valor en las ecuaciones paramétricas tenemos: 0 = 3 − 5λ . − 1). f ↔ (1. En este caso. (3) 1/ 2 = 3 − 5λ ⎪⎭ Sustituyendo en (3). Así podemos analizar qué elementos permanecen invariantes en la estructura y qué cambia realmente (figura 18. y = 5 − = . Veamos. 1 2 = 3 − 5 2 = 1 2. 0⎟ . 5). como lo hicimos en el caso de la recta en el espacio. paramétricas. P = B + λ f . ⎝ ⎠ Obsérvese que es la dimensión del elemento genérico (tripleta o pareja) lo que nos muestra explícitamente si se trata de una recta en el espacio o en el plano. −1) = (−2 + λ . 1 −1 Vea la animación La recta en el plano determinada por un punto y un vector en su En este caso.5) + λ (1. esto es. ⎝ ⎠ → → → 1. y ) = (−2. x + y − 3 = 0 (ecuación cartesiana de analítica. f ⎟ = P( x. Y de la igualdad de n-tuplas se concluye: (1) x = −2 + λ ⎫ ⎬ λ ∈ R (ecuaciones paramétricas de esta recta). de la ecuación anterior se obtiene: multimedia de Geometría vectorial y − x − 2 − y + 5 = 0 . λ ∈ R (ecuación vectorial de esta recta) (¿por qué?). f ⎟ .4 ⎛ →⎞ Sea P( x. Esto nos permite afirmar que la ecuación vectorial es la misma para la recta ⎛ →⎞ { → → → } en el espacio o en el plano. Geometría vectorial y analítica 271 . esta recta). tenemos: x+ 2 y −5 = (ecuaciones simétricas de esta recta). Por la correspondencia tenemos: ( x. 5 − λ ). luego L ⎜ B. Módulo 18: Lugares geométricos Figura 18. λ ∈ R . y ) ∈ L ⎜ B. (2) y = 5 − λ ⎭ Despejando el parámetro y aplicando la transitividad. y ) P = B + λ f . en la ecuación cartesiana anterior. z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a esta recta. P1 ) la recta en el espacio que pasa por el punto P0 y por el punto P1 (figura 18.Capítulo 5: Vectores coordenados Notas 1. P1 ( x1 .6 272 . La ecuación cartesiana de una recta en el plano corresponde siempre a una ecuación lineal en dos variables. z0 ). Una recta en el espacio no presenta ecuación cartesiana (¿por qué?). Ilustración 5 Sean P0 ( x0 . Figura 18.5 Sea P ( x. y. despejar la variable y así: y = − x + 3 (forma pendiente-intercepto). P1 y P sus respectivos vectores de posición (figura 18. y1 . Podemos. Figura 18. 3). Localice- mos o asociemos a los puntos P0 .6). y0 .5). z1 ) dos puntos distintos. Designaremos por L( P0 . que nos indica que la pendiente de esta recta es igual a –1 y que su intercep- to con el eje y corresponde al punto de coordenadas (0. 2. como también la determinación de las ecuaciones vectorial. → → ⎯⎯→ 1. P = P0 + λ ⎜ P0 P1 ⎟ (sustituyendo (2) en (1)). Ilustración 6 Dados A(−3. 1. K ) en el plano. Módulo 18: Lugares geométricos Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto de la recta y solamente a puntos de ésta. para P0 ( x0 . λ= . P = P0 + P0 P (¿por qué?). ⎝ ⎠ → → ⎛→ →⎞ 4. − 6. paramétricas. paramétricas. → → ⎛ ⎯⎯→ ⎞ 3. 1). − 1). K (1/ 3. y1 ). (3) z = 2 − λ ⎪⎭ x+3 y −1 z−2 3. Geometría vectorial y analítica 273 . 4 −6 −1 Vea la animación La recta en el plano Se deja al lector la determinación de las ecuaciones vectorial. Se deja al lector la determinación de las ecuaciones paramétricas y simétricas de esta recta. z ) ∈ L( A. paramétricas y simétricas de la recta L( A. λ ∈ R (¿por qué?). para S (−2. ⎝ ⎠ → → ⎛→ →⎞ Luego P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ λ ∈ R . P1 ) en el plano. P0 P = λ P0 P1 . P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ (definición alterna de diferencia en (3)). 2) y D (1. ⎝ ⎠ Esta es la ecuación vectorial de la recta L( P0 . λ ∈ R (es la ecuación vectorial). D). λ= . Solución Sea P ( x. 1. y. simétricas y cartesiana de la recta L( P0 . D). (2) y = 1 − 6λ ⎬ λ ∈ R (ecuaciones paramétricas). 4 −6 −1 Luego x + 3 = y − 1 = z − 2 son las ecuaciones simétricas. − 1) . → → ⎯→ 1. determinada por dos puntos en su cas y cartesiana de la recta L( S . y. multimedia de Geometría vectorial y analítica. P = A + λ ( AD). λ= . determinemos las ecuaciones vectorial. (1) x = −3 + 4λ ⎫ ⎪ 2. ⎯⎯→ ⎯⎯→ 2. simétri. ( x. − 5. 7). z ) = (−3. y0 ) y P1 ( x1 . 2) + λ (4. P1 ). 1. ⎛ → → ⎞ Designaremos por π ⎜ P0 . z0 ). y. 274 . b ⎟ al plano en el espacio que pasa por el punto P0 y ⎝ ⎠ Vea la animación Plano en el espacio → → determinado por un punto y dos vectores en al cual son paralelos los vectores a y b (figura 18. bz ) tales que a & b . Localicemos o asociemos a los puntos P0 y P sus respectivos vectores de posición ⎯→ y determinemos el vector P0 P (figura 18. z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a este plano (figura 18. y0 .7 → → Apliquemos los vectores a y b en el punto P0 . a y .2 El plano en el espacio → → → → Sean P0 ( x0 .9). b ↔ (bx . este plano cumple con las condiciones descritas para π ⎛⎜ P0 . a .8). by . constituidos por el punto P0 y los extremos de los vectores a y b .7). Figura 18. → → ⎝ ⎠ Sea P ( x. az ). a ↔ ( ax . su multimedia de Geometría vectorial y analítica. b ⎞⎟ . En esta forma podemos garantizar la existencia de un plano único puesto que se tienen tres puntos distintos y no → → colineales. a .Capítulo 5: Vectores coordenados 18. b ⎞⎟ o también su pro- → → ⎝ ⎠ piedad característica. Esta es una ecuación vectorial del plano π ⎛⎜ P0 . con λ . λ . → → → → 3. b ⎟ . a .8 Figura 18.9 Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto del plano y solamente a puntos de éste. Geometría vectorial y analítica 275 . a . Módulo 18: Lugares geométricos figura 18. Como P0 P ⊂ π ⎜ P0 . Vea la animación Plano en el espacio determinado por tres puntos en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. β ∈ R (sustitución de (2) en (1)). ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎯→ → → 2. entonces P0 P = λ a + β b. P = P0 + λ a + β b . → → ⎯→ 1. P = P0 + P0 P . β ∈ R (teorema ⎝ ⎠ de la base). y0 . Esta ecuación se cumple para todos los puntos que pertenecen a este plano y únicamente por éstos. b ⎟ .Capítulo 5: Vectores coordenados Observaciones 1. az ) + β (bx . diferenciándose plenamente de la ecuación de una recta en el espacio que está en función de un solo parámetro. Revisando las ecuaciones paramétricas podemos concluir que los términos independientes ( x0 . Designamos el plano π ⎜ P0 . by . t ⎟ . las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del π ⎜ A. 2. s . 2. ⎝ ⎠ Ilustración 7 → → Dados A( − 1. 1. s ↔ (3. que designaremos como ⎛ → → ⎞ la ecuación cartesiana del plano π ⎜ P0 . − 1). los coeficientes asociados a los parámetros respectivos corresponden a las coordenadas de los vectores paralelos al plano. z ) P = P0 + λ a + β b . → → → → → → } Aplicando la correspondencia establecida. β ∈ R. bz ). ⎛ → → ⎞ 2. a . a . β ∈ R . a y . P ( x. determinemos la ecuación ⎛ → →⎞ vectorial. z de la forma Ax + By + Cz + D = 0. a . La ecuación del plano está en función de dos parámetros. a . b ⎞⎟ = P( x. y de la igualdad de n-tuplas se obtiene: (1) x = x0 + λ ax + β bx ⎫ ⎪ (2) y = y0 + λ a y + β by ⎬ λ . 3. z0 + λ az + β bz ). En el sistema de ecuaciones paramétricas podemos proceder a la reducción de los dos parámetros y obtenemos siempre una ecuación lineal en las variables x. y. y. z ) = ( x0 + λ ax + β bx . y. ⎝ ⎠ Observaciones 1. ⎝ ⎠ 276 . b ⎟ . 1). a partir de la ecuación vectorial tenemos: → P ↔ ( x0 . b ⎟ por comprensión así: ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ { π ⎛⎜ P0 . z0 ) son precisamente las coordenadas de un punto particular del plano. ⎪ (3) z = z0 + λ az + β bz ⎭ ⎛ → → ⎞ Este sistema se designa como las ecuaciones paramétricas de π ⎜ P0 . y0 . t ↔ (5. z0 ) + λ (ax . λ . 4). − 3. y0 + λ a y + β by . S (16. 4) = (−1 + 3λ + 5β . Módulo 18: Lugares geométricos Solución ⎛ → →⎞ Sea P( x. y. 1/ 2). (1)´ (1) − 3 × (2) x − 3 y = −7 + 14β . 2. 2 + λ − 3β . 1 − λ + 4β ). − 5). x −17 y −14z + 49 = 0 (ecuación cartesiana de este plano). − 3. λ . Figura 18. 1). (2)´ (2)´−14 × (1)´ x − 17 y − 14 z = −49. β ∈ R (ecuación vectorial de este plano) (figura 18. β ∈ R (ecuaciones paramétricas de este plano) (3) z = 1 − λ + 4 β ⎪⎭ Procedemos ahora a despejar los parámetros así: (2) + (3) y + z = 3+ β. De la igualdad de n-tuplas se concluye que: (1) x = −1 + 3λ + 5β ⎫ ⎪ (2) y = 2 + λ − 3β ⎬ λ . z ) = (−1. 3. z ) ∈ π ⎜ A. t ⎟ .10). y. 1. ¿pertenecen al plano en estudio? Geometría vectorial y analítica 277 . ⎝ ⎠ → → → → 1. 0. P = A + λ s + β t . T (0. 1) + λ (3. − 12. s . − 1) + β (5. Esto es. Resolvamos además las siguientes preguntas: Dados O(7.10 Por la correspondencia tenemos: ( x. Capítulo 5: Vectores coordenados Veamos para el punto O. P1 y P2 y (figura 18. Designaremos por π ( P0 . s . P1 . t⎟ .12 278 . t ⎞⎟ . y0 . Locali- cemos o asociemos a los puntos P0 y P sus respectivos vectores y determinemos ⎯→ ⎯→ los vectores P0 P1 y P0 P2 (figura 18. y2 . Ilustración 8 Sean P0 ( x0 . → → ⎝ ⎠ En el caso del punto S. P2 ) el plano que pasa por los puntos P0 . P1 ( x1 . Figura 18. P2 ( x2 . y1 . z1 ).11 Sea P ( x.11). z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a este plano. z2 ) tres puntos distintos y no colineales. Sustituyendo en la ecuación cartesiana tenemos: 7 − 17 × (0) − 14 × (−5) + 49 = 7 + 70 + 49 ≠ 0. y. ⎝ ⎠ Se deja al lector la determinación de la pertenencia o no del tercer punto. z0 ). 16 − 17 × (3) − 14 × 1 + 49 = 16 − 51 − 14 + 49 = 0.12) Figura 18. luego O ∉ π ⎛⎜ A. s . Por tanto ⎛ → → ⎞ S ∈ π ⎜ A. z1 − z0 ) + β ( x2 − x0 . dados un punto y dos vectores paralelos al plano (no paralelos entre sí). θ ∈ R (¿por qué?) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ = P2 + φ ⎜ P0 − P2 ⎟ + Ω ⎜ P1 − P2 ⎟ . Geometría vectorial y analítica 279 . (3) z = z0 + λ ( z1 − z0 ) + β ( z2 − z0 ) ⎪⎭ Este sistema corresponde a las ecuaciones paramétricas del plano π ( P0 . Mediante la eliminación de los parámetros se obtiene la ecuación cartesiana de este plano. P2 ) . P = P0 + P0 P (¿por qué?). β ∈ R . P1 . → → ⎯→ 1. ⎯→ ⎯→ ⎯→ 2. P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ + β ⎜ P2 − P0 ⎟ (definición de diferencia en (3)). z0 ) + λ ( x1 − x0 . P1 . → → ⎯→ ⎯→ 3. P0 P = λ P0 P1 + β P0 P2 (¿por qué?). ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ Luego P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ + β ⎜ P2 − P0 ⎟ . y1 − y0 . λ . → → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ 4. z ) = ( x0 . δ . desde luego. Observaciones 1. P = P0 + λ P0 P1 + β P0 P2 (sustitución de (2) en (1)). Ω. La situación anterior corresponde a un caso particular del primer problema analizado en la determinación de un plano. β ∈ R es una ecuación vectorial del ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ plano π (P0 . P un punto cualquiera del plano π ( P0 . P2 ) . P2 ) . y2 − y0 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ siendo. puesto que podemos tomar como referencia uno cualquiera de los tres puntos dados y con origen en él. y. Por la correspondencia tenemos: ( x. y0 . φ ∈ R (¿por qué?). determinamos los otros dos vectores paralelos al plano. En este caso hablamos de «una ecuación vectorial para este plano» porque análogamente son ecuaciones vectoriales entre otras: → → ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ P = P1 + δ ⎜ P0 − P1 ⎟ + θ ⎜ P2 − P1 ⎟ . Y de la igualdad de n-tuplas concluimos: (1) x = x0 + λ ( x1 − x0 ) + β ( x2 − x0 ) ⎫ ⎪ (2) y = y0 + λ ( y1 − y0 ) + β ( y2 − y0 ) ⎬ λ . P1 . z2 − z0 ) . Módulo 18: Lugares geométricos Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto de este plano y solamente a puntos de éste. P1 . Lo anterior nos permite afirmar la igualdad de los siguientes conjuntos: π (P0 . β ∈ R. (ecuaciones paramétricas del plano π ( D. las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del plano π ( D. − 1. 4. y. P = D + λ ⎜ G − D ⎟ + β ⎜ S − D ⎟ . → → → → G − D ↔ (−2. 6. P0 P2 ⎞⎟ = π ⎛⎜ P1 . 1) = (−2λ + β . P0 P1 . PP ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ilustración 9 Dados D(0. 3) + β (1. 2). G. PP ⎞ ⎛ ⎞ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ 1 2 ⎟ = π ⎜ P2 . S − D ↔ (1. (1) x = −2λ + β ⎫ ⎪ (2) y = −1 + 4λ + 6β ⎬ λ . G. S ) ). G. P2 ) = π ⎛⎜ P0 . Esto es. z ) ∈ π ( D. P2 P1 . 6. S ). S (1. 3). − 1 + 4λ + 6β . 14 x − 5 y + 16 z − 37 = 0 es la ecuación cartesiana de este plano. 5). β ∈ R. 4. P2 P0 ⎟ . S ). 1). → → ⎛ → → ⎞ ⎛→ → ⎞ 1. (3) z = 2 + 3λ + β ⎪ ⎭ 3. es una ecuación vectorial del ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ plano π ( D. z ) = (0. G (−2. S ) . 2) + λ (−2. 1 0 . 5. 280 . − 1. determinemos una ecuación vectorial. 2 + 3λ + β ). 2. λ. ( x.Capítulo 5: Vectores coordenados 2. 3. y. 3). G. (1) − (3) x − z = −2 − 5λ ⎫ (1)´ ⎬ 6 × (1) − (2) 6 x − y = 1 − 16λ ⎭ (2)´ 16 × (1)´−5 × (2)´ − 14 x − 16 z + 5 y = −37. Solución Sea P ( x. 1. 0). correspondiente a {(1. -1) y es → → Objetivos del módulo paralela al vector t . iniciando con la recta en el espacio y en el plano. -1) y es paralelo a los vectores a y b . 0).1. y el plano en el espacio. las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de un plano en el espacio cuando se conocen un punto del plano y dos vectores paralelos al plano. ¿Cómo se determinan una ecuación vectorial. − 1)} . Para ambos lugares.1 La recta en el espacio 18. ¿Cómo se determina la ecuación vectorial de una recta en el plano. cuando se conocen un t. La gráfica nos muestra simultáneamente en el espacio lo siguiente: la recta que pasa por el punto (1.2 El plano en el espacio Vea el módulo 18 del programa de televisión Geometría Vectorial y Analítica Geometría vectorial y analítica 265 . iniciaremos la determinación de sus ecuaciones vectoriales y mediante un tránsito sencillo. pertenecientes al plano? Contenidos del módulo 18. 2. revisaremos su tratamiento en el plano. ¿Cómo se determinan las ecuaciones paramétricas. continuaremos con su estudio analítico. bajo estas mismas condiciones? 7. recta y plano. ¿Cómo se determina la ecuación vectorial de una recta en el espacio cuando se conocen dos puntos? 6. simétricas y la ecuación cartesiana de esta misma recta? 5. ¿Qué ocurre con la ecuación vectorial de la recta en el plano. 1. y la analítica. 2. pero no paralelos entre sí? 10. Utilizar la correspondencia establecida entre los conjuntos E 3 y \ 3 y los demás conjun. 1. t ↔ (1. 2. ¿Cómo se determinan las ecuaciones paramétricas y simétricas de esta misma recta? 3. ¿Cómo se determina una ecuación vectorial. tales como segmentos. semirrectas. el plano π que pasa G G por el punto (1. ¿Cómo se determina la ecuación vectorial de una recta en el espacio. intersección de los dos conjuntos anteriores. como una consecuencia natural. asistido por las correspondencias estudiadas. cuando se conocen un punto de ella y un vector paralelo a la misma? 4. 2. para efectuar un tránsito natural entre la geometría vectorial y la geometría con a ↔ (1.1. Preguntas básicas → → 1. adelantaremos su estudio en el espacio y. → → tos asociados.1 Lugares geométricos 18. 1). 1. las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de un plano en el espacio cuando se conocen tres puntos distintos y no colineales. Aplicar el procedimiento anterior en el estudio analítico de los lugares geométricos. ¿Cómo se determinan otros subconjuntos de la recta en el plano o en el espacio. b ↔ (2. ¿Por qué no es posible determinar una ecuación cartesiana para una recta en el espacio? 9. rayos? 8. Lugares geométricos 18 Introducción Presentaremos como consecuencias derivadas de la correspondencia entre vectores geométricos y vectores coordenados el estudio de dos lugares geométricos muy sencillos pero no por ello menos importantes: la recta y el plano.t ↔ punto de ella y un vector paralelo a la misma? 2. Para la primera. Para un punto genérico perteneciente al conjunto establecemos una ecua- ción vectorial.Capítulo 5: Vectores coordenados 18. y. t ⎟ la recta en el espa- ⎝ ⎠ → cio que pasa por el punto P0 y es paralela al vector t (figura 18. en función de los datos que se conozcan o las invariantes presentes.1 Lugares geométricos Iniciamos las aplicaciones de la correspondencia establecida entre los vectores geométricos y los vectores coordenados con el estudio de la determinación de algunos lugares geométricos. 2. 266 . t ↔ (a.1) o también la recta → que pasa por P0 y tiene la dirección del vector t . remos el siguiente procedimiento: 1.1 La recta en el espacio → ⎛ → ⎞ Sean P0 ( x0 . z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a esta recta. en términos de las coordena- das. Localice- mos o asociemos a los puntos P0 y P sus respectivos vectores de posición (figura 18.1 Sea P ( x. establecemos las relaciones duales entre las n-tuplas asociadas a la ecuación vectorial y procedemos a formular las res- pectivas ecuaciones y propiedades derivadas. y0 . b. Designaremos por L ⎜ P0 . y que sea satisfecha única y exclusivamente por los puntos del conjunto.2). Esta ecuación la designaremos como la ecuación vectorial o la propiedad característica del lugar geométrico objeto de estudio. Figura 18. Para su análisis utiliza- multimedia de Geometría vectorial y analítica. entendidos como el con- Vea la animación La recta en el espacio determinada por un punto y un vector en su junto de puntos que satisfacen una propiedad característica. avanzando en el estudio propiamente analítico del lugar geométrico espe- cífico. Mediante la correspondencia. z0 ). c) .1. en el espacio y en el plano. 18. G Esta es la ecuación vectorial de la recta L( P0 . ⎛ → ⎞ → → ⎯⎯→ En efecto. en consecuencia. Módulo 18: Lugares geométricos Figura 18. y. λ ∈ R (sustituyendo (3) en 1). pero como ⎝ ⎠ ⎯⎯→ → ⎯⎯→ → P0 P ′ & t (¿por qué?). Vea la animación La recta en el espacio determinada por dos puntos en su multimedia de Geometría vectorial y Aplicando la correspondencia establecida a partir de la ecuación vectorial analítica. t ) o también su propiedad característica. t ⎟ por comprensión. λ ∈ R. P0 P & t (de la hipótesis) y. si P´∉ L ⎜ Po . Observaciones 1. entonces P0 P ′ ≠ λ t . así: ⎝ ⎠ ⎛ ⎝ → ⎞ ⎠{ → → → } L ⎜ P0 . P0 P = λ t . λ ∈ R . ⎛ → ⎞ 2. z ) P = P0 + λ t . P = P0 + P0 P (suma entre un vector de posición y un vector libre). no se sa- tisface la ecuación vectorial. por el criterio del paralelismo tenemos: ⎯⎯→ → (3). P = P0 + λ t . tenemos: Geometría vectorial y analítica 267 . en consecuencia. Designamos la recta L ⎜ P0 . y.2 Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto de la recta y solamente a puntos de ésta. ⎯⎯→ → (2). → → → (4). t ⎟ = P( x. Esta ecuación se cumple para todos los puntos que están sobre la recta y únicamente para éstos. t ⎟ se cumple que P ′ = P0 + P0 P ′ . → → ⎯⎯→ (1). Por la igualdad de n-tuplas se concluye que: x = −2 + λ ⎫ ⎪ y = 5 − λ ⎬ λ ∈ R (ecuaciones paramétricas de esta recta). z ) = ( x0 + λ a. − 5) = (−2 + λ . P ( x. b. y. 5 − λ . ⎝ ⎠ Observaciones 1. determinemos la ecuación vectorial. Revisando las ecuaciones paramétricas podemos concluir que los términos independientes ( x0 .3). y0 . z0 + λ c ). y. λ ∈ R (ecuación vectorial de la recta). y0 + λ b.Capítulo 5: Vectores coordenados → P ↔ ( x0 . La ecuación de una recta está en función de un solo parámetro. (3) z = z0 + λ c ⎪⎭ ⎛ → ⎞ Este sistema se designa como las ecuaciones paramétricas de L ⎜ P0 . 5. z0 ) + λ ( a. y0 . Ilustración 2 → Dados B (−2. las ⎛ →⎞ ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de L ⎜ B. P = B + λ f . ⎝ ⎠ → → → 1. − 1. Y de la igualdad de n-tuplas se obtiene: (1) x = x0 + λ a ⎫ ⎪ (2) y = y0 + λ b ⎬ λ ∈ R. 2. z ) ∈ L ⎜ B. ⎝ ⎠ Solución ⎛ →⎞ Sea P( x. z0 ) son precisamente las coordenadas de un punto particular de la recta. 3) + λ (1. f ⎟ (figura 18. − 1. z = 3 − 5λ ⎪⎭ 268 . y. − 5). f ⎟ . z ) = (−2. f ↔ (1. 5. Por la correspondencia tenemos: ( x. los términos asociados al parámetro corresponden a las coordenadas de un vector paralelo a la recta. 3). c). 2. 3 − 5λ ). De este vector decimos que es el que le da la dirección a la recta. t ⎟ . c. Módulo 18: Lugares geométricos Despejando el parámetro λ en cada una de la ecuaciones anteriores obtenemos: x + 2 y − 5 z − 3 (ecuaciones simétricas de esta recta). x = −1. para λ = −7 . Los ejes x. z = 38 . 2. = = 1 −1 −5 Figura 18. Así por ejemplo. Determinemos los interceptos de esta recta con los planos determinados por: a. 2. − 2) ∈ L ⎛⎜ B. determinemos si pertene- cen o no a la recta. 4. 12. y = 12. Asignémosle valores específicos al parámetro. 9 / 2. Determinemos dos puntos. 1/ 2) y T (1. y = 4. luego A(−1. para λ = 1 . f ⎞⎟ . b. luego D(−9. pertenecientes a la recta. Los ejes y. ⎝ ⎠ Geometría vectorial y analítica 269 . Solución 1. z. f ⎟ . diferentes de B. 3. Los ejes x. 38) ∈ L ⎜ B. 8). 3. z = −2 . → ⎝ ⎠ ⎛ →⎞ x = −9 . y.3 Ilustración 3 Con relación a la recta determinada en la ilustración 2: 1. z. Dados los puntos S (−3 / 2. f ⎞⎟ . y = 5 − = . simétricas y la ecuación cartesiana de L ⎛⎜ B. ⎪ (2) 9 / 2 = 5 − λ ⎬ Sustituyendo en(2). ⎪ (2) 2 = 5 − λ ⎬ En la ecuación (2). Así podemos analizar qué elementos permanecen invariantes en la estructura y qué cambia realmente (figura 18. ⎝ ⎠ Para el punto T: (1) 1 = −2 + λ ⎫ Dela ecuación (1). Ilustración 4 → Dados B(−2. y sustituyendo este valor en las ecuaciones paramétricas tenemos: 0 = 3 − 5λ . 270 . paramétricas. ⎛ →⎞ Lo que nos permite concluir que S ∈ L ⎜ B. determinemos las ecuaciones vectorial. ⎝ ⎠ 3. λ = 1 2. de donde se tiene que λ = 3 5 y. . (3) 8 = 3 − 5λ ⎪⎭ En la ecuación (3). En este caso. concluimos que T ∉ L ⎜ B. y. en consecuencia. 9 2 = 5 − 1 2 = 9 2. 1 2 = 3 − 5 2 = 1 2. f ⎟ . 8 = 3 − 15 = −12 →← . Determinemos los puntos de intersección así: a. 2 = 5 − 3 = 2. f ↔ (1. f ⎟ .Capítulo 5: Vectores coordenados 2. λ = 3. como lo hicimos en el caso de la recta en el espacio. − 1). Veamos. si existe un valor único del parámetro que satisfaga las ecuaciones paramétricas. cualquier punto de este plano tiene la tercera coordenada z = 0 (¿por qué?). así: (1) − 3 / 2 = −2 + λ ⎫ De la ecuación (1). 5). ⎝ 5 5 ⎠ Se deja al lector la determinación de los interceptos con los otros dos planos. (3) 1/ 2 = 3 − 5λ ⎪⎭ Sustituyendo en (3). 5 5 5 5 luego el intercepto con este plano corresponde al punto de coordenadas ⎛ 7 22 ⎞ ⎜− . → ⎝ ⎠ Solución Estamos ubicados en este caso en el plano y procedamos. 0⎟ .4). por analogía. 3 7 3 22 x = −2 + = − . Con el plano determinado por los ejes x. para el punto S. ⎛ →⎞ Por tanto. ⎝ ⎠ Obsérvese que es la dimensión del elemento genérico (tripleta o pareja) lo que nos muestra explícitamente si se trata de una recta en el espacio o en el plano. Y de la igualdad de n-tuplas se concluye: (1) x = −2 + λ ⎫ ⎬ λ ∈ R (ecuaciones paramétricas de esta recta). x + y − 3 = 0 (ecuación cartesiana de analítica. de la ecuación anterior se obtiene: multimedia de Geometría vectorial y − x − 2 − y + 5 = 0 . tenemos: x+ 2 y −5 = (ecuaciones simétricas de esta recta).4 ⎛ →⎞ Sea P( x. 5 − λ ). Por la correspondencia tenemos: ( x. λ ∈ R (ecuación vectorial de esta recta) (¿por qué?). −1) = (−2 + λ . 1 −1 Vea la animación La recta en el plano determinada por un punto y un vector en su En este caso. esto es. y ) P = B + λ f . (2) y = 5 − λ ⎭ Despejando el parámetro y aplicando la transitividad. luego L ⎜ B. y ) = (−2. ⎝ ⎠ → → → 1. y ) ∈ L ⎜ B. Esto nos permite afirmar que la ecuación vectorial es la misma para la recta ⎛ →⎞ { → → → } en el espacio o en el plano.5) + λ (1. Geometría vectorial y analítica 271 . P = B + λ f . λ ∈ R . f ⎟ . esta recta). f ⎟ = P( x. Módulo 18: Lugares geométricos Figura 18. P1 y P sus respectivos vectores de posición (figura 18. 3). 2. despejar la variable y así: y = − x + 3 (forma pendiente-intercepto).Capítulo 5: Vectores coordenados Notas 1. Figura 18. P1 ( x1 .6 272 . La ecuación cartesiana de una recta en el plano corresponde siempre a una ecuación lineal en dos variables. que nos indica que la pendiente de esta recta es igual a –1 y que su intercep- to con el eje y corresponde al punto de coordenadas (0. Una recta en el espacio no presenta ecuación cartesiana (¿por qué?). Designaremos por L( P0 . Localice- mos o asociemos a los puntos P0 . Podemos. y0 . z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a esta recta. z1 ) dos puntos distintos. en la ecuación cartesiana anterior.6). Figura 18.5).5 Sea P ( x. Ilustración 5 Sean P0 ( x0 . y1 . y. P1 ) la recta en el espacio que pasa por el punto P0 y por el punto P1 (figura 18. z0 ). simétricas y cartesiana de la recta L( P0 . Geometría vectorial y analítica 273 . 7). λ= . y. Se deja al lector la determinación de las ecuaciones paramétricas y simétricas de esta recta. P1 ) en el plano. P = P0 + λ ⎜ P0 P1 ⎟ (sustituyendo (2) en (1)). 1). simétri. K ) en el plano. − 5. λ ∈ R (es la ecuación vectorial). paramétricas. 4 −6 −1 Vea la animación La recta en el plano Se deja al lector la determinación de las ecuaciones vectorial. λ ∈ R (¿por qué?). K (1/ 3. ⎝ ⎠ → → ⎛→ →⎞ Luego P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ λ ∈ R . 1. 2) + λ (4. → → ⎯⎯→ 1. − 1) . (2) y = 1 − 6λ ⎬ λ ∈ R (ecuaciones paramétricas). multimedia de Geometría vectorial y analítica. ⎝ ⎠ Esta es la ecuación vectorial de la recta L( P0 . z ) = (−3. Solución Sea P ( x. → → ⎛ ⎯⎯→ ⎞ 3. para S (−2. ⎝ ⎠ → → ⎛→ →⎞ 4. P0 P = λ P0 P1 . paramétricas. (3) z = 2 − λ ⎪⎭ x+3 y −1 z−2 3. P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ (definición alterna de diferencia en (3)). 1. determinemos las ecuaciones vectorial. 4 −6 −1 Luego x + 3 = y − 1 = z − 2 son las ecuaciones simétricas. z ) ∈ L( A. Ilustración 6 Dados A(−3. ⎯⎯→ ⎯⎯→ 2. ( x. λ= . para P0 ( x0 . y1 ). D). λ= . − 6. P = P0 + P0 P (¿por qué?). D). (1) x = −3 + 4λ ⎫ ⎪ 2. → → ⎯→ 1. determinada por dos puntos en su cas y cartesiana de la recta L( S . − 1). Módulo 18: Lugares geométricos Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto de la recta y solamente a puntos de ésta. como también la determinación de las ecuaciones vectorial. P1 ). y. P = A + λ ( AD). y0 ) y P1 ( x1 . 2) y D (1. paramétricas y simétricas de la recta L( A. 9). → → ⎝ ⎠ Sea P ( x.7 → → Apliquemos los vectores a y b en el punto P0 . az ). constituidos por el punto P0 y los extremos de los vectores a y b . b ⎞⎟ . b ↔ (bx . z0 ). 274 .2 El plano en el espacio → → → → Sean P0 ( x0 . y0 .8). ⎛ → → ⎞ Designaremos por π ⎜ P0 . bz ) tales que a & b . su multimedia de Geometría vectorial y analítica. este plano cumple con las condiciones descritas para π ⎛⎜ P0 . b ⎟ al plano en el espacio que pasa por el punto P0 y ⎝ ⎠ Vea la animación Plano en el espacio → → determinado por un punto y dos vectores en al cual son paralelos los vectores a y b (figura 18. Localicemos o asociemos a los puntos P0 y P sus respectivos vectores de posición ⎯→ y determinemos el vector P0 P (figura 18. a ↔ ( ax . a . a . z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a este plano (figura 18. by . a y . y.Capítulo 5: Vectores coordenados 18.1. Figura 18. En esta forma podemos garantizar la existencia de un plano único puesto que se tienen tres puntos distintos y no → → colineales.7). → → → → 3. Como P0 P ⊂ π ⎜ P0 . a .8 Figura 18. λ . Módulo 18: Lugares geométricos figura 18. b ⎟ . P = P0 + λ a + β b . entonces P0 P = λ a + β b. b ⎞⎟ o también su pro- → → ⎝ ⎠ piedad característica.9 Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto del plano y solamente a puntos de éste. Vea la animación Plano en el espacio determinado por tres puntos en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. β ∈ R (sustitución de (2) en (1)). con λ . Esta es una ecuación vectorial del plano π ⎛⎜ P0 . P = P0 + P0 P . → → ⎯→ 1. a . β ∈ R (teorema ⎝ ⎠ de la base). ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎯→ → → 2. Geometría vectorial y analítica 275 . 4). z ) = ( x0 + λ ax + β bx . t ↔ (5. 1. ⎪ (3) z = z0 + λ az + β bz ⎭ ⎛ → → ⎞ Este sistema se designa como las ecuaciones paramétricas de π ⎜ P0 . las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del π ⎜ A. a partir de la ecuación vectorial tenemos: → P ↔ ( x0 . determinemos la ecuación ⎛ → →⎞ vectorial. a .Capítulo 5: Vectores coordenados Observaciones 1. z de la forma Ax + By + Cz + D = 0. P ( x. Designamos el plano π ⎜ P0 . y0 + λ a y + β by . s . s ↔ (3. − 1). y. t ⎟ . 2. y de la igualdad de n-tuplas se obtiene: (1) x = x0 + λ ax + β bx ⎫ ⎪ (2) y = y0 + λ a y + β by ⎬ λ . z0 ) son precisamente las coordenadas de un punto particular del plano. az ) + β (bx . ⎝ ⎠ 276 . los coeficientes asociados a los parámetros respectivos corresponden a las coordenadas de los vectores paralelos al plano. ⎝ ⎠ Observaciones 1. β ∈ R. En el sistema de ecuaciones paramétricas podemos proceder a la reducción de los dos parámetros y obtenemos siempre una ecuación lineal en las variables x. Revisando las ecuaciones paramétricas podemos concluir que los términos independientes ( x0 . b ⎞⎟ = P( x. − 3. a . b ⎟ . ⎝ ⎠ Ilustración 7 → → Dados A( − 1. y. que designaremos como ⎛ → → ⎞ la ecuación cartesiana del plano π ⎜ P0 . → → → → → → } Aplicando la correspondencia establecida. a y . ⎛ → → ⎞ 2. β ∈ R . bz ). a . b ⎟ por comprensión así: ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ { π ⎛⎜ P0 . La ecuación del plano está en función de dos parámetros. Esta ecuación se cumple para todos los puntos que pertenecen a este plano y únicamente por éstos. diferenciándose plenamente de la ecuación de una recta en el espacio que está en función de un solo parámetro. y. z ) P = P0 + λ a + β b . z0 + λ az + β bz ). b ⎟ . by . y0 . 2. z0 ) + λ (ax . y0 . a . 3. λ . 1). P = A + λ s + β t . 2 + λ − 3β . 1) + λ (3. t ⎟ . 2. − 5). ⎝ ⎠ → → → → 1. y. (1)´ (1) − 3 × (2) x − 3 y = −7 + 14β . 1/ 2). Módulo 18: Lugares geométricos Solución ⎛ → →⎞ Sea P( x. 1. x −17 y −14z + 49 = 0 (ecuación cartesiana de este plano). 1 − λ + 4β ). − 1) + β (5. y. (2)´ (2)´−14 × (1)´ x − 17 y − 14 z = −49. s . S (16.10). λ . β ∈ R (ecuación vectorial de este plano) (figura 18. z ) = (−1. T (0. 0. ¿pertenecen al plano en estudio? Geometría vectorial y analítica 277 . Figura 18. De la igualdad de n-tuplas se concluye que: (1) x = −1 + 3λ + 5β ⎫ ⎪ (2) y = 2 + λ − 3β ⎬ λ . 1). − 12. β ∈ R (ecuaciones paramétricas de este plano) (3) z = 1 − λ + 4 β ⎪⎭ Procedemos ahora a despejar los parámetros así: (2) + (3) y + z = 3+ β. 3.10 Por la correspondencia tenemos: ( x. Resolvamos además las siguientes preguntas: Dados O(7. z ) ∈ π ⎜ A. 4) = (−1 + 3λ + 5β . − 3. Esto es. Sustituyendo en la ecuación cartesiana tenemos: 7 − 17 × (0) − 14 × (−5) + 49 = 7 + 70 + 49 ≠ 0.12 278 . z2 ) tres puntos distintos y no colineales. t⎟ . Por tanto ⎛ → → ⎞ S ∈ π ⎜ A. P2 ( x2 . y.12) Figura 18. y0 . y1 . Figura 18. z1 ). ⎝ ⎠ Se deja al lector la determinación de la pertenencia o no del tercer punto. z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a este plano. s .11). luego O ∉ π ⎛⎜ A. → → ⎝ ⎠ En el caso del punto S. P1 ( x1 . s . P1 y P2 y (figura 18. t ⎞⎟ . Designaremos por π ( P0 . z0 ). y2 . Ilustración 8 Sean P0 ( x0 . P1 .11 Sea P ( x. P2 ) el plano que pasa por los puntos P0 . 16 − 17 × (3) − 14 × 1 + 49 = 16 − 51 − 14 + 49 = 0. Locali- cemos o asociemos a los puntos P0 y P sus respectivos vectores y determinemos ⎯→ ⎯→ los vectores P0 P1 y P0 P2 (figura 18.Capítulo 5: Vectores coordenados Veamos para el punto O. z ) = ( x0 . Observaciones 1. P un punto cualquiera del plano π ( P0 . δ . Por la correspondencia tenemos: ( x. y. En este caso hablamos de «una ecuación vectorial para este plano» porque análogamente son ecuaciones vectoriales entre otras: → → ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ P = P1 + δ ⎜ P0 − P1 ⎟ + θ ⎜ P2 − P1 ⎟ . puesto que podemos tomar como referencia uno cualquiera de los tres puntos dados y con origen en él. Geometría vectorial y analítica 279 . y2 − y0 . → → ⎯→ 1. P1 . z1 − z0 ) + β ( x2 − x0 . → → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ 4. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ siendo. La situación anterior corresponde a un caso particular del primer problema analizado en la determinación de un plano. P2 ) . y0 . φ ∈ R (¿por qué?). (3) z = z0 + λ ( z1 − z0 ) + β ( z2 − z0 ) ⎪⎭ Este sistema corresponde a las ecuaciones paramétricas del plano π ( P0 . desde luego. P0 P = λ P0 P1 + β P0 P2 (¿por qué?). P2 ) . dados un punto y dos vectores paralelos al plano (no paralelos entre sí). z0 ) + λ ( x1 − x0 . β ∈ R . P = P0 + P0 P (¿por qué?). β ∈ R es una ecuación vectorial del ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ plano π (P0 . Ω. P2 ) . Mediante la eliminación de los parámetros se obtiene la ecuación cartesiana de este plano. θ ∈ R (¿por qué?) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ = P2 + φ ⎜ P0 − P2 ⎟ + Ω ⎜ P1 − P2 ⎟ . ⎯→ ⎯→ ⎯→ 2. P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ + β ⎜ P2 − P0 ⎟ (definición de diferencia en (3)). λ . → → ⎯→ ⎯→ 3. Y de la igualdad de n-tuplas concluimos: (1) x = x0 + λ ( x1 − x0 ) + β ( x2 − x0 ) ⎫ ⎪ (2) y = y0 + λ ( y1 − y0 ) + β ( y2 − y0 ) ⎬ λ . z2 − z0 ) . Módulo 18: Lugares geométricos Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto de este plano y solamente a puntos de éste. P = P0 + λ P0 P1 + β P0 P2 (sustitución de (2) en (1)). P1 . y1 − y0 . determinamos los otros dos vectores paralelos al plano. P1 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ Luego P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ + β ⎜ P2 − P0 ⎟ . PP ⎞ ⎛ ⎞ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ 1 2 ⎟ = π ⎜ P2 . 6. 280 . P2 ) = π ⎛⎜ P0 . − 1 + 4λ + 6β . 3. 3). 1) = (−2λ + β . S ). G. ( x. z ) ∈ π ( D. determinemos una ecuación vectorial. S (1. β ∈ R. − 1. P = D + λ ⎜ G − D ⎟ + β ⎜ S − D ⎟ . G. PP ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ilustración 9 Dados D(0. y. S ) ). 3). 1). G. z ) = (0. S ) . 14 x − 5 y + 16 z − 37 = 0 es la ecuación cartesiana de este plano. 2. 3) + β (1. P1 . P2 P0 ⎟ . G. 6. P0 P1 . (1) − (3) x − z = −2 − 5λ ⎫ (1)´ ⎬ 6 × (1) − (2) 6 x − y = 1 − 16λ ⎭ (2)´ 16 × (1)´−5 × (2)´ − 14 x − 16 z + 5 y = −37. P0 P2 ⎞⎟ = π ⎛⎜ P1 . 5. → → ⎛ → → ⎞ ⎛→ → ⎞ 1. (1) x = −2λ + β ⎫ ⎪ (2) y = −1 + 4λ + 6β ⎬ λ . G (−2.Capítulo 5: Vectores coordenados 2. Lo anterior nos permite afirmar la igualdad de los siguientes conjuntos: π (P0 . 5). β ∈ R. 2 + 3λ + β ). es una ecuación vectorial del ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ plano π ( D. − 1. λ. las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del plano π ( D. (3) z = 2 + 3λ + β ⎪ ⎭ 3. 4. 1 0 . → → → → G − D ↔ (−2. S ). y. 4. Solución Sea P ( x. 2) + λ (−2. 2). S − D ↔ (1. Esto es. P2 P1 . (ecuaciones paramétricas del plano π ( D. 3. criterios sencillos para su determinación.1. ¿Cuáles son los criterios que permiten determinar dichas posiciones? 3.1. Preguntas básicas 1. ¿Qué posiciones relativas pueden darse para dos rectas contenidas en el espacio? 4.1. ¿Cuáles son los criterios que permiten determinar dichas posiciones? 5.1 Intersecciones entre lugares geométricos 19.1 Posiciones relativas de dos rectas 19. s ↔ (1. ¿Qué posiciones relativas pueden darse para un plano y una recta en el espacio? 6. u ) con A (1. sino también hacer una lectura La composición ilustra las rectas en el espacio L(A . Intersecciones entre lugares geométricos 19 Introducción Adelantaremos ahora la determinación del conjunto intersección de los conjuntos ya estudia- dos. 1). 2.1. 2. ¿Qué posiciones relativas pueden darse para dos planos en el espacio? ¿Qué posiciones pueden darse para tres planos en el espacio? 8. estableciendo el conjunto vacío). Fijar criterios claros y simples para determinar las posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio y encontrar el conjunto intersección de ambos lugares.2 Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio 19. 0). ¿Qué importancia tiene el método de reducción de Gauss-Jordan en el problema de la determinación del conjunto intersección de algunos lugares geométricos? Contenidos del módulo 19. ¿Cuáles son los criterios que permiten determinar estas posiciones? 9. s ) y correcta de sus posiciones relativas en el plano y en el espacio. Fundamentamos nuestro trabajo en las herramientas conocidas de la teoría de conjuntos y la solución de sistemas de ecuaciones lineales para establecer criterios precisos que nos → permitan no sólo la determinación del conjunto intersección. las cuales se «cruzan» (no son paralelas y su intersección es 1. Utilizar el algoritmo de reducción de Gauss-Jordan como un criterio básico en la determi- nación del conjunto intersección de dos rectas y de dos o más planos en el espacio y sus posiciones relativas.1). 1. G ↔ (2. 2.3 Posiciones relativas de dos planos en el espacio Vea el módulo 19 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 281 . ¿Qué posiciones relativas pueden darse para dos rectas contenidas en un mismo plano? 2. → L(G . ¿Cuáles son los criterios que permiten determinar dichas posiciones? 7. y u ↔ (−1. Analizar las posiciones relativas de las rectas en el plano y en el espacio. − 1) → → Objetivos del módulo . L1 ∩ L2 .L. 3. ⎡1 −2 − 3 ⎤ − 3 E1 + E 2 ⎡ 1 −2 −3⎤ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ ⎢ ⎢3 − 7 ⎥⎦ + 2 ⎥⎥⎦ . L2 :3x − 6 y + 7 = 0. Sean L1 . entonces. L2 ∩ L3 . L1 ∩ L2 ≠ ∅. L1 ∩ L2 = ∅. las rectas se cortan en un punto único. 2. 4. L2 dos rectas en el plano.2). ⎣ −6 ⎢⎣ 0 0 luego el sistema es inconsistente y. 1. L3 :3x + y − 5 = 0.( 2. L1 & L2 . Determinemos el conjunto solución del S. En el plano Geometría vectorial y analítica. esto es.( 2. L1 ∩ L3 Determinemos el conjunto solución del S. 2. L4 :5 x − 10 y + 15 = 0. en este caso. por tan- to. Ilustración 10 Sean las rectas en el plano de ecuaciones: L1 : x − 2 y + 3 = 0. rectas y planos y ubicaremos sus posiciones relativas en el plano y/o en el espacio. L1 ∩ L3 .Capítulo 5: Vectores coordenados 19. L3 ∩ L4 . en consecuencia. L1 ∩ L4 .2) .L. 6. Determinemos los siguientes conjuntos intersección e interpretemos la posición relativa de las rectas involucradas.1 Posiciones relativas de dos rectas Vea la animación Posiciones relativas de dos rectas en el plano en su multimedia de a. en este caso. esto es. L1 ∩ L2 . las rectas son iguales. 5. L1 & L2 y L1 ≠ L2 . pueden darse las siguientes situacio- nes: (a). (b).E. siendo L1 ≠ L2 . 19.1. Solución 1. L2 ∩ L4 . 282 .E. L1 ∩ L2 = L1 = L2 . puede ocurrir que: L1 ∩ L2 = { P} . L1 ∩ L2 = ∅.1 Intersecciones entre lugares geométricos Determinaremos a continuación las intersecciones entre estos lugares: rectas. pla- nos. E. las rectas son iguales. pueden darse las siguientes situa- ciones: (a). L1 & L2 si y sólo si v1 & v2 . siendo L1 ≠ L2 . v2 & L2 . → → → → (b). L1 ∩ L2 ≠ ∅. Geometría vectorial y analítica 283 . esto es. ⎬ . En el espacio Sean L1 . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2) y = y ⎭ lo que nos indica que L1 ∩ L4 = L1 = L4 . ⎣ 5⎦ ⎣ 0 7 14 ⎦ ⎣0 1 2⎦ x = 1⎫ Por tanto.) Se deja al lector la determinación de los otros conjuntos. entonces. en este caso. y en consecuencia no están contenidas en un mismo plano. 2) . (b). L1 & L2 . ⎡1 −2 −3 ⎤ −5 E1 + E2 ⎡1 −2 −3⎤ (1) x = −3 + 2 y ⎫ ⎢5 −10 −15⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢0 0 0 ⎥ . L1 y L2 se cruzan si y sólo si v1 & v2 . Determinemos el conjunto solución del S. esto es. Si L1 ∩ L2 = ∅ . L1 y L2 se cruzan en el espacio. Sean v1 & L1 . esto es. L1 ∩ L3 = {(1.( 2. Esto significa que las rectas no tienen ningún punto común. Sean v1 & L1 . podemos utilizar el siguiente criterio para determinar cuál de las dos situaciones se presenta. b. L1 ∩ L4 .L. 3. L1 ∩ L2 = ∅ . entonces. L2 dos rectas en el espacio. lo que nos indica que las y = 2⎭ rectas se intersecan en el punto P (1. (Téngase en cuenta que toda recta es paralela a sí misma. las rectas se cortan en un punto único. v2 & L2 .2)} . pero no son paralelas.2) . L1 ∩ L2 = L1 = L2 . Módulo 19: Intersecciones entre lugares geométricos ⎡1 −2 −3⎤ −3 E1 + E2 ⎡1 −2 −3⎤ 1 E ⎡1 0 1 ⎤ ⎢3 1 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ → ⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯ 2 E2 + E1 → ⎢ 7 2 ⎥. puede ocurrir que: L1 ∩ L2 = { P} . entonces. en este caso puede darse una de las siguientes situaciones. → → → → (a). luego ⎬ y∈R. L2 ∩ L4 . 2. 4. 3. Conclusión: L1 ∩ L2 = ∅. 2) . L1 ∩ L3 . 6. z = 2λ ⎪⎭ 3. x = −3 + 2θ ⎫ ⎪ ⎪ L3 2. Para abreviar el análisis podemos inicialmente determinar si las rectas son o no paralelas. → → → → Como en efecto v2 = −2 v1 . → → Sabemos que L1 & L2 si y sólo si v1 & v2 . z = α ⎪⎭ 3. Verifiquemos que L1 ≠ L2 . − 4) . L4 2. y = 1 − θ ⎬θ ∈ R. z = 5θ ⎪⎭ determinemos los siguientes conjuntos intersección e interpretemos la posición relativa de las rectas involucradas. L1 ≠ L2 y L1 & L2 . en consecuen- cia. 3. Tome- mos: → → v1 & L1 . 0) ∈ L1 y veamos si A ∈ L2 . L3 ∩ L4 . → → v2 & L2 . y = 2β ⎬ β ∈ R.Capítulo 5: Vectores coordenados Ilustración 11 Dadas las rectas en el espacio. Observemos que no hubo necesidad de determinar la intersección de los conjuntos para ubicar su posición relativa. L1 ∩ L2 . de ecuaciones paramétricas: 1. (3) 0 = −1− 4β ⎪⎭ Absurdo. entonces v1 & v2 (¿por qué?) y. L1 & L2 . z = −1 − 4β ⎪⎭ 1. en particular v2 ↔ (−6. 5. puesto que el criterio para establecerlo es muy sencillo. Solución 1. 1. (1) − 2 = 1 − 6β ⎫ ⎪ (2) 5 = 2β ⎬ de (2) β = 5 2 y de (3) β = − 1 4 . x = 1 − 6β ⎫ ⎪ ⎪ L1 2. 2. 284 . luego L1 ≠ L2 . y = 5 − λ ⎬ λ ∈ R. en particular v1 ↔ (3. L1 ∩ L2 . y = 5 + 2α ⎬ α ∈ R. x = 3 − α ⎫ 1. L2 2. 3. x = −2 + 3λ ⎫ 1. Sea A(−2. L2 ∩ L3 . 5. L1 ∩ L4 . − 1. Construyamos el S. a prueba de hipótesis. esto es. luego L2 ∩ L4 = {(−5. en las ecuaciones paramétricas de la recta L2.E. → → JJG JJG Tenemos que v2 & v4 si y sólo si v 2 = δ v 4 .E. δ ∈ \ . v4 ↔ (2.L. L2 ∩ L4 Verifiquemos de nuevo si las rectas son paralelas. (2) β = 1 Sustituyendo el valor de θ en las ecuaciones paramétricas de la recta L4 tenemos: (1) x = −5⎫ ⎪ (2) y = 2 ⎬ .(3.L. 5). v2 & v4 . Módulo 19: Intersecciones entre lugares geométricos 2. − 4). (3) z = −5⎪⎭ Vea la animación Posiciones relativas de dos rectas en el espacio en su multimedia de Observemos que este mismo punto se obtiene sustituyendo el valor de β Geometría vectorial y analítica. asociado así: (1) 1 − 6β = −3 + 2θ ⎫ (1) − 2θ − 6β = −4 ⎫ ⎪ ⎪ (2) 2β = 1 − θ ⎬ S . → → → → Sean v2 & L2 y v4 & L4 . − 4) = δ (2. 5) .(3. (−6. de donde se desprende que: (1) − 6 = 2δ ⎫ ⎪ (2) 2 = −δ ⎬ de (1) δ = −3 y en (2) δ = −2 .L. → → En consecuencia. (3) − 4 = 5δ ⎪⎭ Absurdo.2) tiene solución única. − 5)} . 2. 2. − 1. 2. ⎢ ⎥ − E2 −2 E2 + E1 ⎯⎯⎯⎯ 2 −6 E2 + E3 ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ (1) θ = −1 luego lo que significa que el S.E. − 1. que v2 = δ v4 . JJG JJG Asumamos. En este punto debemos determinar el conjunto L2 ∩ L4 . por tanto no existe δ ∈ \ que satisfaga la combinación lineal.2) (2) θ + 2β = 1 ⎬ (3) − 1 − 4β = 5θ ⎪⎭ (3) − 5θ − 4β = 1 ⎪⎭ Resolvamos el sistema: ⎡ −2 −6 −4 ⎤ ⎡1 2 1⎤ ⎡1 2 1 ⎤ ⎢ 1 2 1 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ ⎢ ⎥ 5 E1 + E3 → ⎢⎢ 0 −2 −2 ⎥⎥ → ⎥ 2 E1 + E2 → ⎢ 0 −2 −2 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ E12 ⎢ ⎣⎢ −5 −4 1 ⎥⎦ ⎢⎣ −5 −4 1 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 6 6 ⎦⎥ 1 ⎡1 2 1 ⎤ ⎡1 0 −1⎤ → ⎢0 1 1 ⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢⎢ 0 1 1 ⎥⎥ . y en particular v2 ↔ (−6. Geometría vectorial y analítica 285 . Capítulo 5: Vectores coordenados Conclusión: las rectas L2 y L4 se intersecan en el punto (–5. → donde v3 ↔ (−1. 3. Por lo analizado en los → → → dos numerales anteriores tenemos que v1 & L1 . Todo esto nos permite concluir que las rectas L1 y L3 se cruzan en el espacio. Se deja al lector la determinación de los otros conjuntos. 2) y v3 & L3 . 2) = Ω (−1.L. 1) y.2) (2) − λ − 2α = 0⎬ (3) 2λ = α ⎪⎭ (3) 2λ − α = 0 ⎪⎭ Resolvamos el S. (3) 2 = Ω ⎪⎭ lo que nos muestra que no existe Ω. que v1 = Ω v3 . Determinemos el conjunto L1 ∩ L3 . ⎢ 0 0 −5⎥ ⎣ ⎦ Podemos suspender el proceso de reducción puesto que el sistema es incon- sistente (¿por qué?). 286 . Verifiquemos inicialmente si las rectas son paralelas.E. lo cual nos permite afirmar que L1 & L3 .E. 2. que satisfaga este sistema. − 1. L1 ∩ L3 . Ω ∈ R. luego (3. → → Asumamos. para Ω ∈ R. en consecuencia: (1) 3 = −Ω ⎫ ⎪ (2) − 1 = 2Ω ⎬ . 1) . 2. En consecuencia.E.L. L1 ∩ L3 = ∅ . ⎡ 3 1 5⎤ ⎡1 2 0⎤ ⎡1 2 0 ⎤ ⎢ −1 −2 0 ⎥ ⎯⎯⎯ −1E2 ⎢ ⎥ −3 E1 + E2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ E12 → ⎢ 3 1 5 ⎥ ⎯⎯⎯⎯−2 E1 + E2 → ⎢ 0 −5 5 ⎥ → ⎢⎣ 2 −1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 −1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 −5 0 ⎥⎦ ⎡1 2 0 ⎤ −1E2 + E3 ⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢ 0 −5 5 ⎥ .2) . a prueba de hipótesis. Construyamos el S.(3. asociado así: (1) − 2 + 3λ = 3 − α ⎫ (1) 3λ + α = 5 ⎫ ⎪ ⎪ (2) 5 − λ = 5 + 2α ⎬ S .L. −1. –5).(3. 2. donde v1 ↔ (3. 1. −4 + 6λ + 15 − 3λ + 2λ = 10. L ∩ π ≠ ∅ . x = −2 + 3(− 1 5 ) = − 13 5 . Procedamos análogamente como en el caso anterior. x = −2 + 3λ ⎫ π1 : 2 x + 3 y + z = 10. L ⊂ π (la recta está contenida en el plano). en este caso puede ocurrir que: L ∩ π = { P} . Lo anterior nos indica que la recta L1 y el plano π 1 se intersecan en el punto único (− 13 5 . la recta y el plano se intersecan en un punto único. L1 ∩ π 2 . L ∩ π = L . π una recta y un plano en el espacio. y = 5 − (− 1 5 ) = 26 5 . Sustituyamos las coordenadas de las ecuaciones paramétricas de la recta. π 2 .2 Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio Sean L. Absurdo. λ = − 1 5 . − 2 5 ) . Determinemos las coordenadas para este valor. 2 (−2 + 3λ ) + 3(5 − λ ) + (2λ ) = 10. L ∩ π = ∅ . 6 = 3. π 3 de ecuaciones respectivamente: 1. en este caso. multimedia de Geometría vectorial y analítica. en la ecuación del plano. L1 ∩ π 1 . Entonces pueden darse las siguientes situaciones: (a). (b). 1. L & π . L1 ∩ π 2 y L1 ∩ π 3 . esto es. 26 5 . Geometría vectorial y analítica 287 . ⎪ L1 : 2. z = 2λ ⎪⎭ π 3 : x + y − z = 3. y = 5 − λ ⎬ λ ∈ R π 2 : 2 x + 2 y − 2 z = 3. z = 2(− 1 5 ) = − 2 5 . esto es. 2. 3. Ilustración 12 Sean la recta L1 y los planos π 1 . 5λ = −1. recta y un plano en el espacio en su −4 + 6λ + 10 − 2λ − 4λ = 3. Vea la animación Posiciones relativas de una 2(−2 + 3λ ) + 2(5 − λ ) − 2(2λ ) = 3. respectivamente. Módulo 19: Intersecciones entre lugares geométricos 19. Determinemos los conjuntos L1 ∩ π 1 . π 4 : 3x + 6 y − 3z = 1. lo que nos muestra que π 1 y π 2 son el mismo plano.L. (−2 + 3λ ) + (5 − λ ) − (2λ ) = 3 3λ − 3λ = 0. Si dos planos diferentes se intersecan. Verifique esta afirmación desde el punto de vista de los tipos de solución de un S. π 3 : 3x + 4 y − 5z = 8.( m. π 3 . 3. π 4 de ecuaciones respectivas: π1 : x + 2 y − z = 3. entonces su intersección es una recta (tenga presente el axioma correspondiente en la geometría euclidiana). λ = λ . En consecuencia. en este caso puede ocurrir que: π1 ∩π2 = L. (b). siendo L el conjunto de puntos correspondientes a una recta en el espacio. 19. π 2 . Ilustración 13 Sean los planos π 1 . L1 ∩ π 3 . π1 ∩ π 2 = π1 = π 2 .3 Posiciones relativas de dos planos en el espacio Sean π 1 . Efectuemos la sustitución de las coordenadas de la recta en la correspon- diente ecuación cartesiana del plano. Tres planos distintos pueden intersecarse en un punto (¿por qué?). nunca su intersección puede reducirse a un punto. π1 ∩ π 2 = ∅ . entonces pueden darse las siguientes situaciones: (a). π 1 & π 2 . que nos permite afirmar que L1 ⊂ π 3 . esto es. L1 ∩ π 2 = ∅ y podemos afirmar que L1 & π 2 . 288 . si dos planos distintos se intersecan.Capítulo 5: Vectores coordenados Esto significa que no existe un valor para λ que satisfaga esta ecuación. (La recta L1 está contenida en el plano π 3 ). Vea la animación Posiciones relativas de dos planos en el espacio en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Observaciones 1. en este caso.n) . π 2 : 2x + y + 4z = 0. en consecuencia. L1 ∩ π 3 = L1 . π 2 dos planos en el espacio. 2. lo que significa que λ toma todos los valores en el conjunto R y. π1 ∩ π 2 ≠ ∅ .1. en conse- cuencia.E. (2. ⎡ 1 2 −1 3⎤ −2 E1 + E2 ⎡1 2 −1 3 ⎤ − 13 E2 ⎡1 2 −1 3 ⎤ ⎢ 2 1 4 0 ⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢ 0 −3 6 −6 ⎥ ⎯⎯⎯ →⎢ ⎥→ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 0 1 −2 2 ⎦ x = −1 − 3 z ⎫ −2 E2 + E1 ⎡ 1 0 3 −1⎤ ⎪ ⎯⎯⎯⎯ →⎢ ⎥ . π 1 ∩ π 2 = L ⎛⎜ A. π1 ∩π 4 . t ⎞⎟ . siendo A(−1. 1) . y. → ⎝ ⎠ 2. que podemos describir como L ⎛⎜ A. Módulo 19: Intersecciones entre lugares geométricos Determinemos los conjuntos π 1 ∩ π 2 . esferas.(2. Se deja al lector la determinación de los otros conjuntos. superficies cónicas. volúmenes. En particular. t ⎞⎟ . esta solución corresponde a una recta en el espacio.L. Resolvamos el S.L. (3) z = λ ⎪⎭ Como puede observarse. luego y = 2 + 2 z ⎬ z ∈ R. π1 ∩ π 4 . Nota: la introducción en los capítulos siguientes de nuevas operaciones en los vectores geométricos amplían totalmente la gama de lugares geométricos que se van a determinar. etc.E. 0) y t ↔ (−3. 1. como también superficies esféricas.E. π 1 ∩ π 2 ∩ π 3 . Geometría vectorial y analítica 289 . 2. en el espacio y planos en el espacio. superficies cilíndricas. en → → ⎝ ⎠ consecuencia. ⎢⎣ 0 1 −2 2 ⎥⎦ z= z ⎪⎭ Dicha solución podemos presentarla así: (1 )x = − 1 − 3λ ⎫ ⎪ (2) y = 2 + 2λ ⎬ λ ∈ R .3) ⎡1 2 −1 3⎤ −3 E1 + E2 ⎡1 2 −1 3 ⎤ lo que nos muestra ⎢3 6 −3 1⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢ 0 0 0 −8⎥ que es inconsistente ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ Luego π1 ∩π4 = ∅ . en consecuencia. las operaciones correspondientes al producto escalar y al producto vectorial nos permiten presentar otras ecuaciones vectoriales para la determinación de rectas en el plano. π 1 & π 4 . π1 ∩ π 3 . π1 ∩ π 2 . y. 2.3) . Resolvamos el S. Ejercicios del capítulo 5 (módulos 17 al 19) → → → → 1. − 1. − 6). b. el eje x y el eje z. − 3. simétricas y cartesiana (esta última cuando sea posible) para cada una de las rectas que se describen a continuación: → a. 5) + α (−2. {P( x. 1). f. 2) y H (2. Pasa por D(0. { → → → P( x. 2). α ∈ R} . → b. − 2. e. con M (0. + ∞)} . 5) + λ (1. { P ( x. Determine un vector de magnitud igual a 3 / 7 de unidad. − 2). c. y ) / ( x. 5) + λ (1. y ) / P = (3 − θ ) P1 + θ P2 . θ ∈ R . λ ∈ R ⎬ . v . λ ∈ [0. Normalice cada uno de los vectores anteriores. g. k . 2. y ) = (−1. y ) = (− 1 2 . → c. − 5. en la dirección y el sentido del vector u + v − t − s . en la dirección y el sentido del vector 2 u + 4 v − t + 3 s . s ↔ (2. x ∈ R} . Pasa por el punto B (−2. paramétricas y simétricas de la recta L( F . {P( x. + λ ⎟ . 2). 0) y es paralela al vector f ↔ (−3. → d. 0). 1) y es paralela al vector s ↔ (2. 0. H ) para F (−5. Identifique cada uno de los siguientes conjuntos de puntos en R2. v ↔ ( 1 2 . y) = (3 + α )(0. 3. 2) y es paralela al vector MK . paramétricas. 0). K (−1. el eje y y el eje z. 2 u + 4 v − t + 3 s . Determine las ecuaciones vectorial. a. 1. y ) / ( x. { P ( x. 1/ 7) + β (5. 7). − 1. → → → → → → → d. − 3). Pasa por A(5. − 2) . 1. Exprese cada uno de los vectores libres del literal 1a como combinación lineal de los vectores de la { } base ortonormal i . λ ∈ [0. u + v − t − s . 4. − 1 2 . ⎩ ⎝ 4 ⎠ ⎭ c. t ↔ (0. β ∈ R} . 1. ⎧ ⎛ 3 ⎞ ⎫ b. 7]} . y) / ( x. 0). Calcule la magnitud de los vectores u . 1. 1). j . Determine un vector de magnitud igual a 11 unidades. y ) / ( x. Determine las ecuaciones vectorial. u − v . y) / y = − 4 / 7. 1) . Calcule para esta misma recta las coordenadas de los interceptos con los planos determinados por: el eje x y el eje y. ⎨ P( x. − 2). d. y) = (− 1 2 . − 1) y es paralela al vector u ↔ (−3. } 290 . Pasa por el punto F (−3. y ) = ⎜ 2 − 5λ . Sean u ↔ (−1. → → → → → → → → → → → → a. y) ( x. { P ( x. → → → → e. z = β ⎪⎭ Geometría vectorial y analítica 291 . β ∈ R} . 1 3 ) + λ (0. G(–5. y. 2). x = −1 + 5β ⎫ ⎪ ⎪ L1 : 2.0) + λ (0. ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎫ d. y. a. 3 5. y. λ ∈ [0. y. 2. z ) = ⎜ θ . y. Identifique cada uno de los siguientes conjuntos de puntos en R . − 1 2 . − 1 7 − θ ⎟ . 0. z ) = (−1. Determine las coordenadas del punto medio de P1 P2 . 8. π ( D. z = − 7λ ⎪⎭ 3. 2). − 1). 0. G . S ) y pasa por el punto H (2. –1). y. y. z ) / ( x. b. z2 ) . P2 ( x2 . ⎝ ⎠ c. 1) + β (−2. y2 . tal que 1 = . y = 2 − 8β ⎬ β ∈ R 3. y. z ) = (−3 + λ . z ) / ( x. − 1). S ∈PP 1 2 . 3 + β . z ) / ( x. { P ( x. 6. Determine las coordenadas de un punto T. 1). z ) / ( x. 2). m ( PT 1 ) 2 c. t ↔ (1. { P ( x. 1. M ) . –2. z1 ). t ⎞⎟ . c. 1. Sean P1 ( x1 . m ( P1 P2 ) 11 7. y1 . β ∈ R} . Determine las ecuaciones vectorial. ⎨ P ( x. siendo A(3. { P ( x. λ ∈ R} . siendo B(–1. 1). z ) = (3. 2 − 5θ . − 2) . Determine las coordenadas de un punto S. 3. z ) / ( x. W ∈ P1 P2 . ⎩ ⎝ 4 ⎠ ⎭ e. → → → → b. π ⎛⎜ A. y. siendo D(0. L2 : 2. θ ∈ R ⎬ . − 5. 4. a.1]} . Dadas las rectas L1 y L2 y los planos π 1 y π 2 de ecuaciones: 1. λ . λ . 0) + λ (0. x = 2 + 3λ ⎫ 1. T ∈ P1 P2 . 0). 0. z ) = (5 − λ . λ . z ) / ( x. –2). v . M(4. b. −5.5 + 7λ + 2β ). y. 1. Determine las coordenadas de un punto W. { P ( x. β ∈ R} . f. 3. 8). –7. v ↔ (2. que se encuentra a dos unidades de P1 y a siete unidades de P2 . z ) = (−1. {P( x. y. El plano que contiene la recta L( B. y = −5 + λ ⎬ λ ∈ R. –3) y S(0. m (TP2 ) 3 m ( PW ) 3 d. − 1. tal que = . y. 2λ − β . paramétricas y cartesiana de los siguientes planos: a. 1. − 1) en el ΔABC : a. π 2 : 2. π1 ∩ π 2 . π1 ∩ π 3 . π 2 ∩ π3. L1 ∩ L2 . e. n. g. 10. Determine la recta que contiene la mediana asociada al vértice A. B (−3. 9. Determine la recta que contiene la bisectriz asociada al n ABC . Determine las coordenadas del baricentro del ΔABC . L2 ∩π 2 . d. π1 ∩ π 2 . L1 ∩π1. c. L2 ∩ π1. δ ∈ R. Ω ∈ \. b. d. f. f. π 3 de ecuaciones cartesianas: π 1 : 2 x − y − z = 4. d. 292 . 2. c. Determine el perímetro del ΔABC . Determine la recta que contiene la bisectriz asociada al BAC e. z = 3α + 2Ω ⎪⎭ determine e interprete los siguientes conjuntos: a. −1). C (4. L1 ∩ π 2 . b. y = 2 + 2Ω ⎬ α . Determine las coordenadas del incentro del ΔABC . Determine la recta que contiene la mediana asociada al vértice B. x = 3 + α − Ω ⎫ ⎪ ⎪ π 1 : 2. b. x = 1 + θ + 2δ ⎫ 1. π 3 : 6 x + 8 y − 4 z = 22. c. 2). π 2 . z = θ + 4δ ⎪⎭ 3. 3. y = −2 + 2θ + 3δ ⎬θ . π 2 : 3 x − 2 y + 4 z = 11. determine e interprete geométricamente los siguientes conjuntos: a. 1. Dados los puntos A (5. π1 ∩ π 2 ∩ π 3. 0. Dados los planos π 1 . cuyas novedosas aportaciones estudió con interés. con el uso del concepto de produc- to escalar. Generalmente esta operación se conoce como producto interno. . el cual permitirá construir bases ortonormales. Capítulo 6 El producto escalar 6 Contenido breve Módulo 20 Producto escalar en E 3 y 3 Módulo 21 Proyección ortogonal Módulo 22 Producto escalar y geometría analítica Ejercicios A la edad de quince años. sino un escalar. Gibbs hizo importantes contribuciones al estudio de los vectores en su obra Análisis vectorial. Durante un viaje a Europa entró en contacto con los físicos y matemáticos de mayor prestigio de la época. el concepto de proyección ortogonal. En este capítulo se define el producto escalar en el espacio de los vectores libres y se deducen sus propiedades esenciales. En ambas. Presentación Se ha venido trabajando en el espacio de los vectores libres ( E 3 y sus subespacios E 2 y E1 ). mediante el proceso de Gram-Schmidt. En una estructura de espacio vectorial es posible definir una nueva operación. el físico y químico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) ingresó en la Universidad de Yale. Se introduce. el resultado es siempre un vector libre. en la que el resultado ya no es un vector. además. A lo largo del capítulo se resuelven problemas de la geometría euclidiana y de la geometría analítica. En el caso de E 3 se llama producto escalar. con dos operaciones: la adición y la multiplicación por un escalar. donde Módulos 20 al 22 obtuvo el primer doctorado en ingeniería concedido por la mencionada institución. 294 . El teorema de Pitágoras ha sido objeto de numerosas Preguntas básicas investigaciones. ¿Cómo se calcula el producto escalar entre dos vectores? 4. dedicadas a sistematizar las diferentes formas de demostrarlo.3 Aplicaciones del producto escalar a la geometría euclidiana 20. ¿Qué relación existe entre ortogonalidad y producto escalar? 5. matemáticas y ciencia natural. Las E3 y n . asociación de carácter filosófico-religioso. unas. 20 Producto escalar en E 3 y R 3 Introducción La estructura de espacio vectorial. aproximadamente. permite introducir nuevos conceptos que amplían la gama de problemas que se pueden resolver. Pitágoras de Samos De Pitágoras se sabe que nació. ¿Es el producto interno una ley de composición interna? más generales.2 Producto escalar en E 3 20. Pitágoras estudió en Egipto geometría y astronomía. C. Pitagórica.2 Teorema del coseno Vea el módulo 20 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 295 . y se dedicó a estudiar filosofía.1 Producto interno 20. El producto interno es uno de esos conceptos. ¿Qué tipos de problemas de la geometría euclidiana se pueden resolver con el uso del producto escalar? Contenidos del módulo 20. en la isla griega de Samos.1 Teorema de Pitágoras 20. el produc- año 572 a. 3. En Crotona fundó la Escuela tica y la geometría elemental. innumerables aplicaciones de este teorema en diferentes 2. Mostrar algunas aplicaciones del producto escalar en la solución de algunos problemas de ramas de la Matemática hablan por sí solas de su la geometría euclidiana. así como sus múltiples 1. a pesar de que éste era conocido un milenio antes del nacimiento de aquél. ¿Qué relación existe entre longitud y producto escalar? 6. La tradición atribuye a Pitágoras la autoría del famoso 1. en el En el caso del espacio vectorial de los vectores libres E 3 y el espacio vectorial 3 . Murió Objetivos del módulo cuando contaba cerca de 83 años de edad. Se cree que fue to escalar es un producto interno que tiene innumerables aplicaciones en la geometría analí.3. y otras. discípulo de Tales de Mileto.3. ¿Qué es un producto interno? aplicaciones. Presentar el concepto general de producto interno y el particular de producto escalar en teorema que lleva su nombre. encaminadas a establecer enunciados 2. con sus propiedades básicas. trascendental importancia. 1 La forma de definir un producto interno depende. u i (v + w) = u i v + u i w. I3. Figura 20. (el producto interno de un vector por sí mismo es un escalar no negativo). w en V. v i w = w i v. el producto interno. la función producto interno. del espacio vectorial en particular. (α v ) i w = v i (α w) = α (v i w). I4. Sea «i» una función. ( «i» . es distributivo con respecto a la adición de vectores). «i» es una función que a cada par de vectores v y w de V asigna un escalar denotado v i w. (v. En la figura 20.Capítulo 6: El producto escalar 20. (el único caso en que el producto interno de un vector por sí mismo es el es- calar cero. es aquel en que el vector es el nulo: o). I2. u.1 Producto interno Producto interno Sea V un espacio vectorial sobre un campo k. v i v ≥ 0. y cada α en k : I1. «i» es un producto interno si satisface las cinco condiciones siguientes. esquemáticamente. en cada caso. I5. así: i: V × V → k. v i v = 0 si y sólo si v = o.1 se ilustra. ( «i» es conmutativa). 296 . w) v i w. (los factores escalares pueden «extraerse» del producto interno). Para cada v. entonces X i Y : = x1 x2 + y1 y2 .1): ⎛ x1 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Si X = ⎜ y1 ⎟ y Y = ⎜ y2 ⎟ . verifiquemos el cumplimiento de I1 para : ⎛ x1 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ x3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Sean: X = ⎜ y1 ⎟ . X i X = 1 + 0 + 4 = 5. W = ⎜ 2 ⎟ . entonces: ⎜ 2⎟ ⎜3⎟ ⎜1 ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X i Y = −2 + 0 + 6 = 4. De este modo. el producto interno en es un real que puede ser positivo. 0 i 0 = 0 + 0 + 0 = 0. X i Z = −3 + 0 + 2 = −1. entonces ⎜z ⎟ ⎜z ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ X i Y : = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . Y = ⎜ y2 ⎟ . ⎝ 1⎠ y ⎝ y2 ⎠ 3 2 Es fácil probar que el producto interno definido para (y para ) satisface las condiciones de la definición 20. Módulo 20: Producto escalar en E 3 y 3 Ilustración 1 3 En se define el producto interno así (ver la sección 2. 3 A manera de ilustración.1. Y = ⎜ 1 ⎟ . Z = ⎜ y3 ⎟ . si ⎛ −1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛3⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ X = ⎜ 0 ⎟ . Z = ⎜ 2 ⎟ . 3 Como se observa en los ejemplos. ⎜z ⎟ ⎜z ⎟ ⎜z ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ Geometría vectorial y analítica 297 . Ilustración 2 2 3 En se define un producto interno similar al de : ⎛ x1 ⎞ ⎛ x2 ⎞ Si X = ⎜ ⎟ y Y = ⎜ ⎟ . X i W = −2 + 0 + 2 = 0. negativo o cero. manejaban al mismo tiempo. Gibbs aplicó el → → → producto escalar en problemas referentes a la fuerza para todo a . Esto significa que: i · j = j · i = i · k = k · i = j · k = k · j = 0. suma y multiplicación de vectores. 298 . función «i» así: El libro pionero de Gibbs. Este trabajo se debe principalmente al físico americano Luego X i (Y + Z ) = X i Y + X i Z (definición del producto interno en 3 ). vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente. De allí se ahora se describen los vectores en 3 . y conmutatividad de +). el estudio de los vectores se ⎜ ⎟⎟ (definición de adición en 3 ). → ⎛ →⎞ ⎛ →⎞ → ⎛→ →⎞ E 2. Era un físico original que hizo muchas publicaciones en el área físico-matemática. Pero los resultados fueron desilusionantes porque X i (Y + Z ) = x1 ( x2 + x3 ) + y1 ( y2 + y3 ) + z1 ( z2 + z3 ) (definición de «i» en 3 ). o 0º ≤ θ ≤ 180º. Si F es un vector de fuerza → ⎛→ →⎞ → → → → de magnitud | F | que actúa en la dirección del segmento E1. la parte vectorial de un cuaternión → → se escribía como ai + bj + ck. entonces a i b = 0. Wilson. En 1902 publicó Elementary principles of statistical mechanics. ampliamente conocido. el material se convirtió ⎝ ⎠ en un libro formal escrito por E. a i ⎜ λ b ⎟ = ⎜ λ a ⎟ i b = λ ⎜ a i b ⎟. j.2 Producto escalar en E 3 la Universidad de Yale y recibió el grado de doctor en 1863. según la definición dada en el módulo 15. Como nativo de New Haven. vectorial. Finalmente. b ⎟ a i b. Después estudió matemáticas y física en París. Los estudiantes de matemáticas aplicadas se encontraron con En el espacio E 3 de los vectores libres se define el producto escalar como una el singular «fenómeno de Gibbs» en las series de Fourier. sabe que 0 ≤ θ ≤ π (para θ en radianes). principio para que sus estudiantes lo usaran–. y ésta es la forma en que θ es el ángulo entre a y b . entonces a i b = a b cos θ . A esto siguió la definición más general. Gibbs dio E 2. En particular. Gibbs definió el producto escalar. era en realidad un panfleto pequeño impreso para la distribución privada –en i : E3 × E3 → . Berlín y Heidelberg. El libro de Gibbs Vector analysis Producto escalar apareció en 1881 y de nuevo en 1884. originó con la invención de los cuaterniones de Hamilton. ⎜⎝ z2 + z3 ⎠⎟ Hamilton y otros desarrollaron los cuaterniones como herramientas matemáticas para la exploración del espacio físico. E1. c en E 3 y para cada λ real: (recuerde: primero era físico). B. De cualquier forma. o flecha. definiciones de igualdad. En la introducción a la física. Gibbs estudió matemáticas y física en 20. entonces la efectividad de esta fuerza al empujar un objeto a lo largo del segmento OP (es decir. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el análisis = ( x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ) + ( x1 x3 + y1 y3 + z1 z3 ). sólo para los Teorema 1 vectores i. Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte X i (Y + Z ) = ( x1 x2 + x1 x3 ) + ( y1 y2 + y1 y3 ) + ( z1 z2 + z1 z3 ) (distributividad vectorial y las dificultades surgían cuando estas partes se del producto de reales. a i b = b i a. éstas son esencialmente las definiciones dadas en este capítulo. b .Capítulo 6: El producto escalar Josiah Willard Gibbs y los orígenes del análisis vectorial ⎛ x2 + x3 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ Y + Z = ⎜⎜⎜ y2 + y3 ⎟⎟ Como ya se ha observado. Vector analysis. ⎝ ⎠ OQ (figura 1). a i ⎜b + c⎟ = a ib + a i c. En 1871 fue nombrado profesor de física en Yale. k: i· i=j· j=k· k=1 El producto escalar es un producto interno en E3 . y pronto el libro fue ⎜ a. creó un gran entusiasmo entre aquellos que veían ⎛→ →⎞ → → una alternativa a los cuaterniones. Si a = o o b = o . El libro Vector con las siguientes condiciones: analysis de Gibbs y Wilson se basaba en la cátedra de Gibbs. Connecticut. Si a ≠ o y b ≠ o . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → → → E3. → → → → → → Se publicó en 1901. inicialmente. Josiah Willard Gibbs (1839-1903). un espacio vectorial se ve como → → → → → → → → un segmento de recta dirigido. bajo las siguientes condiciones: Tanto el producto escalar como el producto cruz entre vectores aparecen prominentemente en las aplicaciones físicas que → → involucran el cálculo de varias variables. Se sabe que dos vectores pueden ser ortogonales. E 4. Geometría vectorial y analítica 299 . entonces el momento de fuerza → → En suma. → → En este caso. → Al estudiar matemáticas al final del siglo XX. Figura 1 → → → 2 La efectividad de F en la dirección de OP es la Así. También el producto cruz tiene un significado físico. a i a = 0 si a = o . → → 2 Como a es un real. no debemos 2. ejercido por F alrededor del origen es el vector u × F (figura 2). El vector u × F es el momento de la fuerza alrededor del origen. Prueba de E4 → → → → Si a = o . Ahora es posible expresar la longitud de un vector. entonces F · u es la componente de F en la dirección → → → → E5. la longitud de un vector es la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo. Debido a esta propiedad suele escribirse: → → →2 a ⋅ a= a . de u . → → → → → → Si a ≠ o . usando el producto escalar: → → → a = a⋅a. entonces a ⋅ a = 0 (definición de producto escalar). Si u es el vector representado por OP . Si | u | = 1. Figura 2 Es decir. →2 → donde « a » es el llamado cuadrado escalar del vector a. Si a y b son no nulos y el ángulo entre los dos es 90º ( π 2 radianes). a ⋅ a = a (téngase en cuenta que cos 0 = 1). o es ortogonal a cualquier vector libre (recuérdese que el vector nulo tiene perder de vista el hecho de que la mayor parte de las todas las direcciones. a ⋅ a ≥ 0 . La ortogonalidad entre a y b se denota a ⊥ b . Éstas incluyen 1. componente de F en la dirección de OP (= u ) si u = 1. entonces a ⋅ a = a a cos 0. a i a ≥ 0. matemáticas modernas se desarrollan para resolver problemas del mundo real. Los vectores fueron desarrollados por Gibbs y otros para facilitar el análisis de los fenómenos → → → → físicos. En este sentido tuvieron un gran éxito. las famosas ecuaciones de Maxwell en electromagnetismo. Suponga que un vector de fuerza F actúa en un punto P en el espacio en la dirección de PQ . entonces a ≥ 0. Módulo 20: Producto escalar en E 3 y 3 → → a lo largo del vector u) está dada por F · u . a ⋅ a ≥ 0 . Capítulo 6: El producto escalar Teorema 2 → → Sean a . Este teorema relaciona la ortogonalidad con el producto escalar. el vector nulo ⎜ 0 ⎟ es ortogonal a cada vector de . Los resultados hasta ahora obtenidos justifican la extensión del concepto de 2 3 ortogonalidad a los espacios y . ⎛ 2⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ Así. ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛1 ⎞ Definición similar puede darse para 2 . Figura 20. 3 Ortogonalidad en 3 Sean X . ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 3 Por supuesto. De este modo. a través de sus respectivos productos internos. Se deja la prueba al lector. entonces X ⊥ Y . las parejas ⎜ ⎟ y ⎜ ⎟ son ⎝ −1 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ortogonales (figura 20.2). Entonces: → → → → a ⊥ b si y sólo si a i b = 0. Y vectores de . si X = ⎜ −1 ⎟ y Y = ⎜ 2 ⎟ .2 300 . b vectores libres. X es ortogonal a Y si y sólo si X i Y = 0. permite 3 3 2 generalizar el concepto de longitud a vectores de y . es decir. Teorema 3 → → Para todo a . con el cuadrado de un supuesto real a . ⎝ −1 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ 3⎞ ⎛1 ⎞ Recuérdese que a las parejas ⎜ −1 ⎟ y ⎜ 3 ⎟ corresponden. tenerse el cuidado →2 → → → →2 de no confundir a . eso sí. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → → El hecho de que para un vector libre a de E su longitud sea a ⋅ a . ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ X = 2. X = ⎜ ⎟ . a sí → es un cuadrado. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Este teorema muestra que el producto escalar tiene similitudes con la operación multiplicación en el campo de los números reales. Y = ⎜ ⎟ . Y = 9 = 3 . Módulo 20: Producto escalar en E 3 y 3 ⎛ 3⎞ ⎛1 ⎞ En la figura 20. 2 3 Ilustración con los vectores X en . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ → → 2 2 3. ⎜ a − b ⎟ = a − 2⎜ a i b ⎟ + b . 2 3 Longitud de un vector en o 2 3 Sea X un vector de o de . los ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ vectores de ⎜ 3 i − j ⎟ e ⎜ i + 3 j ⎟ . pero del real a . respectivamente. Y = ⎜ 2⎟ ⎝ 1⎠ . Se define la longitud de X y se denota X . e Y en : ⎛ 1⎞ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ X = ⎜ ⎟. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎛→ →⎞ →2 ⎛ → → ⎞ →2 2. a ⋅ a .2. Geometría vectorial y analítica 301 . b en E 3 : 2 ⎛→ →⎞ →2 ⎛ → → ⎞ →2 1. ⎜a+ b⎟ i ⎜a−b⎟ = a −b . ⎜ a + b ⎟ = a + 2⎜ a i b ⎟ + b . Debe. así: X = X ⋅X. → → Como a > 0 y b > 0. puede escribirse: → → → → a b cos θ ≤ a b . (θ ángulo entre a y b . (?) Es decir. → → Prueba (para a y b no nulos). 302 . → → → → aib ≤ a b . (?) Teorema 4: Desigualdad de Cauchy-Schwarz → → Para todo par de vectores libres a y b .Capítulo 6: El producto escalar Prueba de 3 Basta aplicar adecuadamente las propiedades distributiva y conmutativa (teorema 1). → → → → → → a i b = a b cos θ . → → → → a ib ≤ a b . → → → → a b cos θ ≤ a b . Esta desigualdad asegura que el valor absoluto del producto escalar de dos vectores no supera el producto de las longitudes de los mismos. Por tanto. y 0 ≤ θ ≤ π ) De la trigonometría se sabe que cos θ ≤ 1 . ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ → ⎛→ →⎞ → ⎛→ →⎞ ⎜ a + b ⎟ i ⎜ a − b ⎟ = a i⎜ a − b ⎟ + b i⎜ a − b ⎟ (distributiva) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ = ⎜ a i a ⎟ − ⎜ a i b ⎟ + ⎜ b i a ⎟ − ⎜ b i b ⎟ (distributiva) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ →2 →2 = a− b. Figura 20. ⎯→ ⎯→ ⎯→ AC = AB + BC .3 Geometría vectorial y analítica 303 . (?) Por tanto. (definición de adición) Luego AC = ⎛⎜ AB + BC ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ AB + BC ⎞⎟ ⎯→ 2⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎞ ⎯→ ⎯→ 2 2 = AB + 2 ⎜ AB ⋅ BC ⎟ + BC . (teorema 3) ⎝ ⎠ ⎯→ ⎯→ Pero AB ⋅ BC = 0. 20. entonces a + b ≤ a + b . ⎯→ 2 ⎯→ 2 ⎯→ 2 AC = AB + BC . Teorema 5 → → → → → → Si a y b son vectores libres.3. Módulo 20: Producto escalar en E 3 y 3 Puede ahora enunciarse.3 es rectángulo en B.1 Teorema de Pitágoras El triángulo ABC de la figura 20. 20. Su demostración se deja al lector. el teorema conocido como desigualdad triangular. y demostrarse.3 Aplicaciones del producto escalar a la geometría euclidiana El producto escalar y sus propiedades permiten probar algunos teoremas de la geometría euclidiana. ⎝ ⎠ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ AB i BC = AB BC cos (π − θ ). Pero cos(π − θ ) = − cos θ . ⎯→ ⎯→ ⎯→ AC = AB + BC . θ es el ángulo ABC.3. c = AB .4.Capítulo 6: El producto escalar 20. ⎯→ ⎯→ ⎯→ Si se denota a = BC . el resultado anterior puede escribirse: b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos θ .2 Teorema del coseno En el triángulo ABC de la figura 20.4 304 . ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎞ ⎯→ ⎯→ 2 ⎯→ 2 2 AC = AB + 2 ⎜ AB ⋅ BC ⎟ + BC . Luego ⎯→ 2 ⎯→ 2 ⎯→ 2 ⎯→ ⎯→ AC = AB + BC − 2 AB BC cos θ . Figura 20. b = AC . ¿Cómo se calculan las proyecciones ortogonales de un vector sobre rectas y planos? 3. recibió su primera instrucción en escuelas públicas. rectas y planos.1 Producto escalar en una base ortonormal 21. Definir el concepto de proyección ortogonal de vectores sobre rectas y planos. facilitan el cálculo del producto escalar entre vectores libres. ¿Cómo influyen las bases ortonormales en el cálculo del producto escalar entre vectores primera vez sus contribuciones al proceso de Gram-Schmidt. Presentar una forma de calcular el producto escalar. introducidas en el módulo 16. complementada con tutores particulares. con la utilización de bases ortonormales. proyecciones ortogonales de vectores sobre vectores. nacido en 1850.2 Proyección ortogonal de un vector sobre una recta 21. Gram falleció una tarde de 1916 en un choque en bicicleta libres? cuando se dirigía a una reunión de la Sociedad Real Danesa. 1. Proyección ortogonal 21 Introducción Las bases ortonormales. En ésta planteó por 1. y más tarde obtuvo el doctorado en Filosofía Preguntas básicas con base en su tesis Sobre el desarrollo de series con el uso del método de los mínimos cuadrados. Gram trabajó después como tramitador de documentos 2. El matemático danés Pedersen. Mientras realizaba esta actividad desarrolló los conocimientos matemáticos de los seguros contra accidentes. públicos. Después de terminar el bachillerato Objetivos del módulo obtuvo la maestría en matemáticas con especialización en álgebra moderna. 2. Dicho cálculo se reduce a una suma de productos de números reales. de manera sencilla. ¿Cuál es el significado geométrico de las proyecciones ortogonales? Contenidos del módulo 21.3 Proyección ortogonal de un vector sobre un plano Vea el módulo 21 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 305 . Este hecho facilita el cálculo de longitudes de vectores y ángulo entre vectores y Jörgen Pedersen Gram permite encontrar. disciplina que estaba en pleno desarrollo. 306 . k es una BOND. simultáneamente se está calculando el producto interno entre tripletas ordenadas de números reales. k } una BOND para E3 . 3 El resultado es coincidente con el producto interno en de las tripletas ⎛ x1 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y1 ⎟ y ⎜ y2 ⎟ . particularmente la distributiva y la conmutativa. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Aplicando reiteradamente las propiedades del producto escalar. j . BOND significa «base ortonormal derecha» (véase el módulo 16). puede afirmarse que: →2 →2 →2 → → → → → → i = j = k = 1. ⎜z ⎟ ⎜z ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ Esto significa que cuando se efectúa el producto escalar de dos vectores libres. → → Luego a i b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . Por 3 todo lo anterior. el producto escalar de a y b es: → → ⎛ → → → ⎞ ⎛ → → → ⎞ a i b = ⎜ x1 i + y1 j + z1 k ⎟ i ⎜ x2 i + y2 j + z2 k ⎟ . {→ → → Sea i . → → Así. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ {→ → → } Si se tiene en cuenta que i . Consideremos en E 3 dos vectores a y b → → cuyas componentes son: ⎡ x1 ⎤ ⎡ x2 ⎤ a ↔ ⎢⎢ y1 ⎥⎥ y b ↔ ⎢⎢ y2 ⎥⎥ . se obtiene: ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ → → → 2 → 2 a i b = ( x1 x2 ) i + ( x1 y2 ) ⎜ i i j ⎟ + ( x1 z2 ) ⎜ i i k ⎟ + ( y1 x2 ) ⎜ j i i ⎟ + ( y1 y2 ) j ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ → 2 +( y1 z2 ) ⎜ j i k ⎟ + ( z1 x2 ) ⎜ k i i ⎟ + ( z1 y2 ) ⎜ k i j ⎟ + ( z1 z2 ) k . el producto interno en también suele llamarse producto escalar.Capítulo 6: El producto escalar 21. → → ⎢⎣ z1 ⎥⎦ ⎢⎣ z2 ⎥⎦ → → → → → → → → Esto significa que a = x1 i + y1 j + z1 k y b = x2 i + y2 j + z2 k .1 Producto escalar en una base ortonormal En adelante. Es claro que esto ha sido posible a través de una BOND para E3 . j . y que i i j = j i k = k i i = 0. entonces a i a = x 2 + y 2 + z 2 . entonces → a = x2 + y 2 + z 2 . en el espacio se tiene: ⎡x ⎤ → → → si a ↔ ⎢⎢ y⎥⎥ . b ↔ ⎢ 1 ⎥ y c ↔ ⎢ −1 ⎥ . entonces a = x + y . Módulo 21: Proyección ortogonal Un análisis similar puede hacerse para los vectores libres en el plano (E ) y las 2 2 parejas ordenadas de números reales ( ). 2 2 ⎣ y⎦ Ilistración 3 ⎡ 2⎤ ⎡ −3 ⎤ ⎡ 3⎤ → → → Si a ↔ ⎢ 1 ⎥ . → → → También: a = 30. b = 14. entonces ⎣ y1 ⎦ ⎣ y2 ⎦ → → a i b = x1 x2 + y1 y2 ⎛ x1 ⎞ ⎛ x2 ⎞ = ⎜ ⎟ i ⎜ ⎟. ⎝ y1 ⎠ ⎝ y2 ⎠ Como caso particular. { } → → → ⎡x ⎤ → ⎡x ⎤ Así. Resultado similar se da en el plano: → ⎡x ⎤ → si a ↔ ⎢ ⎥ . entonces: ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −5 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ → → a i b = 2(−3) + 1(1) + (−5)(2). j es una BOND para E 2 . a i b = −15. si i . Geometría vectorial y analítica 307 . c = 10. → → Además. a i c = 5. → → Es decir. ⎣⎢ z ⎦⎥ → → → → Esto confirma que si a = x i + y j + z k . a ↔ ⎢ 1 ⎥ y b ↔ ⎢ 2 ⎥ . entonces a ⊥ b ⎜ θ = ⎟ . entonces: −15 15 cos θ = =− . 2 → → → ⎛ π⎞ Si a i b = 0. → → donde θ es el ángulo entre a y b y 0 ≤ θ ≤ π . aproximadamente. → ⎝ 2⎠ → → En la ilustración 3.2 Proyección ortogonal de un vector sobre una recta Proyección sobre un vector → → → Consideremos el vector libre b ≠ o . Dicho ángulo es muy próximo a 137º (0. cuyo 2 coseno es. → → Si a y b son no nulos.Capítulo 6: El producto escalar Ilustración 4 Ahora. → → → Un vector proyección de a sobre b es un vector c que satisface lo siguiente: 308 . 2 → → π Si a i b < 0. En efecto: → → → → a i b = a b cos θ .7319. 0. es fácil calcular el ángulo entre los dos vectores. y un vector libre arbitrario a .76 π radianes). entonces < θ < π ( θ es un ángulo del segundo cuadrante). entonces: → → aib cos θ = → → . 30 14 2 105 → → π El ángulo θ entre a y b es aquel ángulo entre radianes y π radianes. a b → → El signo de a i b adquiere así el siguiente significado: → → π Si a i b > 0. conocidas las componentes de dos vectores libres en una BOND. 21. entonces 0 < θ < ( θ es un ángulo del primer cuadrante). si θ es el ángulo entre a y b. ⎝ ⎠ → → Puede probarse que existe a lo sumo un vector proyección a sobre b. Luego ⎜ a − λ b ⎟ i b = 0 . ⎝ ⎠ ¿Cómo hallar el vector proyección de un vector sobre otro? (figura 21. dicho vector es único. Es fácil hacer una inter- ⎝ ⎠ pretación geométrica.1). ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ → En la figura 21. ⎜ a − c ⎟ es ortogonal a b. si c = pr ⎜ a b ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Vea la animación Proyección ortogonal de un vector sobre una recta en su multimedia de ⎛→ → ⎞ → Geometría vectorial y analítica. → ⎛ ⎯→ → → ⎞ → → ⎛→ →⎞ → Por la definición. Notación ⎛ ⎯→ → → ⎞ → → « pr ⎜ a b ⎟ » denota: vector proyección de a sobre b. c es colineal con b . y CA = a − c . Figura 21. ⎯→ → ⎯→ → → El vector CA es ortogonal a b. ⎝ ⎠ Geometría vectorial y analítica 309 . OC = c .1 ⎛ ⎞ ⎯→ → → → El vector OC ⎜ c ⎟ es el vector proyección de a sobre b.1 OA = a. en → → caso de existir un vector proyección de a sobre b. Es decir. ⎛→ →⎞ → 2. entonces c = λ b y ⎜ a − c ⎟ ⊥ b . OB = b. Módulo 21: Proyección ortogonal → → 1. λ = . → → → → ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → → → a ib aib En consecuencia.0y− . c y d son. ⎝ ⎠ 2 2 ⎢⎣1 ⎥⎦ → → → → En este ejemplo. ⎜ ⎟ ⎝b i b⎠ Si se tiene una BOND. o también. puede calcularse fácilmente el vector proyección. ⎛⎜ a i b ⎞⎟ = λ ⎛⎜ b i b ⎞⎟ . por ejemplo. c ↔ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ . ⎝ ⎠ 2 2 ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎛ ⎯→ → → ⎞ → pr ⎜ c b ⎟ = o . ⎡2⎤ ⎡0⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ 3⎤ → → → → a ↔ ⎢⎢ 2 ⎥⎥ . ⎡0⎤ ⎛ ⎯→ → → ⎞ 3→ 3⎢ ⎥ pr ⎜ a b ⎟ = b ↔ ⎢1 ⎥. para todo a y b de E . d ↔ ⎢⎢ −2 ⎥⎥ . ⎝ ⎠ ⎡0⎤ ⎛ ⎯→ → → ⎞ 1→ 1⎢ ⎥ pr ⎜ d b ⎟ = − b ↔ − ⎢1 ⎥. → 2 bib b → → → Por tanto. λ = → → . 3 1 . respectivamente. b ≠ o : 3 ⎛→ →⎞ ⎯→ ⎛→ →⎞ ⎜ a i b ⎟→ pr ⎜ a b ⎟ = → → b ⎝ ⎠ ⎜b i b⎟ ⎝ ⎠ ⎛→ →⎞ aib → → Al escalar ⎜ → → ⎟ se le llama componente de a en b. Sean. b ↔ ⎢⎢1 ⎥⎥ .Capítulo 6: El producto escalar Es decir. ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ Entonces. las componentes en b de a . 310 . 2 2 Se deja al lector la interpretación geométrica de estos resultados. entonces pr ⎜ λ a l ⎟ = λ pr ⎜ a l ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → → 3. Se llama proyección de → → a sobre la recta l al vector proyección de a sobre cualquier vector no nulo colineal con l. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Este teorema permite definir el concepto de proyección sobre una recta. Si a es ortogonal a l. Módulo 21: Proyección ortogonal Teorema 6 → → → Sean: l una recta en el espacio. pr ⎜ o l⎟ = o. b vectores en E3 . Si a1 . ⎝ ⎠ → ⎛ ⎯→ → ⎞ → 5. un vector cualquiera en el espacio. ⎝ ⎠ Geometría vectorial y analítica 311 . Demuestre lo siguiente: ⎯→ ⎛ → ⎞ ⎛ ⎯→ → ⎞ 1. entonces: ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ pr ⎜ a b ⎟ = pr ⎜ a c ⎟ ... a. ⎝ ⎠ → ⎛ ⎯→ → ⎞ ⎛→ →⎞→ 6. Proyección sobre una recta → Sea l una recta en el espacio y a un vector arbitrario de E3 . colineales con l. ⎝ ⎠ i =1 ⎝ ⎠ Esta es una generalización del numeral 2. a k son vectores libres arbitrarios. entonces pr ⎜ a l⎟ = ⎜a i e⎟ e. Notación ⎛ ⎯→ → ⎞ → « pr ⎜ a l ⎟ » denota: vector proyección de a sobre l. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎯→ ⎛→ ⎞ → 7.. Si a es colineal con l. a 2 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎯→ ⎛ → ⎞ ⎯→ ⎛ → ⎞ 2. . entonces pr ⎜ a l ⎟ = a .. + ak l ⎟ = ∑ pr ⎜ ai l ⎟ . Su prueba se deja al lector.. Si e es un vector unitario colineal con l (versor). Use inducción matemática. entonces pr ⎜ a l⎟ = o. Si λ es un real. entonces ⎯→ ⎛→ → → ⎞ ⎛ ⎯→ → ⎞ k pr ⎜ a1 + a2 + . pr ⎜ a + b l ⎟ = pr ⎜ a l ⎟ + pr ⎜ b l ⎟ . Si b y c son vectores no nulos. ⎝ ⎠ Ilustración 5 → → Sea: l una recta en el espacio y a . → ⎛ ⎯→ → ⎞ → 4. Vector ortogonal a un plano → → Un vector libre a es ortogonal a E 2 si a es ortogonal a cualquier vector libre de E2 . ⎛ ⎛→ →⎞ → ⎞ ⎜ ⎜ a + b ⎟i c ⎟→ ⎯→ ⎛ → → ⎞ pr ⎜ a + b l ⎟ = ⎜ ⎝ → →⎠ ⎟ c . ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎯→ ⎛ → ⎞ ⎯→ ⎛ → ⎞ pr ⎜ a + b l ⎟ = pr ⎜ a l ⎟ + pr ⎜ b l ⎟. Notas 1. Por la definición 21. Solución de 2 → Sea c un vector cualquiera. paralelo a la recta l. De la geometría euclidiana se sabe que una recta l es ortogonal a un plano si y sólo si l es perpendicular a cada recta del mismo. ⎝ ⎠ ⎜c i c⎟ ⎜ ⎟ (?) ⎝ ⎠ ⎝c i c⎠ En consecuencia. ⎝ ⎠ ⎜ cic ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Luego ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎯→ ⎛→ → ⎞ ⎜ a i c ⎟→ ⎜ b i c ⎟→ pr ⎜ a + b l ⎟ = → → c + → → c . la proyección sobre l de cualquier vector de E 3 es la proyección de dicho vector → sobre c . Recuérdese que E 2 es el espacio de los vectores libres paralelos a un plano. no nulo. entonces a es ortogonal a cualquier plano π que sea generado por un punto en el espacio y dos vectores de E 2 (no nulos y no paralelos). (?) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 21. Así. 312 . → → 2. Esto permite introducir la siguiente definición.Capítulo 6: El producto escalar Nota: un versor de l es un vector unitario paralelo a l. Si a es ortogonal a E 2 . puede proyectarse sobre un plano.3 Proyección ortogonal de un vector sobre un plano Se ha visto que un vector libre es susceptible de proyectarse sobre una recta. De manera similar.2. Un vector libre c es la proyección ortogonal de a sobre E 2 si: → 1.2 En la figura 21.2). ⎝ ⎠ → → Por la nota anterior. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Así. π1 π 2 . c ∈E2 . ⎯→ ⎛ → ⎞ ⎯→ ⎛ → ⎞ ⎯→ ⎛ → ⎞ pr ⎜ a π 1 ⎟ = pr ⎜ a π 2 ⎟ = pr ⎜ a E 2 ⎟ .2. ⎯→ → ⎯→ ⎛ ⎯→ → ⎞ ⎯⎯→ ⎯→ ⎛ → ⎞ ⎯→ ⎯→ OA = a. OC = OC ′ . ⎜ a − c ⎟ es ortogonal a E 2 . Módulo 21: Proyección ortogonal Proyección ortogonal de un vector sobre un plano → → → Sea a un vector libre. e2 es una base ortogonal (significa que e1 y e2 son no nulos y e1 ⊥ e2 ) → → Geometría vectorial y analítica 313 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Teorema 7 Vea la animación Proyección ortogonal de un vector sobre un plano en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. ⎛→ →⎞ 2. { } → → → → Si e1 . si c es proyección ortogonal de a sobre E . Figura 21. OC = pr ⎜ a π1 ⎟ . O′C ′ = pr ⎜ a π 2 ⎟ . entonces lo será 2 sobre cualquier plano «paralelo a E 2 » (figura 21. c ∈ E2 . → → → → ⎝ ⎠ ⎯→ → En la misma figura. por tanto. OE2 = e2 . C ) . 2 → ⎯→ ⎛ ⎯→ → → ⎞ → ⎯→ ⎯→ ⎛ → → ⎞ → ⎯→ → → Sean: c1 = OB = pr ⎜ a e1 ⎟ . e2 ⎞⎟ = π (O. y c1 y c2 son colineales respectivamente con e1 y → → → → e2 . c es un vector de E . E 2 está representado por el plano π ⎛⎜ O. B. ⎛ → → ⎞ → ⎡⎛ → → ⎞ → ⎤ → ⎜ a − c ⎟ i e1 = ⎢⎜ a − c1 ⎟ − c2 ⎥ i e1 (?) ⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎠ ⎦ 314 . entonces c1 y c2 están en E 2 y.3. Además. ⎛→ →⎞ ⎜a − c⎟ ⊥ E . 2 2. e1 ⊥ e2 . 2 Además.3 ⎯→ → ⎯→ → En la figura 21. c = OD = c1 + c2 . e1 .3) Figura 21. c2 = OC = pr ⎜ a e2 ⎟ . D. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Prueba (figura 21. OA = a · Este es el vector a proyectar sobre E .Capítulo 6: El producto escalar → para E 2 y a es un vector libre de E . ⎝ ⎠ → → → → → Como e1 y e2 están en E 2 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Debe probarse que: → 1. OE1 = e1 . entonces: 3 ⎯→ ⎛→ ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ pr ⎜ a E 2 ⎟ = pr ⎜ a e1 ⎟ + pr ⎜ a e2 ⎟ . → ⎛ ⎯→ → ⎞ c = pr ⎜ a E 2 ⎟ . → → → ⎝ ⎠ Por tanto. ⎛→ →⎞ → ⎜ a − c ⎟ i e1 = 0. ⎝ ⎠ ⎛ → →⎞ → Luego el vector ⎜ a − c ⎟ ⊥ e1 . ⎛→ →⎞ → ⎡⎛ → → ⎞ → ⎤ ⎡⎛ → → ⎞ → ⎤ ⎜ a − c ⎟ i d = α ⎢⎜ a − c ⎟ i e1 ⎥ + β ⎢⎜ a − c ⎟ i e2 ⎥ (?) ⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎠ ⎦ ⎣⎝ ⎠ ⎦ = 0 + 0 = 0. ⎝ ⎠ → Sea ahora d cualquier vector de E . (?) ⎝ ⎠ ⎛→ →⎞ → Similarmente. (distributiva) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → ⎛→ → ⎞ → Pero c2 ⊥ e1 (por qué?) y ⎜ a − c1 ⎟ ⊥ e1 (por qué?). 2 Geometría vectorial y analítica 315 . ⎛→ →⎞ Se ha probado así que ⎜ a − c ⎟ es ortogonal a cualquier vector de E . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Este teorema afirma que la proyección de un vector sobre un plano (o sobre E 2 ) es la suma de las proyecciones del vector sobre cada vector de una base ortogonal para E . ⎜ a − c ⎟ ⊥ e2 . En resu- 2 ⎝ ⎠ men: c ∈ E 2 y ⎛⎜ a − c ⎞⎟ ⊥ E2 . ⎝ ⎠ Por tanto. ⎝ ⎠ En consecuencia. ⎯→ ⎛→ ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ pr ⎜ a E 2 ⎟ = pr ⎜ a e1 ⎟ + pr ⎜ a e2 ⎟ . Módulo 21: Proyección ortogonal ⎛→ → ⎞ → ⎛ → →⎞ = ⎜ a − c1 ⎟ i e1 − ⎜ c2 i e1 ⎟ . Existen escalares (recuérdese que son úni- 2 → → → cos) α y β tales que d = α e1 + β e2 . e→ ↔ ⎢0 ⎥ . ⎯→ ⎛→ ⎞ 1→ 7→ pr ⎜ a E 2 ⎟ = e1 + e2 ⎝ ⎠ 2 5 ⎡ 2⎤ ⎡1 ⎤ ↔ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ + ⎢⎢0 ⎥⎥ . Sea E = gen e1 . Encuentre el vector pr ⎜ a E ⎟ . ⎡24⎤ ⎛ ⎯→ → ⎞ pr ⎜ a E2 ⎟ ↔ ⎢⎢ 5 ⎥⎥ . e2 . 1 ⎝ ⎠ 10 ⎢⎣23⎥⎦ ⎡24⎤ →1⎢ ⎥ ⎛→ →⎞ → → Sea c ↔ ⎢ 5 ⎥ . e2 es una base ortogonal para E . pr ⎜ a E ⎟ = pr ⎜ a e1 ⎟ + pr ⎜ a e2 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎢⎣ 2⎥⎦ Solución { } → → Es claro que e1 . 10 ⎝ ⎠ ⎢⎣23⎥⎦ 316 . 1 7 2 5 ⎢⎣−1 ⎥⎦ ⎢⎣ 2⎥⎦ Así. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛→ →⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎜ a i e1 ⎟ → 1 → pr ⎜ a e1 ⎟ = → → e1 = e1 . ya que los dos vectores son 2 → → no nulos y e1 i e2 = 0 . ⎝ ⎠ ⎜e i e ⎟ 2 ⎝ 1 1⎠ ⎛→ → ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎜ a i e2 ⎟ → 7 → pr ⎜ a e2 ⎟ = → → e2 = e2 .Capítulo 6: El producto escalar Ilustración 6 ⎡ 2⎤ ⎡1 ⎤ { } → → ↔ →⎢ 1 ⎥ . con 1 2 e ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ −1 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎡ 3⎤ → ⎛ ⎯→ → 2⎞ Sea a ↔ ⎢⎢−1⎥⎥ . ⎝ ⎠ ⎜e i e ⎟ 5 ⎝ 2 2⎠ Por tanto. ⎛ ⎯→ → 2⎞ ⎛ ⎯→ → → ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ Por el teorema 7. Compruebe que ⎜ a − c ⎟ es ortogonal tanto a e1 como a e2 . 2. Historia de la geometría analítica En este módulo se muestra cómo se pueden calcular.1 Distancia de un punto a una recta en el plano 22. el sabio filósofo y matemático francés (1596-1650) a quien se considera el creador de este ingenioso método científico por haberlo dado a conocer Objetivos del módulo públicamente. consta de tres pasos. Resolución de este nuevo problema mediante los recursos 3.1 Recta en el plano 22.1.4 Distancia entre dos rectas 22.1. ¿Cómo se construyen bases ortonormales con el uso del producto escalar? c. el producto escalar facilita la deducción de un método sistemático para la vez establecidos sus fundamentos con sus propios recursos. ¿Cómo se utiliza el producto escalar para deducir la ecuación cartesiana de un plano? b. comunicaba a su amigo Gilles 2.2 El plano en el espacio 22. trabajos reveladores de que ya poseía el referido método.2.2. Interpretación geométrica de la solución analítica obtenida. en uno de los tres apéndices que acompañaban a su famoso Discurso del método.3 El proceso de Gram-Schmidt Vea el módulo 22 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 317 . a saber: 1. geometría misma estudiada con el auxilio del análisis una Adicionalmente.2. antes que nadie. obtención de bases ortonormales: el proceso de Gram-Schmidt. Cierto es que un año 1. en carta fechada el 22 de septiembre de los vectores libres. con el uso del producto a. Con dicho concepto es posible estudiar la recta en el plano y el René Descartes plano en el espacio. Preguntas básicas El método de Descartes y Fermat. Presentar algunos modelos de aplicación del producto escalar a la geometría analítica: antes el inspirado y talentoso matemático de la misma ecuación de la recta en el plano y del plano en el espacio. Producto escalar y geometría analítica 22 Introducción Con el producto escalar se facilita la solución de diversos problemas de la geometría elemen- tal y la geometría analítica. de 1636. con el uso adecuado del producto La geometría analítica no es una nueva geometría. obra que apareció en Leyden en el año 1637.2 Aplicaciones del producto escalar al cálculo de distancias 22. Contenidos del módulo 22. distancias de un punto a una recta. y entre dos rectas. que constituye la esencia de la geometría analítica. 4. de un punto a un plano. Mostrar un proceso sistemático para la construcción de bases ortonormales en el espacio Personier de Roverbal.2. Transformación del problema geométrico considerado escalar? en un problema de análisis matemático. Así la concibió René Descartes. ¿Cómo se obtiene la ecuación cartesiana de una recta en el plano. sino la escalar. nacionalidad. Pierre de Fermat.3 Distancia de un punto a un plano 22. ¿Cómo se aplica el producto escalar en el cálculo de distancias? propios del referido análisis.2 Distancia de un punto a una recta en el espacio 22.1 Aplicaciones del producto escalar a lugares geométricos 22. y distancias. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Figura 22. entonces. desde la perspectiva del producto escalar. y ) / AP ⋅ n = 0 .1. entonces hay en π una única recta que pasa por A y es ortogonal a n . Nota: P 2 representa el conjunto de los puntos del plano. ⎝ ⎠ Es decir. 22. j . { } ⊥ ⎛ →⎞ ⎯→ → L ⎜ A.1 Aplicaciones del producto escalar a lugares geométricos Se examinarán ahora. entre ellos la recta y el plano. ⎣ 2⎦ ⎝ 0 ⎠ b y ⎝ y⎠ para X en la recta: ⎡ x − x0 ⎤ ⎡b1 ⎤ ⎢ ⎥ i ⎢ ⎥ = 0. → ⊥ ⎛ ⎞ n ⎟ la recta descrita (figura 22. n ⎟ = X ∈ P2 : AX ⋅ n = 0 ⎝ ⎠ { → = P( x. Si n es un vector no nulo de → dicho plano.1). A ⎜ ⎟ y X ⎜ ⎟ . Escuche el audio René Descartes y la geometría analítica en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.Capítulo 6: El producto escalar 22. → Denotemos por L ⎜ A. entonces: ⊥ ⎛ →⎞ ⎯→ → X ∈ L ⎜ A. A ⎞⎟ .1 Si X es un punto del plano. o también por L ⎛⎜ R. → → → { } ⎡b ⎤ ⎛ x0 ⎞ ⎛x⎞ Si se tiene una BOND para E 2 : i . n ↔ ⎢ 1 ⎥ . algunos lugares geométricos. n ⎟ si sólo si AX ⊥ n . } → Siendo AX ⋅ n = 0 la ecuación vectorial de esta recta. ⎣ y − y0 ⎦ ⎣b2 ⎦ 318 .1 Recta en el plano → Consideremos un plano π y en él un punto A conocido. n ⎟ . De esta última igualdad puede fácilmente obtenerse la ecuación cartesiana de la recta y expresarla en la forma: ax + by + c = 0 . La ecuación cartesiana es. sean A ⎜ ⎟ y n ↔ ⎢ ⎥ . ⎝ 2⎠ ⎣1 ⎦ ⎛x⎞ → Si X ⎜ ⎟ . en consecuencia (figura 22. ( x − x0 )b1 + ( y − y0 )b2 = 0 . Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica Es decir.2 Geometría vectorial y analítica 319 . ⎣ ⎦ ⎣1 ⎦ Luego 3( x + 1) + ( y − 2) = 0.2): 3x + y + 1 = 0. si y sólo si: ⎝ ⎠ ⎡x +1 ⎤ ⎡ 3⎤ ⎢ y − 2⎥ i ⎢ ⎥ = 0. Ilustración 7 ⎛ −1 ⎞ → ⎡3⎤ En el plano cartesiano. entonces X pertenece a la recta que pasa por A y es ortogonal a n. ⎝ ⎠ y ⊥ ⎛ →⎞ L ⎜ A. Figura 22. ⎣ ⎦ Hay tres casos posibles: Caso 1. C La ecuación se reduce a y = − . ⎣ ⎦ Figura 22. ⎣ ⎦ Figura 22. A = 0 y B ≠ 0.3 Caso 2. Se trata de una recta horizontal (figura 22. B ⎡O ⎤ Dicha recta es ortogonal al vector ⎢ B ⎥ . siempre que A y B no sean ambos nulos.3). por A ⎡ A⎤ tanto. ortogonal al vector ⎢O ⎥ (figura 22.4 320 . C La ecuación se transforma en x = − .4). A ≠ 0 y B = 0 .Capítulo 6: El producto escalar Puede demostrarse que en el plano Ax + By + C = 0 es la ecuación cartesiana de ⎡ A⎤ una recta ortogonal al vector ⎢ B ⎥ . Ahora se tiene una recta vertical y. Figura 22. n ⊥ v . obviamente. ⎣− A⎦ → Este vector es colineal con w (¿por qué?) y. ⎡ C⎤ → ⎢ ⎥ w↔⎢ A⎥ ⎢− C ⎥ . en efecto. ⎣B⎦ → → n i v = AB − AB = 0 . por tanto. → ⎡ B⎤ Sea ahora v ↔ ⎢ ⎥ . ⎣⎢ B ⎦⎥ → El vector w es. → → ⎡ A⎤ Es decir. es también director (parale- lo) de la recta que se analiza. ⎣ ⎦ ⎡ A⎤ Debe anotarse que ⎢ B ⎥ no es el único vector normal a la recta. ⎛ C⎞ ⎛ 0 ⎞ − Los puntos P ⎜ A ⎟ y Q ⎜ C ⎟ pertenecen a la recta Ax + By + C = 0. director de la recta.5). → ⎡ A⎤ Definamos n ↔ ⎢ ⎥ . ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ B⎠ → ⎯→ ⎯→ Sea w = OQ − OP . A ≠ 0 y B ≠ 0. cualquier ⎣ ⎦ múltiplo escalar no nulo de dicho vector es también normal a la recta.5 Geometría vectorial y analítica 321 . Así. Luego el vector ⎢ B ⎥ es ortogonal a la recta (figura 22. Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica Caso 3. ⎣ ⎦ ⎡ A⎤ Del vector ⎢ B ⎥ se dice también que es normal a la recta. Figura 22. ⎢⎣ z − z0 ⎥⎦ ⎢⎣ a3 ⎥⎦ Se obtiene así a1 x + a2 y + a3 z = a1 x0 + a2 y0 + a3 z0 . n ↔ ⎢ a2 ⎥ y X ⎜ y ⎟ . { } ⊥ π ⎛⎜ A. entonces X está en el plano si ⎜z ⎟ ⎢⎣ a3 ⎥⎦ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝z ⎠ ⎡ x − x0 ⎤ ⎡ a1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ y − y0 ⎥ i ⎢⎢ a2 ⎥⎥ = 0. y. n ⎞⎟ = X ∈ P3 : AX ⋅ n = 0 → ⎯→ → ⎝ ⎠ { = P ( x. A ⎞⎟ .Capítulo 6: El producto escalar 22.2 El plano en el espacio → Un punto A en el espacio y un vector no nulo n de E 3 determinan un plano que → pasa por A y es ortogonal a n.6 ⊥ ⎛ →⎞ π ⎛⎜ n.6). De este vector se dice que es normal al plano (figura 22. ⎛ x0 ⎞ ⎡ a1 ⎤ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ → ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ Si A ⎜ y0 ⎟ . z ) / AP ⋅ R = 0 . o también por ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎯→ Un punto X del espacio está en dicho plano si y sólo si el vector AX es ortogonal → al vector n. → Denotemos por π ⎜ A. 322 . n ⎟ al plano descrito. Nota: P3 es el conjunto de los puntos del espacio.1.} siendo AX i n = 0 la ecuación vectorial de este plano. Luego. los coeficientes de x. 22. n ⎟ la recta en el plano determinada por el ⎝ ⎠ → punto A y el vector n normal a ella (figura 22. como en la recta. ⊥ Si se proyecta el vector AP sobre la recta L ⎛⎜ A. Figura 22. ⎣⎢ 2 ⎦⎥ Compruébelo.7 Geometría vectorial y analítica 323 . ⊥ ⎛ →⎞ Esta es la ecuación cartesiana del plano π ⎜ A. 22. ⎝ ⎠ Nótese que.7). Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica Si se hace d = a1 x0 + a2 y0 + a3 z0 . ⎝ ⎠ Vea la animación Distancia de un punto a una recta en el plano en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. ⎡ 1⎤ ⎢ −3 ⎥ entonces el vector ⎢ ⎥ o cualquier múltiplo de él es ortogonal al plano π. si un plano π tiene ecuación cartesiana: x − 3y + 2z = 6 . z en la ecuación cartesiana son.1 Distancia de un punto a una recta en el plano ⊥ ⎛ →⎞ Sean P un punto en el plano y L ⎜ A. Por lo anterior.2 Aplicaciones del producto escalar al cálculo de distancias El producto escalar y el concepto de proyección ortogonal son de gran utilidad para el cálculo de distancias. y. n ⎞⎟ . se obtiene: ⎯→ → ⎝ ⎠ ⎯→ ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎞ AP1 = pr ⎜ AP L ⎟. componentes de un vector normal al plano. se llega a: a1 x + a2 y + a3 z = d . en su orden. n ⎟ .2. ⎛ −1⎞ Si en la ecuación se hace x = −1 . Solución Se requiere un punto A en la recta. PP (¿por qué?) ⎝ ⎠ ⎯→ Pero claramente la distancia de P a la recta L es la longitud del vector PP 1 . En consecuencia: ⎯→ ⎛ ⎯→ ⎯→ → ⎞ 1 = pr ⎜ AP n ⎟ . ⊥ Por lo anterior. L ) = pr ⎜ AP n ⎟ . ⎣ −3 ⎦ ⎯→ ⎡6⎤ AP ↔ ⎢ ⎥ . se obtiene y = 1. ⎝ 4 + 9 ⎠ 13 13 ⎣ ⎦ 324 . ⎣5 ⎦ ⎛ ⎯→ → ⎞ ⎯→ ⎛ ⎯→ → ⎞ ⎜ AP i n ⎟ → pr ⎜ AP n ⎟ = → → n ⎝ ⎠ ⎜ nin ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 12 − 15 ⎞ → 3→ 3 ⎡ 2⎤ =⎜ ⎟ n = − n ↔ − ⎢ −3 ⎥ . el vector n ↔ ⎢ ⎥ es ortogonal a la recta. Luego el punto A ⎜ ⎟ está en ⎝ 1⎠ → ⎡ 2⎤ la recta dada.Capítulo 6: El producto escalar ⎯→ → Esto significa que el vector PP 1 es ortogonal a la recta L y. por tanto. ⎝ ⎠ Si se tiene una BOND. n ⎞⎟ es: → ⎝ ⎠ ⎛ ⎯→ ⎯→ → ⎞ D ( P. Además. puede calcularse fácilmente la distancia. Ilustración 8 ⎛5⎞ Calculemos la distancia del punto P ⎜ ⎟ a la recta de ecuación cartesiana ⎝6⎠ 2 x − 3 y = −5 . la distancia del punto P a la recta L ⎛⎜ A. colineal con n. ⎪ y = −2 − λ ⎬ λ ∈ z = 1 + λ ⎪⎭ Geometría vectorial y analítica 325 . ⎝ ⎠ Ilustración 9 La recta L tiene ecuaciones paramétricas: Vea la animación Distancia de un punto a una x = 3+ λ ⎫ recta en el espacio en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Pero. ⎯→ ⎯→ ⎛ ⎯→ ⎯→ → ⎞ 1 = AP − pr ⎜ AP v ⎟ . en el espacio. v ⎟ . L ) = 4+9 = . PP ⎝ ⎠ Luego la distancia de P a la recta es: ⎯→ ⎛ ⎯→ ⎯→ → ⎞ D ( P.2. ⎝ ⎠ ⎯→ Ahora bien. Figura 22. un punto A y un vector no nulo v determinan una recta ⎛ →⎞ → a la que se denota L ⎜ A.8 ⎯→ Sea P un punto del espacio. Dicha recta pasa por A y tiene la dirección de v ⎝ ⎠ (figura 22. L ) = AP − pr ⎜ AP v ⎟ . Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica La distancia de P a la recta es: 3 3 13 D ( P. Es decir.2 Distancia de un punto a una recta en el espacio → Se sabe que. 13 13 22. Si se proyecta el vector AP sobre la recta se obtiene: ⎯→ ⎛ ⎯→ ⎯→ → ⎞ AP1 = pr ⎜ AP v ⎟ . ⎯→ ⎯→ ⎯→ 1 = AP− AP1 PP .8). la distancia de P a la recta es la longitud del vector P1 P . P ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ Solución ⎛ 3⎞ ⎡ 1⎤ ⎜ ⎟ → El punto A ⎜ −2 ⎟ pertenece a la recta y ésta es paralela al vector v ↔ ⎢⎢ −1⎥⎥ . Figura 22.2. 3 22.9 326 .Capítulo 6: El producto escalar ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ Calcule la distancia del punto ⎜ −2 ⎟ a la recta L.9). ⎜ 1⎟ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎡ −1 ⎤ ⎯→ AP ↔ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ . ⎝ ⎠ ⎜ v iv ⎟ 3 ⎝ ⎠ ⎢⎣ 1 ⎦⎥ ⎡ −1 ⎤ ⎡ 1⎤ ⎡−2⎤ ⎯→ ⎯→ ⎛ ⎯→ → ⎞ ⎢ ⎥ 1⎢ ⎥ 1⎢ ⎥ AP − pr ⎜ AP v ⎟ ↔ ⎢ 0 ⎥ + ⎢ −1⎥ = ⎢−1⎥ . ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎛ ⎯→ → ⎞ ⎡ 1⎤ ⎯→ ⎛ ⎯→ → ⎞ ⎜ AP i v ⎟ → 1⎢ ⎥ pr ⎜ AP v ⎟ = → → v ↔ − ⎢ −1⎥ . n ⎟ que pasa por A y es normal al vector n . ⎝ ⎠ 3 3 ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ 1 Luego D ( P.3 Distancia de un punto a un plano ⊥ ⎛ →⎞ → Consideremos un plano π ⎜ A. L) = 6. y un ⎝ ⎠ punto P del espacio (figura 22. Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica ⎯→ Al proyectar el vector AP sobre el plano. A ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎡ −6 ⎤ Vea la animación Distancia de un punto a un ⎯→ AP ↔ ⎢⎢ −4 ⎥⎥ . el vector AP − AP1 . z = 0 . se obtiene: ⎯→ ⎛ ⎯→ ⎞ ⎯→ pr ⎜ AP π ⎟ = AP1 . Solución ⎡ 1⎤ → ⎢ ⎥ El plano π es normal al vector n ↔ ⎢ −2 ⎥ . plano en su multi-media de Geometría vectorial y analítica. es decir. el vector P1 P es la proyección ortogonal de ⎯→ → AP sobre n. puede escogerse. x = 7 . Sea y = 1 . ⎝ ⎠ ⎯→ ⎯→ ⎯→ Por tanto. así. ⎛7⎞ ⎜ ⎟ El punto ⎜1 ⎟ está en el plano π. Como z toma valores arbitrarios. ⎢⎣ 0 ⎥⎦ Se requiere un punto A del plano. ⎯→ Claramente. ⎝ ⎠ Ilustración 10 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Calcule la distancia del punto P ⎜ −3 ⎟ al plano π de ecuación: ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ x − 2 y = 5. por ejem- plo. π ) = pr ⎜ AP n ⎟ . la distancia de P al plano π es la longitud de P1 P . Demuéstrelo. ⎢⎣ 1 ⎥⎦ Geometría vectorial y analítica 327 . En consecuencia: ⎛ ⎯→ ⎯→ → ⎞ D ( P. 10). la distancia entre L1 y L2 es la menor distancia entre P y Q» (figura 22. Si L1 y L2 coinciden (son la misma recta). 2. Caso 1: L1 y L2 son coplanarias. así: «Si P representa los puntos de L1 y Q los de L2. Q ∈ L2 ⎬ .11). Existen dos posibilidades: 1.10 ⎧ ⎯→ ⎫ En símbolos: D ( L1 . L2 ) = 0 (figura 22. En este caso es claro que D( L1 . ⎝ ⎠ ⎜ nin ⎟ 5 ⎝ ⎠ 2→ 2 Luego D( P. Figura 22. L2 ) = min ⎨ PQ : P ∈ L1 . Las dos rectas no son coplanarias. la distancia entre las rectas L1 y L2 es la longitud del más corto de los segmentos que unen un punto de L1 con uno de L2.Capítulo 6: El producto escalar ⎛ ⎯→ → ⎞ → ⎯→ ⎛ ⎯→ → ⎞ AP i n 2→ pr ⎜ AP n ⎟ = ⎜ → → ⎟ n = n . π ) = n = 5.4 Distancia entre dos rectas Sean L1 y L2 dos rectas cualesquiera. 328 . es evidente que la distancia es cero. Se define la distancia entre dos rectas. 5 5 22. Hay dos casos posibles: L1 y L2 se cortan (tiene un punto en común). ⎩ ⎭ En resumen. Las dos rectas son coplanarias. Se analizará únicamente el caso en que las dos rectas son diferentes (tienen a lo sumo un punto en común).2. ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎛ ⎯→ ⎯→ → ⎞ Pero P1 P = QP − QP1 . v ⎟ y L2 = L ⎛⎜ Q. P «cae» en P1). Geometría vectorial y analítica 329 . ⎝ ⎠ La distancia entre las dos rectas es. entonces: ⎛ →⎞ L1 = L ⎜ P. ⎝ ⎠ Vea la animación Distancia entre dos rectas en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Si P es un punto de L1 y Q uno de L2. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Proyectemos P sobre la recta L1 (así. QP1 = pr ⎜ QP v ⎟ . ⎯→ La longitud del vector PP 1 es la distancia entre las dos rectas (¿por qué?). ⎯→ ⎯→ ⎛ ⎯→ ⎯→ → ⎞ P1 P = QP − pr ⎜ QP v ⎟ .12). ⎞ → v ⎟. L2 ) = QP − pr ⎜ QP v ⎟ .12 → Existe un vector no nulo v que le da dirección a las dos rectas. Además. Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica Figura 22. en consecuencia: ⎯→ ⎛ ⎯→ ⎯→ → ⎞ D ( L1 .11 L1 y L2 son paralelas (figura 22. ⎝ ⎠ Por tanto. Figura 22. 330 . que dice: «A dos rectas cualesquiera en el espacio se les puede trazar un segmento perpendi- cular común. ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ Solución Es evidente que las rectas son paralelas. que pasa por ⎜1⎟ . En este caso se dice que las dos rectas se cruzan.Capítulo 6: El producto escalar Ilustración 11 ⎡ 1⎤ ⎛ 1⎞ → ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ El vector v ↔ −1 es director de la recta L1 . ⎡ 0⎤ ⎯→ El vector AB une un punto de L1º con uno de L2. Calcule la distancia entre las rectas. Caso 2: L1 y L2 son no coplanarias. ⎯→ ⎢⎣−3⎥⎦ ⎛ ⎯→ → ⎞ ⎯→ ⎛ ⎯→ → ⎞ ⎜ AB i v ⎟ → → pr ⎜ AB v ⎟ = → → v = − v . Servirá de apoyo un teorema de la geometría en el espacio. ⎝ ⎠ ⎜ viv ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ 0⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎯→ ⎛ ⎯→ ⎯→ → ⎞ AB − pr ⎜ AP v ⎟ ↔ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ + ⎢⎢ −1 ⎥⎥ ⎝ ⎠ ⎢⎣ −3 ⎥⎦ ⎢⎣ 2⎥⎦ ⎡ 1⎤ ↔ ⎢⎢−1⎥⎥ . AB ↔ ⎢⎢ 0⎥⎥. que pasa A ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ por B ⎜ 1 ⎟ . L2 ) = 3. ⎢⎣−1⎥⎦ Luego D( L1 . y la longitud de este segmento es la distancia más corta entre puntos de las dos rectas». y L2 . Figura 22. v ⎟ y L2 ⎜ B. respectivamente. Sea P su centro.13) un cilindro circular recto cuyo eje es la recta L1 y cuyo radio es tan pequeño que la recta L2 no tiene contacto con él.14). Consideremos en la superficie la circunferencia que pasa por Q. aumentando el radio del cilindro y se para justamente en el instante en el que la recta L2 toque (sea tangente a) la superficie del cilindro en un punto Q. Sean además: Geometría vectorial y analítica 331 . de modo ⎯→ que el vector PQ sea perpendicular a ambas rectas. PQ es la distancia buscada entre L1 y L2. pasan por A y por B ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → y tienen como directores los vectores v y w (figura 22. Imaginemos (figura 22. L2 ) = PQ . poco a poco. w ⎟ dos rectas que. ⎯→ Por el teorema mencionado. Q ∈ L2 y PQ es ortogonal a L1 y L2 (por qué?). Es claro que: ⎯→ P ∈ L1 . La longitud de este vector es la distancia entre L1 y L2: ⎯→ D( L1 . Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica Para utilizar este teorema debe buscarse un punto P en L1 y otro Q en L2. Se va.13 Ilustración 12 ⎛ → ⎞ ⎛ →⎞ Sean L1 ⎜ A. 14 332 . B ⎜ 2 ⎟ . entonces ⎜z ⎟ ⎝ 2⎠ ⎡ x2 + 1 ⎤ ⎡ −1⎤ ⎢ y − 2⎥ = β ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ . para algún β ∈ . ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ Si P ⎜ y1 ⎟ . v ↔ ⎢⎢1 ⎥⎥ y w ↔ ⎢ 1⎥ . Además. (1) ⎢⎣ z1 − 2 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎛ x2 ⎞ ⎜ ⎟ Si Q ⎜ y2 ⎟ . ⎢ ⎥ ⎜ 2⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎢1 ⎦⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥ Calcule la distancia entre las dos rectas. para algún λ ∈ . entonces ⎜z ⎟ ⎝ 1⎠ ⎡ x1 − 1 ⎤ ⎡2⎤ ⎢ y + 1 ⎥ = λ ⎢1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ . Q está en L2 si ⎯→ → BQ = β w para algún β real. Solución ⎯→ → P es un punto de L1 si AP = λ v para algún λ real.Capítulo 6: El producto escalar ⎛ 1⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎡ 2⎤ ⎡ −1⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → → A ⎜ −1 ⎟ . (2) ⎢⎣ z2 + 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ Figura 22. ⎜ y2 ⎟ = ⎜ 2 + β ⎟ . 2 2 La solución de este sistema es λ = − y β =− . Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica De (1) y (2) se obtiene: ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 + 2λ ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ − 1 − β ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y1 ⎟ = ⎜ −1 + λ ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ −1+ β ⎟ ⎝ z1 ⎠ ⎝ 2 + λ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ Por tanto. (3) ⎢⎣ −3 − λ + β ⎥⎦ ⎯→ → → El vector PQ debe ser ortogonal a v y a w . 2(−2 − 2λ − β ) + 1(3 − λ + β ) + 1(−3 − λ + β ) = 0. es decir. Entonces. L2 ) = PQ = 3 2. la distancia entre las dos rectas es ⎯→ D ( L1 . ⎢ ⎥ ⎢⎣ −3 ⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎯→ → → Nótese que PQ es ortogonal tanto a v como a w. ⎯→ → ⎯→ → Luego PQ i v = 0 y PQ i w = 0 . λ y β deben satisfacer simultáneamente las ecuaciones: −6λ − 4 = 0 y 3β + 2 = 0. (4) 3 3 Sustituyendo (4) en (3): ⎡ 0⎤ ⎡ 0⎤ ⎯→ PQ ↔ ⎢ 3 ⎥ ↔ 3 ⎢⎢ 1 ⎥⎥ . a las dos rectas. ⎡ −2 − 2λ − β ⎤ ⎯→ PQ ↔ ⎢⎢ 3 − λ + β ⎥⎥ . Geometría vectorial y analítica 333 . y −(−2 − 2λ − β ) + 1(3 − λ + β ) + 1(−3 − λ + β ) = 0. Así. en efecto. → → ⎛ ⎯→ → → ⎞ e2 = a2 − pr ⎜ a2 e1 ⎟ . Teorema 8: PGS para E 2 { } → → Sea a1 . Para ellos siempre es posible construir bases ortonormales a partir de una base cualquiera. → 1. entonces e1 . Se analizará aquí para el caso de los vectores libres. a2 es LI. q2 es una base ortonormal para E2 . Use el PGS para construir una BON para E2 . 1. Ilustración 13 → ⎡ 2⎤ → ⎡ −1⎤ Sean a1 ↔ ⎢ ⎥ y a2 ↔ ⎢ ⎥ .Capítulo 6: El producto escalar 22. a1 . La técnica utilizada se denomina proceso de Gram-Schmidt (PGS). a2 es una base para E2 . a2 una base para E2 . Construyamos primero una base ortogonal: → → e1 = a1 . ⎣ −1 ⎦ ⎣ 3⎦ Solución { } → → { } → Es claro que a1 . 2. Si q1 = → e1 1 → → → e1 y q2 = 1 → e2 → { } → → e2 . entonces q1 . ⎝ ⎠ ⎛ → →⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎜ a2 i e1 ⎟ → → pr ⎜ a2 e1 ⎟ = → → e1 = − e1 . e2 es una base ortogo- ⎝ ⎠ nal para E2 . → → → → ⎛ ⎯→ → → ⎞ { } → → Si e1 = a1 y e2 = a2 − pr ⎜ a2 e1 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎜e ie ⎟ ⎝ 1 1⎠ 334 . Para ello enunciaremos sin demostración dos teoremas.3 El proceso de Gram-Schmidt Los espacios vectoriales que tienen definido un producto interno son llamados espacios euclídeos. e2 = 5. Si e1 = a1 . Teorema 9: PGS para E 3 { → → → } Sea a1 . Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica Así. e2 es una base ortogonal para E2 . Nótese que e1 i e2 = 0. Normalicemos a continuación los vectores e1 y e2 . → → → e2 = a2 + e1 ⎡−1⎤ ⎡ 2⎤ ↔⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎣ 3⎦ ⎣−1⎦ ⎡ 1⎤ ↔⎢ 2⎥⎦ . y ⎝ ⎠ → → ⎛ ⎯→ → → ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ e3 = a3 − pr ⎜ a3 e1 ⎟ − pr ⎜ a3 e2 ⎟ . ⎣ { } → → → → Por tanto. q2 es una BON para E2 . → → 1. → → ⎛ ⎯→ → → ⎞ e2 = a2 − pr ⎜ a2 e1 ⎟ . a2 . → → 2. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Geometría vectorial y analítica 335 . 5 5 Por tanto. → 1 ⎡ 2⎤ → 1 ⎡1 ⎤ q1 ↔ ⎢−1⎥ y q2 ↔ ⎢ ⎥. q1 . e1 . → → e1 = 5. a3 una base cualquiera para E3 . → 1 → → 1 → q1 = e1 y q2 = e2 . 5⎣ ⎦ 5 ⎣2⎦ { }→ → En consecuencia. Luego. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 2⎥⎦ 1. Esto es. → → → } → → → → Sean x. Solución 1. a3 es una base para E3 . a2 . a3 es LI. → → → Esto significa que la única combinación lineal de a1 . y. q2 . (2) − x + y + 2 z = 0. e1 e2 e3 entonces: { → → → } q1 . { → → → } Pruebe que a1 . { Debe probarse que a1 . q3 es una BON para E3 . e2 . e3 es una base ortogonal para E3 . a2 . z escalares tales que x a1 + y a2 + z a3 = o . → 1 → → 1 → → 1 → 2.Capítulo 6: El producto escalar entonces { → → → } e1 . es la trivial. a3 ↔ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ . a3 es LI. a2 . Use el PGS para construir una BON para E3 . (1) De (1) se obtiene el sistema lineal: x + 2 y − z = 0. a1 . a2 ↔ ⎢ −1 ⎥ . 2. q2 = → e2 . { → → → } 336 . x − y + z = 0. Resolviendo el sistema (2) se obtiene x = y = z = 0. q3 = → e3 . Si q1 = → e1 . a2 y a3 que produce el vector cero. Ilustración 14 Sean: ⎡ 1⎤ ⎡ 2⎤ ⎡ −1 ⎤ → → → a1 ↔ ⎢ 1 ⎥ . e2 . a2 . ⎝ ⎠ ⎜e ie ⎟ 3 ⎝ 1 1⎠ ⎛→ →⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎜ a3 i e2 ⎟ → 1→ pr ⎜ a3 e2 ⎟ = → → e2 = − e2 . e2 = 6. Además. → → ⎛ ⎯→ → → ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ e3 = a3 − pr ⎜ a3 e1 ⎟ − pr ⎜ a3 e2 ⎟ . e3 = 2. 2 ⎢⎣1 ⎥⎦ { → → → } Así. ⎝ ⎠ ⎛ → →⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎜ a2 i e1 ⎟ → → pr ⎜ a2 e1 ⎟ = → → e1 = o . → → → 3 e1 = 3. Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica { → → → } Luego a1 . 2 Geometría vectorial y analítica 337 . a3 es una base para E3 . → → ⎛ ⎯→ → → ⎞ e2 = a2 − pr ⎜ a2 e1 ⎟ . 3 6 ⎣⎢ 2 ⎦⎥ ⎣⎢ −1 ⎦⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥ Luego ⎡0⎤ → 3⎢ ⎥ e3 ↔ ⎢1 ⎥ . Compruébelo. 2. e1 . ⎝ ⎠ ⎜e i e ⎟ 6 ⎝ 2 2⎠ → → 2→ 1→ e3 = a3 + e1 + e2 3 6 ⎡ −1 ⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ 2⎤ ⎢ ⎥ 2⎢ ⎥ 1⎢ ⎥ ↔ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1⎥ + ⎢ −1 ⎥ . e3 es una base ortogonal para E3 . ⎝ ⎠ ⎜e ie ⎟ ⎝ 1 1⎠ Luego → → e2 = a2 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ → →⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎜ a3 i e1 ⎟ → 2→ pr ⎜ a3 e1 ⎟ = → → e1 = − e1 . Usaremos el PGS: → → e1 = a1 . q2 . q3 . q3 = → e3 . q3 ↔ 1 . 3⎢ ⎥ 6⎢ ⎥ 2⎢ ⎥ ⎣⎢ −1⎦⎥ ⎢⎣ 1 ⎦⎥ ⎣⎢1 ⎦⎥ { Se ha construido así una base ortonormal para E 3 : q1 . q2 ↔ −1 . q2 = → e2 . e1 e2 e3 Luego ⎡ 1⎤ ⎡ 2⎤ ⎡0⎤ → 1 ⎢ ⎥ → 1 ⎢ ⎥ → 1 ⎢ ⎥ q1 ↔ 1 . → → → } 338 .Capítulo 6: El producto escalar Sean: → 1 → → 1 → → 1 → q1 = → e1 . Pruebe que para cualquier triángulo ABC: ⎯→ ⎯→ ⎯→ AB = AC cos A + BC cos B. Pruebe que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. C y D son los vértices de un tetraedro regular (figura 1). Demuestre que si a . Demuestre que: → → 1 ⎛ → →2 → → 2⎞ aib= ⎜⎜ a + b − a − b ⎟⎟ . d son vectores libres. 7. 6. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → → 2. B. Pruebe que: 1 → → θ e1 − e2 = sen .Ejercicios propuestos Los ejercicios que a continuación se proponen están diseñados para ser resueltos con el uso del producto escalar. entonces ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ → → → → → → → → ⎜a+b⎟ i ⎜ c +d ⎟ = a i c + a i d + b i c + b i d. c vectores libres. Figura 1 Geometría vectorial y analítica 347 . Demuestre que en todo triángulo rectángulo el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices. 9. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5. 2 2 Sugerencia: recuerde que → 2 → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ a−b = ⎜a−b⎟ i ⎜ a − b ⎟. Pruebe que en todo paralelogramo la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados. b vectores libres. 8. A. → → → → 1. Sean a . Pruebe o refute que: → → → → → → a i b = a ic ⇒ b =c. Sean a . b . Sea θ el ángulo entre dos vectores unitarios e1 y e2 . → → 3. 4 ⎝ ⎠ → → 4. c . b . a. n ↔ ⎢⎢ 4 ⎥⎥ . Desde el vértice P de un cubo (figura 2) se trazan una diagonal del cubo ( PB) y una diagonal ( PA) de una de las caras. ⎯→ ⎯→ b. n ) el plano que pasa por A y es normal a n. Sea además P un punto de coordenadas conocidas. Calcule el ángulo entre dos caras. Calcule el ángulo entre estas dos diagonales. como AC y BD ) es ortogonal a estos lados. A ⎜ 2⎟. a. 10. c. Figura 2 → → 11. Pruebe que AB i CD = 0. Demuestre que la línea que une los puntos medios de dos lados opuestos (no concurrentes. ⎛ 2⎞ ⎛1⎞ ⎡ −5⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → b. Sea π ( A. Aplique para P ⎜ 2 ⎟ . Diseñe un procedimiento vectorial para encontrar las coordenadas del punto P ' simétrico de P con respecto al plano π (figura 3). ⎜ 3⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎢ 3 ⎦⎥ Figura 3 348 . Escoja un punto T de S y encuentre la ecuación ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ cartesiana del plano tangente a S en T. π 2 : x + y + 4 z = 7. π 2 : 2 x − 3 y + 6 z − 1 = 0. Diseñe un procedimiento general. Sean A ⎜ 1 ⎟ y B ⎜ 0 ⎟ . a. Los planos π 1 y π 2 tienen ecuaciones cartesianas: π 1 : − x + 2 y + 2 z = 0. Sean ⎢ ⎥ ⎢⎣ 7 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ → → → e . 14. Encuentre la ecuación ⎜1⎟ ⎜10 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ cartesiana del plano que pasa por A y B y es tangente a la superficie esférica S. 16. si los planos son: π 1 : 2 x − y + z + 2 = 0. a. Pruebe que A y B están fuera de la esfera definida en b. Sea S la superficie esférica de centro C ⎜ −1⎟ y radio 5. Descomponga a en la suma de dos vectores libres x . y tales que x sea paralelo a → → → → 12. y y ortogonal a e . Considere una esfera de centro C y radio ρ . ⎛6⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c. Encuentre el ángulo entre π1 y π 2 . 13. Ídem. b. Encuentre el valor de λ que hace que los dos planos sean ortogonales. 15. ⎡ −1⎤ ⎡ 1⎤ → → a ↔ ⎢ 5 ⎥. ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Encuentre la ecuación cartesiana del plano π que pasa por A ⎜ −1 ⎟ y B ⎜ 2 ⎟ y que es: ⎜ −2 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Geometría vectorial y analítica 349 . { ⎯→ Pruebe que π = X ∈ P3 : CX i CT = ρ 2 . Sean T un punto de la superficie y π el plano tangente a la superficie en T. π 2 : x + 3 y + z + 4 = 0. e ↔ ⎢⎢ −2 ⎥⎥ . ⎯→ } ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ b. Los planos π 1 y π 2 tienen las ecuaciones cartesianas siguientes: π 1 : 3x − 4 y + λ z = 0. El plano π 1 tiene la ecuación 3x + y − 2 z = 12. D ⎜ 0⎟. D ⎜ 6 ⎟. Calcule la distancia entre las rectas L (A. b. Calcule el área del trapecio ABCD. Diseñe un procedimiento para calcular la distancia entre dos planos paralelos π 1 y π 2 . sabiendo que: ⎛1⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎜ 2⎟ . B ⎜ 2 ⎟ . Calcule la distancia entre los planos π 1 y π 2 . simétrico de P con respecto a la recta L. ⎛2⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 18. Las coordenadas del punto P ''. P ⎜ −5 ⎟ ⎜ −9 ⎟ ⎜ 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Encuentre: a. D). B) con A ⎜ 2 ⎟ y B ⎜ 5 ⎟ . ⎜ 3⎟ ⎜ 2⎟ ⎜7⎟ ⎜ 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 21. C ⎜ 1 ⎟ . 350 . ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 22. Ortogonal a π 1 . a. proyección ortogonal de P sobre L. La distancia de P a L. y el punto ⎜ 1 ⎟ . sabiendo que: ⎛ 3⎞ ⎛ 11⎞ ⎛ 8⎞ ⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎜ 2 ⎟. c. 20. El plano π pasa por A ⎜ 4 ⎟ . Calcule la distancia del punto P ⎜ −2 ⎟ al plano π . ⎛ 2⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 17. π 2 : − 6 x + 3 y − 3 z = 11. C ⎜ 6 ⎟. B ⎜ 0 ⎟ . Las coordenadas del punto P '. ⎜1⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 19. B ⎜ 0 ⎟ y C ⎜ 4 ⎟ . cuyas ecuaciones cartesianas son: π 1 : 2 x − y + z = 5. Paralelo a π 1 . B) y L (C. además. las coordenadas del simétrico P ' de P con respecto a π . ⎜1⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Encuentre. Encuentre la ecuación cartesiana del plano tangente en T ⎜ 4 ⎟ a la superficie esférica de centro C ⎜ −1⎟ . b. Considere la recta L (A. π ) = . cos θ 2 = . c. k respectivamente (figura 4). con a ↔ ⎢ a2 ⎥ . cos θ 2 y cos θ 3 se les conoce como cosenos → directores de a. ⎛ x0 ⎞ ⎜ ⎟ 23. a 2 + b2 + c 2 ⎡ a1 ⎤ → → ⎢ ⎥ → → 24. A los números cos θ1 . Pruebe que cos θ1 = . Use métodos vectoriales para deducir que la distancia de P a π es ax0 + by0 + cz0 + d D ( P. a1 a2 a3 a. c. b. Sus ecuaciones cartesianas son: π 1 : 8 x − 4 y + z + 9 = 0. Sea P ⎜ y0 ⎟ un ⎜z ⎟ ⎝ 0⎠ punto en el espacio. Encuentre dos vectores unitarios. θ 2 y θ 3 entre a y los ⎢⎣ a3 ⎥⎦ → → → vectores i . Halle los cosenos directores del vector ⎢ ⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦ → → → d. Se llaman ángulos directores de a los ángulos θ1 . Pruebe que cos 2 θ1 + cos 2 θ 2 + cos 2 θ 3 = 1. Sea π un plano cuya ecuación cartesiana es ax + by + cz + d = 0 (con a. cos θ 3 = . k e. con a ↔ ⎢ 1 ⎥. ⎡ −2 ⎤ → → a . a a a b. Los planos π 1 y π 2 son paralelos entre sí. Halle los ángulos y cosenos directores de cada uno de los vectores unitarios i . Figura 4 25. π 2 : 8 x − 4 y + z − 36 = 0. Sea a un vector no nulo. j . Geometría vectorial y analítica 351 . j . no todos nulos). cada uno de los cuales satisfaga cos θ1 = cos θ 2 = cos θ 3 . { → → → } Pruebe que a1 . q2 .1 : 3x + y − 2 z + 2 = 0. Encuentre : a. Construya para E 3 una BON q1 . ⎡ 2⎤ 31. pero sentido ⎢⎣ −1⎥⎦ → → contrario. a3 es una base para E3 . q3 de modo que q1 tenga la dirección de v1 . Demuestre vectorialmente que en todo triángulo isósceles la mediana comprendida entre dos lados congruentes es perpendicular al tercer lado. a2 ↔ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ . B ⎜ 1 ⎟ ∈ π . y es ortogonal al plano xy. Use el proceso de Gram-Schmidt para construir una BON para E3 . El plano π 1 tiene ecuación 2 x + 2 y + z − 1 = 0. b. b. La distancia entre π 1 y π 2 . Sean a1 ↔ ⎢⎢ −1⎥⎥ . Cierto plano π pasa por la recta intersección de π 1 y π 2 . a2 . a3 ↔ ⎢⎢ 2⎥⎥ . 352 . El plano π tiene la ecuación x − 2 y + 3z − 6 = 0. ⎢⎣ 1⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ a. y que la altura asociada a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa. Los planos π 1 y π 2 tienen ecuaciones cartesianas: π . Demuestre vectorialmente que en un triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ésta. ⎡ 1⎤ ⎡ 2⎤ ⎡1 ⎤ → → → 30. → → → → { } Sea v1 ↔ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ . La ecuación cartesiana del plano π paralelo a π 1 y π 2 y equidistante de éstos. Halle la ecuación cartesiana de π . ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ 26. ⎛5⎞ ⎜ ⎟ 32. 27. Encuentre todos los puntos del espacio que tienen a ⎜1⎟ ⎝ ⎠ B como su proyección ortogonal sobre π . 29. Encuentre la ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ecuación cartesiana de π . El punto A ⎜ 2 ⎟ equidista de π 1 y cierto plano π . 28. π 2 : x − 3 y − z + 3 = 0. En el desarrollo del capítulo se resuelven problemas de la geometría euclidiana y de la geometría analítica con el uso del concepto de producto vectorial. Entre sus aportaciones destaca la aplicación de dichos métodos a los Módulos 23 y 24 movimientos ondulatorios (en especial a las ondas de radio). en su obra Teoría electromagnética. la existencia de la capa atmosférica conocida como capa de Kenelly-Heaviside. Presentación Se abordará a continuación el estudio de una nueva operación (una nueva ley de composición interna) en el espacio E 3 de los vectores libres. Mientras en la adición el resultado es una combinación lineal de los vectores involucrados. y de forma simultánea con Edwin Kenelly. en general. El primer capítulo de la obra mencionada lo dedica al estudio de los métodos vectoriales. Capítulo 7 El producto vectorial 7 Contenido breve Módulo 23 Producto vectorial Módulo 24 Producto vectorial y geometría ana- lítica Ejercicios Oliver Heaviside (1850-1925) impulsó el cálculo de operadores y llevó a cabo diversos trabajos importantes. a la que se denotará « × » y se denomina producto vectorial o producto cruz. . en el plano de los dos vectores que lo generan. dos vectores libres producirán otro vector libre. referidos a la aplicación de los métodos matemáticos al análisis de los circuitos eléctricos. lo que le permitió predecir. Como en la adición. pero bajo condiciones diferentes. en esta nueva operación. el resultado no está. 354 . ¿Es el producto vectorial una ley de composición interna? 2. ¿Cómo se calcula el producto vectorial con apoyo en bases ortonormales? Contenidos del módulo 23. cuyo cálculo se faci. Como resulta- Leonhard Euler do de las dos primeras se obtiene un vector. También clasificó las curvas según el lita con el uso de bases ortonormales y de los determinantes. estudió las transformaciones de los de los vectores involucrados. 1. ¿Qué diferencia existe entre el producto vectorial y la adición de vectores? 3.1 Definición y propiedades básicas del producto vectorial 23. En segundo lugar. ¿Qué diferencia existe entre el producto vectorial y el producto escalar? 4. 2. Se trata del producto vectorial. Presentar una nueva ley de composición interna en el espacio de los vectores libres: el producto vectorial. Euler nació en Basilea (Suiza) en 1707 y murió en San Petersburgo Objetivos del módulo (Rusia) en 1783. ¿Cómo se obtiene el producto vectorial de dos vectores? 5. introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio. con los vectores libres se han definido tres operaciones básicas: adición. sistemas de coordenadas. en tanto que con la tercera el resultado es un escalar (un número real). Fue Euler quien. grado de sus ecuaciones. no es en general una combinación lineal polares. estudiando sus propiedades generales. multiplicación de escalares por vectores y producto escalar. En primer lugar expuso el sistema de la Hay una cuarta operación entre vectores libres. Preguntas básicas 1. las oblicuas y diferencia de lo que sucede en la adición. a geometría analítica en el plano. Mostrar cómo las bases ortonormales y los determinantes facilitan el cálculo del producto vectorial. en 1748.2 Producto vectorial en una base ortonormal Vea el módulo 23 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría analítica y vectorial 355 . la cual produce un vector que. Producto vectorial 23 Introducción Hasta ahora. sistematizó la geometría analítica de una manera formal. ¿Qué significado tiene el producto vectorial de dos vectores? 6. b es LD (linealmente dependiente).1 Definición y propiedades básicas del producto vectorial Producto vectorial Sea × : E × E → E . 3 3 3 ⎛→ →⎞ → → Vea la animación Sistema derecho en su ⎜ a. sen θ ≥ 0 ) (figura 23. multimedia de Geometría vectorial y ⎝ ⎠ analítica. a × b es un sistema derecho (vea el apartado 16. Figura 23. → → en donde θ es el ángulo entre a y b (recuérdese que 0 ≤ θ ≤ π rad y. « × » es un producto vectorial si satisface lo siguiente: (1) { } → → → → Si a . por tanto. entonces a × b es un vector → → libre ortogonal a a y b tal que: { → → → → } a . → → → → a × b = a b sen θ . b . entonces a × b = o .Capítulo 7: El producto vectorial 23.1 356 . b ⎟ → a × b . capítulo 4).1). b es LI (linealmente independiente). → (2) { } → → → → Si a .5. Por tanto. Nota 4 ⎛ → →⎞ → ⎛ → →⎞ → → → ⎜ a × b ⎟ ⊥ a y ⎜ a × b ⎟ ⊥ b . Módulo 23: Producto vectorial Nota 1 { } → → → → En el caso en a . a y b son colineales. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ilustración 1 Figura 23. La prueba de la implicación de izquierda a derecha se deja al lector. Por tanto. lo que significa que θ = 0º o θ = 180º. Nota 3 → → → { } → → a × b = o si y sólo si a .2 Geometría analítica y vectorial 357 . Esto implica que sen θ = 0. para vectores libres cualesquiera a y b : → → → → a × b = a b sen θ . Nota 2 → Es evidente que para cualquier vector libre a : → → → → → o × a = a × o = o. → → Es decir. para vectores cualesquiera a y b : ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → ⎛→ →⎞ → ⎛→ →⎞ ai ⎜a ×b⎟ = 0 y bi ⎜a ×b⎟ = 0. b es LD. b que es LD. La implicación de derecha a izquierda está contenida en la definición de producto vectorial. se cumple que: → → → → → a × b = o = a b sen θ = 0. → → → → π ⎛ téngase en cuenta que →i ⊥ →j ⎞ .Capítulo 7: El producto vectorial {→ → → } Sea i . ⎜ a × b ⎟ = − ⎜ b × a ⎟ . a × ⎜ b + c ⎟ = ⎜ a × b ⎟ + ⎜ a × c ⎟. Pero. Entonces: ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ → → → → 1. En consecuencia. k× i = j . Si a . j . Teorema 1 → → → Sean a . Similarmente puede probarse que → → → → → → j×k = i . → → → → → → → → → j × i = − k . → → → Por definición. b . i × j = k . → → → Luego λ = 1 . k una BOND (base ortonormal derecha) para E 3 (figura 23. → → i × j = 1⋅1⋅1 = 1 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → ⎛ →⎞ ⎛ →⎞ → ⎛→ →⎞ 2. i× j = i j sen ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ Así. Además. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ { } → → → → 3. a × ⎜ λ b ⎟ = ⎜ λ a ⎟ × b = λ ⎜ a × b ⎟. Además. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Del numeral 1 de este teorema se ve claramente que el producto vectorial NO es conmutativo (en esto se diferencia de la adición y del producto escalar). Sólo en el 358 . i × k = − j . i × j = λ k . a × b = b × a . k × j = −i . c vectores libres y λ un real. El siguiente teorema recoge algunas de las propiedades básicas del producto vectorial. → → → → i× j = λk =λ k . con λ real positivo (sistema derecho). → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ 4. Además.2). entonces el área del paralelogramo determinado por a y b es: → → A= a×b . b es LI. Corolario 1 1 ⎯→ ⎯→ El área de un triángulo ABC es igual a AB × AC .2 Producto vectorial en una base ortonormal { } → → → → → Sea i . → → A= a×b . → ⎢ ⎥ ⎢⎣a3 ⎥⎦ ⎢⎣b3 ⎥⎦ Geometría analítica y vectorial 359 .3) Figura 23. Pero BH = OB sen θ . ¡Demuéstrelo! 2 23. De este modo: ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ A = OA HB = OA OB sen θ . En consecuencia. → → → → Del numeral 2 se obtiene que los escalares pueden «extraerse» como factores del producto vectorial. El segmento BH es la altura del paralelogramo. Si a y b son vectores libres tales que: ⎡ a1 ⎤ ⎡b1 ⎤ → a ↔ ⎢⎢a2 ⎥⎥ y b ↔ ⎢b2 ⎥ .3 ⎯→ → ⎯→ → Sean OA = a y OB = b . b es LD se cumple que a × b = b × a . en el paralelogramo OACB de área A. De igual modo puede enunciarse la propiedad distributiva «a derecha»: ⎛ → →⎞ → ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ ⎜ a + b⎟ × c = ⎜ a × c ⎟ + ⎜ b × c ⎟ . El numeral 4 enuncia la propiedad distributiva «a izquierda». ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Prueba de 3 (figura 23. con respecto a la base OA. j . Módulo 23: Producto vectorial { }→ → caso en que a . k una BOND para E3 . i × k = − j. ⎡2⎤ → ⎡0⎤ → → → Se ilustra ahora con los vectores a y b . j . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Esta expresión puede simplificarse teniendo en cuenta que: → → → → → → → i × i = j × j = k × k = o . los coeficientes de i . b2 b3 b1 b3 b1 b2 → → → Aquí. ya que la primera fila no está formada por números reales. un determinante. y que: → → → → → → → → → → → → → → → → → → i × j = k . → → → → → a × b = (a2b3 − a3b2 ) i − (a1b3 − a3b1 ) j + (a1b2 − a2b1 ) k . y k × j = − i . estrictamente hablando. Es.Capítulo 7: El producto vectorial se puede escribir: → → → → → → → → a = a1 i + a2 j + a3 k . Así. pues. Luego → → a2 a3 → a1 a3 → a1 a2 → a ×b= i − j+ k. El resultado de desarrollar este seudodeterminante es un vector. b1 b2 b3 Esta última expresión no es. ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 360 . combinación lineal → → → → → de i . j y k son determinantes de orden 2. y b = b1 i + b2 j + b3 k . j × k = i . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Aplicando reiteradamente la propiedad distributiva: → → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ a × b = (a1b1 ) ⎜ i × i ⎟ + (a1b2 ) ⎜ i × j ⎟ + (a1b3 ) ⎜ i × k ⎟ + (a2 b1 ) ⎜ j × i ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ (a2b2 ) ⎜ j × j ⎟ + (a2b3 ) ⎜ j × k ⎟ + (a3b1 ) ⎜ k × i ⎟ + (a3b2 ) ⎜ k × j ⎟ + (a3b3 ) ⎜ k × k ⎟ . Así. → → ⎛ → → → ⎞ ⎛ → → → ⎞ a × b = ⎜ a1 i + a2 j + a3 k ⎟ × ⎜ b1 i + b2 j + b3 k ⎟. k × i = j. Finalmente: → → → i j k → → a × b = a1 a2 a3 . un seudodeterminante cuyo único sentido lo da el desarrollo por la primera fila. j × i = − k . con a ↔ ⎢−1⎥ y b ↔ ⎢⎢−1⎥⎥ . k : el producto vectorial a × b . ⎡1⎤ → → De otro modo: a × b ↔ ⎢⎢−4⎥⎥ . c son vectores libres. b . c son vectores libres. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ La demostración de este teorema es bastante compleja. → } Geometría analítica y vectorial 361 . como era de esperarse según el → → → → ⎝ ⎠ teorema 1. entonces a × ⎜ b × c ⎟ = ⎜ a i c ⎟ b − ⎜ a i b ⎟ c . b y c dados en una BON i . Es decir. entonces ⎜ a × b ⎟ × c = ⎜ a i c ⎟ b − ⎜ b i c ⎟ a . b . a × b = − ⎛⎜ b × a ⎞⎟ . por lo cual se omite en este texto. ⎡ −1⎤ → → b × a ↔ ⎢⎢ 4 ⎥⎥ . j . Teorema 2: Relación de Gibbs → → → ⎛→ →⎞ → ⎛→ →⎞→ ⎛→ →⎞→ Si a . Módulo 23: Producto vectorial → → → i j k → → a × b = 2 −1 3 0 −1 2 −1 3 → 2 3 → 2 −1 → = i − j + k −1 2 0 2 0 −1 → → → = i − 4 j − 2k . k . ⎢⎣−2⎥⎦ Por otra parte: → → → i j k → → b × a = 0 −1 2 2 −1 3 −1 2 → 0 2 → 0 −1 → = i − j + k −1 3 2 3 2 −1 → → → = − i + 4 j + 2k . Corolario 1 → → → → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞→ ⎛→ →⎞→ Si a . ⎢⎣ 2 ⎥⎦ Nótese que. en el ejemplo. → → → {→ → Ilustremos a continuación con los vectores a . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Se deja la prueba al lector. ⎝ ⎠ 1 −2 1 Luego ⎡1⎤ → ⎛ → →⎞ ⎢ ⎥ a × ⎜ b × c ⎟ ↔ ⎢ 0 ⎥. 362 . ⎢⎣ 1 ⎥⎦ → → → i k j → ⎛ → →⎞ → → a × ⎜ b × c ⎟ = 1 −1 1 = i − k . ⎝ ⎠ ⎢⎣−1⎥⎦ Como era de esperarse. ⎡1⎤ → ⎛ → →⎞ → a × ⎜ b × c ⎟ = − c ↔ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ . este resultado coincide con el obtenido al usar el «método 1». ⎝ ⎠ Método 1 Usando el «determinante»: → → → i j k → → → → → b × c = 2 1 0 = i − 2 j + k. ⎡1⎤ → → b × c ↔⎢⎢−2⎥⎥. ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ → ⎛→ →⎞ Calculemos a × ⎜ b × c ⎟. ⎝ ⎠ ⎢⎣−1⎥⎦ Método 2 Usando la relación de Gibbs (corolario). b ↔ ⎢⎢1⎥⎥ . a i b = 1. −1 0 1 Es decir. c ↔ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ .Capítulo 7: El producto vectorial así: ⎡1⎤ ⎡2⎤ ⎡−1⎤ → → → a ↔ ⎢⎢−1⎥⎥ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Por tanto. → → → → a i c = 0 . → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞→ ⎛→ →⎞→ Se sabe que a × ⎜ b × c ⎟ = ⎜ a i c ⎟ b − ⎜ a i b ⎟ c . 1.1 Área de un triángulo 24. Producto vectorial y geometría analítica 24 Introducción El producto vectorial. ¿Qué significado geométrico tiene el producto triple (producto mixto)? Contenidos del módulo 24.2 Distancia de un punto a una recta en el espacio 24. así como distancias de puntos a rectas y planos. espacios vectoriales de dimensión infinita.2 Producto triple (producto mixto) Vea el módulo 24 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría analítica y vectorial 363 . estudió bajo la asesoría de David Hilbert. Con dicho Erhardt Schmidt producto se pueden calcular áreas de algunos polígonos y volúmenes de algunos cuerpos. ¿Cómo se calcula el área de un paralelogramo con el uso del producto vectorial? 3. Schmidt realizó importantes contribuciones a varios campos matemáticos. Presentar algunas aplicaciones del producto vectorial: cálculo de áreas. Estas aplicaciones se El matemático alemán Erjardt Schmidt (1876-1959) recibió su grado de doctor en la Universidad de Gotinga. pero es más conocido por haber agrupado muchas de las ideas Objetivos del módulo dispersas de Hilbert en un concepto general denominado espacio de Hilbert. que es fundamental en el estudio de 1.1 Aplicaciones del producto vectorial 24. Definir una nueva especie de operación entre vectores. volúme. 2. por primera vez el proceso que lleva su nombre en un artículo sobre ecuaciones integrales publicado en 1907. Preguntas básicas 1. donde ilustran en el presente módulo. Schmidt describió nes y distancias. facilita la solución de muchos problemas de la geometría elemental y de la geometría analítica. ¿Cómo se calculan distancias con la utilización del producto vectorial? 4. en la cual se combinan el producto escalar y el vectorial: el producto triple (producto mixto).1. como sucede con el producto escalar. ¿Es posible calcular volúmenes de algunos cuerpos con el uso del producto vectorial? ¿De cuáles? 5. ¿Se puede calcular –y de qué manera– el área de un triángulo con el uso del producto vectorial? 2. Nota: el resultado no depende del par de vectores escogidos. es decir. ⎝ ⎠ Sea además P un punto en el espacio. C ⎜ −2 ⎟ . 2 Ilustración 2 Calcule el área de un triángulo ABC. 26. conocidas las coordenadas de sus vértices: ⎛ −1 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎜ 0 ⎟ . Por tanto.1. 2 2 24. v ⎟ la recta que pasa por el punto A y tiene a v como un vector director.Capítulo 7: El producto vectorial 24. por tanto. cada vector libre está dado en dicha base.1 Área de un triángulo Se vio (corolario del teorema 1.2 Distancia de un punto a una recta en el espacio → ⎛ →⎞ Sea L ⎜ A. B ⎜ 1 ⎟ . se obtiene el 1 ⎯→ ⎯→ 1 ⎯→ ⎯→ mismo valor para el área con BA × BC o CA × CB .1 Aplicaciones del producto vectorial En cada caso se supondrá que se ha dado una BOND para E 3 y que. el triángulo tiene área A ≈ 20. 6 −2 −5 ⎯→ ⎯→ AB × AC = 12 + 382 + 142 = 1641 ≈ 40. 364 . AC ↔ ⎢⎢ −2 ⎥⎥ . ⎜2⎟ ⎜5⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Solución ⎡4⎤ ⎡6⎤ ⎯→ ⎯→ AB ↔ ⎢1 ⎥ .51. módulo 20) que el área de un triángulo ABC está dado por: 1 ⎯→ ⎯→ AB × AC . ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ −5⎥⎦ → → → i j k ⎯→ ⎯→ → → → AB × AC = 4 1 3 = i + 38 j − 14 k .1. 24. L) = AP u sen θ1 . Módulo 24: Producto vectorial y geometría analítica En el capítulo anterior se describió un método para calcular la distancia de P a la recta. L) = AP sen θ . u es el vector → v. v Geometría analítica y vectorial 365 . En cualquiera de los dos casos. Así. Luego.1 Según dicho método. Los ángulos θ1 y θ son suplemen- tarios o iguales. ⎯→ → ⎯→ → Sea θ1 el ángulo entre AP y v (entre AP y u ). esto es. ⎯→ → D (P. L) = AP × u . v Se puede escribir: ⎯→ → D (P. L) = AP u sen θ . Ahora se resolverá el mismo problema recurriendo al producto vectorial: ⎯→ Sea θ es el ángulo entre AP y la recta L. → 1 → u= → v. con el uso del producto escalar (figura 24. L) = AP − proy ( AP/ v ) . ⎯→ → D (P. Por tanto. la distancia del punto a la recta es: ⎯→ ⎯⎯→ ⎯→ → D (P.1). → → → Sea u un vector unitario con la dirección (y sentido) de v. Figura 24. → 1 → Pero u = → v . sen θ1 = sen θ . normalizado. entonces: ⎯→ D (P. P son A ⎜ −2 ⎟ . En cambio. b . L) = ≈ 5. Solución ⎡1⎤ ⎡6⎤ → ⎯→ ⎯→ v = AB ↔ ⎢ 3 ⎥ . L) = AP × ⎜ → v ⎟ . 1 ⎯→ → D (P. v Ilustración 3 ⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Las coordenadas de los puntos A. P ⎜ 2 ⎟ .07. ⎢ ⎥ ⎣⎢−3⎦⎥ ⎣⎢−2⎦⎥ → v = 19. ⎜ 3⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Calcule la distancia de P a la recta L (A.B). Por tanto. 1 3 −3 ⎡−6⎤ ⎡−3⎤ ⎯→ → Luego AP × v ↔ ⎢16 ⎥ = 2 ⎢⎢ 8 ⎥⎥ .Capítulo 7: El producto vectorial ⎛ ⎞ ⎜ 1 →⎟ ⎯→ D (P. B ⎜ 1 ⎟ . ⎜ v ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Finalmente. la expresión 366 . L) = → AP × v .2 Producto triple (producto mixto) → → → → ⎛ → →⎞ Si a . la expresión a × ⎜ b × c ⎟ representa un vector (módu- ⎝ ⎠ lo 23) al que puede llamarse triple producto vectorial. c son vectores libres. 19 24. ⎢ ⎥ ⎢⎣14 ⎥⎦ ⎢⎣ 7 ⎥⎦ ⎯→ → AP × v = 2 32 + 82 + 72 = 2 122. AP ↔ ⎢⎢ 4 ⎥⎥ . B. 2 122 D (P. → → → i j k ⎯→ → → → → AP × v = 6 4 −2 = −6 i + 16 j + 14 k . c ⎟ . El volumen V del paralelepípedo se obtiene multiplicando el área del paralelogramo ⎯→ OCDB (base) por la longitud del vector A′A (altura). el volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del producto triple de los vectores que lo determinan. Geometría analítica y vectorial 367 . El vector ⎛⎜ b × c ⎞⎟ es ortogonal a la base (definición de producto vectorial) y. b . entonces el volumen del ⎝ ⎠ ⎛→ → → ⎞ paralelepípedo determinado por los tres vectores es igual a ⎜ a . c ⎟ es un conjunto LI de vectores libres. por → → ⎝ ⎠ ⎯→ tanto. paralelo a A′A (y con igual sentido). Prueba (figura 24.2 ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ → Sean OA = a . Notación ⎛→ → → ⎞ c ⎟ simboliza a a i ⎛⎜ b × c ⎞⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Teorema 3 ⎛→ → →⎞ Si ⎜ a . En otras ⎝ ⎠ palabras. Por esto. → → Además. Módulo 24: Producto vectorial y geometría analítica → ⎛→ →⎞ a i ⎜ b × c ⎟ representa un escalar. → → → ⎜ a. el área de la base es A = b × c . → → → → ⎝ ⎠ ⎯→ → A′A = a cosθ . o simple- ⎝ ⎠ mente producto triple. OC = c . b. Por ello se denomina producto mixto. Téngase en cuenta que el segmento A′A es perpendicular a la base. b . OB = b .2) Figura 24. ⎯→ Sea θ el ángulo entre a y ⎛⎜ b × c ⎞⎟ y entre A′A y a . se puede calcular fácilmente el producto 3 mixto. c . ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎛→ → →⎞ ⎡→ ⎛ → → ⎞⎤ Luego ⎜ a . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Cuando se tiene una BOND para E . ⎝ ⎠ Finalmente. ⎜ a. c ⎟ = a i ⎜ b × c ⎟ . b. b . entonces: 1. c . a. c es LD si y sólo si ⎜ a .Capítulo 7: El producto vectorial → → → Así. c ⎟ = λ ⎜ a. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛→ → → →⎞ ⎛→ → →⎞ ⎛→ → →⎞ 3. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → ⎛ → →⎞ Pero b × c = − ⎜ c × b⎟ . ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎛→ → →⎞ ⎛→ → → ⎞ Por tanto. → → → Es decir. V = b × c a cosθ . V = a i ⎜ b × c ⎟ . d son vectores libres y λ ∈ R . c ⎟ = − ⎢ a i ⎜ c × b ⎟ ⎥ . b. ⎝ ⎠ ⎛ → → → ⎞ → ⎡ ⎛ → → ⎞⎤ Así. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛→ → →⎞ ⎛→ → → ⎞ 5. b . b. c ⎟ = 0. ⎜ a + b. ⎜ λ a. V = b × c a cosθ . b. c ⎟ = ⎜ b. c . ⎛→ → → ⎞ ⎛→ → → ⎞ ⎛→ → → ⎞ 4. b ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Prueba de 5 ⎛→ → →⎞ → ⎛→ →⎞ ⎜ a. b . ⎜ a . d ⎟ . ⎞ → → → c⎟ . c . c ⎟ . a ⎟ = ⎜ c . b⎟ . ⎝ ⎠ Teorema 4 → → → → Si a . b . V = ⎛⎜ a . c ⎟ = a i ⎢ − ⎜ c × b ⎟ ⎥ . → ⎛→ →⎞ Por tanto. En efecto: 368 . ⎜ a. c ⎟ = − ⎜ a . b. ⎝ ⎠ ⎛ → → →⎞ ⎛→ → →⎞ 2. ⎜ a . c ⎟ = − ⎜ a. c . d ⎟ = ⎜ a. b . b . c . c . b ⎟ . d ⎟ + ⎜ b. b . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Esta es una propiedad distributiva. {→ → → } ⎛→ → →⎞ a . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎛→ → → ⎞ calcule el producto mixto ⎜ c . b ↔ ⎢ 0 ⎥ . puede desarrollarse por cualquier fila o columna. ⎛→ → →⎞ b2 b3 b1 b3 b1 b2 ⎜ a . ⎝ ⎠ c2 c3 c1 c3 c1 c2 Esta última expresión puede escribirse como un determinante: a1 a2 a3 ⎛→ → → ⎞ ⎜ a. c ⎟ = a1 − a2 + a3 . c ↔ ⎢⎢1 ⎥⎥ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Así. c ⎟ = a i ⎜ b × c ⎟ . Módulo 24: Producto vectorial y geometría analítica { } → → → → → → Sean i . a ⎟ = 0 0 1 . b. c ⎟ = a i⎢ 2 i − j+ k ⎥. b . ⎝ ⎠ 1 −1 0 Este último es un verdadero determinante (ninguna de sus entradas es un vector). ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣a3 ⎥⎦ ⎢⎣b3 ⎥⎦ ⎢⎣c3 ⎥⎦ ⎛→ → →⎞ → ⎛→ →⎞ ⎜ a. j . b . b. a ⎟ . así: ⎡ a1 ⎤ ⎡b1 ⎤ ⎡ c1 ⎤ → → → a ↔ ⎢a2 ⎥ . ⎝ ⎠ ⎣ c2 c3 c1 c3 c1 c2 ⎦ Es decir. Desarrollando por la primera columna se obtiene: Geometría analítica y vectorial 369 . c vectores libres. b . b . Por ello. ⎝ ⎠ c1 c2 c3 Ilustración 4 Dados los vectores ⎡1⎤ ⎡0⎤ ⎡0⎤ → → → a ↔ ⎢ −1⎥ . b ↔ ⎢b2 ⎥ . c ⎟ = b1 b2 b3 . k una BOND para E 3 y a . ⎝ ⎠ Solución Por lo que se acaba de analizar: 0 1 1 ⎛→ → → ⎞ ⎜ c . ⎛→ → →⎞ → ⎡b b3 → b1 b3 → b1 b2 ⎤ → ⎜ a. b. c ↔ ⎢⎢c2 ⎥⎥ . 3). AC ↔ ⎢⎢ −1⎥⎥ . ⎜ 1⎟ ⎜2⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡0⎤ ⎡1⎤ ⎯→ ⎯→ AB ↔ ⎢⎢ −2 ⎥⎥ . } Por el teorema 4. b. numeral 1. AC sea LD. C ) un plano que pasa por los puntos A.Capítulo 7: El producto vectorial ⎛→ → → ⎞ 1 1 ⎜ c .3 ⎯→ Un punto X del espacio está en el plano π si y sólo si el vector AX es combinación ⎯→ ⎯→ lineal de AB y AC . Figura 24. B. ⎝ ⎠ 0 1 Ilustración 5 El teorema 4. AC una nueva ecuación vectorial del plano. Sea π ( A. C ⎜ 0 ⎟. B. permite hallar una ecuación vectorial de un plano recurriendo al producto triple. AB. AB. B ⎜ −1⎟ . a ⎟ = = 1. ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭ { ⎯→ ⎯→ ⎯→ } siendo AX . C (figura 24. Esto significa que para que X esté en el plano. AB. es necesario y { ⎯→ ⎯→ ⎯→ suficiente que AX . Aplicación ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Sean A ⎜1⎟ . C ) = ⎨ X ∈ P3 : ⎛⎜ AX . AC ⎞⎟ = 0 ⎬ . en su numeral 1. B. ⎣⎢ 1 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ 370 . se puede escribir: ⎧ ⎫ π ( A. Módulo 24: Producto vectorial y geometría analítica ⎛ x⎞ ⎡ x −1⎤ ⎜ ⎟ ⎯→ Si X ⎜ y ⎟ . ⎜ AX . ⎝ ⎠ 1 −1 0 Luego ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎞ = (x −1) −2 1 + 1 ( y −1) ( z −1) . AC ⎟ = ( x − 1) + ( y − 1) + 2( z − 1). ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎞ ⎜ AX . ⎝ ⎠ X está en el plano si y sólo si: x + y + 2 z − 4 = 0. AB. entonces AX ↔ ⎢ y −1⎥ . ⎢ ⎥ ⎜z⎟ ⎢⎣ z −1⎥⎦ ⎝ ⎠ x −1 y −1 z −1 ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎞ ⎜ AX . AB. Esta es la ecuación cartesiana del plano π ( A. B. AB. AC ⎟ −1 0 −2 ⎝ ⎠ 1 Así. AC ⎟ = 0 −2 1 . Geometría analítica y vectorial 371 . C ) . Sean a . b . ⎝ ⎠ De aquí sólo se puede afirmar que ⎛⎜ b − c ⎞⎟ es paralelo a a. c ↔ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ . Pruebe que si a × b = b × c = c × a . Compruebe esta afirmación ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡2⎤ ⎡1⎤ ⎡2⎤ → → → para los vectores a ↔ ⎢⎢ 4 ⎥⎥ . c vectores libres tales que ninguno es paralelo a otro. Si a = o . b ↔ ⎢⎢−1⎥⎥ . De a × b = a × c no se deduce que b = c . → ⎛→ →⎞ ⎛ → →⎞ → 4. Demuestre que si a . es decir. Sea A el área del triángulo. mas no que b = c (figura 1). entonces b y c pueden ser vectores cualesquiera y. de « a × b = a × c » se puede pasar a: → ⎛ → →⎞ → a × ⎜b − c⎟ = o. se cumple la igualdad → → → → → a×b=a× c =o. entonces → → → → a + b + c = o . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2. El producto vectorial no es asociativo. ⎜ −1⎟ ⎜ −1⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → → → → → → → → 3. → → → → → ⎝ ⎠ Geometría analítica y vectorial 379 . ⎢⎣−6⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣−1⎥⎦ → → → → → → 5. Si a ≠ o . Dé una interpretación geométrica de este resultado. para el cual A⎜ 1 ⎟ . no obstante. b son vectores libres. Interprete geométricamente este resultado. C ⎜ 1 ⎟ . B ⎜ 1 ⎟ . En efecto: → → → → a. Pruebe que: 1 ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎞ ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎞ ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎞ A= ⎜ OA × OB ⎟ + ⎜ OB × OC ⎟ + ⎜ OC × OA ⎟ .Ejercicios propuestos → → 1. en general a × ⎜ b × c ⎟ ≠ ⎜ a × b ⎟ × c . Sea ABC un triángulo en un sistema cartesiano tridimensional de origen O. 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1⎞ ⎛2⎞ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Constate este resultado con el triángulo ABC. → → → → → → b. entonces: ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ ⎜ a + b ⎟ × ⎜ a − b ⎟ = 2⎜ b × a ⎟ . No existe una propiedad cancelativa para el producto vectorial. C. D. b . c ↔ ⎢ 1 ⎥ . ⎢⎣ −6 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ → → → → → → Es claro que b ≠ c . D ⎜ −1⎟ . B ⎜ 1 ⎟ . { } → → → → → → 6. C ⎜ 0 ⎟. entonces a . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎜ 1 ⎟. C ⎜ −2 ⎟ . D ⎜ 4 ⎟. Figura 1 ⎡2⎤ ⎡1⎤ ⎡2⎤ → → → ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Sean a ↔ ⎢ 4 ⎥ . c son ortogonales dos a dos. con: ⎛ −5 ⎞ ⎛2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎜ 0 ⎟ . Pruebe que si → ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ → → → → → a × ⎜ b × c ⎟ = ⎜ a × b ⎟ × c = o . B ⎜ 3 ⎟. a . ⎜ 1 ⎟ ⎜3⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 380 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7. B ⎜ 1 ⎟ . Para cada uno de los dos subconjuntos de R 3 siguientes. ⎜ 1 ⎟ . Sean a . Compruebe que. C ⎜ −2 ⎟ . es decir. si: ⎛ −5 ⎞ ⎛2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a. D ⎜ 3 ⎟ . ⎜ 2 ⎟ . b . ⎜ 12 ⎟ ⎬ . c es LI. b ↔ ⎢ −1⎥ . A ⎜ 0 ⎟ . determine vectorialmente si es LI: ⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎫ ⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ S1 = ⎨⎜ 1 ⎟ . C. ⎜ −5 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9. c vectores libres no coplanarios y no nulos. ⎜ 1 ⎟ ⎜3⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ b. b . ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎪⎜ 2 ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭ 8. a × b = a × c . B. Aplique para los puntos A. no obstante. D. Enuncie una condición vectorial para que cuatro (4) puntos del espacio sean coplanarios. Calcule el volumen del tetraedro de vértices A. B. S 2 = ⎨⎜ −6 ⎟ . ⎜ 0 ⎟ ⎬ . 0. demuestre que la distancia entre estas rectas está dada por la siguiente expresión (figura 2): Geometría analítica y vectorial 381 . a − b . − 1). Dadas L1 ( A. → → → → → → → 13. b ). Pruebe la identidad de Jacobi: → ⎛ → →⎞ → ⎛ → →⎞ → ⎛ → →⎞ → a × ⎜ b × c ⎟ + b × ⎜ c × a ⎟ + c × ⎜ a × b ⎟ = o. L2 ( B. c ↔ 1 . A(3. b ∈ E . b . a ) = 0. C (−2. 4). 0. D(−4. b ↔ 0 . → → 2. Una pirámide cuyo vértice es P tiene como base el cuadrilátero ABCD. c vectores libres. → → → 10. 12. x × b = c . Sean a . Sean a . Sean a . 8). a i b ≠ 0. 4). ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → Sean a . Calcule el volumen de esta pirámide si tiene: P (0. c ∈ E 3 . c . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣−1⎥⎦ ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ Encuentre ⎜ a × b ⎟ × ⎜ c × d ⎟ . de modo que sólo calcule un producto vectorial (puede utilizar directamente el ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ producto mixto y no recurrir al producto vectorial en el cálculo parcial). → → → → 16. ⎡1⎤ ⎡1⎤ ⎡−1⎤ ⎡2⎤ → → → → Sean: a ↔ 1 . 3 14. ⎝ ⎠ → → → → → 15. B (2. Demuestre que ( a + b . a ). d ↔ ⎢ 1 ⎥ . Demuestre que ⎛⎜ a × b ⎞⎟ × ⎛⎜ c × d ⎞⎟ es combinación lineal de a y b. con a b . x i a = α . b ∈ E 3 . 3). Demuestre que a × b = a · b −⎜ a i b ⎟ . y combinación → → → → → → → → 11. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → lineal de c y d . 2 → → → → →2 →2 ⎛ → →⎞ Sean a . b . 0. 9. b . → Resuelva para x el siguiente sistema (sugerencia: utilice la relación de Gibbs) → → → 1. − 6. d vectores libres. siendo: (1) x = 1 + 2λ ⎫ (1) x = 4 − β ⎫ ⎪ L1: (2) y = − 2 + 3λ ⎪⎬ λ ∈ L2: (2) y = − 1 + 3β ⎬ β ∈ . b ) d ( L1 . a . Utilice la expresión anterior para calcular d(L1. En el triángulo ABC de la figura 3. Demuestre vectorialmente que: 1 área(ΔPQG ) = área (ΔABC ) 12 Figura 3 → → → → 19. PQ = PQ u →a × →b . Demuestre que: → → → → → n1 + n2 + n3 + n4 = o . L2). n4 vectores normales a cada cara y de magnitud igual al área de la cara respectiva y saliendo de cada cara. y G es el baricentro. n3 . En el tetraedro ABCP de la figura 4 sean n1 . (3) z = − λ ⎪⎭ (3) z = 2 − 2 β ⎪⎭ 18. L2 ) = → → a× b Sugerencias: ⎯→ → → (1). ¿Por qué? ⎯→ ⎯→ → (2). P y Q son los puntos medios de AB y BC . ¿Por qué? Figura 2 17. 382 . PQ a × b . ⎯→ → → ( AB. n2 . respectivamente. δ = → → → ( a. b. c ) (a. d . b . b . linealmente independientes. y d = λ a + β b + δ c. c ∈ E3 . b. c ) (a. b. β = → → → . b . Sean a . c ) ( a. d ) λ = → → → . c ) ¿Encuentra alguna relación con la regla de Cramer? Geometría analítica y vectorial 383 . c ) ( a. Demuestre la siguiente identidad de Lagrange (sugerencia: aplique las propiedades del producto mixto): → → → → → → → → aic aid (a × b) i ( c × d ) = → → → → bic bid → → → → → → → 21. Demuestre que: → → → → → → → → → (d . Figura 4 20. . materializado en tecnologías altamente perfeccionadas. como una herramienta vital en el planteamiento y la Módulo 27 solución de problemas en algunos temas que son objetivo de estudio de la física y Trabajo de una fuerza sobre un desde los cuales se vislumbra el grado de importancia que tiene en la fundamentación cuerpo posterior de áreas muy importantes. Lo anterior nos ha conducido a la selección de cuatro temas que hacen parte de las siguientes áreas generales: . Ejercicios tos que. Momento de una fuerza respecto de un punto Nos lleva además a destacar la importancia de una modelación adecuada de los problemas que se estudian. lo que exige a la vez un dominio completo de los elemen. como Módulo 28 ocurre con el vector de posición y el vector deslizante. Ejercicios Para ello estableceremos un tránsito gradual y coherente entre la noción geométrica Módulo 27 del vector libre y su utilización en los modelos físicos. Capítulo 8 Aplicaciones de los vectores 8 geométricos a la física Contenido breve Módulo 25 Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes Ejercicios Módulo 25 Si alguna empresa ha requerido toda la capacidad creadora del hombre y ha puesto en evidencia el conocimiento adquirido en múltiples disciplinas. (Continúa en la página siguiente. es la llegada a la Luna.) Módulo 26 Cinemática Presentación Ejercicios Módulo 26 En este capítulo mostraremos el vector geométrico. en muchos de los cuales deben restringirse sus propiedades generales a condiciones más específicas. y de las propieda. propias de la ingeniería. ya estudiado suficientemente en su contexto matemático. caracterizan al vector geométrico. Módulo 28 des o leyes que desde la física satisface el fenómeno analizado. como ente matemático. Una vez en órbita lunar. Aldrin se reunió con Armstrong sobre el suelo del satélite. mientras Michael Collins permanecía en órbita en el módulo de mando. Alberto Jaramillo. Los astronautas observaron ante sí una llanura acribillada de cráteres y llena de piedras de variadas dimensiones.edu. alcanzó con éxito el propósito de colocar un hombre en la Luna. entonces éste se separó y descendió hasta posarse en la superficie de la Luna. Después de tomar los instrumentos del módulo lunar. instalaron algunos instrumentos científicos. La maniobra se realizó con éxito. Momento de una fuerza respecto a un punto. Para enviar un cohete en línea recta de la Tierra a la Luna y regresar del mismo modo sería preciso que ese cohete tuviera una potencia del doble del potentísimo Saturno 5. Armstrong maniobró habilmente el módulo hasta depositarlo en el Mar de la Tranquilidad. Invitamos al lector a adelantar un estudio detallado de estos temas en el texto Algunas aplicaciones del álgebra de los vectores geométricos a la física. Vestido con una escafandra autónoma. Los astronautas recogieron nuevas muestras de polvo y rocas. y Armstrong y Aldrin se reunieron con Collins en el módulo de mando. El método americano para poner un hombre en la Luna puede aparecer complicado. http://docencia. la encontró sólida y consiguió andar por ella con relativa facilidad. los haces de partículas cargadas emitidos por el Sol. es decir. pero poco a poco se consolidó como una de las epopeyas mas grandes realizadas por el hombre y en sus cimientos como en todo su desarrollo. Un cohete Saturno impulsó hacia nuestro satélite el módulo de mando. 386 . los astronautas Neil Armstrong y Edwin Aldrin pasaron del módulo de mando al módulo lunar a través de una escotilla. del módulo lunar y de ellos mismos. Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes. Neil Armstrong abrió la escotilla y descendió con precaución por la pequeña escalera hasta la superficie lunar. Utilizando los motores del módulo lunar para conseguir un descenso lento y para escojer un lugar libre de obstáculos. Cinemática.co/cen/vectorfisico Continuación: El Apolo 11. entre ellos un sismógrafo y una pantalla de aluminio para medir el «viento solar».1 1. Luego recogió algunas muestras de roca por si eventualmente se presentaba la necesidad de un regreso precipitado. Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo.udea. lanzado en julio de 1969. las Matemáticas y la Física tienen un sitial de honor. Probablemente la maniobra más arriesgada fue la de abandonar la superficie de la Luna con el módulo lunar y el encuentro con el módulo de mando que orbitaba a una altura de 100 km. y a continuación tomaron excelentes fotografías en color de los instrumentos. pero de hecho es el sistema más económico. El módulo lunar fue desensamblado y los astronautas iniciaron el regreso a bordo del módulo de mando. los dos módulos se ensamblaron. el módulo de servicio y el módulo lunar. Esta dificil pero maravillosa empresa se tejió paso a paso y en su construcción no estuvieron ausentes los fracasos. en dirección al océano Pacífico. aclarando sus ventajas respectivas. ¿Que es un vector deslizante? Contenidos del módulo 25. año en que sólido rígido es fundamental. Sistemas de fuerzas coplanarias y 25 concurrentes Introducción Isaac Newton En áreas de la Física. 2. y murió en Londres el 20 de marzo de 1727 después de una larga y atroz enfermedad. facilita enterrado en la abadía de Westminster.3 Equilibrio de una partícula 25. ¿Qué métodos se utilizan para resolver los problemas relacionados con el equilibrio? 4. sin dejar de presentar otros métodos.6 El vector deslizante Vea el módulo 25 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 387 . el problema del equilibrio de un Isaac Newton nació el día de Navidad de 1642. 3. Familiarizar al estudiante con los términos y métodos de solución asociados con los problemas físicos correspondientes a los sistemas de fuerzas coplanarias. Preguntas básicas 1.2 Expresión de un vector en términos de un vector unitario o normalizado 25.1 Descomposición de un vector en sus componentes rectangulares 25. moría Galileo. Para abordar su estudio el vector geométrico se cons. Esta razón nos lleva a fundamentar el grandes hombres de Inglaterra. en el pueblecito de Woolsthorpe (Condado de tituye en una herramienta vital. Inglaterra). Dotar al estudiante de los instrumentos matemáticos mínimos que le permitan comprender mejor los temas de la física.4 Condiciones de equilibrio para fuerzas coplanares 25. ya sea en el plano como en el espacio. Fue sus componentes rectangulares. Mostrar una aplicación fundamental de los vectores geométricos en la solución de problemas relacionados con el equilibrio de un cuerpo. ¿Qué son las componentes rectangulares de un vector y para qué se utilizan? 2. ¿Cuáles son las condiciones de equilibrio de un cuerpo sometido a la acción de fuerzas coplanares? 3. y en particular la descomposición de un vector en Lincolnshire. como la estática y la dinámica. en medio de los notablemente la solución de estos problemas. Objetivos del módulo 1.5 Problemas en los que interviene el equilibrio de una partícula 25. método analítico y mostrar sus ventajas. 388 . Obsérvese que ax ⊥ ay . ax y a y son las componentes rectangulares de a y. → → → → → → → → → → → a = a1 + a2 + a3 + a4 . Estos dos vectores los denominamos componentes rectangulares de a y se → → designan. a ≠ o .2 Expresión de un vector en términos de un vector unitario o normalizado → → → Sea a ∈ E 2 .Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física 25. destacamos en particular una en la cual los vectores sumandos son respectivamente paralelos a los ejes coordenados → x e y. Escuche la biografía de Isaac Newton en su → multimedia de Geometría vectorial y analítica.1 → → → En la figura 25. Vea la animación Descomposición de un vector en sus componentes rectangulares en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. en su orden. En la figura 25. ax y ay . Figura 25. en conse- → → → → → cuencia.1 Descomposición de un vector en sus componentes rectangulares → Sea a ∈E2 . De las infinitas formas en las que podemos descomponer el vector a en un número → finito de vectores cuya suma sea igual al vector a.2 25. a = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 .1 se indican dos formas particulares → de expresar el vector a. Figura 25.2. a = ax + a y . 5 cm. a b c → ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ a = 3 u→ . corres- pondiente a la magnitud del vector. u→ es un vector de magnitud igual a 1 con la dirección y el sentido de a. dado x ∈ E3 . c ∈ E3 tales que a = 3 cm. b = 2. que se escribe también como x = x u→ .5 cm. En la figura 25. Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes ⎛ ⎞ ⎜ ⎟→ ⎯→ Definimos u→ = ⎜ 1 ⎟ a y lo designamos vector unitario en la dirección y senti- a ⎜ → ⎟ ⎜ a ⎟ ⎝ ⎠ → → do de a. Ilustración 1 → → → → → → Sean a . La definición anterior nos permite decir que. b . a → → → 2. por un vector unitario en la dirección y el sentido del vector inicial. c = 0. b = 2.3 se pueden observar los vectores unitarios o normalizados asocia- dos a los vectores dados y en consecuencia se tiene que → → ⎯→ → → ⎯→ → → ⎯→ a = a u→ . Esto significa que todo x x vector no nulo se puede expresar como el producto de un escalar. x ≠ o . Observaciones ⎯→ → 1.3 Geometría vectorial y analítica 389 . c = 0.5 u→ . o también. vector a normalizado.5 u→ . entonces → → ⎯→ → ⎯→ x = x u→ . a b c Figura 25. b = b u→ . c = c u→ . b = 4 cm. Método gráfico (aproximado) Vea la animación Ilustración 2: método gráfico en su multimedia de Geometría Mediante la utilización del compás. Figura 25.4 se tiene: → → → a = 3 cm. el transportador y una escala (regla graduada en vectorial y analítica. → → → Determine la magnitud. Ilustración 2 En la figura 25. así (figura 25. nos facilitan las operaciones entre cualquier número de vectores en el plano (respectivamente en el espacio) porque éstas se reducen a sumar vectores en una misma dirección: paralelos al eje x y vectores paralelos al eje y (respectivamente paralelos al eje z en el caso del espacio) y a obtener una resultante final como la suma de dos vectores perpendiculares (respec- tivamente de tres vectores perpendiculares en el espacio).5): 390 . diferentes unidades de medida) procedemos a la determinación del vector suma. c = 4 cm con las direcciones y sentidos indicados. a. con las ventajas que ello representa.4 Vamos a ilustrar fundamentalmente tres métodos que pueden ser empleados para resolver este tipo de problemas. la dirección y el sentido del vector a + b + c .Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física La descomposición de un vector en sus componentes rectangulares y la expresión de un vector como el producto de su magnitud (módulo del vector) por un vector unitario en su dirección y sentido. Determinamos con la escala la medida del vector OC y con el transportador el ángulo α .5 ⎯→ → → → ⎯→ OC = a + b + c . α ≈ 14 . Método trigonométrico Aprovechando el polígono anterior determinado mediante la definición de la suma ⎯→ de vectores procedemos al cálculo de la misma medida del segmento OC y del ángulo α .6 Por propiedades geométricas (ángulos alternos internos) se determinan algunos de los ángulos interiores del polígono. Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes Figura 25. Geometría vectorial y analítica 391 .6): Figura 25. b. y obtenemos los valores aproximados: ⎯→ → → → OC = a + b + c = 3 cm. así (figura 25. sen COA = = .7). α = 180° − (140° + 25° ) = 15°. OC ≈ 3 cm. esto es. en consecuencia. Puede observarse que los resultados obtenidos por el primer método muestran una buena aproximación con los valores resultantes de este cálculo. Aplicamos ahora la ley del coseno en el ΔOAC. Para ello se utilizan normalmente dos notaciones para representar los vectores unitarios en la dirección y sentido de los ejes coordenados. Utilizando la ley del seno en el mismo triángulo se tiene: AC OC AC sen C AO 32 sen 20° = . m( BCA) = m( B AC ) = 45° .01 cm. en consecuencia. Vea la animación Ilustración 2: método analítico en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. así (figura 25. 01 Luego m(COA) = 140° (obsérvese que el ángulo es obtuso) y. Figura 25. y por la propiedad del triángulo isósceles.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Por el teorema de Pitágoras en el ΔCBA se tiene que CA = 32. OC = AC 2 + OA2 − 2 AC ⋅ cos(C AO) = 32 + 9 − 2 × 32 × 3 × cos 20° = 9.105 = 3.8): 392 . c. m(C AO) = 20°. sen COA sen C AO OC 3.7 Cada vector podemos expresarlo a su vez como el producto de su magnitud por un vector unitario en la dirección y el sentido de éste. Método analítico Procedemos a descomponer cada vector en sus componentes rectangulares (figura 25. En esta forma se presenta el vector suma.88°. 774 u y (componentes rectangulares de a + b + c ) y.7). que determinamos por medio de la función tangente: 0. en consecuencia. 916 u x + 0. → → → a + b + c = (−2. → → → → a + b + c = (a cos 25° − b cos 40° − c cos 50° ) u x → + (a sen 25° + b sen 40° − c sen 50° ) u y (determinación de las magnitudes en los triángulos rectángulos de la figura 25. Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes Figura 25. → → → ⎛ → → → → → → ⎞ ⎛ → → → → → → ⎞ a + b + c = ⎜ ax u x − bx u x − cx u x ⎟ + ⎜ a y u y + by u y − c y u y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (expresando cada vector en términos de los vectores unitarios y teniendo en cuenta su sentido). 016 con un ángulo α . 774) 2 = 3. → → → → a + b + c = (3cos 25° − 4 cos 40° − 4 cos 50° ) u x → + (3sen 25° + 4 sen 40° − 4 sen 50° ) u y → → → → → = − 2.916 Geometría vectorial y analítica 393 . así: → → → → → → → → → a + b + c = ax + a y + bx + by + cx + c y → → → → → → = ( ax + bx + cx ) + ( a y + by + c y ) (leyes asociativas y conmutativas en la suma). en términos de vectores paralelos a los ejes x e y. → → → → → → → → → → → a + b + c = (ax − bx − cx ) u x + (a y + by − c y ) u y (propiedad del producto de un escalar por un vector).916) 2 + (0. 774 tan α = ∴α = 14.8 Finalmente determinamos el vector resultante de la suma. −2. en particular en el área de la mecánica. En nuestro caso. Se concluye de la definición de equilibrio y de esta ley. 25.4 Condiciones de equilibrio para fuerzas coplanares Diagrama del sólido aislado En los problemas físicos que se presentan en situaciones reales y que tienen aplica- ción en la ingeniería.000 kg está soportado por un cable de una grúa.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física 25. la partícula permanecerá en reposo (si está inicialmente en reposo) o se moverá con velocidad constante según una recta (si está en movimiento inicial- mente)». Específicamente. ¿Cuáles multimedia de Geometría vectorial y son las tensiones en la cuerda y en el cable? (figura 25.9). 25. es igual al vector nulo. uno de los elementos iniciales que apuntan a la solución de los mismos corresponde a una buena repre- sentación gráfica de los efectos físicos que intervienen en ellos. La suma vectorial de los momentos generados por las fuerzas. El ángulo entre el Vea la animación Ilustración 3 en su cable y la vertical es de 4° y el ángulo de la cuerda con la horizontal es de 25°. 394 . los problemas considerados corresponden a fuerzas coplanarias y concurrentes en un punto. un contenedor con materiales que pesa 1. un buen número de problemas sobre estructuras reales pueden reducirse a proble- mas de equilibrio de una partícula. Al respecto debemos recordar la primera ley del movimiento de Newton: «Si la fuerza resultante que actúa sobre la partícula es cero. Ilustración 3 En una obra de construcción. analítica. Esto se logra eligiendo una partícula significativa y dibujando un diagrama representando esta partícula y todas las fuerzas que ac- túan sobre ella. A este diagrama se le designa con el nombre de diagrama del sólido aislado. determinados con respecto a un punto cualquiera del plano.5 Problemas en los que interviene el equilibrio de una partícula Un cuerpo rígido sometido a la acción de fuerzas coplanares permanece en equili- brio si se satisfacen las dos condiciones siguientes: 1. La suma vectorial de todas las fuerzas es igual al vector nulo. Se ata una cuerda al cable en B para evitar la oscilación del contenedor y mantenerlo centrado y en equilibrio.3 Equilibrio de una partícula Una partícula se encuentra en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual al vector nulo. 2. lo que hace que la primera condición sea suficiente para darse el equilibrio. que una partícula en equilibrio o está en reposo o se está moviendo describiendo una línea recta con velocidad constante. 9 Solución Aunque la situación real descrita se da en el espacio tridimensional. Método trigonométrico Condición de equilibrio La suma vectorial de todas las fuerzas es igual al vector nulo. Geometría vectorial y analítica 395 . Figura 25. Designamos las fuerzas que intervienen en el problema así: ⎯→ W : peso del contenedor. Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes Figura 25. indicando a su vez cada una de las fuerzas (figura 25. Procedemos a repre- sentar el diagrama del sólido aislado seleccionando el punto B como aquel en el cual concurren las fuerzas presentes en el sistema y ubicamos en él el origen del sistema de coordenadas cartesianas.10 a.10). se puede asimilar a un modelo de fuerzas coplanarias y concurrentes. ⎯→ TBA : tensión en el cable BA. Esto conlleva a que la suma de todas las fuerzas paralelas a los ejes x e y sean iguales al vector nulo.11 Aplicando la ley de los senos se tiene: ⎯→ ⎯→ ⎯→ W TBA TBC = = . en consecuencia.036. Vea la animación Ilustración 3: método analítico en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física ⎯→ TBC : tensión en la cuerda BC. Dibujamos un triángulo que responda a las direcciones de los vectores. sen 61° sen 61° ⎯→ W sen115° ⎯→ 1. 396 .11). 3 ⎯→ → ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ∑F i =1 i = o . 75 kg. Figura 25.000 × sen 4° TBC = = = 79. esto es. sen 61° sen115° sen 4° ⎯→ W sen 4° ⎯→ 1. por el reducido número de fuerzas que inter- vienen. iniciando con el vector que está completamente determinado (figura 25. sen 61 sen 61° Como podemos observar. en este caso la solución se logra en una forma más senci- lla aplicando el método trigonométrico. Presentamos de todas formas el método analítico para familiarizar al lector con su implementación en aquellas situaciones (la gran mayoría) en las que obliga- toriamente deberá utilizarse. 23 kg. b. W + TBA + TBC = o . Método analítico 3 ⎯→ → Condición de equilibrio: ∑F i =1 i = o.000 × sen115° TBA = ° = = 1. → → → TBC x u x − TBAx u x = o . TBCx + TBAx = o .12). → → (TBAy − TBC y − W ) u y = o . en consecuencia: TBC cos 25° = TBA cos86°. Determinemos las componentes rectangulares de cada una de las fuerzas (figura 25. (2) TBA cos86° Despejando en (1). (1) 3 ⎯→ → ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ∑F i =1 iy = o. luego TBCx − TBAx = 0. Figura 25.000. TBC = . TBAy − TBC y = W y. luego TBAy − TBC y − W = 0. y sustituyendo en (2) tenemos: cos 25° Geometría vectorial y analítica 397 . en consecuencia: TBA sen 86° − TBC sen 25° = 1. → → ⎯→ → TBAy u y − TBC y u y − Wy = o . → → (TBCx − TBAx ) u x = o. TBCx = TBAx .12 3 ⎯→ → ⎯→ ⎯→ → ∑F i =1 ix = o. Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes 3 ⎯→ → 3 ⎯→ → ∑F i =1 ix =o y ∑F i =1 iy = o. TBC y + TBAy + W = o . 036. por las razones ya anotadas. Para evitar su naufragio se requieren reparaciones de emergencia en el mis- mo lugar del accidente. Esto obliga a que la nave esté inmovilizada y para ello se han utilizado dos buques que han acudido en su ayuda y una lancha guardacostas. Calcule también en estas condiciones el valor de la tensión ejercida por el buque 2. Tenga en cuenta que las líneas de acción de las tensiones son concurrentes. 1.000. Consideremos inicialmente el diagrama del sólido aislado (figura 25. debe darse en el primer cuadrante (norte-este). en el cual se tiene: 398 . Si se sabe que la tensión ejercida por el cable unido al buque 1 es de 2.036.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física TBA cos86° TBA sen 86° − sen 25° = 1. para que el sistema esté en equilibrio.500 kgf. Figura 25. Desde estas naves se han amarrado cables hasta el buque y por su intermedio se ejercen las tensiones indicadas y en las posiciones que se anotan en la figura 25.000. sen 86° − cos 86° tan 25° 1. cos 25° TBA (sen 86° − cos86° tan 25° ) = 1.13 1.14). calcule la mínima tensión y el ángulo correspondiente para la ubicación de la lancha guardacostas. 23 kg. 75 kg. cos 25° Ilustración 4 Un buque cisterna que transporta petróleo crudo ha sufrido un accidente que le ha puesto en peligro de naufragar. Solución Este problema nos brinda una buena oportunidad para implementar una solución gráfica (geométrica) por la condición de la determinación de una tensión mínima.13 por motivos de seguridad. con el consiguiente desastre ecológico que puede causar. sabiendo que esta embarcación es la que tiene menos potencia y que su ubicación.000 TBA = = 1. 23 × cos86° TBC = = 79. para evitar choques entre las naves. ⎯→ ⎯→ como es el caso de T1 . y continuando con T2 .500 kgf ⎯→ T2 = ? ⎯→ T3 = ? (valor mínimo) α =? Figura 25. como no cono- ⎯→ cemos la magnitud de T2 pero sí su dirección. y a continuación. y finalizando con la aplicación del vector ⎯→ T3 . Esto nos permite. determinamos la recta subya- ⎯→ cente del mismo.15). La condición ⎯→ de equilibrio exige que al aplicar el vector T3 en el extremo del⎯→ vector T2 . ⎯→ Aplicamos inicialmente el vector T1 en A. T1 + T2 + T3 = o . Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes ⎯→ T1 = 2. en consecuencia.14 Condición de equilibrio 3 ⎯→ → ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ∑T i =1 i = o . el extremo de T3 corresponde al punto A. Geometría vectorial y analítica 399 . del cual sólo conocemos la condición sobre su magnitud mínima (figura 25. del cual se conoce su direc- ción y sentido mas no su magnitud. esto es. iniciando con los vectores que estén completamente determinados. vectorial y analítica. el cual no conocemos pero sí su línea de acción. concluir que el segmento⎯→ de menor magnitud que se puede determinar entre el punto A y la recta BD es el segmento perpendicular entre el punto A y la recta (justifique esta afirmación). Vea la animación Ilustración 4: condición de Para facilitar la solución gráfica utilizamos la suma generalizada de los vectores equilibrio en su multimedia de Geometría libres. Para lograr el desplazamiento del buque cisterna en la dirección requerida. porque éste puede utilizar sus motores para producir exactamente esta fuerza. α = 20° (¿por qué?). Se descarta la fuerza necesaria para vencer la inercia del buque cisterna durante su movimiento.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Figura 25. se necesita generar una fuerza resultante exactamente en esta dirección. y con la ayuda de la escala y el transportador podemos determinar aproximadamente las mag- nitudes de estos vectores y el valor de α. 400 .15 ⎯→ ⎯→ En esta forma quedan determinados los vectores T2 y T3 .915 kgf. ⎯→ ⎯→ T3 = T1 sen 50° = 1. m( B AC ) = 40° y. Ha llegado un barco especializado en remolque que reem- plaza a la lancha guardacostas. Se han efectuado las reparaciones de emergencia y se necesita remolcar la nave averiada hasta el puerto más cercano situado al este de la posición actual del barco. m( ABC ) = 50° (¿por qué?). ⎯→ ⎯→ ° Luego T2 = T1 cos 50 = 1.16 para evitar que éste se vuelque hacia un costado. en consecuencia. Las condiciones en las que se encuentra la nave averiada requieren para su desplazamiento la ubicación de los buques 1 y 2 en la posición que se indica y con las tensiones que se anotan en la figura 25.607 kgf. Para mejorar la exactitud de estos valores apliquemos las razones trigono- métricas al triángulo rectángulo determinado en la solución gráfica. 2. Determine el valor de la fuerza resultante en ambos casos (sugerimos que determine las soluciones gráficas en las dos situaciones). Figura 25. si debe ubicarse en el primer cuadrante (norte-este) para generar una fuerza resul- tante sobre el sistema de dirección este. en los dos casos siguientes: Vea la animación Ilustración 4: solución a.600 kgf. analítica en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.600 kgf. T2 = 2. Geometría vectorial y analítica 401 .17 ⎯→ En el primer caso. determine la dirección que debe tomar el buque remolcador. Si el remolcador puede generar una tensión de 4.500 kgf . b.000 kgf que en las direcciones indi- cadas.600 kgf. Si el remolcador puede generar una tensión de 3.17). Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes Figura 25. Desarrollemos a continuación la solución por el método analítico (figura 25. para T3 = 4.16 Solución ⎯→ ⎯→ Si se sabe T1 = 2. 44 = −489.600 cos 9.044. 20 kgf. (2) T3 2. 61 kgf. 44 = 520. T3 cos α − T1 cos 30° − T2 cos 20° = FRx . ⎯→ En el segundo caso. 2. 4. T1 y + T2 y + T3 y = o.500 cos 30° − 2.000sen 20° sen α = ∴α = 7. T2 sen 20° + T3 sen α − T1 sen 30° = 0. basta sustituir en las ⎯→ ecuaciones (1) y (2) el nuevo valor de T3 y se obtienen los siguientes resul- tados: (1): 3600cos α − 4044. T1x + T2 x + T3 x = FRx . Como las condiciones son análogas al primer caso. 4.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Condición del problema 3 ⎯→ ⎯→ ∑T i =1 i = FRx .500sen 30° − 2.600 Sustituyendo el valor de α en la ecuación (1) se tiene: FRx = 4. T2 y + T3 y − T1y = 0. − T1x u x − T2 x u x + T3 x u x = FRx u x . El resultado nos muestra que no es posible obtener en estas condiciones una fuerza resultante en la dirección pedida. T1 sen 30° − T2 sen 20° sen α = . − T1 y u y + T2 y u y + T3 y u y = o . Compruebe este resultado con el obtenido gráficamente. ∑T i =1 iy = o .500sen 30 − 2.04° . 402 . luego α = 9.600 cos 7. 06° − 4.600 cos α − 4. ⎯→ ⎯→ ⎯→ → → (T2 y + T3 y − T1y ) uy = o.600 cos α − 2.000 cos 20° = FRx .1572. y susti- 3. para T3 = 3.000sen 20° (2): sen α = = 0. 4.044.600 kgf . 06°. (1) 3 ⎯→ → ⎯→ ⎯→ ⎯→ → → → → → ii. 04° − 4. 44 = FRx . luego T3x − T1x − T2 x = FRx . 3 ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ → i.600 tuyendo en (1) se tiene 3.044. 44 = FRx . → → (T3x − T1x − T2 x ) ux = FRx ux . ∑T i =1 ix = FRx . 20 y 25. Geometría vectorial y analítica 403 . Halle la cadena eslinga ACB más corta que pueda emplearse para levantar el cajón cargado si la tensión en la cadena no debe pasar de 450 kg (figura 25. Éstos corresponden igualmente a los ángulos determinados por ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ T1 y T2 con los semiejes x (¿por qué?). Solución Determinemos el diagrama del sólido aislado. ⎯→ ⎯→ T1 y T2 representan respectivamente las tensiones ejercidas por la cade- na en cada una de las direcciones de carga (figuras 25. Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes Ilustración 5 Un cajón y su contenido pesan 370 kg.18 Figura 25.18). Obsérvese además que T1 ≠ T2 (¿por qué?). su magnitud es igual al peso del cajón y su contenido. de 370 kg.20 el ΔABC isósceles con ángulos congruen- tes en la base.19): Figura 25.21). observando que en el punto C inci- den todas las fuerzas presentes en el sistema y que designamos así (figura 25.19 ⎯→ W : tensión ejercida por el cable que engancha la cadena. Por la distribución simétrica de la cadena observemos en la figura 25. esto es. Designemos por l la longitud de la cadena eslinga. Ahora. en conse- cuencia. (1) Este resultado nos permite afirmar que las tensiones en ambas ramas de ⎯→ ⎯→ la cadena son iguales (esto es. T1 cos α = T2 cos α . T1x = T2 x . − T1x ux + T2 x u x = o . i =1 3 ⎯→ → ⎯→ ⎯→ → → → → → → 1. los vectores T1 y T2 tienen la misma magnitud). 404 .21 a. (−T1x + T2 x ) u x = o −T1x + T2 x = 0. T1 + T2 = 2T1 = 450 kg y.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Figura 25. luego T1 = T2 . T1 = T2 = 225 kg.20 Figura 25. Método analítico 3 ⎯→ → Condición de equilibrio: ∑ Fi = o . ∑F i =1 ix = o . por tanto. T1x + T2 x = o . de acuerdo a la condición inicial del problema. se tiene que la máxima tensión que puede soportar la cadena no debe exceder de 450 kg. − T1 y u y + T2 y u y + W u y = o . T1 sen α + T2 sen α = W .22 Geometría vectorial y analítica 405 . cos α cos 55. l/2 80 80 luego l = cm = cm = 140. esto es. Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes 3 ⎯→ → ⎯→ ⎯→ ⎯→ → → → → → 2. T1 y + T2 y + W = o . Figura 25.30 . ¿puede determinar cuál es la forma óptima de atar el cajón para generar la mínima tensión en la cadena? (figura 25. ° 2 T1 sen α = W y α = sen −1 ⎜ ⎟ = sen ⎜ ⎝ 1⎠ 2 T ⎝ 450 ⎠ Ahora. para el cajón con el mismo contenido. como se indica ahora en la figura 25.20 tenemos que: 40 cos α = . ∑F i =1 iy = o .22). (2) Sustituyendo (1) en (2) tenemos que ⎛W ⎞ −1 ⎛ 370 ⎞ ⎟ .30° Determine con esta longitud de la cadena cuál es la tensión en la cadena si varía la forma de agarre. en el ΔCAH rectángulo de la figura 25. − T1y + T2 y + W = 0. → → (−T1y + T2 y + W ) uy = o.22. Con base en lo que encuentre.52 cm. α = 55. T1y + T2 y = W . ¿Por qué los ángulos determinados con el eje son los indicados en la figura? 3 ⎯→ → Condición de equilibrio: ∑F i =1 i = o. − F2x ux + F1x ux = o . En consecuencia. que corresponde al centro de la misma y es perpendicular al plano horizontal. por propiedad geométrica. esto es. La dirección y sentido de cada una de ellas es perpendicular a la superficie de contacto con el cuerpo. Figura 25. ⎯→ ⎯→ F1 y F2 : son las reacciones o fuerzas ejercidas por cada uno de los planos inclinados sobre la esfera.24 Diagrama del sólido libre (figura 25. 3 ⎯→ → ⎯→ ⎯→ → ⎯→ ⎯→ → ⎯→ → 1. (− F2x + F1x ) u x = o . F1 cos 60° = F2 cos 45° (1) 406 . F2x + F1x = o . Figura 25.24). Éstas corres- ponden a: → w : peso de la esfera.25). Vea la animación Ilustración 6: solución analítica en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Calcule las reacciones de los dos planos sobre la esfera (figura 25. ellas están en la dirección de los radios y concurren en el centro O. luego − F2x + F1x = 0 y F1x = F2x . inclinados respectivamente con referencia a la horizontal ángulos de 30° y 45°. ∑F i =1 ix = o . Se ubica su aplicación en el centro de gravedad de la esfera.23 Solución analítica Determinemos las fuerzas que intervienen en el sistema (figura 25.23).Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Ilustración 6 Una esfera cuyo peso es de 50 kgf descansa sobre dos planos lisos. F1 sen 60° + F2 sen 45° = w (2) Figura 25. en consecuencia. cos 45° tan 60° + F2 sen 45° y. Figura 25. 88 kgf y F1 = 36. F2 y + F1y + w = o . 60 kgf. F1y u y + F2 y u y − w u y = o ⎯→ → ( F1y + F2 y − w) u y = o . Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes 3 ⎯→ → ⎯→ ⎯→ → → ⎯→ ⎯→ ⎯→ → 2. esto es. M 1 = 300 lbf y M 2 = 400 lbf. ∑F i =1 iy = o . Calcule la tensión en la cuerda AB y el ángulo θ si el sistema se encuentra en equilibrio.26 Geometría vectorial y analítica 407 .25 F2 cos 45° Despejando de (1) y sustituyendo en (2) se tiene que F1 = . cos60° F2 cos 45° tan 60° + F2 sen 45° = 50 50 ∴ F2 = kgf.26. F1y + F2 y − w = 0 y F1y + F2 y = w. F2 = 25. Ilustración 7 En la figura 25. 13° y TAB = 500 lbf. luego TABx = w2 y. Vamos a restringir ahora el concepto general en la dirección y planteamos la siguien- te definición. (1) 3 ⎯→ → ⎯→ ⎯→ → ⎯→ ⎯→ → 2. TAB cos θ = 300. TABy + w1 = o . 3 ⎯→ → ⎯→ ⎯→ → ⎯→ ⎯→ → 1.27 3 ⎯→ → Condición de equilibrio: ∑F i =1 i = o. TAB sen θ = 400. TABy u y − w1 u y = o . como en su momento restringimos también la definición general para definir los vectores de posición o vectores ligados a un origen determinado. en consecuencia. el cual está dotado de magnitud. Figura 25. en consecuencia. (2) Dividiendo término a término la ecuación (1) por la ecuación (2) tenemos que 4 tan θ = y.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Solución Determinemos el diagrama del sólido aislado. θ = 53. si dos vectores situados en rectas distintas pero paralelas tienen el mismo sentido y la misma magnitud. dirección y sentido.27). TABx + w2 = o . en consecuencia. luego TABy = w1 y. 408 . entendiéndose la dirección como la clase de equivalencia asociada a la relación de paralelismo. por tanto.6 El vector deslizante En la caracterización del vector libre tenemos un segmento rectilíneo orientado. En él puede observarse que el efecto de la polea en C es únicamente cambiar el sentido de la tensión vertical producida por el cuerpo M2. 3 25. − TABx u x + w2 u x = o . ∑F i =1 iy = o . ∑F i =1 ix = o . en una tensión horizontal trasmitida a través de la cuerda BC (figura 25. son iguales. Bajo esta concepción todos los vectores situados sobre la misma recta o en rectas distintas y paralelas tienen la misma dirección y. Vector deslizante sobre una recta dada L Sea L una recta dada. Sentido: toda dirección supone la existencia de dos sentidos. La caracterización del vector deslizante y la definición de igualdad permiten afirmar que los infinitos segmentos nulos que se pueden determinar sobre una recta dada (conjuntos unitarios de un solo punto) son iguales y ésta sólo puede darse entre los vectores nulos de una misma recta. y únicamente a éste. De dos vectores deslizantes diremos que tienen la misma dirección únicamente si están determinados sobre la misma recta. que los desig- namos opuestos entre sí (es el mismo concepto formulado para el vector libre). A todo segmento orientado determinado sobre L. identificamos tres características inherentes a él. 2. Dirección: está asociada únicamente a la dirección de la recta L. La igualdad definida entre vectores deslizantes requiere. en términos de las unida- des previamente convenidas. De L diremos que es la línea de acción del vector. b. la misma dirección y el mismo sentido. Notación Sean A. B ∈ L. lo llamaremos vector deslizante sobre L. Igualdad entre vectores deslizantes Dos vectores deslizantes son iguales si y sólo si tienen la misma magnitud. De todo segmento nulo determinado sobre L diremos que es un vector deslizante nulo. c. El vector deslizante de origen A y extremo en B lo denotaremos ⎯→ ABL . Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes a. Características del vector deslizante sobre la recta L Dado un vector deslizante sobre L. Geometría vectorial y analítica 409 . así: Magnitud: es la medida del segmento orientado. que los vectores estén determinados sobre la misma recta. para su estableci- miento. Observaciones 1. d. b. L3 rectas distintas. QQ' L son «aplicaciones» del ⎯→ vector ABL en sus respectivos puntos de origen. M . R. en cualquier punto de L podemos ⎯→ construir un vector con origen en él. L1 . como también de sus relaciones en términos generales con el vector libre.28. P. U ∈ L3 . H . Del vector PP' L diremos que es una «aplicación» del ⎯→ vector ABL en el punto P. por la definición de igualdad. S ∈ L1 . PP' L .28 Ilustración 8 Para lograr una mejor comprensión de este último concepto. B. D. como se indica en la figura 25. proponemos a continuación las siguientes situaciones. c. ⎯⎯→ ⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ En la figura 25. F . Sean: a. T ∈ L2 . K . L1 L2 . A. entonces con origen en P pode- ⎯⎯→ mos. Figura 25. determinar un vector PP' L tal que ⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ABL = PP' L . si P ∈ L. L1 L3 . TTL′ . L2 . Dado un vector deslizante ABL . G.29 410 . Q. En esta forma. Esta posibilidad ⎯→ crea un modelo que se comporta como si el vector ABL se «deslizara» sobre su línea de acción y de ahí el nombre de vector deslizante.29. Figura 25. igual al vector ABL .Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física ⎯→ 3. los vectores SS' L . BS y RH son vectores opuestos. QAL2 = FM L2 . ⎯⎯→ ⎯⎯→ (2). Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes 1. ⎯→ ⎯→ (7). ⎯⎯→ ⎯⎯→ RH L2 y FM L2 : estos vectores deslizantes con línea de acción L2 tienen distinta magnitud. en sus contextos pro- pios. BS L1 = RH L2 . PDL3 = GK L3 . ⎯→ ⎯→ (1). con línea de acción L3. BS = RH . de acuerdo con sus caracterís- ticas fundamentales (magnitud. la misma dirección y sentidos opuestos. en consecuencia. TT = UU . dirección y sentido). la misma dirección y sentidos opuestos. ⎯⎯→ ⎯⎯→ PDL3 y GK L3 : estos vectores deslizantes. BS y RH tienen la misma dirección. la misma dirección y el mismo sentido. ⎯→ ⎯→ (3). BS L1 y RH L2 tienen sentidos opuestos. 2. Analicemos las siguientes parejas de vectores. ⎯⎯→ ⎯⎯→ (4). la mis- ma dirección y el mismo sentido. ⎯⎯→ ⎯⎯→ (6). en ⎯⎯→ ⎯⎯→ consecuencia. BS y RH tienen sentidos opuestos. Geometría vectorial y analítica 411 . tienen la misma magnitud. direc- ⎯→ ⎯→ ción y sentido y. PD = GK . ⎯⎯→ ⎯⎯→ QAL1 y BS L1 : estos vectores deslizantes con línea de acción L1 tie- nen distinta magnitud. ⎯⎯→ ⎯⎯→ (8). ⎯→ ⎯→ (10). QA = FM . ⎯→ ⎯→ QA y BS : estos vectores libres tienen distinta magnitud. ⎯→ ⎯→ (5). la misma dirección y el mismo sentido. ⎯→ ⎯→ RH y FM : estos vectores libres tienen distinta magnitud. justificando adecuadamente la afirmación respectiva. ⎯→ ⎯→ (9). ⎯→ ⎯→ PD y GK : estos vectores libres tienen la misma magnitud. Determinemos de las siguientes proposiciones cuáles son verdaderas y cuáles son falsas. BS L1 y RH L2 tienen la misma dirección. las demás se dejan para ser resueltas por el lector. ⎯⎯→ ⎯⎯→ (15). ⎯→ ⎯→ (13). FM y GK tienen sentidos opuestos. b. La proposición (3) es verdadera por la definición de dirección entre vectores libres. AAL1 = BBL1 . Designaremos también mediante letras minúsculas latinas.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física ⎯⎯→ ⎯⎯→ (11). ⎯⎯→ ⎯⎯→ (18). ⎯⎯→ ⎯⎯→ (12). FM L2 y GK L3 tienen distinta dirección. ⎯→ ⎯→ (14). Convenciones a. La proposición (1) es verdadera por la igualdad entre vectores geométricos. con el correspon- 412 . Veamos las respuestas para algunas de ellas. La proposición (10) es verdadera por la igualdad entre vectores li- bres. ⎯→ ⎯⎯→ (17). TTL1 = UU L3 . La proposición (11) es falsa por la igualdad entre vectores deslizantes. La proposición (6) es falsa. ⎯⎯→ ⎯⎯→ (16). FM y GK tienen distinta dirección. Designaremos por E L el conjunto de todos los vectores deslizantes con línea de acción en la recta L. La proposición (4) es falsa por la definición de dirección entre vectores deslizantes. TTL2 = UU L3 . puesto que sólo son comparables en el sentido dos vectores deslizantes que tengan la misma dirección. La proposición (2) es falsa por la igualdad entre vectores deslizantes. FM L2 y GK L3 tienen sentidos opuestos. TT = TTL2 . La proposición (5) es verdadera por la definición de sentido entre vectores libres. Nota: en el conjunto EL se definen las operaciones adición. Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes → → → diente subíndice. en forma similar a como se definieron estas operaciones en el conjunto de los vectores libres. así: aL . ⎯→ c. sustracción y el pro- ducto de un número real por un vector deslizante. Para su mejor comprensión puede remitirse al texto Algunas aplicaciones de los vectores geométricos a la física. d L .edu. http://docencia. los elementos de EL . Designaremos por oL un vector nulo deslizante en L. xL designan vectores deslizantes en L.co/cen/vectorfisico Geometría vectorial y analítica 413 .udea. consecutivamente. Encuentre la magnitud y la dirección de la resultante del sistema de fuerzas representadas en la figura 1. 50°. Los ángulos entre las fuerzas son. todas las fuerzas están expresadas en libras-fuerza. Cuatro fuerzas coplanares de magnitudes 30 N.Ejercicios del capítulo 8 (módulo 25) 1. Calcule la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que hace con la fuerza de 30 N. 30° y 60°. Figura 1 2. 40 N. 20 N y 50 N están actuando concurrentemente sobre un cuerpo. 3. Determine las tensiones sobre las cuerdas AC y BC en la figura 2 si M pesa 50 lbf. Figura 2 414 . Figura 5 → → 7. ¿Para qué valor del ángulo es mínima la tensión en el cable AC? b.4. respectivamente. Figura 4 → 6. Sabiendo que la conexión está en equilibrio. halle las tensiones T1 y T2 .200 kg. estira una cinta elástica. ¿cuál es la máxima fuerza F que puede aplicarse? ¿En qué dirección debe actuar la fuerza máxima? (figura 5). aplicando el dedo en B. Un hombre. Si la máxima tensión admisible en cada cuerda es 750 kg. sabiendo que la tensión en ambas partes de la cinta es 5 kg (figura 4). Se aplican dos fuerzas P y Q de magnitudes 1.000 y 1. a la conexión empleada en aviación ⎯→ ⎯→ representada en la figura 6. la dirección y el sentido de la fuerza ejercida por el hombre. Halle el módulo. Dos cuerdas están unidas en C. a. Geometría vectorial y analítica 415 . como se indica en la figura 3. ¿Cuáles son los valores correspondientes de las tensiones en los cables AC y BC? Figura 3 5. Un bloque de 800 kg está soportado por dos cables AC y BC. En la figura 8. Halle el valor de h para que el sistema esté en equilibrio. Figura 6 8. exprese en función de P. El plano y las poleas son lisas. Halle la tensión en la eslinga en cada caso. w = 40 kg. Un cable de grúa CD levanta una caja de embalaje que pesa 850 kg. Figura 7 416 . En la figura 8. 11. 10. Calcule también la reacción del plano sobre el peso A. p = 5 kg y d = 0. Calcule el peso P necesario para mantener el equilibrio en el sistema que se indica en la figura 9.5 m de larga y puede sujetarse a la caja en cualquiera de las dos maneras representadas. d y h el peso w necesario para mantener el sistema en equilibrio. La cuerda AC es horizontal y la cuerda AB es paralela al plano. Una eslinga ACB tiene 1. 9. ¿Cuál es la forma en que al sujetarse la caja se logra la tensión mínima en la eslinga? (figura 7). en el cual A pesa 100 kgf y Q 10 kgf.5 m. Una cadena metálica de 1.5 m de longitud. Sabiendo que el peso levantado por el gancho de la grúa es de 400 kg. Demuestre que cada esfera se encuentra independientemente en equilibrio. Dos esferas idénticas se colocan en el sistema mostrado en la figura 10. Figura 8 Figura 9 12.30 m. Figura 10 13. Geometría vectorial y analítica 417 . se coloca alrededor de una viga de madera de 0. Calcule las reacciones de las superficies sobre las esferas en función del peso w de cada esfera. como se indica en la figura 11.30 × 0. con los extremos unidos. halle la tensión en la cadena en cada caso. Dos fuerzas P y P ' de la misma magnitud y una fuerza T de magnitud igual a 320 kg se aplican en A (figura 12). Dos cables están atados en C y cargados como se indica en la figura 13. Sabiendo que la tensión máxima permitida en AC y BC es 360 kg. Figura 12 15. Figura 11 → → → 14. → Halle la magnitud de P y el ángulo α necesario para que la resultante de las tres fuerzas sea una fuerza vertical hacia arriba de 400 kg. halle el mayor peso w que puede colgarse sin peligro de rotura. Figura 13 418 . La tensión en cada cable es de 5. Figura 15 18.16. Un trasatlántico averiado está siendo remolcado por tres remolcadores como se indica en la figura 14. Calcule las respectivas tensiones. Determine el módulo de la fuerza ejercida por el joven y el módulo de la fuerza ejercida por la superficie. Determine gráficamente la fuerza resultante que actúa sobre la proa del trasatlántico. Figura 16 Geometría vectorial y analítica 419 . Un joven empuja con velocidad constante un trineo de 35 kg en línea recta por una pendiente de nieve y para ello ejerce una fuerza horizontal sobre el trineo. determine el valor del ángulo α para que la tensión ejercida sobre el cable del remolcador 2 sea mínima. a.000 kg. si se dispone únicamente de dos remolcadores como se indica en la figura 15 y la fuerza resultante en la dirección del eje del trasatlántico es de 850 kg. b. suponiendo que dicha fuerza no tiene componente paralela a la superficie. ¿dónde deberían situarse los remolcadores para producir la máxima fuerza resultante posible paralela al eje del trasatlántico? ¿Cuál es la magnitud de esta resultante? Figura 14 17. Si los remolcadores no pueden trabajar con seguridad cuando el ángulo entre dos cualesquiera de los cables es menor de 10°. como se indica en la figura 16. Desprecie la fuerza de rozamiento ejercida por la superficie sobre el trineo. Con relación al problema anterior. 420 . Cinemática 26 Introducción El modelo que ilustraremos en este tema, como una aplicación de los vectores geométricos, es muy sencillo y con unas condiciones teóricas ideales, a saber: a. Lo limitamos a movimientos rectilíneos con velocidad constante. La insaciable necesidad de la naturaleza humana de conocer más allá de su entorno, y su imaginación sin límites, ha b. El término velocidad designará como escalar, en este contexto, la velocidad hecho del hombre un viajero permanente, primero terrestre, promedia entendida como el cociente distancia/tiempo, también designa luego en el medio acuático y posteriormente aéreo. En este do usualmente como rapidez. último medio, el aire, no se ha limitado al espacio terrestre, y después de la conquista de la Luna, hoy se prepara para viajar a otros planetas del sistema solar y adelanta c. En los problemas se consideran las trayectorias siempre planas, descar- investigaciones permanentes en el espacio interestelar tándose la curvatura natural de la superficie terrestre. utilizando múltiples tecnologías. En la navegación, los instrumentos que la facilitan y le dan la precisión requerida se fundamentan en los principios básicos del cálculo vectorial. No obstante, desarrollaremos un estudio detallado de los elementos fundamentales En la fotografía, un laboratorio espacial en órbita terrestre. que intervienen en este tema, como son los vectores de desplazamiento, los vectores de velocidad y los triángulos o esquemas que surgen al formular la adición. Aprovechamos además las situaciones problema que se presentan en forma natural en este tema, para hacer énfasis en esta importante estrategia didáctica. Objetivos del módulo 1. Ilustrar una aplicación muy importante de los vectores geométricos en la solución de problemas relacionados con el movimiento de un cuerpo en sus elementos de espacio y tiempo (cinemática). 2. Propiciar la diferencia entre dos elementos vitales en este modelo: la veloci- dad y el desplazamiento. 3. Aprovechar la naturaleza práctica de este tema para motivar su estudio y proveer al estudiante de las herramientas básicas para la compren sión posterior de conceptos más avanzados en las áreas de la cinemática y la dinámica. Preguntas básicas 1. ¿Cómo se relacionan vectorialmente las tres componentes básicas para generar la ecuación rectora en este movimiento? 2. ¿Cómo se determinan los triángulos de velocidades y de desplazamiento? 3. ¿Cuáles son las convenciones usuales para designar la dirección y el senti do en la velocidad y el desplazamiento? 4. ¿Qué herramientas matemáticas se utilizan básicamente en la solución de Vea el módulo 26 del programa de triángulos? televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 421 Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Contenidos del módulo 26.1 Elementos fundamentales: la ecuación rectora 26.2 Dos triángulos semejantes importantes: el triángulo de desplazamientos y el triángulo de velocidades 26.3 La orientación de los vectores asociados al desplazamiento y a la velocidad 422 Módulo 26: Cinemática 26.1 Elementos fundamentales: la ecuación rectora Iniciaremos el estudio de este tipo de problemas con una situación próxima a la realidad y que analizaremos detalladamente. Ilustración 9 Un avión vuela hacia el norte con una velocidad de 300 km/h a través del aire que lo circunda y su movimiento se ve afectado por un viento en dirección oeste con una velocidad de 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad real del avión respecto a la Tierra y cuál es su dirección real respecto a esta misma? Precisemos cada uno de los términos que intervienen en la situación descrita. La velocidad del avión es la que designaremos en adelante como la veloci- dad propia de este móvil y es aquella que el piloto puede observar en sus instrumentos de acuerdo con la mayor o menor potencia demandada a sus motores. La dirección indicada para esta velocidad nos dice que en todo momento el avión esta orientado de cola a nariz, en dirección norte. La velocidad del viento hace que toda la masa de aire, incluyendo el avión que se encuentra en ella, se desplace con esta velocidad (70 km/h) y en dirección hacia el oeste. La combinación de estos dos factores, expresada como la suma vectorial de las dos velocidades anteriores, nos permite obtener la velocidad real del avión respecto a la Tierra con su correspondiente dirección. Este último vector lo designaremos en adelante como la velocidad resultante del avión respecto a la Tierra. Esta velocidad, con su dirección, es la que una persona en tierra observaría para el avión en mención. Es necesario precisar y distinguir muy bien entre la velocidad propia del móvil, en este caso del avión, y la velocidad resultante del mismo. Para ello pasamos a desig- narlas y a especificar su significado. Designaremos por: ⎯→ ⎯→ va : el vector velocidad propio del avión, donde va = 300 km/h, con dirección norte. ⎯→ ⎯→ vv : el vector velocidad del viento, donde vv = 70 km/h, con dirección oeste. ⎯→ vr : el vector velocidad resultante del avión. Ahora analicemos gráficamente la situación descrita. Geometría vectorial y analítica 423 Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Si designamos por P el punto de partida del avión una vez en el aire y fijada su trayectoria, veamos qué ocurre cuando ha transcurrido un tiempo t. Si no existiera ningún viento, entonces el avión se desplazaría en la direc- Vea la animación ilustración 8: la ecuación ción de su velocidad propia, esto es, en la dirección en la que permanente- rectora en su multimedia de Geometría mente está orientado de cola a nariz, es decir, hacia el norte, y al cabo del vectorial y analítica. tiempo t se encontraría como lo indica la figura 26.1 en la posición A, siendo ⎯→ ⎯→ ⎯→ la magnitud de este desplazamiento igual a va × t ; esto es, PA = va × t. La velocidad del viento hace simultáneamente (esto es, en el mismo tiempo t) que en tanto el avión se desplaza hacia el norte, toda la masa de aire, incluyendo el avión, sufra un desplazamiento hacia el oeste y en conse- cuencia el avión, que de no existir el viento alcanzaría la posición A, se ha ⎯→ desplazado desde A hacia el oeste una distancia igual a vv × t y se encuen- tra realmente en la posición B de la figura 26.1. Figura 26.1 424 Módulo 26: Cinemática . Podemos observar cómo surge la siguiente ecuación vectorial para los des- plazamientos ocurridos durante cualquier valor de t, en el ΔPAB de despla- zamientos. ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ PA + AB = PB, siendo en consecuencia PB el vector que nos indica el desplazamiento real del avión respecto a un observador situado en tierra en cualquier tiempo t. ⎯→ Con los datos del problema podemos calcular la dirección del vector PB así: Como el ΔPAB es, para este caso particular, rectángulo, ⎯→ ⎯→ ⎯→ AB vv × t vv 70 tan ( APB) = ⎯→ = ⎯→ = ⎯→ = , 300 PA va × t va ° ⎛ 70 ⎞ y, en consecuencia, m( APB ) = tan −1 ⎜ ° ⎟ = 13,13 13 8'. ⎝ 300 ⎠ Concluimos de lo anterior que el avión sigue una trayectoria, respecto a la Tierra, en una dirección 13º 8' al oeste del norte. Tomando como referencia el ΔPAB de desplazamientos, si dividimos cada una de las magnitudes de sus lados por el tiempo t, manteniendo la orienta- ción de los vectores, obtenemos un triángulo semejante a él, por el caso L-A- L (un ángulo congruente comprendido entre lados respectivamente propor- cionales). Este triángulo, que representamos en la figura 26.2, lo designare- mos como triángulo de velocidades y en él se obtiene la ecuación vectorial: ⎯→ ⎯→ ⎯→ vR = va + vv Esta ecuación se constituye en la ecuación rectora de este tipo de proble- mas y podemos generalizarla así: Para un móvil determinado designaremos: ⎯→ v p : velocidad propia del móvil. ⎯→ ve : velocidad de efectos colaterales que actúan sobre el móvil (ve- locidad del viento, velocidad de una corriente en el agua, etc). ⎯→ vR : velocidad resultante del móvil respecto a un observador en tierra. Geometría vectorial y analítica 425 Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física ⎯→ ⎯→ ⎯→ vR = v p + ve Vea la animación Ilustración 8: la ecuación rectora (segunda parte) en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Figura 26.2 Es necesario recordar que la semejanza entre los triángulos conserva la congruencia de los ángulos comprendidos entre los lados respectivamente proporcionales. Por esta razón, como ΔPAB ∼ ΔPCD , se tiene: APB ≅ CPD, A ≅ C y B ≅ D. Calculemos por último la velocidad real (resultante) del avión respecto a la Tierra. Como ΔPCD es rectángulo, tenemos: 2 2 ⎯→ ⎯→ ⎯→ vR = va + vv = 3002 + 702 = 308, 05 km/h, y su dirección es de 13º 8' al oeste del norte. 26.2 Dos triángulos semejantes importantes: el triángulo de desplazamientos y el triángulo de velocidades Consideramos importante, con respecto a este problema, hacer las siguientes ob- Vea la animación Triángulo de velocidades en servaciones que serán muy útiles en modelos similares. su multimedia de Geometría vectorial y analítica. 1. Debe diferenciarse el triángulo de desplazamientos del triángulo de veloci- dades, porque a pesar de ser semejantes cada uno de ellos da cuenta de entes físicos y matemáticos diferentes. 2. Aunque intuitivamente el modelo sugerido en el triángulo de velocidades (lo propio en su contexto para el triángulo de desplazamientos) podría lle- 426 Módulo 26: Cinemática ⎯→ varnos a pensar que «primero actúa el vector va » y que una vez ha termi- Gottfried Wilhelm von Leibniz ⎯→ ⎯→ nado su acción «entra el vector vv » obteniéndose como resultado vR , la El filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm von realidad es otra y corresponde a la intervención simultánea de ambos efec- Leibniz nació el 1 de julio 1646 en Leipzig y falleció el 14 de noviembre de 1716 en Hannover. Aprendió por sí mismo ⎯→ ⎯→ latín y algo de griego a la edad de doce años para poder leer tos. Esto lo podríamos modelar como si cada uno de los vectores va y ve los libros que tenía su padre, profesor universitario de estuvieran compuestos por infinitos vectores en sus respectivas direccio- filosofía moral. ⎯→ Entre 1661 y 1666 estudió leyes en la Universidad de Leipzig, nes y sentidos, y que al sumar en cada instante un infinitésimo de va con un pero no fue admitido allí para realizar un curso de posgrado. ⎯→ ⎯→ Entonces fue a la Universidad de Altdorf, en donde obtuvo infinitésimo de vv se obtiene un infinitésimo de vR (figura 26.3). su doctorado en 1667. Continuó su carrera en esta disciplina trabajando en la corte de Mainz hasta 1672. En ese año visitó París para tratar de disuadir a Luis XIV del ataque al territorio alemán. Permaneció en esa ciudad hasta 1676, practicando leyes, aunque también estudió matemáticas y física, y durante este periodo desarrolló las características fundamentales del cálculo. Persiguiendo una idea que le acosó desde la juventud en pos de un «alfabeto de los pensamientos humanos» y de un «idioma universal», se propuso el proyecto de construir «una característica universal», especie de lenguaje simbólico capaz de expresar, sin ambigüedad, todos los pensamientos humanos, de modo que al surgir una controversia entre dos filósofos, éstos la zanjasen a la manera de los calculistas; bastaría, en efecto, sentarse ante los ábacos, pluma en mano, y como buenos amigos decirse, en mutuo acuerdo: calculemos. Las ideas de Leibniz, que contienen muchos conceptos de la lógica simbólica de hoy, no tuvieron entonces mayor influencia. Igual destino tuvieron ideas semejantes esbozadas durante el siglo XVIII y comienzos del XIX. Agreguemos que las ideas de Kant, de gran influencia en su tiempo y para quien no era necesaria «ninguna nueva invención en la lógica», contribuyeron sin duda al estancamiento de esta disciplina. Las cosas cambiaron cuando llegó George Boole, que se convirtió en el verdadero fundador de la lógica simbólica. El resto de su vida, desde 1676 hasta su muerte, Leibniz permaneció en Hannover. El 21 de noviembre de 1675 escribió un manuscrito usando por primera vez la notación actual de la integral. En el mismo manuscrito estaba plasmada la regla para la diferenciación. Esta regla se dio a conocer casi dos años después, en julio de 1677. Figura 26.3 3. Es interesante anotar que si un observador se fijara en el punto P y en el mismo plano del ΔPAB, vería que el avión vuela «de costado», esto es, orientado de cola a nariz de sur a norte, pero el viento se lo lleva hacia un lado, manteniéndose ⎯→ en todo momento sobre la trayectoria descrita por el vector PB para un tiempo t, como se indica en la figura 26.4. Geometría vectorial y analítica 427 Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Vea la animación Trayectoria real del avión en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Figura 26.4 Ilustración 10 Con relación al problema anterior, si el avión mantuviera una velocidad propia de 300 km/h a través del aire que lo circunda y en dirección norte, determine la veloci- dad real respecto a la Tierra y la dirección de la misma en cada uno de los siguientes casos: a. Si el movimiento se ve afectado por un viento con velocidad de 70 km/h y en dirección norte. b. Si el movimiento se ve afectado por un viento con una velocidad de 70 km/h y en dirección sur. Analicemos cada uno de los diagramas de velocidad, manteniendo las convencio- nes del problema anterior. Para la primera situación se tiene (figura 26.5). Figura 26.5 Planteando la ecuación general para los vectores en las direcciones dadas 428 Módulo 26: Cinemática ⎯→ ⎯→ ⎯→ vR = va + vv se obtiene la suma de dos vectores en la misma dirección y el mismo sentido, y en ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ consecuencia vR = va + vv = va + vv por tener va y vv el mismo sentido. ⎯→ ⎯→ vR = 300 + 70 km/h, = 370 km/h, esto es, vR = 370 km/h en dirección norte. Como podemos observar en este caso, se tiene un viento completamente favorable al movimiento del avión, haciendo que el tiempo empleado en el viaje se disminuya notablemente ante el incremento de la velocidad real. En esta situación se dice que el viento está «a favor». Ahora analicemos el diagrama de velocidades para la segunda situación (figura 26.6). Figura 26.6 De nuevo, a partir de la ecuación general para los vectores en las direcciones dadas ⎯→ ⎯→ ⎯→ vR = va + vv tenemos la suma de dos vectores en la misma dirección pero en sentidos opuestos ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ y, en consecuencia, vR = va + vv = va − vv por tener va y vv sentidos opuestos: ⎯→ ⎯→ vR = 300 − 70 km/h = 230 km/h, esto es, vR = 230 km/h. Geometría vectorial y analítica 429 Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física ⎯→ Observemos que en este caso el vector suma vR conserva el sentido del vector ⎯→ de mayor magnitud, o sea que es el correspondiente a va . ⎯→ Concluimos, en consecuencia, que vR = 230 km/h en dirección norte. Es claro que en esta situación la dirección del viento es completamente desfavora- ble al movimiento propio del avión, haciendo que el tiempo empleado en un viaje en estas circunstancias se incremente ante la disminución de la velocidad real. En este caso se dice que el viento está «en contra». 26.3 La orientación de los vectores asociados al desplazamiento y a la velocidad Para la determinación correcta de los vectores en sus direcciones, en particular para los desplazamientos y velocidades, acordaremos las siguientes convenciones: → → → → 1. Supongamos que se tienen cuatro vectores v1 , v2 , v3 y v4 y que al aplicar- los en un punto A quedan ubicados en las posiciones indicadas en el plano cartesiano, como se muestra en la figura 26.7. Figura 26.7 2. Para expresar sus direcciones procedemos a orientar los ejes de acuerdo con la convención universal asociada a la rosa de los vientos y bajo esta nueva designación las direcciones se fijan así (figura 26.8). Para los vectores localizados en el primer y segundo cuadrantes, el ángulo se toma con referencia al norte y se representa: → Dirección del vector v1 : α º nor-este o N − α º − E , que se lee tam- bién α º al este del norte. 430 → Si un vector v5 se encuentra formando un ángulo de 45° al este del norte su dirección se indica simplemente como nor-este o N-E. Geometría vectorial y analítica 431 . que se lee también λ º al este del sur. en forma similar para cualquier vector que biseque el ángulo correspondiente a su cuadrante. que se lee tam- bién θ º al oeste del sur. el ángulo se toma con referencia al sur y se representa: → Dirección del vector v3 : θ º sur-oeste o S − θ º − O. → Dirección del vector v4 : λ º sur-este o S − λ º − E . y en forma similar para los demás ejes (figura 26. Figura 26. su dirección se indica como oeste o este-oeste. traducción de oes- te u occidente. → Si un vector como v6 se encuentra sobre uno de los ejes. Es usual encontrar en los textos de física la letra W como inicial de oeste. omitiéndose el valor del ángulo.9).8 Para los vectores localizados en el tercer y cuarto cuadrantes. que corresponde a la primera letra de la palabra en inglés west. que se lee tam- bién β º al oeste del norte. Módulo 26: Cinemática → Dirección del vector v2 : β º nor-oeste o N − β º − O. Para ello calculamos inicialmente el ángulo θ como se indica en la figura 26. 432 . → → → Tomemos como referencia la ecuación rectora vR = va + vv y representemos el trián- gulo de velocidades en la figura 26. respecto a la Tierra. Dirección: N 70º E. Dirección: sur-este. 77 km ⋅ h −1 . Calcule: → va : velocidad propia del avión. → Determinemos ahora la dirección de va . Datos del problema: → → vv : velocidad del viento: vv = 90 km ⋅ h −1 . 21 = 429.9 Ilustración 11 Un avión en vuelo encuentra que la velocidad del viento es de 90 km ⋅ h −1 en direc- ción N 70º E produciendo un movimiento resultante de 460 km ⋅ h −1 en dirección sur-este. Determine la magnitud y la dirección de la velocidad propia del avión. determinado su magnitud.707. Aplicando la ley del coseno en el triángulo de velocidades tenemos: 2 2 → → → → → va = vv + vR − 2 vv vR cos 65° = 184.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Figura 26. dirección y sen- tido. → → vR : velocidad resultante: vR = 460 km ⋅ h −1 .11.10. 11 Geometría vectorial y analítica 433 . Módulo 26: Cinemática Figura 26.10 Figura 26. → esto es. en la dirección de la corriente. La corriente en el canal tiene una veloci- dad de 70 km ⋅ h −1 en dirección este. 4. para determinar finalmente la dirección de este vector. que corresponde al ángulo θ ' y. Calcule: 1. Es muy importante verificar siempre las relaciones angulares obtenidas en los cálcu- los. El bote mantiene siempre una dirección norte. 77 ⎠ Sin embargo. 05° − 90° = 34.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física → → vR va −1 ⎛ 460 × sen 65 ⎞ ° = luego θ = sen ⎜ ° ⎟ = 75. Datos del problema: → → vb : velocidad del bote: vb = 150 km ⋅ h −1 . 2. El tiempo requerido para el viaje. confrontándolas con la figura. Esta situa- ción confirma además la necesidad de dibujar las figuras lo más exactamente posible en términos de los datos dados. Qué tan lejos. la dirección va es S 34. La distancia recorrida entre el punto de partida y el punto de llegada en la otra orilla del canal. en consecuencia. sen θ sen 65° ⎝ 429.94 . En esta forma podemos tener la seguridad de que los cálculos desarrollados sí corresponden a la solución del problema. 05° E. θ' = 124. 05° . La magnitud y dirección del movimiento resultante. con el triángulo. Ilustración 12 Un motorista en su bote requiere cruzar un canal. con una velocidad propia en el agua de 150 km ⋅ h −1 . 3. → Ubiquemos ahora un sistema de referencia con origen en el origen del vector va y con ejes paralelos a los ejes principales. Dirección: N . cuyas orillas perfectamente para- lelas distan entre sí 45 km. 434 .05°. se encuentra el punto de llega- da de un punto situado en la misma orilla y exactamente al frente del punto de partida. vemos que el ángulo θ real es obtuso y en consecuencia su valor corresponde a 104. si contrastamos este valor obtenido en la calculadora. 01 . designando por P el punto de partida y por Q un punto situado en la orilla opuesta exactamente al norte de P. Módulo 26: Cinemática → → vc : velocidad de la corriente: vc = 70 km ⋅ h −1 . que como fue explicado. ° → ⎝ 150 ⎠ vb θ ≅ 25° − 1. 2. θ = tan ⎜ ⎟ . Dirección: E.13). la dirección de vR es 25. → vc −1 ⎛ 70 ⎞ Calculemos el ángulo θ así: tan θ = .400 km ⋅ h −1 = 165. y designemos por A el punto de llegada (figura 26. Por lo que ya hemos trabajado anteriormente. Solución 1.' → En consecuencia. procedemos a la determina- ción del diagrama de velocidades en la figura 26.5 km ⋅ h −1 .12 y a los cálculos requeri- dos. Determinemos ahora el triángulo correspondiente a los desplazamientos. Geometría vectorial y analítica 435 .12 2 2 → → → vR = vb + vc km ⋅ h −1 = 27. Figura 26. Q) = 45 km. es semejante al triángulo de velocidades. d ( P. 01° nor-este. luego θ = 25. 14. Esta es la distancia re- PA cos 25. → 165.30 h = 18 min. en las condiciones dadas. 99 km ≅ 21 km. Ilustración 13 Con relación al problema anterior.13 PQ 45 km = cos 25. 01° y así PA = = 49. 01° . 66 km t= = = 0. 01° corrida por el bote. La distancia entre el punto Q y el punto A está dada por: QA = tan 25. 01° km = 20. → Como vR debe estar en la dirección del objetivo. alcanzar el punto Q si el bote dispone de gasolina únicamente para → → trece minutos. 436 . en la figura 26. El tiempo empleado en el viaje corresponde a: PA 49. partiendo de P.5 km ⋅ h −1 vR 4.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Figura 26. QP luego QA = 45 tan 25. 3. la ecuación rectora nos lleva al triángulo de velocidades siguiente. 66 km. Calcule en este caso la magnitud y la dirección de vR y la dirección de vb . determine si es posible. 81° nor-oeste. → 132.339 h ≅ 20 min. En consecuencia. Geometría vectorial y analítica 437 . esto vR ⎝ 132. Teniendo en cuenta la restricción planteada en cuanto al tiempo disponible por la limitación del combustible. calculemos el tiempo que requiere el viaje en las nuevas condiciones: d ( P.81° ≅ 27° 49 '. → vc ⎛ 70 ⎞ Calculemos ahora θ ' como tan θ' = → . el punto Q.14 2 2 → → → vR = vb − vc km ⋅ h −1 = 17. → La dirección de vR es norte con el propósito de alcanzar. 66 ⎠ → es. la dirección de vb es de 27. θ' = 27. Módulo 26: Cinemática Figura 26. entonces con las condiciones fijadas podemos concluir que el bote no puede alcanzar el objetivo pedido. luego θ' = tan −1 ⎜ ⎟ . 66 km ⋅ h −1 . Q) km 45 km t= = = 0. como punto de llegada.66 km ⋅ h −1 vR km ⋅ h −1 Si el tiempo de viaje es de 20 minutos.600 km ⋅ h −1 = 132. a. → → −1 v p : velocidad propia del portaviones: v p = 50 km ⋅ h . al hacer un gráfico de su viaje para regresar a un portaviones. La magnitud de la velocidad propia del avión. El avión está siendo afectado por un viento que viene del noroeste en una dirección −1 N 70° O con una velocidad de 80 km ⋅ h . además de la situación real que plantea. designando por A la posición inicial del avión y por P la posición inicial del portaviones. Determinemos cuál es la velocidad resultante del portaviones y la dirección de ésta. → → −1 ° vc : velocidad de la corriente: vc = 30 km ⋅ h . Calcule: 1. nos indica que el sentido es opuesto a la dirección indicada y. La dirección del avión.200 km. Dirección: S 70 E. en consecuencia. en el momento en que se determina su posición.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Ilustración 14 El piloto de un avión de la marina. 2. ¿Cuál debe ser la dirección del avión y cuál es su velocidad con respecto al aire para regresar exactamente en dos horas? Datos del problema: d ( A. Para iniciar el proceso de solución. Dirección: N 10 E. Observemos que el término «viene» al referirse a la dirección del viento. resulta de gran interés porque nos permite integrar los elementos básicos que hemos trabajado hasta el presente. El portaviones navega con una velocidad propia de 50 km ⋅ h −1 en dirección N 10° E en una corriente de 30 km ⋅ h −1 con dirección S 40° E.200 km al sur. → → −1 ° vv : velocidad del viento: vv = 80 km ⋅ h . P ) = 1. Dirección: S 40 E . 438 . encuentra que éste se halla a 1. corresponde al dato anotado. la primera pregunta que debe hacerse el piloto y responder satisfactoriamente es: ¿cuál es la posición exacta del portaviones al cabo de dos horas? Veamos qué elementos son necesarios para responderla. Solución Este problema. 471. de ⎯→ → → los datos del problema y considerando la ecuación rectora vRp = v p + vc . entonces.15 m( PFT ) = 50° (¿por qué?). tenemos.15 en el ΔPFT : Figura 26. ⎯→ → vRp vc = . sen 50° sen F PT ⎛ → ° ⎞ ⎜ vc × sen 50 ⎟ luego m( F PT ) = sen −1 ⎜ ⎟. ⎜ ⎯→ ⎟ ⎜ vRp ⎟ ⎝ ⎠ ⎯→ En consecuencia m( F PT ) = 36. a partir de la figura 26. Aplicando la ley del coseno tenemos: 2 2 ⎯→ → → → → vRp = vp + vc − 2 v p vc cos 50° km ⋅ h −1 = 1. 63 km ⋅ h −1 = 38. la dirección de vRp es final- Geometría vectorial y analítica 439 . Módulo 26: Cinemática ⎯→ Designemos por vRp la velocidad resultante del portaviones.36 km ⋅ h −1 .80° y. Aplicando la ley de los senos calculamos m( F PT ). por tanto. 84 km en dirección S 2.148. E ) en el ΔAPE. Podemos ahora calcular cuál es la posición del portaviones al cabo de dos horas.8° E. Utilizando la ley de los senos tenemos que: AE PE ° = y. b. entonces esta distancia debe cubrirse por el avión exactamente en dos horas. por consiguiente: ⎯→ d ( A. Si designamos por E el punto en el cual se debe encontrar el portaviones transcurridas dos horas. m( P AE ) = sen −1 ⎜ ⎟. sen 46.8° ⎞ por tanto.8º E (¿por qué?). Recordemos que A y P representan las posiciones iniciales del avión y el portaviones. Aplicando la ley del coseno calculamos d ( A. tenemos: ⎯→ d ( P. ⎝ AE ⎠ Luego m( P AE ) = 2. 72 km. Como el objetivo es llegar al mismo tiempo al punto de encuentro E. 79° E. E ) = vRp × 2 km = 76. y podemos observar sus posiciones relati- vas de acuerdo a los datos del problema. 72 km del punto P y en dirección N 46. respectivamente. lo que nos permite determinar cuál ⎯→ es la velocidad resultante para el avión que designaremos por vRa . AE = AP 2 + PE 2 − 2 AP ⋅ PE ⋅ cos 46.148.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física mente N 46.84 km vRa = = = 574. Esto significa que el avión debe cubrir una distancia de 1.84 km. c. Con los datos anteriores podemos determinar cuál es la trayectoria que debe seguir el avión para concurrir al punto E.8° km = 1.8 sen P AE ⎛ PE ⋅ sen 46. Para ello podemos trazar el triángu- lo de desplazamiento que relaciona a los dos móviles y que se indica en la figura 26.148. E ) km 1. 2h 2h 440 . 79° ≅ 2° 47 '. 42 km ⋅ h −1 .16. Esto significa que después de dos horas el portaviones se encuentra a 76. 17. Módulo 26: Cinemática Figura 26. En este estado de avance. que es precisamente la que se aplica en la dirección del objetivo buscado como ya ha sido anteriormente explicado. consistente en determinar la magnitud y la dirección de la velo- cidad propia del avión. Vea la animación Ilustración 13: triángulo de velocidad para el avión en su multimedia de Figura 26. Observemos que la velocidad que hemos calculado para el avión es la velo- cidad resultante. conociendo la velocidad resultante del movimiento y la velocidad del viento. el problema se reduce a una situación más simple y ya previamen- te trabajada. que representaremos en la figura 26.16 d. en este ⎯→ → → caso para el movimiento del avión.17 Geometría vectorial y analítica. Recurrimos finalmente a la ecuación rectora. vRa = va + vv . Aplicando la ley de los cosenos en el triángulo de velocidades tenemos: Geometría vectorial y analítica 441 . 21° ⎜ → ⎟ ⎜ va ⎟ ⎝ ⎠ Por consiguiente. α = sen sen α sen 67. tene- mos que α = 37.84° . 21° km ⋅ h −1 = 548. que hemos construido a escala. 21 ⎟ −1 ⎜ ⎟ = 7.94°. además. si determinamos el valor del tercer ángulo α en el triángulo por la suma de los ángulos interiores. 21° ⎛ ⎯→ ° ⎞ ⎜ vRa sen 67. por la suma de ángulos interiores del triángulo tenemos 442 . sen θ sen 67. cumpliéndose las relaciones de desigualdad en el trián- gulo que nos indican que a mayor lado se opone el mayor ángulo y recípro- camente. ya que de otra forma no sería posible darnos cuenta de los errores incurridos al confiarnos totalmente en los valores calculados. Es inmediato y verificable con el transportador que el ángulo θ es obtuso y en consecuencia el valor obtenido en la calculadora no correspon- de a dicho ángulo sino a su suplemento agudo. de la construcción de figuras con buena proporción.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física 2 2 → ⎯→ → ⎯→ → va = vRa + vv − 2 vRa vv cos 67. determinemos θ . Esta situación se presentará siempre que las dimen- siones de los datos representados generen triángulos obtusángulos. en este tema. Luego θ = sen ⎜ → → ⎟ ⎜ va va ⎟ ⎝ ⎠ ¿Podemos aceptar este valor como válido para el ángulo en mención? Ustedes se preguntarán qué sentido tiene la interrogación anterior cuando hemos aplicado correctamente las herramientas matemáticas disponibles y el procedimiento seguido es claro.17. 21 ⎟ −1 ⎜ ⎟ = 74. Apliquemos nuevamente la ley de senos para el ángulo opuesto al lado menor que necesariamente es agudo correspondiendo en este caso al valor arrojado por la calculadora: → → ⎛ → ° ⎞ vv va ⎜ vv sen 67. ⎯→ → vRa va = . 72°. así. Este es un hecho que debe- mos tener presente y que nos muestra la importancia. = . Utilizando la ley de los senos en el mismo triángulo. ¿Cuál es entonces la razón de la pregunta planteada? Observemos de nuevo el triángulo de la figura 26. 41 km ⋅ h −1 . Concluimos.18. en consecuencia.06° . Figura 26.94°. apoyándonos en la figura 26. que es el valor real del ángulo. 94° O.94° O. → Esto significa que la dirección de va es S 4. → Determinemos finalmente cuál es la dirección de va con respecto a los ejes orientados.18 θ' = 180° − (70° + θ ° ) (¿por qué?) = 4. Geometría vectorial y analítica 443 . que para lograr su objetivo el piloto debe mantener una velocidad propia de 548. Módulo 26: Cinemática que θ = 105.4 km ⋅ h −1 en dirección S 4. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la velocidad propia? 5. con un viento del sur de 60 km/h. 0 0. Un avión vuela hacia un destino a 1. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del movimiento resultante? c. Una pequeña semilla volátil de un árbol muy alto alcanza una componente de velocidad vertical constante de 1 pie/seg casi inmediatamente después de que es disparada de su cono. ¿Cuánto tiempo demora en llegar al suelo? 6. El piloto desea hacer el viaje en dos horas. Hay un viento de 85 km/h proveniente del este. 444 .Ejercicios del capítulo 8 (módulo 26) 1. ¿Cuánto tiempo requiere el regreso? 2. ¿Qué distancia sobre la Tierra cubre el avión en 20 minutos? 3. a. 0 Determine: a. Un grupo de caminantes viaja a una velocidad promedia de 5 km/h y sigue esta trayectoria: Dirección NE S 50° E N 60° E NS SO N 35° O S 60° O Tiempo durante el cual conserva esta dirección (en horas) 1. Si el árbol tiene una altura de 180 pies y sopla un viento de 40 millas/h (en dirección horizontal) determine: a. 75 1.300 km al sur.200 km al nor-oeste de su punto de partida. A continuación se ilustra la ruta seguida por un avión desde su punto de partida (P). El piloto de un avión que vuela a una velocidad de 500 km/h con respecto al aire desea ir a una ciudad situada a 1. 0 1. ¿Qué tan lejos del árbol cae la semilla? b. 5 0.50 1. ¿En qué dirección deben viajar para regresar exactamente al punto de partida? b. ¿Cuánto tiempo requiere el viaje? 4. ¿En qué dirección debe volar el avión? b. ¿Cuál es la velocidad del avión respecto a la Tierra? c. hasta su destino (D) (figura 1). 0 1. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la velocidad resultante? b. a. Un avión viaja hacia el oeste a una velocidad con respecto al aire de 450 km/h y atraviesa una corriente de aire que se mueve hacia el sur a 20 km/h: a. ¿En qué dirección se mueve el avión respecto a la Tierra? b. Figura 1 Designamos en cada tramo: → va : la velocidad propia del avión. → vv : la velocidad del viento. → vR : la velocidad resultante. → → → Datos va vv vR Distancia Tiempo Trayecto Magnitud y dirección Magnitud y dirección Magnitud y dirección 1 350 km ⋅ h −1 ? 80 km ⋅ h −1 N 40° E ?? 400 km ? 2 380 km ⋅ h −1 N 50°E ?? −1 380 km ⋅ h N 68° E ? 2 h 30’ 3 ?? 100 km ⋅ h −1 N 70° E ?? 300 km 1h a. Efectúe los cálculos necesarios para determinar las incógnitas en cada tramo. b. Determine el tiempo total que demora el viaje. c. ¿A qué distancia del punto de partida está el punto de destino y en qué dirección? 7. Un hombre desea cruzar un canal de orillas perfectamente paralelas en un bote de remos, desde un punto A hasta un punto B, situado al norte de A y a una distancia de 3 km. El hombre puede mantener en el agua una velocidad de 4,0 km/h. a. En qué dirección debe orientar el bote y cuál es su velocidad resultante si: No hay corriente en el canal. Hay una corriente de oeste a este de 3 km/h. b. Cuánto tiempo invierte en el recorrido en cada una de las situaciones descritas. Geometría vectorial y analítica 445 c. Si el hombre viaja siempre orientando su bote hacia el norte y la corriente tiene una velocidad de 3 km/h en dirección oeste-este, determine: ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la velocidad resultante? ¿Qué tan lejos en la dirección de la corriente está el punto de llegada del punto de partida? ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la orilla opuesta en estas condiciones? 8. Un avión sale de un aeropuerto en dirección sur y mantiene una velocidad de 4,0 km/min con relación a la Tierra mientras asciende a un promedio de 0,30 km/h. Después de 0,50 min voltea al oeste, manteniendo la misma velocidad con relación a la Tierra y el mismo promedio de ascenso. Después de 1,0 min de despegar: a. ¿Qué tan alto está el avión? b. ¿En qué dirección está con respecto al aeropuerto? c. ¿Qué tan lejos está el punto en la Tierra directamente debajo del avión de aquel punto donde despegó? d. ¿Qué tan lejos está el avión del punto de donde despegó? 9. El piloto de un avión de combate que se encuentra en un vuelo de reconocimiento es informado por el portaviones que le sirve de base que este navío se encuentra a una distancia de 1.000 km en dirección norte, con respecto a la posición actual del avión, y que viaja con una velocidad resultante de 60 km/h en dirección 10 S-O. En este mismo momento el piloto recibe una información satelital sobre la presencia de un submarino enemigo, el cual se encuentra a 400 km de la posición del avión en una dirección N 23° E. Se le informa además que el submarino mantiene una velocidad resultante de 70 km/h con dirección S 30° E. El avión recibe la orden de interceptar el submarino en un tiempo exacto de 30 minutos y dispone de 10 minutos adicionales a partir de la intercepción para desarrollar las maniobras necesarias con el fin de neutralizar al submarino. Al cabo de este tiempo y tomando como referencia la posición de la intercepción, el avión tiene exactamente una hora para regresar al portaviones. Si en su vuelo hacia el submarino encuentra que el viento tiene una velocidad de 80 km/h en dirección N 40º O: a. Haga un diagrama utilizando una escala y el transportador en el cual se muestren con buena aproximación las posiciones relativas de los tres móviles. b. Determine la magnitud y la dirección de la velocidad resultante del avión para interceptar al submarino. c. Determine la magnitud y la dirección de la velocidad propia del avión para interceptar al submarino. Si una vez neutralizado el submarino se le informa al piloto que en su vuelo hacia el portaviones encontrará un viento con una velocidad de 100 km/h en dirección E-O, determine: a. La magnitud y dirección de la velocidad resultante del avión para llegar al portaviones. b. La magnitud y la dirección de la velocidad propia del avión para llegar al portaviones. c. La magnitud y dirección del desplazamiento resultante para el avión desde su posición inicial al recibir los reportes hasta alcanzar el portaviones. d. Todos los diagramas necesarios de desplazamientos y de velocidades para sustentar los cálculos de las cantidades requeridas. 446 Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo 27 Introducción Con relación a este tema únicamente analizaremos el concepto de trabajo cuando una fuerza constante actúa sobre un cuerpo que se mueve en una trayectoria rectilínea. Este caso James Prescott Joule particular nos permite presentar una aplicación práctica e importante del producto escalar, como también el manejo de elementos concretos estudiados en el módulo 25 correspondiente James Prescott Joule nació en Salford, Reino Unido, en 1818 a las fuerzas coplanarias y concurrentes. Consideramos que este nivel permitirá comprender y murió en la ciudad inglesa de Sale, en 1889. De profesión mejor el tema general del trabajo realizado por una fuerza variable, que es objeto de estudio físico, se le reconoce como el creador de la teoría mecánica específico en los cursos de cálculo y de física. del calor, y en su honor la unidad de la energía en el Sistema Internacional de medidas recibe el nombre de julio. Objetivos del módulo 1. Mostrar una aplicación del producto escalar de los vectores geométricos en el área de la dinámica, específicamente a través de un concepto fundamental en la física, como es el trabajo. 2. Integrar los conceptos ya estudiados de sistemas de fuerza coplanarias a este concepto. 3. Sentar las bases para el estudio posterior de este concepto en forma general. Preguntas básicas 1. ¿Cómo se determina el trabajo que una fuerza ejerce sobre un cuerpo? 2. ¿De quién depende el signo que caracteriza el trabajo? 3. ¿En qué unidades se mide el trabajo? Contenidos del módulo 27.1 Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo 27.2 Unidades de trabajo Vea el módulo 27 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 447 Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física 27.1 Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo Supongamos que en la figura 27.1 el cuerpo indicado se ha desplazado una distan- → cia AB bajo la acción de una fuerza constante F . Escuche la biografía de James Prescott Joule en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Figura 27.1 → Se define el trabajo realizado por una fuerza F sobre el cuerpo al desplazarse entre A → y B, y se designa por W, como el producto de la componente de F en la dirección del desplazamiento por la distancia recorrida. Esto es, → ⎯→ W = F cos α AB Ahora, si aplicamos ambos vectores en el centro de gravedad del cuerpo y revisa- mos la ecuación anterior, se tiene de la figura 27.2: Vea la animación Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Figura 27.2 → ⎯→ W = F cosα AB → ⎯→ = F AB cosα (conmutatividad en los reales) → ⎯→ = F i AB (definición del producto escalar). → En consecuencia, en las condiciones dadas, el trabajo realizado por la fuerza F se define también como el producto escalar entre los vectores correspondientes a la → ⎯→ fuerza F y al desplazamiento AB; es decir, → ⎯→ W = F i AB 448 Módulo 27: Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo Consecuencias Si observamos la ecuación inicial podemos hacer las siguientes afirmaciones: 1. El trabajo realizado sobre un cuerpo es cero cuando se da una cualquiera de las siguientes situaciones: → ⎯→ F = 0 ó AB = 0 o cos α = 0 (equivale a que α = 90° ). Esto significa que la fuerza es nula o no hay un desplazamiento o la fuer- → za F es perpendicular a la dirección del desplazamiento. → ⎯→ El trabajo es positivo si 0 ≤ α < 90° , en particular si F AB, y → ⎯→ tienen el mismo sentido; entonces, W = F AB . El trabajo es negativo si 90° < α ≤ 180°. 2. Si sobre un cuerpo actúan simultáneamente varias fuerzas concurrentes → → → → ⎯→ F1 , F2 , F3 ,..., Fk y producen un desplazamiento rectilíneo AB, entonces el trabajo que efectúa cada una de ellas sobre el cuerpo lo podemos deter- minar así: Designando como WR el trabajo producido por la fuerza resultante tenemos: → ⎯→ WR = FR i AB → → → ⎯→ = ( F1 + F2 + ... + Fk ) i AB → ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ = F1 i AB + F2 i AB + ... + Fk i AB (distributiva del producto escalar con respecto a la suma) = W1 + W2 + ... + Wk , es decir, el trabajo realizado por la fuerza resultante es igual a la suma de los trabajos producidos por cada una de las fuerzas concurrentes. → ⎯→ 3. No sobra recordar que si los vectores FR y AB están expresados en sus componentes rectangulares ya sea en el plano o en el espacio, esto es, si → → → → → → → ⎯→ → → → F1 = Fx i + Fy j + Fz k y AB = x1 i + y1 j + z1 k , entonces: → ⎯→ W = FR i AB = x1 Fx + y1 Fy + z1 Fz . Geometría vectorial y analítica 449 Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física 27.2 Unidades de trabajo Las ecuaciones que relacionan el trabajo nos indican que éste debe expresarse en términos del producto de la unidad de fuerza, por la unidad de distancia; en conse- cuencia, para los dos sistemas más comunes, tenemos: En el sistema MKSC, el trabajo se expresa en newton-metro, unidad que se llama joule y se abrevia J. Por tanto un joule es el trabajo producido por una fuerza de un newton actuando sobre una partícula que se mueve un metro en la dirección de esta fuerza. Teniendo en cuenta que en este sistema la unidad de fuerza es el newton (N) y que N = m ⋅ kg ⋅ s −2 , se concluye que J = Nm = m 2 ⋅ kg ⋅ s −2 . El nombre joule fue escogido en honor de James Prescott Joule (1818-1889), científico británico famoso por sus investigaciones sobre los conceptos de calor y energía. En el sistema cgs (centímetro, gramo, segundo), el trabajo se expresa en dina centímetro, unidad que se llama ergio y se abrevia erg. En consecuencia, erg = din ⋅ cm. Si tenemos en cuenta que 1 N = 105 din y 1 m = 10 2 cm, entonces 1 J = (105 din) ⋅ (10 2 cm) = 107 erg. Es necesario tener en cuenta otra unidad muy común para expresar la fuerza, que es el kilogramo fuerza, que se abrevia kgf. Un kgf = 9,81 newtons. Ilustración 15 Calcule el trabajo de una fuerza constante de 15 N cuyo punto de aplicación se mueve 10 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y el desplazamiento es: a. 0°. b. 45°. c. 90°. d. 120°. e. 180°. Solución Podemos, sin pérdida de generalidad, ilustrar la situación descrita mediante la figura → ⎯→ 27.3, en la cual designamos F = 15 N, OA = 10 m, α : ángulo determinado por ambos vectores; en esta forma podemos calcular el trabajo para cada valor de α así: Figura 27.3 450 Módulo 27: Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo a. Para α = 0° → ⎯→ W = F i AB → ⎯→ = F i AB cos α J = 15 × 10 J = 150 J. b. Para α = 45° W = 15 × 10 × cos 45° J = 106 J. c. Para α = 90° W = 15 × 10 × cos 90° J = 0 J. d. Para α = 120° W = 15 × 10 × cos120° J = −75 J. e. Para α = 180° W = 15 × 10 × cos180° J = −150 J. Ilustración 16 → → → Se tiene una fuerza F = 7 u x − 6 u y N actuando sobre una partícula que se desplaza desde el origen hasta un punto A (−3, 4, 16), donde las coordenadas están dadas en metros. Calcule el trabajo realizado por la fuerza en los siguientes casos: a. Si la trayectoria es una línea recta desde el origen hasta el punto A. b. Si la trayectoria es una línea recta desde el origen hasta el punto P1 (−3, 4, 0) y luego continuó en línea recta entre P1 y el punto A. c. Si la trayectoria es una línea recta desde el origen hasta un punto P2 (−3, 0, 0), luego avanzó en línea recta desde P2 hasta el punto P1 (−3, 4, 0) y por último continuó en línea recta desde P1 hasta el punto A. Solución En la figura 27.4 damos una idea general de la localización de los diferentes puntos según las trayectorias descritas. Geometría vectorial y analítica 451 Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física ⎯→ → → → a. En este caso OA = −3 u x + 4 u y + 16 u z y por tanto → ⎯→ W = F1 i OA J, W = −21 − 24 = −45 J. Figura 27.4 b. En este caso tenemos para cada uno de los dos tramos de la trayectoria descrita: ⎯→ → → OP1 = −3 u x + 4 u y , ⎯→ → → P1 A = A − P1 ↔ (−3, 4, 16) − (−3, 4, 0) = (0, 0, 16). ⎯→ → esto es, P1 A = 16 u z , y por tanto el trabajo en cada tramo corresponde a: → ⎯→ W1 = F i OP1 J → → → → = (7 u x − 6 u y ) ⋅ (−3 u x + 4 u y ) J = −21 − 24 = −45 J. → ⎯→ W2 = F i P1 A J → → → = (7 u x − 6 u y ) ⋅ (16 u z ) J = 0 J. Luego el trabajo total corresponde a W = W1 + W2 = −45 J. c. En este caso tenemos los siguientes tramos: 452 Módulo 27: Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo ⎯→ → OP2 = −3 u x , ⎯→ → → P2 P1 = P1 − P2 ↔ (−3, 4, 0) − (−3, 0, 0) = (0, 4, 0), ⎯→ → ⎯→ → → de donde P2 P1 = 4 u y , P1 A = A − P1 ↔ (−3, 4, 16) − (−3, 4, 0) = (0, 0, 16), ⎯→ → y en consecuencia P1 A = 16 u z . Ahora, el trabajo en cada tramo lo calculamos así: → ⎯→ → → → W1 = F i OP2 = (7 u x − 6 u y ) ⋅ (−3 u x ) = −21 J, → ⎯→ → → → W2 = F i P2 P1 = (7 u x − 6 u y ) ⋅ (4 u y ) = −24 J, → ⎯→ → → → W3 = F i P1 A = (7 u x − 6 u y ) ⋅ (16 u z ) = 0 J. En esta forma el trabajo total corresponde a W = W1 + W2 + W3 = −45 J. ¿Es casual que el trabajo total sea igual en los tres casos expuestos? ¿Se puede afirmar que si la fuerza es constante el valor del trabajo total es independiente de la trayectoria descrita? ¿Cuál es la justificación vectorial de este resultado? Ilustración 17 Calcule el trabajo efectuado por un hombre que arrastra un saco de harina de 65 kg por 10 m a lo largo del piso con una fuerza de 25 kgf y que luego lo levanta hasta un camión cuya plataforma está a 75 cm de altura. Solución Podemos identificar en el problema propuesto dos situaciones diferentes que se ilustran en la figura 27.5, así: Vea la animación Ilustración 16 en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Figura 27.5 Geometría vectorial y analítica 453 Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física a. En esta primera etapa, cuando el saco es arrastrado a lo largo del piso, desde su posición inicial (O) hasta una posición final (A) en un desplazamiento de 10 m, podemos observar las fuerzas que actúan sobre el saco, que corres- → ⎯→ ponden al peso P del saco y su opuesta FN (fuerza normal ejercida por el → piso sobre el cuerpo) además de la fuerza dada F . Como las dos primeras son perpendiculares a la dirección del desplazamiento, su trabajo es cero. Por tanto, en esta etapa el trabajo realizado por el hombre es: → ⎯→ W1 = F i OA → ⎯→ = F ⋅ OA cos 0° = (25kgf ) ⋅ (10 m) = (25 × 9,81 N) ⋅ (10 m) = 2.452, 5 J. → b. En la segunda etapa el hombre ejerce una fuerza T cuyo valor debe ser igual al peso del cuerpo, en dirección vertical y hacia arriba para romper el equili- brio vertical y producir un desplazamiento hacia arriba con una magnitud de 0,75 m entre las posiciones inicial A (final de la fase anterior) y final B. En consecuencia, el trabajo efectuado por el hombre en esta etapa es: → ⎯→ W2 = T i AB → ⎯→ = T ⋅ AB cos 0° = (65 × 9,8 N) ⋅ (0, 75 m) = 477, 75 J. Concluimos entonces que el trabajo efectuado por el hombre es: W = W1 + W2 = 2.452,5 + 477, 75 = 2.930, 25 J. Ilustración 18 Un cuerpo de 4 kg de masa se mueve hacia arriba en un plano inclinado 20° con respecto a la horizontal, como se indica en la figura 27.6. Sobre el cuerpo actúan las siguientes fuerzas: una fuerza horizontal de 80 N, una fuerza paralela al plano de 100 N, favoreciendo el movimiento, y una fuerza constante de fricción de 10 N que se opone al movimiento. Calcule el trabajo efectuado por el sistema de fuerzas actuantes sobre el cuerpo y el trabajo de cada fuerza cuando el cuerpo se desplaza entre A y B, si la distancia entre estos dos puntos es de 20 m. 454 Figura 27.7. como lo indica- mos en la figura 27.7 → → Debemos aclarar que P corresponde al peso del cuerpo. ⎯→ ⎯→ Como PN y FN son perpendiculares a la dirección del movimiento. esto es. → P = (4 kg) ⋅ (9. 2 N. su trabajo es cero y en consecuencia procedemos a calcular el trabajo de las restantes fuerzas actuantes así: → ⎯→ WR = FR i AB Geometría vectorial y analítica 455 . respectivamente perpendicular y paralelo al plano inclinado. ⎯→ ⎯→ → A su vez PN y Pp corresponden a la descomposición de P en dos vectores ⎯→ ortogonales. procedemos a calcular el trabajo de cada una de ellas.6 Solución Teniendo en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.8 m/s 2 ) = 39. FN es la ⎯→ ⎯→ fuerza que el plano inclinado ejerce sobre el cuerpo ( PN y FN son vectores opues- tos). P = masa × aceleración de la gravedad. Figura 27. Módulo 27: Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo Vea la animación Ilustración 17 en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. 2 sen 20° N)(20 m) × (−1) = −286 J. 456 .035. Para la tercera fuerza: → ⎯→ W3 = T3 AB cos180° = (10 N) ⋅ (20 m) × (−1) = −200 J.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física → → → → ⎯→ = (T1 + T2 + T3 + PP ) i AB → ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ = T1 i AB + T2 i AB + T3 i AB + PP i AB = W1 + W2 + W3 + WP .000 J.503. 5 J. Para la primera fuerza: → ⎯→ W1 = T1 AB cos 20° = (80 N) ⋅ (20 m) cos 20° = 1. el trabajo efectuado por el sistema de fuerzas actuante es 3. Por tanto.35 J. Para la cuarta fuerza: → ⎯→ W4 = PP AB cos180° ⎛ → ⎞ ⎯→ = ⎜ P sen 20° ⎟ AB cos180° ⎝ ⎠ = (39. Para la segunda fuerza: → ⎯→ W2 = T2 AB cos 0° = (100 N) ⋅ (20 m) = 2. Un automóvil sube por un camino de 3º de inclinación con una velocidad constante de 45 km ⋅ h −1 . Una avioneta usa un cable fino para tirar de un anuncio publicitario en línea recta con una velocidad constante de 280 km/h. a. hasta (2.Ejercicios del capítulo 8 (módulo 27) → 1. F = −(2 N) i + (6 N) j + (8 N) k . 4). 3. 0) hasta (2. paralelamente al eje x. A continuación arrastra el cajón sobre la plataforma a velocidad constante. Si la tensión en el cable es de 1400 N. A(−1. como se indica en la figura 1. Un hombre arrastra un cajón de 50 kg a velocidad constante a lo largo del piso. la tensión en la cuerda es de 20 kgf y la distancia cubierta a lo largo del piso es de 12 m. −1) → → → → b. a. y la distancia recorrida es de 4. Determine el trabajo realizado por la cuerda sobre el trineo. paralelamente al eje y. 3). → → → 6. Sobre una partícula actúa la fuerza F = (( y 2 − x 2 ) N) i + ((3xy) N) j . A(−5. 5. ¿Cuál es el trabajo efectuado por el motor en 10 s? Desprecie las fuerzas de fricción. 4) siguiendo las trayectorias que se describen a continua- ción. 2. b. 0).0 N y el ángulo de la cuerda con la horizontal es de 30°. − 4). A lo largo del eje x desde (0. Halle el trabajo efectuado por la fuerza al moverse la partícula del punto A(0.80 m por debajo del nivel de la plataforma. Para ello utiliza una cuerda que forma un ángulo de 40º con la horizontal. B(5. en cada uno de los siguientes casos (las coordenadas de los puntos están dadas en metros): → → → → a. El coeficiente de rozamiento cinético entre el cajón y el piso es de 0. 4) y. Calcule el trabajo efectuado sobre el cajón por cada una de las demás fuerzas actuantes. 0) y. 3. para cada uno de los tramos descritos. Calcule el trabajo efectuado por el hombre sobre el cajón en cada uno de los tramos descritos. Figura 1 3. → → → → c. pero el coeficiente de rozamiento cinético entre el cajón y la plataforma es ahora de 0. 3. 4. La superficie de la nieve es horizontal y está húmeda. 0) hasta (0. B(−1. 6. A(−2.45. 4). Geometría vectorial y analítica 457 . ¿qué trabajo realiza la fuerza que ejerce el cable sobre el anuncio durante un vuelo de 20 minutos? 4. b. 0) al punto B(2. una distancia de 8 m. 0. Finalmente baja el cajón hasta la base de un montacargas que se encuentra a 1.63. c. A lo largo del eje y desde (0. B(−2. − 2).0 m. F = (4 N) i + (−2 N) j + (5 N) k . Un trineo de 20 kg es arrastrado con velocidad constante mediante una cuerda. A lo largo del segmento AB. Calcule el trabajo realizado por una fuerza constante F cuando se aplica a un cuerpo que se mueve en línea recta entre las posiciones A y B. en las mismas condiciones respecto a la cuerda en su ángulo y tensión. hasta (2.50 m del nivel del piso. La tensión en la cuerda es constante e igual a 6. 1). La masa del automóvil es de 1.600 kg. Luego levanta el cajón hasta una plataforma horizontal de madera situada a 1. F = (1 N) i + (1 N) j + (1 N) k . Figura 2 458 . Determine el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre la caja (figura 2). La masa de la caja es de 70 kg y la distancia recorrida por la caja es de 11 m.45.7. El coeficiente de rozamiento cinético es de 0. Una caja de embalaje es arrastrada hacia arriba por una rampa a través de una cuerda cuya dirección es paralela a la rampa y con una tensión de 620 N. Diferenciar claramente entre el papel funcional del vector netamente geométrico y su Pierre Varignon nació en Caen (Francia). respecto a un punto cualquiera del plano. ya definido y caracterizado en el módulo 25. Objetivos del módulo 1. Mostrar la necesidad de refinar el vector geométrico para poder explicar otros efectos físicos. cuando las fuerzas que actúan sobre él no son concurrentes. surgiendo así el vector deslizante. francés. El estudio a fondo de este tema y todos los relacionados con él son objeto. Presentar una aplicación del producto vectorial en un concepto físico muy importante que da razón del estado de un cuerpo. lleva a la necesidad de caracterizar un caso restringido. como el caso de fuerzas concurrentes. Estableció además la regla de composición libre. pero también fue iniciado por Johann 3. Abordar el problema del equilibrio para cuerpos rígidos. religioso y matemático nulo. de los cur- sos de física cuyo estudio queremos motivar desde la perspectiva de la geometría vectorial. para quien la idea de Dios cobra un peso propio en su sistema filosófico). Preguntas básicas 1. Momento de una fuerza respecto de un 28 punto Introducción Aprovecharemos este concepto físico como un importante instrumento de síntesis en torno a los temas tratados. contribuciones que se llevaron fuerzas externas coplanares.6). cual es el vector deslizante. como ya lo hemos señalado. y su representación matemática en general como un producto análisis infinitesimal. ¿En qué modelos físicos se emplea el vector deslizante? 2. que nos permite obtener. para mantener el objetivo inicial que nos propusimos con esta unidad. 3. por así llamarlo. Este problema fue analizado en el módulo 25 para el al campo de la mecánica y la estadística. quedando pendiente el caso general que exige la descubrimiento de la espiral hiperbólica. ¿Qué es el momento o torque generado por una fuerza sobre un cuerpo? 3. nos limitaremos a algunos aspectos fundamentales. Matemático precursor del cálculo infinitesimal. entre otros. 2. (25. segunda condición correspondiente a que la suma vectorial de los momentos gene- Varignon fue uno de los eruditos iniciados en el círculo de rados por las fuerzas. Abordar nuevamente el problema general del equilibrio de un cuerpo. esto con- desarrolló la estática en su obra Nueva mecánica o estática. Estudiar propiamente la naturaleza y las características del momento de una fuerza Bernoulli en el estudio de los procedimientos del nuevo como objeto físico. También hizo algunos importantes aportes a la matemática 2. utilización como herramienta para representar algunos fenómenos físicos. ¿Qué mide realmente el momento? Vea el módulo 28 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 459 . cuando actúan sobre ellos y en especial a la geometría. guardando la coherencia necesaria. Dada la extensión y complejidad de sus aplicaciones. de fuerzas y formuló el principio de las velocidades virtuales. del vector aparecida en 1725. debe ser igual al vector Nicolás de Malebranche (filósofo. en 1654 y murió en París en 1722. los siguientes objetivos: Pierre Varignon 1. como es su momento o torque. vectorial. 1.1 Momento o torque de una fuerza respecto a un punto 28.3 Componentes rectangulares del momento de una fuerza 460 .Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Contenidos del módulo 28.1 Momento de una fuerza 28.1.1.2 Teorema de Varignon 28. puesto que la hélice rotaría alrede- dor del eje O en el sentido de las manecillas del reloj debido al momento que generan las dos fuerzas en su nueva posición. Figura 28.1b nos muestran una vista frontal de la hélice de un avión en → → Vea la animación Momento de una fuerza: un la cual están actuando dos fuerzas opuestas F y − F (igual magnitud. mientras que en la segunda no hay equilibrio rotacional. igual direc. Geometría vectorial y analítica 461 . como lo acabamos de anotar. la misma dirección y el mismo sentido. El caso particular que es objeto de estudio nos lleva a la necesidad de utilizar en este problema un vector que permita describir adecuadamente la situación física planteada.6 y cuya naturaleza geométrica nos permite formular y dar solución a la situación real plan- teada. − F es el mismo vector en ambas situaciones puesto que podemos aplicarlo en cual- quier punto del espacio manteniendo la misma magnitud. Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto 28. → Es importante señalar. en dos situaciones diferentes. problema real en su multimedia de ción y sentido opuesto).1 En ambas situaciones la suma de las fuerzas que actúan sobre el sólido rígido es igual al vector nulo. a traves de los conceptos que formulamos a continuación. que considerado como vector libre. Este vector es preci- samente el vector deslizante cuya caracterización hicimos en la sección 25. Sin embargo. porque las propiedades asociadas al objeto matemático no tienen necesariamente una equivalencia en los fenómenos físicos reales.1 Momento de una fuerza A propósito de un problema real Las figuras 28. en la primera el cuerpo está en equilibrio. pero la realidad física que representan ambas situaciones es bien distinta. Geometría vectorial y analítica.1a y 28. Las situaciones descritas nos muestran la necesidad de manejar con sumo cuidado los objetos matemáticos cuando los utilizamos para describir propiedades físicas. en consecuencia. 3 y 28. 462 .2 → Se define el momento o torque de la fuerza F con respecto al punto O y se designa → por τ 0 como: → → → τ0 = r × F .4. tomando como origen el punto O. O : un punto del sólido alrededor del cual éste puede rotar.1. El símbolo τ corresponde a una letra del alfabeto griego y se lee «tao». De la definición del producto vectorial se derivan las siguientes consecuen- cias que se pueden observar en las figuras 28. como se analítica. ⎯→ también se designa el momento con respecto al punto O por M 0 .2.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física 28. indica en la figura 28. 2.1 Momento o torque de una fuerza respecto a un punto Sean: Vea las animaciones Vectores deslizantes en → su multimedia de Geometría vectorial y F : una fuerza que está aplicada en un punto A de un sólido rígido. Figura 28. Observaciones 1. → r : el vector de posición de A. Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto Figura 28. no es el ángulo correcto. Magnitud de τ 0 → → → τ 0 = r F sen α . Vemos que en el ΔOAH rectángulo.4 → a. donde OH representa la distancia del punto O Geometría vectorial y analítica 463 .3 Figura 28. siendo α el ángulo que determinan los dos vectores cuando los aplicamos en un mismo punto. en muchas ocasiones se toma como el ángulo entre los dos vectores. erróneamente. que corresponde realmente a su suplemento pero que. Observemos que no necesariamente el ángulo → → determinado entre el vector r y la aplicación de F en su extremo. el trabajo también se expresa 464 . en el mismo sistema. por tanto. Recordando algo an- teriormente visto. Anotemos finalmente que las unidades en las que se expresa la magnitud del torque en el sistema MKSC corresponde al producto newton ⋅ metro. en consecuencia. tenemos que. A la distancia OH se le denomina brazo de palanca. que designamos respectivamente por Fr y F⊥ .5 → Se tienen. así: una componente paralela al vector r y otra componente → → perpendicular a éste.5. → Remitiéndonos de nuevo a la ecuación inicial para τ 0 podemos establecer otra interpretación interesante que se origina al descomponer la fuerza en dos compo- → nentes rectangulares. Cada expresión puede ser de mayor o menor utilidad. Figura 28. y una consecuencia inmediata → de la expresión anterior es que la magnitud del torque de la fuerza F es indepen- diente del punto de aplicación de ésta sobre su línea de acción. las siguientes expresiones para τ 0 : → → → → → → τ 0 = r F sen α = OH F = r F⊥ . puesto que la distancia de O a la recta es única. según los datos específicos del problema que se va a estudiar.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física → → a la línea de acción de F . se tiene también que: → → τ 0 = OH F . que OH = r sen α y. como podemos observar en la figura 28. como lo estudiamos en la definición del producto vectorial. Más adelante dare- mos una explicación detallada del significado del torque. designando como joule la unidad para el trabajo. Para el caso de la situación analizada el → → → vector τ 0 está «entrando» al plano determinado por r y F . la recta de acción de τ 0 representa el eje respecto al cual tiende a girar el cuerpo cuando está sujeto en O y → se le aplica la fuerza F . como se ve en la figura 28.3. En consecuencia. en caso contrario. Esta regla nos indica además el sentido del giro que la → fuerza F tiende a imprimir al sólido rígido. Geometría vectorial y analítica 465 . es perpendicular al plano que determinan los vectores → → → r y F cuando ellos no son paralelos.5.6. si el sentido es antihorario lo indicaremos con el símbolo → }. como lo indicamos en las figuras 28. asignándole signo negativo al módulo → de τ 0 . por tanto.4 y 28. → c. Sentido de τ 0 → El sentido de τ 0 está indicado por la regla de la mano derecha. No obstante. utilizaremos el joule únicamente para las unidades del trabajo y en el caso del torque los designamos explícitamente como newton ·metro. En este caso el sentido del giro es horario y por convención lo indicaremos con el símbolo | . 28. asignándole signo positivo al módulo de τ 0 . → b. Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto en este mismo producto. Dirección de τ 0 → → → → τ 0 ⊥ r y τ 0 ⊥ F y. alrededor de un eje determinado por la → línea de acción de τ 0 y que pasa por O. → → Sin embargo. Además.6 → Esta caracterización de τ 0 nos permite. → τ0 y la distancia de la recta al punto O es igual al cociente . → Recíprocamente. el momento τ 0 de una fuerza no determina la posición del punto de aplicación de la misma. el sentido de → F → τ 0 y el signo asignado nos permiten precisar a qué lado de O se determina la recta. el momento τ 0 de una fuerza F de magnitud. En efecto. determina completamente la recta de acción de F . dirección y sentido → dados. por último. → d. el momento τ 0 de una fuerza respecto a un punto no depende de la situación real del punto de aplicación de la fuerza a lo largo de su línea de acción (recordemos que la fuerza corresponde a un vector deslizante). Podemos plantear además una nueva expresión para el principio de 466 .Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Figura 28. la recta de → → acción de F se encuentra en un plano perpendicular al vector τ 0 y que pasa por O. Recta de acción de F → Como ya fue observado previamente. comprender cabalmente el signi- → ficado de este objeto físico que resumiremos así: la magnitud de τ 0 mide la tenden- → cia de la fuerza F a imprimir al sólido rígido un movimiento de rotación cuando el cuerpo tiene el punto O fijo. . como se indica en la figura 28... que: → → → → → → → → → → → → → → → r × FR = r × ( F1 + F2 + F3 + . Esto lo podemos simbolizar así: F y F' → → → → son equivalentes si y sólo si F = F' y τ 0 = τ 0' . Esto es particularmente útil en la descomposición de una fuerza en sus compo- nentes rectangulares. + τ n . + Fn ) = r × F1 + r × F2 + r × F3 + . si las fuerzas F1 .... No sobra destacar cómo la matemática crea instrumentos cada vez más refinados y ágiles que permiten forma- lizar propiedades validadas empíricamente como la antes citada. mucho antes de la introducción del álgebra vectorial. y de allí surgió el nombre para este teorema. + r × Fn → → → → = τ 1 + τ 2 + τ 3 + .7. Fn se aplican en un punto P. Sin embargo.. → → → → Esto es. F3 .7 El resultado anterior permite sustituir la determinación directa del momento de una → fuerza F por la determinación de los momentos de dos o más fuerzas componen- tes. puede resultar más útil en algunos casos des- → componer F en componentes que no sean paralelas a los ejes coordenados... 28. Debemos anotar que esta propiedad fue establecida por primera vez por el matemá- tico francés Pierre Varignon (1654-1722). por la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma. F2 . Geometría vectorial y analítica 467 .2 Teorema de Varignon El momento respecto de un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concu- rrentes es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto al mismo punto O..1. Figura 28. Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto transmisibilidad. podemos concluir inmediatamente. como consecuencia de todo lo anterior. en los siguientes térmi- → → nos: dos fuerzas F y F' son equivalentes si y sólo si son iguales y tienen momen- → → tos iguales respecto a un punto dado O. 3 Componentes rectangulares del momento de una fuerza En general. en su orden. Se tiene por tanto que: → → → → P = x i + y j + zk. → → → → F = Fx i + Fy j + Fz k . y en consecuencia → → → τ0 = P × F → = P × ( Fx i + Fy j + Fz k ) → → → = P × Fx i + P × Fy j + P × Fz k = τ x i + τ y j + τ z k. y.8. y de ésta. Fy .τ y y τ z de τ 0 indican la tendencia de la fuerza F a imprimir a un sólido rígido un movimiento de rotación alrededor de los ejes coordenados en su respectivo orden. → → donde los escalares τ x . Consideremos el momento τ 0 de una fuerza F de → → → componentes Fx . como se indica en la figura 28.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física 28.8 468 .1. respectivamente. y cuyo punto de aplicación corresponde a P( x. z ). Fz . Figura 28. la determinación del momento de una fuerza en el espacio se simplifica notablemente si se procede a la descomposición en sus componentes rectangulares en los ejes coordenados. para el vector de posición del punto de aplicación de la → → fuerza. (2) τ z = xFy − yFx . τ z = xFy − yFx . τ y = 0. (3) Destaquemos aquí una aplicación importante que corresponde al caso de fuerzas → coplanarias.9 y. 2. para esta situación. dos elementos importantes: → 1. Geometría vectorial y analítica 469 . Finalmente queremos resaltar. entonces la ecuación (3) nos representa la ecuación de dicha recta: τ 0 = xFy − yFx . Al sustituir estos valores en las ecuaciones (1). (2) y (3) se tiene que: τ x = 0.9). → → τ0 = τz k → = ( xFy − yFx ) k . por tanto. y un valor negativo indica que el vector → → τ 0 apunta hacia adentro del plano (la fuerza F tiende a hacer girar el sólido en sentido de las agujas del reloj alrededor de O). Si P ( x. z = 0 y Fz = 0. → → → i j k → → → → τ0 = x y z = ( yFz − zFy ) i − ( xFz − zFx ) j + ( xFy − yFx ) k . Un valor positivo de τ 0 indica que el vector τ 0 apunta «hacia afuera del → plano» (la fuerza F tiende a hacer girar el cuerpo en sentido contrario al de las agujas del reloj alrededor de O). y ) designa un punto cualquiera de la línea de acción de la fuerza → F . xFy − yFx − τ 0 = 0 (figura 28. por tanto. que corresponde a un vector perpendicular al plano xy como se esperaba. En este caso podemos asumir que la fuerza F está contenida en el plano xy como se indica en la figura 28. (1) τ y = zFx − xFz . Fx Fy Fz Esto significa que: τ x = yFz − zFy . Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto → Calculemos a su vez las componentes de τ 0 . o en forma equivalente. 9 Ilustración 19 → En la figura 28.10 Solución Podemos utilizar dos procedimientos diferentes.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Figura 28. Calcule el torque de la fuerza respecto al punto O y la ecuación de la línea de acción de ésta. Figura 28. La fuerza está contenida en el plano xy y forma un ángulo de → 50° con el semieje x. respectivamente. El vector de posición A forma un ángulo de 25° con respecto al semieje x y su magnitud es igual a 80 cm. así: En el primero procedemos a la determinación de las componentes rectangulares de → → A y F . → → → A = (0.8 m) sen 25° j 470 .10 se tiene una fuerza F de magnitud igual a 15 N que se aplica a un cuerpo en un punto A.8 m) cos 25° i + (0. 49) − y (9. 07 = 0. es decir. recurrimos a la definición de la magnitud τ 0 : → → → τ 0 = A F sen α . τ 0 = τ z = 5. ⎝ ⎠ = (0. → En la segunda forma. 64). 9. la ecuación de la línea de acción de F se obtiene considerando un punto genérico P ( x.338 0 = (5. → ⎛ → ° ⎞ → → Luego τ 0 = ⎜ A sen 25 ⎟ F = OH ⋅ F . 725 m) i + (0. 071N ⋅ m. 5.071 N ⋅ m. → τ 0 está «saliendo del plano xy». 725 0. y ) perteneciente a ella. Geometría vectorial y analítica 471 . Como podemos observar en la figura 28. 07 = x(11. con el signo positivo de acuerdo con el sentido del producto vectorial (regla de la mano derecha). 071 N ⋅ m) k . → → → i j k → → → → τ 0 = A × F = 0. 490 N) j . 641 11.338 m) j . 641 N) i + (11.8sen 25° ) ⋅15 N ⋅ m = 5. como: τ z = xFy − yFx . → → → F = (15 N) cos 50° i + (15 N)sen 50° j → → = (9. → Ahora. 49 x − 9. Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto → → = (0.11 tenemos que: α = 25° (¿por qué?). 490 0 esto es. o también 11. lo cual indica que la rotación alrededor de O tiene sentido antihorario. 64 y − 5. siendo las magnitudes de las fuerzas: F1 = 10 N. y la longitud de cada cuadrícula igual a 10 cm. F2 = 20 N. F3 = 12 N. F4 = 5 N. Figura 28. el torque resultante respecto al punto O y la ecuación de la línea de acción de la fuerza resultante para el sistema de fuerzas coplanarias que se indica en la figura 28.12.12 472 .Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Figura 28.11 Ilustración 20 Determine la fuerza resultante. ¿Corresponde el sistema anterior a un sistema de fuerzas concurrentes? Justifique su afirmación. → → → F3 = (5. → → → F2 = −(20 N) cos 45° i + (20 N)sen 45° j (¿por qué?).2 m) i + (0. Determinemos a continuación las componentes rectangulares de cada vector de posición para el punto de aplicación de cada fuerza. → → B = (0. → → F4 = −(5 N) j . Calculemos ahora el torque de cada fuerza. respecto al punto O.2 m) i + (0.14 N) j . → → F1 = −(10 N) i .73N) j . → → → i j k → → → → τ1 = A × F1 = −0. → → F4 = −(5 N) j . → → → D = (0.3 m) j . En consecuencia: → → → → → FR = F1 + F2 + F3 + F4 → → → = −(18.87 N) j y FR = 27. → → → F3 = (12 N) cos 63.5 m) j . 43° j (¿por qué?). 43° i + (12 N)sen 63.3 0 = (3 N ⋅ m) k . 2 m) j . −10 0 0 Geometría vectorial y analítica 473 .3 m) i + (0. 2 0.5 m) j . → → → C = (0. → → F1 = −(10 N) i . → → → A = −(0. Por tanto.14 N) i + (14. Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto Solución Expresemos inicialmente cada fuerza en sus componentes rectangulares.37 N) i + (10. → → → F2 = −(14. 77 N) i + (19.33 N. 5. 0. −14.14 0 → → → i j k → → → → τ 3 = C × F3 = 0. 604 N ⋅ m) k .Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física → → → i j k → → → → τ 2 = B × F2 = 0 0. ⎯→ Si E(0. entonces.77) y en consecuencia 19. es decir.3 0.87) − y(−18.5 0 = (7.5 0 = (0. lo cual nos indica que la rotación alrededor de O tiene sentido antihorario. La ecuación de la línea de acción de la fuerza resultante es: → τ x = xFy − yFx .87 x + 18.07 N ⋅ m) k .14 −14. 2 0.534 N ⋅ m) k . 2 0 = (−1N ⋅ m) k .37 10. ¿Se cumple que τ 0 ⊥ FR ? Justifique su respuesta.604 = x(19. esto es. 604 N ⋅ m.77 y − 9.3).604 = 0. → que τ 0 está «saliendo del plano xy».73 0 → → → i j k → → → → τ 4 = D × F4 = 0. 474 . 0 −5 0 → Por tanto el torque resultante τ 0 es: → → → → → → τ 0 = τ 1 + τ 2 + τ 3 + τ 4 = (9. → → τ 0 = τ z = 9. que corresponde a: 9. ¿es E un punto de la línea de acción de FR ? → ⎯→ Grafique la recta anterior.2. Solución Resolvamos el primer caso. λ ∈ (¿por qué?). y en consecuencia se tiene: ( x. → → → → b. A = 4 i + 3 j − 5 k . → → → → c. 2 −3 5 donde cada componente está expresada en N ⋅ m → luego τ 0 = 9. Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto Ilustración 21 → → → → Halle el momento respecto al origen de una fuerza F = 2 i − 3 j + 5 k en la cual sus componentes están dadas en newtons. cuando se aplica en un punto A. (3) x = 1 + 5λ ⎪⎭ Geometría vectorial y analítica 475 . y. A = i + j + k . A = 4 i + 6 j + 10 k . y. (1) x = 1 + 2λ ⎫ ⎪ → (2) x = 1 − 3λ ⎬ λ ∈ (ecuaciones paramétricas de la línea de acción de F ).1) + λ (2. donde todas las componentes están expresadas en metros. → Si P ( x.1.89 N ⋅ m. asumiendo que el vector de posición de A es: → → → → a. 5). → Determine en cada caso la ecuación de la línea de acción de F . i j k → → → τ0 = A × F = 1 1 1 = 8 i − 3 j − 5 k . z ) es un punto cualquiera de la línea de acción de F se cumple que: → → → P = A + λ F. − 3. z ) = (1. c. Halle el momento de esta fuerza respecto al punto A en las siguientes formas: a. como se indica en la figura 28. Descomponiendo la fuerza en componentes paralelas a AB y AD . Por tanto. Descomponiendo la fuerza en componentes paralela a AC y perpendicular a AC. b. 476 . ⎯→ → siendo α el ángulo determinado entre AC y F . tenemos inicialmente que → ⎯→ → τ A = AC × F . Figura 28. Empleando la definición.Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Ilustración 22 → Una fuerza F de 50 kgf actua en una esquina de una placa y en el mismo plano de ésta.13. → ⎯→ → τ A = AC F sen α . como se indica en la figura 28.13 Solución Aplicando la definición.14. 78º (¿por qué?). para ello utilizamos la figura 28.15. Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto Figura 28. 21 . 65 kgf ⋅ m.394 × 50 × sen 32. Figura 28.21º = 32. 78° kgf ⋅ m = 10. → Luego τ A = 0.15 Geometría vectorial y analítica 477 .14 −1 ⎛ 18 ⎞ ° Podemos observar que (C AB) = tan ⎜ ⎟ = 27. → Puede verificarse que el vector τ A está saliendo del plano de la placa y genera una rotación en sentido antihorario alrededor del punto A. Dejamos al lector el desarrollo del literal b y evaluemos el torque mediante la forma sugerida en el literal c. y por tanto ⎝ 35 ⎠ α = 60° − 27. → ⎯→ → ⎯→ ⎯→ → ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ⎝ ⎠ ⎯→ ⎯→ → → ⎯→ → Como AC × FAC = 0 (¿por qué?).394 × ⎜ F⊥ sen α ⎟ ⎝ ⎠ = 0.78° kgf ⋅ m = 10. 478 . y partiendo de la definición tenemos: τ A = AC × F = AC × ⎛⎜ FAC + F⊥ ⎞⎟ = AC × FAC + AC × F⊥ .394 × 50 × sen 32. entonces τ A = AC × F⊥ .Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física → Descomponemos a F en dos componentes con las características solicitadas que ⎯→ → designamos por FAC y F⊥ . y en consecuencia: → ⎯→ → τ A = AC F⊥ sen 90° ⎛ → ⎞ = 0.65kgf ⋅ m. respectivamente. La magnitud de la otra fuerza. F3 = −10 u x + 5 u y − 40 u z . si se aplican en el punto A(4. Dos fuerzas paralelas y del mismo sentido están separadas por una distancia de 0. 15). Calcule el torque de F con respecto al origen y determine la ecuación de la línea de acción de esta fuerza. Determine la ecuación de la línea de acción de la fuerza resultante en las condiciones del literal anterior. La magnitud de la fuerza resultante.5 m. − 3. Si una de las fuerzas es de 15 N y la línea de acción de la resultante está a 0. 15).Ejercicios del capítulo 8 (módulo 28) → → → → → → → → → 1. determine: a. − 3. c. Determine el torque resultante de las tres fuerzas con respecto al origen O. → → 2. Figura 2 Geometría vectorial y analítica 479 . Figura 1 3. F2 = −20 u x + 10 u z . Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.500 N. b.17 m de la otra fuerza. donde todas sus componentes están expresadas en newtons: a. En la figura 1 se tiene que F = 20 N. 4. Dadas las fuerzas F1 = 50 u x . Utilice la fuerza resultante para determinar el torque resultante. Determine el torque resultante para cada fuerza con respecto al punto O cuando cada una se aplica en el punto A(4. Determine en la figura 2 la fuerza que debe ejercerse sobre la palanca en el punto A para mover la caja si ésta tiene un peso de 1. b. Pruebe que el torque resultante es perpendicular a la fuerza resultante. e. d. 50 N y 70 N. El momento de F con respecto a O. de tres fuerzas F1 . respectivamente.5 m del punto de concurrencia de F1 y F2 Figura 3 → 6. como lo indica la figura 4. F2 . Si son concurrentes. Si la línea de acción de la fuerza F3 se encuentra a 1. Se aplica en el punto A. b. aplicada en el punto C. produce el mismo momento respecto de O. F3 de magnitudes iguales a 30 N. Determine: → a. Determine en la figura 3 la fuerza y el torque resultante. La fuerza más pequeña que. Determine el momento F de respecto al punto O. 480 . → → → b. c. → → → 5. aplicada en el punto B. una fuerza F de magnitud igual a 40 kgf. Figura 4 → 7. Una fuerza F de magnitud igual a 30 N actúa sobre la diagonal de la cara de una caja rectangular. en los siguientes casos: a. La fuerza horizontal que. si son mutuamente perpendiculares entre sí. como se indica en → la figura 5. con respecto al punto O. produce el mismo momento respecto a O. El vector de posición de A. La línea de acción de una fuerza F de magnitud 600 kgf pasa por los dos puntos A y B. La viga de la figura 7 es uniforme y mide 5 m de largo con un peso de 90 kgf. Figura 6 9. como se indica en la figura 6. → Determine el momento de F respecto al punto O empleando: a. Calcule la máxima distancia que el joven puede recorrer a partir de A manteniendo el sistema en equilibrio. Un joven que pesa 60 kgf camina a lo largo de la viga partiendo de A. Figura 7 Geometría vectorial y analítica 481 . b. Figura 5 → 8. La viga puede rotar alrededor del punto fijo B y reposa en el punto A. Represente la reacción en A como una función de la distancia x. El vector de posición de B. 000 kgf de peso se mantiene en posición horizontal mediante dos columnas situadas en sus extremos.200 kgf? 482 . 60 y 80 m de uno de sus extremos y cuyos pesos respectivos son 2.10.100 y 1. Un puente de 100 m de largo y 10. ¿Cuáles son las reacciones sobre las columnas cuando hay tres carros sobre el puente a 20.000. 1. cuyo nombre genérico se debe a que resultan de la intersección de un Módulo 32 plano y una superficie cónica. Apolonio fue el primero en hacer un estudio detalla. Módulo 31 La elipse Presentación Ejercicios Módulo 31 Desde unos cuatro siglos antes de nuestra era los griegos conocían la existencia de las cónicas. esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para lograr mejor iluminación. C. entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco.) fue conocido como el «Gran geómetra». la cual usó modelos geométricos para explicar la teoría planetaria. Geometría vectorial y analítica 483 . Esta propiedad permite encender un papel si se ubica en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo apunta hacia el Sol. de manera que los rayos incidentes sean paralelos al eje del espejo. se obtienen los llamados espejos elípticos. Mientras Apolonio estuvo en Pérgamo. En el caso de los espejos hiperbólicos. escribió la primera edición de su famoso libro Secciones cónicas. elipse e hipérbola. Fue uno de los Módulo 30 fundadores de la astronomía matemática griega. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico. Ejercicios Módulo 32 Entre los resultados más interesantes y útiles que obtuvo Apolonio acerca de las cónicas están las llamadas propiedades de reflexión o propiedades ópticas: si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje. Capítulo 9 Las cónicas: un enfoque 9 cartesiano Contenido breve Módulo 29 La circunferencia Ejercicios Módulo 29 Módulo 30 La parábola Apolonio de Perga (263 a. parabólicos o hiperbólicos. en el cual introdujo los términos parábola. La hipérbola do de estas curvas planas y en demostrar algunas de sus más relevantes propieda- des. entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Estudió en Alejandría y después visitó Pérgamo en donde habían Ejercicios sido construidas una biblioteca y una universidad semejantes a las de Alejandría. la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco. El geómetra grie- go demostró que si se pone una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico. 484 . en general. construida por Descartes a comienzos del siglo XVII. las cónicas son de suma importancia en la Física por el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elipses y que.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Adicionalmente. la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. En este capítulo se hace un estudio matemático de las cónicas con el uso de la geometría analítica. La circunferencia es una curva de las llamadas cónicas. Cuando se inventó la rueda (uno de los más maravillosos inventos de la historia). La rueda fue creada en el Neolítico y mejorada en la edad de los metales. hasta alcanzar la perfección de hoy.3 Problemas modelo acerca de la circunferencia Vea el módulo 29 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica 29.2 Ecuación de la circunferencia 29.1 Conceptos básicos 29. considerablemente el transporte de cuerpos pesados.2. con mucha facilidad la ecuación general de la circunferencia y los conceptos de rectas tangente y normal a la curva.4 Forma general de la ecuación de la circunferencia Geometría vectorial y analítica 485 . Para transportar cargas pesadas se usaban troncos a modo de rodillos. conquistar nuevos mundos o por mera curiosidad. se ve en la necesidad de depender de algún medio de locomoción. ¿Cómo se obtiene la ecuación de una circunferencia? 3. Objetivos del módulo El antecesor de la rueda fue un rodillo y su principal aplicación 1. ya sea para comer.1.1. ¿Qué es una circunferencia? 2. ¿Cualquier ecuación de segundo grado en x e y representa una circunferencia? 5. Preguntas básicas 1.1 Definición de circunferencia 29. durante la Cuando el hombre comienza a desplazarse. utilizados por tribus de todo el mundo. Estudiar la circunferencia como lugar geométrico definido en términos de dis rueda ha sufrido numerosos cambios a través de los tiempos tancia a un punto. al desarrollo de todo tipo de transporte terrestre. Presentar el concepto general de sección cónica como intersección de dos super se dio en los carros. ¿Qué significado tienen las constantes que intervienen en la ecuación de una circunferencia? 4. finalmente lo construyeron de una sola pieza. cuya invención dio inicio. el sistema horario. prehistoria.2.2. De esta manera se pueden estudiar con tiras de cuero.1 Superficie cónica 29. al unir los En este módulo se estudia la circunferencia desde el punto de vista analítico como troncos con maderas transversales y atar todo el conjunto un lugar geométrico en términos de distancias. La 2. La invención de la rueda ocurrió a partir de la observación de que un tronco cilíndrico facilitaba ficies.2 La circunferencia 29. La circunferencia 29 Introducción La circunferencia es uno de los elementos de la geometría más importantes y útiles en la vida del ser humano y está presente en casi todas las actividades que éste desarrolla: la música. los deportes. ¿Cómo se obtienen ecuaciones para rectas tangentes a una circunferencia? Contenidos del módulo 29. Un buen ejemplo de su utilidad es la rueda.2. posiblemente una superficie cónica circular con un plano perpendicular al eje de la superficie. la fabricación de armas. pues se obtiene al cortar Los primeros vehículos eran trineos de madera.2 Cónica 29. etc. se inició el desarrollo de todo tipo de transportes terrestres. 1 Conceptos básicos 29. En la figura 29.1. la recta AB es una generatriz. V es el vértice del cono.1 ←⎯→ En la figura 29.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano 29.2. El resultado de la rotación de esa generatriz alrededor del eje es el cono circular recto de dos mantos que se muestra en la figura 29.2 486 . Se trata de la superficie cónica circular. ←⎯→ cualquier recta como A′B′ es una generatriz de la superficie cónica. En general. Figura 29. Cada una de las dos partes en las que el vértice V separa la superficie se denomina manto del cono. En este estudio tendremos en cuenta únicamente el caso en que la generatriz rota de modo que cada punto suyo en movimiento describe una circunferencia. al rotar una alrededor de la otra. generatriz. Figura 29.2.1 se muestran el eje y una generatriz.1 Superficie cónica Una superficie cónica de dos mantos es la superficie generada por dos rectas que se cortan. La recta que rota se denomina vectorial y analítica. Vea la animación Generación de secciones cónicas en su multimedia de Geometría La recta fija se llama eje de la superficie cónica. se obtiene una curva de dos ramas llamada hipérbola (figura 29.6). Si el plano es paralelo al eje del cono.4 Geometría vectorial y analítica 487 . se obtiene una parábola (figura 29.3 Figura 29. Figura 29. la curva es una elipse (figura 29.5). la curva es una circunferencia (figura 29.3). Si el plano es paralelo a una de las generatrices del cono.2 Cónica Una cónica es una curva que se obtiene al intersecarse un plano con una superficie cónica. Si el plano es perpendicular al eje del cono y no pasa por V. Si el plano sólo se interseca con un manto del cono y no es paralelo al eje ni a las generatrices.1. Módulo 29: La circunferencia 23.4). pero no lo contiene. 29.2. Convencionalmente. todo 488 . Se entiende aquí CP como la longitud del segmento CP. el radio de ésta es r = CP. Se llama circunferencia de centro C y radio r al lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a C es constante e igual a r.5 Figura 29.7 se tiene una circunferencia de centro C. En la figura 29.1 Definición de circunferencia Sean C un punto del plano y r un real positivo.6 La anterior es una descripción geométrica de las cónicas. elipse e hipérbola.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Escuche el audio Apolonio y las cónicas en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Para un estudio más detallado desde la geometría analítica. En lo que sigue haremos un estudio introductorio de las cuatro cónicas: circunfe- rencia. parábola.2 La circunferencia 29. Figura 29. se recurre a una definición algebraica de las cónicas como lugares geométricos. 2 Ecuación de la circunferencia Si se tiene un sistema bidimensional de coordenadas cartesianas. k ). es sencillo en- contrar una ecuación para la circunferencia. Figura 29.2. Geometría vectorial y analítica 489 . si PC = r. C ) = r . pero en términos estrictos CP es un segmento radial.9). Supongamos que el centro tiene coordenadas ( h. Figura 29.8. Módulo 29: La circunferencia segmento con un extremo en el centro C y el otro en la circunferencia recibe también el nombre de radio. El punto P pertenece a la circunferencia si d ( P. Sea P( x. k ).7 29. Vea la animación La rueda en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Esta es la forma canónica de la ecuación de una circunferencia. Esto significa que PC2 = r 2 . esto es. y ) un punto del plano.8 Como caso particular se tiene la circunferencia de centro en el origen de coordena- das y radio r (figura 29. esto es. Según la figura 29. ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 . C (h. Solución CA = r . Encuentre el radio de la curva. Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro C (−2. La ecuación de la circunferencia es: ( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 = 52.9 En este caso. El radio de la circunferencia es r = 52 = 2 13. 3) y que pasa por el punto A(4. 4 − 3 −1 + 5 ⎞ ⎛1 ⎞ Pero C ⎛⎜ .Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Figura 29. − 1) . r 2 = (−2 − 4) 2 + (3 + 1) 2 = 62 + 42 = 52. ⎟ . la ecuación se reduce a: x2 + y2 = r 2 . En- cuentre la ecuación y el radio de la circunferencia. Solución El centro C es el punto medio de AB . 5).2. es decir. CA2 = r 2 . − 1) y B(−3. es decir. Una circunferencia tiene diámetro AB. C ⎜ 2 . 2⎟. 29. 2. ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ 490 . con A(4.3 Problemas modelo acerca de la circunferencia 1. La ecuación de la circunferencia es: 2 2 ⎛ 1⎞ 85 ⎜ x − ⎟ + ( y − 2) = . Módulo 29: La circunferencia 1 El radio es r = ( AB). sin la precisión de las coordenadas (figura 29. x0 + 1 Pero l ⊥ AC . 4 1 El radio es r = 85. 2 ⎝ 2 ⎠ 4 3. 2 1 1 r2 = AB 2 .10). por tanto. (1) y0 + 4 La pendiente de AC es mAC = . − 4) y es tangente a la recta de ecuación 2x + 3 y − 12 = 0. Encuentre la ecuación y el radio de la circunferencia cuyo centro es el punto C (−1. Como A está en la recta. y0 ) . l es la recta tangente y A el punto de tangencia. ( ml )( m AC ) = −1. r 2 = ⎡⎣(−3 − 4) 2 + (5 + 1) 2 ⎤⎦ 4 4 1 = (49 + 36) 4 85 = . entonces: 2 x0 + 3 y0 − 12 = 0. Geometría vectorial y analítica 491 . Hallemos las coordenadas de A( x0 . Figura 29.10 En la figura. Solución Hagamos un dibujo ilustrativo. 11) Figura 29. se obtiene: x0 = 3. 2). El centro tiene coordenadas D(h. Por tanto. 3x0 − 2 y0 − 5 = 0. C (4. − . Los vértices del triángulo ABC tienen coordenadas así: A(−2. 0). 0 = −1.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano 2 ml = − (¿ por qué ?). Solución (figura 29.11 La circunferencia circunscrita (que pasa por los vértices A. en el eje x (¿por qué?). 3 2 y +4 En consecuencia. 3 x0 + 1 2( y0 + 4) = 3( x0 + 1). Encuentre la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo. 4). B(−2. 4. es decir. B y C) tiene su centro D en la mediatriz de AB . − 4). 492 . y0 = 2 . 0) . Se deja al lector la deducción de la ecuación de la curva. (2) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y (2). El punto D equidista de A y C. Las coordenadas de A son: (3. −12(h − 1) = 16. D ⎜ − . 3 ⎛ 1 ⎞ Así. La ecuación anterior adquiere la forma: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0.4 Forma general de la ecuación de la circunferencia Partamos de la ecuación canónica centro-radio: ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 . (2) Esta es la llamada forma general de la ecuación de una circunferencia. 1 13 El radio es r = DC = 4 + = . (1) Desarrollando los cuadrados y reordenando se obtiene: x 2 + y 2 − 2hx − 2ky + h 2 + k 2 − r 2 = 0. 0 ⎟ es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ⎝ 3 ⎠ ABC. E = −2k . (h + 2) 2 + (0 − 4) 2 = (h − 4) 2 + 02 . 1 Se obtiene así que h = − . F = h 2 + k 2 − r 2 . Cabe preguntarse en este momento: ¿si una ecuación tiene esta forma general. (h − 4) 2 − (h + 2) 2 = 16. Módulo 29: La circunferencia DA2 = DC 2 . 3 3 La ecuación de la circunferencia es: 2 ⎛ 1⎞ 169 ⎜x− ⎟ + y = 2 . (3) ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 4 Geometría vectorial y analítica 493 . Completemos cuadrados en las expresiones en x y en y: D2 + E 2 − 4F 2 2 ⎛ D⎞ ⎛ E⎞ ⎜x+ ⎟ +⎜ y+ ⎟ = .2. Hagamos D = −2h. representa una circunferencia? Partamos ahora de la ecuación general (2) y tratemos de llegar a la forma canónica: ( x 2 + Dx ) + ( y 2 + Ey ) = − F . ⎝ 3 ⎠ 9 29. Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Para que (3) sea la ecuación canónica de una circunferencia. La expresión D 2 + E 2 − 4 F se denomina discriminante. el radio de la circunferencia es: 1 r= D2 + E 2 − 4F . se requiere que: D2 + E 2 − 4F > 0. ⎝ 2 2⎠ 494 . 2 Las coordenadas del centro de la curva son: ⎛ D E⎞ C ⎜ − . − ⎟. En este caso. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto E(6. 2) y B(1. 0). 0). Halle la ecuación de la circunferencia. ¿Lo son interior o exteriormente? Encuentre las coordenadas del punto de tangencia. 2 x 2 + 2 y 2 − 6 x + 10 y + 7 = 0.Ejercicios propuestos 1. Para la circunferencia anterior. B (4. 4 x 2 + 4 y 2 − 8 x + 28 y + 53 = 0. encuentre el radio y las coordenadas del centro: a. 3). C (6. A(−1. La ecuación de una circunferencia es 4 x 2 + 4 y 2 − 16 x − 20 = 0. C (5. Cierta circunferencia tiene ecuación ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 20. 498 . encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a ella y que pasan por el origen. b. el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia que pasa por los puntos dados: a. Una circunferencia tiene centro C (0. En caso afirmativo. Que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo. b. − 1). − 2) y es tangente a la recta de ecuación 5x − 12 y + 2 = 0. B (−7. 10. b. Inscrita en el triángulo. c. 4). − 4) averigüe si es interior o exterior a la circunferencia. Halle la longitud de la cuerda. Cierta circunferencia tiene ecuación canónica ( x + 4) 2 + ( y − 3) 2 = 36. 12. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje x y que pasa por los puntos A(4. Para cada uno de los puntos A(−5. Circunscrita al triángulo. Halle la ecuación de la circunferencia: a. 7) . 9 / 4). 2. 0). Halle la ecuación de la circunferencia concéntrica con la primera y que es tangente a la recta 5 x − 12 y = 1 . 5. 4. Una cuerda de la circunferencia x 2 + y 2 = 25 está sobre la recta de ecuación x − 7 y + 25 = 0. 6) y B (1. 7. − 2). 6. 4). 11. A(−2. Para cada una de las dos ecuaciones siguientes determine si se trata de una circunferencia. 3. Los vértices del triángulo ABC tienen coordenadas A(−1. 8. Demuestre que las circunferencias x 2 + y 2 + 4 x + 6 y − 23 = 0 y x 2 + y 2 − 8 x − 10 y + 25 = 0 son tangentes. C (−3. B (2. Encuentre la ecuación. 9. Demuestre que las circunferencias 4 x 2 + 4 y 2 − 16 x + 12 y + 13 = 0 y 12 x 2 + 12 y 2 − 48 x + 36 y + 55 = 0 son concéntricas. 2). −2). Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (4. 14.13. 1) y es tangente a la circunferencia x 2 + y 2 + 2 x + 6 y + 5 = 0 en el punto (1. ¿Puede una recta que pase por el punto (−1. Geometría vectorial y analítica 499 . 5) ser tangente a la circunferencia? ¿Por qué? 15. Encuentre el valor de la constante k para que la recta 2 x + 3 y + k = 0 sea tangente a la circunferencia de ecuación x2 + y 2 + 6 x + 4 y = 0 . Cierta circunferencia tiene ecuación x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 6 = 0. ¿Qué representan las constantes que intervienen en la ecuación de una elipse? 3. En este módulo presentaremos la elipse como un lugar geométrico en términos de distancias. ¿Cuál es la propiedad óptica de la elipse? 6. con en diferentes ramas de la ciencia. obtendremos su ecuación canónica general y estudiaremos algunas de sus propiedades más importantes. como la parábola. ¿Cuál es la ecuación canónica de una elipse? 2. y la conocida como propiedad óptica. como se indicó en la presentación del capítulo 9. cuales se rige el movimiento de los astros en la actual concepción del universo. La elipse 31 Introducción La elipse es otra de las curvas conocidas con el nombre genérico de secciones cónicas. ni paralelo al eje de la superficie. Como en la parábola. ¿Qué condición debe satisfacer una ecuación de segundo grado para que represente una elipse? 5. Presentar la elipse como lugar geométrico en términos de distancias a dos puntos fijos y analizar su propiedad óptica. tiene muchas propiedades que la hacen de gran utilidad enunciarse así: «Los planetas describen órbitas elípticas. permitido desarrollar muchas aplicaciones en la rama de la Física conocida como óptica. La elipse es la curva que se obtiene al intersecarse una superficie cónica y un plano que no es paralelo a Johannes Kepler (1571-1630) estableció las leyes por las ninguna generatriz de aquélla. sus propiedades ópticas han uno de los focos ocupados por el Sol». La primera de dichas leyes puede La elipse. ¿Cuántas clases de elipses hay según su ubicación con respecto a los ejes coordenados? 4. entre ellas las de las rectas tangente y normal. ¿Cómo se obtienen las ecuaciones para las rectas tangente y normal a una elipse? Vea el módulo 31 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 539 . Objetivo del módulo 1. Preguntas básicas 1. 1.1. k) 31.1 Elipse con centro en el origen y focos en el eje x 31. k) 31.3 Rectas tangente y normal a la elipse 31.2 Propiedades básicas de la elipse 31.1 Elipse horizontal con centro C(h.4 Elipse con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes coordenados 31.2.2 Elipse con centro en el origen y focos en el eje y 31.4.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Contenidos del módulo 31.1 Definición de elipse 31.6 Forma general de la ecuación de la elipse 540 .1 Caracterización de la elipse 31.2.5 Rectas tangente y normal a la elipse con centro distinto al origen de coordenadas 31.2 Elipse vertical con centro C(h.3 Elementos de la elipse 31.4.2 Ecuación de la elipse 31.1. 2 Propiedades básicas de la elipse Sea f la recta que contiene los dos focos de la curva (figura 31. Lo anterior significa que la curva está comprendida entre las dos rectas v1 y v2 .1 Caracterización de la elipse 31.1 Llamemos 2c a la distancia entre los focos. F2 puntos diferentes en el plano y a un real positivo.1 Definición de elipse Sean F1 . entonces V1 y V2 son puntos de la curva. Geometría vectorial y analítica 541 . la curva se reduciría a los focos. Sean V1 y V2 dos puntos en la recta f tales que F1 está entre V1 y F2 . V1 y V2 son los únicos puntos de la curva sobre la recta f. en efecto. si c > a. respectiva- mente (figura 31.1. Figura 31. Se llama elipse de focos F1 y F2 al lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias Vea la animación La elipse en su multimedia a los focos es igual a 2a . Módulo 31: La elipse 31. Es fácil probar que si la distancia de V1 a F1 es ( a − c) y la distancia de V2 a F2 es ( a − c) . el lugar geométrico sería vacío.2). Por tanto. si c = a.1). 31. Puede probarse fácilmente que: QF1 + QF2 > 2a. Sean ahora v1 y v2 las rectas del plano perpendiculares a f en V1 y V2 . Q no puede pertenecer a la elipse. de Geometría vectorial y analítica. Además. Similarmente ocurre con puntos del plano cuya proyección sobre f sea tal que V1 está entre dicha proyección y F1 . y F2 está entre F1 y V2.1. Es claro que c < a.2 Sea Q un punto del plano cuya proyección sobre f es Q' y tal que V2 está entre F2 y Q'. Figura 31. En consecuencia. Figura 31. achatada en B1 y B2 (V1V2 > B1 B2 ).3 Existen sobre b. De este modo.3). punto medio de V1V 2 y B1B2 . Llamemos 2b la distancia entre B1 y B2 . dos puntos B1 y B2 tales que B1 F1 = B1 F2 = a y B2 F1 = B2 F2 = a . una curva cerrada.4 La curva es similar al corte transversal de una pelota de rugby. como se muestra en la figura 31. y por ende el punto C. con dos ejes de simetría ortogonales entre sí y un centro de simetría. es centro de simetría de la elipse.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Sea ahora b la recta perpendicular a f en el punto medio C de F1 F2 (figura 31. esto es. Puede deducirse fácil- mente que: b2 + c 2 = a 2 . B1 B2 = 2b.4. La elipse es. con respecto a C. B1 y B2 pertenecen a la elipse. a uno y otro lado de f. Figura 31. De lo analizado hasta ahora puede deducirse que las rectas f y b son ejes de simetría de la curva. 542 . b < a . entonces. Su longitud es 2a. existe la relación: b2 + c 2 = a 2 . Radio vector: si Q es un punto de la elipse. Diámetro: cualquier cuerda que pase por el centro. Eje mayor: el segmento V1V 2 contenido en el eje focal. Cuerda: cualquier segmento que une dos puntos de la elipse. En la figura 31. En la figura 31.3 Elementos de la elipse La elipse tiene unos elementos básicos que la identifican.5.5 Focos: F1 y F2 (la distancia entre ellos es 2c). En la figura 31. V1V 2 y B1 B2 son cuerdas. Eje focal: la recta f que pasa por los vértices y los focos.5. Módulo 31: La elipse 31. En la figura 31. V1V2 y B1B2.5. Lado recto: cada una de las dos cuerdas focales perpendiculares al eje focal.5. Vértices: V1 y V2 (la distancia entre los dos es 2a). Eje normal: la recta n que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal de la elipse. y que se ilustran en la figura 31. V1V 2 y B1 B2 son diámetros. Geometría vectorial y analítica 543 . Figura 31. MN y RS son cuerdas focales. RS es un lado recto. b y c que identifican la elipse. Centro: el punto medio C de los segmentos F1F2. Su longitud es 2b. PQ .5. Eje menor: el segmento B1 B2 contenido en el eje normal.1. LE . Entre los números a. Cuerda focal: cualquier cuerda que pasa por uno de los focos. entonces los segmentos QF1 y QF2 son radios vectores del punto Q. y ) un punto de la elipse. V2 (a.6 Además. P debe satisfacer: d ( P. 0) los focos de la curva (figura 31.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano 31. Sea P ( x.6). F1 P ↔ ( x + c. F1 P + F2 P = 2a.1 Elipse con centro en el origen y focos en el eje x En este caso. 0) y F2 (c.2 Ecuación de la elipse 31. y). b2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b2 . De aquí se obtiene: 544 . 0). 0). −b). B2 (0. ( x + c ) 2 + y 2 = 2a − ( x − c ) 2 + y 2 .2. Por tanto. F2 ) = 2a. el eje x es el eje focal y el eje y es el normal. F1 ) + d ( P. ⎯→ ⎯→ Es decir. b). ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ Determinemos F1P y F2 P. Elevando ahora al cuadrado y reordenando: ( a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 − c 2 ). en consecuencia. Sean F1 (−c. Pero. Figura 31. Elevando al cuadrado y simplificando se obtiene: a ( x − c ) 2 + y 2 = a 2 − cx. y) y F2 P ↔ ( x − c. y de- terminando estas magnitudes y sustituyendo en la ecuación se tiene: ( x + c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 = 2a. V1 (−a. B1 (0. a2 − c2 = b2 . En consecuencia. C (− a. Figura 31. se obtiene: b2 y=± . el eje normal (el eje y) y el centro (el origen). c2 y 2 + = 1. entonces R1 y R2 tienen abscisa –c. B (−a. −b ≤ y ≤ b. b). a 2 b2 Teniendo en cuenta que b2 + c 2 = a 2 . De la ecuación se deduce: − a ≤ x ≤ a.7 De la ecuación puede deducirse además que la elipse no tiene asíntotas. Por otra parte. Por tanto. el gráfico de la elipse está contenido en el rectángulo de vértices A(a. la llamamos elipse horizontal. − b) (figura 31. a2 b2 Esta es la ecuación canónica de la elipse de centro en el origen y que tiene al eje x como eje focal. b).7). si R1 R2 es el lado recto correspondiente al foco F1 (figura 31. Por el hecho de que el eje focal de esta elipse es paralelo al eje x. Módulo 31: La elipse x2 y2 + = 1. se trata de una curva cerrada. a Geometría vectorial y analítica 545 .7). − b). Es fácil deducir que la curva en estudio es simétrica con respecto a: el eje focal (el eje x en este caso). D(a. o «delgada» (figuras 31. según el grado de cercanía entre los focos y el centro. mientras que una excentricidad cercana a 1 (uno) corresponde a una elipse muy «achatada» o «alar- gada». la longitud de cada lado recto de la elipse es: 2b2 ρ= . 0 < e < 1 . ⎛ b2 ⎞ ⎛ b2 ⎞ R1 ⎜ −c. lo que significa que la curva es «cercana» a una circunferencia. Elipse «redonda» 546 . a La elipse puede ser más «redonda» o menos «redonda». Una excentricidad cercana a cero indica que los focos están muy próximos al centro.9. Elipse «media» Figura 31. ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ b2 ⎛ b2 ⎞ R1 R2 = −⎜− ⎟ a ⎝ a ⎠ 2b 2 = . denotada e. ⎟ .8. a En síntesis. 31.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Así. a Por lo estudiado. al cociente entre c y a: c e= . Figura 31.8.9 y 31. Se llama excentricidad de la elipse.10). − ⎟ y R2 ⎜ −c. Módulo 31: La elipse Figura 31.10.2. entonces: d ( P.11). Sea. la ecuación canónica de la elipse es: x2 y 2 + = 1. esto es. F2 ) = 2a. si P ( x. Elipse «alargada» 31. c). Definimos b de modo que: b2 + c 2 = a 2 . En este caso (figura 31. y ) es un punto de la curva. F2 (0. F1 P + F2 P = 2a. En este caso. Los focos tienen coordenadas así: F1 (0. 2a la constante que define la elipse. el eje focal es el eje y.2 Elipse con centro en el origen y focos en el eje y A esta elipse la denominaremos vertical. F1 ) + d ( P. − c). ⎯→ ⎯→ esto es. Como en el caso anterior. b2 a 2 Geometría vectorial y analítica 547 . c < a. como antes. mientras que el eje normal es el eje x. La longitud del eje menor. a Ilustración 6 La ecuación canónica de una elipse es: x2 y 2 + = 1. V1V2 es el eje mayor y mide 2a. también. B1 ( −b. Además. La excentricidad de la elipse continúa siendo: c e= . El eje focal. 0). − a). 6. La excentricidad. 5. 0) y B2 (b. Las coordenadas de los extremos del diámetro PQ tal que Q tiene ordenada 3. 2. La longitud del eje mayor. 4. a La excentricidad tiene el mismo significado que en el caso de la elipse horizontal. en tanto que B1 B2 es el eje menor y mide 2b. V2 (0. 2b2 ρ= . 548 . 3. Las coordenadas de los focos.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Figura 31.11 Las coordenadas de los vértices son V1 (0. 25 36 Encuentre para esta curva: 1. 7. Es fácil deducir que en este caso la longitud de cada lado recto es. Las coordenadas de los vértices. a ). y que a 2 = 36. 3 ⎟⎟ un extremo del diámetro. dos puntos de la curva con ordenada y = 3 (esto se debe a las simetrías de la elipse). Para y = 3 : x2 9 + = 1. − 11) y F2 (0. Las coordenadas de los extremos de los dos lados rectos. El otro extremo. el eje normal es el eje x. en consecuencia. Teniendo en cuenta que a 2 = b 2 + c 2 . 6. Solución 1. 6). se tiene que: a = 6. la curva tiene como eje focal al eje y (es una elipse vertical). Por tanto. pues.553. − 6) y V2 (0. La longitud del eje mayor es 2a = 12 . La longitud del eje menor es 2b = 10 . 25 36 5 3 Luego x = ± . es el simétrico ⎝ 2 ⎠ de Q con respecto al origen. b 2 = 25 . ⎛5 3 ⎞ Sea Q ⎜⎜ . Por tanto. La excentricidad de la elipse es: c 11 e= = ≈ 0. La longitud de cada lado recto. ⎝ 2 ⎠ ¿Cuál es la longitud del diámetro PQ ? 7. b = 5 y c = 11. a 6 Geometría vectorial y analítica 549 . 3. 9. 11). el denominador de x 2 (25) es menor que el de y 2 (36). 2. Las coordenadas de los focos son: F1 (0. Las coordenadas de los vértices son: V1 (0. En la ecuación de la curva. Tomemos sólo el caso en que x > 0 . 4. − 3 ⎟⎟ . Módulo 31: La elipse 8. ⎛ 5 3 ⎞ P ⎜⎜ − . P. 5. 2 Hay. y los focos y los vértices están en el eje y. ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 9.12 550 . 11 ⎟ y R2 ⎜ . a En la figura 31. Figura 31. 6 En consecuencia. Ambos tienen ordenada c = 11 . La longitud del lado recto es: 25 ⎛ 25 ⎞ 25 ρ= −⎜− ⎟ = . Sean R1 y R2 los extremos del lado recto que pasa por F2 .Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano 8. 6 ⎝ 6⎠ 3 b2 Nótese que ρ = 2 . 11 ⎟ . 25 36 25 De aquí se obtiene x = ± . x2 11 + = 1.12 se aprecia la gráfica de la curva. ⎛ −25 ⎞ ⎛ 25 ⎞ R1 ⎜ . Por tanto. b2 y0 y la pendiente de la recta normal (siempre que P no sea uno de los vértices) es: b2 y0 mn = . diferente de los vértices. Demostración Consideremos el caso de la elipse horizontal de centro en el origen (figura 31. Teorema 1 a.13 Geometría vectorial y analítica 551 . entonces la pendiente de la recta tangente a la curva en P es: a2 x0 m=− . Figura 31. Si una elipse vertical tiene centro en el origen y P( x0 . b2 x0 b. y0 ) es un punto de la curva que no esté en el eje normal. Si una elipse horizontal tiene centro en el origen y P( x0 .3 Rectas tangente y normal a la elipse Enunciaremos. Módulo 31: La elipse 31. y0 ) es un punto de la curva. a2 x0 La elipse tiene una propiedad óptica (también llamada propiedad focal) que se enuncia así: Teorema 2 La recta normal a una elipse en un punto cualquiera diferente de los vértices es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto. entonces la pendiente de la recta tangente a la curva en P es: b2 x0 m=− . un teorema que permite hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una elipse en un punto dado de ella. a2 y0 y la pendiente de la recta normal (siempre que P no esté en el eje normal) es: a2 y0 mn = . sin demostración.13). –5) y (0.13. mPF − mn tan β = 2 1 + mn ⋅ mPF 2 y0 a2 y − 2 0 x − c b x0 = 0 2 . y el ángulo entre n y el radio focal PF2 es β . El ángulo entre n y la recta que contiene al radio focal PF1 es α . Nota: en los puntos B1 y B2 de la elipse. la recta tangente es horizontal. a la elipse en P. el cual es. bisectriz de los ángulos F1 B1 F2 y F1 B2 F2 . evidentemente. b2 Por otra parte. b2 Por tanto. Luego α = β y. 3. Las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en los puntos de 552 . n es bisectriz del ángulo F1 PF2 . La ecuación canónica. mn − mPF tan α = 1 1 + mn ⋅ mPF 1 a 2 y0 y − 0 b x0 x0 + c 2 = . respectivamente. tan α = tan β . a y0 y0 1+ 2 b x0 x0 − c Simplificando se llega a: y0 c tan β = . Las coordenadas de los focos. t y n son las rectas tangente y normal. por ende. 2. 5) y excentricidad 3/5. y la recta normal es el eje y. Encuentre para la curva: 1. Ilustración 7 Una elipse tiene vértices (0.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano En la figura 31. a 2 y0 y0 1+ 2 b x0 x0 + c Reordenando y simplificando se obtiene: y0 c tan α = . Este teorema se conoce como propiedad focal de la elipse. a = 5 . Las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en los vértices y en los extremos del eje menor. 16 25 3. En los puntos de abscisa 2. a 3 c Así. x = 2 : 4 y2 + = 1. V1 (0. la elipse es vertical. Como los focos están en el eje y. 2.14): ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ P1 ⎜ 2. − 5) y V2 (0. la ecuación es: x2 y 2 + = 1. c e= . Los focos son: F1 (0. 1. 2a = 10. − 3) y F2 (0. ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Geometría vectorial y analítica 553 . = . c = 3 . a 2 = b 2 + c 2 . Solución Dado que los vértices están sobre el eje y. − 3 ⎟ y P2 ⎜ 2. 3) . Además. Módulo 31: La elipse abscisa 2. 5 5 Por tanto. 5). 2 Hay dos puntos de abscisa 2 (figura 31. pero a = 5 y c = 3 . 3 ⎟. Por tanto. al igual que las dos rectas normales. 16 25 De aquí se obtiene: 5 y=± 3. 4. Por tanto. b = 4 . demuestre que las dos rectas tangentes se intersecan en el eje x. y el centro es el origen (¿por qué?). 12 4 3 mn = . 5 Las ecuaciones de las rectas son: Para P1 : 554 .Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Figura 31. a2 x0 Para P1 : 25 2 m=− 16 ⎛ 5 ⎞ ⎜− 3⎟ ⎝ 2 ⎠ 5 3 = .14 Las pendientes de las rectas tangente y normal en el punto P( x0 . respectivamente: a2 x0 m=− . 12 La ortogonalidad entre las rectas tangente y normal nos lleva a: 4 3 mn = − . y0 ) son. b2 y0 b2 y0 mn = . 5 Para P2 : 5 3 m=− . se tiene: 5 3 10 3 5 3 10 3 x− =− x+ . Similarmente puede probarse que las dos rectas normales se intersecan en el punto Geometría vectorial y analítica 555 . (2) 5 10 Se deja al lector la obtención de las ecuaciones para las rectas tangente y normal a la curva en P2 : Recta tangente: 5 3 10 3 y=− x+ . 0). Sustituyendo x en (1): 5 3 10 3 y= 8− 12 3 = 0. Para ello resolvamos simultáneamente las ecuaciones (1) y (3): Igualando las ordenadas. 4 4 Se obtiene así: x =8. (1) 12 3 Recta normal: 5 3 4 3 y+ =− ( x − 2). 2 5 4 3 9 3 y=− x− . En consecuencia. 2 12 5 3 10 3 y= x− . las dos tangentes se intersecan en el punto (8. 12 3 12 3 3 Multiplicando por : 5 3 x x − 2 = − + 2. (4) 5 10 Hallemos la intersección de las rectas tangentes a la elipse en P1 y P2 . Módulo 31: La elipse Recta tangente: 5 3 5 3 y+ = ( x − 2). (3) 12 3 Recta normal: 4 3 9 3 y= x+ . En ambos casos la recta normal es el eje y: x = 0 . Elipse vertical: eje mayor paralelo al eje y. 31.4 Elipse con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes coordenados Mantendremos la notación utilizada en los casos iniciales: 2a: distancia entre los vértices V1 y V2 . 2b: distancia entre los extremos del eje menor. 31. Como el eje es paralelo a un eje. el eje focal es la recta y = k . b2 + c2 = a2 . En los vértices. Además. 556 . las rectas tangentes son verticales: x = −4. Tangente en V1 : y = −5.4. En los puntos B1 y B2 . Por tanto. 0 ⎟.1 Elipse horizontal con centro C (h. 2c: distancia entre los focos F1 y F2 .15). ⎝ 8 ⎠ 4. x = 4. Tangente en V2 : y = 5. k) En este caso ( figura 31.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano ⎛ 9 ⎞ ⎜ − . mientras que el eje normal es la recta x = h. debemos considerar dos casos: Elipse horizontal: eje mayor paralelo al eje x. las rectas tangentes son horizontales. Las rectas normales son en ambos casos el eje x: y = 0. Las coordenadas de P (un punto cualquiera en el plano) son: P ( x. ⎯→ → → CP = x' i + y' j . El punto C es el origen del nuevo sistema de coordenadas: x' − y' . V1 (−a. entonces en el sistema nuevo P( x' . y ) es un punto de la elipse. V2 (a. Teniendo en cuenta que OP = OC + CP. 0). Como además el centro C es el origen del sistema nuevo. ⎯→ → → OP = x i + y j . como se sabe del módulo anterior. Módulo 31: La elipse Figura 31. − b) y B2 (0. b).15 ⎯→ Hagamos una traslación de ejes definida por el vector OC. y ') en el sistema nuevo x' − y' . y ) en el sistema original x − y . teniendo en cuenta la { } base ortonormal i. en éste se cumple: C (0. permiten pasar de un sistema coordenado al otro. B1 (0. 0). y' ) . ⎯→ → → OC = h i + k j . 0). F1 (−c. 0). Si P ( x. F2 (c. se obtienen las relaciones: x = x' + h ⎫ ⎬ (1) y = y' + k ⎭ y x' = x − h ⎫ ⎬ (2) y' = y − k ⎭ Estas relaciones. Geometría vectorial y analítica 557 . 0). P( x '. j para el espacio de los vectores libres en el plano. 16. una traslación de ejes mediante el vector ⎯→ → → OC = h i + k j . k ). En el sistema original se tiene: Centro: C (h. k + a ). k ). a2 b En el sistema original. F2 (h. k ) . k + b). Vértices: V1 (h. k − b). Vértices: V1 (h − a. V2 ( h + a. y la longitud de cada lado recto es a 2b2 . k ). k) Este caso se ilustra en la figura 31.Capítulo 9: Las cónica: un enfoque cartesiano La ecuación de la elipse. Haciendo. k ). Focos: F1 (h. k − c). Extremos del eje menor: B1 (h. Focos: F1 (h − c.2 Elipse vertical con centro C (h. k + c). c La excentricidad de la curva sigue siendo e = . Eje normal: la recta x = h. como en el caso anterior. k − a ). B2 (h.4. esta ecuación se transforma en: ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 a2 b2 Esta es la ecuación canónica de la elipse horizontal con centro fuera del origen. V2 (h. en el nuevo sistema. F2 (h + c. Los ejes de la elipse son: Eje focal: la recta y = k. 558 . se obtiene la ecuación canónica de la curva: ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 b2 a2 Coordenadas de los puntos principales: Centro: C (h. ρ= a 31. k ) . es: ( x' ) 2 ( y' ) 2 + 2 = 1. k ).16 31. B2 (h + b. k ). Figura 31. y P ( x0 .5 Rectas tangente y normal a la elipse con centro distinto al origen de coordenadas Recurriendo al teorema 1 y al concepto de traslación de ejes puede obtenerse el siguiente resultado: si una elipse tiene centro C (h. a2 ( y0 − k ) Pendiente de la recta normal (siempre que P no esté en el eje normal): a2 ( y0 − k ) mn = . y0 ) es un punto de ella. entonces: Elipse horizontal Si P no es un vértice: Pendiente de la recta tangente: b2 ( x0 − h) m=− . b2 ( x0 − h) Geometría vectorial y analítica 559 . k ). Módulo 31: La elipse Extremos del eje menor: B1 (h − b. (2) 560 . k + a) V1 (h − a. a2 b2 Distancia entre los focos: 2c. k ) B1 (h. y0 ) : mN a2 ( y0 − k ) b2 ( x0 − h) b2 ( y0 − k ) a2 ( x0 − h) Pendiente de la recta tangente: a2 ( x −h) . de la ecuación canónica de la elipse de eje vertical se obtiene: x=h y=k Tabla 31. sin importar si la elipse es hori- a2 b2 zontal o vertical: + + Distancia entre los vértices: 2a. . b ( y0 −k) recta tangente en Pendiente de la P ( x0 . k ) V2 (h. k − a) los vértices Transformemos la ecuación canónica de la elipse horizontal: ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1. k + b) B2 (h + b. m=− 2 0 . k ) c Excentricidad: e = .1 se resumen algunos elementos de la elipse de centro C ( h. y0 ) : m b2 ( y0 − k ) Pendiente de la recta normal: a2 ( x0 − h) a2 ( y0 − k ) b ( x0 − h) b2 ( y0 − k ) mn = .6 Forma general de la ecuación de la elipse V2 (h + a.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Elipse vertical Pendiente de la recta normal en Si P no está en el eje normal: P( x0 . (1) Ve r t i c a l : Horizontal: Eje focal Similarmente. Ve r t i c a l : Horizontal: x=h y=k De aquí se llega a: b 2 x 2 + a 2 y 2 − 2hb 2 x − 2ka 2 y + (b 2 h 2 + a 2 k 2 − a 2 b 2 ) = 0. k ) V1 (h. a2 b2 Eje normal b 2 ( x − h) 2 + a 2 ( y − k ) 2 = a 2 b 2 . . a Coordenadas de 31.1 a 2 x 2 + b 2 y 2 − 2ha 2 x − 2kb 2 y + ( a 2 h 2 + b 2 k 2 − a 2 b 2 ) = 0. extremos (eje menor) Coordenadas de los Relación entre estas tres cantidades: a2 = b2 + c2 . a2 ( x0 − h) . k − b) B1 (h − b. 2 − − En la tabla 31. k ) : =1 =1 Ecuación canónica ( x − h) 2 ( y − k ) 2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 En todos los casos se conservan algunos valores. Longitud del eje menor: 2b. a 2b 2 Longitud de cada lado recto: ρ = . B2 (h. son ambos positivos y distintos entre sí. (3) En esta forma general. ⎛ D E ⎞ En este caso. con A y C positivos. (4) C A 4 A2 C 2 Sea S = CD 2 + AE 2 − 4 ACF . Si S = 0. S es un discriminante que permite identificar el carácter del lugar geométrico defini- do por la ecuación (3): Si S > 0. ⎝ A ⎠ ⎝ C ⎠ ⎛ D D ⎞ 2 ⎛ E E2 ⎞ D2 E 2 A ⎜ x2 + x + 2 ⎟ + C ⎜ y 2 + y + ⎟= + − F. Para ⎝ 2 A 2C ⎠ obtener la forma canónica basta dividir por S . A y C. Geometría vectorial y analítica 561 . ¿Qué sucede con una ecuación como la (3)? ¿Se trata de la ecuación de una elipse? Partiendo de la ecuación (3). podemos escribir: ⎛ D ⎞ ⎛ E ⎞ A ⎜ x 2 + x ⎟ + C ⎜ y 2 + y ⎟ + F = 0. la elipse es vertical. la ecuación no tiene solución real para las variables x. si C < A. ¿Cuál? Si S < 0. y. Nótese que en el primer caso. se trata de una elipse horizontal. ⎝ A 4A ⎠ ⎝ C 4C 2 ⎠ 4 A 4C CD 2 + AE 2 − 4 ACF 2 2 ⎛ D⎞ ⎛ E ⎞ A⎜ x + ⎟ +C⎜ y+ ⎟ = . Módulo 31: La elipse Las ecuaciones (1) y (2) tienen la misma forma general: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.− ⎟ . por tanto. si A = C . coeficientes respectivos de x 2 y y 2 . el lugar es una circunferencia. el centro es el punto de coordenadas ⎜ − . el lugar es vacío. el lugar geométrico es una elipse. ⎝ 2A ⎠ ⎝ 2C ⎠ 4 AC Dividiendo por AC (positivo): 2 2 ⎛ D⎞ ⎛ E ⎞ ⎜x+ ⎟ ⎜y+ ⎟ CD 2 + AE 2 − 4 ACF ⎝ 2A ⎠ ⎝ + 2C ⎠ = . el lugar se reduce a un punto. La dirección del eje 4 A2 C 2 focal (horizontal o vertical) depende de la relación entre A y C : si A < C . 10. Encuentre la ecuación de la parábola cuyo vértice es V(–4. Halle la ecuación canónica de la curva. 536 . 3). Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los extremos del lado recto de la parábola x2 − 4 y = 0 . Cierta parábola tiene ecuación y = ax 2 + bx ( a ≠ 0). sabiendo que ésta pasa por (2. 6. Encuentre la longitud de la cuerda focal de la parábola x 2 + 8 y = 0 que es paralela a la recta 3x + 4 y − 7 = 0. 4. Una circunferencia cuyo centro es el punto (4. 8) y (–1. b. 4 y 2 + 48 x + 12 y − 159 = 0 . 2. y0 ) de la curva es x0 − h + p . y 2 + 5 x − 6 y − 11 = 0. –1) pasa por el foco de la parábola x 2 + 16 y = 0. a. Una parábola tiene por directriz la recta x + 5 = 0 y como vértice V(0. en el punto de ordenada –2. –3) y cuyo eje es la recta y + 1 = 0 . Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal de cada una de las parábolas siguientes en el punto dado. 5). b. Demuestre que si una parábola tiene ecuación ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h). 5. Demuestre que la circunferencia es tangente a la directriz de la parábola. Para cada una de las dos ecuaciones siguientes haga la reducción a la forma canónica y determine para la parábola: las coordenadas del vértice y el foco. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y 2 − 2 x + 2 y + 3 = 0 que es perpendicular a la recta 2x + y + 7 = 0 . Encuentre la ecuación canónica de la parábola. Halle además las ecuaciones de la directriz y el eje de la curva. las ecuaciones de la directriz y el eje. 3. 13. y la longitud del lado recto. 11. 7. entonces la longitud del radio vector de cualquier punto P( x0 . y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0). 8. Encuentre la longitud del radio vector del punto de la parábola y 2 + 4 x + 2 y − 19 = 0 cuya ordenada es 3. x 2 − 6 x + 5 y − 11 = 0. 3) y cuyo foco es F(–1. 12. –1) que pasa por el punto (3.Ejercicios propuestos 1. 9. Halle la ecuación de la recta tangente a la parábola x 2 + 4 x + 12 y − 8 = 0 que es paralela a la recta 3x + 9 y − 11 = 0 . Halle la ecuación de la parábola de vértice V(4. 3). a. en el punto de abscisa –2. las cuales cortan al eje de la curva en A y B. como en el resto del módulo. En un punto arbitrario P de una parábola. Sea Q el punto de intersección de la recta tangente en P y la recta tangente en el vértice. 15. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto P(–3. 17. encuentre las coordena- das de los extremos de la cuerda de contacto del origen. distinto del vértice. Para la parábola ( x + 3) 2 = 4( y − 2). Por un punto P de un parábola (P distinto del vértice) se traza una recta tangente a la curva. 20. 16. excepto la tangente en el vértice. F es el foco. se trazan las rectas tangente y normal a la curva. Demuestre que cualquier recta tangente a una parábola. Geometría vectorial y analítica 537 . Demuestre que A. Aquí. Demuestre que las parábolas x 2 − 4 x + 8 y − 20 = 0 y x 2 − 4 x − 4 y + 4 = 0 son ortogonales entre sí en sus puntos de corte. Demuestre que el segmento FQ es perpendicular a la tangente en P. Si desde un punto P exterior a una parábola se trazan tangentes a la curva. entonces dicha circunferencia es tangente a la directriz de la curva. 18. Demuestre que si una circunferencia tiene por diámetro una cuerda focal de una parábola. 19. B y P equidistan del foco de la parábola. corta a la directriz y a la recta que contiene al lado recto en puntos equidistantes del foco. Encuentre además el ángulo entre las dos rectas. Encuentre además la longitud de dicha cuerda. 3) a la parábola y 2 − 3 x − 8 y + 10 = 0 . respectivamente. el segmento que une los puntos de tangencia se llama cuerda de contacto de P en la curva.14. en este módulo se estudiará la parábola Cuando las ondas (por ejemplo la luz. entre ellas las de las rectas tan. llamado de distancias. el sonido. ¿Cuál es la propiedad óptica de la parábola? 7. 1. deduciremos su ecuación canónica general y estudiaremos algunas foco de la parábola. ¿Cuántas clases de parábolas hay según su ubicación con respecto a los ejes coordenados? 5.) chocan contra un obstáculo desde un punto de vista cartesiano. etc. Esta es la propiedad fundamental en de las propiedades más relevantes de esta curva. que han permitido desarrollar la rama de la Física conocida como óptica. Cuando la forma de dicha superficie es En este módulo presentaremos la parábola como un lugar geométrico en términos parabólica. que se basan todos los ingenios parabólicos. todos los rayos que llegan paralelos al eje de la parábola se reflejan pasando por un mismo punto. gente y normal. No obstante. ¿Qué condición debe satisfacer una ecuación de segundo grado para que represente una parábola? 6. en radares. Preguntas básicas 1. ¿Cómo se hace una traslación de un sistema de coordenadas? 2. A esta propiedad se le La parábola tiene muchas propiedades que la hacen de gran utilidad en diversas llama reflexión. y la conocida como propiedad óptica. ramas de la ciencia (a manera de ejemplo: si un objeto se lanza con una dirección La dirección de propagación de una onda se representa oblicua. La parábola 30 Introducción En la presentación del capítulo 9 se mencionó la parábola como una de las seccio- nes cónicas: aquella que se obtiene al intersecarse una superficie cónica y un plano paralelo a una sola generatriz. su trayectoria es una parábola). y estudiar su propiedad óptica. radiotelescopios. ¿Cuál es la ecuación canónica de una parábola? 3. etc. y según la forma ópticas. las ondas de radio y la televisión. Esta propiedad de reflexión en la parábola se utiliza en la construcción de antenas parabólicas para recepción de señales Objetivos del módulo de televisión. experimentan un cambio de dirección o de sentido y vuelven al mismo medio del que proceden. de la superficie en la que inciden así será la dirección de los rayos reflejados. ¿Qué significado tienen las constantes que intervienen en la ecuación de una parábola? 4. Estudiar la parábola como un lugar geométrico definido en términos de distan cias a un punto y una recta dados. ¿Cómo se obtienen las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una parábo- la? Vea el módulo 30 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 501 . Algunas de ellas son sus propiedades mediante líneas que se denominan rayos. 3 Rectas tangente y normal a la parábola 30.3 Parábola con vértice distinto del origen y eje focal diferente de los ejes coordenados 30.2 Elementos básicos de la parábola 30.2 Ecuación de la parábola 30.4 Propiedad óptica de la parábola 30.4 Forma general de la ecuación de la parábola 502 .2.1 Definición de parábola 30.2.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Contenidos del módulo 30.3.3.2 Parábola vertical 30.1 Parábola horizontal 30.2.1 Traslación de ejes 30.2. mediante el movimiento del plano conoci- do como «traslación». Una traslación es una transformación del plano en la cual cada punto «recorre» el → camino definido por un vector libre a .1 En la figura 30. de gran importancia para comprender mejor las propiedades de esta curva. El vector que define la traslación es: → ⎯→ a = OO′ . Módulo 30: La parábola 30. así como de la elipse y de la hipérbola. Un punto P del plano tiene coordenadas en cada sistema: Geometría vectorial y analítica 503 . Si el punto O’ tiene en el SO coordenadas ( x0 . y0 ).1 se tiene el SO de origen O y el SN de origen O’.1 Traslación de ejes Antes de abordar el estudio de la parábola introduzcamos el tema de la traslación de ejes. Figura 30. entonces: → ⎯→ → → a = OO ′ = x0 i + y0 j . A partir de éste construiremos otro sistema al que llamaremos «sistema nuevo» (SN). al cual llamaremos «sistema original» (SO). Supongamos definido en el plano un sistema de coordenadas cartesianas x-y. Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano P( x. ⎯→ ⎯→ ⎯→ Pero O ′P = OP − OO′ . → → → Si hacemos una traslación de ejes mediante el vector a = −3 i + j . − 3). y ′) en el SN. y ' son respectivamente paralelos a los ejes originales x. conocidas sus coordenadas en el «sistema original». y. 504 . Hallemos las coordenadas de A. En consecuencia. → → → → x′ i + y ′ j = ( x − x0 ) i + ( y − y0 ) j . Por tanto: → → → → → → x′ i + y ′ j = ( x i + y j ) − ( x0 i + y0 j ). y ) en el SO y P( x′. Nota: como las traslaciones transforman rectas en rectas paralelas. tendremos: El origen O’ del SN tiene coordenadas en el SO así: O '(−3. B y C en el SN: Para A : x ' = −3 + 3 = 0. 2). El sistema de transformación de coordenadas es: x ' = x + 3. − 1) y C (−2. ⎯→ → → OO ′ = x0 i + y0 j . x ' = x − x0 y ' = y − y0 . (1) Este sistema (1) permite hallar las coordenadas de un punto del plano en el «sistema nuevo». B (4. Para B : x ' = 4 + 3 = 7. y ' = y − 1. y ' = 2 − 1 = 1. Ilustración 1 Consideremos un triángulo ABC que tiene vértices con coordenadas en un sistema cartesiano así: A(−3. ⎯→ → → OP = x i + y j . ⎯→ → → O′P = x′ i + y ′ j . 1) . y ' = −1 − 1 = −2. los nuevos ejes x '. Nótese que tanto en el sistema original como en el nuevo las longitudes de los lados son: AB = 58. o del nuevo al original mediante (2). 1). Geometría vectorial y analítica 505 . se puede pasar del sistema original al sistema nuevo mediante (1). − 2). (2) En síntesis. y ' = 3 − 1 = −4. Módulo 30: La parábola Para C : x ' = −2 + 3 = 1. Las coordenadas de los vértices del triángulo en el SN son: A(0.2 Del sistema (1) se puede pasar a: x = x '+ x0 y = y '+ y0 . C (1. Con una traslación adecuada de los ejes coordenados es posible en muchos casos simplificar la ecuación de una curva. CA = 26. la ecuación: x 3 − 3 x 2 − y 2 + 3x + 4 y − 5 = 0. BC = 40.2). − 4). B (7. en un sistema cartesiano x-y. Lo anterior significa que la traslación de ejes no altera las distancias ni las formas (figura 30. Ilustración 2 Cierta curva C tiene. Figura 30. Figura 30. 2).Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Si hacemos una traslación de ejes al origen O '(1. 506 . punto medio de V ' F . pertenece a la curva. multimedia de Geometría vectorial y analítica. En la figura 30. y ' = y − 2. El punto A está en la parábola Vea la animación La parábola en su porque AA ' ≅ AF . Es decir. 30. se tiene: x ' = x − 1.2. x = x '+ 1. El lugar geomé- trico de los puntos del plano cuya distancia a δ es igual a su distancia a F se denomina parábola de foco F y directriz δ . y = y '+ 2.2 Elementos básicos de la parábola 30.3 se ilustra esta defini- ción.1 Definición de parábola Sean δ una recta en el plano y F un punto del mismo y fuera de δ .3 El punto V. La ecuación se transforma así: ( x '+ 1)3 − 3( x '+ 1) 2 − ( y '+ 2) 2 + 3( x '+ 1) + 4( y '+ 2) − 5 = 0. Esta ecuación se simplifica así: ( x ')3 − ( y ') 2 = 0. En la figura 30. En la figura 30. Una cuerda focal perpendicular al eje (paralela a la directriz) se llama lado recto de la parábola.4 Una cuerda que pasa por el foco se llama cuerda focal.4. A la primera la llamamos parábola horizontal y a la segunda parábola vertical.4. Módulo 30: La parábola Mediante un análisis cuidadoso de la definición pueden descubrirse algunas pro- piedades. 30. y parábola con eje paralelo al eje y.2.2 Ecuación de la parábola Consideraremos dos casos: parábola con eje paralelo al eje x. La curva se extiende indefinidamente en el semiplano determinado por δ y que contiene a F. AB y RR ' son cuerdas de la parábola. Un segmento que une el foco con un punto de la curva se denomina radio focal o radio vector del punto de la parábola. Adicionalmente podemos definir otros elementos de la parábola: Un segmento que une dos puntos de la curva se denomina cuerda. Entre ellas: El punto V es el punto de la curva más cercano a la directriz.4. e se llama eje de la parábola. RR ' es el lado recto de la parábola. La recta e que pasa por V y F es un eje de simetría de la curva. Figura 30. V se llama vértice de la parábola. En la figura 30. Geometría vectorial y analítica 507 . FR son radios focales de la parábola. FA . El foco F no pertenece a la curva. FB. y el eje x no es el eje pero es paralelo a éste.5) o es «cóncava» hacia la izquierda (figura 30. la curva «abre» hacia la derecha (figura 30. 0). Parábola horizontal con vértice en el origen de coordenadas El foco tiene coordenadas así: F ( p. La abscisa p puede ser positiva o negativa (no puede ser nula).Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano a. Si p > 0. La directriz δ es la recta (paralela al eje y) de ecuación x = − p .5).6). Figura 30. 508 . Parábola horizontal Aquí distinguiremos dos posibilidades: el eje x es el eje de la curva.6).5 Si p < 0. la curva «abre» hacia la izquierda (figura 30.6 También se dice que la parábola es «cóncava» hacia la derecha (figura 30. Figura 30. Por la definición de parábola: ⎯→ ⎯→ P ' P = FP . FP ↔ ( x − p. + ∞). − y0 ). Se trata de la parábola cóncava hacia la izquierda.7) determinan el lado recto de la parábola. y ). ⎯→ ⎯→ ⎯→ P ' P ↔ ( x + p. Nótese. independientemente de la concavidad de la curva (a izquierda o derecha). ⎯→ FP = ( x − p ) 2 + y 2 . Finalmente: y 2 = 4 px . en tanto que FP es la distancia de P al foco de la parábola. y) un punto sobre la parábola. De la ecuación (1) se obtiene: y0 = 4 p 2 . ⎯→ ⎯→ Determinemos P ' P y FP ⎯→ ⎯→ P ' P es la distancia de P a la directriz. ( x + p)2 = ( x − p)2 + y 2 . si p < 0. x ∈ (−∞. y0 = 2 p . Es el caso de la parábola cóncava hacia la derecha. En adelante lo denotaremos ρ. En consecuencia: Geometría vectorial y analítica 509 . Los puntos R y R′ (figura 30. P '(− p. x sólo toma valores reales no negativos: x ∈ [0. (1) Esta es la ecuación canónica de la parábola horizontal con vértice en el origen. en (1). que si p > 0. ( x + p)2 − ( x − p)2 = y 2 . R( p. Elevando ambos miembros al cuadrado se tiene: ( x + p)2 = ( x − p)2 + y 2 . RR ' es la longitud del lado recto de la parábola. ( x + p + x − p )( x + p − x + p ) = y 2 . Módulo 30: La parábola Sea P(x. 0). 0]. Obsérvese que todo lo anterior es válido. y0 ) y R '( p. RR ' pasa por el foco F de la parábola y es perpendicular al eje x (eje de la curva). P ' P = ( x + p ) 2 . Llamemos P ' el punto proyección de P sobre la directriz δ . En cambio. y ). Parábola vertical Como en la parábola horizontal. En este caso. Figura 30. p ) . 510 . Si la ordenada p es positiva.7 b. es: x 2 = 4 py . p) y directriz y = − p.9). Parábola vertical con vértice en el origen de coordenadas El foco tiene coordenadas así: F (0. si p > 0. la parábola es cóncava hacia arriba (figura 30. si p < 0. y) es un punto de la curva. la parábola es cóncava hacia abajo (figura 30. debemos distinguir dos casos: el eje y es el eje de la curva y el eje y no lo es. (2) En este caso.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano ρ=4 p .8). mediante análisis similar al caso anterior se obtiene que la ecuación canónica de la parábola de vértice en el origen. y ∈ [0. foco (0. la directriz es paralela al eje x. + ∞). 0]. y ∈ (−∞. si p es negativa. Si P(x. se trata de la recta δ de ecuación: y = −p. 9 30.10 y 30.8 Figura 30.11).10 Geometría vectorial y analítica 511 . Módulo 30: La parábola Figura 30. Figura 30.3 Rectas tangente y normal a la parábola Consideremos en primer lugar la parábola con vértice en el origen y con el eje x como eje focal (figuras 30.2. y n a la recta normal a la curva en el mismo punto. Sea P( x0 . puede probarse que: 2p m= . la recta tangente tiene pendiente negativa. Las rectas t y n son perpendiculares. 2p Aplicando la ecuación punto-pendiente para la recta se obtiene: 2p Recta tangente: y − y0 = ( x − x0 ). Si m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P. Análisis similar puede hacerse para el caso de la parábola cóncava hacia la izquierda (p < 0). La pendiente de la recta normal n a la curva en P es: y0 mn = − .11 Recuérdese que la parábola tiene foco F ( p. la recta tangente es el eje y ( x = 0). y0 Nótese que en el caso de la parábola cóncava hacia la derecha (p > 0). V(0. 0). y0 y0 Recta normal: y − y0 = − ( x − x0 ). si P está encima del eje x. 0) y ecuación: y 2 = 4 px. la recta tangente tiene pendiente positiva. si P está por debajo del eje x. 2p En el caso del vértice de la parábola. y la recta normal a la curva es el eje x ( y = 0).Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Figura 30. y0 ) un punto de la curva distinto del vértice. 512 . Llamemos t a la recta tan- gente a la curva en P. 2p En este caso la pendiente de la recta normal en P es: 2p mn = − .12 y 30. Módulo 30: La parábola Analicemos ahora el caso de la parábola con vértice en el origen y con el eje y como eje focal (figuras 30.13 Si el punto P ( x0 . x0 Geometría vectorial y analítica 513 .12 Figura 30. y0 ) de tangencia es diferente del origen puede demostrarse que la pendiente de la recta tangente t en P es: x0 m= . Figura 30. p) y la ecuación de la curva es: x2 = 4 py.13). El foco de la parábola es F(0. Solución a. Por tanto. ρ = 4(−2) = 8. Las coordenadas del foco. Las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en A. x0 En el vértice de la parábola. La ecuación canónica de la curva. V(0. La ecuación de la curva es: y 2 = −8 x . 0). la recta tangente es el eje x ( y = 0) y la recta normal es el eje y ( x = 0). c. p = −2 .Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Las ecuaciones son. La longitud del lado recto es ρ = 4 p . La ecuación de la directriz. se tiene: 42 = 4 p ( −2). e. b. Haga además un esbozo de la gráfica. 2p Recta normal: y − y0 = − ( x − x0 ). 0). d. Significa que la curva es cóncava hacia la izquierda. La longitud del lado recto. c. Ilustración 3 Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje focal es el eje x pasa por el punto A(−2. Las coordenadas del foco son F (−2. La directriz es la recta vertical x = 2 . en consecuencia: x0 Recta tangente: y − y0 = 2 p ( x − x0 ). d. 4). Encuentre: a. 514 . 4) pertenece a la curva. b. Como A(−2. La ecuación es de la forma y 2 = 4 px. En A(−2. y0 4 = −1. Recta normal: y − 4 = 1( x + 2).14): Figura 30. y = − x + 2.2. Módulo 30: La parábola e. las ecuaciones son: Recta tangente: y − 4 = −1( x + 2). entonces la recta normal a la curva en el punto es bisectriz del ángulo formado por el radio vector y la paralela l.15): Geometría vectorial y analítica 515 . Esbozo de la gráfica (figura 30.14 30. 4). distinto del vértice. la pendiente de la recta tangente es: 2 p 2( −2) m= = . Si por un punto de la parábola. y = x + 6.4 Propiedad óptica de la parábola La parábola tiene una interesante propiedad de aplicación en la Física. se trazan el radio vector del punto y una paralela l al eje de la curva. Por tanto. La pendiente de la recta normal en A es: mn = 1. Demostremos esta propiedad (figura 30. 516 . x0 − p 2p Se sabe que: mn − mr tan θ1 = 1 + mn mr y0 y0 − − 2 p x0 − p = ⎛ y ⎞ ⎛ y0 ⎞ 1+ ⎜ − 0 ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2 p ⎠ ⎝ x0 − p ⎠ x0 + p = − y0 .15.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Figura 30. x0 + p tan θ1 = y0 2 px0 + 2 p 2 y0 = . n es la recta normal a la parábola en el punto T. y0 ). ml = 0. θ 2 . r es el radio focal de T. 2 p ( x0 − p ) − y02 Pero y02 = 4 px0 . T ( x0 . F ( p. l es una recta paralela al eje focal y pasa por T. t es la recta tangente. y0 y mr = . (1) 2p Por otra parte. el ángulo entre n y l. 0). θ1 es el ángulo entre r y n.15 En la figura 30. mn = − 0 . Por lo anterior. En consecuencia. (−6) 2 = 4 p (−3). Módulo 30: La parábola ml − mn tan θ 2 = 1 + ml mn y0 0+ 2p = ⎛ −y ⎞ 1 + (0) ⎜ 0 ⎟ (2) ⎝ 2p ⎠ y = 0. la recta normal n es bisectriz del ángulo formado por r y l. Figura 30.16). y son perpendiculares entre sí. Por lo tanto. p = −3. Demuestre que las rectas normales a la curva en los extremos del lado recto forman con éste ángulos de 45º y además concurren en el eje y. y por propiedades de la luz al reflejarse. La curva pasa por el punto (−6. si se instala una fuente luminosa en el foco de una parábola los rayos inciden en ésta y se reflejan siguien- do direcciones paralelas al eje de la curva (figura 30. 2p De (1) y (2) se sigue que θ1 = θ2 . −3).16 Ilustración 4 Cierta parábola vertical tiene vértice en el origen. Geometría vectorial y analítica 517 . Solución La ecuación de la curva es de la forma: x 2 = 4 py . 518 . respectivamente.17 La ecuación canónica de la curva es: x 2 = −12 y. Los extremos ( R ' y R) del lado recto están alineados con el foco y forman un segmento ( R ' R) perpendicular al eje focal. x = ±6. R ' y R tienen ordenada p. Por tanto. distinto del vértice. Así. Se sabe que en un punto P ( x0 . la pendiente de la normal es: 2p mn = − . x0 Llamemos n’ y n a las rectas normales a la curva en R’ y R. − 3) y R (6. Figura 30.17). R '(−6. −3) y abre hacia abajo (figura 30. x = ±2 p . − 3). Por tanto.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano La parábola tiene foco F (0. x2 = 4 p2 . y0 ) de la curva. x = 0. 30. n: y = x − 9. Además. mn = 1.18 Hagamos una traslación de ejes de modo que el nuevo origen. en consecuencia.18). Geometría vectorial y analítica 519 . Módulo 30: La parábola 2(−3) mn ' = − . Figura 30. sea el vértice V. Las dos rectas coinciden. Las ecuaciones de las dos rectas normales son: n': y = − x − 9. −9). O '. por las pendientes se puede deducir que las dos rectas son perpendicula- res entre sí.3. mn ' = −1.1 Parábola horizontal Consideremos la parábola de vértice V(h. 6 Lo anterior significa que n ' y n forman con el eje x ángulos de 45º. k) y que tiene como eje focal la recta y = k (figura 30.3 Parábola con vértice distinto del origen y eje focal diferente de los ejes coordenados 30. en el punto (0. Hallemos la intersección de las dos rectas: − x − 9 = x − 9. el cual está en el eje y. −6 2(−3) mn = − . y = −9. Así. la ecuación del eje focal (figura 30. k ). 520 . y ' = y − k. (1) La relación entre el sistema nuevo y el sistema original es: x ' = x − h. (2) En el sistema nuevo. V (0. En el sistema original la ecuación de esta recta es: x = h− p. si p < 0. k) el vértice de la curva. abre hacia la izquierda. Como antes. (4) Nótese que p es la distancia entre el vértice y el foco de la parábola.19). 0). Según lo estudiado en este módulo. 0). la ecuación de la directriz es: x ' = − p. Supongamos que en el nuevo sistema. en el sistema original: F (h + p. Procediendo como en el caso anterior. se obtiene: Ecuación canónica general de la parábola: ( x − h) 2 = 4 p ( y − k ) . Por ello. 30. F(p. la parábola abre hacia la derecha. la ecuación de la curva en el nuevo sistema es: ( y ') 2 = 4 px '. F(p. en el sistema x '.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano De esta manera. x = h.3. y '.2 Parábola vertical Sea V(h. en el sistema original la ecuación canónica general de la parábola es: ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) . 0). si p > 0. (3) En el sistema nuevo. y0 ) es: x0 − h m= . k + p). en cuya última columna se lee la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto (x0. en el sistema original la pendiente de la tangente es: 2p m= . la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado P( x0 . Por tanto. y0 ) distinto del vértice. Como antes. Figura 30. Hallemos. y0). la pendiente de la recta tangente en P es: 2p m= . la pendiente de la recta tangente en un punto P ( x0 . 2p Todo lo visto acerca de la parábola se resume en la tabla 30. y0 − k Caso de la parábola vertical Similarmente.1. Pero y0 ' = y0 − k. Geometría vectorial y analítica 521 . y0 ' es la ordenada del foco en el nuevo sistema. Módulo 30: La parábola Coordenadas del foco: F (h. Ecuación de la directriz: y = k − p. para los dos casos. para la parábola vertical. y0 ' Aquí.19 Caso de la parábola horizontal Con la traslación de ejes. p es la distancia entre el foco y el vértice de la curva. se tiene el caso de la parábola con vértice en el origen y cuyo eje focal es uno de los ejes coordenados. Si A = 0. D ≠ 0. Ahora bien. b. E ≠ 0.1 Vértice Foco Directriz Eje Ecuación canónica Pendiente Parábola horizontal V ( h. C = 0. D = −4 p. Veamos el primer caso: La ecuación original es: Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. la ecuación canónica general de una parábola vertical adquiere la forma Ax2 + Dx + Ey + F = 0. Procediendo similarmente. k ) F (h. 522 . se obten- drá la ecuación canónica de una parábola bajo las siguientes condiciones: a. k + p) y=k−p x=h ( x − h) 2 = 4 p ( y − k ) ( x0 − h) 2 p 30. dada una ecuación de la forma Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. Las dos ecuaciones obtenidas son casos particulares de la ecuación general: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. F = k 2 + 4 ph. k ) F ( h + p. se tiene una parábola vertical. Llamemos: C = 1.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Nótese que si h = k = 0. se trata de una parábola horizontal. C ≠ 0. Esta ecuación puede transformarse en: y 2 − 4 px − 2ky + ( k 2 + 4 ph) = 0. Si A ≠ 0. E = −2k . La ecuación pasa a ser: Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.4 Forma general de la ecuación de la parábola Consideremos la ecuación canónica general de una parábola horizontal: ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h). Tabla 30. k ) x = h− p y=k ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) 2 p ( y0 − k ) Parábola vertical V ( h. c. E1 = . 2 ⎟⎠ y D x ⎝ ⎝ D1 4 D1 ⎠ ⎛ F1 E12 ⎞ 2 ⎛ E1 ⎞ ⎜ y + 2 ⎟ = − D1 ⎜ x + D − 4 D ⎟ . ⎛ 2 ⎛E ⎞ ⎞ ⎛ 2 E2 ⎞ ⎜ y + E1 y + ⎜ 1 ⎟ ⎟ + ⎜ D1 x + F1 − 1 ⎟ = 0. 4 p = − D1 . b. 2 4 D1 D1 Se obtiene la ecuación: ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h). Halle. ⎝ ⎠ ⎝ 1 1 ⎠ E1 E2 F Hagamos k = − . C C C La ecuación es ahora: y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0. Ilustración 5 Considere la ecuación 4 y 2 − 24 x − 20 y + 97 = 0. Pruebe que se trata de una parábola horizontal. h = 1 − 1 . ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎛ F1 E12 ⎞ 2 ⎛ E1 ⎞ ⎜ + + 1⎜ + − ⎟ = 0. Geometría vectorial y analítica 523 . F1 = . Encuentre las coordenadas del vértice y del foco y la ecuación de la directriz. que es la ecuación canónica de una parábola horizontal. la longitud del lado recto de la curva. La ecuación Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 se denomina forma general de la ecua- ción de la parábola (si se cumplen las condiciones dadas en a en b). En cada caso basta usar el procedimiento descrito. además. a. Similarmente puede procederse con el segundo caso. Módulo 30: La parábola Sean: D E F D1 = . Debe aclararse que no es necesario memorizar fórmulas como las aquí obtenidas. 2 2 5 11 y2 = + 3 = . ⎝ 2⎠ En consecuencia. ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 9 Sustituyendo en la ecuación de la curva x = . el foco ⎝ 2⎠ 2 ⎛ 3 5⎞ ⎛9 5⎞ 5 es F ⎜ 3 + . ⎟ . 4 ⎛ 2 ⎛5⎞ ⎞ 2 97 25 ⎜⎜ y − 5 y + ⎜ ⎟ ⎟⎟ = 6 x − + . Según este resultado. ⎝ 2 2⎠ ⎝2 2⎠ 2 3 3 mientras que la directriz es la recta x = 3 − . se trata de la ecuación de una parábola horizontal. es decir. Debe empezarse por hacer que y 2 tenga coeficiente uno (1). 2 5 1 y1 = − 3 = − .Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Solución a. p = . el vértice de la parábola es V ⎜ 3. o sea. Para ello dividi- mos por 4: 97 y2 − 5 y − 6x + = 0. 2 2 El lado recto es un segmento R ' R cuyos extremos están en la curva que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola: ⎛9 ⎞ ⎛9 ⎞ R ' ⎜ . 2 2 524 . ⎟ . ⎝ 2⎠ 2 ⎛ 5⎞ ⎜ y − ⎟ = 6( x − 3). ⎝2⎠ 5 y − = ±3 2 5 y = ± 3. ⎛ 5⎞ 3 b. ⎟ . se tiene: 2 2 ⎛ 5⎞ ⎛9 ⎞ ⎜ y − ⎟ = 6⎜ − 3⎟ ⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎛3⎞ = 6 ⎜ ⎟ = 9. y1 ⎟ y R ⎜ . y2 ⎟ . x = . ⎝ ⎝2⎠ ⎠ 4 4 2 ⎛ 5⎞ ⎜ y − ⎟ = 6 x − 18. El eje de la curva es la recta y = . F ⎜ . En la figura 30. 2 ⎝ 2⎠ ρ = 6.20 se observa la gráfica de la curva. Módulo 30: La parábola Los extremos del lado recto son los puntos: ⎛9 1⎞ ⎛ 9 11 ⎞ R '⎜ .20 Geometría vectorial y analítica 525 . ⎟. − ⎟ y R ⎜ . Figura 30. ⎝2 2⎠ ⎝2 2 ⎠ 11 ⎛ 1 ⎞ R'R = −⎜− ⎟ . Esta es la longitud del lado recto de la parábola. Recuérdese que ρ = 4 p . ⎝ ⎠ 10. d. Los vértices de una elipse son los puntos (1. Las coordenadas de los extremos de cada lado recto. g. Las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva en cada uno de los extremos de los dos lados rectos. Encuentre la ecuación canónica de la elipse de la familia que pasa por los puntos (2. 4 x 2 + 5 y 2 − 8 x + 6 = 0. 3. c. Sabiendo que la longitud de cada lado recto es 4. 8. 4 x 2 + y 2 + 16 x − 6 y + 25 = 0. Las ecuaciones de las rectas normales a la curva en cada uno de los extremos de los dos lados rectos. −6 ). 570 . b. 1). 2. Demuestre que la longitud del eje menor de una elipse es media proporcional entre las longitudes del eje mayor y el lado recto de la curva. (−1. − 1) . encuentre la ecuación canónica de la curva y todo lo pedido en el ejercicio 4. Encuentre e identifique la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de las ordenadas de los puntos de la circunferencia x 2 + y 2 = 9 . c. Las coordenadas de los extremos del eje menor. − 6) . − 2). −2 ) y ( −4. Una elipse tiene centro en (−2. d. La forma general de la ecuación de la curva. Encuentre la ecuación canónica y la ecuación en forma general de la curva. el vértice y el foco de un mismo lado del centro son. 9 x 2 + 4 y 2 − 8 x − 32 = 0. Habrá tantas elipses como valores adecuados se den a d y g. encuentre: a. 4. 4). Demuestre que en toda elipse el semieje menor es media proporcional entre los dos segmentos del eje mayor determinados por uno de los focos. 7. Una ecuación como 4 x 2 + 9 y 2 + dx + gy − 11 = 0 representa una familia de elipses. Encuentre todo lo pedido en el ejercicio 4. además. f. 4). Una elipse tiene centro en el punto ( −2. un punto único o un conjunto vacío. ⎛ 3⎞ 9. 3) y (5. 5. Cada lado recto de la curva tiene longitud 9 2. e. los puntos (−2. Los focos de una elipse son los puntos ( −4. 3). 3) y ⎜⎜ 0. En caso de que sea una elipse encuentre la ecuación canónica y las coordenadas del centro y las ecuaciones del eje focal y el eje normal. 6. respectivamente. − 1) y uno de sus vértices es el punto (3. Las coordenadas de los vértices. Encuentre la ecuación canónica de una elipse que pasa por los puntos (1. 3 − 2 ⎟⎟ . Para cada una de las ecuaciones de segundo grado dadas a continuación determine si se trata de una elipse. − 6) y (9. (−3. b. a. Grafique la curva. x 2 + 4 y 2 − 6 x + 16 y + 21 = 0.Ejercicios propuestos 1. − 4) y (−2. La ecuación canónica de la curva. Sabiendo que la longitud de cada lado recto de la curva es 6. Cierta cuerda de la elipse x 2 + 4 y 2 − 6 x − 8 y − 3 = 0 tiene como punto medio (5. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto (3. 14. − 1) a la elipse 2 x 2 + 3 y 2 + x − y − 5 = 0. Encuentre e identifique la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de modo que su distancia al eje y es igual al doble de su distancia al punto (3. Encuentre el ángulo agudo de intersección de las elipses 3 x 2 + 4 y 2 − 43 = 0 y 4 x 2 + y 2 − 32 x + 56 = 0. 17. 15. Demuestre que la pendiente de una elipse en cualquiera de los extremos de un lado recto tiene como valor absoluto la excentricidad de la curva. Geometría vectorial y analítica 571 . Demuestre que las rectas tangentes a una elipse trazadas en los extremos de un diámetro son paralelas entre sí. Encuentre la ecuación de la recta que contiene a dicha cuerda. 2). 1) de la elipse 9 x 2 + y 2 − 18 x − 2 y + 1 = 0. 12. 18. 16. La ecuación de una familia de elipses es nx 2 + 4 y 2 + 6 x − 8 y − 5 = 0. Encuentre las ecuaciones de los elementos de la familia que tienen excentricidad igual a 1 2. 2). 13.11. en uno de los puntos comunes a las dos curvas. Encuentre las longitudes de los radios vectores del punto (2. una superficie cónica y un plano paralelo al eje de aquélla. La hipérbola 32 Introducción La cuarta de las secciones cónicas es la hipérbola. la hipérbola tiene propiedades ópticas que han permitido desarrollar muchas transparente y débilmente luminosa. la hipérbola es rica en propiedades Están constituidos por un núcleo que aparece como un punto que la hacen de gran utilidad en muchas ramas de la ciencia. elipse. En este módulo presentaremos la hipérbola como un lugar geométrico en términos orientado siempre en dirección contraria al Sol. La atracción gravitacional de un planeta puede atraparlo en una órbita muy elíptica que lo llevará periódicamente a la proximidad del Sol (es el caso del La hipérbola se distingue de las otras secciones cónicas por el hecho de que es la conocido cometa Halley. A veces. de distancias. ¿Qué son hipérbolas conjugadas? 8. Como la parábola y la brillante. obtendremos su ecuación canónica general y estudiaremos algunas de las propiedades más importantes de la curva. pero que no contiene a Se cree que se originan en la región conocida como nube de dicho eje. parte del núcleo se evapora para formarla. Muchos cometas exhiben también una cola en forma de un largo haz luminoso. y la conocida como propiedad óptica. o hiperbólicas y pasarán una vez cerca del Sol para perderse para siempre fuera del Sistema Solar. ¿Cuál es la ecuación canónica de una hipérbola? 2. única que tiene asíntotas. y caen hacia el Sol. Objetivo del módulo 1. Oort. rodeado de una nube de apariencia circular. ¿Cuál es la propiedad óptica de la hipérbola? 5. localizada aproximadamente a un año luz de distancia del Sol. los cometas se ven expulsados de la nube de Oort te y normal. denominada coma aplicaciones en la rama de la Física conocida como óptica. ¿Cómo se obtienen las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una hipérbo la? 6. que tiene un periodo de 76 años). ¿Cómo se obtienen las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola? Vea el módulo 32 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica Geometría vectorial y analítica 573 . rectas con las cuales tiende a confundirse la Otros cometas pueden alcanzar órbitas parabólicas abiertas curva cuando la variable independiente crece indefinidamente. ¿Cuántas clases de hipérbolas hay según su ubicación con respecto a los ejes coordenados? 4. ¿Qué representan las constantes que intervienen en la ecuación de una hipérbo la? 3. (cabellera): cuando un cometa se acerca al Sol. entre ellas las de las rectas tangen. ¿Qué es una hipérbola equilátera? 7. Preguntas básicas 1. Estudiar la hipérbola como un lugar geométrico en términos de distancias a dos puntos dados y analizar su propiedad óptica. esto es. la cual se obtiene al intersecarse Los cometas se pueden describir como «bolas de nieve sucia». Como sucede con las demás secciones cónicas. 1 Hipérbola horizontal 32.6 Hipérbola con centro distinto al origen 32.4 Hipérbolas conjugadas 32.1 Hipérbola con centro en el origen y focos en el eje x 32.1.3 Hipérbola equilátera 32.3 Elementos de la hipérbola 32.1.1 Definición de hipérbola 32.6.7 Forma general de la ecuación de la hipérbola 32.1 Caracterización de la hipérbola 32.2 Propiedades básicas de la hipérbola 32.2 Hipérbola con centro en el origen y focos en el eje y 32.6.8 Propiedad focal de la hipérbola 574 .2.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Contenidos del módulo 32.2.1.5 Rectas tangente y normal a una hipérbola 32.2 Hipérbola vertical 32.2 Ecuación de la hipérbola 32. 32. Sea Q un punto del plano. Además. la curva se reduciría a los focos. comprendido entre las rectas v1 y v2 . 1 1 = V2 F2 = c − a.1 Caracterización de la hipérbola 32. entonces Puede probarse fácilmente que si FV V1 y V2 son puntos del lugar geométrico. y si c < a. y V1V2 = 2 a. puesto que si c = a.1). Sean v1 y v2 las rectas del plano perpendiculares a f en V1 y V2 . el lugar sería vacío.2 Propiedades básicas de la hipérbola Sea f la recta que contiene los focos (figura 32. Sean V1 y V2 dos puntos de la recta f tales que V1 está entre F1 y V2 . a. respectivamente (figura 32. Figura 32. a < c.1. V1 y V2 son los únicos puntos de la curva sobre la recta f.2). y V2 entre V1 y F2 .1 Definición de hipérbola Sean F1 y F2 puntos diferentes en el plano. Se llama hipérbola de focos F1 y F2 al lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los focos es 2a. Claramente. Puede probarse que Q no puede pertenecer a la hipérbola. pues QF1 − QF2 < 2a.1. Figura 32.2 Geometría vectorial y analítica 575 .1 Llamemos 2c la distancia entre los focos. Vea la animación La hipérbola en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Módulo 32: La hipérbola 32. un real positivo. La recta perpendicular a f en el punto medio de F1 F2 es otro eje de simetría de la curva.1. y la otra en el semiplano de borde v2 y que contiene a F2 . en el semiplano de borde v1 y que contiene a F1 . Eje normal: la recta n perpendicular al eje focal en el centro de la curva.3 Elementos de la hipérbola La hipérbola tiene los siguientes elementos básicos (figura 32. Centro: el punto medio C del eje transverso (su distancia a cada foco es c). Eje focal: la recta f que pasa por los focos y los vértices. Puede demostrarse además que: La recta f es eje de simetría de la curva. El punto medio del segmento F1 F2 es centro de simetría de la hipérbola.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Lo anterior significa que la hipérbola está formada por dos ramas: una. Eje transverso: el segmento V1V2 (su longitud es 2a).3). 576 . Figura 32.3 Focos: son los puntos F1 y F2 (la distancia entre ellos es 2c). Vértices: son los puntos V1 y V2 de la curva sobre f (la distancia entre ellos es 2a). 32. V1 F1 y V1F2 son los radios vectores del vértice V1 . Módulo 32: La hipérbola Eje conjugado: el segmento B1 B2 perpendicular al eje focal y cuyo punto medio es C. Cuerda focal: es una cuerda que pasa por un foco. el eje focal es el eje x. Diámetro: toda cuerda que pase por el centro C. Geometría vectorial y analítica 577 . en tanto que el eje y es el eje normal (figura 32. Radio vector: cada segmento que une un punto de la hipérbola con un foco. 0) y F2 (c. MN y S Q son cuerdas focales. MN y PQ son cuerdas. Lado recto: cada una de las dos cuerdas focales perpendiculares al eje focal. MN y M ´N´ son los dos lados rectos de la hipérbola.4 Sean F1 (−c. Cuerda: todo segmento que une dos puntos de la hipérbola: V1V2 . Figura 32. V1V2 y HL son diámetros.4).2. Cada punto de la hipérbola tiene dos radios vectores. a esta curva la denominaremos hipér- bola horizontal. QF1 y QF2 son los radios vectores del punto Q.1 Hipérbola con centro en el origen y focos en el eje x En este caso. 0) los focos de la curva. 32. Por el hecho de que el eje focal es horizontal.2 Ecuación de la hipérbola 32. Su longitud es 2b y se define así: a 2 + b 2 = c 2 (recuérdese que c > a). F2 P = ( x − c) 2 + y 2 . y ). De aquí que: −( a 2 − cx) = a ( x − c) 2 + y 2 . F2 P ↔ ( x − c. Esto es.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Si P( x. ⎯→ ⎯→ F1 P = ( x + c) 2 + y 2 . ( x + c) 2 + y 2 − ( x − c) 2 + y 2 = 2a. entonces P pertenece a la curva si y sólo si ⎯→ ⎯→ F1 P − F2 P = 2a. Elevando nuevamente al cuadrado y reorganizando: c2 x2 − a2 x2 − a2 y 2 = a2c2 − a4 . La primera ecuación es equivalente a: ( x + c ) 2 + y 2 = ( x − c ) 2 + y 2 + 2a. la ecuación (1) conduce a (4). Determinemos ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ F1 P y F2 P. (3) Nótese que se trata de la disyunción entre las expresiones (2) y (3). 578 . (1) Esta ecuación es equivalente a: ( x + c ) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = 2a. En síntesis. y ) es un punto del plano. Sustituyendo en la ecuación se tiene: ⎯→ ⎯→ F1 P − F2 P = 2a. (4) La segunda de las dos ecuaciones en que se descompone (1) conduce a este mismo resultado. y ). F1 P ↔ ( x + c. Elevando al cuadrado: ( x + c) 2 + y 2 = ( x − c) 2 + y 2 + 4a 2 + 4a ( x − c) 2 + y 2 . o (2) ( x + c) 2 + y 2 − ( x − c) 2 + y 2 = −2a. Dominio y rango: b 2 y=± x − a2 . Dividiendo por a 2 b 2 : x2 y2 − = 1. a] o x ∈ [a. el rango es: { y ∈ R } = (−∞. indefinidamente. Teniendo en cuenta que a 2 + b 2 = c 2 . 0) y V2 (a. + ∞). Eje y: la curva no tiene puntos en el eje y (¿por qué?). Esto significa que en la porción del plano separada por las rectas x = − a y x = a (sin incluirlas) no hay puntos de la hipérbola. + ∞)} . a x=± y 2 + b2 . a De aquí que x ≤ −a o x ≥ a . Por otra parte. b Por tanto. Módulo 32: La hipérbola De (4) se obtiene: (c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 (c 2 − a 2 ). La curva se extiende pues. se pasa a: b2 x 2 − a 2 y 2 = a 2b2 . el dominio es: { x ∈ R : x ∈ (−∞. 0). hacia arriba y hacia abajo. (5) a 2 b2 Esta es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en el origen de coordenadas y con el eje x como eje focal. Es decir. Geometría vectorial y analítica 579 . Hagamos un breve análisis de esta ecuación: Interceptos con los ejes: Eje x: V1 (− a. por tanto. b2 R1 y R2 tienen abscisa c. se deduce que: e > 1.5 ⎛ b2 ⎞ ⎛ b2 ⎞ Así. a Teniendo en cuenta que c > a. ⎟ .5). Por tanto. 2b2 ρ= . a Nótese la similitud con la longitud del lado recto de la elipse. − ⎟ y R2 ⎜ c. En efecto. correspondiente al foco F2 (figura 32.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Lado recto: Sea R1 R2 el lado recto de la hipérbola. ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ La longitud del lado recto es. Asíntotas: b b Las rectas y = x e y = − x son asíntotas de la curva. y = ± . R1 ⎜ c. a Figura 32. Excentricidad: c e= . consideremos a a b la rama derecha superior de la curva y la recta y = x: a 580 . 6). a a b lim F ( x) = lim ⎡ x 2 − a 2 − x ⎤ x →+∞ a x →+∞ ⎣ ⎦ b ⎡ x −a −x ⎤ 2 2 2 = lim ⎢ ⎥ a x →+∞ ⎣ x 2 − a 2 + x ⎦ b ⎡ −a 2 ⎤ = lim ⎢ ⎥ →+∞ a ⎣ x −a + x⎦ x 2 2 ⎡ a2 ⎤ ⎢ − ⎥ b = lim ⎢ x ⎥ a x →+∞ ⎢ a2 ⎥ ⎢ 1 − 2 + 1⎥ ⎣ x ⎦ = 0. la rama derecha superior de la hipérbola y la b recta y = x tienden a confundirse (figura 32. Figura 32. Por ello se dice que dicha a recta es una asíntota de la hipérbola.6 Hagamos un breve análisis de la excentricidad de la hipérbola. Esto prueba que al crecer x. Módulo 32: La hipérbola La ecuación de la rama superior derecha es: b 2 y= x − a2 . Geometría vectorial y analítica 581 . partiendo del hecho de que a 2 + b 2 = c 2 . a b 2 b Sea F ( x ) = x − a 2 − x. c) los dos focos de la hipérbola.Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Supongamos c fijo (fijos los focos). la asíntota y = x tiene pendiente muy pequeña. esto es.7 Figura 32. a esta hipérbola la llamaremos vertical (figura 32.2. y ) del plano pertenece a la curva si 582 . en tanto que en la figura 32.8 32. mientras que el eje normal es el eje x. En la figura 32. Figura 32.9). Sabemos que c e= . Esto hace que cada rama de la hipérbola sea bastante aplanada. En caso contrario. Sean F1 (0.2 Hipérbola con centro en el origen y focos en el eje y Ahora el eje focal es el eje y. la hipérbola es poco aplanada.8 se observa una hipérbola de excentricidad muy superior a 1. b En este caso. − c) y F2 (0. En adelante. Un punto P( x.7 se aprecia una hipérbola con excentricidad próxima a 1 (uno). una excentricidad muy alejada de 1 (uno). entonces a es cercano a c y por ende b es próximo a cero. lo que significa que a dicha recta es muy poco inclinada. a Si e es cercano a 1 (uno). a) . Dominio y rango: Dominio: { x ∈ R} = (−∞. Módulo 32: La hipérbola ⎯→ ⎯→ PF2 − PF1 = 2a. Además: a2 + b2 = c2 . c tienen el mismo significado que en la hipérbola horizontal: Los vértices son V1 (0.9 Analicemos la ecuación canónica de la hipérbola vertical. − a] o y ∈ [a. Rango: { y ∈ R : y ∈ (−∞. La curva se extiende indefinidamente a izquierda y derecha. − a) y V2 (0. + ∞)} . Es decir. P está en la hipérbola si x 2 + ( y − c) 2 − x 2 + ( y + c) 2 = 2a. + ∞). Eje y: V1 (0. Lado recto: su longitud es. Interceptos con los ejes: Eje x: la curva no tiene puntos en el eje x (¿por qué?). a) . a2 b2 Las constantes a. b. Se desprende que las dos ramas de la curva están separadas por las rectas y = −a. Figura 32. − a) y V2 (0. Un tratamiento similar al de la hipérbola horizontal conduce a la ecuación canónica de la curva: y 2 x2 − = 1. como en el caso anterior: Geometría vectorial y analítica 583 . y = a. y = − x. 584 . y 2 − x 2 = a 2 (hipérbola vertical).10 se muestra una hipérbola equilátera vertical. bisectriz del primero y tercer cuadrantes y bisectriz del segundo y cuarto cua- drantes. En ambos casos las asíntotas son las rectas: y = x. es decir. Recuérdese que dichas rectas son. respectivamen- te. La ecuación canónica de una hipérbola equilátera es: x 2 − y 2 = a 2 (hipérbola horizontal). si a = b. b b 32. a c Excentricidad: e = . Figura 32. y = − x.10 Puede probarse fácilmente que toda hipérbola equilátera tiene excentricidad e= 2 ≈ 1. En la figura 32. Asíntotas: son las rectas a a y= x. a la hipérbola equilátera se le llama también «rectangular».Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano 2b2 ρ= . La excentricidad tiene interpretación similar a la de la a hipérbola horizontal.3 Hipérbola equilátera Una hipérbola es equilátera si sus ejes transverso y conjugado tienen igual longi- tud. 4142. Debido a que estas rectas son perpendiculares entre sí. y = − x .11 32. Los vértices de la conjugada son B1 (0. Si la ecuación de una hipérbola es x2 y 2 − = 1. Figura 32.5 Rectas tangente y normal a una hipérbola Para la hipérbola existe un teorema similar al que se enunció para la elipse y que permite determinar las pendientes de las rectas tangente y normal a la curva en un punto dado. Si la hipérbola es horizontal y P no es un vértice. Es claro que si dos hipérbolas son conjugadas y una es vertical. entonces la otra es horizontal. y0 ) un punto de un hipérbola de centro en el origen.4 Hipérbolas conjugadas Dos hipérbolas son conjugadas si cada una tiene por eje transverso el eje conjuga- do de la otra. a. En este caso se dice que cada hipérbola es la conjugada de la otra. Módulo 32: La hipérbola 32. −b) y B2 (0. a 2 b2 entonces la ecuación de su conjugada es: y2 x2 − = 1. Teorema 1 Sea P( x0 . b) . entonces las pendientes de Geometría vectorial y analítica 585 . 0) y V2 (a. 0).11 se muestran dos hipérbolas conjugadas. Los vértices de la horizontal son V1 (− a. b b En la figura 32. b2 a2 Estas dos hipérbolas tienen las mismas asíntotas: las rectas a a y= x. 6 Hipérbola con centro distinto al origen Consideremos ahora una hipérbola de centro C (h. b 2 y0 y si además P no es un vértice.12).12 ⎯→ Una traslación de ejes mediante el vector OC conduce a que si en el sistema original P( x. y = y′ + k. entonces la pendiente de la recta normal es b2 y0 mN = − . b2 x0 b. y ) y en el sistema nuevo P ( x´. Figura 32. b2 x0 m= . Esto lleva a que en el sistema nuevo el centro tiene coordenadas C (0. a2 y0 a 2 y0 mN = − . Si la hipérbola es vertical entonces la pendiente de la recta tangente es a 2 x0 m= . a 2 x0 32. 32. la recta y = k es el eje focal. respectivamente. entonces: x = x′ + h. por lo cual la ecuación canónica es: 586 . y´). 0) y el eje x´ es el eje focal. k ) .Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano las rectas tangente y normal a la curva en P son.6.1 Hipérbola horizontal En este caso. en tanto que la recta x = h es el eje normal (figura 32. a2 b En consecuencia. a 32. k ). Las dos asíntotas son. Vértices: V1 (h − a.2 Hipérbola vertical Ahora la recta x = h es el eje focal y la recta y = k es el eje normal (figura 32. son: b ( y − k) = ( x − h).6. k ). dos rectas que pasan por el centro C (el origen del nuevo sistema) y sus pendientes respectivas son: b b m1 = . Módulo 32: La hipérbola ( x' ) 2 ( y' )2 − 2 = 1. a b ( y − k ) = − ( x − h). los vértices y los focos tienen coordenadas así: Focos: F1 (h − c. a a De este modo. m2 = − .13). en el sistema original. a2 b2 En el sistema original. F2 (h + c. en el sistema original la ecuación canónica es: ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − = 1. a2 b2 Geometría vectorial y analítica 587 . como antes. Un tratamiento similar al de la hipérbola horizontal conduce a que la ecuación canónica de la curva es: ( y − k ) 2 ( x − h) 2 − = 1. k ). V2 (h + a. las ecuaciones de las asíntotas. k ). y0 ) un punto de una hipérbola de centro C (h. k − a ). dos rectas que pasan por el centro C (el origen en el sistema x '− y ' ) y sus respectivas pendientes son: a a m1 = . las ecuaciones de las asíntotas. m2 = − . k + c). en el sistema original.13 Los focos y los vértices tienen. a. a2 ( y0 − k ) a2 ( y0 − k ) mN = − . k − c). en el sistema original. son: a ( y − k) = ( x − h). k + a ). b2 ( x0 − h) b. respectivamente. F2 (h. V2 (h. entonces las pendientes de las rectas tangente y normal a la curva en P son. Vértices: V1 (h. k ) . b2 ( x0 − h) m= . Si la hipérbola es vertical. Si la hipérbola es horizontal y P no es un vértice. b b Así. como en los casos anteriores. coordenadas así: Focos: F1 (h. Las dos asíntotas son. entonces la pendiente de la recta tangente en P es: 588 . b a ( y − k ) = − ( x − h).Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Figura 32. b El teorema sobre las rectas tangente y normal a la hipérbola puede extenderse así: Teorema 3 Sea P ( x0 . y=k x=h a 2b 2 Longitud de cada lado recto: ρ = . k + a ) V2 (h + a .1 Horizontal Vertical Eje focal a2 ( x0 − h ) m= . k − c) F1 (h − c. de la Pend. Tabla 32. a de los vértices V2 (h .1 las propiedades básicas de la hipérbola. ( y − k )2 ( x − h)2 ( x − h)2 ( y − k )2 a a2 a2 La excentricidad tiene la misma interpretación que se hizo antes. de las recta tangente recta normal asíntotas b 2 ( y0 − k ) a 2 ( y0 − k ) a 2 ( x0 − h) b 2 ( x0 − h) y0 ≠ k y0 ≠ k 32. Ecuación − − Resumamos en la tabla 32. y=k x=h Longitud del eje conjugado: 2b. k − a ) Coordenadas y la excentricidad es: c e= . a Pendiente de la Pend. k ) V1 ( h − a . k ) V1 ( h . k ) F2 (h.7 Forma general de la ecuación de la hipérbola Hemos visto que si una hipérbola tiene centro C (h. entonces la pendiente de la recta normal en P Coordenadas C (h. b2 ( y0 − k ) y si además P no es un vértice. como para la vertical. k ). k ) de los focos Tanto para la hipérbola horizontal. a 2 + b2 = c 2 . la longitud del lado recto continúa siendo: 2b2 ρ= . b2 b2 Tanto en la hipérbola horizontal como en la vertical se tiene: =1 =1 del eje focal Ecuación Longitud del eje transverso: 2a. k + c) F2 (h + c. entonces tiene por ecua- − − ción canónica: b 2 ( y0 − k ) a 2 ( y0 − k ) a 2 ( x0 − h) b 2 ( x0 − h) x0 ≠ h x0 ≠ h ( x − h) 2 ( y − k )2 − =1 (hipérbola horizontal) a2 b2 o ± ± b b a a Geometría vectorial y analítica 589 . a 2 ( x0 − h ) Coordenadas F1 (h. k ) es: b2 ( y0 − k ) mN = − . k ) del centro C (h. Ecuación del eje normal c Excentricidad: e = . k ) . k ) . a b2 Cualquiera de las dos ecuaciones puede llevarse a la forma cuadrática general: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. entonces: Si A > 0. la ecuación (2) representa dos líneas rectas.8 Propiedad focal de la hipérbola La hipérbola. 32. (2) Un breve análisis de la ecuación (2) conduce a lo siguiente: a. ella puede llevarse a la forma A( x − h) 2 + C ( y − k ) 2 = β . (1) en la cual A y C tienen signos opuestos. Si A < 0. Ahora bien. la curva es una hipérbola vertical de centro C (h. Si β = 0. 590 .Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano ( y − k )2 ( x − h) 2 2 − =1 (hipérbola vertical). b. si se tiene una ecuación de la forma (1). Si β > 0 . la curva es una hipérbola horizontal de centro C (h. con A y C de signos contrarios. como la parábola y la elipse. tiene una propiedad focal que se enuncia así: Teorema 4 La recta tangente a una hipérbola en cualquier punto es bisectriz del ángulo forma- do por los radios vectores de dicho punto. La prueba es similar a la hecha para la elipse y se deja al lector. P3 y P4 . b 2 y0 x0 es decir. Similarmente puede procederse para los puntos restantes: P2 . − 2). Por tanto. 2 x0 es decir. − 2). mh = . Se obtienen los siguientes puntos comunes: P1 (2. me ⋅ mh = −1. mh = . la pendiente de la recta tangente es: mh = . 2 2 2 2 Para la hipérbola: mh = . Para ello resolvamos simultáneamente las ecuaciones: 2 x 2 + y 2 = 10. a 2 x0 En un punto ( x0 . 2). 2). me = − . me = − . 4 Esta hipérbola es también vertical. 598 . la pendiente de la recta tangente es: 2(2) 4 Para la elipse: me = − . en P1 las curvas son ortogonales entre sí. y para ella: a = 1. P3 (−2. b = 2. P4 (−2. 4 y 2 − x2 = 4. y0 ) de la hipérbola. (1) y0 x2 La ecuación canónica de la hipérbola es: y 2 − = 1. (2) 4 y0 Hallemos las intersecciones de la elipse y la hipérbola. 4 2 4 Claramente. En el punto de intersección P1 . P2 (2. 6. (−1. 4 x 2 − 9 y 2 = 36. 12. − 2). 0) y F2 (3. 0) . entonces la hipérbola es equilátera. Vértices: (3. El vértice opuesto a EG es variable y se denota H. (5. entonces sus focos están sobre una circunferencia. b. 3). El punto Q ( x1 . Demuestre que si las asíntotas de una hipérbola son perpendiculares entre sí. Para cada una encuentre las coordenadas del centro. Halle e identifique la ecuación del lugar geométrico del punto H. a. 2) y cada uno de sus lados rectos mide 2/3. 2. 0) y como focos F1 (−3. Demuestre que los radios vectores de P miden ex0 + a y ex0 − a . Encuentre la ecuación canónica de cada curva. 0) y G (−3. y0 ) un punto cualquiera de la hipérbola b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 . 8. Sea P ( x0 . 4). 3). 0) y V2 (2. Dibuje la curva. c. longitud del eje transverso: 4. los vértices y los focos. b. sabiendo que el producto de las pendientes de EH y GH es siempre igual a 4. y1 ) está sobre la parte inferior de la rama derecha de la hipérbola b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 . e es la excentricidad de la curva. 0). A continuación se describen tres hipérbolas mediante algunos de sus elementos. Vértices: (1. A continuación se dan las ecuaciones de dos hipérbolas. Encuentre los puntos de intersección de la recta 2 x − 9 y + 12 = 0 con las asíntotas de la hipérbola 4 x 2 − 9 y 2 = 11 . La base de un triángulo tiene por extremos los puntos E (3. a. 4). Halle la ecuación canónica de la curva. 11. Demuestre que en toda hipérbola la longitud del eje conjugado es media proporcional entre las longitudes del eje transverso y del lado recto. 3. excentricidad: 2. 9. Cierta hipérbola tiene por vértices V1 (−2. longitud del lado recto: 5. así como la excentricidad y la longitud de cada lado recto.Ejercicios propuestos 1. Demuestre que la recta bx + ay = 0 es asíntota de la rama derecha. Demuestre que en toda hipérbola equilátera el producto de las distancias de un punto cualquiera de la curva a las asíntotas es constante. 10. Encuentre además las longitudes de los ejes transverso y conjugado. Geometría vectorial y analítica 599 . Demuestre que si dos hipérbolas son conjugadas. y 2 − 4 x 2 = 4. 4. Focos: (−7. La hipérbola pasa por el punto (−1. 7. Halle la ecuación canónica y la excentricidad de la curva. Una hipérbola tiene centro en el origen. y su eje conjugado está sobre el eje x. 4). (3. 5. P (2. Encuentre además la excentricidad de la curva y las ecuaciones de sus asíntotas. 16. Su distancia al punto (2. los vértices y los focos. 22. 1). 18. A continuación se dan las ecuaciones de dos hipérbolas y un punto P de cada una. b. x 2 − 9 y 2 − 4 x + 36 y − 41 = 0. Su lado recto mide 2. Demuestre que la elipse x 2 + 3 y 2 = 6 y la hipérbola x 2 − 3 y 2 = 3 tienen los mismos focos. Para cierta hipérbola los focos son los puntos F1 (4. En caso afirmativo.13. a. 15. 3 x 2 − 2 y 2 + 3 x − 4 y − 12 = 0. c. − 8) y F2 (4. las coordenadas del centro y las de los vértices. Halle además la longitud del eje conjugado de la curva. 17. Encuentre la ecuación canónica de la curva. si se trata de una hipérbola. 19. Halle la ecuación canónica de la curva. 600 . − 4) y V2 (−2. La hipérbola b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 tiene excentricidad e. demuestre que: e1 b = . Demuestre que si e1 y e2 son las respectivas excentricidades de dos hipérbolas conjugadas. Su distancia al punto (3. A continuación se dan tres ecuaciones de segundo grado. encuentre la ecuación canónica y las coordenadas del centro. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la hipérbola x 2 − 2 y 2 + 4 x − 8 y − 6 = 0 que son paralelas a la recta 4 x − 4 y + 11 = 0 . 2 y 2 − 3 x 2 − 6 y − 4 x + 12 = 0. b. Encuentre e identifique la ecuación del lugar geométrico del punto del plano que se mueve de modo que: a. 6). e2 a 14. 4). En cada caso encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en P. Cierta hipérbola tiene como vértices los puntos V1 (−2. −1) es el doble de su distancia a la recta x + 2 = 0. P (2. 4 y 2 − 9 x 2 + 36 x + 32 y + 28 = 0 . b. Encuentre además la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas. 4 x 2 − 9 y 2 + 32 x + 36 y + 64 = 0 . 2) es tres veces su distancia a la recta y + 1 = 0. 20. entonces: e12 + e22 = e12 e22 . Encuentre la ecuación canónica de la hipérbola que pasa por el punto (4. 2). en cada caso. Determine. 21. así como las coordenadas del centro y de los focos. − 2) y su eje transverso mide 4. a. Si su hipérbola conjugada tiene excentricidad e2 . tiene eje focal paralelo al eje x y sus asíntotas son las rectas 2 x + y − 3 = 0 y 2 x − y − 1 = 0 . Dos curvas como estas se llaman «cónicas homofocales». Conjunto de puntos del plano tales que la distancia de cada punto a (4. a. 3x2 −5x + y =−8 + 3x2 − 4z . centro. especificando en las cónicas los elementos básicos que las identifican: foco(s). b. 10) es igual a 9. o. g. d. Nota: en el ejercicio anterior el lector encontrará lugares que no corresponden necesariamente a secciones cónicas. l. f. 16 x 2 − 9 y 2 − 32 x + 16 = 0 . 2 x 2 − 3 y 2 − 6 x − 4 y + 12 = 0 . 2. y 2 + 2 y − 4 x + 13 = 0 . Conjunto de puntos del plano tales que la diferencia de las distancias de cada punto a (−2. etc. vértice(s). x 2 − 8 x + 3 y + 10 = 0 . e. Conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias de cada punto a (4. x2 + y2 + z2 − 6z + 6 ≤ 0 . x 2 + y 2 + z 2 − x − 6 y + 9 = −3 /10 . d. pero que se pueden determinar con los elementos teóricos expuestos en el texto. f. c Conjunto de puntos del plano tales que la distancia de cada punto a (6. excentricidad. n. a. b. Ejercicios de resumen. 6) es 3/7 de su distancia a la recta x = − 3. x2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y + 9 = 0 . 3) sea 5/3 de su distancia a y = − 2. h. x2 + y2 + z2 + 2x − 2z + 7 = 0 . 0) es la mitad de su distancia al eje y. j. 7) y a (4. − 2) y de la recta de ecuación y = 6. e. 5 x 2 + 5 y 2 + 10 x − 40 y + 75 ≤ 0 . i. p. m. x 2 + 10 y + y 2 − 2 x + 25 = 0 . 9 x 2 + y 2 −18 x − 2 y + 1 = 0 . Lugares geométricos y cónicas 1. 4 y 2 − x2 + 8 y + 6x − 9 = 0 . c. Geometría vectorial y analítica 601 . 2 x2 − 5x − x2 = 8 + x2 . x 2 + 2 y − 4 x + 13 = 0 . k. Se busca de esta forma ejercitar las actividades de análisis y el establecimiento de relaciones. 6) y a (−2. Indique el lugar geométrico representado por las siguientes ecuaciones e inecuaciones. Conjunto de puntos del plano tales que la distancia de cada punto a (4. x 2 + y 2 + 10 y − 2 x = 10 y − 5 . −1) es igual a 2. Halle la ecuación correspondiente al conjunto de puntos que se describe en cada caso. Conjunto de puntos del plano que equidistan del punto (5.