Libro de Fisica General Fain 2011

1UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA FÍSICA GENERAL PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA EN INFORMÁTICA Y SISTEMAS POR MSc. HUGO ALFREDO TORRES MURO LICENCIADO EN FÍSICA TACNA, 2011 2 INDICE PRESENTACION 3 1. Capítulo I: “ VECTORES” 4 2. Capítulo II: “ESTÁTICA” 16 3. Capítulo III: “CINEMÁTICA” 22 4. Capítulo IV: “ DINÁMICA” 35 5. Capítulo V: “TRABAJO Y ENEGÍA” 45 6. Capítulo VI: “CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y CHOQUES” 7. Capítulo VII: “DINÁMICA ROTACIONAL” 8. Capítulo VI: “MECÁNICA DE FLUIDOS” 53 9. Capítulo VII: “MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE” 64 10. Capítulo VIII: “TEMPERATURA Y CALOR” 76 11. Capítulo XIII: “FENÓMENOS ONDULATORIOS 121 12. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 147 13. APENDICE: 148 Silabo de estudios 148 Autoevaluaciones 152 3 PRESENTACIÓN Es indudable que en el ejercicio de una carrera profesional, continuamente se presentan retos que asumir y metas que cumplir, más aun, cuando una persona se dedica a la enseñanza de las Ciencias Físicas en las aulas universitarias por la vocación y firme convicción de enseñar, sin tener en cuenta los problemas y obstáculos a enfrentar o los reducidos sueldos que sin mayor incentivo debe percibir como retribución de un estado y una sociedad que cada día se aleja más del apoyo de la ciencia y la tecnología como camino para el desarrollo de nuestro país; en el que por el contrario se prioriza el punto de vista economicista y comercial anteponiéndolo a lo científico-académico y la profundidad de pensamiento no tiene oportunidad frente al pensamiento superficial y simplista, que caracteriza a nuestra sociedad. Por ello, cuando decidí hacerme cargo de la cátedra de Física, en la Escuela Académico Profesional de Ingeniería en Informática y Sistemas, de la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann, lo hice sin pensarlo mucho, porque comprendí en aquel momento, que los futuros ingenieros que egresaran de nuestra institución, deberían tener la oportunidad de cultivar ideas y adquirir conocimientos claros y concretos, sobre la importancia que tiene la física en su formación básica y que al mismo tiempo les sirviera para que durante sus años de estudios siempre tuvieran presente que su capacidad creativa e imaginativa al concebir y elaborar proyectos de desarrollo industrial alimentario deberían estar íntimamente ligados a las leyes fundamentales de la física, pero, que también estos conocimientos le ayudarían a convertir estos diseños en realidades tangibles, sin poner en riesgo la preservación de la vida y la salud de sus semejantes, buscando sin cesar el deseo de plasmar en sus creaciones, proyectos técnicamente aceptables, eficientes, materialmente económicos y ambientalmente amigables con el medio que los rodea. El curso de Física estructurado especialmente para los estudiantes de ingeniería en informática y Sistemas, no está aun concluido, hay algunas ideas sobre temas de estudio, en los que considero importante poner mayor énfasis, pero, lo extenso del contenido programático, las pocas horas asignadas (03 horas de teoría) para esta cátedra y, otras limitaciones de carácter académico-administrativo, me impiden por ahora considerarlos en el desarrollo de la asignatura, sin perder la esperanza (por el bien de los estudiantes) que en un futuro no muy lejano, las autoridades correspondientes corrijan estas deficiencias, lo cual nos llevaría a contribuir con un granito de arena para enfrentar el reto de la acreditación académica que tanto buscamos. Este curso, es el resultado de muchos años de labor académica y de investigación en la universidad, particularmente en los catorce últimos años en los que he sido responsable de la cátedra de Física en las Escuelas de Ingeniería en Informática y Sistemas, Ingeniería Química, Física Aplicada y Arquitectura. Es un resumen de apuntes de clases dadas a diferentes grupos de estudiantes de toda condición social y económica. Durante dichos años no escatimé esfuerzo alguno para mejorar la calidad y nivel de conocimiento a impartir, eligiendo textos de física, cuyos autores fueran catedráticos de otras universidades del país o del extranjero que presentan los diferentes contenidos en forma didáctica y de fácil comprensión para el estudiante, sin alejarse demasiado de la rigurosidad matemática y el nivel científico que todo estudiante universitario debe dominar. El curso es desarrollado en trece capítulos, de acuerdo a la sumilla establecida en el currículo de estudios y tiene una estructurada basada en definición de conceptos, fundamentos teóricos, ocasionalmente algunos ejemplos de aplicación y problemas propuestos en cada capítulo, que los estudiantes deben resolver por sí solos o con el apoyo del profesor del curso. Al final decidí incluir un apéndice de autoevaluaciones, producto de prácticas calificadas y exámenes parciales de años anteriores, de manera que el estudiante tenga la oportunidad de comprobar sus conocimientos adquiridos, para lo cual las respuestas se encontrarán fácilmente al final. MSc. Hugo A. Torres Muro Licenciado en Física 4 CAPÍTULO I VECTORES 1.1. Introducción Los adelantos de la ciencia han provocado muchos cambios en el mundo. Por ejemplo, desde Aristóteles en el 350 AC y hasta hace 500 años se creía que la Tierra era plana y que estaba en el centro del universo, hace 70 años no se conocía la televisión, los aviones jet ni la forma de prevenir las picaduras dentales, hace pocos años se descubrió la clonación de seres vivos, recientemente se descifró el código del genoma humano. La ciencia no es nueva, data de la prehistoria. El ser humano ha estado sobre la Tierra desde hace 100 mil años y desde entonces ha empezado a hacer ciencia. Por ejemplo en el comienzo se descubrieron las primeras regularidades y relaciones en la naturaleza. Una de las regularidades era la forma de los patrones de las estrellas que aparecían en el cielo nocturno. Otra evidente era el ciclo del clima a lo largo del año, distinguiéndose claramente el comienzo de la temporada de lluvias o la de calor. La gente aprendió a usar estos ciclos para hacer predicciones y surgieron los primeros pronósticos del tiempo. De este modo fueron aprendiendo más y mas acerca del comportamiento de la naturaleza. Todos estos conocimientos forman parte de la ciencia, pero la parte principal esta formada por los métodos que se usan para adquirir esos conocimientos. La ciencia es una actividad humana, formada por un conjunto de conocimientos. La ciencia es el equivalente contemporáneo de lo que se llamaba filosofía natural. La filosofía natural era el estudio de las preguntas acerca de la naturaleza que aún no tenían respuesta. A medida que se iban encontrando esas respuestas, pasaban a formar parte de lo que hoy llamamos ciencia. La ciencia hizo sus mayores progresos en el siglo XVI, cuando se descubrió que era posible describir la naturaleza por medio de las matemáticas. Cuando se expresan las ideas de la ciencia en términos matemáticos no hay ambigüedad, es más fácil verificarlos o refutarlos por medio del experimento. La ciencia contemporánea se divide en el estudio de los seres vivos y en el estudio de los objetos sin vida, es decir, en ciencias de la vida y en ciencias físicas. Las ciencias de la vida se dividen en áreas como la biología, zoología y la botánica. Las ciencias físicas se dividen en áreas como la física, geología, astronomía y química. La física es más que una rama de las ciencias físicas: es la más fundamental de las ciencias. Estudia la naturaleza de realidades básicas como el movimiento, las fuerzas, energía, materia, calor, sonido, luz y el interior de los átomos. La química estudia la manera en que esta integrada la materia, la manera en que los átomos se combinan para formar moléculas y la manera en que las moléculas se combinan para formar los diversos tipos de materia que nos rodea. La biología es aún más compleja, pues trata de la materia viva. Así, tras la biología esta la química y tras la química esta la física. Las ideas de la física se extienden a estas ciencias más complicadas, por eso la física es la más fundamental de las ciencias. Podemos entender mejor la ciencia en general si antes entendemos algo de física ¡es lo que vamos a prender en este curso! El entender la naturaleza se busca por diferentes formas: la ciencia, el arte, la religión, cuyos orígenes datan de miles de años. Estas formas son distintas, pero sus dominios se traslapan. La ciencia investiga los fenómenos naturales y el arte es la creación de los objetos o eventos que estimulan los sentidos, pero ambas son comparables debido a que son esfuerzos que muestran como son las cosas y cuales son posibles. Por otra parte, los objetivos de la ciencia y la religión son diferentes, ya que esta última se ocupa del propósito de la naturaleza. Las creencias y ceremonias religiosas generan convivencia humana, sin ocuparse directamente de los métodos de la ciencia. En este sentido son diferentes, como las manzanas con las peras, pero no se contradicen, son complementarias, de manera que no es 5 necesario elegir entre ambas, se pueden adoptar ambas, entendiendo que tratan aspectos distintos de la experiencia humana. Una persona realmente culta posee conocimientos tanto de la religión, como del arte y de la ciencia. En este capítulo se da una breve explicación de algunas definiciones de conceptos usados en el curso. Se hace una descripción de los sistemas de unidades de medida, de las magnitudes físicas fundamentales y derivadas, se definen los múltiplos, submúltiplos y los prefijos. Se hace notar la necesidad de expresar los valores numéricos de las magnitudes en ciencias en notación científica, se explica como expresar los valores numéricos dando sólo su orden de magnitud o haciendo una estimación de su valor. Se dan reglas de análisis dimensional, lo que proporciona un método para determinar la forma funcional de las leyes físicas y permite verificar si está bien planteada. Se definen los sistemas de referencias y de coordenadas y finalmente se hace un breve repaso del álgebra vectorial y se presentan algunos ejemplos básicos. 1.2. La física y su importancia para el ingeniero El desarrollo tecnológico actual exige que las universidades formen ingenieros que sean competitivos en el ámbito nacional e internacional para enfrentar los retos de la globalización, por lo que es necesario replantear el por qué de las ciencias básicas, sus contenidos y la metodología de la enseñanza, de modo que los estudiantes tengan la capacidad para razonar y ser creativos e innovadores en la solución de problemas del área de desarrollo que le compete. En la formación profesional de hoy en día a nivel mundial, se ha propuesto que los niveles de enseñanza sean cada vez más intensivos y más rigurosos, en donde los futuros profesionales de distintas áreas tengan la capacidad de enfrentarse a las necesidades de la sociedad moderna que cada vez son más ambiciosas, de esta manera como en el caso de las ingenierías, hoy se está exigiendo que el futuro profesional tenga una gran cantidad de capacidades, en donde el principal objetivo es que utilice las tecnologías existentes para el diseño de nuevas herramientas que puedan servir para la construcción e implementación de obras que cumplan con las necesidades de la humanidad. De esta manera es que en la formación de profesionales de la rama de la ingeniería en industrias alimentarias es necesario que en la enseñanza de la física, ya sea en mecánica, electricidad o electrónica, se implemente el uso de nuevas tecnologías o técnicas de enseñanza, medición o investigación, de manera que al involucrar nuevos sistemas de enseñanza se está obligando a las personas encargadas de diseñar los planes curriculares de carrera a adecuarlos a estas nuevas exigencias, rompiendo el paradigma de la enseñanza tradicional para iniciar un sistema en el cual se utilicen las nuevas tecnologías de enseñanza, para que los maestros tengan que cambiar sus metodologías de enseñanza en las clases teóricas y prácticas para cumplir con los nuevos requerimientos. Si se reconoce la importancia de una buena base científica por parte de los estudiantes de ingeniería, también se reconocerá el compromiso de nuestras instituciones en lograr la integración dialéctica del saber y saber hacer con el saber ser, esto es posible si se acompaña el pensamiento analítico, crítico y reflexivo, con el trabajo en equipo que fomente la solidaridad, la responsabilidad y la honestidad, procurando desarrollar en las aulas las actitudes, habilidades y valores necesarios para realizar la labor científica y generar la oportunidad de éxito en la formación universitaria y profesional. Lo que se necesita en el actual mundo de acelerados cambios tecnológicos intensivos en destrezas es la capacidad de “aprender”, de adaptarse, innovar, trabajar en equipo y relacionarse con una amplia variedad de actores. No se trata de educación “técnica” excesivamente especializada, a lo menos no hasta llegar a los estudios terciarios o de postgrado, pero incluso en ese momento son más importantes 6 los conocimientos científicos básicos en sus áreas y el desarrollo de capacidades de “resolución de problemas”, que dominar técnicas específicas que pueden quedar obsoletas con suma “rapidez.” El Departamento de Física de la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann, propone una nueva forma de hacer física en la universidad, lo que surge como una respuesta a la tendencia mundial de promover las ciencias como un soporte fundamental para el desarrollo de tecnologías competitivas. Es casi seguro que los objetivos que se persiguen sean comunes a todas las facultades de ingeniería de la región y que se pueden sintetizar de la siguiente manera: • Proporcionar al estudiante las herramientas necesarias que le permitan enfrentar con éxito problemas que requieren de capacidad analítica e innovación. • Inducir en el estudiante actitudes y habilidades que le permitan cursar satisfactoriamente las asignaturas propias de su formación profesional. • Crear hábitos de trabajo individual y en equipo para la búsqueda del conocimiento científico y su aplicación en la solución de problemas. • Desarrollar en el estudiante el interés por la investigación aplicada, acercándolo al conocimiento de problemas reales. • Dar a conocer los avances científicos y tecnológicos que pueden serle de gran utilidad en su formación profesional. • Proporcionar una sólida formación en las ciencias básicas, particularmente en la Física necesaria para la comprensión de los fenómenos relacionados con las ingenierías. • Formar una conciencia de protección al medio ambiente, mediante el la sensibilización para el uso y aplicación de tecnologías seguras, limpias y amigables con el ambiente, orientadas a un desarrollo sostenible de nuestra sociedad. Alcanzar estos objetivos significa adoptar estrategias educativas que trascienden el tradicional proceso enseñanza aprendizaje basado en la exposición magistral en el aula. Implica poner al estudiante en contacto con la realidad que lo rodea, despertar en él valores y actitudes como la solidaridad y la socialización del conocimiento adquirido dentro y fuera del aula, mediante tareas ex aula integradas a los objetivos del curso que lo motiven a la investigación y búsqueda de información tanto bibliográfica como de especialistas en el tema, de modo que se potencie el pensamiento crítico y reflexivo. El alumno deberá asumir el rol protagónico del proceso enseñanza aprendizaje, el docente será un orientador que facilitará la apropiación individual del conocimiento y fomentará la solidaridad de grupo y el respeto a los criterios expresados por los estudiantes en su esfuerzo por lograr la comprensión de la realidad que lo rodea, evaluando de una forma justa el trabajo desarrollado. Lo verdaderamente importante del estudio a nivel superior, no es lo que se aprende de forma escolar, sino la capacidad que confiere al individuo para aprender en el futuro. La vida de un profesional, poseedor de un título de carácter superior, debe ser un continuo aprendizaje, una labor de estudio permanente y para ello debe quedar preparado en su época de estudiante. Su preparación debe ser tal que le permita dominar el método preciso, para poder seguir con fruto el desarrollo futuro, para estar en condiciones de profundizar en cualquier aspecto que se presente como nuevo dentro del campo de su especialidad profesional. Este método ha de comprender la disciplina mental necesaria para analizar un problema, poder valorar hechos o manejar adecuadamente los datos que suministre la realidad con el fin de obtener consecuencias o relaciones que permitan llegar al mejor conocimiento y tomar las decisiones adecuadas a la actividad profesional del ingeniero. Pretendemos que los cursos de Física que se impartan en las diferentes carreras de ingeniería coadyuven para cumplir con los objetivos propuestos, pero necesitamos que los docentes que intervienen en la renovación de los currículos de estudios, adopten decisiones pensando en los estudiantes como profesionales del futuro que necesita nuestro país para salir del subdesarrollo. 7 1.3. Definiciones En esta sección se dan las definiciones de algunos términos usados en ciencias y de temas relacionados, que usaremos durante el curso, sin pretender profundizar en el contenido teórico del concepto definido. Física: Es una ciencia fundamental que estudia y describe el comportamiento de los fenómenos naturales que ocurren en nuestro universo. Es una ciencia basada en observaciones experimentales y en mediciones. Su objetivo es desarrollar teorías físicas basadas en leyes fundamentales, que permitan describir el mayor número posible de fenómenos naturales con el menor número posible de leyes físicas. Estas leyes físicas se expresan en lenguaje matemático, por lo que para entender sin inconvenientes el tratamiento del formalismo teórico de los fenómenos físicos se debe tener una apropiada formación en matemáticas, en este curso basta un nivel básico de matemáticas. Teoría científica: Síntesis de una gran cantidad de información que abarca diversas hipótesis probadas y verificables de ciertos aspectos del mundo natural. Ningún experimento resulta aceptable a menos que sea reproducible, es decir que produzca un resultado idéntico independientemente de cuando, donde y por quien sea realizado. Los resultados de los distintos experimentos se reúnen para formar una teoría. Una teoría es la síntesis de todas las observaciones realizadas en los experimentos, que debería hacer posible predecir el resultado de nuevos experimentos antes de que se realicen. Pero no se debe esperar que una teoría explique ciertos fenómenos de una vez por todas, sino más bien los coordine dentro de un conjunto sistemático de conocimientos. La validez de una teoría puede probarse únicamente con el experimento. Una teoría científica no debe contener elemento alguno metafísico o mitológico, se deben eliminar los mitos y prejuicios. Hoy en día se debe tener especial cuidado, puesto que nuestros mitos contemporáneos gustan de ataviarse con ropajes científicos, pretendiendo con ello alcanzar gran respetabilidad. Los charlatanes siempre buscan mencionar el nombre de algún gran científico en un intento por hacer creíbles sus charlatanerías. Mecánica. Es una rama de la física. Su objetivo es describir (con la cinemática) y explicar (con la dinámica) el movimiento de los cuerpos. Cinemática. Describe el movimiento de los cuerpos sin preocuparse de las causas que lo producen. Dinámica. Describe el movimiento de los cuerpos considerando las causas que lo producen, y las causas del movimiento son las fuerzas. Hipótesis: Suposición bien fundamentada, considerada como un hecho cuando se demuestra experimentalmente. Hecho: Acuerdo entre observadores competentes sobre una serie de observaciones de un fenómeno particular. Ley: Comprobación de una hipótesis sin ninguna contradicción. Una ley física se considera como tal cuando todos los experimentos obedecen esa ley, si en algún caso no se cumple, deja de ser ley física. ¿Son las leyes terrestres válidas en todo el Universo? Hay que usarlas y después evaluar su resultado. No se debe pretender buscar una nueva ley para explicar algún fenómeno en el cual las leyes ya existentes no parecen encajar satisfactoriamente, porque esto conduce al caos lógico. Aunque se debe estar dispuesto a aceptar nuevas leyes naturales si su adopción demuestra ser necesaria. Ciencia: Método para dar respuestas a preguntas teóricas. La ciencia descubre hechos y formula teorías. Tecnología: Método para resolver problemas prácticos, usa técnicas y procedimientos para aplicar los descubrimientos de la ciencia. 8 Modelo: Concepto introducido por los científicos para ayudarse a visualizar posibles procesos dentro de un sistema físico. Un modelo se usa para representar la realidad física y debe tener en cuenta dos aspectos conflictivos entre sí: a) tiene que ser lo bastante simple para como para ser elaborado con métodos matemáticamente rigurosos, b) debe ser realista para que los resultados obtenidos sean aplicables al problema considerado. La sencillez del modelo, su belleza matemática, es incompatible con la fidelidad al problema real. Lo bello raramente es fiel y lo fiel raramente es bello. Matemáticas: Es el lenguaje de las ciencias, es lo que establece una conexión entre la teoría y el experimento. Las leyes Físicas se expresan en lenguaje matemático, en general de nivel muy avanzado. Religión: Se ocupa del propósito de la naturaleza, no se preocupa por usar los métodos de la ciencia, tiene que ver con la Fe y la adoración de un ser supremo, que es Dios. Ciencia y religión no son contradictorias, son complementarias. No es necesario elegir entre ambas, se pueden adoptar las dos. 1.4. El método científico El método científico es un método efectivo para adquirir, organizar y aplicar nuevos conocimientos. Su principal fundador fue Galileo (1564-1642). Se basa en la formulación de hipótesis y en la recopilación de pruebas objetivas que traten de probar la veracidad de tales hipótesis establecidas previamente. El método científico puede dividirse en varios pasos: a. Observar el medio natural. b. Hacerse una pregunta sobre el comportamiento del medio. c. Formular una hipótesis y derivar de ella predicciones que puedan ser demostradas. d. Planear un experimento que pueda verificar esa hipótesis. e. Analizar los datos obtenidos de ese experimento. Si los datos coinciden un con las derivaciones de la hipótesis, se podrá decir que ésta funciona y es válida en ese contexto. f. A partir de esa hipótesis demostrada, elaborar una Teoría. g. Nuevamente acudir a la Naturaleza para contrastarla. h. Si la Teoría se cumple y demuestra, a partir de ella se formulará una Ley, que tratará de describir el fenómeno. Antes de Galileo, la mayor parte de los experimentos no seguían este orden de pensamiento, sino que se basaban en la observación del medio y emisión de teorías, sin mayor comprobación posterior de éstas. La novedad que trajo consigo el método científico fue que se trabajaba con hipótesis que debían ser demostradas. Todo ello supuso un gran avance para la física como ciencia, puesto que se empezó a observar la naturaleza y a afirmar expresiones, hoy en día tan comunes como “parece que va a llover”. Este método no siempre ha sido la clave de los descubrimientos, en muchos casos gran parte del progreso de la ciencia se ha debido a resultados obtenidos por error o por casualidad. 1.5. Sistemas de magnitudes y unidades Medir una magnitud consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de la magnitud. Una medición se expresa con un número seguida de un símbolo de la unidad usada. Existen medidas directas e indirectas, por ejemplo el largo y el ancho de una sala son medidas directas, pero la superficie de la sala es una medida indirecta. Gran parte de la Física tiene que ver con la medida de cantidades físicas tales como distancia, tiempo, volumen, masa, temperatura, etc. Las leyes Físicas se expresan en términos de cantidades básicas que requieren una definición clara, llamadas magnitudes físicas fundamentales. En mecánica las magnitudes físicas fundamentales son tres: longitud, tiempo y masa. Se llaman magnitudes físicas fundamentales porque están definidas en forma independiente de cualquier otra magnitud física. 9 Para que sean útiles deben ser invariables y reproducibles y se debe definir una unidad de medida única para la magnitud física, llamada patrón de medida. El Sistema Internacional (SI) de unidades determina el conjunto de patrones de medida. En este sistema, las unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales en Mecánica, son las que se dan en la tabla 1.1. Las otras magnitudes fundamentales de la Física, que con las anteriores suman siete en total, están indicadas en la tabla 1.2. Este se conoce también como el sistema MKS (abreviaturas de metro, kilogramo y segundo). También existe el sistema CGS cuyas unidades de medida son el centímetro, gramo y segundo, y el sistema inglés de ingeniería, que es extremadamente confuso, por lo que no lo usaremos en este curso. El SI es el que se usa mayoritariamente en todas las áreas de las ciencias. En ciencias se usan muchas otras magnitudes físicas, que se obtienen como una combinación de las magnitudes físicas fundamentales. Se llaman magnitudes físicas derivadas, porque se derivan de las magnitudes físicas fundamentales. Teniendo en cuenta que la Física estudia el comportamiento del universo, los valores numéricos de las magnitudes físicas varían en un rango muy amplio, desde cantidades muy pequeñas a muy grandes. Los valores numéricos de la física pueden ser muy complicados de leer en su forma tradicional, por lo que generalmente se expresan en potencias de 10, que es la notación científica. Ejemplos de algunos valores comunes se muestran en la tabla 1.3. 10 Si el exponente de la potencia de 10 es positivo (o negativo) el valor de la magnitud física es un múltiplo (o submúltiplo). Para medir magnitudes muy grandes o muy pequeñas se expresan los valores en potencias de 10 y se usan los prefijos del SI que es el nombre que se le da a la potencia de 10. Existen algunas unidades de medición que tienen nombres especiales, como por ejemplo el año luz que es la distancia que recorre la luz en un año, igual a 9.45 x 10 15 m, o el Angstrom que es igual a 10 -10 m. En la tabla 1.4 se dan los nombres de los prefijos del Sistema Internacional. 1.6. Sistemas de referencia En mecánica se tratan problemas relacionados con la descripción del movimiento de un objeto en el espacio, por lo que se requiere un método para conocer la posición de ese objeto. Para esto se definen los sistemas de coordenadas y marcos de referencia. Un sistema de coordenadas usado para indicar las posiciones en el espacio consta de: 1. Un punto de referencia fijo O, llamado origen. 2. Un conjunto de ejes o direcciones con una escala apropiada. 3. Instrucciones sobre como identificar un punto en el espacio respecto al origen y a los ejes. 1.6.1. Coordenadas cartesianas o rectangulares Un sistema de coordenadas frecuentemente usado es el sistema de coordenadas cartesiano o rectangular, que se muestra en la figura 1.1, con ejes x saliendo del plano de la figura, eje y horizontal y eje z vertical. En este sistema un punto P arbitrario se identifica con tres coordenadas identificadas por (x,y,z), con los valores positivos de los ejes hacia fuera del plano de la figura, hacia la derecha y hacia arriba, respectivamente en cada eje, como se indica en la figura 1.2. Es el espacio común en el que 11 vivimos, se llama espacio tridimensional porque tiene tres dimensiones, para indicarlo usamos en símbolo 3D. En ocasiones bastan dos o una coordenadas para fijar la posición del objeto, estos se llaman espacio bidimensional (2D) o unidimensional (1D), respectivamente. Figura 1.1. Coordenadas Cartesianas 1.6.2. Coordenadas polares Otro sistema de coordenadas conocido es el de las coordenadas polares (r,u) (figura 1.2), donde r es la distancia desde el origen al punto (x,y), generalmente llamado radio, y u el ángulo entre el eje x y r, por convención, considerado positivo cuando es medido en sentido anti horario desde el eje x hacia r. La relación entre las coordenadas cartesianas y polares es x = r cosu , y = rsenu . Se deja como ejercicio al alumno demostrar que sus relaciones inversas son: Figura 1.2. Coordenadas polares. De paso aprovechemos de recordar el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas básicas seno, coseno y tangente, que se definen para un triángulo rectángulo, como el que se muestra en la figura 1.3, estas son: Figura 1.3. Triangulo Rectángulo 12 1.7. Conceptos básicos de vectores Las magnitudes físicas con las que trataremos en el curso pueden ser escalares o vectoriales. Las magnitudes físicas escalares quedan completamente definidas mediante un número y sus respectivas unidades de medida, por ejemplo la densidad del agua de 1 gr/cm 3 o la temperatura del aire de 20 o C, son un escalar. Para las magnitudes físicas vectoriales debe especificarse su magnitud (un número con sus unidades), su dirección (un número que puede ser un ángulo si el espacio es bi o tridimensional) y su sentido (que indica hacia adonde se dirige o apunta el vector), por ejemplo una velocidad de 80 km/h hacia el noreste. Un vector se representa gráficamente como un trazo dirigido (flecha) y se simboliza mediante letras mayúsculas o minúsculas, con una flecha sobre la letra o escritas en negrita, como V, r, OP. La longitud de la flecha indica la magnitud relativa del vector, el punto desde donde se comienza a dibujar el vector se llama punto de aplicación, la dirección se mide desde algún eje de referencia, generalmente horizontal, el sentido esta dado por la punta de la flecha y la recta sobre la cual se ubica el vector se llama línea de acción. En la figura 1.4, el vector A tiene magnitud A, su punto de aplicación es O y su dirección es a grados sobre la horizontal. 1.7.1. Igualdad de vectores Dos o más vectores son iguales si: a) apuntan en la misma dirección, b) sus magnitudes son iguales. En la figura 1.5, a=b=c=d independientemente de la ubicación de los vectores en el espacio. 1.4. Representación de un vector Figura 1.5. Igualdad de vectores 1.7.2. Multiplicación de un vector por un escalar El resultado de multiplicar un vector por un escalar ì es un vector, de magnitud distinta y de dirección igual (o contraria) al vector original. En la figura 1.6 se muestra que B = 2b y D =- 2 /3 d. Figura 1.6. Multiplicación de un vector por un escalar 1.7.3. Vectores especiales. · Vector nulo: es un vector de magnitud igual a cero (0). · Vector unitario: vector de magnitud igual a uno (1). 13 1.7.4. Adición de vectores y algunas de sus propiedades. Los vectores se pueden sumar en forma geométrica por diversos métodos, tales como los que se muestran en la figura 1.7, a) el método del polígono o b) el método del paralelogramo. Figura 1.7. a) Método del polígono, b) Método del paralelogramo Además los vectores cumplen con las siguientes propiedades del álgebra: · Conmutatividad de la suma: a + b = a + b. · Asociatividad de la suma: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c). · Distributividad de la multiplicación por un escalar en la suma de vectores. · Conmutatividad del producto: a · b = b · a , a · a = a2. · Asociatividad del producto: a · ( b + c) = a · b +a · c · Inverso aditivo: si a + b = 0, entonces b es el inverso aditivo de a y se escribe b = -a. · La resta de vectores es un caso especial de adición, donde el vector restando se suma con su inverso aditivo: a - b = a +(- b). · La división entre vectores no está definida. 1.7.5. Representación de los vectores en coordenadas cartesianas Las componentes vectoriales de un vector son aquellas que sumadas dan como resultado el vector original. Las componentes vectoriales de un vector en el espacio se calculan a lo largo de un conjunto de 3 líneas mutuamente perpendiculares que se cortan en un mismo punto, es decir en líneas paralelas a los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano. Los vectores unitarios y las componentes vectoriales del vector A en estas direcciones se designan por i, j, k y por A x , A y , A z , respectivamente, tal que: En el plano (x, y) de la figura 1.8, se tiene: Vector: Componentes: Magnitud: Dirección: Figura 1.8. Componentes de un vector 1.7.6. Igualdad de vectores. Dos vectores son iguales si todas sus componentes son iguales, esto es, A = B, si y sólo si: A x = B x , A y = B y y A z = B z . 14 1.7.7. Suma, resta y multiplicación por un escalar. Se opera sobre las componentes escalares análogas de los vectores. Para el caso tridimensional se realizan tres operaciones escalares por cada operación vectorial, como se indica, donde l representa un escalar: 1.7.8. Producto escalar entre vectores El producto escalar entre vectores da como resultado un escalar, se lee A punto B, y se define como: Donde A y B es la magnitud y o es el ángulo entre los vectores A y B. Aplicado a vectores unitarios y a las componentes de un vector, se tiene: 1.7.9. Producto vectorial de vectores. El producto vectorial entre vectores da como resultado un vector, se lee A cruz B, y se define como: Donde A y B es la magnitud y a es el ángulo entre los vectores A y B, y la dirección de C esta dada por la regla de la mano derecha o del tornillo derecho, C es un vector perpendicular al plano formado por A y B. El producto vectorial se calcula resolviendo el siguiente determinante: Aplicado a vectores unitarios, se obtiene que: 15 8. Problemas. 1. Escribir usando prefijos, en unidades del Sistema Internacional: longitud del ecuador, radios del núcleo y átomo, segundos de un milenio, edad de la Tierra, volumen de una pulga, masa del Sol, distancia de la estrella más cercana a la Tierra (después del Sol). 2. El Sol es un ‘adulto joven’ de apenas casi 5 mil millones de años, escriba la edad del Sol sin y con prefijos del Sistema Internacional. (Cuando el Sol se apague, se acabará la fuente de energía que mantiene todos los procesos sobre la Tierra y por lo tanto la vida sobre ella.) R: 1.57x10 17 s. 3. La energía que la Tierra recibe del Sol es del orden de 220 W/m 2 , estimar la cantidad de energía sobre toda la superficie terrestre. Expresar el resultado con prefijos. 4. Transformar 10 m/s a km/h, 300000 km/h a m/s, 250 Glt a m 3 , 1.25 kg/m 3 a gr/cm 3 , 500 hPa a atm, 4500 m 2 a cm 2 . 5. La Tierra tiene una edad de 4600 millones de años y el ser humano ha estado sobre ella desde hace unos 150 mil años. Si la edad la Tierra la hacemos equivalente a un día, ¿cuántos segundos tiene el ser humano sobre la Tierra? 6. Un vector de 5 unidades se orienta en dirección positiva del eje x, y otro de 3 unidades se orienta en 230 o . Determine la suma y la resta de estos vectores, gráfica y analíticamente. 7. El vector A se extiende desde el origen hasta un punto que tiene coordenadas polares (8, 60 o ) y el vector B se extiende desde el origen hasta un punto que tiene coordenadas polares (3, 340 o ). Calcular su producto escalar, vectorial y el ángulo que forman los vectores. 8. Si y , calcular su producto escalar, vectorial y el ángulo que forman los vectores. Dibujar todos los vectores. 9. Para los siguientes vectores: 2 = - 3 + 1,5 + 2 ; calcular la magnitud y dirección de cada vector. 10. Para los vectores del problema 9 calcular: a) su suma, b) 3V 2 – V 1 , c) 5V 3 + V 2 , d) 2V 1 +3V 2 – 0,5V 3 . Dibujar los vectores y los resultados. 11. Para los vectores del problema 9, calcular a) el producto escalar entre cada par de vectores, f) el producto vectorial entre cada par. 12. El vector F 1 tiene una magnitud de 5 unidades y el vector F 2 tiene una magnitud de 10 unidades. Ambos vectores forman un ángulo de 120 o entre si. Calcular su producto escalar y vectorial. 13. Demostrar que: 14. Demostrar que: 15. Demostrar que: 16 CAPÍTULO II ESTÁTICA 2.1. Introducción En general un cuerpo puede tener tres tipos distintos de movimiento simultáneamente. De traslación a lo largo de una trayectoria, de rotación mientras se está trasladando, en este caso la rotación puede ser sobre un eje que pase por el cuerpo, y si a la vez este eje esta girando en torno a un eje vertical, a la rotación del eje del cuerpo rotante se le llama movimiento de precesión (por ejemplo un trompo), y de vibración de cada parte del cuerpo mientras se traslada y gira. Por lo tanto el estudio del movimiento puede ser en general muy complejo, por esta razón se estudia cada movimiento en forma independiente. Cuando un cuerpo está en rotación, cada punto tiene un movimiento distinto de otro punto del mismo cuerpo, aunque como un todo se esté moviendo de manera similar, por lo que ya no se puede representar por una partícula. Pero se puede representar como un objeto extendido formado por un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad y aceleración. Al tratar la rotación del cuerpo, el análisis se simplifica si se considera como un objeto rígido y se debe tener en cuenta las dimensiones del cuerpo. 2.2. Definiciones Cuerpo rígido Se define como un cuerpo ideal cuyas partes (partículas que lo forman) tienen posiciones relativas fijas entre sí cuando se somete a fuerzas externas, es decir es no deformable. Con esta definición se elimina la posibilidad de que el objeto tenga movimiento de vibración. Este modelo de cuerpo rígido es muy útil en muchas situaciones en las cuales la deformación del objeto es despreciable. El movimiento general de un cuerpo rígido es una combinación de movimiento de traslación y de rotación. Para hacer su descripción es conveniente estudiar en forma separada esos dos movimientos. Partícula Es un punto material, un ente ideal cuyo volumen consideramos nulo. Localizamos a los objetos en un punto, cuando sus dimensiones no intervienen en el análisis de sus movimientos, y en consecuencia no consideramos la rotación alrededor de un eje que pase por él. Así por ejemplo: un transatlántico es pequeño en comparación con la longitud de su ruta, por lo que al describir su movimiento por el océano, se considera que la nave es un punto; para un astrónomo una estrella, e incluso una galaxia, pueden ser consideradas como partículas; sin embargo para un físico atómico los átomos no lo son Fuerzas de la naturaleza Para describir el mundo, la física contemporánea recurre a cuatro interacciones o fuerzas fundamentales, que actúan sobre las partículas de materia (y sobre las antipartículas), vehiculadas por partículas llamadas vectores de interacción, que son: fotón (interacción electromagnética), bosón (interacción débil), gluón (interacción fuerte) y gravitón (interacción gravitacional). 1) Fuerzas electromagnéticas de atracción o repulsión entre partículas cargadas en reposo o en movimiento, explica la cohesión de los átomos, es mucho más intensa que la fuerza gravitacional. 2) Fuerzas nucleares intensas entre partículas subatómicas, responsable de la existencia del núcleo atómico asegura la cohesión interna de los constituyentes del núcleo atómico, protones y neutrones, y 17 es responsable de un gran número de reacciones y de desintegraciones; es la de mayor magnitud (10 2 - 10 3 veces la fuerza electromagnética). 3) Fuerzas nucleares débiles de corto alcance, rige algunos procesos radiactivos, establece la estabilidad de algunos núcleos, es varios órdenes de magnitud (10 12 ) menor que la fuerza electromagnética. 4) Fuerza de atracción gravitacional entre cuerpos debido a sus masas, entre otras cosas hace que caigan las manzanas y que suba la marea, es la fuerza de menor magnitud comparada con las otras. Centro de gravedad. Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular. Centro de masa. Es la posición geométrica de un cuerpo rígido donde se puede considerar concentrada toda su masa, corresponde a la posición promedio de todas las partículas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje se simetría. Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la fuerza neta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento del centro de masa como si fuera una partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se considera aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es equivalente al centro de gravedad, ya que aquí la gravedad es casi constante, esto es, si g es constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de masa. Existen métodos para calcular estas dos posiciones, pero aquí no las detallaremos. Se han preguntado alguna vez ¿por qué no se cae la Torre de Pisa?, o ¿por qué es imposible tocarte los dedos de los pies sin caerte cuando estas de pie apoyado con los talones contra la pared? ¿Por qué cuando llevas una carga pesada extiendes y levantas el otro brazo? Para responder a esto debemos definir los conceptos de centro de masa y de centro de gravedad y su aplicación al equilibrio estático. Composición de fuerzas Componer fuerzas es hallar una fuerza, resultante, que produce los mismos efectos que las componentes, cuando actúan simultáneamente. La composición de fuerzas obedece a las mismas leyes que la composición de vectores (Cap. I); teniendo siempre en cuenta que éstas son vectores deslizantes. Estudiemos, por ahora, los siguientes casos: a) Fuerzas en la misma dirección: La resultante de varias fuerzas de la misma dirección es otra fuerza de la misma dirección y cuyo módulo es la suma o diferencia de los módulos, según que las componentes sean del mismo o distinto sentido. b) Fuerzas concurrentes: No es necesario que las propias fuerzas concurran; basta con que lo hagan sus prolongaciones o líneas de acción. Se trasladan las fuerzas a un punto común, por deslizamiento; y luego, si interesa, se traslada su resultante hasta un punto O del cuerpo. Si las fuerzas son más de dos, se repite esta construcción con todas las fuerzas dadas y las resultantes parciales, hasta obtener la resultante única. c) Fuerzas paralelas y del mismo sentido: La resultante de dos fuerzas paralelas y del mismo sentido, es otra fuerza paralela a ellas y del mismo sentido, cuyo módulo es la suma de los módulos, y cuya línea de acción, situada entre las dos fuerzas, divide al segmento que las une en partes inversamente proporcionales a las componentes. d) Fuerzas paralelas y de sentidos contrarios: La resultante es otra fuerza paralela a las componentes del sentido de la mayor, cuyo módulo es la diferencia de los módulos y cuya línea de acción está fuera del segmento que une las fuerzas y del lado de la mayor; dividiendo, exteriormente, a dicho segmento en partes inversamente proporcionales a las componentes. 18 2.3. Torque de una fuerza Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. Consideremos como cuerpo rígido a una regla fija en un punto O ubicado en un extremo de la regla, sobre el cual pueda tener una rotación, y describamos el efecto que alguna fuerza de la misma magnitud actuando en distintos puntos, produce sobre la regla fija en O, como se muestra en la figura 2.1. Una fuerza F 1 aplicada en el punto a produce una rotación en sentido anti horario, F 2 en b produce rotación horaria y con mayor rapidez de rotación que en a, F 3 en b pero en dirección de la línea de acción que pasa por O no produce rotación, F 4 inclinada en b produce rotación horaria con menor rapidez de rotación que F 2 ; F 5 y F 6 aplicadas perpendiculares a la regla no producen rotación. Por lo tanto existe una cantidad que produce la rotación del cuerpo rígido relacionada con la fuerza, que definimos como el torque de la fuerza. Se define el torque τ de una fuerza F que actúa sobre algún punto del cuerpo rígido, en una posición r respecto de cualquier origen O, por el que puede pasar un eje sobre el cual se produce la rotación del cuerpo rígido, al producto vectorial entre la posición r y la fuerza aplicada F. (1) El torque es una magnitud vectorial, si α es el ángulo entre r y F, su valor numérico por definición del producto vectorial, es: (2) Figura 2.1. Fuerzas sobre un cuerpo rígido Su dirección es siempre perpendicular al plano de los vectores r y F, cuyo diagrama vectorial se muestra en la figura 2.2, su sentido esta dado por la regla del producto vectorial, la regla del sentido de avance del tornillo o la regla de la mano derecha. En la regla de la mano derecha los cuatro dedos de la mano derecha apuntan a lo largo de r y luego se giran hacia F a través del ángulo α , la dirección del pulgar derecho estirado es la dirección del torque y en general de cualquier producto vectorial. Figura 2.2 19 Por convención se considera el torque positivo (negativo) si la rotación que produciría la fuerza es en sentido anti horario (horario), esto se ilustra en la figura 2.3. La unidad de medida del torque en el SI es el Nm (igual que para trabajo, pero no se llama joule). El torque de una fuerza depende de la magnitud y dirección de F y de su punto de aplicación respecto a un origen O. Si la fuerza F pasa por O, r = 0 y el torque es cero. Si α = 0 o 180º, es decir, F está sobre la línea de acción de r, Fsenα = 0 y el torque es cero. F senα es la componente de F perpendicular a r, sólo esta componente realiza torque, y se le puede llamar F⊥. De la figura 2.3 también se ve que r⊥ = rsenα es la distancia perpendicular desde el eje de rotación a la línea de acción de la fuerza, a r⊥ se le llama brazo de palanca de F. Entonces, la magnitud del torque se puede escribir como: (3) Figura 2.3. Torque positivo y negativo de una Fuerza aplicada. 2.4. Equilibrio de una partícula y de un cuerpo rígido. Por definición una partícula puede tener solo movimiento de traslación. Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula está moviéndose con velocidad constante o está en reposo; en este último caso se dice que la partícula está en equilibrio estático. Pero el movimiento de un cuerpo rígido en general es de traslación y de rotación. En este caso, si la resultante tanto de las fuerzas como de los torques que actúan sobre el cuerpo rígido es cero, este no tendrá aceleración lineal ni aceleración angular, y si está en reposo, estará en equilibrio estático. Para que un cuerpo rígido este en equilibrio estático se deben cumplir dos requisitos simultáneamente, llamados condiciones de equilibrio. La primera condición de equilibrio es la Primera Ley de Newton, que garantiza el equilibrio de traslación, se enuncia de la siguiente forma: “La suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre una partícula es cero”.  (4) 20 La segunda condición de equilibrio, corresponde al equilibrio de rotación, se enuncia de la siguiente forma: “La suma vectorial de todos los torques externos que actúan sobre un cuerpo rígido alrededor de cualquier origen es cero”. Esto se traduce en las siguientes dos ecuaciones, consideradas como las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido:  (5) Como estas ecuaciones vectoriales son equivalentes a seis ecuaciones escalares, resulta un sistema final de ecuaciones con muchas incógnitas (seis), por lo que limitaremos el análisis a situaciones donde todas las fuerzas están en el plano xy. Con esta restricción se tiene que tratar sólo con tres ecuaciones escalares, dos de la primera condición de equilibrio y una de la segunda: (6) Cuando se tratan problemas con cuerpos rígidos se debe considerar la fuerza de gravedad o el peso del cuerpo, e incluir en los cálculos el torque producido por su peso. Para calcular el torque debido al peso, se puede considerar como si todo el peso estuviera concentrado en un solo punto, llamado centro de gravedad. Para aplicar las condiciones de equilibrio, es recomendable seguir las siguientes instrucciones, que corresponde a dibujar el DCL del cuerpo rígido: a) Aislar al cuerpo rígido del sistema con un límite imaginario. b) Dibujar los vectores que representen las fuerzas en el punto de aplicación donde las fuerzas efectivamente actúan. c) Elegir un sistema de coordenadas conveniente para descomponer las fuerzas, donde dibujar la componente perpendicular a la posición. d) Elegir un eje de rotación O adecuado en el cuerpo rígido, donde se anulen los torques de (algunas) fuerzas desconocidas. 2.5. Problemas de Aplicación 1. Dos fuerzas F1 y F2 actúan a lo largo de los lados de un triángulo equilátero de lado a, como se muestra en la figura 1. Encuentre una tercera fuerza F3 que aplicada en el vértice a lo largo del lado produzca un torque neto en torno a O igual a cero. R: F3 = F1 + F2 (magnitudes). Figura 1. 2. Una escalera homogénea de masa M descansa contra una pared vertical sin fricción, en un ángulo de α=60º con la vertical. El extremo inferior se apoya sobre un piso horizontal con un coeficiente de fricción μ. Un pintor de brocha gorda de masa 2M intenta subir la escalera. ¿Qué fracción de la longitud L de la escalera subirá el pintor antes de que la escalera empiece a resbalar? R: 0.79. 21 3. Un tablón uniforme de 5 m de largo y 150 kg está articulado en A. En B esta sostenido por una cuerda que forma un ángulo de 90º con el tablón, como se ve en la figura 2. Calcular la tensión de la cuerda y la fuerza de la articulación en A. R: 643 N, -514î + 1114ĵ N. 4. El tablón uniforme de la figura 3, de 5 m de largo y peso P está articulado en A e inclinado α grados con la horizontal. En el extremo opuesto está sostenido por una cuerda que forma un ángulo de 90º con el tablón, sosteniendo un peso P/2. Calcular: a) la tensión de la cuerda, b) la fuerza en A. R: a) 0.6 P, b) (0.47î + 1.14ĵ)P. 5. La figura 6 muestra las fuerzas F1=40 N, F2=30 N, F3=50 N, F4=60 N aplicadas a un cuerpo rígido que puede girar en torno de un eje que pasa por O. Calcular el torque resultante. R: -10.8 Nm. 6. Calcular el torque neto sobre la rueda producido por las fuerzas F1=8 N, F2=10 N, F3=15 N, que se indican en la figura 7, alrededor de un eje que pase por su centro, si a = 10 cm, b = 20 cm y α = 30º. 22 CAPÍTULO III CINEMÁTICA 3.1. INTRODUCCIÓN. Cinemática es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos, aunque sin interesarse por las causas que originan dicho movimiento. Las magnitudes que define la cinemática son principalmente tres, la posición, la velocidad y la aceleración. El problema fundamental de la cinemática consiste en describir y predecir el movimiento futuro, determinar posición, velocidad y aceleración de un móvil en función del tiempo, condicionados a las características del problema. Usa las magnitudes fundamentales longitud, en forma de camino recorrido, de posición y de desplazamiento, con el tiempo como parámetro. La magnitud física masa no interviene en esta descripción. Si se analiza la palabra movimiento podremos decir que: Un punto se mueve cuando su posición varía con relación a un sistema de ejes que consideramos fijo. Si los ejes de referencia están realmente fijos, el movimiento es ABSOLUTO; si no lo están, al movimiento se le llama RELATIVO. Cuando vamos en un tren en marcha, quietos en nuestro asiento, no nos movemos con respecto al tren; sin embargo nos movemos con respecto a un poste de luz clavado en la Tierra. Asimismo, podremos estar quietos sobre la Tierra, pero estaremos en movimiento con respecto al centro de la Tierra, que a su vez se desplaza respecto del centro del Sol... No existiendo puntos fijos en el Universo, todo movimiento real es relativo. Por lo tanto, para conocer el movimiento del objeto es necesario hacerlo respecto a un sistema de referencia, donde se ubica un observador en el origen del sistema de referencia, que es quien hace la descripción. Para un objeto que se mueve, se pueden distinguir al menos tres tipos de movimientos diferentes: traslación a lo largo de alguna dirección variable pero definida, rotación del cuerpo alrededor de algún eje y vibración. Generalmente el movimiento de traslación en el espacio está acompañado de rotación y de vibración del cuerpo, lo que hace que su descripción sea muy compleja. Por esto, se considera un estudio con simplificaciones y aproximaciones, en el cual se propone un modelo simple para estudiar cada movimiento en forma separada. La primera aproximación es considerar al cuerpo como una partícula, la segunda es considerar sólo el movimiento de traslación, una tercera aproximación es considerar el movimiento en una y dos direcciones respectivamente. No obstante, en el análisis que vamos a realizar a continuación de la cinemática de la partícula, consideraremos al sistema de referencia fijo en cuyo origen situamos al observador. La elección adecuada del origen y sistema de referencia a utilizar en cada problema, es esencial para su resolución más cómoda y rápida posible. La mayoría de los problemas que se plantean en el análisis de los movimientos de la partícula para su aplicación técnica, son rectilíneos (mono dimensionales) o curvilíneos planos (bidimensionales), no por eso es menos importante el desarrollo del movimiento tridimensional, que nos proporciona una forma general de definir las magnitudes fundamentales de la cinemática y que abordaremos en determinados problemas. 23 3.2. Definiciones Antes de hacer la descripción del movimiento, es necesario definir algunos conceptos y variables físicas que se usarán en este capítulo. Cinemática: describe el movimiento de los cuerpos en el universo, sin considerar las causas que lo producen. Movimiento: es el cambio continuo de la posición de un objeto en el transcurso del tiempo. Partícula: el concepto intuitivo que tenemos de partícula corresponde al de un objeto muy pequeño que puede tener forma, color, masa, etc., como por ejemplo un grano de arena. El concepto físico abstracto es una idealización de un objeto considerado como un punto matemático sin dimensiones, que tendrá sólo posición, masa y movimiento de traslación. Esto significa que cualquier objeto puede ser considerado como partícula, independiente de su tamaño, considerando su masa concentrada en un punto que lo representa. Ejemplos de objetos que se pueden considerar como una partícula son un átomo, una hormiga, un avión, la Tierra, etc., en este último caso se justifica si se estudia su movimiento de traslación en torno al Sol. Posición: es la ubicación de un objeto (partícula) en el espacio, relativa a un sistema de referencia. Es un vector y se denota por: (1) Donde x, y y z son los valores de la posición en cada dirección, e i, j y k son los vectores unitarios en la dirección de cada eje x, y y z, respectivamente. En una dimensión es simplemente r = xi. Es una de las variables básicas del movimiento, junto con el tiempo, en el SI se mide en metros. La posición se puede dibujar en un sistema de referencia en una y dos dimensiones como se muestra en la figura 3.1a y 3.1b respectivamente: (a) (b) Figura 3.1. Posición de una partícula. En una (a) y dos (b) dimensiones respectivamente Desplazamiento: el desplazamiento se define como el cambio de posición de una partícula en el espacio (para indicar cambios o diferencias finitas de cualquier variable en física se usa el símbolo delta, Δ). Es independiente de la trayectoria que se siga para cambiar de posición. Para determinarlo se debe conocer la posición inicial r i y final r f de la partícula en movimiento. El desplazamiento es un vector, que puede ser positivo, negativo o cero, en el SI se mide en metros; se dibuja en el esquema de la figura 3.2. En una dimensión y en dos dimensiones, el desplazamiento es: (2) 24 (3) Trayectoria: es la curva geométrica que describe una partícula en movimiento en el espacio, y se representa por una ecuación de la trayectoria. En una dimensión es una recta y = cte, paralela al eje x; en dos dimensiones puede ser una parábola y = a + bx 2 o una circunferencia x 2 + y 2 = r 2 u otra curva. Distancia: es la longitud que se ha movido una partícula a lo largo de una trayectoria desde una posición inicial a otra final. Su valor numérico en general no coincide con el valor numérico del desplazamiento, excepto en casos muy particulares Figura.3.2. Vector desplazamiento en dos dimensiones. Tiempo: ¿Qué es el tiempo? No es fácil definir físicamente el concepto de tiempo. Es más simple hablar de intervalo de tiempo, que lo podemos definir como la duración de un evento, o si consideramos la posición y sus cambios, podemos decir que el tiempo es lo que tarda una partícula en moverse desde una posición inicial a otra final. Velocidad: Es la variación de la posición con el tiempo. Nos indica si el móvil se mueve, es decir, si vara su posición a medida que vara el tiempo. La velocidad en física se corresponde al concepto intuitivo y cotidiano de velocidad. Rapidez: Se define como rapidez instantánea v a la magnitud o valor numérico del vector velocidad, por lo tanto es siempre positiva. Distancia: es la longitud que se ha movido una partícula a lo largo de una trayectoria desde una posición inicial a otra final. Su valor numérico en general no coincide con el valor numérico del desplazamiento, excepto en casos muy particulares. Tiempo: ¿Qué es el tiempo? No es fácil definir físicamente el concepto de tiempo. Es más simple hablar de intervalo de tiempo, que lo podemos definir como la duración de un evento, o si consideramos la posición y sus cambios, podemos decir que el tiempo es lo que tarda una partícula en moverse desde una posición inicial a otra final. 3.3. Movimiento con velocidad constante Es aquel movimiento donde la velocidad permanece constante. Se caracteriza por que: a) En tiempos iguales se recorren distancias iguales. b) La velocidad permanece constante en magnitud y sentido. c) El cuerpo no posee aceleración El espacio recorrido es directamente proporcional al tiempo empleado. t d v = [m/s] (4) 25 3.4. Movimiento con aceleración constante: Descripción cinemática E1 movimiento de una partícula se describe por completo si se conoce su posición en cualquier instante. Para encontrar leyes que expliquen los diferentes cambios de los cuerpos en el tiempo, se deben registrar los cambios y describirlos. Algunos cambios son difíciles de describir, como por ejemplo los movimientos de una nube, formada por billones de gotitas de agua que se mueven al azar y pueden evaporarse o unirse para formar gotas más grandes, o bien los cambios de opinión de una mujer. Describir el movimiento significa poder responder a la pregunta ¿en que posición se encuentra el cuerpo en movimiento en cualquier instante de tiempo? Si la aceleración a varía en el tiempo el movimiento puede ser muy complejo y difícil de analizar. Un caso simple de movimiento es aquel que se realiza en una dirección con aceleración constante. Si la aceleración es constante, significa que la velocidad cambia de manera uniforme en todo el movimiento. Consideremos primero el caso de una partícula que se mueve en dirección del eje x con la magnitud de la aceleración a constante. Si v 0 es el valor de la velocidad o rapidez en el instante inicial t 0 , y v su valor en el instante t, de la definición de a se tiene: (5) La ecuación 5 permite determinar la velocidad v = v(t) de una partícula que se mueve en una dirección con aceleración a constante, para cualquier instante t > t 0 . Como v 0 , a y t 0 son valores conocidos, se observa que v es una función lineal del tiempo t, por lo tanto el gráfico rapidez versus tiempo o gráfico v/t es de la forma que se muestra en la figura 3.3a. Para a < 0, y para el caso de una partícula que está disminuyendo su rapidez, los gráficos v/t y a/t se muestran en la figura 3.3b. Figura 3.3a. Gráfico de la velocidad y la aceleración en función del tiempo para a > 0v Figura 3.3b. Gráfico de la velocidad y aceleración en función del tiempo para a< 0. El valor de la pendiente de la tangente a la curva v(t) en el gráfico v/t es igual al valor numérico de la aceleración. Para el movimiento con aceleración constante v(t) es la ecuación de una recta. Conocida v = 26 v(t) se puede usar la definición de la velocidad para obtener la posición de la partícula en cualquier instante. Si inicialmente, para t = t 0 , la partícula se encuentra en la posición x 0 y en cualquier instante t se encuentra en la posición x, la velocidad en función del tiempo es v (t)= v 0 + a(t – t 0 ), reemplazando, en forma vectorial, se obtiene: (6) Como x 0 , v 0 y a son los valores conocidos para t = to, se deduce que x es sólo función del tiempo, así la ecuación que describe la posición de una partícula en movimiento en función del tiempo x = x(t) es: (7) Las ecuaciones x = x(t), v = v(t) y a = cte., forman el conjunto de ecuaciones cinemáticas, que permiten describir el movimiento simple de una partícula que se mueve con aceleración constante en una dirección, y como con esas ecuaciones se pueden determinar los valores de esas variables para la partícula en cualquier instante, el movimiento queda completamente descrito. Para el caso particular de un movimiento con rapidez constante, la aceleración de la partícula es cero, y las ecuaciones del movimiento 5 y 7 se reducen a: (8) 3.5. Cuerpos en caída libre. Un caso particular de movimiento en una dimensión, es aquel de los objetos que se mueven libremente en dirección vertical cerca de la superficie de la Tierra, que se conoce como movimiento de caída libre. Galileo (1564 – 1642), físico y astrónomo italiano, fue el primero en estudiar el movimiento de caída libre, al observar que dos cuerpos diferentes, al dejarlos caer desde la torre inclinada de Pisa, llegaban al suelo casi al mismo tiempo. Experimentalmente se demuestra que todos los cuerpos que se dejan caer cerca de la superficie de la Tierra, lo hacen con una aceleración aproximadamente constante. Esta aceleración, que se llama aceleración de gravedad, es producida por una fuerza que existe entre cuerpos con masa, llamada fuerza de atracción gravitacional, cuyo origen será explicado en el Capítulo I. La aceleración de gravedad, que se denota por g es un vector que apunta hacia el centro de la Tierra, su magnitud aumenta levemente al aumentar la latitud, es decir desde el ecuador hacia los polos, y disminuye al aumentar la altura sobre la superficie terrestre. Su valor medio en la superficie de la Tierra es aproximadamente de 9.8 m/s 2 . Se dice que un objeto está en caída libre cuando se mueve bajo la influencia sólo de la aceleración de gravedad, despreciando la resistencia (es otra fuerza que se resiste al movimiento y que también será estudiada más adelante) que el aire opone a los cuerpos en movimiento, sin importar la velocidad inicial del objeto. Todos los cuerpos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, o se dejan caer, lo hacen libremente una vez que se dejan en libertad. La aceleración que adquieren es siempre la aceleración de gravedad, vertical hacia abajo, cualquiera sea la dirección inicial del movimiento. 27 Como el movimiento de caída libre es en una dimensión, con aceleración constante, se puede adoptar como dirección del movimiento al eje vertical y. Por lo tanto se pueden aplicar las ecuaciones para el movimiento en una dimensión, tomando al eje y en la dirección del movimiento de caída, por convención positivo hacia arriba. Con esta convención, un movimiento de caída libre de ascenso o de descenso tiene una aceleración g negativa. También se debe tener en cuenta que si el cuerpo asciende (desciende) su velocidad será positiva (negativa) en este sistema de referencia. De está forma las ecuaciones de movimiento 5 y 7 se transforman en las ecuaciones para caída libre: (9) (10) Efectos de g en las personas. La capacidad de una persona para soportar una aceleración depende tanto de la magnitud como de la duración de ésta. Debido a la inercia de la sangre y de los órganos dilatables, las aceleraciones pequeñas tienen poca importancia si duran sólo fracciones de segundo. El límite de tolerancia se encuentra cercano a 10g y depende de la resistencia estructural de los cuerpos. La mayoría de las personas han experimentado aceleraciones verticales moderadas en los ascensores. La sangre circula por vasos dilatables de manera que cuando el cuerpo es acelerado hacia arriba, la sangre se acumula en la parte inferior de éste. Cuando la aceleración es hacia abajo, aumenta el volumen de sangre en la parte superior del cuerpo, a su vez los órganos internos no se mantienen rígidos en su sitio y su desplazamiento durante la aceleración puede producir sensaciones desagradables. Cuando un avión despega, aterriza o realiza giros muy rápidos, está sometido a aceleraciones de hasta 9g. El grado de tolerancia de un humano a esta aceleración dependerá entre otros factores del peso, edad y condición física de la persona. A modo de ejemplo, un piloto que en tierra pesa 80 kilos, cuando es sometido a este valor de aceleración siente repentinamente que su peso es alrededor de 720 kilos. Esta misma aceleración hace que la sangre fluya hacia los pies del piloto, esto disminuye el retorno venoso al corazón con lo cual la presión baja y el piloto puede perder la visión temporalmente, para luego perder la conciencia. También existen aceleraciones negativas durante el vuelo en la cual el piloto experimenta la aceleración en posición invertida. En ese caso la aceleración hace que la sangre fluya al cerebro, el piloto sufre de palidez y su visión se torna roja. Estudios han determinado que los humanos pueden soportar hasta 9g de aceleraciones positivas y 3g para aceleraciones negativas. Un piloto que viaja en aviones modernos que incluso alcanzan velocidades cercanas a la del sonido, podría detenerse sin peligro en una distancia aproximada de 200 m, pero si esta velocidad fuese unas 100 veces mayor (valores que pueden ser alcanzados en viajes interplanetarios), la distancia de frenado que necesitaría para no producir efectos nocivos en sus tripulantes debe ser de aproximadamente 16 000 km. La razón de esta diferencia está en que la cantidad total de energía que se disipa durante la desaceleración es proporcional al cuadrado de la velocidad, lo que es suficiente para aumentar la distancia unas 10 000 veces. Por esta razón se han creado procedimientos y aparatos especiales para proteger a los pilotos del colapso circulatorio que aparece durante aceleraciones positivas. Primero, si el piloto aprieta sus músculos abdominales en grado extremo y se inclina hacia adelante para comprimir el abdomen, puede evitar la acumulación de sangre en los grandes vasos abdominales, evitando así la perdida de conciencia. Además se han diseñado trajes “anti-g” para prevenir el estancamiento de sangre en la parte más baja del abdomen y las piernas. Este tipo de traje aplica una presión positiva en piernas y abdomen, inflando compartimientos de aire a medida que aumenta la aceleración positiva. Además el cuerpo humano presenta de 1 a 2 cm de tejido blando externo, lo que aumenta la distancia de desaceleración y por lo tanto disminuye la fuerza de impacto, por ejemplo, durante una caída. 28 3.6. Movimiento en dos dimensiones En general e1 movimiento de los objetos verdaderos se realiza en el espacio real tridimensional. E1 movimiento de una partícula que se realiza en un plano es un movimiento en dos dimensiones, si el movimiento se realiza en el espacio, se produce en tres dimensiones. Ejemplos de un movimiento en dos dimensiones son el de un cuerpo que se lanza al aire, tal como una pelota, un disco girando, el salto de un canguro, el movimiento de planetas y satélites, etc. El movimiento de los objetos que giran en una órbita cuya trayectoria es una circunferencia, se conoce como movimiento circunferencial; es un caso de movimiento en dos dimensiones, que también es estudiado en este capítulo. El vuelo de una mosca, el de un avión o el movimiento de las nubes se produce en tres dimensiones. 3.7. Descripción del movimiento en dos dimensiones. Continuamos restringiendo el estudio del movimiento al caso de una partícula que se mueve con aceleración constante, es decir que su magnitud y dirección no cambian durante el movimiento. E1 vector posición de una partícula que se mueve en el plano xy es una función del tiempo, se escribe como: (11) Por definición, la velocidad de la partícula en movimiento en el plano xy es, el cambio de posición en el transcurso del tiempo y se puede determinar por: (12) (13) donde v x y v y son las componentes de la velocidad en la dirección x e y. Si la aceleración es constante, sus componentes a x en la dirección x, y a y en la dirección y, también lo son. Aplicando las ecuaciones cinemáticas de la velocidad deducidas para el movimiento en una dimensión, independientemente en cada dirección x e y, para una partícula que en el instante inicial t 0 se mueve con velocidad inicial v 0 = v ox i + v oy j se obtienen las componentes de la velocidad en función del tiempo: reemplazando en la expresión de v( t ), se obtiene la velocidad en cualquier instante t: (14) 29 De manera similar reemplazando las expresiones de la posición en función del tiempo en cada dirección x e y, para una partícula que en el instante inicial t 0 se encuentra en la posición inicial r 0 =x 0 i + x 0 j se obtiene la posición r( t ) de la partícula, en cualquier instante t: (15) Se concluye que el movimiento bidimensional con aceleración constante es equivalente a dos movimientos independientes en las direcciones x e y con aceleraciones constantes a x y a y . A esta propiedad se le llama principio de independencia del movimiento. 3.8. Movimiento de proyectiles Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial v 0 de dirección arbitraria, se mueve describiendo una trayectoria curva en un plano. Si para esta forma común de movimiento se supone que: a) la aceleración de gravedad es constante en todo el movimiento (aproximación válida para el caso en que el desplazamiento horizontal del cuerpo en movimiento sea pequeño comparado con el radio de la Tierra) y b) se desprecia el efecto de las moléculas de aire sobre el cuerpo (aproximación no muy buena para el caso en que la rapidez del cuerpo en movimiento sea alta), entonces a este tipo de movimiento se le llama movimiento de proyectil y se produce en dos dimensiones. Figura 3.4. Sistema de referencia para el movimiento de un proyectil Se elige el sistema de coordenadas (x, y) tradicional como se ve en la figura 3.4, donde se dibuja la trayectoria de una partícula en movimiento en dos dimensiones, junto con los vectores velocidad y aceleración de gravedad. Suponiendo que en el instante inicial t = t 0 el proyectil se encuentra en la posición inicial (x 0 , y 0 ) moviéndose con una velocidad inicial v 0 que forma un ángulo o con la horizontal, bajo la acción de la aceleración de gravedad g, las ecuaciones para la posición del cuerpo en movimiento en dos dimensiones, se pueden escribir, a partir de la ecuación general de posición 15, para cada componente x e y por separado. Pero del gráfico (x, y) de la figura 3.4 se pueden obtener las componentes de la velocidad inicial v 0 , de magnitud v 0 , y las componentes de la aceleración a de magnitud g: 30 Reemplazando en las componentes de la ecuación 15, se obtiene: (16) Para las componentes de la velocidad se obtiene: (17) Como no hay aceleración en la dirección horizontal x, la componente x de la velocidad es constante, y como la aceleración en la dirección vertical y es g, las componentes de la posición y de la velocidad en esa dirección son idénticas a las ecuaciones para caída libre, con a = 90 o . Entonces el movimiento de proyectil se compone de la superposición de un movimiento en dirección x con velocidad constante y un movimiento en dirección y de caída libre: es el principio de superposición del movimiento. La ecuación de la trayectoria, esto es la curva geométrica que describe el cuerpo durante el movimiento del proyectil, se puede obtener despejando el parámetro t – t 0 de la ecuación en x y reemplazando en la ecuación para y: (18) que es la ecuación de una parábola, por lo tanto la trayectoria del proyectil es parabólica y queda totalmente conocida si se conoce v 0 y a. La velocidad del proyectil es siempre tangente a la trayectoria en cualquier instante, por lo que la dirección y la magnitud de la velocidad en cualquier instante se pueden calcular en forma geométrica de las ecuaciones: (19) 3.9. Movimiento Circular Otro caso particular de movimiento en dos dimensiones es el de una partícula que se mueve describiendo una trayectoria circular, con velocidad v. Para un objeto que se mueve en una trayectoria circunferencial, si la rapidez v es constante, el movimiento se llama circular uniforme. Si en el instante inicial t i el objeto tiene una velocidad inicial v i y un instante posterior t f tiene una velocidad final v f , como la rapidez es constante entonces v i = v f y cambia sólo la dirección de la velocidad. Se puede calcular la aceleración media a m de la partícula usando su definición: 31 (20) De la figura 3.5 se puede obtener Δv geométricamente. En la circunferencia (figura 3.5a) la longitud del arco Δs, subtendido por el ángulo Δu, es aproximadamente igual al lado del triángulo que une los puntos de v i y v f . (a) (b) Figura 3.5. Descripción geométrica del movimiento circular. Observando que los triángulos de lados r(Δs)r en la circunferencia y de lados –v i (Δv)v f de la figura 3.5b son semejantes, entonces como v i = v f , se tiene la siguiente relación de semejanza de triángulos: Reemplazando este valor de Δv en la magnitud de la aceleración media, se obtiene: Si Δt es muy pequeño, tendiendo a cero, Δs y Δv también lo son, y Δv se hace perpendicular a v, por lo tanto apunta hacia el centro de la circunferencia. En el límite cuando Δt → 0, a m → a y se puede escribir: Entonces en el movimiento circunferencial con rapidez constante, la aceleración apunta hacia el centro de la circunferencia (ya que en el límite Δv apunta hacia el centro), por lo que se llama aceleración centrípeta a c (también se usan los nombres central o radial) y su magnitud es: (20) Para el caso en que durante el movimiento circunferencial de la partícula cambia la velocidad tanto en dirección como en magnitud, la velocidad siempre es tangente a la trayectoria (figura 3.6), pero ahora la aceleración ya no es radial, sino que forma un ángulo cualquiera con la velocidad. En este caso es conveniente escribir la aceleración en dos componentes vectoriales, una radial hacia el centro a r y otra tangente a la trayectoria a t , entonces a se escribe como: (21) 32 donde t es un vector unitario tangente a la trayectoria, en la dirección del movimiento. En esta ecuación, la componente radial de la aceleración es la aceleración centrípeta originada por el cambio en la dirección de la velocidad y la componente tangencial es producida por el cambio en la magnitud de la velocidad, por lo tanto su valor numérico es: (22) Figura 3.6. Componentes radial y tangencial de la aceleración en el movimiento circular Entonces la aceleración total en el movimiento circunferencial es: (23) 3.10. Velocidad y aceleración angular Una partícula que gira ubicada en un punto P a una distancia r del origen, describe una circunferencia en torno al origen. La posición de la partícula se puede expresar en coordenadas polares (r,u), donde la única coordenada que cambia en el tiempo es el ángulo u. Si la partícula se mueve desde el eje x positivo, donde u = 0 hasta un punto P, el arco de longitud s recorrido por la partícula, y el ángulo, como se ve en la figura 3.7, se definen como: (24) Se observa que el ángulo es una variable adimensional, pero se le asigna como unidad de medida el nombre del ángulo, llamado radian, con símbolo rad. De la ecuación 24, se define un radian como el ángulo subtendido por un arco de circunferencia de igual longitud que el radio de la misma. Como en una circunferencia, s = 2t r, y 2t (rad) = 360º, se puede encontrar la relación entre radianes y grados: De aquí se deduce que el valor en grados de un radian es 1 rad = 57.3 o Figura 3.7. Partícula que se mueve en forma circular. 33 Cuando una partícula se mueve desde P hasta Q según la figura 3.8, en un intervalo de tiempo Δt, el radio se mueve un ángulo Δu, que es el desplazamiento angular. De manera análoga al movimiento lineal, se definen la rapidez angular e y aceleración angular o como: Sus unidades de medida son rad/s y rad/s 2 , recordando que el radian no es una unidad de medida, por lo que en el análisis dimensional se obtienen para estas variables las dimensiones de 1/s y 1/s 2 . De la definición de estas variables se deduce además que para la rotación de un cuerpo alrededor de un eje, todas las partículas tienen la misma velocidad angular y la misma aceleración angular. 3.8. Desplazamiento angular Δu desde un punto P a otro Q 3.11. Cinemática de la Rotación El desplazamiento, velocidad y aceleración angular son análogos a sus similares variables lineales. Así las ecuaciones cinemáticas del movimiento de rotación con aceleración angular constante tienen la misma forma que las correspondientes al movimiento lineal haciendo los reemplazos x por u, v por e y a por o, por lo que las ecuaciones cinemáticas del movimiento angular son: (24) (25) Para toda partícula que gira describiendo una trayectoria circunferencial, existe una relación entre las magnitudes angulares con las correspondientes lineales. Si la partícula recorre una distancia lineal s, moviéndose un ángulo u sobre una trayectoria circunferencial de radio r, tiene una velocidad que por ser tangente a la trayectoria se llama velocidad tangencial, y tiene aceleración tangencial y centrípeta, entonces las relaciones entre las variables son: (26) 34 La magnitud de la aceleración en el movimiento circunferencial es: (27) Por último se debe decir que se usa comúnmente como unidad de medida de la variación angular el término revolución, que corresponde a una vuelta completa, ó 360º ó 2t (rad). Y para velocidad angular se usan las vueltas o revoluciones por minuto, con unidad de medida rev/min. Siempre se debe tener en mente que las vueltas o revoluciones son medidas de ángulo, por lo tanto son un número adimensional. 3.12. Problemas 1. Usted y un amigo conducen recorriendo 50 km. Usted viaja a 90 km/h y su amigo a 95 km/h. ¿Cuánto tiempo tiene que esperarlo su amigo al final del viaje? R: 1.8 min. 2. Un electrón en un tubo de rayos catódicos acelera de 2x10 4 m/s hasta 6x10 6 m/s en 1.5cm. a) ¿Cuánto tiempo tarda el electrón en recorrer esta distancia? b) ¿Cuál es su aceleración? 3. Un jet supersónico que vuela a 145 m/s acelera uniformemente a razón de 23.1 m/s 2 durante 20s. a) ¿Cuál es su velocidad final? b) La rapidez del sonido en el aire es 331 m/s. ¿Cuántas veces mayor es la velocidad final del avión comparada con la del sonido? R: a) 607 m/s, b) 1.83 veces la rapidez del sonido. 4. Dos autos A y B se mueven en línea recta en dirección positiva del eje x. En el instante inicial A está en reposo y acelera con 2m/s 2 . El movimiento de B es con rapidez constante de 20m/s. Calcular: a) la distancia que recorren en un minuto, b) el tiempo que demoraría A en igualar la rapidez de B, c) la distancia que los separa cuando sus rapideces son iguales, d) la aceleración que debería ejercerse sobre B para que pudiera detenerse en 4 s. R: a) 3600m, 1200 m, b) 10 s, c) 100 m, d) –5 m/s 2 . 5. Cuando un semáforo cambia a verde, un auto arranca con una aceleración constante de 6 m/s 2 . En el instante en que comienza a acelerar es sobrepasado por un camión con una velocidad constante de 21 m/s. a) ¿Qué distancia recorre el auto antes de alcanzar el camión? b) ¿Qué velocidad tendrá el auto cuando alcance el camión? R: 150 m, b) 42 m/s 6. Un astronauta deja caer una pluma a 1.2 m de la superficie de la Luna. Si la aceleración de la gravedad en la Luna es 1.62 m/s 2 , ¿cuánto tiempo emplea la pluma en llegar a la superficie? R: 1.2 s. 7. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 10 m/s desde una altura de 10 m respecto al suelo. Determine a) su posición en el punto más alto, b) su velocidad cuando pasa por el punto inicial, c) su velocidad y aceleración justo antes de golpear el suelo. R: a) 15m 8. Un balón de fútbol que se patea a un ángulo de 50° con la horizontal, recorre una distancia horizontal de 20 m antes de chocar contra el suelo. Calcular a) la rapidez inicial del balón b) el tiempo que permanece en el aire y c) la altura máxima que alcanza. R: a) 14.2m/s, b) 2.2s, c) 6m. 9. Una rueda de bicicleta de 30 cm de radio comienza a girar desde el reposo con una aceleración angular constante de 3 rad/s 2 . Después de 10 segundos calcular: a) su rapidez angular, b) el desplazamiento angular, c) la rapidez tangencial de un punto del borde, d) su aceleración total para un punto del borde. R: a) 30 rad/s, b) 150 rad, c) 9 m/s, d) 270 m/s 2 . 10. Un proyectil se dispara desde cierta altura y 0 en un ángulo de 45º, con la intención que golpee a un móvil que se mueve con velocidad constante de 21 m/s hacia la derecha, que se encuentra ubicado a 70 m del origen sobre el eje x en el instante del disparo. Si el proyectil impacta al móvil al cabo de 10 s, calcular a) la rapidez inicial del proyectil, b) su posición inicial, c) su altura máxima desde el suelo. R: a) 39.6m/s, b) 220m, c) 259.2m. 35 CAPITULO IV DINÁMICA 4.1. Introducción En este capítulo se sigue considerando un modelo para hacer el estudio de la dinámica sólo para el caso de partículas. Un modelo se usa para representar la realidad física y debe tener en cuenta dos aspectos conflictivos entre sí: a) tiene que ser lo bastante simple para como para ser elaborado con métodos matemáticamente rigurosos, b) debe ser realista para que los resultados obtenidos sean aplicables al problema considerado. Estos dos aspectos hacen que la sencillez del modelo, su belleza matemática, sea incompatible con la fidelidad al problema real. La dinámica estudia el movimiento de los cuerpos considerando las causas que lo producen. Es una rama de la Mecánica que abarca casi toda la Mecánica Clásica. En la Mecánica Clásica se restringe el estudio a los cuerpos (partículas) grandes comparados con el tamaño de un átomo (~10-10 m) y para velocidades pequeñas comparadas con la de la luz (~3x108 m/s). Isaac Newton (1642-1727) es el principal creador de la Mecánica Clásica. La Mecánica Relativista estudia el movimiento de las partículas subatómicas, que se mueven a muy altas velocidades, es más general que la Mecánica Clásica a la que incluye como caso particular. Su creador fue A. Einstein (1879 – 1955). En los primeros estudios, Galileo Galilei (1564-1642), hizo un gran avance en la comprensión del movimiento. Las ideas de Galileo eran revolucionarias para su época, él propuso la teoría científica que la Tierra giraba en torno al Sol, teoría contraria a las doctrinas de la iglesia que imponían la creencia que la Tierra era el centro del Universo, sin tener fundamentos para hacer esa afirmación. Quienes se oponían a esas creencias eran severamente castigados, con penas tales como morir quemado en la hoguera u otras barbaries impuestas por la religión católica. Galileo se encontró en esa situación peligrosa, por lo que no pudo publicar sus resultados y fue obligado a retractarse públicamente. Posteriormente, la inquisición española propicio que todas sus universidades aprobaran y estudiaran la tesis de Galileo. Durante el Jubileo 2000 la Iglesia Católica tuvo que pedir perdón al mundo científico por no haber creído en la teoría de Galileo y le pidió perdón a Galileo mismo. Pero un filósofo contemporáneo de Galileo, Giordano Bruno (1548-1600) tuvo un final trágico, ya que murió en Roma en 1600 quemado en la hoguera de la Inquisición, por defender las mismas ideas de Galileo. En la actualidad, la Iglesia Católica continúa con sus ideas retrógradas y dictatoriales porque, por ejemplo, acepta la tesis abortiva de la ‘píldora del día después’, a pesar de que se ha demostrado científicamente que no es abortiva, o se oponía a la aprobación de leyes como la Ley del Divorcio, o pone trabas para la realización del programa Jornadas de Conversación, Afectividad y Sexualidad, JOCAS, de educación sexual en los Liceos. Sin embargo la iglesia se resiste a aceptar las sanciones en contra de sus sacerdotes que son acusados de abusos deshonestos, y los defiende ¿Cómo eso va a ser algo aceptable? Ojalá que no se deba esperar otros 500 años para que la iglesia reconozca este nuevo error. Antes de Galileo la mayoría de los filósofos pensaba que se necesitaba una ‘influencia externa’ para mantener a un cuerpo en movimiento. Creían que un cuerpo se encontraba en su estado natural cuando estaba en reposo, y que para que el cuerpo se moviera en línea recta con velocidad constante, tenia que moverlo continuamente algún agente externo, de otra manera naturalmente se detendría. Para probar esa idea, Galileo empezó por encontrar una forma de liberar a un cuerpo de toda influencia externa. En 36 la naturaleza eso no se puede lograr, porque aún cuerpos muy alejados de un cuerpo de prueba pueden ejercer una influencia sobre él y cambiar su movimiento. Pero se puede hacer que las influencias externas sean muy pequeñas (es el modelo) y pensar que realmente no existen para tener una idea de cómo sería el movimiento. La experiencia de Galileo fue deslizar un bloque de madera sobre una superficie bajo una influencia externa (por ejemplo la mano que lo empuja), si se elimina la influencia externa el bloque se detiene, por eso los filósofos pensaban que permanentemente tenia que estar actuando la influencia externa para mantener el movimiento. Pero si se elige como cuerpo una esfera y se hace deslizar sobre una superficie muy lisa, al ponerla en movimiento lo hará con mucha facilidad sin ninguna influencia externa, (el contacto entre las dos superficies es otra influencia externa que se desprecia). En el caso que no exista ninguna influencia externa sobre un cuerpo después que se lo pone en movimiento, nunca más se detendría. A la influencia externa que hace que un cuerpo este detenido o en movimiento se le llama una fuerza 4.2. Definiciones ¿Qué es fuerza? En la vida cotidiana se considera fuerza a una sensación común asociada con la dificultad para mover o levantar un cuerpo. En Física se identifica una fuerza por el efecto que produce. Uno de los efectos de una fuerza es cambiar el estado de reposo o de movimiento del cuerpo, más concretamente, una fuerza cambia la velocidad de un objeto, es decir produce una aceleración. Cuando se aplica una fuerza sobre un cuerpo y no se produce movimiento, entonces puede cambiar su forma, aún si el cuerpo es muy rígido. La deformación puede o no ser permanente. Entonces los efectos de la fuerza neta son dos: cambiar el estado de movimiento de un cuerpo o producir una deformación, o ambas cosas simultáneamente. Normalmente sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas, entonces el cuerpo acelerará cuando el efecto de la fuerza neta que actúa sobre él no es cero. Se llama fuerza neta o fuerza resultante a la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Si la fuerza neta es cero, la aceleración es cero, el movimiento es con velocidad igual a cero (cuerpo detenido) o con velocidad constante. Cuando un cuerpo está en reposo o se mueve con velocidad constante, se dice que está en equilibrio. Para una fuerza usaremos el símbolo F. Se pueden distinguir dos grandes clases de fuerzas: fuerzas de contacto, representan el resultado del contacto físico entre el cuerpo y sus alrededores, por ejemplo mover un carro o estirar un resorte; y fuerzas de acción a distancia que actúan a través del espacio sin que haya contacto físico entre el cuerpo y sus alrededores, por ejemplo la fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos que caen en caída libre. Todas las diferentes formas de fuerzas se encuentran dentro de esas dos grandes clasificaciones. Para que el concepto de fuerza sea exacto se debe establecer un método para medirla. Una fuerza se puede medir por el efecto que produce. Por ejemplo se puede usar la deformación que una fuerza produce en un resorte, como en la figura 4.1. Si se aplica una fuerza verticalmente a un resorte y se estira una unidad (figura 4.1a), le asignamos a la fuerza una magnitud unitaria de valor F. Se aplica ahora otra fuerza al mismo resorte horizontalmente (figura 4.1b), produciéndole un estiramiento de dos unidades, la magnitud de la fuerza será de 2F. Si se aplican simultáneamente las dos fuerzas, el resorte se inclina, como en la figura 4.1c, y se estira \5 veces. La fuerza equivalente que produce ese estiramiento del resorte es la suma vectorial de F y 2F. Es decir, la fuerza es un vector. Dinamómetro. El instrumento para medir fuerzas se llama dinamómetro, es un resorte que se estira sobre una escala. Si se aplica una fuerza de una unidad sobre el dinamómetro, el resorte se estira hasta que ejerce una fuerza igual y contraria a la aplicada. En la escala se mide el alargamiento del resorte y se le asigna una unidad de fuerza. De esa manera se calibra el dinamómetro y se usa para medir fuerzas, por ejemplo se aplica una fuerza sobre el dinamómetro y si se estira 2.5 unidades, entonces la fuerza 37 aplicada es 2.5 veces la unidad de fuerza. Este procedimiento es válido para pequeños alargamientos del resorte, ya que si la fuerza es muy intensa, se puede deformar y no volver a su forma original. Figura 4.1. Fuerza deformadora de un resorte. a) Izquierda, b) Centro, c) Derecha. Masa. ¿Qué efecto tendrá una misma fuerza sobre cuerpos diferentes? No es lo mismo golpear con el píe una pelota que un adoquín. La masa es la propiedad del cuerpo que determina el efecto de una fuerza aplicada sobre él. Cuando se quiere cambiar el estado de movimiento de un cuerpo, este se resiste al cambio. La inercia es la propiedad de la materia que hace que se resista a cualquier cambio de su movimiento, ya sea en su dirección o rapidez. Por ejemplo, los pasajeros de un automóvil que acelera sienten contra la espalda la fuerza del asiento, que vence su inercia y aumenta su velocidad. Cuando éste frena, los pasajeros tienden a seguir moviéndose y se mueven hacia delante, por lo que deben apoyarse en el asiento delantero para no salir del suyo. Si se realiza un giro, un paquete situado sobre el asiento se desplazará lateralmente, porque la inercia del paquete hace que tienda a seguir moviéndose en línea recta. La masa es el término que se usa para cuantificar la inercia. Como mide la resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de movimiento o de reposo, se le llama masa inercial, y está determinada por la razón entre la fuerza neta sobre el cuerpo y su aceleración. Otro método para encontrar la masa consiste en comparar las fuerzas gravitacionales ejercidas sobre dos objetos, uno de ellos de masa desconocida y el otro de masa conocida. El objeto de masa desconocida se coloca en uno de los platillos de una balanza y en el otro platillo el conocido. Cuando los dos brazos están balanceados la fuerza gravitacional es la misma sobre cada uno de ellos. Entonces las masas de los cuerpos son iguales; cuando la masa se mide de esta forma se llama masa gravitacional. Experimentos muy precisos indican que ambas masas, inercial y gravitacional, son iguales. La masa es una propiedad del cuerpo, es independiente del medio que la rodea y del método usado para medirla, para un cuerpo determinado tiene el mismo valor en cualquier lugar del universo. Es un escalar por lo que cumple las reglas de la aritmética común, en el SI se mide en kg. 4.3. Primera ley de Newton. (Ley de la Inercia) Antes de 1600 los filósofos afirmaban que el estado natural de la materia era el reposo. Galileo fue el primero que tuvo una idea distinta del movimiento haciendo experimentos. Esencialmente sus experimentos consistían en analizar en forma semi-cuantitativa el movimiento de los cuerpos, tratando de eliminar toda influencia externa que lo alterará, concluyendo que el estado natural de los cuerpos no es el reposo, sino el resistirse a una aceleración. Posteriormente, Newton, que nació el año en que murió Galileo, perfeccionó los experimentos de Galileo realizando cuidadosas mediciones 38 experimentales, lo que le permitió formular las ahora conocidas tres Leyes del Movimiento de Newton. La primera Ley de Newton se puede enunciar de la siguiente manera: “Un cuerpo en reposo permanecerá en reposo y uno en movimiento continuará en movimiento con velocidad constante, a menos que actúe una fuerza sobre el cuerpo que altere su estado de reposo o de movimiento”. En otros términos se enuncia de la siguiente forma: si la suma de fuerzas que actúa sobre un cuerpo es cero, su aceleración es cero. Esto significa que la partícula se encuentra en equilibrio de traslación, y se cumple la condición: (28) Es importante darse cuenta que esta ley no ha sido probada real y verdaderamente, ya que no es posible eliminar totalmente las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Es una generalización de la experiencia. La primera Ley de Newton se conoce también como Ley de Inercia, porque define un sistema de referencia inercial. Un sistema de referencia inercial es aquel en el cual si sobre un cuerpo no actúa fuerza alguna, este se mueve con velocidad constante. En este sistema de referencia se cumple la primera Ley de Newton. La Tierra no es un sistema de referencia inercial porque tiene una aceleración de 5,9 x 10 -3 m/s 2 por su traslación alrededor del Sol y una aceleración por rotación en torno a su eje, que en el ecuador vale 3,4 x 10 -2 m/s 2 . Como estos son valores pequeños comparados con g, se puede suponer que la tierra es un sistema de referencia inercial. En la naturaleza no existen los sistemas de referencia inercial. Un marco de referencia inercial que se mueve con velocidad constante respecto a las estrellas muy lejanas, aparentemente fijas, es la mejor aproximación a un sistema de referencia inercial. Para nuestros efectos, en la mayoría de los casos consideraremos a la Tierra como un sistema de referencia inercial, ya que para los objetos que se mueven distancias cortas comparadas con el radio terrestre sobre la superficie, se pueden despreciar los movimientos de la Tierra. 4.4. Segunda ley de Newton Cuando la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo no es cero, el cuerpo se mueve con una aceleración en la dirección de la fuerza. Experimentalmente se demuestra que para una masa fija, si aumenta el valor de la fuerza, su aceleración aumenta proporcionalmente; por ejemplo si F aumenta a 2F la aceleración a aumenta a 2a. Por otra parte, si se aplica una fuerza fija, pero se aumenta el valor de la masa, la aceleración del cuerpo disminuye proporcionalmente al aumento de masa, por ejemplo si m aumenta a 2m la aceleración a disminuye a (½)a. Lo opuesto se observa si en lugar de considerar aumento de fuerza o de masa, se consideran disminuciones. La Segunda Ley de Newton se enuncia basándose en estos resultados experimentales, resumiendo esas observaciones en el siguiente enunciado: “La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo e inversamente proporcional a su masa.” Escrita en términos matemáticos, si ¿ F es la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo de masa m, la Segunda Ley de Newton se expresa como: (29) 39 Esta ecuación fundamental muy sencilla y completa, encierra razonamientos físicos muy profundos, producto de la experiencia, se conoce como la ecuación fundamental de movimiento. Permite describir el movimiento y la mayor parte de los fenómenos de la Mecánica Clásica, (excepto los cambios de opinión de una mujer que se rigen por una fuerza de voluntad o se producen por motivos de fuerza mayor, son aleatorios, caóticos e impredecibles). Como la Mecánica Clásica es válida para cuerpos ‘grandes’ que se mueven con v << c, la misma restricción vale para las Leyes de Newton. La Segunda Ley de Newton es una expresión vectorial y equivale a tres ecuaciones escalares, una en cada dirección x, y y z, La Segunda Ley de Newton se puede usar para definir la unidad de medida de una fuerza. En el sistema internacional, la unidad de medida de fuerza se llama Newton, que se simboliza por N, se define como la fuerza necesaria para mover una masa de un kg produciéndole una aceleración de un m/s 2 , entonces 1 N = 1 kg m/s 2 . Se observa que la primera Ley de Newton es un caso particular de la segunda ley cuando la fuerza neta es cero, ya que en ese caso la aceleración debe ser cero, por lo tanto es una consecuencia de la segunda ley. 4.5. Peso Todos los cuerpos que se dejan en libertad cerca de la superficie terrestre caen con la aceleración de gravedad. Lo que los hace caer es la fuerza fundamental de atracción gravitacional con que la Tierra atrae a cualquier cuerpo con masa. Si dos partículas que tienen masas m 1 y m 2 están separadas una distancia r medida desde sus centros, como se ve en la figura 4.2, la fuerza de atracción gravitacional FG ejercida por la masa m1 sobre la masa m2 tiene una magnitud: (30) donde G = 6.672 x 10 -11 N m 2 /kg 2 . El cuerpo a su vez ejerce una fuerza de atracción sobre la Tierra, pero como la masa de cualquier objeto sobre la Tierra es mucho menor que la masa de la Tierra, el movimiento que el cuerpo le imprime a la Tierra no se aprecia. A la fuerza de atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre un cuerpo en sus cercanías se le llama peso del cuerpo, se simboliza con P. Es un vector fuerza dirigido hacia el centro de la Tierra, en la dirección de g, se mide en N. Figura 4.2. Fuerza de atracción gravitacional entre dos masas. 40 Cuando un cuerpo que es dejado en libertad en las cercanías de la superficie terrestre, cae con la aceleración de gravedad, es la fuerza peso P la que le imprime al cuerpo una aceleración g, entonces de la Segunda Ley de Newton, el peso es: Si se quiere evitar que un cuerpo caiga, se debe ejercer una fuerza igual y contraria al peso, para que la fuerza neta sea cero. De aquí se obtiene que la magnitud de la fuerza peso es P = mg. Como g es la misma para dos cuerpos, la relación de los pesos es igual a la relación de las masas de los cuerpos, o sea: El peso depende de g, varía con la ubicación geográfica y disminuye con la altura, por lo tanto no es una propiedad del cuerpo y no se debe confundir con la masa. Una balanza que es un instrumento para comparar fuerzas, se usa en la práctica para comparar masas. Generalmente se dice que un ‘kilo’ de azúcar ‘pesa’ 1 kg, aunque el kilogramo es una unidad de masa, no de fuerza. 4.6. Tercera ley de Newton. (Ley de Acción y Reacción) Cada vez que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo, este reacciona ejerciendo una fuerza sobre el primero. Las fuerzas en cada cuerpo son de igual magnitud, y actúan en la misma línea de acción, pero son de sentido contrario, como se ve en la figura 4.2. Esto significa que no es posible que exista una fuerza aislada, es decir, no existe un cuerpo aislado en la naturaleza, cualquier fuerza individual es un aspecto de una interacción mutua entre dos cuerpos, que puede ser por contacto directo o por acción a distancia. Esta propiedad de las fuerzas fue demostrada experimentalmente y expresada por Newton en su Tercera Ley de Movimiento, que se enuncia como sigue: “Si dos cuerpos interactúan, la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el cuerpo 2 es igual y opuesta a la fuerza que el cuerpo 2 ejerce sobre el cuerpo 1”. Escrita en términos de una ecuación se puede escribir: (31) donde F 12 (F 21 ) es la fuerza que ejerce el cuerpo de masa m 1 (m 2 ) sobre el cuerpo de masa m 2 (m 1 ). Si una de las fuerzas que intervienen en la interacción entre dos cuerpos se llama acción, la otra recibe el nombre de reacción, por esto la Tercera Ley de Newton se conoce también con el nombre Ley de Acción y Reacción. Las fuerzas de acción y reacción actúan siempre en pareja y sobre cuerpos diferentes. Si actuaran sobre el mismo cuerpo no existiría el movimiento acelerado, porque la resultante siempre sería cero. Entonces, para que una pareja de fuerzas se consideren como fuerzas de acción y reacción, deben cumplir los siguientes requisitos simultáneamente: deben tener igual magnitud, la misma dirección, sentido opuesto, actuar en cuerpos diferentes y actuar en parejas. De las tres leyes de Newton, sólo la segunda y la tercera son independientes, ya que la primera es una consecuencia de la segunda, cuando la velocidad es constante o la aceleración es cero. Al aplicar las leyes de Newton se deben identificar todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y dibujar un diagrama de cuerpo libre. 41 Un diagrama de cuerpo libre es un esquema donde se muestra el cuerpo aislado o un punto que lo representa, en el que se dibujan todas las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo. Sobre este esquema se elige un sistema de referencia conveniente para aplicar las leyes de Newton. Cuando se considera un sistema mecánico con varios cuerpos, se debe hacer el diagrama de cuerpo libre y aplicar las leyes de Newton para cada componente del sistema. La fuerza que produce una superficie sobre un cuerpo que se encuentra apoyado en la superficie se llama fuerza normal N, las fuerzas que ejercen cuerdas y cables sobre un cuerpo se llaman fuerza de tensión T. A menos que se diga lo contrario, las cuerdas y poleas que formen parte de un sistema mecánico se considerarán de masa despreciable comparada con la masa de los cuerpos en estudio y las cuerdas y cables se considerarán inextensibles, esto significa que sirven sólo para cambiar la dirección de la tensión cuando pasan por una polea; se dice que son ideales. 4.7. Fuerzas de rozamiento Cuando un cuerpo es arrojado sobre una superficie común o cuando un objeto se mueve a través de un medio viscoso como agua o aire, después de cierto tiempo se detiene, porque experimenta una resistencia a su movimiento debido a la interacción del cuerpo con el medio que lo rodea. Esa resistencia cambia la velocidad del cuerpo, por lo tanto se mide con una fuerza. Una fuerza de resistencia de esa naturaleza se llama fuerza de roce o de fricción. Son muy importantes en la vida cotidiana, ya que por ejemplo nos permiten caminar y son necesarias para que se realice el movimiento de vehículos. La fuerza de roce es paralela a la superficie en el punto de contacto entre dos cuerpos y tiene dirección opuesta al movimiento, nunca ayudan al movimiento. Las evidencias experimentales indican que esta fuerza se produce por la irregularidad de las superficies, de modo que el contacto se realiza sólo en unos cuantos puntos, como se ve en una vista amplificada de las superficies que se muestra en la figura 4.3. La fuerza de roce a escala microscópica es más compleja de lo que aquí se presenta, ya que corresponde a fuerzas electrostáticas entre átomos o moléculas en los puntos donde las superficies están en contacto. Si se tiene un bloque en reposo sobre una mesa horizontal y se aplica una pequeña fuerza F (figura 4.4), que se puede medir con un dinamómetro, el cuerpo no se moverá. En esta situación la fuerza de roce equilibra la fuerza aplicada (figura 4.4a). La fuerza de roce que actúa sobre los cuerpos en reposo se llama fuerza de roce estático, F E . La máxima fuerza de roce estática es igual a la mínima fuerza necesaria para iniciar el movimiento. Figura 4.3. Las irregularidades de las superficies producen las fuerzas de rozamiento. Si aumenta la fuerza aplicada F (figura 4.4b) hasta que el bloque se mueve, entonces aumenta la fuerza de roce. Cuando el bloque está a punto de moverse, la fuerza de roce estático es máxima. Al aumentar la fuerza aplicada a un valor mayor que F Emax , entonces comienza el movimiento y el bloque acelera hacia la derecha. Cuando el bloque está en movimiento, la fuerza de roce se hace menor que la F Emax , en este caso se llama fuerza de roce cinética F C . La fuerza aplicada no equilibrada con la F C produce la aceleración del cuerpo (figura 4.4b). Si la fuerza aplicada es igual a la F C el bloque se mueve con velocidad constante. Si deja de actuar la fuerza aplicada, entonces la fuerza de roce, que continua actuando, se opone al movimiento hasta detener al bloque. 42 (a) (b) Figura 4.4. Fuerzas de rozamiento entre dos cuerpos. a) Estático, b) Cinético Experimentalmente se encuentra que para dos tipos de superficies dadas, las fuerzas de roce estática y cinética son aproximadamente independientes del tamaño del área de las superficies en contacto y son proporcionales a la fuerza normal N. La fuerza de roce estático, F E , es opuesta a la fuerza aplicada y la constante de proporcionalidad con la normal se llama coeficiente de roce estático, µ E , entonces la magnitud de la fuerza de roce estático es: Cuando el bloque está apunto de moverse, la fuerza de roce estático es máxima, F Emáx , lo mismo que el coeficiente de roce es máximo, µ Emáx , entonces: La fuerza de roce cinético es opuesta al movimiento, es aproximadamente independiente de la velocidad con que se mueven las superficies, para velocidades ‘pequeñas’, si la velocidad aumenta hasta valores muy altos, comienza a sentirse el efecto de la fricción con el medio donde se mueve el cuerpo. La constante de proporcionalidad con la normal se llama coeficiente de roce cinético, µ C , entonces la magnitud de la fuerza de roce cinético es: Las expresiones de F C y F E son empíricas, no representan leyes físicas fundamentales. Los coeficientes de roce estático µ E y cinético µ C son constantes adimensionales. Sus valores dependen de la naturaleza de las superficies en contacto y en general para un par de superficies dadas µ Emáx > µ C . Algunos valores de los coeficientes de roce se dan en la tabla 4.1. Tabla 4.1. Algunos valores de coeficientes de rozamiento estático y cinético 43 4.8. Fuerza centrípeta Una partícula que se mueve sobre una trayectoria circular de radio R con rapidez constante, se encuentra sometida a una aceleración radial de magnitud v2/R. Por la segunda ley de Newton, sobre la partícula actúa una fuerza en la dirección de a, hacia el centro de la circunferencia, cuya magnitud es: Por ser proporcional a la aceleración centrípeta, la fuerza Fc se llama fuerza centrípeta. Su efecto es cambiar la dirección de la velocidad de un cuerpo. Se puede sentir esta fuerza cuando se hace girar a un objeto atado a una cuerda, ya que se nota el tirón del objeto. Las fuerzas centrípetas no son diferentes de otras fuerzas ya conocidas, su nombre se debe a que apunta hacia el centro de una trayectoria circunferencial. Cualquiera de las fuerzas ya conocida pueden actuar como fuerza centrípeta si producen el efecto correspondiente, como ser la tensión de una cuerda, una fuerza de roce, alguna componente de la normal, la fuerza gravitacional en el caso de movimientos de planetas y satélites, etc. La descripción del peralte. Para un cuerpo como un vehículo o un vagón de tren que se mueven describiendo una trayectoria curva de radio r, sobre el vehículo debe actuar una fuerza centrípeta para evitar que continúe moviéndose en línea recta y se salga de la pista; esta es la fuerza para hacer que el vehículo gire por la pista curva. La fuerza centrípeta necesaria la da el roce de los neumáticos o las pestañas de las ruedas del tren. Para no tener que confiar en el roce o reducir el desgaste de los rieles y pestañas, la carretera o la vía pueden inclinarse. A la inclinación de la pista o vía se le llama ángulo de peralte, o. En este caso la componente de la normal dirigida hacia el centro de curvatura proporciona la fuerza necesaria para mantener al móvil en la pista. Para una pista curva de radio r, con ángulo de peralte o, para la que se considera la fuerza de roce F R , la fuerza centrípeta corresponde a las componentes de la normal y de la fuerza de roce hacia el centro de curvatura de la pista. Son estas componentes las que producen la aceleración centrípeta que mantiene al vehículo de masa m sobre la pista. Del diagrama de cuerpo libre, se puede calcular la fuerza de roce necesaria para que el vehículo no se salga de la pista. 4.9. Problemas 1. Dos alumnos ubicados en los bordes opuestos de un camino recto tiran a un carro por el camino, con fuerzas de 160 N y 200 N, que forman un ángulo de 30º y 60º respectivamente, con la dirección del camino. a) Calcular la magnitud de la fuerza resultante y la dirección en la que se moverá el carro. b) Calcular la fuerza necesaria para que el carro se mueva en la dirección del camino. R: a) 256.1N, -21.3º, b) F 2 = 128N. 2. Calcular la tensión en cada cuerda en los sistemas que se muestran en las figuras 4.13, 4.14 y 4.15. Las masas son de m kg y la inclinación de los planos es o grados. Hacer todas las suposiciones necesarias. 44 3. Dos bloques de masas 1 y 2 kg (figura 4.16) cuelgan de los extremos de una cuerda ligera y flexible que pasa por una polea sin roce, sujeta al techo; el sistema se llama máquina de Atwood. Si en el instante inicial los cuerpos se encuentran en reposo y a 1 y 2 m respectivamente del suelo, a) dibujar el diagrama de cuerpo libre para cada bloque. b) Escribir las ecuaciones de movimiento para cada cuerpo. c) Determinar la posición y la velocidad de cada cuerpo un segundo después de empezar a moverse. d) Calcular el valor de la tensión de la cuerda cuando el sistema está en movimiento. R: c) 8/3 m; 1/3 m; 10/3 m/s, d) 13.3 N. 4. El bloque de masa m de la figura 4.17 parte del reposo, deslizándose desde la parte superior del plano inclinado 30º con la horizontal. El coeficiente de roce cinético es 0.3. a) Calcular la aceleración del bloque mientras se mueve sobre el plano. b) Calcular la longitud del plano si el bloque sale con una rapidez de 5 m/s. c) Si el bloque cae al suelo a una distancia horizontal de 3 m desde el borde del plano, determine el tiempo total del movimiento. R: a) 2.4 m/s 2 , b) 5.2 m, c) 2.8 s. 5. En el sistema de la figura 4.18, se aplica una fuerza F sobre m. El coeficiente de roce es µ entre cada cuerpo y los planos. Deducir la expresión de la magnitud de F para que el sistema se mueva: a) con rapidez constante, b) con aceleración a constante. R: b) Mg(µcoso+seno)+µmg+a(m+M). 45 CAPITULO V TRABAJO Y ENERGÍA 5.1. Introducción El problema fundamental de la Mecánica es describir como se moverán los cuerpos si se conocen las fuerzas aplicadas sobre él. La forma de hacerlo es aplicando la segunda Ley de Newton, pero si la fuerza no es constante, es decir la aceleración no es constante, no es fácil determinar la velocidad del cuerpo ni tampoco su posición, por lo que no se estaría resolviendo el problema. Los conceptos de trabajo y energía se fundamentan en las Leyes de Newton, por lo que no se requiere ningún principio físico nuevo. Con el uso de estas dos magnitudes físicas, se tiene un método alternativo para describir el movimiento, espacialmente útil cuando la fuerza no es constante, ya que en este caso la aceleración no es constante y no se pueden usar las ecuaciones de la cinemática anteriormente estudiadas. En este caso se debe usar el proceso matemático de integración para resolver la segunda Ley de Newton. Ejemplos de fuerzas variables son aquellas que varían con la posición, comunes en la naturaleza, como la fuerza gravitacional o las fuerzas elásticas. 5.2. Trabajo realizado por una fuerza constante Si la fuerza F que actúa sobre una partícula es constante (en magnitud y dirección) el movimiento se realiza en línea recta en la dirección de la fuerza. Si la partícula se desplaza una distancia x por efecto de la fuerza F (figura 5.1), entonces se dice que la fuerza ha realizado trabajo W sobre la partícula de masa m, que en este caso particular se define como: (1) Figura 5.1. Fuerza constante F que realiza un trabajo W al desplazar un cuerpo la distancia X Si la fuerza constante no actúa en la dirección del movimiento, el trabajo que se realiza es debido a la componente de la fuerza en la dirección paralela al movimiento, como se ve en la figura 5.2. La componente y de la fuerza, perpendicular al desplazamiento, no realiza trabajo sobre el cuerpo. Figura 5.2. Trabajo realizado por una fuerza F que forma un ángulo o con la horizontal 46 Si o es el ángulo medido desde el desplazamiento x hacia la fuerza F, el valor del trabajo W es ahora: (2) De acuerdo a la ecuación anterior, se pueden obtener los siguientes conclusiones: a) Si α = 0, W = (F cos 0) x = F x, b) Si α = 90º, W = (F cos 90) x = 0, la fuerza no tiene componente en la dirección del movimiento o lo que es lo mismo, la fuerza es perpendicular al movimiento y no hace trabajo sobre el cuerpo. c) Si la fuerza aplicada sobre el cuerpo no lo mueve, no realiza trabajo ya que el desplazamiento es cero. d) El signo del trabajo depende de la dirección de F respecto al desplazamiento, es positivo (negativo) cuando la componente de F tiene la misma (opuesta) dirección que el desplazamiento. De estas conclusiones se deduce que el trabajo se puede expresar en la forma: El trabajo es una magnitud física escalar, obtenido del producto escalar de los vectores fuerza y posición. De la expresión anterior, por la definición de producto escalar, queda claro que el trabajo puede ser positivo, negativo o cero. Su unidad de medida en el SI es N m que se llama Joule, símbolo J. Otras fuerzas actúan sobre el cuerpo (peso, roce, normal, etc.), por lo que la ecuación anterior se refiere sólo al trabajo de la fuerza F en particular; las otras fuerzas también pueden realizar trabajo. En la figura 5.2 las fuerzas peso y normal no realizan trabajo ya que son perpendiculares al desplazamiento y la fuerza de roce realiza trabajo negativo, ya que siempre se opone al desplazamiento. El trabajo total sobre la partícula es la suma escalar de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas. 5.3. Potencia Para fines prácticos interesa también conocer la rapidez con la cual se realiza trabajo. Esta información la entrega la potencia, que se define como la rapidez de transferencia de energía. Si se aplica una fuerza externa a un cuerpo y se realiza trabajo dW en un intervalo de tiempo dt, la potencia instantánea P se define como: (3) La unidad de medida de la potencia en el SI es J/s, que se llama Watt, W. Como dW = F · dr, se puede escribir la potencia como: Se puede definir una nueva unidad de energía en términos de la unidad de potencia, llamada kilowatt- hora. Un kilowatt-hora (kWh) es la energía utilizada durante una hora con una potencia constante de 1 kW. El valor de un kWh es: 1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3.6 x 10 6 J. El kWh es unidad de energía, no de potencia. Por ejemplo, para encender una ampolleta de 100 W de potencia se requieren 3.6 x 10 5 J de energía durante una hora, equivalente a 0.1 kWh. 47 5.4. Trabajo realizado por una fuerza variable Si una fuerza variable F está moviendo a un objeto a lo largo del eje x desde una posición inicial a otra final, ya no se puede usar la expresión anterior para calcular el trabajo realizado por la fuerza. En este caso se puede hacer que el cuerpo experimenta pequeños desplazamientos dx, entonces la componente F x de la fuerza en la dirección del desplazamiento se puede considerar aproximadamente constante en ese intervalo dx y se puede calcular un trabajo dW en ese pequeño desplazamiento como: Si se calcula el trabajo total en el desplazamiento desde la posición inicial a la final, este es igual a la suma de todos los pequeños trabajos dW, esto es: Matemáticamente, el valor de la integral es numéricamente igual al área bajo la curva de F x versus x (figura 5.3). Si actúan más de una fuerza sobre el cuerpo, el trabajo resultante es el realizado por la componente de la fuerza resultante en dirección del desplazamiento, entonces en términos del producto escalar en tres dimensiones, el trabajo es: (4) Figura 5.3. Gráfica del trabajo realizado por una fuerza variable 5.5. Energía Cinética. Cuando se hace trabajo contra el roce, se observa que en la superficie de los cuerpos en contacto se produce un aumento de temperatura. Es porque se ha producido una transformación desde movimiento a calor, es decir que se ha producido una transferencia de energía de movimiento a energía calórica. En otras transformaciones se produce energía en forma de luz, sonido, eléctrica, nuclear, etc. En las transformaciones se miden cambios de energía cuando se realiza trabajo, aparecen las fuerzas que realizan trabajo, por lo tanto el trabajo es una medida de las transferencias de energía. El concepto de energía se puede generalizar para incluir distintas formas de energía conocidas como cinética, potencial, calórica, electromagnética, etc. De esta forma, la mecánica de los cuerpos en movimiento se relaciona con otros fenómenos naturales que no son mecánicos por intermedio del concepto de energía. El concepto de energía invade toda la ciencia y es una de las ideas unificadoras de la Física. 48 Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, le produce una aceleración durante su desplazamiento. El trabajo realizado por la fuerza para mover al cuerpo es: Por la segunda Ley de Newton se tiene: reemplazando en el trabajo total, se obtiene: La cantidad ½mv 2 , se llama energía cinética, E c , es energía que se obtiene por el movimiento, es siempre positiva porque la rapidez está al cuadrado. (5) Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza resultante sobre una partícula es igual al cambio de energía cinética, enunciado que se conoce como el Teorema del Trabajo y la Energía. Cuando la rapidez es constante, no hay variación de energía cinética y el trabajo de la fuerza neta es cero. La unidad de medida de la energía cinética es el Joule, J. 5.6. Fuerzas conservativas y no conservativas Se llaman fuerzas conservativas aquellas para las cuales el trabajo realizado por las fuerzas para mover un cuerpo entre dos puntos por cualquier trayectoria arbitraria, no depende de la trayectoria que une los puntos. Las fuerzas que dependen de la posición son conservativas, por ejemplo: la gravitacional, elástica, electromagnética, etc. Suponer que una partícula se mueve, por la acción de una fuerza, desde una posición inicial P hasta otra posición final Q, por trayectorias arbitrarias 1 y 2, como se ve en la figura 5.4a. Si la fuerza es conservativa, entonces el trabajo para mover la partícula desde P a Q sólo depende de las coordenadas inicial y final de la partícula, esto es: 49 Si ahora la partícula se mueve desde P hasta Q por la trayectoria 1 y luego regresa desde Q hasta P por la trayectoria 2 (figura 5.4 b), se observa que en el regreso, W QP (por trayectoria 2) = -W PQ (por trayectoria 2), entonces: Entonces, si la partícula regresa a su posición inicial, el trabajo realizado por una fuerza conservativa en una trayectoria cerrada es cero. Por el contrario, las fuerzas no conservativas o fuerzas disipativas son aquellas para las cuales el trabajo realizado por las fuerzas para mover una partícula entre dos puntos, depende de la trayectoria que se realice para unir los puntos. Para las fuerzas no conservativas se tiene que, W PQ (por trayectoria 1) ≠ W PQ (por trayectoria 2). Las fuerzas de roce que siempre se oponen al desplazamiento, son no conservativas o disipativas, el trabajo de estas fuerzas es negativo y le hacen perder energía al sistema. 5.7. Energía potencial El trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria y de la rapidez con la que se mueve la partícula. En este caso el trabajo es sólo función de las coordenadas, por lo que se puede asociar con una variación de energía función de la posición, similar al caso de la energía cinética que es función de la velocidad. Las fuerzas que son función de la posición generan energía de posición, a la que se llama energía potencial. El trabajo realizado por la fuerza se almacena como energía potencial en el objeto en movimiento. Se define la energía potencial E P , a aquella que puede obtenerse en virtud de la posición del cuerpo, tal que el trabajo realizado por la fuerza conservativa entre dos posiciones, es igual a la disminución de la energía potencial, esto es, el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al valor negativo del cambio de energía potencial asociada con la fuerza: Se puede elegir una posición de referencia inicial y medir las diferencias de energía potencial respecto a ese punto y definir una función energía potencial en cualquier posición r como: 50 El valor de E Pi generalmente no se conoce, por lo que se elige una posición arbitraria, donde por convención se le asigna el valor cero a la energía potencial inicial, E Pi = 0, ya que por su definición, sólo tiene significado físico el cambio de energía potencial. Esta posición arbitraria se llama nivel de referencia y puede ser cualquiera, generalmente se toma como nivel de referencia la superficie de la Tierra o cualquier otra posición conveniente, pero una vez que se ha elegido no debe cambiarse. Con esta elección, se define la energía potencial en una posición r como: (6) Para las fuerzas no conservativas no existe una función de energía potencial, ya que el trabajo, que depende de la trayectoria, no es función de la posición inicial y final de la partícula. 5.8. Conservación de la energía mecánica Cuando una partícula se mueve por la acción de una fuerza conservativa, por el teorema del trabajo y la energía se tiene que el trabajo realizado por la fuerza es igual a la variación de energía cinética de la partícula: Pero como la fuerza es conservativa, entonces W = -ΔE P , donde E P puede ser la energía potencial gravitacional, elástica o cualquier otra forma de energía potencial mecánica. Igualando ambas expresiones del trabajo se obtiene: esta ecuación representa la ley de conservación de la energía mecánica, que se puede escribir también de la siguiente forma: Se puede definir la energía mecánica total como la suma de la energía cinética y la energía potencial: entonces la conservación de la energía se escribe como: (7) 51 La ley de conservación de la energía mecánica establece que la energía mecánica total de un sistema permanece constante si las únicas fuerzas que realizan trabajo sobre el sistema son conservativas. Cuando una cantidad física no cambia, decimos que se conserva. Decir que la energía se mantiene constante significa que la cantidad total de energía de un sistema natural no cambia, no se puede crear ni destruir energía, sólo se puede convertir de una forma a otra. Es una de las leyes fundamentales de la Física, deducida a partir de una de las leyes fundamentales de la mecánica, la segunda ley de Newton. Si las fuerzas presentes en un sistema mecánico no son conservativas, como ocurre en los sistemas reales, la energía aparentemente no se conserva, porque se transforma en otro tipo de energía. Por ejemplo, la fuerza de roce se dice que es disipativa porque disipa energía, que se transforma en calor en la superficie de contacto entre los cuerpos. En efecto, se puede aplicar el teorema del trabajo y la energía tomando en cuenta la existencia de las fuerzas no conservativas. Si W NC es el trabajo sobre una partícula de todas las fuerzas no conservativas y W C el trabajo de todas las fuerzas conservativas, entonces: Como WC = -ΔEP entonces: Es decir, el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas es igual al cambio de energía mecánica total del sistema. 5.9. Problemas de aplicación 1. Sobre un cuerpo de 2 kg que se movía inicialmente con una rapidez de 5 m/s hacia la derecha, en una superficie horizontal, se aplica una fuerza de 10 N inclinada 30º respecto a la horizontal. El desplazamiento mientras se ejerce la fuerza fue de 5 m, y el coeficiente de roce es 0.25. Calcular a) el trabajo realizado por cada fuerza sobre el cuerpo, b) la variación de energía cinética, c) la velocidad final del cuerpo. R: b) 24.5 J, c) 7 m/s. 2. Se tiene un sistema formado por 5 esferitas de masa M unidas por cuerdas tensas de masa despreciable, separadas L entre sí, colocado inicialmente en forma horizontal. Calcular el trabajo necesario para poner una a una todas las esferitas en posición vertical. R: 10 MgL. 3. Desde la base de un plano inclinado 30º respecto a la horizontal, se lanza en subida un cuerpo de 1 kg. El cuerpo recorre 0.5 m y después comprime 0.1 m un resorte de constante 100 N/m ubicado en la parte superior del plano antes de detenerse. a) Si el plano es liso, determine la rapidez inicial del cuerpo. b) Si la rapidez con la que el cuerpo inicia la subida del plano fuera el doble de la calculada en a) y el coeficiente de roce entre el cuerpo y el plano fuera de 0.2, ¿cuánto se comprimirá el resorte? c) ¿y si la rapidez se reduce a la mitad? R: a) 2.46 m/s, b) 0.38 m. c) no hay compresión. 52 4. Una esfera de 0.5 kg desliza por un riel curvo a partir del reposo en el punto A de la figura 1. El segmento de A a B no tiene roce y el de B a C si tiene roce. a) Calcular la rapidez del bloque en B. b) Si el bloque llega al reposo en C, calcular el trabajo por el roce en ese tramo. R: a) 4.5 m/s, b)–2.5 J. 5. El coeficiente de fricción entre el objeto de 3 kg y la superficie de la mesa que se ve en la figura 4, es 0.4. ¿cuál es la rapidez de la masa de 5 kg que cuelga, cuando ha caído una distancia vertical de 1 m? 6. Se conectan dos masas por una cuerda ligera que pasa por una polea de masa despreciable, sin fricción, como se muestra en la figura 3. Una masa de 5 kg se libera desde el reposo, de una altura de 2.5 m sobre el suelo. Utilizando la ley de la conservación de la energía determinar: a) la velocidad final de la masa de 5 kg, b) la velocidad de la masa de 3 kg justo cuando la masa de 5 kg choca con el piso, c) la altura máxima a la cual se elevará la masa de 3 kg. R: b) 4.5 m/s, c) 5 m. 53 CAPITULO VI MECANICA DE FLUIDOS 6.1 Introducción Actos tan cotidianos como tomar una ducha, respirar o beber agua, requieren necesariamente la circulación de fluidos. El estudio de la mecánica de fluidos puede ayudarnos tanto para comprender la complejidad del medio natural, como para mejorar el mundo que hemos creado. Si bien la mecánica de fluidos esta siempre presente en nuestra vida cotidiana, lo que nos falta conocer es como se expresa esta información en términos cuantitativos, o la manera en que se diseñan sistemas con base en este conocimiento, mismos que se utilizaran para otros fines. El conocer y entender los principios básicos de la mecánica de fluidos es esencial en el análisis y diseño de cualquier y sistema en el cual el fluido es el elemento de trabajo. Hoy en día el diseño de virtualmente todos los medios de transporte requiere la aplicación de la mecánica de fluidos. La lubricación es también un área de aplicaciones importantes. Los sistemas de calefacción y de ventilación, tanto de viviendas e industrias como de construcciones subterráneas, túneles y otros, así como el diseño de sistemas de cañerías son ejemplos en los cuales las técnicas de diseño están basadas en la mecánica de fluidos. Incluso el sistema de circulación del cuerpo humano es un sistema fluido; de ahí que se de el diseño de corazones artificiales, maquinas de diálisis, ayudas respiratorias y otros aparatos de este tipo estén basados en los principios de la mecánica de fluidos. Esto ha dado origen a la aerodinámica y la hidráulica dos ramas importantes de la mecánica de fluidos. 6.2 Estructura de la materia En griego, átomo significa indivisible, por eso esta palabra fue adoptada por los físicos para aplicarla a la partícula más pequeña y fundamental. Pero ahora se sabe que los elementos químicos están formados por partículas elementales más pequeñas que son los electrones, protones y neutrones, que en conjunto constituyen el átomo. Los átomos de la materia común se componen de un núcleo pesado, de diámetro del orden de 10-15 m, que contiene protones cargados positivamente y neutrones sin carga, que esta normalmente rodeado por uno o varios electrones livianos cargados negativamente. La función de los neutrones en el núcleo es actuar como ‘pegamento’ para mantener unidos los protones en el núcleo, si los neutrones no estuvieran presentes, la fuerza repulsiva entre las partículas cargadas positivamente desintegraría al núcleo. ¿Pero termina aquí la división? Se ha descubierto que existen partículas más pequeñas aun, llamadas quarks, formadas por seis variedades diferentes de otras partículas bautizadas con nombres exóticos: arriba, abajo, extraño, encanto, belleza y superior. ¡Las distancias en la frontera de la Física nuclear son sorprendentemente cortas! Pero la materia no es continua, ya que entre cada par de partículas hay un espacio vacío. En el otro extremo, las distancias en el Universo son muy grandes. Los extremos de la Física los podemos resumir en los tres infinitos que se ilustran en la siguiente figura. 54 6.3 Estados de la materia La materia generalmente se clasifica de acuerdo con algunos de los cuatro estados en que se encuentra, sólido, líquido, gaseoso y plasma. Un sólido tiene forma y volumen definidos. Un líquido tiene un volumen definido pero no una forma definida. Un gas no tiene ni volumen ni forma definidos. Para cualquier sustancia, el estado líquido existe a una temperatura mayor que la del estado sólido, tiene mayor agitación térmica y las fuerzas moleculares no son suficientes para mantener a las moléculas en posiciones fijas y se pueden mover en el líquido. Lo común que tienen los líquidos con los sólidos es que si actúan fuerzas externas de compresión, surgen grandes fuerzas atómicas que se resisten a la compresión del líquido. En el estado gaseoso, las moléculas tienen un continuo movimiento al azar y ejercen fuerzas muy débiles unas con otras; las separaciones promedios entre las moléculas de un gas son mucho más grandes que las dimensiones de las mismas. Un sólido se comprime bajo la acción de fuerzas externas, pero si estas fuerzas dejan de actuar, tiende a retomar su forma y tamaño original, por esto se dice que tiene elasticidad. Según el tiempo de respuesta del cambio de la forma a una fuerza externa o presión, la materia puede comportarse como un sólido o como un fluido. En algunos casos, el material se comporta en un estado intermedio, como por ejemplo plástico, goma, asfalto, grasa, miel, masilla, etc. Plasma Cuando se calienta un sólido, se transforma en líquido, si se continúa calentando se convierte en gas. Pero si aumenta aún más la temperatura del gas, los choques entre las partículas se vuelven tan violentos que son capaces de variar la estructura de las partículas. Los electrones pueden ser liberados de los átomos produciendo iones cargados positivamente. Las moléculas de un gas pueden romperse al someterlas a la acción de la luz ultravioleta, rayos X, corriente eléctrica o a intenso calor y los electrones pueden ser violentamente separados de la molécula. Al resto de la molécula que le falta uno o más electrones, queda cargada positivamente, se le llama un ión y el gas queda ionizado. El gas ionizado formado de electrones con carga negativa y de iones con carga positiva se llama plasma, que es otro estado fluido de la materia, sólo existe a altas temperaturas (> 2000 K). A pesar de ser poco común en la 55 vida cotidiana, es el estado predominante de la materia en el Universo. El Sol, las estrellas o el gas de la luz en un tubo fluorescente están en estado de plasma. Fluido Un fluido es un conjunto de moléculas distribuidas al azar que se mantienen unidas por fuerzas cohesivas débiles y por fuerzas ejercidas por las paredes de un envase. De otra forma, si definimos un fluido como aquellos materiales que no lo son, los fluidos son todos aquellos que no son sólidos. Por lo tanto, son fluidos los líquidos y los gases. Una diferencia esencial entre un fluido y un sólido es que un fluido no soporta esfuerzos tangenciales y los sólidos sí. De acuerdo con esto, los fluidos son sistemas que están en continuo movimiento. En este contexto, la mecánica clásica debe modificarse un poco, por la poca utilidad que tiene aquí el concepto de masa, por lo que esta se reemplaza por otro concepto, llamado densidad, que corresponde a la masa por unidad de volumen. En los problemas que nos interesan, los fluidos con los que trataremos principalmente son el aire y el agua. Cuando estudiamos la atmósfera y el océano en sus movimientos de escala planetaria, nos referimos a estos como fluidos geofísicos. Por ejemplo el estudio de los ciclones y anticiclones, de la corriente de Humboldt, o en otros planetas de la gran Mancha Roja de Júpiter. 6.4 Densidad Una propiedad de cualquier sustancia es su densidad. La densidad ρ de cualquier material se define como la cantidad de masa m contenida en cada unidad de volumen V. Como la distribución de masa puede variar si se considera el volumen completo de sustancia, se debe definir en forma microscópica la densidad en cada punto del cuerpo en forma diferencial, esto es (1) La densidad es una magnitud física escalar, su unidad de medida en el SI es kg/m 3 . La densidad cambia con la temperatura ya que el volumen depende de la temperatura, por lo que se dan valores bajo condiciones de presión y temperaturas dadas. Si un cuerpo tiene la misma densidad en todo el volumen, es decir es constante, se dice que es homogéneo, en caso contrario es heterogéneo, en este caso el cuerpo tiene una distribución de masa variable dentro del volumen. La densidad de los líquidos (y sólidos) es del orden de 1000 veces la de los gases. En la tabla siguiente se dan los valores de la densidad de algunas sustancias comunes. La densidad de los fluidos depende de la temperatura y de la presión. La ecuación que expresa esta dependencia se llama ecuación de estado, pero este tema es un aspecto de los fluidos que se tratará en forma cuantitativa en el curso de Física II. Baste decir ahora que la densidad depende del inverso de la temperatura. La variación de densidad con la temperatura en los gases da lugar al fenómeno de convección, muy importante para el transporte de calor en un fluido. Por ejemplo, la convección en la atmósfera produce el movimiento vertical ascendente del aire, lo que origina disminución de presión en superficie, expansión, enfriamiento, condensación, formación de nubes y de precipitación. 56 6.5 Presión Las fuerzas que existen sobre un objeto sumergido en un fluido son sólo aquellas que tienden a comprimir al objeto. La fuerza ejercida por un fluido sobre el objeto inmerso en él es siempre perpendicular a las superficies del objeto (figura 1). La presión p del fluido en el nivel donde se encuentra sumergido el cuerpo se define como la razón de la magnitud de la fuerza F normal a la superficie y el área A. La presión dentro del fluido no es la misma en todos los puntos, por lo que se debe definir la presión en un punto determinado considerando una fuerza dF normal a un elemento de superficie dA, entonces la presión en el punto es: (2) Figura 1.Objeto sumergido en un fluido La unidad de medida de la presión en el sistema SI es N/m2, que se llama Pascal, con símbolo Pa. Otras unidades de uso común para la presión son atmósfera (atm), centímetros de mercurio (cm de Hg) o bar. Algunos factores de conversión comunes entre diferentes unidades son: 1 bar = 105 Pa y 1 milibar (mbar) = 10-3 bar = 100 Pa = 1 hPa 1 atm = 1.013x105 Pa = 1.013 bar = 1013 mbar = 1013 hPa = 76 cm de Hg 57 6.6 la ecuación hidrostática Para un fluido en reposo dentro de un envase, todos los puntos a la misma profundidad tienen la misma presión, si no fuera así no estaría en reposo. Imaginar un volumen de fluido (aire) elemental en la atmósfera, de superficie dA y alto dz, como se ve en la figura 2. La fuerza en la parte inferior del volumen es hacia arriba de valor F1 = p1dA =p(z)dA y en la parte superior es hacia abajo de valor F2 = p2dA = p(z+dz)dA. El peso del volumen es dP = (dm)g. Como el volumen está en equilibrio, por la primera Ley de Newton, se tiene: Pero p(z+dz) - p(z)= dp, ρ = dm/dV ⇒ dm = ρ dV y dV = dAdz, reemplazando se obtiene: (3) Esta se llama ecuación hidrostática, se le da ese nombre porque fue deducida para una porción de fluido en equilibrio estático. Se observa que la presión disminuye con la altura y aumenta con la profundidad en el fluido. Si po es el valor de la presión en el nivel zo (que puede ser el nivel del mar) y p el valor de la presión a una altura z en la atmósfera o una profundidad z en el océano, y si la densidad es constante, se puede integrar la ecuación hidrostática y se obtiene: (4) Si se considera como volumen de fluido una porción de océano, en cuya superficie actúa la presión atmosférica po, la presión a la profundidad h = zo – z en el mar, lago o cualquier envase que contenga algún líquido de densidad constante, será: (5) Esta ecuación, válida sólo cuando la densidad es constante, dice que la presión a la profundidad h de la superficie libre de un fluido es mayor que la presión atmosférica po en ρgh. De esto también se deduce que la presión es la misma en cualquier punto ubicado a la misma profundidad y no se ve afectada por la forma del envase. El término ρgh se llama presión manométrica, ya que corresponde a la presión obtenida de la lectura de un manómetro, es decir, la di ferencia entre la presión total y una presión de referencia, que con frecuencia es la presión atmosférica. Figura 2. Fluido en reposo 58 La presión del agua aumenta a medida que se baja hacia el fondo del océano y disminuye en la atmósfera si nos elevamos sobre el nivel del mar. Como la densidad del aire es unas 1000 veces menor que la del agua, el aumento de presión al descender un metro en agua es cerca de mil veces mayor a la disminución de la presión al ascender un metro de altura. En la atmósfera cerca de superficie, la presión disminuye aproximadamente un hPa cada 10 metros de elevación en la vertical y en el océano la presión aumenta aproximadamente 100 hPa cada un metro de profundidad. El barómetro Los instrumentos usados para medir la presión son el barómetro y el manómetro. El barómetro de mercurio, inventado en 1643 por Torricelli (que fue alumno de Galileo) es un tubo cerrado en uno de sus extremos que se llena con mercurio y después se da vuelta y se introduce en otro envase lleno también con mercurio. En este proceso, el mercurio del tubo desciende por lo que en su extremo cerrado se produce un vacío, donde la presión es cero. Por la presión de la atmósfera sobre la superficie libre del envase, la columna de mercurio dentro del tubo se eleva; al nivel del mar en condiciones normales, se encuentra que siempre la columna de mercurio en el tubo es de 76 cm. De la ecuación hidrostática integrada se obtiene –po = -ρgh, donde ρ es la densidad del mercurio y h su altura. Con g = 9.8 m/s 2 y la densidad del mercurio que es 13595 kg/m 3 , se obtiene que la presión atmosférica en condiciones normales es po = 1.013x10 5 Pa. 6.7 Ley de Pascal. Según la ecuación hidrostática, la presión en un fluido sólo depende de la profundidad, por lo tanto cualquier variación de presión en superficie se transmite a cualquier parte del fluido. Entonces si se aplica una fuerza F1 sobre un área A1 como se ve en la figura 3, la misma presión se transmite con una fuerza F2 sobre un área A2, y por la definición de presión: (6) Figura 3. Prensa hidráulica 59 Las herramientas hidráulicas tales como frenos, gatas y elevadores de carga aprovechan este principio descubierto por Blas Pascal y se conoce como Ley de Pascal. 6.8 Principio de Arquímedes Una consecuencia de la ecuación hidrostática es el principio de Arquímedes. Supongamos que un objeto se sumerge en un fluido como se ve en la figura 4. Antes de sumergir el objeto, el fluido está en equilibrio, por lo tanto el resto del fluido ejerce una fuerza sobre la porción de fluido que después ocupará el objeto, que iguala el peso de la porción de fluido. Esta fuerza también actuará sobre el objeto sumergido y se conoce como fuerza de empuje. El principio de Arquímedes se enuncia como sigue: “cualquier cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba por una fuerza que es igual al peso del volumen de fluido desplazado por el cuerpo”. Cualquier cuerpo inmerso en un fluido es empujado siempre verticalmente hacia arriba por el fluido, a esa fuerza se le llama fuerza de empuje (o de flotación), E. Según el principio de Arquímedes, la magnitud de la fuerza de empuje es igual al peso del volumen de fluido desalojado por el objeto. La fuerza de empuje actúa verticalmente hacia arriba y su línea de acción pasa por el punto donde se encontraba el centro de gravedad del fluido desplazado. Se puede demostrar que la fuerza de empuje es igual al peso. En efecto, la presión en el fondo de un cubo de fluido imaginario inmerso en el fluido, como se ve en la figura 4, es mayor que en la parte superior por la cantidad ρgΔz, donde Δz es la altura del cubo de fluido imaginario. Esta diferencia de presión por unidad de área A, es decir la diferencia entre las fuerzas aplicadas en la cara inferior y superior del volumen hipotético, es igual a la fuerza de empuje E, entonces: Por la ecuación hidrostática: (7) Para un objeto que flota sobre un fluido, la fuerza de empuje equilibra al peso del objeto. Si V es el volumen de fluido desplazado al sumergir el cuerpo en el fluido de densidad ρ, y Vo es el volumen del cuerpo de densidad ρ o, la fuerza de empuje del fluido, según la ecuación anterior, es E = ρVg, que es de igual magnitud al peso del cuerpo P = mg = ρoVo g, entonces: (8) Figura 4. A) Cuerpo sumergido y B) Principio de Arquímedes 60 Esta ecuación permite determinar la fracción de volumen sumergido en un fluido de mayor densidad que el cuerpo. 6.9 Nociones elementales de dinámica de fluidos Ahora analizaremos en forma muy elemental el comportamiento de los fluidos en movimiento. Cuando un fluido está en movimiento, el flujo se puede clasificar en dos tipos: a) Flujo estacionario o laminar si cada partícula de fluido sigue una trayectoria uniforme y estas no se cruzan, es un flujo ideal. Por ejemplo el humo de cigarrillo justo después de salir del cigarro es laminar. En el flujo estacionario la velocidad del fluido permanece constante en el tiempo. Sobre una velocidad crítica, el flujo se hace turbulento. b) Flujo turbulento es un flujo irregular con regiones donde se producen torbellinos. Por ejemplo el humo de cigarrillo en la parte superior alejada del cigarro es turbulento. El flujo laminar se vuelve turbulento por efecto de la fricción que también está presente en los fluidos y surge cuando un objeto o capa del fluido que se mueve a través de él desplaza a otra porción de fluido; lo notas por ejemplo cuando corres en el agua. La fricción interna en un fluido es la resistencia que presenta cada capa de fluido a moverse respecto a otra capa. La fricción interna o roce de un fluido en movimiento se mide por un coeficiente de viscosidad. Por efecto de la viscosidad parte de la energía cinética del fluido se transforma en energía térmica, similar al caso de los sólidos. Debido a que el movimiento de un fluido real es muy complejo, consideraremos un modelo de fluido ideal con las siguientes restricciones: fluido incompresible, es decir de densidad constante, no viscoso, flujo estacionario e irrotacional, en este último caso se refiere a la rotación de cada partícula de fluido y no del fluido como un todo, que puede tener una trayectoria curva o girar. 6.10 Ecuación de continuidad La trayectoria seguida por una partícula de fluido estacionario se llama línea de corriente, así que por definición la velocidad es siempre tangente a la línea de corriente en cualquier punto. Por lo tanto las líneas de corriente no se pueden cruzar, sino en el punto de cruce, la partícula de fluido podría irse por cualquiera de las líneas y el flujo no sería estacionario. Un conjunto de líneas de corriente forma un tubo de corriente o de flujo (figura 5), las partículas de fluido se pueden mover sólo a lo largo del tubo, ya que las líneas de corriente no se cruzan. Figura 5. A la izquierda un tubo de corriente. A la derecha tubo con diferentes áreas de sección transversal. 61 Considerar un fluido que se mueve a lo largo de un tubo de corriente, cuya sección transversal aumenta en dirección del flujo, como en la figura 5. En un intervalo Δt en la sección más angosta del tubo de área A1, el fluido se mueve una distancia Δx1 = v1Δt. La masa contenida en el volumen A1Δx1 es Δm1 = ρ1A1Δx1. De manera similar, en la sección ancha del tubo de área A2, se obtienen expresiones equivalentes en el mismo Δt, cambiando el subíndice 1 por 2. Pero la masa se conserva en el flujo estacionario, esto es la masa que cruza por A1 es igual a la masa que pasa por A2 en el intervalo de tiempo Δt, entonces: (9) Esta se llama ecuación de continuidad, representa la conservación de la masa: significa que la masa no puede ser creada ni destruida, sólo se puede transformar, similar a la conservación de la energía. Para un fluido incompresible, es decir de densidad constante, la ecuación de continuidad se reduce a: (10) esto es, el producto del área por la rapidez normal a la superficie en todos los puntos a lo largo del tubo de corriente es constante. La rapidez es mayor (menor) donde el tubo es más angosto (ancho) y como la masa se conserva, la misma cantidad de fluido que entra por un lado del tubo es la que sale por el otro lado, en el mismo intervalo de tiempo. La cantidad Av, que en el SI tiene dimensiones de m 3 /s, se llama flujo de volumen, (Av = flujo). 6.11 Ecuación de Bernoulli Cuando fluye el fluido por un tubo de sección transversal no uniforme y de un nivel a otro, por la ecuación hidrostática, la presión cambia a lo largo del tubo (figura 6). La fuerza de la presión p1 en el extremo inferior del tubo de área A1 es F1 = p1 A1. El trabajo realizado por esta fuerza sobre el fluido es W1 = F1Δx1 = p1A1Δx1 = p1ΔV, donde ΔV es el volumen de fluido considerado. De manera equivalente en el nivel superior, si se considera un mismo intervalo de tiempo el volumen ΔV de fluido que cruza la sección superior de área A2 es el mismo, entonces el trabajo es W2 = - p2A2Δx1 = - p2ΔV. El trabajo neto realizado por las fuerzas en el intervalo de tiempo Δt es: (11) Figura 6. Fluido que fluye por un tubo de sección transversal no uniforme 62 Parte de este trabajo se usa en cambiar tanto la energía cinética como la energía potencial gravitacional del fluido. Si Δm es la masa que pasa por el tubo de corriente en el tiempo Δt, entonces la variación de energía cinética es: (12) y la variación de energía potencial gravitacional es: (13) Por el teorema del trabajo y energía se tiene: (14) Dividiendo por ΔV y como ρ = Δm/ΔV, se obtiene la ecuación de Bernoulli para un fluido no viscoso, incompresible, estacionario e irrotacional. La ecuación de Bernoulli, que es un resultado de la conservación de la energía aplicada a un fluido ideal, generalmente se expresa como: (15) 6.12 Problemas de aplicación 1. El tubo vertical abierto de la figura 1 contiene dos fluidos de densidades ρ1 y ρ2, que no se mezclan. Demuestre que la presión en el fondo del tubo está dada por la expresión p = po +g(ρ1h1 + ρ 2h2). 2. Un mosquito que chocó con el estanque del problema 10, le hizo un agujero en un punto a 1.25 m debajo del nivel superior de agua, por el cual se ha medido un flujo de agua de 60 lt/min. Calcular: a) la rapidez de salida del agua, b) el radio del agujero. R: a) 5 m/s, b) 0.8 cm 63 3. En un estanque con agua de 2 m de profundidad, se hace un agujero de 5 cm 2 a una altura h desde la superficie de agua (figura 4). Por la parte superior del estanque se le hecha agua con un flujo continuo de 1000 cm 3 /s de manera que el nivel de agua permanece constante en 2 m. Calcular a) la altura h, b) la rapidez de salida del agua. R: a) 0.2 m, b) 2 m/s. 4. Paula de 50 kg se balancea sobre uno de los altos tacones de sus zapatos. Si el tacón es circular de radio de 0.5 cm, ¿qué presión ejerce Paula sobre el piso? R: 6.36x10 6 Pa 5. a) Calcular la altura sobre el nivel del agua de un cubo de madera de 10 cm de lado y densidad 650 kg/m 3 que flota en el agua. b) Calcular la cantidad de masa se debe poner sobre el cubo para que se hunda justo hasta el nivel de agua. R: a) 4 cm, b) 400 gr. 6. Un bloque de metal de 10 kg de dimensiones 12cmx10cmx10cm, se suspende una balanza y se sumerge en agua. El lado de 12cm está vertical y la parte superior del bloque sobresale 5 cm de la superficie del agua. Calcular: a) la fuerza de tensión de la balanza, b) la fuerza de empuje sobre el bloque. R: a) 93 N, b) 7 N. 7. Por una manguera de incendios de 6 cm de diámetro, fluye agua a razón de 600 lt/min. Calcular la rapidez de salida del agua de la manguera si el diámetro por donde sale es 2 cm. 8. Por una tubería horizontal fluye agua con una rapidez de 5 m/s. Si la presión es de 1.5x10 5 Pa en un punto donde la sección transversal del tubo es A, determine en un punto donde el área es A/3: a) la rapidez y b) la presión de salida del agua. R: a) 15 m/s, b) 0.5x105 Pa. 64 CAPITULO VII MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 6.1. Introducción Los principales objetivos de los capítulos anteriores estaban orientados a describir el movimiento de un cuerpo que se puede predecir si se conocen las condiciones iniciales del movimiento y las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Si una fuerza cambia en el tiempo, la velocidad y la aceleración del cuerpo también cambiarán en el tiempo. Un tipo de movimiento particular ocurre cuando sobre el cuerpo actúa una fuerza que es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. Si dicha fuerza siempre actúa en la dirección de la posición de equilibrio del cuerpo, se producirá un movimiento de ida y de vuelta respecto de esa posición, por eso a estas fuerzas se les da el nombre de fuerzas de restitución, porque tratan siempre de restituir o llevar al cuerpo a su posición original de equilibrio. El movimiento que se produce es un ejemplo de lo que se llama movimiento periódico u oscilatorio. Ejemplos de movimientos periódicos son la oscilación de una masa acoplada a un resorte, el movimiento de un péndulo, las vibraciones de las cuerdas de un instrumento musical, la rotación de la Tierra, las ondas electromagnéticas tales como ondas de luz y de radio, la corriente eléctrica en los circuitos de corriente alterna y muchísimos otros más. Un tipo particular es el movimiento armónico simple. En este tipo de movimiento, un cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales sin perder energía mecánica. Pero en los sistemas mecánicos reales, siempre se encuentran presente fuerzas de rozamiento, que disminuyen la energía mecánica a medida que transcurre el tiempo, en este caso las oscilaciones se llaman amortiguadas. Si se agrega una fuerza externa impulsora de tal manera que la pérdida de energía se equilibre con la energía de entrada, el movimiento se llama oscilación forzada. 6.2. Movimiento armónico simple Una partícula que se mueve a lo largo del eje x, tiene un movimiento armónico simple cuando su desplazamiento x desde la posición de equilibrio, varía en el tiempo de acuerdo con la relación (1) donde A, ω, y δ son constantes del movimiento. Esta es una ecuación periódica y se repite cuando ωt se incrementa en 2π radianes. Para dar un significado físico a estas constantes, es conveniente graficar x en función de t, como se muestra en la figura 6.1. La constante A se llama amplitud del movimiento, es simplemente el máximo desplazamiento de la partícula, ya sea en la dirección positiva o negativa de x. La constante ω se llama frecuencia angular, el ángulo δ se llama ángulo o constante de fase, y junto con la amplitud quedan determinados por el desplazamiento y velocidad inicial de la partícula. Las constantes A y δ nos dicen cual era el desplazamiento en el instante t = 0. La cantidad (ωt + δ) se llama la fase del movimiento y es de utilidad en la comparación del movimiento de dos sistemas de partículas. 65 Figura 6.1. Gráfico de la posición en función del tiempo para el MAS El periodo T es el tiempo que demora la partícula en completar un ciclo de su movimiento, esto es, es el valor de x en el instante t + T. Se puede demostrar que el periodo del movimiento esta dado por T = 2π/ω, sabiendo que la fase aumenta 2π radianes en un tiempo T: Comparando, se concluye que ωT = 2π, o Al inverso del periodo se le llama frecuencia f del movimiento. La frecuencia representa el número de oscilaciones que hace la partícula en un periodo de tiempo, se escribe como: Las unidades de medida de f en el SI son 1/s o ciclos/s, llamados Hertz, Hz. Reacomodando la ecuación de la frecuencia, se obtiene la frecuencia angular ω, que se mide en rad/s, de valor: La velocidad de una partícula que tiene un movimiento armónico simple se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación 1: (2) La aceleración de la partícula está dada por dv/dt: (3) Como x = Acos(ωt +δ ) , se puede expresar la aceleración en la forma: 66 De las ecuaciones de velocidad y de aceleración, teniendo en cuenta que los valores extremos de las funciones seno o coseno son ± 1, sus valores extremos máximos o mínimos son: Las curvas de posición, velocidad y aceleración con el tiempo se muestran en la figura 2. En estas curvas se ve, (figura 2 b), como la fase de la velocidad difiere en π/2 rad o 90º con la fase del desplazamiento. Esto es, cuando x es un máximo o un mínimo, la velocidad es cero. De igual forma, cuando x es cero, la rapidez es un máximo o un mínimo. Del mismo modo, como la fase de la aceleración difiere en π rad o 180º con la fase del desplazamiento, (figura 2 c), cuando x es un máximo o un mínimo, la aceleración es un mínimo o un máximo. Figura 6.2. Gráfica de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo en el MAS La ecuación x = Acos(ωt +δ) es una solución general de la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple, donde la constante de fase δ y la amplitud A se deben elegir para satisfacer las condiciones iniciales del movimiento. La constante de fase es importante cuando se quiere comparar el movimiento de dos o más partículas oscilantes. Suponiendo que se conocen la posición inicial y la velocidad inicial de un oscilador, esto es, en t = 0, x = x o y v = v o . Con esas condiciones, las ecuaciones 1 y 2 se reducen a: que son dos ecuaciones de donde se pueden calcular los valores de la constante de fase δ y la amplitud A. Dividiéndolas, se obtiene: 67 Si ahora las ecuaciones para x o y v o se elevan al cuadrado y se suman, se obtiene: Entonces se observa que δ y A se pueden conocer si se especifican las condiciones iniciales xo, ω y vo. Para concluir esta descripción, podemos resumir algunas propiedades de una partícula que se mueve con un movimiento armónico simple: 1. El desplazamiento, la velocidad y la aceleración varían senoidalmente con el tiempo, pero no se encuentran en fase. 2. La aceleración de la partícula es proporcional al desplazamiento, pero en dirección opuesta. 3. El periodo y la frecuencia son independientes de la amplitud. 6.3. Masa sujeta a un resorte Una masa sujeta al extremo de un resorte, con la masa moviéndose libremente sobre una superficie horizontal sin fricción o verticalmente en el aire, oscilará si se la aparta de su posición de equilibrio x = 0 donde el resorte se encuentra sin deformar, con un movimiento armónico simple. En la figura 6.3 se observa un esquema para una masa que oscila sobre una superficie horizontal sin fricción. Cuando la masa se desplaza una pequeña distancia x desde su posición de equilibrio, el resorte ejerce una fuerza dada por la Ley de Hooke, (4) Sabemos que esta fuerza siempre es opuesta al movimiento. Aplicando la segunda ley de Newton, suponiendo que esta es la única fuerza que actúa sobre la masa m, se obtiene: esto es, la aceleración de m es proporcional al desplazamiento desde su posición de equilibrio y en dirección opuesta. Como la aceleración es la segunda derivada de la posición, y definiendo el cociente k/m = ω 2 , se puede escribir: (5) 68 Figura 6.3. Masa unida a un resorte oscilando sobre una superficie horizontal sin rozamiento La solución de la ecuación diferencial 5 es la que describe el movimiento armónico simple, tiene la misma forma que la ecuación 1: Esto se puede generalizar para afirmar que cualquier fuerza que actúe sobre una partícula, que sea linealmente proporcional al desplazamiento y de dirección opuesta, le producirá a la partícula un movimiento armónico simple. Para la masa sujeta al resorte, el período y la frecuencia del sistema es: 6.3. Energía en el movimiento armónico simple De la definición de energía cinética, reemplazando la ecuación de la rapidez de una partícula con movimiento armónico simple, se obtiene: (6) La energía potencial elástica almacenada en un resorte, para cualquier deformación x es: 69 (7) La energía mecánica total en el movimiento armónico simple, considerando que ω 2 = k/m o bien mω 2 = k, se puede escribir como: (8) De donde se deduce que la energía mecánica total en el movimiento armónico simple es una constante del movimiento, proporcional al cuadrado de la amplitud. Este valor es igual a la máxima energía potencial elástica almacenada en un resorte cuando x = ± A, ya que en esos puntos v = 0 y no hay energía cinética. Por otro lado, en la posición de equilibrio, x = 0 y por lo tanto E E = 0, además en este punto la rapidez es la máxima, de tal manera que toda la energía es energía cinética, es decir en x = 0: Como la superficie sobre la cual oscila el resorte es sin fricción, la energía se conserva, usando la ecuación de conservación de la energía, se puede escribir: De esta expresión se puede calcular la rapidez para un desplazamiento arbitrario x: (9) encontrándose nuevamente que la rapidez es máxima en x = 0 y es cero en los puntos de regreso del oscilador x = ± A. 6.4. El péndulo simple El péndulo simple es otro sistema mecánico que tiene un movimiento periódico oscilatorio, si se mueve en un medio sin fricción. Un péndulo es un sistema formado por una masa puntual m suspendida en el aire por una cuerda de longitud L, de masa muy pequeña comparada con la masa m, por lo que se 70 desprecia; la parte superior de la cuerda se encuentra fija, como se muestra en la figura 6.4. El movimiento del péndulo producido por la fuerza de gravedad se realiza en un plano vertical, y es un movimiento armónico simple si el ángulo θ que forma la cuerda del péndulo con la vertical es pequeño, como se puede demostrar a continuación. Las fuerzas que actúan sobre la masa m son la tensión T de la cuerda y el peso mg de la masa, se muestran en la figura 6.4. La componente tangencial del peso, mg senθ, siempre apunta hacia θ = 0, en dirección opuesta la desplazamiento. Esta es la fuerza de restitución, entonces puede escribirse la ecuación de movimiento en la dirección tangencial de la forma: donde s es el desplazamiento medido a lo largo del arco de trayectoria y el signo menos indica que F t actúa opuesta al movimiento. Como s = Lθ y L es constante, la ecuación se transforma en: Figura 6.5. El péndulo Simple Como el lado derecho es proporcional a senθ, y no solo a θ, se concluye que el movimiento no es armónico simple. Esa es una ecuación diferencial difícil de resolver, por lo que se supone que el péndulo se mueve en pequeños desplazamientos, tal que θ es pequeño, en este caso se puede usar la aproximación senθ ≈ θ y la ecuación diferencial del movimiento se reduce a: (10) que tiene la misma forma que la ecuación que describe al movimiento armónico simple, por lo que solo en esas condiciones el movimiento del péndulo es un movimiento armónico simple. Su solución es entonces: (11) donde Θ es la amplitud que corresponde al máximo desplazamiento angular y ω es la frecuencia angular, de valor: El periodo del movimiento es: 71 El periodo y la frecuencia de un péndulo simple dependen solo de la longitud de la cuerda y la aceleración de gravedad, y son independiente de la masa m del péndulo. Esto significa que todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo lugar, oscilarán con el mismo periodo. Comúnmente se usa el péndulo simple como un medidor de tiempo. También es un dispositivo adecuado para hacer mediciones precisas de la aceleración de gravedad, que son importantes por ejemplo cuando las variaciones locales de g pueden dar información sobre las fuentes subterráneas de petróleo u otros recursos minerales. 6.5. El péndulo físico Un péndulo físico consta de cualquier cuerpo rígido suspendido de un eje fijo que no pasa por su centro de masa. El cuerpo rígido oscilará cuando se desplaza de su posición de equilibrio. Si el cuerpo rígido se sujeta en un eje que pasa por un punto O a una distancia d del centro de masa, como se muestra en la figura 6.5, la fuerza debido a la gravedad produce un torque respecto de O, de magnitud mgd senθ. Como el torque se escribe τ = Iα, donde I es el momento de inercia respecto al eje que pasa por O y α es la segunda derivada de la rapidez angular, se obtiene: El signo menos indica que la fuerza de gravedad es una fuerza de restitución que produce un torque que hace disminuir el ángulo θ. Para resolver esta ecuación, nuevamente se supone que el péndulo físico se mueve en pequeños desplazamientos, tal que θ es pequeño, en este caso se puede usar la aproximación senθ ≈ θ y la ecuación diferencial del movimiento se reduce a: (12) Figura 6.5. Péndulo físico o compuesto que tiene la misma forma que la ecuación que describe al movimiento armónico simple, por lo que en esas condiciones así es el movimiento del péndulo. Su solución es entonces: donde Θ es la amplitud que corresponde al máximo desplazamiento angular y ω es la frecuencia angular, de valor: 72 El periodo del movimiento es: Se pueden usar estos resultados para medir el momento de inercia de cuerpos rígidos planos. Si se ubica el centro de masa y se mide d, se puede obtener el momento de inercia midiendo el periodo del péndulo físico. El periodo del péndulo físico se reduce al del péndulo simple, cuando toda la masa del cuerpo rígido se concentra en su centro de masa, ya que en este caso I = md 2 . 6.6. Péndulo de torsión Un péndulo de torsión, es un sistema construido de la siguiente forma. Consta de una varilla vertical que por el extremo superior se fija a un soporte y en el extremo opuesto se encuentra unida a un cuerpo rígido, como se muestra en la figura 6.6. Cuando a la varilla se la retuerce y luego se la deja girar, ejerce un torque de restitución sobre el cuerpo rígido, proporcional al desplazamiento angular θ, que se puede escribir como: donde κ es la constante de torsión de la varilla de soporte. Por la segunda ley de Newton, se obtiene: (13) Figura 6.6. Péndulo de Torsión que es la ecuación de un movimiento armónico simple, de frecuencia y periodo, respectivamente: Para este péndulo no se tiene la restricción de un ángulo pequeño, sólo se debe tener cuidado que no se exceda el límite elástico de la varilla. Este péndulo es común en los relojes mecánicos, que produce el tictac, tictac, tictac, tictac... 6.7. Oscilaciones amortiguadas Los movimientos oscilatorios hasta aquí considerados se refieren a sistemas ideales, que oscilan indefinidamente por la acción de una fuerza lineal de restitución, de la forma F = -kx. Pero en los sistemas reales están presentes fuerzas disipativas, como la fricción, las cuales retardan el movimiento del sistema. Por lo tanto la energía mecánica del sistema se va perdiendo conforme transcurre el tiempo, lo que hace que la amplitud del sistema disminuya con el tiempo, y se dice que el movimiento es amortiguado. Un tipo común de fuerza de fricción es proporcional a la rapidez y actúa en dirección opuesta al movimiento. Estas fuerzas se producen frecuentemente en los fluidos, principalmente en líquidos y gases, aquí se llaman fuerzas de viscosidad, donde actúan cuando un cuerpo se mueve, por ejemplo en 73 el agua o en el aire. Se expresan en la forma F = - bv, donde b es una constante que mide el grado de viscosidad del fluido. Aplicando la segunda ley de Newton a un sistema amortiguado, donde sobre el cuerpo en movimiento oscilatorio actúan las fuerzas de restitución y de amortiguamiento o de viscosidad, se obtiene: (14) La solución de esta ecuación esta fuera del alcance de este libro, por lo que se da sin demostración. Cuando la fuerza de viscosidad es pequeña comparada con kx, es decir, cuando b es pequeña, la solución es: (15) donde la frecuencia del movimiento es: (16) En la figura 6.7 se grafica la posición x en función del tiempo t para este movimiento amortiguado. Se observa que cuando la fuerza disipativa es pequeña comparada con la fuerza de restitución, el carácter oscilatorio del movimiento se mantiene, pero la amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo, hasta que finalmente el movimiento se amortigua y detiene. La línea de trazos en la figura 6.7 que es la envolvente de la curva de oscilación, representa el factor exponencial en la ecuación 15, corresponde a la amplitud decreciente en el tiempo. Figura 6.7. Posición en función del tiempo del Movimiento amortiguado. De la ecuación de la frecuencia se observa que si b = 0, se tiene la frecuencia natural de vibración del oscilador no amortiguado, ω o 2 = k/m. Cuando la magnitud de la fuerza de fricción se aproxima más a la magnitud de la fuerza de restitución, las oscilaciones se amortiguan más rápidamente. Cuando b alcanza un valor crítico tal que b/2m = ω o , el sistema no oscila y se dice que está críticamente amortiguado, por lo que el sistema regresa al equilibrio en forma exponencial con el tiempo. Si el medio es tan viscoso que la fuerza de fricción es mayor que la de restitución, con lo cual b/2m > ω o , el sistema está sobre amortiguado. En este caso tampoco oscila, sino que simplemente regresa a su posición de equilibrio. En todos los casos, cuando hay fricción presente, la energía del oscilador disminuye hasta cero; la energía mecánica que se pierde se transforma en el medio en energía térmica. 6.8. Oscilaciones forzadas Para el caso de un oscilador amortiguado, la energía disminuye en el tiempo por efecto de la fuerza disipativa. Se puede compensar esta pérdida y entregar energía al sistema aplicando una fuerza externa que en cualquier instante actúe en la dirección del movimiento del oscilador, que debe hacer un trabajo positivo sobre el sistema. La amplitud del movimiento permanecerá constante si la energía de entrada al sistema en cada ciclo del movimiento es igual a la energía que se pierde por la fricción. 74 Un oscilador forzado se puede obtener cuando un oscilador amortiguado es impulsado por una fuerza externa que varia armónicamente en el tiempo, de la forma F = F o cosω t, donde ω es la frecuencia angular de la fuerza y F o es una constante. Agregando esta fuerza a la ecuación diferencial del oscilador amortiguado, se obtiene: (17) Ya sabemos que la solución de esta ecuación es complicada, por lo que damos su resultado sin demostración; en un curso mas avanzado de Mecánica Clásica ustedes van a tener amplias posibilidades de entretenerse resolviendo ecuaciones como esta. Después de un tiempo suficientemente largo, cuando la energía de entrada en cada ciclo es igual a la energía perdida en cada ciclo, se alcanza la condición de estado estacionario, donde las oscilaciones se producen con amplitud constante. En esas condiciones, la solución de la ecuación diferencial 17 es: donde la amplitud es: (18) con ω o 2 = k/m, la frecuencia del oscilador no amortiguado (b = 0). Estas soluciones se justifican, pues físicamente en estado estacionario el oscilador debe tener la misma frecuencia de la fuerza externa aplicada. Se puede comprobar que x es solución si se reemplaza en la ecuación diferencial 17, esta se satisface cuando la amplitud es la ecuación 18. En la ecuación 18 se observa que el movimiento del oscilador forzado no es amortiguado, ya que se está impulsando por una fuerza externa, pues la condición es que el agente externo entregue la energía necesaria para compensar la energía que se pierde por fricción. Observar que la masa oscila con la frecuencia ω de la fuerza impulsora. Para un amortiguamiento pequeño, la amplitud aumenta cuando la frecuencia de la fuerza impulsora se aproxima a la frecuencia natural de la oscilación, o cuando ω ≈ ω o . El aumento tan significativo de la amplitud cerca de la frecuencia natural se conoce como resonancia, y la frecuencia ω o se llama frecuencia de resonancia del sistema. En la figura 6.8 se muestra una gráfica de la amplitud como función de la frecuencia para un oscilador forzado con y sin fuerza de fricción. Notar que la amplitud aumenta cuando disminuye el amortiguamiento (b → 0). Además la curva de resonancia se ensancha al aumentar el amortiguamiento. En condiciones de estado estacionario, y a cualquier frecuencia de impulso, la energía transferida es igual a la energía que se pierde por la fuerza de amortiguamiento, por eso la energía total promedio del oscilador permanece constante. En ausencia de fuerzas de amortiguamiento (b = 0), de la ecuación 18 se observa que, en estado estacionario, A aumenta hasta el infinito cuando ω → ω o . Es decir, si no hay pérdidas en el sistema, y se continua impulsando un oscilador que se encontraba inicialmente en reposo, con una fuerza senoidal que se encuentra en fase con la velocidad, la amplitud crecerá sin límite. Esto no se produce en la realidad ya que siempre están presentes las fuerzas de fricción, aunque sean pequeñas, por lo tanto, en la resonancia la amplitud será grande, pero finita para pequeños amortiguamientos. 75 Figura 6.8. Amplitud en función de la frecuencia para un oscilador forzado con y sin fuerza de fricción 7. Problemas 1. El desplazamiento de una partícula está dado por la ecuación x = 4 cos(3πt +π ) , donde x esta en m y t en s. Calcular: a) la frecuencia y el periodo del movimiento, b) la amplitud del movimiento, c) la constante de fase, d) la posición de la partícula en t = 0 y 5s, e) la rapidez y aceleración en cualquier instante, f) la rapidez y aceleración máximas, g) la rapidez y aceleración en t = 0 y 5 s. R: a) 1.5 Hz, 0.667 s, b) 4 m, c) π rad, d) -4 m. 2. Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varia de acuerdo con la expresión x = 5cos(2t +π / 6) , donde x esta en cm y t en s. Calcular: a) la frecuencia y el periodo del movimiento, b) la amplitud del movimiento, c) la posición de la partícula en t = 0, d) la rapidez y aceleración en t = 0. R: a) π s, b) 5 cm, c) 4.33 cm, d) -5 cm/s, - 17.3 cm/s 2 . 3. Una partícula que se mueve con movimiento armónico simple recorre una distancia total de 20 cm en cada ciclo, y su máxima aceleración es de 50 m/s2. Calcular: a) la frecuencia angular, b) su máxima rapidez. 4. El desplazamiento de una partícula está dado por la ecuación x = 8cos(2t +π / 3) , donde x esta en cm y t en s. Calcular: a) la frecuencia y el periodo del movimiento, b) la amplitud del movimiento, c) la constante de fase, d) la posición, la rapidez y aceleración de la partícula en t = π/2 s, e) la máxima rapidez y el tiempo mas corto en alcanzarla, f) la máxima aceleración y el tiempo mas corto en alcanzarla. R: d) 13.9 cm/s, 16 cm/s 2 , e) 16 cm/s, 0.263 s, f) 32 cm/s 2 , 1.05 s 5. Un peso de 0.2 N se suspende de un resorte de constante 6 N/m. Calcular el desplazamiento del resorte. R: 3.33 cm. 6. Un resorte se alarga 4 cm cuando se le cuelga una masa de 10 gramos. Si se le cuelga una masa de 25 gramos, oscila con un movimiento armónico simple. Calcular el periodo del movimiento. 7. La frecuencia de vibración de un sistema masa-resorte es de 5 Hz cuando se le cuelga una masa de 4 gramos. Calcular la constante del resorte. R: 3.95 N/m. 8. Un sistema masa-resorte oscila con una amplitud de 3.5 cm. Si la constante del resorte es 250 N/m, y la masa de 0.5 kg, calcular a) la energía mecánica del sistema, b) la rapidez máxima de la masa, c) la aceleración máxima. R: a)0.153 J, b) 0.783 m/s, c) 17.5 m/s 2 . 9. Una partícula tiene un movimiento armónico simple con una amplitud de 3 cm. Calcular la posición respecto al punto medio de su movimiento donde la rapidez será igual a la mitad de la rapidez máxima. R: ±2.6cm. 10. Un péndulo físico en forma de cuerpo plano tiene un movimiento armónico simple con una frecuencia de 1.5 Hz. Si tiene una masa de 2.2 kg y el pivote se encuentra a 0.35 m del centro de masa, calcular el momento de inercia del péndulo. R: 0.085 kgm 2 . 76 CAPITULO VIII TEMPERATURA Y CALOR 1. INTRODUCCION La mecánica newtoniana explica una diversidad muy amplia de fenómenos en la escala macroscópica, tales como el movimiento de los cuerpos, de proyectiles y de planetas. Ahora iniciaremos el estudio en la termodinámica, área de la física relacionada con los conceptos de calor y temperatura. Con la termodinámica se hace la descripción de las propiedades volumétricas de la materia y la correlación entre esas propiedades y la mecánica de los átomos y moléculas. Se ha preguntado alguna vez ¿qué le pasa a la energía cinética de un objeto cuando cae al suelo y queda en reposo?, o ¿como puede enfriar un refrigerador? Las leyes de la termodinámica y los conceptos de calor y de temperatura nos permitirán contestar estas preguntas. En general, la termodinámica trata con las transformaciones físicas y químicas de la materia en todos sus estados: sólido, líquido, gas o plasma. El objeto de estudio de la física térmica trata con los fenómenos que comprenden transferencias de energía entre cuerpos que están a diferentes temperaturas. En el estudio de la mecánica, se definieron claramente conceptos como masa, fuerza y energía, para hacer la descripción en forma cuantitativa. De la misma forma, una descripción cuantitativa de los fenómenos térmicos requiere una definición clara de los conceptos de temperatura, calor y energía interna. La ciencia de la termodinámica está relacionada con el estudio del flujo de calor desde un punto de vista macroscópico. 2. DEFINICIONES 2.1. Contacto Térmico Se llama así cuando entre dos cuerpos puede ocurrir un intercambio de energía entre ellos sin que se realice trabajo macroscópico. Experimentalmente se encuentra que si dos objetos que inicialmente están a diferente temperatura, se ponen en contacto térmico entre sí, llegará el momento en que alcanzaran una cierta temperatura intermedia. 2.2. Equilibrio Térmico Es una situación en la que dos cuerpos en contacto térmico entre sí, dejan de tener todo intercambio neto de energía. El tiempo que tardan los cuerpos en alcanzar el equilibrio térmico depende de las propiedades de los mismos. 77 2.3. Principio Cero de la Termodinámica Si dos cuerpos A y B están por separado en equilibrio térmico con un tercer cuerpo C, entonces A y B están en equilibrio térmico entre sí. Este enunciado, aunque parezca obvio, es lo más fundamental en el campo de la termodinámica, ya que se puede usar para definir la temperatura. 2.4. Calor El calor, (símbolo Q), se define como la energía cinética total de todos los átomos o moléculas de una sustancia. El concepto de calor, se usa para describir la energía que se transfiere de un lugar a otro, es decir flujo de calor es una transferencia de energía que se produce únicamente como consecuencia de las diferencias de temperatura que existe entre dos o más cuerpos. 2.5. Energía Interna Es la energía que tiene una sustancia debido a su temperatura. La energía interna de un gas es esencialmente su energía cinética en escala microscópica: mientras mayor sea la temperatura del gas, mayor será su energía interna. Pero también puede haber transferencia de energía entre dos sistemas, aún cuando no haya flujo de calor. Por ejemplo, cuando un objeto resbala sobre una superficie hasta detenerse por efecto de la fricción, su energía cinética se transforma en energía interna que se reparte entre la superficie y el objeto (y aumentan su temperatura) debido al trabajo mecánico realizado, que le agrega energía al sistema. Estos cambios de energía interna se miden por los cambios de temperatura. 2.6. Temperatura La temperatura es una magnitud física que se refiere a la sensación de frío o caliente al tocar alguna sustancia. Así, nuestros sentidos nos entregan una indicación cualitativa de la temperatura, pero no podemos confiar siempre en nuestros sentidos, ya que pueden engañarnos. Por ejemplo, si se saca del refrigerador un recipiente metálico con cubos de hielo y un envase de cartón con verduras congeladas, se siente más frío el metal que el cartón, aunque ambos están a la misma temperatura; la misma sensación se nota cuando se pisa la baldosa del piso solo y la alfombra. Esto se debe a que el metal o la cerámica es mejor conductor del calor que el cartón o la tela. Por lo tanto se necesita un método confiable para medir la sensación de frío o caliente de los cuerpos. Se puede pensar en la temperatura como una propiedad que determina cuando se encuentra o no un cuerpo en equilibrio térmico con otros cuerpos. También se pude decir que es una manifestación macroscópica de la energía interna (microscópica) que tienen las moléculas de una sustancia o cuerpo. 3. TERMÓMETROS Y ESCALAS DE TEMPERATURAS Los termómetros son dispositivos para definir y medir la temperatura de un sistema. Todos los termómetros se basan en el cambio de alguna propiedad física con la temperatura, como el cambio de volumen de un líquido, el cambio en la longitud de un sólido, el cambio en la presión de un gas a volumen constante, el cambio en el volumen de un gas a presión constante, el cambio en la resistencia de un conductor o el cambio en el color de objetos a muy alta temperatura. Los cambios de temperatura se miden a partir de los cambios en las otras propiedades de una sustancia, con un instrumento llamado termómetro, de los cuales existen varios tipos. El termómetro mecánico se basa en la propiedad de dilatación con el calor o contracción con el frío de alguna sustancia. Por ejemplo, el termómetro de mercurio convencional mide la dilatación de una columna de mercurio en un capilar de vidrio, ya que el cambio de longitud de la columna está relacionado con el cambio de temperatura. El termómetro se puede calibrar 78 colocándolo en contacto térmico con algún sistema natural cuya temperatura permanezca constante, conocida como temperatura de punto fijo. Una de las temperaturas de punto fijo que se elige normalmente es la de una mezcla de agua y hielo a la presión atmosférica, que se define como cero grado Celsius denotado por 0º C. Otro punto fijo conveniente es la temperatura de una mezcla de agua y vapor de agua en equilibrio a la presión atmosférica, al que se le asigna el valor de 100º C. Una vez que se han fijado los niveles de la columna de mercurio en estos puntos, se divide en 100 partes iguales, donde cada una de estas representa un cambio de temperatura equivalente a un grado Celsius (Anders Celsius, sueco, 1701-1744). Así se define una escala de temperatura llamada escala centígrada o escala Celsius. La magnitud variable que se emplea en este termómetro es el volumen de una masa de mercurio encerrada en un depósito prolongado por un tubo capilar vacío. Al aumentar o disminuir la temperatura el mercurio asciende o desciende por el capilar. El KELVIN es la unidad patrón y es la que se emplea en el Sistema Internacional de Unidades. La escala KELVIN o ABSOLUTA de temperatura se relaciona con la escala centígrada por medio de la ecuación: T = t + 273,16; en la mayoría de los cálculos en termodinámica se emplean las temperaturas absolutas. A la temperatura centígrada t = -273,16 ºC le corresponde el CERO ABSOLUTO DE TEMPERATURA (T = 0 K), llegar a esta temperatura o por debajo de ella no es posible, es un límite impuesto por la Naturaleza. Existen otras escalas de temperaturas que se diferencian en los números que indican los puntos fijos y el número de divisiones que se ha dividido su intervalo fundamental. Las escalas Fahrenheit (Gabriel Daniel, 1686-1736) y Réaumur (René Antoine, 1683-1757) son casi exclusivamente de interés histórico; definiéndolas pretendemos mostrar la naturaleza arbitraria de la elección de los puntos fijos. La escala Celsius se usa casi con exclusividad en todo el mundo. La fórmula simplificada para pasar de una escala a otra se puede escribir de la siguiente manera: 4. EQUIVALENTE MECÁNICO DEL CALOR Si partiendo de un estado inicial se llega al mismo estado final, la relación entre el calor comunicado al sistema y el trabajo desarrollado por él, es una cantidad constante J llamado Equivalente mecánico del calor que es equivalente al trabajo capaz de ser producido por una caloría: 1 cal = 4,186 J. A partir de este resultado, los científicos interpretaron al calor no como un fluido que se transfiera de uno a otros sistemas con distinto nivel térmico, sino como una forma más de energía. La caloría es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un gramo de agua desde 14,5 ºC a 15,5 ºC. Como en la actualidad se reconoce al calor como una forma de energía, la unidad de medida de calor en el SI es el Joule, J. Algunas de las conversiones más comunes entres las unidades de calor y energía son las siguientes: 79 1 cal = 4.186 J = 3.97x10-3 Btu 1 J = 0.239 cal = 9.48x10-4 Btu 1 Btu = 1055 J = 252 cal En nutrición se llama Caloría, Cal con mayúscula, a las calorías alimenticias o dietéticas, usada en la descripción del contenido de energía de los alimentos y equivale a 1000 calorías o 1kilocaloría, es decir 1 Cal = 1kcal = 1000 cal. Para los intercambios de calor Q, y trabajo W, de un sistema con el medio exterior convenimos en que, de acuerdo a la figura Nº 1:  El sistema absorbe calor, Q > 0  El sistema cede calor, Q < 0  El sistema realiza trabajo, W > 0  El sistema recibe trabajo, W < 0 Convenimos que el calor Q es positivo si es absorbido del ambiente por el sistema y negativo si es calor cedido por el sistema al ambiente; el trabajo W es positivo si es realizado por el sistema sobre el medio exterior, y negativo si se considera realizado por el medio exterior sobre el sistema. Figura 1: Sistema aislado del universo 5. CALOR ESPECÍFICO Se llama calor específico medio a la cantidad de calor absorbido o emitido por la unidad de masa de una sustancia cuando su temperatura varía en un grado. Siendo ΔQ la cantidad de calor necesaria para elevar la masa M de la sustancia un intervalo de temperatura ΔT. Por lo tanto: Es la cantidad de calor necesaria para producir una variación de temperatura en cualquier sustancia Tabla 7.1 Calores específicos de algunos materiales 80 6. CAPACIDAD CALORÍFICA La capacidad calórica, C, de cualquier sustancia se define como la cantidad de calor, Q, que se requiere para elevar la temperatura de una sustancia en un grado Celsius. Si al agregar Q unidades de calor a una sustancia le producen un cambio de temperatura ΔT, se puede escribir: La unidad de medida de C en el SI es J/K (que es lo mismo que J/ºC) y la de c es J/kg K (o J/(kg ºC)). De la definición del calor específico de la ecuación 13.2, se puede determinar la energía calórica Q transferida entre una sustancia de masa m y los alrededores para un cambio de temperatura, como: Observar que cuando se le agrega calor a una sustancia, Q y ΔT son ambos positivos y la temperatura aumenta. Cuando se le quita calor a una sustancia, Q y ΔT son ambos negativos y la temperatura disminuye. Los aparatos que sirven para determinar los calores específicos de las sustancias donde se produce la transferencia de calor, de una sustancia a otra que generalmente es agua, se llaman calorímetros. La ley de conservación de la energía requiere que el calor que entrega el material más caliente, de calor específico c x desconocido, sea igual al calor que absorbe el agua. 7. CAMBIOS DE FASE Y CALOR LATENTE Cuando se le agrega o quita calor a una sustancia, se producen variaciones de temperatura (aumento o disminución), es el calor Q llamado calor sensible, porque el objeto siente el calor agregado o perdido al cambiar su temperatura. Pero en ciertas condiciones se le agrega calor a una sustancia sin que cambie su temperatura, por ejemplo cuando se evapora el agua, en ese caso se produce un cambio en las características físicas y en la forma del material, llamado cambio de estado o de fase y al calor necesario para producir el cambio de fase se le llama calor latente, porque este calor está presente y a punto para ser usado cuando termina el proceso de cambio de estado. El calor que se absorbe sin cambiar la temperatura del agua es el calor latente; no se pierde, sino que se emplea en transformar el agua en vapor y se almacena como energía en el vapor. Cuando el vapor se condensa para formar agua, esta energía vuelve a liberarse, recuperándose el calor latente como calor sensible. Los diferentes cambios de fase son de sólido a líquido o fusión (fundición o derretimiento en el caso del agua), de líquido a gas o evaporación (vaporización), de sólido a gas o sublimación y los procesos en sentido opuesto llamados solidificación (o congelamiento en el caso del agua), condensación y deposición, respectivamente 81 Figura 7.1 Esquema de los procesos de cambio de fase en el caso del agua. El calor necesario para que una sustancia de masa m cambie de fase, se puede calcular de la siguiente forma: donde L es el calor latente del material, depende de la forma del cambio de fase y de las propiedades del material. El calor latente es la energía térmica necesaria para que un kilogramo de una sustancia cambie de un estado a otro, en el SI se mide en J/kg, también se usa la unidad cal/gr. Existen calores latentes de fusión, L F , de vaporización, L V , y de sublimación, L S , para los respectivos cambios de fase. Por ejemplo, para el agua a la presión atmosférica normal L F = 3.33x10 5 J/kg y L V = 22.6x10 5 J/kg. Tabla 7.2. Constantes de cambio de fase (a 1 atm) 82 8. TRANSFERENCIA DE CALOR Cuando dos cuerpos que tienen distintas temperaturas se ponen en contacto entre sí, se produce una transferencia de calor desde el cuerpo de mayor temperatura al de menor temperatura. La transferencia de calor se puede realizar por tres mecanismos físicos: conducción, convección y radiación, que se ilustran en la figura. Figura 7.2 Esquema de los mecanismos de transferencia de calor. 8.1. Conducción de Calor La conducción es el mecanismo de transferencia de calor en escala atómica a través de la materia por actividad molecular, por el choque de unas moléculas con otras, donde las partículas más energéticas le entregan energía a las menos energéticas, produciéndose un flujo de calor desde las temperaturas más altas a las más bajas. Los mejores conductores de calor son los metales. El aire es un mal conductor del calor. Los objetos malos conductores como el aire o plásticos se llaman aislantes. La conducción de calor sólo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor. Para un volumen de espesor Δx, con área de sección transversal A y cuyas caras opuestas se encuentran a diferentes temperaturas T 1 y T 2 , con T 2 > T 1 , como se muestra en la figura 7.2, se encuentra que el calor ΔQ transferido en un tiempo Δt fluye del extremo caliente al frío. Si se llama H (en Watts) al calor transferido por unidad de tiempo, la rapidez de transferencia de calor H = ΔQ/Δt, está dada por la ley de la conducción de calor de Fourier. donde k (en W/mK) se llama conductividad térmica del material, magnitud que representa la capacidad con la cual la sustancia conduce calor y produce la consiguiente variación de temperatura; y dT/dx es el gradiente de temperatura. El signo menos indica que la conducción de calor es en la dirección decreciente de la temperatura. En la tabla 7.3 se listan valores de conductividades térmicas para algunos materiales, los altos valores de conductividad de los metales indican que son los mejores conductores del calor. 83 Tabla 7.3 Algunos valores de conductividad térmica Si un material en forma de barra uniforme de largo L, protegida en todo su largo por un material aislante, como se muestra en la figura 14.3, cuyos extremos de área A están en contacto térmico con fuentes de calor a temperaturas T1 y T2 > T1, cuando se alcanza el estado de equilibrio térmico, la temperatura a lo largo de la barra es constante. En ese caso el gradiente de temperatura es el mismo en cualquier lugar a lo largo de la barra, y la ley de conducción de calor de Fourier se puede escribir en la forma: Ejemplo. Dos placas de espesores L 1 y L 2 y conductividades térmicas k1 y k2 están en contacto térmico, como en la figura 7.3. Las temperaturas de las superficies exteriores son T 1 y T 2 , con T 2 > T 1 . Calcular la temperatura en la interfase y la rapidez de transferencia de calor a través de las placas cuando se ha alcanzado el estado estacionario. Solución: si T es la temperatura en la interfase, entonces la rapidez de transferencia de calor en cada placa es: Cuando se alcanza el estado estacionario: Despejando la temperatura T: La transferencia de calor H 1 o H 2 es: Figura 7.3 Placas en contacto térmico 84 8.2. Convección La convección es el mecanismo de transferencia de calor por movimiento de masa o circulación dentro de la sustancia. Puede ser natural producida solo por las diferencias de densidades de la materia; o forzada, cuando la materia es obligada a moverse de un lugar a otro, por ejemplo el aire con un ventilador o el agua con una bomba. Sólo se produce en líquidos y gases donde los átomos y moléculas son libres de moverse en el medio. En la naturaleza, la mayor parte del calor ganado por la atmósfera por conducción y radiación cerca de la superficie, es transportado a otras capas o niveles de la atmósfera por convección. Un modelo de transferencia de calor H por convección, llamado ley de enfriamiento de Newton, es el siguiente: donde h se llama coeficiente de convección, en W/(m2K), A es la superficie que entrega calor con una temperatura TA al fluido adyacente, que se encuentra a una temperatura T, como se muestra en el esquema de la figura 7.4. La tabla 7.4 lista algunos valores aproximados de coeficiente de convección h. Figura 7.4. Proceso de convección Tabla 7.4 Valores típicos de coeficientes de convección 8.3. Radiación La radiación térmica es energía emitida por la materia que se encuentra a una temperatura dada, se produce directamente desde la fuente hacia afuera en todas las direcciones. Esta energía es producida por los cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o moléculas constitutivos y transportada por ondas electromagnéticas o fotones, por lo recibe el nombre de radiación electromagnética. La masa en reposo de un fotón (que significa luz) es idénticamente nula. Por lo tanto, atendiendo a relatividad especial, un fotón viaja a la velocidad de la luz y no se puede mantener en reposo. (La trayectoria descrita por un fotón se llama rayo). La radiación electromagnética es una combinación de campos eléctricos y magnéticos oscilantes y perpendiculares entre sí, que se propagan a través del espacio transportando energía de un lugar a otro. A diferencia de la conducción y la convección, o de otros tipos de onda, como el sonido, que necesitan un medio material para propagarse, la radiación electromagnética es independiente de la materia para su propagación, de hecho, la transferencia de energía por radiación es más efectiva en el vacío. Sin embargo, la velocidad, intensidad y dirección de su flujo de energía se ven influidos por la presencia de materia. Así, estas ondas pueden atravesar el espacio interplanetario e interestelar y llegar a la Tierra desde el Sol y las estrellas. La longitud de onda (λ) y la frecuencia (ν) de las ondas electromagnéticas, relacionadas mediante la expresión λν = c, son importantes para determinar su energía, su visibilidad, su poder de penetración y otras características. Independientemente de su frecuencia y longitud de onda, todas las ondas electromagnéticas se desplazan en el vacío con una rapidez constante c = 299792 km/s, llamada velocidad de la luz. 85 Los fotones son emitidos o absorbidos por la materia. La longitud de onda de la radiación está relacionada con la energía de los fotones, por una ecuación desarrollada por Planck: donde h se llama constante de Planck, su valor es h = 6,63 x 10-34 Js. Considerar la transferencia de radiación por una superficie de área A, que se encuentra a una temperatura T. La radiación que emite la superficie, se produce a partir de la energía térmica de la materia limitada por la superficie. La rapidez a la cual se libera energía se llama potencia de radiación H, su valor es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta. Esto se conoce como la ley de Stefan (Joseph Stefan, austriaco, 1835-1893), que se escribe como: donde σ = 5.67x10-8 W/(m2K4) se llama constante de Stefan-Boltzmann (Ludwing Boltzmann, austriaco, 1844- 1906) y ε es una propiedad radiativa de la superficie llamada emisividad, sus valores varían en el rango 0 < ε < 1, es una medida de la eficiencia con que la superficie emite energía radiante, depende del material. Un cuerpo emite energía radiante con una rapidez dada por la ecuación pero al mismo tiempo absorbe radiación; si esto no ocurriera, el cuerpo en algún momento irradiaría toda su energía y su temperatura llegaría al cero absoluto. La energía que un cuerpo absorbe proviene de sus alrededores, los cuales también emiten energía radiante. Si un cuerpo se encuentra a temperatura T y el ambiente a una temperatura To, la energía neta ganada o perdida por segundo como resultado de la radiación es: Un absorbedor perfecto se llama cuerpo negro (no significa que sea de color negro), que se define como un objeto ideal que absorbe toda la radiación que llega a su superficie y su emisividad es igual a uno. No se conoce ningún objeto así, aunque una superficie de negro de carbono puede llegar a absorber aproximadamente un 97% de la radiación incidente. 9. DILATACIÓN TÉRMICA DE SOLIDOS La mayoría de los objetos se dilatan (contraen) cuando se aumenta (disminuye) su temperatura. En escala microscópica, la dilatación térmica de un cuerpo es consecuencia del cambio en la separación media entre sus átomos o moléculas. Para comprender esto, se considerará un sólido que consta de un arreglo regular de átomos mantenidos unidos por fuerzas eléctricas. Un modelo mecánico de estas fuerzas es imaginar que los átomos están unidos por resorte rígidos, como se muestra en la figura 7.5 Por su naturaleza, las fuerzas interatómicas se consideran elásticas. Para temperaturas en los rangos comunes de la naturaleza, los átomos vibran respecto a sus posiciones de equilibrio con una amplitud aproximada de 10-11 m y una frecuencia de 1013 Hz. La separación promedio entre los átomos es del orden de 10-10 m. Al aumentar la temperatura del sólido, los átomos vibran con amplitudes más grandes y la separación promedio entre ellos aumenta, dando por resultado que el sólido como un todo se dilate cuando aumente su temperatura. Si la dilatación de cualquier objeto es lo suficientemente pequeña en comparación con sus dimensiones, el cambio de cualquier parte, largo, ancho o alto, dentro de una buena aproximación, es una función lineal de la temperatura. Figura 7.5 Modelo mecánico de un sólido, donde los átomos se imaginan unidos unos con otros por resortes. 86 Supongamos que la dimensión lineal de un cuerpo a una cierta temperatura, a lo largo de alguna dirección es l. La longitud aumentara en una cantidad Δl para un cambio de temperatura ΔT. Experimentalmente se demuestra que el cambio en la longitud es proporcional al cambio de temperatura y a la longitud inicial siempre que ΔT sea pequeña. Por lo tanto, la ecuación básica para la dilatación de un sólido es: donde la constante de proporcionalidad α se llama coeficiente promedio de dilatación lineal para un material dado, se mide en ºC -1 . Para ilustrar, por ejemplo un valor de α de 5x10 -6 ºC-1 significa que la longitud del objeto cambia 5 millonésimas su valor original por cada grado Celsius de variación de temperatura. El orden de magnitud de α para los sólidos es de 1mm por m, cada 100º C. El coeficiente α se considera promedio, porque en general varia con la temperatura, pero comúnmente esta variación es despreciable a la escala en que se realizan la mayoría de las mediciones. Como las dimensiones lineales de los cuerpos cambian con la temperatura, se deduce que el área y el volumen del cuerpo también cambian con la temperatura. El cambio en el volumen a presión constante es proporcional al volumen original V y al cambio de temperatura, lo que se puede escribir como: donde β es el coeficiente promedio de dilatación volumétrica. Para un sólido isotrópico (aquel en el cual el coeficiente de dilatación lineal es el mismo en todas las direcciones), el coeficiente de dilatación volumétrica es el triple del coeficiente de dilatación lineal, o sea, β = 3α. Por lo tanto la ecuación se puede escribir como: De la misma forma, para una hoja o placa delgada, el cambio en el área de una placa isotrópica es: En la tabla 7.5 se presenta una lista de coeficientes de dilatación lineal para diferentes materiales, estos datos son valores medios en el intervalo de 0 a 100º C (excepto *).Observar que α es positivo para esos materiales, pero pueden existir valores negativos de α o de β, lo que significa que los materiales se contraen en alguna dirección cuando aumenta la temperatura, por ejemplo la goma. Tabla 7.5 Coeficientes de dilatación, cerca de la temperatura ambiente 87 10. PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA En mecánica la energía se conserva si las fuerzas son conservativas y no actúan fuerzas como la fricción. En ese modelo no se incluyeron los cambios de energía interna del sistema. La primera ley de la termodinámica es una generalización de la ley de conservación de la energía que incluye los posibles cambios en la energía interna. Es una ley válida en todo el Universo y se puede aplicar a todos los tipos de procesos, permite la conexión entre el mundo macroscópico con el microscópico. La energía se puede intercambiar entre un sistema y sus alrededores de dos formas. Una es realizando trabajo por o sobre el sistema, considerando la medición de las variables macroscópicas tales como presión, volumen y temperatura. La otra forma es por transferencia de calor, la que se realiza a escala microscópica. Considerar un sistema termodinámico donde se produce un cambio desde un estado inicial i a otro final f, en el cual se absorbe o libera una cantidad Q de calor y se realiza trabajo W por o sobre el sistema. Si se mide experimentalmente la cantidad Q – W para diferentes procesos que se realicen para ir desde el estado inicial al estado final, se encuentra que su valor no cambia, a esta diferencia de Q – W se le llama cambio de energía interna del sistema. Aunque por separados Q y W dependen de la trayectoria, la cantidad Q – W, esto es, el cambio de energía interna es independiente de la trayectoria o del proceso que se realice para ir desde el estado inicial al estado final. Por esta razón se considera a la energía interna como una función de estado, que se mide en J y se simboliza por U, el cambio de energía interna es ΔU = Uf – Ui, entonces se puede escribir la primera ley de la termodinámica: En la ecuación, Q es positivo (negativo) si se le agrega (quita) calor al sistema y W es positivo cuando el sistema realiza trabajo y negativo cuando se realiza trabajo sobre el sistema. La forma correcta de escribir la ecuación es considerando diferenciales, ya que si se le agrega o quita una pequeña cantidad de calor dQ al sistema y se realiza una cantidad de trabajo diferencial Dw por o sobre el sistema, la energía interna cambia en una cantidad dU: En escala microscópica, la energía interna de un sistema incluye la energía cinética y potencial de las moléculas que constituyen el sistema. 11. PROCESOS REVERSIBLES E IRREVERSIBLES Los procesos reales se producen en una dirección preferente. Es así como el calor fluye en forma espontánea de un cuerpo más cálido a otro más frío, pero el proceso inverso sólo se puede lograr con alguna influencia externa. Cuando un bloque desliza sobre una superficie, finalmente se detendrá. La energía mecánica del bloque se transforma en energía interna del bloque y de la superficie. Estos procesos unidireccionales se llaman procesos irreversibles. En general, un proceso es irreversible si el sistema y sus alrededores no pueden regresar a su estado inicial. Por el contrario, un proceso es reversible si su dirección puede invertirse en cualquier punto mediante un cambio infinitesimal en las condiciones externas. Una transformación reversible se realiza mediante una sucesión 88 de estados de equilibrio del sistema con su entorno y es posible devolver al sistema y su entorno al estado inicial por el mismo camino. Reversibilidad y equilibrio son, por tanto, equivalentes. Si un proceso real se produce en forma cuasi estática, es decir lo suficientemente lento como para que cada estado se desvié en forma infinitesimal del equilibrio, se puede considerar reversible. En los procesos reversibles, el sistema nunca se desplaza más que diferencialmente de su equilibrio interno o de su equilibrio con su entorno. Si una transformación no cumple estas condiciones es irreversible. En la realidad, las transformaciones reversibles no existen, ya que no es posible eliminar por completo efectos disipativas, como la fricción, que produzcan calor o efectos que tiendan a perturbar el equilibrio, como la conducción de calor por diferencias de temperatura. Por lo tanto no debe sorprender que los procesos en la naturaleza sean irreversibles. El concepto de proceso reversible es de especial importancia para establecer el límite teórico de la eficiencia de las máquinas térmicas. 12. SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA Existen diferentes formas de enunciar la segunda ley de la termodinámica, pero en su versión más simple, establece que “el calor jamás fluye espontáneamente de un objeto frío a un objeto caliente”. Forma de Kelvin – Planck de la segunda ley de la termodinámica. En la práctica, se encuentra que todas las máquinas térmicas sólo convierten una pequeña fracción del calor absorbido en trabajo mecánico. Por ejemplo un buen motor de un automóvil tiene una eficiencia aproximada de 20% y los motores diesel tienen una eficiencia en el rango de 35% a 40%. En base a este hecho, el enunciado de Kelvin – Planck de la segunda ley de la termodinámica es el siguiente: “es imposible construir una máquina térmica que, operando en un ciclo, no tenga otro efecto que absorber la energía térmica de una fuente y realizar la misma cantidad de trabajo”. Esto es equivalente a afirmar que “es imposible construir una máquina de movimiento perpetuo (móvil perpetuo) de segunda clase”, es decir, una máquina que pudiera violar la segunda ley de la termodinámica. (Una máquina de movimiento perpetuo de primera clase es aquella que puede violar la primera ley de la termodinámica (conservación de la energía), también es imposible construir una máquina de este tipo). La figura 15.2 es un diagrama esquemático de una máquina térmica perfecta imposible de construir. 89 Un refrigerador es una máquina térmica que opera en sentido inverso, como se muestra de manera esquemática en la figura 15.3. La máquina absorbe calor QF de la fuente fría y entrega calor QC a la fuente cálida. Esto sólo puede ser posible si se hace trabajo sobre el refrigerador. De la primera ley, se ve que el calor cedido a la fuente caliente debe ser igual a la suma del trabajo realizado y el calor absorbido de la fuente fría. Por lo tanto, se ve que el refrigerador transfiere calor del cuerpo más frío a un cuerpo más cálido (la cocina). Enunciado de Clausius de la segunda ley de la termodinámica. Resulta deseable construir un refrigerador que pueda realizar su proceso con el mínimo de trabajo. Si se pudiera construir uno donde el proceso de refrigeración se realice sin ningún trabajo, se tendría un refrigerador perfecto. Esto es imposible, porque se violaría la segunda ley de la termodinámica, que es el enunciado de Clausius de la segunda ley (Rudolf Clausius, alemán, 1822- 1888): “es imposible construir una máquina cíclica, que no tenga otro efecto que transferir calor continuamente de un cuerpo hacia otro, que se encuentre a una temperatura más elevada”. En términos sencillos, el calor no puede fluir espontáneamente de un objeto frío a otro cálido. Este enunciado de la segunda ley establece la dirección del flujo de calor entre dos objetos a diferentes temperaturas. El calor sólo fluirá del cuerpo más frío al más cálido si se hace trabajo sobre el sistema. Aparentemente los enunciados de Kelvin – Planck y de Clausius de la segunda ley no están relacionados, pero son equivalentes en todos sus aspectos. Se puede demostrar (pero aquí no lo hacemos) que si un enunciado es falso, el otro también lo es. 13. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Una estudiante de arquitectura se sirve 1000 Cal en alimentos, los que luego quiere perder levantando pesas de 25 kg hasta una altura de 1.8 m. Calcular el número de veces que debe levantar las pesas para perder la misma cantidad de energía que adquirió en alimentos y el tiempo que debe estar haciendo el ejercicio. Suponga que durante el ejercicio no se pierde energía por fricción. R: 9300 veces, 12,9 h. 2. Un trozo de material de masa m que tiene una temperatura inicial Tim, se sumerge en un envase que contiene una masa M de agua a la temperatura inicial TiA < Tim. Si la temperatura de equilibrio de la mezcla es T, calcular el calor específico del material. Despreciar la transferencia de calor al envase y al ambiente. 3. Calcular la cantidad de calor necesario para transformar un gramo de hielo a -30º C en vapor de agua hasta 120º C. R: 3114,3 J 4. Una barra de cobre de 1 kg se calienta desde 10º C hasta 100º C, a la presión atmosférica. Calcular la variación de energía interna del cobre. R: 3.49x10 4 J 5. Dos placas de espesores L1 y L2 y conductividades térmicas k1 y k2 están en contacto térmico, como en la figura 14.4. Las temperaturas de las superficies exteriores son T1 y T2, con T2 > T1. Calcular la temperatura en la interfase y la rapidez de transferencia de calor a través de las placas cuando se ha alcanzado el estado estacionario. 6. El vidrio de una ventana se encuentra a 10º C y su área es 1.2 m 2 . Si la temperatura del aire exterior es 0º C, calcular la energía que se pierde por convección cada segundo. Considerar h = 4 W/(m 2 K). R: 48 W. 7. Una carretera de superficie ennegrecida a una temperatura de 320 K recibe energía radiante del Sol por un valor de 700 W/m2. Calcular la radiación neta ganada por cada m2 de la superficie de la carretera. R: 105,5 W/m 2 . 8. a) Calcular la eficiencia de una máquina que usa 2000 J de calor durante la fase de combustión y pierde 1500 J por escape y por fricción. b) Si otra máquina tiene una eficiencia de 20% y pierde 3000 J de calor por fricción, calcular el trabajo que realiza. R: 25 %, 750 J 90 CAPITULO IX ELECTROSTÁTICA Y ELECTRODINÁMICA 1. INTRODUCCIÓN La materia está constituida por átomos y éstos, a su vez, de otras partículas más simples, que son esencialmente: ELECTRONES, PROTONES y NEUTRONES. Los electrones poseen una masa despreciable en comparación con protones y neutrones, los cuales, asociados entre sí generalmente, forman la parte reposada de la materia; los electrones, por el contrario, constituyentes ligeros de ella, son su parte dinámica, pudiendo, con más o menos facilidad, moverse en su interior y pasar de unos cuerpos a otros. Los componentes del átomo están agrupados dejando entre sí huecos extraordinariamente mayores que su propio tamaño. En la materia la casi totalidad de su volumen está vacío. Agrupados los constituyentes de la materia en contacto unos con otros, el volumen de un cuerpo sería millones de veces menor que el que tiene en realidad. Los protones, además de masa, tienen una propiedad especial a la que hemos llamado electricidad positiva, la cual se manifiesta en la materia de una forma particular; cuando a un cuerpo que tiene un exceso de protones sobre el de electrones le acercamos otro con la misma propiedad se observa una mutua repulsión entre ellos. LOS PROTONES SE REPELEN ENTRE Sí. Parece que los electrones tienen una propiedad idéntica ya que se observa la misma repulsión poniendo en presencia dos cuerpos con un exceso de número de electrones sobre el de protones. LOS ELECTRONES SE REPELEN ENTRE SÍ. Sin embargo la causa que origina las repulsiones entre los electrones y entre los protones es distinta ya que un cuerpo con un exceso de protones atrae a otro con un exceso de electrones. A la propiedad de los protones que se manifiesta repeliendo a otros protones y atrayendo electrones, se llama «ELECTRICIDAD POSITIVA» y se dice que tienen «CARGA POSITIVA». A la propiedad de los electrones que se manifiesta repeliendo a otros electrones y atrayendo protones, se llama «ELECTRICIDAD NEGATIVA» y se dice que tienen «CARGA NEGATIVA». Electricidades del mismo signo se repelen y de signo contrario se atraen. Los protones o los electrones no ejercen atracción o repulsión eléctrica sobre los neutrones. 2. DEFINICIONES 2.1. Cuerpos con carga neta positiva o negativa Cuando, por la causa que sea, un cuerpo neutro es abandonado por un cierto número de electrones queda en él un exceso de cargas positivas. Cuerpo «cargado positivamente» es aquel en el que existe un mayor número de protones que de electrones. Cuando un cuerpo en estado neutro recibe, por la causa que sea, un cierto número de electrones, queda en él un exceso de cargas negativas. Cuerpo «cargado negativamente» es aquel en el que existe un mayor número de electrones que de protones. 2.2. Conservación de la carga eléctrica Se observa experimentalmente que en un SISTEMA AISLADO (sistema en el cual no puede salir ni entrar carga), las cargas positivas y negativas pueden variar con el tiempo pero su CARGA NETA (carga positiva + carga negativa) permanece constante. 2.3. Cuantificación de la carga eléctrica Este principio establece que: «La carga está cuantificada». Es decir: en la naturaleza existe una «mínima carga» o «quantum» de electricidad que es la carga negativa que posee el electrón o la positiva del protón; y no se 91 encuentran fracciones de ésta. Consecuencia de este principio es que la carga de un cuerpo no crece o decrece de una manera continua; es decir: a un cuerpo le podemos añadir o quitar múltiplos enteros del «quantum de carga» pero nunca una fracción, ya que es indivisible. La hipótesis hecha nos lleva a la conclusión de la existencia de una unidad natural de carga de la que luego hablaremos. q = ne donde q es la carga del cuerpo, e es la carga eléctrica del electrón = 1,6 x 10 -19 coulombs, n = 0,1,2,3,4,… 3. LEY DE COULOMB «La fuerza que actúa sobre una carga puntual fija q 2 , debida a la presencia de otra carga puntual fija q 1 , es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, está dirigida según la línea definida por ambas cargas, y es repulsiva o atractiva según sean del mismo o distinto signo las dos cargas». Matemáticamente la expresión del módulo de esta fuerza es: K es la llamada CONSTANTE DE COULOMB, y ε es lo que se llama COEFICIENTE DIELÉCTRICO o PERMITIVIDAD, K y por tanto ε, son dependientes del medio y del sistema de unidades, cuando se trata del vacío los designaremos por K 0 y ε 0 . El vector r 21 es el que define la posición de q 2 respecto de q 1 . Si llamamos F 12 a la fuerza que q 2 ejerce sobre la carga q 1 entonces: F 21 = -F 12 , obedeciendo al tercer principio de Newton («principio de acción y reacción») por lo que diremos que las fuerzas electrostáticas son, newtonianas. La ley de Coulomb fue deducida experimentalmente, su validez está plenamente confirmada ya que la formulación que de ella se deriva describe perfectamente los hechos experimentales. La adoptamos como uno de los principios fundamentales del electromagnetismo. Principio de superposición Supongamos una carga q puntual y en reposo; si frente a ella tenemos n cargas puntuales q 1 , q 2 , ... q n también en reposo, se comprueba experimentalmente que la fuerza sobre la carga q, debida a dichas cargas (q i ) viene dada por: «La fuerza sobre una carga en reposo debida a otras también fijas actuando simultáneamente, es igual a la suma vectorial de las fuerzas ejercida por cada una de ellas actuando por separado como si las demás no existiesen». 4. EL CAMPO ELÉCETRICO Supongamos que a la derecha de una lámina de vidrio opaca se ha practicado el vacío, no conociendo lo que hay al otro lado de la lámina. En un punto P, a la derecha de la lámina de vidrio colocamos una carga puntual q y observamos que sobre esta carga testigo (de prueba) fija actúa una fuerza F. Deducimos que en la «zona no visible» existe alguna carga que ha interaccionado con la muestra. La definición del campo será pues: «CAMPO ELÉCTRICO creado por una carga es el espacio donde se manifiesta su atracción o repulsión sobre otras cargas». «INTENSIDAD DEL CAMPO EN UN PUNTO es la fuerza que actúa sobre la unidad de carga positiva colocada en el punto». 92 El caso más sencillo de distribución que crea un campo eléctrico es el de una carga puntual q 1 ; la expresión del campo eléctrico creado por q 1 en un punto P, la deducimos, colocando en P la carga de prueba q y aplicando la ley de Coulomb: La intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial y será una función de las coordenadas del punto; se medirá en el sistema internacional en N/C. «El campo creado por un sistema de cargas puntuales es la suma de los campos que producirían cada una de las cargas separadamente». 4.1 Líneas de Fuerza del Campo Eléctrico El concepto básico de campo fue desarrollado por Michael Faraday (1791-1867) y utilizó las «líneas de campo» para hacer una representación gráfica de las fuerzas eléctricas que actúan en el espacio que rodea a un cuerpo cargado; nuestro concepto matemático de campo fue una abstracción posterior de su propia representación gráfica, y las «líneas de campo» o «líneas de fuerza» siguen siendo una herramienta muy útil a la hora de resolver problemas eléctricos y magnéticos. LÍNEAS DE FUERZA son las trayectorias que seguiría una carga positiva, sometida a la influencia del campo, en una sucesión de caminos elementales, partiendo, en todos ellos, del reposo. Imaginemos una carga positiva que abandonamos en un campo eléctrico. Comenzará a moverse por la influencia del campo, al estar sometida a la fuerza dada por la fórmula (3). En cuanto ha iniciado su movimiento la detenemos, volviendo abandonarla de nuevo y a detenerla. De esta forma describiría una trayectoria (sucesión indefinida de espacios elementales) que se llama LÍNEA DE FUERZA. El vector intensidad del campo es siempre tangente a las líneas de fuerzas. Las líneas de fuerza van de las cargas positivas a las negativas. Para dar una idea gráfica del campo eléctrico se conviene en representar su valor en un punto por el número de líneas de fuerza que atraviesan normalmente a la unidad de superficie localizada en dicho punto. Realmente el número de líneas de fuerza que atraviesa normalmente a cualquier superficie es infinito. El artificio antes dicho no es más que un sistema de representación. En un campo uniforme, es decir, que tiene la misma intensidad en todos sus puntos, las líneas de fuerza son paralelas y se dibujan equidistantes. Adoptando este sistema de representación, siguiendo así los conceptos iniciados por Faraday, los fenómenos eléctricos que se realizan en un campo quedan en nuestra mente grabados de una forma gráfica, entendiendo siempre que tales ideas son una simple representación de ecuaciones matemáticas de un contenido más abstracto. 93 Figura 8.1 Líneas de fuerzas del campo eléctrico para cargas puntuales de diferentes signos 5. POTENCIAL ELÉCTRICO «En un campo electrostático, el trabajo de la fuerza electrostática en una trayectoria cerrada es nulo»; o lo que es lo mismo: «Si una carga puntual q pasa de un estado inicial 1 a un estado final 2, dentro de un campo eléctrico, el trabajo realizado por la fuerza del campo es independiente de los caminos intermedios, dependiendo única y exclusivamente del punto inicial y final». «Podemos igualar ese trabajo con la variación de una función que depende del punto en el que se mida; la función que cumple esta condición se llama ENERGÍA POTENCIAL (U) de la carga puntual en un punto del campo eléctrico». «La energía potencial es una función de punto tal que la diferencia entre sus valores en las posiciones inicial y final es igual al trabajo efectuado por la fuerza conservativa del campo al ser desplazada la partícula desde la posición inicial a la final»; o lo que es lo mismo: «El trabajo realizado por la fuerza del campo es igual a menos el incremento de la energía potencial » En un punto cualquiera de su trayectoria definido por el vector de posición r, la fuerza que actúa sobre q´ viene medida por la ley de Coulomb, que sustituida en la ecuación nos queda: expresión que nos mide «el trabajo realizado para trasladar la carga q¢ de un punto 1 a otro 2 del campo electrostático creado por la carga». La hipótesis que normalmente hacemos es que para r = ∞, U = 0 ó lo que es lo mismo:«La energía potencial de una carga q´ en un punto en el infinito eléctrico (punto lo suficientemente alejado para que prácticamente no exista influencia del campo) es nula», con lo que la expresión de ésta, para cualquier r será: que nos mide el trabajo que ha de realizar una fuerza exterior para trasladar la carga q´ desde el infinito al punto en presencia de q o bien el trabajo que haría la fuerza del campo para trasladarla del punto al infinito. 94 Teniendo en cuenta que las contribuciones de energía potencial se suman escalarmente podemos decir que: «la energía potencial» de una carga puntual q´ colocada en un punto del campo electrostático debido a encontrarse en presencia de un sistema discreto de cargas puntuales es: «DIFERENCIA DE POTENCIAL entre dos puntos del campo electrostático, es el trabajo que realiza el campo al pasar la unidad de carga de un punto a otro». esta última integral es independiente del camino recorrido y sólo depende de los puntos inicial y final y por consiguiente las funciones V 1 y V 2 y en general la función V (potencial en un punto cualquiera del campo) «es una función exclusiva de las coordenadas del punto». Físicamente interpretamos el POTENCIAL EN EL PUNTO r como «el trabajo realizado por una fuerza exterior opuesta a la del campo para trasladar una unidad de carga positiva desde el infinito a dicho punto», o bien como «la energía potencial de la unidad de carga en ese punto». Para el caso particular en el que el campo eléctrico es uniforme la podemos escribir siendo 1 y 2 dos puntos del campo y d la distancia más corta entre ellos cortada sobre una línea de fuerza: La unidad en el SI de potencial es el VOLTIO (V) 1V = 1J /1C o lo que es lo mismo: El voltio es la diferencia de potencia entre dos puntos tales que para trasladar de uno a otro la carga de 1 culombio, hay que realizar el trabajo de 1 julio. 1 V = 1 J/1 C El ELECTRÓN-VOLTIO (e V) es una unidad de energía que se define como «La energía adquirida por un electrón al ser acelerado por un campo eléctrico entre dos puntos cuya diferencia de potencial es de un voltio» 1 eV = 1,602 x 10 -19 J. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES «Una SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL en un campo eléctrico es el lugar geométrico de los puntos que están al mismo potencial». Las superficies equipotenciales se cortan normalmente con las líneas del campo. Son propiedades inmediatas de las superficies equipotenciales: 1) Las superficies equipotenciales no se cortan (el potencial en un punto tiene un único valor). 2) En el interior de una superficie equipotencial cerrada de potencial no nulo existe necesariamente carga neta no nula. 6. CAPACIDAD ELÉCTRICA «CAPACIDAD de un conductor (C) es la relación entre su carga (Q) y su potencial (V)» Si un conductor cargado A se pone en comunicación con otros en estado neutro B, C, etc. todos los conductores quedan al mismo potencial, por formar el conjunto un conductor en equilibrio; sin embargo, sus cargas son distintas, indicando que los cuerpos tienen distinta capacidad. Si Q = 1 C y V = 1 V, entonces C = 1 Faradio (F), que es la unidad de capacidad en el SI. 95 En la práctica, el Faradio es excesivamente grande por lo que se emplean el microfaradio (10 -6 F), el nanofaradio (10 -9 F) y el picofaradio (10 -12 F). Así, un condensador consta de dos armaduras metálicas: COLECTORA y CONDENSADORA; la primera con carga positiva y un mayor potencial que la segunda, en la que existe, en su superficie influida, una carga igual pero de signo contrario. «CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR es la carga que adquiere la armadura colectora al establecer entre las dos la diferencia de potencial unidad». La capacidad es, por lo tanto, una magnitud característica no solo del cuerpo, sino que está influenciada por la naturaleza y posición de los cuerpos que le rodean. Para un mismo cuerpo, la capacidad permanece constante si los cuerpos que le rodean no cambian de posición y no hay modificaciones en el medio. Un CONDENSADOR PLANO es un sistema formado por dos láminas metálicas planas cuya distancia es pequeña comparada con sus dimensiones, su capacidad es: siendo A la superficie de cada armadura y d la distancia entre ellas. En efecto: existiendo en las armaduras del condensador cargas iguales y de signo contrario, se origina entre ellas un campo prácticamente uniforme y de valor: 7. ENERGÍA ALMACENADA EN LOS CONDENSADORES La energía potencial de un conductor cargado con carga Q y potencial V en equilibrio, cuando se encuentra aislado (fuera de la influencia de otros en sus alrededores), quedará medida por el trabajo que hay que realizar para trasladar desde el infinito (U ∞ = 0) la carga necesaria para que quede con carga Q y potencial V, transporte que se realiza por una sucesión de infinitos transportes elementales de carga dq. Cuando el conductor se encuentra a un potencial V transportada una carga q, en una situación intermedia, para trasladar dq desde el infinito tendremos que realizar un trabajo: continuando el proceso hasta transferir la carga total Q, por lo que: y como C = Q/V, podemos poner: 8. CONDENSADORES EN SERIE Y EN PARALELO 8.1. Asociación en Serie Se realiza uniendo las armaduras de cada condensador con la condensadora y colectora del anterior y del siguiente, quedando las dos terminales, funcionando como armaduras del conjunto. «La inversa de la capacidad del sistema es la suma de las inversas de las capacidades asociadas». 96 En efecto: el potencial de cada armadura es el mismo que el de la armadura con que se asocia (forman un conductor único en equilibrio). La carga de todas las armaduras es la misma, puesto que la primera produce por inducción en la segunda una carga igual a la suya y de signo contrario, y en la tercera una carga igual y de su mismo signo (puesto que inicialmente el conductor 2 se encontraba en estado neutro, y para que se verifique el principio de conservación de la carga, en la primera armadura del segundo condensador tendrá que aparecer una carga igual y de signo contrario a la que aparece en la segunda lámina del primer condensador), la tercera obra sobre la cuarta y quinta y así sucesivamente, con lo que: y el condensador equivalente de la figura anterior, que en este caso almacena la carga Q cuando se conecta a la diferencia de potencial total, tiene una capacidad tal que: Se usan las asociaciones en derivación o en serie, para obtener capacidades mayores o menores respectivamente que las componentes. 8.2. Asociación en Paralelo Se realiza con la unión de todas las armaduras colectoras y condensadores entre sí. «La capacidad del sistema es igual a la suma de las capacidades asociadas». En efecto: el potencial de las armaduras colectoras es el mismo (V 1 ) por estar unidas formando un solo conductor en equilibrio; asimismo el potencial de todas las condensadoras es V 2 y común a todas ellas, con lo que: El condensador equivalente de la figura, que almacena la carga total de la asociación con la misma diferencia de potencial, tiene una capacidad: 9. CORRIENTE ELÉCTRICA CORRIENTE ELÉCTRICA es la circulación de la carga a través de un conductor. Convenimos en asignar un sentido a la corriente eléctrica y es el que tiene los portadores de carga positiva; como la corriente eléctrica está producida por un campo eléctrico, ésta tiene el mismo sentido que el campo. Se llama CONDUCCIÓN al proceso por el cual la carga se transporta. Según el convenio dado para el sentido de la corriente eléctrica, en los metales la corriente tiene sentido contrario al del movimiento de sus portadores de carga, los electrones. 97 Ya que la corriente eléctrica es fundamentalmente un movimiento de cargas, debemos definir una magnitud que sea característica de tal corriente para poder hacer un estudio de ella. Esta magnitud es la «intensidad de la corriente de conducción». Se define la INTENSIDAD DE LA CORRIENTE O CORRIENTE DE CONDUCCIÓN como la velocidad a la que se transporta la carga por un punto dado en un sistema conductor. 10. LEY DE OHM, RESISTENCIAY RESISTIVIDAD En el primer apartado de este capítulo hemos dicho que cuando en un conductor se establece, por la causa que sea, un campo eléctrico, las cargas libres del mismo se ponen en movimiento bajo la acción de la fuerza debida al campo, y aunque inicialmente el movimiento sea acelerado, rápidamente se hace uniforme a causa de los sucesivos choques con los iones fijos de la red cristalina y entre ellos mismos. La «velocidad de arrastre» con la cual se mueven no es pues la velocidad real que cada carga experimenta, sino un valor promedio. Consecuencia de ello será que tal velocidad media dependa fuertemente no sólo del campo eléctrico aplicado, sino también de la naturaleza del medio conductor. Por ejemplo: para un mismo campo aplicado a dos conductores diferentes, los electrones se moverán con mayor facilidad en aquel en que experimenten menor número de choques, o sea en aquel cuyo número de iones por unidad de volumen sea menor, o bien que el tamaño de estos iones sea menor, etc. En el párrafo anterior, en el análisis de la densidad de corriente, hemos visto que es proporcional a la «velocidad media» de los portadores de carga, lo cual está en perfecto acuerdo con la experiencia, puesto que para un gran número de sustancias conductoras, se comprueba que si tenemos un hilo de estas sustancias por el que circula una corriente eléctrica, un cierto número de electrones atraviesan cada segundo la sección unidad, transportando una carga que nos mide la densidad de corriente J. Ecuación que nos determina la LEY DE Georg Simon OHM (1787- 1854) en forma local A los materiales que satisfacen esta relación se les llama CONDUCTORES LINEALES u ÓHMICOS. La cantidad σ se llama CONDUCTIVIDAD y es característica de la sustancia, para los conductores lineales suele ser constante, su unidad en el SI recibe el nombre de Siemens (S)* y es el (Ω · m) -1. El valor de σ da idea de la facilidad que presenta el conductor al movimiento de cargas en su interior. Un «buen» conductor como el cobre, el oro, platino, etc., presenta una gran conductividad, al contrario que otras sustancias, como el caucho, típicamente aislador, que presenta valores bajísimos, prácticamente nulos, de la conductividad. (Microscópica). A la inversa de la conductividad, se le llama RESISTIVIDAD: El nombre de resistividad es debido a que si un campo eléctrico muy grande produce densidad de corriente muy pequeña, E/J resulta muy grande, dándonos una verdadera medida de la oposición de la sustancia al movimiento de los electrones en su seno. Así, un mismo campo eléctrico produce en el interior de dos cuerpos conductores distinta densidad de corriente: mayor en el de menor resistividad y a la inversa. La Ley de Ohm también puede escribirse: A la cantidad ρL/A se le llama RESISTENCIA eléctrica (R) y es característica del conductor y de su temperatura. Expresión que constituye la LEY DE OHM vista en forma finita (macroscópica). 98 11. ASOCIACION DE RESISTENCIA: SERIE Y PARALELO 11.1. Resistencias en serie Varias resistencias en serie equivalen a otra igual a la suma de todas ellas. En efecto: en las resistencias en serie se verifica por la ley de Ohm En una resistencia equivalente al conjunto, se verifica: V1 - V4 = I R, por igualación se obtiene: 11.2. Resistencias en paralelo La inversa de la resistencia equivalente a otras en derivación, es igual a la suma de las inversas de todas ellas. En efecto: 99 En la resistencia equivalente se verifica: I = (V1 - V2)/R. Al ser I = I 1 + I 2 + I 3 , se obtiene por igualación: 12. FUERZA ELECTROMOTRIZ (fem) Al estudiar el campo electrostático veíamos que era conservativo y en consecuencia su circulación a lo largo de una línea cerrada es nula: lo que nos indica que el trabajo total realizado por el campo electrostático sobre un portador de carga que describe un circuito (línea cerrada) es cero. Sabemos que a un circuito están conectados aparatos tales como las resistencias que producen energía calorífica (efecto Joule) y motores capaces de producir energía mecánica; en definitiva podemos decir que parte de la energía del circuito sale al exterior. Consecuencia de esto es que el campo eléctrico, causa del movimiento de las cargas libres en el interior del circuito no es solamente electrostático o lo que es lo mismo, que Para que se produzca el movimiento de las cargas en los conductores que forman el circuito es necesario que sobre ellas actúen fuerzas de origen no electrostático (ej. mecánicas, químicas, etc.). Llamando CAMPO EFECTIVO al campo total causante de estas fuerzas y por tanto del movimiento de las cargas en el interior de los conductores que forman el circuito, deducimos que su circulación a lo largo del circuito es no nula, al valor que toma le llamamos FUERZA ELECTROMOTRIZ (FEM): Supongamos un CIRCUITO CERRADO (o MALLA), es decir, que partiendo de uno de sus puntos se puede retornar a él por hilos conductores, o atravesando generadores (Fig.); representaremos éstos por dos segmentos paralelos, indicándonos el más largo el polo positivo o de mayor potencial y el corto el negativo o de menor potencial. La potencia del generador (energía por segundo) de valor cI, se emplea (como hemos indicado en el párrafo anterior) en producción de calor en la resistencia externa (R) y en el propio generador; si llamamos r a la resistencia interior de éste, considerando que la energía por unidad de tiempo transformada en calor es I 2 R + I 2 r, aplicando el principio de conservación de la energía, obtendremos: Si suponemos varios generadores (de fuerzas electromotrices c 1 , c 2 etc.; y resistencias internas r 1 , r 2 , etc.), la expresión anterior se escribirá: 13. LEYES DE KIRCHHOFF 13.1. Signo de las FEM y de las intensidades En un circuito cerrado o malla, se determina el sentido de las intensidades de corriente, dando el signo positivo (por ejemplo) a las que circulan en el sentido de las agujas de un reloj; las contrarias son las negativas. En el circuito de la Figura I 1 , I 2 c, I 3 son positivas; I 4 es negativa. A una fuerza electromotriz se le considera como positiva cuando está instalada de forma que ella, por sí sola, produciría corriente en el sentido que hemos considerado positivo; en caso contrario es negativa. En el circuito de la Figura, c 1 , c 3 y c 4 son positivas; c 2 es negativa. 13.2. Leyes de Kirchhoff El problema fundamental en el análisis de circuitos es: dada la resistencia y la FEM de cada elemento del circuito, hallar la intensidad en cada uno de estos elementos. Este problema puede resolverse de forma sistemática por medio de dos reglas conocidas como leyes de Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887). 100 Son aplicables a régimen estacionario, es decir, cuando las intensidades y los potenciales en los distintos puntos del circuito permanecen constantes. 1ª. LEY DE NUDOS. La suma de las intensidades de corriente que llegan a un punto es igual a la suma de las intensidades que salen de él. 2ª. LEY DE MALLAS. En un circuito cerrado, la suma de los productos de las intensidades por las resistencias es igual a la suma de las FEM. Otra forma de escribir esta ley es: ¿ V = 0, expresión que justificaremos más adelante. En el circuito se verifica: La segunda ley se deduce de la ley General de Ohm, sin más que aplicarla a cada segmento de una malla y sumar el resultado; entonces la suma de las tensiones (primer miembro de esta operación) será nula ya que partimos de un punto y llegamos a él, y en consecuencia: de la que se deduce: ¿ c = ¿ IR. 14. Problemas de Aplicación 1. Considere la distribución de carga que se muestra en la figura. A) Determine la magnitud de la fuerza electrostática en el vértice de cualquier cara del cubo. B) Determine la magnitud del campo eléctrico en el centro de cualquier cara del cubo. C) Determine la magnitud del potencial eléctrico en el centro de cualquier cara del cubo. 2. Entre dos placas planas y paralelas cargadas con cargas iguales y de signos opuestos existe un campo eléctrico uniforme. Se libera un electrón de la superficie de la placa negativa y choca en la superficie de la placa opuesta, distante 2,0 cm de la primera, en un intervalo de 1,5 x 10 -8 s. A) Calcular el campo eléctrico, B) Calcular la velocidad del electrón al chocar con la placa. 3. Calcular para los dispositivos de las figuras si c = 50 µF a) La capacidad equivalente entre los terminales A y B b) La carga almacenada en cada uno de los condensadores c) La energía total almacenada. 4. a) Hallar la resistencia equivalente entre los puntos a y b de la figura, si R = 10 O, b) Si la caída de potencial entre a y b es de 12 V. Hallar la corriente eléctrica en cada resistencia. 5. Calcular la capacidad del sistema de la figura inferior izquierda. Calcular la carga y el voltaje de cada condensador si establecemos entre A y B una diferencia de potencial de 3 000 V. 101 6. Los conductores que unen las resistencias de la figura superior derecha tienen resistencia despreciable. Calcular la resistencia equivalente del conjunto. 7. Calcular la intensidad que circula por cada uno de los hilos conductores de la figura y las diferencias de potencial: (V A - V B ), 8. En la calefacción de un piso se emplea 1 kg de carbón por hora. 1) Sabiendo que la combustión de ese kg de carbón produce 8 000 kcal, de las cuales sólo el 80 % son eficaces en la calefacción, calcular la potencia eléctrica de que necesitamos disponer para obtener una calefacción equivalente, suponiendo que el rendimiento de los radiadores eléctricos es del 100 %. 2) La anterior potencia la obtenemos con cuatro radiadores eléctricos, cada uno de los cuales está conectado directamente a una tensión de 200 V. Calcular la intensidad que atraviesa cada radiador y el consumo marcado por el contador en kW · h al cabo de 24 h de marcha ininterrumpida. 3) Calcular la resistencia eléctrica de cada radiador y la longitud del hilo metálico que la constituye, sabiendo que su sección es de 0,4 mm 2 y su resistividad es de 80x 10 6 W · cm. 102 CAPÍTULO X CAMPO MAGNÉTICO I 1. Introducción Los primeros efectos magnéticos observados en la antigüedad estaban relaciona-dos con los imanes naturales, que son trozos de un mineral de hierro llamado magnetita. Los imanes tienen la propiedad de atraerse o repe-lerse entre sí y atraen también fragmentos de hierro. Las zonas de un imán donde esta pro-piedad es más intensa se denominan polos magnéticos. La experiencia muestra que hay dos tipos de polos, que se representan con las letras N y S (norte y sur). El nombre deriva del hecho de que una imán, si puede girar libre-mente en torno a la vertical, se orienta siempre con uno de sus polos en dirección muy próxima al norte geográfico. Esto prueba que la Tierra misma es un gran imán. Los imanes tienen dos polos opuestos en sus extremos. Cuando acercamos dos imanes, se atraen o se repelen entre sí, dependiendo de que los polos más próximos sean distintos o no: - Los polos magnéticos iguales se repelen y los polos distintos se atraen. La fuerza magnética se estudió inicial-mente asociando una masa o carga magnética a los polos y midiendo la fuerza entre ellos en función de la distancia. Se llega así a resulta-dos similares a los de la ley de Coulomb para la electrostática. Pero, a diferencia de las cargas eléctricas positivas y negativas, que se pueden aislar y medir independientemente, los polos magnéticos nunca se presentan por separado: si dividimos un imán por la mitad no obtenemos un polo norte y otro sur, sino dos nuevos imanes, cada uno con sus dos polos. Tampoco se han encontrado partículas elementales con un solo tipo de "carga magnética" (monopolos). La razón es que el magnetismo es una propiedad de las cargas eléctricas, que se pone de manifiesto cuando están en movimiento res-pecto al observador. Sin embargo, hasta 1820 no se demostró la relación entre electricidad y magnetismo, cuando H. Oersted observó que una brújula se desviaba en las proximidades de un cable que transportaba corriente. En 1830, M. Faraday observó el efecto inverso: la aparición de corrientes eléctricas inducidas por campos magnéticos variables. Los dos experimentos sugieren una conexión entre magnetismo y cargas en movimiento. En la actualidad se sabe que todos los fenómenos magnéticos tienen la misma causa, incluyendo el magnetismo natural, cuyo origen está en el movimiento de los electrones que forman parte de los átomos. 2. Fuerza Magnética sobre una Carga en Movimiento Tanto los imanes naturales como las corrientes eléctricas se atraen o se repelen a distancia, lo mismo que ocurre con la fuerza de Coulomb entre cargas eléctricas en reposo. Entonces, al describir la interacción electrostática, se utilizó el concepto de campo. Seguiremos aquí el mismo esquema, estudiando el magnetismo en dos fases: - Una carga móvil, corriente eléctrica o imán crean una campo magnético en el espacio que les rodea. - Dicho campo ejerce una fuerza sobre cualquier carga móvil, corriente o imán que esté bajo su influencia. El campo magnético es una magnitud vectorial que se designa con el símbolo B(r). Empezaremos el estudio de la interacción magnética considerando la fuerza sobre una partícula de carga q que se mueve con velocidad v en el seno de un campo B que puede ser, por ejemplo, el que existe entre los polos de un imán (figura 1). La fuerza resulta ser proporcional a la carga q y al módulo de la velocidad v; pero también depende de la dirección en que se mueva la partícula. En particular, no aparece ninguna fuerza cuando el movimiento es en la dirección que va de un polo magnético al otro; por el contrario, F es máxima si la partícula se mueve perpendicularmente a dicha dirección, que identificamos como Figura 1. 103 dirección del campo B (el sentido se toma de polo norte a polo sur). Para una dirección cualquiera, la magnitud de la fuerza es proporcional a la componente de la velocidad perpendicular al campo, v⊥ = v senθ. La componente de v paralela a B no tiene ningún efecto: Se puede utilizar este resultado para definir la intensidad del campo magnético como la relación que existe entre la fuerza y el producto de la carga por la velocidad transversal: La forma de definir B (que por razones históricas se denomina a veces inducción magnética) es similar a la del campo electrostático; salvo que entonces, lógicamente, no intervenía la velocidad. Sin embargo, la dirección de la fuerza no es la misma que la del campo. Los resultados experimentales muestran que F es perpendicular a v y a B. El sentido lo da la regla del tornillo dextrógiro aplicada a los vectores qv y B: al llevar el primero sobre el segundo se obtiene un giro que haría avanzar un tornillo en el sentido de F. Hay que hacer notar que las fuerzas son opuestas según sea la carga positiva o negativa, como se desprende de tener en cuenta el signo de q en el producto qv. Las propiedades de la fuerza magnética que acabamos de exponer pueden resumirse en una expresión matemática sencilla mediante el producto vectorial: Si además del campo magnético existe uno eléctrico, la fuerza total sobre la carga es F = q(E + v x B), llamada fuerza de Lorentz. En el S.I. la unidad de campo magnético es la Tesla (T). De acuerdo con la definición (2), un campo de 1 T ejercerá una fuerza de 1 N sobre una carga de 1 C moviéndose con velocidad transversal de 1 m/s: 3. Fuerza Magnética sobre una Corriente Eléctrica Supongamos que un conductor por el que circula una corriente I está situado en una región donde existe un campo magnético B. Sobre cada portador de carga aparecerá una fuerza F = qv x B , donde v es la velocidad de arrastre. La fuerza total sobre un trozo de con-ductor de longitud dl y sección A puede calcularse sumando las fuerzas individuales. Si hay n cargas por unidad de volumen, el número de ellas en el volumen A·dl será n·A·dl. Recordando que la densidad de corriente en el conductor es J = nqv y que I = J·A, la fuerza resulta será: El vector d l tiene la dirección y sentido del producto qv; es decir, la misma de la corriente. Como se puede ver en la figura 2, la fuerza que ejerce el campo sobre un portador de carga positiva moviéndose en dirección v es la misma que si la carga es negativa y se mueve en sentido contrario. Para un conductor de cualquier forma y tamaño la fuerza se calcula dividiéndolo en pequeños trozos d l y aplicando la ecuación (8) a cada uno. La resultante de las fuerzas dF es: Figura 2. 104 La integral está extendida al contorno del conductor. En el caso de que el campo sea uniforme, tanto I como B pueden salir fuera de la integral, que se reduce a la suma de los elementos de trayectoria d l. Como se ve en la figura 3, dicha suma es igual al vector L que une los extremos Pi y Pf del hilo por el que circula la corriente. Si el conductor es rectilíneo L es simplemente su longitud. Por otra parte, si se trata de una espira cerrada L = 0 , ya que los puntos Pi y Pf se confunden. En este caso la fuerza resultante es cero; pero, como veremos más adelante, aparece un par que tiende a orientar la espira en la dirección del campo. Ejemplo 1: Un alambre en forma de semi-circunferencia de radio R recorrido por una corriente I está situado en un campo magnético uniforme B perpendicular al plano del conductor. Calcular las componentes de la fuerza dF ejercida por el campo sobre un pequeño trozo del conductor así como la fuerza total. Suponiendo que, como muestra la fi-gura, el campo está orientado en la dirección del eje Ox ( B = Bi ) y la corriente en sentido anti horario, la fuerza sobre un elemento de corriente d l , dF = Id l x B , debe ser perpendicular a ambos vectores; es decir, radial. Según la regla de la mano derecha, estará orientada hacia fuera. Como el campo es perpendicular al conductor, el módulo dF y las componentes son: La fuerza total resulta de integrar res-pecto a θ para el alambre completo: Al mismo resultado se llega aplicando directamente la ecuación (7) y teniendo en cuenta que en este caso L = - 2R j : 4. Momento Magnético de una Espira La fuerza de un campo magnético sobre un conductor cerrado o espira de corriente es nula, como acabamos de ver. Sin embargo ejerce un par o torque que tiende a orientar la espira en dirección perpendicular al campo. Supongamos un conductor rectangular, de lados a y b, por el que circula una corriente I. Su superficie se representa por un vector perpendicular al plano de la espira y de módulo A = a·b . La orientación se determina aplicando la regla del tornillo dextrógiro a un sentido de circulación en la espira que tomamos arbitrariamente como positivo: un tornillo girando de esa forma avanzará en el sentido del vector A. Las fuerzas que produce B en los lados b y b' se cancelan por ser iguales y opuestas: Además no ejercen ningún momento, ya que son colineales. En cuanto a los lados a y a', las fuerzas también son iguales y opuestas, de módulo: 105 Fa y Fa' = -Fa forman un par de fuerzas cuyo momento vale: A = ab es la superficie de la espira. El momento tiene sentido opuesto al giro (en la figura, por ejemplo, θ es positivo y τ tiene dirección -j). Su valor es máximo para θ = π/2 y vale cero para θ = 0 o θ = π , es decir, cuando IA y B son paralelos o antiparalelos. Estas orientaciones serán, por tanto, de equilibrio estable (θ = 0) o inestable (θ = π). El producto m = IA , característico de cada espira, se denomina momento magnético. Es un vector que tiene la dirección de A y el sentido igual u opuesto, según sea el signo de la corriente. Sustituyendo m = IA en la ecuación (10) el momento τ queda: Como se ve en la figura, el par de fuerzas tiende a girar la espira de forma que su momento magnético m quede alineado con el campo. El efecto es el mismo que si la espira fuese un imán, con m orientado del polo sur al polo norte. Por eso se dice que un bucle de corriente constituye un dipolo magnético. Se observa también una similitud con el comportamiento de los dipolos eléctricos que, se alinean con el campo E bajo la acción de un par τ = p x E. Puede demostrarse que el momento magnético de una espira de cualquier forma es también m = IA. Para ello sólo hay que considerar el circuito dividido en pequeñas espiras rectangulares de área dA recorridas por corrientes idénticas. Cada espira elemental tiene un momento dm = IdA. Como las intensidades en los lados contiguos son opuestas sus efectos magnéticos se cancelan, siendo la espira completa equivalente en todo a la superposición de los rectángulos diferenciales: m = ∫dm = ∫IdA = IA. Ejemplo 2: Calcular el momento magnético de una partícula de carga q y masa m p que se mueve en una trayectoria circular de radio r con velocidad v. Expresarlo en función del momento angular de la partícula. El movimiento de la carga en su órbita define una espira de corriente de superficie A = = πr2 e intensidad I = q /T , donde T = 2πr/v es el tiempo que tarda la partícula en realizar un giro completo. El movimiento de la carga en su órbita define una espira de corriente de superficie A = = πr2 e intensidad I = q /T, donde T = 2πr/v es el tiempo que tarda la partícula en realizar un giro completo. Por tanto constituye un dipolo magnético cuyo momento, suponiendo que la carga se mueve en el plano xy, será: Por otra parte, el momento angular de la partícula es L = r x p = r mpv k. Sustituyendo en (12) v r k = L /mp : Según este resultado, los electrones de los átomos se comportan como pequeños imanes; si, por algún motivo, los dipolos atómicos están alineados, sus efectos se sumarán y la sustancia presentará una emanación neta. 106 5. Movimiento de una carga en un Campo Magnético Como indica la ecuación (3), la fuerza sobre una carga que se mueve a través de un campo magnético es perpendicular a la velocidad de la partícula. Por tanto, el trabajo que realiza en un desplazamiento cualquiera dr es cero, F · dr = 0. En consecuencia, el campo magnético no produce cambios en la energía cinética de la partícula; el módulo de su velocidad permanece constante y sólo puede variar la dirección del movimiento. Supongamos que una carga positiva q se mueve en un campo magnético uniforme B con velocidad inicial v perpendicular al campo. En la figura 8, B está dirigido hacia dentro del plano del papel y se representa por cruces, como si fuesen las colas de los vectores. La fuerza magnética, de módulo qvB, es perpendicular a v y produce una aceleración centrípeta v 2 /r, siendo r el radio de curvatura de la trayectoria. Según la 2ª ley de Newton: El periodo o tiempo que tarda la carga en realizar una revolución resulta ser independiente de su velocidad: Lo mismo ocurre con su inversa la frecuencia (número de vueltas por segundo), que es proporcional a la relación carga-masa de la partícula y al campo magnético: Si la velocidad inicial v tiene una componente v || en dirección del campo magnético, ésta no resulta afectada ya que v || xB = 0. Por tanto el movimiento será rectilíneo y uniforme en dicha dirección. La combinación con el movimiento circular en el plano perpendicular a B da como resultado una trayectoria en espiral. Las propiedades del movimiento de las cargas bajo la acción del campo magnético se aplican de manera cotidiana para generar imágenes en las pantallas de televisión y en los monitores de ordenador. También se usan ampliamente en la investigación en Física de partículas: aceleradores, detectores, espectrómetros de masas, son ejemplos de dispositivos y técnicas que utilizan dichas propiedades. Ejemplo 3: En un selector de velocidades los iones procedentes de cierta fuente pasan entre dos placas paralelas cargadas que generan un campo eléctrico uniforme E. En la misma región existe un campo magnético B perpendicular a E. Se pretende que atraviesen el dispositivo sin desviarse las partículas que tengan una determinada velocidad v. ¿Cómo deben ajustarse las magnitudes de los dos campos para lograrlo? En la figura 9 se representan los iones entrando en dirección del eje Oy en la zona donde B y E apuntan según los ejes Ox y Oz, respectivamente. Las dos fuerzas, eléctrica y magnética, sobre las cargas q valen: Si queremos que las partículas alcancen la salida del selector sin desviarse, estas fuerzas deben ser de igual magnitud y direcciones opuestas: De aquí deducimos que los campos E y B están relacionados con la velocidad por: 107 Una vez seleccionada la velocidad de las partículas se puede determinar su relación masa-carga haciéndolas pasar por un campo magnético perpendicular B 0 y midiendo el radio de la trayectoria circular que describen. El cociente m/q se despeja en la ecuación (15): Y sustituyendo el valor de v obtenido anteriormente: Este es el fundamento del espectrómetro de masas, con el que se separan los distintos isótopos de un elemento químico y se determinan sus masas. Si la carga de los iones es la misma, el radio de la trayectoria será proporcional a la masa del núcleo. 6. Problemas de Aplicación 1. Una partícula de carga q y masa m se mueve en una región donde existe un campo magnético uniforme B. Demostrar que si la velocidad inicial v de la partícula es perpendicular a B, describirá una trayectoria circular de radio R = mv/qB, con velocidad de magnitud constante. 2. Una partícula transporta una carga de 4x10-9 C. Cuando se mueve en el plano xy con una velocidad v1 = 3x104 m/s que forma un ángulo de 45º con el eje x, un campo magnético uniforme ejerce una fuerza F1 en la dirección negativa del eje z. Cuando la partícula se mueve con velocidad v2 = 2x104 m/s a lo largo del eje z, la fuerza sobre ella es F2 = 4x10-5 en la dirección del eje x. Calcular la magnitud y dirección del campo magnético y de la fuerza F1. R: B = -0,5 j T ; F1 = -4,24x10-5 k N 3. Un trozo de alambre de 0,10 kg de masa y 4,0 m de largo se usa para hacer una bobina cuadrada de 0,10 m de lado. La bobina se fija a un eje horizontal por uno de sus lados. Se coloca en un campo magnético vertical de 10 mT y se hace pasar por ella una corriente de 3,4 A. Calcular: a) El ángulo que el plano de la bobina formará con la vertical cuando esté en equilibrio; b) El momento de torsión que ejerce el campo magnético sobre la bobina. R: a) 3,97º ; b) 0,0034 N·m 4. Calcular el momento magnético de una partícula de carga q y masa m p que se mueve en una trayectoria circular de radio r con velocidad v. Expresarlo en función del momento angular L de la partícula. R: m = ½qvr = (q/2m p )L 5. Una barra metálica de masa M está apoyada sobre un par de varillas conductoras horizontales separadas una distancia L y conectadas a una fem que hace circular una corriente I por el circuito. Se establece un campo magnético uniforme B en dirección vertical. Si no existe rozamiento y la barra parte del reposo, demostrar que su velocidad en el instante t es v = (ILB/M)t. 108 CAPÍTULO XI CAMPO MAGNÉTICO II 1. Campo magnético creado por una carga móvil En el capítulo anterior se estudió el efecto de un campo magnético sobre cargas en movimiento. Ahora nos centraremos en el ori-gen del propio campo B, que también está en el movimiento de cargas eléctricas. ¿Cuál es el campo que produce una carga q moviéndose a velocidad v en un punto situado por el vector de posición r relativo a q ? La experiencia demuestra que es proporcional a la carga y la velocidad e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, pero también depende del ángulo que forman v y r: En cuanto a la dirección, B es perpendicular tanto a v como a r y forma con estos vectores un triedro directo. Todas estas propiedades se pueden resumir en una sola ecuación haciendo uso del producto vectorial: Si giramos la figura 1 en torno a la dirección de movimiento de la carga se obtiene el mismo esquema de campo en todos los planos. Por tanto, las líneas del campo magnético son círculos concéntricos contenidos en los planos perpendiculares a v. También existe un campo eléctrico, que no consideramos aquí. La constante de proporcionalidad k' se despeja de la ecuación (1) ya que B quedó definido anteriormente a partir de la relación F = qv x B y su unidad es 1 T = 1 N/A·m: En el sistema S.I. no se mide k' sino que se ajusta la definición del amperio de manera que la constante valga exactamente: es k’ = 10 -7 A/m 2 Como se vio en electrostática, la constante del campo eléctrico es k = 8,987 x 10 9 Nm 2 /C 2 . 109 El campo magnético creado por la carga q producirá una fuerza sobre cualquier otra carga q' que se mueva con velocidad v'. Dicha fuerza vale F = q' v' x B y el campo B viene dado por la ecuación (2), así que la fuerza entre cargas debida a su movimiento o fuerza magnética es: (4) 2. Campo Magnético creado por una Corriente Eléctrica El campo magnético creado por un conductor es la suma de los campos que producen las cargas transportadas por la corriente que lo recorre. Consideremos un elemento infinitesimal de corriente de longitud dl. En su interior hay una cierta cantidad de carga (5) donde n es el número de portadores por unidad de volumen, q la carga de cada uno y A la sección trasversal del conductor. Teniendo en cuenta que las cargas se mueven con velocidad de arrastre v, el campo magnético d B que crean en un punto P(r) será: (6) ya que n q v A = J·A = I es la corriente que circula por dl. Escrito en forma vectorial: (7) El vector d l se toma en el sentido de la corriente I, que coincide con v si las cargas son positivas o es el opuesto si son negativas. Para calcular el campo magnético que crea un conductor finito no hay más que imaginarlo dividido en elementos d l y sumar las contribuciones d B de todos ellos, como expresa la ley de Biot y Savart: (8) Ejemplo 1: Calcular el campo magnético producido por un alambre rectilíneo y muy largo, recorrido por una corriente I, en un punto situado a distancia y del conductor. Como se aprecia en la figura, el elemento de corriente es dl = dx i y el vector que le une con el punto donde se calcula el campo, r = -x i + y j Sustituyendo en (7), con ur = r/r: (9) Como todos los d l que forman el con-ductor producen en P un campo en la dirección del eje Oz podemos limitarnos a calcular el módulo. Escribiremos dB en función de la variable θ, que está relacionada con x y r por: 110 Sustituyendo dx y r en (9): Por último integramos dB entre θ i y θ f , los ángulos que delimitan los extremos izquierdo y derecho del conductor desde P: (10) Cuando el alambre es muy largo comparado con la distancia y, los ángulos que forman sus extremos son θ i ≅ – π/2 y θ f ≅ – π/2 respectivamente, por lo que el campo será: (11) El módulo de B en un punto es inversa-mente proporcional a su distancia al alambre. Teniendo en cuenta la simetría de revolución del problema, las líneas del campo magnético creado deben ser circunferencias con centro en el conductor y perpendiculares a él; su sentido de recorrido es el que tendría un tornillo dextrógiro que avanzase con la corriente. Ejemplo 2: Una espira circular de radio R, recorrida por una corriente I, está situada en el plano xy con su centro en el origen de coordenadas. Calcular el campo magnético en el eje z y demostrar que en puntos alejados es inversamente proporcional al cubo de la distancia (campo dipolar). El elemento de corriente Idl es perpendicular a r, por lo que el módulo del campo que crea en P vale: (12) El vector dB forma un ángulo θ con el plano horizontal y su componente dB z es: (13) Todos los elementos de corriente con-tribuyen con el misma dB z ya que ni r ni θ va-rían al recorrer la espira. Sin embargo la componente horizontal dB ⊥ de cada elemento se cancela con la de su simétrico diametralmente opuesto. Por tanto el campo total sólo tiene componente z, que será la integral: (14) 111 A distancias grandes sobre el eje R es despreciable frente a z. Por otra parte, el momento magnético de la espira es m = πR 2 I. Sustituyendo en (14): (15) Esta es la misma dependencia con la distancia que existe en el campo de un dipolo eléctrico. Ya se vio que una espira se comporta como un dipolo magnético o imán ante un campo externo (experimenta un par m x B). Ahora comprobamos que también produce un campo de tipo dipolar. 3. La ley de Ampère Anteriormente vimos que existe una relación, dada por la ley de Gauss, entre el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada y las cargas contenidas en ella. Análogamente, la ley de Ampère relaciona la circulación del campo magnético B con las corrientes eléctricas enlazadas por el contorno de integración. Como caso más simple, consideremos un conductor muy largo que transporta una corriente I. En el ejemplo 1 se demostró que el campo en un punto cualquiera situado a distancia r es tangente a la circunferencia con centro en el conductor que pasa por dicho punto; y su módulo vale B = μoI/2πr. Para calcular la circulación de B a lo largo de la circunferencia de radio r tendremos en cuenta que el elemento de trayectoria d l es colineal al campo, por lo que el producto escalar B·d l es igual al producto de los módulos: (16) Nos hemos servido del hecho de que B es el mismo en todos los puntos de la circunferencia y la integral de dl es 2πr. Sin embargo, el resultado es válido para cualquier contorno de integración que encierre a la corriente I, como el de la figura 6. (17) Hay que resaltar que la integral de dϕ vale 2π porque el conductor está dentro de la curva, pero valdría 0 si estuviese fuera. Así pues, la ecuación (16) sigue siendo válida independientemente de la forma de la trayectoria. Puede demostrarse que la ley de Ampère se cumple también aunque los con-ductores no sean rectilíneos. Por el principio de superposición, si la trayectoria de integración encierra varias corrientes Ii la circulación de B se obtiene de la suma de los campos Bi de cada corriente: (18) Debe tomarse I con signo positivo si atraviesa el contorno en el sentido dextrógiro y con signo negativo si es de sentido contrario. La ley de Ampère puede aplicarse al cálculo del campo magnético cuando la distribución de corrientes tenga suficiente simetría. Sólo así podemos predecir la dirección del campo y los puntos donde éste tiene el mismo valor, lo que nos permite despejar B en la integral curvilínea. Ejemplo 3: Un solenoide (es decir, un hilo conductor enrollado apretadamente en torno a una superficie cilíndrica) es recorrido por una corriente I. Tiene n espiras por unidad de longitud y es muy largo en comparación con su radio. Calcular el campo magnético en el interior del solenoide. Las líneas de campo magnético se cierran sobre sí mismas pero, al ser el solenoide muy largo lo harán “en el infinito”, por lo que el campo en el exterior es prácticamente nulo y en el interior es paralelo al eje. 112 En la figura 7 se muestra el corte del arrollamiento por un plano que contiene al eje. Los puntos indican secciones de espiras por donde la corriente sale del plano de la página, mientras que las aspas representan corrientes entrantes. El contorno rectangular abcd encierra nL espiras, cada una de las cuales lleva la corriente I; n es el número de vueltas por unidad de longitud del solenoide y L el lado del rectángulo. Aplicando la ley de Ampère: Pero la integral se reduce al tramo ab porque en bc y en ad B es perpendicular a dl, mientras que en el tramo exterior cd, B = 0. En ab el producto escalar es igual a Bdl por ser colineales los vectores; además B es constante y puede sacarse de la integral: (19) Como el lado ab no tiene que estar necesariamente en el eje del solenoide se deduce que B es uniforme en toda su sección. 4. Fuerza entre Conductores Paralelos. Sean dos conductores paralelos muy largos, que transportan corrientes I e I' en el mismo sentido (figura 8). Según la ecuación (11) el campo que produce I en los puntos del otro conductor, situado a una distancia d, es: (20) Este campo ejerce sobre el segmento d l una fuerza atractiva: (21) La fuerza por unidad de longitud de conductor vale: (22) El conductor I' ejerce una fuerza igual y de sentido contrario, dF'/dl = -dF/dl, sobre el otro. Es decir, los dos conductores se atraen mutuamente. Si el sentido de una de las corrientes se invierte también lo hace la fuerza sobre ella, ya que dl pasa a ser -dl; entonces los conductores se repelen. Este resultado se utiliza para definir el amperio patrón, dada la relativa sencillez del dispositivo experimental necesario para medir la fuerza entre conductores. Si dos cables largos situados a 1 m de distancia son recorridos por la misma corriente y la fuerza entre ellos es de 2x10-7 N por cada metro, la corriente es de 1 amperio. De aquí se deduce el valor de μo: (23) 6. Problemas de Aplicación 1. Un conductor rectilíneo lleva una corriente I. Desde un punto P situado a distancia y del conductor, sus extremos y la perpendicular del punto subtienden los ángulos θ 1 y θ 2 respectivamente. Calcular el campo magnético creado en P por la corriente en función de I, y, θ 1 y θ 2 . R: B = μ 0 I (senθ 2 – senθ 1 )/4π 113 2. Un hilo largo de cobre se curva por la mitad en forma de horquilla dando lugar a dos tramos paralelos unidos por una semicircunferencia de radio R. Calcular el campo magnético en el centro de la semicircunferencia cuando por el hilo pasa una corriente I. R: B = μ 0 I (1/2πr + 1/4r) 3. Calcular el campo magnético creado por un solenoide de longitud L en un punto de su eje situado a distancia x >> L del centro, usando la aproximación del campo dipolar de una espira. El solenoide tiene N vueltas por las que circula una corriente I. Demostrar que se puede expresar de forma semejante a la ley de Coulomb suponiendo que los extremos son dos polos magnéticos de intensidad q m = ±NIA/L, donde A es la sección del solenoide. Expresar el momento magnético total de las espiras en función de q m . R: B = μ 0 /4π[q m /(x - L/2) 2 – q m /(x - L/2) 2 ] ; m = q m L 4. Dos alambres rectilíneos y paralelos, muy largos, están separados una distancia 2a. Por ellos circulan corrientes de igual intensidad I pero de sentidos opuestos. Los conductores están en el plano yz, situados simétricamente a uno y otro lado del eje z y paralelos a él. a) Hacer un esquema del campo magnético de cada alambre y el campo resultante en un punto P del eje x; b) Obtener la expresión de B(x); c) ¿Para qué valor de x es máximo B? R: b) B(x) = μoIa/π(x2 + a2) ; c) x = 0 , B(0) = μoI/πa 114 CAPÍTULO XII INDUCCIÓN MAGNÉTICA 1. Inducción Magnética Del mismo modo que las corrientes eléctricas generan campos magnéticos, en de-terminadas circunstancias un campo magnético puede producir una corriente en un conductor. Este hecho, llamado inducción magnética, fue descubierto hacia 1830 por Faraday. Como ve-remos, ocurre cuando el flujo de B a través del circuito conductor varía con el tiempo. El flujo magnético a través de una superficie dA se define de manera análoga al del campo electrostático en la ley de Gauss. Es el producto de la intensidad del campo B por la proyección de la superficie sobre un plano perpendicular a él: El flujo total a través de una superficie cualquiera se obtiene integrando dφ: Como el campo magnético no tiene fuentes ni sumideros puntuales (monopolos), las líneas de campo se cierran sobre sí mismas o se prolongan hasta el infinito. Esto se traduce en que el flujo a través de una superficie cerrada debe ser cero (flujo entrante igual y de signo contrario al saliente). El flujo magnético se mide en el S.I. en tesla x m2. Su unidad es el weber (Wb), cuyas dimensiones son: Según (1), B = dφ/dA⊥. Es decir, B es igual al flujo por unidad de superficie transversal al campo. Identificando el flujo a través de una superficie con el número de líneas de campo que la atraviesa, la intensidad de B en un punto queda representada por la densidad de líneas en el entorno de dicho punto. 2. Fuerza Electromotriz de Movimiento En algunos casos se puede explicar la inducción magnética por las fuerzas que ejerce el campo sobre cargas en movimiento. Consideremos por ejemplo una varilla conductora de longitud L moviéndose perpendicularmente a un campo magnético uniforme B (que en la figura 2 se representa por aspas, entrando en el plano del dibujo). Una partícula cargada de su interior experimenta una fuerza F = q v x B, en dirección de la varilla, que la impulsa hacia su extremo. El efecto es el mismo que si existiese un campo eléctrico E , dirigido de b → a , tal que: Las cargas positivas se acumularán en el extremo a del conductor quedando el b car-gado negativamente, hasta que el campo E' que producen, de a → b, compense el que generó el movimiento de L en el seno de B. Si la varilla desliza sobre un alambre conductor en forma de U formando un circuito, las cargas circularán por él del extremo positivo al negativo. Se ha inducido una corriente I que se mantendrá mientras las fuerzas magnéticas desplacen 115 nuevas cargas; es decir, hasta que cese el movimiento de la varilla L. El campo magnético ha establecido en el conductor una fuerza electromotriz cinética (asociada al movimiento) cuya magnitud es igual al trabajo que realiza para desplazar la carga unidad entre b y a: Se ha tenido en cuenta que en nuestro caso v y B son perpendiculares y que su pro-ducto vectorial tiene la dirección de L. Como vimos en el tema 4, el campo magnético ejerce también una fuerza I L x B sobre la varilla debido al paso de la corriente. Es fácil comprobar que esta fuerza se opone al desplazamiento de L; y el trabajo que hay que realizar en su contra es exactamente igual al que desarrolla la fem, como exige la conservación de la energía. En efecto, el trabajo realizado por la fuerza externa para producir un desplazamiento ds es: Podemos considerar la fem inducida desde otro punto de vista: al moverse hacia la derecha, la varilla barre en cada intervalo de tiempo dt un área Lds y el flujo del campo B que atraviesa el circuito sufre un cambio dφ: El signo menos se debe a que hemos tomado como positivo el sentido en que la corriente recorre la espira; entonces, según la regla del tornillo dextrógiro, el vector superficie A es opuesto a B (hacia fuera del papel). Dividiendo (7) por dt resulta que la variación del flujo por unidad de tiempo (cambiado el signo) es igual a la fem inducida: 3. Ley de Inducción de Faraday Este resultado, que se conoce como ley de inducción de Faraday, resulta ser mucho más general de lo que puede parecer por su deducción. Es un hecho experimental basado en multitud de observaciones que: - La variación del flujo magnético a través de una espira, sea cual sea su causa, induce siempre una fuerza electromotriz, El flujo puede hacerse variar de distintas maneras: moviendo el conductor respecto al campo; variando el campo en función del tiempo, cambiando la forma de la espira, etc. Si tenemos una bobina de N vueltas y el flujo que la atraviesa es el mismo, en cada una se induce la misma fem; por tanto: Aplicando un convenio de signos consistente para E y φ la ecuación (9) proporciona la fuerza electromotriz correcta tanto en magnitud como en sentido. Así, en la espira de la figura el sentido de recorrido positivo, tomado arbitrariamente, define la orientación del vector A de acuerdo con la regla del tornillo; hacia arriba en este caso. Como B tiene la misma orientación y está aumentando, el flujo es positivo y creciente; por tanto, dφ/dt > 0 y la fem E debe ser negativa (de sentido horario, opuesto al que se había adoptado). Si tomamos como positivo el sentido horario, A también debe cambiar de orientación y por tanto el flujo y su derivada serán negativos y la fem inducida, positiva. Es decir, se obtiene el mismo sentido para la corriente en los dos casos. 116 Ejemplo 1: Un solenoide muy largo tiene n vueltas por metro y conduce una corriente alterna I = I 0 cosωt. Dentro del solenoide y coaxial con él se encuentra una bobina de radio R y con un total de N espiras. Calcular la fem inducida en la bobina por la corriente variable. Como se demostró en el tema 5, el campo en el interior de un solenoide largo es prácticamente uniforme y vale B = μ 0 nI. Por tanto, el flujo que atraviesa cada espira de la bobina será: Como la bobina consta de N espiras, la fem inducida será: Es decir, la tensión inducida es alterna, de la misma frecuencia que la intensidad. Su amplitud es directamente proporcional a n, N, I 0 y a la sección de la bobina: 4. Ley de Lenz El signo de E también se puede deducir a partir de la ley de Lenz, que pone de relieve la inercia ante los cambios que manifiestan los fenómenos electromagnéticos: - La fuerza electromotriz inducida tiene un sentido tal que se opone siempre al cambio externo que la genera. La ley de Lenz es una consecuencia del principio de conservación de la energía. Por ejemplo, la corriente inducida en la varilla de la figura 2 hace que la fuerza magnética sobre ella se oponga a la fuerza externa que la mueve; en caso contrario, una vez puesta en movimiento, la varilla ganaría energía cinética indefinidamente sin gasto alguno de trabajo. Si el conductor no se mueve, sino que es el propio campo magnético el que varía con el tiempo, la corriente inducida creará un campo que tienda a neutralizar el cambio de B (reforzándolo si está disminuyendo; oponiéndose a él si está aumentando). Por ejemplo, en la espira de la figura 3 está claro que la corriente inducida crea un campo magnético hacia abajo, opuesto al incremento de B que la generó. Ejemplo 2: Una espira rectangular de la-dos a y b está situada con sus lados b paralelos a un conductor rectilíneo muy largo por el que circula una corriente I. Calcular la fem que se induce en la espira al alejarse del conductor con velocidad uniforme v. En el plano de la espira el campo es perpendicular y hacia dentro de la página. Como se vio en el tema anterior su módulo es inversamente proporcional a la distancia al conductor: El flujo de B a través de una tira rectangular de anchura dx vale BdA = Bbdx. Integrando dφ entre x i = r y x f = r + a tenemos el flujo total: Suponiendo que el movimiento de la espira empieza con su lado izquierdo a distan-cia r 0 del conductor, r = r 0 + vt. La fem inducida será – dφ/dt = – (dφ/dr). (dr/dt): 117 De acuerdo con la ley de Lenz, la tensión inducida tiene sentido horario ya que el flujo está disminuyendo al alejarse la espira del conductor. Por tanto la corriente inducida crea un campo hacia dentro del plano del dibujo que trata de mantener dicho flujo. 5. Inducción mutua y autoinducción Supongamos dos circuitos conductores situados a cierta distancia; por ejemplo, dos bobinas de N 1 y N 2 espiras respectivamente. Si la corriente I 1 que circula por la primera varía con el tiempo, también lo hará el flujo magnético φ2,1 que atraviesa la segunda. Por tanto, se induce en ella una fuerza electromotriz, El flujo es directamente proporcional a la corriente I1 que lo produce: La constante M 2,1 , se llama inducción mutua. El mismo razonamiento nos lleva a relacionar los cambios en la corriente I 2 de la segunda bobina con la fuerza electromotriz que se induce en la primera: Se puede demostrar que M 1,2 = M 2,1 . Es decir, la inducción mutua (que llamaremos simplemente M) es una propiedad de conjunto de las dos bobinas que depende de la geometría de éstas y de su posición relativa: Autoinducción Si en vez de dos tenemos solamente una bobina de N espiras, recorrida por una corriente variable I, el flujo φ que la atraviesa también variará. Por tanto debe autoinducirse una fem en la propia bobina, E = -N dφ/dt. Como el flujo es directamente proporcional a la corriente que lo genera (siempre que el medio no sea ferromagnético), L es la autoinducción, magnitud característica de la bobina que se define como el flujo que atraviesa el circuito por cada unidad de corriente que circula por él. La unidad S.I. de autoinducción (y de inducción mutua) es el henrio (H): Un elemento de circuito cuya propiedad eléctrica principal es la autoinducción se denomina bobina o inductor y se representa por el símbolo Ejemplo 3: Calcular la autoinducción L de un solenoide formado por N espiras de radio R suponiendo que su longitud l es mucho mayor que el radio. Según vimos en el ejemplo 3 del tema anterior el campo en el interior del solenoide es uniforme y vale B = μ o nI; donde n = N/l es el número de espiras por unidad de longitud. Además está en la dirección del eje, por lo cual el flujo será: 118 Suponiendo que este flujo atraviesa todas las espiras, la autoinducción se deduce de la ecuación (16): Energía del campo magnético Para trasladar una carga dq a través de la autoinducción L la fuente debe realizar un trabajo dW L = V L dq. Sustituyendo V L por su valor y teniendo en cuenta que dq /dt = I: (19) El trabajo se emplea en establecer el campo magnético asociado a la autoinducción y no se disipa, como el realizado en la resistencia, sino que queda almacenado en forma de energía magnética: (20) Esta energía es devuelta al circuito cuan-do se elimina la fuente, disipándose totalmente en la resistencia por efecto Joule, como puede comprobarse integrando dW R = V R dq: (21) Si la energía U B se emplea en crear el campo magnético es lógico suponer que se localiza en el espacio donde éste existe y en proporción a su intensidad. Como ejemplo consideremos un solenoide formado por N espiras, de longitud l y sección A. Su autoinducción vale Nφ/I = nlBA/I, por lo que la energía magnética será: (22) Se ha tenido en cuenta que B = μ 0 nI y que l· A es el volumen del solenoide, donde prácticamente está confinado el campo. Definimos la densidad de energía del campo magnético, u B , como la energía por unidad de volumen: (23) Aunque esta expresión se ha deducido para un caso particular, tiene validez general. Es análoga a la densidad de energía del campo electrostático que, como vimos anteriormente, vale ½ εE 2 . En general B no será uniforme, por lo que será necesario integrar dU B = u B dV para hallar la energía en un volumen dado: (24) Ejemplo 4: Un cable coaxial se compone de dos conductores cilíndricos huecos con-céntricos de radios a y b y de longitud l. Cada conductor lleva una corriente I, siendo el externo la trayectoria de retorno. Calcular la energía almacenada por el campo magnético en el espacio comprendido entre las dos superficies. Para aplicar la ecuación (29) es necesario calcular primero B. Supondremos que la corriente está uniformemente distribuida en las superficies, por lo que es fácil deducir que las líneas de campo deben ser circunferencias con centro en el eje del cable. Aplicando la ley de Ampère a la trayectoria circular de la figura, de radio r, a < r < b, en cuyos puntos B es constante: 119 Para r < a, en el interior del cilindro pequeño, la ley de Ampère da un campo nulo ya que la trayectoria no encierra ninguna corriente. Lo mismo ocurre en el exterior del cable; en este caso porque las corrientes en-cerradas son iguales pero de signo contrario. Así pues, el campo está confinado al espacio entre los dos conductores. Consideremos este espacio dividido en tubos cilíndricos de radio r y grosor dr. Su volumen dV será igual a la superficie de su base, 2πrdr, por la altura l. La energía contenida en este elemento de volumen es: Integrando dU B entre r = a y r = b la energía magnética resulta: A partir de este resultado también podemos deducir la autoinducción del cable, ya que según la ecuación (20) L = 2U B / I 2 : (25) 6. Aplicaciones Una de las aplicaciones más importantes de la ley de inducción de Faraday es el generador de corriente alterna, dispositivo que convierte la energía mecánica, obtenida de di-versas formas, en energía eléctrica. Su esquema de diseño es muy simple. Consta de una bobina rectangular de superficie A = a·b que se hace girar por medios externos (típicamente una turbina) en un campo magnético uniforme, como se muestra en la figura 7. La fuerza electromotriz inducida en la espira cuando ésta gira con velocidad angular ω perpendicular al campo procede del cambio periódico del ángulo entre A y B, lo que produce una variación del flujo magnético. Supongamos que B está orientado según el eje Oz y que la bobina gira en torno al eje Ox. El flujo que atraviesa cada una de sus N espiras es: La fem inducida es N veces la derivada del flujo respecto del tiempo, cambiada de signo: La tensión inducida es alterna, de frecuencia igual a la de giro de la espira. Su valor máximo, Eo = NBAω , se alcanza para θ = π/2 y θ = 3π/2; su sentido se invierte cada media vuelta, en θ = 0 y θ = π. Los terminales de la espira van unidos a sendos anillos conductores que giran con el eje. La conexión con el circuito externo se hace a través de dos contactos estacionarios o escobillas, que deslizan sobre los anillos. Los motores eléctricos convierten la energía eléctrica en energía mecánica. Aunque existen muchos diseños, básicamente se trata de generadores que funcionan a la inversa. Al alimentar la bobina con una corriente eléctrica, el campo magnético ejerce un momento de torsión sobre ella, obligándola a girar. Se consigue trabajo útil uniendo el eje a algún dispositivo externo que se desee accionar. 120 7. Problemas de Aplicación 1. Una espira rectangular de lados b y c está situada con sus lados c paralelos a un conductor rectilíneo muy largo por el que circula una corriente I. El lado más próximo de la espira está a una distancia a del conductor. Calcular el flujo magnético que atraviesa la espira rectangular. R: φ = (μ 0 cI/2π)ln(1 + b/a) 2. Sobre un alambre conductor horizontal en forma de U desliza sin rozamiento y con velocidad constante v una varilla, formando una espira rectangular de lados x = v·t y L, respectivamente. Un campo magnético uniforme B atraviesa la espira perpendicularmente. a) Hallar la fuerza electromotriz inducida en el circuito. b) Calcular la corriente que circula por él suponiendo que tiene una resistencia constante R. c) Hallar la fuerza necesaria para mover la varilla. d) Demostrar que la potencia suministrada por dicha fuerza es igual al calor disipado en el alambre por unidad de tiempo. R: a) E = vBL ; b) I = vBL/R ; c) F = vB 2 L 2 /R ; d) P = v 2 B 2 L 2 /R 3. Una barra conductora de longitud L gira con velocidad angular constante ω alrededor de uno de sus extremos. Un campo magnético uniforme B está dirigido perpendicularmente al plano de rotación. Calcular la fem inducida entre los extremos de la barra. R: E = ½BωL 2 4. Una espira rectangular de lados a y b está situada inicialmente en el plano xy, centrada en el origen y con sus lados paralelos a los ejes. Existe un campo magnético uniforme B orientado en la dirección del eje z. a) Calcular la fem que se induce en la espira si se hace girar con velocidad uniforme ω en torno al eje x. b) ¿Qué ángulo ha girado la espira cuando la fem alcanza su valor máximo y cuanto vale el flujo en dicho momento? R: a) E = Babωsenωt ; b) θ = π/2 , φ = 0 5. Un solenoide muy largo tiene n vueltas por metro y conduce una corriente alterna I = I 0 cosωt. Dentro del solenoide y coaxial con el se encuentra una bobina de radio R y con un total de N espiras. a) Calcular la fem inducida en la bobina por la corriente variable. b) Calcular la amplitud de E para n = 300 vueltas/m, I 0 = 100 mA, f = 2 kHz, R = 2 cm y N = 100 vueltas. R: a) E = μ 0 πR 2 nNI 0 ωsenωt ; b) E 0 = 59,5 mV 6. Tenemos dos anillos conductores, coplanarios y concéntricos, de radios R 1 >> R 2 . El mayor es recorrido por una corriente I que produce en el centro un campo magnético B = μ 0 I / 2R 1 . a) Calcular la inducción mutua M de los conductores suponiendo B constante en todo el anillo pequeño. b) ¿Cuánto vale M si los anillos constan de N 1 y N 2 espiras respectivamente? R: a) M = πμ 0 R 2 2 /2R 1 ; b) M = πμ 0 N 1 N 2 R 2 2 /2R 1 121 CAPÍTULO XIII FENÓMENOS ONDULATORIOS 1. Introducción El MOVIMIENTO ONDULATORIO estudia la propagación de una perturbación a través del espacio. Decimos que un medio está perturbado o que está oscilando cuando una propiedad física de él (la presión, la densidad, la temperatura, su geometría) varía con el tiempo. Por ejemplo, si en un punto de la superficie de un líquido se produce una perturbación dejando caer una piedra, esta perturbación se propaga en todas las direcciones por la superficie del líquido. Una perturbación puede estar constituida por un solo PULSO aislado (por ejemplo: una onda explosiva o «boom» sónico) o si la acción perturbadora continúa periódica, definida o indefinidamente, la oscilación transporte recibe el nombre de tren de ondas finito o indefinido respectivamente. Para que al producir en un punto una variación del valor de una magnitud física y esta variación alcancen a otro punto, el espacio entre ambos deberá ser capaz de soportar un campo variable con el tiempo de dicha magnitud física. En tales condiciones decimos que existe una onda asociada al campo considerado. En este capítulo estudiaremos fundamentalmente la «onda asociada» a medios deformables o elásticos (ejemplos: las deformaciones en una cuerda, las ondas de sonido, ondas en el agua, ...), desplazándose a través de este medio; a estas ondas las denominaremos ONDAS MECÁNICAS. Existen ondas que para transmitirse no necesitan un medio material, tales son las ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. En un movimiento ondulatorio las partículas que constituyen el medio no se propagan con la perturbación sino que se limitan a transmitirla, para lo cual vibran alrededor de su posición de equilibrio. Por lo tanto: «Existe un transporte de energía pero no de materia». Analizando los medios de transporte de energía, podríamos englobarlos en dos procedimientos: el primero consiste en el paso de materia de un punto a otro; el segundo, que es el que nos ocupa, será el paso de la energía a través de un medio continuo al que pertenecen ambos puntos, para lo cual, se ha de producir una perturbación o pulso en el primero, que viaje durante un cierto tiempo hasta llegar al segundo con un determinada velocidad de propagación de la onda, que como veremos, estará caracterizada por la naturaleza de la perturbación y por la propiedades físicas del medio. Un medio es NO ABSORBENTE (ELÁSTICO) cuando después de someterlo a una perturbación recupera su forma y tamaño sin disipación de energía, propagándose en él la onda sin sufrir «absorción» de la energía que transporta. Sin embargo, si el medio almacena o disipa (en forma de calor, deformación, ...) parte o toda la energía de la onda diremos que es ABSORBENTE (o INELÁSTICO). Si las ondas de la misma naturaleza se propagan en el medio con la misma velocidad, independientemente de su longitud de onda, diremos que el medio es NO DISPERSIVO (por ejemplo sonidos graves y agudos viajando en el Figura 1. Frentes de onda 122 aire a la misma velocidad); en caso contrario el medio es DISPERSIVO, produciéndose dispersión normal si la velocidad aumenta con la longitud de onda y dispersión anómala si disminuye. En un medio extenso isótropo, las ondas producidas por un «foco» o «fuente», se propagan alejándose de dicho punto de forma radial (Fig. 1 a y b); para distancias al foco que sean grandes comparadas con la longitud de onda de la perturbación, podemos considerar planos a los frentes de onda, (Fig. 1 c), y las partículas contenidas en un plano perpendicular a la dirección de propagación de la onda estarán en idénticas condiciones de movimiento, o lo que es lo mismo «se encuentran en fase». Superficie de onda o frente de onda es una superficie cuyos puntos han comenzado a vibrar en el mismo instante y, por lo tanto, están todos en la misma fase de vibración. 2. Ecuación de ondas en una dirección Un «modelo» que vamos a tomar para explicar de una forma sencilla muchas de las propiedades de las ondas, va a ser una cuerda tensa por una fuerza externa; supongamos que en su extremo se produce, mediante una sacudida brusca, un pulso de la forma indicada en la Fig. 2, que viaja hacia la derecha con una cierta velocidad c sin cambiar su forma. Pretendemos obtener la forma de la ecuación que describa la altura y de todos los puntos de la cuerda en todos los instantes, será por tanto de la forma + = f (x, t). Veamos la progresión del pulso desde dos puntos de vista; el primero es el de un observador O quieto en un extremo de la cuerda, que, tras medir la altura + de cada punto x de ella en cada instante t, propone la solución citada + = f (x, t). El segundo punto de vista es el de un observador O’, que coincide inicialmente con O, y que se mueve con el pulso a velocidad c sobre el eje X; puesto que para él la posición del pulso no cambia, tras medir las alturas+’ de cada punto x’, propone la solución+’ = f (x’), sin incluir el tiempo ya que para él el pulso no se mueve. El observador fijo O, para comparar sus medidas con las del observador móvil O’, deberá aplicar las siguientes transformaciones, de acuerdo con la Fig. 2: x’ = x - ct y +’ = +, y obtiene: + = +’ = f (x’) = f (x - ct); en definitiva: (1) Cualquier perturbación que obedezca en todo instante esta relación, representará una onda que se propaga hacia la derecha con una velocidad de propagación c. Si la onda viaja en el sentido negativo del eje X con velocidad de módulo c, haciendo c’ = .c en la expresión anterior tendremos: (2) así pues, si los dos sumandos del argumento tienen el mismo signo se está representando una onda que viaja hacia valores decrecientes de X (velocidad < 0), y si el signo es distinto, la onda viaja hacia valores de X crecientes. 3. Ondas Armónicas Como tipo más básico y fundamental de onda, consideraremos la onda desarrollada por una partícula que oscila en su lugar con un movimiento vibratorio armónico simple. Tomemos como «modelo» una cuerda tensa por una fuerza externa; hagamos vibrar a su extremo O (x = 0) con un movimiento vibratorio armónico simple, su estado vibratorio es: (3) la perturbación se va a transmitir a lo largo de la cuerda tal y como se aprecia en la Fig. 3. Llamamos PERÍODO (T) al tiempo empleado por cualquier partícula en realizar una oscilación completa y FRECUENCIA (v) al número de Figura 2. Propagación sin deformación de una onda (o pulso) a lo largo de una cuerda tensa. 123 oscilaciones realizadas por la partícula en la unidad de tiempo. La relación entre estas dos magnitudes fundamentales es: En la ecuación (3) a e le llamamos frecuencia angular y sabemos que viene relacionada con el período y la frecuencia: Cada punto de la cuerda adquiere un MAS, aunque lo hace con un cierto «retraso» respecto de O. Así, el punto A comienza su movimiento cuando O se encuentra en su posición de máxima separación con respecto a su posición de equilibrio (+ 0 : amplitud del MAS) y habiendo transcurrido T/4 en su vibración armónica. El punto B comenzará a vibrar transcurrido T/2 y cuando O se encuentra en la posición inicial moviéndose hacia abajo. El punto D comienza su movimiento cuando ha transcurrido un período T y O en ese instante comienza una nueva oscilación. Si llamamos longitud de onda o período espacial (λ) a la distancia que avanza la onda (con la velocidad de propagación c) en un período, es inmediato que: Obsérvese en la Fig. 3, que los puntos M y N están en el mismo estado de vibración; cuando esto ocurre se dice que estos puntos están en FASE, siendo la distancia entre ellos igual a la longitud de onda, podemos definir a ésta como: «la distancia entre dos posiciones consecutivas en idéntica fase de vibración». Otra de las que llamamos magnitudes fundamentales de las ondas es el NÚMERO DE ONDAS que por definición toma el valor: En un punto cualquiera a una distancia x del foco, que supondremos en el origen, al que tarda en llegar la perturbación un tiempo t¢, su estado vibratorio en el instante t será el mismo que tenía el origen t’ segundos antes, en t - t’, con lo que: siendo: x = ct’ → t’ = x/c y et’= ex/c = kx; sustituyendo nos queda: (4) Si la perturbación se produce antes en el punto x que en el origen (viaja en el sentido negativo de X), la condición anterior será: Figura 3. La partícula O oscila con un MAS, produciendo una perturbación + que se propaga a lo largo de la cuerda con una velocidad constante c, avanzando una distancia λ en el tiempo en que O realiza su oscilación. 124 En el caso de que en el origen y en t = 0 (x = 0, t = 0) sea +(0, 0) = 0, hay que añadir a la expresión de la fase una «FASE INICIAL» ¢, y se tiene: (5) ecuación que describe la posición de cualquier punto en cualquier instante, y que por tanto proporciona información suficiente para resolver cualquier problema cinemático relativo a la onda. 4. Principio de Superposición de Ondas Es un hecho experimental que: «Cuando dos o más de ellas coinciden en el tiempo y en el espacio, la función de onda resultante es la suma vectorial de las funciones de onda individuales». Tal afirmación se conoce como PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN. En la región del espacio en que se superponen las ondas, la intensidad varía de un punto a otro entre máximos, que puede exceder la suma de las intensidades de las ondas componentes, y mínimos que pueden ser nulos, este fenómeno se conoce con el nombre de INTERFERENCIAS. Un caso sencillo es el de los pulsos propagándose en la misma dirección en una cuerda al encuentro uno de otro. Si ambos son del mismo sentido se observa que al cruzarse suman sus efectos, conservando posteriormente su forma original (Fig. 18). Si los pulsos son de sentido contrario cuando interfieren tienden a anularse, la anulación es completa (como en el caso de la Fig. 19) cuando las formas son idénticas. El hecho de que las ondas se crucen y continúen propagándose sin alterar su naturaleza es una propiedad fundamental de éstas y caracteriza el movimiento ondulatorio. Por esta propiedad y por una sintonización (fenómeno de resonancia) podemos, por ejemplo, oír una sola emisora en un receptor de radio; a la antena llegan ondas de muchas frecuencias que superpuestas producen una corriente eléctrica muy compleja; sin embargo podemos «sintonizar» una emisora determinada y la señal que de ella recibimos es, en principio, la misma que hubiésemos recibido si todas las demás emisoras hubiesen dejado de transmitir. Igualmente podemos escuchar el sonido de las notas tocadas por los instrumentos individuales de una orquesta, aun cuando la onda de sonido que llega a nuestros oídos procedentes de toda la orquesta, sea muy compleja. El tratamiento matemático de los fenómenos de interferencia (superposición de ondas en un punto) se hará de tal forma que si las ecuaciones de las ondas correspondientes a dos de ellas son: el estado vibratorio del punto en que interfieren será: para lo cual, supondremos siempre que la oscilación que la onda resultante produce a una partícula del medio, está dentro del límite de elasticidad de éste y verifica por tanto la ley de Hooke. En estas circunstancias, el principio de superposición se justifica matemáticamente por el hecho de que si +1 y +2 satisfacen la ecuación de ondas, también lo hace su suma + = +1 + +2 debido a la igualdad entre la derivada de una suma y la suma de las derivadas de los sumandos. Figura 4. Dos pulsos de onda que se mueven en sentidos opuestos en una cuerda. Puede hallarse la forma que tiene la cuerda cuando se encuentran los pulsos sumando los desplazamientos de cada pulso por separado. Este tipo de superposición de ondas se denomina interferencia constructiva. 125 5. Ondas Transversales y Longitudinales «Un movimiento ondulatorio es TRANSVERSAL cuando la dirección de propagación de la onda (dirección en que se transmite la energía) es perpendicular a la dirección de vibración de las partículas oscilantes, y LONGITUDINAL cuando ambas direcciones coinciden». En un movimiento ondulatorio transversal se producen elevaciones y descensos. Ejemplo de movimiento ondulatorio transversal armónico es el que se produce en una cuerda tensa cuyo extremo está sometido a un movimiento vibratorio armónico (Fig. 3); otros ejemplos de ondas transversales son las ondas producidas en el agua, las ondas electromagnéticas, etc. En un movimiento ondulatorio longitudinal se producen condensaciones y dilataciones. Ejemplos de movimientos ondulatorios longitudinales son el que representamos en la Fig. 5 para un muelle, la prolongación del sonido en el aire... En los fluidos perfectos únicamente se pueden propagar movimientos ondulatorios longitudinales. Hemos obtenido la ecuación de la onda armónica a partir de una perturbación transversal, sin embargo, el tratamiento matemático es el mismo para las ondas longitudinales. En este caso y(x, t) = f (x ± ct) representará el desplazamiento horizontal de la partícula situada originalmente en x, debido al paso de la onda. 6. Ondas Sonoras La ACÚSTICA estudia el sonido. SONIDO son las perturbaciones que impresionan el sentido del oído. Las ondas sonoras son ondas mecánicas longitudinales. Las ondas de sonido se producen en cuerdas vibrantes (como las cuerdas vocales o las de la guitarra), en columnas de aire vibrante (como el clarinete y el órgano) y en placas y membranas vibrátiles (como el tambor y el altavoz); todos estos elementos vibrátiles comprimen y dilatan al aire que los rodea transmitiendo estas perturbaciones hasta el pabellón de la oreja haciendo vibrar el tímpano; transmitida esta vibración por la cadena de huesos del oído medio al interno, impresiona el nervio auditivo experimentándose la sensación de sonido. La primera parte del proceso, desde que se produce el sonido hasta que éste hace vibrar el tímpano, está regido por fenómenos puramente físicos y constituye la ACÚSTICA FÍSICA. La transmisión por el oído medio e interno en los que las oscilaciones no verifican la ley de Hooke, están afectada por factores específicos de cada individuo y constituye la ACÚSTICA FISIOLÓGICA. La ACÚSTICA PSICOLÓGICA se refiere a la interpretación por el cerebro de los impulsos eléctricos que le transmite el nervio auditivo. Para que las ondas de sonido nos den una sensación placentera, tienen que ser aproximadamente periódicas o estar compuestas por un número pequeño de componentes casi periódicas (y si la intensidad no es demasiado grande), como por ejemplo los SONIDOS MUSICALES. El sonido cuya forma de onda no es periódica se oye como RUIDO; el cual puede representarse como una superposición de ondas periódicas en un número muy grande. El intervalo de frecuencias que puede estimular al oído y al cerebro humano está comprendido entre 20 y 20 000 Hz, al que se llama INTERVALO AUDIBLE. Una onda longitudinal de sonido cuya frecuencia sea menor que el límite inferior del intervalo audible se llama INFRASÓNICA y si es mayor que el límite superior ULTRASÓNICA. Figura 6. Ondas longitudinales en un resorte Figura 5. Superposición de pulsos que poseen desplazamientos opuestos. En este caso la suma de los desplazamientos de los pulsos separados equivale a la sustracción de sus valores. Este tipo de superposiciones se denomina interferencia destructiva. 126 7. Características del Sonido En los fluidos, la velocidad de propagación de un movimiento ondulatorio longitudinal, siendo β su módulo de compresibilidad y ρ la densidad; si el medio es un sólido, el módulo de compresibilidad (volumétrico) se reemplaza por el módulo de Young (módulo de alargamiento), es decir: Si el medio es un gas y las compresiones y dilataciones que en él se producen son adiabáticas, la velocidad de propagación del sonido en él, es: (6) siendo p la presión del gas no perturbado y γ el coeficiente de las adiabáticas, que para el aire toma el valor 1,41, obteniéndose para el valor de la velocidad del sonido en él, en condiciones normales: La velocidad del sonido en un gas, a la presión p 0 y la temperatura t es: ya que la densidad de un gas, a t grados, comparada con la que tiene a 0º (si no hay variaciones de presión) es: ρ t = ρ 0 /(1 + αt), pero como:, nos queda: «La velocidad del sonido en un gas es directamente proporcional a la raíz cuadrada del binomio de dilatación». Para comparar velocidades c y c’ a las temperaturas t y t’ grados basta dividir entre sí las expresiones correspondientes a las dos temperaturas, obteniendo: y si la temperatura la medimos en la escala absoluta (T = t + 273), puesto que podemos considerar para los gases α = 1/273, se tiene: c/c’ = T/T’ ; es decir; en los gases la velocidad del sonido es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta. Para deducciones posteriores, también es importante recordar que en una cuerda tensa, las ondas transversales que se producen, se propagan con una velocidad siendo F la fuerza que tensa a la cuerda y μ la masa de la unidad de longitud o densidad lineal (μ = M/l). El volumen correspondiente a esta masa es el de un cilindro de base πr 2 y altura unidad; su masa es pues:πr 2 ρ, y la fórmula inicial se transforma en: 127 «La velocidad de propagación del sonido en una cuerda es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la fuerza que la tensa e inversamente proporcional al radio y a la raíz cuadrada de su densidad». Las ondas sonoras sufren una reflexión parcial al chocar con la superficie de un medio cualquiera de distinta densidad a la del medio en que se propagaban. Esta es la causa de una pérdida de energía vibrante y, en consecuencia, de amplitud; al disminuir ésta, la intensidad del sonido, se hace menor. Al reflejarse el sonido en un sólido, por ejemplo un muro, la energía de la onda reflejada es, prácticamente, la misma que la incidente y la pérdida de intensidad es la que corresponde al aumento de distancia. Cuando la onda incidente y la reflejada impresionan el oído del mismo observador con intermitencia suficiente para la percepción de los dos sonidos, se produce el fenómeno llamado ECO. El intervalo de tiempo mínimo para que nuestro oído perciba dos sílabas distintamente es 0,1 segundos. Si consideramos como velocidad del sonido a la temperatura de 20º unos 340 m/s, el espacio que debe recorrer la onda en su ida y vuelta del oído al obstáculo es: s = 0,1 X 340 = = 34 m. La distancia mínima entre el oído y la superficie reflectora debe ser alrededor de 17 m para que se produzca eco. El sonido se refracta al pasar de una zona (o medio) a otra en la que tiene distinta velocidad; así en la atmósfera, en la que hay una variación continua de temperatura, la dirección de propagación cambia continuamente transformándose en una curva, de tal forma que el tiempo empleado para ir de un punto a otro sea mínimo. Para ilustrar este hecho pensemos en un sonido emitido durante el día, cuando normalmente la temperatura disminuye con la altura. La situación es la representada en la Fig., las trayectorias, perpendiculares a los frentes de onda, se curvan hacia arriba y en dirección horizontal aparece pronto la zona de sombra que no es alcanzada por la perturbación. El caso contrario se ilustra en la Fig. ; si la temperatura aumenta con la altura, las trayectorias se curvan hacia el suelo, con lo que en una superficie lisa y de alto coeficiente de reflexión respecto del aire, el sonido de una conversación puede oírse a centenares de metros. Son cualidades físicas del sonido la intensidad, el tono y el timbre. INTENSIDAD es la cualidad por la que se distinguen los sonidos fuertes de los débiles, siendo su valor «la energía media que atraviesa en la unidad de tiempo a la unidad de superficie, normal a la dirección de propagación». Si W es la energía que en un tiempo t atraviesa una superficie S normal a la dirección de propagación, la intensidad sonora es: (7) ya que W/t (energía por segundo) es la potencia mecánica (P). Podemos así definir la intensidad del sonido como la «potencia transmitida por la onda sonora, en cada unidad de superficie». La unidad CGS de intensidad sonora es el Figura 7. Reflexión del sonido Figura 8. Refracción del sonido 128 erg/s · cm 2 ; la del SI el W/m 2 ; prácticamente se emplea el μW/cm 2 . Para que nuestro oído perciba sonidos de una frecuencia aproximada a 1 000 Hz, es necesaria una intensidad de 10 -10 μW/cm 2 = 10 -12 W/m 2 . Como se expresó en el estudio general del movimiento ondulatorio, «la intensidad de sonido es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud de la vibración, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco emisor», y, como se vio, su expresión para una onda de amplitud ν y frecuencia angular ω que se propaga con velocidad c en un medio de densidad ρ, es (8) La relación obtenida (fórmula 29) para una onda plana de sonido propagándose en un fluido, entre los valores máximos de la presión y velocidad de un punto del medio es p máx = v máx ρc. Al producto ρc de la densidad del medio por la velocidad del sonido en él se le denomina IMPEDANCIA o RESISTENCIA ACÚSTICA (Z) del medio; es decir: En función de ella, y por ser v máx = y 0 ω, podemos expresar la intensidad de la forma: (9) con las mismas expresiones para los valores instantáneos de v y ∆p. Existe una analogía completa entre estas expresiones y las que relacionan la potencia eléctrica en una corriente alterna (potencia ↔ I) y los valores máximos de la intensidad de corriente (intensidad de corriente ↔ v) y de la diferencia de potencial (d.d.p. ↔∆p), de ahí el nombre de impedancia dado a Z. La analogía, sin embargo, es sólo entre fórmulas ya que las impedancias acústica y eléctrica son magnitudes físicas totalmente diferentes. El TONO es la frecuencia del sonido (número de vibraciones por segundo). De dos sonidos se llama AGUDO al de más frecuencia y GRAVE al de menos frecuencia. El tono se mide en HERTZ, correspondiendo un hertz a una vibración por segundo. El tono está relacionado con la longitud de onda por la expresión: (10) «Los sonidos más agudos son los de longitud de onda menor». Para la medida del tono se transforma la señal acústica, mediante un micrófono, en una señal eléctrica, que, tras un proceso de filtrado, amplificación y rectificación, produce en la pantalla de un osciloscopio un espectro de rayas, que indican tanto la frecuencia como la amplitud del tono fundamental del sonido y de los posibles armónicos de que consta si no es un sonido puro. El TIMBRE es la cualidad del sonido que permite distinguir, en notas del mismo tono, el instrumento y aun la forma de emisión. Todo movimiento periódico de período T = 1/ν que no responde a la ecuación general x = A sen 2πνt, es decir, cuya representación gráfica no es una sinusoide, se puede considerar como la superposición de diversos movimientos vibratorios armónicos de frecuencia ν, 2ν, 3ν, etc. (Serie de Fourier). Los instrumentos musicales 129 emiten en general, sonidos compuestos por la superposición de un sonido fundamental (el más grave) y una serie de armónicos. El timbre de un sonido depende de los armónicos emitidos, siendo tanto más ARMONIOSO cuanto mayor sea el número de armónicos. El análisis de los armónicos de un sonido se realiza con el mismo sistema esbozado anteriormente para analizar el tono. Absorción y transmisión del sonido Cuando una onda atraviesa un medio absorbente, como se muestra en la figura 9, la experiencia demuestra que, al alejarnos del foco emisor, experimenta una disminución de intensidad, -dI, que viene dada por la relación: en función del espesor dx del medio atravesado, siendo el coeficiente de proporcionalidad β el llamado coeficiente de absorción del medio. Si separamos variables: e integramos con la condición de contorno de que al llegar al medio absorbente, es decir para x = 0, la intensidad de la onda es I 0 , obtenemos la ecuación: que se puede escribir como: (11) Esta expresión nos da la intensidad de la onda que atraviesa un medio absorbente en función de la intensidad incidente en el medio, el coeficiente de absorción y el espesor del medio. Esta expresión representa la ley general de la absorción de cualquier fenómeno en su propagación a través de un medio absorbente y también se conoce como la ley de Beer. En lugar del coeficiente de absorción, a veces se utiliza el concepto de espesor de semiabsorción, D, que es el espesor que debe tener el material para que la intensidad transmitida a su través sea la mitad de la intensidad incidente. Si introducimos este término en la ecuación anterior, tenemos: El fenómeno de la absorción tiene lugar en todos los movimientos ondulatorios pero casi siempre es de carácter selectivo, es decir, el coeficiente de absorción β depende de la frecuencia de la perturbación que se propaga en el medio y por lo tanto, ondas de frecuencias distintas no se debilitan igual al atravesar el mismo espesor. 8. Efecto Doopler Hasta ahora se ha tomado el foco de la perturbación en reposo, y las medidas efectuadas para la frecuencia y velocidad de los movimientos ondulatorios, también se han hecho desde un sistema de referencia que considerábamos en reposo. Vamos a estudiar la relación existente entre la frecuencia de la onda emitida por el foco y la recibida por el observador cuando hay movimiento relativo entre ellos. Un foco emisor F (Fig. 10) en su vibración perturba el ambiente y la superficie de onda originada S se propaga en un período una distancia l = cT. En este instante provoca el foco en el Figura 9. Onda en un medio absorbente. Figura 10. El foco emisor se está moviendo con velocidad v en la misma dirección que la onda, estando el detector en reposo. 130 medio una perturbación que origina una superficie de onda análoga a la anterior que, por avanzar a su misma velocidad, permanece a una distancia constante l de la emitida un período antes. PRIMER CASO. Supongamos que el foco emisor se mueve con una velocidad v’, menor que la de propagación de la onda, acercándose a un observador en reposo respecto al medio en que se propaga la onda. En el tiempo transcurrido T desde que se origina la superficie de onda S 1 (Fig. 10) hasta la emisión de su inmediata análoga S 2 , el foco emisor habrá avanzado FF’ = v’T y la distancia entre las dos superficies de onda quedará disminuida, precisamente, en tal valor, ya que la primera S 1 se encuentra en la misma posición que si el foco fuese inmóvil y la S 2 ha recorrido el mismo camino pero desde un lugar (F’) más avanzado que antes (F). Para un observador exterior en reposo la longitud de onda que medirá es: y llamando v y v’ a las frecuencias «emitida» y «percibida»: (12) En el caso de que el foco se acerque al observador, como c > c - v’, resulta que la frecuencia percibida por el observador n¢ es mayor que n. Si el foco emisor se aleja del observador, un razonamiento análogo conduce a: y la frecuencia percibida por el observador es menor que la emitida. La fórmula (12) es la que en general se empleará en los problemas de aplicación, siempre que tomemos como sentido positivo el que va del foco al observador. De esta manera v’ será positiva si el foco se acerca al observador, y negativa en caso contrario. Por ejemplo, sabemos que el tono de un sonido es su frecuencia (número de vibraciones por segundo), y que de dos sonidos, se llama agudo al de más frecuencia y grave al de menos frecuencia. Teniendo esto en cuenta, el silbido de un tren en marcha, percibido por un observador exterior, es más agudo que el emitido cuando el tren se acerca y más grave cuando se aleja. SEGUNDO CASO. Un observador en reposo capta n (frecuencia) superficies de onda idénticas por segundo. Si avanza hacia el foco emisor con una velocidad v’’ (Fig. 11), captará las mismas que antes n, más las veces que v’’ contiene a l. La frecuencia percibida es por lo tanto: (13) Como c + v’’ > c, resulta que la frecuencia detectada por el observador v’’ es mayor que la emitida. Así por ejemplo, si el foco emite ondas sonoras, el sonido percibido por el observador, que se mueve hacia la fuente, es más agudo que el emitido. Si el observador se aleja del foco: Como c – v’’ < c, resulta que la frecuencia por el observador v’’ es menor que la emitida. Para nuestro ejemplo de sonido, el tono percibido por el detector es más grave que el emitido. Como fórmula de aplicación a problemas tomaremos la (13) si se aplica el mismo convenio que en el caso anterior. Figura 11. El foco emisor F se encuentra en reposo y el detector O avanza hacia él con una velocidad v’’ 131 La variación de la frecuencia, como se ve de (12) y (13), no depende solamente de la velocidad relativa entre el foco emisor y el observador, sino también de cuál de ellos es el que se mueve respecto del medio en que se propaga la onda. TERCER CASO. Cuando se mueven el observador y el foco emisor la frecuencia percibida por aquél se obtiene si más que sustituir la n de la fórmula (13) por la v’ dada por la (12) obteniéndose como FÓRMULA GENERAL: El efecto Doppler se realiza no sólo en el sonido, sino en todo movimiento ondulatorio que perciben nuestros sentidos o captan aparatos de observación, y se llama así en honor de Christian Johann Doppler (1803-1853), que lo aplicó por primera vez en 1842 a las ondas luminosas al estudiar el color de las estrellas. 9. Ruido El ruido es un sonido o conjunto de sonidos mezclados y desordenados. Si vemos las ondas de un ruido observaremos que no poseen una longitud de onda, frecuencia, ni amplitud constantes y que se distribuyen aleatoriamente unas sobre otras. El ruido está constituido por el conjunto de sonidos no deseados, fuertes, desagradables o inesperados. El ruido ambiental se ha desarrollado en las zonas urbanas y es hoy una fuente de preocupación para la población. En un sonido musical las ondas de distintas frecuencias se superponen ordenadamente siguiendo una estructura armónica en función del tiempo. Por estas causas un ruido es desagradable para el oído y una pieza musical puede resultar placentera. La música es el arte de combinar los sonidos formando melodías y armonías, todo lo contrario al ruido. Puede ser un factor a tener muy en cuenta en lugares concretos: junto a las autopistas, aeropuertos, ferrocarriles, industrias ruidosas; o en fenómenos urbanos: locales o actividades musicales, cortadoras, sirenas, etc. Cuando una persona está sometida a un nivel alto de ruido durante un tiempo prolongado, sus oídos se dañan. Según algunos estudios, alrededor de un tercio de las disminuciones de la capacidad auditiva en los países desarrollados son debidas al exceso de ruido. Para disminuir el ruido se usan diferentes medidas. En algunos trabajos se deben usar auriculares de protección especiales. En otros casos aíslan los motores y otras estructuras ruidosas de máquinas, electrodomésticos, vehículos, etc. para que no metan tanto ruido. En autopistas, fábricas, etc., se usan barreras que absorban el ruido 132 Tabla N° 1. Coeficientes de absorción de algunos materiales usados en la construcción. Un sonido agudo como un Piiiiiiiii nos puede recordar a un color claro. Un sonido grave como un Buuuuuu nos puede recordar a un color oscuro. Existen tres tipos de ruidos básicos: el ruido blanco que se compone de todas las frecuencias audibles a la misma amplitud y es parecido a un Shshshshsh también producido por el televisor cuando se corta la recepción. El ruido rosa que se compone principalmente por frecuencias graves y agudas, medias atenuadas, parecidas a un Fsfsfsfsfsfs (pronunciando la "f" y la "s" al mismo tiempo). El ruido marrón compuesto principalmente por ondas graves y medias, parecidas a un Jfjfjfjfjfjfjfjfjf (pronunciando la "j" y la "f" al mismo tiempo). Para medir el nivel sonoro se utilizan medidores llamados decibelímetros que generalmente constan de un micrófono patrón, extremadamente calibrado y que responde a todas las frecuencias audibles por igual y una pantalla gráfica analógica (con aguja móvil) o digital (luces o displays de cristal líquido), y una llave selectora de 133 sensibilidad. También existen los analizadores de espectros, que pueden graficar las frecuencias que componen un ruido determinado, pero estos equipos tan especializados sólo se utilizan para mediciones críticas y desarrollos e investigaciones especializadas. 10. Contaminación Sonora La contaminación acústica es el conjunto de sonidos y ruidos que circulan a nivel aéreo por las calles de una población. Como generalmente las ciudades poseen gran cantidad de elementos generadores de ruido, como ser el tránsito e industrias, se produce en conjunto un alto nivel sonoro que puede llegar a perjudicar la integridad física y psíquica del habitante urbano. El oído humano sólo puede soportar ciertos niveles máximos de ruido, sin embargo el nivel que se acumula en las regiones centrales de la ciudad en reiteradas ocasiones supera ese máximo. Algunos ruidos de la ciudad se encuentran por encima del "Umbral del dolor". (por encima de los 120 dB.) Estos ruidos pasan a formar parte de la contaminación acústica de una ciudad y deben ser restringidos y controlados por las autoridades para mantener la salud de los ciudadanos que circulan por las calles. Se ha calculado que alrededor del 20% de los habitantes de Europa occidental (es decir, 80 millones de personas) están expuestos a niveles de ruido que los expertos consideran inaceptables. Este ruido está causado por el tráfico, y las actividades industriales y recreativas. Los efectos del ruido pueden variar de un individuo a otro. Sin embargo, el informe de la OMS (Organización Mundial de la Salud) "El ruido en la sociedad - Criterios de salud medioambiental", de 1996, señala que el ruido puede tener una serie de efectos nocivos directos para las personas expuestas al mismo, como alteraciones del sueño, efectos fisiológicos auditivos y no auditivos - básicamente cardiovasculares - o interferencias en la comunicación. En un principio, la lucha contra el ruido no se consideró una prioridad en materia ambiental, a diferencia, por ejemplo, de la reducción de la contaminación atmosférica. Las consecuencias sobre la población eran menos espectaculares y la degradación de la calidad de vida era aceptada como una consecuencia directa del progreso tecnológico y la urbanización. A continuación se da una relación de niveles sonoros correspondientes a sonidos habituales de nuestro entorno, con el fin de hacernos una idea del orden de magnitud: - Pájaros trinando: 10 dB - Claxon automóvil: 90 dB - Rumor de hojas de árboles: 20 dB - Claxon autobús: 100 dB - Zonas residenciales 40 dB - Interior discotecas: 110 dB - Conversación normal: 50 dB - Motocicletas sin silenciador: 115 dB - Ambiente oficina: 70 dB - Taladradoras: 120 dB - Interior fábrica: 80 dB - Avión sobre la ciudad: 130 dB - Tráfico rodado: 85 dB 134 - Umbral de dolor: 140 dB Algunos valores máximos permitidos de ruidos en edificios públicos son: - Hospitales: 25 dB - Bibliotecas y museos: 30 dB - Cines, teatros y salas de conferencias: 40 dB - Centros docentes y hoteles: 40 dB - Oficinas y despachos públicos: 45 dB - Grandes almacenes, restaurantes y bares: 55 dB El ruido es el contaminante más común, y puede definirse como cualquier sonido que sea calificado por quien lo recibe como algo molesto, indeseado, inoportuno o desagradable. Así, lo que es música para una persona, puede ser calificado como ruido para otra. En un sentido más amplio, ruido es todo sonido percibido no deseado por el receptor, y se puede definir al sonido como todo agente físico que estimula el sentido del oído. El ruido presenta grandes diferencias con respecto a otros contaminantes: • es el contaminante más barato de producir y necesita muy poca energía para ser emitido. • es complejo de medir y cuantificar. • no deja residuos, no tiene un efecto acumulativo en el medio, pero si puede tener un efecto acumulativo en sus efectos en el hombre. • tiene un radio de acción mucho menor que otros contaminantes, es decir, es localizado. • no se traslada a través de los sistemas naturales, como el aire contaminado movido por el viento, por ejemplo. • se percibe sólo por un sentido: el oído, lo cual hace subestimar su efecto. Esto no sucede con el agua, por ejemplo, donde la contaminación se puede percibir por su aspecto, olor y sabor. Efectos del ruido en el ser humano El ruido aparenta ser el más inofensivo de los agentes contaminantes, puesto que, como se dijo anteriormente, es percibido fundamentalmente por un solo sentido, el oído, y ocasionalmente, en presencia de grandes niveles de presión sonora, por el tacto (percepción de vibraciones), en cambio el resto de los agentes contaminantes son captados por varios sentidos con similar nivel de molestia. Como si esto fuera poco, la percepción y daños de estos contaminantes suele ser instantánea, a diferencia del ruido cuyos efectos son mediatos y acumulativos. Los efectos de la exposición al ruido pueden ser fisiológicos o psicológicos. Los efectos fisiológicos los clasificaremos, a su vez, en efectos auditivos y no auditivos Efectos Fisiológicos - Efectos fisiológicos auditivos La exposición a niveles de ruido intenso durante un período de tiempo significativo, da lugar a pérdidas de audición, que si en un principio son recuperables cuando el ruido cesa, con el tiempo pueden llegar a hacerse irreversibles, convirtiéndose en sordera. A su vez, la exposición a niveles de ruido de mediana intensidad, pero con una prolongación mayor en el tiempo, repercute en forma similar, traduciéndose ambas situaciones en desplazamientos temporales o permanentes del umbral de audición. Los métodos de evaluación se realizan a través de análisis audiométricos y/u otoscópicos. − Desplazamiento temporal del umbral de audición. (TTS: Temporary Threshold Shift). El TTS consiste en una elevación del umbral producida por la presencia de un ruido, existiendo recuperación total al cabo de un período de tiempo, siempre que no se repita la exposición al mismo. Habitualmente se produce durante la primera hora de exposición al ruido, − Desplazamiento permanente de umbral de audición. (PTS: Permanent Threshold Shift). Es consecuencia del TTS, agravado por el paso del tiempo y la exposición al ruido. 135 Cuando un individuo ha sido sometido a numerosos TTS y durante largos períodos de tiempo (varios años), la recuperación del umbral va siendo cada vez más lenta y parcial, al extremo de tornarse irreversible, situación que denominamos PTS. Se vincula directamente con la presbiacusia, o pérdida de la sensibilidad auditiva debida a los efectos de la edad. La sordera producida es de percepción y simétrica, lo que significa que afecta ambos oídos con idéntica intensidad. − Interferencia en la comunicación oral. La inteligibilidad de la comunicación se reduce por el ruido de fondo. El oído es únicamente un transductor, no discrimina entre fuentes de ruido. La separación e identificación de las fuentes sonoras ocurre en el cerebro. La voz humana produce sonido en el rango 100 a 10000 Hz, pero prácticamente toda la información verbal está contenida en la región de 200 a 6000 Hz. La banda de frecuencia para la inteligibilidad de la palabra (entender palabras y frases) está contenida entre 500 y 2500 Hz. Se cree que la interferencia en la comunicación oral durante las actividades laborales puede provocar accidentes causados por la incapacidad de oír llamadas de advertencia u otras indicaciones. Tanto en oficinas como en escuelas y hogares, la interferencia en la conversación constituye una fuente importante de molestias. Para apreciar mejor la relación de los dos primeros apartados, analizaremos, como ejemplo, dos casos particulares. Consideremos la situación de dos individuos expuestos a ruido de tráfico, durante distintos intervalos de tiempo: i. Un conductor de transporte colectivo se somete a un período de tiempo equivalente a una jornada laboral (8 horas), durante muchos años de su vida. En dicha situación el individuo se encuentra sometido a niveles de presión sonora del orden de 72 a 75 dBA (datos obtenidos in situ en autobuses nuevos). Naturalmente, por la frecuencia de estos episodios, nos encontramos frente a un caso típico de desviación permanente del umbral de audición (PTS). ii. Un empleado que desempeña sus funciones en un ambiente más silencioso se ve afectado por el mismo ruido de tráfico en forma intermitente, en la espera y el uso del transporte colectivo (aproximadamente 2 horas diarias en total). Al encontrarse con niveles similares y tiempos menos prolongados, la susceptibilidad a contraer un PTS disminuye considerablemente. La intermitencia permite mayor rapidez en la recuperación. - Efectos fisiológicos no auditivos Además de las afecciones producidas por el ruido al oído, éste actúa negativamente sobre otras partes del organismo, donde se ha comprobado que bastan 50 a 60 dBA para que existan enfermedades asociadas al estímulo sonoro. En presencia de ruido, el organismo adopta una postura defensiva y hace uso de sus mecanismos de protección. Se han podido observar efectos vegetativos como la modificación del ritmo cardíaco y vasoconstricciones del sistema periférico. Entre los 95 y 105 dBA se producen: - afecciones en el riego cerebral, debidas a espasmos o dilataciones de los vasos sanguíneos, - alteraciones en la coordinación del sistema nervioso central; - alteraciones en el proceso digestivo, dadas por secreciones ácidas del estómago las que acarrean úlceras duodenales, cólicos y otros trastornos intestinales - aumento de la tensión muscular y presión arterial - cambios de pulso en el electroencefalograma - dilatación de la pupila, alterando la visión nocturna, además de estrechamiento del campo visual. Las reacciones fisiológicas al ruido no se consideran patológicas si ocurren en ocasiones aisladas, pero exposiciones prolongadas (por ejemplo, el ruido de tráfico urbano) pueden llegar a constituir un grave riesgo para la salud. Se ha comprobado que en los sujetos expuestos al ruido, se produce un incremento significativo en la concentración de la hormona GH, que es uno de los principales marcadores de estrés. En todo caso, el estrés ambiental no es más que la respuesta defensiva del organismo a estímulos adversos. Efectos Psicológicos La salud no debe entenderse sólo como ausencia de enfermedad, sino que, salud debe ser sinónimo de bienestar físico y psíquico. La Psicoacústica es un área que se dedica a investigar sobre las alteraciones psíquicas que provoca el ruido en tareas de vital importancia para el desenvolvimiento humano. Entre estas citamos el sueño, la memoria, la atención y el procesamiento de la información. 136 a. Efectos sobre el sueño. El ruido puede provocar dificultades para conciliar el sueño y también despertar a quienes están ya dormidos. En numerosas oportunidades hemos escuchado la típica frase de que el sueño es la actividad que copa un tercio de nuestras vidas y este nos permite entre otras cosas descansar, ordenar, y proyectar nuestro consciente, esto es un hecho, así como también está claro que está constituido por a lo menos dos tipos distintos de sueño: El sueño clásico profundo (“No REM” (etapa de sueño profundo), el que a su vez se divide en cuatro fases distintas), y el sueño paradójico (REM). Se ha comprobado que sonidos del orden de los 60 dBA reducen la profundidad del sueño. Dicha disminución se acrecienta a medida que crece la amplitud de la banda de frecuencias, las cuales pueden llegar a despertar al individuo, dependiendo de la fase del sueño en que se encuentre y de la naturaleza del ruido. Los estímulos débiles inesperados también pueden perturbar el sueño. b. Efectos sobre la conducta. La aparición súbita de un ruido o la presencia de un agente sonoro molesto para el sujeto, pueden producir alteraciones en su conducta que, al menos momentáneamente, puede hacerse más abúlica, o más agresiva, o mostrar el sujeto un mayor grado de desinterés o irritabilidad. Las alteraciones conductuales que son pasajeras en la mayor parte de las ocasiones, se producen porque el ruido ha provocado inquietud, inseguridad, o miedo en unos casos, o bien, son causa de una mayor falta de iniciativa en otros. c. Efectos en la memoria. En tareas donde se utiliza la memoria, se observa un mejor rendimiento en los sujetos que no han estado sometidos al ruido. Ya que con este ruido crece el nivel de activación del sujeto y esto, que en principio puede ser ventajoso, en relación con el rendimiento en cierto tipo de tareas, resulta que lo que produce es una sobreactivación que conlleva un descenso en el rendimiento. El ruido hace más lenta la articulación en la tarea de repaso, especialmente con palabras desconocidas o de mayor longitud. Es decir, en condiciones de ruido, el sujeto sufre un costo psicológico para mantener su nivel de rendimiento. d. Estrés. Parece probado que el ruido se integra como un elemento estresante fundamental. Y no sólo los ruidos de alta intensidad son los nocivos. Ruidos incluso débiles, pero repetidos pueden entrañar perturbaciones neurofisiológicas aún más importantes que los ruidos intensos. Es preciso fundamentar más estudios para determinar los riesgos a largo plazo causados por la acción del ruido sobre el sistema nervioso autónomo. e. Efectos en el embarazo. Se ha observado que las madres embarazadas que han estado desde el principio en una zona muy ruidosa, tienen niños que no sufren alteraciones, pero si se han instalado en estos lugares después de los 5 meses de gestación (en ese periodo el oído se hace funcional), después del parto los niños no soportan el ruido, lloran cada vez que lo sienten, y al nacer su tamaño es inferior al normal. f. Efectos sobre los niños. El ruido es un factor de riesgo para la salud de los niños y repercute negativamente en su aprendizaje. Educados en un ambiente ruidoso se convierten en menos atentos a las señales acústicas y sufren perturbaciones en su capacidad de escuchar y un retraso en el aprendizaje de la lectura. Dificulta la comunicación verbal, favoreciendo el aislamiento y la poca sociabilidad. La exposición al ruido afecta al sistema respiratorio, disminuye la actividad de los órganos digestivos, acelerando el metabolismo y el ritmo respiratorio, provoca trastornos del sueño, irritabilidad, fatiga psíquica, etc. 137 Fuentes de ruido Las principales fuentes de ruido son las infraestructuras del transporte, la industria y el medio urbano. Además existen otros focos menos relevantes por su incidencia o su reciente aparición. En la tabla 3.7 se indican los focos de ruido ambiental más frecuentes. La molestia que originan estos focos es función de diferentes factores: tipo de foco, situación nueva o existente, niveles de ruido en el entorno, sensibilidad al ruido de los receptores (usos del suelo), características del ruido, periodo del día en el que se produce (día, noche, ...), días laborables o festivos, etc. Los focos de ruido ambiental, transporte e instalaciones industriales, son cada vez fuente de mayores quejas, que en principio se deben resolver estableciendo criterios únicos para su valoración, evitando los frecuentes problemas de numerosos valores para caracterizar una misma instalación o foco. A esta problemática se debería añadir la de la calidad acústica en la edificación, que resuelva las crecientes quejas de la población sobre los problemas propios de los edificios (falta de aislamiento, ruido de instalaciones, ..). Las primeras medidas comunitarias consistieron en la fijación de los niveles máximos de ruido para determinados tipos de vehículos (coches, aviones) con vistas a la realización del mercado único. A la normativa comunitaria se añadieron también medidas nacionales. Una evaluación del impacto de las medidas legislativas ha puesto de relieve una notable reducción del ruido emitido por determinados vehículos. Así, el ruido causado por los vehículos particulares se ha reducido en un 85% desde 1970. Sin embargo, el problema del ruido ambiental sigue siendo de actualidad, debido principalmente al aumento del tráfico. Tipos de ruido El ruido no es solo ruido. En casa y en el trabajo oímos ruidos, procedentes de sistemas de ventilación o de calefacción, a los cuales difícilmente prestamos atención ya que no tienen características destacables. Esos ruidos se producen de manera continua y no tienen tono, pero si de repente el ventilador, por ejemplo, se parara o empezara a zumbar, el cambio podría llamarnos la atención o incluso molestarnos. Nuestro oído reconoce información en los sonidos que escuchamos. La información que no necesitamos o que no queremos pasa a ser ruido. Las características del ruido que nos hacen atender y prestar atención son tonos o cambios en el nivel sonoro. Cuanto más destacable sea el tono o más abrupto el cambio de nivel sonoro, más perceptible es el ruido. Cuando medimos el ruido, necesitamos saber el tipo de ruido que es con el fin de que podamos seleccionar los parámetros a medir, el equipo a usar y la duración de las medidas. A menudo tenemos que utilizar nuestro oído para captar y subrayar las características molestas del ruido, antes de empezar a tomar medidas y analizarlas. Algunos tipos de ruidos, los más frecuentes, son los siguientes: Ruido continuo Se produce por maquinaria que opera del mismo modo sin interrupción, por ejemplo, ventiladores, bombas y equipos de proceso. Para determinar el nivel de ruido es suficiente medir durante unos pocos minutos con un equipo manual. Si se escuchan tonos o bajas frecuencias, puede medirse también el espectro de frecuencias para un posterior análisis y documentación del ruido. Ruido intermitente Cuando la maquinaria opera en ciclos, o cuando pasan vehículos aislados o aviones, el nivel de ruido aumenta y disminuye rápidamente. Para cada ciclo de una fuente de ruido de maquinaria, el nivel de ruido puede medirse simplemente como un ruido continuo. Pero también debe anotarse la duración del ciclo. El paso aislado de un vehículo o aeronave se llama suceso. Para medir el ruido de un suceso, se mide el Nivel de Exposición Sonora (SEL = Sound Exposition Level), que combina en un único descriptor tanto el nivel como la duración. El nivel de presión sonora máximo también puede utilizarse. Puede medirse un número similar de sucesos para establecer una media fiable. Ruido impulsivo El ruido de impactos o explosiones, por ejemplo de un martinete, troqueladora o pistola, es llamado ruido impulsivo. Es breve y abrupto y su efecto sorprendente causa mayor molestia que la esperada de su nivel de presión sonora. Para cuantificar el impulso del ruido, se puede utilizar la diferencia entre un parámetro de respuesta rápida y otro de respuesta lenta midiéndose la tasa de repetición del impulso (número de impulsos por unidad de tiempo). 138 Tonos en el ruido Decimos que hay tonos en un ruido cuando una componente de frecuencia (o varias) de su espectro tiene un nivel de presión sonora mayor que el resto. Los tonos molestos suelen generarse de dos maneras: − La maquinaria con partes rotativas como motores, cajas de cambio, ventiladores y bombas crean tonos. Los desequilibrios o impactos repetidos causan vibraciones que son transmitidas a través de las superficies al aire y se oyen como tonos. − También generan tonos los flujos pulsantes de líquidos o gases que se producen en procesos de combustión o cambios de flujo. Los tonos pueden ser identificados subjetivamente, escuchándolos, u objetivamente mediante la medida del espectro y el análisis de las frecuencias que componen el ruido. La audibilidad se calcula entonces comparando el nivel del tono con el nivel de los componentes espectrales circundantes. También debe documentarse la duración del tono. Ruidos de baja frecuencia El ruido de baja frecuencia tiene una energía significativa en el intervalo de frecuencias de 8 a 100 Hz. Este tipo de ruido es típico en grandes motores Diesel de trenes, barcos y plantas de energía y, puesto que es difícil de amortiguar y se extiende con facilidad en todas direcciones puede ser oído a muchos kilómetros. El ruido de baja frecuencia resulta más molesto de lo que cabría esperar de su nivel de presión sonora ponderado A. La diferencia entre el nivel de presión sonora compensado A, Lp(A), y el nivel de presión sonora compensado C, Lp(C), es un indicador de la presencia o no de un problema de ruido de baja frecuencia. Para calcular la audibilidad de componentes de baja frecuencia en el ruido se mide el espectro y se compara con el umbral auditivo. Los infrasonidos tienen un espectro con componentes de relativa importancia por debajo de 20 Hz. Se perciben, no como un sonido, sino más bien como una presión. Su evaluación es aún experimental y no está reflejada en las normas internacionales. 11. Dualidad de la Luz La palabra Óptica deriva de otra griega que significa ver; es una de las parcelas más antiguas de la Física, precedida únicamente por la Astronomía. «La ÓPTICA es la ciencia que trata de las propiedades y de la naturaleza de la Luz y sus interacciones con la materia». Según lo que hemos tratado hasta ahora, tenemos cierto conocimiento sobre lo que es la luz, pudiéndola definir por ahora como: «La LUZ es una onda electromagnética (o una forma de energía radiante) visible con el ojo humano, que ocupa un determinado intervalo del espectro de estas ondas; se propaga en el vacío con una velocidad constante, cualquiera que sea el sistema de referencia en que la midamos, de aproximadamente 300 000 km/s, siendo esta velocidad un límite irrebasable que impone la naturaleza». El rango de frecuencias del espectro electromagnético en que se define la luz es 4,3 ´ 1014 Hz < n < 7,5 ´ 1014 Hz (ver párrafo XXIII-14); fisiológicamente, las diferentes frecuencias de la luz, son distinguidas por el ojo por su color. Según el comportamiento de los objetos con la luz, estos se clasifican en: Cuerpos LUMINOSOS son los emisores de luz (el Sol, los cuerpos incandescentes, los gusanos de luz, etc.); cuerpos ILUMINADOS son los que se hacen visibles al devolver toda o parte de la luz que reciben (por ejemplo, la Luna, la Tierra, etc.). Cuerpos TRANSPARENTES son los que dejan ver los objetos a su través (el vidrio). TRASLÚCIDOS, son los que son atravesados por la luz, pero no permiten ver los objetos a través de ellos (un papel de fumar). OPACOS los que no se dejan atravesar por la luz (una gruesa lámina de madera). En las superficies mates, por ejemplo, en el papel, al encontrar los rayos rugosidades (para nosotros imperceptibles en ocasiones) son reflejados en todas las direcciones, viéndose, entonces, los cuerpos regularmente iluminados. A este fenómeno, que presentan el papel, el yeso, la nieve, etc., se llama DIFUSIÓN DE LA LUZ. También la luz se pude difundir por transparencia al atravesar determinados cuerpos (un cristal esmerilado) emergiendo de él en todas las direcciones y viéndose, por ello, luminosidad regular (DIFUSORES). El estudio de la Óptica se divide en tres partes: Óptica Geométrica, la Óptica Física y la Óptica cuántica. 139 «La ÓPTICA GEOMÉTRICA estudia la luz independientemente de su naturaleza, se ocupa de las propiedades de los instrumentos ópticos». «La ÓPTICA FÍSICA estudia la luz desde el punto de vista de su naturaleza ondulatoria». «La ÓPTICA CUÁNTICA analiza las interacciones de la luz y las partículas atómicas, requiere el empleo de la mecánica cuántica». Podríamos decir que estas tres partes de la Óptica corresponden a un análisis macroscópico, microscópico y atómico respectivamente, limitándonos claramente su campo de aplicación. «RAYO LUMINOSO es una trayectoria (línea geométrica) que sigue la luz al ir de un foco luminoso a un receptor, su dirección coincide con la de propagación de la energía radiante». Imaginemos un foco puntual (punto luminoso), emisor de luz en todas las direcciones; si ante él colocamos una lámina opaca con un orificio (DIAFRAGMA) de superficie A, habremos seleccionado lo que llamaremos: «HAZ LUMINOSO: radiaciones luminosas transmitidas en el interior de una figura que tiene por vértice el punto luminoso y está limitada por una abertura de dimensión considerable en relación con la longitud de onda de las radiaciones que componen la luz». Se nos presentan, pues, dos aspectos de la naturaleza de la luz aparentemente irreconciliables, con carácter de continuidad uno y discontinuo el otro, pero ambos con un soporte experimental firme. A este doble carácter se le denomina DUALIDAD ONDA-CORPÚSCULO DE LA LUZ y constituye un hecho que, desde el punto de vista de la Física clásica, hay que aceptar como «una de esas cosas de la Naturaleza». Bajo este prisma, la pregunta ¿qué es la luz? no tiene respuesta. Hay sin embargo otra cuestión no menos importante: ¿cómo se comporta?, a ella podemos responder que en su propagación se comporta como una onda y en su interacción con la materia lo hace como una partícula. Ambos aspectos están relacionados en la ecuación de Einstein E = m c2. Para un fotón, la longitud de onda (carácter ondulatorio) y la masa (carácter corpuscular) pueden ponerse en función una de otra: El tener que recurrir unas veces a la teoría ondulatoria y otras a la corpuscular produce cierta intranquilidad porque parece que no tiene mucho sentido. Una situación análoga se nos planteó en el tema de relatividad, cuyas conclusiones no eran de «sentido común». El problema es intentar buscarle explicación a un hecho trabajando con modelos elaborados sobre observaciones que obedecen las leyes de la mecánica clásica. Los cuerpos que se mueven a velocidades comparables a la de la luz o las partículas a escala atómica no obedecen esas leyes. Para este último caso se ha elaborado la Mecánica Cuántica que combina las teorías ondulatoria y corpuscular y que hace posible explicar todos los fenómenos desde un único punto de vista. 12. Espectros y Fuentes Luminosas Hay dos clases de espectros que llamaremos ESPECTROS DE EMISIÓN y ESPECTROS DE ABSORCIÓN. Cada uno de ellos pueden ser CONTINUOS o DISCONTINUOS, y por último, los discontinuos comprenden los ESPECTROS DE RAYAS y los ESPECTROS DE BANDAS. Los ESPECTROS DE EMISIÓN se producen en el espectroscopio, cuando la luz procede directamente de una fuente. Serán espectros continuos de emisión, cuando se obtenga una imagen de la fuente a través del espectroscopio formada por una sucesión de colores (que se corresponden con todas las frecuencias) sin límites claramente definidos entre cada color y con «intensidades» variables; los sólidos y los líquidos, salvo muy raras excepciones, dan lugar a este tipo de espectros. En los espectros de emisión discontinuos de líneas o de bandas aparecen en el espectroscopio en forma de rayas o bandas paralelas y aisladas; cada raya es la imagen de la rendija del espectroscopio desviada un ángulo que depende de la frecuencia de la luz que forma la imagen; los manantiales que producen este tipo de espectros son los gases a través de los cuales se produce una descarga eléctrica, o una llama en la que se ha introducido una sal volátil; los espectros de líneas son característicos de los átomos, los de bandas de las moléculas. El espectro de rayas de un átomo fija la naturaleza de éste y siendo el espectro de una mezcla o combinación el conjunto de los espectros de los componentes, se pueden determinar éstos por la observación detenida del espectro, no necesitándose identificar todas las líneas de cada elemento ya que éstos tienen líneas características que pueden dar la certeza de su existencia (ANÁLISIS ESPECTRAL); en estos análisis es imprescindible la utilización del espectrógrafo. 140 Los ESPECTROS DE ABSORCIÓN se producen en un espectroscopio, cuando entre una fuente emisora de luz blanca (todas las frecuencias) y el prisma se intercala una sustancia; se observa el espectro continuo característico de tal luz (del rojo al violeta) con una serie de rayas negras en los lugares en que deberían aparecer las líneas luminosas del espectro de emisión del cuerpo atravesado. El fenómeno de la absorción viene regulado por la LEY DE KIRCHHOF: «Todo cuerpo es capaz de absorber las radiaciones que emite a la misma temperatura». El espectro que corresponde a la luz que nos llega del Sol es continuo cruzado por una serie de rayas negras, éstas fueron observadas por primera vez por Joseph Fraunhofer (1787-1826). El espectro continuo del fondo corresponde a la luz emitida por el núcleo solar; las líneas de absorción corresponden a los gases en incandescencia que constituyen la atmósfera solar, que al ser atravesados por la luz del núcleo, verifican el fenómeno de absorción. Fraunhofer designó con las letras del alfabeto desde la A hasta la H las rayas más patentes; en la tabla adjunta designamos la longitud de onda que en el espectro corresponden a estas rayas y los elementos que las originan. Posteriores estudios del espectro de absorción del Sol, apreciaron muchas más rayas oscuras, que una vez separadas de las que corresponden a la atmósfera terrestre, permitieron localizar en la solar unos dos tercios de los elementos químicos conocidos, quedando además una serie de líneas que no se correspondían con ninguno de los elementos conocidos, y para cuya justificación se postuló la existencia, confirmada posteriormente, de un elemento al que se llamó Helio. Como se ha dicho, los espectros de emisión o absorción de bandas son característicos de las moléculas; al analizar el espectro que producen los gases tales como el O2, N2, CO2, CO, ..., etc. (no disociados), se observan un enorme número de rayas tan próximas entre sí que parecen formar bandas, de ahí su nombre. 13. Velocidad de la Luz La luz se propaga en línea recta en un medio homogéneo. La hipótesis de la propagación de la luz explica varios fenómenos entre los que se puede resaltar: Cuando un rayo de luz penetra en una habitación que está llena de humo, puede observarse que el rayo de luz tiene borde definido, que es una línea recta. Cuando se coloca una fuente luminosa en el centro de una habitación, se observa que la luz es capaz de iluminar a todos los objetos opacos. Las sombras proyectadas por estos objetos, se deben a que la luz se propaga en línea recta y los espacios detrás de los objetos opacos son inaccesibles a ella. Eclipses de sol y de luna: ocurre cuando la Luna se mueve a lo largo de una órbita prácticamente circular alrededor de la Tierra, de tal manera que en ciertas ocasiones se interpone entre ésta y el sol. La cámara oscura es una cavidad completamente cerrada en una de cuyas caras se ha practicado un orificio circular muy pequeño. Si se coloca cualquier objeto luminoso (una vela) frente a dicho orificio, capaz de enviar rayos en todas direcciones, se ha de notar que gran parte de esos rayos quedan detenidos en la pared de la caja. El resto de ellos logra penetrar por el orificio, formándose en la pared interior una imagen de la vela. Esta imagen resultante es invertida y su nitidez depende de la magnitud del orificio, y su tamaño de la profundidad de la caja. Diferentes investigadores desde la época de Galileo, han medido la velocidad de la luz. El astrónomo danés Olaf Römer, en 1676, logró medir la velocidad de la luz, posteriormente Fizeau en 1848, más adelante, fueron elaborados otros métodos de laboratorio más exactos para medir la velocidad de la luz. En particular el físico americano Michelson perfeccionó el método Fizeau. De estas investigaciones realizadas obtuvo que, en el vació se propaga a 299774 Km/s, aproximado a 300.000 Km/s, siendo el movimiento de la luz en el vacío un movimiento rectilíneo y uniforme. 14. Reflexión y Refracción de la luz La reflexión es el fenómeno que ocurre cuando un haz de rayos de luz incide sobre una superficie bien pulida devolviéndose los rayos al medio de donde proceden. Puede ser difusa y especular. Difusa: es el fenómeno que ocurre cuando un rayo de luz incide sobre una superficie rugosa y después del choque los rayos no continúan siendo paralelos. Regular o especular: es la que tiene lugar en los espejos, en donde un haz de rayos paralelos después de ser reflejados continúan siendo paralelos. Los elementos de la reflexión de la luz son los siguientes: 141 · Rayo incidente: es el rayo que llega a la superficie. · Rayo reflejado: es el rayo que sale del punto de incidencia. · La normal: es la perpendicular al plano en el punto de incidencia del rayo · Ángulo de incidencia: es el ángulo formado entre el rayo incidente y la normal. · Ángulo de reflexión: es el ángulo que forma el rayo reflejado con la normal. Leyes de la reflexión .El rayo incidente RI, la normal N y el rayo reflejado RR’ están en un mismo plano, el cual es perpendicular a la superficie reflectora. · El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. ui = ur La Refracción, es el fenómeno ocurrido cuando un rayo de luz al atravesar la superficie de dos medios cambia de dirección. Los elementos del fenómeno de refracción de la luz son los siguientes: · Rayo incidente: es un rayo que llega a la superficie de separación de los dos medios. . Rayo refractado: es el rayo que al atravesar la superficie de separación de los dos medios, sufre un cambio de dirección. · Ángulo de incidencia: es el ángulo formado entre el rayo incidente y la normal. · Ángulo de refracción: es el ángulo formado entre el rayo refractado y la normal. · La normal: es la perpendicular a la superficie de separación y pasa por el punto de incidencia. Leyes de la refracción de la luz · Primera Ley: El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están situados sobre el mismo plano. - Segunda Ley: El cociente entre el valor del seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción es una constante (Ley de Snell). n 1 sen ui = n 2 sen ur 15. Fotometría y Radiometría «La parte de la Óptica que se ocupa de los focos luminosos, así como de las iluminaciones que producen es la FOTOMETRÍA». La RADIOMETRÍA es la ciencia relacionada con la medida de la radiación electromagnética. La FOTOMETRÍA se restringe al rango visible del espectro y tiene en cuenta la respuesta del ojo humano Hasta ahora nos hemos ocupado del flujo radiante y todas las magnitudes relacionadas con él desde un punto de vista objetivo, midiéndolo en unidades de energía o potencia. Sin embargo, no podemos eludir que los fenómenos ópticos deban ser observados por nuestros ojos, y el flujo radiante no nos dice nada de la sensación subjetiva que produce dicho flujo. En el ojo humano no produce ninguna sensación un flujo radiante compuesto de radiaciones infrarrojas o ultravioletas aunque la energía que transportan sea bastante grande; y tampoco tiene la misma sensación Para los rayos visibles de distintas longitudes de onda (distintos colores). Así por ejemplo, para que los rayos rojos produzcan la misma sensación de intensidad que los verdes su potencia tendrá que ser mucho mayor que los verdes. Desde este punto de vista adquiere más importancia la percepción luminosa que la percepción Figura 12. Reflexión y refracción de la luz. RI es el rayo incidente, RR’ es el rayo reflejado, RR es el rayo refractado, N es la normal, n 1 y n 2 son los índices de reflexión y refracción de los medios de propagación, ui, ur’, ur son respectivamente los ángulos de incidencia, reflexión y refracción. 142 energética; para su estudio se hace necesario establecer el paso de las magnitudes energéticas a las características de la percepción luminosa, e introducir un sistema de unidades adaptado a las propiedades del ojo. Para introducir una magnitud que caracterice el poder de sensación del flujo radiante, es necesario estudiar la sensibilidad que tiene el ojo para con las ondas luminosas de distinta longitud de onda; para lo cual, tomamos dos focos luminosos, emisores del mismo flujo energético, pero de radiaciones distintas .amarillo verdosa y roja. y con ellos iluminamos, independientemente, pero a la vez y a la misma distancia, a dos partes de una pantalla, la sensación de luminosidad para un ojo normal medio, es mayor en la región que recibe luz amarillo-verdosa; la cual, para el mismo flujo de energía, es siempre la que proporciona sensación de mayor luminosidad. Obtenemos la sensación de luminosidad para un ojo normal medio, como resultado del reconocimiento de un gran número de personas, sometiéndose a la experiencia de equilibrar la iluminación subjetiva en dos partes de una pantalla iluminada por dos haces de luz cuyas longitudes de onda se diferencia muy poco entre sí. Cada radiación tiene su luminosidad relativa con respecto a la amarillo-verdoso de 555 nm de longitud de onda, para la cual el ojo normal medio tiene su máxima luminosidad relativa. «Entendemos por LUMINOSIDAD RELATIVA o FACTOR DE EFECIENCIA (V λ ) de una radiación, el cociente de los flujos energéticos de la luz de 555 nm, por el de la radiación, para que produzca en el ojo humano la misma sensación de luminosidad». Así, por ejemplo, una radiación tiene una luminosidad relativa 0,5, cuando su flujo de energía tiene que ser doble que la correspondiente a la luz amarillo-verdosa (555 nm) para provocar la misma sensación de luminosidad en el ojo humano. Basándose en numerosas mediciones y con gran número de observadores, se construyó la curva de sensibilidad relativa con la longitud de onda (V λ ), que caracteriza al ojo normal medio; esta curva tiene su máximo, como ya se ha dicho, cuando l = 555 nm, condicionalmente tomado como unidad para V λ . La curva representada en la Fig. 20 es tomada como patrón por la Comisión Internacional de Iluminación (CIE) Para establecer una relación entre las unidades energéticas y las características subjetivas de la sensación que producen, definimos primeramente: «FLUJO RADIANTE DE UN FOCO LUMINOSO PUNTUAL A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE (R), como la energía que pasa a través de una superficie situada a una cierta distancia del foco, en la unidad de tiempo (Fig. XXVI-21)». Se mide en vatios. Debido a que la energía radiante en un medio homogéneo se propagan en forma rectilínea, entonces al trazar desde el foco puntual F el conjunto de rayos que se apoyan sobre el contorno de la superficie dS, obtendremos un cono que limita el flujo que pasa a través de ella producido por F, si dentro del cono no hay absorción de energía. La sección del cono de superficie esférica con centro en F y radio unidad, da la medida del ángulo sólido (de) del cono; si dS forma un ángulo ¢ con el eje del cono y la distancia de F hasta la superficie es r, sabemos que: de = dS cos ¢/r 2 , correspondiéndole el mismo flujo radiante que para dS, siempre que no exista, como ya hemos dicho, absorción de energía por el medio. Visto lo anterior, valoramos las características subjetivas del flujo radiante, definiendo: FLUJO LUMINOSO DE UN FOCO PUNTUAL dentro de un ángulo sólido determinado y para una longitud de onda dada, como su flujo energético referido a su capacidad de producción de luminosidad, y es igual al producto de su flujo energético por su luminosidad relativa o factor de eficiencia. Figura 13. Curva del factor de eficiencia V λ en función de la longitud de onda λ de la radiación luminosa. Figura 14. Cono que limita el flujo que pasa a través de su superficie 143 la integral se toma entre 0 e ∞, puesto que para todas las longitudes de onda que se encuentran fuera del espectro visible V λ = 0; también puede definirse para la luminosidad la sensación visual subjetiva que produce una luz de potencia y composición espectral determinadas. Otra magnitud de gran importancia en fotometría es la que definimos como: «INTENSIDAD LUMINOSA DE UN FOCO PUNTUAL, es el flujo luminoso correspondiente a un ángulo sólido unidad (un estereorradián)». Esta fórmula nos determina la intensidad en una dirección dada. Si la fuente es uniforme, es decir, su intensidad luminosa es la misma en todas las direcciones, entonces: I = u/e; de la que podemos obtener el flujo total de la fuente para todas las direcciones sin más que hacer e = 4π estereorradianes, quedándonos para éste: u = 4πI. Para cuantificar las magnitudes fotométricas, se hace necesario tomar a una como magnitud fundamental, la elegida internacionalmente es la INTENSIDAD LUMINOSA. Como unidad fotométrico patrón adoptado por la CIE y para el SI, se toma: La CANDELA (cd) es la intensidad luminosa en una dirección determinada de una abertura perpendicular a esta dirección, que tenga una superficie de 1/600 000 de metro cuadrado y radie como un radiador integral o cuerpo negro a la temperatura de fusión del platino (2 043 K = 1 770 ºC), bajo la presión de 101 325 pascales. La unidad de flujo luminoso, a la que llamamos LUMEN (lm) es por tanto, el flujo emitido por un foco luminoso uniforme y puntiforme de una candela en un ángulo sólido de un estereorradián: 1 lm = 1 cd · sr. El flujo total emitido por dicho foco es 4π lm. Para un foco puntual que emite un vatio de flujo energético de máxima luminosidad relativa (V λ = 1 y l = 555 nm), le corresponde un flujo luminoso de 685 lúmenes; o lo que es lo mismo 1/685 W de radiación de 555 nm corresponden a 1 lm de flujo luminoso. Si consideramos una luz de factor de eficiencia 0,2, un vatio de su energía radiante corresponde a 685 ´ 0,2 lm. Se llama RENDIMIENTO FOTOMÉTRICO de una fuente al cociente entre el flujo luminoso y el flujo radiante; o lo que es lo mismo: al cociente de los lúmenes que produce la fuente a los que debería producir si toda la energía radiante fuese de luz de factor de eficiencia uno. 16. Iluminación Una lámpara es un convertidor de energía. Aunque pueda realizar funciones secundarias, su principal propósito es la transformación de energía eléctrica en radiación electromagnética visible. Hay muchas maneras de crear luz, pero el método normalmente utilizado en la iluminación general es la conversión de energía eléctrica en luz. Tipos de luz Incandescencia 144 Los materiales sólidos y líquidos, al calentarse, emiten radiación visible a temperaturas superiores a 1.000 K; este fenómeno recibe el nombre de incandescencia. Las lámparas de filamentos se basan en este calentamiento para generar luz: una corriente eléctrica pasa a través de un fino hilo de tungsteno, cuya temperatura se eleva hasta alcanzar entre 2.500 y 3.200 K, en función del tipo de lámpara y su aplicación. Existe un límite para este método, que viene descrito por la Ley de Planck para el comportamiento de un radiador de cuerpo negro, de acuerdo con la cual, la distribución espectral de la energía radiada aumenta con la temperatura. A unos 3.600 K o más, se produce un marcado aumento en la emisión de radiación visible y la longitud de onda de la máxima energía se desplaza hacia la banda visible. Es una temperatura cercana al punto de fusión del tungsteno, que es el material utilizado como filamento, de modo que, en la práctica, el límite de temperatura es de unos 2.700 K, por encima del cual la evaporación del filamento resulta excesiva. Una consecuencia de estos desplazamientos espectrales es que una gran parte de la radiación desprendida no se emite en forma de luz, sino en forma de calor en la región de infrarrojos. Por consiguiente, las bombillas de filamentos pueden ser dispositivos de calefacción eficaces y se utilizan en lámparas diseñadas para secar materiales impresos, preparar alimentos y criar animales. Descarga eléctrica La descarga eléctrica es una técnica utilizada en las modernas fuentes de luz para el comercio y la industria, debido a que la producción de luz es más eficaz. Algunos tipos de lámparas combinan la descarga eléctrica con la fotoluminiscencia. Una corriente eléctrica que pasa a través de un gas excita los átomos y moléculas para emitir radiación con un espectro característico de los elementos presentes. Normalmente se utilizan dos metales, sodio y mercurio, porque sus características dan lugar a radiaciones útiles en el espectro visible. Ninguno de estos metales emite un espectro continuo y las lámparas de descarga tienen espectros selectivos. La reproducción del color nunca será idéntica a la obtenida con espectros continuos. Las lámparas de descarga suelen dividirse en las categorías de baja o alta presión, aunque estos términos sólo son relativos, y una lámpara de sodio de alta presión funciona a menos de una atmósfera. Tipos de luminiscencia La fotoluminiscencia se produce cuando la radiación es absorbida por un sólido y reemitida en una longitud de onda diferente. Cuando la radiación reemitida está dentro del espectro visible, el proceso se denomina fluorescencia o fosforescencia. La electroluminiscencia se produce cuando la luz es generada por una corriente eléctrica que pasa a través de ciertos sólidos, como los materiales fosfóricos. Se utiliza en cuadros de instrumentos y letreros luminosos, pero no ha demostrado ser una fuente de luz práctica para la iluminación de edificios o exteriores. Evolución de las lámparas eléctricas Aunque el progreso tecnológico ha permitido producir diferentes lámparas, los principales factores que han influido en su desarrollo han sido fuerzas externas al mercado. Por ejemplo, la producción de las lámparas de filamentos que se utilizaban a principios de siglo sólo fue posible cuando se dispuso de buenas bombas de vacío y del proceso de trefilado del tungsteno. Con todo, fue la generación y distribución de electricidad a gran escala, para satisfacer la demanda de iluminación eléctrica, la que determinó el crecimiento del mercado. La iluminación eléctrica ofrecía muchas ventajas en comparación con la luz generada por gas o aceite, como la estabilidad de la luz, el escaso mantenimiento, la mayor seguridad que supone no tener una llama desnuda y la ausencia de subproductos locales de combustión. Durante el período de recuperación que siguió a la segunda Guerra Mundial, lo importante era la productividad. La lámpara fluorescente tubular se convirtió en la fuente de luz dominante porque con ella era posible iluminar fábricas y oficinas sin sombras y comparativamente sin calor, aprovechando al máximo el espacio disponible. En la Tabla se indican los requisitos de vatiaje y rendimiento lumínico de una lámpara fluorescente tubular típica de 1.500 mm. En el decenio de 1970 aumentó el precio del petróleo y los costes energéticos se convirtieron en una parte importante de los costes de explotación. El mercado demandaba lámparas fluorescentes que produjesen la misma cantidad de luz con un menor consumo eléctrico, por lo que se perfeccionó el diseño de la lámpara de varias maneras. A medida que se 145 aproxima el fin de siglo, aumenta la conciencia de los problemas ambientales globales. Factores como el mejor aprovechamiento de las materias primas escasas, el reciclaje o la seguridad en el vertido de los productos y la continua preocupación por el consumo de energía (sobre todo de la generada a partir de combustibles fósiles) influyen en el diseño de las lámparas actuales. Criterios de rendimiento Los criterios de rendimiento varían según la aplicación. En general, no existe una jerarquía concreta de importancia de estos criterios. Rendimiento lumínico: la emisión de lúmenes de una lámpara determinará su idoneidad en relación con la escala de la instalación y la cantidad de iluminación necesaria. Coloración y reproducción del color: se aplican escalas y valores numéricos independientes a la coloración y a la reproducción del color. Es importante recordar que las cifras sólo son orientativas y que sólo son aproximaciones. Siempre que sea posible, deberán realizarse valoraciones de idoneidad con lámparas reales y con los colores o materiales aplicables a la situación. Vida útil de la lámpara: la mayoría de las lámparas tienen que ser reemplazadas varias veces durante la pervivencia de la instalación de alumbrado y los diseñadores deben reducir al mínimo los inconvenientes para los ocupantes como consecuencia de las averías esporádicas y del mantenimiento. Las lámparas tienen muy diversas aplicaciones. La previsión de vida útil media suele ser un compromiso entre coste y rendimiento. Por ejemplo, la lámpara de un proyector de diapositivas durará unos cuantos cientos de horas, porque es importante que alcance el máximo rendimiento lumínico para conseguir una imagen de buena calidad. Por el contrario, algunas lámparas de alumbrado de carreteras pueden durar hasta dos años, lo que representa unas 8.000 horas de encendido. Además, la vida útil de la lámpara se ve afectada por las condiciones de trabajo, por lo que no existe una cifra válida para todas las situaciones. De igual manera, la duración efectiva de la lámpara puede venir determinada por diferentes formas de deterioro. El fallo físico, como la rotura del filamento o de la propia lámpara, puede venir precedido de una reducción del rendimiento lumínico o de cambios en la coloración. La duración de la lámpara resulta afectada por condiciones ambientales externas como la temperatura, la vibración, la frecuencia de encendido, las fluctuaciones de la tensión de alimentación, la orientación, etcétera. Es preciso observar que la vida media establecida para un tipo de lámpara es el tiempo que tardan en fallar el 50 % de las lámparas de una partida de pruebas. No es probable que esta definición de vida útil sea aplicable a muchas instalaciones comerciales o industriales, por lo que la duración de una lámpara suele ser inferior en la práctica a los valores publicados, que sólo deberán utilizarse a efectos de comparación. Eficiencia: como norma general, la eficiencia de un tipo determinado de lámpara será mejor cuanto mayor sea el régimen de potencia, porque la mayoría de las lámparas tienen cierta pérdida fija. Ahora bien, comparando diferentes tipos de lámparas se observan marcadas variaciones de eficiencia. Es conveniente utilizar las lámparas de mayor eficiencia, siempre que se cumplan al mismo tiempo los criterios de tamaño, color y vida útil. No debe ahorrarse energía a expensas del confort visual o del rendimiento de los ocupantes. En la Tabla 46.2 se ofrecen algunos valores típicos de eficiencia. Niveles de iluminación Cada actividad requiere un nivel específico de iluminación en el área donde se realiza. En general, cuanto mayor sea la dificultad de percepción visual, mayor deberá ser el nivel medio de la iluminación. En varias publicaciones se ofrecen directrices de niveles mínimos de iluminación asociados a diferentes tareas. El nivel de iluminación se mide con un luxómetro que convierte la energía luminosa en una señal eléctrica, que posteriormente se amplifica y permite una fácil lectura en una escala de lux calibrada. Al elegir un cierto nivel de iluminación para un puesto de trabajo determinado, deberán estudiarse los siguientes puntos: • la naturaleza del trabajo; • la reflectancia del objeto y de su entorno inmediato; • las diferencias con la luz natural y la necesidad de iluminación diurna, • la edad del trabajador. Unidades y magnitudes de iluminación En el campo de la iluminación se utilizan habitualmente varias magnitudes. Las más básicas son las siguientes: 146 Flujo luminoso: energía luminosa emitida por una fuente de luz durante una unidad de tiempo. Unidad: lumen (lm). Intensidad luminosa: flujo luminoso emitido en una dirección determinada por una luz que no tiene una distribución uniforme. Unidad: candela (cd). Nivel de iluminación: nivel de iluminación de una superficie de un metro cuadrado que recibe un flujo luminoso de un lumen. Unidad: lux = lm/m 2 . Luminancia o brillo fotométrico: se define para una superficie en una dirección determinada, y es la relación entre la intensidad luminosa y la superficie vista por un observador situado en la misma dirección (superficie aparente). Unidad: cd/m 2 . Contraste: diferencia de luminancia entre un objeto y su entorno o entre diferentes partes de un objeto. Reflectancia: proporción de la luz que es reflejada por una superficie. Es adimensional. Su valor varía entre 0 y 1. Factores que afectan a la visibilidad de los objetos El grado de seguridad con que se ejecuta una tarea depende, en gran parte, de la calidad de la iluminación y de las capacidades visuales. La visibilidad de un objeto puede resultar alterada de muchas maneras. Una de las más importantes es el contraste de luminancias debido a factores de reflexión, a sombras, o a los colores del propio objeto y a los factores de reflexión del color. Lo que el ojo realmente percibe son las diferencias de luminancia entre un objeto y su entorno o entre diferentes partes del mismo objeto. La luminancia de un objeto, de su entorno y del área de trabajo influye en la facilidad con que puede verse un objeto. Por consiguiente, es de suma importancia analizar minuciosamente el área donde se realiza la tarea visual y sus alrededores. Otro factor es el tamaño del objeto a observar, que puede ser adecuado o no, en función de la distancia y del ángulo de visión del observador. Los dos últimos factores determinan la disposición del puesto de trabajo, clasificando las diferentes zonas de acuerdo con su facilidad de visión. Podemos establecer cinco zonas en el área de trabajo (véase la Figura 46.10). Un factor adicional es el intervalo de tiempo durante el que se produce la visión. El tiempo de exposición será mayor o menor en función de si el objeto y el observador están estáticos, o de si uno de ellos o ambos se están moviendo. La capacidad del ojo para adaptarse automáticamente a las diferentes iluminaciones de los objetos también puede influir considerablemente en la visibilidad. Medición Estudios de iluminación Frecuentemente se utiliza una técnica de estudio fundamentada en una cuadrícula de puntos de medición que cubre toda la zona analizada. La base de esta técnica es la división del interior en varias áreas iguales, cada una de ellas idealmente cuadrada. Se mide la iluminancia existente en el centro de cada área a la altura del tablero de una mesa (típicamente a 0,85 metros sobre el nivel del suelo) y se calcula un valor medio de iluminancia. En la precisión del valor de iluminancia media influye el número de puntos de medición utilizados. Existe una relación que permite calcular el número mínimo de puntos de medición a partir del valor del índice de local (Room Index, RI) aplicable al interior analizado. Índice de local (RI) = Longitud x Anchura Altura de montaje x (Longitud + Anchura) Aquí, la longitud y la anchura son las dimensiones del recinto y la altura de montaje es la distancia vertical entre el centro de la fuente de luz y el plano de trabajo. La relación mencionada se expresa de la forma siguiente: Número mínimo de puntos de medición = (x + 2) 2 donde “x” es el valor del índice de local redondeado al entero superior, excepto que para todos los valores de RI iguales o mayores que 3, el valor de x es 4. A partir de la ecuación se obtiene el número mínimo de puntos de medición, pero las condiciones suelen requerir la utilización de un número de puntos superior a este mínimo. 147 13. Referencias Bibliográficas Básica - BEER, Ferdinand P. (1983) Mecánica vectorial para ingenieros. Estática: Sistema Internacional de Unidades (SI). 3ª ed. McGraw-Hill, México. - HEWITT, P., (1991), "Física Conceptual", Addison-Wesley Iberoamericana, S.A., 4ª Edición, España. - FISHBANE, P., GASIOROWICS, S. Y THORNTON, S., (1994), "Física para ciencias e ingeniería, vol. I", Ed. Prentice Hall, México. - MC. KELVEY, J. y GROTCH, H.,(1980), Física para las ciencias e ingeniería, Vol. I y II, 3ra edición, Ed. Harla, México. - SERWAY, R. A., (1992), Física, vol. I y II, 3ra edición, Ed. MC Graw Hill, México. - TIPLER, P.,(2001), Física, vol. Iy II, 4ta edición, Ed. Reverte, Barcelona, España. 6.1. Complementaria - BAIRD, D. C., (1991), Experimentación, 2da Edición, Ed, Prentice Hall, México - GUSSOW, M., (1991), Fundamentos de Electricidad, ed. Mc Graw Hill, México, - HALLIDAY, D. y RESNICK, R., (1982), Física: vol. I y II, Compañía Editorial Continental S.A., México. - ASMAT, H., (1992) Física General III, ed. Hozlo S. C .R. L., Lima, Perú. - KANE, J. W. y STERNHEIM, M.M., (1992), Física, ed. Reverté, Barcelona, España. - KIP, A. F., (1990), Fundamentos de Electricidad y Magnetismo, ed. Mc. Graw Hill, México, - HAYT, W.H., (1992), Teoría Electromagnética, ed. Mac Graw Hill inc., México - KITTEL CH., KNIGHT W., and RUDERMAN M., (1968), Mecánica, Serie Berkeley Physics Course, vol. II, Ed. Reverte S.A. Barcelona, España. 148 14. APENDICE S Í L A B O 1. Datos informativos 1.1 Escuela Académico Profesional : Ingeniería en Informática y Sistemas 1.2 Asignatura : Física General 1.3 Código de la asignatura : IS.0122 1.4 Horas Semanales : Total 05; 03 de teoría, 02 laboratorio 1.5 Año Académico : 2011- I 1.6 Año de estudios : Primero, Sección “B” 1.7 Fecha de inicio y final : Mayo – Agosto del 2011 1.8 Régimen : Semestral 1.9 Área curricular : Ciencias Naturales 1.10 Duración : 17 semanas 1.11 Docente : Hugo Alfredo Torres Muro 1.12 Jefe de Prácticas : 2. Fundamentos de la asignatura 2.1 Aporte de la asignatura al perfil profesional Tiene como propósito brindar al futuro profesional en ingeniería en Informática y Sistemas, conocimientos básicos y fundamentales de la física en lo referente a la mecánica de sólidos y mecánica de fluidos, temperatura, calor y ondas mecánicas. En forma dinámica e interactiva a través de ejemplos y aplicaciones comunes se implementará el aprendizaje, desarrollando la capacidad de análisis y síntesis reflexiva de situaciones problemáticas mediante el uso de instrumentos y equipos, realizando algunas experiencias de laboratorio en un ambiente propicio y adecuado para lograr el uso y aplicación correctos de métodos y procedimientos experimentales. 2.2 Sumilla Magnitudes y Unidades. Vectores. Movimiento en una dimensión. Movimiento en dos dimensiones. Estática del cuerpo rígido. Dinámica. Gravitación. Trabajo y energía. Cantidad de movimiento. Impulsos y choques. Cinemática y dinámica del movimiento rotacional. Movimiento oscilatorio. Mecánica de fluidos. Ondas mecánicas. Temperatura y el calor. 3. Objetivos generales 3.1. Utiliza las leyes de la mecánica newtoniana en la explicación de fenómenos físicos relacionados con la mecánica de sólidos y de fluidos el movimiento periódico, los fenómenos térmicos y las ondas mecánicas, asimilando su importancia en la comprensión de los fundamentos físicos de la Informática. 3.2. Aplicar correctamente métodos y procedimientos de análisis gráfico, de datos teóricos y experimentales para interpretar resultados y establecer conclusiones, que le permita desarrollar su capacidad de reflexión y crítica constructiva para el trabajo en equipo. 149 4. Unidades de Aprendizaje 4.1. Unidad N°01: Magnitudes y Unidades SEMANA C O N T E N I D O S 1 y 2 - Medición. Unidades. Magnitudes escalares y vectoriales. Representación gráfica. Suma y diferencia de vectores. Componentes rectangulares de un vector. Vector unitario. Vector de posición. Producto escalar. Producto vectorial. 4.2. Unidad N°02: Movimiento en una y dos dimensiones SEMANA C O N T E N I D O S 3 y 4 - Movimiento con velocidad constante. Movimiento con aceleración constante. Caída libre de los cuerpos. Movimiento en dos dimensiones. Movimiento de proyectiles. Movimiento circular. Velocidad y aceleración Angular. Cinemática de la rotación 4.3. Unidad N°03: Estática del cuerpo rígido SEMANA C O N T E N I D O S 5 - Definiciones. Fuerzas concurrentes y paralelas. Torque de una fuerza y de varias fuerzas. Condiciones de equilibrio de una partícula y de un cuerpo rígido. 4.4. Unidad N°04: Dinámica SEMANA C O N T E N I D O S 6 - Definiciones. Ley de la Inercia. Segunda ley de Newton. El peso. Tercera ley de Newton. Ley de Gravitación universal. Fuerzas de Rozamiento. Fuerza Centrípeta. 4.5. Unidad N°05: Trabajo y energía SEMANA C O N T E N I D O S 7 - Trabajo de una fuerza constante. Potencia. Energía Cinética. Fuerzas Conservativas y no conservativas. Energía Potencial. Conservación de Energía Mecánica. 4.6. Unidad N°06: Cantidad de Movimiento y choques SEMANA C O N T E N I D O S 8 - Cantidad de movimiento e impulso. Conservación de la cantidad de movimiento. Choques perfectamente elásticos. Coeficiente de restitución. Choques perfectamente inelásticos. 150 4.7. Unidad N°07: Dinámica rotacional SEMANA C O N T E N I D O S 9 - Cinemática de la rotación de un cuerpo rígido. Dinámica de la rotación de un cuerpo rígido. Momento de inercia de cuerpos rígidos. Teorema de Steiner. Teorema del trabajo y la energía en la rotación de cuerpos rígidos. 4.8. Unidad N°08: Movimiento oscilatorio SEMANA C O N T E N I D O S 10 - Introducción. El movimiento armónico Simple. Masa sujeta a un resorte. Energía cinética y potencial en el M.A.S., El péndulo simple. El péndulo físico. Péndulo de torsión. 4.9. Unidad N°09: Mecánica de fluidos SEMANA C O N T E N I D O S 11 y 12 - Densidad y presión. Variación de la presión con la profundidad. Mediciones de la presión. Principio de Pascal. Principio de Arquímedes. Tensión Superficial. Capilaridad. Viscosidad. Características de un fluido en movimiento. Ecuación de Continuidad. Ecuación de Bernoulli y sus aplicaciones. 4.10. Unidad N°10: Ondas mecánicas SEMANA C O N T E N I D O S 13 - Introducción. Ondas armónicas. Superposición de ondas. Ondas Transversales y Longitudinales. Ondas sonoras. Características del sonido. Efecto Doppler. Contaminación sonora. 4.11. Unidad N°11: Temperatura y Calor SEMANA C O N T E N I D O S 14 - Escalas de temperaturas. Equivalente mecánico del calor. Calor específico y capacidad calorífica. Cambios de Fase y Calor Latente. Mecanismos de Transferencia de calor. Dilatación térmica de sólidos. 5. Estrategias metodológicas 5.1 Método de enseñanza aprendizaje Para lograr la participación de los estudiantes en el desarrollo del curso y motivarlo para el estudio de la física usaremos el método lógico, a través de procesos inductivos - deductivos desarrollando las clases en forma de conferencias interactivas, las cuales serán complementadas con ejemplos de aplicación y prácticas dirigidas. 151 5.2 Técnica de enseñanza aprendizaje Algunas leyes de la física y sus aplicaciones serán comprobadas y/o verificadas en forma experimental (técnica del redescubrimiento) a través prácticas de laboratorio, a cargo del profesor Jefe de Prácticas, y otros de interés para su formación profesional, a través de trabajos de investigación encargados y asesorados por el profesor del curso. 5.3 Instrumentos de enseñanza aprendizaje Clases teóricas y experimentales Trabajos de investigación monográficos Informes de prácticas de laboratorio 6. Sistema de evaluación 6.1. Técnicas de Evaluación - Exámenes Parciales (EP) - Prácticas Calificadas (PC) - Trabajos de Investigación (TI), 01, durante el desarrollo de cada semestre académico - Prácticas de laboratorio (PL), en el laboratorio de Física General - Prácticas Dirigidas (PD), en horas de clases teóricas. 6.2. Instrumentos de Evaluación - Evaluaciones escritas tipo cuestionario de teoría y problemas - Informes de prácticas de laboratorio según formato especial - Trabajos de investigación monográficos - Resolución de problemas en la pizarra en las prácticas dirigidas - Asistencia puntual a clases y prácticas de laboratorio - Responsabilidad en la presentación de informes y trabajos de investigación 6.3. Promedio Final - De las prácticas de laboratorio, prácticas dirigidas y trabajos de investigación se obtendrán un promedio. De exámenes parciales y prácticas calificadas otro promedio. - Sólo las notas del promedio final serán redondeadas. El estudiante con promedio final 10,5 o más es aprobado. El promedio final se obtiene con la siguiente fórmula: P. F. = 0,4 0 (PD, PL, TI) + 0,60(EP, PC) 7. Bibliografía - FISHBANE, P., GASIOROWICS, S. Y THORNTON, S., (1994), Física para ciencias e ingeniería, vol. I, Ed. Prentice Hall, México. - SERWAY, R. A., (1992), Física, vol. I y II, 3ra edición, Ed. MC Graw Hill, México. - TIPLER, P.,(2001), Física, vol. Iy II, 4ta edición, Ed. Reverte, Barcelona, España. - HALLIDAY, D. y RESNICK, R., (1982), Física: vol. I y II, Compañía Editorial Continental S.A., México. - ALONSO, M. y FINN E.J., Física: vol. I, Mecánica, Ed. Fondo Educativo Interamericano, S.A., Bogotá, 1970 - MC. KELVEY, J. y GROTCH, H., Física para las ciencias e ingeniería, Vol. I, Ed. Harla, México, 1980 - RESNICK, HALLIDAY, KRANE, (1995), Física, Ed. Cecsa, México - SEARS, F. - ZEMANSKY, M. y YOUNG, (1998), Física Universitaria, Ed. A. Wesley, México. - BAIRD, D.C., (1991), "Experimentación: Una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos ", 2 da ed., Ed. Prentice Hall, México. - GIAMBERARDINO V. (1998), Teoría de Errores, ed. Reverté Venezolana, S.A., Caracas. - GOLDEMBERG, J., (1970), "Física General y experimental", Vol. I, Ed. Interamericana S.A., México. 152 AUTOEVALUACONES UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN DEPARTAMENTO DE FISICA PRIMER EXAMEN PARCIAL DE FISICA – Vectores, Estática y Cinemática 1. Calcular las fuerzas de reacciones hacia arriba que se producen en los puntos de apoyo de la figura como consecuencia del sistema de fuerzas aplicadas sobre una barra rígida de 100 N de peso. 2. Un estudiante de Arquitectura lanza hacia arriba desde la azotea del pabellón de aulas de su facultad de 85 m de alto, una piedra, con una rapidez inicial de 25 m/s. Cuando está cayendo la piedra pasa justo por el costado del edificio. Calcular a) el tiempo para que la piedra alcance su altura máxima, b) la altura máxima, c) el tiempo que tarda en pasar por el punto inicial, d) la velocidad de la piedra en ese instante, e) el tiempo total que tarda en llegar al suelo desde que se lanzó, f) la velocidad en ese instante. 3. Una rueda de bicicleta de 50 cm de radio comienza a girar desde el reposo con una aceleración angular constante de 5 rad/s 2 . Después de 10 segundos calcular: a) su rapidez angular, b) el desplazamiento angular, c) la rapidez tangencial de un punto del borde, d) su aceleración total para un punto del borde. 4. Se lanza un proyectil formando un ángulo de 45º con la horizontal con una rapidez inicial de 10 m/s. El objeto se mueve a lo largo de su dirección inicial de movimiento con una aceleración de 20 m/s 2 durante 5s. En ese instante deja de acelerar y empieza a moverse como un proyectil. Calcular: a) la altura máxima alcanzada por el proyectil; b) su tiempo total de vuelo, c) la distancia horizontal máxima alcanzada. 5. Dado los vectores V 1 = 3i - 2j - 5k; V 2 = - 4i + 5j –2k; V 3 = - 3i -5j + 2k. Hallar: La magnitud de la resultante 3V 1 – 2V 2 + 5V 3 El producto V 1 . (V 3 xV 2 ) El producto V 3 x(V 1 .V 2 ) 153 UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN FACULTAD DE CIENCIAS - DEPARTAMENTO DE FISICA NOMBRES Y APELLIDOS:……………………………………………………………………………………………………………… CODIGO: E: mail: EVALUACION PERMANENTE: Estática 1. En general un cuerpo puede tener tres tipos de movimiento simultáneamente. Explique esta afirmación. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- 2. Qué entiende Ud. Por cuerpo rígido. Dar tres ejemplos. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. ¿Que diferencia existe entre centro de gravedad y centro de masa? Haga una representación gráfica. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------- 4. ¿En que consisten las fuerzas concurrentes? Enuncie la 1ra condición de equilibrio de un cuerpo rígido -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------- 5. Para describir el mundo, la física contemporánea recurre a cuatro fuerzas fundamentales. Explique Ud en que consisten las fuerzas electromagnéticas. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 154 UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN FACULTAD DE CIENCIAS - DEPARTAMENTO DE FISICA NOMBRES Y APELLIDOS:……………………………………………………………………………………………………………… CODIGO: EVALUACION PERMANENTE : TEMPERATURA, Calor, Electrostática y Electrodinámica 1. Explique brevemente las diferencias que hay entre contacto térmico y equilibrio térmico.. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. ¿Qué entiende Ud. por calor sensible y calor latente? -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Enuncie y haga una representación gráfica de la ley de Coulomb de la electrostática. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------- 4. Defina el concepto de corriente eléctrica -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. La transferencia de calor se puede realizar por tres mecanismos físicos: conducción, convección y radiación. Explique por lo menos en qué consisten dos de ellos. 155 UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN DEPARTAMENTO DE FISICA PRACTICA CALIFICADA Nº 02 DINAMICA, TRABAJO Y ENERGIA 1. En el sistema de la figura se aplica una fuerza F sobre m = 10 kg. El coeficiente de roce es µ = 0,35 entre cada cuerpo y los planos. Si M = 5 kg y α = 60º y g = 10 m/s 2 . Deducir la magnitud de F para que el sistema se mueva: a) con rapidez constante, b) con aceleración a = 2,5 m/s 2 . R. a) 87,05 N, b)124,55 N 2. Un cuerpo de masa m = 10 kg comienza a moverse a partir del reposo, bajando un plano inclinado de longitud L = 50 m y que forma un ángulo φ = 37º con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento cinético µ = 0,2 determine la aceleración durante el movimiento y la velocidad del cuerpo en el punto más bajo del plano inclinado. R. 4,4 m/s 2 ; 21 m/s. 3. Un carro que pesa 600 N se desliza por una vía férrea como se muestra en la figura, si se considera que no existe rozamiento y que parte del reposo en el punto A; Aplicando la ley de conservación de la energía mecánica ¿Cuál será su velocidad en el punto B, si Ha = 50 m, Hb = 20 m y g = 9,8 m/s 2 . R. 24,24 m/s 4. Un bloque de 3 Kg se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado áspero cuya longitud es de 1 m. El bloque parte del reposo en la parte superior y experimenta una fuerza constante de fricción cuya magnitud es de 5 N, si el ángulo de inclinación del plano es de 30º; a) Utilice el método del teorema del trabajo y la energía para determinar la velocidad del bloque cuando llega al final del plano inclinado, b) Verifique la respuesta obtenida en la parte (a) usando la segunda ley de Newton para encontrar primero la aceleración y luego la velocidad. R. 2,54 m/s, a = 3,23 m/s 2 156 UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN DEPARTAMENTO DE FISICA PRACTICA CALIFICADA Nº 01 VECTORES Y ESTATICA NOMBRES Y APELLIDOS:____________________________________________________________________ CODIGO:_________________________E. Mail:______________________________________________ 1. Si y , calcular su producto escalar, vectorial y el ángulo que forman los vectores. 2. Para los siguientes vectores: 2 = - 3 + 1,5 + 2 ; calcular la magnitud y dirección de cada vector. 3. Dado los vectores de la figura se cumple que: A) a + b + 2c + d = 0 B) b + 2c = a + d C) d = a + b + c D) d = a + b + 2c E) b = 2c – d + a 4. La figura muestra las fuerzas F 1 = 40 N, F 2 =30 N, F 3 =50 N, F 4 =60 N aplicadas a un cuerpo rígido que puede girar en torno de un eje que pasa por O. Calcular el torque resultante si el peso de la barra es de 30 N. 5. El tablón uniforme de la figura de 5 m de largo y peso P está articulado en A e inclinado α grados con la horizontal. En el extremo opuesto está sostenido por una cuerda que forma un ángulo de 90º con el tablón, sosteniendo un peso P/2. Demostrar que a tensión de la cuerda y la fuerza en A. respectivamente son: a) 0.6 P, b) (0.47î + 1.14ĵ)P. 157 UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN DEPARTANETO DE FISICA PRACTICA DIRIGIDA DE FISICA: CINEMATICA 1. un móvil parte desde el reposo en el instante t = 5 s y aceleración la derecha a razón de 2 m/s 2 hasta t = 10 s. A continuación mantiene su velocidad constante durante 10 s. Finalmente frena hasta detenerse, lo que logra hacer 3 segundos más tarde. a) Determinar a qué distancia del punto de partida se encuentra en t = 10 s. b) ¿Con qué velocidad se mueve en ese instante? c) ¿A qué distancia de la partida se encuentra cuando empieza a frenar? d) ¿Dónde se detiene respecto al punto de partida? 2. Tito lanza una piedra hacia arriba desde la terraza de un edificio de 50 m de alto, con una rapidez inicial de 20 m/s. Cuando está cayendo la piedra pasa justo por el costado del edificio. Calcular a) el tiempo para que la piedra alcance su altura máxima, b) la altura máxima, c) el tiempo que tarda en pasar por el punto inicial, d) la velocidad de la piedra en ese instante, e) el tiempo que tarda en llegar al suelo, f) la velocidad en ese instante. 3. Se lanza un cohete formando un ángulo de 60º con la horizontal con una rapidez inicial de 100 m/s. El cohete se mueve a lo largo de su dirección inicial de movimiento con una aceleración de 30 m/s2 durante 3s. En ese instante deja de acelerar y empieza a moverse como un proyectil. Calcular: a) la altura máxima alcanzada por el cohete; b) su tiempo total de vuelo, c) la distancia horizontal. R: a) 1730m, b) 38s, c) 3543m. 4. Una rueda de bicicleta de 30 cm de radio comienza a girar desde el reposo con una aceleración angular constante de 3 rad/s 2 . Después de 10 segundos calcular: a) su rapidez angular, b) el desplazamiento angular, c) la rapidez tangencial de un punto del borde, d) su aceleración total para un punto del borde. R: a) 30 rad/s, b) 150 rad, c) 9 m/s, d) 270 m/s 2 . 158 Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ciencias Departamento de Física EVALUACION PERMANENTE DE FISICA NOMBRES Y APELLIDOS: CODIGO: Unidad Nº 1: VECTORES 1. ¿Qué es la Física para Ud.? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2. ¿Qué es una hipótesis? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3. Indicar en forma ordenada los pasos o partes del método científico ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. ¿En qué se diferencian las magnitudes escalares y las vectoriales? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 5. De acuerdo al Sistema Internacional de Unidades escriba el nombre de la magnitud, la unidad de medida y el símbolo de las tres unidades fundamentales usadas en mecánica. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 6. ¿En qué se diferencian las coordenadas rectangulares de las coordenadas polares? 159 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 7. Explique en que consiste un sistema de referencia y para qué sirven. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8. Escriba tres ejemplos de aplicación de sub múltiplos del SI con la unidad metro, Newton y mol. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 9. Represente gráficamente un vector positivo en el sistema de coordenadas rectangulares indicando cada una de sus partes. 10. Indique las operaciones que se pueden realizar con vectores en el estudio de la física. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 160 Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ciencias – Departamento de Física Evaluación Permanente de Física Movimiento Oscilatorio Nombres y Apellidos:____________________________________________________________________ Código :__________________________E.Mail:_______________________________________________ 1. Un tipo particular es el movimiento armónico simple. En este tipo de movimiento, un cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales sin perder energía mecánica. Pero en los sistemas mecánicos reales se presentan: _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 2. Para la descripción del MAS, podemos resumir algunas propiedades de una partícula que se mueve con un movimiento armónico simple, las cuales son las siguientes: _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 3. Describa el principio de funcionamiento de un péndulo simple y explique sus detalles a través de una figura. _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ 4. Describa el principio de funcionamiento de un péndulo físico __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 5. En los sistemas reales están presentes fuerzas disipativas, como la fricción. Por lo tanto la energía mecánica del sistema se va perdiendo conforme transcurre el tiempo, y se dice que el movimiento es amortiguado. Elabore una gráfica de la posición en función del tiempo para este caso.