Libro de Cuarto Final

Matemática cuarto IGEOMETRÍA Y ALGEBRA CON APLICACIONES PROFESOR CEFERINO RODRIGUEZ MELGAR INTRODUCCIÓN Este libro no pretende sustituir el álgebra sino por el contrario, poner los temas mucho más claros para que cuando el alumno los lea, sea capaz de comprender con mayor facilidad cualquier libro de álgebra que se le presente. Daremos en el mismo todo lo que es necesario conocer para poder comprender los temas de los capítulos posteriores. A su vez, se da una idea, tan precisa como es posible, de qué es el álgebra y cual es su estructura. Esto es con el propósito de aclarar cual será el material que conforma a este libro, pues el término álgebra es usado para nombrar libros cuyo contenido es muy distinto al de éste. De acuerdo a nuestros intereses, todas las secciones de este libro están basadas a lo que realmente necesitamos conocer para poderlas aplicar. Como este libro es para Cuarto, al inicio se hace una recapitulación de todo lo visto en el ciclo básico, el objetivo es complementarlo para que se puedan aprender mejor todos los temas que trataremos. Confiamos en que la estructura del mismo se presta para ello. Gracias a algunos alumnos que han solicitado becas en otros países y que han venido a solicitar ayuda para poder someterse a los exámenes en las embajadas correspondientes, hemos logrado recopilar contenidos de temas que necesitan saber para poder ingresar a las universidades de esos países. Estos temas ya están siendo adicionados a nuestros contenidos para poder lograr sacar a nuestros alumnos con un nivel distinto. He leído que la visión de Kinal es formar a los mejores técnicos para facilitarles su inserción en el campo laboral del país Y “para quienes quieran ingresar posteriormente a la Universidad, proporcionarles una excelente preparación académica”. Nuestra intensión es que nuestros Centro Educativo Kinal Introducción Centro Educativo Kinal II alumnos egresados tengan un nivel internacional también en el área de matemáticas. En la primera sección se presenta un estudio sobre la geometría, pues en todos los documentos que nos han traído está la geometría, esta es la razón por la cual la incluimos y tratamos de que sea muy completa, pues además de esta, agregamos algunos teoremas importantes como el Thales, pues, como la experiencia nos convence, el conocimiento de ésta es fundamental, no solo para pasar a los capítulos siguientes, sino para el acceso del lector a libros de nivel superior que incluyen material más abstracto o avanzado. La segunda sección contiene información al respecto de la naturaleza del álgebra. Creemos que una sección así es digna de cursos de álgebra a nivel universitario, ya que a este nivel nuestros alumnos deben comenzar a concebir el álgebra, y las matemáticas en general, como una ciencia lógica, deductiva y rigurosa, así como también debe percatarse de que el álgebra estudiada aquí, con todo y su estructura, es tan solo una de tantas álgebras posibles y con propósitos distintos, no menos valiosos. El autor. Matemática cuarto III INDICE DE CONTENIDOS UNIDAD 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRÍA Objetivos 3 1.1 Geometría 5 1.1 Polígonos 5 1.1.2 Clasificación 5 1.1.3 Perímetro y área 6 1.1.4 Diagonal 6 1.2 Cuadrado 10 1.3 Rectángulo 10 1.4 Rombo 11 1.5 Romboide 12 1.6 Trapecios 13 1.7 Triángulos 16 1.8 Clasificación 16 1.8.1 Por sus lados 16 Equiláteros 16 Isósceles 16 Escalenos 16 1.8.2 Por sus ángulos 17 Rectángulos 17 Acutángulos 17 Obtusángulos 17 1..8.3 Líneas del triángulo 19 Mediana 19 Mediatriz 19 Bisectriz 19 Alturas 20 1.8.4 Centros del triángulo 20 Baricentro 20 Circuncentro 20 Incentro 21 Ortocentro 21 1.9 La Línea 24 1.9.1 Rectas paralelas 24 1.9.2 Rectas perpendiculares 24 1.10 La circunferencia 25 Centro Educativo Kinal Índice IV 1.10.1 Líneas de la circunferencia 25 Radio 25 Diámetro 25 Cuerda 25 Flecha 26 Tangente 26 Secante 26 1.11 Polígonos regulares 28 1.11.1 Apotema 28 1.11.2 Volumen 31 1.12 Poliedros 31 Caras 31 Diagonal 31 Angulo diedro 31 Angulo poliedro 32 Arista 32 Vértice 32 Formulario 32 Problemas propuestos 34 1.13 Angulos 50 1.13.1 Por su tamaño 50 Agudos 50 Rectos 50 Obtusos 51 Llanos 51 1.13.2 Transportador 51 1.14 Rectas, rayos y segmentos 52 1.15 Teorema de rectas paralelas Para ángulos 54 1.16 Teorema de Thales 58 1.16.1 Teorema de rectas paralelas Para segmentos 58 1.16.2 Teorema de triángulos 60 1.16.3 Triángulos semejantes 64 UNIDAD 2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ALGEBRA Objetivos 75 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto V 2.1 Algebra 75 2.2 Notación algebraica 75 2.3 Leyes de exponentes 76 2.4 Radicales 81 2.4.1 Simplificación de radicales 84 2.5 Racionalización 85 2.6 Productos notables 89 2.6.1 Cuadrado de un binomio 89 2.6.2 Producto de la forma (x + a)(x + b) 92 2.6.3 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades iguales 93 2.6.4 Cubo de un binomio 95 2.6.5 Cuadrado de un trinomio 96 2.7 Factorización 98 2.7.1 Término Algebraico 98 2.7.2 Factor común 100 2.7.3 Diferencia de cuadrados 102 2.7.4 Suma y diferencia de cubos 104 2.7.5 Trinomios 106 2.7.6 Agrupación de términos 115 2.7.7 Cubo perfecto de binomios 116 2.8 Simplificación de fracciones 118 2.8.1 Sumas y restas de fracciones 121 2.8.2 Multiplicación de fracciones 122 2.8.3 División de fracciones 123 UNIDAD 3 ECUACIONES Objetivos 129 3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita 130 3.1.1 Ecuaciones con coeficiente fraccionario 136 3.1.2 Problemas resueltos 143 3.2 Ecuaciones de segundo grado 155 3.2.1 solución por Factorización 155 3.2.2 Completación al cuadrado 157 3.2.3 Fórmula cuadrática 162 3.2.4 Problemas de aplicación 168 Centro Educativo Kinal Índice Centro Educativo Kinal VI UNIDAD 4 NUMEROS COMPLEJOS E INECUACIONES Objetivos 173 4.1 Números complejos 174 4.1.1 Operaciones con números complejos 175 4.2 Ecuaciones de otros tipos 177 4.3 Desigualdades lineales o inecuaciones 183 4.4 Más sobre desigualdades 190 UNIDAD 5 FUNCIONES Y GRAFICAS Objetivos 197 5.1 Plano cartesiano 197 5.2 Distancia entre dos puntos 200 5.3 Fórmula de Herón 201 5.4 Punto medio 205 5.5 Ecuación de la recta 206 5.6 Gráficas de ecuaciones 211 5.7 Ecuación de la circunferencia 220 5.8 La recta 225 5.8.1 Ecuación estandar de la recta 225 5.8.2 Ecuación general de la recta 226 5.8.3 Pendiente 226 5.8.4 Rectas paralelas 227 5.8.5 Rectas perpendiculares 227 Bibliografía 239 Matemática cuarto Centro Educativo Kinal 1 Primera unidad: Geometría 2 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 3 OBJETIVOS Durante el curso se tratará de lograr que todos los alumnos sean capaces de:  Conocer y desarrollar capacidades de deducción y lograr demostraciones, mediante un conjunto de razonamientos.  Manifestar habilidades para deducir, demostrar teoremas y resolver problemas de aplicación.  Correlacionar, y organizar los diferentes subtemas de estudio y su verdadera utilización.  Desarrollar, confianza en sus habilidades matemáticas y lógicas para poderlas aplicar en las distintas demostraciones.  Alcanzar actitudes de orden, perseverancia y optimismo en sus avances y logros a nivel del conocimiento de la geometría plana. Geometría plana Introducción: Las matemáticas, históricamente, comenzaron con la geometría. Esta se necesitaba para medir las tierras (de ahí viene su nombre), y en general para las obras (puentes, acueductos, edificios, etc.) que se realizaban. La geometría es la rama de las Matemáticas que ha estado sometida a más cambios a lo largo de la historia. Con los griegos alcanzó su plenitud, después cayó en el olvido como consecuencia de los éxitos del Álgebra y del Cálculo. En el siglo XIX recobró la importancia que tiene actualmente. La Geometría se divide en diversas ramas: pura o elemental, analítica, diferencial y proyectiva El libro de Geometría más importante es “Elementos” cuyo autor es Euclides. El quint o post ulado de Euclides es una de las cuestiones mas controvertidas de la historia de las matemáticas. Otros importantes matemáticos en la historia de la geometría han sido: Pitágoras, Thales de Mileto, Descartes, Euler y Gauss. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 4 Importancia ¿Por qué estudiar geometría? El alumno que empieza a estudiar geometría, puede preguntar con toda razón: ¿Que es la geometría? ¿Que gano con estudiarla?. Uno de los beneficios de la geometría es que el estudiante adquiere un criterio al escuchar leer y pensar. Cuando estudia geometría, deja de aceptar a ciegas proposiciones e ideas y se le enseña a pensar en forma clara y crítica, antes de hacer conclusiones. Otro es el adiestramiento en el uso exacto del idioma y en la habilidad para analizar un problema nuevo, para diferenciar sus partes cruciales y aplicar la perseverancia, originalidad y razonamiento lógico para resolver el problema. Los estudiantes deben conocer lo que las ciencias matemáticas y los matemáticos han aportado a nuestra cultura y civilización. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 5 GEOMETRIA La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades de las formas o figuras del espacio, como son: Puntos, rectas, planos, curvas, polígonos, superficies, poliedros, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, la regla, el teodolito, el pantógrafo etc. Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías). 1.1 POLÍGONOS Figura geométrica plana cerrada que no se corta a si misma. 1.1.2 Clasificación de los Polígonos Los polígonos se clasifican básicamente en:  POLÍGONOS REGULARES  POLÍGONOS IRREGULARES Polígono Regular Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud. Se clasifican en: - triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados, - cuadrado: polígono regular de 4 lados, - pentágono regular: polígono regular de 5 lados, - hexágono regular: polígono regular de 6 lados, - heptágono regular: polígono regular de 7 lados, - octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 6 1.1.3 PERÍMETRO Y ÁREA DE LOS POLÍGONOS. Perí metro de un pol í gono El perí metro es l a l ongi tud de toda l a ori l l a de una fi gura, es deci r, es l a suma de todos l os l ados de un pol í gono Area de un polígono Es l a medi da de l a regi ón o superfi ci e encerrada por una fi gura pl ana Ejempl o 20 cm 5cm 5cm 20 cm Si el rectángul o anteri or ti ene 20 cm de l argo y 5 cm de ancho, su perí metro es de 20cm + 5cm + 20cm + 5 cm = 50cm. Y su área es de 20cm(5cm) = 100cm 2 1.1.4 DIAGONAL Es una l í nea recta que se traza dentro de un pol í gono de esqui na a esqui na. Para encontrar el número de diagonales que tiene un polígono regular, podemos utilizar la siguiente fórmula: 2 ) 3 ( ÷ = n n D En donde n es el número de lados o vértices del polígono Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 7 Ejemplo 1: Encuentre el número de diagonales que tiene un exágono 2 ) 3 ( ÷ = n n D 9 2 ) 3 ( 6 2 ) 3 6 ( 6 = = ÷ = D Tambi én podemos obtener el número de l í neas que ti ene un pol í gono, por ejempl o, en el exágono anteri or encontramos el número de di agonal es que ti ene, pero podemos encontrar el número de l í neas que ti ene i ncl uyendo l as de l as ori l l as. Vamos a poner un ejempl o senci l l o que puede ser una apl i caci ón: si hay 6 personas en una reuni ón y al despedi rse se dan un apretón de manos cada una, podemos hacer el ejempl o gráfi co, señal ando con una l í nea cada apretón de manos. Escri bi mos pri mero 6 puntos que representan l as 6 personas y vayamos uni endo cada punto con una l í nea, esto representará l as veces que da l a mano cada persona. Estos movi mi entos se representan en l as si gui entes gráfi cas. . . . . 1) . . Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 8 . . 2) . . . . . . 3) . . . . . . 4) . . . . . . 5) . . Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 9 Estas son l as veces que da l a mano el pri mero. Si gui endo con l a segunda persona nos queda Y al termi nar de dar l a mano todas l as personas, cubri endo todos l os puntos obtenemos l a mi sma fi gura que l a anteri or Contando l as l í neas nos damos cuenta que son 15 porque se cuentan tambi én l as de l as ori l l as, en l a anteri or eran 9 porque úni camente se contaban l as di agonal es. Esto i ndi ca que 6 personas, dándose l a mano todas, se obtendrán 15 apretones de manos. Este número de l í neas se puede encontrar a través de l a si gui ente fórmul a. 2 2 n n N ÷ = Que tambi én se puede escri bi r 2 ) 1 ( ÷ = n n N En donde a l a N es el número de l í neas del pol í gono y n es el número de l ados que ti ene Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 10 1.2 CUADRADO Un cuadrado es una fi gura geométri ca que ti ene cuatro l ados i gual es y sus ángul os son rectos, es deci r, de 90 o d l l = l ado di agonal 2 l d = Perí metro l p 4 = Area 2 l A = Ejemplo 2: Encuentre el área, l a di agonal y el perí metro de un cuadrado de 6m de l ado. Solución: 2 l A = 2 l d = l p 4 = 2 ) 6 ( m A = 2 6m d = ) 6 ( 4 m p = A=36m 2 d=8.49m p=24m 1.3 RECTANGULO Un rectángulo es una figura geométrica que tiene cuatro lados pero no son iguales los cuatro, son iguales los lados paralelos entre sí. Sus ángulos sí son rectos. d h b Di agonal 2 2 h b d + = Perí metro ) ( 2 h b P + = Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 11 Area h b A * = Ejemplo3: Encuentre el perí metro, l a di agonal y el area de un rectáncul o que mi de 12m de l argo y 8 m de ancho. Solución: uti l i zando l as fórmul as que conocemos Perí metro ) ( 2 h b P + = ) 8 12 ( 2 + = P ) 20 ( 2 = P P = 40m. Di agonal 2 2 h b d + = 2 2 h b d + = 2 2 2 2 2 208 64 144 ) 8 ( ) 12 ( m m m m m d = + = + = D=14.42m Area h b A * = A = 12m(8m) A = 96m 2 1.4 ROMBO Un rombo es una fi gura geométri ca en l a cual todos sus l ados son i gual es, es deci r, ti enen l a mi sma l ongi tud y son paral el os dos a dos; se di ferenci a del cuadrado en que sus ángul os no son rectos, podrí amos deci r que es un cuadrado deformado. l P 4 = Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 12 2 *d D A = Ejemplo 4: Encuentre el área y el perí metro del si gui ente rombo Solución P = 4*17 = 68cm. P = 68cm. 2 240 2 16 * 30 cm A = = A = 240cm 2 1.5 ROMBOIDE El romboide es un paralelogramo cuyos lados adyacentes y ángulos consecutivos son de distinta medida. Los lados paralelos miden lo mismo, podríamos decir que es un rectángulo deformado puesto que sus ángulos no son rectos. Area de un Romboi de P=2(a + b) A= bh Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 13 Ejemplo 5: Encuentre el área y el perí metro del si gui ente romboi de Solución: P = 2(4+4.5) = 2(8.5) =15cm A = 4(4) = 16cm 2 1.6 TRAPECIOS Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos se llama altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos. b h a Tipos de trapecios Los trapecios pueden ser: isósceles, rectángulos y escalenos.  Se llama trapecio isósceles si tienen igual medida los lados no paralelos.  Los trapecios escalenos se caracterizan porque no tienen ninguno de sus lados igual a otro y tampoco tienen ningún ángulo recto. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 14  Trapecio rectangular es el que tiene un lado perpendicular a sus bases. La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases. 2 b a m + = En un trapecio isósceles: los ángulos adyacentes a cada base tienen la misma amplitud, y los ángulos opuestos son suplementarios. Cálculo de la altura de un trapecio La altura (h) de un trapecio puede calcularse, en función de las dos bases (a,b) y de los dos lados (c,d), mediante la siguiente ecuación: | | ) ( 2 ) ( 4 2 2 2 2 2 b a b a d c d c h ÷ ÷ ÷ + ÷ = 2 b c h d a En donde a es la base mayor, b la base menor y, los lados no paralelos son c y d. Área de un trapecio El área A de un trapecio de bases a y b y altura h es: 2 ) ( b a h A + = Es decir, la semisuma de las dos bases, o sea la mediana, multiplicada por la altura del trapecio. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 15 Ejemplo 6: Encuentre el área de un trapecio cuyas bases miden 17cm y 8cm respectivamente y sus lados no paralelos miden 5cm y 7.21cm. Solución: Como no me dan la altura y la necesito para encontrar el área, tengo que buscarla primero a través de la fórmula | | ) ( 2 ) ( 4 b a b a d c d c h ÷ ÷ ÷ + ÷ = 2 2 2 2 2 2 | | ) 8 17 ( 2 ) 8 17 ( 21 . 7 5 ) 21 . 7 ( ) 5 ( 4 ÷ ÷ ÷ + ÷ = h 2 2 2 2 2 2 | | ) 9 ( 2 ) 9 ( 9841 . 51 25 ) 9841 . 51 )( 25 ( 4 ÷ + ÷ = h 2 18 ) 0159 . 4 ( 41 . 5198 ÷ ÷ = h 2 18 = h 12745281 . 16 41 . 5198 ÷ 18 = h 28254719 . 5182 18 = h 988 . 71 h = 4 Ahora que ya tenemos la altura, utilizamos la fórmula para encontrar el área Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 16 2 A = ) ( b a h + 2 = A ) 8 17 ( 4 + 2 = A ) 25 ( 4 2 = A 100 A = 50cm 2 1.7 TRIÁNGULOS Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados determinado por tres segmentos de 3 rectas que se cortan en 3 puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana. Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico. La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo será siempre de 180 0 1.8 CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS 1.8.1 POR LA LONGITUD DE SUS LADOS Los triángulos, por la longitud de sus lados se clasifican en: Equiláteros, isósceles y escalenos Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 17 Triángulos equiláteros: Son los triángulos que tienen la misma medida en todos sus lados Triángulo Isósceles: Son los triángulos que tienen dos lados iguales y su tercer lado tiene diferente medida Triángulo escaleno: Son los triángulos que no tienen ningún lado con la misma medida. Equilátero Isósceles Escaleno 1.8.2 POR LA MEDIDA DE SUS ANGULOS Los triángulos, por la medida de sus ángulos se clasifican en: Triángulo rectángulo, triángulo obtusángulo y triángulo acutángulo Triángulos Rectángulos: Son los triángulos que tienen un ángulo recto o de 90 o Triángulos Obtusángulos: Son los triángulos que tienen un ángulo obtuso o que mide más de 90 o Triángulos Acutángulos: Son los triángulos que tienen sus tres ángulos agudos que miden menos de 90 o Rectángulo Obtusángulo Acutángulo Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 18 Ejemplo 7. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm. Respectivamente. Solución: Como el triángulo es rectángulo, podemos encontrar el área directamente ya que en un triángulo rectángulo los catetos son la base y la altura A = bh = 6*8 A = = 48cm 2 . Para encontrar el perímetro necesitamos conocer el tercer lado, que en este caso, por ser triángulo rectángulo es la hipotenusa. En un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los dos catetos elevados al cuadrado C 2 = a 2 + b 2 2 2 b a c + = 2 2 8 6 + = c 64 36 + = c 100 = c c = 10cm. Ahora ya podemos encontrar el perímetro P = a + b + c P = 6cm + 8cm + 10cm P = 24 cm. Ejemplo 8 Encuentre el área de un triángulo cuyos lados miden 3cm, 4cm y 5cm. Solución: Como no me indican que sea un triángulo rectángulo, asumiremos que únicamente es escaleno. Para encontrar el área de cualquier triángulo, conociendo la longitud de sus tres lados, podemos utilizar la fórmula de Herón Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 19 ) )( )( ( c s b s a s s A ÷ ÷ ÷ = En donde s es el semiperímetro del triángulo. Semiperímetro significa la mitad del perímetro que es lo mismo que semisuma o sea la mitad de la suma. 2 s = c b a + + 2 12 2 = = s s 5 4 3 + + s = 6 36 ) 1 )( 2 )( 3 ( 6 ) 5 6 )( 4 6 )( 3 6 ( 6 = = ÷ ÷ ÷ = A A A A = 6cm 2 1.8.3 LÍNEAS DEL TRIANGULO MEDIANA La mediana es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, sin importar que sea perpendicular o no a este lado. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 20 MEDIATRIZ Es una línea recta que corta a la mitad el lado del triángulo pero es perpendicular a él. La mediana y la mediatriz cortan un segmento a la mitad; La diferencia entre ellas es que la mediana no es perpendicular al lado que corta y la mediatriz sí. BISECTRIZ Es una línea recta que divide al ángulo en dos partes iguales, es decir, parte a un ángulo a la mitad ALTURAS Son líneas rectas que pasa por los vértices pero son perpendiculares al lado opuesto de éste Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 21 1.8.4 CENTROS DEL TRIÁNGULO Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo: BARICENTRO El baricentro es el punto de intersección de las medianas de cada uno de los lados del triángulo. CIRCUNCENTRO El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices de cada uno de los lados del triángulo. Recibe este nombre por ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. INCENTRO Se denomina al punto en el que se cortan las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo. Tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscrita en dicho triángulo, ya que equidista de sus tres lados. El incentro puede hallarse intersectando sólo dos bisectrices, pues la tercera pasará siempre por este punto. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 22 ORTOCENTRO es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas. El único caso en que los tres primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero. El área de un triángulo se encuentra multiplicando la base por la altura dividido 2 2 bh A = Y el perímetro es la suma de la longitud de sus tres lados. Ejercicios 1 1. Encuentre el área, la diagonal y el perímetro de un cuadrado que tiene 3 m de lado. 2. Hallar la diagonal, el perímetro y el área de un cuadrado de 5 cm de lado. 3. Encuentre el número de diagonales que tiene un eptágono 4. Encuentre el número de diagonales que tiene un eneágono 5. Encuentre el número de líneas que tiene un octágono Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 23 6. Encuentre el número de líneas que tiene un pentágono 7. A una fiesta acudieron 8 personas. Si todos eran educados y al retirarse se despiden dándose un apretón de manos cada uno. ¿Cuántos apretones de manos se contaron en total? 8. A una fiesta acudieron 15 personas. Si todos eran educados y al retirarse se despiden dándose un apretón de manos cada uno. ¿Cuántos apretones de manos se contaron en total? 9. Encuentre el área, la diagonal y el perímetro de un rectángulo que tiene 15 cm de longitud y 12 cm de ancho. 10. Hallar el la diagonal, el área y el perímetro de un rectángulo cuya base mide 25 cm y su altura 15cm. 11. Encuentre el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 15cm y 9 cm respectivamente y sus lados 10 cm. 12. Encuentre el área y el perímetro de un rombo que tiene diagonales de 25cm y 15 cm y sus lados miden 18cm. 13. Encuentre el área y el perímetro de un romboide que miden 5cm y 6 cm respectivamente sus lados y su altura mide 4 cm. 14. Encuentre el área y el perímetro de un romboide cuya altura es de 6 cm. Y sus lados miden 7cm y 9 cm. 15. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 113cm y 7 cm respectivamente y sus lados no paralelos miden 5 cm. 16. Encuentre el àrea y el perímetro de un trapecio isósceles que miden 23 cm y 5 cm sus lados paralelos y 15 cm sus lados no paralelos. 17. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 10 cm y 6 cm respectivamente y su altura mide 3 cm. 18. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 9 cm y 6 cm respectivamente y su altura mide 4 cm. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 24 19. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 16 cm y 4 cm respectivamente y su altura mide 8 cm. 20. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 21 cm y 3 cm respectivamente y su altura mide 12 cm. 21. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio equilátero cuyas bases miden 24 cm y 5 cm y sus lados no paralelos miden 20 cm y 12.34 cm respectivamente. 22. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio equilátero cuyas bases miden 18 cm y 3 cm y sus lados no paralelos miden 15 cm y 9.4868 cm respectivamente. 23. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo equilátero que sus lados miden 9 cm. 24. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo equilátero cuyos lados miden 12 cm. 25. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo equilátero cuya altura mide 5 cm 26. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo que tiene una altura de 12 cm. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 25 1.9 LA LINEA Es una sucesión continua de puntos contenidos en un plano. Esta puede ser: - Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección. - Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura. - Línea quebrada o poligonal, formada por segmento rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos. Propiedades de líneas rectas 1.9.1 Rectas paralelas: Son líneas que se encuentran a la misma distancia en toda su trayectoria, es decir, aunque se prolonguen indefinidamente nunca se encuentran o intersectan 1.9.2 Rectas perpendiculares Son líneas que cuando se cruzan o intersectan forman ángulos rectos o de 90 0 Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 26 1.10 LA CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro punto fijo llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. 1.10.1 Líneas de la circunferencia Radio Diámetro Cuerda Flecha Tangente Secante Radio Es un segmento que sale del centro a cualquier parte de la circunferencia Diámetro Es un segmento que atraviesa a la circunferencia pasando por el centro, es decir, divide a la circunferencia en dos partes iguales Cuerda Es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 27 Flecha Segmento que une el punto medio de una cuerda con un punto de la circunferencia y es perpendicular a dicha cuerda. Tangente Es una recta que pasa por un punto de la circunferencia pero sin introducirse a ella, la recta tangente es siempre perpendicular al radio de la circunferencia Secante Es una recta que pasa por dos puntos de la circunferencia. Se diferencia de la cuerda en que la secante atraviesa a la circunferencia. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 28 AREA O SUPERFICIE El área o superficie de una circunferencia se encuentra de la siguiente forma Cuando se conoce el radio 2 r A t = Cuando se conoce la longitud del diámetro podemos encontrar el radio, ya que el diámetro es el doble del radio El perímetro o longitud de la circunferencia se encuentra de la siguiente forma r P t 2 = Ejemplo: Encontrar el área y el perímetro de una circunferencia que tiene un diámetro de 4 metros Solución: En este caso que nos dan el diámetro, podemos encontrar el radio para encontrar así el área y el perímetro o podemos hacerlo directamente con el diámetro, ya que también se puede puesto que dos radios es un diámetro r d 2 = 2 d r = 2 2 | . | \ | = d A t 2 2 4 | . | \ | = t A A=π(2) 2 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 29 A = π(4) A = 12.57m 2 Como el perímetro encontrándolo a través del diámetro es d P t = P = π(4) P = 12.57 m 1.11 POLIGONOS REGULARES APOTEMA La apotema de un polígono es un segmento de recta trazado desde el centro del polígono hasta la mitad de cualquiera de sus lados, podemos decir que la apotema es la altura del triángulo. a r l l 2 1 Como la apotema corta a la mitad a su lado siendo perpendicular a él, se puede encontrar a través del teorema de Pitágoras 2 2 2 1 a | . | \ | ÷ = l r El área de un polígono regular se encuentra multiplicando la apotema por la longitud del polígono o sea por el perímetro dividido 2 Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 30 2 ap A = El perímetro de un polígono regular se encuentra multiplicando la longitud de cada lado por la cantidad de lados que tenga P = ln Por tanto la fórmula del área también se puede escribir 2 ln a A = Ejemplo: Encuentre el área de un pentágono de radio 5cm y lado 6 cm. Solución Como para encontrar el área necesitamos la apotema, procedemos a encontrarla a través de la fórmula del teorema de Pitágoras. Sabemos también que la apotema corta a la mitad a cada lado y el radio es la línea del centro al vértice, hacemos la siguiente figura 2 2 2 1 a | . | \ | ÷ = l r a = 2 2 3 5 ÷ a = 9 25 ÷ a = 16 a = 4cm Ahora ya podemos encontrar el área. Es importante denotar que a un polígono se le pueden trazar tantos triángulos como vértices Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 31 tenga. Observemos el ejemplo en el cual encontramos la apotema y tracemos sus triángulos. odemos entonces encontrar el área de un triángulo y multiplicar esta or la cantidad de triángulos que tenga la figura, puesto que ya vimos r l a P p que la apotema es la misma que la altura de un triángulo. Area de un triángulo = base por altura dividido 2 2 4 * 6 = A 2 24 = A A = 12 cm 2 . Esta es el área de un triángulo del pentágono, pero como son 5, el área del pentágono que tiene 6 cm. De lado y una altura o Encuentre el área y el perímetro de exágono cuyos lados cas que los triángulos ue se forman en su interior son equiláteros, por lo tanto, sus tres lados apotema de 4 cm. Es: A = 12*5 A = 60cm 2 Ejemplo: miden 1m. Solución: Los hexágonos tienen las característi q miden 1m. Procedemos entonces a encontrar la apotema que es la altura de los triángulos. 2 2 2 1 1 | . | \ | ÷ = a Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 32 4 1 1÷ = a 4 3 = a a= 0.866m. Ahora que ya conocemos la altura, podemos encontrar el área de un multiplicamos por la cantidad de triángulos que tiene el exágono que son 6. triángulo y lo h 6 * 2 866 . 0 * 1 = A 6 * 2 866 . 0 = A 6 * 433 . 0 = A 1.11.2 VOLUMEN En matemática, el volu dida que se le asocia al espacio que ocupa u Un poliedro, en el sica, es un cuerpo geométrico cuyas c volumen finito. El volumen del poliedro es la región del espacio limitada por polígonos. CARAS men de un cuerpo, es la me n cuerpo y es tridimensional. 1.12 POLIEDROS sentido dado por la geometría clá aras son planas que encierran un Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que lo limitan Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 33 DIAGONAL n dos vérti ces perteneci entes a l as caras opuestas. ANGULO DIEDRO s caras y ti enen una ari sta en común. ANGULO POLIEDRO tán formados por tres o más caras del poliedro y ti enen un vértice común. ARISTA s caras del poliedro. Dos caras ti enen una arista en común. VERTICE cada una de l as caras del poliedro. Tres caras coi nci den en un Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en FORMULARIO TABLA DE ÁREAS PERÍMETROSY VOLÚMENES Las di agonal es de un pol i edro son l os segmentos que une Los ángul os di edros están formados por cada do Los ángulos poliédricos es Las aristas de un poliedro son l os lados de l a Los vértices de un poliedro son l os vértices de mi smo vértice. cualquier dimensión. Así, el polígono es el semejante topológico de dos dimensiones del poliedro Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 34 cuadrado lo A = a 2 P = 4l triángu 2 Bh A = P = a + b + c ulo romboide h) rectáng A = B · h P = 2(B+h) A = B · h P = 2(B + rombo 2 *d D A = P = 4l trapecio c a b B P h b B A + + + = + = ) ( 2 polígon regular o 2 * P a A = P = ln círculo A = π · R 2 · R P = 2 · π corona circular (R 2 - r 2 ) cular A = π· sector cir 360 2 o n R t A = Cilindro Cubo A = 6 · a 2 V = a 3 t 2 = A R(h+R) · h V = π· R 2 (a·b + a·c + b·c) c cono 2 Ortoedro A = 2 · V = a · b · A = π· R · (h + g) 3 2 h R V t = Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 35 prisma recto A = P · (h + a) V = A B · h ( 3 ) tronco de cono A= π· [g·(r+R)+r 2 +R 2 ] V = π· h · (R 2 +r 2 +R·r) / 3 tetraedro regular A = a 2 · √3 V = a 2 · √2 / 12 esfera A = 4 · π· R 2 3 3 R V t = 4 pirámide recta A = P · (a + a') / 2 V = A B · h / 3 casquete esférico A = 2 · π· R · h V = π· h 2 · (3·R - h) / 3 tronco de pirámide A=½(P+P')·a+A B +A B' V = (A B +A B' +√A B ·√A B' ) · h/3 zona esférica A = 2 · π· R · h V = π·h·(h 2 +3·r 2 +3·r' 2 ) / 6 (1) P es el perímetro (suma de la longitud de los lados) ; a es la apotema (2) g es la generatriz ; √ es la raíz cuadrada del número (3) A B es el área de la base ; h es la altura ; R y r son los radios ; Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 36 Problemas propuestos de áreas y perímetros. 1. Determi nar l a medi da de l os l ados de un tri ángul o equi l átero cuyo perí metro es i gual al de un cuadrado de 12 cm de l ado. ¿Serán i gual es sus áreas? 2. Determi nar el l ado de un tri ángul o equi l átero que su perí metro mi de l o mi smo que el de un cuadrado de 3 metros de l ado. 3. Hal l ar el perí metro y el área del pentágono regul ar 4. Encuentre el área y el perí metro de un pentágono cuyo radi o es de 12cm. y sus l ados mi den 15cm. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 37 5. Hal l ar el área de un hexágono i nscri to en una ci rcunferenci a de 4 cm de radi o. 6. Encuentre el área de un hexágono i nscri to en una ci rcunferenci a de 5 cm. De radi o. 7. Hal l ar el área de un cuadrado i nscri to en una ci rcunferenci a de 5 cm de radi o. 8. Encuentre el área de un cuadrado i nscri to en una ci rcunferenci a de 3 cm de radi o Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 38 9. Determi nar el área del cuadrado i nscri to en una ci rcunferenci a de l ongi tud 18.84cm. 10. Cal cul ar el área de un tri ángul o equi l átero i nscri to en una ci rcunferenci a de radi o 6 cm. 11. En un cuadrado de 2 cm. de l ado se i nscri be un cí rcul o y en este cí rcul o un cuadrado y en este otro cí rcul o. Hal l ar el área comprendi da entre el úl ti mo cuadrado y el úl ti mo cí rcul o. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 39 12. El perí metro de un trapeci o i sóscel es es de 110 cm., l as bases mi den 40 y 30 cm respecti vamente. Cal cul ar l a l ongi tud de l os l ados no paral el os y el área del trapeci o. 13. Si l os l ados no paral el os de un trapeci o i sóscel es se prol ongan, quedarí a formado un tri ángul o equi l átero de 6 cm de l ado. Sabi endo que el trapeci o ti ene l a mi tad de l a al tura del tri ángul o, cal cul ar el área del trapeci o. El área de un cuadrado es 2304 cm². Cal cul ar el área del hexágono regul ar que ti ene su mi smo perí metro. 14. Encuentre e. Area y el perí metro de un exágono i nscri to en una ci rcunferenci a de radi o 32 cm. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 40 15. En una ci rcunferenci a de radi o i gual a 4 cm se i nscri be un cuadrado y sobre l os l ados de este y haci a el exteri or se construyen tri ángul os equi l áteros. Hal l ar el área de l a estrel l a así formada. 17. La superfi ci e de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de l ado y dos semi cí rcul os en dos l ados opuestos. Cal cul a el área. 18. A un hexágono regul ar de 4 cm de l ado se l e i nscri be una ci rcunferenci a y se l e ci rcunscri be otra. Hal l ar el área de l a corona ci rcul ar así formada. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 41 19. En una ci rcunferenci a se traza una cuerda de 48 cm y di sta 7 cm del centro. Cal cul ar el área del cì rcul o. 20. Los catetos de un tri ángul o i nscri to en una ci rcunferenci a mi den 22.2 cm y 29.6 cm respecti vamente. Cal cul ar l a l ongi tud de l a ci rcunferenci a y el área del cí rcul o si l a hi potenusa es su di agonal . 21. Cal cul ar el área de l a corona ci rcul ar determi nada por l as ci rcunferenci as i nscri ta y ci rcunscri ta a un cuadrado de 8 cm de di agonal . Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 42 22. Sobre un cí rcul o de 4 cm de radi o se traza un ángul o central de 60°. Hal l ar el área del segmento ci rcul ar comprendi do entre una cuerda de 4 cm. que une l os extremos de l os dos radi os y su arco correspondi ente. 23. Dado un tri ángul o equi l átero de 6 cm. de l ado, hal l ar el área de uno de l os sectores determi nado por l a ci rcunferenci a ci rcunscri ta y por l os radi os que pasan por l os vérti ces. 24. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 43 25. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia. 26. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado. 27. Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 8 cm y el radio del círculo menor mide 2 cm. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 44 28. Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños mide 2 cm. 29. Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D. La parte sombreada se compone de dos segmentos ci rcul ares Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 45 30. Cal cul ar la di agonal , el área l ateral , el área total y el vol umen de un cubo de 5 cm de ari sta 31. Calcula el área l ateral , total y el vol umen de una pi rámi de cuadrangul ar de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura. 32. Calcula el área l ateral , total y el vol umen de una pi rámi de hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 46 33. Cal cul ar el área l ateral , el área total y el vol umen de un tronco de pi rámi de cuadrangul ar de ari stas bási cas 24 y 14 cm, y de ari sta l ateral 13 cm. 34. Cal cul a el área l ateral , total y el vol umen de un cono cuya generatri z mi de 13 cm y el radi o de l a base es de 5 cm. 35. Cal cul a el área l ateral , total y el vol umen de un cono cuya al tura mi de 4 cm y el radi o de l a base es de 3 cm. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 47 36. Cal cul ar el área l ateral , el área total y el vol umen de un tronco de cono de radi os 6 y 2 cm, y de al tura 10 cm. 37. Cal cul ar el área l ateral , el área total y el vol umen del tronco de cono de radi os 12 y 10 cm, y de generatri z 15 cm. 38. Cal cul ar el área del cí rcul o resul tante de cortar una esfera de 35 cm de radi o medi ante un pl ano cuya di stanci a al centro de l a esfera es de 21 cm. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 48 39. Cal cul ar el área y el vol umen de una esfera i nscri ta en un ci l i ndro de 2 m de al tura. 40. Cal cul ar el vol umen de una semi esfera de 10 cm de radi o. 41. Cal cul a el área y el vol umen del si gui ente casquete esféri co. 42. Cal cul ar el área y el vol umen de una zona esféri ca cuyas ci rcunferenci as ti enen de radi o 10 y 8cm, y l a di stanci a entre el l as es de 5 cm. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 49 43. Encontrar el vol umen, en centí metros cúbi cos, de una habi taci ón que ti ene 5 m de l argo, 40 dm de ancho y 2500 mm de al to. 44. Una pi sci na ti ene 8 m de l argo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundi dad. Se pi nta l a pi sci na a razón de Q.6.00 el metro cuadrado. a. Cuánto costará pi ntarl a. b. Cuántos l i tros de agua serán necesari os para l l enarl a. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 50 45. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuantas cajas podremos almacenar? 46. Determi na el área total de un tetraedro, un octaedro y un i cosaedro de 5 cm de ari sta. 47. Cal cul a l a al tura de un pri sma que ti ene como área de l a base 12 dm 2 y 48 l de capaci dad. 48. Cal cul a l a canti dad de hojal ata que se necesi tará para hacer 10 botes de forma ci l í ndri ca de 10 cm de di ámetro y 20 cm de al tura. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 51 49. Un ci l i ndro ti ene por al tura l a mi sma l ongi tud que l a ci rcunferenci a de l a base. Y l a al tura mi de 125.66 cm. Cal cul ar: a. El área total b. El vol umen 50. En una probeta de 6 cm de radi o se echan cuatro cubi tos de hi el o de 4 cm de ari sta. ¿A qué al tura l l egará el agua cuando se derri tan? 51. ¿Cuántas l osetas cuadradas de 20 cm de l ado se necesi tan para recubri r l as caras de una pi sci na de 10 m de l argo por 6 m de ancho y de 3 m de profundi dad? 52. Un reci pi ente ci l í ndri co de 5 cm de radi o y y 10 cm de al tura se l l ena de agua. Si l a masa del reci pi ente l l eno es de 2 kg, ¿cuál es l a masa del reci pi ente vací o? Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 52 53. Para una fi esta, Luí s ha hecho 10 gorros de forma cóni ca con cartón. ¿Cuánto cartón habrá uti l i zado si l as di mensi ones del gorro son 15 cm de radi o y 25 cm de generatri z? 54. Un cubo de 20 cm de ari sta está l l eno de agua. ¿Cabrí a esta agua en una esfera de 20 cm de radi o? Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 53 1.13 ANGULOS: Es la abertura formada entre dos líneas que se unen en un punto llamado vértice Angulo vértice En nuestro curso nombraremos los ángulos en grados o en radianes 1.13.1 Los ángulos por su tamaño pueden ser: Agudos: Si su medida esta comprendida entre 0° y 90°. Ej. Cualquier ángulo que se encuentre en el cuadrante I Rectos: si su medida es 90°. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 54 Obtusos: Si su medida esta comprendida entre 90° y 180°. Ej. Llanos: Si su medida es 180°. Ej. 1.13.2 TRANSPORTADOR El transportador es el instrumento utilizado para medir los ángulos y consiste en un semicírculo dividido en unidades que van desde 0 o hasta 180 o . Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 55 Cada una de estas medidas es un grado (1°) sexagesimal y todas las medidas que se tomen con este instrumento corresponden al sistema sexagesimal. Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°. Ángulos Rectos: Son los que miden exactamente 90 0 Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°. Ángulo Agudo: Es el ángulo cuya medida es un número mayor que 0 y menor que 90°. 1.14 RECTAS. RAYOS Y SEGMENTOS. RECTA Una recta es una línea que no tiene principio ni fin. Para representarla gráficamente en un plano, se dibuja la recta con flecha en los dos extremos Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 56 RAYO: Un rayo es una fracción de recta que sí se sabe en donde es su inicio pero se desconoce su fin, para trazarla en un plano, se dibuja solo en uno de sus extremos una flecha, esta es la que indica que no es ese su fin, el punto indica que este es su inicio SEGMENTO Un segmento es una fracción de recta que tiene principio y tiene fin, es decir, sabemos desde donde sale y hasta donde llega. Este no tiene ninguna flecha en sus extremos, ya que no continúa. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 57 1.15 TEOREMAS DE RECTAS PARALELAS PARA ANGULOS. Dos rectas son paralelas cuando al prolongarse indefinidamente, nunca se encuentran, es decir, se mantendrán siempre a la misma distancia una de la otra. El ángulo de inclinación será igual en las dos. Al intersectar rectas paralelas por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo: H G F E D C B A ángulos correspondientes: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal, que puede ser arriba o abajo. Identifiqué los ángulos correspondientes con el mismo color Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal, también los escribí identificándolos con el mismo color. H G F E D C B A H G F E D C B A Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 58 Ángulos alternos externos: Son los que están "afuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal, también se identifican con el mismo color. H G F E D C B A Angulos opuestos por el vértice: Son los ángulos que tienen el mismo vértice en común C D E F G H B A Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son: 1. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí. 2. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí. 3. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí. 4. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí. Dado el siguiente diagrama encuentre todos los ángulos, nombrando el concepto que utilizo, para resolverlos. A = 108° B C D E F G H Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 59 B = 72 o Angulo suplementario C = 72 o Angulos apuestos por el vértice con B D = 108 0 Los conceptos que pueden tomarse son: Opuestos por el vértice con A Suplementario con C Suplementario con B E = 108 o Correspondiente con A F = 72 o Los conceptos que se pueden tomar para hallar este ángulo son: Suplementario de E Correspondiente con B Alterno interno con C G = 72 o Opuestos por el vértice con F Correspondiente con C Alterno externo con B Suplementario de E H = 108 o Suplementario de G Opuesto por el vértice con E Correspondiente con D Suplementario de F Alterno externo con A Resuelva correctamente lo que a continuación se le indica: 1) Encuentre los ángulos que hacen falta: 40 o B C D E F G H Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 60 2 ) Encuentre el valor de x y la medida de todos los ángulos A B C 4x x + 21 F G H 3) C = x + 16 E = 3x + 20 H G F E D C B A Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 61 1.16 TEOREMA DE THALES Existen dos teoremas de Thales  El Teorema de rectas paralelas  El teorema de triángulos rectángulos 1.16.1 TEOREMA DE RECTAS PARALELAS PARA SEGMENTOS Si dos rectas cual esqui eras se cortan por vari as rectas paral el as, l os segmentos determi nados en una de l as rectas son proporci onal es a l os segmentos correspondi entes en l a otra. r s A A' B B' C C' C' A' C' B' B' A' = = AC BC AB Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 62 Ejemplo 1 Las rectas a, b y c son paral el as. Hal l a l a l ongi tud de x. 10 2 = 14 x 10 = x 2 * 14 x = 2.8cm Ejemplo 2 Las rectas a, b son paral el as. ¿Podemos afi rmar que c es paral el a a l as rectas a y b? Sí, porque se cumpl e el teorema de Thales. 2 4 = 3 6 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 63 1.16.2 TEOREMA DE TRIÁNGULOS El teorema de triángulos dice los siguiente: Si a un triángulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos 2 triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales, es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría. Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. C' B' C' B' BC A AC A AB = = Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 64 Ejemplo: Encuentre las medidas de los segmentos a y b 6 cm 4 cm 2 cm a 4 cm b ) ( lado mismo pequeño lado ) 2 4 ( paralelo pequeño lado ÷ ÷ grande lado grande lado + ÷ = ÷ ÷ ÷ 2 4 = 6 b 2 = b ) 4 ( 6 b = 12 cm NOTA: No cometamos el error de igualar lados completos con segmentos de los lados. Por ejemplo, es incorrecto igualar los lados paralelos con las partes de cualquiera de los dos lados 2 4 = 4 b Como a y 4 son los lados completos, tenemos que igualar lados completos. Lo que sí se puede hacer es igualar segmentos proporcionales o también una proporción de un lado sobre el mismo lado completo 6 6 + = a 2 a en este caso estoy tomando en cuenta el segmento pequeño sobre el lado completo igual al segmento pequeño sobre su propio lado en el otro lado del triángulo. Que también puede hacerse grande segmento lado mismo grande segmento ÷ pequeño segmento pequeño segmento ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 65 6 4 = 2 a 4 = a ) 6 ( 2 a = 3 También se puede relacionar para medir una distancia, cuya finidad no pueda ser medida, y apoyándose en un punto Una aplicación interesante es para medir la altura de un árbol. Medimos la longitud de su sombra a una hora determinada. = C Medimos la longitud de la sombra de un objeto pequeño (por ejemplo un lápiz) en el mismo instante. = B Medimos la longitud real del mismo cuerpo. = A Luego hacemos la comparación aplicando el teorema de Thales, de triángulos semejantes. El cateto grande es al cateto grande como el cateto pequeño es al cateto pequeño. D:C::A:B Que se lee D es a C como A es a B y lo podemos escribir B A D C = Y obtenemos donde D es la altura real del árbol. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 66 El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado: Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB, es recto. Thales de Mileto. Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto Este teorema es un caso particular de la aplicación de los angulos inscritos dentro de una circunferencia. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 67 Comprobación: OA = OB = OC = r, siendo O el punto central del círculo y r el radio de la circunferencia. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es equivalente a 2α + 2β = π (radianes) o sea 180 grados. Dividiendo por dos, se obtiene: 0 90 2 = = + = Z t | o BCA En conclusión se forma un triángulo rectángulo. 1.16.3 TRIÁNGULOS SEMEJANTES Los l ados a y a' , b y b' c y c' se l l aman l ados homól ogos. De i gual forma A y A' , B y B' , C y C' son ángul os homól ogos. Dos tri ángul os son semejantes cuando sus ángul os homól ogos son i gual es y sus l ados homól ogos son proporci onal es. A = A' B = B' C = C' ' = ' = ' c b b a c a La razón de l a proporci ón entre l os l ados de l os tri ángul os se l l ama razón de semejanza. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 68 Por ejempl o, si tenemos dos tri ángul os con sus ángul os i gual es, estos serán semejantes. En la figura anterior, AB±BC Así mismo DE±AC. Entonces, como el ángulo C es el mismo para los dos triángulos, los triángulos ABC y DEC son semejantes. Al ser dos triángulos semejantes, la hipotenusa de uno es a la hipotenusa del otro como el cateto más largo de uno de los triángulos es al cateto más largo del otro. No igualemos las hipotenusas con los catetos que no son proporcionales. Observemos BC es el cateto más grande del tri ángul o grande. EC es el cateto más grande en el tri ángul o más pequeño. Podemos hacer entonces: Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 69 EC DC = BC AC Hi potenusa es a hi potenusa como cateto grande es a cateto grande DE DC = AB AC Hi potenusa es a hi potenusa como cateto pequeño es a cateto pequeño. Si tenemos el mi smo tri ángul o ya con datos: . 20cm AC = , , . 16cm BC = . 12cm AB = AC DE ± El sí mbol o ± si gni fi ca es perpendi cul ar y AD. Es l a bi sectri z de BAC Z a) cal cul ar l a l ongi tud del segmento DE b) Cal cul ar el área del tri ángul o DCE Solución: Como sabemos que AD es l a bi sectri z, esto si gni fi ca que esta l í nea di vi de el ángul o BAC Z en dos partes i gual es. Nos i nteresa conocer el ángul o porque no conocemos ni ngún l ado del tri ángul o pequeño. El ángul o grande A 20 = senA 16 ) 8 . 0 ( 1 ÷ = Sen A = A 53 0 7 ' 48.37' ' Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 70 Entonces l a mi tad del ángul o es 26 0 33' 54.18' ' Podemos entonces encontrar l a l ongi tud del segmento BD tan 26 0 33' 54.18' ' = 12 BD cm 6 BD = DC Ahora ya podemos encontrar el segmento DC = 16cm – 6cm. = 10cm. Con semejanza de tri ángul os grande triángulo pequeño cateto grande triángulo del hipotenusa ÷ ÷ ÷ pequeño triángulo pequeño cateto pequeño triángulo del hipotenusa ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 71 12 20 10 DE = . 6cm DE = Como nos pi den encontrar el área del tri ángul o DEC, necesi tamos conocer el otro cateto 2 2 6 10 ÷ = EC 36 100 ÷ = EC 8 = EC O tambi én l o podemos encontrar con esta otra semej anza de tri ángul os grande triángulo pequeño Cateto pequeño triángulo pequeño Cateto grande triángulo grande cateto pequeño triángulo grande Cateto ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 12 6 16 = EC 12 ) 16 ( 6 = EC . 8cm EC = Conoci endo l os dos catetos podemos encontrar el área, ya que esta y l a de cual qui er tri ángul o rectángul o se encuentra mul ti pl i caci ón de l os catetos di vi di do dos 2 6 * 8 = A A=24cm 2 Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 72 Ejerci ci os 1) Cal cul ar l a al tura de un edi f i ci o que proyecta una sombra de 8 metros a l a mi sma hora que un poste de 5 metros da una sombra de 1. 6 metros 6 . 1 8 5 = h 6 . 1 ) 5 ( 8 = h h=25m 2) Los catetos de un tri ángul o rectángul o mi den 24m y 10m. ¿Cuánto medi rán l os catetos de un tri ángul o semej ante al pri mero cuya hi potenusa mi de 52m? 26 10 24 2 2 = + = c Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 73 Dos tri ángul os son semejantes si ti enen sus ángul os i gual es y sus l ados proporci onal es A = A' B=B' C = C' Ejercicios: Resol ver correctamente l os si gui entes probl emas de tri ángul os semejantes. 1) Una mujer que mi de 1.72 metros de estatura cami na en una carretera hori zontal . Si l a sombra de un poste verti cal a l a ori l l a de l a carretera es de 5 metros y el de l a mujer es de 1.5 metros. ¿Cuál es l a al tura del poste? 2) Para determi nar l a al tura de un árbol , se mi de a determi nada hora su sombra y se encuentra que es de 12 metros de l ongi tud, l uego se col oca a una persona cuya estatura es de 1.60 metros y tambi én se mi de su sombra l a cual es de 2 metros de l ongi tud. Con estos datos encuentre l a al tura del árbol . Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 74 3) En l a fi gura se trazó un cí rcul o con centro O y de área 78.5 em 2 Por l os puntos C y B se trazaron l as tangentes AB y AC de manera que BAC Z =60 0 Cal cul a el área de l a parte sombreada. 4) Con apoyo en el vérti ce C del tri ángul o rectángul o ABC, se trazó al arco MN tangente a l a hi potenusa AB en T, de manera que M es el punto medi o de AC . Se conoce . 2cm BN = Cal cul a el área de l a regi ón sombreada. 5) En l a Fi gura se trazó l a di agonal BD en el trapeci o rectángul o ABCD y se cumpl e con que DB CE ± . Se sabe además que . 12cm AB = cm CD 9 = y . 5cm CB = cal cul e el área sombreada Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 75 6) La fi gura ABCD es un cuadrado y E es el punto medi o de cm AB 8 = . Se sabe además que DE CM ± . Cal cul a el área sombreada. 7) En l a fi gura el tri ángul o ABC es rectángul o en C. EF l l DG y AB EF ± . Se conoce EF = 10cm. . 7cm FB = cm AC 30 = y cm AG 20 = . Cal cul a el área sombreada. 8) En l a fi gura el tri ángul o ABC es i sóscel es, de base . 6cm AB = y en su i nteri or se encuentra i nscri to un cuadrado DEFG de 16 cm 2 de área. Cal cul ar el área sombreada. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría Centro Educativo Kinal 76 9) En l a fi gura, el tri ángul o ABC es rectángul o y el cuadrado ADEF, cuya área es de 36 cm 2 se encuentra i nscri to en el tri ángul o. Se sabe que cm 18 AC = .Cal cul a el perí metro del tri ángul o ABC y el área sombreada. Bibliografía  Geometría aplicada a la técnica Autor Miguel Angel Sauri  Geometria Euclidiana Autor Martins Rodríguez  Geometría plana Autor Aurelio Baldor  Internet Matemática cuarto Centro Educativo Kinal 77 Segunda unidad: Álgebra 78 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 79 objetivos  Desarrollar las capacidades analíticas y el pensamiento lógico riguroso a través del estudio del álgebra.  Asimilar o manejar con fluidez los principales conceptos del álgebra: Operaciones, aplicaciones a problemas,  Traducir a un lenguaje algebraico problemas expresados en lenguaje cotidiano y viceversa 2.1 ÁLGEBRA Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (Siglo IX d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día. El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades. El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne. 2.2. NOTACIÓN ALGEBRAICA Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden ser de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas. Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas como desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan utilizando las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las cantidades desconocidas se representan utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z… Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 80 Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices: a 1 , a 2 , a 3 , que se leen a subuno, a subdos, a subtres. Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general. 2.3 LEYES DE EXPONENTES BASE: Es toda expresión que se debe multiplicar la cantidad de veces que indique su exponente EXPONENTE: es el número que se coloca sobre la base e indica las veces que se debe multiplicar la base por sí misma 2 3 = 2 * 2 * 2 (a + 4) 2 = (a + 4)(a + 4) POTENCIA: Es el resultado que se obtiene después de desarrollada la base 1) Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes n m n m a a a + = * 5 3 2 3 2 a a a a = = - + a a a a a a = = = = - ÷ ÷ + ÷ 1 2 3 ) 2 ( 3 2 3 2) Para dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes n m n m a a a ÷ = 2 3 5 3 5 a a a a = = ÷ 5 2 3 ) 2 ( 3 2 3 a a a a a = = = + ÷ ÷ ÷ Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 81 3) Cuando el exponente es cero, la potencia siempre será igual a 1, pero la base deberá ser diferente de cero 0 1 0 = = a a 4) Cuando el exponente es uno (1), la potencia será igual a la misma base a a = 1 5) Cuando el exponente es negativo, la expresión se convierte en fracción, escribiendo como numerador la unidad y como denominador la misma expresión, pero con el exponente positivo n n a a 1 = ÷ 8 1 2 2 2 1 2 1 2 3 3 = - - = = ÷ 6) El exponente afecta únicamente al elemento sobre el cual se encuentra escrito 3x 2 el exponente 2 es únicamente de la letra x. Si lo queremos escribir desarrollado sería x x - - 3 (3x) 2 = 2 2 2 9 3 3 3 x x x x = - - - = - En este caso, el exponente afecta también al 3 7) Si el exponente se encuentra colocado afuera de un paréntesis, este afectará a todo lo que se encuentre dentro del paréntesis, (signos, números y letras) y pueden ocurrir los siguientes casos: a) Si adentro del paréntesis se encuentra un signo negativo y el exponente de afuera del paréntesis es par, el signo se vuelve positivo por estarse multiplicando un número par de veces (-3x) 4 =(-)(-)(-)(-)(3)(3)(3)(3)(x)(x)(x)(x)= 81x 4 . Los signos, los números y las letras se multiplican. b) Si adentro del paréntesis se encuentra un signo negativo y el exponente de afuera del paréntesis es impar, el signo sigue siendo negativo. (-2x) 3 = (-)(-)(-)(2)(2)(2)(x)(x)(x) = -8x 3 8) Si la base es una fracción y el exponente es negativo, únicamente se invierte la fracción y el exponente se vuelve positivo Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 82 n n a b b a | . | \ | = | . | \ | ÷ 9) Cuando un exponente está elevado a otro exponente, se multiplican entre sí. ( ) mn n m a a = 10) Cuando en una fracción se encuentren exponentes negativos, se cambian de lugar, (las bases con sus exponentes negativos de abajo se suben y los de arriba se bajan) para que los exponentes se vuelvan positivos n n n n a b b a = ÷ ÷ 2 2 3 3 3 2 3 2 1 ) 2 ( 3 2 3 y am x n n m xy a = ÷ ÷ ÷ ÷ = 2 2 3 2 2 3 24 ) 8 ( 3 y am x n y am x n = 11) Cuando un exponente es fraccionario, el numerador de la fracción es el exponente de la base y el denominador indicará siempre que es una raíz. n m n m a a = 64 4 16 16 3 3 2 3 = = = Ejemplos 1: Resolver en forma desarrollada las siguientes expresiones: 1) 5 4 = 5 * 5 * 5 * 5 = 625 2) – 4 2 = – 4* 4 = – 16 3) ( – 3x 3 ) 2 = ( – 3x 3 )( – 3x 3 ) = 9x 6 4) 4 6 2 3 2 3 2 2 3 9 3 3 3 y x y x y x y x = | | . | \ | ÷ | | . | \ | ÷ = | | . | \ | ÷ Ejemplos 2: Resuelva y simplifique aplicando las leyes de exponentes, las siguientes operaciones. a) 5 4 = 625 b) – 4 2 = – 16 Explicación: Como sabemos que el exponente es únicamente de la base en donde se encuentre; en este caso es sólo del 4 no así del signo por eso es que el signo no se multiplica 2 veces. c) ( – 3x 3 ) 2 = 9x 6 Explicación: El exponente de afuera del paréntesis afecta a todo lo que está adentro, como es par, el signo menos está multiplicado un número par de veces por lo tanto se vuelve positivo, el 3 de base se multiplica 2 veces por él mismo por eso nos da 9; el 3 como exponente, como Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 83 sabemos que un exponente elevado a otro exponente se multiplican 3 * 2 = 6 a) 4 6 2 2 3 9 3 y x y x = | | . | \ | ÷ Explicación: El exponente de afuera del paréntesis es par, el signo se vuelve +, 3 de base se multiplica 2 veces por el mismo, el exponente 3 se multiplica por el exponente de afuera que es 2 y el denominador “y” que tiene exponente 2, se multiplica por el exponente de afuera. 4) 3 5 16x Como es la raíz cúbica de 16x 5 todos los factores del radicando pueden salir si se encuentran 3 veces multiplicándose, para poder encontrarlos, descomponemos en factores primos todos los elementos que se encuentran dentro de la raíz Primero el 16 luego la x 16 2 x 5 8 2 2 x 4 2 x x 2 2 x 1 x x Descomponiéndolos encontramos que el dos sale del radicando porque cada 3 veces que se multiplica sale una, pero sobra uno. La x también sale porque también sale cada 3 pero sobran dos, los que sobran vuelven a escribirse adentro de la raíz con su mismo índice 3 2 3 5 2 2 16 x x x = Simplificación de potencias con exponentes racionales Simplifica: a) b) Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra Centro Educativo Kinal 84 Solución a) 32 8 2 ) 3 ( ) 4 ( ) 27 ( ) 4 ( ) 27 ( 5 2 5 2 3 2 5 3 2 = ÷ = ÷ = ÷ ÷ b) | | | . | \ | = | | | . | \ | | | | . | \ | = | | | . | \ | | | | . | \ | ÷ ÷ y x y x y x y x y x 2 1 3 1 6 5 3 2 3 4 3 1 6 5 2 2 1 3 2 12 3 4 3 2 Ejercicios: Aplicando las leyes de exponentes resuelva los siguientes ejercicios. 23) -3 3 1) -3 2 35) 3 4 3 ÷ | . | \ | ÷ 2) 3 2 24) -5 2 3) (-3) 2 25) -7 3 36) 2 3 4 4) 2 3 26) -5 1 5) -2 3 37) 2 3 16 27) 2 4 3 | . | \ | 6) (-2) 3 38) 2 1 9 7) -(2) 4 28) 2 5 4 | . | \ | ÷ 8) –(-2) 4 39) 2 5 9 1 | . | \ | 9) 2 -3 29) 3 3 2 | . | \ | ÷ 10) -2 -3 40) 3 4 3 2 ÷ ÷ 11) (-2) -3 30) 3 5 3 | . | \ | 12) 4 -2 41) 1 2 5 4 ÷ ÷ 13) -4 -2 31) 2 5 2 ÷ | . | \ | 15) (-4) -2 42) ( )2 3 04 . 0 ÷ 16) (-3) 4 43) 2 3 ) 04 . 0 ( ÷ 32) 4 2 3 ÷ | . | \ | ÷ 17) (-4) 3 18) (-2) 5 44)(3x)(2x) 33) 1 3 4 ÷ | . | \ | ÷ 45) (2x 2 )(x) 19) (-5) -1 20) (-6) 2 34) 2 5 1 ÷ | . | \ | ÷ 21) (-7) 3 22) 4 2 Matemática cuarto 85 46) 4x(3x 3 ) 47) (5x -2 )(2x 3 ) 48) (x 4 )(x 3 ) 49) ) 6 ( 2 1 2 2 x x 50) ( ) | . | \ | 3 3 2 2 1 2 x x 51) | | . | \ | ÷ ÷ ÷ 5 1 2 2xy c ab 52) 2 5 3 ÷ | . | \ | x 53) | . | \ | | | . | \ | b a x xy ab 2 4 3 9 3 2 53) ( ) ( ) x x 2 4 3 2 54) 1 2 4 2 6 ÷ | | . | \ | x x 55) 7 3 2 6 ) 3 ( ) 2 ( x x x 56) 4 2 3 3 ) 2 )( 5 ( m n m 57) 5 2 3 4 ) ( 3 ÷ ÷ x x x 58) 2 2 2 4 3 ÷ ÷ | | . | \ | x y 59) 2 3 6 6 ) 3 ( 4 ÷ uv v u 60) 4 3 2 2 ) 4 ( ) 5 ( ÷ ÷ n m 61) | | . | \ | | | . | \ | 3 2 2 1 4 3 y y Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 86 2.4 RADICALES La raíz enésima de un número real se escribe de la siguiente manera en donde n es un número entero positivo mayor de 1 y a, un numero real. 1) Si 0 = a entonces 2) Si a es positivo, el resultado será un número real positivo 3) Si a es negativo y n es impar, entonces es un número real negat ivo b tal que . 4) Si es negativo y n es par, entonces a no existe en los números reales. Si n= 2 se escribe en lugar de y se llama raíz cuadrada principal de o simplemente raíz cuadrada de . El número a a es la raíz cúbica de a. Ilustraciones: Observa que porque, por definición, las raíces de números reales positivos son positivas. El símbolo se lee "más menos". Para completar nuestra terminología, la expresión es un radical, el número a se llama radicando Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 87 y n es el índice del radical. El símbolo es el signo radical. Si , entonces b 2 = a; esto es, . En general se presenta la siguiente tabla de propiedades. Propiedades de (n es un entero positivo). Propiedad Ejemplo a a n n = si y n es impar 0 < a De esta ultima propiedad vemos que: para todo numero real x. En particular, si entonces sin embargo si x < 0, escrito de esta forma es x x = 2 , Pero de esta otra es ( ) x x ÷ = 2 . Parecerá ilógico que al elevarlo al cuadrado resulte un número negativo, pero recordemos que en las leyes de exponentes aprendimos que al elevar un exponente a otro exponente, se multiplican entre sí, también recordaremos que un número negativo no tiene raíz cuadrada porque en los números reales no existe pero de esta forma: ( ) 9 ) 9 ( ) 9 ( 9 1 2 2 1 2 ÷ = ÷ = | | . | \ | ÷ = ÷ Sabemos que un número negativo elevado a un exponente impar es negativo. Muchas calculadoras no tienen capacidad de resolver este tipo de operaciones puesto que no están capacitadas para elevar exponentes fraccionarios a otros exponentes, de igual forma tampoco resuelven ejercicios como el siguiente: ( ) 3 2 008 . 0 ÷ ÷ Para resolverlo principiamos haciendo cambios de escritura de las mismas cantidades: 1) Pasamos a notación científica 3 2 3 ) 10 * 8 ( ÷ ÷ ÷ 2) Luego escribimos el 8 con su base y exponente 3 2 3 3 ) 10 * 2 ( ÷ ÷ ÷ 3) Podemos hacer los cambios dentro del paréntesis 3 2 3 3 10 2 ÷ | | . | \ | ÷ Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 88 4) Como sabemos que cuando el exponente de afuera del paréntesis es negativo podemos invertir la fracción y el exponente se vuelve positivo 3 2 3 3 2 10 | | . | \ | ÷ 5) Sabemos también que cuando un exponente es fraccionario, el numerador de la fracción es el exponente de la base, en este caso, el exponente es par ya que es 2, por lo tanto el signo menos se vuelve positivo y además que un exponente elevado a otro exponente se multiplican 25 4 100 2 10 2 10 2 2 3 2 3 3 2 3 = = = | . | \ | | . | \ | Observación muy importante: Hemos visto que 4 16 ± = , también definimos que la raíz cuadrada de un número real positivo es otro número real positivo, aunque hemos aprendido que 4 16 ± = ya que (4) 2 = 4 * 4 = 16 y también (-4) 2 = (- 4)(-4) = 16, pero esto únicamente se ve en las ecuaciones cuadráticas pero porque ha salido de elevar al cuadrado cantidades desconocidas, no de raíces, por ejemplo x 2 = 16, que es el valor desconocido que al elevarse al cuadrado nos de cómo resultado 16; en este casi sí se incluye al 4 y al – 4 ya que este valor desconocido al elevarse al cuadrado también se vuelve positivo. Si aún le quedan dudas, puede entrar al Internet y buscar definiciones de raíz cuadrada. Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan las raíces indicadas; es decir, siempre que las raíces sean números reales. 1) Ejemplo 2) Ejemplo 3) Ejemplo Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 89 Advertencia respecto a errores comunes: 2.5 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Simplificar un radical significa que habrá que escribir todos los elementos del radicando como potencias, es decir, con base y exponente, y luego simplificar los exponentes con el índice del radical Eliminación de fact ores de radicales. Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales positivos): a) b) c) Solución a) Una forma muy compresible de resolver es descomponiendo el radicando en sus factores primos. 64 2 32 2 64 = 2 6 16 2 8 2 4 2 2 2 1 3 3 2 3 2 9 6 9 6 9 4 2 2 2 2 64 = = = = = b) 12 3 12 6 12 3 12 3 6 3 12 3 6 3 3 27 x a x a x a = = Al simplificar debemos de tener cuidado de dejar igual el denominador, para poderlo escribir como índice del radical nuevamente 4 2 4 1 4 2 4 1 3 3 x a x a = c) a b a b a b a b a b a 2 3 2 * 3 18 6 3 2 3 4 7 2 4 7 5 3 2 = = = Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 90 2.5 RACIONALIZACIÓN Racionalizar significa eliminar radicales. Si el denominador de una fracción contiene un factor de la forma con k < n y a > 0 entonces al multiplicar numerador y denominador por eliminaremos el radical del denominador porque: Dicho en otras palabras: Si el denominador contiene un radical, debemos llevar al exponente del radicando a que sea igual que el índice del radical. Este proceso se llama racionalización del denominador. Factor en el denominador Multiplicar numerador y denominador por Factor resultante Ejemplos Racionalización de denominadores Racionaliza: a) b) 5 2 8y x c) 3 4 6 5 9 16 yz x m Solución: a) 5 5 5 5 5 5 * 5 1 5 1 2 = = = b)5 2 8y x En este caso, como nos están pidiendo que racionalicemos el denominador, no deben quedar raíces en el denominador, procedemos entonces a multiplicar por la unidad, agregando lo que haga falta para que todos los denominadores tengan exponente igual al índice de la raíz, el numerador no nos interesa. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 91 Descomponiendo el 8 = 2 3 obtenemos 5 2 3 2 y x Observamos que al 2 le faltan 2 para llegar a ser exponente 5 que es el índice del radical y a la “y” le faltan 3, entonces multiplicamos por 5 3 2 3 2 2 2 y y pero dentro de la misma raíz 5 3 5 5 5 3 5 3 2 3 2 2 3 4 2 1 2 4 2 2 * 2 xy y y xy y y y x = = c) 3 4 6 5 9 16 yz x m Descompongamos los números en todos sus factores y nos queda 3 4 2 6 5 4 3 2 yz x m Sacamos todos los factores que sean la misma cantidad del índice del radical, es decir, cada tres factores sale uno. Arriba o sea en el numerador no importa si salen o no salen; si salen los sacamos pero si no salen, no tenemos que completar para que sea igual al índice porque nos piden que racionalicemos el denominador. Arriba sale el dos pero sobra uno ya que hay cuatro puesto que el exponente nos indica que se está multiplicando 4 veces, también sale la m pero sobran dos porque hay cinco. Los factores que sobran se quedan dentro del radical pero multiplicados. Abajo o sea el denominador tenemos que ver si son iguales al índice. Si son iguales salen pero si no son iguales debemos completar o multiplicar por los mismos factores para hacerlos igual a su índice de radical. Si su exponente es mayor que el índice pero no es múltiplo, debemos ver cuánto le falta para llegar al próximo múltiplo del índice, en este caso. 3 hay 2, falta 1; “y” hay una, faltan 2; “z” hay 4, significa que ya se pasaron y el próximo múltiplo de 3 es 6, por lo tanto faltan 2, debemos multiplicar por los que faltan. 3 2 2 2 2 2 3 6 3 3 2 2 6 5 4 3 2 2 2 2 4 2 6 5 4 6 3 2 3 3 * 2 3 3 3 2 z y m yz mx z y z y x m z y z y yz x m = = - Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra Centro Educativo Kinal 92 Ejercicios: Simplifique los siguientes radicales 8 2 + Descomponemos los radicandos en sus factores primos y luego aplicamos las leyes de los radicales. Utilizaremos una forma diferente, Al encontrar los factores primos, estos salen de la raíz cuando se multiplican la misma cantidad de veces que lo que indica el índice del radical En este caso, como es raíz cuadrada, salen del radical los números cuando se multiplican dos veces. El 2 no sale porque sus factores primos son 2 y 1. El 18 si porque al descomponerlo queda de la siguiente forma: 18 2 9 3 3 3 1 Entonces, por estarse multiplicando el 3 dos veces, sale de la raíz pero como el 2 no sale, nos queda 2 4 2 3 2 18 2 = + = + A continuación encontrará algunos ejercicios resueltos.  3 7 3 6 3 3 2 108 3 12 = + ÷ = + ÷  3 20 3 ) 3 ( 4 ) 3 ( 10 2 3 4 3 10 3 2 12 2 3 10 3 2 = ÷ + = ÷ + = ÷ + Racionalizando 3 3 20 3 3 3 20 = -  3 2 2 2 6 3 12 2 12 6 12 6 18 4 6 6 * 6 2 6 3 4 3 * 2 2 6 3 4 3 6 2 4 + = + = + = + = + = + Ejercicios Simplificar los siguientes radicales y racionalizar denominadores cuando sea el caso 12) 3 27 1 1) 3 48 ÷ 7) 3 3 81 24 + ÷ 16) 5 2 3 11 9 3 x y x 8) 45 3 5 10 + 2) 49 25 + 13) 2 8 16 ÷ b a 17) 25 3) 16 64 + 9) 18 1 14) 3 4 1 18) 9 ÷ 4) 12 * 6 19) 3 8 ÷ 5) 27 12 ÷ 10) b b b b 27 12 3 + 3 2 3 + 15) 4 8 5 81 s r 6) 54 2 24 5 ÷ ÷ 11) 4 15 4 11 x x x + 20) 2 ) 36 (÷ Matemática cuarto 93 21) 2 ) 1 (÷ 22) ( ) 2 25 ÷ 23) ( ) 2 64 ÷ 24) 48 25) 54 26) 50 27) 20 28) 3 3 2 16 29) 4 4 3 48 30) 3 1 8 ÷ 31) 4 9 ÷ 32) 2 1 33) 5 1 34) 7 1 35) 3 1 36) 3 4 1 37) 3 9 1 38) 3 25 1 39) 3 49 1 40) 3 4 3 54 y x 41) 6 2 y x 42) 3 2 3 6 27 z y x ÷ 43) 4 4 9 y x ÷ 44) 4 2 4 16 y x ÷ 45) 3 3 4 8 ÷ y x 46) 5 7 5 b a ÷ 47) y x 4 3 48) y x 2 9 49) 3 2 3 5 4 z y x 50) 4 5 2 3 8 3 z y x 51) 2 3 1 xy 52) 3 5 3 3 xy x 53) 4 6 2 5 10 4 3 y x y x 54) 5 2 4 8 3 y x 55) 6 4 7 27 64 y x 56) 3 4 2 4 4 z y x Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 94 2.6 PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables son resultados que pueden escribirse sin necesidad de efectuar la multiplicación; para hacer esto posible, es necesario conocer algunas reglas. 2. 6. 1 CUADRADO DE UN BI NOMI O (a ± b) 2 Pasos para escribir la solución del cuadrado de un binomio 1. Se eleva al cuadrado el primer término (a + b) 2 = a 2 (a – b) 2 = a 2 2. Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos términos del binomio (a + b) 2 = a 2 + (a – b) 2 = a 2 – 3. Se multiplica dos por los dos términos (a + b) 2 = a 2 + 2ab (a – b) 2 = a 2 – 2ab 4. Se escribe el signo + (a + b) 2 = a 2 + 2ab + (a – b) 2 = a 2 – 2ab + 5. Se eleva al cuadrado el segundo término (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (1 – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 95 Ejemplo 1: Resolver (x – 1) 2 Solución: (x – 1) 2 = x 2 – 2x + 1 Ejemplo 2 Resolver (3x – 4) 2 Se eleva al cuadrado el primer término, número y letra (3x) 2 = 9x 2 Se escribe el mismo signo (3x) 2 = 9x 2 – Se mul ti pl i ca 2 por l os dos térmi nos 2(3x)(4) = 24x (3x) 2 = 9x 2 – 24x Se escribe el signo + (3x) 2 = 9x 2 – 24x + Se eleva al cuadrado el segundo término 4 2 = 16 (3x – 4) 2 = 9x 2 – 24x + 16 Ejemplo 3 Resolver (3x 3 – 2x) 2 Solución: Se eleva al cuadrado el primero término (3x 3 ) 2 = 9x 6 ya que un exponente elevado a otro exponente se multiplican se escribe el mismo signo (3x 3 ) 2 = 9x 6 – Se multiplica 2 por los dos términos 2(3x 3 )(2x) = 12x 4 Se escribe el signo más y se eleva al cuadrado el segundo término (3x 3 – 2x) 2 = 9x 6 – 12x 4 + 4x 2 Ejemplo 4 Resolver |(x + y) – 1| 2 Solución: Se eleva al cuadrado el primer término (x + 4) 2 Se escribe el mismo signo (x + y) 2 – Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 96 Se multiplica dos por los dos términos 2(x + y)(1) = 2(x + y) Se escribe el signo más y se eleva al cuadrado el segundo término |(x + y) – 1| 2 = (x + y) 2 – 2(x + y) + 1 Luego resolviendo las operaciones indicadas que quedaron (x + y) 2 es un producto notable (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 – 2(x + y) = – 2x – 2y |(x + y) – 1| 2 = (x + y) 2 – 2(x + 4) + 1 |(x + y) – 1| 2 = x 2 + 2xy + y 2 – 2x – 2y + 1 Ejercicio: Resuelva los siguientes productos notables 1) (x + 3y) 2 2) (1 – 4x) 2 3) ( 3x – 5) 2 4) (3m +5) 2 5) (y + 6) 2 6) (3u + 4v) 2 7) (1 – 7p) 2 8) (4x – 5) 2 9) (x + y) 2 10) (3r – 9p) 2 11) (5x 2 + y) 2 12) (2m 4 + 3mn) 2 13) ( 3x 3 – 2xy) 2 14) (3m 4 – 5m 2 n) 2 15) (2x 3 + 4x 2 y 5 ) 2 16) |(x +3) + 4| 2 17) |(3x – 1) + 4| 2 18) |(3x – y) – 3y| 2 19) |5 – (x – 1)| 2 20) |6+(1 – 4y)| 2 21) |(x + y) + z| 2 22) |(x – 4y) + 3| 2 23) |4 – 6x) – 3y| 2 24) |7 – (4m + 5n)| 2 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 97 2.6.2 PRODUCTO DE LA FORMA (x + a)(x + b) En este producto, las letras a y b, representan números conocidos. Para escribir su respuesta sin efectuar la multiplicación, se procede de la siguiente manera: 1. Se eleva al cuadrado el primer término 2. Se efectúa la suma algebraica de los segundos términos y se copia el primero. 2.1 Signos iguales se suman y se escribe el mismo signo 2.2 Signos contrarios se restan y se escribe el signo de los que hay más. 3. Se multiplican los segundos términos, aplicando la ley de signos. Ejemplo1 Escribir por simple inspección el resultado de (x + 3)(x + 5) Solución: 1. Se eleva al cuadrado la x = x 2 2. Como los signos son iguales, sumamos 3 y 5 y copiamos la x luego escribimos el mismo signo 3. multiplicamos 3 * 5 = 15. Aplicando la ley de signos, nos queda + (x + 3)(x + 5) = x 2 + 8x + 15 Ejemplo 2 Escribir el resultado de (x – 1)(x – 4) Solución: 1. Elevamos al cuadrado la x 2. Como los signos son iguales, sumamos 1 y 4, copiamos la letra y escribimos el mismo signo – 5x 3. Multiplicamos 1 * 4. Aplicando la ley de signos nos queda + (x – 1)(x – 4) = x 2 – 5x + 4 Ejemplo 3 Escribir el resultado de (x + 4)(x – 3) (x + 4)(x – 3) = x 2 + x – 12 En el segundo término quedó sólo x, ya que los signos son contrarios, se restan y el signo que queda es del 4; pero como es 1, el 1 no se escribe, únicamente la letra. Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra Centro Educativo Kinal 98 Ejemplo 4 Escribir el resultado de (x – 6)(x + 4) (x – 6)(x + 4) = x 2 – 2x – 24 2.6.3 SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES IGUALES (x + a)(x – a) El resultado de este producto es únicamente el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo (x + a)(x – a) = x 2 – a 2 Ejemplo1 Escribir el resultado de (x + 5)(x – 5) = x 2 – 25 Ejemplo 2 Escribir el resultado de (3x – 4y)(3x + 4y) = 9x 2 – 16y 2 Ejemplo 3 Escribir el resultado de |(x + 3) - y||(x + 3) + y| Solución: Como el paréntesis es un solo término, por estar agrupado, es la suma por la diferencia de dos cantidades iguales. |(x + 3) - y||(x + 3) + y| = (x + 3) 2 – y 2 y resolviendo el paréntesis, que quedó nuevamente el cuadrado de un binomio, nos queda |(x + 3) - y||(x + 3) + y| = (x + 3) 2 – y 2 = x 2 + 6x + 9 – y 2 Matemática cuarto 99 1) (x + 4)(x + 3) 2) (x + 6)(x + 5) Ejercicio. Escribir correctamente el resultado de los siguientes productos notables. 3) (x + 10)(x + 3 4) (x + 3)(x + 1) 5) (x + 4)(x + 8) 6) (x + 1)(x + 2) 7) (x +3)(x + 9) 8) (x – 2)(x – 3) 9) (x – 1)(x – 7) 10) (x – 10)(x – 9) 11) (x – 2)(x – 5) 12) (x – 5)(x – 7) 13) (x – 3)(x + 5) 14) (x + 4)(x – 1) 15) (x – 10)(x + 6) 16) (x – 8)(x + 3) 17) ((x + 5)(x – 6) 18) (x + 1)(x – 2) 19) (x + 4)(x – 3) 20) (x + 10)(x – 8) 21) (x – 4)(x + 7) 22) (x – 4)(x + 4) 23) (x + 1)(x – 1) 24) (x + 7)(x – 7) 25) (x – 10)(x + 10) 26) (2x – 1)(2x + 1) 27) (1 – 4y)(1 + 4y) 28) (4x + 3)(4x – 3) 29) (5x + 4)(5x – 4) 30) (6x + 5y)(6x – 5y) Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 100 2. 6. 4 CUBO DE UN BI NOMI O (a ±b) 3 Para desarrollar el cubo de un binomio, se procede de la siguiente manera: 1. Se eleva al cubo el primer término (a + b) 3 = a 3 (a – b) 3 = a 3 2. Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos términos del binomio (a + b) 3 = a 3 + (a – b) 3 = a 3 – 3. Se multiplica 3 por el primer término elevado al cuadrado y por el segundo (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b 4. Se escribe el signo mas (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 5. Se multiplica 3 por el primer término y por el segundo elevado al cuadrado (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 6. Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos términos del binomio (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – 7. Se eleva al cubo el segundo término. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + b 3 (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + b 3 Ejemplo Escribir el resultado de (3x + 4) 3 Solución: Se eleva al cubo el primer término (3x) 3 = 27x 3 . Se eleva número y letra. Se escribe el mismo signo +, 27x 3 + Se multiplica 3 por el primer término elevado al cuadrado y por el segundo 3(3x) 2 (4) = 3(9x 2 )(4) = 108x 2 Se escribe el signo + Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 101 Se multiplica 3 por el primer término y por el segundo elevado al cuadrado 3(3x)(4) 2 = 9x(16) = 144x Se escribe el mismo signo + Se eleva al cubo el segundo término 4 3 = 64 (3x + 4) 3 = (3x) 3 + 3(3x) 2 (4) + 3(3x)(4) 2 + (4) 3 = 27x 3 + 108x 2 + 144x + 64 Ejercicios: Escribir por simple inspección el resultado de los siguientes productos notables 1. (1+2b) 3 2. (a – 2) 3 3) (x + 3y) 3 4) (3x – 1) 3 5) (2m – 3n) 3 6) (4x – 3) 3 7) (m – 2n) 3 8) ( 3x + 7y) 3 9) (x + 4y) 3 10) (4m – 5p) 3 2.6.5 CUADRADO DE UN TRINOMIO Para resolver el cuadrado de un trinomio se procede de la siguiente manera: 1) se escriben los tres términos sumándose, elevados al cuadrado, sin importar el signo que tengan (a + b – c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 2) se multiplica 2 por el primer término y por el segundo. Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 102 3) Se multiplica 2 por el primer término y por el tercero. 4) Se multiplica 2 por el segundo término y por el tercero. (a + b – c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab – 2ac – 2bc. Ejercicios: Escribir por simple inspección el resultado de: 1) (2x + y – 3z) 2 2) (x – 3y + 4z) 2 3) ( 5x – 3y + z) 2 4) ( 4x – 3y – 3z) 2 5) ( 3x + 4y+ 5z) 2 6) ( 2x 2 + 2x + 3) 2 7) (a 2 – 4a + 3) 2 8) (4y 2 – 2y – 5) 2 9) (2z 3 – z 2 + 3z) 2 10) (b 3 + 6y 2 + y) 2 Ejercicios: Efectúe correctamente los siguientes productos notables. 1) (2t + 9)(2t – 9) 2) (2x 2 - 3x) 2 3) [(x 2 + 2) + x][(x 2 + 2) – x] 4) (x + 2) 2 5) (x + 8)(x – 8) 6) (x – 5) 3 7) (2t – 5) 2 8) (t – 5)(t + 5) 9) ( 4 – 3t) 3 10) (3s + 11) 2 11) (2x 2 + 5x)(2x 2 – 5x) 12) (u + 1) 3 13) [(1 – x) + x 2 ][(1 – x) – x 2 ] 14) (3x + 2y)(x – 5y) 15) [(2t + 1) + t 2 ] 3 16) (3x – 9)(3x + 9) Centro Educativo Kinal Matemática cuarto Centro Educativo Kinal 103 17) (4x – 4) 2 18) (2x 2 y + z)(2x 2 y – z) 19) (u + 4v) 3 20) (3x + 5y 2 z)(3x – 5y 2 z) 21) (x + 10)(x + 2) 22) (x + 6)(x + 8) 23) (x + 12)(x – 3) 24) (x – 8)(x + 4) 25) (x + 2) 2 (x – 2) 2 26) (2x – 1) 2 (2x + 1) 2 27) ) )( ( b a b a ÷ + 28) ) )( ( y x y x + ÷ 29) 2 2 ) ( ) ( y x y x + ÷ 30) 2 2 ) ( ) ( b a b a ÷ + Segunda unidad: Álgebra 104 2.7 FACTORIZACION Para poder factorizar, debemos tener bien claro algunos aspectos muy importantes 2.7.1 TERMINO ALGEBRAICO Un término algebraico debe tener: Signo, coeficiente numérico, parte literal y exponente. Ejemplo Cada término algebraico está separado por los signos más o menos. Si no tienen estos signos, seguirá siendo un solo término Ej: 5xy 2 z 3 Es un solo término. Expresión algebraica llamada MONOMIO a + 2b Expresión algebraica que consta de dos términos llamada BINOMIO x + 2y – 3z Expresión algebraica que consta de 3 términos llamada TRINOMIO y así, cada polinomio es una expresión algebraica que recibe el nombre de acuerdo a la cantidad de términos que contenga. Factorizar es escribir expresiones algebraicas como el producto de sus factores. Dicho en otras palabras: Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 105 Factorizar es escribir sumas y restas como multiplicaciones Factores: En matemática, son todos los elementos que se encuentran multiplicando en una expresión algebraica. Si se están sumando o restando se llaman TÉRMINOS ab c y x a ) ( + En la expresión anterior podemos ver que x con y se están sumando, estos, al estar separados son términos pero en la forma que están son factores ya que se están multiplicando con la a “y” y por c 1 . Si ya sabemos qué son factores, podemos descomponer expresiones como el producto de los mismos, por ejemplo 12 lo podemos descomponer en factores y escribirlo como el producto de ellos, sin efectuar la multiplicación. Los factores de 12 son 12 y 1 6 y 2 4 y 3 Entonces 12 lo podemos escribir de las siguientes formas 12*1, 6 * 2; 4 * 3 En este libro, La factorización la resumiremos en 5 casos: Factor común, Binomios, trinomios, agrupación de términos y cubo perfecto de binomios. Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 106 COMO IDENTIFICAR EL TIPO DE FACTORIZACIÓN A USAR. Primero: observar si existe factor común. Para ver si una expresión dada tiene factor común, debemos observar todos sus términos. 2. 7. 2 FACTOR COMÚN Nota: En este caso no importa la cantidad de términos que tenga el polinomio Dado un polinomio, se le saca a los números el máximo común divisor (si es que tienen) y se escribe, luego se buscan la letra o letras que se repiten en todos los términos y se toma como común las repetidas con su menor exponente, al haber hecho lo anterior se escribe un paréntesis, divide todo el polinomio entre lo encontrado y los resultados se van escribiendo dentro del paréntesis. El factor común, es todo lo que se encuentra repetido en un polinomio Ejemplo 1) factorizar 12x 5 + 6x 4 + 3x 2 SOLUCIÓN Se busca primero el factor común en los números, sacándoles sólo lo que tengan en común, de la siguiente manera: Sacar el factor común de los números es únicamente buscar el Máximo Común Divisor (M.C.D.) Como únicamente tienen tercera parte los tres números, el factor común a ellos es 3. Seguidamente se observa si todos los términos tienen alguna letra en común; en este caso, vemos que todos los términos tiene en común la x y el menor exponente que tiene es 2, se escribe entonces la x 2 a continuación del 3, se abre paréntesis y dentro de él, lo que quede al dividir cada término entre el factor común. 3x 2 (4x 3 +2x 2 + 1) Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 107 Ejemplo 2) Factorizar ax 3 y 4 + xy 2 SOLUCIÓN. Nuevamente buscamos el factor común. En números no tiene, ya que sólo vemos letras, entonces buscamos la letra o letras que se encuentren repetidas y su menor exponente de cada una de ellas. Se repite la x, su menor exponente es 1. Se repite también la y, y su menor exponente es 2, por lo tanto procedemos a escribir el factor común y a continuación abrimos paréntesis y dentro de él, escribimos lo que nos quede al dividir ax 3 y 4 + xy 2 = xy 2 (ax 2 y 3 + 1) En el ejemplo 1) ya que el MCD entre los números es 3 se tomo junto con la x 2 , porque es la letra que se repite y 2 es el menor exponente que tiene escrito, luego se dividió toda la expresión entre 3x 2 y se escribió dentro del paréntesis el resultado (al resolver la operación que quedó indicada (Multiplicación), llegamos al polinomio original). En el ejemplo 2), como las letras que se repiten son “x” y “y” se tomaron con su menor exponente y se dividieron cada uno de los términos del polinomio entre el factor común que encontramos, para obtener el resultado que se escribió dentro del paréntesis. El 1 resulta de dividir una expresión entre ella misma. Ejemplo 3) Factorice 3(x – 5) + y(x – 5) SOLUCIÓN: Vemos que tiene dos términos, buscamos si tiene elementos repetidos y vemos que se repite el paréntesis por lo tanto este es el factor común, lo escribimos y en el otro paréntesis lo que queda fuera del paréntesis. 3(x – 5) + y(x – 5) = (x – 5)(3 + y) EJERCICIOS Factorice Completamente 1) 25 + 50x 2) 36x 2 – 45x 3) 4x 2 y – 8x 2 4) 10xyz + 84yz 5) 56x a y – 77x a z 6) 16x 3 – 8x 2 + 4x 7) 15 + 5y – 20z 8) 4x 2 y 3 z + 16x 3 y 5 + 44y 2 z 9) 22abc + 33a 2 b + 44abc 3 10) x(a + 1) – 3(a + 1) 11)25x 2 + 20x 6 y + 15x 2 – 5x 3 y 7 12) 2(x – 1) + y(x – 1) 13)25x 2 + 20x 6 y + 15x 2 – 5x 3 y 7 14) a(n + 2) + n + 2 Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 108 15) x(a + 1) – a – 1 16) –m – n + x(m + n) 17) 4m(a 2 + x – 1) + 3n(x – 1 + a 2 ) 18) (x + y)(n + 1) – 3(n + 1) 19) a(x – 1) – (a + 2)(x – 1) 20) (x + m)(x + 1) – (x + 1)(x – n) 21) (3x + 2)(x + y – z)–(3x + 2) Segundo: Si no existe factor común, contamos la cantidad de términos que tenga la expresión algebraica, 1. Si tiene dos términos, será un binomio, que sólo puede ser suma o diferencia. 2. Si es resta, observamos los exponentes. Si estos son pares, entonces será una diferencia de cuadrados. 3. Si es suma, sólo podrán ser exponentes mayores que dos. BINOMIOS DIFERENCIA DE CUADRADOS En este caso, si se tienen dos términos y ambos tienen raíz cuadrada exacta y se están restando. Para factorizarlos, Se saca la raíz cuadrada de cada término, se abren dos paréntesis y en uno de ellos se colocan las dos raíces, en un paréntesis sumándose y el en otro restándose. Ejemplo 4) Factorizar: x 2 – 9 = (x + 3)(x – 3) Ejemplo 5) Factorizar: x 4 – 81 = (x 2 + 9)(x 2 – 9) pero como en el segundo término aparece nuevamente el ejemplo 4) entonces se factoriza nuevamente x 4 – 81 = (x 2 + 9)(x + 3)(x – 3) En el ejemplo 4) como ambos tienen raíz cuadrada exacta se abren los paréntesis y se escribe en uno la raíz cuadrada de ambos sumándose y en el otro restándose, de igual forma en el ejemplo 5) pero como en el Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 109 segundo paréntesis nuevamente hay una diferencia de cuadrados se opera hasta llegar al resultado final. Nota: La suma de cuadrados no es factorizable. Ejemplo 6) Factorizar m – 9m 3 SOLUCIÓN Como sabemos que lo primero que buscamos es el factor común, en este caso sí existe el factor común que es la m m – 9m 3 = m(1 – 9m 2 ) como en el paréntesis me quedó otra diferencia de cuadrados, factorizamos esta también m – 9m 3 = m(1 – 9m 2 ) = m(1 + 3m)(1 – 3m) EJERCICIOS Factorice completamente los siguientes ejercicios 1) 4 – 16x 2 2) 81y 2 – 49 3) x 2 – 1 4) a 2 b 2 – 4x 2 z 2 5) 25x 2 – 36 6) 100c 2 – 144 7) x 2 – y 4 8) 9 – s 2 9) y 4 z 4 – 1 10) 36x 2 – 81 11) ax 2 – ax 4 12) 2b 2 y 4 – 8b 2 x 2 13) 27x 2 – 12 14) 125x 2 y 2 – 180z 2 15) xy 2 – xz 4 16) 8a 2 y – 8b 2 y 3 Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 110 17) x 4 y 5 + yz 4 18) a – ax 4 19) 25y 6 – 2500z 4 20) 1 – a 8 2. 7. 4 SUMA Y DI FERENCI A DE CUBOS Para identificar una diferencia de cubos, se deben observar los dos términos, los cuales deben tener raíz cúbica exacta. Para factorizar cubos se procede de la siguiente manera: X 3 + y 3 X 3 – y 3 1.- Se saca la raíz cúbica de los dos términos y estas raíces se colocan dentro de un paréntesis con el mismo signo que tiene en medio los dos términos. X 3 + y 3 (x + y) X 3 – y 3 (x – y) 2.- Se abre otro paréntesis y dentro de él, tomando en cuenta el paréntesis donde están las raíces del binomio, se escribe de la siguiente manera: 2.1 Se eleva al cuadrado el primer término. X 3 + y 3 (x + y)(x 2 X 3 – y 3 (x – y)(x 2 2.2 Se escribe el signo cambiado. X 3 + y 3 (x + y)(x 2 – X 3 – y 3 (x – y)(x 2 + 2.3 Se multiplican los dos términos. X 3 + y 3 (x + y)(x 2 – xy X 3 – y 3 (x – y)(x 2 +xy 2.4 Se escribe el signo más. X 3 + y 3 (x + y)(x 2 – xy + X 3 – y 3 (x – y)(x 2 + xy + Centro Educativo Kinal Matemática cuarto Centro Educativo Kinal 111 2.5 Se eleva al cuadrado el segundo término. X 3 + y 3 (x + y)(x 2 – xy + y 2 ) X 3 – y 3 (x – y)(x 2 + xy + y 2 ) Ejemplo 7) Factorizar a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) Ejemplo 8) Factorizar 27x 3 – 64y 3 Solución: Extraemos la raíz cúbica de 27x 3 . La raíz cúbica de 27 es 3, ya que 3 3 = 3 * 3 * 3 = 27. La raíz cúbica de x 3 es x. La raíz cúbica de 64 es 4 y de y 3 es “y”, por lo tanto 27x 3 – 64y 3 = (3x – 4y)(9x 2 + 12xy + 16y 2 ) EJERCICIO Factorice los siguientes ejercicios 1) x 3 – 27 2) 8 + a 3 3) 125m 3 – 1 4) 64 + 8x 3 5) 512 + 27a 3 6) x 3 y 6 – 216y 9 7) x 9 + y 9 8) 1000x 3 – 1 9) 27m 3 – 64n 9 10) 5a 3 + 625b 12 Segunda unidad: Álgebra 112 2.7.5 TRINOMIOS Tercero. Si tiene tres términos, sólo podrá ser trinomio. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 1. Para saber si un trinomio es cuadrado perfecto, observamos los extremos del mismo y vemos si tienen raíz cuadrada exacta. Luego observamos el término del medio y si es el doble producto de las dos raíces cuadradas de los extremos, sí es trinomio cuadrado perfecto y para factorizarlo, basta con escribir dentro de un paréntesis las dos raíces y este paréntesis se eleva al cuadrado. Ejemplo 9) Factorizar x 2 + 2x + 1 Los extremos que son x y 1 sí tienen raíz cuadrada exacta x 2 + 2x + 1 x 1 Luego vemos que al multiplicar x * 1 = x y el doble de x es 2x, entonces vemos que sí es un trinomio cuadrado perfecto y escribimos las dos raíces cuadradas en un paréntesis, escribiendo el mismo signo que tiene el segundo término y el paréntesis se eleva al cuadrado. x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2 Ejemplo 10) Factorizar 9x 2 + 12x + 4 Solución: Sacamos la raíz cuadrada de los extremos que son 9x 2 y 4. Dichas raíces son 3x y 2, luego vemos que al multiplicar 3x * 2 y el resultado es 6x y el doble de 6x es 12x y como el término del medio es 12x, entonces sí es trinomio cuadrado perfecto 9x 2 + 12x + 4 = (3x + 2) 2 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 113 EJERCICIOS: Factorice correctamente los siguientes ejercicios 1) x 2 + 2x + 1 2) 1 – 4x + 4x 2 3) 9x 2 – 12x + 4 4) 16 + 8x + x 2 5) y 2 + 14y + 49 6) m 2 – 2mn + n 2 7) 25m 2 + 10mn + 4n 2 8) 36a 2 + 12ab + b 2 9) x 2 – 18x + 81 10) 4m 2 + 28mn 2 + 49n 4 TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c Al encontrar un trinomio que los extremos o alguno de ellos no tenga raíz cuadrada exacta, hacemos lo siguiente: Si el primer término no tiene coeficiente y el último no tiene raíz cuadrada exacta, entonces es trinomio de la forma x 2 + bx + c, en este caso, abrimos dos paréntesis y colocamos la raíz cuadrada de la letra del lado izquierdo de cada paréntesis, luego escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tiene el segundo término y en el segundo paréntesis, el signo que se obtiene al aplicar la ley de signos, luego se buscan dos factores del tercer término que al sumarse o restarse, dependiendo de cómo hayan quedado los signos, den como resultado el segundo término. Ejercicio 11) Factorizar x 2 – 5x + 6 Solución: Como es un trinomio y el 6 no tiene raíz cuadrada exacta, procedemos a escribir dos paréntesis x 2 – 5x + 6 = ( )( ) Luego escribimos la raíz cuadrada de la letra del lado izquierdo en los dos paréntesis x 2 – 5x + 6 = (x )(x ) Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 114 Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tenga el segundo término y en el segundo paréntesis el signo que nos dé al aplicar la ley de signos x 2 – 5x + 6 = (x - )(x - ) como los signos en los paréntesis quedaron iguales, se buscan dos factores del 6 que al sumarse nos dé como resultado 5. Los dos números son 2 y 3, ya que 2 * 3 = 6 y 2 + 3 = 5. Escribamos siempre el número mayor en el primer paréntesis Entonces x 2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2) Ejemplo 12) Factorizar x 2 + x – 12 Solución. Como es un trinomio y el 12 no tiene raíz cuadrada exacta, procedemos de igual manera, abriendo dos paréntesis y escribiendo del lado izquierdo en cada paréntesis x 2 + x – 12 = (x )(x ) Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tiene el segundo término y en el segundo paréntesis el signo que nos dé la ley de signos x 2 + x – 12 = (x + )(x - ) Luego buscamos dos factores del 12 que al restarse den 1 por ser contrarios los signos, ya que sabemos que si la letra no tiene ningún número escrito, su coeficiente es uno. Los factores del 12 son: 12 * 1 6 * 2 4 * 3 Los que cumplen con lo requerido son 4 y 3, porque 4 * 3 = 12 y 4 – 3 = 1 Entonces x 2 + x – 12 = (x + 4)(x – 3) Ejercicio 13) Factorizar x 2 + 54x + 720 Solución: como el número 720 no tiene raíz cuadrada exacta, procedemos de la misma manera, escribiendo los dos paréntesis y del lado izquierdo la raíz cuadrada de la letra. x 2 + 54x + 720 = (x )(x ) Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 115 Luego, en el primer paréntesis, escribimos el mismo signo que tiene el segundo término y en el segundo paréntesis, el signo que dé la ley de signos. x 2 + 54x + 720 = (x + )(x + ) Buscamos dos factores de 720 y como los signos son iguales, que sumados de 54. Como en este caso no es fácil encontrar los números mentalmente, procedemos de la siguiente manera. Descomponemos el 720 en sus factores primos 720 2 360 2 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 Luego buscamos los números que sumados den 54, haciendo diferentes combinaciones. Probamos primero con todos los números 2 y los otros números juntos 2 * 2 * 2 * 2 = 16 3 * 3 * 5 = 45. No son estos números, pues aunque 16 * 45 da 720, 16 + 45 no da 54. Probamos con otras combinaciones. 720 2 360 2 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 116 2 * 2 * 2 * 3 = 24 2 * 3 * 5 = 30 Los números son 24 y 30, pues 24 * 30 = 720 y 24 + 30 = 54 Entonces nos queda x 2 + 54x + 720 = (x + 30)(x + 24) Ejercicios: Factorice las siguientes expresiones algebraicas. 1) x 2 + 8x + 15 2) x 2 + 9x + 18 3) x 2 + 15 + 50 4) x 2 + 5x – 24 5) x 2 + 3x – 4 6) x 2 – 8x + 12 7) x 2 – 7x + 12 8) x 2 – x – 72 9) x 2 – x – 30 10) x 2 + x – TRINOMIO DE LA FORMA ax 2 + bx + c Si la expresión algebraica tiene 3 términos y el primer término tiene coeficiente numérico, entonces será trinomio de la forma ax 2 + bx + c Ejemplo 14) Factorizar 3x 2 – 5x – 2 Solución: Al buscar factor común no tiene, pues entre 3 y 5 no hay nada en común y el último término no tiene letra. Es un trinomio porque tiene tres términos. No es cuadrado perfecto, puesto que los extremos no tienen raíz cuadrada. Colocamos entonces los dos paréntesis, sólo que ahora escribimos también el número que está con la x 2 en el lado izquierdo de los dos paréntesis. 3x 2 – 5x – 2 = (3x )(3x ) Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 117 Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tiene el segundo término y en el segundo, el signo que nos dé la ley de signos 3x 2 – 5x – 2 = (3x - )(3x + ) Luego multiplicamos el número que está con la x 2 y el último término 6 3x 2 – 5x – 2 = (3x - )(3x + ) Ahora buscamos dos números que nos dé como resultado 6, que fue el producto de 3 * 2, y restados 5, por ser contrarios los signos. 3x 2 – 5x – 2 = (3x - 6)(3x + 1) Como habíamos multiplicado por 3, ahora tenemos que dividir por 3 en el paréntesis que se pueda, en este caso se puede en el primero 3x 2 – 5x – 2 = | . | \ | ÷ 3 6 3x (3x + 1) Nos queda 3x 2 – 5x – 2 = (x - 2)(3x + 1) OTRA FORMA DE FACTORIZAR 3x 2 – 5x – 2 se sacan los factores de los extremos 3x 2 – 5x – 2 3x 2 x 1 luego buscamos los signos, como en el caso anterior, el signo del segundo término permanece y el otro signo es el que nos dé la ley de signos. 3x 2 – 5x – 2 – + 3x 2 x 1 Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 118 Como los signos que quedan son contrarios, buscamos, de los factores que ya tenemos, dos productos que al restarse del como resultado el término de en medio del trinomio. 3x 2 – 5x – 2 – + 3x 2 = 6x x 1 = x la flecha me indica cuales son los factores que multipliqué, para no escribirlos en el mismo paréntesis y el número mayor del resultado debe llevar el mismo signo del segundo término 3x 2 – 5x – 2 - + 3x 2 = – 6x x 1 = x como – 6x salió de multiplicar 3x por 2, entonces al 2 se le escribe el signo – 3x 2 – 5x – 2 – + 3x – 2 = – 6x x 1 = x ahora los agrupamos pero no con el que se multiplicó sino con el otro 3x 2 – 5x – 2 = (3x + 1)(x – 2) Ejemplo 15) Factorizar 6x 2 – 7x + 2 Solución: Procedemos de la misma forma que los anteriores, darnos cuenta que es un trinomio sin factor común Escribimos los dos paréntesis y del lado izquierdo de cada paréntesis, el 6, 6x 2 – 7x + 2 = (6x - )( 6x – ) Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tenga el segundo término y en el segundo paréntesis el signo que nos dé la ley de signos, luego multiplicamos los números de los extremos 6 y 2 12 6x 2 – 7x + 2 = (6x - )( 6x – ) Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 119 A continuación buscamos 2 números que multiplicados nos den 12 y sumados 7 6x 2 – 7x + 2 = (6x - 4)( 6x – 3) Los números son 4 y 3. Ahora procedemos a dividir por 6, pero como en ningún paréntesis se puede, buscamos dos factores del 6, que son 2 y 3. Ahora buscamos en cual paréntesis se puede dividir por 2 y en cuál por 3. En el primero podemos dividir por 2 y en el segundo por 3 6x 2 – 7x + 2 = | . | \ | ÷ | . | \ | ÷ 3 3 6 2 4 6 x x 6x 2 – 7x + 2 = (3x - 2)(2x – 1) la otra forma 6x 2 – 7x + 2 se sacan los factores de los extremos 6x 2 – 7x + 2 3x 2 2x 1 luego buscamos los signos, como en el caso anterior, el signo del segundo término permanece y el otro signo es el que nos dé la ley de signos. 6x 2 – 7x + 2 – – 3x 2 2x 1 Como los signos que quedan son iguales, buscamos, de los factores que ya tenemos, dos productos que al sumarse den como resultado el término de en medio del trinomio. 6x 2 – 7x + 2 – – 3x 2 = 3x 2x 1 = 4x Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 120 la flecha me indica cuales son los factores que multipliqué, para no escribirlos en el mismo paréntesis. En este caso, como los signos son iguales, tiene que escribirse el mismo signo en los dos términos 6x 2 – 7x + 2 – – 3x – 2 = – 3x 2x – 1 = – 4x ahora los agrupamos pero no con el que se multiplicó x 2 – 7x + 2 = (3x – 2)(2x – 1). Puede notarse que si al multiplicarlos en línea no da el resultado, se deben multiplicar cruzados y si así tampoco da el resultado, puede ser por dos razones. Que no sea factorizable o sean otros factores cuando los coeficientes tienen varios factores. Ejercicios: Factorice completamente las siguientes expresiones algebraicas. 1) 3x 2 – 13x – 10 2) 2x 2 – 3x – 9 3) 5x 2 + 18x – 8 4) 6x 2 + x – 5 5) 2x 2 + 13x – 7 6) 7x 2 – 44x + 12 7) 6x 2 – 7x – 20 8) 12x 2 – 5x – 2 9) 10x 2 – 9x – 9 10) 12x 2 – 5x – 28 11) x 2 – 14x + 49 12) x 2 + 12xy + 36y 2 13) a 2 + 10ab + 25b 2 14) 1 + 2c + c 2 15) m 2 n 2 – 50mnx + 625x 2 16) x 4 + 5x 2 + 4 17) x 2 +2ax – 15a 2 18) 5 + 4x –x 2 19) 25x 2 – 25x – 84 20) 2x 2 + 3x – 2 21) 5x 2 + 13x – 6 22) 12m 2 – 13m – 35 23) 21x 2 + 11x – 2 24) 44n + 20n 2 – 15 25) x 2 – 24xy + 144 26) 48 + 2x 2 – x 4 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 121 27) m 2 n 4 – 4mn 2 x + 4x 2 28) 30x 4 – 91x 2 – 30 29) m 2 + abcm – 56a 2 b 2 c 2 30) 27ab – 9b 2 –20a 2 31) a 2 + 2axy – 440x 2 y 2 32) 4x 2 – 36 33) x 4 y 2 – 81y 2 Cuarto: 2.7.6 AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Cuando vamos a factorizar una expresión algebraica que no tenga factor común, contamos la cantidad de términos que contenga: si tiene dos términos es binomio, si tiene 3 es trinomio, si tiene más de 3 términos, la factorizaremos agrupando los términos en paréntesis, términos que contengan entre sí factores comunes. Ejemplo16) Factorizar am + bm – 5a – 5b Solución: Primero buscamos si hay factor común, pero no tiene, ya que no hay nada que esté en todos los términos. Procedemos a contar la cantidad de términos y vemos que tiene 4. Como ya sabemos cómo se factorizan binomios y trinomios, ya que éste es diferente, procedemos a agrupar términos de manera que nos queden agrupados los que tengan términos semejantes entre sí, en este caso vemos que tienen en común los primeros dos, la letra m; y los segundos, el número cinco. Agrupamos entonces (am + bm) y en el otro paréntesis –5a y –5b, pero como el signo que tiene el término que vamos a escribir de primero en el paréntesis es negativo, escribimos este signo afuera del paréntesis y éste nos hará que todos los términos que se escriban dentro del paréntesis, estén con signo contrario al que tenían inicialmente. am + bm – 5a – 5b = (am + bm) – (5a + 5b) Ya que tenemos los términos agrupados, procedemos a sacar el factor común de cada paréntesis am + bm – 5a – 5b = m(a + b) – 5(a + b) Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 122 Luego vemos que nos quedó el paréntesis igual, entonces este es el factor común, lo escribimos en un paréntesis y en otro lo que se encuentra afuera de él. am + bm – 5a – 5b = (a + b)(m – 5) EJERCICIO: Factorice completamente las siguientes expresiones algebraicas 1) x 3 – 4x 2 + x – 4 2) 3x + 3y – x 2 – xy 3) y 3 + 3y 2 – 2y – 6 4) 9a 2 + 4b 2 – 12b – 9 5) y 2 – 3y + xy – 3x 6) y 2 + 4xy + 4x 2 – 3y – 6x 7) x 2 + 6xy + 9y 2 + 2x + 6y 8) a 2 – 2ab + b 2 – c 2 + 4cd – 4d 2 9) x 2 – 2xy + y 2 + 3x + 3y + 2 10) am – an – bm + bn 2.7.7 CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Algunas veces nos encontramos con expresiones que a pesar de tener cuatro términos, no es una agrupación. Para identificarla, observamos los extremos y si estos tienen raíces cúbicas, no será agrupación de términos. Ejemplo 17) Factorizar x 3 + 3x 2 + 3x + 1 solución: Vemos que hay cuatro términos, observamos los extremos y vemos que el primero tiene raíz cúbica, ya que su exponente es 3. El uno tiene cualquier raíz, ya que cuantas veces lo multipliquemos por él mismo, siempre su resultado será uno. Vemos entonces los términos del medio, los cuales deben tener los siguientes requisitos: El segundo debe ser el triple producto de la raíz del primer término elevado al cuadrado multiplicado por el segundo, en este caso, la raíz cúbica de x 3 es x y la raíz cúbica de 1 es 1 3(x 2 )(1) = 3x 2 Sí coincide Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 123 El tercer término debe ser el triple producto la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo elevado al cuadrado 3(x)12 = 3x, ya que 3 * x = 3x y 12 = 1 * 1 = 1 y 3x * 1 = 3x También coincide el tercer término, Entonces escribimos las dos raíces cúbicas en un paréntesis con el mismo signo que tenga el segundo término y lo elevamos al cubo x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = (x + 1) 3 EJERCICIO 1) 27 – 27x + 9x 2 – x 3 2) 1 + 3a + 3a 2 + a 3 3) 8 + 12x 2 + 6x 4 + x 6 4) m 3 – 3m 2 n + 3mn 2 – n 3 5) 125x 3 – 1 – 75x 2 + 15x 6) 8 + 36x + 54x 2 + 27x 3 7) x 9 – 9x 6 y 4 + 27x 3 y 8 – 27y 12 8) 1 + 18a 2 b 3 + 108a 4 b 6 + 216a 6 b 9 9) 3a 12 + 1 + 3a 6 + a 18 10) m 3 – 3am 2 n + 3a 2 mn 2 – a 3 n 3 PROBLEMAS DIVERSOS Factorice completamente los siguientes ejercicios 1) 4 – 9m 2 2) 9m 2 + 6m + 1 3) 6x 2 – 5x + 1 4) 6x 2 – 5x – 6 5) 5x 3 – 20x 6) 3x 2 – 18x + 27 7) 6x 3 – 5x 2 + x 8) 4x 5 – 32x 2 9) 2u 4 – 7u 2 + 5 10) x 3 y 2 + 2x 2 y 3 + xy 4 11) (a + 2b) 2 – 3(a + 2b) – 28 12) (2a + b) 3 – 8 13) (a + 3b) 4 – 1 14) x 2 + 4xy + 4y 2 – x 2 y 2 15) x 2 – 6xy + 9y 2 + 4x – 12y 16) x 2 – 2xy + y 2 + 3x – 3y + 2 17) 9x 4 – 24x 2 y 2 + 16y 4 – y 2 18) 9x 4 + 15x 2 y 2 + 16y 4 19) x 4 – 3x 2 y 2 + y 4 20) 8x 2 (x – 2) + 8x(x - 2) + 2(x – 2) 21) (x + 3) 2 (x + 2) 3 – 20(x + 3)(x + 2) 2 22) (x – 3y)(x + 5y) 4 – 4(x – 3y)(x + 5y) 2 23) x 2n + 3x n + 2 24) x n+3 + 5x n + x 3 + 5 Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 124 2.8 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplificar es llevar fracciones algebraicas a su más mínimo expresión, dicho en otras palabras, es eliminar numeradores con denominadores, pero para que esto sea posible, tanto el numerador como el denominador deben de estar escritos como un producto, es decir, que toda la expresión debe ser una multiplicación, ya que sumas y restas, no se pueden eliminar. Por ejemplo, si tenemos la expresión 4 4 * 4 En este caso podemos eliminar un 4 de arriba con un 4 de abajo y nos queda como resultado 4, ya que aunque efectuemos la multiplicación, 4 4 16 4 4 * 4 = = . Pero si en lugar de multiplicación tenemos una suma 4 4 4 + En este caso no se pueden eliminar, pues no es lo mismo si eliminamos un 4 con un 4, ya que nos queda un 4 y al efectuar la suma el resultado es 2. 2 4 8 4 4 4 = = + Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente. Ejemplo1: Simplificar y x x xy y x x 2 3 2 2 3 6 6 3 6 3 + + + Solución: Sabemos que no se pueden eliminar términos sino solo factores, por lo tanto procedemos a factorizar tanto el numerador como el denominador y teniendo las expresiones factorizadas, procedemos a eliminar factores que sean iguales uno de arriba con uno de abajo. ( ) ( ) 2 2 3 3 6 x x y x x y + = + x ( ) x y + ( ) 3 x y + .2. x ( ) .x x y + 2 x y x + = Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 125 Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos. Ejemplo 2: Simplificar 3 2 3 x x x + Sollución: Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por lo tanto antes de simplificar hay que factorizarlo. En este caso el método adecuado es sacar factor común 2 x así ( ) 3 3 2 2 3 2 1 x x x x x x x = = + + 2 .x x ( ) 1 1 x x x = + + Más ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas 1. 2 3 15 25 a a Como tenemos un término arriba y un término abajo, simplificamos directamente o buscamos los factores de cada término para eliminarlos 2 3 15 3. 5 25 a a = 2 . a 5. 5 2 . a 3 5 . a a = 2. 3 4 2 2 12 18 xy x y = .2. 3. x 2 . y . 2 y .3. 3. x 3 2 . . x y 3 2 3 y x = 3. 2 x x yx y + + En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos Sacar factor común x en el numerador y “y” en el denominador ( ) 2 1 x x x x yx y + + = + ( ) 1 y x + x y = 4. 2 1 2 x 1 x x + + + , aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, pero el denominador si se puede factorizar ya que es el un trinomio cuadrado perfecto. Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra Centro Educativo Kinal 126 ( ) 2 2 1 1 1 2 1 1 x x x x x x + + + = = + + + ( ) 1 x + ( ) 1 1 1 x x = + + 5. 2 1 1 x x ÷ ÷ , aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por la diferencia de sus raíces EJERCICIO: Simplifique las siguientes expresiones algebraicas. 1) 3 8 5 3 17 20 2 2 + + + + x x x x 2) 9 x 3 5x 2x 2 2 ÷ + 3) 49 x 49 14x x2 2 ÷ + + 4) 4 4 8 2 3 + + + x x x 5) x xy x ÷ 6) 4 4 4 2 2 ÷ + ÷ x x x 7) 2 3 9 1 9 2 2 ÷ ÷ ÷ x x x 8) 2 3 3 6 3 3 x x x ÷ 9) 1 4 3 1 2 2 2 + + ÷ + x x x x 10) 4 3 8 2 2 2 ÷ + ÷ + x x x x 11) 9 6 27 2 3 + + + a a a 12) 40 33 18 8 45 18 2 2 ÷ ÷ ÷ ÷ x x x xx 13) 4 3 2 3 81 27 9 27 x x x x + + 14) 8 7 5 6 2 2 ÷ + ÷ ÷ x x x x 15) 35 13 12 15 13 20 2 2 ÷ ÷ ÷ ÷ x x x x 16) 1 1 3 3 2 2 3 ÷ + + + x x x x 17) 2 2 2 3 c b c b b ÷ ÷ 18) 4 6 5 2 2 ÷ + ÷ x x x 19) 1 6 4 11 3 2 4 2 4 ÷ ÷ ÷ ÷ x x x x 20) 12 y) 5(x y)2 2(x 6 y) (x y)2 2(x + + + + + + Matemática cuarto 127 SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES Para sumar o restar fracciones algebraicas, se procede de igual forma que en artimética, buscando un denominador común Ejemplo1 : Simplificar a) 4 3 4 6 2 2 ÷ ÷ ÷ x x x b) 2 5 2 5 4 ÷ + ÷ s s s Solución : Como en estos casos el denominador de las dos fracciones es igual, solamente lo copiamos a) b) 2 5 4 2 5 2 5 4 ÷ + = ÷ + ÷ s s s s s Ejemplo 2 Simplificar a) 3 2 5 1 2 5 x x x x x + + ÷ + b) 9 18 3 4 3 2 ÷ ÷ ÷ + + t t t t t Solucion: a) Cuando tenemos iguales denominadores pero con diferentes exponentes, escribimos el que tiene mayor exponente y luego dividimos por cada denominador y lo que nos queda lo multiplicamos por su respectivo numerador Como el trinomio que nos quedó no se puede factorizar, así se queda la respuesta. b) Cuando los denominadores son diferentes y se pueden factorizar, se factorizan y luego se escribe el denominador común, es decir, el que contenga a todos los denominadores luego se procede de igual forma que los anteriores Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 128 = ÷ + ÷ + = ÷ + ÷ + + ÷ = ÷ + ÷ + + ÷ = ÷ ÷ ÷ + + ) 3 )( 3 ( 18 9 5 ) 3 )( 3 ( 18 12 4 3 ) 3 )( 3 ( 18 ) 3 ( 4 ) 3 ( 9 18 3 4 3 2 2 2 2 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t 3 6 5 ) 3 )( 3 ( ) 3 )( 6 5 ( ÷ ÷ = ÷ + + ÷ t t t t t t Ejercicios Resuelva las siguientes operaciones y simplifíquelas 1) x x x 5 - 2 6 + 2) 3 1 3 + + + x x x 3) 3 4 3 - 3 4 4 ÷ ÷ x x x 4) 1 2 8 2 3 - 1 2 8 3 2 2 2 ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ x x x x x x x x 5) x x x x 8 1 4 6 2 3 ÷ + + 6) 2 2 15 10 3 - 9 6 x x x x + + 7) 1 4 - 2 x + x 8) 2 2 - 2 3 ÷ + x x 9) 1 2 2 1 2 ÷ + + + x x x 10) 2 4 4 2 + + ÷ x x x x 11) 4 3 8 2 6 2 + + ÷ + + x x x x 12) 9 18 12 7 2 2 ÷ + ÷ ÷ x x x x 13) 12 3 8 2 2 2 2 ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ x x x x x 14) 2 6 2 3 4 3 2 2 ÷ + + + + + x x x x x 15) 6 5 2 2 - 3 2 1 5 2 2 + + + ÷ + ÷ x x x x x x 16) 2 3 6 - 8 10 3 14 7 2 2 ÷ + + ÷ + + x x x x x x 17) 2 4 2 3 - 4 4 4 2 ÷ + + ÷ ÷ x x x x 18) 3 1 - 3 2 9 2 2 ÷ + + ÷ x x x x 19) 1 6 10 4 3 2 - 4 21 18 18 2 + + ÷ ÷ ÷ x x x x 20) 2 3 - 24 2 14 8 2 10 4 2 2 ÷ ÷ ÷ + + ÷ + + x x x x x x x 2.8.2 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Para multiplicar fracciones algebraicas no es necesario buscar un denominador común, únicamente se multiplican numeradores con numeradores y denominadores con denominadores factorizándolos antes de multiplicarlos para poder eliminar factores comunes Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 129 Ejemplo: Simplificar x x x x x x x x 8 27 4 6 9 * 2 5 3 4 9 4 2 3 4 2 2 + + ÷ + ÷ ÷ Solución = + + ÷ - ÷ ÷ ÷ + = + + ÷ - + ÷ ÷ ) 8 27 ( ) 4 6 9 ( ) 1 )( 2 3 ( ) 2 3 )( 2 3 ( 8 27 4 6 9 2 5 3 4 9 3 2 2 4 2 3 4 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 ) 4 6 9 )( 2 3 ( ) 4 6 9 ( * ) 1 )( 2 3 ( ) 2 3 )( 2 3 ( 2 2 2 ÷ = + ÷ + + ÷ ÷ ÷ ÷ + x x x x x x x x x x x x x EJERCICIO Simplificar: 1) 63 42 8 12 16 24 21 12 2 ÷ ÷ - ÷ ÷ x x x x x 2) x x x x x x x 84 14 30 15 6 3 42 7 2 2 2 3 + ÷ - ÷ + 2) 3 4 2 3 2 2 3 4 2 + + - + + x x y x y x x x 4) 2 2 2 5 4 3 8 6 xy x x x x xy ÷ + - + + 5) 5 4 3 2 6 5 6 2 2 2 2 ÷ ÷ ÷ ÷ - + ÷ ÷ + x x x x x x x x 6) 15 8 20 9 12 7 9 6 2 2 2 2 + + + + - + + + + x x x x x x x x 7) x x x x x x x x 15 54 5 36 8 16 2 24 2 2 2 2 + + + ÷ - ÷ + + ÷ 8) x x x x x x x x 11 28 13 42 13 40 9 20 2 2 2 2 ÷ + ÷ + - ÷ + ÷ + 9) 2 2 2 2 2 2 2 2 12 41 24 32 36 9 8 21 9 3 24 y xy x y xy x y xy x y xy x + ÷ + ÷ - ÷ ÷ ÷ ÷ 10) 32 12 48 2 30 24 10 2 2 2 2 + ÷ ÷ ÷ - ÷ + + ÷ x x x x x x x x Centro Educativo Kinal Segunda unidad: Álgebra 130 2.8.3 DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS La división es la multiplicación invertida, por esta razón únicamente se invierte el divisor y se procede de igual forma que las multiplicaciones. Ejemplo Simplificar: a a a a a a a 2 4 20 25 16 4 12 5 2 2 4 2 ÷ + + ÷ ÷ + + Ejercicios: Simplificar: 1) 3 2 6 2 3 2 12 15 8 6 xy b a y x b a ÷ 2) 10 6 4 7 8 5 5 2 3 9 8 6 c b a z y x c b a z y x ÷ 3) | | . | \ | ÷ 3 2 4 2 3 2 4 4 3 * y x b a xy b a y x b a 4) | | . | \ | ÷ 5 3 2 3 3 2 2 3 4 * ab y x y x b a b a xy 5) 4 2 6 3 2 2 2 2 x ab a x ab b a ÷ ÷ ÷ 6) ab a x b a a x 9 6 3 21 14 2 2 3 + ÷ + 7) 1 2 2 2 3 2 3 + ÷ ÷ ÷ ÷ + x x x x x x x x 8) x x x x x x x 2 2 4 4 12 3 2 2 3 2 2 + ÷ ÷ + + ÷ 9) 8 6 4 4 4 3 8 2 2 2 2 2 + ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + x x x x x x x x 10) 24 5 24 11 27 6 18 7 2 2 2 2 ÷ + + + ÷ ÷ + ÷ + x x x x x x x x Centro Educativo Kinal Matemática cuarto Centro Educativo Kinal 131 Ejercicios variados Simplifique las siguientes fracciones algebraicas. 1) 15 13 6 10 7 6 2 2 ÷ + ÷ + x x x x 2) 1 9 20 3 12 2 2 + + + y y y y 3) 12 23 5 21 29 10 2 2 + ÷ ÷ + x x x x 4) z z z z 3 2 9 12 4 2 2 + + + 5) 3 10 5 7 6 2 2 ÷ ÷ ÷ ÷ a a a a 6) 36 25 2 5 6 2 ÷ ÷ y y y 7) 2 3 4 3 6 11 10 9 4 x x x x x ÷ + ÷ 8) x x x x x x 6 25 4 8 16 2 3 2 3 4 + + + + 9) 27 8 6 9 3 ÷ ÷ t t * 12 10 12 9 4 2 2 ÷ + ÷ t t t 10) 2 3 3 4 2 2 ÷ + + + a a a a * 21 13 2 2 3 2 2 + + ÷ a a a a 11) 16 4 12 5 4 2 ÷ + + x x x ÷ x x x x 2 4 20 25 2 2 ÷ + + 12) 4 8 2 3 ÷ ÷ x x ÷ 8 3 + x x 13) 18 9 2 24 8 3 4 2 3 3 + ÷ ÷ ÷ ÷ + p p p p p p 14) wy yz wx xz wy wx yz xy + + + ÷ ÷ + 3 2 6 3 6 2 15) 3 2 1 - 3 2 2 1 | . | \ | + + + x h x ÷ h 16) 2 5 7 - 2 5 5 7 | . | \ | ÷ ÷ + x h x ÷ h 17) h x h x 2 2 ) ( ÷ ÷ ÷ + 18) 3 7 5 ÷ x - 1 2 2 + x + 3 14 4 2 ÷ + x x x 19) 1 - 1 - b b a b b a 20) x - 1 5 - 1 1 x x + 21) 3 7 1 3 2 1 5 + + + + + + x x x x x x 22) x 1 + y 1 23) s r - r s Matemática cuarto 133 Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 134 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 135 OBJETIVOS  Conocer el lenguaje algebraico para representar, resolver situaciones de la vida cotidiana e interpretar las soluciones.  Trasladar al lenguaje simbólico frases sencillas de contenido numérico y viceversa.  Reconocer ecuaciones y diferenciarlas de expresiones algebraicas.  Plantear y resolver ecuaciones, utilizando en cada caso el método que mejor convenga.  Simplificar expresiones y fórmulas mediante las reglas de uso de los paréntesis y de la jerarquía de las operaciones.  Reconocer un valor dado como solución de una ecuación.  Clasificar las ecuaciones según el número de soluciones.  Reconocer dos ecuaciones equivalentes. Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 136 3.1 Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada expresión (denominados miembros de la ecuación, el primer miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente válido permutarlos). En muchos problemas matemáticos, la condición del problema se expresa en forma de ecuación algebraica; se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad, es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos sobre el que se plantea la ecuación que cumpla la condición de satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede ser que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten las mismas soluciones. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones se denominará Inecuación. 5x – 3 = 2x – 5 Ecuaci ón l i neal x 2 – 5x + 6 = 0 Ecuación cuadrática x 2 – 5x + 6 Expresión algebraica. Observe que la expresión algebraica no tiene la igualdad mientras que la ecuación si. Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se deben transponer términos, es decir, se deben dejar de un lado del signo igual todos los términos que contengan variables y del otro lado, los términos independientes. Términos independientes se le llama a todos los términos que no tengan letra, es decir, que únicamente sean números. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 137 2. Todos los términos que cambien de lado, pasarán haciendo la operación inversa de lo que hacían en su lugar original 2.1. Si están sumando, pasarán del otro lado restando 2.2. Si están restando, pasarán del otro lado sumando 2.3. Si están multiplicando, pasarán del otro lado dividiendo 2.4. Si están dividiendo, pasarán del otro lado multiplicando 2.5. Si están como una potencia, pasará del otro lado como un radical. 2.6. Si está como un radical, pasará del otro lado como una potencia. Ejemplo 1 Dada la ecuación x + 3 = 5 Éste que es el ejemplo más sencillo, se hace lo siguiente para encontrar el valor de la variable (en este caso x): Solución: Se procede a dejar de un lado del signo igual la variable y todo lo que pase del otro lado, deberá pasar. Haciendo la operación inversa x + 3 = 5 x = 5 - 3 x = 2 Como se observó, el tres estaba al principio sumándose con la x, al pasar del otro lado, pasó restando al 5. Se pasó del otro lado, porque no tenía letra y se encontró de este modo el valor de x. Para comprobar el valor se reemplaza en la ecuación original el valor encontrado, como se muestra a continuación. (Ecuación original) x + 3 = 5 (Sustituyendo x = 2) 2 + 3 = 5 5 = 5 Se pueden tener casos en donde en ambos lados de la igualdad se encuentren incógnitas y números, tal y como se mostrará en el siguiente ejemplo: Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 138 Ejemplo 2 Resolver la ecuación 5x + 7 = 3x + 11 SOLUCIÓN Principiamos transponiendo términos, las letras de un lado y los números del otro. Debiendo tener cuidado que lo que está sumando de un lado, pasará restando en el otro y se reducen los términos semejantes. 5x + 7 = 3x + 11 5x – 3x = 11 – 7 2x = 4 Como se puede observar la literal quedó acompañada de un número que la multiplica, al cual se le llama coeficiente. Este número o coeficiente, pasa a dividir al número que está del otro lado del signo de igualdad, y se realiza la operación si se puede, de lo contrario se deja expresada como fracción simplificada 2x = 4 x = 4 2 x = 2 Para comprobar se sustituye el valor por la literal y se opera: 5(2) + 7 = 3(2) + 11 10 + 7 = 6 + 11 17 = 17 Como se podemos ver, se cumplió la igualdad. Ejemplo 3 Otro caso que se puede dar a la hora de resolver una ecuación. Dada la Ecuación: 5x + 3(5x + 2) = 12 – 2(3x - 36) Solución: En este caso se realizan primero las operaciones indicadas por los paréntesis, ya que afectan a unos términos de la igualdad y evitan que se pueda despejar la literal. 5x + 15x + 6 = 12 – 6x + 72 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto Centro Educativo Kinal 139 El tres se multiplicó por 5x y por 2, en el primer lado de la igualdad, tomándose en cuenta la ley de signos, y el –2 se multiplicó por el 3x y –36, como se ve el resultado final de éste lado se tomo en cuenta la ley de signos. Como se hizo en el ejemplo anterior, transponiendo términos dejando de un solo lado las variables y del otro los términos independientes 5x + 15x + 6x = 12 + 72 – 6 26x = 78 26 78 = x x = 3 Para asegurarse que el valor encontrado es correcto se hace la prueba. sustituyendo x = 3 5(3) + 3[5(3) + 2] = 12 – 2[3(3) – 36] 15 + 3(15 + 2) = 12 – 2(9 – 36) 15 + 3(17) = 12 – 2(-27) 15 + 51 = 12 + 54 66 = 66 EJERCICIO Resuelva las siguientes ecuaciones. 1) 4x = 12 8) 6x = 2 2) 3x = 6 9) 16x = 8 3) 5x = 20 10) 20x = 40 11) 2 1 x = 3 4) 2x = 6 5) 6x = 12 12) 4 1 x = 1 6) 6x = 6 7) 4x = 4 Tercera unidad: Ecuaciones 140 13) 9 5 3 = x 14) 21 5 3 = x 15) 2 6 4 = x 16) 7 9 7 = x 17) 3 11 6 = x 18) 6 5 3 = y 19) 6 8 7 = s 20) 10 9 5 = z 21) 7 6 5 3 = w 22) 5 3 10 9 = x 23) 7 6 5 4 = z 24) 11 8 11 9 = y 25) 7 3 5 1 = x 26) 8 5 7 6 = y 27) 18 7 9 5 = y 28) 15 6 9 1 = w 29) 5 1 15 7 = y 20) 3 1 3 1 = y 31) 0.2x = 2 32) 0.8y = 3 33) 0.5x = 2 34) 5x = 0.2 35) 0.3y = 0.3 36) 0.1x = 0.25 37) 2x = 0.1 38) 0.5y = 0.25 39) 0.6x = 0.36 40) 0.11z = 0.33 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 141 EJERCICIO Resolver las siguientes ecuaciones. 1) 4x + 3x = 21 2) 5x + x = 24 3) 3x + x = 12 4) 2x + 3x = 15 5) 4x – x = 12 6) 3x – x = 8 7) 5x – 2x = 15 8) 8x – x = 28 9) 10x – 12x = 1 10) 9x – 12x = 3 11) 10x – 3x = 14 12) 9x – 2x = 14 13) 25x – 20x = 4 14) 8x – x = 1 15) 5x – 4x = 3 16) 6x – 5x = 4 17) 6x – 7x = 5 18) 8x – 9x = 2 19) 5x – 6x = ÷4 20) x – 2x = –6 21) x – 3x = –6 22) 3x + 2x + x = 18 23) x + 2x + 5x = 24 24) 2x + 5x + x = 4 25) 14x + x + 2x = –3 26) 4x – 2x + x = 4 27) x – 2x + x = 5 28) 4x – 5x + x = 6 29) 2x + x – 3x = 4 30) 4x + 2x – 6x = 8 31) 4x-3= x+3 32) 3x+2=3-2x 33) x + 5 = 6 – 2x 34) 5 – 2x = 8 + x 35) 3x – 2 = 10 – x 36) 5x + 3 = 2x - 3 37) 8x – 5 = 6x + 5 38) 4x – 1 = 2x + 5 39) 5x + 8 = 2x – 4 40) 10x + 5 = 3x – 9 41) 6x + 3(x + 1) = 8 42) 4x + 4(x – 2) = 0 Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 142 43) 5x + 3[-4 + 3(5x + 2) –x] = 0 44) 4x – 3 = 5[x – 3{4x + 1}] + 6 45) 3x – (5x + 2) = 9[-x + 2(x + 3)] 46) 6x – 3 + 4x = 8x – 2(x – 2) 47) 25x + 3 = 8x – 3{x + [x + 2(3 – 5x)+1]} 48) 3x + 4(5x + 3) = 2(5x + 3) – 2 3.1.1 Ecuaciones con coeficiente fraccionario En estas ecuaciones son las que llevan números racionales. Ejemplo 1 2 9 2 5 15 7 5 ÷ = + x x Como se puede observar existen denominadores en la igualdad, para resolver éste tipo de ecuaciones se procede de igual forma que para hacer sumas y restas de fracciones aritméticas. Si se nos ha olvidado, se siguen los siguientes pasos: 1er paso. Se busca el común denominador entre los números de la siguiente forma: 7 9 5 7 1 9 5 5 1 9 1 3 1 3 1 3 1 1 1 315 2do paso. Ahora colocamos el común denominador y lo dividimos entre los denominadores que aparezcan y lo multiplicamos por el numerador, en donde no aparezcan denominadores los multiplicamos por el entero. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 143 315 ÷ 7 * 5x = 225x 315 ÷ 5 * 15 = 945 315 ÷ 9 * 2x = 70x 315 * 2 = 630 Lo trabajado anteriormente es para observar paso por paso como es que va a quedar en la ecuación, quedando de la siguiente manera, anulando el denominador, porque ya lo hemos trabajado: 225x + 945 = 70x – 630 315 Al haber trabajado esto lo tomamos como se han trabajado las ecuaciones anteriores: 225x – 70x = -630 – 945 155x = -1575 x = -1575 155 31 315 = x Al tener éste resultado realizamos nuevamente la prueba para estar seguros. Ejemplo 2 5 10 9 4 2 5 2 = + + + x x x x Como se puede observar existen denominadores con letras y con números, para resolver esta ecuación se hace lo siguiente: 1er. Paso. Se busca el común denominador entre números, en este ejercicio solamente tenemos el 5. 2do. Paso. Se busca el común denominador entre letras, como se puede observar solo aparece la literal “x”, entonces se toma con su mayor exponente, quedando de la siguiente forma: 5x 2 Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 144 3er. Paso. Dividimos el común denominador entre cada denominador y luego el resultado lo multiplicamos por el numerador. 5x 2 ÷ x Como podemos observar aquí se elimina una equis con el cuadrado y queda como resultado 5x 5x 2 ÷ x = 5x Ahora este resultado lo multiplicamos por el numerador que le corresponde. Como el denominador de 5 + 2x es “x” y ya la dividimos entre 5x 2 que es el común denominador a toda la ecuación y el resultado nos dio 5x lo multiplicamos por 5 + 2x. 5x(5 + 2x) = 25x + 10x 2 Ahora hacemos lo mismo para el siguiente término 5x 2 ÷ x 2 Al realizar esta operación nos podemos dar cuenta de que se elimina la x 2 y queda como resultado solamente el 5 5x 2 ÷ x 2 = 5 Ahora este resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador 5(4x + 9) = 20x + 45 Por último tomamos el último denominador y hacemos lo mismo pasos anteriores: 5x 2 ÷ 5 = x 2 Luego lo multiplicamos por su numerador x 2 * 10= 10x 2 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 145 Al colocarlo sobre la línea queda de la siguiente forma y como ya esta trabajado el denominador lo eliminamos colocándole una línea. 5x(5 + 2x) + 5(4x + 9) = 10x 2 5x 2 Ahora trabajamos con lo que nos quedó sobre la línea operando las multiplicaciones correspondientes: 25x + 10x 2 + 20x + 45 = 10x 2 Ahora dejamos todas las literales de un lado de la ecuación y los números del otro lado y operamos: 25x + 10x 2 + 20x – 10x 2 = -45 Como se puede observar se eliminan los términos que llevan la x 2 y nos queda una ecuación lineal 45x = -45 45 45 ÷ = x x = -1 Ahora, para comprobar si la solución que encontramos es correcta, realizamos la verificación sustituyendo el valor en la ecuación original 5 + 2x + 4x + 9 = 10 x x 2 5 (Sustituyendo 5 + 2(-1) + 4(-1) + 9 = 10 x = -1) (-1) (-1) 2 5 Operando nos queda lo siguiente: 5 – 2 + -4 + 9 = 10 -1 1 5 3 + 5 = 10 -1 1 5 -3 + 5 = 2 2 = 2 El dos de la igualdad salió de dividir 10 entre 5. Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones Centro Educativo Kinal 146 Ejercicios: Resuelva correctamente las siguientes ecuaciones encontrando el valor de la variable. 1) 5 7 10 1 5 3 = + x x 12) 11 7 6 3 7 4 ÷ = + ÷ x x x 2) 1 9 44 9 5 3 2 = + x x 13) 4 18 2 2 9 5 ÷ = + ÷ y y y 14) 8 6 5 2 1 3 = ÷ + x x x 3) 5 43 8 5 3 = + x x 15) 5 234 8 5 3 7 5 ÷ = ÷ + z z z 4) 9 7 3 7 6 = + y y 16) 2 1 2 1 5 4 4 1 ÷ = + ÷ x x x 17) 69 7 5 4 5 3 = + ÷ y y y 5) 4 37 4 3 7 4 = + x x 18) 17 5 2 2 4 3 ÷ = + ÷ y y y 6) 37 4 8 5 = + z z 19) 27 2 5 4 7 3 = ÷ + z z z 7) 35 2 5 3 7 4 = ÷ x x 20) 14 10 2 5 12 5 = + ÷ x x x 8) 11 5 22 7 11 6 = ÷ x x 21) 5 4 3 2 5 3 + + = ÷ + x x x 9) 3 5 2 5 3 = ÷ y y 22) x x x 2 1 23 5 2 38 6 ÷ = ÷ ÷ 10) 7 3 1 2 1 = ÷ x x 23) x x x 3 4 1 4 55 5 4 ÷ = ÷ ÷ 11) 7 24 5 2 5 4 7 2 = ÷ + x x x 24) x x x 7 15 5 21 9 16 + = ÷ ÷ Matemática cuarto 147 25) z z z 5 3 5 41 7 4 + = ÷ ÷ 26) y y y 2 1 2 6 2 4 3 1 + ÷ = + 27) 54 139 6 1 9 1 3 1 9 + = ÷ ÷ x x x 28) z z z 12 1 12 4 1 8 ÷ = + + 29) w w w 4 1 5 5 2 5 14 2 1 + ÷ = ÷ 30) 9 7 9 4 6 1 9 2 3 1 ÷ = ÷ ÷ z z z 31) w w w 20 7 5 7 10 2 5 4 5 2 ÷ = ÷ ÷ 32) z z z + = ÷ + 7 1 7 1 21 73 3 2 33) y y y 16 1 2 8 3 4 5 2 1 ÷ = + ÷ 34) 10 3 15 4 10 3 3 5 1 + = + ÷ x x x 35) x x x 8 7 2 8 3 2 1 4 3 ÷ = ÷ + 36) x x x ÷ = + ÷ 4 28 1 14 1 7 3 37) 16 1 2 1 4 3 2 1 5 ÷ = + + x x x 38) x x x 3 2 6 3 4 18 3 9 2 ÷ = + ÷ 39) 15 2 2 15 4 2 1 5 3 x x x ÷ = ÷ + 40) w w w + = ÷ + 68 1 34 3 2 17 6 41) 3 6 1 2 4 z z z + = + ÷ 42) z z z + = + ÷ 16 5 4 2 1 8 3 43) 4 2 8 15 4 3 4 3 ÷ = ÷ ÷ z x x 44) z z z 8 1 7 2 5 1 ÷ = ÷ + ÷ EJERCICIO: Las siguientes ecuaciones son fórmulas matemáticas, despeje la variable que se le indica. I = prt. Despejar r 2. d = rt Despejar t 3. A = bh Despejar h 4. C= 2tr Despejar r 5. P = 2l + 2w Despejar w 6. S = p + prt Despejar p 7. ax + by + cz = d Despejar b 8. ax + by + c = 0 Despejar c Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 148 9. R = I E Despejar I 10. K = g mv 2 2 Despejar m 11. V = h r 2 3 1 t Despejar h 12. F = 2 2 1 d m m g Despejar m 1 13. S= r a ÷ 1 Despejar r 14) m = 2 2 1 2 x x y y ÷ ÷ Despejar y 1 15) 3 2 1 1 1 1 1 R R R R + + = Despejar R 1 16) 1 = + b y a x Despejar b 17) S = P + Prt Despejar r 18) F = 9 5 C + 32 Despejar C 19) V = th 2 (3r – h) Despejar r 20) S = gt 2 + v o t Despejar v o 21) S = r l rl a ÷ ÷ Despejar r 22) S = a + (n – 1)d Despejar d 23) Ft = mv 1 – mv 2 Despejar m 24) 2 1 1 1 1 f f f + = Despejar f 25) A = (b 1 + b 2 )h Despejar h 26) A = 2tr(r + h) Despejar h 27) t v v a 1 2 ÷ = Despejar t 28) l = l o (l + ct) Despejar t 29) nI rI nE R ÷ = Despejar I 30) 1 2 1 T T T E ÷ = Despejar T 1 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 149 3. 1. 2 PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACI ONES LI NEALES 1. Si a un número se le suma 14, el resultado es 25. Encuentre el número Solución: El valor desconocido es el número al cual se le sumará 14 x + 14 = 25 x = 25 – 14 x = 11 R: el número es 11 2. Un alumno tiene calificaciones parciales de 70, 28, 60, 54. ¿Qué nota debe obtener en la siguiente prueba para ganar el curso si este se aprueba con 60pts. Solución: Como un promedio se encuentra sumando todas las notas y dividiendo entre el total de notas, únicamente sumamos todas las notas y dividimos entre 5 ya que todas las notas valen lo mismo. 60 5 54 60 28 70 = + + + + x 212 + x = 60(5) 212 + x = 300 x = 300 – 212 x = 88 R: Debe obtener una nota de 88 puntos 3. Antes del examen final un alumno tiene calificaciones parciales, 72, 80, 65, 78, 60pts, el examen final cuenta como la tercera parte de la calificación definitiva, que calificación deberá tener el alumno para tener un promedio final de 76pts. Solución: Como nos indican que la nota del examen final cuenta como la tercera parte de su calificación definitiva, esto significa que la zona acumulada es los otros dos tercios de toda su nota, por lo tanto: 76 3 1 5 60 65 80 72 3 2 = + | . | \ | + + + x Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 150 76 3 5 277 3 2 = + | . | \ | x 76 3 ) 4 . 55 ( 3 2 = + x 76 3 3 8 . 110 = + x 3 228 8 . 110 = + x x = 228 – 110.8 x = 117.2 R: Debe obtener una nota de 117.6 puntos, por lo tanto ya no es posible que su promedio sea de 76 puntos 4. La cantidad líquida que un trabajador recibe es de Q.4,920.00 después de haber deducido un total de 40% de impuesto sobre el valor nominal, cual es su salario nominal. Solución: Como nos indican que la cantidad líquida que el trabajador recibe es de Q.4,920.00, esto significa que su sueldo es 40% mayor. X = salario nominal Como el descuento se lo hacen al salario nominal 0.4(x) = descuento Salario nominal – descuentos = salario líquido X - 0.4x = 4920 0.6x = 4920 6 . 0 4920 = x x= 8200 R: El salario nominal del trabajador es de Q.8,200.00 5. Una pareja va a cenar a un restaurante y paga Q.170.66. En dicho restaurante, a la cuenta de la cena le agregan un impuesto del 6% y además tienen que pagar 15% de propina después de haber sumado el impuesto. ¿Cuánto fue lo que pagaron solo en comida?. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 151 Solución: Como el impuesto se lo cargan a lo que se gasta en comida y la propina nos dicen que se carga después de haber agregado el impuesto. X = lo que gasta en comida 0.06(x) = impuesto 0.15(x + 0.06x) Gasto en comida + impuesto + propina = pago total x + 0.06x + 0.15(x + 0.06x) = 170.66 x + 0.06x + 0.15x + 0.009x = 170.66 1.219x = 170.66 219 . 1 66 . 170 = x x = 140 R: Lo que consumieron en comida fue de Q.140.00 El costo de instalar material aislante en una casa es de Q.1800.00. Los costos actuales de calefacción son en promedio 600.00 mensuales pero se espera que el material aislante los reduzca en un 10%. Cuantos meses se necesitaran para recuperar el costo del material. Solución: Como nos indican que el material aislante reducirá los gastos en un 10%, entonces nos interesa averiguar de cuánto es el ahorro obtenido con el material para ver en cuanto tiempo se recupera el gasto X = cantidad de meses 600 es el gasto mensual 0.1(600) = ahorro mensual 600(0.1) = 60 Esto significa que el ahorro mensual será de Q.60.00 60X=1800 60 1800 = x x = 30 R: Se necesitarán 30 meses para recuperar el gasto del material aislante. Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 152 Un alumno recibió Q.10,000.00 y desea depositarlos en 2 bancos diferentes que le paguen el 8% y 6.4% de intereses respectivamente. Si el total de intereses es de Q.750.00. ¿cuanto tiene depositado en cada cuenta. Solución: Cuando tenemos cierta cantidad y la queremos repartir en dos partes que no sean iguales, le damos el valor de x a una de estas partes y a la otra el total que teníamos menos la otra que ya dimos que en este caso es x x es una cantidad 10,000 – x es la otra cantidad X=Cantidad depositada 8% 10000 - X= Cantidad depositada 6.4% 0.08(x)+0.064(10000 - x)=750 0.08x+640 – 0.064x=75 0.08x – 0.064x = 750 – 640 0.016x= 110 016 . 0 110 = x X=6875 10000 – 6875 = 3125 R: Tiene depositados Q.6,875.00 En el banco que le paga 8% y Q.3,125.00 en el que le paga el 6.4% A la presentación de una película asistieron 700 personas. Los boletos de adultos cuestan Q.25.00 y los de niños Q.15.00. Lo recaudado en la taquilla fue por un total de Q.14,670.00. ¿Cuántos niños asistieron a ver la película? Solución: Al igual que el problema anterior, conocemos la cantidad total, en este caso, si al total de personas le quitamos los niños quedan los adultos y si le quitamos los adultos quedan los niños. Como la pregunta es cuántos niños entraron, le damos el valor de la variable a los niños. X = Cantidad de niños 700 – X = Cantidad de adultos Como el total de dinero recaudado en los niños se encuentra multiplicando la cantidad que pagó cada niño por la cantidad de niños que entraron y lo recaudado en los adultos se encuentra multiplicando lo que pagó cada adulto por la cantidad de adultos que entraron. El total Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 153 recaudado es la suma de lo que hicieron con los niños más lo que hicieron con los adultos 15(x) +25(700 – x) = 14,670 15x + 17500 – 25x = 14,670 15x – 25x = 14,670 – 17,500 – 10x = – 2830 10 2830 ÷ ÷ = x x =283 R: Ingresaron 283 niños Un albañil cobra Q. 35.00 por hora de trabajo y a su ayudante le paga Q.20.00 por hora. Si a un cliente, por un trabajo que le hicieron entre los dos, le cobraron en total Q.1440.00. ¿ Cuántas horas trabajó cada uno si el ayudante trabajó 6 horas más que el albañil? Solución: En este caso no conocemos el total de horas trabajadas por cada uno, pero sí conocemos la diferencia, pues nos indican que el ayudante trabajó 6 horas más que el albañil y además conocemos el total que cobraron. Horas trabajadas Albañil Ayudante X x + 6 Como sabemos cuanto cobraba por hora cada uno, multiplicamos lo que cobraba cada uno por hora, por las horas que trabajó cada uno y esto se suma para encontrar el total cobrado 35(x) + 20(x + 6) = 1440 35x + 20x + 120 = 1440 35x + 20x = 1440 – 120 55x = 1320 55 1320 = x x = 24 Estas son las horas trabajadas por el albañil, ya que el las horas que trabajó él fue a las que les dimos el valor de x. El ayudante trabajó x + 6 o sea 24 + 6 = 30. R: El albañil trabajó 24 horas y el ayudante 30 Para calmar la tos, un adulto necesita ingerir un jarabe que contenga 30% de un ingrediente activo, mientras que un niño solo necesita que contenga el 20% del mismo ingrediente. Si el farmacéutico solo Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 154 tiene jarabe para adultos ¿ Qué cantidad de jarabe del que tiene debe utilizar y cuánta agua, para preparar 60ml. de jarabe para un niño? Solución: En los problemas de mezclas, debemos darle el valor de x a la cantidad de uno de los componentes y el total que necesitamos menos x a la cantidad del otro componente. Componente del 30% componente que no tiene ingrediente X 60 – x Ahora multiplicamos el porcentaje que contiene ingrediente activo por la cantidad de cada uno y lo sumamos. Como la cantidad x tiene 30% (esto es 3 . 0 100 30 = ), a esto le sumamos la otra que no tiene componente activo, por eso tiene 0 por ciento y esto será igual a la cantidad que necesita por el porcentaje de ingrediente que quiere. 0.3(x) + 0(60 – x) = 0.2(60) 0.3x + 0 = 12 0.3x = 12 3 . 0 12 = x x = 40 Como x es la cantidad de ml que tiene el componente activo, esta es la cantidad que se debe utilizar y el resto de agua R: Debe utilizar 40 ml del componente activo al 30% y 20ml de agua 9. Un vendedor de café tiene dos clases diferentes. un tipo de café cuesta Q.60.00 la libra y el otro Q.20.00 la libra. Si el café que cuesta Q.60 casi no se vende, entonces el vendedor desea mezclarlos para vender un solo tipo de café. ¿A cómo tiene que vender cada libra de mezcla si tiene 75 libras del que cuesta Q.60.00 y 45 libras del que cuesta Q.20.00 para no ganar ni perder? Solución: Como en este caso el precio desconocido es el que se quiere vender la mezcla, planteamos la ecuación de la siguiente forma: 60(75) +20(45) = x(120) 4500 +900 = 120x 5400 = 120x x = 120 5400 x = 45 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 155 R: Cada libra de mezcla se tiene que vender a Q.45.00 para no ganar ni perder 10. Dos niños que se encuentran a una distancia de 247.5m comienzan a caminar uno hacia al otro al mismo instante, a velocidades de 2.5m/s y 3m/s, respectivamente. a) ¿Cuando tiempo tardarán en encontrarse? b) ¿Que distancia habrá caminado cada uno? Solución: En este caso, la distancia que recorre cada uno es diferente, pero el tiempo es igual, puesto que nos indican que salen al mismo instante. Decimos que la distancia es diferente porque la velocidad de cada uno es diferente. X = distancia que recorrió el que llevaba la velocidad de 2.5 m/seg 247.5 – x = distancia recorrida por el que iba a la velocidad de 3 m/seg t = tiempo utilizado Como también sabemos que la distancia es igual a la velocidad por el tiempo 2.5(t) = distancia del primero 3(t) = distancia recorrida por el segundo También sabemos que la distancia recorrida entre los dos es de 247.5 Distancia recorrida por el primero + distancia recorrida por el segundo igual a la distancia total 2.5t + 3t = 247.5 5.5t = 247.5 5 . 5 5 . 247 = t t = 45 Distancia recorrida por el primero x x = 2.5(45) x = 112.5 Distancia recorrida por el segundo 247.5 – x = 247.5 – 112.5 = 135 R: El tiempo que tardaron en encontrarse fue de 45 seg. Y la distancia que recorrieron fue de 112.5 m el que llevaba la velocidad de 2.5 m/seg y de 135 m el que llevaba la velocidad de 3 m/seg. Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 156 11. Un muchacho le pega al otro y sale corriendo con una velocidad de 5 m/s 2 segundos después sale en su persecución el agredido dando una velocidad de 7 m/s a que distancia lo alcanza y en cuanto tiempo. Solución: En este caso, los tiempos son diferentes pero las distancias son iguales. t = tiempo del primero 5m/seg = velocidad del primero t – 2 = tiempo del segundo 7m/seg = velocidad del segundo Distancia = velocidad por tiempo Distancia del primero igual a distancia del segundo 5(t) = 7(t – 2) 5t = 7t – 14 5t – 7t = – 14 – 2t = – 14 2 14 ÷ ÷ = t t = 7 R: Lo alcanzará en 7 segundos. PROBLEMAS PROPUESTOS DE ECUACIONES Resuelva correctamente los siguientes problemas. 1. Encuentre dos números cuya suma sea 9 y su diferencia 5 2. Si a un número se le suma 4, el resultado es 15. Encuentre el número 3. Si a un número se le suma 22, el resultado es 68. Encuentre el número 4. Si a un número se le resta 11, el resultado es 48. Encuentre el número. 5. Si al doble de un número se le suma 3, el resultado es 25. Halle el número. 6. Encuentre 2 números cuya suma sea 20 y su diferencia 10 7. Un vendedor de periódicos tiene Q.2.30 en monedas de 10 y 25 centavos. Si en total tiene 14 monedas. Cuántas tiene de cada denominación 8. Una niña tiene 75 monedas de 5 y 10 centavos. Si en total tiene Q.5.75. Cuántas monedas tiene de cada una. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 157 9. Si tengo Q. 45.00 en billetes de Q.5.00 y Q.10.00. Si en total tengo 7 billetes. ¿Cuántos tengo de cada denominación? 10. Una señora compró 22 aves entre gallinas y patos con Q.125.00. Si cada gallina le costó Q.5.00 cada pato Q. 6.25. ¿Cuántas gallinas y Cuántos patos compró? 11. Encuentre dos enteros consecutivos tales que su suma sea 29 12. Encuentre 2 enteros consecutivos cuya suma sea 47 13. La suma de 3 enteros consecutivos es 24. Encuéntrelos. 14. La suma de 3 enteros consecutivos es 45. Encuéntrelos. 15. Encuentre 3 enteros consecutivos cuya suma sea 33 16. Las calificaciones de un estudiante son 75, 80 y 60. ¿Cuánto tiene que sacar en el próximo examen par que su nota promedio sea de 75 puntos? 17. Al llegar al examen final, un estudiante tiene las siguientes notas. 55, 70, 84, 75 y 90 puntos. Si el examen final vale la tercera parte de la nota final.¿ Cuánto tiene que obtener para ganar la clase con 70 puntos? 18. Un alumno a obtenido las siguientes notas: 55, 40 y 60. Si la nota final es el promedio de sus 4 evaluaciones parciales. ¿Podrá ganar el curso todavía o ya no?. De ser posible, ¿cuánto tiene que sacar en su evaluación final? 19. Una mujer de negocios desea invertir Q.30.000 en dos bancos diferentes que pagan 8% y 12% de interés simple anual respectivamente. Si al final del año se encuentra con un beneficio de Q.3280.00 entre las dos cuentas. ¿Cuánto tiene depositado en cada una? 20. Una persona desea depositar Q.20000.00 en dos cuentas diferentes que le pagan 8% y 12% respectivamente. ¿Cuánto debe depositar en cada cuenta si al final del año desea tener un interés total de Q.1920.00? Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 158 21. Un comerciante invierte Q. 15,000.00 en dos negocios. Si en uno ganó el 20% y en el otro el 15%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si su ganancia total fue de Q.2,600.00? 22. Un comerciante invierte Q. 25,000.00 en dos negocios. Si en uno ganó el 15% y en el otro perdió el 12%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una ganancia de Q.1050.00? 23. Un comerciante invierte Q. 28,000.00 en dos negocios. Si en uno ganó el 14% y en el otro perdió el 12%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una ganancia de Q.560.00? 24. Un comerciante invierte Q. 25,000.00 en dos negocios. Si en uno ganó el 12% y en el otro perdió el 15%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una ganancia de Q.300.00? 25. Un comerciante invierte Q. 25,000.00 en dos negocios. Si en uno ganó el 15% y en el otro perdió el 12%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una pérdida de Q.300.00? 26. Un comerciante invierte Q. 15,000.00 en dos negocios. Si en uno ganó el 25% y en el otro perdió el 20%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una pérdida de Q.1200.00? 27. Un corredor sale de un punto a una velocidad constante de 6 millas por hora. Circo minutos más tarde, un segundo corredor sale del mismo lugar y hace el mimo recorrido a una velocidad de 8 millas por hora ¿En cuánto tiempo alcanza el segundo corredor al primero? 28. Un vehículo sale de una ciudad, con una velocidad constante de 40 Km./h. 1 hora más tarde sale otro vehículo en persecución del primero, con una velocidad constante de 50Km/h. ¿En cuánto tiempo alcanza el segundo vehículo al primero y a qué distancia del punto de partida? 29. Dos muchachos se encuentra separados una distancia de 225 metros, cuando ambos empiezan a caminar, uno en dirección del otro, con velocidades de 2m/seg y 3m/seg. ¿En cuánto tiempo se encuentran y qué distancia recorrió cada uno? 30. Un muchacho le pega a otro y sale corriendo con una velocidad de 5m/seg. La reacción del segundo dura 3 seg. y sale en persecución del primero, con una velocidad de 8m/seg.¿En cuánto tiempo alcanza el segundo muchacho al que le pegó? Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 159 31. Dos vehículos salen a un mismo tiempo de dos ciudades distantes entre sí 300Km. uno en dirección del otro. Si uno viaja a una velocidad de 50Km/h y el otro a 6oKm/h. ¿En cuánto tiempo se encuentran? 32. Si al radio de un circulo se le aumentan 2 cm, su área aumenta en l6 cm 2 ¿Cual era el radio original del círculo? 33. Un rectángulo mide el doble de largo que de ancho Si el largo y al ancho se les reducen 2 cm y 3cm respectivamente, el Area disminuye 30 cm 2 . Encuentre las dimensiones originales. 34. Un autobús viajó de una ciudad a otra, a una velocidad promedio de 50 millas por hora. Si viaje de regreso tomó 15 minutos más a una velocidad promedio 45 millas por hora. ¿Cuál fue la distancia total que recorri6 el autobús? 35. Los boletos de entrada a un cine cuestan Q.20.00 para adulto y Q.15.00 para niño. Si en una función se vendieron 500 entradas y el total de dinero recaudado fue de Q.8625.00. ¿Cuántos adultos y cuántos niños entraron? 36. A un muchacho le toma 90 minutos podar el jardín de su casa, pero su hermana puede hacerlo en 60 minutos ¿Cuánto tiempo les tomará podar el jardín si trabajan juntos, usando dos cortadoras? 37. Una manguera puede llenar una piscina en 8 horas. Otra manguera mayor que la primera puede llenar la piscina en 5 horas ¿Cuánto tiempo tomará llenarla a si utilizan las dos mangueras simultáneamente? 38. A las 6 am una máquina barredora, que avanza a velocidad constante, empieza a despejar una carretera que conduce a las afueras de la ciudad. A las 8 am. Un automóvil toma esa carretera a una velocidad de 30 km/h. y la alcanza 30 minutos después. Encuentre la velocidad de la máquina. 39. Dos niños tienen aparatos de radiocomunicación, cuyo alcance máximo es de 2 millas. Uno de ellos empieza a caminar de cierto punto hacia el norte a la 1:00 pm a una velocidad de 4mi/h. El otro niño sale del mismo punto a la 1:15 pm y camina hacia el sur a una velocidad de 6 mi/h. ¿A qué hora ya no podrán comunicarse? Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 160 40. Un muchacho puede remar en aguas tranquilas a una velocidad de 5 mi/h. Si rema en contra de una corriente constante durante 15 minutos y luego regresa hacia el punto de donde salió en 12 minutos. Encuentre: a) La velocidad de la corriente b) La distancia que recorrió río arriba. 41. El ancho de un rectángulo es 2 cm mayor que la mitad de su largo y su perímetro es 40 cm. ¿Cuáles son sus dimensiones? 42. El lado más largo de un triángulo es el doble de la longitud del lado más corto y dos centímetros mayor que el tercer lado. Si el perímetro del triángulo es 33 cm. ¿Cuánto mide cada lado? 43. Los boletos de admisión a un cine costaron Q.6.00 por adulto y Q.4.50 por niño. Si se vendieron 810 boletos y el total recaudado fue de Q.4, 279.50 Cuántos boletos de cada tipo se vendieron? 44. Un muchacho rema y recorre 500 pies en 10 minutos en una corriente constante hacia arriba; luego rema río abajo 300 pies en 5 minutos. Encuentre la velocidad de la corriente y la velocidad a la que rema el muchacho. 45. Un agente de ventas compró un automóvil que promediaba 25 millas por galón en la ciudad y 40 en carretera, según la publicidad. En un viaje de negocios gastó 51 galones para recorrer 1800 millas. Si suponemos que el anuncio era correcto ¿Cuántas millas recorrió en la ciudad? 46. Se dispara un proyectil horizontalmente hacia un blanco y el sonido del impacto se escucha 1.5 segundos después de haberlo lanzado. Si la velocidad del proyectil es de 3,300 pies/seg. Y la velocidad del sonido es de 1100 pies/seg. ¿A qué distancia se halla el blanco? 47. A un muchacho le toma 90 minutos podar el jardín de su casa pero su hermana puede hacerlo en 60 minutos. Cuánto tiempo les tomará podar el jardín trabajando juntos usando dos cortadoras? 48. Una manguera puede llenar una piscina en 12 horas. Otra manguera mayor que la primera puede llenar la misma piscina en 6 horas. Cuánto tiempo les llevará llenarla si las dos mangueras se colocan al mismo tiempo Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 161 49. Qué cantidad de agua debe evaporarse de una solución de 500 gramos de agua con una concentración del 6% sal, para que la solución resultante que quede tenga 15% de sal? 50. Un químico tiene dos soluciones de ácido. La primera tiene 20% y la segunda 35%. ¿Cuántos ml de cada solución debe mezclar para obtener 50 ml de solución con 30% de ácido? Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 162 3.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS La ecuación cuadrática es ax 2 + bx + c = 0 Para resolver estas ecuaciones utilizaremos tres métodos; la primera de ellas es por medio de factorización, la segunda por completación al cuadrado y la tercera pro fórmula general o de Vieta. 3.2.1 SOLUCION DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN Resolver por factorización x 2 – 3x + 2 = 0 Como es un trinomio que no tiene número la x 2 , procedemos a escribir los dos paréntesis y escribir la raíz cuadrada de la x 2 en el lado izquierdo de los dos paréntesis, escribimos en el primer paréntesis el mismo signo del segundo término, en el segundo paréntesis el signo que nos dé la ley de signos y buscamos dos factores del dos que al sumarse den 3 x 2 – 3x + 2 = 0 (x – 2)(x – 1) = 0 Luego igualamos cada paréntesis a cero, puesto que cualquier cantidad, para que su producto sea cero, se tiene que multiplicar por cero. x – 2 = 0 x – 1 = 0 Y despejamos la x en las dos ecuaciones Quedándonos x = 2 y x = 1 A continuación encontrará varios ejercicios resueltos. Analícelos y si tiene alguna duda, puede consultar con su profesor. 1) 2) 0 12 6 2 = ÷ + x x 15 8 2 + ÷ x x (2x + 3)(3x – 4) =0 (x – 5)(x – 3) =0 2x = – 3 3x = 4 x = 5 x = 3 2 3 1 ÷ = x 3 4 2 = x Centro Educativo Kinal Matemática cuarto Centro Educativo Kinal 163 3) 4) 0 14 4 2 = ÷ + x x 0 10 7 2 = + ÷ x x (4x – 7)(x + 2) = 0 (x – 5)(x – 2) = 0 (4x – 7) = 0 (x + 2) = 0 x – 5 = 0 x – 2 = 0 4 7 1 = x x 2 = – 2 x 1 = 5 x 2 = 2 5) -10x + 24=0 6) – 2x – 35 = 0 2 x 2 x (x – 6)(x – 4) = 0 (x – 7)(x + 5) = 0 x – 6 = 0 x-4=0 x + 5 = 0 x –7 = 0 x 1 = 6 x 2 = 4 x = – 5 x = 7 7) 0 12 8 15 2 = ÷ + x x (3x – 2)(5x + 6) = 0 3x – 2 = 0 5x + 6 = 0 3x = 2 5x = – 6 3 2 = x 5 6 ÷ = x EJERCICIOS PROPUESTOS Resuelva por factorización las siguientes ecuaciones: 1) x 2 + 8x + 15 = 0 7) x 2 – 4x + 3 = 0 2) x 2 + 6x + 8 = 0 8) x 2 – 12x + 36 = 0 3) x 2 + x – 12 = 0 9) x 2 – 2x + 1 = 0 4) x 2 – 2x – 3 = 0 10) x 2 14x + 49 = 0 5) x 2 + 4x – 12 = 0 11) x 2 – 4 = 0 6) x 2 – 13x + 42 = 0 12) x 2 – 9 = 0 Tercera unidad: Ecuaciones 164 13) x 2 – 16 = 0 14) x 2 – 2 = 0 15) 2x 2 + 7x + 3 = 0 16) 3x 2 + 10x – 8 = 0 17) 4x 2 – 5x – 6 = 0 18) 2x 2 – 12x + 18 = 0 19) 5x 2 – 11x + 2 = 0 20) 6x 2 + 4x – 2 = 0 21) 4 – 9m 2 = 0 22) 9m 2 + 6m + 1 = 0 23) 6x 2 – 5x + 1 = 0 24) 6x 2 – 5x – 6 = 0 25) 3x 2 – 18x + 27 = 0 26) 3x 2 + x = 0 27) 2x 2 – 3x = 0 28) 3x 2 + 5x = 0 29) x 2 = 16 30) 4x 2 = 25 3.2.2 COMPLETACIÓN AL CUADRADO Para completar al cuadrado, únicamente deben tomarse los términos que tienen la x, o sea la incógnita, por ejemplo Dada la expresión x 2 + 6x + 5. Para completar al cuadrado, solamente tomamos x 2 + 6x El coeficiente del segundo término lo dividimos por dos y el resultado lo elevamos al cuadrado. x 2 + 6x + 9 y con esto ya completamos un trinomio cuadrado perfecto. Cuando tenemos que completar una expresión que no sea divisible exactamente por dos, no escribimos decimales sino que dejamos la fracción y esta la elevamos al cuadrado. x 2 – 5x + 6 Al dividir el 5 entre 2, no se puede, entonces nos quedaría 2 5 , y aunque no deben escribirse, se elevan al cuadrado y este será el tercer término para completar el trinomio cuadrado perfecto. 4 25 5 2 + ÷ x x . Luego este trinomio se factoriza y nos queda 2 2 5 | . | \ | ÷ x Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 165 Ejercicio: Completar al cuadrado y factorizar. 1) x 2 + 4x 2) x 2 + 8x 3) x 2 – 10x 4) x 2 – 12x 5) x 2 + 3x 6) x 2 – 5x 7) x 2 – x 8) x 2 – 2x 9) x 2 – 7x 10) x x 3 4 2 + 11) x x 5 6 2 ÷ 12) x x 5 1 2 ÷ 13) x x 4 3 2 + 14) x x 5 2 2 ÷ 15) x x 3 5 2 + 16) 2x 2 + 4x 17) 3x 2 – 6x 18) 4x 2 + 12x 19) 3x 2 + x 20) 2x 2 – 3x 21) 3x 2 + 5x Para resolver ecuaciones de segundo grado o cuadráticas por Completación al cuadrado, se procede de la siguiente manera: Resolver la ecuación x 2 – 5x + 6 = 0. Primero dejamos de un solo lado los términos que tienen x. x 2 – 5x = – 6 Luego completamos al cuadrado 4 25 6 4 25 5 2 + ÷ = + ÷ x x Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 166 Los 4 25 que salieron de completar al cuadrado, como se sumaron en un lado, también se suman en el otro para que la ecuación no cambie y luego se resuelve. 4 25 24 2 5 2 + ÷ = | . | \ | ÷ x 4 1 2 5 2 = | . | \ | ÷ x 4 1 2 5 = ÷ x 2 1 2 5 ± = ÷ x 2 1 2 5 ± = x Luego separamos para encontrar los valores que puede tener la x 3 2 6 2 1 2 5 1 = = + = x 2 2 4 2 1 2 5 2 = = ÷ = x Entonces la x puede valer 3 o 2. Ejemplo 1 Resolver por Completación al cuadrado 2 x + 4x + 4 = 0 -8x+16=0 2 x Como el objetivo es formar un trinomio cuadrado perfecto, en estos casos no hay nada qué hacer para completar porque ya son trinomios cuadrados perfectos, solamente los factorizamos 0 ) 2 ( 2 = + x 0 ) 4 ( 2 = ÷ x x + 2= 0 x – 4 = 0 x = – 2 x = 4 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 167 Ejemplo 2 Resolver por completación al cuadrado a) b) 0 15 2 2 = ÷ ÷ x x 0 8 6 2 = + + x x Solución: Procedemos a dejar de un solo lado las x para completar a cuadrado 2 x – 2x = 15 9 8 9 6 2 + ÷ = + + x x 2 x – 2x + 1 = 15 + 1 1 ) 3 ( 2 = + x 16 ) 1 ( 2 = ÷ x 1 3 ± = + x 16 1 = ÷ x 1 3 ± ÷ = x 4 1 4 1 ± = ± = ÷ x x 2 2 1 3 1 1 ÷ = ÷ = + ÷ = x x 5 4 1 1 1 = + = x x 4 4 1 3 2 2 ÷ = ÷ = ÷ ÷ = x x 3 4 1 2 ÷ = ÷ = x 3 2 ÷ = x A continuación encontrará varios ejercicios resueltos. Analícelos y si aún tiene dudas, resuélvalas con su profesor. 1) +20x + 51 = 0 2) + 20x + 36=0 2 x 2 x 2 x +20x = – 51 +20x = – 36 2 x 2 x +20x+100= – 51 + 100 +20x +100= – 36 +100 2 x ( ) 49 10 2 = + x 64 ) 10 ( 2 = + x x + 10= 49 x + 10= 64 x +10 = ±7 x + 10= ±8 x = – 10 ± 7 x = – 10 ± 8 17 17 7 10 3 3 7 10 2 2 1 1 ÷ = ÷ = ÷ ÷ = ÷ = ÷ = + ÷ = x x x x 18 18 8 10 2 2 8 10 2 2 1 1 ÷ = ÷ = ÷ ÷ = ÷ = ÷ = + ÷ = x x x x 3) 0 21 5 6 2 = ÷ + a a 6 21 6 5 6 6 2 = + a a 144 25 2 7 144 25 6 5 2 + = + + a a Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones Centro Educativo Kinal 168 144 25 504 12 5 2 + = | . | \ | + a 144 529 12 5 2 = | . | \ | + a 144 529 12 5 ± = + a 12 5 + a = ± 12 23 2 3 12 18 12 23 5 12 23 12 5 12 23 12 5 1 1 1 1 = = + ÷ = + ÷ = ± ÷ = a a a a a 3 7 12 28 12 23 5 12 12 2 2 2 2 ÷ = ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = a a a a 23 5 PROBLEMAS PROPUESTOS Resolver por completación al cuadrado 1) x 2 + 4x – 9 = 0 8) x 2 – 2x –5 = 0 2) x 2 + 8x + 7 = 0 9) x 2 – 7x + 4 13 3) x 2 – 10x –11 = 0 10) 2x 2 + 4x - 16 = 0 4) x 2 – 12x + 11 = 0 11) 3x 2 – 18x – 21 = 0 5) x 2 + 3x 0 4 5 = + 12) 4x 2 + 12x – 81 = 0 13) 3x 2 + x = 6 6) x 2 – 5x + 0 4 9 = 14) 2x 2 – 3x = 12 7) x 2 – x 0 4 3 = ÷ 15) 3x 2 + 5x = 15 Matemática cuarto 169 3. 2. 3 FÓRMULA CUADRÁTI CA O DE VI ETA La fórmula general o de Vieta, se obtiene de resolver la ecuación cuadrática por la Completación al cuadrado ax 2 + bx + c = 0 Principiamos por pasar la c hacia el otro lado, para dejar sólo los términos que contienen la variable x ax 2 + bx = -c Luego tratamos de eliminar la a que tiene la x 2 , dividiendo todo el término por ella a c a bx a ax ÷ = + 2 y nos queda a c x a b x ÷ = + 2 Luego completamos al cuadrado 2 2 2 2 2 4 4 a b a c a b x a b x + ÷ = + + Factorizando del lado izquierdo y sumando los términos del lado derecho obtenemos 2 2 2 4 4 2 a b ac b x + ÷ = | . | \ | + Despejando 2 2 4 4 2 a b ac b x + ÷ = + Como dentro de la raíz tiene raíz cuadrada el 4 y la a 2 , se sacan y se obtiene a ac b b x 2 4 2 2 ÷ ± ÷ = Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 170 Luego buscando denominador común que es 2a, a ac b b x 2 4 2 ÷ ± ÷ = Como la ecuación de segundo grado o cuadrática tiene la siguiente forma: , no la vamos a estar resolviendo en cada vez (Esto equivaldría a resolver las ecuaciones siempre por completación al cuadrado), a, b y c son los números que tiene la ecuación; a es el número que tiene la x 0 2 = + + c bx ax 2 , b es el número que tiene la x y c es el término independiente, es decir, el número que no tiene letra. a ac b b x 2 4 2 ÷ ± ÷ = Ejemplo 1: Resolver por fórmula cuadrática x 2 – 3x + 2 = 0 SOLUCIÓN: Como se puede observar el número que acompaña a la “x 2” es el 1, el que acompaña a la “x” es el –3 y el término independiente es 2, se les da su nombre respectivo: a = 1, b = -3, c= 2 Hemos escrito cada número con su respectivo signo, ahora lo que corresponde es colocarlos en la fórmula: a ac b b x 2 4 2 ÷ ± ÷ = ) 1 ( 2 ) 2 )( 1 ( 4 ) 3 ( 3 2 ÷ ÷ ± = x El –b indica que se debe cambiar el signo que tenga el valor de b, por lo tanto, el signo del –3 pasa a ser +3 y adentro del radical se opera el –3 al cuadrado dando como resultado 9 positivo porque todo número negativo elevado a exponente par da positivo, luego operamos –4 por 1 por 2, y por ley de signos menos del cuatro por más del uno, da menos y luego este menos por el más del dos da nuevamente menos colocamos menos y multiplicamos los números 4 * 1 * 2 y el resultado es 8, y luego multiplicamos el denominador que es 2 por 1, dando como resultado 2 y al final lo escribimos de la siguiente manera: Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 171 2 8 9 3 ÷ ± = x Ahora operamos lo que quedó dentro del radical y le sacamos raíz cuadrada 2 1 3 ± = x ¬ 2 1 3 ± = x El signo ± quiere decir que al tres le tenemos que sumar y restar el uno y luego el resultado se divide entre dos, a continuación se mostrará como se trabaja: 2 2 4 2 1 3 1 = = + = x 1 2 2 2 1 3 2 = = ÷ = x En una ecuación cuadrática siempre quedarán dos resultados para “x” con los cuales se cumple la igualdad, en este caso que es cero siempre. Ahora, al sustituir en la ecuación los resultados encontrados para equis nos dará cero la igualdad. x 2 – 3x + 2 = 0 (Sustituyendo (2) 2 – 3(2) + 2=0 x = 2 4 – 6 + 2 = 0 0 = 0 Como podemos observar se cumple la igualdad, ahora hagámoslo con 1 (Sustituyendo (1) 2 – 3(1) + 2 = 0 x = 1 1 – 3 + 2 = 0 0 = 0 También se cumple la igualdad. Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones 172 Ejemplo 2: 11x 2 + 10x - 1 = 0 Solución 1ro. Tomamos nuestros valores a, b, c. a= 11, b= 10, c=-1 2do. Colocamos los valores en la fórmula ) 11 ( 2 ) 1 )( 11 ( 4 10 10 2 ÷ ÷ ± ÷ = x 3ro. Ahora operamos lo que está indicado 22 44 100 10 + ± ÷ = x 22 144 10 ± ÷ = x 22 12 10 ± ÷ = x 4to. Como tenemos un signo ± operamos los resultados una vez sumándolos y otra vez restándolos y obtendremos los dos resultados para la equis. 11 1 22 2 22 12 10 1 = = + ÷ = x 1 22 22 22 12 10 2 ÷ = ÷ = ÷ ÷ = x Centro Educativo Kinal Matemática cuarto Centro Educativo Kinal 173 PROBLEMAS RESUELTOS POR FORMULA GENERAL a ac b b x 2 4 2 ÷ ± ÷ = 0 24 2 2 = + ÷ x x 0 24 2 2 = ÷ ÷ x x ) 1 ( 2 ) 24 )( 1 ( 4 ) 2 ( 2 2 ÷ ÷ ± = x ) 1 ( 2 ) 24 )( 1 ( 4 ) 2 ( 2 2 ÷ ÷ ÷ ± = x 2 96 4 2 ÷ ± = x 2 96 4 2 + ± = x 2 92 2 ÷ ± = x 2 100 2 ± = x Como la raíz cuadrada quedó x= 6 2 12 2 10 2 = = + Negativa, no tiene solución en los 4 2 8 2 10 2 ÷ = = ÷ = x Números reales. EJERCICIO: Resolver por fórmula cuadrática las siguientes ecuaciones 1) 3x 2 + 8x – 16 = 0 5) 8x 2 + 6x – 5 = 0 2) 5x 2 + 24x – 5 = 0 6) 8x 2 – 22x – 21 = 0 3) 4x 2 – 4x – 3 = 0 7) 10x 2 – 3x – 1 = 0 4) 6x 2 + 8x – 8 = 0 8) 48x 2 – 58x + 15 = 0 Tercera unidad: Ecuaciones 174 9) 12x 2 + 12x – 9 = 0 10) x 2 + 2x – 3 = 0 11) x 2 – x – 12 = 0 12) x 2 + 14 = 15x 13) x 2 = x + 72 14) x 2 + 3x + 5 = 0 15) x 2 + 8 = -4x 16) 3x 2 + 5x = 0 17) 2x 2 = 1 + x 18) 3x 2 = 32 + 20x 19) 4x 2 + 24 = 35x 20) 6x – x 4 = 5 21) 2 x + 1 = x 1 22) 4x – 2 7 ÷ x = 6 23) 5x + 4 21 + x = 6 24) x 3 2 7 ÷ = 3x + 8 25) 1 2 + x = 3x – 2 26) 1 1 4 2 4 = + ÷ ÷ x x 27) 1 2 4 1 2 = + + ÷ x x x 28) 1 1 2 3 1 3 2 = + ÷ ÷ x x x 29) 5 3 24 2 1 = + + ÷ x x 30) 2 3 4 + = + x x x x Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 175 3.2.4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 1) Un depósito abierto con fondo cuadrado, lados rectangulares y una altura de 3 m es construido con un costo de Q 2,240.00 de material. Si el material para el fondo cuesta Q. 50.00 por m 2 y el material de los lados tiene un costo de Q.30.00 por m 2 . ¿Cuál deberá ser el volumen del depósito? 2) Se desea hacer un depósito abierto con fondo cuadrado, lados rectangulares y una altura de 4 metros para guardar granos de una cosecha. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del mismo si se sabe que el material para el fondo cuesta Q.150.00 por metro cuadrado y el material para los lados cuesta Q.120.00 por metro cuadrado y se cuenta con Q. 9600.00 para el material ? 3) Se desea cercar un terreno cuyo largo es el cuádruplo de su ancho. Encuentre sus dimensiones su el perímetro es de 100 metros 4) Hallar las dimensiones de un rectángulo cuyo largo es el triple de su ancho y su perímetro mide 80 metros. 5) Un rectángulo que su ancho mide 6 centímetros menos que su largo tiene una superficie de 135 cm 2 . Encuentre sus dimensiones. 6) Encuentre las dimensiones de un rectángulo que su longitud tiene 3 cm más que se ancho y de superficie tiene 270 cm 2 7) Una página de 144 cm 2 de región impresa tiene un margen de 4.5 cm en las partes superior e inferior de la hoja y un margen de 2 cm en los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la página, si su ancho es cuatro novenos de su longitud? 8) En una página cuya longitud tiene 2 pulgadas más que su ancho se imprime un paisaje de 63 pulgadas cuadradas. Encuentre las dimensiones de la página si el margen superior debe ser igual al de los lados, de 2 pulgadas. El margen inferior, el cual servirá para poner los datos del alumno, debe quedar de 6 pulgadas. 9) Se desea usar una hoja de papel de 24 pulg x 36 pulg para un cartel rectangular cuyo largo sea vertical. Los márgenes a los lados y en la parte superior deben tener igual anchura, pero el margen inferior debe tener doble anchura que los demás. Centro Educativo Kinal Tercera unidad: Ecuaciones Centro Educativo Kinal 176 10) Calcule el ancho de los márgenes, si el área impresa debe tener 661.5 pulg 2 . 11) Un parque de forma rectangular con dimensiones de 60 m por 100 m contiene un jardín rectangular limitado por una banqueta de ancho uniforme. Si el área del jardín es la mitad del área del parque, ¿cuál es el ancho de la banqueta? 12) Cuál es el ancho de la faja alrededor de un terreno de 100m de largo por 60 m de ancho que deberá asfaltada para que esta parte corresponda a las dos terceras partes del área del terreno? 13) Una sección rectangular de terreno cuyas dimensiones son 26 por 30 pies, está rodeada por una acera de ancho uniforme. El área de la acera es 240 pies 2 . ¿Cuál es el ancho de esa acera? 14) A un jardín cuyas dimensiones son 26 por 30 metros se le quiere hacer una acera de ancho uniforme alrededor, pero dentro de sus dimensiones, para convertirlo en parque. Si el área de la acera debe ser de 240 m 2 ¿Cuál deberá ser el ancho de dicha acera? 15) Se debe fabricar una caja sin tapa, cortando cuadrados de 3 pulg de lado en las esquinas de una lámina rectangular de estaño, cuya longitud sea el doble de su ancho. ¿ Qué tamaño de lámina daría como resultado una caja que tenga un volumen de 60 pulg 3 ? 16) Un terreno cuadrado se va a cercar. Si la cerca cuesta Q.25.00 por metro y el costo de preparar el terreno es 10 por m 2 , calcule el tamaño del terreno si el gasto total es deQ.15,750.00. 17) Un campesino proyecta cercar un terreno rectangular, aprovechando parte de su granero como uno de los lados, y cercando los otros tres. Si el lado paralelo al granero debe tener doble longitud que la de sus lados adyacentes, y el área del terreno debe ser 128 pies 2 , ¿cuántos pies de cerca debe comprar? Matemática cuarto 177 Matemática cuarto Centro Educativo Kinal 177 Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades 178 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 179 OBJETIVOS - Conocer: Unidad imaginario, número complejo, parte real y parte imaginaria - Hallar el conjugado de un complejo - Efectuar operaciones básicas algebraicas con números complejos - Reconocer la diferencia entre ecuaciones e inecuaciones - Reconocer cuando y porqué las inecuaciones son abiertas o cerradas - Escribir enunciados verbales en forma de inecuaciones Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades 180 4.1 NUMEROS COMPLEJOS Los números complejos describen la suma de un número real y un número imaginario, que se indica con la letra i. Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. Número complejo, expresión de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es el número imaginario. Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas. La base principal de los números complejos es que i 2 es – 1, para poder obtener la raíz par de cantidades negativas. Por ejemplo Resolver 9 ÷ , en los números reales sabemos que cualquier número negativo no tiene raíz cuadrada, pero para pasar al campo de los números complejos, trabajaremos de la siguiente forma: Como sabemos que i 2 = – 1, podemos multiplicar ( – 9)( – 1) para que nos dé +9 y a este resultado le podemos sacar la raíz cuadrada, pero multiplicamos por i 2 i i 3 9 2 = A continuación presento una tabla con los resultados que quedan dependiendo del exponente que tenga i. La explicación que daré es la siguiente: El exponente me indicará si queda i o queda uno, tomando en cuenta lo siguiente: 1) Si el exponente de la i es par, no queda i sino 1 i = i Porque el exponente es 1 (impar) i 2 = 1 porque el exponente es par i 3 = i porque el exponente es impar i 4 = 1 porque el exponente es par así mismo el signo que resulte después de ver si queda i o 1 2) El exponente que queda tiene que ser par y al dividirlo entre 2. a) si el resultado es par, queda signo más b) Si el resultado es impar, queda signo menos Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 181 Por ejemplo: i 12 sabemos que no queda i sino 1 por ser el exponente par. dividimos 12 entre 2 y el resultado es 6, como también este resultado es par el signo es positivo i 12 = +1 i 14 Nuevamente vemos que no queda i por ser exponente par. Al dividir 14 entre 2, el resultado es 7, impar, por lo tanto el resultado es 1 y el signo es negativo I 14 = – 1 1) Si el exponente es par, el resultado será uno i 12 = 1 i 14 = – 1 2) Si el exponente es impar, el resultado será i i 15 = – i i 17 = i 4.1.1 Operaciones de Números Complejos Suma de Números Complejos La suma de números complejos se efectúa exactamente igual que la de expresiones algebraicas, reducción de términos semejantes, ejemplo Ejemplos: Resolver las siguientes operaciones y escribir la respuesta de la forma a + bi 1) ( – 5 + 7i) + (4 + 9i) – 5 + 7i + 4 + 9i = – 1 + 16i 2) (– 3 + 8i) – (2 + 3i) Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades Centro Educativo Kinal 182 Multiplicación de Números Complejos 3) ( – 2 + 6i)(8 – i) División de Números Complejos e para l nte Para dividir números complejos se procede de igual forma qu racionalizar, ya que en la racionalización el objetivo es eliminar radicales, en la división de números complejos es eliminar la i de denominador. En el siguiente ejercicio podemos multiplicar solame por i para eliminarla porque al ser i 2 se convierte en – 1 4) i i 6 2 + ÷ 2 i i i i i i i i i i + = ÷ ÷ + ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = + ÷ = + ÷ 3 2 2 2 6 2 6 2 2 6 2 * 2 6 2 2 2 5) 4 2 3 ÷ i Como ahora tenemos como divisor una resta, multiplicamos por el conjugado para completar una diferencia de cuadrados 13 6 13 9 13 9 6 9 4 9 6 9 4 9 6 3 2 3 2 * 3 2 3 2 ÷ + ÷ = ÷ + = ÷ ÷ + = ÷ + = + + ÷ i i i i i i i i i 13 6 13 9 ÷ ÷ Ejercicios Resolver las siguientes operaci eros complejos y escribir la ones de núm respuesta en forma a+bî . 1) (4 – 2i) + (2 – i) i) ) 8) î î 5 2 4 + 2) (5 + 4i) + (1 – 5i) 3) (2 + i) – (4 + 3i) 4) (1 + 7i) – ( – 4 – 7 5) ( )( ) î î 9 4 9 4 ÷ + 9) ³)² 5 ( î î î ÷ 10) 6) ( )( î î + ÷ 5 5 7) ( ) ³ 4î î ² + î 7 2 5 ÷ 11) ( i) 2 + 4 2 12) (5 – 4i) 2 13) (1 + 2i) 3 Matemática cuarto 183 14) (3 + 2i) 3 15) ) 4 1 2 ÷ i + i 16) i i 5 3 3 ÷ + 17) ( )( ) 9 2 3 4 ÷ ÷ + ÷ 18) ) 16 6 )( 1 1 ( ÷ + ÷ ÷ 19) ( ) 9 2 8 ÷ ÷ ÷ 20) ( )( ) 36 8 25 3 ÷ ÷ ÷ + ÷ 21) 25 1 121 5 ÷ ÷ ÷ 2 3 1 ÷ + 22) 3 2 2 3 ÷ ÷ + i 23) 4.2 ECUACIONES DE OTROS TIPOS Se llama ecuaciones de otros tipos porque tienen valor absoluto, radicales, exponentes de grado mayor que dos, exponentes negativos o exponentes racionales. Resolver correctamente las siguientes ecuaciones y verificar que las respuestas sean solución. Ejemplo Encontrar la solución de cada una de las siguientes ecuaciones 1) 4 3 = ÷ x 2) 5 1 2 5 2 = ÷ + x Solución: Cuando tenemos ecuaciones de valor absoluto, como sabemos que el resultado del valor absoluto de cualquier número, después de sacarlo del signo de valor absoluto, ya sea positivo o negativo, siempre será positivo. En el caso 1), lo que se encuentra dentro del símbolo de valor absoluto puede ser 4 o – 4, ya que 4 4 = , asimismo 4 4 = ÷ y Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades 184 en el caso 2) se tiene que despejar el valor absoluto para determinar qué número puede ser el resultado del valor absoluto. Para el caso 1 puede resolverse directamente la ecuación de la siguiente manera: escribimos el mismo número del lado izquierdo con signo negativo, luego el signo igual y a continuación lo que se encuentra dentro del valor absoluto pero ya sin el símbolo en seguida el signo igual y al final el mismo número y despejamos la variable debiendo transponer los números a los dos lados 1) ) 7 , 1 ( 7 1 3 4 3 4 4 3 4 4 3 ÷ = = = ÷ + = = + ÷ = ÷ = ÷ = ÷ x x x x x En el ejercicio 2) tenemos que despejar primero el valor absoluto y luego hacemos lo mismo que en el ejemplo 1 2) ) 5 1 , 1 ( 5 1 1 5 1 5 5 ÷ = = = ÷ = = ÷ x x x 1 5 5 2 3 5 2 3 3 2 5 3 3 2 5 2 6 2 5 6 2 5 2 1 5 2 5 2 5 1 2 5 2 = = ÷ ÷ = = ÷ ÷ = + = ÷ = + = + = + + = + = ÷ + x x x x x x x x Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 185 A continuación encontrará varios ejercicios resueltos para que los estudie; si le quedan dudas, consúltelas con su profesor 4) 3x 3 – 4x 2 – 27x + 36 = 0 5) 5 9 5 9 9 5 1 8 5 8 5 1 ) 2 ( ) 5 1 ( 2 5 1 0 5 1 2 3 3 3 3 3 = ÷ ÷ = ÷ = ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ = ÷ + t t t t t t t t (3x 3 – 4x 2 ) – (27x – 36) = 0 X 2 (3x – 4) – 9(3x – 4) = 0 (3x – 4)(x 2 – 9) = 0 (3x – 4)(x + 3)(x – 3)= 0 3x – 4 = 0 x + 3 = 0 x – 3 = 0 3 4 = x x = 3 3 ÷ = x 6) 7) 5 7 0 ) 5 )( 7 ( 0 35 2 2 ÷ = = = + ÷ = ÷ ÷ u u u u u u x u 0 35 2 1 - 1 2 = = ÷ ÷ ÷ ÷ x x 2 0 2 3 2 2 3 0 2 3 0 ) 2 )( 2 3 ( 0 4 4 3 0 4 4 3 2 3 1 3 1 3 2 ÷ = = + = = = ÷ = + ÷ = ÷ + = = ÷ + u u u u u u u u u x u x x 7 1 1 7 1 1 = = = = ÷ x x x u x u 5 1 1 5 1 ÷ = = ÷ = x x x u ( ) 29 8 3 2 3 2 3 3 3 3 = = | . | \ | = x x x 8 ) 2 ( 2 2 3 3 3 ÷ = = ÷ = 1 = ÷ x x x x ÷ Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades 186 Ejemplo 8 Un transbordador para pasajeros viaja desde una población hasta una isla que dista 7 millas de aquella y está a 3 millas en línea recta de la playa. El transbordador navega a lo largo de la playa hasta un punto y luego avanza directamente hacia la isla. Si el transbordador navega a 12 millas por hora a lo largo de la playa y a 10 millas por hora cuando se interna en el mar, determina las rutas que tienen un tiempo de recorrido de 45 minutos. Solución: denotemos con x la distancia recorrida a lo largo de la playa La distancia que recorrió se encuentra marcada con azul, que es x y d 2 2 2 3 ) 7 ( + ÷ = x d d 2 = 49 – 14x +x 2 + 9 d 2 = x 2 – 14x +58 d = 58 14 2 + ÷ x x Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 187 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 45 58 14 6 5 45 58 14 6 60 45 58 14 6 5 4 3 10 58 14 12 min 45 10 12 x x x x x x x x x x x x d x ÷ = + ÷ ÷ = + ÷ = + ÷ + = + ÷ + = + ) 11 ( 2 ) 63 )( 11 ( 4 ) 54 ( 54 0 63 54 11 0 2025 450 25 2088 504 36 25 450 2025 ) 58 14 ( 36 2 2 2 2 2 2 ÷ ÷ ± = = + ÷ = ÷ + ÷ + ÷ + ÷ = + ÷ x x x x x x x x x x x 22 66 22 12 54 22 12 54 22 144 54 22 2772 2916 54 1 = + = ± = ± = ÷ ± = x x x x 3 1 = x 22 42 22 12 54 2 = ÷ = x 11 21 2 = x Al comprobarlo en la ecuación original podemos verificar que existen dos rutas, una cuando haya avanzado 3 millas paralelas a la playa y la otra 11 21 millas 1.9 millas, antes de cruzar hacia la isla. Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades Centro Educativo Kinal 188 EJERCICIOS PROPUESTOS Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones. 1) 3 2 = + x 17) 1 5 = ÷ + x x 18) 0 1 2 1 2 = ÷ ÷ + x x 2) 5 1 3 = ÷ x 19) 7 1 6 = ÷ + + x x 3) 7 3 5 2 = + + x 20) 1 1 6 + = ÷ + x x 4) 1 3 4 ÷ = ÷ + x 21) 0 8 4 3 = + ÷ x 5) 2 5 3 5 = + ÷ x 22) 3x 3 - 4x 2 - 27x+ 36= 0 6) 3 6 5 1 5 = + + x 23) 9x 3 - 18x 2 - 4x+ 8= 24) 2 1 2 3 x x = 7) 3 5 = ÷ x 25) 0 3 1 3 2 = ÷ x x ) 8) 7 4 = + x 26) y y 3 3 2 ÷ = 9) 3 5 = + x 27) 36U2- 13U+ 1=0 10) 7 4 = ÷ x 28) 0 4 4 3 3 1 3 2 = ÷ + x x 11) 2 3 2 = ÷ x 29) 0 1 3 2 6 1 3 1 = + ÷ y y 12) 3 5 2 = + x 30) 0 1 13x 36x 2 4 = + ÷ ÷ ÷ 13) 6 = + x x 31) 0 6 13u 6u 4 1 2 1 = + ÷ ÷ ÷ 14) x x = + 6 32) 0 8 1 t 2t 1 t t 2 = ÷ + ÷ | . | \ | + 15) 1 7 3 + = + x x 16) x x = ÷ + 1 4 2 Matemática cuarto 189 4.3 DESIGUALDADES LINEALES CON UNA VARIABLE O INECUACIONES Una ecuación es una igualdad. Una inecuación es una desigualdad. Iniciaremos nuestro curso escribiendo enunciados verbales como desigualdades matemáticas Exprese los siguientes enunciados en forma de desigualdad. 1. b es positivo. b > 0 2. s no es negativo. s > 0 3. w es mayor o igual a – 4 . w > – 4 4. c está entre 5 1 y 3 1 . 3 1 > c > 5 1 5. p no es menor o igual que -2. p < – 2 6. El negativo de m no es menor que -2. – m > – 2 7. El cociente de r y s es por lo menos 5 1 . Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades 190 s r > 5 1 8. El recíproco de m es cuando mucho 14. m 1 <14 9. El valor absoluto de x es menor que 4. x < 4. 10. x debe ser por lo menos 60. x > 60 11) Si x representa la edad de una persona, a) escriba como desigualdad y como un intervalo que sea menor de edad. b) De la misma forma que sea mayor de edad. a) Como la edad de una persona puede ser cero si no tiene ni un año, el cero está incluido pero el 18 no, porque al tener 18 años ya no es menor de edad , entonces debemos escribir la desigualdad y el intervalo cerrados en cero porque lo incluye y abierta en 18 porque no lo incluye. El menor o igual o mayor o igual incluye al número, por lo tanto se dice que es cerrado, el mayor o menor no lo incluyen, estos se dice que son abiertos . El corchete también incluye al número, por lo tanto también es cerrado; el paréntesis indica que es abierto. Desigualdad: 18 0 < s x Intervalo: [0,18) b) Como los mayores de edad deben tener 18 años o más Desigualdad: 18 > x Intervalo: [18, ·) Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 191 Aunque nadie vive hasta el infinito, debe escribirse de esta forma porque no se sabe hasta que edad específicamente vive una persona. Exprese las siguientes desigualdades como intervalos y bosqueje su grafica. 1) 5 s x Como nos piden que escribamos como intervalos y en forma gráfica, primero dibujemos la gráfica y de ella obtenemos el intervalo. x representa cualquier número Entonces al hacer la recta numérica, localizamos el 5 y decimos: números que sean menores que el 5 y luego pensamos que son los que tiene a su izquierda y señalamos con la flecha hacia la izquerda. Nota: Cualquier número es mayor que los que tiene a su izquierda y es menor que los que tiene a su derecha. Ahora para escribir el intervalo, observamos la gráfica y vemos que va desde el infinito y termina en 5, pero como nos indican también el igual, es cerrado en este punto. (-·,5] 2) 3 ÷ > x Trazamos la recta numérica y localizamos el -3 y decimos: números que sean mayores que el -3 y luego pensamos que son los que tiene a su derecha y señalamos con la flecha hacia la derecha. Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades 192 Ahora para escribir el intervalo, observamos la gráfica y vemos que va desde el -3 hacia el infinito porque no hay otro punto indicado. Como ahora solamente nos indican mayor que el 3, el número no está incluido es, por lo tanto, el intervalo abierto. (-3, ) · 3) 3 > x Ahora nos indican que el valor absoluto de los números, que son los valores que puede adquirir x, tienen que ser mayores que 3. Para resolver desigualdades de valor absoluto, sabemos que escribimos el número, si es positivo, del lado izquierdo con signo negativo y luego resolvemos la desigualdad para encontrar los valores de la x. Esto lo aprendimos en ecuaciones de otros tipos. -3 > x > 3 ) , 3 ( ) 3 , ( · ÷ ÷· En este caso es unido porque cualquier valor negativo, el valor absoluto lo vuelve positivo, por ejemplo, el valor absoluto de – 4 es 4 y por lo tanto es mayor que el 3 4) 3 ÷ > x R// Todos los números reales Porque como es valor absoluto, cualquier número será mayor que el menos 3 5) 3 ÷ < x En este caso no tiene solución puesto que cualquier número que salga del valor absoluto será positivo, por lo tanto no puede ser menor que un número negativo. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 193 6) 5 3 < s ÷ x Como menos 3 es menor que x, la flecha se dirige hacia la derecha porque está indicando de cuales números es menor el -3. En el siguiente, como los números desconocidos representan la x y estos son menores que el 5, la flecha señala hacia la izquierda y el intervalo en el cual quedan las dos flechas es de -3 hasta 5, por lo tanto el intervalo es: [-3,5) 6) 5 1 > > x No hay solución puesto que el 1 es mayor que los números “x” y el 1 es mayor que todos los que tiene a su izquierda. Del otro lado nos indica que los números desconocidos x son mayores que el 5 y todos los números mayores que el 5 son todos los que están a su derecha, entonces las flechas no se cruzan en ningún lado. Nota: el único que es solución cuando las flechas no se cruzan es el valor absoluto porque este símbolo los vuelve positivos. 7) 6 3 s < x Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades 194 La solución es de 3 a 6, pues es el intervalo en donde se cruzan las flechas. Por ejemplo, para comprobarlo se sustituye la x por alguno de estos valores. Sustituyámoslo con 4, nos queda: 6 4 3 s < y es correcto porque e es menor que el 4 y el 4 es menor que el 6, por lo tanto este intervalo escrito como una desigualdad queda (3,6] 8) Escriba como desigualdad el peso “w” de un luchador que debe tener una diferencia máxima de 2 libras, respecto a 148 libras. Solución: Como nos indican que su diferencia debe ser máxima de 2 libras, esto quiere decir que puede pesar 2 libras más o 2 libras menos. Graficado nos quedaría 146 148 150 146 x 150 150 146 s s x Escribiéndolo como una desigualdad, la diferencia tiene que ser positiva, por lo tanto se escribe como valor absoluto 150 146 148 2 2 148 2 148 2 2 148 s s + s s ÷ s ÷ s ÷ s ÷ w w w w A continuación le presento otros ejercicios resueltos pero ya sin explicación. Si al observarlos le queda duda, consulte con su profesor. Exprese el intervalo en forma de desigualdad 1) [0,4) 2) (3,6[ 3) (3,7) 4 0 < s x 6 3 > < x 7 3 < < x 4) ( ,2] 5) (-3,∞) · ÷ x >-3 2 s x Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 195 Resuelva las siguientes desigualdades y exprese las soluciones como intervalos. Para resolver desigualdades de esta forma, se procede igual que en las ecuaciones, despejando la x pero si el coeficiente de la variable queda negativo, se cambian todos los signos incluyendo el mayor o menor. Ejercicios: Escriba las siguientes desigualdades como intervalos y bosqueje su gráfica 1) 3 x > 2) 5 > x 3) 3 s x 4) 5 s x 5) 6) 5 1 > > x 3 x ÷ > Exprese el intervalo en forma de desigualdad 1) [0,2) 2) 3) 6] (-2, 6[ (1, 4) 5) 7) (1, ) (3, · 6) | ·, 5 (- Resuelva las siguientes desigualdades y exprese las soluciones en términos de intervalos 1) 3 2 > + x 2) 5 1 3 < ÷ x 3) 7 3 5 2 < + + x 4) 1 3 4 ÷ > ÷ + x 5) 2 5 3 5 > + ÷ x 6) 3 6 5 1 5 > + + x 7) 8) 6 4 2 s + x 11 < 2 3 x ÷ 9) 3x – 1 > x – 3 10) 5x + 2 > 6x – 1 11) 4 < 2x < 8 12) 6 > x + 3 > 12 Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades 196 15) 0 3 4 4 < 2 s + x 16) 4 - > 3 5 3 10 x ÷ > 17) 0 5 2 > ÷ x 18) 0 1 3 < ÷ ÷ x 19) 0 4 1 > + ÷ x 20) 0 5 2 3 s + x 21) 0 2 3 < ÷ ÷ x 22) 6 1 5 > + < ÷ x 23) 24) 7 1 2 3 > ÷ < x 2 4 2 6 > ÷ < x 25) 26) 3 3 3 12 > + < x 6 1 5 < + > ÷ x 27) 28) 7 1 2 3 < ÷ > x 2 4 2 6 s ÷ > x 29) 30) 3 3 3 12 s + > x 6 1 5 > + < ÷ x 4.4 MAS SOBRE DESIGUALDADES Resolver las siguientes desigualdades utilizando tabla para encontrar los intervalos. 1. ( )( ) 0 5 3 > ÷ + x x Igualamos cada factor a cero y despejamos la x para encontrar los intervalos x + 3 = 0 x – 5 = 0 x = – 3 x = 5 Luego localizamos en una recta numérica estos valores para identificar los intervalos. El primer intervalo principia en menos infinito y termina en el primer valor localizado en la recta numérica; luego los demás intervalos están de punto a punto. En este caso el primer intervalo está desde · ÷ hasta – 3 , el segundo intervalo está desde – 3 hasta 5 y como no hay más puntos, el último intervalo está del último punto hasta el infinito positivo, es decir, desde 5 hasta · Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 197 En la tabla, los intervalos se escriben en la fila de arriba y en la columna del lado izquierdo se escriben los factores 3 ,÷ · ÷ 5 , 3 ÷ · , 5 3 + x 5 ÷ x Luego sustituimos en los factores, específicamente en donde está la , con un valor que pertenezca al intervalo y en el cuadro escribimos er intervalo podemos tomar el – 4 y ustituirlo en los factores escribimos el signo que nos queda x el signo que nos quede. Por ejemplo, en el prim s x + 3 = – 4 + 3 = – 1 y 3 ,÷ · ÷ 5 , 3 ÷ · , 5 3 + x - 5 ÷ x uego en el otro factor hacemos lo mismo y escribimos el signo en su asilla correspondiente L c x – 5 = – 4 – 5 = – 9 3 ,÷ · ÷ 5 , 3 ÷ · , 5 3 + x - 5 ÷ x - Hacemos lo mismo con los otros intervalos y escribimos el signo que ueda en las operaciones y cuando ya está llena la tabla de los q signos encontrados, hacemos la ley de signos y el signo resultante lo escribimos en la fila de abajo y este nos indica qué signo quedará en las operaciones efectuadas en cada intervalo, en la desigualdad original. 3 ,÷ · ÷ 5 , 3 ÷ · , 5 3 + x - + + Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades 198 5 ÷ x - - + signos de Ley + - + Como en la inecuación nos dicen que el resultado tiene que ser resultado tiene que ser positivo mayor que cero, esto significa que el y los intervalos que nos da el resultado positivo es de 3 ,÷ · ÷ y luego de · , 5 , entonces la solución es | | ) , 5 3 , ( : · ÷ ÷· U Solución continuación encontrará otros ejercicios resueltos los que puede nalizar, tratar de resolver y si no encuentra los resultados puede A a consultar con su profesor. 2. ( )( ) 0 7 4 3 2 > ÷ ÷ x x 3 2 , · ÷ 4 7 , 3 2 · , 4 7 x 3 ÷ 2 + - - 7 4 ÷ x - - + signos de Ley - + - | . | \ | 4 7 , 3 2 : Solución 3. ( )( )( ) 0 2 5 3 < ÷ ÷ ÷ + x x x 3 ,÷ · ÷ 2 , 3 ÷ ÷ 5 , 2 ÷ · , 5 5 ÷ x - - - + 3 + x - + + + 2 ÷ ÷ x + + - - signos d Ley e + - + - ) , 5 ( ) 2 ÷ , 3 ( : · ÷ U Solución este caso como no nos dan la ecuación factorizada, debemos torizar para encontrar los factores que nos servirán y luego rocedemos de la misma forma que los que nos dieron factorizados. x 2 + 4x + 3 = 0 4. 0 3 4 2 > + + x x En , ac f p Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 199 (x + 3)(x + 1) = 0 3 ,÷ · ÷ 1 , 3 ÷ ÷ · ÷ , 1 3 + x - + + 1 + x - - + L signos de ey + - + | | ) , 1 3 , ( : · ÷ ÷ ÷· U Solución 5. a inecuación debe ser mayor o menor que cero 2 – 4x – 17 – 4 0 – 7)(x + 3) = 0 4 17 4 2 s ÷ ÷ x x L s x x 2 – 4x – 21 = 0 (x 3 ,÷ · ÷ 7 , 3 ÷ · , 7 7 ÷ x - - + 3 + x - + + signos de ey L + - + | . | 7 , 3 : ÷ Solución 6 0 ) 1 3 ( s ÷ x x 0 , · ÷ 3 1 , 0 , 3 1 x - + + 1 3 ÷ x - - + L signos de ey + - + ( ¸ ( ¸ 3 1 , 0 : Solución 7. 0 3 s 2 3 2 2 3 ÷ ÷ x x x + 1 ,÷ · ÷ 1 , 1 ÷ 2 3 , 1 · , 2 3 3 2 ÷ x - - - + 1 + x - + + + Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades Centro Educativo Kinal 200 - - + + 1 ÷ x signos de Ley - + - + | ( ¸ ( ¸ ÷ ÷· 2 , 3 1 1 , U Solución 8. ( : 0 ) 1 )( 2 ( ) 2 ( 2 > + + + x x x x 2 ,÷ · ÷ 1 , 2 ÷ ÷ 0 , 1 ÷ · , 0 2 x + + + + 2 + x - + + + 2 + x - + + + 1 + x - - + + signos de Le y - - + + | | ) , 0 0 , 1 : · ÷ U Solución jerc os Resuelva correctame e las guien desigualdades, luego encuentre los soluciones utilizando la tabla. 1) x 2 + 8x + 15 >0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 14) 12x 2 – 5x – 2 ≤ 0 15) 10x 2 – 9x > 9 ( E ici nt si tes 2) x 2 + 9x + 18 > 0 2 16) 12x 2 – 5x > 28 3) x + 15 + 50 < 0 4) x + 5x – 24 < 0 5) x + 3x – 4 > 0 6) x – 8x + 12 > 0 7) 3x – 13x – 10 < 0 8) 2x – 3x – 9 < 0 9) 5x + 18x – 8 ≥ 0 10) 6x + x – 5 ≥ 0 11) 2x + 13x – 7 ≥ 0 12) 7x – 44x + 12 ≥ 13) 6x – 7x – 20 ≤ 0 17) 0 ) 3 )( 1 ( 2 2 > ÷ + x x 9 ÷ x 18) 0 ) 1 )( 1 ( > ÷ + x x x ) 1 ( ) 1 2 ( ÷ + x x 2 0 19) 10 3 2 2 > x ÷ ÷ ÷ x x 4 5 3 2 s + ÷ x x 20) 1 3 2 1 + > ÷ x x 21) 22) 6t 3 > 7t 2 + 3t X 4 – 13x 2 + 36 < 0 X 5 – 5x 3 + 4x > 0 23) 24) Matemática cuarto Centro Educativo Kinal 201 Quinta unidad: Funciones y gráficas 202 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 203 OBJETIVOS  Identificar los elementos del plano cartesiano: ejes, origen, ordenada, abscisa, puntos, coordenadas  Localizar puntos en el plano  Distinguir el cuadrante en que se encuentra un punto, conocida sus coordenadas  Trazar gráficas de ecuaciones  Aplicar las coordenadas cartesianas para plantear y resolver problemas  Demostrar que puntos dados en el plano corresponden a vértices de figuras geométricas PLANO CARTESIANO El plano cartesiano no es más que dos rectas numéricas perpendiculares que se cruz en el origen formando 4 cuadrantes. A la recta horizontal se le denomina eje x o eje de las abscisas; a la recta vertical se le denomina eje “y” o eje de las ordenadas. Al eje x también se le llama variable independiente y al eje “y” se le llama también variable dependiente. Los cuadrantes se enumeran mo aparece en la siguiente figura en contra del movimiento de las agujas del reloj. an co x y x y x IV III y x y x I II y ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ÷ ÷ ÷ ÷ Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 204 Para acostumbrarnos a leer o identificar figuras en el plano, resolveremos los ejercicios que se plantean a continuación. Describa el conjunto de todos los puntos (x, y) en un plano de coordenadas que satisfaga las condiciones dadas: 1. x=-2 es una línea recta vertical que cruza el eje x en -2 2. y=3 es una línea recta horizontal, que cruza el eje “y” en 3 3. x>0 Son todos los puntos en los cuadrantes 1 y 4 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 205 4. xy>0 Es cualquier punto en los cuadrantes 1 y 3 . Y< 0 Es todo punto en los cuadrantes 3 y 4, debajo de x 5 6. X = 0 Es todo punto que está en el eje y Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 206 7. a de la línea horizontal que atraviesa al eje “y” en 1 Y> 1 Es cualquier punto en los cuadrantes 1 y 2 pero arrib .2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ara encontrar la distancia entre dos puntos existe la siguiente fórmula: 5 P 2 1 2 2 1 2 2 1 ) ( ) ( y y x x P P d ÷ + ÷ = 2 (3, 5) Ejemplo 1. Hallar la distancia entre los puntos P 1 (2, -8) y P olución: S 2 2 2 1 ) 5 8 ( ) 3 2 ( ÷ ÷ + ÷ = P P d 2 2 2 1 ) 13 ( ) 1 ( ÷ + ÷ = P P d d 169 1 2 1 + = P P 170 2 1 = P 3.04 P d = 1 . Grafique los puntos A(3,5) y B(-1, -2) y encuentre la distancia entre ellos D Ejemplo 2 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 207 2 2 ) ( ) y y x ÷ + ÷ 2 2 1 2 d = (x 2 2 ) 2 5 ( ) 1 3 ( + + + = d 2 2 ) 7 ( ) 4 ( + = d 49 16 + = d 65 = d d: 8.06 5.3 La fórmula de Herón sirve pa a calcular el área de cualquier triángulo sin importar que sea rectángulo o no, basta con conocer la longitud de cada lado. Esta fórmula es la siguiente: FORMULA DE HERÓN r ) )( )( ( c s b s a s s A ÷ ÷ ÷ = En donde s es el semiperímetro del triángulo y a, b, c son los lados del mismo. Se Ejemplo 3. Encontrar el área del triángulo cuyos vértices son A(-2,1), B(4,3 y C(2,-3) Solución: Como no sabemos si es un triángulo rectángulo, encontramos entonces la longitud de cada lado del triángulo a través de la distancia entre dos puntos. miperímetro es la mitad del perímetro del triángulo. Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 208 2 2 ) 3 1 ( ) 4 2 ( ÷ + ÷ ÷ = AB 2 2 ) 3 1 ( ) 2 2 ( + + ÷ ÷ = AC 2 2 ) 2 ( ) 6 ( ÷ + ÷ = AB 2 2 4 ) 4 ( + ÷ = AC 4 36 + = AB 16 16 + = AC 40 = AB 32 = AC 32 . 6 = AB 66 . 5 = AC 2 2 ) 3 3 ( ) 2 4 ( + + ÷ = BC 2 2 6 2 + = BC 36 4 + = BC 40 = BC 32 . 6 = BC Ahora que ya tenemos la longitud de los tres lados, buscamos el semiperímetro 15 . 9 2 3 . 18 2 66 . 5 32 . 6 32 . 6 = = + + = s S=9.15 ) )( )( ( c s b s a s s A ÷ ÷ ÷ = ) 32 . 6 15 . 9 )( 66 . 5 15 . 9 )( 32 . 6 15 . 9 ( 15 . 9 ÷ ÷ ÷ = A Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 209 ) 83 . 2 )( 49 . 3 )( 83 . 2 ( 15 . 9 = A 75 . 255 = A = 15.99 u 2 Ejemplo 4. Graficar los puntos A: (-3, 6); B: (5, 1) y hallar la distancia entre A ellos. 2 2 ) 1 6 ( ) 5 3 ( ÷ + ÷ ÷ = d 2 2 5 ) 8 ( + ÷ = d 25 64 + = d d 89 = d: 9.43 jemplo 5. Demuestre que los puntos A: (-1, -3) B: (6, 1) C: (2, -5) e su área E son coordenadas de los vértices de un triángulo rectángulo y encuentr 2 2 ) 1 3 ( ) 6 1 ( ÷ ÷ + ÷ ÷ = AB 2 2 ) 4 ( ) 7 AB ( = ÷ + ÷ 16 49 + = AB 65 = AB 2 2 ) 5 3 ( ) 2 1 ( + ÷ + ÷ ÷ = AC 2 2 2 ) 3 ( + ÷ = AC 4 9 + = AC Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 210 13 = AC 2 2 ) 5 1 ( ) 2 6 ( + + ÷ = BC 2 2 6 4 + = BC 36 16 + = BC 52 = BC ara demostrar que es un triángulo rectángulo hay que hacerlo a través del teorema d la hipote usa al cuadrado es igual a la uma de los cuadrados de los catetos P e Pitágoras que nos dice que n s 2 2 2 b a c + = n donde la hipotenusa es el lado más largo. En este caso el lado más E largo es 65 AB = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 65 + = 65 = 13 + 52 5 = 65 ara encontrar el, como ya demostramos que sí es un triángulo rectángulo, procedemos a multiplicar los catetos y el resultado lo dividimos entre 2 52 1 6 P 2 *h b A = 2 = A 52 * 13 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 211 2 = A 676 2 = A 26 = 13u jemplo 6 Dados los puntos A(1,7); B(-3,2) y C(4, ½), demuestra que está en la mediatriz del segmento AB. Solución: Para que un punto esté en la mediatriz de un segmento, este unto debe ser equidistante a los puntos extremos del segmento, por lo tanto la distancia 2 A E C p BC AC = 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ) 7 ( 2 13 ) 3 ( ) 2 / 1 2 ( ) 4 3 ( ) 2 / 1 7 ( ) 4 1 ( | . | \ | + ÷ = | . | | \ + ÷ ÷ + ÷ ÷ = + ÷ ÷ 4 205 4 205 4 9 49 4 169 9 + = + = 5.4 PUNTO MEDIO l punto medio de un segmento es el promedio de los puntos, su fórmula es: E | . | \ | + + = 2 , 2 1 2 1 2 y y x x M Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 212 Ejemplo 1. Sean P 1 (-1, 1) y P 2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine: oordenadas del punto medio M del segmento C 2 1 P P Solución: | . | \ | + + ÷ = 2 0 1 , 2 3 1 M | . | \ | = 2 1 , 2 2 M | . \ = 2 , 1 M | | 1 n la figura adjunta se ilustra el segmento E 2 1 P P y los puntos pedidos i el punto medio M tiene coordenadas. M (x m , y m ) entonces: Encontrados estos puntos por separado nos quedarían: S 2 2 2 1 0 1 y y y 1 2 3 1 2 x x x 2 1 m 2 1 m = + = + = = + ÷ = + = Luego, las coordenadas del punto M son. | . | | = 1 , 1 M \ 2 5.5 ECUACIÓN DE LA RECTA Para encontrar la ecuación de una recta necesitamos conocer la pendiente y un punto por donde pasa ) ( 1 1 x x m y y ÷ = ÷ Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 213 Para encontrar la pendiente m, necesitamos conocer dos puntos por donde pa La fórmula para encontrar la pendiente m es: sa la recta. 1 2 x x ÷ 1 2 y y m ÷ = Ejemplo 1. Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine el intercepto de la recta con el eje y. olución: S Como la fórmula para encontrar la pendiente m es: 1 2 1 2 y y m ÷ = x x ÷ 2 1 1 3 + ÷ = m 3 2 = m Ahora que ya tenemos la pendiente, podemos encontrar la ecuación a través de la siguiente fórmula: ) ( 1 1 x x m y y ÷ = ÷ ) 1 ( 3 2 3 ÷ = ÷ x y ) 1 ( 2 ) 3 ( ÷ = ÷ x y 3 2 2 9 ÷ = ÷ x y 3 3y – 2x – 9 + 2 = 0 3y – 2x – 7 = 0 ecuación debe quedar “y” en función de x, en este caso que nos x – 3y + 7 = 0 n la figura adjunta aparecen los puntos dados y la recta L que pasa por llos. La quedó negativa la x, cambiamos todos los signos que es equivalente a multiplicar la ecuación por – 1 y nos queda: 2 E e Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 214 Para hall rcepto b de la recta con el eje y, hacemos en la ecuación x = 0, - 3y = -7 ar el inte 2x – 3y + 7 = 0 2(0) – 3y + 7 = 0 3 = y 7 Ejemplo 2. Calcular la distancia del origen a la recta de interceptos a y b con los ejes coordenados. Solución: En la figura se ha trazado la recta de interceptos a y b. Sea OH d = la distancia del origen a la recta. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 215 Una propiedad métrica de los triángulos rectángulos establece que el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la ltura que cae sobre ella. plicando esta propiedad al triángulo rectángulo AOB de la figura, se tiene: a A AB OH OA OB · = · Es decir, 2 b de donde 2 a d a b + · = · 2 2 b a d + = b a · tar los siguientes puntos sobre un sistema de coordenadas ada uno: a) (1, 2) b) (2, ) c) (-1, 1) d) - , 3) e) (-3, -1) f) (-5, -2) . a) ¿Cuál eje representa la ecuación x = 0? nte de los segmentos de recta que une cada par de puntos: a. (3, -2) y (9, 6) b. (4, -3) y (-1, 9) c. (8, -4) y (-7, 4) d. (5, -8) y (-7, 8) los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los un triángulo isósceles . Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P 1 (-7, 7), P 2 (2, 0), P 3 (10, 10). Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo. értices de un triángulo rectángulo. Hallar su área. EJERCICIOS: 1. Represen rectangulares e identificar el cuadrante en que cae c 4 2 2 b) ¿Cuál eje representa la ecuación y = 0? . Encontrar la longitud y la pendie 3 4. Demostrar que vértices de 5. Demostrar que los puntos A(8, 9), B(-6, 1) y C(0, -5) son vértices de un triángulo isósceles. 6 3) y P 4 (1, 7. Demostrar que los puntos P 1 (0, 5), P 2 (6, -3) y P 3 (3, 6), son v Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 216 8. Dados los puntos A: (1, 7), B: (-3, -2), C: (4, ½), demostrar que C esta en la mediatriz del segmento A – B. Mediatriz: línea recta que pasa por la mitad del un segmento y es perpendicular al mismo, Para que un punto esté en la mediatriz, debe ser equidistante a los extremos del segmento. Equidistante: Que está a la misma distancia de los puntos dados Dados los puntos A: (1, 7), B: (-3, -2), encuentre el punto medio del segmento AB y compare las distancias demostradas que d(AM) = d(BM) tos A: (2, 6), B: (2, 2), C: (-1, 2), demostrar que son vértices de un triangulo rectángulo. Y hallar su área. e de la recta que une los puntos: X 1 , -1), y, B(2, 5) es 3, encontrar X 1 . b. A(6, -1), y, B(10, Y 1 ) es 9. 10. Dados los pun 11. Si la pendient a. A( 3 2 , encontrar Y 1. 2. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3, 5), B(-5, 1) y C(1,7). e intersección de las medianas. c. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de ier par de lados es paralelo al tercer lado y es la mitad de su longitud. log amo son los puntos (1, -2), (7, 3) y (-2, 2). Encontrar el cuarto vértice. 14. Localizar los vértices de un triángulo sabiendo que los puntos medios de los lados son los puntos (2, -1), (8, 4) y (-1, 3). 15. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos: a. A(0, 0), B(9, 2) y C(1, 4) es rectángulo. b. A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectángulo. 1 a. Localizar los puntos medios de los lados. b. Localizar el punto d cualqu 13. Tres vértices de un parale r Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 217 16. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2. 17. Encontrar las áreas de los triángulos cuyos vértices son: ), (-4, -6) y (-1, -3) e el triángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 0), B(0, 3) y C(1, 2). . Encuentre las ecuaciones de las bisectrices interiores. re las ecuaciones de las mediatrices del triángulo. el baricentro, ortocentro, incentro y el circuncentro del a. (0, 0), (2, 4) y (-1, 6) b. (-2, -1 c. (3, 4), (-2, 1) y (1, -5) d. (3, 6), (-2, 7) y (-1, -2) 18. Consider a. Encuentre las ecuaciones de las medianas. b. Encuentre las ecuaciones de las alturas. c d. Encuent e. Localice triángulo. Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 218 5.6 GRAFICAS DE ECUACIONES olamente con ver su ecuación. ación en la cual ninguna de las variables tiene xponente, esta gráfica corresponderá a una línea recta. En donde nte, me ro que tiene la , indicará la pendiente. n este caso, el 2 indica la intersección en el eje “y” y el 3 es la ce, en el eje “y” irá 3 por ser el 3 positivo. Aprenderemos a trazar la gráfica de las ecuaciones, sin hacer uso de la tabla, es decir, sabremos qué tipo de gráfica nos quedará s jemplo 1: Trazar la gráfica de E 2 3 + = x y Cuando tenemos una ecu e el número que está solo, sin letra o sea el término independie indicará el lugar por donde atraviesa al eje “y” y el núme x E pendiente, esto indica que por cada x que se avan sub Ejemplo 2: Trazar la gráfica de 1 2 + ÷ = x y Intersección en 1 = y Pendiente – 2 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 219 plo 3: Trazar la gráfic 2 3 2 ÷ ÷ = x y Ejem a de Intersección en el eje “y” = – 2 Pendiente 3 ÷ 2 Podemos hacer dos cosas con esta ecuación: alejarnos 1 del punto de intersección con el eje “y” y bajar 1 3 Por tener signo negativo anzar 3 en el e 2 2 No portar el signo que ten Av Av je x y bajar 2 en el eje “y” ta: En el eje x siempre avanzamos sin im ga la pendiente, este servirá para el eje “y”. anzar en el eje x es ir siempre hacia la derecha comportamiento de las gráficas cuando alguna de las variables tá elevada al cuadrado es el siguiente. El es Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 220 jemplo 4: Trazar la gráfica de u izquierda el 2. A continuación nos alejamos 2 espacios hacia la derecha alineado con el vértice y decimos 2 al cuadrado 4 por 2 = 8 y contamos 8 hacia abajo. Como una parábola es simétrica con respecto del eje “y”, localizamos los puntos en el otro lado del eje “y” y la gráfica que nos queda es la siguiente. 1 2 2 + ÷ = x y E Esta no es una línea recta ya que una de las variables tiene exponente 2, por lo tanto es una parábola. Para trazarla sin hacer uso de la tabla, localizamos el vértice que es el número solo o término independiente; en este caso el 1 Luego nos alejamos uno en x y decimos uno al cuadrado es 1 por el 2 que está con la x, 1*2 = 2 y contamos dos espacios hacia abajo por ser negativo el signo que tiene a s x Y 2 = Ejemplo 5: Trazar la gráfica de olución: S Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 221 Como en este caso solamente tenemos x 2 , el vértice está en el origen, n (0,0) y c mo la x tiene signo positivo, mos dos y decimos dos al cuadrado así sucesivamente. Como la gráfica mé ica con el eje “y”, localizamos en la misma dirección y a para poder trazarla. localizamos entonces el vértice e o nos alejamos 1 en x y decimos uno al cuadrado es uno y subimos un espacio en “y”. Luego nos aleja cuatro y contamos 4 hacia arriba y de x 2 es si tr la misma distancia del eje “y” los otros puntos Ejemplo 6: Graficar Solución: La gráfica es exactamente la misma que la anterior, ya que la x 2 no tiene número ni signo, solamente que está corrida 3 espacios hacia abajo puesto que el vértice está ahora en – 3 3 2 ÷ = x y Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 222 Ejemplo 7: Trazar la gráfica de olución: hora la gráfica es horizontal ya que la letra que está elevada al uadrado es la “y”, procedemos entonces a localizar el vértice que se ncuentra en el origen pero ahora no se abre hacia arriba sino hacia la erecha porque la “y” no tiene signo. Y hacemos lo mismo que con la x 2 olo que en el otro eje. y x 2 = S A c e d s Ejemplo 8 2 : Trazar la gráfica de Solución: Nuevamente es una gráfica horizontal por estar elevada al cuadrado la “y”, pero como ahora tiene signo negativo, la gráfica se abre hacia la izquierda. Localizamos el vértice, luego nos alejamos 1 hacia cualquier lado y decimos: Uno al cuadrado es 1, por 3 igual a 3, contamos entonces 3 hacia la izquierda; Luego nos alejamos dos, siempre del vértice y decimos: Dos al cuadrado igual a 4, por 3, igual a 12 y contamos 12 hacia la izquierda y así sucesivamente 5 3 + ÷ = y x Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 223 Ejemplo 9: Trazar la gráfica de: 4 ÷ = x Y Solución: En este caso, ya no es una parábola sino una semiparábola por ser raíz cuadrada. El signo que tiene del lado izquierdo la raíz cuadrada, es el signo correspondiente a la “y”, como no tiene, se sobreentiende que es positivo y el de la x es también positivo, entonces la gráfica está en el primer cuadrante : Eje positivo de la x y eje positivo de las “y”. Para encontrar el lugar de donde sale, igualamos la raíz a cero, ya que sabemos que la raíz cuadrada solamente se le puede sacar a números ositivos y al cero y despejamos la x que quedaría elevada al uadrado y nos damos cuenta que es la variable “y”, ya que si le uitáramos la raíz cuadrada a x – 4, es la “y” la que quedaría elevada al cuadrado, entonces concluimos que la gráfica es horizontal y queda trazada de la siguiente forma. p 0 4 > ÷ x 4 > x Entonces ya sabemos que la gráfica sale del 4 positivo de las x. Ahora falta saber para donde Nos imaginamos entonces cual será la variable c q Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 224 Ejemplo 10: Graficar x y = olución: drada con l eje “y” positivo y el eje a queda en el primer cuadrante, o ea que es la misma que trazamos anteriormente pero ahora sale del to que no tiene ningún número dentro de la raíz. S Tenemos nuevamente una raíz cua e x también positivo, entonces la gráfic s origen pues Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 225 1 + ÷ = x y Ejemplo 11: Trazar la gráfica de Solución: En este caso tenemos eje negativo de las “y” y positivo de las x, por lo tanto la gráfica se ubica en el IV cuadrante. Despejamos la x para ver cuánto vale la x cuando la “y” valga cero. x= – 1 gráfica que queda es la siguiente 0 1 > + x la Ejemplo 12: Graficar 3 ÷ ÷ ÷ = x y Solu ión: c Tenemos ahora eje negativo de las x y eje negativo de las “y”, La gráfica está en el III cuadrante. Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas Centro Educativo Kinal 226 Ejemplo 13: Trazar la gráfica de Solución: Esta es una gráfica simétrica con el origen, como es cúbica y no tiene ningún número la x del lado derecho, esto significa que tiene su cambio en el origen. A este cambio se le llama Punto de inflexión. Nos colocamos entonces en el punto de inflexión y nos alejamos primero hacia la derecha y como la x no tiene tampoco ningún número del lado izquierdo, decimos: uno al cubo igual a 1 y nos alejamos uno hacia arriba. Nos ubicamos nuevamente en el punto de inflexión y nos alejamos dos unidades siempre hacia la derecha y decimos: dos al cubo igual a 8 y nos alejemos 8 hacia arriba. Luego hacemos lo mismo hacia el lado izquierdo y la gráfica queda de la siguiente manera. JERCICIOS Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones sin hacer uso de la tabla. 1) Y = 3x 2) y = -2x 3) y = 4 4) y = 2 5) y = -1 6) y = 2x – 3 7) y = x – 2 8) y = - x + 3 9) y = - 2x – 3 10) x Y 3 = E 1 2 1 + = x y 2 2 3 ÷ = x y 11) 12) Y = x 2 – 2 13) Y = x 2 + 1 Matemática cuarto 227 14) Y = 2x 2 – 3 15) Y = 3x 2 – 2 16) 1 2 1 2 + = x y 17) 2 3 1 2 ÷ = x y ) 18 2 4 1 2 + = x y 19) 4 3 2 2 ÷ = x y 20) 21) 2 2x y ÷ = 4 3 2 ÷ ÷ = x y 22) 23) 24) 25) 1 2 + = y x 3 2 ÷ = y x 4 2 2 + ÷ = y x 2 3 2 ÷ ÷ = y x 26) 3 ÷ = x y 27) 2 + = x y 28) 1 + = x y 29) 3 ÷ = x y 30) 2 ÷ ÷ = x y 31) 1 + ÷ = x y 32) x y ÷ = 2 33) 3 ÷ ÷ = x y 34) 2 ÷ ÷ ÷ = x y 35) x y ÷ ÷ = 3 3 ÷ = y x 36) 37) 2 + = y x 38) 1 + = y x 39) 3 ÷ = y x 2 ÷ ÷ = y x 40) 1 + ÷ = y x 41) y x ÷ = 2 42) 3 ÷ ÷ = y x 43) 2 ÷ ÷ ÷ = y x 44) y x ÷ ÷ = 3 45) 2 3 ÷ = x y 46) 1 2 + = x y 47) 48) 3 2 + = x x y 49) 4 3 = x y ÷ x 50) x x y 4 = 3 x y = 51) 52) 53) 54) 3 x y ÷ = 3 2 3 ÷ = x y 1 3 + = x y Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 228 5.7 ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA La ecuación de la circunferencia con centro en el origen es 2 2 2 r y x = + En donde x y “y” son cualquier número y r es el radio, el centro se encuentra en el origen. La ecuación de la circunferencia con centro en C(h,k) es 2 2 2 ) ( ) ( r k y h x = ÷ + ÷ En donde (h,k) es el centro de la circunferencia, este punto ya no se encuentra en el origen y sigue siendo el radio Ejemplo 1: Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es y trace su gráfica. Solución: Por la forma como está escrita la ecuación, es una circunferencia que tiene su centro en el origen (0,0) r 25 2 2 = + y x C 5 = 25 25 2 = = e aparece a co r r r La gráfica es la qu ntinuación. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 229 Ejemplo 2: Encuentre el centro y e gráfica del círculo y el radio trac la cuya ecuación es ( ) ( ) 9 1 2 2 = + + y 2 ÷ x Solución: Esta es una circunferencia que tiene su ro : cent en C(2,-1) y su radio es 3 Ejemplo 3 Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y pasa por el punto ( ) 5 , 2 P tr mos conocer el centro y el radio. En este caso, como nos indican que tiene su centro en n e debemos encont Como conocemos dos puntos que son el centro y un punto por donde nt a l radio a través de la distancia entre dos puntos. Solución: Para encon ar la ecuación de una circunferencia necesita el origen, ú icament rar el radio. pasa, enco r mos e 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( ÷ y y x x r ÷ + = 2 2 ) 0 ) 0 2 ( ÷ ÷ = r 5 ( + 29 5 2 2 2 + = r 25 4 = r mo e ene centro en el origen y ya encontramos el radio, y la á quedan de la sigui te forma + = r Como sabe s qu ti la ecuación gr fica en 29 2 2 = + y x Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 230 jemplo 4: Encuentre la ecuación de la circunferencia que es Tangente a ambos ejes, centro en el segundo cuadrante radio 4 razamos la gráfica para localizar con facilidad el radio E Solución: T Como vemos que el radio es de 4, podemos escribir la ecuación jemplo 5: Encontrar la ecuación de la circunferencia que los extremos e un diámetro están en A(5, 3), (1, 7) olución: ara encontrar el radio buscamos primero el punto medio que es el entro de la circunferencia, para ayudarnos trazaremos la circunferencia onociendo su diámetro ( ) ( ) 16 4 4 2 2 = ÷ + + y x E d B S P c c Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 231 ) 5 , 3 ( 2 , 2 = = Pm Pm 10 6 2 7 3 , 2 1 5 2 , 2 1 2 1 2 | . | \ | + | . | \ | + = | . | \ | + | . | \ | + = m Y Y X X m omo ya conocemos el centro, podemos encontrar el radio a través de distancia entre dos puntos P P C la 2 2 ) 3 5 ( + ÷ = r ) 5 3 ( ÷ 2 2 ) 2 ( 2 ÷ + = r 4 4 + = r 8 = r Como sabemos que para encontrar la ecuación de la circunferencia necesitamos conocer el centro y el radio, ya podemos encontrarla. 8 ) 5 ( ) 3 ( 2 2 = ÷ + ÷ y x ircunferencia cuya cuación es y trace su gráfica Ejemplo 6: Encuentre el centro y el radio de la c 0 16 8 6 2 2 = + + ÷ + y x y x e Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas Centro Educativo Kinal 232 Solución: Como nos dieron la ecuación general de la circunferencia, tenemos que encontrar la estandar para poder graficarla, procedemos entonces a hacer la Completación al cuadrado Encontramos entonces que el centro es C(3, – 4) y r 2 = 9, por lo tanto r 3 16 ) 8 ( ) 6 ( 2 2 ÷ = + + ÷ y y x x 16 9 16 ) 16 8 ( ) 9 6 ( 2 2 + + ÷ = + + + + ÷ y y x x 9 ) 4 ( ) 3 ( 2 2 = + + ÷ y x = Ejercicios Encuentre el centro y el radio de las siguientes circunferencias y trace su gráfica. Indique si es solo un punto o si no existe 2) ) 2) 2 + y 2 = 9 2 + y 2 = 25 2 2 10) (x – 2) + (y + 1) = 4 11) x 2 + y 2 – 10x + 8y+32 = 0 12) x 2 + y 2 – 4x + 2y – 9 = 0 2 + y 2 + 6x + 4y – 3 = 0 15) x 2 + y 2 – 6x + 6y +14 = 0 2 2 1) 1 2 2 = + y x 9) (x – 1) + (y – 2) = 16 2 2 4 2 2 = + y x 18 2 2 2 2 = + y x 3 4) 48 3 3 2 2 = + y x 13) x 2 + y 2 + 2x – 6y – 15 = 0 14) x 5) (x + 6) (x – 1) 7) X 2 + (y – 2) 2 = 16 8) X 2 + (y + 2) 2 = 9 16) x + y – 2x + 8y +14 = 0 17) x 2 + y 2 – 12x–10y+62 = 0 Matemática cuarto 233 18) x 2 + y 2 + 12x – 4y+43 = 0 19) x 2 + y 2 – 4x + 2y – 4 = 0 20) x 2 + y 2 – 12x + 4y+38 = 0 21) x 2 + y 2 – 6x – 4y + 8 = 0 22) x 2 + y 2 + 4x – 10y+22 = 0 23) x 2 + y 2 + 6x – 2y +10 = 0 24) x 2 + y 2 – 4x – 6y + 13 = 0 25) x 2 + y 2 – 4x – 6y + 12 = 0 5.8 LA RECTA Nuestro estudio se basará a las rectas en un plano de coordenadas cartesianas, lo que nos permitirá el uso de métodos algebraicos para estudiar sus propiedades. Anteriormente en este mismo capítulo hicimos una introducción a la recta, ahora las estudiaremos más detenidamente. ara encontrar la ecuación de una recta, necesitamos conocer su pendiente y un punto por donde pase. : La ecuación estandar de la recta es la que está escrita para poder er graficada, es decir, ya se encuentra despejada la “y” ECUACIÓN DE LA RECTA P 5.8.1 Ecuación estandar de la recta s b mx y + = 5.8.2 Ecuación general de la recta a ecuación general de la recta debe estar igualada a cero. En donde m es la pendiente y b es el punto de intersección con el eje “y”, es decir, en donde atraviesa la recta al eje de las ordenadas. L 0 = + + C By Ax En donde A, B y C son valores conocidos. Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 234 5.8.3 PENDIENTE Es el grado de inclinación que tiene una recta, podemos decir que es lo que sube o baja por cada avance en el eje “x”. A la pendiente la esignamos con la letra m Cuando es la recta se abre Cuando es (-) la recta e la siguiente forma queda de la siguiente forma d m ( ) + m d 0, la recta no sube ni Cuando m es indefinida Cuando mes Baja, es una recta horizontal 0 1 = m , la recta es totalmente vertical Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 235 5.8.4 Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente Re 5.8.5 Rectas perpendiculares Dos rectas son perpend e de una es igual a la ctas paralelas 1 m m 2 2 1 m = m iculares cuando la pendient inversa de la otra con signo contrario. 1 2 m m ÷ = 1 2 Si 1 m Entonces 2 m 2 1 ÷ 3 2 2 3 ÷ 4 1 ÷ 4 A través de las pendientes, demuestre que los puntos ( ) 1 , 3 ÷ A ( ) 3 , 5 B ( ) 0 , 3 C ( ) 2 , 5 ÷ ÷ D son vértices de un paralelogramo. Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 236 Los lados de un para los con su opuesto; para que esto suced os tienen que ser uales lelogramo tienen que ser parale a, las pendientes de estos lad ig 8 2 8 2 5 3 2 0 3 5 1 3 + + = + ÷ 2 1 0 3 2 3 2 3 5 3 3 5 = + ÷ + = ÷ ÷ = 4 1 1 = 4 Si es paralelogramo porque sus rectas son paralelas, ya que las pendientes de sus lados opuestos son iguales. jercicios resueltos: dadas. l eje “y” Solución: Esta es una recta vertical por ser pa emos ue si una recta es vertical su pendiente es indefinida, para nuestra conveniencia, si la pendiente es indefinida la representaremos como E Encuentre la pendiente de la recta que cumpla con las condiciones 1) Pasa por ) 2 , 5 ( ÷ A paralela a ralela al eje “y”. Sab q 0 1 = m y de esta forma nos será mucho más fácil encontrar su ecuación. 5 0 5 ) 2 ( 0 ) 5 ( 0 1 ) 2 ( 0 1 ÷ = ÷ = + ÷ = + = x x y x y m O bien x = 5 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 237 2) Pasa por p En este caso que nos indican que la recta es perpendicular al eje y, endiente es ) Pasa por pendiente -4 ta lo que necesitamos saber es su pendiente y un punto por donde pasa, procedemos directamente a encontrarla ) Pasa por pendiente 3 ) 2 , 4 (÷ A erpendicular al eje y esto significa que la recta es horizontal, por lo tanto la p cero. 2 0 2 4 0 = = ÷ + = y m ) ( 0 ) 2 ( = ÷ x y y ) 3 , 5 ( ÷ A 3 En este otro caso ya está dada la pendiente y como sabemos que para encontrar la ecuación de la rec 0 17 0 17 4 0 20 4 3 20 4 3 ) 5 ( 4 ) 3 = ÷ + = ÷ + = ÷ + + + ÷ = + ÷ ÷ = + y x x x x x y ( y y y 4 ) 0 , 4 ( A 4 12 3 ÷ = ÷ x y ) 4 ( 3 ) 0 ( = + x y 5) Pasa por ) 5 , 4 ( ÷ , ) 6 , 3 ( A ÷ B Como ahora no nos dan la pendiente, nos dan dos puntos por donde pasa para que la podamos encontrar. La fórmula para encontrarla es te la siguien 1 2 1 2 x x m ÷ = y y ÷ 0 9 7 11 0 9 11 7 44 11 35 7 ) 4 ( 7 11 ) 5 ( 7 11 7 11 3 4 6 5 = ÷ + = ÷ + + ÷ = + ÷ ÷ = + ÷ = ÷ = + ÷ ÷ = y x x y x y x y m Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 238 6) Pasa por ) 4 , 2 ( ÷ A paralelas a la recta 4 2 5 = ÷ y x Cuando dos rectas son paralelas sabemos que tienen la pendiente igual, por lo tanto encontramos la pendiente de la ecuación dada. Cuando la ecuación que conocemos es la ecuación general de la recta, podemos encontrar la pendiente a través de la siguiente fórmula B A m ÷ = 2 5 2 5 1 = ÷ ÷ = ÷ = B A m Esta misma pendiente tiene la recta que pasa por el punto dado, ya que on paralelas, procedemos entonces a encontrarla tomando esta misma s pendiente. 0 18 2 5 10 5 8 2 = ÷ ÷ ÷ = + y x x y ) Pasa por perpendicular a la recta ) 2 ( 5 ) 4 ÷ = + x y ( 2 ) 3 , 7 ( ÷ A 8 5 2 = ÷ y x 7 Dos rectas perpendiculares forman ángulos rectos o de 90 0 al cruzarse, or lo tanto la pendiente de una es igual a la inversa de la otra con p signo contrario. 5 2 5 1 ÷ = 2 = ÷ ÷ = B A m 2 2 ÷ = m 5 0 29 2 5 0 35 6 2 5 35 5 6 2 = ÷ + = ÷ + + + ÷ = + y x y x x y ) 7 ( 5 ) 3 ( 2 ) 7 ( 2 5 ) 3 ( ÷ ÷ = + ÷ ÷ = + x y x y Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 239 ECUACION ERAL DE LA RECTA GEN La Ax Cuando tenemos que trazar gráficas y la ecuación que nos dan no es la standar sino la ecuación general, podemos despejar la “y” para encontrar la ecuación estandar o bien encontrar la intersección en el eje”y” y la pendiente de la siguiente manera: ecuación general de la recta es cuando la “y” no esté despejada + By + c = 0. e B A m ÷ = y la intersección B C y ÷ = en donde A, B y C son números reales. 8) Trazar la gráfica de 4x – 2y + 2 = 0 2 2 4 = | . | \ | ÷ ÷ y la intersección = m 1 2 2 = ÷ = y Podemos entonces trazar la gráfica puesto que ya conocemos la intersección en el eje “y” y la pendiente Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(-1, -2) 2 2 4 1 1 2 2 = ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ = m Para encontrar la ecuación de la recta necesitamos conocer la pendiente y un punto por donde pasa 2 = m Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 240 9) Encontrar la ecuación de la recta q pasa p ue or los puntos A(2,4) y B(3 En ,6). contramos primero la pendiente 2 1 2 4 6 = ÷ 2 3 = ÷ = m La ecuación de la recta se encuentra restándole a y la coordenada del punto de “y” que tomemos y esto lo igualamos a la pendiente m por x y – 4 = 2x – 4 y = 2x – 4 + 4 y = 2x eficiente de la x no es una ma forma. Y = 2x Ecuaci = 2x Ecuación general Y – 2x = 0 Ecuación general 10) Dada la recta L cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y – 5 = 0. Determinar: a) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a L. ) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es erpendicular a L. ean L 1 y L 2 las rectas paralela y perpendicular a L respectivamente y ue pasan por el punto P(1, 2). ean m 1 , m y m 2 las pendientes de L 1, L y L 2 respectivamente. 2 = m menos la coordenada de x del mismo punto que tomamos: y-y 1 =m(x-x 1 ) Ejemplo: si tomamos el punto A, la ecuación la encontramos de la siguiente manera: ) 2 ( 2 4 ÷ = ÷ x y Nota: Cuando la “y” no tiene número y el co fracción, la ecuación general también se puede escribir de la misma forma que la ecuación estandar, es decir, las dos ecuaciones se pueden escribir de la mis ón estandar Y b p S q S Centro Educativo Kinal Matemática cuarto Centro Educativo Kinal 241 Como L 1 = m 1 // L entonces m y puesto que m = 4 3 ÷ se sigue que m 1 = 4 3 ÷ . te de la ecuación de la recta, se tiene para L Ahora, usando la forma punto – pendien 1: ) 1 x ( 4 2 ÷ ÷ = ÷ y s ndola se puede es 3 y implificá cribir en la forma general: 3x + 4y – 11 = 0 b) Como L 2 ± L, en m 1 ÷ y como m = 4 3 ÷ tonces m 2 = , se sigue que m 2 = 3 4 ÷ . Usando nuevamente a r punto – pendiente se tiene para L 2 : l fo ma ) 1 ÷ x ( 3 4 2 y ÷ = y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x – 3y + 2 = 0 JERCICIOS 3 b) y = x – 2 c) y = - x + 3 d) y = - x – 2 e) y = 2x – 1 g) y = - 4x h) y = - 5x i) E 1. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones: a) y = x + x y 3 2 = x y 2 3 = j) f) y = 3x – 3 k) 1 5 ÷ = x y 3 l) 2 5 2 + = x y Quinta unidad: Funciones y gráficas 242 1) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(3,-5) paralela al eje x. 2) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(2,1) y es 3) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-1,6) abscisa en el origen 4. 4) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-3,5) y es paralela a la recta . 5) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(2, -3) con perpendicular al eje x. 1 3 = + y x pendiente -1. 6) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-2, 5) con pendiente 3. 7) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(3, 4) con pendiente 4 3 = m . 4 3 8) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-5, ) con pendiente 8 5 = m . 9) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A( 3, -1), B(2, 5). 10) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-6, 8), B(3, -2). 11) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(0,-4) perpendicular a la recta 4 5 = ÷ y x . 12) Si una recta L tiene la ecuación general: 2x + 0.6y-10.8 = 0, encontrar la parte faltante en cada uno de los casos siguientes: b) (? , 15) ? ecuación es 3x + 4y - 10 = 0? a. (1, 2) d. (-25, 21) a) (3 , ?) c) Cuál es la pendiente de L ? d) L intercepta a y en 13) ¿Cuáles de los puntos siguientes quedan en la recta cuya b. (-2,4) c. (10, -5) e. (0, 0) f. (22/9, 2/3) Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 243 14) Obtenga la ecuación general de la recta, sabiendo que: a. pendiente = 2/5 intersección con y en 3/2 b. pendiente = -2.5 intersección con y en -1.5 15) Escribir las siguientes ecuaciones en la forma pendiente- intersección (forma estandar) e indicar la pendiente y la intersección con el eje de las ordenadas. 1 b) 2y = x+ 2 c) 3y - 2 = x d) 3s = 4 - 2t a. Pasa por (5, 15) y tiene una pendiente de -3. b. Pasa por el punto (6, 4) y es paralela al eje de las x uno de los pares de puntos siguientes: la pendiente de la recta que pasa por ambos b. Hallar la ecuación de la recta. T i. (0, 0) y (6, 3) ii. a. 2x + y = 16) Encontrar la ecuación de la recta que: c. Pasa por el punto (-1, 2) y es paralela a la recta que une los puntos (20, 50) y (100,400) 17) Para cada a. Hallar c. razar su gráfica , 0 ) y | . | \ | 2 5 , 0 ( 3 10 iii. (-7, 4) y (8, 4) v. (-1, -2) y (4, 1) (-2, -3) y (-5, -6) 18) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -2) y es perpendicular a la que pasa por los puntos (-1, -2) y (3, 7) de la recta que pasa por el punto (4, 3) y es y (6,1) 20) 10)Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 15) y es ecta cuya ecuación es y = x + 25 21) 11)Hallar la ecuación de la recta cuya intersección con el eje y es (0, -3) y que es perpendicula r los puntos (-2 22) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,4) y es pe recta que 23) Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta une cada par de puntos: 1. (3, -2) y (9, 6) iv. (3, -2) y (3, 5) vi. 19) Hallar la ecuación paralela a la que pasa por los puntos (0, -3) paralela a la r r a la que pasa po ,-1) y (2, 5) rpendicular a la tiene le ecuación 2x + y + 2 = 0 que Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 244 2. (4, -3) y (-1, 9) 3. (8, -4) y (-7, 4) ue los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los ud de sus cuatro lados y un paralelogramo. vértices de un triángulo rectángulo. Hallar su área. , y, B(1 Y 1 ) es 4. (5, -8) y (-7, 8) 24) Demostrar q vértices de un triángulo isósceles 25) Igual que el ejercicio 24 Con los puntos A(8, 9), B(-6, 1) y ) 5 , 0 ( ÷ C . 26) Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P 1 (-7, 7), P 2 (2, 0), P 3 (10,3) y P 4 (1, 10). Encontrar la longit demostrar que es 27) Demostrar que los puntos P 1 (0, 5), P 2 (6, -3) y P 3 (3, 6), son 28) Si la pendiente de la recta que une los puntos: 1. A(X 1 , -1), y, B(2, 5) es 3, encontrar X 1 . 2. A(6, -1) 0, 3 2 , encontrar Y 1. R EL LIBRO DE SWOKOWSKI uyo centro es C( 3, -2) y que es tangente a la recta y = 5. 2) En cta tangente al círculo ,4). de un feto de más de 12 semanas se puede la fórmula L=1.53t– 6.7,en la cual L es la longitud en cm, y t la edad en semanas. La longitud prenatal se P OBLEMAS D 1) Determine una ecuación del círculo c 25 2 2 = + y x cuentre una ecuación de la re en el punto P(3 3) El crecimiento aproximar mediante Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 245 puede determinar mediante ultrasonido. Calcule la edad aproximada na ballena jorobada, se ante la a de 2 pies, ¿cuál es el error correspondiente de la estimación del 5) Las ballenas azules recién nacidas tienen aproximadamente 24 pies de longitud y pesan 3 toneladas. Las ballenas jóvenes maman du ando son destetadas, con frecuencia tienen 53 pies de largo y pesan 23 ton. Sean L y W la longitud (en pies) y el peso (en toneladas), respectivamente, de una ballena que tiene t meses de edad. de t allena? W en lena o tiene 5 meses de edad? de un feto cuya longitud es 28 cm. 4) El peso esperado, W, en toneladas, de u p d ue e aproximar a partir de su longitud, L, en pies: medi fórmula W = 1. 70L - 42.8, para 30 s L s 50. a. Estime el peso de una ballena jorobada de 40 pies. b. Si el error en la estimación de la longitud puede ser hast peso? rante 7 meses, y para cu a. Si L Y t están relacionadas linealmente, exprese L en t érminos b. ¿Cuál es el aumento diario de longitud de una ballena bebé? (Tomara l mes = 30 días.) c. ¿Cuál es aumento mensual en la longitud de la b d. Cuánto mide la ballena cuando tiene 3 meses de edad e. Sj W y t están lineal mente relacionadas, exprese términos de t . f. ¿Cuál es el incremento diario en el peso, de una bal bebé? g. ¿Cuánto pesa la ballena cuand Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 246 6) Suponga homeruns en los primeros 14 juegos, y mantiene ese paso en toda la temporada, de 162 juegos. ido. 7) Un fabricante de quesos produce 18 000 lb del 1 de enero al 24 de marzo. Suponga que este nivel de producción continúa durante el y” de queso producido, en el año. 8) Un bebé pesa 10 lb al nacer, y 3 años después, .su peso es de 30 lb. Suponga que el con la edad en años, t . a. Exprese W en términos de t. b. ¿Cuál es W al sexto cumpleaños del niño? d. Trace, en un plano t W, una gráfica que muestre la relación pariente. El estudiante pagará $125 mensual hasta liquidado que un jugador de béisbol, de grandes ligas, ha logrado 5 a. Exprese el número de homeruns, “y”, en términos del número de juegos x en que ha interven b. ¿Cuántos homeruns realizará este jugador en la temporada? resto del año. a. Exprese el número de libras, “ función del número del día, x, en un año que tiene 365 días. b. Prediga el número de libras que se producen en peso, en libras, W, está relacionado linealmente c. ¿A qué edad pesará 70 lb el niño? entre W y t para 0 s t s 12. 9) Un estudiante universitario recibe un préstamo libre de intereses, de $8 250, de un a. Exprese la cantidad P (en dólares), que falta por pagar, en términos del tiempo t (en meses). b. ¿Después de cuántos meses la deuda del estudiante será Centro Educativo Kinal Matemática cuarto Centro Educativo Kinal 247 t P, que indique la relación entre P y t durante la vigencia del préstamo. ometría analítica de swokowski  Algebra de Lehman $5OOO? c. Haga una gráfica, en un plano BIBLIOGRAFIA  Algebra y Trigonometría con ge  Algebra de Baldor  Algebra elemental de Alfonse Gobran  Internet Introducción II alumnos egresados tengan un nivel internacional también en el área de matemáticas. En la primera sección se presenta un estudio sobre la geometría, pues en todos los documentos que nos han traído está la geometría, esta es la razón por la cual la incluimos y tratamos de que sea muy completa, pues además de esta, agregamos algunos teoremas importantes como el Thales, pues, como la experiencia nos convence, el conocimiento de ésta es fundamental, no solo para pasar a los capítulos siguientes, sino para el acceso del lector a libros de nivel superior que incluyen material más abstracto o avanzado. La segunda sección contiene información al respecto de la naturaleza del álgebra. Creemos que una sección así es digna de cursos de álgebra a nivel universitario, ya que a este nivel nuestros alumnos deben comenzar a concebir el álgebra, y las matemáticas en general, como una ciencia lógica, deductiva y rigurosa, así como también debe percatarse de que el álgebra estudiada aquí, con todo y su estructura, es tan solo una de tantas álgebras posibles y con propósitos distintos, no menos valiosos. El autor. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto III INDICE DE CONTENIDOS UNIDAD 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRÍA Objetivos 1.1 Geometría 1.1 Polígonos 1.1.2 Clasificación 1.1.3 Perímetro y área 1.1.4 Diagonal 1.2 Cuadrado 1.3 Rectángulo 1.4 Rombo 1.5 Romboide 1.6 Trapecios 1.7 Triángulos 1.8 Clasificación 1.8.1 Por sus lados Equiláteros Isósceles Escalenos 1.8.2 Por sus ángulos Rectángulos Acutángulos Obtusángulos 1..8.3 Líneas del triángulo Mediana Mediatriz Bisectriz Alturas 1.8.4 Centros del triángulo Baricentro Circuncentro Incentro Ortocentro 1.9 La Línea 1.9.1 Rectas paralelas 1.9.2 Rectas perpendiculares 1.10 La circunferencia Centro Educativo Kinal 3 5 5 5 6 6 10 10 11 12 13 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 19 19 19 19 20 20 20 20 21 21 24 24 24 25 Índice IV 1.10.1 Líneas de la circunferencia Radio Diámetro Cuerda Flecha Tangente Secante 1.11 Polígonos regulares 1.11.1 Apotema 1.11.2 Volumen 1.12 Poliedros Caras Diagonal Angulo diedro Angulo poliedro Arista Vértice Formulario Problemas propuestos 1.13 Angulos 1.13.1 Por su tamaño Agudos Rectos Obtusos Llanos 1.13.2 Transportador 1.14 Rectas, rayos y segmentos 1.15 Teorema de rectas paralelas Para ángulos 1.16 Teorema de Thales 1.16.1 Teorema de rectas paralelas Para segmentos 1.16.2 Teorema de triángulos 1.16.3 Triángulos semejantes 25 25 25 25 26 26 26 28 28 31 31 31 31 31 32 32 32 32 34 50 50 50 50 51 51 51 52 54 58 58 60 64 UNIDAD 2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ALGEBRA Objetivos Centro Educativo Kinal 75 Matemática cuarto V 2.1 2.2 2.3 2.4 2.4.1 2.5 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.6.5 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7.5 2.7.6 2.7.7 2.8 2.8.1 2.8.2 2.8.3 UNIDAD 3 Algebra Notación algebraica Leyes de exponentes Radicales Simplificación de radicales Racionalización Productos notables Cuadrado de un binomio Producto de la forma (x + a)(x + b) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades iguales Cubo de un binomio Cuadrado de un trinomio Factorización Término Algebraico Factor común Diferencia de cuadrados Suma y diferencia de cubos Trinomios Agrupación de términos Cubo perfecto de binomios Simplificación de fracciones Sumas y restas de fracciones Multiplicación de fracciones División de fracciones 75 75 76 81 84 85 89 89 92 93 95 96 98 98 100 102 104 106 115 116 118 121 122 123 ECUACIONES Objetivos 3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita 3.1.1 Ecuaciones con coeficiente fraccionario 3.1.2 Problemas resueltos 3.2 Ecuaciones de segundo grado 3.2.1 solución por Factorización 3.2.2 Completación al cuadrado 3.2.3 Fórmula cuadrática 3.2.4 Problemas de aplicación Centro Educativo Kinal 129 130 136 143 155 155 157 162 168 2 Distancia entre dos puntos 5.8.7 Ecuación de la circunferencia 5.5 Rectas perpendiculares Bibliografía 197 197 200 201 205 206 211 220 225 225 226 226 227 227 239 Centro Educativo Kinal .8.4 Rectas paralelas 5.4 Más sobre desigualdades 190 UNIDAD 5 FUNCIONES Y GRAFICAS Objetivos 5.2 Ecuaciones de otros tipos 177 4.4 Punto medio 5.1 Ecuación estandar de la recta 5.2 Ecuación general de la recta 5.3 Pendiente 5.8.3 Desigualdades lineales o inecuaciones 183 4.5 Ecuación de la recta 5.8 La recta 5.8.3 Fórmula de Herón 5.1 Plano cartesiano 5.1.8.1 Operaciones con números complejos 175 4.6 Gráficas de ecuaciones 5.1 Números complejos 174 4.Índice VI UNIDAD 4 NUMEROS COMPLEJOS E INECUACIONES Objetivos 173 4. Matemática cuarto 1 Centro Educativo Kinal . Primera unidad: Geometría 2 Centro Educativo Kinal . y en general para las obras (puentes. confianza en sus habilidades matemáticas y lógicas para poderlas aplicar en las distintas demostraciones.  Manifestar habilidades para deducir. Esta se necesitaba para medir las tierras (de ahí viene su nombre).) que se realizaban. Geometría plana Introducción: Las matemáticas. Centro Educativo Kinal . después cayó en el olvido como consecuencia de los éxitos del Álgebra y del Cálculo. Euler y Gauss. diferencial y proyectiva El libro de Geometría más importante es “Elementos” cuyo autor es Euclides. Thales de Mileto. Descartes. En el siglo XIX recobró la importancia que tiene actualmente. Con los griegos alcanzó su plenitud. comenzaron con la geometría. históricamente. Otros importantes matemáticos en la historia de la geometría han sido: Pitágoras. etc. La Geometría se divide en diversas ramas: pura o elemental.Matemática cuarto 3 OBJETIVOS Durante el curso capaces de: se tratará de lograr que todos los alumnos sean  Conocer y desarrollar capacidades de deducción y lograr demostraciones. analítica. perseverancia y optimismo en sus avances y logros a nivel del conocimiento de la geometría plana. La geometría es la rama de las Matemáticas que ha estado sometida a más cambios a lo largo de la historia. acueductos.  Alcanzar actitudes de orden. demostrar teoremas y resolver problemas de aplicación. y organizar los diferentes subtemas de estudio y su verdadera utilización. mediante un conjunto de razonamientos. El quinto postulado de Euclides es una de las cuestiones mas controvertidas de la historia de las matemáticas. edificios.  Correlacionar.  Desarrollar. antes de hacer conclusiones. Los estudiantes deben conocer lo que las ciencias matemáticas y los matemáticos han aportado a nuestra cultura y civilización. Cuando estudia geometría. deja de aceptar a ciegas proposiciones e ideas y se le enseña a pensar en forma clara y crítica. Uno de los beneficios de la geometría es que el estudiante adquiere un criterio al escuchar leer y pensar. Otro es el adiestramiento en el uso exacto del idioma y en la habilidad para analizar un problema nuevo. puede preguntar con toda razón: ¿Que es la geometría? ¿Que gano con estudiarla?. originalidad y razonamiento lógico para resolver el problema.Primera unidad: Geometría 4 Importancia ¿Por qué estudiar geometría? El alumno que empieza a estudiar geometría. Centro Educativo Kinal . para diferenciar sus partes cruciales y aplicar la perseverancia. hexágono regular: polígono regular de 6 lados. 1.2 Clasificación de los Polígonos Los polígonos se clasifican básicamente en:  POLÍGONOS REGULARES  POLÍGONOS IRREGULARES Polígono Regular Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud. el pantógrafo etc. como son: Puntos. etc. octágono regular: polígono regular de 8 lados. del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías). da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva.1 POLÍGONOS Figura geométrica plana cerrada que no se corta a si misma. Así mismo. el teodolito.1. heptágono regular: polígono regular de 7 lados. poliedros. superficies. Centro Educativo Kinal . pentágono regular: polígono regular de 5 lados. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos. por ejemplo el compás. rectas. polígonos. la regla. y así sucesivamente. curvas. Se clasifican en:       triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados..Matemática cuarto 5 GEOMETRIA La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades de las formas o figuras del espacio... cuadrado: polígono regular de 4 lados. 1. planos. es decir. podemos utilizar la siguiente fórmula: D n(n  3) 2 En donde n es el número de lados o vértices del polígono Centro Educativo Kinal .1.4 DIAGONAL Es una línea recta que se traza dentro de un polígono d e e s q u in a a e s q u i n a . su perímetro es de 2 0 c m + 5cm + 20c m + 5 c m = 50cm. Para encontrar el número de diagonales que tiene un polígono regular.Primera unidad: Geometría 6 1. es la suma de todos los lados de un polígono Area de un polígono E s l a m e d i d a d e l a r eg i ó n o s u p e r f i c i e e n c e r r a d a p o r u na f i g u r a pla na Ejemplo 20 cm 5cm 5c m 20 cm Si el rectángulo anterior tiene 20 cm de largo y 5 cm de ancho.3 PERÍMETRO POLÍGONOS. Y ÁREA DE LOS Perímetro de un polígono El p erí m et ro es l a l on g i t u d d e t od a l a ori l l a d e u n a fi g u ra.1. Y su área es de 20cm(5cm) = 100cm 2 1. Centro Educativo Kinal . p o d em o s h a c e r e l e j e m p l o g r á f i c o . po r e je m plo.Matemática cuarto 7 Ejemplo 1: Encuentre el número de diagonales que tiene un exágono D n(n  3) 2 D 6(6  3) 6(3)  9 2 2 También podemos obtener el número de líneas que tien e un p olígo no . e s t o representará las veces que da la mano cada persona. en el exágono anterior encontramos e l n ú m ero d e d i a g o n a l e s q u e t ie n e . 1) . Escribimos primero 6 puntos qu e representan las 6 personas y v a y a m o s u n i e n d o c a d a p u n t o c o n u n a l ín e a . . p e r o p o d e m o s e n c o n t r a r e l núm ero de líne a s que tiene incluyendo las de las orilla s . . s e ñ a l a n d o c o n u n a l ín e a c a d a a p r e t ó n d e manos. . . Estos m o v i m i e n t o s s e r e p r e s e n t a n e n las siguientes gráficas. V am o s a po ne r un ejemplo sencillo que puede ser u n a a p l i c a c i ó n : s i h a y 6 p e r s o n a s e n u n a r eu n i ó n y a l d e s p e d i r s e s e d a n u n a p r et ó n d e m a n o s c ad a u n a . . . 2) . . . . . .Primera unidad: Geometría 8 . 4) . . . . 5) . . . 3) . . . . . . Centro Educativo Kinal . . Este número de líneas se puede encontrar a tra vés de l a s i g u i e n te f ó r m u l a . dándose la mano todas.Matemática cuarto 9 Estas son las ve ces que da la mano el primero. en la anterior eran 9 p o r q u e ú n i c a m en t e s e c o n t a b a n l a s d i a g o n a l e s . E s t o i n d i c a que 6 personas. cubriendo t o d o s l o s p u n t o s o b t e n e m o s l a misma figura que la anterior Contando las líneas nos damos cuenta que son 15 porq ue se c ue nta n ta m bién la s de las orillas. se ob tendrán 15 a pr e to ne s de m a no s . Siguiendo con la segunda persona nos queda Y a l t e r m i n a r d e d a r l a m a n o todas las personas. n2  n N 2 n(n  1) Q ue ta m bié n se puede escribir N  2 En donde a la N es el n ú mero de líneas del polígono y n es el número de la dos que tiene Centro Educativo Kinal . son iguales los lados paralelos entre sí.Primera unidad: Geometría 10 1. d h b 2 2 Diagonal d  b  h Perímetro P  2(b  h) Centro Educativo Kinal .3 RECTANGULO Un rectángulo es una figura geométrica que tiene cuatro lados pero no son iguales los cuatro. de 90 o d l l = lado diagonal d  l 2 Perímetro p  4l 2 Area A  l Ejemplo 2: Encuentre el área. Solució n: A  l2 A  (6 m) 2 A=36m 2 d l 2 d  6m 2 d=8.49m p  4l p  4( 6 m ) p=24m 1. la diagonal y el perímetro de un cuadrado de 6m de lado. es deci r.2 CUADRADO Un cu adrad o es u n a fi gura g eomé t r i c a q u e t i e n e c u a t r o l a d o s iguales y sus án gulos son rectos. Sus ángulos sí son rectos. Matemática cuarto 11 Area A  b * h Ejemplo3: Encuentre el perímetro, la diagonal y el area r e c t á n c u l o q u e m i d e 1 2 m d e largo y 8 m de ancho. Solución: utiliza ndo las fórmulas que conocemos Perímetro P  2(b  h) P  2(12  8) P  2( 20) de un P = 40m. 2 2 Diagonal d  b  h d  b2  h2 d  (12m) 2  (8m) 2  144m 2  64m 2  208m 2 D=14.42m Area A  b * h A = 12m(8m) A = 96 m 2 1.4 ROMBO Un rom b o es u n a figura geométrica e n la cual todos sus lados son iguales, es decir, tienen la misma longitud y son paralelos dos a dos; se diferen c i a d e l c u a d r a d o e n q u e s u s á n g u l o s n o s o n r e c t o s , p o d r í am o s d e c i r q u e e s u n c u a d r a d o deformado. P  4l Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 12 A D*d 2 Ejemplo 4: Encuentre el á r ea y el perímetro del si guiente rombo Solución P = 4*17 = 68cm. P = 68c m. 30 * 16 A  240cm 2 2 A = 240cm 2 1.5 ROMBOIDE El romboide es un paralelogramo cuyos lados adyacentes y ángulos consecutivos son de distinta medida. Los lados paralelos miden lo mismo, podríamos decir que es un rectángulo deformado puesto que sus ángulos no son rectos. Area de un Romboide P=2(a + b) A= bh Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 13 Ejemplo 5: Encuentre el á r ea y el perímetro del si guiente romboide Solución: P = 2(4+4.5) = 2(8.5) =15cm A = 4(4) = 16cm2 1.6 TRAPECIOS Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos se llama altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos. b h a Tipos de trapecios Los trapecios pueden ser: isósceles, rectángulos y escalenos.  Se llama trapecio isósceles si tienen igual medida los lados no paralelos.  Los trapecios escalenos se caracterizan porque no tienen ninguno de sus lados igual a otro y tampoco tienen ningún ángulo recto. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometría 14  Trapecio rectangular es el que tiene un lado perpendicular a sus bases. La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases. m ab 2 En un trapecio isósceles: los ángulos adyacentes a cada base tienen la misma amplitud, y los ángulos opuestos son suplementarios. Cálculo de la altura de un trapecio La altura (h) de un trapecio puede calcularse, en función de las dos bases (a,b) y de los dos lados (c,d), mediante la siguiente ecuación: h 4c 2 d 2  c 2  d 2  ( a  b ) 2 2( a  b )   2 b c h a En donde a es la base mayor, b la base menor y, los lados no paralelos son c y d. Área de un trapecio El área A de un trapecio de bases a y b y altura h es: A h( a  b) 2 d Es decir, la semisuma de las dos bases, o sea la mediana, multiplicada por la altura del trapecio. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 15 Ejemplo 6: Encuentre el área de un trapecio cuyas bases miden 17cm y 8cm respectivamente y sus lados no paralelos miden 5cm y 7.21cm. Solución: Como no me dan la altura y la necesito para encontrar el área, tengo que buscarla primero a través de la fórmula h 4c 2 d 2  c 2  d 2  ( a  b ) 2 2( a  b )   2 h 4(5) 2 (7.21) 2  5 2  7.212  (17  8) 2 2(17  8)   2 h 4(25)(51.9841)  25  51.9841  (9) 2 2(9) 5198.41  (4.0159) 2 18 5198.41  16.12745281 18 5182.28254719 18 71.988 18   h h h h h=4 Ahora que ya tenemos la altura, utilizamos la fórmula para encontrar el área Centro Educativo Kinal sobre la superficie terrestre. Representado. un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. en geometría. como por ejemplo un ángulo y dos medianas.7 TRIÁNGULOS Un triángulo. La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo será siempre de 1800 1. es un polígono de tres lados determinado por tres segmentos de 3 rectas que se cortan en 3 puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él. o un lado. Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo.1 POR LA LONGITUD DE SUS LADOS Los triángulos.8. se llama triángulo geodésico. o trígono. en cartografía. una altura y una mediana.8 CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS 1. isósceles y escalenos Centro Educativo Kinal .Primera unidad: Geometría 16 A h( a  b) 2 4(17  8) 2 4( 25) 2 100 2 A A A A = 50cm2 1. por la longitud de sus lados se clasifican en: Equiláteros. Matemática cuarto 17 Triángulos equiláteros: medida en todos sus lados Son los triángulos que tienen la misma Triángulo Isósceles: Son los triángulos que tienen dos lados iguales y su tercer lado tiene diferente medida Triángulo escaleno: Son los triángulos que no tienen ningún lado con la misma medida. triángulo obtusángulo y triángulo acutángulo Triángulos Rectángulos: recto o de 90o Son los triángulos que tienen un ángulo Triángulos Obtusángulos: Son los triángulos que tienen un ángulo obtuso o que mide más de 90o Triángulos Acutángulos: Son los triángulos que tienen sus tres ángulos agudos que miden menos de 90o Rectángulo Centro Educativo Kinal Obtusángulo Acutángulo .2 POR LA MEDIDA DE SUS ANGULOS Los triángulos.8. Equilátero Isósceles Escaleno 1. por la medida de sus ángulos se clasifican en: Triángulo rectángulo. conociendo la longitud de sus tres lados. la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los dos catetos elevados al cuadrado C2 = a2 + b2 c  a2  b2 c  62  82 c  36  64 c  100 c = 10cm. Para encontrar el perímetro necesitamos conocer el tercer lado. que en este caso. por el teorema de Pitágoras. podemos utilizar la fórmula de Herón Centro Educativo Kinal . Para encontrar el área de cualquier triángulo. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm. Ahora ya podemos encontrar el perímetro P=a+b+c P = 6cm + 8cm + 10cm P = 24 cm. por ser triángulo rectángulo es la hipotenusa. asumiremos que únicamente es escaleno. En un triángulo rectángulo.Primera unidad: Geometría 18 Ejemplo 7. podemos encontrar el área directamente ya que en un triángulo rectángulo los catetos son la base y la altura A = bh = 6*8 A = = 48cm2. Respectivamente. Solución: Como no me indican que sea un triángulo rectángulo. Ejemplo 8 Encuentre el área de un triángulo cuyos lados miden 3cm. Solución: Como el triángulo es rectángulo. 4cm y 5cm. Centro Educativo Kinal . Semiperímetro significa la mitad del perímetro que es lo mismo que semisuma o sea la mitad de la suma.3 LÍNEAS DEL TRIANGULO MEDIANA La mediana es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.Matemática cuarto 19 A  s( s  a)(s  b)(s  c) En donde s es el semiperímetro del triángulo.8. sin importar que sea perpendicular o no a este lado. s abc 2 3 45 2 12 s 2 s s=6 A  6(6  3)(6  4)(6  5) A  6(3)( 2)(1) A  36 A = 6cm2 1. La mediana y la mediatriz cortan un segmento a la mitad. parte a un ángulo a la mitad ALTURAS Son líneas rectas que pasa perpendiculares al lado opuesto de éste por los vértices pero son Centro Educativo Kinal . BISECTRIZ Es una línea recta que divide al ángulo en dos partes iguales. La diferencia entre ellas es que la mediana no es perpendicular al lado que corta y la mediatriz sí.Primera unidad: Geometría 20 MEDIATRIZ Es una línea recta que corta a la mitad el lado del triángulo pero es perpendicular a él. es decir. Tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscrita en dicho triángulo. Centro Educativo Kinal .Matemática cuarto 21 1.4 CENTROS DEL TRIÁNGULO Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo: BARICENTRO El baricentro es el punto de intersección de las medianas de cada uno de los lados del triángulo. ya que equidista de sus tres lados. Recibe este nombre por ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. INCENTRO Se denomina al punto en el que se cortan las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo.8. El incentro puede hallarse intersectando sólo dos bisectrices. pues la tercera pasará siempre por este punto. CIRCUNCENTRO El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices de cada uno de los lados del triángulo. El área de un triángulo se encuentra multiplicando la base por la altura dividido 2 A bh 2 Y el perímetro es la suma de la longitud de sus tres lados. 3. 5. Encuentre el número de diagonales que tiene un eptágono Encuentre el número de diagonales que tiene un eneágono Encuentre el número de líneas que tiene un octágono Centro Educativo Kinal . 2. Hallar la diagonal.Primera unidad: Geometría 22 ORTOCENTRO es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas. 4. El único caso en que los tres primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero. el perímetro y el área de un cuadrado de 5 cm de lado. Ejercicios 1 1. la diagonal y el perímetro de un cuadrado que tiene 3 m de lado. Encuentre el área. 8. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 10 cm y 6 cm respectivamente y su altura mide 3 cm. 13. 17. 16. Encuentre el àrea y el perímetro de un trapecio isósceles que miden 23 cm y 5 cm sus lados paralelos y 15 cm sus lados no paralelos.Matemática cuarto 23 6. Encuentre el número de líneas que tiene un pentágono A una fiesta acudieron 8 personas. ¿Cuántos apretones de manos se contaron en total? Encuentre el área. 15. ¿Cuántos apretones de manos se contaron en total? A una fiesta acudieron 15 personas. Hallar el la diagonal. 18. 12. 10. 9. la diagonal y el perímetro de un rectángulo que tiene 15 cm de longitud y 12 cm de ancho. Y sus lados miden 7cm y 9 cm. Encuentre el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 15cm y 9 cm respectivamente y sus lados 10 cm. 11. el área y el perímetro de un rectángulo cuya base mide 25 cm y su altura 15cm. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 9 cm y 6 cm respectivamente y su altura mide 4 cm. Encuentre el área y el perímetro de un romboide cuya altura es de 6 cm. 14. Si todos eran educados y al retirarse se despiden dándose un apretón de manos cada uno. Centro Educativo Kinal . 7. Encuentre el área y el perímetro de un romboide que miden 5cm y 6 cm respectivamente sus lados y su altura mide 4 cm. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 113cm y 7 cm respectivamente y sus lados no paralelos miden 5 cm. Encuentre el área y el perímetro de un rombo que tiene diagonales de 25cm y 15 cm y sus lados miden 18cm. Si todos eran educados y al retirarse se despiden dándose un apretón de manos cada uno. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio equilátero cuyas bases miden 18 cm y 3 cm y sus lados no paralelos miden 15 cm y 9. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 16 cm y 4 cm respectivamente y su altura mide 8 cm. 22.4868 cm respectivamente. 23. Centro Educativo Kinal . Encuentre el área y el perímetro de un triángulo equilátero cuya altura mide 5 cm 26. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo equilátero cuyos lados miden 12 cm. 25. 21. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 21 cm y 3 cm respectivamente y su altura mide 12 cm. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo que tiene una altura de 12 cm. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo equilátero que sus lados miden 9 cm. 20. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio equilátero cuyas bases miden 24 cm y 5 cm y sus lados no paralelos miden 20 cm y 12.34 cm respectivamente.Primera unidad: Geometría 24 19. 24. de formas redondeadas.Matemática cuarto 25 1. Línea quebrada o poligonal.9. con uno o varios centros de curvatura. es decir. formada por segmento rectos consecutivos no alineados. Propiedades de líneas rectas 1.9 LA LINEA Es una sucesión continua de puntos contenidos en un plano.2 Rectas perpendiculares Son líneas que cuando se cruzan o intersectan forman ángulos rectos o de 900 Centro Educativo Kinal . Esta puede ser:    Línea recta.1 Rectas paralelas: Son líneas que se encuentran a la misma distancia en toda su trayectoria. aunque se prolonguen indefinidamente nunca se encuentran o intersectan 1. la sucesión continua de puntos en una misma dirección.9. presentando puntos angulosos. Línea curva. Sólo posee longitud. es decir.1 Líneas de la circunferencia Radio Diámetro Cuerda Flecha Tangente Secante Radio Es un segmento que sale del centro a cualquier parte de la circunferencia Diámetro Es un segmento que atraviesa a la circunferencia pasando por el centro. 1.10 LA CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro punto fijo llamado centro.Primera unidad: Geometría 26 1.10. divide a la circunferencia en dos partes iguales Cuerda Es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia Centro Educativo Kinal . esta distancia se denomina radio. Se diferencia de la cuerda en que la secante atraviesa a la circunferencia.Matemática cuarto 27 Flecha Segmento que une el punto medio de una cuerda con un punto de la circunferencia y es perpendicular a dicha cuerda. la recta tangente es siempre perpendicular al radio de la circunferencia Secante Es una recta que pasa por dos puntos de la circunferencia. Tangente Es una recta que pasa por un punto de la circunferencia pero sin introducirse a ella. Centro Educativo Kinal . ya que también se puede puesto que dos radios es un diámetro d  2r r d 2 2 d  A    2 4 A    2 A=π(2)2 2 Centro Educativo Kinal .Primera unidad: Geometría 28 AREA O SUPERFICIE El área o superficie de una circunferencia se encuentra de la siguiente forma Cuando se conoce el radio A  r 2 Cuando se conoce la longitud del diámetro podemos encontrar el radio. ya que el diámetro es el doble del radio El perímetro o longitud de la circunferencia se encuentra de la siguiente forma P  2r Ejemplo: Encontrar el área y el perímetro de una circunferencia que tiene un diámetro de 4 metros Solución: En este caso que nos dan el diámetro. podemos encontrar el radio para encontrar así el área y el perímetro o podemos hacerlo directamente con el diámetro. 11 POLIGONOS REGULARES APOTEMA La apotema de un polígono es un segmento de recta trazado desde el centro del polígono hasta la mitad de cualquiera de sus lados.Matemática cuarto 29 A = π(4) A = 12. se puede encontrar a través del teorema de Pitágoras 1  a  r  l 2  2 2 El área de un polígono regular se encuentra multiplicando la apotema por la longitud del polígono o sea por el perímetro dividido 2 Centro Educativo Kinal .57m2 Como el perímetro encontrándolo a través del diámetro es P  d P = π(4) P = 12. a r l 1 l 2 Como la apotema corta a la mitad a su lado siendo perpendicular a él. podemos decir que la apotema es la altura del triángulo.57 m 1. procedemos a encontrarla a través de la fórmula del teorema de Pitágoras. hacemos la siguiente figura 1  a  r  l 2  2 2 a= 5 2  32 a = 25  9 a = 16 a = 4cm Ahora ya podemos encontrar el área. Solución Como para encontrar el área necesitamos la apotema. Sabemos también que la apotema corta a la mitad a cada lado y el radio es la línea del centro al vértice.Primera unidad: Geometría 30 ap 2 El perímetro de un polígono regular se encuentra multiplicando la longitud de cada lado por la cantidad de lados que tenga A P = ln Por tanto la fórmula del área también se puede escribir A a ln 2 Ejemplo: Encuentre el área de un pentágono de radio 5cm y lado 6 cm. Es importante denotar que a un polígono se le pueden trazar tantos triángulos como vértices Centro Educativo Kinal . Matemática cuarto 31 tenga. Procedemos entonces a encontrar la apotema que es la altura de los triángulos. el área del pentágono que tiene 6 cm. Observemos el ejemplo en el cual encontramos la apotema y tracemos sus triángulos. pero como son 5. sus tres lados miden 1m. Area de un triángulo = base por altura dividido 2 6*4 2 24 A 2 A = 12 cm2. A Solución: Los hexágonos tienen las características que los triángulos que se forman en su interior son equiláteros. r a l Podemos entonces encontrar el área de un triángulo y multiplicar esta por la cantidad de triángulos que tenga la figura. por lo tanto. Es: A = 12*5 A = 60cm2 Ejemplo: Encuentre el área y el perímetro de exágono cuyos lados miden 1m. 1 a  12    2 2 Centro Educativo Kinal . Esta es el área de un triángulo del pentágono. De lado y una altura o apotema de 4 cm. puesto que ya vimos que la apotema es la misma que la altura de un triángulo. 866 *6 2 0.12 POLIEDROS Un poliedro. 1. Ahora que ya conocemos la altura.866m.Primera unidad: Geometría 32 a  1 a 1 4 3 4 a= 0. CARAS Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que lo limitan Centro Educativo Kinal .11. en el sentido dado por la geometría clásica. es un cuerpo geométrico cuyas caras son planas que encierran un volumen finito. el volumen de un cuerpo.2 VOLUMEN En matemática. A 1 * 0.433 * 6 1. es la medida que se le asocia al espacio que ocupa un cuerpo y es tridimensional. podemos encontrar el área de un triángulo y lo multiplicamos por la cantidad de triángulos que tiene el hexágono que son 6. El volumen del poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.866 A *6 2 A  0. ARISTA Las aris tas de un poliedro s o n l o s lados de la s cara s de l polie dro. pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así. ANGULO POLIEDRO Los áng ulos po liédrico s es tán formados por t r e s o m á s c a r a s del polie dro y t i e n e n u n v é r t i c e c o m ú n . Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales.Matemática cuarto 33 DIAGONAL L a s d i a g o n a l e s d e u n p o l i e d ro son los segmentos que une n dos vért ices pertenecientes a las caras opuestas. ANGULO DIEDRO Los ángulos diedros están formados por cada do s caras y tienen una arista en común. T re s c a ra s c o i n c i d e n e n u n mismo vértice. D o s c a r a s tienen una arista e n c o m ú n . el polígono es el semejante topológico de dos dimensiones del poliedro FORMULARIO TABLA DE ÁREAS PERÍMETROSY VOLÚMENES Centro Educativo Kinal . VERTICE Los v é r t i c e s d e u n p o l i e d r o s on l os v é rtic e s d e c a d a u n a de las c a r a s del poliedro. r2) Cubo A = 6 · a2 V = a3 Ortoedro A = 2 · (a·b + a·c + b·c) A R 2 n o 360 Cilindro A  2 R(h+R) V = π· R2 · h cono A = π· R2 · (h + g) V=a·b·c V  R 2 h 3 Centro Educativo Kinal .Primera unidad: Geometría 34 cuadrado A = a2 P = 4l rectángulo A=B·h P = 2(B+h) rombo A D*d 2 triángulo A Bh 2 P=a+b+c romboide A=B·h P = 2(B + h) trapecio ( B  b) h 2 P  Bbac A P = 4l polígono regular A a*P 2 círculo A = π · R2 P = 2 · π· R sector circular P = ln corona circular A = π· (R2 . R y r son los A B es el área de la base radios . a es la apotema (2) (3) g es la generatriz .Matemática cuarto 35 prisma recto A = P · (h + a) V = AB · h ( ) tronco de cono A= π· [g·(r+R)+r2+R2] V = π· h · (R2+r2+R·r) /3 3 tetraedro regular A = a2 · √3 V = a2 · √2 / 12 pirámide recta A = P · (a + a') / 2 V = AB · h / 3 tronco de pirámide A=½(P+P')·a+A B +A B' V = (A B +A B' +√A B ·√A B' ) · h/3 (1) esfera A = 4 · π· R2 V  4 3 R 3 casquete esférico A = 2 · π· R · h V = π· h2 · (3·R .h) / 3 zona esférica A = 2 · π· R · h V = π·h·(h2+3·r2+3·r'2) / 6 P es el perímetro (suma de la longitud de los lados) . √ es la raíz cuadrada del número . h es la altura . Centro Educativo Kinal . 1. H a lla r e l pe r ím e tr o y el área del pentágon o regular 4. ¿Serán iguales sus 2. E ncue ntr e e l á r e a y el perímetro de un pentágono cuyo ra dio es de 12cm. 3. D e t e r m i n a r l a m e d i d a d e l o s lad o s d e u n t r i á n g u l o e q u i l á t er o áreas? cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado.Primera unidad: Geometría 36 Problemas propuestos de áreas y perímetros. y sus la dos miden 15cm. Centro Educativo Kinal . Determinar el lado de un triángulo equilátero que su perímetro mide lo mismo que el de un cuadrado de 3 metros de lado. De radio. Encuentre el área de un c u a d rad o i n s c r i t o e n u n a circunferencia de 3 cm de radio Centro Educativo Kinal . Hallar el área de un cuadrado inscrito en una cir cunf e r e ncia de 5 cm de radio. Encuentre el área de u n hexágono inscrito en una cir cunf e r e ncia de 5 cm. 6. Hallar el área de un hexágono inscrito en una cir cunf e r e ncia de 4 cm de radio.Matemática cuarto 37 5. 8. 7. Centro Educativo Kinal .84cm. 11. Hallar el área comprendida entre el ú ltim o cua dr a do y el último círculo. E n un cu a dr a do de 2 cm.Primera unidad: Geometría 38 9. de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18. Calcular el área de un triángulo e q u i l át e r o inscrito en una circunferencia de radio 6 cm. 10. calcular el área del trapecio.. El á re a de un cuadrado es 2304 cm². Encuentre e. Calcular l a l o n g i t u d d e l o s l a d o s no paralelos y el área del trapecio. Area y el perímetro de un exágono inscrito en una circunferencia de radio 32 cm. Centro Educativo Kinal . un triángulo que el e q u i l á t er o Sabiendo tr a pe cio tiene la mitad de la al tura del triáng u lo . las bases miden 40 y 30 cm respectivamente. C alcular el área d el hexágono regular que tiene su m i sm o pe r ím e tr o .Matemática cuarto 39 12. 14. de 6 q u e d arí a cm de formado lado. Si los lados no paralelos d e u n t r a p e c i o i s ó s c e l e s se prolongan. E l p e r í m e t r o d e u n t ra p e c i o i s ó s c e l e s e s d e 1 1 0 cm. 13. Calcula el área. Centro Educativo Kinal . A u n h e x á g o n o r e g u l ar d e 4 c m d e l a d o se l e inscribe una circunfere n cia y se le circunscribe otra. 17. E n una cir cunf e r e ncia de radio igual a 4 cm se i n s c r i b e u n c u a d r a d o y s o b r e l os l a d o s d e e s t e y hacia el exterior Hallar se el construyen área de la t r i á n gu l o s estrella así e q u i l á t er o s . H allar el área de la corona circular así formada. 18. La su p erfi ci e d e u n a mesa est á form a d a p or u n a parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos en dos lados opuestos.Primera unidad: Geometría 40 15. formada. es su diagonal.2 la inscrito cm y longitud en 29. E n u n a c i r c u n f e r e n c i a s e t r a z a u n a c u erd a d e 4 8 cm y dista 7 cm del centro.Matemática cuarto 41 19.6 de una cm la circunferencia miden respectivamente. 20. Calcular el área del cìrculo. Centro Educativo Kinal . C al cu l ar el área d e l a c orona ci rcular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un c u a d r a d o d e 8 c m d e d ia g o n a l . Los cat etos de un triángulo 22. Calcular cir cunf e r e ncia y el área del círculo si la hipoten u s a 21. 24. d e lad o . 23. Centro Educativo Kinal . Dado un triángulo equilát e r o d e 6 cm . Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito.Primera unidad: Geometría 42 22. siendo 2 cm el radio de la circunferencia. ha lla r e l á r e a d e uno de los sectores d eterminado por la circunferencia circunscrita y por los ra dios que pasan por los vértices. H a l l a r e l á r e a d e l s e g m en t o c i r c u l a r c o m p r e n d i d o e n t re una cuerda de 4 cm. que une los extremos de los dos radios y su arco corre spondiente. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un á n g u l o cen t r a l d e 6 0 ° . Calcula el área sombreada. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito. sabiendo que el lado de cuadrado es 8 cm y el radio del círculo menor mide 2 cm.Matemática cuarto 43 25. respectivamente. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm. Calcular el área del trapecio circular formado. se trazan los radios OA y OB. 27. Centro Educativo Kinal . que forman un ángulo de 60°. 26. siendo 4 cm el radio de la circunferencia. La parte sombreada se compone de dos segmentos circulares Centro Educativo Kinal .Primera unidad: Geometría 44 28. ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D. Calcula el área de la parte sombreada. siendo AB = 10 cm. si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños mide 2 cm. 29. Calcula el área de la parte sombreada. total y el volumen de una pir á m ide he xagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral. el á r e a t o t a l y el v o l u m e n de un cubo de 5 cm de arista 31.Matemática cuarto 45 30. 32. Calcula el área lateral. Calcula el área lateral. total y el volumen de una p i r á m i de c u a d ran g u l a r de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura. Centro Educativo Kinal . C a l c u l a r la d i a g o n a l . el á r e a l a t e r a l. Calcular el área lateral.Primera unidad: Geometría 46 33. 35. C a l c u l a e l á r e a l a t e r a l . el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 1 4 cm. t o t a l y e l v o l u m e n d e u n c o n o cuya altura mide 4 cm y el r a d i o d e l a b a s e e s d e 3 c m . t o t a l y e l v o l u m e n d e u n c o n o cuya g e n e r a t r i z m ide 13 cm y el r a d i o d e l a b a s e e s d e 5 cm. 34. C a l c u l a e l á r e a l a t e r a l . Centro Educativo Kinal . y de arista lateral 1 3 cm. Matemática cuarto 47 36. C a l c u l a r e l á r e a d e l c í r c u l o re sultante de cortar una e s f e r a d e 3 5 c m d e r a d i o m e d i a n t e u n p l an o c u y a distancia al cen t ro de l a esfe ra es de 2 1 cm. y de altura 10 cm. Calcular el área lateral. Ca lcula r e l á r e a lateral. Centro Educativo Kinal . el á r e a t o t a l y e l v o l u m e n d e l tr o nco de co no de radios 12 y 10 cm. el área total y el volumen de un tr o nco de co no de radios 6 y 2 cm. y de generatriz 15 cm. 37. 38. C a l c u l a r e l á r e a y el v o l u m e n d e un a zon a esféri ca cuyas circunfere n cias tienen de radio 10 y 8cm. 42. y la d i s t a ncia e ntr e e lla s e s de 5 cm. 41. C a l c u l a e l á r e a y el v o l u m e n d e l s i g u i e n t e cas q u e t e esférico. Centro Educativo Kinal . C a l c ula r e l vol u men d e u n a sem i esfera d e 1 0 cm d e radio.Primera unidad: Geometría 48 39. C a l c ula r e l áre a y el volumen d e u n a esfera i n scrita en un cilindro de 2 m de altura. 40. Encontrar el volumen. de agua serán necesarios para Centro Educativo Kinal . Cuánto costará pintarla. Cuántos litros llenarla. en centímetros cúbicos. b .5 m d e p r o f u n d i d ad . U na piscina tie ne 8 m de largo. 40 dm de an cho y 2500 mm de alto. S e p i n t a l a p i s c i n a a r a z ó n d e Q . 6 . a. de una h a b i t a c i ó n q u e t i e n e 5 m d e largo. 6 m de ancho y 1. 0 0 el metro cuadrado.Matemática cuarto 49 43. 44. Primera unidad: Geometría 50 45. 6 dm de ancho y 4 dm de alto. u n o c t a e d r o y u n i c os a e dr o de 5 cm de arista. 47. En un almacén de dimensiones 5 m de largo. 48. C a l c u l a l a c a n t id a d d e h o j alata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de d i á m e t ro y 2 0 c m d e a l t u r a . D e t e r m i n a e l á r e a t o t a l d e u n t e t r a e d r o . ¿Cuantas cajas podremos almacenar? 46. C a l c u l a l a a l t u r a d e u n p r i sma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad. 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo. Centro Educativo Kinal . Matemática cuarto 51 49. U n c i l i n d r o t i e n e p o r a l t u r a l a m i s m a l o n g i t u d q u e l a circunferencia de la base. ¿ Cuá nta s m de lo se t as por cuadradas 6 m de de 20 cm y de de 3 lado m se de ne ce sita n pa r a r ecubrir las c a r a s d e u n a p i s c i n a d e 1 0 largo ancho p r o f u n d id a d ? 52. ¿cuál es la masa del recipiente vacío? Centro Educativo Kinal . U n r e cipie nte cilíndrico de 5 cm de radio y y 10 cm de a l t u r a s e l l e n a d e a g u a. El v o lu m e n 50.66 cm. E l á r e a t o t a l b . S i l a m a s a d e l r e c i p i e n t e l l e n o es de 2 kg. Calcular: a. ¿A qué altu ra lle ga r á e l a gua cuando se derritan? 51. E n u n a p r o b e t a d e 6 c m d e r a d i o s e e c h a n c u a t ro cubito s de hie lo de 4 cm de arista. Y la altura mide 125. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio? Centro Educativo Kinal . Para una fiesta. Un cu b o de 20 cm de ari st a est á l l en o de ag u a. Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón.Primera unidad: Geometría 52 53. ¿Cuánto c a r t ó n h ab r á u t i l iz a d o s i las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm d e g e n er a t r i z ? 54. 13.Matemática cuarto 53 1. Centro Educativo Kinal . Cualquier ángulo que se encuentre en el cuadrante I Rectos: si su medida es 90°. Ej.1 Los ángulos por su tamaño pueden ser: Agudos: Si su medida esta comprendida entre 0° y 90°.13 ANGULOS: Es la abertura formada entre dos líneas que se unen en un punto llamado vértice Angulo vértice En nuestro curso nombraremos los ángulos en grados o en radianes 1. Primera unidad: Geometría 54 Obtusos: Si su medida esta comprendida entre 90° y 180°. Ej. Ej.2 TRANSPORTADOR El transportador es el instrumento utilizado para medir los ángulos y consiste en un semicírculo dividido en unidades que van desde 0o hasta 180o. 1.13. Centro Educativo Kinal . Llanos: Si su medida es 180°. Matemática cuarto 55 Cada una de estas medidas es un grado (1°) sexagesimal y todas las medidas que se tomen con este instrumento corresponden al sistema sexagesimal. Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°.14 RECTAS. Para representarla gráficamente en un plano. Ángulos Rectos: Son los que miden exactamente 900 Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°. RECTA Una recta es una línea que no tiene principio ni fin. RAYOS Y SEGMENTOS. Ángulo Agudo: Es el ángulo cuya medida es un número mayor que 0 y menor que 90°. se dibuja la recta con flecha en los dos extremos Centro Educativo Kinal . 1. Centro Educativo Kinal . se dibuja solo en uno de sus extremos una flecha. para trazarla en un plano. es decir. ya que no continúa. el punto indica que este es su inicio SEGMENTO Un segmento es una fracción de recta que tiene principio y tiene fin. esta es la que indica que no es ese su fin. Este no tiene ninguna flecha en sus extremos.Primera unidad: Geometría 56 RAYO: Un rayo es una fracción de recta que sí se sabe en donde es su inicio pero se desconoce su fin. sabemos desde donde sale y hasta donde llega. se forman los siguientes tipos de ángulo: A C E D B F H G ángulos correspondientes: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. se mantendrán siempre a la misma distancia una de la otra. El ángulo de inclinación será igual en las dos. Dos rectas son paralelas cuando al prolongarse indefinidamente. Al intersectar rectas paralelas por una recta llamada transversal o secante. A C E F D B G H Centro Educativo Kinal .Matemática cuarto 57 1. es decir. Identifiqué los ángulos correspondientes con el mismo color A C E D B F H G Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. también los escribí identificándolos con el mismo color.15 TEOREMAS DE RECTAS PARALELAS PARA ANGULOS. que puede ser arriba o abajo. nunca se encuentran. para resolverlos. nombrando el concepto que utilizo. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.Primera unidad: Geometría 58 Ángulos alternos externos: Son los que están "afuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí. A B D C E G H F Angulos opuestos por el vértice: Son los ángulos que tienen el mismo vértice en común A C E G F H D B Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son: 1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí. 4. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí. 3. también se identifican con el mismo color. 2. A = 108 C E G H F B D Centro Educativo Kinal . Dado el siguiente diagrama encuentre todos los ángulos. Matemática cuarto 59 B = 72o C = 72o D = 1080 Angulo suplementario Angulos apuestos por el vértice con B Los conceptos que pueden tomarse son: Opuestos por el vértice con A Suplementario con C Suplementario con B Correspondiente con A E = 108o F = 72o Los conceptos que se pueden tomar para hallar este ángulo son: Suplementario de E Correspondiente con B Alterno interno con C G = 72o Opuestos por el vértice con F Correspondiente con C Alterno externo con B Suplementario de E Suplementario de G Opuesto por el vértice con E Correspondiente con D Suplementario de F Alterno externo con A H = 108o Resuelva correctamente lo que a continuación se le indica: 1) Encuentre los ángulos que hacen falta: 40o C B D E G F H Centro Educativo Kinal . Primera unidad: Geometría 60 2) Encuentre el valor de x y la medida de todos los ángulos A C B 4x x + 21 G F H 3) C = x + 16 E = 3x + 20 A C E D B F H G Centro Educativo Kinal . 16 TEOREMA DE THALES Existen dos teoremas de Thales  El Teorema de rectas paralelas  El teorema de triángulos rectángulos 1.1 TEOREMA DE RECTAS PARALELAS PARA SEGMENTOS Si dos rectas cualesquieras se c ortan por varia s rectas p ar a le la s. r A s A' B B' C C' AB BC AC   A' B' B' C' A' C' Centro Educativo Kinal .16. lo s se gm entos determ inados en una de las re ctas s o n pr o po r cio na le s a los segmentos correspondientes en l a otra.Matemática cuarto 61 1. b son paralelas. x 14  2 10 x 14 * 2 10 x = 2.8cm Ejemplo 2 Las rectas a . b y c son paralelas. p o r q u e s e c u m p l e e l t e o r e m a d e T h a l e s. 6 3  4 2 Centro Educativo Kinal . Halla la longitud de x.Primera unidad: Geometría 62 Ejemplo 1 Las re ctas a. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b? Sí. Dado un triángulo ABC. que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. es decir. Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría. se obtiene otro triángulo AB'C'. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales. si se traza un segmento paralelo. cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.2 TEOREMA DE TRIÁNGULOS El teorema de triángulos dice los siguiente: Si a un triángulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados. B'C'. obtenemos 2 triángulos semejantes. a uno de los lados del triangulo. AB AC BC   AB' AC' B' C' Centro Educativo Kinal .Matemática cuarto 63 1.16. Lo que sí se puede hacer es igualar segmentos proporcionales o también una proporción de un lado sobre el mismo lado completo 2 a  en este caso estoy tomando en cuenta el segmento pequeño 6 a6 sobre el lado completo igual al segmento pequeño sobre su propio lado en el otro lado del triángulo. es incorrecto igualar los lados paralelos con las partes de b 4 cualquiera de los dos lados 4  2 Como a y 4 son los lados completos. Que también puede hacerse segmento  pequeño segmento  pequeño  segmento  grande  mismo  lado segmento  grande Centro Educativo Kinal . tenemos que igualar lados completos.Primera unidad: Geometría 64 Ejemplo: Encuentre las medidas de los segmentos a y b 2 cm a 6 cm 4 cm 4 cm b lado  grande lado  grande(4  2)  lado  pequeño  paralelo lado  pequeño(mismo  lado) b 6  4 2 b 6( 4) 2 b = 12 cm NOTA: No cometamos el error de igualar lados completos con segmentos de los lados. Por ejemplo. = B Medimos la longitud real del mismo cuerpo. = A Luego hacemos la comparación aplicando el teorema de Thales. y apoyándose en un punto Una aplicación interesante es para medir la altura de un árbol. Centro Educativo Kinal . D:C::A:B Que se lee D es a C como A es a B y lo podemos escribir D A  C B Y obtenemos donde D es la altura real del árbol. El cateto grande es al cateto grande como el cateto pequeño es al cateto pequeño. cuya finidad no pueda ser medida.Matemática cuarto 65 2 a  4 6 a 2( 6) 4 a=3 También se puede relacionar para medir una distancia. = C Medimos la longitud de la sombra de un objeto pequeño (por ejemplo un lápiz) en el mismo instante. Medimos la longitud de su sombra a una hora determinada. de triángulos semejantes. consiste en el siguiente enunciado: Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB]. distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB. las circunferencias y los ángulos inscritos. Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto Este teorema es un caso particular de la aplicación de los angulos inscritos dentro de una circunferencia. Centro Educativo Kinal . Thales de Mileto.Primera unidad: Geometría 66 El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos. es recto. 16.3 TRIÁNGULOS SEMEJANTES Los lados a y a  . De i gua l f o r m a A y A  . b y b  c y c  se llaman lados homólogos.Matemática cuarto 67 Comprobación: OA = OB = OC = r. se obtiene:  BCA       90 0 2 En conclusión se forma un triángulo rectángulo. Dos triángulos son s e m e j an t e s cuando sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporci onales. La suma de los ángulos del triángulo ABC es equivalente a 2α + 2β = π (radianes) o sea 180 grados. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. C y C  s o n á n g u l o s h o m ó l o g o s . siendo O el punto central del círculo y r el radio de la circunferencia. 1. A = A a b c   a b c B = B C = C La razón de la proporci ón entre los lados de los triángulos se llama razón d e semejanza. Centro Educativo Kinal . B y B  . Dividiendo por dos. ABBC Así mismo DEAC. BC es el cateto más grande del triángulo E C e s e l c a te to m á s gr a nde en el triángulo más pequeño. estos serán se mejantes. No igualemos las hipotenusas con los catetos que no son proporcionales. Al ser dos triángulos semejantes. Podemos hacer entonces: Centro Educativo Kinal .Primera unidad: Geometría 68 Por ejemplo. Observemos grande. los triángulos ABC y DEC son semejantes. la hipotenusa de uno es a la hipotenusa del otro como el cateto más largo de uno de los triángulos es al cateto más largo del otro. como el ángulo C es el mismo para los dos triángulos. En la figura anterior. Entonces. si tenemos dos triángulos con sus ángulos iguales. 37     Centro Educativo Kinal .8) A 53 0 7  48. BC  16cm. . Nos interesa conocer el ángulo p o r q u e n o c o n o c e m o s n i n g ú n l a d o d e l t r i á n g u lo p e q u e ñ o .Matemática cuarto 69 AC BC  DC EC H i p o t e n u s a e s a h i p o t en u s a c om o cateto grande es a cateto grande AC AB  DC DE Hipotenusa es a hipotenusa como cateto pequeño es a cateto p e q u e ñ o. S i t e n e m o s e l m i s m o t r i á n g u lo y a c o n d a t o s : AC  20cm. AB  12cm. DE  AC El símbolo  s i g n i f i c a e s perpendicular y AD . E l á n g u lo g r a n d e A senA  16 20 A  Sen 1 (0. e s t o s i g n i f i c a q u e e s ta l í n e a d i v i d e el á n g u l o BAC e n d os p a r t e s i g u a l e s . Es la b i sectriz de BAC a) c a l c u l a r l a l o n g i t u d d e l s e g m e n t o DE b ) Ca lcula r e l á r e a del triángulo DC E Solución: Como sabemos que AD e s l a b i s e c t r i z . . 18    Pod e m os ento nce s e nco ntr a r l a l o n g i t u d d e l s e g m e n t o BD tan 26 0 33' 54.18'' = BD 12 BD  6cm Ahora ya podemos encontrar el segmento DC DC = 16cm – 6cm.Primera unidad: Geometría 70 E n t o n c e s l a m i t a d d e l á n g u l o e s 2 6 0 33  54. = 10cm. C o n s e m e j a n z a d e t r i á n g u l o s hipotenusa  del  triángulo  pequeño cateto  pequeño  triángulo  pequeño  hipotenusa  del  triángulo  grande cateto  pequeño  triángulo  grande Centro Educativo Kinal . ya que esta y la de cualquier triángulo rectángulo se encuentra multiplicación de los catetos dividido dos A 8*6 2 A=24cm2 Centro Educativo Kinal .Matemática cuarto 71 10 DE  20 12 DE  6cm. Conociendo los dos catetos podemos encontrar el área. Como nos piden encontrar el área del triángulo DEC. necesitamos conocer el otro cateto EC  10 2  6 2 EC  100  36 EC  8 O también lo podemos encontrar con esta otra semejanza de triángulos Cateto  grande  triángulo  pequeño Cateto  pequeño  triángulo  pequeño  cateto  grande  triángulo  grande Cateto  pequeño  triángulo  grande EC 6  16 12 6(16) EC  12 EC  8cm. Primera unidad: Geometría 72 Ejercicios 1) Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 8 metros a la misma hora que un poste de 5 metros da una sombra de 1.6 metros h 8  5 1. medirán los catetos de un triángulo semejante al ¿Cuánto primero cuya hipotenusa mide 52m? c  24 2  10 2  26 Centro Educativo Kinal .6 8(5) h 1 .6 h=25m 2) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 24m y 10m. 72 metros de estatura cami n a en u n a c a r r e t e r a h or i z o n t a l . l u e go se coloca a una persona cuy a e sta tur a es de 1.Matemática cuarto 73 Dos triángulos son s e m e j a n te s si tienen su s ángulos iguales y sus la dos proporcionales A = A' B=B' C = C' E j e r c i c io s : Resolver c o r r e ct a m e n t e t r i á n g u lo s s e m e j a n t e s . 1) los siguientes problemas de U na m uje r que mide 1. Con est os d a t o s e n c u e n t re l a a l t u r a d e l á r b o l . S i l a s o m b r a d e u n p o s t e vertical a la orilla de la carretera es de 5 metros y el d e l a m u j e r e s d e 1 . se mide a d e t e r m i n a d a h or a s u s o m b r a y se encuentra que es de 1 2 m e t r o s d e l o n g i t u d . 5 m e t ro s . Centro Educativo Kinal . ¿ C u á l e s l a a l t u r a d e l poste? 2) Para d e t e r m i n ar la altura de un á rb o l .60 metros y también se mi d e s u som b ra l a cu al es d e 2 m et ros d e l ong i t ud . CD  9cm y CB  5cm. 5) En l a Fi g u ra se t razó l a d i ag on al BD en el trapecio rectángulo ABCD y se cumple con que CE  DB . S e con o c e BN  2cm.5 em 2 Por los puntos C y B se trazaron las tangentes AB y AC d e m a n e r a q u e BAC = 6 0 0 C a l c u l a e l á r e a d e l a p a r t e so m br e a da .Primera unidad: Geometría 74 3) En la figura se trazó un círculo con centro O y de área 78. de manera que M es el punto medio de AC . S e s ab e a d e m á s q u e AB  12cm. s e t r a z ó a l a r c o MN t a n g en t e a l a h i p o t e n u s a AB en T. 4) Con apoyo en el vértice C del triángulo rectángulo ABC. calcule el área sombreada Centro Educativo Kinal . C a l c u l a e l á r e a d e la re gión sombreada. C alcu l a el á r e a so m br e a da. C alcular el á rea sombreada. EF l l DG y EF  AB . Se conoce EF = 10cm. AC  30cm y AG  20cm . Calcula el área sombreada. y en su interior se encuentra inscrit o un c u a d r a d o D E F G d e 1 6 c m 2 de área. S e s a b e ad e m á s q u e CM  DE . 7) En la fi g u ra el t ri án gu l o A BC es rect án g u lo en C.Matemática cuarto 75 6) La fi g u ra A BC D es u n cu ad rad o y E es el p unt o m ed io de AB  8cm . de base AB  6cm. 8) En la figura el triángulo ABC es isósceles. FB  7cm. Centro Educativo Kinal . S e s a b e q u e AC  18cm .Calcula el p e r í m e tr o de l tr i ángulo ABC y el área sombreada. el t r i á n g u lo ABC es rectángulo y el cuadrado ADEF. cuya área es de 36 cm 2 s e e n c u e n t ra i n s c r i t o e n e l t r i á n g u l o . Bibliografía  Geometría aplicada a la técnica Autor Miguel Angel Sauri  Geometria Euclidiana Autor Martins Rodríguez  Geometría plana Autor Aurelio Baldor  Internet Centro Educativo Kinal .Primera unidad: Geometría 76 9) En la figura. Matemática cuarto 77 Centro Educativo Kinal . Segunda unidad: Álgebra 78 Centro Educativo Kinal . b. aplicaciones a problemas. mientras que las cantidades desconocidas se representan utilizando las últimas letras del alfabeto: x. c. El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades. que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día. a Al-Hwarizmi (Siglo IX d. el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra.1 ÁLGEBRA Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo y de contar sus posesiones. z… Centro Educativo Kinal .C. puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados. Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas como desconocidas. en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne. NOTACIÓN ALGEBRAICA Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden ser de dos tipos: números y letras. Donde. las cantidades conocidas se representan utilizando las primeras letras del alfabeto: a. El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético.  Traducir a un lenguaje algebraico problemas expresados en lenguaje cotidiano y viceversa 2. y. 2. En general. muy en particular.2.). El gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y.Matemática cuarto 79 objetivos  Desarrollar las capacidades analíticas y el pensamiento lógico riguroso a través del estudio del álgebra.  Asimilar o manejar con fluidez los principales conceptos del álgebra: Operaciones. los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas. d…. Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas.Segunda unidad: Álgebra 80 Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas. por medio de letras. que se leen a subuno. de una regla o de un principio general. o también por medio de subíndices: a 1 . por ejemplo a’. a subdos. a’’. 2.3 LEYES DE EXPONENTES BASE: Es toda expresión que se debe multiplicar la cantidad de veces que indique su exponente EXPONENTE: es el número que se coloca sobre la base e indica las veces que se debe multiplicar la base por sí misma 23 = 2 * 2 * 2 (a + 4)2 = (a + 4)(a + 4) POTENCIA: Es el resultado que se obtiene después de desarrollada la base 1) Para multiplicar potencias de igual base. a 3 . se copia la base y se restan los exponentes am  amn an a5  a53  a 2 a3 a3  a 3  ( 2 )  a 3 2  a 5 a2 Centro Educativo Kinal . Una fórmula algebraica es la representación. a segunda. a subtres. a tercera. se copia la base y se suman los exponentes am * an  am n a 2  a3  a 23  a5 a 3  a 2  a 3 ( 2)  a 3 2  a1  a 2) Para dividir potencias de igual base. a 2 . a’’’ que se leen a prima. pero la base deberá ser diferente de cero a0  1 a0 4) Cuando el exponente es uno (1). b) Si adentro del paréntesis se encuentra un signo negativo y el exponente de afuera del paréntesis es impar. el exponente afecta también al 3 7) Si el exponente se encuentra colocado afuera de un paréntesis. Si lo queremos escribir desarrollado sería 3  x  x (3x)2 = 32  x 2  3  3  x  x  9 x 2 En este caso. la potencia siempre será igual a 1. escribiendo como numerador la unidad y como denominador la misma expresión. únicamente se invierte la fracción y el exponente se vuelve positivo Centro Educativo Kinal . Los signos. la expresión se convierte en fracción. la potencia será igual a la misma base a1  a 5) Cuando el exponente es negativo. (signos. números y letras) y pueden ocurrir los siguientes casos: a) Si adentro del paréntesis se encuentra un signo negativo y el exponente de afuera del paréntesis es par. los números y las letras se multiplican. este afectará a todo lo que se encuentre dentro del paréntesis.Matemática cuarto 81 3) Cuando el exponente es cero. (-2x)3 = (-)(-)(-)(2)(2)(2)(x)(x)(x) = -8x3 8) Si la base es una fracción y el exponente es negativo. el signo sigue siendo negativo. pero con el exponente positivo an  1 an 23  1 1 1   3 2 222 8 6) El exponente afecta únicamente al elemento sobre el cual se encuentra escrito 3x2 el exponente 2 es únicamente de la letra x. el signo se vuelve positivo por estarse multiplicando un número par de veces (-3x)4 =(-)(-)(-)(-)(3)(3)(3)(3)(x)(x)(x)(x)= 81x4. Segunda unidad: Álgebra n 82 a   b b   a n 9) Cuando un exponente multiplican entre sí. (las bases con sus exponentes negativos de abajo se suben y los de arriba se bajan) para que los exponentes se vuelvan positivos a n bn  bn a n 3a 1 xy 2 3(23 )n3 x 3(8)n3 x 24n3 x   = 23 m 2n 3 am 2 y 2 am 2 y 2 am 2 y 2 a  m n 11) Cuando un exponente es fraccionario. el 3 como exponente. como es par. c) ( – 3x3)2= 9x6 Explicación: El exponente de afuera del paréntesis afecta a todo lo que está adentro. m 3 a n  n am 16 2  16 3  4 3  64 Ejemplos 1: Resolver en forma desarrollada las siguientes expresiones: 1) 54 = 5 * 5 * 5 * 5 = 625 2) – 42 = – 4* 4 = – 16 3) ( – 3x3)2 = ( – 3x3)( – 3x3) = 9x6   3 x 3   3x 3  9 x 6   3x 3   2    2  2   4 4)   y  y  y      y  Ejemplos 2: Resuelva y simplifique aplicando las leyes de exponentes. como 2 Centro Educativo Kinal . el numerador de la fracción es el exponente de la base y el denominador indicará siempre que es una raíz. el 3 de base se multiplica 2 veces por él mismo por eso nos da 9. se cambian de lugar. a) 54 = 625 b) – 42 = – 16 Explicación: Como sabemos que el exponente es únicamente de la base en donde se encuentre. el signo menos está multiplicado un número par de veces por lo tanto se vuelve positivo. las siguientes operaciones. en este caso es sólo del 4 no así del signo por eso es que el signo no se multiplica 2 veces. está elevado a otro exponente. se  a mn 10) Cuando en una fracción se encuentren exponentes negativos. el signo se vuelve +.Matemática cuarto 83 sabemos que un exponente elevado a otro exponente se multiplican 3 * 2=6   3x 3  9x 6 a)  2   4  y  y   2 Explicación: El exponente de afuera del paréntesis es par. para poder encontrarlos. descomponemos en factores primos todos los elementos que se encuentran dentro de la raíz Primero el 16 16 8 4 2 1 2 2 2 2 2 luego la x x5 x x x x x x Descomponiéndolos encontramos que el dos sale del radicando porque cada 3 veces que se multiplica sale una. el exponente 3 se multiplica por el exponente de afuera que es 2 y el denominador “y” que tiene exponente 2. La x también sale porque también sale cada 3 pero sobran dos. se multiplica por el exponente de afuera. pero sobra uno. 3 de base se multiplica 2 veces por el mismo. los que sobran vuelven a escribirse adentro de la raíz con su mismo índice 16 x 5  2 x3 2 x 2 Simplificación de potencias con exponentes racionales Simplifica: 3 a) b) Centro Educativo Kinal . 4) 3 16x 5 Como es la raíz cúbica de 16x5 todos los factores del radicando pueden salir si se encuentran 3 veces multiplicándose. 04) 44)(3x)(2x) 1 (-5)-1 (-6)2 (-7)3 42 45) (2x2)(x)  1 34)     5 Centro Educativo Kinal .042  3 2 3  3    2  4    3 2 43) (0. 1) -32 2) 32 3) (-3)2 4) 23 5) -2 3 23) 24) 25) 26) 27) -33 -52 -73 -51  3 35)     4 36) 2 3 4 16 3 2 3 2 6) (-2)3 7) -(2) 9) 2-3 10) 12) 13) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) -2-3 -3 4 3   4 37) 38) 2 9 1 2 8) –(-2)4  4 28)     5  2 29)     3 30) 31) 32) 33) 39) 3  1 2   9 5 11) (-2) 4-2 40) 41) 24 3 3 42 51 -4-2 (-4)-2 (-3)4 (-4) (-2) 3 5  3   5 3 2   5 2 42) 4  0.Segunda unidad: Álgebra 84 Solución (27) (4) a) 2 2 3  5 2 (3  27 ) 2   ( 4 )5 (3) 8  5 32 2 b)  2  2x 3  1  y2       2  5  3x 6  1  y3    4   4x 3  2   y3     5  3 x 6  1  y 3  1     12 x 2    y        Ejercicios: Aplicando las leyes de exponentes resuelva los siguientes ejercicios. Matemática cuarto 85 46) 47) 48) 49) 50) 51) 4x(3x3) (5x-2)(2x3) (x4)(x3)  2ab3  9 x  53)    3 xy 4  a 2b     58) 59) 60)  3 y 2   2   4x    2 53) 54) 3 4 x  2 x  2 3 1 2 x (6 x 2 ) 2 2 x   1 x  2 2 3      6x4   2  2x    1 4u 6 (3v)3 6uv  2 (5m 2 ) 2 ( 4n 3 )  4  1  2   3 y 2  4 y 3        55) 56) 57)  ab 2c 1     2xy  5    (2 x 2 )3 (3x) 6 x7 (5m )(2n) 3m 4 3x 3 ( x 2 ) 4 x 5 3 2 61) 52)  3x     5  2 Centro Educativo Kinal . Para completar nuestra terminología. no existe en los 4) Si a es negativo y n es par. El símbolo se lee "más menos". las raíces de números reales positivos son positivas. el resultado será un número real positivo 3) Si a es negativo y n es impar. la expresión es un radical.Segunda unidad: Álgebra 86 2. entonces números reales.4 RADICALES La raíz enésima de un número real se escribe de la siguiente manera en donde n es un número entero positivo mayor de 1 y a. un numero real. Ilustraciones: Observa que porque. entonces real negativo b tal que . El número es la raíz cúbica de a. por definición. 1) Si a  0 entonces 2) Si a es positivo. el número a se llama radicando Centro Educativo Kinal . es un número Si n=2 se escribe en lugar de y se llama raíz cuadrada principal de a o simplemente raíz cuadrada de a . entonces b2 = a. escrito de entonces esta forma es x  x . Pero de esta otra es x   x . esto es. Muchas calculadoras no tienen capacidad de resolver este tipo de operaciones puesto que no están capacitadas para elevar exponentes fraccionarios a otros exponentes. Parecerá ilógico que al elevarlo al cuadrado resulte un número negativo. es el signo radical. también recordaremos que un número negativo no tiene raíz cuadrada porque en los números reales no existe pero de esta forma: 1    9   (9) 2   (9)1  9 Sabemos que un número negativo elevado a     un exponente impar es negativo. pero recordemos que en las leyes de exponentes aprendimos que al elevar un exponente a otro exponente. se multiplican entre sí.008 3   2   2 2 Para resolverlo principiamos haciendo cambios de escritura de las mismas cantidades: 1) Pasamos a notación científica (8 * 10 ) 3  2 3 2 3 2) Luego escribimos el 8 con su base y exponente (2 * 10 ) 3 3    23  3) Podemos hacer los cambios dentro del paréntesis  3   10     2 3 Centro Educativo Kinal . Propiedades de Propiedad (n es un entero positivo).Matemática cuarto 87 y n es el índice del radical. Ejemplo n a n  a si a  0 y n es impar De esta ultima propiedad vemos que: En particular. de igual forma tampoco resuelven ejercicios como el siguiente: 2  0. . si 2 para todo numero real x. sin embargo si x < 0. El símbolo Si . En general se presenta la siguiente tabla de propiedades. pero esto únicamente se ve en las ecuaciones cuadráticas pero porque ha salido de elevar al cuadrado cantidades desconocidas. el exponente es par ya que es 2. que es el valor desconocido que al elevarse al cuadrado nos de cómo resultado 16. Si aún le quedan dudas. también definimos que la raíz cuadrada de un número real positivo es otro número real positivo. el numerador de la fracción es el exponente de la base. es decir. en este caso. no de raíces. Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n. siempre que las raíces sean números reales. 1) Ejemplo 2) 3) Ejemplo Ejemplo Centro Educativo Kinal .Segunda unidad: Álgebra 88 4) Como sabemos que cuando el exponente de afuera del paréntesis es negativo podemos invertir la fracción y el exponente se vuelve  10 3  3 positivo    23     5) Sabemos también que cuando un exponente es fraccionario. puede entrar al Internet y buscar definiciones de raíz cuadrada. siempre que existan las raíces indicadas. aunque hemos aprendido que 16  4 ya que (4)2 = 4 * 4 = 16 y también (-4)2 = (4)(-4) = 16. por ejemplo x2 = 16. por lo tanto el signo menos se vuelve positivo y además que un exponente elevado a otro exponente se multiplican 2 10 2 2 3  3 2 3  3  10 2 100   25 4 22 Observación muy importante: Hemos visto que 16  4 . en este casi sí se incluye al 4 y al – 4 ya que este valor desconocido al elevarse al cuadrado también se vuelve positivo. 5 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Simplificar un radical significa que habrá que escribir todos los elementos del radicando como potencias.Matemática cuarto 89 Advertencia respecto a errores comunes: 2. con base y exponente. Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales positivos): a) b) c) Solución a) Una forma muy compresible de resolver es descomponiendo el radicando en sus factores primos. es decir. 64 2 32 2 64 = 26 16 2 8 2 4 2 2 2 1 9 64  2  2  2  3 2 2  3 4 9 6 3 6 3 12 6 9 2 3 b) 27 a 6 x 3  12 33 a 6 x 3  312 a 12 x 12 Al simplificar debemos de tener cuidado de dejar igual el denominador. para poderlo escribir como índice del radical nuevamente 3 a x  4 3a 2 x 1 4 2 4 1 4 c) 3a 2 b 3 6a 5 b  18a 7 b 4  3 2 * 2a 7 b 4  3a 3b 2 2a Centro Educativo Kinal . y luego simplificar los exponentes con el índice del radical Eliminación de factores de radicales. Si el denominador de una fracción contiene un factor de la forma radical del denominador porque: Dicho en otras palabras: Si el denominador contiene un radical. Centro Educativo Kinal . debemos llevar al exponente del radicando a que sea igual que el índice del radical. como nos están pidiendo que racionalicemos el denominador. no deben quedar raíces en el denominador. procedemos entonces a multiplicar por la unidad. agregando lo que haga falta para que todos los denominadores tengan exponente igual al índice de la raíz.5 RACIONALIZACIÓN Racionalizar significa eliminar radicales. Multiplicar Factor en el numerador y Factor denominador denominador resultante por con k < n y a > 0 entonces eliminaremos el al multiplicar numerador y denominador por Ejemplos Racionalización de denominadores Racionaliza: a) b) 5 x 8y2 c) 3 16m 5 x 6 9 yz 4 Solución: 5 5 5 1 1    a) * 2 5 5 5 5 5 b) 5 x 8y2 En este caso. el numerador no nos interesa.Segunda unidad: Álgebra 90 2. Este proceso se llama racionalización del denominador. “y” hay una. entonces multiplicamos por 5 2 3 pero dentro de la 2 y misma raíz 5 22 y 3 4 xy 3 1 5 x 5 * 2 3   4 xy 3 3 2 5 5 2y 2 y 2 y 2 y c) 3 16m 5 x 6 9 yz 4 Descompongamos los números en todos sus factores y nos queda 24 m5 x6 3 3 2 yz 4 Sacamos todos los factores que sean la misma cantidad del índice del radical. no tenemos que completar para que sea igual al índice porque nos piden que racionalicemos el denominador. 3 24 m5 x6 3y 2 z 2 2 4 * 3m 5 x 6 y 2 z 2 2mx 2  2 2 3  3 2 yz 4 3 y z 33 y 3 z 6 3 yz 2 3 6m 2 y 2 z 2 Centro Educativo Kinal . Si su exponente es mayor que el índice pero no es múltiplo. Si son iguales salen pero si no son iguales debemos completar o multiplicar por los mismos factores para hacerlos igual a su índice de radical. si salen los sacamos pero si no salen. Arriba sale el dos pero sobra uno ya que hay cuatro puesto que el exponente nos indica que se está multiplicando 4 veces. Abajo o sea el denominador tenemos que ver si son iguales al índice. Arriba o sea en el numerador no importa si salen o no salen.Matemática cuarto 91 Descomponiendo el 8 = 23 obtenemos 5 x Observamos que al 2 le 2 y2 3 faltan 2 para llegar a ser exponente 5 que es el índice del radical y a la 22 y3 “y” le faltan 3. por lo tanto faltan 2. faltan 2. falta 1. debemos ver cuánto le falta para llegar al próximo múltiplo del índice. 3 hay 2. también sale la m pero sobran dos porque hay cinco. significa que ya se pasaron y el próximo múltiplo de 3 es 6. es decir. “z” hay 4. en este caso. Los factores que sobran se quedan dentro del radical pero multiplicados. debemos multiplicar por los que faltan. cada tres factores sale uno. El 2 no sale porque sus factores primos son 2 y 1. Al encontrar los factores primos. sale de la raíz pero como el 2 no sale.  12  3  108  2 3  3  6 3  7 3 2  10(3)  4(3) 20 2 2   10 3  2 12   10 3  4 3   3 3 3 3 20 3 20 3 Racionalizando   3 3 3 4 6 4 36 2 4 36 2 6 4 18  6 12 12 2  12 3     *   2 2 2 3 6 6 6 2 3 2* 3 6 Ejercicios Simplificar los siguientes radicales y racionalizar denominadores cuando sea el caso 1) 2) 3) 4) 5) 48  3 25  49 64  16 6 * 12 12  27 7) 3  24  3 81 12) 3 10 8)  3 45 5 9) 1 18 3 3 1 27 16) 5 3 x11 y 3 9x 2 13) 16a 8 b 2 14) 4 3 17) 25 18) 19) 20) 9 3 1 4 5 8 10) 12b  27b  2b 3b 81r s 15) 11) x x  x 4 11 4 15 8 (36) 2 6)  5 24  2 54 Centro Educativo Kinal .Segunda unidad: Álgebra 92 Ejercicios: Simplifique los siguientes radicales 2 8 Descomponemos los radicandos en sus factores primos y luego aplicamos las leyes de los radicales. El 18 si porque al descomponerlo queda de la siguiente forma: 18 2 9 3 3 3 1 Entonces. como es raíz cuadrada. nos queda 2  18  2  3 2  4 2 A continuación encontrará algunos ejercicios resueltos. salen del radical los números cuando se multiplican dos veces. por estarse multiplicando el 3 dos veces. Utilizaremos una forma diferente. estos salen de la raíz cuando se multiplican la misma cantidad de veces que lo que indica el índice del radical En este caso. Matemática cuarto 93 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 4 (1) 2 35) 2    25   64  1 3 3 48) 9x 2y 3 2 36) 37) 38) 39) 40) 41) 1 4 1 9 1 25 1 49 54 x 3 y 4 x2 y6 49) x5 4y3z2 48 54 50 20 3 3 50) 4 3x 3 8y2 z5 1 3xy 2 3 51) 3 16 3 2 52) 3 3 3x 3 xy 5 3 x10 y 5 4x 2 y 6 3x 4 8y2 64 27 x 7 y 4 x4 4y2z4 48 4 3 53) 4 3 8 1 42) 3  27 x 6 y 3 z 2 43) 44) 45) 46) 47) 4 9 4 1 2 1 5 1 7 9x y 4 4 54) 5 16 x 4 y 2 3 55) 6 8 x 4 y 3 a 5 b 7 56) 3 5 3x 4y Centro Educativo Kinal . Segunda unidad: Álgebra 94 2. Se eleva al cuadrado el segundo término (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1 – b)2 = a2 – 2ab + b2 Centro Educativo Kinal . Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos términos del binomio (a + b)2 = a2 + (a – b)2 = a2 – 3. Se multiplica dos por los dos términos (a + b)2 = a2 + 2ab (a – b)2 = a2 – 2ab 4. Se escribe el signo + (a + b)2 = a2 + 2ab + (a – b)2 = a2 – 2ab + 5.6 PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables son resultados que pueden escribirse sin necesidad de efectuar la multiplicación. es necesario conocer algunas reglas. Se eleva al cuadrado el primer término (a + b)2 = a2 (a – b)2 = a2 2.6. para hacer esto posible. 2.1 CUADRADO DE UN BINOMIO (a  b)2 Pasos para escribir la solución del cuadrado de un binomio 1. número y letra (3x)2 = 9x2 Se escribe el mismo signo (3x)2 = 9x2 – S e m ultiplica 2 po r l os dos términ os 2(3x)(4) = 24x (3x) 2 = 9x 2 – 24x Se escribe el signo + (3x)2 = 9x2 – 24x + Se eleva al cuadrado el segundo término 42 = 16 (3x – 4)2 = 9x2 – 24x + 16 Ejemplo 3 Resolver (3x3 – 2x)2 Solución: Se eleva al cuadrado el primero término (3x3)2 = 9x6 ya que un exponente elevado a otro exponente se multiplican se escribe el mismo signo (3x3)2 = 9x6 – Se multiplica 2 por los dos términos 2(3x3)(2x) = 12x4 Se escribe el signo más y se eleva al cuadrado el segundo término (3x3 – 2x)2 = 9x6 – 12x4 + 4x2 Ejemplo 4 Resolver (x + y) – 12 Solución: Se eleva al cuadrado el primer término (x + 4)2 Se escribe el mismo signo (x + y)2 – Centro Educativo Kinal .Matemática cuarto 95 Ejemplo 1: Resolver (x – 1)2 Solución: (x – 1)2 = x2 – 2x + 1 Ejemplo 2 Resolver (3x – 4)2 Se eleva al cuadrado el primer término. Segunda unidad: Álgebra 96 Se multiplica dos por los dos términos 2(x + y)(1) = 2(x + y) Se escribe el signo más y se eleva al cuadrado el segundo término (x + y) – 12 = (x + y)2 – 2(x + y) + 1 Luego resolviendo las operaciones indicadas que quedaron (x + y)2 es un producto notable (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 – 2(x + y) = – 2x – 2y (x + y) – 12 = (x + y)2 – 2(x + 4) + 1 (x + y) – 12 = x2 + 2xy + y2 – 2x – 2y + 1 Ejercicio: Resuelva los siguientes productos notables 1) (x + 3y)2 3) ( 3x – 5)2 5) (y + 6)2 7) (1 – 7p)2 9) (x + y)2 11) (5x2 + y)2 13) ( 3x3 – 2xy)2 15) (2x3 + 4x2y5)2 17) (3x – 1) + 42 19) 5 – (x – 1)2 21) (x + y) + z2 23) 4 – 6x) – 3y2 2) (1 – 4x)2 4) (3m +5)2 6) (3u + 4v)2 8) (4x – 5)2 10) (3r – 9p)2 12) (2m4 + 3mn)2 14) (3m4 – 5m2n)2 16) (x +3) + 42 18) (3x – y) – 3y2 20) 6+(1 – 4y)2 22) (x – 4y) + 32 24) 7 – (4m + 5n)2 Centro Educativo Kinal . representan números conocidos. se procede de la siguiente manera: 1. Aplicando la ley de signos. Se eleva al cuadrado el primer término 2. nos queda + (x + 3)(x + 5) = x2 + 8x + 15 Ejemplo 2 Escribir el resultado de (x – 1)(x – 4) Solución: 1. sumamos 3 y 5 y copiamos la x luego escribimos el mismo signo 3. Centro Educativo Kinal . Para escribir su respuesta sin efectuar la multiplicación. se restan y el signo que queda es del 4. Ejemplo1 Escribir por simple inspección el resultado de (x + 3)(x + 5) Solución: 1. 3. sumamos 1 y 4.1 Signos iguales se suman y se escribe el mismo signo 2. el 1 no se escribe. multiplicamos 3 * 5 = 15. ya que los signos son contrarios.Matemática cuarto 97 2. únicamente la letra.6. copiamos la letra y escribimos el mismo signo – 5x 3. Multiplicamos 1 * 4.2 PRODUCTO DE LA FORMA (x + a)(x + b) En este producto. Se multiplican los segundos términos. 2. aplicando la ley de signos. pero como es 1. Como los signos son iguales. Aplicando la ley de signos nos queda + (x – 1)(x – 4) = x2 – 5x + 4 Ejemplo 3 Escribir el resultado de (x + 4)(x – 3) (x + 4)(x – 3) = x2 + x – 12 En el segundo término quedó sólo x. las letras a y b. Elevamos al cuadrado la x 2.2 Signos contrarios se restan y se escribe el signo de los que hay más. Como los signos son iguales. Se efectúa la suma algebraica de los segundos términos y se copia el primero. Se eleva al cuadrado la x = x2 2. es la suma por la diferencia de dos cantidades iguales.6. nos queda (x + 3) . (x + 3) . por estar agrupado.y(x + 3) + y = (x + 3)2 – y2 = x2 + 6x + 9 – y2 Centro Educativo Kinal .y(x + 3) + y = (x + 3)2 – y2 y resolviendo el paréntesis. que quedó nuevamente el cuadrado de un binomio.3 SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES IGUALES (x + a)(x – a) El resultado de este producto es únicamente el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo (x + a)(x – a) = x2 – a2 Ejemplo1 Escribir el resultado de (x + 5)(x – 5) = x2 – 25 Ejemplo 2 Escribir el resultado de (3x – 4y)(3x + 4y) = 9x2 – 16y2 Ejemplo 3 Escribir el resultado de (x + 3) .y(x + 3) + y Solución: Como el paréntesis es un solo término.Segunda unidad: Álgebra 98 Ejemplo 4 Escribir el resultado de (x – 6)(x + 4) (x – 6)(x + 4) = x2 – 2x – 24 2. Matemática cuarto 99 Ejercicio. 1) (x + 4)(x + 3) 3) (x + 10)(x + 3 5) (x + 4)(x + 8) 7) (x +3)(x + 9) 9) (x – 1)(x – 7) 11) (x – 2)(x – 5) 13) (x – 3)(x + 5) 15) (x – 10)(x + 6) 17) ((x + 5)(x – 6) 19) (x + 4)(x – 3) 21) (x – 4)(x + 7) 23) (x + 1)(x – 1) 25) (x – 10)(x + 10) 27) (1 – 4y)(1 + 4y) 29) (5x + 4)(5x – 4) 2) (x + 6)(x + 5) 4) (x + 3)(x + 1) 6) (x + 1)(x + 2) 8) (x – 2)(x – 3) 10) (x – 10)(x – 9) 12) (x – 5)(x – 7) 14) (x + 4)(x – 1) 16) (x – 8)(x + 3) 18) (x + 1)(x – 2) 20) (x + 10)(x – 8) 22) (x – 4)(x + 4) 24) (x + 7)(x – 7) 26) (2x – 1)(2x + 1) 28) (4x + 3)(4x – 3) 30) (6x + 5y)(6x – 5y) Centro Educativo Kinal . Escribir correctamente el resultado de los siguientes productos notables. Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos términos del binomio (a + b)3 = a3 + (a – b)3 = a3 – 3. Se escribe el signo mas (a + b)3 = a3 + 3a2b + (a – b)3 = a3 – 3a2b + 5. Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos términos del binomio (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – 7. Se multiplica 3 por el primer término y por el segundo elevado al cuadrado (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 6.4 CUBO DE UN BINOMIO (a b)3 Para desarrollar el cubo de un binomio. Se eleva al cubo el segundo término. se procede de la siguiente manera: 1. (a + b)3 = a3 + 3a2b + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + b3 Ejemplo Escribir el resultado de (3x + 4)3 Solución: Se eleva al cubo el primer término (3x)3 = 27x3. 27x3 + Se multiplica 3 por el primer término elevado al cuadrado y por el segundo 3(3x)2(4) = 3(9x2)(4) = 108x2 Se escribe el signo + Centro Educativo Kinal . Se escribe el mismo signo +.6. Se eleva al cubo el primer término (a + b)3 = a3 (a – b)3 = a3 2. Se multiplica 3 por el primer término elevado al cuadrado y por el segundo (a + b)3 = a3 + 3a2b (a – b)3 = a3 – 3a2b 4.Segunda unidad: Álgebra 100 2. Se eleva número y letra. 5 CUADRADO DE UN TRINOMIO Para resolver el cuadrado de un trinomio se procede de la siguiente manera: 1) se escriben los tres términos sumándose. sin importar el signo que tengan (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 2) se multiplica 2 por el primer término y por el segundo. Centro Educativo Kinal . (a – 2)3 4) 6) 8) 10) (3x – 1)3 (4x – 3)3 ( 3x + 7y)3 (4m – 5p)3 2. 3) 5) 7) 9) (1+2b)3 (x + 3y)3 (2m – 3n)3 (m – 2n)3 (x + 4y)3 2. elevados al cuadrado.Matemática cuarto 101 Se multiplica 3 por el primer término y por el segundo elevado al cuadrado 3(3x)(4)2 = 9x(16) = 144x Se escribe el mismo signo + Se eleva al cubo el segundo término 43 = 64 (3x + 4)3 = (3x)3 + 3(3x)2(4) + 3(3x)(4)2 + (4)3 = 27x3 + 108x2 + 144x + 64 Ejercicios: Escribir por simple inspección el resultado de los siguientes productos notables 1.6. 1) (2t + 9)(2t – 9) 2) (2x2 . Ejercicios: Escribir por simple inspección el resultado de: 1) 3) 5) 7) 9) (2x + y – 3z)2 ( 5x – 3y + z)2 ( 3x + 4y+ 5z)2 (a2 – 4a + 3)2 (2z3 – z2 + 3z)2 2) 4) 6) 8) (x – 3y + 4z)2 ( 4x – 3y – 3z)2 ( 2x2 + 2x + 3)2 (4y2 – 2y – 5)2 10) (b3 + 6y2 + y)2 Ejercicios: Efectúe correctamente los siguientes productos notables.3x)2 3) [(x2 + 2) + x][(x2 + 2) – x] 5) (x + 8)(x – 8) 7) (2t – 5)2 9) ( 4 – 3t)3 11) (2x2 + 5x)(2x2 – 5x) 13) [(1 – x) + x2][(1 – x) – x2] 15) [(2t + 1) + t2]3 4) (x + 2)2 6) (x – 5)3 8) (t – 5)(t + 5) 10) (3s + 11)2 12) (u + 1)3 14) (3x + 2y)(x – 5y) 16) (3x – 9)(3x + 9) Centro Educativo Kinal . Se multiplica 2 por el segundo término y por el tercero.Segunda unidad: Álgebra 102 3) 4) Se multiplica 2 por el primer término y por el tercero. (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc. Matemática cuarto 103 17) (4x – 4)2 19) (u + 4v)3 21) (x + 10)(x + 2) 23) (x + 12)(x – 3) 25) 27) 29) (x + 2)2(x – 2)2 18) (2x2y + z)(2x2y – z) 20) (3x + 5y2z)(3x – 5y2z) 22) (x + 6)(x + 8) 24) (x – 8)(x + 4) 26) 28) 30) (2x – 1)2(2x + 1)2 ( x  y )( x  y ) ( a  b )( a  b ) ( x  y )2 ( x  y )2 ( a  b)2 ( a  b)2 Centro Educativo Kinal . Segunda unidad: Álgebra 104 2.7 FACTORIZACION Para poder factorizar.7. Si no tienen estos signos. seguirá siendo un solo término Ej: 5xy2z3 Es un solo término. Ejemplo Cada término algebraico está separado por los signos más o menos. coeficiente numérico. Factorizar es escribir expresiones algebraicas como el producto de sus factores. Dicho en otras palabras: Centro Educativo Kinal . debemos tener bien claro algunos aspectos muy importantes 2. parte literal y exponente.1 TERMINO ALGEBRAICO Un término algebraico debe tener: Signo. cada polinomio es una expresión algebraica que recibe el nombre de acuerdo a la cantidad de términos que contenga. Expresión algebraica llamada MONOMIO a + 2b Expresión algebraica que consta de dos términos llamada BINOMIO x + 2y – 3z TRINOMIO Expresión algebraica que consta de 3 términos llamada y así. Matemática cuarto 105 Factorizar m u ltiplica cione s es escrib ir sumas y restas como Factores: En matemática. sin efectuar la multiplicación. 6 * 2. por ejemplo 12 lo podemos descomponer en factores y escribirlo como el producto de ellos. Si se están sumando o restando se llaman TÉRMINOS ab a( x  y) c En la expresión anterior podemos ver que x con y se están sumando. estos. 4*3 En este libro. agrupación de términos y cubo perfecto de binomios. Los factores de 12 son 12 y 1 6y2 4y3 Entonces 12 lo podemos escribir de las siguientes formas 12*1. podemos descomponer expresiones como el producto de los mismos. al estar separados son términos pero en la forma que están son 1 factores ya que se están multiplicando con la a “y” y por . Centro Educativo Kinal . Binomios. son todos los elementos que se encuentran multiplicando en una expresión algebraica. c Si ya sabemos qué son factores. trinomios. La factorización la resumiremos en 5 casos: Factor común. C. vemos que todos los términos tiene en común la x y el menor exponente que tiene es 2. Primero: observar si existe factor común. es todo lo que se encuentra repetido en un polinomio Ejemplo 1) factorizar 12x5 + 6x4 + 3x2 SOLUCIÓN Se busca primero el factor común en los números. luego se buscan la letra o letras que se repiten en todos los términos y se toma como común las repetidas con su menor exponente. de la siguiente manera: Sacar el factor común de los números es únicamente buscar el Máximo Común Divisor (M. 2. 3x2(4x3 +2x2 + 1) Centro Educativo Kinal .2 FACTOR COMÚN Nota: En este caso no importa la cantidad de términos que tenga el polinomio Dado un polinomio.7. Seguidamente se observa si todos los términos tienen alguna letra en común. debemos observar todos sus términos.D. el factor común a ellos es 3. en este caso. se le saca a los números el máximo común divisor (si es que tienen) y se escribe.) Como únicamente tienen tercera parte los tres números. lo que quede al dividir cada término entre el factor común. sacándoles sólo lo que tengan en común. divide todo el polinomio entre lo encontrado y los resultados se van escribiendo dentro del paréntesis.Segunda unidad: Álgebra 106 COMO IDENTIFICAR EL TIPO DE FACTORIZACIÓN A USAR. al haber hecho lo anterior se escribe un paréntesis. El factor común. se escribe entonces la x2 a continuación del 3. se abre paréntesis y dentro de él. Para ver si una expresión dada tiene factor común. llegamos al polinomio original). Ejemplo 3) Factorice 3(x – 5) + y(x – 5) SOLUCIÓN: Vemos que tiene dos términos. entonces buscamos la letra o letras que se encuentren repetidas y su menor exponente de cada una de ellas. buscamos si tiene elementos repetidos y vemos que se repite el paréntesis por lo tanto este es el factor común. 3(x – 5) + y(x – 5) = (x – 5)(3 + y) EJERCICIOS Factorice Completamente 1) 25 + 50x 3) 4x2y – 8x2 5) 56xay – 77xaz 7) 15 + 5y – 20z 9) 22abc + 33a2b + 44abc3 11)25x2 + 20x6y + 15x2 – 5x3y7 13)25x2 + 20x6y + 15x2 – 5x3y7 2) 36x2 – 45x 4) 10xyz + 84yz 6) 16x3 – 8x2 + 4x 8) 4x2y3z + 16x3y5 + 44y2z 10) x(a + 1) – 3(a + 1) 12) 2(x – 1) + y(x – 1) 14) a(n + 2) + n + 2 Centro Educativo Kinal . lo escribimos y en el otro paréntesis lo que queda fuera del paréntesis. luego se dividió toda la expresión entre 3x2 y se escribió dentro del paréntesis el resultado (al resolver la operación que quedó indicada (Multiplicación). porque es la letra que se repite y 2 es el menor exponente que tiene escrito. para obtener el resultado que se escribió dentro del paréntesis. su menor exponente es 1. ya que sólo vemos letras.Matemática cuarto 107 Ejemplo 2) Factorizar ax3y4 + xy2 SOLUCIÓN. por lo tanto procedemos a escribir el factor común y a continuación abrimos paréntesis y dentro de él. Se repite la x. En números no tiene. y su menor exponente es 2. escribimos lo que nos quede al dividir ax3y4 + xy2 = xy2(ax2y3 + 1) En el ejemplo 1) ya que el MCD entre los números es 3 se tomo junto con la x2. Se repite también la y. El 1 resulta de dividir una expresión entre ella misma. En el ejemplo 2). Nuevamente buscamos el factor común. como las letras que se repiten son “x” y “y” se tomaron con su menor exponente y se dividieron cada uno de los términos del polinomio entre el factor común que encontramos. 3. entonces será una diferencia de cuadrados. Ejemplo 4) Factorizar: x2 – 9 = (x + 3)(x – 3) Ejemplo 5) Factorizar: x4 – 81 = (x2 + 9)(x2 – 9) pero como en el segundo término aparece nuevamente el ejemplo 4) entonces se factoriza nuevamente x4 – 81 = (x2 + 9)(x + 3)(x – 3) En el ejemplo 4) como ambos tienen raíz cuadrada exacta se abren los paréntesis y se escribe en uno la raíz cuadrada de ambos sumándose y en el otro restándose. en un paréntesis sumándose y el en otro restándose. será un binomio. observamos los exponentes. contamos la cantidad de términos que tenga la expresión algebraica. Si es resta. Si estos son pares. 1. Para factorizarlos. se abren dos paréntesis y en uno de ellos se colocan las dos raíces. de igual forma en el ejemplo 5) pero como en el Centro Educativo Kinal . BINOMIOS DIFERENCIA DE CUADRADOS En este caso. Se saca la raíz cuadrada de cada término. Si tiene dos términos. 2. Si es suma. si se tienen dos términos y ambos tienen raíz cuadrada exacta y se están restando. sólo podrán ser exponentes mayores que dos.Segunda unidad: Álgebra 108 15) x(a + 1) – a – 1 17) 18) 19) 20) 21) 16) –m – n + x(m + n) 4m(a2 + x – 1) + 3n(x – 1 + a2) (x + y)(n + 1) – 3(n + 1) a(x – 1) – (a + 2)(x – 1) (x + m)(x + 1) – (x + 1)(x – n) (3x + 2)(x + y – z)–(3x + 2) Segundo: Si no existe factor común. que sólo puede ser suma o diferencia. factorizamos esta también m – 9m3 = m(1 – 9m2) = m(1 + 3m)(1 – 3m) EJERCICIOS Factorice completamente los siguientes ejercicios 1) 4 – 16x2 3) x2 – 1 5) 25x2 – 36 7) x2 – y4 9) y4z4 – 1 11) ax2 – ax4 13) 27x2 – 12 15) xy2 – xz4 2) 81y2 – 49 4) a2b2 – 4x2z2 6) 100c2 – 144 8) 9 – s2 10) 36x2 – 81 12) 2b2y4 – 8b2x2 14) 125x2y2 – 180z2 16) 8a2y – 8b2y3 Centro Educativo Kinal . Ejemplo 6) SOLUCIÓN Factorizar m – 9m3 Como sabemos que lo primero que buscamos es el factor común. Nota: La suma de cuadrados no es factorizable. en este caso sí existe el factor común que es la m m – 9m3 = m(1 – 9m2) como en el paréntesis me quedó otra diferencia de cuadrados.Matemática cuarto 109 segundo paréntesis nuevamente hay una diferencia de cuadrados se opera hasta llegar al resultado final. 7.Segunda unidad: Álgebra 110 17) x4y5 + yz4 19) 25y6 – 2500z4 18) a – ax4 20) 1 – a8 2.4 SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS Para identificar una diferencia de cubos. X3 + y3 X3 – y3 (x + y) (x – y) 2. X3 + y3 (x + y)(x2 – xy + X3 – y3 (x – y)(x2 + xy + Centro Educativo Kinal . Para factorizar cubos se procede de la siguiente manera: X3 + y3 X3 – y3 1. se escribe de la siguiente manera: 2.4 Se escribe el signo más.3 Se multiplican los dos términos. tomando en cuenta el paréntesis donde están las raíces del binomio. X3 + y3 (x + y)(x2 – xy X3 – y3 (x – y)(x2 +xy 2.Se abre otro paréntesis y dentro de él. X3 + y3 (x + y)(x2 – X3 – y3 (x – y)(x2 + 2.2 Se escribe el signo cambiado. se deben observar los dos términos.. X3 + y3 (x + y)(x2 X3 – y3 (x – y)(x2 2.1 Se eleva al cuadrado el primer término. los cuales deben tener raíz cúbica exacta.Se saca la raíz cúbica de los dos términos y estas raíces se colocan dentro de un paréntesis con el mismo signo que tiene en medio los dos términos. ya que 33 = 3 * 3 * 3 = 27. La raíz cúbica de x3 es x. por lo tanto 27x3 – 64y3 = (3x – 4y)(9x2 + 12xy + 16y2) EJERCICIO Factorice los siguientes ejercicios 2) 8 + a3 1) x3 – 27 3) 125m3 – 1 5) 512 + 27a3 7) x9 + y9 9) 27m3 – 64n9 4) 64 + 8x3 6) x3y6 – 216y9 8) 1000x3 – 1 10) 5a3 + 625b12 Centro Educativo Kinal . La raíz cúbica de 64 es 4 y de y3 es “y”.5 Se eleva al cuadrado el segundo término.Matemática cuarto 111 2. La raíz cúbica de 27 es 3. X3 + y3 (x + y)(x2 – xy + y2) X3 – y3 (x – y)(x2 + xy + y2) Ejemplo 7) Factorizar a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) Ejemplo 8) Factorizar 27x3 – 64y3 S olución: E x t r a e m o s l a r a í z c úb i c a d e 2 7 x 3 . Si tiene tres términos. Dichas raíces son 3x y 2. Para saber si un trinomio es cuadrado perfecto.7. observamos los extremos del mismo y vemos si tienen raíz cuadrada exacta.Segunda unidad: Álgebra 112 2. luego vemos que al multiplicar 3x * 2 y el resultado es 6x y el doble de 6x es 12x y como el término del medio es 12x. x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 Ejemplo 10) Factorizar 9x2 + 12x + 4 Solución: Sacamos la raíz cuadrada de los extremos que son 9x2 y 4. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 1. sí es trinomio cuadrado perfecto y para factorizarlo. Ejemplo 9) Factorizar x2 + 2x + 1 Los extremos que son x y 1 sí tienen raíz cuadrada exacta x2 + 2x + 1 x 1 Luego vemos que al multiplicar x * 1 = x y el doble de x es 2x. entonces sí es trinomio cuadrado perfecto 9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)2 Centro Educativo Kinal . escribiendo el mismo signo que tiene el segundo término y el paréntesis se eleva al cuadrado. Luego observamos el término del medio y si es el doble producto de las dos raíces cuadradas de los extremos. entonces vemos que sí es un trinomio cuadrado perfecto y escribimos las dos raíces cuadradas en un paréntesis.5 TRINOMIOS Tercero. sólo podrá ser trinomio. basta con escribir dentro de un paréntesis las dos raíces y este paréntesis se eleva al cuadrado. dependiendo de cómo hayan quedado los signos. procedemos a escribir dos paréntesis x2 – 5x + 6 = ( )( ) Luego escribimos la raíz cuadrada de la letra del lado izquierdo en los dos paréntesis x2 – 5x + 6 = (x )(x ) Centro Educativo Kinal .Matemática cuarto 113 EJERCICIOS: Factorice correctamente los siguientes ejercicios 1) x2+ 2x + 1 3) 9x2 – 12x + 4 5) y2 + 14y + 49 7) 25m2 + 10mn + 4n2 9) x2 – 18x + 81 2) 1 – 4x + 4x2 4) 16 + 8x + x2 6) m2 – 2mn + n2 8) 36a2 + 12ab + b2 10) 4m2 + 28mn2 + 49n4 TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c Al encontrar un trinomio que los extremos o alguno de ellos no tenga raíz cuadrada exacta. en este caso. luego se buscan dos factores del tercer término que al sumarse o restarse. den como resultado el segundo término. el signo que se obtiene al aplicar la ley de signos. entonces es trinomio de la forma x2 + bx + c. hacemos lo siguiente: Si el primer término no tiene coeficiente y el último no tiene raíz cuadrada exacta. Ejercicio 11) Factorizar x2 – 5x + 6 Solución: Como es un trinomio y el 6 no tiene raíz cuadrada exacta. luego escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tiene el segundo término y en el segundo paréntesis. abrimos dos paréntesis y colocamos la raíz cuadrada de la letra del lado izquierdo de cada paréntesis. Segunda unidad: Álgebra 114 Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tenga el segundo término y en el segundo paréntesis el signo que nos dé al aplicar la ley de signos x2 – 5x + 6 = (x . porque 4 3=1 Entonces x2 + x – 12 = (x + 4)(x – 3) Ejercicio 13) Factorizar x2 + 54x + 720 Solución: como el número 720 no tiene raíz cuadrada exacta. se buscan dos factores del 6 que al sumarse nos dé como resultado 5.) como los signos en los paréntesis quedaron iguales. x2 + 54x + 720 = (x )(x ) * 3 = 12 y 4 – Centro Educativo Kinal . escribiendo los dos paréntesis y del lado izquierdo la raíz cuadrada de la letra. Como es un trinomio y el 12 no tiene raíz cuadrada exacta. procedemos de igual manera. su coeficiente es uno. abriendo dos paréntesis y escribiendo del lado izquierdo en cada paréntesis x2 + x – 12 = (x )(x ) Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tiene el segundo término y en el segundo paréntesis el signo que nos dé la ley de signos x2 + x – 12 = (x + )(x ) Luego buscamos dos factores del 12 que al restarse den 1 por ser contrarios los signos. ya que sabemos que si la letra no tiene ningún número escrito. procedemos de la misma manera. ya que 2 * 3 = 6 y 2 + 3 = 5. Los dos números son 2 y 3.)(x . Escribamos siempre el número mayor en el primer paréntesis Entonces x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2) Ejemplo 12) Factorizar x2 + x – 12 Solución. Los factores del 12 son: 12 * 1 6* 2 4* 3 Los que cumplen con lo requerido son 4 y 3. Como en este caso no es fácil encontrar los números mentalmente. Probamos con otras combinaciones. el signo que dé la ley de signos. que sumados de 54. )(x + ) x2 + 54x + 720 = (x + Buscamos dos factores de 720 y como los signos son iguales. Descomponemos el 720 en sus factores primos 720 2 360 2 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 Luego buscamos los números que sumados den 54. en el primer paréntesis.Matemática cuarto 115 Luego. 720 2 360 2 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 * y los otros números 45 da 720. pues aunque 16 54. escribimos el mismo signo que tiene el segundo término y en el segundo paréntesis. No son estos números. Probamos primero con todos los números 2 juntos 2 * 2 * 2 * 2 = 16 3 * 3 * 5 = 45. 16 + 45 no da Centro Educativo Kinal . haciendo diferentes combinaciones. procedemos de la siguiente manera. 1) x2 + 8x + 15 3) x2 + 15 + 50 5) x2 + 3x – 4 7) x2 – 7x + 12 9) x2 – x – 30 2) x2 + 9x + 18 4) x2 + 5x – 24 6) x2 – 8x + 12 8) x2 – x – 72 10) x2 + x – TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c Si la expresión algebraica tiene 3 términos y el primer término tiene coeficiente numérico. entonces será trinomio de la forma ax2+ bx + c Ejemplo 14) Factorizar 3x2 – 5x – 2 Solución: Al buscar factor común no tiene. pues 24 Entonces nos queda 30 = 720 y 24 + 30 = 54 x2 + 54x + 720 = (x + 30)(x + 24) Ejercicios: Factorice las siguientes expresiones algebraicas. Es un trinomio porque tiene tres términos. No es cuadrado perfecto. Colocamos entonces los dos paréntesis. sólo que ahora escribimos también el número que está con la x2 en el lado izquierdo de los dos paréntesis. puesto que los extremos no tienen raíz cuadrada. pues entre 3 y 5 no hay nada en común y el último término no tiene letra. 3x2 – 5x – 2 = (3x )(3x ) Centro Educativo Kinal .Segunda unidad: Álgebra 116 2 2 * * 2 3 * * 2 * 3 = 24 5 = 30 * Los números son 24 y 30. ahora tenemos que dividir por 3 en el paréntesis que se pueda. en este caso se puede en el primero  3x  6  3x2 – 5x – 2 =   (3x + 1)  3  Nos queda 3x2 – 5x – 2 = (x .Matemática cuarto 117 Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tiene el segundo término y en el segundo.6)(3x + 1) Como habíamos multiplicado por 3.2)(3x + 1) OTRA FORMA DE FACTORIZAR 3x2 – 5x – 2 se sacan los factores de los extremos 3x2 – 5x – 2 3x x 2 1 luego buscamos los signos. 3x2 – 5x – 2 – + 3x x 2 1 Centro Educativo Kinal . el signo del segundo término permanece y el otro signo es el que nos dé la ley de signos. el signo que nos dé la ley de signos 3x2 – 5x – 2 = (3x )(3x + ) Luego multiplicamos el número que está con la x2 y el último término 6 3x – 5x – 2 = (3x 2 )(3x + ) Ahora buscamos dos números que nos dé como resultado 6. y restados 5. por ser contrarios los signos. como en el caso anterior. 3x2 – 5x – 2 = (3x . que fue el producto de 3 * 2. luego multiplicamos los números de los extremos 6 y 2 12 6x – 7x + 2 = (6x . 3x2 – 5x – 2 – + 3x 2 = 6x x 1 = x la flecha me indica cuales son los factores que multipliqué. de los factores que ya tenemos. entonces al 2 se le escribe el signo – 3x2 – 5x – 2 – + 3x –2 = – 6x x 1 = x ahora los agrupamos pero no con el que se multiplicó sino con el otro 3x2 – 5x – 2 = (3x + 1)(x – 2) Ejemplo 15) Factorizar 6x2 – 7x + 2 Solución: Procedemos de la misma forma que los anteriores. 6x2 – 7x + 2 = (6x .)( 6x – ) 2 Centro Educativo Kinal .)( 6x – ) Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tenga el segundo término y en el segundo paréntesis el signo que nos dé la ley de signos.Segunda unidad: Álgebra 118 Como los signos que quedan son contrarios. dos productos que al restarse del como resultado el término de en medio del trinomio. darnos cuenta que es un trinomio sin factor común Escribimos los dos paréntesis y del lado izquierdo de cada paréntesis. para no escribirlos en el mismo paréntesis y el número mayor del resultado debe llevar el mismo signo del segundo término 3x2 – 5x – 2 + 3x 2 = – 6x x 1 = x como – 6x salió de multiplicar 3x por 2. buscamos. el 6. Matemática cuarto 119 A continuación buscamos 2 números que multiplicados nos den 12 y sumados 7 6x2 – 7x + 2 = (6x . pero como en ningún paréntesis se puede. 6x2 – 7x + 2 – – 3x 2x 2 1 = = 3x 4x Centro Educativo Kinal . En el primero podemos dividir por 2 y en el segundo por 3  6 x  4  6 x  3  6x2 – 7x + 2 =     2  3  6x2 – 7x + 2 = (3x . como en el caso anterior. dos productos que al sumarse den como resultado el término de en medio del trinomio. de los factores que ya tenemos.4)( 6x – 3) Los números son 4 y 3. que son 2 y 3. el signo del segundo término permanece y el otro signo es el que nos dé la ley de signos. buscamos. 6x2 – 7x + 2 – – 3x 2 2x 1 Como los signos que quedan son iguales.2)(2x – 1) la otra forma 6x2 – 7x + 2 se sacan los factores de los extremos 6x2 – 7x + 2 3x 2 2x 1 luego buscamos los signos. buscamos dos factores del 6. Ahora procedemos a dividir por 6. Ahora buscamos en cual paréntesis se puede dividir por 2 y en cuál por 3. para no escribirlos en el mismo paréntesis. 1) 3x2 – 13x – 10 3) 5x2 + 18x – 8 5) 2x2 + 13x – 7 7) 6x2 – 7x – 20 9) 10x2 – 9x – 9 11) x2 – 14x + 49 13) a2 + 10ab + 25b2 15) m2n2 – 50mnx + 625x2 17) x2 +2ax – 15a2 19) 25x2 – 25x – 84 21) 5x2 + 13x – 6 23) 21x2 + 11x – 2 25) x2 – 24xy + 144 2) 2x2 – 3x – 9 4) 6x2 + x – 5 6) 7x2 – 44x + 12 8) 12x2 – 5x – 2 10) 12x2 – 5x – 28 12) x2 + 12xy + 36y2 14) 1 + 2c + c2 16) x4 + 5x2 + 4 18) 5 + 4x –x2 20) 2x2 + 3x – 2 22) 12m2 – 13m – 35 24) 44n + 20n2 – 15 26) 48 + 2x2 – x4 Centro Educativo Kinal . se deben multiplicar cruzados y si así tampoco da el resultado. Ejercicios: Factorice completamente las siguientes expresiones algebraicas. como los signos son iguales. puede ser por dos razones. Que no sea factorizable o sean otros factores cuando los coeficientes tienen varios factores. tiene que escribirse el mismo signo en los dos términos 6x2 – 7x + 2 – – 3x 2x –2 –1 = – 3x = – 4x ahora los agrupamos pero no con el que se multiplicó x2 – 7x + 2 = (3x – 2)(2x – 1).Segunda unidad: Álgebra 120 la flecha me indica cuales son los factores que multipliqué. En este caso. Puede notarse que si al multiplicarlos en línea no da el resultado. estén con signo contrario al que tenían inicialmente. la letra m. procedemos a sacar el factor común de cada paréntesis am + bm – 5a – 5b = m(a + b) – 5(a + b) Centro Educativo Kinal .6 AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Cuando vamos a factorizar una expresión algebraica que no tenga factor común. Como ya sabemos cómo se factorizan binomios y trinomios.Matemática cuarto 121 27) m2n4 – 4mn2x + 4x2 29) m2 + abcm – 56a2b2c2 31) a2 + 2axy – 440x2y2 33) x4y2 – 81y2 28) 30x4 – 91x2 – 30 30) 27ab – 9b2 –20a2 32) 4x2 – 36 Cuarto: 2. contamos la cantidad de términos que contenga: si tiene dos términos es binomio. si tiene 3 es trinomio. y los segundos. en este caso vemos que tienen en común los primeros dos. ya que éste es diferente. Ejemplo16) Factorizar am + bm – 5a – 5b Solución: Primero buscamos si hay factor común. Procedemos a contar la cantidad de términos y vemos que tiene 4. am + bm – 5a – 5b = (am + bm) – (5a + 5b) Ya que tenemos los términos agrupados. el número cinco. procedemos a agrupar términos de manera que nos queden agrupados los que tengan términos semejantes entre sí.7. ya que no hay nada que esté en todos los términos. la factorizaremos agrupando los términos en paréntesis. pero como el signo que tiene el término que vamos a escribir de primero en el paréntesis es negativo. escribimos este signo afuera del paréntesis y éste nos hará que todos los términos que se escriban dentro del paréntesis. Agrupamos entonces (am + bm) y en el otro paréntesis –5a y –5b. si tiene más de 3 términos. pero no tiene. términos que contengan entre sí factores comunes. El uno tiene cualquier raíz. los cuales deben tener los siguientes requisitos: El segundo debe ser el triple producto de la raíz del primer término elevado al cuadrado multiplicado por el segundo. Para identificarla. no es una agrupación. siempre su resultado será uno. la raíz cúbica de x3 es x y la raíz cúbica de 1 es 1 3(x2)(1) = 3x2 Sí coincide Centro Educativo Kinal . ya que cuantas veces lo multipliquemos por él mismo. ya que su exponente es 3. am + bm – 5a – 5b = (a + b)(m – 5) EJERCICIO: Factorice completamente las siguientes expresiones algebraicas 1) x3 – 4x2 + x – 4 2) 3x + 3y – x2 – xy 3) y3 + 3y2 – 2y – 6 5) y2 – 3y + xy – 3x 7) x2 + 6xy + 9y2 + 2x + 6y 9) x2 – 2xy + y2 + 3x + 3y + 2 4) 9a2 + 4b2 – 12b – 9 6) y2 + 4xy + 4x2 – 3y – 6x 8) a2 – 2ab + b2 – c2 + 4cd – 4d2 10) am – an – bm + bn 2. entonces este es el factor común. no será agrupación de términos. en este caso.7. Vemos entonces los términos del medio. lo escribimos en un paréntesis y en otro lo que se encuentra afuera de él. observamos los extremos y vemos que el primero tiene raíz cúbica.Segunda unidad: Álgebra 122 Luego vemos que nos quedó el paréntesis igual. observamos los extremos y si estos tienen raíces cúbicas. Ejemplo 17) Factorizar x3 + 3x2 + 3x + 1 solución: Vemos que hay cuatro términos.7 CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Algunas veces nos encontramos con expresiones que a pesar de tener cuatro términos. Entonces escribimos las dos raíces cúbicas en un paréntesis con el mismo signo que tenga el segundo término y lo elevamos al cubo x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3 EJERCICIO 1) 27 – 27x + 9x2 – x3 3) 8 + 12x2 + 6x4 + x6 5) 125x3 – 1 – 75x2 + 15x 7) x9 – 9x6y4 + 27x3y8 – 27y12 8) 1 + 18a2b3 + 108a4b6 + 216a6b9 9) 3a12 + 1 + 3a6 + a18 10) m3 – 3am2n + 3a2mn2 – a3n3 PROBLEMAS DIVERSOS Factorice completamente los siguientes ejercicios 1) 4 – 9m2 2) 9m2 + 6m + 1 3) 6x2 – 5x + 1 5) 5x3 – 20x 7) 6x3 – 5x2 + x 9) 2u4 – 7u2 + 5 11) (a + 2b)2 – 3(a + 2b) – 28 13) (a + 3b)4 – 1 15) x2 – 6xy + 9y2 + 4x – 12y 17) 9x4 – 24x2y2 + 16y4 – y2 19) x4 – 3x2y2 + y4 4) 6x2 – 5x – 6 6) 3x2 – 18x + 27 8) 4x5 – 32x2 10) x3y2 + 2x2y3 + xy4 12) (2a + b)3 – 8 14) x2 + 4xy + 4y2 – x2y2 16) x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y + 2 18) 9x4 + 15x2y2 + 16y4 20) 8x2(x – 2) + 8x(x .Matemática cuarto 123 El tercer término debe ser el triple producto la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo elevado al cuadrado 3(x)12 = 3x.2) + 2(x – 2) 2) 1 + 3a + 3a2 + a3 4) m3 – 3m2n + 3mn2 – n3 6) 8 + 36x + 54x2 + 27x3 21) (x + 3)2(x + 2)3 – 20(x + 3)(x + 2)2 22) (x – 3y)(x + 5y)4 – 4(x – 3y)(x + 5y)2 23) x2n + 3xn + 2 24) xn+3 + 5xn + x3 + 5 Centro Educativo Kinal . ya que 3 * x = 3x y 12 = 1 * 1 = 1 y 3x * 1 = 3x También coincide el tercer término. tanto el numerador como el denominador deben de estar escritos como un producto. se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. es decir.2. 6x  x  y  2 3x  x  y  2  3 x  x  y  x  y 3 . es eliminar numeradores con denominadores.   4.8 SIMPLIFICACIÓN ALGEBRAICAS DE FRACCIONES Simplificar es llevar fracciones algebraicas a su más mínimo expresión. 4*4 Por ejemplo.x  x  y   x y 2x Centro Educativo Kinal . pues no es lo mismo si eliminamos un 4 con un 4. 4 4 Para simplificar una fracción. ya que nos queda un 4 y al efectuar la 44 8  2 suma el resultado es 2. no se pueden eliminar. ya que aunque efectuemos la 4 * 4 16 multiplicación. que toda la expresión debe ser una multiplicación. dicho en otras palabras. Se obtiene así otra fracción equivalente. por lo tanto procedemos a factorizar tanto el numerador como el denominador y teniendo las expresiones factorizadas. 4 4 44 Pero si en lugar de multiplicación tenemos una suma 4 En este caso no se pueden eliminar. si tenemos la expresión 4 En este caso podemos eliminar un 4 de arriba con un 4 de abajo y nos queda como resultado 4. pero para que esto sea posible. Ejemplo1: Simplificar 3x 3  6 x 2 y  3xy 2 6x 3  6x 2 y Solución: Sabemos que no se pueden eliminar términos sino solo factores. x . ya que sumas y restas. procedemos a eliminar factores que sean iguales uno de arriba con uno de abajo.Segunda unidad: Álgebra 124 2. x2  x 3. aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar.Matemática cuarto 125 Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. simplificamos directamente o buscamos los factores de cada término para eliminarlos 15a 2 3. por tanto hay que factorizar ambas cosas. 5 . Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos. a . y 2 y 12 xy 3   18 x 4 y 2 2 . 5 . 3. por lo tanto antes de simplificar hay que factorizarlo. yx  y En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el denominador. x  2 x  1 . y 2 3x3 2.a 5a 2 . x3 2 3 Ejemplo 2: Simplificar x  x Sollución: Como vemos el denominador es un polinomio. 2 Centro Educativo Kinal .2. o sea una suma. x .x 3 . 25a Como tenemos un término arriba y un término abajo.x  2  2  2 3 x x x 1  x  x 1  x  1  x Más ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas 15a 2 3 1. Podemos Sacar factor común x en el numerador y “y” en el denominador x 2  x x  x  1 x   yx  y y  x  1 y x 1 4.3. pero el denominador si se puede factorizar ya que es el un trinomio cuadrado perfecto. 2 En este caso el método adecuado es sacar factor común x así x x3 x3 x 2 . x . y 2 . 3. a 2 3   3 2 25a 5. 20 x 2  17 x  3 2x 2  5x 3 1) 2) 5x 2  8x  3 x2  9 3) x2  14x  49 x 2  49 x  xy x 9x 2  1 9 x 2  3x  2 2x 2  x  1 3x 2  4 x  1 a 3  27 a 2  6a  9 27 x 3  9 x 2 27 x 3  81x 4 20 x 2  13x  15 12 x 2  13x  35 b3  b 2c b2  c2 3x 4  11x 2  4 6x 4  x 2  1 4) x3  8 x 2  4x  4 5) 6) x 2  4x  4 x2  4 3x 3 3x 3  6 x 2 x 2  2x  8 x 2  3x  4 18 xx 2  45 x  8 18 x 2  33 x  40 6  5x  x 2 x2  7x  8 x 3  3x 2  3x  1 x2 1 x 2  5x  6 x2  4 2(x  y)2  (x  y) 6 2(x  y)2  5(x  y) 12 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) Centro Educativo Kinal .Segunda unidad: Álgebra 126 x 1 x 1 x 1 1    2 x  2 x  1  x  1  x  1  x  1 x  1 2 x 1 2 5. x  1 . aquí sólo podemos factorizar el denominador. que se trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por la diferencia de sus raíces EJERCICIO: Simplifique las siguientes expresiones algebraicas. escribimos el que tiene mayor exponente y luego dividimos por cada denominador y lo que nos queda lo multiplicamos por su respectivo numerador Como el trinomio que nos quedó no se puede factorizar. se factorizan y luego se escribe el denominador común. buscando un denominador común Ejemplo1 : Simplificar a) Solución : Como en estos casos el denominador de las dos fracciones es igual. b) Cuando los denominadores son diferentes y se pueden factorizar. solamente lo copiamos 6 3x  2 x 4 x 4 2 b) 4 s  5s  2 5s  2 a) b) 4 s 4s   5s  2 5 s  2 5s  2 Ejemplo 2 Simplificar a) 5 2x  1 x  5   3 x x2 x b) t 4t 18   2 t 3 t 3 t 9 Solucion: a) Cuando tenemos iguales denominadores pero con diferentes exponentes. el que contenga a todos los denominadores luego se procede de igual forma que los anteriores Centro Educativo Kinal . se procede de igual forma que en artimética. es decir. así se queda la respuesta.Matemática cuarto 127 SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES Para sumar o restar fracciones algebraicas. 2 . únicamente se multiplican numeradores con numeradores y denominadores con denominadores factorizándolos antes de multiplicarlos para poder eliminar factores comunes Centro Educativo Kinal .2 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Para multiplicar fracciones algebraicas no es necesario buscar un denominador común.Segunda unidad: Álgebra 128 4 18 t t (t  3)  4t (t  3)  18 t 2  3t  4t 2  12t  18 5t 2  9t  18   2     (t  3)(t  3) (t  3)(t  3) (t  3)(t  3) t 3 t 3 t 9 (5t  6)(t  3) 5t  6  (t  3)(t  3) t 3 Ejercicios Resuelva las siguientes operaciones y simplifíquelas 6 2 5 x 1 1) 2)   x x x x3 x3 3x  x 2 3x 2  x 4x 3 .2 4) 3) 2 4x  3 4x  3 8x  2 x  1 8x  2 x  1 x  6 3 x  10 3x  2 4 x  1  5) 6) 6x 8x 9x 2 15 x 2 4 3 2 7) x 2 8) x 1 x2 x2 2 x2 4x x 9) 10)   2 x  1 x2  1 x 4 x2 x6 3 7x 18  11) 12)  2 2 2 x  2x  8 x  4 x  x  12 x  9 x 3 2 3x  4 6  2 13) 14)  2 2 2 x  2 x  8 x  x  12 x  3x  2 x  x  2 x6 5x  1 2x  2 7 x  14 15) 16) .8.2 2 2 x  2 x  3 x  5x  6 3x  10 x  8 3x  x  2 4x  4 3 4 2x 2 1   17) 18) 2 2 x 4 x2 x2 x 9 x3 x 3 x  14 18 2 10 4 x  10 3  20) 2  2 19) 2 x  2 x  8 x  2 x  24 x  2 18 x  21x  4 3x  4 6 x  1 2. Matemática cuarto 129 Ejemplo: Simplificar Solución 9x 2  4 9x 4  6x3  4x 2 * 3x 2  5 x  2 27 x 4  8 x 9x 2  4 9 x 4  6 x 3  4 x 2 (3 x  2)(3 x  2) x 2 (9 x 2  6 x  4)     (3 x  2)( x  1) x(27 x 3  8) 3x 2  5 x  2 27 x 4  8 x (3 x  2)(3 x  2) x 2 (9 x 2  6 x  4) x  * 2 (3x  2)( x  1) x(3x  2)(9 x  6 x  4) x  1 EJERCICIO Simplificar: 12 x 2  21x 12 x  8  1) 24 x  16 42 x  63 2) 7 x 3  42 x 2 15 x  30  2) 2 3x  6 x 14 x 2  84 x 4) x 2  3x  2 x3 y 2  2 x4 y x  4x  3 x 2  x  6 x 2  2x  3  x 2  5x  6 x 2  4 x  5 x 2  24  2 x x 2  36  5 x  x 2  16  8 x x 2  54  15 x xy 5 x 2  3x  4  x 2  6x  8 xy 2 x 2  6 x  9 x 2  9 x  20  x 2  7 x  12 x 2  8 x  15 x 2  20  9 x x 2  42  13x  x 2  40  13 x x 2  28  11x 5) 6) 7) 8) x 2  10 x  24 x 2  2 x  48 24 x 2  xy  3 y 2 9 x 2  36 xy  32 y 2  10)  2 9) 9 x 2  21xy  8 y 2 24 x 2  41xy  12 y 2 30  x  x 2 x  12 x  32 Centro Educativo Kinal . 8.Segunda unidad: Álgebra 130 2. por esta razón únicamente se invierte el divisor y se procede de igual forma que las multiplicaciones. Ejemplo Simplificar: 5a 2  12a  4 25a 2  20a  4  a 4  16 a 2  2a Ejercicios: Simplificar: 1) 6a 2 b 3 15a 2 b  8 x 2 y 6 12 xy 3 a 3b 4  a 2 b 3 a 4 b    * x 4 y  xy 2 x 2 y 3    2) x6 y8 z 9 x5 y8 z 7  a 3 b 2 c 5 a 4 b 6 c10 3) xy 4  a 2 b 3 x 2 y 3  4) 3 2   3 *  x y ab 5   a b   5) 3a 2 b  ab 2 6a 2  2ab  x4 x2 6) x x3  2 2 14a  21a b 6a  9ab 3 7) x3  x x3  x2  2 x 2  x x  2x  1 x 2  2x  8 x 2  4x  4  x 2  3x  4 x 2  6 x  8 8) 3 x 2  12 x3  2x 2  2 x 2  4x  4 x  2x x 2  7 x  18 x 2  11x  24  x 2  6 x  27 x 2  5 x  24 9) 10) Centro Educativo Kinal .3 DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS La división es la multiplicación invertida. Matemática cuarto 131 Ejercicios variados Simplifique las siguientes fracciones algebraicas. 6 x 2  7 x  10 12 y 2  3 y 1) 2) 6 x 2  13x  15 20 y 2  9 y  1 3) 10 x 2  29 x  21 5 x 2  23 x  12 6  7a  5a 2 10a 2  a  3 4x 3  9x 10 x 4  11x 3  6 x 2 9t  6 4t 2  9 * 8t 3  27 12t 2  10t  12 5 x 2  12 x  4 25 x 2  20 x  4  x 4  16 x 2  2x p 4  3 p 3  8 p  24 p 3  2 p 2  9 p  18 1 1    h  2 x  2h  3 2 x  3  ( x  h)  2  x  2 h a b b a 1 1 b b 5  x 1 x  x 1 2x x3 7 x3 4) 4 z 2  12 z  9 2 z 2  3z 6 y  5 y2 25 y 2  36 16 x 4  8 x 3  x 2 4 x 3  25 x 2  6 x a 2  4a  3 3a 2  2a * 2 3a 2  a  2 2a  13a  21 x3  8 x  3 2 x 4 x 8 2 xy  yz  6wx  3wy 6 xz  2 wx  3 yz  wy 7 7     h  5 x  5h  2 5 x  2  4x 5 2 + 2 7 x  3 2 x  1 14 x  x  3 1 -5 x 1 1 -x x 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 1 1 + y x 23) r s s r Centro Educativo Kinal . . Matemática cuarto 133 Centro Educativo Kinal . Tercera unidad: Ecuaciones 134 Centro Educativo Kinal .  Plantear y resolver ecuaciones. utilizando en cada caso el método que mejor convenga. resolver situaciones de la vida cotidiana e interpretar las soluciones.  Simplificar expresiones y fórmulas mediante las reglas de uso de los paréntesis y de la jerarquía de las operaciones.  Reconocer dos ecuaciones equivalentes.  Clasificar las ecuaciones según el número de soluciones.  Reconocer un valor dado como solución de una ecuación.  Trasladar al lenguaje simbólico frases sencillas de contenido numérico y viceversa. Centro Educativo Kinal .Matemática cuarto 135 OBJETIVOS  Conocer el lenguaje algebraico para representar.  Reconocer ecuaciones y diferenciarlas de expresiones algebraicas. Observe que la expresión algebraica no tiene la igualdad mientras que la ecuación si. es decir. la condición del problema se expresa en forma de ecuación algebraica. se deben dejar de un lado del signo igual todos los términos que contengan variables y del otro lado. En muchos problemas matemáticos. a cualquier elemento del conjunto de números o elementos sobre el que se plantea la ecuación que cumpla la condición de satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos. el primer miembro es el que aparece antes del signo de igualdad. Se deben transponer términos. y el segundo miembro es el que aparece en segundo lugar. 5x – 3 = 2x – 5 Ecuación lineal 2 x – 5x + 6 = 0 Ecuación cuadrática x2 – 5x + 6 Expresión algebraica. es decir. los términos independientes. aunque es perfectamente válido permutarlos). Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones se denominará Inecuación.1 Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada expresión (denominados miembros de la ecuación. Estas últimas expresiones se llaman identidades.Tercera unidad: Ecuaciones 136 3. Centro Educativo Kinal . Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se deben seguir los siguientes pasos: 1. También puede ser que todo valor posible de la incógnita valga. que únicamente sean números. se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad. es decir. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten las mismas soluciones. es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. Términos independientes se le llama a todos los términos que no tengan letra. 2. deberá pasar. al pasar del otro lado. Haciendo la operación inversa x+3=5 x =5-3 x =2 Como se observó. pasarán haciendo la operación inversa de lo que hacían en su lugar original 2. tal y como se mostrará en el siguiente ejemplo: (Ecuación original) (Sustituyendo x = 2) Centro Educativo Kinal . Para comprobar el valor se reemplaza en la ecuación original el valor encontrado. x+3=5 2+3=5 5=5 Se pueden tener casos en donde en ambos lados de la igualdad se encuentren incógnitas y números. Si están sumando. 2. pasarán del otro lado multiplicando Si están como una potencia. 2. pasará del otro lado como una potencia. pasarán del otro lado dividiendo Si están dividiendo. pasarán del otro lado restando Si están restando. pasó restando al 5.4. 2. Todos los términos que cambien de lado. Ejemplo 1 Dada la ecuación x + 3 = 5 Éste que es el ejemplo más sencillo.Matemática cuarto 137 2. Se pasó del otro lado.1.6.3. pasará del otro lado como un radical. 2. el tres estaba al principio sumándose con la x. 2. como se muestra a continuación. se hace lo siguiente para encontrar el valor de la variable (en este caso x): Solución: Se procede a dejar de un lado del signo igual la variable y todo lo que pase del otro lado. pasarán del otro lado sumando Si están multiplicando. porque no tenía letra y se encontró de este modo el valor de x.5. Si está como un radical. al cual se le llama coeficiente. pasa a dividir al número que está del otro lado del signo de igualdad.Tercera unidad: Ecuaciones 138 Ejemplo 2 Resolver la ecuación 5x + 7 = 3x + 11 SOLUCIÓN Principiamos transponiendo términos. Este número o coeficiente. se cumplió la igualdad. Ejemplo 3 Otro caso que se puede dar a la hora de resolver una ecuación. Dada la Ecuación: 5x + 3(5x + 2) = 12 – 2(3x . las letras de un lado y los números del otro.36) Solución: En este caso se realizan primero las operaciones indicadas por los paréntesis. ya que afectan a unos términos de la igualdad y evitan que se pueda despejar la literal. 5x + 7 = 3x + 11 5x – 3x = 11 – 7 2x = 4 Como se puede observar la literal quedó acompañada de un número que la multiplica. de lo contrario se deja expresada como fracción simplificada 2x = 4 x = 4 2 x=2 Para comprobar se sustituye el valor por la literal y se opera: 5(2) + 7 = 3(2) + 11 10 + 7 = 6 + 11 17 = 17 Como se podemos ver. y se realiza la operación si se puede. Debiendo tener cuidado que lo que está sumando de un lado. 5x + 15x + 6 = 12 – 6x + 72 Centro Educativo Kinal . pasará restando en el otro y se reducen los términos semejantes. Como se hizo en el ejemplo anterior. sustituyendo x = 3 5(3) + 3[5(3) + 2] = 12 – 15 15 15 2[3(3) – 36] + 3(15 + 2) + 3(17) + 51 66 = 12 – 2(9 – 36) = 12 – 2(-27) = 12 + 54 = 66 EJERCICIO Resuelva las siguientes ecuaciones. transponiendo términos dejando de un solo lado las variables y del otro los términos independientes 5x + 15x + 6x = 12 + 72 – 6 26x = 78 78 x 26 x=3 Para asegurarse que el valor encontrado es correcto se hace la prueba. y el –2 se multiplicó por el 3x y –36. como se ve el resultado final de éste lado se tomo en cuenta la ley de signos. en el primer lado de la igualdad. tomándose en cuenta la ley de signos.Matemática cuarto 139 El tres se multiplicó por 5x y por 2. 1) 4x = 12 2) 3x = 6 3) 5x = 20 4) 2x = 6 5) 6x = 12 6) 6x = 6 7) 4x = 4 12) 8) 6x = 2 9) 16x = 8 10) 20x = 40 11) 1 x=3 2 1 x=1 4 Centro Educativo Kinal . 2 35) 0.8y = 3 33) 0.1x = 0.6x = 0.1 38) 0.33 7 19) s  6 8 20) 5 z  10 9 3 6 w 5 7 21) 9 3 22) x 10 5 23) 4 6 z 5 7 9 8 24) y 11 11 25) 1 3 x 5 7 Centro Educativo Kinal .5x = 2 34) 5x = 0.25 39) 0.3 36) 0.Tercera unidad: Ecuaciones 140 13) 3 x9 5 3 x  21 5 4 x2 6 7 x7 9 6 x3 11 3 y6 5 26) 6 5 y 7 8 5 7 y 9 18 1 6 w 9 15 7 1 y 15 5 1 1 y 3 3 14) 27) 15) 28) 16) 29) 17) 20) 18) 31) 0.25 37) 2x = 0.5y = 0.36 40) 0.11z = 0.2x = 2 32) 0.3y = 0. Matemática cuarto 141 EJERCICIO Resolver las siguientes ecuaciones. 1) 4x + 3x = 21 2) 5x + x = 24 3) 3x + x = 12 4) 2x + 3x = 15 5) 4x – x = 12 6) 3x – x = 8 7) 5x – 2x = 15 8) 8x – x = 28 9) 10x – 12x = 1 10) 9x – 12x = 3 11) 10x – 3x = 14 12) 9x – 2x = 14 13) 25x – 20x = 4 14) 8x – x = 1 15) 5x – 4x = 3 16) 6x – 5x = 4 17) 6x – 7x = 5 18) 8x – 9x = 2 19) 5x – 6x = 4 20) x – 2x = –6 21) x – 3x = –6 22) 3x + 2x + x = 18 23) x + 2x + 5x = 24 24) 2x + 5x + x = 4 25) 14x + x + 2x = –3 26) 4x – 2x + x = 4 27) x – 2x + x = 5 28) 4x – 5x + x = 6 29) 2x + x – 3x = 4 30) 4x + 2x – 6x = 8 31) 4x-3= x+3 32) 3x+2=3-2x 33) x + 5 = 6 – 2x 34) 5 – 2x = 8 + x 35) 3x – 2 = 10 – x 36) 5x + 3 = 2x .3 37) 8x – 5 = 6x + 5 38) 4x – 1 = 2x + 5 39) 5x + 8 = 2x – 4 40) 10x + 5 = 3x – 9 41) 6x + 3(x + 1) = 8 42) 4x + 4(x – 2) = 0 Centro Educativo Kinal . Si se nos ha olvidado.Tercera unidad: Ecuaciones 142 43) 5x + 3[-4 + 3(5x + 2) –x] = 0 44) 4x – 3 = 5[x – 3{4x + 1}] + 6 45) 3x – (5x + 2) = 9[-x + 2(x + 3)] 46) 6x – 3 + 4x = 8x – 2(x – 2) 47) 25x + 3 = 8x – 3{x + [x + 2(3 – 5x)+1]} 48) 3x + 4(5x + 3) = 2(5x + 3) – 2 3.1 Ecuaciones con coeficiente fraccionario En estas ecuaciones son las que llevan números racionales. Se busca el común denominador entre los números de la siguiente forma: 7 9 5 7 1 9 5 5 1 9 1 3 1 3 1 3 1 1 1 315 2do paso. para resolver éste tipo de ecuaciones se procede de igual forma que para hacer sumas y restas de fracciones aritméticas. en donde no aparezcan denominadores los multiplicamos por el entero. Ejemplo 1 5 x 15 2 x   2 7 5 9 Como se puede observar existen denominadores en la igualdad.1. se siguen los siguientes pasos: 1er paso. Centro Educativo Kinal . Ahora colocamos el común denominador y lo dividimos entre los denominadores que aparezcan y lo multiplicamos por el numerador. para resolver esta ecuación se hace lo siguiente: 1er. Paso. quedando de la siguiente manera. Ejemplo 2 5  2 x 4 x  9 10   5 x x2 Como se puede observar existen denominadores con letras y con números. porque ya lo hemos trabajado: 225x + 945 = 70x – 630 315 Al haber trabajado esto lo tomamos como se han trabajado las ecuaciones anteriores: 225x – 70x = -630 – 945 155x = -1575 x = -1575 155 315 x 31 Al tener éste resultado realizamos nuevamente la prueba para estar seguros. Paso. Se busca el común denominador entre números. quedando de la siguiente forma: 5x2 Centro Educativo Kinal .Matemática cuarto 143 315 315 315 315  7 * 5x = 225x  5 * 15 = 945  9 * 2x = 70x * 2 = 630 Lo trabajado anteriormente es para observar paso por paso como es que va a quedar en la ecuación. 2do. como se puede observar solo aparece la literal “x”. anulando el denominador. Se busca el común denominador entre letras. entonces se toma con su mayor exponente. en este ejercicio solamente tenemos el 5. Tercera unidad: Ecuaciones 144 3er. 5x(5 + 2x) = 25x + 10x2 Ahora hacemos lo mismo para el siguiente término 5x2  x2 Al realizar esta operación nos podemos dar cuenta de que se elimina la x2 y queda como resultado solamente el 5 5x2  x2 = 5 Ahora este resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador 5(4x + 9) = 20x + 45 Por último tomamos el último denominador y hacemos lo mismo pasos anteriores: 5x2  5 = x2 Luego lo multiplicamos por su numerador x2 * 10= 10x2 Centro Educativo Kinal . Como el denominador de 5 + 2x es “x” y ya la dividimos entre 5x2 que es el común denominador a toda la ecuación y el resultado nos dio 5x lo multiplicamos por 5 + 2x. Paso. 5x2  x Como podemos observar aquí se elimina una equis con el cuadrado y queda como resultado 5x 5x2  x = 5x Ahora este resultado lo multiplicamos por el numerador que le corresponde. Dividimos el común denominador entre cada denominador y luego el resultado lo multiplicamos por el numerador. realizamos la verificación sustituyendo el valor en la ecuación original 5 + 2x + 4x + 9 = 10 x (Sustituyendo x = -1) (-1) 5 – 2 + -4 + 9 = 10 -1 1 5 3 + 5 = 10 -1 1 5 -3 + 5 = 2 2 = 2 El dos de la igualdad salió de dividir 10 entre 5. x2 5 (-1)2 5 5 + 2(-1) + 4(-1) + 9 = 10 Operando nos queda lo siguiente: Centro Educativo Kinal . para comprobar si la solución que encontramos es correcta. 5x(5 + 2x) + 5(4x + 9) = 10x2 5x2 Ahora trabajamos con lo que nos quedó sobre la línea operando las multiplicaciones correspondientes: 25x + 10x2 + 20x + 45 = 10x2 Ahora dejamos todas las literales de un lado de la ecuación y los números del otro lado y operamos: 25x + 10x2 + 20x – 10x2 = -45 Como se puede observar se eliminan los términos que llevan la x2 y nos queda una ecuación lineal 45x = -45 x  45 45 x = -1 Ahora.Matemática cuarto 145 Al colocarlo sobre la línea queda de la siguiente forma y como ya esta trabajado el denominador lo eliminamos colocándole una línea. Tercera unidad: Ecuaciones 146 Ejercicios: Resuelva correctamente las siguientes ecuaciones encontrando el valor de la variable. 1) 3 1 7 x x  5 10 5 2 5 44 x x  1 3 9 9 12) 4 6 x  3x  x  11 7 7 5 2 y  2 y  y  4 9 18 1 5 x x 8 2 6 2) 13) 14) 3x  3) 3 43 x  8x  5 5 6 3 y y 9 7 7 15) 234 5 3 z  z  8z   7 5 5 1 4 1 1 x x x   4 5 2 2 5 5 y  y  69 4 7 4) 16) 17) 3 y  5) 4 3 37 x x  7 4 4 5 z  4 z  37 8 4 3 2 x x  7 5 35 6 7 5 x x 11 22 11 3 2 y y 3 5 5 1 1 x x 7 2 3 2 4 2 24 x x x  7 5 5 7 18) 3 2 y  2 y  y  17 4 5 3 5 z  4 z  z  27 7 2 12 2 x  x  14 5 10 2 x  4 x5 3 2 1 x  23  x 5 2 6) 19) 7) 20) 5 x  8) 21) 3x  5  9) 22) 6 x  38  10) 23) 4 55 1 x  x   3x 5 4 4 21 x  15  7 x 5 11) 24) 16 x  9  Centro Educativo Kinal . d = rt A = bh C= 2r Despejar r Despejar t Despejar h Despejar r 5. P = 2l + 2w S = p + prt Despejar w Despejar p ax + by + cz = d Despejar b ax + by + c = 0 Despejar c Centro Educativo Kinal . I = prt. 4.Matemática cuarto 147 25) 4 3 z  41  z  5  z 7 5 3 2 1 y  y2 y 4 6 2 35) 3 1 3 7 x  x  2 x 4 2 8 8 3 1 1 x  x  4 x 7 14 28 1 3 1 1  x  x 2 4 2 16 26) 1  36) 1 1 1 139 27) 9 x   x  x  3 9 6 54 28) z  8  37) 5 x  1 1 z  12  z 4 12 38) 2 3 4 2 x  x  6 x 9 18 3 3 3x 1 4 x 2x    2 5 2 15 15 6w 3w 1 2  w 34 68 17 z 1 z   2 6 3 29) 1 14 2 1 w  w5 w 2 5 5 4 1 2 1 4 7 z  z  z 3 9 6 9 9 2 4 2 7 7 w  w   w 5 5 10 5 20 2 73 1 1 z  z z 3 21 7 7 1 5 3 1 y  y  2 y 2 4 8 16 1 3 4 3 x 3 x  x  5 10 15 10 39) 30) 40) 31) 41) z  4  32) 42) 3z 1 z 5    z 8 2 4 16 3x 3 15 x z    4 4 4 8 2 33) 43) 34) 1 2z  1  8z 44)  z   5 7 EJERCICIO: Las siguientes ecuaciones son fórmulas matemáticas. 7. 3. despeje la variable que se le indica. 8. 6. 2. V = h 12. S= r 14) m = y1 5 C + 32 9 19) V = h2(3r – h) 20) S = gt2 + v o t Despejar v o Despejar r 1 2 r h 3 Despejar 21) S = a  rl lr 22) S = a + (n – 1)d Despejar d m1m2 d2 Despejar 23) Ft = mv 1 – mv 2 24) Despejar m 1 1 1   f f1 f 2 Despejar f a 1 r Despejar 25) A = (b 1 + b 2 )h Despejar h 26) A = 2r(r + h) Despejar h y2  y1 Despejar x2  x2 27) a  v2  v1 Despejar t t 28) l = l o (l + ct) Despejar t 29) R  1 1 1 1    15) R R1 R2 R3 Despejar R 1 16) nE  rI Despejar I nI T1  T2 Despejar T 1 T1 30) E  Despejar b x y  1 a b Centro Educativo Kinal . F = g m1 13. R= E Despejar I I Despejar 17) S = P + Prt 18) F = Despejar r Despejar C Despejar r mv 2 10.Tercera unidad: Ecuaciones 148 9. K = 2g m 11. el examen final cuenta como la tercera parte de la calificación definitiva.2 PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES LINEALES 1. 54. Solución: Como nos indican que la nota del examen final cuenta como la tercera parte de su calificación definitiva. Un alumno tiene calificaciones parciales de 70. Si a un número se le suma 14. por lo tanto: 2  72  80  65  60  1    x  76 3 5  3 Centro Educativo Kinal . esto significa que la zona acumulada es los otros dos tercios de toda su nota. 28. Encuentre el número Solución: El valor desconocido es el número al cual se le sumará 14 x + 14 = 25 x = 25 – 14 x = 11 R: el número es 11 2. 60. 78. 80. 65. Antes del examen final un alumno tiene calificaciones parciales. Solución: Como un promedio se encuentra sumando todas las notas y dividiendo entre el total de notas. el resultado es 25. que calificación deberá tener el alumno para tener un promedio final de 76pts.Matemática cuarto 149 3. 72. ¿Qué nota debe obtener en la siguiente prueba para ganar el curso si este se aprueba con 60pts. únicamente sumamos todas las notas y dividimos entre 5 ya que todas las notas valen lo mismo. 70  28  60  54  x  60 5 212 + x = 60(5) 212 + x = 300 x = 300 – 212 x = 88 R: Debe obtener una nota de 88 puntos 3.1. 60pts. cual es su salario nominal.170. Una pareja va a cenar a un restaurante y paga Q. Solución: Como nos indican que la cantidad líquida que el trabajador recibe es de Q. esto significa que su sueldo es 40% mayor.Tercera unidad: Ecuaciones 150 2  277  x     76 3 5  3 2 x (55.00.8 x = 117.6x = 4920 4920 x 0.6 x= 8200 R: El salario nominal del trabajador es de Q.920.4.8.00 después de haber deducido un total de 40% de impuesto sobre el valor nominal.2 R: Debe obtener una nota de 117.4)   76 3 3 110. por lo tanto ya no es posible que su promedio sea de 76 puntos 4. X = salario nominal Como el descuento se lo hacen al salario nominal 0.66.4. ¿Cuánto fue lo que pagaron solo en comida?. a la cuenta de la cena le agregan un impuesto del 6% y además tienen que pagar 15% de propina después de haber sumado el impuesto.8  x  228 3 x = 228 – 110.0.920.00 5. En dicho restaurante.6 puntos.200.4x = 4920 0. La cantidad líquida que un trabajador recibe es de Q.8 x   76 3 3 110.4(x) = descuento Salario nominal – descuentos = salario líquido X . Centro Educativo Kinal . 60.00 60X=1800 1800 x 60 x = 30 R: Se necesitarán 30 meses para recuperar el gasto del material aislante.1800.06x + 0. Los costos actuales de calefacción son en promedio 600.1(600) = ahorro mensual 600(0. entonces nos interesa averiguar de cuánto es el ahorro obtenido con el material para ver en cuanto tiempo se recupera el gasto X = cantidad de meses 600 es el gasto mensual 0.06x) Gasto en comida + impuesto + propina = pago total x + 0.66 170. Centro Educativo Kinal .009x = 170.15x + 0.06(x) = impuesto 0. Solución: Como nos indican que el material aislante reducirá los gastos en un 10%.66 x 1.1) = 60 Esto significa que el ahorro mensual será de Q. Cuantos meses se necesitaran para recuperar el costo del material.06x + 0.15(x + 0.66 1.140.66 x + 0.Matemática cuarto 151 Solución: Como el impuesto se lo cargan a lo que se gasta en comida y la propina nos dicen que se carga después de haber agregado el impuesto.219 x = 140 R: Lo que consumieron en comida fue de Q.06x) = 170.00 El costo de instalar material aislante en una casa es de Q. X = lo que gasta en comida 0.00.219x = 170.15(x + 0.00 mensuales pero se espera que el material aislante los reduzca en un 10%. Los boletos de adultos cuestan Q. le damos el valor de la variable a los niños.00 y los de niños Q. ¿cuanto tiene depositado en cada cuenta. Como la pregunta es cuántos niños entraron.00 en el que le paga el 6.00.6.670.Tercera unidad: Ecuaciones 152 Un alumno recibió Q.x)=750 0.750.15. le damos el valor de x a una de estas partes y a la otra el total que teníamos menos la otra que ya dimos que en este caso es x x es una cantidad 10. Si el total de intereses es de Q. si al total de personas le quitamos los niños quedan los adultos y si le quitamos los adultos quedan los niños. Solución: Cuando tenemos cierta cantidad y la queremos repartir en dos partes que no sean iguales.08x+640 – 0.000 – x es la otra cantidad X=Cantidad depositada 8% 10000 . conocemos la cantidad total.08x – 0.25.X= Cantidad depositada 6.125.016 X=6875 10000 – 6875 = 3125 R: Tiene depositados Q. Lo recaudado en la taquilla fue por un total de Q. El total Centro Educativo Kinal .4% A la presentación de una película asistieron 700 personas.3.00 En el banco que le paga 8% y Q.064x=75 0.14.00.10.064x = 750 – 640 0.016x= 110 110 x 0. X = Cantidad de niños 700 – X = Cantidad de adultos Como el total de dinero recaudado en los niños se encuentra multiplicando la cantidad que pagó cada niño por la cantidad de niños que entraron y lo recaudado en los adultos se encuentra multiplicando lo que pagó cada adulto por la cantidad de adultos que entraron.00. ¿Cuántos niños asistieron a ver la película? Solución: Al igual que el problema anterior.4% 0. en este caso.00 y desea depositarlos en 2 bancos diferentes que le paguen el 8% y 6.4% de intereses respectivamente.875.000.064(10000 .08(x)+0. Horas trabajadas Albañil Ayudante X x+6 Como sabemos cuanto cobraba por hora cada uno. ya que el las horas que trabajó él fue a las que les dimos el valor de x.00 por hora de trabajo y a su ayudante le paga Q. multiplicamos lo que cobraba cada uno por hora.20. pero sí conocemos la diferencia. mientras que un niño solo necesita que contenga el 20% del mismo ingrediente. R: El albañil trabajó 24 horas y el ayudante 30 Para calmar la tos.670 15x – 25x = 14.1440. un adulto necesita ingerir un jarabe que contenga 30% de un ingrediente activo. le cobraron en total Q.Matemática cuarto 153 recaudado es la suma de lo que hicieron con los niños más lo que hicieron con los adultos 15(x) +25(700 – x) = 14. El ayudante trabajó x + 6 o sea 24 + 6 = 30. Si a un cliente. por las horas que trabajó cada uno y esto se suma para encontrar el total cobrado 35(x) + 20(x + 6) = 1440 35x + 20x + 120 = 1440 35x + 20x = 1440 – 120 55x = 1320 1320 x 55 x = 24 Estas son las horas trabajadas por el albañil.00.670 15x + 17500 – 25x = 14. Si el farmacéutico solo Centro Educativo Kinal .670 – 17.00 por hora. 35. pues nos indican que el ayudante trabajó 6 horas más que el albañil y además conocemos el total que cobraron. por un trabajo que le hicieron entre los dos. ¿ Cuántas horas trabajó cada uno si el ayudante trabajó 6 horas más que el albañil? Solución: En este caso no conocemos el total de horas trabajadas por cada uno.500 – 10x = – 2830  2830 x  10 x =283 R: Ingresaron 283 niños Un albañil cobra Q. 0.Tercera unidad: Ecuaciones 154 tiene jarabe para adultos ¿ Qué cantidad de jarabe del que tiene debe utilizar y cuánta agua. de jarabe para un niño? Solución: En los problemas de mezclas. Un vendedor de café tiene dos clases diferentes. planteamos la ecuación de la siguiente forma: 60(75) +20(45) = x(120) 4500 +900 = 120x 5400 = 120x 5400 x 120 x = 45 Centro Educativo Kinal .20.3x + 0 = 12 0. 30  0. ¿A cómo tiene que vender cada libra de mezcla si tiene 75 libras del que cuesta Q.20.00 la libra.3 x = 40 Como x es la cantidad de ml que tiene el componente activo.60. Si el café que cuesta Q. para preparar 60ml. un tipo de café cuesta Q. esta es la cantidad que se debe utilizar y el resto de agua R: Debe utilizar 40 ml del componente activo al 30% y 20ml de agua 9.3(x) + 0(60 – x) = 0.3x = 12 12 x 0.3 ). Componente del 30% componente que no tiene ingrediente X 60 – x Ahora multiplicamos el porcentaje que contiene ingrediente activo por la cantidad de cada uno y lo sumamos.60 casi no se vende.00 y 45 libras del que cuesta Q. a esto le sumamos la Como la cantidad x tiene 30% (esto es 100 otra que no tiene componente activo.60.00 la libra y el otro Q.2(60) 0. debemos darle el valor de x a la cantidad de uno de los componentes y el total que necesitamos menos x a la cantidad del otro componente.00 para no ganar ni perder? Solución: Como en este caso el precio desconocido es el que se quiere vender la mezcla. por eso tiene 0 por ciento y esto será igual a la cantidad que necesita por el porcentaje de ingrediente que quiere. entonces el vendedor desea mezclarlos para vender un solo tipo de café. 5m/s y 3m/s.5 – x = distancia recorrida por el que iba a la velocidad de 3 m/seg t = tiempo utilizado Como también sabemos que la distancia es igual a la velocidad por el tiempo 2.5 m/seg y de 135 m el que llevaba la velocidad de 3 m/seg.5 = 135 R: El tiempo que tardaron en encontrarse fue de 45 seg. X = distancia que recorrió el que llevaba la velocidad de 2. Y la distancia que recorrieron fue de 112.5 – x = 247.5 5.5 – 112. respectivamente.00 para no ganar ni perder 10.5(t) = distancia del primero 3(t) = distancia recorrida por el segundo También sabemos que la distancia recorrida entre los dos es de 247. pero el tiempo es igual.5 247. a velocidades de 2.5 t 5.5 t = 45 Distancia recorrida por el primero x x = 2.5 m el que llevaba la velocidad de 2.5t = 247.5m comienzan a caminar uno hacia al otro al mismo instante. Dos niños que se encuentran a una distancia de 247. Decimos que la distancia es diferente porque la velocidad de cada uno es diferente.5 Distancia recorrida por el segundo 247.5 m/seg 247. Centro Educativo Kinal . puesto que nos indican que salen al mismo instante.5(45) x = 112.45.Matemática cuarto 155 R: Cada libra de mezcla se tiene que vender a Q.5 Distancia recorrida por el primero + distancia recorrida por el segundo igual a la distancia total 2. la distancia que recorre cada uno es diferente. a) ¿Cuando tiempo tardarán en encontrarse? b) ¿Que distancia habrá caminado cada uno? Solución: En este caso.5t + 3t = 247. Halle el número. Encuentre dos números cuya suma sea 9 y su diferencia 5 2. los tiempos son diferentes pero las distancias son iguales. Cuántas tiene de cada denominación 8. Si en total tiene 14 monedas. Encuentre 2 números cuya suma sea 20 y su diferencia 10 7.75. el resultado es 68.Tercera unidad: Ecuaciones 156 11. t = tiempo del primero 5m/seg = velocidad del primero t – 2 = tiempo del segundo 7m/seg = velocidad del segundo Distancia = velocidad por tiempo Distancia del primero igual a distancia del segundo 5(t) = 7(t – 2) 5t = 7t – 14 5t – 7t = – 14 – 2t = – 14  14 t 2 t=7 R: Lo alcanzará en 7 segundos. Encuentre el número. Un vendedor de periódicos tiene Q. Un muchacho le pega al otro y sale corriendo con una velocidad de 5 m/s 2 segundos después sale en su persecución el agredido dando una velocidad de 7 m/s a que distancia lo alcanza y en cuanto tiempo. PROBLEMAS PROPUESTOS DE ECUACIONES Resuelva correctamente los siguientes problemas. el resultado es 15.5.30 en monedas de 10 y 25 centavos. 1. Si al doble de un número se le suma 3. Encuentre el número 3. Centro Educativo Kinal . Encuentre el número 4. Si a un número se le resta 11. el resultado es 48. 6. el resultado es 25. Si a un número se le suma 4. Cuántas monedas tiene de cada una. Una niña tiene 75 monedas de 5 y 10 centavos. Solución: En este caso. Si en total tiene Q. Si a un número se le suma 22.2. 5. Al llegar al examen final. Si cada gallina le costó Q. 84. 80 y 60. Encuéntrelos. ¿Cuánto tiene depositado en cada una? 20. Encuentre 3 enteros consecutivos cuya suma sea 33 16. ¿Podrá ganar el curso todavía o ya no?.10. 6.3280. Un alumno a obtenido las siguientes notas: 55.Matemática cuarto 157 9.00? Centro Educativo Kinal . ¿Cuántas gallinas y Cuántos patos compró? 11.00. ¿Cuántos tengo de cada denominación? 10.00 en billetes de Q. Encuentre 2 enteros consecutivos cuya suma sea 47 13. ¿cuánto tiene que sacar en su evaluación final? 19. Una persona desea depositar Q.1920. Una mujer de negocios desea invertir Q. 45. La suma de 3 enteros consecutivos es 45.00 cada pato Q. ¿Cuánto debe depositar en cada cuenta si al final del año desea tener un interés total de Q. Encuéntrelos.5. 75 y 90 puntos.00. Las calificaciones de un estudiante son 75. 15.25. Si tengo Q. 40 y 60. La suma de 3 enteros consecutivos es 24.¿ Cuánto tiene que obtener para ganar la clase con 70 puntos? 18.20000. Encuentre dos enteros consecutivos tales que su suma sea 29 12. Una señora compró 22 aves entre gallinas y patos con Q. Si la nota final es el promedio de sus 4 evaluaciones parciales. un estudiante tiene las siguientes notas.00 en dos cuentas diferentes que le pagan 8% y 12% respectivamente.00 y Q.000 en dos bancos diferentes que pagan 8% y 12% de interés simple anual respectivamente. 55.5. 14.00 entre las dos cuentas. De ser posible. 70.125. Si al final del año se encuentra con un beneficio de Q. ¿Cuánto tiene que sacar en el próximo examen par que su nota promedio sea de 75 puntos? 17. Si en total tengo 7 billetes.30. Si el examen final vale la tercera parte de la nota final. 1200. Si en uno ganó el 20% y en el otro el 15%. Si en uno ganó el 15% y en el otro perdió el 12%. Un comerciante invierte Q. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si su ganancia total fue de Q. con una velocidad de 8m/seg. con una velocidad constante de 50Km/h. La reacción del segundo dura 3 seg. Un comerciante invierte Q. Un comerciante invierte Q.00 en dos negocios.2. 28. ¿En cuánto tiempo se encuentran y qué distancia recorrió cada uno? 30. y sale en persecución del primero.300.000. Si en uno ganó el 12% y en el otro perdió el 15%. uno en dirección del otro. Un vehículo sale de una ciudad. Si en uno ganó el 15% y en el otro perdió el 12%. con velocidades de 2m/seg y 3m/seg. Dos muchachos se encuentra separados una distancia de 225 metros.00? 27. Si en uno ganó el 14% y en el otro perdió el 12%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una ganancia de Q.00? 22. cuando ambos empiezan a caminar. 25. un segundo corredor sale del mismo lugar y hace el mimo recorrido a una velocidad de 8 millas por hora ¿En cuánto tiempo alcanza el segundo corredor al primero? 28. 15.600. Un comerciante invierte Q. Un muchacho le pega a otro y sale corriendo con una velocidad de 5m/seg.00? 24.00? 26. Un corredor sale de un punto a una velocidad constante de 6 millas por hora.1050. Un comerciante invierte Q.000. ¿En cuánto tiempo alcanza el segundo vehículo al primero y a qué distancia del punto de partida? 29.¿En cuánto tiempo alcanza el segundo muchacho al que le pegó? Centro Educativo Kinal .00? 25.300. con una velocidad constante de 40 Km.00? 23. 15.000.000. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una ganancia de Q. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una pérdida de Q. 25.000. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una pérdida de Q.Tercera unidad: Ecuaciones 158 21./h.560. 1 hora más tarde sale otro vehículo en persecución del primero.00 en dos negocios. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una ganancia de Q.00 en dos negocios.000. Si en uno ganó el 25% y en el otro perdió el 20%.00 en dos negocios.00 en dos negocios. Un comerciante invierte Q.00 en dos negocios. 25. Circo minutos más tarde. empieza a despejar una carretera que conduce a las afueras de la ciudad. Otra manguera mayor que la primera puede llenar la piscina en 5 horas ¿Cuánto tiempo tomará llenarla a si utilizan las dos mangueras simultáneamente? 38. Una manguera puede llenar una piscina en 8 horas. el Area disminuye 30 cm2. ¿A qué hora ya no podrán comunicarse? Centro Educativo Kinal .Matemática cuarto 159 31. su área aumenta en l6 cm2 ¿Cual era el radio original del círculo? 33. Uno de ellos empieza a caminar de cierto punto hacia el norte a la 1:00 pm a una velocidad de 4mi/h. a una velocidad promedio de 50 millas por hora. ¿En cuánto tiempo se encuentran? 32. Un automóvil toma esa carretera a una velocidad de 30 km/h. 39. cuyo alcance máximo es de 2 millas. Un rectángulo mide el doble de largo que de ancho Si el largo y al ancho se les reducen 2 cm y 3cm respectivamente. Los boletos de entrada a un cine cuestan Q. El otro niño sale del mismo punto a la 1:15 pm y camina hacia el sur a una velocidad de 6 mi/h.20. A un muchacho le toma 90 minutos podar el jardín de su casa. ¿Cuál fue la distancia total que recorri6 el autobús? 35.15. Un autobús viajó de una ciudad a otra. Encuentre la velocidad de la máquina. A las 8 am. Dos niños tienen aparatos de radiocomunicación. que avanza a velocidad constante.00 para adulto y Q.8625. pero su hermana puede hacerlo en 60 minutos ¿Cuánto tiempo les tomará podar el jardín si trabajan juntos.00 para niño. Si uno viaja a una velocidad de 50Km/h y el otro a 6oKm/h. A las 6 am una máquina barredora. Si en una función se vendieron 500 entradas y el total de dinero recaudado fue de Q. uno en dirección del otro. y la alcanza 30 minutos después. usando dos cortadoras? 37. ¿Cuántos adultos y cuántos niños entraron? 36. Encuentre las dimensiones originales.00. 34. Si al radio de un circulo se le aumentan 2 cm. Dos vehículos salen a un mismo tiempo de dos ciudades distantes entre sí 300Km. Si viaje de regreso tomó 15 minutos más a una velocidad promedio 45 millas por hora. 45. Encuentre la velocidad de la corriente y la velocidad a la que rema el muchacho. Otra manguera mayor que la primera puede llenar la misma piscina en 6 horas. Si suponemos que el anuncio era correcto ¿Cuántas millas recorrió en la ciudad? 46.4. Y la velocidad del sonido es de 1100 pies/seg. 41. Si se vendieron 810 boletos y el total recaudado fue de Q. luego rema río abajo 300 pies en 5 minutos. ¿A qué distancia se halla el blanco? 47. Cuánto tiempo les llevará llenarla si las dos mangueras se colocan al mismo tiempo Centro Educativo Kinal . Se dispara un proyectil horizontalmente hacia un blanco y el sonido del impacto se escucha 1. Cuánto tiempo les tomará podar el jardín trabajando juntos usando dos cortadoras? 48. Una manguera puede llenar una piscina en 12 horas. 279.Tercera unidad: Ecuaciones 160 40.300 pies/seg. Un muchacho puede remar en aguas tranquilas a una velocidad de 5 mi/h. En un viaje de negocios gastó 51 galones para recorrer 1800 millas.50 Cuántos boletos de cada tipo se vendieron? 44. El ancho de un rectángulo es 2 cm mayor que la mitad de su largo y su perímetro es 40 cm. Si el perímetro del triángulo es 33 cm.5 segundos después de haberlo lanzado. Si la velocidad del proyectil es de 3. Los boletos de admisión a un cine costaron Q. según la publicidad. ¿Cuáles son sus dimensiones? 42. Un muchacho rema y recorre 500 pies en 10 minutos en una corriente constante hacia arriba.50 por niño. A un muchacho le toma 90 minutos podar el jardín de su casa pero su hermana puede hacerlo en 60 minutos.00 por adulto y Q. Si rema en contra de una corriente constante durante 15 minutos y luego regresa hacia el punto de donde salió en 12 minutos.4. Encuentre: a) La velocidad de la corriente b) La distancia que recorrió río arriba. Un agente de ventas compró un automóvil que promediaba 25 millas por galón en la ciudad y 40 en carretera.6. ¿Cuánto mide cada lado? 43. El lado más largo de un triángulo es el doble de la longitud del lado más corto y dos centímetros mayor que el tercer lado. Qué cantidad de agua debe evaporarse de una solución de 500 gramos de agua con una concentración del 6% sal. La primera tiene 20% y la segunda 35%. ¿Cuántos ml de cada solución debe mezclar para obtener 50 ml de solución con 30% de ácido? Centro Educativo Kinal .Matemática cuarto 161 49. Un químico tiene dos soluciones de ácido. para que la solución resultante que quede tenga 15% de sal? 50. la segunda por completación al cuadrado y la tercera pro fórmula general o de Vieta. la primera de ellas es por medio de factorización. puede consultar con su profesor. procedemos a escribir los dos paréntesis y escribir la raíz cuadrada de la x2 en el lado izquierdo de los dos paréntesis.Tercera unidad: Ecuaciones 162 3. para que su producto sea cero.1 SOLUCION DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN Resolver por factorización x2 – 3x + 2 = 0 Como es un trinomio que no tiene número la x2. se tiene que multiplicar por cero.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS La ecuación cuadrática es ax2 + bx + c = 0 Para resolver estas ecuaciones utilizaremos tres métodos. x–2=0 x–1=0 yx=1 Y despejamos la x en las dos ecuaciones Quedándonos x = 2 A continuación encontrará varios ejercicios resueltos. 2 1) 6 x  x  12  0 (2x + 3)(3x – 4) =0 2x = – 3 3x = 4 3 4 x1   x2  2 3 2) x 2  8 x  15 (x – 5)(x – 3) =0 x=5 x=3 Centro Educativo Kinal .2. en el segundo paréntesis el signo que nos dé la ley de signos y buscamos dos factores del dos que al sumarse den 3 x2 – 3x + 2 = 0 (x – 2)(x – 1) = 0 Luego igualamos cada paréntesis a cero. escribimos en el primer paréntesis el mismo signo del segundo término. puesto que cualquier cantidad. 3. Analícelos y si tiene alguna duda. Matemática cuarto 163 3) 0 4 x 2  x  14  0 (4x – 7)(x + 2) = 0 (4x – 7) = 0 (x + 2) = 0 x1  7 4 x2 = – 2 4) x 2  7 x  10  0 (x – 5)(x – 2) = 0 x–5=0 x–2= x1 = 5 x 2 =2 5) x 2 -10x + 24=0 (x – 6)(x – 4) = 0 x – 6 = 0 x-4=0 x2 = 4 x1 = 6 6) x 2 – 2x – 35 = 0 (x – 7)(x + 5) = 0 x + 5 = 0 x –7 = 0 x= –5 x=7 7) 15 x 2  8 x  12  0 (3x – 2)(5x + 6) = 0 3x – 2 = 0 5x + 6 = 0 3x = 2 5x = – 6 2 6 x x 3 5 EJERCICIOS PROPUESTOS Resuelva por factorización las siguientes ecuaciones: 1) x2 + 8x + 15 = 0 2) x2 + 6x + 8 = 0 3) x2 + x – 12 = 0 4) x2 – 2x – 3 = 0 5) x2 + 4x – 12 = 0 6) x2 – 13x + 42 = 0 7) x2 – 4x + 3 = 0 8) x2 – 12x + 36 = 0 9) x2 – 2x + 1 = 0 10) x2 14x + 49 = 0 11) x2 – 4 = 0 12) x2 – 9 = 0 Centro Educativo Kinal . no se puede. solamente tomamos x2 + 6x El coeficiente del segundo término lo dividimos por dos y el resultado lo elevamos al cuadrado. Para completar al cuadrado. Luego este trinomio se factoriza y nos queda 4 Centro Educativo Kinal .Tercera unidad: Ecuaciones 164 13) x2 – 16 = 0 14) x2 – 2 = 0 15) 2x2 + 7x + 3 = 0 16) 3x2 + 10x – 8 = 0 17) 4x2 – 5x – 6 = 0 18) 2x2 – 12x + 18 = 0 19) 5x2 – 11x + 2 = 0 20) 6x2 + 4x – 2 = 0 21) 4 – 9m2 = 0 22) 9m2 + 6m + 1 = 0 23) 6x2 – 5x + 1 = 0 24) 6x2 – 5x – 6 = 0 25) 3x2 – 18x + 27 = 0 26) 3x2+ x = 0 27) 2x2 – 3x = 0 28) 3x2 + 5x = 0 29) x2 = 16 30) 4x2 = 25 3.2. entonces nos quedaría 5 . x2 – 5x + 6 Al dividir el 5 entre 2. y aunque 2 no deben escribirse. x 2  5x  5  x   2  2 25 . únicamente deben tomarse los términos que tienen la x. o sea la incógnita. Cuando tenemos que completar una expresión que no sea divisible exactamente por dos.2 COMPLETACIÓN AL CUADRADO Para completar al cuadrado. por ejemplo Dada la expresión x2 + 6x + 5. no escribimos decimales sino que dejamos la fracción y esta la elevamos al cuadrado. x2 + 6x + 9 y con esto ya completamos un trinomio cuadrado perfecto. se elevan al cuadrado y este será el tercer término para completar el trinomio cuadrado perfecto. x2 – 5x = – 6 Luego completamos al cuadrado x 2  5x  25 25  6  4 4 Centro Educativo Kinal . 1) x2 + 4x 2) x2 + 8x 3) x2 – 10x 4) x2 – 12x 5) x2 + 3x 6) x2 – 5x 7) x2 – x 8) x2 – 2x 9) x2 – 7x 10) x2  4 x 3 3 x 4 11) x2  6 x 5 2 x 5 12) 1 x2  x 5 5 x 3 13) x2  14) x2  15) x2  16) 2x2 + 4x 19) 3x2+ x 17) 3x2 – 6x 20) 2x2 – 3x 18) 4x2 + 12x 21) 3x2 + 5x Para resolver ecuaciones de segundo grado o cuadráticas por Completación al cuadrado. Primero dejamos de un solo lado los términos que tienen x.Matemática cuarto 165 Ejercicio: Completar al cuadrado y factorizar. se procede de la siguiente manera: Resolver la ecuación x2 – 5x + 6 = 0. también se suman en el otro para que la ecuación no cambie y luego se resuelve. Ejemplo 1 Resolver por Completación al cuadrado x 2 + 4x + 4 = 0 x 2 -8x+16=0 Como el objetivo es formar un trinomio cuadrado perfecto. en estos casos no hay nada qué hacer para completar porque ya son trinomios cuadrados perfectos.Tercera unidad: Ecuaciones 166 Los 25 que salieron de completar al cuadrado.  24  25 5  x    2 4  2 2 5 1  x    2 4  x 5  2 1 4 x 5 1  2 2 x 5 1  2 2 Luego separamos para encontrar los valores que puede tener la x x1  5 1 6   3 2 2 2 x2  5 1 4   2 2 2 2 Entonces la x puede valer 3 o 2. solamente los factorizamos ( x  2) 2  0 x + 2= 0 x=–2 ( x  4) 2  0 x–4= 0 x=4 Centro Educativo Kinal . como se sumaron en un 4 lado. resuélvalas con su profesor.Matemática cuarto 167 Ejemplo 2 Resolver por completación al cuadrado 2 x 2  6x  8  0 b) a) x  2 x  15  0 Solución: Procedemos a dejar de un solo lado las x para completar a cuadrado x 2  6 x  9  8  9 x 2 – 2x = 15 ( x  3) 2  1 x 2 – 2x + 1 = 15 + 1 ( x  1) 2  16 x  1  16 x  1  4 x  1 4 x1  1  4 x1  5 x 2  1  4  3 x 2  3 x3  1 x  3  1 x1  3  1  2 x1  2 x 2  3  1  4 x 2  4 A continuación encontrará varios ejercicios resueltos. Analícelos y si aún tiene dudas. 2 1) x +20x + 51 = 0 x 2 +20x = – 51 x 2 +20x+100= – 51 + 100  x  102  49 2) x 2 + 20x + 36=0 x 2 +20x = – 36 x 2 +20x +100= – 36 +100 ( x  10) 2  64 x + 10= 49 x +10 = 7 x = – 10  7 x1  10  7  3 x + 10= 64 x + 10= 8 x = – 10  8 x1  10  8  2 x1  3 x 2  10  7  17 x 2  17 2 3) 6a  5a  21  0 6a 2 5a 21   6 6 6 5 25 7 25 a2  a    6 144 2 144 x1  2 x 2  10  8  18 x 2  18 Centro Educativo Kinal . 16 = 0 11) 3x2 – 18x – 21 = 0 12) 4x2 + 12x – 81 = 0 13) 3x2+ x = 6 14) 2x2 – 3x = 12 15) 3x2 + 5x = 15 5 0 4 9 0 4 3 0 4 Centro Educativo Kinal .Tercera unidad: Ecuaciones 2 168 5 504  25  a    12  144  5 529  a    12  144  5 529 a  12 144 5 23 a =  12 12 5 23 a  12 12 5 23 a1    12 12  5  23 a1  12 18 a1  12 3 a1  2 2 5 23  12 12  5  23 a2  12 28 a2   12 7 a2   3 a2   PROBLEMAS PROPUESTOS Resolver por completación al cuadrado 1) x2 + 4x – 9 = 0 2) x2 + 8x + 7 = 0 3) x2 – 10x –11 = 0 4) x – 12x + 11 = 0 5) x2 + 3x  6) x2 – 5x + 7) x2 – x  2 8) x2 – 2x –5 = 0 9) x2 – 7x + 13 4 10) 2x2 + 4x . Matemática cuarto 169 3. para dejar sólo los términos que contienen la variable x ax2 + bx = -c Luego tratamos de eliminar la a que tiene la x2.3 FÓRMULA CUADRÁTICA O DE VIETA La fórmula general o de Vieta. se sacan y se obtiene b b 2  4ac x  2 2a Centro Educativo Kinal . se obtiene de resolver la ecuación cuadrática por la Completación al cuadrado ax2 + bx + c = 0 Principiamos por pasar la c hacia el otro lado. dividiendo todo el término por ella ax 2 bx  c   a a a y nos queda x 2  b c x a a b b2 c b2 x 2   2 a a 4a 4a Luego completamos al cuadrado x 2  Factorizando del lado izquierdo y sumando los términos del lado derecho obtenemos b  4ac  b 2  x    2 4a 2  2 Despejando x  b  2  4ac  b 2 4a 2 Como dentro de la raíz tiene raíz cuadrada el 4 y la a2.2. c= 2 Hemos escrito cada número con su respectivo signo. b y c son los números que tiene la ecuación. el número que no tiene letra. luego operamos –4 por 1 por 2. y luego multiplicamos el denominador que es 2 por 1. a es el número que tiene la x2. es decir. x  b  b 2  4ac 2a Como la ecuación de segundo grado o cuadrática tiene la siguiente forma: ax 2  bx  c  0 . da menos y luego este menos por el más del dos da nuevamente menos colocamos menos y multiplicamos los números 4 * 1 * 2 y el resultado es 8. se les da su nombre respectivo: a = 1.  b  b 2  4ac 2a x Ejemplo 1: Resolver por fórmula cuadrática x2 – 3x + 2 = 0 SOLUCIÓN: Como se puede observar el número que acompaña a la “x2” es el 1. ahora lo que corresponde es colocarlos en la fórmula: 3  (3) 2  4(1)(2)  b  b 2  4ac x x 2a 2(1) El –b indica que se debe cambiar el signo que tenga el valor de b. b = -3. no la vamos a estar resolviendo en cada vez (Esto equivaldría a resolver las ecuaciones siempre por completación al cuadrado). el signo del –3 pasa a ser +3 y adentro del radical se opera el –3 al cuadrado dando como resultado 9 positivo porque todo número negativo elevado a exponente par da positivo. a. por lo tanto. b es el número que tiene la x y c es el término independiente. el que acompaña a la “x” es el –3 y el término independiente es 2. y por ley de signos menos del cuatro por más del uno.Tercera unidad: Ecuaciones 170 Luego buscando denominador común que es 2a. dando como resultado 2 y al final lo escribimos de la siguiente manera: Centro Educativo Kinal . en este caso que es cero siempre. ahora hagámoslo con 1 (Sustituyendo x=1 (1)2 – 3(1) + 2 = 0 1–3+2=0 0=0 También se cumple la igualdad. x2 – 3x + 2 = 0 (Sustituyendo x=2 (2)2 – 3(2) + 2=0 4–6+2=0 0=0 Como podemos observar se cumple la igualdad. Ahora. al sustituir en la ecuación los resultados encontrados para equis nos dará cero la igualdad.Matemática cuarto 171 3 98 2 Ahora operamos lo que quedó dentro del radical y le sacamos raíz cuadrada x x 3 1  2 x 3 1 2 El signo  quiere decir que al tres le tenemos que sumar y restar el uno y luego el resultado se divide entre dos. a continuación se mostrará como se trabaja: x1  x2  3 1 4  2 2 2 3 1 2  1 2 2 En una ecuación cuadrática siempre quedarán dos resultados para “x” con los cuales se cumple la igualdad. Centro Educativo Kinal . Tercera unidad: Ecuaciones 172 Ejemplo 2: 11x2 + 10x . Ahora operamos lo que está indicado x  10  100  44 22  10  144 22  10  12 22 x x 4to. b= 10. a= 11. c=-1 2do. x1   10  12 2 1   22 22 11 x2   10  12  22   1 22 22 Centro Educativo Kinal . Como tenemos un signo  operamos los resultados una vez sumándolos y otra vez restándolos y obtendremos los dos resultados para la equis. b. Tomamos nuestros valores a. Colocamos los valores en la fórmula x  10  10 2  4(11)(1) 2(11) 3ro. c.1 = 0 Solución 1ro. 2  (2) 2  4(1)(24) x 2(1) 2  4  96 x 2 2  100 x 2 2  10 12 x=  6 2 2 2  10 8 x   4 2 2 EJERCICIO: Resolver por fórmula cuadrática las siguientes ecuaciones 1) 3x2 + 8x – 16 = 0 2) 5x2 + 24x – 5 = 0 3) 4x2 – 4x – 3 = 0 4) 6x2 + 8x – 8 = 0 5) 8x2 + 6x – 5 = 0 6) 8x2 – 22x – 21 = 0 7) 10x2 – 3x – 1 = 0 8) 48x2 – 58x + 15 = 0 Centro Educativo Kinal . no tiene solución en los Números reales.Matemática cuarto 173 PROBLEMAS RESUELTOS POR FORMULA GENERAL x  b  b 2  4ac 2a x 2  2 x  24  0 x 2  2 x  24  0 2  (2) 2  4(1)(24) x 2(1) 2  4  96 x 2 2   92 x 2 Como la raíz cuadrada quedó Negativa. Tercera unidad: Ecuaciones 174 9) 12x2 + 12x – 9 = 0 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) x2 + 2x – 3 = 0 x – x – 12 = 0 x2 + 14 = 15x x2 = x + 72 x2 + 3x + 5 = 0 x2 + 8 = -4x 3x2 + 5x = 0 2 25) 2 = 3x – 2 x 1 4 4  1 x  2 x 1 2x 4  1 x 1 x  2 2x 3  1 3x  1 2 x  1 1 24  5 x2 x3 x4 3x  x x2 26) 27) 28) 29) 30) 2x2 = 1 + x 3x2 = 32 + 20x 4x2 + 24 = 35x 6x – 4 =5 x 21) x 1 +1= 2 x 4x – 22) 7 =6 x2 21 =6 x4 23) 5x + 24) 7 = 3x + 8 2  3x Centro Educativo Kinal . 00 para el material  Se desea cercar un terreno cuyo largo es el cuádruplo de su ancho. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del mismo si se sabe que el material para el fondo cuesta Q.00 por m2 y el material de los lados tiene un costo de Q. 9600. lados rectangulares y una altura de 4 metros para guardar granos de una cosecha. Se desea usar una hoja de papel de 24 pulg x 36 pulg para un cartel rectangular cuyo largo sea vertical.Matemática cuarto 175 3. si su ancho es cuatro novenos de su longitud? En una página cuya longitud tiene 2 pulgadas más que su ancho se imprime un paisaje de 63 pulgadas cuadradas.2. de 2 pulgadas. Encuentre sus dimensiones su el perímetro es de 100 metros Hallar las dimensiones de un rectángulo cuyo largo es el triple de su ancho y su perímetro mide 80 metros. Un rectángulo que su ancho mide 6 centímetros menos que su largo tiene una superficie de 135 cm2. 50.30. lados rectangulares y una altura de 3 m es construido con un costo de Q 2.150. Encuentre las dimensiones de un rectángulo que su longitud tiene 3 cm más que se ancho y de superficie tiene 270 cm2 Una página de 144 cm2 de región impresa tiene un margen de 4.00 de material. pero el margen inferior debe tener doble anchura que los demás.00 por metro cuadrado y se cuenta con Q.00 por m2. ¿Cuáles son las dimensiones de la página. debe quedar de 6 pulgadas. el cual servirá para poner los datos del alumno. Encuentre las dimensiones de la página si el margen superior debe ser igual al de los lados.00 por metro cuadrado y el material para los lados cuesta Q. El margen inferior. Los márgenes a los lados y en la parte superior deben tener igual anchura.120. 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Centro Educativo Kinal . Si el material para el fondo cuesta Q. Encuentre sus dimensiones.5 cm en las partes superior e inferior de la hoja y un margen de 2 cm en los lados. ¿Cuál deberá ser el volumen del depósito? Se desea hacer un depósito abierto con fondo cuadrado.4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 1) Un depósito abierto con fondo cuadrado.240. calcule el tamaño del terreno si el gasto total es deQ. Si el área del jardín es la mitad del área del parque.00 por metro y el costo de preparar el terreno es 10 por m2.5 pulg2.25. ¿Cuál es el ancho de esa acera? 14) A un jardín cuyas dimensiones son 26 por 30 metros se le quiere hacer una acera de ancho uniforme alrededor. y cercando los otros tres. El área de la acera es 240 pies2. Si el lado paralelo al granero debe tener doble longitud que la de sus lados adyacentes. ¿ Qué tamaño de lámina daría como resultado una caja que tenga un volumen de 60 pulg3? 16) Un terreno cuadrado se va a cercar. aprovechando parte de su granero como uno de los lados. cortando cuadrados de 3 pulg de lado en las esquinas de una lámina rectangular de estaño.750. pero dentro de sus dimensiones. Si la cerca cuesta Q.00. 17) Un campesino proyecta cercar un terreno rectangular. si el área impresa debe tener 661. está rodeada por una acera de ancho uniforme. para convertirlo en parque. Si el área de la acera debe ser de 240 m2 ¿Cuál deberá ser el ancho de dicha acera? 15) Se debe fabricar una caja sin tapa.15. y el área del terreno debe ser 128 pies2. cuya longitud sea el doble de su ancho. ¿cuántos pies de cerca debe comprar? Centro Educativo Kinal . ¿cuál es el ancho de la banqueta? 12) Cuál es el ancho de la faja alrededor de un terreno de 100m de largo por 60 m de ancho que deberá asfaltada para que esta parte corresponda a las dos terceras partes del área del terreno? 13) Una sección rectangular de terreno cuyas dimensiones son 26 por 30 pies.Tercera unidad: Ecuaciones 176 10) Calcule el ancho de los márgenes. 11) Un parque de forma rectangular con dimensiones de 60 m por 100 m contiene un jardín rectangular limitado por una banqueta de ancho uniforme. Matemática cuarto 177 Centro Educativo Kinal . Cuarta unidad: Números complejos. otras ecuaciones y desigualdades 178 Centro Educativo Kinal . Matemática cuarto 179 OBJETIVOS       Conocer: Unidad imaginario. parte real y parte imaginaria Hallar el conjugado de un complejo Efectuar operaciones básicas algebraicas con números complejos Reconocer la diferencia entre ecuaciones e inecuaciones Reconocer cuando y porqué las inecuaciones son abiertas o cerradas Escribir enunciados verbales en forma de inecuaciones Centro Educativo Kinal . número complejo. tomando en cuenta lo siguiente: 1) Si el exponente de la i es par. podemos multiplicar ( – 9)( – 1) para que nos dé +9 y a este resultado le podemos sacar la raíz cuadrada. en los números reales sabemos que cualquier número negativo no tiene raíz cuadrada. pero para pasar al campo de los números complejos. para poder obtener la raíz par de cantidades negativas. Por ejemplo Resolver  9 . restar. trabajaremos de la siguiente forma: Como sabemos que i2 = – 1. expresión de la forma a + bi.1 NUMEROS COMPLEJOS Los números complejos describen la suma de un número real y un número imaginario. en donde a y b son números reales e i es el número imaginario. especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones. Estos números se pueden sumar.Cuarta unidad: Números complejos. La base principal de los números complejos es que i2 es – 1. pero multiplicamos por i2 9i 2  3i A continuación presento una tabla con los resultados que quedan dependiendo del exponente que tenga i. multiplicar y dividir. otras ecuaciones y desigualdades 180 4. por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. queda signo más b) Si el resultado es impar. queda signo menos Centro Educativo Kinal . Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas. El exponente que queda tiene que ser par y al dividirlo entre a) si el resultado es par. La explicación que daré es la siguiente: El exponente me indicará si queda i o queda uno. no queda i sino 1 i = i Porque el exponente es 1 (impar) i2 = 1 porque el exponente es par i3 = i porque el exponente es impar i4 = 1 porque el exponente es par así mismo el signo que resulte después de ver si queda i o 1 2) 2. Número complejo. y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas. en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería. que se indica con la letra i. Matemática cuarto 181 Por ejemplo: i12 sabemos que no queda i sino 1 por ser el exponente par. dividimos 12 entre 2 y el resultado es 6, como también este resultado es par el signo es positivo i12 = +1 i14 Nuevamente vemos que no queda i por ser exponente par. Al dividir 14 entre 2, el resultado es 7, impar, por lo tanto el resultado es 1 y el signo es negativo I14 = – 1 1) Si el exponente es par, el resultado será uno i12 = 1 i14 = – 1 2) Si el exponente es impar, el resultado será i i15 = – i i17 = i 4.1.1 Operaciones de Números Complejos Suma de Números Complejos La suma de números complejos se efectúa exactamente igual que la de expresiones algebraicas, reducción de términos semejantes, ejemplo Ejemplos: Resolver las siguientes operaciones y escribir la respuesta de la forma a + bi 1) ( – 5 + 7i) + (4 + 9i) – 5 + 7i + 4 + 9i = – 1 + 16i 2) (– 3 + 8i) – (2 + 3i) Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades 182 Multiplicación de Números Complejos 3) ( – 2 + 6i)(8 – i) División de Números Complejos Para dividir números complejos se procede de igual forma que para racionalizar, ya que en la racionalización el objetivo es eliminar radicales, en la división de números complejos es eliminar la i del denominador. En el siguiente ejercicio podemos multiplicar solamente por i para eliminarla porque al ser i2 se convierte en – 1  2  6i 4) 2i  2  6i i  2i  6i 2  2i  6  6  2i *      3i 2i i 2 2 2 2i 2 3 5) 2i  4 Como ahora tenemos como divisor una resta, multiplicamos por el conjugado para completar una diferencia de cuadrados 3 2i  3 6i  9 6i  9 6i  9 9 6i *  2     2i  3 2i  3 4i  9  4  9  13  13  13  9 6  i 13 13 Ejercicios Resolver las siguientes operaciones de números complejos y escribir la respuesta en forma a+b î . 1) (4 – 2i) + (2 – i) 2) (5 + 4i) + (1 – 5i) 3) (2 + i) – (4 + 3i) 4) (1 + 7i) – ( – 4 – 7i) 5) 4  9î 4  9î  6) 5  î 5  î  5 7) 2  7î 8) 4  2î 5î 9) î (î  5î ³)² 10) î  4î ³ ² 11) ( 2 + 4i)2 12) (5 – 4i)2 13) (1 + 2i)3 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 183 (3 + 2i)3 2i  1 15) i  4) 3i 16) 3  5i 17) 4 3 2 9 14) 21) 22)     23) 18) 19) 20) (1   1)(6   16 ) 5   121 1  25 1 3  2 3  2i 2 3  3  8 2  9   25 8   36   4.2 ECUACIONES DE OTROS TIPOS Se llama ecuaciones de otros tipos porque tienen valor absoluto, radicales, exponentes de grado mayor que dos, exponentes negativos o exponentes racionales. Resolver correctamente las siguientes ecuaciones y verificar que las respuestas sean solución. Ejemplo Encontrar la solución de cada una de las siguientes ecuaciones 1) x3  4 2) 2 5x  2  1  5 Solución: Cuando tenemos ecuaciones de valor absoluto, como sabemos que el resultado del valor absoluto de cualquier número, después de sacarlo del signo de valor absoluto, ya sea positivo o negativo, siempre será positivo. En el caso 1), lo que se encuentra dentro del símbolo de valor absoluto puede ser 4 o – 4, ya que 4  4 , asimismo  4  4 y Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades 184 en el caso 2) se tiene que despejar el valor absoluto para determinar qué número puede ser el resultado del valor absoluto. Para el caso 1 puede resolverse directamente la ecuación de la siguiente manera: escribimos el mismo número del lado izquierdo con signo negativo, luego el signo igual y a continuación lo que se encuentra dentro del valor absoluto pero ya sin el símbolo en seguida el signo igual y al final el mismo número y despejamos la variable debiendo transponer los números a los dos lados 1) x3  4 4  x 3  4 43 x  43 1  x  7 x  ( 1,7) En el ejercicio 2) tenemos que despejar primero el valor absoluto y luego hacemos lo mismo que en el ejemplo 1 2 5x  2  1  5 2)  2 5x  2  5  1 2 5x  2  6 5x  2  6 5x  2  3  3  5x  2  3  3  2  5x  3  2  5  5x  1 2 5 1 x 5 5 1 1  x  5 1 x  (1, ) 5 Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 185 A continuación encontrará varios ejercicios resueltos para que los estudie; si le quedan dudas, consúltelas con su profesor 4) 3x3 – 4x2 – 27x + 36 = 0 (3x3 – 4x2) – (27x – 36) = 0 X2(3x – 4) – 9(3x – 4) = 0 (3x – 4)(x2 – 9) = 0 (3x – 4)(x + 3)(x – 3)= 0 3x – 4 = 0 x + 3 = 0 x – 3 = 0 5) 2  3 1  5t  0 3 1  5t  2 (3 1  5t ) 3  ( 2) 3 1  5t  8  5t  8  1  5t  9 9 5 9 t 5 t x 4 3 x  3 x=3 2 1 3x 3  4 x 3  4  0 1 x 2  2 x 1  35  0 ux -1 2 6) u  2u  35  0 (u  7)(u  5)  0 u7 u  5 u  x3 3u 2  4u  4  0 (3u  2)(u  2)  0 7) 3u  2  0 3u  2 2 u 3 u20 u  2 u 1 x 2 3  x 3 2    3 8 x 29 3 u  x 1 1 u x 1 7 x 1 x 7 1 5  x 1 x 5  x 3 2 x 1 3 3 23 x (2) 3  x x  8 Centro Educativo Kinal otras ecuaciones y desigualdades 186 Ejemplo 8 Un transbordador para pasajeros viaja desde una población hasta una isla que dista 7 millas de aquella y está a 3 millas en línea recta de la playa. Si el transbordador navega a 12 millas por hora a lo largo de la playa y a 10 millas por hora cuando se interna en el mar.Cuarta unidad: Números complejos. que es x y d d 2  (7  x ) 2  3 2 d2 = 49 – 14x +x2+ 9 d2 = x2 – 14x +58 d= x 2  14 x  58 Centro Educativo Kinal . determina las rutas que tienen un tiempo de recorrido de 45 minutos. Solución: denotemos con x la distancia recorrida a lo largo de la playa La distancia que recorrió se encuentra marcada con azul. El transbordador navega a lo largo de la playa hasta un punto y luego avanza directamente hacia la isla. antes de cruzar hacia la isla. una cuando haya avanzado 3 millas paralelas a la playa y la otra 21 millas 1.Matemática cuarto 187 x d   45 min 12 10 x  12 x 2  14 x  58 3  10 4 5 x  6 x 2  14 x  58  45 60 6 x 2  14 x  58  45  5 x 6 x 2  14 x  58   45  5x 2 2 36( x 2  14 x  58)  2025  450 x  25 x 2 36 x 2  504 x  2088  25 x 2  450 x  2025  0 11x 2  54 x  63  0 54  (54) 2  4(11)(63) x 2(11) 54  2916  2772 22 54  144 x 22 54  12 x 22 54  12 66  x1  22 22 x x1  3 x2  x2  54  12 42  22 22 21 11 Al comprobarlo en la ecuación original podemos verificar que existen dos rutas.9 millas. 11 Centro Educativo Kinal . otras ecuaciones y desigualdades 188 EJERCICIOS PROPUESTOS Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones.4x+ 8= 3 1 2 x5 3 5 3 5x  1  5  6 x 5  3 x 47 x 53 x 47 2x  3  2 2x  5  3 xx6 x 6 x 3x  7  x  1 24) x 2  x 2 25) x  x  0 ) 26) y  3 y 27) 36U2. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) x2 3 3x  1  5 2x  5  3  7 x  4  3  1 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) x 5  x 1 2x  1  2x  1  0 x  6  x 1  7 x  6 1  x 1 3x  4  8  0 3x3.13U+ 1=0 2 1 1 3 1 6 2 3 2 3 1 3 28) 29) 30) 31) 32) 3x 3  4 x 3  4  0 2 y  3y  1  0 36x 4  13x 2  1  0 6u  1 2  13u 2  1 4 60 2t  t  8  0    t 1  t 1 16) 2 x  4  1  x Centro Educativo Kinal .4x2.18x2.Cuarta unidad: Números complejos.27x+ 36= 0 9x3. p<–2 6. c está entre 1 1 y . El negativo de m no es menor que -2. w>–4 4. El cociente de r y s es por lo menos 1 . Una inecuación es una desigualdad. Iniciaremos nuestro curso escribiendo enunciados verbales como desigualdades matemáticas Exprese los siguientes enunciados en forma de desigualdad. 1. 5 3 1 1 >c> 3 5 5. p no es menor o igual que -2.Matemática cuarto 189 4. 5 Centro Educativo Kinal . w es mayor o igual a – 4 .3 DESIGUALDADES LINEALES CON UNA VARIABLE O INECUACIONES Una ecuación es una igualdad. s>0 3. b es positivo. b>0 2. –m>–2 7. s no es negativo. Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades 190 r 1 > s 5 8. El recíproco de m es cuando mucho 14. 1 <14 m 9. El valor absoluto de x es menor que 4. x < 4. 10. x debe ser por lo menos 60. x > 60 11) Si x representa la edad de una persona, a) escriba como desigualdad y como un intervalo que sea menor de edad. b) De la misma forma que sea mayor de edad. a) Como la edad de una persona puede ser cero si no tiene ni un año, el cero está incluido pero el 18 no, porque al tener 18 años ya no es menor de edad , entonces debemos escribir la desigualdad y el intervalo cerrados en cero porque lo incluye y abierta en 18 porque no lo incluye. El menor o igual o mayor o igual incluye al número, por lo tanto se dice que es cerrado, el mayor o menor no lo incluyen, estos se dice que son abiertos . El corchete también incluye al número, por lo tanto también es cerrado; el paréntesis indica que es abierto. Desigualdad: 0  x  18 Intervalo: [0,18) b) Como los mayores de edad deben tener 18 años o más Desigualdad: x  18 Intervalo: [18,  ) Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 191 Aunque nadie vive hasta el infinito, debe escribirse de esta forma porque no se sabe hasta que edad específicamente vive una persona. Exprese las siguientes desigualdades como intervalos y bosqueje su grafica. 1) x5 Como nos piden que escribamos como intervalos y en forma gráfica, primero dibujemos la gráfica y de ella obtenemos el intervalo. x representa cualquier número Entonces al hacer la recta numérica, localizamos el 5 y decimos: números que sean menores que el 5 y luego pensamos que son los que tiene a su izquierda y señalamos con la flecha hacia la izquerda. Nota: Cualquier número es mayor que los que tiene a su izquierda y es menor que los que tiene a su derecha. Ahora para escribir el intervalo, observamos la gráfica y vemos que va desde el infinito y termina en 5, pero como nos indican también el igual, es cerrado en este punto. (-  ,5] 2) x  3 Trazamos la recta numérica y localizamos el -3 y decimos: números que sean mayores que el -3 y luego pensamos que son los que tiene a su derecha y señalamos con la flecha hacia la derecha. Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades 192 Ahora para escribir el intervalo, observamos la gráfica y vemos que va desde el -3 hacia el infinito porque no hay otro punto indicado. Como ahora solamente nos indican mayor que el 3, el número no está incluido es, por lo tanto, el intervalo abierto. (-3,  ) 3) x  3 Ahora nos indican que el valor absoluto de los números, que son los valores que puede adquirir x, tienen que ser mayores que 3. Para resolver desigualdades de valor absoluto, sabemos que escribimos el número, si es positivo, del lado izquierdo con signo negativo y luego resolvemos la desigualdad para encontrar los valores de la x. Esto lo aprendimos en ecuaciones de otros tipos. -3 > x > 3 (,3)  (3, ) En este caso es unido porque cualquier valor negativo, el valor absoluto lo vuelve positivo, por ejemplo, el valor absoluto de – 4 es 4 y por lo tanto es mayor que el 3 4) x  3 R// Todos los números reales Porque como es valor absoluto, cualquier número será mayor que el menos 3 5) x  3 En este caso no tiene solución puesto que cualquier número que salga del valor absoluto será positivo, por lo tanto no puede ser menor que un número negativo. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 193 6)  3  x  5 Como menos 3 es menor que x, la flecha se dirige hacia la derecha porque está indicando de cuales números es menor el -3. En el siguiente, como los números desconocidos representan la x y estos son menores que el 5, la flecha señala hacia la izquierda y el intervalo en el cual quedan las dos flechas es de -3 hasta 5, por lo tanto el intervalo es: [-3,5) 6) 1  x  5 No hay solución puesto que el 1 es mayor que los números “x” y el 1 es mayor que todos los que tiene a su izquierda. Del otro lado nos indica que los números desconocidos x son mayores que el 5 y todos los números mayores que el 5 son todos los que están a su derecha, entonces las flechas no se cruzan en ningún lado. Nota: el único que es solución cuando las flechas no se cruzan es el valor absoluto porque este símbolo los vuelve positivos. 7) 3  x  6 Centro Educativo Kinal Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades 194 La solución es de 3 a 6, pues es el intervalo en donde se cruzan las flechas. Por ejemplo, para comprobarlo se sustituye la x por alguno de estos valores. Sustituyámoslo con 4, nos queda: 3  4  6 y es correcto porque e es menor que el 4 y el 4 es menor que el 6, por lo tanto este intervalo escrito como una desigualdad queda (3,6] 8) Escriba como desigualdad el peso “w” de un luchador que debe tener una diferencia máxima de 2 libras, respecto a 148 libras. Solución: Como nos indican que su diferencia debe ser máxima de 2 libras, esto quiere decir que puede pesar 2 libras más o 2 libras menos. Graficado nos quedaría 146 146 148 x 150 150 146  x  150 Escribiéndolo como una desigualdad, la diferencia tiene que ser positiva, por lo tanto se escribe como valor absoluto w  148  2  2  w  148  2 148  2  w  2  148 146  w  150 A continuación le presento otros ejercicios resueltos pero ya sin explicación. Si al observarlos le queda duda, consulte con su profesor. Exprese el intervalo en forma de desigualdad 1) [0,4) 0 x4 2) (3,6[ 3 x 6 3) (3,7) 3 x 7 4) (   ,2] x2 5) (-3,∞) x >-3 Centro Educativo Kinal se cambian todos los signos incluyendo el mayor o menor. Para resolver desigualdades de esta forma.Matemática cuarto 195 Resuelva las siguientes desigualdades y exprese las soluciones como intervalos. 7) 5) (3.2) 2) (-2. despejando la x pero si el coeficiente de la variable queda negativo. 6[ 4) (1. Ejercicios: Escriba las siguientes desigualdades como intervalos y bosqueje su gráfica 1) 4) x 3 x 5 2) 5) x 5 3) 6) x 3 1 x  5 x  3 Exprese el intervalo en forma de desigualdad 1) [0. 6] 3) (1. se procede igual que en las ecuaciones. ) 6) (-5 Resuelva las siguientes desigualdades y exprese las soluciones en términos de intervalos 2) 3x  1  5 1) x  2  3 3) 2x  5  3  7 4) x  4  3  1 5) 7) 9) 2 x5 3 5 2x  4  6 6) 8) 10) 12) 3 5x  1  5  6 3  2 x < 11 3x – 1 > x – 3 5x + 2 > 6x – 1 6 > x + 3 > 12 11) 4 < 2x < 8 Centro Educativo Kinal . 1. x  3 x  5  0 Igualamos cada factor a cero y despejamos la x para encontrar los intervalos x+3=0 x–5=0 x= –3 x=5 Luego localizamos en una recta numérica estos valores para identificar los intervalos. En este caso el primer intervalo está desde   hasta – 3 .4 MAS SOBRE DESIGUALDADES Resolver las siguientes desigualdades utilizando tabla para encontrar los intervalos. es decir. El primer intervalo principia en menos infinito y termina en el primer valor localizado en la recta numérica. desde 5 hasta  Centro Educativo Kinal . otras ecuaciones y desigualdades 196 15) 2 < 17) 4x  4 0 3 2 0 x5 1 0 x4 16) 18) 10  3 0 x 1 3  5x >-4 3 19) 20) 3 0 2x  5  5  x 1  6 21) 23) 25) 27) 29) 3 0 2 x 3  2x  1  7 12  3x  3  3 3  2x  1  7 12  3 x  3  3 22) 24) 26) 28) 30) 6  2x  4  2  5  x 1  6 6  2x  4  2  5  x 1  6 4. el último intervalo está del último punto hasta el infinito positivo.Cuarta unidad: Números complejos. luego los demás intervalos están de punto a punto. el segundo intervalo está desde – 3 hasta 5 y como no hay más puntos. Por ejemplo. con un valor que pertenezca al intervalo y en el cuadro escribimos el signo que nos quede.  - Luego en el otro factor hacemos lo mismo y escribimos el signo en su casilla correspondiente x–5= –4–5 = –9  . hacemos la ley de signos y el signo resultante lo escribimos en la fila de abajo y este nos indica qué signo quedará en las operaciones efectuadas en cada intervalo.3 x3  3. los intervalos se escriben en la fila de arriba y en la columna del lado izquierdo se escriben los factores  .5 5.5 + 5.  + - Centro Educativo Kinal .3 x3 x5  3. en la desigualdad original.  Luego sustituimos en los factores. en el primer intervalo podemos tomar el sustituirlo en los factores x + 3 = – 4 + 3 = – 1 y escribimos el signo que nos queda – 4 y  .  .  - Hacemos lo mismo con los otros intervalos y escribimos el signo que queda en las operaciones y cuando ya está llena la tabla de los signos encontrados.3 x3 x5  3.5 5.5 5.3 x3 x5  3. específicamente en donde está la x.Matemática cuarto 197 En la tabla. 3 x5 x3 x2 Ley de signos  3. x  3 x  5 2  x   0  .2 + + -  2. 3 4 + 7 .2)U (5. otras ecuaciones y desigualdades 198 x5 Ley de signos + - + + Como en la inecuación nos dicen que el resultado tiene que ser mayor que cero. 2.Cuarta unidad: Números complejos. 2  3x 4 x  7   0  . 4 + - 2 7 Solución :  .5 + + 5. como no nos dan la ecuación factorizada. esto significa que el resultado tiene que ser positivo y los intervalos que nos da el resultado positivo es de  . tratar de resolver y si no encuentra los resultados puede consultar con su profesor. debemos factorizar para encontrar los factores que nos servirán y luego procedemos de la misma forma que los que nos dieron factorizados. x 2  4 x  3  0 En este caso.  + + - + + Solución : (3. 2  3x 4x  7 Ley de signos 2 3 + - 2 7 .3 y luego de 5. ) 4.  .  3 4 3.3U 5. ) A continuación encontrará otros ejercicios resueltos los que puede analizar. entonces la solución es Solución : (. x2 + 4x + 3 = 0 Centro Educativo Kinal . 1 + -  1.0 0.  x7 x3 Ley de signos + + - + + + Solución :  3. + 2x  3 x 1 3 2 - + 3 . x 2  4 x  17  4 La inecuación debe ser mayor o menor que cero x2 – 4x – 17 – 4  0 x2 – 4x – 21 = 0 (x – 7)(x + 3) = 0  . x(3x  1)  0  .3 x3 x 1 Ley de signos + Solución : (. 2 x  3 x 2  2 x  3  0  .3  3. 2 + + Centro Educativo Kinal . 1.  + + + 5.1  1.7 7. 1 3 x + 3x  1 Ley de signos +  1 Solución : 0.7  6.Matemática cuarto 199 (x + 3)(x + 1) = 0  .  3U  1. )  3.1 1 3 + + + .   3 3 7. luego encuentre los soluciones utilizando la tabla. otras ecuaciones y desigualdades 200  3 Solución : (. 0U 0.2  2.1 + x2 x2 x2 x 1 Ley de signos Solución : (1. ) + + + -  1.   2 x 2 ( x  2) 8.Cuarta unidad: Números complejos. 0 ( x  2)( x  1) x 1 Ley de signos + + - + +  .  + + + + + Ejercicios Resuelva correctamente las siguientes desigualdades.0 + + + + + 0. 1) x2 + 8x + 15 >0 15) 10x2 – 9x > 9 2) 3) 4) 5) 6) x2 + 9x + 18 > 0 x2 + 15 + 50 < 0 x2 + 5x – 24 < 0 x + 3x – 4 > 0 x2 – 8x + 12 > 0 2 2 16) 12x2 – 5x > 28 17) ( x 2  1)( x  3) 0 x2  9 (2 x  1) 2 ( x  1) 18) 0 x( x  1)( x  1) 7) 3x – 13x – 10 < 0 8) 2x2 – 3x – 9 < 0 9) 5x2 + 18x – 8 ≥ 0 19) 20) 21) x2 0 x  3 x  10 2 x2 4 3x  5 1 3  x  2 x 1 10) 6x2 + x – 5 ≥ 0 11) 2x2 + 13x – 7 ≥ 0 12) 7x2 – 44x + 12 ≥ 0 13) 6x2 – 7x – 20 ≤ 0 14) 12x2 – 5x – 2 ≤ 0 22) 6t3 > 7t2 + 3t 23) X4 – 13x2 + 36 < 0 24) X5 – 5x3 + 4x > 0 Centro Educativo Kinal .  1U 1. Matemática cuarto 201 Centro Educativo Kinal . Quinta unidad: Funciones y gráficas 202 Centro Educativo Kinal . Al eje x también se le llama variable independiente y al eje “y” se le llama también variable dependiente.  y ) x Centro Educativo Kinal . y ) IV ( x. puntos.  y ) I ( x. a la recta vertical se le denomina eje “y” o eje de las ordenadas. coordenadas  Localizar puntos en el plano  Distinguir el cuadrante en que se encuentra un punto. abscisa. Los cuadrantes se enumeran como aparece en la siguiente figura en contra del movimiento de las agujas del reloj.Matemática cuarto 203 OBJETIVOS  Identificar los elementos del plano cartesiano: ejes. y II (  x. conocida sus coordenadas  Trazar gráficas de ecuaciones  Aplicar las coordenadas cartesianas para plantear y resolver problemas  Demostrar que puntos dados en el plano corresponden a vértices de figuras geométricas PLANO CARTESIANO El plano cartesiano no es más que dos rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en el origen formando 4 cuadrantes. A la recta horizontal se le denomina eje x o eje de las abscisas. origen. ordenada. y ) III (  x. y) en un plano de coordenadas que satisfaga las condiciones dadas: 1.Quinta unidad: Funciones y gráficas 204 Para acostumbrarnos a leer o identificar figuras en el plano. resolveremos los ejercicios que se plantean a continuación. Describa el conjunto de todos los puntos (x. x>0 Son todos los puntos en los cuadrantes 1 y 4 Centro Educativo Kinal . que cruza el eje “y” en 3 3. x=-2 es una línea recta vertical que cruza el eje x en -2 2. y=3 es una línea recta horizontal. Y< 0 Es todo punto en los cuadrantes 3 y 4. debajo de x 6.Matemática cuarto 205 4. xy>0 Es cualquier punto en los cuadrantes 1 y 3 5. X = 0 Es todo punto que está en el eje y Centro Educativo Kinal . -2) y encuentre la distancia entre ellos Centro Educativo Kinal .04 Ejemplo 2. Hallar la distancia entre los puntos P 1 (2. -8) y P 2 (3.Quinta unidad: Funciones y gráficas 206 7. Y> 1 Es cualquier punto en los cuadrantes 1 y 2 pero arriba de la línea horizontal que atraviesa al eje “y” en 1 5.5) y B(-1.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Para encontrar la distancia entre dos puntos existe la siguiente fórmula: d P1 P2  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 Ejemplo 1. 5) Solución: d P1 P2  (2  3) 2  (8  5) 2 d P1 P2  (  1) 2  (  13 ) 2 d P1 P2  1  169 d P1 P2  170 D = 13. Grafique los puntos A(3. Esta fórmula es la siguiente: A  s( s  a)(s  b)(s  c) En donde s es el semiperímetro del triángulo y a.1).3 y C(2. encontramos entonces la longitud de cada lado del triángulo a través de la distancia entre dos puntos.-3) Solución: Como no sabemos si es un triángulo rectángulo. Semiperímetro es la mitad del perímetro del triángulo. c son los lados del mismo.3 FORMULA DE HERÓN La fórmula de Herón sirve para calcular el área de cualquier triángulo sin importar que sea rectángulo o no. Encontrar el área del triángulo cuyos vértices son A(-2. b. Ejemplo 3.06 5. B(4.Matemática cuarto 207 d  (x 2  x1 ) 2  ( y 2  y 2 ) 2 d  (3  1) 2  (5  2) 2 d  ( 4) 2  ( 7 ) 2 d  16  49 d  65 d: 8. basta con conocer la longitud de cada lado. Centro Educativo Kinal . Quinta unidad: Funciones y gráficas 208 AB  (2  4) 2  (1  3) 2 AB  (6) 2  (2) 2 AB  36  4 AB  40 AC  (2  2) 2  (1  3) 2 AC  (4) 2  4 2 AC  16  16 AC  32 AB  6.15  5.3   9.32 BC  (4  2) 2  (3  3) 2 BC  2 2  6 2 BC  4  36 BC  40 AC  5.66)(9. buscamos el semiperímetro s 6.32) Centro Educativo Kinal .66 BC  6.15 A  s( s  a)(s  b)(s  c) A  9.15 2 2 S=9.32 Ahora que ya tenemos la longitud de los tres lados.15  6.32)(9.66 18.15(9.32  6.32  5.15  6. 15(2.83) A  255.75 A= 15.Matemática cuarto 209 A  9.49)(2. d  (3  5) 2  (6  1) 2 d  (8) 2  5 2 d  64  25 d  89 d: 9.43 Ejemplo 5. B: (5. 1) C: (2.83)(3. -3) B: (6. Demuestre que los puntos A: (-1. 1) y hallar la distancia entre ellos. -5) son coordenadas de los vértices de un triángulo rectángulo y encuentre su área AB  (1  6) 2  (3  1) 2 AB  (7) 2  (4) 2 AB  49  16 AB  65 AC  (1  2) 2  (3  5) 2 AC  (3) 2  2 2 AC  9  4 Centro Educativo Kinal .99 u2 Ejemplo 4. 6). Graficar los puntos A: (-3. Quinta unidad: Funciones y gráficas 210 AC  13 BC  (6  2) 2  (1  5) 2 BC  4 2  6 2 BC  16  36 BC  52 Para demostrar que es un triángulo rectángulo hay que hacerlo a través del teorema de Pitágoras que nos dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos c2  a2  b2 En donde la hipotenusa es el lado más largo. como ya demostramos que sí es un triángulo rectángulo. procedemos a multiplicar los catetos y el resultado lo dividimos entre 2 A b*h 2 A 13 * 52 2 Centro Educativo Kinal . En este caso el lado más largo es AB  65  65    13    52  2 2 2 65 = 13 + 52 65 = 65 Para encontrar el. Matemática cuarto 211 A 676 2 26 2 A A = 13u2 Ejemplo 6 Dados los puntos A(1. Solución: Para que un punto esté en la mediatriz de un segmento. M  2  2   2 Centro Educativo Kinal . este punto debe ser equidistante a los puntos extremos del segmento. B(-3. ½).7). demuestra que C está en la mediatriz del segmento AB. su fórmula es:  x  x1 y 2  y1  .4 PUNTO MEDIO El punto medio de un segmento es el promedio de los puntos.2) y C(4. por lo tanto la distancia AC  BC (1  4) 2  (7  1 / 2) 2  (3  4) 2  (2  1 / 2)  13  3 (3)     (7) 2    2 2 2 2 2 9 169 9  49  4 4 205 4 205  4 5. 5 y  y1  m( x  x1 ) ECUACIÓN DE LA RECTA Para encontrar la ecuación de una recta necesitamos conocer la pendiente y un punto por donde pasa Centro Educativo Kinal . 0) dos puntos en el plano. las coordenadas del punto M son.  2   2 2 1 M  . M  1. Sean P 1 (-1.Quinta unidad: Funciones y gráficas 212 Ejemplo 1.   2 En la figura adjunta se ilustra el segmento P1P2 y los puntos pedidos Si el punto medio M tiene coordenadas. Determine: Coordenadas del punto medio M del segmento P1P2 Solución:  1 3 1 0  M  .  2 2  1 M  1.    1 2 5. 1) y P 2 (3. M (x m . y m ) entonces: Encontrados estos puntos por separado nos quedarían: xm  ym x1  x 2 13  1 2 2 y  y2 10 1  1   2 2 2 Luego. Matemática cuarto 213 Para encontrar la pendiente m, necesitamos conocer dos puntos por donde pasa la recta. La fórmula para encontrar la pendiente m es: m y 2  y1 x 2  x1 Ejemplo 1. Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine el intercepto de la recta con el eje y. Solución: Como la fórmula para encontrar la pendiente m es: y 2  y1 x 2  x1 3 1 m 1 2 2 m 3 m Ahora que ya tenemos la pendiente, podemos encontrar la ecuación a través de la siguiente fórmula: y  y1  m( x  x1 ) 2 y  3  ( x  1) 3 3( y  3)  2( x  1) 3y  9  2x  2 3y – 2x – 9 + 2 = 0 3y – 2x – 7 = 0 La ecuación debe quedar “y” en función de x, en este caso que nos quedó negativa la x, cambiamos todos los signos que es equivalente a multiplicar la ecuación por – 1 y nos queda: 2x – 3y + 7 = 0 En la figura adjunta aparecen los puntos dados y la recta L que pasa por ellos. Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 214 Para hallar el intercepto b de la recta con el eje y, hacemos en la ecuación x = 0, 2x – 3y + 7 = 0 2(0) – 3y + 7 = 0 - 3y = -7 y 7 3 Ejemplo 2. Calcular la distancia del origen a la recta de interceptos a y b con los ejes coordenados. Solución: En la figura se ha trazado la recta de interceptos a y b. Sea d  OH la distancia del origen a la recta. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 215 Una propiedad métrica de los triángulos rectángulos establece que el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura que cae sobre ella. Aplicando esta propiedad al triángulo rectángulo AOB de la figura, se tiene: OB  OA  OH  AB Es decir, b  a  d  a2  b 2 de donde d  EJERCICIOS: 1. Representar los siguientes puntos sobre un sistema de coordenadas rectangulares e identificar el cuadrante en que cae cada uno: a) (1, 2) b) (2, 4) c) (-1, 1) d) -2, 3) e) (-3, -1) f) (-5, -2) 2. a) ¿Cuál eje representa la ecuación x = 0? b) ¿Cuál eje representa la ecuación y = 0? ab a2  b 2 3. Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de puntos: a. (3, -2) y (9, 6) b. (4, -3) y (-1, 9) c. (8, -4) y (-7, 4) d. (5, -8) y (-7, 8) Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vértices de un triángulo isósceles Demostrar que los puntos A(8, 9), B(-6, 1) y C(0, -5) son vértices de un triángulo isósceles. Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P 1 (-7, 7), P 2 (2, 0), P 3 (10, 3) y P 4 (1, 10). Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo. Demostrar que los puntos P 1 (0, 5), P 2 (6, -3) y P 3 (3, 6), son vértices de un triángulo rectángulo. Hallar su área. 4. 5. 6. 7. Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 216 8. Dados los puntos A: (1, 7), B: (-3, -2), C: (4, ½), demostrar que C esta en la mediatriz del segmento A – B. Mediatriz: línea recta que pasa por la mitad del un segmento y es perpendicular al mismo, Para que un punto esté en la mediatriz, debe ser equidistante a los extremos del segmento. Equidistante: 9. Que está a la misma distancia de los puntos dados Dados los puntos A: (1, 7), B: (-3, -2), encuentre el punto medio del segmento AB y compare las distancias demostradas que d(AM) = d(BM) Dados los puntos A: (2, 6), B: (2, 2), C: (-1, 2), demostrar que son vértices de un triangulo rectángulo. Y hallar su área. 10. 11. Si la pendiente de la recta que une los puntos: a. A(X 1 , -1), y, B(2, 5) es 3, encontrar X 1 . b. A(6, -1), y, B(10, Y 1 ) es 2 , encontrar Y 1. 3 12. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3, 5), B(-5, 1) y C(1,7). a. Localizar los puntos medios de los lados. b. Localizar el punto de intersección de las medianas. c. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de cualquier par de lados es paralelo al tercer lado y es la mitad de su longitud. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos (1, -2), (7, 3) y (-2, 2). Encontrar el cuarto vértice. Localizar los vértices de un triángulo sabiendo que los puntos medios de los lados son los puntos (2, -1), (8, 4) y (-1, 3). Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos: a. A(0, 0), B(9, 2) y C(1, 4) es rectángulo. b. A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectángulo. 13. 14. 15. Centro Educativo Kinal Matemática cuarto 217 16. 17. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2. Encontrar las áreas de los triángulos cuyos vértices son: a. (0, 0), (2, 4) y (-1, 6) b. (-2, -1), (-4, -6) y (-1, -3) c. (3, 4), (-2, 1) y (1, -5) d. (3, 6), (-2, 7) y (-1, -2) 18. Considere el triángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 0), B(0, 3) y C(1, 2). a. Encuentre las ecuaciones de las medianas. b. Encuentre las ecuaciones de las alturas. c. Encuentre las ecuaciones de las bisectrices interiores. d. Encuentre las ecuaciones de las mediatrices del triángulo. e. Localice el baricentro, ortocentro, incentro y el circuncentro del triángulo. Centro Educativo Kinal Quinta unidad: Funciones y gráficas 218 5. en el eje “y” subirá 3 por ser el 3 positivo. el 2 indica la intersección en el eje “y” y el 3 es la pendiente. esta gráfica corresponderá a una línea recta. Ejemplo 2: Trazar la gráfica de y  2 x  1 Intersección en y  1 Pendiente – 2 Centro Educativo Kinal . es decir. sabremos qué tipo de gráfica nos quedará solamente con ver su ecuación. Ejemplo 1: Trazar la gráfica de y  3x  2 Cuando tenemos una ecuación en la cual ninguna de las variables tiene exponente. sin letra o sea el término independiente. En donde el número que está solo. indicará la pendiente.6 GRAFICAS DE ECUACIONES Aprenderemos a trazar la gráfica de las ecuaciones. En este caso. me indicará el lugar por donde atraviesa al eje “y” y el número que tiene la x. sin hacer uso de la tabla. esto indica que por cada x que se avance. este servirá para el eje “y”. Centro Educativo Kinal . Avanzar en el eje x es ir siempre hacia la derecha El comportamiento de las gráficas cuando alguna de las variables está elevada al cuadrado es el siguiente.Matemática cuarto 219 2 Ejemplo 3: Trazar la gráfica de y   x  2 3 Intersección en el eje “y” = – 2 2 Pendiente  3 Podemos hacer dos cosas con esta ecuación: 1 alejarnos 1 del punto de intersección con el eje “y” y bajar 2 3 Por tener signo negativo 2 Avanzar 3 en el eje x y bajar 2 en el eje “y” Nota: En el eje x siempre avanzamos sin importar el signo que tenga la pendiente. en este caso el 1 Luego nos alejamos uno en x y decimos uno al cuadrado es 1 por el 2 que está con la x. 1*2 = 2 y contamos dos espacios hacia abajo por ser negativo el signo que tiene a su izquierda el 2. Ejemplo 5: Trazar la gráfica de Y  x Solución: 2 Centro Educativo Kinal .Quinta unidad: Funciones y gráficas 220 Ejemplo 4: Trazar la gráfica de y  2 x 2  1 Esta no es una línea recta ya que una de las variables tiene exponente 2. por lo tanto es una parábola. Para trazarla sin hacer uso de la tabla. localizamos los puntos en el otro lado del eje “y” y la gráfica que nos queda es la siguiente. localizamos el vértice que es el número solo o término independiente. A continuación nos alejamos 2 espacios hacia la derecha alineado con el vértice y decimos 2 al cuadrado 4 por 2 = 8 y contamos 8 hacia abajo. Como una parábola es simétrica con respecto del eje “y”. 0) y como la x tiene signo positivo. el vértice está en el origen. ya que la x2 no tiene número ni signo. Como la gráfica de x2 es simétrica con el eje “y”. localizamos en la misma dirección y a la misma distancia del eje “y” los otros puntos para poder trazarla. solamente que está corrida 3 espacios hacia abajo puesto que el vértice está ahora en – 3 x 2 3 Centro Educativo Kinal . nos alejamos 1 en x y decimos uno al cuadrado es uno y subimos un espacio en “y”. Ejemplo 6: Graficar y  Solución: La gráfica es exactamente la misma que la anterior. Luego nos alejamos dos y decimos dos al cuadrado cuatro y contamos 4 hacia arriba y así sucesivamente.Matemática cuarto 221 Como en este caso solamente tenemos x2. localizamos entonces el vértice en (0. igual a 12 y contamos 12 hacia la izquierda y así sucesivamente Centro Educativo Kinal . Ejemplo 8: Trazar la gráfica de Solución: x  3 y  5 2 Nuevamente es una gráfica horizontal por estar elevada al cuadrado la “y”. la gráfica se abre hacia la izquierda. contamos entonces 3 hacia la izquierda. por 3 igual a 3. Luego nos alejamos dos. luego nos alejamos 1 hacia cualquier lado y decimos: Uno al cuadrado es 1. siempre del vértice y decimos: Dos al cuadrado igual a 4.Quinta unidad: Funciones y gráficas 222 Ejemplo 7: Trazar la gráfica de x  y 2 Solución: Ahora la gráfica es horizontal ya que la letra que está elevada al cuadrado es la “y”. Y hacemos lo mismo que con la x2 solo que en el otro eje. procedemos entonces a localizar el vértice que se encuentra en el origen pero ahora no se abre hacia arriba sino hacia la derecha porque la “y” no tiene signo. pero como ahora tiene signo negativo. Localizamos el vértice. por 3. como no tiene. entonces concluimos que la gráfica es horizontal y queda trazada de la siguiente forma.Matemática cuarto 223 Ejemplo 9: Trazar la gráfica de: Y  x4 Solución: En este caso. se sobreentiende que es positivo y el de la x es también positivo. ya no es una parábola sino una semiparábola por ser raíz cuadrada. Centro Educativo Kinal . El signo que tiene del lado izquierdo la raíz cuadrada. Ahora falta saber para donde Nos imaginamos entonces cual será la variable que quedaría elevada al cuadrado y nos damos cuenta que es la variable “y”. ya que sabemos que la raíz cuadrada solamente se le puede sacar a números positivos y al cero y despejamos la x x40 x4 Entonces ya sabemos que la gráfica sale del 4 positivo de las x. es la “y” la que quedaría elevada al cuadrado. entonces la gráfica está en el primer cuadrante : Eje positivo de la x y eje positivo de las “y”. Para encontrar el lugar de donde sale. igualamos la raíz a cero. ya que si le quitáramos la raíz cuadrada a x – 4. es el signo correspondiente a la “y”. Quinta unidad: Funciones y gráficas 224 Ejemplo 10: Graficar y  x Solución: Tenemos nuevamente una raíz cuadrada con el eje “y” positivo y el eje x también positivo. o sea que es la misma que trazamos anteriormente pero ahora sale del origen puesto que no tiene ningún número dentro de la raíz. Centro Educativo Kinal . entonces la gráfica queda en el primer cuadrante. Centro Educativo Kinal .Matemática cuarto 225 Ejemplo 11: Trazar la gráfica de y   x  1 Solución: En este caso tenemos eje negativo de las “y” y positivo de las x. La gráfica está en el III cuadrante. por lo tanto la gráfica se ubica en el IV cuadrante. x 1  0 x= – 1 la gráfica que queda es la siguiente Ejemplo 12: Graficar y    x  3 Solución: Tenemos ahora eje negativo de las x y eje negativo de las “y”. Despejamos la x para ver cuánto vale la x cuando la “y” valga cero. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Y = 3x y = -2x y=4 y=2 y = -1 y = 2x – 3 y=x–2 11) y  8) 9) y=-x+3 y = . Luego hacemos lo mismo hacia el lado izquierdo y la gráfica queda de la siguiente manera. A este cambio se le llama Punto de inflexión. Nos colocamos entonces en el punto de inflexión y nos alejamos primero hacia la derecha y como la x no tiene tampoco ningún número del lado izquierdo. esto significa que tiene su cambio en el origen. Nos ubicamos nuevamente en el punto de inflexión y nos alejamos dos unidades siempre hacia la derecha y decimos: dos al cubo igual a 8 y nos alejemos 8 hacia arriba. EJERCICIOS Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones sin hacer uso de la tabla. como es cúbica y no tiene ningún número la x del lado derecho.2x – 3 10) y  1 x 1 2 3 x2 2 12) Y = x2 – 2 13) Y = x2 + 1 Centro Educativo Kinal .Quinta unidad: Funciones y gráficas 3 226 Ejemplo 13: Trazar la gráfica de Y  x Solución: Esta es una gráfica simétrica con el origen. decimos: uno al cubo igual a 1 y nos alejamos uno hacia arriba. Matemática cuarto 227 14) Y = 2x2 – 3 15) Y = 3x – 2 16) y  17) y  2 36) x  37) x  38) x  39) x  y 3 y2 y 1 y 3 1 2 x 1 2 1 2 x 2 3 2 1 18) y  x 4 40) x   y  2  2 41) x   y  1 42) x  2  y 43) x   y  3 44) x    y  2 45) x   3  y 46) y  47) y  48) y  49) y  50) y  19) y  2 2 x 4 3 20) y  2x 2 2 21) y   x  4 3 22) x  y  1 2 2 23) x  y  3 24) x  2 y 2  4 25) x  3 y 2  2 26) y  x  3 27) y  x  2 28) y  x  1 29) y  x  3 30) y   x  2 31) y   x  1 32) y  2  x 33) y   x  3 34) y    x  2 35) y   3  x 3 x2 2 x 1 2x x3 3x x4 4x x 51) y  x 3 52) y   x 3 53) y  2 x 3  3 54) y  x 3  1 Centro Educativo Kinal . k) es ( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2 En donde (h.7 ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA La ecuación de la circunferencia con centro en el origen es x2  y2  r 2 En donde x y “y” son cualquier número y r es el radio.k) es el centro de la circunferencia.Quinta unidad: Funciones y gráficas 228 5. Centro Educativo Kinal . este punto ya no se encuentra en el origen y r sigue siendo el radio Ejemplo 1: Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es x 2  y 2  25 y trace su gráfica. Solución: Por la forma como está escrita la ecuación. es una circunferencia que tiene su centro en el origen C(0. el centro se encuentra en el origen. La ecuación de la circunferencia con centro en C(h.0) r 2  25 r  25 r 5 La gráfica es la que aparece a continuación. encontramos el radio a través de la distancia entre dos puntos. únicamente debemos encontrar el radio. como nos indican que tiene su centro en el origen.-1) y su radio es 3 Ejemplo 3: Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y pasa por el punto P2. la ecuación y la gráfica quedan de la siguiente forma x 2  y 2  29 Centro Educativo Kinal . Como conocemos dos puntos que son el centro y un punto por donde pasa. En este caso.5 Solución: Para encontrar la ecuación de una circunferencia necesitamos conocer el centro y el radio.Matemática cuarto 229 Ejemplo 2: Encuentre el centro y el radio y trace la gráfica del círculo 2 2 cuya ecuación es x  2   y  1  9 Solución: Esta es una circunferencia que tiene su centro en C(2. r  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 r  (2  0) 2  (5  0) 2 r  22  52 r  4  25 r  29 Como sabemos que tiene centro en el origen y ya encontramos el radio. 7) Solución: Para encontrar el radio buscamos primero el punto medio que es el centro de la circunferencia. 3). para ayudarnos trazaremos la circunferencia conociendo su diámetro Centro Educativo Kinal . centro en el segundo cuadrante radio 4 Solución: Trazamos la gráfica para localizar con facilidad el radio Como vemos que el radio es de 4. podemos escribir la ecuación x  42   y  42  16 Ejemplo 5: Encontrar la ecuación de la circunferencia que los extremos de un diámetro están en A(5. B(1.Quinta unidad: Funciones y gráficas 230 Ejemplo 4: Encuentre la ecuación de la circunferencia que es Tangente a ambos ejes.   2   2   5 1  3  7  Pm   .5) Como ya conocemos el centro. ya podemos encontrarla.    2  2  6 10 Pm  . ( x  3) 2  ( y  5) 2  8 Ejemplo 6: Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es x 2  y 2  6 x  8 y  16  0 y trace su gráfica Centro Educativo Kinal .Matemática cuarto 231  X  X 1   Y2  Y1  Pm   2 . 2 2 Pm  (3. podemos encontrar el radio a través de la distancia entre dos puntos r  (5  3) 2  (3  5) 2 r  2 2  (2) 2 r  44 r 8 Como sabemos que para encontrar la ecuación de la circunferencia necesitamos conocer el centro y el radio. por lo tanto r =3 Ejercicios Encuentre el centro y el radio de las siguientes circunferencias y trace su gráfica. procedemos entonces a hacer la Completación al cuadrado ( x 2  6 x)  ( y 2  8 y )  16 ( x 2  6 x  9)  ( y 2  8 y  16)  16  9  16 ( x  3) 2  ( y  4) 2  9 Encontramos entonces que el centro es C(3.Quinta unidad: Funciones y gráficas 232 Solución: Como nos dieron la ecuación general de la circunferencia. Indique si es solo un punto o si no existe 9) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) x2  y2  1 x2  y2  4 2 x 2  2 y 2  18 3x 2  3 y 2  48 (x + 2)2 + y2 = 9 (x – 1)2 + y2 = 25 X2 + (y – 2)2 = 16 X2 + (y + 2)2 = 9 10) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4 11) x2 + y2 – 10x + 8y+32 = 0 12) x2 + y2 – 4x + 2y – 9 = 0 13) x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0 14) x2 + y2 + 6x + 4y – 3 = 0 15) x2 + y2 – 6x + 6y +14 = 0 16) x2 + y2 – 2x + 8y +14 = 0 17) x2 + y2 – 12x–10y+62 = 0 Centro Educativo Kinal . tenemos que encontrar la estandar para poder graficarla. – 4) y r2 = 9. Matemática cuarto 233 18) x2 + y2 + 12x – 21) x2 + y2 – 6x – 4y + 8 = 0 22) x2 + y2 + 4x – 10y+22 = 0 23) x2 + y2 + 6x – 2y +10 = 0 24) x2 + y2 – 4x – 6y + 13 = 0 25) x2 + y2 – 4x – 6y + 12 = 0 4y+43 = 0 19) x2 + y2 – 4x + 2y – 4 =0 20) x2 + y2 – 12x + 4y+38 = 0 5.8.8. Centro Educativo Kinal .8 LA RECTA Nuestro estudio se basará a las rectas en un plano de coordenadas cartesianas. es decir. es decir. ahora las estudiaremos más detenidamente. lo que nos permitirá el uso de métodos algebraicos para estudiar sus propiedades.2 Ecuación general de la recta La ecuación general de la recta debe estar igualada a cero. ya se encuentra despejada la “y” y  mx  b En donde m es la pendiente y b es el punto de intersección con el eje “y”. 5. Ax  By  C  0 En donde A. necesitamos conocer su pendiente y un punto por donde pase. Anteriormente en este mismo capítulo hicimos una introducción a la recta. 5.1 Ecuación estandar de la recta: La ecuación estandar de la recta es la que está escrita para poder ser graficada. B y C son valores conocidos. en donde atraviesa la recta al eje de las ordenadas. ECUACIÓN DE LA RECTA Para encontrar la ecuación de una recta. la recta no sube ni Baja.3 PENDIENTE Es el grado de inclinación que tiene una recta. podemos decir que es lo que sube o baja por cada avance en el eje “x”. es una recta horizontal Cuando m es indefinida 1 m .Quinta unidad: Funciones y gráficas 234 5.8. A la pendiente la designamos con la letra m Cuando m es   la recta se abre de la siguiente forma Cuando m es (-) la recta queda de la siguiente forma Cuando m es 0. la recta es 0 totalmente vertical Centro Educativo Kinal . 0  D 5.5 Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares cuando la pendiente de una es igual a la 1 inversa de la otra con signo contrario.2  son vértices de un paralelogramo. m2   m1 Si m1 Entonces m2 2  1 2 3 2 2 3   1 4 4 A través de las pendientes. demuestre que los puntos A 3.3 Centro Educativo Kinal .8. B5.Matemática cuarto 235 5.4 Rectas paralelas Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente m1 m2 m1  m2 5.1 C 3.8. Sabemos que si una recta es vertical su pendiente es indefinida. para nuestra conveniencia.Quinta unidad: Funciones y gráficas 236 Los lados de un paralelogramo tienen que ser paralelos con su opuesto. ya que las pendientes de sus lados opuestos son iguales. 1) Pasa por A(5. si la pendiente es indefinida la representaremos como 1 m y de esta forma nos será mucho más fácil encontrar su ecuación. para que esto suceda. 0 m 1 0 1 ( x  5) 0 0( y  2)  x  5 0  x5 O bien x = 5 ( y  2)  Centro Educativo Kinal . Ejercicios resueltos: Encuentre la pendiente de la recta que cumpla con las condiciones dadas.2) paralela al eje “y” Solución: Esta es una recta vertical por ser paralela al eje “y”. las pendientes de estos lados tienen que ser iguales 3 1 0  2  53 35 2 2  8 8 1 1  4 4 30 1 2  53 35 3 3  2 2 Si es paralelogramo porque sus rectas son paralelas. La fórmula para encontrarla es la siguiente y  y1 m 2 x 2  x1 11  5  6  11   43 7 7 11 ( y  5)   ( x  4) 7 7 y  35  11x  44 7 y  11x  9  0 11x  7 y  9  0 m Centro Educativo Kinal . esto significa que la recta es horizontal. B (3.Matemática cuarto 237 2) Pasa por A(4. por lo tanto la pendiente es cero. m0 ( y  2)  0( x  4) y20 y2 3) Pasa por A(5.3) pendiente -4 En este otro caso ya está dada la pendiente y como sabemos que para encontrar la ecuación de la recta lo que necesitamos saber es su pendiente y un punto por donde pasa. nos dan dos puntos por donde pasa para que la podamos encontrar.6) Como ahora no nos dan la pendiente. procedemos directamente a encontrarla ( y  3)  4( x  5) y  3  4 x  20 y  3  4 x  20  0 y  4 x  17  0 4 x  y  17  0 4) Pasa por A(4.2) perpendicular al eje y En este caso que nos indican que la recta es perpendicular al eje y.0) pendiente 3 ( y  0)  3( x  4) y  3x  12 5) Pasa por A(4.5) . Quinta unidad: Funciones y gráficas 238 6) Pasa por A(2. por lo tanto la pendiente de una es igual a la inversa de la otra con signo contrario. podemos encontrar la pendiente a través de la siguiente fórmula A m B A 5 5 m1     B 2 2 Esta misma pendiente tiene la recta que pasa por el punto dado.3) perpendicular a la recta 2 x  5 y  8 Dos rectas perpendiculares forman ángulos rectos o de 900 al cruzarse. m1   A 2 2   B 5 5 m2   5 2 5 ( y  3)   ( x  7) 2 2( y  3)  5( x  7) 2 y  6  5 x  35 5 x  2 y  6  35  0 5 x  2 y  29  0 Centro Educativo Kinal . Cuando la ecuación que conocemos es la ecuación general de la recta.4) paralelas a la recta 5 x  2 y  4 Cuando dos rectas son paralelas sabemos que tienen la pendiente igual. procedemos entonces a encontrarla tomando esta misma pendiente. por lo tanto encontramos la pendiente de la ecuación dada. 5 ( y  4)  ( x  2) 2 2 y  8  5 x  10 5 x  2 y  18  0 7) Pasa por A(7. ya que son paralelas. Cuando tenemos que trazar gráficas y la ecuación que nos dan no es la estandar sino la ecuación general. podemos despejar la “y” para encontrar la ecuación estandar o bien encontrar la intersección en el eje”y” y la pendiente de la siguiente manera: m A C y la intersección y   en donde A. B B 8) Trazar la gráfica de 4x – 2y + 2 = 0 2  4  m   y la intersección y    1 2 2 2 Podemos entonces trazar la gráfica puesto que ya conocemos la intersección en el eje “y” y la pendiente Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1. -2) m 22 4  2 11  2 m2 Para encontrar la ecuación de la recta necesitamos conocer la pendiente y un punto por donde pasa Centro Educativo Kinal . B y C son números reales.Matemática cuarto 239 ECUACION GENERAL DE LA RECTA La ecuación general de la recta es cuando la “y” no esté despejada Ax + By + c = 0.2) y B(-1. 2) y es b) perpendicular a L. Sean m 1 . las dos ecuaciones se pueden escribir de la misma forma. es decir. La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1. 2) y es paralela a L. Sean L 1 y L 2 las rectas paralela y perpendicular a L respectivamente y que pasan por el punto P(1.6). la ecuación la encontramos de la siguiente manera: y  4  2( x  2) y – 4 = 2x – 4 y = 2x – 4 + 4 y = 2x Nota: Cuando la “y” no tiene número y el coeficiente de la x no es una fracción. Determinar: a) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1. L y L 2 respectivamente. Centro Educativo Kinal . 2).4) y B(3. la ecuación general también se puede escribir de la misma forma que la ecuación estandar. Encontramos primero la pendiente m 64 2  2 32 1 m2 La ecuación de la recta se encuentra restándole a y la coordenada del punto de “y” que tomemos y esto lo igualamos a la pendiente m por x menos la coordenada de x del mismo punto que tomamos: y-y 1 =m(x-x 1 ) Ejemplo: si tomamos el punto A. m y m 2 las pendientes de L 1. Y = 2x Ecuación estandar Y = 2x Ecuación general Y – 2x = 0 Ecuación general 10) Dada la recta L cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y – 5 = 0.Quinta unidad: Funciones y gráficas 240 9) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2. 4x k) l) j) i) y y y y 2 x 3 3 x 2 5 x 1 3 2 x2 5 Centro Educativo Kinal . Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones: a) y = x + 3 h) y = .5x b) c) d) e) f) g) y=x–2 y=-x+3 y=-x–2 y = 2x – 1 y = 3x – 3 y = . 4 y2   3 (x  1) y simplificándola se puede escribir en la 4 Ahora. entonces m 2 =  m2 =  4 . se tiene para L 1: forma general: 3x + 4y – 11 = 0 b) Como L 2  L. se sigue que m 4 Usando nuevamente la forma punto – pendiente se tiene para L 2 : y2  4 (x  1) 3 y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x – 3y + 2 = 0 EJERCICIOS 1.Matemática cuarto 241 Como L 1 // L entonces m 1 = m y puesto que m =   3 se sigue que m 1 = 4 3 . 3 1 3 y como m =  . usando la forma punto – pendiente de la ecuación de la recta. 10 = 0? a. (10. (0. 7) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(3. 21) e. B(3. 3) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-1. 2/3) Centro Educativo Kinal . 15) c) Cuál es la pendiente de L ? d) L intercepta a y en? 13) ¿Cuáles de los puntos siguientes quedan en la recta cuya ecuación es 3x + 4y . (1. 5). 12) Si una recta L tiene la ecuación general: 2x + 0. (-2.1) y es perpendicular al eje x. ) con 4 5 pendiente m  . 5) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(2.-4) perpendicular a la recta x  5 y  4 .6) abscisa en el origen 4. encontrar la parte faltante en cada uno de los casos siguientes: a) (3 . B(2. 4 3 8) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-5. 2) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(2. 10) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-6. (22/9.4) c. 4) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-3. 5) con pendiente 3. -5) d. 0) f. ?) b) (? . 4) con 3 pendiente m  . 11) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(0. -1). 6) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-2.5) y es paralela a la recta x  3 y  1 . 8). -2). 2) b. 8 9) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A( 3.8 = 0. (-25. -3) con pendiente -1.Quinta unidad: Funciones y gráficas 242 1) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(3.6y-10.-5) paralela al eje x. pendiente = -2. 0) y (6. 2) y es paralela a la recta que une los puntos (20. (-1. 3) y es paralela a la que pasa por los puntos (0. b. Pasa por (5.5 15) Escribir las siguientes ecuaciones en la forma pendienteintersección (forma estandar) e indicar la pendiente y la intersección con el eje de las ordenadas. 3) 10  5 ii.-1) y (2. -6) 18) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3. 4) y (8. -2) y es perpendicular a la que pasa por los puntos (-1. sabiendo que: a. a. 0 ) y  0. 5) 22) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2. -3) y que es perpendicular a la que pasa por los puntos (-2.4) y es perpendicular a la recta que tiene le ecuación 2x + y + 2 = 0 23) Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de puntos: 1. 7) 19) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4.2 = x d) 3s = 4 . -2) y (3. 4) y es paralela al eje de las x c.1) 20) 10)Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5. 1) vi. 4) iv. (-7. (3. 50) y (100. 6) Centro Educativo Kinal . 5) v. pendiente = 2/5 intersección con y en 3/2 b.Matemática cuarto 243 14) Obtenga la ecuación general de la recta. (0. 15) y tiene una pendiente de -3.2t 16) Encontrar la ecuación de la recta que: a. ( . -3) y (6. cada uno de los pares de puntos siguientes: Hallar la pendiente de la recta que pasa por ambos Hallar la ecuación de la recta. (-2. -3) y (-5.5 intersección con y en -1. c. -2) y (3. b.  3  2 iii.400) 17) Para a. Pasa por el punto (-1. Pasa por el punto (6. 2x + y = 1 b) 2y = x+ 2 c) 3y . Trazar su gráfica i. 15) y es paralela a la recta cuya ecuación es y = x + 25 21) 11)Hallar la ecuación de la recta cuya intersección con el eje y es (0. (3. -2) y (4. -2) y (9. P 2 (6. -2) y que es tangente a la recta y = 5. son vértices de un triángulo rectángulo. 27) Demostrar que los puntos P 1 (0. Hallar su área. (4. encontrar Y 1. 0). y.53t– 6. 1).en la cual L es la longitud en cm. 7) y C(-4. P 2 (2. 26) Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P 1 (-7.5) . 5) es 3. -3) y P 3 (3. -1). B(-6. 10). 9). 4) 4. -3) y (-1.Quinta unidad: Funciones y gráficas 244 2.3) y P 4 (1. 6).4). La longitud prenatal se Centro Educativo Kinal . B(1. 9) 3. 8) 24) Demostrar que los puntos A(6. encontrar X 1 . A(6. (5. y t la edad en semanas. -1). P 3 (10. A(X 1 . -4) y (-7. y. 2) Encuentre una ecuación de la recta tangente al círculo x 2  y 2  25 en el punto P(3. Y 1 ) es 2 . B(2. 5). (8.7. 7). 3) El crecimiento de un feto de más de 12 semanas se puede aproximar mediante la fórmula L=1. 28) Si la pendiente de la recta que une los puntos: 1. -8) y (-7. 3 PROBLEMAS DEL LIBRO DE SWOKOWSKI 1) Determine una ecuación del círculo cuyo centro es C(3. Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo. 1) y C (0. B(10. 1) son los vértices de un triángulo isósceles 25) Igual que el ejercicio 24 Con los puntos A(8. 2. de una ballena bebé? g. Si L Y t están relacionadas linealmente.42. ¿Cuál es aumento mensual en la longitud de la ballena? d. 4) El peso esperado. ¿Cuánto pesa la ballena cuando tiene 5 meses de edad? Centro Educativo Kinal . Las ballenas jóvenes maman durante 7 meses. W. de una ballena que tiene t meses de edad. exprese W en términos de t.Matemática cuarto 245 puede determinar mediante ultrasonido. a. respectivamente.8. a. Cuánto mide la ballena cuando tiene 3 meses de edad e. ¿cuál es el error correspondiente de la estimación del peso? 5) Las ballenas azules recién nacidas tienen aproximadamente 24 pies de longitud y pesan 3 toneladas.70L . en toneladas. exprese L en términos de t b. Sean L y W la longitud (en pies) y el peso (en toneladas). ¿Cuál es el aumento diario de longitud de una ballena bebé? (Tomara l mes = 30 días. Estime el peso de una ballena jorobada de 40 pies. f. L. b. y para cuando son destetadas.) c. se puede aproximar a partir de su longitud. de una ballena jorobada. Sj W y t están lineal mente relacionadas. en pies: mediante la fórmula W = 1. Calcule la edad aproximada de un feto cuya longitud es 28 cm. Si el error en la estimación de la longitud puede ser hasta de 2 pies. ¿Cuál es el incremento diario en el peso. con frecuencia tienen 53 pies de largo y pesan 23 ton. para 30  L  50. 8) Un bebé pesa 10 lb al nacer. Suponga que este nivel de producción continúa durante el resto del año. de 162 juegos. t. ¿Cuántos homeruns realizará este jugador en la temporada? 7) Un fabricante de quesos produce 18 000 lb del 1 de enero al 24 de marzo. . x. a. “y” de queso producido. de grandes ligas. Exprese el número de libras. en un año que tiene 365 días. de $8 250. Prediga el número de libras que se producen en el año. ¿Después de cuántos meses la deuda del estudiante será Centro Educativo Kinal . Exprese la cantidad P (en dólares). ha logrado 5 homeruns en los primeros 14 juegos. y 3 años después. en libras. Suponga que el peso. en términos del número de juegos x en que ha intervenido.su peso es de 30 lb. Exprese el número de homeruns. a. y mantiene ese paso en toda la temporada. a. 9) Un estudiante universitario recibe un préstamo libre de intereses. en función del número del día. b. b. Trace. de un pariente. b. “y”. en términos del tiempo t (en meses). ¿A qué edad pesará 70 lb el niño? d. b. en un plano tW. está relacionado linealmente con la edad en años. Exprese W en términos de t. que falta por pagar. El estudiante pagará $125 mensual hasta liquidado a. una gráfica que muestre la relación entre W y t para 0  t  12. ¿Cuál es W al sexto cumpleaños del niño? c.Quinta unidad: Funciones y gráficas 246 6) Suponga que un jugador de béisbol. W. Matemática cuarto 247 $5OOO? c. Haga una gráfica. que indique la relación entre P y t durante la vigencia del préstamo. en un plano tP. BIBLIOGRAFIA  Algebra y Trigonometría con geometría swokowski  Algebra de Baldor  Algebra de Lehman  Algebra elemental de Alfonse Gobran  Internet analítica de Centro Educativo Kinal .