Libro Calculo Diferencial Para Editar Gerardo

Dr.Alexander Barbera 1 Dedicatoria A todas aquellos que ven en el abordaje del conocimiento matemático una herramienta para la concepción de su vida, algo más que pasar una asignatura. 2 3 Reservado los derechos de Autores Hecho el depósito de ley Depósito legal: If04120115102208 ISBN: 978-980-12-5797-4 Valencia – Venezuela 2.012 Dr. Alexander A. Barbera Autor Editado por: Mi Bella Liz Dirección: Los Jarales Av. El Paseo # 19-35 San Diego Telf.: 04263389083. Impreso por: Diseño grafico: Vivir aprendiendo A los 5 años, aprendí que a los pececitos dorados no les gustaba la gelatina. A los 9, aprendí que mi profesora solo me preguntaba cuando yo no sabía la respuesta. A los 10, aprendí que era posible estar enamorado de cuatro chicas al mismo tiempo. A los 12, aprendí que, si tenía problemas en la escuela, los tenía más grandes en casa. A los 13, aprendí que, cuando mi cuarto quedaba del modo que yo quería, mi madre me mandaba a ordenarlo. A los 15, aprendí que no debía descargar mis frustraciones en mi hermano menor, porque mi padre tenía frustraciones mayores y la mano más pesada. A los 20, aprendí que los grandes problemas siempre empiezan pequeños. A los 25, aprendí que nunca debía elogiar la comida de mi madre cuando estaba comiendo algo preparado por mi mujer. A los 27, aprendí que el titulo obtenido no era la meta soñada. A los 28, aprendí que se puede hacer, en un instante, algo que te va a hacer doler la cabeza la vida entera. A los 30, aprendí que cuando mi mujer y yo teníamos una noche sin chicos, pasábamos la mayor parte del tiempo hablando de ellos A los 33, aprendí que a las mujeres les gusta recibir flores, especialmente sin ningún motivo. A los 34, aprendí que no se cometen muchos errores con la boca cerrada. A los 38, aprendí que, siempre que estoy viajando, quisiera estar en casa; y siempre que estoy en casa me gustaría estar viajando. A los 39, aprendí que puedes saber que tu esposa te ama cuando quedan dos croquetas y elige la menor. A los 42, aprendí que, si estás llevando una vida sin fracasos, no estas corriendo los suficientes riesgos. A los 44, aprendí que puedes hacer a alguien disfrutar el día con solo enviarle una pequeña postal. A los 47, aprendí que niños y abuelos son aliados naturales. A los 55, aprendí que es absolutamente imposible tomar vacaciones sin engordar cinco kilos. A los 63, aprendí que es razonable disfrutar del éxito, pero que no se debe confiar demasiado en el. También a los 63, aprendí que no puedo cambiar lo que pasó, pero puedo dejarlo atrás. 4 A los 64, aprendí que la mayoría de las cosas por las cuales me he preocupado nunca suceden. A los 67, aprendí que si esperas a jubilarte para disfrutar de la vida, esperaste demasiado tiempo. A los 71, aprendí que nunca se debe ir a la cama sin resolver una pelea. A los 72, aprendí que, si las cosas van mal, yo no tengo por qué ir con ellas. A los 76, aprendí que envejecer es importante. A los 91, aprendí que amé menos de lo que hubiera debido. A los 92, aprendí que todavía tengo mucho para aprender. Siempre estamos aprendiendo algo nuevo, algo lindo, algo digno, como por ejemplo que la paz no se logra si realmente no se está dispuesto a perdonar por ella, entender cuál es la verdadera importancia de la familia, de la gente simple, de la vida misma. Que si bien todos tenemos distintas cualidades, capacidades y habilidades, sepamos valorar las que tenemos y podemos ofrecer a los demás y además enriquecernos, aceptar y disfrutar con las que otros no pueden brindar. Saber aceptar nuestras limitaciones y no olvidarnos de nuestras metas, aunque muchas veces parezcan muy lejanas difíciles. Encaminarse hacia ellas es el primer paso hacia algo que ni siquiera podemos imaginar. Autor: Anónimo - Archivado en escritos » cambalache Realmente no tiene mucha importancia hasta qué edad vivimos, lo importante es sentir que no lo hemos hecho en vano. Ah espero que estés en la edad de aprender matemática “ES ESTE TU MOMENTO” 5 INTRODUCCION Las matemáticas son una parte integral en la educación, es por esto que es necesario que los estudiantes de administración, economía y ciencias sociales o cualquier otra carrera se sientan tan cómodos como sea posible en un entorno en que cada vez se utilice más el análisis cuantitativo y la computadora como aprendizaje interactivo y a su vez significativo. Los estudiantes descubren que deben integrar las matemáticas, el análisis estadístico y el uso de la computadora en sus respectivas áreas de trabajo, ya que en un mañana tomarán decisiones y estarán mejor preparados para operar en cualquier tipo de entorno si están familiarizados con las clases de análisis cuantitativos y la tecnología de cómputo que se emplean cada vez con mayor frecuencia. En el siguiente texto se presenta a los estudiantes de las ciencias económicas un trabajo donde se toma en cuenta los principios matemáticos basados en las aplicaciones de los diferenciales a los problemas económicos teniendo como herramientas auxiliar la tecnología y sus aplicaciones más útiles para los estudiantes de negocio, economía, administración y ciencias naturales y sociales. Antes de iniciar este tema es necesario señalar que asumo la familiarización del estudiante con los conceptos de la teoría económica en referencias en el hecho de haber cursado o estar cursando la asignatura fundamentos económicos, sin embargo en la sospecha de poder estar asumiendo mal, considero pertinente y necesario definirlos y dilucidar algunas dudas sin hacer énfasis acerca de las rigurosidades de los principios económicos. De igual manera hay que hacer una consideración adicional al tratar las aplicaciones de los métodos matemáticos en los problemas económicos. Esta se refiere a la continuidad. La mayoría de las variables cuantificables que intervienen en los problemas económicos, no varían en forma continua. Por ejemplo, las cantidades producidas o vendidas de muchos bienes, pueden asumir solo valores enteros. En ciertas ocasiones pueden asumir valores racionales, pero en ningún caso podemos imaginar la posibilidad de un valor irracional (no es real producir por ejemplo 345,333… vehículos). Algo semejante podemos decir en torno a la variable precio. Eso significa que las funciones a través de las cuales he representado las relaciones entre esas y otras variables tales como la función demanda, costos ingresos, etc., no son en realidad funciones continuas y debemos recordar que todo instrumental de análisis basado en la derivada se apoya en la suposición de continuidad. No obstante, asumir que tales variables tienen la posibilidad de variar continuamente, no introduce ninguna contradicción lógica en el análisis y así ajustar funciones continuas a la representación de las relaciones entre esas variables, lo cual autoriza, con las aproximaciones de cada caso, el uso de la derivada en el tratamiento y resolución de los problemas económicos. Teniendo lo anterior como referencia, nos dedicaremos ahora a presentar varios ejemplos de aplicación del concepto de derivada, en la resolución de cierto tipo de problemas que se pueden presentar en ejercicio profesional de administradores y economistas. No obstante el autor considera pertinente presentar previamente alguna idea de los conceptos básicos o fundamentos económicos relevantes o significativo tener presente para el estudio pretendido. 6 APLICACIÓN DE LOS DIFERNCIALES A LOS PROBLEMAS ECONOMICOS: Para iniciar este curso pido tu atención al siguiente ejemplo: Una empresa que fabrica radiorreceptores tiene costo de alquiler de 1500 Bs. y gastos de luz, agua y teléfonos fijo de 3.000 bolívares. La empresa solo cuenta con dos empleados administrativos los cuales devengan un sueldo de 3600 Bs. entre los dos, si se ha determinado el costo de la mano de obra se paga en una nomina de obreros de 8.000 Bs y un adicional de 4 Bs por radio elaborado. El costo del material es de 150 bolívares por radio y cada radiorreceptor se vende por 2000 bolívares, de los cuales el 10% es de comisión de venta..Se pide: 1. Determine la función de costo, como una función del número de radios producidos. 2. Encuentre la función de ingreso y 3. La función de utilidad. Respuesta: Datos y formulas X = Y = C = I = U= Bueno si sabes hacer o responder correctamente el ejercicio te felicito, de cualquier modo te invito a que lo realices como puedas, esto te servirá para auto evaluar tus conocimientos previos para el abordaje del siguiente tema………. APLICACIÓN DE LOS DIFERNCIALES A LOS PROBLEMAS ECONOMICOS: DEFINICIONES BASICAS: FUNCION COSTO: Costo Fijo (CF) : Son aquellos que en su magnitud permanecen constantes o casi constantes, independientemente de las fluctuaciones en los volúmenes de producción o venta. Resultan constantes dentro de un margen determinado de volúmenes de producción o venta. Se pueden identificar y llamar como costos de "mantener la empresa abierta", de manera tal que se realice o no la producción, se venda o no la mercadería o servicio, dichos costos igual deben ser solventados por la empresa. Por ejemplo: Alquiler, Sueldos administrativos, productos de limpieza, tasas de 7 interés. En el ejemplo dado el costo fijo lo constituyen: 1.500 + 3.000 + 3.600 + 8.000 = 16.100 (¿Sabes por qué?) Costo Variable (CV) : Son aquellos que tienden a fluctuar en proporción al volumen total de la producción, de venta de artículos o la prestación de un servicio, se incurren en un costo variable debido a la actividad de la empresa. Por ende su magnitud fluctúa en razón directa o casi directamente proporcional a los cambios registrados en los volúmenes de producción o venta ya que se modifica de acuerdo a variaciones del volumen de producción o nivel de actividad, se trate tanto de bienes como de servicios. Es decir, si el nivel de actividad decrece, estos costos decrecen, mientras que si el nivel de actividad aumenta, también lo hace esta clase de costos, por ejemplo: la materia prima directa, la mano de obra directa cuando se paga a destajo, impuestos sobre ingresos, comisiones sobre ventas. En el ejemplo dado el costo fijo lo constituyen: 4 + 150 + 200 = 354 (¿Sabes porqué?) Salvo en casos de cambios estructurales, en las unidades económicas -o unidades productivas- los costos variables tienden a tener un comportamiento lineal, lo que le confiere la característica de poseer un valor promedio por unidad que tiende a ser constante Costos FIJOS Costo Variable Costo Total (CT): Los COSTOS TOTALES (CT) son equivalentes a la suma de los costos variables totales (CV) más costos fijos totales (CF) en el corto plazo: CT= CF+CV Esto comprende 3 elementos del costo: Materia Prima Directa (MP)  Mano de Obra Directa (MO)  Gastos Indirectos de Fabricación (GIF)  En el costo de producción entran los 3 elementos. Materia Prima: Son aquellos insumos o materiales que se pueden transformar. Mano de Obra: Es el sueldo que se les paga a los trabajadores que transforman la materia prima. Gastos Indirectos de Fabricación: Son todos los gastos necesarios para el área de producción. Estos son los que se dividen o reparten ya sea por piezas o por horas trabajadas. EJEMPLO: Supongamos que nos dedicamos a la fabricación de camisas. MP: Metros de tela, botones, cuellos, hilos, las máquinas para hacerlas como máquina circular, maquina botonadora, etc. 8 MO: Aquí la pagaremos por horas trabajadas. La hora es a Bs. 10. y el total de horas fueron 900, entonces la mano de obra es Bs. 9.000 GIF: Los gastos de fabricación como la luz, empaque, depreciaciones de máquinas, etc Costo Promedio (CP): Son los costos por unidad de producción. Mide el costo unitario del producto producido Los costos medios totales se calculan como el costo total entre la cantidad producida. CP= CT/Q (costo promedio = costo total / cantidad de unidades) La curva de costo medio total a corto plazo es en forma de U, debido a que la disminución de los costos fijos promedio hace que los costos disminuyan a niveles bajos de producción. En niveles de producción más elevados, el marcado aumento en los costos variables promedio anula el efecto de la disminución de los costos fijos.Costo promedio ponderado como la palabra lo dice es un promedio, ósea si compraste 5 manzanas a 100, 8 manzanas a 120 y 10 a 200 el costo P1, P2, P3 seria: (100+120+200)/(5+8+10)=420/23=18.26 Costo Fijo Medio (Cfme): Costo fijo total dividido entre el número de unidades producidas; es una medida unitaria de los costos fijos. CFme= CFt/Q (costo fijo medio = costo fijo total / cantidad de unidades) Costo Total Medio: Costo total dividido entre el número de unidades que integran la producción.Es el cociente entre costo total de producción y las unidades elaboradas.El costo variable promedio es el costo variable total (CVT) dividido el correspondiente número de unidades producidas (Q). CVP = CVT/Q Otra forma de entenderlo o calcularlo es determinarlo de la siguiente manera: CTM = Cfme + Cvme (costo total medio = costo fijo medio + costo variable medio) COSTOS UNITARIOS Aunque los costos totales son muy importantes, los costos por unidad o costos promedios son aún más importantes para el análisis a corto plazo de la empresa, puesto que al compararlos con el precio del producto o con el ingreso medio permite saber si la empresa está obteniendo o no un 9 beneficio.Los costos promedios o por unidad son esenciales para la evaluación de inventarios en las divisiones relacionadas con el diseño del producto. Juegan también un papel importante en la introducción de un nuevo producto en el mercado.Las decisiones de comprar o no comprar un producto y la decisión de rechazar o aceptar una línea de producción dependen de la información disponible en cuanto al costo por unidad. Para complementar las decisiones se acostumbra calcular otros costos por unidad a corto plazo como: Costo fijo promedio = Costo fijo / cantidad de unidades producidas CFP=CF/Q Costo variable promedio = Costo variable / Cantidad de u. Producidas CVP=CV/Q Costo marginal = Costo de cada unidad adicional (Q) EL CONCEPTO MARGINAL EN ECONOMÍA Los economistas utilizan con frecuencia en sus análisis, conceptos tales como "costo marginal", "ingreso marginal" y " ganancia marginal", entre otros.Por ejemplo, el costo marginal de producir cierto bien, a un cierto nivel de producción, nos indica el costo de producir una unidad adicional de dicho bien. Denotemos el costo total de producción por C(x), donde x es la cantidad producida y supongamos que la producción se incrementa desde el nivel x hasta x+h (h>O). Así, si deseamos calcular el costo promedio de producir cada unidad adicional (variación promedio del costo total o costo promedio de producir h unidades adicionales del bien), hacemos Si h =1, entonces la expresión anterior nos indica el costo de producir una unidad adicional del bien, es decir, lo que hemos llamado costo marginal.Supongamos ahora que el incremento h de la producción pudiera ser tan pequeño que tienda a cero. En estas condiciones, la variación promedio del costo total se convierte en una variación instantánea y la calculamos con el límite Esta última expresión es la que normalmente se usa para definir, matemáticamente, al costo marginal. Así, si a este lo denotamos por Cm (x), entonces es: Con lo anterior, queremos dejar claro que al definir, matemáticamente, al costo marginal con la derivada del costo total, se establece una diferencia con el concepto económico, el cual considera un incremento unitario de la producción, mientras la definición matemática supone que dicho 10 Cm(x) = C`(x) h x C h x C ) ( ) ( − + 0 lim → h ) `( ) ( ) ( x C h x C h x C · − + incremento tiende a cero, lo cual no es posible en la realidad. (Esto es asociado con el aspecto de continuidad antes señalado). Costo Marginal (CM): Es la variación del costo total cuando se produce una unidad adicional. Cma= cambio en CT/cambio en Q(costo marginal = costo total / cantidad de Unidades) Cambio en CT = CT1-CT2 Cambio en Q = Q1-Q2 CFM = CFT/ CANTIDADESPRODUCIDAS CVM = CVT/ Q CTM = CT/ Q CM = COSTO DE C. UNIDAD ADICIONAL FUNCION INGRESO 11 CANTIDADES PRODUCIDAS (q) COSTO FIJO MEDIO (CFT/Q) COSTO VARIABLE MEDIO (CVT/Q) COSTO TOTAL MEDIO (CT/Q) COSTO MARGINAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 - 10.00 5.00 3.33 2.50 2.00 1.67 1.43 1.25 1.11 1.00 - 4.00 3.40 2.80 2.39 2.15 2.12 2.29 2.57 2.92 3.40 - 14.00 8.40 6.13 4.89 4.15 3.79 3.72 3.82 4.03 4.40 - 4.00 2.80 1.60 1.15 1.20 2.00 3.30 4.50 5.75 7.75 Cualquier partida u operación que afecte los resultados de una empresa aumentando las utilidades o disminuyendo las pérdidas. No debe utilizarse como sinónimo de entradas en efectivo, ya que éstas se refieren exclusivamente al dinero en efectivo o su equivalente que se recibe en una empresa sin que se afecten sus resultados. Puede haber entrada sin ingreso, como cuando se consigue un préstamo bancario. En tal caso se está recibiendo pasivo y los resultados no se afectan. Puede haber ingreso sin entrada, como en el caso de una venta a crédito, en donde no se ha recibido aún dinero y consecuentemente sólo se afectan los resultados con el abono a Ventas sin tener entradas, ya que no se ha recibido aún ninguna cantidad. Finalmente, pueden coexistir las entradas con los ingresos como en el caso de una venta al contado. El cargo a Bancos registra la entrada y el abono a Venta registra en Ingreso. Ingreso Acumulable. Aquel que debe adicionarse a otros para causar un impuesto, como ejemplo se puede mencionar el que si una empresa obtiene un ingreso por la venta de los productos que fabrica y por la renta de una parte de sus inmuebles, ambos ingresos deben acumularse para que, ya consolidados, causen el impuesto correspondiente. Ingreso Bruto. Aquel que no considera disminuciones por ningún concepto; Ingreso Total. Ingreso Corriente. Aquel que proviene de fuentes normales, estables o propias del giro de una entidad. Ingresos Exceptuados. Aquellos que, por disposición de la ley del Impuesto Sobre la Renta, no deben gravarse aún cuando provengan de situaciones que la propia ley señala como hechos generadores de un crédito fiscal; como ejemplo se pueden señalar los que provengan de contratos de arrendamiento prorrogados por disposición de la ley (rentas congeladas) aún cuando los ingresos por arrendamiento sí están gravados. Ingresos Exentos. Aquellos que perciben algunos causantes específicamente mencionados en una ley y que no deben pagar el impuesto a que la misma ley se refiere. Ingreso Global Gravable. Cantidad neta sobre la que las empresas causan el impuesto sobre la renta Ingreso Gravado. Aquel que sí genera el pago de impuesto, a diferencia del ingreso exento. Ingreso Semi-Gravado. 12 Aquel que genera el pago del impuesto, pero en proporción menor a la generalidad. Ingreso Marginal (IM): Es la variación en los ingresos totales resultante del incremento de las unidades vendidas en un ejercicio o periodo de operaciones, es decir, el precio de venta de la unidad marginal. Matemáticamente, la función del ingreso marginal (IM) es expresada como la derivada de la función del ingreso total (IT) con respecto a la cantidad. En otras palabras el ingreso marginal es el que recibe una empresa cuando incrementa la producción en una unidad adicional. Si la competencia es perfecta, P = IM. (Ingreso total = precio . cantidad de unidades) Así la derivada de un producto: . De manera similar se dan definiciones matemáticas para el ingreso marginal Im (x) y para la ganancia marginal Gm (x), como las derivadas del ingreso total y la ganancia total, respectivamente. Es decir, FUNCION GANANCIA O FUNCION UTILIDAD Ganancia Marginal (GM): Es el valor de la última unidad producida. Este concepto resulta crucial para la ciencia económica, tanto es así que está en la base, y ha dado el nombre, a toda una corriente de pensamiento, el marginalismo. La utilidad marginal se refiere al aumento o disminución de la utilidad total que acompaña al aumento o disminución de la cantidad que se posee de un bien o conjunto de bienes y es, matemáticamente, igual a la derivada de la curva que describe la función de utilidad a medida que aumentan los bienes a disposición del consumidor. Cuando un individuo adquiere unidades adicionales de una mercancía la satisfacción o utilidad que obtiene de las mismas va, desde luego, aumentando; pero dicho aumento no es proporcional o constante, pues cada vez resulta menor la utilidad obtenida de la última unidad considerada. Llegará un punto en que, por lo tanto, se alcance el máximo de utilidad y, a partir de este punto, podrá haber incluso una utilidad negativa, pues unidades adicionales del bien resultarán en definitiva una molestia, produciéndose entonces una desutilidad. La función Utilidad queda denotada por: GM= IT-CT=P*Q-CT Donde:  Ingreso total= IT  Costo total= CT  Precio= P  Numero de cantidad= Q 13 Im(x)I``(x) y Gm(x) = G`(x)  Costo total = CT Utilidad Máxima (UM): Es aquel que corresponde a la mayor diferencia entre el total de las ventas y el total de los costos. Es necesario tomar en cuenta el rendimiento sobre la inversión.  Utilidad total= UT  Numero de unidad= Q Luego; UM=UT/Q A pesar de la diferencia antes mencionada, estas definiciones matemáticas suministran valiosa ayuda en los análisis económicos y en toma de decisiones, como por ejemplo entre otros, en los siguientes casos: Dar lo mejor de mí A Teresa..., la de Calcuta. Lo mejor que da el caballo al universo cuando va a todo galope es su fortaleza su agilidad y su velocidad; en su paso más veloz muy bien podría gritar de emoción: “¡Estoy dando lo mejor de mí” ¡Qué sensación de libertad y de hermosura producen cuando cabalgan sin parar, a todo dar! En su trotar muestra su nobleza, valentía e hidalguía y en el desbocar nunca se queja, jamás, dice: “¡No puedo más!”, más bien brega hasta el final... hasta la muerte si es preciso. Relincha con tesón exhibiendo su estupendo corcoveo. Un caballo no es un animal cualquiera sino un corcel, está hecho para correr sin límites, aprisa y ágil. La cucaracha, el perro, el cerdo y demás animales se desplazan de un lugar a otro pero ninguno como lo hace el caballo. Dicen que el avestruz lo supera en velocidad pero no en distancia ni resistencia. TOMADO DE: El Arte de Combinar el Sí con el No: Una Opción de Libertad .Ricardo Bulmez. Ediciones y Publicaciones Crece, C:A 1997. Quinta Edición. …….Muy bien tu podría gritar de emoción: “¡Estoy dando lo mejor de mí” PRINCIPIOS BASICOS DE LA APLICACIÓN DE LOS DIFERENCIALES A PROBLEMAS ECONOMICOS 14 √1ER. PRINCIPIO: (INGRESO MARGINAL= COSTO MARGINAL) La máxima ganancia se alcanza cuando el ingreso marginal iguala al costo marginal. Estando las funciones de ganancia, ingreso y costo total definidas respectivamente por: G(x), I (x) y CT(x) = (ganancia,ingreso, costo total) Demostración. Por definición sabemos que: G(x)= I(x) – Ct(x) (Ganancia es igual a ingreso menos costo total) Asumiendo que G, I y C son derivables en cualquier valor x positivo, entonces el valor máximo de G, si existe, debe alcanzarse en un punto singular. Supongamos que, en efecto, G alcanza su valor máximo en x = a, entonces por definición, debe cumplirse que G' (a) =0 (La derivada de la función ganancia en el punto “x” es cero, o lo que es lo mismo en el punto “a” se alcanza el valor máximo. Ver grafico 3. Es decir, I`(a) – C´t(a) =0 (ingreso – costo total = 0) Ya que: G' (a) =0 Tenemos que: G´(x)= I´(x) – C´t(x) De donde, I`(a) = C´t(a) (Despejando) Lo que, por definición es Im (a) = Cm (a), (ingreso marginal = costo marginal) Lo que se quiere demostrar √2DO. PRINCIPIO: (EL COSTO DE PRODUCCIÓN PROMEDIO POR UNIDAD, DE CIERTO ARTÍCULO, SE MINIMIZA CUANDO IGUALA AL COSTO MARGINAL) Demostración: Denotemos la función de costo total de producción por C(x), donde “x” es la producción. Así que el costo promedio de producir una unidad, el cual denotamos por Esta dada por: 15 ) (x C Asumiendo que la anterior expresión define una función derivable en cualquier valor x positivo, el mínimo, si existe, se alcanzara en un punto singular. (Matemáticamente en un punto crítico, en este caso en un punto mínimo) Supongamos que, en efecto, C (x) alcanza su valor mínimo en x = a. Entonces por definición: (La derivada de la función costo en el punto “x” es cero, o lo que es lo mismo en el punto “a” se alcanza el valor mínimo. Ver grafico 4. Recordar que; Si Y= U/V tenemos que; Y`= U`.V – U.V`/ V² Ahora bien, como: CP= CT/Q Costo variable promedio = Costo variable / Cantidad de u. Producidas lo que se traduce en el modelo matemático como: C(x̃) = C(x) / X Se tiene que; Ahora en el punto minimo “a” se tiene: De donde C` (a) . a - C(a) = 0 (DESPEJANDO) Así C' (a) . a = C(a) (Despejando) Por lo que Lo cual significa de acuerdo a la definición, que EL COSTO DE PRODUCCIÓN PROMEDIO POR UNIDAD, DE CIERTO ARTÍCULO, SE MINIMIZA CUANDO IGUALA AL COSTO MARGINAL √ 3ER. PRINCIPIO: (EL INGRESO QUE SE OBTIENE POR LA VENTA DE DETERMINADO PRODUCTO ES MÁXIMO, CUANDO LA ELASTICIDAD PRECIO DE SU FUNCIÓN DE DEMANDA ES IGUAL A UNO) 16 a a C A C ) ( ) `( · ) ( ) ( a C a Cm · 2 ) ( . ) ( ) ´( X x C x x C x C − · 0 ) `( · a C 0 ) ( ) `( ) `( 2 · − ⋅ · a a C a a C a C Argumento: Supongamos que la función de demanda del producto esta definida por:q = f (p)Donde q representa la cantidad de unidades del producto y p su precio unitario de mercado. En consecuencia, la función de ingreso esta definida por:I (p)= P . f (p) (A) Asumiendo que la función de ingreso es derivable en cualquier valor p positivo, el máximo ingreso, si existe, se alcanza en un punto singular. Supongamos que dicho punto Máximo existe y que el se alcanza en P = Po. Entonces por definición es:I'(Po)=0 Recordemos que si Y= U.V Entonces su derivada viene dada por: Y`= U`.V + U.V`/ Como: I (p)= P . f (p) Esto es, derivando en (a), I' (Po) = f (Po) + Po. f' (Po)=(la derivada de “P” es 1) Ahora como: I'(Po)=0 (Por ser un punto máximo) De donde: f(Po)= - Po. f' (Po) (despejando) Si en la última igualdad dividimos ambos miembros entre f (Po), siendo f (Po) ≠ 0, obtenemos: Donde el segundo miembro representa la elasticidad precio de la demanda. Por lo tanto, n (Po)= 1 lo que se quería demostrar. LOS PAVOS NO VUELAN Cuentan de un paisano de Catamarca que se encontró en el campo un huevo muy grande. Nunca había visto nada igual… Decidió llevarlo a su casa. 17 ) `( ) ( 1 Po f Po f Po ⋅ − · -¿Será de avestruz?- preguntó su mujer. -No, no, es demasiado abultado- dijo el abuelo. -¿Y si lo rompemos?- propuso el ahijado. -Es una lástima, perderíamos una hermosa curiosidad respondió la abuela. -Miren, ante la duda, se lo voy a colocar a la pava que está calentando los huevos, tal vez con el tiempo, nazca algo- afirmó el paisano. Y así lo hizo. Cuenta la historia que a los 15 días nació un pavito oscuro, grande, nervioso, que con mucha avidez comió todo el alimento que encontró a su alrededor. Luego, miró a la madre con vivacidad y le dijo entusiasta: -Bueno, ahora vamos a volar! La pava se sorprendió muchísimo de la proposición de su flamante crío y le explicó: -Mira, los pavos no vuelan, a vos te hace mal comer tanto y apurado. Entonces, todos trataron de que el pavito comiera más despacio, el mejor alimento y en la medida justa. Pero el pavito terminaba su almuerzo o su cena, su desayuno o merienda y les decía a sus hermanos: -¡Vamos muchachos, vamos a volar!- Todos los pavos le explicaban nuevamente: - “Los pavos no vuelan, a ti te hace mal la comida”. El pavito fue hablando más de comer y menos de volar. Así creció y murió… en la pavada general. Pero no era un pavo. Era un cóndor. Había nacido para volar hasta los 7.000 metros. Pero como nadie volaba… El riesgo de morir en la pavada general, es muy grande. Como nadie vuela… Muchas puertas están abiertas porque nadie las cierra, y otras puertas están cerradas porque nadie las abre. El miedo al hondazo, es terrible. Pero la verdadera protección está en las alturas, especialmente cuando hay hambre de elevación y buenas alas! ….Bueno que oiga el que tenga oído; Matemática para qué? NOSOTROS NO NECESITAMOS APRENDER MATEMATICA…. Tú decides….Cóndor? o Pavo? Continuamos…  Ejemplo 1: Suponga que la ganancia de cierto fabricante está relacionada con el nivel “x” de producción por medio de la función definida por: G (x) = 50x - 0,04 X² - 10.000 Se desea: 18 a) Encontrar el incremento en la ganancia, correspondiente a un cambio en el nivel de producción de X I = 500 a X2 = 600. b) Encontrar la razón de cambio promedio. c) Utilizando la derivada, decida si el fabricante le conviene aumentar su producción o no, cuando se encuentra operando a nivel de 500 unidades. d) Siendo G derivable en cualquier valor de x, el máximo, si existe, ocurre en un punto singular. Determinemos entonces los puntos singulares. SOLUCIÒN a) Encontrar el incremento en la ganancia, correspondiente a un cambio en el nivel de producción de X I = 500 a X2 = 600. Basta con determinarG(x I ) y G (x 2 ) y encontrar la diferencia. Sustituyendo valores: Para x=500: G(x I ) = 50 (500) - 0,04 (500) 2 - 10.000 = G(x I ) = 25.000 – (0,04 * 250.000) – 10.000 G(x I ) = 25.000 – 10.000 - 10.000 = 5.000 Para x=600; G(x 2 ) = 50 (600) - 0,04 (600) 2 - 10.000 G(x 2 ) = 30.000 - (0.04 * 360.000) - 10.000 G(x I ) = 30.000 – 14.400 - 10.000 = 5.600 Como se pide la variación de la ganancia (∆G) el incremento es: ∆G = G(X 2 ) – G (X I ) = 5.600 - 5.000 = 600 Vemos que el incremento en el nivel de producción de 500 a 600 es conveniente para el fabricante, ya que ello le permite aumentar sus ganancias en 600 Bs. b) Encontrar la razón de cambio promedio. 19 Notamos que: a) X1=500 y X2=600 b) G(X1)=5.000 y G(X2)= 5.600 La razón del cambio promedio está dada por: Rc Resultado= 6 ; Esto significa que la ganancia aumenta en 6 por cada unidad de incremento en el nivel de producción, cuando esta cambia de 500 a 600 c) Utilizando la derivada, decida si el fabricante le conviene aumentar su producción o no, cuando se encuentra operando a nivel de 500 unidades. La función ganancia esta definida por: G (x) = 50 x – 0,04 x 2 – 10.000(ver ejercicio planteado) Derivando G (x) obtenemos G '(x) = 50 – 0,08 x Evaluamos ahora en x = 500 por ser la unidad de producción que nos pide el ejercicio; G´(500)= 50 -0.08 (500)(Sustituyendo el valor de “x”) G´(500) = 50 - 40 = 10 > 0 El hecho de que la derivada de G en 500, sea positiva, (10 > 0) nos indica que la función G es creciente en ese nivel de producción. Esto sugiere que incrementar la producción, cuando se está en ese nivel, parece beneficioso para el fabricante. Ahora bien, la pregunta es: En Cuanto? Nótese que G' (500) = 10 representa la razón de cambio instantánea en el punto, x =500, es decir 20 6 100 600 500 600 000 . 5 600 . 5 ) ( ) ( 1 2 2 1 · · − − · − − X X X G X G 500 lim → x · ) 500 `( G 10 500 ) 500 ( ) ( · − − X G x G Esto es, para valores de producción suficientemente cercana a 500 la ganancia es creciente, pero ello no garantiza que cualquier incremento de producción a partir de 500 genere mayores ganancias. Podría decrecer. Qué hacer entonces? La respuesta la tenemos en la parte D. c) Siendo G derivable en cualquier valor de “x”, el máximo, si existe, ocurre en un punto crítico. Determinemos entonces el punto crítico, derivando la ecuación e igualando a cero la derivada.Como: G (x) = 50 x – 0,04 x 2 – 10.000(ver ejercicio planteado) Se tiene: G '(x) = 50 – 0,08 x = 0 (Derivando e igualando a cero) Luego: 50 = 0.08 x (despejando) De donde: 625 08 , 0 50 · · x (despejando y dividiendo) Para confirmar si en 625 se alcanza un valor máximo, aplicamos el criterio de la segunda derivada. Resultado:G"(x) = - 0,08 < O Ese resultado nos indica que la gráfica de la función G es cóncava hacia abajo en toda su extensión y, en consecuencia, el único punto crítico que existe corresponde, indudablemente, a su valor máximo. Por tanto, cualquier incremento en la producción hasta 625 es beneficioso para el fabricante. A partir de ese valor las ganancias disminuirán. En conclusión si el fabricante se encuentra, operando con un nivel de producción x < 625, incrementarla es rentable para él, ya que se encuentra en un intervalo de operación donde sus ganancias son creciente (rendimientos crecientes). Pero su nivel de producción en x ≥ 625, se encuentra en un intervalo de rendimientos decrecientes y lo rentable es disminuir la producción. Ejemplo 2: Un fabricante ha desarrollado un nuevo producto, para el cual los estudios de mercado han indicado que su demanda anual dependerá del precio de venta de acuerdo a la función de demanda definida por: x = 100.000 - 200 p Donde “x” representa el número de unidades demandadas del producto cada año y “p” su precio.El costo total de producción está representado a través de la función definida por: C(x)= 150.000 + 100x + 0,003 x 2 SE PIDE: 21 a.- Determinar la función de ganancia anual para este producto, en términos del número de unidades vendidas. b.- ¿Cuantas unidades deberían ser vendidas para maximizar la ganancia? c.- ¿Qué precio debería establecerse en el mercado para este producto, de manera que genere una demanda igual a la cantidad que produciría la máxima ganancia anual? d.- ¿Cuánto es la máxima ganancia anual? SOLUCIÒN a.- Determinar la función de ganancia anual para este producto, en términos del número de unidades vendidas. La función de ganancia vendrá dada por: G(x) = I (x) - C(x)Donde;  G= ganancia  I= ingreso  C= costo Como I (x) representa la función de ingreso. Ella está definida por: I(x) = x * p (x) Aquí p(x) representa el precio dado como función del número de unidades vendidas, cuya expresión podemos obtener a partir de la función de demanda proporcionada como dato. Esto es: X = 100.000 -200 P Despejando la “P” y dividiendo cada uno de los términos del numerador entre el denominador obtenemos: Luego, como I(x) = x * p (x) tenemos que; I(x)=x(500 – 0.005x) (sustituyendo el valor de P(x)) Multiplicando “x” por cada uno de los términos tenemos: I (x) = 500 x – 0.005 x 2 Teniendo el costo total de producción que está representado a través de la función definida por: C(x)= 150.000 + 100x + 0,003 x 2 Como la función de la ganancia es: G(x) = I (X) – C(X) Sustituimos: G(X)= (500 x – 0.005 x 2 ) – (150.000 + 100x + 0,003 x 2 ) 22 · − · 200 000 . 100 X P − · . 200 000 . 100 P · 200 X X P 005 , 0 500 − · Multiplicando y sumando tenemos que: G(X) = 500 x – 0.005 x 2 – 150.000 - 100x - 0,003 x 2 G(X) = - 0.008 x 2 +400 x – 150.000 Lo cual representa la función ganancia. b.- ¿Cuantas unidades deberían ser vendidas para maximizar la ganancia? Vemos que G(x) define una función derivable en cualquier x. Luego, para encontrar la cantidad de unidades que maximizan la ganancia, derivamos en G(x) e igualamos a cero. Esto es: G' (x)= - 0,016x + 400 = 0 (Derivada de la función gananciaG(X) = - 0.008 x 2 +400 x – 150.000) De donde, (Despejando el valor de “X” y resolviendo la división) Para saber si en realidad este punto corresponde al valor máximo de la ganancia, aplicamos el criterio de la segunda derivada. Es decir, Como: G´(x) = - 0,016x + 400 Derivando la derivada obtenemos: G´(x) = -0,016; que como se observa es < 0 Esto significa que la gráfica de G es cóncava hacia abajo en toda su extensión y, en consecuencia, el único punto crítico encontrado corresponde, en efecto, a su valor máximo. c.- ¿Qué precio debería establecerse en el mercado para este producto, de manera que genere una demanda igual a la cantidad que produciría la máxima ganancia anual? Sustituyendo x = 25.000 (valor que maximiza la ganancia) en la expresión antes encontrada para p(x), determinamos el valor de precio que se pide. Así como:P= 500 – 0,005x P= 500 – 0,005 (25.000)Obtenemos como respuesta: P= 500 –125 = 375 Es decir el precio al cual debe ser vendido el producto para lograr vender 25.000 unidades y maximizar la ganancia es de 375Bs. 23 000 . 25 016 , 0 400 · · x d.- ¿Cuánto es la máxima ganancia anual? Para conocer el valor de la máxima ganancia anual, basta con sustituir x = 25.000 en G(x). Como: G(X) = - 0.008 x 2 + 400 x – 150.000 Resolviendo tenemos que; Gmax=G(25.000)=-0,008(25.000) 2 +400(25.000)-150.000 Gmax = G (25.000) = - 0,008(625000000)+ 400(25.000) - 150.000 Gmax = G (25.000) =-5.000.000 +10.000.000 - 150.000 Resulta que: Gmax = G (25.000) = 4.850.000 Ejemplo 3: Una compañía de transporte desea alquilar autobuses solamente a grupos de 35 personas o más. Si un grupo contiene exactamente 35 personas, cada uno paga Bs.60. Sin embargo, en grupos más grandes, la tarifa para todos se reduce en 50 céntimos por cada persona que pase de 35. ¿Qué tamaño de grupo producirá los mayores ingresos? • Solución: Datos: q 1 = 35 personas (grupo base) P 1 = 60 Bs/personas(precio para las primeras 35 personas) X=?(Tamaño de grupo) I (x)= ( Función de ingreso) q 2 = (x - 35) (grupo mayores de 35, es decir el nuevo grupo) Precio base: P1 =60 Bs. p 2 = [60– (x – 35) . 0,5] ( precio para el nuevo grupo) Nuevo grupo mayor a 35, observa por ejemplo si son 40 al restarle 35 serian 05 los pasajeros adicionales, los cuales habrá que multiplicar por 0.5 que es el descuento de cada uno. Ahora bien en forma general resolvemos: p 2 = [60 – (x – 35) . 0,5] p = [60 – (0.5x – 17, 5 ) ] p = [60 – 0.5x +17.5] 24 p = [60 +17.5 – 0.5x] P=77,5– 0.5x Es la ecuación para calcular el precio para grupos mayores a 35 Como la función de ingreso viene dada por:I (x) = x. p Donde:  X=Tamaño del grupo  P=Valor del pasaje Como: P = 77, 5 - 0, 5 xTenemos que: I (x) = x[77,5 – 0,5x] I (x) = 77,5x – 0,5x 2 Luego para calcular el mayor Ingreso debemos maximizar a I(x); Luego derivamos la función de ingreso: I (x) = 77,5x – 0,5x 2 la cual resulta: I’(x) = 77,5 – x, Igualamos esta derivada a cero: 77,5 - x = 0 y por último despejamos el valor de “X”, donde tenemos que: X = 77,5 Obtenemos el valor de “x” para la cual la función ingreso se maximiza, El sentido lógico de los fundamentos económicos nos indica que por naturaleza este punto es máximo, sin embargo demostrémoslo matemáticamente. Segunda derivada I’’ ( x ) = -1 < 0=>es cóncava hacia abajo.  x = 77,5 es un máximo =>un grupo de 77 personas produce los mayores ingresos. Nota: Observe que el redondeo se hace por defecto debido a que si tomamos el valor de 78 este está en una pendiente negativa, es decir 77,5 es el valor máximo y 78 es mayor que 77,5, por cierto este valor de 77,5 no puede ser tomado ya que estamos hablando de personas y deben estar enteras.  Ejemplo 4: Un distribuidor puede obtener del fabricante un bien a un costo de Bs. 3 cada uno. El distribuidor calcula que puede vender 200 unidades del bien a un precio unitario de Bs. 15 y que podrá vender 10 unidades adicionales, por cada reducción de Bs. 0,50 en el precio. ¿A qué precio debe vender cada bien para que su utilidad sea la máxima? Solución: Datos:  C = 3 Bs. / unidad  q 1 =200 unidades  P 1 =15 Bs.  P = ? (para que U (x) sea máxima)  X = Nro. De reducciones en el precio  q 2 =10 X (unidades vendidas al nuevo precio) 25  P 2 = [15 – 0,5 X] (nuevo precio) La función de ingreso viene dada por: I(x) = q.P Donde: • q=Unidades vendidas • P=Nuevo precio • Luego sustituyendo los valores de: q= q 1 + q 2 =200 +10 X y p= P 2 = [15 – 0,5 X] Tenemos que: I (x) = [200 + 10 x] .[15 – 0,5 x] =>Multiplicando I (x) = 3.000 – 100 x + 150 x – 5 x 2 I (x) = 3000 + 50 x - 5 x 2 Como: La función de costo viene dada por: C=Ct.q (dado que no nos dan el costo fijo, el costo total será el producto de las unidades adquiridas por el costo de compra) Luego: C (x) = [200 + 10 x] . 3 => sustituyendo valores y Multiplicando C (x) = 600 + 30x Luego nuestra función de utilidad o ganancia estará dada por:U (x) = I (x) – C (x) Sustituyendo U (x) = [3000 + 50x - 5 x 2 ] - [600 + 30x] (eliminado paréntesis cambiamos signo) U (x) = 3000 – 600 + 50x – 30x - 5 x 2 (agrupando términos semejantes) U (x) = 2400 + 20x - 5 x 2 Ahora bien U (x) = es máxima para X= Xo, cuando U´(x)= o luego derivando a U tenemos; U’ (x) = 20 – 10x Luego 20 – 10x = 0 => 10x = 20 => X= 2 (despejando) El máximo número de reducciones que puede hacer es: 2Por ende; Como: P = 15 – 0,5 X P = 15 – 0,5 . (2) = 15 – 1 = 14 Debe vender cada bien a Bs. 14.  Ejemplo 5: 26 . . . El fabricante de cierto artículo tiene costos fijos de Bs. 5.500 mensuales. Determina además que sus costos variables mensuales están dados por - 0,02 x² + 50 x donde x representa el número de artículos que produce. Calcula que si al menos vende a p bolívares podrá vender 2000 - 10 P artículos al mes. a) Determine el precio para el cual la ganancia obtenida es máxima. b) Determine cuanto es esa ganancia máxima. • Solución: Datos:  CF = 5500 Bs/mes  CV = ( - 0,2 x 2 + 50x ) Bs/mes  X = Nº de artículos que produce.  q = ( 2000 – 10P ) artículos/mes ( artículos vendidos)  P = Precio en Bs/articulo. a) Suponiendo que el Nº de artículos vendidos es igual al Nº de artículos producidos. X = 2000 – 10p => X+ 10p = 2000 =>10 P = 2000 – X => P = P=2000 – X 10 10 => La ecuación de la función del ingreso es: I (x) = x. P(x) I (x) = x . [200 – 0,1 x] (Sustituyendo el valor de “p” y multiplicando) La ecuación de la función del costo es: C (x) = CF + CV C (x) = 5500 – 0,02x 2 + 50x (sustituyendo) La ecuación de la función de utilidad es: G (x) = I(x) – C(x) G (x) = [200 – 0,1 x 2 ] - [5500 – 0,02 x 2 + 50x] (sustituyendo) 27 P = 200 – 0,1 x I (x) = 200 x – 0,1 x 2 G (x) = 200x – 0,1 x 2 - 5500 + 0,02 x 2 - 50x (eliminando paréntesis, cambiamos signos y luego agrupamos en términos semejantes y ordenamos) Obtenemos: La ganancia es máxima para x = x 0 donde : G’(x)=0 Luego derivamos a y obtenemos: G’ (x) = - 0,16x + 150 Como: G’ (x) = 0 =>- 0,16x + 150 = 0 =>0,16x = 150 y x= Para saber si este valor corresponde al valor máximo se aplica el criterio de la segunda derivada G’’ (x) = - 0,16x < 0 => es cóncava hacia abajo y x = 937,5es un punto máximo. Para calcular el precio de venta que maximiza la ganancia sustituimos en P (x) = 200 – 0,1x ; el valor de: x = 937,5 de donde tenemos: P (937,5) = 200 – 0,1 . (937,5) Para obtener el valor de la ganancia optima o máxima sustituimos el valor de x = 937,5 en la función utilidad. G (x) = 0,08x 2 + 150x – 5500 Luego tenemos: G (937,5) = -0,08 (937,5) 2 +150 (937,5) -5500 Nota: Este ejercicio en su resolución matemáticaestá todo bien, sin embargo se ha incurrido (voluntariamente) en un error de lógica o juicio económico. Cual? Y Porque?  Ejemplo 6: Suponiendo que los costos totales de un fabricante están dados por:C (x) = 1.600 + 20x +0,01 X 2 Siendo x la cantidad de unidades de producto. a) ¿Para qué nivel de producción el costo promedio por unidad es mínimo? Solución: Datos: C (x) = 1600 + 20x + 0,01x 2 ; Donde:  x = cantidad de unidades de producto.  a =? (Nivel de producción para el cual el costo promedio por unidad es mínimo) 28 G (x) = -0,08x 2 + 150x - 5500 G (x) = -0,08x 2 + 150x - 5500 x = 937,5 P (937,5) = 106,25 Bs. G (937,5) = 64.812,5 Bs. El costo de producción promedio por unidad se minimiza cuando iguala al costo marginal: C (a) = Cm (a) ( Revisar referencias teóricas) Cm (x) = C’ (x) (1) Donde =>C (x) = C’ (x)(2) x C (x) = C (x) x Como: C (x) = 1600 + 20x + 0,01x 2 Luego; derivando tenemos: C’(x) = 20 + 0,02x (A) Como: C (x) = 1600 + 20x + 0,01x 2 ; Luego: C (x) = 1600 + 20x + 0,01x 2 (B)(ver costo promedio) X Como: C (x) = C’ (x) (ver 2) X Tenemos que: 1600 + 20x + 0,01x 2 = 20 + 0,02x (sustituyendo Ay B) X  1600 + 20x + 0,01x 2 = x . (20 + 0,02x 2 ) (despejando luego multiplicando)  1600 + 20x + 0,01x 2 = 20x + 0,02x 2  1600 = 0,02x 2 - 0,01x 2 + 20x - 20x  1600 = 0,01x 2  0,01x 2 =1600  x 2 = 1600 = 160.000 0,01  x= √160.000 = 400  Luego el costo promedio por unidad se optimiza cuando el nivel de producción es de: a = 400 unid. 29 Propuesta: Determina cuanto es el monto minimo y la utilidad si el costo de venta es de 200Bs. Por unidad  Ejemplo 7: Cierta empresa vende 300 unidades semanales de determinado artículo a un precio de Bs. 75 cada uno. Por cada bolívar que disminuye el precio, logra vender 30 unidades adicionales por semana. Si la empresa le cuesta Bs. 47 adquirir cada unidad, determine en cuanto tendría que disminuir el precio de venta de dicho artículo a fin de maximizar su ganancia Solución: Datos: q1= 300 unidades q2 = 300 + 30x p1= 75 Bs/unidad p2= 75 – x C = 47 Bs/unidad Np (Nuevo precio) =? Dado que: La función de ingreso viene dada por: I(x) = q . p Luego para el Nuevo precio se debe cumplir que: I(x) = . Por lo tanto; I(x) = [300 + 30x] . [75 – X] (sustituyendo) I(x) = 22500 – 300x + 2250x – 30 (Multipliocando) I(x) = 22500 + 1950x - 30 (Operando terminos semejantes) Como: – La función de costo viene dada por: – C(x) = .C Tenemos mediante sustitucion C(x)= [300 + 30x] . 47 C(x)= 14100 + 1410x Como la máxima ganancia se alcanza cuando el ingreso marginal iguala al costo marginal (Ver primer principio) Im(x) = Cm(x) Luego tenemos que ; I`(x) = 1950 – 60x C`(x) = 1410 I`(x) = C`(x) tenemos al sustituir: 1950 – 60x= 1410 (sustituyendo) 30 -60x= -1950 + 1410 (despejando) 60x= 1950 – 1410 (Multiplicando por -1) 60x= 540 X= 540= 9 → X= 9 60 Como: P (x)= 75 – x P (9)= 75 – 9 P (9)= 66 Bs/unidad REPUESTA A fin de maximizar su ganancia tendría que disminuir 9 Bs, es decir; vender el artículo en 66Bs. Ejemplo 8: 2. Una papelería cobra Bs. 20 por cada libreta de notas, si se le compran 10 o menos libretas. Si se le ordenan mas de 10, entonces el precio de cada una se reduce en Bs. 0,50 por cada libreta en exceso de 10. A) ¿Cuántas libretas deberían ser vendidas a una misma persona, con el fin de maximizar el ingreso de venta? B) Si el costo de cada libreta es de Bs. 10, determine cuántas de ellas deberán ser vendidas para lograr la utilidad máxima. • Solución: Datos: q1= 10 q2 = x p1= 20 Bs p2= [20 – 0,50 (x-10)] X= ? para que el ingreso sea máximo C= 10 Bs q=? Para obtener la utilidad máxima Como la función de ingreso viene dada por: A. I(x) = 20.X Para X < 10 B. I(x) = X . [20 – 0,50 ( x – 10)] Para x>10 Multiplicando la ecuación B que es la que nos entereza, Obtenemos: I(x) = X. [20 – 0,50X + 5] → I(x) = X . [25 – 0,50X] → I(x) = 25X – 0,50X2 Luego si derivamos la función de ingreso obtenemos: I`(x)= 25 – X Como: I`(x)= 0 en el punto máximo sustituyendo y despejando tenemos: X=25 Para que el ingreso sea máximo se deberían vender 25 libretas. Ahora bien como la función del costo es: C(x)= X . 10 C(x)= 10X Luego la función utilidad viene dado por: 31 U(x)= I(x) - C(x) Sustiyendo tenemos que: U(x)= 25X - 0,5X2 – 10X U(x)= 15X - 0,5 X2 Como: La utilidad máxima se alcanza cuando U`(x)=0 U`(x)= 15 - x U`(x)= 0 15 – X= 0 X= 15. Para lograr la máxima utilidad se deben vender 15 libretas. Propuesta COSTO DE EQUIPOS Una decisión que deben enfrentar muchas empresas es determinar el momento óptimo para remplazar sus equipos. Algunas empresas centran su atención en el costo de activo fijo promedio y el costo de operación promedio, cuando van a reemplazar sus equipos. El costo de los equipos está constituido por dos componentes: • Costo de activo fijo y • Costo de operación. El costo de activo fijo; es el costo de compra del equipo, más el costo de instalación y prueba, menos su valor salvado. Mientras, el costo de operación incluye los costos de materiales necesarios para el funcionamiento y costos de mantenimiento y reparación. Debe tenerse en cuenta que el costo de activo fijo promedio de un equipo tiende a decrecer con el tiempo. Por ejemplo, una computadora nueva, la cual disminuye su valor de 60.000 bolívares a 50.000, en el primer año, su costo de activo promedio para ese primer año es de 10.000 bolívares. Si la misma computadora, después de 5 años disminuye su valor a 20.000 bolívares, entonces el costo del activo fijo es: 60.000 - 20.000 = 8.000 (bolívares/año) 5 Por el contrario, el costo de operación promedio tiende a crecer con el tiempo, ya que el equipo se hace menos eficiente y requiere de mayor mantenimiento.Dicho esto consideremos el siguiente ejemplo de aplicación. EJEMPLO 9 32 Discutir el porque difieren la cantidad del ingreso optimo con el de utilidad optima y por que el ingreso máximo no coincide con la utilidad máxima. Cierta empresa manufacturera desea determinar por cuanto tiempo debería conservar determinada máquina que compro recién. Dicha maquina fue comprada a un precio de 120.000 bolívares, cantidad esta que incluye instalación y prueba. • El valor salvado de la maquina S(x), viene dado en función del número“x” de horas de funcionamiento, de acuerdo a la expresión: S(x) = 100.000 - 0,6 x (Bolívares) Eso significa que, tan pronto es puesta en funcionamiento, la maquina disminuye su valor en 20.000 bolívares y luego este decrece a razón de Bs. 0,6 por hora. • El costo de operación dado en bolívares, se ha estimado a través de la función definida por: O(x) = 0,000003x 2 + 1,5 x Determine: a) El número de horas que la maquina debe ser operada previo a su reemplazamiento. b) Cuál es el costo total de la máquina para el momento en que deba ser reemplazada? Solución: El momento óptimo para reemplazar la maquina es cuando su costo total promedio alcance su valor mínimo. De acuerdo a lo dicho antes, el costo de activo fijo Ck, viene dado por: Ck (x) = 120.000 - S(x) (sustituyendo) = 120.000 - (100.000 - 0,6 x) = 20.000 + 0,6X Estando entonces el costo de activo fijo promedio dado por:. El costo de operación promedio estará dado por: Luego tenemos que la operación promedio viene dada por: Como el costo total promedio de la maquina se determina mediante la relación: Tenemos que: 0,000005X + 0,6 + 0,000003X +1,5 = 0,0000008X + 2,1 EJEMPLO 10 Una compañía petrolera ha decido instalar una nueva planta de refinería cuyo costo de compra, instalación y prueba es de Bs. 25.000.000 El valor salvado de este equipo viene dado por: S (x)= 21.000.000 - 5.000x Donde x representa el número de días de operación del equipo. 33 ) / . ( 6 , 0 000 . 20 6 , 0 000 . 20 ) ( ) ( hora Bs X X X X x Ck x Ck + · + · · ) / . ( 5 , 1 000003 , 0 5 , 1 000003 , 0 ) ( ) ( 2 Hora Bs X X X X X x O x O + · + · · ) ( ) ( ) ( x O x Ck x C + · X X ) 5 , 1 000003 , 0 ( ) 6 , 0 000 . 20 ( + + + · ) (x C X x Ck x Ck ) ( ) ( · · ) (x C El costo de operación promedio (en dólares por día) es estimado por: A. Determine cuantos días deberá ser operado el equipo antes de ser reemplazado. B. ¿Cuánto es el costo mínimo por día? C. ¿Cuánto es el costo total del equipo, para el momento en que deba ser sustituido? D. ¿Cuánto es el valor salvado esperado? Solución: Datos: CF = 25.000.000 Bs. S (x) = 21.000.000 – 5.000x X=Numero de días de operación del equipo 0 (x) = 400 + 0,20x a) x = ? (antes de ser reemplazado) b) Cmin ( $/día) = ? c) C.(x) = ? (para el momento en que debe ser sustituido) d) S(x) = ? (valor salvado esperado) Repuesta “A” 4.000.000 + 5.400 + 0,20x = 5.400 + 0,40x x 4.000.000 = 0,40x – 0,20x x 4.000.000 = 0,20x x ⇒ 4.000.000 = 0,20 ⇒ = 4.000.000 0,20=>x = 4.472,13 días Repuesta “B” Como se debe cumplir que: Cmin = C (x) = C’ (x) x Cmin = C’ (4.472,13) Cmin = 5.400 + 0,40 . (4.472,13) Cmin = 7.188,85 Bs/dia Repuesta “C” C (x) = 4.000.000 + 5.400x + 0,20x2 34 X x O 20 , 0 400 ) ( + · C (4.472,13) = 4.000.000 + 5.400. (4.472,13) + 0,20 (4.472,13) C (4.472,13) = 32.149.491,35 $ Repuesta “D” S (x) = 21.000.000 – 5.000x S (4.472,13) = 21.000.000 - 5.000 (4.472,13) S (4.472,13) = 1.360.650 Bs. CARGANDO EL VENADO!! Estaba un hombre a la orilla del camino sentado en una piedra, bajo la sombra de un frondoso Apamate. Se le miraba triste, meditabundo, cabizbajo; casi, casi a punto de soltar el llanto.Así lo encontró su compadre y amigo de toda la vida, quien acongojado al verlo en tales fachas, le preguntó el motivo, causa o razón que ocasionaba que él se encontrara en situación tan deprimente. • Compadre-contestó el interpelado, -tu pinche comadre! ¡Tu comadre! Esta noche la mato o la desaparezco, pero de que se muere, se muere. • No la asesines compadre, mejor platícame, porqué la quieres matar, a lo mejor te puedo ayudar a encontrar una mejor solución al problema. El compadre, después de limpiarse sus ojos todos llorosos y su nariz llena de mocos, empezó con su relato. • Mire compadre, tú sabes que somos muy pobres y en mi humilde casa la única forma de acompañar las caraotas es con un pedazo de carne que tengo que conseguir yendo de cacería al monte. Me tengo que ir con mi vieja escopeta, pasar varios días de sufrimiento y penalidades, salvándome de milagro de los peligros del monte, esquivando víboras, al tigre y la onza, Soportar la terrible comezón que me producen las guiñas, garrapatas y piquetes de mosquitos, y por si esto fuera poco, Aguantar cómo me cala hasta los huesos el frío y la soledad de las noches. Luego, por fin, si la suerte me socorre y logro cazar un venado, todavía tengo que cargarlo hasta el rancho y subir la cuesta de la loma donde está mi casa. Todavía no alcanzo resuello cuando aparece mi señora con el cuchillo en la mano e inmediatamente empieza a repartir el venado entre vecinos y familiares. Que una pierna pa' doña Juana, Que otra pa' doña Cleo, Que este lomito pa' mi mamá, que esto pa'llá, Que esto pa' cá y a los dos o tres días allí va este pendejo otra vez de cacería. ¡Pero ya me cansé y esta noche mínimo las desmechoneo! El compadre de aquél iracundo desdichado, después de meditar un momento le dio la solución: Invita a tu mujer a cargar el venado. 35 ¿¡Qué!? • Sí, sí. Mira. No le digas nada sobre los maltratos que pasas para cargar el venado. Mejor píntasela bonito. No le hables de las espinas ni los peligros, ni del frío ni el calor. Dile que la invitas a la cacería para que disfrute de los bellos paisajes, del esplendor de las estrellas que te cobijan en la noche. De los manantiales cristalinos que reflejarían románticamente sus imágenes, de sus exquisitas aguas, del aire fresco del monte, lleno de oxígeno, de la graciosa manera en que camina el venado, como si fuera un bailarín de ballet, del dulce canto de los grillos y los pajarillos silvestres, en fin. El compadre siguió el consejo. Y por supuesto la convenció. La mujer, entusiasmada, se fue con la falda larga hasta el tobillo, Al cruzar el primer "aguamal" se redujo a minifalda porque la prenda quedó desgarrada entre las púas. La blusa le quedó toda jodida, El calzado se le rompió por los difíciles caminos y Las piedras y las espinas la hicieron sangrar. Los rasguños los traía por todo el cuerpo. El sol le quemó la piel. El pelo se le maltrató y le quedó tieso y desparramado como estopa. Las manos le quedaron encallecidas al abrirse paso entre el espeso monte. Toda estropeada, estuvo a punto de sufrir un infarto al toparse con una enorme víbora. Muerta de hambre, su imagen parecía sacada de un cuento de ultratumba. Por fin, después de tantos martirios, un día encontraron al venado. Ella tuvo que contener el aliento y el hombre sigiloso, con la astucia y agilidad de un gato, se acercó a su presa, y con la mirada de un lince localizó el blanco justo para liquidar al escurridizo animal. ¡Bang! Y el venado había muerto. La mujer no cabía de júbilo pensando que su sufrimiento había terminado, pero no era así. • Ahora, mi amor, quiero que cargues el venado para que veas lo bonito que se siente -- le dijo el hombre masticando rabiosamente cada una de sus palabras. La mujer casi se desmaya ante la desconocida mirada asesina de su marido, pero ante la desesperación por regresar a su hogar no tuvo aliento ni para replicar y cargó el venado hasta su casa cruzando veredas y montañas. Destrozada, con las piernas abiertas, jadeando y casi muerta, a punto de tronarle el corazón, llegó y depositó el animal en la sala de su casa. Los niños y sus amiguitos, hijos de los vecinos, salieron a recibir a sus papás cazadores y acostumbrados a la repartición, le dijeron a su mamá con alegría: • Mamá, apúrate a repartir el venado porque la mamá de Pepito ya está desesperada. • ¿Qué pedazo le llevo a mi tía?, le dijo otro. 36 La señora, tirada en el piso, hizo un esfuerzo sobrehumano para levantar la cabeza y con los ojos inyectados de sangre volteó a ver a los niños y agarrando aire hasta por las orejas, les gritó: • ¡¡¡ Este venado no me lo toca NADIEEEE !!! • y tú Pepito, ve y dile a tu mamá que vaya a joder al C…. de su Madre. " REFLEXIÓN" La experiencia adquirida con el paso de los años nos ha enseñado: • Que solo se valora aquello que se ha adquirido como resultado de nuestro trabajo, • Que solo cuidamos aquello que nos ha costado esfuerzo, sudor y sacrificio. Todos debemos aprender a "cargar el venado". Tomado de la red con autor desconocido. EJERCICIOS PRÁCTICOS PARA RESOLVER: “CARGA TU VENADO” 1.- La función de costo de una empresa a un nivel de producción “X” es: C(x) = 23,5X + 0,005 y sus costo fijos están estimados en 5.000Bs.Calcule: a) El incremento en el costo total cuando el nivel de producción se incrementa de 1000 a 1500 unidades. b) La producción óptima y su costo de producción. 2.- La función de ingreso de la empresa del ejercicio anterior está dada por I(x)= 12,5X - 0,01 . Determine: a) El incremento en el ingreso total de la empresa cuando el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades. b) La producción óptima y el ingreso a obtener. c) La función de utilidad d) La utilidad máxima obtenida y su nivel de producción. 37 3.- El costo de cierta empresa está dado por la función: C(x)= 15,7X + 0,002 , mientras que su relación de ingreso es; I(x)= 22X – 0,002 . Si los costos fijos están determinados en 5.350 Bs. Determine: a) El incremento de las utilidades de la empresa si las ventas se incrementan de 500 a 600 unidades. b) El nivel de producción optimo para el costo y el monto del mismo. c) El nivel de producción optimo para el ingreso y el monto del mismo. d) La utilidad máxima a obtener. 4.- En el ejercicio anterior, el nivel de ventas primero decrece de 100 a 80 unidades y luego se incrementan a 150 unidades. Determine el incremento global en el ingreso total. 5.- En el ejercicio Nº 3, determine el cambio en las utilidades si las ventas decrecen de 500 a 400 unidades. 6. - Cierta empresa vende 650 unidades semanales de determinado artículo a un precio de Bs. 60 cada uno. Por cada bolívar que disminuye el precio, logra vender 20 unidades adicionales por semana. Si la empresa le cuesta Bs.65 adquirir cada unidad, determine en cuanto tendría que disminuir el precio de venta de dicho artículo a fin de maximizar su ganancia. 7. Una papelería cobra Bs.45 por cada libreta de notas, si se le compran 50 o menos libretas. Si se le ordenan más de 100, entonces el precio de cada una se reduce en Bs. 0,50 por cada libreta en exceso de 10. Determine: a) ¿Cuántas libretas deberían ser vendidas a una misma persona, con el fin de maximizar el ingreso de venta? b) Si el costo de cada libreta es de Bs. 10, determine cuántas de ellas deberán ser vendidas para lograr la utilidad máxima. 8. Un distribuidor pueden obtener del fabricante un bien a un costo de Bs. 5 cada uno. El distribuidor calcula que puede vender 300 unidades del bien a un precio unitario de Bs. 18 y que podrá vender 15 unidades adicionales, por cada reducción de Bs. 0,75 en el precio. ¿A qué precio debe vender cada bien para que su utilidad sea la máxima? 9. El fabricante de cierto artículo tiene costos fijos de Bs. 9.800 mensuales. Determina además que sus costos variables mensuales están dados por: 0,03 + 70 x donde x representa el numero de 38 artículos que produce. Calcula que si al menos vende a “p” bolívares podrá vender 3000 - 8 P artículos al mes. a) Determine el precio para el cual la ganancia obtenida es máxima. b) Determine cuanto es esa ganancia máxima. APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES A LOS PROBLEMAS ECONÓMICOS INTRODUCCIÓN El cazador de venados A los que buscan cosas buenas. Pedro, experto cazador, invitó a su amigo Juan a cazar venados. Una vez que los dos estaban montaña adentro, Pedro iba vigilante y pendiente con su rifle listo para disparar ante la inminente aparición del animal. Pero el amigo iba mirando nerviosamente para todas partes con el arma apuntando hacia el suelo. ¡Compadre! Gritó Juan, ¿aquí hay culebras? No, no hay respondió Pedro con mucha firmeza. Pero el inexperto Juan continuó nervioso, tenía la aparición de alguna serpiente. Sorprendido ante algo que pisaba y se movía, gritó despavorido: “¡Compadre una culebra!”. 39 ¡Eso no es una culebra, eso es un bejuco! gritó el cazador sin dejar un momento de estar atento. Pero el aficionado Juan sumamente asustado y sudando de miedo, todavía sentía que algo se movía bajo sus pies y gritó de nuevo: “¡Compadre cuidado, esto sí es una culebra¡”. El experto cazador perdiendo la paciencia, se volvió hacia él y le dijo enfáticamente: ¡Oiga compadre!, ¿usted qué vino a hacer aquí?, ¿a cazar venado o a buscar culebras? El que va a cazar venado a la montaña los encuentra, ¿por qué? Porque los hay. En las montañas hay venados y si no, los inventa. Un buen cazador no se viene de la montaña con las manos vacías, si no caza una buena presa trae un buen cuento: “¡Mira, se me presentó un venado por lo menos de unos cien kilos! Le disparé, salió corriendo con herida y todo y murió después, por eso no pude traerlo”. Y si no caza una buena presa ni trae un buen cuento, entonces va a la carnicería más próxima y compra unos cien kilos de chivo tierno y fresco, pero no regresa con las manos vacías. ¡Algo se trae! El que va a la montaña a buscar culebras las encuentra, ¿por qué? Porque las hay y sino las inventa o se las imagina, pero no se viene sin sus culebritas. Y si no las ve, elabora su buen cuento: “¡Mira, se me apareció una mapanare por lo menos de unos cinco metros, si no corro ya estuviera muerto, me hubiera picado!”. Y si no hay culebra cualquier ramita o bejuco se convierte para él en una de ellas. Así pasa en la vida. El que viene a vivir para cazar venados los encuentra, el que viene a encontrar la felicidad la encuentra, porque la felicidad está aquí, la vida tiene momentos bellos y placenteros, los hay ¡te lo digo yo! Sí, en esta vida hay momentos agradable, muy agradables. Para el que viene aquí a buscar la dicha cualquier momento es motivo de alegría, aunque sea doloroso. Y si la felicidad no está en esta vida, entonces la inventa. Pero no se va de este mundo sin conseguirla. También pasa al revés. El que viene a esta vida a buscar culebra las encuentra, el que viene a buscar tristeza la encuentra porque en esta vida también existe la tristeza. Sí, hay momentos tristes y amargos, los hay ¡te lo digo yo! Y el que no los tiene, entonces los inventa. El que busca la amargura, la encuentra todo el tiempo y pasa por este mundo sufriendo. El que busca defectos en las demás personas los encuentra porque los tienen, y si no los tienen, unos se los ve porque se los busca. Si busca las cosas buenas en el prójimo también las encuentra, porque la gente que nos rodea tiene muchas cualidades. Si busca la felicidad, la encontrarás. Si busca la tristeza, también la encontrarás. Jesucristo dice: “El que busca encuentra” (Mt. 7, 8). Pero el que busca encuentra lo que busca, no lo existe. Nos la pasamos buscando una cosa para encontrar otra muy distinta. Si llenas corazón de eso que estás buscando, lo encontrarás. TOMADO DE: El Arte de Combinar el Sí con el No: Una Opción de Libertad .Ricardo Bulmez. Ediciones y Publicaciones Crece, C:A 1997. Quinta Edición. 40 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA A PROBLEMAS ECONÓMICOS INTRODUCCIÓN El desarrollo de las Matemáticas, la gran mayoría de las veces, surge como una herramienta fundamental para el estudio de fenómenos de otras disciplinas tales como la sociología, la física, la psicología, la biología, la economía, las ciencias sociales, etc. Sin duda, una de esas herramientas más potentes y eficaces, el cual tiene dos caras: diferencial e integral. Aunque el cálculo diferencial e Integral surge como una herramienta de la mecánica clásica desarrollada fundamentalmente por Newton, gracias a sus diversas aplicaciones en variadas áreas del conocimiento, se ha convertido en un elemento clave para la interpretación y análisis de diversos fenómenos. Las integrales definidas sirven como herramienta o ayuda para obtener soluciones que faciliten la toma de decisiones frente a problemas económicos, estos conceptos matemáticos son usados asumiendo que las variables que intervienen en dichos problemas tienen la posibilidad de variar continuamente, aunque esto represente una abstracción de la realidad. Sin embargo, esta suposición no disminuye la utilidad de la herramienta, como ayuda para obtener soluciones que faciliten la toma de decisiones frente a problemas económicos. A sabiendas de que en la economía se pueden aplicar las integrales tanto definidas como indefinidas. Su aplicabilidad está enfocada básicamente en los cálculos de modelos de situaciones de mercado. Entre algunas funciones económicas podemos encontrar: 1. Funciones de oferta y de demanda 2. Superávit de consumidores y productores 3. Consumo y Ahorro 4. Ganancia 5. Utilidades Netas 6. Ganancias netas producidas por una maquinaria industrial. Teniendo lo anterior como referencia, y en la suposición de que está familiarizado con la aplicación del concepto de derivada, en la resolución de cierto tipo de problemas que se pueden presentar en ejercicio profesional de administradores y economistas. No obstante el autor considera pertinente presentar previamente alguna idea de los conceptos básicos o fundamentos económicos relevantes o significativo a tener presente para el estudio pretendido. Primero que todo se abordara la teoría necesaria que se debe tener presente y que se debe conocer para la realización, interpretación y resultados óptimos de cada planteamiento. 41 APLICACIÓN DE LOS INTEGRALES A PROBLEMAS ECONOMICOS: REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PAEZ MATEMATICA II EJERCICIOS APLICACIÓN DE INTEGRALES Alumnos: Araibel Nieves. C.I:13.617.626 Evelyn Guerrero C.I.:17.060.493 Floribel Ledezma C.I.:14.571.212 Tania Goncalves C.I.:17.274.040 Yoscely Cabello C.I.: 11.809.134 Profesor: Alexander Barbera San Diego, agosto 2012 1.- La función del costo marginal de una empresa a un nivel de producción “x” es C´(x)=23,5-0,01x. Calcule el incremento en el costo total cuando el nivel de producción se incrementa de 1000 a 1500 unidades. 42 unidades monetarias R.- El incremento en el costo cuando el nivel de producción se incrementa de 1000 a 1500 unidades es de 5500 unidades monetarias. 43 2.- La función del ingreso está dada por R’(x)=12,5-0,02x. Determine el incremento en el ingreso total de la empresa cuando el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades. unidades monetarias R.- El incremento en el ingreso total de la empresa cuando el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades es de 950 unidades monetarias. 44 3.- El costo marginal de cierta empresa está dado por C’(x)=15,7-0,002x, mientras que su ingreso marginal es; R’(x)=22-0,004x. Determine el incremento de las utilidades de la empresa si las ventas se incrementan de 500 a 600 unidades. Cálculo: 15,7x +0,001 45 unidades monetarias R.- El incremento de las utilidades de la empresa si las ventas se incrementan de 500 a 600 unidades es de 520 unidades monetarias 4.- En el ejercicio anterior, el nivel de ventas primero decrece de 100 a 80 unidades y luego se incrementan a 150 unidades. Determine el incremento global en el ingreso total. Cálculo del Ingreso para un decrecimiento de las unidades vendidas de 100 a 80: 46 unidades monetarias Cálculo del Ingreso para un incremento de las unidades vendidas de 80 a 150: unidades monetarias R.- Hubo una ganancia de 302,5 unidades monetarias (-22,4 unidades monetarias+ unidades monetarias) 47 5.- En el ejercicio No. 3, determine el cambio en las utilidades si las ventas decrecen de 500 a 400 unidades. unidades monetarias R.- Se obtuvo una pérdida de 540 unidades monetarias. 48 6.- Si el costo promedio de la reparación de un automóvil de “t” años son: bolívares por año, calcule el costo total de la reparación durante los 2 primeros años y durante el período entre: t=4 y t=6. Costo total de la reparación durante los 2 primeros años: 49 R.- a) El costo total por reparación de los 2 primeros años es de Bs. 156,00 Costo total de la reparación en el período comprendido entre el año 6 y año 4: R.- b) El costo total por reparación para el período comprendido entre el año 4 y 6 es de Bs. 524,00 50 Ejemplo 1: La ganancia marginal de un fabricante es 140 80 3 ) ( 2 + + − · ′ x x x B . Halle la ganancia (Bx) lograda por el aumento de la producción de dos a cuatro unidades. Solución: = -3x^3 / 3 + 80x^2 / 2 + 140x = 704 Respuesta: La ganancia al aumentar la producción de dos a cuatro unidades es de BsF. 704 Solución a través del programa “Curvas” Para realizar esta grafica es necesario que coloque en el programa la función y luego se integre con los intervalos indicados en el ejercicio. 51 ( ) ( ) 4 2 4 2 3 2 2 B(4)-B(2)= -3x +80x +140 dx = -x +40x +140x =704 ∫ ( ) ( ) 4 2 4 2 3 2 2 B(4)-B(2)= -3x +80x +140 dx = -x +40x +140x =704 ∫ Ejemplo 2: La función de ganancia marginal está dada por GM = 60+3q2+10q. a-) Calcular la ganancia total cuando la producción está en el intervalo (2;5). b-) Realizar el inciso anterior gráficamente. Solución a-) GT = ∫ G’q *dq = ∫ BsF.168 Rta: La ganancia total es de BsF. 168 cuando la producción está en el intervalo dado.  Ejemplo3 Cierta empresa ha decidido asumir la producción y venta de un nuevo producto, del cual, según estudios de mercado, se estima que habrá una demanda mensual de 100 unidades. Además, se ha determinado que su precio unitario estará dado por :Bolívares, donde t esta dada en meses. Se desea estimar el ingreso total (acumulado) de esta empresa, durante los próximos cuatros años. Solución: Siendo cuatro años el periodo para el cual se deben calcular los ingresos total y estando la variable t expresada en meses, el intervalo donde debemos operar es [ O, 48 ]. a ser:  EJEMPLO 4: 52 ) 1 300 ( 3 ) ( + + · T t P [ ] 400 . 388 . 4 3 ) 1 ( 2 300 300 ) 1 300 ( 300 ) 1 300 ( 3 100 ) ( 100 48 0 2 3 48 0 48 0 48 0 0 · 1 1 ] 1 ¸ + + · + + · + + · · ∫ ∫ ∫ t dt t dt t dt t p It En cierta empresa se ha logrado determinar que cuando se ha llegado a un nivel de producción de “x” unidades diarias, los costos marginales están dados por 2x + 30 bolívares y el ingreso marginal por 380 - 1,5x bolívares. En la actualidad esta fabrica produce 80 unidades diarias de ese producto y se desea determinar a qué nivel de producción lograría su máxima ganancia, para saber si es posible alcanzarlo, para lo cual es necesario conocer en cuanto se incrementaría su costos de producción diario y en cuanto su ganancia total. (Se supone que la fábrica vende toda su producción). Solución: La máxima ganancia ocurre a nivel x de producción que satisface a: Cmarg( X)= Imarg ( X) Es decir, 2x+30=380-1,5x De donde, X = 1 00 Verifiquemos que en efecto x = 100 produce la máxima ganancia, para ello hacemos Gmarg (x) = Y marg (x) - C marg (x) = (380 - 1,5 x ) - (2x + 30) = 350 - 3,5 x Luego, G" (x) = [G' (x)]' = [ Gmarg (x)]' = ( 350 - 3,5 x)' = - 3,5 < O Lo cual nos dice que la función G es cóncava hacia abajo en todos su dominio y que, por lo tanto, el único punto singular encontrado corresponde a un máximo. Debemos determinar ahora en cuanto aumentaría el costo al elevar la producción desde x = 80, hasta x = 100. 53 Así, el costo total diario se incrementara en 4.200 bolívares, al llevar la producción de 80 a 100 unidades diarias. Para determinar el incremento que se producirá en la ganancia unitaria llegamos a la conclusión de que dicho incremento esta dado por Ejemplo 5: En cierta empresa productora de determinado artículo, se ha estimado que la demanda mensual de su producto estará creciendo para los próximos t meses, según 1 200 + t unidades por mes. El precio. Según se estima, podrá mantenerse constante en su valor actual de 30 bolívares la unidad. Actualmente la empresa produce 1.200 unidades mensuales. Asumiendo que toda la producción es vendida, calcule el ingreso total acumulado que puede esperar esta empresa, por la venta de su producto, durante los próximos años. Datos: Variación de la Demanda: ( ) 1 200 + · t dt dx Precio actual: ( ) te cons P o tan 30 · Producción actual: 1200 · o x Ingreso Total Acumulado: ? : Iacum Solucion: 54 [ ] 80 100 2 100 80 100 80 200 . 4 30 ) 30 2 ( ) arg( · + · + ⋅ ∆ ∫ ∫ x x dx x dx x Cm c La demanda mensual del producto crece para los próximos t meses; por lo tanto, la empresa debe aumentar la producción en la misma medida que lo hace la demanda. Es decir, ( ) 1 200 + · t dt dx representa la variación de la Demanda y de la Producción para los próximos t meses. Siendo t meses el periodo para el cual se debe calcular la producción total y el ingreso total acumulado, el intervalo donde debemos operar es ( 0 ; t ). La ecuación de la Producción, en función del tiempo es: Producción Final= Producción actual + Variación de la Producción ⇒ X (t) = Xo + X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 400 400 . 1 2 . 200 2 1 . 200 1 2 1 1 . 200 200 200 200 1 . 200 1 200 : 1 200 1 200 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 + · · · · + − + − · · · · · + · · ⇒ + · + · ⇒ + · ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − + t X u X u u X u du u X u dt u du X dt du t U V C dt x dt t dx Integrando dt t x t dt dx t [ ] [ ] 400 1 400 1 0 400 1 400 − + · + + + · t X t X oCambio Devolviend Sustituyendo en 1, la ecuación de la Producción es: 1 400 800 ) ( ` 400 1 400 1200 ) ( + + · − + + · t t X t t X 55 Si toda la producción es vendida, la ecuación del Ingreso por ventas es: Ingreso= Precio * Producción ( ) ( ) 1 12000 24000 1 400 800 . 30 + + · 1 ] 1 ¸ + + · t It t It El Ingreso Total Acumulado en t años es: ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ + + · 1 ] 1 ¸ + + · 1 ] 1 ¸ + + · dt t dt Iacum dt t t I d t dt t dI 1 12000 24000 1 12000 24000 ) ( 1 12000 24000 ) ( Por cambio de variable: U= t + 1 Du= dt ( ) ( ) 3 ) 1 ( 3 2 3 3 2 . 3 2 1 2 1 1 2 3 2 3 ¨ 2 3 + · · · + · · · + ∫ ∫ ∫ ∫ t u u dt t u du u du u dt t Iacum= ( ) 1 ] 1 ¸ + + 3 1 3 2 . 12000 . 24000 t t Iacum= ( ) 1 ] 1 ¸ + + 3 1 8000 24000 t t Para t = 2 años = 24 meses 56 ( ) ( ) [ ] [ ] BsF Iacum Iacum Iacum x x Iacum 000 . 568 . 1 8000 1576000 8000 0 1000000 576000 1 0 8000 0 24000 1 24 8000 24 24000 3 3 · − · + − + · 1 ] 1 ¸ + + − 1 ] 1 ¸ + + · Ejemplo 6: Calcule de nuevo los ingresos acumulados de la empresa del ejercicio anterior, asumiendo que el precio del artículo variara para los próximos t meses, según 1 2 3 + t , mientras la demanda lo hace según 1 90 + t Datos: Variación del Precio: 1 2 3 + · t dt dP Variación de la Demanda: 1 90 + · t dt dx ? 1200 30 · · · Iacum x BsF P o o Solución: [ ] [ ] 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 . 2 3 1 2 2 1 . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 2 1 − + · ⇒ − + · + · + · + · · · · · + · + · + · ⇒ + · ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − t P t P t t P t u u du u u du dt du t U V C t dt P dt t dP t dt dP 57 [ ] 180 1 180 1 0 180 1 180 1 . 2 . 90 1 . 90 1 90 1 90 − + · + − + · ⇒ + · + · + · ⇒ + · ∫ ∫ ∫ t X t x t t dt x dt t dx t dt dx La ecuación del Precio es: ( ) ( ) 1 3 27 ) ( 3 1 3 30 + + · ⇒ − + + · + · t t P t t P P P t P o La ecuación de la Producción es: ( ) ( ) 1 180 1020 ) ( 180 1 180 1200 + + · − + + · ∆ + · t t X t t x x x t x o La ecuación del Ingreso es por ventas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]dt t t dI t t dt dI t t t I t t t I t t t I t t t t I t t t I t x t P t I ∫ ∫ + + + · + + + · + + + · + + + + · + + + + · + + + + + + · + + + + · · 540 1 7920 28080 540 1 7920 28080 540 1 7920 28080 ) ( 540 540 1 7920 27540 1 540 1 7920 27540 1 540 1 3060 1 4860 27540 1 180 1020 1 3 27 . 2 58 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] BsF Iacum Iacum x Iacum meses Para t t t Iacum t t t Iacum t t t Iacum 680 . 639 . 1 0 5280 0 311040 660000 673920 540 1 0 5280 0 28080 24 540 1 24 5280 24 28080 24 540 1 5280 28080 540 ) 1 ( 5280 28080 540 ) 1 ( 3 2 . 7920 28080 3 2 3 2 3 2 · − + − + + · 1 ] 1 ¸ + + + − 1 ] 1 ¸ × + + + × · 1 ] 1 ¸ + + + · 1 ] 1 ¸ + + + · 1 ] 1 ¸ + + + · Ejemplo 7: El fabricante de cierto artículo ha logrado determinar que siendo x el nivel de producción máximo, su ingreso marginal es 44 – 9x miles de bolívares, Actualmente produce 6 unidades semanales, lo cual está ocasionándole pérdidas. Por lo tanto, decide alterar su producción semanal. ¿Cuánto deberá producir cada semana para que la ganancia sea la máxima posible? Calcule, además en cuanto mejoraría su ganancia si decide llevar la producción del nivel actual a esa cantidad, asumiendo que logra vender todo lo que produce. Discuta las aproximaciones hechas. ( ) ) ) ( ) 2 1 2 1 ó í var í ? á ? x modificada ón Pr é 6 ó Pr 9 44 arg á ó x a x de n producci la a s x G b xima M sea Ganancia la que para oducci a rdidas p produce x actual n oducci B de miles x I inal m Ingreso ximo m n producci de nivel x S m · ∆ ⇒ · · ⇒ · · − · · · Solucion a: Producción actual= X1 = 6 Producción modificad= X2 = ? Para que la ganancia sea máxima. Para que la Ganancia sea máxima se debe cumplir que el Ingreso Marginal sea igual al Costo Marginal. Im= CM pero no se tiene información sobre el costo, por lo tanto, no se puede determinar el valor de X por este criterio. Utilizando el criterio de la primera y segunda derivada, se determina para que valor de X ocurre el Ingreso Máximo, ya que la Ganancia será máxima si el ingreso es máximo y el costo mínimo. Im= I` (x) = 44-9x 59 El valor critico del ingreso ocurre cuando I`(x)= 44-9x ( ) . í 5 5 9 , 4 9 44 0 9 44 0 ' tico cr valor un hay x En x x I Si x · ≅ · · ⇒ · − ⇒ · Utilizando el criterio de la 2da. derivada ( ) ( ) ximo M Ingreso un hay x En I I x á 5 0 9 ' ' 9 ' ' 5 · ⇒ ≤ − · − · Conclusión: Para que la Ganancia sea Máxima el ingreso debe ser Máximo y el Costo mínimo. Se deben producir semana unid 5 5 2 · x Solucion b: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S B G G G x I x I x I G x I I x I x I I x I x x x I dx x x I dx x x dI dx x x I d x dx x dI 5500 5 , 5 102 5 , 107 Modificado Ingreso 5 , 107 5 , 112 202 2 5 . 9 5 . 44 5 Actual Ingreso 102 162 264 2 6 . 9 6 . 44 6 Ingreso del Ecuacion 2 9 44 ) ( ) 9 44 ( ) 9 44 ( ) ( ) 9 44 ( 9 44 ) ( Im 1 2 2 2 2 1 2 1 2 · ∆ · ∆ − · ∆ − · ∆ ≅ ∆ · − · − · · · − · − · · − · − · − · − · − · · ∫ ∫ ∫ C I G ∆ − ∆ · ∆ , pero como no se tiene información sobre el Costo de Producción y como la diferencia en la producción x es de unidad 1 se pueden considerar casi iguales. 60 Ejemplo 8: Una compañía hotelera internacional está comenzando una campaña promocional. La publicidad costará a la compañía Bs. 5.950 por día. Los especialistas de mercado estiman que la razón a la cual la ganancia de la compañía será generada (sin incluir gastos de publicidad), decrece con la duración de la campaña. Específicamente, dicha razón es estimada según la función definida por R (t) = -50t 2 + 10.000 Donde t representa los días de la campaña y r (t) es medida en dólares por día. Para maximizar su ganancia neta, la compañía debe conducir su campaña hasta tanto r (t) exceda el gasto diario de publicidad. a) ¿Cuánto deberá durar la campaña? b) ¿A cuánto alcanzará el gasto total de publicidad esperado durante toda la campaña? c) ¿Cuánto es la ganancia neta esperada? Datos: ( ) ( ) ( ) dia Bs t R campaña la de dias en n duraci t t dt t dG t R Ganancia la de n Variaci dia Bs Publicidad de Gastos · · + − · · · · ó 10000 50 ó 5950 2 Para que ( ) Publicidad de diario Gastos t R xima M sea G neta ≥ ⇒ á ) ( ) ) ) ? ? ó ? · · · esperado neta Ganancia c total publicidad de Gasto b Campaña la de n duraci de Tiempo t a ) ( ) dias t t t t t t t Publicidad de Gastos t R a 9 81 81 50 4050 0 4050 50 0 10000 5950 50 5950 10000 50 ? 2 2 2 2 · · ⇒ · · · − · − + · + − · ⇒ ≥ 61 La campaña debe durar 9 días ) ) ( ) ∫ ∫ · − · · + − · 1 ] 1 ¸ × + × − − 1 ] 1 ¸ × + × − · 1 ] 1 ¸ + − · + − · + − · − · · × · BsF Gneta BsF BsF Gneta BsF R R t t R dt t dR t dt dR Publicidad de Gastos Ganancia Gneta c B total Publicidad de Gastos dias dia B total Publicidad de Gastos b S S 24300 53550 77850 77850 90000 12150 0 10000 3 0 50 9 10000 3 9 50 10000 3 50 10000 50 10000 50 53550 9 5950 3 3 9 0 3 9 0 2 2 62 Ejemplo 9: Después de producir 35 unidades, una compañía determina que las horas de trabajo requeridas para producir unidades adicionales decrece según la función definida por: x x f 100 ) ( · Donde x representa el número de unidades producidas y f (x) es medida en horas, (Una función tal es conocida con el nombre de función de aprendizaje, cuya fórmula general es: F (x) = c . x k Donde c y k son constantes reales tales que – 1 < k < 0 y f (x) da el número de horas requeridas para producir 1 x – enésima unidad). ¿Cuántas horas se requerirán para producir 30 unidades, la función de aprendizaje está definida por ( ) ( ) ( ) s adicionale unidades producir para requieren se Cuantas x comoF x x f e aprendezaj de n funci unidades x 30 ? 100 : ó 35 1 · · · Solución: ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 . 100 . 100 100 : ó 65 30 35 35 − − · · · · + · · x x f x x x f e aprendezaj de n funci unidades unidades unidades x unidades x Para calcular el tiempo que tarda en producir unidades 30 adicionales se integra la función de aprendizaje: 63 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) horas x F x F x F x F x x F x x F x x F dx x x F dx x f x F x x 428 14 , 2 . 200 92 , 5 06 , 8 200 35 65 200 200 . 200 2 1 . 100 . 100 65 35 65 35 2 1 65 35 2 1 65 35 2 1 2 1 · · − · − · · 1 ] 1 ¸ · 1 1 ] 1 ¸ · · · − − ∫ ∫ Se requieren 428 horas para producir unidades 30 más. 64 Ejemplo 10: El ingreso de cierta empresa disminuye con el tiempo según t 2 1 − y sus costos se incrementan de acuerdo a ´ 2 1 t − ambas expresiones dadas en millones de dólares y donde t esta dada en años. Sabiendo que sus costos e ingresos actuales son de 3 y 19 millones de dólares, respectivamente, determine: • El tiempo que podrá continuar operando esta empresa, en esas condiciones • El monto de su ganancia total, a partir de este momento y hasta el final de su operación ( ) ( ) años en t Bs de millones en t dt dC Bs de millones en t dt dI 2 3 2 1 · − · Costo actual 3 3 · ⇒ · o C Bs de millones Ingreso actual 19 19 · ⇒ · o I Bs de millones ) ( ) ) ( ) t tiempo el hasta y momento este de partir a total Ganancia b s condicione esas en empresa la operar puede que tiempo t a ? , ? · · Solución: ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ · ∆ ⇒ · − · ⇒ ∆ + · − · − · ∆ − · − · − · ∆ − · ∆ ⇒ − · − dt t C t dt dC t t I I I t I t t I t dt t dt t I dt t I t dt dI o 2 3 2 3 19 . 1 2 . 2 1 2 1 . 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 65 ( ) t t C t C t t C t dt t dt t C o 3 3 3 1 2 . 2 3 2 1 2 3 2 3 1 2 3 2 1 2 1 + ⇒ ∆ + · · · ∆ · · · ∆ − − ∫ ∫ La empresa podría seguir operando hasta que el ( ) t C sea igual al ( ) t I . ( ) ( ) años t t t t t t t t t I t C 16 4 4 16 4 3 19 3 19 3 3 2 · · · · − · + − · + · ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t G t t t G t t t G t C t I t G Costo Ingreso Ganancia 4 16 3 3 19 3 3 19 − · − − − · + − − · − · − · ( ) [ ] [ ] . 33 , 85 0 67 , 170 256 0 . 3 8 0 16 16 . 3 8 16 16 . 3 8 . 16 2 3 4 16 4 16 4 16 3 3 16 0 3 16 0 2 3 16 0 2 1 16 0 Bs de millones Gacum Gacum Gacum t t Gacum t t Gacumulada dt t Gacumulada dt t acumulada Ganancia · − − · 1 ] 1 ¸ − × − 1 ] 1 ¸ − × · 1 ] 1 ¸ − · 1 1 ] 1 ¸ − · 1 ] 1 ¸ − · − · ∫ ∫ Ganancias netas producidas por una maquinaria industrial 66 Ejemplo 1: Cuando tienes “x” años, una maquinaria industrial genera ingresos a razón de ( ) 2 x 20 000 . 5 x R − · Bolívares por año, y los costos de operación y mantenimiento se acumulan a razón de ( ) 2 x 10 000 . 2 x C + · bolívares por año: a) ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? b) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria en ese periodo de tiempo? c) Explicar y representar, geométricamente, las ganancias netas calculadas. Solución: El uso de la maquinaria será rentable en tanto que el ritmo al que se generan los ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que ( ) ( ) x C x R · ( ) 10 10 3000 30 10 2000 20 5000 2 2 2 − · · ⇒ · + · − x cuenta en tener no años x x x x Dado que las ganancias netas generadas por la maquinaria durante cierto período de tiempo están dadas por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y el costo total de operación y mantenimiento de ésta, se puede determinar esta ganancia por la integral definida: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) .. 20000 10 3000 30 3000 10 2000 20 5000 10 0 3 10 0 2 10 0 2 2 10 0 Bs x x dx x dx x x dx x C x R neta Ganancia · − · − · · + − − · − · ∫ ∫ ∫ En términos geométricos, la ganancia neta calculada en el ítem anterior está representada por el área de la región limitada entre las curvas ( ) x R y · y ( ) x C y · , desde 0 x · hasta 10 x · . Ejemplo 2: A la administración de cierta empresa manufacturera, han llegado dos ofertas de maquinaria, las cuales complementarían su planta actual y con esto aumentaría considerablemente su producción y ventas y probablemente también sus ganancias. Las ofertas son las siguientes: Vendedor A 67 Ofrece una maquinaria que lograría aumentar la producción mensual actual en un 60%, ocasionando un costo de producción adicional de 10.000 1 ] 1 ¸ + + 2 1 1 t bolívares cada mes. Además, la preparación y mantenimiento costarían 30.000 1 ] 1 ¸ + + 5 1 1 t estando t dada en meses en ambos casos. Vendedor B Ofrece una maquinaria que duplicaría la producción mensual actual pero el costo de producción adicional que ocasionaría, cada mes, es un 40% mayor que el de la maquinaria ofrecida por el vendedor A. En este caso, la reparación y mantenimiento costaría 26.730 1 ] 1 ¸ + + 5 1 2 1 t bolívares mensuales, estando también t dada en meses. Los estudios de mercado determinan que el precio del artículo producido por esta empresa, estará cambiando durante los próximos t meses según 1 4 3 + t , mientras su demanda superara las 20.000 unidades mensuales y vende al precio de mercado, el cual es hoy de 9,50 bolívares la unidad. Con toda esa información realice un análisis completo de las ofertas, que le permita decidir cual de las dos conviene a la empresa. Argumente su decisión. Ofertas: ( ) ¹ ¹ ¹ ' ¹ 1 ] 1 ¸ + + · · ∆ mes B t dt t dC P P A Vendedor S A actual O O A 2 1 1 000 . 10 60 : Preparación y Mantenimiento mes B t CF S B 1 ] 1 ¸ + + · · 5 1 1 000 . 30 68 ¹ ' ¹ ∆ · ∆ · A O O B actual B C C P P B Vendedor . 40 2 : Preparación y Mantenimiento mes B t CF S B 1 ] 1 ¸ + + · · 5 1 . 2 1 26730 mes B actual ecio mes unid Demanda t dt ecio d S 50 , 9 Pr 000 . 20 1 . 4 3 Pr · · + · Vendedor A: unidades x meses año t Para mes unid n oducci x n oducci x 384000 12 1 32000 ó Pr 20000 60 20000 ó Pr 0 0 · ⇒ · · · · × + · · ( ) 12 0 3 1 0 1 1 2 3 1 2 1 10000 2 1 1 10000 2 1 1 10000 1 1 ] 1 ¸ + + · ∆ 1 ] 1 ¸ + + · 1 ] 1 ¸ + + · ∫ ∫ t t C dt t dC t dt dC A t A A ( ) ( ) ( ) ( ) S A A A B C C t t C 22 , 272907 3 1 3 13 12 10000 3 1 0 3 1 12 12 10000 3 1 10000 3 1 3 3 1 12 0 3 1 · 1 1 ] 1 ¸ − + · ∆ 1 1 ] 1 ¸ − − + + · ∆ 1 1 ] 1 ¸ + + · ∆ 69 ( ) ( ) ( ) ( ) S A A A A t A A B C C t t C t t dC dt t dC t dt dC 67 , 543488 15 1 2 0 15 13 2 12 30000 15 1 2 30000 2 3 1 5 1 30000 5 1 1 30000 5 1 1 30000 2 3 3 2 12 0 3 2 12 0 3 2 0 2 2 · ∆ 1 1 ] 1 ¸ − − + · ∆ 1 1 ] 1 ¸ + + · ∆ 1 1 ] 1 ¸ + + · 1 ] 1 ¸ + + · 1 ] 1 ¸ + + · ∫ año durante n oducci de Costo el en Incremento B C B B C S A S S A 1 ó Pr 89 , 816395 67 , 543488 22 , 272907 · ∆ + · ∆ ( ) S A S A S t B Iacumulado unidades unidad B Iacumulado unidad B ecio ecio t t ecio t t ecio dt t ecio dt dP Actual ecio ecio 45277440 384000 91 , 117 91 , 117 Pr 2 3 0 2 13 3 12 . 5 , 9 Pr 2 1 3 5 , 9 Pr 2 1 1 4 3 5 , 9 Pr 1 4 3 50 , 9 Pr Pr Pr 12 0 12 0 0 · × · · 1 ] 1 ¸ − − + · 1 ] 1 ¸ + + · 1 1 ] 1 ¸ + + · 1 ] 1 ¸ + + · + · ∫ S A S S A B Ganancias B B Ganancias 11 , 44461044 89 , 816395 45277440 · − · 70 Vendedor B: unidades x meses t Para mes unid n oducci x 480000 12 40000 20000 2 ó Pr · ⇒ · · × · · ( ) ( ) ( ) ( ) S B S S B S B B B t B t B B S B S S B A A B B C B B C B C C t t C t t C dt t C t dt dC B C B B C C C C 91 , 1029806 80 , 647736 11 , 382070 80 , 647736 15 1 4 0 15 13 4 12 . 26730 15 1 4 . 26730 2 3 1 5 2 . 26730 5 1 2 1 . 26730 5 1 2 1 . 26730 11 , 382070 22 , 272907 . 100 40 22 , 272907 40 2 3 2 12 0 3 2 0 3 2 0 2 2 1 1 1 0 0 1 1 · ∆ + · ∆ · ∆ 1 1 ] 1 ¸ − − + · ∆ 1 1 ] 1 ¸ + + · ∆ 1 1 ] 1 ¸ + + · ∆ 1 ] 1 ¸ + + · ∆ 1 ] 1 ¸ + + · · ∆ + · ∆ + · ∆ ∫ S B S S B S B S B B Ganancias B B Ganancias B Iacumulado unidades unidad B Iacumulado 09 , 55566993 91 , 1029806 56596800 56596800 480000 91 , 117 · − · · × · La oferta que más conviene a la empresa, es la del Vendedor B porque permite obtener mayores ganancias. Ejercicio 10: 71 Una pequeña empresa manufacturera está considerando la compra de un elemento ahorrador de energía el cual reducirá su consumo de combustible. El elemento costará 320.000BsF las estimaciones de ingeniería sugieren que el ahorro proveniente de dicho elemento ocurrirá a una razón dada por la función definida por S(E)= 200.000 e -,05t siendo (t) el tiempo medido en año. Dice. Determine cuánto tiempo tomará a la empresa recuperar el costo del elemento. Datos: Costo del equipo: C (e) = 320000 BsF equipo del costo el recuperar en tarda que Tiempo ? t años en medido tiempo 200000 5 , 0 · · · − t e dt dE t Solucion: dt du dt du C dt e E e dt dE t t · − · · − · · · ∆ ⇒ · ∫ − − 2 5 , 0 dt 0,5 - du t 0,5 - u : Variable de ambio . 200000 . 2000000 5 , 0 5 , 0 72 1 ] 1 ¸ − · ∆ 1 ] 1 ¸ − · ∆ 1 ] 1 ¸ · ∆ · ∆ · ∆ − · ∆ − − − − ∫ ∫ 1 . 4000000 . 4000000 . 4000000 . 4000000 4000000 ) 2 ( 200000 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 t t t t u u u e E e e E e E e E du e E du e E Para recuperar el costo: E ∆ nergia = Costo (E) Años 22 , 3 5 , 0 61 , 1 61 . 1 5 , 0 ) 2 , 0 ln( ) ln( 2 , 0 1 8 . 0 400000 320000 1 320000 1 . 4000000 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 · − − · − · − · · + − · − · − · 1 ] 1 ¸ − − − − − − − to to t e e e e e t t t t t FUNCIÓN DEMANDA Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA A partir de ahora trabajaremos con la relación matemática que vincula la forma en que varía la cantidad requerida de un bien, según el precio que tenga en el mercado, aplicando la condición "ceteris paribus"; lo que nos origina la función reducida de demanda. 73 Función de demanda: La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta es una función decreciente como lo observamos en los ejemplos gráficos. Se puede asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinado período. Si el precio por unidad de un producto está dado por p y la cantidad correspondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denomina función de demanda. A su gráfica se la llama gráfica de demanda. Esta función se simboliza p= d(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el mercado. Siendo “q”: la Cantidad demandada y “p”: precio Las funciones Demanda se suponen continuas definidas en el conjunto de los números reales, es decir que consideramos precios y cantidades como variables continuas. Aunque en la realidad puedan experimentar saltos, ya que los precios pertenecen al conjunto de los Números Racionales Positivos Q+, y las cantidades al conjunto de los Números Enteros Positivos . Para evitar las discontinuidades, que no son objeto de este curso se considerará que el precio pertenece al conjunto de los números Reales positivos (R+). En general, la demanda es una función decreciente que se representa gráficamente en el primer cuadrante. • Veamos un ejemplo de función lineal de demanda, en donde se relaciona las cantidades mensuales demandadas de un determinado modelo de sillones (q), y su precio de venta (p), donde las cantidades demandadas es de 360 y el precio de 20 BsF. f(p) = 360 - 20 p 74 Para poder graficar dicha función se convirtió a variables “X” y no “P” como indica la función anterior. f(x) = 360 - 20 x FUNCIÓN DE LA OFERTA Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA Función de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Se puede decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún período específico. Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto permite asegurar que la función de oferta es una función creciente. Si p representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la denomina función de oferta y a su gráfica se la conoce como gráfica de oferta. Esta función se simboliza p= o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado. Si confeccionamos una tabla donde se relacionen los diferentes precios con las cantidades que un productor está dispuesto a ofrecer en cada unidad de tiempo, obtenemos una relación a la que llamaremos "Oferta individual" de un determinado bien. La suma de las ofertas individuales para cada productor, se conoce como "Oferta global o de Mercado". Qué sucede si los precios son muy bajos? Los productores no ofrecerán nada, debido a que no se cubren los costos de producción. Pero si los precios aumentan, la situación cambia y empezarán a 75 ofrecer sus productos en el mercado, en forma creciente, porque a mayor precio del producto, mayor será la oferta del mismo. Función Creciente Observemos en la siguiente tabla: Tabla de Oferta Cantidades ofrecidas del bien A a distintos precios pA qA 2 0 3 2 4 4 5 6 6 8 pA: Precio qA: Cantidad Ofrecida Representamos gráficamente los valores de la tabla y obtenemos una curva, donde a cada precio le corresponde una cantidad ofrecida determinada. La unión de todos los puntos conforma la "Curva de la Oferta". A cada precio pA le corresponde una cantidad ofrecida qA, si unimos los distintos puntos (pA , qA) , obtenemos la curva de oferta del bien A. Veamos un ejemplo de función de Oferta lineal (O), en donde se relaciona las cantidades mensuales ofrecidas de un bien (q), y su precio de venta (p): 76 Tabla de Oferta 0 5 10 0 1 2 3 4 5 6 7 Precio (p) C a n t i d a d ( q ) qA O = q = f(p) = 3 p - 1 SUPERÁVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores. El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por q 0 artículos. El área sombreada bajo la recta entre los puntos p 0 y q 0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p 0 de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores. p 0: Precio de equilibrio q 0: Demanda de equilibrio El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p = d(q) y p = p 0 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma: 77 donde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p 0 y demanda de equilibrio q 0 . De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un producto a un menor precio que el precio p 0 de equilibrio, el total de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios más bajos a los que los fabricantes venderían el producto se considera como una entrada adicional para los fabricantes y se llama el superávit de los productores. El área total bajo la curva de oferta entre (q0 y q) q 0 es la cantidad mínima total que los fabricantes están dispuestos a obtener por la venta de q 0 artículos. El área total bajo la recta p y p 0 es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esas dos áreas, el superávit de los productores, también está dada por una integral definida. Si s(q) es una función de oferta con precio p 0 de equilibrio y oferta q 0 de equilibrio, entonces superávit de los productores  Ejemplo 1: Estando las funciones de la oferta y la demanda, de determinado bien, definidas, respectivamente, por q = 3.200 - 5p Y q = 40p -400 Determine los correspondientes excedentes del consumidor y del productor. SOLUCION: En primer lugar determinemos los precios de demanda y oferta cero respectivamente. Para esto hacemos 3.200 - 5p = O Y 40p - 400 = O De donde: pd = 640 Y po = 10 Luego, hallamos el precio de equilibrio haciendo 3.200 - 5p = 40p -400 78 De donde pe = 80 Por lo tanto: Mientras, Ejemplo 2: Calcule el superávit de los consumidores y el superávit de los productores para las curvas de demanda y oferta dadas. Función de demanda: 60 3 1 + − · q p . Función de oferta: 10 2 2 + · q p Solución Determinamos el punto de intersección, ( ) 0 0 ; p q , entre la oferta y la demanda, igualando ambas funciones : p1= -3q + 60 y p2= 2q+10 -3q + 60 – (2q+10)= 0 -3q +60-2q-10=0 5q + 50= -50/-5 q= 10 Luego, hallamos el valor de imagen para 10 · q , reemplazando en una de las dos funciones: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 p 10 3 10 60 30 60 30 p 10 2 10 10 20 10 30 · − + · − + · · + · + · Como los valores de las abscisas corresponde a número de artículos ofrecidos o demandados, q0 = 10 y, por lo tanto, p0 = 30. Así, el punto de equilibrio, es: ( ) 0 0 q ; p = (10; 30) El excedente de demanda o superávit de los consumidores es la región comprendida entre p1 (q) y la recta p = 30, entre 0 y 10, o sea: 79 [ ] 000 . 284 240000 24000 . 1 2 1 5 3200 ) 5 200 . 3 ( . 640 80 2 · − · ⋅ − · ⋅ − · ∫ p p dp P C E [ ] 000 . 98 ) 2000 ( 96000 400 20 ) 400 40 ( . 640 80 80 10 2 · − − · − · ⋅ − · ∫ P p dp P C E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 10 2 0 0 0 2 2 3q 3q 60 30 dq 3q 30 dq 30q 2 3 10 3 0 30 10 30 10 150 2 2 ¸ _ − − + − · − + · + · ÷ ¸ , ¸ _ ¸ _ − − · + − + · ÷ ÷ ÷ ÷ ¸ , ¸ , ∫ ∫ Respuesta: El excedente de demanda asciende a BsF. 150 El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p=30 y 10 2 2 + · q p entre 0 y 10, o sea: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 10 10 2 0 0 0 0 2 2 2q 30 2q 10 dq 30 2q 10 dq 20 2q dq 20q 2 2 10 2 0 20 10 20 0 100 2 2 ¸ _ − + · − − · − · − · ÷ ¸ , ¸ _ ¸ _ · − − − · ÷ ÷ ÷ ÷ ¸ , ¸ , ∫ ∫ ∫ Respuesta: El superávit de oferta alcanza BsF. 100. Lo que se pide en este problema es determinar el precio de equilibrio, el cual es el punto de intersección entre la ecuación de oferta y la ecuación de demanda. La ecuación de oferta esta dada por la función: x 2 -4x La ecuación de demanda esta dada por función: 6x –x 2 Para determinar la ecuación de oferta se introduce en el programa curvas la función dada: x 2 -4x Arrojando como resultado la siguiente grafica: Para determinar la ecuación de demanda se introduce en el programa curvas la función dada: 6x-x 2 Arrojando como resultado la siguiente grafica: 80 Como se cuenta con las dos ecuaciones (oferta y demanda) se puede determinar el precio de equilibrio; el cual resulta de introducir en el programa curvas la función dada: 6x-x 2 _ x 2 -4x= -2x 2 +10x=>x1=5 y x2=0 Se introduce en el programa curvas la función resultante y mediante ella determinamos el área entre las dos curvas lo q arrojara como resultado el precio de equilibrio entre ambas partiendo en la integral de: _ 2 x 2 +10x Resultando un precio de equilibrio de= 41,66 Arrojando como resultado la siguiente grafica: • Matemáticamente 41,66 es el resultado del precio de equilibrio para el producto que el fabricante esta dispuesto a vender y que el consumidor esta dispuesto a comprar. Ejemplo 3: La curva de demanda está dada por la ley d(x) Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades. Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p d(20) Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta: 81 41,66 5 ∫ 0 = 320 La ganancia de los consumidores asciende a BsF. 320 si el nivel de venta asciende a veinte unidades. 82