Libro 1 Jcdelacruz Algebra Lineal

ÁLGEBRALINEAL 2 0 1 2 JUAN CARLOS DE LA CRUZ TEORÍA Y EJERCICIOS ÁLGEBRA LINEAL 2 0 1 2 JUAN CARLOS DE LA CRUZ TEORÍA Y EJERCICIOS Índice general 1. Matrices 5 1.1. Álgebra de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Inversión de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2. Espacios Vectoriales 61 2.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3. Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.4. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.4.1. Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.4.2. Espacios Generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.4.3. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.5. Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.6. Suma Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.6.1. Sumas de Espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.6.2. Suma Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.7. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.8. Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.8.1. Espacio Cuociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.8.2. Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3. Transformaciones lineales 105 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.2. Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.2.1. Kernel o Núcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.2.2. Imagen o Recorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.2.3. Funciones biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.2.4. Álgebra de Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.2.5. Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.2.6. Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.3. Matriz asociada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3.1. Matriz Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3 4 ÍNDICE GENERAL 3.4. Espacio Vectorial Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3.4.1. Base Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 3.4.2. Transformación Dual o Traspuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 3.5. Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.6. Producto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3.6.1. Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.6.2. Bases Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4. Programación Lineal 167 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.2. Transformación a la Forma Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.2.1. Variable de Holgura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.2.2. Variable excedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.2.3. Variables Libres (Primer método) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.2.4. Variables Libres (Segundo método) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.3. Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.4. Método del Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5. Ejercicios 195 5.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.1.1. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.2. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 5.2.1. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5.3. Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 5.3.1. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Capítulo 1 Matrices 1.1. Álgebra de Matrices Informalmente, una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos horizon- talmente en …las y verticalmente en columnas. Una matriz se dice racional, real o compleja según sea el conjunto en el que se encuentren los números del arreglo o elementos de la matriz (coe…cientes de la matriz). Más precisamente una matriz de orden : : con coe…cientes reales, es un arreglo rec- tangular de números reales, con : …las y : columnas. ¹ = ¹ mn = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n . . . . . . c m1 c m2 c mn _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ = [c ij ] mn Convencionalmente usaremos letras mayúsculas para denotar matrices indicando su orden o formato con subíndices. Dado que el texto se trabaja principalmente con matrices reales, no se indica el conjunto numérico en el que se de…ne la matriz, salvo los casos que requieran para mayor claridad de un desarrollo. El elemento situado en la …la i y columna , de una matriz cualquiera, se describe como c ij . Así la …la i de ¹ es _ c i1 c i2 c in ¸ y la anotamos , i (¹). Del mismo modo, la columna , de ¹ está dada por _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ c 1i c 2i . . . c mi _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 5 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 6 CAPÍTULO 1. MATRICES y la anotamos c i (¹). Cuando sea necesario, usamos la notación c ij (¹) para indicar el coe…- ciente i, de la matriz ¹ o simplemente c ij . El conjunto de la matrices de orden :: con coe…cientes en K lo anotamos ` mn (K). Si : = : entonces las matrices se dicen cuadradas de orden : y el conjunto de todas ellas se denota por ` n (K). si los coe…cientes son números reales entonces denotamos ` mn o simplemente ` n De…nición 1 Dos matrices ¹ mn y 1 pq se dice que son iguales si y sólo si : = j. : = ¡, y c ij = / ij con i = 1. . . . . :; , = 1. . . . . : Ejemplo 1 Notemos en los ejemplos siguientes, las matrices dadas son distintas: a) _ _ 1 3 2 ÷1 0 0 _ _ ,= _ 1 3 2 ÷1 _ . ya que la primera tiene orden 3 2 y la segunda 2 2. Ellas tienen diferentes ordenes. b) _ 1 ÷1 0 2 3 4 _ ,= _ 0 ÷1 0 2 ÷3 4 _ . ellas son distintas pues c 11 = 1 ,= 0 = / 11 Ejemplo 2 En cada caso hallar c. /. c y d. constantes reales, tales que a) _ c 2 + 2c ÷1 / 2 _ = _ ÷3 ÷1 1 +c 2 _ . en ` 2 b) _ c 2 ÷c + 1 d c + 2d 1 _ = _ 3 2c 6 1 _ . en ` 2 c) _ c 2 + 2c + / ÷1 c + / + c 2 _ = _ c 2 + 1 2c / d _ . en ` 2 Desarrollo. a) Si _ c 2 + 2c ÷1 / 2 _ = _ ÷3 ÷1 1 +c 2 _ entonces c 2 + 2c = ÷3 ÷1 = ÷1 2 = 2 / = 1 + c las igualdades a estudiar son (1) c 2 + 2c = ÷3 (2) / = 1 + c De (1), c 2 + 2c + 3 = 0. luego c = ÷1 + i _ 2 con i 2 = ÷1, o sea c y / en C pero la igualdad se estudia en los números reales, entonces la solución es vacía, pues no es posible encontrar c y / en R que satisfagan las igualdades (1) y (2). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.1. ÁLGEBRA DE MATRICES 7 b) Si _ c 2 ÷c + 1 d c + 2d 1 _ = _ 3 2c 6 1 _ , entonces (1) c 2 ÷c + 1 = 3 (2) d = 2c (3) c + 2d = 6 (4) 1 = 1 Si d = 2c entonces reemplazando en (3) tenemos 5c = 6, luego c = 6 5 cuyo valor no cumple la igualdad c 2 ÷c + 1 = 3, pues _ 6 5 _ 2 ÷ 6 5 + 1 = 31 25 . Así no hay c y d que cumplan la igualdad matricial (b) pues el sistema formado por las ecuaciones (1),(2),(3) y (4) tiene solución vacía. c) Si _ c 2 + 2c + / ÷1 c + / + c 2 _ = _ c 2 + 1 2c 6 d _ . En este caso se tiene: (1) c 2 + 2c + / = c 2 + 1 (2) c + / + c = 6 (3) ÷1 = 2c (4) 2 = d De (4) d = 2, de (3) c = ÷ 1 2 reemplazando en (2) y simpli…cando (1) obtenemos: (5) c + / = 13 2 (1’) 2c + / = 1 restando (1’) la ecuación (5) nos queda c = ÷ 11 2 . Reemplazando en (5) se tiene que / = 12. Por lo tanto c = ÷ 11 2 ; / = 12, c = ÷ 1 2 ; d = 2 son las constantes reales que satisfacen la igualdad matricial c). De…nición 2 Sean A=[c ij ] y 1 = [/ ij ] matrices de orden : :, entonces la suma de ¹ y 1 es la matriz de orden :: de…nida por: ¹ + 1 = [c ij + / ij ] Ejemplo 3 Si ¹ = _ 2 3 4 ÷1 7 1 _ y 1 = _ 3 ÷3 ÷4 ÷1 0 ÷7 _ entonces ¹ + 1 = _ 2 + 3 3 + (÷3) 4 + (÷4) (÷1) + (÷1) 7 + 0 1 + (÷7) _ = _ 5 0 0 ÷2 7 ÷6 _ Nota. La matriz nula de orden ::, denotada por 0 mn es una matriz compuesta sólo de ceros, o sea, 0 mn = [c ij ] con c ij = 0 para todo i,,. Toda vez que se indique la matriz nula sin especi…car su orden, debe entenderse de…nido por el contexto. De la de…nición se deduce que dos matrices pueden sumarse solamente si son de igual orden. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 8 CAPÍTULO 1. MATRICES De…nición 3 Sean c en R y ¹ en ` mn entonces c ¹ = ¹ c = [c c ij ] es llamado el producto por escalar. En particular, si c = ÷1 y ¹ = [c ij ] entonces (÷1) ¹ = [÷c ij ] . denotada por ÷¹. Proposición 4 Sean ¹. 1. C cualesquiera en ` mn y c. d ¸ R entonces: 1. (¹ + 1) + C = ¹ + (1 + C) . 2. ¹ + 1 = 1 + ¹. 3. ¹ + 0 = ¹. 4. ¹ + (÷¹) = 0, matriz nula de orden ::. 5. c(¹ + 1) = c¹ + c1. 6. (c + d)¹ = c¹ + d¹. De…nición 5 Sean ¹ mn = [c ij ] y 1 nq = [/ ij ] de…nimos el producto de ¹ y 1 como la matriz ¹ 1 = [c ij ] mq donde c ij = n k=1 c ik / kj . Ejemplo 4 Dadas las matrices ¹ = _ 1 7 3 ÷1 5 4 _ . 1 = _ 1 2 0 ÷4 _ . C = _ 0 8 1 ÷1 1 2 0 _ . Determinar una matriz A en ` 23 tal que 2¹ + A ÷1C = 0 23 . Desarrollo. Calculemos primero 2¹ + A ÷1C = 0 Sumando Inverso Aditivo ÷2¹ + 2¹ + A ÷1C = 0 ÷2¹ Cancelando A ÷1C = ÷2¹ Sumando Inverso Aditivo y Cancelando A = 1C ÷2¹ Ahora tenemos que 2¹ = 2 _ 1 7 3 ÷1 5 4 _ = _ 2 14 6 ÷2 10 8 _ 1C = _ 1 2 0 ÷4 _ _ 0 8 1 ÷1 1 2 0 _ = _ ÷2 9 1 4 ÷2 0 _ Así, obtenemos A = _ ÷2 9 1 4 ÷2 0 _ ÷ _ 2 14 6 ÷2 10 8 _ = _ ÷4 ÷5 ÷5 6 ÷12 ÷8 _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.1. ÁLGEBRA DE MATRICES 9 Ejemplo 5 Sean ¹. 1 en ` 2 . Determinar el valor de verdad de la proposición ¹1 = _ 0 0 0 0 _ = _ ¹ = _ 0 0 0 0 _ . 1 = _ 0 0 0 0 __ Desarrollo. Basta tomar ¹ = _ 0 ÷3 0 1 _ y 1 = _ 1 10 0 0 _ . Ambas diferentes de la matriz nula y ¹ 1 = 0. Luego la proposición es falsa en general. Observación. El producto de dos matrices ¹ 1 sólo es posible cuando el número de columnas de ¹ es el mismo que el número de …las 1. No hay ley conmutativa para el producto matricial, en general ¹1 ,= 1¹. puede ocurrir que ¹1 está de…nida pero no 1¹. o que estando ambas de…nidas, éstas sean diferentes. Ejemplo 6 Sean ¹ = _ 1 ÷3 2 1 _ y 1 = _ 1 10 1 1 _ 2 : _ ¹1 = _ 1 ÷3 2 1 _ _ 1 10 1 1 _ 2 : _ = _ ÷2 10 ÷3 _ 2 1 ÷3: 3 20 + _ 2 2 +: _ y 1¹ = _ 1 10 1 1 _ 2 : _ 23 _ 1 ÷3 2 1 _ 22 no está de…nido. Luego no tiene sentido pregun- tarnos por la propiedad conmutativa. Ejemplo 7 Sean ¹ = _ 1 ÷3 2 1 _ y 1 = _ 1 10 1 _ 2 _ ¹1 = _ 1 ÷3 2 1 _ _ 1 10 1 _ 2 _ = _ ÷2 10 ÷3 _ 2 3 20 + _ 2 _ y 1¹ = _ 1 10 1 _ 2 _ _ 1 ÷3 2 1 _ = _ 21 7 1 + 2 _ 2 ÷3 + _ 2 _ . En este caso, existen ¹1 y 1¹. pero son diferentes. Observación. Para que dos matrices ¹ y 1 sean sumables y multiplicables es necesario que sean cuadradas y de igual orden. Por otra parte para que estén de…nidos los productos ¹1 y 1¹ la condición general es que las matrices sean de orden :: y : :. De…nición 6 Decimos que las matrices ¹ y 1 conmutan si y sólo si ¹1 = 1¹ De…nición 7 Llamamos matriz identidad o unitaria de orden : a la matriz cuadrada de orden : de…nida por 1 = 1 n = [o ij ] = _ ¸ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 1 0 . . . . . . . . . 0 0 1 _ ¸ ¸ ¸ _ donde o ij = _ 1 si i = , 0 si i ,= , El símbolo o ij es llamado “Delta de Kronecker”. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 10 CAPÍTULO 1. MATRICES Teorema 8 Si cada suma y producto indicado existe, se cumple: 1. ¹(1C) = (¹1)C. 2. (¹ + 1)C = ¹C + 1C. 3. 1(1 + 1) = 11 + 11. 4. ¹1 n = ¹. 1 m ¹ = ¹. donde ¹ es de orden ::. Ejemplo 8 Dadas ¹. 1. C y 1 matrices cuadradas del mismo orden : tales que ¹1 = 1 y C1 = 1. Resuelva la ecuación matricial (1 + C)1 ÷1A = C + 1 Desarrollo. (1 + C)1 ÷1A = C + 1 Por distribución, 11 + C1 ÷1A = C + 1 Reemplazando, 11 + 1 ÷1A = C + 1 Sumando inverso aditivo, ÷1A = C + 1 ÷11 ÷1 cancelando, ÷1A = C ÷11 multiplicando por -1, 1A = ÷C + 11 multiplicando por izquierda por ¹. ¹(1A) = ¹(11 ÷C) Distributividad y Asociatividad, (¹1) A = (¹1)1 ÷¹C Reemplazando, 1A = 11 ÷¹C Identidad. Así, obtenemos A = 1 ÷¹C Corolario 9 Sean ¹ y 1 matrices tales que ¹1 existe entonces: 1. El coe…ciente c ij (¹1) de ¹1 es el producto matricial de la …la i de ¹ y la columna , de 1. es decir, c ij (¹1) = , i (¹) c j (1) . 2. La columna , de ¹1 es el producto matricial de ¹ y la columna , de 1. es decir, c j (¹1) = ¹ c j (1) . 3. La …la i de ¹1 es el producto matricial de la …la i de ¹ y 1. es decir, , i (¹1) = , i (¹) 1. De…nición 10 Si ¹ es una matriz cuadrada de orden :. Se de…ne, por recurrencia, la potencia de una matriz ¹ 0 = 1 n ¹ k+1 = ¹ k ¹ con / ¸ N 0 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.1. ÁLGEBRA DE MATRICES 11 Observación. Nótese que para de…nir potencia no es necesaria la propiedad conmutativa, sin embargo, la propiedad asociativa es imprescindible Ejemplo 9 Dada la matriz ¹ = _ 1 2 0 ÷1 _ . entonces podemos calcular sus potencias ¹ 0 = _ 1 0 0 1 _ . ¹ 1 = _ 1 2 0 ÷1 _ . ¹ 2 = ¹ ¹ = _ 1 2 0 ÷1 _ _ 1 2 0 ÷1 _ = _ 1 0 0 1 _ . ¹ 3 = ¹ 2 ¹ = 1 2 ¹ = ¹. Ejemplo 10 Dada la matriz ¹ = _ 1 2 ÷1 ÷1 _ . entonces podemos calcular sus potencias ¹ 0 = _ 1 0 0 1 _ . ¹ 1 = _ 1 2 ÷1 ÷1 _ . ¹ 2 = _ 1 2 ÷1 ÷1 _ _ 1 2 ÷1 ÷1 _ = _ ÷1 0 0 ÷1 _ . ¹ 3 = ¹ 2 ¹ = ÷1 2 ¹ = ÷¹. ¹ 4 = ¹ 3 ¹ = ÷¹ ¹ = ÷¹ 2 = 1 2 . De…nición 11 Si ¹ es una matriz cuadrada de orden : y j(r) = m i=0 c i r i un polinomio con coe…cientes en K, entonces se de…ne j evaluado en ¹ como j(¹) = m i=0 c i ¹ i Observación. Note que, en la evaluación el coe…ciente c 0 (término constante) se reemplaza por c 0 1 n . Esta de…nición no es trivial, entenderemos su importancia en el último capítulo de este libro. Ejemplo 11 Dada la matriz ¹ = _ 1 2 0 ÷1 _ y el polinomio j(r) = r 3 + 3r + 1. Calcular j(¹). Usando los cálculos obtenidos en el ejemplo 9 y reemplazando, obtenemos: j(¹) = _ 1 2 0 ÷1 _ 3 + 3 _ 1 2 0 ÷1 _ + 1 2 = _ 1 2 0 ÷1 _ + _ 3 6 0 ÷3 _ + _ 1 0 0 1 _ = _ 5 8 0 ÷3 _ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 12 CAPÍTULO 1. MATRICES Ejemplo 12 Dada la matriz ¹ = _ 1 2 ÷1 ÷1 _ y el polinomio j(r) = r 5 ÷3r 2 +2. Calcular j(¹). Usando los resultados obtenidos en el ejemplo 10 y reemplazando, tenemos: j(¹) = _ 1 2 ÷1 ÷1 _ 5 ÷3 _ 1 2 ÷1 ÷1 _ 2 + 21 2 = _ 1 2 ÷1 ÷1 _ + _ 3 0 0 3 _ + _ 2 0 0 2 _ = _ 6 2 ÷1 4 _ . De…nición 12 Sea ¹ = [c ij ] una matriz cuadrada de orden : entonces: a) ¹ es una matriz diagonal si y sólo si c ij = 0, si i ,= ,. Escribimos 1[c 11 . c 22 . c 33 . ..... c nn ] = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ c 11 0 0 0 0 c 22 0 0 0 0 c 33 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 c nn _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ b) ¹ es una matriz antidiagonal si y sólo si c ij = 0 si i + , ,= : + 1. Escribimos: 1o _ c n1 . c (n1)2 . c (n2)3 . .... c 1n ¸ = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 0 0 c 1n . . . . . . . . . . . . 0 0 c (n2)3 0 0 c (n1)2 0 . . . c n1 0 0 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ c) ¹ es una matriz tridiagonal si y sólo si c ij = 0 si (i , + 1 ó i < , ÷1) . d) ¹ es una matriz triangular superior si y sólo si c ij = 0 si i , (o sea, todo elemento bajo la diagonal principal es cero) e) ¹ es una matriz triangular inferior si y sólo si c ij = 0 si i < , (o sea, todo elemento sobre la diagonal principal es cero) f) Particularmente ¹ es una matriz triangular estrictamente superior o triangular estricta- mente inferior si y sólo si (c ij = 0 para i > , ó i 6 ,), respectivamente. Ejemplo 13 Las siguientes matrices las podemos clasi…car, según la de…nición anterior como: 1 = _ _ ÷2 0 0 1 0 0 3 0 7 _ _ es una matriz triangular inferior, jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.1. ÁLGEBRA DE MATRICES 13 l = _ _ 0 ÷2 3 0 0 7 0 0 0 _ _ es una matriz triangular estrictamente superior, ¹ = _ ¸ ¸ _ 1 2 0 0 ÷1 0 3 0 0 0 0 7 0 0 2 1 _ ¸ ¸ _ es una matriz tridiagonal en ` 4 . Ejemplo 14 Sean ¹. 1 en ` n matrices triangulares superiores. Probar que ¹1 es una matriz triangular superior. Desarrollo. Sean ¹ = [c ij ], 1 = [/ ij ] . ¹1 = [c ij ] . Debemos probar que c ij = n k=1 c ik / kj = 0 si i ,. Sea i , tenemos c ij = i1 k=1 c ik / kj + n k=i c ik / kj pero c ik = 0 si / = 1. .... (i ÷1), ya que ¹ es una matriz triangular superior, luego la primera parte de la suma es nula. También / kj = 0 si / = i. .... : debido a que 1 es triangular superior. Luego la suma (2) es nula. De lo anterior ¹1 es una matriz triangular superior ya que c ij = 0 si i ,. Ejemplo 15 Determinar para que matrices cuadradas se cumple la igualdad ¹ 2 ÷1 2 = (¹ + 1)(¹ ÷1). Desarrollo. Esta igualdad es verdadera, cuando las matrices ¹ y 1 conmutan, ya que (¹ + 1)(¹ ÷1) = (¹ + 1)(¹ + (÷1)1) = (¹ + 1)¹ + (¹ + 1)(÷1)1 = ¹ 2 + 1¹ + (÷1)(¹1 + 1 2 ) = ¹ 2 ÷1 2 + 1¹ ÷¹1. Luego, ¹ 2 ÷1 2 = (¹ + 1)(¹ ÷1) == 1¹ ÷¹1 = 0 == 1¹ = ¹1. Ejercicio 16 Determinar la forma más general de dos matrices cuadradas de orden 2 no diagonales que conmuten. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 14 CAPÍTULO 1. MATRICES Desarrollo. Sean ¹ = _ c / c d _ ; 1 = _ r ¸ . n _ las matrices pedidas. Entonces ¹1 = 1¹ = _ _ _ /. = c¸ (1) (c ÷d)¸ = /(r ÷n) (2) (c ÷d). = c(r ÷n) (3) Como ¹ y 1 son no diagonales, entonces / ,= 0 ó c ,= 0; ¸ ,= 0 ó . ,= 0 Caso I Supongamos que c ,= 0. luego en (1) tenemos que . ,= 0.de lo contrario, si . = 0 entonces ¸ = 0 a) Si c = d entonces r = n / c = ¸ . = t Así obtenemos que las matrices son ¹ = _ c ct c c _ . 1 = _ r .t . r _ donde c. r. t son números reales cualesquiera, c. . son no nulos. b) Si c ,= d entonces r ,= n además r ÷n c ÷d = . c = t luego . = tc y de (1) ¸ = t/. además, si usamos el cambio de variable n = c ÷d entonces tn = r ÷n Resumiendo tenemos r = tn + n ¸ = t/ . = tc matricialmente obtenemos ¹ = _ n + d / c d _ . 1 = _ tn + n t/ tc n _ donde /. d. nson números reales cualesquiera y t. n. c son no nulos. Caso II Si c = 0 entonces / ,= 0. . = 0. ¸ ,= 0. Si usamos el cambio de variable t = ¸ / . obtenemos ¸ = t/ además, si de…nimos n = c ÷d entonces tn = r ÷n. así obtenemos ¹ = _ n + d / 0 d _ . 1 = _ tn + n t/ 0 n _ donde d. nson números reales cualesquiera y t. n. / son no nulos jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.1. ÁLGEBRA DE MATRICES 15 Resumiendo ¹ = _ c ct c c _ . 1 = _ r .t . r _ con c. r. t ¸ R c. . ¸ R ó ¹ = _ n + d / c d _ . 1 = _ tn + n t/ tc n _ con /. c. d. n ¸ R t. n ¸ R . De…nición 13 Sea ¹ una matriz de orden :: a) Trasponer una martiz ¹ de orden :: consiste en intercambiar sus …las por sus colum- nas, respetando la secuencia. La matriz resultante se llama traspuesta de ¹, es de orden : : y se anota ¹ t . Es decir, si ¹ = [c ij ] entonces ¹ t = [c ji ], donde el ele- mento ubicado en la …la i y la columna , de ¹, aparece en la …la , y la columna i de ¹ t b) Si una matriz es igual a su traspuesta se dice simétrica. c) Si una matriz es igual al inverso aditivo (negativo) de su traspuesta se dice antisimétrica. Observación. Una matriz ¹ simétrica o antisimétrica debe ser cuadrada, por ejemplo: 1 n es simétrica; 0 n es simétrica y antisimétrica. Observación. Si ¹ es antisimétrica, entonces los coe…cientes de la diagonal principal de ¹ son todos ceros. Ejemplo 17 Sea ¹ = _ _ 3 ÷3 ÷1 7 _ 2 1 _ _ . Determinar la traspuesta de ¹ y decidir si es simétrica o antisimétrica. Desarrollo. La traspuesta esta dada por ¹ t = _ 3 ÷1 _ 2 ÷3 7 1 _ y ¹ no es simétrica ni antisimétrica. Ejemplo 18 Determinar si las siguientes matrices son simétricas o antisimétricas. 1. 1 = _ _ 2 ÷1 3 ÷1 7 2 3 2 1 _ _ ; 2. C = _ _ 0 ÷1 2 1 0 1 ÷2 ÷1 0 _ _ ; jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 16 CAPÍTULO 1. MATRICES 3. 1 = _ 2 1 ÷1 0 _ ; Desarrollo. 1. 1 es simétrica ya que 1 t = 1. 2. C es antisimétrica ya que ÷C t = C. 3. 1 no es simétrica y 1 no es antisimétrica. Ejemplo 19 Sea ¹ en ` n una matriz antisimétrica. Demostrar que ¹ tiene sólo ceros en la diagonal principal. Desarrollo. Sabiendo que ¹ es antisimétrica, debemos probar que c ii = 0 \i ¸ ¦1. ....... :¦ Como ¹ = ÷¹ t . es decir, [c ij ] = [÷c ji ] \i ¸ ¦1. ..... :¦ \, ¸ ¦1. ...... :¦. El coe…ciente c ij está en la diagonal principal si y sólo si i = ,. Para dichos coe…cientes tenemos: c ii = ÷c ii \i ¸ ¦1. ....... :¦ o sea 2c ii = 0 \i ¸ ¦1. ....... :¦ luego c ii = 0 \i ¸ ¦1. ....... :¦ Ejercicio 20 Demostrar que si ¹ es simétrica y antisimétrica entonces ¹ = 0 n . Teorema 14 Sean ¹ y 1 dos matrices de orden : : y C una matriz de orden : ¡ y : ¸ K entonces se cumple: 1. (¹C) t = C t ¹ t . 2. (¹ + 1) t = ¹ t + 1 t . 3. (:¹) t = :¹ t = (¹:) t ; :¹C = ¹(:C) = (¹C):. 4. (¹ t ) t = ¹. 5. La suma y producto escalar de matrices simétricas resultan simétricas. 6. El producto de matrices simétricas es simétrico si y sólo si las matrices conmutan jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.2. INVERSIÓN DE MATRICES 17 De…nición 15 Una submatriz de una matriz ¹. es una matriz que se obtiene a partir de ¹ eliminando algunas (no todas) …las y/o columnas. Observación. Las …las y columnas de una matriz son ejemplos importantes de submatrices de ésta. Ejercicios: 1. Sean ¹ = _ 2 1 1 2 _ . 1 = _ 3 0 1 c _ . C = _ ÷2 ÷5 3 6 _ y j(r) = (r ÷3)(r ÷1). a) Calcular j(¹) y j(C). b) Calcular ¹C 2 ¹ c) Determinar el valor “c" tal que j(1) = 0 2. Sean ¹ = _ 1 1 1 3 _ . 1 = _ 3 2 1 c _ , y j(r) = (r ÷4)(r ÷1). a) Calcular j(¹) b) Calcular ¹ 2 1¹ 2 c) Determinar el valor \c" tal que j(1) = 0 3. Dada las siguientes matrices ¹ = _ _ 2 3 1 2 4 2 3 1 20 2 ÷1 c _ _ . 1 = _ _ 1 2 2 1 1 ÷1 2 3 3 4 1 2 _ _ . C = _ 1 1 2 1 ¸ Encontrar el conjunto solución de la ecuación matricial , para cada valor de c en los reales. ¹ C t = 1 C t 1.2. Inversión de matrices 1.2.1. Operaciones elementales El estudio de las ecuaciones matriciales ¹A = 1con ¹ nm ; A mp ; 1 nq es de gran utilidad en matemáticas aplicadas, pues además de la utilidad directa por saber resolver la ecuación, en la búsqueda de la solución general, hay que enfrentar y resolver varios problemas muy frecuentes y característicos de los sistemas lineales. La ecuación ¹A = 1, en base a lo que ya hemos estudiado tiene un método natural de solución, que consiste en hacer directamente el producto ¹A, asumiendo A como una matriz de :j variables o incógnitas distintas y proceder a igualarlo término a término con 1 np . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 18 CAPÍTULO 1. MATRICES Este método reduce o transforma la ecuación matricial en j sistemas lineales cada uno de ellos con : ecuaciones y : incógnitas. Sin embargo es posible concebir otras alternativas de desarrollo para el mismo problema. Una de estas, es tratar de modi…car la ecuación ¹A = 1, transformándola en otra, que sea equivalente a la anterior, pero que sea más simple o de desarrollo más evidente. Particularmente importante es el caso en que ¹ es cuadrada, pues pensando en forma análoga a la resolución de una ecuación en una variable en R. tenemos que encontrar una matriz ¹ de modo que cumpla con ¹ ¹ = 1 n y así al multiplicar la ecuación ¹A = 1 por ¹ . obtenemos ¹ ¹A = ¹ 1 de donde 1 n A = ¹ 1. o sea, A = ¹ 1. En este desarrollo tenemos que ¹ es una matriz que actúa sobre ¹, tal como lo hace c 1 sobre c en R÷¦0¦; en otras palabras, la matriz ¹ es la matriz “inversa” de ¹, respecto del producto de matrices. Precisamente, esta parte del texto, esta destinada a estudiar la inversa de una matriz ¹, tanto en lo relativo a su existencia como a su determinación o cálculo. Por otra parte, también nos interesa estudiar ciertas tansformaciones aplicables a las matrices ¹ y 1 que preservan (no alteran) el conjunto de las soluciones de la ecuación ¹A = 1 y que son de gran utilidad para resolver tanto Ecuaciones Matriciales de la forma ¹A = 1 como Sistemas de Ecuaciones en general. De…nición 16 Sean ¹. 1 en ` n a) Se dice que 1 es la matriz inversa de ¹ en ` n si y sólo si ¹1 = 1¹ = 1 n b) Una matriz se dice regular (invertible, no singular) si y sólo si existe la inversa de ella. c) Una matriz se dice singular si no es regular. Notación. Si ¹ es regular, anotamos ¹ 1 para la inversa de ¹. Proposición 17 Si existe una inversa de ¹ en ` n ella es única. Demostración. Sean 1 y H dos inversas de ¹, entonces 1 = 11 = 1(¹H) = (1¹)H = 1H = H Así obtenemos que 1 = H luego la inversa es única. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.2. INVERSIÓN DE MATRICES 19 Proposición 18 Dada ¹ en ` n . Si existe 1 en ` n tal que ¹1 = 1 n entonces 1¹ = 1 n . La demostración de esta proposición se verá más adelante. De acuerdo a esto para determinar ¹ 1 basta resolver una de las ecuaciones ¹A = 1 n ó A¹ = 1 n . Observación. No toda matriz de orden : tiene inversa. Por ejemplo para : = 2 y ¹ = _ c 0 c 0 _ . Supongamos que 1 = _ r . ¸ t _ es la inversa de ¹. tenemos que 1¹ = 1 n . pero _ r . ¸ t _ _ c 0 c 0 _ = _ rc + .c 0 ¸c + tc 0 _ luego 1¹ ,= 1 n para toda matriz 1. Más adelante en ` n se demuestra: Si una matriz de orden : tiene una …la o columna nula, entonces ella no tiene inversa. Ejemplo 21 Si ¹ = _ 0 1 ÷1 3 _ . Veri…que que ¹ 1 = _ 3 ÷1 1 0 _ Solución. _ 0 1 ÷1 3 _ _ 3 ÷1 1 0 _ = _ 3 0 + 1 1 (÷1) 0 + 0 1 3 (÷1) + 3 1 (÷1) (÷1) + 3 0 _ = _ 1 0 0 1 _ . Ejemplo 22 Si ¹ = _ _ 0 1 2 ÷1 3 0 1 ÷2 1 _ _ . Veri…que que ¹ 1 = _ _ ÷3 5 6 ÷1 2 2 1 ÷1 ÷1 _ _ . y resuelva la ecuación ¹ _ _ r ¸ . _ _ = _ _ / 1 / 2 / 3 _ _ . para / 1 . / 2 . / 3 en R Solución. ¹ 1 es inversa de ¹ si sólo si ¹ ¹ 1 = ¹ 1 ¹ = 1 n jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 20 CAPÍTULO 1. MATRICES ¹ 1 ¹ = _ _ ÷3 5 6 ÷1 2 2 1 ÷1 ÷1 _ _ _ _ 0 1 2 ÷1 3 0 1 ÷2 1 _ _ = _ _ ÷5 + 6 ÷3 + 5 ÷12 ÷6 + 6 ÷2 + 2 ÷1 + 6 ÷4 ÷2 + 2 1 ÷1 1 ÷3 + 2 2 ÷1 _ _ = _ _ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 _ _ . por lo tanto ¹ 1 es inversa de ¹. Ahora premultiplicamos por ¹ 1 la ecuación ¹ _ _ r ¸ . _ _ = _ _ / 1 / 2 / 3 _ _ Así obtenemos ¹ 1 ¹ _ _ r ¸ . _ _ = ¹ 1 _ _ / 1 / 2 / 3 _ _ y luego asociando e igualando ¹ 1 ¹ = 1. tenemos que _ _ r ¸ . _ _ = _ _ ÷3 5 6 ÷1 2 2 1 ÷1 ÷1 _ _ _ _ / 1 / 2 / 3 _ _ por lo tanto r = ÷3/ 1 + 5/ 2 + 6/ 3 ¸ = ÷/ 1 + 2/ 2 + 2/ 3 . = / 1 ÷/ 2 ÷/ 3 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.2. INVERSIÓN DE MATRICES 21 Teorema 19 Si ¹ y 1 en ` n son regulares, entonces 1. ¹ 1 es regular y (¹ 1 ) 1 = ¹. 2. ¹1 es regular y (¹1) 1 = 1 1 ¹ 1 Demostración. 1. Sabemos que ¹¹ 1 = ¹ 1 ¹ = 1. por lo tanto, la inversa de ¹ 1 es ¹, y también la inversa de ¹ 1 es (¹ 1 ) 1 . y como ella es única tenemos, (¹ 1 ) 1 = ¹ 2. Como ¹ y 1 son regulares entonces existen ¹ 1 . 1 1 . Así, (¹1)1 1 ¹ 1 = ¹(11 1 )¹ 1 = ¹¹ 1 = 1 y análogamente 1 1 ¹ 1 (¹1) = 1, por unicidad de la inversa se tiene (¹1) 1 = 1 1 ¹ 1 . Observación. Note que si ¹. 1. C son matrices regulares, entonces (¹1C) 1 = C 1 1 1 ¹ 1 Ejemplo 23 Dada la matriz ¹ = _ c / c d _ en ` 2 . Determinar la matriz inversa de ¹. si ésta existe. Desarrollo. Supongamos que ¹ 1 = _ r ¸ . n _ y calculemos las constantes r. ¸. .. n _ c / c d _ _ r ¸ . n _ = _ 1 0 0 1 _ por igualdad de matrices tenemos el siguiente sistema: 1) cr + /. = 1 2) cr + d. = 0 3) c¸ + /n = 0 4) c¸ + dn = 1 . Consideremos los sistemas (I) 1) cr + /. = 1 2) cr + d. = 0 (II) 3) c¸ + /n = 0 4) c¸ + dn = 1 En (I) Multiplicamos la ecuación 1) por c y la ecuación 2) por c y …nalmente restando a la ecuación 2) la ecuación 1) obtenemos cd. ÷c/. = ÷c (cd ÷c/). = ÷c jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 22 CAPÍTULO 1. MATRICES Repitiendo el proceso tenemos que multiplicar la ecuación 1) por d y la ecuación 2) por / y realizando la diferencia se tiene, (cd ÷c/)r = d. En (II) procediendo de manera análoga obtenemos (cd ÷c/)¸ = ÷/ (cd ÷c/)n = c Si cd ÷/c = 0. la matriz original es nula, luego no tiene inversa. Así cd ÷/c ,= 0 y podemos concluir _ r ¸ . n _ = 1 cd ÷/c _ d ÷/ ÷c c _ de otra manera _ c / c d _ 1 = 1 cd ÷/c _ d ÷/ ÷c c _ . El ejercicio permite determinar una condición necesaria y su…ciente para que una matriz de orden 2 sea invertible. Lamentablemente el método empleado para matrices de orden : mayor que 2 no es e…ciente, ya que tenemos que resolver :sistemas lineales con : ecuaciones y : incógnitas. Estudiamos a continuación ciertas operaciones realizables a las matrices, semejantes a las empleadas para resolver el sistema de ecuaciones lineales anterior. De…nición 20 Dada una matriz ¹ de orden : :. Llamaremos Operaciones Elementales Filas (OEF) sobre ¹ a cada una de las siguientes operaciones con …las de la matriz ¹. 1. Denotamos 1 ij al intercambio solamente de la …la i con la …la ,. 2. Denotamos 1 i (:) al reemplazo de la …la i por : veces la …la i. con : ,= 0. 3. Denotamos 1 ij (/) al reemplazo de la …la i por la suma de la …la i más / veces la …la ,. con i ,= ,. 4. Denotamos C ij al intercambio solamente de la columna i con la columna ,. 5. Denotamos C i (:) al reemplazo de la columna i por : veces la columna i. con : ,= 0. 6. Denotamos C ij (/) al reemplazo de la columna i por la suma de la columna i más / veces la columna ,. con i ,= ,. Notación. Si ¹. 1 son matrices de orden :: y 1 se obtiene desde la matriz ¹ efectuando sobre ésta la operación elemental 1. entonces anotamos ¹ E ~ 1 o ¹ E ÷÷ 1 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.2. INVERSIÓN DE MATRICES 23 Ejemplo 24 Sea ¹ = _ _ ÷1 ÷2 ÷1 2 0 4 3 7 2 5 0 ÷1 _ _ ejempli…quemos las distintas operaciones elementales ¹ C 13 (÷2) ÷÷ _ _ 1 ÷2 ÷1 2 ÷6 4 3 7 2 5 0 ÷1 _ _ 1 31 (÷2) ÷÷ _ _ 1 ÷2 ÷1 2 ÷6 4 3 7 0 9 2 ÷5 _ _ 1 21 (6) ÷÷ _ _ 1 ÷2 ÷1 2 0 ÷8 ÷3 19 0 9 2 ÷5 _ _ C 2 ( 1 8 ) ÷÷ _ _ 1 1 4 ÷1 2 0 1 ÷3 19 0 9 8 2 ÷5 _ _ Observación. A partir de la matriz identidad podemos formar las siguientes matrices no- tables. _ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 _ ¸ ¸ _ C 13 (÷2) ÷÷ _ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 0 1 0 0 ÷2 0 1 0 0 0 0 1 _ ¸ ¸ _ = 1 31 (÷2) _ _ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 _ _ 1 31 (÷2) ÷÷ _ _ 1 0 0 0 1 0 ÷2 0 1 _ _ = 1 31 (÷2) _ _ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 _ _ 1 21 (6) ÷÷ _ _ 1 0 0 6 1 0 0 0 1 _ _ = 1 21 (6) _ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 _ ¸ ¸ _ C 2 (÷ 1 8 ) ÷÷ _ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 0 ÷ 1 8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 _ ¸ ¸ _ = 1 22 (÷ 1 8 ) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 24 CAPÍTULO 1. MATRICES que para el ejemplo anterior cumple con _ _ ÷1 ÷2 ÷1 2 0 4 3 7 2 5 0 ÷1 _ _ _ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 0 1 0 0 ÷2 0 1 0 0 0 0 1 _ ¸ ¸ _ = _ _ 1 ÷2 ÷1 2 ÷6 4 3 7 2 5 0 ÷1 _ _ _ _ 1 0 0 0 1 0 ÷2 0 1 _ _ _ _ 1 ÷2 ÷1 2 ÷6 4 3 7 2 5 0 ÷1 _ _ = _ _ 1 ÷2 ÷1 2 ÷6 4 3 7 0 9 2 ÷5 _ _ _ _ 1 0 0 6 1 0 0 0 1 _ _ _ _ 1 ÷2 ÷1 2 ÷6 4 3 7 0 9 2 ÷5 _ _ = _ _ 1 ÷2 ÷1 2 ÷6 4 3 7 0 9 2 ÷5 _ _ _ _ 1 ÷2 ÷1 2 ÷6 4 3 7 0 9 2 ÷5 _ _ _ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 0 ÷ 1 8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 _ ¸ ¸ _ = _ _ 1 1 4 ÷1 2 0 1 ÷3 19 0 9 8 2 ÷5 _ _ …nalmente _ _ 1 0 0 6 1 0 0 0 1 _ _ _ _ 1 0 0 0 1 0 ÷2 0 1 _ _ _ _ ÷1 ÷2 ÷1 2 0 4 3 7 2 5 0 ÷1 _ _ _ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 0 1 0 0 ÷2 0 1 0 0 0 0 1 _ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 0 ÷ 1 8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 _ ¸ ¸ _ _ _ 1 1 4 ÷1 2 0 1 ÷3 19 0 9 8 2 ÷5 _ _ De…nición 21 Una Matriz Elemental (ME) de orden : es la matriz identidad 1 n luego de efectuarle una operación elemental …la y la anotaremos del siguiente modo 1 n F ij ÷ 1 ij 1 n F ij (k) ÷ 1 ij (/) 1 n F i (r) ÷ 1 ii (:) Ejemplo 25 Algunas matrices elementales de orden 3. _ _ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 _ _ F 12 ÷ _ _ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 _ _ = 1 12 _ _ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 _ _ F 23 (k) ÷ _ _ 1 0 0 0 1 / 0 0 1 _ _ = 1 23 (/) _ _ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 _ _ F 3 (r) ÷ _ _ 1 0 0 0 1 0 0 0 : _ _ = 1 33 (:) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.2. INVERSIÓN DE MATRICES 25 Teorema 22 Sea ¹ matriz de orden ::. si denotamos por 1(¹) la matriz de orden :: resultante de actuar sobre ¹ la operación elemental 1, se tiene 1. 1(¹) = 1 ij ¹. donde 1 es 1 ij . 2. 1(¹) = 1 ii (:) ¹. donde 1 es 1 i (:). : ,= 0 3. 1(¹) = 1 ij (/) ¹. donde 1 es 1 ij (/). 4. 1(¹) = ¹ 1 ij . donde 1 es C ij . 5. 1(¹) = ¹ 1 ii (:). donde 1 es C i (:). : ,= 0 6. 1(¹) = ¹ 1 ji (/). donde 1 es C ij (/). Observación. El teorema anterior se puede generalizar del siguiente modo. Teorema 23 Sean ¹. 1 matrices de orden ::. si desde ¹ se llega a 1 con operaciones elementales …las o columnas, que enumeramos por orden de ejecución, distinguiendo …las de columnas, entonces existen Matrices Elementales …las 1 1 . 1 2 . . 1 t de orden : : y existen Matrices Elementales columnas 1 0 1 . 1 0 2 . . 1 0 s de orden (:. :) tales que (1 t 1 t1 1 2 1 1 ) ¹ _ 1 0 1 1 0 2 1 0 s1 1 0 s _ = 1 Observación. En las condiciones del teorema anterior tenemos que existen matrices 1. Q tal que 1¹Q = 1 en los próximos teoremas se demostrará que estas matrices son regulares. Teorema 24 Toda Matriz Elemental es regular 1. 1 1 ij = 1 ij 2. 1 1 ii (:) = 1 ii (: 1 ). con : ,= 0 3. 1 1 ij (/) = 1 ij (÷/). con i ,= , Observación. Teniendo presente los teoremas anteriores tenemos que toda matriz que se pueda escribir como producto de matrices elementales es regular. De…nición 25 Sean ¹. 1 matrices en ` mn . 1. Se dice que ¹ es Equivalente por Fila a 1 si y sólo si 1 se obtiene por un número …nito de operaciones elementales …las. en tal caso se denota por ¹ F ÷÷ 1. 2. Se dice que ¹ es Equivalente por Columna a 1 si y sólo si 1 se obtiene desde ¹ por un número …nito de operaciones elementales columnas en tal caso se denota por ¹ C ÷÷ 1. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 26 CAPÍTULO 1. MATRICES 3. Se dice que ¹ es Equivalente a 1 si y sólo si 1 se obtiene desde ¹ por un número …nito de operaciones elementales en tal caso se denota por ¹ ÷÷ 1. Observación. ¹ es equivalente por …la a 1 implica que existe una matriz regular 1 tal que 1¹ = 1. ¹ es equivalente por Columna a 1 implica que existe una matriz regular Q tal que ¹Q = 1. ¹ es equivalente a 1 implica que existen dos matrices regulares 1. Q tal que 1¹Q = 1. Teorema 26 En ` mn la relación F ÷÷ tiene las siguientes propiedades: Es re‡exiva: Para toda ¹ ¸ ` mn se tiene F ¹ ÷÷ ¹ Es simétrica: Para toda ¹. 1 ¸ ` mn . Si F ¹ ÷÷ 1 entonces F 1 ÷÷ ¹. Es transitiva: Para toda ¹. 1. C ¸ ` mn . Si F ¹ ÷÷ 1 y F 1 ÷÷ C entonces F ¹ ÷÷ C. Teorema 27 Sea ¹ en ` n . 1. Si ¹ es equivalente por …la a la identidad, F ¹ ÷÷ 1 n . entonces ¹ es producto de matrices elementales. 2. Si ¹ es producto de matrices elementales entonces ¹ es regular. 3. Si ¹ es equivalente por columna a la identidad, C ¹ ÷÷ 1 n . entonces ¹ es producto de matrices elementales. 4. Si ¹ es equivalente a la identidad, ¹ ÷÷ 1 n . entonces ¹ es producto de matrices elementales. 5. Si ¹ es regular entonces ¹ es equivalente por …la a la identidad. Corolario 28 Las siguientes proposiciones son equivalentes: 1. ¹ es equivalente por …la a la identidad. 2. ¹ es producto de matrices elementales. 3. ¹ es regular. Corolario 29 Sean ¹. 1 matrices cuadradas de orden :. 1. Si ¹ es singular y ¹ F ÷÷ 1. entonces 1 es singular. 2. Si ¹ es singular y ¹ C ÷÷ 1. entonces 1 es singular. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.2. INVERSIÓN DE MATRICES 27 3. Si ¹ es singular y ¹ ÷÷ 1. entonces 1 es singular. Demostración. Por transitividad de la implicancia tenemos que ¹ es regular == ¹ F ÷÷ 1 n lo cual es equivalente ¹ no es equivalente por …la 1 n == ¹ es singular. Usando la simetría y transitividad de la equivalencia por …la tenemos que 1 no es equi- valente por …la a la Identidad, luego 1 es singular. Observación. El teorema anterior nos entrega un método para determinar la inversa de una matriz regular mediante operaciones elementales. Construyamos una nueva matriz de orden : (2:) dada por [¹[1 n ] y realizemos sobre ella las operaciones elementales necesarias para obtener a partir de ¹la matriz identidad, es decir [¹[1 n ] ÷÷ [1 n [1] entonces en 1 tenemos efectuadas todas las operaciones que se realizarón a ¹. y por lo tanto 1¹ = 1 n luego 1 = ¹ 1 Si operamos por columnas, entonces el procedimiento es análogo pero actuando sobre la matriz de orden (2:) :. dada por _ ¹ 1 n _ y recordando que la matriz elemental columna post-multiplica a ¹. Aún no disponemos de un método que permite saber anticipadamente si una matriz es regular o singular. Teorema 30 Si ¹ es una matriz de orden : con una …la o columna de ceros, entonces ¹ es singular. Demostración. a) Supongamos que , i (¹) = 0 y como para cualquier 1 ¸ ` n se tiene , i (¹1) = , i (¹)1 = 01 = 0. entonces ¹1 ,= 1 n . para cualquier 1 ¸ ` n . por lo tanto ¹ no es regular. b) Supongamos que c j (¹) = 0 y como para cualquier 1 ¸ ` n se tiene c j (1¹) = 1c j (¹) = 10 = 0. entonces 1¹ ,= 1 n . para cualquier 1 ¸ ` n . por lo tanto ¹ no es regular. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 28 CAPÍTULO 1. MATRICES Corolario 31 Sean ¹. 1 ¸ ` n . Si ¹ ÷÷ 1 y alguna …la o columna de 1 es cero entonces ¹ es singular. Ejemplo 26 Las siguientes matrices son singulares a) _ _ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 _ _ b) _ _ 1 2 0 2 ÷1 0 1 9 0 _ _ c) _ _ 1 2 ÷1 ÷2 1 3 0 0 0 _ _ Ejemplo 27 Hallar, si existe, la inversa de ¹ = _ _ 1 2 6 1 0 1 0 1 2 _ _ . Solución. Usando Operaciones Elementales Filas, determinemos la inversa de ¹. _ _ 1 2 6 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 _ _ ÷÷ 1 12 1 23 _ _ 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 1 2 6 1 0 0 _ _ _ _ 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 1 2 6 1 0 0 _ _ ÷÷ 1 31 (÷1) 1 32 (÷2) _ _ 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 1 ÷1 ÷2 _ _ _ _ 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 1 ÷1 ÷2 _ _ ÷÷ 1 23 (÷2) 1 13 (÷1) _ _ 1 0 0 ÷1 2 2 0 1 0 ÷2 2 5 0 0 1 1 ÷1 ÷2 _ _ Luego ¹ es regular y ¹ 1 = _ _ ÷1 2 2 ÷2 2 5 1 ÷1 ÷2 _ _ Ejemplo 28 Hallar. si existe, la inversa de 1 = _ _ 1 2 3 ÷1 0 5 0 1 2 _ _ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.2. INVERSIÓN DE MATRICES 29 Solución. Usando Operaciones Elementales Filas, determinemos la inversa de 1. _ _ 1 2 3 1 0 0 ÷1 0 5 0 1 0 0 1 2 0 0 1 _ _ ÷÷ 1 12 (1) _ _ 1 2 3 1 0 0 0 2 8 1 1 0 0 1 2 0 0 1 _ _ _ _ 1 2 3 1 0 0 0 2 8 1 1 0 0 1 2 0 0 1 _ _ ÷÷ 1 12 _ _ 1 2 3 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 2 8 1 1 0 _ _ _ _ 1 2 3 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 2 8 1 1 0 _ _ ÷÷ 1 12 (÷2) 1 32 (÷2) _ _ 1 0 ÷1 1 0 ÷2 0 1 2 0 0 1 0 0 4 1 1 ÷2 _ _ realizando las operaciones elementales 1 13 ( 1 4 ). 1 13 (1). 1 23 (÷1) obtenemos _ _ 1 0 ÷1 1 0 ÷2 0 1 2 0 0 1 0 0 4 1 1 ÷2 _ _ ÷÷ _ _ 1 0 0 5 4 1 4 ÷ 5 2 0 1 0 ÷ 1 2 ÷ 1 2 2 0 0 1 1 4 1 4 ÷ 1 2 _ _ Luego 1 es regular y 1 1 = _ _ 5 4 1 4 ÷ 5 2 ÷ 1 2 ÷ 1 2 2 1 4 1 4 ÷ 1 2 _ _ Ejemplo 29 Hallar. si existe, la inversa de C = _ ¸ ¸ _ 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 11 12 13 14 15 16 _ ¸ ¸ _ Solución. Usando operaciones elementales …las, calculemos la inversa de C. _ ¸ ¸ _ 1 2 3 4 1 0 0 0 5 6 7 8 0 1 0 0 0 10 11 12 0 0 1 0 13 14 15 16 0 0 0 1 _ ¸ ¸ _ ÷÷ 1 21 (÷5) 1 41 (÷13) _ ¸ ¸ _ 1 2 3 4 1 0 0 0 0 ÷4 ÷8 ÷12 ÷5 1 0 0 0 10 11 12 0 0 1 0 0 ÷12 ÷24 ÷36 ÷13 0 0 1 _ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ _ 1 2 3 4 1 0 0 0 0 ÷4 ÷8 ÷12 ÷5 1 0 0 0 10 11 12 0 0 1 0 0 ÷12 ÷24 ÷36 ÷13 0 0 1 _ ¸ ¸ _ ÷÷ 1 42 (÷3) _ ¸ ¸ _ 1 2 3 4 1 0 0 0 0 ÷4 ÷8 ÷12 ÷5 1 0 0 0 10 11 12 0 0 1 0 0 0 0 0 2 ÷3 0 1 _ ¸ ¸ _ Usando el corolario anterior, concluimos que C es singular. De…nición 32 Una matriz 1 de orden : : se dice Escalonada Reducida por Fila si y sólo si 1. El primer elemento no cero de cada …la (no nula) es 1 y la columna en que aparece es columna de la matriz identidad 1 m (los demás coe…cientes de la colunma son ceros). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 30 CAPÍTULO 1. MATRICES 2. Las …las nulas (si las hay) van abajo, es decir las primeras : columnas son no nulas y las restantes :÷: son nulas. 3. Si los unos, con que comienza cada …la no nula están en las posiciones (1. C 1 ). (2. C 2 ). (:. C r ). entonces C 1 < C 2 < < C r Observación. Las matrices Identidad y Nula son siempre matrices Escalonada Reducida por Filas Ejemplo 30 Las siguientes matrices son ejemplos de Matrices Escalonadas por Filas. 1. _ _ 1 2 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 _ _ Aquí tenemos C 1 = 1. C 2 = 4. 2. _ _ 1 2 0 0 2 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 _ _ Aquí tenemos C 1 = 1. C 2 = 3. C 3 = 4. 3. _ ¸ ¸ _ 0 1 ÷1 0 4 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 0 _ ¸ ¸ _ Aquí tenemos C 1 = 2. C 2 = 4. C 3 = 6. Teorema 33 Toda matriz ¹ de orden : : es equivalente por …la a una única matriz Escalonada Reducida por Fila 1. Demostración. La prueba que damos es “constructiva”: desarrollaremos un procedimiento ordenado para obtener la forma Escalonada Reducida por Fila de cualquier matriz no nula. 1) Consideremos c 11 . si c 11 = 0. entonces consideremos, c 21 . c 31; etc., hasta encontrar algún c i1 ,= 0. Si c 1 (¹) = 0 entonces consideremos c 12 . el primer elemento de la segunda columna, que de ser cero nuevamente nos obliga a buscar en la misma columna algún elemento no nulo. De no enconstrarse algún elemento distinto de cero en la columna 2, repetimos el procedimiento en la columna siguiente y así sucesivamente hasta encontrar algún c ij ,= 0. Tal elemento debe existir pues de lo contrario la matriz ¹sería nula. 2) Una vez localizado el primer elemnto c ij ,= 0 aplicando sobre ¹ la Operación Elemental Fila 1 i _ 1 a ij _ y luego si i ,= 1 realizamos Operación Elemental Fila 1 1i; dejando así un 1 en la posición (1. ,). 3) A la matriz ya modi…cada se le aplica las siguientes Operaciones Elementales Filas 1 k1 (÷c kj ). para todo / i. con lo cual la columna , queda reducida a un 1 en su primer posición y 0 en todos los otros lugares. 4) A continuación consideremos en las columnas siguientes el mismo proceso de busque- da, es decir, a partir de la columna , +1 y de la segunda …la. Si el coe…ciente de la posición jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.2. INVERSIÓN DE MATRICES 31 (2. , + 1) es nulo entonces reiniciamos el proceso indicado en 1), una vez encontrado el elemento no cero aplicamos 2) y 3). Volviendo así sucesivamente a 4). Observación. La demostración del teorema anterior es programable fácilmente en computa- dor. El lector con experiencia en programación , puede construir un diagrama de ‡ujo de la demostración. Ejemplo 31 Hallar la forma Escalonada Reducida por Fila de la Matriz ¹ = _ ¸ ¸ _ 0 0 0 0 1 1 1 0 2 6 2 0 0 4 0 1 3 1 1 0 1 0 1 3 1 2 1 2 _ ¸ ¸ _ Solución. Seguiremos el procedimiento de la demostración del teorema 33 Consideremos el orden de busqueda, el primer elemento no nulo es c 22 . Aplicando las Operaciones Elementales Filas 1 2 ( 1 2 ) y 1 12 obtenemos _ ¸ ¸ _ 0 1 3 1 0 0 2 0 0 0 0 1 1 1 0 1 3 1 1 0 1 0 1 3 1 2 1 2 _ ¸ ¸ _ ÷÷ 1 31 (÷1) 1 41 (÷1) _ ¸ ¸ _ 0 1 3 1 0 0 2 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 ÷1 0 0 0 0 2 1 0 _ ¸ ¸ _ Seguimos buscando en el orden establecido, el primer elemento no nulo, este es c 25 = 1 _ ¸ ¸ _ 0 1 3 1 0 0 2 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 ÷1 0 0 0 0 2 1 0 _ ¸ ¸ _ ÷÷ 1 32 (÷1) 1 42 (÷2) _ ¸ ¸ _ 0 1 3 1 0 0 2 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 ÷1 ÷2 0 0 0 0 0 ÷1 ÷2 _ ¸ ¸ _ El elemento ahora es c 36 = ÷1 _ ¸ ¸ _ 0 1 3 1 0 0 2 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 ÷1 ÷2 0 0 0 0 0 ÷1 ÷2 _ ¸ ¸ _ 1 3 (÷1) ÷÷ 1 32 (÷1) 1 42 (÷2) _ ¸ ¸ _ 0 1 3 1 0 0 2 0 0 0 0 1 0 ÷1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 _ ¸ ¸ _ Así la matriz Escalonada Reducida por Fila de ¹ es _ ¸ ¸ _ 0 1 3 1 0 0 2 0 0 0 0 1 0 ÷1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 _ ¸ ¸ _ . Corolario 34 Si ¹ es de orden : y su Escalonada Reducida por Fila 1. no tiene …las nulas entonces 1 = 1 n . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 32 CAPÍTULO 1. MATRICES Observación. Dada una matriz ¹ de orden : : podemos obtener su matriz escalonada reducida por …la 1. que tiene : …las no nulas, las cuales son columnas de la matriz 1 m . Si a 1 aplicamos Operaciones Elementales Columnas ocupando los unos de cada …la no nula, entonces tenemos _ 1 r 0 0 0 _ mn . Teorema 35 Si ¹ es una matriz de orden ::. no nula, entonces existe un entero positivo : tal que ¹ ÷÷ _ 1 r 0 0 0 _ mn . Teorema 36 Si ¹ es una matriz de orden :. entonces las siguientes tres proposiciones son equivalentes: 1. ¹ es regular 2. ¹ es equivalente por …la a la Identidad 3. ¹ es producto de matrices elementales. Demostración. Solamente probamos que (1) implica (2). Supongamos que ¹ es regular, luego podemos obtener su matriz escalonada reducida por …la 1 asociada a ¹. Si 1 tiene una …la nula entonces 1 es singular luego por corolario 31 tenemos que ¹ es singular, lo que es una contradicción. Por lo tanto 1 no tiene …las nulas y por corolario.34 tenemos que ¹ es equivalente por …la a la identidad. Teorema 37 Si ¹. 1 son matrices de orden ::. entonces: 1. ¹ es equivalente por …la a 1 si y sólo si existe una matriz regular 1 tal que 1¹ = 1. 2. ¹ es equivalente por Columna a 1 si y sólo si existe una matriz regular Q tal que ¹Q = 1. 3. ¹ es equivalente a 1 si y sólo si existen dos matrices regulares 1. Q tal que 1¹Q = 1. 4. Existe una matriz 1 regular de orden : tal que 1¹ es Escalonada Reducida por Fila de ¹. 5. Si ¹ ,= 0. entonces existen un entero positivo : y matrices 1. Q regulares tales que 1¹Q = _ 1 r 0 0 0 _ mn Teorema 38 Sean /. : enteros positivos tales que : _ mn¦:. :¦. / _ mn¦:. :¦ entonces _ 1 k 0 0 0 _ mn ÷÷ _ 1 r 0 0 0 _ mn si y sólo si / = : jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.2. INVERSIÓN DE MATRICES 33 Demostración. Si / = : entonces _ 1 k 0 0 0 _ mn = _ 1 r 0 0 0 _ mn luego _ 1 k 0 0 0 _ mn ÷÷ _ 1 r 0 0 0 _ mn . Si _ 1 k 0 0 0 _ mn ÷÷ _ 1 r 0 0 0 _ mn entonces por teorema existen matrices 1 y Qregulares tales que 1 _ 1 k 0 0 0 _ Q = _ 1 r 0 0 0 _ 1 _ 1 k 0 0 0 _ = _ 1 r 0 0 0 _ Q 1 Comparando columnas tenemos _ 1 1 1 2 1 3 1 4 _ _ 1 k 0 0 0 _ = _ 1 r 0 0 0 _ _ Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 _ _ 1 1 0 1 3 0 _ = _ Q 1 Q 2 0 0 _ Supongamos / : entonces : ÷ / < : ÷ : luego 1 3 = 0. Además 1 1 tiene más …las y columnas que Q 1 y que Q 2 luego de la igualdad se concluye que 1 1 al menos tiene una …la nula. O sea, por Teorema 10 1 1 es singular. Si 1 1 es de orden / y singular por observación del Teorema 11 sabemos que si 1 1 es su Escalonada Reducida por Fila, además 1 1 es equivalente a _ 1 s 0 0 0 _ . con lo cual obtenemos _ 1 1 1 2 1 3 1 4 _ ÷÷ _ 1 s 0 1 2 0 0 1 4 _ Luego P es equivalente a una matriz singular ya que tiene una columna nula, por lo tanto 1 es singular lo que es una contradicción. Ahora supongamos / < : entonces Q 2 = 0. Además Q 1 tiene más …las y columnas que 1 1 y que 1 2 luego de la igualdad se concluye que Q 1 al menos tiene una …la nula. _ Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 _ = _ Q 1 0 Q 3 Q 4 _ Por lo tanto Q tiene una …la nula, luego Q es singular, lo que es una contradicción. Corolario 39 Si ¹ es una matriz de orden :: no nula, entonces: 1. Existe un único entero positivo : tal que ¹ ÷÷ _ 1 r 0 0 0 _ 2. Si ¹ ÷÷ 1 y ¹ ÷÷ _ 1 r 0 0 0 _ entonces 1 ÷÷ _ 1 r 0 0 0 _ , es decir, “:" es un invariante de ¹. respecto de operaciones elementales. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 34 CAPÍTULO 1. MATRICES Observación. El Teorema 38 y corolario 39 constituye la culminación del tema de equi- valencia de matrices de nuestro texto, pues permite establecer que cada matriz ¹ mn tiene asociado un entero positivo “:” único e invariante respecto de Operaciones Elementales. De…nición 40 Sea ¹ una matriz de orden ::. se de…ne el rango de ¹ igual a : (1q(¹) = :) si y sólo si ¹ ÷÷ _ 1 r 0 0 0 _ . Observación. Haciendo uso de la de…nición anterior podemos reescribir el teorema anterior. Proposición 41 Dada ¹ una matriz de orden : ¹es regular si y sólo si 1q(¹) = : Proposición 42 Dadas ¹. 1 matrices de orden (:. :). ¹ ÷÷ 1 si y sólo si 1q(¹) = 1q(1) Ejercicios: 1. Dada las matrices ¹ = _ _ 1 3 1 2 5 3 1 2 1 _ _ . 1 = _ _ 1 3 ÷1 2 2 8 1 2 2 _ _ Determinar la Inversa de ¹ y 1 si existe. 2. Dadas las matrices ¹ = _ _ 1 2 ÷1 2 1 8 1 2 1 _ _ . 1 = _ ¸ ¸ _ 1 1 ÷1 1 2 2 8 2 1 2 2 ÷1 1 ÷1 2 1 _ ¸ ¸ _ Calcular la Inversa de ¹ y 1. si existe. 3. Sean ¹ = _ _ 1 2 ÷1 2 3 2 3 1 2 4 3 4 ÷2 1 5 _ _ . 1 = _ _ 1 2 1 ÷2 3 2 3 2 1 4 3 4 3 4 5 _ _ Determinar el Rg(¹) y Rg(1). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.3. DETERMINANTE 35 1.3. Determinante De…nición 43 Asociado con cualquier matriz cuadrada ¹ = [c ij ] de orden : de…nimos el determinante de ¹. por recurrencia, como el número obtenido del siguiente modo: 1. Si : = 1. es decir, ¹ = [c] entonces [¹[ = c 2. Si : 1. entonces [¹[ = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n . . . . . . . . . . . . c n1 c n2 c nn ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = n j=1 (÷1) 1+j c 1j [¹ 1j [ donde [¹ 1j [ es el determinante de la submatriz, de orden : ÷ 1. obtenida desde ¹ al eliminar la primera …la y la ,÷ésima columna. Ejemplo 32 Veremos los casos : = 2 y : = 3 1. ¸ ¸ ¸ ¸ c 11 c 12 c 21 c 22 ¸ ¸ ¸ ¸ = c 11 c 22 ÷c 12 c 21 2. ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = c 11 ¸ ¸ ¸ ¸ c 22 c 23 c 32 c 33 ¸ ¸ ¸ ¸ ÷c 12 ¸ ¸ ¸ ¸ c 21 c 23 c 31 c 33 ¸ ¸ ¸ ¸ + c 13 ¸ ¸ ¸ ¸ c 21 c 22 c 31 c 32 ¸ ¸ ¸ ¸ = c 11 (c 22 c 33 ÷c 32 c 23 ) ÷c 12 (c 21 c 33 ÷c 23 c 31 ) + c 13 (c 21 c 32 ÷c 31 c 22 ) = c 11 c 22 c 33 + c 12 c 23 c 31 + c 13 c 21 c 32 ÷c 11 c 32 c 23 ÷c 12 c 21 c 33 ÷c 13 c 31 c 22 Ejemplo 33 Si ¹ = 1[c 11 . c 22 . . c nn ] = _ ¸ ¸ ¸ _ c 11 0 0 0 c 22 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 c nn _ ¸ ¸ ¸ _ entonces [¹[ = c 11 c 22 c nn . Teorema 44 Sea ¹ una matriz cuadrada de orden :. 1. [¹[ = [¹ t [ . 2. Si todos los coe…cientes de cualquier …la o columna son ceros, su determinante es cero. 3. Si intercambiamos dos …las o columnas, el determinante cambia de signo. 4. Si multiplicamos por un número : todos los elementos de una …la o columna el deter- minante queda multiplicado por :. 5. Si los correspondientes coe…cientes de dos …las o columnas están en una razón constante, el determinante es cero. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 36 CAPÍTULO 1. MATRICES 6. Si expresamos cada coe…ciente de una …la o columna como la suma de dos términos, el determinante es igual a la suma de dos determinantes en cada uno de los cuales falta uno de los sumandos de cada coe…ciente de aquella …la o columna. En particular: ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ c 1 c 2 c 3 / 1 + c 1 / 2 + c 2 / 3 + c 3 d 1 d 2 d 3 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ c 1 c 2 c 3 / 1 / 2 / 3 d 1 d 2 d 3 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ + ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ c 1 c 2 c 3 c 1 c 2 c 3 d 1 d 2 d 3 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ . 7. Si se sustituye cualquier …la o columna por la suma de ella más /-veces otra …la o columna, el determinante de la matriz no cambia. 8. [1 n [ = 1 9. [1 ij [ = [C ij [ = ÷1; [1 i (:)[ = [C i (:)[ = :; [1 ij (/)[ = [C ij (/)[ = 1. con /. : escalares cualesquiera (inclusive cero). Corolario 45 Sean ¹ una matriz y 1 1 . 1 2 . matrices elementales, todas de orden :. entonces 1. [1 1 ¹[ = [1 1 [ [¹[ = [¹[ [1 1 [ = [¹1 1 [ . 2. [1 1 1 2 [ = [1 1 [ [1 2 [ = [1 2 [ [1 1 [ = [1 2 1 1 [ . 3. [¹[ = ÷[1 ij ¹[ . 4. [¹[ = [1 ij (/)¹[ . 5. [¹[ = 1 r [1 i (:)¹[ . Teorema 46 Sea ¹ una matriz cuadrada de orden :. La matriz ¹ es regular si y solamente si [¹[ , = 0. Demostración. Sea ¹ una matriz regular, por teorema 36 ¹ = 1 1 1 2 1 3 1 s Por corolario anterior tenemos [¹[ = [1 1 [ [1 2 [ [1 3 [ [1 s [ Por teorema 44, el determinante de una matriz elemental es siempre distinto de cero. Luego [¹[ , = 0. Sea 1 A la Escalonada Reducida por Fila de ¹, luego existe 1 regular tal que 1¹ = 1 A [1[ [¹[ = [1 A [ [1 A [ ,= 0. y 1 A es la matriz identidad (de lo contrario 1 A tendría una …la de ceros y [1 A [ = 0. lo que implicaría [¹[ = 0) así 1¹ = 1, esto signi…ca que ¹ es una matriz regular. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.3. DETERMINANTE 37 Teorema 47 Sean ¹. 1 matrices de orden :. [¹1[ = [¹[ [1[ Demostración. Sean ¹. 1 matrices regulares de orden : Caso I Supongamos que ¹ es regular por teorema 36 ¹ = 1 1 1 2 1 3 1 s Por corolario tenemos [¹1[ = [1 1 [ [1 2 [ [1 3 [ [1 s [ [1[ [¹1[ = [1 1 1 2 1 3 1 s [ [1[ [¹1[ = [¹[ [1[ . Caso II Supongamos que 1 es regular, por teorema 36 tenemos 1 = 1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 s Por corolario obtenemos [¹1[ = [¹[ [1 0 1 [ [1 0 2 [ [1 0 3 [ [1 0 s [ [¹1[ = [¹[ [1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 s [ [¹1[ = [¹[ [1[ . Caso III Supongamos que ¹. 1 son singulares, entonces por teorema anterior las matrices singulares tienen determinante cero. Sea 1 A la matriz escalonada reducida por …la de la matriz ¹ con la última …la nula, ¹ = 1 1 1 2 1 3 1 s 1 A . Luego [¹1[ = [1 1 [ [1 2 [ [1 3 [ [1 s [ [1 A 1[ . La última …la de 1 A 1 es nula, ya que , n (1 A 1) = , n (1 A )1 = 01 = 0. Finalmente obtenemos que [1 A 1[ = 0. y así [¹1[ = 0 = [¹[ [1[ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 38 CAPÍTULO 1. MATRICES Teorema 48 Sean i. , dos enteros positivos tales que i. , _ :. y ¹ una matriz de orden : entonces [¹[ = n k=1 (÷1) k+j c kj [¹ kj [ ,-ésima columna …ja = n k=1 (÷1) i+k c ik [¹ ik [ i-ésima …la …ja Donde ¹ ik es la submatriz que se obtiene a partir de ¹ al eliminar la i-ésima …la y la /-ésima columna. Ejemplo 34 Hallar [¹[ si ¹ = _ ¸ ¸ _ 2 2 3 0 1 0 5 ÷1 ÷7 1 2 2 2 0 1 ÷1 _ ¸ ¸ _ Solución. Desarrollando por la segunda columna [¹[ = ÷2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 5 ÷1 ÷7 2 2 2 1 ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ + 0 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 3 0 ÷7 2 2 2 1 ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 3 0 1 5 ÷1 2 1 ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ + 0 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 3 0 1 5 ÷1 ÷7 2 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 5 ÷1 ÷7 2 2 2 1 ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 3 0 1 5 ÷1 2 1 ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷2(÷8) ÷1(÷11) = 27 Ejemplo 35 Hallar [¹[ vía Operaciones elementales si ¹ = _ ¸ ¸ _ 2 2 3 0 1 0 5 ÷1 ÷7 1 2 2 2 0 1 ÷1 _ ¸ ¸ _ Solución. [¹[ = 1 13 (÷2) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 16 0 ÷1 ÷4 1 0 5 ÷1 ÷7 1 2 2 2 0 1 ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 16 ÷1 ÷4 1 5 ÷1 2 1 ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 13 (1) 1 23 (÷5) = ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 18 0 ÷5 ÷9 0 4 2 1 ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ¸ ¸ ¸ ¸ 18 ÷5 ÷9 4 ¸ ¸ ¸ ¸ = 72 ÷45 = 27 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.3. DETERMINANTE 39 De…nición 49 Dada una matriz ¹ cuadrada de orden :. se de…ne la matriz adjunta de ¹, ¹d,(¹) = _ _ (÷1) i+j [¹ ij [ _ ij _ t = _ _ (÷1) i+j [¹ ji [ _ ij _ Teorema 50 Para toda matriz ¹ de orden : se cumple ¹ ¹d,(¹) = ¹d,(¹) ¹ = [¹[ 1 n Observación. El teorema anterior permite desarrollar otro método para obtener la inversa de una matriz regular, llamado método de la adjunta. Corolario 51 Si ¹ es una matriz regular entonces ¹ 1 = 1 [¹[ ¹d,(¹). Ejemplo 36 Hallar, si existe, la inversa de ¹ por método de la adjunta. ¹ = _ _ 1 2 1 0 3 2 ÷2 0 ÷1 _ _ Desarrollo. Primero calculemos [¹[ = (÷3 + 0 ÷8) ÷(6 + 0 + 0) = ÷5 ,= 0 ¹d,(¹) = [¹ ij ] t = _ _ c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33 _ _ t donde c 11 = ¸ ¸ ¸ ¸ 3 2 0 ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷3; c 12 = ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ 0 2 ÷2 ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷4; c 13 = ¸ ¸ ¸ ¸ 0 3 ÷2 0 ¸ ¸ ¸ ¸ = 6; c 21 = ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 1 0 ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ = 2; c 22 = ¸ ¸ ¸ ¸ 1 1 ÷2 ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ = 1; c 23 = ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 2 ÷2 0 ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷4; c 31 = ¸ ¸ ¸ ¸ 2 1 ÷2 ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ = 1; c 32 = ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 1 0 2 ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷2; c 33 = ¸ ¸ ¸ ¸ 1 2 0 3 ¸ ¸ ¸ ¸ = 3; ¹d,(¹) = _ _ ÷3 ÷4 6 2 1 ÷4 1 ÷2 3 _ _ t = _ _ ÷3 2 1 ÷4 1 ÷2 6 ÷4 3 _ _ Luego ¹ 1 = 1 ÷5 ¹d,(¹) = _ _ 3 5 ÷ 2 5 ÷ 1 5 4 5 ÷ 1 5 2 5 ÷ 6 5 4 5 ÷ 3 5 _ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 40 CAPÍTULO 1. MATRICES Ejemplo 37 Hallar. si existe, la inversa de ¹ = _ _ c 0 / 0 1 0 / 0 c _ _ Calculemos su determinante [¹[ = c _ 1 0 0 c _ ÷0 _ c / / c _ + / _ 0 1 / 0 _ = c 2 ÷/ 2 [¹ 11 [ = ¸ ¸ ¸ ¸ 1 0 0 c ¸ ¸ ¸ ¸ = c; [¹ 12 [ = ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ 0 0 / c ¸ ¸ ¸ ¸ = 0; [¹ 13 [ = ¸ ¸ ¸ ¸ 0 1 / 0 ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷/ [¹ 21 [ = ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ 0 / 0 c ¸ ¸ ¸ ¸ = 0; [¹ 22 [ = ¸ ¸ ¸ ¸ c / / c ¸ ¸ ¸ ¸ = c 2 ÷/ 2 ; [¹ 23 [ = ¸ ¸ ¸ ¸ c 0 / 0 ¸ ¸ ¸ ¸ = 0; [¹ 31 [ = ¸ ¸ ¸ ¸ 0 / 1 0 ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷/; [¹ 32 [ = ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ c / 0 0 ¸ ¸ ¸ ¸ = 0; [¹ 33 [ = ¸ ¸ ¸ ¸ 1 0 0 c ¸ ¸ ¸ ¸ = c luego ¹ 1 = 1 c 2 ÷/ 2 _ _ c 0 ÷/ 0 c 2 ÷/ 2 0 ÷/ 0 c _ _ . con c 2 ÷/ 2 ,= 0 Observación. El método de la adjunta es más conveniente para invertir matrices con ele- mentos literales. Ejercicios: 1. Dadas las matrices ¹ = _ _ 1 2 ÷1 2 1 8 1 2 1 _ _ 1 = _ ¸ ¸ _ 1 1 ÷1 1 2 2 8 2 1 2 2 ÷1 1 ÷1 2 1 _ ¸ ¸ _ Calcular su Determinante. 2. Sean ¹ = _ _ 1 2 ÷1 2 3 2 3 1 2 4 3 4 ÷2 1 5 _ _ . 1 = _ _ 1 2 1 ÷2 3 2 3 2 1 4 3 4 3 4 5 _ _ Calcular el determinante de ¹1 t y 1¹ t . 3. Sean ¹ = _ _ 1 2 3 2 3 4 3 4 6 _ _ 1 = _ _ 1 2 1 3 ÷1 2 2 1 ÷3 _ _ C = _ _ 1 2 ÷1 ÷1 ÷1 2 1 5 2 _ _ Determinar la matriz Adjunta para cada una de las matrices dadas. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 41 1.4. Sistemas de Ecuaciones Lineales Recordemos que K denota uno de los siguientes cuerpos R. C o Q. Una Ecuación lineal de : variables o incógnitas es una igualdad de la forma c 1 r 1 + c 2 r 2 + c 3 r 3 + ............. + c n r n = / donde c 1 . c 2 . ............. c n y / son constantes en K y r 1 . r 2 . ........... r n son variables en K. Las constantes c 1 . c 2 . ........... c n son llamadas coe…cientes de la ecuación y las variables r 1 . r 2 . .......... r n son las incógnitas de la ecuación. Matricialmente la ecuación puede escribirse _ c 1 c 2 c n ¸ _ ¸ _ r 1 . . . r n _ ¸ _ = [/] . El conjunto solución o de la ecuación, consiste de todas las : ÷nj|c: en K (o matrices A en ` n1 (K)) tales que al sustituir por sus componentes las respectivas incógnitas, la igualdad es verdadera, es decir, o = _ ¸ _ ¸ _ (c 1 . c 2 . . c n ) ¸ K n , _ c 1 c 2 c n ¸ _ ¸ _ c 1 . . . c n _ ¸ _ = [/] _ ¸ _ ¸ _ o bién o = _ ¸ _ ¸ _ _ ¸ _ c 1 . . . c n _ ¸ _ ¸ ` n1 (K) , _ c 1 c 2 c n ¸ _ ¸ _ c 1 . . . c n _ ¸ _ = [/] _ ¸ _ ¸ _ Un sistema de ecuaciones lineales de : variables, es un conjunto …nito de ecuaciones lineales de : variables cuyas incógnitas son comunes. Así entonces c 11 r 1+ c 12 r 2 + + c 1n r n = / 1 c 21 r 1+ c 22 r 2 + + c 2n r n = / 2 . . . . . . . . . c m1 r 1+ c m2 r 2 + + c mn r n = / m o bién _ ¸ ¸ ¸ _ c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n . . . . . . . . . c m1 c m2 c mn _ ¸ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ ¸ _ r 1 r 2 . . . r n _ ¸ ¸ ¸ _ = _ ¸ ¸ ¸ _ / 1 / 2 . . . / m _ ¸ ¸ ¸ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 42 CAPÍTULO 1. MATRICES es un sistema de : ecuaciones lineales de : incógnitas. Matricialmente se escribe como ¹ mn A n1 = 1 m1 . donde ¹ es la matriz de coe…cientes, 1 es la matriz constante y A es la matriz incógnita. Otra forma de anotar un sistema de ecuaciones, es mediante una matriz aumentada, esta es [¹[1] m(n+1) donde ¹ y 1 son las matrices anteriormente de…nidas. El conjunto solución o del sistema de ecuaciones lineales es la intersección de los conjuntos soluciones de las ecuaciones lineales que lo componen. Así, o = o 1 ¨ o 2 ¨ o 3 ¨ ..... ¨ o n . donde cada o i es el conjunto solución de la i-ésima ecuación del sistema. Es importante destacar, que el conjunto solución o de un sistema de ecuaciones lineales puede ser descrito como sigue o = _ ¸ _ ¸ _ _ ¸ _ c 1 . . . c n _ ¸ _ ¸ ` n1 (K) , ¹ mn _ ¸ _ c 1 . . . c n _ ¸ _ = 1 m1 _ ¸ _ ¸ _ o bién o = _ ¸ _ ¸ _ (c 1 . . c n ) ¸ K n , ¹ mn _ ¸ _ c 1 . . . c n _ ¸ _ = 1 m1 _ ¸ _ ¸ _ Usamos indistintamente las dos formas adecuándolas a los desarrollos más cómodos del sistema y a las particularidades del problema que se esté resolviendo. De…nición 52 Diremos que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si y sólo si tienen el mismo conjunto solución. Especial importancia tienen en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, ciertas transformaciones u operaciones elementales que pueden realizarse en ellos sin que se altere el conjunto solución, o sea, de modo que el nuevo sistema obtenido sea equivalente al original. Teorema 53 Un sistema de ecuaciones lineales admite las siguientes transformaciones man- teniendo (invariante) su conjunto solución. 1. Si dos ecuaciones se intercambian. 2. Si una ecuación es multiplicada por un escalar no nulo. 3. Si una ecuación es reemplazada, por ella más / veces otra ecuación. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 43 Demostración. 1. Inmediato, por la conmutatividad de la intersección. 2. En este caso basta demostrar que la ecuación multiplicada por el escalar no nulo tiene el mismo conjunto solución que la original, hecho que es directo por las propiedades de las igualdades en K. 3. Dado el sistema c 11 r 1+ c 12 r 2 + + c 1n r n = / 1 c 21 r 1+ c 22 r 2 + + c 2n r n = / 2 . . . . . . . . . c m1 r 1+ c m2 r 2 + + c mn r n = / m Consideremos la operación elemental consistente en reemplazar la ecuación , por la suma de / veces la ecuación i más la ecuación ,. Puesto que todas las ecuaciones salvo la “,” son las mismas en ambos sistemas (el original y el transformado), será su…ciente demostrar que las soluciones de los sistemas de ecuaciones formados por las ecuaciones i y , de los sistemas original y transformado son iguales, o sea, basta demostrar que si: o 1 es solución de 1) c i1 r 1 + .................... + c in r n = / i 2) c j1 r 1 + .................... + c jn r n = / j y o 2 es solución de 1) c i1 r 1 + ............................. + c in r n = / i 3) /c i1 r 1 + c ji r 1 + .... + /c in + c jn r n = // i + / j entonces o 1 = o 2 . Por lo tanto la operación realizada en el sistema no altera el conjunto solución. Observación. Dada la correspondencia evidente entre las Operaciones Elementales Filas y las operaciones elementales de equivalencia entre sistemas de ecuaciones de este teorema se concluyen los siguientes corolarios. Corolario 54 Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si sólo si tienen matrices au- mentadas equivalentes por …la. De…nición 55 Sea ¹A = 1. un sistema de ecuaciones. Diremos que un sistema es inconsistente si y sólo si su conjunto solución es el conjunto vacío. En caso contrario diremos que el sistema es consistente. Ejemplo 38 Resolver _ 1 2 2 1 _ _ r ¸ _ = _ 1 3 _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 44 CAPÍTULO 1. MATRICES Solución. La matriz aumentada del sistema es _ 1 2 1 2 1 3 _ F 21 (2) ÷ _ 1 2 1 0 ÷3 1 _ F 2 ( 1 3 ) ÷ _ 1 2 1 0 1 ÷ 1 3 _ F 12 (2) ÷ _ 1 0 5 3 0 1 ÷ 1 3 _ Luego el conjunto solución es o = __ 5 3 . ÷1 3 __ . Ejemplo 39 Resolver _ 1 2 2 4 _ _ r ¸ _ = _ 1 3 _ Solución. La matriz aumentada del sistema es _ 1 2 1 2 4 3 _ F 21 (2) ÷ _ 1 2 1 0 0 1 _ En este caso tenemos que la segunda ecuación del sistema es 0r + 0¸ = 1 que es una contradicción. Por lo tanto, el conjunto solución es o = c Ejemplo 40 Resolver los sistemas: r + ¸ ÷. = 1 2r ÷3¸ + 2. = 2 3r ÷2¸ + . = 3 r + ¸ ÷. = 1 2r ÷3¸ + 2. = 2 3r ÷2¸ + . = 0 Solución. Se observa que ambos sistemas tienen la misma matriz de coe…cientes pero difer- entes matrices aumentadas ¹ = _ _ 1 1 ÷1 2 ÷3 2 3 ÷2 1 _ _ Resolvamos el primero escribiendo paralelamente la matriz aumentada: r + ¸ ÷. = 1 2r ÷3¸ + 2. = 2 3r ÷2¸ + . = 3 _ _ 1 1 ÷1 1 2 ÷3 2 2 3 ÷2 1 3 _ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 45 hacemos 1 21 (÷2) buscando la Escalonada Reducida por Fila de la aumentada r + ¸ ÷. = 1 ÷5¸ + 4. = 2 3r ÷2¸ + . = 3 _ _ 1 1 ÷1 1 0 ÷5 4 0 3 ÷2 1 3 _ _ hacemos 1 31 (÷3) r + ¸ ÷. = 1 ÷5¸ + 4. = 0 ÷5¸ + 4. = 0 _ _ 1 1 ÷1 1 0 ÷5 4 0 0 ÷5 4 0 _ _ hacemos 1 32 (÷1). 1 2 ( 1 5 ) r + ¸ ÷. = 1 ¸ ÷ 4 5 . = 0 0 = 0 _ _ 1 1 ÷1 1 0 1 ÷ 4 5 0 0 0 0 0 _ _ …nalmente hacemos 1 12 (÷1) r ÷ 1 5 . = 1 ¸ ÷ 4 5 . = 0 0 = 0 _ _ 1 0 ÷ 1 5 1 0 1 ÷ 4 5 0 0 0 0 0 _ _ . Ahora leemos las soluciones: r = 1 + 1 5 . ¸ = 0 + 4 5 . . = . o sea _ _ r ¸ . _ _ = _ _ 1 0 0 _ _ + . _ _ 1 5 4 5 1 _ _ y el conjunto solución es o 1 = _ _ _ _ _ 1 0 0 _ _ + . _ _ 1 5 4 5 1 _ _ [ . en R _ _ _ que geométricamente es una recta en R 3 que pasa por (1. 0. 0) con dirección ( 1 5 . 4 5 . 1). La variable . se dice independiente o libre (notese que en este caso solo aparece una sola variable libre). De inmediato notamos que no es necesario escribir las incógnitas r. ¸. .; el método es buscar la Escalonada Reducida por Fila de la matriz aumentada, el sistema tiene soluciones y tantas como . hay en R, o sea, para cada . en R que se use, el trío resultante es solución; luego hay in…nitas soluciones. Resolvemos el segundo sistema, hacemos los mismos pasos: _ _ 1 1 ÷1 1 2 ÷3 2 2 3 ÷2 1 3 _ _ 1 21 (÷2) ÷ 1 31 (÷3) _ _ 1 1 ÷1 1 0 ÷5 4 0 0 ÷5 4 ÷3 _ _ 1 32 (÷1) ÷ _ _ 1 1 ÷1 1 0 ÷5 4 0 0 0 0 ÷3 _ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 46 CAPÍTULO 1. MATRICES y llegamos sólo hasta aquí, puesto que al traducir la actual matriz aumentada a su forma de sistema queda en evidencia que se busca un (r. ¸. .) que cumpla con las tres siguientes ecuaciones: r + ¸ ÷ . = 1 ÷ 5¸ + 4. = 0 0r + 0¸ + 0. = ÷3 No hay solución (r. ¸. .) que las cumpla, así, la solución del segundo sistema es o 2 = _ _ _ _ _ r ¸ . _ _ en R 3 / r + ¸ ÷. = 1 2r ÷3¸ + 2. = 2 3r ÷2¸ + . = 0 _ _ _ = c Se observa que podríamos haber resuelto ambos sistemas al poner desde el comienzo: _ _ 1 1 ÷1 2 ÷3 2 3 ÷2 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 2 3 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 2 0 _ _ ÷ _ _ 1 1 ÷1 0 1 ÷ 4 5 0 0 0 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 0 0 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 0 3 _ _ . Puesto que al tener ceros en la tercera …la de la matriz de coe…cientes y un valor distinto de cero en la última …la de la quinta columna necesariamente tal sistema es inconsistente, o sea o 2 = c. Luego no considerando la quinta columna se sigue hasta hallar o 1 . De…nición 56 Dado el sistema ¹A = 1. Diremos que el sistema es homogéneo si y sólo si 1 = 0. En caso contrario se dice que el sistema es no homogéneo. Observación 1. Dado que ¹ mn 0 m1 = 0 m1 todo sistema homogéneo ¹ mn A n1 = 0 m1 es consistente. Observación 2. Si ¹ es regular entonces el sistema ¹A = 1 tiene solución única dada por A = ¹ 1 1. luego el sistema es consistente. Esta solución la podemos determinar usando el siguiente teorema. Teorema 57 (Regla de Cramer) Sea ¹ = [c ij ] . matriz de orden :. 1 en R n tal que ´ = [¹[ , = 0 entonces el sistema ¹A = 1 tiene única solución A = (r 1 . .......... r n ) y jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 47 r i = ´ i ´ . i = 1. 2. ..... :. donde ´ i = ¦ columna i ésima ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ c 11 / 1 c 1n c 21 / 2 c 2n c n1 / n c nn ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Demostración. Si ´ = [¹[ , = 0 entonces ¹ 1 = 1 ´ ¹d,(¹) A = ¹ 1 1 = 1 ´ (¹d,(¹))1 luego r i = 1 ´ , i (¹d,(¹))1 = 1 ´ (/ 1 ¹ 1i + ....... + / n ¹ ni ) = 1 ´ ´ i De…nición 58 Llamamos a ´ determinante principal del sistema de ecuaciones. Ejemplo 41 Resolver por Cramer, si es posible, el sistema: r 1 ÷r 2 + r 3 = 7 ÷r 1 + 2r 2 ÷r 3 = 1 2r 1 ÷r 2 + r 3 = 0 Desarrollo. La matriz del sistema es ¹ = _ _ 1 ÷1 1 ÷1 2 ÷1 2 ÷1 1 _ _ . cuyo determinante es [¹[ = (2 + 1 + 2) ÷(4 + 1 + 1) = ÷1 ,= 0. luego el sistema tiene única solución (r 1 . r 2 . r 3 ).dado por r 1 = 1 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 7 ÷1 1 1 2 ÷1 0 ÷1 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = (÷1)(13 ÷6) = ÷7 r 2 = 1 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 7 1 ÷1 1 ÷1 2 0 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = (÷1)(÷13 ÷(÷5)) = 8 r 3 = 1 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 ÷1 7 ÷1 2 1 2 ÷1 0 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = (÷1)(5 ÷27) = 22 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 48 CAPÍTULO 1. MATRICES Ejemplo 42 Usando el método de Cramer (cuando proceda ) y el determinante principal del sistema, discutir en qué casos existe ninguna, una única o varias soluciones para el sistema cr + /¸ + . = 1 r + c/¸ + . = / r + /¸ + c. = 1 con c. / reales. Encontrar las soluciones en cada caso. Desarrollo. ´ = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ c / 1 1 c/ 1 1 / c ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = /(c 3 ÷3c + 2) = /(c ÷1) 2 (c + 2) a) Si ´ , = 0 hay única solución, esto es c ,= 1 y / ,= 0 y c ,= ÷2 y la solución es (r. ¸. .) tal que r = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 / 1 / c/ 1 1 / c ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ´ = c 2 ÷c/ + / ÷c (c ÷1) 2 (c + 2) ¸ = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ c 1 1 1 / 1 1 1 c ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ´ = ÷2 + (c + 1)/ (c + 2)(c ÷1)/ . = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ c / 1 1 / / 1 / 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ´ = c ÷/ (c ÷1)(c + 2) b) Si ´ = 0. hay in…nitas soluciones o ninguna solución Caso c = 1 _ _ 1 / 1 1 1 / 1 / 1 / 1 1 _ _ ÷ 1 _ _ 1 / 1 1 0 0 0 / ÷1 0 0 0 0 _ _ Luego, si / = 1 y c = 1 hay in…nitas soluciones. Si / ,= 1 y c = 1 no hay solución. Caso / = 0 _ _ c 0 1 1 1 0 1 0 1 0 c 1 _ _ ÷ 1 _ _ 1 0 0 0 0 0 c ÷1 ÷1 0 0 0 2 _ _ Luego si / = 0 no hay solución. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 49 Caso c = ÷2 _ _ ÷2 / 1 1 1 ÷2/ 1 / 1 / ÷2 1 _ _ ÷ 1 _ _ 1 ÷2/ 1 / 0 ÷3/ 3 1 + 2/ 0 0 0 2 +/ _ _ Luego, si c = ÷2 y / = ÷2 hay in…nitas soluciones. Si c = ÷2 y / ,= ÷2 no hay solución. Resumen: Si c ,= 1. / ,= 0 y c ,= ÷2 entonces hay única solución. Si c = 1 y / = 1 hay in…nitas soluciones. Si c = 1 y / ,= 1 no hay solución (conjunto solución vacio). Si / = 0 no hay solución. Si c = ÷2 y / = ÷2 hay in…nitas soluciones. Si c = ÷2 y / ,= ÷2 no hay solución. Ejercicio 43 ¿Es verdadero que si ¹ es matriz de orden : y [¹[ = 0, entonces ¹A = / no tiene solución? Justi…que. A continuación, se optimizan métodos que permitan encontrar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales (: :), (: ecuaciones y : incógnitas). Para ello utilizamos los corolarios del teorema 27, nos servimos de las operaciones elementales que preservan el conjunto solución, con el objeto de reducir los sistemas a otros equivalentes más simples y de los cuales pueda obtenerse su conjunto solución. De…nición 59 Llamamos Pivotear en la posición (j. ¡) ( c pq ,= 0 ) a la matriz ¹ = [c ij ] de orden (: :). al proceso de aplicar 1 p ( 1 apq ). 1 ip (÷c iq ) con i ,= j para i = 1. 2........ :. sucesivamente a la matriz hasta dejar su columna ¡ como una columna de 1 m . El coe…ciente c pq ,= 0 se dice Pivote. Ejemplo 44 Pivotear la matriz ¹ en la posición (2. 3) donde ¹ = _ _ 1 1 ÷1 1 2 ÷4 2 2 ÷3 2 1 3 _ _ _ _ 1 1 ÷1 1 2 ÷4 2 2 ÷3 2 1 3 _ _ 1 2 ( 1 2 ) ÷ _ _ 1 1 ÷1 1 1 ÷2 1 1 ÷3 2 1 3 _ _ 1 12 (1) ÷ 1 32 (÷1) _ _ 2 ÷1 0 2 1 ÷2 1 1 ÷4 4 0 2 _ _ Ejemplo 45 Resolver el sistema: r 5 + r 6 = 1 2r 2 + 6r 3 + 2r 4 = 4 r 2 + 3r 3 + r 4 + r 5 = 1 r 2 + 3r 3 + r 4 + 2r 5 + r 6 = 2 en R 6 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 50 CAPÍTULO 1. MATRICES Desarrollo. Consideremos la matriz aumentada, pensando en seis incógnitas r i _ ¸ ¸ _ 0 0 0 0 1 1 0 2 6 2 0 0 0 1 3 1 1 0 0 1 3 1 2 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 4 1 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ ÷ _ ¸ ¸ _ 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 3 1 1 0 0 1 3 1 2 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 1 1 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ Ahora pivoteando en la posición (1. 2). es decir, aplicando 1 31 (÷1). 1 41 (÷1) obtenemos _ ¸ ¸ _ 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ÷1 0 0 0 0 0 ÷1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 1 ÷2 ÷2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ ÷ _ ¸ ¸ _ 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 ÷1 2 0 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ Así ya tenemos pivoteadas las columnas 2. 5. y 6. Ahora las incógnitas correspondientes a columnas sin pivote son variables independientes. Sean r 1 = / 1 ; r 3 = / 2 ; r 4 = / 3; así: r 2 = 2 ÷3/ 2 ÷/ 3 r 5 = ÷1 r 6 = 2 En términos matriciales: r = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 2 0 0 ÷1 2 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + / 1 v 1 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 0 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ +/ 2 v 2 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 ÷3 1 0 0 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ +/ 3 v 3 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 ÷1 0 1 0 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ donde / i son reales arbitrarios. En este ejemplo r p = (0. 2. 0. 0. ÷1. 2) es una solución particular del sistema. El conjunto solución resulta ser : o = ¦r p + / 1 · 1 + / 2 · 2 + / 3 · 3 [ / 1 . / 2 . / 3 en R¦ . Existen tantas soluciones como tríos de reales (/ 1 . / 2 . / 3 ). Por ejemplo si (/ 1 . / 2 . / 3 ) = ( _ 3. ÷1. 1) escogido arbitrariamente r p + _ 3· 1 ÷· 2 + · 3 = ( _ 3. 4. ÷1. 1. ÷1. 2) es otra solución particular del sistema. ¿Es (÷8. 3. 0. ÷1. ÷1. 2) una solución del sistema? Sí, basta verlo en la Escalonada Reducida por Fila de la matriz aumentada, o si no hallar r 1 = / 1 = ÷8 r 3 = / 2 = 0 r 4 = / 3 = ÷1 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 51 ¿Es (3. 4. 2. ÷1. 0. 1) una solución del sistema ? No porque, / 1 = r 1 = 3; / 2 = r 3 = 2; / 3 = r 4 = ÷1; pero, r 2 = 4 = 2 ÷3/ 2 ÷/ 3 = 2 ÷6 ÷(÷1) = ÷3. Observemos también, que la resolución en R 6 del ejercicio anterior exige usar una variable r 1 que no está explícita en el sistema original. No escribir la primera columna (de cero) en la resolución, equivale a resolver en R 5 un problema diferente ya que se pierde un grado de libertad (una variable independiente r 1 ). Ejemplo 46 Resolver ÷r 1 ÷ r 3 ÷ 7r 6 + r 7 = 3 2r 1 + 2r 3 + r 4 + 2r 6 = 0 3r 1 + r 2 + 3r 3 ÷ 4r 6 = 2 r 1 + 2r 3 + r 5 = 1 2r 1 + r 2 + 2r 3 ÷ 11r 6 + r 7 = 5 Desarrollo. Para obtener la solución de este sistema podemos realizarlo de dos formas distintas, la primera de ella es buscar .la Escalonada Reducida por Fila de la matriz aumentada. En este caso procedemos de la siguiente forma. _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ÷1 0 ÷1 0 0 ÷7 1 2 0 2 1 0 2 0 3 1 3 0 0 ÷4 0 1 0 2 0 1 0 0 2 1 2 0 0 ÷11 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 3 0 2 1 5 _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 0 1 0 0 7 ÷1 0 0 0 1 0 ÷12 2 0 1 0 0 0 ÷25 3 0 0 1 0 1 ÷7 1 0 1 0 0 0 ÷25 3 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ÷3 6 11 4 11 _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 0 1 0 0 7 ÷1 0 1 0 0 0 ÷25 3 0 0 1 0 1 ÷7 1 0 0 0 1 0 ÷12 2 0 0 0 0 0 0 0 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ÷3 11 4 6 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 ÷1 14 ÷2 0 1 0 0 0 ÷25 3 0 0 1 0 1 ÷7 1 0 0 0 1 0 ÷12 2 0 0 0 0 0 0 0 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ÷7 11 4 6 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ Así obtenemos r 1 = ÷7 +r 5 ÷14r 6 + 2r 7 r 2 = 11 + 25r 6 ÷3r 7 r 3 = 4 ÷r 5 + 7r 6 ÷r 7 r 4 = 6 + 12r 6 ÷2r 7 y realizando el siguiente cambio r 5 = / 1 ; r 6 = / 2 ; r 7 = / 3 tenemos r 1 = ÷7 +/ 1 ÷14/ 2 + 2/ 3 r 2 = 11 + 25/ 2 ÷3/ 3 r 3 = 4 ÷/ 1 + 7/ 2 ÷/ 3 r 4 = 6 + 12/ 2 ÷2/ 3 . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 52 CAPÍTULO 1. MATRICES En terminos matriciales obtenemos A = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r 7 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ÷7 11 4 6 0 0 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + / 1 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 0 ÷1 0 1 0 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + / 2 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ÷14 25 7 12 0 1 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + / 3 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 2 ÷3 ÷1 ÷2 0 0 1 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ con / i ¸ R Un segundo método es pivotear la matriz aumentada original escogiendo los pivotes más convenientes ( lo que equivale a realizar un cambio de variables para alterar el orden de las columnas o variables en la matriz) _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ÷1 0 ÷1 0 0 ÷7 1 2 0 2 1 0 2 0 3 1 3 0 0 ÷4 0 1 0 2 0 1 0 0 2 1 2 0 0 ÷11 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 3 0 2 1 5 _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ÷1 0 ÷1 0 0 ÷7 1 2 0 2 1 0 2 0 3 1 3 0 0 ÷4 0 1 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 3 0 2 1 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ Si tenemos presente el siguiente cambio de variables solo como información ¸ 1 = r 7 ; ¸ 2 = r 4 ; ¸ 3 = r 2 ; ¸ 4 = r 5 obtenemos que en este caso una matriz Escalonada Reducida por Fila. Volvamos a las variables originales y usemos r 1 = / 0 1 ; r 3 = / 0 2 ; r 6 = / 0 3 r 7 = 3 +/ 0 1 + / 0 2 + 7/ 0 3 r 4 = 0 +÷2/ 0 1 ÷2/ 0 2 ÷2/ 0 3 r 2 = 2 ÷3/ 0 1 ÷3/ 0 2 + 4/ 0 3 r 5 = 1 ÷/ 0 1 ÷2/ 0 2 en terminos matriciales obtenemos A = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r 7 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 2 0 0 1 0 3 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + / 0 1 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 ÷3 0 ÷2 ÷1 0 1 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + / 0 2 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 ÷3 1 ÷2 ÷2 0 1 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + / 0 3 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 4 0 ÷2 0 1 7 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ con / 0 i ¸ R El conjunto solución está descrito de distinto modo, lo que puede hacer pensar que son conjuntos distintos, lo cual es falso. Lo anterior lo podemos comprobar realizando el siguiente jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 53 cambio de variables / 1 = 1 ÷/ 0 1 ÷2/ 0 2 . / 2 = / 0 3 . / 3 = 3 + / 0 1 + / 0 2 + / 0 3 en _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r 7 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ÷7 11 4 6 0 0 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + / 1 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 0 ÷1 0 1 0 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + / 2 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ÷14 25 7 12 0 1 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + / 3 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 2 ÷3 ÷1 ÷2 0 0 1 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ Realizando el cambio de variables y sumando obtenemos _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r 7 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 +/ 0 1 + 0/ 0 2 + 0/ 0 3 2 ÷3/ 0 1 ÷3/ 0 2 + 4/ 0 3 0 + 0/ 0 1 + 1/ 0 2 + 0/ 0 3 0 ÷6/ 0 1 +÷2/ 0 2 ÷2/ 0 3 1 ÷/ 0 1 ÷2/ 0 2 + 0/ 0 3 0 + 0/ 0 1 + 0/ 0 2 + 1/ 0 3 3 +/ 0 1 + / 0 2 + 7/ 0 3 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r 7 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 2 0 0 1 0 3 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + / 0 1 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 ÷3 0 ÷2 ÷1 0 1 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + / 0 2 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 ÷3 1 ÷2 ÷2 0 1 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + / 0 3 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 4 0 ÷2 0 1 7 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ En la forma reducida de un sistema de ecuaciones lineales, pueden distinguirse dos números que están asociados con las variables del sistema. Uno de estos números corresponde al número de variables que pueden ser despejadas en el sistema simpli…cado, este es el número de pivotes usados en la matriz aumentada, lo que es igual al número de …las no nulas de la Escalonada Reducida por Filas de la matriz aumentada, en otras palabras el rango de la matriz aumentada. El otro, es el número de las variables llamadas independientes o libres. Así tenemos la siguiente propiedad. El número de variables o incognitas del sistema es igual al número de variables indepen- dientes más el número de variables despejadas. Proposición 60 Dados los siguientes sistema de ecuaciones ¹r = 0; ¹r = 1 con ¹¸ p = 1. es decir, ¸ p es una solución particular del sistema no homogéneo entonces ¦¸ , ¹¸ = 1¦ = ¦¸ p + ¸ , ¹¸ = 0¦ Es decir, El conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales no homogéneo se obtiene a partir de una solución particular más una solución de la ecuación homogénea. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 54 CAPÍTULO 1. MATRICES Demostración. Sea o el conjunto solución del sistema ¹r = 1. con ¸ p ¸ o. debemos probar la siguiente igualdad de conjuntos o = ¦r , ¹r = 1¦ = ¦r , r = ¸ p + ¸ con ¹¸ = 0¦ Primeros probaremos ¦r , r = ¸ p + ¸ con ¹¸ = 0¦ ¸ o Sea r = ¸ p + ¸ con ¹¸ = 0. entonces ¹r = ¹(¸ p + ¸) = ¹¸ p + ¹¸ = 1 + 0 = 1 luego r ¸ o. Ahora probaremos la otra contención o ¸ ¦r , r = ¸ p + ¸ con ¹¸ = 0¦ Sea r ¸ o, entonces apliquemos ¹ al vector (r ÷¸ p ) ¹(r ÷¸ p ) = ¹r ÷¹¸ p = 1 ÷1 = 0 Luego, r ÷¸ p es una solución del sistema homogéneo, además r = ¸ p + (r ÷¸ p ) es decir, r ¸ ¦r , r = ¸ p + ¸ con ¹¸ = 0¦. Se recomienda al alumno veri…car o comprobar que en los ejemplos anteriores, toda solución del sistema se puede escribir como suma de una solución particular y una solución del sistema homogéneo, las que se pueden leer a partir de la escalonada reducida por …la del sistema. Teorema 61 Dado un sistema ¹ mn A n1 = 1 m1 con 1 matriz Escalonada Reducida por Filas de ¹ y [¹ [ 1] ÷ [1 [ /] . entonces se cumple 1. Si 1q([1 [ /]) 1q(1). entonces el conjunto solución del sistema es vacío. 2. Si 1q([1 [ /]) = 1q(1) = : < :. entonces el conjunto solución del sistema es in…nito. (Dicho de otra manera el sistema tiene in…nitas soluciones). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 55 3. Si 1q(1) = 1q([1 [ /]) = :. entonces el conjunto solución del sistema tiene un único elemento. (Dicho de otra manera el sistema tiene única solución). Ejemplo 47 Dado el sistema r + ¸ ÷. = 1 2r ÷3¸ + 2. = 3 3r ÷2¸ + c. = / Determinar c. / de modo que el sistema tenga in…nitas soluciones y explicítelas. Solución. La matriz asociada al sistema es ¹ = _ _ 1 1 ÷1 2 ÷3 2 3 ÷2 c _ _ y su determinante es ÷5c+5. por teorema de Cramer tenemos que si ÷5c+5 ,= 0 el sistema tiene única solución. Por lo tanto debemos analizar el caso ÷5c + 5 = 0. es decir c = 1 Consideremos la matriz aumentada del sistema con c = 1 _ _ 1 1 ÷1 1 2 ÷3 2 3 3 ÷2 1 / _ _ Cuya matriz reducida es _ _ 1 0 ÷ 1 5 6 5 0 1 ÷ 4 5 1 5 0 0 0 / ÷4 _ _ . Como 1q(¹) = 2. entonces tenemos: 1q([¹[1] = _ _ _ 2 si / = 4 3 si / ,= 4 Si / ,= 4. entonces 1q(¹) ,= 1q([¹[1] y el conjunto solución es o = c Si / = 4. entonces 1q(¹) = 1q([¹[1] < 3 y el conjunto solución es o = _ _ _ _ _ r ¸ . _ _ ¸ ` 31 (R) / r + ¸ ÷. = 1 2r ÷3¸ + 2. = 3 3r ÷2¸ + . = 4 _ _ _ = _ _ _ _ _ r ¸ . _ _ ¸ ` 31 (R) / _ _ r ¸ . _ _ = _ _ 6 5 + 1 5 t ÷ 1 5 + 4 5 t t _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ 6 5 ÷ 1 5 0 _ _ + _ _ 1 5 4 5 1 _ _ t , t ¸ R _ _ _ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 56 CAPÍTULO 1. MATRICES De…nición 62 Sea ¹ matriz de orden ::. Llamaremos núcleo de ¹ al conjunto solución del sistema homogéneo ¹r = 0. Anotamos `(¹) = ¦r ¸ ` n1 (R ) / ¹r = 0¦ Teorema 63 Dado el sistema de ecuaciones lineales con : incognitas ¹r = / entonces las siguientes a…rmaciones son equivalentes. 1. 1q(¹) = : 2. `(¹) = ¦0¦ 3. ¦r / ¹r = /¦ = ¦r p ¦. Corolario 64 Sea ¹ una matriz de orden :. 1. Las siguientes proposiciones son equivalentes: a) [¹[ , = 0 b) El sistema homogéneo ¹r = 0 tiene única solución r = 0 c) ¹ es regular. 2. Las siguientes proposiciones son equivalentes: a) 1q(¹) < : b) El sistema homogéneo ¹r = 0 tiene in…nitas soluciones c) ¹ es singular d) [¹[ = 0 Método del Pivote: Otra manera de obtener la solución general de un sistema, es el siguiente: 1. Se pivotea la matriz ampliada del sistema 2. Se asigna el valor 1 a una variable libre y 0 a las restantes. 3. Se calculan las variables dependientes en base a los valores anteriormente asignados, y se resuelve el sistema homogéneo, así construimos un vector solución ¸ 1 del sistema homogéneo. 4. Se asigna nuevamente el valor 1 a otra variable libre y 0 a las restantes y procedemos como en 3. 5. Una vez que todas las variables libres han sido sustituidas por 1 en alguna oportunidad, ( como en 3), obtenemos / soluciones distintas ¸ j donde / es el número de variables libres. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 57 6. El conjunto solución del sistema homogéneo se expresa entonces: o = ¦¸ , ¸ = c 1 ¸ 1 + c 2 ¸ 2 + .......... + c k ¸ k . con c i ¸ R para todo i¦ 7. Una solución particular del sistema no homogéneo se obtiene reemplazando por 0 todas las variables libres. Ejemplo 48 Resolvamos el siguiente sistema ¹r = /. donde ¹ = _ _ 1 1 ÷7 0 0 2 ÷5 ÷2 0 8 1 0 3 ÷6 0 0 9 0 1 4 ÷7 _ _ ; / = _ _ 2 10 1 _ _ Solución. La matriz está pivoteada en las posiciones (1,2); (2,4); (3,5). Sabemos que hay cuatro variables libres y tres dependientes del sistema ¹r = 0. Para determinar la primera solución, le asignamos el valor 1 a la primera variable indepen- diente y cero a las otras con ello obtenemos el vector · 1 = (1. c. 0. /. c. 0. 0). para determinar los coe…cientes que faltan resolvemos ¹· t 1 = 0 Multiplicando tenemos. 1 +c = 0; 2 + / = 0; 0 + c = 0 Así obtenemos que · 1 = (1. ÷1. 0. ÷2. 0. 0. 0) Para determinar la segunda solución, le asignamos el valor 1 a la segunda variable libre y cero a las restantes con ello formamos el vector · 2 = (0. c. 1. /. c. 0. 0). para determinar los coe…cientes restantes, debemos resolver ¹· t 2 = 0 Multiplicando obtenemos. ÷7 +c = 0; 8 + / = 0; 9 + c = 0 Así tenemos · 2 = (0. 7. 1. ÷8. ÷9. 0. 0) Procediendo de manera similar obtenemos · 3 = (0. ÷2. 0. ÷3. ÷4. 1. 0) · 4 = (0. 5. 0. 6. 7. 0. 1) La solución particular la obtenemos asignando 0 a las variables libres y determinando las otras. r p = (0. c. 0. /. c. 0. 0) para ello resolvemos ¹r t p = 1 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 58 CAPÍTULO 1. MATRICES Multiplicando c = 2; / = 10; c = 1 Así tenemos r p = (0. 2. 0. 10. 1. 0. 0) Finalmente el conjunto solución es ¦r p + c 1 · 1 + c 2 · 2 + c 3 · 3 + c 4 · 4 [ c i en R¦ . con r p = (0. 2. 0. 10. 1. 0. 0) · 1 = (1. ÷1. 0. ÷2. 0. 0. 0) · 2 = (0. 7. 1. ÷8. ÷9. 0. 0) · 3 = (0. ÷2. 0. ÷3. ÷4. 1. 0) · 4 = (0. 5. 0. 6. 7. 0. 1) Ejercicios: 1. Dada las siguientes matrices ¹ = _ _ 2 3 1 2 4 2 3 1 20 2 ÷1 c _ _ . 1 = _ _ 1 2 2 1 1 ÷1 2 3 3 4 1 2 _ _ . C = _ ¸ ¸ _ 1 1 2 1 _ ¸ ¸ _ . A = _ ¸ ¸ _ r ¸ . t _ ¸ ¸ _ Encontrar el conjunto solución de la ecuación matricial , para cada valor de c en los reales. ¹ A = 1C 2. Dadas las siguientes matrices ¹ = _ _ 2 3 1 2 1 2 3 1 2 2 ÷8 c _ _ . 1 = _ _ 1 ÷1 4 _ _ . A = _ ¸ ¸ _ r ¸ . t _ ¸ ¸ _ Encontrar el conjunto solución de la ecuación matricial , para cada valor de c en los reales. ¹ A = 1 3. Dados los sistemas 2r + 3¸ ÷. = c r ÷¸ ÷. = 2 r + ¸ ÷. = 3 . r + 3¸ + . = c r ÷¸ ÷. = 2 2r + ¸ ÷. = 3 Resolverlo mediante Operaciones Elementales Filas. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 1.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 59 4. Sean 2r + 4¸ ÷. + n = 1 3r + 6¸ + 2¸ + 2n = 3 r + 2¸ + 3. + cn = 3 a) Determinar el valor de c de modo que el sistema tenga solución. b) Para c = 2. determinar el conjunto solución. 5. Sean r + 2¸ + 2. + cn = 1 3r + 6¸ + 6¸ + 2n = 3 2r + 3¸ + 4. + 2n = 1 a) Determinar el valor de c de modo que el sistema tenga solución. b) Para c = 2. determinar el conjunto solución. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch Capítulo 2 Espacios Vectoriales La noción de espacio vectorial se obtiene al comparar una variedad de ejemplos (Matrices, Polinomios, Funciones, etc.), en los cuales están de…nidas dos operaciones (suma y multiplicación) las que nos permiten operar en distintos ambientes de manera análoga, es decir, podemos agrupar estos conjuntos con una estructura muy similar. Recordemos la de…nición de grupo dada en el libro de Matemáticas para Ingeniería. 2.1. Grupos De…nición 65 Sea G un conjunto no vacío y + una operación en G. Diremos que G es un grupo bajo la operación + si las siguientes tres a…rmaciones son ciertas. i) Asociatividad: Para todo r. ¸. . en G, se cumple (r + ¸) + . = r + (¸ + .) ii) Existencia de elemento neutro: Existe c, elemento neutro en G, tal que para todo r en G, se tiene r + c = c + r = r iii) Existencia de elementos inversos: Para todo r en G, existe r 0 en G tal que r + r 0 = r 0 + r = c Esto se denota resumidamente; (G. +) es grupo. 61 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 62 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Si además se veri…ca; iv) Conmutatividad: Para todo r. ¸ en G, se cumple r + ¸ = ¸ + r entonces (G. +) es un grupo Abeliano o simplemente G es un grupo Abeliano, subentendiendo que hay una operación (+). Ejemplo 49 Recordemos de la asignatura de calculo 1, los siguientes ejemplos: El conjunto de los números reales con la suma. El conjunto de los números reales no nulo con el producto. El conjunto de las funciones con la suma. Otros ejemplos los puede encontrar en el libro de Matemáticas para Ingeniería. De…nición 66 Se dice (K. +. ) es un cuerpo si y sólo si se cumple: i) (K. +) es un grupo abeliano, con c neutro aditivo. ii) (K÷¦c¦ . ) es un grupo abeliano. iii) Distributividad: (\r. ¸. . ¸ K)(r (¸ + .) = r ¸ + r .) Ejemplo 50 Análogamente los ejemplos de cuerpos que usted conoce son: El conjunto de los números racionales, denotado por Q. El conjunto de los números reales, denotado por R. El conjunto de los números complejos, denotado por C. Observación. También usted conoce ejemplos de conjuntos en los cuales están de…nidas dos operaciones, pero no es un cuerpo, como es el que presentamos en el capítulo anterior, es decir las matrices cuadradas de orden 2. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.2. ESPACIOS VECTORIALES 63 2.2. Espacios vectoriales De…nición 67 Sea K un cuerpo, se dice que (\. +. ) es un espacio vectorial sobre K o un K -espacio vectorial si y sólo si cumple con: 1. (\. +) es un grupo abeliano. 2. : K\ ÷ \. es una función que cumple: a) (\c ¸ K)(\r. ¸ ¸ \ )(c (r + ¸) = c r + c ¸) b) (\c. / ¸ K)(\¸. . ¸ \ )((c + /) r = c r + / r) c) (\c. / ¸ K)(\¸. . ¸ \ )((c/) r = c (/ r)) d) (\r ¸ \ )(1 r = r) Los ejemplos más conocidos son: Ejemplo 51 Las matrices de orden : :. esto es ` nm (K) es un espacio vectorial sobre K con la suma de matrices y multiplicación por escalar. Primero explicitemos la suma de matrices. + : ` nm (K)` nm (K) ÷ ` nm (K) (¹. 1) ÷ ¹ + 1 donde ¹ + 1 = [c ij ] + [/ ij ] = [c ij + / ij ]. Ahora explicitemos la multiplicación de una matriz por un escalar. : K` nm (K) ÷ ` nm (K) (c. ¹) ÷ c ¹ donde c ¹ = c [c ij ] = [c c ij ]. Ejemplo 52 R n es un R -espacio vectorial, con las operaciones de suma por coordenadas y multiplicación por un escalar. Primero explicitemos la suma de n-uplas. + : R n R n ÷ R n (r. ¸) ÷ r + ¸ donde r + ¸ = (r i ) + (¸ i ) = (r i + ¸ i ). Ahora explicitemos la multiplicación de una n-upla por un escalar. : R R n ÷ R n (c. r) ÷ c r donde c r = c (r i ) = (c r i ). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 64 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejemplo 53 C n es un R -espacio vectorial, con las operaciones de suma por coordenadas y multiplicación por un escalar. Primero explicitemos la suma de n-uplas. + : C n C n ÷ C n (r. ¸) ÷ r + ¸ donde r + ¸ = (r i ) + (¸ i ) = (r i + ¸ i ). Ahora explicitemos la multiplicación de una n-upla por un escalar. : R C n ÷ C n (c. r) ÷ c r donde c r = c (r i ) = (c r i ). Ejemplo 54 C n es un C -espacio vectorial, con las operaciones suma por coordenadas y multiplicación por escalar. Primero explicitemos la suma de n-uplas. + : C n C n ÷ C n (r. ¸) ÷ r + ¸ donde r + ¸ = (r i ) + (¸ i ) = (r i + ¸ i ). Ahora explicitemos la multiplicación de una n-upla por un escalar. : C C n ÷ C n (c. r) ÷ c r donde c r = c (r i ) = (c r i ). Note que la diferencia entre los tres ejemplos anteriores está en donde varían los coe…- cientes o los escalares. Ejemplo 55 Sea ¹ un conjunto entonces 1(¹. R) =¦, : ¹ ÷R , , es función¦ . es un R -espacio vectorial, con las operaciones de suma de funciones y multiplicación por un escalar. Primero explicitemos la suma de funciones. + : 1(¹. R)1(¹. R) ÷ 1(¹. R) (,. q) ÷ , + q donde (, + q)(r) = ,(r) + q(r). Ahora explicitemos la multiplicación de una función por un escalar. : R1(¹. R) ÷ 1(¹. R) (c. ,) ÷ c , donde (c ,)(r) = c (,(r)). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.2. ESPACIOS VECTORIALES 65 Ejemplo 56 Sea ¹ = ]0. 1[ un intervalo de números reales entonces C n (R) = _ , ¸ 1(]0. 1[ . R) , , (n) es continua en ]0. 1[ _ . es un R÷ espacio vectorial. Las operaciones son análogas, ya que estamos trabajando con funciones, solamente debe- mos recordar que si dos funciones son continuas (derivables) la suma es continua (derivable), el mismo resultado lo tenemos para la multiplicación por escalar. Ejemplo 57 Sea 1 = ¦, ¸ 1([0. 1]. R) , , es R-integrable en [0. 1]¦ entonces 1 es un R-espacio vectorial. En este caso las operaciones son la suma de funciones y multiplicación de una función por un escalar, y ahora recordamos que, si dos funciones son R-integrable entonces la suma es R-integrable, el resultado análogo lo tenemos para la multiplicación por escalar. Ejemplo 58 Sea K[r] = ¦Los polinomios en la variable r con coe…cientes en K¦ . es decir K[r] es el conjunto de los polinomios c 0 + c 1 r + ... + c n r n . con c 0 . c 1 . .... c n ¸ K y : ¸ N. Primero explicitemos la suma de polinomios. + : K[r]K[r] ÷ K[r] (j(r). ¡(r)) ÷ j(r) + ¡(r) donde j(r) + ¡(r) = c i r i + / i r i = (c i + / i )r i . Ahora explicitemos la multiplicación de un polinomio por un escalar. : KK[r] ÷ K[r] (c. j(r)) ÷ c j(r) donde c j(r) = c c i r i = c c i r i . Teorema 68 Sea (\. +. ) un espacio vectorial sobre K entonces tenemos: 1. Sean n. ·. n ¸ \ entonces (n + · = n + n) == (· = n) 2. Sean n. · ¸ \. c ¸ K entonces (cn = c·) == (n = ·) 3. Sean ÷÷ 0 ¸ \. neutro aditivo c ¸ K entonces c ÷÷ 0 = ÷÷ 0 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 66 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES 4. Sean · ¸ \. 0 ¸ K entonces 0· = ÷÷ 0 5. Sean · ¸ \. c ¸ K entonces (c· = ÷÷ 0 ) == (· = ÷÷ 0 . c = 0) Ejemplo 59 Sean n = (1. 2). · = (2. ÷3). n = (÷1. 3) vectores en R 2 . resolver la ecuación 2(r + n) + 3n = 5· Solución. Como R 2 es un R-espacio vectorial, luego 2(r + n) + 3n = 5· 2r + 2n + 3n = 5· 2r = 5· ÷2n ÷3n r = 1,2(5· ÷2n ÷3n) Reemplazando obtenemos r = (11,2. ÷14). Ejemplo 60 Sean \ un R-espacio vectorial, n. ·. n vectores en \ . Resolver la ecuación 2(r + n) + 3(n ÷n) = 2(· + n) Solución. Como \ es un R-espacio vectorial, luego 2(r + n) + 3(n ÷n) = 2(· + n) 2r + 2n + 3n ÷3n = 2· + 2n 2r + 3n ÷n = 2· + 2n 2r = 2· + n ÷n r = 1,2(2· + n ÷n) Ejemplo 61 Sean \ un K-espacio vectorial, n. ·. n vectores en \ y c. / elementos en K. con c no nulo. Resolver la ecuación c(r + n) + /(n ÷n) = /(· + n) Solución. Como R 2 es un R-espacio vectorial, luego c(r + n) + /(n ÷n) = /(· + n) cr + cn + /n ÷/n = /· + /n cr + (c ÷/)n = /· cr = /· ÷(c ÷/)n obtenemos r = 1 c (/· ÷(c ÷/)n). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.3. SUBESPACIOS VECTORIALES 67 Ejercicio 62 Sea \ = R y de…namos las siguientes operaciones en \. + : \ \ ÷ \ ; r + ¸ = r + ¸ + r¸ - : R \ ÷ \ ; c - ¸ = cr Determinar que propiedades de R÷ espacio vectorial, no cumple.(\. +. -) 2.3. Subespacios Vectoriales De…nición 69 Sea \ un K-espacio vectorial y l un subconjunto de \. Se dice que l es un subespacio vectorial de \ si y sólo si l es un K-espacio vectorial con las mismas operaciones (suma y producto) de \. Notación. l es un subespacio vectorial de \ lo denotamos por l _ \. Ejemplo 63 Algunos de estos ejemplos los obtenemos del capítulo anterior. 1. Las matrices triangulares superiores (inferiores) de orden :. forman un subespacio (del espacio vectorial) de las matrices de orden :. 2. Las matrices simétricas (antisimétricas) de orden :. forman un subespacio de las ma- trices de orden :. 3. Las matrices diagonales de orden :. forman un subespacio de las matrices de orden :. 4. Cada Recta (Plano) que pasa por el origen en R n . es un subespacio vectorial de R n . 5. El conjunto solución de un sistema homogéneo es un subespacio vectorial de K n . 6. El conjunto de las funciones pares es un subespacio de 1(R. R). 7. K n [r] = _ Los polinomios en la variable r con coe…cientes en K. de grado menor o igual que : incluyendo al polinomio nulo _ es un subespacio de K[r]. Teorema 70 Sea \ un K-espacio vectorial y l un subconjunto de \. l es un subespacio de \ si y sólo si se cumplen: i) El neutro aditivo de \ pertenece a l o simplemente ÷÷ 0 ¸ l. ii) La clausura aditiva con elementos de l. Si para todo n. · ¸ l entonces n + · ¸ l. iii) La clausura multiplicativa. Si para todo n ¸ l y c ¸ 1 entonces cn ¸ l. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 68 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Observación. En los siguientes ejemplos demostraremos lo a…rmado anteriormente. Ejemplo 64 Las matrices simétricas (antisimétricas) de orden :. forman un subespacio de las matrices de orden :. Demostración. Una matriz es simétrica si cumple la propiedad ¹ t = ¹ i) La matriz nula es claramente simétrica, ya que 0 t = 0. ii) Ahora sean ¹. 1 dos matrices simétricas, demostraremos que la suma es simétrica (¹ + 1) t = ¹ t + 1 t = ¹ + 1 Así entonces tenemos que ¹ + 1 es simétrica. iii) Falta demostrar, dada una matriz simétrica la multiplicación por escalar es simétrica. (c¹) t = c ¹ t = c ¹ Por lo tanto, c¹ es simétrica, así hemos demostrado que el conjunto de las matrices simétricas son un subespacio vectorial de las matrices de orden : :. Ejemplo 65 El conjunto solución de un sistema homogéneo es un subespacio vectorial de R n . Demostración. El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo lo podemos describir _ r ¸ R n , ¹r t = 0 _ donde ¹ es matriz de orden ::. i) Como ¹ 0 = 0. luego tenemos que el vector nulo es solución del sistema. ii) Sean r. ¸ dos soluciones del sistema, demostremos que r + ¸. es solución. ¹(r + ¸) t = ¹(r t + ¸ t ) = ¹r t + ¹¸ t = 0 + 0 = 0 Así tenemos que r + ¸ es solución. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.3. SUBESPACIOS VECTORIALES 69 iii) Ahora demostremos, dado r solución del sistema y c un escalar entonces cr también es solución ¹(cr) t = ¹(cr t ) = c(¹r t ) = c 0 = 0 Con lo cual demostramos que cr es solución del sistema. Por lo tanto, el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es un subespacio vectorial de R n . Ejemplo 66 El conjunto de las funciones pares es un subespacio de 1(R. R). Demostración. El conjunto de las funciones pares lo podemos describir por ¦, ¸ 1(R. R) , (\r ¸ R)(,(r) = ,(÷r)¦ i) En primera instancia podemos comprobar que la función nula ^ 0. es una función par, ya que ^ 0(÷r) = 0 ^ 0(r) = 0 ii) Ahora veamos la suma de funciones pares, para ello consideremos ,. q dos funciones pares, demostremos que , + q es par. (, + q)(÷r) = ,(÷r) + q(÷r) = ,(r) + q(r) = (, + q)(r). iii) Nos falta demostrar que dado , una función par y c un escalar entonces c, es una función par. (c,)(÷r) = c ,(÷r) = c ,(r) = (c,)(r). Con lo cual demostramos que el conjunto de las funciones pares es un subespacio vectorial de las funciones. Ejemplo 67 Las matrices triangulares superiores de orden :. forman un subespacio de las matrices de orden :. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 70 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Solución. Describamos el conjunto de matrices triangulares superiores. ¦¹ = [c ij ] ¸ `(:. K) , c ij = 0 si i ,¦ i) Claramente la matriz nula satisface la condición, ya que todos sus coe…cientes son nulos. ii) Ahora consideremos ¹. 1 dos matrices triangulares superiores, veremos que ¹ + 1 es una matriz triangular superior. ¹ + 1 = [c ij ] + [/ ij ] = [c ij + / ij ] . Como ¹. 1 son matrices triangulares superiores, luego c ij = 0 y / ij = 0. si i ,. por lo tanto c ij + / ij = 0. siempre que i ,. iii) En la tercera parte de la demostración, tenemos que veri…car que: Si ¹ es una matriz triangular superior y c es un escalar entonces c¹ es triangular superior. c¹ = c [c ij ] = [c c ij ] Como ¹ es una matriz triangular superior, luego c ij = 0 si i ,. así obtenemos que c c ij = 0 si i ,. Por lo tanto, el conjunto de matrices triangulares superiores de orden : es un subespacio vectorial de las matrices cuadradas de orden :. Ejercicio 68 Para cada una de las siguientes a…rmaciones determine el valor de verdad. 1. Las matrices invertibles forman un subespacio de las matrices cuadradas de orden :. 2. Las matrices cuadradas de orden 2 tales que al cuadrado es cero forman un subespacio de las matrices cuadradas de orden 2. 3. El semiplano superior de R 2 (segunda coordenada mayor igual que cero), es un sub- espacio de R 2 . 4. La circunferencia unitaria centrada es un subespacio vectorial de R 2 . 5. El conjunto de las funciones tales que al evaluarlas en cero es cero, es un subespacio de 1(R. R). 6. El conjunto de las funciones tales que al evaluarlas en uno es uno, es un subespacio de 1(R. R). Ejercicio 69 Sean \ un K-espacio vectorial y l. \ dos subespacios de \ . Demostrar que l ¨ \ es un subespacio de \ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.4. BASES 71 Ejercicio 70 Demostrar que o f = ¦, ¸ 1(¹. R) , , tiene soporte …nito¦ es un sub- espacio de 1(¹. R). (, tiene soporte …nito si y sólo si el cardinal de ¦r ¸ ¹ , ,(r) ,= 0¦ es …nito). Ejercicio 71 Considere 1(R. R) como R-espacio vectorial. Demostrar que l = ¦, ¸ 1(R. R) , (\r ¸ R)(,(cr) = c,(r))¦ es un subespacio de 1(R. R). Ejercicio 72 Sea 1(R. R) un R-espacio vectorial, l = ¦, ¸ 1(R. R) , ,(÷r) = ÷,(r)¦. \ = ¦, ¸ 1(R. R) , ,(÷r) = ,(r)¦ Demostrar que l y \ son subespacios de 1(R. R). Ejercicio 73 Considere C 2 como C-espacio vectorial. Demostrar que \ = ¦(.. n) ¸ C 2 , 3. + in = 0¦ es un subespacio de C 2 . Ejercicio 74 Determinar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales. JUSTI- FIQUE. 1. a) l = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , r¸. = 0¦ b) \ = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , r 2 = ¸ 2 ¦ c) \ = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , r + ¸ + . 2 = 0¦ d) \ = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , 3r + 2¸ + . = 0¦ e) \ = ¦ _ r ¸ r t _ ¸ ` 2 (R) [ r = ¸¦ 2.4. Bases El concepto de base de un espacio vectorial permite describir en forma única todos los vectores del espacio, lo cual es una generalización de la localización de un objeto en el espacio tridimensional. Esto nos motiva a considerar las siguientes de…niciones. 2.4.1. Combinaciones lineales De…nición 71 Sea \ un K-espacio vectorial y ·. · 1 . · 2 . .... · m . elementos en \. Decimos que · es combinación lineal de · 1 . · 2 . .... · m si y sólo si existen c 1 . c 2 . .... c m . escalares en K tal que · = c 1 · 1 + c 2 · 2 + ... + c m · m · = m i=1 c i · i Ejemplo 75 Determinar si (1. 2. 1) es combinación lineal de los vectores (÷1. 2. 1). (1. 1. ÷2). (1. 2. 3). en R 3 . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 72 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Demostración. Tenemos que determinar c. /. c ¸ R. tal que. (1. 2. 1) = c(÷1. 2. 1) + /(1. 1. ÷2) + c(1. 2. 3) (1. 2. 1) = (÷c + / + c. 2c + / + 2c. c ÷2/ + 3c) es decir, ÷c + / + c = 1 2c + / + 2c = 2 c ÷2/ + 3c = 1 Determinando la matriz del sistema tenemos, _ _ ÷1 1 1 1 2 1 2 2 1 ÷2 3 1 _ _ ÷ _ _ 1 0 0 1 8 0 1 0 1 2 0 0 1 5 8 _ _ Luego el sistema tiene solución, es decir, c = 1 8 . / = 1 2 . c = 5 8 (1. 2. 1) = 1 8 (÷1. 2. 1) + 1 2 (1. 1. ÷2) + 5 8 (1. 2. 3). Por lo tanto (1. 2. 1) es combinación lineal de los vectores (÷1. 2. 1). (1. 1. ÷2). (1. 2. 3). Ejemplo 76 Determinar si (1. 2. 1) es combinación lineal de los vectores (÷1. 2. 1). (1. 1. 2). (1. 2. 3). en R 3 . Demostración. Tenemos que determinar c. /. c ¸ R. tal que. (1. 2. 1) = c(÷1. 2. 1) + /(1. 1. 2) + c(1. 2. 3) (1. 2. 1) = (÷c + / + c. 2c + / + 2c. c + 2/ + 3c) es decir, ÷c + / + c = 1 2c + / + 2c = 2 c + 2/ + 3c = 1 Determinando la matriz del sistema tenemos, _ _ ÷1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 3 1 _ _ ÷ _ _ 1 0 1 3 0 0 1 4 3 0 0 0 0 1 _ _ Luego el sistema no tiene solución, es decir, no existen c. /. c ¸ R. tales que satisfagan el sistema. Por lo tanto (1. 2. 1) no es combinación lineal de los vectores (÷1. 2. 1). (1. 1. 2). (1. 2. 3). Ejemplo 77 Determinar si 1 + r + r 2 es combinación lineal de los vectores ÷1 + r + 2r 2 . 1 + 3r + 2r 2 . 1 ÷r + r 2 en R[r] jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.4. BASES 73 Demostración. Tenemos que determinar c. /. c ¸ R. tal que. 1 + r + r 2 = c(÷1 + r + 2r 2 ) + /(1 + 3r + 2r 2 ) + c(1 ÷r + r 2 ) 1 + r + r 2 = (÷c + / + c)1 + (c + 3/ ÷c)r + (2c + 2/ + c)r 2 es decir, ÷c + / + c = 1 c + 3/ ÷c = 1 2c + 2/ + c = 1 Determinando la matriz del sistema tenemos, _ _ ÷1 1 1 1 1 3 ÷1 1 2 2 1 1 _ _ ÷ _ _ 1 0 0 ÷ 1 6 0 1 0 1 2 0 0 1 1 3 _ _ Luego el sistema tiene solución, es decir, existen c = ÷ 1 6 . / = 1 2 . c = 1 3 ¸ R. tales que 1 + r + r 2 = ÷ 1 6 (÷1 + r + 2r 2 ) + 1 2 (1 + 3r + 2r 2 ) + 1 3 (1 ÷r + r 2 ) Por lo tanto 1 +r +r 2 es combinación lineal de los vectores (÷1 +r + 2r 2 ). (1 + 3r + 2r 2 ) y (1 ÷r + r 2 ). De…nición 72 Sea \ un espacio vectorial sobre 1. y · 1 . · 2 . .... · m . vectores en \. a) Decimos que ¦· 1 . · 2 . .... · m ¦ es linealmente independiente si y sólo si la única solución de c 1 · 1 + c 2 · 2 + ... + c m · m = 0 es la trivial, es decir, c 1 = c 2 = ... = c m = 0. b) Decimos que ¦· 1 . · 2 . .... · m ¦ es linealmente dependiente si y sólo si la ecuación c 1 · 1 + c 2 · 2 + ... + c m · m = 0 tiene una solución no trivial. Ejemplo 78 Demostrar que ¦(1. 0. 1). (1. 1. 0). (1. 1. 1)¦ es un conjunto linealmente indepen- diente en R 3 . Demostración. Escribamos el vector nulo como combinación lineal de los vectores dados c(1. 0. 1) + /(1. 1. 0) + c(1. 1. 1) = (0. 0. 0) (c + / + c. / + c. c + c) = (0. 0. 0) Luego tenemos el sistema de ecuaciones c + / + c = 0 / + c = 0 c + c = 0 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 74 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Determinemos la matriz del sistema, _ _ 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 _ _ ÷ _ _ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 _ _ Luego el sistema tiene única solución, es decir, c = 0. / = 0. c = 0. Por lo tanto, el conjunto ¦(1. 0. 1). (1. 1. 0). (1. 1. 1)¦ es linealmente independiente. Ejemplo 79 Determinar si ¦(1. 2. 1). (1. 1. 0). (1. 3. 2)¦ es un conjunto linealmente indepen- diente o linealmente dependiente en R 3 . Solución. Escribamos el vector nulo como combinación lineal de los vectores dados c(1. 2. 1) + /(1. 1. 0) + c(1. 3. 2) = (0. 0. 0) (c + / + c. 2c + / + 3c. c + 2c) = (0. 0. 0) Luego tenemos el sistema de ecuaciones c + / + c = 0 2c + / + 3c = 0 c + 2c = 0 Determinemos la matriz del sistema, _ _ 1 1 1 0 2 1 3 0 1 0 2 0 _ _ ÷ _ _ 1 0 2 0 0 1 ÷1 0 0 0 0 0 _ _ Luego el sistema tiene in…nitas soluciones, es decir, c = ÷2t. / = t. c = t, con t ¸ R, esto es ÷2t(1. 2. 1) + t(1. 1. 0) + t(1. 3. 2) = (0. 0. 0). \t ¸ R. Por lo tanto, el conjunto ¦(1. 2. 1). (1. 1. 0). (1. 3. 2)¦ es linealmente dependiente. Ejemplo 80 Demostrar que ¦1 + r + r 2 . 1 + 2r ÷ r 2 . 1 + r 2 ¦ es un conjunto linealmente independiente. Demostración. Escribamos el vector nulo como combinación lineal de los vectores dados c(1 + r + r 2 ) + /(1 + 2r ÷r 2 ) + c(1 + r 2 ) = 0 (c + / + c)1 + (c + 2/)r + (c ÷/ + c)r 2 = 0 Luego tenemos el sistema de ecuaciones c + / + c = 0 c + 2/ = 0 c ÷/ + c = 0 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.4. BASES 75 Determinando la matriz del sistema tenemos _ _ 1 1 1 0 1 2 0 0 1 ÷1 1 0 _ _ ÷ _ _ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 _ _ Luego el sistema tiene única solución, es decir, c = 0. / = 0. c = 0. Por lo tanto, el conjunto ¦1 + r + r 2 . 1 + 2r ÷r 2 . 1 + r 2 ¦ es linealmente independiente. Ejemplo 81 Determinar si ¦1. i¦ es un conjunto linealmente independiente o linealmente dependiente en C. a) C como C-espacio vectorial. b) C como R-espacio vectorial. Solución. Escribamos el vector nulo como combinación lineal de los vectores dados c 1 + / i = 0 + 0i a) Como C es un C-espacio vectorial, los escalares c. / son números complejos. Luego c = c 1 + c 2 i; / = / 1 + / 2 i reemplazando en la ecuación tenemos, (c 1 + c 2 i) 1 + (/ 1 + / 2 i) i = 0 + 0i (c 1 ÷/ 2 ) 1 + (c 2 + / 1 ) i = 0 + 0i Igualando parte real e imaginaria tenemos el sistema de ecuaciones c 1 ÷/ 2 = 0 c 2 + / 1 = 0 es decir c 1 = / 2 c 2 = ÷/ 1 . Luego el sistema tiene in…nitas soluciones. Por lo tanto, el conjunto ¦1. i¦ es linealmente dependiente. b) Como C es un R-espacio vectorial, los escalares c. / son números reales. c 1 + / i = 0 + 0i Luego igualando parte real e imaginaria tenemos el sistema trivial c = 0 / = 0 Luego el sistema tiene única solución. Por lo tanto, el conjunto ¦1. i¦ es linealmente independiente. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 76 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES 2.4.2. Espacios Generados En un espacio vectorial cualquier subconjunto de él, no es un subespacio vectorial, pero a partir de él podemos construir un subespacio a traves de combinaciones lineales. De…nición 73 Sea \ un K -espacio vectorial y · 1 . · 2 . .... · m . vectores de \. Decimos que ¦· 1 . · 2 . .... · m ¦ genera a \ si y sólo si todo vector de \ es combinación lineal de · 1 . · 2 . .... · m . Es decir, dado · ¸ \. existen c 1 . c 2 . .... c m . escalares en K tal que · = c 1 · 1 + c 2 · 2 + ... + c m · m . Teorema 74 Sea \ un espacio vectorial sobre 1. y · 1 . · 2 . .... · m . vectores en \. El conjunto de todas las combinaciones lineales de ¦· 1 . · 2 . .... · m ¦ es un subespacio vectorial de \. Notación. El subespacio de todas las combinaciones lineales de ¦· 1 . · 2 . .... · m ¦ se denota por ¸¦· 1 . · 2 . .... · m ¦¸ o simplemente ¸· 1 . · 2 . .... · m ¸ . Ejemplo 82 Demostrar que ¦(1. 0. 0). (0. 1. 0). (0. 0. 1)¦ genera R 3 Demostración. Sea (r. ¸. .) ¸ R 3 . luego podemos escribir (r. ¸. .) = r(1. 0. 0) + ¸(0. 1. 0) + .(0. 0. 1) Como r. ¸. . son arbitrarios, por lo tanto ¸(1. 0. 0). (0. 1. 0). (0. 0. 1)¸ = R 3 Ejemplo 83 Demostrar que __ 1 0 0 0 _ _ 0 1 1 0 _ _ 0 0 0 1 __ genera el espacio de las matrices simétricas de orden 2. Demostración. Sea _ r ¸ . t _ una matriz simétrica . Como _ r ¸ . t _ = _ r . ¸ t _ luego ¸ = .. Reemplazando tenemos _ r ¸ ¸ t _ = r _ 1 0 0 0 _ + ¸ _ 0 1 1 0 _ + t _ 0 0 0 1 _ Como r. ¸. t son arbitrarios, por lo tanto __ 1 0 0 0 _ _ 0 1 1 0 _ _ 0 0 0 1 __ = ¦Matrices simétricas de orden dos¦ Ejemplo 84 Sea l = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , 2r + ¸ = 0¦ _ R 2 . Determinar un conjunto generador de l. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.4. BASES 77 Solución. Dado (r. ¸) ¸ l. tenemos que 2r + ¸ = 0. es decir, ¸ = ÷2r. por lo tanto (r. ¸) = (r. ÷2r) = r(1. ÷2) luego todos los elementos de l se pueden escribir como combinación lineal del vector (1. ÷2). Así l = ¸(1. ÷2)¸ Por lo tanto ¦(1. ÷2)¦ genera a l. Ejemplo 85 Sea l = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , 2r + ¸ + . = 0. r + ¸ ÷. = 0¦ _ R 3 . Deter- minar un conjunto generador de l. Solución. Dado (r. ¸. .) ¸ l. tenemos que 2r + ¸ + . = 0 y r + ¸ ÷ . = 0. asociando la matriz, obtenemos _ 2 1 1 1 1 ÷1 _ ÷ _ 1 0 2 0 1 ÷3 _ Por lo tanto (r. ¸. .) = (÷2.. 3.. .) = .(÷2. 3. 1) luego todo los elementos de l se pueden escribir como combinación lineal del vector (÷2. 3. 1). Así l = ¸(÷2. 3. 1)¸ Por lo tanto ¦(÷2. 3. 1)¦ genera a l. Ejemplo 86 Sea l = ¦¹ ¸ ` 2 (R) , ¹ = ÷¹ t ¦ _ ` 2 (R). Determinar un conjunto generador de l. Solución. Dado _ r ¸ . t _ ¸ l. se tiene _ r ¸ . t _ = ÷ _ r ¸ . t _ t _ r ¸ . t _ = _ ÷r ÷. ÷¸ ÷t _ Así obtenemos que r = ÷r. ¸ = ÷.. . = ÷¸. t = ÷t. Por lo tanto r = 0. ¸ = ÷.. t = 0. Reemplazando en la matriz tenemos que _ r ¸ . t _ = _ 0 ¸ ÷¸ 0 _ = ¸ _ 0 1 ÷1 0 _ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 78 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Luego todos los elementos de l se pueden escribir como combinación lineal del vector _ 0 1 ÷1 0 _ . Así l = __ 0 1 ÷1 0 __ Por lo tanto __ 0 1 ÷1 0 __ genera a l. Ejercicio 87 Sea l = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , r + ¸ = 0 r + 3¸ + . = 0 _ _ R 3 . Determinar un con- junto generador de l. Ejercicio 88 Sea l = _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ (r. ¸. .. t) ¸ R 4 , _ _ 1 3 2 0 1 2 1 3 0 1 3 1 _ _ _ ¸ ¸ _ r ¸ . t _ ¸ ¸ _ = _ _ 0 0 0 _ _ _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ _ R 4 . Determinar un conjunto generador de l. 2.4.3. Bases De…nición 75 Sea \ un espacio vectorial sobre K. y · 1 . · 2 . .... · m . vectores en \. Decimos que ¦· 1 . · 2 . .... · m ¦ es una base de \ si y sólo si se cumple: a) ¦· 1 . · 2 . .... · m ¦ es linealmente independiente. b) ¦· 1 . · 2 . .... · m ¦ genera a \. Ejemplo 89 Demostrar que ¦(1. 2. 1). (1. 2. 3). (3. 2. 1)¦ es una base de R 3 . Demostración. Primeramente vamos a demostrar que el conjunto es linealmente indepen- diente. Sea c. /. c ¸ R tales que (0. 0. 0) = c(1. 2. 1) + /(1. 2. 3) + c(3. 2. 1) (0. 0. 0) = (c + / + 3c. 2c + 2/ + 2c. c + 3/ + c) Luego tenemos el sistema de ecuaciones c + / + 3c = 0 2c + 2/ + 2c = 0 c + 3/ + c = 0 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.4. BASES 79 Determinando la matriz del sistema tenemos _ _ 1 1 3 2 2 2 1 3 1 _ _ y ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 1 3 2 2 2 1 3 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = 8 Por Cramer, el sistema tiene única solución, es decir, c = 0. / = 0. c = 0. Por lo tanto, el conjunto ¦(1. 2. 1). (1. 2. 3). (3. 2. 1)¦ es linealmente independiente. En la segunda parte de la demostración veremos que el conjunto genera a R 3 . Sean c. /. c ¸ R , (r. ¸. .) ¸ R 3 tales que (r. ¸. .) = c(1. 2. 1) + /(1. 2. 3) + c(3. 2. 1) (r. ¸. .) = (c + / + 3c. 2c + 2/ + 2c. c + 3/ + c) Luego tenemos el sistema de ecuaciones c + / + 3c = r 2c + 2/ + 2c = ¸ c + 3/ + c = . Determinando la matriz del sistema y calculando su determinante obtenemos ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 1 3 2 2 2 1 3 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = 8 Por Cramer, el sistema tiene única solución, es decir, c = ÷4r + 8¸ ÷4. 8 . / = ÷2¸ + 4. 8 . c = 4r ÷2¸ 8 . Por lo tanto, el conjunto ¦(1. 2. 1). (1. 2. 3). (3. 2. 1)¦ genera a R 3 . Y con ello el conjunto ¦(1. 2. 1). (1. 2. 3). (3. 2. 1)¦ es una base de R 3 . Ejemplo 90 Demostrar que __ ÷2 1 2 1 _ . _ 3 3 4 2 _ . _ 2 ÷1 5 ÷1 _ . _ 4 5 7 5 __ es una base de ` 2 (R). Demostración. Primeramente vamos a demostrar que el conjunto es linealmente indepen- diente. Sean c. /. c. d ¸ R tales que _ 0 0 0 0 _ = c _ ÷2 1 2 1 _ + / _ 3 3 4 2 _ + c _ 2 ÷1 5 ÷1 _ + d _ 4 5 7 5 _ _ 0 0 0 0 _ = _ ÷2c + 3/ + 2c + 4d c + 3/ ÷c + 5d 2c + 4/ + 5c + 7d c + 2/ ÷c + 5d _ . Luego tenemos el sistema de ecuaciones jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 80 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES ÷2c + 3/ + 2c + 4d = 0 c + 3/ ÷c + 5d = 0 2c + 4/ + 5c + 7d = 0 c + 2/ ÷c + 5d = 0 Determinando la matriz del sistema tenemos _ ¸ ¸ _ ÷2 3 2 4 1 3 ÷1 5 2 4 5 7 1 2 ÷1 5 _ ¸ ¸ _ y ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ÷2 3 2 4 1 3 ÷1 5 2 4 5 7 1 2 ÷1 5 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷98. Por Cramer, el sistema tiene única solución, es decir, c = 0. / = 0. c = 0. d = 0. Por lo tanto, el conjunto __ ÷2 1 2 1 _ . _ 3 3 4 2 _ . _ 2 ÷1 5 ÷1 _ . _ 4 5 7 5 __ es linealmente independiente. En la segunda parte de la demostración veremos que el conjunto genera a ` 2 (R). Sean c. /. c. d ¸ R, _ r ¸ . t _ ¸ ` 2 (R) tales que _ r ¸ . t _ = c _ ÷2 1 2 1 _ + / _ 3 3 4 2 _ + c _ 2 ÷1 5 ÷1 _ + d _ 4 5 7 5 _ _ r ¸ . t _ = _ ÷2c + 3/ + 2c + 4d c + 3/ ÷c + 5d 2c + 4/ + 5c + 7d c + 2/ ÷c + 5d _ . Luego tenemos el sistema de ecuaciones ÷2c + 3/ + 2c + 4d = r c + 3/ ÷c + 5d = ¸ 2c + 4/ + 5c + 7d = . c + 2/ ÷c + 5d = t Determinando la matriz del sistema y calculando su determinante tenemos ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ÷2 3 2 4 1 3 ÷1 5 2 4 5 7 1 2 ÷1 5 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷98. Por Cramer, el sistema tiene única solución, la cual es , c = ÷ 16 49 r + 1 7 . + 2 7 ¸ ÷ 11 49 t / = ¸ ÷t c = ÷ 3 14 ¸ + 3 98 r + 1 7 . ÷ 1 98 t d = 9 14 t ÷ 1 2 ¸ + 1 14 r jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.4. BASES 81 Por lo tanto, el conjunto __ ÷2 1 2 1 _ . _ 3 3 4 2 _ . _ 2 ÷1 5 ÷1 _ . _ 4 5 7 5 __ genera a ` 2 (R). Y con ello el conjunto __ ÷2 1 2 1 _ . _ 3 3 4 2 _ . _ 2 ÷1 5 ÷1 _ . _ 4 5 7 5 __ es una base de ` 2 (R). Ejemplo 91 Sea l = _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ (r. ¸. .. t) ¸ R 4 , _ _ 1 3 2 0 1 2 1 3 0 1 3 1 _ _ _ ¸ ¸ _ r ¸ . t _ ¸ ¸ _ = _ _ 0 0 0 _ _ _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ _ R 4 . De- terminar una base de l. Solución. Primero necesitamos encontrar un conjunto generador, para ello consideremos la matriz del sistema y la escalonada reducida por …la (recuerde que es un sistema homogéneo) _ _ 1 3 2 0 1 2 1 3 0 1 3 1 _ _ ÷ _ _ 1 0 0 11 0 1 0 ÷5 0 0 1 2 _ _ por lo tanto (r. ¸. .. t) = (÷11c. 5c. 2c. c) con c ¸ R. (r. ¸. .. t) = c(÷11. 5. ÷2. 1) con c ¸ R luego ¦(÷11. 5. ÷2. 1)¦ genera el espacio l. Ahora es fácil demostrar que este conjunto es linealmente independiente, ya que c(÷11. 5. ÷2. 1) = (0. 0. 0. 0) = c = 0. Así, ¦(÷11. 5. ÷2. 1)¦ es linealmente independiente, y por lo tanto es una base de l. Ejemplo 92 Sea \ = ¦j(r) ¸ R 2 [r] , j 0 (1) = j(0)¦ _ R 2 [r]. Determinar un base de \. Solución. Primero necesitamos encontrar explícitamente la condición que de…ne al conjunto. Sea j(r) = c + /r + cr 2 . calculando su derivada obtenemos j 0 (r) = / + 2cr. Evaluando la condición se tiene j 0 (1) = j(0) / + 2c = c c = / + 2c. con /. c ¸ R. notemos que /. c no tienen restricciones, luego c + /r + cr 2 = / + 2c + /r + cr 2 = / + /r + 2c + cr 2 = /(1 + r) + c(2 + r 2 ) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 82 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES por lo tanto un conjunto generador de \ es _ 1 + r. 2 + r 2 _ Además, este conjunto es linealmente independiente, ya que c(1 + r) + /(2 + r 2 ) = 0 (c + 2/) + cr + /r 2 = 0. Recuerde que esta última es una igualdad polinomial, por lo tanto c = 0. / = 0 es decir, ¦1 + r. 2 + r 2 ¦ es linealmente independiente. Así, ¦1 + r. 2 + r 2 ¦ es una base de \. Ejercicio 93 Sea o x : ¹ ÷ 1. tal que o x (¸) = _ 1 :i r = ¸ 0 :i r ,= ¸ así o x ¸ 1(¹; R). entonces ¦o x ¦ x2A . es un base de 1(¹. R). Teorema 76 Sea \ un espacio vectorial sobre K. y ¦· 1 . · 2 . .... · m ¦. una base de \. Si n ¸ \ y n = c 1 · 1 + c 2 · 2 + ... + c m · m tal que c 1 ,= 0 entonces ¦n. · 2 . .... · m ¦. es una base de \. Observación. Note que la elección del primer elemento de la base no tiene mayor impor- tancia, ya que la condición esencial es que el coe…ciente sea no nulo. En el teorema anterior, podemos reemplazar cualquier · i en la base por n. siempre que c i ,= 0. Ejemplo 94 Sea l = ¸(1. 1. 1) . (1. 0. 0)¸ el subespacio de R 3 . Como el vector (3. 7. 7) = 7(1. 1. 1) ÷4(1. 0. 0) y además 7 ,= 0 luego ¸(1. 1. 1) . (1. 0. 0)¸ = ¸(3. 7. 7). (1. 0. 0)¸ . Ejemplo 95 Sea \ un espacio vectorial sobre K. y n. · ¸ \. Demostrar ¸n. ·¸ = ¸7n + 2·. 3n + ·¸ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.5. DIMENSIÓN 83 Demostración. Como el vector 7n + 2· = 7 n + 2 · y además 7 ,= 0. luego ¸n. ·¸ = ¸7n + 2·. ·¸ y ahora veamos que el vector 3n + · es combinación de 7n + 2·. · 3n + · = 3 7 (7n + 2·) + 1 7 · como 1 7 ,= 0. tenemos ¸7n + 2·. ·¸ = ¸7n + 2·. 3n + ·¸ Por lo tanto ¸n. ·¸ = ¸7n + 2·. 3n + ·¸ . Observación. La demostración del ejemplo anterior no es única, al estudiante lo desa…amos a realizar otra demostración. Teorema 77 Sea \ un espacio vectorial sobre 1. y ¦· 1 . · 2 . .... · m ¦. una base de \. Si el conjunto ¦n 1 . n 2 . .... n n ¦ es otra base de \. entonces : = :. Consecuencia de este teorema es la siguiente de…nición. 2.5. Dimensión De…nición 78 Sea \ un espacio vectorial sobre K. Decimos que la dimensión de \ es : si y sólo si existe una base de \ tal que su cardinal es :. Notación. Cuando la dimensión de \ es : lo denotamos por dim K \ = :. o simplemente dim\ = :. Ejemplo 96 1. Las matrices triangulares superiores de orden :. forman un subespacio de las matrices de orden : y su dimensión es n(n+1) 2 . la base esta formada por las matrices 1 ij (El coe…ciente del lugar (i. ,) es 1 y el resto es cero) con i _ ,. es decir 1 = ¦1 ij , 1 _ i _ , _ :¦ 2. Las matrices simétricas de orden :. forman un subespacio de las matrices de orden : y su dimensión es n(n+1) 2 . la base está formada por las matrices 1 ij +1 ji con i _ ,. es decir 1 = ¦1 ij + 1 ji , 1 _ i _ , _ :¦ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 84 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES 3. Las matrices antimétricas de orden :. forman un subespacio de las matrices de orden : y su dimensión es n(n1) 2 . la base está formada por las matrices 1 ij ÷1 ji con i < ,. es decir 1 = ¦1 ij ÷1 ji , 1 _ i < , _ :¦ 4. Las matrices diagonales de orden :. forman un subespacio de las matrices de orden : y su dimensión es :. la base está formada por las matrices 1 ii . es decir 1 = ¦1 ii , 1 _ i _ :¦ 5. R n es un espacio vectorial sobre R y su dimensión es :. la base está formada por las :-uplas c i (donde el coe…ciente del lugar i tiene el valor uno y en los otros cero), es decir 1 = ¦c i , 1 _ i _ :¦ 6. C n es un espacio vectorial sobre C y su dimensión es :. la base está formada por las :-uplas c i (donde el coe…ciente del lugar i tiene el valor uno y en los otros cero), es decir 1 = ¦c i , 1 _ i _ :¦ 7. K n [r] = _ Los polinomios en la variable r con coe…cientes en 1. de grado menor o igual que : incluyendo al polinomio nulo _ es un subespacio de K[r] y su dimensión es : +1. la base está formada por r i . 0 _ i _ :. es decir 1 = _ r i , 0 _ i _ : _ Teorema 79 Sea \ un K÷espacio vectorial de dimensión : y ¹ un subconjunto de \ en- tonces: 1. Si el cardinal de ¹ es : y ¹ es un conjunto linealmente independiente entonces ¹ es una base de \ . 2. Si el cardinal de ¹ es : y ¹ es un conjunto que genera a \ entonces ¹ es una base de \ . 3. Si el cardinal de ¹ es mayor estricto que : entonces ¹ es un conjunto linealmente dependiente. 4. Si el cardinal de ¹ es menor estricto que : entonces el generado por ¹ es un subespacio distinto de \ . Corolario 80 Sea \ un K÷espacio vectorial de dimensión : y l un subespacio vectorial de \ tal que diml = :. entonces l = \. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.5. DIMENSIÓN 85 Observación. Tenga presente que para aplicar este teorema, es necesario conocer la dimen- sión del espacio. Ejemplo 97 Determinar la dimensión del espacio \ = _ ¹ ¸ ` 2 (R) , ¹ _ 1 2 3 6 _ = _ 0 0 0 0 __ _ ` 2 (R). Solución. Sea ¹ = _ c / c d _ ¸ \. luego _ c / c d _ _ 1 2 3 6 _ = _ 0 0 0 0 _ _ c + 3/ 2c + 6/ c + 3d 2c + 6d _ = _ 0 0 0 0 _ igualando coe…cientes tenemos c + 3/ = 0 c + 3d = 0 resolviendo y reemplazando en la matriz obtenemos _ c / c d _ = _ ÷3/ / ÷3d d _ = / _ ÷3 1 0 0 _ + d _ 0 0 ÷3 1 _ . es decir \ = __ ÷3 1 0 0 _ . _ 0 0 ÷3 1 __ . Falta demostrar que son linealmente independiente, r _ ÷3 1 0 0 _ + ¸ _ 0 0 ÷3 1 _ = _ 0 0 0 0 _ _ ÷3r r ÷3¸ ¸ _ = _ 0 0 0 0 _ así obtenemos que r = 0. ¸ = 0. con lo cual __ ÷3 1 0 0 _ . _ 0 0 ÷3 1 __ es una base de \. Por lo tanto la dimensión de \ es 2. Ejercicios. 1. Sean l = ¦(r. ¸. .. t) ¸ R 4 ,r + ¸ ÷. = 0 . 2r + 3¸ ÷t = 0¦. \ = < (1. 2. ÷1. 3). (1. 1. 2. ÷1) a) Determinar una base de l y su dimensión. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 86 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES b) Encontrar un base de l ¨ \ y su dimensión. 2. Sean l = ¦(r. ¸. .. t) ¸ R 4 ,2r + 3¸ + . + 2t = 0 . r + 2¸ + 3. + t = 0¦. \ = ¦(r. ¸. .. t) ¸ R 4 ,2r + 2¸ ÷8. + 2t = 0¦ a) Determinar una base de l y su dimensión. b) Encontrar un base de l ¨ \ y su dimensión. 3. Dado el espacio vectorial l = _ (r. ¸. .. t) ¸ R 4 [ r + 2¸ + . = 0 2r + 4¸ + . ÷t = 0 _ Determinar una base de l y su dimensión. 4. Determinar si las siguientes a…rmaciones son verdaderas o falsas a) ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 [ 2r + ¸ ÷. = 0¦ es un subespacio vectorial de R 3 . b) ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 [ r + ¸ ÷. _ 0¦ es un subespacio vectorial de R 3 . c) __ r ¸ . t _ ¸ ` 2 (R) [ rt ÷.¸ = 0 _ es un subespacio vectorial de ` 2 (R). d) __ r ¸ . t _ ¸ ` 2 (R) [ _ 1 1 1 1 _ _ r ¸ . t _ _ 0 0 1 1 _ = _ 0 0 0 0 __ es un subespa- cio vectorial de ` 2 (R). e) El conjunto ¦(1. 0. 2) . (1. 1. 1) . (1. 2. 3)¦ es linealmente independiente. f ) El conjunto __ 1 0 0 1 _ . _ 1 1 0 1 _ . _ 2 1 1 2 __ es linealmente independiente. 5. Hallar una base y la dimensión de l l = _ (r. ¸. .. t) ¸ R 4 [ r + ¸ ÷. = 0 r + 4t = 0 _ . 2.6. Suma Directa Teorema 81 Sean \ un K-espacio vectorial y l. \ dos subespacios de \. entonces l ¨\ es un subespacio de \. Demostración. Como l y \ son subespacios vectoriales de \. en ambos espacios se veri…can las propiedades de espacio vectorial, de donde se obtiene: i) 0 ¸ l y 0 ¸ \. luego 0 ¸ l ¨ \. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.6. SUMA DIRECTA 87 ii) Además, dados n. n ¸ l ¨ \. entonces n. n ¸ l. y n. n ¸ \ y así n + n ¸ l. y n + n ¸ \ luego n + n ¸ l ¨ \ iii) Finalmente si n ¸ l ¨ \. y c ¸ K. entonces n ¸ l y n ¸ \ y c ¸ K por lo tanto cn ¸ l y cn ¸ \ lo que equivale a decir que cn ¸ l ¨ \. De (i), (ii) y (iii) se tiene que l ¨ \ es un subespacio de \. Ejemplo 98 Sean l = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , 2r + 3¸ + . = 0¦ y \ = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , r + ¸ ÷2. = 0¦. Determinar una base de l ¨ \. Solución. Sea (r. ¸. .) ¸ l ¨ \. luego (r. ¸. .) ¸ l y (r. ¸. .) ¸ \. Así tenemos que 2r + 3¸ + . = 0 y r + ¸ ÷2. = 0 por lo tanto debemos resolver el sistema, lo cual haremos mediante operaciones elementales …la. _ 2 3 1 0 1 1 ÷2 0 _ ÷ _ 1 0 ÷7 0 0 1 5 0 _ luego r = 7t, ¸ = ÷5t. . = t. con t ¸ R. Así obtenemos (r. ¸. .) ¸ l ¨ \ = (r. ¸. .) = (7t. ÷5t. t) = t(7. ÷5. 1) con t ¸ R es decir l ¨ \ =< (7. ÷5. 1) Como el vector es no nulo, luego ¦(7. ÷5. 1)¦ es una base de l ¨ \. Ejemplo 99 Sean l = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , 3r + 2¸ ÷. = 0¦ y \ =< (1. 1. 1). (2. 1. ÷1) . Determinar una base de l ¨ \. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 88 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Solución. Sea (r. ¸. .) ¸ l ¨ \. luego (r. ¸. .) ¸ l y (r. ¸. .) ¸ \. Así tenemos que 3r + 2¸ ÷. = 0 y (r. ¸. .) = c(1. 1. 1) + /(2. 1. ÷1). con c. / ¸ R. con lo cual, (r. ¸. .) = (c + 2/. c + /. c ÷/) r = c + 2/. ¸ = c + /. . = c ÷/ Reemplazando en la ecuación que de…ne la pertenencia a l tenemos, 3(c + 2/) + 2(c + /) ÷(c ÷/) = 0 4c + 9/ = 0 c = ÷ 9 4 / con lo cual obtenemos (r. ¸. .) = c(1. 1. 1) + /(2. 1. ÷1) = ÷ 9 4 /(1. 1. 1) + /(2. 1. 1) = /(÷ 1 4 . ÷ 5 4 . ÷ 5 4 ) Así, (r. ¸. .) ¸ l ¨ \ = (r. ¸. .) = /(÷ 1 4 . ÷ 5 4 . ÷ 5 4 ) con / ¸ R es decir l ¨ \ = _ (÷ 1 4 . ÷ 5 4 . ÷ 5 4 ) _ . Como el vector es no nulo, luego _ (÷ 1 4 . ÷ 5 4 . ÷ 5 4 ) _ es una base de l ¨ \. Ejemplo 100 Sean l =< (1. 2. 1. 1). (1. 3. 1. 2) y \ =< (2. 1. 1. 1). (2. 2. 1. ÷1) sube- spacios de R 4 . Determinar una base de l ¨ \. Solución. Sea (r. ¸. .. t) ¸ l ¨ \. luego (r. ¸. .. t) ¸ l y (r. ¸. .. t) ¸ \. Veremos primero las condiciones para que el vector pertenezca a l. (r. ¸. .. t) = c(1. 2. 1. 1) + /(1. 3. 1. 2). con c. / ¸ R. (r. ¸. .. t) = (c + /. 2c + 3/. c + /. c + 2/) con c. / ¸ R. Ahora el vector (r. ¸. .. t) también pertenece a \. entonces (r. ¸. .. t) = c(2. 1. 1. 1) + d(2. 2. 1. ÷1). con c. d ¸ R. (r. ¸. .. t) = (2c + 2d. c + 2d. c + d. c ÷d) con c. d ¸ R. Con lo cual tenemos que el vector debe satisfacer las dos condiciones, luego (c + /. 2c + 3/. c + /. c + 2/) = (2c + 2d. c + 2d. c + d. c ÷d). con c. /. c. d ¸ R. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.6. SUMA DIRECTA 89 Reescribiendo las ecuaciones se obtiene el sistema c + / ÷2c ÷2d = 0 2c + 3/ ÷c ÷2d = 0 c + / ÷c ÷d = 0 c + 2/ ÷c + d = 0 Luego la matriz asociada al sistema de ecuaciones lineales es, _ ¸ ¸ _ 1 1 ÷2 ÷2 2 3 ÷1 ÷2 1 1 ÷1 ÷1 1 2 ÷1 1 _ ¸ ¸ _ ÷ _ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 _ ¸ ¸ _ y así las soluciones son: c = 0. / = 0. c = 0. d = 0 Reemplazando en cualesquiera de las dos combinaciones lineales se tiene que (r. ¸. .. t) = c(1. 2. 1. 1) + /(1. 3. 1. 2) = (0. 0. 0. 0) Así, (r. ¸. .. t) ¸ l ¨ \ = (r. ¸. .. t) = (0. 0. 0. 0) es decir l ¨ \ = ¦(0. 0. 0. 0)¦. Como el vector es nulo, luego no existe base del espacio nulo l ¨ \. Ejemplo 101 Sean l = ¸(2. 1. 2. 1). (3. 1. 2. 2)¸ y \ = ¸(1. 1. 1. 1). (2. 1. 4. ÷1)¸ sub- espacios de R 4 . Determinar una base de l ¨ \. Solución. Sea (r. ¸. .. t) ¸ l ¨ \. luego (r. ¸. .. t) ¸ l y (r. ¸. .. t) ¸ \. Veremos primero las condiciones para que el vector pertenezca a l. (r. ¸. .. t) = c(2. 1. 2. 1) + /(3. 1. 2. 2). con c. / ¸ R. (r. ¸. .. t) = (2c + 3/. c + /. 2c + 2/. c + 2/) con c. / ¸ R. Ahora el vector también pertenece a \. entonces (r. ¸. .. t) = c(1. 1. 1. 1) + d(2. 1. 4. ÷1). con c. d ¸ R. (r. ¸. .. t) = (c + 2d. c + d. c + 4d. c ÷d) con c. d ¸ R. De esto se tiene que el vector (r. ¸. .. t) debe satisfacer ambas condiciones, es decir: (2c + 3/. c + /. 2c + 2/. c + 2/) = (c + 2d. c + d. c + 4d. c ÷d). con c. /. c. d ¸ R. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 90 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Reescribiendo las ecuaciones obtenemos el sistema 2c + 3/ ÷c ÷2d = 0 c + / ÷c ÷d = 0 2c + 2/ ÷c ÷4d = 0 c + 2/ ÷c + d = 0 La matriz asociada al sistema de ecuaciones lineales es _ ¸ ¸ _ 2 3 ÷1 ÷2 1 1 ÷1 ÷1 2 2 ÷1 ÷4 1 2 ÷1 1 _ ¸ ¸ _ ÷ _ ¸ ¸ _ 1 0 0 ÷5 0 1 0 2 0 0 1 ÷2 0 0 0 0 _ ¸ ¸ _ y así las soluciones son: c = 5|. / = ÷2|. c = 2|. d = | Reemplazando en cualesquiera de las dos combinaciones lineales tenemos (r. ¸. .. t) = c(2. 1. 2. 1) + /(3. 1. 2. 2) = 5|(2. 1. 2. 1) ÷2|(3. 1. 2. 2) = |(4. 3. 6. 1) Así, (r. ¸. .. t) ¸ l ¨ \ = (r. ¸. .. t) = |(4. 3. 6. 1) es decir l ¨ \ =< (4. 3. 6. 1) . Como el vector no es nulo, ¦(4. 3. 6. 1)¦ es una base del espacio l ¨ \. Observación. La unión de subespacios vectoriales de un espacio vectorial \ , en general, no es un subespacio vectorial de \ . Ejemplo de ello lo tenemos en el caso de l =< c 1 . y \ =< c 2 ambos son subespacios de \ = R 2 . pero la unión de ellos no es un subespacio, ya que c 1 + c 2 , ¸ l ' \. Consideremos ahora el subespacio generado por la unión de l y \, (l. \ como en la observación anterior), ¸l ' \¸ y describamos los vectores que lo forman. Como el espacio generado por ¸l ' \¸ es un subespacio vectorial de \ , se tiene que para n ¸ l y n ¸ \. n +n debe pertenecer a ¸l ' \¸ . Así tenemos que todos los elementos de la forma n + n pertenecen a ¸l ' \¸ . Ahora veamos que acontece con dos elementos de la forma n +n, para ello consideremos n + n ¸ ¸l ' \¸ . n 0 + n 0 ¸ ¸l ' \¸ n + n + n 0 + n 0 ¸ ¸l ' \¸ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.6. SUMA DIRECTA 91 Usando las propiedades asociativa y conmutativa de la suma tenemos que (n + n) + (n 0 + n 0 ) = (n + n 0 ) + (n + n 0 ) Luego podemos mantener su estructura, es decir, como la suma de un elemento en l más otro elemento en \. Ahora veamos que sucede con la multiplicación por escalar. n + n ¸ ¸l ' \¸ y c ¸ K c(n + n) = cn + cn ¸ ¸l ' \¸ Con lo cual se tiene que ¸l ' \¸ = ¦n + n ¸ \ , n ¸ l. n ¸ \¦ . 2.6.1. Sumas de Espacios De…nición 82 Sea \ un K-espacio vectorial y l. \ dos subespacios de \ entonces se de…ne la suma de l y \ como ¦n + n ¸ \ , n ¸ l. n ¸ \¦ . es decir l + \ = ¦n + n ¸ \ , n ¸ l. n ¸ \¦ . Ejemplo 102 Sean l =< c 1 y \ =< c 2 dos subespacios de R 2 entonces l + \ = _ n + n ¸ R 2 , n ¸ l. n ¸ \ _ = _ rc 1 + ¸c 2 ¸ R 2 , rc 1 ¸ l. ¸c 2 ¸ \. r. ¸ ¸ R _ = _ (r. ¸) ¸ R 2 , r. ¸ ¸ R _ = R 2 < c 1 + < c 2 = R 2 . Ejemplo 103 Sean l = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , r+3¸ = 0¦. \ = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , 2r+5¸ = 0¦ subespacios de R 2 . Determinar l + \. Solución. Primero determinemos un conjunto generador del subespacio l. l = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , r + 3¸ = 0¦ l = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , r = ÷3¸¦ l = ¦(÷3¸. ¸) ¸ R 2 , ¸ ¸ R¦ l = < (÷3. 1) . Ahora realicemos el mismo proceso con \. \ = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , 2r + 5¸ = 0¦ \ = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , r = ÷ 5 2 ¸¦ \ = ¦(÷ 5 2 ¸. ¸) ¸ R 2 , ¸ ¸ R¦ \ = __ ÷ 5 2 . 1 __ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 92 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ahora veamos la suma, l + \ = ¦n + n ¸ R 2 , n ¸ l. n ¸ \¦ = ¦r(÷3. 1) + ¸(÷ 5 2 . 1) ¸ R 2 , r. ¸ ¸ R¦ = _ (÷3. 1). (÷ 5 2 . 1) _ Como _ (÷3. 1). (÷ 5 2 . 1) _ es un conjunto linealmente independiente, ya que ¸ ¸ ¸ ¸ ÷3 1 ÷ 5 2 1 ¸ ¸ ¸ ¸ = 1 2 ,= 0 entonces _ (÷3. 1). (÷ 5 2 . 1) _ es una base de R 2 . luego l + \ = _ (÷3. 1). (÷ 5 2 . 1) _ = R 2 Teorema 83 Sean l. \ subespacios vectoriales de \ tales que l =< ¹ y \ =< 1 con ¹ y 1 subconjuntos de \. entonces l + \ =< ¹ ' 1 . Teorema 84 Sea \ un espacio vectorial de dimensión …nita y l. \ subespacios vectoriales de \. entonces dim(l + \) = dim(l) + dim(\) ÷dim(l ¨ \). 2.6.2. Suma Directa De…nición 85 Sea \ un K÷espacio vectorial y l. \ dos subespacios vectoriales de \. De- cimos que \ es suma directa de l y \ si y sólo si todo vector de \ se escribe en forma única como un vector de l más otro vector de \. Notación. Si \ es suma directa de l y \ esto se denota por \ = l ¸\. Observación. La de…nición dice que un espacio vectorial \ es suma directa de los subespa- cios l y \ si dado cualquier · en \ existe un único n en l y existe un único n en \ de modo que · = n + n. Ejemplo 104 En R 2 . tenemos que todo elemento (r. ¸) se puede escribir como (r. ¸) = (r. 0) + (0. ¸) la cual es única, con la condición que cada uno de los sumandos esté situado en l =< c 1 y \ =< c 2 respectivamente. Así podemos decir que R 2 =< c 1 ¸ < c 2 . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.6. SUMA DIRECTA 93 Teorema 86 Sea \ un K-espacio vectorial y l. \ dos subespacios vectoriales de \. \ es suma directa de l y \ si y sólo si se cumple i) l ¨ \ = ¦0¦ ii) \ = l + \. Ejemplo 105 Sean l = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , 3r + 2¸ ÷ . = 0¦. y \ =< (1. 2. 1) . Determinar si R 3 es suma directa de l y \. Solución. Sea (r. ¸. .) ¸ l ¨ \. luego (r. ¸. .) ¸ l y (r. ¸. .) ¸ \. Así tenemos que 3r + 2¸ ÷. = 0 y (r. ¸. .) = c(1. 2. 1). con c ¸ R. con lo cual (r. ¸. .) = (c. 2c. c) Reemplazando en la ecuación, obtenemos, 3(c) + 2(2c) ÷(c) = 0 6c = 0 c = 0 y así tenemos que (r. ¸. .) = c(1. 2. 1) = (0. 0. 0). Finalmente, (r. ¸. .) ¸ l ¨ \ = (r. ¸. .) = (0. 0. 0) es decir, l ¨ \ = ¸(0. 0. 0)¸ Ahora, determinaremos un conjunto generador de l. para ello 3r + 2¸ ÷. = 0 . = 3r + 2¸ Por lo tanto, (r. ¸..) ¸ l = (r. ¸. .) = (r. ¸. 3r + 2¸) = (r. ¸. .) = r(1. 0. 3) + ¸(0. 1. 2) luego l =< (1. 0. 3). (0. 1. 2) . Como l =< (1. 0. 3). (0. 1. 2) y \ =< (1. 2. 1) se tiene que l + \ =< (1. 0. 3). (0. 1. 2). (1. 2. 1) El conjunto ¦(1. 0. 3). (0. 1. 2). (1. 2. 1)¦ . generador de l + \. es una base de R 3 ya que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 0 1 0 1 2 3 2 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷6 Con lo cual hemos probado que R 3 = l ¸\. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 94 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejemplo 106 Sean l = ¦(r. ¸. .. t) ¸ R 4 , 3r + 2¸ ÷. = 0. r + ¸ + t = 0¦. \ = ¦(r. ¸. .. t) ¸ R 4 , r + ¸ ÷. + t = 0. r + 2¸ + . ÷t = 0¦ dos subespacios de R 4 . Determinar si R 4 es suma directa de l y \. Solución. Sea (r. ¸. .. t) ¸ l ¨\. luego (r. ¸. .. t) ¸ l y (r. ¸. .. t) ¸ \. Cada pertenencia nos entrega dos ecuaciones con las cuales obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales 3r + 2¸ ÷. = 0 r + ¸ ÷t = 0 r + ¸ ÷. + t = 0 r + 2¸ + . ÷t = 0 y la matriz del sistema esta dada por _ ¸ ¸ _ 3 2 ÷1 0 1 1 0 ÷1 1 1 ÷1 1 1 2 1 ÷1 _ ¸ ¸ _ . cuyo determinante es ÷3. luego el sistema tiene única solución, es decir, la solución trivial. Por lo tanto, l ¨ \ = ¸(0. 0. 0. 0)¸ . Ahora determinaremos un conjunto generador para cada uno de los subespacios. Reali- cemos esto para el subespacio l. 3r + 2¸ ÷. = 0. r + ¸ + t = 0 . = 3r + 2¸. t = ÷r ÷¸. Así, (r. ¸. .. t) = (r. ¸. 3r + 2¸. ÷r ÷¸) (r. ¸. .. t) = r(1. 0. 3. ÷1) + ¸(0. 1. 2. ÷1) por lo tanto l =< (1. 0. 3. ÷1). (0. 1. 2. ÷1) . Ahora obtendremos un conjunto generador de \. r + ¸ ÷. + t = 0. r + 2¸ + . ÷t = 0 r = 3. ÷3t. ¸ = ÷2. + 2t Así, (r. ¸. .. t) = (3. ÷3t. ÷2. + 2t. .. t) (r. ¸. .. t) = .(3. ÷2. 1. 0) + t(÷3. 2. 0. 1) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.7. COORDENADAS 95 por lo tanto \ =< (3. ÷2. 1. 0). (÷3. 2. 0. 1) . Como l =< (1. 0. 3. ÷1). (0. 1. 2. ÷1) y \ =< (3. ÷2. 1. 0). (÷3. 2. 0. 1) . en- tonces l + \ =< (1. 0. 3. ÷1). (0. 1. 2. ÷1). (3. ÷2. 1. 0). (÷3. 2. 0. 1) . El conjunto ¦(1. 0. 3. ÷1). (0. 1. 2. ÷1). (3. ÷2. 1. 0). (÷3. 2. 0. 1)¦ . generador de l +\. es una base de R 4 . ya que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 0 3 ÷3 0 1 ÷2 2 3 2 1 0 ÷1 ÷1 0 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷5 Con esto hemos demostrado que R 4 = l ¸\. Ejercicios. 1. Sea 1(R. R) un R-espacio vectorial, l = ¦, ¸ 1(R. R) , ,(÷r) = ÷,(r)¦. \ = ¦, ¸ 1(R. R) , ,(÷r) = ,(r)¦ subespacio de 1(R. R) a) Demostrar que l ¨ \ = ¦0¦. b) Demostrar que l + \ = 1(R. R). 2. Sean \ = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , 3r + 2¸ ÷. = 0¦ y l =< (1. ÷1. 2) . Demostrar que R 3 = l ¸\ 3. Sean \ = ¦(r. ¸. .. t) ¸ R 4 , 3r + 2¸ ÷. + t = 0. r + ¸ ÷. = 0¦. l = < (1. 1. ÷1. 2). (0. 1. 3. 1) Demostrar que R 4 = l ¸\. 2.7. Coordenadas Sea \ un espacio vectorial sobre K de dimensión : y E = ¦· 1 . · 2 . .... · n ¦ base de \. De ahora en adelante consideremos que las bases son ordenadas, esto es, una base es ordenada si …jamos la posición en que se encuentran los vectores en la base. Como E es una base de \. todo elemento de \ es combinación lineal única de los elementos de la base, es decir · = c 1 · 1 + c 2 · 2 + ... + c n · n jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 96 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Denotamos las coordenadas de ·. con respecto a la base ordenada E. por [·] B la cual es una matriz de orden : 1 cuyos coe…cientes son los escalares (en el orden establecido), es decir, [·] B = _ ¸ ¸ ¸ _ c 1 c 2 . . . c n _ ¸ ¸ ¸ _ Ejemplo 107 Sea E = ¦1 ÷ r. 1 + 2r + r 2 . 1 + r 2 ¦ una base de R 2 [r]. Determinar las coordenadas de · = 1 y · = c + /r + cr 2 , respecto a la base E. Solución. Escribamos 1 en combinación lineal de 1 ÷r. 1 + 2r + r 2 . 1 + r 2 . 1 = c(1 ÷r) + /(1 + 2r + r 2 ) + c(1 + r 2 ) 1 = (c + / + c)1 + (÷c + 2/)r + (/ + c)r 2 1 = c + / + c. 0 = ÷c + 2/. 0 = / + c c = 1. / = ÷1,2. c = 1,2 Así, [1] B = _ _ 1 ÷1,2 1,2 _ _ . Ahora escribamos el vector c+/r+cr 2 en combinación lineal de 1÷r. 1+2r+r 2 . 1+r 2 . c + /r + cr 2 = c(1 ÷r) + ,(1 + 2r + r 2 ) + ¸(1 + r 2 ) c + /r + cr 2 = (c + , + ¸)1 + (÷c + 2,)r + (, + ¸)r 2 c = c + , + ¸. / = ÷c + 2,. c = , + ¸. Para resolver el sistema, asociemos la matriz y escalonemos _ _ 1 1 1 c ÷1 2 0 / 0 1 1 c _ _ ÷ _ _ 1 0 0 c ÷c 0 1 0 1 2 / + 1 2 c ÷ 1 2 c 0 0 1 3 2 c ÷ 1 2 / ÷ 1 2 c _ _ Así, c +/r +cr 2 = (c ÷c) (1 ÷r) + _ 1 2 / + 1 2 c ÷ 1 2 c _ (1 + 2r +r 2 ) + _ 3 2 c ÷ 1 2 / ÷ 1 2 c _ (1 +r 2 ) Por lo tanto, _ c + /r + cr 2 ¸ B = _ _ c ÷c 1 2 / + 1 2 c ÷ 1 2 c 3 2 c ÷ 1 2 / ÷ 1 2 c _ _ Ejercicios. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.8. PRODUCTO TENSORIAL 97 1. Sea T = ¦(1. 1. ÷1). (2. 1. 1). (3. ÷1. 1)¦ una base de R 3 . Determinar: a) [(1. 2. 3)] D b) [(r. ¸. .)] D 2. Sea E = ¦1 ÷r. 2 + r ÷r 2 . 3r 2 ÷r + 1¦ una base de R 2 [r]. Determinar: a) [1 + r ÷r 2 ] B b) [cr 2 + /r + c] B 3. Sea T = ¦(1. 2. 1). (1. 3. 2)¦ una base de U = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , r ÷¸ + . = 0¦ a) Si [n] D = _ 1 2 _ . Determinar n b) Si [·] D = _ 3t 2t _ . Determinar · 4. Sea U = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , 2r ÷3¸ + 5. = 0¦ y / una base de U tal que [(1. ÷1. ÷1)] A = _ 1 2 _ [(4. 1. ÷1)] A = _ 3 2 _ Determinar la base /. 2.8. Producto tensorial Otra de las operaciones que podemos estudiar entre espacios vectoriales es el producto tensorial con el cual podemos construir nuevos espacios vectoriales. Una de las nociones necesarias para poder entender el producto tensorial es el de Espacio Cuociente. 2.8.1. Espacio Cuociente Sea \ un espacio vectorial sobre K. y l un subespacio vectorial de \. de…namos la siguiente relación de equivalencia sobre \ : dos elementos de \ estan relacionados si y sólo si la diferencia de ellos pertenece a l. es decir, n s · = n ÷· ¸ l Podemos comprobar que s cumple las propiedades: jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 98 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES (a) Re‡eja: Como l es un espacio vectorial, luego 0 ¸ l = n ÷n ¸ l = n s n. Por lo tanto, (\n ¸ \ )(n s n) (b) Simétrica: Sean n. · ¸ \. tales que n s ·. luego n ÷ · ¸ l y como l es un espacio vectorial, entonces (÷1)(n ÷·) ¸ l. pero (÷1)(n ÷·) = ÷n + · = · ÷n por lo tanto · ÷n ¸ l lo que equivale a decir que · s n. Así hemos demostrado (\n. · ¸ \ ) ((n s ·) = (· s n)) (c) Transitiva: Sean n. ·. n ¸ l tales que n s · y · s n. entonces (n ÷·) y (· ÷n) ¸ l y como l es un subespacio, la suma de ellos pertenece a l. (n ÷·) + (· ÷n) = n + ((÷· + ·) ÷n) = n ÷n luego n ÷n ¸ l y por lo tanto n s n. Es decir, (\n. · ¸ \ ) [((n s ·) . (· s n)) = (n s n)] Usando estas propiedades de…nimos la clase de equivalencia de n ¸ \. dada por n = ¦· ¸ \ , · s n¦ = ¦· ¸ \ , · ÷n ¸ l¦ = ¦· ¸ \ , · ÷n = n ¸ l¦ = ¦· ¸ \ , · = n + n. n ¸ l¦ = ¦n + n ¸ \ , n ¸ l¦ = n + l Finalmente de…nimos el conjunto cuociente \,l como el conjunto de todas las clases de equivalencia, \,l = ¦n , n ¸ \ ¦ Observación. Note que los elementos de \,l son conjuntos. A continuación daremos una estructura de espacio vectorial a \,l. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.8. PRODUCTO TENSORIAL 99 a) Primero de…namos la suma: dadas dos clases n. ·. de…nimos n+· como (n + ·). es decir, sumamos los vectores y a continuación determinamos su clase. La de…nición anterior se basa en la siguiente propiedad. n s n 0 . · s · 0 = (n + ·) s (n 0 + · 0 ) la cual es fácil comprobar, basta notar: n s n 0 . · s · 0 = n ÷n 0 ¸ l. · ÷· 0 ¸ l = (n ÷n 0 ) + (· ÷· 0 ) ¸ l = (n + ·) ÷(n 0 + · 0 ) ¸ l = (n + ·) s (n 0 + · 0 ) Esta propiedad nos permite escribir n = n 0 . · = · 0 = (n + ·) = (n 0 + · 0 ) b) Ahora de…namos la multiplicación por escalar: dada una clase n. y un escalar c ¸ K, de…nimos c n como (c n). es decir primero multiplicamos el vector por el escalar y luego determinamos su clase. La de…nición anterior se basa en la siguiente propiedad n s n 0 . c ¸ K = cn s cn 0 la cual también es fácil de comprobar, n s n 0 . c ¸ K = n ÷n 0 ¸ l. c ¸ K = c(n ÷n 0 ) ¸ l. c ¸ K = (cn ÷cn 0 ) ¸ l. c ¸ K = cn s cn 0 Esta propiedad nos permite escribir n = n 0 . c ¸ K = cn = cn 0 . De…nición 87 Sea \ un espacio vectorial sobre K y l un subespacio de \. Se de…ne en el conjunto cuociente \,l = ¦n , n ¸ \ ¦ las operaciones n + · = n + ·. n. · ¸ \ c n = c n. n ¸ \. c ¸ K Teorema 88 Con las operaciones de…nidas anteriormente \,l es un espacio vectorial sobre K. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 100 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejemplo 108 Sea l =< (1. 1) subespacio de R 2 . Describir el espacio vectorial cuociente R 2 ,l. Solución. Las clases o los vectores que pertenecen al conjunto cuociente estan dados por: (r. ¸) = ¦(r 0 . ¸ 0 ) ¸ R 2 , (r 0 . ¸ 0 ) s (r. ¸)¦ = ¦(r 0 . ¸ 0 ) ¸ R 2 , (r 0 . ¸ 0 ) ÷(r. ¸) ¸< (1. 1) ¦ = ¦(r 0 . ¸ 0 ) ¸ R 2 , (r 0 . ¸ 0 ) ÷(r. ¸) = t(1. 1). t ¸ R¦ = ¦(r 0 . ¸ 0 ) ¸ R 2 , (r 0 . ¸ 0 ) = (r. ¸) + t(1. 1). t ¸ R¦ = ¦(r. ¸) + t(1. 1) ¸ R 2 , t ¸ R¦. Geometricamente la clase de (r. ¸) corresponde a la recta cuyo vector director es (1. 1) y pasa por (r. ¸). Dos ejemplos concretos de clase son: (0. 1) = ¦(0. 1) + t(1. 1) ¸ R 2 , t ¸ R¦. = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , r = ¸ ÷1¦ = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , r ÷¸ = ÷1¦ (1. 2) = ¦(1. 2) + t(1. 1) ¸ R 2 , t ¸ R¦. = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , r ÷1 = ¸ ÷2¦ = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , r ÷¸ = ÷1¦ = (0. 1) es decir, ambos vectores son iguales y representan la recta de pendiente 1 que pasa por el punto (1. 2). La operatoria que transforma a este conjunto en un espacio vectorial sobre R es: (r. ¸) + (c. /) = (r + c. ¸ + /) c(r. ¸) = (cr. c¸) En un ejemplo concreto tenemos (1. 2) + (1. 3) = (2. 5) c(1. 2) = (c. 2c) Geométricamente la suma de los vectores (1. 2) y (1. 3) es la recta de pendiente 1 que pasa por el punto (2. 5). Ejemplo 109 Sea l = ¦(r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r + ¸ = 0. r + . ÷ n = 0¦ subespacio de R 4 . Describir el espacio cuociente R 4 ,l. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.8. PRODUCTO TENSORIAL 101 Solución. Las clases o los vectores que pertenecen al conjunto cuociente estan dados por: (r. ¸. .. n) = ¦(r 0 . ¸ 0 . . 0 . n 0 ) ¸ R 4 , (r 0 . ¸ 0 . . 0 . n 0 ) s (r. ¸. .. n)¦ = ¦(r 0 . ¸ 0 . . 0 . n 0 ) ¸ R 4 , (r 0 . ¸ 0 . . 0 . n 0 ) ÷(r. ¸. .. n) ¸ l¦ Para poder explicitar la clase de (r 0 . ¸ 0 . . 0 . n 0 ) necesitamos encontrar un conjunto generador de l. para ello resolvamos el sistema cuya matriz asociada es _ 1 1 0 0 1 0 1 ÷1 _ ÷ _ 1 0 1 ÷1 0 1 ÷1 1 _ Así obtenemos que ¦(÷1. 1. 1. 0) . (1. ÷1. 0. 1)¦ es un conjunto generador de l. .más aun una base de l. Como (r 0 . ¸ 0 . . 0 . n 0 ) ÷(r. ¸. .. n) ¸ l == (r 0 . ¸ 0 . . 0 . n 0 ) ÷(r. ¸. .. n) ¸ ¸(÷1. 1. 1. 0) . (1. ÷1. 0. 1)¸ == (r 0 . ¸ 0 . . 0 . n 0 ) ÷(r. ¸. .. n) = c (÷1. 1. 1. 0) + / (1. ÷1. 0. 1) . c. / ¸ R == (r 0 . ¸ 0 . . 0 . n 0 ) = (r. ¸. .. n) + c (÷1. 1. 1. 0) + / (1. ÷1. 0. 1) . c. / ¸ R Por lo tanto (r. ¸. .. n) = ¦(r. ¸. .. n) + c (÷1. 1. 1. 0) + / (1. ÷1. 0. 1) . c. / ¸ R¦ Dos ejemplos concretos de clases son: (0. 1. 1. 2) = ¦(0. 1. 1. 2) + c (÷1. 1. 1. 0) + / (1. ÷1. 0. 1) . c. / ¸ R¦ = ¦(/ ÷c. c ÷/ + 1. c + 1. / + 2) ¸ R 4 , c. / ¸ R¦ (1. ÷1. 1. 0) = ¦(1. ÷1. 1. 0) + c (÷1. 1. 1. 0) + / (1. ÷1. 0. 1) . c. / ¸ R¦. = ¦(/ ÷c + 1. c ÷/ ÷1. c + 1. /) ¸ R 4 , c. / ¸ R¦ En un ejemplo concreto tenemos (0. 1. 2. 1) + (1. 1. 2. 3) = (1. 2. 4. 4) c(1. 2. 0. 2) = (c. 2c. 0. 2c) 2.8.2. Producto tensorial Sea \ un K-espacio vectorial y l. \ dos subespacios vectoriales de \. consideremos el subespacio vectorial de…nido en el ejercicio 70. o f (l \. K) = ¦q : l \ ÷K , q tiene soporte …nito¦ el cual es un espacio vectorial con las operaciones de suma de funciones y multiplicación por escalar de una función. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 102 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Además una base de este espacio es ¦o (u;w) , (n. n) ¸ l \¦ donde o (u;w) es la función de…nida de la siguiente forma: o (u;w) (r. ¸) = _ 1 si (n. n) = (r. ¸) 0 si (n. n) ,= (r. ¸) Este es un espacio de dimensión in…nita (l \ tiene in…nitos elementos). Recuerde que una función q tiene soporte …nito si y sólo si el cardinal de ¦(n. n) ¸ l \ , q(n. n) ,= 0 ¦ es …nito. Observación. Los vectores del espacio o f (l \. K) son funciones que pueden describirse en forma análoga a los polinomios, es decir, q = q(n. n)o (u;w) donde o (u;w) juega el rol o papel de r i en un polinomio y la suma es …nita dado que q es de soporte …nito. En el espacio o f (l \. K). consideremos el subespacio generado por ¹ = ¦o (u;w) ÷co (u;w) . o (u;w) ÷co (u;w) . o (u+u 0 ;w) ÷o (u;w) ÷o (u 0 ;w) . o (u;w+w 0 ) ÷o (u;w) ÷o (u;w 0 ) , n. n 0 ¸ l. n. n 0 ¸ \. c ¸ K¦ Con el subespacio generado por ¹. ¸¹¸ construimos el espacio cuociente y así tenemos la siguiente de…nición. De…nición 89 Sea \ un K -espacio vectorial y l. \ dos subespacios vectoriales de \. se de…ne el producto tensorial de l y \. denotado por l ¸\. al K-espacio vectorial o f (l \. K), ¸¹¸ es decir, l ¸\ = o f (l \. K), ¸¹¸ Notación. Los vectores de l ¸\. son clases de funciones, en particular la clase de o (u;w) la denotamos por n ¸n. es decir, o (u;w) = n ¸n. Con esta notación tenemos las siguientes propiedades. Teorema 90 Sea \ un K-espacio vectorial y l. \ dos subespacios vectoriales de \. entonces se tiene: 1. (\n ¸ l) (\n ¸ \) (\c ¸ K) ((cn) ¸n = c (n ¸n)) 2. (\n ¸ l) (\n ¸ \) (\c ¸ K) (n ¸(cn) = c (n ¸n)) 3. (\n. n 0 ¸ l) (\n ¸ \) ((n + n 0 ) ¸n = (n ¸n) + (n 0 ¸n)) 4. (\n ¸ l) (\n. n 0 ¸ \) (n ¸(n + n 0 ) = (n ¸n) + (n ¸n 0 )) . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 2.8. PRODUCTO TENSORIAL 103 Ejemplo 110 Explicitar una base de R ¸R. Solución. Primero veamos algunos vectores de este espacio, por ejemplo: 2 ¸3. ÷: ¸ _ 5. c 2 ¸sin(3) Usando las propiedades del teorema, tenemos c ¸, = (c 1) ¸, = c(1 ¸,) = c(1 ¸(, 1)) = c,(1 ¸1) con lo cual hemos podido comprobar que c ¸, = c,(1 ¸1) generalizando el caso anterior, tenemos i c i ¸, i = i c i , i (1 ¸1) = ( i c i , i )(1 ¸1) = `(1 ¸1) Así, todo vector de R¸R. es combinación lineal de 1¸1. Este vector es no nulo y genera a R¸R, luego ¦1 ¸1¦ es una base del espacio vectorial R¸R. y por lo tanto su dimensión es 1. Ejemplo 111 Explicitar una base de R 2 ¸R 2 . Solución. Primero veamos algunos vectores de este espacio, por ejemplo: (2. 1) ¸(1. 3); (0. :) ¸( _ 5. c 2 ) Recordemos que la base canónica de R 2 la denotamos por ( = ¦c 1 . c 2 ¦. Usando propiedades del teorema anterior tenemos, (c. /) ¸(c. d) = (cc 1 + /c 2 ) ¸(c. d) = (cc 1 ) ¸(c. d) + (/c 2 ) ¸(c. d) = c(c 1 ¸(c. d)) + /(c 2 ¸(c. d)) = c(c 1 ¸(cc 1 + dc 2 )) + /(c 2 ¸(cc 1 + dc 2 )) = c(c 1 ¸(cc 1 )) + c(c 1 ¸(dc 2 )) + /(c 2 ¸(cc 1 )) + /(c 2 ¸(dc 2 )) = cc(c 1 ¸c 1 ) + cd(c 1 ¸c 2 ) + /c(c 2 ¸c 1 ) + /d(c 2 ¸c 2 ) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 104 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES con lo cual hemos podido comprobar que (c. /) ¸(c. d) = cc(c 1 ¸c 1 ) + cd(c 1 ¸c 2 ) + /c(c 2 ¸c 1 ) + /d(c 2 ¸c 2 ) generalizando el caso anterior, tenemos i (c i . / i ) ¸(c i . d i ) = i c i c i (c 1 ¸c 1 ) + c i d i (c 1 ¸c 2 ) + / i c i (c 2 ¸c 1 ) + / i d i (c 2 ¸c 2 ) = i c i c i (c 1 ¸c 1 ) + i c i d i (c 1 ¸c 2 ) + i / i c i (c 2 ¸c 1 ) + i / i d i (c 2 ¸c 2 ) = ` 11 (c 1 ¸c 1 ) + ` 12 (c 1 ¸c 2 ) + ` 21 (c 2 ¸c 1 ) + ` 22 (c 2 ¸c 2 ) Así, todo vector de R 2 ¸R 2 . es combinación lineal de (c 1 ¸c 1 ). (c 1 ¸c 2 ). (c 2 ¸c 1 ). (c 2 ¸c 2 ). entonces obtenemos ¦c 1 ¸c 1 . c 1 ¸c 2 . c 2 ¸c 1 . c 2 ¸c 2 ¦ es una base del espacio vectorial R 2 ¸R 2 . Por lo anterior tenemos que el espacio vectorial R 2 ¸R 2 tiene dimensión 4. Ejercicios. 1. Explicitar una base de R ¸R 2 . 2. Explicitar una base de R 2 ¸R. 3. Explicitar una base de R 2 ¸` 22 (R). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch Capítulo 3 Transformaciones lineales 3.1. Introducción Entre espacios vectoriales \ y \. sobre un mismo cuerpo K. se pueden de…nir una gran variedad de funciones, nos interesa resaltar de estas funciones las que respetan la estructura de espacio vectorial, es decir, respetan la suma de vectores y también la multiplicación por un escalar. Al considerar este tipo de funciones, uno de los mejores ejemplo que disponemos es la derivada como función de \ en \. siendo \ el R-espacio vectorial de todas las funciones reales derivables. La función derivada respeta la suma y la multiplicación por escalar, esto es, dados ,. q en \ y c en R se tiene: (, +q) 0 (r) = (, 0 +q 0 ) (r) (c,) 0 (r) = (c, 0 ) (r) . así también, la integral mirada como función desde el R-espacio vectorial \. de todas las funciones integrables en el intervalo [c. /]. en el el R-espacio vectorial R también cumple estas propiedades, es decir, dados ,. q en \ y c en R se tiene: _ b a (, +q) (r)dr = _ b a ,(r)dr + _ b a q(r)dr _ b a (`,) (r)dr = ` _ b a ,(r)dr 3.2. Transformaciones Lineales En este capítulo l. \. \ denotan espacios vectoriales sobre K. De…nición 91 Sea 1 : l ÷ \. una función. Se dice que 1 es una transformación lineal si y sólo si 1 satisface lo siguiente: i) 1 respeta la suma, es decir, (\n. · ¸ l)(1(n +·) = 1(n) +1(·)) 105 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 106 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES ii) 1 respeta la multiplicación por escalar (\c ¸ K)(\n ¸ l)(1(cn) = c1(n)) Notación. El conjunto de todas las transformaciones lineales de \ en \ se denota por /(\. \). es decir, /(\. \) = ¦1 : \ ÷ \ , 1 es una transformación lineal¦ Ejemplo 112 Demostrar que la siguiente función 1 : R 2 ÷÷ R 2 (r. ¸) (¸. r) es una transformación lineal. Solución. Veamos primero que 1 respeta la suma. Sean (r. ¸). (r 0 . ¸ 0 ) cualesquiera en R 2 1((r. ¸) + (r 0 . ¸ 0 )) = 1((r +r 0 . ¸ +¸ 0 )) = (¸ +¸ 0 . r +r 0 ) = (¸. r) + (¸ 0 . r 0 ) = 1((r. ¸)) +1((r 0 . ¸ 0 )) Ahora la multiplicación por escalar. Sea (r. ¸) cualesquiera en R 2 y c en R 1(c(r. ¸)) = 1((cr. c¸)) = (c¸. cr) = c(¸. r) = c1((r. ¸)) con lo cual hemos demostrado que 1 es una transformación lineal. Ejemplo 113 Demostrar que la siguiente función 1 : R 2 ÷÷ R 2 (r. ¸) (2r + 3¸. r ÷3¸) es una transformación lineal. Solución. Veamos primero que 1 respeta la suma. Sean (r. ¸). (r 0 . ¸ 0 ) cualesquiera en R 2 1((r. ¸) + (r 0 . ¸ 0 )) = 1((r +r 0 . ¸ +¸ 0 )) = (2 (r +r 0 ) + 3 (¸ +¸ 0 ) . (r +r 0 ) ÷3 (¸ +¸ 0 )) = (2r + 2r 0 + 3¸ + 3¸ 0 . r +r 0 ÷3¸ ÷3¸ 0 ) = (2r + 3¸. r ÷3¸ 0 ) + (2r 0 + 3¸ 0 . r 0 ÷3¸ 0 ) = 1((r. ¸)) +1((r 0 . ¸ 0 )) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 107 Ahora la multiplicación por escalar. Sea (r. ¸) cualesquiera en R 2 y c en R 1(c(r. ¸)) = 1((cr. c¸)) = (2cr + 3c¸. cr ÷3c¸) = (c (2r + 3¸) . c (r ÷3¸)) = c(2r + 3¸. r ÷3¸) = c1((r. ¸)) con lo cual hemos demostrado que 1 es una transformación lineal. Ejemplo 114 Demostrar que la siguiente función 1 : R 2 [r] ÷÷ R 2 cr 2 +/r +c (c ÷/. 2c +/) es una transformación lineal. Solución. Veamos primero que 1 respeta la suma. Sean cr 2 + /r + c. y c 0 r 2 + / 0 r + c 0 cualesquiera en R 2 [r] 1((cr 2 +/r +c) + (c 0 r 2 +/ 0 r +c 0 )) = 1((c +c 0 )r 2 + (/ +/ 0 )r + (c +c 0 )) = ((c +c 0 ) ÷(/ +/ 0 ) . 2 (c +c 0 ) + (/ +/ 0 )) = (c ÷/ +c 0 ÷/ 0 . 2c +/ + 2c 0 +/ 0 ) = (c ÷/. 2c +/) + (c 0 ÷/ 0 . 2c 0 +/ 0 ) = 1(cr 2 +/r +c) +1(c 0 r 2 +/ 0 r +c 0 ) Ahora la multiplicación por escalar. Sea cr 2 +/r +c cualesquiera en R 2 [r]. y ` en R 1(` _ cr 2 +/r +c _ ) = 1(`cr 2 +`/r +`c) = (`c ÷`/. 2`c +`/) = (`(c ÷/) . `(2c +/)) = `(c ÷/. 2c +/) = c1(cr 2 +/r +c) con lo cual hemos demostrado que 1 es una transformación lineal. Proposición 92 Sea 1 una función de l en \. entonces 1 es una transformación lineal si y sólo si se cumple que (\n. · ¸ l) (\c ¸ K) (1(n +c·) = 1(n) +c1(·)) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 108 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Ejercicio 115 Demostrar que la siguiente función 1 : R 3 ÷÷ R 3 (r. ¸. .) (2r ÷¸ +.. r ÷¸ +.. r) es una transformación lineal. Ejercicio 116 Demostrar que la siguiente función 1 : R 3 ÷÷ R 2 (r. ¸. .) (r ÷2¸ +.. 2r + 3¸ + 2.) es una transformación lineal. Ejemplo 117 Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 2 (r. ¸. .) (2r + 3¸ +.. r ÷3¸ ÷.) Solución. Necesitamos determinar los vectores (r. ¸. .) de R 3 tales que 1(r. ¸. .) = (0. 0) Evaluando 1. (2r + 3¸ +.. r ÷3¸ ÷.) = (0. 0) es decir, 2r + 3¸ +. = 0. r ÷3¸ ÷. = 0 luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos _ 2 3 1 1 ÷3 ÷1 _ ÷ _ 1 0 0 0 1 1 3 _ por lo tanto, r = 0 ¸ + 1 3 . = 0 con lo cual, (r. ¸. .) = (0. ÷ 1 3 .. .) = .(0. ÷ 1 3 . 1) Así el conjunto de las preimágenes del vector nulo es el subespacio _ (0. ÷ 1 3 . 1) _ . Observación. Note que el resolver un sistema de ecuaciones lineales equivale a encontrar las preimágenes de un vector para una transformación lineal dada. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 109 Teorema 93 Sean l. \ dos espacios vectoriales sobre K. además sean ¦n 1 . n 2 . .... n n ¦ una base de l y ¦· 1 . · 2 . .... · n ¦ un subconjunto de \ entonces existe una única transformación lineal 1 de l en \. tal que 1(n i ) = · i . i = 1. .... : Observación: Dado un vector n de l. se tiene que n = n i=1 c i n i ya que ¦n 1 . n 2 . .... n n ¦ es una base de l. como la transformación del teorema anterior es lineal entonces tenemos 1 _ n i=1 c i n i _ = n i=1 c i · i . Ejemplo 118 Determinar 1 una transformacion lineal de R 2 en l = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , r +¸ +. = 0¦ tal que 1(1. 0) = (1. 2. ÷3) y 1(1. 1) = (5. ÷3. ÷2). Solución. Como ¦(1. 0). (1. 1)¦ es una base de R 2 y los vectores (1. 2. ÷3) y (5. ÷3. ÷2) pertenecen a l. entonces existe un única transformación lineal. Explicitemos la transformación, para ello usemos la observación anterior. Sea (r. ¸) ¸ R 2 . luego (r. ¸) = (r ÷¸) (1. 0) +¸(1. 1) aplicando la transformación lineal obtenemos 1(r. ¸) = 1 ((r ÷¸) (1. 0) +¸(1. 1)) = (r ÷¸) 1(1. 0) +¸1(1. 1) = (r ÷¸) (1. 2. ÷3) +¸(5. ÷3. ÷2) = (r + 4¸. 2r ÷5¸. ÷3r +¸) Por lo tanto obtenemos la siguiente transformación lineal: 1 : R 2 ÷÷ l (r. ¸) (r + 4¸. 2r ÷5¸. ÷3r +¸) . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 110 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Ejercicios. Determinar si los siguientes funciones son transformaciones lineales. JUSTIFIQUE. 1. 1 : R 3 ÷R 2 tal que 1(r. ¸. .) = (r +¸. 3r +¸). 2. 1 : R 3 ÷R 2 tal que 1(r. ¸. .) = (r +¸. r + _ ¸ 2 ). 3. 1 : R 2 ÷R 2 tal que 1(r. ¸) = (r +¸ 2 . r) 4. 1 : R 2 ÷R 3 tal que 1(r. ¸) = (r +[¸[. r. ¸) 5. 1 : R ÷ ` 2 (R) tal que 1(r) = _ r 2r _ 2r r 2 _ 6. 1 : R 2 ÷ ` 2 (R) tal que 1(r. ¸) = _ r +¸ r ÷3¸ 2r r ÷¸ _ 3.2.1. Kernel o Núcleo El poder distinguir este conjunto formado por todas las preimágenes del vector nulo nos lleva a la siguiente de…nición. De…nición 94 Sea 1 : \ ÷ \ una transformación lineal. Se de…ne el Kernel o Núcleo de la transformación lineal 1, denotado por Ker 1. al conjunto de las preimágenes del vector nulo, es decir Ker 1 = ¦· ¸ \ , 1(·) = 0¦ Ejemplo 119 Determinar el kernel de la siguiente transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 2 (r. ¸. .) (r ÷2¸ +.. 2r + 3¸ + 2.) Solución. Como tenemos que Ker 1 = ¦· ¸ \ , 1(·) = 0¦ reemplazando Ker 1 = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , 1(r. ¸. .) = (0. 0) _ = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , (r ÷2¸ +.. 2r + 3¸ + 2.) = (0. 0) _ = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , r ÷2¸ +. = 0. 2r + 3¸ + 2. = 0 _ para explicitar el Ker 1 debemos resolver el sistema de ecuaciones lineales homogéneo, para ello asociamos la matriz al sistema y determinamos su escalonada. _ 1 ÷2 1 2 3 2 _ ÷ _ 1 0 1 0 1 0 _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 111 Con lo cual tenemos Ker 1 = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , r +. = 0 ¸ = 0 _ = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , r = ÷. ¸ = 0 _ = _ (÷.. 0. .) ¸ R 3 , . ¸ R _ = ¸(÷1. 0. 1)¸ . Por lo tanto Ker 1 = ¸(÷1. 0. 1)¸ . Ejemplo 120 Determinar el kernel de la siguiente transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 2 (r. ¸. .) (r ÷2¸ ÷.. 2r + 3¸ + 2.) Solución. Como tenemos que Ker 1 = ¦· ¸ \ , 1(·) = 0¦ reemplazando Ker 1 = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , 1(r. ¸. .) = (0. 0) _ = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , (r ÷2¸ ÷.. 2r + 3¸ + 2.) = (0. 0) _ = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , r ÷2¸ ÷. = 0 2r + 3¸ + 2. = 0 _ para explicitar el Ker 1 debemos resolver el sistema de ecuaciones lineales homogéneo, para ello asociamos la matriz al sistema y determinamos su escalonada. _ 1 ÷2 ÷1 2 3 2 _ ÷ _ 1 0 1 7 0 1 4 7 _ Con lo cual tenemos Ker 1 = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , r + 1 7 . = 0 ¸ + 4 7 . = 0 _ = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , r = ÷ 1 7 . ¸ = ÷ 4 7 . _ = _ (÷ 1 7 .. ÷ 4 7 .. .) ¸ R 3 , . ¸ R _ = __ ÷ 1 7 . ÷ 4 7 . 1 __ . Por lo tanto Ker 1 = __ ÷ 1 7 . ÷ 4 7 . 1 __ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 112 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Teorema 95 Sea 1 una transformación lineal de l en \. es decir, 1 ¸ /(l. \ ) entonces Ker 1 _ l Ejemplo 121 En el ejemplo anterior tenemos la transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 2 (r. ¸. .) (r ÷2¸ ÷.. 2r + 3¸ + 2.) cuyo kernel es ¸_ ÷ 1 7 . ÷ 4 7 . 1 __ . Como el conjunto __ ÷ 1 7 . ÷ 4 7 . 1 __ genera y es linealmente inde- pendiente, por lo tanto __ ÷ 1 7 . ÷ 4 7 . 1 __ es una base del Ker 1. Así tenemos que la dimensión del Ker 1 es 1. De…nición 96 Se de…ne la nulidad de una transformación lineal 1, como la dimensión del kernel de 1. la cual denotamos por Nul(1) = dimKer (1) Otro de los elementos notables de una función es su recorrido, esto es, el conjunto de los posibles vectores que puede alcanzar esta función. 3.2.2. Imagen o Recorrido Recordemos la de…nición de recorrido. De…nición 97 Se de…ne la Imagen o Recorrido de una transformación lineal 1, esto es 1 ¸ /(l. \ ). como el conjunto de los vectores que tienen al menos una preimagen. Im(1) = Rec (1) = ¦· ¸ \ , (¬n ¸ l) (1(n) = ·)¦ Ejemplo 122 Dada la transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 3 (r. ¸. .) (2r ÷¸ +.. r ÷¸ +.. r) Determinar la imagen de 1. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 113 Solución. Si recordamos el proceso que usamos en el cálculo en una variable, determinemos cuales vectores tienen preimagen. Para ello, sean (r. ¸. .). (c. /. c) ¸ R 3 tales que 1(r. ¸. .) = (c. /. c) (2r ÷¸ +.. r ÷¸ +.. r) = (c. /. c) Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema 2r ÷¸ +. = c r ÷¸ +. = / r = c Ahora, resolvamos el sistema buscando la matriz asociada a él, y determinando su escalonada _ _ 2 ÷1 1 c 1 ÷1 1 / 1 0 0 c _ _ ÷ _ _ 1 0 0 c 0 1 ÷1 c ÷/ 0 0 0 c ÷c ÷/ _ _ luego, un vector tiene preimagen si y sólo si el sistema es consistente (no necesitamos que la solución sea única), lo cual es equivalente a escribir c ÷c ÷/ = 0 Por lo tanto, Im(1) = ¦(c. /. c) ¸ R 3 , _ ¬(r. ¸. .) ¸ R 3 _ (1(r. ¸. .) = (c. /. c))¦ = ¦(c. /. c) ¸ R 3 , c ÷c ÷/ = 0¦ = < (1. 1. 0). (1. 0. 1) . Ejemplo 123 Dada la transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 2 (r. ¸. .) (r ÷2¸ ÷.. 2r + 3¸ + 2.) Determinar la imagen de 1. Solución. Sean (r. ¸. .) ¸ R 3 . (c. /) ¸ R 2 tales que 1(r. ¸. .) = (c. /) (r ÷2¸ ÷.. 2r + 3¸ + 2.) = (c. /) Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema r ÷2¸ ÷. = c 2r + 3¸ + 2. = / jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 114 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Ahora, determinemos la matriz asociada a él, y su escalonada _ 1 ÷2 ÷1 c 2 3 2 / _ ÷ _ 1 0 1 7 3 7 c + 2 7 / 0 1 4 7 1 7 / ÷ 2 7 c _ Así, un vector tiene preimagen si y sólo si el sistema es consistente. Como este sistema siempre tiene solución entonces, Im(1) = R 2 . Teorema 98 Sea 1 una transformación lineal de l en \. es decir 1 ¸ /(l. \ ). entonces Im1 _ \. Ejemplo 124 Dada la transformación lineal 1 : R 2 ÷÷ R 3 (r. ¸) (2r ÷¸. r ÷3¸. r) Determinar una base de Im1. Solución. Sean (r. ¸) ¸ R 2 . (c. /. c) ¸ R 3 tales que 1(r. ¸) = (c. /. c) (2r ÷¸. r ÷3¸. r) = (c. /. c) Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema 2r ÷¸ = c r ÷3¸ = / r = c Ahora, determinemos la matriz asociada y su escalonada _ _ 2 ÷1 c 1 ÷3 / 1 0 c _ _ ÷ _ _ 1 0 c 0 1 2c ÷c 0 0 / + 5c ÷3c _ _ un vector tiene preimagen si y sólo si el sistema tiene solución, lo cual es equivalente a / + 5c ÷3c = 0 Así, Im(1) = ¦(c. /. c) ¸ R 3 , _ ¬(r. ¸) ¸ R 2 _ (1(r. ¸) = (c. /. c))¦ = ¦(c. /. c) ¸ R 3 , / + 5c ÷3c = 0¦ = < (1. 3. 0). (0. ÷5. 1) . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 115 Es fácil probar que el conjunto ¦(1. 3. 0). (0. ÷5. 1)¦ es linealmente independiente, por lo tanto una base de Im1. Observación: En los anteriores desarrollos no hemos utilizado el hecho de que las funciones son transformaciones lineales, es decir, la propiedad 1(n +c·) = 1(n) +c1(·) desarrollemos el ejemplo de nuevo teniendo presente este hecho. Ejemplo 125 Dada la transformación lineal 1 : R 2 ÷÷ R 3 (r. ¸) (2r ÷¸. r ÷3¸. r) Determinar una base de Im1. Solución. Sea (r. ¸) ¸ R 2 y consideremos la base canónica de R 2 , luego (r. ¸) = r(1. 0) +¸(0. 1) Aplicando la transfomación lineal tenemos 1(r. ¸) = 1 (r(1. 0) +¸(0. 1)) = r1(1. 0) +¸1(0. 1) pero, 1(1. 0) = (2. 1. 1) y 1(0. 1) = (÷1. ÷3. 0). Así, 1(r. ¸) = r(2. 1. 1) +¸(÷1. ÷3. 0) es decir, Im(1) = ¦(c. /. c) ¸ R 3 , _ ¬(r. ¸) ¸ R 2 _ (1(r. ¸) = (c. /. c))¦ = ¦(c. /. c) ¸ R 3 , (c. /. c) = r(2. 1. 1) +¸(÷1. ÷3. 0)¦ = < (2. 1. 1). (÷1. ÷3. 0) . Es fácil probar que el conjunto ¦(2. 1. 1). (÷1. ÷3. 0)¦ es linealmente independiente, por lo tanto, ¦(2. 1. 1). (÷1. ÷3. 0)¦ es otra base de Im1. Teorema 99 Sea l un espacio vectorial, E = ¦n 1 . n 2 . .... n n ¦ y 1 ¸ /(l. \ ). entonces Im1 = ¸1(E)¸ = ¸1(n 1 ). 1(n 2 ). .... 1(n n )¸ . De…nición 100 Se de…ne el rango de una transformación lineal 1 como el número entero positivo correspondiente a la dimensión del recorrido de 1. Se denota este número por Rg 1. así tenemos que, Rg 1 = dimIm(1) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 116 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Teorema 101 Sea l un espacio vectorial de dimension …nita y 1 ¸ /(l. \ ). entonces diml = Nul 1 + Rg 1 Observación. En el ejemplo anterior tenemos que Rg 1 es igual a 2, y la dimensión del espacio de partida es 2, por lo tanto la dimensión del Ker 1 es 0, es decir Ker 1 = ¦(0. 0)¦. 3.2.3. Funciones biyectivas Recordemos algunas propiedades que cumplen ciertas funciones. De…nición 102 Sea 1 una transformación lineal de l en \. 1. Se dice que 1 es inyectiva si y sólo si (\n. · ¸ l) (1(n) = 1(·) = n = ·) 2. Se dice que 1 es epiyectiva si y sólo si Im(1) = \ 3. Se dice que 1 es biyectiva si y sólo si 1 es inyectiva y epiyectiva. Ejemplo 126 Dada la transformación lineal 1 : R 2 ÷÷ R 3 (r. ¸) (2r ÷¸. r + 3¸. r +¸) Demostrar que 1 es inyectiva. Solución. Sean (r. ¸). (n. ·) ¸ R 2 tal que 1(r. ¸) = 1(n. ·) (2r ÷¸. r + 3¸. r +¸) = (2n ÷·. n + 3·. n +·) igualando coordenadas obtenemos el siguiente sistema 2r ÷¸ = 2n ÷· r + 3¸ = n + 3· r +¸ = n +· de otra forma obtenemos el sistema homogéneo 2r ÷¸ ÷2n +· = 0 r + 3¸ ÷n ÷3· = 0 r +¸ ÷n ÷· = 0 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 117 Asociando la matriz del sistema y escalonando obtenemos _ _ 2 ÷1 ÷2 1 1 3 ÷1 ÷3 1 1 ÷1 ÷1 _ _ ÷ _ _ 1 0 ÷1 0 0 1 0 ÷1 0 0 0 0 _ _ Así, r ÷n = 0. ¸ ÷· = 0 es decir, r = n. ¸ = · (r. ¸) = (n. ·) Con lo cual hemos demostrado que (1(r. ¸) = 1(n. ·)) = ((r. ¸) = (n. ·)) es decir, 1 es inyectiva. Teorema 103 Sea 1 una transformación lineal de l en \. 1. 1 es inyectiva si y sólo si Ker 1 = ¦0¦. 2. 1 es epiyectiva si y sólo si Nul(1) + dim(\ ) = dim(l). Ejemplo 127 Dada la transformación lineal 1 : R 2 ÷÷ R 3 (r. ¸) (2r ÷¸. r + 3¸. r +¸) Demostrar que 1 es inyectiva. ¿Es 1 epiyectiva? Solución. Determinemos el kernel de 1. Para ello, sean (r. ¸) ¸ R 2 tal que 1(r. ¸) = (0. 0. 0) (2r ÷¸. r + 3¸. r +¸) = (0. 0. 0) igualando coordenadas obtenemos el siguiente sistema 2r ÷¸ = 0 r + 3¸ = 0 r +¸ = 0 Asociando la matriz al sistema y escalonando obtenemos _ _ 2 ÷1 1 3 1 1 _ _ ÷ _ _ 1 0 0 1 0 0 _ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 118 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Así, r = 0. ¸ = 0 es decir, Ker 1 = ¦(0. 0)¦ Con lo cual hemos probado que 1 es inyectiva. Para determinar la epiyectividad de 1. utilicemos que Nul(1) + dim(\ ) = dim(l) En este caso tenemos Nul(1) + dim(R 3 ) = dim(R 2 ) Como Nul (1) = 0. dimR 3 = 3 y dimR 2 = 2. entonces la igualdad no se cumple, por lo tanto, 1 no es epiyectiva. Ejemplo 128 Dada la transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 2 (r. ¸. .) (2r ÷¸ +.. r + 3¸ ÷.) Demostrar que 1 no es inyectiva. ¿Es 1 epiyectiva? Solución. Determinemos el kernel de 1. Sea (r. ¸. .) ¸ R 3 tal que 1(r. ¸. .) = (0. 0) (2r ÷¸ +.. r + 3¸ ÷.) = (0. 0) igualando coordenadas obtenemos el siguiente sistema 2r ÷¸ +. = 0 r + 3¸ ÷. = 0 Asociando la matriz al sistema y escalonando obtenemos _ 2 ÷1 1 1 3 ÷1 _ ÷ _ 1 0 2 7 0 1 ÷ 3 7 _ Así, r = ÷ 2 7 .. ¸ = 3 7 . es decir, Ker 1 = __ ÷ 2 7 . 3 7 . 0 __ Con lo cual se prueba que 1 no es inyectiva. Para determinar la epiyectividad de 1. utilicemos el hecho que Nul(1) + dim(\ ) = dim(l) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 119 En este caso tenemos Nul(1) + dim(R 2 ) = dim(R 3 ) Como Nul (1) = 1. dimR 2 = 2 y dimR 3 = 3 la igualdad se cumple, por lo tanto, 1 es epiyectiva. Ejercicios. 1. Dada la función 1 : R 3 ÷ R 2 (r. ¸. .) ÷ (2r +¸. r + 3.) a) Demostrar que 1 es una transformación lineal b) Calcular una base del Ker(1) c) Demostrar que 1 es epiyectiva 2. Dada la transformación lineal 1 : R 3 ÷ R 3 (r. ¸. .) (r ÷¸. r + 2¸ ÷.. 2r ÷5¸ +.) a) Determinar una base del Ker 1 b) Determinar una base de la Im1 3. Dada la transformación lineal 1 : R 3 ÷R 3 con 1(r. ¸. .) = (r ÷¸. 3r +¸ ÷2.. 2r ÷4¸ +.) a) Determinar una base del Ker 1 b) Determinar una base de la Im1 4. Dada la transformación lineal 1 : R 2 [r] ÷ ` 2 (R) j(r) ÷ _ j(1) j 0 (0) _ 1 0 j(r)dr j(÷1) _ a) Demostrar que 1 es inyectiva b) Calcular una base Im(1) 5. Dada la función 1 : C 3 ÷ C 2 (r. ¸. .) ÷ (r +¸. r ÷2.) a) Demostrar que 1 es una transformación lineal b) Calcular una base del Ker(1) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 120 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES 3.2.4. Álgebra de Transformaciones lineales Sean 1. G ¸ /(l. \ ). podemos de…nir la suma de las transformaciones lineales 1 y G por 1 +G : l ÷÷ \ n 1(n) +G(n) Ahora probemos que esta nueva función, también es una transformación lineal. Para ello, sean n. · ¸ l y c ¸ K (1 +G) (n +c·) = 1(n +c·) +G(n +c·) = 1(n) +1(c·) +G(n) +G(c·) = 1(n) +c1(·) +G(n) +cG(·) = 1(n) +G(n) +c1(·) +cG(·) = (1 +G) (n) +c (1 +G) (·) así hemos probado que 1 +G es una transformación lineal. También podemos de…nir la multiplicación por escalar de una transformación lineal. Sean 1 ¸ /(l. \ ) y c ¸ K, de…namos la multiplicación por el escalar c de la transformación lineal 1 del siguiente modo, c1 : l ÷÷ \ n c 1(n) Ahora probemos que esta nueva función es también una transformación lineal. Sean n. · ¸ l y c ¸ K, (c1) (n +c·) = c1(n +c·) = c(1(n) +1(c·)) = c1(n) +cc1(·) = (c1) (n) +c (c1) (·) luego hemos veri…cado que c1 es también una transformación lineal. Observación. Note que no solamente hemos demostrado que las operaciones de suma y multiplicación por escalar son transformaciones lineales sino también que /(l. \ ) es un subespacio vectorial del conjunto T(l. \ ) de todas las funciones de l en \ . Teorema 104 Sean l. \ espacios vectoriales sobre K, entonces el conjunto /(l. \ ). de to- das las transformaciones lineales de l en \. es un subespacio vectorial del conjunto T(l. \ ). de todas las funciones de l en \. Esto lo podemos expresar por /(l. \ ) _ T(l. \ ) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 121 Ejemplo 129 Dadas las transformaciones lineales 1 : R 2 ÷÷ R 3 (r. ¸) (r ÷4¸. 2r +¸. r) . G : R 2 ÷÷ R 3 (r. ¸) (2r ÷¸. r ÷3¸. ¸) Determinar una base de Im(1 +G). Solución. Explicitemos la función 1 +G. sea (r. ¸) ¸ R 2 . luego (1 +G) (r. ¸) = 1(r. ¸) +G(r. ¸) = (r ÷4¸. 2r +¸. r) + (2r ÷¸. r ÷3¸. ¸) = (3r ÷5¸. 3r ÷2¸. r +¸) Así, (1 +G) (r. ¸) = (3r ÷5¸. 3r ÷2¸. r +¸). Para determinar la imagen de 1 + G procedemos de la siguiente manera. Consideremos la base canónica de R 2 y así Im(1 +G) = ¸(1 +G) (1. 0). (1 +G) (0. 1)¸ Como (1 +G) (1. 0) = (3. 3. 1) y (1 +G) (0. 1) = (÷5. ÷2. 1), entonces Im(1 +G) =< (3. 3. 1). (÷5. ÷2. 1) . Es fácil probar que el conjunto ¦(3. 3. 1). (÷5. ÷2. 1)¦ es linealmente independiente, por lo tanto, ¦(3. 3. 1). (÷5. ÷2. 1)¦ es una base.de Im(1 +G). 3.2.5. Compuesta Otra de las operaciones que aparece cuando se trabaja con funciones es la composición de funciones. De…nición 105 Sean 1 ¸ /(l. \ ) y G ¸ /(\. \). Se de…ne la función compuesta de 1 con G por G· 1 : l ÷÷ \ n G(1(n)) Notación: Sean 1 ¸ /(\. \ ) entonces la compuesta de 1 consigo misma : veces se denota por 1 n , es decir: 1 · 1 = 1 2 1 · 1 · 1 = 1 3 . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 122 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Probemos que G· 1, es también una transformación lineal. Sean n. · ¸ l y c ¸ K, (G· 1) (n +c·) = G(1(n +c·)) = G(1(n) +1(c·)) = G(1(n) +c1(·)) = G(1(n)) +G(c1(·)) = G(1(n)) +cG(1(·)) = (G· 1) (n) +c (G· 1) (·) así hemos veri…cado que G· 1 es una transformación lineal. Ejemplo 130 Dadas las siguientes transformaciones lineales 1 : R 2 ÷÷ R 3 (r. ¸) (r ÷4¸. 2r +¸. r) G : R 3 ÷÷ R 2 (r. ¸. .) (2r ÷¸ ÷.. r ÷3¸ + 2.) Explicitar las funciones 1 · G y G· 1. Solución. Sea (r. ¸. .) ¸ R 3 . luego (1 · G) (r. ¸. .) = 1(G(r. ¸. .)) = 1(2r ÷¸ ÷.. r ÷3¸ + 2.) = (÷2r + 11¸ ÷9.. 5r ÷5¸. 2r ÷¸ ÷.) Así 1 · G : R 3 ÷÷ R 3 (r. ¸. .) (÷2r + 11¸ ÷9.. 5r ÷5¸. 2r ÷¸ ÷.) Para explicitar G· 1. Sea (r. ¸) ¸ R 2 . luego (G· 1) (r. ¸) = G(1(r. ¸)) = G(r ÷4¸. 2r +¸. r) = (÷r ÷9¸. ÷3r ÷7¸) Así G· 1 : R 2 ÷÷ R 2 (r. ¸) (÷r ÷9¸. ÷3r ÷7¸) Ejemplo 131 Dadas las siguientes transformaciones lineales 1 : R 2 [r] ÷÷ R 3 cr 2 +/r +c (c ÷/. 2c ÷3c. / + 2c) G : R 3 ÷÷ R 2 (r. ¸. .) (4r ÷¸ ÷.. ÷3r +¸ +.) Explicitar la transformación lineal G· 1 y determinar una base del Ker(G· 1) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 123 Solución. Sea cr 2 +/r +c ¸ R 2 [r]. luego (G· 1) (cr 2 +/r +c) = G(1(cr 2 +/r +c)) = G(c ÷/. 2c ÷3c. / + 2c) = (2c ÷5/ +c. ÷c + 4/ ÷c) y por lo tanto G· 1 : R 2 [r] ÷÷ R 2 cr 2 +/r +c (2c ÷5/ +c. ÷c + 4/ ÷c) . Para determinar el Ker(G· 1). recordemos la de…nición, esto es, Ker(G· 1) = ¦cr 2 +/r +c ¸ R 2 [r] , (2c ÷5/ +c. ÷c + 4/ ÷c) = (0. 0)¦. Reescribiendo el sistema, 2c ÷5/ +c = 0 ÷c + 4/ ÷c = 0 Determinemos la matriz asociada y posteriormente la escalonada reducida por …la. _ 2 ÷5 1 0 ÷1 4 ÷1 0 _ ÷ _ 1 0 ÷ 1 3 0 0 1 ÷ 1 3 0 _ luego obtenemos c = 1 3 c. / = 1 3 c. con c ¸ R Reemplazando Ker(G· 1) = ¦cr 2 +/r +c ¸ R 2 [r] , c = 1 3 c. / = 1 3 c. con c ¸ R¦ = ¦ 1 3 cr 2 + 1 3 cr +c ¸ R 2 [r] , con c ¸ R¦ = _ 1 3 r 2 + 1 3 r + 1 _ . Ejemplo 132 Dadas las siguientes transformaciones lineales 1 : R 2 ÷÷ R 3 (r. ¸) (r +¸. 2r + 4¸. r) . G : R 3 ÷÷ R 2 (r. ¸. .) (4r ÷¸ ÷.. ÷3r +¸ +.) Explicitar las funciones 1 · G y G· 1. Solución. Sea (r. ¸. .) ¸ R 3 . luego (1 · G) (r. ¸. .) = 1(G(r. ¸. .)) = 1(4r ÷¸ ÷.. ÷3r +¸ +.) = (r. ÷4r + 2¸ + 2.. 4r ÷¸ ÷.) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 124 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Así 1 · G : R 3 ÷÷ R 3 (r. ¸. .) (r. ÷4r + 2¸ + 2.. 4r ÷¸ ÷.) La otra compuesta la tenemos de…nida por (G· 1) (r. ¸) = G(1(r. ¸)) = G(r +¸. 2r + 4¸. r) = (r. ¸) Por lo tanto, G· 1 : R 2 ÷÷ R 2 (r. ¸) (r. ¸) De…nición 106 Sea l un K-espacio vectorial. La transformación lineal 1d U : l ÷÷ l n n se llama función identidad de l. Observación. En el ejemplo anterior tenemos que G · 1 = 1d R 2. pero no tenemos 1 · G = 1d R 3. 3.2.6. Inversa De…nición 107 Sea 1 ¸ /(l. \ ). decimos que existe la inversa de 1 si y sólo si existe G ¸ 1(\. l) tal que G· 1 = 1d U . 1 · G = 1d V . La notación para la función inversa es 1 1 . Proposición 108 Sea 1 : l ÷÷ \ una transformación lineal y G : \ ÷÷ l una función tal que G· 1 = 1d U y 1 · G = 1d V entonces G es una transformación lineal de \ en l.. Demostración. Sean n. · ¸ \ ¸ c ¸ K G(n +c·) = G(1d U (n) +c1d V (·)) = G(1 (G(n)) +c1 (G(·))) = G(1 (G(n)) +1 (cG(·))) = G(1 (G(n) +cG(·))) = (G· 1) (G(n) +cG(·)) = G(n) +cG(·) . Observación. La proposición anterior a…rma que dada una transformación lineal 1 : l ÷÷ \ si determinamos la función inversa de 1 entonces ella es lineal. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 125 Teorema 109 Sea 1 : l ÷÷ \ una transformación lineal. La transformación lineal inversa de 1 existe si y sólo si 1 es biyectiva. Ejemplo 133 Dada la transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 3 (r. ¸. .) (2r ÷¸ +.. r ÷¸ + 2.. r +.) 1. Demostrar que existe la inversa de 1. 2. Explicitar 1 1 (r. ¸. .) Solución. Para demostrar que 1 es biyectiva, determinemos el Ker 1. Sea (r. ¸. .) ¸ R 3 . tal que 1(r. ¸. .) = (0. 0. 0) (2r ÷¸ +.. r ÷¸ + 2.. r +.) = (0. 0. 0) igualando coordenadas obtenemos el siguiente sistema 2r ÷¸ +. = 0 r ÷¸ + 2. = 0 r +. = 0 Asociando la matriz del sistema y escalonando obtenemos _ _ 2 ÷1 1 1 ÷1 2 1 0 0 _ _ ÷ _ _ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 _ _ Así, r = 0. ¸ = 0. . = 0 es decir, Ker 1 = ¦(0. 0. 0)¦ Con lo cual, 1 es inyectiva. Además, tenemos Nul(1) + dim(R 3 ) = dim(R 3 ) Como Nul (1) = 0. luego la igualdad se cumple por lo tanto 1 es epiyectiva y usando el teorema 109 la función inversa de 1 existe. Para explicitar la función inversa de 1, necesitamos resolver la siguiente ecuación 1(r. ¸. .) = (c. /. c) (2r ÷¸ +.. r ÷¸ + 2.. r +.) = (c. /. c) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 126 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES igualando coordenadas obtenemos el sistema 2r ÷¸ +. = c r ÷¸ + 2. = / r +. = c Asociando la matriz del sistema y escalonando obtenemos _ _ 2 ÷1 1 c 1 ÷1 2 / 1 0 0 c _ _ ÷ _ _ 1 0 0 c 0 1 0 / ÷2c + 3c 0 0 1 c ÷c +/ _ _ Así, r = c. ¸ = / ÷2c + 3c. . = c ÷c +/ es decir, 1(c. / ÷2c + 3c. c ÷c +/) = (c. /. c) (c. / ÷2c + 3c. c ÷c +/) = 1 1 (c. /. c) Con lo cual la función inversa de 1 es: 1 1 : R 3 ÷÷ R 3 (r. ¸. .) (.. ¸ ÷2r + 3.. . ÷r +¸) . De…nición 110 Sea 1 ¸ /(l. \ ) . Decimos que 1 es un isomor…smo si y sólo si 1 es una transformación lineal biyectiva. Ejemplo 134 La transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 3 (r. ¸. .) (2r ÷¸ +.. r ÷¸ + 2.. r +.) del ejemplo anterior es una función biyectiva, luego 1 es un isomor…smo. De…nición 111 Sean l. \ espacios vectoriales sobre K. Decimos que l es isomorfo a \ si y sólo si existe 1 un isomor…smo de l en \. Anotaremos esto por l · \. Proposición 112 Sean l. \ espacios vectoriales de dimensión …nita sobre K. El espacio vectorial l es isomorfo a \ si y sólo si diml = dim \. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 127 Observación. Ser “isomorfo” es una relación de equivalencia en el conjunto de todos los espacios vectoriales sobre un cuerpo K. La Proposición 112 nos entrega una forma natural de parametrizar las clases de equivalencia que se de…nen por esta relación, esto es: K n puede ser elegido como el representante de todo espacio vectorial \ sobre K de dimensión :. Ejercicio 135 Veri…que que la transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 2 [r] (c. /. c) cr 2 +/r +c es un isomor…smo. Lo a…rmación anterior muestra que R 3 es isomorfo a R 2 [r] . Ejercicios. 1. Dada la transformación lineal 1 : R 2 ÷ R 2 (r. ¸) (÷2r ÷¸. 3r +¸) a) Determinar (1 · 1)(r. ¸) b) Hallar, si existe 1 1 (c. /) 2. Sea 1 : R 3 ÷R 3 una transformación lineal 1 : R 3 ÷ R 3 (r. ¸. .) (r + 2¸ +.. r ÷¸ + 3.. ÷r +¸ + 2.) a) Hallar una base de Im(1). b) Demostrar que 1 es un isomor…smo. c) Calcular 1 1 (r. ¸. .). 3. Dada la transformación lineal 1 : R 2 [r] ÷ R 2 [r] cr 2 +/r +c (c +c) r 2 + (/ +c) r + (c +/ + 2c) a) Hallar una base Im(1). b) Demostrar que 1 es un isomor…smo. c) Calcular 1 1 (r). 4. Dada la transformación lineal de R÷espacios vectoriales 1 : R 3 [r] ÷ C 2 cr 3 +/r 2 +cr +d ((c +d) + (/ +d) i. c + (c +/ +c + 2d) i) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 128 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES a) Demostrar que 1 es un isomor…smo. b) Calcular 1 1 (r). c) Calcular [1 1 ] B C 5. Dada la transformación lineal de C÷espacios vectoriales 1 : C 3 ÷ C 3 (r. ¸. .) (r + 2¸ +.. r +¸ + 3.. r +¸ + 2.) a) Demostrar que 1 es un isomor…smo. b) Calcular 1 1 (r. ¸. .) c) Calcular 1(1(1(0. 0. 1))) 3.3. Matriz asociada Una manera de facilitar el trabajo con una transformación lineal es asociarle una matriz, para lo cual es necesario considerar un par de bases ordenadas. Decir que E = ¦n 1 . n 2 . .... n n ¦ es una “base ordenada” para l signi…ca que el conjunto ¦n 2 . n 1 . .... n n ¦ se considera como una base distinta para l (aunque desde un punto de vista de la Teoría de Conjuntos E =¦n 2 . n 1 . .... n n ¦). De…nición 113 Sean l y \ dos espacios vectoriales sobre K, además E = ¦n 1 . n 2 . .... n n ¦. y ( = ¦· 1 . · 2 . .... · m ¦ bases ordenadas de l y \ respectivamente. Sea 1 una transformación lineal de l en \. Se de…ne la matriz asociada a 1 en las bases E y ( a _ ¸ ¸ ¸ _ c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n . . . . . . . . . . . . c m1 c m2 c mn _ ¸ ¸ ¸ _ ¸ ` mn (K) . denotada por [1] C B donde 1(n j ) = c 1j · 1 +c 2j · 2 + +c mj · m , para , = 1. 2. . . . . :. Observación. a) Observe que la columna ,-ésima de la matriz [1] C B corresponde ser las coordenadas del vector 1(n j ) en la base ordenada (, esto es [1(n j )] C = _ ¸ ¸ ¸ _ c 1j c 2j . . . c mj _ ¸ ¸ ¸ _ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.3. MATRIZ ASOCIADA 129 b) Si la base E del espacio de partida es igual al del espacio de llegada, la matriz asociada a la transformación lineal se denota por [1] B . Ejemplo 136 Dada la transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 2 (r. ¸. .) (5r ÷2¸ + 3.. r + 4¸ ÷2.) . Determinar la matriz asociada a 1 en la base canónica de cada espacio. Solución. Sean ( = ¦(1. 0. 0) . (0. 1. 0) . (0. 0. 1)¦. y ( 0 = ¦(1. 0) . (0. 1)¦. las bases canónicas de R 3 y R 2 respectivamente. Calculemos 1 (1. 0. 0) = (5. 1) 1 (0. 1. 0) = (÷2. 4) 1 (0. 0. 1) = (3. ÷2) y escribamos cada vector en combinación lineal de la base ( 0 . (5. 1) = 5 (1. 0) + 1 (0. 1) (÷2. 4) = ÷2 (1. 0) + 4 (0. 1) (3. ÷2) = 3 (1. 0) ÷2 (0. 1) luego, [1] C 0 C = _ 5 ÷2 3 1 4 ÷2 _ . Ejemplo 137 Dada la transformación lineal 1 : R 2 ÷÷ R 2 (r. ¸) (3r + 2¸. r ÷4¸) Determinar [1] C , donde ( = ¦(1. 0). (0. 1)¦. Solución. Para determinar la matriz asociada a 1 en la base canónica, primero calculemos 1(1. 0) = (3. 1) 1(0. 1) = (2. ÷4) Ahora expresemos cada vector como combinación lineal de los elementos de la base (3. 1) = 3(1. 0) + 1(0. 1) (2. ÷4) = 2(1. 0) ÷4(0. 1) Así, [1] C = _ 3 2 1 ÷4 _ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 130 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Teorema 114 Sea 1 ¸ /(l. \ ). con l y \ espacios vectoriales de dimensión …nita, en- tonces [1(n)] C = [1] C B [n] B donde E y ( son bases de l y \ respectivamente. Ejemplo 138 Sean E = ¦(1. 1. 1). (0. 1. 1). (1. 0. 1)¦. T = ¦(1. 1). (0. 1)¦ bases de R 3 y R 2 respectivamente y 1 una transformación lineal tal que [1] D B = _ 4 2 ÷2 ÷3 ÷1 1 _ Explicitar 1(r. ¸. .). Solución. Por el teorema anterior tenemos [1(n)] D = [1] D B [n] B Determinemos las coordenadas de (r. ¸. .) en la base E. c(1. 1. 1) +/(0. 1. 1) +c(1. 0. 1) = (r. ¸. .) igualando coordenadas obtenemos el sistema de ecuaciones lineales c +c = r c +/ = ¸ c +/ +c = . y resolviendo el sistema mediante la matriz asociada, tenemos _ _ 1 0 1 r 1 1 0 ¸ 1 1 1 . _ _ ÷ _ _ 1 0 0 r ÷. +¸ 0 1 0 . ÷r 0 0 1 . ÷¸ _ _ Así [(r. ¸. .)] B = _ _ r ÷. +¸ . ÷r . ÷¸ _ _ . luego [1(r. ¸. .)] D = _ 4 2 ÷2 ÷3 ÷1 1 _ _ _ r ÷. +¸ . ÷r . ÷¸ _ _ [1(r. ¸. .)] D = _ 2r ÷4. + 6¸ ÷2r + 3. ÷4¸ _ Con lo cual obtenemos 1(r. ¸. .) = (2r ÷4. + 6¸) (1. 1) + (÷2r + 3. ÷4¸) (0. 1) = (2r ÷4. + 6¸. ÷. + 2¸) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.3. MATRIZ ASOCIADA 131 Ejemplo 139 Sean E = ¦(1. 1. 1). (0. 1. 1). (1. 0. 1)¦ y T = ¦(1. 1. 0). (1. 0. 1). (1. 2. 3)¦ bases de R 3 y 1 una transformación lineal tal que [1] D B = _ _ 4 2 ÷2 ÷3 ÷1 1 1 2 ÷2 _ _ Determinar, sin explicitar 1(r. ¸. .). una base para el Ker 1. Solución. Sea n ¸ Ker 1. luego 1(n) = 0. por lo cual [1(n)] D = 0. Por el teorema anterior tenemos [1(n)] D = [1] D B [n] B es decir 0 = [1] D B [n] B reemplazando tenemos _ _ 4 2 ÷2 ÷3 ÷1 1 1 2 ÷2 _ _ _ _ c / c _ _ = _ _ 0 0 0 _ _ resolviendo el sistema homogéneo, mediante la matriz, obtenemos _ _ 4 2 ÷2 ÷3 ÷1 1 1 2 ÷2 _ _ ÷ _ _ 1 0 0 0 1 ÷1 0 0 0 _ _ es decir, c = 0. / = c por lo tanto, [n] B = _ _ c / c _ _ = _ _ 0 c c _ _ n = 0(1. 1. 1) +c(0. 1. 1) +c(1. 0. 1) = (c. c. 2c) = c (1. 1. 2) Así obtenemos Ker 1 = ¸(1. 1. 2)¸ . Como ¦(1. 1. 2)¦ es linealmente independiente, luego ¦(1. 1. 2)¦ es una base del Ker 1. Ejemplo 140 Sean E = ¦(1. 1. 1). (0. 1. 1). (1. 0. 1)¦. T = ¦(1. 1. 0). (1. 0. 1). (1. 2. 3)¦ bases de R 3 y 1 una transformación lineal tal que [1] D B = _ _ 4 2 ÷2 ÷3 ÷1 1 1 2 ÷2 _ _ Determinar, sin explicitar 1(r. ¸. .), una base para la Im1. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 132 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Solución. Sabemos, por el ejemplo anterior, que Rg(1) es igual a 2. luego basta encontrar dos vectores linealmente independientes de la Im1. Como [1(1. 1. 1)] D = _ _ 4 ÷3 1 _ _ . [1(0. 1. 1)] D = _ _ 2 ÷1 2 _ _ . [1(1. 0. 1)] D = _ _ ÷2 1 ÷2 _ _ entonces 1(1. 1. 1) = 4(1. 1. 0) ÷3(1. 0. 1) + 1(1. 2. 3) = (2. 6. 0) 1(0. 1. 1) = 2(1. 1. 0) ÷1(1. 0. 1) + 2(1. 2. 3) = (3. 6. 5) 1(1. 0. 1) = ÷2(1. 1. 0) + 1(1. 0. 1) ÷2(1. 2. 3) = (÷3. ÷6. ÷5) Así, Im1 = ¸ 1(1. 1. 1). 1(0. 1. 1). 1(1. 0. 1) ¸ = ¸(2. 6. 0) . (3. 6. 5) . (÷3. ÷6. ÷5)¸ = ¸(2. 6. 0) . (3. 6. 5)¸ . Además el conjunto ¦(2. 6. 0) . (3. 6. 5)¦ es linealmente indepediente, por lo tanto ¦(2. 6. 0) . (3. 6. 5)¦ es una base de Im1. Teorema 115 Sean l. \ y \ tres espacios vectoriales de dimensión …nita sobre K con E, ( y T bases de l. \ y \ respectivamente. Si 1. 1 ¸ /(l. \ ). 1 ¸ 1(\. \) y c ¸ K entonces: 1. [1 +c1] C B = [1] C B +c[1] C B 2. [1 · 1] D B = [1] D C [1] C B Corolario 116 Sea l un espacio vectorial de dimensión …nita sobre K. y E base de l. Si 1 ¸ 1(l. l). entonces [1 · 1] B B = [1] B B [1] B B = _ [1] B B _ 2 Teorema 117 Sean l y \ dos espacios vectoriales de dimensión …nita sobre K. además E y ( bases de l y \ respectivamente. Si 1 ¸ /(l. \ ) entonces: 1. 1 es un isomor…smo si y sólo si [1] C B es regular. 2. Si 1 es un isomor…smo, entonces _ 1 1 ¸ B C = _ [1] C B _ 1 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.3. MATRIZ ASOCIADA 133 Ejemplo 141 Sean E = ¦(1. 1. ÷1). (0. 2. ÷1). (1. 0. 1)¦. T = ¦(1. 2. 1). (1. 3. 2). (2. 1. 3)¦ bases de R 3 y 1 una transformación lineal tal que [1] D B = _ _ 5 2 ÷2 ÷3 ÷1 1 1 4 ÷3 _ _ Demostrar que 1 es un isomor…smo. Solución. Para demostrar que 1 es un isomor…smo basta calcular el determinante de [1] D B y comprobar que es distinto de 0. Calculemos ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 5 2 ÷2 ÷3 ÷1 1 1 4 ÷3 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = 1 por lo tanto la matriz es invertible, luego 1 es un isomor…smo. Ahora, si queremos explicitar la transformación inversa, tenemos _ 1 1 ¸ B D = _ [1] D B _ 1 Reemplazando obtenemos _ 1 1 ¸ B D = _ _ 5 2 ÷2 ÷3 ÷1 1 1 4 ÷3 _ _ 1 = _ _ ÷1 ÷2 0 ÷8 ÷13 1 ÷11 ÷18 1 _ _ Necesitamos determinar las coordenadas de (r. ¸. .) en la base T, c(1. 2. 1) +/(1. 3. 2) +c(2. 1. 3) = (r. ¸. .) igualando coordenadas obtenemos el sistema de ecuaciones lineales c +/ + 2c = r 2c + 3/ +c = ¸ c + 2/ + 3c = . resolviendo el sistema mediante la matriz asociada, tenemos _ _ 1 1 2 r 2 3 1 ¸ 1 2 3 . _ _ ÷ _ _ 1 0 0 7 4 r + 1 4 ¸ ÷ 5 4 . 0 1 0 1 4 ¸ ÷ 5 4 r + 3 4 . 0 0 1 1 4 . + 1 4 r ÷ 1 4 ¸ _ _ Así [(r. ¸. .)] D = _ _ 7 4 r + 1 4 ¸ ÷ 5 4 . 1 4 ¸ ÷ 5 4 r + 3 4 . 1 4 . + 1 4 r ÷ 1 4 ¸ _ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 134 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES luego _ 1 1 (r. ¸. .) ¸ B = _ _ ÷1 ÷2 0 ÷8 ÷13 1 ÷11 ÷18 1 _ _ _ _ 7 4 r + 1 4 ¸ ÷ 5 4 . 1 4 ¸ ÷ 5 4 r + 3 4 . 1 4 . + 1 4 r ÷ 1 4 ¸ _ _ [1(r. ¸. .)] D = _ _ 3 4 r ÷ 3 4 ¸ ÷ 1 4 . 5 2 r ÷ 11 2 ¸ + 1 2 . 7 2 r ÷ 15 2 ¸ + 1 2 . _ _ = _ _ c 0 / 0 c 0 _ _ Con lo cual obtenemos 1 1 (r. ¸. .) = c 0 (1. 1. ÷1) +/ 0 (0. 2. ÷1) +c 0 (1. 0. 1) 1 1 (r. ¸. .) = _ 17 4 r ÷ 33 4 ¸ + 1 4 .. 23 4 r ÷ 47 4 ¸ + 3 4 .. 1 4 r ÷ 5 4 ¸ + 1 4 . _ . 3.3.1. Matriz Cambio de Base Un caso particular lo tenemos cuando la transformación lineal es la función identidad de un K-espacio vectorial l. con una base E, en l con otra base (, en este caso se denomina matriz cambio de base a la matriz asociada a la transformación lineal 1d U , es decir, sea l un K-espacio vectorial de dimensión …nita y E, ( bases de l. La transformación lineal identidad 1d : l ÷÷ l n n tiene asociada su matriz en las bases E y ( denotada por [1d] C B Proposición 118 Sea l un espacio vectorial de dimensión …nita sobre K con E y ( bases de l entonces, [1d] C B = _ [1d] B C _ 1 [1d] B B = 1 n Teorema 119 Sean l y \ dos espacios vectoriales de dimensión …nita sobre K. además E y E 0 bases de l. ( y ( 0 bases de \ . Si 1 ¸ /(l. \ ) entonces [1] C B = [1d] C C 0 [1] C 0 B 0 [1d] B 0 B jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.3. MATRIZ ASOCIADA 135 Ejemplo 142 Sean E = ¦(1. 1. ÷1). (0. 2. ÷1). (1. 0. 1)¦. T = ¦(1. 2. 1). (1. 3. 2). (2. 1. 3)¦ bases de R 3 y 1 una transformación lineal tal que [1] D B = _ _ 5 2 ÷2 ÷3 ÷1 1 1 4 ÷3 _ _ Calcular [1] B Solución. Usando el teorema anterior [1] B B = [1d] B D [1] D B [1d] B B = [1d] B D [1] D B 1 3 necesitamos calcular [1d] B D . para ello necesitamos resolver los siguientes sistemas 1d(1. 2. 1) = c(1. 1. ÷1) +/(0. 2. ÷1) +c(1. 0. 1) 1d(1. 3. 2) = c 0 (1. 1. ÷1) +/ 0 (0. 2. ÷1) +c 0 (1. 0. 1) 1d(2. 1. 3) = c 00 (1. 1. ÷1) +/ 00 (0. 2. ÷1) +c 00 (1. 0. 1) para ellos tenemos la matriz ampliada asociada a los sistemas _ _ 1 0 1 1 2 0 ÷1 ÷1 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 2 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 3 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 1 3 _ _ ÷ _ _ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ÷ 2 3 4 3 5 3 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ÷ 5 3 7 3 8 3 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ÷1 1 3 _ _ Entonces tenemos [(1. 2. 1)] B = _ _ ÷ 2 3 4 3 5 3 _ _ . [(1. 3. 2)] B = _ _ ÷ 5 3 7 3 8 3 _ _ . [(2. 1. 3)] B = _ _ ÷1 1 3 _ _ con lo cual obtenemos [1d] B D = _ _ ÷ 2 3 ÷ 5 3 ÷1 4 3 7 3 1 5 3 8 3 3 _ _ Finalmente, [1] B B = [1d] B D [1] D B = _ _ ÷ 2 3 ÷ 5 3 ÷1 4 3 7 3 1 5 3 8 3 3 _ _ _ _ 5 2 ÷2 ÷3 ÷1 1 1 4 ÷3 _ _ = _ _ 2 3 ÷ 11 3 8 3 2 3 13 3 ÷ 10 3 10 3 38 3 ÷ 29 3 _ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 136 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Ejercicios. 1. Sea ( = ¦(1. 2. 1). (2. 1. 1). (1. 1. 1)¦ una base de R 3 y 1 : R 3 ÷R 3 una transformación lineal tal que [1] C C = _ _ 1 2 1 2 1 1 1 5 2 _ _ a) Determinar una base del Ker 1 b) Determinar una base de la Im1 2. Dado U = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , 2r ÷3¸ + 5. = 0¦ un espacio vectorial, / una base de U y ( = ¦(1. 0). (0. 1)¦ una base de R 2 . Si 1 : U ÷ R 2 (r. ¸. .) (r ÷¸. r ÷.) y [1] C A = _ 1 2 1 1 _ Determinar la base /. 3. Determinar si cada una de las siguientes a…rmaciones es verdadera o falsa. Justi…que. a) Si ( = ¦(1. 1. 1). (1. 2. 3). (1. 2. 2)¦ es una base de R 3 . entonces [(r. ¸. .)] C = _ _ 2r ÷¸ ÷¸ +. ÷r + 2¸ ÷. _ _ b) Si ( = ¦(1. 1. ÷1). (2. 1. 2). (3. ÷1. 4)¦ es una base de R 3 . entonces [(r. ¸. .)] C = _ _ 2r ÷2¸ ÷. ÷5r + 7¸ + 2. 3r ÷4¸ ÷. _ _ c) Si 1 : R 2 ÷ R 2 (r. ¸) (r ÷¸. r ÷2¸) y ( = ¦(1. 2). (2. 1)¦. entonces [1] C C = 1 3 _ 5 ÷1 1 2 _ d) Si 1 : R 2 ÷ R 2 (r. ¸) (r ÷¸. r ÷2¸) y ( = ¦(1. 1). (2. 1)¦. entonces [1] C C = _ ÷2 ÷1 1 1 _ e) Si 1 : R 2 ÷ R 2 (r. ¸) (2r +¸. r +¸) y ( = ¦(1. 0). (0. 1)¦. entonces _ 1 2 ¸ C C = _ 5 3 3 2 _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.3. MATRIZ ASOCIADA 137 f ) Si 1 : R 2 ÷ R 2 (r. ¸) (2r +¸. r +¸) y [1] C C = _ 1 3 3 2 _ y ( = ¦(1. 0). (0. 1)¦. entonces [1 · 1] C C = _ 5 4 8 5 _ g) Si 1 : R 2 ÷ R 2 (r. ¸) (2r +¸. r +¸) y ( = ¦(1. 0). (0. 1)¦. entonces _ 1 1 ¸ C C = _ 1 ÷1 ÷1 2 _ h) Si 1 : R 1 [r] ÷ R 1 [r] cr +/ /r ÷c y E = ¦1. r + 2¦. entonces [1] B B = _ ÷2 ÷5 1 2 _ i ) Si 1 : R 1 [r] ÷ R 1 [r] cr +/ ÷/r +c y E = ¦1. r + 1¦. entonces [1] B B = _ 1 2 ÷1 ÷1 _ j ) Si 1 : R 2 [r] ÷ R 2 [r] cr 2 +/r +c (c +/)r 2 ÷cr +c ÷/) y E = ¦1. 1 + r. 1 + r 2 ¦. en- tonces [1] B B = _ _ 1 ÷1 0 ÷1 ÷1 1 1 ÷1 1 _ _ 4. Sea ( = ¦(1. 2. 1). (÷2. 1. 1). (÷1. 1. 2)¦ una base de R 3 y 1 : R 3 ÷R 3 una transforma- ción lineal tal que [1] C C = _ _ 11 ÷1 ÷5 5 1 ÷3 4 4 ÷4 _ _ a) Determinar una base del Ker (1) b) Determinar una base del Im(1 2 ) 5. Sea 1 : R 3 ÷ R 3 una transformación lineal y E = ¦(1. 1. 0). (1. 0. 1). (1. 0. 0)¦ base ordenada de R 3 y ( =¦(1. 0. 1). (0. 1. 1). (1. 1. 1)¦ base ordenada de R 3 tal que [1] C B = _ _ 1 1 1 2 1 0 1 2 3 _ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 138 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES a) Explicitar 1(r. ¸. .) b) Hallar una base del Ker(1) c) Hallar una base Img(1) 6. Sea ( = ¦(1. 2. 1). (2. 1. 1). (1. 1. 2)¦ una base de R 3 y 1 : R 3 ÷R 3 una transformación lineal tal que [1] C C = _ _ ÷3 ÷3 ÷5 1 1 1 2 2 4 _ _ a) Determinar una base del Ker 1 b) Determinar una base del Ker 1 2 7. Dado U = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , 2r + 3¸ ÷5. = 0¦ un espacio vectorial, / una base de U y ( = ¦(1. 1). (2. 1)¦ una base de R 2 . Si 1 : U ÷ R 2 (r. ¸. .) (r +¸ ÷.. 3r ÷¸ + 2.) y [1] C A = _ 1 2 1 1 _ Determinar la base /. 8. Dado U = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , 2r + 2¸ ÷5. = 0¦ un espacio vectorial, / una base de U y ( = ¦(1. 1). (1. 2)¦ una base de R 2 . Si 1 : U ÷ R 2 (r. ¸. .) (r +¸ ÷.. 3r ÷¸ + 2.) y [1] C A = _ 1 2 1 1 _ Determinar la base /. 9. Sea 1 : R 2 ÷ R 3 una transformación lineal y E = ¦(1. 1). (1. ÷1)¦ base ordenada de R 2 y ( =¦(1. 2. 1). (2. ÷1. 1). (÷1. 2. 1)¦ base ordenada de R 3 tal que [1] C B = _ _ 1 1 2 ÷1 1 3 _ _ Hallar una base del Ker(1) y una base de la Im(1). 10. Sea 1 : R 2 ÷ R 3 una transformación lineal y E = ¦(1. 1). (1. ÷1)¦ una base ordenada de R 2 y ( =¦(1. 2. 1). (2. ÷1. 1). (÷1. 2. 1)¦ una base ordenada de R 3 tal que [1] C B = _ _ 1 1 2 ÷1 1 3 _ _ Además E 0 =¦(1. 2). (2. ÷1)¦ y ( 0 = ¦(1. 0. 2). (0. ÷1. 1). (1. 1. 0)¦. Calcular [1] C 0 B 0 . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.3. MATRIZ ASOCIADA 139 11. Sea 1 : C 3 ÷C 2 una transformación lineal de C-espacios vectoriales y E = ¦(1. i. 1). (1. ÷1. 1). (1. 1. i)¦ una base ordenada de C 3 y ( =¦(1. 2). (2. ÷1)¦ una base ordenada de C 2 tal que [1] C B = _ 1 1 2 2 ÷1 i _ Hallar una base del Ker(1) y una base de la Im(1). 12. Sea 1 : C 3 ÷C 2 1(r. ¸. .) = (2r +i.. r ÷¸) una transformación lineal de C-espacios vectoriales. Determinar si existen bases ordenadas E y ( de C 3 y C 2 respectivamente tal que [1] C B = _ 1 0 2 1 ÷1 i _ 13. Sea 1 : R 3 ÷ R 3 una transformación lineal y E = ¦(1. 1. 1). (1. ÷1. 1). (1.. 1. ÷1)¦ una base ordenada de R 3 y ( =¦(1. 1. 2). (2. 1. 1). (1. 2. 1)¦ una base ordenada de R 3 tal que [1] C B = _ _ 1 1 ÷1 2 ÷1 1 1 3 2 _ _ a) Hallar una base para la Im(1) b) Demostrar que 1 es un isomor…smo c) Calcular 1 1 (r. ¸. .) 14. Sea 1 : R 2 [r] ÷ R 2 [r] una transformación lineal y E = ¦1 + r. 1 ÷ r 2 . 1¦ una base ordenada de R 2 [r] y ( =¦1. 1 +r. 1 +r +r 2 ¦ una base ordenada de R 2 [r] tal que [1] C B = _ _ 1 0 1 0 1 1 1 1 2 _ _ a) Hallar una base para la Im(1) b) Demostrar que 1 es un isomor…smo c) Calcular 1 1 (j(r)) d) Calcular [1 1 ] C B 15. Sea 1 : R 3 [r] ÷ C 2 una transformación lineal de R-espacios vectoriales y E = ¦1 ÷r. r 2 . r 3 . 1¦ una base ordenada de R 2 [r] y ( =¦(1. i). (i. 1). (1. 1). (1. 0)¦ una base ordenada de C 2 tal que [1] C B = _ ¸ ¸ _ 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 2 _ ¸ ¸ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 140 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES a) Demostrar que 1 es un isomor…smo b) Calcular 1 1 (r. ¸) c) Calcular [1 1 ] B C 16. Sea 1 : C 3 ÷C 3 una transformación lineal y E = ¦(1. 1. 0). (1. 0. 1). (0. 0. 1)¦ una base ordenada de C 3 tal que [1] B B = _ _ 1 1 1 2 1 1 1 3 2 _ _ a) Demostrar que 1 es un isomor…smo b) Calcular 1 1 (r. ¸. .) c) Calcular 1(1(1(0. 0. 1))) 3.4. Espacio Vectorial Dual En 3.2.4 estudiamos en general el K-espacio vectorial /(l. \ ). de todas las transfor- maciones lineales entre los K-espacios vectoriales l y \ . Como el cuerpo K es un espacio vectorial de dimensión 1 sobre K entonces, en particular, tenemos que el conjunto /(l. K). de todas las funciones lineales de l en K, es un espacio vectorial. De…nición 120 Sea \ un K-espacio vectorial. Se denomina espacio vectorial dual de \ el K-espacio vectorial /(l. K). Usualmente se denota por \ . así tenemos que \ = ¦, : \ ÷÷K [ , es lineal¦ Un elemento , en \ se llama una forma lineal o también recibe el nombre de funcional lineal. Ejemplo 143 Si \ = R n entonces es claro que c es un elemento de \ si y solamente si existen c 1 . c 2 . . . . . c n en R tal que c(r 1 . r 2 . . . . . r n ) = c 1 r 1 +c 2 r 2 + +c n r n En efecto, consideremos la base canónica ( = ¦c 1 . c 2 . . . . . c n ¦ de \ . Como (r 1 . r 2 . . . . . r n ) = r 1 c 1 +r 2 c 2 + +r n c n y c es lineal entonces c(r 1 . r 2 . . . . . r n ) = c(r 1 c 1 +r 2 c 2 + +r n c n ) = r 1 c(c 1 ) +r 2 c(c 2 ) + +r n c(c n ) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.4. ESPACIO VECTORIAL DUAL 141 así tenemos que existen c i = c(c i ), i = 1. 2. . . . . : en R tal que c(r 1 . r 2 . . . . . r n ) = c 1 r 1 +c 2 r 2 + +c n r n Recíprocamente, es inmediato que una función del tipo c(r 1 . r 2 . . . . . r n ) = c 1 r 1 +c 2 r 2 + +c n r n con c 1 . c 2 . . . . . c n en R, es una forma lineal. Ejemplo 144 Sea \ = R n [r] y , : \ ÷÷ R de…nida por ,(j(r)) = j(0). Claramente se tiene que , es una forma lineal. En efecto, dados j(r) y ¡(r). dos polinomios cualesquiera con coe…cientes en R de grado menor o igual a : y c en R entonces, ,(j(r) +c¡(r)) = (j +c¡)(0) = j(0) + c¡(0) = ,(j(r)) +c,(¡(r)) Ejemplo 145 Consideremos ahora el R-espacio vectorial \ = ¦, : R ÷÷R [, 0 (r) existe en todo R¦. De…namos : \ ÷÷R por (,) = , 0 ( 1 2 ). No es difícil probar que es una forma lineal. En efecto, sean ,. q en \ y c en R entonces, (, +cq) = (, +cq) 0 (0) = , 0 (0) + (c,) 0 (0) = , 0 (0) + c(,) 0 (0) = (,) +c(q) Ejemplo 146 Sea el R-espacio vectorial \ = ¦, : [0. 1] ÷÷R [ _ b a ,(t)dt existe¦. De…namos : \ ÷÷R de…nida por (,) = _ b a ,(t)dt Claramente (,) esta en R y veri…ca las propiedades de linealidad por las propiedades usuales que tiene la integral. Ejemplo 147 Consideremos \ = ` n (R). La función traza, Tr : \ ÷÷ R. la cual esta de…nida por Tr(c ij ) = n i=1 c ii para (c ij ) matriz de orden :: es claramente lineal y así es un elemento del espacio vectorial dual de ` n (R). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 142 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES De la de…nición 113, en 3.3, se tiene que si E = ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦ es una base ordenada de \ y consideramos la base natural ( = ¦1¦ de K, como K-espacio vectorial de dimensión 1. entonces para , en \ se tiene que [,] C B es una matriz de orden 1 : y como el K- espacio vectorial ` 1n (K), de todas las matrices de orden 1 :, tiene dimensión : se tiene la siguiente. Proposición 121 Si \ es un K-espacio vectorial de dimensión …nita : entonces el espacio vectorial dual \ tiene dimensión : y por lo tanto \ y \ son espacios vectoriales isomorfos. Demostración. Si \ es un K-espacio vectorial de dimensión …nita : entonces \ tiene una base ordenada E = ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦. Por otra parte, ( = ¦1¦ es la base natural de K, mirado éste como K-espacio vectorial de dimensión 1. entonces a cada , en \ se le asocia la matriz, de orden 1 :. [,] C B = (c 1 c 2 . . . c n ). Esta asociación es una función lineal (ver 1 de Teorema 115) la cual establece un isomor…smo entre \ y ` 1n (K). Así tenemos que dim(\ ) = : y usando la Proposición 112 tenemos que \ es isomorfo a \ . 3.4.1. Base Dual Sea E = ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦ una base ordenada del K-espacio vectorial \ y consideramos la base natural ( = ¦1¦ de K, mirado éste como K-espacio vectorial de dimensión 1. De…namos las funciones · i : \ ÷÷K por · i (· j ) = _ 1 si i = , 0 si i ,= , Por el Teorema 93, dado E = ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦. base ordenada del K-espacio vectorial \. la función · i : \ ÷÷K es lineal, para cada i = 1. 2. . . . . :, y es única con la propiedad · i (· j ) = _ 1 si i = , 0 si i ,= , Proposición 122 Sea E = ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦ una base ordenada del K-espacio vectorial \. El conjunto de formas lineales E = ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦ es una base del espacio vectorial dual \ y se tiene: 1. Dado cualquier · en \ entonces · = · 1 (·)· 1 +· 2 (·)· 2 +. . . +· n (·)· n 2. Dado cualquier , en \ entonces , = ,(· 1 )· 1 +,(· 2 )· 2 +. . . +,(· n )· n jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.4. ESPACIO VECTORIAL DUAL 143 De…nición 123 Sea E = ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦ una base ordenada del K-espacio vectorial \. La base ordenada E = ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦ del espacio vectorial dual \ se denomina base dual de E. Observación. La Proposición anterior tambien demuestra que la dimensión de \ es : ya que da la base dual E = ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦ para una base E = ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦ dada de \. Ejemplo 148 Sea \ = R n y ( = ¦c 1 . c 2 . . . . . c n ¦ la base canónica de \ . No es difícil ver que la base dual ( = ¦c 1 . c 2 . . . . . c n ¦ está dada por las formas lineales c i : \ ÷÷R de…nidas por c i (r 1 . r 2 . . . . . r n ) = r i para (r 1 . r 2 . . . . . r n ) en \. Ejemplo 149 Sea \ = R 2 y E = ¦(1. 1). (÷1. 1)¦ base de \. Para determinar la base dual E de E debemos encontrar dos funcionales lineales de \ : · 1 (r. ¸) = c 1 r +/ 1 ¸ y · 2 (r. ¸) = c 2 r +/ 2 ¸ (sabemos que son de esa forma por el Ejemplo 143) de modo que · 1 (1. 1) = c 1 1 +/ 1 1 = 1 · 1 (÷1. 1) = c 1 (÷1) +/ 1 1 = 0 y · 2 (1. 1) = c 2 1 +/ 2 1 = 0 · 2 (÷1. 1) = c 2 (÷1) +/ 2 1 = 1 Por lo tanto debemos resolver los sistemas: _ c 1 +/ 1 = 1 ÷c 1 +/ 1 = 0 y _ c 2 +/ 2 = 0 ÷c 2 +/ 2 = 1 Así tenemos que c 1 = 1 2 y / 1 = 1 2 y entonces · 1 (r. ¸) = 1 2 r + 1 2 ¸. Ahora, resolviendo el otro sistema tenemos que c 2 = ÷ 1 2 y / 2 = 1 2 y entonces · 2 (r. ¸) = ÷ 1 2 r + 1 2 ¸. Con esto tenemos que E = ¦ 1 2 r + 1 2 ¸; ÷ 1 2 r + 1 2 ¸¦ es la base dual de E. Sea · = (1. 3) en \ , entonces (1. 3) = · 1 (1. 3)· 1 +· 2 (1. 3)· 2 = 2(1. 1) + 1(÷1. 1) y si, por ejemplo, tomamos c(r. ¸) = 2r + 3¸ en \ entonces c = c(· 1 )· 1 +c(· 2 )· 2 2r + 3¸ = 5( 1 2 r + 1 2 ¸) + 1(÷ 1 2 r + 1 2 ¸) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 144 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES 3.4.2. Transformación Dual o Traspuesta Sean l y \ dos K-espacios vectoriales y 1 : l ÷÷ \ una transformación lineal. Si l y \ son los respectivos espacios vectoriales duales de l y \ entonces existe una forma natural de de…nir una transformación lineal 1 : \ ÷÷ l , asociada a la transformación lineal 1, la cual sigue del siguiente diagrama l T ÷÷ \ ¸ ¸ K Sea , una forma lineal de \ . esto signi…ca que , : \ ÷÷ K y , es una transformación lineal. Del diagrama se observa que ,·1 : l ÷÷K es ahora una forma lineal de l (,·1 es una transformación lineal de l en K ya que es la compuesta de las transformaciones lineales , y 1). Con esto podemos de…nir 1 : \ ÷÷ l por: 1 (,) = , · 1 , (, ¸ \ ) Claramente 1 es lineal. En efecto, dado c y , en \ y c en K se tiene que 1 (c +c,) = (c +c,) · 1 = (c · 1) + (c, · 1) = (c · 1) +c(, · 1) = 1 (c) +c1 (,) De…nición 124 Sean l y \ dos K-espacios vectoriales y l , \ los respectivos espacios vectoriales duales. Se denomina transformación dual o traspuesta de la transformación lineal 1 : l ÷÷ \ a la transformación lineal 1 : \ ÷÷ l de…nida por 1 (,) = , · 1, para , en \ . Ejemplo 150 Sean l = R 2 y \ = R 3 . Sea 1 : l ÷÷ \ la transformación lineal de…ni- da por 1(r. ¸) = (r + ¸. r ÷ ¸. 2r ÷ 3¸). Por lo visto en el ejemplo 143 es claro que \ = ¦cr + /¸ + c. [ c. /. c ¸ R¦ y l = ¦cr + /¸ [ c. /. ¸ R¦. Ahora, por la de…nición de transformación dual de 1, tenemos que 1 : \ ÷÷ l está de…nida por 1 (,) = , · 1 para cualquiera ,(r. ¸. .) = cr +/¸ +c. en \ . Por lo tanto 1 (cr +/¸ +c.) = (c +/ + 2c)r + (c ÷/ ÷3c)¸ la cual es una forma lineal en l . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.5. DIAGONALIZACIÓN 145 Proposición 125 Sean l, \ y \ K-espacios vectoriales. Sean 1 : l ÷÷ \ , o : l ÷÷ \ y 1 : \ ÷÷ \ transformaciones lineales, entonces se tiene 1. (c1 +,o) = c1 +,o . para cualquier c. , en K. 2. (1 · 1) = 1 · 1 Proposición 126 Sean l y \ dos K-espacios vectoriales con bases …nitas E y T respec- tivamente. Sean l y \ los espacios vectoriales duales con E y T sus bases duales respectivas. Sea 1 : l ÷÷ \ una transformación lineal con matriz asociada [1] D B . En- tonces, la matriz asociada, en las bases duales E y T . de la transformación lineal dual 1 : \ ÷÷ l . [1 ] B D es la traspuesta de la matriz [1] D B . Es decir, [1 ] B D = _ [1] D B _ t 3.5. Diagonalización El teorema 119 motiva encontrar una base de un K-espacio vectorial \ de modo que la matriz asociada a una transformación lineal 1 : \ ÷÷ \ sea diagonal. De ahora en adelante, tan sólo por comodidad, diremos que 1 es un operador en \ para referirnos a una transformación lineal 1 : \ ÷÷ \. Así, /(\. \ ) es el conjunto de todos los operadores en \ . De…nición 127 Sean \ un espacio vectorial de dimensión : sobre K y 1 en /(\. \ ). Se dice que el operador 1 es diagonalizable si y sólo si existe una base E de \ tal que [1] B es una matriz diagonal. Observación. En general se dice que una matriz ¹ en ` n (R) es diagonalizable si y sólo si la transformación lineal 1 A : R n ÷ R n . de…nida por 1 A (A) = ¹A. es diagonalizable. (El vector A se esta considerando como vector columna con : …las) Ejemplo 151 Dada la transformación lineal 1 : R 2 ÷÷ R 2 (r. ¸) (r +¸. 3r ÷¸) 1. Determinar la matriz asociada a 1 en la base canónica, es decir ( = ¦(1. 0). (0. 1)¦ 2. Determinar la matriz asociada a 1 en la base E = ¦(1. 1). (1. ÷3)¦ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 146 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Solución. Para determinar la matriz asociada a 1 en la base canónica, primero calculemos 1(1. 0) = (1. 3) 1(0. 1) = (1. ÷1) Ahora expresemos cada vector como combinación lineal de los elementos de la base (1. 3) = 1(1. 0) + 3(0. 1) (1. ÷1) = 1(1. 0) ÷1(0. 1) Así, [1] C = _ 1 1 3 ÷1 _ . Para la otra base procedemos de manera análoga. Primero calculamos 1(1. 1) = (2. 2) 1(1. ÷3) = (÷2. 6) Ahora expresemos cada vector como combinación lineal de los elementos de la base (1. 1) = 2(1. 1) + 0(1. ÷3) (1. ÷3) = 0(1. 1) ÷2(1. ÷3) Así obtenemos [1] B = _ 2 0 0 ÷2 _ . En este ejemplo, tenemos que en la base E la matriz asociada a 1 es una matriz diagonal. Ejemplo 152 Dada la matriz ¹ ¸ ` n1 (R) y la transformación lineal 1 A : ` n1 (R) ÷÷ ` n1 (R) A ¹ A Demostrar que la matriz asociada a 1 A en la base canónica ( = _ ¸ ¸ ¸ _ ¸ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ ¸ _ 1 0 . . . 0 _ ¸ ¸ ¸ _ . _ ¸ ¸ ¸ _ 0 1 . . . 0 _ ¸ ¸ ¸ _ . .... _ ¸ ¸ ¸ _ 0 0 . . . 1 _ ¸ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ ¸ _ ¸ ¸ ¸ _ de ` n1 (R), es [1 A ] C = ¹ Solución. Recordemos la propiedad de como obtener la columna ,-ésima de un producto de matrices c j (¹ 1) = ¹ c j (1) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.5. DIAGONALIZACIÓN 147 con ella tenemos que si denotamos ( = ¦1 1 . 1 2 . .... 1 n ¦ entonces 1 A (1 i ) = ¹ 1 j = ¹ c j (1 n ) = c j (¹ 1 n ) = c j (¹) Luego obtenemos 1 A (1 i ) = c j (¹) = n i=1 c ij 1 i . es decir [1 A (1 i )] C = c j (¹) Así [1 A ] C = ¹. Observación. Teniendo presente este ejemplo, decimos que la matriz ¹ es diagonalizable o que 1 A es diagonalizable. De…nición 128 Sean \ un K÷espacio vectorial y 1 en /(\. \ ). 1. Se dice que ` en K es un valor propio de 1 si y sólo si existe · en \ ÷ ¦0¦ tal que 1(·) = `·. 2. Se dice que · en \ ÷ ¦0¦ es un vector propio de 1 si y sólo si existe ` en K tal que 1(·) = `·. Ejemplo 153 Dada la transformación lineal 1 : R 2 ÷÷ R 2 (r. ¸) (r +¸. 3r ÷¸) Determinar todos los valores propios asociados a 1. Solución. Necesitamos resolver la siguiente ecuación 1(r. ¸) = `(r. ¸) (r +¸. 3r ÷¸) = `(r. ¸) (r +¸ ÷`r. 3r ÷¸ ÷`¸) = (0. 0) La ecuación vectorial es equivalente al siguiente sistema r +¸ ÷`r = 0 3r ÷¸ ÷`¸ = 0 reescribiéndolo obtenemos (1 ÷`) r +¸ = 0 3r + (÷1 ÷`)¸ = 0 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 148 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Como el sistema es homogéneo y buscamos una solución no trivial entonces el sistema debe tener in…nitas soluciones. Por lo tanto el determinante de la matriz asociada debe ser cero. ¸ ¸ ¸ ¸ (1 ÷`) 1 3 (÷1 ÷`) ¸ ¸ ¸ ¸ = ` 2 ÷4 Así, los únicos valores propios son 2 y ÷2. Ejercicio 154 Sea ` un valor propio asociado a la transformación lineal 1. y \ = ¦· ¸ \ , 1(·) = `·¦ Demostrar que \ es un subespacio de \. De…nición 129 Sea ` un valor propio asociado a la transformación lineal 1 en /(\. \ ). Se de…ne el espacio propio \ como el conjunto de todos los vectores propios asociados a `. Ejemplo 155 Dada la transformación lineal 1 : R 2 ÷÷ R 2 (r. ¸) (r +¸. 3r ÷¸) Determinar todos los espacios propios asociados a 1. sabiendo que 2. ÷2 son los únicos valores propios. Solución. Determinemos el espacio propio asociado al valor propio 2. \ 2 = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , 1(r. ¸) = 2(r. ¸)¦ = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , (r +¸. 3r ÷¸) = 2(r. ¸)¦ = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , (÷r +¸. 3r ÷3¸) = (0. 0)¦ = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , ÷r +¸ = 0¦ = < (1. 1) Para el otro valor propio procedemos de manera similar \ 2 = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , 1(r. ¸) = ÷2(r. ¸)¦ = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , (r +¸. 3r ÷¸) = ÷2(r. ¸)¦ = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , (3r +¸. 3r +¸) = (0. 0)¦ = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , 3r +¸ = 0¦ = < (1. ÷3) Observación: Para poder determinar los valores propios asociados a una transformación lineal tenemos el siguiente resultado. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.5. DIAGONALIZACIÓN 149 Teorema 130 Sean l un espacio vectorial de dimensión : sobre K. E una base de l y 1 en /(l. l) entonces, ` en K es un valor propio asociado a 1 si y sólo si ¸ ¸ ¸[1] B B ÷`1 n ¸ ¸ ¸ = 0. Ejemplo 156 Dada la transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 3 (r. ¸. .) (2r ÷¸ +.. r ÷¸ +.. r) Determinar los valores propios de 1. Solución. El teorema anterior, nos permite escoger cualquier base del espacio vectorial, entonces sea ( = ¦(1. 0. 0) . (0. 1. 0) . (0. 0. 1)¦ la base canónica de R 3 . Determinemos la matriz asociada a 1 en la base (. para ello calculemos 1 (1. 0. 0) = (2. 1. 1) 1 (0. 1. 0) = (÷1. ÷1. 0) 1 (0. 0. 1) = (1. 1. 0) por lo tanto [1] C = _ _ 2 ÷1 1 1 ÷1 1 1 0 0 _ _ . Luego, ` es un valor propio de 1 si y sólo si [[1] C ÷`1 3 [ = 0 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ _ 2 ÷1 1 1 ÷1 1 1 0 0 _ _ ÷` _ _ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 _ _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = 0 ÷(2 ÷`) (÷1 ÷`) ` = 0 Así, los valores propios asociados a 1 son 0. ÷1 y 2. Ejemplo 157 Dada la transformación lineal 1 : R 2 [r] ÷÷ R 2 [r] cr 2 +/r +c (c +/)r 2 + (/ +c) r + (c + 2/ +c) Determinar los valores propios de 1. Solución. Sea ( = ¦1. r. r 2 ¦ la base canónica de R 2 [r]. Determinemos la matriz asociada a 1 en la base (. para ello 1 (1) = 1 +r 1 (r) = 2 +r +r 2 1 _ r 2 _ = 1 +r 2 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 150 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES por lo tanto [1] C = _ _ 1 2 1 1 1 0 0 1 1 _ _ . Como ` es un valor propio de 1 si y sólo si [[1] C ÷`1 3 [ = 0 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ _ 1 2 1 1 1 0 0 1 1 _ _ ÷` _ _ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 _ _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = 0 ÷` + 3` 2 ÷` 3 = 0 Luego los valores propios asociados a 1 son 0. 3 2 + 1 2 _ 5. 3 2 ÷ 1 2 _ 5. Observación. Al determinante de los ejemplos anteriores podemos asignarle una variable, el valor propio, y transformarlo en un polinomio, el cual es totalmente independiente de la base elegida. Proposición 131 Sean l un espacio vectorial de dimensión : sobre K. E y ( bases de l y 1 en /(l. l) entonces, [[1] B ÷r1 n [ = [[1] C ÷r1 n [ . Demostración. Recordemos la relación entre [1] B y [1] C . esto es [1] B = [1d] B C [1] C [1d] C B [1] B = _ [1d] C B _ 1 [1] C [1d] C B además _ [1d] C B _ 1 r1 n [1d] C B = r _ [1d] C B _ 1 1 n [1d] C B = r1 n Usando estos dos resultados y las propiedades del determinante tenemos el siguiente desar- rollo [[1] C ÷r1 n [ = ¸ ¸ ¸ ¸ _ [1d] C B _ 1 [1] C [1d] C B ÷r1 n ¸ ¸ ¸ ¸ = ¸ ¸ ¸ ¸ _ [1d] C B _ 1 [1] C [1d] C B ÷ _ [1d] C B _ 1 r1 n [1d] C B ¸ ¸ ¸ ¸ = ¸ ¸ ¸ ¸ _ [1d] C B _ 1 ([1] C ÷r1 n ) [1d] C B ¸ ¸ ¸ ¸ = ¸ ¸ ¸ ¸ _ [1d] C B _ 1 ¸ ¸ ¸ ¸ [[1] C ÷r1 n [ ¸ ¸ ¸[1d] C B ¸ ¸ ¸ = [[1] C ÷r1 n [ con lo cual hemos demostrado la proposición. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.5. DIAGONALIZACIÓN 151 De…nición 132 Sean l un espacio vectorial de dimensión : sobre K. E una base de l y 1 en /(l. l). Se de…ne el polinomio característico de 1 por 1 T (r) = [[1] B ÷r1 n [ . Para el caso particular de la transformación lineal 1 A . el polinomio característico se denota por 1 A (r). donde ¹ ¸ ` nn (R). Proposición 133 Sean l un espacio vectorial de dimensión : sobre K y 1 en /(l. l). El escalar ` en K es un valor propio de 1 si y sólo si ` es una raíz del polinomio característico de 1. 1 T (r). Ejemplo 158 Sea \ un espacio vectorial de dimensión 2 sobre K. E = ¦· 1 . · 2 ¦ base de \ y 1 en /(\. \ ) tal que [1] B = _ c / c d _ Determine el polinomio característico de 1. Solución. El polinomio característico esta de…nido por ¸ ¸ ¸ ¸ _ c / c d _ ÷r _ 1 0 0 1 _¸ ¸ ¸ ¸ = r 2 ÷(c +d) r +cd ÷/c Así tenemos 1 T (r) = r 2 ÷(c +d) r +cd ÷/c Observación: Note que el coe…ciente constante es el determinante de la matriz y el coe…- ciente de r corresponde a menos la traza o menos la suma de la diagonal. Teorema 134 Sea \ un espacio vectorial de dimensión : sobre K. Sea 1 en /(\. \ ) de modo que c y , sean raíces del polinomio característico 1 T (r). 1. Si la multiplicidad de c es :. entonces 1 _ dim\ _ :. 2. Si c ,= , entonces \ ¨ \ = ¦0¦. Ejemplo 159 Dada la transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 3 (r. ¸. .) (5r ÷¸ + 3.. ÷6r + 4¸ ÷6.. ÷6r + 2¸ ÷4.) Determinar los valores propios de 1 y los espacios propios asociados jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 152 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Solución. Consideremos la base canónica ( de R 3 y determinemos la matriz asociada a 1. Así obtenemos [1] C = _ _ 5 ÷1 3 ÷6 4 ÷6 ÷6 2 ÷4 _ _ Ahora determinemos su polinomio característico dado por 1 T (r) = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 5 ÷r ÷1 3 ÷6 4 ÷r ÷6 ÷6 2 ÷4 ÷r ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = 4 + 5r 2 ÷8r ÷r 3 Factorizando el polinomio característico, tenemos que 1 T (r) = ÷(r ÷1) (÷2 +r) 2 . Así los valores propios son: 1 y 2. Usaremos la matriz asociada a la transformación para determinar los espacios propios, esto es \ = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , 1(r. ¸. .) = `(r. ¸. .)¦ Ahora, resolver la igualdad es equivalente a resolver [1(r. ¸. .)] C = [`(r. ¸. .)] C [1] C [(r. ¸. .)] C = `[(r. ¸. .)] C ([1] C ÷`1 3 ) [(r. ¸. .)] C = 0 Por lo cual debemos resolver un sistema homogéneo. Determinemos el espacio propio asociado a 1. Reemplazando obtenemos la matriz del sistema _ _ 5 ÷1 ÷1 3 0 ÷6 4 ÷1 ÷6 0 ÷6 2 ÷4 ÷1 0 _ _ Así, la escalonada reducida por …la es: _ _ 1 0 1 2 0 0 1 ÷1 0 0 0 0 0 _ _ y con ello obtenemos [(r. ¸. .)] C = _ _ ÷ 1 2 t t t _ _ como ( es la base canónica de R 3 (r. ¸. .) = ÷ 1 2 t(1. 0. 0) +t(0. 1. 0) +t(0. 0. 1) = t _ ÷ 1 2 . 1. 1 _ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.5. DIAGONALIZACIÓN 153 con lo cual tenemos que \ 1 = __ ÷ 1 2 . 1. 1 __ . Para el valor propio 2 procedemos de manera análoga, es decir, _ _ 5 ÷2 ÷1 3 0 ÷6 4 ÷2 ÷6 0 ÷6 2 ÷4 ÷2 0 _ _ Así, la escalonada reducida por …la es: _ _ 1 ÷ 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 _ _ y con ello obtenemos [(r. ¸. .)] C = _ _ 1 3 c ÷, c , _ _ como ( es la base canonica de R 3 (r. ¸. .) = _ 1 3 c ÷, _ (1. 0. 0) +c(0. 1. 0) +,(0. 0. 1) = c _ ÷ 1 3 . 1. 0 _ ÷,(÷1. 0. 1). con lo cual tenemos que \ 2 = __ ÷ 1 3 . 1. 0 _ . (÷1. 0. 1) _ . Resumiendo: Los valores propios son: 1 y 2 y los espacios propios son: \ 1 = __ ÷ 1 2 . 1. 1 __ . con dim\ 1 = 1. \ 2 = __ ÷ 1 3 . 1. 0 _ . (÷1. 0. 1) _ . con dim\ 2 = 2. Observación. Considere la base E = __ ÷ 1 2 . 1. 1 _ . _ ÷ 1 3 . 1. 0 _ . (÷1. 0. 1) _ de R 3 . con esta base obtenemos que [1] B = _ _ 1 0 0 0 2 0 0 0 2 _ _ Teorema 135 Sean \ un espacio vectorial de dimensión : sobre K y 1 en /(\. \ ). El operador 1 es diagonalizable si y sólo si 1 T (r) = (r ÷c 1 ) n 1 (r ÷c 2 ) n 2 ... (r ÷c s ) ns en K y dim\ i = : i , la multiplicidad c i en 1 T (r). i = 1. 2. . . . . :. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 154 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Ejemplo 160 Dada la transformación lineal 1 : R 2 [r] ÷÷ R 2 [r] cr 2 +/r +c (2c ÷/ + 4c)r 2 + (2c +/) r + (2c +c) Determine una base en R 2 [r] tal que la matriz de 1 en esta base sea una matriz diagonal. Solución. Consideremos la base canónica ( = ¦1. r. r 2 ¦ de R 2 [r] y determinemos la matriz asociada a 1. Así obtenemos [1] C = _ _ 1 0 2 0 1 2 4 ÷1 2 _ _ . Ahora determinemos su polinomio característico dado por 1 T (r) = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 ÷r 0 2 0 1 ÷r 2 4 ÷1 2 ÷r ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ÷4 +r + 4r 2 ÷r 3 Factorizando el polinomio característico tenemos que 1 T (r) = ÷(r ÷1) (r ÷4) (r + 1) . Así los valores propios son: ÷1. 1 y 4. como cada raíz tiene multiplicidad 1 la transformación lineal es diagonalizable. Ahora determinaremos la base. Para ello recordemos la de…nición de Espacio Propio, \ = ¦(cr 2 +/r +c) ¸ R 2 [r] , ([1] C ÷`1 3 ) _ cr 2 +/r +c ¸ C = 0¦ El primero de ellos es el Espacio Propio asociado a ÷1 Veamos la matriz del sistema _ _ 1 ÷(÷1) 0 2 0 1 ÷(÷1) 2 4 ÷1 2 ÷(÷1) _ _ Así, la escalonada reducida por …la es: _ _ 1 0 1 0 1 1 0 0 0 _ _ y con ello obtenemos [j(r)] C = _ _ ÷t ÷t t _ _ como ( es la base canónica de R 2 [r] j(r) = ÷t 1 ÷t r +t r 2 = t _ ÷1 ÷r +r 2 _ con lo cual tenemos que \ 1 = ¸ ÷1 ÷r +r 2 _ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.5. DIAGONALIZACIÓN 155 Para el valor propio 1 procedemos de manera análoga, es decir, _ _ 1 ÷(1) 0 2 0 1 ÷(1) 2 4 ÷1 2 ÷(1) _ _ Así, la escalonada reducida por …la es: _ _ 1 ÷ 1 4 0 0 0 1 0 0 0 _ _ y con ello obtenemos [j(r)] C = _ _ 1 4 t t 0 _ _ como ( es la base canónica de R 2 [r] j(r) = 1 4 t 1 +t r + 0 r 2 = t _ 1 4 +r _ con lo cual tenemos que \ 1 = _ 1 4 +r _ . Para el valor propio 4 procedemos de manera análoga, es decir, _ _ 1 ÷(4) 0 2 0 1 ÷(4) 2 4 ÷1 2 ÷(4) _ _ Así, la escalonada reducida por …la es: _ _ 1 0 ÷ 2 3 0 1 ÷ 2 3 0 0 0 _ _ y con ello obtenemos [j(r)] C = _ _ 2 3 t 2 3 t t _ _ como ( es la base canónica de R 2 [r] j(r) = 2 3 t 1 + 2 3 t r +t r 2 = t _ 2 3 + 2 3 r +r 2 _ con lo cual tenemos que \ 4 = _ 2 3 + 2 3 r +r 2 _ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 156 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES Resumiendo: Los valores propios son: ÷1. 1 y 4 y los espacios propios son: \ 1 = ¸ ÷1 ÷r +r 2 _ . con dim\ 1 = 1. \ 1 = _ 1 4 +r _ . con dim\ 1 = 1. \ 4 = _ 2 3 + 2 3 r +r 2 _ . con dim\ 4 = 1. Observación: Considere la base E = _ ÷1 ÷r +r 2 . 1 4 +r. 2 3 + 2 3 r +r 2 _ de R 2 [r]. con esta base tenemos que [1] B = _ _ ÷1 0 0 0 1 0 0 0 4 _ _ Ejemplo 161 Sean E = ¦· 1 . · 2 . · 3 . · 4 ¦. base de \ y 1 en /(\. \ ) tal que [1] B = _ ¸ ¸ _ 4 2 2 ÷2 ÷3 ÷1 ÷1 1 0 0 2 ÷1 0 0 4 ÷3 _ ¸ ¸ _ Determine una base de \ tal que la matriz asociada a 1 en esta base sea diagonal. Solución. Como tenemos la matriz asociada a 1 en la base E = ¦· 1 . · 2 . · 3 . · 4 ¦ de \ , determinemos su polinomio característico 1 T (r) = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 4 ÷r 2 2 ÷2 ÷3 ÷1 ÷r ÷1 1 0 0 2 ÷r ÷1 0 0 4 ÷3 ÷r ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ¸ ¸ ¸ ¸ 4 ÷r 2 ÷3 ÷1 ÷r ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 ÷r ÷1 4 ÷3 ÷r ¸ ¸ ¸ ¸ = _ 2 ÷3r +r 2 _ _ ÷2 +r +r 2 _ = (r ÷1) 2 (r ÷2) (r + 2) Así tenemos que 1 T (r) = (r ÷1) 2 (r ÷2) (r + 2) y los valores propios son: ÷2. 1 y 2. Para determinar la base necesitamos encontrar una base de los Espacios Propios asociados a cada valor propio, es decir, \ = ¦n ¸ \ , ([1] B ÷`1 4 ) [n] B = 0¦ El primero de ellos es el Espacio Propio asociado al valor propio ÷2. Veamos la matriz del sistema jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.5. DIAGONALIZACIÓN 157 _ ¸ ¸ _ 4 ÷(÷2) 2 2 ÷2 ÷3 ÷1 ÷(÷2) ÷1 1 0 0 2 ÷(÷2) ÷1 0 0 4 ÷3 ÷(÷2) _ ¸ ¸ _ Así, la escalonada reducida por …la es: _ ¸ ¸ _ 1 0 0 ÷ 1 4 0 1 0 0 0 0 1 ÷ 1 4 0 0 0 0 _ ¸ ¸ _ y con ello obtenemos [n] B = _ ¸ ¸ _ 1 4 t 0 1 4 t t _ ¸ ¸ _ como E es una base de \ n = 1 4 t · 1 + 1 4 t · 2 + 0 · 3 +t · 4 = t _ 1 4 · 1 + 1 4 · 2 +· 4 _ con lo cual tenemos que \ 2 = _ 1 4 · 1 + 1 4 · 2 +· 4 _ . Para el valor propio 1 procedemos de manera análoga, es decir, _ ¸ ¸ _ 4 ÷1 2 2 ÷2 ÷3 ÷1 ÷1 ÷1 1 0 0 2 ÷1 ÷1 0 0 4 ÷3 ÷1 _ ¸ ¸ _ Así, la escalonada reducida por …la es: _ ¸ ¸ _ 1 2 3 0 0 0 0 1 ÷1 0 0 0 0 0 0 0 0 _ ¸ ¸ _ y con ello obtenemos [n] B = _ ¸ ¸ _ ÷ 2 3 c c , , _ ¸ ¸ _ como E es una base de \ n = ÷ 2 3 c · 1 +c · 2 +, · 3 +, · 4 = c _ ÷ 2 3 · 1 +· 2 _ +, (· 3 +· 4 ) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 158 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES con lo cual tenemos que \ 1 = __ ÷ 2 3 · 1 +· 2 _ . (· 3 +· 4 ) _ . Para el valor propio 2 procedemos de manera análoga, es decir, _ ¸ ¸ _ 4 ÷2 2 2 ÷2 ÷3 ÷1 ÷2 ÷1 1 0 0 2 ÷2 ÷1 0 0 4 ÷3 ÷2 _ ¸ ¸ _ Así, la escalonada reducida por …la es: _ ¸ ¸ _ 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 _ ¸ ¸ _ y con ello obtenemos [n] B = _ ¸ ¸ _ t ÷t 0 0 _ ¸ ¸ _ como E es una base de \ n = t · 1 ÷t · 2 + 0 · 3 + 0 · 4 = t (· 1 ÷· 2 ) con lo cual tenemos que \ 2 = ¸· 1 ÷· 2 ¸ . Resumiendo: Los valores propios son: ÷2. 1 y 2 y los espacios propios son: \ 2 = _ 1 4 · 1 + 1 4 · 2 +· 4 _ . con dim\ 2 = 1. \ 1 = __ ÷ 2 3 · 1 +· 2 _ . (· 3 +· 4 ) _ . con dim\ 1 = 2. \ 2 = ¸· 1 ÷· 2 ¸ . con dim\ 2 = 1. Observación. Considere la base T = _ 1 4 · 1 + 1 4 · 2 +· 4 . ÷ 2 3 · 1 +· 2 . · 3 +· 4 . · 1 ÷· 2 _ de \. con esta base obtenemos que [1] D = _ ¸ ¸ _ ÷2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 _ ¸ ¸ _ Ejercicios. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.5. DIAGONALIZACIÓN 159 1. Sea 1 : R 3 ÷ R 3 una transformación lineal y E = ¦(1. 0. 0). (1. 1. 0). (1.. 1. 1)¦ base ordenada de R 3 . tal que [1] B B = _ _ 1 1 ÷2 1 ÷2 1 ÷2 1 1 _ _ Determinar si 1 es diagonalizable, en caso a…rmativo diagonalizar. 2. Sea 1 : C 3 ÷ C 3 1(r. ¸. .) = (r + .. r + ¸. ¸ + .) una transformación lineal de C- espacios vectoriales. Determinar si 1 es diagonalizable, en caso a…rmativo diagonalizar. 3. Sea 1 : ` 2 (R) ÷ ` 2 (R) una transformación lineal y ( = __ 1 0 0 1 _ . _ 1 1 0 1 _ . _ 1 0 1 1 _ . _ 1 1 2 2 __ una base ordenada de ` 2 (R) tal que [1] C C = _ ¸ ¸ _ 1 0 1 0 1 2 3 0 1 1 2 0 1 1 2 1 _ ¸ ¸ _ Sabiendo que el Polinomio Característico es 1 T (r) = r (r ÷4) (r ÷1) 2 Determinar una base E de ` 2 (R). tal que [1] B B sea diagonal. 4. Sea 1 : R 2 [r] ÷R 2 [r] una transformación lineal y E = ¦1. 1 +r. 1 +r ÷r 2 ¦ una base ordenada de R 2 [r] tal que [1] C B = _ _ 0 ÷1 ÷1 1 1 2 2 1 3 _ _ Determinar si 1 es diagonalizable, en caso a…rmativo diagonalizar. 5. Sea 1 : R 2 [r] ÷ R 2 [r] una transformación lineal y ( =¦1. 1 + r. 1 + r + r 2 ¦ base ordenada de R 2 [r] tal que [1] C C = _ _ 1 0 1 0 1 1 1 1 2 _ _ a) Calcular el Polinomio Característico. b) Determinar una base E de R 2 [r]. tal que [1] B B sea diagonal. c) Calcular 1 n (1 ÷r 2 ). para cualquier : ¸ N. 6. Sea ( = ¦(1. 0. 0. 1). (1. 0. 1. 2). (1. 2. 1. 0). (1. 1. 2. 1)¦ una base de R 4 y 1 una transfor- mación lineal tal que [1] C = _ ¸ ¸ _ ÷1 ÷3 ÷2 ÷1 2 4 2 1 0 0 3 1 0 0 2 2 _ ¸ ¸ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 160 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES cuyo polinomio característico es 1 T (r) = (r ÷1) 2 (r ÷2) (r ÷4). Determine una base E de R 4 tal que [1] B sea diagonal. 3.6. Producto Escalar Hasta aquí hemos estudiado funciones entre R-espacios vectoriales l y \ que tienen la propiedad de ser lineal. En la sección 2.8.2 trabajamos con el espacio de todas las funciones q : l \ ÷÷ R con soporte …nito. Ahora queremos ver que también es posible de…nir funciones 1 : l \ ÷÷ R y exigir que sean lineales en cada variable, esto es 1 es una función bilineal. El ejemplo mas elemental es el producto entre dos elementos del cuerpo R, 1 : R R ÷÷ R (r. ¸) r¸ el cual veri…ca, para r. r 0 . ¸. ¸ 0 . c en R, las típicas propiedades de un producto: - (r +r 0 )¸ = r¸ +r 0 ¸ - r(¸ +¸ 0 ) = r¸ +r¸ 0 - (cr)¸ = r(c¸) = c(r¸) Siguiendo esta idea de producto entre números del cuerpo R podemos generalizar el concepto de producto para vectores en un R-espacio vectorial \. De…nición 136 Sea \ un R-espacio vectorial. Se dice que la función 1 : \ \ ÷÷ R es una forma bilineal sobre \ si dados ·. · 0 . · 00 en \ y c en R veri…ca: 1. 1(· +· 0 . · 00 ) = 1(·. · 00 ) +1(· 0 . · 00 ) 2. 1(·. · 0 +· 00 ) = 1(·. · 0 ) +1(·. · 00 ) 3. 1(c·. · 0 ) = 1(·. c· 0 ) = c1(·. · 0 ) Observación. La de…nición anterior es un caso particular de la de…nición general de función bilineal, de…nición que veri…ca las mismas propiedades que las dadas anteriormente pero el conjunto de partida es l \ y el conjunto de llegada es \. siendo los tres K-espacios vec- toriales cualesquiera. Las funciones bilineales que nos interesan, en esta sección, son aquellas que el conjunto de partida es \ \ y el conjunto de llegada es siempre el cuerpo R y es debido a esto que reciben el nombre de formas bilineales sobre \ . Vamos a denotar, en lo que sigue, por Bil(\. R) el conjunto de todas las formas bilineales sobre \ . Se deja como ejercicio veri…car que el conjunto Bil(\. R), con las operaciones de suma de dos funciones bilineales y producto de un número real por una función bilineal, es un R-espacio vectorial. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.6. PRODUCTO ESCALAR 161 Ejemplo 162 Sea \ = R 2 y 1 : \ \ ÷÷R de…nida por 1(A. 1 ) = r 1 ¸ 1 ÷r 2 ¸ 1 + 2r 1 ¸ 2 ÷ 1 3 r 2 ¸ 2 para A = (r 1 . r 2 ) e 1 = (¸ 1 . ¸ 2 ). Se deja como ejercicio probar que 1 así de…nida es lineal en la primera variable y lineal en la segunda variable. Ejemplo 163 Sea \ = ` 2 (R) y 1 : \ \ ÷÷R de…nida por 1(¹. 1) = Tr(¹1 t ) para ¹ y 1 en \ , siendo 1 t la traspuesta de la matriz 1. Por de…nición 1(¹. 1) es un elemento de R y claramente es bilineal. En efecto: Tr((¹ +C)1 t ) = Tr(¹1 t ) + Tr(C1 t ) Tr(¹(C +1) t ) = Tr(¹C t ) + Tr(¹1 t ) Tr((c¹)1 t ) = Tr(¹(c1) t ) = cTr(¹1 t ) Ejemplo 164 Sea \ = R n y 1 : \ \ ÷÷R de…nida por 1(A. 1 ) = r 1 ¸ 1 +r 2 ¸ 2 + +r n ¸ n para A = (r 1 . r 2 . . . . .r n ) e 1 = (¸ 1 . ¸ 2 . . . . . ¸ n ). Se deja como ejercicio probar que es bilineal y además veri…car las propiedades adicionales: - 1(A. 1 ) = 1(1. A) - 1(A. 1 ) = 0. para todo 1 en R n , entonces A = ÷÷ 0 - 1(A. A) _ 0 El último ejemplo, si lo miramos en los espacios vectoriales reales R 2 o R 3 . se tienen los ejemplos clásicos de producto escalar entre dos vectores y los conceptos de ortogonalidad, norma de un vector y distancia entre dos vectores. De…nición 137 Sea \ un R-espacio vectorial. Se dice que una forma bilineal sobre \ , 1 : \ \ ÷÷R, es un producto escalar sobre \ si veri…ca: 1. 1 es simétrica, 1(·. · 0 ) = 1(· 0 . ·) (\ ·. · 0 ¸ \ ) 2. 1 es no degenerada, 1(·. · 0 ) = 0. para todo · 0 en \ , entonces · = ÷÷ 0 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 162 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES 3. 1 es de…nida positiva, 1(·. ·) _ 0 (\ · ¸ \ ) Usualmente, si 1 es un producto escalar sobre \ se acostumbra a escribir ¸·. · 0 ¸ o sim- plemente · · 0 en vez de 1(·. · 0 ). De…nición 138 Sea \ un R-espacio vectorial y ¸ . ¸ un producto escalar sobre \ . El par (\. ¸ . ¸) se denomina espacio euclídeo. Ejemplo 165 Se deja como ejercicio probar que las siguientes formas bilineales sobre el R-espacio vectorial \ respectivo es un producto escalar. (a) \ = R n y ¸ . ¸ : \ \ ÷÷R de…nida por ¸A. 1 ¸ = r 1 ¸ 1 +r 2 ¸ 2 + +r n ¸ n para A = (r 1 . r 2 . . . . .r n ) e 1 = (¸ 1 . ¸ 2 . . . . . ¸ n ). (b) \ = ` 2 (R) y ¸ . ¸ : \ \ ÷÷R de…nida por ¸¹. 1¸ = Tr(¹1 t ) para ¹ y 1 en \ , siendo 1 t la traspuesta de la matriz 1. (c) \ = ¦, : [0. 1] ÷÷R [, es continua en [0. 1]¦ y ¸ . ¸ : \ \ ÷÷R de…nida por ¸,. q¸ = _ 1 0 ,(t)q(t)dt para ,. q en \. (d) \ = R n [r] = ¦c 0 +c 1 r+c 2 r 2 + +c n r n [ c i ¸ R, i = 0. 1. . . . . :¦ y ¸ . ¸ : \ \ ÷÷R de…nida por ¸j. ¡¸ = c 0 / 0 +c 1 / 1 + +c n / n para j = c 0 +c 1 r +c 2 r 2 + +c n r n y ¡ = / 0 +/ 1 r +/ 2 r 2 + +/ n r n en \. De…nición 139 Sea \ un R-espacio vectorial y (\. ¸ . ¸) un espacio euclideo. Se dice que los vectores · y · 0 de \ son ortogonales o perpendiculares si ¸·. · 0 ¸ = 0. Usualmente, si · y · 0 son perpendiculares se denota por · l · 0 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.6. PRODUCTO ESCALAR 163 Ejemplo 166 Si \ = R 3 y ¸ . ¸ : \ \ ÷÷R de…nida por ¸A. 1 ¸ = r 1 ¸ 1 +r 2 ¸ 2 +r 3 ¸ 3 para A = (r 1 . r 2 . r 3 ) e 1 = (¸ 1 . ¸ 2 . ¸ 3 ). Los vectores (1. ÷1. 2) y (2. 1. 0) son perpendiculares. Ejemplo 167 \ = ¦, : [÷1. 1] ÷÷ R [, es continua en [÷1. 1]¦ y ¸ . ¸ : \ \ ÷÷ R de…nida por ¸,. q¸ = _ 1 1 ,(t)q(t)dt para ,. q en \. Los vectores ,(t) = t y q(t) = t 2 son perpendiculares. 3.6.1. Norma Si \ es un R-espacio vectorial y ¸ . ¸ es un producto escalar sobre \ entonces, como ¸·. ·¸ _ 0 para cualquier · enV. la expresión _ ¸·. ·¸ es un número real bien de…nido. De…nición 140 Sea \ un R-espacio vectorial y ¸ . ¸ un producto escalar sobre \ . Se de…ne la norma de un vector · en \ por |·| = _ ¸·. ·¸ Proposición 141 Sea \ un R-espacio vectorial y (\. ¸ . ¸) un espacio euclídeo. Sean · y · 0 en \ y c en R entonces se veri…can las siguientes propiedades. 1. |·| = 0 si y solamente si · = ÷÷ 0 2. |c·| = [c[ |·| 3. La desigualdad de Cauchy-Schwarz: [¸·. · 0 ¸[ _ |·| |· 0 | 4. La desigualdad triangular: |· +· 0 | _ |·| +|· 0 | Observación. Es inmediato ver que en los espacios vectoriales R 2 o R 3 . con el producto escalar usual, el concepto de ortogonalidad de dos vectores corresponde a la idea natural de perpendicularidad de dos vectores y el concepto de norma de un vector corresponde a la longitud del vector. Debería ser claro, de estos dos ejemplos clásicos, el por qué un espacio vectorial \ con un producto escalar ¸ . ¸ recibe el nombre de espacio euclídeo. Proposición 142 (Teorema de Pitágoras) Sea \ un R-espacio vectorial y (\. ¸ . ¸) un es- pacio euclídeo. Si · y · 0 son dos vectores perpendiculares en \ entonces se tiene que |· +· 0 | 2 = |·| 2 +|· 0 | 2 Proposición 143 (Ley del paralelógramo) Sea \ un R-espacio vectorial, (\. ¸ . ¸) un espa- cio euclídeo y ·, · 0 dos vectores cualesquiera en \. Entonces se tiene que |· +· 0 | 2 +|· ÷· 0 | 2 = 2 |·| 2 + 2 |· 0 | 2 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 164 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES 3.6.2. Bases Ortogonales Sea \ un R-espacio vectorial y (\. ¸ . ¸) un espacio euclídeo. Si · y · 0 son vectores en \ perpendiculares entonces es claro que ellos son linealmente independiente, mas aún se tiene la siguiente situación general. Proposición 144 Sea \ un R-espacio vectorial de dimensión : y (\. ¸ . ¸) un espacio eu- clídeo. Si ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦ es un conjunto de vectores mutuamente perpendiculares (¸· i . · j ¸ = 0 apenas i ,= ,) entonces ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦ es una base para \. Demostración. Claramente ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦ es linealmente independiente ya que si c 1 · 1 +c 2 · 2 + +c n · n = ÷÷ 0 entonces, para cualquier · i . i = 1. 2. . . . . :. se tiene que ¸c 1 · 1 +c 2 · 2 + +c n · n . · i ¸ = _ ÷÷ 0 . · i _ = 0 y así, por linealidad, obtenemos que c i ¸· i . · i ¸ = 0 y como ¸· i . · i ¸ _ 0 entonces c i = 0 para i = 1. 2. . . . . :. Ahora, como la dimensión de \ es : entonces ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦ es una base de \. Observación. Es fácil probar que dado · ,= ÷÷ 0 en un espacio euclídeo (\. ¸ . ¸) entonces · |·| es un vector de norma (o longitud ) 1. En general un vector no nulo de norma igual a 1 se le denomina vector unitario. Teorema 145 Sea \ un R-espacio vectorial. Todo espacio euclídeo (\. ¸ . ¸) de dimensión …nita : admite una base ¦n 1 . n 2 . . . . . n n ¦ de vectores unitarios mutuamente perpendiculares. Demostración. Como la dimensión de \ es : entonces existe una base ¦· 1 . · 2 . . . . . · n ¦ de \ . Construyamos los siguientes vectores: · 0 1 = · 1 · 0 2 = · 2 ÷ ¸· 2 . · 0 1 ¸ ¸· 0 1 . · 0 1 ¸ · 0 1 · 0 3 = · 3 ÷ ¸· 3 . · 0 2 ¸ ¸· 0 2 . · 0 2 ¸ · 0 2 ÷ ¸· 3 . · 0 1 ¸ ¸· 0 1 . · 0 1 ¸ · 0 1 . . . · 0 n = · n ÷ ¸ · n . · 0 n1 _ ¸ · 0 n1 . · 0 n1 _· 0 n1 ÷ ÷ ¸· n . · 0 1 ¸ ¸· 0 1 . · 0 1 ¸ · 0 1 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 3.6. PRODUCTO ESCALAR 165 Este proceso es llamado Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt y nos asegura que el conjunto ¦· 0 1 . · 0 2 . . . . . · 0 n ¦ es un conjunto de : vectores de \ mutuamente perpendiculares y, aplicando la proposición anterior, una base de \ formada por vectores perpendiculares entre ellos. Finalmente, para obtener la base buscada debemos construir n 1 = · 0 1 |· 0 1 | . n 2 = · 0 2 |· 0 2 | . . . . . . . . n n = · 0 n |· 0 n | y así ¦n 1 . n 2 . . . . . n n ¦ es la base de vectores unitarios mutuamente perpendiculares.buscada. Ejemplo 168 Sea \ = R 2 y ¦(2. 1). (1. 2)¦ una base de \ . Usando el proceso de Gram- Schmidt elegimos · 0 1 = (2. 1) y construimos · 0 2 = (1. 2) ÷ ¸(1. 2). (2. 1)¸ ¸(2. 1). (2. 1)¸ (2. 1) · 0 2 = (1. 2) ÷ 4 5 (2. 1) · 0 2 = _ ÷ 3 5 . 6 5 _ y así _ (2. 1). _ ÷ 3 5 . 6 5 __ es una base ortogonal de \ . Ahora la base ortogonal formada por vectore unitarios es: __ 2 _ 5 . 1 _ 5 _ . _ ÷ 3 _ 45 . 6 _ 45 __ Ejercicios. 1. Sea \ = R 3 y ¸ . ¸ : \ \ ÷÷R de…nida por ¸A. 1 ¸ = r 1 ¸ 1 +r 2 ¸ 2 +r 3 ¸ 3 para A = (r 1 . r 2 . r 3 ) e 1 = (¸ 1 . ¸ 2 . ¸ 3 ). Construya una base de vectores unitarios y mutuamente ortogonales de R 3 a partir de la base E =¦(1. ÷2. 1). (÷3. 1.0). (0. 1. 0)¦. Esto es lo que se llama ortonormalizar la base E. 2. Sea \ = ¦, : [0. 1] ÷÷R [, es continua en [0. 1]¦ y ¸ . ¸ : \ \ ÷÷R de…nida por ¸,. q¸ = _ 1 0 ,(t)q(t)dt para ,. q en \. Si l es el subespacio de \ generado por los vectores ,(t) = t y q(t) = t 2 . Encuentre una base ortonormal para l. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch Capítulo 4 Programación Lineal 4.1. Introducción Se llama Programación Lineal al procedimiento empleado para resolver, una gran cantidad de problemas de máximo y mínimo (optimización), los cuales están con restricciones de tipo lineal en las incógnitas, que pueden ser ecuaciones o inecuaciones. La fase de formulación del análisis de problemas es lo que tiene mayor trascendencia en la práctica en los problemas de programación lineal. Sin embargo solamente nos dedicaremos a la solución de ellos una vez planteado. Algunos de los conceptos necesarios de conocer para familiarizarse con el lenguaje de programación lineal son: De…nición 146 Se llama Función Objetivo, a la función de la cual queremos determinar su máximo o mínimo Observación. Por ejemplo, se puede mencionar: El administrador de una cartera: maximizar los créditos de la inversión; Un gerente de producción: satisfacer la demanda con el mínimo costo de producción; Una aerolínea: encontrar un plan de asignación de personal a un costo mínimo; Una compañía petrolera: maximizar las utilidades. En todos estos ejemplos hay una cantidad que se desea maximizar o minimizar. Ejemplo 169 Una persona tiene un problema de utilidades al producir dos tipos de produc- tos. Suponga que r i es la cantidad producida de producto i, y n i es la ganancia unitaria del producto i, con i = 1. 2. Luego la función ganancia está dada por n 1 r 1 +n 2 r 2 167 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 168 CAPÍTULO 4. PROGRAMACIÓN LINEAL De…nición 147 El conjunto restricciones o sujeto a es el conjunto donde tiene sentido o está de…nida la función objetivo. Observación. Por ejemplo, Para el administrador de cartera: sus decisiones de inversión están restringidas por la can- tidad de su capital y por los reglamentos de la bolsa de valores. Para el gerente de planta: sus decisiones están restringidas por la capacidad de la planta y por la disponibilidad de recursos. La asignación de personal y la planeación de vuelos de la línea aérea están restringidos por las necesidades de mantenimiento y por el número de empleados disponibles. La decisión de una compañía petrolera de usar cierto tipo de petróleo crudo en la pro- ducción de gasolina está restringida por las características de ésta. (El octanaje o el antidetonante). Ejemplo 170 Una persona tiene un problema de presupuesto en la empresa, si dispone de un capital de $ 1 a distribuir entre dos bienes diferentes. Suponga que r i es la cantidad asignada a la actividad i, con i = 1. 2. Luego la restricción del problema esta dada por r 1 +r 2 _ 1. De…nición 148 La Forma Estándar de un problema de programación lineal es: max (c 1 r 1 +c 2 r 2 +... +c n r n ) sujeto a: c 11 r 1 +c 12 r 2 +... +c 1n r n = / 1 c 21 r 1 +c 22 r 2 +... +c 2n r n = / 2 c 31 r 1 +c 32 r 2 +... +c 3n r n = / 3 c m1 r 1 +c m2 r 2 +... +c mn r n = / m y r 1 _ 0. r 2 _ 0. .... r n _ 0 donde / i . c i y c ij son constantes reales …jas, / i _ 0, r i son valores reales a determinar. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 4.2. TRANSFORMACIÓN A LA FORMA ESTÁNDAR 169 Observación. Podemos escribir la formulación del problema anterior de forma estándar, usando la notación matricial, esto es: max (cr t ), cr t donde c = (c 1 . c 2 . .... c n ) y r = (r 1 . r 2 . .... r n ), sujeto a: ¹r t = / donde ¹ = (c ij ) . y r i _ 0. \i = 1. .... :. donde c y r son vectores :-dimensional, ¹ es una matriz de orden :: y / es una matriz de orden :1. Las componentes de r son todas positivas, denotada por la desigualdad r _ 0. asumiendo que esa notación es para cada una de las componentes del vector r. El problema de programación lineal …nalmente se escribe, max(cr t ) Sujeto a ¹r t = / r _ 0 4.2. Transformación a la Forma Estándar No todos los problemas de programación lineal vienen expresados en la forma estándar, sin embargo éstos se pueden convertir en la forma estándar, es aquí donde aparecen nuevos conceptos, simples de de…nir 4.2.1. Variable de Holgura Suponga que tenemos, que una de las restricciones está dada por una desigualdad lineal “menor o igual que”, como por ejemplo: Considérese la desigualdad lineal en : variables dada por c 1 r 1 +c 2 r 2 +... +c n r n _ / 1 En este caso se de…ne la variable : 1 por: : 1 = / 1 ÷(c 1 r 1 +c 2 r 2 +... +c n r n ) Llamada Variable de Holgura, de tal manera que la desigualdad inicial es equivalente a: c 1 r 1 +c 2 r 2 +... +c n r n +: 1 = / 1 : 1 _ 0 Entonces se pueden introducir variables o incógnitas no negativas para convertir las desigualdades en ecuaciones. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 170 CAPÍTULO 4. PROGRAMACIÓN LINEAL Ejemplo 171 Escribir el siguiente sistema de desigualdades lineales como un sistema de ecuaciones lineales con variables de holgura: 3r 1 + 2r 2 + 5r 3 _ 10 3r 1 + 4r 2 + 6r 3 _ 125 Solución. Se de…ne las variables de holgura por : 1 = 10 ÷(3r 1 + 2r 2 + 5r 3 ) = 10 ÷3r 1 ÷2r 2 ÷5r 3 y : 2 = 125 ÷(3r 1 + 4r 2 + 6r 3 ) = 125 ÷3r 1 ÷4r 2 ÷6r 3 Entonces, las desigualdades lineales iniciales, se transforman en 3r 1 + 2r 2 + 5r 3 +: 1 = 10 3r 1 + 4r 2 + 6r 3 +: 2 = 125 Sujeta a : 1 _ 0. : 2 _ 0. es decir, 3r 1 + 2r 2 + 5r 3 +: 1 = 10 3r 1 + 4r 2 + 6r 3 +: 2 = 125 : 1 _ 0. : 2 _ 0. 4.2.2. Variable excedente Suponga que tenemos que una de las restricciones está dada por una desigualdad lineal “mayor o igual que”, como por ejemplo: Considérese la desigualdad lineal en : variables dada por c 1 r 1 +c 2 r 2 +... +c n r n _ / En este caso se de…ne la variable ¸ 1 = c 1 r 1 +c 2 r 2 +... +c n r n ÷/ La Variable Excedente nos permite establecer que lo anterior es equivalente a: c 1 r 1 +c 2 r 2 +... +c n r n ÷¸ 1 = / donde ¸ 1 _ 0. De esta forma un problema de desigualdades lineales pasa a ser una igualdad lineal. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 4.2. TRANSFORMACIÓN A LA FORMA ESTÁNDAR 171 Ejemplo 172 Escribir el siguiente sistema de desigualdades lineales como un sistema de ecuaciones lineales con variables excedentes: 2r 1 +r 2 + 2r 3 _ 10 r 1 + 2r 2 +r 3 _ 12 Solución. Se de…nen las variables excedentes por ¸ 1 = 2r 1 +r 2 + 2r 3 ÷10 = 2r 1 +r 2 + 2r 3 ÷10 y ¸ 2 = r 1 + 2r 2 +r 3 ÷12 = r 1 + 2r 2 +r 3 ÷12 Entonces, las desigualdades lineales iniciales, se transforman en 2r 1 +r 2 + 2r 3 ÷¸ 1 = 10 r 1 + 2r 2 +r 3 ÷¸ 2 = 12 Sujeta a ¸ 1 _ 0. ¸ 2 _ 0. es decir, 2r 1 +r 2 + 2r 3 ÷¸ 1 = 10 r 1 + 2r 2 +r 3 ÷¸ 2 = 12 ¸ 1 _ 0. ¸ 2 _ 0. Observación. En las anteriores situaciones hemos resuelto el problema de traducir desigual- dades en igualdades introduciendo nuevas variables no negativas. Aún nos falta examinar el caso en que las otras variables no tengan restricción alguna. 4.2.3. Variables Libres (Primer método) Suponga por ejemplo, que no existe la restricción sobre la variable r 1 por lo que dicha variable es libre de tomar valores positivos o negativos, entonces se escribe: r 1 = n 1 ÷: 1 . donde se establece necesariamente que n 1 _ 0 y : 1 _ 0. Si se substituye n 1 ÷ : 1 por r 1 en la ecuación original, se conserva la linealidad de las restricciones y se requiere que todas las variables sean positivas. Entonces el problema se expresa en una variable más. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 172 CAPÍTULO 4. PROGRAMACIÓN LINEAL 4.2.4. Variables Libres (Segundo método) Otro enfoque para convertir a la forma estándar, cuando NO se presenta la restricción r 1 _ 0. es eliminar r 1 junto con una de las ecuaciones de restricción. Para ello se toma una de las : ecuaciones del sistema de ecuaciones original, que tenga el coe…ciente de r 1 ,= 0. Por ejemplo: suponga que c i1 ,= 0. en c i1 r 1 +c i2 r 2 +... +c in r n ÷¸ i = / i . Entonces r 1 se puede despejar en términos de las otras variables más una constante. Al reemplazar esta expresión por r 1 en el sistema de ecuaciones original, se tiene un nuevo problema, pero expresado en una variable menos. Como resultado de esta operación se obtiene un problema lineal estándar con una ecuación y una variable menos. Ejemplo 173 Considere el siguiente problema de programación lineal max (r 1 + 3r 2 + 4r 3 ) sujeto a r 1 + 2r 2 +r 3 = 5 2r 1 + 3r 2 +r 3 = 6 r 2 _ 0. r 3 _ 0. Cambiarlo a un problema de programación lineal en forma estandar. Solución. Como r 1 no tiene restricción, se despeja de la primera ecuación y se obtiene: r 1 = ÷2r 2 ÷r 3 + 5. Al sustituir esto en la función objetivo se obtiene el siguiente problema, que es equivalente a: max (r 2 + 3r 3 + 5) sujeto a r 2 +r 3 = 4 r 2 _ 0. r 3 _ 0. el cuál esta en la forma estándar. Ejemplo 174 Al realizar un estudio en una fábrica de muebles, se obtienen los siguientes datos: Cada silla para su fabricación necesita de 4 horas de trabajo y 4 metros de tabla. Cada mesa para su fabricación necesita 3 horas de trabajo y 10 metros de tabla. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 4.2. TRANSFORMACIÓN A LA FORMA ESTÁNDAR 173 El fabricante dispone de 660 metros. de madera y un equipo de trabajadores capaz de pro- porcionar 380 horas de trabajo. Se ha determinado que hay una utilidad de $3000 por cada silla vendida y $6000 por cada mesa vendida. Suponiendo que los materiales necesarios (como clavos o barniz) se disponen en cantidades su…cientes. Modele el problema de programación lineal, en forma estándar ¿Cuántas mesas y sillas se deben producir para maximizar las utilidades? (suponiendo que se vende todo lo producido) Solución. Agrupemos los datos: silla mesa Disponible Madera en metros 4 10 660 Mano de obra en horas 4 3 380 Utilidades netas por unidad 3000 6000 Supongamos que r es el total de sillas fabricadas e ¸ el número total de mesas producidas por la fábrica. Como se requieren 4 metros de madera para hacer una silla, hacen falta 4r metros de madera para hacer r sillas. Similarmente se requieren 10¸ metros de madera para producir ¸ mesas. Por lo que la primera restricción se puede expresar algebraicamente por medio de la desigualdad lineal: 4r + 10¸ _ 660 De igual manera se obtiene la desigualdad lineal que representa la mano de obra: 4r + 3¸ _ 380 Estas dos desigualdades representa dos de las restricciones en este problema. Existen dos restricciones adicionales, ya que la fábrica no puede tener cantidades negativas de sus pro- ductos, por lo que se debe cumplir que: r _ 0 y ¸ _ 0 La ganancia obtenida G cuando se producen r sillas e ¸ mesas se expresa: G = 3000r + 6000¸ Juntando toda esta información, se puede enunciar un problema de programación lineal: max(G) = max (3000r + 6000¸) Sujeto a 4r + 10¸ _ 660 4r + 3¸ _ 380 r _ 0. ¸ _ 0 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 174 CAPÍTULO 4. PROGRAMACIÓN LINEAL En este problema la función lineal mostrada G = 3000r + 6000¸ es la Función Objetivo. Cualquier punto del conjunto de…nido por las restricciones se llama Solución Factible. Nuestro problema consiste en encontrar el punto (o los puntos) en el conjunto de restricciones en el cual la función objetivo toma su valor máximo. Para resolver este problema primero gra…camos el conjunto de las restricciones, que es el conjunto solución de las desigualdades, y que se muestra en el grá…co a continuación. Consideramos las rectas 3000r + 6000¸ = d. para los distintos valores de la constante d. Cada una de estas rectas son paralelas y la ganancia en ellas es constante. Para ver por qué, considérese la recta 3000r + 6000¸ = 30000 para cada punto (r. ¸) que se encuentre en esta recta y en el conjunto de…nido por las restricciones, el fabricante obtiene una utilidad de $30.000. Algunos puntos son: (10. 0) (representa solamente 10 sillas), (6. 2) (6 sillas y 2 mesas) y (0. 5) (solamente 5 mesas). Por lo que podemos gra…car muchas rectas de ganancia cons- tantes: jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 4.2. TRANSFORMACIÓN A LA FORMA ESTÁNDAR 175 Todas las rectas de utilidades constantes son paralelas entre sí y las utilidades aumentan al aumentar el intersecto. Cada nueva línea entre mayor el intersecto se produce más utilidades. Entonces nuestro objetivo es determinar el intersecto mayor sin salirnos del conjunto de restricción. De la …gura se ve que la “última” recta de ganancia constante es la línea que intersecta al conjunto de las restricciones en un solo punto (65. 40). Esto quiere decir que se obtienen las máximas utilidades cuando se fabrican 65 sillas y 40 mesas. Lo que produce una utilidad de: 3000 + 65 + 6000 + 40 = 435000, es decir, $435.000. La forma estandar del problema de programción lineal esta dada por: max (3000r + 6000¸) sujeto a 4r + 10¸ +: 1 = 660 4r + 3¸ +: 2 = 380 r. ¸. : 1 . : 2 _ 0 Observación: En el caso particular de este problema se pudo recurrir a una técnica grá…ca llamada “método grá…co” que nos permitió resolverlo. Este método muestra lo que pasa, jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 176 CAPÍTULO 4. PROGRAMACIÓN LINEAL pero es poco práctico, ya que se requiere de la elaboración de grá…cas muy precisas para obtener la solución. Además, sólo se puede emplear en problemas en los que intervengan dos variables, pues las grá…cas en dimensiones tres son más complicadas de visualizar y no se pueden utilizar en dimensión mayor. Ejercicio 175 Una industria produce dos tipos de productos ¹ 1 . ¹ 2 . Existen restricciones de los recursos: mano de obra, materia prima y maquinaria. Se sabe que para producir una unidad del producto ¹ 1 , el dinero gastado en los recursos es, en pesos, 5, 10 y 4 respectiva- mente. En el caso del segundo producto las cantidades son 6, 20 y 4. El dinero disponible para cada uno de los tres recursos es, respectivamente, 15.000, 20.000 y 6.000 pesos. La ganancia por cada unidad del producto ¹ 1 es 3 pesos, y por cada unidad del producto ¹ 2 es 4 pesos. Suponemos que en el mercado nuestros productos no tienen competencia. Determinar las cantidades a producir, r 1 y r 2 , de los productos ¹ 1 y ¹ 2 , respectivamente, a …n de obtener el máximo bene…cio. Ejercicio 176 Un chacarero tiene a su disposición 100 hectáreas de tierra, 160 días-hombre para cultivarlo y 1.100 pesos para invertir. Desea sembrar dos cultivos, uno de los cuales requiere un día-hombre por hectárea y produce un bene…cio de 40 pesos por hectárea; el otro cultivo requiere de 4 días-hombre por hectárea y produce un bene…cio de 120 pesos por hectárea. El cultivo 1 requiere una inversión de 10 pesos por hectárea y el cultivo 2 requiere de 20 pesos por hectárea. Se desea saber cuántas hectáreas de cada cultivo habrá que plantar para obtener el bene…cio máximo. 4.3. Conjuntos Convexos Para poder justi…car algunos resultados que permiten resolver los problemas de pro- gramación lineal en un número arbitrario de variables, es necesario de…nir los siguientes conceptos. De…nición 149 Un conjunto C en 1 n es convexo si y sólo si para toda r 1 . r 2 ¸ C y todo número real c. 0 < c < 1. el punto cr 1 + (1 ÷c) r 2 ¸ C. Observación. Todos los puntos del segmento de recta que une a estos dos puntos pertenece al conjunto, noción vital de la de…nición. Teorema 150 El conjunto ` = ¦r ¸ R [ ¹r = /. r _ 0¦ restricción de un problema de programación lineal es un conjunto convexo. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 4.3. CONJUNTOS CONVEXOS 177 Demostración. Sean r. ¸ ¸ `. por de…nición de conjunto factible tenemos que r _ 0. ¸ _ 0 Como r. ¸ ¸ ` tenemos que ¹r = / ¹¸ = / Debemos probar que cr + (1 ÷c) ¸ ¸ `, para ello ¹(cr + (1 ÷c) ¸) = ¹(cr) +¹((1 ÷c) ¸) = c¹r + (1 ÷c) ¹¸ = c/ + (1 ÷c) / = c/ +/ ÷c/ = / Falta demostrar que cr + (1 ÷c) ¸ 0. veri…quémoslo por coordenadas. Sean r i . ¸ i las coordenadas i-ésima de r y ¸ respectivamente, por lo tanto r i 0. ¸ i 0 cr i 0. (1 ÷c)¸ i 0 cr i + (1 ÷c)¸ i 0 Luego, el conjunto de soluciones ` es convexo. De…nición 151 Se llama punto extremo de un conjunto convexo ` a aquellos puntos que no se encuentran estrictamente dentro del segmento de recta que une otros dos puntos del conjunto. Es decir, r es un punto extremo de un conjunto convexo `, si y sólo si dados dos puntos distintos r 1 y r 2 en ` tales que r = cr 1 + (1 ÷c) r 2 implica c = 0 o c = 1. Teorema 152 Dado el conjunto ` = ¦r ¸ R [ ¹r = /. r _ 0¦ restricción de un problema de programación lineal y la función ,(r) = cr. c ,= 0 Si , alcanza un máximo local en j entonces j es un punto extremo de `. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 178 CAPÍTULO 4. PROGRAMACIÓN LINEAL Demostración. Supongamos que j no es un punto extremo, luego sean r 1 . r 2 ¸ ` y c ¸]0. 1[. tales que j = (1 ÷c)r 1 +cr 2 cj = c ((1 ÷c)r 1 +cr 2 ) cj = (1 ÷c)cr 1 +ccr 2 con lo cual el valor de cj está entre los valores de cr 1 y cr 2 . pero , alcanza un máximo local en j por lo tanto cj = cr 1 ; cj = cr 2 lo cual es una contradicción. Observación. La interpretación de este teorema, nos motiva a encontrar todos los puntos extremos de una conjunto convexo. Además note que si una función alcanza en más de un punto su valor máximo, también hay un punto extremo donde alcanza ese valor. Teorema 153 Dado el conjunto ` = _ r ¸ R [ ¹r t = /. r _ 0 _ ,= c restricción de un problema de programación lineal entonces ` tiene un punto extremo. Demostración. Sea r un elemento en ` como ¹r t = / por lo tanto tenemos m i=1 r i C i (¹) = / reordenando y escogiendo los índice de tal manera, que los primeros / coe…cientes son no nulo k i=1 ¸ i c i (¹) = / Supongamos que el conjunto ¦c 1 (¹). c 2 (¹). ...c k (¹)¦ es linealmente dependiente. Por lo tanto existen ¯ . i en los reales, no todos negativos, tales que ` k i=1 ¯ . i c i (¹) = 0 y volviendo a la enumeración original, reordenando, sumando y completando los otros coe- …cientes con cero obtenemos m i=1 (r i ÷`. i ) C i (¹) = / jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 4.3. CONJUNTOS CONVEXOS 179 de esta última suma podemos notar que si ` 0 entonces: i) Algunos coe…cientes se mantienen positivos (si . i = 0). ii) Otros coe…cientes aumentan su valor cuando . i < 0. es decir mantienen su signo positivo. iii) Otros coe…cientes disminuyen su valor cuando . i 0. con ellos escogemos el valor dado por ` = mn _ r i . i , . i 0 _ con lo cual al menos uno de los coe…cientes se anula, por lo tanto al repetir el proceso obtenemos que existe un elemento r de ` tal que el conjunto de las columnas de la matriz ¹ con coe…cientes de r distinto de cero ¦C i (¹) [ r i ,= 0¦ . forma un conjunto linealmente independiente. A continuación demostraremos que este r, es un punto extremo de `. Sean ¸. . ¸ `. luego ¸ _ 0. . _ 0. además ¹¸ = / ¹. = / tal que r = c¸ + (1 ÷c) ., igualando los coe…cientes, obtenemos r i = c¸ i + (1 ÷c) . i como r tiene algunos coe…cientes cero por lo tanto ¸. . también tienen los mismos coe…cientes iguales a ceros, es decir considerando solamente los coe…cientes distintos de cero, tenemos la siguiente combinación lineal m i=1 (c¸ i + (1 ÷c). i ) C i (¹) = / como las columnas son linealmente independientes, el sistema admite a lo más una solución, luego todas las que hemos encontrado son iguales. Por lo tanto, dado c. / ¸ [0. 1]. cualesquiera c¸ i + (1 ÷c). i = /¸ i + (1 ÷/). i (c ÷/)¸ i = (c ÷/). i ¸ i = . i Así obtenemos que ¸ = .. con lo cual obtenemos que r es un punto extremo. Corolario 154 Dado el conjunto ` = _ r ¸ R [ ¹r t = /. r _ 0 _ ,= c restricción de un problema de programación lineal entonces ` tiene un número …nito de puntos extremos. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 180 CAPÍTULO 4. PROGRAMACIÓN LINEAL Corolario 155 Dado el conjunto ` = _ r ¸ R [ ¹r t = /. r _ 0 _ ,= c restricción de un problema de programación lineal entonces G = cr t tiene un punto donde alcanza el máximo y el mínimo. Ejemplo 177 Tenemos del ejemplo 154 que el conjunto de restricción es 4r + 10¸ _ 660 4r + 3¸ _ 380 r _ 0. ¸ _ 0 Transformando en la forma estándar tenemos que _ 4 10 1 0 4 3 0 1 _ _ ¸ ¸ _ r ¸ . t _ ¸ ¸ _ = _ 660 380 _ los puntos extremos se obtienen como solución única de columnas linealmente independientes, la única posibilidad es tomar solamente dos columnas y así obtenemos los siguientes puntos extremos (0. 0. 660. 380); (0. 66. 0. 182); (95. 0. 280. 0); (65. 40. 0. 0); (0. 0. 0. 0) Luego basta evaluar la función G = 3000r + 6000¸ en los puntos extremos obtenemos: G(0. 0. 660. 380) = 0; G(0. 66. 0. 182) = 396.000; G(0. 0. 0. 0) = 0; G(95. 0. 280. 0) = 285.000; G(65. 40. 0. 0) = 435.000. Así se obtiene que el máximo se alcanza en r = 65 e ¸ = 40. 4.4. Método del Simplex Es un algoritmo capaz de generar a partir de un punto extremo, nuevos puntos extremos donde la función alcanza cada vez mejores valores, hasta llegar a una que no puede ser mejorada. El Método del Simplex se basa en que el valor optimal de un problema de programación lineal, siempre se alcanza en un punto extremo, lo que corresponde a la demostración del teorema 136. Al comprender que basta con considerar soluciones factibles básicas (puntos extremos), se seleccionan varias bases o conjuntos linealmente independientes maximales y jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 4.4. MÉTODO DEL SIMPLEX 181 se calculan las correspondientes soluciones básicas. La lógica para la elección sistemática de nuevas bases implica de nuevo los coe…cientes de costo relativo. El método del simplex se puede esquematizar de la siguiente manera: Primer Paso: Matriz asociada a un problema de programación lineal. Dado el problema de programación lineal en forma estandar max(cr t ) donde c = (c 1 . c 2 . .... c n ) y r = (r 1 . r 2 . .... r n ), sujeto a: ¹r t = / con ¹ = (c ij ) . además r _ 0. Le asociamos la siguiente matriz _ ¹ / ÷c ÷. _ o bien _ ¹ / ÷c 0 _ Nos referiremos a los coe…cientes de la última …la, como indicadores o pesos de la función objetivo. Segundo Paso: Elección de la columna. Las columnas a pivotear son las que tienen indicadores negativos, ya que ellas son las únicas que pueden hacer que el máximo aumente, además algún elemento de esa columna debe ser necesariamente positivo, en caso contrario signi…cará que el conjunto es no acotado luego no tiene máximo. Tercer Paso: Elección de la posición de pivoteo. El Método del Simplex, supone que la matriz ya está pivoteada y a partir de ella se tiene una solución particular del sistema perteneciente al conjunto de restricción, es decir un punto extremo _ ¹ 0 / 0 ÷c 0 ÷. 0 _ Si hemos escogido la columna ¡ para pivotear, de acuerdo a lo exigido en el segundo paso. Sea t tal que / 0 t c 0 tq = mn¦ / 0 i c 0 iq , c 0 iq 0¦ Con lo cual, podemos pivotear en la posición (t. ¡). la elección de t no siempre es única. Terminada la instancia de pivotear volvemos a repetir el proceso a partir del paso dos, hasta obtener que todo los indicadores son no negativos. En este caso, el valor optimal de la función es el coe…ciente de la posición (:+1. : +1). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 182 CAPÍTULO 4. PROGRAMACIÓN LINEAL Ejemplo 178 Consideremos el siguiente sistema, el cuál corresponde exclusivamente al con- junto restricción _ _ 2 4 6 1 0 0 4 1 2 3 0 1 0 3 ÷1 2 1 0 0 1 1 _ _ Una solución particular del sistema o un punto extremo es r = (0. 0. 0. 4. 3. 1) Supóngase que se decide pivotear sobre la primera columna. Para determinar cuál es la posición adecuada, se calculan las tres razones: 4 2 = 2. 3 1 = 3. 1 ÷1 = ÷1 y se selecciona la menor no negativa. Esto nos indica que 2 es nuestro elemento en la posición (1. 2), Así obtenemos: _ _ 1 2 3 1 2 0 0 2 0 0 0 ÷ 1 2 1 0 1 0 4 4 1 2 0 1 3 _ _ y nuestro nuevo punto extremo es, r = (2. 0. 0. 0. 1. 3) donde se ha pasado de una solución básica a otra. Ejemplo 179 Maximizar n = 3r + 4¸ sujeto a: r + 2¸ _ 12 2r + 3r _ 21 r. ¸ _ 0. Solución. Para convertir el problema a la forma estándar necesitamos incorporar las vari- ables de holgura r + 2¸ +. = 12 2r + 3¸ +t = 21 r. ¸. .. t _ 0 con n = 3r + 4¸ La matriz asociada al problema es _ _ 1 2 1 0 12 2 3 0 1 21 ÷3 ÷4 0 0 ÷n _ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 4.4. MÉTODO DEL SIMPLEX 183 en la primera columna tenemos indicadores negativos, para escoger cuál es la posición en la que vamos a pivotear, miremos los cuocientes y calculemos el mínimo mn _ 12 1 . 21 2 _ = 21 2 con lo cuál procedemos a escalonar en la posición (2. 1). Obtenemos _ _ 0 1 2 1 ÷ 1 2 3 2 1 3 2 0 1 2 21 2 0 1 2 0 3 2 ÷n + 63 2 _ _ Para comprender de mejor manera lo que hemos realizado, recuperemos el sistema que de…ne el conjunto restricción , esto es: 1 2 ¸ +. ÷ 1 2 t = 3 2 r + 3 2 ¸ + 1 2 t = 21 2 r. ¸. .. t _ 0 Despejando r de la segunda ecuación obtenemos r = 21 2 ÷ 3 2 ¸ ÷ 1 2 t reemplacemos en la función objectivo n = 3 _ 21 2 ÷ 3 2 ¸ ÷ 1 2 t _ + 4¸ n = 63 2 ÷ 1 2 ¸ ÷ 1 2 t y como todas la variables son positivas, el valor solamente puede disminuir, con lo cuál obtenemos que el valor máximo es 63 2 y lo alcanza en r = 3 2 . ¸ = 0 Ejemplo 180 Maximizar n = 3r + 5¸ sujeto a: r + 2¸ _ 12 2r + 3r _ 21 r. ¸ _ 0. Solución. Traduciremos el problema de programación lineal a la forma estándar, de modo que pueda aplicarse el procedimiento simplex, _ _ 1 2 1 0 12 2 3 0 1 21 ÷3 ÷5 0 0 0 _ _ o r + 2¸ +. = 12 2r + 3¸ +t = 21 r. ¸. .. t _ 0 con n = 3r + 5¸ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 184 CAPÍTULO 4. PROGRAMACIÓN LINEAL la solución inicial es (0. 0. 12. 21). en la primera columna miremos los cuocientes y calculemos el mínimo mn _ 12 1 . 21 2 _ = 21 2 luego procedemos a escalonar de la posición (2. 1). Así tenemos _ _ 0 1 2 1 ÷ 1 2 3 2 1 3 2 0 1 2 21 2 0 ÷ 1 2 0 3 2 63 2 _ _ o 1 2 ¸ +. ÷ 1 2 t = 3 2 r + 3 2 ¸ + 1 2 t = 21 2 r. ¸. .. t _ 0 despejando r de la segunada ecuación y reemplando esta sustitución en la función n = 3 _ 21 2 ÷ 3 2 ¸ ÷ 1 2 t _ + 5¸ n = 63 2 + 1 2 ¸ ÷ 3 2 t en este caso el valor puede seguir aumentando, y la solución que tenemos es ( 21 2 . 0. 3 2 . 0) Realicemos la búsqueda sobre la segunda variable, ya que ella puede seguir aumentando mn _ 3,2 1,2 . 21,2 1,2 _ = mn ¦3. 21¦ = 3 Escalonemos usando la posición (2. 1). tenemos _ _ 0 1 2 ÷1 3 1 0 ÷ 3 2 2 6 0 0 1 1 33 _ _ o ¸ + 2. ÷t = 3 r ÷ 3 2 . + 2t = 6 r. ¸. .. t _ 0 el punto que tenemos ahora es (6. 3. 0. 0). reemplacemos en la función a maximizar, así n = 63 2 + 1 2 (3 ÷2. +t) ÷ 3 2 t n = 33 ÷. ÷t como todas la variables son positivas, obtenemos que el máximo valor es 33 y lo alcanza en r = 6. ¸ = 3. Ejemplo 181 Tenemos del ejemplo 154 que el conjunto de restricción es 4r + 10¸ _ 660 4r + 3¸ _ 380 r. ¸ _ 0 y la función objetivo n = 3000r + 6000¸. Transformando a la forma estándar y asociando la matriz tenemos, _ _ 4 10 1 0 660 4 3 0 1 380 ÷3000 ÷6000 0 0 0 _ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 4.4. MÉTODO DEL SIMPLEX 185 Pivotendo en la la posición (2. 1) obtenemos _ _ 0 7 1 ÷1 280 1 3 4 0 1 4 95 0 ÷3750 0 750 285000 _ _ Para continuar el proceso pivoteamos en la posción (1. 2), y tenemos _ _ 0 1 1 7 ÷ 1 7 40 1 0 ÷ 3 28 1 65 0 0 3750 7 1500 7 435000 _ _ Así se obtiene que el máximo se alcanza en r = 65 y ¸ = 40. y su valor máximo es $435.000. Ejemplo 182 Maximizar . = 3r 1 +r 2 + 3r 3 sujeto a: 2r 1 +r 2 +r 3 _ 2 r 1 + 2r 2 + 3r 3 _ 5 2r 1 + 2r 2 +r 3 _ 6 r 1 . r 2 . r 3 _ 0. Solución. Para convertir el problema a la forma estándar de modo que pueda aplicarse el procedimiento simplex, multiplicamos la función objetivo por menos uno e introducimos tres variables de holgura no negativas r 4 . r 5 . r 6 , con lo que resulta lo siguiente: _ ¸ ¸ _ 2 1 1 1 0 0 2 1 2 3 0 1 0 5 2 2 1 0 0 1 6 ÷3 ÷1 ÷3 0 0 0 0 _ ¸ ¸ _ La aplicación del criterio de selección de una columna sobre la que pivotear, demuestra que cualquiera de las tres columnas proporciona una solución mejorada. En cada una de estas columnas, el elemento pivote adecuado se determina calculando las razones ¸ i0 ¸ ij y seleccionando la positiva más pequeña. Sólo es necesario determinar un pivote permitido y en general no hay por qué calcularlos todos. Sin embargo, para hacer cálculos a mano en problemas de esta magnitud, se podrían analizar los posibles pivotes y seleccionar uno que minimice la cantidad de división necesaria. Para este ejemplo se elige 1. de la posición (1. 2). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 186 CAPÍTULO 4. PROGRAMACIÓN LINEAL _ ¸ ¸ _ 2 1 1 1 0 0 2 ÷3 0 1 ÷2 1 0 1 ÷2 0 ÷1 ÷2 0 1 2 ÷1 0 ÷2 1 0 0 2 _ ¸ ¸ _ En la tercera columna tenemos que el indicador es negativo, escogemos para pivotear la posición (3. 2) _ ¸ ¸ _ 5 1 0 3 ÷1 0 1 ÷3 0 1 ÷2 1 0 1 ÷5 0 0 ÷4 1 1 3 ÷7 0 0 ÷3 2 0 4 _ ¸ ¸ _ El valor de la función objetivo sigue aumentando y se puede pivotar en la posición (1. 1) _ ¸ ¸ _ 1 1 5 0 3 5 ÷ 1 5 0 1 5 0 3 5 1 ÷ 1 5 2 5 0 8 5 0 1 0 ÷1 0 1 4 0 7 5 0 6 5 3 5 0 27 5 _ ¸ ¸ _ Como la última …la tiene solamente elementos no negativos, se deduce que la solución correspondiente a la última tabla es optimal. Por lo tanto, r 1 = 1 5 . r 2 = 0. r 3 = 8 5 . r 4 = 0. r 5 = 0. r 6 = 4 es la solución óptima con un valor correspondiente a la función objetivo de 27 5 . Ejemplo 183 Encontrar todos los pivotes o apoyos de la tabla simplex inicial. _ _ 2 ÷1 4 6 1 0 1 3 3 2 7 0 1 2 ÷1 ÷1 ÷ 1 2 2 0 0 ÷. _ _ Solución. Primero, obsérvese que hay tres indicadores negativos, es decir, por lo menos tres pivotes. En la primera columna hay dos componentes positivos, así que formamos los cocientes: ¸ 10 ¸ 11 = 1 2 . ¸ 20 ¸ 21 = 2 3 como 1 2 _ 2 3 . luego el pivote de la primera columna está en la posición (1. 1). En la segunda columna hay solamente un coe…ciente positivo, luego el pivote está en la posición (2. 2). En la tercera columna, formemos los cocientes: ¸ 10 ¸ 13 = 1 4 . ¸ 20 ¸ 23 = 2 2 = 1 Así, el pivote esta en la posición (3. 2). A continuación tenemos marcados los posibles pivotes jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 4.4. MÉTODO DEL SIMPLEX 187 _ _ 2 ÷1 4 6 1 0 1 3 3 2 7 0 1 2 ÷1 ÷1 ÷ 1 2 2 0 0 ÷. _ _ Con lo que concluye el ejercicio. Ejemplo 184 En el ejercicio anterior, encontramos el pivote en la tercera columna. Usar éste, para dar inicio al método del simplex de modo de localizar el valor optimal. _ _ 2 ÷1 4 6 1 0 1 3 3 2 7 0 1 2 ÷1 ÷1 ÷ 1 2 2 0 0 ÷. _ _ Solución. Pivotenado en la posición pedida tenemos _ _ 1 2 ÷ 1 4 1 3 2 1 4 0 1 4 2 7 2 0 4 ÷ 1 2 1 3 2 ÷ 3 4 ÷ 9 8 0 11 4 1 8 0 ÷. + 1 8 _ _ Ahora permanecen dos indicadores negativos. Luego, para escoger la posición de la primera columna, veamos los cuocientes 1 4 1 2 = 1 2 ; 3 2 2 = 3 4 Pivoteamos desde la posición (1. 1) y obtenemos _ _ 1 ÷ 1 2 2 3 1 2 0 1 2 0 5 2 ÷2 ÷2 ÷ 3 2 1 1 2 0 ÷ 5 4 3 2 5 1 2 0 ÷. + 1 2 _ _ La única columna, que tiene indicador negativo es la segunda y en ella encontramos un solo pivote, que esta en la posición (2. 2). pivoteando esta posición tenemos _ _ 1 0 8 5 13 5 1 5 1 5 3 5 0 1 ÷ 4 5 ÷ 4 5 ÷ 3 5 2 5 1 5 0 0 1 2 4 ÷ 1 4 1 2 ÷. + 3 4 _ _ Tenemos nuevamente un indicador negativo en la quinta columna, y un solo pivote posi- tivo, pivoteando desde la posición (5. 1) obtenemos _ _ 5 0 8 13 1 1 3 3 1 4 36 5 0 1 2 5 4 0 5 2 29 4 0 3 4 ÷. + 3 2 _ _ Con ello, tenemos que el valor máximo lo alcanzamos en (0. 2. 0. 0. 3. 0) y este valor es 3 2 . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 188 CAPÍTULO 4. PROGRAMACIÓN LINEAL Ejemplo 185 Encontrar todos los pivotes de la matriz asociada a un problemna de progra- mación lineal.dada por: _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 1 3 4 4 1 0 0 0 2 0 2 1 2 1 0 1 0 0 2 ÷1 5 0 1 2 0 0 1 0 1 1 ÷4 1 3 2 0 0 0 1 3 ÷1 ÷1 1 0 ÷2 0 0 0 0 ÷. _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ Solución. Hay indicadores positivos en las columnas 1,2 y 5. En la primera columna hay dos elementos positivos, realizando los cocientes: ¸ 10 ¸ 11 = 2 1 = 2. ¸ 40 ¸ 41 = 3 1 = 3 ya que 2 < 3, el pivote es 1 en la posición (1. 1). En la segunda columna hay tres componentes positivas, formamos los cocientes: ¸ 10 ¸ 12 = 2 1 = 2. ¸ 20 ¸ 22 = 2 2 = 1. ¸ 30 ¸ 32 = 1 5 como 1 5 es el mínimo cociente, el pivote es 5 en la posición (3. 2). En la quinta columna hay cuatro componentes positivos, formamos los cocientes: ¸ 10 ¸ 15 = 2 4 = 1 2 . ¸ 20 ¸ 25 = 2 1 = 2. ¸ 30 ¸ 35 = 1 2 . ¸ 40 ¸ 45 = 3 2 El menor cociente es 1 2 , y hay dos cocientes con este valor. Por lo tanto, en la posición (1. 5) y en la posición (3. 5) estan los posibles pivotes. Volvemos a dibujar la tabla, con los pivotes marcados: _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 1 3 4 4 1 0 0 0 2 0 2 1 2 1 0 1 0 0 2 ÷1 5 0 1 2 0 0 1 0 1 1 ÷4 1 3 2 0 0 0 1 3 1 1 ÷1 0 2 0 0 0 0 . _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ y con esto …naliza el ejercicio. Ejemplo 186 Determinar el máximo optimal del problema de programación lineal dado por _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 1 3 4 4 1 0 0 0 2 0 2 1 2 1 0 1 0 0 2 ÷1 5 0 1 2 0 0 1 0 1 1 ÷4 1 3 2 0 0 0 1 3 1 1 ÷1 0 2 0 0 0 0 . _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 4.4. MÉTODO DEL SIMPLEX 189 Solución. Pivotenado en la posición (1. 1) obtenemos: _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 1 3 4 4 1 0 0 0 2 0 2 1 2 1 0 1 0 0 2 0 6 3 5 6 1 0 1 0 3 0 ÷5 ÷2 ÷1 ÷2 ÷1 0 0 1 1 0 0 4 4 2 1 0 0 0 ÷. + 2 _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ Así obtenemos, que el máximo valor es 2 y se alcanza en (2. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 3. 1) Ejemplo 187 La siguiente es una tabla terminal de un problema de programación lineal: _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 1 0 1 1 3 1 2 0 2 1 2 0 0 1 2 1 2 1 0 3 0 0 1 0 0 1 3 0 1 0 3 0 0 2 0 4 1 2 0 1 0 0 1 3 1 2 1 0 ÷. + 20 _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ Solución. Como todos los indicadores son no negativos, se ve que . alcanza un valor máximo de 20 en el punto (3. 0. 1. 2. 0. 0. 0. 1) La explicación de este resultado lo tenemos en la última ecuación de la matriz, dada por: 0r 1 +r 2 + 0r 3 + 0r 4 + 1 3 r 5 + 1 2 r 6 +r 7 + 0r 8 = ÷. + 20 o bien: r 2 + 1 3 r 5 + 1 2 r 6 +r 7 = ÷. + 20 y así . = 20 ÷ _ r 2 + 1 3 r 5 + 1 2 r 6 +r 7 _ . = 20 ÷r 2 ÷ 1 3 r 5 ÷ 1 2 r 6 ÷r 7 Como todas las variables son no negativas, se tiene que ÷r 2 ÷ 1 3 r 5 ÷ 1 2 r 6 ÷r 7 _ 0 entonces . _ 20. Observe que . = 20 cuando r 2 = r 5 = r 6 = r 7 = 0. Las primeras cuatro ecuaciones de la tabla terminal se leen: r 2 +r 4 + 1 3 r 5 +r 6 + 2r 7 = 2 r 1 + 2r 2 + 1 2 r 5 + 1 2 r 6 +r 7 = 3 r 3 +r 6 +r 7 = 1 3r 2 + 2r 5 + 4r 7 +r 8 = 2 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 190 CAPÍTULO 4. PROGRAMACIÓN LINEAL Como r 2 = r 5 = r 6 = r 7 = 0. estas ecuaciones se reducen a: r 4 = 2 r 1 = 3 r 3 = 1 r 8 = 2 Así se ve que . alcanza su máximo de 20 en (3. 0. 1. 2. 0. 0. 0. 2) . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 4.4. MÉTODO DEL SIMPLEX 191 Ejercicios. 1. Determine los pivotes de la tabla simplex inicial dada: a) _ _ 2 ÷1 2 1 0 1 ÷1 0 3 0 1 2 ÷2 ÷1 ÷1 0 0 ÷. _ _ b) _ _ 1 1 1 1 0 1 ÷1 0 1 0 1 2 ÷2 ÷1 3 0 0 ÷. _ _ c) _ ¸ ¸ _ 1 2 3 1 0 0 0 1 2 3 1 0 1 0 0 2 3 1 2 0 0 1 0 1 ÷2 ÷1 ÷3 0 0 0 1 ÷. _ ¸ ¸ _ 2. Escriba la matriz asociada a la forma estándar para el problema programación lineal y encierre los posibles pivotes: a) max (2r 1 +r 2 ) sujeto a: r 1 +r 2 _ 1 2r 1 + 5r 2 _ 2 r 1 . r 2 _ 0 b) max (r 1 ÷r 2 ) sujeto a: 2r 1 + 3r 2 _ 7 5r 1 + 8r 2 _ 4 r 1 . r 2 _ 0 c) max (4r 1 ÷3r 2 ) sujeto a: r 1 + 2r 2 _ 5 3r 1 + 2r 2 _ 7 5r 1 + 3r 2 _ 14 r 1 . r 2 _ 0 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 192 CAPÍTULO 4. PROGRAMACIÓN LINEAL d) max (3r 1 + 2r 2 + 4r 3 ) sujeto a: r 1 +r 2 +r 3 _ 5 2r 1 +r 2 + 3r 3 _ 6 r 1 . r 2 . r 3 _ 0 e) max (2r 1 +r 2 + 3r 3 ) sujeto a: r 1 ÷r 2 ÷r 3 _ 5 ÷r 1 +r 2 + 2r 3 _ 6 2r 1 ÷r 2 +r 3 _ 7 r 1 . r 2 . r 3 _ 0 f ) max (r 1 +r 2 ÷3r 3 ) sujeto a: r 1 +r 2 +r 3 _ 5 r 1 ÷2r 2 + 2r 3 _ 6 2r 1 ÷r 2 +r 3 _ 4 r 1 . r 2 . r 3 _ 0 3. Utilice el procedimiento simplex para resolver y realizar una representación grá…ca del problema en el espacio r 1 . r 2 . a) max (÷r 1 +r 2 ) sujeto a: r 1 ÷r 2 _ 2 r 1 +r 2 _ 6 r 1 . r 2 _ 0 b) max (r 1 +r 2 ) sujeto a: ÷2r 1 +r 2 _ 1 r 1 ÷r 2 _ 1 r 1 . r 2 _ 0 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 4.4. MÉTODO DEL SIMPLEX 193 c) max (4r 1 + 5r 2 ) sujeto a: 2r 1 + 3r 2 _ 6 3r 1 + 2r 2 _ 5 r 1 . r 2 _ 0 d) max (5r 1 + 8r 2 ) sujeto a: r 1 +r 2 _ 3 r 1 + 2r 2 _ 4 r 1 _ 5 2 r 2 _ 3 2 r 1 . r 2 _ 0 4. Resolver los siguientes problemas de programación lineal. a) max (r 1 + 2r 2 +r 3 ) sujeto a: r 1 +r 2 _ 2 r 2 _ 1 r 2 + 2r 3 _ 3 r 1 . r 2 . r 3 _ 0 b) max (5r 1 +r 2 + 3r 3 ) sujeto a: r 1 _ 3 4r 2 +r 3 _ 2 r 1 ÷r 2 _ 0 r 1 . r 2 . r 3 _ 0 c) max (r 1 + 2r 2 + 2r 3 ) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 194 CAPÍTULO 4. PROGRAMACIÓN LINEAL sujeto a: r 1 + 3r 2 + 6r 3 _ 12 3r 1 + 2r 2 + 4r 3 _ 10 ÷r 1 + 2r 2 +r 3 _ 5 r 1 . r 2 . r 3 _ 0 d) max (r 1 + 2r 2 + 3r 3 ) sujeto a: r 1 +r 2 ÷r 3 _ 1 r 1 ÷r 2 +r 3 _ 2 ÷r 1 +r 2 +r 3 _ 3 r 1 . r 2 . r 3 _ 0 e) max (r 1 ÷r 2 +r 3 ) sujeto a: r 1 +r 2 + 2r 3 _ 5 2r 1 +r 2 +r 3 _ 7 2r 1 ÷r 2 + 3r 3 _ 8 r 1 + 2r 2 + 5r 3 _ 9 r 1 . r 2 . r 3 _ 0 f ) max (5r 1 + 7r 2 + 15r 3 + 6r 4 ) sujeto a: r 1 + 2r 2 +r 4 _ 1 r 1 + 3r 2 +r 3 _ 2 r 1 + 4r 2 + 3r 3 + 2r 4 _ 3 r 1 + 5r 3 + 3r 4 _ 4 r 1 . r 2 . r 3 . r 4 _ 0 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch Capítulo 5 Ejercicios 5.1. Matrices 1. Dadas ¹ = _ 1 2 3 ÷1 0 2 _ y 1 = _ ÷1 5 ÷2 2 2 ÷1 _ a) Describir los vectores …las y los vectores columnas de ¹ y 1. b) Hallar ¹ +1, ÷21,¹ ÷1. ¹ ÷21. 1 ÷¹ 2. En cada uno de los siguientes casos determinar (¹1)C y ¹(1C) a) ¹ = _ 2 1 3 1 _ ; 1 = _ ÷1 1 1 0 _ ; C = _ 1 4 2 3 _ b) ¹ = _ 2 1 ÷1 3 1 2 _ ; 1 = _ _ 1 1 2 0 3 ÷1 _ _ ; C = _ 1 3 _ 3. Sea A = _ 1 0 0 ¸ y ¹ = _ _ 3 1 5 2 0 1 1 1 7 _ _ . a) Determinar el orden de A¹ y comparar con las …las o columnas de ¹. b) Si A = [0 ...0 1 0 ... 0] donde 1 aparece en la posición (1. i) Determinar el orden de A¹ y ¹A t , comparar con las …las o columnas de ¹. con ¹ en ` n . 4. Calcule los productos matriciales ¹1 y 1¹ ¹ = _ _ 1 ÷2 3 1 0 1 1 ÷1 1 ÷2 0 ÷5 _ _ ; 1 = _ ¸ ¸ _ ÷2 1 3 ÷2 3 ÷1 3 ÷4 ÷3 1 ÷1 ÷1 _ ¸ ¸ _ 195 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 196 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 5. Para las matrices ¹ = _ 1 2 0 5 ÷3 4 _ ; 1 = _ ÷2 5 6 2 0 ÷1 _ ; C = _ _ 1 0 1 7 5 3 5 ÷2 ÷2 4 3 2 _ _ Veri…que directamente la distributividad a la derecha (¹ +1)C = ¹C +1C ¿Se cumple la distributividad a la izquierda para estas tres matrices? Justi…que. 6. Dadas ¹ = _ _ 2 ÷3 ÷5 ÷1 4 5 1 ÷3 ÷4 _ _ ; 1 = _ _ ÷1 3 5 1 ÷3 ÷5 ÷1 3 5 _ _ y C = _ _ 2 ÷2 ÷4 ÷1 3 4 1 ÷2 ÷3 _ _ a) Veri…que que ¹1 = 1¹ = 0; ¹C = ¹ y C¹ = C b) Use los resultados de (a) para comprobar que ¹C1 = C1¹. ¹ 2 ÷1 2 = (¹ ÷1)(¹ +1). (¹ +1) 2 = (¹ ÷1) 2 = ¹ 2 +1 2 7. Dadas las matrices en ` 3 ¹ = _ _ 2 1 ÷3 5 2 0 ÷3 1 ÷4 _ _ ; 1 = _ _ 6 2 ÷1 0 1 ÷2 0 1 0 _ _ ; C = _ _ 4 1 2 0 3 2 1 ÷2 3 _ _ Determinar A en ` 3 tal que 2¹ + 3A = ( 1 2 C).( 2 3 1) 8. Dadas las matrices _ _ 1 2 3 4 5 6 _ _ y 1 = _ _ ÷3 ÷2 1 ÷5 4 3 _ _ . Hallar 1 = _ _ j ¡ : : t n _ _ de manera que ¹ +1 ÷1 = 0. 9. Si ¹ en ` 3 efectuar los productos a) ¹ 1[c 1 . c 2 . c 3 ] ; 1[c 1 . c 2 . c 3 ] ¹ b) 1[c 1 . c 2 . c 3 ] ¹ 1[d 1 . d 2 . d 3 ] c) ¹ 1o [c 1 . c 2 . c 3 ] ; 1o [c 1 . c 2 . c 3 ] ¹ d) 1o [d 1 . d 2 . d 3 ] ¹ 1o [c 1 . c 2; c 3 ] ¿Cómo quedan los productos en a) y c) si c 1 = c 2 = c 3 = 1? La misma pregunta anterior para b) y d) en los casos c i = d i . i = 1. 2. 3. c i = d i = 1. i = 1. 2. 3 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.1. MATRICES 197 10. Sea ¹ ¸ ` 3 efectuar los siguientes productos a) _ _ 1 0 0 0 1 0 0 0 : _ _ ¹; ¹ _ _ 1 0 0 0 1 0 0 0 : _ _ ; : ,= 0. : en R b) _ _ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 _ _ ¹; ¹ _ _ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 _ _ c) _ _ 1 0 0 0 1 / 0 0 1 _ _ ¹, ¹ _ _ 1 0 0 0 1 / 0 0 1 _ _ ; / en R. 11. Exprese 1 = _ _ ÷2c ÷2/ ÷2c r + 5n ¸ + 5· . + 5n n · n _ _ como producto matricial de ¹ = _ _ c / c n · n r ¸ . _ _ y matrices del tipo (a) ,(b),y (c) del ejercicio anterior. 12. Si r 1 = ¸ 1 ÷2¸ 2 +¸ 3 r 2 = 2¸ 1 +¸ 2 ÷3¸ 3 y ¸ 1 = . 1 + 2. 2 ¸ 2 = 2. 1 ÷. 2 ¸ 3 = . 1 + 3. 2 compruebe que : _ r 1 r 2 _ = _ 1 ÷2 1 2 1 ÷3 _ _ _ ¸ 1 ¸ 2 ¸ 3 _ _ . _ _ ¸ 1 ¸ 2 ¸ 3 _ _ = _ _ 1 2 2 ÷1 1 3 _ _ _ . 1 . 2 _ 13. Una matriz se dice idempotente si y sólo si ¹ 2 = ¹ a) Pruebe que 1 = _ _ 2 ÷3 ÷5 ÷1 4 5 1 ÷3 ÷4 _ _ es idempotente. b) Demuestre que si ¹ es idempotente, 1 = 1 n ÷¹ es idempotente y ¹1 = 1¹ = 0 14. Pruebe que no existe una matriz 1 tal que ¹1 = 1¹ = 1 2 con ¹ = _ ÷2 4 1 ÷2 _ . 15. Determinar todas las matrices ¹de orden 22 con coe…cientes reales, tales que cumplan ¹ 2 = 0 16. Determinar todas las matrices ¹de orden 22 con coe…cientes reales, tales que cumplan ¹ 2 = 1 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 198 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 17. Se dice que una matriz ¹ es involutiva si y sólo si ¹ 2 = 1 n a) Veri…que que 1 = _ _ 0 1 ÷1 4 ÷3 4 3 ÷3 4 _ _ y C = _ _ 4 3 3 ÷1 0 ÷1 ÷4 ÷4 ÷3 _ _ son matrices involu- tivas. b) Demuestre que si ¹ es una matriz involutiva entonces 1 2 (1 n +¹) y 1 2 (1 n ÷¹) son idempotentes y 1 2 (1 n +¹) 1 2 (1 n ÷¹) = 0 18. Si ¹ = _ cos t ÷sin t sin t cos t _ . Calcular ¹ k . para / = 1. 2. 3. 19. Sea ` = _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ . Hallar todas las potencias ` k con / entero positivo. 20. Demuestre por inducción que a) _ c 1 0 c _ n = _ c n :c n1 0 c n _ b) _ _ c 1 0 0 c 1 0 0 c _ _ n = _ _ c n :c n1 n(n1) 2 c n2 0 c n :c n1 0 0 c n _ _ 21. En mecánica cuántica a veces se usan las llamadas matrices de Spin de Pauli. r = _ 0 1 1 0 _ ¸ = _ 1 0 0 ÷1 _ . = _ 0 i i 0 _ con i 2 = ÷1 Muestre que dos matrices cualesquiera de ellas “anticonmuta” (¹1 = ÷1¹). 22. Sea ¹ = [c ij ] una matriz cuadrada de orden :. con c ij = _ _ _ 1 , = i + 1 0 , ,= i + 1 . Pruebe que ¹ n = 0 y ¹ n1 ,= 0. 23. Si ¹ = _ _ 2 1 3 1 ÷1 2 1 2 1 _ _ compruebe que ¹ 3 ÷2¹ 2 ÷9¹ = 0 pero ¹ 2 ÷2¹ ÷91 ,= 0. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.1. MATRICES 199 24. Sea j(r) = ÷(r + 2)(r 2 + 3r). ¡(r) = r + 2. :(r) = r 2 + 3r. :(r) = r + 3. Si ¹ = _ _ ÷1 2 2 2 2 2 ÷3 ÷6 ÷6 _ _ . Calcular j(¹). ¡(¹). :(¹). :(¹). 25. Sean ¹ = _ 1 ÷1 2 2 _ ; 1 = _ ÷1 1 0 ÷3 _ . Determinar (¹ +1) t ; ¹ t +1 t ; ¹ +¹ t ; 1 +1 t . 26. Sean ¹ = _ _ 1 2 2 0 ÷1 3 _ _ ; 1 = _ 2 ÷1 2 ÷1 1 0 _ . a) Determinar (¹1) t ; 1 t ¹ t ; ¹¹ t ; ¹ t ¹. b) Veri…que que ¹¹ t ; ¹ t ¹ son simétricas. c) Veri…que que (¹1) t = 1 t ¹ t . 27. Si A. 1 ¸ ` n1 , y ¹ ¸ ` n: efectúe los productos A t 1. A1 t . A t ¹1. 28. Mostrar que toda matriz de orden : es suma de una matriz simétrica y otra anti- simétrica. 29. Si ¹ = _ _ ÷3 2 1 4 0 ÷1 3 3 2 _ _ . Hallar la parte simética y antisimétrica de ¹ 30. Si ¹ = _ _ ÷3 1 7 0 4 ÷3 2 1 0 _ _ . Determinar una matriz simétrica tal que [r. ¸. .] 1[r. ¸. .] t = [r. ¸. .] ¹[r. ¸. .] 31. Sea ¹ ¸ ` n y G = ¹ t ¹. Demostrar que G es simétrica y los coe…cientes de la diagonal son no negativos. 32. Determine si son Verdaderas o Falsas las siguientes a…rmaciones. Justi…que adecuada- mente en cada caso. a) El producto de matrices triangulares es triangular. b) El producto de matrices triangulares del mismo orden es triangular del mismo orden. c) Cada matriz antisimétrica tiene la diagonal principal igual a cero. d) Para toda matriz ¹ ¸ ` n . Si ¹ 4 = 0 entonces ¹ = 0. e) El producto de matrices simétricas del mismo orden es simétrica. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 200 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS f ) Para toda matriz ¹ ¸ ` n se tiene ¹ t ¹ = ¹¹ t . g) Para toda matriz ¹ ¸ ` n se tiene 1 2 (¹ +¹ t ) es simétrica. h) Para toda matriz ¹ ¸ ` n con ¹ ,= 0 entonces existe 1 tal que ¹1 = 1 n . i ) Para toda matriz ¹ ¸ ` n se tiene r t ¹r = (r t ¹r) t = 1 2 r t (¹ +¹ t )r con r ¸ ` n1 . j ) Toda matriz triangular estricta es “nilpotente” esto es, hay una potencia de ella que se hace 0. k) Si ¹ y 1 son matrices de orden : y ¹1 = 0 entonces ¹ = 0 ó 1 = 0. l ) Si ¹. 1 son matrices de orden :: entonces existe una única matriz A de orden : : tal que c¹ +,A = 1 con c. , ¸ R. , ,= 0. 33. Dadas las matrices ¹ = _ _ ÷3 5 6 ÷1 2 2 1 ÷1 ÷1 _ _ y 1 = _ _ 3 ÷1 2 2 1 1 1 ÷3 0 _ _ . Veri…que que ¹ 1 = _ _ 0 1 2 ÷1 3 0 1 ÷2 1 _ _ y 1 1 = _ _ ÷ 1 2 1 1 2 ÷ 1 6 1 3 ÷ 1 6 7 6 ÷ 4 3 ÷ 5 6 _ _ Además. Calcular (¹1) 1 . (1¹) 1 . (¹ 2 ) 1 . (¹1¹) 1 . 34. Dada ¹ = _ ¸ ¸ _ 1 0 1 1 0 3 ÷2 ÷1 1 ÷4 1 ÷1 1 2 0 1 _ ¸ ¸ _ . a) Expresar ¹ como producto de matrices elementales. b) Hallar la forma Escalonada Reducida por Filas correspondiente a ¹. c) Determinar el 1q(¹). 35. Dada ¹ = _ ¸ ¸ _ 2 0 2 3 ÷1 3 4 ÷2 5 ÷6 0 5 2 1 ÷1 9 _ ¸ ¸ _ . a) Expresar ¹ como producto de matrices elementales. b) Hallar la forma Escalonada Reducida por Filas correspondiente a ¹. c) Determinar el 1q(¹). 36. Sea ¹ = _ c / c d _ . encontrar una matriz 1 de modo que 1¹ = 1 en los siguientes casos jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.1. MATRICES 201 a) 1 = _ c c 0 0 _ . b) 1 = _ 0 0 0 d _ . c) 1 = _ 0 0 c 0 _ . 37. Encuentre una matriz 1 regular tal que 1¹ = 1 donde ¹ = _ _ 2 3 4 4 3 1 1 2 4 _ _ ; 1 = _ _ 1 2 ÷2 ÷1 1 2 2 ÷1 1 _ _ . a) ¿ ¹ y 1 son regulares? b) Encuentre la inversa de 1. si existe. 38. ¿Cuáles de las siguientes matrices son equivalentes por …las? ¹ = _ _ 1 2 ÷1 2 ÷1 2 4 ÷2 5 _ _ ; 1 = _ _ 2 ÷1 1 ÷3 2 4 2 0 12 _ _ ; C = _ _ 1 0 0 ÷2 ÷4 0 3 6 1 _ _ 39. Determinar mediante Operaciones Elementales por Filas la inversa de las siguientes matrices, si existe. a) _ _ 3 1 2 4 0 1 ÷1 2 0 _ _ b) _ ¸ ¸ _ 0 1 2 ÷1 1 0 ÷1 3 2 ÷1 0 2 ÷1 4 2 0 _ ¸ ¸ _ c) _ ¸ ¸ _ 2 1 ÷1 2 1 3 2 ÷3 ÷1 2 1 ÷1 2 ÷3 ÷1 4 _ ¸ ¸ _ d) _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 0 ÷2 1 3 1 7 7 ÷21 ÷28 ÷2 ÷6 2 16 10 2 1 ÷1 ÷2 ÷1 1 ÷1 5 ÷2 1 ÷9 _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 202 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 40. ¿Para qué valores de r e ¸ las matrices. _ _ 4 r 3 2 ÷1 0 1 6 ÷1 0 0 3 _ _ y _ _ ÷1 0 1 ¸ 4 5 2 ÷1 0 0 ÷1 3 _ _ son equivalente por …las? 41. Si ¹ = _ _ 2 ÷1 3 ÷1 1 4 1 2 ÷1 5 ÷2 3 _ _ . Hallar una matriz 1 regular tal que ¹ = 11. donde 1 es la forma Escalonada Reducida por Filas correspondiente a ¹. 42. Si ¹ = _ _ 1 5 ÷4 7 4 3 1 11 3 0 3 6 _ _ y 1 = _ _ 2 8 ÷6 24 1 3 ÷2 9 3 0 3 0 _ _ a) ¿ Es ¹ ÷÷ 1 ? b) ¿ Es ¹ ! F 1 ? c) ¿ Es ¹ ! C 1 ? 43. Sea ¹ una matriz regular de orden :. a) Demostrar que (¹ 1 ) t = (¹ t ) 1 . b) Si ¹ es simétrica entonces ¹ 1 es simétrica. 44. Sea 1[c 11 . c 22 . c 33 . . c nn ]. con c ii ,= 0 para todo i. Demostrar que ¹ es invertible y encontrar su inversa. 45. Demostrar que si 1 es triangular inferior y regular entonces 1 1 es Triangular Inferior. 46. Dadas las matrices ¹ = _ 0 3 1 0 _ . 1 = _ 0 1 4 3 _ . Resuelva la siguiente ecuación ma- tricial en A. A1(¹ +¹ 2 ) ÷(A1 ÷1 2 )¹ ÷1 2 ¹ = ¹. 47. Sean ¹ y A matrices simétricas. Determine A tal que se cumpla la igualdad. (¹ t A t ) 1 ÷(A t ¹ 1 ) 1 + (A 1 ¹ t ) t = 1 n donde ¹ = _ _ 2 0 ÷1 ÷1 2 ÷3 1 ÷1 3 _ _ 48. Determinar mediante Operaciones Elementales Filas ó Columnas los valores de c y / para que la matriz ¹ sea regular, en cada caso. a) ¹ = _ _ 1 0 0 0 c 1 0 1 / _ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.1. MATRICES 203 b) ¹ = _ _ c 0 1 1 / 1 ÷1 1 1 _ _ 49. Sea c ,= 0 y ¹ una matriz cuadrada de orden : tal que 3¹ 2 + 7¹ + c1 n = 0. Probar que ¹ es regular y Hallar ¹ 1 . 50. Sabiendo que la inversa de ¹ es _ 1 2 2 1 _ y que la inversa de ¹1 es _ 2 4 5 3 _ . Calcular 1. 51. Si ¹ es regular entonces todas las potencias de ¹ son regulares y para todo natural : se tiene (¹ n ) 1 = (¹ 1 ) n . (Ayuda: Use Inducción) 52. Pruebe con un contraejemplo que son falsas las siguientes a…rmaciones a) ¹. 1. C en ` n . ¹ singular entonces ¹1 = ¹C = 1 = C b) Si ¹. 1 son regulares de orden : entonces ¹ +1 es regular. c) Si ¹. 1. ¹ +1 son regulares, entonces (¹ +1) 1 = ¹ 1 +1 1 d) Si ¹. 1 son regulares de orden : entonces ¹1 = 1¹ ó (¹1) 1 = ¹ 1 1 1 e) Si ¹. 1. C son de orden :. 1 regular y ¹1 = C entonces ¹ = 1 1 C f ) Si ¹. 1. C son de orden :. 1 regular y ¹1C = 1 n entonces ¹C = 1 1 g) Si ¹. 1 matrices tal que ¹ ÷ 1 entonces ¹ ! F 1 h) Si ¹. 1 matrices tal que ¹ ÷ 1 entonces ¹ ! C 1 i ) Toda matriz diagonal es invertible. 53. Calcular los siguientes determinante: a) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ . b) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 6 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ . c) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 204 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 54. Calcule los siguientes determinantes usando propiedades: a) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 2 ÷1 4 2 4 3 5 ÷1 ÷2 6 ÷7 5 2 6 ÷7 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ . b) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 2 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 2 1 2 2 1 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ . c) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 3 4 0 0 4 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 55. Calcular el determinante de las siguientes matrices: ¹ = _ :c:c cos c cos c ÷:c:c _ 1 = _ r ÷1 1 r 3 r 2 +r + 1 _ 1 = _ tqc ÷1 1 tqc _ 1 = _ _ cos(c +,) :c:(c +,) 1 cos(c +,) :c:(c +,) 1 cos(c +¸) :c:(c +¸) 1 _ _ C = _ c +/ c ÷/ c ÷/ c +/ _ 1 = _ _ c ÷/ ÷c 2c 2c 2/ / ÷c ÷c 2/ 2c 2c c ÷c ÷/ _ _ 56. Veri…car que los siguientes determinantes son nulos: a) _ _ 1 1 1 c / c / +c c +c c +/ _ _ ; b) _ _ 1 cos c cos 2c cos c cos 2c cos 3c cos 2c cos 3c cos 4c _ _ Ayuda (a): efectúe 1 32 (1) Ayuda (b): cos 2c = 2 cos 2 c ÷1. cos 3c = 4 cos 3 c ÷3 cos c cos 4c = 8 cos 4 c ÷8 cos 2 c + 1 y efectúe 1 31 (1) 57. Probar que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 c 1 c 2 0 0 0 / 1 / 2 0 0 0 c 1 c 2 0 0 0 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = 0 58. Demostrar que a) det _ _ r ¸ r +¸ ¸ r +¸ r r +¸ r ¸ _ _ = ÷2(r 3 +¸ 3 ) b) det _ ¸ ¸ _ 1 +r 1 1 1 1 1 ÷r 1 1 1 1 1 +. 1 1 1 1 1 ÷. _ ¸ ¸ _ = r 2 . 2 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.1. MATRICES 205 59. De las siguientes matrices ¿cuáles son invertibles? a) _ 2 3 5 7 _ ; b) _ _ 1 1 1 1 2 3 1 3 6 _ _ ; c) _ ¸ ¸ _ 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 1 0 1 0 3 0 _ ¸ ¸ _ Para aquella que lo sea encuentre su inversa por el método de la adjunta. 60. ¿Para qué valores de c y / la matriz ¹ = _ _ c 0 1 1 / c ÷1 1 1 _ _ es invertible? 61. Calcule por el método de la adjunta la inversa de las siguientes matrices regulares: a) _ _ ÷3 5 6 ÷1 2 2 1 ÷1 ÷1 _ _ c) _ _ 1 3 3 1 3 4 1 4 3 _ _ b) _ _ 3 ÷1 2 2 1 1 1 ÷3 0 _ _ d) _ ¸ ¸ _ 0 1 2 ÷1 ÷1 0 1 ÷3 2 ÷1 0 1 1 ÷4 2 0 _ ¸ ¸ _ 62. Pruebe que [:¹[ = : n [¹[ . si ¹ es matriz de orden : y : un escalar real. 63. Pruebe que si 1 = [t ij ] es una matriz triangular, entonces [1[ = t 11 t 22 .......t nn = n i=1 t ii 64. (a) Pruebe que ¹ (¹d,(¹)) = 0 cuando ¹ es singular y dar un ejemplo. (b) Pruebe que [¹d,(¹)[ = [¹[ n1 con ¹ de orden : y dar un ejemplo. 65. Pruebe con un contraejemplo que son falsas las siguientes a…rmaciones: a) El cofactor de c 32 para ¹ = _ ¸ ¸ _ 2 0 2 3 ÷1 3 4 ÷2 5 ÷6 0 5 2 1 ÷1 9 _ ¸ ¸ _ es 60 ó 342. b) Si ¹ es cuadrada entonces [÷¹[ = ÷[¹[ . c) Si ¹. 1 matrices entonces [¹1[ = [¹[ [1[ . d) Si ¹¹ t = 1 n entonces [¹[ = 1 con ¹ de orden :. 66. Sean ,(t). q(t) funciones al menos dos veces derivables. Sea /(t) = ¸ ¸ ¸ ¸ ,(t) q(t) , 0 (t) q 0 (t) ¸ ¸ ¸ ¸ probar que / 0 (t) = ¸ ¸ ¸ ¸ ,(t) q(t) , 00 (t) q 00 (t) ¸ ¸ ¸ ¸ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 206 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 67. Sean r 1 . r 2 . r 3 escalares reales. Probar que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 r 1 r 2 1 1 r 2 r 2 2 1 r 3 r 2 3 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = (r 2 ÷r 1 )(r 3 ÷r 1 )(r 3 ÷r 2 ) Probar por inducción que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 r 1 r n1 1 1 r 2 r n1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 r n r n1 n ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = n i<j (r i ÷r j ) Este determinante es conocido con el nombre de determinante de Vandermonde y se denota por \ n . 68. Pruebe que si ¹. 1 son ambas de orden : y ¹1 = 1 n entonces ambas matrices son regulares, ¹ 1 = 1 y 1¹ = 1 n (Ayuda: use determinante) 69. Probar que si ¹. 1 son matrices cuadradas, no necesariamente del mismo tamaño, y C de orden adecuado, entonces: ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ C 0 1 ¸ ¸ ¸ ¸ = [¹[ [1[ Ayuda: Usar inducción sobre el orden de ¹. y operaciones elementales …las. 70. Probar que si ¹. 1 son matrices cuadradas, no necesariamente del mismo tamaño, C y 1 de orden adecuado, entonces si ¹ es regular, ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ C 1 1 ¸ ¸ ¸ ¸ = [¹[ ¸ ¸ 1 ÷1¹ 1 C ¸ ¸ Ayuda: premultiplique por _ 1 0 ÷1¹ 1 1 _ la matriz _ ¹ C 1 1 _ . 71. Sea H = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 2 1 7 ÷15 8 7 8 7 3 ÷1 0 2 12 ÷9 4 9 6 2 3 4 1 13 3 5 18 4 1 0 0 0 3 1 ÷1 2 1 2 0 0 0 0 1 0 ÷1 ÷1 2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 ÷1 0 0 0 1 ÷1 1 2 1 2 0 0 0 2 2 0 ÷1 ÷1 0 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ Calcule [H[. Ayuda: use ejercicios anteriores. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.1. MATRICES 207 72. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales en R 4 .(cuidado son cuatro variables) a) 10r ÷¸ = 0. b) r +¸ + 1 2 . = 1. c) ÷r + 3¸ + 2. ÷n = 3. d) r + 3 4 ¸ = 9 7 . 73. Si anotamos o i la solución de cada una de las ecuaciones anteriores. Determine el conjunto o = o 1 ¨ o 2 ¨ o 3 ¨ o 4 . 74. ¿ Son equivalentes (en cada caso) los dos sistemas de ecuaciones lineales siguientes ?. Si es asi demuéstrelo. a) r 1 ÷r 2 = 0 2r 1 +r 2 = 0 y 3r 1 +r 2 = 0 r 1 +r 2 = 0 b) r 1 +r 2 + 4r 3 = 0 r 1 + 3r 2 + 8r 3 = 0 1 2 r 1 +r 2 + 5 2 r 3 = 0 y r 1 ÷r 3 = 0 r 2 + 3r 3 = 0 75. Dar un ejemplo (en caso que sea posible) de: a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que no tenga solución. b) Un sistema de una ecuación lineal con cinco incógnitas que no tenga solución. c) Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas de solución única. 76. Hallar todas las soluciones del sistema ¹A = 0 por el método de la escalonada y por el método de Cramer. Siendo ¹ en cada caso, una de las siguientes matrices: a) _ _ 3 ÷1 2 2 1 1 1 ÷3 0 _ _ b) _ ¸ ¸ _ 1 3 2 ÷6 ÷4 0 5 ÷3 6 ÷13 7 3 2 8 3 _ ¸ ¸ _ c) _ ¸ ¸ _ 2 ÷3 ÷7 5 2 1 ÷2 ÷4 3 1 2 0 ÷4 2 1 1 ÷5 ÷7 6 2 _ ¸ ¸ _ d) _ ¸ ¸ _ 2 1 0 0 4 2 0 0 ÷6 0 4 2 0 0 ÷6 3 _ ¸ ¸ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 208 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS e) _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 2 ÷2 1 ÷4 ÷2 1 ÷1 2 ÷2 2 1 ÷2 ÷3 3 ÷3 4 ÷1 3 ÷6 2 4 2 ÷2 3 ÷2 _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 77. Si ¹ = _ _ 6 ÷4 0 4 ÷2 0 ÷1 0 3 _ _ . Hallar todas las soluciones de ¹A = 3A y todas las soluciones de ¹A = 2A donde A = (r 1 . r 2 . r 3 ) t . 78. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones (si es posible). En cada caso escriba primero la matriz del sistema y la matriz ampliada. a) r 1 +r 2 ÷r 3 = 1 2r 1 +r 2 + 3r 3 = 2 ÷r 2 + 5r 3 = 1 b) 2r 1 +r 2 ÷r 3 = 5 r 1 ÷2r 2 ÷r 3 + 2r 4 = ÷3 r 1 + 2r 3 ÷r 4 = 0 3r 2 ÷2r 3 + 5r 4 = 1 c) r 1 ÷3r 2 +r 3 = ÷2 r 1 + 2r 2 ÷3r 3 = 0 ÷r 1 +r 2 + 2r 3 = 3 2r 1 ÷r 2 +r 3 = 1 d) 2r ÷¸ ÷. = 4 3r + 4¸ ÷2. = 11 3r ÷2¸ + 4. = 11 e) r 2 ÷3r 3 + 4r 4 = 5 r 1 ÷2r 3 + 3r 4 = ÷4 3r 1 + 2r 2 ÷5r 4 = 12 4r 1 + 3r 2 ÷5r 3 = 5 f ) r 1 +r 2 ÷r 3 = ÷1 2r 1 +r 2 ÷2r 3 = 1 r 1 +r 2 +r 3 = 3 r 1 + 2r 2 ÷3r 3 = 1 g) r + 2¸ +. = 5 3r +. + 2n = 9 4r ÷¸ ÷. +n = ÷5 ÷¸ ÷. +n = 7 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.1. MATRICES 209 79. Encuentre la solución general del sistema, utilizando dos métodos distintos: r +¸ +. +n = 2 r + 2. ÷3n = ÷1 ÷r + 2¸ +. ÷n = 3 r +¸ ÷4 = . 80. Resuelva simultáneamente, hallando la forma Escalonada reducida por …la de [¹ [ 1 1 [ 1 2 [ 1 3 ] . los tres sistemas lineales siguientes: ¹A = 1 1 = _ _ 1 1 1 _ _ ; ¹A = 1 2 = _ _ 1 ÷3 2 _ _ ; ¹A = 1 3 = _ _ 1 2 ÷2 _ _ donde ¹ = _ _ 1 2 3 2 4 5 3 5 6 _ _ . 81. Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales: a) _ _ 4 7 8 7 5 9 8 9 6 _ _ _ _ r 1 ¸ 1 . 1 r 2 ¸ 2 . 2 r 3 ¸ 3 . 3 _ _ = _ _ 1 2 3 2 4 5 3 5 6 _ _ b) _ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 0 0 4 7 0 2 3 0 0 0 6 8 _ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ _ r 1 ¸ 1 . 1 n 1 r 2 ¸ 2 . 2 n 2 r 3 ¸ 3 . 3 n 3 r 4 ¸ 4 . 4 n 4 _ ¸ ¸ _ = 1 4 Usando el procedimiento del ejercicio anterior. Note que si ¹. A. 1 ¸ ` n entonces ¹A = [¹C 1 (A) [ ¹C 2 (A) [ ... [ ¹C n (A)] = 1 = [C 1 (1 ) [ C 2 (1 ) [ ... [ C n (1 )] 82. Discutir según los valores de c. /. c. `, la existencia y en cada caso determinar las soluciones de los siguientes sistemas lineales: a) cr +¸ +. = 0 r +c¸ +. = 0 r +¸ +c. = c b) `r ÷¸ +. = c r +¸ ÷2. = / r ÷¸ +. = c c) 2r ÷¸ ÷3. = 3 3r +¸ ÷5. = 0 4r ÷¸ +. = c r + 3¸ ÷13. = / d) cr ÷3¸ + 5. = 4 r ÷c¸ + 3. = 2 9r ÷7¸ + 8c. = 0 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 210 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 83. Calcular el valor de c ¸ R, de modo que el sistema tenga in…nitas soluciones r ÷¸ + 2. = 1 cr +¸ ÷. = 0 2r +¸ ÷3. = ÷1 84. En el sistema :r +¸ ÷. = 0 2r +:¸ +. = 0 ¸ +:. = 0 a) ¿Cual es el determinante principal del sistema ? Determine : ¸ R tal que: b) El sistema sea inconsistente. c) El sistema tenga única solución. En tal caso determínela. d) El sistema tenga varias soluciones. En tal caso determínelas. 85. Dado el sistema r 1 ÷r 2 + (4c 2 + 1)r 3 = / r 2 + (3 ÷c)r 3 = 0 2r 1 ÷r 2 + (7 ÷c)r 3 = ÷2 Hallar condiciones para c y / de tal manera que el sistema: a) Tenga única solución, en cada caso determínela. b) No tenga solución. c) Tenga varias soluciones, en cada caso determínelas. 86. Considerar el sistema _ ¸ ¸ _ 1 2 ÷1 3 2 1 5 6 ÷1 6 4 c _ ¸ ¸ _ . A = _ ¸ ¸ _ 1 4 c / _ ¸ ¸ _ Hallar c. /. c ¸ R. para los cuales se tiene: a) El sistema es inconsistente. b) El sistema tiene única solución. Determínela. c) El sistema tiene in…nitas soluciones. En cada caso determínelas. ¿Que ecuaciones dependen linealmente de las otras? 87. Hallar t ¸ R. tal que la matriz ¹ = _ _ 1 2 ÷1 0 3 1 2 ÷2 t _ _ sea singular. ¿Para que valores de t ¸ R el sistema ¹A = _ _ t 1 1 ÷t _ _ . tiene solución? jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.1. MATRICES 211 88. Resuelva el sistema de ecuaciones y halle condiciones en las constantes c. / reales para que tenga única, ninguna o in…nitas soluciones. _ _ c / 1 1 c 1 1 / c _ _ A = _ _ 1 / 1 _ _ 89. Para los siguientes sistemas, determine los valores de c. ` ¸ R, de modo que i) El sistema tenga única solución, determínela. ii) El sistema tenga más de una solución, determínelas. iii) El sistema tenga solución vacía. a) (1 ÷`)r +`. = 1 (1 ÷`)¸ +`. = c `r + (1 ÷`)¸ = 1 b) `r +¸ +. = 1 r +`¸ +. = ` r +¸ +`. = ` 2 c) (` + 3)r +¸ +. = ` `r + (` ÷1) ¸ +. = 1 3 (` + 1) r +`¸ + (` + 3). = ` + 1 d) r ÷. = 1 ÷r + 3¸ = c 2r +`¸ +. = 1 e) r 1 +r 3 + 4` 2 r 3 = c +r 2 r 2 + 3r 3 = `r 3 2r 1 + 7r 3 + 2 = r 2 +`r 3 f ) _ _ 1 2 ÷1 0 3 1 2 ÷2 c _ _ _ _ r ¸ . _ _ = _ _ c 1 1 ÷c _ _ 90. Decida si cada una de las siguientes a…rmaciones es verdadera o falsa. Justi…que en cada caso. a) El número de variables independientes de un sistema ¹A = 1 con ¹ ¸ ` mn es : ÷1q(¹). b) Si el sistema ¹A = C es consistente, ¹ ¸ ` 34 ; C = (1. 2. :) t y 1q(¹) = 2. entonces : = 0. c) Si el sistema ¹A = C es consistente, ¹ ¸ ` 34 ; C = (8. ÷7. :) t y 1q(¹) = 3, entonces : ,= 0. d) 1q(¹) = 1q(¹ t ) para toda ¹ ¸ ` mn . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 212 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS e) Si ¹ ¸ ` mn y 1q(¹) < : entonces ¹A = 0 tiene solución no trivial. f ) Si ¹ ,= 0 y ¹ ¸ ` 34 y 1 ¸ ` 3 y 1¹ = 0 34 entonces 1 no es regular. g) Si ¹ ¸ ` 3 entonces el sistema ¹A = 0 tiene solución no trivial (A ,= 0) si y sólo si ¹ es singular. h) Una matriz de rango 1 es aquella donde toda …la es múltiplo de la primera …la. i ) Si ¹ ¸ ` 3 y [¹[ = 0, el sistema ¹A = 1 con 1 ,= 0 no tiene solución. j ) Si ¹ ¸ ` n y [¹[ = 0 entonces ¹A = 1 con 1 ,= 0 no tiene solución única (es decir, no tiene o tiene in…nitas soluciones). 91. Pruebe que si ¹ F ÷÷ 1 entonces los sistemas homogéneos ¹A = 0 y 1A = 0 tienen el mismo conjunto solución. 92. Demuestre que la a…rmación siguiente es falsa (basta dar un contraejemplo). Si ¹ F ÷÷ 1 entonces los sistemas ¹A = C y 1A = 1 tienen el mismo conjunto solución. 93. Sea ¹ ¸ ` np . ¿Bajo qué condiciones sobre el número de …las no nulas de la ma- triz Escalonada Reducida por Filas de ¹, el sistema ¹A = 0 tiene solución única (0. 0. .... 0) t ? 94. Sea ¹A = 1 un sistema de ecuaciones lineales con : ecuaciones y : incógnitas. 1 la forma Escalonada Reducida por Filas de ¹ con : …las no nulas y : : :. a) ¿Cuántas ecuaciones son dependientes? b) ¿Tiene solución el sistema? c) ¿Cuántas variables libres tiene el sistema? 95. Demuestre que el sistema de ecuaciones lineales ¹A = 1 es equivalente a [¹ [ 1 ] _ X 1 ¸ = 0 o [¹ [ 1 n ] _ X Y ¸ = 0. 96. Encontrar c. /. c ¸ R. tal que r = 1. ¸ = 2. . = 3 sea solución del sistema cr + 3/¸ + 4c. = 5 r + 3c¸ + 4/. = 6 r +¸ + 5c. = 7 97. En cada caso, encuentre un sistema de ecuaciones homogéneo ¹A t = 0 de modo que los siguientes vectores sean soluciones de dicho sistema. a) r 1 = (1. 0. 0). r 2 = (0. 1. 0). r 3 = (0. 0. 1) b) r 1 = (1. 1) c) r 1 = (1. 1. 0) r 2 = (0. 1. 1) d) r 1 = (0. 0. 1. 1) r 2 = (÷1. 1. 8. 6) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.1. MATRICES 213 e) r 1 = (1. 2. 3) r 2 = (7. 3. ÷1) 98. En cada caso, encuentre un sistema de ecuaciones 1A = C t de modo que: a) C = (1. 7. 5) y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 a). b) Idem a) y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 b). c) Idem a) y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 c). d) Idem a) y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 e). e) C = (1. 0. 7. ÷5) y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 d). f ) C = (0. 1. 0. 1) y A 1 = (÷1. ÷3. 2. 1) t . A 2 = (÷1. 0. 4. 9) t sean soluciones del sistema. g) C = (÷3. 2) y A 1 = (÷1. 1) t . A 2 = (1. 0) t sean soluciones del sistema. 99. Encuentre un sistema de ecuaciones 1A = C de modo que C es solución particular del sistema (I) y la solución del sistema 1A = C contiene a la solución del sistema (II): (I) r 1 ÷r 2 +r 3 = 0 r 1 +r 2 ÷r 3 = 1 (II) _ _ ÷1 7 5 4 0 ÷2 ÷5 8 6 _ _ _ _ r 1 r 2 r 3 _ _ = _ _ ÷1 5 7 _ _ 5.1.1. Ejercicios complementarios A continuación presentamos una selección de problemas, incluidos en certamenes. 1. Sean ¹. 1. C ¸ ` n (R) . a) Demuestre que si ¹1 = 1 n y C¹ = 1 n entonces 1 = C. b) Demuestre que si ¹ F ÷ 1 entonces ¹ t C ÷ 1 t . 2. Dadas ¹ = _ _ 2 1 ÷1 0 1 0 4 2 ÷2 _ _ y 1 = _ _ 0 1 ÷1 1 2 ÷3 1 0 1 _ _ . Determinar la inversa de cada una, si existe. 3. Sea ¹ = _ _ c / 1 1 / 1 1 / c _ _ . Determine para qué valores de c. / ¸ R existe ¹ 1 . encuéntrela usando transformaciones elementales …las. 4. Probar que la matriz ` = _ _ 1 c c 2 1 / / 2 1 c c 2 _ _ es invertible si y sólo si c. /. c son números reales distintos. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 214 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 5. Sea ¹ = _ _ 0 0 0 1 0 0 2 1 0 _ _ ¸ ` 3 (R) . a) Calcular ¹ k para todos los valores posibles del entero /. b) Sea 1 = 1 3 +¹. Calcular 1 21 . 6. Dadas las matrices ¹ = _ _ 2 ÷3 ÷5 ÷1 4 5 1 ÷3 ÷4 _ _ ; 1 = _ _ ÷1 3 5 1 ÷3 ÷5 ÷1 3 5 _ _ y C = _ _ 2 ÷2 ÷4 ÷1 3 4 1 ÷2 ÷3 _ _ . Determinar A ¸ ` 3 (R) tal que 2¹ + 3A = _ 1 2 C __ 2 3 1 _ . 7. Mediante operaciones elementales …las u operaciones elementales columnas, determinar los valores de c ¸ R tal que la matriz ¹ = _ _ 1 c 1 c 1 c 0 c 1 _ _ . sea invertible y calcular ¹ 1 . 8. Calcule ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ r + 1 r 2 ÷1 2r + 2 0 1 r ÷1 ¸ ¸ r r 2 ÷r 5 5 1 1 ÷r ¸ ¸ +. ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ . 9. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. En cada caso justi…que adecuadamente. a) Si la matriz ¹ es antisimétrica entonces ¹ +¹ t = 0. b) ¹ y 1 invertibles entonces ¹ +1 es invertible. c) Toda matriz ¹ de orden : tal que ¹ ¹ t = 1 n cumple [¹[ = 1 ó [¹[ = ÷1. d) ¹ ÷ 1 n entonces existen matrices 1 y Q invertibles tal que ¹ 1 = Q1. e) El producto de matrices triangulares es triangular. f ) Sea ¹ ¸ ` n (R) . Entonces ¹ 2 = 0 = ¹ = 0. g) Si ¹ ¸ ` 2 (R) y A = _ r 1 r 2 _ entonces A t ¹A = 1 2 A t (¹ t +¹)A. h) Sean ¹. 1 ¸ ` n (R) . Entonces (¹ +1) 2 = ¹ 2 + 2¹1 +1 2 . i ) Sean : ¸ N y ¹ = _ _ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 _ _ entonces ¹ n = _ _ 3 n1 3 n1 3 n1 3 n1 3 n1 3 n1 3 n1 3 n1 3 n1 _ _ . j ) Si ¹. 1 son matrices del mismo orden e invertibles y ¹ ÷ 1 entonces ¹ 1 ÷ 1 1 . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.1. MATRICES 215 10. Sea ¹ = _ _ 1 0 c 0 1 , 0 0 1 _ _ _ _ c 0 0 0 / 0 0 0 c _ _ _ _ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 _ _ . donde c. ,. c. /. c ¸ R ÷¦0¦. a) Exprese ¹ como producto de matrices elementales. b) Calcule la inversa de cada una de las matrices elementales obtenidas en (a). c) Calcule ¹ 1 . 11. Calcule usando sólo las propiedades de determinantes: ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ c ÷/ ÷c 2c 2c 2/ / ÷c ÷c 2/ 2c 2c c ÷c ÷/ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ c. /. c ¸ R 12. Encuentre, si existe, la inversa de la matriz ¹, utilizando dos métodos diferentes. Jus- ti…que su respuesta en ambos casos. ¹ = _ _ 3 5 4 1 0 3 0 1 2 _ _ 13. Sea ¹ = _ _ 1 ÷1 1 ÷2 1 1 1 ÷1 2 _ _ . Usando operaciones elementales: a) Determinar ¹ 1 . b) Exprese ¹ 1 como producto de matrices elementales. 14. Obtener 1 si (1 1 ¹) t ÷(1 t ¹) 1 = 1 siendo ¹ = _ 3 2 1 1 _ . 15. Dadas las matrices: ¹ = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 0 1 0 0 0 0 ÷1 1 ÷1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 ÷1 ÷1 ÷1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ y 1 = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 0 ÷2 0 0 0 0 ÷1 1 ÷1 0 0 0 0 1 1 1 3 1 0 1 0 ÷2 ÷3 0 0 0 0 1 0 0 1 ÷1 1 0 3 _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ . Si 1 F ÷÷ ¹ mediante las operaciones siguientes: 1 14 . 1 42 (1) . 1 62 (1) . 1 36 (÷1) . 1 35 (÷1) . 1 15 (2) . 1 16 (1) . en forma secuencial. Calcular det(1). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 216 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 16. Sea ¹ = _ ¸ ¸ _ 0 1 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 4 0 _ ¸ ¸ _ . a) Pruebe que ¹ es invertible. b) Encuentre ¹ 1 , por el método de la adjunta. 17. a) Usando operaciones elementales …las determine los valores de c. / ¸ R de modo que la matriz ¹ = _ _ c 0 1 1 / c ÷1 1 1 _ _ , sea invertible. b) Encuentre todas las matrices ¹ = _ r ¸ . n _ , tales que ¹ 2 = 0 2 . 18. Sea ¹ = _ _ 3 ÷2 0 ÷2 3 0 0 0 5 _ _ . a) Probar que ¹ es invertible. b) Encuentre por el método de la adjunta, la inversa de ¹. 19. Demuestre usando propiedades que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ / +c c +c c +/ ¡ +: j +: j +¡ ¸ +. r +. r +¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ c / c j ¡ : r ¸ . ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ . 20. Decida si cada una de las siguientes a…rmaciones es verdadera o falsa. Justi…que su respuesta. a) Si ¹ ¸ ` 2 (R) y A = _ r 1 r 2 _ entonces A t ¹A = 1 2 A t (¹ t +¹)A. b) Sea ¹ ¸ ` n (R) y ¹ 2 = 1 entonces ¹ = 1. c) Sean ¹. 1 ¸ ` n (R) tal que ¹ ,= 0. 1 ,= 0. Si ¹1 = 0 entonces [¹[ = 0 o [1[ = 0. d) Si ¹ ¸ ` n (R) y ¹ n = 0 n entonces ¹ es singular. e) Si ¹ ÷÷ ¹ 1 y 1 ÷÷ 1 1 entonces ¹1 ÷÷ ¹ 1 1 1 . f ) Si ¹. 1 ¸ ` n (R)entonces (¹ +1) 2 = ¹ 2 + 2¹1 +1 2 . 21. Dadas las matrices ¹ = _ _ 1 2 0 0 1 1 ÷1 1 2 ÷1 2 1 _ _ y 1 = _ _ 2 3 ÷1 1 0 4 ÷3 0 1 ÷2 3 0 _ _ a) Determinar la matriz Escalonada Reducida por Fila de ¹. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.1. MATRICES 217 b) ¿La matriz ¹ es equivalente por …la con 1? 22. Sean ¹ = _ 1 + + ÷1 + 3 ÷2 + + 2 + ÷1 _ y 1 = _ 1 + + j + 0 2 + + ÷¡ + ÷1 _ dos matrices de orden 2 6. Se sabe que ¹ es equivalente por …la a 1. Justi…cando adecuadamente, determine j. ¡ ¸ R. 23. Sea ¹ ¸ ` n (R) invertible y l ¸ ` n (R) tal que l t ¹l = ¹. a) Pruebe que l es invertible. b) ¿Es l t invertible? c) Si l t es invertible, encuentre ¸ ¸ ¸(l t ) 1 ¸ ¸ ¸ . 24. Sean ¹ = _ _ 1 0 2 1 2 0 0 0 1 _ _ ; 1 = _ _ 3 0 ÷1 1 0 ÷1 0 1 1 _ _ ; A = _ _ r ¸ . _ _ . Resuelva la ecuación 3¹A ÷1 3 A = ¹ t 1A + _ _ 1 0 1 _ _ . 25. Sea ¹ = _ _ c / 1 1 c/ 1 1 / c _ _ . Determinar el conjunto C = _ (c. /) ¸ R 2 , ¸ ¸ ¸ _ ¹ 1 _ t ¸ ¸ ¸ ,= 0. _ 26. Justi…cando, determine si es Verdadera o Falsa cada una de las siguientes a…rmaciones: a) Si ¹ y 1 son matrices de orden : entonces [¹1[ = [¹[ [1[ . b) Si ¹ es una matriz regular de orden : entonces [¹d,¹[ = [¹[ n1 . c) Si ¹ es una matriz cuadrada entonces [÷¹[ = ÷[¹[ . d) Si ¹A = C 1 y 1A = C 2 y ¹ F ÷ 1 entonces las dos ecuaciones matriciales tienen el mismo conjunto solución cuando C 1 F ÷ C 2 . 27. Sea ¹ = _ _ 1 1 1 2 0 ÷1 1 1 ÷2 _ _ . Usando operaciones elementales: a) Determine ¹ 1 . b) Exprese ¹ 1 como producto de matrices elementales. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 218 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 28. Sean ¹ = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + + 1 ÷2 r ¸ + + + + ÷1 3 + + _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 1 = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ + + 1 ÷2 r ¸ + + + + ÷1 3 + + _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ . Se sabe que ¹ es equivalente por columna a 1.Justi…cando adecuadamente determine r e ¸. 29. Sea ¹ = _ _ 17 ÷1 1 5 1 0 9 ÷1 2 _ _ . a) Pruebe que ¹ es invertible. b) Determine ¹ 1 por el método de la adjunta. 30. Sean 1 = _ ¸ ¸ _ 2 ÷1 5 6 ÷3 2 ÷8 ÷1 ÷1 3 ÷5 ÷1 6 7 5 2 _ ¸ ¸ _ y C = _ ¸ ¸ _ 5 6 4 3 4 ÷1 9 2 3 2 4 1 1 1 1 1 _ ¸ ¸ _ . Demuestre que 1 y C son equivalentes por …la. 31. Dada ¹ = _ _ 1 ÷4 0 1 2 1 5 ÷3 3 _ _ . a) Encuentre, si existe, la inversa de ¹. b) Utilice el resultado obtenido en (a) para resolver el sistema n ÷4· = 0 n + 2· +n = 0 5n ÷3· + 3n = 0 . 32. En el espacio de las matrices ` 2 (R). a) Determine el conjunto de todas las matrices que conmutan con ¹ = _ 1 1 0 0 _ . b) Sea ¹ ¸ ` 2 (R) tal que ¹ 2 +1 2 ÷¹ = 0. Demuestre que ¹ es regular y encuentre su inversa. 33. Determine las condiciones del parámetro ` para que la matriz ¹ = _ _ 1 1 ÷` 0 1 2 ÷` ` 0 1 2` _ _ sea invertible. Calcule ¹ 1 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.1. MATRICES 219 34. Determine si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa. En cada caso justi…que adecuadamente. a) Sea ¹ = [c ij ] ¸ ` n (R) tal que c ij = (÷1) ij . entonces ¹ es una matriz simétrica. b) Sea 1 = [/ ij ] ¸ ` n (R) tal que / ij = i ÷,. entonces 1 es una matriz antisimétrica. c) Sea ¹ ¸ ` n (R) . ¹ ,= 0 n . Si ¹ tiene una …la nula, entonces ¹ no es invertible. d) Si ¹ es simétrica entonces ¹ ¹ t = ¹ t ¹ y ¹ n (: ¸ N) es simétrica. 35. Calcular mediante el uso de las propiedades del determinante el valor de: ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ r 2 r + 2 2 r + 2 r r + 2 r 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 36. Resuelva el sistema siguiente, según los valores de ` : (` + 3)r +¸ + 2. = ` `r + (` ÷1)¸ +. = 1 3(` + 1)r +`¸ + (` + 3). = ` + 1 37. Según los parámetros ` y j analizar el sistema: `r +¸ +. = 1 r +`¸ +. = j r +¸ +`. = 2j De modo que: a) Tenga única solución. Determínela. b) Tenga solución vacía. c) Tenga in…nitas soluciones. Determínelas. 38. Determine condiciones sobre los parámetros c. /. c y ` en R de modo que el sistema de ecuaciones lineales: `r +¸ +. = c r +`¸ +. = / r +¸ +`. = c a) Tenga solución vacía. b) Tenga in…nitas soluciones, en cuyo caso resuelva el sistema. c) Tenga una única solución. Determínela. 39. Dado el sistema r +¸ +. +n = 0 r = ¸ + 1 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 220 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS a) Encontrar el conjunto solución. b) Determine una solución particular del sistema. 40. Determine los valores de c ¸ R, si es posible, de modo que el sistema r +¸ +c. = 0 3r + 4¸ + 2. = 0 2r + 3¸ ÷. = 0 a) Tenga única solución. Determínela. b) No tenga solución. 41. Sean c , ` parámetros reales y el sistema: r 1 +r 3 + 4` 2 r 3 = c +r 2 r 2 + 3r 3 = `r 3 2r 1 + 7r 3 + 2 = r 2 +`r 3 Determinar la(s) condiciones de c y ` para que el sistema a) Tenga solución única. b) No tenga solución. c) Tenga in…nitas soluciones. d) En (c) determinar las soluciones en función de c y `. Además dé dos ejemplos numéricos de tales soluciones. 42. Determinar los valores de c. , ¸ R. tales que el sistema siguiente tenga solución única, in…nitas soluciones o no tenga solución. Justi…que y determine las soluciones en cada caso: (1 +c)r + 2¸ ÷. = 0 r + (2 +c)¸ +. = , ÷c ÷1 2r ÷2¸ ÷2. = , + 1 43. Sea el sistema (1 ÷`)r +`. = 1 (1 ÷`)¸ +`. = c r + (1 ÷`)¸ = 1 Analizarlo según `. c ¸ R para que el sistema tenga: a) Solución única. Exprese esta solución. b) Solución vacía. c) Solución in…nita. Determine el conjunto solución. 44. Dados los siguientes sistemas: jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.1. MATRICES 221 a) cr +/¸ +. = 1 r +c/¸ +. = / r +/¸ +c. = 1 b) 2r +¸ +. = 1 ÷r ÷3¸ +. = / r +c. = 0 r ÷2¸ + 2. = c Hallar c. /. c ¸ R para que los sistemas tengan única solución, in…nitas soluciones o no tengan soluciones. En los casos que haya solución determínelas. 45. Dado el sistema r 1 ÷r 2 + (4c 2 + 1)r 3 = / r 2 + (3 ÷c)r 3 = 0 2r 1 ÷r 2 + (7 ÷c)r 3 = ÷2 Hallar condiciones para c. / ¸ R de tal manera que el sistema tenga: a) Única solución. b) In…nitas soluciones, determínelas. c) Solución vacía. 46. Resolver según los valores de c. / ¸ R. el sistema: r +c¸ +c 2 . = 1 r +c¸ +c/. = c /r +c 2 ¸ +c 2 /. = c 2 / . 47. Dado el siguiente sistema: cr +¸ = / r +c¸ = 1 ÷r +¸ +c. = 2 Hallar condiciones para c. / ¸ R de tal manera que el sistema tenga: a) Única solución. b) In…nitas soluciones, determínelas. c) Solución vacía. 48. Dado el siguiente sistema: `r +¸ +. +n = 1 r +`¸ +. +n = 1 r +¸ +`. +n = 1 r +¸ +. +`n = 1 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 222 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS a) Determine los valores de ` ¸ R para que el sistema tenga única solución. Deje expresada la solución usando Cramer. b) Determine los valores de ` ¸ R para que el sistema tenga in…nitas soluciones. Encuéntrelas. 49. Dado el sistema: r + 2¸ ÷. + 3n = 1 2r + 3¸ ÷. + 5n +n = 0 3r +. ÷n = 1 5r + 3¸ + 4n +n = c ÷/ r +¸ + 2n +n = c +/ a) Encuentre valores de c. / ¸ R para los cuales el sistema es consistente. Determine el conjunto solución. b) ¿Existen valores de c. / ¸ R de modo que la solución sea única?. Justi…que. 50. Dado el sistema: r +`. = 0 ¸ +. = 0 `r +¸ + 2. = 3 Determinar ` ¸ R de modo que el sistema: a) Tenga única solución. Determínela. b) Tenga solución vacía. 51. Dado el sistema: 2r ÷¸ + 3. = ÷3 r +c¸ ÷. = 6 r ÷¸ + 2. = / a) Calcular c. / ¸ R para que (1. 2. ÷1) sea una solución. b) Calcular c. / ¸ R para que el sistema: 1) Tenga única solución. Determínela. 2) Tenga solución vacía. 3) Tenga in…nitas soluciones. Indique el conjunto solución. c) Escribir una solución para c = 2. / = ÷3. 5.2. Espacios Vectoriales 1. Sea \ = R 2 , y considere las siguientes operaciones: a) (r 1 . r 2 ) + (¸ 1 . ¸ 2 ) = (r 1 +¸ 1 . r 2 +¸ 2 ) c(r 1 . r 2 ) = (cr 1 . r 2 ) c ¸ R. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.2. ESPACIOS VECTORIALES 223 b) (r 1 . r 2 ) + (¸ 1 . ¸ 2 ) = (r 1 +¸ 1 . 0) c(r 1 . r 2 ) = (cr 1 . 0) c ¸ R. ¿En cada caso, es \ con estas operaciones un espacio vectorial real?. 2. Sea \ = R n , en \ se de…nen las siguientes operaciones: (r 1 . .... r n ) + (¸ 1 . .... ¸ n ) = (r 1 ÷¸ 1 . .... r n ÷¸ n ) c(r 1 . r 2 . .... r n ) = (÷cr 1 . .... ÷cr n ) c ¸ R. ¿Qué propiedades de espacio vectorial cumple \ con estas operaciones? 3. Demostrar que los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de los espacios dados: a) l 1 = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , r +¸ = 0¦ \ = R 2 b) l 2 = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , 2r +¸ = .¦ \ = R 3 c) l 3 = ¦(c. /. 0) ¸ R 3 , c. / ¸ R¦ \ = R 3 4. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R n ? a) l 1 = ¦(r 1 . .... r n ) ¸ R n , r 1 = 0¦ b) l 2 = ¦(r 1 . .... r n ) ¸ R n , r 1 + 3r 2 = r 3 ¦ c) l 3 = ¦(r 1 . .... r n ) ¸ R n , r 1 = r 2 ¦ d) l 4 = ¦(r 1 . .... r n ) ¸ R n , r 1 r 2 = 0¦ e) l 5 = ¦(r 1 . .... r n ) ¸ R n , r 2 ¸ Q¦ f ) l 6 = ¦(r 1 . .... r n ) ¸ R n , r 2 1 +r 2 2 +... +r 2 n = 1¦ g) l 7 = ¦(r 1 . .... r n ) ¸ R n , sin r 1 = 0¦ h) l 8 = ¦(r 1 . .... r n ) ¸ R n , c x 2 +c x 3 = 4¦ . 5. Sean c. /. c ¸ R y l = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 ,cr +/¸ +c. = /¦. Demostrar que l es un subespacio vectorial si y sólo si / = 0. 6. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de ` n son subespacios vectoriales de ` n ? a) El conjunto de las matrices regulares. b) C(1) = ¦¹ ¸ ` n , ¹1 = 1¹¦ . c) El conjunto de las matrices singulares. d) El conjunto de las matrices simétricas. e) El conjunto de las matrices antisimétricas. f ) ¦¹ ¸ ` n , ¹ 2 = ¹¦ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 224 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 7. ¿Por qué la solución del siguiente sistema de ecuaciones no es un espacio vectorial? r 1 +r 2 +r 3 +r 4 = 4 2r 2 + 3r 3 ÷3r 4 = 3 r 1 ÷2r 2 = ÷1 8. Demostrar que los siguientes subconjuntos de ` 3 son subespacios vectoriales de ` 3 a) _ _ _ _ _ c / c d c 0 0 0 0 _ _ , c. /. c ¸ R _ _ _ b) _ _ _ _ _ c / c d , d c / c _ _ , c. /. c. d. , ¸ R _ _ _ . 9. Decida cuales de los siguientes subconjuntos de funciones, con las operaciones suma y producto por un escalar usuales, son espacios vectoriales. Justi…que. a) El conjunto de polinomios de grado : incluyendo el polinomio nulo. b) El conjunto de polinomios de grado menor que : incluyendo el polinomio nulo. c) El conjunto de las sucesiones con coe…cientes en R. d) El conjunto de las funciones cuya :÷ésima derivada es continua en el intervalo [c. /] . e) El conjunto de las funciones cuyo codominio es ] ÷·. 10 8 ]. 10. Sea \ = 1(R. R) = ¦, : R÷÷R , , es función¦ ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de funciones son subespacios de \ ? a) _ , ¸ \ , ,(r 2 ) = (,(r)) 2 _ b) ¦, ¸ \ , ,(0) = ,(1)¦ c) ¦, ¸ \ , ,(3) = 1 +,(÷5)¦ d) ¦, ¸ \ , ,(÷1) = 0¦ e) ¦, ¸ \ , , es continua¦ 11. Demostrar que los únicos subespacios de R 2 son: a) ¦(0. 0)¦ b) R 2 c) ¦c(r. ¸) , c ¸ R¦ para (r. ¸) ,= 0. 12. Dados 1 = ¦(2c. c) , c ¸ R¦ y 1 = ¦(/. /) , / ¸ R¦ ¿Cuáles de los siguientes son subespacios de R 2 ? 1. 1. 1 ¨ 1. 1 ' 1. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.2. ESPACIOS VECTORIALES 225 13. Sean \ 1 y \ 2 subespacios de un espacio vectorial \ tal que \ 1 ' \ 2 sea también un subespacio. Demostrar que uno de los subespacios \ i para i = 1. 2 está contenido en el otro. 14. Encuentre una combinación lineal de los vectores n i , que expresen · en los siguientes casos: a) n 1 = (1. 2. ÷3) n 2 = (÷1. ÷3. 2) · = (1. 1. ÷4) b) n 1 = 2r ÷1 n 2 = ÷ 1 2 r + 1 · = r c) n 1 = (1. ÷2. 3) n 2 = (4. ÷2. 4) · = (1. 1. 1) d) n 1 = 1 ÷2i n 2 = 3i + 2 n 3 = i ÷1 · = 1 ÷5i e) En este caso, con la condición que todos los escalares sean diferentes de cero, n 1 = (1. 2. 0) n 2 = (2. ÷2. 0) n 3 = (÷1. 1. 0) n 4 = (0. 1. 1) · = (1. 1. 0) 15. Demostrar que (c. /. c. d) ¸ R 4 es combinación lineal de (1. 1. 1. 1); (2. 3. 1. 0) y (÷2. 1. 4. 1) si y sólo si c +c = / +d. 16. Demostrar que _ 18 13 6 8 ÷18 _ es combinación lineal de _ 5 1 2 0 ÷2 _ y _ 3 4 1 6 2 ÷3 _ . 17. Demostrar que sin 2 r y cos 2 r son combinación lineal de 1 y cos 2r. 18. Demostrar que r 2 +r + 1 es combinación lineal de 1. r ÷2. (r + 2) 2 . 19. Determinar si los siguientes conjuntos son linealmente independiente o linealmente dependiente: a) ¦2¦ b) ¦(1. 0. 1). (0. 1. 1). (1. 1. 0)¦ c) ¦(1. 0). (0. 1). (1. 1)¦ d) __ 1 1 0 0 _ . _ 0 0 1 1 _ . _ 1 0 1 0 _ . _ 0 1 0 1 __ e) ¦1. r. rc x ¦ f ) ¦1. r. rsin r¦ . 20. Consideremos los siguientes vectores de R 4 c 1 = (1. 0. 0. 0); c 2 = (0. 1. 0. 0); c 3 = (0. 0. 1. 0); c 4 = (0. 0. 0. 1) Sean r = c 1 + 2c 2 +cc 3 +c 4 ¸ = c 1 +c 2 + 2c 3 +,c 4 con c. , ¸ R . = c 2 +,c 3 jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 226 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS a) Determinar c y , para que r. ¸. . sean linealmente dependiente b) ¿Qué vector es combinación lineal de los otros dos? 21. Determinar si los siguientes conjuntos son linealmente independiente o linealmente dependiente: a) ¹ = ¦1. r. r 2 . .... r n ¦ subconjunto de R[r] b) 1 = ¦1. (r ÷1). r(r ÷1). r 2 (r ÷1). .... r n1 (r ÷1)¦ subconjunto de R[r] c) C = ¦c. c +/r. c +/r +cr 2 . c +/r +cr 2 +dr 3 ¦ subconjunto de R[r]. donde c. /. c. d son constantes no nulas. 22. Probar que si dos vectores son linealmente dependiente, entonces uno de ellos es múlti- plo escalar del otro. 23. Sea \ un espacio vectorial real, demostrar que: a) Si dos vectores · 1 y · 2 son linealmente independiente, entonces · 1 + · 2 y · 1 ÷· 2 también lo son. b) Si tres vectores · 1 . · 2 y · 3 son linealmente independiente, entonces · 1 +· 2 . · 2 + · 3 . · 3 +· 1 también lo son. 24. Demostrar que los vectores (3 + _ 2. 1 + _ 2) y (7. 1 + 2 _ 2) en R 2 son linealmente dependiente, sobre R. pero linealmente independiente sobre Q. 25. Determine el subespacio generado por los siguientes vectores: a) n 1 = (÷1. 2. 1). n 2 = (2. 1. 3) b) n 1 = (÷1. 1. 2). n 2 = (0. 1. 0). n 3 = (2. 4. 1) c) 1. r ÷2. r 2 ÷2r + 1; como subespacio de R[r] d) n 1 = r + 1. n 2 = r 2 + 1 como subespacio de R[r] . Encuentre en los casos anteriores un sistema de ecuaciones cuyo conjunto solución corresponda a los subespacios generados. 26. Determinar cuáles de los siguientes vectores pertenecen al subespacio indicado: a) (4. 7. 6). (2. 9. 4). (2. 0. 5). (0. 0. 1) en el subespacio generado por (1. 2. 1) y (2. 3. 4) b) r 2 ÷ r + 3. 4r 3 ÷ 3r + 5. r 4 + 1. r ÷ 5 en el subespacio generado por r 3 + 2r 2 + 1. r 3 ÷2. r 3 + 1 27. Demostrar que los siguientes conjuntos generan el mismo subespacio vectorial de las funciones de [c. /] en R. 1([c. /] . R) _ sin 2 r. cos 2 r. sin r cos r _ ¦1. sin 2r. cos 2r¦ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.2. ESPACIOS VECTORIALES 227 28. Sean ¹ ¸ ` mn y H = ¦A ¸ R n , ¹A = C¦. Suponga que ¦A 1 . .... A q ¦ es una base de ker(¹) = ¦A ¸ R n , ¹A = 0¦, y sea A p ¸ H. Pruebe que ¸H¸ = ¸A 1 . .... A q . A p ¸ . 29. Sean ¹ = ¦(r 1 . r 2 . r 3 . r 4 ) ¸ R 4 , 3r 1 = 2r 2 = r 3 ¦ 1 = ¦(r 1 . r 2 . r 3 . r 4 ) ¸ R 4 , r 3 = 2¦ C = ¦(r 1 . r 2 . r 3 . r 4 ) ¸ R 4 , r 1 = r 2 ÷r 3 ¦ 1 = ¦(r 1 . r 2 . r 3 ) ¸ R 3 , r 1 = 1¦ Hallar explícitamente los subespacios generados por los conjuntos dados, es decir, ¸¹¸ . ¸1¸ . ¸C¸ . ¸1¸. 30. Sean \ un espacio vectorial real y ¹. 1 ¸ \ entonces se cumple: a) ¹ _ \ si y sólo si ¹ = ¸¹¸ . b) ¹ no es subespacio de \ si y sólo si ¹ ,= ¸¹¸. c) ¸¸¹¸¸ = ¸¹¸ . d) ¸¹¸ = ¸1¸ si y sólo si 1 genera a ¸¹¸ y ¹ genera a ¸1¸ . e) ¹ genera a ¸1¸ y 1 genera a ¸C¸ entonces ¹ genera a ¸C¸ . 31. Si \ 1 y \ 2 son subespacios de un espacio \ entonces probar que: a) \ 1 +\ 2 _ \ b) \ 1 ' \ 2 ¸ \ 1 +\ 2 . c) \ 1 +\ 2 es el más pequeño espacio que contiene a \ 1 y \ 2 d) \ 1 +\ 2 = ¸\ 1 ' \ 2 ¸ . Ayuda (c): Sea l espacio que contiene a \ 1 ' \ 2 , mostrar que \ 1 +\ 2 ¸ l. 32. Sean ¹ y 1 subconjuntos no vacios de un espacio vectorial \. ¿ Es válida la siguiente igualdad? ¸¹¸ ¨ ¸1¸ = ¸¹ ' 1¸ 33. Sean l = ¸(1. 0. 0). (0. 1. 1). (1. 1. 1)¸ ; \ = ¸(1. 1. 1). (2. 1. 1). (1. 0. 0)¸ . a) Encuentre un sistema de ecuaciones que describa al espacio l. Idem para \ . b) Determine una base de l ¨ \ c) Determine un sistema de ecuaciones que describa al espacio l ¨ \ 34. Dado el espacio \ = _ _ _ ¹ ¸ ` 3 (R) , ¹ = _ _ c / c d c d c / c _ _ _ _ _ . Determine un conjunto generador de \ . 35. Decida si cada una de las siguientes a…rmaciones es verdadera o falsa.Justi…que su respuesta: jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 228 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS a) (\¹. 1 ¸ \ ) (¹ ,= 1 == ¸¹¸ , = ¸1¸) . b) (\¹. 1 ¸ \ ) (¸¹¸ = ¸1¸ == ¹ = 1) c) (\¹. 1 ¸ \. r ¸ \ ) (¸¹ ' ¦r¦¸ = ¹ == r ¸ ¹). d) Si ¹ es linealmente independiente y el cardinal de ¹ es igual a dim(\ ) entonces ¹ es una base de \. 36. Sean ¹ = ¦(1. ÷1. 2). (3. 0. 1)¦ ; 1 = ¦(÷1. 2. 3). (3. 3. ÷4). (2. 1. ÷1)¦. ¿Generan ¹ y 1 el mismo subespacio de R 3 ?. Justi…que. 37. Sea \ = ¦(r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r + 13. ÷9n = 0 = ¸ + 3. ÷2n¦ a) Demuestre que \ es un subespacio de R 4 . b) Demuestre que ¦(9. 2. 0. 1). (÷13. ÷3. 1. 0)¦ es una base de \. 38. Determine condiciones sobre c. /. c ¸ R. tal que el vector (c. /. c) pertenezca al espacio generado por (2. 1. 0). (1. ÷1. 2). (0. 3. ÷4). 39. Encuentre una base para el subespacio solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en R 5 . a) r 1 +r 2 +r 3 +r 4 = 0 2r 1 +r 2 + 2r 3 ÷r 4 = 0 r 1 +r 3 = 0 b) r 2 +r 3 +r 4 = 0 5r 1 +r 3 ÷r 4 = 0 c) r 1 + 2r 2 ÷r 3 ÷r 5 = 0 r 2 +r 3 ÷r 5 ÷2r 4 = 0 r 1 ÷r 5 +r 4 = 0 40. Sean ¹ = ¦(r 1 . r 2 . r 3 . r 4 ) ¸ R 4 , 3r 1 = 2r 2 = r 3 ¦ 1 = ¦(r 1 . r 2 . r 3 . r 4 ) ¸ R 4 , r 3 = 2¦ C = ¦(r 1 . r 2 . r 3 . r 4 ) ¸ R 4 , r 1 = r 2 ÷r 3 ¦ 1 = ¦(r 1 . r 2 . r 3 ) ¸ R 3 , r 1 = 1¦ a) Hallar una base para ¸¹¸ . ¸1¸ . ¸C¸ . ¸1¸ . b) Hallar un espacio complementario para cada uno de los espacios anteriores. c) Muestre que existe más de un espacio complementario para cada espacio de a). 41. Probar que : a) Si cd ÷/c ,= 0 entonces ¦(c. /). (c. d)¦ es base de R 2 . b) El conjunto ¦1. i¦ no es base de C como C-espacio vectorial, pero sí lo es de C como R-espacio vectorial. (i 2 = ÷1). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.2. ESPACIOS VECTORIALES 229 c) Si \ es un R-espacio vectorial y ¹ ¸ \ tal que 0 ¸ ¹ entonces ¹ es linealmente dependiente. d) Si \ es un R-espacio vectorial y . ¸ \ , . ,= 0 entonces ¦.¦ es linealmente independiente. e) Muestre mediante un ejemplo que unión de conjuntos linealmente independiente no necesariamente es linealmente independiente . 42. Dados · 1 = (1. ÷1. 2. ÷3); · 2 = (÷2. 3. ÷1. 1); · 3 = (0. ÷1. ÷3. 5); · 4 = (÷1. 4. 7. ÷12) en R 4 . Encontrar un subconjunto maximal linealmente independiente de ¦· 1 . · 2 . · 3 . · 4 ¦ y extenderlo a una base de R 4 . 43. Sea 1 = _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ (r 1 . r 2 . r 3 . r 4 ) ¸ R 4 , _ ¸ ¸ _ 1 ÷1 2 ÷3 ÷2 3 ÷1 1 0 ÷1 ÷3 5 ÷1 4 7 ÷12 _ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ _ r 1 r 2 r 3 r 4 _ ¸ ¸ _ = _ ¸ ¸ _ 0 0 0 0 _ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ , un subespacio de R 4 entonces : a) Hallar una base de 1. b) Calcule la dimensión de 1 44. Sea H = ¦(r 1 . r 2 . r 3 . r 4 ) ¸ R 4 , r 1 ÷r 2 ÷r 3 = 0¦ _ R 4 . Pruebe que dim(H) = 3. ¿Es válido la siguiente a…rmación? Si H = ¦(r 1 . r 2 . r 3 ) ¸ R 3 , r 1 ÷r 2 ÷r 3 = 0¦ entonces dim(H) = 3. 45. Sea 1 = ¦r. ¸¦ una base del espacio vectorial \ y n = cr + /¸; · = cr + d¸. ¿Qué condiciones deben cumplir los escalares c. /. c. d de modo que ¦n. ·¦ sea una base de \ ? 46. Sean \ y \ espacios vectoriales reales tales que dim(\ ) = :, dim(\) = : con bases ¦· 1 . · 2 . .... · n ¦ y ¦n 1 . n 2 . .... n m ¦ respectivamente. Se de…nen las siguiente operaciones en \ \ = ¦(·. n) , · ¸ \. n ¸ \¦ dadas por (·. n) + (¸. .) = (· +¸. n +.) (·. ¸ ¸ \ ; n. . ¸ \) c(·. n) = (c·. cn) (c ¸ R;· ¸ \ ; n ¸ \) a) Demostrar que \ \ con estas operaciones es un R-espacio vectorial. b) El conjunto ¦(· 1 . 0). .... (· n . 0). (0. n 1 ). .... (0. n m )¦ es una base de \ \. 47. Sean \ = _ ¹ ¸ ` 2 (R) , ¹ = _ r ÷r ¸ . __ y \ = _ 1 ¸ ` 2 (R) , 1 = _ c / ÷c c __ subespacios de ` 2 (R). Encuentre una base para \ y otra para \. 48. Determine si cada una de las siguientes a…rmaciones es verdadera o falsa. Justi…que: a) Si H genera a \ entonces existe una base 1 de \ tal que 1 _ H. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 230 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS b) Si H ¸ \ y Cc:d(H) < dim(\ ) entonces H es linealmente independiente. c) Si ¹ es linealmente independiente y Cc:d(¹) = dim(\ ) entonces ¹ es una base de \. d) La dimensión de R como Q-espacio vectorial es 1. e) dim R (` 32 (R)) = 6 f ) Una base para el espacio R 5 [r] es ¦1 +r. r +r 2 . r 2 + 3r 3 . r 3 + 4r 4 . r 4 + 5r 5 . ÷r 5 ¦ g) o = ¦A ¸ R n ,1 mn A t = / m1 ,= 0 m1 ¦ y / 0 ¸ o entonces o = ¦/ 0 +n,n ¸ ker(1)¦ 49. Considere , 1 (r) = sin r. , 2 (r) = _ 2 cos(r ÷ 4 ). , 3 (r) = cos r. Sea o = ¸, 1 . , 2 . , 3 ¸ a) Determine si ¦, 1 . , 2 . , 3 ¦ es linealmente independiente. b) Determine una base para o y calcule dim(o). c) Sea ,(r) = 5 sin r ÷ 2 cos r. Calcule las coordenadas de , respecto a la base anterior. 50. Sean 1 1 = ¦(1. ÷1. 0). (0. ÷1. 2)¦ . 1 2 = ¦(1. ÷1. 2). (3. ÷5. 4)¦ y \ el subespacio de R 3 generado por 1 1 . a) Probar que 1 2 es base de \. b) Si A = (r. ¸. .) ¸ \. Hallar [A] B 1 . [A] B 2 . c) Hallar las coordenadas de los vectores en ambas bases, si es posible, sino justi…que: (1. 0. 0). (0. 0. 1). (4. ÷7. 6). (3. ÷2. ÷2). 51. Si 4 _ _ 1 ÷1 2 _ _ + 3 _ _ 0 0 2 _ _ + 1 _ _ 1 0 4 _ _ = c _ _ 1 ÷1 2 _ _ +/ _ _ 0 0 2 _ _ +c _ _ 1 0 4 _ _ . entonces debe cumplirse que: c = 4. / = 3. c = 1, ¿es verdadera la a…rmación anterior? Justi…que su respuesta. 52. Considerar las dos bases siguientes de R 3 1 = ¦(1. 1. 1). (0. 2. 3). (0. 2. ÷1)¦ y 1 0 = ¦(1. 1. 0). (1. ÷1. 0). (0. 0. 1)¦ a) Hallar las coordenadas de · = (3. 5. ÷2) respecto a cada una de las bases. b) Hallar la matriz 1 cuyas columnas son precisamente los vectores coordenadas de los vectores de la base 1 respecto a la base 1 0 . Denotamos a esta matriz por [1d] B 0 B . c) Veri…car que 1 [A] B = [A] B 0 . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.2. ESPACIOS VECTORIALES 231 53. Demostrar que los vectores · 1 = (1. 1. 0. 0) . · 2 = (0. 0. 1. 1) . · 3 = (1. 0. 0. 4) . · 4 = (0. 0. 0. 2) . forman una base de R 4 . Hallar las coordenadas de cada uno de los vectores de la base canónica respecto de la base ordenada ¦· 1 . · 2 . · 3 . · 4 ¦ . 54. Sea 1 = ¦· 1 . · 2 . · 3 ¦ una base ordenada de R 3 donde · 1 = (1. 0. ÷1). · 2 = (1. 1. 1). · 3 = (1. 0. 0). ¿Cuáles son las coordenadas del vector (c. /. c) en la base ordenada 1? 55. Sean c = (r 1 . r 2 ) y , = (¸ 1 . ¸ 2 ) dos vectores de R 2 tales que r 1 ¸ 1 +r 2 ¸ 2 = 0. r 2 1 +r 2 2 = ¸ 2 1 +¸ 2 2 = 1 a) Demostrar que 1 = ¦c. ,¦ es una base de R 2 . b) Hallar las coordenadas del vector (c. /) en la base ordenada 1 = ¦c. ,¦. (Las condiciones impuestas a c. , dicen geométricamente que c y , son perpendiculares y de longitud 1). 56. Sea \ = R 2 [r], es decir, el espacio de todas las funciones polinomiales de la forma ,(r) = c 0 +c 1 r +c 2 r 2 con c 0 . c 1 . c 2 ¸ R. Dados t ¸ R …jo y q 1 (r) = 1. q 2 (r) = r +t. q 3 (r) = (r +t) 2 . a) Demostrar que 1 = ¦q 1 . q 2 . q 3 ¦ es una base de \ . b) Si ,(r) = c 0 +c 1 r +c 2 r 2 . ¿Cuáles son las coordenadas de , en esta base 1? 57. Sea \ un espacio vectorial real generado por las …las de la matriz ¹ = _ ¸ ¸ _ 3 21 0 9 0 1 7 ÷1 ÷2 ÷1 2 14 0 6 1 6 42 ÷1 13 0 _ ¸ ¸ _ a) Hallar una base para \. b) ¿Qué vectores (r 1 . r 2 . r 3 . r 4 . r 5 ) son elementos de \ ? c) Si (r 1 . r 2 . r 3 . r 4 . r 5 ) ¸ \. ¿Cuáles son sus coordenadas en la base elegida en la parte (a)? 58. Sean l. \ los siguientes subespacios vectoriales de R 3 l = _ (c. /. c) ¸ R 3 , c +/ +c = 0 _ ; \ = _ (0. 0. d) ¸ R 3 , d ¸ R _ Demostrar que R 3 = l +\. ¿R 3 = l ¸\? jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 232 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 59. Sean l = ¦, : R ÷÷R , ,(r) = ,(÷r). r ¸ R¦ y \ = ¦, : R ÷÷R , ,(r) = ÷,(÷r). r ¸ R¦ subespacios vectoriales de 1(R. R). Demostrar que 1(R. R) = l ¸\. 60. Dados los siguientes subespacios vectoriales de ` n (R) 1 = _ ¹ ¸ ` n (R) , ¹ = ¹ t _ o = _ 1 ¸ ` n (R) , 1 = ÷1 t _ . Demostrar que ` n (R) = o ¸1. 61. Dado l = ¦(r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r = ¸. . = n¦ subespacio vectorial de R 4 . Hallar \ subespacio vectorial (complementario) de R 4 tal que l ¸\ = R 4 . 62. Sean ¹ = ¸(2. 3. 6. 0). (0. 0. 0. 1)¸ 1 = ¸(1. 0. 2. 0). (0. 1. 0. 0). (0. 0. 0. 1)¸ C = ¸(1. 1. 0. 0). (1. 0. ÷1. 0). (0. 0. 0. 1)¸ 1 = ¸(1. 1. 0)¸ a) Hallar un espacio complementario a los espacios ¹. 1. C. 1. b) Muestre que existe más de un complementario por cada espacio de (a). 63. Dados l = ¦(r. ¸. .) , r +¸ +. = 0¦ _ R 3 y \ = ¦(r. ¸. .. n) , r = ¸. . = n¦ _ R 4 . a) Encontrar a lo menos un espacio complementario de l y uno de \. b) Clasi…car todos los subespacios vectoriales complementarios de l en R 3 . 64. Sean \ 1 = _ (r. ¸. .. t) ¸ R 4 , r ÷¸ = 0. . +t = 0 _ . \ 2 = _ (r. ¸. .. t) ¸ R 4 , 2r + 3¸ = ÷(t ÷.) _ . subespacios vectoriales de R 4 . Determinar a) una base para \ 1 +\ 2 . b) una base para \ 1 ¨ \ 2 . c) ¿Cuáles son las dimensiones de estos subespacios vectoriales? 65. Sean \ = _ ¹ ¸ ` 2 (R) , ¹ = _ r ÷r ¸ . __ y \ = _ 1 ¸ ` 2 (R) , 1 = _ c / ÷c c __ subespacios de ` 2 (R). Hallar dim(\ 1 +\ 2 ) y dim(\ 1 ¨\ 2 ), exhibiendo las respectivas bases. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.2. ESPACIOS VECTORIALES 233 66. Sean \ = _ _ _ (r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r +¸ +. +n = 0 r ÷¸ + 2. + 3n = 0 2r + 3. +n = 0 _ _ _ y \ = ¸(1. 1. 1. 1). (÷2. 1. 0. 1)¸ . a) Hallar dim(\ ). dim(\). dim(\ ¨ \). b) Hallar \ +\ ¿Es suma directa \ +\ de \ y \? 67. Sean 1 = ¸1 ÷r + 2r 2 ÷3r 3 . ÷2 + 3r ÷r 2 +r 3 . r + 3r 2 ÷5r 3 . 1 + 5r 2 ÷8r 3 ¸ y o = _ c +/r +cr 2 +dr 3 , 2c +/ +c = 0 3c ÷2/ +c ÷d = 0 _ , subespacios de R 3 [r] . Hallar bases y dimensiones de 1. o. 1 ¨ o. 1 +o. 68. Sea l = _ _ _ ¹ ¸ ` 3 (R) , ¹ = _ _ c / c d c d c / c _ _ _ _ _ _ ` 3 (R). Determine \ subespacio vectorial de ` 3 (R) tal que l ¸\ = ` 3 (R) . 69. Dados l 1 = _ ¹ ¸ ` 2 (R) , ¹ = _ c / 0 0 __ y l 2 = _ 1 ¸ ` 2 (R) , 1 = _ 0 0 c 0 __ subespacios vectoriales de ` 2 (R) . ¿Es ` 2 (R) suma directa de l 1 y l 2 ?. 5.2.1. Ejercicios complementarios A continuación presentamos una selección de problemas incluidos en diversos tipos de controles semestrales. 1. Sea H = ¦(r. ¸) ¸ R 2 , r 2 ÷¸ 2 = 0¦ . ¿ Es H un subespacio vectorial de R 2 ?. Jus- ti…que. 2. Hallar, si es posible (si no justi…que), una matriz 1 ¸ ` 3 (R) de rango 2 tal que la tercera …la no sea combinación lineal de las dos primeras …las. Justi…que su ejemplo. 3. Sean \ = _ _ _ (r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r +¸ +. +n = 0 r ÷¸ + 2. + 3n = 0 2r + 3. + 4n = 0 _ _ _ y \ el espacio generado por los vectores (1. 1. 1. 1) y (÷2. 1. 0. 1) en R 4 . a) Hallar dim(\ ). dim(\). dim(\ ¨ \). b) Hallar una base de \ +\. ¿Es \ +\ suma directa de \ y \? 4. Dada 1 = ¦(1. c. 2). (0. 1. c). (1. 0. 1)¦ subconjunto de R 3 . Determinar las condiciones para c ¸ R de tal forma que 1 sea una base de R 3 . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 234 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 5. Sea l = ¸(1. 0. 1). (0. 1. 0). (2. ÷1. 2)¸ . a) ¿Es 1 = ¦(0. 2. 0). (÷1. 1. ÷1)¦ una base de l? b) Determine las coordenadas del vector · = (÷1. 3. ÷1) en la base 1 0 = ¦(1. 0. 1). (0. 1. 0)¦ . c) ¿Es posible determinar coordenadas del vector · = (÷1. 3. ÷1) respecto de 1? 6. Dados los subespacios \ = _ (r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r + 2¸ ÷. ÷n = 0 r ÷¸ ÷2. +n = 0 _ . \ = ¸(1. 0. 1. 1). (1. 1. 1. 2). (0. 1. 0. 1)¸ a) Hallar dim(\ ). dim(\). dim(\ ¨ \). b) Hallar una base de \ +\. c) ¿Es \ +\ suma directa de \ y \? 7. Sea \ = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , 2/r + 3¸ = 0. . = /¦ . ¿Para que valores de / ¸ R. \ es un subespacio vectorial de R 3 ?. 8. Sean ¹ = ¦(1. ÷1. 2). (3. 0. 1)¦ y 1 = ¦(÷1. ÷2. 3). (3. 3. ÷4). (2. 1. ÷1)¦ . ¿Generan ¹ y 1 el mismo subespacio vectorial de R 3 ?. Justi…que. 9. Sea \ = _ (r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r + 13. ÷9n = 0 ¸ + 3. ÷2n = 0 _ a) Demuestre que \ es un subespacio vectorial de R 4 . b) Demuestre que ¦(9. 2. 0. 1). (÷13. ÷3. 1. 0)¦ es una base de \. 10. Sean l = ¸(1. 0. 0). (0. 4. 2)¸ _ R 3 y \ = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , r = . = 2¸¦ _ R 3 . Demuestre que l ¸\ = R 3 . 11. Determine si cada una de las siguientes proposiciones, es verdadera o falsa,justi…cando con una demostración o un contraejemplo según corresponda. a) ¹ = ¦r 3 ÷2r 2 +r + 1. r 2 + 7. 2r ÷5¦ ¸ R 3 [r] es un conjunto linealmente independiente. b) ¸n. ·. n¸ = ¸n. ·¸ == ¦n. ·. n¦ es un conjunto linealmente dependiente. c) \ = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , r +¸ = 0 ó . ÷2¸ = 0¦ es un subespacio vectorial de R 3 . 12. Sea 1 4 = ¦¹ ¸ ` 4 (R) , ¹ es matriz diagonal¦ a) Demuestre que 1 4 es un subespacio vectorial de ` 4 (R) jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.2. ESPACIOS VECTORIALES 235 b) Encuentre una base para 1 4 . y demuestre que efectivamente es base. c) ¿Cuál es la dimensión de 1 4 ? d) ¿Cuáles son las coordenadas de ¹ = _ ¸ ¸ _ 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 _ ¸ ¸ _ en la base que usted escogió en b)? 13. Sean \ un espacio vectorial real y 1 = ¦· 1 . · 2 . · 3 ¦ una base de \.además · 0 1 = · 1 + 2· 2 + 3· 3 ; · 0 2 = 2· 1 ÷· 2 +· 3 ; · 0 3 = ÷· 1 +· 2 ÷3· 3 a) Pruebe que 1 0 = ¦· 0 1 . · 0 2 . · 0 3 ¦ es una base para \. b) Encuentre [id] B B 0 . c) Si · = · 0 1 + 1 2 · 0 2 ÷ 1 3 · 0 3 . Encuentre [·] B . 14. Sean \ = ¸(1. 2. 1). (÷19. 18. ÷11). (3. ÷1. 2)¸ . \ = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , ÷ r 13 = ¸ 9 = ÷ . 8 _ Hallar dim(\). dim(\ ). dim(\ ¨ \). 15. Sean l y \ los subespacios de R 4 de…nidos por: l = _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ _ r ¸ . n _ ¸ ¸ _ , 4r +¸ ÷. ÷n = 0; 3r ÷2. ÷n = 0 _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ . \ = _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ _ r ¸ . n _ ¸ ¸ _ , r + 4¸ +. ÷n = 0; 2r ÷¸ + 2. +n = 0 _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ ¿Es R 4 = l ¸\?.Justi…que su respuesta. 16. Sean l. \. \ los subespacios de R 3 de…nidos por: l = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , r +¸ +. = 0 _ \ = ¦(0. 0. .) , . ¸ R¦ \ = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , r = . _ a) Pruebe que 1) R 3 = l +\ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 236 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 2) R 3 = l +\. b) ¿En cuál o cuáles de los casos anteriores la suma es suma directa?. Justi…que. 17. Dado el subespacio vectorial l = _ (r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r = . +n; ¸ = 2. ÷n; . = 3r + 2¸ + 5n _ a) Determine una base para l b) Encuentre dim(l). 18. Sean l. \ subespacios de R 3 de…nidos por l = ¸(2. ÷1. 3)¸ y \ = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , r +/¸ +. = 0 _ ¿Para que valores de / ¸ R, se tiene R 3 = l ¸\ ? 19. Determine si cada una de las siguientes a…rmaciones es verdadera o falsa. Justi…que su respuesta. a) ¹ = ¦(1. 2). (÷1. 3). (2. 1)¦ es un conjunto de vectores linealmente independiente. b) Dados l = _ cr 2 +/r +c ¸ R[r] , / ÷c +c = 0 _ . \ = ¸r + 1¸ . subespacios vectoriales de R[r] entonces R 2 [r] = l ¸\. c) Sean 1 = ¦(1. 0. 0). (1. 1. 0). (2. 1. 1)¦ . 1 0 = ¦(2. 1. 0). (1. 0. 1). (4. 2. 1)¦ bases de R 3 . Entonces [id] B B 0 = _ _ 1 1 0 0 ÷1 1 1 1 1 _ _ 20. Veri…que: a) El conjunto 1 = ¦¹ ¸ ` 2 (R) , ¹ +¹ t = 0¦ es un subespacio vectorial de ` 2 (R) de dimensión 1. b) 1 = __ 1 1 0 0 _ . _ 0 0 1 1 _ . _ 0 1 1 0 __ es una base de \ = __ 1 1 0 0 _ . _ 0 0 1 1 _ . _ 0 1 1 0 __ . Además determine las coordenadas de n = _ 5 ÷7 ÷19 ÷7 _ en base 1 es decir [n] B . 21. Sea l = ¦cr 3 +/r 2 +cr +d ¸ R 3 [r] , c ÷/ ÷c ÷d = 0¦ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.2. ESPACIOS VECTORIALES 237 a) Veri…car que l es un subespacio vectorial de R 3 [r] . b) Hallar una base de l. c) Determinar la dim(l). 22. a) Pruebe que el conjunto ¹ = ¦, : [0. 3[ ÷R , , es constante¦ es un subespacio de \ = ¦, : [0. 3[ ÷R , , es función¦ . b) Determine todos los vectores (c. /. c) ¸ R 3 que pertenezcan al espacio generado por (2. 1. 0). (1. ÷1. 2). (0. 3. ÷4). c) Sea \ = _ _ _ ¹ ¸ ` 3 (R) , ¹ = _ _ c / c d c d c / c _ _ . c. /. c. d. c ¸ R _ _ _ Hallar base y dimensión de \. 23. Sean l = ¦r 2 (cr ÷/) , c. / ¸ R¦ y \ = ¦cr(1 ÷r) +d , c. d ¸ R¦ subespacios de R 3 [r] . a) Determinar una base de l ¨ \ . b) Determinar una base de l +\ . c) ¿Es R 3 [r] = l ¸\ ?. Justi…que. 24. Sean los subespacios \ y \ de…nidos por: \ = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , /r +¸ ÷:. = 0 _ y \ = _ (0. ¸. .) ¸ R 3 , ¸ +. = 0; r = 0 _ Determinar :. / ¸ R para que R 3 = \ ¸\. 25. Sean 1 = _ _ _ _ _ 1 0 1 _ _ . _ _ 0 1 2 _ _ _ _ _ base de \ subespacio de R 3 y [1d] C B = _ 2 ÷1 2 0 _ a) Determinar el conjunto C, base de \. b) ¿Están los vectores (1. 1. 3). (÷2. 3. 4) y (0. 0. 1) en \?. Justi…que. c) Para los vectores de la parte b), determinar las coordenadas en la base C cuando sea pertinente. 26. a)¿Para que valores de / ¸ R los vectores · 1 = (/. 1 ÷ /. 0). · 2 = (2/ ÷1. 0. / + 2). · 3 = (0. /. ÷/) forman una base de R 3 ? Justi…que. b) Desde el conjunto de valores de / ,(a),dé un ejemplo de base ¦· 1 . · 2 . · 3 ¦ de R 3 . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 238 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 27. Sean \ = ¦¹ ¸ ` 2 (R) , ¹ es matriz triangular inferior¦ . 1 = __ c 0 0 / _ , c. / ¸ R _ subespacio de \. H = __ 0 0 c 0 _ , c ¸ R _ subespacio de \. Determinar si \ = 1 ¸H.Justi…que. 28. Dado \ = ¸1 1 ¸ con 1 1 = _ _ _ _ _ 1 0 2 _ _ . _ _ ÷1 1 1 _ _ _ _ _ ¸ R 3 . a) Mostrar que ambas 1 1 y 1 2 = _ _ _ _ _ 1 1 5 _ _ . _ _ ÷1 2 4 _ _ _ _ _ son bases de \. b) Hallar las coordenadas de _ _ r ¸ . _ _ en base 1 1 y en base 1 2 . cuando proceda. c) Hallar las coordenadas de _ _ 0 1 3 _ _ . _ _ 0 3 7 _ _ en las bases 1 1 y 1 2 cuando proceda. 29. Hallar la ecuación del plano :, que pasa por la intersección de las rectas: 1 1 = _ _ _ _ _ r ¸ . _ _ = _ _ ÷4 1 7 _ _ +` _ _ 3 ÷1 ÷5 _ _ , ` ¸ R _ _ _ 1 2 = _ _ _ _ _ r ¸ . _ _ = _ _ 2 ÷1 ÷3 _ _ +j _ _ 2 5 ÷1 _ _ , j ¸ R _ _ _ y es perpendicular a la recta determinada por la intersección de los planos: : 1 = _ _ _ _ _ r ¸ . _ _ ¸ R 3 , 3r ÷¸ +. = 0 _ _ _ y : 2 = _ _ _ _ _ r ¸ . _ _ ¸ R 3 , r +¸ ÷. = 0 _ _ _ . 30. Determine si cada una de las siguientes a…rmaciones es verdadera o falsa: a) Si 1 = ¦r 1 . r 2 ¦ es una base de R 2 entonces para todo r ¸ R 2 , 1 0 = ¦r 1 . r 2 . r¦ también es base de R 2 . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.2. ESPACIOS VECTORIALES 239 31. Dado \ = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , 2r = ¸; ¸ = ÷.¦ subespacio vectorial de R 3 . encuen- tre l subespacio de R 3 tal que R 3 = l ¸\. Además, determine una base y ecuaciones para las coordenadas del subespacio l. 32. Dados los vectores n = (1. ÷1. 2) y · = (2. 1. 0) determine dos vectores r = (r 1 . r 2 . r 3 ) e ¸ = (¸ 1 . ¸ 2 . ¸ 3 ) en R 3 tales que simultáneamente cumplan las condiciones siguientes: a) r = c· para algún c ¸ R. b) n = r +¸. c) las coordenadas de ¸ veri…quen la ecuación 2¸ 1 +¸ 2 = 0. 33. En ` 2 (R): a) Demuestre que \ = __ c / c d _ , c +/ +c = 0 _ es un subespacio vectorial de ` 2 (R). b) Complete una base para ` 2 (R) a partir del conjunto __ 0 0 1 0 _ . _ 1 1 0 1 __ . 34. Sean: a) los vectores · = (÷2. 3. 2. ÷2). n 1 = (0. 1. 2. 0). n 2 = (1. 0. ÷2. 1) en R 4 . es- tudie si · ¸ ¸n 1 . n 2 ¸ . b) el conjunto ¹ = ¦(2. 1. 0). (1. /. 3). (0. 2. ÷4)¦, determine los valores de / para que el conjunto ¹ sea linealmente independiente. 35. Dado 1 = ¦(1. 1. 1). (1. 1. 0). (1. 0. 0)¦ . a) Demuestre que 1 es base de R 3 . b) Determine condiciones sobre el vector (c. /. c) para que al reemplazar cualquier vector de 1 por (c. /. c), el conjunto siga siendo una base. 36. Dados l = _ (r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r +¸ = . ¸ +. = n _ . \ = ¸(1. 2. 0. 0). (1. 3. 1. 1). (2. 3. ÷1. ÷1)¸ a) Determine dim(\). b) Encuentre una base para l +\ y otra para l ¨ \. c) ¿Es R 4 = l ¸\?. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 240 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 37. Sean \ = _ (r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r +¸ +. = 0 r +¸ + 2. + 3n = 0 _ . \ = ¸(÷1. 1. 0. 1). (÷2. 1. 1. ÷1)¸ a) Hallar una base para \ +\. b) Hallar una base para \ ¨ \. c) Determine l _ R 4 . tal que l ¸(\ +\) = R 4 . 38. Sean \ = _ (r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r + 2¸ ÷. + 2n = 0 3r ÷¸ +. +n = 0 _ . \ = ¸(1. ÷2. 1. 0). (0. 4. 0. ÷2)¸ a) Hallar una base para \ +\. b) Obtener una base para \ ¨ \. c) Determine l _ R 4 . tal que l ¸(\ +\) = R 4 . 39. Sean 1 1 = ¦(1. ÷1. 0). (0. ÷1. 2)¦ y 1 2 = ¦(1. ÷2. 2). (3. ÷5. 4)¦ subconjuntos de R 3 y \ = ¸1 1 ¸ _ R 3 . a) Probar que 1 2 es base de \. b) Sabiendo que 1 1 es base de \. encontrar [1d] B 2 B 1 y [1d] B 1 B 2 . c) Hallar las coordenadas en ambas bases (si es posible, si no justi…que) de los vectores (1. 0. 0) y (4. ÷7. 6). 40. Dado l = ¦(r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r = ¸. . = n¦ _ R 4 .Hallar \ subespacio vectorial de R 4 tal que l ¸\ = R 4 . 41. Sea \ = ¸ r 3 ÷2r 2 + 4r + 1. 2r 3 ÷3r 2 + 9r ÷1. r 3 + 6r ÷5. 2r 3 ÷5r 2 + 7r + 5 _ a) Hallar una base para \. b) Determine dim(\). 42. Sea ¹ = ¦(1. ÷1. 2). (0. 1. ÷1). (1. 0. 1)¦ a) Encuentre ¸¹¸ . b) ¿Qué condiciones debe satisfacer un vector (r. ¸. .) para que pertenezca al sub- espacio generado por ¹. c) Encuentre una base y la dimensión para ¸¹¸ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.3. TRANSFORMACIONES LINEALES 241 5.3. Transformaciones Lineales 1. ¿Cuáles de las siguientes funciones 1 de R 2 en R 2 son transformaciones lineales? a) 1(r 1 . r 2 ) = (1 +r 1 . r 2 ) b) 1(r 1 . r 2 ) = (r 2 . r 1 ) c) 1(r 1 . r 2 ) = (r 2 1 . r 2 ) d) 1(r 1 . r 2 ) = (sin r 1 . r 2 ) e) 1(r 1 . r 2 ) = (r 1 ÷r 2 . 0) 2. ¿Cuál de las siguientes expresiones de…ne una transformación lineal, de R[r] en R[r]? a) 1(j(r)) = (j(r)) 2 b) 1(j(r)) = j(r + 1) ÷j(r) c) 1(j(r)) = 3(j(r) ÷j(0)) 3. ¿Cuáles de las siguientes funciones son transformación lineal? a) 1 : R 2 ÷÷ R 2 (r. ¸) ÷÷ (r + 3¸. 4r + 5¸) b) 1 : R 4 [r] ÷÷ ` 2 (R) c 3 r 3 +c 2 r 2 +c 1 r +c 0 ÷÷ _ c 3 c 2 c 1 c 0 _ c) G : R 3 ÷÷ R 2 (r. ¸. .) ÷÷ ((r +¸ +.) 2 . 2r + 3¸) d) H : ` 3 (R) ÷÷ ` 3 (R) A ÷÷ A ¹ ÷¹ A donde ¹ = _ _ 1 3 2 1 1 0 1 0 1 _ _ e) 1 : R 2 ÷÷ R (r. ¸) ÷÷ r 2 +¸ f ) J : R n [r] ÷÷ R n+1 [r] j(r) ÷÷ x _ 0 j(t)dt g) 1 : R n [r] ÷÷ R n1 [r] j(r) ÷÷ j 0 (r) h) 1 : ` 2 (R) ÷÷ R _ c / c d _ ÷÷ det _ c / c d _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 242 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 4. Dados · 1 = (1. ÷1). · 2 = (2. ÷1). · 3 = (÷3. 2) y n 1 = (1. 0). n 2 = (0. 1). n 3 = (1. 1). ¿Existe una transformación lineal 1 : R 2 ÷÷ R 2 tal que 1(· i ) = n i para i = 1. 2. 3 ?. en caso a…rmativo defínala. 5. ¿Existe una transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 2 tal que 1(1. ÷1. 1) = (1. 0) y 1(1. 1. 1) = (0. 1) ? 6. Sea 1 : R 3 ÷÷ R 3 transformación lineal tal que 1(1. 1. 1) = (1. 0. 2). 1(1. 0. 1) = (0. 1. 1). 1(0. 1. 1) = (1. 0. 1). Calcular 1(r. ¸. .). 7. Describir explícitamente la transformación lineal G de R 2 en R 2 tal que G(1. 0) = (c. /). G(0. 1) = (c. d). 8. Sean 1 y H transformaciones lineales de R 2 en R 2 de…nidas por 1(r 1 . r 2 ) = (r 2 . r 1 ) y H(r 1 . r 2 ) = (r 1 . 0) a) Describir 1 y H geométricamente b) Hallar explícitamente (1 +H). H · 1. 1 · H. 1 2 . H 2 . 9. Describa el efecto geométrico de las siguientes transformaciones lineales de R 2 en R 2 : a) ,(r. ¸) = 1 2 (r ÷3¸. 3r +¸) b) ,(r. ¸) = (2r +¸. ÷¸) c) ,(r. ¸) = (r +¸. r +¸) d) ,(r. ¸) = (¸. r) e) ,(r. ¸) = _ cos , ÷sin , sin , cos , _ _ r ¸ _ con , ¸ R …jo. 10. Sea 1 : R 4 ÷÷R 3 una transformación lineal de…nida por 1(1. 1. 1. 1) = (7. 2. 3). 1(1. 1. 1. 0) = (6. 1. 7). 1(1. 1. 0. 0) = (4. 1. 5). 1(1. 0. 0. 0) = (1. 0. 1) a) Hallar 1(r. ¸. .. n) b) Encontrar el conjunto de las preimágenes de (7. 1. 8). c) Determinar del conjunto anterior, el o los vectores cuya suma de sus coordenadas es 1. 11. Dada la función 1 : R 4 ÷÷R 3 de…nida por 1(r. ¸. .. n) = (r +¸. . ÷n. r +n) a) Probar que 1 es una transformación lineal b) Hallar una base para ker(1) y una base para Im(1). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.3. TRANSFORMACIONES LINEALES 243 c) Calcule dimensiones del núcleo e imagen de 1. d) ¿Es 1 inyectiva? ¿Es 1 sobreyectiva?. Justi…que. 12. Dada la función 1 : R 4 ÷÷R 2 de…nida por 1(r. ¸. .. n) = (r ÷¸ +.. ¸ +. ÷n) a) Probar que 1 es una transformación lineal b) Hallar una base para ker(1) y una base para Im(1). c) Calcule dimensiones del núcleo e imagen de 1. d) ¿Es 1 inyectiva? ¿Es 1 sobreyectiva?. Justi…que. 13. Sea 1 ¸ 1(R n . R m ). Si 1q(1) = :. pruebe que: a) : = : si y sólo si 1 es sobreyectiva. b) : = : si y sólo si 1 es inyectiva. c) Si : = : = : entonces 1 es un isomor…smo. 14. Sea 1 ¸ 1(R 2 . R) de…nido por 1(r. ¸) = r ÷¸ a) Hallar una base para ker(1) y una para Im(1) b) ¿Cuáles son las preimágenes de 1. ÷1. 0 ? 15. Sean ,. q ¸ 1(R n . R) y 1 : R n ÷÷R 2 de…nida por 1(A) = (,(A). q(A)) A = (r 1 . r 2 . .... r n ) ¸ R n a) Demostrar que 1 ¸ 1(R n . R 2 ) b) Dadas las funciones ,(r 1 . .... r n ) = r 1 y q(r 1 . .... r n ) = r n . Determine una base para ker(1) y para Im(1). además calcule `n|(1) y 1q(1). c) Dadas las funciones ,(r 1 . r 2 . r 3 ) = ÷r 1 + 5r 2 + 2r 3 y q(r 1 . r 2 . r 3 ) = 2r 1 ÷ 3r 2 +6r 3 . Determine una base para ker(1) y para Im(1). además calcule `n|(1) y 1q(1). 16. Sea 1(A) = _ _ 3 ÷1 1 2 0 1 ÷2 1 ÷3 0 1 ÷3 _ _ _ ¸ ¸ _ r ¸ . t _ ¸ ¸ _ una transformación lineal. a) Hallar las preimágenes de _ _ ÷1 2 ÷1 _ _ b) De una base para ker(1) y otra para Im(1). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 244 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS c) ¿ker(1) · Im(1)?. En caso a…rmativo, muestre un isomor…smo. 17. Dada la transformación lineal de R 3 en R 4 de…nida por 1(1. 0. 0) = 2c 1 + 3c 2 ÷c 4 1(0. 1. 0) = ÷c 1 ÷2c 2 ÷2c 3 1(0. 0. 1) = c 2 + 4c 3 +c 4 donde C 4 = ¦c 1 . c 2 . c 3 . c 4 ¦ es la base canónica de R 4 : a) Hallar 1(r. ¸. .). b) Encontrar una base para ker(1) y otra para Im(1). c) ¿Los vectores (1. 1. ÷2. ÷1) . (1. 0. ÷1. 0) . (÷1. ÷1. 2. 1) pertenecen a la imagen de 1?. En caso a…rmativo, indique las coordenadas de estos vectores en la base dada en (b). d) Las mismas preguntas anteriores para la transformación lineal de R 3 en R 4 de…nida por 1(1. 1. 1) = c 1 ÷c 2 +c 3 1(1. 1. 0) = c 1 ÷c 2 +c 4 1(1. 0. 0) = c 2 ÷c 3 +c 4 18. Sea 1 : R 3 [r] ÷÷R 2 [r] tal que j(r) ÷÷ 1(j(r)) = j 0 (r). (donde j 0 (r) es la derivada de j(r)). a) Demostrar que 1 es transformación lineal. b) ¿Es 1 un isomor…smo? 19. Considere las siguientes funciones, y resuelva (i), (ii), (iii) para cada una de ellas: a) Sean l = _ (r. ¸. .) ¸ R 3 , r +¸ +. = 0 _ \ = _ (r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r = ¸. . = n _ . Se de…ne 1 : l ÷÷ \ por 1(÷1. 1. 0) = (1. 1. 0. 0) 1(÷1. 0. 1) = (0. 0. 1. 1) y además 1(c(÷1. 1. 0) +/(÷1. 0. 1)) = c(1. 1. 0. 0) +/(0. 0. 1. 1). con · = (3. 3. 1 2 . 1 2 ). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.3. TRANSFORMACIONES LINEALES 245 b) Sean l = _ (r 1 . r 2 . r 3 . r 4 ) ¸ R 4 , 3r 1 = 2r 2 = r 3 _ \ = _ (r 1 . r 2 . r 3 ) ¸ R 3 , r 1 = r 2 ÷r 3 _ . Se de…ne 1 : l ÷÷ \ por 1(2. 3. 6. 0) = (1. 1. 0) 1(c(2. 3. 6. 0)) = (c. c. 0) con · = (4. 6. 2). c) Sean l = _ c +/r +cr 2 +dr 3 , 2c +/ +c = 0 3c ÷2/ +c÷ = 0 _ \ = ¸ 1 ÷r + 2r 2 ÷3r 3 ; ÷2 + 3r ÷r 2 +r 3 ; 1 + 5r 2 ÷8r 3 _ . Se de…ne 1 : l ÷÷ \ por 1( 1 2 +r ÷ 1 2 r 3 ) = ÷2 + 3r ÷r 2 +r 3 1( 1 2 +r 2 + 5 2 r 3 ) = 1 + 5r 2 ÷8r 3 y además 1 _ c _ 1 2 +r ÷ 1 2 r 3 _ +/ _ 1 2 +r 2 + 5 2 r 3 __ = c _ ÷2 + 3r ÷r 2 +r 3 _ +/ _ 1 + 5r 2 ÷8r 3 _ con · = r + 3r 2 ÷5r 3 . d) Sean l = _ (r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r ÷¸ + 2. + 3n = 0 _ . \ = ¸(1. 1. 1. 1). (÷2. 1. 0. 1). (3. 1. 1. 0)¸ . Se de…ne 1 : l ÷÷ \ por 1(÷3. 1. 2. 0) = (1. 1. 1. 1) 1(7. 0. ÷5. 1) = (÷2. 1. 0. 1) 1(1. 2. ÷1. 1) = (0. 3. 2. 3) y además 1(c(÷3. 1. 2. 0)+,(7. 0. ÷5. 1)+¸(1. 2. ÷1. 1)) = c(1. 1. 1. 1)+,(÷2. 1. 0. 1)+¸(0. 3. 2. 3) con · = (÷1. 2. 1. 2). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 246 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS e) Sean l = _ (r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r +¸ +. +n = 1 n = 2 _ . \ = ¸ r 3 . r 2 . r. 1 _ . Se de…ne 1 : l ÷÷ \ por 1(3. 0. ÷4. 2) = r 1(÷1. 1. ÷1. 2) = r 2 y además 1(c(3. 0. ÷4. 2) +,(÷1. 1. ÷1. 2)) = cr +,r 2 con · = 1 +r 2 . f ) Sean l = ¸ r 2 . r. 1 _ . \ = _ (r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r = . _ . Se de…ne 1 : l ÷÷ \ por 1(r 2 +r + 1) = (0. 2. 0. ÷1) 1(r ÷1) = (1. ÷1. 1. 3) 1(r 2 ÷1) = (1. 1. ÷1. 2) y además 1 _ c _ r 2 +r + 1 _ +/ (r ÷1) +c _ r 2 ÷1 __ = c(0. 2. 0. ÷1)+/(1. ÷1. 1. 3)+c(1. 1. ÷1. 2) con · = (3. 1. 3. 0). Donde, 1) Determine si es transformación lineal. 2) Encuentre ker(1) e Im(1). si es posible. 3) Determine el conjunto de las preimágenes del vector · que se indica en cada caso. 20. Sea 1 ¸ 1(R 3 . R 2 ) una transformación lineal donde 1 = ¦(0. 0. 1) . (0. 2. 1) . (3. 2. 1)¦ base de R 3 , C = ¦(1. ÷3) . (2. ÷5)¦ base de R 2 , y se tiene [1] C B = _ ÷1 3 2 4 ÷12 ÷8 _ a) Hallar ker(1). sin calcular 1(r 1 . r 2 . r 3 ) en coordenadas canónicas. b) Determinar 1(r 1 . r 2 . r 3 ) en coordenadas canónicas. c) ¿Es válida la siguiente igualdad? [1(r 1 . r 2 . r 3 )] C = [1] C B _ _ r 1 r 2 r 3 _ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.3. TRANSFORMACIONES LINEALES 247 d) Hallar `n|(1) y 1q(1) sin hallar Im(1). e) Hallar una base para la Im(1). 21. Sea , : R 2 ÷÷R 3 una transformación lineal tal que ,(1. ÷1) = (3. 7. ÷1). ,(2. ÷5) = (÷1. 0. 5) a) Hallar bases 1 y C de R 2 y R 3 respectivamente, tal que [,] C B = _ _ 1 0 0 1 0 0 _ _ . b) ¿Son únicas estas bases? c) Hallar una base de ker(,) y una de Im(,). d) Calcular `n|(,). 1q(,). ,(1. 2). ,(0. 1). e) Explicita los conjuntos siguientes, ¦A ¸ R 2 , ,(A) = (2. 4. 7)¦ y ¦A ¸ R 2 , ,(A) = (2. 6. 4)¦ 22. Sea 1 la transformación lineal de R 3 a R 3 de…nida por la matriz [1] B B = _ _ 1 ÷1 0 0 0 0 0 0 1 _ _ donde 1 = ¦(1. ÷1. 0). (÷1. 1. ÷1). (1. 0. 0)¦ a) Probar que 1 2 = 1. b) Hallar una base ¦n 1 . n 2 . n 3 ¦ respecto de la cual la matriz de 1 sea _ _ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 _ _ c) Hallar una base del subespacio imagen de 1 y otra del ker(1). 23. Determine una transformación lineal perteneciente a 1(R 3 . R 3 ) que transforma los vectores (1. 0. 0). (0. 1. 0). (0. 0. 1) en los vectores ( 1 2 . 1 2 . 0). (÷ 1 2 . 1 2 . 0). (0. 0. 1) respecti- vamente. Encuentre la inversa de esta transformación lineal. 24. Sea 1 ¸ 1(R 2 . R 2 ) de…nida por 1(r. ¸) = (÷¸. r) a) Determinar [1] B B donde 1 = ¦(1. 2). (1. ÷1)¦. b) Demostrar que si 1 es cualquier base de R 2 y [1] D D = ¹ entonces c 12 c 21 ,= 0. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 248 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 25. Sea 1 : ` 31 (R) ÷÷ ` 31 (R) de…nida por 1(A) = _ _ 2 ÷1 ÷3 ÷1 3 5 1 2 2 _ _ A a) ¿1 es un isomor…smo? b) Hallar bases 1. C de R 3 tal que [1] C B = _ 1 r 0 0 0 _ . ¿Puede ser 1 = C? c) Hallar ker(1). Im(1). `n|(1) y 1q(1). 26. Sea 1 : R 3 ÷÷R tal que 1(r. ¸. .) = 2r ÷3¸ +. a) Demostrar que 1 es una transformación lineal. b) Encontrar [1] B 0 B donde 1 = ¦(1. 0. 0). (1. 1. 0). (1. 1. 1)¦ y 1 0 = ¦2¦ . c) Encontrar una base para ker(1) y una para Im(1). d) Determine `n|(1). 1q(1). 27. Sean 1 = ¦(1. 1. 0). (2. 0. 1). (1. 1. 3)¦ base de R 3 ; 1 0 = ¦(2. 1). (1. 1)¦ base de R 2 y 1 ¸ 1(R 3 . R 2 ) tal que [1] B 0 B = _ 1 1 0 0 1 0 _ a) Determine 1(1. ÷1. 2). b) Determine ker(1). Im(1). `n|(1) y 1q(1). 28. Considere \ = ¦(r. ¸. .. n) ¸ R 4 , r +¸ +. +n = 0¦ a) Demuestre que \ es isomorfo a R 3 . b) Encuentre la matriz asociada al isomor…smo de…nido en (a). 29. Dada la función 1 : R 3 ÷÷ R 3 (r 1 . r 2 . r 3 ) ÷÷ (r 1 +r 2 . r 1 +r 3 . r 2 ) Encuentre la matriz asociada a la transformación lineal inversa de 1, respecto a las siguientes bases a) Bases canónicas. b) ( base canónica y 1 0 = ¦(1. 1. 0). (1. 0. 1). (0. 0. 1)¦ . c) 1 = ¦(1. 1. 0). (1. 0. 1). (0. 1. 1)¦ y 1 0 = ¦(1. 0. 0). (1. 1. 0). (1. 1. 1)¦ . 30. Sean 1 1 : R 2 ÷÷R 3 tal que 1 1 (r 1 . r 2 ) = (r 1 +r 2 . r 1 ÷r 2 . 2r 1 ). 1 2 : R 3 ÷÷R 2 tal que 1 2 (r. ¸. .) = (r +¸ +.. r ÷¸). 1 3 : R 2 ÷÷R 2 tal que 1 3 (r. ¸) = (÷r. ¸). Determine: jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.3. TRANSFORMACIONES LINEALES 249 a) 1 2 · 1 1 b) 1 3 · 1 2 · 1 1 c) 1 2 · 1 1 +1 3 d) (1 2 · 1 1 ÷31 3 ) 1 . si existe. 31. Hallar la imagen, rango, kernel y nulidad para la transformación lineal nula y la trans- formación lineal identidad. 32. Sea 1 : R 3 ÷÷R 3 tal que 1(r. ¸. .) = (r +¸. 0. 0). Demostrar que `n|(1) +1q(1) = dim(R 3 ). 33. Sea 1 : R 4 ÷÷R 3 una transformación lineal de…nida por 1(r. ¸. .. n) = (r + 2¸ ÷. + 4n. 2r + 4¸ + 3. + 5n. ÷r ÷2¸ + 6. ÷7n) a) ¿Qué condiciones deben cumplir :. :. t ¸ R para que el vector (:. :. t) ¸ Im(1)? ¿Cuál es el rango de 1? b) ¿Qué condiciones deben cumplir c. /. c. d ¸ R para que el vector (c. /. c. d) ¸ ker(1)? ¿Cuál es la nulidad de 1? 34. Sean ,. q ¸ 1(R n . R) y 1 : R n ÷÷ R 2 tal que 1(A) = (,(A). q(A)) donde A = (r 1 . r 2 . .... r n ) ¸ R n . a) Determine [1] C 2 Cn donde C n y C 2 son las bases canónicas de R n y R 2 respectiva- mente. b) Si ,(r. ¸. .) = ÷r+5¸ +2. y q(r. ¸. .) = 2r÷3¸ +3.. Dar explícitamente [1] C 2 C 3 . 35. Encontrar el valor ` ¸ R tal que la transformación lineal 1 : R 3 ÷÷ R 3 de…nida por 1(r. ¸. .) = (`r + 2¸ +.. `r +¸. ¸ +.) tenga como kernel al conjunto ¦(0. 0. 0)¦ . 36. Si 1 : R 2 ÷÷ R 3 ; 1 : R 3 ÷÷ R 2 (r. ¸) ÷÷ (2r +¸. r +¸. ¸) (r. ¸. .) ÷÷ (2r +¸. ¸ +.) Determine ker(1 · 1). 37. Sea \ el espacio vectorial de todas las matrices de orden 2. con coe…cientes reales. Sean 1 = _ c / c d _ …ja y 1(¹) = ¹1 ÷1¹. a) Demostrar que 1 es una transformación lineal de \ en \. b) Hallar una base de Im(1) y otra de ker(1). 38. Dar un ejemplo de una transformación lineal de R 3 en R 3 tal que ker(1) = ¸(4. ÷7. 5)¸ e Im(1) = ¸(2. ÷1. 1). (÷1. 3. 2)¸. Si no existe, justi…que. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 250 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 39. Sea 1 : R 3 [r] ÷÷ R 2 [r] tal que 1(j(r)) = j 0 (r). (la función derivada), 1 0 = ¦1. r. r 2 . r 3 ¦ y 1 00 = ¦1. r. r 2 ¦ bases de R 3 [r] y R 2 [r] respectivamente. Determine [1] B 00 B 0 . 40. Describa explícitamente una transformación lineal de R 3 en R 3 que tenga como imagen el subespacio generado por el conjunto ¦(1. 0. ÷1). (1. 2. 2)¦ . 41. Sea 1 : R 3 ÷÷R 3 una transformación lineal tal que 1(\) = \ para todo subespacio vectorial \ de R 3 con dim(\) = 1. Demostrar que 1(r. ¸. .) = (cr. c¸. c.) para algún c ¸ R÷¦0¦ . 42. De…na tres transformaciones lineales entre los espacios vectoriales soluciones de los siguientes sistemas homogéneos: r +¸ ÷. = 0 . = 2r ÷¸ y r +¸ = 0 . Determine el kernel y la imagen de cada una de ellas. 43. Sea \ un espacio vectorial real de dimensión 2 y sea 1 una base ordenada de \ . Si 1 ¸ 1(\. \ ) y [1] B = _ c / c d _ . Demuestre que 1 2 ÷(c +d)1 + (cd ÷/c)1 V = 0. 44. De…na una transformación lineal 1 que sea inyectiva desde \ = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 ,r = ÷¸¦ a R 2 . Encontrar ker(1) e Im(1). 45. Responda justi…cando en cada caso: a) ¿Existen funciones sobreyectivas de R 2 a R 3 ? b) ¿Existen transformaciones lineales sobreyectivas de R 2 a R 3 ? c) ¿Existen transformaciones lineales sobreyectivas de R 3 a R 2 ? d) ¿Existen funciones inyectivas de R 3 a R 2 ? e) ¿Existen funciones inyectivas de R 2 a R 3 ? f ) ¿Existen transformaciones lineales inyectivas de R 3 a R 2 ? g) ¿Existen transformaciones lineales inyectivas de R 2 a R 3 ?. 46. Sea 1 una transformación lineal sobre R 3 de…nida por 1(r. ¸. .) = (3r. r÷¸. 2r+¸+.). ¿Es 1 invertible?. De serlo, hallar una expresión para 1 1 . 47. Sea G : R 2 ÷÷R 2 de…nida por G(r. ¸) = (2r +¸. ¸ ÷r). Encontrar los valores c ¸ R tal que G÷c1 es no invertible. 48. Sean \. \ espacios vectoriales reales y 1 : \ ÷÷ \ un isomor…smo. Probar que 1 1 : \ ÷÷ \ es también un isomor…smo. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.3. TRANSFORMACIONES LINEALES 251 49. Sea \ 1 = ¦A ¸ R 5 , 2r 1 ÷r 2 + 7r 3 = 0¦ . Hallar dim R (\ 1 ). Sea \ 2 = ¦A ¸ C 5 , 2r 1 ÷r 2 + 7r 3 = 0¦. Hallar dim K (\ 2 ). a) ¿\ 1 es isomorfo a \ 2 ? b) Sea \ 3 = ¦A ¸ R 3 , 2r 1 ÷r 2 + 7r 3 = 0¦ . ¿Es \ 3 isomorfo a \ 1 . 50. Dada la transformación lineal 1 : R 2 ÷÷ ` 2 (R) (r. ¸) ÷÷ _ r + 7¸ 5¸ ÷10¸ r ÷7¸ _ a) Demostrar que 1 es inyectiva. b) Hallar una base de la imagen de 1. 51. Dada una transformación lineal 1 sobre R 3 de…nida por 1(r. ¸. .) = (3r. r ÷¸. 2r +¸ +.). Demostrar que (1 2 ÷1d) · (1 ÷31d) = 0 52. Encuentre transformaciones lineales de R 3 con las siguientes propiedades: a) 1 2 = 1; 1 ,= 1 b) 1 ,= 0; 1 2 ,= 0; 1 3 = 0 53. Pruebe que si 1 es una transformación lineal de rango 1 de \ en \. entonces 1 2 = c1 para algún escalar c. 54. Sea 1 : R 3 ÷÷R 3 una transformación lineal tal que 1(c 1 ) = c 2 ; 1(c 2 ) = c 3 ; 1(c 3 ) = 0 donde ¦c 1 . c 2 . c 3 ¦ es la base canónica de R 3 . Muestre que 1 y 1 2 no son la función nula, pero 1 3 = 0. 55. Generalización del ejercicio anterior. Sean \ un espacio vectorial de dimensión : y 1 = ¦· 1 . .... · n ¦ una base ordenada de \ . Por el teorema Fundamental del Algebra Lineal existe una única transformación lineal sobre \ tal que 1(· j ) = _ · j+1 si , = 1. .... : ÷1 0 si , = : a) ¿Cuál es la matriz de 1 en la base ordenada 1? b) Demostrar que 1 n = 0 pero que 1 n1 ,= 0. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 252 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 56. Sea 1 : R 3 ÷÷R 3 una transformación lineal tal que (1. 0. 1) (0. 1. 0) (0. 1. 1) ÷÷ ÷÷ ÷÷ (1. 1. 1) (1. 1. 0) (1. 0. 0) a) Demuestre que 1 es biyectiva. b) Encuentre 1 1 (r. ¸. .) mediante tres métodos distintos. 57. Dada la transformación lineal 1 : R 3 ÷÷R 3 de modo que ker(1) = ¸(1. 0. 1)¸ ; 1(0. 1. 0) = (1. 1. 1); 1(0. 1. 1) = (1. 1. 0). a) Determine 1(r. ¸. .) b) Determine el conjunto de las preimágenes del vector (0. 0. 1) cuyas componentes sumen 0. 58. Dada 1 : R 3 ÷÷R 3 tal que [1] B 2 B 1 = _ _ 1 2 0 1 1 1 3 ÷1 1 _ _ , donde 1 1 = ¦(1. 1. 2). (0. 1. 1). (÷1. 0. 0)¦ . 1 2 = ¦(1. 1. 1). (0. 1. 1). (0. 0. 1)¦ a) Encuentre 1(1. 3. 1) sin calular 1(r. ¸. .) b) Determine 1 1 (r. ¸. .), si existe. c) Encuentre [1] B 4 B 3 sin calcular 1(r. ¸. .), donde 1 3 = ¦(0. 1. 2). (1. 1. 1). (0. 1. 0)¦ . 1 4 = ¦(1. 1. 0). (1. ÷1. 1). (1. 0. 0)¦ 59. Encuentre los valores propios de las matrices: _ 3 2 ÷1 0 _ . _ ÷2 ÷1 5 2 _ . _ _ 2 1 0 3 2 0 0 0 4 _ _ . 60. Dada la matriz ¹ = _ _ 3 1 ÷1 2 2 ÷1 2 2 0 _ _ . a) Encuentre el polinomio característico de ¹. b) Determine los valores propios de ¹. 61. Dada la matriz ¹ = _ _ 5 ÷6 ÷6 ÷1 4 2 3 ÷6 ÷4 _ _ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.3. TRANSFORMACIONES LINEALES 253 a) Halle el polinomio característico de ¹ usando operaciones …las y columnas. b) Determine los valores propios de ¹. 62. Dada la matriz ¹ = _ _ 3 ÷2 0 ÷2 3 0 0 0 5 _ _ . a) Determine los valores propios de ¹. b) Halle los espacios propios asociados a cada valor propio. c) Exhiba una base para cada uno de los espacios propios o espacios característicos. 63. Pruebe que una matriz y su traspuesta tienen el mismo polinomio característico. 64. Dada la matriz ¹ = _ _ 3 ÷2 0 ÷2 3 0 0 0 5 _ _ . a) ¿Es ¹ diagonalizable? b) Determine la matriz diagonal 1 similar a ¹. 65. Dada la matriz ¹ = _ ÷3 2 ÷2 1 _ . a) ¿Es ¹ diagonalizable? b) Si lo es, determine la matriz diagonal 1 similar a ¹. Si no explique por qué. 66. Dada la matriz ¹ = _ _ 2 1 0 3 2 0 0 0 4 _ _ . a) Determine los valores propios de ¹. b) Usando (a). decida si ¹ es diagonalizable. 67. Dada la matriz ¹ = _ _ 3 ÷2 0 ÷2 3 0 0 0 5 _ _ . Encuentre una matriz 1 que diagonalice a ¹. 68. Dada la matriz ¹ = _ _ 5 ÷6 ÷6 ÷1 4 2 3 ÷6 ÷4 _ _ . Encuentre una matriz 1 que diagonalice a ¹. 69. Dada la matriz ¹ = _ _ 1 0 ÷2 0 0 0 ÷2 0 4 _ _ . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 254 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS a) Encuentre los valores propios de ¹. b) ¿Es ¹ diagonalizable? c) ¿Se veri…ca en general que una matriz es diagonalizable cuando los valores propios son repetidos? d) Si ¹ es diagonalizable, encuentre una matriz 1 que diagonalice a ¹. 70. Sean ¹ ¸ ` 2 (R)y n. · vectores propios de ¹ con valores propios c. , respectivamente tal que c ,= , . Entonces ¹ es diagonalizable y 1 = ¦n. ·¦ es una base de R 2 tal que 1 1 ¹1 = _ c 0 0 , _ donde 1 = [1d] C 2 B = _ n 1 · 1 n 2 · 2 _ . Pruebe la proposición anterior. 71. Probar que: 0 es un valor propio de ¹ ¸ ` n (R) si y sólo si ¹ es singular. 72. Si ojcc(¹) = ¦` 1 . .... ` n ¦ pruebe que la matriz 1 = / m ¹ m +/ m1 ¹ m1 +... +/ 1 ¹ +/ 0 1 tiene valores propios , i = m j=0 / m ` j i . 73. Sea 1(,) = , 0 (la función derivada), como 1 es una transformación lineal de C 1 ([0. 1]). Pruebe que ,(r) = cc x son los únicos vectores propios de 1. (Ayuda: Use (c x q(r)) 0 = 0 si y sólo si 1(q) = `q) 74. De un contraejemplo a la siguiente proposición: Si r i es valor propio de 1 i (i = 1. 2), entonces r 1 +r 2 es valor propio de 1 1 +1 2 . 75. Si · es un vector propio de 1, probar que también lo es de j(1) donde j(r) es un polinomio con coe…cientes en R. 76. Sea 1 : R n [r] ÷÷ R n [r] una transformación lineal tal que 1(r k ) = /r k1 . Hallar el polinomio característico de 1, los valores propios y los espacios propios de 1. 77. Pruebe que los valores propios de una matriz ¹ de orden : regular son 1 i si ojcc(¹ 1 ) = ¦` 1 . .... ` n ¦ . 78. Pruebe que ¹ regular implica que ¹1 es similar a 1¹. 79. Pruebe que similaridad es una relación de equivalencia en el conjunto ` n (R). 80. Si es posible, diagonalice en R o en C las siguientes matrices: a) _ 3 2 ÷2 3 _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.3. TRANSFORMACIONES LINEALES 255 b) _ _ 7 4 ÷4 4 ÷8 ÷1 ÷4 ÷1 ÷8 _ _ c) _ _ 2 ÷i 0 i 2 0 0 0 3 _ _ d) _ 1 c c ÷1 _ . 81. Pruebe que a) Una matriz simétrica tiene todos sus valores propios reales. b) Una matriz antisimétrica tiene todos sus valores propios complejos con parte real nula. c) Una matriz cuadrada ¹ y ortogonal (¹ 1 = ¹ t ) tiene todos sus valores propios igual a 1. 82. Si c 1 (r) es el polinomio característico de ¹ 1 y c 2 (r) lo es de ¹ 2 . ¿Cuál es el polinomio característico de _ ¹ 1 0 0 ¹ 2 _ ? ¿idem para _ ¹ 1 ¹ 3 0 ¹ 2 _ ? 83. Para ¹ = _ _ 2 ÷1 1 ÷1 2 ÷1 1 ÷1 2 _ _ encuentre el polinomio característico j A (r). Veri…que directamente que j A (¹) = 0. Use el resultado anterior para expresar ¹ 1 . ¹ 3 . ¹ 4 y ¹ 5 como polinomios en ¹ de grado menor o igual a 2. 84. ¿Cuántos vectores propios que sean linealmente independientes tiene J?, donde J = _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2 _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ 85. Sea \ un espacio vectorial real de dimensión :. ¿Cuál es el polinomio característico de la transformación lineal identidad sobre \ ? ¿Cuál es el polinomio característico de la transformación lineal nula? 86. Dada la matriz ¹ = _ ¸ ¸ _ 0 0 0 0 c 0 0 0 0 / 0 0 0 0 c 0 _ ¸ ¸ _ ¸ ` 4 (R). ¿En qué condiciones para c. / y c ¸ R es ¹ diagonalizable? jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 256 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 5.3.1. Ejercicios complementarios A continuación presentamos una selección de problemas, incluidos en certamenes 1. Dada ¹ = _ _ 1 0 4 0 1 2 4 2 5 _ _ se tiene 1 : R 3 ÷ R 3 de…nida por 1(r) = ¹r. ¿Es 1 un isomor…smo?. Si lo es, de…nir 1 1 : R 3 ÷R 3 . Justi…que. 2. Sea 1 ¸ 1(R 3 . R 2 ) con 1 = _ _ _ _ _ 1 0 0 _ _ . _ _ 0 1 1 _ _ . _ _ 1 2 1 _ _ _ _ _ base de R 3 y C = __ 1 2 _ . _ 2 5 __ basede R 2 . Dada [1] C B = _ 1 2 ÷3 ÷1 ÷2 3 _ entonces determinar: a) ker(1). ¿Está (1. 2. ÷3) ó (2. 3. 2) en ker(1)?. Justi…que. b) 1 _ _ r 1 r 2 r 3 _ _ en base canónica. c) `n|(1). 1q(1). d) Im(1) ¿Está _ ÷1 1 _ ó _ 1 3 _ ó _ 1 0 _ en Im(1)? e) bases 1 1 . 1 2 de R 3 y R 2 respectivamente, tal que: [1] B 2 B 1 = _ 1 0 0 0 0 0 _ . 3. Encontrar una transformación lineal 1 : R 3 ÷ R 2 tal que ker(1) = ¸(1. 2. 1). (0. 1. 1)¸ y 1(1. 0. 1) = (4. 12). 4. Sea la función 1 : R 2 ÷R 2 de…nida por 1(1. 2) = (1. 4) y 1(0. 1) = (2. 8). Determinar: a) Si 1 es una transformación lineal. b) 1(r. ¸) y [1] C C siendo C la base canónica de R 2 . c) ker(1) e Im(1). ¿Es 1 sobreyectiva?. Justi…que. d) ¿(15. 60) y (÷3. 4) son vectores de Im(1)?. Justi…que. 5. Sea _ 1 : R 3 [r] ÷ R 2 [r] una función de…nida por 1(j(r)) = d dr (j(r)). Dados los conjuntos 1 1 = ¦1. r. r 2 . r 3 ¦ y 1 2 = ¦1. r. r 2 ¦ entonces: a) Demostrar que 1 es una transformación lineal. b) Demostrar que 1 1 y 1 2 son bases deR 3 [r] y R 2 [r] respectivamente. c) Determinar [1] B 2 B 1 . jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.3. TRANSFORMACIONES LINEALES 257 d) ¿Es 1 un isomor…smo? 6. Sea 1 : R 2 [r] ÷ R 3 una función de…nida por 1(cr 2 + /r + c) = (c. /. c). Sea 1 = ¦1. r. r 2 ÷1¦ a) Demuestre que 1 es una transformación lineal. b) Demuestre que 1 es una base de R 2 [r] . c) Calcule [1] C B donde C es la base canónica de R 3 . d) ¿Es 1 un isomor…smo?. Justi…que su respuesta. 7. Considere la transformación lineal 1 : R 4 ÷ R 3 de…nida por 1(r 1 . r 2 . r 3 . r 4 ) = (r 1 + 2r 2 ÷r 3 + 4r 4 . 2r 1 + 4r 2 + 3r 3 + 5r 4 . ÷r 1 ÷2r 2 + 6r 3 ÷7r 4 ) a) ¿Que condiciones deben cumplir :. :. t ¸ R tal que (:. :. t) ¸ Im(1)?, ¿Cuál es el rango de 1? b) ¿Que condiciones deben cumplir c. /. c. d ¸ R tal que (c. /. c. d) ¸ ker(1)?, ¿Cuál es la nulidad de 1? 8. Sean , ¸ 1(R 4 . R 3 ) y q ¸ 1(R 3 . R 2 ) tales que: ,(r. ¸. .. t) = (r +¸. . +t. r +. +t) y q(r. ¸. .) = (2r + 3¸. r ÷2.). a) Probar que q · , ¸ 1(R 4 . R 2 ). b) Hallar la matriz asociada a esta transformación lineal, q · ,. respecto de las bases canónicas. c) Veri…que si se cumple una de las siguientes a…rmaciones: [q · ,] = [q] [,] ó [q · ,] = [,] [q] . 9. Sea , ¸ 1(R 3 . R 3 ) de…nida por ,(r. ¸. .) = (r ÷¸ + 2.. 2r +¸. ÷r ÷2¸ + 2.) a) Determine [,] C . donde C es la base canónica de R 3 . b) Determine ker(,) e Im(,). c) Encuentre una base de ker(,) y una base de Im(,). d) Determine `n|(,) y 1q(,). 10. Sea , : R 2 [r] ÷R 1 [r] tal que ,(cr 2 +/r +c) = (c +/)r + (2c ÷/ +c) a) Pruebe que , es una transformación lineal. b) ¿Es , epiyectiva?, justi…que. c) ¿Es , inyectiva?, justi…que. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 258 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 11. Sean 1 = ¦(1. 2. 3). (0. 1. 0). (1. 1. 0)¦ y 1 0 = ¦(1. 1. 0). (0. 1. 1). (1. 0. 1)¦ bases de R 3 y 1 00 = ¦(2. 1). (0. ÷1)¦ base de R 2 . Consideremos, , : R 3 ÷R 3 de…nida por ,(1. 2. 3) = (0. 0. 7); ,(0. 1. 0) = (0. 2. 0); ,(1. 1. 0) = (1. 1. 1) y q : R 3 ÷R 2 . tal que [q] B 00 B 0 = _ 2 5 ÷3 4 1 ÷2 _ . Encuentre [q · ,] B 00 B . 12. Sean 1 = ¦(1. 3. 0). (0. 1. 0). (1. 5. 2)¦ y 1 0 = ¦(÷5. 9. 6). (0. 1. 1). (1. 5. 4)¦ bases de R 3 . Sea , ¸ 1(R 3 . R 3 ) tal que [,] B 0 B = _ _ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 _ _ . a) Demuestre que , es un isomor…smo. b) Determine [, 1 ] B B 0 . c) Encuentre , 1 (÷6. 8. 6). 13. Sean , : R 2 [r] ÷ ` 2 (R) de…nida por ,(cr 2 + /r + c) = _ c +/ / +c c ÷c 2c +/ _ . y 1 = ¦r 2 +r + 1. 2r 2 ÷3. r¦ base de R 2 [r] y 1 0 = __ 1 0 0 0 _ . _ 1 1 0 0 _ . _ 1 1 1 0 _ . _ 1 1 1 1 __ base de ` 2 (R). Encuentre [,] B 0 B . 14. Sea , ¸ 1(R 3 . R 3 ) tal que ,(A) = _ _ 19 0 16 ÷4 3 ÷4 ÷20 0 ÷17 _ _ A para A ¸ R 3 . a) Encuentre una base 1 de R 3 tal que [,] B sea diagonal. Obtenga [,] B . b) Encuentre una matriz 1, invertible tal que [,] B = 1 1 _ _ 19 0 16 ÷4 3 ÷4 ÷20 0 ÷17 _ _ 1. 15. Sea , : R 3 ÷ ` 2 (R) tal que ,(r. ¸. .) = _ r ¸ r +¸ ¸ ÷. _ . a) Encuentre ker(,). b) Halle una base de Im(,). c) Sean 1 = ¦(1. 0. 1). (2. 1. ÷1). (1. 1. 1)¦ base de R 3 y 1 0 la base canónica de ` 2 (R). Encuentre [,] B 0 B . 16. Sea 1 : R 3 ÷R 3 una transformación lineal de…nida por 1(1. 0. 0) = (0. 1. 2); 1(0. 1. 0) = (0. 0. 3); 1(0. 0. 1) = (0. 0. 0). Dada 1d la transformación identidad de R 3 . determinar: jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.3. TRANSFORMACIONES LINEALES 259 a) (1d ÷1)(r. ¸. .) b) Im(1d ÷1) c) ker(1d ÷1) d) 1q(1d ÷1) e) `n|(1d ÷1). 17. Sean 1 : R 3 [r] ÷ ` 2 (R) tal que 1(cr 3 + /r 2 + cr + d) = _ c / c d _ y 1 = ¦1. r + 1. r 2 . r 3 ÷1¦ base de R 3 [r] . a) Calcule [1] B 0 B donde 1 0 = __ 1 0 0 0 _ . _ 0 2 0 1 _ . _ 0 0 0 1 _ . _ 0 0 1 0 __ es una base de ` 2 (R). b) ¿Es 1 un isomor…smo?. Justi…que. 18. Sea 1 : R 3 ÷R 3 una función lineal tal que : 1(1. 0. 1) = (2. ÷1. 0); 1(0. 1. 2) = (0. 1. 1); 1(1. 1. 1) = (2. 0. 1). a) Determinar 1(r. ¸. .). donde (r. ¸. .) ¸ R 3 . b) Determinar una base de Im(1) y 1q (1) . c) Determinar una base de ker(1) y `n|(1). d) ¿Están (2. 2. 3). (1. 0. 1). (4. 3. 7) en Im(1)?. Justi…que. 19. Sean , : R 2 ÷ R 2 de…nida por ,(r. ¸) = (r + 2¸. 3r ÷ 2¸) y q : R 2 ÷ R 2 tal que [q] B C 2 = _ 2 1 3 0 _ con C 2 base canónica de R 2 y 1 = ¦(2. 1). (1. 2)¦ . a) ¿Es , una transformación lineal de R 2 ? b) ¿Es , · q un isomor…smo de R 2 ? 20. Sea 1 ¸ 1(R 2 . R 4 ) tal que 1 = ¦(2. ÷1). (÷1. 0)¦ y 1 0 = ¦(1. 0. 0. 1). (1. 1. 0. 0). (0. 1. 0. 1). (0. 0. 1. 1)¦ bases de R 2 y R 4 respectivamente. Además sea [1] B 0 B = _ ¸ ¸ _ 2 0 1 ÷1 0 3 1 2 _ ¸ ¸ _ . a) Hallar [1] C 4 C 2 donde C 2 . C 4 son las bases canónicas de R 2 y R 4 respectivamente. b) Determinar una base de ker(1) y `n|(1). c) Determinar una base de Im(1) y 1q(1). jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 260 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS 21. Considere la matriz ¹ = (c ij ) ¸ ` n (R) tal que c ij = _ _ _ 0 si i < , c ii si i = , c ij si i , . Demuestre que ojcc(¹) ¸ R. 22. Determine si cada una de las siguientes a…rmaciones es verdadera o falsa. Justi…que : a) 1 ¸ 1(R n . R m ) y 1. 1 0 bases de R n y R m respectivamente tal que : :. entonces _ [1] B 0 B _ 1 ¸ ` nm (R). b) 1 ¸ 1(R 4 . R 3 ) entonces existe · ,= 0 en R 4 tal que 1(·) = 0. c) , ¸ 1(\. \ ). , es inyectiva y 1 es una base de \ entonces ,(1) es una base de \. d) Sea ¹ ¸ ` 3 (R). t = 5 valor propio de ¹ y A ¸ ` 13 (R) es un vector propio correspondiente, entonces ¹A = 5A. 23. Dadas las siguientes a…rmaciones, determine cuáles de ellas son verdaderas y cuáles falsas. Justi…que en cada caso: a) Sea 1 : R 2 ÷ R 3 . 1 = ¦(1. 2). (2. 1)¦ base de R 2 y C la base canónica de R 3 y [1] C B = _ _ 1 0 2 1 3 1 _ _ entonces 1(r. ¸) = _ 2¸ +r 3 . ÷¸ 3 . 5¸ +r 3 _ . b) l = ¦(r. ¸. .) ¸ R 3 , r +¸ ÷. = 0¦ subespacio de R 3 entonces ¦(1. 0. ÷1)¦ es una base de l. c) Si ¦· 1 . · 2 . · 3 ¦ es una base de \ y q ¸ 1(\. \) es inyectiva entonces ¦q (· 1 ) . q (· 2 ) . q (· 3 )¦ es una base para Im(q). d) Sea ¹ = ¦(r 1 . r 2 . r 3 . r 4 ) ¸ R 4 , r 1 = r 2 ; r 3 = r 4 ¦ entonces dim(¹) = 2 y ¹ = ¸(1. 1. 0. 0). (0. 0. 1. 1)¸ . 24. Sea ¦(1. 1. 1). (0. 1. 0). (0. 0. ÷1)¦ una base de R 3 . Sea , : R 3 ÷R 3 una transformación lineal tal que ,(1. 1. 1) = (1. ÷3. 0); ,(0. 1. 0) = (÷5. 0. 1); ,(0. 0. ÷1) = (÷4. ÷3. 1). Determinar: a) ,(r. ¸. .) para todo (r. ¸. .) ¸ R 3 . b) [,] C donde C es la base canónica de R 3 . c) Una base para ker(,) ¿Es , inyectiva? d) 1q(,) ¿Es , epiyectiva? 25. Sea 1 : R 4 ÷R 2 de…nida por 1(r. ¸. .. n) = (r ÷¸ +.. ¸ +. ÷n) a) Probar que 1 es una transformación lineal. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 5.3. TRANSFORMACIONES LINEALES 261 b) Hallar una base para ker(1) y una base para Im(1). c) Calcule las dimensiones de ker(1) e Im(1). ¿Es 1 inyectiva?, ¿Es 1 sobreyectiva?. 26. Sea 1 : R 3 ÷R 2 tal que 1(1. 0. ÷1) = (1. ÷1) 1(0. 1. 1) = (1. 1) 1(1. 2. 0) = (1. 0) a) Demuestre que 1 es una transformación lineal. b) Calcule 1(r. ¸. .). c) Determine un conjunto generador de ker(1) y calcule su dimensión. d) ¿Es 1 sobreyectiva?. Justi…que. 27. Dadas las siguientes a…rmaciones, determine cuáles de ellas son verdaderas y cuáles falsas. Justi…que en cada caso: a) Sea , : R n ÷ R n transformación lineal, · 1 . · 2 . · 3 vectores linealmente indepen- dientes, entonces ,(· 1 ). , (· 2 ) . , (· 3 ) son también vectores linealmente inde- pendientes. b) Sean ¹ ¸ ` 43 (R) . / = (/ 1 . / 2 . / 3 . / 4 ) ¸ R 4 vector dado que es combinación lineal de las columnas de ¹. 1q(¹) = 2 entonces el sistema ¹r = / tiene solución única. c) Sean 1 : \ ÷ \ una transformación lineal y dim(\ ) = :. dim(\) = : tal que 1q(1) = : entonces 1 es inyectiva. d) Sean \ = ¸(0. 1. 1). (1. ÷1. 0)¸ . \ = ¸(1. 0. 1). (0. 0. 1)¸ y 1 : \ ÷ \ tal que [1] B 0 B = _ 2 ÷1 1 ÷3 _ . Luego, si · = (2. ÷1. 1) en \ entonces [1 (·)] B 0 = _ 0 5 _ . 28. Sea ¹ = _ _ ÷1 ÷1 2 0 1 0 ÷1 0 2 _ _ . Encontrar una base (si es posible) que diagonalice ¹. 29. Diagonalizar ¹ = _ _ ÷3 ÷6 0 ÷2 2 ÷1 2 1 ÷2 _ _ ¸ ` 3 (R) . (es decir, hallar 1 ¸ ` 3 (R) regular tal que 1 1 ¹1 es matriz diagonal). 30. Si es posible diagonalice la matriz ¹ = _ _ ÷4 2 ÷6 ÷6 4 ÷6 3 ÷1 5 _ _ . 31. Dada la matriz ¹ = _ _ 1 0 ÷2 0 0 0 ÷2 0 4 _ _ jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch 262 CAPÍTULO 5. EJERCICIOS a) Determine el polinomio característico de ¹. b) Determine el espectro de ¹, (ojcc(¹)). c) Encuentre los espacios generados por los vectores propios. d) ¿Es ¹ diagonalizable? 32. Dada la matriz ¹ = _ _ 2 1 1 2 3 2 1 1 2 _ _ , determine: a) El polinomio característico de ¹. b) ojcc(¹). c) Los espacios propios de ¹. d) ¿Es ¹ diagonalizable?. 33. Dada la matriz ¹ = _ _ 0 ÷1 0 1 0 0 0 1 1 _ _ , determine: a) El polinomio característico de ¹. b) ojcc(¹). c) Los espacios propios de ¹. d) ¿Es ¹ diagonalizable?. 34. Dada la matriz 1 = _ _ 2 ÷1 0 9 4 6 ÷8 0 ÷3 _ _ , se sabe que ojcc(1) = ¦÷1. 1. 3¦ . a) Determine los espacios asociados a cada valor propio y las dimensiones de ellos. b) ¿Es 1 diagonalizable?. jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- unsch Problemas Los problemas que aparecen en esta secci´on son parte de colecciones de problemas elaborados por nu- merosas personas. No se han incluido al final de cada secci´on debido a que muchos de ellos contienen conceptos que aparecen en m´as de un tema. Sin embargo se ha procurado mantener el orden correspon- diente al resto de estas notas. 1. Sean X y X ′ dos conjuntos, A, B ⊂ X, A ′ , B ′ ⊂ X ′ , y f una aplicaci´on, f: X → X ′ . Estudiar si son ciertas o no las siguientes afirmaciones: (a) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) (b) f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) (c) f −1 (A ′ ∪ B ′ ) = f −1 (A ′ ) ∪ f −1 (B ′ ) (d) f −1 (A ′ ∩ B ′ ) ⊂ f −1 (A ′ ) ∩ f −1 (B ′ ) (e) A ⊂ B ⇒ f(A) ⊂ f(B) (f) A ′ ⊂ B ′ ⇒ f −1 (A ′ ) ⊂ f −1 (B ′ ) En caso de ser ciertas, demostrarlo. Si son falsas, construir un contraejemplo. 2. Sea f: X → Y una aplicaci´on. Demostrar que f es inyectiva si y solo si: f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B), para cualquier par A, B ⊂ X. 3. Sean X, Y y Z tres conjuntos, f, g, aplicaciones: f: X → Y , g: Y → Z. Estudiar si es cierto o no que las afirmaciones de las columnas segunda y tercera implican la de la cuarta en cada fila. (i=inyectiva, s=sobreyectiva, b=biyectiva). f g g ◦ f 1 i i i 2 i s i 3 b i i 4 s s s 5 i s s f g g ◦ f 6 s b s 7 b b b 8 b i b 9 i b s 10 i s b Demostrarlas en caso de ser ciertas y encontrar contraejemplos cuando no lo sean. 4. Sean X y X ′ dos conjuntos, f: X → X ′ . Demostrar que si f es biyectiva, existe la aplicaci´on inversa, f −1 : X ′ → X, y que en este caso, la imagen inversa de un conjunto A ′ ⊂ X ′ , que llamaremos f −1 (A ′ ), coincide con la imagen directa de A ′ mediante la aplicaci´on f −1 . 5. Sea f: X → X ′ una aplicaci´on sobreyectiva. Demostrar que existe una aplicaci´on σ: X ′ → X tal que: f ◦σ = 1 ′ X donde 1 ′ X es la aplicaci´on identidad en X ′ . Sea h: X → X ′ una aplicaci´on inyectiva. Demostrar que ˆ h: X → h(X) definida por ˆ h(x) = h(x) es biyectiva y existe τ = ˆ h −1 : h(X) →X tal que: τ ◦ h = 1 X donde 1 X es la aplicaci´on identidad en X. ¿Existe una ´ unica aplicaci´on α: X ′ → X que verifique α ◦ h = 1 X ? 175 ALGEBRA LINEAL jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 176 PROBLEMAS 6. Sean X, Y y Z tres conjuntos, f, g, aplicaciones: f: X →Y , g: Y → Z. Sea h = g ◦ f. Estudiar los siguientes enunciados: (a) Si h es inyectiva entonces f es inyectiva. (b) Si h es inyectiva y f sobreyectiva, entonces g es inyectiva. (c) Si h es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva. (d) Si h es sobreyectiva y g es inyectiva, entonces f es sobreyectiva. 7. Sean A y B dos subconjuntos de E. Sea T(E) la familia de subconjuntos de E. Se considera la aplicaci´on: f: T(E) → T(A) T(B) definida por: f(X) = (X ∩A, B∩X), X ∈ T(E). Determinar una condici´on necesaria y suficiente para que a) f sea inyectiva. b) f sea sobreyectiva. 8. Sea E el plano (IRIR), y O un punto de E. Se define en E la relaci´on: P, Q ∈ E, P¹Q ⇐⇒ O, P, Q est´an alineados ¿Es una relaci´on de equivalencia en E? ¿Es una relaci´on de equivalencia en E − ¦O¦? Hallar las clases de equivalencia en caso afirmativo. 9. Sea el conjunto IR IR, y la relaci´on: (x, y), (x ′ , y ′ ) ∈ IRIR, (x, y)¹(x ′ , y ′ ) ⇐⇒ xy = x ′ y ′ ¿Es una relaci´on de equivalencia en IR IR? Hallar las clases de equivalencia en caso afirmativo. Sea la relaci´on ¹ ′ definida por: (x, y), (x ′ , y ′ ) ∈ IRIR, (x, y)¹(x ′ , y ′ ) ⇐⇒xy = x ′ y ′ , xx ′ ≥ 0 ¿Es una relaci´on de equivalencia en IR IR? 10. Sea f: X → Y una aplicaci´on y ¹ la siguiente relaci´on en X: x¹x ′ ⇐⇒ f(x) = f(x ′ ) Probar que es una relaci´on de equivalencia. Sea X/¹ el conjunto de clases definido por ¹ y [x] una clase de X. Se define: ˆ f: X/¹ → Y por ˆ f([x]) = f(x). Demostrar que ˆ f es una aplicaci´on y es inyectiva. 11. Sea A = ¦(a, x) [ a, x ∈ Q, a ,= 0¦. Se define en A una operaci´on: (a, x) (b, y) = (ab, bx + y). Demostrar que (A, ) es un grupo no conmutativo. Demostrar que B = ¦(1, x) [ x ∈ Q¦ es un subgrupo de A. 12. Encontrar todos los subgrupos del grupo de alternaciones A 4 . 13. Se considera el grupo c´ıclico de orden 5, G 5 con generador a. Sea f: ZZ → G 5 la aplicaci´on definida por f(n) = a n . Demostrar que es un homomorfismo de grupos y hallar el n´ ucleo (ker f) y la imagen. Calcular el grupo cociente ZZ/ ker f y probar que es isomorfo a G 5 . 14. Se consideran las funciones f a : IR → IR, definidas por: f a (x) = x + a. Probar que el conjunto T = ¦f a [ a ∈ IR¦ es un grupo abeliano, respecto de la composici´on de funciones. 15. Calcular la tabla de multiplicaci´on para las simetr´ıas del tetraedro y estudiar su relaci´on con alg´ un subgrupo de un grupo de permutaciones. 16. Probar que el conjunto de matrices: __ a −b b a _ [ a, b ∈ IR, a 2 +b 2 ,= 0 _ con la operaci´on de multiplicaci´on de matrices, es un grupo abeliano. Demostrar que es isomorfo al grupo multiplicativo de los n´ umeros complejos distintos de cero. Demostrar que (cuando se incluye la matriz nula) es tambi´en un cuerpo isomorfo al de los n´ umeros complejos. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 177 17. Demostrar que cualquier grupo de orden 4 es abeliano y construir todos los grupos de orden 4 no isomorfos. 18. Demostrar que las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales de determinante igual a 1 forman un grupo no conmutativo, con respecto al producto. Demostrar que las matrices de la forma: _ x −y y x _ , x 2 +y 2 = 1 forman un grupo abeliano subgrupo del anterior. ¿Es un subgrupo normal? 19. Sean los grupos G 1 = ¦a, b, c, d¦, G 2 = ¦x, y, z, t¦ con operaciones definidas por las siguientes relaciones: G 1 : _ a a = a, a b = b, a c = c, a d = d, b b = a, b c = d, b d = c, c c = a, c d = b, d d = a G 2 : _ x ∗ x = x, x ∗ y = y, x ∗ z = z, x ∗ t = t, y ∗ y = x, y ∗ z = t, y ∗ t = z, z ∗ z = y, z ∗ t = x, t ∗ t = y (a) Calcular d b, t ∗ y. (b) Estudiar si existe un homomorfismo de G 1 en G 2 y calcularlo en caso afirmativo. (c) Estudiar si G 1 y G 2 son isomorfos. Calcular un isomorfismo en caso afirmativo. 20. Calcular los subgrupos de los grupos ZZ 8 y ZZ 6 . ¿Se podr´ıa construir un homomorfismo f: ZZ 8 → ZZ 6 siendo f(1) = 3? ¿Y si fuese f(2) = 3? En caso afirmativo construirlos expl´ıcitamente. 21. Resolver la ecuaci´on x 2 + 2x + 1 = 0 en ZZ 4 . 22. Sea f: ZZ 16 → ZZ 16 un homomorfismo de grupos. Probar que f([2]) ,= [3]. 23. Sea q ∈ ZZ 4 fijado. Consid´erese el conjunto F q = ¦(a, b) [ a, b ∈ ZZ 4 , (a, b) ,= ([0], [0])¦ con la operaci´on asociativa, (a, b) ⋆ (c, d) = (ac +qbd, ad +bc). Hallar el elemento neutro y calcular, si existe, el inverso de ([2], [3]). 24. En el anillo de polinomios IR[x] se considera (para a ∈ IR fijado) el conjunto I a = ¦p(x) ∈ IR[x] [ p(a) = 0¦. Demostrar que I a es un ideal de IR[x] y que IR[x]/I a ≈ IR (como anillos). 25. Un elemento x de un anillo A se dice que es nilpotente si x r = 0 para alg´ un r ∈ IN. Determinar: (a) Si el conjunto de los elementos nilpotentes de ZZ 8 forman un ideal. (b) Lo mismo en el anillo de matrices reales 2 2. 26. Calcular el grupo de automorfismos de los cuerpos Q, y IF 2 = ¦a +b √ 2 [ a, b ∈Q¦. 27. Se considera el conjunto de matrices con coeficientes reales: _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ _ _ _ _ a −b −c −d b a −d c c d a −b d −c b a _ _ _ _ [ a, b, c, d ∈ IR _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ Demostrar que es un cuerpo no conmutativo. Si: I = _ _ _ _ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 _ _ _ _ , jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 178 PROBLEMAS i = _ _ _ _ 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 _ _ _ _ , j = _ _ _ _ 0 0 −1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 −1 0 0 _ _ _ _ , k = _ _ _ _ 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 _ _ _ _ Demostrar que ¦±I, ±i, ±j, ±k¦ es un grupo no conmutativo con respecto al producto de matrices y escribir la tabla del producto. 28. Demostrar que si I es un subanillo no nulo de ZZ entonces I es un ideal. Demostrar que el conjunto: A = __ a b 0 d _ [ a, b, d ∈ ZZ _ es un subanillo del anillo / 2 (ZZ) pero no es un ideal. 29. Estudiar la estructura del conjunto de funciones continuas: C(IR) = ¦f: IR → IR¦, respecto a las operaciones de suma y producto. 30. Formar las tablas de sumar y multiplicar del anillo ZZ 8 . Hallar todos los divisores de cero y el grupo de elementos invertibles. 31. Demostrar que la condici´on necesaria y suficiente para que un elemento de un anillo posea inverso es que no pertenezca a ning´ un ideal propio del anillo. 32. Demostrar que todo homomorfismo de cuerpos distinto del nulo es inyectivo. 33. Demostrar que si los puntos z 1 , . . . , z n del plano complejo est´an situados a un mismo lado de una recta que pase por cero entonces: n i=1 z i ,= 0. Demostrar que si n i=1 z −1 i = 0, los puntos z i no pueden estar a un mismo lado de una recta que pase por 0. 34. Calcular las ra´ıces de orden 8 de la unidad y comprobar que su suma es igual a 0. Generalizar el resultado para ra´ıces de orden n. 35. Usar la f´ormula de Moivre para calcular cos 5x en funci´ on de cos x y sen x y sus potencias. 36. Demostrar que si z ∈C es una ra´ız del polinomio de coeficientes reales p(x), entonces ¯ z es tambi´en ra´ız de ese polinomio. 37. Sea z 0 una ra´ız de la unidad de orden n, distinta de 1. Demostrar que z 0 es ra´ız del polinomio: p(z) = z n−1 +z n−2 + +z + 1. 38. Calcular todas las ra´ıces primitivas de la unidad de orden 6. Demostrar que si p es primo, toda ra´ız de la unidad de orden p distinta de 1 es primitiva. 39. Calcular las ra´ıces y factorizar el polinomio P(x) = x 10 −2x 5 + 1. 40. Si V es un espacio vectorial y S ⊂ V , probar que lin S es la intersecci´on de todos los subespacios de V que contienen a S. 41. Si S 1 , . . . , S n son subconjuntos arbitrarios de un espacio vectorial V , probar que lin(S 1 ∪S 2 ∪. . . ∪ S n ) = lin S 1 + lin S 2 + + lin S n . Deducir que lin(W 1 ∪W 2 ∪ ∪W n ) = W 1 +W 2 + +W n , si W i es subespacio, 1 ≤ i ≤ n. 42. Probar que si v r ∈ lin¦v 1 , . . . , v r−1 ¦ entonces lin¦v 1 , . . . , v r−1 ¦ = lin¦v 1 , . . . , v r ¦. Deducir que existe una base B de lin¦v 1 , . . . , v r ¦ tal que B ⊂ ¦v 1 , . . . , v r ¦. Demostrar que dimlin¦v 1 , . . . , v r ¦ ≤ r, y que dimlin¦v 1 , . . . , v r ¦ = r ⇐⇒ ¦v 1 , . . . , v r ¦ es linealmente independiente. 43. Para cada uno de los siguientes subconjuntos de C 3 , estudiar si son o no subespacios vectoriales: (a) ¦x ∈C 3 [ (1 −i)x 1 +x 2 −ix 3 = 0¦ (b) ¦x ∈C 3 [ x 1 +x 2 −x 3 +i = 0¦ jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 179 (c) ¦x ∈C 3 [ x 2 1 +x 2 2 −x 2 3 = 0¦ (d) ¦x ∈C 3 [ e x 1 +x 2 −x 3 −1 = 0¦ Misma pregunta si consideramos los conjuntos c) y d) como subconjuntos de IR 3 . 44. Decir cu´ales de los siguientes subconjuntos de V = M n (IK) son subespacios vectoriales: W 1 = ¦A ∈ V [ A es invertible¦ W 2 = ¦A ∈ V [ r(A) = n −1¦ W 3 = _ A ∈ V [ A t = 2A _ W 4 = _ A ∈ V [ A 2 −2A = 0 _ W 5 = ¦(a ij ) 1≤i,j≤n ∈ V [ a 11 −2a 1n +a nn = 0¦ . 45. Estudiar cu´ales de los siguientes subconjuntos de ((IR, IR) son subespacios vectoriales: (a) ¦f ∈ ((IR, IR) [ f(t) = 0, ∀t ∈ ZZ¦ (b) ¦f ∈ ((IR, IR) [ f(0) = √ 2f(1)¦ (c) ¦f ∈ ((IR, IR) [ f(0) = 1¦ (d) ¦f ∈ ((IR, IR) [ f es derivable dos veces, y f ′′ = 0¦ (e) ¦f ∈ ((IR, IR) [ ∃m, n ∈ ZZ t.q. f(t) = mt +n¦ (f) ¦f ∈ ((IR, IR) [ f 2 (0) +f 2 (1) = 0¦ 46. Si W es un subespacio vectorial propio de un espacio vectorial V , ¿cu´al es el subespacio vectorial lin(V −W) generado por V −W? (Nota: V −W = ¦x ∈ V [ x / ∈ W¦.) 47. Sean W 1 y W 2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V . Probar que W 1 ∩ W 2 ,= ¦0¦ si dimV < dimW 1 + dimW 2 . 48. Se consideran los siguientes subconjuntos de ((IR, IR): T = ¦f ∈ ((IR, IR) [ f(t) = f(−t), ∀t ∈ IR¦, 1 = ¦f ∈ ((IR, IR) [ f(t) = −f(−t), ∀t ∈ IR¦ Demostrar que 1 y T son subespacios de ((IR, IR), y que ((IR, IR) = T ⊕1. 49. En el espacio vectorial V = T(IR, IR), se consideran los subconjuntos U = ¦f ∈ V [ f(1) = f(−1) = 0¦, W = ¦f ∈ V [ ∃a, b ∈ IR t.q. f(x) = ax +b¦. Probar que U y W son subespacios de V . ¿Se cumple la igualdad U ⊕W = V ? 50. Sea B = ¦v 1 , . . . v n ¦ una base de un espacio vectorial V , y sea u i = n j=1 a ij v j , 1 ≤ i ≤ r. Si A = (a ij ) 1≤i≤r 1≤j≤n , probar que dim(lin¦u 1 , . . . u r ¦) = r(A). 51. Dados los subespacios W 1 = lin¦(1, 2, −1, 0), (0, −i, 0, i)¦ y W 2 = lin¦(3, 1, 0, −1), (5, 6, −2, −2)¦ en C 4 , hallar una base de W 1 ∩ W 2 . 52. Si W = lin¦(1, 1, 1, 0, ), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1)¦ y v 1 = (2, −1, 3, 0), v 2 = (1, 1, −1, −1), v 3 = (2, −1, −3, 2), decir cu´ales de los vectores v i pertenecen a W. 53. Dado el subespacio W de IR 4 de ecuaciones x 1 + 2x 2 −x 3 +x 4 = 0, 2x 1 +x 3 −3x 4 = 0, encontrar un subespacio complementario de W. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 180 PROBLEMAS 54. Estudiar la dependencia lineal de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial de los polinomios en una indeterminada con coeficientes complejos: S 1 = ¦1 +it 2 , 1 + 5i + (i −5)t −(1 + 5i)t 2 , i + (1 +i)t + (i −1)t 2 ¦ S 2 = ¦1, t, t 2 , 1 +t, (1 +t) 2 ¦ S 3 = ¦1, a −t, (a −t) 2 ¦ S 4 = ¦1 +t 2 , t −i, t +i¦ S 5 = ¦t 2 −i, it 2 + 1, it¦. 55. Si V = C 4 [x], se consideran los polinomios p 1 (x) = 3 −2x+x 2 +4x 3 +x 4 , p 2 (x) = 4−x+x 2 +6x 3 −2x 4 , p 3 (x) = 7−8x+3x 2 +ax 3 +bx 4 . Determinar los valores de los par´ametros a, b ∈C para los cu´ales W = lin¦p 1 , p 2 , p 3 ¦ tiene dimensi´on dos. Para dichos valores de a y b, hallar una base de W y calcular las coordenadas de p 1 , p 2 y p 3 en dicha base. 56. Estudiar la dependencia lineal de los siguientes subconjuntos de C 3 : S 1 = ¦(1, i, 0), (1, 1 +i, 0), (1 −i, 1 +i, 3)¦ S 2 = ¦(1, i, −1), (1 + 5i, −5 +i, −1 −5i), (i, 1 +i, i −1)¦ 57. Probar que el subconjunto S = ¦(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 2, 1), (−2, 1, 3), (5, 2, −3), (1, 0, 1)¦ ⊂C 3 es un sistema de generadores de C 3 , y encontrar una base de C 3 contenida en S. 58. Sean λ 1 , λ 2 , . . . , λ n n n´ umeros complejos distintos. Probar que las funciones ¦f 1 , f 2 , . . . , f n ¦ dadas por f i (z) = e λ i z son linealmente independientes en ((C,C). Utilizar lo anterior para demostrar que los conjuntos ¦1, cos x, cos 2x, . . . , cos nx¦ y ¦sen x, sen 2x, . . . , sen nx¦ son linealmente indepen- dientes en ((IR, IR). 59. Para cada uno de los siguientes pares de bases de C 3 , calcular la matriz del cambio de base de B a B ′ : (a) B = ¦(1, 1, 0), (−1, 1, 1), (0, 1, 2)¦, B ′ = ¦(2, 1, 1), (0, 0, 1), (−1, 1, 1)¦ (b) B = ¦(3, 2, 1), (0, −2, 5), (1, 1, 2)¦, B ′ = ¦(1, 1, 0), (−1, 2, 4), (2, −1, 1)¦ 60. Sea V =C 2 [x], y sea a ∈ IR un n´ umero real fijo. Si definimos los polinomios p 1 (x) = 1, p 2 (x) = x +a, p 3 (x) = (x +a) 2 , probar que ¦p 1 , p 2 , p 3 ¦ es una base de V . ¿Cu´ales son las coordenadas de un elemento cualquiera de V en esta base? ¿Sugiere esto alguna generalizaci´on? 61. Si p ∈C n [x], hallar cu´al es la condici´on necesaria y suficiente para que el conjunto ¦p, p ′ , . . . , p (n) ¦ de las derivadas de p hasta orden n inclusive sea una base de C n [x]. 62. Dados los subespacios de IR 4 W 1 = lin¦(1, 0, 0, 0), (0, −1, 0, 1)¦, W 2 = lin¦(0, 0, 1, 1)¦, W 3 = lin¦(0, 1, 1, 0)¦, decir cu´ales de las sumas W i +W j (i ,= j) y W 1 +W 2 +W 3 son sumas directas. 63. Si W 1 , . . . , W n son subespacios vectoriales de un espacio vectorial V , probar que dim(W 1 + +W n ) = dimW 1 + + dimW n −dim(W 1 ∩ W 2 ) −dim _ (W 1 +W 2 ) ∩ W 3 _ − −dim _ (W 1 + +W n−1 ) ∩ W n _ . Deducir que W 1 + +W n es suma directa si y s´olo si dim(W 1 + +W n ) = dimW 1 + +dimW n . jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 181 64. Dado el subespacio U = ¦(x 1 , . . . , x n ) ∈ C n [ x 1 + x 2 + + x n = 0¦ de C n , estudiar si W = ¦(x 1 , . . . , x n ) ∈C n [ x 1 = x 2 = = x n ¦ es un subespacio complementario de U. 65. Dados los subespacios W 1 = lin¦(0, 1, −1, 0, 1), (1, 1, −1, 1, 2)¦, W 2 = lin¦(−1, 0, 5, 1, 0), (a, 1, 1, −1, b)¦ de C 5 , d´ıgase para qu´e valores de los par´ametros a y b la suma W 1 +W 2 es suma directa. 66. Se consideran los subespacios U = lin¦p 1 , p 2 , p 3 ¦ y W = lin¦q 1 , q 2 , q 3 ¦ de C 4 [x], siendo p 1 (x) = 1 + 2x + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 p 2 (x) = 3 +x + 5x 2 −6x 3 + 6x 4 p 3 (x) = 1 +x + 3x 2 + 2x 4 q 1 (x) = 2 +x + 4x 2 −3x 3 + 4x 4 q 2 (x) = 3 +x + 3x 2 −2x 3 + 2x 4 q 3 (x) = 9 + 2x + 3x 2 −x 3 −2x 4 . Hallar una base de U +W y U ∩ W. 67. Si W 1 , W 2 y W 3 son subespacios vectoriales de un espacio vectorial V , estudiar si es cierta la f´ormula (W 1 +W 2 ) ∩ W 3 = (W 1 ∩ W 3 ) + (W 2 ∩ W 3 ). 68. Dado el subespacio V 1 de IR 4 generado por los vectores: v 1 = (1, 1, 0, m), v 2 = (3, −1, n, −1), v 3 = (−3, 5, m, −4) hallar m y n para que dimV 1 = 2. Para estos m, n calculados, hallar las ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas de otro subespacio V 2 tal que V 1 ⊕V 2 = IR 4 . 69. Si W 1 , W 2 y W 3 son subespacios vectoriales de un espacio vectorial V , probar que dim(W 1 +W 2 +W 3 ) ≤ dimW 1 + dimW 2 + dimW 3 −dim(W 1 ∩ W 2 ) −dim(W 1 ∩ W 3 ) −dim(W 2 ∩ W 3 ) + dim(W 1 ∩ W 2 ∩ W 3 ). Comprobar que la desigualdad anterior es estricta si V = IR 3 , W 1 = lin¦(1, 0, 0)¦, W 2 = lin¦(0, 1, 0)¦, W 3 = ¦(x, y, z) ∈ IR 3 [ x −y = 0¦. 70. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on 4. Consid´erense dos subespacios W 1 y W 2 de V tales que W 1 ∩ W 2 = lin¦v¦, con v ,= 0 y dimW 1 = 3 y dimW 2 = 2. Hallar W 1 +W 2 . 71. Dados los subespacios U y V de C 5 definidos por los conjuntos de ecuaciones siguientes: U : x 1 +x 2 +x 3 +x 5 = 0 4x 2 + 3x 3 −x 4 = 0 4x 1 +x 3 +x 4 + 4x 5 = 0 _ _ _ , V : x 1 = λ +µ +ν x 2 = −λ −ν x 3 = 2λ +µ + 2ν x 4 = 0 x 5 = µ _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ , λ, µ, ν ∈C. Calcular la dimensi´on y una base de cada uno de ellos. Calcular una base de la suma y otra de la intersecci´on de estos dos subespacios. 72. Se considera el subespacio W de C 3 de ecuaci´on: ax 1 − ix 2 = 0, donde a ∈ C es una constante. Calcular a de forma que la intersecci´on de W con el subespacio S tenga dimensi´on 2, donde: S = lin¦(1, 0, −i), (1 −i, 0, 0), (−1 −2i, 0, 3i)¦ jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 182 PROBLEMAS 73. Consid´erese el espacio de polinomios sobre IR en la variable x de grado menor o igual a n y el subconjunto de polinomios una de cuyas ra´ıces es 1. ¿Es un subespacio vectorial? En caso afirmativo determinar su dimensi´on y hallar una base. 74. Determinar razonadamente si son ciertas o falsas las proposiciones siguientes, siendo W 1 , W 2 , W 3 tres subespacios de un espacio vectorial de dimensi´on finita V . (a) W 1 ∩ W 3 = ¦0¦, W 2 ∩ W 3 = ¦0¦ ⇒ (W 1 +W 2 ) ∩ W 3 = ¦0¦. (b) dimW 1 ≥ dimV/2, dimW 2 ≥ dimV/2, W 1 ∩ W 2 = ¦0¦ ⇒ V = W 1 +W 2 . (c) W 1 ∩ W 2 ∩ W 3 = ¦0¦, W 1 +W 2 +W 3 = V ⇒ V = W 1 ⊕W 2 ⊕W 3 . 75. Sean V 1 y V 2 dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo IK, y consid´erese el conjunto (producto cartesiano de V 1 y V 2 ) V 1 V 2 = ¦(x 1 , x 2 ) [ x 1 ∈ V 1 , x 2 ∈ V 2 ¦. (a) Demostrar que V 1 V 2 , con las operaciones definidas por (x 1 , x 2 ) + (y 1 , y 2 ) = (x 1 +y 1 , x 2 +y 2 ) λ(x 1 , x 2 ) = (λx 1 , λx 2 ) es un espacio vectorial sobre IK, y calcular su dimensi´on en funci´ on de las dimensiones de V 1 y V 2 . (b) Sean ahora W 1 y W 2 subespacios vectoriales de un espacio vectorial V , y sea T: W 1 W 2 → W 1 +W 2 la aplicaci´on definida por T(x 1 , x 2 ) = x 1 +x 2 . Demostrar que la suma W 1 +W 2 es directa si y s´olo si T es un isomorfismo. 76. Se considera el espacio vectorial V 4 sobre C y la variedad lineal L engendrada por los vectores: L = ¦(1, 2 +i, 3 −i, −i), (−1, 1 −i, −2 +i, 4 +i), (1, 5 +i, 4 −i, 4 −i)¦ Se pide: (a) dimL. (b) Ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas de L. (c) Una base del espacio cociente V 4 /L. 77. Sea V un espacio vectorial real de dimensi´on 5 y B = ¦v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 ¦ una base de V . Calcular las ecuaciones impl´ıcitas (en la base B) del subespacio W = W 1 +W 2 +W 3 , siendo W i los subespacios definidos por: W 1 = lin¦(1, 0, 0, 1, 0), (0, 0, −1, 0, 0)¦ W 2 : _ _ _ x 1 +x 2 −x 3 = 0 x 2 −x 5 = 0 x 2 + 2x 5 = 0 W 3 = ker f, f: V →V f(x) = (x 4 +x 5 , −x 2 +x 3 −x 5 , x 2 −x 3 , x 3 −x 5 , 2x 2 −3x 3 +x 4 + 4x 5 ) Calcular los subespacios W 1 ∩W 2 , W 2 ∩W 3 , W 1 ∩W 3 , W 1 ∩W 2 ∩W 3 . ¿Es W suma directa de los subespacios W 1 , W 2 , W 3 ? 78. En un espacio vectorial V de dimensi´on 4 se tiene un sistema de generadores formado por los vectores S = ¦u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 ¦. Se sabe adem´as que u 1 −u 2 +u 3 = 0. (a) Calcular una base de V a partir de los vectores de S. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 183 (b) Hallar las coordenadas en la base anterior de una base de un subespacio W de V de dimensi´on 2, cuya intersecci´on con U = lin¦u 1 , u 2 , u 3 ¦ es el vector 0 y tal que la suma con el subespacio R cuyas ecuaciones param´etricas en la base encontrada en el apartado a) son −x 1 + 3x 2 −3x 3 −2x 4 = 0, −x 1 −3x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 0, 3x 1 + 2x 2 −2x 3 −5x 4 = 0, sea directa. 79. Demostrar que toda matriz 2 2, A = (a ij ) 1≤i,j≤2 , es ra´ız del polinomio P(t) = t 2 −(a 11 +a 22 )t + (a 11 a 22 −a 12 a 21 ). Utilizar este resultado para obtener una expresi´on de la inversa de una matriz 2 2. 80. Probar que la traza del conmutador de dos matrices es cero. ¿Pueden existir dos matrices P, Q tales que [P, Q] = iI? 81. Si A = _ 1 0 −1 1 _ , demostrar que A 2 = 2A −I, y calcular A 100 . 82. Dada la matriz A = _ _ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 _ _ , hallar A n , ∀n ∈ IN. 83. Demostrar que las ´ unicas matrices cuadradas de orden n que conmutan con todas las matrices cuadradas del mismo orden son de la forma λI, con λ ∈C. 84. Por definici´on, una matriz cuadrada M es idempotente si M 2 = M. Si A y B son matrices cuadradas tales que AB = A y BA = B, probar que A y B son idempotentes. ¿Pueden ser A ´o B invertibles? 85. Si A es una matriz cuadrada tal que A 3 = 0, definimos la matriz M(λ) = I +λA+ 1 2 λ 2 A 2 , ∀λ ∈C. Probar que el conjunto ¦M(λ) [ λ ∈ C¦ es un grupo abeliano respecto del producto de matrices, y calcular M(λ) −1 . 86. Probar que si A y B son matrices cuadradas de la misma dimensi´on y AB = I, entonces tambi´en se cumple que BA = I; en otras palabras, si B es una inversa por la derecha de A entonces B = A −1 . 87. Calcular el signo con que aparece el t´ermino a n1 a n−1,2 a 1n en el desarrollo del determinante de la matriz (a ij ) 1≤i,j≤n . 88. Probar que si A es una matriz triangular superior, es decir si: A = _ _ _ _ _ a 11 a 12 . . . a 1n 0 a 22 . . . a 2n . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . a nn _ _ _ _ _ , entonces det A = a 11 a 22 a nn . Deducir un resultado an´alogo para las matrices triangulares infe- riores. 89. Demostrar que si A y B son dos matrices cuadradas de ´ordenes n y m, respectivamente, se tiene: det _ A C 0 B _ = det A det B, det _ C A B 0 _ = (−1) nm det A det B. 90. Utilizando las f´ormulas del problema anterior, demostrar que det(AB) = det A det B. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 184 PROBLEMAS 91. Calcular los determinantes siguientes: D 1 = det _ _ _ _ _ _ _ x a a . . . a a x a . . . a a a x . . . a . . . . . . . . . . . . . . . a a a . . . x _ _ _ _ _ _ _ , D 2 = det _ _ _ _ _ _ _ x 1 +a x 2 x 3 x n x 1 x 2 +a x 3 x n x 1 x 2 x 3 +a x n . . . . . . . . . . . . . . . x 1 x 2 x 3 x n +a _ _ _ _ _ _ _ . 92. Calcular el determinante de Vandermonde W(x 1 , . . . , x n ) = det _ _ _ _ _ _ _ 1 1 1 . . . 1 x 1 x 2 x 3 . . . x n x 2 1 x 2 2 x 2 3 . . . x 2 n . . . . . . . . . . . . . . . x n−1 1 x n−1 2 x n−1 3 . . . x n−1 n _ _ _ _ _ _ _ 93. Calcular los determinantes de las matrices siguientes: A = _ _ _ _ 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 1 1 −1 _ _ _ _ , B = _ _ _ _ 1 1 1 1 a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 4 b 4 c 4 d 4 _ _ _ _ , C = _ _ _ _ a 2 ab ab b 2 ab a 2 b 2 ab ab b 2 a 2 ab b 2 ab ab a 2 _ _ _ _ . 94. Calcular el determinante de orden n ∆ n = det _ _ _ _ _ x 1 +y 1 x 1 +y 2 x 1 +y n x 2 +y 1 x 2 +y 2 x 2 +y n . . . . . . . . . . . . x n +y 1 x n +y 2 x n +y n _ _ _ _ _ . 95. Una matriz cuadrada es antisim´etrica si A t = −A. Probar que, si 2 ,= 0, el determinante de una matriz antisim´etrica de orden impar es cero. 96. Una matriz cuadrada A ∈ M n (C) se dice unitaria si AA † = I. Probar que si A es unitaria entonces [ det A[ = 1. 97. (F´ ormulas de Schur) Sean A, B, C, D ∈ M n (C), y sea ∆ el determinante de la matriz _ A B C D _ . Probar que se cumplen las igualdades siguientes: (a) ∆ = det(AD −ACA −1 B), si det A ,= 0 (b) ∆ = det(AD −BD −1 CD), si det D ,= 0 98. Determinar, en funci´ on del par´ametro a, el rango de las siguientes matrices: _ _ _ _ 1 1 0 1 a 3 2 −1 3 2a a 3 −2 0 a(a −2) −1 0 −4 3 −5a _ _ _ _ , _ _ _ _ 1 1 −1 2 0 a 1 1 1 1 +a 1 −1 3 −3 4 4 2 0 a 4 _ _ _ _ . 99. Hallar los valores de a y b para los cuales el rango de la siguiente matriz es el m´ınimo posible: _ _ _ _ _ _ 1 3 −2 −1 4 −2 1 1 2 −3 3 −4 3 1 −2 3 3 0 a 3 3 2 −3 −3 b _ _ _ _ _ _ . jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 185 100. Hallar el rango de la matriz compleja A = _ _ 1 i 3i 3 2 +i 1 1 + 2i 4 +i −1 +i 1 +i 1 +i −1 +i _ _ . 101. Demostrar que r(AB) ≤ min _ r(A), r(B) _ . 102. Probar que A ∈ M m×n (C) tiene rango ≤ 1 si y s´olo si existen R ∈ M m×1 (C) y S ∈ M 1×n (C) tales que A = RS. 103. Sea A una matriz mn. Demostrar que: (a) Si m > n, A no tiene inversa por la derecha (b) Si m < n, hay dos posibilidades: i. Si r(A) = m, hay infinitas inversas por la derecha de A. ii. Si r(A) < m, A no tiene inversa por la derecha 104. Sabiendo que det _ _ a 1 d b 2 e c −1 f _ _ = 1, hallar el valor del determinante de: _ _ 2a −d a +d 3 −a 2b −e b +e 6 −b 2c −f c +f −3 −c _ _ 105. Si A y B son matrices invertibles y λ es un escalar, expresar cof(λA), det(cof(A)), cof(cof(A)) y cof(AB) en funci´ on de A, B y λ. ¿Qu´e ocurre si A ´o B no son invertibles? 106. Dada la matriz mn A = _ _ _ _ _ 1 2 . . . n −1 n n + 1 n + 2 . . . 2n −1 2n . . . . . . . . . . . . . . . (m−1)n + 1 (m−1)n + 2 . . . mn −1 mn _ _ _ _ _ con m, n > 1, expresar a ij en funci´ on de i y j, y calcular el rango de A. 107. Utilizando el m´etodo de Gauss–Jordan, determinar cu´ales de las siguientes matrices son invertibles, y calcular la matriz inversa cuando esto sea posible: A = _ _ 2 5 −1 4 −1 2 6 4 1 _ _ , B = _ _ 1 −1 2 3 2 4 0 1 −2 _ _ , C = _ _ _ _ 1 −2 −1 3 −1 0 −2 3 0 2 −1 −1 −2 3 −1 −1 _ _ _ _ . 108. Utilizando la f´ormula A −1 = cof(A) t / det A, calcular la inversa de las siguientes matrices: A = _ _ 2 3 4 2 1 1 −1 1 2 _ _ , B = _ _ 1 2 2 2 −1 1 1 3 2 _ _ , C = _ _ 1 −2 1 −2 5 −4 1 −4 6 _ _ . 109. Calcular la inversa de la matriz compleja A = _ _ 1 2 −i −1 + 2i 1 2 −2 +i −1 −2 +i 2 −2i _ _ . 110. Si A es una matriz cuadrada cuyos elementos de matriz son n´ umeros enteros, encontrar una condici´on necesaria y suficiente para que A −1 tenga esta misma propiedad. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 186 PROBLEMAS 111. Determinar cu´ales de las siguientes aplicaciones T: IR 2 → IR 2 son lineales: a) T(x, y) = (y, x), b) T(x, y) = (x, 0), c) T(x, y) = (x, −y), d) T(x, y) = (x, x) e) T(x, y) = (x 2 , y 2 ), f) T(x, y) = (e x , e y ), g) T(x, y) = (x + 1, y + 1), h) T(x, y) = (x, 1). 112. Sea V el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n, sea Q ∈ V una matriz invertible fija, y consid´erense las aplicaciones de V en V definidas por: A 1 (X) = QX −1 , A 2 (X) = XX t , A 3 = X t −QX, A 4 (X) = Q−X t . Decir cu´ales de estas aplicaciones son operadores lineales. 113. Probar que para definir un operador lineal A basta con dar la imagen bajo A de los elementos de una base. Es decir: si B = ¦v 1 , . . . , v n ¦ es una base de V 1 , y ¦w 1 , . . . , w n ¦ ⊂ V 2 , entonces existe un ´ unico operador lineal A: V 1 → V 2 tal que Av i = w i , 1 ≤ i ≤ n. 114. Sea V el espacio vectorial sobre C de todas las funciones de IR en C, y sean f 1 (t) = 1, f 2 (t) = e it , f 3 (t) = e −it . (a) Probar que B = ¦f 1 , f 2 , f 3 ¦ es un conjunto linealmente independiente. (b) Si W = lin B, sean g 1 (t) = 1, g 2 (t) = cos t, g 3 (t) = sen t. Probar que B ′ = ¦g 1 , g 2 , g 3 ¦ es base de W, y hallar la matriz del cambio de base de B a B ′ . 115. Si V y W son dos espacios vectoriales de dimensi´on finita tal que dimV > dimW, y A: V →W es un operador lineal, decir cu´ales de las siguientes afirmaciones son siempre ciertas: (a) A es biyectivo (b) A es no degenerado (c) A es sobre (d) A es degenerado 116. Sea V =C n [t] el espacio vectorial de los polinomios de grado ≤ n con coeficientes complejos, y sea T: V → V la aplicaci´on definida por (T p)(t) = p(t + 1). Probar que T es lineal y determinar su n´ ucleo e imagen. 117. Sea V =C n [x] y T: V → V la aplicaci´on dada por (T p)(x) = p(x + 1) +p(x −1) −2p(x). (a) Probar que T es lineal. (b) Calcular T(x p ), 0 ≤ p ≤ n. (c) Calcular ker(T) e im(T). (d) Sea q ∈ im(T). Probar que existe un ´ unico p ∈ V tal que T(p) = q, p(0) = p ′ (0) = 0. 118. Dada A ∈ M n (IK), sea F A : M n (IK) → M n (IK) la aplicaci´on definida por F A (X) = [A, X], ∀X ∈ M n (IK). Probar que F A es un operador lineal que cumple F A (XY ) = F A (X)Y +XF A (Y ). 119. Sea T: IR 3 → IR 2 la aplicaci´on lineal definida por T(x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 + x 2 , x 1 + 2x 3 ). Si B = ¦u 1 , u 2 , u 3 ¦ y B ′ = ¦v 1 , v 2 ¦, donde u 1 = (1, 0, −1), u 2 = (1, 1, 1), u 3 = (1, 0, 0); v 1 = (0, 1), v 2 = (1, 1), hallar la matriz de T respecto de estas bases. 120. Sea A: V 1 → V 2 un operador lineal, S = ¦v 1 , . . . , v n ¦ ⊂ V 1 , y denotemos por A(S) al conjunto ¦Av 1 , . . . , Av n ¦. ¿Cu´ales de las afirmaciones siguientes son verdaderas? jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 187 (a) S linealmente dependiente ⇒ A(S) linealmente dependiente (b) S linealmente independiente ⇒ A(S) linealmente independiente (c) A(S) linealmente dependiente ⇒S linealmente dependiente (d) A(S) linealmente independiente ⇒ S linealmente independiente (e) A no degenerado ⇒lin S y lin A(S) tienen la misma dimensi´on 121. Sea T el endomorfismo de IR 3 cuya matriz en la base can´onica de IR 3 es A = _ _ 1 2 1 0 1 1 −1 3 4 _ _ . Calcular una base de la imagen y del n´ ucleo de T. 122. Sea T el endomorfismo de IR 2 definido por T(x, y) = (−y, x). (a) Calcular la matriz de T en la base can´onica de IR 2 (b) Calcular la matriz de T en la base ¦(1, 2), (1, −1)¦ (c) Demostrar que para cada n´ umero real c, el operador lineal T −cI es invertible. 123. Sea T el endomorfismo de IR 3 definido por T(x, y, z) = (3x +z, −2x +y, −x + 2y + 4z). (a) Calcular la matriz de T en la base ¦(1, 0, 1), (−1, 2, 1), (2, 1, 1)¦ (b) Demostrar que T no es degenerado y calcular T −1 (x, y, z). 124. Si A: V → V es un operador lineal que cumple la condici´on ker A = imA, ¿qu´e se puede decir de A 2 ? 125. Sea A ∈ M n (IK) una matriz fija. Demostrar que las aplicaciones L A , R A : M n (IK) → M n (IK) definidas por L A (X) = AX, R A (X) = XA, ∀X ∈ M n (IK), son lineales. Si n = 2 y A = _ 2 1 0 −1 _ , hallar el determinante y la traza de L A y R A . 126. Sea A:C 3 → C 3 un operador lineal, y W = lin¦(0, 1, 2), (1, −1, 1)¦. Si Aw = iw, ∀w ∈ W, y (0, 1, 1) ∈ ker A, calcular la matriz de A respecto de la base can´onica de C 3 . 127. Si V = M n (IK) y A ∈ M n (IK) es una matriz fija, sea T A el endomorfismo de V definido por T A (X) = XA −AX. Demostrar, sin calcular la matriz de T A , que det(T A ) = 0 128. Si V = C n [t] y A es el endomorfismo de V definido por (A P)(t) = P ′ (t + 1), ∀P ∈ V , calcular ker(A), im(A), tr(A) y det(A). 129. Se dice que una matriz A ∈ M n (C) es autoadjunta si y s´olo si A = A † . Si H es el conjunto de todas las matrices autoadjuntas de M n (C), comprobar que H es un espacio vectorial real. ¿Es H subespacio vectorial de M n (C)? Sea B ∈ M n (C) una matriz fija; probar que si definimos T B (A) = BAB † , ∀A ∈ H, entonces T B es un endomorfismo de H. 130. Sea V = M 2 (C), y sea T: V → V la aplicaci´on definida por T(X) = X + X t , ∀X ∈ V . Calcular ker(T), im(T), tr(T) y det(T). 131. Sea V el espacio lineal de las funciones continuas de [−π, π] en IR, y consid´erese el subconjunto W ⊂ V formado por todos los elementos f de V que verifican las condiciones _ π −π f(s)ds = _ π −π f(s) cos s ds = _ π −π f(s) sen s ds = 0. (a) Demostrar que W es subespacio lineal de V . (b) Demostrar que, si n ≥ 2, W contiene a las funciones f n (t) = sen nt y g n (t) = cos nt. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 188 PROBLEMAS (c) ¿Es W espacio vectorial de dimensi´on finita? (d) Sea T: V → V la aplicaci´on dada por (Tf)(t) = _ π −π [1 + cos(t −s)]f(s)ds. Demostrar que T es lineal. (e) Demostrar que im(T) es de dimensi´on finita y hallar una base de im(T). (f) Calcular el n´ ucleo de T. (g) Hallar todos los escalares λ ∈ IR−¦0¦ y todas las funciones f ∈ V −¦0¦ tales que T f = λf. 132. Sea V un espacio vectorial y f ∈ End(V ). Demostrar que si ker f ∩ imf = ¦0¦, entonces, ∀x ∈ V existe un ´ unico vector y ∈ ker f tal que x −y ∈ imf. 133. La matriz A = _ _ 1 2 1 0 −1 1 1 1 2 _ _ representa a la aplicaci´on lineal f: V → W en las bases B V = ¦e 1 , e 2 , e 3 ¦ y B W = ¦u 1 , u 2 , u 3 ¦. ¿Existe un cambio de bases en V y W tal que transforme la representaci´on matricial A en la matriz A ′ = _ _ 0 1 0 1 0 1 −1 −1 0 _ _ ? Determinar bases del n´ ucleo y la imagen de f. 134. Sea f: V → V ′ una aplicaci´on lineal entre dos espacios vectoriales de dimensi´on finita. Sea W un subespacio de V tal que V = W ⊕ker f. Demostrar que si u, v ∈ W y u ,= v entonces f(u) ,= f(v). 135. Definir una aplicaci´on lineal f:C 5 →C 3 cuyo n´ ucleo est´a dado por las ecuaciones: x 1 +x 2 −x 3 −x 4 +x 5 = 0 x 2 +x 3 +x 4 −x 5 = 0 y su imagen es el subespacio de C 3 definido por y 1 = µ +λ, y 2 = µ −λ, y 3 = 2µ −3λ, λ, µ ∈C Hallar una expresi´on matricial de f. 136. Si f es un endomorfismo del espacio vectorial V tal que f 2 = 0, estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones, prob´andolas si son ciertas o hallando un contraejemplo si son falsas. (a) dimker f = dimimf. (b) f es diagonalizable. (c) f = 0. (d) dimV ≤ 2 dimker f. (e) Si A es la matriz asociada a f en una cierta base, la ecuaci´on AX = b tiene soluci´on si r(A) = dimker f y A b = 0. 137. En IR 5 se tienen los subespacios: W 1 = lin¦(0, 1, 1, 1, 0), (0, −1, 0, 1, 0), (0, −2, −1, 0, 0)¦ y W 2 definido por las ecuaciones impl´ıcitas: x 1 −x 3 = 0, x 1 +x 2 −x 3 +x 4 = 0 jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 189 (a) Calcular los subespacios V 1 = W 1 +W 2 y V 2 = W 1 ∩ W 2 (b) Calcular, si existe, un endomorfismo de IR 5 cuya imagen sea igual a V 1 y cuyo n´ ucleo sea V 2 . 138. Hallar una base del espacio vectorial V de los polinomios con grado menor o igual que 4 que se anulan en x = 1. Consid´erese el espacio vectorial W de los polinomios de grado menor o igual que 3 y la aplicaci´on D: V → W definida por la derivada. Hallar una representaci´on matricial de dicha aplicaci´on, su n´ ucleo y su imagen. 139. Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, y f: V → W, g: W → V , aplicaciones lineales. Estudiar si son ciertas o falsas las siguientes equivalencias (en los dos sentidos): (a) imf ⊂ ker g ⇔ g ◦ f = ¦0¦ (b) imf ∩ ker g = ¦0¦ ⇔ g ◦ f isomorfismo (c) imf ⊕ker g = W ⇔ dimker f + dimimg = dimV 140. (Alternativa de Fredholm) Consid´erese el sistema de ecuaciones lineales AX = B, (∗) donde A es una matriz cuadrada. 1) Demostrar que (∗) tiene soluci´on ´ unica para todo valor de B si y s´olo si el sistema homog´eneo AX = 0 no tiene m´as soluci´on que la trivial. 2) Probar que si el sistema homog´eneo tiene soluci´on distinta de la trivial, siempre es posible escoger B de forma que (∗) sea incompatible. 141. Calcular mediante el m´etodo de eliminaci´on de Gauss todas las soluciones del sistema 1 3 x 1 + 2x 2 −6x 3 = 0 −4x 1 + 5x 3 = 0 −3x 1 + 6x 2 −13x 3 = 0 − 7 3 x 1 + 2x 2 − 8 3 x 3 = 0. 142. Hallar todas las soluciones del sistema cuya matriz ampliada es A ′ = _ _ _ _ 2 −3 −7 5 2 −2 1 −2 −4 3 1 −2 2 0 −4 2 1 3 1 −5 −7 6 2 −7 _ _ _ _ . 143. Hallar los valores de a, b y c para los que el sistema lineal x 1 −2x 2 +x 3 + 2x 4 = a x 1 +x 2 −x 3 +x 4 = b x 1 + 7x 2 −5x 3 −x 4 = c no tiene soluci´on. 144. Consid´erese el sistema de ecuaciones cuya matriz ampliada es A ′ = _ _ 1 −1 2 1 2 0 2 1 1 −3 4 2 _ _ . ¿Es compatible dicho sistema? Si es as´ı, calcular todas sus soluciones. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 190 PROBLEMAS 145. Si α es un n´ umero complejo arbitrario, estudiar y resolver el sistema lineal x +αy +α 2 z = 0 αx +y +αz = 0 α 2 x +αy +z = 0. 146. Si ω es una de las ra´ıces c´ ubicas de la unidad (i.e. ω 3 = 1), resolver el sistema lineal x +y +z = a x +ωy +ω 2 z = b x +ω 2 y +ωz = c. 147. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 0 x 1 +x 2 −3x 3 = −1 x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = 0 2x 1 +x 2 −2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2 x 1 +x 2 +x 3 = 3 x 2 + 2x 3 + 3x 4 = −2 x 1 + 2x 2 −3x 3 = 1 x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 2 x 1 +x 2 −3x 4 −x 5 = 0 2x 1 −x 2 +x 3 −x 4 = 1 x 1 −x 2 + 2x 3 −x 4 = 0 2x 1 −x 2 −3x 4 = 2 4x 1 −2x 2 + 6x 3 + 3x 4 −4x 5 = 0 3x 1 −x 3 +x 4 = −3 2x 1 + 4x 2 −2x 3 + 4x 4 −7x 5 = 0 2x 1 + 2x 2 −2x 3 + 5x 4 = −6. 148. Discutir y resolver los siguientes sistemas lineales: ax +by +z = 1 ax +by + 2z = 1 x +aby +z = b ax + (2b −1)y + 3z = 1 x +by +az = 1 ax +by + (b + 3)z = 1 ax +by +t = a +b ax +y +z +t = 1 bx +ay +z = a −b x +ay +z +t = b y +az +bt = a + 1 x +y +az +t = b 2 x +bz +at = a −1 x +y +z +at = b 3 . 149. Discutir y resolver, cuando sea posible, el sistema lineal αx 1 +αx 2 + +αx n−1 +βx n = a n αx 1 +αx 2 + +βx n−1 +αx n = a n−1 . . . αx 1 +βx 2 + +αx n−1 +αx n = a 2 βx 1 +αx 2 + +αx n−1 +αx n = a 1 . 150. Si A = _ _ _ _ 3 −6 2 −1 −2 4 1 3 0 0 1 1 1 −2 1 0 _ _ _ _ , decir para qu´e valores de B ∈ M 4×1 (C) el sistema lineal AX = B tiene soluci´on. 151. Estudiar seg´ un los valores del par´ametro a el siguiente sistema: (a + 1)x +y +z = a 2 + 3a x + (a + 1)y +z = a 3 + 3a 2 x +y + (a + 1)z = a 4 +a 2 Resolverlo en los casos en que sea posible. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 191 152. Calcular todas las ra´ıces en C de los siguientes polinomios: a) x 4 −4x 3 −19x 2 + 46x + 120, b) 12x 5 −16x 4 −7x 3 −2x 2 −62x + 60, c) x 5 −10x 4 + 29x 3 −10x 2 −62x + 60, d) x 3 −7x 2 + 13x −3, e) x 5 −4x 4 −21x 3 −x 2 + 4x + 21, f) x 4 −12x 3 + 47x 2 −72x + 36, g) 6x 5 −11x 4 −37x 3 −51x 2 −34x −8, h) 72x 5 −228x 4 −22x 3 + 177x 2 +x −30 153. Calcular la multiplicidad de la ra´ız x = 1 de la ecuaci´on x 2n −nx n+1 +nx n−1 −1 = 0. 154. Sea f un polinomio, y supongamos que el operador lineal A es ra´ız de f, es decir, se cumple la ecuaci´on f(A) = 0. Probar que si λ es un autovalor cualquiera de A entonces f(λ) = 0. Si µ es una ra´ız cualquiera de f ¿es necesariamente µ un autovalor de A? 155. Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado ≤ n, y sea A: V → V el operador derivada, definido por A P = dP dt , ∀P ∈ V. Hallar los autovalores y autovectores de A. 156. Se considera el operador lineal T de IR 3 cuya matriz en la base can´onica B = ¦e 1 , e 2 , e 3 ¦ es: _ _ a + 2b a −b −3c a −b + 3c a −b +c a + 2b +c a −b −2c a −b −c a −b + 2c a + 2b −c _ _ (a) Sean ˆ e 1 = e 1 +e 2 +e 3 , ˆ e 2 = e 1 −e 2 , ˆ e 3 = e 1 −e 3 . Probar que ˆ B = ¦ˆ e 1 , ˆ e 2 , ˆ e 3 ¦ es base de IR 3 . (b) Calcular la matriz del operador lineal T en esta base. (c) Calcular los polinomios m´ınimo y caracter´ıstico de T. (d) ¿Para qu´e valores de a, b, c es T diagonalizable? 157. Sea V el espacio vectorial de todas las funciones continuas de IR en IR, y sea T: V → V el operador lineal definido por (Tf)(t) = _ t 0 f(s)ds. Probar que T no tiene valores propios. 158. Calcular los autovalores y autovectores del operador C n →C n cuya matriz en la base can´onica de C n es _ _ _ _ _ 1 1 . . . 1 1 1 . . . 1 . . . . . . . . . . . . 1 1 . . . 1 _ _ _ _ _ . 159. Probar que si A: V → V es un operador diagonalizable, entonces: (a) imA es la suma directa de todos los subespacios propios de A asociados a autovalores distintos de cero (b) ker A⊕imA = V 160. Demostrar que toda matriz tiene los mismos autovalores que su matriz transpuesta. Si A es un endomorfismo invertible, probar que A y A −1 tienen los mismos autovectores, y hallar la relaci´on existente entre sus autovalores. 161. De un operador lineal A:C 3 →C 3 se sabe que los vectores (0, 1, 1), (1, −1, 0) y (1, 0, −1) son vectores propios, y que la primera columna de A en la base can´onica de C 3 es (1, 2, 3) t . Determinar la matriz de A en la base can´onica de C 3 . jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 192 PROBLEMAS 162. Sabiendo que el endomorfismo f del espacio vectorial real de dimensi´on finita V verifica f 4 +f −1 V = 0, estudiar si f es un automorfismo. 163. Sea f: V → V un endomorfismo de V (espacio vectorial real de dimensi´on finita), tal que para un cierto x ∈ V no existe ning´ un vector y ∈ V tal que f(y) = x. Demostrar que f tiene un autovalor igual a 0. 164. Sea V un C-espacio vectorial de dimensi´on 3 y f ∈ End(V ). Se tiene una base de V, B = ¦u 1 , u 2 , u 3 ¦ y se sabe que: f(u 1 ) = u 1 −u 2 , f(u 3 ) = −u 1 +u 3 . Calcular la imagen del vector v ∈ V cuyas coordenadas en la base B son: (1 + √ 5, 2, 0), si el subespacio W = lin¦u 1 +u 2 −u 3 ¦ es invariante bajo f y det f = 1. 165. Calcular una matriz P tal que P −1 AP sea diagonal donde: A = _ _ _ _ 3 0 −2 2 0 1 0 0 4 0 −3 1 0 0 0 2 _ _ _ _ . 166. Sea f: V → V , un endomorfismo de un espacio vectorial real de dimensi´on 3. Sea B = ¦u 1 , u 2 , u 3 ¦ una base de V . Se sabe que las ecuaciones del n´ ucleo de f en la base B son: ¦x 1 + x 2 − x 3 = 0, x 2 +x 3 = 0¦, y que los vectores u 1 +u 2 −u 3 , u 2 +u 3 son autovectores de f con autovalores 1 y −1 respectivamente. Calcular la matriz de f en la base B. 167. Para cada una de las matrices siguientes: a) _ _ 5 −3 2 6 −4 4 4 −4 5 _ _ , b) _ _ 7 −12 6 10 −19 10 12 −24 13 _ _ , c) _ _ 4 −5 7 1 −4 9 −4 0 5 _ _ , d) _ _ _ _ 3 −1 1 −7 9 −3 −7 −1 0 0 4 −8 0 0 2 −4 _ _ _ _ , e) _ _ 1 2 3 0 2 3 0 0 3 _ _ , f) _ _ 9 −6 −2 18 −12 −3 18 −9 −6 _ _ , g) _ _ _ _ 3 2 1 −1 2 2 1 −1 1 1 1 0 −1 −1 0 0 _ _ _ _ , h) _ _ _ _ 4 10 −19 4 1 6 −8 3 1 4 −6 2 0 −1 1 0 _ _ _ _ responder a las siguientes cuestiones: (a) Calcular el polinomio caracter´ıstico y los valores propios (suponiendo que el cuerpo de base es C) (b) Para cada valor propio, calcular los vectores propios correspondientes en C n (c) Encontrar, cuando exista, una base de C n formada por vectores propios 168. Determinar para qu´e valores de a, b, c, d ∈ C el operador A:C 2 →C 2 definido por A(x, y) = (ax + by, cx +dy) es diagonalizable. Considerar el mismo problema si A: IR 2 → IR 2 . 169. Sea V = V 1 ⊕ V 2 y A = A 1 ⊕ A 2 , siendo, A i ∈ L(V i , V i ), i = 1, 2. Demostrar las siguientes afirmaciones: (a) σ(A) = σ(A 1 ) ∪ σ(A 2 ) (b) V λ = ker(A 1 −λI V 1 ) ⊕ker(A 2 −λI V 2 ) jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 193 (c) A diagonalizable ⇒ A 1 y A 2 son diagonalizables 170. Sea f un endomorfismo del espacio vectorial real V definido en la base B = ¦u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 ¦ por las ecuaciones, f(u 1 ) = u 1 +u + 2 +u 3 +u 4 +u 5 , f(u 2 ) = au 2 , f(u 3 ) = bu 3 , f(u 4 ) = cu 4 , f(u 5 ) = u 1 +u + 2 +u 3 +u 4 +u 5 , con a, b ,= 2. Estudiar su espectro. ¿Es diagonalizable? ¿Es invertible? 171. Determinar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones, prob´andolas en caso positivo o dando un contraejemplo en caso contrario. (a) Todo polinomio m´onico (esto es, cuyo coeficiente del t´ermino de mayor grado es 1) es el polinomio caracter´ıstico de alg´ un endomorfismo. (b) Un polinomio que s´olo posee ra´ıces reales ha de ser caracter´ıstico de un endomorfismo real. (c) Si p A (λ) = λ n −1 el endomorfismo es diagonalizable. 172. Determinar si son ciertas o falsas las siguientes proposiciones (A es un endomorfismo en un espacio vectorial V ): (a) Si λ 1 , λ 2 son autovalores de A, entonces λ 1 +λ 2 es un autovalor de A. (b) Si λ ,= 0 es un autovalor de A, entonces A no es nilpotente. (c) Si A es invertible y λ ,= 0 es un autovalor de A, entonces λ −1 tambi´en es un autovalor de A. (d) Si λ es un autovalor de A, entonces λ n es un autovalor de A n . 173. Sea la matriz: A = _ _ _ _ 0 0 0 a 1 0 0 b 0 1 0 c 0 0 1 d _ _ _ _ Estudiar si es cierta la siguiente afirmaci´on: ∀a, b, c, d ∈ IR, la matriz A tiene un autovalor con multiplicidad mayor que 1 si y solo si A no es diagonalizable. 174. Sea el endomorfismo de IR 4 cuya matriz en la base can´onica es: A = _ _ _ _ 1 −1 0 −1 1 1 −2 1 −1 1 4 −1 0 2 2 2 _ _ _ _ (a) Calcular la forma can´onica de Jordan, J, de A. (b) Calcular una matriz P tal que PAP −1 = J (c) Calcular la matriz B = A 5 −10A 4 + 40A 3 −80A 2 + 80A+ 32I. 175. Dada la matriz: A = _ _ _ _ 7 −1 −1 2 4 0 4 0 −3 1 5 −2 −4 0 4 0 _ _ _ _ (a) Calcular la forma can´onica de Jordan de A y la matriz P de cambio de base (A = PJP −1 ). (b) Hallar un subespacio de IR 4 invariante bajo A de dimensi´on 2. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 194 PROBLEMAS (c) ¿Cu´al es la dimensi´on de la imagen de la aplicaci´on lineal de IR 4 en IR 4 cuya matriz es A? ¿Y la del n´ ucleo? 176. Para cada uno de los operadores lineales cuyas matrices en la base can´onica de C n se dan a contin- uaci´on, calcular su forma can´onica de Jordan y hallar una base en la cual la matriz del operador se reduzca a dicha forma can´onica: a) _ _ _ _ 1 1 2 3 0 1 1 2 0 0 2 0 0 0 0 2 _ _ _ _ , b) _ _ _ _ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 0 _ _ _ _ , c) _ _ −1 −1 −2 0 −1 4 0 0 1 _ _ , d) _ _ _ _ −10 −9 −3 −5 5 4 1 3 2 2 0 1 6 6 3 2 _ _ _ _ , e) _ _ _ _ _ _ _ _ 5 0 1 0 0 0 0 5 0 1 0 0 0 0 5 0 1 0 0 0 0 5 0 1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 5 _ _ _ _ _ _ _ _ , f) _ _ _ _ _ _ −1 0 −1 1 0 −4 −1 −3 2 1 −2 −1 −2 1 1 −3 −1 −3 2 1 −8 −2 −7 5 2 _ _ _ _ _ _ , g) _ _ _ _ _ _ 3 −3 4 −1 −5 9 −8 10 −1 −10 0 0 2 −1 −1 5 −3 2 2 0 −5 3 −1 −2 0 _ _ _ _ _ _ , h) _ _ _ _ _ _ 3 1 4 −3 2 −2 2 −4 1 −2 −3 0 −5 4 −3 −2 1 −4 2 −2 0 0 0 −2 1 _ _ _ _ _ _ , i) _ _ _ _ _ _ −1 0 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 _ _ _ _ _ _ 177. Se considera la matriz _ _ _ _ 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 _ _ _ _ (a) Calcular el rango de A. (b) Calcular su polinomio caracter´ıstico y su polinomio m´ınimo. (c) Calcular una matriz regular P tal que P −1 AP = J A donde J A es la forma can´onica de Jordan de A. 178. Encontrar los valores de a, b ∈ IR para los que es diagonalizable la siguiente matriz: _ _ 0 a 1 0 1 0 0 0 b _ _ y diagonalizarla en esos casos. 179. Sea E = IR 4 [x] el espacio lineal real de los polinomios de grado menor o igual que 4 con coeficientes reales. Sea la aplicaci´on: φ: E → E p → φ(p) = (x 2 −λ 2 )p ′ −2(2x +µ)p con λ, µ ∈ IR fijos. (a) Probar que φ es una aplicaci´on bien definida y lineal. (b) Calcular la matriz de φ en la base can´onica de E. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 195 (c) Calcular, cuando λ = 0, los autovalores y autovectores de φ. ¿Forman estos ´ ultimos una base de E? 180. Calcular la exponencial, el seno y el coseno de las siguientes matrices: _ _ 3 0 0 4 3 0 5 1 −2 _ _ , _ _ 1 0 0 1 2 0 3 0 −3 _ _ 181. En IR 3 sean: v 1 = _ _ 1 0 1 _ _ , v 2 = _ _ 0 1 2 _ _ , v 3 = _ _ −1 −1 0 _ _ (a) Sea ω ∈ (IR 3 ) ∗ tal que ω(v 1 ) = 1, ω(v 2 ) = −1 y ω(v 3 ) = 3. Calcular ω(x) para cualquier x ∈ IR 3 . (b) Describir expl´ıcitamente una forma lineal µ ∈ (IR 3 ) ∗ tal que µ(v 1 ) = µ(v 2 ) = 0, µ(v 3 ) ,= 0 (c) Sea µ ∈ (IR 3 ) ∗ con las propiedades del apartado anterior. Probar que µ(x) ,= 0 si: x = _ _ 2 3 −1 _ _ 182. Sea B = ¦e 1 , e 2 , e 3 ¦ la base de C 3 definida por: e 1 = _ _ 1 0 −1 _ _ , e 2 = _ _ 1 1 1 _ _ , e 3 = _ _ 2 2 0 _ _ Hallar la base dual de B. 183. Sea 1 el espacio lineal IR 2 [x] formado por todos los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 2. Se consideran las siguientes formas lineales en 1: ω 1 (p) = _ 1 0 p(t)dt, ω 2 (p) = _ 2 0 p(t)dt, ω 3 (p) = _ −1 0 p(t)dt (a) Probar que B ∗ = ¦ω 1 , ω 2 , ω 3 ¦ es una base de ¡ ∗ . (b) Calcular una base B de ¡, que sea la base dual de B ∗ . (c) Encontrar p ∈ 1 tal que: ω 1 (p) = a, ω 2 (p) = b, ω 3 (p) = c siendo a, b, c n´ umeros reales dados. 184. Sea W el subespacio de IR 5 generado por los vectores: v 1 = e 1 + 2e 2 +e 3 v 2 = e 2 + 3e 3 + 3e 4 +e 5 v 3 = e 1 + 4e 2 + 6e 3 +e 5 donde ¦e 1 , . . . , e 5 ¦ es la base can´onica de IR 5 . Calcular una base del anulador de W. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 196 PROBLEMAS 185. Sea V un espacio de dimensi´on finita, n, sobre C. Sean µ y ν dos formas lineales no nulas sobre V . Sup´ongase que no existe ning´ un escalar k ∈C, tal que µ = kν. Probar que: dim(ker µ ∩ ker ν) = n −2 186. Sea ω ∈ (IR 2 ) ∗ definida por: ω _ x 1 x 2 _ = a 1 x 1 +a 2 x 2 Para cada uno de los siguientes operadores lineales T, calcular σ = T t ω: 1) T _ x 1 x 2 _ = _ x 1 0 _ , 2) T _ x 1 x 2 _ = _ −x 2 x 1 _ , 3) T _ x 1 x 2 _ = _ x 1 −x 2 x 1 +x 2 _ 187. Sea f: V V → C (V espacio vectorial de dimensi´on finita), una forma bilineal. Demostrar la siguiente equivalencia: f(x, y) = f 1 (x)f 2 (y) ⇐⇒ rangof = 1 donde f 1 , f 2 : V →C son dos formas lineales no nulas. 188. Determinar cu´ales de las siguientes funciones f i : IR 2 IR 2 → IR son formas bilineales: f 1 (u, v) = u 1 v 2 +u 2 v 1 , f 2 (u, v) = u 2 −v 2 , f 3 (u, v) = a, a = constante f 4 (u, v) = −2u 1 u 2 +v 1 v 2 u = u 1 e 1 +u 2 e 2 , v = v 1 e 1 +v 2 e 2 189. Si V es el espacio de polinomios V = _ p(t) = p 0 +p 1 t +p 2 t 2 , p i ∈ IR _ , calcular la matriz de la forma bilineal g(p, q) = _ 1 0 p(t)q(t)dt en la base _ 1, t, t 2 _ ¿Qu´e vale g(t 2 −2, 2t + 4)? 190. Si g(u, v) = u 1 v 1 −u 1 v 2 +3u 2 v 1 −u 2 v 2 con u = u 1 e 1 +u 2 e 2 +u 3 e 3 , v = v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3 en la base B = ¦e 1 , e 2 , e 3 ¦ de IR 3 , hallar la matriz de g en dicha base. Calcular g(x, y) si x = 2e ′ 1 + e ′ 3 , y = −e ′ 2 + 2e ′ 3 con e ′ 1 = e 1 +e 2 +e 3 , e ′ 2 = −e 2 , e ′ 3 = e 1 −e 3 . 191. Decir cu´ales de las aplicaciones siguientes son formas bilineales: g(A, B) = tr(A t B), g(A, B) = det(AB), g(A, B) = (tr A)(tr B) A, B ∈ M 3 (IR), (A t ) ij = A ji 192. Se considera el espacio IR 4 y en ´el la forma bilineal sim´etrica cuya matriz en la base can´onica es: _ _ _ _ 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 _ _ _ _ Se pide: (a) Estudiar si es definida positiva. En caso contrario calcular el radical y la signatura. (b) Encontrar una base de IR 4 en la que esta forma bilineal est´e en su forma can´onica. 193. Calcular la matriz de g(A, B) = tr(A t JB) en la base E 11 = _ 1 0 0 0 _ , E 12 = _ 0 1 0 0 _ , E 21 = _ 0 0 1 0 _ , E 22 = _ 0 0 0 1 _ , con J = _ 0 1 −1 0 _ . jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 197 194. Determinar cuales de las siguientes formas bilineales son equivalentes en IR y en C: f 1 (x, y) = x 1 y 1 − 1 2 x 1 y 3 − 1 2 x 3 y 1 f 2 (x, y) = 1 2 x 1 y 2 + 1 2 x 2 y 1 −x 3 y 3 f 3 (x, y) = 1 2 x 1 y 2 + 1 2 x 2 y 1 +x 3 y 3 195. Reducir a suma de cuadrados y determinar la signatura de la forma cuadr´atica: q(v) = x 2 −4xy + 6y 2 + 2yz − z 2 ¿Puede ser la matriz asociada a dicha forma cuadr´atica la matriz de un producto escalar en IR 3 ? 196. Reducir a suma de cuadrados y determinar la signatura de las formas cuadr´aticas que en una cierta base B de IR 3 vienen representadas por las matrices: a) q B = _ _ 1 1 2 1 3 3 2 3 5 _ _ , b) q B = _ _ 1 0 0 0 −1 2 0 2 −4 _ _ , c) q B = _ _ 1 −2 0 −2 2 3 0 3 −1 _ _ , d) q B = _ _ 2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 −2 _ _ 197. Calcular el rango y la signatura de la forma cuadr´atica en IR n : q(u) = n i,j=1 (i 2 +ij +j 2 )u i u j , u = u 1 e 1 +u 2 e 2 + +u n e n , n ≥ 3 Encontrar una base en la que q sea una suma de cuadrados. 198. Si u = (u 1 , u 2 ), v = (v 1 , v 2 ) calcular los valores de a, b, c, d, e para los que: (u, v) = au 1 v 1 +bu 1 v 2 +cu 2 v 1 +du 2 v 2 +eu 1 v 2 2 es un producto escalar en IR 2 . 199. Demostrar que la f´ormula (u, v) = 10u 1 v 1 + 3(u 1 v 2 +u 2 v 1 ) + 2u 2 v 2 +u 2 v 3 +u 3 v 2 +u 3 v 3 define un producto escalar en IR 3 . Hallar una base ortonormal respecto a dicho producto escalar. 200. Calcular la proyecci´on ortogonal del vector de componentes (1, 1, 0) respecto de una base ortonormal de IR 3 , sobre el subespacio W de IR 3 definido por: W = ¦x ∈ IR 3 [ x 1 +x 2 +x 3 = 0¦. 201. Si W = lin ¦(1, 3, 0, 2), (3, 7, −1, 2), (2, 4, −1, 0)¦ es un subespacio de IR 4 con el producto escalar usual, hallar una base ortonormal de W ⊥ . 202. Sea V = M n (IR). (a) Si B ∈ M n (IR) es una matriz fijada, se define: ω B : V → IR A → ω B (A) = tr(B t A) Probar que ω B ∈ V ∗ . (b) Demostrar que para cada ω ∈ V ∗ , existe alguna matriz B tal que ω = ω B . (c) Probar que B → ω B es un isomorfismo de V en V ∗ . jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 198 PROBLEMAS 203. Demostrar que si W es el subespacio de ecuaciones n j=1 a ij x j = 0, i = 1, . . . , k respecto a una base ortonormal ¦e 1 , . . . , e n ¦, entonces W ⊥ est´a generado por los vectores: v i = n j=1 a ij e j , i = 1, . . . , k . 204. Obtener una base ortonormal en el espacio de polinomios V = _ p(t) = p 0 +p 1 t +p 2 t 2 , p i ∈ IR _ con el producto escalar: g(p, q) = _ 1 −1 p(t)q(t)dt 205. En IR 3 se define la forma cuadr´atica: Q(x 1 , x 2 , x 3 ) = 2x 2 1 +x 2 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 2x 2 x 3 . (a) Diagonalizar la forma cuadr´atica. Sea ϕ(x, y) una forma bilineal sim´etrica tal que ϕ(x, x) = Q(x). ¿Cu´al es su signatura? (b) Escribir la matriz del cambio de base que diagonaliza ϕ. (c) Encontrar una base del conjunto ¦(1, 1, 1)¦ ⊥ . 206. Se considera la forma cuadr´atica en IR 3 : Q(x) = x 1 x 2 −x 1 x 3 . (a) Estudiar si Q es definida positiva. (b) Calcular el radical de la forma bilineal sim´etrica asociada. (c) Diagonalizar Q usando el m´etodo de Lagrange y calcular su signatura. 207. Se considera el espacio vectorial IR 3 con el producto escalar definido por: (x, y) = x 1 y 1 +x 2 y 1 +x 1 y 2 + 2x 2 y 2 +x 3 y 2 +x 2 y 3 + 2x 3 y 3 (a) Calcular una base ortonormal del subespacio: x 2 −2x 3 = 0. (b) Calcular la distancia del vector (0, 1, −2) al subespacio anterior. (c) Estudiar si el operador dado por la siguiente expresi´on es sim´etrico: x ′ 1 = x 1 , x ′ 2 = x 3 , x ′ 3 = x 2 +x 3 208. Sea V el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que 2 y sean α, β ∈ IR. Dada la aplicaci´on q: V → IR, definida por: q(p) = p(α)p(β), p ∈ V (a) Probar que q es una forma cuadr´atica en V . (b) Hallar la matriz asociada a q respecto de la base ¦1, x, x 2 ¦ y dar el rango y signatura para los distintos valores de α y β. 209. Sea V un espacio vectorial real de dimensi´on n y ϕ una forma bilineal sim´etrica de signatura (p, q) con p ≥ q > 0, p +q = n. Se dice que un vector x ∈ V es is´otropo si ϕ(x, x) = 0. Estudiar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) En V existen vectores is´otropos distintos de 0. (b) El conjunto de todos los vectores is´otropos forma un subespacio de V . (c) Hay subespacios de V (distintos del trivial ¦0¦) cuyos vectores son todos is´otropos. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 199 (d) La forma bilineal ϕ es igual a cero cuando se restringe a un subespacio formado por vectores is´otropos. (e) Existen subespacios de vectores is´otropos con dimensi´on igual a q. 210. Consid´erese la forma bilineal en IR 3 definida por φ(x, y) = x 3 y 1 +x 2 y 2 +x 1 y 3 +ax 3 y 3 . Diagonalizarla. Si a = 3 hallar sus vectores is´otropos (es decir φ(x, x) = 0). ¿Forman un subespacio? ¿Existe alg´ un a tal que φ sea definida positiva? 211. En el espacio vectorial IR 3 se considera la forma bilineal sim´etrica φ cuya forma cuadr´atica asociada es q φ (x 1 , x 2 , x 3 ) = 3x 2 1 −4x 1 x 2 −6x 1 x 3 + 3x 2 2 + 4x 2 x 3 + 4x 2 3 Comprobar, aplicando el m´etodo de Lagrange, que φ define un producto escalar y hallar una base ortonormal respecto de este producto escalar. 212. Sea V un espacio vectorial complejo de dimensi´on 4, ( , ) un producto escalar en V , B = ¦u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ¦ una base ortonormal de V y W el subespacio generado por los vectores w 1 , w 2 cuyas coordenadas en la base B son (1 − i, 0, 1 + i, 0), (1, 0, 0, 1) respectivamente. Sabiendo que w 1 , w 2 son autovectores de autovalor −1 de un operador autoadjunto / en V cuyo otro autovalor (de multiplicidad 2) es 1, calcular una base ortonormal de V formada por autovectores de / y el proyector ortogonal sobre el subespacio W. ¿Es / unitario? 213. Sea V un espacio vectorial complejo de dimensi´on finita con un producto escalar y sea A: V → V un operador autoadjunto. Si R = A +i1 V , demostrar: (a) |Ru| 2 = |Au| 2 +|u| 2 , ∀u ∈ V. (b) R es un operador inversible. (c) (A −i1 V )(A +i1 V ) −1 es unitario. 214. Sea A el operador en IR 3 con el producto escalar usual, cuya matriz asociada respecto de la base can´onica es / = _ _ 2 2 −1 2 −1 2 −1 2 2 _ _ (a) Obtener una matriz ortogonal P tal que P t /P sea diagonal. (b) Dar la descomposici´on espectral del operador A. 215. Se considera la matriz en /(IR 4 ): A = _ _ _ _ −1 0 0 −1 0 1 3 0 0 3 1 0 −1 0 0 −1 _ _ _ _ . (a) Sea V un espacio vectorial real dotado de un producto escalar. Si A es la matriz de un endomorfismo f de V en una base ortonormal B, calcular bases del n´ ucleo y la imagen. (b) En la situaci´on descrita en a), calcular una base ortonormal de V formada por autovectores de f, y hallar su descomposici´on espectral. Encontrar una matriz ortogonal P, tal que P t AP sea diagonal. 216. Sea B = ¦u 1 , u 2 , u 3 ¦ una base ortonormal de IR 3 respecto al producto escalar usual ((x, y) = 3 i=1 x i y i en la base can´onica). Se define un operador lineal, T, mediante: T(u 1 ) = 5u 1 + 2u 2 + 4u 3 , T(u 2 ) = 2u 1 + 8u 2 −2u 3 , T(u 3 ) = 4u 1 −2u 2 + 5u 3 . jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 200 PROBLEMAS (a) Encontrar una base ortonormal de IR 3 , B ′ = ¦v 1 , v 2 , v 3 ¦, tal que: Tv 1 = a 1 v 1 , Tv 2 = a 2 v 2 , Tv 3 = a 3 v 3 y calcular a 1 , a 2 , a 3 ∈ IR. (b) Calcular la descomposici´on espectral de T en la base B. 217. Diagonalizar mediante una transformaci´on ortogonal el operador que en una cierta base ortonormal B viene representado por la matriz: A B = _ 2 −2 −2 5 _ Utilizar dicha transformaci´on para reducir a suma de cuadrados la forma cuadr´atica q(v) = 2v 2 1 −4v 1 v 2 + 5v 2 2 218. Sea A un operador autoadjunto en el espacio vectorial C n , dotado del producto escalar usual: (x, y) = n i=1 ¯ x i y i . Sean: u = (1, 0, . . . , 0, i), v = (1, 0, . . . , 0, 1) dos autovectores de A, con autovalores λ, µ respectivamente. Calcular λ en funci´on de µ. 219. En End(V ) se define el producto escalar (A, B) = tr(A t B): (a) Calcular el complemento ortogonal del subespacio de los operadores sim´etricos S(V ) ⊥ (b) Si V = IR 3 describir la descomposici´on End(V ) = S(V ) ⊕S(V ) ⊥ 220. Calcular, si existe, una base ortonormal de C 4 (con el producto escalar usual), en la que sea diagonal el operador que en la base can´onica tiene como matriz: T = _ _ _ _ 2 −1 1 0 1 2 0 −1 −1 0 2 1 0 1 −1 2 _ _ _ _ Calcular la descomposici´on espectral de este operador. 221. Calcular la proyecci´on ortogonal del vector v = e 1 + 2e 3 de IR 3 sobre el subespacio S = W ⊥ , W = lin¦e 1 −e 2 ¦ B = ¦e 1 , e 2 , e 3 ¦ es una base ortonormal de IR 3 222. Escribir la matriz que representa una rotaci´on en el plano perpendicular al vector (0, 1, 0). 223. Calcular un valor de a ∈ IR para el que la transformaci´on de IR 3 , representada por la siguiente matriz en una base ortonormal, sea una rotaci´on. R = _ _ 0 1 0 1 0 0 0 0 a _ _ Calcular en ese caso el eje y el ´angulo de rotaci´on. 224. Determinar las matrices A para las que e tA es ortogonal. 225. ¿Cu´antas rotaciones existen en IR 3 que lleven el vector (1, 1, 1) en el (0, 1, 1)? ¿Y cu´antas que lleven el vector (1, 0, 0) en el (0, 1, 0)? 226. Encontrar los valores de λ ∈ IR que hacen a las siguientes formas cuadr´aticas definidas positivas: a) 5x 2 1 +x 2 2 +λx 2 3 + 4x 1 x 2 −2x 1 x 3 −2x 2 x 3 b) 2x 2 1 +x 2 2 + 3x 2 3 + 2λx 1 x 2 + 2x 1 x 3 y diagonalizar las formas definidas positivas por Gram-Schmidt. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 201 227. Determinar si las aplicaciones siguientes son sesquilineales, calcular las formas herm´ıticas asociadas y diagonalizarlas: a) f:C 2 C 2 →C f(x, y) = ¯ x 1 y 1 −i¯ x 2 y 1 +i¯ x 1 y 2 + 2¯ x 2 y 2 b) g:C 3 C 3 →C g(x, y) = −i¯ x 1 y 2 +i¯ x 2 y 1 − ¯ x 3 y 1 − ¯ x 1 y 3 + ¯ x 2 y 3 + ¯ x 3 y 2 ¿Son definidas positivas? En caso afirmativo diagonalizarlas usando Gram-Schmidt. 228. Sean L 1 y L 2 dos subespacios de un espacio de Hilbert de dimensi´on finita, y dimL 1 < dimL 2 . Probar que existe en L 2 un vector no nulo ortogonal a L 1 . 229. Calcular el vector del subespacio de IR 4 dado por: 2x 1 +x 2 +x 3 + 3x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 +x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 2x 3 −9x 4 = 0 _ _ _ que m´as se aproxima (en el sentido de la norma que deriva del producto escalar usual de IR 4 ) al vector (7, −4, −1, 2). 230. Sea ¦u 1 , u 2 ¦ una base ortonormal del plano y la matriz de la aplicaci´on lineal φ en la base ¦v 1 = u 1 , v 2 = u 1 +u 2 ¦: _ 1 2 1 −1 _ Calcular la matriz de φ t en la base ¦v 1 , v 2 ¦. 231. Sea (E, ( , )) un espacio euclidiano, x, y ∈ E dos vectores no nulos. Estudiar si son equivalentes las siguientes afirmaciones: a) x ⊥ y, b) |x +λy| ≥ |x|, ∀λ ∈ IR 232. Sea (E, ( , )) un espacio euclidiano de dimensi´on 4, y B = ¦e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ¦ una base ortonormal. Describir todos los operadores ortogonales cuya matriz en la base B es cuasitriangular superior. 233. Sea (E, ( , )) un espacio euclidiano de dimensi´on finita y A un operador lineal sim´etrico en E. Probar que si A k = I para alg´ un entero positivo k, entonces A 2 = I. 234. Sea (E, ( , )) un espacio euclidiano de dimensi´on n ≥ 2 y sean v, w dos vectores no nulos. Sea q: E → IR la forma cuadr´atica definida por: q(x) = (v, w)(x, x) −(v, x)(w, x) (a) Calcular la forma bilineal sim´etrica f q : E E → IR tal que: q(x) = f q (x, x) (b) Calcular el operador lineal sim´etrico A q : E → E tal que: q(x) = (x, A q x). (c) Suponiendo que (v, w) = 0, calcular ker A q . 235. Se considera el operador sim´etrico T: IR 4 → IR 4 (dotamos a IR 4 del producto escalar usual) cuya matriz en la base can´onica es: A = _ _ _ _ 1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 _ _ _ _ Calcular una base ortonormal de IR 4 formada por vectores propios de T y encontrar una matriz ortogonal P tal que P t AP sea diagonal. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 202 PROBLEMAS 236. Sea E un espacio vectorial complejo de dimensi´on finita n y ( , ) un producto escalar en E. Sea A: E → E un operador autoadjunto con valores propios λ 1 ≥ . . . ≥ λ n . Consid´erese un vector x ∈ E unitario. Probar que: λ n ≤ (x, Ax) ≤ λ 1 y deducir que: (x, Ax) = λ 1 ⇐⇒ Ax = λ 1 x (x, Ax) = λ n ⇐⇒ Ax = λ n x Si T: E → E es un operador lineal, probar que T + T es autoadjunto y positivo: (x, T + Tx) ≥ 0, ∀x ∈ E 237. Se considera la matriz real sim´etrica: A = _ _ −2 −2 −4 −2 1 −2 −4 −2 −2 _ _ Calcular la descomposici´on espectral de A. 238. La siguiente matriz representa una rotaci´on en IR 3 : 1 9 _ _ 8 1 −4 −4 4 −7 1 8 4 _ _ Calcular la direcci´on del eje de rotaci´on y el ´angulo de giro. 239. Calcular una matriz ortogonal P ∈ M 3 (IR), tal que P t AP sea diagonal, siendo: A = _ _ 6 −2 2 −2 5 0 2 0 7 _ _ 240. Se considera la matriz: A = _ _ 5 2 2 2 2 −4 2 −4 2 _ _ (a) Si A es la matriz de un operador lineal en IR 3 respecto a una base ortonormal, ¿de qu´e tipo es ese operador? (b) Calcular una matriz ortogonal P tal que P t AP sea diagonal. (c) Descomponer A como combinaci´on lineal de proyectores ortogonales (descomposici´on espec- tral). 241. Calcular una matriz ortogonal P tal que P t AP sea diagonal, donde: A = _ _ 1 2 2 2 1 −2 2 −2 1 _ _ y calcular la descomposici´on espectral de A. 242. Sea f: IR 3 IR 3 → IR, la forma bilineal sim´etrica cuyas ecuaciones referidas a la base can´onica de IR 3 son: f(x, y) = x t _ _ 1 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2 _ _ y jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 203 (a) Comprobar que f es definida positiva. T´omese f como un producto escalar en IR 3 y calc´ ulese una base ortonormal de IR 3 respecto a este producto escalar, aplicando el procedimiento de Gram-Schmidt a la base can´onica de IR 3 . (b) Se considera la transformaci´on lineal T: IR 3 → IR 3 dada por sus ecuaciones en la base can´onica: T(x) = _ _ 3 0 −2 2 −1 0 0 0 1 _ _ x Comprobar que T es un operador sim´etrico en el espacio euclidiano (IR 3 , f). (c) Calcular la descomposici´on espectral de T que deber´a expresarse en la base can´onica de IR 3 . 243. Se considera la matriz sim´etrica: A = _ _ 3 2 4 2 0 2 4 2 3 _ _ Calcular la descomposici´on espectral de esta matriz (se considera que A es la matriz en la base can´onica de un operador sim´etrico de IR 3 con el producto escalar usual). 244. Dada la matriz: A = _ _ 0 1 −2 −1 0 −1 2 1 0 _ _ ∈ M 3 (C) (a) Probar que es normal y calcular su espectro. (b) Encontrar una matriz unitaria U, tal que UAU + sea diagonal. 245. Sea el operador cuya matriz en la base can´onica de C 3 , con el producto escalar usual, es: A = _ _ 1 0 −1 0 2 0 −1 0 1 _ _ . (a) Calcular una base ortonormal de autovectores. (b) Calcular la descomposici´on espectral. (c) Encontrar la distancia del vector x = (1, 0, i) al subespacio lineal correspondiente al autovalor m´aximo. (d) Calcular e A . 246. Sea V un espacio vectorial real de dimensi´on 2, dotado de un producto escalar, y sea B = ¦u 1 , u 2 ¦ una base de V . Sea A un operador sim´etrico en V respecto a ese producto escalar, tal que: Au 1 = 2u 1 + 2u 2 , Au 2 = u 1 − 2u 2 . Sabiendo que los vectores u 1 y u 2 tienen norma igual a 1, calcular el producto escalar de u 1 por u 2 . 247. Sea el operador cuya matriz en la base can´onica de C 3 (con el producto escalar usual) es A = _ _ 1 i 1 −i 0 0 1 0 0 _ _ . (a) Decir qu´e tipo de operador es. (b) Calcular los autovalores. (c) Hallar, si existe, una base ortonormal de autovectores. (d) Calcular la descomposici´on espectral. (e) Calcular cos(πA). jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 204 PROBLEMAS 248. Probar que el tensor aδ ik δ jl +bδ il δ jk +cδ ij δ kl es invariante bajo transformaciones ortogonales. 249. Las componentes de un tensor 3 veces covariante referidas a una base ortonormal de IR 2 son todas 1. Calcular las componentes referidas a la base ortonormal girada 90 o respecto a la primera. 250. Demostrar las siguientes relaciones en IR 3 : ǫ kij ǫ jlm x i y l z m = x i z i y k −x i y i z k , ǫ ijk ǫ ilm x j y k x l y m = x i x i y j y j −(x i y i ) 2 251. Dados los vectores x e y en IR 3 , escribir las componentes de (x ∧y) i = ǫ ijk x j y k y decir si es tensor y de qu´e tipo. 252. Dados x e y, vectores de IR 2 definidos por x 1 = 1, x 2 = −1, y 1 = 0 e y 2 = 2 y el tensor m´etrico: g 11 = 1, g 12 = g 21 = 1/2 , g 22 = 2, hallar: (a) x i x i , (b) y i y i y (c) y i x i . 253. Sean v y w dos vectores de IR n de norma unidad y ortogonales entre s´ı. Hallar el valor del escalar: ǫ ijk δ kl v l v j w i +v k δ kl w l +δ ij δ ji v k δ kl v l 254. Se consideran las matrices γ µ ∈ / 4 (C), µ = 0, 1, 2, 3, que verifican: γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν I 4 . Supongamos que γ µ son las componentes de un tensor de tipo (1, 0) y g µν las de un tensor invariante de tipo (2, 0), con valores: g 00 = −g 11 = −g 22 = −g 33 = 1, g µν = 0, µ ,= ν. Calcular el n´ umero de componentes linealmente independientes (en el espacio / 4 (C)) de los tensores: γ µ γ ν , γ µ γ ν γ ρ , γ µ γ ν γ ρ γ σ . 255. Sea V un espacio vectorial y los tensores A µ , T µν , g µν , donde T µν es sim´etrico y g µν define un producto escalar en V . Construir el escalar m´as general que se puede formar con los tensores A µ y T µν mediante una combinaci´on lineal de productos tensoriales hasta orden 3 y contracciones. 256. En el espacio / n (C) se considera el conjunto de matrices linealmente independientes, ¦X 1 , , X r ¦, que generan un subespacio W. Supongamos que el conmutador de dos matrices de W es una matriz de W, es decir: [X i , X j ] = c ijk X k , i, j, k = 1, , r Demostrar que c ijk es un tensor bajo transformaciones asociadas a cambios de base en W. ¿De qu´e tipo? 257. Sea A µν un tensor sim´etrico en el espacio IR 3 con tensor m´etrico g µν . Sean λ i , i = 1, 2, 3 los autovalores de A µ ν . Demostrar que: 3 i=1 λ i = A µ µ , 3 i=1 λ 2 i = A µν A µν , 3 i=1 λ 3 i = A µν A νρ A ρ µ 258. Sea V un IR-espacio vectorial con producto escalar y B = ¦u 1 , u 2 , u 3 ¦ una base de V , con tensor m´etrico: g 11 = 3, g 22 = 2, g 33 = 1, g 12 = g 21 = 1, g 13 = g 31 = 1, g 23 = g 32 = 0. (a) Dado un vector x cuyas coordenadas covariantes son x 1 = x 2 = x 3 = 1, hallar sus coordenadas contravariantes. Si y = u 1 +u 2 +u 3 , ¿cu´ales son sus coordenadas covariantes? (b) Sea el tensor A una vez contravariante y 2 veces covariante cuyas componentes referidas a B son: A i jk = δ i j x k +δ i k x j Calcular A ijk y i y j y k . 259. Consid´erese el espacio IR 3 y un tensor m´etrico que en cierta base B viene determinado por g 11 = g 22 = −g 33 = 1, g ij = 0 si i ,= j. Sean los siguientes tensores definidos por sus coordenadas: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3; a 1 1 = a 1 3 = a 2 1 = a 3 1 = a 3 2 = a 3 3 = 1, a 1 2 = a 2 2 = a 2 3 = 2 Calcular: a) x i x i . b) a ij x i x j . c) a ij a ij . d) ǫ ijk a ij x k . jcdelacruz______________________________________________________________________unsch PROBLEMAS 205 260. Las componentes de un tensor 3 veces covariante referidas a una base ortonormal de IR 3 son todas iguales a 1. Hallar sus componentes referidas a la base que resulta al girar la base dada un ´angulo de π/4 respecto del primer eje. 261. En el espacio IR 2 se considera el producto escalar cuya matriz respecto a una base B = ¦u 1 , u 2 ¦ es: _ 4 2 2 2 _ (a) Hallar las coordenadas contravariantes y covariantes del vector 2u 1 + u 2 en la base B ′ = ¦u 1 + 2u 2 , u 1 −u 2 ¦. (b) Estudiar si son ciertas las siguientes igualdades: i. (u 1 +u 2 ) ⊗(2u 1 −u 2 ) + (u 1 + 2u 2 ) ⊗u 2 = (2u 1 +u 2 ) ⊗u 1 +u 2 ⊗(u 1 +u 2 ) ii. (u 1 −u 2 ) ⊗(u 1 +u 2 ) = (u 1 +u 2 ) ⊗(u 1 −u 2 ) (c) Dados los tensores cuyas componentes referidas a la base B son: r ij k = i(2−k), s i jk = (i+1)j, hallar las componentes respecto de B ′ del tensor cuyas componentes respecto de B son: r ij k s k il . jcdelacruz______________________________________________________________________unsch Soluciones Las soluciones que aqu´ı aparecen son simplemente resultados num´ericos de los problemas o bien indica- ciones escuetas de como resolverlos. 1. Todas son ciertas. 2. La inclusi´on f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) es siempre cierta. 3. 1) S´ı; 2) No; 3) S´ı; 4) S´ı; 5) No; 6) S´ı; 7) S´ı; 8) No; 9) No; 10) No. 4. La imagen inversa de un subconjunto se puede definir aunque no exista la aplicaci´on inversa. 5. La aplicaci´on α que verifica α ◦ h = 1 X , no es ´ unica. 6. a) S´ı; b) S´ı; c) S´ı; d) S´ı. 7. La condici´on necesaria y suficiente es: a) E = A ∪ B. b) A ∩ B = ∅ 8. No es una relaci´on de equivalencia en E, pero s´ı lo es en E − ¦O¦. Las clases de equivalencia en este segundo caso son las rectas que pasan por el origen (sin el origen). 9. El primer caso es una relaci´on de equivalencia. Las clases son hip´erbolas equil´ateras con as´ıntotas en los ejes. En el segundo caso no se trata de una relaci´on de equivalencia. 10. La aplicaci´on f es constante sobre los elementos de una clase. 11. El elemento neutro es (1, 0). El elemento inverso de (a, x) es (a −1 , −xa −1 ). B es subgrupo conmu- tativo de A. 12. A 4 tiene 12 elementos. El ´ unico subgrupo de orden 12 es A 4 . Solo hay un subgrupo de orden 4 (e es el elemento neutro): ¦e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)¦. De orden 3 hay los siguientes (que son isomorfos): ¦e, (123), (132)¦, ¦e, (124), (142)¦, ¦e, (134), (143)¦, ¦e, (234), (243)¦. De orden 2 (isomorfos): ¦e, (12)(34)¦, ¦e, (13)(24)¦, ¦e, (14)(23)¦. De orden 1 solo hay un sub- grupo: ¦e¦ 13. f es un homomorfismo: a n+m = a n a m . El n´ ucleo de f son los m´ ultiplos de 5. La imagen es el grupo G 5 . El grupo cociente, ZZ/ ker f est´a formado por los n´ umeros congruentes m´odulo 5. 14. El elemento neutro es f 0 y el inverso de f a es f −a 15. El grupo del tetraedro T es isomorfo al grupo de alternaciones A 4 . 16. El isomorfismo hace corresponder a la matriz dada por a, b el n´ umero complejo z = a +ib. 17. Solo hay dos grupos no isomorfos de orden 4 y son abelianos (el grupo de Klein (con a 2 = b 2 = e) y el c´ıclico de orden 4): G 1 = ¦e, a, b, ab¦, G 2 = ¦e, r, r 2 , r 3 ¦. 18. No es un subgrupo normal. El conjunto cociente grupo/subgrupo (definidos en el problema) no es un grupo. 19. a) Son abelianos (orden 4). b) S´ı. f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = x. c) No. 207 jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 208 SOLUCIONES 20. ZZ 8 : ¦0¦, ¦0, 4¦, ¦0, 2, 4, 6¦, ZZ 8 . ZZ 6 : ¦0¦, ¦0, 3¦, ¦0, 2, 4¦, ZZ 6 . f(0) = 0, f(1) = 3, f(2) = 0, f(3) = 3, f(4) = 0, f(5) = 3, f(6) = 0, f(7) = 3. No. 21. [1], [3]. 22. No. f([2n]) = [3n], ∀n ∈ IN. 23. Elemento neutro: ([1], [0]). Si q tiene inverso: ([2], [3]) −1 = (q −1 [2], q −1 [3]). 24. Las clases se pueden caracterizar por el valor que toma el polinomio en a ∈ IR). 25. a) R = ¦[0], [2], [4], [6]¦ es un ideal de ZZ 8 . b) No. 26. El cuerpo de los n´ umeros racionales s´olo tiene el automorfismo identidad. El cuerpo F 2 tiene dos automorfismos: la identidad y ϕ(a +b √ 2) = a −b √ 2 27. Se trata de una representaci´on matricial de los cuaterniones. 28. Se supone que los ideales no contienen a la unidad (pues si no, son triviales). 29. Es un anillo con las operaciones dadas. 30. Los divisores de cero son: ¦[2], [4], [6]¦ y los elementos invertibles: ¦[1], [3], [5], [7]¦. 31. Si un elemento tiene inverso y est´a en un ideal, ´este es igual al anillo. 32. En un cuerpo no hay ideales propios. 33. Suponer que la recta es el eje real. 34. 1, 1 +i √ 2 i, −1 +i √ 2 , −1, −1 −i √ 2 , −i, 1 −i √ 2 35. cos 5x = cos 5 x −10 cos 3 xsen 2 x +5 cos xsen 4 x, sen5x = 5 cos 4 x sen x−10 cos 2 xsen 3 x +sen 5 x. 36. Si p(z) tiene todos los coeficientes reales: p(z) = p(z). 37. zp(z) = z n +p(z) −1 ⇒ (z −1)p(z) = z n −1. Si z n 0 = 1 y z 0 ,= 1, entonces p(z 0 ) = 0 38. Ra´ıces primitivas: (1 ±i √ 3)/2 39. P(x) = (x −1) 5 = (x −1) 2 (x −e 2πi/5 ) 2 (x −e 4πi/5 ) 2 (x −e 6πi/5 ) 2 (x −e 8πi/5 ) 2 40. La envolvente lineal de S es la intersecci´ on de todos los subespacios que contienen a S. 41. Usar para la suma la definici´on: U +V = ¦x +y [ x ∈ U, y ∈ V ¦. 42. Si x ∈ lin¦v 1 , . . . , v r ¦, x = r i=1 λ i v i . Como v r = r−1 i=1 µ i v i , x ∈ lin¦v 1 , . . . , v r−1 ¦ 43. a) S´ı; b) No; c) No; d) No. 44. W 1 no; W 2 no; W 3 s´ı; W 4 no; W 5 s´ı. 45. a) S´ı; b) S´ı; c) No; d) S´ı; e) No; f) S´ı. 46. V = lin(V −W). 47. Usando la f´ormula: dimW 1 + dimW 2 = dim(W 1 +W 2 ) + dim(W 1 ∩ W 2 ). 48. La igualdad ((IR, IR) = T ⊕1 es consecuencia de la identidad: f(t) = 1 2 (f(t) +f(−t)) + 1 2 (f(t) −f(−t)) jcdelacruz______________________________________________________________________unsch SOLUCIONES 209 49. La igualdad V = U ⊕W es consecuencia de la identidad: f(x) = _ f(x) + b −a 2 x − b +a 2 _ + _ − b −a 2 x + b +a 2 _ donde: a = f(1) y b = f(−1). 50. Estudiar el rango de la matriz A, cuyas columnas son las coordenadas de los vectores u i en la base B, y emplear el isomorfismo entre V y IK n . 51. W 1 ∩ W 2 = lin¦(−2, −5, 2, 1)¦. 52. Los dos primeros, no. El tercero, s´ı. 53. Base de W: ¦2, 0, 5, 3), (0, 1, 3, 1)¦. Una base de un complementario es: ¦1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)¦ 54. S 1 : l.i.; S 2 : l.d.; S 3 : l.i.; S 4 : l.i.; S 5 : l.d.; 55. a = 8, b = 9. Base de W: ¦p 1 (x), p 2 (x)¦, y las coordenadas son: p 1 (x) → (1, 0), p 2 (x) → (0, 1), p 3 (x) → (5, −2). 56. S 1 es l.i. y S 2 es l.d. 57. Los tres primeros vectores forman una base de C 3 . 58. Derivando n − 1 veces en n i=1 µ i e λ i z = 0 se obtienen las n ecuaciones: n i=1 λ k i µ i e λ i z = 0, con k = 0, . . . , n −1. Se tiene un sistema lineal de ecuaciones en µ i , con determinante: exp(z n i=1 λ i ) det _ _ _ _ _ 1 . . . 1 λ 1 . . . λ n . . . . . . λ n−1 1 . . . λ n−1 n _ _ _ _ _ que es el determinante de Vandermonde igual a (salvo un factor no nulo): i<j (λ i −λ j ) ,= 0 Para la segunda parte se usan las identidades: cos z = 1 2 (e iz +e −iz ), sen z = 1 2i (e iz −e −iz ) 59. a) P = 1 3 _ _ 2 0 1 −3 0 3 1 3 2 _ _ , b) P = 1 15 _ _ 33 −33 9 2 13 6 7 23 6 _ _ 60. p(x) = n i=0 a i x i = n i=0 λ i (x +a) i luego λ i son los coeficientes del desarrollo de Taylor en x = −a: λ k = p (i) (−a)/k! 61. El grado de p(x) debe ser igual a n. 62. W 1 ⊕W 2 , W 2 ⊕W 3 , W 3 ⊕W 1 son sumas directas, pero W 1 +W 2 +W 3 no es suma directa. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 210 SOLUCIONES 63. Por inducci´on. Para n = 2 ya est´a demostrado. Si es cierto para n −1, para n basta escribir: W 1 + +W n = (W 1 +W 2 ) +W 3 +W n y aplicar la hip´otesis de inducci´on y la f´ormula para el caso n = 2. En el caso de suma directa, todas las intersecciones de la expresi´on anterior son iguales a cero. 64. S´ı son complementarios: U ∩ W = ¦0¦ y la suma de dimensiones es n. 65. La suma no es directa para a = −9/5 y b = −2/5. 66. Base de U: ¦p 1 (x), p 3 (x)¦. Base de W: ¦q 1 (x), q 2 (x)¦ Base de U ∩ W: ¦3p 3 (x) −p 1 (x)¦. Base de U +W: ¦p 1 (x), p 3 (x), q 2 (x)¦ 67. La ´ unica inclusi´on que es siempre cierta es: (W 1 ∩ W 3 ) + (W 2 ∩ W 3 ) ⊂ (W 1 +W 2 ) ∩ W 3 . 68. m = −2, n = 1. V 2 = lin(¦(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)¦. 69. La dimensi´ on de cualquier intersecci´on de la f´ormula es 0. Entonces: 3 < 1 + 1 + 2. 70. dimW 1 ∩ W 2 = 1 ⇒ dim(W 1 +W 2 ) = 4 ⇒ W 1 +W 2 = V 71. dimU = 3, B U = ¦(1, 0, 0, 0, −1), (0, 1, 0, 4, −1), (0, 0, 1, 3, −1)¦ dim V = 2, B V = ¦(1, −1, 2, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 1)¦, dimU ∩ V = 1, B U∩V = ¦(1, −3, 4, 0, −2)¦ dimU +V = 4, B U+V = ¦(1, 0, 0, 0, −1), (0, 1, 0, 4, −1), (0, 0, 1, 3, −1), (1, −1, 2, 0, 0)¦ 72. a = 0 73. S´ı. B = ¦(x −1), (x −1)x, (x −1)x 2 , . . . , (x −1)x n−1 ¦ 74. a) Falsa. b) Verdadera. c) Falsa. 75. dim(V 1 V 2 ) = dim(V 1 ) + dim(V 2 ). Para la segunda parte se usa la definici´on de suma directa. 76. dimL = 2. Ecuaciones param´etricas: x 1 = λ, x 2 = (2+i)λ+3µ, x 3 = (2−i)λ+µ, x 4 = −iλ+4µ. Ecuaciones impl´ıcitas: (−7 + 4i)x 1 −x 2 + 3x 3 = 0, (−12 + 3i)x 1 + 4x 3 −x 4 = 0. Base del espacio cociente: ¦(1, 0, 0, 0) +L, (0, 1, 0, 0) +L¦ 77. x 2 = x 5 = 0. W 1 ∩ W 2 = lin¦v 1 +v 3 +v 4 ¦, W 1 ∩ W 3 = ¦0¦ W 2 ∩ W 3 = ¦0¦, W 1 ∩ W 2 ∩ W 3 = ¦0¦. No es suma directa. 78. Base de V : ¦u 2 , u 3 , u 4 , u 5 ¦. base de W: ¦u 4 , u 5 ¦ 79. Sustituir t por A en la expresi´on del polinomio. 80. tr A = tr[B, C] = tr(BC −CB) = tr BC −tr CB = tr BC −tr BC = 0. No: tr iI = ni. 81. Usando inducci´on se prueba que: A n = nA −(n −1)I. Por tanto, A 100 = _ 1 0 −100 1 _ 82. A n = I +nN + 1 2 n(n −1)N 2 = _ _ 1 n 1 2 n(n −1) 0 1 n 0 0 1 _ _ , N = A −I 83. Basta hacer la conmutaci´on con los elementos de la base can´onica E ij . jcdelacruz______________________________________________________________________unsch SOLUCIONES 211 84. A 2 = ABAB = ABB = AB = A, B 2 = BABA = BA 2 = B. S´olo son invertibles si son iguales a la identidad. 85. Se tiene: M(λ)M(λ ′ ) = M(λ +λ ′ ). El inverso de M(λ) es M(−λ). 86. Escribiendo la ecuaci´on AB = I como un sistema lineal, o considerando que cualquier matriz cuadrada con determinante distinto de cero tiene inversa. 87. (−1) n(n−1)/2 88. Desarrollar por la primera columna todas las matrices que van apareciendo. Para matrices trian- gulares inferiores utilizar la transpuesta. 89. En el primer caso, por inducci´on en el orden de A. En el segundo caso, usar: _ C A B 0 _ = _ A C 0 B __ 0 I n I m 0 _ y probar que: det _ 0 I n I m 0 _ = (−1) nm 90. det Adet B = det _ A −I 0 B _ = det _ A −I AB 0 _ = (−1) n 2 +n det(AB) = det(AB) 91. D 1 = (x −a) n (x + (n −1)a), D 2 = a n−1 (a + n i=1 x i ). 92. Haciendo ceros en la primera columna (desde la fila 2 hasta la ´ ultima, restando de cada fila la anterior multiplicada por x 1 ) se demuestra que: W[x 1 , . . . , x n ] = 1<i (x i −x 1 )W[x 2 , . . . , x n ]. Con esta recurrencia se prueba que: W[x 1 , . . . , x n ] = j<i (x i −x j ) 93. det(A) = −8, det(B) = (a−b)(a−c)(a−d)(b−c)(b−d)(c−d)(a+b+c+d), det(C) = (a 2 −b 2 ) 4 . 94. ∆ n = 0, n ≥ 3, ∆ 2 = (x 1 −x 2 )(y 2 −y 1 ). 95. det(A) = det(A t ) = det(−A) = (−1) n det(A), luego det(A) = 0 si n es impar (y 2 ,= 0). 96. (det A)(det A + ) = (det A)(det A) = [ det A[ 2 = det I = 1 ⇒ [ det A[ = 1. 97. Usar para a) y b) las siguientes igualdades: _ A B C D _ = _ A 0 C D −CA −1 B __ I A −1 B 0 I _ , _ A B C D _ = _ I BD −1 0 I __ A −BD −1 C 0 C D _ 98. 1) a = −20 ⇒ r(A) = 3, a ,= −20 ⇒ r(A) = 4. 2) a = 3 ⇒ r(A) = 2, a ,= 3 ⇒ r(A) = 4 99. a = 1, b = 7 ⇒ r(A) = 3. 100. r(A) = 2. 101. r(B) = dim(lin¦B 1 , . . . , B m ¦), r(AB) = dim(lin¦AB 1 , . . . , AB m ¦) ⇒ r(AB) ≤ r(B). De forma similar (usando transpuestas, por ejemplo) se prueba: r(AB) ≤ r(A). jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 212 SOLUCIONES 102. Si r(A) = 0 (suponiendo que la primera fila es no nula; en el caso en que todas lo sean la igualdad es evidente): _ _ _ _ _ a 11 a 1n a 21 a 2n . . . . . . a n1 a nn _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ a 11 a 1n λ 2 a 11 λ 2 a 1n . . . . . . λ n a 11 λ n a 1n _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ 1 λ 2 . . . λ n _ _ _ _ _ _ a 11 a 1n _ La implicaci´on en sentido contrario es consecuencia de un problema anterior: r(RS) ≤ min(r(R), r(S)) ≤ 1 103. a) r(AB) ≤ min(r(A), r(B)) ≤ n < m. Pero, r(I m ) = m. b) AB = I m ⇒ AB i = e i , i = 1, . . . m. Si r(A) = m entonces r(A[e i ) = m para cualquier i, luego el sistema es compatible y como n < m, es indeterminado y hay infinitas soluciones. Si r(A) < m, r(AB) < m, luego no puede ser igual a I m . 104. det(A) = −9. 105. cof(λA) = λ n−1 cof A, det(cof A) = (det A) n−1 , cof(cof A) = (det A) n−2 A, cof(AB) = cof Acof B. 106. a ij = j +n(i −1). El rango es 2 (restar a cada fila la anterior). 107. No existe inversa de A. B −1 = 1 8 _ _ 8 0 8 −6 2 −2 −3 1 −5 _ _ , C −1 = _ _ _ _ 5 −4 −1 4 10 −8 −3 9 11 −9 −4 10 9 −7 −3 8 _ _ _ _ 108. A −1 = _ _ −1 2 1 5 −8 −6 −3 5 4 _ _ , B −1 = 1 3 _ _ −5 2 4 −3 0 3 7 −1 −5 _ _ , C −1 = _ _ 14 8 3 8 5 2 3 2 1 _ _ 109. A −1 = _ _ −i 1 + 2i i 1 −i 1 −i 1 0 1 _ _ 110. Sea A con elementos en ZZ. Si det A = ±1, la inversa tiene elementos enteros. Si A y A −1 tienen elementos enteros, los dos determinantes son enteros. Como uno es el inverso del otro y en ZZ las ´ unicas unidades (elementos con inverso) son 1, −1, el determinante es ±1. 111. a) S´ı. b) S´ı. c) S´ı. d) S´ı. e) No. f) No. g) No. h) No. 112. 1) No. 2) No. 3) S´ı. 4) No. 113. Se define, si x = n i=1 x i v i ∈ V 1 , el operador A como: Ax = n i=1 x i w i , que verifica: Av i = w i y es lineal. Adem´as, es ´ unico (al ser B una base de V 1 ). 114. a) λ 1 +λ 2 e it +λ 3 e −it = 0 implica λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0, por ejemplo derivando y poniendo t = 0. b) Que B ′ es otra base se prueba como antes. La matriz de cambio es: P = _ _ 1 0 0 0 1 1 0 i −i _ _ jcdelacruz______________________________________________________________________unsch SOLUCIONES 213 115. a) No. b) No. c) No d) S´ı. (no degenerado=inyectivo). 116. T es claramente lineal. Adem´as es biyectiva: ker T = ¦0¦ e imT = C n [t]. 117. a) T es lineal. b) T(x 2m ) = 2 m−1 k=0 _ 2m 2k _ x 2k , T(x 2m+1 ) = 2 m−1 k=0 _ 2m+1 2k+1 _ x 2k+1 c) ker T = C 1 [t], imT =C n−2 [t] d) Si T ˜ p(t) = q(t), entonces p(t) = ˜ p(t) − ˜ p ′ (0)t − ˜ p(0) verifica: Tp(t) = q(t) y p ′ (0) = p(0) = 0. Adem´as, p es ´ unico con estas propiedades. 118. F A es lineal. F A (XY ) = [A, XY ] = X[A, Y ] + [A, X]Y . 119. A ′ = QAP −1 con: Q −1 = _ 0 1 1 1 _ , P −1 = _ _ 1 1 1 0 1 0 −1 1 0 _ _ , A ′ = _ −2 1 0 1 2 1 _ 120. a) S´ı. b) No. c) No. d) S´ı. e) S´ı. 121. ker T = lin¦(1, −1, 1)¦, imT = lin¦(1, 0, −1), (2, 1, 3)¦. 122. a) T = _ 0 −1 1 0 _ , b) P = 1 3 _ 1 1 2 −1 _ , T ′ = 1 3 _ −1 2 −5 1 _ c) det T = 1 +c 2 ,= 0, ∀c ∈ IR. 123. a) T = _ _ 3 0 1 −2 1 0 −1 2 4 _ _ , P = − 1 4 _ _ 1 3 −5 1 −1 −1 −2 −2 2 _ _ , T ′ = 1 4 _ _ 17 35 22 −3 15 −6 −2 −14 0 _ _ b)det T = 9, T −1 (x, y, z) = (1/9)(4x + 2y −z, 8x + 13y −2z, −3x −6y + 3z). 124. A 2 = 0, pues si x ∈ V , Ax ∈ imV = ker A ⇒ A(Ax) = 0. 125. det L A = det R A = 4, tr L A = tr R A = 2. 126. A ′ = PAP −1 = _ _ 0 1 0 1 −1 1 2 1 1 _ _ _ _ i 0 0 0 i 0 0 0 0 _ _ _ _ 0 1 0 1 −1 1 2 1 1 _ _ −1 = _ _ i 0 0 −3i −i i −3i −2i 2i _ _ 127. T A (A) = 0 luego T A no es inyectiva y su determinante es cero. 128. A es la composici´on de la aplicaci´on de un problema anterior y de la derivada: A = D ◦ T. det A = 0, tr A = 0. 129. (A + B) † = A † + B † , (λA) † = λA † , λ ∈ IR. No es un subespacio de / n (C). T B es lineal y: (BAB † ) † = BA † B † = BAB † . 130. ker T son las matrices antisim´etricas. imT son las matrices sim´etricas. Para n = 2, tr T = 6, det T = 0. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 214 SOLUCIONES 131. a) W es un subespacio lineal (de dimensi´on infinita). b) _ π −π cos nsds = _ π −π cos ns cos s ds = _ π −π cos ns sen s ds = _ π −π sen nsds = _ π −π sen ns cos s ds = _ π −π sen ns sen s ds = 0. cuando n ≥ 2. c) No, por el apartado b). d) La integral es lineal. e) Desarrollando el integrando: imT = lin¦1, cos t, sen t¦, dim(imT) = 3. f) ker T = W. g) λ = 2π, f(t) = 1, λ = π, f(t) = a 1 cos t +a 2 sen t 132. En este caso V es suma directa del n´ ucleo y la imagen de f. 133. No. r(A) = 2 ,= r(A ′ ) = 3. B ker f = ¦−3e 1 +e 2 +e 3 ¦, B imf = ¦u 1 +u 3 , 2u 1 −u 2 +u 3 ¦. 134. V = ker f ⊕W ⇒ ker f ∩ W = ¦0¦. 135. En las bases: B C 5 = _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ u 1 = _ _ _ _ _ _ −2 1 0 0 1 _ _ _ _ _ _ , u 2 = _ _ _ _ _ _ 0 0 1 0 1 _ _ _ _ _ _ , u 3 = _ _ _ _ _ _ 0 0 0 1 1 _ _ _ _ _ _ , u 4 = _ _ _ _ _ _ 1 0 0 0 0 _ _ _ _ _ _ ., u 5 = _ _ _ _ _ _ 0 1 0 0 0 _ _ _ _ _ _ _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ B C 3 = _ _ _ v 1 = _ _ 1 1 2 _ _ , v 2 = _ _ 1 −1 −3 _ _ , v 3 = _ _ 1 0 0 _ _ _ _ _ /(f, B C 5 , B C 3) = _ _ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 _ _ 136. a) Falso. b) Falso. c) Falso. d) Cierto. e) Cierto. 137. B W 1 +W 2 = ¦(0, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, −1, 0), (1, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1)¦. B W 1 ∩W 2 = ¦(0, 1, 0, −1, 0)¦. A = _ _ _ _ _ 0 0 1 0 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 −1 0 −1 0 0 0 0 0 1 _ _ _ _ _ 138. Base: ¦x −1, (x −1) 2 , (x −1) 3 , (x −1) 4 ¦. Matriz: _ _ _ _ 1 −2 3 −4 0 2 −6 12 0 0 3 −12 0 0 0 4 _ _ _ _ ker D = ¦0¦, imD = W. 139. a) Cierta en los dos sentidos. b) Falsa hacia la derecha y cierta hacia la izquierda. c) Cierta hacia la derecha y falsa hacia la izquierda. 140. Si AX = 0 s´olo tiene la soluci´on trivial, A (como transformaci´on lineal) es un isomorfismo, y AX = B tiene soluci´on ´ unica. Similar en el sentido opuesto. Si AX = 0 tiene soluciones distintas de la trivial, A no es sobreyectiva. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch SOLUCIONES 215 141. x 1 = 5λ/4, x 2 = 67λ/24, x 3 = λ. 142. x 1 = 1 + 2λ −µ, x 2 = 2 −λ +µ , x 3 = λ, x 4 = µ, x 5 = 1. 143. Cuando 2a −3b +c ,= 0 el sistema no tiene soluci´on. 144. S´ı. x 1 = −λ + 1/2, x 2 = λ −1/2, x 3 = λ. 145. Hay soluci´on no trivial si [α[ = 1. x 1 = −αx 2 −α 2 x 3 . 146. x 1 = (a +b +c)/3, x 2 = (a +ω 2 b +ωc)/3, x 3 = (a +ωb +ω 2 c)/3. 147. a) (1, −1, 1, −1, 1). b) incompatible. c) (−λ + 7µ/6, λ + 5µ/6, λ, µ/3, µ). d) (0, 2, 5/3, −4/3). 148. a) Soluci´on ´ unica: a ,= 1, −2, b ,= 0: x = a −b (a −1)(a + 2) , y = b(a + 1) −2 b(a −1)(a + 2) , z = a −b (a −1)(a + 2) b = 0, (b ,= 1, a = 1), (b ,= −2, a = −2) no hay soluci´on. a = b = 1: x = 1 −z −y. Si a = b = −2: x = z = −1 −2y. b) a ,= 0, b ,= −1, 1. Soluci´on ´ unica: (1/a, 0, 0). a = 0, b ,= −1, 1, no hay soluci´on. a = 0, b = 1, soluci´on: (x, 1, 0) a = 0, b = −1, soluci´on: (x, 1/3, 2/3) a ,= 0, b = 1, soluci´on: ((1 −y)/a, y, 0) a ,= 0, b = −1, soluci´on: ((2 −3z)/2a, z/2, z) c) Si b ,= a+1, a−1, −a+1, −a−1, soluci´on ´ unica: (1+a 3 +b+ab−a 2 b−b 2 +ab 2 −b 3 , −1−2a+a 3 −b− ab−3a 2 b+b 2 +ab 2 +b 3 , a(a+a 2 +b−2ab+b 2 ), a(−2−a+a 2 −b−2ab+b 2 ))/(a+b+1)(a−b+1)(a−b−1). Si b = a + 1, a ,= 0, no hay soluci´on. Si b = 1, a = 0, la soluci´on es (−1 −z, 1 −t, z, t). Si b = a −1, a ,= 0, no hay soluci´on. Si b = −1, a = 0, la soluci´on es (−1 +z, 1 +t, z, t). Si b = −a +1, a ,= 0, 1, la soluci´on es: (−t +a −1/2, −t +(2a 2 −a −2)/2(a −1), t +1/2(a −1), t). Si b = 0, a = 1 no hay soluci´on. Si b = −a −1, a ,= 0 no hay soluci´on. d) Si a ,= 1, −3 soluci´on ´ unica: (−b 3 −b 2 −b +a + 2, −b 3 −b 2 +ab + 2b −1, −b 3 +ab 2 + 2b 2 −b − 1, ab 3 + 2b 3 −b 2 −b −1)/(a + 3)(a −1). Si a = 1, b ,= 1, no hay soluci´on. Si a = 1, b = 1 la soluci´on es (1 − y − z − t, y, z, t). Si a = −3, b ,= 1, i, −i no hay soluci´on. Si a = −3, b = −1, la soluci´on es (t − 1/2, t, t − 1/2, t). Si a = −3, b = i, la soluci´on es (t −(1 +i)/4, t −i/2, t + (1 −i)/4, t). Si a = −3, b = −i, la soluci´on es (t + (−1 +i)/4, t +i/2, t + (1 +i)/4, t). 149. Si α = β, el sistema no tiene soluci´on a no ser que a 1 = = a n . (el caso α = β = 0 no lleva a un sistema). La soluci´on, cuando existe, es: (a 1 −α n i=2 x i , x 2 , . . . , x n ). Si β = (1 −n)α ,= 0, el sistema no tiene soluci´on a no ser que n i=1 a i = 0. Si β ,= α, (1 −n)α, la soluci´on es: x j = 1 n(α −β) _ (2n −1)α (n −1)α +β n i=1 a i −na j _ , j = 1, . . . , n 150. B = (−λ + 3µ, 3λ −2µ, λ, µ), λ, µ ∈C. 151. Si a ,= 0, −3, soluci´on ´ unica: (−a 3 +a+6, 5a 2 +4a−3, a 4 +2a 3 −2a−3)/(a+3). Si a = 0, soluci´on: (−y −z, y, z). Si a = −3 no hay soluci´on. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 216 SOLUCIONES 152. a) −2, −3, 4, 5. b) 2, −3/2, 5/6, ±i √ 2. c) 2, 3, 5, ± √ 2. d) 3, 2 ± √ 3. e) 1, −3, 7, (−1 ± i √ 3)/2. f ) 1, 2, 3, 6. g) 4, −1/2, −2/3, (−1 ±i √ 3)/2. h) 3, 1/2, −1/2, −2/3, 5/6. 153. Derivando: p(1) = 0, p ′ (1) = 0, p ′′ (1) = 0, p ′′′ (1) = 2n 3 −2n ,= 0. La multiplicidad es 3. 154. Usar f(A)v = f(λ)v, si Av = λv. Si µ es ra´ız de f, puede no ser autovalor de A. Por ejemplo, considerar la matriz identidad en 2 2 y el polinomio f(t) = t 2 −1. 155. Autovalor λ = 0. Autovector: p(t) = 1. 156. a) det _ _ 1 1 1 1 −1 0 1 0 −1 _ _ = 3 ,= 0, b) /(T, ˆ B) = _ _ 3a 0 0 0 3b −3c 0 3c 3b _ _ c) Si c ,= 0, p T (λ) = −(λ −3a)(λ 2 −6bλ +9(b 2 +c 2 )) = −m T (λ). Si c = 0, m T = (λ −3a)(λ −3b). d) T s´olo es diagonalizable en IR 3 si c = 0. En C 3 es siempre diagonalizable. 157. Las ecuaciones: _ t 0 f(s)ds = λf(t); λf ′ (t) = f(t), f(0) = 0 son equivalentes y s´olo tienen la soluci´on trivial f(t) = 0. 158. λ = 0, (1, −1, 0, . . . , 0), . . . (0, . . . , 0, 1, −1), λ = n, (1, . . . , 1). 159. a) Al ser diagonalizable, ker A corresponde al subespacio invariante de autovalor 0. b) Por la misma raz´on que en el apartado b). 160. det(A−λI) = det(A−λI) t = det(A t −λI). Si A tiene inversa, y Av = λv, entonces A −1 v = λ −1 v. 161. En la base de vectores propios, (P es la matriz del cambio de base): /(A, B ′ ) = _ _ λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 _ _ , P −1 = _ _ 0 1 1 1 −1 0 1 0 −1 _ _ En la base can´onica: /(A, B) = _ _ 1 −1 1 2 4 2 3 3 3 _ _ 162. λ = 0 no es una ra´ız de λ 4 +λ −1, f es un automorfismo. 163. f no es sobreyectiva. Al ser un endomorfismo, tampoco es inyectiva. 164. f(v) = 3− √ 5 2 ((1 + √ 5)u 1 + 2u 2 ) 165. P = _ _ _ _ 1 8 0 1 0 0 1 0 2 7 0 1 0 3 0 0 _ _ _ _ 166. 1 6 _ _ 2 2 −2 2 −1 −5 −2 −5 −1 _ _ jcdelacruz______________________________________________________________________unsch SOLUCIONES 217 167. a) 1, 2, 3, ¦(1, 2, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 2)¦. b) −1, 1(2), ¦(3, 5, 6), (−1, 0, 1), (2, 1, 0)¦. c) 1, 2 + 3i, 2 −3i, ¦(1, 2, 1), (3 −3i, 5 −3i, 4), (3 + 3i, 5 + 3i, 4)¦. d) 0, ¦(1, 3, 0, 0), (5, 0, 6, 3)¦. e) 1, 2, 3, ¦(1, 0, 0), (2, 1, 0), (9, 6, 2)¦. f) −3, ¦(1, 0, 6), (1, 2, 0)¦. g) −0.6, 0.7, 0.5, 5.4, (0.2, 0.4, −0.4, 1), (−1.2, 0.4, 2.8, 1), (2, −2.4, 0.8, 1), (−3, −2.4, −1.2, 1). h) 1, ¦(3, 1, 1, 0), (2, −1, 0, 1)¦. 168. 1.i) (a −d) 2 > 4bc, diagonalizable en IR y C. 1.ii) (a−d) 2 = 4bc, b = c = 0, diagonalizable en IR y C (diagonal). b ,= 0 o c ,= 0, no diagonalizable. 2) (a −d) 2 < 4bc, diagonalizable en C. 169. En un base adaptada a la descomposici´on, la matriz de A es diagonal por bloques. 170. σ(f) = ¦0, 2, a, b, c¦. Siempre es diagonalizable. No es invertible. 171. a) Cierta. b) Falsa. c) Cierta. 172. a) Falsa. b) Cierta. b) Falsa. c) Cierta. 173. Cierta. El rango de A −λI es siempre 3. 174. a) J = _ _ _ 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 _ _ _ b) P = 1 2 _ _ _ 0 0 −2 1 2 0 −2 2 0 0 0 1 0 2 2 0 _ _ _ c) B = 64I 175. a) J = _ _ _ 4 0 0 0 0 4 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 _ _ _ , P = _ _ _ 1 2 0 0 2 0 0 2 1 −2 0 0 0 −4 1 1 _ _ _ b) lin¦P 1 , P 2 ¦. c) dimker A = 1, dimimA = 3 176. En todos los casos, A = PJP −1 donde J es la forma can´onica de Jordan. a) J = _ _ _ _ 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 _ _ _ _ , P = _ _ _ _ 1 0 5 3 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 1 0 _ _ _ _ b) J = _ _ _ _ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 − √ 2 0 0 0 0 √ 2 _ _ _ _ , P = _ _ _ _ 0 1/3 0 0 0 0 −1/ √ 2 1/ √ 2 0 0 1 1 1 0 0 0 _ _ _ _ jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 218 SOLUCIONES c) J = _ _ −1 1 0 0 −1 0 0 0 1 _ _ , P = _ _ 1 0 −2 0 −1 2 0 0 1 _ _ d) J = _ _ _ _ −1 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 _ _ _ _ , P = _ _ _ _ −2 −1/3 −1 1/3 0 0 1 0 1 5/3 0 −2/3 3 0 0 0 _ _ _ _ e) J = _ _ _ _ _ _ _ _ 5 1 0 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 0 5 _ _ _ _ _ _ _ _ , P = _ _ _ _ _ _ _ _ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 _ _ _ _ _ _ _ _ f) J = _ _ _ _ _ _ 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 _ _ _ _ _ _ , P = _ _ _ _ _ _ 0 −1 1 0 0 0 −4 0 1 0 −1 −2 0 1 0 −1 −3 0 1 0 −1 −8 0 2 1 _ _ _ _ _ _ g) J = _ _ _ _ _ _ −2 1 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 _ _ _ _ _ _ , P = _ _ _ _ _ _ −1 1 −1 0 1 −3 2 −1 1 2 0 0 1 1 1 −1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 _ _ _ _ _ _ h) J = _ _ _ _ _ _ −1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 _ _ _ _ _ _ , P = _ _ _ _ _ _ −1 −2 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 −2 0 0 _ _ _ _ _ _ i) J = _ _ _ _ _ _ −1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 _ _ _ _ _ _ , P = _ _ _ _ _ _ −1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 _ _ _ _ _ _ 177. a) rango (A) = 2. b) p(λ) = λ 2 (λ 2 −4), m(λ) = λ(λ −2)(λ + 2) c) P = _ _ _ _ 1 −1 0 −1 1 1 −1 0 1 −1 0 1 1 1 1 0 _ _ _ _ 178. Si b = 0 no es diagonalizable. Si b ,= 1 es diagonalizable para todo a: J = _ _ 0 0 0 0 1 0 0 0 b _ _ , P = _ _ 1 a 1 0 1 0 0 0 b _ _ , A = PJP −1 jcdelacruz______________________________________________________________________unsch SOLUCIONES 219 179. a) La imagen es un polinomio de grado 4. b) _ _ _ _ _ _ −2µ −λ 2 0 0 0 −4 −2µ −2λ 2 0 0 0 −3 −2µ −3λ 2 0 0 0 −2 −2µ −4λ 2 0 0 0 −1 −2µ _ _ _ _ _ _ c) Autovalor: −2µ. Autovector: x 4 . 180. e A = _ _ e 3 0 0 4e 3 e 3 0 − 21 25 e −2 + 41 25 e 3 − 1 5 e −2 + 1 5 e 3 e −2 _ _ , e B = _ _ e 0 0 e 2 −e e 2 0 − 3 4 e −3 + 3 4 e 0 e −3 _ _ 181. a) ω((x 1 , x 2 , x 3 )) = −3x 2 +x 3 . b) µ = (c, 2c, −c), c ,= 0. c) µ(2, 3, −1) = 9c. 182. e 1 = (1, −1, 0), e 2 = (1, −1, 1), e 3 = (−1/2, 1, −1/2) 183. a = _ _ 1 2 −1 1/2 2 1/2 1/3 8/3 −1/3 _ _ , det a = −2 ,= 0 p 1 (x) = − 3 2 x 2 +x + 1, p 2 (x) = 1 2 x 2 − 1 6 , p 3 (x) = − 1 2 x 2 +x − 1 3 p(x) = _ − 3a 2 + b 2 − c 2 _ x 2 + (a +c)x + _ a − b 6 − c 3 _ 184. w 1 = (6, −3, 0, −1, 6), w 2 = (−3, 2, −1, 0, 1) 185. (Cµ) ◦ ∩ (Cν) ◦ = (Cµ +Cν) ◦ , dim(Cµ +Cν) = 2 ⇒ dim((Cµ) ◦ ∩ (Cν) ◦ ) = n −2 186. 1) σ = (a 1 , 0). 2) σ = (a 2 , −a 1 ). 3) σ = (a 1 +a 2 , −a 1 +a 2 ). 187. Matriz de f en la base ¦u 1 , . . . u 2 ¦: _ _ _ f 1 (u 1 )f 2 (u 1 ) f 1 (u 1 )f 2 (u n ) . . . . . . f 1 (u n )f 2 (u 1 ) f 1 (u n )f 2 (u n ) _ _ _ 188. Solo f 1 lo es. 189. _ _ 1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 _ _ , g(t 2 −2, 2t + 4) = − 49 6 190. _ _ 2 2 4 −2 −1 −3 0 1 1 _ _ , g(x, y) = 13 191. 1 y 3 son formas bilineales. 192. a) No es regular. rad = lin¦(1, 0, −1, 0), (0, 1, 0, −1)¦. sig = (1, 1). b) B = ¦(1, 1, 0, 0)/ √ 2, (1, −1, 0, 0)/ √ 2, (1, 0, −1, 0), (0, 1, 0, −1)¦. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 220 SOLUCIONES 193. _ _ _ _ 0 0 1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 0 0 _ _ _ _ 194. ran(f 1 ) = 2, sig(f 1 ) = (1, 1), ran(f 2 ) = 3, sig(f 2 ) = (1, 2), ran(f 3 ) = 3, sig(f 3 ) = (2, 1). f 2 y f 3 son equivalentes en C pero no en IR. 195. q(v) = (x −2y) 2 + 2(y +z/2) 2 −3z 2 /2. sig(q) = (2, 1). No. 196. q 1 (u) = _ 1 √ 6 x _ 2 + _ − 1 √ 30 x + 6 √ 30 y _ 2 + _ 2 √ 5 x + 3 √ 5 y + 5 √ 5 z _ 2 q 2 (u) = x 2 −(y −2z) 2 q 3 (u) = _ _ 7 11 x _ 2 + _ − 2 √ 11 x + √ 11y _ 2 −(3y −z) 2 q 4 (u) = _ _ 8 5 x _ 2 + _ − _ 2 5 x + _ 5 2 y _ 2 − _ 1 √ 2 y + 1 √ 2 z _ 2 197. q(u) = _ _ n j=1 ju j _ _ 2 + 1 2 _ _ n j=1 (j 2 + 1)u j _ _ 2 − 1 2 _ _ n j=1 (j 2 −1)u j _ _ 2 198. e = 0, b = c, a > 0, ad −b 2 > 0 _ √ ax + b √ a y _ 2 + _ √ ad −b 2 a y _ 2 199. _ _ 10 3 0 3 2 1 0 1 1 _ _ , 10 > 0, 11 > 0, 1 > 0, e 1 = _ _ 1 −3 3 _ _ , ; e 2 = _ _ 0 1 −1 _ _ , e 3 = _ _ 0 0 1 _ _ 200. (1, 1, −2)/3. 201. (3, −1, 2, 0), (4, −2, 0, 1). 202. ω B (µA +νC) = µω B (A) +νω B (C). (A, B) = tr(B t A) es un producto escalar. 203. Ax = 0, A = _ _ _ u 1 . . . u k _ _ _ W = ¦x ∈ V [ (u i , x) = 0, i = 1, . . . k¦, W ⊥ = ¦y ∈ V [ (y, x) = 0, x ∈ W¦ 204. q 1 (t) = 1 √ 2 , q 2 (t) = _ 3 2 t, q 3 (t) = _ 5 8 (1 −3t 2 ) jcdelacruz______________________________________________________________________unsch SOLUCIONES 221 205. a) Q(x) = 1 2 (2x 1 + 2x 2 +x 3 ) 2 + 1 2 x 2 3 −2x 2 2 , sig(ϕ) = (2, 1) b) P = _ _ √ 2 √ 2 1/ √ 2 0 0 1/ √ 2 0 √ 2 0 _ _ , c) _ _ _ _ _ 3 −5 0 _ _ , _ _ 3 0 −5 _ _ _ _ _ 206. a) No. b) (0, 1, 1) c) 1 4 (x 1 +x 2 −x 3 ) 2 − 1 4 (x 1 −x 2 +x 3 ) 2 , sig = (1, 1) 207. a) u 1 = _ _ 1 0 0 _ _ , u 2 = 1 √ 10 _ _ −2 2 1 _ _ , b) _ 5 2 , c) No 208. Q = _ _ 1 1 2 (α +β) 1 2 (α 2 +β 2 ) 1 2 (α +β) αβ 1 2 αβ(α +β) 1 2 (α 2 +β 2 ) 1 2 αβ(α +β) α 2 β 2 _ _ Si α ,= β, rango = 2, signatura = (1, 1) Si α = β, rango = 1, signatura = (1) 209. a) Cierta. b) Falsa. c) Cierta. d) Cierta. e) Cierta. 210. _ _ _ 1 0 0 0 a+ √ a 2 +4 2 0 0 0 a− √ a 2 +4 2 _ _ _ Si a = 3, vectores is´otropos en la base que diagonaliza a φ: (x ′ 1 ) 2 + (x ′ 2 ) 2 −(x ′ 3 ) 2 = 0. No forman un subespacio lineal. φ nunca es definida positiva. 211. q(x) = _ √ 3x 1 − 2 √ 3 x 2 − √ 3x 3 _ 2 + __ 5 3 x 2 _ 2 +x 2 3 (1/ √ 3, 0, 0), (2/ √ 15, _ 3/5, 0), (1, 0, 1) 212. Ortonormalizando por Gram–Schmidt: _ v 1 = 1−i 2 (1, 0, i, 0), v 2 = 1 √ 6 (1, 0, −i, 2) _ . Proyector: P W = 1 3 _ _ _ 2 0 −i 1 0 0 0 0 i 0 2 −i 1 0 i 2 _ _ _ Base ortonormal: v 1 , v 2 , v 3 = 1 √ 3 (1, 0, −i, −1), v 4 = (0, 1, 0, 0). / es unitario. 213. a) |Ru| 2 = (Ru, Eu), b) i no es autovalor de a. c) A+i1 V y A −i1 V conmutan. 214. a) P = _ _ 1/ √ 2 1/ √ 3 1/ √ 6 0 1/ √ 3 −2/ √ 6 −1/ √ 2 1/ √ 3 1/ √ 6 _ _ b) P 3 = 1 6 _ _ 5 2 −1 2 2 2 −1 2 5 _ _ , P −3 = 1 6 _ _ 1 −2 1 −2 4 −2 1 −2 1 _ _ jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 222 SOLUCIONES 215. a) ker f = ¦1, 0, 0, −1)¦, imf = ¦(−1, 0, 0, −1), (0, 1, 3, 0), (0, 3, 1, 0)¦ b) ¦(1, 0, 0, −1)/ √ 2, (1, 0, 0, 1)/ √ 2, (0, 1, −1, 0)/ √ 2, (0, 1, 1, 0)/ √ 2, ¦ P 0 = 1 2 _ _ _ _ 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 _ _ _ _ , P −2 = 1 2 _ _ _ _ 1 0 0 1 0 1 −1 0 0 −1 1 0 1 0 0 1 _ _ _ _ , P 4 = 1 2 _ _ _ _ 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 _ _ _ _ P = 1 √ 2 _ _ _ _ 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 −1 1 −1 1 0 0 _ _ _ _ 216. a) v 1 = 1 3 (2, −1, −2), v 2 = 1 √ 5 (1, 2, 0), v 3 = 1 3 √ 5 (4, −2, 5), a 1 = 0, a 2 = a 3 = 9 b) T = a 1 1 9 _ _ 4 −2 −4 −2 1 2 −4 2 4 _ _ +a 2 1 9 _ _ 5 2 4 2 8 −2 4 −2 5 _ _ 217. P −1 QP = _ 1 0 0 6 _ , P = 1 √ 5 _ 2 −1 1 2 _ q(v) = _ 2 √ 5 v 1 + 1 √ 5 v 2 _ 2 + 6 _ − 1 √ 5 v 1 + 2 √ 5 v 2 _ 2 218. λ = µ. 219. S ⊥ (V ) = ¦A ∈ M n (C) [ A t = −A¦. 1 2 _ _ 2a 11 a 12 +a 21 a 13 +a 31 a 12 +a 21 2a 22 a 23 +a 32 a 13 +a 31 a 23 +a 32 2a 33 _ _ + 1 2 _ _ 0 a 12 −a 21 a 13 −a 31 −(a 12 −a 21 ) 0 a 23 −a 32 −(a 13 −a 31 ) −(a 23 −a 32 ) 0 _ _ 220. u 1 = (1, 0, 0, 1)/ √ 2, u 2 = (0, 1, 1, 0)/ √ 2, u 3 = (1, −i, i, −1)/2, u 4 = (1, i, −i, −1)/2 P 1 = 1 2 _ _ _ _ 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 _ _ _ _ , P 2 = 1 4 _ _ _ _ 1 −i i −1 i 1 −1 −i −i −1 1 i −1 i −i 1 _ _ _ _ , P 3 = 1 4 _ _ _ _ 1 i −i −1 −i 1 −1 i i −1 1 −i −1 −i i 1 _ _ _ _ 221. (1/2, 1/2, 2) 222. R(t) = _ _ cos t 0 sen t 0 1 0 −sen t 0 cos t _ _ 223. a = −1. Eje: (1, 1, 0)/ √ 2. ´ Angulo: π. 224. A = −A t . 225. a) Ninguna. b) Infinitas. 226. a) λ > 0m. b) λ 2 < 5/3 jcdelacruz______________________________________________________________________unsch SOLUCIONES 223 227. a) _ 1 0 0 1 _ , b) _ _ 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 _ _ 228. dimL 1 + dimL ⊥ 1 = dimH ⇒ dimL 2 + dimL ⊥ 1 > dimH dimL 2 + dimL ⊥ 1 = dimH + dim(L 2 ∩ L ⊥ 1 ) ⇒ dim(L 2 ∩ L ⊥ 1 ) > 0 229. (5, −5, −2, −1). 230. _ 3 6 −1 −3 _ 231. |x| 2 = (x, x). 232. P = _ _ _ _ a 1 0 0 0 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 0 a 4 _ _ _ _ , [a 1 [ = [a 2 [ = [a 3 [ = [a 4 [ = 1 233. A k = I implica que los autovalores son las ra´ıces k-´esimas de la unidad. Como A es real y sim´etrico, sus autovalores son reales, ±1. Luego A 2 = I por ser diagonalizable. 234. a) f q (x, y) = (v, w)(x, y) − 1 2 ((v, x)(w, y) + (v, y)(w, x)) b) A q x = (v, w)x − 1 2 ((x, w)v + (x, v)w), c) ker A q = (lin¦v, w¦) ⊥ 235. P = _ _ _ _ 1/2 1/ √ 2 0 1/2 −1/2 0 1/ √ 2 1/2 −1/2 0 −1/ √ 2 1/2 −1/2 1/ √ 2 0 −1/2 _ _ _ _ 236. Base de autovectores: ¦u 1 , . . . , u n ¦ x = n i=1 c i u i , n i=1 [c i [ 2 = 1, (x, Ax) = n i=1 λ i [c i [ 2 , (x, T + Tx) = |Tx| 2 237. P −7 = 1 9 _ _ 4 2 4 2 1 2 4 2 4 _ _ , P 2 = 1 9 _ _ 5 −2 −4 −2 8 −2 −4 −2 5 _ _ 238. (−3, 1, 1), cos ϕ = 7/18. 239. P = 1 3 _ _ 2 1 2 2 −2 −1 −1 −2 2 _ _ jcdelacruz______________________________________________________________________unsch 224 SOLUCIONES 240. P = _ _ 1/3 2/ √ 5 2/(3 √ 5) −2/3 1/ √ 5 −4/(3 √ 5) −2/3 0 5/(3 √ 5) _ _ P −3 = 1 9 _ _ 1 −2 −2 −2 4 4 −2 4 4 _ _ , P 6 = 1 9 _ _ 8 2 2 2 5 −4 2 −4 5 _ _ 241. P = _ _ 1/ √ 3 1/ √ 2 1/ √ 6 −1/ √ 3 1/ √ 2 −1/ √ 6 −1/ √ 3 0 2/ √ 6 _ _ P 3 = 1 3 _ _ 2 1 1 1 2 −1 1 −1 2 _ _ , P −3 = 1 3 _ _ 1 −1 −1 −1 1 1 −1 1 1 _ _ 242. a) 1 > 0, 1 > 0, 1 > 0, u 1 = e 1 , u 2 = e 1 +e 2 , u 3 = e 1 +e 2 +e 3 b) P = _ _ 1 1 1 0 1 1 0 0 1 _ _ , P −1 TP = _ _ 1 2 0 2 1 0 0 0 1 _ _ c) P −1 = 1 2 _ _ 1 −1 0 −1 1 0 0 0 0 _ _ , P 1 = 1 2 _ _ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 _ _ , P 3 = 1 2 _ _ 1 1 0 1 1 0 0 0 0 _ _ En la base can´onica: P −1 = 1 2 _ _ 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 _ _ , P 1 = _ _ 0 0 1 0 0 1 0 0 1 _ _ , P 3 = 1 2 _ _ 2 0 −2 1 0 −1 0 0 0 _ _ 243. P −1 = 1 9 _ _ 5 −2 4 −2 8 −2 4 −2 5 _ _ , P 8 = 1 9 _ _ 4 2 4 2 1 2 4 2 4 _ _ 244. a) σ(A) = ¦0, i √ 6 , − i √ 6 ¦, b) U = _ _ _ 1 √ 6 − 2 √ 6 − 1 √ 6 1+2i √ 6 2 √ 15 −2+i √ 6 2 √ 15 5 2 √ 15 1−2i √ 6 2 √ 15 −2−i √ 6 2 √ 15 5 2 √ 15 _ _ _ 245. a) u 1 = 1 √ 2 _ _ 1 0 1 _ _ , u 2 = _ _ 0 1 0 _ _ , u 3 = 1 √ 2 _ _ 1 0 −1 _ _ b) P 0 = 1 2 _ _ 1 0 1 0 0 0 1 0 1 _ _ , P 2 = 1 2 _ _ 1 0 −1 0 2 0 −1 0 1 _ _ , c) d = 1, d) e A = 1 2 _ _ 1 +e 2 0 1 −e 2 0 2e 2 0 1 −e 2 0 1 +e 2 _ _ 246. (u 1 , u 2 ) = −1/4 jcdelacruz______________________________________________________________________unsch SOLUCIONES 225 247. a) Autoadjunto. b) ¦−1, 0, 2¦ c) u 1 = _ _ −1/ √ 3 −i/ √ 3 1/ √ 3 _ _ , u 2 = _ _ 0 i/ √ 2 1/ √ 2 _ _ , u 3 = _ _ 2/ √ 6 −i/ √ 6 1/ √ 6 _ _ d) P 1 = 1 3 _ _ 1 −i −1 i 1 −i −1 i 1 _ _ , P 2 = 1 2 _ _ 0 0 0 0 1 i 0 −i 1 _ _ , P 3 = v + 3 v 3 = 1 6 _ _ 4 2i 2 −2i 1 −i 2 i 1 _ _ e) cos(πA) = 1 3 _ _ 1 2i 2 −2i 1 2i 2 −2i 1 _ _ 248. x i −→ x ′ i = (P −1 ) i ′ i x i ′ δ ik δ jl −→ (P −1 ) i ′ i (P −1 ) j ′ j (P −1 ) k ′ k (P −1 ) l ′ l δ i ′ k ′ δ j ′ l ′ = (P −1 ) i ′ i (P −1 ) j ′ j (P −1 ) i ′ k (P −1 ) j ′ l = δ ik δ jl 249. Base ortonormal de IR 2 : ¦u 1 , u 2 ¦. Base girada: v 1 = u 2 , v 2 = −u 1 . P = _ 0 1 −1 0 _ , t ′ ijk = (P −1 ) i ′ i (P −1 ) j ′ j (P −1 ) k ′ k t i ′ j ′ k ′ , t ′ 111 = −1, t ′ 112 = 1, t ′ 122 = −1, t ′ 222 = 1 250. Usando: ǫ kij ǫ jlm = δ k l δ i m −δ k m δ i l 251. Tipo: (0, 1). (x ∧ y) 1 = x 2 y 3 −x 3 y 2 , (x ∧ y) 2 = x 3 y 1 −x 1 y 3 , (x ∧ y) 3 = x 1 y 2 −x 2 y 1 252. x i x i = 2, y i y i = 8, x i y i = −3. 253. ǫ ijl w i v j v l +v k w k +nv k v k = n. 254. Las matrices γ µ , I 4 son l.i. γ 0 γ 1 , γ 0 γ 2 , γ 0 γ 3 , γ 1 γ 2 , γ 1 γ 3 , γ 2 γ 3 son l.i. γ 0 γ 1 γ 2 , γ 0 γ 1 γ 3 , γ 0 γ 2 γ 3 , γ 1 γ 2 γ 3 son l.i. γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 es distinta de cero. En total hay 16 matrices l.i. que forman una base de / 4 (C) 255. C = c 0 +c 1 T µ µ +c 2 A µ A µ +c 3 T µν T µν +c 4 T µν A µ A ν +c 5 T µ µ A ν A ν . 256. Tipo (2, 1). X ′ i = P ji X j , c ′ ijs = P ki P lj (P −1 ) sm c klm 257. Si A tiene autovalores λ i , los de A 2 son λ 2 i y los de A 3 , λ 3 i con los mismos autovectores. Por tanto: 3 i=1 λ i = tr A = A µ µ , 3 i=1 λ 2 i = tr A 2 = A µ ν A ν µ = A µν A µν , 3 i=1 λ 3 i = tr A 3 = A µ ν A ν ρ A ρ µ = A µν A νρ A ρ µ 258. a) x 1 = − 1 3 , x 2 = 2 3 , x 3 = 4 3 , y 1 = 5, y 2 = 3, y 3 = 2, b) A ijk y i y j y k = 60 259. a) −4. b) 12. c) 4. d) −4. 260. t ′ 111 = 1, t ′ 112 = √ 2, t ′ 122 = 2, t ′ 222 = 2 √ 2. Las dem´as son cero. 261. a) Contravariantes: x ′1 = 1, x ′2 = 1. Covariantes: x ′ 1 = 6, x ′ 2 = 4 b) i) Cierta. ii) Falsa. c) r ij k s k il = 10. jcdelacruz______________________________________________________________________unsch