Leyes de KirchhoffDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda Las leyes (o Lemas) de Kirchhoff fueron formuladas por Gustav Kirchhoff en 1845, mientras aún era estudiante. Son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para obtener los valores de intensidad de corriente y potencial en cada punto de un circuito eléctrico. Surgen de la aplicación de la ley de conservación de la energía. En circuitos complejos, así como en aproximaciones de circuitos dinámicos, se pueden aplicar utilizando un algoritmo sistemático, sencillamente programable en sistemas de cálculo informatizado mediante matrices. Tabla de contenidos [ocultar] • • 1 Definiciones 2 Enunciado de las Leyes o 2.1 Ley de los nodos o ley de corrientes de Kirchhoff o 2.2 Ley de las "mallas" o ley de tensiones de Kirchhoff [editar] Definiciones • Para su enunciado es necesario previamente definir los conceptos de red plana Lazo malla y de nodo: Nudo o nodo es el punto donde concurren varias ramas de un circuito. El sentido de las corrientes es arbitrario y debe asignarse previamente al planteo del problema. Rama es el fragmento de circuito eléctrico comprendido entre dos nodos. Lazo es el circuito que resulta de recorrer el esquema eléctrico en un mismo sentido regresando al punto de partida, pero sin pasar dos veces por la misma rama. Red plana es aquella dentro de la cual se puede dibujar una superficie cerrada sin que se corte con ninguna rama. Malla es un lazo que cumple la condición de red plana, es decir, un lazo que no tiene otros lazos en su interior. Cuando una de estas mallas cumple con todas las condiciones de la red placas: • • • • • • Lazos que no tiene otros lazos en su interior pues esta previamente se definiría como malla o nodo alterno o subsisterno, como al parecer con diferentes tipos de definiciones alternando cada tipo de minúscula o corriente transportada o que pasa sobre esta. Las condiciones para ser un nodo necesariamente alterno con conceptivo como dice su enunciado tienen que ser basados en fuentes verificables o con suficiente cantidad de volumen o voltios para que pueda ser pasada o transportada libremente una de la otra cuando es pasada nombrando los pasos anteriores, esta va a pasar a ser Ley de Política externa en la que los circuitos contrayéndose uno de los otros, van a crear unas series de problemas, en que se crean dos opciones de estas explosiones o sobrecargas externas e internas en las que las subsiternas o las mallas alternas nombras anteriormente, son volcadas y contraídas por el volumen o también se establece que es la sobrecarga de energía, que al ser volcada se contrae con los voltios para crear una batería volcada o explotada. [editar] Enunciado de las Leyes [editar] Ley de los nodos o ley de corrientes de Kirchhoff 1a. Ley de circuito de Kirchhoff (KCL - Kirchhoff's Current Law - en sus siglas en inglés o LCK, ley de corriente de Kichhoff, en español) En todo nodo, donde la densidad de la carga no varíe en un instante de tiempo, la suma de corrientes entrantes es igual a la suma de corrientes salientes. Un enunciado alternativo es: en todo nodo la suma algebraica de corrientes debe ser 0. [editar] Ley de las "mallas" o ley de tensiones de Kirchhoff 2a. Ley de circuito de Kirchhoff (KVL - Kirchhoff's Voltage Law - en sus siglas en inglés. LVK - Ley de voltaje de Kirchhoff en español) En toda malla la suma de todas las caídas de tensión es igual a la suma de todas las fuerzas electromotrices. Un enunciado alternativo es: en toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico debe ser cero. Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kirchhoff" La Ley de Ohm George Simon Ohm, descubrió en 1827 que la corriente en un circuito de corriente continua varía directamente proporcional con la diferencia de potencial, e inversamente proporcional con la resistencia del circuito. La ley de Ohm, establece que la corriente eléctrica (I) en un conductor o circuito, es igual a la diferencia de potencial (V) sobre el conductor (o circuito), dividido por la resistencia (R) que opone al paso, él mismo. La ley de Ohm se aplica a la totalidad de un circuito o a una parte o conductor del mismo. I=V/R ; V=IxR En los circuitos de corriente continua, puede resolverse la relación entre la corriente, voltaje, resistencia y potencia con la ayuda de un gráfico de sectores, este diagrama ha sido uno de los más socorridos: Fig. 01 En este grafico puede apreciarse que hay cuatro cuadrantes que representan: V Voltaje, I Corriente, R Resistencia y W Potencia. De modo que, conociendo la cantidad de dos cualesquiera, nos permite encontrar el otro valor. Por ejemplo, si se tiene una resistencia de 1k y en sus extremos se mide una tensión de 10 Voltios, entonces la corriente que fluye a través de la resistencia será V/R = 0'01A o 10mA. De forma similar, la potencia absorbida por esta resistencia será el cociente de V2 / R = 0'1W o 100mW, otra forma de hallar la potencia es con el producto de V x I o sea, 10V x 0'01 = 0'1W, con esto se confirma lo dicho. Polaridad de una tensión Dependiendo del flujo de la corriente en un circuito, una tensión tendrá una polaridad. Se establece que, el polo positivo en un circuito es el que corresponde al punto del que fluye la corriente del generador. La dirección de la corriente se indica con una flecha, como se muestra a continuación: Fig. 02 no funciona y sin embargo no está fundida.) con referencia a un punto que normalmente es cero.d. dicho de otra forma. Los circuitos serie La corriente en un circuito serie es absolutamente la misma en todos sus puntos. entonces el voltaje o la diferencia de potencial sería 10 voltios. Veremos un caso concreto. . En el caso de una batería la cual presenta 12V al medir sus terminales y en cambio al conectar al circuito la carga de una lámpara de coche (12V 100mA). En electrónica. Para el cálculo de la resistencia total en un circuito serie se utiliza esta formula general: RT= R1 + R2 + R3 . entonces su valor se indicaría claramente. el lado de la resistencia dónde los flujos entran en la resistencia será el polo positivo del voltaje.p. pero por conveniencia. así como el decremento de la resistencia en las resistencias con el calor provocado por el paso de la corriente. Qué está ocurriendo. 2mA. esto podría manifestarse con un bajo rendimiento del circuito. es normal hablar sobre la diferencia de potencial (d. al medir la corriente de consumo observamos que es de tan sólo 0'05 A.Así. Si la resistencia es de 5 Ω y la corriente es de 2 amperios.. al aplicar la formula. sin embargo si esta Ri por cualquier circunstancia fuera más considerable. para su comprobación partimos de sumar las tres resistencias que lo forman. 2kΩ + 4kΩ + 6kΩ =12kΩ si la tensión que aplicamos es de 24V. Fig. encontramos que la intensidad es de 0'002 A o sea. Esto es fácil deducirlo al aplicar el principio de que la resistencia total de un circuito es la suma de todas y cada una de las resistencias que lo forman. el polo negativo es donde los flujos salen hacia fuera. Un técnico sospecharía de la carga de la batería y estando la lámpara conectada pasaría a . la mayoría de los sistemas tienen una tierra común o masa que normalmente son ceros voltios. 03 En este caso no hemos considerado la resistencia interna R i de la fuente de corriente por ser muy pequeña. en el circuito que se muestra a continuación la corriente que lo atraviesa es de 2 mA. Si este punto no fuera cero.. Dos lámparas que indican. Ver figura 04. Los circuitos paralelos se caracterizan por estar formados por dispositivos cuyas respectivas resistencias están en paralelo respecto a la tensión de alimentación. La particularidad de un elemento que está en paralelo con otro es que la tensión en ambos es la misma. Qué potencia se transforma en cada lámpara. Fig. Para calcular la resistencia total un circuito paralelo. 04 Estos son los cálculos: Fig.medir la tensión de la batería. en estas condiciones el cociente de la tensión de 6V por la corriente de 0'05A nos indica que la resistencia de la lámpara es de 120Ω . la formula que utilizaremos es la que sigue: . 05 Las pequeñas variaciones son debidas a las fracciones decimales despreciadas. obteniendo una lectura de 6V con un consumo de 0'05A. Dado que la lámpara no se enciende su filamento no se calienta y consecuentemente su resistencia no varía (caso ideal).60W y 220V . Otro ejemplo de ayuda con los cálculos. Circuitos paralelos. en cambio la corriente total del circuito es la suma de la corriente que atraviesa cada carga. lo esperado. 220V .40W respectivamente se encuentran conectadas en serie a una línea de 220V. Entre los puntos A y B del circuito siguiente se aplica una tensión de 12 V. en R2 será de 0'066A y en R3 será de 0'046A. aplicando la regla general comentada a la figura 06. Fig. . la de R2 es de 0'792W y la de R3 es de 0'552W.De esta formula como regla general se desprende que. por lo tanto la corriente en el punto A o en el B será la suma de estos. Hallar el consumo total. Así que. es siempre menor que la resistencia de menor valor. es fácil aplicando la formula adecuada. al sumar estas potencias encontramos la coincidencia con la potencia total de 2'544W. La potencia de R1 es de 1'2W. Fig. 07 El calculo nos indica que la resistencia total es de 56'38 Ω y de este resultado obtendremos la solución del resto. 06 Un nuevo ejemplo puede aclarar más el tema. Circuitos mixtos. es decir 0'212A o sea 212 mA. La forma del circuito paralelo se aprecia en la figura 06. la resistencia total que ofrecen distintas cargas resistivas en un circuito paralelo. cual es la intensidad en cada resistencia y de qué potencia debe ser cada resistencia. Si aplicamos PT = I2 * R = 2'55W y si aplicamos PT = V * I = 2'54W como vemos en la práctica es el mismo resultado. la intensidad que atraviesa R1 será el cociente de la tensión por la resistencia que será 0'1A. Qué intensidad circulará por el circuito. donde las resistencias pueden representar las cargas de distintos elementos. la resistencia total será: 1'0909 kΩ . la corriente total IT que suministra al circuito y la PT. V= 6 * 1 = 6V. su cálculo se lleva a cabo con esta formula: . la tensión E del Generador. De aquí obtenemos la intensidad que la atraviesa. sabiendo que su resistencia interna es 1 Ω . La propuesta es. que sumados a los 174 nos da 180V. Fig. 08 Cálculos: Como siempre ayudándonos del gráfico del principio.Estos circuitos son combinaciones del tipo serie y paralelo. sin embargo. esto nos da para R1 = 40Ω . Esta resistencia toma el nombre de resistencia de absorción. con los datos presentados en la figura 08. Resistencia de absorción. VA-B = 120V. podemos poner una resistencia en serie que reduzca la tensión de diferencia. en el interior de G la tensión es 180 pero G tiene una resistencia interior de 1 Ω así al exterior sólo presenta los 174V. esto es 1A. vamos a dar solución al problema planteado. En cuanto a la corriente que fluye por R 1 es. el nivel de dificultad sigue siendo el mismo. La potencia total se obtiene del producto de: PT =174 * 6 =1044W La tensión del generador G. cuya tensión es mayor de la que exige el circuito. nos da 120V. también el cociente del cuadrado de la tensión A-B y la potencia en R 1= 360W. Primero la tensión entre A-B será el producto entre R 3 y la corriente que la atraviesa 2A que. ahora es fácil de hallar. esto nos indica que la intensidad en R1 es de 3A. la tensión en G es. queremos conocer el valor de R1. es el cociente de la tensión A-B y su resistencia. Para comprender mejor la dinámica a seguir pondremos un ejemplo que nos ayude a comprenderlo mejor. Cuando necesitamos conectar un equipo a un generador o fuente de tensión. Así podemos saber que. la corriente total del circuito es de 6A que atraviesa a R4 y la tensión en sus extremos (B-C) será de 54V. La intensidad en R2. su resolución resulta ser un poco más laboriosa. en general y rs la del shunt. si llamamos R s a la resistencia del shunt y Rg a la del galvanómetro. Es el acoplamiento de una resistencia a un galvanómetro.. entonces evidentemente la intensidad total IT será: I = Is + Ig .Vu Ra = ------------I Ra = Resistencia de absorción Vd = Tensión disponible Vu = Tensión útil I = Corriente necesaria El shunt. a la relación entre la intensidad de línea I y la intensidad ig de G y es la constante por la que hay que multiplicar ig para obtener la intensidad de línea I. 09 Por definición se le denomina poder multiplicador m. ig I = ig + ix [1] . y también Is * Rs = Ig * Rg En electricidad y electrónica es bastante corriente utilizar un 'shunt' que consiste en una resistencia derivada que se agrega a un dispositivo de medida para que la intensidad de la corriente que lo atraviesa sea menor que la intensidad de línea. Sea rg la resistencia interna del galvanómetro. así como Is e Ig a las intensidades del shunt y del galvanómetro respectivamente.Vd . Fig. ver figura 09. I m = ------. Para esto es necesario. . añadirle una resistencia. rg ix ----. + i g = rs + i x que igualando con la expresión [2]. ix m = 1+ ------ig [2] y teniendo en cuenta que la caída de tensión en ambas ramas es idéntica. Al cociente del valor máximo de la nueva escala dividido por el valor máximo de la escala primaria. Así. es lo que se llama factor de multiplicación como se obtiene en la formula [2]. en muchas ocasiones conviene utilizar un miliamperímetro o un voltímetro para medir magnitudes eléctricas que requieren una escala más alta que la que ofrece el instrumento. se coloca en serie con el galvanómetro y el shunt una resistencia Rx (resistencia de compensación). evitando de este modo que se falsee la lectura.que dividiendo por ig.= ----.= m -1 rs ig rg rs =-------m-1 rg [3] [4] Esta última es la expresión de la resistencia del shunt en función de la resistencia del galvanómetro y del poder multiplicador. En muchas ocasiones. tal que el nuevo conjunto presente una resistencia r g idéntica a la que presentaba el galvanómetro sólo. como se ha dicho. [2a ] La cual podemos recordar mejor con esta nueva formula [2a]. ocurre que en medidas eléctricas hay que 'shuntar' un miliamperímetro sin que varíe la resistencia intercalada en el circuito. Resistencia de compensación. para ello. se muestra a continuación: Fig. En esta ocasión según se aprecia en la figura 06. pudiendo elegir uno u otro según convenga. El shunt universal tiene la ventaja de presentar varios multiplicadores en el mismo medidor.Fig.+ RX = rg rg + r s de donde. 11 Veamos otro método con una evidente diferencia en la construcción. [5] Shunt universal. Su esquema (utilizado en los amperímetros). siguiente todas las resistencias se . 10 rg * rs --------. hace que queden invertidas las polaridades.e. es porque la supuesta dirección de la corriente en esa rama.. y el signo menos (-) a las que salen de ella. pero como siempre una imagen mejor que . es positivo con respecto al otro extremo. Si asignamos el signo más (+) a las corrientes que entran en la unión. Kirchhoff (1824-1887) son indispensables para los cálculos de circuitos. . en un nudo o punto de unión de un circuito es igual a la suma de las corrientes que salen de ese nudo.Σ I*R = 0 (suma algebraica de las caídas I*R. supondremos una dirección arbitraria para la corriente en cada rama. la cual dispone de dos caminos para su recorrido. 06 La corriente I (en la entrada de 500µA) recorre dos por uno 460µA y 40µA por el otro. en la malla cerrada) Como consecuencia de esto en la práctica para aplicar esta ley. la suma algebraica de las diferencias de potenciales (tensiones.. Considerando un aumento de potencial como positivo (+) y una caída de potencial como negativo (-). como y se hemos comentado. estas leyes son: 1. es la opuesta. se verifica que la suma de las caídas de tensión en las resistencias que constituyen la malla. es igual a la suma de las f. entonces la ley establece que la suma algebraica de las corrientes en un punto de unión es cero: (suma algebraica de I) Σ I = 0 (en la unión) 2.encuentran de algún modo sometidas al paso de la corriente. La suma de las corrientes que entran. Así. el extremo de la resistencia. Para obtener más información sobre los cálculos específicos recomendamos visitar la documentación puentes de medida. Para todo conjunto de conductores que forman un circuito cerrado. Si la solución para la corriente que se resuelva. voltajes) en una malla cerrada es cero: (suma algebraica de E) Σ E .ms. Fig. Las Leyes de Kirchoff Las dos primeras leyes establecidas por Gustav R. en principio. por donde penetra la corriente. intercaladas. según la ley de voltaje de I1=I2 + I3. R2 y R3 deben ser igual a 10V o sea. la suma de las caídas de voltaje en R1. Si I1 fuera 20 A e I3 fuera 5 A. La ley de Kirchoff para los voltajes es. 10V =V1+ V2+ V3. considerando que I2 e I3 salen. Esto también puede expresarse como la suma de voltajes de un circuito cerrado es igual a la suma de voltajes de las fuentes de tensión: Fig. 13 En la figura anterior. I1 entra a la unión. 14 Las corrientes de I2 e I3 y la resistencia desconocida R3 centran todos los . 12 Las flechas representan la dirección del flujo de la corriente en el nudo.Por ejemplo: Fig. I2 tendría 15 A. la suma de voltajes alrededor de un circuito cerrado es igual a cero. Aquí un ejemplo: Fig. para R3 puede calcularse como.5 o 20Ω. la d. • Usando la ley Ohm. el I2 se encuentra como I3=I1+I2 por consiguiente el amperaje de I2= 0. por la resistencia R2 de 10 Ω es así 15-5 o sea. la d. p. • Otro ejemplo: Supongamos que queremos saber la potencia de cada fuente de tensión y la potencia que disipa cada resistencia en el siguiente circuito: Para resolver el problema planteado en este circuito. El voltaje por R3 (el I2*R3) es entonces 10 voltios. • La d. p. Esto está en oposición de los 15 voltios de la batería. El valor de R3 es (V/I) o 10/0. d. El voltaje en el lado izquierdo (la resistencia R1 de 10 Ω). en esta resistencia R1 es de I1 * R o sea. usando la ley de Kirchoff del voltaje. • Usando la ley de Kirchoff de la corriente y ahora conociendo el I1 e I3.5A. usando la teoría básica de la corriente continua. debemos plantear las ecuaciones de cuatro mallas como se muestra en la siguiente figura. 20 = I2*R3 +10. • De nuevo. d. la corriente a través de la resistencia R2 10 Ω es entonces (V/R) 1 amperio. La dirección del flujo de la corriente está indicado por las flechas. d. p. 5 voltios. . • Por la ley de kirchoff del voltaje. está saliendo del terminal superior de la resistencia.cálculos. 10 voltios. Im2 = A1. Im4 = A2 A3 = Im1 . A4 = Im2 . la corriente a través de una rama sale como se muestra debajo: .Im2*VR5 . Malla1: V1 + Im1*VR1 + Im1*VR2 + Im1/VR3 . Los Divisores de corriente La corriente que entra a un nodo sale dividida en dos partes.Im1*VR3 + Im2*VR4 = 0 Malla3: Im3*VR4 .Im4 Planteadas las ecuaciones.Im2*VR3 = 0 Malla2: Im2*VR3 .Im2.Im3*VR6 .Im4*VR5 + Im3*VR6 .Para simplificar las ecuaciones en principio suprimimos las fuentes de corriente.Im4*VR6 = 0 Malla4: -V2 + Im*VR6 . podremos calcular sus variables y resolveremos como ya es habitual en estos casos.Im3. A56 = Im3 .Im3*VR5 + Im4*VR7 + Im4*VR8 = 0 De donde: Im1 = A12. 15 Puede calcularse el voltaje en R1 usando la ecuación: Puede calcularse el voltaje en R2 usando la ecuación: Teoría básica y problemas propuestos . Fig. 14 para I2 Los Divisores de tensión.para I1 y Fig. Teorema de Norton 20. que incluyen una fuente de fuerza electromotriz que transporta la corriente por el circuito. Conversión de fuentes de tensión a fuentes de corriente y viceversa 14. Un circuito eléctrico es el trayecto o ruta de una corriente eléctrica. Regla del divisor de tensión 11. El término se utiliza principalmente para definir un trayecto continuo compuesto por conductores y dispositivos conductores. Circuitos eléctricos y sus componentes 7. las cargas se neutralizan mutuamente. Introducción 2. Objetivo general 3. Esta neutralización se lleva a cabo mediante un flujo de electrones a través del conductor. Problemas propuestos con respuestas 21. En este material instruccional se introducirá en forma sucinta los lineamientos básicos sobre corriente eléctrica. Leyes de Kirchhoff 13. Resistencia eléctrica 6. por ejemplo un cable. Potencia eléctrica 9. Circuito serie-paralelo 10. el cual permitirá explicar la influencia del calor en la resistividad eléctrica de los materiales. Teorema de superposición 18. desde el cuerpo cargado negativamente al cargado positivamente. La corriente eléctrica 5. Ley de Ohm 8. En cualquier sistema continuo de conductores. Las Leyes de . Teorema de Thevenin 19. La corriente que circula por un circuito se denomina corriente continua (CC) si fluye siempre en el mismo sentido y corriente alterna (CA) si fluye alternativamente en uno u otro sentido. Redes en punte 17. Contenidos.de circuitos eléctricos de corriente continua 1. Conocimientos previos 4. Análisis de circuitos por el método de las mallas 15. y a partir de ella se introduce la noción de potencia eléctrica. Bibliografía recomendada INTRODUCCIÓN Si dos cuerpos de carga igual y opuesta se conectan por medio de un conductor metálico. Análisis de circuitos por el método nodal 16. Regla del derivador de corriente 12. La Ley de Ohm es abordada. Preguntas de razonamiento 22. los electrones fluyen desde el punto de menor potencial hasta el punto de mayor potencial. Un sistema de esa clase se denomina circuito eléctrico. Problemas propuestos sin respuestas 23. Se resalta el concepto de resistencia eléctrica y su vinculación con el efecto Joule. se esbozará la regla del derivador de corriente y la regla del divisor de tensión. se ofrecerá una recopilación de algunos problemas que han formado parte de las evaluaciones de cohortes precedentes. CONOCIMIENTOS PREVIOS . Al final. Reducción de circuitos serie – paralelo. Redes en puente (delta – estrella) Teorema de superposición. se tocará el teorema de Thevenin. Análisis nodal. Teorema de Thevenin. Regla del divisor de tensión. asimismo. el estudiante tendrá la habilidad y pericia necesaria para aplicar los conceptos básicos de circuitos eléctricos en la resolución de problemas prácticos que involucren redes eléctricas en corriente continua. Resistencia eléctrica. Regla del derivador de corriente. ambas usadas en el análisis de circuitos eléctricos serie – paralelo.Kirchhoff son expuestas y empleadas al enseñar el método de las mallas y el método de los nodos. Leyes de Kirchhoff. Análisis de mallas. CONTENIDOS Corriente eléctrica. el Teorema de Superposición y el Teorema de Norton. Conductancia eléctrica. OBJETIVO GENERAL Al término de éste módulo. Efecto Joule. Teorema de Norton. Muy someramente. Potencia eléctrica. . La unidad empleada ). pero. Campo eléctrico. Cuando una corriente eléctrica fluye por un cable pueden observarse dos efectos importantes: la temperatura del cable aumenta y un imán o brújula colocada cerca del cable se desvía. tensión o voltaje.1. Imaginemos el incontable número de electrones concentrados en una terminal del generador (una batería. La primera es la diferencia de potencial en el circuito. un generador o cualquier dispositivo que cree una fem). Para mejor comprensión sigamos la acción de un solo electrón desde el instante en que se cierra el circuito entre bornes del generador. pero en cambio su empuje se propaga casi instantáneamente de uno al otro extremo del circuito. Normalmente. Los electrones del terminal negativo empujaran los electrones libres del hilo. Análisis matricial: calculo del determinante de una matriz. y esta resistencia limita la corriente. 4. apuntando en dirección perpendicular al cable. Consecuencia de ello es que inmediatamente comenzarán los electrones a desplazarse por el hilo. que se define como laΩ para cuantificar la resistencia es el ohmio ( resistencia que limita el flujo de corriente a 1 amperio en un circuito con una fem de 1 voltio. Resolución de sistemas de ecuaciones: cualquier método. y supongamos que dicho electrón estaba en el terminal negativo donde están concentrados en gran número. tanto conductores como aislantes. Hasta aquí. todas las sustancias.1 La corriente eléctrica. los electrones que la componen colisionan con los átomos del conductor y ceden energía. pero sin tener lugar donde desplazarse si no existe un camino o circuito eléctrico. Solo puede hacerlo en una pequeña fracción de centímetro por minuto. DESARROLLO TEÓRICO 1. avanzando hacia el terminal positivo del generador en el cual la presencia de electrones es escasa. La tercera magnitud es la resistencia del circuito. que aparece en forma de calor. Al circular la corriente. 3. ¿cómo se produce la corriente eléctrica?. 1 amperio corresponde al paso de unos 6. Ahora bien si conectamos un hilo de cobre entre el citado Terminal y el otro del mismo generador (donde hay escasez de electrones) se habrá establecido un circuito eléctrico. siendo alejados del terminal propagándose esta acción casi instantáneamente de un extremo al otro del hilo.000. ofrecen cierta oposición al flujo de una corriente eléctrica. Análisis matricial: teorema de cofactores. Un electrón considerado en particular no se desplaza necesariamente de uno al otro extremo del circuito eléctrico. Esta magnitud se mide en amperios. La segunda es la intensidad de corriente. Calculo integral: integrales simples definidas. que en ocasiones se denomina fuerza electromotriz (fem). El flujo de una corriente continua está determinado por tres magnitudes relacionadas entre sí.000. se ha abordado muy someramente lo que es corriente eléctrica. Se repelen o se empujan los unos a los otros.000.250. 2.000 electrones por segundo por una sección determinada del circuito. 5.000. este electrón es expulsado del terminal y penetra en el hilo de cobre que forma el circuito. Estos electrones. aquellos que se ubican en las últimas orbitas del átomo. segundos I: corriente eléctrica. casi instantáneamente los electrones son impulsados hacia el otro extremo del hilo y penetran en el terminal positivo del generador. m2 : velocidad de arrastre de los elementos portadores de carga. Otro concepto de relevancia al momento de estudiar la corriente eléctrica es lo referente a la densidad de corriente. o sea. cobre) puede ser calculada con: (1) Donde: Q: carga eléctrica. Coulomb t: tiempo. Coulomb n: densidad de portadores de carga. al mismo tiempo que repele los electrones situados delante de él. pero casi instantáneamente se desprende del mismo y es empujado a lo largo del hilo hacia otro. La corriente eléctrica en un material conductor (por ejemplo. repelen a los que preceden. es empujado por éstos. a su vez. Amperios En el caso de los metales los elementos portadores de cargas son los electrones libres. para ser momentáneamente capturado por un atomo de cobre que acaba de perder su electrón exterior. Amperios También puede calcularse: (2) Donde: q: carga eléctrica. de forma que. a su vez. partículas libres / m3 A: área de la sección transversal del conductor. la cual relaciona la intensidad de corriente con el área de la sección transversal del conductor: (3) .El electrón ejerce un empuje sobre los que le rodean y. y que por lo tanto se encuentran muy poco influenciado por el núcleo. Cuando se cierra el circuito. Este empuje se hace patente a lo largo de todo el hilo. m/s I: corriente eléctrica. es una propiedad de un objeto o sustancia que hace que se resista u oponga al paso de una corriente eléctrica. eléctricos se emplea el inverso de la resistencia. así como por la temperatura. La unidad de resistencia es el ohmio. La unidad de conductancia es siemens. mho. Siemens La resistencia de un conductor viene dada por una propiedad de ). que es la resistencia de un conductor si es recorrido por una corriente de un amperio cuando se le aplica una tensión de 1 voltio. Ohmios G: conductancia eléctrica. La abreviatura habitual para la resistencia eléctrica . y el símbolo del ohmio es la letra griega omega. que se denomina conductancia y se representa por G. partículas libres / m3 1. m2 R: resistencia del conductor. La resistencia eléctrica. Ohmios . m2 I: corriente eléctrica. cuyo símbolo es S. En algunos cálculosΩ es R. La resistencia de un circuito eléctrico determina (según la llamada ley de Ohm) cuánta corriente fluye en el circuito cuando se le aplica un voltaje determinado.2 Resistencia eléctrica. (5) Donde: L: longitud del conductor. A : velocidad de arrastre de los elementos portadores de carga. conocida como conductividad ( la superficie transversal del objeto. m A: área de la sección transversal del conductor. por la longitud yρ la sustancia que lo compone. (4) Donde: R: resistencia. Aún puede encontrarse en ciertas obras la denominación antigua de esta unidad. m/s n: densidad de portadores de carga. A/m2 A: área de la sección transversal del conductor. 1/R.Donde: J: densidad de corriente. 00391 0. Ohmios x metro La resistividad eléctrica se relaciona con la intensidad del campo eléctrico y la densidad de corriente por medio de: (6) Donde: E: intensidad del campo eléctrico.44 x 10-8 2. ohmios T1: temperatura inicial del conductor.005 .: resistividad eléctrica del conductor.7 x 10-8 2. (7) Donde: R2: resistencia eléctrica del conductor a la temperatura T2.0034 0.0038 0.82 x 10-8 5. la resistencia es proporcional a la longitud del conductor e inversamente proporcional a su conductividad y a su superficie transversal. ºC T2: temperatura final del conductor. Ohmios x metro A una temperatura dada.00393 0.59 x 10-8 1. la resistencia de un material aumenta cuando crece la temperatura (Tabla 1).6 x 10-8 .m)Ω Resistividad eléctrica ( 1. ohmios R1: resistencia eléctrica del conductor a la temperatura T1. ºC : coeficiente de temperatura de la resistencia. ºC-1 Tabla 1. A/m2 : resistividad eléctrica del conductor. Material Plata Cobre Oro Aluminio Tungsteno Coeficiente térmico (ºC-1) 0. N/Coul J: densidad de corriente. Generalmente. Coeficiente de temperatura y resistividad eléctrica de diversos materiales a 20 ºC. Las bandas de color se leen siempre de izquierda a derecha desde el extremo que tiene la banda más cercana a él. Código de colores para resistores moldeados de composición. Figura 1. No obstante.000008 0.006 0. fijos o variables. como se ve en la Figura 1.5 x 10-5 Una amplia variedad de resistores.00044 -0.8 x 10-8 10 x 10-8 1. Resistor fijo moldeado de composición donde se detalla su código de colores Tabla 2. son suficientemente grande para que se imprima su valor resistivo en ohms en su encapsulado. Cada color tiene el valor numérico que se indica en la Tabla 2.0055 0. Color de banda Negro Café Rojo Anaranjado Amarillo Verde Azul Primer digito 0 1 2 3 4 5 6 Segundo digito 0 1 2 3 4 5 6 Factor multiplicador 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 Tolerancia .005 6.50 x 10-6 3. hay algunos demasiado pequeños para que puedan imprimirse números en ellos.Níquel Hierro Constantán Nicromo Carbono 0. Para los resistores moldeados fijos de composición se imprimen cuatro bandas de color en un extremo del forro exterior (Figura 1). sin resistencia. La ley de Ohm se aplica a todos los circuitos eléctricos. y aquéllos en los que el trayecto no es continuo se denominan abiertos.Violeta Gris Blanco Dorado Plateado 7 8 9 7 8 9 10000000 100000000 1000000000 0. así llamada en honor a su descubridor. . aunque para el análisis de circuitos complejos y circuitos de CA deben emplearse principios adicionales que incluyen inductancias y capacitancias. Símbolos de algunos elementos de un circuito eléctrico. que incluye una fuente de fuerza electromotriz que transporta la corriente por el circuito (Figura 2).1 0. inductancia ni capacitancia apreciables. tanto a los de corriente continua (CC) como a los de corriente alterna (CA). e inversamente proporcional a la resistencia total del circuito. Esta ley suele expresarse mediante la fórmula I = V/R. El término se utiliza principalmente para definir un trayecto continuo compuesto por conductores y dispositivos conductores. Un circuito de este tipo se denomina circuito cerrado.01 5% 10 % 1.4 Ley de Ohm. Un circuito eléctrico es el trayecto o ruta de una corriente eléctrica. La ley básica del flujo de la corriente es la ley de Ohm. V la fuerza electromotriz en voltios y R la resistencia en ohmios. La corriente fluye por un circuito eléctrico siguiendo varias leyes definidas. entre los terminales de la fuente de fuerza electromotriz. la cantidad de corriente que fluye por un circuito formado por resistencias puras es directamente proporcional a la fuerza electromotriz aplicada al circuito. siendo I la intensidad de corriente en amperios. Un cortocircuito es un circuito en el que se efectúa una conexión directa. 1. el físico alemán Georg Ohm. Según la ley de Ohm. Figura 2.3 Circuitos eléctricos y sus componentes. La cantidad de energía desprendida en un circuito se mide en julios.6 Circuito serie-paralelo. Amperios R: resistencia. los electrones que la componen colisionan con los atomos del conductor y ceden energía.5 Potencia eléctrica. la resistencia total se calcula sumando los valores de dichas resistencias.V = I x R (8) Donde: V: diferencia de potencial o voltaje aplicado a la resistencia. Amperios R: resistencia. La potencia consumida se mide en vatios. 1 vatio equivale a 1 julio por segundo. se usa el siguiente factor de conversión: 1 Watt = 0. Ohmios 1. Ohmios P: potencia eléctrica. Al circular la corriente. Watios Para cuantificar el calor generado por una resistencia eléctrica al ser atravesada por una corriente eléctrica. Cuando en un circuito hay dos o más resistencias en serie. La potencia "P" consumida por un circuito determinado puede calcularse a partir de la expresión: (9) Donde: V: diferencia de potencial o voltaje aplicado a la resistencia. Un circuito en serie es aquél en que los dispositivos o elementos del circuito están dispuestos de tal manera que la totalidad de la corriente pasa a través de cada elemento sin división ni derivación (Figura 3). Si las resistencias están en serie. el valor total de la resistencia del circuito se obtiene mediante la fórmula: (10) .2389 calorías / segundo 1. Voltios I: corriente que atraviesa la resistencia. que aparece en la forma de calor. Voltios I: corriente que atraviesa la resistencia. Disposición de bombillas en un circuito en serie y un circuito en paralelo. se desarrollará con el circuito de la Figura 4. Si las resistencias están en paralelo. . en cada caso. ohmios En un circuito en paralelo los dispositivos eléctricos. el valor de las resistencias en paralelo es menor que el valor de la más pequeña de cada una de las resistencias implicadas. ohmios Ri: resistencia individual i. El valor de dos resistencias iguales en paralelo es igual a la mitad del valor de las resistencias componentes y. de forma que cada unidad se encuentra.7 Regla del divisor de tensión. y todos los negativos (-) en otro. están dispuestos de manera que todos los polos. el valor total de la resistencia del circuito se obtiene mediante la fórmula: (11) Donde: Re: resistencia equivalente de la disposición. ohmios Ri: resistencia individual i. que es muy corta y directa. 1. ohmios Figura 3. en una derivación paralela. en realidad. electrodos y terminales positivos (+) se unen en un único conductor. La prueba. por ejemplo las lámparas incandescentes o las celdas de una batería.Donde: Re: resistencia equivalente de la disposición. La evaluación de la tensión que pasa por cualquier resistor o cualquier combinación de resistores en un circuito en serie se puede reducir a un solo elemento utilizando la regla del divisor de tensión. 8 Regla del derivador de corriente.Figura 4. Circuito en serie donde la corriente I atraviesa todos los resistores sin sufrir derivación alguna a) Resistencia total: Rt = R1 + R2 + R3 +…RN (12) b) Corriente: I = V/RT (13) C) Tensión a través del resistor RX (donde x puede ser cualquier número de 1 a N): Vx = I. para un circuito en serie. . la corriente que pasa por cualquier derivación es igual al producto del otro resistor en paralelo y la corriente de entrada dividido entre la suma de los dos resistores en paralelo (Figura 5). Obsérvese que no es necesario que V sea una fuente de fuerza electromotriz. 1. la tensión que existe en cualquier resistor (o alguna combinación de resistores en serie) es igual al valor de ese resistor (o a la suma de dos o más resistores en serie) multiplicado por la diferencia de potencial de todo el circuito en serie y dividido entre la resistencia total del circuito. Para dos derivaciones paralelas.Rx D) La tensión a través de dos o más resistencias en serie que tienen una resistencia total igual a: R’T: V’T = I. la regla indica que.RT (14) E) Se sustituye I del inciso (B) en las ecuaciones de los incisos (C) y (D): Regla del divisor de tensión: (15) (16) En palabras. descubiertas por el físico alemán Gustav Robert Kirchhoff. Circuito en paralelo donde la corriente IT atraviesa todos los resistores pero sufriendo una derivación. es necesario aplicar otras dos leyes para obtener el flujo de corriente que recorre las distintas derivaciones. la ley de los nudos. Esta segunda ley es sencillamente una ampliación de la ley de Ohm.9 Leyes de Kirchhoff. Si un circuito tiene un número de derivaciones interconectadas. Reglas de los nodos En todo nodo se cumple: (19) "Las corrientes que entran a un nodo son iguales a las corrientes que salen" . Estas leyes. la suma de las intensidades que llegan a un nudo es igual a la suma de las intensidades que salen del mismo. la suma neta de las fuerzas electromotrices halladas será igual a la suma neta de los productos de las resistencias halladas y de las intensidades que fluyen a través de ellas. enuncia que en cualquier unión en un circuito a través del cual fluye una corriente constante. la ley de las mallas afirma que. La segunda ley.(17) (18) Figura 5. son conocidas como las leyes de Kirchhoff. 1. La primera. comenzando por cualquier punto de una red y siguiendo cualquier trayecto cerrado de vuelta al punto inicial. de una fuente de corriente.e.10 Conversión de fuentes de tensión a fuentes de corriente y viceversa. Al pasar a través de una pila del terminal positivo al negativo se considera positivo la f.m C. la corriente proporcionada por la fuente de corriente se relaciona con la fuente tensión a través de: (21) Por último. Al pasar a través de un resistor de mayor a menor potencial se considerará la existencia de una caída D. Durante la conversión.Regla de las mallas En toda malla se cumple: (20) "La sumatoria de las fuerzas electromotrices en una malla menos la sumatoria de las caídas de potencial en los resistores presentes es igual a cero" Regla de signos: A. el valor de la resistencia que se encuentre en paralelo con la fuente de tensión tendrá el mismo valor que la resistencia ubicada en paralelo con la fuente de corriente. La fuente de corriente es el dual de la fuente de tensión. Al pasar a través de un resistor de menor a mayor potencial se considerará la existencia de una ganancia 1. . Al pasar a través de una pila del terminal negativo al positivo se considera negativa la f.m B. El término dual indica que lo que sea característico de la tensión o la corriente de una batería lo será también para la corriente o la tensión. la dirección de la corriente quedará establecida en función de la polaridad de la fuente de tensión. no obstante. pues siempre saldrá de la terminal positiva (Figura 6). mientras que su tensión final puede variar como lo determine la red a la que se aplica. según el caso. La fuente de corriente proporciona una corriente fija a la derivación en que está situada.e. Se resuelven las ecuaciones simultáneas resultantes para las corrientes de malla deseadas. Se asignan signos positivos a las fuentes de fuerza electromotriz que tienen una polaridad tal que la corriente de malla pase de la terminal negativa a la positiva. 4. 5. . mientras que la corriente IN resulta de dividir ETh con RTh. La columna 1 de cada ecuación se forma sumando los valores de resistencia de los resistores por los que pasa la corriente de malla que interesa y multiplicando el resultado por esa corriente de malla. El número de ecuaciones necesarias es igual al número de trayectorias cerradas independientes escogidas. Cada término es el producto del resistor mutuo y la otra corriente de malla que pasa por el mismo elemento. La columna situada a la derecha del signo igual es la suma algebraica de las fuentes de tensión por las que pasa la corriente de malla que interesa. Debemos considerar los términos mutuos. Es posible tener más de un término mutuo si la corriente de malla que interesa tiene un elemento en común con más de otra corriente de malla. 3. Asignar una corriente de malla a cada trayectoria cerrada independiente en el sentido de las manecillas del reloj (Figura 7).Figura 6. Su sentido siempre será ubicado a la salida de la terminal positiva (el bigote más grande de la fuente). Se atribuye un signo negativo a los potenciales para los que la polaridad es inversa. Una fuente de tensión es convertida en una fuente de corriente. El siguiente método de formato es usado para abordar el análisis de mallas. La resistencia que se encuentra en serie con la fuente de tensión (RTh) conserva su valor. 2. se restan siempre de la primera columna. 1. 1. pero aparece en paralelo con la fuente de corriente.11 Análisis de circuitos por el método de las mallas. El siguiente método de formato es usado para abordar el análisis nodal 1. 1. Nótese como las corrientes de malla se dibujan en el sentido de las agujas del reloj.12 Análisis de circuitos por el método nodal. 3. Una red eléctrica donde claramente se distinguen dos mallas. La columna a la derecha del signo de igualdad es la suma algebraica de las fuentes de corriente ligadas al nodo de interés. El número de ecuaciones necesarias para una solución completa es igual al número de tensiones con subíndice (N . Es posible tener más de un término mutuo si la tensión nodal de la corriente de interés tiene un elemento en común con más de otra tensión nodal. y un signo negativo si toma corriente del nodo. A una fuente de corriente se le asigna un signo positivo si proporciona corriente a un nodo.Figura 6. . A continuación. La columna 1 de cada ecuación se forma sumando las conductancias ligadas al nodo de interés y multiplicando el resultado por esa tensión nodal con subíndices. se deben considerar los términos mutuos. 2. 4. se restan siempre de la primera columna.1). Cada término mutuo es el producto de la conductancia mutua y la otra tensión nodal enlazada a esa conductancia. Escoger un nodo de referencia y asignar un rótulo de voltaje con subíndice a los (n — 1) nodos restantes de la red (Figura 8). o sea.Figura 8. Figura 9. A la izquierda de la imagen se observa una configuración de resistencias en delta. 5. puede ser necesario convertir el circuito de una forma a otra para resolver variable eléctrica desconocida. . –∆ . ∆ 1. Es esas condiciones. Con frecuencia se encuentran configuraciones de circuitos en que los resistores no parecen estar en serie o en paralelo. Dos configuraciones de circuitos que suelen ). Una red eléctrica donde claramente se distinguen cuatro nodos. Resolver las ecuaciones simultáneas resultantes para las tensiones nodales deseadas.13 Redes en punte (Conversión Y – Y). su potencial es cero. que se∆ simplificar esa dificultad son las transformaciones ye (Y) y delta ( muestra en la Figura 9. Nótese como uno de los nodos se tomó como referencia. a la derecha se presenta una configuración en ye. la corriente resultante será la diferencia entre las dos y tendrá la dirección de la mayor. sino que todavía deberá considerarse. Esta regla es cierta para la tensión a través de una porción de la red. puesto que la pérdida de potencia en un resistor varía con el cuadrado (no . Si las corrientes individuales tienen el mismo sentido. el retiro de una fuente de corriente requiere que sus contactos estén abiertos (circuito abierto).Las relaciones entre ambas configuraciones son: (22) (23) (24) (25) (26) (27) 1. para una red de dos fuentes. o sea. El teorema establece que: "La corriente o la tensión que existe en cualquier elemento de una red lineal bilateral es igual a la suma algebraica de las corrientes o las tensiones producidas independientemente por cada fuente" Considerar los efectos de cada fuente de manera independiente requiere que las fuentes se retiren y reemplacen sin afectar al resultado final.14 Teorema de superposición. El principio de la superposición no es aplicable a los efectos de la potencia. Para retirar una fuente de tensión al aplicar este teorema. La corriente total a través de cualquier porción de la red es igual a la suma algebraica de las corrientes producidas independientemente por cada fuente. determinada por las polaridades y se puede extender a redes con cualquier número de fuentes. la corriente resultante será la suma de dos en la dirección de cualquiera de las corrientes. si la corriente producida por una fuente sigue una dirección. mientras que la producida por la otra va en sentido opuesto a través del mismo resistor. la diferencia de potencia entre los contactos de la fuente de tensión se debe ajustar a cero (en corto). Cualquier conductancia o resistencia interna asociada a las fuentes desplazadas no se elimina. Esta etapa se indica mediante la colocación del resistor R entre las terminales del circuito equivalente de Thevenin. Marcar las terminales de la red restante de dos terminales (la importancia de esta etapa será evidente conforme examinemos algunas redes complejas). la potencia en un elemento no se puede determinar sino hasta haber establecido la corriente total (o la tensión) a través del elemento mediante la superposición. Calcular RTH ajustando primero todas las fuentes a cero (las fuentes de tensión se reemplazan con circuitos en corto y las de corriente con circuitos abiertos) y luego determinar la resistencia resultante entre las dos terminales marcadas. Calcular ETH reemplazando primero las fuentes de corriente y de tensión.d de dos terminales se puede reemplazar con un circuito equivalente que consiste en una fuente de corriente y un resistor en paralelo" El análisis del teorema de Thevenin con respecto al circuito equivalente se puede aplicar también al circuito equivalente de Norton. entre las terminales del circuito equivalente. (Si la resistencia interna de las fuentes de tensión y/o de corriente se incluye en la red original.16 Teorema de Norton. Las etapas que conducen a los valores apropiados de IN Y RN son: . Trazar el circuito equivalente de Thevenin reemplazando la porción del circuito que se retiró previamente. Esta técnica es aplicable a redes electrizas que poseen fuentes de corriente no variable.lineal) de la corriente o de la tensión. 3.) 4. Retirar la porción de la red a través de la cual se debe encontrar el circuito equivalente de Thevenin. Por esta razón. El Teorema de Norton al igual que el Teorema de Thevenin es un método empleado para evaluar el efecto de un red sobre una resistencia de carga. deberá permanecer cuando las fuentes se ajusten a cero. En todos los casos debe recordarse que es el potencial de circuito abierto entre las dos terminales marcadas en la segunda etapa.) 5. y determinando luego la tensión del circuito abierto entre las terminales marcadas. (Esta etapa será siempre la que conducirá a más confusiones y errores. 1. 1. 2.15 Teorema de Thevenin. El teorema establece: "Cualquier red lineal bilateral de c. Las etapas a seguir que conducen al valor apropiado de RTH y ETH son: 1. y encontrando la corriente a circuito en corto entre las terminales marcadas. 5. (Si se incluye en la red original la resistencia interna de las fuentes de tensión y/o corriente. 3. ésta deberá permanecer cuando las fuentes se ajusten a cero. . Divisores de tensión Las resistencias en serie se usan mucho en los circuitos eléctricos para proporcionar potenciales variables que son función de la tensión de entrada. 2. Retirar la porción de la red en que se encuentra el circuito equivalente de Norton. Marcar las terminales de la red restante de dos terminales.1. Calcular RN ajustando primero todas las fuentes a cero (las fuentes de tensión se reemplazan con circuitos en corto y las de corriente con circuitos abiertos) y luego determinando la resistencia resultante entre las dos terminales marcadas. Calcular IN reemplazando primero las fuentes de tensión y de corriente. A los dispositivos de este tipo se les denomina divisores de tensión. Trazar el circuito equivalente de Norton con la porción previamente retirada del circuito y reemplazada entre las terminales del circuito equivalente.) 4. Combinando estas dos relaciones con la Ecuación 2-8 se obtiene En los potenciómetros comerciales. En la mayoría de potenciómetros como el de la Figura 2-2b. que puede moverse de un extremo a otro del helicoide. permite que VAC pueda variar de forma continua desde cero hasta VAB. la resistencia entre un extremo A y cualquier punto C es directamente proporcional a la longitud AC de esta porción de resistencia. Un contacto móvil. proporciona una tensión variable en forma continua. 2-2b). uno de estos divisores de tensión proporciona las tensiones en forma de incrementos discretos. denominado cursor. denominado potenciómetro2. esto es. Si se aplica la ley de Kirchhoff de intensidades al punto A de esta figura. Entonces RAC = kAC donde AC viene expresada en las unidades de longitud adecuadas y k es una constante de proporcionalidad. el segundo tipo (Fig. la resistencia es lineal. se obtiene I1+ I2 + I3 – It = 0 o It = I1 + I2 + I3 (2-10) Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones a este circuito resultan tres ecuaciones independientes. RAB suele ser un hilo resistivo enrollado en forma helicoidal. RAB = kAB. De forma similar. para la malla que contiene la batería y R1. V = I3R3 .Tal como se muestra en la Figura 2-2a. se puede escribir V – I1R1 = 0 V = I1R1 Para la malla que contiene V y R2 V = I2R2 Para la malla que contiene V y R3. Así. Circuitos en paralelo La Figura 2-3 muestra un circuito de corriente continua en paralelo. viene dada por: De forma similar se demuestra que . estas ecuaciones no serían independientes de las tres anteriores. así como para la que contiene R2 y R3. R1 y R2.Se podrían escribir también ecuaciones similares para la malla que contiene R1 y R2. Introduciendo las tres ecuaciones independientes en la Ecuación 2-10 resulta Dividiendo esta ecuación por V. en un circuito en paralelo las conductancias G son aditivas en lugar de las resistencias. al revés que en un circuito en serie. se puede escribir GP = G1 + G2 + G3 (2-12) La Ecuación 2-12 muestra que. La fracción de la intensidad total que pasa por R1 en la Figura 23 es o (2-13) Un caso especialmente interesante sucede cuando dos resistencias. La fracción de la corriente por R. forman un circuito en paralelo. se obtiene Como la conductancia de una resistencia R viene dada por G = 1 /R. Divisores de intensidad en circuitos en paralelo Así como las resistencias en serie forman divisores de tensión. las resistencias en paralelo crean divisores de intensidad. Sin embargo. (c) la intensidad por cada una de las resistencias y (d) la diferencia de potencial en bornes de cada una de las resistencias.3 entre los puntos A y B vendrá dada por la Ecuación 2-11.En resumen. Esta ecuación se denomina a menudo ecuación de un divisor de intensidad. calcular (a) la resistencia total. EJEMPLO 2-1 Para el siguiente circuito. En este caso se tiene una resistencia equivalente a las dos resistencias en serie. Esto es. El circuito original puede reducirse ahora al circuito equivalente siguiente. para dos resistencias en paralelo. La resistencia R2. la fracción de la corriente a través de una resistencia es el cociente entre la segunda resistencia y la suma de la dos resistencias. la intensidad I viene dada por Utilizando la Ecuación 2-8 la tensión V1 en bornes de R1 es . (b) la intensidad por la batería. y A partir de la ley de Ohm. R2 y R3 son resistencias en paralelo. La parte más importante del circuito integrado es el convertidor analógico-digital. Así.67 A Las intensidades a través de R2 y R3 se obtienen a partir de la ley de Ohm. Medidas de resistencia. Obsérvese que las dos intensidades se suman para dar la intensidad total. La intensidad que pasa por R1 viene dada por I1 = I = 0. que se inventó hace más de un siglo. tal como indica la ley de Kirchhoff de tensiones. estos equipos han quedado obsoletos. de una fuente de alimentación que. 2A-3. suelen ser baratos (por debajo de los 100 $) y. la lectura del voltímetro digital es Vm y la resistencia interna del DVM es RM. tienen resistencias de entrada elevadas de 10'° a 1012 -. que se estudia en el próximo apartado. tal como indica la ley de Kirchhoff. Voltímetros digitales Hasta hace unos treinta años las medidas eléctricas de corriente continua se hacían con el medidor de D'Arsonval de cuadro móvil. para medir resistencias. y se han reemplazado por los omnipresentes voltímetros digitales y multímetros digitales (DVM y DMM). El potencial visualizado en el medidor Vm puede ser algo distinto del verdadero potencial de la fuente debido al error de carga. En cada uno de los esquemas. La configuración que se muestra en la Figura 2-4a se utiliza para determinar el potencial desconocido V. por lo general. En el Apartado 4C-7 se da una explicación de cómo son los convertidores analógicodigitales. que transforma la señal de entrada analógica en un número que es proporcional a la magnitud de la tensión de entrada3. es una batería y de una pantalla digital de cristal líquido. señalado como DVM. tensión e intensidad en corriente continua En este apartado se considera cómo se miden la corriente. de una fuente de potencial que tiene una resistencia interna R s.De forma similar. Los voltímetros digitales suelen . intensidades y potenciales en corriente continua. Los modernos voltímetros digitales comerciales pueden ser pequeños. La Figura 2-4 muestra cómo se puede usar un voltímetro digital. el potencial y la resistencia de los circuitos de corriente continua y las incertidumbres asociadas con dichas medidas. con frecuencia. Un voltímetro digital generalmente consta de un circuito integrado sencillo. En la actualidad. la tensión en bornes de las resistencias R2 y R3 es Obsérvese que la suma de las dos tensiones es de 15 V. entonces una lectura en un DVM de 0. el DVM es capaz de leer la corriente directamente. intensidades y resistencias. de forma que se introduce un error de carga. siendo ésta proporcional a la corriente. Esto es. Error de carga en las medidas de potencial Cuando se utiliza un medidor para medir potenciales. si la intensidad estándar es 0. la corriente medida es 1.0100 A = 94. Este tipo de error no se puede eliminar por completo. Aplicando la ecuación de un divisor de tensión (Ecuación 2-9).incorporar un divisor de tensión como el de la Figura 2-2a. La corriente a medir pasa a través de una de las pequeñas resistencias estándar situadas en el medidor. Se mide la diferencia de potencial en bornes de esta resistencia.456 V. Solamente hay que mover la coma de los decimales para obtener la lectura directa de la resistencia.000 y . Para este caso. Las resistencias de precisión Rstd del medidor suelen variar entre unos 0. .945 V/ 0. Esta situación no es particular de las medidas de tensión. el medidor va equipado con una fuente de corriente continua que produce una intensidad constante I std que pasa a través de la resistencia. Escogiendo las resistencias estándar en potencias de diez y preparando los circuitos para mover el punto de los decimales de la pantalla. a varios intervalos de corriente. El error de carga relativo en porcentaje Er asociado con el potencial medido VM de la Figura 2-4a viene dado por en la que Vx es la verdadera tensión de la fuente de alimentación. la presencia de este medidor tiende a perturbar el circuito. Por ejemplo.o menos y varios cientos de ohmios. después de reordenar.945 V supone una resistencia medida de 0. Si.1 . de esta forma. a menudo. el proceso de medida altera inevitablemente al sistema en estudio. es un ejemplo de una limitación fundamental aplicable a cualquier medida física. La Figura 2-4c muestra cómo se determina una resistencia desconocida Rx con un voltímetro digital moderno. Se denomina normalmente multimetro digital (DMM) a un instrumento que dispone de circuitos para medida de tensiones. Rsld = 1. por ejemplo.la lectura del DVM es de 1. se puede escribir Sustituyendo esta ecuación en la anterior resulta. de manera que la cantidad que se mide en realidad difiere de su valor antes de efectuar la medida. dando lugar. Los voltímetros digitales también son capaces de medir varios intervalos de corriente. La magnitud del error de carga de las medidas de potencial depende del cociente entre la resistencia interna del medidor y la resistencia del circuito estudiado.5 W. sin embargo. a proporciones insignificantes. La Figura 2-4b muestra cómo se mide la intensidad desconocida I x de un circuito que consta de una fuente de corriente continua y una resistencia RL. De hecho.0100 A. se puede reducir. que les permite operar en diversos intervalos de trabajo.456 A. ya que la mayoría de los circuitos electrónicos modernos disponen de estos dispositivos más que de inductores. tales como conmutadores. si el circuito dispone de una bobina de cobre. Los instrumentos como los medidores de pH y los medidores de pIon tienen entradas con resistencias muy altas para evitar errores de carga de este tipo. las reactancias en los circuitos de corriente alterna introducen desfases en las señales de corriente alterna. En los siguientes apartados. la bobina se opone al cambio en la corriente al almacenarse energía en el campo magnético del inductor. pueden presentar cierta reactancia. Estos dispositivos juegan un papel importante en diversas funciones útiles tales como convertir una corriente alterna en continua o viceversa. un condensador en un circuito de corriente alterna se opone al cambio de tensión. . la energía vuelve a la fuente de corriente alterna y cuando se completa la segunda parte del ciclo. La oposición de los inductores al cambio de intensidad y la oposición de los condensadores al cambio de tensión sé denomina reactancia.(2-14) Esta ecuación muestra que el error de carga relativo es cada vez menor cuanto mayor es la resistencia del medidor RM respecto a la resistencia de la fuente RS. respectivamente. diferenciar señales o integrar señales. que tienen resistencias de 106 a 109W o mayores. cuando las variaciones son rápidas. De forma similar. capacitancias e inductancias en forma de condensadores e inductores. (2-22) 2B-2. discriminar entre señales de distinta frecuencia. La Tabla 2-1 ilustra este efecto. la energía se almacena de nuevo en el campo magnético de sentido contrario. dependen cuantitativamente de la frecuencia. Ambas reactancias. Por ejemplo. o inductor. Los dos tipos de reactancia que caracterizan a los condensadores o a los inductores son la reactancia capacitiva y la reactancia inductiva. Como veremos. Al invertirse la intensidad. A baja frecuencia. de forma deliberada. Un ejemplo importante de error de carga puede darse en la medida del potencial de los electrodos de vidrio para la medida del pH. los efectos de la reactancia de la mayoría de los componentes de un circuito son lo suficientemente pequeños como para no tenerlos en cuenta. se considerarán sólo las propiedades de los condensadores. Por otra parte. uniones y resistencias. los diversos elementos del circuito. capacitiva e inductiva. Reactancias en circuitos eléctricos Siempre que aumenta o disminuye la corriente de un circuito eléctrico se necesita energía suficiente para cambiar los campos eléctricos y magnéticos asociados al movimiento de las cargas. A menudo se introducen en un circuito. Los voltímetros digitales presentan la gran ventaja de tener resistencias internas enormes de 1011 hasta 1012 W eliminándose así los errores de carga excepto en las medidas de circuitos que tengan resistencias mayores de 109W. separar señales de corriente alterna de señales de corriente continua. cuando la velocidad de cambio de la corriente es baja. Este tipo de reactancias suelen producir efectos no deseados y hay que hacer todos los esfuerzos posibles para disminuir su magnitud. 2B-3. Una propiedad útil de los condensadores es su capacidad de almacenar una carga eléctrica durante un cierto período de tiempo. Los condensadores se simbolizan por un par de líneas paralelas de igual longitud. Cuando se coloca S en la posición 2. de una resistencia R. papel. depende del área de las placas. la descarga se produce de la misma forma que si el cambio de 1 a 2 hubiera sido rápido. La cantidad de electricidad. los electrones fluyen desde la terminal negativa de la batería a través de la resistencia R hacia el conductor o placa inferior del condensador. El condensador más sencillo consta de dos láminas metálicas separadas por una delgada capa de un dieléctrico como aire. aceite. Condensadores y capacitancia: circuitos RC en serie Un condensador típico consiste en un par de conductores separados por una delgada capa de material dieléctrico. Además. se dice que el condensador está cargado. Cuando el conmutador S se mueve desde la posición 2 hasta la 1. y de un condensador C en serie. Q = CV (2-23) Cuando V es el potencial aplicado en voltios y Q la cantidad de carga en culombios. las dos láminas junto con el aislante se suelen plegar o enrollar en una estructura compacta que se sella para prevenir el deterioro por la acción atmosférica. necesaria para cargar un condensador por completo. mica. una corriente. primero se mantiene S en la posición 1 hasta que C se ha cargado. que consta de una batería V1. cerámica o un óxido metálico. Excepto en el caso de los condensadores de aire y de mica. un condensador de un faradio almacena una carga de un culombio por cada voltio aplicado. de su forma. los electrones fluyen desde la placa inferior del condensador cargada negativamente hasta la placa superior cargada positivamente. la constante de proporcionalidad C es la capacitancia del condensador en faradios F. debido a que una tensión que varía con el tiempo da lugar a una carga variable con el tiempo. plástico. la carga Q es directamente proporcional a la tensión aplicada. en la Figura 2-8a. en este caso. Así pues. Q. Para describir las propiedades de un condensador. esto es. que el condensador está descargado. el condensador permanecerá cargado durante un amplio período de tiempo. se dice. obteniéndose . De nuevo. y a continuación se coloca en una posición intermedia entre 1 y 2. Es decir. que disminuye rápidamente hasta cero cuando se establece una diferencia de potencial entre las dos placas del condensador que alcanza finalmente el valor del potencial de la batería V i. este movimiento constituye una corriente que disminuye hasta cero al ir desapareciendo la diferencia de potencial entre las dos placas. Al mismo tiempo. del espacio entre ellas y de la constante dieléctrica del material que las separa. Este razonamiento puede verse derivando la Ecuación 2-23. la placa superior repele a los electrones y los dirige hacia la terminal positiva de la batería. Este movimiento constituye una corriente transitoria. a través de la resistencia R. un aislante eléctrico que carece esencialmente de especies cargadas móviles capaces de transportar la corriente. si. considérese el circuito RC en serie de la Figura 2-8a. y cederla cuando sea necesario. esto es. Cuando cesa la corriente. Si se cambia el conmutador de la posición 1 a la posición 2. La mayoría de los condensadores utilizados en los circuitos electrónicos tienen capacitancias del orden de los microfaradios (10-6 F) hasta los picofaradios (10-12 F). Por consiguiente. La capacitancia es importante en los circuitos de corriente alterna. cuantos elementos de circuito y como están conectados en un circuito partícular. equivalente Thevenin. Para circuitos complejos se han desarrollado métodos que buscan obtener respuestas más rápidamente. resistencias y condensadores). Además. hay que tener en cuenta que para conseguir un cambio rápido en la tensión en bornes del condensador es necesaria una intensidad elevada. CIRCUITOS RESISTIVOS Se muestran unos ejemplos de solución de circuitos resistivos para demostrar la aplicación de las leyes y conceptos mencionados. se aplican las leyes de Kirchhoff. Así (2-25) Es importante destacar que la intensidad de un condensador es cero cuando la tensión es independiente del tiempo. Esos métodos son: análisis de mallas. cuando la tensión en bornes del condensador es constante. que por el momento no se tendran en el material de este curso pero se pueden consultar en libros de Análisis de Circuitos. la ley de Ohm. como se verá en el Capítulo 25. En el caso de CIRCUITOS RESISTIVOS (circuitos con fuentes y solo resistencias) aparecen ecuaciones de tipo algebraico. EJEMPLO 1 Encontrar la corriente que entrega la fuente a las resistencias . en ambos casos se aplican herramientas matemáticas para solucionar las ecuaciones y resolver las incognitas. la intensidad de corriente i es la velocidad de variación de la carga. que consiste básicamente en tener información sobre cuantas fuentes de energía y de que clase. Esto supone una limitación significativa en algunos métodos electroanalíticos de análisis. resistencias. las relaciones voltaje corriente del condensador y la bobina y los ciruitos equivalentes para encontrar las magnitudes de los voltajes y corrientes dentro del circuito y saber como varían en el tiempo.(2-24) Por definición. en el caso de CIRCUITOS RC (fuentes. RL Y RLC INTRODUCCIÓN Una herramienta importante de trabajo en electrónica es el Análisis de Circuitos. análisis de nodos. LECCION 5 CIRCUITOS RC. es decir. equivalente Nortón. dqldt = i. CIRCUITOS RL (fuentes. resistencias y bobinas) y CIRCUITOS RLC (fuentes. esto es. superposición. bobinas y condensadores) aparecen ecuaciones diferenciales. entonces: Vr1 = R1 * I Vr2 = R2 * I remplazando estas dos expresiones en la ecuación inicial. se tiene: + V1 .V2 . Equivalente de R2 y R3: La resistencia equivalente RP está en serie con R1 entonces: Req = R1 + RP = 1K + 1.2K = 4.2K El ciruito resultante es: donde aplicando la ley de Ohm.(R1 * I) . EJEMPLO 2 Encontrar los voltajes en las dos resistencias del circuito mostrado.V2 .(R2 * I) = 0 .Vr2 = 0 Como todos los elementos están en serie la corrientes I es la misma en todos los elementos. si se encuentra una reistencia equivalente de las tres la corriente que consume la resistencia equivalente es la misma que consumen las tres resistencias. aplicamos la Ley de Ohm para las dos resistencias.Vr1 . Este es un caso de aplicación de la Ley de Voltajes de Kirchhoff + V1 .2K = 2.Este es un caso de circuitos equivalentes.54 mA. nos da: I = 10V / 2. uno por cada resistencia.75 V DIVISOR DE VOLTAJE La aplicación de la Ley de Voltajes de Kirchhoff y la Ley de Ohm a un circuito de resistencias en serie. Este caso permite aplicar la Ley de Corrientes de Kirchhoff.0.3125 mA = 68.6875 mA V = R1 * I1 = 220 K * 0.3125 mA con esas información se calculan los otros datos: I2 = I . y el voltaje en cada resistencia VI es proporcional a la magnitud de la resistencia correspondiente RI.5 mA = 1V Vr2 = R2 * I = 12K * 0. que nos indica que el voltaje total VT aplicado a la serie de resistencias es dividido en voltajes parciales. Se tienen los datos necesarios para hallar los voltajes: Vr1 = R1 * I = 2K * 0. por ejemplo en el nodo superior: I = I1 + I2 = 1 mA Como los tres elementos están en paralelo el voltaje en el circuito es el mismo para todos: V Vr1 = Vr2 R1 * I1 = R2 * I2 de donde: I2 = (I1 * R1) / R2 reemplazando en la primera expresión: I1 + [(I1 * R1) / R2] = I donde hay una incognita.3125 mA = 0. resolviendo la ecuación: I = (V1 .5 mA = 5V EJEMPLO 3 Encontrar las corrientes en las resistencias y el voltaje en el circuito.donde hay una incognita que es I.I1 = 1 mA . despejando: I1 = I / (1+ (R1/R2)) = 1 mA / (1+ (220K / 100K)) = 0.4V ) / ( 2K + 10K ) = 0.5 mA. . permite obtener una nueva herramienta de análisis llamada el DIVISOR DE VOLTAJE.V2) / ( R1 + R2 ) = ( 10V . a más resistencia en la rama menor corriente y lo contrario.EJEMPLO 4 Calcular el voltaje V3 DIVISOR DE CORRIENTE Un divisor de corriente se presenta cuando hay dos o más resistencias en paralelo... la corriente total IT que llega al circuito se divide en tantas corrientes como resistencias o circuitos hay en paralelo. . es decir.. G2 = 1/ R2. Gi = 1/ Ri (En general G = 1/R se llama la conductancia del elemento y se mide en Siemens) Para el caso de dos resistencias se puede usar las siguientes expresiones: . la corriente en la resistencia i es: Donde G1 = 1/R1. En este caso la corriente que pasa por cada resistencia es inversamente proporcional a la resistencia de esa rama. RL y RLC la aplicación de las leyes de Ohm y Kirchhoff generan ecuaciones diferenciales.IR·R .EJEMPLO 5 Hallar las corrientes I1 e I2 en el circuito El resultado muestra que a mayor resistencia menos corriente. la solución de un circuito de estos tipos es entonces un proceso de solución de ecuaciones diferenciales. EJEMPLO 6 Encontrar la función de voltaje en el condensador como función del tiempo para el circuito: u(t) es la función escalón cuyo valor es: 0 si t<0 1 si t>=0 Aplicando la ley de Voltajes de Kirchhoff se tiene: 5·u(t) . CIRCUITO RC Los anteriores ejemplos muestran que para circuitos resistivos las soluciones son ecuaciones algebraicas. en los circuitos RC. donde cada caso particular está determinado por las condiciones iniciales.VC = 0 Aplicando ley de Ohm: 5·u(t) .VR .VC = 0 . .IC·R . puede ser voltaje. queda: Que es una ecuación lineal diferencial de primer orden para el voltaje en el condensador. a continuación damos un método para resolver circuitos RC y RL. potencia. la respuesta es: donde τ se llama la constante de tiempo del circuito y corresponde al producto τ =R·C Este ejemplo muestra el procedimiento general que se debe aplicar para resolver los tipos de circuitos mencionados. la herramienta de solución más usada es por Transformada de Laplace. vf es el valor "final". también cuando se tienen sistemas de ecuaciones diferenciales. permite trabajar con casos sencillos y complejos.Como los elementos están en serie la corriente IR de la resistencia es la misma del condensador IC. Para algunos casos específicos de circuitos se pueden aplicar soluciones prácticas que permiten obtener una respuesta más rápida. entonces: 5·u(t) . MÉTODO PRÁCTICO PARA LA SOLUCIÓN DE CIRUITOS RC Y RL SENCILLOS En general los circuitos RC y RL responden a un comportamiento exponencial creciente o decrecciente similar al que se indicó como solución de la ecuación diferencial. Se aclara que en la expresión v significa variable y no se esta restringiendo solo a voltajes. fuerza. que se considera el valor de v(t) cuando ha transcurrido un tiempo relativamente largo que en la práctica es un tiempo t mayor que 5 veces . Toda variable v(t) que cambie exponencialmente en el tiempo tiene la siguiente ecuación: donde vi es el valor inicial de v(t) en t = 0. Este ejemplo es a manera de información por lo que no haremos el detalle de la solución. etc.VC = 0 Aplicando la relación voltaje corriente en el condensador. corriente.