Ejercicio nº 1.- Los planetas del sistema solar, en su movimiento alrededor del Sol describen órbitas: a) Elípticas. b) Circulares. c) Parabólicas. d) Al menos dos de las respuestas anteriores son correctas. Justifica tu respuesta. Solución: Kepler comprobó, a partir de las observaciones de Tycho Brahe, que la trayectoria de un planeta alrededor del Sol es elíptica, aunque se trata de una elipse cuya excentricidad es muy pequeña, hasta el punto de que puede parecer una circunferencia. Ejercicio nº 2.- El plano ue definen el Sol ! la órbita ue describe la "ierra alrededor de #l se denomina: a) Plano solar. b) Plano orbital. c) Plano sin$ular. d) Eclíptica. e) Peri%elio. Solución: l plano que contiene la órbita de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol es el plano de la eclíptica. Ejercicio nº 3.- &as'ndonos en la se$unda le! de (epler, podemos afirmar ue, en su movimiento alrededor del Sol, la "ierra posee una velocidad: a) Constante. b) )ula. c) *a!or, cuanto m's le+os est' del Sol. d) *enor, cuanto m's le+os est' del Sol. Solución: !a se"unda ley de Kepler afirma que un planeta barre, en su movimiento alrededor del Sol, #reas i"uales en tiempos i"uales. $e acuerdo con la fi"ura, cuando el planeta est# m#s cerca del Sol debe moverse a mayor velocidad, para recorrer la distancia AB en el mismo tiempo que recorre la distancia CD en el otro extremo de la trayectoria. $e ese modo, las dos #reas pueden lle"ar a ser i"uales, como afirma la se"unda ley de Kepler. Ejercicio nº 4.- "eniendo en cuenta ue la distancia ,enus-Sol es .,/01 2.A., un a3o de ,enus, medido en a3os terrestres, euivale a: a) .,451 b) .,647 c) .,/01 d) .,875 e) 4,415 9ato: 4 2.A. : 4 unidad astronómica : 9istancia "ierra-Sol Solución: !a expresión de la tercera ley de Kepler es% cte & ' · T R siendo% R ( distancia del planeta al Sol. T ( período del planeta )tiempo que tarda en dar una vuelta completa al Sol*. +ara resolver el e,ercicio, tomamos como patrón la Tierra. $e ese modo, RT ( - )- ../., que es la distancia Tierra0Sol* y TT ( - año terrestre. 1omo conocemos la distancia 2enus0Sol, medida en unidades astronómicas, obtenemos al sustituir todos los datos% & ' & ' Venus Sol Venus Tierra Sol Tierra T d T d − − · $espe,ando el período de traslación de 2enus, resulta% terrestres años 3-4 , 5 - - * 6&' , 5 ) & ' ' & ' ' · ⋅ · ⋅ · − − Tierra Sol Tierra Sol Venus Venus T d d T Ejercicio nº 5.- La "ierra describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Se llama peri%elio a la posición en la ue la "ierra est' m's cerca del Sol ! afelio a la posición en ue est' m's ale+ada del Sol. ;En u# posición ser' ma!or la cantidad de movimiento de la "ierra< a) Afelio. b) Peri%elio. c) =$ual en ambos. Solución: !a se"unda ley de Kepler afirma que un planeta, en su movimiento alrededor del Sol, barre #reas i"uales en tiempos i"uales. $e acuerdo con la fi"ura, cuando el planeta est# m#s cerca del Sol debe moverse a mayor velocidad, para recorrer la distancia AB en el mismo tiempo que recorre la distancia CD en el otro extremo de la trayectoria. $e ese modo, las dos #reas pueden lle"ar a ser i"uales, como afirma la se"unda ley de Kepler. 1omo su masa no varía, en el perihelio la Tierra tiene mayor cantidad de movimiento. !a respuesta correcta es, por tanto, la b). Ejercicio nº 6.- Calcula, en valor absoluto, la fuer>a de atracción ue e+erce la "ierra sobre un cuerpo situado a 40 ... ?m del centro del planeta, si la masa de este cuerpo es 1@4. 6 ?$. Considera ambas masas puntuales. 9atos: *asa de la "ierra : 6@4. 05 ?$ A : 6,/@4. B44 2.=. Solución: /l sustituir los datos que conocemos en la expresión que proporciona la fuer7a que e,ercen entre sí dos masas, debido a la acción de la "ravedad, resulta% 8 -5 '64 , 9 * -5 -& ) -5 ' -5 3 -5 6 , 3 3 & 3 3 &: -- & ⋅ · ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ · ⋅ ⋅ · − r m M G F Ejercicio nº 7.- En una >ona del espacio eCiste un campo $ravitatorio cu!a intensidad es .,0 )D?$. Calcula la fuer>a ue actEa sobre una masa de 4 t situada en dic%o >ona. ECpresa el resultado en neFton. Solución: !a fuer7a que act;a sobre una masa, m, situada en un punto de un campo "ravitatorio en el que la intensidad del mismo es g, viene dada por la expresión% g m F ⋅ · +or tanto, el módulo de la fuer7a ser#, en este caso% 8 &55 & , 5 555 - · ⋅ · F Ejercicio nº 8.- En cierta >ona del espacio eCiste un campo $ravitatorio de intensidad desconocida. Sin embar$o, se sabe ue la fuer>a ue actEa sobre una masa de 4 t, debida a dic%o campo, es 7.. ). ;Cu'l es el valor del campo $ravitatorio en la >ona< ECpresa el resultado en unidades S.=. Solución: !a fuer7a que act;a sobre una masa, m, situada en un punto de un campo "ravitatorio en el que la intensidad del mismo es g, viene dada por la expresión% g m F ⋅ · +or tanto, el módulo del vector intensidad del campo "ravitatorio ser# en este caso% - <" 8 4 , 5 555 - 455 − ⋅ · · · m F g Ejercicio nº 9.- Entre las si$uientes $r'ficas, se3ala la ue muestra cómo varía la fuer>a $ravitatoria e+ercida entre dos masas, en función de la distancia. Solución: !a expresión que permite calcular la fuer7a "ravitatoria e,ercida entre dos masas, M y m, separadas una distancia r, es% r u r m M G F ⋅ ⋅ ⋅ − · & Si las masas, M y m, no varían, la expresión que permite calcular la fuer7a depende solo de la distancia entre masas, de la forma% r u r k F ⋅ − · & sta ecuación es la de una hip=rbola situada en el cuarto cuadrante que tiende asintóticamente a 5 cuando r aumenta, como muestra la fi"ura a). Ejercicio nº 10.- 9os masas, M ! m, est'n separadas una distancia R. Si se ale+an una distancia 0@R, el módulo de la fuer>a $ravitatoria ue actEa entre ellas: a) 9isminu!e 5 veces. b) 9isminu!e 0 veces. c) )o varía. d) Aumenta 0 veces. e) Aumenta 5 veces. Solución: % es , fuer7a, la de módulo el , distancia una separadas est#n masas las 1uando F R & R m M G F ⋅ ⋅ · % resulta , fuer7a, la de módulo el duplica, se distancia esta 1uando F & * & ) > R m M G F ⋅ ⋅ ⋅ · $ividiendo una por otra, resulta% : - * & ) > & & · ⋅ · R R F F F F ⋅ · : - > 1omo vemos, el módulo de la fuer7a se reduce a la cuarta parte. !a respuesta correcta es la a). c Solución: !a expresión que permite calcular el potencial "ravitatorio es% r M G V g ⋅ − · +or tanto, en el caso que nos ocupa% - 3 && -- <" ? 955 :@4 -5 -5 -5 : , 6 -5 6 , 3 − − ⋅ − · ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − · ⋅ − · r M G V g .na ve7 conocido el potencial "ravitatorio en ese punto, resulta sencillo calcular la ener"ía potencial% ? -5 @ , &:6 955 :@4 455 3 ⋅ − · ⋅ − · ⋅ · g p V m E Ejercicio nº 12.- 2na sonda espacial se lan>a desde la superficie de la "ierra, con la intención de ue escape del campo $ravitatorio terrestre. Calcula la velocidad con ue debe lan>arse la sonda. ECpresa la velocidad en unidades S.=., con dos cifras decimales. 9atos: Gadio de la "ierra : 6 1/. ?m *asa de la "ierra : 7,8H@4. 05 ?$ A : 6,6/@4. B44 unidades S.=. Solución: !a expresión que permite calcular la ener"ía total de un sat=lite en órbita es% R m M G v m E total ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ · & & - n esta expresión, R es el radio de la Tierra, ya que es desde la superficie del planeta desde donde lan7amos el cuerpo. +ara que la sonda escape al campo "ravitatorio, su ener"ía total ha de ser, al menos, nula. llo indicar# que su ener"ía cin=tica es suficiente para AvencerB el campo "ravitatorio terrestre. +or tanto% 5 & - & · ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ · R m M G v m E total $espe,ando la velocidad, resulta% - - ' &: -- s <m & , -- C s m -@- -- -5 '65 3 -5 @9 , 4 -5 36 , 3 & & − − − ⋅ − ⋅ · ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ · ⋅ ⋅ · R M G v Ejercicio nº 13.- Se lan>a un cuerpo de 7.. $ de masa verticalmente %acia arriba, con una velocidad de 4. mDs. Calcula la altura m'Cima a ue lle$ar' el cuerpo. Considera despreciable el ro>amiento del cuerpo con el aire ! sitEa el ori$en de potenciales en el punto de lan>amiento. Considera g : 4. mDs 0 . Solución: /l no existir ro7amiento, la ener"ía mec#nica del sistema se conserva. Dnicialmente, la ener"ía mec#nica del sistema es% ? : : 4 , 5 & - & - & & · ⋅ ⋅ · ⋅ ⋅ · v m E ci ? 5 5 -5 & · ⋅ ⋅ · ⋅ ⋅ · h g m E pi ? : 5 : · + · mecánica E 1uando la bola lle"a al punto m#s alto del plano, su ener"ía mec#nica si"ue siendo de : ,oule debido, precisamente, a la ausencia de ro7amiento. Ten en cuenta, adem#s, que en el punto m#s alto de la trayectoria la velocidad de la bola es nula. +or tanto% p mecánica p c p c mecánica E E h h g m E v m E E E E · → ¹ ¹ ¹ ; ¹ ⋅ ⋅ · ⋅ ⋅ · · ⋅ ⋅ · ⋅ ⋅ · + · -5 4 , 5 ? 5 5 4 , 5 & - & - & D"ualando la expresión de la ener"ía potencial al valor de la ener"ía mec#nica, podemos despe,ar la altura% p mecánica E E · h ⋅ ⋅ · -5 4 , 5 : m 9 , 5 4 : · · h Ejercicio nº 14.- La masa del planeta JEpiter es, aproCimadamente, 14H veces la de la "ierra ! su di'metro es 44 veces ma!or. Calcula el peso en ese planeta de un astronauta cu!o peso en la "ierra es /7. ). Solución: !a fuer7a con que cada planeta atrae al astronauta situado en su superficie, es% & planeta planeta R m M G !eso F ⋅ ⋅ · · Teniendo presente lo anterior, si relacionamos los pesos del astronauta en cada planeta, resulta% & & "#piter "#piter Tierra Tierra "#piter Tierra R M G R M G F F ⋅ ⋅ · n esta expresión podemos sustituir los valores que conocemos, obteniendo, de ese modo, el peso del astronauta en ?;piter% 8 @6- - 645 -- - '-9 & & & & & · ⋅ , _ ¸ ¸ ⋅ · ⋅ ⋅ · → → 1 1 1 1 1 1 ] 1 · ⋅ , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ Tierra "#piter Tierra Tierra "#piter "#piter "#piter Tierra Tierra Tierra "#piter "#piter F R R M M F F F R M R M Ejercicio nº 15.- Calcula la distancia a ue se encuentra el punto en la línea recta ue une la "ierra con la Luna en el ue la fuer>a $ravitatoria resultante sobre un ob+eto de 4. ?$ de masa es nula. ;Iu# valor toma la ener$ía potencial $ravitatoria del ob+eto de 4. ?$ cuando lo situamos en ese punto< La masa de la "ierra es H4 veces la masa de la Luna, siendo esta de /,15 @ 4. 00 ?$, ! la distancia ue las separa es 1,H5 @ 4. H m. Supón ue el sistema físico "ierra-ob+eto-Luna est' aislado de cualuier otro cuerpo del universo. Solución: n primer lu"ar, debemos tener en cuenta que el dato de la masa del cuerpo es in;til, ya que buscar un punto donde la fuer7a se anule es lo mismo que buscar un punto en el cual el campo "ravitatorio se anule. Se trata, pues, de encontrar un punto, en la dirección Tierra0!una, en el cual el campo "ravitatorio sea nulo. n primer lu"ar, calculamos el campo "ravitatorio creado por cada cuerpo. Tomaremos como e,e $% positivo la línea Tierra0!una, en el sentido Tierra a !una. l ori"en del e,e ser# el centro de la Tierra. $e este modoE T& & T u ' M G g ⋅ ⋅ ⋅ − · & 9- T& & & u ' & M G g ⋅ − ⋅ + · & * ) Si aplicamos el principio de superposición y sustituimos% [ ] - -5 9: , ' ) - 9- & 9 & T& & & T u ' ' M G g g ⋅ , _ ¸ ¸ − ⋅ − ⋅ ⋅ − · + /l i"ualar a cero la expresión F - G, obtenemos una ecuación de se"undo "rado cuya incó"nita es la distancia, %, respecto al centro de la Tierra, a la cual el campo "ravitatorio se anula% 5 -5 -@: , - -5 -5 && , 3 95 -@ -5 && & · ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ' ' m. -5 :- , ' % ser resulta distancia !a 9 ⋅ · ' !a ener"ía potencial en ese punto, para el cuerpo de -5 <", se calcula por medio de la expresión% V m E p ⋅ · l potencial en cualquier punto de la recta, V, ser# la suma al"ebraica de los potenciales creados por cada una de las masas% , _ ¸ ¸ − + ⋅ ⋅ − · + · * ) 9- ' & M ' M G V V V & & & T % obtiene se m, -5 :- , ' punto el para do Sustituyen 9 ⋅ · ' & T V V V + · - 4 9 && 9 && -- <" ? -5 66 , -& -5 * :- , ' 9: , ' ) -5 ': , 6 -5 :- , ' -5 ': , 6 9- -5 36 , 3 − − ⋅ ⋅ − · , _ ¸ ¸ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − · V siendo la ener"ía potencial% ? -5 66 , -& 3 ⋅ − · ⋅ · V m E p Ejercicio nº 16.- 2n sat#lite orbita alrededor de la "ierra, a 7 ... ?m de la superficie. Calcula la velocidad con ue se mueve en su órbita. !"o#: R!$io $e l! %ierr! & 6 370 'm *asa de la "ierra : 7,8H @ 4. 05 ?$ ( : 6,6/ @ 4. B44 2.=. Solución: !a fuer7a centrípeta que hace que el sat=lite "ire es, precisamente, la fuer7a "ravitatoria% r v m r m M G F & & ⋅ · ⋅ ⋅ · Si despe,amos en esta expresión la velocidad del sat=lite, resulta al sustituir% - ' &: -- s m @&' 4 -5 * 555 4 '65 3 ) -5 @9 , 4 -5 36 , 3 − − ⋅ · ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ · ⋅ · r M G v Ejercicio nº 17.- 2n sat#lite de 1. toneladas orbita alrededor de la "ierra, a 7 ... ?m de la superficie. Calcula la ener$ía total ue posee el sat#lite. !"o#: R!$io $e l! %ierr! & 6 370 'm *asa de la "ierra : 7,8H @ 4. 05 ?$ ( : 6,6/ @ 4. B44 2.=. Solución: !a expresión que permite calcular la ener"ía total de un sat=lite en órbita es% r m M G v m E total ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ · & & - Teniendo en cuenta que la fuer7a centrípeta que hace que el sat=lite "ire es la fuer7a "ravitatoria, la velocidad con que se mueve el sat=lite debe ser% r v m r m M G F & & ⋅ · ⋅ ⋅ · r M G v ⋅ · Sustituyendo esta ;ltima expresión en la que proporciona la ener"ía, resulta% · ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ · r m M G r M G m E T & - r m M G E T ⋅ ⋅ ⋅ − · & - /l sustituir en esta expresión los datos que conocemos, obtenemos para la ener"ía% ? -5 &3 , 4 -5 * 555 4 '65 3 ) -5 '5 -5 @9 , 4 -5 36 , 3 & - & - -- ' ' &: -- ⋅ − · ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − · ⋅ ⋅ ⋅ − · − r m M G E p Ejercicio nº 18.- Calcula la velocidad an$ular de rotación con ue debe $irar un sat#lite artificial alrededor de la "ierra, para ue lo %a$a en una órbita cu!o radio sea doble ue el radio de la "ierra. !"o#: R!$io $e l! %ierr! & 6 370 'm g : 8,H mDs 0 Solución: !a fuer7a "ravitatoria que act;a sobre el sat=lite es, precisamente, la fuer7a centrípeta que lo hace "irar% Tierra Tierra R v m R m M G F ⋅ ⋅ · ⋅ ⋅ ⋅ · & * & ) & & +or tanto, la velocidad con que se mueve es% Tierra R M G v ⋅ ⋅ · & n este e,ercicio no nos proporcionan ni la constante G, ni la masa de la Tierra. Sin embar"o, debemos recordar que, en la superficie de la Tierra, el sat=lite sería atraído con una fuer7a i"ual a su peso. llo nos permite escribir la si"uiente relación% g m R m M G F Tierra ⋅ · ⋅ ⋅ · & & Tierra R g M G ⋅ · ⋅ /l sustituir en esta expresión los datos que conocemos, obtenemos para la ener"ía% ? -5 &3 , 4 -5 * 555 4 '65 3 ) -5 '5 -5 @9 , 4 -5 36 , 3 & - & - -- ' ' &: -- ⋅ − · ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − · ⋅ ⋅ ⋅ − · − r m M G E p Sustituyendo ahora el producto G(M en la expresión de la velocidad, resulta% & & & g R R g R v Tierra Tierra Tierra ⋅ · ⋅ ⋅ · Teniendo ahora en cuenta la expresión que permite calcular la velocidad an"ular, podemos obtenerla al sustituir toda la información que tenemos% - : ' s rad -5 '@ , : -5 '65 3 9 9 , @ 9 9 & & & − − ⋅ ⋅ · ⋅ ⋅ · ⋅ · ω ⋅ · ⋅ ⋅ · ⋅ · ω → · ω ⋅ ω · Tierra Tierra Tierra Tierra Tierra R g R g R g R R v R v R v Ejercicio nº 19.- El período orbital de la Luna es de 0H días terrestres ! el radio de su órbita, supuesta circular, vale 1H5 ... ?m. Con esos datos, calcula la masa terrestre, sabiendo ue el valor de la constante de $ravitación universal es: ( : 6,6/@4. B44 2.=. Solución: 1onsiderando las masas de la Tierra y de la !una puntuales, y suponiendo que la !una orbita en una trayectoria circular alrededor de la Tierra debido a la acción del campo "ravitatorio, podemos escribir la si"uiente relación% &una Tierra &una &una Tierra &una Tierra R v m R m M G − − ⋅ · ⋅ ⋅ & & !a velocidad la podemos obtener de la relación que existe entre esta ma"nitud y el período de revolución% T R v &una Tierra− ⋅ π ⋅ · & Sustituyendo la velocidad por su valor y despe,ando la masa en la primera ecuación, resulta% & ' & : T G R M &una Tierra Tierra ⋅ ⋅ π ⋅ · − Sustituyendo ahora los datos que facilita el enunciado, obtenemos el si"uiente resultado% <" -5 6' , 4 * 355 ' &: &9 ) -5 36 , 3 * -5 555 '9: ) : &: & -- ' ' & ⋅ · ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ π ⋅ · − Tierra M Ejercicio nº 20.- Se desea mandar al espacio un sat#lite de 4.. ?$ de masa para ue describa una órbita cu!o radio sea 4,7 veces el radio de la "ierra. Calcula la ener$ía ue %emos de comunicar al sat#lite para ponerlo en órbita. 9atos: Gadio de la "ierra : 6 1/. ?m ( : 6,6/ @ 4. B44 2.=. *asa de la "ierra : 7,8H @ 4. 05 ?$ Solución: !a ener"ía que comunicamos al sat=lite es el traba,o que tenemos que reali7ar para ponerlo en órbita, en la posición que nos indican. Ser#, por tanto, la diferencia entre la ener"ía total que posee en la superficie de la Tierra y la que tendr# en el espacio, cuando se encuentre en órbita. !a ener"ía del sat=lite en la superficie de la Tierra es% Tierra R m M G E ⋅ ⋅ − · - 1uando se encuentra en órbita, su ener"ía total es% Tierra R m M G r m M G E ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − · ⋅ ⋅ ⋅ − · 4 , - & - & - & +or tanto, el traba,o que hemos de comunicar al sat=lite para ponerlo en órbita )despreciando ro7amientos* ser#% T Tierra Tierra R m M G ) R m M G R m M G E E ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ · ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − · − · ' & 4 , - & - - & Sustituyendo los datos que proporciona el enunciado, resulta ahora% ? -5 &4 , - -5 '65 3 -55 -5 @9 , 4 -5 36 , 3 & -5 ' &: -- ⋅ · ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ · − ) $e la editorial /naya
Report "Leyes de Kepler Problemas Resueltos de Gravitacion"