INEM “Luis López de Mesa”Departamento de Matemáticas Nombre:___________________________________________ Sección: __________ Año: 2012 Tema: Solución de Triángulos Oblicuángulos DÉCIMO N.C. – AK’S INTRODUCCIÓN. En la unidad anterior se trabajó en la resolución de triángulos rectángulos, para ello se utilizaron herramientas como el Teorema de Pitágoras y las Funciones Trigonométricas. Para el caso de triángulos que no sean rectángulos, tales como los oblicuángulos, se requiere del uso de otros métodos distintos. En esta unidad se estudiarán dos métodos para el análisis de estos triángulos oblicuángulos, la ley de los senos y la ley de los cosenos. Se analizará que estos métodos también se pueden aplicar para la resolución de triángulos rectángulos. Un triángulo oblicuángulo es aquel que tiene tres ángulos agudos, o dos ángulos agudos y un ángulo obtuso. Cuando se tiene un triángulo oblictiángulo se pueden presentar los siguientes casos: Caso 1: se conoce un lado y dos ángulos (LAA o ALA). Caso 2: se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA). Caso 3: se conocen los tres lados del triángulo (LLL). Caso 4: se conocen dos lados del triángulo y el ángulo comprendido entre ellos (LAL). Para resolver los triángulos anteriores se utilizan dos teoremas que son: la ley de seno y la ley de coseno. LEY DE SENO La ley del seno se utiliza para resolver un triángulo oblicuángulo en los casos 1 y 2 LAA o LLA. Ley del seno: para un triángulo con lados a, byc y ángulos opuestos a cada lado ∢ A, ∢B y ∢C respectivamente, se cumple: 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 = = 𝑎 𝑏 𝑐 Es decir, en todo triángulo oblicuángulo la medida de los lados es directamente proporcional al seno de los ángulos opuestos. EJERCICIO 1 1. Identifica en cuáles de los siguientes casos usarías la ley de seno para resolver el triángulo. Justifica tu respuesta. 1 ¿Qué ángulo de elevación con respecto al piso tiene la escalera? 8. c = 14 cm. Resuelve los siguientes triángulos. 7. c = 8 cm c. 9. a = 18 cm. c = 12 cm b. a = 18 cm d. ∢ C = 880. a. ∢ A = 45°. a = 14 cm. ∢ B = 67°. Un rodadero para niños en un parque tiene 30 pies de longitud y un ángulo de elevación de 36° con respecto al piso. ∢ A = 105°. a = 14 cm g. ∢ A = 44°. Determina la altura del edificio. Calcula la altura a la que caminan dos viajeros cuando cruzan un desfiladero por un puente colgante como se muestra en la figura. 5. 3. ∢ A = 50°. ∢ B = 86° f. La escalera para subir al rodadero mide 18 pies de largo. Halla el valor de b en cada triángulo. a = 13 cm. Calcula la medida de AB. ∢ A = 110°.2. c = 12 cm 4. . ∢ C = 95°. Un poste está inclinado 11° con respecto a la vertical del Sol. ∢ A= 102° y AC = 80 cm. En un paralelogramo ABCD se cumple lo siguiente BC = 109. El poste emite una sombra de 80 pies de largo sobre el piso cuando el ángulo de elevación del Sol es de 20°. a = 7 cm e. a = 9 cm.53 cm. ¿Cuál es la longitud del poste? 6. 2 Determina el perímetro del triángulo isósceles MNP cuya NM base mide 15 cm y ∢ N = 32°. ∢ A = 55°. YZ = 35 m y ∢ XZY = 74°. 6. Un terreno triangular tiene lados de longitudes 5 m. Dos carreteras rectas se cruzan en un punto P formando un ángulo de 42°. Determina la distancia entre R y S.2 cm. hay un edificio que está a 426 m de P. 8. 7. se cumple: a2= b2 + c2 . LLL y LAL. QR = 2. a = 6 cm. b = 10 cm. En un punto R de una de las carreteras hay un edificio que está a 368 m de P. e. En un paralelogramo PQRS se tiene que PQ= 4 cm. b = 4 cm. 3 . Determina XY.2ac Cos B c2= a2 + b2 . 3 m y 2. ∢ B y ∢ C respectivamente.LEY DEL COSENO La ley del coseno se utiliza para resolver un triángulo oblicuángulo cuando se presentan los casos 3 y 4. byc y ángulos opuestos a cada lado ∢ A. Encuentra el perímetro de un triángulo isósceles cuya base mide 30 cm y el ángulo opuesto a la base mide 42°.2ab Cos C.6 cm y 3. Calcula RP. y en un punto S de la otra carretera. Ley del coseno: para un triángulo con lados a. Se recurre a otro punto Z y se obtiene: XZ = 25 m.9 cm. 3. c = 12 cm.2bc Cos A b2= a2 + c2 . ∢ A = 48° f. 4. Los lados de un triángulo miden 7. 5. Encuentra la medida del ángulo menor. b = 3 cm. EJERCICIO 2 1. La distancia entre dos puntos X y Y no se puede medir directamente. pues entre ellos hay obstáculos. ∢ C = 104° g.5 cm y ∢ Q = 60°.5 m. a = 7 cm. es decir. Encuentra la medida de los lados y los ángulos de cada triángulo. c = 3 cm 2. Halla el ángulo de mayor medida. 2° y 12. cuando un avión estaba directamente arriba de una carretera recta que une a dos pueblos. Encuentra la medida de los lados del paralelogramo. que tiene las medidas de dos lados y el ángulo entre ellasestá dada por la expresión: 𝑏𝑐𝑠𝑒𝑛𝐴 𝐴= 2 El área de un triángulo MNP. En un momento dado. los ángulos de elevación con respecto a estos pueblos eran 21. En un trapecio ABCD isósceles. Calcula la medida de la diagonal del trapecio. Determina la altitud del vuelo del avión en ese momento. considerando una separación de 8. AREA DE UN TRIÁNGULO Una aplicación directa del teorema del seno es su uso para hallar el área de un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. 10. Determina las distancias del avión a cada uno de los pueblos en dicho instante. donde 𝑠 = A s de le denomina el semiperimetro del triángulo. y el ángulo que se forma entre ellos es de 50°. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en los puntos medios respectivamente. que tiene las medidas de los tres lados está dada por la fórmula de Herón: 𝐴= 𝑠 (𝑠 − 𝑚)(𝑠 − 𝑛)(𝑠 − 𝑝). la base menor AD = 2 cm. la base mayor BC = 4 cm y ∢ C = 55°. 9.3°. b. Una de las diagonales mide 8 cm y la otra mide 6 cm. 4 𝑚 +𝑛+𝑝 2 .8.45 km entre los puntos representativos de los pueblos. El área de un triángulo ABC. a. p = 3 cm q = 2 cm d. luego. Hallar el área de los triángulos de cada figura. a = 9 cm b = 7 cm c. o = 10 cm p = 8 cm ∢ O = 60° c = 10 cm ∢ R = 110° i = 6 cm ∢ F = 120° c = 3 cm ∢ T = 50° q = 8 cm 3. Para ello. 3 cm y 4 cm. ¿cuál es la medida del ángulo que se forma con el otro par de lados? ¿Cuál es el área del cuadrilátero MNOP? c.5 m. encontrar la suma de áreas.5 m. ¿Cuál es el área aproximada del lago? (Utilizar la ley de los cosenos para los tres triángulos y. 50 m y 62. toma las medidas del perímetro como se muestra en la figura. Hallar el área de este terreno. g = 4 cm h = 3 cm e. Un topógrafo quiere estimar el área de un lago. a = 3 cm b = 2 cm g. respectivamente. d = 4 cm e = 1 cm f. Calcular el área de cada triángulo. b. Los lados de un terreno de forma triangular miden 37.) 5 . Si el ángulo que se forma entre el primer par de lados es de 120°. m = 6 cm h = 4 cm b. r = 2 cm s = 2 cm h. Un cuadrilátero MNOP tiene lados cuyos longitudes son 1 cm. 2 cm.EJERCICIO 3 1. 2. a. Resolver los siguientes problemas. respectivamente. a. Resuelva los siguientes triángulos: 3. tal que CA = 35m.EJERCICIOS ADICIONALES 1.cual es la distancia AB? 6 . se ha escogido un punto C. 6. 4. Complete la siguiente tabla con las soluciones posibles de los triángulos cuya medida de los ángulos o lados se dan: Triángulo 1 Lado a Lado b 12 14 Triángulo 2 Lado c 6 7 Triángulo 4 48 28 Angulo B Angulo C 36° 863 Triángulo 3 Ángulo A 35° 44° 135° 45 2. A = 45°. Para calcular la distancia entre dos puntos A y B. CB = 40m. a = 3. 5. C = 60° y b = 16 cm. B = 45° y C = 105°. además el en C mide 60° . b = 140 y c = 160 Calcule los valores que faltan: 7. c = 5 y A = 60° a = 120. De un triángulo se sabe que: a = 6 m. separados por un obstáculo. Calcule los restantes elementos. Determina a qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje. Calcular la distancia de B a C. esta recostada sobre un muro inclinado. perforando simultáneamente por ambas caras de la montaña. ¿a qué altura se encuentra el objeto? 9. por ejemplo. se procede de la forma siguiente: fijamos un punto A en la recta r. Elegimos un ángulo A. En B tomamos un ángulo. de manera que alcanza una altura de 5 metros sobre dicho muro. un poste telefónico que esta inclinado 9° respecto a la vertical. y medimos una distancia AB de I 500 m. Dos personas situadas en puntos opuestos de una ciudad ubicada en un terreno plano. Cuando el ángulo de elevación del sol es de 64°. Los ángulos de elevación del punto de observación de cada persona con respecto al objeto son de 25° y 30°. se observa un punto C situado en la orilla opuesta. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36° y tienen longitudes de 3 y 8 cm. y el ángulo C mide 40°. 10. AC = 3000 metros. La figura muestra el corte transversal de una montana en la que se quiere construir un túnel. observan que sobre la ciudad hay un objeto que parece ser un OVNI.8. accesible a B y a C queda en una orilla se mide AB. bajo ángulos de 60° y 45°. Con estos datos podemos determinar el ángulo C y la distancia BC. cual es la inclinación de éste.5 metros de la base del muro. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr. 16. Los puntos B y C quedan en lados opuestos de un pantano. Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Fijamos la dirección de perforación ofrecida por r. Determina la longitud de la diagonal menor. 12. Calcula la longitud del túnel AB. por lo cual el problema consiste en encontrar la dirección de perforación dada por r. AC y el ángulo BAC. 7 . visible desde A y B. Calcula estos datos. respectivamente. y el ángulo BAC = 30°. 14. hacia el sol. produce una sombra de 21 pies de longitud. Desde dos puntos A y B situados en la misma orilla de un río y distantes entre sí 30 m.1 metros de longitud. de 110°. Si la parte inferior de la escalera está a 2. por ejemplo 46°. obteniéndose: AB = 2000 metros. La cima o punto C. Una escalera de 6. Determine la longitud del poste. por ejemplo. se encuentra a 400 m de A y 520 m de B. La figura muestra la forma de construir un túnel que atraviesa una montaña. ¿Calcula las distancias desde los puntos A y B hasta el punto C. A partir de ambos datos queda determinada la dirección r de perforación. El punto A. 11. 15. 13. Si la distancia entre las dos personas es de 2 km. En la práctica. que es de 60°. Halla el área de un decágono regular circunscrito a una circunferencia de 10 cm de radio. En la vida real se presentan muchas situaciones en las que se necesita conocer la distancia entre dos puntos inaccesibles. Halla el área del trapecio. Calcula la distancia x sabiendo que α = 50°. 18. según dos rectas que forman entre sí un ángulo de 60°. Halla el área y el perímetro del mismo. 24. El ángulo en el vértice de un cono de revolución mide 60° y la generatriz 12 m. Las diagonales de un paralelogramo miden 20 y 16 cm. 23. porque nos lo Impide el rio. λ y δ. 19. y el ángulo que este forma con la base mayor. Determinar el valor de x y h. Dos barcos salen de un puerto. y desde un mismo punto. En la figura tenemos dos árboles a los que no podemos acceder. Halla el volumen del cono. respectivamente. 20. y la distancia d entre ambos puntos. que mide 5 cm. β = 75°. 22. λ = 110°. 8 . Desde dos puntos A y B medimos los ángulos α. En un trapecio isósceles conocemos la diagonal. β. Este problema fue resuelto ya en el año 1615 por el sabio holandés Snelius. que mide 15 cm. el lado oblicuo.17. Calcula la distancia que tas separara al cabo de dos horas de navegación suponiendo que mantienen velocidades constantes de 50 y 65 km/h. Calcula los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita a un dodecágono de 6 dm de lado. 21. δ = 40° y d= 120 m. y uno de los ángulos que forman al cortarse mide 120°. respectivamente.