40Ley de Gauss Problemas resueltos 41 Problemas resueltos Problema 1. Objetivos 1 y 2 De este resultado observamos, que el área efectiva es el área transversal al campo. Problema 2. Objetivos 1 y 2 Un campo eléctrico constante, y unlforrne dado por E = E o ex cruza un hemisferio de radio a. D~termine el flujo eléctrico que cruza el hemisferio. (figura 2.1) Solución: De la ecuación 2.2 tenemos que: ~== Dos cascarones esféricos concéntricos de radios a y b, como se muestran en la figura 2.3 tienen cargas de -7Q y + 2Q respectivamente, calcule el flujo eléctrico para a) r < a, b) a < r <b, c) r < b. Solución: a) De la ecuación 2.3 obtenemos el fE. ds flujo eléctrico: de donde; 4> ~ = donde ds = 2 J rr B E = . E. cos 8 ds Y dl, f ,-.J ,-.J E . ds y de la ley de Gauss, ecuación 2.4 obtenemos que: de la figura 2.2 vemos que: r ,= sen (J tt y dI = a d O a sen Por lo tanto, ds = 2 a ad e Por lo tanto el flujo eléctrico es Igual a la carga neta encerrada entre la constante de permitividad, esto es: Sustituyendo ds por su valor en la ecuación 2.2 tenemos que: 4> = J Ea cos 8 2 .". asen 8 ad 8 IY . ds ~ E = f ."./2 E o 2.". a2 sen 8 cos 8 d 8 a E X dJ Integrando y evaluando obtenemos que el flujo está dado por: Figura 2.1 Figura 2.2 42 Ley de Gauss Problemas resueltos ea b Figura 2.3 -7Q -- ..--"-»> - --- --'<"'"- --- ..-<, - ':;3 -\ \ ..----- --- ._____--r I \---- __ /..-¿..- Figura 2.4 Por lo tanto para r < a la carga encerrad)a por una superficie gaussiana de r < a , es cero y: \ Vemos que para una superficie gaussiana cilíndrica, la carga encerrada es cero, entonces de la ecuación 2.4: 4> E = O E = O b) Por las razones expresadas en el inciso anterior la carga neta encerrada por una superficie gaussiana de radio a r b, es < < b) Para a > r > b, podemos determinar el campo eléctrico de la ecuación 2.6, esto es: roJ - 70, por consiguiente: 4> E = -70/t: o ds = e) El flujo eléctrico para, <P E o > b es igual a: (-7 0+ 2O) Ea -50 donde p = Al' Y dv = 2 tr rl dr . para un diferencial de volumen cilíndrico. (Apéndice IV del texto) Sustituyendo: roJ Por las razones expuestas en el inciso a. Problema ds = f A r 2-rrrld, 3. Objetivos 1 y 3 Integrando: E2-rr,/= Un cilindro de longitud infinita de radio a con una distribución de carga p = A l r donde A es constante, tiene una cavidad cilíndrica coaxial de radio b. Determine el campo eléctrico para r < b, b < r < a y para, > a. (figura 2.4) Solución: a) Para, Evaluando y d p jond A (r < b E = . h) /' 44 Ley de Gauss Problemas resueltos 45 c) Para, > a. consiguiente la carga neta encerrada por una superficie gaussiana de radio, (a < , < b) es' cero y de la ecuación 2.4: De la ecuación 2.6 tenemos que: ~ E . ds donde p = -A = ~ o f 7r , p dv de donde: E , r y dv = 2 Id, = O Sustituyendo e integrando: e) la carga encerrada por una superficie cerrada con radio r b. la carga neta encerrada es +0, de la ecuaclón 2.4 tenemos que: > G Problema 4. 2 tt J:..~ ~ A g AG • r J: Integrando: E 4 7r ,2 de donde: Evaluando y despejando el campo: = Ole o E= o Objetivos 1 y 3 O Una esfera metálica maciza de radio b, con una cavidad esférica concéntrica de radio a, como se muestra en la figura 2.5 tiene. una carga O (positiva). Calcule el campo eléctrico para a) r < a, b) a < r < b, e) r > b. Solución: Lo que era de esperarse· ya que la carga de la esfera metálica es cero y sólo tenemos una carga puntual + O. Problema 5. Objetivo 4 a) Para una superficie gaussiana de radio, <a tiene una carga neta encerrada O. De la ecuación 2.4 tenemos que: rh '-' de donde: E 4 'j' E. tt '-' Deducir la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss, para un par de cargas aisladas. q, Y qz separadas una distancia r. figura 2.6. Solución: De la Ley de Gauss (Ec. 2.4) tenemos que: ds = 01 -, ,2 = O O!« o despejando el campo eléctrico tenemos que: E = ' de donde obtenemos el campo eléctrico, dado que el vector del campo y el vector área son colineales, podemos integrar fácilmente y evaluar para un radio r esto es: b) Debido a que la esfera es metálica se induce una carga de E 4 tt ,Z = q, /10 0 igual rnaqnltud y slqno contrario como se indica en la figura, por ( 46 Ley de Gauss . Problema Problemas resueltos 7. Objetivos 1 y 3 47 de donde: E = Un cilindro infinitamente largo de radio R, tiene una densidad de carga p constante. Determine el campo eléctrico para r < R Y r > R. Solución: De la ecuación 1.11 del texto obtenemos la fuerza coulumbiana entre las cargas: De la ecuación 2.6 tenemos que: ~ E ds = ~ o f p dv como Problema 6. Objetivo 5 el vector campo y el vector área son colineales, y del apéndice IV tenemos que dv = 2 7T r I dr para un radio r, entonces: , Una esfera maciza de radio a, tiene una densidad carga dada por (l = A / r para o < r ;;;;; a donde A es constante. Determine el valor de la constante A si el campo eléctrico para o < r aes J-""'Y E ,.... ds = < f 1 e o E ds = ~ o p f 2 7T r I d r r--' igual a E = Eo Solución: é r (su magnitud es constante). Integrando y evaluando para r < 7T R obtenemos: De la ecuación 2.6 tenemos que: ~ E ds = ~ f E 2 p dv del 7T r I = -- P r' ,...apéndice IV tenemos que ds = r' sen O d O d er y dv = 4 7T r2 dr como E es independiente de r, (~ . ~) = 1 Y p sólo varía con el radio. entonces la ecuación 2.6 se puede escribir como: de donde: E = --- e 2 1 p o r ; donde r . < R. Para r e o > R obtenemos al integrar y evaluar la ecuación 2.6 que: x'· Integrando y evaluando para un radio r: de donde: E 2 e t:J de donde: A r = 2 e o Eo Observe que paro out n r la rga sólo se integra de O a R ·ya que sólo exl t nron on I Int rlor del cilindro. 48 Ley de Gauss Problemas resueltos 49 8. Objetivos 1 y 2. Problema Calcule el flujo eléctrico que cruza una de las caras laterales del prisma rectangular de sección cuadrada de lado a y largo b, cuando por su eje longitudinal pasa una línea de carga positiva de densidad de carga lineal '\, como se muestra en la figura 2.7. Solución: Para calcular el flujo de la ecuación 2.3, primeramente obtenemos la carga encerrada por el prisma, una vez obtenida la carga, podemos obtener el flujo total que cruza la superficie del prisma, el flujo. que cruza las tapas del prisma es cero ya que el vector área es perpendicular al vector campo eléctrico, entonces: -, \ \ \ \ +q, + q" F / I l. / ,/ I Of---------;7>-----+-· cfi E = g; / -E ds Figura 2.6 J , ,......,...... +JE E . ds superficie lateral ds E q a encerrada tapas d ndo la carga encerrada está dada por: b q en Fa E a J ,\ ,\ dx Q '\b E -cc + a Como el flujo que cruza cada una de las caras es igual. entonces el flujo de la cara lateral es el flujo' total entre cuatro, esto es: l· ~~---------~ 1 - I + + + I +1 + + a +cc .•..•.•.... . <, .', >. b .1 cp E (1 cara) ----- CPE b Eo Figura 2.7 4 4 + Probiema 9. Objetivos 1, 2 Y 3 + + + + + + + Figura 2.5 + + Un cascarón esférico no conductor de radio "4a" tiene una carga-O, uniformemente distribuida, dentro de este cascarón existe otro cascarón esférico no conductor de radio "a" excéntrico y con una carga + O uniformemente distribuida, como se muestra en la. .fiqura 2.8, determine el campo eléctrico y el flujo eléctrico en los puntos A y B. Solución: Para calcular el campo eléctrico en el punto A, tomamos una superflcle gaussiana esférica que su centro coincida con el cen- 50 Ley de Gauss -Q valuando: E ue donde: E, = 196 Problemas resueltos 51 +0 [ 4 • (78),J e o +0 7r " o a2 Figura 2.8 Ahora calculamos el campo eléctrico en B producido por el cascarón de radio 4a; para esto, tomamos una superficie qausstana esférica con radio de "6a" concéntrica al cascarón de radio "4a", esto es: 3a, tro de la esfera de radio unicamente + O, esto es: ds a y tenga un radio de que encierra I rh'-'" 'j' E . ds Evaluando para r ,-... = 6a: -O e o +0 E o -O +0 e o De donde: E 4 tt (3a)2 "o De donde: Despejando el campo tenemos que: 144 E O 36 rr F o -o tr e o a2 a2 Para obtener el campo en B, sumamos los campos obtenidos (principio de superposición). Para el cálculo del flujo eléctrico determinamos la carga encerrada por la superficiegaussiana, entre la constante de perrnltividad: O '" = E e o b) Para 'determinar el campo eléctrico en el punto B, primero calculamos el campo producido por el cascarón de radio "a" tomando una superficie gaussiana que pase por B y sea concéntrica a este cascarón, esto es: ~ E . ds = +0 El flujo eléctrico es cero ya que la carga neta encerrada por una superficie gaussiana que pase por B es cero.