´ 1, 1–2, 2012 U NIVERSIDAD M AYOR DE S AN A NDR ES´ FACULTAD DE C IENCIAS P URAS Y N ATURALES - C ARRERA DE I NFORM ATICA LA LEY DE GAUSS PRACTICA 4 L IC. E VARISTO M AMANI C ARLO† Universidad Mayor de San Andr´ es Facultad de Ciencias Puras y Naturales - Carrera de F´ ısica L A PAZ , 01 DE S EPTIEMBRE DEL 2012 RESUMEN Se presenta una serie de ejercicios de aplicaciones de la Ley de Gauss de distribuciones de cargas discretas y continuas a fin de evaluar la capacidad que tiene el estudiante de aplicar los conocimientos te´ orico aprendidos en clases de Electromagnetismo de nivel avanzado. Keywords: 1. El paralelep´ ıpedo rectangular de la figura 1 con a > b > c se rellena con carga de densidad constante ρ, se construye una esfera de radio 2a con centro en el origen. Encontrar el flujo E ◦ da a travs de la superficie de esta esfera. ´ el flujo si el centro de la esfera se ¿Cual sera coloca en el v’ertice (a, b, c)? 3. La linea infinita de la figura 2 se rodea con un cilindro infinitamente largo de radio ρ0 cuyo eje coincide con ella. La superficie del cilindro posee una densidad superficial de carga constante σ . Encontrar E para cualquier punto. ¿Que valor en particular de σ hara que E = 0 para todos los puntos fuera del cilindro cargado?, ¿es razonable su respuesta? F IG. 1.— Conguraci´ on de carga volum´ etrica de un cubo F IG. 2.— Conguraci´ on de una linea de carga infinita encerrada por una distribuci´ on superficial Resp. ρ abc 0 en ambos casos. 2. Una esfera de radio a con centro en el erigen posee una densidad de carga dada por ρ = Ar2 , donde A =constante. Otra esfera de radio 2a es conc´ entrica con la primera. Encontrar el flujo E · da a trav´ es de la superficie de la esfera mayor. † Email: Resp. (λ + 2πρ0 σ ) λ λ ρ ˆ, ρ < ρ0 ; ρ ˆ, ρ0 < ρ; − ; si, 2π 0 ρ 2π 0 ρ 2πρ0 aqui 2πρ0 σ es la carga por unidad de longitud en el cilindro. [email protected] 4. Una carga de densidad volum´ etrica constante tiene la forma de una plancha de grueso a. Las 4 0 E0 ρ2 . ´ 12. Resp. La regi´ on entre los cilindros coaxiales infinitamente largos como el mostrado en la figura 3. como se muestra en la figura 3. donde A = constante. 0. 14. (ρ < a). (r < a). 2 0 2 0ρ logrado evaluar experimentalmente y es aproxˆ. donde A =constante. en coordenadas cil´ ındricas. y E = 0 en cualquier E0 a otro caso. (a < ρ). 9. en funci´ on de la altura. ra (b) Diga qu´ e densidad ρ(r) de carga podr´ ıa producir el campo E= q 4π r ra 0 Resp. ρ ˆ. ∇ · a = . imadamente igual a E = −E0 (Ae−αρ + Be−βρ )k Todas las constantes empiricas son positivas y z es la altura sobre la superficie (localmente plana). ¿Cual es su signo?. Resp. Dos cilindros coaxiales infinitamente largos tienen radios a y b tales que b > a. Un objeto conductor tiene en su interior una cavidad hueca. (b) ρ = ra r ra 4πra . 2Ar3/2 2Aa7/2 r ˆ. ρch = Ae−αρ . 5. demuestre que se induce una carga −q sobre la superficie de la cavidad. Un cilindro infinitamente largo tiene una secci´ on circular de radio a. Una esfera de radio a posee una densidad de carga que var´ ıa con √ la distancia. Se rellena con carga de densidad volum´ etrica constante. Eθ = A sen θ/r3 . T´ omese como origen el punto medio entre las caras y encu´ entrese E para todos los puntos. Evaristo Mamani Carlo caras de las planchas son planos infinitos paralelos al plano xy . ´ dado por E = 11. Af (ρ) ρ ˆ. 7 0 7 0 r2 F IG. (0 < ρ < a). 13. (ρ < a). (a < r). Encontrar E para todos los puntos. Eϕ = 0. Encontrar la densidad de carga promedio en la atm´ osfera. 7. es decir a ≤ r ≤ b. r ˆ. La densidad de carga es igual a cero en cualqueir otro punto. se rellenan con carga cuya densidad volum´ etrica es. se rellena con carga de densidad constante. Dos esferas conc´ entricas tienen radios a y b tales que b > a. Encontrar E para todos los puntos. en coordenadas cil´ ındricas. r.— Dos cilindros coaxiales infinitamente largos 6. (a < ρ < b) donde 2 0α ρ Af (b) f (ρ) = e−αa − e−αρ + α(ae−αa − ρe−αρ ). al centro de acuerdo con ρ = A r. ρ ˆ. 3. Encontrar la densidad volum´ etrica de carga. Un campo el´ ectrico en la regi´ on r > a esta dado por Er = 2A cos θ/r3 . ¿Se reducen sus resultados a los valores correctos cuando a → 0 ?.2 Lic. La regi´ on entre ellas . Encontrar E para todos los puntos y expresarlo en funci´ on de la carga total Q. ρch ρ ρch a2 ρ ˆ. El campo elestrostatico promedio en la atm´ osfera terrestre en clima agradable se ha (3 − a)q r r 3−a = 0. siendo A y n constantes. (a) ∇ × ´ 10. Resp. ¿Para que valores de n y a se deberian reducir sus resultados a los ´ valores obtenidos en el ejercicio numero 7?. Si se introduce una carga puntual q en la cavidad. (ρ > a) a3 8. 0. ρch . La densidad de carga es igual a cero en cualquier otra parte. ¿lo hacen?. Encontrar E para todos los puntos. Cierto campo el´ ectrico esta ρ 3 ρ ˆ para 0 < ρ < a. Encontrar la densidad volum´ etrica de carga en esta regi´ on. La regi´ on entre ellos se rellena con carga de densidad volum´ etrica dada por ρch = Aρn . Encontrar E para todos los puntos dentro y fuera del cilindro. (a) Calcule el rotacional y la divergencia de r . (ρ > b) 2 0α ρ Resp.