Ecuaciones diferenciales y en diferenciasFacultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Bolívar Ecuaciones diferenciales de primer orden de variable separable 1. Temeprtatura de materiales (Ley de enfriamiento y calentamineto) a Una varilla de acero corrugado a una temperatura de 1000 F se pone en un cuarto a una temeprtatura constante de 00 F: Después de 21 minuto la temperatura de la barra es de 500 F: ¿Cuánto tiempo tardará la barra para llegar a una temepratura de 250 F ? ¿Cual es la temperatura de la barra después de 10 minutos? b Un material cerámico se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de 750 o C, para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se encuentre a una temperatura cuando mucho 200 o C. Suponga que la temperatura de una sala de enfriamiento donde se colocará este cerámico es de 5 o C y que, después de 15 min, la temperatura del material es de 600 o C. ¿En cuánto tiempo el material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de su proceso?. c Una barra metálica, cuya temperatura inicial es de 20 ¬C, se deja caer en un recipiente que contiene agua hirviendo (a 100 o C) y su temperatura aumenta 2 o C después de 1 s. Determinar la temperatura de la barra metálica después de 10 s. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que la temperatura de la barra sea de 60 o C? d Un cuerpo con una temperatura de 80o F se coloca en el instante t = 0 en un medio cuya temperatura se mantiene a 50o F: Al cabo de cinco minuto, el cuerpo se ha enfriado hasta 70o F: hallar la temperatura del cuerpo al cabo de 10 minuto ¿Cuando será de 70o F la temperatura de dicho cuerpo? e Transcurrido 60 días después de haberse elaborado cierto producto lácteo, los defen- sores del consumidor prueban que el número de bacterias presente es de 100000, y a…rman que están poniendo en riesgo la salud del consumidor; puesto que el producto se vence a los 46 dias después de haberse elaborado y en ese instante el número de bacterias es de 10000; lo cual lo hace no apto para el consumo humano. Modele con una ecuación diferencial la rapidez de crecimiento de las bacterias y determine la cantidad que había inicialmente. ¿Cúantas bacterias habrá a los 10 días. f Un paciente llega a las 9 am de la mañana al consultorio de un dermatólogo y este inmediatamente le formula una crema cuya temperatura es de 25 C, pero su aplicación debe hacerse cuando su temperatura esté a 6 C: El paciente observa que a las 10 am la temperatura de la crema ha descendido a 16 C después de haberla introducido en una nevera cuya temperatura es de 2 C: ¿A que hora puede aplicarse la crema el paciente? 1 calcular las ventas diarias 20 días después de terminada la promoción del producto. Al …nal de un año. Una cierta mercancía fue promocionada por medio de una sustancial campaña publicitaria al …nalizar la promoción. en meses. Inmediatamente después de suspender la publicidad. g Un termómetro que indica 70 o F se coloca en un horno precalentado y mantenido a temperatura constante. Él sirvió dos tazas de café. de una mercancía es directamente proporcional al exceso de demanda Qd Qs . el número de ventas por día era de10000 unidades. ¿Cuánto dinero habrá al cabo de 10 años de haber invertido la cantidad original? 2 . donde Qd = 11 2P. ¿A qué temperatura está el horno?. ¿Quién tenía el café más frío? 2. las ventas diarias disminuyeron a una razón proporcional a las ventas diarias. el termómetro se coloca nuevamente en el congelador. Supongamos que se invierten 1000 dolares a un interes compuesto con un redito anual del 6%. A través de una ventana de vidrio del horno. tanto Luis como Blanca empezaron a tomar su café. Más tarde. Por …n. La velocidad a la que la población se entera del producto se supone que es proporcional al número de personas que todavía no son conscientes del producto. es la cantidad demandada y Qs = P 4 es la cantidad ofrecida: Si el precio inicial de la mercancia es de P (0) = 2 Encuentre la ecuación diferencial que modela el precio de la mercancía en un instante t. un ob- servador registra que la temperatura marcada por el termómetro es de 110 o F después de medio minuto y de 145 o F después de 1 min. A las 13:30 el termómetro da una lectura de 32 o F. Luis agregó su…ciente cremaa su café como para disminuir su temperatura en 1o F. De- spués de 5 min. ¿Cuándo se regresó el termómetro al congelador?. Blanca le agregó crema su…ciente como para bajar la temperatura de su café 1 o F. el termómetro indica 25 o F. sabiendo que en el instante t = 1. el precio es P = 3: En que tiempo la mercancía tendrá un precio de 4 dolares b. y determine la función que representa el precio P (t). ¿Cuántos han oído hablar de él por el …nal de 2 años? d Se dice que una cantidad de dinero invertido produce un interes compuesto continuo si la cantidad de dinero aumenta a una razón que es proporcional a la cantidad presente. la mitad de la población ha oído hablar del producto. ¿cuál era la lectura del termómetro en ese momento? i Luis invitó a Blanca a tomar café en la mañana. c Un producto nuevo de cereal se introduce a través de unas campañas de publicidad a una población de 1 millón de clientes potenciales. A las 13:05. h A las 13:00 horas un termómetro que indica 10 o F se retira de un congelador y se coloca en un cuarto cuya temperatura es de 66 o F. Ejercicios a Suponga que la variación del precio P. Si 10 días depués de cerrada la campaña publicitaria el número de ventas por día era de 8000 unidades. en dólares. respecto al tiempo t. ¿Cuántos del primer compuesto quedarán al cabo de cinco horas? (Rta 12. la razon a la cual una persona puede memorizar una serie de hechos es proporcional a los que faltan por memorizar. A y B. ¿Cual es su valor 2 años después de su compra? 3. Si el estudiante memoriza y hechos a los t minutos. b Dos Sustancias. Calcule la cantidad de C en función del tiempo si al principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B. y que memoriza 15 hehos en los primeros 20 minutos. La formación requiere por cada gramo de B se usan 2 gramos de A. Formule y resuelva la ecuación diferencial que modela la memorización de una serie de hechos y. mientras que al cabo de tres horas solamente quedan 25 gramos. Si la cantidad original se duplica en dos años. ¿Cuantos años tardará en doblarse la cantidad inicial? e Suponga que un estudiante tiene tres horas para prepararse apresurada mente para un examen y durante ese tiempo desea memorizar una serie de 60 hechos. ¿En cuántas horas quedarán solamente 2 gramos del primer compuesto? (Rta 10. ¿cuál es el rédito de interes anual? Si la cantidad original aumenta el 50% en seis meses. p ¿Cuántos gramos del primer compuesto existían inicialmente? (Rta 50 2gramos).5 gramos).29 horas). ¿en tres horas? f Supongamos que se invierte una cantidad de dinero que produce un interes compuesto continuo. ¿cuánto tardará en duplicarse dicha cantidad original? g El costo de una cierta pieza de maquinaria es de 900 dolares y su valor se deprecia 1 según la fórmula dVdt = 300(2t + 1) 2 donde V (t) dolares el valor en t años despúes de su compra. La rapidez de reacción es proporcional al producto de las cantidades instant neas de A y B que no se han convertido en C. Interprete la solución cuando t ! 1: 3 . Reacciones Químicas. se combinan para formar otra sustancia C. siendo la razón de conversión del primer compuesto proporcional a la cantidad de éste presente en cualquier instante. ¿Quécantidad del compuesto C hay a los 20 minutos?. ¿Cuanto memorizará en una hora?. a Una reacción química convierte un cierto compuesto en otro. Se observa que a los 5 minutos se han formado 10 gramos del producto C. Al cabo de una hora quedan 50 gramos del primer compuesto. teniendo en cuenta que inicialmente el estudiante no sabe nada. Según los psicólogos.