LEI DOS SENOS E COSENOSResolver triângulos é estabelecer um conjunto de cálculos que nos permitam determinar os lados, ângulos e outros segmentos do triângulo. A lei dos senos e dos cosenos são utilizadas para a resolução de triângulos quaisquer. Lei dos Cosenos Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c: Para esses triângulos podemos escrever: a2 = b2+c2 – 2bc . CosA b2 = a2 + c2 – 2ac . CosB c2 = a2 + b2 – 2ab . CosC Sen²(A) + Cos²(B) = 1 Em qualquer triângulo quando um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. Lei dos Senos A lei dos senos estabelece a relação entra a mediada de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever. aquele que possui um ângulo recto (90o) e outros dois ângulos agudos. Nos casos envolvendo triângulos quaisquer utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cosenos no intuito de calcular medidas e ângulos desconhecidos. Fórmula que representa a lei dos senos: Na lei dos senos utilizamos relações envolvendo o seno do ângulo e a medida oposta ao ângulo. por meio das seguintes relações: seno. Essas relações utilizam o cateto oposto. o cateto adjacente e a hipotenusa. Observe: Seno = cateto oposto / hipotenusa Cosseno = cateto adjacente / hipotenusa Tangente = cateto oposto / cateto adjacente Essas relações somente são válidas se aplicadas no triângulo retângulo. . Enfatizaremos a lei dos senos mostrando sua fórmula e modelos detalhados de resolução de exercícios. Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade relacionar os ângulos do triângulo com as medidas dos lados. cosseno e tangente.A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo. Quantos metros anda o equilibrista na subida? E na descida? . Sen120o = Sen(180o – 120o) = Sen60o= Sen450 = ou 0.Exemplo 1 Determine o valor de x no triângulo a seguir. mas para isso precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo do triângulo.865 Exemplo 2 No triângulo ao lado temos dois ângulos. Portanto: o Consideremos a seguinte situação: Um equilibrista usava o seguinte esquema para mostrar as suas habilidades. e um dos lados medindo 90 metros. outro medindo 105o.707 ou 0. um medindo 450. Com base nesses valores determine a medida de . Para tal cálculo utilizamos a seguinte definição: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o. Para determinarmos a medida de no triângulo devemos utilizar a lei dos senos. A altura h do triângulo divide-o em dois triângulos rectângulos. considere a seguinte figura: A resolução do problema mostra que. Consideremos o triângulo [ABC]. por (1) e (2) podemos escrever: O teorema dos senos. Se algum dos ângulos do triângulo é obtuso. Esta relação que foi deduzida para um triângulo acutângulo é válida para qualquer triângulo. atenda-se a que . podemos resolver problemas com triângulos não rectângulos. relaciona os lados e os ângulos opostos de um triângulo qualquer. Temos: Igualando os valores de h obtemos: ou (1) Se considerássemos a altura relativa ao vértice B teríamos concluído que: (2) Logo. utilizando a altura do triângulo e as razões trigonométricas.Para resolvermos o problema. ou "lei dos senos". conhecermos dois lados e um ângulo oposto a um desses lados.Observemos a fórmula Com a ajuda dela podemos resolver triângulos se: . temos: Cos42⁰ = b = Cos ⁰ ⁰ ⁰ b= 6. .73 m Lei dos Cosenos através da Regra de Cramer . Como se conhecermos dois ângulos poderemos conhecer o terceiro (a soma dos três ângulos internos de um triângulo é 180º).conhecermos dois ângulos e um lado. não é necessário colocar restrições para o lado conhecido. Resolvendo o problema do equilibrista. todos conhecem a lei dos cosenos que diz que “o quadrado de um lado qualquer de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. (2) e (3) temos o sistema linear Nas variáveis . e uma demonstração clássica é a aplicação do Teorema de Pitágoras. Para isso.Às vezes a relação entre assuntos de áreas distintas da matemática surpreende-nos muito. Aplicando a definição do coseno nos triângulos e . usando a regra de Cramer temos que os determinantes e são: e Assim sendo: . segue que e (1) Analogamente (2) e (3) Das equações (1). menos duas vezes o produto desses lados pelo coseno do ângulo formado por eles”. considere a figura abaixo. e . de modo que: . É interessante observar que a regra de Cramer para resolver sistemas lineares através de determinantes (exemplo na imagem acima) pode ser usada para fornecer uma demonstração da Lei dos Cosenos. Por exemplo. Ou seja: O Autor Francisco S. Silva . M.