LEI AUREA

PHI – A RAZÃO ÁUREA E ALGUMAS CURIOSIDADESA Famosa Razão Áurea A razão áurea, ou " The golden ratio" em inglês, ou ainda "de divina proporcione", foi tema de investigação de inúmeros cientistas e curiosos, e um dos quais mais se destacou foi o famoso geômetra grego Euclides, autor de Os Elementos, primeira grande obra de geometria. Assim como o "PI” (Nosso grande amigo da trigonometria. O simbolo "π" ), o número "Phi" (razão áurea) é um número irracional. Este número tem sido motivo de estudo desde os mais remotos tempos. Ela representa, segundo os estudiosos, a mais agradável proporção entre dois segmentos ou duas medidas. Há muito essa proporção foi identificada, como sendo equivalente a 1,618: 1, e por convenção, é chamada de Phi. Exemplo de lugares onde se encontra a razão áurea: Filotaxia A Proporção Divina também é encontrada em arranjos de folhas (Filotaxia). Observamos a Golden Proportion nas folhas de uma planta. Elas são arranjadas de forma espiral ao longo do galho, não impedindo a luz do sol em nenhuma das folhas. A soma dos dois primeiros passos da espiral, começando do topo é igual ao tamanho do próximo passo, por exemplo, A+B=C, B+C=D, etc (Fonte: L.Latishev e Vl. Latishev) p=2 e m=5. mas os números de Fibonacci ocorrem tão freqüentemente que não podem ser explicados como casuais.. Existem também exceções. A simetria das folhas pode dar equilíbrio ao caule e também facilitar a exposição à luz.2. 3. A Pirâmide de Quéops e a seção áurea. . 13. Os biólogos tentaram explicar a predominância dos números de Fibonacci na Filotaxia. que são os números da seqüência de Fibonacci.3] nascem formando um mesmo ângulo entre 1 e 2 e entre 2 e 3. Numerosas experiências com plantas mostraram que p e m assumem mais frequentemente valores como 1. neste caso. Cada conjunto de 3 folhas consecutivas [1. 8. a folha 3 forma um mesmo ângulo com 2 da mesma forma que a folha 2 forma com 1. mantendo uma certa distância ao longo do caule. . 2.. As figuras abaixo mostram as proporções que os egípcios usavam nos cálculos da construção das pirâmides. Admitimos o mesmo padrão para todas as folhas restantes.. 5. Podemos identificar o período p como o número de voltas necessárias até nascer uma nova folha se sobrepondo à primeira e m indicará o número de folhas por período.FIGURA1 2 FIGURA Consideremos que exista um padrão helicoidal [para a esquerda ou para a direita] para as folhas em torno do caule. mas a ciência está longe de uma explicação satisfatória. Na figura 2 . No inicio da construção da grande pirâmide. foi muito bem utilizada. Pi=3. foi fixado sua orientação segundo a constelação da Mão de Touro [hoje Ursa Maior] estabelecendo uma linha em ângulo reto em relação a ela por meio de um retângulo 3:4:5. mas sim de "número sagrado". e chamavam-no não de número de ouro. esboçavam todo o Templo.1416. a partir dele. Essa razão é ½ de Pi. os Egípcios consideravam-no muito . A Seção áurea ou Pi. o templo poderia não agradar os Deuses ou a alma do falecido não conseguiria chegar ao seu destino. O ângulo de ascensão dá à Grande Pirâmide uma propriedade geométrica única. Os Egípcios consideravam o número de ouro sagrado. assim como o raio para a circunferência de um círculo.5 milhões de toneladas de calcário. assim está representado com uma margem de erro de apenas 0. Utilizavam-no para a construção de templos e sepulcros para os mortos. cujo número transcendental que está representado.1%. Além disso. Seu volume é de 6. tendo uma importância extrema na sua religião. que representa a quadratura mística do círculo: sua altura está para a mesma razão da sua circunferência. pois consideravam que caso isto não acontecesse. Ela foi edificada com uma planta baixa quase perfeita de 775 pés e com ângulos de ascensão 51o 52'. O Papiro de Ahmes mostra-nos os planos para a construção da Grande Pirâmide de Gizé (4700 a. usando-o também no seu sistema de escrita e na decoração dos seus templos. e baseavam-se no "número sagrado". de acordo com a razão de ouro (0.). para estabelecer as malhas quadrangulares que usavam para as proporcionalidades do seu trabalho.).agradável esteticamente. Estas idéias foram utilizadas pelos construtores e artesãos. Os Egípcios usavam medidas estabelecidas pelas proporções do corpo humano devido ao fato de estas serem proporcionais.. as proporções da figura humana foram relacionadas com a largura da palma da mão.. Medidas recentes desta pirâmide mostram que os lados da pirâmide parecem ser triângulos de ouro. A Arte Egípcia Durante a maior parte da história do Egito. tornando as suas obras esteticamente mais agradáveis. .618.C. com proporções de acordo com o "número sagrado". Algumas partes da anatomia humana onde podemos encontramos a proporção áurea. a letra "h" é. Em destaque na imagem abaixo a mão humana e suas medidas proporcionais. Na figura acima. O uso das mãos e dos pés nos hieróglifos mostra que os Egípcios tinham conhecimento que o corpo humano está relacionado de diversas formas com o número de ouro. uma espiral de ouro. . Os Egípcios utilizavam o número de ouro para que fosse mais fácil que todos conseguissem escrever de acordo com as mesmas proporções. como o "p" e "sh" são retângulos de ouro. Outros símbolos. de fato.Os Hieróglifos Muitos hieróglifos têm proporções baseadas no número de ouro. A cabeça é calculada como sendo um oitavo da altura total. tórax. no terceiro livro. Às vezes. o desenho e o texto são chamados de Cânone das Proporções. O desenho atualmente faz parte da coleção/coleção da Gallerie dell'Accademia (Galeria da Academia) em Veneza. O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta. A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até ao chão. Essas proporções anatômicas foram bem representadas pelo "Homem Vitruviano". Itália. cabeça. obra de Leonardo Da Vinci O Homem Vitruviano é um desenho famoso que acompanhava as notas que Leonardo da Vinci fez ao redor do ano 1490 num dos seus diários.A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o A A altura do crânio da e a medida até a da mandíbula e até o o alto da do medida cintura cabeça tamanho chão. A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta. O Homem Vitruviano é baseado numa famosa passagem do arquiteto/arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio na sua série de dez livros intitulados de De Architectura. Descreve uma figura masculina desnuda separadamente e simultaneamente em duas posições sobrepostas com os braços inscritos num círculo e num quadrado. A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo. um tratado de arquitetura em que. ele descreve as proporções do corpo humano: . O comprimento dos braços abertos de um homem é igual à sua altura.Dimensão: 34 x 24 cm "Os 4 dedos fazem uma palma e 4 palmas fazem 1 pé.Fonte da imagem: Wikipédia Construção geométrica sobre O Homem de Vitrúvio (1490). 6 palmas fazem um cúbito. desde o fundo do queixo até ao topo da cabeça é um oitavo da altura do homem.36. Se abrir as pernas até termos descido 1/14 de altura e abrirmos os braços até os dedos estarem ao nível do topo da cabeça então o centro dos membros abertos será no umbigo. desde o topo do peito . O espaço entre as pernas abertas será um triângulo eqüilátero. 4 cúbitos fazem um passo e 24 palmas fazem um homem. Data: 1490 – Técnica: Lápis e tinta . Leonardo da Vinci. Desde as raízes dos cabelos até ao fundo do queixo é um décimo da altura do homem. 4 cúbitos fazem a altura de um homem. desde o topo do peito até ao topo da cabeça é um sexto da altura do homem. pg. A mão inteira será um décimo da altura do homem. Observa-se também a proporção divina nas partes em que as falanges dividem os dedos das mãos." trecho retirado do livro "O Código Da Vinci".. aproximadamente 1505. PHI. ou melhor. "Meçam a distância do ombro às pontas dos dedos. A maior largura dos ombros contém em si própria a quarta parte do homem. cada um de vocês é um tributo ambulante à Proporção Divina. O pé é um sétimo do homem. o retângulo de Ouro. assim φb+b/bφ= bφ/b Cancelando b em ambos os lados. o comprimento total do rosto em média e extrema razão. φ+1/ φ= φ Multiplicando ambos os lados por φ nos dá φ+1= φ 2 . Também contém o número de Ouro. Um dos quadros mais célebres de Leonardo da Vinci: Mona Lisa. Articulação dos dedos das mãos. um terço da cara”.até às raízes do cabelo é um sétimo da altura do homem. a=b φ o que pode ser substituído na parte esquerda. Desde o cotovelo até à ponta dos dedos é um quinto da altura do homem e desde o cotovelo até ao ângulo da axila é um oitavo da altura do homem. Dos pés. Outra vez PHI. Meus amigos. 77 x 53 cm. Mais uma? Anca ao chão a dividir por joelho ao chão. feito em madeira. Louvre. Temos. desde os mamilos até ao topo da cabeça é um quarto da altura do homem. temos. nas pessoas bem conformadas. PHI. PHI. A distância entre o fundo do queixo e o nariz e entre as raízes dos cabelos e as sobrancelhas é a mesma e é. O início dos órgãos genitais marca o centro do homem. pintado em. e então dividam-na pela distância do cotovelo às pontas dos dedos. Definição Algébrica A razão áurea é definida algebricamente como a+b/a=a/b=φ A equação da direita mostra que. Divisões espinais. Desde debaixo do joelho até o início dos órgãos genitais é um quarto do homem. [texto que acompanha a gravura do Homem de Vitruvius] A linha dos olhos que divide. Da sola do pé até debaixo do joelho é um quarto da altura do homem. Paris. PHI. como a orelha. basta resolver esta equação quadrática. que é o número φ .b=-1 e c=-1 Agora. encontramos φ2 .Finalmente. a x 2+ bx+c = 0 Em que. a=1. isto é. Usando a notação moderna. se a razão entre o menor e o maior dos segmentos é igual à razão entre o maior e o segmento todo. podemos escrever esta relação assim: Logo temos (a-x) / x = x / a . Diz-se que o ponto B divide o segmento AC em média e extrema razão. SEÇÃO ÁUREA : Euclides de Alexandria descreveu esta seção em sua proposição "dividir um segmento de reta em média e extrema razão". arrumando os termos da equação. Pela Fórmula de Bháskara A única solução positiva desta equação quadrática é . AB/BC = BC/AC.φ -1=0 que é uma equação quadrática da forma. tau. que no caso é "a"). e uma delas (a maior. NÚMERO DE OURO: Também chamado de razão áurea.618.618034 F 2 = 2. é igual à relação entre esta (a) e a outra (b).618034 Esta proporção diz que a relação entre a soma de duas grandezas. Portanto 1. inicial de Fídias. ou seja. É o segmento resultante da divisão de um outro segmento AB em média e extrema razão. escultor grego que utilizou este número ou (t). que é o número de ouro. . onde (a) é o segmento áureo. É o número obtido quando se divide (a) por (b) (a+b) / a = a / b = f = 1.SEGMENTO ÁUREO: Também chamado de segmento de ouro e número de ouro. é só multiplicar AB por f (f = número de ouro). seção áurea e segmento áureo. é simbolizado pela letra (f). Quando se quer obter o segmento AB.618 1 / f = 0. 2. Isto de fato se obtém quando a = 1. Quando se quer obter o segmento áureo (a) de outro segmento dado AB basta multiplicar (AB) por 1/f.618 é a razão entre os termos da proporção. 1. é obtido quando se faz uma seção áurea no segmento AB. decágonos. na série de Fibonacci. na construção do pentágono regular. O número f aparece nas artes [retrato de "Isabelle d'Éste" pintado por Leonardo da Vinci]. estrelas pentagonais e decágonos.(p) implica a presença do número de ouro em muitas proporções. EXEMPLOS: Entre os elementos de polígonos regulares como: pentágonos. A igualdade f = 2. no "modulor" de Le Corbusier. na pirâmide de Queops. nas danças clássicas. CONSTRUÇÃO DO RETÂNGULO ÁUREO A PARTIR DO SEU LADO MAIOR . na Arquitetura. na espiral logarítmica.618034. no corpo humano. em vários poliedros regulares. nas flores. nos frutos. na disposição das folhas em certas plantas. na formação das árvores. no pentágono regular estrelado. portanto. na construção do decágono regular. na poesia. animais.cos.É o único número positivo que satisfaz a relação f 2 =1 + f. RETÂNGULO ÀUREO: É o retângulo que tem os seus lados a e b na razão áurea a/b = f = 1. nas grandes catedrais da Idade Média. o lado menor (b) é o segmento áureo do lado maior (a). de gônia (ângulo): péntagonos. . PENTÁGONO: Do latim .CONSTRUÇÃO DO RETÂNGULO ÁUREO A PARTIR DO SEU LADO MENOR A construção do retângulo áureo é simples. 5 lados e 5 ângulos. Basta seguir o esquema: O retângulo AHCG é áureo.pentagonum. é um polígono que possui 5 vértices. do grego .pénta (cinco) + gon. é o polígono de dez vértices. o símbolo da saúde e a insígnia que identificava os pitagóricos. PENTAGRAMA: Do grego .pénta (cinco) + gramma (linha).DECÁGONO: Do grego . Um fato de conhecimento dos antigos geômetras era que a razão do raio do círculo de um decágono regular para um dos lados é a razão áurea. do latim . O ponto de .decagonu. déka (dez) + gonia (ângulo).dekágonos. dez lados e dez ângulos. é um pentágono regular estrelado onde cada um dos cinco segmentos divide outros em média e extrema razão. FIBONACCI: Leonardo de Pisa. na qual demonstrava as grandes vantagens do sistema arábico de numeração sobre o romano. . Seus primeiros anos foram vividos em uma comunidade cristã.. P divide AQ e AB internamente e QB externamente nessa proporção. retornou à sua terra natal e lá publicou uma obra amplamente conhecida como "Liber Abaci" (o livro do ábaco). Ali conheceu o sistema arábico (ou decimal) de numeração.intersecção P de duas diagonais divide cada uma delas na proporção áurea. bem como os ensinamentos de álgebra de Alkarismi. nasceu cerca de 1175 d.C. Com cerca de vinte e sete anos de idade. TRIÂNGULO ÁUREO: É um triângulo isósceles ABC com ângulos da base de 72º e ângulo do ápice de 36º O triângulo áureo é encontrado no "pentagrama místico". mas ele recebeu sua instrução acadêmica entre os maometanos da Barbaria. também chamado de Leonardo Fibonacci por ser filho de Bonacci (filius Bonacci). A partir do triângulo áureo podemos desenhar uma espiral logarítmica. Esta obra de Fibonacci foi considerada obra-modelo durante duzentos anos e o principal veículo de introdução do sistema hindu-arábico de notação nas camadas cultas da Europa Cristã.: 1 : 1 : 2 : 3 : 5 : 8. Um poema . Fibonacci apresenta um quebra cabeça matemático que deu origem à série de Fibonacci relacionada com a criação de coelhos. Camões e a Divina Proporção] A misteriosa razão áurea O mais irracional dos números regula a estética e a natureza O que há de comum entre pinturas do período renascentista. U1=1) Ex..O misterioso número de ouro Do número nasce a proporção Da proporção se segue à consonância A consonância causa deleitação A dissonância Unidade. obras arquitetônicas da Antiguidade .. Em sua obra "Liber Abaci". Esta série segue a regra segundo a qual cada termo é a soma dos dois termos imediatamente anteriores: Un+1=Un+Un-1(U0= 0. igualdade e semelhança São princípios do contentamento Em todos os sentidos o experimento A alma na unidade glória alcança Em todas as quantidades a igualdade E a perfeição remota ou a mais chegada Segundo a natural autoridade E assim esta nas qualidades assentada Da mesma maneira a semelhança Diva de ser sentida e contemplada nenhum sentido apraz a [Vasco Graça Moura.. C.C.500 anos. é a mesma que o matemático italiano Fibonacci (1180-1250). A proporção associada a ela foi também estudada pelo monge Luca Pacioli. 8. o matemático grego autor de Os Elementos. de Veneza. 3. correspondente aos lados dos quadrados que montam esssa espiral. de Mario Livio PRELÚDIO PARA UM NÚMERO Inumeráveis são as maravilhas do mundo.. Sófocles (495-405 a.). de 1509. em seu livro Liber Abbaci. Seria pelo seu ponto médio? A questão preocupou Euclides (330-275 a. Durante séculos." Kelvin estava. na concha do molusco náutilo.. que ficou conhecido como razão áurea. Esse assunto começou há cerca de 2. em cuja homenagem foram batizados os graus da escala de temperatura absoluta. O resultado dessa misteriosa divisão.Editora Globo S. simbolizado pela letra grega f (lê-se "fi") é sempre 1. Hoje sabemos que f regula também a espiral que aparece na natureza.. 1. 2. no livro De Divina Proportione (Sobre a proporção divina). como na margarida.. 5. com a busca do modo mais harmonioso e simétrico de dividir um segmento em duas partes (leia pág. calculou para o crescimento das populações de coelhos a partir de um casal.) O famoso físico britânico lorde Kelvin (William Thomson.618034.Clássica. 1824-1907). O incrível é que a natureza usa justamente o mais irracional dos números irracionais para melhor realizar seus padrões! Desafio Antonio Geloneze Neto é matemático formado pela USP (Universidade de São Paulo). obviamente. . o escocês Robert Simson descobriu que dividindo-se esses números pelos seus antecessores obtém-se uma seqüência de frações que se aproxima de f. A seqüência 1. nosso conhecimento é de um tipo escasso e insatisfatório.. ao lado). mestre pela Unicamp (Universidade Estadual de Campinas) e doutor pela Universidade Brown (EUA) Copyright © 2002 .A. sem autorização escrita da Editora Globo S. no girassol. a estrutura espiral de conchas de alguns seres vivos marinhos e o crescimento populacional? Essa pergunta pode parecer meio maluca. a secção áurea foi usada por pintores e arquitetos. Mas números e matemática têm a curiosa propensão a contribuir até para o entendimento de coisas que são. obra fundamental da geometria. Leia trecho do livro Razão Áurea.A. . disse certa vez em uma conferência: "Quando não podemos expressar algo em números. se referindo ao conhecimento exigido para o avanço da ciência. 13. ou pelo menos parecem .. mas o formato não se altera.Termos legais É proibida a reprodução do conteúdo desta página em qualquer meio de comunicação. Em 1753. eletrônico ou impresso. de 1202. A espiral fornece o padrão matemático para o princípio biológico que regula o crescimento da concha: o tamanho aumenta. mas ela tem uma resposta matemática. Já está demonstrado que f é o mais malaproximado por frações dos números irracionais. . as magníficas conchas espirais de moluscos e a procriação de coelhos têm em comum? É difícil de acreditar.. você pode avaliar π repetindo esta experiência muitas vezes e observando em que fração do total de jogadas você obtém uma interseção. O valor de Pi. O mais famoso deles é o número Pi (π).14159. em princípio. propôs e resolveu o seguinte problema matemático. Como veremos. em muitos aspectos. Menos conhecido que o Pi é um outro número.ser. considera-se que revela qualidades agradavelmente harmoniosas. o termo "proporção" é usado para descrever uma igualdade do tipo: nove está para três assim como seis está para dois. já que. tem-se um pedaço a mais do que antes. Um exemplo famoso é conhecido como a Agulha de Buffon. No dia-a-dia. Mesmo que você não seja um apreciador de chocolate. pautada com linhas retas paralelas separadas por uma distância fixa. fórmulas e regras matemáticas (muitas das quais sempre acabamos esquecendo). conhecido desde a Antiguidade. extremamente distantes da ciência. o famoso detetive Auguste Dupin diz: "Nós fazemos da sorte uma questão de cálculo absoluto. o número de quebras é sempre um a menos que o número de pedaços. (Verifique isso por si mesmo. perceberá que esse exemplo demonstra uma regra matemática simples que pode ser aplicada em muitas outras circunstâncias. usamos a palavra "proporção" ou para a relação comparativa entre partes de coisas com respeito a tamanho ou quantidade. além das propriedades. qualquer que seja o número de pedaços que formam a barra de chocolate. terá que quebrar onze vezes. Leclerc perguntou: suponha que você tenha uma grande folha de papel no chão. um número que no século XIX recebeu o título honorífico de "Número Áureo". o Fi (Φ). Embora tenha sido originalmente definido na geometria. "Razão Áurea" e "Seção Áurea"." Num nível ainda mais simples. Uma agulha de comprimento exatamente igual ao espaçamento entre as linhas é jogada ao acaso sobre o papel. de Edgar Allan Poe. na verdade. Portanto. 3. a Razão Áurea nos fornece uma intrigante mistura das duas acepções. Portanto. Qual é a probabilidade de que a agulha caia de tal maneira que cruze uma das linhas (por exemplo. o famoso quadro "O Sacramento da Última Ceia". é ainda mais fascinante. Submetemos o não-procurado e o não-imaginado às fórmulas matemáticas das escolas. um thriller intelectual com esse título. em homenagem ao matemático francês George-Louis Leclerc. mas esses exemplos bem díspares têm em comum um certo número. ou proporção geométrica. Mas. pelo fundador da geometria como sistema . Em O mistério de Marie Rogêt. que. em 1777. ou quando queremos descrever uma relação harmoniosa entre diferentes partes. existem alguns números especiais que são tão onipresentes que nunca deixam de nos surpreender. mais simples do que você pode ter pensado e não envolve quase nenhum cálculo.) Hoje em dia. tem fascinado muitas gerações de matemáticos. conde de Buffon (1707-1788). se você precisa terminar com doze pedaços. quantas quebras são necessárias para separar todos os pedaços? A resposta é. (Mas existem maneiras menos tediosas de encontrar o valor de Pi.C. de Salvador Dalí. Toda vez que se faz uma quebra. considere o seguinte problema que o leitor pode ter encontrado ao se preparar para uma festa: há uma barra de chocolate composta de doze pedaços. em 1998. Na matemática. como na Figura 1)? Surpreendentemente. Um livro publicado na Itália no começo do século XVI chegou a chamar essa razão de "Proporção Divina". Suponha que eu lhe pergunte: o que o encantador arranjo de pétalas numa rosa vermelha. a resposta é o número 2/π.) De modo mais geral. Pi se tornou uma palavra tão familiar que até inspirou o cineasta Darren Aronofsky a fazer. embora seja matematicamente definida.. que. o Pi aparece muito freqüente e inesperadamente no cálculo de probabilidades. A primeira definição clara do que mais tarde se tornou conhecido como a Razão Áurea foi dada por volta de 300 a. que é a razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro. C. A visão de mundo dos pitagóricos (que descreveremos em detalhe no Capítulo 2) era baseada numa admiração extrema pelos arithmos — as propriedades intrínsecas dos números inteiros ou suas razões — e seu suposto papel no Cosmo. portanto. isso deixou totalmente chocados os outros seguidores do famoso matemático Pitágoras (os pitagóricos). no século V a.. Se a razão do comprimento de AC para o comprimento de CB for igual à razão de AB para AC. A descoberta de que existiam números como a Razão Áurea que continuam para sempre sem exibir qualquer repetição ou padrão causou uma verdadeira crise filosófica. ou numa Razão Áurea... 2/3. ou da matemática às artes? A Razão Áurea nos fornece. Ele é a emoção fundamental que está no berço da ciência e da arte verdadeiras. não é conhecida com grau algum de certeza. cem bois. Reza a lenda que. já que os pitagóricos eram estritamente vegetarianos. Ao mesmo tempo.. o maior segmento está para o menor. que Euclides definiu com objetivos puramente geométricos. então a linha foi cortada na razão extrema e média. a poetisa Edna St. O que é claro é que os pitagóricos basicamente acreditavam que a existência de tais números era tão . o que é pelo menos coerente com a datação das histórias que acabamos de contar.. o valor exato da Razão Áurea (a razão de AC para CB na Figura 2) é o número que nunca termina e nunca se repete 1.. em 1923. 3/4. os pitagóricos sacrificaram. Na verdade. apavorados..6180339887.dedutivo formalizado.. aturdidos com a estupenda descoberta. a linha AB certamente é maior que o segmento AC. até as notas de aula de Millay do seu curso de geometria euclidiana foram preservadas. vale o mesmo que um morto. Nas palavras de Euclides: Diz-se que uma linha reta é cortada na razão extrema e média quando. embora isso pareça ser bastante improvável.. alguns pesquisadores situam a descoberta no século V a. conhecidos coletivamente como números racionais). que uma vela apagada. Aquele que não o conhece e não mais se maravilha. Euclides definiu uma proporção derivada da simples divisão de uma linha no que ele chamou de sua "razão extrema e média". e esses números que nunca terminam têm intrigado os homens desde a Antiguidade. Nas palavras do próprio Einstein: "A melhor coisa que podemos vivenciar é o mistério. Retornaremos a Euclides e suas fantásticas realizações no Capítulo 4. conhecidos como números irracionais. poderia ter conseqüências em temas que vão do arranjo de folhas em botânica à estrutura de galáxias que contêm bilhões de estrelas. mas agora quero observar apenas que é tão grande a admiração inspirada por Euclides que. Euclides de Alexandria. ACB Figura 2 Em outras palavras. 3." Como veremos calculado neste livro. assim como a linha toda está para o maior segmento. não sente mais o deslumbramento.C. que a Razão Áurea é um número que não é nem inteiro (como os familiares 1. 2. Devo enfatizar neste ponto que muitas dessas histórias são baseadas em material histórico insuficientemente documentado.. Quem poderia imaginar que essa divisão de linha aparentemente tão inocente. Vincent Millay escreveu um poema intitulado "Somente Euclides viu a Beleza Nua". se observarmos a Figura 2. A data exata da descoberta de números que não são inteiros nem frações. Diz uma história que quando o matemático grego Hipasos de Metaponto descobriu..) nem razão de dois números inteiros (como as frações 1/2. Mesmo assim. um maravilhoso exemplo do sentimento de total espanto que o famoso físico Albert Einstein (1879-1955) valorizava tanto. o segmento AC é maior que o CB. Uma imensa quantidade de pesquisa. como o físico de Oxford Roger Penrose. um descendente de uma nobre família da Síria. o grande escultor grego que viveu entre 490 e 430 a. como O nascimento da matemática na era de Platão de François Lasserre. De fato. embora seja bastante provável que muitas delas. passaram horas sem fim trabalhando com esta simples razão e suas propriedades. situam a origem desse nome nos séculos XV e XVI. psicólogos e até místicos têm examinado e debatido as bases de sua ubiqüidade e seu apelo. e multiplicado por 19 coincida com a de CB. era. do grego tomή. descreve a violenta reação a essa descoberta: "Eles diziam que o primeiro [humano] a revelar a natureza da comensurabilidade e da incomensurabilidade para aqueles que não eram dignos de compartilhar a teoria era tão odiado que não só foi banido da associação e do modo de vida [pitagórico]. provavelmente é correto dizer que a Razão Áurea tem inspirado pensadores de todas as disciplinas mais do que qualquer outro número na história da Matemática. poderíamos pensar que o nome também tem origens antigas. no início do século XX. multiplicado. o matemático americano Mark Barr deu à razão o nome de Fi (Φ). (Examinaremos detalhadamente afirmações semelhantes neste livro." Na literatura matemática profissional.). Algumas das maiores mentes matemáticas de todos os tempos. artistas.C. músicos. portanto. alguns livros competentes de história da matemática. que significa "o corte" ou "a seção").) Usarei os nomes Razão Áurea. arquitetos. Biólogos. Número Áureo. historiadores. Fi e o símbolo Φ livremente ao longo do livro. Entretanto. algo que deveria ser suprimido e guardado em segredo. digamos. Barr decidiu homenagear o escultor porque alguns historiadores da arte sustentavam que Fídias fazia uso freqüente e meticuloso da Razão Áurea nas suas esculturas. As maiores realizações de Fídias foram o "Partenon de Atenas" e o "Zeus" no templo de Olímpia. pois esses são os nomes mais freqüentemente encontrados na literatura matemática recreativa. o símbolo habitual para a Razão Áurea é a letra grega tau (t. Dois comprimentos com esta propriedade são chamados de incomensuráveis. considera-se também que ele foi o responsável por outras esculturas do Partenon. ao mesmo tempo. na verdade. a primeira letra grega no nome de Fídias. coincida com a medida de AC. De fato. e Uma história da matemática. de Carl B. jamais encontraremos uma medida cujo valor. .C. Em Sobre a vida pitagórica (cerca de 300 d. Dado o entusiasmo que essa razão tem gerado desde a Antiguidade. to-mž. por 31. a descoberta da incomensurabilidade. passando pelo matemático italiano da Idade Média Leonardo de Pisa e o astrônomo renascentista Johannes Kepler. Boyers. tenham sido feitas por seus alunos e assistentes. Seção Áurea. até figuras científicas do presente. por mais que procuremos. principalmente do matemático canadense Roger Herz-Fischler (descrita no seu excelente livro Uma história matemática do número áureo). o filósofo e historiador Iâmblico. Tradicionalmente. como se o antigo colega tivesse sido apartado da vida entre o gênero humano. Mas a fascinação pela Razão Áurea não se restringe aos matemáticos. como também teve seu túmulo construído. de Pitágoras e Euclides na Grécia antiga. tem sido dedicada até à simples questão da origem do nome "Segmento Áureo".horrível que devia (a existência) representar algum tipo de erro cósmico. A descoberta de que a Razão Áurea é um número irracional. Em outras palavras. O fato de a Razão Áurea não poder ser expressa como uma fração (como um número racional) significa simplesmente que a razão entre os dois comprimentos AC e CB na Figura 2 não pode ser expressa como uma fração. publicado na nona edição da Enciclopédia Britânica. amor e fragilidade naturais. Porém." Suponha que você . deixe-me observar que a única definição de "Número Áureo" que aparece na edição de 1900 da enciclopédia francesa Nouveau Larousse Illustré é: "Um número usado para indicar cada um dos anos do ciclo lunar. por exemplo. Pelo que posso dizer depois de examinar boa parte das tentativas de se achar dados históricos. O que uma flor pode nos ensinar? Uma rosa.respectivamente. Ohm escreve em uma nota de rodapé: "Essa divisão de uma linha arbitrária em duas partes também costuma ser chamada de seção áurea. porém.618. Ackermann). e corte-a pela sua circunferência. mais ou menos na mesma época. De acordo com a tradição budista. Chrystal (1851-1911). 1. Mas não parece ser esse o caso. essa expressão foi usada pela primeira vez pelo matemático alemão Martin Ohm (irmão do famoso físico Georg Simon Ohm. em alemão. talvez em círculos não-matemáticos. Cada um dos cinco triângulos isósceles que formam as pontas do pentagrama tem a propriedade de que a razão entre o comprimento de seu lado mais comprido e do mais curto (a base) é igual à Razão Áurea. uma maçã qualquer. algo tão interessante que deva merecer toda essa atenção? A atratividade do "Número Áureo" origina-se." Isto se refere à posição de um calendário anual dentro do ciclo de dezenove anos após o qual as fases da Lua retornam às mesmas datas. em vez disso. a expressão levou um tempo maior para entrar na nomenclatura matemática francesa. publicado em 1895 no American Mathematical Monthly e. no livro Introdução à álgebra. Apenas como curiosidade. Essa. em um dos sermões do Buda ele não emitiu uma única palavra. Ele simplesmente segurava uma flor diante de sua platéia. (Discutirei os experimentos de Fechner no Capítulo 7. Mas por que tanto alvoroço em torno disso? O que faz desse número. antes de mais nada. usou um nome comumente aceito. instituída por (Gustav Theodor) Fechner — um físico e psicólogo pioneiro alemão do século XIX — sobre a suposta superioridade da ‘seção áurea’ como uma proporção visível". Ela pode ter feito sua estréia em inglês em um artigo de James Sully sobre estética. por exemplo. é só a ponta do iceberg. por intermédio de uma rosa. do fato de que ele tem um jeito quase sobrenatural de surgir onde menos se espera. quase sempre é considerada um símbolo de simetria. Evidentemente. de 1835. Sully faz referência à "interessante enquete experimental. o poeta e filósofo indiano Rabindranath Tagore (1861-1941) escreve: "De alguma maneira. "Goldene Schnitt") só ganhou popularidade por volta de 1830.. harmonia. já que a Razão Áurea foi definida como uma proporção geométrica. mas que. a linguagem do amor chega aos nossos corações. do conhecido professor e escritor G. Em Religião do homem. de 1898. em 1875. Você irá encontrar as sementes da maçã arrumadas num padrão de estrela de cinco pontas ou pentagrama (Figura 3).. Pegue. fruta freqüentemente associada (provavelmente de modo equivocado) com a árvore do conhecimento que aparece de forma tão proeminente na descrição bíblica da queda da humanidade do Paraíso. autor da Lei de Ohm no eletromagnetismo) na segunda edição. sentimos que. Mas o leitor pode achar que isso talvez não seja assim tão surpreendente. ou proporção geométrica. talvez não devêssemos ficar espantados demais ao descobrir essa proporção em algumas formas geométricas. A expressão pode ter sido usada oralmente antes disso." A linguagem de Ohm claramente nos deixa com a impressão de que não foi ele quem inventou a expressão. Afinal. do seu livro Die Reine Elementar-Mathematik (A matemática elementar pura).) O uso mais antigo em inglês em contexto matemático parece ter ocorrido em um artigo intitulado "O Segmento Áureo" (de E. após o livro de Ohm. a expressão "Seção Áurea" começou a aparecer freqüente e repetidamente na literatura alemã sobre matemática e história da arte... o fato de que ele não a utilizou na primeira edição do livro (publicada em 1826) pelo menos sugere que o nome "Razão Áurea" (ou. Mas não há dúvida de que. Talvez ainda mais importante. O arquiteto americano Frank Lloyd Wright (1869-1959). engolindo-a. tal como o molusco constrói sucessivas câmaras espirais à medida que ocupa totalmente seu espaço físico. a Razão Áurea pode ser encontrada não só em fenômenos naturais mas também em uma variedade de objetos feitos pelo homem e em obras de arte. pelo menos.C. Figura 5). não precisamos ser místicos de numerologia para começar a sentir um certo assombro por essa propriedade da Razão Áurea de surgir em situações e fenômenos que aparentemente não têm relação entre si. afirma-se que ela figura) em obras de muitos outros artistas. Passando agora ao reino animal. Como descrevo no Capítulo 5. a Razão Áurea figura (ou. Como veremos no Capítulo 4.. na longa busca pelo elusivo cânone da proporção "perfeita". as dimensões da pintura (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. Uma das propriedades que contribuem para essa efetividade é a proporção — a relação de tamanho das partes entre si e com o todo. Por que Dalí decidiu exibir a Razão Áurea de maneira tão destacada nessa pintura? Sua observação de que "a Comunhão deve ser simétrica" apenas começa a responder a essa pergunta. como o náutilo (Nautilus pompilius. sólidos regulares (como o cubo) que podem ser perfeitamente encaixados numa esfera (com todos os seus vértices encostados nela). "Sacramento da Última Ceia" (na National Gallery. e até em famosas composições musicais. De fato. como mencionei no começo deste capítulo. todos nós conhecemos a beleza impressionante das estruturas espirais das conchas de muitos moluscos. como um símbolo de um dos instrumentos do início da criação. Washington D. Figura 4). a Razão Áurea provou ser a mais duradoura. seguindo adiante quando suas capacidades imaginativas ficam saturadas pela arte que vêem. e o dodecaedro em particular. Essas conchas também têm inspirado muitas construções arquitetônicas. Dentro do museu. Pegue uma rosa e a disseque para ver como suas pétalas se sobrepõem às suas antecessoras. arquitetos e desenhistas. A história da arte mostra que. a que poderia de algum modo conferir automaticamente qualidades estéticas agradáveis a todas as obras artísticas. baseou o desenho do Museu Guggenheim de Nova York na estrutura do náutilo com câmaras.queira quantificar a aparência simétrica de uma rosa. parte de um enorme dodecaedro (um sólido regular de 12 faces no qual cada face é um pentágono) é visto flutuando acima da mesa. Além disso. Descobriremos no Capítulo 5 que o crescimento das conchas espirais também obedece a um padrão que é orientado pela Razão Áurea. o Shiva dançante dos mitos hindus segura um desses náutilos em suas mãos. Em termos gerais. A essa altura. estão intimamente relacionados com a Razão Áurea. por exemplo. a Razão Áurea foi usada em algumas dessas obras para que elas obtivessem o que poderíamos chamar de "efetividade visual (ou auditiva)". na pintura de Salvador Dalí de 1955. Mas por quê? . Por exemplo. você vai descobrir que as posições das pétalas estão arrumadas de acordo com uma regra matemática que se baseia na Razão Áurea. os visitantes sobem uma rampa em espiral. Como mostrarei no Capítulo 7. 2008 sob as tags Arte. e fui indagado pelo meu chefe sobre as dimensões do cartão. Foi então que ele disse que preferia que eu usasse a proporção áurea. Recentemente estava desenvolvendo um cartão de visita para empresa onde trabalho. Prontamente respondi: “9×5 cm! É o padrão!”. Featured Articles | 24 comments (No Ratings Yet) 8Share Digg Digg Saiba o que é a Proporção Áurea. Design. vi que de fato fazia muito sentido o seu .Proporção Áurea Postado por admin em Apr 17. Ahmmmm!? Achei estranho no começo mas pesquisando depois. também conhecida como Divina Proporção e saiba como ela pode influenciar positivamente o sue trabalho. escreveu um artigo intitulado De Divina Proporcione. razão de ouro. originando assim o nome proporção áurea. que “catso” vem a ser Proporção Áurea? A proporção áurea é na verdade um número irracional que resulta de um quociente específico. assim como outros. projetistas e músicos é porque a proporção áurea. elaborou a teoria da proporção áurea. nas espirais das galáxias. observei que várias formas e medidas que antes julgava ser obra do acaso. Euclides de Alexandria. razão áurea. Nossos cartões de crédito. também conhecida como número de ouro. construtor do Parthenon e que utilizou o número de ouro em muitas de suas obras. dos marfins de elefantes. Pesquisando sobre o assunto. estão presentes no mundo por uma razão matemática existente na natureza. está presente na natureza. etc. O motivo pela qual esse número é tão apreciado por artistas. afirmando que as famosas sinfonias Sinfonia nº 5 e a Sinfonia nº 9 de Ludwig van Beethoven tem seu tempo derivado da proporção áurea. Em 1496 o matemático Pacioli. Muito do que vemos no nosso dia a dia segue a fórmula desta proporção. Para o obter. Essa seqüência aparece na natureza. por exemplo o Pi. os sábios da Antiguidade Clássica definiram a seguinte fórmula: dividindo um segmento de reta em duas partes desiguais. no comportamento da refração da luz. a relação (ou proporção) entre a parte maior e a parte menor tem de ser igual à proporção do todo relativamente à parte maior. dos átomos. Mas afinal. maços de cigarro. Alguns vão mais além. nas ondas no oceano.pedido. divina proporção. número áureo. .C. como o nome sugere. Este número é denominado Phi em homenagem ao arquiteto grego Phidias. onde a<A. arquitetos. — 300 a. proporção em extrema razão. Este número irracional é denotado pela letra grega Phi e com o valor arredondado a três casas decimais de 1. estabelecendo que dois números estão em proporção áurea de a/A = A/ (a+A).618 (o «número de ouro»). Este número. na verdade são baseadas na proporção áurea. furacões. até grandes obras de arquitetura como o Pathernon ou mesmo obras de arte como a Monalisa a utilizam.C. no corpo humano e no universo. Por volta de 365 a. divisão de extrema razão. do crescimento das plantas. multipliquei este valor por 1.wikipedia. mas um pouco de conhecimento a mais não faz mal a ninguém. o caso do meu cliente foi bem simples. história e proporção áurea na Wikipedia: http://pt. Quem quiser se aprofundar mais no assunto. Os cartões tradicionais possuem a medida de 9×5 cm. Eu mantive a altura de 5 centímetros.618 e BINGO! O cartão ficou com 8.09×5 cm.Na verdade. Não estou falando que tudo no design deva seguir esta regra. há uma aula completa de matemática.org/wiki/Proporção_áurea [ ]s . Eu fui obrigado a concordar que realmente ficou bem melhor nesta medida.