11.- Conservación de la energía.§11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica (274); §11.2. Sistemas conservativos en una dimensión (276); §11.3. Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio (278); §11.4. Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones (280); §11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones (282); §11.6. Fuerzas que dependen explícitamente del tiempo (284); §11.7. Fuerzas no conservativas (284); §11.8. Conservación de la energía (286); §11.9. Crítica del concepto de energía (288); §11.10. Principio de conservación de la masa (289); §11.11. Masa y energía (289); Problemas (293) Se decía en la lección anterior que siempre podemos considerar la energía como el resultado de la realización de un trabajo; pero también podemos adoptar el punto de vista inverso, y considerar que se produce trabajo cuando tiene lugar una transformación de una forma de energía en otra. Así, cuando cae un objeto en el campo gravitatorio terrestre, su energía potencial gravitatoria (o mejor, la del sistema) disminuye; pero se produce un aumento concomitante de la energía cinética. Es decir, se produce una transformación de energía en forma potencial en energía en forma de movimiento (cinética); durante esa transformación la fuerza (el peso) realiza un trabajo. Nos podemos preguntar si, en el ejemplo precedente, el aumento de energía cinética compensa exactamente a la disminución de energía potencial. Desde los tiempos de NEWTON (1642-1727) se reconoce que, bajo ciertas condiciones, la energía del movimiento (cinética) y la energía asociada con la configuración o posición (potencial) cambia a medida que progresa el movimiento, pero que su suma (la energía mecánica total) permanece constante. Sin embargo, bajo otras circunstancias la energía mecánica total no se conserva. Así, por efecto del rozamiento, la energía se "disipa"; pero cuando eso sucede, se observa que hay siempre algún objeto que se calienta. La generalización del concepto de energía y el establecimiento del principio de conservación fue un empeño al que se entregaron hombres de gran valía, como el ingeniero norteamericano B. THOMPSON (1753-1814), el médico alemán J. R. MAYER (1814-1878) y los físicos H. von HELMHOLTZ (1821-1894) y J. P. JOULE (1818-1889), quienes clarificaron el concepto de energía y llegaron a demostrar que la energía no se disipa, sino que sencillamente se transforma de unas formas a otras. Desde entonces, el concepto de energía, como el de una magnitud física que se conserva y que puede presentarse bajo apariencias muy diversas, pero que en ningún Manuel R. Ortega Girón 273 274 Lec. 11.- Conservación de la energía. caso puede ser creada ni destruida, quedó firmemente establecido como una de las ideas más útiles de todas las Ciencias de la Naturaleza. Esta lección la dedicaremos al estudio de estas ideas importantes; las contenidas en el llamado Principio de la Conservación de la Energía, que junto con el de la conservación de la cantidad de movimiento (ya estudiado en lecciones anteriores) y el de la conservación del momento angular (que estudiaremos en la lección siguiente), constituyen los tres grandes Principios de Conservación de la Mecánica. En los tres casos nos limitamos a establecer y a analizar sus consecuencias para el caso de una partícula (como corresponde al contexto de este Capítulo); más adelante los generalizaremos para incluir los sistemas de partículas. §11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica.Cuando una partícula se mueve entre los puntos A y B, bajo la acción de una fuerza resultante F (conservativa o no-conservativa), la variación de su energía cinética viene dada por el trabajo realizado por dicha fuerza resultante en ese desplazamiento; esto es, ΔEk Ek(B) Ek(A) ⌠ F dr ⌡ A B [11.1] Por otra parte, en el caso de que la fuerza F sea conservativa, dicho trabajo, cambiado de signo, expresa la diferencia de energía potencial entre los dos puntos; i.e., ΔEp Ep(B) Ep(A) ⌠ F dr ⌡ A B [11.2] de modo que, sumando las dos expresiones, resulta ΔEk ΔEp Δ(Ek E p) 0 [11.3] lo que significa que la suma de las energías cinéticas y potencial de la partícula, o sea su energía total que designaremos por E, es constante; así pues, ΔE 0 con E Ek Ep [11.4] de modo que podemos enunciar el Principio de Conservación de la Energía para una partícula del modo siguiente: Cuando las fuerzas que actúan sobre una partícula son todas conservativas, la energía total de la partícula permanece constante en el transcurso del movimiento, esto es, se conserva. Esta es la razón por la que decimos que dichas fuerzas son conservativas. Hemos definido la energía total de la partícula como la suma de sus energías cinética y potencial, como en [11.4], o mejor E(r,v) Ek(v) Ep(r) [11.5] donde ponemos de manifiesto que la energía cinética es función exclusiva de la velocidad y que la energía potencial lo es de la posición. La energía total será §11.1.- Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica. 275 función, en general, tanto de la velocidad como de la posición de la partícula; pero si todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas, la energía total mantendrá un valor constante en el transcurso del tiempo. Este es el significado del principio de conservación. El principio de conservación de la energía nos dice que en tanto que la partícula se mueve y van cambiando las diferentes magnitudes físicas (tales como la velocidad, la aceleración, la cantidad de movimiento, la energía cinética, la energía potencial, ...), existe una magnitud física, la energía total, que permanece constante en el transcurso del movimiento; esto es, La energía es una constante escalar del movimiento. Naturalmente, el principio de conservación de la energía no nos proporciona ninguna información que no esté contenida en la ecuación del movimiento1, F = ma. Entonces, ¿por qué tomarnos la molestia de establecerlo? Con mucha frecuencia nos encontraremos con problemas cuya solución deberemos abordar sin conocer el detalle de las fuerzas de interacción (i.e., la ley de la fuerza); esta situación se encuentra, en forma sobresaliente, en la Física Nuclear y de Partículas Elementales. Pero aun cuando conozcamos con exactitud las leyes de las fuerzas, el principio de conservación de la energía (junto con el de la cantidad de movimiento y el del momento angular, que estudiaremos en la próxima lección) constituye una ayuda conveniente para la resolución de numerosos problemas de interés teórico o práctico. Las leyes de conservación son independientes de los detalles de la trayectoria y, a menudo, de los detalles de una fuerza particular; por consiguiente constituyen un procedimiento para obtener consecuencias muy generales y significativas de la ecuación del movimiento. Así, una ley de conservación nos puede asegurar que algo es imposible; de ese modo, no perderemos el tiempo analizando un pretendido aparato que produzca trabajo sin consumir una cantidad equivalente de energía (móvil perpetuo de primera especie). Por otra parte, aun cuando un problema dado pueda resolverse a partir de las leyes del movimiento, iniciar su resolución a partir de la ecuación [11.5] tiene la ventaja de que esta ecuación es una ecuación diferencial de primer orden (en tanto d2r que la ecuación del movimiento de Newton, F m , lo es de segundo orden) lo dt 2 que significa que ya hemos avanzado un paso hacia la solución del problema; por ello decimos que la ecuación [11.5] constituye una integral primera del movimiento de la partícula. 1 Esto puede comprobarse fácilmente sin más que diferenciar la energía total E; i.e., dE d(Ek E p) dEk dEp dEk F dr 0 que es idéntica a F = ma, ya que dEk de modo que ma dr F dr d( 1 mv 2) 2 d( 1 mv v) 2 mv dv ma dr 0 → F ma . 276 Lec. 11.- Conservación de la energía. Naturalmente, lo anteriormente dicho es válido si son conservativas todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. En muchos problemas encontraremos que, aun cuando algunas de las fuerzas no sean conservativas, éstas serán tan pequeñas que podrán ser despreciadas. En otros problemas no será ese el caso, pero entonces podremos aplicar el principio de conservación en una forma más general, que desarrollaremos en esta lección para una partícula y en una lección posterior para un sistema de partículas. §11.2. Sistemas conservativos en una dimensión.- Como ejemplo de aplicación del principio de conservación de la energía, obtendremos la ecuación del movimiento de una partícula que se mueve en una dimensión sobre una recta dada, que identificaremos con el eje x, bajo la acción de una fuerza dirigida a lo largo de dicha recta y que sólo depende de la coordenada de posición de la partícula (i.e., no es función explícita del tiempo, de la velocidad ...). Tal fuerza es conservativa [∇×F(x)i = 0] y la energía potencial de la partícula sólo es función de la coordenada de posición de la misma; i.e., Ep(x) Ep(xref) ⌠ F(x) dx ⌡ x ref x [11.6] de modo que la ecuación de conservación de la energía [11.5] puede escribirse como E 1 2 mv 2 Ep(x) [11.7] donde E (i.e., la energía total) es una constante del movimiento. La ecuación [11.7] establece una relación entre la velocidad de la partícula y su coordenada de posición. Para completar la solución del problema deberemos determinar la Figura 11.1 posición de la partícula en función del tiempo. Podemos resolver la ec. [11.7] respecto de la velocidad v de la partícula y, teniendo en cuenta que en el movimiento rectilíneo es v = dx/dt, obtendremos v dx dt 2 m [E Ep(x)] [11.8] que es una ecuación diferencial de primer orden, de variables separables, que nos permitirá determinar la función x(t) siempre que conozcamos la función Ep(x) y las condiciones iniciales del movimiento, que en este caso se reducen al conocimiento de E (que es una constante) y de x0 = x(t0). La ec. [11.8] se escribe, pues ⌠ dt ⌡ t 0 t m ⌠ 2 ⌡ x x dx E Ep(x) [11.9] 0 §11.2.- Sistemas conservativos en una dimensión. 277 o sea t t0 m ⌠ 2 ⌡ x x dx E Ep(x) [11.10] 0 con lo que queda resuelto (al menos desde un punto de vista físico) el problema del movimiento rectilíneo de la partícula. En consecuencia, siempre que conozcamos la energía potencial en función de la posición (cosa que será relativamente fácil si conocemos F(x)), el principio de conservación de la energía, expresado por [11.10] nos dará directamente la solución del problema del movimiento rectilíneo. Ejemplo I.- Oscilaciones armónicas.- Una partícula, de masa m, se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza F = -kx, donde k es una constante positiva. Determinar la posición de la partícula en función del tiempo; i.e., x(t). Comenzaremos determinando la expresión de la energía potencial: Ep(x) Ep(0) ⌠ ( kx) dx ⌡ 0 E x ⌠ kx dx ⌡ 0 1 2 mv0 2 x 1 2 kx 2 1 2 kx0 2 con Ep(0) 0 La energía total (constante) es siendo x0 y v0 la posición y velocidad de la partícula, respectivamente, en el instante inicial (t=0). Aplicando el Principio de la Conservación de la energía, llegaremos a la ec. [11.10], i.e., t t ⌠ dt ⌡ 0 m ⌠x 2 ⌡ x 0 dx 1 2 mv0 2 1 2 kx0 2 dx A2 x2 1 2 kx 2 1 x [arcsen ω A m ⌠x k ⌡ x 0 dx 2⎞ x0 ⎟ ⎠ 1 ⌠x ω ⌡ x 0 ⎛m 2 ⎜ v0 ⎝k x arcsen 0 ] A x2 donde ω2 k m x0 A A2 x0 2 v0 2 ω2 x0 A y poniendo ψ arcsen → sen ψ ψ) escribiremos finalmente x A sen (ω t que es la función x(t) pedida y que representa un movimiento armónico simple (vide Lec. 13). 278 Lec. 11.- Conservación de la energía. §11.3. Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio.- La ecuación [11.10] puede resultar muy difícil de integrar; sin embargo, en ocasiones no será necesario realizar dicha integración, pues sólo estaremos interesados en comprender cualitativamente algunas de las características más conspicuas del movimiento de la partícula y, para ello, nos puede bastar con el análisis de la curva que representa gráficamente a la función energía potencial, Ep(x), frente a la coordenada posicional, x, de la partícula. En la Figura 11.2 hemos representado una posible curva de energía potencial2 para un movimiento unidimensional. La fuerza que actúa sobre la partícula es función de la posición de ésta y viene dada por F dEp dx [11.11] Pero dEp/dx es, precisamente, la pendiente de la curva Ep = Ep(x), que es positiva cuando la curva crece (al aumentar x) y negativa cuando decrece. Por consiguiente, la fuerza será negativa (dirigida hacia la izquierda) cuando la energía potencial crece y será positiva (dirigida hacia la derecha) cuando la energía potencial decrece. Esta circunstancia ha sido indicada en la Figura 11.2 mediante flechas horizontales. En los puntos en los que Ep(x) presenta un valor máximo o mínimo relativo, es decir en aquellos puntos en los que es dEp/dx = 0, la fuerza será nula; tales posiciones lo serán de equilibrio. Aquellas posiciones (como la x0) en las que Ep(x) presenta un valor mínimo son posiciones de equilibrio estable. Una partícula en reposo en una de tales posiciones permanecerá en reposo en ella; si se la desplaza ligeramente de tal posición se verá sometida a una fuerza recuperadora que tratará de devolverla a la posición de equilibrio, produciéndose oscilaciones alrededor de dicha posición. En aquellas otras posiciones (como la x0′) en las que Ep(x) toma un valor máximo, con respecto a las posiciones vecinas, el equilibrio es inestable. La partícula permanecerá en reposo en una tal posición; pero si se la desplaza ligeramente de ella aparecerá una fuerza que tiende a alejarla aún más de la posición de equilibrio inestable. Por último, en aquellas regiones en las que Ep(x) sea constante el equilibrio será neutro o indiferente, puesto que no aparecerán fuerzas recuperadoras ni repulsivas al desplazar ligeramente la partícula que se encuentre en tal región3 (al ser Ep = cte, será F = 0). Consideremos ahora que la partícula tenga una energía total E (que permanecerá constante durante el movimiento si sólo actúan fuerzas conservativas sobre ella) que vendría indicada por una línea horizontal en la representación gráfica de la Figura 11.2. En cualquier posición x, la energía potencial Ep(x) de la partícula vendrá dada por la ordenada de la curva Ep = Ep(x) y la energía cinética de la partícula, será Ek = E - Ep, 2 No debemos confundir la curva de energía potencial (movimiento unidimensional) con las líneas equipotenciales (movimiento bidimensional). Podemos hablar, aún, de otra clase de equilibrio: el equilibrio metaestable, que es un equilibrio estable para pequeñas perturbaciones, pero inestable cuando éstas son un algo mayores. 3 §11.3.- Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio. 279 Figura 11.2 de modo que vendrá representada por la distancia de la curva Ep(x) (en el punto dado x) a la línea E, como se ilustra en la Figura 11.2 para E=E3. Puesto que la energía cinética es esencialmente positiva (una energía cinética negativa implicaría una velocidad imaginaria), resulta evidente que, para una energía total dada E, la partícula únicamente podrá encontrarse en aquellos puntos en los que E > Ep. Así pues, en la gráfica de la Figura 11.2 se advierte inmediatamente que la menor energía posible es E0; para esta energía la partícula sólo puede permanecer en reposo en x0. Con una energía algo mayor, tal como la E1, la partícula puede permanecer en reposo en x0" o bien puede moverse entre los puntos x1 y x2; su velocidad disminuye al acercarse a los puntos x1 o x2, anulándose en ellos, de modo que la partícula se detiene e invierte su sentido de movimiento cuando alcanza dichos puntos, llamados puntos de retorno. Si la energía es aún mayor, tal como E2, la partícula podrá oscilar en la región definida por los puntos x3 y x4 o en la definida por los puntos x5 y x6; en una o en otra, dependiendo de las condiciones iniciales, sin poder pasar de una región a otra, porque ello exigiría pasar por la región x4-x5 en la que su energía cinética sería negativa (región prohibida). Las regiones en las que queda confinada la partícula representan pozos de potencial; las regiones prohibidas corresponden a barreras de potencial. Si la partícula tiene una energía aún mayor, tal como la E3, existen solamente tres puntos de retorno, de modo que hay dos regiones de movimientos permitidos. Así, la partícula podrá estar confinada en la región delimitada por los puntos x7 y x8 (pozo de potencial) o moverse a la derecha del punto x9 (región ilimitada por la derecha), no pudiendo pasar de una región a otra (barrera de potencial). Para el nivel de energía E4 sólo existe un punto de retorno; si la partícula está moviéndose inicialmente hacia la izquierda, al llegar al punto x11 "rebotará" y se dirigirá indefinidamente hacia la derecha, acelerándose al pasar por los pozos de 280 Lec. 11.- Conservación de la energía. potencial y frenándose al pasar por las barreras de potencial. Para energías superiores a E5 no hay puntos de retorno y la partícula se moverá sólo en un sentido (el inicial) acelerándose y frenándose al pasar por los pozos y las barreras de potencial, respectivamente, pero sin invertir nunca su sentido de movimiento. §11.4. Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones.- Podemos generalizar nuestro estudio de los dos apartados anteriores para incluir aquellas situaciones en las que la partícula puede moverse en dos o en tres dimensiones del espacio bajo la acción de una fuerza (resultante) conservativa, función de la posición de la partícula. En estas condiciones, la energía potencial será función de las coordenadas de posición de la partícula, esto es, Ep(x,y,z), o mejor diremos Ep(r), sin necesidad de referirnos a las coordenadas cartesianas. El principio de conservación de la energía podemos expresarlo por E 1 2 mv 2 Ep(r) [11.12] donde E, que es una constante del movimiento, queda determinada por las condiciones iniciales del movimiento. La ecuación anterior, al igual que la ec. [11.7] en el caso del movimiento unidimensional, nos permite calcular la celeridad de la partícula en función de su posición. Pero obsérvese que ni la ec. [11.7], ni la ec. [11.12], nos suministran información alguna acerca de la dirección del movimiento. Este desconocimiento es mucho más grave en el caso del movimiento en dos o en tres dimensiones, donde existen infinitas direcciones posibles, que en el caso del movimiento unidimensional, donde la partícula sólo dispone de una dirección, con dos sentidos posibles, para su movimiento. En el caso del movimiento unidimensional, la partícula se moverá sobre una trayectoria fija. En el caso del movimiento en dos o en tres dimensiones, la partícula podrá moverse sobre trayectorias muy diversas y, a menos que conozcamos la que realmente sigue, la ecuación [11.12] nos proporcionará escasa información acerca del movimiento de la partícula, salvo que dicho movimiento sólo tendrá lugar en aquellas regiones del espacio en las que E > Ep(r), y que la celeridad v 2 m [E Ep(r)] [11.13] es función de la posición de la partícula en esas regiones permitidas. Ejemplo II.- Movimiento del electrón en el campo de dos protones.- Como ejemplo de lo anteriormente expuesto, analizaremos el movimiento de un electrón en el campo atractivo de dos protones (molécula de Hidrógeno ionizada, H2+). La energía potencial (electrostática) del electrón en dicho campo viene dada por ⎛ e2 ⎜ 1 4π 0 ⎜ r1 ⎝ ⎞ 1 ⎟ r2 ⎟ ⎠ [11.14] Ep donde r1 y r2 representan, respectivamente, las distancias del electrón a cada uno de los dos protones. En la Figura 11.3 se han representado algunas curvas equipotenciales, correspondientes §11.4.- Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones. 281 a la intersección de las superficies equipotenciales con el plano del papel, estando los protones separados por una distancia de 2 Å (1 Å = 10-10 m) y expresando las energías potenciales en electrón-voltios (1 eV = 1.602 × 10-19J). Obviamente, las superficies equipotenciales se obtienen rotando la Figura 11.3 alrededor de la línea que une a los dos protones. Cuando la energía del electrón, que será una constante del movimiento que vendrá impuesta por las condiciones iniciales, sea positiva, el electrón no quedará confinado en ninguna región limitada del espacio; se tratará de un electrón libre, i.e., no ligado. Para -29 eV E < 0, el electrón estará confinado en el interior de una superficie casi-esférica, Figura 11.3 centrada en el punto O, de modo que su movimiento será como sí estuviese ligado a un solo centro atractivo de carga +2e. Para E < -29 eV, el electrón estará confinado en un volumen finito que rodea a uno u otro de los protones pudiendo oscilar o girar alrededor del centro de atracción, según fuesen las condiciones iniciales. En el caso de que E -29 eV, el electrón estará confinado en un volumen casi esférico, centrado en uno u otro de los protones, y su movimiento será como si solamente existiera uno de ellos. Obsérvese que el electrón no puede encontrarse en equilibrio establece en ningún punto del campo creado por los dos protones (el punto O es de equilibrio inestable4). Esta es una característica interesante de los campos electrostáticos creados por una distribución de carga eléctrica. Ejemplo III.- Salto de potencial.- Consideremos una separación plana entre dos regiones del espacio. La energía potencial de una partícula de masa m en la región 1 es Ep(1)=cte. y en la región 2 es Ep(2)=cte. Inicialmente, la partícula se mueve en la primera región con una velocidad v1, en una dirección que forma un ángulo θ1 con la normal a la superficie de separación entre las dos regiones. a) Determinar la velocidad (módulo y dirección) de la partícula cuando penetra en la segunda región. b) Representar gráficamente la situación para el caso en que sea Ep(1)<Ep(2). a) El Principio de conservación de la energía nos permite escribir 1 2 mv1 2 o sea v2 2 Ep(1) 1 2 mv2 2 Ep(2) [i] v1 2 2 [Ep(2) m Ep(1)] v1 2 2 ΔEp [ii] m Figura 11.4 de modo que v2 < v1. 4 En realidad lo es de ensilladura, como veremos en el próximo artículo. 282 Lec. 11.- Conservación de la energía. b) Para determinar la dirección de v2 tendremos en cuenta que es ⎧ ⎪ ⎪ F ⎪ x ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ Fy ⎩ ∂Ep ∂x ∂Ep ∂y ≠ 0 0 F ∇Ep(x) [iii] de modo que el gradiente de la energía potencial, i.e., la fuerza que actúa sobre la partícula al atravesar la superficie de separación entre las dos regiones, sólo tiene componente en la dirección normal a dicha superficie. En consecuencia, podemos afirma que se conserva la componente transversal de la cantidad de movimiento de la partícula cuando atraviesa dicha superficie; esto es, Figura 11.5 mvy(1) mvy(2) → v1 sen θ1 v2 sen θ2 [iv] expresión que establece la relación entre los ángulos y las velocidades de la partícula en cada una de las regiones. Sirviéndonos de la expr. [ii], eliminaremos v2 y, después de fáciles operaciones, obtenemos sen θ1 sen θ2 que escribiremos en la forma sen θ1 sen θ2 v2 v1 n con n 1 2 ΔEp mv1 2 1 2 [Ep(2) mv 2 1 Ep(1)] 1 Ep(2) Ep(1) [v] Ek(1) [vi] que nos recuerda, y de hecho es análoga, a la ley de SNELL para la refracción de la luz, en la que n sería el índice de refracción relativo. Esta analogía nos muestra por qué fue posible explicar los fenómenos de la refracción tanto en el marco de una teoría ondulatoria (ondas de Huygens) como en el de una teoría mecanicista (corpúsculos mecánicos de Newton). §11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones.- Consideremos una partícula sobre la que actúa una fuerza resultante conservativa, función exclusiva de la posición de la partícula. La energía potencial de dicha partícula será función de su posición, y, en coordenadas cartesianas, podemos expresarla por Ep(x,y,z). Entre la fuerza conservativa, F(x,y,z), y la energía potencial, Ep(x,y,z), existe la relación F ∂Ep ∂x ∇ Ep ∂Ep ∂y Fz ∂Ep ∂z [11.15] o sea Fx Fy [11.16] Definido el equilibrio de la partícula como la ausencia de fuerza neta, la partícula se encontrará en equilibrio en aquellos puntos del espacio en los que §11.5.- Equilibrio en dos y en tres dimensiones. 283 ∂Ep ∂x 0 ∂Ep ∂y 0 ∂Ep ∂z 0 [11.17] es decir, en los puntos en los que la energía potencial presente un valor extremo (máximo o mínimo) en las tres direcciones del espacio. En los puntos en los que ∂Ep/∂x sea nula, la partícula se encontrará en equilibrio traslacional en la dirección x, ya que será nula la componente de la fuerza en esa dirección. Las mismas consideraciones podemos hacer para las otras dos direcciones (y,z) del espacio. Obsérvese que la partícula podrá estar en equilibrio con respecto a una coordenada, pero no estarlo necesariamente con respecto a las otras; esto es, podrá ser, por ejemplo, ∂Ep/∂x = 0, pero ∂Ep/∂y ≠ 0 y ∂Ep/∂z ≠ 0. Por ello, cuando se trate de una partícula que pueda moverse en dos o en tres dimensiones del espacio, deberemos analizar sus posibilidades de equilibrio con respecto a cada una de las dos o tres coordenadas que fijan su posición. Como en el caso unidimensional, y para cada una de las coordenadas de posición, el equilibrio de la partícula podrá se estable, inestable o indiferente, según que la energía potencial, en la posición de equilibrio, presente un valor mínimo, máximo o constante con respecto a los que toma en los puntos de un entorno infinitesimal alrededor de dicho punto. Las condiciones anteriores, de mínimo y de máximo relativos, quedan definidas analíticamente por un valor positivo y negativo, respectivamente de ∂2Ep/∂x2 (o de ∂2Ep/∂y2 o ∂2Ep/∂x2). En el caso de que ∂2Ep/∂x2 = 0, el análisis de la situación nos llevará a calcular las derivadas de orden superior, para decidir si se trata de un mínimo o máximo relativos o de un punto de inflexión. En el caso de que el movimiento de la partícula sea tan sólo bidimensional (en el plano xy, por ejemplo) puede resultar útil considerar las llamadas superficies de energía potencial5, que jugarán el mismo papel que las curvas de energía potencial Figura 11.6 en el problema unidimensional. Para ello, representaremos sobre un eje perpendicular al del plano del movimiento (que excusamos ahora de llamarlo eje z) la energía potencial correspondiente a los puntos del plano xy. En la Figura 11.6 hemos dibujado una tal superficie de energía potencial. Una partícula colocada en A, B, C o D permanecerá en reposo; los puntos correspondientes en el plano xy son puntos de equilibrio. El alumno comprenderá fácilmente que el punto A es de equilibrio estable (se trata de un pozo de potencial), en tanto que No debemos confundir las superficies de energía potencial (movimiento bidimensional) con las superficies equipotenciales (movimiento tridimensional). 5 284 Lec. 11.- Conservación de la energía. los puntos B y C lo son de equilibrio inestable. Obsérvese que el punto D es de equilibrio estable en la dirección aa′ pero que es de equilibrio inestable en la dirección bb′; se dice que el punto D es un punto de ensilladura o de silla de montar o de puerto de montaña, por la analogía que presenta con aquélla o con éste. En la figura no hemos representado ningún plano horizontal (meseta), que correspondería al equilibrio indiferente. §11.6. Fuerzas que dependen explícitamente del tiempo.- Una fuerza que dependa solamente de la posición y cuyo rotacional sea nulo se dice que es conservativa, por conducir al principio de conservación de la energía (cinética + potencial). Pero en ciertos casos nos encontraremos con fuerzas que serán función tanto de la posición como del tiempo, esto es F(r,t). Si en un instante cualquiera (esto es, para cualquier valor de t) se anula el rotacional de ese campo de fuerzas (no estacionario), podemos definir una función energía potencial Ep(r,t) (campo escalar no estacionario) como Ep(r,t) ⌠F(r,t) dr ⌡ ∇ Ep(r,t) [11.18] de modo que un instante cualquiera, y siempre que ∇×F(r,t) = 0, será F(r,t) [11.19] Pero hemos de observar que en estas condiciones no es posible demostrar el principio de conservación de la energía, por no cumplirse la relación [11.2]; esto es, ΔEp Ep(B; tB) Ep(A; tA) ≠ ⌠ F(r,t) dr ⌡ A B [11.20] pues la integral, en [11.18], que define la energía potencial en el instante t se calcula a partir de la función de fuerza en ese instante; en tanto que el trabajo, en [11.20], se calcula utilizando en cada punto la función de fuerza en el instante en que la partícula pasa por ese punto. En consecuencia, al combinar las expresiones [11.1] y [11.2], que nos dan los cambios en las energías cinética y potencial de la partícula, respectivamente, la energía E = Ek + Ep ya no se mantiene constante en el transcurso del movimiento; así, pues, una fuerza que dependa explícitamente del tiempo, esto es, F(r,t), no es conservativa. §11.7. Fuerzas no conservativas.- Hemos establecido el principio de la conservación de la energía mecánica (cinética + potencial) para una partícula bajo el supuesto de que sobre ella sólo actúan fuerzas conservativas. Tales fuerzas reciben ese nombre, precisamente, porque conducen al principio de conservación de la energía. Pero es fácil encontrar fuerzas que no son conservativas; así, el rozamiento es una de ellas. El rozamiento se opone siempre al desplazamiento de la partícula, de modo que el trabajo realizado, que es siempre negativo, dependerá de la trayectoria seguida y no es nulo en una trayectoria cerrada, cuando la partícula vuelve a su posición inicial. En consecuencia, la energía mecánica de la partícula no se conservará cuando sobre ella actúen fuerzas no conservativas, como puede ser la de rozamiento. §11.7.- Fuerzas no conservativas. 285 Consideremos una partícula sobre la que actúan fuerzas conservativas (cuya resultante representaremos por Fc) y fuerzas no conservativas (cuya resultante representaremos por Fnc). El trabajo neto realizado sobre la partícula, cuando se desplaza entre los puntos A y B bajo la acción de la fuerza resultante F = Fc + Fnc, es igual a la variación de su energía cinética; esto es W Wc Wnc ΔEk [11.21] donde hemos representado por Wc y Wnc el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas conservativas y no conservativas, respectivamente. El trabajo Wc realizado por las fuerzas conservativas puede expresarse como la variación, cambiada de signo, de la energía potencial (asociada con dichas fuerzas conservativas) cuando la partícula pasa del primer punto al segundo; esto es Wc ΔEp [11.22] Figura 11.7 No podemos decir otro tanto del trabajo Wnc realizado por las fuerzas no conservativas, pues, al depender dicho trabajo del trayecto seguido por la partícula entre los puntos A y B, no podemos asociarle ninguna energía potencial (i.e., ninguna función de punto) a dichas fuerzas. Entonces, la expresión [11.21] puede escribirse en la forma Wnc o sea ΔEk Wc ΔEk ΔE Wnc ΔEp Δ (Ek Ep ) [11.23] [11.24] de modo que la energía mecánica (cinética + potencial) de la partícula no permanece constante en el transcurso del movimiento, sino que experimenta un cambio igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. Si las fuerzas no conservativas realizan un trabajo positivo, la energía mecánica de la partícula aumenta; en el caso contrario, disminuirá. Obsérvese, por otra parte, que hemos rehusado utilizar el término de total para designar a la energía mecánica, E = Ek + Ep, de la partícula. El concepto de energía total de una partícula sólo tiene significado si son conservativas todas las fuerzas que actúan sobre ella; en el caso de que actúen fuerzas no conservativas, el concepto no será aplicable, por no incluirse todas las fuerzas presentes. Si la fuerza no conservativa es el rozamiento, el trabajo realizado por ella es siempre negativo, de modo que, de acuerdo con [11.24], la energía mecánica de la partícula disminuye en el transcurso del movimiento; esto es, la energía mecánica de la partícula se disipa. El rozamiento es un ejemplo de fuerza disipativa. Pero, ¿qué ocurre con esa energía que se disipa? El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento representa una transformación de energía de una forma a otra; la energía mecánica que desaparece se transforma en energía interna, Uint, y provoca un aumento en la temperatura. Esta transferencia de energía, por corresponder a un 286 Lec. 11.- Conservación de la energía. movimiento molecular, será, en general, irreversible6. De este modo, el trabajo realizado por el rozamiento (que es siempre negativo) es igual al incremento de la energía interna del sistema (la partícula y su medio ambiente) y podemos escribir Wf ΔUint [11.25] donde el subíndice f hace referencia explícita a que se trata de la fuerza de rozamiento (fricción). De esta forma, la expresión general [11.24], en el caso de que la única fuerza no conservativa que actúa sobre la partícula sea la de rozamiento, puede escribirse como ΔE o sea Δ(E ΔUint Uint ) 0 0 [11.26] [11.27] de modo que la suma de la energía mecánica (de la partícula) y de la energía interna (del sistema) permanece constante (i.e., se conserva) cuando sobre el sistema sólo actúan fuerzas conservativas y las de rozamiento. §11.8. Conservación de la energía.- Hemos definido la energía potencial de una partícula de modo que el trabajo realizado sobre ella por una fuerza conservativa sea igual a la disminución de su energía potencial. En el primer artículo de esta lección demostrábamos que la energía mecánica total de la partícula permanece constante cuando tan sólo las fuerzas conservativas realizan trabajo sobre ella; ello era debido a que el aumento de su energía cinética quedaba exactamente compensado por la disminución de su energía potencial. De ese modo, establecíamos el principio de conservación de la energía, aunque en una forma muy restrictiva. Por otra parte, hemos visto en el artículo anterior que la energía mecánica de la partícula no permanece constante cuando sobre ella actúan fuerzas no conservativas que realizan un trabajo; pero, eso si, el trabajo realizado por dichas fuerzas es igual al aumento (o disminución) de la energía mecánica (cinética + potencial) de la partícula [11.24]. Debido a que casi siempre hay presente algún tipo de fuerza no conservativa, principalmente el rozamiento, la importancia del concepto de energía, y el de su conservación, no fue justipreciada hasta el siglo XIX. Entonces se comprendió que la desaparición de energía mecánica macroscópica va siempre asociada con la aparición de energía interna, que normalmente se pone de manifiesto por un aumento de la temperatura. Hoy, sabemos que esa energía interna no es más que la energía cinética y potencial de las moléculas de medio; esto es, energía mecánica microscópica. Con esta generalización del concepto de energía mecánica, de modo que quede incluida la energía interna, la energía mecánica de la partícula (o la de un Los texto elementales suelen decir que "la energía mecánica que desaparece se transforma en calor". Esta expresión no es rigurosamente correcta, aunque puede disculpársela al estudiante que se inicia en el estudio de la Física. Los conceptos de energía interna y de calor y temperatura, así como el de proceso irreversible, serán desarrollados con rigor en las Lecciones de Termología. 6 §11.8.- Conservación de la energía. 287 cuerpo o sistema de dimensiones finitas) más la de su medio ambiente permanece constante, aún cuando esté presente el rozamiento. Ahora, podemos generalizar nuestros razonamientos anteriores para considerar no sólo las fuerzas conservativas y las de rozamiento sino, también, otras fuerzas no conservativas que no sean precisamente las de rozamiento. Esto es, consideremos una partícula sobre la que actúa una fuerza resultante F que podemos desglosar como F Fc f F nc [11.28] donde Fc y Fnc representan, respectivamente, las resultantes de las fuerzas conservativas y no conservativas, y f la de las fuerzas de rozamiento. En el desplazamiento de la partícula, entre dos puntos dados A y B, los trabajos realizados por cada una de esas fuerzas son W Wc Wf Wnc ΔEk [11.29] o sea, el trabajo total es igual a la variación de la energía cinética de la partícula. Pero hemos visto que con toda fuerza conservativa se asocia una energía potencial y que con el rozamiento asociamos la variación de la energía interna, o sea Wc ΔEp Wf ΔUint [11.30] de modo que la expresión [11.29] tomará la forma Wnc ΔEk Wc Wf ΔEk ΔEp ΔUint [11.31] o sea que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas (exclusive el rozamiento) es igual a la variación de la energía mecánica de la partícula y de la energía interna de su medio ambiente. Vemos que, cuando se incluye la energía interna, la energía total del sistema no siempre permanece constante. Ahora bien, cualquiera que sea Wnc siempre ha sido posible encontrar nuevas formas de energía relacionadas con ese trabajo. Entonces podemos representar el trabajo Wnc en términos de la variación de alguna forma particular de la energía, de modo que [11.32] Wnc = - Δ(alguna forma de energía) de modo que la expresión [11.31] puede escribirse como [11.33] ΔEk + ΔEp + ΔUint + Δ(alguna forma de energía) = 0 por lo que la energía total (cinética + potencial + interna + alguna otra ...) permanecerá constante, si nos cuidamos de incluir todas las formas posibles de energía. La energía puede ser transformada de una forma a otra, pero no puede ser creada ni destruida; la energía total permanece constante. Este enunciado, que es una generalización de la experiencia, constituye el Principio de la Conservación de la Energía. Fue formulado en el siglo XIX, y 288 Lec. 11.- Conservación de la energía. aunque la prioridad de su descubrimiento fue un tanto polémica (se la disputaron J.R. MAYER (1814-1878) y J.P. JOULE (1818-1889), traeremos aquí una cita de la obra de Mayer (Observaciones sobre las energías de la naturaleza inorgánica): "En innumerables casos vemos que el movimiento cesa sin haber causado otro movimiento o elevado un peso; pero la energía, una vez que existe, no puede ser aniquilada, solamente puede cambiar de forma; y entonces surge la pregunta: ¿qué otra forma de energía, aparte de las que ya conocemos, cinética y potencial (en terminología moderna), es capaz de tomar? Solamente la experiencia puede conducirnos a una solución." En ocasiones parecía que este principio de conservación iba a fallar; pero ese aparente fallo incitó a los físicos a la búsqueda de las causas; esto es, a la búsqueda de nuevos fenómenos hasta entonces desconocidos. Y siempre los encontraron. Por ejemplo, la energía de un sistema puede "disiparse" en forma de radiación; así se forman ondas sonoras en un choque entre dos objetos, o se emite radiación electromagnética por una carga eléctrica acelerada. En otras ocasiones, la aparente no-conservación de la energía llevó al descubrimiento de nuevas partículas elementales; este fue el caso del descubrimiento teórico del neutrino (PAULI, 1930) para explicar un aparente fallo del principio de conservación de la energía en los fenómenos de radiactividad β de los núcleos atómicos. Con posterioridad el neutrino fue detectado por COWAN y REINES, en 1956. Así pues, el concepto de energía se ha ido generalizando para incluir otras formas, además de la cinética y potencial, y ha sido esta generalización la que ha permitido relacionar la Mecánica de los cuerpos en movimiento con fenómenos no mecánicos, o en los que el movimiento no se detecta fácilmente. En este sentido, el concepto de energía ha relacionado la Mecánica con las demás ramas de la Ciencia Natural y se ha convertido en una de las grandes ideas unificadoras de la Física. §11.9. Crítica del concepto de energía.- En estas dos últimas lecciones hemos visto como podemos abordar ciertos problemas sobre el movimiento de la partícula cuando conocemos la fuerza en función de la posición de aquélla. Ha sido precisamente este problema el que nos ha llevado al concepto de energía. Atribuimos el movimiento de la partícula a las interacciones que tienen lugar entre ella y su medio ambiente; esto es, otras partículas, en definitiva. Representamos dichas interacciones mediante los conceptos de fuerza y de energía. Tanto la fuerza como la energía son, pues, simples entes físico-matemáticos que no tienen otro propósito que representar convenientemente las diferentes interacciones que observamos en la Naturaleza, de modo que a través de ellas podemos analizar y predecir el movimiento de las partículas y de los sistemas de partículas. El concepto de energía potencial, al igual que el de fuerza, nos permite asociar con cada forma específica de interacción una forma específica de energía, y es precisamente esa relación la que llena de contenido y significado físico a la idea de energía. En las lecciones que siguen, iremos redundando en la idea de que la interacción entre dos cuerpos puede ser descrita como un intercambio de energía o de cantidad de movimiento. Cualquiera de ambas descripciones puede resultar útil para representar la interacción. De ese modo, parece como si relegásemos el concepto de fuerza a un papel secundario. En muchos problemas realmente será así (es el caso, como ya hemos dicho varias veces de la Física Atómica y Nuclear), pero no debemos olvidar que, en último extremo, los conceptos de cantidad de movimiento y de §11.9.- Crítica del concepto de energía. 289 energía han sido desarrollados a partir del concepto de fuerza, aunque no era necesario proceder de ese modo, ya que tanto el concepto de cantidad de movimiento como el de energía pueden considerarse como primarios y autosuficientes. §11.10. Principio de conservación de la masa.- Desde un punto de vista histórico, la primera ley de conservación en la ciencia fue la referente a la conservación de la materia. En su obra De rerum natura, el poeta romano LUCRECIO, contemporáneo de Julio Cesar y de Cicerón, enunciaba lo que puede considerarse como uno de los primeros indicios de un importante principio general de la Ciencia: "Las cosas no pueden surgir de la nada y, una vez que son, no pueden regresar a la nada." Sin embargo, hemos de hacer notar que existe una gran distancia entre el panegírico de Lucrecio y la moderna ley de conservación de la masa que establece que "... a pesar de los cambios de posición, forma, aspecto, composición química ..., la masa de un sistema cerrado permanece constante." La idea de un sistema cerrado, que surge como una consecuencia del trabajo de Galileo sobre el movimiento de los cuerpos, fue un requisito previo a la formulación del principio de conservación de la masa. Aunque ya en tiempos de Newton se aceptaba que por encima de los cambios de forma, color, volumen, posición ... hay algo que es duradero y constante (i.e., la masa), el principio de conservación de la masa no fue establecido firmemente hasta mucho tiempo después. La contribución experimental más importante fue hecha por el químico francés Antoine Laurent DE LAVOISIER (1743-1794), quién demostró, por la incontrovertible evidencia de la balanza, que "Debe considerarse como un axioma incuestionable que en todas las acciones del Arte y de la Naturaleza, nada se crea; antes y después del experimento existe la misma cantidad de materia ... y nada ocurre que no sean cambios y modificaciones en las combinaciones de estos elementos." Sin embargo, a pesar del enfático enunciado de Lavoisier, todavía quedaba lugar a duda. Un químico moderno, que examinase los resultados cuantitativos de los experimentos de Lavoisier y reparase en el grado de exactitud que éste pudo alcanzar con sus aparatos, quedaría en una actitud escéptica frente a la afirmación de que "el aumento de peso de uno coincide exactamente con la pérdida del otro". Sin embargo, la ley era plausible y la mayor parte de los científicos del siglo XIX la aceptaron. A partir de 1890, otro químico, Hans LANDOLT (1831-1910), animado por las dudas expresadas por Lothar MEYER (1830-1895), realizó una extensa investigación experimental sobre la conservación de la masa en las reacciones químicas; en 1909 estableció la siguiente condición: " ... ningún cambio en el peso total puede determinarse en cualquier reacción química ... La prueba experimental de la ley de la conservación de la masa puede considerarse completa. Si existe alguna desviación, deberá ser menor de una milésima de miligramo." §11.11. Masa y energía.- Si no dispusiéramos de más evidencia válida que la referente a los experimentos con sistemas que reaccionan químicamente, deberíamos 290 Lec. 11.- Conservación de la energía. llegar a la conclusión de que la ley o principio de conservación de la masa es correcta. Un químico moderno que repitiera los experimentos de Landolt, aun cuando utilizarse el mejor equipo disponible, llegaría a la misma conclusión que aquél; únicamente conseguiría reducir su margen de error. Sin embargo, existen otros tipos de procesos en los que cambia la masa del sistema. Los más importantes son aquéllos que incluyen reacciones entre núcleos atómicos (reacciones nucleares) y entre partículas elementales, tales como la desintegración radiactiva, fisión, fusión, creación y aniquilación de pares partícula-antipartícula ... En algunos de estos fenómenos, como en los de creación y aniquilación de pares, la masa del sistema puede ser creada y aniquilada por completo. En otros, la masa del sistema simplemente aumenta o disminuye, a partir de un cierto valor inicial. Por otra parte, la masa de una partícula puede incrementarse extraordinariamente cuando se la acelera hasta velocidades próximas a la de la luz. Este efecto, que es un efecto relativista, ya era conocido antes de 1905, fecha en que se publica el primer trabajo de Albert EINSTEIN (1879-1955) sobre la Teoría de la Relatividad Especial: "Sobre la electrodinámica de los cuerpos móviles" (Annalen der Physik 17 (1905) 891-921). El incremento de masa que experimentan las partículas aceleradas a altas velocidades había sido descubierto experimentalmente por W. KAUFMANN, en 1902, desviando en campos eléctricos los electrones de alta velocidad emitidos en la desintegración β de los núcleos radiactivos. En 1905, Einstein llega a la conclusión de que la masa ponderable y tangible de una partícula, cargada o no, crece con la velocidad de acuerdo con la ecuación m 1 m0 v 2/c 2 [11.34] en donde m0 es la masa de la partícula en reposo con respecto al observador, llamada masa en reposo, y m es la masa de la partícula cuando se mueve con una velocidad v con respecto al mismo observador y es llamada masa relativista. En la Figura 11.8 se representa gráficamente el cociente m/m0 frente a la velocidad de la partícula, medida en unidades Figura 11.8 de la velocidad de la luz (esto es, β=v/c). Obsérvese que para velocidades tales que β > 0.9, la masa relativista es varias veces mayor que la masa en reposo, y que tiende hacia infinito a medida que β tiende hacia 1, o sea cuando la velocidad v de la partícula se aproxima a la velocidad c de la luz. La Dinámica Relativista será objeto de atención en una lección posterior; ahora sólo trataremos de desprender, mediante un razonamiento sencillo, algunas consecuencias interesantes de la ecuación [11.34]. Llamando β al cociente v/c, la ec. [11.34] puede escribirse en la forma §11.11.- Masa y energía. 291 [11.35] m m0 ( 1 β 2 ) 1/2 de modo que desarrollando la expresión anterior por la fórmula del binomio m m0 ( 1 1 2 β2 3 8 β 4 ...) [11.36] Entonces, si v c, o sea si β 1, con muy buena aproximación7 podemos escribir m ≈ m0 ( 1 1 2 β ) 2 m0 ( 1 v2 ) 2c 2 1 m0 2 m0v 2 c2 [11.37] resultado que nos ofrece una sorprendente interpretación física del incremento de masa con la velocidad, ya que 1 Δm m m0 2 m0v 2 c2 [11.38] donde podemos identificar el término ½m0v2 con la energía cinética clásica de la partícula; esto es, Δm Ek c2 [11.39] y llegamos a la idea, al tratar de comprender el cambio de la masa con la velocidad, de que la energía cinética adquirida durante el proceso de aceleración de la partícula ha aumentado su masa o inercia en la cantidad Ek/c2. Ese es el significado de la ecuación [11.39]; decir que la energía tiene masa, que la energía es masa, o que es equivalente a la masa, sólo son expresiones del lenguaje que no añaden nada nuevo al significado físico de la ecuación [11.39]. Aunque hemos llegado a establecer la ecuación [11.39] mediante una aproximación, la citada ecuación es cierta en general. Pero es más, la idea básica de que la energía es equivalente a la masa puede extenderse a otras energías distintas de la cinética. Así, por ejemplo, al comprimir un resorte, realizando un trabajo sobre él y suministrándole, con ello, una energía potencial elástica Ep, su masa se incrementa en Ep/c2. Igualmente, un cuerpo incrementa su masa cuando lo calentamos; en este caso si es Q la energía térmica (calor) que le hemos suministrado, su incremento de masa será Q/c2. En resumen, el principio de equivalencia entre la masa y la energía establece que por cada unidad de energía (1 joule) que suministramos a un objeto material su masa se incrementa en 1 J ( 3 × 108 m/s )2 1.1 × 10 17 kg [11.40] 7 En general, es válida la aproximación (1 + )n = 1 + n , cuando 1. 292 Lec. 11.- Conservación de la energía. y esto no significa que ahora haya más moléculas que antes; lo que se ha modificado es la masa o inercia observable del objeto. Obsérvese que, debido al factor c2, los cambios de masa sólo serán apreciables cuando se pongan en juego energías muy grandes. Por esa razón, los cambios de masa no son apreciables en las reacciones químicas, en las que las energías puestas en juego son relativamente pequeñas, pero tendrán una gran importancia en las interacciones nucleares o en la Física de Altas Energías. La equivalencia entre la masa y la energía, esto es la famosa expresión de Einstein E (Δm) c 2 [11.41] puede ser considerada como la contribución más significativa de la Teoría de la Relatividad. De hecho, como la masa en reposo es tan sólo una forma de energía, podemos asignar una energía m0c2, llamada energía en reposo, a la partícula de masa m0 y considerarla como un paquete de energía (este concepto puede generalizarse incluso para partículas, como el fotón, cuya masa en reposo es nula). Teniendo en cuenta la equivalencia masa-energía, el principio de conservación de la energía (o el de la masa) deben reformularse. Una forma simple de hacer esto es considerar todo objeto del sistema como una fuente potencial de aniquilación completa, esto es, como capaz de "desmaterializarse" para transformarse en energía "pura e inmaterial". De este modo, para un sistema cerrado y aislado, la cantidad de energía en reposo ( m0c2) más las restantes formas de energía ( E), es constante; esto es ( m0c 2 E) cte [11.42] expresión que podemos considerar como la generalización del principio de conservación de la energía total, o también como una generalización del principio de conservación de la masa, si preferimos escribir [11.42] en la forma ( m0 E ) c2 cte [11.43] Las expresiones [11.42] y [11.43] tienen esencialmente el mismo contenido. Tal como fue escrito por Einstein ... "La física prerrelativista contiene dos leyes de conservación de importancia fundamental; a saber: la ley de conservación de la energía y la ley de conservación de la masa; ambas aparecen con total independencia la una de otra. En la Teoría de la Relatividad, ambas se funden en un solo principio." Problemas 293 Problemas 11.1.- En la obra de Huygens, Horlogium Oscillatorum (1673), encontramos la proposición siguiente: "Cuando un péndulo oscila de modo que su amplitud es de 90°, al pasar por la posición más baja resulta que la tensión del hilo es el triple de la que le correspondería si el péndulo estuviese inmóvil." Demostrar esta proposición. 11.2.- En la figura, se representa un péndulo simple, de longitud l, cuyas oscilaciones están limitadas por la existencia de Prob. 11.2 un clavo horizontal situado a una distancia 2l/3 del punto de suspensión y en su misma vertical. Determinar el ángulo Θ desde el que debemos abandonar la masa pendular para que el hilo de suspensión se enrolle en el clavo. 11.3.- Colgamos un cuerpo de masa m del extremo inferior de un muelle vertical que está sujeto del techo por su otro extremo, y lo dejamos descender lentamente, soportándolo con la mano, lo que hace que el muelle se estire una distancia d. ¿Cuál sería el máximo descenso del cuerpo si lo hubiéramos dejado caer bruscamente? 11.4.- Una partícula de masa m está situada en la cima de una hemiesfera lisa, de radio R, que está apoyada por su base sobre un plano horizontal. Cuando desplazamos ligeramente la partícula de su posición de equilibrio comienza a deslizar sobre la superficie de la esfera. La posición de la partícula queda determinada en cada instante por el ángulo θ que forma el radio-vector correspondiente con la vertical. a) Tomando el plano de la base como nivel de referencia, expresar las energías potencial y cinética de la partícula en función del ángulo θ. b) Ídem las aceleraciones tangencial y normal. c) Determinar el valor del ángulo para el cuál la partícula se despega de la hemiesfera. d) En el caso de que existiese rozamiento, ¿el ángulo correspondiente a la posición de despegue sería mayor o menor que el anteriormente calculado? 11.5.- Una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza única, que es conservativa. ¿En qué condiciones, si es que las hay, es posible que aumente la energía potencial de la partícula? 11.6.- Un cable flexible y uniforme, de longitud l, está colgado en una pared vertical pasando sobre un clavo fijo y liso. Inicialmente el cable se encuentra en equilibrio. Calcular la velocidad que adquiere el cable, en el instante en que abandona al clavo, cuando se le separa ligeramente de su posición de equilibrio. 11.7.- Considérese una masa puntual m suspendida de un punto fijo O mediante un hilo elástico de longitud natural l y constante elástica k. Supongamos que abandonamos el sistema, con el hilo en su longitud natural y horizontal. a) Demostrar que cuando el hilo pasa por la posición vertical, se habrá alargado una cantidad Δl = 3mg/k; siempre que Δl pueda considerarse mucho más pequeña que l. b) Demostrar, en esas condiciones, que la velocidad de la masa puntual, en el punto más bajo de su trayectoria, es v 2g ( l 3mg ) 2k que es menor que la que le correspondería para una cuerda inelástica (k=∞). Explicar físicamente estos resultados. Prob. 11.8 11.8.- Un pequeño objeto desliza, sin rozamiento, por un carril situado en un plano vertical, que está compuesto por un tramo rectilíneo seguido de un tramo circular de 4 m de radio, y que subtiende un ángulo θ=30° a 294 Lec. 11.- Conservación de la energía. cada lado de la vertical, como se muestra en la figura. Si el pequeño objeto pesa 20 g y parte del reposo de la posición H = 10 m, calcular la altura máxima (h) que alcanzará después de abandonar el carril. 11.9.- Demostrar que el ritmo o velocidad de variación de la energía cinética de una partícula viene dado por dEk/dt = F v, siendo F la fuerza resultante que actúa sobre la partícula y v su velocidad. Interpretar este resultado. 11.10.- Un bloque de 5 kg comienza a subir por un plano inclinado de 30° con una velocidad inicial de 20 m/s. a) ¿Qué distancia recorrerá sobre el plano, antes de detenerse, si el coeficiente cinético de rozamiento vale 0.25? b) Sea 0.45 el coeficiente estático de rozamiento. ¿Volverá a bajar el bloque, plano hacia abajo, después de haberse detenido? En caso afirmativo, ¿cuál será su velocidad al llegar de nuevo al pie del plano? 11.11.- Una pelota de ping-pong se deja caer sobre un suelo duro y rebota hasta el 90% de su altura original. a) Encontrar una expresión general para la altura máxima de la pelota después del n-ésimo rebote. b) Ídem para la pérdida de energía y la fracción de pérdida de energía de la partícula después del n-ésimo rebote. c) ¿Cuántos rebotes se necesitarán para que la altura máxima de la pelota se reduzca a un 5% de su valor inicial. d) Hacer una estimación del tiempo máximo durante el cuál estará botando la pelota, cuando se la deja caer desde una altura inicial de 5 m. 11.12.- Una masa puntual, m, está unida al extremo superior de una varilla rígida y ligera, de longitud l, que puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por su extremo inferior. Se abandona el sistema a partir de la posición vertical (equilibrio inestable), en reposo. a) Expresar la tensión en la varilla en función del ángulo que forma ésta con la vertical. b) Calcular el ángulo que formará la varilla con la vertical cuando la tensión en la misma pasa de ser compresora a tensora. 11.13.- Una vagoneta, abierta por su parte superior, que marcha con una velocidad constante de 4 m/s es cargada con 10 t de carbón, mientras pasa bajo una tolva de descarga, en un tiempo de 5 segundos. a) ¿Qué fuerza extra habrá que aplicar a la vagoneta para que su velocidad permanezca constante durante el proceso de carga? b) ¿Qué trabajo realizará esa fuerza? c) ¿Qué aumento de energía cinética experimenta el carbón? d) Explicar la discrepancia entre los resultados de los dos apartados anteriores. 11.14.- Una bolita de pequeñas dimensiones rueda en un carril circular situado en un plano vertical, como se Prob. 11.14 muestra en la figura. Cuando la bolita pasa por el punto más bajo del carril lleva una velocidad v0. a) ¿Cuál deberá ser el valor mínimo de v0 a fin de que la bolita complete la trayectoria circular sin despegarse del carril? b) Sea vmín el valor anteriormente calculado y supóngase ahora que es v0 = 0.837 vmín. Bajo estas condiciones determinar la posición angular θ del punto P en el que la bolita se despega del carril, así como su celeridad en ese instante. 11.15.- Una bolita, de pequeñas dimensiones, de masa m, desliza sin rozamiento por un carril, como se muestra en la figura. La bolita se abandona en reposo en un punto P, situado a una altura h sobre el nivel de referencia, desciende por el carril y prosigue por el interior de la circunferencia vertical de radio R. Deseamos ajustar la posición del punto P de modo que la bolita abandone el carril circular en un cierto punto M y que, en el subsiguiente Prob. 11.15 movimiento sin ligaduras, vaya a pasar por el centro de la circunferencia (punto O). a) Determinar el valor del ángulo α correspondiente a la posición M en que la bolita se despega del carril circular, así como la velocidad de la bolita en ese instante. b) Determinar la altura h del punto P para conseguir el resultado deseado. Aplicación numérica: R = 50 cm. 11.16.- Una partícula se mueve sobre el eje x bajo la acción de una fuerza dada por F = -16x + 8x3 (SI). a) Representar gráficamente la función energía potencial Ep(x). b) Analizar el movimiento de la partícula para diversos valores de su energía total. c) Determinar los Problemas 295 puntos de retorno para E = 4 J. d) Ídem para E = - 4 J. 11.17.- La energía potencial de una partícula de 2 g de masa que se mueve sobre el eje x viene dada por Ep = 24x2e-2x, donde x está expresada en cm y Ep en ergios. a) Determinar las posiciones de equilibrio de la partícula, así como las energías potenciales correspondientes a esas posiciones. b) Represéntese gráficamente la función Ep(x) y discútanse los movimientos posibles de la partícula. c) ¿Cuáles son los puntos de retorno correspondientes a una energía total de 2 erg? d) Considérese la partícula en reposo en el punto de coordenada x = 0.5 cm; ¿Cuál será la velocidad de la partícula cuando pase por el origen de coordenadas? e) Calcular el periodo de las pequeñas oscilaciones de la partícula alrededor de la posición de equilibrio estable. 11.18.- Una partícula, de masa m, se mueve bajo la acción de una fuerza conservativa que deriva de un potencial dado por Ep a2 x2 a E0 8a 4 x 4 2 periodo de las pequeñas oscilaciones en torno a la posición de equilibrio. 11.20.- Una partícula de 2 g de masa se mueve bajo la acción de una fuerza que viene expresada por F = 2(3x+y)i + 2(x+4yz)j + 4y2k con x,y,z en cm y F en dyn. Cuando pasa por el punto de coordenadas (3,2,1) tiene una celeridad de 5 cm/s. a) ¿Cuál será su celeridad cuando pase por el punto (2,3,5)? b) ¿Ídem por el punto (1,-3,0)? 11.21.- Encontrar y analizar las posiciones de equilibrio de una partícula cuya energía potencial está expresada por a) Ep = x3 + y3 - 3x - 12y b) Ep = 9x2 - 4y2 - 18x + 24y - 25 c) Ep = (x2 + y2 - 4)2 d) Ep = (x2 + y2 - 9) expr[-(x2 + y2) 11.22.- Agrupamiento α. La energía potencial de una partícula α en el interior de un núcleo pesado queda descrita cualitativamente, en función de su distancia al centro del núcleo, por la gráfica que se muestra en la figura. a) Encontrar una función de r que se Prob. 11.22 ajuste a esa gráfica. b) Determinar la fuerza que actúa sobre la partícula α en función de r. c) Describir los movimientos posibles de la partícula α. *11.23.- Pozo de potencial rectangular. Consideremos un pozo de potencial rectangular, de profundidad U0, i.e., una región del espacio en la que la energía potencial de una partícula venga dada por una función Ep(r) tal que Ep(r)=0 para r>R y Ep(r)=-U0 para r≤R. Una partícula, de masa m, incide con una velocidad v0 sobre el pozo de potencial, con un parámetro de impacto s, como se ilustra en la figura, atraviesa el pozo y, tras experimentar dos refracciones, emerge en una dirección que forma un ángulo θ con su dirección inicial. a) Determinar la velocidad de la partícula en el interior del pozo. b) Demostrar que entre el donde a y E0 son constantes. a) Representar gráficamente Ep(x) y F(x), determinar las posiciones de equilibrio y discutir los movimientos posibles. b) La partícula parte con una velocidad inicial v∞ de un punto muy lejano y dirigiéndose hacia el origen; ¿qué velocidad tendrá cuando pase por el origen? c) Como en el apartado anterior, pero la partícula, al pasar por x=a sufre un choque con otra partícula, durante el cual pierde una fracción α de su energía cinética. ¿Cuál ha de ser el valor mínimo de α para que la partícula quede atrapada en el pozo de potencial? d) ¿Cuál ha de ser el valor mínimo de α para que la partícula quede atrapada en una de las paredes del pozo? e) ¿Cuáles serán los puntos de retorno si α=1? 11.19.- Una partícula, de masa m, se mueve sobre el eje x bajo la acción de una fuerza F dada por F kx c x3 donde k y c son constantes. a) Expresar y representar gráficamente la energía potencial Ep(x) de la partícula y describir los rasgos más conspicuos del movimiento de la misma. b) Obténgase la solución x(t). c) Determinar el 296 Lec. 11.- Conservación de la energía. mn = 1.674 928 ×10-27 kg Expresar dichas masas en u y en MeV. (La velocidad de la luz es c=2.997 925×108 m/s). 11.27.- Un electrón se mueve con una velocidad v = 0.99 c. a) ¿Cuál es su masa relativista a esa velocidad? b) Encontrar la relación entre las energías cinéticas relativista y clásica del electrón para esa velocidad? c) Expresar la energía cinética relativista del electrón en MeV. 11.28.- Un protón, con una energía cinética de 100 keV se lanza frontalmente contra el núcleo de un átomo de plomo (Z=82), que consideraremos fijo. a) ¿Cuál será la distancia de máxima aproximación del protón al núcleo de plomo? b) ¿Son importantes, a esa distancia, las fuerzas nucleares? 11.29.- Energía de enlace de la partícula α. Las masas del protón, del neutrón y de la partícula α (núcleo del Helio-4) son, respectivamente, de 1.007 825 u, 1.008665 u y 4.002 600 u. Con estos datos, calcular la energía que debemos de suministrar a la partícula α para disociarla completamente en sus componentes. Esa energía recibe el nombre de energía de enlace. 11.30.- Se cree que el Sol obtiene su energía radiante mediante un proceso de fusión en el cual, después de unos pasos intermedios, se forman núcleos de helio-4 a expensas de protones y neutrones libres. El proceso es exoenergético y la energía se libera en forma de radiación. a) Calcular la energía liberada en cada proceso de fusión conducente a la formación de un núcleo de helio-4. b) Ídem conducente a la formación de un gramo de helio-4. Exprésense esas energías en MeV y en W h. 11.31.- En el proceso de creación de un par electrón-positrón, un rayo gamma (radiación electromagnética) se materializa en un electrón y en su antipartícula, el positrón, que tiene la misma masa que aquél y cuya carga es de la misma magnitud que la del electrón, sólo que positiva. Calcular, en MeV, la energía mínima del rayo gamma para que pueda producirse la creación del par electrón-positrón. Prob. 11.23 parámetro de impacto y el ángulo de desviación existe la relación n 2 sen2 s2 R2 n2 1 θ 2 θ 2 2n cos con n 1 2 U0 mv0 2 c) Comprobar que la desviación máxima de la partícula al atravesar el pozo de potencial se presenta para s=R y que su valor es θ máx 2 1 n cos 11.24.- El electrón-voltio.- En Física Atómica y Nuclear se utiliza preferentemente la unidad de energía llamada electrón-voltio (eV) y sus múltiplos (keV, MeV, GeV ...), que se define como el trabajo realizado sobre la carga de un electrón cuando se desplaza entre dos puntos cuya diferencia de potencial es un voltio. Demostrar que 1 eV = 1.602 177×10-19 J. 11.25.- Unidad de masa atómica.- La unidad de masa atómica (u) se define como la doceava parte de la masa del átomo de Carbono-12. a) Demostrar que 1 u = 1.660 540×10-27 kg (Recuérdese que el número de Avogadro es NA = 6.022 045×1023 moléculas/mol). b) Demostrar que el equivalente energético de 1 u es 931.494 MeV. 11.26.- Las masas del electrón, del protón y del neutrón son, respectivamente me = 9.109 396 ×10-31 kg mp = 1.672 623 ×10-27 kg