ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE CONTROLADORES PID PARA ELCONTROL DE VELOCIDAD DEL MOTOR DE CC Carlos Andrés Quintero Murcia. Código: 2053204 Presentado a: RODOLFO VILLAMIZAR MEJÍA, PhD. Resumen: El laboratorio radica en simular mediante la herramienta Simulink de Matlab, diferentes configuraciones de un controlador PID digital para un proceso de Control de Velocidad para Un Motor de Corriente Continua. La práctica incluirá condiciones de ruido en el sensado así como la presencia de tendencias en este proceso y el análisis del comportamiento temporal tanto transitorio como en estado estable, ante una consigna tipo escalón. Palabras Claves: Controlador PID ideal, filtro anti wind-up y wash-out, acción derivativa, saturación del controlador. mismo para el control automático. Da tres partes para la señal de control: • Una parte proporcional a la ocurrencia de error (acción de control dada por la información del presente). • Una parte proporcional a la integral de error pasado (acción de control dada por toda la información pasada). • Una parte proporcional a la derivada del error (acción de control dada la dirección de cambios en el futuro). Matemáticamente, lo anteriormente expresado se puede escribir como; 1. • Objetivos Donde Kp es conocida como la ganancia proporcional, Ki es la ganancia integral y Kd es la ganancia de derivada. El primer término en la Ecuación es el bloque proporcional del controlador, el segundo término es el bloque integral y el tercero es el bloque de derivada. Aunque muchos de los aspectos de un sistema de control se pueden entender a partir de la teoría de control lineal, algunos efectos no lineales deben ser tomados en cuenta a la hora de implementar un controlador como por ejemplo: • Un motor tiene limitada su velocidad, • Una válvula tiene límites máximo y mínimo de apertura. • • Diferenciar y entender la razón de las variaciones realizadas a un controlador PID ideal, tales como anti wind-up y wash-out. Realizar el moldeamiento de un sistema digital por medio de componentes discretos asociados al mismo. Consolidar conocimientos básicos referentes al controlador PID y sus efectos. 2. Marco Teórico Controlador PID La idea básica del controlador PID es simple y similar a la toma de decisión del ser humano basada en el conocimiento del pasado, presente y predecir el futuro. El controlador PID hace lo 1 • Una fuente de alimentación de energía de un dispositivo eléctrico es finita, etc. Para un sistema de control con un amplio rango de condiciones de operación, puede suceder que la variable de control alcance los límites prefijados del actuador. Cuando esto pasa, el bucle realimentado permanece en su límite independientemente de la salida del proceso. Si se usa un controlador con acción integral, el error continuará siendo integrado, incrementando aún más su valor. Esto significa que el término integral puede volverse muy grande y producirse el efecto llamado “windup”. Para evitar que ocurra este fenómeno hay dos formas: 1. Introducir limitadores en las variaciones de la referencia tal que la salida del controlador nunca alcance los límites del actuador. Esto, a menudo, produce límites en el funcionamiento del controlador y no evita el windup causado por las perturbaciones. 2. Otra forma es el re-cálculo de la integral: cuando la salida se satura, la integral es recalculada tal que su nuevo valor proporciona una salida en el límite de la saturación. Filtro Wash-out Un problema de las derivadas es que la salida de un diferenciador incrementa en proporción al índice del cambio de la señal de error. El más rápido, el índice de cambio de error, después el más largo, la salida de la derivada. Esto es actualmente una de las funciones de los términos de la derivada. De cualquier forma, tiene un efecto negativo de amplificación de ruido no deseado contenido en la señal de error. Esto causa grandes dificultades porque esto crea rápidamente cambios de señal sobre los actores y los hace vibrar y causar daños. Esto puede evitarse si se incluye un filtro Wash-out en el término de la derivada. control de velocidad el objetivo del controlador PID es mantener la velocidad de rotación del eje del motor con respecto a una respuesta particular al escalón. A partir de esta premisa, se obtienen las ecuaciones dinámicas y la función de transferencia de lazo abierto del motor de CC, el circuito eléctrico de la armadura y el diagrama de cuerpo libre del rotor se muestran figura 1. Figura 1. DCL del Rotor de La Máquina Y Circuito De La Armadura. Los parámetros de la planta son: • • • • • • • Momento de inercia del rotor J=0.01 [kg.m2.s-2] Coeficiente de amortiguamiento del sistema mecánico b=0.1 [N.m.s] Constante de fuerza electromotriz K=0.01[N.m.Amp-1] Resistencia R=1[Ω] Inductancia L=0.5[H] Entrada (V): Fuente de Tensión [V] Salida (W): velocidad rotacional del eje [RPM] 3. Desarrollo Para el desarrollo de la práctica se ha seleccionado el proceso de controlar la velocidad de un motor de corriente continúa por medio de un PID ideal. En este sistema de Por lo tanto la función de transferencia finalmente es: 2 Para el seguimiento de la práctica se procedió a simular mediante Simulink, diferentes configuraciones del controlador PID digital para el proceso de control de velocidad de un motor de DC, incluyendo condiciones de ruido en el sensado así como la presencia de tendencias en este proceso para analizar el comportamiento temporal tanto transitorio como de estado estable, ante una consigna tipo escalón. Para determinar la función de transferencia de lazo cerrado, se utiliza el comando cloop en Matlab, esto nos permite visualizar la RLC cuándo la entrada es de tipo escalón, como se aprecia en la figura 2. Figura 4. Respuesta del Sistema Teniendo en Cuenta Ruido,Señal de Tendencia y Saturacion en El Controlador. El tiempo de asentamiento del sistema son 10 segundos que acontece en 4 : Despejando se obtiene lo siguiente: Por tanto el periodo de muestreo será la decima parte de , Figura 2. Respuesta del Sistema no Compensado. Una vez analizado el sistema ideal de control se procedió realizar simulaciones suponiendo condiciones reales, entre las cuales se pueden apreciar el ruido, la señal de tendencia y la saturación del controlador como se observa en la figura 3. Configuraciones 1. Controlador PID Ideal, Con Ruido, Señal De Tendencia Y Saturación Del Controlador. Un controlador PID (Proporcional-IntegralDerivativo) corrige el error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener, calculándolo y luego logrando una acción de corrección acorde con el proceso. El algoritmo de cálculo del control PID se da en tres parámetros distintos: Figura 3. Sistema De Control de Velocidad del Motor de DC Adicionando Ruido, Señal de Tendencia y Saturacion del Controlador. • • El proporcional, este es el que determina la reacción del error actual. El Integral, que genera una corrección proporcional a la integral del error, esto asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. Para agregar ruido en Simulink se utiliza el bloque de ruido blanco “Band-Limited White Noise”, utilizando una potencia de ruido de 1x10-3, la respuesta de lazo cerrado se aprecia en la figura 4. 3 • El Derivativo, que determina la reacción del tiempo en el que el error se produce. que la salida del integrador es más grande que el nivel de saturación, entonces la salida del sistema es también limitada y la señal de error manejada por el controlador no se puede disminuir. Por otro lado el integrador continúo incrementando la señal de error; la señal de control puede crecer inclusive hasta provocar el rompimiento del lazo. Innegablemente, el tiempo que tarda en romperse el lazo es el tiempo de mal funcionamiento del controlador. El incremento en la salida del bloque integral es conocido como “Windup”, y esto es perjudicial, ya que la salida del bloque de integración se hace más grande antes que el error cambie. El diagrama de bloques de la conexión del filtro Anti-Windup en el bloque integrador se aprecia en la figura 8. , este filtro es un medio de retroalimentación en el control integral del sistema de selección de modo que se mantiene un circuito cerrado. Figura 5.Controlador PID ideal, con Ruido,Señal deTendencia y Saturacion del Controlador. La figura 6. Se divide en dos segmentos, la sección superior en donde se aprecia la salida del retenedor de orden cero del sistema de control compensado. La sección inferior muestra el sistema compensado (línea amarilla) donde se puede apreciar que alcanza el set point oscilando debido al ruido y a la señal de tendencia añadidos al sistema, además el sistema sin compensar (línea morada) evidencia la importancia del controlador PID en un sistema de control. Figura 8. Sistema de Control Compensado mas Filtro AntiWindup en El Bloque Integrador. Figura 6. Respuesta del sistema Compensado y Sin Compesar. En la figura 9. Se aprecia el sistema con control PID (linea amarilla), y y el sistema de control compensado por medio del filtro Anti-windup en el bloque de integración(linea morada). Aquí se observa la corrección en la señal en donde el control funciona defectuoso debido al tiempo que demora en romperse el lazo de control. 2. Controlador PID Con Filtro AntiWindup En El Bloque Integrador. El filtro Anti-Windup se utiliza para corregir la saturación en el controlador PID en sistemas cuando una acción integral es usada y aparece el fenómeno de saturación, donde se muestra 4 cuenta el tiempo de muestreo obtenido anteriormente, además de la constante proporcional (0.0201) y N (termino Wash-Out); para el cual se supuso un valor de 5. >>[dencz,numcz]=c2dm([0.02011], [0.00402 1],0.3,'tustin') dencz = numcz = Figura 9. Respuesta del Sistema de Control Compensado mas Filtro Anti- Windup en El Bloque Integrador. 1.1044 1.0000 0.8434 0.9478 El filtro Wash-out queda de la siguiente forma: 3. Controlador PID Con Filtro Wash-Out En El Bloque Derivativo. Un inconveniente que se presentada al valerse de la acción derivativa es la amplificación del ruido proveniente de la señal de error, ya que el sistema predictivo varia rápidamente, además en los actuadores causa daños debido a la vibración generada. Este problema puede evitarse incluyendo un filtro Wash-Out en el bloque derivativo, la figura 10. Muestra el diagrama de bloques de la conexión del filtro Wash-Out en el bloque derivativo. La figura 11. Muestra el efecto del filtro Washout y el sistema de control. Figura 11. Respuesta del Sistema de Control Compensado mas Filtro Wash-Out en El Bloque Derivativo. 4. Controlador PI En El Lazo Directo Mas Acción Derivativa Pura Sobre La Salida. Una vez analizado el sistema compensado (control PID) se ejecutara un control PI con el efecto de la acción derivativa pura sobre la salida para el control de velocidad del motor de CC; así como puede verse en el diagrama de bloques de la figura 12. Figura 10. Sistema de Control Compensado mas Filtro Wash-Out en El Bloque Derivativo. Par el cálculo del filtro Wash-Out se utilizó la aproximación de modificación de la respuesta lineal, que está dada por: Haciendo uso del comando c2dm de Matlab se calculo el valor del filtro Wash-Out, teniendo en Figura 12. Sistema de Control PI En El Lazo Directo mas Acción Derivativa Pura Sobre La Salida. 5 El esquema de la siguiente figura se divide en parte superior e inferior. En la parte superior de la figura se observa la salida del retenedor de orden cero para el sistema con control PI con acción derivativa pura sobre la salida (línea amarilla) con respecto al control PID del sistema (línea morada). La parte inferior de la figura muestra el efecto de la acción derivativa sobre la salida del sistema (línea morada) respecto a la acción derivativa sobre la señal de error en el sistema (línea amarilla). Figura 14. Sistema de Control PI en El Lazo Directo mas La Acción Derivativa Con Filtro Wash-Out Sobre La Salida. Figura 13. Respuesta del Sistema de Control PI en El Lazo Directo mas Acción Derivativa Pura Sobre La Salida. 5. PI En El Lazo Directo + Acción Derivativa Con Filtro Wash-Out Sobre La Salida Después de estudiar el efecto que tiene el filtro Wash-out en el bloque de derivación y de analizar la acción derivativa en la salida, se realizó el control PI en lazo directo y la acción derivativa con el filtro Wash-out sobre la salida, también se confrontó el análisis anterior con el sistema compensado. En la figura 14. Se observa el diagrama de bloques del control PI en lazo directo más la respectiva acción derivativa con el filtro Washout a la salida. Figura 15. Respuesta del Sistema de Control PI en El Lazo Directo mas Acción Derivativa Con Filtro Wash-Out Sobre La Salida. 6. Controlador PI Con Filtro AntiWindup En El Bloque Integrador + Acción Derivativa Con Filtro WashOut Sobre La Salida. La última configuración planteada en la guía es la combinación del controlador PI con el filtro Anti-Windup en el bloque integrador y la acción derivativa con el filtro Wash-out a la salida, el montaje realizado de esta ultima configuración se puede visualizar en la figura 16. Lo anterior permite comparar los sistemas de control de velocidad del motor de DC antes de compensarse, cuando es compensado y su efecto con los filtros sobre cada acción. 6 • Mediante Matlab y su herramienta Simulink es posible realizar simulaciones muy acertadas de sistemas de control ya que permite la adición de ruido y de tendencias a los sistemas implementados. El coeficiente N que el término Wash-out utiliza es el límite más alto de la salida derivativa, así como el incremento de su frecuencia de entrada. • Figura 16. Sistema de Control PI Con Filtro Anti-Windup en El Bloque Integrador + Acción Derivativa Con Filtro WashOut Sobre La Salida. La figura 17 muestra la evolución el sistema de control de velocidad para un motor de CC desde el sistema sin compensar (amarillo) pasando por el control PID (morada) hasta llegar al sistema de control PI con filtro Anti-Windup en el bloque integrador y acción derivativa con filtro WashOut sobre la salida (azul) este ultimo muestra una mejoría notable en la respuesta del sistema que permitirá un mejor control de velocidad. En la figura 17. Se puede observar el progreso del sistema comenzándolo sin compensar (línea amarilla), luego con el controlador PID (línea morada), hasta llegar al sistema de control PI con filtro Anti-Windup en el bloque de integración y acción derivativa con filtro Washout sobre la salida (línea azul), este ultimo muestra una mejora apreciable en la respuesta del sistema que permite un control de velocidad para el motor de DC superior. • La saturación del controlador PID se corrige gracias al filtro Anti-Windup, cuando la señal de salida del bloque de integración es mucho más grande que el nivel de saturación, de esta forma la salida del sistema es limitado también y la señal de error en el controlador no se llega a reducir. • En los procesos prácticos se evidencia que la estructura de un controlador PID tiene la suficiente flexibilidad para lograr resultados exitosos en muchas aplicaciones. La actuación de control correctivo proporcional al error es generada por el termino proporcional (P), en el controlador PID. El término integral (I), crea una corrección proporcional a la integral del error. Esto asegura que si aplicamos un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento llegara a cero. El término derivativo, D, genera una acción de control proporcional al cambio de rango del error. Esto tiende a tener un efecto estabilizante pero por lo general genera actuaciones de control grandes. • • • 5. Referencias Bibliográficas [1] Computer-Controlled Systems: Theory and Design, 3e. Karl J. Åström & Bjorn Wittenmark.Prentice Hall, 1997. Figura 17. Respuesta del Sistema de Control PI Con Filtro Anti-Windup en El Bloque Integrador + Acción Derivativa Con Filtro Wash-Out Sobre La Salida. [2] Using Matlab to Analyze and Design Control Systems. [3] Sistemas de Control en tiempo discreto.Katsuhiko Ogata. Prentice Hall. 1996. 7 4. Observaciones Y Conclusiones [4]http://es.wikipedia.org/wiki/Proporcional_integ ral_derivativo 8