TEORÍA DEL CAOS Ordo ab Chao TEORIA DEL CAOS Teoría matemática encargada de analizar sistemas con comportamientos impredecibles y aparentemente aleatorios. QUÉ ES LA TEORÍA DEL CAOS? • - Es • • una interpretación integrada de dinámicas no lineales, termodinámica en desequilibrio, teoría de la información y geometría fractal. • - Los sistemas que tras el análisis se encuentra • que son no lineales, que no están equilibrio, son • determinísticos, dinámicos y que incorporan • aleatoriedad de manera que son sensibles a las • condiciones iniciales, y que tienen atractores • extraños se dicen que son caóticos. • - Las condiciones anteriores son necesarias pero no • suficientes. Para un sistemas ser caótico su coeficiente • de lyapunov debe ser positivo. • - Si las condiciones iniciales tienen efecto sobre los • resultados futuros, las ecuaciones se vuelven inestables. • • • • - Por tanto mientras la teoría del caos no puede hacer predicciones de largo plazo, si puede hacerlo de corto plazo, bajo ciertas circunstancias, cuando el atractor tiene pocas dimensiones. Algunos sistemas caóticos •Un río: Es una entidad cambiante e impredecible, relativa a su interacción con el medio ambiente. Hecho ya conocido por Heráclito •Tráfico Vehicular: Sistema dinámico basado en las decisiones individuales de varios conductores. •BIG-BAN: Explosión que dio origen al universo y la subsiguiente interacción de los cuerpos celestes producidos. PARADOJA DEL CAOS (Orden subyacente) El rio tiende a conservar su forma, pero experimenta una renovación permanente. El ser humano experimenta el mismo fenómeno PARADOJA DEL CAOS (Orden subyacente) •El tráfico vehicular es claramente caótico visto desde dentro de los autos. Pero una visión aérea nos revela formas y figuras claramente definidas. PARADOJA DEL CAOS (Orden subyacente) •El BIG-BAN a pesar de ser una explosión, los sistemas astrales generados ostentan un nivel extraordinario de orden subyacente. Teoría del caos - orígenes En los años 60 el meteorólogo Edward Lorenz probaba un sistema de ecuaciones para predicción climática basado en tres variables; velocidad del viento, presión de aire y temperatura. Las ecuaciones se retroalimentaban con sus valores resultantes con el fin de obtener valores futuros. Teoría del caos - orígenes En un primer experimento los cálculos se realizaron con una precisión de 6 decimales, en una segunda versión sistematizada del experimento, los cálculos fueron realizados con 3 decimales de precisión, por limitantes de la arquitectura de su máquina, lo cual debería introducir un pequeño margen de error en los resultados. Los resultados obtenidos fueron radicalmente diferentes! el pequeño factor de error se vio amplificado por el carácter retroalimentado del experimento. “Un sistema no lineal” Teoría del caos - orígenes Pequeñas variaciones en las condiciones iniciales del sistema pueden producir grandes variaciones en el comportamiento del mismo... Este comportamiento no es un defecto en el experimento, al contrario, es una imagen fiel del sistema climático. El sistema climatológico, es un sistema retroalimentado no lineal donde pequeñas variaciones de presión o temperatura pueden causar grandes alteraciones climáticas. • Ej. Stephen Hawking dice que si el universo hubiese tenido una densidad de una parte en mil billones más grande, un segundo más tarde del Big Bang, el universo hubiera colapsado 10 años más tarde. • - Por el contrario si el universo hubiera tenido las condiciones a la inversa, hubiese estado vacío al cabo de 10 años. • -Usualmente el caos lo asumimos como algún tipo de confusión o desorganización. • -Científicamente, caos implica la existencia de aspectos impredecibles o aleatorios en cuestiones dinámicas, lo cual no necesariamente es malo o no deseable. El efecto mariposa “Provoca el aleteo de una mariposa en Brasil, un tornado en Texas ?” Las predicciones climáticas realizadas hoy día ignoran demasiadas mariposas como para poder ir mas lejos de tres días en el futuro los fractales son útiles ??? FRACTALES FRACTALES Para entender los fractales es necesario conocer algunos concepto de antemano. •Dimensiones •Recursividad •Autosemejanza DIMENSIONES El concepto de dimensión en nuestro contexto tradicional referencia las extensiones del universo en las que existimos. Video Sagan (22:53) DIMENSIONES Según la relatividad especial existimos en un universo tetradimensional conformado por la suma de las dimensiones del espacio mas el tiempo, conformando un ente denominado espacio-tiempo. RECURSIVIDAD Fenómeno donde algo se define en términos de si mismo. La parte contiene al todo RECURSIVIDAD RECURSIVIDAD RECURSIVIDAD RECURSIVIDAD RECURSIVIDAD La frase de abajo es verdadera La frase de arriba es falsa Recursividad indirecta Perfecta : Cada porción de un objeto tiene las mismas características del objeto completo. AUTOSIMILITUD Estadistica: cada área conserva, de manera estadísticamente similar, sus características globales. AUTOSIMILITUD AUTOSIMILITUD FRACTALES Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas, posee dimensión fraccionaria y extensión infinita Fractales - origenes En la década de los 70, Benoit Mandelbrot expone su teoría de fractales basándose en la siguiente pregunta: Cuánto mide la costa del Reino Unido? INFINITO !!! QUÉ SON LOS FRACTALES? • - “Figura plana o espacial, compuesta de infinitos elementos, que tiene la propiedad de que su aspecto y distribución estadística no cambian cualquiera que sea la escala con que se observe”. RAE. • -Características: Autosimilaridad, Iteración y • Dimensión fractal APLICACIONES FRACTALES Algunas aplicaciones prácticas: •La dimensión fractal de algunos materiales es relativa su dureza •Predicción de fracturas de materiales. •Diagnóstico de osteoporosis. •Obtener mejores medida •Música fractal Demo... APLICACIONES FRACTALES Arquitectura Fractal APLICACIONES FRACTALES Imagen de un Pulmón humano con características fractales APLICACIONES FRACTALES Algunas aplicaciones computacionales: •Compresión de imágenes. (Transformación fractal) •Simulación de figuras naturales. (montañas, ríos, nubes, árboles, terrenos) •Efectos gráficos, texturas, terrenos fractales. •Demoscene FRACTALES Características: •La longitud de su perímetro es infinita •Son autosemejantes •Poseen dimensión fraccionaria Demo... TIPOS DE FRACTALES Complejos: Por ecuaciones dinámicas no lineales Se generan por ecuaciones retroalimentadas TIPOS DE FRACTALES Lineales: Sistemas L Se generan por patrones auto replicados. TIPOS DE FRACTALES Lineales: IFS (Iterated Function System) Se generan por coeficientes de funciones retroalimentadas seleccionados aleatoriamente. TIPOS DE FRACTALES Caóticos ATRACTORES • -Qué son atractores? • - Los sistemas dinámicos son atraídos por los atractores así como los insectos son atraídos por la luz en las noches. • - “Yo acuñé el nombre de Fractal de el adjetivo latín Fractus. El correspondiente verbo Latín Frangere significa “romper”, crear fragmentos irregulares”. Mandelbrot. • Características: • - Autosimilaridad • - Iteración • - Dimensión fractal AUTOSIMILARIDAD FRACTALES EN LA NATURALEZA • - Cluster de galaxias. (Dimensión 1.2) • • • • • • - La distribución y forma de los cráteres de la luna. - La distribución de los terremotos. - La estructura de las costas. - La forma de los ríos. - La forma de las montañas. - La forma de la nubes • - Las grietas o fallas (según el tamaño) • - Algunas plantas como la coliflor y el brócoli • - Algunos patrones del cuerpo humano como: vasos sanguíneos, el hígado, los pulmones, algunos tipos de células nerviosas… • - En materiales aparecen estructuras fractales, por • ejemplo en polímeros, gelatinas, gases ionizados… • - Los fractales también aparecen en series de tiempo de diversos fenómenos por ejemplo: • - Latidos del corazón • - Precios en los mercados de valores OTRAS APLICACIONES • • • • • • • • Computadores • Mecánica de Fluidos • Telecomunicaciones • Física de superficies • Arte • Películas (cine) • Videojuegos Gracias La teoría del Caos. Ordo ab Chao