Enunciado para los estudiantes. La función f(x)=2x+1 está representada por el siguiente gráfico: Decidan si los siguientes puntos pertenecen (o no) al gráfico de f: ● A=(0;1) ● B=(2;-1) ● C=(1;3) ● D=(-1;-0,8) Análisis del problema Los estudiantes estuvieron trabajando con problemas en contexto que se modelizan con funciones lineales e involucran el trabajo con tablas, gráficos y fórmulas con el objetivo de responder preguntas contextualizadas. Pueden ubicar puntos en el plano y leer información de gráficos cartesianos. También pueden usar una fórmula para generar una tabla de valores; Este problema forma parte de una secuencia cuyo objetivo es que los alumnos puedan producir un gráfico a partir de la fórmula de una función lineal. Este problema, en particular, tiene la intención de que los alumnos cuenten con estrategias gráficas y algebraicas para decidir si un punto pertenece o no al gráfico de una función. Además, será la primera vez que se enfrentarán a un problema que relaciona una fórmula con un gráfico sin un contexto que le dé sentido. Posibles resoluciones Es probable que los chicos nos pidan que les expliquemos qué significa que “un punto pertenece al gráfico de la función”. En este caso será conveniente hacer una aclaración para toda la clase diciendo que “para que un punto pertenezca al gráfico de la función debe “caer” sobre la recta”. Se puede hacer un dibujo en el pizarrón esquematizando lo dicho. Es posible que los estudiantes ubiquen en el gráfico el punto A correctamente y vean que “cae” justo en el punto marcado. De esta manera, el punto A pertenecería al gráfico. También es probable que se equivoquen al ubicar el punto A y ubiquen el punto (1;0), en lugar del (0;1). En este caso podemos hacer una intervención en los pequeños grupos sugiriendo que busquen en su carpeta los ejercicios resueltos en clases anteriores que tratan sobre cómo ubicar puntos en el plano. El espacio colectivo hará que este error salga a la luz ya que deberán acordar una respuesta. Para el punto B, los estudiantes pueden ubicar el punto y observar fácilmente que no cae sobre el gráfico. También afirmar que “para valores positivos de x, obtengo resultados positivos de f(x)” ya que los puntos de la recta, para valores positivos de x, están en el primer cuadrante y como B se encuentra en el cuarto cuadrante nunca podrá “caer” sobre el gráfico de f. Esperamos que haya algún grupo que use la fórmula para decidir si B pertenece o no al gráfico. Esto podrán hacerlo: ● reemplazando x = 2 para obtener f(2) = 5 y, como f(2) no es -1, entonces (2;-1) no pertenece al gráfico. ● pensando para qué valor de x, el cálculo 2x+1 da como resultado -1. Esto podrán averiguarlo tanteando con valores, o bien, argumentando que “si 2x+1 tiene que ser -1, entonces 2x tiene que ser -2; y por eso, x tiene que ser la mitad de -2, que es -1”. De esta manera el punto que pertenece al gráfico es (-1;-1) y no (2;-1). En cualquiera de estos casos concluyen que este punto B no pertenece al gráfico de f . En el caso del punto D, puede ocurrir que algunos chicos afirmen que el punto D se encuentra sobre el gráfico porque al ubicarlo “parece” que cae sobre el mismo. Sin embargo es de esperar que algunos estudiantes no acuerden con esta afirmación ya sea porque: ● afirmen que no cae exactamente sobre el gráfico sino que queda muyyy cerca ● utilicen la fórmula resolviendo f(-1) y no obtuvieron -0.8 ● utilicen algún graficador como geogebra para graficar la función y el punto (-1,-0.8). En este caso utilizando la herramienta zoom pueden ver que el punto no cae sobre el gráfico. Esperamos que para este punto no haya un acuerdo entre la clase y podamos aprovechar esta situación para discutir que la fórmula es más útil para decidir si el punto D está o no en el gráfico ya que brinda mayor precisión. Puesta en común El objetivo de la puesta en común es que los chicos compartan sus estrategias con el resto del grupo, mencionando si utilizaron la fórmula o el gráfico para resolverlo. Queremos discutir que: para ver si un punto pertenece o no al gráfico de f, puedo usar el gráfico o la fórmula, según el punto que quiero analizar. Luego les pediremos que decidan cuáles de las estrategias analizadas es la más conveniente en el caso del punto (-1;-0.8) y que fundamenten su respuesta. Esperamos acordar que la estrategia de usar la fórmula en este caso es más apropiada ya que se dificulta tomar la decisión porque el punto se encuentra muy cerca. Durante este espacio colectivo lanzaremos una nueva situación para analizar: ● E=(1000;2001) pertenece o no al gráfico, es decir, ¿Qué ocurre con el punto E?¿Pertenece o no al gráfico?¿Cómo nos podemos dar cuenta? En este caso creemos que los estudiantes podrían decir que el punto E no pertenece al gráfico porque no “cae” ya que no se ve en el recuadro de la gráfico. Podremos discutir respecto a las convenciones de los gráficos, haciendo referencia a que se trata de un recorte, que se puede extender...que es imposible graficar toda la recta ya que nunca termina. Esperamos que la fórmula surja como un recurso útil para responder esta pregunta aunque también se puede discutir el uso de graficadores y el recurso del zoom. Se espera concluir que para saber con certeza si un punto está (o no) en el gráfico de una función es conveniente utilizar la fórmula.