La resonancia bien entendida: el puente de Tacoma Narrows Por Arturo Quirantes el 26 marzo, 2012 FÍSICAINGENIERÍA 17 COMENTARIOS La resonancia es uno de los fenómenos físicos más espectaculares y divertidos. Lo notamos cuando cantamos en la ducha, pulsamos el botón del microondas o empujamos el columpio del niño. Su estructura interna es bastante sencilla: una fuerza externa periódica con la frecuencia adecuada, un sistema que no quiere moverse de donde está, quizá algo de disipación (energética, se entiende), y poco más. Es capaz de hacer estallar copas, hundir puentes y si los Piratas del Caribe lo usan adecuadamente, pueden conseguir que arriba sea abajo y volcar un barco. Pero los tiempos cambian, y la resonancia ya no es lo que era. Ese bello fenómeno está siendo desmontado ejemplo tras ejemplo. La guardiana de la puerta de Griffindor tuvo que romper una copa con la mano porque su voz no conseguía el efecto resonante como Ella Fitzgerald. Recientemente, el Amazing Enchufa2 nos demostró que la resonancia no era la responsable de calentar el desayuno. Y para colmo, el ejemplo de los ejemplos muerde el polvo. Me refiero al puente de Tacoma Narrows. Durante décadas, los profes de Física lo hemos utilizado como ejemplo de libro cuando explicamos el tema de la resonancia, y los libros de texto suelen incluirlo con profusión de fotografías. El libro de Física de Giancoli afirma que el colapso del puente fue debido a un fenómeno resonante ocurrido “como resultado de fuertes ráfagas de viento impulsados al claro en un movimiento oscilatorio de gran amplitud.” El de Serwett-Jewett lo explica en términos similares: “fue destruido por las alejados de la posición de equilibrio. Manías que me han dado hoy. El motivo de las galopadas de Gertrudis es la resonancia.” como la bautizaron los obreros que la construyeron. Y no precisamente por su diseño o sus dimensiones –que también– sino porque disfrutaba de una particularidad única: era el único puente del mundo que hacía doblete como atracción de feria. Y duró. diseñado para durar. voy ganando. inaugurado el 1 de julio de 1940. época de crisis económica en la que el Estado invierte fuertemente en infraestructuras (¿les suena?). Los conductores recorrían decenas de kilómetros para cruzar por “Gertrudis galopante. por ejemplo. en cierto modo. Eso le sucede. La ciudad de Tacoma. al norte. Le pondría la consabida fórmula “x igual A por coseno etc. ¿Qué dudas va a haber? ¿Quién osa poner en duda el ejemplo de los ejemplos? Molesto por tamaña falta de fe. Veamos cómo es eso posible. Pongámonos en situación. y era sólo algo más pequeño: más de 1. etc” pero me he apostado que no voy a incluir ni una sola ecuación en este artículo. Los suaves vientos de la zona hacían que el tablero del puente subiese y bajase cada pocos segundos. a un muelle cuando lo estiramos. o a un péndulo cuando lo separamos de la horizontal. Evidentemente. En la naturaleza existen muchos sistemas que. Ya desde su nacimiento estaba claro que el puente de Tacoma era algo especial. con una separación de 850 metros entre soportes. De momento. pero al público le encantó. Fue en su momento el tercer puente más grande del mundo. tenemos el llamado movimiento armónico simple. Y lo cierto es que. Hubo resonancia en el puente de Tacoma Narrows. necesita un puente para conectarse con la península de Kitsap. Eso implica una fuerza que tiende a restaurar el estado inicial. el que considero mejor libro de texto en física general (el Tipler) ni siquiera menciona el puente. una mole compuesta por miles de toneladas de acero y cemento. El resultado fue un hermoso puente colgante. Eso eran buenas noticias.vibraciones de resonancia … los vórtices generados por el viento que soplaba a través del puente se produjeron a una frecuencia que coincidió con la frecuencia natural de oscilación del puente. eso no era lo que debía suceder. y con esto comienza la clase de hoy. sino para la cuenta de resultados del puente. todos tienen razón. Y otro libro me dice que “hay dudas al respecto”. . ciertamente.” Sin embargo. tienden a volver a él. pero no fue esa la causa de su colapso. Cuando esa fuerza es proporcional a la distancia que el cuerpo se ha alejado del equilibrio. que era de peaje. Nos vamos a los EEUU de los años treinta. Su forma recuerda al famoso Golden Gate de San Francisco. Exactamente cuatro meses y seis días.800 metros de longitud. en el noroeste del país. me dispuse a averiguar la verdad. La solución es sencilla: el sistema efectúa un movimiento sinusoidal con una frecuencia angularωo (también llamada frecuencia natural). no sólo para el turismo local. Eso lo vemos a diario. Tenemos. Y eso es lo que sucedió en el puente de Tacoma Narrows. Las vibraciones de la maquinaria suelen deberse a que oscilan en una frecuencia resonante. pero con algunas diferencias. por su parte. El viento viene horizontalmente. La más significativa es que la amplitud A ya no es constante. así que ni el muelle ni el péndulo van a estar oscilando eternamente. tomada el 15 de septiembre de 1999 por el satélite Landsat 7. llamados también vórtices de Karman. tenemos el llamado movimiento armónico forzado. podemos efectuar una fuerza externa. En esta imagen. que soplaba transversalmente. con el trazo horizontal mucho más largo que los verticales. es decir. También el abuelo que ve a su nieto en el columpio lo sabe. sino que depende de los parámetros del sistema. Lo divertido del caso viene cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide con la frecuencia ωo. suele imponer fuerzas disipativas (viscosidad. incluso para fuerzas externas pequeñas. el sistema oscilará como si se lo llevasen los diablos. tres fuerzas en juego: la fuerza recuperadora. y la amplitud de las oscilaciones se va reduciendo con el tiempo. Lo que sucede entonces es que la energía que recibe el sistema. En ese caso tenemos el fenómeno de la resonancia: la amplitud A puede tomar valores muy grandes.La naturaleza. la fuerza disipativa. el viento fluye de la esquina superior izquierda a la inferior derecha: . amortiguamiento magnético). por así decirlo. Pero como el puente carecía de línea aerodinámicas. y con una intensidad tal que el columpio no oscile más de lo debido. Cuando conectamos el móvil. La expresión para su movimiento es similar a la anterior. que depende de la posición del cuerpo. que recorren el puente. el papel de abuelo lo hacía el viento. rozamiento. Por eso empuja con una cadencia igual a la frecuencia natural del sistema. Para compensarlo. Vean un hermoso ejemplo de estos remolinos. El puente estaba formado por un tablero horizontal y dos paneles verticales a los lados (todo sujeto a dos grandes torres por medio de la consabida maraña de cables). que va repitiéndose con el tiempo). Las oscilaciones crecen tanto más cuanto menor sean las fuerzas disipativas. En ese caso. y si éstas son muy pequeñas. Cuando topa con el panel izquierdo. que podemos representarla como algo proporcional a la velocidad. y por último la fuerza externa que hacemos para que el sistema no se pare. de forma que si le diésemos un corte transversal tendríamos una figura en forma de H. el aire formaba remolinos en la parte superior. y también en la inferior. se desdobla en dos flujos de aire. pues. digamos de izquierda a derecha. las ondas entran en resonancia con un circuito que sirve para aumentar su intensidad. Si esa última fuerza es sinusoidal (e incluso si es periódica. es absorbida por el sistema en su forma más eficiente. Es lo que todo abuelo que se precie hace con el columpio de su nieto. rodeando una de las Islas de Juan Fernández frente a la costa de Chile. o más bien con una de las frecuencias naturales del puente (un objeto complejo tiene más de una). y el último que lo intentó tuvo que salir corriendo. los remolinos se crean en la parte inferior (violeta) y superior (verde) del objeto. Si coincide con la frecuencia natural del puente. que en este caso es el círculo de la izquierda. cuando lo hace por la parte inferior. la fuerza tiene sentido opuesto. pero una simulación realizada posteriormente en túneles de viento mostró que . Fíjense cómo ambos remolinos se forman en instantes diferentes. tendremos resonancia. también de Wikimedia commons. la combinación de ambos es una fuerza periódica.Imagen: | Wikimedia Commons Foto original: NASA He aquí otro ejemplo. Como puede verse. crea una fuerza de arriba abajo. Cada vez que un vórtice abandona el puente por la parte superior. No disponemos el puente para hacer mediciones. La frecuencia de esta fuerza (llamada frecuencia de Strouhal). Las grabaciones de entonces muestran a una persona corriendo mientras el puente oscilaba de un lado a otro. unos 65 km/h.2 Hz. y encargaron al profesor Frederick Farquharson. El 7 de noviembre de 1940. Se trataba de un periodista del Tacoma News Tribune que tuvo la mala fortuna de presenciar el inicio del movimiento de torsión mientras cruzaba el puente en su coche. de la Universidad de Washington. El tablero central no se limitaba a subir y bajar suavemente. llegó el día del desastre. el puente se vio sacudido por fuertes movimientos de torsión. Hubiera sido tan sencillo como perforar agujeros en los paneles laterales. sino que se retorcía de una forma que solamente podemos calificar como salvaje.13 y 0. y también con la frecuencia de Strouhal para velocidades de entre 8 y 20 km/h. Eso se corresponde aproximadamente a la frecuencia con que el período con el que Gertrudis galopaba arriba y abajo (entre 0. las autoridades no estaban contentas con el comportamiento tan poco serio de su puente. o cubrirlos con paneles adicionales que le diesen al puente una forma más aerodinámica. cuatro meses después de su inauguración. dependiendo de la velocidad del viento).1 y 0.para velocidades del viento bajas hay al menos tres frecuencias de resonancia entre 0. A pesar del regocijo de los conductores. Hacia las diez de la mañana. los vientos en la zona eran más fuertes que lo habitual. Pero antes de que Farquharson pudiese seguir sus investigaciones. Tuvo el tiempo justo de abandonarlo y ser testigo de los instantes .3 Hz. que les recomendase alguna solución. Aunque la resonancia originada por los vórtices de Karman explican los movimientos verticales del puente. .2 Hz. Para entenderlo. sin embargo. el puente se retorcía con una frecuencia de 0. genera en la parte superior un remolino más grande que en la parte inferior. Además. que viene del lado de la izquierda.finales. Los resultados del estudio realizado para esclarecer las causas muestran que sí hay un efecto de torsión a 0. Experimentalmente. el túnel de viento muestra que el puente debió romperse. La consecuencia es que el viento. y eso es exactamente lo que hizo.2 Hz. y como me caen bien voy a explicárselo sin echar mano de las ecuaciones (sigo con mi apuesta particular). Lo importante ahora es que también provocaban un movimiento rotacional. El concepto se llama autoexcitación aerodinámica. Digamos que la torsión es en el sentido de las agujas del reloj. Para una velocidad del viento como la de aquella mañana. incluidos el coche del periodista. no sirven para entender por qué el puente cayó destrozado en la mañana del 7 de noviembre. Pero no se trató de un fenómeno de resonancia. una torsión. pues. esto es. tanto más violento cuanto mayor fuese la velocidad del viento. secciones enteras del tablero del puente caían al agua. la frecuencia de Strouhal era 1 Hz. generando en éste un movimiento vertical. Ahora el trazo vertical izquierdo de la H está más elevado que el de la derecha. Recordarán cómo los vórtices o remolinos se iban generando tanto encima como debajo del puente. A las once y diez de la mañana. volvamos al puente. la amplitud de las oscilaciones era tremenda. En apenas una hora.Fuente: Billah y Scanlan. corre hacia delante y vuelve a empujar en sentido opuesto. los cuales ejercían un momento de torsión que retorcía el puente cada vez más. el remolino irá recorriendo el puente durante más de un período de torsión. En ambos casos. lo que incrementaba el tamaño de los remolinos. Es decir. la energía cinética acumulada partió el puente y lo hizo añicos. que a su vez aumentaba la torsión. será la parte inferior la que genere un remolino. Cada vez que se inclinaba lateralmente. tanto a la ida como cuando a la vuelta. Eso es lo que pasó en el puente de Tacoma Narrows. El efecto es un “bombeo” de energía del viento al puente. A cada oscilación. El efecto de ambos remolinos se anula. Es algo así como el abuelo que empuja el columpio en todo momento. Ahora el abuelo está empujando el columpio desde atrás. se generaban remolinos. los efectos se refuerzan. mientras el remolino se encuentra a medio camino. la torsión crecía. Y lo hacen de modo espectacular. 1991 Si la velocidad del viento es pequeña. el remolino recorrerá el puente con rapidez y saldrá por el lado de la derecha antes de que el tablero del puente haya vuelto a la horizontal. Cuando la torsión sea la opuesta. la torsión del puente habrá cambiado de sentido y ahora se formará un remolino en la parte inferior. . y así sucesivamente. Pero si el viento sopla con fuerza. El motivo recibe un nombre técnico bastante pretencioso. quizá). con una frecuencia igual a la frecuencia del movimiento resultante. è ben trovato. el ejemplo es válido. se deben a un fenómeno de autoexcitación aerodinámico. Podemos concluir diciendo que. el Millennium Bridge. en su etapa inicial. Un artículo de 1991 publicado por Yusuf Billah y Robert Scanlan en el American Journal of Physics aclara la naturaleza del movimiento de torsión. El hecho es que. y todos los libros de texto que lo afirman (incluyendo el vídeo 17 de la excelente colección El Universo Mecánico) pecan de sensacionalismo. Apenas un año después de su desaparición. no depende de lo que le hagamos desde fuera. amigos profesores. En 2000. El crecimiento de la ciudad hizo necesario un segundo puente. y artículos posteriores lo confirman. Se non è vero. la frecuencia del movimiento es la frecuencia natural del sistema. se consiguió arreglar el problema. se equivocan. pero en este caso actúa con signo opuesto. igual que las fuerzas disipativas. Ahora no se bambolea. la gente acompasaba el paso con el movimiento del puente y éste se movía todavía más. y también el tratamiento matemático. La propia fuerza responsable del movimiento depende de la velocidad. uno para ir y otro para volver. un puente peatonal de Londres. si piensan que los constructores de puentes tienen a estas alturas dominado el tema.Lo descrito se asemeja a la resonancia. como su primo el Golden Gate. pero no lo es. Pero los sucesos de la última hora. la frecuencia de los pasos entraba en resonancia con el puente. como hemos visto. Indudablemente. Las causas son diferentes. En ese caso. en un fenómeno de resonancia debido al efecto de los vórtices de Karman. tuvo que ser cerrado a los dos días de su inauguración. Por cierto. En el caso de la autoexcitación. muy complejo y sobre el que todavía se debaten los detalles. sí había efecto resonante durante casi toda la vida del puente (salvo la última hora. Ahora los tacomanenses tienen dos puentes. como una fuerza “antidisipativa” que introduce energía al sistema en vez de extraerlo. Hatajo de aguafiestas. Sólo en 1950 pudo construirse un puente nuevo. Por lo visto. tras concienzudas pruebas en los túneles de viento. Total. que fue inaugurado en 2007. con la ventaja de que seguiría “galopando” arriba y abajo. . Nunca lo sabremos. Sin embargo. no fue destrozado por fuerzas resonantes. Tacoma es a la Física lo que el Titanic a la navegación: un símbolo poderoso que se niega a desaparecer de nuestra memoria. En ese sentido. el puente de Tacoma Narrows oscilaba verticalmente. el puente se empuja a sí mismo. Estados Unidos entró en guerra y el acero del puente era necesario para el esfuerzo bélico. De no haber sufrido autoexcitación. El puente. eso sí. que hubo que cerrarlo durante dos años. que acabaron en la destrucción del puente. pero viene a ser tres cuartos de lo mismo. La condición de la resonancia es la existencia de una fuerza externa periódica. Tras una remodelación que costó varios millones de euros. En cierto modo. la excitación del puente provenía de … las propias personas que lo cruzaban. quizá el puente de Tacoma seguiría en pie. W.1119/1. (2006). Tacoma Narrows bridge failure. D. 74 (8) DOI: 10. 41 (2) DOI: 10. (2003).. What to Say About the Tacoma Narrows Bridge to Your Introductory Physics Class The Physics Teacher. (1991). & Unruh. 59 (2) DOI: 10.1119/1.1119/1. and undergraduate physics textbooks American Journal of Physics. Resonance. The failure of the Tacoma Bridge: A physical modelAmerican Journal of Physics.———————— Referencias: Billah.2201854 . B. K.1542045 Green.16590 Feldman.