“LA MECANICA MATRICIAL DE HEISENBERG”Murillo caballero Víctor Frank Mecánica Cuántica I Universidad Nacional de Trujillo, Perú 17 de mayo del 2013 1.- INTRODUCCION A inicios del siglo XX la ruptura de los conceptos clásicos con los experimentos realizados era evidente. Los primeros modelos fueron propuestos por Einstein, Niels, Arnold Sommerfeld y muchos otros; quienes fundaron las bases de lo que ahora se conoce como mecánica cuántica. Sin embargo, esta ruptura con la mecánica a pesar de ser prometedora era evidente que muchos de los conceptos estaban siendo establecidos ad hoc. En la década de los veinte, un grupo de relativamente jóvenes físicos tomaron el liderazgo en la elaboración de una teoría acorde con los nuevos postulados encontrados; teoría que, contraria a la formulación clásica, debía ser basada en los experimentos y no en la intuición. Además de requerir un lenguaje matemático más preciso. En este sentido, Werner Heisenberg fue el primero completar una formulación matemática más elaborada de la mecánica cuántica. Esta formulación se basa en que los aspectos teóricos de los sistemas están fundados exclusivamente en las relaciones entre cantidades pertenecientes al sistema que, en principio, es observable. En mecánica cuántica, los observables son las cantidades que directa o indirectamente pueden ser experimentalmente medidas. Esta premisa lo condujo a una formulación exitosa de la mecánica cuántica basado en la teoría de matrices. Heisenberg trabajo con datos experimentales relacionados a la transición atómica de las interacciones de los átomos con cuantos de luz, fotones, tratando de identificar los observables relevantes. De esta manera él argumentó que las cantidades relacionadas a las transiciones eran los objetos básicos relevantes. En 1925 Heisenberg propuso la primera estructura matemática coherente acerca de la teoría atómica para los átomos. 2.- RAZONAMIENTO DE HEISENBERG En opinión de Heisenberg, una teoría física correcta ha de hacer uso única y exclusivamente de cantidades o magnitudes observables. Luego haciendo uso del principio de correspondencia de Bohr se lanzó a entender los estados estacionarios del átomo. La matriz X describe completamente el movimiento de una partícula mecanocuántica. Como frecuencias del espectro dependían de dos índices ωnm (véase la fórmula de Balmer). Debido a que las frecuencias en el movimiento cuántico no son múltiplos de una frecuencia común. pues se sabía que las series espectrales se modificaban al introducir los átomos en fuertes campos magnéticos–. por lo que la posición. Heisenberg postulaba que debía haber tantos índices como estados estacionarios –no sólo como niveles de energía. la correspondencia con las series de Fourier permitieron a Heisenberg deducir la regla por la que estas matrices debían ser multiplicadas: ∞ (XP )mn=∑ X mk Pkn k=0 Max Born notó que esta es la ley de multiplicación para matrices. como clásicas del movimiento. Debido a la regla de multiplicación el producto depende del orden. es decir. Así. Heisenberg pudo formar un nuevo arreglo del mismo tipo al combinar los términos X nk P km . X ( t ) y P ( t ) son matrices. por ejemplo la posición del electrón x (t) debía ser sustituida por una tabla X nm (t). las cantidades Xnm eran matrices. el momento. A continuación da un salto cualitativo al afirmar que toda magnitud física clásica a(t ) debe transformarse en el conjunto Anm (t). es decir XP ≠ PK .Werner Heisenberg Su razonamiento era. Como los coeficientes de Fourier del producto de dos cantidades es la convolución de estos coeficientes de forma separada. Este hecho era una consecuencia matemática del análisis de Fourier que Heisenberg aplicaba al mundo cuántico. aproximadamente el siguiente: Una carga en movimiento con una determinada frecuencia debía emitir radiación con dicha frecuencia – como en la teoría clásica–. Dadas dos matrices X nm y Pnm que describen dos cantidades físicas. satisfacen las ecuaciones . No obstante. los elementos de la matriz no pueden ser interpretados como los coeficientes de Fourier de una trayectoria clásica. A continuación Heisenberg razona como habría de calcularse X2 nm (t) hasta obtener la fórmula x 2nm ( t )=∑ x nk (t) x km (t) k . la energía y todos los observables son interpretados como matrices. que oscilan con la frecuencia correcta. donde son sinusoidales. el caso X yP más simple es el oscilador armónico. Las componentes de Fourier de X (t ) y P (t ) son muy simples.1. pudo encontrar los elementos de la matriz en casos especiales guiado por el principio de correspondencia. que es el área del círculo en el espacio de fases.. 3. Como A (t) tiene una serie de Fourier clásica con una sola frecuencia más baja y el elemento de matriz Am es el (m−n)−ésimo coeficiente de Fourier . X y P pueden ser encontrados de su suma o diferencia. debe ser un múltiplo entero de la constante de Planck. Como los elementos de matriz son la analogía mecanocuántica de los coeficientes de Fourier de las órbitas clásicas.3. la energía del oscilador es: 1 H= (P 2+ X 2) 2 E La órbita clásica con energía es igual a: ( t ) P ( t ) =¿ √2 E sin(t ) X ( t ) =√ 2 E cos ¿ La condición que requería la antigua teoría cuántica decía que la integral de PdX sobre una órbita.FORMULACION MATEMATICA Una vez que Heisenberg introdujo las matrices X y P . la energía es un entero.. El área del círculo de radio √2 E E= es 2πE. mucho más si se los combina con: A ( t ) =X ( t ) +iP (t )= √ 2 E e it A † ( t )=X ( t )−iP ( t )= √ 2 E e−it donde ambos A y A† tienen una sola frecuencia y.Oscilador Armónico En unidades donde la masa y la frecuencia de un oscilador son uno. por lo que: nh 2π o en unidades donde ℏ es uno. la matriz para √2 En diagonal. La parte real es la mitad de la expresión simétrica mientras conmutador que que la parte ⌊ X . al . son las matrices de Heisenberg para el oscilador armónico. P ⌋=(XP−PX ) . explícitamente ih 2 π . dependiendo del sistema de unidades utilizado. Para hallar X (t ) y P (t ) es simple una vez que conocemos que los coeficientes de Fourier en el caso cuántico son los que evolucionan en el tiempo: i Em −E n) t X mn ( t ) =X mn ( 0 ) e ( El producto matricial de X Pmn (t)=P mn( 0) e y P i ( Em− En) t no es hermítico. Reconstruyendo X [ √ [ 0 h √1 √ 2 X ( 0 )= 2π 0 √ y P A de √1 0 0 0 √2 0 … √2 0 √3 ⋮ y A † obtenemos: ] 0 i√1 0 0 h −i √ 1 0 i √2 0 … √ 2 P ( 0 )= 2π 0 −i √ 2 0 i √ 3 ⋮ ] las cuales.A de la órbita clásica. pero tiene una parte real e imaginaria. imaginaria Es fácil es proporcional verificar ( XP−PX ) en el caso del oscilador armónico es ( XP+ PX) . Además también se puede verificar que la matriz: 1 H= ( X 2 + P2) 2 es una matriz diagonal con valores propios Ei . En cuyo caso es igual a no es cero solo en la línea sobre la . multiplicada por la matriz identidad. La matriz para A† es de la misma manera pero en la línea de abajo de la diagonal con los mismos elementos. Ambas matrices son hermíticas debido a que son construidas a partir de los coeficientes de Fourier de cantidades reales. un signo muy estimulante. ese átomo necesita informar a los otros que ya no pueden absorber más fotones. El proceso de emisión y absorción de fotones parece demandar que la conservación de la energía se mantenga por lo menos en promedio. Para determinar los elementos de matriz.3. Pero si los átomos están alejados cualquier señal no .Conservación de Energía El oscilador armónico es muy especial debido a que es fácil encontrar las matrices exactas y es muy difícil descubrir las condiciones generales de esas formas especiales. Si una onda que contiene exactamente un fotón atraviesa algunos átomos y uno de ellos lo absorbe. al ser H constante implica que H es diagonal.. considerado como una función matricial de X y P . Heisenberg investigó al oscilador anarmónico de Hamiltoniano: 2 1 1 H= X 2 + P +ϵ X 3 2 2 En este caso las matrices X y P no son matrices diagonales debido a que las correspondientes órbitas clásicas están desplazadas y aplastadas.2. Era claro para Heisenberg que en este sistema la energía podría ser conservada exactamente en un sistema cuántico arbitrario. así se tiene los coeficientes de Fourier de cada frecuencia clásica. 2 Dados que todos los elementos de la diagonal tienen una frecuencia no cero. Por esta razón. Heisenberg requirió que las ecuaciones de movimiento clásicas obedezcan las ecuaciones matriciales: dX dP =P =−X −3 ϵ X 2 dt dt Heisenberg notó que si esto podría hacerse entonces el Hamiltoniano. tendría creo derivadas temporales: 2 dH P∗dP ( X +3 ϵ X )∗dX = + =0 dt dt dt donde A∗B es el producto simétrico 1 A∗B= ( AB+BA) . Cuando una señal los alcanza. Kramers y Slater a abandonar la conversión de energía exacta. las relaciones anteriores son: La derivada temporal de una función general de coordinadas y momentos canónicos se obtiene de las ecuaciones de movimiento de Hamilton: .podrá llegar a los otros átomos a tiempo. va a obviamente enfrentar este problema. los corchetes de Poisson de las funciones de las coordenadas y momentos canónicos son: esta definición implica que: Los corchetes de Poisson son invariantes respecto a cualquier transformación canónica. El formalismo de Heisenberg. Mediante las ecuaciones de movimiento de Hamilton. 3.Tratamiento Hamiltoniano En la formulación hamiltoniana.. Esta paradoja indujo a Bohr. los otros átomos deben de alguna manera retomar esa energía. una pista que la interpretación de la teoría involucrará el colapso de la función de onda. cuando se quiere introducir el campo electromagnético. Además tiene otras importantes propiedades: lo que implica que: donde : es el Hamiltoniano. éstos terminarán absorbiendo el mismo fotón de todas maneras y disipando la energía a su alrededor.3. De esta manera la ecuación de movimiento mecanocuántica correcta es: donde u y H son matrices infinitas en general. y debido a esto representa a un conjunto infinito de ecuaciones: Por lo que el fundamental problema de la mecánica matricial de Heisenberg es el encontrar las matrices infinitas (dadas por la condición de Dirac): y que el Hamiltoniano diagonal..COMENTARIOS Un hecho histórico interesante es que. Dirac formuló la relación: donde es el conmutador de operadores (o matrices) a y b. Para transformarla en una ecuación cuántica. esta ecuación del movimiento es: Esta ecuación es una ecuación matricial. Max Born le sugirió a Heisenberg convertir sus manejos matriciales a ecuaciones diferenciales con la finalidad de explorar la posibilidad de que se pudiesen simplificar algunos de los problemas que estaba . al poco tiempo de ser descubierta la Mecánica Matricial.es decir: que es una ecuación clásica. Suponiendo que u no depende explícitamente del tiempo. Esta ecuación es conocida como la Ecuación de movimiento de Heisenberg. y donde se cumplan las condiciones se convierta en una matriz 4. que tienen la condición que son matrices hermíticas. Schrödinger era un matemático experimentado que estaba al tanto sobre la equivalencia plena entre los procedimientos matemáticos matriciales y los procedimientos matemáticos utilizados en la solución de ecuaciones diferenciales. Si Schrödinger realmente hizo “trampa”. algo que ciertamente nadie en el lugar de Schrödinger haría. la Mecánica Ondulatoria descansa sobre bases filosóficas distintas a las bases filosóficas utilizadas por Heisenberg el cual no se apoyó en la relación de Louis de Broglie para el análisis de ondas de materia. En no pocos historiadores de la ciencia ha surgido la duda de que Schrödinger pudiera haber “hecho trampa” tomando los trabajos de Heisenberg haciendo la conversión de los mismos a su formato en ecuaciones diferenciales para terminar obteniendo de este modo por una vía no tan indirecta su famosa ecuación. Simple y sencillamente no hay punto de comparación entre ambas bases filosóficas. inspirada en las ecuaciones de onda del electromagnetismo clásico y en la propuesta de De Broglie. Y también es cierto que fué el mismo Schrödinger el que posteriormente demostró de manera formal la equivalencia entre la Mecánica Matricial y la Mecánica Ondulatoria.estudiando Heisenberg tal como el de los niveles de energía del átomo de hidrógeno. la ecuación de onda de Schrödinger fue desde un principio una ecuación de onda elaborada para ondas de materia. Después de todo. También es cierto que el descubrimiento de la Mecánica Matricial fue un hecho previo al descubrimiento de la Mecánica Ondulatoria por cuestión de unos cuantos meses. Mientras que a Heisenberg lo único que le interesaba eran las observables desechando todo aquello que no pudiera ser medido u observado así fuese indirectamente (como el radio de un electrón en su órbita circular en torno al núcleo atómico o la velocidad del electrón moviéndose alrededor del núcleo). de haberlo hecho muy posiblemente habría terminado creando también la Mecánica Ondulatoria. . cubrió tan bien sus huellas que sólo con una declaración suya para tal efecto se podría despejar la duda. Aunque Heisenberg no siguió este consejo. Sin embargo.