La Doctrinam TangentiumA lo largo de los años de desarrollo de las técnicas de Fermat, sus métodos de máximos y mínimos, evolucionaron relativamente poco. En cambio, con las reglas para el trazado de tangentes ocurrió lo contrario. El advenimiento de la Geometría Analítica de Descartes y del propio Fermat, trajo consigo la introducción sistemática de nuevas y sofisticadas curvas, así como la facilidad de expresión y definición de las nuevas y antiguas curvas, a tenor de lo cual los métodos para el trazado de las tangentes a las líneas curvas, precisaban mayor refinamiento. En esta línea se enmarca el desarrollo de Fermat de nuevas y potentes técnicas para las tangentes, que plasma en la importante memoria Doctrinam Tangentium. Queriendo mostrar que los procedimientos desarrollados en el Methodus y más tarde clarificados y sistematizados en el Méthode expliquée, se aplicaban no solo a las curvas algebraicas sino también a las ahora llamadas trascendentes o mecánicas, Fermat escribe la Doctrinam Tangentium, proporcionando a la “adigualdad” un nuevo significado, que dará más tarde, un magnífico fruto en los trabajos de Fermat sobre cuadratura y rectificación. Fermat comienza la memoria Doctrinam Tangentium justificando los desarrollos que va a emprender (TH.OF.III,140): “La teoría de las tangentes es una continuación del método, desde largo tiempo publicado para la invención del máximo y del mínimo, que permite resolver fácilmente todas las cuestiones de condiciones límites y en particular aquellos famosos problemas cuyas condiciones límites son señaladas como difíciles por Pappus (Libro VII). Las líneas curvas de las que nosotros buscamos las tangentes, tienen sus propiedades específicas expresables, ya sea mediante líneas rectas solamente o incluso mediante curvas complicadas que requieren rectas y otras curvas. Nosotros hemos ya satisfecho el primer caso mediante nuestra regla, que, demasiado concisa ha podido parecer difícil, pero que sin embargo ha sido reconocida como legítima.” Vemos como la lectura de La Geometría y el desarrollo de su propia Geometría Analítica había afectado de forma significativa las nociones de Fermat sobre la naturaleza de las líneas curvas y por tanto su sentido de la aplicabilidad general del método original de tangentes. Descartes distinguía entre «curvas matemáticas» dignas de ser estudiada en Geometría y “curvas mecánicas”. Las primeras podían ser definidas mediante una ecuación algebraica indeterminada en dos incógnitas, correspondientes a segmentos rectilíneos variables, mientras que las curvas mecánicas requieren para su definición longitudes de arco de otras curvas. El nombre de mecánicas aplicado a algunas curvas es ambiguo porque muchas “curvas matemáticas” pueden obtenerse de forma mecánica mediante un movimiento continuo o una superposición de movimientos continuos, por ejemplo, la elipse se puede obtener mediante composición de dos movimientos continuos, de alejamiento y acercamiento a los focos. Se debe entender como hace Descartes en La diciendo: «Nosotros consideramos de hecho en el plano de una curva cualquiera. y consideramos mediante la “adigualdad” la propiedad específica de la curva. puede ser expresada algebraicamente. por ejemplo. en otro caso la curva será mecánica. Para las curvas del primer tipo la regla de tangentes ofrecida en el Methodus es suficiente. de las que a una se la puede llamar “diámetro” y a la otra “ordenada”. en unas cortas pero significativas palabras. Fermat no añade nada a la regla. es decir. dos rectas dadas en su posición. no sobre la curva misma sino sobre la tangente a encontrar. En Doctrinam Tangentium. pero pone por escrito.Geometría que una curva es matemática cuando la relación de los movimientos que la definen «es exacta». Las del primer tipo tienen la propiedad específica expresable solo mediante líneas rectas. Nosotros suponemos la tangente ya encontrada en un punto dado de la curva. el algoritmo general. Fermat coincide plenamente con Descartes en estas concepciones sobre curvas. para la parábola se consideraría: 𝐵𝐶 2 𝑂𝐼 2 = 𝐶𝐷 𝐼𝐷 .» Es decir. Para las segundas la propiedad especifica requiere ser expresada no sólo mediante segmentos de rectas sino también mediante segmentos curvilíneos. con una claridad incomparablemente superior a la del Methodus o el Méthode expliquée. Continúa el texto de Fermat: «Eliminando. Curvas algebraicas. De la construcción se obtiene 𝐸𝐺 = 𝐹𝐻. La tangente a la Cisoide La cisoide es una de las curvas clásicas griegas. utilizada por Diocles (hacia el 180 a. lo que conocemos a través de Los Comentarios al Libro I de Los Elementos de Euclides de Proclo (hacia el 460 d. tales que los arcos BE y BF sean iguales. es decir la tangente misma. Tracemos los segmentos EG y FH perpendiculares a CD. Sean E y F puntos en los cuadrantes BD y BC. Fermat sintetiza años de investigación matemática. . que resolvieran el problema de Delos de la «duplicación del cubo». en el cuadrante BC.) sobre Diocles.C. llegamos a una igualdad que determina el punto de contacto de la tangente con el diámetro. la Cisoide de Diocles y la Concoide de Nicomedes. de donde se deduce: 𝐷𝐻/𝐹𝐻 = 𝐶𝐺/𝐸𝐺 . que aplicará a continuación a la determinación de la tangentes a dos curvas clásicas. más que por la complejidad algebraica de las propiedades específicas de las curvas. los términos que sean necesarios. Unamos C con E. 𝐶𝐺 = 𝐷𝐻. y sea P el punto donde el segmento CE interseca a FH. respectivamente.) y de dos fragmentos de Eutocius (hacia el 560 d.) para construir dos medias proporcionales. Todo el nuevo sistema geométrico creado en La Introducción a los Lugares Planos y Sólidos yace en la primera frase. siguiendo nuestra teoría de máximos y mínimos.C.» En este corto párrafo. y consideremos dos diámetros perpendiculares AB y CD. mientras que en la segunda frase Fermat pone por escrito los procedimientos apuntados en el Méthode expliquée. en una forma que no difiere de las originales aplicaciones de la regla.C. correspondientes a las diferentes posiciones de E en el cuadrante BD y de F a igual distancia de B que E. La cisoide en una curva plana que se engendra a partir de la construcción siguiente: Sea el círculo ADBC. La cisoide es el lugar geométrico de todos los puntos P. la propiedad específica de la curva. se cortan perpendicularmente. DH=r. Combinando las tres igualdades. representa la propiedad específica de la curva. añadiré el de la tangente a la cisoide. Sean dados 𝐴𝐷 = 𝑧. y la cisoide 𝐼𝐻𝐺. y la cantidad arbitraria 𝐷𝐸 = 𝑒. se quiere trazar la tangente.» Sea un círculo en el que los diámetros 𝐴𝐺. según se dice.El segmento 𝐹𝐻 es media proporcional entre los segmentos 𝐷𝐻 𝑦 𝐶𝐻. se obtiene: 𝐹𝐻/𝐻𝐶 = 𝐻𝐶/𝐻𝑃 . inventada. no sobre la curva misma sino sobre la tangente]. 𝐸𝑁 = √𝑧𝑛 − 𝑧𝑒 + 𝑛𝑒 − 𝑒 2 [puesto que en el semicírculo 𝐴𝐼𝐺 se verifica: 𝐸𝑁2 = 𝐴𝐸 · 𝐸𝐺 = = (𝑧 + 𝑒) · (𝑛– 𝑒)] . Pongamos 𝐷𝐹 = 𝑎. son semejantes. 𝐷𝐺 = 𝑛. Supongamos el problema resuelto y sea F la intersección de 𝐶𝐺 y la tangente 𝐻𝐹. 𝑃𝐻𝐶. Según la propiedad específica de la cisoide: 𝑀𝐷/𝐷𝐺 = 𝐷𝐺/𝐷𝐻. es decir. como es habitual. se aplica. 𝐷𝐻𝐹. por un punto cualquiera 𝐻. en la cual. Veamos ya la construcción de Fermat de la tangente a la cisoide en Doctrinam Tangentium: «A los numerosos ejemplos que ya he dado. Se tendrá: 𝐸𝐺 = 𝑛– 𝑒 . por Diocles. se tendrá por consiguiente que expresar de forma analítica la “adigualdad” 𝑁𝐸/𝐸𝐺 ≅ 𝐸𝐺/𝐸𝑂. por tanto: 𝐷𝐻/𝐹𝐻 = 𝐹𝐻/𝐻𝐶 . luego se verifica: 𝐶𝐺/𝐺𝐸 = 𝐻𝐶/𝐻𝑃 . Los triángulos 𝐸𝐺𝐶. 𝐸𝑂 = (𝑟𝑎– 𝑟𝑒)/𝑎 [ya que por semejanza de los triángulos 𝐸𝑂𝐹. con la terminología de Fermat. y tomando un punto 𝐸 cualquiera entre 𝐷 𝑦 𝐹. 𝐵𝐼. Se puede comprobar fácilmente que la expresión 𝐹𝐻/𝐻𝐶 = 𝐻𝐶/𝐻𝑃 caracteriza a los puntos P de la curva. se tiene: 𝐸𝑂/𝐸𝐹 = 𝐷𝐻/𝐷𝐹)]. 𝐷𝐸 = 𝑒. y como ya hemos señalado la incógnita 𝐷𝐹 = 𝑎. siendo 𝐸𝑂 la porción de la recta 𝐸𝑁 interceptada entre 𝐸 y la tangente [es decir. Fermat procede de forma similar que en el caso de la cisoide al trazado de la tangente a otra de las curvas clásicas griegas. . Se divide 𝐴𝐷𝑥𝐷𝐺 𝑝𝑜𝑟 𝑉𝐷. y poner por consiguiente 𝑁𝐸/𝐸𝐺 = 𝐸𝐺/𝐸𝑂. se tendrá por fin: 3𝑧𝑎 + 𝑛𝑎 = 2𝑧𝑛 . la concoide de Nicomedes. no sobre la curva. para eliminar el radical: 𝑛 − 𝑧𝑒 + 𝑛𝑒 − 𝑒 2 𝑛 2 + 𝑒 2 − 2𝑛𝑒 ≅ 2 2 𝑛 2 + 𝑒 2 − 2𝑛𝑒 𝑟 𝑎 + 𝑟 2 𝑒 2 − 2𝑟 𝑎𝑒 𝑎2 Multiplicando todos los términos por 𝑎2 y adigualando según la regla el producto de los extremos al de los medios. sino sobre la tangente. suprimiendo los términos superfluos. √𝑧𝑛 − 𝑧𝑒 + 𝑛𝑒 − 𝑒 2 𝑛−𝑒 ≅ 𝑟𝑎 − 𝑟𝑒 𝑛−𝑒 𝑎 elevando al cuadrado.Según la regla. o en notaciones analíticas. siendo 𝐸𝑂 la ordenada sobre la tangente. A continuación. en conformidad con el método. se debe considerar la propiedad específica. se une 𝐹 con 𝐻 y se tendrá la tangente 𝐹𝐻 a la cisoide. sea 𝐷𝐹 el cociente. es decir: 2𝑧𝑛 2𝑧𝑛 2𝐴𝐷 ∗ 𝐷𝐺 2𝐴𝐷 ∗ 𝐷𝐺 𝐴𝐷 ∗ 𝐷𝐺 𝑎= = = = = 3𝑧 + 𝑛 2𝑧 + (𝑧 + 𝑛) 2𝐴𝐷 + (𝐴𝐷 + 𝐷𝐺) 2𝐴𝐷 + 2𝐴𝐺 𝐴𝐷 + 𝐴𝐺 De donde se deduce la construcción siguiente de la tangente: Se prolonga el radio 𝐶𝐴 del círculo dado hasta V y se toma 𝐴𝑉 = 𝐴𝐶. disponen de una brillante introducción y de unas generosas notas de carácter histórico. 1. La Collection Mathématique. Les Coniques d’Apollonius de Perge. VER EECKE) Portadas de las ediciones de Paul Ver Eecke de las fuentes bibliográficas primarias griegas que más influencia ejercieron sobre Fermat. . LAS OBRAS FUNDAMENTALES DE LA MATEMÁTICA GRIEGA DE GRAN INFLUENCIA SOBRE DE FERMAT (EDICIONES DE P. París. Apolonio. 2. Diofanto y Pappus. 1982. Estas magníficas ediciones de P. París. 4. Archimède. Vaillant-Carmanne. Pappus d'alexandrie. filológico y matemático. Blanchard. 1963 3. Ver Eecke de las obras de Arquímedes. Blanchard. Liège. Les six livres arithmétiques et le livre des nombres polygones. París. aclaratorias y extensivas del texto original que coadyuvan sobremanera a su intelección . 1959. Les Oeuvres complètes d'Archimède. Diophante d'Alexandrie. 1960. Blanchard. 2. se obtiene por un método muy elegante y bastante sutil. prepara el camino con estas palabras que siguen en la memoria Doctrinam Tangentium a la construcción de las tangente a la cisoide y a la concoide: «Para el segundo caso que Descartes juzgaba como difícil. como hemos indicado: se resolverá así fácilmente la cuestión. desde el eje a la tangente. Sea 𝑅 un punto cualquiera donde queremos trazar la tangente 𝑅𝐵. con el establecimiento de dos principios: 1. se convirtió en el Méthode expliquée en una asunción de pseudo-igualdad entre la ordenada de la curva y la distancia a lo largo de la misma línea. en sus orígenes extraída de Diofanto. para evitar los radicales. insinuado en el Méthode expliquée ya ha tenido lugar. Fermat desarrolla una potente parafernalia matemática aplicable al trazado de las tangentes de las curvas mecánicas. Fermat sabiendo que a la cicloide a la que llama la «Curva de Roberval») no se le pueden aplicar directamente los métodos desarrollados hasta ahora.Curvas mecánicas. para disfrazar la falsa asunción de que en el extremo una ecuación tenía dos raíces distintas y esconder en última instancia los fundamentos de los métodos de máximos y mínimos. el segundo.. Si el primer principio viene a ser la consideración por«adigualdad» de la propiedad específica de la curva. Ahora sin embargo Fermat da un paso de gigante hacia la noción infinitesimal de «aproximadamente igual». se pueden sustituir las longitudes de arco de las curvas por las partes correspondientes de las tangentes ya halladas y llegar a la ”adigualdad” . se pueden sustituir las ordenadas de las curvas por las ordenadas de las tangentes. más audaz todavía. Se pueden sustituir las ordenadas de las curvas por las ordenadas de las tangentes ya halladas. ya que en su definición interviene una longitud de arco. cisoide. La “adigualdad”. Se pueden sustituir las longitudes de arco de las curvas por las partes correspondientes de las tangentes ya halladas. sin duda alguna. es un verdadero principio de rectificación. el ejemplo más espectacular de la aplicación de los métodos de Fermat al trazado de las tangentes a las líneas curvas. etc. Veamos como con base en estos principios Fermat realiza la admirable construcción de la tangente a la cicloide. folium. Sea la cicloide 𝐻𝐶𝐺 con vértice 𝐶 y circunferencia generatriz 𝐶𝑀𝐹. halladas según el método precedente. porque es una curva de naturaleza esencialmente diferente a la parábola. lo que es el punto importante. «Mientras que los términos estén formados solamente por rectas. Además. elipse. concoide.» Vemos como el concepto de «adigualdad» ha sufrido una metamorfosis profunda. Y en fin. que resuelve de forma brillante el problema. no sobre la propia curva sino sobre la tangente. . La tangente a la cicloide La tangente a la cicloide es. El cambio. se les busca y se les dibuja según la regla precedente. 𝑉𝐸𝐴 en segundo lugar) y la «adigualdad» usual en el método de las tangentes –la aplicación del primer principio– dan: 𝑓(𝑥)(𝑎−𝑒) = 𝑁𝐸 ≅ 𝑓(𝑥 − 𝑒) (3) 𝑎 𝑔(𝑥)(𝑏−𝑒) = 𝐸𝑉 ≅ 𝑔(𝑥 − 𝑒) (4) 𝑏 Restando arcos sobre la circunferencia se tiene: 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐶𝑂 = 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐶𝑀 – 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑂𝑀 (5) Por otra parte. 𝑀𝐷 = 𝑔(𝑥) . de la aplicación del segundo principio y la semejanza de los triángulos 𝑀𝐷𝐴. La magnitud que permite trazar la tangente 𝑅𝐵 es 𝐷𝐵 = 𝑎.Si 𝑀𝐴 la tangente al círculo. 𝑁𝐸𝐵 en primer lugar. La propiedad específica de la cicloide permite escribir: 𝑓(𝑥) = 𝑅𝑀 + 𝑀𝐷 = 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐶𝑀 + 𝑔(𝑥) (1) 𝑓(𝑥– 𝑒) = 𝑃𝑂 + 𝑂𝐸 = 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐶𝑂 + 𝑔(𝑥– 𝑒) (2) La semejanza de triángulos (𝑅𝐷𝐵. y 𝑀𝐷𝐴. 𝐷𝐸 = 𝑒 . 𝑀𝐴 = 𝑑 . 𝑔(𝑥– 𝑒) = 𝑂𝐸 . 𝑓(𝑥– 𝑒) = 𝑃𝐸 . Sean en notaciones algebraicas: 𝐶𝐷 = 𝑥 . 𝑉𝐸𝐴. 𝐴𝐷 = 𝑏 . se obtiene: 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑂𝑀 ≅ 𝑀𝑉 = 𝑑𝑒/𝑏 (6) . cambiemos ligeramente alguna de las notaciones de Fermat. 𝑅𝐷 = 𝑓(𝑥) . podemos afirmar. obtenemos: 𝑎−𝑒 𝑑𝑒 𝑔(𝑥)(𝑏−𝑒) [𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐶𝑀 + 𝑔(𝑥)] ≅ 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐶𝑀 − + (8) 𝑎 𝑏 𝑏 A partir de aquí utilizando las reglas habituales del proceso de «adigualdad» se tiene sucesivamente: 𝑎𝑑𝑒 𝑔(𝑥)(𝑎−𝑒) [𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐶𝑀 + 𝑔(𝑥)](𝑎 − 𝑒) ≅ 𝑎(𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐶𝑀) − + 𝑔(𝑥)𝑎 − . [5]. según (1) ≅ (9) 𝑎 𝑏 Ahora de la geometría de la figura resulta: 𝑏 2 = 𝑑 2 – [𝑔(𝑥)]2 . 𝑏 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐶𝑀 + 𝑔(𝑥) 𝑑 + 𝑔(𝑥) ≅ . de [9] y [12] se obtiene: 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑎 𝑥 Siendo la expresión g(x)/x la pendiente del segmento MC.Ahora [2]. 𝑏 𝑑+𝑔(𝑥) Y de aquí: = (10) 𝑑−𝑔(𝑥) 𝑏 también se obtiene 𝑑 𝑏 𝑔(𝑥) = = 𝑟 𝑔(𝑥) 𝑟 − 𝑥 De donde resulta 𝑑 − 𝑔(𝑥) 𝑏 = 𝑏 𝑔(𝑥) Y de aquí 𝑑−𝑔(𝑥) 𝑥 = (11) 𝑏 𝑔(𝑥) Combinando [10] con [11] se deduce: 𝑑+𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) = (12) 𝑏 𝑥 Por fin. 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑+𝑔(𝑥) Es decir. que la tangente a la cicloide en el punto R. se obtiene trazando la recta paralela al segmento MC por el punto de tangencia R. donde junto con [1] 𝑦 [3]. como dice Fermat al final de su desarrollo. . 𝑏 𝑏 𝑑+𝑔(𝑥) −[𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐶𝑀 + 𝑔(𝑥)]𝑒 ≅ 𝑎𝑒 . [4]𝑦 [6] resulta: 𝑑𝑒 𝑔(𝑥)(𝑏−𝑒) 𝑓(𝑥 − 𝑒) ≅ 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐶𝑀 − + (7) 𝑏 𝑏 De [7]. » .. que no retornó al tema después de esta época. Fermat extiende su uso para conseguir la pseudo–igual dad de una longitud de arco a lo largo de una curva. como se ha mencionado de forma reiterada. la noción de «adigualdad» que. De acuerdo con el método de Arquímedes podemos “adigualar”. Si la diferencia entre la «adigualdad» y lo «aproximadamente igual» o igualdad en el caso límite estaba bien clara en la Investigación Analítica o en el Methodus. Durante los siguientes años Fermat hace evolucionar de forma definitiva la «adigualdad» hacia «lo aproximadamente igual» abriendo el horizonte hacia la cuadratura y la rectificación.III. o igualar por aproximación. sino que en la versión final del método de las tangentes. esta diferencia deja de ser radical en Doctrinam Tangentium. como dice Diofanto. Aquí la «adigualdad» es utilizada no únicamente para postular la pseudo–igualdad entre la ordenada de la curva y la de la tangente. nació del intento de Fermat de escamotear los fundamentos puramente algebraicos del método de tangentes.La construcción de Fermat de la tangente a la cicloide es un magnífico paradigma de utilización de todas las técnicas desarrolladas por Fermat sobre el tema de máximos y mínimos y tangentes. En efecto. aplicaciones que cimbreaban en la estrecha línea de separación entre el campo de lo finito y el dominio de lo infinitesimal. Fermat.OF. de forma definitivamente clara dirá (TH. aparentemente nunca cruzó esta línea divisoria en sus problemas de máximos y mínimos y de tangentes...218): [. [.].. Sin entrar estrictamente en el terreno de lo infinitesimal Fermat en Doctrinam Tangentium se acerca lo más posible a este campo. con el segmento de tangente que la subtiende.]. empezó a sugerir aplicaciones a una nueva clase de problemas. en el Tratado sobre Cuadratura Fermat. A partir de finales de 1640. EL MANUSCRITO DE FERMAT DOCTRINAM TANGENTIUM DE 1640 Según los historiadores de las Matemáticas. alguno de sus libros puede permanecer en manos de algún anticuario o coleccionista. ya que como se sabe. En palabras de Paul Tannery y Charles Henry: . Sin embargo. Esta es la razón por la que los editores de las Oeuvres de Fermat reprodujeron en la introducción del Volumen I. los hábitos de trabajo de Fermat pueden inducir a pensar en ello. Fermat tenía arraigada la costumbre de escribir en los márgenes de los libros. en orden a reconocerla en otros documentos. como muestra de la escritura autógrafa de Fermat. de modo que aunque su copiosa biblioteca debió dispersarse a su muerte. hay escasas razones para sospechar la existencia de material inédito de Fermat. esta página del facsímil de la memoria Doctrinam Tangentium. es difícil creer que haya tenido lugar la destrucción completa de todas las Obras que han formado parte de la biblioteca de un hombre que era no solamente un matemático de primer orden. es en otro orden de investigaciones sobre el que llamamos la atención de los eruditos. .Reproducimos aquí un facsímil de la primera página del escrito Doctrinam Tangentium. y debía hacerlo. Fermat. en caso necesario. Parece por consiguiente que el examen de la escritura de las notas escritas en los ejemplares de las Obras de su tiempo. que podrá servir. Aunque su imposibilidad en modo alguno está demostrada. Es difícil esperar actualmente el descubrimiento de cartas u opúsculos autógrafos. Ahora bien. para reconocer la escritura de Fermat. escribía sus observaciones sobre los márgenes de los libros que le pertenecían. cualquiera que fuera la naturaleza de sus libros. sino que se interesaba por todas las cuestiones científicas y que era un humanista muy distinguido. podría llevar a constatar su paso por las manos de Fermat y conducir a descubrimientos interesantes. que no tenía cuadernos de notas y no conservaba manuscritos.