LA DERIVADADVD Recta tangente . . . . • La derivada nos permite determinar la inclinacion de la tabla en c/u de los puntos de la montaña . . Ejemplo de la recta tangente . Conclusión • La derivada se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a una curva • La razón de cambio de una magnitud respecto a otra . Eejmplo . Tabla de derivadas . en una relación funcional y=f(x). .) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero.Razón de cambio • Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. • En general. la razón de cambio de la variable dependiente yrespecto a la independiente x se calcula mediante un proceso de límite --de la razón [f(x+t)−f(x)]/t. denominada cociente diferencial. (También se le llama tasa de cambio. . la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando ttiende a cero.• En sentido estricto entonces. De esta manera. la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función. .Ejemplo • En la función lineal f(x)=mx+b. Viéndolo gráficamente. • Nótese que m es la pendiente de la recta f(x)=mx+b. es el cambio en la altura y por unidad de cambio (aumento) en la x. Y es la razón de cambio de la altura y(variable dependiente) respecto a la x (variable independiente. no es necesario tomar el límite pues f(x+t)−f(x)=mx+mt+b−mx−b=mt y la t se cancela en la razón [f(x+t)−f(x)]/t sin necesidad de pasar al límite. de hecho. Por ejemplo. La velocidad es. Por analogía. .• En matemáticas escolares la razón de cambio más usada es la velocidad: v=d/t (distancia recorrida por unidad de tiempo). en problemas de proporción inversa. la razón de cambio ejemplar o prototipo. se le llama "velocidad" a una razón de cambio cualquiera. Notacion • • • • • F’(x) Dy/dx Dx(f) X punto X’(t) . maximizar la calidad) Finanzas Ciencias sociales Ciencias biológicas Optimización (minimizar la cantidad de material de un objeto y maximizar su volumen) • Física (calcular la velocidad de un cuerpo) .Aplicaciones • • • • • • • • Al medio ambiente Minimizacion y maximizacion de funciones Graficar funciones Economía (minimizar costos. • Suponga que el crecimiento de una cierta especie de plantas en un entorno controlado siguen el modelo h=0. con t=0 correspondiendo a la media noche.02t+0. • A) ¿en que momento del día es máximo el ritmo de crecimiento? • B) ¿en que momento del día es mínimo el ritmo de crecimiento? .03cos2pt. porque su crecimiento depende de la luz solar. donde h es la altura de las plantas en pulgadas y t el tiempo en días.Aplicación al medio ambiente • Las plantas no crecen a un ritmo constante durante un periodo de 24h normal. • h=0.Sol. 𝑑ℎ = 0. el ritmo es máximo.003sin2pt • Como ya sabemos que el sen(2pt) esta entre -1 y 1 • A) Si t=0.03)coscos 2𝜋𝑡 𝑑𝑡 . porque cos(2p(1/2))=-1 • Por lo tanto el ritmo máximo de crecimiento ocurre a media noche y el mínimo a medio dia. el ritmo es mínimo. entonces. • Como el ritmo de crecimiento viene dado por dh/dt.02t+0. porque cos(2p(0))=1 • B) Si t=1/2.02𝑡 + 2𝜋 (0. 1𝑡 2 en miles de habitantes • ¿Con que ritmo esta variando la concentración de CO2 en esa ciudad dentro de 3 años . en ppm en una ciudad.1+0.Contaminación • Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario C de monóxido de carbono en el aire. esta relacionado con la población p expresada en miles de habitantes por la siguiente expresión 2 𝐶 𝑝 = 𝑝 /2+17 • El aumento de población en esa ciudad en t años se estima que esta dado por la siguiente relación P(t)=3. 1𝑡2 +17 2 𝑑𝐶 3 = 0.1+0.Sol.24𝑝𝑝𝑚/𝑎ñ𝑜 𝑑𝑡 .1+0. resulta ser C función compuesta del tiempo • Se debe calcular la derivada de la concentración.1+0. para lo cual podemos primero hallar la función compuesta y luego derivar C(t)= (3. • Como la concentración C es función de la población p y esta es función del tiempo.. respecto al tiempo.2𝑡 = 𝑑𝑡 3.1𝑡 2 ) 2 + 17 𝑑𝐶 2 3.1𝑡 2 0. • Un derrame de petroleo en el oceano se esparce en un area con un espesor uniforme de 1 pulgada. Suponga que el petroleo esta fluyendo con un gasto constante de 200 pies cubicos por minuto. . • Halle la rapidez a la cual crece el radio de la mancha aceitosa en el momento en el que tal radio de la mancha es el momento en el que tal radio es de 10 pies y cuando es de 500 pies. 2 ft/min .Sol • Suponga que la mancha de aceite es circular y puede describirse su volumen en terminos del radio r y el espesor de 1 plg=1/12 pie • La rapidez del flujo se expresa como • Dv/dt=200ft/min • El volumen es de V=p*r^2*h=p*r^2*1/12 • Dv/dt=2pr/12=pr/6 • Con base en la regla de la cadena • Dv/dt=dv/dr/dr/dt • Dr/dt=dv/dt/dv/dr=200/pr/6=1200/pr • Cuando r=10 • Dr/dt=1200/pr=1200/p(10)=38. Incendios forestales • Suponga que un incendio forestal se propaga en la forma de un circulo cuyo radio cambia a razón de 1.8 m/min. ¿A que razón esta creciendo el área de la región incendiada cuando el radio alcanza 60 m? . • . sol .