LA DEMOGRAFÍA EN LA FORMACIÓN DEL ACTUARIO ‐material de apoyo didáctico‐ Alejandro Mina Valdés1 septiembre de 2012 1 Profesor de asignatura de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México Índice general Prólogo 5 Introduccción 7 1 Construcción de una tabla abreviada de mortalidad 9 1.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Infromación de las estadı́sticas vitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Información Censal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Evaluación de la Información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 Índice de Whipple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2 Índice de Naciones Unidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.3 Índice de Myers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.4 Corrección de la estructura por edad de la población censada . . . . . . . . . 14 1.4.5 Proyección de la población censada y ajustada al 30 de Junio del año censal . 16 1.4.6 Evaluación y corrección de la distribución de las defunciones por grupos quin- quenales de edades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.7 Estimación de las tasas de mortalidad especı́ficas por grupos quinquenales de edades, a partir de 5 a 9 años cumplidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Estimación de la tasa de mortalidad infantil (1 𝑀0 ) y la del grupo de uno a cuatro años cumplidos (4 𝑀1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 Factores de Separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7 Relación entre tasas de mortalidad y cocientes o probabilidades de muerte . . . . . . 31 1.7.1 Las series 𝑙𝑥 ,𝑑𝑥,𝑥+𝑛 ,𝑛 𝐿𝑥 ,𝑇𝑥 ,𝑒𝑥 de la tabal de mortalidad . . . . . . . . . . . . 39 2 Simulación de fenómenos demográficos 43 3 Las funciones actuariales Gomperz y Gomperz-Makeham en la descripción de fenómenos demográficos 73 3.1 Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2 Criterio de mı́nimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3 Poblaciones teóricas de Alfred J. Lotka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3.1 Teorı́a analı́tica de las asociaciones biológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3.2 Mı́nimos Cuadrados y Promedios Móviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.3 Función Gompertz-Makeham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3.4 Modelo de fecundidad basado en la relación de Gompertz propuesto por Brass 88 2 4 Funciones polinomiales en el ajuste de datos demográficos 95 4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2 El análisis numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5 Ley de Mortalidad Mexicana 107 5.1 Funciones de supervivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1.1 Las funciónes Gompertz-Makeham estimadas para México . . . . . . . . . . . 111 5.2 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6 Las causas de muerte en México y sus ganancias en las esperanzas de vida 115 6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.2 Impacto de la mortalidad por causas en México . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.3 Metodologı́a empleada en la estimación de las ganancias de vida . . . . . . . . . . . 117 6.4 Procedimiento de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.5 Principales causas de muerte en México . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.6 Clasificación de las causas de muerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7 La Contribución de las causas de muerte al cambio en la esperanza de vida en un perı́odo 127 Tablas 131 Anexo 1 145 Anexo 2 149 Anexo 3 151 Anexo 4 155 Anexo 5 157 Anexo 6 159 Anexo 7 165 Anexo 8 167 Anexo 9 171 Referencias históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Anexo 10 181 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Definición y objeto de estudio de la demografı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Componentes de la dinámica poblacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Fuentes de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Censo demográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Estadı́sticas vitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 3 Encuestas demográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 El diagrama de Lexis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 La pirámide de edades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Índice de masculinidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 El análisis longitudinal y el transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Intensidad y calendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Tasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Relación entre tasas y cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Tasa bruta y tasas especı́ficas de mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Tasa de mortalidad infantil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Tasas de mortalidad infantil neonatal y posneonatal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Tablas de mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Tablas abreviadas de mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 La esperanza de vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Fecundidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Tasa bruta de natalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Tasas de fecundidad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Tasas especificas de fecundidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Tasa global de fecundidad o descendencia final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Tasas bruta y neta de reproducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Edad media a la fecundidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Relación entre las tasas bruta y neta de reproducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Nupcialidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Tasa bruta de nupcialidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Tasa especı́fica de nupcialidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Tablas de nupcialidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Migración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 El método de la tasa de supervivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Fórmula avanzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Fórmula de retroceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Fórmula promediada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Relación entre los métodos de tasas de supervivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Estimación directa de la migración interna empleando información censal . . . . . . 204 Población activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 El modelo simplificado de una población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Tablas de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Tablas de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Educación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Proporciones de escolaridad por edad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Análisis de un sector con datos sobre flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Tablas de vida escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 4 lo más claramente posible un ”manual”que le indique. ya que comúnmente el estudiante de Actuarı́a se le remite a bibliografı́a que trata superficialmente. la presentación que aquı́ se hace tiene algunas modalidades que se han podido cristalizar. Es importante señalar que el curso de demografı́a para estudiantes de Actuarı́a tiene carac- terı́sticas muy peculiares. en cuanto material didáctico se refiere. Las aplicaciones que se le pueden dar a la tabla de mortalidad son diversas. Si bien es cierto que el tema ha sido tratado por otros profesores en México y en el resto del mundo. lo mejor posible. se ven imposibilitados en elaborar en su vida profesional una tabla de vida acorde a las poblaciones que estén analizando en ella. se hace fundamental el tener. en este documento. El tema aquı́ presentado toma en cuenta los antecedentes del estudiante. 5 . la fuente de datos necesaria para elaborar la tabla abreviada de mortalidad. o bien en la elaboración de alguno o algunos ı́ndices que conforman a la tabla abreviada de mortalidad. calculando en cada caso su tabla de vida. por una parte. evaluar o corregir la información necesaria para lograr su fin. por ejemplo una población asegurada que tiene condiciones de vida por arriba de la media nacional no debe ser afectada.Prólogo Con este trabajo se espera cubrir una de las deficiencias en la materia de Demografı́a I. etc. seguros. por la tabla de mortalidad estimada para la población mexicana a nivel nacional. dada la amplitud y complejidad del tema. y por otra parte la técnica propiamente dicha para obtener la tabla. dada la formación estadı́stica y matemática que previamente al curso ha tomado el estudiante. Ha sido la elaboración o construcción de la tabla de vida o de mortalidad el tema central en el curso de Demografı́a I. sin embargo. el tema que aquı́ se tratará: la elaboración de la tabla abreviada de mortalidad. En la vida profesional del actuario. en otros. al asentar mal el tema en sus apuntes. y en este trabajo se presentan algunas de ellas en los anexos. el estudiante con mucha facilidad se confunde sobre alguno o algunos pasos a seguir para captar. en el cual tuvo el tiempo para reflexionar y plantear sus puntos de vista sobre el tema aquı́ tratado. y suponiendo un dominio del Análisis Demográfico. gracias a la experiencia alcanzada en los años de impartición del curso de Demografı́a I en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México y al apoyo que la facultad otorgó al autor en su año sabático. pudiendo ampliar la cobertura social de los seguros. perteneciente al sexto semestre en la carrera de Actuarı́a. Si a lo anterior aunamos que un alto porcentaje de los egresados de la carrera se Actuarı́a.. lo que conllevará a una mejor estimación de las primas que la población en gen- eral tiene que pagar y que comúnmente serán menores a las que actualmente se cobran. para el cálculo actuarial de primas. ni incluso la obtenida para la entidad en que se tiene inmersa a la población asegurada en estudio. El actuario debe enfrentar el reto de estimar. en algunos casos. señalando sus alcances y limitaciones. la tabla de mortalidad con frecuencia se toman con experi- encia que no reflejan el impacto del fenómeno mortalidad en la población que él está analizando. el impacto de la mortalidad para poblaciones especı́ficas. El que el estudiante tenga sistematizado el tema central y que lleva el mayor tiempo de la materia de demografı́a, sin duda le permite, además de apoyo para dominarlo mejor, darle mayor tiempo de reflexión sobre el tema en clases, ya que en ello se empleará el tiempo que antes se usaba en describir cada paso de manera exhaustiva en el pizarrón, teniendo en algunos casos, dudas los estudiantes en pizarrones ya borrados y no reproducidos correctamente por ellos, por las varias explicaciones que se tienen que ir dando conforme el tema avanza. No se pretende tener concluido el tema de la construcción de la tabla abreviada de mortalidad con el trabajo aquı́ presentado, sin embargo, se espera tenga una adecuada divulgación para poder aportar las inquietudes en cuanto a modificaciones que superen el conocimiento sobre el tema aquı́ tratado, y en el futuro ampliarlo. 6 Introducción Uno de los temas básicos que todo actuario y demógrafo debe dominar, es sin duda la elaboración o comúnmente llamado construcción de una tabla de mortalidad o de vida abreviada en grupos quinquenales de edad, a excepción del primero y último grupos de edad. Con frecuencia se incurre en errores en la construcción de la tabla de mortalidad, por no tener con claridad dominados algunos de los pasos a seguir para construirla. Es por ello que se ha hecho necesario tener de manera explı́cita, cada uno de dichos pasos para elaborar correctamente una tabla de mortalidad. Las notas que a continuación se presentan tienen la finalidad de presentar al estudiante de la carrera de actuarı́a y al estudiante de la maestrı́a en demografı́a, el procedimiento completo para obtener una tabla de mortalidad. Sin que esto quiera decir que es el único procedimiento para elaborar una tabla de mortalidad, sin embargo, el que aquı́ se presenta es el tradicional y el que por mı́nimo debe conocer y dominar el estudiante de demografı́a y actuarı́a. Debe resaltarse que el procedimiento presentado está basado en los estudios y aplicaciones que el autor ha venido desarrollando en los últimos años, impartiendo clases en el Centro de Estudios Demográficos y de Desarrollo Urbano de El Colegio de México A.C. y en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. Ası́, el presente trabajo únicamente organiza de manera didáctica, lo hecho por otros demógrafos y actuarios al construir tablas abreviadas de mortalidad. Finalmente se desea recomendar al lector, dominar en su conjunto el procedimiento de elabo- ración de la tabla abreviada de mortalidad y posteriormente aplicarlo. 7 8 Capı́tulo 1 Construcción de una tabla abreviada de mortalidad 1.1. Definición La tabla abreviada de mortalidad es el cuadro estadı́stico que resume el impacto de dicho fenómeno demográfico, tenido por una población determinada, en un año o periodo de años. Es abreviada porque la estructura por edad de la población se agrupa en quinquenios de edades; esto a partir del grupo de edad de 5-9 años cumplidos. La excepción la constituyen el primer grupo de edad y el último; los que se toman de cero años cumplidos, de 1 a 4 años cumplidos y de 80 a 85 años y más cumplidos (tomaremos en está presentación como último grupo de edad el constituido por las edades 85 y más). Ası́ los grupos de edades en una tabla abreviada de mortalidad son: 0 20-24 45-49 70-74 1-4 25-29 50-54 75-79 5-9 30-34 55-59 80-84 10-14 35-39 60-64 85+ 15-19 40-44 65-69 Supongamos que se desea calcular la tabla abreviada de mortalidad a nivel nacional, para ambos sexos, caso de México y para el año de 1990. La información necesaria para la construcción de la tabla será tomada de las estadı́sticas vitales y de los X y Xl Censos Nacionales de población y vivienda, los cuales se levantaron el 4 de junio de 1980 y supondremos que el de 1990 será levantado el 10 de junio de 1990. 1.2. Infromación de las estadı́sticas vitales Los nacimientos registrados a nivel nacional, ambos sexos, en los años de 1985 a 1990. Las defunciones de individuos de cero años cumplidos, desagregadas en dı́as, a partir de cero dı́as cumplidos hasta 6 dı́as cumplidos, semanas, de la primera a la tercer semana cumplida y meses, del primero a l octavo mes cumplido. Todas ellas para cada uno de los años de 1985 9 y la mala declaración de edad. 1. de naciones unidas y el de Myers. 30. es inicialmente necesario evaluar la información para posteriormente corregirla. se emplean los ı́ndices de Whipple. Para evaluar la información censal.3. Información Censal La estructura por edad desplegada (individual). El supuesto que se maneja es el de distribución uniforme en cada una de las edades individuales y para el grupo de edad asociado. Una presentación de ellos a continuación se da: 1. ası́ por ejemplo cinco veces la población censada que declaró tener treinta años cumplidos de edad. teniéndose que captar para el año de 1991 el total de definiciones de individuos de cero años cumplidos sin desagregarlas. debe ser aproximadamente igual a la suma de las personas que declararon tener 28.4. a 1990. la que esta en base al valor que toma el ı́ndice de Whipple. 1990 y 1991. El criterio para evaluar el tipo de información con la que trabajaremos está basado en la siguiente tabla. Rango de 𝐼𝑤 Clasificación de la información 100 a 104 muy precisa 105 a 109 precisa 110 a 124 aproximada 125 a 174 deficiente 175 a más muy deficiente 10 . Para los grupos de edades 5 a 9 años cumplidos al 85 y más las definiciones registradas en los años 1989. 31 y 32 años cumplidos de edad en el censo. como las más importantes.1. en cuanto a su estructura por edad. Evaluación de la Información Dado que la información de las estadı́sticas vitales como la censal adolecen de fallas.4.1) 𝑖=23 𝑃𝑖 donde 𝑃5𝑖 y 𝑃𝑖 son las poblaciones censadas que declararon tener las edades cumplidas 5𝑖 e 𝑖 respectivamente. 29. Índice de Whipple Estima el grado de preferencia hacia los dı́gitos 0 y 5 por la población censada que declaró su edad entre 23 y 62 años. como son: el subregistro de los nacimientos y de las defunciones. por sexo y para cada uno de los censos (X y Xl) sin olvidar a los no especificados en cuanto a edad y sexo. El ı́ndice de Whipple 𝐼𝑤 se define como: ∑12 𝑃5𝑖 𝐼𝑤 = ∑𝑖=15 62 ∗ 5 ∗ 100 (1. 1. 40 − 44 y 45 − 49 años cumplidos. en el grupo anterior y posterior al grupo de edad considerado.1. los que se definen como 𝐿𝐻 (𝐺) para los hombres e 𝐼 𝐹 (𝐺) para las mujeres. esto bajo la hipótesis de linealidad.2) 2 debe tender a la unidad ya que la población de 35 − 39 años cumplidos más la población de 45 a 49 años cumplidos censada dividida entre dos debe ser aproximadamente igual a la población que declaró tener entre 40 y 44 años cumplidos. por sexo y para el total de la población. La hipótesis que se maneja en este ı́ndice es la linealidad en los efectivos. Índice de Naciones Unidas Su aplicación requiere tener agregada su aplicación en grupos quinquenales de edad. entonces: 𝑃40−44 𝑃35−39 + 𝑃45−49 (1. de 0 a 4 años cumplidos. Ası́ por ejemplo: si se toman los grupos de edad 35 − 39. donde: . A continuación se construyen los ı́ndices por sexo.4. al 65 a 69 años cumplidos.2. 𝐻 . ∑13 . . 2𝑃(5𝑖)−(51+4) . 𝑖=1 . 𝑃 𝐻 + 𝑃 𝐻 − 1. . (5𝑖−5)−(5𝑖) (5𝑖+5)−(5𝑖+9) 𝐼 𝐻 (𝐺) = (1.3) 13 e (1.4) . 𝐹 . ∑13 . . 2𝑃(5𝑖)−(51+4) . 𝑖=1 . 𝑃 𝐹 + 𝑃 𝐹 − 1. . es decir: . entonces la diferencia de los ı́ndices de masculinidad deben tender a cero.5) 13 El ı́ndice para ambos sexos se definen a partir de los ı́ndices de masculinidad y del hecho de que no deben tener variaciones sustanciales de grupo a grupo. si se consideran los grupos de edad 25 − 29 y 30 − 34 años cumplidos. (5𝑖−5)−(5𝑖) (5𝑖+5)−(5𝑖+9) 𝐼 𝐹 (𝐺) = (1. por ejemplo. . . 𝑃𝐻 𝑃 𝐻 . . 25−29 − 30−34 . tiende a cero (1.6) . . 𝑀 𝑀 . 𝑃25−29 𝑃30−34 . Por tanto el ı́ndice de ambos sexos I(S) se define como: . 𝐻 𝐻 . ∑ . . 𝑃(5𝑖)−(5𝑖+4) 𝑃(5𝑖+5)−(5𝑖+9) . 𝑀 . 𝑃(5𝑖)−(5𝑖+4) − 𝑀 . 𝑃(5𝑖+5)−(5𝑖+9) . Para paı́ses donde las hipótesis se han cumplido y se tienen censos de alta calidad en su control de declaración de edad. teniéndose que en la medida que se aleje de este número. 11 . 𝐼(𝑆) = ∗ 100 (1.8) Es obvio que 𝐼𝑁 𝑢 ∕= 0 ya que para que 𝐼𝑁 𝑢 = 0 los efectivos en cada grupo de edad deben ser iguales. 𝐼𝑁 𝑢 se encuentra alrededor de 9 unidades. en esa medida se acentúa la mala declaración de edad. quedando definido el ı́ndice de naciones unidas como: 𝐻 𝑀 𝐼𝑁 𝑢 = 𝐼(𝐺) + 𝐼(𝐺) + 3𝐼(𝑆) (1.7) 13 Basándose en la experiencia mundial. los especialistas de las naciones unidas ponderan con tres unidades al ı́ndice de ambos sexos I(S). 11) ∑ 𝑉5′ = 𝑉10𝑖+5 (1. 2.. . publicada en Nueva York en 1940 y en artı́culo que bajo el tı́tulo .4... Siglo Veintiuno editores. los que estiman la atracción de rechazo de cada uno de los dı́gitos en la declaración de edad.Error and bias in the reporting of age census data”que fue publicado en dicha revista. . Índice de Myers Este ı́ndice (IM1 ) se define a partir de la suma de los valores absolutos de los ı́ndices individuales para cada dı́gito 𝑀𝑗 con 𝑗 = 0.10) = 𝑃15 + 𝑃25 + 𝑃35 + .16) 𝑗=0 (𝑎𝑗 𝑣𝑗 − 𝑎𝑗 𝑣𝑗 ) 1 La presentación de Índice se basa en el volumen XLI de la revista Actuarial Society of America Transcaction.13) = 𝑉25 + 𝑉35 + 𝑉45 + . esto de tener entrevista repetida. un adecuado ı́ndice de atracción o rechazo para el dı́gito 𝑗 serı́a: (𝑃𝑗 − 𝑃𝑗′ ) − (𝑉𝑗 − 𝑉𝑗′ ) 𝑉𝑗 − 𝑉𝑗′ = 1 − (1. ∑ 𝑉𝑗 = 𝑖≥1 𝑉10𝑖+𝑗 Número real de individuos con edad cumplida terminada en el dı́gito 𝑗 dentro de la población de diez años y más cumplidos. 𝑉𝑗′ = ∑ 𝑖>1 𝑉10𝑖+𝑗 Número real de individuos con edad cumplida terminada en el dı́gito 𝑗 dentro de la población de veinte años y más cumplidos. . 9. 1. . 𝑉𝑥 Número de personas que realmente tienen la edad 𝑥 cumplida. (1. ponderándolos y suponiendo que en cada uno de los diez dı́gitos debe haber un diez por ciento de la población. México D. .15) (𝑃𝑗 − 𝑃𝑗′ ) 𝑃𝑗 − 𝑃𝑗′ Debido a la imposibilidad de tener los valores 𝑉𝑗 y 𝑉𝑗′ .3. Para definir IM y los valores 𝑀𝑗 es necesario definir la siguiente notación: 𝑃𝑥 Número de personas que declaran la edad 𝑥 cumplida. (1. . tercera edición. 1981 12 . 𝑃𝑗′ = 𝑖>1 𝑃10𝑖+𝑗 Número de personas que han declarado edad cumplida terminada en el ∑ dı́gito 𝑗 y dentro de la población de veinte años y más cumplidos. . También en el libro de Joaquin Leguina ”Fundamentos de Demografı́a”. 8. (hecho prácticamente imposible de tener en un censo nacional). Por ejemplo: ∑ 𝑃5 = 𝑃10𝑖+5 (1. .12) 𝑖>1 = 𝑉10(2)+5 + 𝑉10(3)+5 + 𝑉10(4)+5 + . (1.. ∑ 𝑃𝑗 = 𝑖≥1 𝑃10𝑖+𝑗 Número de personas que han declarado edad cumplida terminada en el dı́gito 𝑗 y dentro de la población de diez años y más cumplidos. ası́: 𝑎𝑗 𝑣𝑗 − 𝑎′𝑗 𝑣𝑗′ ∑𝑎 ′ ′ (1.1. .F.14) De ser posible el conocer los valores de 𝑉𝑗 y 𝑉𝑗′ .9) 𝑖≥1 = 𝑃10(1)+5 + 𝑃10(2)+5 + 𝑃10(3)+5 + . Myers supone linealidad en la tendencia de los valores 𝑉𝑗 y 𝑉𝑗′ . (1. 10 ∗ 100 (1. . Por lo que Myers define el ı́ndice 𝑀𝑗 : 𝑎𝑗 𝑃𝑗 − 𝑎′𝑗 𝑃𝑗′ + (𝑎𝑗 𝑉𝑗 − 𝑎′𝑗 𝑉𝑗′ ) 𝑀𝑗 = ∑9 ′ ′ ∗ 100 (1. .donde 𝑎𝑗 y 𝑎′𝑗 toman los valores: 𝑗 𝑎𝑗 𝑎′𝑗 0 1 9 1 2 8 2 3 7 3 4 6 4 5 5 5 6 4 6 7 3 7 8 2 8 9 1 9 10 0 Por ejemplo: 𝑎5 𝑉5 − 𝑎′5 𝑉5′ = 6𝑉5 + 4𝑉5′ (1.) + 4(𝑉23 + 𝑉35 + 𝑉45 + .20) 10𝑉25 = 𝑉16 + 𝑉17 + 𝑉18 + 𝑉19 + 𝑉20 + 𝑉21 + 𝑉22 + 𝑉23 + 𝑉24 + 𝑉25 (1. . (1.25) miden el sesgo en la declaración de edad en términos absolutos.19) Suponiéndose que: 6𝑉15 = 𝑉10 + 𝑉11 + 𝑉12 + 𝑉13 + 𝑉14 + 𝑉15 (1. (1. .17) = 6(𝑉15 + 𝑉25 + 𝑉35 + .22) Teniéndose que en el mejor de los casos: 9 ∑ 9 ∑ (𝑎𝑗 𝑉𝑗 − 𝑎′𝑗 𝑉𝑗′ ) = 𝑎𝑗 𝑃𝑗 − 𝑎′𝑗 𝑃𝑗′ (1.18) = 6𝑉15 + 10𝑉25 + 10𝑉35 + .27) 𝑗=0 (𝑎𝑗 𝑃𝑗 − 𝑎𝑗 𝑃𝑗 ) 13 .21) etc. .24) (𝑎𝑗 𝑃𝑗 − 𝑎′𝑗 𝑃𝑗′ )(𝑎𝑗 𝑉𝑗 − 𝑎′𝑗 𝑉𝑗′ ) (1.23) 𝑗=0 𝑗=0 y la diferencia: (1.26) 𝑗=0 𝑎𝑗 𝑃𝑗 − 𝑎𝑗 𝑃𝑗 ( ) 𝑎𝑗 𝑃𝑗 − 𝑎′𝑗 𝑃𝑗′ = ∑9 ′ ′ − 0.) (1. . teniéndose que el dı́gito 𝑗 es de atracción si 𝑀𝑗 > 0 y de rechazo si 𝑀𝑗 < 0. Finalmente Myers define su ı́ndice como: ∑9 𝐼𝑀 = ∣𝑀𝑗 ∣ (1.28) 𝑗=1 Si se cumplieran las hipótesis entoncesb 𝐼𝑀 = 0 de centrarse en un solo dı́gito la declaración de edad, entonces 𝐼𝑀 = 180. Entre 0 y 180 se definieron los siguientes rangos para clasificar a la concentración de la población en cuanto a la preferencia de dı́gitos. Rango de 𝐼𝑀 Clasificación 0 a 4.99 Baja concentración en algún dı́gito 5 a 14.99 Baja concentración en algún dı́gito 15 a 29.99 Mediana concentración en algún dı́gito 30 a más Muy alta concentración en alún dı́gito 1.4.4. Corrección de la estructura por edad de la población censada La corrección de la información captada en los censos nacionales de población y vivienda, para fines de elaborar una tabla de mortalidad, se lleva a cabo empleando diversos métodos, en este caso se presentará el método de ajuste llamado fórmula de graduación de un dieciseisavo2 . Dicha fórmula se basa en el ajuste de la estructura de la población, agrupada en grupos quinquenales de edad convencionales (0-4, 5-9, ...., 80-84 y 85 y más), suponiendo que cada cinco grupos de edades sucesivos estimados se distribuyen adecuándose a un polinomio de grado tres y que los efectivos observados por grupo quinquenal de edad contienen un error (e), de magnitud constante, el cual incide en alternativamente en los valores estudiados, teniéndose que: 𝑆ˆ𝑗 = 𝑆𝑗 (−1)𝑗−1 (1.29) donde: 𝑆ˆ𝑗 es el efectivo de población estimado en el grupo de edad 𝑗. 𝑆𝑗 es el efectivo de población observado en el grupo de edad 𝑗. 𝑗 = 𝑖 − 2, 𝑖 − 1, 𝑖, 𝑖 + 1, 𝑖 + 2 por ejemplo si tenemos los primeros cinco grupos de edad y sus respectivos efectivos de población observada, que se declaró en el censo en estudio con esas edades y llamamos a 𝑆0 a la población censada en el grupo de edad 0 − 4 años cumplidos, 𝑆1 a la población censada en el grupo de edad 5 − 9 años cumplidos, 𝑆2 a la población censada en el grupo de edad 10 − 14 años cumplidos, 𝑆3 a la población censada en el grupo de edad 15 − 19 años cumplidos y 𝑆4 a la población censada en el grupo de edad 20 − 24 años cumplidos entonces: 2 La presentación se basa en el material compilado por los autores Corona V. Rodolfo y Minunjin Z. Alberto, en su libro ”Manual de Técnicas de Evaluación y Ajuste de información Estadı́stica.editado por Fondo de Cultura Económica en México D.F. 14 𝑆ˆ0 = 𝑆0 + (−1)𝑖−2 = 𝑆0 + (−1)−2 e = 𝑆0 + e (1.30) 𝑆ˆ1 = 𝑆1 + (−1)𝑖−1 = 𝑆1 + (−1)−1 e = 𝑆1 + e (1.31) 𝑆ˆ2 = 𝑆2 + (−1)𝑖−𝑖 = 𝑆2 + (−1)0 e = 𝑆2 + e (1.32) 𝑆ˆ3 = 𝑆3 + (−1)(𝑖+1)−𝑖 = 𝑆3 + (−1)1 e = 𝑆3 + e (1.33) 𝑆ˆ4 = 𝑆4 + (−1)(𝑖+2)−𝑖 = 𝑆4 + (−1)2 e = 𝑆4 + e (1.34) Ahora bien, de acuerdo a la hipótesis de que se ajusta a un polinomio de tercer grado a los valores de 𝑆ˆ𝑗 , entonces Δ4 𝑆ˆ𝑗 = 0. Ilustrando este hecho, supongamos el polinomio de tercer grado, Ψ = 𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥 − 1 entonces: H Ψ ΔΨ Δ2 Ψ Δ3 Ψ Δ4 Ψ 0 -1 3-(-1)=4 (12)-(4)=8 6 0 1 3 15-(3)=12 (26)-(12)=14 6 0 2 15 41-(15)=26 (46)-(26)=20 6 0 3 41 87-(41)=46 (72)-(46)=26 6 4 87 159-(87)=72 (104)-(72)=32 5 159 264-(159)=104 6 264 Haciendo la analogı́a para los valores 𝑆ˆ𝑗 : j 𝑆ˆ𝑗 Δ𝑆ˆ𝑗 Δ2 𝑆ˆ𝑗 Δ3 𝑆ˆ𝑗 𝑖−2 ˆ 𝑆𝑖−2 ˆ − 𝑆𝑖−2 𝑆𝑖−1 ˆ 𝑆ˆ𝑖 − 2𝑆𝑖−1 ˆ − 𝑆𝑖−2 ˆ ˆ − 3𝑆ˆ𝑖 + 𝑆𝑖−1 𝑆𝑖+1 ˆ − 𝑆𝑖−2 ˆ 𝑖−1 ˆ 𝑆𝑖−1 ˆ ˆ 𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1 ˆ ˆ ˆ 𝑆𝑖+1 − 2𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1 ˆ ˆ ˆ ˆ 𝑆𝑖+2 − 3𝑆𝑖+1 + 3𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1 𝑖 𝑆ˆ𝑖 ˆ − 𝑆ˆ𝑖 𝑆𝑖+1 ˆ − 2𝑆𝑖+1 𝑆𝑖+2 ˆ − 𝑆ˆ𝑖 𝑖+1 ˆ 𝑆𝑖+1 ˆ − 𝑆𝑖+1 𝑆𝑖+2 ˆ 𝑖+2 ˆ 𝑆𝑖+2 por tanto Δ4 𝑆ˆ𝑗 = 𝑆𝑖+2 ˆ − 4𝑆𝑖+1 ˆ + 6𝑆ˆ𝑖 − 4𝑆𝑖−1 ˆ + 𝑆𝑖−2 ˆ =0 (1.35) Por Hipótesis ˆ 𝑆𝑖−2 ˆ +e = 𝑆𝑖+2 (1.36) ˆ 𝑆𝑖−1 ˆ −e = 𝑆𝑖+1 (1.37) 𝑆ˆ𝑖 = 𝑆ˆ𝑖 + e (1.38) ˆ 𝑆𝑖+1 ˆ −e = 𝑆𝑖+1 (1.39) ˆ 𝑆𝑖+2 ˆ +e = 𝑆𝑖+2 (1.40) 4 ˆ ⇒ Δ 𝑆𝑗 = 0 (1.41) ˆ + e − 4𝑆𝑖+1 = 𝑆𝑖+2 ˆ + 4e6𝑆ˆ𝑖 + 6e − 4𝑆𝑖−1 ˆ + 4e + 𝑆𝑖−2 ˆ +e (1.42) ˆ − 4𝑆𝑖+1 = 𝑆𝑖+2 ˆ + 6𝑆ˆ𝑖 − 4𝑆𝑖−1 ˆ + 𝑆𝑖−2 ˆ + 16e (1.43) 15 Despejando el valor de 𝑒 ˆ + 4𝑆𝑖+1 16e = −𝑆𝑖+2 ˆ − 6𝑆ˆ𝑖 + 4𝑆𝑖−1 ˆ − 𝑆𝑖−2 ˆ (1.44) 1 ( ˆ + 4𝑆𝑖+1 ˆ − 6𝑆ˆ𝑖 + 4𝑆𝑖−1 ˆ − 𝑆𝑖−2 ˆ ) ⇒e = −𝑆𝑖+2 (1.45) 16 También por la hipótesis 𝑆ˆ𝑖 = 𝑆𝑖 + (−1)𝑖−1 e = 𝑆𝑖 + e (1.46) sustituyendo el valor de e (1.47) 1 ( ˆ ) 𝑆ˆ𝑖 = 𝑆𝑖 + ˆ − 6𝑆ˆ𝑖 + 4𝑆𝑖−1 −𝑆𝑖+2 + 4𝑆𝑖+1 ˆ − 𝑆𝑖−2 ˆ (1.48) 16 simplificando queda: (1.49) 1 ( ˆ ) 𝑆ˆ𝑖 = ˆ + 10𝑆ˆ𝑖 + 4𝑆𝑖−1 −𝑆𝑖+2 + 4𝑆𝑖+1 ˆ − 𝑆𝑖−2 ˆ (1.50) 16 La cual es la fórmula de graduación de un dieciseisavo. 1.4.5. Proyección de la población censada y ajustada al 30 de Junio del año censal Una vez evaluada y corregida la estructura por edad de la población censal, es necesario para tener los denominadores de las tasas de mortalidad, la estimación de la población a mitad del año, es decir, al 30 de Junio del año censal. Antes de indicar como se lleva a cabo la proyección, se hace notar la razón por la cual esto es indispensable. Una tasa de mortalidad para el grupo quinquenal de edades cumplidas entre 𝑋 y 𝑋 +4 se define como la división del número de defunciones registradas en el año Censal (supongamos 1990) y los años-persona vividos por la cohorte en estudio entre las edades 𝑋 y 𝑋 + 4 cumplidos. Entendiendo por cohorte al número de personas que comparten un mismo evento origen, que en este caso es el estar vivo a edad 𝑋. Los años persona son las unidades de tiempo, medida en años, que aportó cada individuo de la cohorte en cuanto a años vividos entre las edades 𝑋 y 𝑋 + 4 años cumplidos. Por ejemplo: Supongamos 48 personas que llegan con vida a los 20 años y que 5 de ellas mueren entre los 20 y 24 años cumplidos; y supongamos que 1 de ellas murió a los 20 años 4 dı́as, 3 de ellas a los 22 años, 10 meses, 8 dı́as y la otra a los 24 años, 1 mes 28 dı́as, entonces la tasa de mortalidad especı́fica para esta cohorte y para el grupo quinquenal de edad 20 − 24 años será: 𝑅,1990 𝐷(20,25) 5 𝑀20 = (1.51) 𝑎˜ 𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎(20−25) donde: 5 𝑀20 Denota la tasa de mortalidad especı́fica para el grupo de edad y 5 años exactos más, es decir, entre 20 y 24 años cumplidos. 16 𝑅,1990 𝐷(2,25) Denota a las definiciones registradas en el año 1990 de personas entre las edades exactas 20-25 años, en este ejemplo son 5. años persona (20,25) Denota los años persona que aportaron las 48 personas en los 5 años correspondientes entre las edades exactas 20 y 25, con vida, es decir, para los que fallecieron, antes de hacerlo, y para los que sobrevivieron, en este caso 43 personas, con 5 años cada uno de ellos. Dado que difı́cilmente se tendrán estadı́sticas vitales que permitan estimar los años-persona vividos siguiendo la definición de manera puntual, se utiliza la hipótesis de distribución uniforme o lineal de las definiciones, lo que es válido para todos los grupos de edad excepto el primero (0-4 años cumplidos), el cual será tratado más adelante. Siguiendo el ejemplo planteado y suponiendo distribución uniforme o lineal de las defunciones tendremos que la aproximación que empleamos para la estimación de los años-personas vividos por la cohorte de 48 personas a edad exacta 20 años será: 5(43) + 5 25 Ilustrado en un diagrama de Lexis: Nótese que en el diagrama de Lexis la población representada por los años persona vividos es la de 20 a 24 años cumplidos al final del año 1990. Sin embargo las defunciones registradas no se tienen clasificadas por generaciones3 sino por año de ocurrencia, ası́ el diagrama de Lexis serı́a: 3 Se llama generación a la cohorte que comparte el evento origen nacimiento 17 𝑃𝑡+𝑛 y 𝑛 aplicamos la relación obtenida bajo la hipótesis de r constante en el tiempo y despejamos su valor. Ya que los años persona vividos se pueden estimar con la población al 30 de Junio del año considerado. Supongamos que se tienen la población 𝑃0 origen. Para t=1 tenemos: 𝑃1 = 𝑃0 + 𝑃0 𝑟 = 𝑃0 (1 + 𝑟)1 (1.53) 2 = 𝑃0 (1 + 𝑟)(1 + 𝑟) = 𝑃0 (1 + 𝑟) (1. en el año inicial que llamaremos cero. es decir: 𝑃𝑡+𝑛 = 𝑃𝑡 (1 + 𝑟)𝑛 (1. es necesario proyectar la estructura por edad de la población censada del dı́a que fue censada al 30 de Junio del año Censal. Para ello tomamos la infor- mación en cuanto al total de la Población censada en dos censos sucesivos.59) El problema se centra ahora en estimar a la tasa de crecimiento r.55) Demostración por inducción matemática. Ası́: 𝑃1 = 𝑃0 + 𝑃0 𝑟 = 𝑃0 (1 + 𝑟) (1.56) Suponemos válido para t=k.57) Lo demostramos apra k+1 𝑃𝑘+1 = 𝑃𝑘 + 𝑃𝑘 𝑟 = 𝑃𝑘 (1 + 𝑟) (1. guarda la relación: 𝑃𝑡 = 𝑃0 (1 + 𝑟)𝑡 (1. 𝑛 en el caso de México es aproximadamente igual a 10.61) 𝑃𝑡 18 .60) entonces ( )1 𝑃𝑡+𝑛 𝑛 = (1 + 𝑟) (1. para los grupos de edades quinquenales a partir de 5 a 9 años cumplidos.54) No es difı́cil ver que la población t años después es función de la población de origen 𝑃0 . ésta es la hióteisi de inducción 𝑃𝑘 = 𝑃0 (1 + 𝑟)𝑘 (1. el cual denotaremos con 𝑟. Conociendo 𝑃𝑡 . entonces: 𝑃2 = 𝑃1 + 𝑃1 𝑟 = 𝑃1 (1 + 𝑟) (1. Sea 𝑃𝑡 la población total censada en el primer censo y 𝑃𝑡+𝑛 la población total censada en el segundo censo. y que comúnmente se le llama tasa de crecimiento.Teniéndose a los años persona asociados al número de personas entre 20 y 24 años cumplidos a mitad del año. es decir. Un año después tendremos 𝑃1 que será igual a 𝑃0 más un porcentaje de 𝑃0 . el cual en general es positivo. al 33 de Junio de 1990.58) 𝑘 𝑘+1 = 𝑃0 (1 + 𝑟) (1 + 𝑟) = 𝑃𝑘 (1 + 𝑟) (1.52) supóngase r constante en el tiempo. Por ejemplo. .𝑖. el que se divide en dos grupos (cero años cumplidos y 1 a 4 años cumplidos) y para el resto de los grupos (5 -9.𝑃 . 1. Por ejemplo: Dada la población censada.𝑥+4 (1 + 𝑟) 365 (1. La razón de captar la información anterior.62) 𝑃𝑡 Una vez estimado el valor de la tasa de crecimiento r podemos proyectar la estructura por edad de la población censada. 15. con la presentación de los factores de separación. 10 -14.. 10. .06.6. tanto del primer grupo de edad.4. otro posterior y para el año en que se esta calculando la tabla. esto al 30 de Junio del año censal..08 que denotamos 𝑃𝑥. la población estimada al 30 de Junio de 1980. aquı́ se presentará un método sencillo y eficaz para estimar el grado de subregistro de las defunciones. 𝑖=1989 𝑥.. Evaluación y corrección de la distribución de las defunciones por grupos quinquenales de edades Se tienen actualmente métodos que miden con cierta precisión e1 grado de subregistro de las defunciones. Inicialmente se vera la estimación del grado de subregistro de las defunciones para los grupos de edad 5-9. evaluadas.4.) al 4 de Junio de 1980 (año en que se levantó el X Censo Nacional de Población y 𝐶.𝑥+4 = 𝑃𝑥.80 vivienda en México).06. hasta el 85 y más años cumplidos de edad. 85 y más).𝑥+4 representa las defunciones registradas en el año 𝑖 de personas que fallecieron entre las edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 4 años. las estimaciones de los denominadores de la tasa de mortalidad infantil (1 𝑀0 )y del grupo de edad 1 a 4 años cumplidos (4 𝑀1 )se verán mas adelante. Se debe tener las defunciones registradas para dichos grupos quinquenales de edad..𝑥+4 . las estructuras por grupos quinquenales de edad. si se esta calculando la tabla para el año 1990 entonces hay que captar la información de las defunciones registradas en 1989. evaluada y corregida con edad entre 𝑥 y 𝑥 + 4 años cumplidos (𝑋 = 5. es decir: 31 1990 𝐷 𝑅.80 26 𝑃𝑥. ˆ 30. es el tener el promedio de defunciones registradas en esos tres años y reducir el sesgo ∑ por subregistro de las defunciones.06. . 10-14. ellas para los grupos de edades 5 -9 años cumplidos en adelante. en tres años. la que denotamos 𝑃𝑥.𝑥+4 donde 𝑅.4. 15.80 𝐶..𝑖 𝐷𝑥. El promedio de las defunciones será aritmético.06. 1990 y 1991 por grupos quinquenales de edad a partir del grupo 5 a 9 años cumplidos.63) 26 donde 365 denotan los dı́as entre la fecha del levantamiento del censo y el 30 de Junio del año censal. Hasta aquı́ se puede ya tener los denominadores de las tasas especı́ficas de mortalidad por grupos quinquenales de edad (5 𝑀𝑥 ) para 𝑋 = 5..finalmente ( )1 𝑃𝑡+𝑛 𝑛 𝑟= −1 (1. uno anterior.𝑥+4 será estimada con la siguiente relación: ˆ 20.. tanto en el primer grupo de edad (0-4 años cumplidos) como para el resto de los grupos4 . Dado que dichos métodos requieren de un mayor conocimiento del Análisis Demográfico y manejo de la información. 10. corregidas y proyectadas al 30 de Junio de cada uno de los dos años censados.. 4 Ver Bibliografı́a 19 .𝑃 . Para ello suponemos tener para dos censos sucesivos. 𝑖 𝑅. y (1 + 𝐾) será el factor de corrección que se debe aplicar a dichas defunciones. 20 .06.𝑖 ) 𝑎= 𝑃𝑥+10.06.𝑥+9 + 𝐷𝑥+10.𝑖 ) 𝐷𝑥.𝑥+4 + 𝐷𝑥+5.𝑥+4 (1. 𝑥 + 4).06. (𝑥 + 5.06. 𝑋 + 14) años cumplidos. para estimar el grado de subregistro de las defunciones.𝑥+14 − 𝑃𝑥.𝑥+4+10 respectivamente.𝑥+4 y 𝑃𝑥+10.𝑥+4 + 𝐷𝑥+5.𝑡 30. 𝑥 + 9) y (𝑋 + 10.06. Dado que generalmente se tendrá un subregistro: 1990 { } 1 ( 30.𝑡+10 como 𝑃𝑥. al 30 de Junio del año 1990 (año del segundo censo) la población sobreviviente será igual a la que tiene entre 𝑥 + 10 y 𝑥 + 14 años cumplidos.1980 ) 1 ∑ ( 𝑅. se basa en la hipótesis de población cerrada a la migración y que las estructuras al 30 de Junio de cada uno de los dos años censales sucesivos es.𝑥+4 > 𝐷𝑥. La población que al 30 de Junio del año 1980 (año del primer censo) tenı́a entre las edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 4. de no existir subregistro de las defunciones y de cumplirse las hipótesis del método con el promedio de las defunciones registrar entre 1989 y 1990 (siguiendo el ejemplo) y que tenı́an entre 𝑥 y 𝑥 + 14 años cumplidos.𝑥+14 (1.1990 30.1980 ) 𝑃𝑥+10. con alta precisión. se debe a las defunciones que anualmente se debieron registrar en personas que al fallecer tenı́an entre las edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 4 años. la real y en la estabilización en los afectivos de defunciones en los diez años considerados (entre el primero y el segundo censo). Si denotamos a dichas poblaciones 30.𝑖 𝑅.𝑥+14 (1.64) 10 debe ser aproximadamente igual a { 1990 } 1 ∑ ( 𝑅. El método que se describe a continuación. entonces bajo los supuestos antes citados: 1 ( 30.𝑖 𝑅.𝑥+9 + 𝐷𝑥+10.67) donde K mide el grado de subregistro de las definiciones en los grupos de edad (𝑥.65) 3 𝑖=1989 Ya que la décima parte de la diferencia entre las dos poblaciones al 30 de Junio de sus respectivos años censales.𝑥+14 − 𝑃𝑥.1990 30. o que debe de coincidir.66) 10 3 𝑖=1989 por lo que existirá un número K tal que: 𝑎 = (1 + 𝐾) ∗ 𝑏 (1.𝑖 𝑅.06. a partir de 5 a 9 años cumplidos Una vez estimada. la estructura promedio corregida de las defunciones. El grupo quinquenal inicial. el de cero años cumpli- 21 . para el año censal asociado al año de referencia de la tabla. sobre todo por la no declaración de los niños menores de un año. se hace necesario estimar la población al 30 de Junio del año censal con un tratamiento de la información diferente al que se uso para los grupos quinquenales de edad a partir del 5 a 9 años. la estructura por grupos quinquenales de edad. se pueden estimar las tasas de mortalidad especificadas para dichos grupos de edad. se divide en dos grupos. evaluada. los pasos a seguir se resumen en el siguiente cuadro: 1. y por otro lado.4. por un lado. Estimación de las tasas de mortalidad especı́ficas por grupos quinque- nales de edades. para los mismos grupos quinquenales de edades.7. corregida y proyectada para el 30 de junio del año censal.1.5. 0-4 años cumplidos. Estimación de la tasa de mortalidad infantil (1 𝑀0 ) y la del grupo de uno a cuatro años cumplidos (4 𝑀1 ) Dado que la estructura de la población censada no es confiable para el grupo de edad 0 − 4 años cumplidos. Inicialmente se presentará la estimación de los denominadores de las tasas de mortalidad 1 𝑀0 y 4 𝑀1 es decir la población estimada al 30 de Junio del año censal de cero años cumplidos y de uno a cuatro años cumplidos respectivamente. económicos y de salud pública. de cero a seis dı́as cumplidos. Para ilustrar el método a seguir supóngase que deseamos los poblaciones al 30 de Junio de 1990. (𝑖 = 1985. Para ello requerimos de la siguiente información: Los nacimientos registrados en los años de 1985 a 1990. de uno a once meses cumplidos. los que denotaremos 𝑁 𝑅. en semanas. 1986.. La notación que se empleará se resume en el siguiente cuadro: Edad al momento de la muerte (dı́as cumplidos) 1985 1986 1987 1988 1989 1990 𝑅1985 𝑅1990 0 𝐷(0/365) 𝐷(0/365) 𝑅1985 𝑅1990 1 𝐷(1/365) 𝐷(1/365) 𝑅1985 𝑅1990 2 𝐷(2/365) 𝐷(2/365) 𝑅1985 𝑅1990 3 𝐷(3/365) 𝐷(3/365) 𝑅1985 𝑅1990 4 𝐷(4/365) 𝐷(4/365) 𝑅1985 𝑅1990 5 𝐷(5/365) 𝐷(5/365) 𝑅1985 𝑅1990 6 𝐷(6/365) 𝐷(6/365) Semanas cumplidas 𝑅1985 𝑅1990 1 𝐷(1/52) 𝐷(1/52) 𝑅1985 𝑅1990 2 𝐷(2/52) 𝐷(2/52) 𝑅1985 𝑅1985 3 𝐷(3/52) 𝐷(3/52) Meses cumplidos 𝑅1985 𝑅1990 1 𝐷(1/12) 𝐷(1/12) 𝑅1985 𝑅1990 2 𝐷(2/12) 𝐷(2/12) 𝑅1985 𝑅1990 3 𝐷(3/12) 𝐷(3/12) 𝑅1985 𝑅1990 4 𝐷(4/12) 𝐷(4/12) 𝑅1985 𝑅1990 5 𝐷(5/12) 𝐷(5/12) 𝑅1985 𝑅1990 6 𝐷(6/12) 𝐷(6/12) 𝑅1985 𝑅1990 7 𝐷(7/12) 𝐷(7/12) 𝑅1985 𝑅1990 8 𝐷(8/12) 𝐷(8/12) 𝑅1985 𝑅1990 9 𝐷(9/12) 𝐷(9/12) 𝑅1985 𝑅1990 10 𝐷(10/12) 𝐷(10/12) 𝑅1985 𝑅1990 11 𝐷(11/12) 𝐷(11/12) 22 . esto por la importancia del indicador 1 𝑀0 y su asociación a aspectos sociales.. .. Para el grupo de edad cero anos cumplidos. en cuanto a la edad del infante al momento de la muerte. 1990).𝑖 . de una a tres semanas cumplidas y en meses. desagregadas. en dı́as. las defunciones registradas de 1985 a 1990.dos y el de uno a cuatro años cumplidos. las definiciones registradas en el año 𝑖 con 𝑥 años cumplidos al momento de la muerte... denotando con 𝐷0𝑅𝑖 . de 1987 a 1990 de dos años cumplidos. registradas en 1989 y de niños nacieron en 1986 y 1987.. y de 1989 y 1990 de cuatro años cumplidos. Para el grupo de edad uno a cuatro años cumplidos. las defunciones registradas de 1986 a 1990 de un año de edad cumplido por el infante al morir. En el siguiente cuadro se resume y denota la información. pertenecen a dos generaciones. El problema se centra en separar las definiciones por generación y poder llenar los espacios en el siguiente diagrama de Lexis 23 .. de 1988 a 1990 de tres años cumplidos. (i = 1985.1990) al total de defunciones registradas de infantes de cero años cumplidos al momento de la muerte en el año registrado 𝑖. En el anterior diagrama de Lexis se observa con claridad que las defunciones no están registradas por generación o cohorte. en cuanto a las defunciones registradas requeridas para el grupo de edad uno a cuatro años cumplidos. Edad al momento de la muerte (años 1986 1987 1988 1989 1990 cumplidos) 1 𝐷1𝑅1986 𝐷1𝑅1987 𝐷1𝑅1988 𝐷1𝑅1989 𝐷1𝑅1990 2 𝐷1𝑅1987 𝐷1𝑅1988 𝐷1𝑅1989 𝐷1𝑅1990 3 𝐷1𝑅1988 𝐷1𝑅1989 𝐷1𝑅1990 4 𝐷1𝑅1989 𝐷1𝑅1990 Se presenta a continuación la información en un diagrama de Lexis. es decir. ejemplo las 𝐷2𝑅1988 son defunciones de infantes que al morir tenı́an dos años cumplidos de edad. 06. entonces se puede estimar la población de cuatro años cumplidos al 30 de Junio de 1990. Una vez divididas por cohorte las defunciones.1990 (1 de enero de 1990) como 𝑁 𝑅1986 − 9𝑖=1 𝑎𝑖 y la población con los mismos años ∑9 al 31 de diciembre de 1990 como 𝑁 𝑅1986− 𝑗=1 𝑏𝑗 . viva al 30 de Junio de 1990 𝑃430.90 el promedio aritmético de las poblaciones estimadas al principio y al final de 1990. viva al 1. para ilustrar su utilidad tomemos las cohortes o generaciones de 1985 y 1986. siendo la estimación de la población de 4 años cumplidos. la explicación se da con la ayuda del siguiente diagrama de Lexis. es decir: 24 .Supóngase que ya se tienen divididas las defunciones por generación. se∑estima la población de 4 años cumplidos.01. 25 . 365 + 2∗365 de año.68) 2 donde (1.90 + 𝑃431. la manera en que se pueden separar las defunciones registradas en cada año. supondremos que en promedio vivieron 1 1 uno y medio dı́a. semanas y meses cumplidos. 𝑃41. La hipótesis con la que se trabajará es la de distribución uniforme o lineal de las muertes.71) 9 𝑃431.90 = 𝑁 𝑅1985 − ∑ 𝑎𝑖 (1.01. se verá a continuación el cálculo de los factores de separación que servirán para lograr dicho objetivo: separar el total de defunciones por cohorte o generación.72) 𝑗=1 Una vez vista la importancia de separar las defunciones.12. Para ello ya se deben tener las defunciones desagregadas en dı́as. Factores de Separación En principio se verá para el primer grupo de edad (cero años cumplidos).90 = 𝑁 𝑅1986 − ∑ 𝑏𝑗 (1.70) 𝑖=1 y (1.06. ası́ las personas que fallecieron teniendo cero dı́as cumplidos. en cada uno de los intervalos de tiempo en que se desagregaron las defunciones. por generación o cohorte.69) 9 𝑃41. es decir. y ası́ sucesivamente. de acuerdo a la desagregación antes indicada. los que murieron teniendo un dı́a cumplido.90 = (1.12. En la siguiente tabla se presentan el tiempo que en promedio aportó cada persona que murió en el grupo de edad cero años cumplidos.6. es decir 1 2∗365 de año. supondremos que vivieron en promedio medio dı́a. 1.01. por intervalo de edad. de acuerdo a la desagregación antes ndicada.90 𝑃430. Edad (dı́as cumplidos) Edad promedio al morir Notación (1) ( 1 ) 0 ( 1 )2 ( 365 𝑔1 + ( 21 ) ( 365 )( 1 ) 1 ( 365 𝑔2 2 1 1 ) ) 2 365 + 2 ( 3 ) (1) ( 1 ) 365 𝑔3 3 ( 365 ) + ( 21 ) ( 365 𝑔4 4 1 ) 4 ( 365 + ( 2 ) ( 365 𝑔5 5 1 1 ) ) 5 365 + 2 ( 6 ) (1) ( 1 ) 365 𝑔6 6 365 + 2 365 𝑔7 Semanas cumplidas ( 1 ) (1) ( 1 ) 1 ( 52 ) + ( 21 ) ( 52 𝑔8 2 1 ) 2 ( 52 + ( 2 ) ( 52 𝑔9 3 1 1 ) ) 3 52 + 2 52 𝑔10 Meses cumplidos ( 1 ) (1) ( 1 ) 1 ( 12 ) + ( 21 ) ( 12 𝑔11 2 1 ) 2 ( 12 + ) ( 21 ) ( 12 𝑔12 3 1 ) 3 ( 12 + ( 2 ) ( 12 𝑔13 4 1 1 ) ) 4 12 + 2 ( 5 ) (1) ( 1 ) 12 𝑔14 5 ( 12 ) + ( 21 ) ( 12 𝑔15 6 1 ) 6 ( 12 + ( 2 ) ( 12 𝑔16 7 1 1 ) ) 7 ( 12 + ) ( 21 ) ( 12 𝑔17 8 1 ) 8 ( 12 + ( 2 ) ( 12 𝑔18 9 1 1 ) ) 9 12 + 2 ( 10 ) ( 1 ) ( 1 )12 𝑔19 10 12 ) + ( 2 ) ( 12 ) ( 11 𝑔20 1 1 11 12 + 2 12 𝑔21 26 . es el factor que separa a las defunciones registradas en el año de registro. Denotando dicho valor como 𝐾 𝑡 el cual además de ser la fracción de año que en promedio vivieron los niños de la cohorte anterior al. es decir. el cual corresponde al triángulo superior de cada año. Para estimar el factor de separación. Aplicamos los valores a las correspondientes defunciones. 27 . el resultado representa la cantidad total que en tiempo aportaron con vida las personas que murieron en el año considerado y que pertenecen a la generación. Por tanto: ∑21 𝑅𝑡 𝑡 𝑖=1 𝑔𝑖 𝐷𝑖 𝐾 = (1. o cohorte. si deseamos el promedio de año que vivieron las personas de la generación un año anterior al año de registro es necesario dividir la suma de lo 21 productos entre el total de defunciones registradas en el año en consideración. multiplicándolos y sumando los 21 productos. bien. el porcentaje de defunciones pertenecientes a la cohorte o generación un año anterior al año de registro de ellas. año de registro y que murieron en dicho año. Ahora.73) 𝐷0𝑅𝑡 donde: 𝐷𝑖𝑅𝑡 Son las defunciones registradas en el asño 𝑡 asociadas al intervalo de edad cumplida 𝑔𝑖 . un año anterior al año de registro de la defunción. como se observa en los anteriores diagramas de Lexis. el investigador tendrı́a que obtenerlos.45 4 0. por ejemplo. se debe decir que el procedimiento es análogo al que se empleo en el caso de las defunciones de infantes de cero años cumplidos.41 2 0.43 3 0. 𝐷0𝑅𝑡 Son las defunciones registradas en el año 𝑡 de personas con edad al morir de cero años cumplidos. si tenemos el total de defunciones registradas en 1987 de personas que al morir tenı́an cero años cumplidos (𝐷0𝑅1987 ) entonces: 𝐾 1987 𝐷0𝑅1987 (1.47 Se han tomado como los factores de separación para las defunciones registradas en el grupo de edad uno a cuatro años cumplidos. para 1 s defunciones registradas de niños entre 1 y 4 años cumplidos de edad. Representando lo anterior en un diagrama de Lexis se tiene: Pasando a la estimación de los factores de separación.75) representa el porcentaje de las mismas muertes que pertenecen a las personas que nacieron en 1987 y que murieron en el mismo año.74) representa el porcentaje de dichas muertes que pertenecen a las personas que nacieron en 1986 y que murieron en 1987 y: 1 − 𝐾 1987 𝐷0𝑅1987 ( ) (1. debido a que los valores de dichos factores no difieren de los que se muestran en el siguiente cuadro: Edad (años cumplidos) Factores de Separación 1 0. Ası́. Sin embargo. Naturalmente que si se desea verificar la validez o precisión delos factores de separación dados. desagregando en semanas o 28 . 90 𝑁 𝑅1987 − 1 − 𝐾 1987 𝐷0𝑅1987 − 𝐾 88 𝐷0𝑅88 𝑁 𝑅1988 − 1 − 𝐾 1988 𝐷0𝑅1988 − 𝐾 88 𝐷0𝑅89 ( ) ( ) 2 − − 0.59𝐷1 − 0.59𝐷1 𝑅88 − 0.90 0.90 0.55𝐷3𝑅89 = 𝑃ˆ31.41𝐷1𝑅89 − 0. esto siguiendo el ejemplo de la construcción de una tabla de mortalidad para el año 1990 Teniéndose finalmente en el siguiente cuadro las expresiones que resumen a la población al principio y al final de 1990.59𝐷1 𝑅87 − 0. Edad Población al 1 de enero de 1990 Población al 31 de diciembre de 1990 𝑁 𝑅1989 − 1 − 𝐾 1989 𝐷0𝑅1989 = 𝑃ˆ 1.55𝐷3𝑅88 − 0.01.43𝐷2𝑅88 − 0.meses las defunciones registradas en esos cuatro años de vida. Las que sirven para estimar la población al 30 de junio de 1990 y con ello los denominadores de las tasas de mortalidad 1 𝑀0 y 4 𝑀1 .90 𝑁 𝑅1985 − 1 − 𝐾 1985 𝐷0𝑅1985 − 𝐾 86 𝐷0𝑅86 𝑁 𝑅1986 − 1 − 𝐾 1986 𝐷0𝑅1986 − 𝐾 87 𝐷0𝑅87 ( ) ( ) 4 − − 0.57𝐷2𝑅88 − 0.59𝐷1𝑅86 − 0.43𝐷2𝑅89 𝑅87 𝑅88 − 0.55𝐷3𝑅89 − 0.55𝐷2𝑅90 = 𝑃ˆ331.59𝐷1 𝑅90 = 𝑃ˆ1 31.12.12.90 ( ) ( ) 0 𝑁 𝑅1988 − 1 − 𝐾 1988 𝐷0𝑅1988 − 𝐾 89 𝐷0𝑅89 𝑁 𝑅1989 − 1 − 𝐾 1989 𝐷0𝑅1989 − 𝐾 89 𝐷0𝑅90 ( ) ( ) 1 − − 0.41𝐷1𝑅90 − 0.41𝐷1 − 0.45𝐷3𝑅90 − 0. En el siguiente diagrama de Lexis se indican en que espacio son empleados los factores de separación para el grupo de edad 1 a 4 años cumplidos.90 0.59𝐷1 𝑅90 = 𝑃ˆ131.90 𝑁 𝑅1988 − 1 − 𝐾 1988 𝐷0𝑅1988 − 𝐾 89 𝐷0𝑅89 𝑁 𝑅1989 − 1 − 𝐾 1989 𝐷0𝑅1989 − 𝐾 89 𝐷0𝑅90 ( ) ( ) 1 − − 0.90 4 29 .90 𝑁 𝑅1986 − 1 − 𝐾 1986 𝐷0𝑅1986 − 𝐾 87 𝐷0𝑅87 𝑁 𝑅1987 − 1 − 𝐾 1987 𝐷0𝑅1987 − 𝐾 88 𝐷0𝑅88 ( ) ( ) 3 − − 0.57𝐷2 𝑅87 − 0.01.01.59𝐷1 𝑅89 − 0.57𝐷2 𝑅88 − 0.57𝐷2 𝑅89 = 𝑃ˆ21. y posteriormente estimar los factores de separación.01.12.12.12.90 4 0.57𝐷2𝑅89 − 0.90 0.57𝐷2𝑅90 = 𝑃ˆ231.41𝐷1𝑅87 − 0.53𝐷4𝑅89 = 𝑃ˆ 1.53𝐷4𝑅90 = 𝑃ˆ 31.90 𝑁 𝑅1990 − 1 − 𝐾 1990 𝐷0𝑅1990 = 𝑃ˆ 31.12.01.59𝐷1𝑅89 = 𝑃ˆ11.43𝐷2𝑅90 𝑅89 − 0.59𝐷1𝑅88 − 0.01.45𝐷3𝑅89 − 0.43𝐷2𝑅89 − 0.41𝐷1𝑅88 − 0.41𝐷1 − 0.59𝐷1𝑅89 = 𝑃ˆ11. Para corregirlas es necesario dominar técnicas avanzadas de análisis demográfico5 .01.77) 𝑃ˆ030.12.90 1−4 Cabe señalar que las defunciones registradas de cero años cumplidos y de uno a cuatro años cumplidos. para cada uno de los 19 grupos de edades cumplidas.01.12. ˆ Por lo tanto las poblaciones estimadas al 30 de junio de 1990 con cero años cumplidos (𝑃030. 1983.90 ˆ 31.12. Hasta aquı́ se tienen ya presentada la manera de evaluar.90 𝑃ˆ030.01.90 ( 31 𝐷1−4 ( ) ( 𝑅89 𝑅90 + 𝐷 𝑅91 ) + 𝐷1−4 1−4 4 𝑀1 = (1.06. 99-156 30 . se encuentra subregistradas.90 1 [( ˆ 1.06. y evaluar y corregir la información de las estadı́sticas vitales. Recomendando incrementar el valor de 1 𝑀0 en un 18 por ciento y el de 4 𝑀1 en un 9 por ciento.01.06.76) 2 30.90 = (1.78) 𝑃ˆ 30. pp. esto con el fin de obtener las tasas especificas de mortalidad. compilación del mismo autor.06. sobre todo las de cero años cumplidos.90 ) 30.90 − 𝑃031. de las defunciones de cero años cumplidos oscila entre un 15 y 20 por ciento y para las defunciones entre uno y cuatro años cumplidos entre un 8 y un 10 por ciento. editorial El Colegio de México.01. El subregistro a nivel Nacional. 1940-1977. esperado para 1990.90 1.90 )] 𝑃ˆ1−4 = 𝑃1 ˆ + 𝑃2 ˆ + 𝑃3 ˆ + 𝑃4 ˆ 𝑃1 ˆ + 𝑃2 ˆ + 𝑃3 + 𝑃4 2 Ası́ las tasas de mortalidad 1 𝑀0 y 4 𝑀1 quedan finalmente definidas como: ( 31 𝐷0𝑅89 + 𝐷0𝑅90 + 𝐷0𝑅91 ( )( ) 1 𝑀0 = (1. corregir y proyectar la información censal.06.90 1. las que se denotan en el siguiente cuadro: 5 Ver Mina Valdés Alejandro .90 ) ( 31.90 31.90 31.en Lecturas sobre temas demográficos.12.06.90 1.90 y de uno a cuatro años cumplidos (𝑃ˆ1−4 ) se estima de la siguiente manera: ˆ ˆ 𝑃01.12.Estimación de los niveles y tendencias de la mortalidad infantil y en los primeros años de vida en México. 83) 2 donde: 𝑑𝑥 representa a las defunciones de la tabla de mortalidad (no las defunciones observadas). 1. Grupo de edad Tasa de mortalidad 0 1 𝑀0 1-4 4 𝑀1 5-9 5 𝑀5 10-14 5 𝑀10 14-19 5 𝑀15 20-24 5 𝑀20 25-29 5 𝑀25 30-34 5 𝑀30 35-39 5 𝑀35 40-44 5 𝑀40 45-49 5 𝑀45 50-54 5 𝑀50 55-59 5 𝑀55 60-64 5 𝑀60 65-69 5 𝑀65 70-74 5 𝑀70 75-79 5 𝑀75 80-84 5 𝑀80 85+ + 𝑀85 Lo que resta hacer es generar a partir de las tasas especı́ficas de mortalidad.𝑥+𝑛 . esto para edades por encima de los cinco años de edad. las otras seis series de ella. entre las edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 𝑙 o la edad cumplida 𝑥.82) 𝐿𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑥 −𝑙𝑥+1 (1.𝑒𝑥 .7.79) 𝑙𝑥 − 𝑑2𝑥 𝑑𝑥 = (1. a saber: 𝑛 𝑞𝑥 .80) 𝑙𝑥+1 − 𝑑2𝑥 𝑑𝑥 = (1.5 𝑑𝑥 = (1.81) 𝑙𝑥+0.𝑇𝑥 . Entonces la tasa especifica de mortalidad 1 𝑀𝑥 seria igual a: 𝑑𝑥 1 𝑀𝑥 = (1. Relación entre tasas de mortalidad y cocientes o probabili- dades de muerte Supóngase valida la hipótesis de distribución uniforme de las defunciones. que deseamos estimar la tasa de mortalidad entre la edad 𝑥 y la 𝑥 + 𝑙 exacta. 31 .𝑛 𝐿𝑥 .𝑑𝑥.𝑙𝑥 . se tiene: Cabe señalar que se supone también que el fenómeno migración no perturba el fenómeno mor- talidad. 1).88) 2 (𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 ) = 𝑙𝑥+1 + (1.90) 2 32 .86) 2 𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+1 = (1.84) eniendo finalmente que los años-persona vividos entre x y x +1 años exactos es igual a: 𝑑𝑥 1 𝐿𝑥 = 𝑙𝑥 − (1. Por lo tanto: 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 = 𝑑𝑥 (1. Representando en un diagrama de Lexis las relaciones de 1 𝑀𝑥 .89) 2 𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+1 = (1.87) 2 𝑑𝑥 = 𝑙𝑥+1 + (1. 1 𝐿𝑥representan los años -persona vividos entre las edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 1 y también las personas vivas a edad cumplida 𝑥. que la diferencia de los supervivientes entre dos edades exactas solo se debe a las defunciones y no a movimientos migratorios. 𝑙𝑥+1 representa los supervivientes de la tabla de mortalidad a edad exacta 𝑥 + 𝑙(𝑖 = 0.85) 2 (𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 ) = 𝑙𝑥 − (1. es decir. que se denotan como 1 𝑞𝑥 es igual a: 𝑑𝑥 1 𝑞𝑥 = (1. es decir.91) 𝑙𝑥 Tomando la relación especial de tasa especı́fica de mortalidad y completando en el numerador y en el denominador el cociente 1 𝑞𝑥 .98) 2 + 1 𝑀𝑥 33 . 1 𝑞𝑥 ( ) 1 𝑀𝑥 1− = 1 𝑞𝑥 (1.95) 2 ( ) 1 𝑀𝑥 ⇒ 1 𝑀𝑥 = 1 𝑞𝑥 1+ (1. en este sentido 𝑑𝑥 representa los casos favorables y 𝑙𝑥 el total de casos. lo que se obtiene despejando 1 𝑞𝑥 de la última relación encontrada.97) 1 + 1𝑀 2 𝑥 2 1 𝑀𝑥 = (1.96) 2 1 𝑀𝑥 ⇒ 1 𝑞𝑥 = (1. Ası́ la probabilidad de muerte entre las probabilidades exactas 𝑥 y 𝑥 + 1.93) 𝑙𝑥 𝑙𝑥 𝑙𝑥 − 2 1 𝑞𝑥 = (1.92) 𝑙𝑥 − 𝑑2𝑥 𝑑𝑥 𝑙𝑥 = 𝑑𝑥 (1. lo que se desea es una relación que a las probabilidades 1 𝑞𝑥 las tenga en función de las tasas especificas de mortalidad 1 𝑀𝑥 .94) 1 − 1 𝑞2𝑥 Dado que inicialmente lo que se tiene son las tasas especı́ficas de mortalidad. se obtiene: 𝑑𝑥 1 𝑀𝑥 = (1. los casos favorables entre el total de casos. La probabilidad de muerte o cociente de mortalidad entre las edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 1 se define en base a lo que conocemos por probabilidad clásica. 99) 𝑥 ∫ 𝑥 = +1(𝑘(𝑋 − 𝑥)) 𝑑𝑥 (1.100) 𝑥 𝑥2 . es empleando el cálculo diferencial e integral. observación: Otra forma de obtener la estimación de los años-persona vividos de los supervivientes entre las edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 𝑙. 𝑙𝑥 ) y (𝑥 + 1. lo que representará los 1 𝐿𝑥 . 𝑙𝑥+1 ) y obteniendo el área bajo esa fracción de recta y el eje de las edades. Por tanto ∫ 𝑥 1 𝐿𝑥 = +1𝑙𝑥 𝑑𝑥 (1. Suponiendo que pasa una lı́nea recta entre los puntos (𝑥. . 𝑥+1 { . 𝑥+1 . 𝑥+1 } = 𝑘 − 𝑥𝑋 . + 𝑋𝑙𝑥 . 101) . (1. . 2 𝑥 . 𝑥 𝑥 𝑘 = + 𝑙𝑥 (1.102) 2 𝑙𝑥+1 + 𝑙𝑥 = + 𝑙𝑥 (1. 𝑙𝑥 ) y (𝑥 + 5. 𝑙𝑥+5 ) entonces 5 𝐿𝑥 se obtendrı́a de la siguiente manera análoga: 34 .103) 2 𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+1 = (1.104) 2 Si los puntos fueran (𝑥. Entonces: ∫ 𝑥 5 𝐿𝑥 = +5𝑙𝑥 𝑑𝑥 (1.106) 𝑥 ( 2 ).105) ∫𝑥𝑥 = +5 {𝑘(𝑋 − 𝑥) + 𝑙𝑥 } 𝑑𝑥 (1. 𝑥 . 𝑥 . 𝑥 = 𝑘 − 𝑥𝑋 . + 5 + 𝑋𝑙𝑥 . 107) . + 5 (1. 2 𝑥 𝑥 ( ) 25 = 𝑘 + 5𝑙𝑥 (1.110) 2 O bien empleando un diagrama de Lexis6 . 35 .108) 2 ( ) 5 = (𝑙𝑥+5 − 𝑙𝑥 ) + 5𝑙𝑥 (1.109) 2 5 = (𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+5 ) (1. 115) 5𝑙𝑥 − 52 𝑑𝑥.𝑥+5 5 𝑀𝑥 = (1.116) 𝑙𝑥 5 𝑑𝑥.114) 𝑙𝑥 Siguiendo el mismo procedimiento que para la obtención de la relación entre 1 𝑞𝑥 y 1 𝑀𝑥 . la tasa especı́fica de mortalidad entre las edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 5 es igual a: 𝑑𝑥.Por lo tanto.𝑥+5 = 5 (1.113) 2 𝑥 − 𝑙𝑥+5 ) (𝑙 y el cociente o probabilidad de muerte entre las mismas edades exactas será: 𝑑𝑥.111) 5 𝐿𝑥 𝑑𝑥.𝑥+5 𝑑𝑥.112) 5𝑙𝑥 − 25 𝑑𝑥.117) 5 − 52 5 𝑞𝑥 y despejando a 5 𝑞𝑥 : 6 Una mayor explicación se da en el anexo 36 .𝑥+5 5 𝑀𝑥 = (1.𝑥+5 = (1.𝑥+5 𝑙𝑥 = ( ) ( ) (1. se tiene en este caso: 𝑑𝑥.𝑥+5 5 𝑙𝑥 − 2 𝑙𝑥 5 𝑞𝑥 = (1.𝑥+5 𝑑𝑥.𝑥+5 5 𝑞𝑥 = (1. 120) 1 + 52 5 𝑀𝑥 105 𝑀𝑥 ⇒ 5 𝑞𝑥 = (1. ( ) 5 5 𝑀𝑥 5 − 𝑞𝑥 = 5 𝑞𝑥 (1.121) 2 + 5 5 𝑀𝑥 2 ∗ 5 5 𝑀𝑥 ⇒ 5 𝑞𝑥 = (1.000.124) 1 𝐿𝑥 donde: 𝑙0 representa a los supervivientes a edad exacta cero y es llamado el radix de la tabla de mortalidad que generalmente es igual a 100.123) 𝑙0 − (1 − 𝑘 ) 2 𝑑0 = (1. para estimar la relación entre la tasa de mortalidad infantil y la probabilidad de morir en el primer año de vida7 . empleamos el factor de separación del año censal (𝑡).119) 25 55 𝑀𝑥 ⇒ 5 𝑞𝑥 = (1. 7 Comúnmente se toma1 𝑞𝑥 =1 𝑀0 37 . las relaciones entre tasas y cocientes para edades por encima de los cinco años de edad.122) 2 + 5 5 𝑀𝑥 Pudiendo resumir para el siguiente cuadro.118) 25 ( ) 5 ⇒ 55 𝑀𝑥 = 5 𝑞𝑥 1 + 𝑀𝑥 (1. de tal manera que: 𝑑0 𝑑0 1 𝑀0 = 𝑡 (1. Edades Exactas Relación entre tasas y cocientes inicial final 21 𝑀𝑥 𝑥 𝑥+1 1 𝑞𝑥= 2+ 1 𝑀𝑥 2∗55 𝑀𝑥 𝑥 𝑥+5 5 𝑞𝑥 = 2+55 𝑀𝑥 2∗𝑛𝑛 𝑀𝑥 𝑥 𝑥+𝑛 𝑛 𝑞𝑥 = 2+𝑛𝑛 𝑀𝑥 Para el primer grupo de edad cero años cumplidos. 129) 2 + (1 − 𝑘 𝑡 )1 𝑀0 Para el grupo de edad 1 a 4 años cumplidos puede estimar sin mayores problemas el valor 1 𝑀𝑥 .126) 1 − 1 − 𝑘 𝑡 12𝑞0 ( ) Y despejando a 1 𝑞𝑥 se obtiene: 1 𝑞0 ( ) 1 𝑀0 1 − (1 − 𝑘 𝑡 ) = 1 𝑞0 (1. con 𝑥 = 1.127) 2 {( )} 𝑡 1 𝑀0 ( ) ⇒ 1 𝑀0 = 1 𝑞0 1+ 1−𝑘 (1. 2.06. 3𝑦4.130) 𝑃𝑥30. se obtendrı́a: 38 . entonces: 𝑑0 𝑙0 1 𝑀𝑥 = ( ( 𝑑0 )) (1. ya que: ( ) 1 𝑅(𝑡−1) 𝑅(𝑡+1) 3 𝐷𝑥 + 𝐷𝑥𝑅𝑡 + 𝐷𝑥 1 𝑀𝑥 = (1.125) 𝑙0 𝑙0 𝑙0 − (1 − 𝑘 𝑡 ) 2 1 𝑞0 = (1.128) 2 21 𝑀 0 ⇒ 1 𝑞0 = (1. empleando los factores de separación antes indicados.𝑡 y con respecto a la tabla de mortalidad. Representando 1 𝐿𝑥 en un diagrama de Lexis. se tiene: 𝑑0 y dado que: 1 𝑞𝑥 = 𝑙0 . 591 𝑀2 1 𝑞3 1 𝑀3 1 𝑀3 = ⇒ 1 𝑞3 = (1.𝑇𝑥 .59𝑑3 𝑑4 𝑑4 1 𝑀4 = = (1.591 𝑞2 1 − 0.131) 1 𝐿1 𝑙1 − 0.591 𝑀3 1 𝑞4 1 𝑀4 1 𝑀4 = ⇒ 1 𝑞4 = (1.134) 4 𝐿4 𝑙4 − 0.𝑒𝑥 de la tabal de mortalidad En este apartado se presentarán las relaciones que existen entre las series restantes de la tabla de mortalidad. lo que se resume en el siguiente cuadro: X 1 𝑞𝑥 𝑙𝑥 = 𝑙𝑥−1 − 𝑑𝑥−1 𝑑𝑥 = 𝑙𝑥 𝑞𝑥 0 1 𝑞0 𝑙0 = 100000 𝑑0 = 𝑙0 1 𝑞0 1 1 𝑞1 𝑙1 = 𝑙0 − 𝑑0 𝑑1 = 𝑙1 1 𝑞1 2 1 𝑞2 𝑙2 = 𝑙1 − 𝑑1 𝑑2 = 𝑙2 1 𝑞2 3 1 𝑞3 𝑙3 = 𝑙3 − 𝑑2 𝑑3 = 𝑙3 1 𝑞3 4 1 𝑞4 𝑙4 = 𝑙4 − 𝑑3 𝑑4 = 𝑙4 1 𝑞4 1.000 personas.135) 𝑙1 − 0. 𝑑1 𝑑1 1 𝑀1 = = (1. 2.𝑛 𝐿𝑥 .591 𝑞1 1 − 0. Las series 𝑙𝑥 .1.59𝑑4 𝑑𝑥 y dado que 1 𝑞𝑥 = 𝑙𝑥 y en nuestro caso particular para 𝑥 = 1.138) 𝑙1 − 0. El valor de 𝑙1 (supervivientes a edad exacta uno. 𝑙𝑥 y 𝑑𝑥 los valores del numerador. 3𝑦4 entonces 1 𝑞1 1 𝑀1 1 𝑀1 = ⇒ 1 𝑞1 = (1.136) 𝑙1 − 0.𝑑𝑥.133) 3 𝐿3 𝑙3 − 0.137) 𝑙1 − 0.59𝑑1 𝑑2 𝑑2 1 𝑀2 = = (1. 2. estas ultimas a su vez se obtienen despejando su valor del cociente 39 .591 𝑀1 1 𝑞2 1 𝑀2 1 𝑀2 = ⇒ 1 𝑞2 = (1.139) 𝑙𝑥 obtenido de la relación entre 𝑞𝑥 .𝑥+𝑛 .7. las que una vez obtenidas las series de las tasas y de las probabilidades de muerte 𝑛 𝑀𝑥 y 𝑛 𝑞𝑥 es directa su obtención Para Obtener la serie de los supervivientes a edad exacta x. en ausencia del fenómeno migración) se estima a partir de la diferencia entre 𝑙0 y 𝑑0 (defunciones de tabla a edad cumplida cero anos). 3𝑦4 podemos obtener los valores 4 𝑞1 ya que: 𝑑1 + 𝑑2 + 𝑑3 + 𝑑4 4 𝑞1 = (1.591 𝑀4 Una vez obtenidos los valores 1 𝑞𝑥 para 𝑥 = 1.59𝑑2 𝑑3 𝑑3 1 𝑀3 = = (1.591 𝑞3 1 − 0.591 𝑞4 1 − 0.132) 2 𝐿2 𝑙2 − 0. se parte de un radix (𝑙0 ) definido y que generalmente es de 100. 15. defunciones tabla de personas entre las edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 𝑛. 𝑖 = 0. la que se define cómo el número de años-persona vividos acumulados por capita de personas vivas a edad exacta 𝑥.146) 𝑙𝑥 En el siguiente cuadro se resumen las series de la tabla abreviada de mortalidad. 𝑥 + 𝑛). es la serie de los años-persona vividos 𝑛 𝐿𝑥 Se obtiene a partir de las series de las tasas especificas de mortalidad y de las defunciones.144) 𝑛 𝑀𝑥 La serie 𝑇𝑥 es necesaria para estimar la serie de las esperanzas de vida a edad 𝑥. Para obtener el resto de los valores de 𝑙𝑥+𝑛 se sigue el mismo procedimiento.𝑥+𝑛 𝑛 𝑀𝑥 = (1. es decir.𝑥+𝑛 = 𝑙𝑥 𝑛 𝑞𝑥 (1.141) Es obvio que la obtención d e la serie 𝑑( 𝑥. con la notación que en general se emplean con fines prácticos de mecanografiado 8 No confundir la edad media al morir con la esperanza de vida al nacimiento.143) 𝑛 𝐿𝑥 Por tanto: 𝑑𝑥.145) 𝑖=𝑥 La última serie. la que resume el impacto de la mortalidad por edad. 1.140) donde 𝑑𝑥. 𝑒𝑥 .. Numéricamente el valor de 𝑇𝑥 es: 𝜔 ∑ 𝑇𝑥 = 𝑛 𝐿𝑖 ∀ 𝑛 = 1. empleándose las relaciones: 𝑙𝑥+𝑛 = 𝑙𝑥 − 𝑑𝑥. es decir divididos por los supervivientes a edad 𝑥8 Ası́.. Ver anexo 2 40 .𝑥+𝑛 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+𝑛 (1. es la de las esperanzas de vida a edad exacta 𝑥.142) La siguiente serie. la esperanza de vida a edad x se estima con la siguiente relación: 𝑇𝑥 𝑒𝑥 = (1.. entonces 𝑑0 = 𝑙0 1 𝑞0 . Los valores de 𝑇𝑥 se obtienen simplemente acumulando los valores de los años-persona vividos a partir de la edad 𝑥 y hasta la última edad considerada en la tabla de vida (𝜔). (1.𝑥+𝑛 (1.𝑥+𝑛 𝑛 𝐿𝑥 = (1. 5. 4. . 5. ya que por definición se tiene la siguiente relación: 𝑑𝑥. se tuvo que obtener al generarse los valores de la serie de los supervivientes 𝑙𝑥 cabe señalar que la relación entre las defunciones de tabla y la serie de supervivientes es la siguiente: 𝑑𝑥... 10.o probabilidad de muerte 1 𝑞0 = 𝑑𝑙00 . 𝑥+𝑛 𝑚𝑥 𝐿𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 0 1 5 10 15 80 85 41 .X 𝑞𝑥 𝑙𝑥 𝑑𝑥. 42 . 4 % anual y Campeche. Campeche con 642 mil y Quintana Roo con 703 mil habitantes. Del cuadro 1 se desprende que el estado de México es el de mayor número de habitantes con 11. Dado que dicha tasa de crecimiento obedece a la suma de las tasas de crecimiento natural y social. el Estado de Chiapas tiene la mayor con el 4.7 millones. la hipótesis de crecimiento medio constante sin duda se aleja cada vez más de la realidad. Morelos con 3.7 millones y Jalisco con 6 millones de habitantes.2 % anual cada uno de ellos.8 %. Oaxaca con 1. la presupone una tasa constante de crecimiento año con año. En el cuadro 1 se presentan las poblaciones totales para los dos momentos. centrado al 5 de noviembre de 1990. seguido por el Distrito Federal con 8. permiten comparar en una primera instancia el total de población y el del censo de 1990.2 % y Veracruz con 1. para el periodo de tiempo considerado. generalmente lo que hacemos los demógrafos es el calcular la tasa de crecimiento media anual. seguida de Baja California con 4. Contrastando con las tasas de crecimiento medias anuales que muestran al estado de Quintana Roo con la mayor. centrado al 12 de marzo de 1990 y el conteo nacional de 1995. también se tomaron en cuenta estadı́sticas vitales levantadas entre los dos fechas indicadas. esto tanto a nivel nacional por entidad federativa y municipal.5 % anual. Guerrero 43 . las cuales sufren cambios año con año. Veracruz con 6. En este trabajo se tiene como objetivo final el presentar los cambios anuales que sufrieron el número de habitantes en cada una de las treinta y dos entidades federativas de la República Mexicana. Colima con 487 mil. ası́ como las tasas de crecimiento brutas de natalidad. para el intervalo de tiempo considerado. La fuente de datos es el XI censo nacional de población y vivienda.Capı́tulo 2 Simulación de fenómenos demográficos El tener el número de habitantes en una región en dos fechas. nos permite conocer el crecimiento de la población en términos absolutos como relativos. y que ellas mismas son la diferencia de las tasas brutas de natalidad y de mortalidad (la natural) y de inmigración y emigración (la social). total y sociales medias anuales para cada una de las 32 entidades federativas. pudiendo presentar el impacto anual de los fenómenos demográficos de la natalidad. Durango con 1 %. brutas de mortalidad.3 % anual. siendo los menos poblados Baja California Sur con 375 000 habitantes. teniendo la menor tasa de crecimiento media anual el Distrito Federal con tan solo 0. de crecimiento natural.7 % media anual. Los resultados que el conteo de población de 1995 ofrecen.4 %. considerando cambios lineales y no lineales. siendo de 6. mortalidad y migración.5 % anual seguida de Zacatecas con 0. En cuanto a la tasa de crecimiento natural. Aguascalientes y Estado de México con 3.4 millones. es decir sólo el 0. Chihuahua y Colima los de menor tasa de crecimiento natural (aproximadamente 2 %). El total de nacimientos registrados en los estados costeros es de 7.9 %. siendo del 2. el estado de Baja California es el que registra en el periodo menor número de defunciones con 7 504 de ellas. seguido del Distrito Federal con 1 306 069 nacimientos (el 8.3 %).7 % anual.8 % y Jalisco con . Michoacán e Hidalgo con 3. Distrito Federal.4 %).9 %. Baja California con el 0. Veracruz con 160 452 defunciones (6. teniéndose que además de ellos sólo Nuevo León .6 % y Puebla con -.5 %. seguida de Durango y Guerrero con -2.65 % anual. que representan el 0. En cuanto a los saldos netos migratorios de los estados de atracción destaca el estado de Méxi- co con un saldo neto migratorio de 267 165 habitantes a su favor seguido de Baja California con 204 947 y Quintana Roo con 115 371.04 % del Estado de Yucatán. 2 315 082 defunciones y un saldo neto migratorio total de -3 597 230. Chiapas con 988 971 nacimientos (el 6. siendo los estados de Nuevo León.3 %).04 %. Quintana Roo con 104 017 (el 0. es decir en el periodo el 49 % de los nacimientos registrados se dieron en las zonas costeras y el 51 % en las no costeras.4 %). Michoacán con -349 102 habitantes.3 % del total de las defunciones registradas en el paı́s en el periodo considerado. Con respecto a las defunciones en los estados costeros se registraron el 44 % de ellas (1. seguido de Colina con 69 051 (el 0.33 % del total nacional.cabe destacar que estados como el Distrito Federal tiene una alta tasa de crecimiento social negativa de -1.2 %). 52 570. Durango. Con respecto al número de nacimientos el estado de México tiene el mayor número con 1 848 528 que representan el 11. defunciones y saldos netos migratorios estimados para el periodo comprendido entre el 12 de marzo de 1990 y el 5 de noviembre de 1995 se elaboró el cuadro 2 que muestra un total de 15 783 100 nacimientos.4 %).291 44 .5 %) y Colima con 12 655 defunciones (el 0.5 % del total de ellos a nivel nacional. Sonora y Yucatán tienen tasas de crecimiento sociales positivas que oscilan entre 0. Jalisco con 171 063 defunciones (el 7.9 %) y Puebla con 144 638 (el 6.4 %. seguido de Quintana Roo con 9 223 defunciones (el 0. seguido por Baja California con el 2 % anual.3 %) y Jalisco con 987 454 (el 6.6 % anual.2 % cada uno de ellos.66 %) y Campeche con 105 311 (con 0. Chihuahua. Aguascalientes con el 0. En cuanto al número de defunciones destacan con el mayor número el Distrito Federal con 313 329 que representan el 13.8 %).4 % Con base en el número de nacimientos. Chiapas con -510 688 habitantes. siendo el estado de Baja California Sur el que menor número de nacimientos registra en el periodo. Campeche con 12 288 (el 0.55 %). Querétaro. En cuanto a la tasa de crecimiento social destaca el Estado de Quintana Roo con la mayor tasa siendo del 3. el resto de los estados tienen tasas de crecimiento sociales 33 negativas siendo la mayor la del estado de Chiapas con -2.024 millones) y en los estados costeros el 56 % (1. En el extremo opuesto se encuentran los estados de expul- sión destacando el Distrito Federal con un saldo neto migratorio de -744 861 habitantes seguido de Veracruz con -601 245 habitantes. seguido del Estado de México con 226 554 defunciones (el 9. Con respecto a los estados costeros y a los no costeros se tiene que 37 millones habitaban las zonas costeras en 1990 incrementándose a 42 millones en 1995 con una tasa de crecimiento media anual en el periodo del 2. Guerrero con -342 390 habitantes y Oaxaca con -288 303 habitantes.con 4.3 % anual del Estado de Nuevo León al 0.1 %. Tabasco.7 millones y en los estados no costeros de 8 millones.7 % del total del paı́s en el periodo.2 % y Zacatecas con -1.0. Morelos con el 0. Colima.06 % teniéndose en los estados no costeros un mayor número de habitantes en 1990 con 44 millones y también un mayor número de habitantes en 1995 con 49 millones pero con una tasa de crecimiento media anual ligeramente inferior a la de los estados costeros.67 %). Veracruz con 1 268 003 (el 8 %). los estados de México y Campeche con el 0. 3 % de la población total). Tamaulipas con el 2.5 % (336 000 nacimientos). Michoacán. la cual es mayor a la tasa de crecimiento del paı́s que es del 2 % anual y también mayor a la tasa de crecimiento del resto de los estados la cual es del 1. Chihuahua y Sonora con 2. Tlaxcala y Veracruz como la región centro del paı́s se tiene que para el 12 de marzo de 1990 el 50 % de la población habitaba en ella (40. Destacan los estados 45 .661 millones de habitantes (representa el 2. Puebla. Coahuila y Baja California con el 2.1 % y únicamente Coahuila por abajo de la media nacional con 1. destacando Nuevo León con el 3.7 % anual.5 % anual. Destaca Baja California de entre los estados de la frontera norte por su alta tasa de crecimiento total que es del 4.04 % del paı́s).millones). Chihuahua con el 4 % (77 521 defunciones). con respecto a la tasa de crecimiento natural los estados fronterizos tienen entre el 2. Chihuahua con el 2.7 % cada uno de ellos (entre 50 000 y 54 000 defunciones cada uno de ellos). Tamaulipas con 2.9 % (399 000 nacimientos). y el de menor población fue Baja California con 1. seguida de Nuevo León con el 0. teniéndose tasas de crecimientos sociales negativas para Tamaulipas (-0. teniéndose que para el 5 de noviembre de 1995 la población se incrementará a 15 232 533 habitantes.2 % (62 814 defunciones).3 % media anual. Hidalgo. Morelos. Considerando los estados fronterizos del norte se tiene que el 12 de marzo de 1990 se censaron 13 246 991 habitantes que representan el 16 % de la población total del paı́s.34 %. Chihuahua con el 0.97 %. en donde los cambios son realmente significativos es en la tasa de crecimiento social que presenta para el estado de Baja California la mayor con el 1. Para 1990 sigue siendo Nuevo León el estado fronterizo con mayor población con 3.21 % y Sonora con el 0. Querétaro.447 millones. Cabe destacar que en el censo de 1990 el estado fronterizo con mayor población fue Nuevo León con 3.43 % anual.151 millones y en los no costeros de -1. México. el 60 % del saldo neto migratorio se presenta en la zona costera y el 40 % en la no costera.4 %. lo que representa el 17 % de la población total.6 millones de habitantes (el 3. Tomando al Distrito Federal y los estados de Guanajuato. los estados fronterizos registran en el periodo 2 163 576 nacimientos que representan el 16 % del total del paı́s. Los saldos netos migratorios de los estados fronterizos en el periodo estudiado son positivos con excepción de Coahuila y Tamaulipas.4 % (470 000 nacimientos).17 %) y Coahuila (-0. aportando Sonora.5 millones de habitantes.8 % de la población total del paı́s). En términos absolutos los estados fronterizos aportan con el 20 % del total de defunciones del paı́s lo que equivale a 380 760 defunciones en el periodo comprendido entre el 12 de marzo de 1990 y el 5 de noviembre de 1995.7 %). Chihuahua con 30102 habitantes y Sonora con 9 174 habitantes. es decir.9 % del paı́s) y también Baja California con el menor número de habitantes entre los estados fronterizos con 2. implicando una tasa de crecimiento medial anual del 2. teniéndose que el saldo neto migratorio en los estados costeros es de -2.96 %.7 % (362 000 nacimientos).8 millones de habitantes) y para el 5 de noviembre de 1995 se conserva ese porcentaje con 45.08 %.1 % y el 2.3 % (82 552 defunciones).1 millones de habitantes (representa el 2.2 % cada uno de ellos (300 000 nacimientos). Coahuila con el 2. siendo Nuevo León el que aporta con el mayor número de ellos con el 4. en su conjunto arrojan un saldo neto migratorio de 202 725 habitantes. seguido de Nuevo León con 63 792 habitantes.4 % de crecimiento medio anual en el periodo estudiado. Tamaulipas con el 3. En cuando a la natalidad. Sin duda resalta Baja California con el saldo neto migratorio más elevado el cual es en el periodo de 204 947. el cual contrasta con el saldo neto migratorio del paı́s que es de -3 597 230 lo que implica que el resto de los estados de la República Mexicana tengan un saldo neto migratorio de 3 799 956 personas. seguido por Nuevo León con el 2.099 millones de habitantes (representa el 3. Sonora y Baja California con el 2. sin lugar a dudas. En concreto.4 % para el Estado de Morelos seguidos de Querétaro con una tasa de crecimiento total del 3. en cuanto a las tasas de crecimiento sociales se tiene que solo el Estado de México y Morelos tienen tasas de crecimiento social medias anuales positivas.1 % y Tlaxcala con el 2. reveladora tanto por los cambios sufridos en su crecimiento natural como sobre todo en su crecimiento social. los cuales son objeto de estudios a niveles más desagregados para cada una de las variables demográficas involucradas (Mina. Cabe señalar que esta región centro tiene una tasa de crecimiento por abajo de la media nacional siendo del 1.2 % para el Estado de México y del 3.9 % y el Estado de México con el 0. la región centro registra en el periodo en estudio 7.8 millones de nacimientos que representan el 50 % del total nacional y 1.2 millones de defunciones que representan el 52 % del total nacional. En cuanto a los nacimientos. defunciones y saldos netos migratorios.4 %. 1996) 46 .de México y Morelos con tasas de crecimiento total por arriba de la media nacional.7 %. la dinámica demográfica que el paı́s tuvo del 12 de marzo de 1990 al 5 de noviem- bre de 1995 es. siendo del 3.9 % anual. Morelos con el 0. teniendo la región centro en su conjunto un saldo neto migratorio negativo de -1 973 306 contrastando con el saldo neto migratorio que a nivel nacional se tiene de -3 597 230. Para estimar los nacimientos. 1994.90 donde: 𝑖𝑟 representa la tasa de crecimiento total media anual para el Estado (i). 1992. esto para periodos anuales.1) 12.3) donde: 𝑖 𝑟𝑛 es la tasa de crecimiento natural para el Estado y en el periodo. El objetivo es simular el efecto de los fenómenos demográficos básicos.11.N.) publica. Con las poblaciones totales para cada entidad federativa se calcularon las tasas de crecimiento medias anuales con la expresión: (𝑖 1 ) 5. 1995 y del 12 de Marzo de 1995 al 5 de Noviembre del mismo año. Cabe señalar que las tasas brutas de mortalidad y de natalidad se obtuvieron con base en las estadı́sticas vitales que el Instituto nacional de Estadı́stica Geografı́a e Informática (I. 𝑖𝑃 es la población total del Conteo de 1995 centrada al 5 de Noviembre. 5. siendo para el periodo del 12 de Marzo de 1995 al 5 de Noviembre de 1995 obtenidas las tasas brutas de la siguiente manera: Los nacimientos entre el año origen (cero) y el año final (𝑡) se calculan con la tasa bruta de natalidad media anual constante (TBN) como sigue: 47 .652055 son los años entre los dos momentos en que se levantaron el censo y el conteo. a saber la mortalidad. Con las tasas brutas de natalidad (TBN) y de mortalidad (TBM) se estimó la tasa de crecimiento natural (que se define como la diferencia entre las tasas brutas: TBN .G. 05. las tasas de crecimiento natural. en el periodo comprendido del 12 de Marzo de 1990 al 5 de Noviembre de 1995. 1993. las cuáles son un promedio de las registradas en el periodo.03. Ası́.652055 𝑖 𝑃05.95 𝑖𝑃 es la población total de XI Censo Nacional de Población y Vivienda..03. son base del trabajo aquı́ presentado. defunciones y saldos netos migratorios se multiplicó la población al inicio del año en cuestión por su respectiva tasa bruta.95 𝑟= 𝑖𝑃 −1 (2. año por año.E. con las tasas constantes se simuló la tendencia de los nacimientos.2) 𝑖 𝑠 𝑖 𝑖 𝑛 ⇒ 𝑟 = 𝑟− 𝑟 (2.I.TBM) y dado que: 𝑖 𝑖 𝑛 𝑟 = 𝑟 +𝑖 𝑟𝑠 (2. fecundidad y migración. Inicialmente se consideran constantes. es decir del 12 de Marzo de 1990 al 12 de Marzo de 1991.90 de Marzo de 1990. social y total. 𝑖 𝑟𝑠 es la tasa de crecimiento social para el Estado y en el periodo.11. centrada al 12 12. defunciones y saldos netos migratorios para cada entidad del 12 de Marzo de 1990 al 5 de Noviembre de 1995. La información del XI Censo Nacional de Población y Vivienda (Centrada al 12 de Marzo de 1990) y la del Conteo Nacional de Población (Centrada al 5 de Noviembre de 1995) referente al total de la población. . . .652055 ) 𝑃12.05. + (1 + 𝑟)𝑡−1 ] (2.10) 𝑟 Y (1 + 𝑟)𝑡 − 1 ( ) 𝑁0.14) donde: 𝑖 𝑇 𝐵𝑁 es la Tasa Bruta de Natalidad media anual para el Estado (𝑖). 𝐼 𝑇 𝐵𝑀 es la Tasa Bruta de Mortalidad media anual para el Estado (𝑖). + (1 + 𝑟)𝑡−1 (2. + 𝑃𝑡−1 (𝑇 𝐵𝑁 )𝑛 (2. . . para obtener los nacimientos en dicho periodo se emplea la expresión: [( 𝑖 ) ] 𝑖 𝑇 𝐵𝑁 ( 𝑖 0. .95 𝑖𝑟 (1 + 𝑟) −1 (2.11) 𝑟 Empleandola espresión anterior para el cálculo de las tasas brutas en el periodo del 12 de Marzo de 1995 al 5 de Noviembre de 1995. . . .𝑡 = 𝑃0 𝑇 𝐵𝑁 + 𝑃1 (𝑇 𝐵𝑁 )2 + .13) Y el Saldo Neto Migratorio: [( 𝑖 𝑟𝑠 ) ] 𝑖 𝑖 0. .05.652055. . 48 .6) 1 2 𝑡−1 ⇒ (1 + 𝑟)𝑆 = (1 + 𝑟) + (1 + 𝑟) + . Por ejemplo. + 𝑃0 (1 + 𝑟) 𝑇 𝐵𝑁 𝑡 Pues que 𝑃𝑡 = 𝑃0 (1 + 𝑟) = 𝑃0 𝑇 𝐵𝑁 [(1 + 𝑟)0 + (1 + 𝑟)1 + (1 + 𝑟)2 + . + (1 + 𝑟) (2.4) 2 𝑡−1 = 𝑃0 𝑇 𝐵𝑁 + 𝑃0 (1 + 𝑟)𝑇 𝐵𝑁 + 𝑃𝑂 (1 + 𝑟) 𝑇 𝐵𝑁 + .95 𝑖𝑟 (2.8) 𝑡 ⇒ 𝑆𝑟 = (1 + 𝑟) − 1 (2.5) Observación: 𝑆 = (1 + 𝑟)0 + (1 + 𝑟)1 + (1 + 𝑟)2 + . 𝑁0.05. .7) Restando ambas expresiones queda: −𝑆𝑟 = (1 + 𝑟)0 + (1 + 𝑟)1 + (1 + 𝑟)2 + .652055 ( ) 𝑃12. para t igual a 0.𝑡 = 𝑃0 𝑇 𝐵𝑁 (2.12) Las defunciones: [( 𝑖 ) ] 𝑖 𝑇 𝐵𝑀 (1 +𝑖 𝑟)0. . es decir. + (1 + 𝑟)𝑡−1 ] = 1 − (1 + 𝑟)𝑡 (2.9) (1 + 𝑟)𝑡 − 1 ⇒ 𝑆 = (2.652055 − 1 ( ) 𝑃12. . + (1 + 𝑟)𝑡−1 − [(1 + 𝑟)1 + (1 + 𝑟)2 + .95 𝑖𝑟 (1 + 𝑟) −1 (2. 2). Pudiendo estimar las tasas de crecimiento medias anuales totales para cada intervalo.652055) + 𝑃05. Ası́.11. se parte de un incremento de 0.. los supuestos para las tasas brutas de natalidad y de mor- talidad se hacen incrementándolas o disminuyéndolas convenientemente en el periodo en cuestión (por ejemplo para el caso del Estado de Aguascalientes. .1.0008 para la TBM. 4. pero son tendencias lineales. calculándose la tasa de crecimiento social a partir de la tasa de crecimiento total y la tasa de crecimiento natural).11. 2.652055) la población al 5 de Noviembre de 1995. para ello se tomaron las poblaciones totales en el momento inicial y final obteniendo la recta que pasa por dichos puntos (Ver Gráfico 1).16) 1 + 𝑒𝑎+𝑏𝑡 donde: 𝑃 (𝑡) es la población en el momento 𝑡.90 𝑃𝑡 = (𝑡 − 5. Las siguientes simulaciones se lograron ajustando a las poblaciones totales funciones logı́sticas de la forma: 𝑘2 𝑃 (𝑡) = 𝑘1 + (2.002 para la TBN y de 0. Siendo 𝑃 (0) la población al 12 de Marzo de 1990 y 𝑃 (5.03. 3. El segundo ajuste se basa en tasas brutas no constantes en el periodo. Las tasas obtenidas para llevar a cabo ésta segunda simulación se presentan en el cuadro 2.. es decir. La recta que pasa por A y B es: ( ) 𝑃05.652055).652055 Usando ésta expresión se obtienen las poblaciones totales para t = 0. entonces: 49 .15) 5. 𝑡 es el tiempo.1).95 (2.5. 1. . (5.652055. 𝑘1 y 𝑘2 las ası́ntotas fijas. para (0.95 − 𝑃12. 5 y 5. (1. Las simulaciones obtenidas bajo este primer supuesto de tasas constantes se presentan en el Cuadro 2. 652055𝑏 ) En principio los cambios en la concavidad de la función logı́stica dependerá de los valores de los parámetros a y b en ella.22) ( ) 1+𝑒 ( ) 𝑎+.21) Por otro lado 𝑘2 𝑃 (5.652055) 1 + 𝑒𝑎+5.652055𝑏 (2.652055 y con ellos se estiman las tasas de crecimiento medias anuales totales. en el cuadro 3 presenta las poblaciones estimadas y las tasas de crecimiento total resultantes con cada una de las tres logı́sticas obtenidas. para proceder con la estimación de las tasas brutas de mortalidad y natalidad ( que en principio pueden ser las estimadas para el caso de la simulación del crecimiento no constante - segundo ajuste -).562055𝑏 (2.20) 𝑎 𝑎 ⇒ (1 + 𝑒 ) 𝑘1 + 𝑘2 = 𝑃 (0) (1 + 𝑒 ) (2. en principio. Población al 12 de Marzo de 1990: 8‘235. 5. Caso del Distrito Federal. Por un lado tenemos: 𝑘2 𝑃 (0) = 𝑘1 + (2.652055) = 𝑘1 + 𝑎+5.24) (1 + 𝑒𝑎 ) − (1 + 𝑒𝑎+5.652055 𝑃 (0) (1 + 𝑒𝑎 ) ( ) ( ) 𝑘2 = (2.744 2. teniéndose que: 𝑃 (0) (1 + 𝑒𝑎 ) − 𝑃 (5. El primer ajuste es con una logı́stica cóncava.652055𝑏 ( ( )) 𝑘1 = (2.652055) 1 + 𝑒𝑎+5. Toda vez que se tiene a la función logı́stica.19) 1 + 𝑒𝑎 𝑎 ⇒ (𝑃 (0) − 𝑘1 ) (1 + 𝑒 ) = 𝑘2 (2.21) y (2. cóncava para terminar siendo convexa y el tercer ajuste es con una logı́stica convexa. Datos iniciales 1. A continuación se ejemplifican tres tipos de ajustes para la función logı́stica para el caso de las 32 entidades federativas de la República Mexicana. Ejemplo del procedimiento numérico empleado. 4. 2.23) Con (2.25) (1 + 𝑒𝑎 ) − (1 + 𝑒𝑎+5.652055𝑏 ⇒ 1+𝑒 𝑘1 + 𝑘2 = 𝑃 (5.18) 1 + 𝑒𝑎 𝑘2 = (2. el segundo con una logı́stica que es. Cabe señalar que la magnitud de la concavidad dependerá de las hipótesis que haga el investi- gador sobre el crecimiento de la población. 3.007 50 .23) se obtienen una vez fijos los parámetros a y b los valores de las ası́ntotas 𝑘1 y 𝑘2 . 𝑦5.17) 1 + 𝑒𝑎+0𝑡 𝑘2 ⇒ 𝑃 (0) − 𝑘1 = (2. 1.652055𝑏 ) (1 + 𝑒𝑎 ) 𝑃 (5. se obtienen los valores de 𝑃 (𝑡) para 𝑡 = 0.652055𝑏 − 1 + 𝑒𝑎+5. Población al 5 de Noviembre de 1995: 8‘489.652055) 1 + 𝑒𝑎+5. 30) Càlculo de las tasas para el periodo fraccional (del 12 de Marzo de 1995 al 5 de Noviembre de 1995. 1.03.90 y 𝑃05.652055 = (1 + 𝑟)0.021067394 = −0. Tasa Bruta de Mortalidad media anual del periodo: 0.33) 𝑟 (2.03. Se tiene entoces. ( ) 𝑇 𝐵𝑁 ( ) 𝑇 𝐵𝑁0.95 5.3 12.31) 𝑟 ( ) 𝑇 𝐵𝑀 ( ) 𝑇 𝐵𝑀0. la recta que une 𝑃12.95 − 𝑃12.021067394 (2. 5.00433166 (2.95 8489007 51 .027716689 Cálculo de la tasa de Crecimiento Total media anual (r) y de la tasa de Crecimiento Social media anual (𝑟𝑠 ) constantes.006649295 = 0.91 .652055 − 1 = 0.03.01805595 (2. 5. para 𝑡 = 0.28) 𝑛 𝑟 = 𝑇 𝐵𝑀 − 𝑇 𝐵𝑀 = 0.652055 Fecha P(t) 12.95 (2. 4.652055 𝑟 = −1 (2.11. 𝑃12. Tasa Bruta de Natalidad media anual del periodo: 0.93 .03.90 8235744 12.94 .34) Estimación no constante de las poblaciones totales basado en tendencias lineales. -Alternativa Constante-).006649295 4. esto es.03.652055 − 1 = 0.90 ( ) 1 8483623 5.11.652055 = (1 + 𝑟)0.0 12.015694193 (2.03.90 𝑃𝑡 = (𝑡 − 5.652055 − 1 = −0.92 .11.11.91 8279996.03.27) 8235744 = 0.94 8414185.0 12.92 8324486.0102239 (2. 𝑃12.3 12.95 8459396.1 12. 3.005373201 − 0.03.03. 3.03.32) 𝑟 ( 𝑠)( 𝑟 ) 𝑇 𝐶𝑆0.11.95 .652055) + 𝑃05.03.027716689 − 0. 2.29) 𝑟𝑠 = 𝑟 − 𝑟𝑛 = 0.005373201 (2.35) 5.03.652055: ( ) 𝑃05. 𝑃12.03. 𝑃12.03.95 para ası̀ obtener 𝑃12.652055 = −1 (2. ( ) 1 𝑃05.93 8369215.652055 = (1 + 𝑟)0.26) 𝑃12. Cálculo de tasas no constantes: tasa de Crecimiento Total media anual (𝑟), tasa Bruta de Natalidad media anual (𝑇 𝐵𝑁𝑁 𝐶 ), tasa Bruta de Mortalidad media anual (TBMNC) y la tasa de Crecimiento Social media anual (𝑇 𝐶𝑆𝑁 𝐶 ) con las poblaciones estimadas, partiendo de un incremento de 0.002 para la TBN y de 0.0008 para la TBM. Ahora, para k en {90, 91, 92, 93, 94} ( ) 𝑃12,03.𝑘+1 𝑟𝑘−𝑘+1 = −1 (2.36) 𝑃12,03.𝑘 ( ) −2 ∗ 0,002 𝑇 𝐵𝑁𝑁 𝐶 = ∗ 𝑡 + (𝑇 𝐵𝑁 + 0,002) (2.37) 5,652055 ( ) −2 ∗ ,0008 𝑇 𝐵𝑀𝑁 𝐶 = ∗ 𝑡 + (𝑇 𝐵𝑀 + 0,0008) (2.38) 5,652055 𝑇 𝐶𝑆𝑁 𝐶 = 𝑟𝑘−(𝑘+1) − 𝑇 𝐵𝑁𝑁 𝐶 + 𝑇 𝐵𝑀𝑁 𝐶 (2.39) Año 90 91 92 93 94 r 0.0054407 0.005411 0.005382 0.005353 0.005324 TBN 0.029716 0.029008 0.028301 0.027593 0.026885 TBM 0.007449 0.007166 0.006883 0.006600 0.006316 TCS -0.016826 -0.0164314 -0.0161359 -0.0156440 -0.015439 Cálculo de las tasas para el periodo fraccional (del 12 de Marzo de 1995 al 5 de Noviembre de 1995, -Alternativa No Constante-), 𝑡 = 5,652055. ( ) 1 𝑃05,11,95 0,652055 𝑟𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 1+ −1 (2.40) 𝑃12,03,90 ( ) [ 𝑇 𝐵𝑁𝑁 𝐶 ] 𝑇 𝐵𝑁𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = ∗ (1 + 𝑟𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 )0,652055 − 1 (2.41) 𝑟𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 ( ) [ 𝑇 𝐵𝑀𝑁 𝐶 ] 𝑇 𝑀 𝐵𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = ∗ (1 + 𝑟𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 )0,652055 − 1 (2.42) 𝑟𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑇 𝐶𝑆𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 𝑟𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 − 𝑇 𝐵𝑁𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 𝑇 𝐵𝑀𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (2.43) Año 95 R 0.005301 TBN 0.016753 TBM 0.003810 TCS -0.009488 de la población total con ajuste de funciones logı́sticas. 𝑘2 𝑃 (𝑡) = 𝑘1 + ∀𝑡 ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5,652055 (2.44) 1 + 𝑒𝑎+𝑏𝑡 52 Ajuste 1 Ajuste 2 Ajuste 3 a 0.25 4.6558 4.5508 B 0.555 -1.35 -1.115119048 𝑘1 8509454.604 8233212.209 8232600.294 𝑘2 -625162.9763 268859.3254 300878.3022 Poblaciones estimadas fecha Ajuste 1 Ajuste 2 Ajuste 3 12.03.90 8235744 8235744 8235744 12.03.91 8316306.4 8242722.5 8241987.3 12.03.92 8381771.3 8266529.9 8259509.1 12.03.93 8429171.2 8328124.4 8301955.3 12.03.94 8460699.3 8415475.6 8376249.9 12.03.95 8480503.9 8472587.9 8454018.3 05.11.95 8489007 8489007 8489007 Representación gráfica de las poblaciones totales con tasas constantes y ajustes logı́sticos. 53 54 55 56 . 57 . 58 . 59 . 60 . 61 . 62 . 63 . 64 . 65 . 66 . 67 . 68 . 69 . 0243083 .0319597 .0057190 .0275703 .0270224 .001682 Tlaxcala 761277 883924 .0046227 .0207439 .0322578 .0197464 fornia Baja 317764 375494 .0328689 .0245194 .1: México.004092 México 9815795 11707964 .0476207 -.0258911 -.0047073 .0043894 .0044735 Michoacán 3548199 3870604 . Poblaciones totales censal 1990 y conteo 1996 y tasas medias anuales Población Total Entidad Censo 1990 Conteo 𝑇 𝐵𝑁 𝑇 𝐵𝑀 𝑟 𝑟𝑛 𝑟𝑠∗ 1995 Aguascalientes719659 862720 .0054251 .0277167 .0328519 .0204928 .0243576 -.0283087 -.1660855 2112140 .0232683 .0281385 -.0299541 .0154381 .0361759 .0208084 .0054021 .0272975 .0301364 -.0316322 .0093466 Nayarit 824643 896702 .0047135 .0290706 .0923120 .0009463 Chiapas 3210496 3584786 .0208665 .015807 Fed.0042497 Coahuila 1972340 2173775 .0338660 .0238639 .008269 Querétaro 1051235 1250476 .018921 81249645 91158290 .0338321 .0236840 .0519234 .0290789 -.0037935 .0037638 .0324298 .0445204 .0230219 .0325616 .005272 Tamaulipas 2249581 2527328 .013522 Nuevo 3098736 3550114 . .0279676 -.0327723 .011611 Jalisco 5302689 5991176 .0271587 .0267201 .0047735 .0053108 .0190435 .0049473 Baja Cali.0349710 .0034418 León Oaxaca 3019560 3228895 .010937 Guerrero 2620637 2916567 .0020623 Distrito 8235744 8489007 .0284475 -.0042528 .0033637 .0272986 .0284940 .0367609 .0045230 .0271335 .0372033 .0044126 .0045512 .0230163 .022420 Guanajuato 3982593 4406568 .0309453 .0048671 .0348717 .0233468 .0066493 .003416 Veracruz 6228239 6737324 .0217992 .0304590 -.007475 70 .0049523 .0270851 -.007139 Colima 428510 488028 .0282139 .0334606 .001484 Quintana 493277 703536 .022113 Hidalgo 1888366 2112473 .016440 Puebla 4126101 4624365 .0050131 .0147864 .0045841 .0028440 .0046737 .0065530 Calif.0286395 -.0048346 .0325710 -.0042505 .0004157 Zacatecas 1276323 1336496 .0219921 .0279517 .Sur Campeche 535185 642516 .0240543 .0368215 . Cuadro 2.0234011 .0369049 .012098 Potosı́ Sinaloa 2204054 2425675 .0253205 .0315918 -.0411567 -.0281131 -.0104405 .0199810 .0048046 .0160407 .0289803 .016535 Yucatán 1362940 1556622 .0316081 .0430932 .0116732 .0322312 -.0081642 .0039006 .0044540 .026812 Chihuahua 2441873 2793537 .0328603 -.0037900 .0327436 .0309522 .0313162 .0286704 .0203706 .0175108 .0210674 -.0355762 Roo San Luis 2003187 2200763 .0222610 -.0038963 .0320752 .0172183 .0648074 .0139240 .0008420 Tabasco 1501744 1748769 .016793 Morelos 1195059 1442662 .012052 Sonora 1823606 2085536 .0052604 Durango 1349378 1431748 .0325176 .0273029 .0043026 .0059147 .0220700 .0049298 .0345542 .0170271 . 2: MEXICO:NACIMIENTOS. 15784847 2315532 -3560669 71 . 1306412 313411 -739738 Durango 287328 30488 -174471 Guanajuato 785535 117690 -243871 Guerrero 689438 52090 -341418 Hidalgo 404554 51264 -129138 Jalisco 987532 171077 -127968 México 1848732 226579 270017 Michoacán 767318 97175 -347738 Morelos 212483 33266 68386 Nayarit 157135 20523 -64553 Nuevo León 469345 82561 64594 Oaxaca 593660 100353 -283972 Puebla 844989 144639 -202086 Querétaro 237703 30500 -7963 Quintana Roo 104023 9223 115459 San Luis Potosı́ 386773 55493 -133704 Sinaloa 426087 49130 -155336 Sonora 304683 53737 10983 Tabasco 333064 38448 -47592 Tamaulipas 362124 62824 -21553 Tlaxcala 160157 22141 -15369 Veracruz 1268222 160480 -598657 Yucatán 233440 43985 4227 Zacatecas 232400 33255 -138972 República Mex.DEFUNCIONES Y SALDOS NETOS MIGRATORIOS ESTIMADOS DEL 12 DE MARZO DE 1990 AL 5 DE NOVIEMBRE DE 1995 Estados Nacimientos Defunciones Saldos netos Migratorios Aguascalientes 140255 19263 22069 Baja California 293072 50557 208778 Baja California Sur 52572 7504 12662 Campeche 105341 12291 14281 Coahuila 336385 53657 -81293 Colima 69093 12662 3088 Chiapas 986424 81740 -530394 Chihuahua 398568 77528 30624 Distrito Fed.Cuadro 2. 72 . Capı́tulo 3 Las funciones actuariales Gomperz y Gomperz-Makeham en la descripción de fenómenos demográficos Debemos tener en cuenta que la fuerza de la mortalidad nos permite considerar las diferencias que hay entre dos poblaciones a edad x y x+h (cuando h es tan pequeña como quisiéramos).𝑥+ℎ . terremotos. o sea.𝑥+ℎ lı́m (3. etc. o sea que no considera aquellas asociadas a hechos fortuitos.4) ℎ→0 𝑛 𝐿𝑥 lı́m 𝑛 𝑚𝑥 = 𝜇𝑥 (3.2) ℎ→0 [(𝑥 + ℎ) − 𝑥] La expresión nos permite medir las muertes que se dan entre la edad 𝑥 y 𝑥 + ℎ a edades exactas.1) La expresión se deduce de la siguiente forma: 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+ℎ lı́m (3. 𝑑𝑥. La fuerza de mortalidad la podemos representar por: 𝑛 𝑀𝑥 = 𝜇(𝑥) (3. En el numerador se refiere a las defunciones. el cual también es muy pequeño porque es un instante.5) ℎ→0 73 . accidentes. que mide las muertes que se dan entre 𝑑𝑥. En el denominador tenemos los años persona vividos ℎ 𝑙𝑥 a partir de 𝑥 (con un espacio de tiempo muy pequeño) que es igual a 𝑛 𝐿𝑥 .𝑥+ℎ lı́m (3. Estas se dan en un espacio de tiempo muy pequeño. La función Gompertz sólo considera las razones biológicas de mortalidad.3) ℎ→0 ℎ 𝑙𝑥 𝑑𝑥. Hipótesis La resistencia del hombre a la muerte en el tiempo decrece a una tasa proporcional a ella misma. 𝜇𝑥 indica la resistencia del hombre a la muerte. 1 𝑛 𝐿𝑥 = (3. entonces. La resistencia del hombre a la muerte. la resistencia del hombre a la muerte 1 𝑛 𝐿𝑥 = (3. 𝑑𝑥.𝑥+ℎ Es la Resistencia del hombre a la muerte.9) 𝑚 𝑛 𝑥 𝑑𝑥.𝑥+ℎ 𝑛 𝑀𝑥 = (3. es decir.𝑥+ℎ 3.11) ℎ→0 𝑙𝑥 ℎ 74 .8) 𝑛 𝑀𝑥 𝑑𝑥. Sabemos que por definición la derivada es: 1 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+ℎ 𝜇𝑥 = lı́m (3. puede expresarse como: 1 (3.6) 𝑀 (𝑥) Las tasas representan la frecuencia de aparición del evento muerte. Se puede comparar dos magnitudes si encontramos una escala común.7) 𝑛 𝐿𝑥 Teniendo en cuenta lo anterior podemos decir que la frecuencia de aparición del evento de muerte es la aportación en vida de las personas. Recordar 𝑛 𝐿𝑥 =𝑛 𝑙𝑥 𝑛 𝑛 𝐿𝑥 =𝑛 𝑙𝑥 − 2 𝑑𝑥.Es la Fuerza de mortalidad o tasa instantánea de mortalidad. el signo negativo señala decrecimiento de la resistencia a lo largo del tiempo y ℎ representa la tasa.𝑥+ℎ Distribución Uniforme Representación simbólica de la hipótesis: 𝑑 1 1 ∗ = −ℎ (3.10) 𝑑𝑥 𝜇𝑥 𝜇𝑥 𝑑 La expresión anterior debemos entenderla de la siguiente forma: la derivada 𝑑𝑥 señala los cam- 1 bios respecto al tiempo.1. Considerando que se trata de una función decreciente utilizamos el signo (-) convenientemente.15) 𝑑𝑥 De lo anterior se puede obtener la integral de la 𝜇𝑥 : ∫ 𝑡 ∫ 𝑡 𝑑 𝜇𝑥 𝑑𝑥 = − ln 𝑙𝑥 𝑑𝑥 (3.13) 𝑑𝑥 ℎ→0 ℎ Por lo tanto. como equilibrio vital relativo a cada edad. Por lo tanto. la modelación de funciones de supervivencia se hace fundamentalmente sobre 𝜇𝑥 Recordar 𝑑 1 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑑𝑥 𝑙𝑥 Finalmente: 𝑑 𝜇𝑥 = − ln 𝑙𝑥 (3.12) 𝑙𝑥 ℎ→0 ℎ donde: 𝑑 𝑙𝑥+ℎ − 𝑙𝑥 𝑙𝑥 = lı́m (3.16) 0 0 𝑑𝑥 Desarrollando la expresión ∫ 𝑡 . Y Obtenemos la siguiente expresión: 1 𝑙𝑥+ℎ − 𝑙𝑥 𝜇𝑥 = − lı́m (3.14) 𝑙𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 La relación expresa cómo la fuerza a la mortalidad se opone una fuerza de vitalidad. 1 𝑑 𝑑 𝜇𝑥 = − 𝑙𝑥 = − ln 𝑙𝑥 (3. 𝑡 𝜇𝑥 𝑑𝑥 = − ln 𝑙𝑥 . (3.17) . 0 0 . 𝑡 ∫ 𝑡 ln 𝑙𝑥 . 18) . = − 𝜇𝑥 𝑑𝑥 (3. 0 0 ∫ 𝑡 ln 𝑙𝑡 − ln 0 = − 𝜇𝑥 𝑑𝑥 (3.21) 75 .20) 𝑙0 ∫𝑡 𝑙𝑡 = 𝑙0 𝑒− 0 𝜇𝑥 𝑑𝑥 (3.19) 0 𝑙𝑡 ∫𝑡 = 𝑒− 0 𝜇𝑥 𝑑𝑥 (3. Es la ecuación fundamental en demografı́a se aplica para estructura por edad. Sabemos que ∫𝑡 𝑙𝑡 = 𝑙0 𝑒− 0 𝜇𝑥 𝑑𝑥 (3.23) 𝑡 𝑡 𝐶𝑥 ∫ ∫ .22) ∫𝑡 𝑥 − 0 𝐵𝐶 𝑑𝑥 𝑙𝑡 = 𝑙0 𝑒 (3. 𝑡 𝐵 ( 𝑡 𝐵𝐶 𝑥 𝑑𝑥 = −𝐵 𝐶 𝑥 𝑑𝑥 = −𝐵 ) − . =− 𝐶 −1 (3.24) . ¿Cómo encontrar esta expresión a partir de la hipótesis de Gompertz? si sabemos que el autor señala que la resistencia del hombre a la muerte en el año 𝑡 decrece a una tasa proporcional a ella misa. es decir. se integra la expresión: 76 . El propósito es encontrar expresiones analı́ticas que describan la fuerza de mortalidad.31) 𝑔 𝑡 𝑙𝑡 = 𝑘𝑔 𝐶 (3.26) 𝑑𝑥 ln 𝐶 𝐵 ln 𝑔 = − (3. 𝐶 para poder estimar 𝑘 y 𝑔.25) 𝑑𝑥 𝑑 𝐶𝑥 = 𝐶𝑥 (3. funciones de supervivencia 𝑙𝑡 personas vivas a edad 𝑡. 0 0 ln 𝐶 0 ln 𝐶 Recordar que 𝑑 𝑥 𝐶 = 𝐶 𝑥 ln 𝐶 (3.32) Sustituimos los valores de 𝐵. El problema fundamental ahora es encontrar funciones matemáticas (supervivencia) que de- scriban estructuras por edad.34) 𝜇𝑥 ( ) 𝑑 1 ⇒ −ℎ = ln (3.29) 𝑙0 𝐶 𝑡 𝑙𝑡 = 𝑔 (3.30) 𝑔 𝑙0 𝑘 = (3. para toda 𝑡.33) 𝑑𝑥 𝜇𝑥 𝜇𝑥 Observamos que: 𝑑 1 𝑑𝑥 𝜇𝑥 −ℎ = 1 (3.28) 𝑡 ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶 𝑙𝑡 = 𝑙0 𝑒 (3. Tenemos que: 𝑑 1 1 = −ℎ (3.35) 𝑑𝑥 𝜇𝑥 Ahora.27) ln 𝐶 𝑡 𝑡 ln 𝑔 𝐶 𝑡 − 1 = 𝐶 𝑡 ln 𝑔 − ln 𝑔 = ln 𝑔 𝐶 + ln 𝑔 −1 = ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶 ( ) (3. 𝜇𝑥 = 𝐵𝐶 𝑥 (3.44) donde 𝐶 = 𝑒ℎ El resultado obtenido por Gompertz describió la fuerza de mortalidad por primera vez como una función exponencial y que exclusivamente considera las causas de muerte dependientes de la edad.42) 1 𝐵 = ℎ𝑥 𝜇𝑥 (3.40) 𝜇𝑥 𝐵 = 𝑒−ℎ𝑥 (3. Recordar 𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑐 ∫ ∫ Distribución Uniforme ( ) 𝑑 1 ln = −ℎ (3.38) 𝜇𝑥 ( ) 1 ln + ln 𝐵 = −ℎ𝑥 (3.41) 𝜇𝑥 𝐵 = 𝜇𝑥 𝑒−ℎ𝑥 (3. ( ) 1 ln + 𝐶1 = −ℎ𝑥 + 𝐶2 (3. La estimación de los valores de los parámetros 𝐵 y 𝐶 puede realizarse a través de: promedios móviles y mı́nimos cuadrados.39) 𝜇𝑥 Tener en cuenta que: ln 𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2 𝐵 = 𝑒𝐶1 −𝐶2 ( ) 𝐵 ln = −ℎ𝑥 (3. por lo tanto se puede desarrollar la siguiente expresión. la fuerza de mortalidad es igual una constante 𝐵 por una constante 𝐶 elevada a la 𝑋.45) Por lo tanto.37) 𝑑𝑥 𝜇𝑥 Se sabe que los lı́mites para integrar son indefinidos. 77 .43) 𝑒 ℎ𝑥 𝐵𝑒 = 𝜇𝑥 (3.36) 𝑑𝑥 𝜇𝑥 ∫ ( ) ∫ 𝑑 1 ⇒ ln 𝑑𝑥 = − ℎ 𝑑𝑥 (3. es decir. . m 2𝑚 ∑ 2𝑚 ∑ 2𝑚 ∑ 2𝑚 ∑ M+1 ln 𝑙𝑖𝑜 𝑆1 = ln 𝑙𝑖𝑜 𝑆1 = ln 𝑙𝑖𝑜 = 𝑚 ln 𝑘 + ln 𝑎 𝑖 + ln 𝑏 𝑑𝑖 𝑖=𝑚+1 𝑖=𝑚+1 𝑖=𝑚+1 𝑖=𝑚+1 M+2 M+3 .46) Recordemos que la supervivencia depende principalmente de aspectos biológicos. .. es decir que la separación en observaciones sucesivas no se traslape. . se obtienen los logaritmos de 𝑙𝑥𝑜 y las cuatro sumas correspondientes a cada grupo de sus ln 𝑙𝑖𝑜 . 3m 4𝑚 ∑ 4𝑚 ∑ 4𝑚 ∑ 4𝑚 ∑ 3m+1 ln 𝑙𝑖𝑜 𝑆3 = ln 𝑙𝑖𝑜 𝑆0 = ln 𝑙𝑖𝑜 = 𝑚 ln 𝑘 + ln 𝑎 𝑖 + ln 𝑏 𝑑𝑖 𝑖=3𝑚+1 𝑖=3𝑚+1 𝑖=3𝑚+1 𝑖=3𝑚+1 3m+2 3m+3 . 𝑎. los procesos biológicos del individuo se realizan en el tiempo fı́sico o absoluto. La función de supervivencia Gompertz-Makeham es: 𝑥 𝑙𝑥 = 𝑘𝑎𝑥 𝑏𝑑 (3. de tal manera que partiendo de una tabla abreviada de valores 𝑙𝑥 se pueda interpolar para hallar los valores que faltan sin necesidad de recurrir a valores exógenos. 4m 78 . en consecuencia.. cuidando que los grupos no sean superpuestos. como medida del tiempo interno del individuo. 𝑥 ln 𝑙𝑥 𝑆𝑥 Desarrollo de 𝑆𝑥 𝑚 ∑ 𝑚 ∑ 𝑚 ∑ 𝑚 ∑ 1 ln 𝑙𝑖𝑜 𝑆0 = ln 𝑙𝑖𝑜 𝑆0 = ln 𝑙𝑖𝑜 = 𝑚 ln 𝑘 + ln 𝑎 𝑖 + ln 𝑏 𝑑𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 2 3 4 . pero se manifiestan en relación con la edad.. Luego. El método de los grupos no superpuestos se basa en considerar cuatro grupos de observaciones de igual tamaño (𝑚).. Para la aplicación de este modelo se requiere estimar los parámetros 𝑘. 𝑏 y 𝑑. 2m 3𝑚 ∑ 3𝑚 ∑ 3𝑚 ∑ 3𝑚 ∑ 2m+1 ln 𝑙𝑖𝑜 𝑆2 = ln 𝑙𝑖𝑜 𝑆0 = ln 𝑙𝑖𝑜 = 𝑚 ln 𝑘 + ln 𝑎 𝑖 + ln 𝑏 𝑑𝑖 𝑖=2𝑚+1 𝑖=2𝑚+1 𝑖=2𝑚+1 𝑖=2𝑚+1 2m+2 2m+3 . . el elemento primordial para su medición es la edad. 58) 1−𝑑 Δ2 𝑆1 = Δ𝑆2 − 𝑆1 (3.59) 𝑑𝑚+1 ( ) 𝑑− ⇒ Δ2 𝑆1 = 𝑑𝑚 (𝑑𝑚 − 1)2 ln 𝑏 (3.49) 2 1−𝑑 ( 2 ) ( 𝑚+1 ) 3𝑚 + 𝑚(𝑚 + 1) 3𝑚 𝑑 − 𝑑 𝑆3 = 𝑚 ln 𝑘 + ln 𝑎 + 𝑑 ln 𝑏 (3. mien- tras que la 𝑠𝑢𝑚𝑑𝑖 a una serie geométrica.50) 2 1−𝑑 Se obtienen las primeras y segundas diferencias basándose en las últimas cuatro relaciones: Δ𝑆0 = 𝑆1 − 𝑆0 (3. se observa que la 𝑖 corresponde a una serie aritmética.51) 𝑑− 𝑑𝑚+1 ⇒ Δ𝑆0 = 𝑚2 ln 𝑎 + (𝑑𝑚 − 1) ln 𝑏 (3.47) 2 1−𝑑 ( 2 ) ( 𝑚+1 ) 𝑚 + 𝑚(𝑚 + 1) 𝑚𝑑 − 𝑑 𝑆1 = 𝑚 ln 𝑘 + ln 𝑎 + 𝑑 ln 𝑏 (3. ∑ Dadas las relaciones anteriores.57) 𝑑𝑚+1 ( ) 𝑑− ⇒ Δ2 𝑆0 = (𝑑𝑚 − 1)2 ln 𝑏 (3.60) 1−𝑑 79 .48) 2 1−𝑑 ( 2 ) ( 𝑚+1 ) 2𝑚 + 𝑚(𝑚 + 1) 2𝑚 𝑑 − 𝑑 𝑆2 = 𝑚 ln 𝑘 + ln 𝑎 + 𝑑 ln 𝑏 (3.54) 1−𝑑 Δ𝑆2 = 𝑆3 − 𝑆2 (3.56) 1−𝑑 Δ2 𝑆0 = Δ𝑆1 − 𝑆0 (3.55) 𝑑− 𝑑𝑚+1 ⇒ Δ𝑆2 = 𝑚2 ln 𝑎 + 𝑑2𝑚 (𝑑𝑚 − 1) ln 𝑏 (3.53) 𝑑− 𝑑𝑚+1 ⇒ Δ𝑆1 = 𝑚2 ln 𝑎 + 𝑑𝑚 (𝑑𝑚 − 1) ln 𝑏 (3. por lo que: 𝑑 − 𝑑𝑚+1 ( ) ( ) 𝑚+1 𝑆0 = 𝑚 ln 𝑘 + 𝑚 ln 𝑎 + ln 𝑏 (3.52) 1−𝑑 Δ𝑆1 = 𝑆2 − 𝑆1 (3. se calculan los parámetros de la siguiente forma: ( 𝑚+1 ) Δ2 𝑆 𝑑𝑚 (𝑑𝑚 − 1)2 𝑑−𝑑 1−𝑑 ln 𝑏 1 = (3.66) 1−𝑑 𝑑 − 𝑑𝑚+1 ( ) 𝑚 ⇒ Δ𝑆0 − (𝑑 − 1) ln 𝑏 = 𝑚2 ln 𝑎 (3.67) 1−𝑑 𝑑 − 𝑑𝑚+1 ( )( ( )) 1 𝑚 ⇒ Δ𝑆0 − (𝑑 − 1) = ln 𝑎 (3.68) 𝑚2 1−𝑑 𝑑 − 𝑑𝑚+1 {( )( ( ))} 1 𝑚 ⇒ exp Δ𝑆0 − (𝑑 − 1) = 𝑎 (3.69) 𝑚2 1−𝑑 3.2.63) Δ2 𝑆0 Además 𝑑 − 𝑑𝑚+1 ( ) 2 𝑚 2 Δ 𝑆0 = (𝑑 − 1) ln 𝑏 (3. Una vez conocidas dichas diferencias.65) ⎩ (𝑑𝑚 − 1)2 𝑑−𝑑𝑚+1 ⎭ 1−𝑑 También sabemos que Δ𝑆0 = 𝑚2 ln 𝑎 + 𝑑 − 𝑑𝑚+1 ( ) 𝑚 + (𝑑 − 1) ln 𝑏 (3. Criterio de mı́nimos cuadrados Para determinar el parámetro 𝐾 se impone la condición de mı́nimos cuadrados de las diferencias entre los valores observados y los teóricos.70) 4𝑚 4𝑚 ∑ (𝑙𝑖 − 𝑘𝑣𝑖 )2 𝑖=1 𝐷 = (3.71) 4𝑚 (3. 4𝑚 ( ∑ )2 𝑙𝑖 − ˆ𝑙𝑖 𝑖=1 𝐷 = →0 (3.61) Δ2 𝑆0 ( ) 𝑚+1 (𝑑𝑚 − 1)2 𝑑−𝑑 1−𝑑 ln 𝑏 Δ2 𝑆1 ⇒ = 𝑑𝑚 (3.64) 1−𝑑 ⎧ ⎫ ⎨ Δ2 𝑆0 ⎬ ⇒ exp ( ) = 𝑏 (3.72) 80 .62) Δ2 𝑆0 ( 2 ) 𝑚1 Δ 𝑆1 ⇒ = 𝑑 (3. 85) ˆ𝑙𝑥 (3.82) ∑ 𝑣𝑖2 𝑖=1 Una vez estimados los parámetros 𝑎.78) 𝑑𝑘 4𝑚 𝑖=1 4𝑚 ∑ −𝑙𝑖 𝑣𝑖 + 𝐾𝑣𝑖2 = 0 ( ) ⇔ (3. . 2. 10. 𝑏 y 𝑑 la 𝑙𝑥 estimada la podemos expresar como: ˆ𝑙𝑖 = 𝑘𝑣𝑥 (3. . Derivamos con respecto a 𝐾 porque es el parámetro que no conocemos y se iguala a cero: 𝑑 𝐷 = 0 (3.87) Para 𝑖 = 1.83) 𝑖 𝑑𝑖 𝑣𝑖 = 𝑎 𝑏 (3. 16 y 𝑥 = 5.73) 𝑑𝑘 ⎡∑ ⎤ 2 𝑑 𝑑 ⎣ (𝑙𝑖 − 𝑘𝑣 𝑖 ) 𝐷 = ⎦ (3. .74) 𝑑𝑘 𝑑𝑘 4𝑚 (3. .80) 𝑖=1 𝑖=1 (3. 80 81 . . 3.81) Despejando el valor del parámetro 𝐾 4𝑚 ∑ 𝑙𝑖 𝑣𝑖 𝑖=1 𝑘 = 4𝑚 (3.79) 𝑖=1 4𝑚 ∑ 4𝑚 ∑ ⇔ − 𝑙𝑖 𝑣𝑖 + 𝐾 𝑣𝑖2 = 0 (3. .86) (3.75) Recordemos 𝑑 𝑛 𝑑𝑥 (𝑓 (𝑥)) 𝑛 (𝑓 (𝑥))𝑛−1 𝑑𝑥 𝑑 𝑓 (𝑥) ( 4𝑚 ) 𝑑 1 ∑ 𝑑 𝐷 = 2 (𝑙𝑖 − 𝑘𝑣𝑖 ) (𝑙𝑖 − 𝑘𝑣𝑖 ) (3. .76) 𝑑𝑘 4𝑚 𝑑𝑘 𝑖=1 4𝑚 𝑑 1 ∑ 𝐷 = 2 (𝑙𝑖 − 𝑘𝑣𝑖 ) (−𝑣𝑖 ) (3. 15.84) 𝑙𝑥𝑜 (3.77) 𝑑𝑘 4𝑚 𝑖=1 4𝑚 𝑑 2 ∑ 𝐷 = (−𝑙𝑖 𝑣𝑖 ) + 𝐾𝑣𝑖2 (3. . CELADE. 82 .4 7 1. 1976.6 8 1. Lotka 3. excluidas la migración y la inmigración.90) 𝑃0 𝑃0 𝑃1 = 𝑃0 (1 + 𝑟) (3.3.91) El caso continuo 1 Lotka. tanto en nivel como en tendencia. y los problemas que examinan se han convertido en instrumentos de incalculable valor para quienes tienen la tarea de elaborar estimaciones de parámetros.88) ∑ 𝑣𝑖2 𝑖=1 3.2 6 1. Alfred J. Teorı́a analı́tica de las asociaciones biológicas En la Teorı́a Analı́tica de las Asociaciones Biológicas se estudia con gran rigor lógico diversos aspectos teóricos ligados al comportamiento de las poblaciones desde el punto de vista demográfico. a partir de datos insuficientes. Poblaciones teóricas de Alfred J. tendrı́amos la siguiente ecuación demográfica: Nacimientos . ya sea en calidad como también en disponibilidad1 Para el caso de una población cerrada. una población cuyo efectivo recibe nuevas incorporaciones sólo por nacimientos y sufre pérdidas sólo por defunciones.Defunciones = Crecimiento Natural El caso discreto 𝑃1 = 𝑃0 + 𝑁 − 𝐷 (3. es decir.3. Teorı́a Analı́tica de las Asociaciones Biológicas.89) 𝑃1 𝑃0 + 𝑁 − 𝐷 = (3. Centro Latinoamericano de Demografı́a.1. I X 1 5 1.8 9 2 10 Recordemos: 4𝑚 ∑ 𝑙𝑖 𝑣𝑖 𝑖=1 𝑘 = 4𝑚 (3. 𝑃1 = 𝑃0 + 𝑁 − 𝐷 (3.93) ′ 𝑃 = 𝑁 −𝐷 (3.94) 𝑃′ 𝑁 −𝐷 = =𝑟 (3.95) 𝑃 𝑃 𝑑 ln 𝑃𝑡 = 𝑟 (3.96) 𝑑𝑡 ∫ 1 ∫ 1 𝑑 ln 𝑃𝑡 𝑑𝑡 = 𝑟 𝑑𝑡 (3.92) 𝑃1 − 𝑃0 = 𝑁 − 𝐷 (3.97) 0 𝑑𝑥 0 Recordemos que la integral de una derivada es igual a ella misma . 1 . 1 ln 𝑃𝑡 . = 𝑟. 98) . 𝑑𝑡 (3. . .104) 𝑥 ⇒ ln 𝑚(𝑥) = ln 𝐵 + ln 𝐶 (3. .99) 𝑃1 ln = 𝑟 (3. Hipótesis: 𝑚(𝑥) = 𝐵𝐶 𝑥 (3.5.5). .105) ⇒ ln 𝑚(𝑥) = ln 𝐵 + 𝑥 ln 𝐶 (3. se obtiene la recta de ajuste. .3.101) 𝑃0 𝑃1 = 𝑃0 𝑒 𝑟 (3.5.100) 𝑃0 𝑃1 = 𝑒𝑟 (3.102) 3. 82. 12. se deben obtener los logaritmos naturales de las tasas para linealizar ln 𝑚(𝑥) = ln (𝐵𝐶 𝑥 ) (3.103) Posteriormente.106) Luego. se debe crear la tabla teniendo en cuenta el punto medio de los intervalos de las diferentes edades (𝑋 = 7. Mı́nimos Cuadrados y Promedios Móviles Inicialmente.2. 0 0 ln 𝑃1 − ln 𝑃0 = 𝑟(1) − 𝑟(0) (3. graficando la serie de versus las edades medias 83 . 5) 1 16 1 1 ⇒ ln 𝐶 = 16 16 16 (3.111) Se tiene dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas: Para nuestro caso serı́a: 16 ∑ 16 ∑ ln 𝑚(5𝑖 + 2.Método de Mı́nimos Cuadrados 𝑦𝑖𝑜 = 𝑚𝑥𝑜𝑖 + 𝑤 (3.5) ln 𝑚(5𝑖 + 2.115) 𝑖=1 𝑖=1 ( 16 16 ) 16 1 ∑ ∑ ∑ + ln 𝑚(5𝑖 + 2.5) (5𝑖 + 2.5) − ln 𝐶 (5𝑖 + 2.112) 𝑖=1 𝑖=1 16 ∑ 16 ∑ 16 ∑ (5𝑖 + 2.5) (3.5) (5𝑖 + 2.113) 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 Despejando de (3.118) ∑ 12 ∑ ∑ (5𝑖 + 2.5) 1 16 1 1 Hasta aquı́ se tiene que: 84 .5)2 + (3.5) − (5𝑖 + 2.5) − ln 𝑚(5𝑖 + 2.5) + ln 𝑚(5𝑖 + 2.5) (5𝑖 + 2.107) Hipotéticamente existe 𝑦ˆ𝑖 = 𝑚𝑥𝑖 + 𝑤 (3.5) (3.5) = ln 𝐶 (5𝑖 + 2.5) = ln 𝐶 (5𝑖 + 2.5) + 16 ln 𝐵 (3.5) (3.5) (3.108) 𝑛 ∑ ∑𝑛 𝑜 𝑦𝑖 = 𝑚 𝑥𝑜𝑖 + 𝑛𝑤 (3.109) 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 ∑ ∑𝑛 𝑛 ∑ 𝑥𝑜𝑖 𝑦𝑖𝑜 = 𝑚 𝑥2𝑖 +𝑤 𝑥𝑖 (3.5) − ln 𝐶 (5𝑖 + 2.116) 16 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 ( 16 16 16 ) ( 16 16 ) ∑ 2 1 ∑ ∑ 1 ∑ ∑ = ln 𝐶 (5𝑖 + 2.5) (5𝑖 + 2.5)2 + 16 ln 𝐵 (5𝑖 + 2.5) − (5𝑖 + 2.110) 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 (3.112) el ln 𝐵 { 16 16 } 1 ∑ ∑ ln 𝐵 = ln 𝑀 (5𝑖 + 2.117) 𝑖=1 16 𝑖=1 𝑖=1 16 𝑖=1 𝑖=1 16 ( 16 16 ) ∑ 1 ∑ ∑ ln 𝑚(5𝑖 + 2.113) el ln 𝐵 y despejando el valor 𝐶 16 ∑ 16 ∑ (5𝑖 + 2.5) (5𝑖 + 2.114) 16 𝑖=1 𝑖=1 Sustituyendo en (3.5) ln 𝑀 (5𝑖 + 2.5) = ln 𝐶 (5𝑖 + 2. 5 (3.119) Sustituyendo: { 16 16 } 1 ∑ ∑ ln 𝐵 = ln 𝑀 (5𝑖 + 2.120) 16 1 1 ln 𝐵 = 𝐾2 (3.125) Por ejemplo: si necesito 1 𝑚15 1 𝑚15 = 𝐵𝐶 15.122) Finalmente: 𝐶 = 𝑒𝐾1 (3.123) 𝐾2 𝐵 = 𝑒 (3. ln 𝐶 = 𝐾1 (3. ln 𝑚5𝑖+2.5 (3.5).5) (3.121) 𝐾1 𝐾2 ∈ ℝ (3.128) 8 8 𝑖=9 𝑖=9 Recordadr 𝑌ˆ = ln 𝑀 (𝑥) ( ) −𝑌1 𝑌ˆ = 𝑋𝑌22 −𝑋 1 (𝑋 − 𝑋1 ) + 𝑌1 Donde ln 𝑚𝑥 = ln 𝐶(𝑋 − 𝑋1 ) + 𝑌1 (3. ˆ (𝑥) = 𝐵𝐶 𝑥 𝑀 (3. ln 𝑚5𝑖+2.130) 85 .126) Método de Promedios Móviles Para utilizar este método primero debemos estimar dos puntos promedio 8 8 ( ) 1∑ 1∑ 𝑃¯1 = (5𝑖 + 2.127) 8 8 𝑖=1 𝑖=1 16 16 ( ) 1 ∑ 1 ∑ 𝑃¯2 = (5𝑖 + 2.5).129) ln 𝑚𝑥 = 𝑋 ln 𝐶 − 𝑋1 ln 𝐶 + 𝑌1 (3.5 (3.124) Una vez conozcamos el valor de los parámetros 𝐵 y 𝐶 con tasas quinquenales se puede desagregar para obtener los valores individuales.5) − 𝐾1 (5𝑖 + 2. .134) (3.5 De esta forma también podemos desagregar las tasas aplicando la ley de Gompertz. 3. la expresión: 𝜇𝑥 = 𝐴 + 𝐵𝐶 𝑥 (3.133) Finalmente 𝑀 (ˆ ¯𝑋) = 𝐵𝐶 𝑥 (3.140) 86 .137) Makeham retoma lo desarrollado por Gompertz e incorpora a la función de supervivencia. Por lo que Makeham plantea para la fuerza de mortalidad. Función de Supervivencia 𝑥 𝑙𝑥 = 𝐾𝑔 𝐶 (3.138) Como vemos Makeham añadió a la función de Gompertz una constante 𝜇𝑥 = 𝐵𝐶 𝑥 + 𝐴 (3. las causas de muerte independiente de la edad.3. .5 − 5𝑖 + 2. Función Gompertz-Makeham Ley de Gompertz 𝜇𝑥 = 𝐵𝐶 𝑥 (3.139) Al introducir la constante esta involucra las causas de muertes por hechos fortuitos o al azar.3.5 − ln 𝑚5𝑖+2.5.5 8 8 𝑖=1 𝑖=9 ln 𝐶 = 16 8 (3. La pregunta ahora es ¿Cuál función de supervivencia se asocia? Sabemos que: ∫𝑡 𝑙𝑥 = 𝑙0 𝑒− 0 𝜇𝑥 𝑑𝑥 (3.5. 82.136) La fuerza de la mortalidad esta definida considerando razones biológicas y no fortuitas.5 8 𝑖=9 𝑖=1 ln 𝐵 = −𝑋1 ln 𝐶 + 𝑌1 (3.131) 1 ∑ 1∑ 8 5𝑖 + 2.5. .132) −𝑋1 ln 𝐶+𝑌1 𝐵 = 𝑒 (3. .135) 𝑋 = 7. ( ) 𝑌2 −𝑌1 ln 𝐶 = 𝑋2 −𝑋1 𝑌2 −𝑌1 𝐶 = 𝑒 𝑋2 −𝑋1 16 1 ∑ 18 ln 𝑚5𝑖+2. 77. 12. 140) ∫𝑡 𝑥 𝑙𝑥 = 𝑙0 𝑒− 0(𝐵𝐶 +𝐴) 𝑑𝑥 (3.142) 0 0 0 Recordar 𝑑 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝐶 𝑥 = 𝐶 ln 𝐶 𝑑 𝐶 𝑥 𝑑𝑥 ln 𝐶 = 𝐶 𝑥 .139) en (3.Sustituyendo (3.141) En este caso: ∫ 𝑡 ∫ 𝑡 ∫ 𝑡 𝑥 𝑥 − (𝐵𝐶 + 𝐴) 𝑑𝑥 = −𝐵 𝐶 𝑑𝑥 − 𝐴 𝑑𝑥 (3. 𝑡 ∫𝑡 ∫𝑡 . − 0 𝐵𝐶 𝑥 𝑑𝑥 = −𝐵 0 𝐶 𝑥 𝑑𝑥 = −𝐵 ln𝐶 𝐶 . = − ln𝐵𝐶 (𝐶 𝑡 − 1) 0 ln 𝑔 = − ln𝐵𝐶 𝑡 𝑡 ln 𝑔(𝐶 𝑡 − 1) = 𝐶 𝑡 ln 𝑔 − ln 𝑔 = ln 𝑔 𝐶 + ln 𝑔 −1 = ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶 ∫ 𝑡 . 𝑡 𝑡 − (𝐵𝐶 𝑥 + 𝐴) 𝑑𝑥 = ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶 − 𝐴𝑥. (3.143) . 147) 0 ∫ 𝑡 𝑡 ⇒ (𝐵𝐶 𝑥 + 𝐴) 𝑑𝑥 = ln(𝑔 −1 𝑔 𝐶 + 𝑓 𝑡 ) (3.153) 87 .144) 0 ∫ 𝑡 𝑡 − (𝐵𝐶 𝑥 + 𝐴) 𝑑𝑥 = ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶 − 𝐴𝑡 (3.145) 0 Usamos un artificio para obtener el logito de la expresión.152) 𝑔 𝑡 𝑙𝑡 = 𝑘𝑓 −1 𝑔 𝐶 (3.148) para generar la función de supervivencia en (3.140) y queda: −1 𝑔 𝐶 𝑡 𝑓 𝑡 𝑙𝑡 = 𝑙0 𝑒ln 𝑔 Genera la función identidad (3.149) −1 𝐶 𝑡 𝑡 𝑙𝑡 = 𝑙𝑜 𝑔 𝑔 𝑓 (3.146) 0 ∫ 𝑡 𝑡 ⇒ (𝐵𝐶 𝑥 + 𝐴) 𝑑𝑥 = ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶 + ln 𝑓 𝑡 (3. Sea: −𝐴 = ln 𝑓 ∫ 𝑡 𝑡 ⇒ (𝐵𝐶 𝑥 + 𝐴) 𝑑𝑥 = ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶 + 𝑡 ln 𝑓 (3. 0 0 ∫ 𝑡 𝑡 − (𝐵𝐶 𝑥 + 𝐴) 𝑑𝑥 = ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶 − 𝐴(𝑡 − 0) (3.148) 0 Entonces.151) 𝑔 𝑙0 𝑘 = (3. se sustituye en (3.150) 𝑙0 𝑡 𝐶 𝑡 𝑙𝑡 = 𝑓 𝑔 dado que (3. 156) 𝑑𝑥 𝜇 Gompertz 𝑥 𝑙𝑥 = 𝐾𝑏𝑑 (3. corregir y proyectar la fecundidad 𝑥 𝑙𝑥 = 𝑙𝑥 = 𝐾𝑏𝑑 (3.154) Recordemos Gompertz 𝑥 𝑙𝑥 = 𝐾𝑏𝑑 Gompertz-Makeham 𝑥 𝑙𝑥 = 𝐾𝑎𝑥 𝑏𝑑 3. Finalmente se llega a la expresión conocida como la ley de Gompertz Makeham es 𝑥 𝑙𝑥 = 𝐾𝑎𝑥 𝑏𝑑 (3. Gompertz definió la resistencia del hombre a la muerte como el recı́proco de la tasa instantánea de mortalidad 𝜇1𝑥 𝑑 𝜇1𝑥 1 = −ℎ (3.3. Ahora será: 𝜇𝑥 = 𝐹 (𝑥) Descendencias parciales Grupos de Edad Edad (𝑥) Tasas 5 𝑓𝑥 Descencencia Parcial 𝐹𝑥 15 − 19 15 5 𝑓15 𝐹15 = 0 20 − 24 20 5 𝑓20 𝐹20 = 55 𝑓15 Descendencia par- cial a los 20 años 25 − 29 25 5 𝑓25 𝐹25 = 5(5 𝑓15 +5 𝑓20 ) 30 − 34 30 5 𝑓30 𝐹30 = 5(5 𝑓15 +5 𝑓20 +5 𝑓25 ) 35 − 39 35 5 𝑓35 𝐹35 = 5(5 𝑓15 +5 𝑓20 +5 𝑓25 +5 𝑓30 ) 40 − 44 40 5 𝑓40 𝐹40 = 5(5 𝑓15 +5 𝑓20 +5 𝑓25 +5 𝑓30 +5 𝑓35 ) ∑8 45 − 49 45 5 𝑓45 𝐹45 = 5 5 𝑓3𝑖 𝑖=3 88 .4.155) Gompertz Recordemos que este autor se planteó como objetivo observar cómo se extinguı́a una población. ası́ que después de encontrar que conforme pasa el tiempo la resistencia del hombre a la muerte decrece proporcionalmente a la misma.157) siendo ℎ la tasa a la cual decrece la resistencia del hombre a la muerte. Modelo de fecundidad basado en la relación de Gompertz propuesto por Brass El modelo bilogı́stico sirve para ajustar. 160) 𝑇 𝐺𝐹 Hay que introducir un signo (-) al transformar la ecuación ya que la cantidad 𝑇𝐹𝐺𝐹 𝑥 es menor 𝐹𝑥 que la unidad de aquı́ que el ln 𝑇 𝐺𝐹 sea negativo y el logaritmo de un número negativo no esta definido. no cuantos tuvo.169) El propósito es corregir las descendencias parciales no la 𝑇 𝐺𝐹 . relacionamos el estándar con los valores observados considerando que ambos se relacionan de manera lineal con la edad. 𝐹𝑥 𝑥 = 𝑏𝑑 (3. se puede comprobar gráficamente la tendencia lineal (graficar los 6 puntos) Luego.164) 𝑇 𝐺𝐹 𝑚 = ln 𝑑 (3.168) 𝑣𝑥𝑜 = 𝑚𝑥 + 𝑐 (3.166) Luego. el cociente 𝑇𝐹𝐺𝐹 𝑥 .¿Cómo obtener los parámetros? Para ello se sabe que: 𝑥 𝐹𝑥 = 𝑇 𝐺𝐹 𝑏𝑑 (3.158) Donde 𝐹 (𝑥) denota la fecundidad acumulada hasta la edad 𝑋 y 𝑇 𝐺𝐹 la tasa global de fe- cundidad. Despejando 𝑋 relacionamos el estándar con los valores observados: 𝑣𝑥𝑆 − 𝑐′ = 𝑚′ 𝑥 (3.165) 𝑐 = ln (− ln 𝑏) (3.161) ( 𝑇 𝐺𝐹) 𝐹𝑥 ln − ln = ln (−𝑑𝑥 ln 𝑏) (3. ya que el problema radica en cuando tuvo los hijos.171) 𝑚′ 89 . 𝐹𝑥 − ln = −𝑑𝑥 ln 𝑏 (3. la proporción de la fecundidad global experimentada hasta la edad 𝑋.159) 𝑇 𝐺𝐹 𝐹𝑥 ln = 𝑑𝑥 ln 𝑏 (3.163) 𝑇 𝐺𝐹 Sea ( ) 𝑜 𝐹𝑥 𝑣𝑥 = ln − ln (3.170) 𝑣𝑥𝑠 − 𝑐′ 𝑥 = (3.167) ′ ′ 𝑣𝑥𝑠 = 𝑚𝑥+𝑐 (3. William Brass 𝑣𝑥 = 𝑣𝑥𝑆 (3.162) 𝑇 𝐺𝐹 ( ) 𝐹𝑥 ln − ln = 𝑥 ln 𝑑 + ln (− ln 𝑏) (3. Los parámetros en funciones matemáticas nos permitirán ver cual es su comportamiento en el tiempo.169) 𝑣𝑥𝑆 − 𝑐′ ( ) 𝑣𝑥𝑜 = 𝑚 +𝑐 (3.176) Tasa bruta de reproducción 𝑇 𝐵𝑅 0. Ciertamente el modelo de Brass es más fácil que el desarrollado por Coale y Trussell. señala que el parámetro 𝐵 está asociado con la tasa neta de reproducción La tasa neta de reproducción se refiere al número de hijas que van a reemplazar a sus madres en el momento de su nacimiento en presencia de mortalidad.488𝑇 𝐺𝐹 (3.174) Corrobora la linealidad graficando P1 𝑆 . autores como Alvino Bocaz del Centro Latinoamericano de Demografı́a ha trabajado ajustes bilogı́sticos (doble ln). 𝑣𝑜 ) (𝑣20 20 P2 𝑆 . y puede resultar muy útil para fines de simulación y proyección. Hasta el momento hemos analizado los métodos indirectos que tienen como finalidad resumir estructuras por edades a través de parámetros.171) en (3. Sin embargo.488 ı́ndice de femineidad 𝑇 𝐵𝑅 = 0. 𝑣𝑜 ) (𝑣45 45 En el caso del modelo bilogı́stico 𝑣𝑥𝑜 . Los parámetros per sé nos permiten realizar proyecciones. Sustituimos (3. En presencia de mortalidad 𝑅0 = 𝑇 𝑁 𝑅 (3. 𝑣𝑜 ) (𝑣25 25 P3 𝑆 .175) Cuando la 𝑇 𝑁 𝑅 < 1 el reemplazo de la población no esta asegurado Descendencia Final DF ∑ 𝑇 𝐺𝐹 = 5 5 𝑓5𝑖 = 𝐷𝐹 (3.177) 90 . Y 𝛽 puede considerarse como un indicador de la localización del patrón de fecundidad con respecto a la edad. 𝛼 puede interpretarse como determinante de la dispersión o grado de concentración del patrón.172) 𝑚′ 𝑚 𝑆 ( 𝑚 ′) ⇒ 𝑣𝑥𝑜 = 𝑣 + 𝑐 − 𝑐 (3. la edad en la que la mitad de todos los alumbramientos se han producido. 𝑣𝑜 ) (𝑣35 35 P5 𝑆 . 𝑣𝑜 ) (𝑣30 30 P4 𝑆 . Recordemos que Brass obtuvo un estándar apropiado a partir de los patrones de Coale y Trussell. o más concretamente.173) 𝑚′ 𝑥 𝑚′ ⇒ 𝑣𝑥𝑜 = 𝛼𝑣𝑥𝑆 + 𝛽 (3. 𝑣𝑜 ) (𝑣40 40 P6 𝑆 . 178) 𝑋1 − 𝑋0 El denominador no puede ser cero.185) 𝑋=15 50 ∑ ⇒ 1 𝑓𝑋 (𝑋 − 𝑋0 ) = 0 (3.179) 𝑋1 − 𝑋0 Nótese que 𝑋1 𝑆0 ∕=𝑋0 𝑆0 Estos dos valores no pueden ser iguales. 𝑋 𝑆0 1 𝑓𝑋 = 𝑘 1 𝑓𝑋 (𝑋 − 𝑋0 ) +𝑋0 𝑆0 1 𝑓𝑋 (3.Demostración Caso Discreto Hipótesis fundamental: las probabilidades de supervivencia del nacimiento a la edad 𝑋 es lineal 15 ≤ 𝑋 ≤ 50.180) 50 ∑ ∑ 50 50 ∑ 𝑋 𝑆0 1 𝑓𝑋 = 𝑘 𝑓 1 𝑋 (𝑋 − 𝑋0 ) + 𝑆 𝑋0 0 1 𝑓𝑋 (3. Biológicamente no es cierto.4878𝑘 1 𝑓𝑋 (𝑋 − 𝑋0 ) = 0 (3.187) 𝑋=15 𝑋=15 Edad media a la fecundidad 50 ∑ 𝑋1 1 𝑓𝑋 𝑋=15 𝑋0 = 50 =𝑚 ¯ (3.182) 𝑋=15 ya que para obtener 𝑋0 se tiene que 𝑅0 = 𝑋0 𝑆0 𝑅 (3. 𝑋1 𝑆0−𝑋0 𝑆0 𝑥 𝑆0 = 𝑋1 ∕= 𝑋0 (3.188) ∑ 1 𝑓𝑋 𝑋=15 Recordemos que: 91 .186) 𝑋=15 50 ∑ 50 ∑ ⇒ 1 𝑓𝑋 𝑋 − 𝑋0 1 𝑓𝑋 = 0 (3.184) 𝑋=15 Despejar de 𝑋0 de: 50 ∑ 0. no podemos afirmar que a edades diferentes se pueda tener la misma probabilidad de supervivencia.181) 𝑋=15 𝑋=15 𝑋=15 50 ∑ 𝑅0 = 0.183) 50 ∑ 0. 𝑋1 𝑆0 −𝑋0 𝑆0 𝑥 𝑆0 = (𝑋 − 𝑋0 ) +𝑋0 𝑆0 𝑋1 ∕= 𝑋0 (3.4878𝑘 1 𝑓𝑋 (𝑋 − 𝑋0 ) = 0 (3.4878𝑘 1 𝑓𝑋 (𝑋 − 𝑋0 ) +𝑋0 𝑆0 𝑅 (3. 189) 5 𝑓15 + . . Edad 5 𝑓𝑋 15 − 19 5 𝑓15 20 − 24 5 𝑓20 25 − 29 5 𝑓25 30 − 34 5 𝑓30 35 − 39 5 𝑓35 40 − 44 5 𝑓40 45 − 49 5 𝑓45 (17. +5 𝑓45 Para 𝑋0 = 𝑚 ˆ 𝑅0 = 𝑅𝑚 ˆ 𝑆0 (3. . entre más pequeño el intervalo mejor la estimación.191) 𝑙0 Usando la hipótesis −𝑋0 𝑆0 𝑋1 𝑆0 𝑥 𝑆0 = (𝑋 − 𝑋0 ) +𝑋0 𝑆0 (3.202) 92 .198) ⇒ 𝑠(𝑥) = 𝑘(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑠(𝑥0 ) (3.200) ⇒ 𝑓 𝑠(𝑥)𝑓 (𝑥) = 𝑓 𝑘𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓 𝑠(𝑥0 )𝑓 (𝑥) (3.192) 𝑋1 − 𝑋0 𝑖 𝐿𝑋+1 𝑆𝑋 = (3. + (47. .5)5 𝑓15 + (22.190) Dada una tabla de mortalidad cómo estimarı́amos 𝑚 ˆ 𝑆0 Lo harı́amos interpolando.199) ⇒ 𝑠(𝑥)𝑓 (𝑥) = 𝑘𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑠(𝑥0 )𝑓 (𝑥) (3. . Por definición 𝑙𝑋 𝑋0 𝑆0 = (3.193) 𝑖 𝐿𝑋 ˆ 𝑆0 𝑚 = 𝑘(𝑚 ˆ − 𝑥0 ) + 𝑥0 𝑠 0 (3.197) 𝑋1 − 𝑋0 ⇒ 𝑥 𝑆0 = 𝑘(𝑥 − 𝑥0 ) +𝑋0 𝑆0 (3.195) 5 𝑋1 𝑆0 −𝑋 𝑆0 ⇒ 𝐾 = (3.201) (3.194) Para quinquenios 𝐾 puede ser: 𝑙𝑋+5 𝑙𝑋 𝑙0 − 𝑙0 𝐾 = (3.196) 5 Caso Continuo −𝑋0 𝑆0 𝑋1 𝑆0 𝑥 𝑆0 = (𝑋 − 𝑋0 ) +𝑋0 𝑆0 (3.5)5 𝑓20 + .5)5 𝑓45 𝑚 ˆ = (3. 208) 𝛼 ∫ ⇔ 𝑥𝑓 (3.210) 𝛼 ∫ 𝛽 ∫ 𝛽 ⇔ 𝑥𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑥0 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 0 (3.211) 𝛼 𝛼 ∫ 𝛽 ∫ 𝛽 ⇔ 𝑥𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥0 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 (3.203) 𝛼 𝛼 ∫ 𝛽 ∫ 𝛽 ∫ 𝛽 ⇒ 𝑓 𝑠(𝑥)𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑘𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑠(𝑥0 ) 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 (3. Integrando considerando los lı́mites de integración en el rango de edades donde se define el impacto del fenómeno demográfico: ∫ 𝛽 ∫ 𝛽 (𝑓 𝑘𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓 𝑠(𝑥0 )𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 𝑓 𝑠(𝑥)𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = (3.212) 𝛼 𝛼 ∫𝛽 𝛼 𝑥𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 ⇔ 𝑥0 = ∫𝛽 =𝑚 ˆ (3.205) 𝛼 ∫ 𝛽 𝑅 = 𝑓 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 (3.206) 𝛼 ∫ 𝛽 ⇒ 𝑅0 = 𝑘𝑓 𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑑𝑥 + 𝑠(𝑥0 𝑅 (3.213) 𝑥0 𝛼 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 La última expresión obtenida es la esperanza matemática que en demografı́a corresponde a la edad media a la fecundidad. 93 . donde 𝑓 es el Índice de feminidad.207) 𝛼 Existirá 𝑋0 tal que ∫ 𝛽 𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑑𝑥 = 0 (3.209) ∫ 𝛽 ⇔ (𝑥𝑓 (𝑥) − 𝑥0 𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 = 0 (3.204) 𝛼 𝛼 𝛼 Por definición: ∫ 𝛽 𝑅0 = 𝑓 𝑠(𝑥)𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 (3. 94 . 𝑛 ( ) ∑ 𝑓 (𝑘) (𝑥0 ) 𝑃 (𝑥) = (𝑥 − 𝑥0 )𝑘 (4. radica en encontrar un polinomio 𝑃 que coincida con una función dada 𝑓 y con algunas de sus derivadas en un punto dado. esto en el terreno del análisis numérico. 𝑃 (𝑥0 ) = 𝑓 (𝑥0 ) . El análisis numérico Es muy común utilizar funciones polinomiales con el fin de aproximar una función dada 𝑓 (𝑥) a valores observados. Ası́. . . de grado ≤ 𝑛 que satisface las 𝑛 + 1 relaciones. 𝑃 ′ (𝑥0 ) = 𝑓 ′ (𝑥0 ). Si f es una función con derivada de orden n en un punto 𝑥0 . las que ocupan un lugar preponderante en el análisis numérico. 𝑃 (𝑛) (𝑥0 ) = 𝑓 (𝑛) (𝑥0 ) (4. . En este trabajo se presentan en una primera instancia los elementos técnicos empleados en él análisis numérico básico. que sirven para obtener los parámetros de las funciones polinomiales de ajuste. 4. un tipo de aproximación empleando la fórmula de Taylor. Introducción En la Demografı́a es común el ajuste de funciones que permitan describir y proyectar las variables demográficas.2. En una segunda instancia se presentan aplicaciones en el terreno demográfico de las técnicas numéricas.1) La solución viene dada por el polinomio de Taylor. de modo que se puede escribir: 𝑛 ( ) ∑ 𝑓 (𝑘) (𝑥0 ) 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 𝑥0 )𝑘 + 𝑅(𝑥) (4. una de las funciones más empleadas son las funciones polinomiales.Capı́tulo 4 Funciones polinomiales en el ajuste de datos demográficos 4.1.3) 𝑘! 𝑘=0 95 . con base en información recabada. .2) 𝑘! 𝑘=0 El error que se comete aproximando 𝑓 (𝑥) por 𝑃 (𝑥) en puntos 𝑥 distintos del 𝑥0 se define por la diferencia 𝑅(𝑥) = 𝑓 (𝑥) − 𝑃 (𝑥). existe un polinomio 𝑃 y solo uno. . Δ𝑛 𝑓 .7) 𝑛!ℎ𝑛 2. 1. 3. . Es fácil calcular sucesivamente las diferencias Δ𝑟−1 𝑓 (𝑥0 ) a partir de una tabla de diferencias ordinarias. Ası́ si ℎ es un número real fijo y f una función dada. Aquı́ ℎ es un número positivo que representa la distancia entre dos puntos de interpolación consecutivos. se definen por inducción como: Δ𝑘+1 𝑓 = Δ(Δ𝑘 𝑓 ) para 𝑘 = 1. Para ello hablaremos del operador de diferencias sucesivas Δ. . entonces x y xo son puntos distintos de [a. . < 𝑥𝑛 donde 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑗ℎ Para 𝑗 = 0. .b]. . . 𝑥1 . Cuando los puntos de interpolación. 𝑛 tenemos: Δ𝑛 𝑓 (𝑥0 ) 𝑓 (𝑥0 . 𝑛 (4. 𝑥 𝑓 (𝑥) Δ𝑓 (𝑥) Δ2 𝑓 (𝑥) Δ3 𝑓 (𝑥) 𝑥0 𝑓0 𝑓1 − 𝑓0 = Δ𝑓 (𝑥0 ) 𝑥1 𝑓1 Δ𝑓 (𝑥1 ) − Δ𝑓 (𝑥0 ) = Δ2 𝑓 (𝑥0 ) 𝑓2 − 𝑓1 = Δ𝑓 (𝑥1 ) Δ2 𝑓 (𝑥1 ) − Δ2 𝑓 (𝑥0 ) = Δ3 𝑓 (𝑥0 ) 𝑥2 𝑓2 Δ𝑓 (𝑥2 ) − Δ𝑓 (𝑥1 ) = Δ2 𝑓 (𝑥 1) 𝑓3 − 𝑓2 = Δ𝑓 (𝑥2 ) 𝑥3 𝑓3 Algunos de los resultados básicos de diferencias ordinarias son los siguientes: 1. están separados con distancia constante. La función Δ𝑓 definida por la ecuación: Δ𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥 + ℎ) − 𝑓 (𝑥) (4. . La fórmula de interpolación de Newton: 𝑛−1 𝑟 ∑ Δ𝑟−1 𝑓 (𝑥0 ) ∏ 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓 (𝑥0 ) + 𝑡−𝑗 (4. .6) Supongamos ahora que 𝑓 esta definida en 𝑛 + 1 puntos igualmente separados 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < . 𝑥𝑛 ) = (4.b] el error R(x) puede expresarse en la forma: (𝑥 − 𝑥0 )𝑛−1 𝑓 (𝑛−1) (𝑐) 𝑅(𝑥) = (4.8) (𝑟 + 1)! 𝑟=0 𝑗=0 96 . . 𝑛. 2. .4) (𝑛 + 1)! donde 𝑐 está situado entre 𝑥 y 𝑥0 . .. como se ve en la siguiente tabla. . 2.𝑥2 . 2. ası́ las diferencias de órdenes superiores Δ2 𝑓. . . 𝑥1 .la que se define para aquellos puntos 𝑥 para los que tanto 𝑥 como 𝑥 + ℎ están en el dominio de 𝑓 . .5) recibe el nombre de la primera diferencia de 𝑓 . . . . . Si ℎ > 0 y 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑗ℎ para 𝑗 = 1..𝑥𝑛 . .Suponiendo que se conoce que f posee derivada de orden n+1 en todo un intervalo abierto (a. el cálculo de los cocientes de diferencias considerablemente se simplifica . nótese que se escribió 𝑓𝑖 en lugar de 𝑓 (𝑥𝑖 ). . .b) y que es continua en el intervalo cerrado [a. . . . dada por: 𝑛 𝑓 (𝑥𝑘 ) 𝑓 (𝑥0 . en- tonces: ( ) 𝑛−𝑘 𝑛 ∑ 𝑛 Δ 𝑓 (𝑥0 ) = (−1) 𝑓 (𝑥𝑘 ) (4. 𝑥𝑛 ) para puntos igualmente separados. + 𝐼 Δ (4. . 𝑥1 ..22) 2 3 𝑛 Por lo tanto: 97 . . .18) −1 ⇒ 𝐸 ≡ (𝐼 + ∇) (4.. 𝑓 (𝑥𝑛 ) 4. Polinomio de retroceso de Newton Gregory.14) ( ) ( ) ( ) ( ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 0 𝑛 ⇒ 𝐸 𝑛 ≡ (𝐼 + Δ)𝑛 ≡ 𝐼 𝑛 Δ0 + 𝐼 𝑛−1 Δ1 + 𝐼 𝑛−2 Δ2 + . para puntos igualmente separados siendo 𝑥𝑘 − 𝑥𝑗 = ℎ(𝑘 − 𝑗) el factor que multiplica 𝑓 (𝑥𝑘 ) puede simplificarse ya que: 𝑛 𝑛 (−1)𝑛−𝑘 𝑛 ( ) 1 ∏ 1 1 ∏ 1 = = 𝑛 = (4. . . .13) ⇒ 𝐸 ≡ (𝐼 + Δ) (4. . 𝑥1 . 𝑓 (𝑥𝑛 ). 5. . El cociente de diferencias 𝑓 (𝑥0 . + ∇𝑛 (4. . . .20) ) (( ) ( ) 𝑛 𝑛 + 1 2 𝑛 + 2 3 𝑛 + (𝑛 − 1) ⇒ 𝐸 ≡ (𝐼 + 𝑛∇) + ∇ + ∇ + .21) 2 2 𝑛 ( ) ( ) ( ) 𝑛 𝑛+1 2 𝑛+2 3 𝑛 + (𝑛 − 1) ⇒ 𝐸 𝑓0 = 𝐼𝑓0 + 𝑛∇𝑓0 + ∇ 𝑓0 + ∇ 𝑓0 + . . .12) 𝑘 que expresa la n-ésima diferencia Δ𝑛 𝑓 (𝑥0 ) como combinación lineal de 𝑓 (𝑥0 ). + Δ𝑛 𝑓 (4. .10) 𝑗=0 𝑗∕=𝑘 Ası́. . . .9) 𝐴𝑘 (𝑥𝑘 ) dodne: 𝑛 ∏ 𝐴𝑘 (𝑥𝑘 ) = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑗 (4.15) 0 1 2 𝑛 ( ) ( ) ( ) ( ) 𝑛 𝑛 0 𝑛 𝑛−1 1 𝑛 𝑛−2 2 𝑛 0 𝑛 ⇒ 𝐸 𝑛 𝑓0 ≡ (𝐼 + Δ)𝑛 𝑓0 = 𝐼 Δ 𝑓0 + 𝐼 Δ 𝑓0 + 𝐼 Δ 𝑓0 + . Polinomio de avance de Newton. 𝑥1 . . .17) 2 3 𝑛 la cual es llamada fórmula de Newton-Gregory de avance. 𝑥𝑛 ) es una combinación lineal de los valores 𝑓 (𝑥0 ).16) 0 1 2 𝑛 ( ) ( ) ( ) 𝑛 𝑛 𝑛 ⇒ 𝐸 𝑛 𝑓0 = 𝑓0 + 𝑠Δ𝑓0 + Δ2 𝑓 0 + Δ3 𝑓 + .11) 𝐴𝑘 (𝑥𝑘 ) 𝑥𝑘 − 𝑥𝑗 ℎ 𝑥𝑘 − 𝑥𝑗 𝑛!ℎ𝑛 𝑘 𝑗=0 𝑗∕=𝑘 𝑗=0 𝑗∕=𝑘 y ya que tenemos Δ𝑛 𝑓 (𝑥0 ) = 𝑛!ℎ𝑛 𝑓 (𝑥0 . Dado que: Δ𝑓𝑥 = 𝑓𝑥 − 𝑓𝑥−1 = 𝐼𝑓𝑥 − 𝐸 −1 𝑓𝑥 (4. . . .Gregory Dado que: Δ𝑓𝑥 = 𝑓𝑥+1 − 𝑓𝑥 = 𝐸𝑓𝑥 − 𝐼𝑓𝑥 = (𝐸𝐼 )𝑓𝑥 (4. + 𝐼 Δ 𝑓0 (4. .19) 𝑛 −𝑛 ⇒ 𝐸 ≡ (𝐼 + ∇) (4. 𝑥𝑛 ) = 𝑘=0 (4. + ∇𝑛 𝑓0 (4. . . .3. + Δ𝑛 𝑓−𝑛 (4. 6.32) 𝑛 𝑛 ⇒ ∇ 𝑓0 = Δ 𝑓−𝑛 (4. + ∇𝑛 𝑓0 (4.37) Y también se tendrá una cota superior.23) 2 3 𝑛 la cual es llamada la fórmula de Newton -Gregory de retroceso. aquellas cuya distancia no es homogénea. .35) 2 3 𝑛 También se tiene el ajuste polinomial empleando diferencias divididas.26) 𝑛 𝑛 𝑛 ⇒ ∇ 𝐸 𝑓0 = Δ 𝑓0 (4.28) Y debido a que también: ∇𝑛 𝐸 𝑛 ≡ Δ𝑛 (4. ( ) ( ) ( ) 𝑛 𝑛+1 2 𝑛+2 3 𝑛 + (𝑛 − 1) 𝑓𝑛 = 𝐸 𝑓0 = 𝐼𝑓0 + 𝑛∇𝑓0 + ∇ 𝑓0 + ∇ 𝑓0 + . Dado que: ∇ ≡ 𝐼 − 𝐸 −1 (4.38) 98 . . para fenómenos demográficos donde la frecuencia de aparición de los eventos disminuye en la medida de que el tiempo aumente: ⇒ 𝑓 (𝑡) > 𝑓 (𝑛 + 𝑡) ∀𝑛 (4. . . . es decir.36) Y dado que:𝑓 (𝑡) < 𝑓 (𝑡 + 𝑛) entonces para cada edad se tendrá una cota inferior 𝐾2 tal que: 𝑓 (𝑡) < 𝐾1 ∀𝑡 (4.25) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 ⇒ (𝐸∇) ≡ 𝐸 ∇ ≡ ∇ 𝐸 ≡ Δ (4.29) 𝑛 −𝑛 𝑛 𝑛 −𝑛 ⇒ ∇ ≡𝐸 Δ ≡Δ 𝐸 (4.27) 𝑛 𝑛 ⇒ ∇ 𝑓𝑛 = Δ 𝑓0 (4.31) 2 2 −2 2 ⇒ ∇ 𝑓0 = 𝛿 𝐸 𝑓0 = Δ 𝑓−2 (4. Relación entre la fórmula de Newton Gregory de avance y la de retroceso.24) −1 1−1 ⇒ 𝐸∇ ≡ 𝐸(𝐼 − 𝐸 )≡𝐸−𝐸 ≡𝐸−𝐼 ≡Δ (4. + ∇𝑛 𝑓 0 (4. Ası́. 𝐾1 + 𝐾2 tal que 𝑓 (𝑡) < 𝐾1 + 𝐾2 ∀𝑡 (4.34) 2 3 𝑛 ( ) ( ) ( ) 𝑛 𝑛+1 2 𝑛+2 3 𝑛 + (𝑛 − 1) = 𝐸 𝑓0 = 𝐼𝑓0 + 𝑛Δ𝑓−1 + Δ 𝑓−2 + Δ 𝑓−3 + .33) Teniéndose que la relación entre las fórmulas de avance y retroceso de Newton-Gregory es: ( ) ( ) ( ) 𝑛 𝑛+1 2 𝑛+2 3 𝑛 + (𝑛 − 1) 𝑓𝑛 = 𝐸 𝑓0 = 𝐼𝑓0 + 𝑛∇𝑓0 + ∇ 𝑓0 + ∇ 𝑓0 + .30) 1 1 −1 −1 ⇒ ∇ 𝑓0 = ∇𝑓0 = Δ 𝐸 𝑓0 = Δ𝐸 𝑓0 = Δ𝑓−1 (4. . La relación fundamental entre 𝑓 (𝑡) y el tiempo 𝑡 es: criterio de la primera derivada igualada a cero se tiene que: 𝐾2 𝑓 (𝑡) = 𝐾1 + (4.40) 𝑑𝑡 ℎ→0 (𝑡 + ℎ) − 𝑡 Pero por (4. siendo 𝐵 < 0 y 𝐴 > 0 ya que la parábola estará siempre en el cuarto cuadrante de los ejes cartesianos. entonces por el criterio de la primera derivada igualada a cero se tiene que: ( ) 𝑑 𝑑 𝑑 𝑓 (𝑡) = 𝐴(𝑓 (𝑡)) + 𝐵𝑓 (𝑡) + 𝐶 (4.44) 2 ⇒ 𝐴(𝐾1 + 𝐾2 ) + 𝐵(𝐾1 + 𝐾2 ) + 𝐶 = 0 (4.39) esto ya que: 𝑓 (𝑡 + ℎ) − 𝑓 (𝑡) tiende a cero en la medida en que 𝑓 (𝑡) tiende a la cota inferior 𝐾1 o a la superior (𝐾1 + 𝐾2 ) y dado (4. entonces 𝐴𝑓 2 (𝑡) + 𝐵𝑓 (𝑡) + 𝐶tiende a cero (4.46) 𝑑 + (𝑓 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑓 (𝑡) = 2𝐴𝑓 (𝑡) + 𝐵 (4.48) 1 + 𝑒𝑎+𝑏𝑡 Que se deduce de (4. expresión que al dividirla entre 𝐴 se obtiene: 1 𝑑 𝐵 𝐶 𝑓 (𝑡) = 𝑓 2 (𝑡) + 𝑓 (𝑡) + (4.39) la parábola tendrá un mı́nimo entre el intervalo de 𝑓 (𝑡).43) Si 𝑓 (𝑡) tiende a 𝐾1 o a (𝐾1 + 𝐾2) por lo tanto si 𝑓 (𝑡) = 𝐾1 o 𝑓 (𝑡) = 𝐾1 + 𝐾2 𝐴𝐾12 + 𝐵𝐾1 + 𝐶 = 0 (4. es decir: 𝑑 𝑓 (𝑡) = 𝐴𝑓 2 (𝑡) + 𝐷𝑓 (𝑡) + 𝐶 (4.42) 𝑑𝑡 Otra observación es que las cotas 𝐾1 y (𝐾1 + 𝐾2 ) son las raı́ces de (4.47) representa una recta con ordenada al origen 𝐵 y pendiente 2a .39).49) 𝐴 𝑑𝑡 𝐴 𝐴 99 .47) Donde (4.39) 𝑑𝑡 Nótese que: 𝑑 𝑓 (𝑡 + ℎ) − 𝑓 (𝑡) 𝑓 (𝑡) = lı́m (4.Partiendo del hecho de la existencia de la relación entre los cambios de 𝑓 (𝑡) y los cambios en 𝑡 los que se describen vı́a un polinomio de grado dos.40).41) 𝑑 ⇒ 𝑓 (𝑡) < 0 ∀𝑡 (4.45) Ya que se cumple (4.41) y 𝐾1 < 𝑓 (𝑡) < 𝐾1 + 𝐾2 y por (4.36): 𝑓 (𝑡 + ℎ) − 𝑓 (𝑡) < 0 (4. 68) 1 + exp{𝑎 + 𝐴𝐾2 𝑡} 100 .66) 1 + exp{𝑎 + 𝐴𝐾2 𝑡} 𝐾2 = 𝐾1 + (4.El polinomio: 𝐵 𝐶 𝑓 2 (𝑡) + 𝑓 (𝑡) + (4.60) 𝑓 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 ) 𝐾1 − 𝑓 (𝑡) ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑓 (𝑡) 𝑑𝑓 (𝑡) ⇒ 𝐴𝐾2 𝑑𝑡 = + (4.56) 𝐾2 (𝑃 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 )) (𝐾1 − 𝑓 (𝑡)) 𝐾2 = − (4.61) 𝑓 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 ) 𝐾1 − 𝑓 (𝑡) ⇒ 𝐴𝐾2 𝑡 + 𝐶1 = ln 𝑓 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 ) + 𝐶2 + ln 𝐾1 − 𝑓 (𝑡) + 𝐶3 (4.50) 𝐴 𝐴 Se puede reescribir como: 𝑓 (𝑡) − 𝐾1 − 𝐾2 (4.52) 𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1 ⇒ 𝐴 = (4.54) (𝑓 (𝑡) − 𝐾1 − 𝐾2 ) (𝑓 (𝑡) − 𝐾1 ) 𝐾2 (𝑓 (𝑡) − (𝐾1 + 𝐾2 )) (𝐾1 − 𝑓 (𝑡)) 1 = − (4.63) Con a constante igual a 𝐶1 − 𝐶2 − 𝐶3 ⇒ 𝑓 (𝑡) {1 + exp{𝑎 + 𝐴𝐾2 𝑡}} (4.67) 1 + exp{𝑎 + 𝐴𝐾2 𝑡} Sea 𝑏 = 𝐴𝐾2 𝐾2 ⇒ 𝑓 (𝑡) = 𝐾1 + (4.58) 𝑑𝑓 (𝑡) 𝐾2 (𝑓 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 ) 𝐾2 (𝐾1 − 𝑓 (𝑡)) 𝑑 1 1 ⇒ 𝐾2 𝐴 = + (4.51) 1 𝑑 ⇒ 𝑓 (𝑡) = (𝑓 (𝑡) − 𝐾1 − 𝐾2 ) (𝑓 (𝑡) − 𝐾1 ) (4.53) 𝑑𝑓 (𝑡) (𝑓 (𝑡) − 𝐾1 − 𝐾2 ) (𝑓 (𝑡) − 𝐾1 ) y dado que: 1 𝐾1 − 𝑓 (𝑡) + 𝑓 (𝑡) − (𝐾1 + 𝐾2 ) = (4.65) 𝐾2 ⇒ 𝑓 (𝑡) = (4.64) 𝐾1 {1 + exp{𝑎 + 𝐴𝐾2 𝑡}} + 𝐾2 (4.55) (𝑓 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 )) (𝑓 (𝑡) − 𝐾1 ) 𝐾1 − (𝐾1 − 𝐾2 ) = (4.59) 𝑑𝑓 (𝑡) 𝑓 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 ) 𝐾1 − 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑓 (𝑡) 𝑑𝑓 (𝑡) ⇒ 𝐴𝐾2 𝑑𝑡 = + (4.57) 𝐾2 (𝑃 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 )) (𝐾1 − 𝑓 (𝑡)) 𝑑 1 1 ⇒ 𝐴 = + (4.62) ⇒ 𝐴𝐾2 𝑡 + 𝑎 = ln 𝑓 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 ) + ln 𝐾1 − 𝑓 (𝑡) (4. .70.69) 𝑑 ⇒ 𝑓 (𝑡) = 2𝛼𝑡2 + 𝑤 (4. Otro de los polinomios empleados en el ajuste de fenómenos demográficos es el obtenido por William Brass para la fecundidad en donde se observa que el número de parámetros desconocidos se puede reducir mediante restricciones con la siguiente función que resulta satisfactoria para su aplicación a la fecundidad: 𝑓 (𝑎) = 𝑐(𝑎 − 𝑆)(𝑆 − 33 − 𝑎)2 (4. 𝐾2 y 𝑓𝑖 (𝑡) entonces ∀𝑡 𝑎 + 𝑏𝑡 = 𝑃 (𝑡) (4.76) 𝐾2 ⇒ 𝑒𝑎+𝑏𝑐 = −1 (4. Ya que: Se estiman 𝐴.81) Donde 𝑓 (𝑎) es la tasa especı́fica de fecundidad de las mujeres de 𝑎 años.75) ( ) 1 + 𝑒𝑎+𝑏𝑐 ⇒ 1 + 𝑒𝑎+𝑏𝑐 (𝑓𝑖 (𝑡) − 𝐾1 ) = 𝐾2 (4. 101 . sustituyendo los años 𝑡 en 4. 𝛽 y 𝜆 se obtuvieron para los años es observación (𝑡) las estimaciones de 𝑓𝑖 (𝑡) y 𝑑𝑓𝑑𝑡 𝑖 (𝑡) .80) 2 = 𝑐(𝑎 − 𝑠) .73) 2𝐴 Con el fin de estimar los valores de los parámetros 𝑎 y𝑏. . 𝐵 y 𝐶 por mı́nimos cuadrados y las raı́ces de la ecuación serán: 𝑑 𝑓𝑖 (𝑡) = 𝐴𝑓𝑖 (𝑡)2 + 𝐶 (4. dado que: 𝐾2 𝑓𝑖 (𝑡) = 𝐾1 + (4.74) 1 + 𝑒𝑎+𝑏𝑐 𝐾 −2 ⇒ 𝑓𝑖 (𝑡) − 𝐾1 = (4.70) 𝑑𝑡 Con los valores estimados por mı́nimos cuadrados 𝛼.77) 𝑓𝑖 (𝑡) − 𝐾1 { } 𝐾2 ⇒ 𝑎 + 𝑏𝑡 = ln (4.69 y 4.Para el tiempo 𝑡 y con la tasa especı́fica por edad 𝑖 (𝑓𝑖 (𝑡)) se tiene el polinomio de ajuste de segundo grado: 𝑓𝑖 (𝑡) = 𝛼𝑡2 + 𝑤𝑡 + 𝜆 (4. (𝑏 − 𝑎) (4.78) 𝑓𝑖 (𝑡) − 𝐾1 Dado que ya se estimaron 𝐾1 .72) 2𝐴 1 2 −𝐵 + (𝐵 − 4𝐴𝐶) 2 𝐾1 + 𝐾2 = (4.71) 𝑑𝑡 1 −𝐵 − (𝐵 2 − 4𝐴𝐴𝐶) 2 𝐾1 = (4.79) Y por regresión lineal simple se estiman los valores de 𝑎 y de 𝑏. 𝑆 es la edad a la cual comienza el perı́odo de reproducción.11919 − 𝑎)2 Y ası́ las tasas de fecundidad desagregadas a partir del polinomio de Brass son: 102 . cuyas soluciones son: 𝐷 descendencia final 12 𝑐(𝑏 − 𝑆)4 de donde podemos obtener los valores de 𝑆. entre los lı́mites la forma que toma 𝑓 (𝑎) es más o menos la de las distribuciones empı́ricas: Entonces para desagregar las tasas especı́ficas en edades individuales se utiliza Entonces para desagregar las tasas especı́ficas en edades individuales se utiliza ¯ edad media a la fecundidad = 𝑋 3𝑆+2𝑏 5 𝑏−𝑆 𝜎 desviación estándar = 5 .84) (𝑏 − 𝑆)4 Ejemplo Entonces tenemos que: 𝑓 (𝑎) = . 𝑓 (𝑎) se toma como cero cuando fuera de los lı́mites y 𝑠 + 33. (1) el polinomio de fecundidad de Brass.82) ¯ + 3𝜎 𝑏 = 𝑋 (4.6118)(53. 𝑐 una constante que varı́a con el nivel de la fecundidad. 𝑏 y 𝑐 ( soluciones del polinomio) ¯ − 2𝜎 𝑆 = 𝑋 (4.00002(𝑎 − 13.83) 12𝐷 𝑐 = (4. 15310 34.5 .5 .18137 26.03702 .5 .5 .5 .5 .08564 41.10843 40 − 44 42.06515 43.00002 𝑎 𝑓 (𝑎) 14.16666 23.5 .5 .15641 35 − 39 37.5 .5 .21089 25 − 29 27.13590 36.5 .5 .5 .5 .5 .15773 22.07530 42.11717 19.5 .16722 32.5 .5 .5 .11919 𝑐 = 0.17350 24.5 .05531 44.5 .02650 15.11656 38.14658 21.5 .00099 15 − 19 17.18231 28.90149 𝑆 = 13.17727 30.05719 45 − 49 47.04589 45.5 .5 .5 .09604 103 40.5 .17836 25.16061 33.18265 27.12643 37.5 .13310 20.5 .5 .5 .05345 16.5 .6118 𝑏 = 53.5 .07746 17.18048 29.5 .14483 35.28347 ¯ = 29.5 .41472 𝑋 𝜎 = 7.17281 31.20461 30 − 34 32.07954 20 − 24 22.5 .10638 39.03903 𝐷 = 4.09866 18.5 .5 .5 .5 .Grupos de edad 𝑎 𝑓 (𝑎) 12 − 14 13.5 . 86) 5 Demostración ∫ 𝑏 ∫ 𝑏 (𝑥2 𝑐 − 𝑥𝑐𝑠)(𝑏2 − 2𝑏𝑥 + 𝑥2 ) 𝑑𝑥 = 𝑏2 𝑥2 𝑐 − 2𝑏𝑥3 𝑐 + 𝑥4 𝑐 − 𝑏2 𝑥𝑐𝑠 + 2𝑏𝑥2 𝑐𝑠 − 𝑥3 𝑐𝑠 𝑑𝑥 𝑠 [ 2𝑠 3 2𝑏𝑥4 𝑥5 𝑏2 𝑥2 5 2𝑏𝑥3 𝑠 ].Gráficamente la bondad del ajuste es: Nota Técnica ∫𝑏 𝑥𝑐(𝑥 − 𝑠)(𝑏 − 𝑥)2 𝑑𝑥 𝑥 ¯ = ∫𝑠 𝑏 (4.85) 2 𝑠 𝑐(𝑥 − 𝑠)(𝑏 − 𝑥) 𝑑𝑥 3𝑠 + 2𝑏 = (4. 𝑏 𝑥 . 𝑏 =𝑐 − + − + − 𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑥4 𝑠4 . 88) = 3𝑠𝑏4 − 12𝑏3 𝑠2 + 12𝑏2 𝑠3 − 12𝑏𝑠4 + 3𝑠5 + 2𝑏5 − 8𝑏4 5 + 12𝑏3 𝑠2 − 8𝑏2 𝑠3 + 2𝑏𝑠4 = 2𝑏5 + 𝑏4 𝑠(3 − 8) + 𝑏3 𝑠2 (−12 + 12) + 𝑏2 𝑠3 + 𝑏2 𝑠3 (18 − 8) + 𝑏𝑠4 (−12 + 2) + 3𝑠5 = 2𝑏5 − 5𝑏4 𝑠 + 10𝑏2 𝑠3 − 10𝑏𝑠4 − 10𝑏𝑠4 + 3𝑠5 que es igual a (4. 3 4 5 2 3 𝑠 [ 5 5 3 4 4 4 2 2 3 4 5 2 3 4 5 ] 𝑏 2𝑏 𝑏 𝑏 𝑠 2𝑏 𝑠 𝑏 𝑠 𝑏 𝑠 𝑏 𝑠 2𝑏𝑠 𝑠 𝑏 𝑠 2𝑏𝑠 𝑠 =𝑐 − + − + − − − + − + − + 3 4 5 3 3 4 4 3 4 5 2 3 4 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 = 𝑐 𝑏5 − + + 𝑏4 𝑠 − + − + 𝑏2 𝑠 2 − + + 𝑏𝑠4 − + 𝑠5 − + 3 2 5 2 3 4 3 2 2 3 5 4 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 10 − 15 + 6 −6 + 8 − 3 −2 + 3 3−4 −4 + 5 = 𝑐 𝑏5 + 𝑏4 𝑠 + 𝑏2 𝑠 3 + 𝑏𝑠4 + 𝑠5 30 12 6 6 20 [ ] 11 −1 1 −1 1 = 𝑐 𝑏5 + 𝑏4 𝑠 + 𝑏2 𝑠3 + 𝑏𝑠4 + 𝑠5 30 12 6 6 20 𝑐 ( 5 2𝑏 − 5𝑏 𝑠 + 10𝑏 𝑠 − 10𝑏𝑠 + 3𝑠5 (4.87) 4 2 3 4 ) = 12 − 5 entonces (3𝑠 + 2𝑏)(𝑏 − 𝑠)4 = (3𝑠 + 2𝑏)(𝑏4 − 4𝑏3 𝑠 + 6𝑏2 𝑠2 − 4𝑏𝑠3 + 𝑠4 ) (4.89) 2 𝑐(𝑥 − 𝑠)(𝑏 − 𝑥) 𝑑𝑥 5 𝑠 104 .87) ∫𝑏 𝑥𝑐(𝑥 − 𝑠)(𝑏 − 𝑥)2 𝑑𝑥 3𝑠 + 2𝑏 ⇒ 𝑥 ¯ = ∫𝑠 𝑏 = (4. Por demostrar: v u∫ 𝑏 u 𝑥𝑐(𝑥 − 𝑠)(𝑏 − 𝑥)2 𝑑𝑥 3𝑠 + 2𝑏 𝑏−𝑠 0 = ⎷ ∫𝑠 𝑏 − = (4.91) 𝑐 𝑠 [ 2 4 2𝑏𝑥5 𝑥6 𝑏2 𝑥3 𝑠 𝑥 5 𝑠 .90) 2 5 5 𝑠 𝑐(𝑥 − 𝑠)(𝑏 − 𝑥) 𝑑𝑥 Veamos ∫ 𝑏 𝑥2 (𝑥 − 𝑠)(𝑏2 − 2𝑏𝑥 + 𝑥2 ) 𝑑𝑥 (4. 𝑏 ]. 92) 4 5 6 3 4 5 . 𝑏 𝑥 2 =𝑐 − + − + − (4. 102) u 12. 𝑠 ( 6 𝑏6 𝑏6 𝑏5 𝑠 𝑏5 𝑠 𝑏5 𝑠 𝑏2 𝑠4 2𝑏𝑠5 𝑠6 𝑏2 𝑠4 𝑏𝑠5 𝑠6 ) 𝑏 =𝑐 −2 + − + − − + − + − + (4.97) 12 − 5 ⇒ (𝑏2 + 2𝑏𝑠 + 2𝑠2 )(𝑏 − 𝑠)4 = (𝑏2 + 𝑏𝑠 + 2𝑠2 )(𝑏4 − 4𝑏3 𝑠 + 6𝑏2 𝑠2 − 4𝑏𝑠3 + 54 ) (4.99) 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 = 𝑏 + 𝑏 𝑠(−4 + 2) + 𝑏 𝑠 (6 − 8 + 2) + 𝑏 𝑠 (−4 + 12 − 8) + 𝑏 𝑠 (1 − 8 + 12) + 𝑏𝑠 (2 − 8) + 2𝑠 (4.93) 4 5 6 2 2 5 4 5 6 3 2 5 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 = 𝑐 𝑏6 − + + 𝑏5 𝑠 − + − + 𝑏2 𝑠4 − + + 𝑏𝑠5 − + 𝑠6 − + (4.98) = 𝑏5 − 4𝑏5 𝑠 + 6𝑏4 𝑠2 − 4𝑏3 𝑠3 + 𝑏2 𝑠4 + 2𝑏2 𝑠4 + 2𝑏5 𝑠 − 8𝑏4 𝑠2 + 12𝑏3 𝑠3 −8𝑏2 𝑠4 + 2𝑏𝑠5 + 2𝑏4 𝑠2 − 8𝑏3 𝑠3 + 12𝑏2 𝑠4 − 8𝑏𝑠5 + 2𝑠6 (4.97) v u 𝑐(𝑏2 + 2𝑏𝑠 + 2𝑠2 )(𝑏 − 5)4 9𝑠2 + 12𝑏𝑠 + 4𝑏2 ⇒ 0=⎷ − (4.100) = 𝑏8 − 2𝑏5 + 5𝑏2 𝑠4 − 6𝑏𝑠5 + 2𝑠6 (4.104) 25 √( )2 𝑏−𝑠 𝑏−𝑠 = = (4.101) que es igual a (4.105) 𝑠 𝑠 105 .95) 60 30 12 10 30 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 1 −1 1 −1 1 1 = 𝑐 𝑏6 + 𝑏5 𝑠 + 𝑏2 𝑠4 + 𝑏𝑠5 − + 𝑠6 (4.96) 60 30 12 10 10 30 𝑐 = (𝑏6 − 2𝑏5 𝑠 + 5𝑏2 𝑠 + 5𝑏2 𝑠4 − 6𝑏𝑠5 + 2𝑠6 ) (4.103) 25 √ 𝑏2 − 2𝑏𝑠 + 𝑠2 = (4.94) 4 5 6 3 2 5 4 3 5 2 6 5 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 15 − 24 + 10 −10 + 15 − 6 −3 + 4 4−5 −5 + 6 = 𝑐 𝑏6 + 𝑏5 𝑠 + 𝑏2 𝑠4 + 𝑏𝑠5 + 𝑠6 (4.5 (𝑏−5)4 25 𝑐 12 √ 5𝑏2 + 10𝑏𝑠 + 10𝑠2 − 9𝑠2 − 12𝑠𝑏 − 4𝑏2 = (4. C.Finalmente se presentan gráficamente los polinomios de fecundidad obtenidos a nivel nacional y para algunas entidades federativas de México en el año 2000. 1999. corrección. School of Public Health. S. que permite con el uso de funciones polinomiales facilitar el manejo e interpretación de la hipótesis planteadas para los escenarios futuros de cada uno de los fenómenos demográficos que inciden en las poblaciones analizadas. BIBLIOGRAFÍA Curtis F. pp. 2000. Alfaomega grupo editorial. México. Demographic measuring and modeling population processes. Kushner. 2001. Comentario final: Una de las alternativas que se tiene en la evaluación. Harold Joseph. Alejandro.755-762. Simulación de los cambios demográficos de una población entre dos fechas. Carolina Population Center. University of North Carolina. Gerard.V. El Colegio de México.A. International Program of Laboratories for Population Statistics 1975 Preston Samuel H. de C. estimación y proyección de variables demográficas se logra con el empleo del Análisis Demográfico. Department of Biostatistics. Chapel Hill. William.1995 Brass. New York Springer. Numerical methods for stochastic control problems in continuous time. 106 . México. Mina V. Methods for estimat- ing fertility and mortality from limited and defective data. Análisis Numérico. Oxford blackwell. N. Estudios Demográficos y Urbanos #42. 𝐶 > 1 (5.1) Posteriormente. 𝜇𝑥 = 𝐴 + 𝐵𝐶 𝑥 𝑥 ≥ 0. Makeham enunció dos leyes de supervivencia.1. la que se hace según los datos observados o estableciendo ciertas hipótesis correspondientes a las caracterı́sticas propias de la función de supervivencia. Funciones de supervivencia Las probabilidades de supervivencia 𝑆(𝑥) permiten estimar funciones matemáticas que se re- sumen en modelos de comportamiento de las principales funciones biométricas que se expresan con base en la función de supervivencia y la tasa instantánea de mortalidad. a la fuerza de mortalidad de Gompertz. Por tanto. se deduce que dicha fuerza de mortalidad crece exponencialmente. es decir. es decir. por lo que la fuerza de mortalidad crece con la edad y su crecimiento relativo es constante. Sin embargo. la muerte de un individuo es consecuencia de dos causas coexistentes: el azar y una resistencia (cada vez más débil) a la muerte conforme aumenta la edad. siendo fundamental la elección de la función que mejor se adapte y represente adecuadamente la mortalidad. Por tanto. Una constante a lo largo de la historia ha sido la búsqueda de una ley de mortalidad que sea válida para cualquier población humana. 𝐴 > −𝐵 (5. 𝜇𝑥 = 𝐵𝐶 𝑥 𝑥 ≥ 0. 𝐶 > 1. que representa la mortalidad ac- cidental (azar) independiente de la edad. En la práctica actuarial se utilizan combinaciones de estas leyes aceptando diferentes modelos para distintos tramos de edades. encontrar la ”ley uni- versal de mortalidad” que. independiente de la edad.. es posible encontrar el ajuste a alguna ley teórica. La ley de Gompertz asume que cada individuo presenta una resistencia a las enfermedades (y a fallecer por causas naturales) decreciente en función de la edad. mientras que proporciona problemas en las edades extremas de la tabla principalmente en las edades más jóvenes puesto que 107 . no existe. 𝐵 > 0.Capı́tulo 5 Ley de Mortalidad Mexicana 5. para determinadas poblaciones y ciertos tramos de edad. La primera ley considera la tasa instantánea de mortalidad añadiendo una constante arbitraria. 𝐵 > 0. que además de considerar la mortal- idad por causas naturales (igual que Gompertz) introduce la mortalidad accidental del individuo. probablemente.2) Esta ley presenta buenos ajustes en edades intermedias (adultas). Las leyes de mortalidad son expresiones analı́ticas de la función de supervivencia que pretenden estimar el comportamiento de la mortalidad en función de la edad. 12) ∂𝑦𝑥 𝑦𝑥 mientras que la derivada del miembro derecho se puede expresar como: 1 El método es similar para el caso de cuatro parámetros.3) Δ2 𝑆0 ( ) 𝑑−1 Δ2 𝑆0 𝑏 = 𝑒 (𝑑𝑛 −1)3 (5.5) 𝑑−𝑑𝑚−1 [ ( ( ) )] 1 0 Δ2 𝑆 − (𝑑𝑚 −1)2 𝑙𝑛(𝑏) 𝑤 = 𝑒 2𝑚3 1−𝑑 (5. 108 . 𝑏. Es considerada la ley más conocida y ampli- amente utilizada para ajustar diversas tablas de supervivencia. d y w de la función Gompertz. 𝑎.. es posible realizar variaciones en ellos con el objetivo de calcular una mejor aproximación a sus valores observados.6) ∑4𝑚−1 𝑦𝜈(𝑥) 𝐾 = ∑𝑥=0 4𝑚−1 (5. . a.4) ( ) 1 Δ2 𝑆0 Δ𝑆0 − 𝑑𝑚 −1 𝑚2 𝑎 = 𝑒 (5..Makeham ampliada. 𝑑 y 𝑤 de la función Makeham se utilizará el método de los grupos no superpuestos. ) 𝑛1 Δ2 𝑆1 ( 𝑑 = (5.en las edades infantiles la mortalidad es decreciente. obteniendo los valores de los parámetros con las siguientes ecuaciones1 .9) = ln 𝑘 + 𝑥 ln 𝑎 + 𝑑𝑥 ln 𝑏 + 𝑥2 ln 𝑤 (5. 1. 4𝑚 − 1 Se obtiene el logaritmo natural de la función 𝑦𝑥 : ( 2 𝑥 ) ln 𝑦𝑥 = ln 𝑘𝑎𝑥 𝑤𝑥 𝑏𝑑 (5. La primera ley de Makeham tiene problemas de ajuste para las edades más jóvenes. por lo que se formula la segunda ley más elástica y fundamentada que la anterior. expuesto en Mina (2001). b. 2 𝑥 Dado que 𝑦𝑥 = 𝑘𝑎𝑥 𝑤𝑥 𝑏𝑑 para toda 𝑥 = 0.11) ∂𝑦𝑥 ∂𝑢 Al calcular la derivada se puede considerar que : ∂ 1 ln 𝑦𝑥 = 𝑑𝑦𝑥 (5..8) Una vez obtenidos los valores de los parámetros k.7) 2 𝑥=0 𝜈(𝑥) 2 𝑥 donde: 𝜈(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑤𝑥 𝑏𝑑 (5. añadiendo a la fuerza de mortalidad otro sumando proporcional a la edad: Para determinar los cinco parámetros 𝐾. 2.10) Hay que calcular la derivada de la expresión Anterior: ∂ ∂ ln 𝑦𝑥 = (ln 𝑘 + 𝑥 ln 𝑎 + 𝑑𝑥 ln 𝑏 + 𝑥2 ln 𝑤) (5. 14) se puede escribir como: 1 1 𝑥 𝑑𝑥 ∂𝑑 ∂𝑤 𝑑𝑦𝑥 = 𝑑𝑘 + 𝑑𝑎 + 𝑑𝑏 + 𝑥𝑑𝑥 ln 𝑏 + 𝑥2 (5. 𝑐3 = 𝑎 . la expresión (5.18) ∂ Dado lo anterior. para ello se denota como: 𝑥1 = 𝑑𝑦𝑥 . 𝑥6 = 𝑥2 . la derivada de 𝑑𝑦𝑥 es: 𝑦𝑥 𝑥𝑦𝑥 𝑑𝑥 𝑦𝑥 ∂𝑑 ∂𝑤 𝑑𝑦𝑥 = 𝑑𝑘 + 𝑑𝑎 + 𝑑𝑏 + 𝑥𝑑𝑥 𝑦𝑥 ln 𝑏 + 𝑥2 𝑦 (5.19) 𝑦𝑥 𝑘 𝑎 𝑏 ∂ 𝑤 en consecuencia. 𝑐2 = ∂𝑘 ∂𝑎 ∂𝑏 ∂𝑑 ∂𝑤 𝑘 . 𝑐6 = 𝑤 Una vez hecho lo anterior. 𝑐5 = ln 𝑏 𝑑 .17) 𝑑 𝑑 Por lo tanto la derivada de 𝑑𝑥 con respecto a 𝑑 es: ∂𝑑 𝑑𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑥 (5.14) se puede presentar de acuerdo con el razonamiento siguiente: de acuerdo a las propiedades de los logaritmos se puede expresar: ln 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑑 (5.20) 𝑘 𝑎 𝑏 ∂ 𝑤 Para calcular los valores de los parámetros a partir de la expresión (5. ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 𝑥 ∂ ln 𝑦𝑥 = ln 𝑘 + 𝑥 ln 𝑎 + 𝑑𝑥 ln 𝑏 + 𝑑 ln 𝑏 + 𝑥2 ln 𝑤 (5. 𝑐4 = 𝑏 . que se expresan matricialmente como: ⎛ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ⎞ ∑ 𝑥 2 𝑥2 ∑ 𝑥2 𝑥3 ∑ 𝑥2 𝑥4 ∑ 𝑥 2 𝑥 5 ∑ 𝑥2 𝑥 6 ⎜ ∑ 𝑥2 𝑥3 ∑ 𝑥3 𝑥3 ∑ 𝑥3 𝑥4 ∑ 𝑥3 𝑥5 ∑ 𝑥2 𝑥6 ⎟ ⎜ ⎟ 𝐴=⎜ ⎜ ∑ 𝑥2 𝑥4 ∑ 𝑥3 𝑥4 ∑ 𝑥4 𝑥4 ∑ 𝑥4 𝑥5 ∑ 𝑥4 𝑥5 ⎟ ⎟ ∑ 𝑥2 𝑥5 ∑ 𝑥3 𝑥5 ∑ 𝑥4 𝑥5 ∑ 𝑥5 𝑥5 ∑ 𝑥5 𝑥6 ⎝ ⎠ 𝑥2 𝑥6 𝑥3 𝑥6 𝑥4 𝑥6 𝑥5 𝑥6 𝑥6 𝑥6 109 . 𝑥2 = 𝑦𝑥 .15) Al obtener la derivada de la expresión anterior se observa que: ∂ ∂ ln 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑑 (5.20) estas variables. 𝑥5 = 𝑥3 𝑑𝑥 . se sustituye en (5. por lo que puede expresarse en forma de regresión múltiple lineal como se presenta a continuación: 𝑥1 = 𝑐2 𝑥2 + 𝑐3 𝑥3 + 𝑐4 𝑥4 + 𝑐5 𝑥5 + 𝑐6 𝑥6 (5. 𝑥4 = 𝑥2 𝑑𝑥 . 𝑥3 = 𝑥(𝑥2 ).13) ∂𝑦𝑥 ∂𝑘 ∂𝑎 ∂𝑏 ∂𝑑 ∂ 1 𝑥 𝑑 𝑥 ∂ ∂ = 𝑑𝑘 + 𝑑𝑎 + 𝑑𝑏 + ln 𝑏 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑤 (5.14) 𝑘 𝑎 𝑏 ∂𝑑 ∂𝑑 El último término de la expresión (5.21) Empleando las ecuaciones normales.16) ∂𝑑 ∂𝑑 1 𝑥 ⇒ 𝑥 𝑑𝑑𝑥 = 𝑑𝑑 (5.20) se procede a linealizar dicha expresión. 𝑎. Estas correcciones permiten obtener nuevas aproximaciones para los parámetros. En general se observa que si 𝑘𝑖 . lleva un proceso iterativo que permitirá ir obteniendo aproximaciones cada vez más satisfactorias. ⎛ ⎞ 𝑐1 ⎜ ⎜ 𝑐2 ⎟ ⎟ 𝑉 =⎜ ⎜ 𝑐3 ⎟ ⎟ ⎝ 𝑐4 ⎠ 𝑐5 ⎛ ∑ ⎞ ∑ 𝑥1 𝑥2 ⎜ ∑ 𝑥1 𝑥3 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ∑ 𝑥1 𝑥4 𝐺=⎜ ⎟ ⎟ ∑ 𝑥1 𝑥5 ⎝ ⎠ 𝑥1 𝑥6 Se calculan los coeficientes de la matriz V con la inversa de la matriz A y multiplicándola por la matriz 𝐺. los valores de esos parámetros ( a la iteración (𝑖+1) serán: 𝑘𝑖+1 = 𝑘𝑖 (1+𝑐2𝑖+1 ). 𝑑1 = 𝑑 1 + ln 𝑏 y 𝑤1 = 𝑤(1 + 𝑐6 ) A partir de estos valores se obtienen nuevos valores teóricos y por lo tanto nuevas diferencias 𝑑𝑦𝑥 . 𝑏. Lo anterior. 𝑏1 = 𝑏(1 + 𝑐4 ). 𝑤 𝑖+1 = 𝑤𝑖 (1 + 𝑐6𝑖+1 ) 110 . 𝑎𝑖+1 = 𝑎𝑖 (1+𝑐3𝑖+1 ). 𝑎1 = 𝑎(1 + 𝑐3 ). 𝑑 y 𝑤 de la función Gompertz-Makeham ampliada. 𝑑𝑖+1 = 𝑑𝑖 1 + 𝑐5𝑖+1 ) ln 𝑏 . 𝑏𝑖 . 𝑏𝑖+1 = 𝑏𝑖 (1+𝑐4𝑖+1 ). 𝑑𝑖 y 𝑤𝑖 son valores de la iteración (𝑖). Es decir. ası́: 𝑉 = 𝐴−1 𝐺. Por lo ( tanto )los 𝑐5 nuevos valores para éstos son: 𝑘1 = 𝑘(1 + 𝑐2 ). De esta manera se calculan los valores de las 𝑐𝑗 y por consiguiente las primeras correcciones a los parámetros 𝑘. 𝑎𝑖 . el proceso deberá repetirse hasta que la magnitud de las correcciones alcancen un valor reducido tal que no logren cambiar sensiblemente los valores teóricos obtenidos usando los valores de los parámetros hasta esa iteración. 660254 1.46 97716 A 1.999925 0.999939 0. 𝑤.701466 1.99964 0.999932 999935 D 1.697127 1. Las funciónes Gompertz-Makeham estimadas para México Los valores obtenidos de los parámetros 𝐾.00142 1.99964 0.001705 1.79 97291.001019 1. 𝑏.5.999925 0.649023 1.721354 Mujeres 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 K 97525.999916 0.001171 1.001309 1.99964 0.001753 1.01 97878.76 97291.99964 0.19 97799.99964 B 0.37 97642.1: México: Valores de parámetros de funciones de sobrevivencia Gomperz-Makeham (cálculos propios) Hombres 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 K 97089.1.99964 0.651672 1.99964 0. 𝑑 por sexo y para los años 2003 al 2010 se presentan en el siguiente cuadro: Cuadro 5.999916 0.664219 1.001653 1.99964 0.99964 0.999943 0.58 97561.999935 0.999928 0.713869 1.701466 1.01 97478.999928 0.99964 0.999941 0.99964 B 0.001241 1.662196 1.001469 1.99964 0.99964 0.99992 0.99964 0.999911 0.705664 1.001095 1.001171 1.001469 W 0.1.001531 1.709921 1.001364 1. Finalmente en el siguiente gráfico se presenta el tipo de función Makeham ampliado que se obtuvo para el caso mexicano señalando el procedimiento 111 .001793 1. tanto para hombres como para mujeres.69 A 1.99964 0.717662 1.31 98030.99964 0.19 97386.02 97187. del año 2003 al 2010 se presentan en el anexo. 𝑎.69275 1.001834 W 0.999905 0.666364 Las tablas abreviadas de mortalidad obtenidas con las funciones de supervivencia para México a nivel nacional.01 98101.79 97958.657095 1.999946 D 1.82 97616. 3. −10.1.6 15 947033 936634 4.0.3 y 4 años.2.6 5 949546 953694 2. −10.4 1 961895 961035 -1.4 75 538968 529423 -6. 8. 6. .4 se asocia a la edad 2 años.4 60 785921 788905 -9.2 2 957394 959168 -0. . por lo que cada dos decimales es un año de edad. 𝑥 esti- vada mada vada mada 0 1000000 1000000 -2.8 4 951358 955497 1. . Tomado un radix de 1000000 personas.4 65 726452 729351 -8. 7. .22) Con el fin de obtener la concavidad de las tendencias de los valores de las edades 0. 𝑥 esti. 2.0003𝑖 (5.601 ∗ 1. . i 𝑥 𝑥 obser.2: Valores 𝑙𝑥 observados y estimados con la función Makeham ampliada i 𝑥 𝑥 obser. 90.6 10 949546 944964 3. . 85. −10. 4.4.6 40 903486 891562 -10.4.6 45 885294 877251 -10. Ası́: 𝑖 = −10.4.6 20 942779 928549 5.9. asociados a los valores de la edad real 𝑥 = 1. . presentados en el 5. −9.6 25 936628 920475 6.93641.4 85 261555 234388 -4. ası́. se desplazo el origen al valor −10.4 55 829374 829717 -9.4 70 645618 644446 -7. . el cual se asocia a 1 año de edad.9967𝑖 ∗ 0.6 35 917499 902706 8.4.1.4 95 42209 29110 112 . Cuadro 5.6 50 861370 857677 -10 3 9 53928 957322 0. 95.4 80 406996 386915 -5.4. Para los valores de la serie 𝑙𝑥 de tabla de vida. se estimó la función de Makeham ampliada: 𝑖 2 𝑙(𝑖) = 899360 ∗ 0.2.6 30 928334 912049 7.4 90 129603 105107 -3. 21 años para los hombres y de 18.25 años. cada ves menor el diferencial en las ganancias de vida. se tiene que en el año 2003 la esperanza de vida al nacimiento de los hombres fue de 73.74 años para las mujeres: aumentando 0.86 años para las mujeres.2.38 años para las mujeres.01 años para los hombres y 78. por ende.65 años para los hombres y de 17. es decir. las que en los próximos años deben validarse con la estimación que directamente se hagan de ellas. La ley de mortalidad de México. una diferencia de 4 años a favor de las mujeres mexicanas. ası́ como la reducción entre la brecha por sexo.34 años y para las mujeres de 77. describe con precisión el impacto de la mortalidad por edad y sexo. estimando las ganancias en las esperanzas de vida de acuerdo a las tendencias históricas registradas.5. El proceso de envejecimiento de la estructura por edad y género de la población mexicana. y con ello ajustar la ley de mortalidad mexicana para los años futuros. vı́a estadı́sticas vitales y censos de población. mayores las esperanzas de vida de las mujeres sobre los hombres en los próximos años. La ganancia en la esperanza de vida al nacimiento para el año 2010. con una esperanza de vida de 75. em- pleando la función de Gompertz-Makeham ampliada. destaca en la estimación del impacto de la mortalidad el hecho de que la esperanza de vida a los 65 años es para el año 2003 de 15.56 años para los hombres y de 0. resumida por la función de supervivencia Gompertz-Makeham ampliada. es de 2.67 años para los hombres y de 1. en donde se registrará una esperanza de vida a los 65 años de 16. siendo. Dada la importancia de la población en edad avanzada en México.61 años para las mujeres. lo que se logra con la función de supervivencia Gompertz-Makeham que da la pauta en la elaboración de tablas de mortalidad por sexo. 113 . es decir. requiere el conocimiento de las leyes de mortalidad imperante y de sus modificaciones en el tiempo (futuro inmediato). Conclusiones Con base en las tablas abreviadas de mortalidad obtenidas para México a nivel nacional. respecto al año 2003. esto con el fin de proyectar adecuadamente la estructura de la población.56 años para las mujeres en el año 2010. 114 . Capı́tulo 6 Las causas de muerte en México y sus ganancias en las esperanzas de vida 6.1. Introducción El estudio de la mortalidad general (todas las causas en su conjunto) es la que comúnmente se tiene en el análisis de dicho fenómeno demográfico. destacando las ganancias en la esperanza de vida por edad y género. La disminución de la mortalidad en México en el siglo XX tiene su efecto en el aumento de la esperanza de vida al nacimiento. Hace sesenta años más de la mitad (53 %) de los decesos anuales eran de menores de cinco años. el desconocimiento del impacto real de las causas de muerte por edad y género realmente es mayúsculo. 6. de 36 años en las primeras dos décadas a 75 años en el año 2000. El efecto inmediato ha sido una disminución en las probabilidades de muerte de la población mexicana en todas y cada una de las edades. Impacto de la mortalidad por causas en México De mediados del siglo pasado a principios del presente siglo XXI. destacando la disminución en la mortalidad infantil de 182 muertes de menores de un año por cada mil nacimientos. a 22 por mil en el año 2000.2. no sin antes destacar la clasificación internacional de las causas de muerte y las que en México son las de mayor impacto en su población. La tasa de mortalidad era del 16 por mil hacia mediados de siglo pasado y se estimaba en un 6 por mil hacia fines de los años ochenta y a 4 por mil en el año 2003. 115 . En este artı́culo se pretende rescatar uno de los métodos mas sencillos para elaborar tablas de decremento y conocer con precisión el impacto de la mortalidad por causa especı́fica. esto por el hecho de tener con mayor facilidad acceso a las defunciones que consideran todas las causas de muerte y que se tienen dificultades en la obtención de la desagregación de las defunciones generales por causas especı́ficas. si además se considera el hecho de que la obtención de tablas de decremento simple y múltiple no es común después de hacerlo para la mortalidad general. hoy lo son en un 25 % de ese total de muertes. es decir un aumento de 39 años. al inicio del siglo XX. la mortalidad general ha descendido considerablemente en México. para posteriormente presentar la metodologı́a y los resultados que se obtuvieron para el caso mexicano. que se obtendrı́an en México de eliminar la causa especı́fica de mortalidad en consideración. (64 para los hombres y 70 para las mujeres) a 74 años (72 para los hombres y 77) para las mujeres. para los menores de un año las muertes por infecciones intestinales en la década de los ochentas tienen. lo que aun refleja una inadecuada atención a la mujer en el embarazo y parto. como en el resto de los paı́ses. teniéndose que las ganancias en la esperanza de vida al nacimiento en los años 1990-1995 fue de 1. las principales causas de muerte en los primeros años del presente siglo son: accidentes. tumores malignos. asociado esencialmente a la pobreza. en México la mortalidad femenina es menor que la masculina. teniéndose que el mayor aumento de la diferencia se produjo en las edades productivas: a principios de los cincuenta la mortalidad de hombres y mujeres en edades de 20 a 59 años era similar. teniendo cada vez mayor impacto la diabetes mellitus. Ya para los adultos mexicanos entre las edades de 30 a 64 años las principales causas de muerte son las asociadas a enfermedades digestivas. accidentes y cáncer). En cuanto al diferencial por género. con una sensible baja en las muertes por accidentes. sin embargo se tiene un aumento en las causas de muerte por tumores malignos. no obstante las muertes perinatales no han tenido cambios significativos en su tasa de mortalidad. mientras a fines de los ochenta la mortalidad masculina era mayor que la femenina (las muertes de los hombres eran el 67 % del total de decesos en ese tramo etario). teniéndose que las muertes asociadas la nutrición (por deficiencias de la nutrición) tiene un impacto considerable. aunque también muestran importancia las que padecen los menores (infecciones intestinales y respiratorias). Las principales causas de muerte de la población mexicana en la segunda mitad de los años ochenta están referidas a las enfermedades sufridas por las personas adultas y mayores (afecciones del corazón. enfermedades cardiovasculares y accidentes. las causas de muerte se mantienen por accidentes y violencia (homicidios). ocupando las tres principales causas de muerte las causadas por enfermedades cardiovasculares. teniendo mayor impacto las causas de muerte por suicidios y por el sida (vih). Considerando la estructura por edad de la mortalidad por causas. ası́ como en menor medida las muertes ocasionadas por enfermedades digestivas y enfermedades respiratorias. La esperanza de vida al nacimiento ha aumentado en México en los últimos 25 años de 67 años. diabetes mellitus y tumores. Debe destacarse que dicho incremento en las esperanzas de vida en los mexicanos es esencial- mente por la disminución en las tasas de mortalidad en edades adultas de 30 a 64 años (2. también debe tomarse en cuenta el peso que tienen en las ganancias en las esperanzas de vida al nacimiento las tasas de mortalidad infantil lo que ha aportado en los últimos 25 años un aumento de 2 años en la esperanza de vida de los 116 . ası́ como en accidentes y en muerte violentas (agresiones). La población mexicana entre 5 y 14 años de edad se observa que la disminución en las causas de muerte por enfermedades infecciosas y parasitarias. tumores malignos y causas maternas. en las mujeres de 15 a 29 años de edad. Para los primeros años del siglo XXI las causas de muerte de menores de un año los accidentes tienen mayor impacto y las muertes por causas de las enfermedades respiratorias y por enfermedades infecciosas y parasitarias han disminuido considerablemente. con las muertes por afecciones originadas en el periodo perinatal. Similar panorama se tiene para los adultos mayores de 65 años de edad. Las mayores diferencias apreciadas se refieren al mayor peso de las muertes por cáncer en las mujeres y el superior de los accidentes en los hombres. Cabe destacar que las causas de muerte de infantes entre 1 y 4 años por anomalı́as congénitas ocupa el tercer lugar entre las principales causas de muerte. Para las edades de 1 a 4 años el panorama de la mortalidad por causas es similar a los menores de un año.2 años debido a la disminución en el riesgo de morir por enfermedades crónicas y degenerativas. Para los hombres de 15 a 29 años de edad. el mayor impacto.5 años de aumento en los hombres y de 2 años en las mujeres). Estas diferencias adquieren distinta forma cuando se separa las edades jóvenes y las adultas. lo que se relaciona con el mayor consumo de tabaco. CELADE. anomalı́as congénitas y tumores malignos han evitado el aumento en las esperanzas de vida al nacimiento. Serie C.5 % de sus muertes anuales). Las diferencias por sexo en cuanto a causas de muerte se aprecian mucho más claramente cuando se examina la población adulta. 1968.mexicanos. las mujeres de 25 a 44 años mueren en primer lugar por tumores malignos. en tercero por enfermedades del corazón y en cuarto por causas obstétricas. aunque aún el peso de la primera resulta elevado. mientras que los hombres mueren fundamentalmente por accidentes y violencia.4 % frente a un 8. Cabe destacar las diferencias entre mujeres y hombres al examinar los tipos de muerte por cáncer. en segundo lugar por accidentes. 6. por lo contrario el incremento de las causas de muerte por diabetes Mellitus. ası́ como del corazón. accidentes y complicaciones obstétricas. Supuestos del método: 1 Ver Cerisola Elsa. Por el contrario.6 % de los decesos por cáncer) que los varones (10.9 %). Metodologı́a empleada en la estimación de las ganancias de vida El método de Cerisola1 permite medir la ganancia en años de esperanza de vida a la edad exacta 𝑥. y está acompañada de la caı́da de la mortalidad en todos los menores de cinco años. El descenso de esta mortalidad se manifiesta en todos sus tramos (neonatal y postneonatal). A fines de los años sesenta se estimaba una tasa de 85 por mil nacidos vivos. República Argentina: Análisis de la Mortalidad por causa.3.Santiago.109.2 % del total) y por cirrosis y otras enfermedades del hı́gado. cifra que habı́a descendido al 47 por mil a mediados de los ochenta y al 24 por mil en 1990. Chile. Sin embargo. También la menor mortalidad por causas de las enfermedades infecciosas y parasitarias aporta la mayor ganancia en la esperanza de vida al nacimiento. las mujeres mueren más por tumores en el aparato reproductivo (el 31. mientras que los hombres de esa edad siguen muriendo en primer lugar por accidentes y violencia (54. en tanto los hombres fallecen por accidentes y violencia (que provocan el 73. La disminución de la mortalidad postneonatal ha sido más rápida que la neonatal. La mortalidad infantil ha ido disminuyendo apreciablemente en las pasadas décadas. tanto intestinales como respiratorias (que en 1990 eran todavı́a el 37 % de los decesos de menores de un año). la mortalidad de los niños entre uno y once meses (postneonatal) es más sensible a las acciones sanitarias no especializadas contra enfermedades de tipo infeccioso. los hombres fallecen más por tumores en las vı́as respiratorias (20. y por enfermedades cardiovasculares. si bien todavı́a presenta niveles relativamente elevados. No. No obstante. el peso de los decesos del conjunto de estos menores en el total de muertes anuales sigue siendo alto (un 26 % en 1990). 117 .2 % en las mujeres). Como se sabe. en el caos de que un grupo de causas de muerte fuera eliminado. las mujeres mueren sobre todo por tumores malignos. destacando también la disminución en las causas de muerte por enfermedades respiratorias. Las mujeres de 15 a 25 años mueren principalmente por accidentes y complicaciones obstétricas. Ası́. Entre los 15 y los 44 años. 𝑥+𝑛 es el total de defunciones por causas distintas de 𝑖 entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑛. 2.𝑥+𝑛 ) en cada grupo de edad.2) 𝑙𝑥 − 2 donde: 𝑑𝑥. no se modifica.3) 𝑑𝑖𝑥. Las que se obtienen aplicando la distribución porcentual de las defunciones registradas según grupos de causas por edad y género. Entonces. El número de sobrevivientes a la edad exacta 𝑥 (𝑙𝑥 ) y las defunciones (𝑑𝑥. la probabilidad de sobrevivientes de la edad 𝑥 a la edad 𝑥 + 𝑛 eliminando la causa 𝑖 se calcula como: 𝑑𝑖𝑥. El promedio de las defunciones.𝑥+𝑛 𝑛 𝑞𝑥 = 𝑑𝑖𝑥.𝑥+𝑛 (6. Al eliminarse o disminuirse una causa de muerte. Las personas salvadas de morir por una causa determinada.1) 𝑖 donde son las defunciones esperadas por cada grupo de causas y edad. por grupos de edades. con excepción de los que fallecieron por la causa 𝑖. 𝑑𝑖 𝑙𝑥 − 𝑥. Información básica Se utiliza para la estimación de las esperanzas de vida una vez eliminado cierto grupo de causas: 1. de personas de edad 𝑥 exacta (𝑛 𝐷𝑥𝑖 ) se distribuyen uniformemente a lo largo del año. Las defunciones por causa determinada 𝑖. 2.𝑥+𝑛 − 𝑑𝑖𝑥. a las defunciones según edad y sexo en las tablas de vida.𝑥+𝑛 − 𝑑𝑖𝑥. 6. género y causas clasificadas. Procedimiento de cálculo Las defunciones de cada grupo de edad en la tabla de vida se descomponen en: ∑ 𝑖 𝑛 𝐷𝑥 = 𝑛 𝐷𝑥 (6. provenientes de la tabla abreviada de mortalidad correspondiente al año de observación.4.𝑥+𝑛 𝑙𝑥 − 2 118 . la probabilidad de morir por otra causa. Calculándose la probabilidad de entre las edades x y x+n una vez eliminada la causa i como: 𝑖 𝑑𝑥. 1.𝑥+𝑛 2 son los sobrevivientes a la edad exacta. 3.𝑥+𝑛 𝑖 𝑙𝑥 + 𝑛 + 𝑛 𝑃𝑥 = 1 −𝑛 𝑞𝑥𝑖 = 2 (6. tiene la misma probabilidad de morir por otra causa que cualquier individuo de la población. 9) 𝑙=𝑥 𝑜 𝑖 𝑇𝑥𝑖 𝑒𝑥 = (6. b) enfermedades endocrinas.5) 𝑖 4 𝐿1 = 𝐾1.8) + 𝑀85 ∑𝑤 𝑇𝑥1 = 𝑖 𝑛 𝐿𝑥 (6.6) 1 5 𝑖 5 𝐿5 = (𝑙 + 𝑙𝑥𝑖 + 5) (6.4 )𝑙51 (6.4 𝑙1𝑖 + (4 − 𝑘1. registradas en el año 2000. nutricionales y metabólicas y c) enfermedades del sistema circulato- rio.5. mujeres y el total de la población. a nivel nacional son: a) tumores. los restantes valores de la tabla de mortalidad por causas se calculan con las rela- ciones: 𝑖 𝑙𝑥𝑥 𝑛 + 𝑛 = 𝑙𝑖 𝑛 𝑃𝑥𝑖 (6. por las tres principales causas.(ver desglose en el anexo) Las defunciones por todas las causas. Finalmente.4) 𝑖 𝑖 𝐿0 = 𝐾0 𝑙0𝑖 + (1 − 𝑘0 )! (6. para hombres.7) 2 𝑥 1 𝑙80 + 𝐿85 = (6. 119 . Principales causas de muerte en México Las tres principales causas de muerte en México en el año 2000. y por el resto de causas se presentan en el cuadro 1.10) 𝑙𝑥𝑖 6. 890 85 y más 17.898 9.767 13.482 4.093 6.078 65.Defunciones totales por grupos quinquenales 2000 Total Enfermedad Tumores Diabetes suma de las Resto Total del corazón malignos mellitus 3 causas Total 68.457 10−14 años 75 555 31 661 3.746 18.332 267.371 75−79 años 9.388 20−24 años 299 671 126 1.807 11.144 34.223 437.944 26.863 6.796 16.53 años en la esperanza de vida al nacimiento para las mujeres 120 .847 65−69 años 6.1: México.718 15−19 años 193 627 77 897 6.735 39.977 70−74 años 7.787 6.055 7.484 9.035 20.398 2.903 No especifi.338 19.995 2.725 2.795 3.572 35.816 10.233 17.611 6.436 25.244 38.405 15. Cuadro 6.249 5.636 17.152 21.468 3. Cabe destacar que al efecto de quitar el resto de las causas de muerte produce una ganancia de 2.006 46.026 11.87 años para las mujeres.614 170.496 45−49 años 1.096 8. 259 95 103 457 1.996 21.633 609 3.976 2.058 50−54 años 2.955 40−44 años 1.821 3.81 años para los hombres y 1.583 7.329 5.562 un año 1 − 4 años 101 469 10 580 6.299 9.555 Menores de 229 84 5 318 38.150 4.158 333 2.712 55.52 para las mujeres.291 30−34 años 597 1.982 6.057 3.937 80−84 años 8.791 21.04 años en la esperanza de vida para los hombres y de 1.173 13.680 15.830 3.067 55−59 años 3.920 12.858 5.032 18.771 13.599 40.50 años para los hombres y de 0.008 35−39 años 946 1.088 9.674 30.182 cado De las tres principales causas de muerte la que menor ganancia otorga en las esperanzas de vida es para los hombres la eliminación de la diabetes mellitus y para las mujeres la eliminación de los tumores malignos.915 11.826 4. Si se eliminaran las tres causas de muerte antes mencionadas la ganancia en la esperanza de vida al nacimiento serı́a 1.459 4.825 39.268 1.382 6.056 12.994 25−29 años 420 827 237 1.962 5 − 9 años 67 547 13 627 2.491 7. siendo sus ganancias en la esperanza de vida al nacimiento de 0.023 3.188 10.492 60−64 años 5. 769 19.035 984 3.614 21.904 2.280 17.726 3.467 70 − 74 años 3.024 2.062 20.424 1.945 3.485 6.848 40 − 44 años 910 722 650 2.106 20 − 24 años 180 405 60 645 6.606 1.174 11.402 1.438 4.380 30 − 34 años 370 480 198 1.496 2.999 10.603 10.747 65 − 69 años 3.833 7.603 50 − 54 años 1.808 37.911 2.025 10 − 14 años 37 300 11 348 1.043 85 y más 7.506 75 − 79 años 4.858 6.424 80 − 84 años 4.516 4.268 6.606 25 − 29 años 157 405 104 666 2.293 2.271 35 − 39 años 366 1.336 No especifi.153 1.2: México.388 25 − 29 años 263 422 133 818 7.814 12.061 3.036 2.329 9.231 3.252 15 − 19 años 115 381 30 526 4.155 2.281 8.338 8.523 104.282 8.513 80 − 84 años 3.803 10.830 21.804 10.864 17.109 45 − 49 años 726 2.683 10.557 8.687 2.766 3.669 2.567 No especifi.330 1.137 10.236 5 − 9 años 33 237 9 279 1.493 55 − 59 años 1.155 3. 129 42 69 2 40 517 757 cado 121 .270 28.500 7.510 70 − 74 años 4.397 1.425 cado Mujeres 34.689 8.081 2.760 7.630 16.575 5.847 85 y más 10.253 Menores de 97 41 1 139 16.677 5.100 65 − 69 años 3.750 88.071 3.673 18.597 3.208 1.373 19.737 35 − 39 años 580 580 359 1.759 21.534 2. 130 53 34 217 1.653 60 − 64 años 2.245 2.066 2.865 75 − 79 años 4.508 15.543 17.417 2.519 8.040 2.580 5.208 3.053 250 1.299 14.574 55 − 59 años 2.153 1.546 500 2.677 2.105 10.Defunciones totales por grupos quinquenales 2000 Menores de 132 43 4 179 21.282 20 − 24 años 119 266 66 451 2.834 2.436 11.222 28.399 8.983 8.375 3.861 2.616 5.393 10.048 7.201 3.839 60 − 64 años 3.540 8.828 3.036 10.662 2.066 17.466 15 − 19 años 78 246 47 371 1.769 un año 1 − 4 años 54 233 4 291 2.924 2.286 6.483 2.911 30 − 34 años 227 678 135 1.743 7.296 8.455 50 − 54 años 1.496 2.137 9.745 2.387 45 − 49 años 1.437 3.621 2. Cuadro 6.730 193.131 13.551 25.714 1.924 3.834 8.987 10.622 4.562 8.199 16.793 un año 1 − 4 años 47 236 6 289 3.250 960 1.107 40 − 44 años 488 1.763 9.726 5 − 9 años 34 310 4 348 1.655 8.535 2.432 10 − 14 años 38 255 20 313 1.154 3. 53 1.45 0.36 1. Sin tumores Sin diabetes Sin la suma de Sin el resto de medades de malignos mellitus las tres causas las causas corazón 0 0.85 40 0.45 65 0.89 1.50 1.89 1.59 1.60 0.62 0.44 25 0.68 0.60 1.61 0.59 1.75 0.13 75 0.91 0.54 0.45 1.93 25 0.22 0.76 0.52 MUJERES 0 0.51 0.52 0.67 0.96 20 0.52 1.19 0.3: México: Ganancias en las esperanzas de vida eliminando causas de muerte.42 0.70 0.39 1.86 1.98 0.61 0.86 1.40 40 0.51 1.55 60 0.69 0.61 1.20 1.78 0.53 0.27 0.16 0.52 0.47 0.68 0.61 1.44 0.89 1.21 0.59 1.61 0.67 0.62 1.52 1.82 45 0.44 122 .62 0.53 1 0.73 0.93 1.52 1.62 0.62 1.94 1.77 0.86 1.44 0.58 55 0.91 1.36 0.87 80 0.41 35 0.56 0. Cuadro 6.52 1.90 1.45 15 0.76 0.55 1.40 45 0.69 0.51 0.76 0.60 0.52 1.89 1.73 0.37 0.86 -1.37 70 0.29 5 0.98 80 0.61 0.65 1.76 0.53 0.62 0.62 0.22 0.24 75 0. 2000 HOMBRES Edad Sin enfer.40 0.51 0.45 0.51 0.64 10 0.81 2.70 0.40 0.70 0.37 55 0.52 0.00 5 0.31 0.61 1.94 1.51 1.52 0.23 70 0.94 1.55 1.52 1.28 0.69 0.62 0.51 1.66 0.14 0.68 1.31 0.51 1.81 1.92 -1.42 30 0.53 0.41 1.52 1.72 1.88 1.11 10 0.61 1.62 0.89 1.11 0.50 0.88 1.62 1.70 0.33 60 0.61 1.90 30 0.87 1.38 1.17 0.61 1.57 0.49 0.75 50 0.30 1.89 35 0.31 1.76 0.94 1.21 1.92 1.46 20 0.38 50 0.53 0.70 0.29 65 0.65 0.04 1 0.70 0.76 0.96 15 0.26 1. nutrición. Y en tercero. reumáticas. diabetes.6. Y en tercer lugar. infartos. El conocimiento del impacto de las enfermedades en la mortalidad de los mexicanos. lo que tendrá una directa consecuencia en el incremento de las ganancias en las esperanzas de vida por edad y género. arteriolas y vasos capilares como embolias y trombosis. Para los niños de 1 a 4 años. por tanto. nutricionales y metabólicas. obesidad y trastornos metabólicos. colitis. diabetes. obesidad y trastornos metabólicos. de las causas de muerte por grupos de edades. seguida por las enfermedades del aparato circulatorio como son. los tumores malignos y los accidentes. enfermedades del sistema digestivo como apendicitis. etc. enfer- medades cardiacas. traumatismos y todo tipo de accidentes. Teniendo que ser protegida la población de cero años cumplidos principalmente de afecciones originadas en el periodo perinatal por factores maternos tanto del embrazo como del parto. órganos digestivos. de caı́das. nutricionales y metabólicas. Cabe señalar que aquı́. ésta queda determinada por el uso que se hará de las estadı́sticas recopiladas bajo la clasificación. 1 a 4 años y 65 y más. los tumores y las enfermedades endócrinas. las enfermedades oca- sionadas en el sistema circulatorio. En edades por encima de los 5 años y hasta los 24 años cumplidos la principal causa de muerte se debe a los accidentes. 65 y más. como en el labio. el trabajo de parto. Ası́. de la presión arterial. imperan principalmente los problemas cardiacos y las enfermedades endócrinas. o por consecuencias del cuidado del producto como son el peso. 6. enfermedades endócrinas. en sitios especificados o no. es de vital importancia. También para la población entre las edades de 45 a 64 años cumplidos. desnutrición. En el grupo de edades cumplidas abierto. en el cuidado de los menores frente a estas enfermedades que pueden ser causa de muerte. nutricionales y metabólicas. por mencionar algunos. de las enfermedades del sistema circulatorio. hemorragias y problemas de las arterias. Al grupo de 35 a 44 años. nutricionales y los tumores. Una clasificación estadı́stica de las causas de muerte data del siglo XVIII. como son trastornos de la tiroides y el páncreas. como son trastornos de la tiroides y el páncreas. envenenamientos. En segundo lugar. permite orientar los recursos de salud para el abatimiento de las principales causas de muerte. cardiopulmonares y cardiovasculaes. y en tercero. por factores externos como son la atención médica a la madre. alertas de los tumores en cualquier sitio del cuerpo. las primeras revisiones se basaban únicamente en la modificación de las causas. respiratorios e intratoráxicos. en los últimos diez años en México. En tercer lugar los tumores malignos. trastornos respiratorios y cardiovasculares y de la regulación de la temperatura. seguidas por los tumores. tener cuidado de caı́das. piel. faringe. Además de enfermedades endócrinas. son las causas de muerte más importantes. cirrosis. 123 . las causas de muerte por enfermedades del sistema circulatorio ocupan el primer lugar. A manera de conclusión a continuación se resume el impacto. órganos genitales y vı́as urinarias. requieren de orientación consciente por parte de los doctores y personal de salud. desnutrición. A la población de 25 a 34 años de edad cumplida le impactan las causas de muerte asociadas a los problemas del sistema o aparato circulatorio. hernia. la labor del padre y madre del menor. Clasificación de las causas de muerte La clasificación de enfermedades se define como un sistema de categorı́as a las que se asignan entidades morbosas de conformidad con criterios establecidos. traumatismos y todo tipo de accidentes. envenenamientos. la mayor exposición a la muerte esta en los grupos de 0 años. peritoneo. pancreatitis. Londres. Venezuela. otros órganos genitales y 124 . oı́do medio. tejidos. difuso. órganos digestivos. Rusia. Las orientaciones de polı́tica emanaron de varias reuniones especiales. hematopoyético y similares (labio. mama. Los trabajos de la décima revisión de la CIE. Se ha conservado la estructura tradicional de la CIE con la diferencia de que la clave numérica anterior se reemplazó por una de tipo alfanumérico. Tumores malignos de sitios mal definidos. esófago estómagoy otros órganos di- gestivos. periférico. que anteriormente aparecı́an como suplementos. Uppsala. mieloma múltiple. Tumores in situ(Carcinoma in situ de: la cavidad bucal. es decir. leucemias y otros). y la clasificación de causas externas y de los factores que in- fluyen en el estado de salud y contacto con los servicios de salud. comenzaron en septiembre de 1983 en Ginebra. cavidad bucal. La décima revisión de la Clasificación Estadı́stica Internacional de Enfermedades y Problemas Relacionados con la Salud. y Moscú. Las principales causas de muerte en México son: CAUSA II. Tumores malignos declarados como primarios del tejido linfático. en particular de las del Comité de Expertos sobre la CIE-10. Surgió el concepto de una familia de clasificaciones. tumores malignos de células plasmáticas. Este capı́tulo contiene los siguientes grupos: Tumores malignos primarios de sitio anatómico especificado. En esta clasificación las afecciones se han agrupado de la manera que se creyó más apropiada para los fines epidemiológicos generales y para le evaluación de la atención de la salud. Inglaterra. Canberra. construida en torno al núcleo de la CIE. Brasil. mama. secundarios y de sitios no especificados. los centros están en las siguientes ciu- dades: Caracas. órganos genitales. celebradas en 1984 y 1987. Suecia. faringe. Tumores malignos primarios de sitios múltiples independientes. Se identifican grandes grupos morfológicos de tumores malignos y cáncer. y que se han creado nuevos capı́tulos para las enfermedades del ojo y sus anexos y para las enfermedades del oı́do y de la apófisis mastoides. vı́as urinarias. se recibió gran número de observaciones y sugerencias de los estados miembros y de las oficinas regionales de la OMS. Tumores. tiroides y otras glándulas endocrinas). Hyattsville. esparcidos o extendidos. CIE-10. Pekı́n. ésta se ocuparı́a de atender a las necesidades centrales de las estadı́sticas tradicionales de mortalidad y morbilidad. Francia. cutáneo y el no especificado. Estados Unidos de Norteamérica. Además de las aportaciones técnicas de muchos grupos de especialistas y de expertos a tı́tulo individual. huesos y cartı́lagos articulares. su sede. la CIE-10. sistema respiratorio. encéfalo. Australia. convocada por la organización mundial de la salud. piel. piel. La principal innovación en las propuestas fue el uso de un sistema de codificación alfanumérico consistente en una letra seguida de tres números dando un total de cuatro caracteres. donde el sitio primario se considera desconocido. respiratorios e intra- torácicos. regidos por las re- uniones regulares de los directores de los Centros Colaboradores de la Organización Mundial de la Salud (OMS) para la clasificación de las enfermedades. es decir. se han incorporado ahora al cuerpo principal de la clasificación. órganos hematopoyéticos y de tejidos afines (Enfermedad de Hodgkin. ojo. y que ciertos trastornos del mecanismo inmu- nitario aparecen junto con las enfermedades de la sangre y de los órganos hematopoyéticos. sin mención del origen. cuello del útero. los que se indican como diseminados. es la más reciente. Le Vecinet. excepto de los tejidos linfáticos. estén o no activos funcionalmente. Sao Paulo. linfoma no Hodgkin: folicular. En este se clasifican todos los tumores. China. trastornos no reumáticos de la válvula mitral. CAUSA VIII. etc. Otras formas de enfermedad del corazón (Pericarditis aguda. Enfermedades de las venas y de los vasos y ganglios linfáticos. Tumores benignos (De la boca. Enfermedades del ojo y sus anexos.) Enfermedades cerebrovasculares (Hemorragia subaracnoidea e intraencefálica. Se excluyen ataques isquémicos cerebrales transitorios y sı́ndromes afines. enfermedades cardı́acas y renales hipertensivas). insuficiencia cardı́aca. infarto cerebral. huesos etc. Enfermedades de las arterias. Enfermedades endocrinas.) Otros trastornos y los no especificados del sistema circulatorio (Hipotensión. y ciertos trastornos que afectan el mecanismo de la inmunidad. CAUSA III. Incluye enfermedades generalmente reconocidas como contagiosas o transmisibles. aórtica. El resto de las causas de muerte son las constituidas por: CAUSA I Ciertas enfermedades infecciosas y parasitarias. CAUSA V. Enfermedades isquémicas del corazón (Angina de pecho. Enfermedades del sistema circulatorio. del colon. no clasificadas en otra parte (Flebitis. CAUSA VII.) Tumores de comportamiento incierto o desconocido CAUSA IV. dl oı́do. fibrilación y aleteo auricular. etc. Incluye los trastornos del desarrollo psicológico. Son las que indican la actividad funcional de tumores y tejidos endocrinos ectópicos o la hipofun- ción e hiperfunción de las glándulas endocrinas asociadas con tumores y otras afecciones clasificadas en otra parte. trastornos sistémicos del tejido conjuntivo y tumores. miocarditis.melanoma). enfermedades cerebrales. Enfermedades del sistema nervioso. etc. no insulinodependi- ente. Enfermedad cardiopulmonar y enfermedades de la circulación pulmonar (Embolia pulmonar y otras enfermedades de los vasos pulmonares). paro cardı́aco. aórtica y tricúspide. trombosis de la vena porta. asociada con desnutrición). bloqueo auriculoventricular y de rama izquierda del haz. Este capı́tulo contiene los siguientes grupos: Fiebre reumática aguda (Con y sin complicaciones cardı́acas y corea reumática) Enfermedades cardı́acas reumáticas crónicas (Enfermedades de la válvula mitral. Trastornos mentales y del comportamiento. CAUSA VI. disección aórtica. Enfermedades de la sangre y de los órganos hematopoyéticos. Enfermedades del oı́do y de la apófisis mastoides. embolia y trombosis arteriales). y otros trastornos del sistema circulatorio). endocarditis. cardiomiopatı́a. tricúspide. órganos intra torácicos.) Enfermedades hipertensivas (Hipertensión. infarto del miocardio. 125 . taquicardia paroxı́stica. secuelas de enfermedad cerebrovascular). de las arteriolas y de los vasos capilares (Aterosclerosis. nutricionales y metabólicas. complicaciones posteriores al infarto y otras enfermedades isquémicas agudas del corazón). aneurisma. De este capı́tulo la principal es la Diabetes mellitus (Insulinodependiente. lesiones u otros traumas del cerebro que lleva a una disfunción cerebral. CAUSA IX. oclusión y estenosis de las arterias precerebrales. CAUSA XV. Embarazo. Ciertas afecciones originadas en el perı́odo perinatal. Causas externas de morbilidad y de mortalidad. Sı́ntomas. no clasifica- dos en otra parte.CAUSA X. parto y puerperio. Enfermedades del sistema digestivo. Enfermedades del sistema genitourinario. 126 . CAUSA XX. Incluye las afecciones que tienen su origen en el periodo perinatal. Enfermedades de la piel y del tejido subcutáneo. con la misma verosimilitud. Enfermedades del sistema osteomuscular y del tejido conjuntivo. aún cuando la muerte ocurra más tarde. Enfermedades del sistema respiratorio. Malformaciones congénitas. también incluye los sı́ntomas que hacen sospechar. CAUSA XVIII. dos o más enfermedades o bien varios sistemas del cuerpo hu- mano y sin que el caso haya sido estudiado en forma suficiente para llegar a establecer un diagnóstico final. Incluye sı́ntomas. envenenamientos y algunas otras consecuencias de causas ex- ternas. deformidades y anomalı́as cromosómicas. CAUSA XIII. CAUSA XI. CAUSA XVI. Traumatismos. CAUSA XIV. CAUSA XII. signos y resultados anormales de procedimientos clı́nicos u otros de inves- tigación y las afecciones menos definidas. Incluye la clasificación de acon- tecimientos ambientales y circunstancias adversas. signos y hallazgos anormales clı́nicos y de laboratorio. CAUSA XIX. CAUSA XVII. Fundamento teórico del método. Relación entre mortalidad y esperanza de vida. University of Siena. 2 𝑜 − 1 𝑒𝑜0 = 𝑆0𝑤 𝑢1𝑥 − 𝑢2𝑥 𝑥 𝑃01 ∗ 1 𝑒𝑜0 𝑑𝑥 ( ) 𝑒0 (7. Siena. Este método también puede ser usado para analizar las diferencias en la esperanza de vida entre dos poblaciones cualesquiera.2) 1 Pollard. 7-12. 127 . durante un periodo de tiempo. es decir. 𝑒𝑜𝑥 Esperanza de vida a la edad 𝑥. 2. International Union for the Scientific Study of Population and Institute of Statistic. en el cambio de la esperanza de vida de una población. 1986. John H.. se pueden estimar con el método propuesto por J. Cause of Death and Espectation of life. entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑛. La información necesaria para la aplicación del método es: 𝑥 𝑃0 Es la probabilidad de sobrevivir 𝑥 años desde el nacimiento.1) donde: 𝑢𝑥 Representa la tasa instantánea de mortalidad. some international comparisons. ası́ como también el efecto de las diferentes causas de muerte por edad. Los ı́ndices 1 y 2 representan el tiempo 1 y el tiempo 2 a los cuales está referida la función. July. 𝑖 𝑛 𝐷𝑥 Proporción de muertes correspondientes al grupo de causa 𝑖. la ganancia en la esperanza de vida al nacer en una población entre el tiempo 1 y el tiempo 2.Capı́tulo 7 La Contribución de las causas de muerte al cambio en la esperanza de vida en un perı́odo 1. que en su forma más simple puede ser escrita de la manera siguiente: 2 𝑜 − 1 𝑒𝑜0 = 𝑆0𝑤 𝑢1𝑥 − 𝑢2𝑥 𝑤𝑥 𝑑𝑥 ( ) 𝑒0 (7. El método de Pollard1 Los efectos de los cambios en la mortalidad en el aumento de la esperanza de vida. Pollard. Italy. entre el tiempo 1 y el tiempo 2. La probabilidad de supervivencia y la esperanza de vida a cada edad x. de acuerdo a la ecuación fundamental del método. La fórmula se puede extender para el análisis de causas de muerte: Causa i: 2 𝑜 − 1 𝑒𝑜0 =1 𝑖1 2 𝑖2 ( ) 𝑒0 1 𝑄0 ∗1 𝐷0 −1 𝑄0 ∗1 𝐷0 𝑤0 (7.5) +10 10 𝑚15 −10 𝑚25 𝑤10 + 10 10 𝑚115 −10 𝑚215 𝑤20 + . ∙ 𝑛 𝐷𝑥 =𝑛 𝑄1𝑥 −𝑛 𝑄2𝑥 representa la diferencia entre la fuerza de mortalidad a la edad 𝑥.7) 𝑙𝑥1 ( 2 ) 𝑙 2 𝑛 𝑄𝑥 = −𝐿𝑛 𝑥+𝑛 (7. será aproximada por 𝑛 𝑚𝑥 dando como resultado la fórmula siguiente: 2 𝑜 − 1 𝑒𝑜0 = 1 −1 𝑚20 𝑤0 + 4 4 𝑚11 −4 𝑚21 𝑤3 ( ) ( ) 𝑒0 1 𝑚0 (7.5(𝑥 𝑃02 1 𝑒𝑜𝑥 +𝑥 𝑃01 2 𝑒𝑜𝑥 ) representa una función de ponderación de la edad.4) +10 10 𝑄15 −10 𝑄25 𝑤10 + 10 10 𝑄115 −10 𝑄215 𝑤20 + .5 𝑥 𝑃0 𝑒 𝑥 + 𝑥 𝑃0 𝑒𝑥 (7. . . .donde el ponderador w se toma como: 2 1 𝑜 1 2 𝑜 ( ) 𝑤𝑥 = 0. . ( ) ( ) Esta es la ecuación fundamental del método de Pollard. ∙ 𝑙𝑥 los sobrevivientes en la edad exacta 𝑥 ∙ 𝑤𝑥 = 0. provienen de las tablas abreviadas de mortalidad. Procedimiento de cálculo. 128 . la integral puede ser escrita como: 2 𝑜 − 1 𝑒𝑜𝑥 = 1 −1 𝑄20 𝑤0 + 4 4 𝑄11 −4 𝑄41 𝑤3 ( ) ( ) 𝑒0 1 𝑄0 (7.6) +4 4 𝑄1 ∗4 𝐷1𝑖1 −4 𝑄21 ∗4 𝐷1𝑖2 𝑤3 ( 1 ) +10 10 𝑄15 ∗10 𝐷5𝑖1 −10 𝑄25 ∗10 𝐷5𝑖2 𝑤10 ( ) +10 10 𝑄115 ∗10 𝐷15 𝑖1 −10 𝑄215 ∗10 𝐷15 𝑖2 ( ) 𝑤20 + . ( ) ( ) ( ) 𝑙𝑥+𝑛 Donde 𝑛 𝑄𝑥 = −𝐿𝑛 𝑙𝑥 . .8) 𝑙𝑥2 donde : ∙ 𝑛 𝑄𝑥 representa la tasa instantánea de mortalidad entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑛. La estimación de la ganancia en la esperanza de vida al nacer. . entre el tiempo 1 y el tiempo 2 y considerando 1 𝑙𝑥+𝑛 ( ) 1 𝑛 𝑄𝑥 = −𝐿𝑛 (7.3) Para un trabajo numérico y discreto. las contribuciones en el aumento de la esperanza de vida son reducidas. ası́ como medir las contribuciones de las causas de muerte por edades en el aumento de la esperanza de vida al nacer. 129 . los que más se benefician son los más jóvenes. sino que redujo la ganancia en años. entre los dos tiempos considerados. seguido de los menores de 1 año y los de 5-15 años. a la ganancia en años sobre la esperanza de vida al nacer. la ganancia total en esperanza de vida al nacer. el mayor aporte se tiene en el grupo 1-4 años. en un proceso de descenso de la mortalidad. Donde se produce un efecto negativo de la mortalidad. está indicando que la mortalidad. en estas edades aumentó en el periodo y por lo tanto no contribuyó en el aumento de la esperanza de vida al nacer. En las edades adultas avanzadas. Se pone de manifiesto que. ∙ ?𝑤 ∗ 𝐷 representa en forma aproximada. ∙ 𝑤 ∗ 𝐷 representa el aporte de cada grupo de edad. La aplicación del método de Pollard ha permitido analizar los efectos de los cambios en la mortalidad en la esperanza de vida. 130 . Tablas 131 . 996994 94639 472482 4918493 51.97 51.147737 0.52 132 30−34 198 8788 0.004268 0.0226 412 9 94349 0.993850 95939 381864 7201280 75.60 0.0931 376 35 92598 0.083900 0.00 0.51 0 − 54 1625 12648 0.1: México: Tabla de decremento por diabetes mellitus.005304 0.0363 517 19 93936 0.959387 100000 97292 7298572 72.41 60−64 2839 17200 0. Cuadro 7.31 70−74 2992 20987 0.040613 0. 2000 𝐷𝑖 Edad 𝐷𝑖 𝐷 𝐷 𝑑 𝑑𝑖 𝑙𝑥 𝑛 𝑞 𝑥𝑖 𝑛 𝑃𝑥𝑖 𝑙𝑥 𝑖 𝐿𝑥𝑖 𝑇𝑥𝑖 𝑒𝑥𝑖 𝑒𝑥 Ganancias tabla 0 4 21921 0.40 0.1205 17961 2164 59925 0.26 75−79 2607 21639 0.001411 0.001987 0.1426 12292 1752 72217 0.99 72.06 74.49 0.994696 93946 468460 3975262 42.11 .31 41.966714 0.10 0.965942 89278 438090 2125483 23.996317 92649 462265 3041585 32.008253 0.70 0.62 66.0644 41964 2704 41964 0.38 0.991747 93438 465217 3506802 37.006150 0.0049 135 1 95216 0.35 0.947828 85958 417304 1687393 19.53 37.50 1−4 6 3748 0.1550 7893 1223 80110 0.52 40−44 651 10448 0.1534 3569 548 88989 0.0623 822 51 93420 0.52 71.75 0.12 46.001361 0.998589 95217 475747 6343002 66.79 0.003683 0.0059 190 1 95081 0.852263 73389 337342 884209 12.51 5−9 4 2037 0.27 0.21 55−59 2290 14926 0.0158 289 5 94638 0.021742 0.19 80 − + 2941 45645 0.83 32.96 27.89 8.052172 0.79 0.003006 0.52 45−49 1073 11522 0.033286 43838 283403 283403 6.997345 94892 473828 5392321 56.05 11.52 15−19 30 5136 0.69 15.53 25−29 133 8429 0.0016 591 1 95938 0.30 0.0002 4062 1 100000 0.995732 94354 470750 4446011 47.32 0.52 20−24 60 7431 0.36 65−69 3041 19624 0.01 0.19 0.731541 61548 263464 546867 8.45 0.978258 92257 453837 2579320 27.1285 2273 292 91262 0.0020 130 0 95347 0.55 0.52 35−39 360 9906 0.998013 95082 474934 5867255 61.268459 0.52 10−14 11 2265 0.0081 254 2 94891 0.002655 0.83 56.46 6.998639 95348 476413 6819415 71.916100 80963 385881 1270089 15.81 23.63 19.71 61. hombres.1650 5310 876 85420 0.034058 0. 40 0.49 0.01 0.257611 0.959458 100000 97297 7308620 73.27 0.00 0.005182 0.62 40-44 723 10448 0.1327 135 18 95216 0.996278 92655 462270 3050920 32.61 15-19 382 5136 0.38 0.35 0.63 37.45 0.001156 0.32 0.998150 95099 475010 5876945 61.002531 0.1565 5310 831 85420 0.22 46.30 0.003722 0. Cuadro 7.16 74.61 50-54 1427 12648 0.0546 254 14 94891 0.49 65-69 3382 19624 0.62 45-49 962 11522 0.60 0.941835 0.16 .0502 289 14 94638 0. 2000 𝐷𝑖 Edad 𝐷𝑖 𝐷 𝐷 𝑑 𝑑𝑖 𝑙𝑥 𝑛 𝑞 𝑥𝑖 𝑛 𝑃𝑥𝑖 𝑙𝑥 𝑖 𝐿𝑥𝑖 𝑇𝑥𝑖 𝑒𝑥𝑖 𝑒𝑥 Ganancias tabla 0 43 21921 0.92 56.70 0.51 6.035017 0.857428 73521 338605 894040 12.44 70-74 3669 20987 0.1748 12292 2149 72217 0.60 10-14 301 2265 0.947311 85873 416980 1697122 19.0631 591 37 95938 0.002901 0.964983 89243 437789 2134910 23.977872 92253 453740 2588650 28.991808 93449 465260 3516180 37.62 133 30-34 481 8788 0.997469 94905 473890 5401935 56.61 5-9 311 2037 0.1128 2273 256 91262 0.998844 95384 476552 6829337 71.742389 61921 266021 555435 8.06 27.994227 95946 381986 7211323 75.005773 0.052689 0.001850 0.79 0.1723 7893 1360 80110 0.55 0.995872 94363 470807 4455509 47.917753 80919 386101 1280141 15.10 0.0743 190 14 95081 0.76 19.008192 0.040542 0.1292 3569 461 88989 0.97 8.142572 0.09 72.994818 93960 468522 3984702 42. hombres.79 0.37 75-79 3490 21639 0.2: México: Tabla de decremento.61 20-24 406 7431 0.0547 412 23 94349 0.0020 4062 8 100000 0.60 1-4 236 3748 0.022128 0.07 51.27 80-+ 5018 45645 0.82 15.058165 44488 289413 289413 6.92 23.41 41.31 55-59 1928 14926 0.997099 94651 472536 4928045 52.80 61.1525 130 20 95347 0.1099 41964 4613 41964 0.0587 517 30 93936 0.62 35-39 581 9906 0.998770 95237 475839 6352785 66.082247 0.75 0.52 60-64 2692 17200 0.1613 17961 2897 59925 0.19 0.0692 822 57 93420 0.001230 0.004128 0.16 11.71 66. tumores malignos.62 25-29 423 8429 0.93 32.60 71.0835 376 31 92598 0. 001395 0.996381 92670 462331 3064312 33.004183 0.57 70-74 4170 20987 0.0168 130 2 95347 0.919495 81027 386718 1292434 15.998605 95219 475756 6365951 66.998659 95354 476434 6842385 71.864042 0.001953 0.1089 376 41 92598 0.01 0.991967 93449 465297 3529610 37.76 20-24 181 7431 0.0243 254 6 94891 0.79 0.861262 73661 339646 905716 12.73 5-9 34 2037 0. enfermedades del corazón.73 1-4 47 3748 0.60 0.243595 0.21 .138738 0.32 0.07 32.008033 0.997388 94895 473846 5415249 57.22 72.959621 100000 97308 7321597 73.993917 95962 381904 7224289 75.0126 591 7 95938 0.45 55-59 2339 14926 0.033928 0.35 0.76 10-14 37 2265 0.1360 2273 309 91262 0.002612 0.49 0.28 74.135958 45328 297257 297257 6.3: México: Tabla de decremento.07 56.06 23.76 40-44 913 10448 0.1567 3569 559 88989 0.005181 0.0588 517 30 93936 0.2394 41964 10045 41964 0.79 0.0313 289 9 94638 0.75 0.0060 4062 25 100000 0.006083 0.0423 412 17 94349 0.966072 89295 438162 2148087 24.10 8.0164 135 2 95216 0.36 46.40 80-+ 10926 45645 0.30 0.45 0. hombres.95 15.76 71.0874 822 72 93420 0.1772 5310 941 85420 0.38 0.56 6.77 25-29 264 8429 0.1987 12292 2442 72217 0.40 0.77 37.76 134 30-34 371 8788 0.62 65-69 3740 19624 0.0225 190 4 95081 0.76 35-39 582 9906 0.30 11.002958 0.76 45-49 1255 11522 0.080505 0.051433 0.756405 62198 268813 566070 9.66 60-64 3047 17200 0. Cuadro 7.55 0.70 0.51 75-79 4614 21639 0.75 50-54 1720 12648 0.27 0.00 0.994819 93954 468509 3998119 42.040379 0.20 27.95 61.76 15-19 115 5136 0.19 0.003619 0.86 66.1906 7893 1504 80110 0.998047 95083 474946 5890195 61. 2000 𝐷𝑖 Edad 𝐷𝑖 𝐷 𝐷 𝑑 𝑑𝑖 𝑙𝑥 𝑛 𝑞 𝑥𝑖 𝑛 𝑃𝑥𝑖 𝑙𝑥 𝑖 𝐿𝑥𝑖 𝑇𝑥𝑖 𝑒𝑥𝑖 𝑒𝑥 Ganancias tabla 0 132 21921 0.2132 17961 3830 59925 0.001341 0.55 41.89 19.21 51.997042 94643 472503 4941403 52.978445 92263 453894 2601981 28.021555 0.10 0.948567 85970 417491 1709925 19.995817 94358 470781 4468900 47. 4950 17961 8891 59925 0.49 1.006879 0.38 1.003846 0.61 8.90 37.49 46.0773 591 46 95938 0.19 1.18 32.994315 95971 382033 7332645 76.997556 94910 473924 5523150 58.81 1-4 290 3748 0.08 23.75 1.040294 0.4136 41964 17356 41964 0.00 1.86 6.996154 94377 470908 4576635 48.984419 92329 455423 2708560 29.031646 0.55 65-69 10164 19624 0.163489 0. 2000 𝐷𝑖 Edad 𝐷𝑖 𝐷 𝐷 𝑑 𝑑𝑖 𝑙𝑥 𝑛 𝑞 𝑥𝑖 𝑛 𝑃𝑥𝑖 𝑙𝑥 𝑖 𝐿𝑥𝑖 𝑇𝑥𝑖 𝑒𝑥𝑖 𝑒𝑥 Ganancias tabla 0 179 21921 0.89 135 30-34 1051 8788 0.19 56.4: México: Tabla de decremento múltiple.993121 93498 465689 3637016 38.836511 65996 290309 634086 9.34 51.30 1.015581 0.1538 517 79 93936 0.2855 376 107 92598 0.01 1.997097 92777 462766 3171327 34.1713 130 22 95347 0.27 1.70 0.995340 93986 468711 4105727 43.89 40-44 2288 10448 0.35 0.0082 4062 33 100000 0.001130 0.0973 289 28 94638 0.1027 190 20 95081 0.77 15.086147 0.89 25-29 820 8429 0.0870 254 22 94891 0.002903 0.4988 5310 2649 85420 0.30 72.048741 0.68 60-64 8580 17200 0.88 15-19 527 5136 0.45 1.91 80-+ 18879 45645 0.34 27.5179 7893 4088 80110 0.20 75-79 10711 21639 0.4393 3569 1568 88989 0.55 1.951259 82717 397305 1386894 16.59 55-59 6557 14926 0.88 20-24 647 7431 0.998207 95102 475031 5998180 63.5161 12292 6344 72217 0.39 70-74 10832 20987 0.68 41.98 66.10 1.89 35-39 1523 9906 0.86 71.86 50-54 4773 12648 0.2190 822 180 93420 0.99 11.86 5-9 349 2037 0.998800 95239 475853 6474033 67.997243 94659 472590 5049226 53.022686 0.40 1.998870 95393 476580 6950612 72.51 . suma de tres causas.977314 89840 442026 2253137 25.07 61.86 10-14 349 2265 0.41 74.002757 0.1196 412 49 94349 0. hombres. Cuadro 7.79 1.739280 0.968354 86970 424217 1811112 20.89 45-49 3290 11522 0.001200 0.3774 2273 858 91262 0.913853 76205 355503 989589 12.002444 0.82 19.79 1.001793 0.004660 0.260720 50128 343777 343777 6.60 1.959706 100000 97314 7429959 74.005685 0.32 1.1540 135 21 95216 0. 89 17.59 55-59 2492 10695 0.002609 0.17 0.015400 0.1972 1257 248 93313 0.28 21.41 69.55 60-64 3408 13801 0.953183 87914 427514 1573023 17.999056 95838 478961 7220783 75.803659 73850 329110 753155 10.097469 0.02 0.92 0.996705 94949 473935 4355841 45.73 0.34 7.1745 16756 2923 7 1914 0.0001 3596 0 100000 0.61 5-9 9 1438 0.62 0.20 9.999238 95747 478551 6741822 70.046817 0.997391 95204 475382 4831223 50.88 78.43 0.61 10-14 20 1472 0.974526 90638 446381 2019403 22.0866 55158 4776 55158 0.1488 773 115 94087 0.954748 0.902531 83092 392353 1145509 13.0253 164 4 95564 0. mujeres.59 1-4 4 3249 0.02 40.46 64. Cuadro 7.45 70-74 3814 18579 0.41 0.984600 92303 457352 2476756 26.995049 94625 471907 3881906 41.62 25-29 104 2922 0.035958 0.2469 3039 750 90212 0.62 40-44 501 5129 0.27 0.54 59.0608 333 20 94938 0.997938 95404 476521 5307744 55.964042 100000 97603 7702190 77.994126 96404 383804 7604587 78.0206 109 2 95673 0.28 0.003295 0.0012 567 1 96404 0.34 74.89 0.26 0.001116 0.004951 0. 2000 𝐷𝑖 Edad 𝐷𝑖 𝐷 𝐷 𝑑 𝑑𝑖 𝑙𝑥 𝑛 𝑞 𝑥𝑖 𝑛 𝑃𝑥𝑖 𝑙𝑥 𝑖 𝐿𝑥𝑖 𝑇𝑥𝑖 𝑒𝑥𝑖 𝑒𝑥 Ganancias tabla 0 1 16835 0.17 .005874 0.0977 519 51 94606 0.000762 0.79 13.993003 94138 468916 3409999 36.2425 5348 1297 87173 0.989171 93429 464328 2941084 31.998884 95674 478101 6263271 65.61 15-19 47 2291 0.196341 0.0357 204 7 95401 0.92 0.44 0.85 0.13 0.38 75-79 3402 19500 0.002062 0.2330 1844 430 92056 0.28 80-+ 4817 55632 0.5: México: Tabla de decremento.998327 95566 477426 5785170 60.0136 74 1 95747 0.88 45.77 0.62 35-39 251 4123 0.83 26.60 50-54 1682 8526 0.41 0.63 55.010829 0.006997 0. diabetes mellitus.0063 91 1 95837 0.61 45-49 987 6629 0.02 76.001673 0.61 136 30-34 135 3284 0.22 35.0412 259 11 95197 0.025474 0.80 0.2053 9911 2035 81825 0.75 50.045252 57794 424045 424045 7.000944 0.61 20-24 66 2616 0.51 65-69 4010 16532 0.48 30. 51 40-44 1548 5129 0.34 30.77 0.1018 164 17 95564 0.52 35-39 1055 4123 0.999361 95761 478617 6734347 70.85 0.898717 82838 390940 1136633 13.998983 95686 478154 6255730 65.1943 5348 10396 87173 0.41 0.994303 94243 469486 3401411 36.80 78.52 1-4 233 3249 0.998458 95576 477481 5777576 60.003833 0.997841 95225 475542 4823490 50.45 55-59 2539 10695 0.1388 204 28 95401 0.203266 0.796734 73538 327085 745693 10.2558 333 85 94938 0.36 70-74 3206 18579 0.2122 3039 645 90212 0.17 21.994540 96413 383938 7597382 78.973365 90646 446139 2009391 22.3019 519 157 94606 0.998158 95417 476605 5300095 55.31 75-79 2770 19500 0.990303 93551 464898 2931925 31.026635 0.2815 1257 354 93313 0.0807 55158 4451 55158 0.999207 95878 479097 7213444 75.51 10-14 255 1472 0.1651 91 15 95837 0.005460 0.001542 0.002612 0.53 137 30-34 679 3284 0.984687 92408 457636 2467027 26.14 .09 35.80 0.70 26.41 0.0718 567 41 96404 0.950277 87809 426619 1563252 17.42 60-64 2928 13801 0.1421 16756 2380 71914 0.001842 0.45 59.1075 109 12 95673 0.2374 1844 438 92056 0.44 0.001017 0.957952 0.53 5-9 237 1438 0.02 0.55 55.89 0.6: México: Tabla de decremento.50 45-49 2038 6629 0.14 9.035874 0.65 50.38 64.40 65-69 3213 16532 0.52 15-19 246 2291 0.26 0.28 0.22 80-+ 4490 55632 0.80 17.43 0.042048 57296 418608 418608 7. mujeres.005697 0.3074 773 238 94087 0.95 76.72 13.17 0.1725 9911 1710 81825 0.997388 94991 474204 4347948 45.27 0.002159 0.24 74.77 45.964126 100000 97608 7694991 76.92 0.62 0.000639 0.015313 0.91 40. Cuadro 7.101283 0.1735 74 13 95747 0.0024 3596 9 100000 0.13 0.31 7.000793 0.92 0.2068 259 54 95197 0.996167 94690 472334 3873745 40.32 69.049723 0. tumores. 2000 𝐷𝑖 Edad 𝐷𝑖 𝐷 𝐷 𝑑 𝑑𝑖 𝑙𝑥 𝑛 𝑞 𝑥𝑖 𝑛 𝑃𝑥𝑖 𝑙𝑥 𝑖 𝐿𝑥𝑖 𝑇𝑥𝑖 𝑒𝑥𝑖 𝑒𝑥 Ganancias tabla 0 41 16835 0.53 25-29 406 2922 0.009697 0.53 20-24 266 2616 0.47 50-54 2401 8526 0.73 0. 999235 95888 479129 7348830 76.000954 0.92 5-9 280 1438 0.18 45.90 9.4460 55158 24598 55158 0.13 1.73 1.6109 1844 1127 92056 0.5847 9911 5795 81825 0.87 1-4 292 3249 0.77 1.999392 95764 478631 6869701 71.81 55-59 6534 10695 0.112525 0.71 13.19 78.0083 3596 30 100000 0.98 80-+ 24809 55632 0.41 1.1624 109 18 95673 0.998143 95244 475659 4958689 52.91 10-14 314 1472 0.30 75-79 10684 19500 0.003570 0.005355 0.6260 3039 1902 90212 0.987267 91334 450994 2138889 23.976408 89063 435449 1687896 18.27 1.023592 0.00 26.947847 85116 406685 1252447 14.1946 91 18 95837 0.002085 0.43 1.286963 63822 492313 492313 7.887475 77558 353449 845762 10.44 1.002772 0.90 45-49 3755 6629 0.7: México: Tabla de decremento múltiple.92 1.997915 95020 474400 4483030 47.54 .06 50.6228 5348 3331 87173 0.94 138 30-34 1043 3284 0.2132 74 16 95747 0.994645 96433 383988 7732817 80.998580 95582 477525 5912894 61.994674 93751 466418 3065683 32. Cuadro 7.052153 0.4954 519 257 94606 0.93 35-39 1674 4123 0.999046 95689 478176 6391070 66.5665 773 438 94087 0.89 1.72 60-64 8639 13801 0.85 1.79 64.92 40-44 2541 5129 0.94 15-19 372 2291 0.997228 94740 472709 4008629 42.0898 567 51 96404 0.80 1.035668 0.2285 204 47 95401 0.5479 16756 9180 71914 0.26 1.65 65-69 10296 16532 0.012733 0.70 30.86 59.51 70-74 10862 18579 0.4059 333 135 94938 0.1729 164 28 95564 0.000608 0.64 74. tres causas principales.001857 0.30 76.713037 0.71 7.94 25-29 668 2922 0.28 1.001420 0.001650 0.000765 0.62 1.48 35.31 40.96 55.92 0.74 69.992158 92816 460375 2599265 28.17 0.964332 100000 97622 7830440 78.005326 0.02 1. 2000 𝐷𝑖 Edad 𝐷𝑖 𝐷 𝐷 𝑑 𝑑𝑖 𝑙𝑥 𝑛 𝑞 𝑥𝑖 𝑛 𝑃𝑥𝑖 𝑙𝑥 𝑖 𝐿𝑥𝑖 𝑇𝑥𝑖 𝑒𝑥𝑖 𝑒𝑥 Ganancias tabla 0 139 16835 0.3176 259 82 95197 0.95 17.86 50-54 5169 8526 0. mujeres.998350 95428 476680 5435369 56.6062 1257 762 93313 0.94 20-24 452 2616 0.996430 94344 470237 3535920 37.007842 0.42 21.41 1. 949767 87673 426167 1582951 18.70 20-24 119 2616 0.1404 1844 259 92056 0.97 13.02 0.002532 0.1273 1257 160 93313 0.92 0.22 .028148 0.0058 3596 21 100000 0.0230 91 2 95837 0.83 50.982757 92215 456709 2485014 26.68 55-59 1502 10695 0.1668 3039 507 90212 0.0891 333 30 94938 0.815961 73864 331358 765139 10.964244 100000 97616 7710291 77.80 0.000928 0.097292 0.0694 259 18 95197 0.72 55.995037 94635 471928 3889813 41.62 59.0457 164 7 95564 0.69 45-49 729 6629 0.69 50-54 1085 8526 0.2314 16756 3878 71914 0.55 64.65 65-69 3073 16532 0.001638 0.92 0.70 40-44 490 5129 0.44 0.06 17.95 26.996804 94956 473976 4363790 45.70 139 30-34 228 3284 0.837980 0.007316 0.42 21. enfermedades del corazón.56 75-79 4513 19500 0.89 0.69 10-14 38 1472 0.1859 5348 994 87173 0.971852 90469 445353 2028304 22.31 35.70 35-39 367 4123 0.003196 0.13 0.001100 0.184039 0.67 1-4 54 3 249 0.10 76.011767 0. mujeres.902708 82794 391645 1156784 13.0539 204 11 95401 0.57 30.43 0.95 78.017243 0.998362 95568 477438 5793176 60.68 5-9 33 1438 0.004963 0.162020 58679 433781 433781 7.70 15-19 78 2291 0.41 0.27 0.050233 0.77 0.998900 95675 478107 6271283 65.999247 95748 478558 6749841 70.70 25-29 158 2922 0.0167 567 9 96404 0.000753 0.999072 95846 478986 7228827 75.1099 773 85 94087 0.994216 96424 383848 7612675 78.2789 55158 15381 55158 0.2068 9911 2050 81825 0.002023 0.0259 74 2 95747 0.0342 109 4 95673 0.035756 0.10 40.39 7. 2000 𝐷𝑖 Edad 𝐷𝑖 𝐷 𝐷 𝑑 𝑑𝑖 𝑙𝑥 𝑛 𝑞 𝑥𝑖 𝑛 𝑃𝑥𝑖 𝑙𝑥 𝑖 𝐿𝑥𝑖 𝑇𝑥𝑖 𝑒𝑥𝑖 𝑒𝑥 Ganancias tabla 0 97 16835 0.41 0.67 60-64 2302 13801 0.73 0.005784 0.42 74.8: México: Tablas de decremento.50 69.62 0.0955 519 50 94606 0.96 45. Cuadro 7.17 0.997977 95407 476539 5315738 55.988233 93399 464034 2949048 31.26 0.36 9.62 70-74 3842 18579 0.997468 95208 475410 4839200 50.44 80-+ 15513 55632 0.28 0.992684 94136 468838 3417886 36.85 0. 85 40-44 8166 10448 0.30 1.999481 94610 472276 4587263 48.93 25-29 7619 8429 0.58 55-59 8361 14926 0.27 1.35 51.000470 0.98 80-+ 26749 45645 0.8471 517 438 93936 0.8468 135 114 95216 0.03 11.04 1-4 3463 3748 0.7816 822 642 93420 0. hombres.8984 190 171 95081 0.52 .9142 254 232 94891 0.79 1.75 15.160741 0.45 1.001160 0.64 10-14 1918 2265 0.07 32.000274 0.839259 65590 289706 635130 9.55 74.95 23.15 61.40 1.000230 0.53 72.999530 99973 386835 7352611 73.9: México: Tabla de decrementos múltiples.9038 289 261 94638 0.017840 0.6224 2273 1415 91262 0.968452 87401 425317 1810812 20.000203 0.8815 412 363 94349 0.998840 93240 464326 3176854 34.24 75-79 10911 21639 0.32 1.999726 100000 99982 7452593 74.8295 130 108 95347 0.982160 90397 444496 2255309 24.990523 92491 457219 2712528 29.999797 95195 475642 6011431 63.55 60-64 8607 17200 0.89 35-39 8391 9906 0.5004 5310 2657 85420 0.00 1.4830 12292 5937 72217 0.60 1.999783 95325 476300 6487731 68.999157 94300 470392 4114988 43.000843 0.19 1.999770 95062 474827 5535789 58.37 70-74 10137 20987 0.82 45-49 8235 11522 0.87 6.5860 41964 24592 41964 0.90 140 30-34 7747 8788 0.75 1.999767 95893 478044 6965776 72.091767 0.000233 0.68 8.23 56.5042 17961 9056 59925 0.9239 59 1 546 95938 0.009477 0. Cuadro 7.70 0.38 1.64 71.9934 4062 4035 100000 0.35 0.00 5-9 1690 2037 0.33 27.585557 0.947643 82725 396602 1385496 16.83 37.000217 0.64 41.000519 0.052357 0.998071 93857 467741 3644595 38.10 1.031548 0.908233 75916 353764 988894 13.7147 376 269 92598 0.96 15-19 4614 5136 0.55 -1.000294 0.49 2.49 46.72 19.45 65-69 9443 19624 0.2000 𝐷𝑖 Edad 𝐷𝑖 𝐷 𝐷 𝑑 𝑑𝑖 𝑙𝑥 𝑛 𝑞 𝑥𝑖 𝑛 𝑃𝑥𝑖 𝑙𝑥 𝑖 𝐿𝑥𝑖 𝑇𝑥𝑖 𝑒𝑥𝑖 𝑒𝑥 Ganancias tabla 0 21776 21921 0.5602 3569 1999 88989 0. resto de causas.06 66.75 50-54 7873 12648 0.4812 7893 3798 80110 0.414443 50293 345424 345424 6.96 20-24 6794 7431 0.999706 94869 473698 5060962 53.01 1.001929 0.79 1. 62 1.54 50.002722 0.000296 0.978766 90924 448052 2096466 23.87 80-+ 30824 55632 0.42 141 30-34 2242 3284 0.06 21.383196 62220 473726 473726 7. resto de causas.999704 95655 477978 5869680 61.991807 93648 465492 3020640 32.00 35.5942 333 198 94938 0.43 1.84 74.46 20-24 2166 2616 0.961322 88296 430244 1648414 18.40 40-44 2588 5129 0.987708 92549 458682 2555149 27.999816 9573 478467 6348146 66.7873 74 58 95747 0.4150 9911 4114 81825 0.3736 3039 1135 90212 0.36 59.134801 0.927321 83801 399198 1218170 14.997278 94803 472878 3963510 41.8383 109 91 95673 0.11 10-14 1159 1472 0.31 64.999836 95819 478876 6827023 71.17 0.3887 1844 717 92056 0.45 15-19 1920 2291 0.001425 0.33 60-64 5156 13801 0.77 1.37 55-59 4158 10695 0.98 78.000525 0.26 1.79 9.29 65-69 6230 16532 0.44 1.616804 0.008193 0.999475 99973 388310 7695764 76. 2000 𝐷𝑖 Edad 𝐷𝑖 𝐷 𝐷 𝑑 𝑑𝑖 𝑙𝑥 𝑛 𝑞 𝑥𝑖 𝑛 𝑃𝑥𝑖 𝑙𝑥 𝑖 𝐿𝑥𝑖 𝑇𝑥𝑖 𝑒𝑥𝑖 𝑒𝑥 Ganancias tabla 0 16713 16835 0.41 1.000184 0.40 45-49 2872 6629 0.998575 95115 474794 4438304 46.000266 0.92 0.44 55.27 -1.004664 0.7720 204 157 95401 0.73 1.995336 94348 469992 3490632 37.23 70-74 7711 18579 0.61 7.92 1.29 5-9 1159 1438 0.4519 16756 7572 71914 0.61 26.5045 519 262 94606 0. mujeres.4333 773 335 94087 0.38 50-54 3355 8526 0.999136 95354 476173 4914477 51.80 1.53 1-4 2960 3249 0.28 1.000488 0.44 25-29 2256 2922 0.41 1.5541 55158 30562 55158 0.81 40.26 30.038678 0.072679 0.021234 0.67 17.44 .012292 0.000864 0.999512 95536 477225 5391702 56.85 1.9927 3596 3570 100000 0.66 45.6828 259 177 95197 0.10: México: Tabla de decremento múltiple.8060 91 73 95837 0.02 1.8278 164 136 95564 0.999816 96353 480432 7307455 75.96 76.54 13.25 69.41 35-39 2450 4123 0.13 75-79 8813 19500 0.3934 1257 495 93313 0.000184 0.999734 100000 99982 7795747 77. Cuadro 7.3768 5348 2015 87173 0.89 1.000164 0.9110 567 517 96404 0.13 1.865199 75878 345245 818971 10. Mortalidad Mortalidad tal (2) neonatal 1 − 4 años < 5 años (3) Ambos Mujeres Hombres Ambos Ambos Ambos Ambos sexos sexos sexos sexos sexos 67 − 71 84.7 20.7 82 − 87 46. Infantil (1) M.0 20.2 100.2 22.7 88 − 92 36. Inc. 1988.3 35.0 4.2 11.5 36.2 19.0 HOMBRES 0−4 49. Año 21.0 20 − 59 7.1 22.5 22.0 39.5 26.0 5.5 70. Encuesta Nacional sobre Fecundidad y Salud.4 35. SSA Institute for Resource Development-Macro Systems. No 42.4 19.3 60 y más 57.0 9.8 80.2 23. Boletı́n Demográfico.8 46.2 33.7 100.1 2.5 43. Cuadro 7.Columbia.1 25.0 8.9 5.3 52. M.9 87.5 60 y más 52.2 50.6 62.5 60.1 93 − 97 27. Pos.4 33.9 16.5 1.8 47.8 20 − 59 9.2 6.11: Tasas de Mortalidad Infantil y en la niñez.9 23.6 6.9 45.1 6.1 34.9 43.8 14.1 27..0 29.4 100.0 8.3 29.5 7.1 19.7 5 − 19 3.5 39.8 43. 1950 − 2000 Edad 1950 − 1955 1970 − 1975 1985 − 1990 1995 − 2000 Tasa % Tasa % Tasa % Tasa % MUJERES 0−4 46.3 100.2 7.3 72 − 76 70.0 8. y cálculos propios.8 10.4 115.1 25.2 Todas 16. julio de 1989 Cuadro 7.9 100. USA/DHS.3 47.3 5.12: México: Evolución de la mortalidad.1 16. Neona.0 2.0 100.2 0.8 53.5 5 − 19 3.9 12.5 25.2 48.6 31.4 37.2 100.4 77 − 81 66.6 1.0 5. 1967 − 1997 (por mil nacidos vivos) Periodo M. 142 .7 100.8 1.8 91.2 23.0 Fuentes: CELADE.5 4.6 4. Dirección General de Planificación Familiar.0 Todas 15.8 33.1 24.3 0.1 Fuentes: Secretarı́a de Salud.7 81. México.7 45.4 33.7 82.2 18.9 4. 1987. Maryland.7 45.9 0.5 4.0 6.8 23.2 34.9 5.5 33.3 12.0 31.4 26. México.2 16.6 10.9 40. Santiago de Chile.2 59. 8 54.0 43.7 Fuente: cálculos propios 143 .6 42.2 Enfermedades del corazón 54.67 11.7 Todas las demás causas 196.0 41.0 43.2 44.5 7.8 8. legal y operaciones de guerra 31.98 8.6 Tumores malignos 35.4 4.2 27.5 100 362.9 21. Cuadro 7.2 21.9 161.0 46.4 5.1 3.022 0.13: México: Principales causas de muerte.1 6.6 3..8 100.8 Homicidio.6 28.2 Infección intestinal por organismos especı́f. 2000 (tasas por cien mil) Causas Hombres Mujeres Tasa % Tasa % Total ( %) Todas las causas 482. y la mal 29.0 57.6 48.4 44.5 50. interv.4 definida Diabetes Mellitus 21.8 Total causas definidas 467.87 6.1 15.6 56.1 6.2 4.33 5.4 Accidentes 76.0 39.73 7.1 11.3 21.5 100 378 100.09 15.1 Influenza y neumonı́a 24.1 Causas mal definidas 15.0 16. 144 . es decir. están constituidos por dos generaciones. 145 . representándolo en un diagrama de Lexis. aunque también. entonces la mitad de ellas pertenece a una generación y la otra mitad a la otra. las defunciones edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑙 exacta. bajo la misma hipótesis se puede decir que la mitad de las defunciones ocurrieron en la primera mitad de! año y la otra mitad en la segunda mitad de él. la nacida en el año (𝑡 − 𝑥) y (𝑡 − (𝑥 − 1)). representándolo en un diagrama de Lexis.Anexo 1 Para un año dada 𝑡. Si aplicamos la hipótesis de distribución lineal o uniforme de las defunciones. 𝑥 años cumplidos. lo que quiere decir que en los años anteriores y posteriores se tendrán los mismos efectos tanto de personas vivas como muertos. respectivamente) es necesario suponer estabilidad en el fenómeno mortalidad en el grupo de edad considerado. la analogı́a vı́a diagramas de Lexis seria: Sin embargo para poner los años-persona o a la población al 30 de Junio del año 𝑡 en función de los parámetros 𝑁𝑥 y 𝑁𝑥+5 (población viva a edad 𝑥 y 𝑥 + 5 exactas. Si tuviéramos no una edad individual sino un grupo quinquenal de edades.De esta manera los años persona se pueden asociar a la poblaci6n viva a edad cumplida x (es decir entre las edades exactas 𝑋 y 𝑋 + 1) al 30 de Junio del año 𝑡. ilustrando lo anterior en un diagrama de Lexis tendremos: 146 . 147 . 148 . .𝑥+10 + . para el primer grupo. ⇒ 𝑡𝑥 = (7. 2 Esto se hace con fines didácticos.) + 2.𝑥+10 + 𝑑𝑥+10.5𝑙𝑥 + 5𝑙𝑥+5 + 5𝑙𝑥+10 + 5𝑙𝑥+15 + . .10) 𝑙𝑥 𝑥(𝑑𝑥. .𝑥+5 + 𝑑𝑥+5.𝑥+10 + (𝑥 + 12. hay que emplear los factores de separación.5𝑑5𝑖 .5)𝑑𝑥+5.16) 𝑙𝑥 (7.11) 𝑙𝑥 𝑥𝑙𝑥 + 2. 149 . ⇒ 𝑡𝑥 = (7. . 𝑡𝑥 = (7. . .5(𝑙𝑥+5 − 𝑙𝑥+10 ) + .𝑥+15 + .14) 𝑙𝑥 5 𝐿𝑥 +5 𝐿𝑥+5 +5 𝐿𝑥+10 + .5𝑑𝑥. ⇒ 𝑡𝑥 = 𝑥+ (7.5𝑑𝑥+5. .17) Por lo tanto la edad media a la muerte.5)𝑑𝑥.𝑥+5 + (𝑥 + 7.5)𝑑𝑥+15. . .15) 𝑙𝑥 𝑇𝑥 ⇒ 𝑡𝑥 = 𝑥+ = 𝑥 + 𝑒𝑜𝑥 (7.𝑥+5 + 7.5(𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+5 ) + 7. es igual a la esperanza de vida a edad exacta x más dicha edad. Desarrollando el valor de 𝑡𝑥 se tiene: (𝑥 + 2. . ⇒ 𝑡𝑥 = 𝑥+ 2 (7. .13) 𝑙𝑥 5 (𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+5 ) + 52 (𝑙𝑥+5 + 𝑙𝑥+10 ) + 52 (𝑙𝑥+10 + 𝑙𝑥+15 ) + . . de personas de edad exacta x. .5)𝑑𝑥+10.Anexo 2 La duración o calendario a edad 𝑥.12) 𝑙𝑥 𝑙𝑥 + 2.5𝑖 +5 𝑡𝑥 = ∑ 𝑥5 (7. para el caso de mortalidad se define como: ∑ 𝑥5 𝑖= 𝑥5 5𝑖 + 2. . Se supone que la distribución de las muertes es uniforme2 .𝑥+15 + (𝑥 + 17.5𝑖 +5 y representa la edad media en que una persona de edad x muere.𝑥+20 + . ⇒ 𝑡𝑥 = 𝑥+ (7.9) 𝑖= 𝑥5 𝑑5𝑖 . 150 . 𝑥+4 Población censal en el año 𝑡 + 10. Supongamos que tenemos las estructuras por grupos quinquenales de edad. con edades cumplidas entre 𝑥 y 𝑥 + 4 años. 𝑡+10 5 𝐿𝑥 Años-persona vividos de la población de la tabla de mortalidad elaborada para el año censal 𝑡 + 10. existente entre dos censos nacionales sucesivos. con edades cumplidas entre 𝑥 y 𝑥 + 4 años. de personas en edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 4 o exactas 𝑥. evaluada. 𝑥 + 5 años. y en el denominador las personas que en el año censal 𝑡. Ası́. corregida y proyectada al 30 de Junio de dicho año censal. evaluada.06. Además que las probabilidades obtenidas de tabla realmente reflejan los niveles que en esos diez años han prevalecidos en la población estudiada.𝑥+4 𝑡 (7.𝑥+4 sobrevivan al año 𝑡 + 10 es 5𝑥+10 𝐿𝑡𝑥 ya que en el numerador de esta probabilidad están la personas de la tabla de mortalidad que en el año censal 𝑡 + 10 tenı́an entre 𝑥 + 10 y 𝑥 + 14 años cumplidos.𝑡 𝑃𝑥. Otro supuesto es el que las tablas de mortalidad reflejen sustancialmente el impacto de la mortalidad de los nativos como de los no nativos de la población analizada. con edades cumplidas 𝑥 + 10. 30. al 30 de Junio del año de los dos censos sucesivos.18) 5 𝐿𝑥 lo que representa a la población que de no haber movimientos migratorios se tendrı́a en el año 𝑡 + 10. corregida y proyectada al 30 de Junio de dicho año censal. los que denotamos. 𝑥 + 5 años.06. una estimación de la población 𝑃ˆ𝑥+10. en la tabla de mortalidad tenı́an entre 𝑥 y 𝑥 + 14 años cumplidos.06. es decir.Anexo 3 Una de las más importantes aplicaciones de la tabla de mortalidad es la estimación de la migración interna por grupos quinquenales de edad. empleando la metodologı́a que aquı́ se ha presentado. 𝑥 + 14 años. de personas en edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 4 o exactas 𝑥. se tiene: 151 . Supóngase que se tienen construidas las tablas de mortalidad para los dos años censales (𝑡 y 𝑡 + 10). Ilustrando lo anterior en un diagrama de Lexis. 𝑡+10 30.𝑡 5𝐿 Nótese que la probabilidad de que las personas 𝑃𝑥. Dicha población ya ha sido evaluada y corregida.𝑡+10 𝑃𝑥. que no haya diferencial en el impacto de la mortalidad en ambas poblaciones.𝑥+14 𝑡+10 será: 𝑡+10 30. De esas tablas tomamos la serie de los años-persona vividos.𝑡 5 𝐿𝑥+10 𝑃𝑥.06.𝑥+4 Población censal en el año 𝑡. La notación de ambas estructuras es: 30. 𝑡 5 𝐿𝑥Años-persona vividos de la población de la tabla de mortalidad elaborada para el año censal 𝑡. 06.𝑥+𝑙4 ).𝑥+14 Por lo tanto.𝑥+14 (7.𝑡+10 𝑃𝑥+10.𝑡+10 30.𝑥+4 𝑡 − 𝐸𝑥.𝑥+14 +𝐼𝑥.𝑡+10 Sustituyendo los valores de 𝑃ˆ𝑥+10.𝑡+10 años cumplidos entre los dos años censales y que modifican el efectivo 𝑃𝑥+10. 30.𝑥+14 como el saldo neto migratorio entre personas de edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 14 años (𝑀𝑥.𝑡+10 Se define a la diferencia 𝐸𝑥.06.𝑡+10 𝐼𝑥.06.06. 152 .𝑥+14 + 𝑀𝑥.𝑥+14 Inmigrantes que se incorporaron entre las edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 14 en los diez 30.𝑡 5 𝐿𝑥+10 𝑡.𝑥+14 𝑡.𝑥+𝑙4 se obtiene: 30.06.06.𝑥+14 + 𝐼𝑥. 30. también están expuestos a salir de su entidad (emigrar) o a que se incorporen personas de esas edades a la entidad (inmigrantes).19) 5 𝐿𝑥 𝑡.20) lo que nos da una adecuada estimación de la migración interna (saldos netos migratorios) entre la población comprendidas en las edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 14 años en los diez años (entre el 30 de Junio del año 𝑡 y el 30 de Junio del año 𝑡 + 10).𝑡+10 𝐸𝑥.𝑥+14 y 𝑀𝑥.𝑡 Debido a que además de estar expuestos a morir los 𝑃𝑥.06.06.𝑡+10 𝑃𝑥+10.𝑥+4 Emigrantes entre las edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 14 en los dos años cumplidos y que 30.𝑥+14 = 𝑃𝑥.𝑡+10 𝑡. Denotemos a los emigrantes e inmigrantes de la siguiente manera: 𝑡. se tiene que: 𝑡+10 30.𝑡+10 30.𝑡+10 modifican el efectivo 𝑃𝑥+10.𝑥+14 = 𝑃ˆ𝑥+10.𝑥+14 (7.𝑡+10 𝑡.𝑥+4 en los siguientes diez años. 𝑥+14 y 𝑀𝑥. prospectivo y retrospectivo. por lo que se toma como saldo neto migratorio el promedio aritmético de ellos.06.𝑥+14 𝑡+10 + 𝐸𝑥.26) 2 153 . es decir: ′ 𝑀𝑥.06.𝑡 ′ 𝑃𝑥.𝑡+10 5 𝐿𝑥 𝑃ˆ𝑥.𝑥+14 con el que aquı́ se obtiene.𝑥+4 = 𝑃𝑥+10.25) ′ De cumplirse todas las hipótesis antes señaladas. la forma de cálculo.𝑡 30.𝑡+10 5 𝐿𝑥 𝑡.𝑥+14 + 𝑀𝑥.𝑡+10 𝑡.𝑡 30.𝑥+14 𝑀 ∗𝑥.𝑥+4 − 𝐼𝑥.𝑥+𝑙4 se obtiene.𝑥+4 = 𝑃𝑥+10. aquı́ lo denotaremos con 𝑀𝑥.06.𝑥+14 (7.𝑥+14 𝑡+10 (7.𝑡 30.06. El primero se le nombra como prospectivo y el segundo como retrospectivo. ′ En la Práctica difieren 𝑀𝑥.𝑥+4 (7.06.𝑡+10 𝑀𝑥.𝑥+14 = 𝐼𝑥.21) 5 𝐿𝑥+10 ′ Para diferenciar el 𝑀𝑥.06.𝑥+14 = 𝑃ˆ𝑥.𝑥+14 − 𝐸𝑥.𝑡+10 Nótese que si ahora estimáremos a la población 𝑃𝑥+10. es decir.𝑥+4 = 𝑃ˆ𝑥.𝑡 30.𝑥+14 = (7.24) ′ Y despejando 𝑀𝑥.23) 5 𝐿𝑥+10 y ′ 𝑡.𝑡 𝑀𝑥.06. 𝑀𝑥. aunque en general de manera mı́nima.𝑡 30. 30.𝑥+14 (7.06. del saldo neto migratorio por grupos de edades cumplidas arrojan los mismos resultados.𝑥+4 a partir de la población 𝑃𝑥+10.22) donde: 𝑡 30.𝑥+14 .𝑡+10 𝑡.𝑥+4 + 𝑀𝑥.𝑥+4 − 𝑃𝑥.𝑥+14 .06.𝑥+14 se tendrı́a: 𝑡 30.𝑥+14 = 𝑀𝑥.𝑥+4 (7.06.𝑥+14 . Por tanto: 30. el saldo neto migratorio retrospectivo: ′ 30.𝑡+10 𝑃𝑥. 154 . 𝑥 cumplida 𝑥. o entre las edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 𝑙. 2. 155 . se podrı́an calcular. tomadas de la tabla de mortalidad calculada para el año censal 𝑡.𝑥 = 𝑃𝑥𝑡 − 𝑁 𝑅𝑡−𝑥 𝑡 (7. 𝑡 1 𝐿𝑥 Años-persona a edad cumplida 𝑥.28) 𝑙0 𝑡 𝑜 1 𝐿𝑥 ⇒ 𝑀0. tomados de la tabla de mortalidad construida para el año censal 𝑡.29) 𝑙0 de donde 𝑡 1 𝐿𝑥 𝑁 𝑅𝑡−𝑥 = 𝑃ˆ𝑥𝑡 (7. los saldos netos migratorios para los grupos individuales de edad cero a cuatro años cumplidos y naturalmente para el grupo quinquenal de edad cero a cuatro años cumplidos. Entonces la relación de los valores antes definidos es: 𝑡 1 𝐿𝑥 𝑃𝑥𝑡 = 𝑁 𝑅𝑡−𝑥 𝑜 + 𝑀0.𝑥 para 𝑥 = 0.𝑥 (7. empleando la tabla de mortalidad. Siguiendo con la notación empleada en la aplicación del anexo 3. 𝑙𝑥𝑡 Los supervivientes a edad exacta 𝑥. 1. involucrados en esta aplicación. tanto teóricos como observados.27) 𝑙0 𝑃𝑥𝑡 Es la población censada evaluada y corregida en el año 𝑡 al final del año. 𝑜 Es el saldo neto migratorio prospectivo de personas entre su nacimiento y la edad 𝑀0.Anexo 4 De tenerse un correcto registro de los nacimientos. se presenta a continuación el diagrama de Lexis en donde se señalan los valores.30) 𝑙0𝑡 Con el fin de ilustrar la aplicación. a partir del nacimiento. se tiene: 𝑡 1 𝐿𝑥 𝑃𝑥𝑡 = 𝑁 𝑅𝑡−𝑥 𝑜 + 𝑀0. 4 (7. 3. 𝑁 𝑅𝑡−𝑥 Son los nacimientos registrados en el año 𝑡 − 𝑥 (año censal menos la edad 𝑥 cumplida). 4 − 𝑃ˆ0.Nótese que para el grupo quinquenal 0 − 4 años cumplidos: 4 ∑ 𝑡 𝑡 1 𝐿𝑥 𝑁 𝑅𝑖 𝑥=0 ∑ 𝑡 𝑃0.4 (7.31) 5𝑙0 𝑖=𝑡−4 4 ∑ 𝑡 y ya que 1 𝐿𝑥 =5 𝐿0 .32) 5𝑙0 𝑖=𝑡−4 156 .4 = + 𝑚0.4 = 𝑃0. entonces 𝑥=0 𝑡 𝑡 5 𝐿0 ∑ 𝑡 𝑚0.4 𝑡 (7.4 − 𝑁 𝑅𝑖 𝑡 = 𝑃0. 60. 478081.99860 6272853. . . 65.91150 1622510.49 10 0.99578 7135201.99390 4366131. . . . 96122 7232046.57 15 0.01129 1057. 96845. .Anexo 5 A manera de ejemplo numérico de tabla abreviada de mortalidad se presenta la siguiente tabla: Edad 𝑄(𝑥) 𝐷(𝑥) 𝑀 (𝑥) 𝐼(𝑥) 𝐿(𝑥) 𝑆(𝑥) 𝑇 (𝑥) 𝐸(𝑥) 0 0. 318340. 477412.32 65 0.03290 2990.99586 4840996.74 25 0.00050 95392. 474866. 46.15588 43043.97438 2957666. 50.00024 95774. .11254 8826.00379 361.00772 729.00090 94793.26 40 0.63 20 0.00449 426. 406014. . 6. 478583. .88 30 0. 74.15 80 1. . .00227 93639.42 157 . 472899. 470014.86018 1216495.56 45 0. 19.95 50 0. 15.25443 14689.00120 115.35 60 0. .96143 2499034. .00909 87881. 70. . 251940. . . 36. .00018 95659.79142 846412. 23. .01848 1711.03769 3769.06604 5546. 41. . 9.99686 5317360. . 27.50 55 0. . . . .00090 86. 00190 181.00250 236. 72. 276133.06 35 0.05830 57732.99780 5794772. 12. 383764.00155 94367.00669 90871. 429644. .03892 100000.15 5 0. 55. .00000 43043.94500 2052153.00119 96231.00038 95573. .61 70 0. .04444 3905.99050 3893231.00000 276133. .98514 3423217.16 75 0. 31. 446881. . .03729 69603. .99895 6751437.17055 11871.01366 83976.00475 457.02385 78430. 458632. 476363.32 1 0.00373 92582. . -52291 528073. . 465551.00076 95154. . 370083. 158 . es aquella donde se emplea para estimar la tasa neta de reproducción Antes definimos a las tasas especı́ficas de fecundidad.06. tendrı́a entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 4 años cumplidos. que se define como el número promedio de niñas que una mujer tiene a1 final de su etapa reproductiva.34) 𝑖=1 Ahora. el promedio de hijos que tendrı́a una mujer sin 1 efecto de la variable demográfica mortalidad.𝑡 (7. o en otras palabras. suponemos la estabilidad del fenómeno fecundidad. comúnmente tomados a partir del grupo de edad 15 − 19 años cumplidos hasta el 45 − 49 años cumplidos. Denotemos con 5 𝑓𝑥 a la tasa especı́fica de fecundidad de mujeres entre los 𝑥 y 𝑥 + 4 años cumplidos. en ausencia del fenómeno demográfico mortalidad.- 𝑓 . las tasas especı́ficas que se estiman para calcular la tasa bruta de fecundidad (𝑅) son 5 𝑓15 . .22 % masculino (hecho que en las poblaciones humanas se ha dado históricamente). . de mujeres entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 4 años cumplidos. . las que son especificas por grupos quin- quenales de edad. al término de su dad reproductiva (49 años cumplidos) serı́an: 9 ∑ 5 5 𝑓𝑥𝑖 (7.06.30. con edades declaradas entre los 𝑥 y 𝑥 + 4 años cumplidos. entonces: 55 𝑓𝑥 representa el promedio de hijos que una mujer.33) 𝑃𝑥.4878)5 5 𝑓𝑥𝑖 (7.5 𝑓45 De suponer que la fecundidad captada en el año es representativo para cada una de las edades que forman cada grupo quinquenal de edad y que la variación en las tasas en el tiempo es mı́nima. entonces la tasa bruta de reproducción.30. entonces: 𝑅𝑡 𝑁𝑥.5 𝑓20 . Ası́. Por lo tanto. .𝑥+4 Representa la población femenina al 30 de Junio del año 𝑡.𝑡 𝑃𝑥.𝑥+4 donde 𝑅𝑡 𝑁𝑥.𝑥+4 Representan los nacimientos registrados en el año 𝑡.𝑥+4 5 𝑓𝑥 = 𝑓 .35) 𝑖=1 159 .Anexo 6 Otra aplicación de la tabla de mortalidad. seria: 9 ∑ 𝑅 = (0. de sobrevivir.78 % de los nacimientos son de sexo femenino y 51. si suponemos que 48. 𝑥 + 4 años cumplidos es: 𝑓 5 𝐿𝑥 (7.4878 ∑ 𝑅0 = 5 𝐿5𝑖 5 𝑓5𝑖 (7. previamente calculada. este se define como: 𝛽 5 −5𝑖 ∑ (5𝑖 + 2. definiéndose ası́ la tasa neta de reproducción que será igual al promedio de nacimientos femeninos de mujeres entre los 15 y 49 anos cumplidos. 𝛼 representa la edad inicial de exposición al riesgo del fenómeno demográfico en estudio. 5𝑖 + 5) 𝑖= 𝛼 5 donde: 𝑒5𝑖.4878 ∑ 𝑅0 = 5 𝐿5𝑖 5 𝑓5𝑖 (7. tomados de la tabla de mortalidad femenina. en presencia.5𝑖+5 representan las eventos ocurridos entre las edades exactas 5𝑖 y 5𝑖 + 5. se define algebraicamente cómo: 9 5 ∗ 0.40) 5 −5 ∑ 𝑒(5𝑖. se debe afectar R por él.36) 5𝑙0 donde: 𝑓 5 𝐿𝑥representa a los años persona vividos por mujeres entre los 𝑥 y 𝑥 + 4 años cumplidos. o tomando en consideración la probabilidad de muerte de las madres. 𝑙0 el radix de la tabla de mortalidad femenina previamente calculada. 160 .38) 𝑙0 𝑖=3 Un resultado que con mayor frecuencia se emplea en el cálculo de 𝑅0 es el siguiente: 𝑚 ˆ 𝑅0 = 𝑆 𝑅0 (7.5𝑖+5 𝑖= 𝛼 𝑡ˆ = 5 𝛽 (7. ˆ La edad media a la fecundidad es una duración o calendario.Dado que el supuesto de ausencia de la mortalidad es irreal.5)𝑒5𝑖.39) donde: 𝑚 ˆ 𝑆 𝑅0 representa la probabilidad femenina de sobrevivir del nacimiento a la edad media a la fecundidad (𝑚). Denotando a la tasa neta de reproducción con . La probabilidad de que una mujer sobreviva del nacimiento a los 𝑥.37) 5𝑙0 𝑖=3 o 9 0. 45) 161 . 𝑠(0. En algunas ocasiones. Nótese que la anterior definición de duración o calendario es para el caso discreto y para agru- paciones quinquenales de edad.5). 𝑖 + 1) − 𝑠(0. 𝑖) (7. 𝑖 + 1) − 𝑠(0. basada en la definición general de duración o calendario: 9 ∑ (5𝑖 + 2. la duración o calendario para el fenómeno fecundidad.41) ∑ 𝑒𝑖 𝑖=𝛼 El que se tomó (5𝑖 + 2.44) 𝑖 sea 𝑘 = 𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑠(0. 𝑖)) y (𝑖 + 1. 𝑥) = (𝑥 − 𝑖) + 𝑠(0. 𝛽 representa la edad final de exposición al riesgo del fenómeno demográfico en estudio.5𝑖+5 y respectivamente) se debe al supuesto de distribución uniforme o lineal de dichos eventos. como edades representativas de la edad que en promedio ocurrieron los eventos demográficos 𝑒5𝑖.5)𝑒𝑖 𝑖=𝛼 𝑡ˆ = 𝛽 (7. Para el caso de edades individuales la duración o calendario se calcuları́a empleando la siguiente expresión: 𝛽−1 ∑ (𝑖 + 0.42) ∑ 5 𝑓5𝑖 𝑖=1 De tener una función continua que describiera por edad continua de la mujer su tasa de fecun- didad. denotada por 𝑚ˆ . como es el caso de la fecundidad. entonces la recta que la describe que pasa por los puntos (𝑖. 𝑖)𝑖 (7.5𝑖+5 se timan las frecuencias o tasas especı́ficas del fenómeno demográfico en estudio.5)5 𝑓5𝑖 𝑖=1 𝑚 ˆ = 9 (7. comúnmente llamada edad midió a la fecundidad. 𝑥).43) 𝛼 𝑓 (𝑖) 𝑑𝑖 donde: 𝑓 (𝑖) serı́a la función de fecundidad con 𝛼 = 15 y 𝛽 = 50. Ahora si suponemos que la función que describe a la probabilidad de que una mujer sobreviva del nacimiento a edad 𝑥 exacto. es decir una recta. 𝑠(0. en lugar de tomar los eventos 𝑒5𝑖. 𝑖 + 1)) es: 𝑠(0. 𝑖) 𝑠(0. se estima empleando la siguiente expresión. para grupos quinquenales 𝑒𝑖+0.5 para edades individuales. Ası́. es lineal. la edad media a la fecundidad será estimada de la siguiente manera: ∫𝛽 𝑖 𝑓 (𝑖) 𝑑𝑖 𝑚 ˆ = ∫𝛼𝛽 (7. y la denotamos por 𝑠(0. 4878𝑓 (𝑥)𝑠(0.4878 5 0𝑓 (𝑥)𝑘(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 + 0. 162 .49) 1 y ∫ 𝑅0 = 0.por lo tanto: 𝑠(0. 𝑥) 𝑑𝑥 = 0. obtenemos: 0.4878 55 0𝑓 (𝑥)𝑠(0. 𝑥) 𝑑𝑥 (7. 𝑖) 𝑑𝑥(7.4878𝑓 (𝑥)𝑘(𝑥 − 𝑖) + 0.51) 1 Nos preguntamos si existe un valor de la variable edad 𝑖 tal que: ∫ 0.53) ∫1 ⇔ 55 0𝑓 (𝑥)𝑘(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 = 0 (7.56) ya que 𝑘 = 𝑠(0.52) 1 resolviendo esta última ecuación para 𝑖 tenemos: ∫ 0.46) Multiplicando ambos miembros por 0.48) 1 1 1 Obsérvese que en caso continuo: ∫ 𝑅 = 0.4878 55 0𝑓 (𝑥)𝑠(0.4878 55 0𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 (7.4878 5 0𝑓 (𝑥)𝑠(0. 𝑥) = 𝑘(𝑥 − 𝑖) + 𝑠(0.50) 1 Por lo tanto la última ecuación se reduce a: ∫ 𝑅0 = 0.54) 1 ∫ ⇔ 𝑘 55 0𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 = 0 (7.4878𝑓 (𝑥)𝑠(0. 𝑥) = 0.55) 1 (7. tenemos: ∫ ∫ ∫ 5 5 0.4878 55 0𝑓 (𝑥)𝑘(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 = 0 (7. 𝑖) no depende de 𝑥 y es para toda 𝑖 diferente del valor cero.47) Integrando ambos miembros de la ecuación desde 𝑥 = 15 hasta 𝑥 = 50. 𝑖) (7. 𝑖) (7.4878 55 0𝑓 (𝑥)𝑘(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 + 𝑠(0.4878 55 0𝑓 (𝑥)𝑘(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 = 0 (7.4878𝑓 (𝑥). 𝑖)𝑅 (7. 𝑖 + 1) − 𝑠(0. Por ejemplo si conocemos las tasas especı́ficas de fecundidad 5 𝑓5𝑖 y la edad 𝑚 ˆ entonces: 9 1 𝐿𝑚 ˆ ∑ 𝑅0 = 5 𝑓5𝑖 (7. 163 .4878 55 0𝑓 (𝑥)𝑘(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 = 0 (7.59) 1 ∫ 15 5 0𝑥𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 ⇔ 𝑖 = ∫1 5 (7.60) 1 5 0𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 la que es por definición la edad media a la fecundidad.61) 1 (7. Por lo tanto para 𝑖 = 𝑚 ˆ ∫ 0. estimadas en la tabla abreviada de mortalidad femenina estimada previamente.63) resultado general que se utiliza tanto en el caso discreto como continuo.62) y 𝑅0 = 𝑠(0.67) 5 y 𝑙𝑖+5 − 𝑙𝑖 𝑙𝑚+1 ˆ = ˆ + 1 − 𝑖) + 𝑙𝑖 (𝑚 (7. 𝑙𝑖+5 ) 𝑙𝑥+5 − 𝑙𝑖 𝑙𝑥 = (𝑥 − 𝑖) + 𝑙𝑖 (7. ∫ 𝑘 55 0𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 = 0 (7.58) 1 ∫ ∫ ⇔ 55 0(𝑥𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝑖 55 0𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 (7.68) 5 donde: 𝑙𝑖 y 𝑙𝑖+5 son las mujeres supervivientes a edad exacta 𝑖 e 𝑖 + 5.57) ∫ 1 ⇔ 55 0(𝑥𝑓 (𝑥) − 𝑖𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 = 0 (7. La utilidad de esta última forma de estimar la tasa neta de re producción radica en el hecho de solo estimar una probabilidad de supervivencia a partir de la tabla de mortalidad femenina previamente elaborada. o recta que pasa por los puntos (𝑖.66) 5 por lo tanto: 𝑙𝑖+5 − 𝑙𝑖 𝑙𝑚 ˆ = ˆ − 𝑖) + 𝑙𝑖 (𝑚 (7. 𝑙𝑖 ) y (𝑖 + 5. 𝑚)𝑅 ˆ (7. interpolamos linealmente en dichos valores para obtener 𝑙𝑚 ˆ y 𝑙𝑚+1ˆ empleando la siguiente expresión lineal.64) 𝑙0 𝑖=3 donde: 1 1 𝐿𝑚 ˆ = (𝑙𝑚 ˆ + 𝑙𝑚+1 ˆ ) (7.65) 2 dado que 𝑙𝑚ˆ y 𝑙𝑚+1 ˆ estarán entre dos 𝑙𝑖 conocidas de la tabla de mortalidad femenina. 164 . por estar en función de los supervivientes. de la tabla de mortalidad.74) ¨𝐶 𝑎 𝑥 < ¨𝑅 𝑎𝑥 (7. Por ello.71) 𝑖=0 aplicándose las series de las tablas de vida 𝑙𝑥 y 𝑑𝑥 en el cálculo de 𝐴𝑥 ya que: 𝐶𝑥+𝑡 = 𝑉 𝑥+𝑡+𝑙 𝑑𝑥+𝑡 (7. entonces 𝐴𝐶 𝑅 𝑥 > 𝐴𝑥 (7. Ası́.73) donde: 𝑉 = (1+𝑖)−1 e 𝑖 la tasa de interés. y el denominado subestimado. es sin duda el cálculo de las primas de los seguros. los valores de las defunciones (𝑑𝑥+𝑡 ) y de los supervivientes (𝑙𝑥 ) estarán. si la tabla de mortalidad sobrestima el impacto de ella. el numerador de la prima (𝑃𝑥 ) estará sobrestimado. las primeras sobrestimadas y por ende los segundos subestimados. Nótese que si la tabla de mortalidad esta sobrestimando el impacto de la mortalidad. Como ejemplo tomemos el cálculo de la prima de un seguro ordinario: 𝐴𝑥 𝑃𝑥 = (7.75) si 𝐴𝐶 𝑅 𝑥 − 𝐴𝑥 = 𝑠 (7.76) 165 . ya que esta en función de las defun- ciones.72) 𝑥+𝑡 𝐷𝑥+𝑡 = 𝑉 𝑙𝑥+𝑡 (7.Anexo 7 Una aplicación fundamental en la carrera de aclararı́a.70) 𝑖=0 y 𝑤−𝑥−1 ∑ 𝑎 ¨ = 𝑁𝑥 = 𝐷𝑥+𝑡 (7.69) 𝑎 ¨ donde 𝑤−𝑥−1 ∑ 𝐴𝑥 = 𝑀𝑥 = 𝐶𝑥+𝑡 (7. 78) 𝑝 y ¨𝑅 𝑎 𝑥 −𝑎¨𝐶 𝑥 𝑝 = (7.82) 𝑎 ¨𝑥 siendo el sesgo entre la prima calculada (𝑃𝑥𝐶 ) y la que realmente se debió cobrar por cada peso de suma asegurada (𝑃𝑥𝑅 ).79) 𝐴𝐶𝑥 − 𝐴 𝑅 𝑥 teniendo entonces que 𝐴𝐶𝑥 𝑃𝑥𝑟 = (7.77) entonces ¨𝑅 𝑎𝑥 −𝑎¨𝐶 𝑥 𝑠 = (7.80) ¨𝐴 𝑎 𝑥 𝐴𝐶𝑥 𝑆 = 𝑅 − 𝑅 (7.83) ¨𝑅 𝑎𝑥 ¨𝑅 𝑎𝑥 El que se minimiza al estimar lo mejor posible la tabla de mortalidad asociada a la población asegurada. 166 .y ¨𝑅 𝑎 ¨𝐶 𝑥 −𝑎𝑥 = 𝑝𝑠 (7.81) 𝑎 ¨𝑥 𝑎 ¨𝑥 𝑆 = 𝑃𝑥𝐶 − 𝑅 (7. el siguiente: 𝑠 𝐴𝐶 𝑅 𝑥 − 𝐴𝑥 = (7. 89) en (7. 𝑒(𝑎)𝑜 la esperanza de vida a edad 𝑎 𝑙𝑥 los supervivientes a edad 𝑥 La relación anterior. Nathan.90) 𝑙𝑥 𝑥 𝑥 𝑙(𝑎) ∫ 𝑤∫ 𝑤 1 = 𝑙(𝑡)𝑣(𝑎) 𝑑𝑡 𝑑𝑎 (7.86) en (7. Applied Mathmatical Demography editorial john Wiley and Sons.Anexo 8 Nathan Keyfilz desarrollo el concepto de privación (deprivation) de vida en un individuo.85) 𝑙𝑥 𝑥 𝑥 Demostración: ∫ 𝑤 𝑜 𝑙(𝑡) 𝑒(𝑎) = ! 𝑑𝑡 (7.89) 𝑙(𝑎) sustituyendo (7. es- timándolo a partir de la siguiente expresión3 : −1 𝑤 ∫ 𝐷𝑒𝑝 = 𝑒(𝑎)𝑑𝑙(𝑎) 𝑑𝑎 (7.87) da: 𝑤 𝑤 −1 ∫ ∫ 𝑙(𝑡) 𝐷𝑒𝑝 = 𝑑𝑡𝑑𝑙(𝑎) 𝑑𝑎 (7.87) 𝑙𝑥 𝑥 sustituyendo (7.88) 𝑙𝑥 𝑥 𝑥 𝑙(𝑎) Nótese que: 𝑑𝑙(𝑎) 𝑣(𝑎) = − (7.91) 𝑙𝑥 𝑥 𝑥 3 * Ver: Keyfitz. 1977.86) 𝑥 𝑙(𝑎) −1 𝑤 ∫ ⇒ 𝐷𝑒𝑝 = 𝑒(𝑎)𝑜 𝑑𝑙(𝑎) 𝑑𝑎 (7.88): 1 𝑤 𝑤 −𝑑𝑙(𝑎) ∫ ∫ 𝐷𝑒𝑝 = 𝑙(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑎 (7. señala que es equivalente a: 1 𝑤 𝑤 ∫ ∫ 𝐷𝑒𝑝 = 𝑙(𝑡)𝑣(𝑎)) 𝑑𝑡 𝑑𝑎 (7. 167 . Keyfitz.84) 𝑙𝑥 𝑥 donde: −𝑑𝑙(𝑎) representa a las defunciones de la tabla de vida entre las edades 𝑎 y 𝑑𝑎. 100) 𝑎 𝑎 ∫ 𝑤 ⇒ −𝑙(𝑎) = 𝑝 ln 𝑑 ln 𝑏 + ln 𝑎 𝑙(𝑡) 𝑑𝑡 (7. en revista demografı́a y Economı́a. en revista demografı́a y Economı́a.95) 𝑑𝑡 = 𝑙(𝑡) 𝑑𝑡 ln 𝑑 ln 𝑏 + ln 𝑎 { } (7.97) 𝑑𝑡 𝑙(𝑡) 𝑡 tomando: 𝑑 = 𝑝 𝑑 1 𝑣(𝑡) = − 𝑙(𝑡) = − {𝑝 ln 𝑑 ln 𝑏 + ln 𝑎} (7. Alejandro.101) 𝑎 ∫ 𝑤 𝑙(𝑎) ⇒ 𝑙(𝑡) 𝑑𝑡 = − (7..96) 𝑑 1 = − 𝑑𝑡 ln 𝑑 ln 𝑏 + ln 𝑎 ( ) ⇒ 𝑣(𝑡) = 𝑙(𝑡) (7. Edif. para ello es necesario estimar la función 𝑙(𝑡). México 1982.106) 𝑝 ln 𝑎 + ln 𝑏 ln 𝑑 𝑎 𝑑𝑎 𝑙(𝑥) = − (7. proponiendo a la función de Makeham5 : ∫ 𝑤 1 −𝑙(𝑎) 𝐷𝑒𝑝 = 𝑣(𝑎) 𝑑𝑎 (7. Alejandro. pp.105) 𝑙(𝑥) 𝑎 𝑝 ln 𝑎 + ln 𝑏 ln 𝑑 ∫ 𝑤 1 𝑑 = − 𝑙(𝑎) 𝑑𝑎 (7. para ello es necesario estimar la función 𝑙(𝑡).102) 𝑎 𝑝 ln 𝑑 ln 𝑏 ln 𝑎 Sustituyendo (7.170-219.92) ( ) 𝑑 𝑑 𝑡 𝑡 𝑑 ⇒ 𝑙(𝑡) = 𝑘 𝑎𝑡 𝑏𝑑 + 𝑏𝑑 𝑎𝑡 (7.170-219. Consideraciones sobre modelos de ajuste empleados en la demografı́a matemática. 168 . El colegio de México.99) 𝑎 𝑑𝑡 ∫𝑎 𝑤 ∫ 𝑤 ⇒ 𝑙(𝑡) = 𝑝 ln 𝑑 ln 𝑏 + ln 𝑎 𝑑𝑡 + 𝑙(𝑡) 𝑑𝑡 (7.104): 1 𝑤 𝑤 −𝑑𝑙(𝑎) ∫ ∫ 𝐷𝑒𝑝 = 𝑙(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑎 (7.103) 𝑙𝑥 𝑥 𝑥 𝑙(𝑎) ∫ 𝑤∫ 𝑤 1 = 𝑙(𝑡)𝑣(𝑎) 𝑑𝑡 𝑑𝑎 (7.94) 𝑑 𝑡 { 𝑙(𝑡) = 𝑘𝑎𝑡 𝑏𝑑 (𝑑𝑡 ln 𝑏)(ln 𝑏) + ln 𝑎 } ⇒ (7. Edif.93) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ( 𝑡 𝑡 ) = 𝑘 𝑎𝑡 𝑏𝑑 ∗ 𝑑𝑡 ln 𝑑 ∗ ln 𝑏 + 𝑏𝑑 ∗ 𝑎𝑡 ln 𝑎 (7.104) 𝑙𝑥 𝑥 𝑥 El problema radica en estimar 𝐷𝑒𝑝.El problema radica en estimar 𝐷𝑒𝑝.102) en (7.. proponiendo a la función de Makeham4 : 𝑡 𝑙(𝑡) = 𝑘𝑎𝑡 𝑏𝑑 (7. El colegio de México. 5 Mina Valdés.98) 𝑑𝑡 𝑙(𝑡) ∫ 𝑤 Ası́ ∫ 𝑤 𝑑 𝑙(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑙(𝑡)𝑝 ln 𝑑 ln 𝑏 + ln 𝑎 𝑑𝑡 (7. México 1982. Consideraciones sobre modelos de ajuste empleados en la demografı́a matemática. pp.107) 𝑙(𝑥)(𝑝 ln 𝑎 + ln 𝑏 ln 𝑑) 4 Mina Valdés. Finalmente 1 𝐷𝑒𝑝 = − (7.108) 𝑝 ln 𝑎 + ln 𝑏 ln 𝑑 169 . 170 . en el que se incluye la primera tabla de mortalidad rudimentaria relativa a la población de Londres. Los autores cuyas contribuciones se consideran esenciales en el desarrollo de las tablas de mor- talidad.C. registró la proporción de personas que morı́an de enfermedades infantiles (los cuales serı́an presumiblemente niños).6) Debido a esta aportación.) En 1662. Los registros de mortalidad a los que tuvo acceso Graunt indicaban la causa de la muerte y el sexo de los difuntos pero no su edad. concluyendo que 36 de cada 100 personas morı́an antes de los 6 años. Ası́.Anexo 9 Referencias históricas En Roma aparece una de las mayores contribuciones al nacimiento y consolidación de los seguros: la organización de sociedades de enterramiento como forma rudimentaria de los actuales seguros de vida y enfermedad. En la ley Falcidia (año 40 a.) Elaboró la conocida Tabla de Ulpiano. 171 . Además.C. son: Domitius Uloiano (230 d. Dicha tabla ha sido la más utilizada a lo largo de la historia para calcular las anualidades de rentas vitalicias. Graunt no explica cómo obtuvo las filas intermedias pero Hacking (1995) considera la posible interpolación efectuada entre los 6 y los 76 años siguiendo una ley exponencial tomando como ??= 0.) aparece. trabajo posteriormente reconocido como el precursor de la Estadı́stica Demográfica. es en Roma donde se ubican los antecedentes más importantes del seguro de vida en una norma por la que las viudas de los prestatarios de contratos de préstamos percibı́an una indemnización en forma de renta. por primera vez.047(x . añadiendo la mitad de las que morı́an de enfermedades como sarampión o varicela que afectan tanto a niños como a adultos. Por esto. la función de supervivencia definida por este autor para las edades comprendidas entre 6 y 76 años es lx = 64 e-0.047 (tanto instantáneo de mortalidad constante). Johh Graunt (1662 d. únicamente cinco años después de que Christian Huygens publicara el primer texto escrito sobre Teorı́a de la Probabilidad (De Ratiociniis in Ludo Aede). en la que aparecen reflejadas distintas edades asociadas a la esperanza de vida en años de cada una de ellas. Graunt es conocido como el fundador de la Demografı́a.C. John Graunt pub- licó Observations upon the Bills of Mortality. El último dato de la tabla se lo proporcionó la hipótesis de que nadie sobrevivı́a más de 76 años. el concepto de anualidad. . Markov y Kolmogorov. el factor de los movimientos migratorios (el de máxima importancia) que influyen y modifican seriamente la mortalidad. De Moivre en 1725 fue el primero en calcular una prima de seguros de vida. Los cálculos de Halley fueron. Galileo. Durante los siglos siguientes (XVIII y XIX principalmente) cabe mencionar las aportaciones efectuadas a los estudios de mortalidad de Abraham De Moivre y los eminentes actuarios Gompertz y Makeham en el establecimiento y formulación de las leyes de mortalidad que llevan sus nombres ya comentadas en epı́grafes anteriores. Kepler.. no sólo calculaba primas para distintos tipos de seguros sino también reservas matemáticas. matemático y actuario inglés Edmund Halley quien calculó la órbita del cometa que lleva su nombre. un modelo global aplicable a la sistemati- zación de una compañı́a de seguros de vida para garantizar su existencia y estabilidad. Este siglo XVII se considera enormemente fructı́fero para la Estadı́stica Actuarial debido al desarrollo del cálculo de probabilidades y los avances en esta materia efectuados por: Pascal. Paccioli. hipótesis falsa debido al efecto de los progresos médicos. uno de los intentos más tempranos e importantes en el sentido de que han sido aplicados mucho más en la práctica.. Fermat. higiénicos. fue el primero en construir en 1693 una tabla de mortalidad tal y como hoy en dı́a las conocemos. Se basó en las estadı́sticas mortuorias (número de nacimientos y fallecimientos) de la ciudad alemana de Breslaw en un perı́odo de n años. Laplace.Edmund Halley (1693) El famoso astrónomo. por vez primera. 172 . Bayes. Bernouilli. entre otros. Pos- teriormente redujo los datos obtenidos en n años a un valor por cada perı́odo simplemente efectuando una media aritmética El inconveniente que presenta el planteamiento de este au- tor es que supone la mortalidad constante. Computó el número de personas de edad comprendida entre 0 y 1 año Lo mismo hizo para las personas comprendidas entre 1 y 2 años y ası́ sucesivamente. James Dobson. cincuenta años después. Estableció. después de los de De Wit. HOMBRES 2003 EDAD 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑥 𝑙𝑥 𝐿𝑥 𝑆𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 0 0.00488 465 0.05875 5084 0.00492 476 0.13695 57228 417862 0 417862 7.05 50 0.00235 224 0.02428 83228 392327 0.00265 252 0.87334 1274744 15.0023 220 0.66 60 0.0121 86547 420025 0.00632 91111 448469 0.14: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD.97529 2474581 26.00025 95649 477951 0.51763 547425 8.25 1 0.37 20 0.99011 3413273 36.77878 886496 12.0572 5049 0.89 5 0.52 30 0.0077 89944 441228 0.00098 94528 471483 0.00173 166 0.57 10 0.73 20 0.00095 91 0.02322 2138 0. Cuadro 7.99384 3887876 40.00794 747 0.99881 6853153 71.03744 3744 0.00013 96137 480528 0.9992 6761173 70.75 60 0.99675 4943161 51.01235 1160 0.03552 73836 339071 0.26 40 0.98942 3523025 37.01964 81463 388248 0.00098 95153 474603 0.00036 95844 478782 0.14 55 0.00078 75 0.58 65 0.00149 94688 471678 0.00145 139 0.99752 5419440 56.95 30 0.43 25 0.00306 292 0.00023 95759 478521 0.15469 43833 283362 0 283362 6.99563 4468062 47.00115 110 0.0047 92082 455066 0.01325 1236 0.92434 1694769 19.95605 2014747 22.9818 3054565 32.00029 95983 479567 0.00516 497 0.96591 7724999 77.00159 94066 468460 0.86 45 0.86 80 1 43833 0.00065 62 0.01178 88277 428761 0.99568 7627525 78.99852 6374632 66.16312 12044 0.01 75 0.27 10 0.46 MUJERES 2003 EDAD 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑥 𝑙𝑥 𝐿𝑥 𝑆𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 0 0.03398 100000 97474 0.95195 2135997 23.00061 95445 476494 0.11 65 0.08 35 0.61 35 0.00372 92823 459834 0.99836 5800502 60.00182 175 0.83 25 0.00046 95366 476279 0.96959 2591062 28.09362 7626 0.00123 96687 385482 0.00386 366 0.00016 96211 480870 0.34 1 0.0013 96256 383701 0.91502 1566278 17.99929 7242043 75.73 50 0.00047 95669 477784 0.00035 95531 477242 0.83432 1137517 13.11444 9524 0.65 70 0.03854 100000 97146 0.3 173 .74 70 0.11 80 1 57228 0.45 45 0.96169 7334000 73.99603 4364370 45.33 15 0.03777 3397 0.00745 705 0.00053 95146 475099 0.00019 96074 480143 0.29064 17959 0.99359 3994508 42.22354 16476 0.03313 3313 0.0311 2834 0.00123 118 0.01844 1712 0.99516 7236854 75.3 55 0.67 75 0.9988 6280645 65.00248 93983 467014 0.9973 4842154 50.98462 2941595 31.56075 745190 10.00267 93319 463502 0.00077 94894 473554 0.05033 73703 327328 0.99792 5320936 55.73 40 0.65 15 0.00489 462 0.06801 61792 264063 0.99798 5896681 61.18 5 0. 06723 62371 266979 0.00122 96352 384157 0.01931 81874 390516 0.87 40 0.1362 57872 424898 0 424898 7.6 1 0.00015 96323 481439 0.38 5 0.99801 5343055 55.99764 5442936 56.00018 96194 480752 0.98972 3543254 37.99887 6878622 71.74 10 0.03032 2771 0.00138 132 0.02271 2097 0.03648 3648 0.68 65 0.00024 95778 478608 0.99404 3907817 41 45 0.95282 2152742 23.5 1 0.99688 4965928 52.00292 280 0.2878 17950 0.43 55 0.00074 95055 474395 0.00109 104 0.2206 16380 0.00253 242 0.00051 95297 475880 0.00259 93532 464648 0.99579 4490049 47.00488 470 0.99845 5823260 60.00362 93051 461075 0.00045 95809 478507 0.00059 95594 477272 0.01796 1671 0.03308 100000 97540 0.00073 70 0.0009 87 0.75 75 0.91666 1580621 17.11238 9401 0.17 80 1 57872 0.00219 210 0.01151 88609 430652 0.00028 96107 480205 0.95707 2030591 22.97592 2491666 26.86 50 0.00117 96773 385894 0.035 74333 341759 0.99886 6304013 65.99858 6399471 66.03227 3227 0.99381 4015654 42.82 15 0.18 50 0.09211 7541 0.00044 95506 477008 0.16092 11962 0.91 80 1 44421 0.04959 74252 330310 0.98223 3073781 32.98503 2959746 31.53 20 0.00769 725 0.73 70 0.99538 7262779 75.0577 5013 0.44 10 0.15: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD. Cuadro 7.59 25 0.99933 7266568 75.15382 44421 288793 0 288793 6.99 25 0.00145 94866 472619 0.02381 83652 394761 0.34 174 .99807 5920864 61.99619 4385089 45.59 45 0.4 40 0.00094 94703 472399 0.96687 7750001 77.5 MUJERES 2004 EDAD 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑥 𝑙𝑥 𝐿𝑥 𝑆𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 0 0.78119 897531 12.89 20 0.49 15 0.96275 7359998 73.99587 7652461 79.56262 755208 10.00224 214 0.00022 95882 479151 0.9904 3432365 36.00061 59 0.76 35 0.84 70 0.00371 352 0.03705 3343 0.00616 91379 449970 0.07 75 0.03752 100000 97219 0.08 5 0.99924 6785129 70. HOMBRES 2004 EDAD 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑥 𝑙𝑥 𝐿𝑥 𝑆𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 0 0.87515 1288048 15.00035 95975 479459 0.24 35 0.01201 1131 0.00721 684 0.00094 95315 475452 0.00755 90230 442792 0.00242 94182 468080 0.11 30 0.00012 96253 481116 0.00459 92327 456391 0.00471 449 0.00154 94257 469473 0.67 30 0.00118 113 0.86 60 0.00471 446 0.00033 95665 477928 0.22 65 0.00173 166 0.92561 1709950 19.51962 555772 8.26 55 0.9702 2609133 28.00465 450 0.99742 4863596 50.01188 86887 421902 0.01289 1206 0.83673 1149969 13.78 60 0.05593 4956 0.00166 159 0. 00033 96110 480153 0.00352 93285 462351 0.00102 98 0.99559 7289696 75.23 80 1 58549 0.92693 1725860 19.02951 2705 0.99811 5366092 55.98546 2978717 31.97657 2509543 26.00071 95220 475255 0.74 45 0.00023 95910 479280 0.0002 96008 479796 0.00452 429 0.07 20 0.82 70 0.0566 4938 0.15 75 0.03548 3548 0.05462 4858 0.27 30 0.39 55 0.00115 96452 3 84626 0.99702 4989612 52.99607 7678394 79.92 35 0.01165 87237 423841 0.66 15 0.99403 4037679 42.00209 200 0.00742 701 0.99853 5846953 60.00164 158 0.99775 5467365 57.91836 1595676 17.76 25 0.03138 3138 0.83 75 0.03446 74849 344561 0.13542 58549 432344 0 432344 7.52171 564590 8.92 10 0.0363 3286 0.0011 96862 386318 0.00056 95747 478069 0.83926 1163066 13.97084 2628013 28.21751 16275 0.00449 92577 457751 0.00014 96438 482024 0.00355 338 0.95373 2170262 23.00048 95451 476678 0.99937 7292076 75.99 15 0.56 55 0.99929 6810052 70.87 1 0.96785 7776001 77.11023 9269 0.99069 3452300 36.09053 7451 0.04881 74824 333431 0.98268 3093834 33 50 0.00091 94882 473336 0.02218 2054 0.00043 95952 479248 0.99754 4885938 50.94 70 0.55 40 0.78 65 0.0013 125 0.96384 7386991 73.0014 95048 473583 0.61 10 0.9 60 0.00042 95650 477753 0.76 1 0.28482 17937 0.00213 204 0.15 45 0.99893 6328331 65.00149 94452 470509 0.97 80 1 45039 0.87704 1302020 15.99865 6425275 66.00453 432 0.78371 909150 12.01252 1174 0.99634 4406690 46.00017 96316 481378 0.99003 3564343 37.34 65 0.27 5 0.00698 663 0.01166 1100 0.00242 231 0.02 40 0.00438 424 0.01123 88951 432609 0.99596 4512934 47.00252 93751 465821 0.00235 94385 469174 0.02333 84093 397291 0.00279 267 0.00091 95480 476321 0.58 5 0. 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Cuadro 7.43 176 .00245 93951 466892 0.15206 45619 300003 0 300003 6.00203 195 0.01 1 0.00144 94631 471454 0.58 MUJERES 2006 EDAD 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑥 𝑙𝑥 𝐿𝑥 𝑆𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 0 0.99871 6449196 67.99423 4058151 42.12 1 0.43 30 0.05335 4763 0.46 50 0.99861 5869758 60.13467 59206 439629 0 439629 7.95458 2186619 24.00435 420 0.02169 2013 0.78607 920066 12.00011 96485 482295 0.00097 93 0.01132 1071 0.00156 150 0.7 40 0.00022 96031 479894 0.21451 16168 0.00109 96543 385055 0.00019 96124 480385 0.01219 1145 0.69 55 0.99899 6351729 65.13 50 0.00025 96356 481482 0.04806 75374 336452 0.99097 3471548 36.00413 400 0.99611 4534190 47.92 25 0.00123 119 0.0008 77 0.23 20 0.03561 3233 0.00013 96547 482580 0.99445 3948691 41.00151 145 0.00435 416 0.21 75 0.00068 95371 476039 0.99578 7314636 75.00342 326 0.00439 92806 458996 0.01144 87559 425628 0.00087 95637 477144 0.00436 414 0.91 75 0.02287 84515 399723 0.88 65 0.00016 96433 481971 0.87 20 0.03126 100000 97672 0.98309 3112507 33.9 70 0.00199 191 0.00054 52 0.0003 95927 479272 0.00108 104 0.17: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD.00031 96237 480811 0.01698 1588 0.84171 1175804 13.99821 5388275 55.92815 1740740 19.03457 3457 0.98586 2997052 31.10815 9140 0.00053 95893 478824 0.83 15 0.00228 94578 470212 0.07 35 0.56647 776080 10.96484 7412001 74.01864 82692 395047 0.95914 2063276 22.8788 1315112 15.15648 11787 0.0355 100000 97364 0.87 45 0.02873 2641 0.05559 4868 0.08 60 0.17 40 0.45 65 0. 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Cuadro 7.00144 139 0.97201 2663317 28.69 35 0.55 65 0.02975 2975 0.99903 6954086 72.94 10 0.0001 96588 482817 0.00012 96646 483086 0.13 70 0.96965 7823998 78.00029 96050 479905 0.46 177 .99642 7726266 79.01122 87879 427404 0.58 50 0.99833 5992620 62.99876 6473119 67.99 75 0.00051 50 0.00084 95779 477889 0.21 35 0.00139 94806 472384 0.15433 11699 0.00334 93709 464668 0.99829 5408714 56.99868 5890760 61.00098 97025 387092 0.03044 100000 97732 0.00131 95377 475324 0.32 15 0.99 70 0.00117 113 0.00328 313 0.0041 397 0.35 80 1 59816 0.18: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD.00429 93032 460226 0. 13333 60405 453060 0 453060 7.00042 95850 478743 0.00014 96639 483021 0.00049 47 0.98659 3030287 31.00674 640 0.97253 2678980 28.96669 7458998 74.00017 96336 481473 0.15242 11619 0.00072 69 0.12 5 0.52734 588890 9.04669 76369 341936 0.46 1 0.01156 1090 0.10439 8901 0.09 10 0.05368 4733 0.72 30 0.0037 359 0.00185 178 0. Cuadro 7.00212 203 0.99909 6393892 66.06 70 0.44 40 0.00135 94958 473191 0.00325 93900 465713 0.35 35 0.13 15 0.00098 96713 385850 0.47 15 0.98386 3147844 33.06423 64608 278343 0.93 55 0.99086 3621035 38.20903 15964 0.9946 4096793 42.84617 1199094 14.0001 96686 483311 0.15048 46730 310547 0 310547 6.00405 386 0.19: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD.65 65 0.5 178 .00099 95 0.00063 95647 477480 0.00216 94918 472045 0.00554 92385 455611 0.97831 2558242 27.99147 3506392 36.00081 95913 478592 0.29 60 0.53 20 0.06 75 0.00081 95345 475758 0.21 25 0.0039 377 0.11 80 1 46730 0.96096 2092530 22.56989 794996 10.00049 96148 480152 0.99874 5910872 61.88213 1340104 16.34 75 0.01048 89859 437824 0.41 80 1 60405 0.62 25 0.97046 7845999 78.00028 96157 480454 0.13 45 0.24 60 0.05107 4589 0.00028 96462 481971 0.65 MUJERES 2008 EDAD 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑥 𝑙𝑥 𝐿𝑥 𝑆𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 0 0.41 10 0.99881 6494182 67.00141 136 0.99657 7748210 79.59 1 0.27672 17878 0.00138 133 0.27 30 0.00233 94318 468864 0. HOMBRES 2008 EDAD 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑥 𝑙𝑥 𝐿𝑥 𝑆𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 0 0.00634 606 0.93046 1769063 20.00698 91291 448622 0.55 45 0.01804 83426 399130 0.99675 4465136 46.00037 96326 481185 0.00087 84 0.71 50 0.00111 107 0.99947 7360769 76.97 40 0.99907 6975655 72.95617 2217685 24.0863 7199 0.02078 1937 0.00093 97099 387442 0.99785 4946321 51.9994 6877203 71.02734 2526 0.02966 100000 97789 0.99639 4574273 47.74 55 0.79056 940974 12.02203 85270 404098 0.22 70 0.82 35 0.03431 3133 0.00127 95524 476105 0.0042 93228 461296 0.99837 5428292 56.00245 235 0.37 50 0.01073 1018 0.0002 96253 481025 0.16 20 0.03287 3287 0.9948 3984984 41.00011 96740 483566 0.99804 5532703 57.00181 174 0.99613 7361504 76.01103 88158 428959 0.9984 6013157 62.00316 302 0.07 65 0.00022 96570 482580 0.00057 55 0.99736 5053017 52.8 5 0.92297 1636918 18.03371 100000 97494 0.02901 2901 0.01613 1515 0.00036 96024 479686 0.00405 389 0.033 76226 352084 0. 00131 95108 473987 0.13273 60947 459206 0 459206 7.30 70 0.99628 7383445 76.015755 1482 0.1 40 0.0037 358 0.050055 4511 0.84818 1209644 14.026725 2475 0.14973 47258 315622 0 315622 6.00089 97167 387757 0.62 15 0.03371 3085 0.00027 96263 480996 0.40 30 0.05279 4668 0.96 35 0.99847 6033712 62.56 40 0.99913 6412656 66.01027 90114 439295 0.99687 4481931 46.20: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD.96754 7480999 74.57142 803604 10.20656 15866 0.010465 995 0.00203 195 0.99950 7380404 76.96177 2105697 22.00036 96430 481720 0.00654 622 0.00318 94071 466649 0.95692 2232376 24.00061 95774 478140 0.14 70 0.01127 1065 0.00082 79 0.93154 1782486 20.03255 76647 354397 0.00173 167 0.86 30 0.03288 100000 97554 0.06355 65111 280924 0.68 20 0.98691 3045185 32.006165 590 0.028335 2834 0.99943 6896409 71.00391 374 0.49 50 0.00227 94486 469769 0.8837 1351979 16.95 5 0.52908 596546 9.00014 96729 483477 0.30 20 0.68 MUJERES 2009 EDAD 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑥 𝑙𝑥 𝐿𝑥 𝑆𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 0 0.97881 2572345 27.84 55 0.01084 88435 430507 0.000465 45 0.00047 96259 480726 0.27419 17853 0.02896 100000 97840 0.00093 96792 386216 0.54 179 .79268 950943 12.00411 93421 462354 0.102705 8791 0.97304 2694729 28.48 35 0.00019 96355 481545 0.99911 6997229 72.00027 96560 482474 0.99671 7768159 79.00211 95066 472840 0.002355 227 0.81 1 0.04 55 0.00352 342 0.00079 96032 479218 0.001775 171 0.000535 52 0.26 45 0. HOMBRES 2009 EDAD 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑥 𝑙𝑥 𝐿𝑥 𝑆𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 0 0.01775 83767 401037 0.00542 92589 456758 0.00124 95656 476802 0.15051 11536 0.00135 131 0.27 15 0.39 60 0.99812 5552716 57.99880 5929180 61.99794 4963651 51.04608 76813 344399 0.98422 3164498 33.99844 5446124 56.67 45 0.00035 96135 480260 0.16 65 0.99652 4593100 47. Cuadro 7.76 25 0.46 80 1 60947 0.97119 7865999 78.92430 1648940 18.99746 5072456 52.000685 66 0.16 80 1 47258 0.00106 103 0.34 25 0.03208 3208 0.66 1 0.00133 128 0.00305 292 0.085 7120 0.82 50 0.99886 6515257 67.00041 95969 479356 0.00011 96825 483995 0.13 75 0.00095 92 0.02166 85604 406040 0.74 65 0.41 75 0.34 60 0.56 10 0.99496 4001205 41.00010 96773 483753 0.00021 96663 483056 0.99477 4114961 43.9911 3638485 38.00016 96434 481973 0.00392 377 0.28 5 0.02035 1901 0.00078 95482 476476 0.99169 3521987 36.23 10 0.00686 91520 449889 0. 0017 164 0.99493 4131518 43.0012 95787 477498 0.00044 43 0.68 40 0.01996 1868 0.21 40 0.99511 4017425 41.08381 7047 0.98722 3060082 32.08 35 0.2 75 0.00026 96358 481483 0.93253 1794780 20.00018 96446 482011 0.00079 76 0.21 80 1 47744 0.04546 77256 346861 0.44 60 0.03136 3136 0.02128 85937 407982 0.27188 17828 0.0175 84077 402767 0.00352 341 0.00076 95605 477120 0.99851 5463956 56.9793 2586448 27.20409 15767 0.00013 96818 483932 0. Cuadro 7.53067 603602 9.00334 325 0.00092 88 0.00129 125 0.51 80 1 61489 0.4 15 0.00379 362 0.37 45 0.6 35 0.00379 364 0.01 1 0.05197 4609 0.00636 606 0.14875 11459 0.99755 5090154 52.14 55 0.43 5 0.00101 98 0.53 30 0.43 20 0.00009 96860 484195 0.10102 8681 0.00065 63 0.99853 6052412 62.9576 2245812 24.98454 3179698 33.00674 91727 451032 0.03315 3041 0.02766 2766 0.99885 5947487 61.99917 6431419 66.00195 188 0.00045 96369 481300 0.00128 95243 474700 0.99946 6915614 71.71 MUJERES 2010 EDAD 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑥 𝑙𝑥 𝐿𝑥 𝑆𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 0 0.00059 95887 478731 0.81 20 0.78 45 0.03214 77030 356504 0.04904 4432 0.0031 94241 467584 0.00205 95213 473635 0.97192 7885999 78.13213 61489 465351 0 465351 7.06293 65572 283289 0.38 70 0.0001 96909 484424 0.00033 96235 480775 0.01101 1042 0.47 25 0.57294 812212 10.00294 282 0.99953 7400038 76.96257 2118864 22.00084 97234 388071 0.00403 93595 463305 0.95 55 0.99132 3654398 38.88514 1362874 16.99191 3537581 36.1 5 0.89 25 0.00076 96151 479844 0.00166 160 0.01006 90369 440766 0.0102 971 0.83 65 0.48 60 0. HOMBRES 2010 EDAD 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑥 𝑙𝑥 𝐿𝑥 𝑆𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 0 0.99915 7016845 72.46 75 0.79463 960107 12.96831 7500999 75.03213 100000 97609 0.21 70 0.00088 96864 386545 0.99698 4498725 46.00599 574 0.00039 96075 479906 0.99642 7403391 76.7 10 0.00221 94637 470581 0.75 15 0.21: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD.93 50 0.92562 1660961 18.98 30 0.14905 47744 320314 0 320314 6.24 65 0.00034 96533 482255 0.01067 88686 431907 0.00128 123 0.02611 2423 0.97351 2709118 28.6 50 0.0002 96755 483531 0.99684 7788108 80.01538 1449 0.00026 96657 482976 0.86 1 0.00226 218 0.00016 96522 482422 0.00529 92792 457904 0.99819 5570929 57.9989 6534423 67.85019 1220194 14.99802 4980980 51.02826 100000 97891 0.57 180 .0005 49 0.36 10 0.99663 4610249 48. en los que se puede considerar el orden de nacimiento Primer nacimiento. en el sentido de la ocurrencia de ellos a cada individuo que constituye la población en estudio. por otros. 2) la mortalidad que al disminuir el volumen de la población se le asocia a un mecanismo de salida. primera edición. En cambio. el evento muerte o defunción es evidentemente considerado como un evento estrictamente no renovable. etc. Roland. Fondo de cultura económica primera reimpresión. emigrar. el cual es un mecanismo de entrada ya que a través de él se incrementa el volumen de la población en estudio. México 1973. y el orden de casamiento o disolución de unión. los cuales están a su vez caracterizados por los siguientes sucesos o eventos demográficos a) los nacimientos. Componentes de la dinámica poblacional La dinámica poblacional está caracterizada por componentes: 1) la natalidad. Se dice estrictamente para diferenciarlo de los otros casos. ya que estudiar las poblaciones humanas es el objeto de todas las disciplinas sociales y es claro que la demografı́a no puede pretender englobarlas a todas. y c) los inmigrantes y emigrantes. Siglo veintiuno editores. Fondo de cultura económica primera reimpresión. casarse. Pressat. El análisis demográfico. 6 Material basado en: Lequina. y 3) La migración. b) las muertes o defunciones. mecanismo de entrada desde la perspectiva de los inmigrantes y de salida desde la de los emigrantes. el orden de inmigración o emigración. como una disci- plina.). 1979 181 . A los tres componentes citados se les denomina fen6menos demográficos. es la ciencia social encargada del estudio del movimiento de las poblaciones humanas. Los sucesos o eventos demográficos se clasifican en renovables y no renovables. Spiegelman. hecho que conduce a la polémica sobre su calidad de ciencia. México. segundo nacimiento.Anexo 10 Conceptos básicos Definición y objeto de estudio de la demografı́a La demografı́a6 ha sido considerada por algunos como una ciencia. al Igual que a los eventos inmigrar. en donde el evento renovable deja de serlo. pasando a ser un evento no renovable. Se le ha atribuido como objeto el estudio de las poblaciones humanas. Joaquin. o fecundidad. ella puede tener no necesariamente un solo hijo. Ası́. por lo que el evento nacimiento es considerado como un evento renovable. Fundamentos de demografı́a. Introducción a la demografı́a. México. 1973. Mortimer. referido éste a una entidad y a u conjunto bien definidos.. La definición más común de demografı́a es la siguiente te. si tomamos como unidad de análisis a la mujer. la semirrecta tiempo transcurrido o duración medirá la edad de la persona considerada. edad. dándonos la población por sexo. y 2) Estadı́sticas vitales y encuestas. estadı́sti- cas de familia. en una fecha dada. migraciones) que se producen en esas poblaciones. El diagrama de Lexis En demografı́a se representan dos aspectos del tiempo.). y 2) El tiempo transcurrido a partir de un suceso origen particular a cada habitante. Por ejemplo. sı́ el nacimiento es el suceso origen. Encuestas demográficas La encuesta demográfica es un método para obtener información sobre fenómenos demográficos de cierto número de individuos con objeto de conocer algo respecto a una población más numerosa de la cual se ha obtenido la muestra. de una población en evolución constante bajo la influencia de ¡os fenómenos demográficos que en ella se producen. grado de instrucción ocupación profesional. acontecidos en una población dada. defunciones y matrimonios. En general en las estadı́sticas vitales se registran las modifica- ciones causadas en el volumen y en la estructura de la población por los nacimientos. Al formar un cuadrante con las dos semirrectas se tiene el diagrama de Lexis s (ver diagrama 1). 1) El tiempo del calendario. que permiten describir el estado demográfico de la población en un instante dado. religión. distribución por sexo y edad y por estado civil. 182 . etc. 1) Censos demográficos.Fuentes de datos La demografı́a nos permite tener una descripción estadı́stica de las poblaciones humanas en cuanto a su estado (cifra de población. las defunciones y las celebraciones o rupturas de uniones. Al considerar los dos aspectos de la descripción estadı́stica de las poblaciones se obtienen dos tipos de estadı́sticas. defunciones. donde los puntos de la recta o semirrecta representan fechas comunes a los habitantes. Censo demográfico El censo demográfico proporciona la imagen en un instante dado. etc. número de hijos nacidos vivos. que clasifican los hechos demográficos producidos en una población durante un perı́odo dado. Estadı́sticas vitales Las estadı́sticas vitales se centran en el registro de nacimientos. estado civil y nacionalidad. y a los hechos demográficos (nacimientos. Las magnitudes demográficas pueden dos clases: a) efectivos o stocks. cuando el niño tenga un año su punto representativo estará en P. el diagrama 4 a generación y tiempo y el diagrama 5 a edad y tiempo. que en esa fecha el niño tiene cero exactamente. se puede localizar el nacimiento de niño por el punto de intersección de las dos rectas que. se realizará sobre un segmento de recta que forma un ángulo de 45 grados con los ejes coordenados constituidos por las dos semirrectas tiempo. el punto que representa al niño se desplaza sobre la bisectriz del ángulo recto. referidas a un perı́odo de tiempo Dichas magnitudes podrán clasificarse según las cohortes (habitantes que comparten un mismo evento origen) y las edades o duraciones dentro de las que se han producido los flujos o se han medido los stocks. generación y tiempo. ası́. Conforme el tiempo transcurre. y b) flujos. Para llevar a cabo la observación de un habitante. dichos segmentos de recta reciben el nombre de lı́neas de vida. cuya referencia temporal es un instante. Con las dos rectas perpendiculares del diagrama 2. a partir de haber sido alcanzado éste por un suceso origen. El diagrama 3 hace referencia a edad. Por ejemplo. 183 . tomemos un nacimiento ocurrido el 21 de junio de 1981. en el eje horizontal indica que estamos a 21 de junio de 1981 y en el vertical. La estructura más simple de una población es aquélla que retiene las variables sexo y edad solamente.110) 𝑃 Donde 𝑃𝑈 representa la población del grupo de edades u (se trata en general de grupos quin- quenales) para los hombres y 𝑃𝑈𝑀 para las mujeres. Distinguir dichas sub- poblaciónes es un paso previo al análisis de su ’estructura’. En un momento dado esta estructura se medirá por las siguientes proporciones: 𝑃𝑈𝐻 𝐶𝑈𝐻 = (7. ası́. se puede observar gráficamente el cambio de la estructura y los posibles efectos de los fenómenos demográficos en dicha población. o bien la ausencia de declaración o una contabilización incompleta en ciertas edades. siendo 𝑃 la población total: Ası́ pues: 𝑤 ∑ 𝐶𝑢𝐻 + 𝐶𝑢𝑀 = 1 (7.La pirámide de edades En un momento cualquiera dentro de un stock de población conviven unas cien generaciones aproximadamente En cada generación es posible distinguir subpoblaciónes con arreglo a diversos criterios cualitativos: estar casado. 184 . La representación gráfica (en forma de histogramas) de las proporciones Cu (a la derecha los hombres y a la izquierda las mujeres) se conoce con el nombre de pirámide de población (ver pirámide 1) Hay que tener en cuenta que ¡a pirámide por edades es una representación en forma de histogra- ma. etc. y al comparar pirámides para la misma población en diferentes momentos.109) 𝑃 𝑃𝑈𝑀 𝐶𝑈𝑀 = (7. si en el eje de las ordenadas se miden las edades.111) 𝑢=0 donde 𝑤 es la última edad alcanzada por la población en estudio. además de darnos una idea grosso modo de la estructura por edades de la población sirve para detectas errores en la declaración de la edad de la población censada o encuestada. ejercer una actividad económica. ¡as abscisas han de calcularse de tal forma que la superficie de cada rectángulo lo sea proporcional a la magnitud que se quiere representar La construcción de la pirámide. El ı́ndice de masculinidad toma valores que comienzan un poco arriba de cien al nacimiento y van disminuyendo según se avanza en las edades. El análisis longitudinal se fundamenta en la observación continua de una cohorte expuesta al fenómeno demográfico en estudio (ver diagrama 6 y 7). de una cohorte ficticia (comúnmente llamado análisis retrospectivo) que se comporta entre dos edades o duraciones consecutivas cualesquiera (ver diagrama 9). Con mucha frecuencia el análisis transversal consiste en construir el comportamiento. Cuando se presentan cambios bruscos en el valor del ı́ndice se pueden atribuir a la migración de la población de sexo masculino o femenino. el más común en demografı́a recoge el comportamiento de todas las cohortes en presencia durante un perı́odo limitado de tiempo. El análisis longitudinal y el transversal En demografı́a existen dos tipos de análisis: el sincrónico llamado transversal y el diacrónico denominado longitudinal El análisis transversal.Índice de masculinidad Este ı́ndice mide la proporción de hombres entre mujeres para cada edad o grupo de edades. 185 . también suelen deberse a la declaración incorrecta de la edad que provoca que un grupo de personas sea trasladado al grupo inmediato inferior o al superior. las que son un ı́ndice transversal ya que en ellas aparecen flujos y stocks de todas las cohortes. frente al fenómeno en estudio. Como ejemplo tenemos las tasas brutas. puede servir para detectar la declaración incorrecta de la edad. y en el denominador la población media. cuado se supone lo anterior se habla del supuesto de uniformidad del fenómeno demográfico considerado. es decir. Dimensiones de los eventos demográficos Intensidad y calendario Las preguntas que se hacen en cuanto al impacto de un fenómeno demográfico en una población dada son ¿qué cantidad de la población es alcanzada por el suceso o evento? ¿a qué edad en promedio de evento se da en los individuos de la población? las respuestas se obtienen al calcular la intensidad y e¡ calendario o duración de¡ fenómeno demográfico estudiado. de la edad 𝛼 a la edad 𝛽. y la intensidad medı́a será el cociente formado por la intensidad total y el número de individuos que se tienen a edad exacta 𝛼. 186 . entonces la intensidad∑𝛽 total será la suma de los eventos ocurridos. Si se denota a 𝑒𝑖 como el número de eventos ocurridos a edad i cumplida (entre las edades exactas 𝑖 e 𝑖 + 𝑖 y a 𝛼 y 𝛽 como las edades exactas inicial y final en que los individuos de la población analizada están propensos a sufrir el evento considerado. La primera idea que inspira la elaboración de una tasa es la de lograr una medida relativa de un fenómeno demográfico que permita efectuar comparaciones en el tiempo y en el espacio Una tasa generalmente se calcula-tomando como referencia un año civil. el resultado se multiplica por mil. por las edades de la edad 𝑖 cumplida se toma la edad exacta 𝑖 + 0. En el numerador de la tasa se tienen los eventos ocurridos en el año de referencia. Tasa Con el nombre genérico de tasa se designa toda relación por cociente entre un flujo y un efectivo o stock.112) 𝑁 El calendario o duración es comúnmente llamado esperanza de vida ya que estima los años que en promedio transcurren antes de que un individuo sea alcanzado por el evento estudiado. a la población en estudio 𝑖=𝛼 𝑒𝑖 . la población que se encuentra al inicio del periodo en que puede sufrir el fenómeno demográfico considerado: ∑𝛽 𝑖=𝛼 𝑒𝑖 (7.5 considerando que el número de eventos ocurridos a edad 𝑖 cumplida están asociados a la edad (mitad del intervalo de edad). Dicha estimación se logra al ponderar los eventos ocurridos entre 𝛼 y 𝛽. Las primeras están referidas al total de eventos ocurridos de un fenómeno demográfico dado en un año y a la población media total en el mismo año. el medio o el final respecto al flujo del numerador de la tasa. entre 1as edades 𝑖 e 𝑖 + 1(𝑒𝑖 ) viene dada por el cociente: 𝑔𝑖 = 𝑁𝑒𝑖𝑖 Ası́. los cocientes tienen en general un sentido probabilı́stico. En general la población media es la población existente al 30 de junio del año considerado. generalmente distinguidas por el hecho de pertenecer a un grupo de edades determinado. Las tasas que con mayor frecuencia se estiman son las brutas y las especı́ficas. las tasas brutas miden la frecuencia de aparición de un fenómeno demográfico en el conjunto total de la población. Relación entre tasas y cocientes Lo que en principio se calcula para cualquier fenómeno demográfico son las tasas especı́ficas por edad. de sufrir el evento no renovable en estudio. se hablará de cociente. Cocientes En el denominador de toda tasa ha de figurar un stock o un flujo que puede ser el inicial. vendrı́a dada por: 𝑒𝑖 𝑡𝑖 = 𝑁 +𝑁 (7. la probabilidad que tienen 𝑁𝑖 . En el primer caso. Empleando el diagrama 8. y la pregunta que se hace es ¿cómo pasar de dichas tasas a los cocientes? es decir. Las tasas especı́ficas son aquellas que se calculan en subpoblaciones.114) 𝑁𝑖 187 . Dada una cohorte con 𝑁 personas. y situan- do en el momento exacto a las personas que aún no han sufrido el evento (𝑁𝑖 ) (ver diagrama 6). de frecuencias de aparición del fenómeno a probabilidades de ocurrencia del mismo. es decir. expuestas a un fenómeno demográfico no renovable. cuando el flujo o stock de referencia es el inicial. se acostumbra calcular la media aritmética de las poblaciones existentes en los inicios 1∘ de enero sucesivos que encierran el año. la tasa especifica entre la edad 𝑖 e 𝑖 + 1. es decir. Cuando no se dispone de una estimación de la población en esa fecha.113) 𝑖 𝑖+1 2 y el cociente por: 𝑒𝑖 𝑞𝑖 = (7. 5 = 𝑁𝑖 − (7.119) las siguientes relaciones entre tasas y cocientes: 𝑞𝑖 𝑡𝑖 = (7.117) 2 Dividiendo tanto el primero como el segundo miembro de la ecuación (7.120) 1 − 𝑞2𝑖 𝑡𝑖 𝑞𝑖 = (7. si suponemos que los eventos del fenómeno no renovable se distribuyen uniformemente en el tiempo. entonces la población que a edad cumplida ı́ no ha sufrido el fenómeno en estudio. de (7.119) 𝑞 2 𝑡𝑖 Se obtienen ası́. entonces se tendrá que la tasa será igual a: 𝑒𝑖 𝑒𝑖 𝑡𝑖 = 𝑒𝑖 = (7.116) 𝑁𝑖 − 2 𝑁𝑖 Por lo tanto 𝑒𝑖 𝑁𝑖 − = 𝑁𝑖 (7.118) es equivalente a: 1 1 1 − = (7.117) se tiene: 𝑁𝑖 1 𝑒𝑖 − = (7.118) 𝑒𝑖 2 𝑒𝑖 Y por (7.114) y (7. está dada por: 𝑒𝑖 𝑁𝑖 = 𝑁𝑖+0. (7.121) 1 − 𝑡2𝑖 188 .115) 2 En los siguientes diagramas se ilustra lo anteriormente indicado. Bajo la hipótesis de uniformidad.116). si 𝐷 es el número total de defunciones acontecidas entre los residentes de una comunidad durante el año del calendario. a la cohorte en la cual tuvieron lugar. sino también porque para su estudio no se utilizan métodos demasiado complejos . Mortalidad El estudio de ¡a mortalidad tradicionalmente inicia la exposición sobre los fenómenos demográfi- cos. por otro lado. normalmente. entonces la tasa bruta de mortalidad es: 𝐷 𝑚 = 𝐾 (7. puede procederse a la desagregación del total de fallecimientos. en progresión geométrica con la edad. y 3. La serie de los eventos e 𝑖. Las tablas estadı́sticas que describen fenómenos demográficos están constituidas por tres series básicas: 1. 2. no únicamente porque haya servido de modelo al estudio de los demás fenómenos. si 𝐷𝑖 es el número debido a la causa 𝑖. y c) la mortalidad resultante de la acción del medio y cuya manifestación aparece a todas las edades (enfermedades infecciosas y accidentes). constituidos por las personas que estando en la edad 𝑖 exacta no han sufrido el fenómeno no renovable en estudio. Cuando 𝐷. Ası́. por ejemplo las tablas de mortalidad y de nupcialidad. en general al 30 de junio del año considerado. a saber. la serie de los cocientes o probabilidades 𝑛 𝑞𝑥 de experimentar el evento no renovable entre las edades 𝑖 e 𝑖 + 𝑛 (en general 𝑛 toma el valor 5). b) la mortalidad debida al envejecimiento. Tasa bruta y tasas especı́ficas de mortalidad El primer ı́ndice sintético para medir la mortalidad de un periodo dentro de una zona determi- nada es el cociente entre el número total de fallecimientos durante el periodo. y 𝑃 es el número medio de personas vivas en esa comunidad durante te ese año. diferenciando éstos según la causa que los produjo y asignándolos. en general un año. es decir.122) 𝑃 donde 𝐾 es una constante que se toma generalmente 1000 o 100 000. que comienza a manifestarse tras el décimo aniversario y que crece. entonces la tasa bruta de mortalidad 189 . el total de defunciones. por un lado. El fenómeno de la mortalidad se analiza mediante el suceso flujo: fallecimiento.Tablas La importancia de los cocientes o probabilidades radica en que constituyen la base para elab- orar tablas sintéticas que suelen describir de manera muy sugestiva los fenómenos demográficos estudiados. sirve por ello como introduc- ción para análisis más complejos. La serie de los supervivientes 𝑁𝑖 . ocurridos a edad cumplida 𝑖. entre las edades 𝑖 e 𝑖 + 1. Las causas de muerte descomponen a la mortalidad en tres categorı́as: a) la mortalidad al comienzo de la vida. ha sido subdividido para mostrar las cantidades atribuidas a cada causa. y la población de la zona en un momento del mismo. Sin embargo. que se refleja en los ambientes insalubres. por una causa externa. el estado civil y otras caracterı́sticas.1 ) 2 Ası́. que se toman como defunciones endógenas.124) 𝑛 𝑃𝑥 Tasa de mortalidad infantil Si 𝐷0𝑍 es el número de defunciones entre el nacimiento y la edad de un año. de un modo general. Si 𝐷𝑥 es el número de defunciones entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑛 entre los residentes de una comunidad durante un año. Usualmente una tasa de mortalidad infantil elevada está asociada a una situación económica pobre. es decir. entonces la tasa de mortalidad por edades es: 𝑛 𝐷𝑥 𝑛 𝑚𝑥 = 𝐾 (7. y 𝐵 𝑍 es el número total de nacimientos vivos dentro del mismo año. siempre que tanto 𝐷 como 𝑃 se refieran a la misma subdivisión. las tasas de mortalidad neonatal y posneonatal toman las siguientes expresiones respecti- vamente 190 . entonces la tasa de mortalidad infantil es: 𝐷0𝑍 1 𝑚0 = 𝐾 (7.123) 𝑃 Las tasas especı́ficas de mortalidad pueden ser calculadas para subdivisiones de una comunidad de acuerdo con el sexo. infecciones u otras.correspondiente a esa causa es: 𝐷𝑖 𝑚𝑖 = 𝐾 (7. Tasas de mortalidad infantil neonatal y posneonatal Las estadı́sticas precisas de causas de defunción permiten distinguir las defunciones de recién nacidos causadas por accidentes del parto o por malformaciones congénitas. y 𝑛 𝑃𝑥 es el número promedio de personas entre las edades 𝑥 y𝑥 + 𝑛 que viven en esa comunidad durante ese año. Las tasas de mortalidad neonatal y posneonatal se calculan de la misma manera que la tasa de mortalidad infantil convencional. de las causadas por afecciones respiratorias. La mortalidad endógena se cuantifica por medio de la tasa de mortalidad neonatal y la exógena por medio de la tasa de mortalidad posneonatal. accidentes alimenticios y. con la salvedad de que en la primera solo se toman en cuenta las defunciones acontecidas dentro del primer mes de vida (𝐷0. acontecidas entre los residentes de una comunidad durante el año 𝑧 del calendario. las defunciones exógenas.125) 𝐵𝑍 donde 𝐾 es una constante que usualmente se toma como 1000 La tasa de mortalidad infantil ha sido aceptada ampliamente como un indicador del nivel de salud de una comunidad. 𝑍 ) y en la segunda las defunciones 1 2 acontecidas del primer mes exacto al año exacto (𝐷𝑍1 . en lo inadecuado de las facilidades de atención médica y en el nivel educativo generalmente bajo. la edad. del número de fallecimientos antes de llegar al año de edad de entre esos nacidos 𝐷(0. 1) 𝑙1 = = 1 − 𝑞0 (7. 1) .𝑥+𝑛 el número de fallecimientos ocurridos entre las edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 𝑛. etc. el cual en general toma el valor de 100000. de fallecer entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑛. 1 2 (7. se dispone del número de nacidos de un año determinado: 𝑁 . de los fallecidos entre el año de edad exacto y dos: 𝐷(1. A 𝑙0 se le llama el radix de la tabla.127) 𝐵𝑍 Tablas de mortalidad Las tablas de mortalidad presentan la -descripción estadı́stica más completa de la mortalidad. 1) y ası́ sucesivamente. La probabilidad de estar vivo al cumplir el primer año de vida será: 𝑁 − 𝐷(0. 1) − 𝐷(1. Supongamos que en una población. constituida por las tres series probabilı́sticas básicas (suponiendo ). La serie 𝑞𝑥 recibe el nombre de series de probabilidad de muerte.128) 𝑁 la probabilidad de morir entre el primer aniversario y el segundo para los que llegaron a cumplir un año será: 𝐷(1. para los sobrevivientes a edad 𝑥 (𝑙𝑥 ) de fallecer antes de llegar a la edad 𝑥 + 𝑛.129) 𝑁 − 𝐷(0. 𝑛 𝑞𝑥 Probabilidad.131) 𝑁 191 .130) 𝑁 Y al cumplir el segundo 𝑁 − 𝐷(0.𝑥+𝑛 =𝑛 𝑞𝑥 𝑙𝑥 Probabilidad para los componentes del conjunto. no sujeta a movimientos migratorios. 1) 𝑞0 = (7. 2). 2) 𝑙2 = = 1 − 𝑞1 (7. Para los nacidos de esa generación la probabilidad de morir antes de cumplir un año de edad será: 𝐷(0.126) 𝐵𝑍 𝐷𝑍1 . 𝑙𝑥 = 𝑥−𝑛 ∏ 𝑖=0 (1 −𝑛 𝑞𝑖 ) Probabilidad para los elementos del conjunto (sobrevivientes a edad 0) de llegar con vida a la edad 𝑥.1 2 (7. 𝑑𝑥. 𝑍 𝐷0. siendo en ese caso 𝑙𝑥 el número de sobrevivientes a edad exacta 𝑥 y 𝑑𝑥. 2) 𝑞1 = (7. ası́ que se emplean ı́ndices más burdos. el de edad cumplida cero y el formado por las edades 1 a 4 cumplidas. lo que dificulta la observación. Dicho calendario 𝑑𝑥. ya que la atención se concentra mucho más en las condiciones de la mortalidad en el transcurso de un año o de un periodo determinado. c)existe un interés en observar el estado de la mortalidad durante el transcurso de un año dado. en general se construyen tablas en que los aniversarios se encuentran espaciados. este tipo de tablas son llamadas tablas abreviadas de mortalidad. El calendario de la mortalidad de esa generación estará constituido por la serie de probabili- dades de morir entre cada par de aniversarios consecutivos para el conjunto de los nacidos.135) 𝑙𝑥 192 .132) La serie 𝑙𝑥 se conoce con el nombre de probabilidades de supervivencia. como la tasa de mortalidad quinquenal. Tablas abreviadas de mortalidad La metodologı́a antes presentada se funda en el cálculo de probabilidades anuales y da por consiguiente los sobrevivientes en todos los aniversarios sucesivos y las defunciones entre estos aniversarios. Tomemos una probabilidad anual 𝑞𝑥 𝑑𝑥. lo que se explica por las siguientes razones: a)El fenómeno estudiado se manifiesta a través de un larguı́simo periodo (alrededor de un siglo).𝑥+1 = = 𝑙𝑥 𝑞𝑥 (7. En la práctica.. comúnmente cada cinco años. esto encuentra la estructura por edad de la población y de las defunciones. La tabla abreviada de mortalidad suele derivarse de cálculos aproximados basados en una doc- umentación incompleta y a veces frágil. es raro que se pueda trabajar con datos de tan alta calidad que directamente puedan calcularse las probabilidades de muerte. . en general. Algunas razones por las que se calculan tablas abreviadas de mortalidad son: a)por la captación.134) Las tablas de mortalidad son. tablas. b)porque se quiere resumir una tabla completa y c)porque no se dispone sino de elementos aproximados que no permiten construir una tabla completa. a excepción de] grupo de edad 0 a 4 años cumplidos. climáticos y para seguir la evolución año tras año. No obstante.Y en general: 𝑙𝑥 = (1 − 𝑞0 )(1 − 𝑞1 ) . epidemiológicos. (1 − 𝑞𝑥−1 ) (7. . el cual se divide en dos. el problema consiste entonces en convertir esas tasas en probabilidades. del momento t y no de generaciones. tanto de población viva como de defunciones. para medir los efectos de diferentes factores económicos. b)las reacciones pasadas de las diversas generaciones no parecen repercutir en su porvenir.𝑥+1 será por tanto: 𝐷𝑥.𝑥+1 𝑑𝑥.𝑥+1 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 (7. antes que en los efectos de la mortalidad a lo largo de una generación.133) 𝑁 o bien: 𝑑𝑥.𝑥+1 𝑞𝑥 = (7. sociales. Sea 𝑃𝑥.𝑥+1 𝑚𝑥 = = 𝑑 (7.𝑥+1 𝑃𝑥.142) 𝑙𝑥 − 2 1− 2 2 − 𝑞𝑥 que es la relación buscada y que se puede transformar para expresar 𝑞𝑥 en función de 𝑚𝑥 .146) 2 + 𝑎𝑎 𝑚𝑥 193 . 𝑚𝑥 2𝑚𝑥 𝑞𝑥 = = (7.135): 𝑑𝑥.143) 1 + 𝑚 𝑥2 2 + 𝑚𝑥 Con la misma hipótesis sobre la población estudiada.𝑥+1 (7. se puede admitir que.𝑚𝑥 .145) 2 + 5 5 𝑚𝑥 Y en términos generales a: 2𝑎𝑎 𝑚𝑥 𝑎 𝑞𝑥 = (7.137) Se tiene: 𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+1 = 2𝑙𝑥 − 𝑑𝑥.𝑥+1 𝑑𝑥. 𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+5 𝑃𝑥.138) y 𝑑𝑥.𝑥+1 2 De (7.139) 2 Con esta expresión a la edad media. en el caso de la tasa quinquenal.𝑥+1 = 𝑙𝑥 − (7.𝑥+1 = 𝑙𝑥 𝑞𝑥 (7.141) 𝑙𝑥 𝑞𝑥 𝑞𝑥 2𝑞𝑥 ⇒ 𝑚𝑥 = 𝑙𝑥 𝑞𝑥 = 𝑞𝑥 = (7.𝑥+1 = (7.𝑥+5 = 5 (7.140) 𝑃𝑥.𝑥+1 es igual a: 𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+1 𝑃𝑥. o sea.𝑥1 (7.136) 2 Como: 𝑙𝑥+1 = 𝑙𝑥 − 𝑑𝑥.𝑥+1 la población media cuya edad exacta queda comprendida entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 1. 𝑃𝑥. esto es.144) 2 Con lo cual se llega a la relación: 105 𝑚𝑥 5 𝑞𝑥 = (7.𝑥+1 𝑙𝑥 − 𝑥. la tasa de mortalidad a edad 𝑥 . se escribe: 𝑑𝑥. en una tabla completa.151) 𝑥=0 Con lo que: 𝑤 1 ∑ 𝑒0 = + 𝑥𝑑𝑥.La expresión (7.𝑥+1 (7.146) para 𝑎 = 4.154) 2 𝑙𝑥 𝑖=𝑥+1 194 .𝑥+1 por su equivalente 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 : 𝑤 1 ∑ 𝑒0 = + 𝑙𝑥 (7. se tendrá: 𝑤 𝑤 𝑤 ∑ 1 ∑ 1∑ 𝑒0 = 𝑥 + 𝑑𝑥. Por medio de las relaciones que guardan tomando un radix 𝑙0 = 100000: 𝑑𝑥.𝑥+1 = 𝑥𝑑𝑥. Ası́ la esperanza de vida al nacer: 𝑒0 representa el número de años que vivirı́a. con lo que se puede escribir: 𝑤 1 1 ∑ 𝑒𝑥 = + 𝑙𝑖 (7.148) 𝑙𝑥 𝑑𝑥.152) 2 𝑥=0 O bien.𝑥+𝑛 (7. por término medio. teniéndose que 1 𝑞𝑥 a menudo se calcula como una tasa de mortalidad infantil clásica. se estiman las series 𝑙𝑥 y 𝑑𝑥. duración media de la vida a partir de una edad dada. un componente de la generación sujeta a la mortalidad que describe la tabla. 1 𝑞0 = 𝑚0 empleando (7.𝑥+1 𝑑𝑥. concretamente. suponiendo que 𝑑𝑥.147) 2 + 44 𝑚𝑥1 Ya obtenida 𝐼𝑛 serie de probabilidades de muerte 𝑛 𝑞𝑥 a partir de las tasas de mortalidad 𝑛 𝑚𝑥 .153) 2 𝑥=0 Es posible aplicar esta fórmula a cualquier edad. Ası́.𝑥+𝑛 = 𝑙0 = 1 (7. es decir.145) se emplea para obtener las estimaciones de los cocientes 5 𝑞𝑥 a partir del grupo de edad 5 a 9 años.149) La esperanza de vida A partir de las tablas de mortalidad se obtiene un ı́ndice sintético muy utilizado: la esperanza de vida.𝑥+𝑛 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+𝑛 =𝑛 𝑞𝑥 𝑙𝑥 (7.𝑥+𝑛 𝑛 𝑞𝑥 = (7.𝑥+𝑛 se distribuya uniformemente entre 𝑥 y 𝑥 + 1 y 𝑙0 = 1. Tal ı́ndice responde al concepto de media. ası́ 84 𝑚1 4 𝑞1 = (7.𝑥+𝑛 .150) 2 2 𝑥=0 𝑥=0 𝑥=0 Se sabe que: 𝑤 ∑ 𝑑𝑥. sustituyendo 𝑑𝑥. 5𝑙5 + 5𝑙10 + . y 𝑃 es el número medio de personas que habitan en ella durante el año.𝑥+𝑎 (7. si también se supone uniforme la distribución de 𝑑𝑥.155) 2 2 𝑥=0 𝑥=0 y sustituyendo 𝑑𝑥. Un fenómeno demográfico directamente asociado a la fecundidad es pues la natalidad que puede considerarse desde el punto de vista de los individuos que nacen o desde el punto de vista de las madres que dan nacimiento a un hijo (o de las parejas que procrean). . es necesario tener en cuenta estos extremos para la obtención de la formula que se va a aplicar.𝑥+𝑛 = + 𝑥𝑑𝑥. Cuando el estudio se refiere principalmente a las circunstancias de la procreación humana se habla de fecundidad.157) 2 𝑙0 En general la esperanza de vida a una edad cualquiera x se escribirá: 𝑤 ∑ 𝑙𝑖 𝑎 𝑖=𝑥+𝑎 𝑒0 = + (7. En el caso de una tabla abreviada. la fecundidad es el estudio de los nacimientos desde el punto de vista de la concepción.158) 2 𝑙𝑥 Fecundidad Bajo el nombre de fecundidad se estudian en su aspecto cuantitativo los fenómenos directamente relacionados con la procreación humana. es decir.156) 2 𝑥=0 Se está suponiendo que a es constante. pero en general a en una tabla abreviada toma los valores 1 (para la primer edad. . se podrá escribir: 𝑤 ( ) 𝑤 ∑ 1 𝑎 ∑ 𝑒0 = 𝑥+ 𝑑𝑥.5𝑙1 + 4. 4 (para el grupo de edad 1 a 4 años cumplidos) y 5 (para los grupos de edades quinquenales que parten del grupo 5 a 9 años cumplidos).159) 𝑃 donde 𝐾 es una constante a la que se da por lo general el valor de 1000. en tal caso. Aparece entonces una noción suplementaria de fertilidad o aptitud de las mujeres para concebir y cuya manifestación es la fecundidad. cero años cumplidos). Asimismo cuando no se tome 𝑙0 = 1 es preciso dividir todos los valores de 𝑑𝑥. Ası́. Tasa bruta de natalidad Si 𝛽 es el número total de nacidos vivos entre los residentes de una comunidad durante un año del calendario. 195 . + 𝑙𝑤 𝑒0 = + (7.𝑥+𝑎 y 𝑙𝑥 por 𝑙0 .𝑥+𝑎 por su valor en función de 𝑙𝑥 quedará: 𝑤 𝑎 ∑ 𝑒0 = +𝑎 𝑙𝑥 (7. Por tanto. para una tabla abreviada de las anteriores caracterı́sticas se tendrá : 1 2. entonces la tasa bruta de natalidad es: 𝐵 𝑖 = 𝐾 (7.𝑥+𝑛 entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎. se han utilizado los siguientes cocientes: El cociente de nacimientos totales respecto de la población femenina total (𝑃 𝑓 ): 𝐵 𝑖𝑓 = 𝐾 (7. De este modo. .161) 𝑃15−49 El cociente de nacimientos legı́timos (𝐵 𝑙 ) respecto de la población femenina casada de las 𝑓𝑐 edades fértiles (𝑃15−49 ) denominada tasa marital general de fecundidad. Para medir con más efectividad el nivel de fecundidad de una comunidad. 𝑓 tomadas usualmente como aquellas de 15 a 49 años (𝑃15−49 ). se habla de fecundidad ¡legı́tima y sus tasas especı́ficas de fecundidad por edad son llamadas tasas de fecundidad ilegı́tima.45 a 49 años). los resultados se conocen con el nombre de tasas centrales. 196 . la tasa será baja si en la población total hay una proporción baja de mujeres casadas en las edades reproductivas.. .162) 𝑃15−49 Tasas especificas de fecundidad Cuando los nacimientos de la comunidad. 𝐵𝑙 𝑖𝑓15−49 𝑐 = 𝑓𝑐 𝐾 (7.Tasas de fecundidad general El nivel de la tasa bruta de natalidad se verá influido por la composición de la población total 𝑃 . se relacionan con poblaciones con las mismas subdivisiones.160) 𝑃𝑓 El cociente de nacimientos totales respecto de la población femenina de las edades fértiles. Si 𝐵𝑗𝑙 son nacimientos de hijos cuyas madres son asadas con edad o en el grupo 𝑗 y 𝑃𝑗𝑓 𝑐 las mujeres casadas con edad o en el grupo de edad 𝑗. Las clasificaciones más comunes son respecto a la edad de las mujeres.163) 𝑃𝑗𝑓 cuando el cálculo se hace con los nacimientos anuales y la población de mitad de año. su estado civil y el orden de nacimiento. Sea la población femenina con edad o en el grupo de edad 𝑗.164) 𝑃𝑗𝑓 𝑐 Para el caso de la fecundidad de las mujeres no casadas. 𝐵𝑗𝑙 𝑓𝑗𝑚 = (7. esta forma de la tasa de fecun- didad general es la más comúnmente usada. clasificada en cuanto a sus caracterı́sticas demográficas y socioeconómicas. los resultados son las tasas especı́ficas de fecundidad. 𝐵𝑙 𝑖𝑓15−49 = 𝑓 (7. Sea 𝐵. entonces las tasas especı́ficas de fecundidad son llamadas maritales o legı́timas. entonces la tasa especı́fica de fecundidad por edad es: 𝐵𝑗 𝑓𝑗 = 𝐾 (7. los nacimientos de hijos cuyas madres tenı́an en el momento de dar a luz en la edad j o su edad comprendida en el grupo de edad 𝑗 (en general quinquenal: 15 a 19. 20 a 24. si una mujer estuviera expuesta a la fecundidad de la serie 𝑓𝑗 de tasas especı́ficas de fecundidad por edad. la amplitud del grupo 𝑗. o grupo de edad 𝑗. + 𝑓49 ) (7. . 197 . 𝑏 el último. y 𝑓𝑥. en cambio. mujer estuviera expuesta a la fecundidad de la serie 𝑓𝑢 de tasas especı́ficas de fecundidad por edad.166) 𝛼=4 Donde 𝑓 es la tasa de feminidad al nacimiento. y 𝑒. 𝑥 + 4). . Ası́. el reemplazo integral no se encuentra asegurado (faltarı́a 1 − 𝑅0 ). si Ro es igual a 1 y con -mayor razón si 𝑅0 es mayor que 1. a es la amplitud del grupo 4.165) 𝑗=𝑎 Donde 𝑎 es la primera edad o grupo de edad fecundado. tal reemplazo se alcanza. el número de hijos que tendrı́a al final de su vida reproductiva vendrı́a dado por la tasa global de fecundidad o descendencia final (𝑇 𝐺𝐹 ): 𝑏 ∑ 𝑇 𝐺𝐹 = 𝑐 𝑓𝑗 (7. se tiene 𝑅 = 0.Tasa global de fecundidad o descendencia final La tasa global de fecundidad o descendencia final mide el promedio de hijos que tiene una mujer a lo largo de su perı́odo de procreación (tomándose comúnmente de 15 a 49 años cumplidos). . o grupo de edad 𝑢. tasa que no se suele apartar significativamente de 0. el número de hijas que tendrı́a estarı́a dado por 𝛽 ∑ 𝑅 = 𝑓𝑎 𝑓𝑢 (7. Ası́ pues.168) (7.488(𝑓15 + 𝑓16 + .170) 𝑢=𝛼 donde la serie 𝑃𝑢 es la de supervivencia de las mujeres a la edad 𝑢. Para apreciar la medida en que una generación asegura su reemplazo se observan los valores de 𝑅0 . caso este último en que se produce un excedente (que se mide por la cantidad 𝑅0 − 1). ası́. a el primer grupo fecundo y 𝛽 el último. + 𝑓45−49 ) (7. Tasas bruta y neta de reproducción La tasa bruta de reproducción (𝑅) representa el número de hijas que tendrı́a una mujer a lo largo de su vida fértil en ausencia de mortalidad.488 ∗ 5(𝑓15−19 + 𝑓20−24 + . . se tendrı́a 𝑤 ∑ 𝑅0 = 𝑓 𝑎 𝑓𝑢 𝑃𝑢 (7. Ası́ pues. Si se representa como 𝑓𝑥 la tasa especı́fica de fecundidad a la edad 𝑥.167) 𝑅 = 0. se llega a la tasa neta de reproducción (𝑅0 ) que representa el número de hijas que tendrı́a una mujer a lo largo de su vida fértil si estuviera expuesta a la mortalidad. si una.169) Haciendo entrar en juego la mortalidad de esa generación de mujeres.𝑥+4 la tasa especı́fica de fecundidad del grupo de cumplidas (𝑥. si la tasa neta de reproducción es inferior a 1.488. 5)𝑓𝑥 ′ 𝑥=𝛼 𝑥=𝛼 𝑚 ˆ = 𝛽 = 𝛽 (7. Haciendo la analogı́a del caso de mortalidad y nupcialidad.entonces: 𝑃𝑥 = 𝐾(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑃𝑥1 (7. que representan el promedio de años que deben transcurrir antes de que una mujer tenga su primer hijo nacido vivo.488 y sumamos de 𝛼 a 𝛽 (15 a 49 años) 𝛽 ∑ 𝛽 ∑ 𝛽 ∑ 0.𝑥+4 𝑥=𝛼 Relación entre las tasas bruta y neta de reproducción Suponiendo una relación lineal entre edades y probabilidades de supervivencia.173) 𝑥2 − 𝑥1 𝑃𝑥2 −𝑃𝑥1 Sea 𝐾 = 𝑥2 −𝑥1 .175) la expresión (7. para la fecundidad la edad media se estima a partir de las siguientes expresiones: Caso de edades individuales: 𝑤 ∑ 𝛽 ∑ 𝑥𝑓𝑥 (𝑥 + 0. en el caso de mortalidad.𝑥+4 ′ 𝑥=𝛼 𝑚 ˆ = 𝛽 (7.Edad media a la fecundidad Ası́ como se estimaron la esperanza de vida.488𝐾 𝑓𝑥 (𝑥 − 𝑥1 ) + 0.174) por 𝑓𝑥 (tasa especı́fica de fecundidad a edad 𝑥): 𝑓𝑥 𝑃𝑥 = 𝐾𝑓𝑥 (𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑓𝑥 𝑃𝑥1 (7.488 𝑓𝑥 𝑃𝑥 = 0.172) ∑ 𝑓𝑥. en el caso de nupcialidad.175) la multiplicamos por la tasa de feminidad 𝑓 = 0.171) ∑ ∑ 𝑓𝑥 𝑓𝑥 𝑥=𝛼 𝑥=𝛼 Caso de grupos quinquenales de edad: 𝛽 ∑ (𝑥 + 0. entonces bajo la hipótesis de linealidad: 𝑃𝑥2 − 𝑃 − 𝑥1 𝑃 𝑥 − 𝑃 𝑥1 = (𝑥 − 𝑥1 ) (7.5)𝑓𝑥.488𝑃𝑥1 𝑓𝑥 (7. tomando 𝑃1 = 𝑥1 𝑃𝑥1 y 𝑃2 = 𝑥2 𝑃𝑥2 donde 𝑥1 y 𝑥2 son dos edades comprendidas en el periodo reproductivo de la mujer 𝑃𝑥 y 𝑃𝑥 . sus respectivas tasas de supervivencia. y la esperanza de vida célibe o edad media al contraer primeras nupcias.176) 𝑥=𝛼 𝑥=𝛼 𝑥=𝛼 198 . en cuanto a la fe- cundidad.174) multiplicando ambos miembros de la ecuación (7. se estima la edad media a la fecundidad o edad media al primer hijo nacido vivo. 177) 𝑥=𝛼 y obtener la relación final entre 𝑅0 y 𝑅.179) 𝛽 𝛽 𝛽 ( ) ∑ ∑ ∑ 𝑓𝑥 (𝑥 − 𝑥1 ) = 𝑥𝑓𝑥 − 𝑥1 𝑓𝑥 =0 (7. Por extensión.488𝐾 𝑓𝑥 (𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑃𝑥1 𝑅 (7. es decir.176) puede escribirse como: 𝛽 ∑ 𝑅0 = 0.178) 𝑥=𝛼 𝑃𝑥2 −𝑃𝑥1 Si: 𝑘 = 0. pero 𝐾 = 𝑥2 −𝑥1 = 0 sı́ 𝑃 𝑥2 − 𝑃 𝑥1 = 0 (7. se incluye algunas veces el estudio de las uniones ilegales.177) 𝑥=𝛼 𝛽 ∑ Nos preguntamos si existe valor de 𝑥1 tal que 𝐾 𝑓𝑥 (𝑥 − 𝑥1 ) = 0 con el fin de simplificar (7. realizadas en la forma provista por la ley. En la mayorı́a de los paı́ses se celebra una ceremonia. Tasa bruta de nupcialidad Si 𝑀 es el número total de matrimonios entre los residentes de una comunidad durante un año del calendario y 𝑃 es el número promedio de personas que viven en ella durante el año. forma 1a base de los estudios sobre la nupcialidad.180) 𝑥=𝛼 𝑥=𝛼 𝑥=𝛼 𝛽 ∑ 𝑥𝑓𝑥 𝑥=𝛼 O bien: 𝛽 ˆ′ . para sancionar el acuerdo de unión entre un hombre y una mujer conforme a las normas establecidas por la ley o por la costumbre.181) Nupcialidad El estudio de la nupcialidad comprende principalmente el de los fenómenos cuantitativos que resultan directamente de la existencia de los matrimonios. o uniones legitimas. entonces 199 . de uniones entre personas de diferente sexo. La observación de los sucesos constituidos por tales matrimonios y por las rupturas de la unión. la que por definición es la edad media de la fecundidad: 𝑚 ∑ 𝑓𝑥 = 𝑥1 𝑥=𝛼 Por lo tanto la relación entre las tasas bruta y neta de reproducción es: ˆ ′𝑅 𝑅0 = 𝑃 𝑚 (7. ası́: 𝛽 ∑ 𝐾 𝑓𝑥 (𝑥 − 𝑥1 ) = 0 (7. llamada también matrimonio. . o por la costumbre y que confieren a las personas interesadas determinados derechos y obligaciones. especialmente en los paı́ses en que esta clase de uniones están tan generalizadas que su estudio resulta indispensable. teniendo que (7. 𝑥+1 𝐶𝑥 − 𝑑𝑥. Se tiene ası́ la probabilidad de contraer primeras nupcias en las edades 𝑥 y 𝑥 + 1: 𝑚𝑥.182) 𝑃 donde 𝐾 es una constante que por lo general se toma como 1000. es decir.𝑥+1 𝑑𝑥. :sexo. en su conjunto.𝑥+1 que mueren entre 𝑥 y 𝑥 + 1. o sea. el riesgo de nupcialidad lo ha corrido el efectivo. se toman en cuenta primeras uniones o matrimonios de orden uno. por consiguiente.183) 𝑛 𝑃𝑥 En general las tasas de nupcialidad se basan en la población adulta no casada. complicando considerablemente su análisis y la realidad de los diversos fenómenos demográficos relacionados con la celebración y la ruptura de uniones.𝑥+1 𝑚𝑥 = (7. en promedio.𝑥+1 que corran el riesgo de nupcialidad durante todo el año. se calculan previamente una serie de probabilidades de nupcialidad que midan el riesgo de nupcialidad entre dos edades sucesivas 𝑥 y 𝑥 + 1. en vez del número de matri- monios. Tablas de nupcialidad Para describir la manera en que se producen los matrimonios en primeras nupcias en una generación femenina dada. Hay ocasiones en que se usa el número de personas que se casan.184) 𝐶𝑥 Se debe corregir (7. las tasas de nupcialidad pueden calcularse por edad. 𝐶𝑥 . Se puede admitir que los 𝑑𝑥. Tasa especı́fica de nupcialidad Como en el caso de las tasas de mortalidad. Habrá entonces 𝐶𝑥 − 𝑑𝑥. Con ello se está ante un fenómeno de- mográfico no renovable. el -fenómeno serı́a renovable. o sea 𝑚𝑥. han corrido el riesgo nupcial también medio año cada uno. habrá 𝑑𝑥. nivel socioeconómico y otras caracterı́sticas Si 𝑛 𝑀𝑥 es el número de matrimonios entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑛 entre los residentes de una comunidad durante un año.𝑥+1 2 solteros durante un año entero En total. entonces la tasa de nupcialidad por edades es: 𝑛 𝑀𝑥 𝑛 𝑁𝑥 = 𝐾 (7. estado civil. Entre los 𝐶𝑥 solteros que alcanzan la edad exacta 𝑥. Se mide este riesgo relacionando los matrimonios en primeras nupcias (o matrimonios de solteros) que se producen entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 1. 𝑑𝑥. para calcular la tasa de nupcialidad.la tasa bruta de nupcialidad es: 𝑀 𝐾 (7.𝑥+1 + = 𝐶𝑥 − (7. pero sı́ no ponemos la restricción de uniones de primer orden.173) para tener en cuenta la mortalidad. y en 𝑛 𝑃𝑥 es el número promedio de personas entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑛 que viven en esa comunidad durante ese año.𝑥+1 . con el efectivo de solteros que han alcanzado la edad exacta 𝑥.185) 2 2 200 . lo que globalmente equivale al riesgo nupcialidad corrido por 𝑑𝑥.𝑥+1 fallecidos en medio han vivido casi medio año cada uno y que. la fórmula (7.𝑥+1 ) 𝐶𝑥 Lo mismo que en el caso de las tasas especı́ficas de mortalidad. mortalidad y migración toma la siguiente expresión: 𝑚𝑥. (al igual que en el caso de mortalidad se puede admitir que los 𝐸𝑥.𝑥+1 − 𝐸𝑥.135) al considerar los fenómenos perturbadores. considerando la mortalidad y la migración.𝑥+1 (7.𝑥+1 𝑁𝑥 = 𝑑𝑥. teniéndose que la mitad de los primeros matrimonios de los emigrantes ocurrió fuera de la zona y la mitad de los primeros matrimonios de los inmigrantes se han contabilizado en ella. un componente 201 . En total. en el de la nupcialidad también a partir de las tablas de nupcialidad se obtiene un ı́ndice sintético: la esperanza de vida célibe o edad media a la nupcialidad. en promedio han vı́vido casi medio año cada uno en la región de origen) por consiguiente han corrido el riesgo nupcial también medio año cada uno. en promedio lo que globalmente equivale al riesgo 𝐸 𝐼 de nupcialidad corriendo por 𝑥.𝑥+1 + (7.189) 𝐶𝑎 𝑚𝑥.𝑥+12 y 𝑥.𝑥+1 2 durante un año entero.173) al considerar al fenómeno perturbador mortalidad torna la siguiente expre- sión: 𝑚𝑥.186) 𝐶𝑥 − 2 Considerando los movimientos migratorios.𝑥+1 𝑁𝑥 = = (7. las probabilidades de contraer primeras nupcias.𝑥+1 𝐸𝑥.190) 𝛽 ∑ 𝐶𝑖 𝑖=𝛼 𝐶𝛼 − 𝐶𝛽 𝐶𝛽 𝑒¯ = = =1− (7.𝑥+1 𝑚𝑥. se estiman.191) 𝐶𝛼 𝐶𝛼 𝐶𝛼 𝐶 donde:𝛼 es la edad de entrada al proceso nupcial y 𝛽 la edad de salida y 𝐶𝛼𝛽 es la proporción de célibe o solteros definitivos. a partir de las cuales se pueden calcular las probabilidades de muerte.𝑥+𝑎 𝑎 𝑁𝑥 = (7.𝑥+𝑎 = 𝑎 𝑁𝑥 𝐶𝑎 = 𝐶𝑎 − 𝐶𝑎+𝑛 (7.𝑥+1 + 𝐼𝑥.𝑥+1 solteros.Ası́.188) 𝐶𝑥 − 12 (𝑑𝑥.𝑥+1 emigrantes y los 𝐼𝑥. en el caso de nupcialidad a partir de las tasas especificas por edad.187) 2 2 2 Ası́.𝑥+1 − − 𝐸𝑥. y suponiendo también que entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 1 han emigrado 𝐸𝑥.𝑥+1 inmigrantes. el riesgo de nupcialidad lo ha corrido el efectivo: 𝑑𝑥. Al igual que en el caso de la mortalidad. la que representa el número de años que vivirá en estado célibe.𝑥+1 𝐼𝑥.𝑥+1 + 𝐼𝑥. que en este caso son las siguientes: 𝑚𝑥. la fórmula (7.𝑥+1 y han inmigrado 𝐼𝑥. esto empleando la misma relación encontrada para el caso de la mortalidad: y a partir de las probabilidades de nupcialidad se pueden calcular tablas de nupcialidad y definir funciones análogas a las que se señalaron para las tablas de mortalidad. Suponiendo que el comportamiento de unos y otros fuese común al del conjunto. por término medio.𝑥+1 𝐶𝑥 − 𝑑𝑥. suponiendo uniformidad de los flujos migratorios. mediante la llamada ecuación compensadora. cuya formulación es la siguiente: Sean para el periodo 𝑡.𝑥+1 𝑖=𝛼 𝛽 ∑ 𝑥𝑚𝑥. Es decir.𝑥+1 1 𝑖=𝛼 = + (7. bajo el mismo supuesto de uniformidad de la distribución de los eventos para la mortalidad. 𝑡 + 𝑎 en una zona geográfica cualquiera: 202 .𝑥+𝑎 𝑎 𝑖=𝛼 = + (7.𝑥+𝑎 𝑖=𝛼 ¯′ = 𝑚 𝛽 (7. Ası́.𝑥+1 𝑖=𝛼 𝛽 𝛽 ∑ 1∑ 𝑥𝑚𝑥.𝑥+1 2 𝑖=𝛼 ¯′ = 𝑚 𝛽 (7.192) ∑ 𝑚𝑥. es decir el número de inmigrantes menos el flujo de emigrantes durante un perı́odo en una zona.194) 2 𝐶𝛼 − 𝐶𝛽 Caso de tabla abreviada: 𝛽 ∑ 𝑚𝑥+ 𝑎2 𝑚𝑥. se tienen las siguientes expresiones para estimar la edad media a la primera unión (𝑚):¯ Caso de tabla completa: 𝛽 ( ) ∑ 1 𝑥+ 𝑚𝑥. Los movimientos migratorios se clasifican según el tipo de desplazamiento en: definitivos.196) 2 𝐶𝛼 − 𝐶𝛽 Migración El movimiento migratorio se define como el fenómeno demográfico cuyo suceso caracterı́stico es la migración.𝑥+𝑎 𝑖=𝛼 ∑𝛽 𝑥𝑚𝑥. de duración larga. por ello muy frecuentemente se obtienen resultados sobre el fenómeno migratorio recurriendo a fuentes indirectas. Los datos sobre migraciones son en general incompletos. es muy corriente obtener el saldo migratorio.195) ∑ 𝑚𝑥.𝑥+1 2 𝑖=𝛼 𝑖=𝛼 = 𝛽 (7.𝑥+1 + 𝑚𝑥. en los casos de tablas completas y abreviadas. temporales e incluso diarios.193) ∑ 𝑚𝑥. Ası́.de la generación sujeta a la nupcialidad que describe la tabla. el desplazamiento de un individuo desde un lunar hacia otro. 𝑡+𝛼 = defunciones (7.𝑡+𝛼 = inmigrantes (7.𝑡+𝛼 − 𝐼𝑡.202) 𝑃 𝑀 𝑃𝐶 El mismo ı́ndice puede derivarse al diferenciar la proporción de los migrantes totales contenida en una categorı́a particular y la proporción correspondiente de la población residente total.201) O lo que es igual: 𝑃 − 𝑡 al número de residentes de esa categorı́a.198) 𝐸𝑡.𝑡+𝛼 = emigrantes (7. y si toda la migración hacia adentro y hacia afuera aconteciera al final del decenio.𝑡+𝛼 − 𝐸𝑡.𝑡+𝛼 = 𝑃𝑡+𝑎 (7. supóngase que se dispone. Para ilustrar el método avanzante de tasas de supervivencia. para los tiempos 𝑡 y 𝑡 + 10 de la distribución por edades de la población. 𝑀 al número de migrantes entre la población 𝑃 al número de residentes de la población total.199) 𝐼𝑡. 203 .204) La fórmula avanzante de supervivencia puede dar lugar a estimaciones correctas de la migración si la información sobre población es exacta. Entonces la migración neta durante la década para el grupo de edad x al principio es: 𝑡+10 𝑀𝑥𝑡 = 𝑃𝑥+10 −10 𝑃𝑥 𝑃𝑥𝑡 (7. 𝑃𝑡+𝑎 se tendrá: 𝑃𝑡 = 𝐷𝑡. Entonces el ı́ndice de migración diferencial de la categorı́a particular es: 𝑀𝐶 𝑀 𝑃𝐶 − 𝑃 𝑀𝐶 𝑃 − 𝑀 𝑃 𝐶 𝑀 ∗ 100 = ∗ 100 (7.𝑡+𝛼 = nacimientos (7. De este modo: 𝑀𝐶 𝑃𝐶 𝑀 − 𝑃 𝑀 𝐶 𝑃 − 𝑀 𝑃𝐶 𝑃𝐶 ∗ 100 = ∗ 100 (7. o si se han hecho correcciones por subnumeración y declaración incorrecta de la edad. en ocasiones puede usarse por conveniencia.𝑡+𝛼 − 𝑁𝑡. 𝐷𝑡.197) 𝑁𝑡. aun cuando se disponga de información sobre defunciones.200) Si la población en 𝑡 es 𝑃𝑡 y en el instante 𝑡 + 𝑎. y de un conjunto de tasas de supervivencia 10 𝑃𝑥 aplicables a la población.203) 𝑃 𝑀 𝑃𝐶 El método de la tasa de supervivencia Fórmula avanzante Este método se usa cuando no se dispone de las estadı́sticas necesarias sobre defunciones para aplicar la ecuación compensadora. Ası́: 𝑀𝑥𝑡 = 𝑡 10 𝑃𝑥 𝑀𝑥 (7. facilidad de comprensión.Fórmula de retroceso El método de la fórmula de retroceso se ilustra en términos de los parámetros utilizados en el método de la fórmula avanzante.205) 10 𝑃𝑥 En este caso se tendrán estimaciones correctas de la migración si toda la inmigración y la emigración 𝑡 tienen lugar al principio del decenio. 𝑃𝑖 la población presente en la región 𝑖 𝑂𝑃𝑖 los originarios de 𝑖 presentes en 𝑖 al momento del censo. la fórmula avanzante es la más usada debido a su simplicidad. Estimación directa de la migración interna empleando información censal Con la información censal del lugar de residencia y del lugar de nacimiento se puede estimar el saldo neto migratorio y. Este número se compara con el número 𝑃𝑥𝑡 registrado. Considérese dividida la población en estudio en 𝑛 regiones y sean para la región 𝑖: 𝑂𝑖 los originarios de la región 𝑖 censados en las 𝑛 regiones.208) 210 𝑃𝑥 Cabe señalar que de los tres métodos de tasas de supervivencia. 𝑡+10 La tasa de supervivencia de diez años 10 𝑃𝑥 se divide entre la población correspondiente 𝑃𝑥+10 al final del decenio para obtener una estimación del número de personas vivas a una edad 10 años mayor al principio del decenio. para obtener ası́ una estimación de la migración neta. 204 . la fórmula promediada es: 1 +10 𝑃𝑥 ( 𝑡+10 𝑀𝑥𝑎 = 𝑃𝑥+10 −10 𝑃𝑥 ∗ 𝑃𝑥𝑡 ) (7. un promedio de los dos nos darı́a una estimación mejorada de 1a migración neta.207) y 1 +10 𝑃𝑥 𝑡 𝑀𝑥𝑎 = 𝑀𝑥 (7. y a la exactitud relativa de la estimación de la migración entre la población inicial de un periodo. a diferencia de los otros métodos enunciados el número tanto de inmigrantes como de emigrantes a una región. Fórmula promediada Debido a la naturaleza contraria de los errores implicados en los métodos avanzante y de retro- ceso. de este modo: 𝑡+10 𝑃𝑥+10 𝑀𝑥𝑡 = − 𝑃𝑥𝑡 (7.206) 210 𝑃𝑥 Relación entre los métodos de tasas de supervivencia Las tres fórmulas de tasas de supervivencia están relacionadas en forma muy simple. no son demasiado acusadas. con respecto a las 𝑛 − 1 regiones restantes. ası́ como el número de emigrantes e inmigrantes para el caso de la región 𝑖. en el caso positivo. Lo verdaderamente diferenciador estriba en el tipo de información actual disponible. 𝐸𝑖 los originarios sobrevivientes de la región 𝑖 censados 𝐼𝑖 la población sobreviviente en la región 𝑖 nacidos fuera de 𝑖 en las 𝑛 − 1 regiones restantes.210) 𝑂𝑖 Además pueden estimarse los saldos netos migratorios interregionales. que para la región i son respectivamente: 𝐼𝑖 ∗ 100 (7. al estimar para cada una de ellas los parámetros antes definidos la siguiente matriz de migración: Con la información captada en la matriz de migración se pueden estimar los ı́ndices de inmi- gración y emigración. En el cuadro 1 se resume la información sobre migración interregional para el estado 𝑖. que fue mayor el número de inmigrantes a la región 𝑖 que el número de emigrantes de 𝑖 a la región considerada. las diferencias entre el fenómeno de la actividad y los fenómenos más clásicamente demográficos.209) 𝑃𝑖 𝐸𝑖 ∗ 100 (7. como pueden ser la mortalidad o la nupcialidad. 205 . Población activa En el nivel metodológico. los signos de la columna 4 indican. Para las 𝑛 regiones es posible obtener. y en el caso negativo lo contrario. La información referente a la población activa proviene principalmente de un recuento de población tal como un censo o una encuesta.. Cabe señalar que comúnmente se introduce el concepto fuerza de trabajo para identificar a la población económicamente activa. define la fuerza de trabajo como el conjunto de las condiciones fı́sicas. y sı́quicas que se dan en la corporeidad. . la categorı́a de los no activos y supongamos que estamos ante una cohorte cuyo suceso origen es la entrada en edad potencialmente activa. tomo 1. 𝑖−1 .. El modelo simplificado de una población Supongamos la economı́a de una población dividida en 𝑁 sectores productivos. o población económicamente inactiva. 𝑛 Total 𝐼𝑖 𝐸𝑖 Migración neta de todo el estado Las estadı́sticas demográficas distinguen la población activa. Se considera población inactiva la constituida por todas las personas no incluidas en la población activa. del F. .. . en particular los trabajadores familiares no remuner- ados. por otro lado.Cuadro 7. se incluyen en ella no solamente las personas que ejecutan una actividad lucrativa. o población económicamente ac- tiva. o población no activa. emigrantes de 𝑖 y saldos netos migratorios interregionales Región (1) Inmigrantes (2) Emigrantes (3) Saldos netos inter- regionales (2)+(3) 1 + 2 + . de la población inactiva. 206 . Marx en El Capital. en la personalidad viviente de un hombre y que este pone en acción al producir valores de uso de cualquier clase. otros flujos de segundas. En principio. o de información de los establecimientos donde trabaja la población.. no obstante que el concepto fuerza de trabajo es más especı́fico que el de trabajador remunerado7 . Ed. sino también aquellas-cuya actividad no está remunerada. .22: Región 𝑖 Número de inmigrantes a 𝑖. Entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 hay un flujo de individuos de esa cohorte que entran en actividad por primera vez. existiendo. terceras. . .E. que se está ante un solo sector: al que pertenecen los activos. p. y para fines de este análisis. hay un flujo 7 Karl. enésimas entradas en actividad. la población activa está constituida por aquella parte de la población total disponible corrientemente para trabajar en la producción y la distribución de los bienes y servicios económicos.C. 121. Ası́ pues. Ası́. si en general se está ante dos fenómenos demográficos el 𝑓 (fenómeno en estudio) y el 𝑃 (fenómeno perturbador).𝑥+𝑎 = 𝑎𝑥 𝐻𝑥 = 𝑎𝑥 1 − 𝑎𝑖 (7.de fallecimientos y. 𝑎𝑥. A fin de simplificar el razonamiento. y el segundo por el 𝐵. fenómeno éste que se produce necesariamente tras el primero y la mortalidad que interfiere los dos primeros. Tablas de entrada Las series que se pueden obtener en este caso son las siguientes: 𝑎𝑥 probabilidad de entrar en actividad entre𝑥 y 𝑥 + 𝑎 para los aún inactivos en 𝑥.212) 𝑖=0 Para la obtención de la serie 𝑎𝑥 serı́a necesario disponer de los siguientes datos: 𝜉𝑥. se está ante tres fenómenos: la entrada en actividad. la salida de actividad. en fin. Como en toda tabla demográfica las relaciones entre las tres series son las siguientes: 𝑥−𝑎 ∑ 𝐻𝑥 = 𝑎 − 𝑎𝑖 (7. Al llegar a una edad 𝑥la cohorte cuyo efectivo inicial era 𝑆0 estará dividida en cuatro subconjuntos: 𝑆𝑥 personas que no han sido alcanzadas ni por 𝐴 ni por 𝐵 𝑅𝑥 personas alcanzadas por 𝐴 y no por 𝐵 𝐹𝑥 personas no alcanzadas por 𝐴 y sı́ por 𝐵 207 .𝑥+𝑎 flujos de entradas en actividad entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎. ambos no renovables. es decir. Se supondrá además que una persona destinada a entrar en actividad entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 no puede estar destinada a salir de actividad en el mismo periodo. 𝐼𝑥 número de inactivos en la edad 𝑥 𝑞𝑥 muerte aplicable entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 a los inactivos en 𝑥 Además es necesario considerar al fenómeno perturbador constituido por la mortalidad. flujos migratorios hacia y desde la zona geográfica considerada. Supongamos que ambos fenómenos se observan desde la edad 0 la 𝑤. la construcción de tablas de entradas y salidas de activada servirán para medir ambos fenómenos. sin movimientos migratorios con el exterior Que las salidas son definitivas. el primero se caracteriza por el suceso 𝐴. en la estimación de 𝑎𝑥 . Aquellas personas que son alcanzadas por 𝐵 no pueden serlo posteriormente por 𝐴.𝑥+𝑎 probabilidad de entrar en actividad entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 para el conjunto de la cohorte en 0. pueden formularse las siguientes hipótesis: Que la población es cerrada.211) 𝑖=0 𝑥−𝑎 ∑ 𝑎𝑥. 𝐻𝑥 probabilidad de ser inactivo en 𝑥 para el conjunto de la cohorte en la edad 0. 215) Teniéndose que (7. 𝑇𝑥 personas alcanzadas por 𝐴 y.219) 2 2 2 208 . ası́.𝑥+𝑎 y el de sucesos 𝐵 para el subconjunto 𝑆𝑥 : 𝑁𝑥.𝑥+𝑎 (7.216) 𝑆𝑥 − 2 ′ Para el cálculo de (7. llegando a la siguiente expresión para 𝑁𝑥 : 1 𝑁𝑥.𝑥+𝑎 𝑆𝑥 + 𝑆𝑥 + 𝑎 = 𝑆𝑥 − (7. el número de los destinados a padecer 𝐴 y 𝐵 entre dichas duraciones será 𝑆𝑥 𝑁𝑥 𝑞𝑥 . Sea 𝑞𝑥 la probabilidad de ser alcanzado por 𝐵 entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 para el subconjunto S𝑥.𝑥+𝑎 + 𝑆𝑥 𝑁𝑥 𝑞𝑥 𝑁𝑥 = (7. siéndolo la otra mitad 1 por 𝐴 antes que por 𝐵.218) 2 2 Por lo cual: ′ 𝑁𝑥.213) 𝑆𝑥 o lo que es igual 𝑁𝑥.𝑥+𝑎 (7.214). por 𝐵 Teniéndose que 𝑆0 = 𝑆𝑥 + 𝑅𝑥 + 𝐹𝑥 + 𝑇𝑥 .𝑥+𝑎 𝑁𝑥 = (7.216) es preciso recurrir al conocimiento de 𝑁𝑥.214) 𝑆𝑥 1 − 𝑞2𝑥 ( ) Supongamos que. si denotamos como 𝑁𝑥 a la probabilidad para los elementos del subconjunto 𝑆𝑥 de ser alcanzados por 𝐴 antes de llegar a la duración 𝑥+𝑎 en ausencia del fenómeno 𝑃 . teniéndose que el número de sucesos 𝐴 impedidos por 𝐵 será 2𝑆𝑥 𝑁 𝑥 𝑞𝑥 . posteriormente.𝑥+𝑎 𝑆𝑥 + 𝑆𝑥 + 𝑎 𝑁𝑥.𝑥+𝑎 + 𝑁𝑥. En este caso la probabilidad de ser alcanzado por 𝐴 y 𝐵 entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 será. Supongamos que entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 el flujo de sucesos A dentro de la cohorte es 𝑁𝑥. entonces el valor 𝑁𝑥 vendrá dado por un cociente en cuyo denominador está 𝑆𝑥 .𝑥+𝑎 (7.𝑥+𝑎 + 𝑁𝑥.𝑥+𝑎 ′ . Para eliminar ese problema se hace lo siguiente: Por definición de 𝑆𝑥 : ′ ( ) 𝑆𝑥 − 𝑎 = 𝑆𝑥 − 𝑁𝑥. para dicho subconjunto: 𝑁𝑥 𝑥 𝑞𝑥 .𝑥+𝑎 . es válida la siguiente equivalencia: ′ 𝑆𝑥 𝑞𝑥 = 𝑁𝑥.𝑥+𝑎 más el número de sucesos 𝐴 que fueron impedidos por 𝐵. a efectos del denominador de (7. Supongamos que de entre ellos la mitad será alcanzada antes por𝐵 que por 𝐴.𝑥+𝑎 + 𝑁𝑥.214) puede escribirse como: 𝑁𝑥.𝑥+𝑎 𝑆𝑥 − = + (7. con un numerador compuesto por el número de sucesos 𝐴 observados: 𝑁𝑥.217) De donde: ′ 𝑁𝑥.𝑥+𝑎 𝑁𝑥 = ′ 𝑁𝑥. entran en actividad los componentes de esa generación que alguna vez llegan a ser activos.𝑥+𝑎 2 ′ La expresión (7.𝑥+𝑎 𝑥 − 𝑎𝑥.222) 𝐼𝑥 +𝐼𝑥 +𝑎 2 + 𝑥.𝑥+𝑎 𝑎𝑥 = 𝜉 (7.224) ∑ 𝐼 − 𝐻𝑤 𝑎𝑥. vendrá dada por: 𝑤 ( 𝑤 ∑ 𝑎) ∑ 𝑎+ 𝑎𝑥.𝑥+𝑎 𝑥=0 donde se supone que las entradas en actividad entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 se producen por término medio 𝑥+𝑥+𝑎 en 2 = 𝑥 + 𝑎2 de duración.𝑥+𝑎 2 𝑥=0 𝑥=0 𝑚 ¯ = 𝑤 =𝑎+ (7. por término medio.220) 𝑆𝑥 +𝑆𝑥 +𝑎 2 + 𝑥.𝑥+𝑎 probabilidad de salir de actividad entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 para el conjunto de la subcohorte 209 . Con lo que se llega a una nueva fórmula para Mx: 𝑁𝑥 𝑥. Tablas de salida La tabla de salidas estará constituida por las siguientes series.220) para estimar los valores 𝑎𝑥 a partir de 𝜉𝑥.219) no hace ya referencia al flujo perturbador 𝑁𝑥. 𝛽𝑦𝑥 probabilidad de salir de actividad entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 para los activos en 𝑥 𝐽𝑥 𝑌 probabilidad de continuar siendo activo en 𝑥 para el conjunto de la subcohorte 𝑏𝑌𝑥. siendo la intensidad: ∑ 𝑎𝑥. al aplicar (7.𝑥+𝑎 𝐼𝑥 y 𝑞𝑥 se tiene que: 𝜉𝑥.221) 𝐼𝑥 𝑎 − 𝑞2𝑥 ( ) y 𝜉𝑥.223) 𝑥=0 La duración media del fenómeno.𝑥+𝑎 2 𝑎𝑥.𝑥+𝑎 = 𝐼 − 𝐻𝑤 (7. referidas todas ellas a la subco- horte de los que entraron en actividad entre 𝑦 e 𝑦 + 𝑎.𝑥+𝑎 𝑥=0 𝑤 ∑ 𝑝 = 𝑎𝑥.𝑥+𝑎 El calendario del fenómeno vendrá dado por el cociente 𝑤 .𝑥+𝑎 de sucesos 𝐵.𝑥+𝑎 𝑎𝑥 = (7. la edad o duración en que. es decir. +𝑎 𝑁𝑥 = 𝑁 (7. Volviendo al problema que nos ocupa.214) y (7. 𝑥+𝑎 𝛽𝑥 𝑌 = 𝐴𝑥𝑦 +𝐴𝑥+𝑎 Ψ 𝑌 (7. entendidos éstos.226) 𝐴𝑥𝑦 1 − 𝑞𝑥2𝑌 O bien: Ψ𝑥 𝑌𝑥.𝑥+𝑎 ya que la intensidad del fenómeno es la unidad. En una zona geográfica dada. pueden referirse a 1) alfabetismo. Las relaciones entre estas series son. como el paso de los alumnos a través del sistema educativo. pues todas las entradas en actividad acaban por ser activos. La proporción 𝐸𝑥 𝐴𝑥 = (7.𝑥+𝑎 flujo de salidas de actividad entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 𝐴𝑥 𝑌 activos de la subcohorte en 𝑥 𝑞𝑥 𝑌 probabilidad de muerte entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 Usando (7. como en toda tabla demográfica.𝑥+𝑎 (7.227) 2 + 𝑥 𝑥. con lo que la duración media será: 𝑤 𝑎 ∑ 𝑆¯𝑌 = + 𝑥𝑏𝑦𝑥. 2) grado y tipo de escuela terminada o nivel educativo y 3) asistencia escolar dentro de un periodo reciente. las siguientes: 𝑥−𝑎 ∑ 𝐽𝑥 𝑌 = (1 − 𝛽𝑖 ) (7. Las estadı́sticas educativas que se han reunido en los censos de población.225) 𝑖=0 La serie 𝛽𝑥 𝑌 se obtendrá a partir de los datos siguientes correspondientes a la subcohorte de las entradas en actividad entre 𝑦 e 𝑦 + 𝑎 Ψ𝑌𝑥.𝑥+𝑎 𝛽𝑥 𝑌 = ( ) (7.228) 2 𝑥=0 Educación Desde el punto de vista demográfico el fenómeno de la educación se caracteriza por los ”flujos escolares”.229) 𝑃𝑥 210 . Proporciones de escolaridad por edad Sea 𝐸𝑥 el número de escolares de edad 𝑥 en el instante 𝑡 y 𝑃𝑥 la población total en esa edad.220) se obtienen la estimación de 𝛽𝑥 𝑌 Ψ𝑥 𝑌𝑥.𝑥+𝑎 2 El calendario del fenómeno vendrá dado por: 𝑏𝑦𝑥. en las distintas ocasiones.214) y (7. se denomina sistema educativo al conjunto de órganos sociales dedicados a la enseñanza. los 𝐸2 habrán superado un curso y. que no han superado ningún curso.𝑥+1 repiten. se tendrı́a que: 𝑆0 𝐴𝑛 representa el número de individuos que habrı́an estado alguna vez escolarizados en ausencia de mortalidad. el cociente: 𝐴𝑥 − 𝐴𝑥+𝑎 𝑎𝑥 = (7. 𝐵𝑥. 𝑅𝑥. se tendrá que: 𝑤 ( ∑ 𝑎) 𝑥+ (𝐴𝑥 − 𝐴𝑥 + 𝑎) 2 𝑖=0 (7.232) 2 𝐴𝑛 La duración media de la escolarización dentro de esa generación será igual a la edad media de salida del sistema menos la edad de entrada que se ha supuesto única 𝑛. es decir: 𝑤 ∑ 𝑎 𝐴𝑥 𝑎 𝑖=0 = −𝑛 (7. se incluye a los que aprueban el curso y no se inscriben en el curso siguiente.𝑥+1 abandonan el sector.𝑥+1 fallecen durante el curso. en general.230) 𝐴𝑥 representa la probabilidad de abandonar el sistema educativo entre la edad 𝑥 y la 𝑥+𝑎. que tiene un miembro de esa generación de ser aun escolar en la edad 𝑥. Los 𝐸𝑥 inscritos a principio de curso se repartirán a final del mismo de la siguiente forma 𝐷𝑥. en ausencia de fenómenos perturbadores. Desarrollando la expresión se llega a una edad media para la salida del sistema de: 𝑤 ∑ 𝑎 𝐴𝑥 𝑎 𝑖=0 = (7. representa la probabilidad. Siempre dentro de una generación y suponiendo que el efectivo inicial de la misma fuese 𝑆0 . numerados desde 1. bien dejando el sistema o siguiendo en él por emigración.233) 2 𝐴𝑛 Análisis de un sector con datos sobre flujos Sea un sector cualquiera compuesto por 𝑤 cursos o grados. Suponiendo que entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 los abandonos del sistema se reparten uniformemente en el tiempo. Si se denota como n la edad a partir de la cual se inicia el primer ciclo y se supone que las salidas del sistema son definitivas dentro de una generación.231) 𝐴𝑥 representa la edad media de salida del sistema. Ası́ los escolares en el curso 1: 𝐸1 serán aquellos inscritos.𝐸𝑥 representará el número de alumnos que han superado 𝑥 − 1 cursos. 211 . 235) 𝐸𝑥 (1 − 𝑞𝑥 ) Donde 𝑟𝑥 representa la probabilidad de repetir el curso 𝑥 y finalmente. el número de separaciones debidas a la deserción durante un intervalo de edad es: 𝐴𝑑𝑥 = (𝐴𝑥 𝐿𝑥 − 𝐴𝑥+1 𝐿𝑥+1 ) − 𝐴𝑥 𝐿𝑥 𝑄𝑥 (7. E1 producto 𝐴𝑦 𝐿𝑥 es una estimación del número de personas de la tabla de vida que estarı́an inscritas en la escuela en 1a edad 𝑥. donde 𝑑 𝐿𝑥 = 𝑀𝑥𝑥. las incorporaciones netas a la edad x pueden ser estimadas mediante la expresión: 𝑎𝑥 = 𝐴𝑥+1 𝐿𝑥+1 − 𝐴𝑥 𝐿𝑥 (1 − 𝑄𝑥 ) (7.234) 𝐸𝑥 (1 − 𝑞𝑥 ) Donde 𝑡𝑥 representa la probabilidad de aprobar el curso 𝑥. Debido a esta propiedad.238) Ası́. y 𝑀𝑥 la tasa de mortalidad. Sea 𝑄𝑥 la tasa de mortalidad definida como: 𝐿𝑥 − 𝐿𝑥+1 𝑄𝑥 = (7. puede llegarse a las siguientes expresiones: 𝑇𝑥 𝑡−𝑥 = (7. Llamando ala probabilidad de muerte que se supone común a todos los Ex.𝑥+𝑎 son las defunciones. queda medido el comportamiento de la cohorte frente al sector educativo Tablas de vida escolar Estas tablas requieren de las tasas de inscripción 1 escolar (𝐴𝑥 ) por edades dentro del intervalo de vida escolar. Las tasas de inscripción comúnmente se elevarán a unas cuantas edades después de los 5 años y luego disminuirán. 𝑇𝑥.236) 𝐸𝑥 (1 − 𝑞𝑥 ) que representa la probabilidad de abandonar el sector sin superar el curso 𝑥.240) 212 . Si se conocen las tres series de probabilidades 𝑟𝑥 .𝑥+1 𝑦𝑥 = (7. 𝑎 − 𝑥 y para todos los cursos desde 1 hasta w.𝑥+1 𝑎𝑥 = (7.𝑥+1 pasan al curso siguiente.239) 𝐿𝑥 Mediante el supuesto previo referente a la mortalidad. también de tabla a edad 𝑥 cumplida. 𝑇𝑥. comúnmente de 5 a 34 años dentro de un periodo especificado y una tabla de vida de 1a población global respecto del mismo periodo. 𝑡𝑥 . de tabla.𝑥+𝑎 𝑑𝑥. ocurridas entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 1.237) 𝐿𝑥 Suponiendo que esta tasa es la misma para los que están en la escuela y los que no lo están. es posible calcular tasas netas incorporación a la edad escolar y tasas de separación debido a la mortalidad y a la deserción. 𝐵𝑥. la tasa de incorporación es: 𝑎𝑥 (7. a medida que 𝐴𝑥 𝐿𝑥 disminuye a 𝐴𝑥+1 𝐿𝑥+1 tal número es: 𝐴𝑑 ( 𝑥 1 ) (7.242) 𝐴𝑥 𝐿𝑥 1 − 2 𝑄𝑥 213 . la probabilidad de deserción de una persona inscrita antes de alcanzar el siguiente intervalo es: 𝐴𝑑𝑥 (7.241) 𝐴𝑥 𝐿𝑥 La deserción toma en cuenta el cambio del número de personas sujetas al riesgo de morir. dentro de un intervalo de edad. la diferencia representa las separaciones debidas a la deserción. Ası́. El término entre paréntesis es el número total de separaciones en un intervalo de edad y del cual se sustraen las separaciones debidas a la muerte.
Report "La demografía en la formación del actuario - Alejandro Mina Valdes.pdf"