G eometríaActividades Primer grado de Secundaria Editorial Geometría Libro de actividades Primer Grado de secundaria La coLección inteLectum evoLución coLección inteLectum evoLución para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos © Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor establecidos en el Diseño Curricular RUC 20545774519 Nacional de la Educación Básica Regular, Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima además se alinea a los patrones y Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 estándares de calidad aprobados en la Fax: 330 - 2405 Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED. E-mail:
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Santa Marta, Lima, ATE RUC 20538732941 Contenido Temas Páginas Segmentos Aplicamos lo aprendido 6 Practiquemos 8 Ángulos Aplicamos lo aprendido 11 Practiquemos 13 PRIMERA Triángulos UNIDAD Aplicamos lo aprendido 18 Practiquemos 20 Triángulos rectángulos notables Aplicamos lo aprendido 25 Practiquemos 27 Maratón matemática 31 Congruencia de triángulos Aplicamos lo aprendido 34 Practiquemos 36 Polígonos Aplicamos lo aprendido 40 Practiquemos 42 SEGUNDA Cuadriláteros UNIDAD Aplicamos lo aprendido 45 Practiquemos 47 Circunferencia Aplicamos lo aprendido 51 Practiquemos 53 Maratón matemática 57 Proporcionalidad Aplicamos lo aprendido 60 Practiquemos 62 Semejanza de triángulos TERCERA Aplicamos lo aprendido 66 Practiquemos 68 UNIDAD Relaciones métricas en el triángulo rectángulo Aplicamos lo aprendido 71 Practiquemos 73 Maratón matemática 77 Área de una superficie plana Aplicamos lo aprendido 80 Practiquemos 82 Geometría del espacio Aplicamos lo aprendido 85 CUARTA Practiquemos 87 UNIDAD Transformaciones geométricas en el plano cartesiano Aplicamos lo aprendido 90 Practiquemos 92 Maratón matemática 94 Sudoku 95 Unidad 1 . trataba del problema de trazar una circunferencia dada una cuerda de longitud dada pasando por un punto dado. C. hoy perdida. encontrar un quinto punto P. D. Secciones en un área dada. elipse e hipérbola y espiral. Yo digo. en el alma. lugares sólidos. se han perdido muchas: Reparto rápido. Propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados. campo este en el que Apolonio ejerció una notable influencia. eran las rectas y las circunferencias. Respecto a sus obras. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura? Inclinaciones. Secciones en una razón dada. sobre el 190 a. como es el caso del estudio de la reflexión sobre que no puedes evitar. • Ennoblece la vida para que sea digna Apolonio escribió unas cuantas obras más que se difundieron bastante de vivirse. viniendo citado explícitamente por • La felicidad es un pedazo de cielo en el Tolomeo. Euclides. C.! eran las secciones cónicas y lugares lineales el resto de las curvas. otras de astronomía. dados cuatro puntos A. autor del Almagesto como responsable de un importante corazón y la serenidad es todo el cielo teorema en la teoría de epiciclos. trataba sobre los problemas derivados de trazar una recta que pase por un punto dado y que corte a otras dos rectas dadas en segmentos. una recta y una circunferencia. A) 40 B) 41 C) 45 D) 46 E) 43 . estar sereno es más que estar De los tres grandes matemáticos del helenismo. B. este último ha sido el menos conocido a lo largo de los siglos. ¡Razona. Arquímedes feliz. Las tangencias o Los y la alegría es la felicidad del cuerpo. conocida gracias a Pappus de Alejandría. en el que se enseñaban métodos rápidos de cálculo y se daba una aproximación del número π. Egipto. El • La serenidad es la felicidad del alma problema aparece en su obra.. tal que el rectángulo construido sobre AP y CP esté en una razón dada con el rectángulo construido sobre BP y DP. problema parecido al anterior. Lugares planos. en Pérgamo.Recuerda Apolonio de Pérgamo Llamado el gran geómetra por su famoso libro Secciones cónicas que Reflexiona f flexiona introdujo los términos: parábola. espejos curvos. otras a campos contempla las miserias de la misma de la física donde sus profundos conocimientos geométricos más pudieron aportar. ahora Turquía. Secciones determinadas. y murió en Alejandría. y erguido y sin desdeño en su entorno. C. pero ahora se pide que los segmentos determinados por las intersecciones formen un rectángulo equivalente a otro. sobre una recta. contactos. y Apolonio. conocido como El problema de Apolonio. los griegos clasificaban las curvas en tres tipos: lugares planos. Tangencias. resuelve los problemas de construir una circunferencia tangente a tres elementos cualesquiera elegidos entre un punto.. • Dicen que estar contento es estar feliz. una buena parte relativa a geometría. Nació hacia el 262 a. 4 En la figura mostrada. tal E y F. 6 Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A. es punto medio de AC y D es punto medio de BE. B. B. C. Calcula la distancia Halla BC.27 C A) 12 B) 10 C) 8 A) 12 B) 16 C) 18 D) 15 E) 9 D) 15 E) 17 3 Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A. 5x . B. AC + BD + CE + DF = 42 y BE = 5 AF 9 Calcula BE. B 2 De la figura. ° . CD = 3 y 1 + 1 = 2 . tal que: que 7AB = 8BC y AC = 60. AB = 4 y AC = 14. si AB = 2. si AC + 2CE = 36. B y C. C. A) 15 B) 16 C) 17 A) 23 B) 27 C) 28 D) 14 E) 13 D) 26 E) 35 6 Intelectum 1. AB AD AC A B C A) 3 B) 2 C) 1 A) 10 B) 9 C) 8 D) 4 E) 5 D) 6 E) 7 5 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A.2 A 10 B 6x . calcula x. Halla DE. D y E. C y D. Calcula BC. de A al punto medio de BC. Aplicamos lo aprendido tema 1: SEGMENTOS 1 Sean los puntos colineales y consecutivos A. D. 7 En una recta se toman los puntos consecutivos A. C 10. B 12. D y E. calcula AC. A) 31 B) 33 C) 34 A) 13 B) 15 C) 12 D) 30 E) 32 D) 11 E) 14 9 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A. e 11. B y C. C 7. D 8. halla x. C 1. B. además AC = 14.1 A B x C D 4x + 2 A) 20 B) 22 C) 24 A) 15 B) 12 C) 14 D) 25 E) 26 D) 11 E) 15 11 En la figura mostrada. A 6. Si 2AB = CD. D.ACTIVIDADES UNIDAD 1 7 . 12 Se tienen los puntos consecutivos A. N y P. D 13. C es punto medio de M. Si M Si C es punto medio de AD. 8 En una recta se ubican los puntos consecutivos de modo que B es punto medio de AC. Calcula AE. Si MP + MN = 26. calcula MR. B. si CE – AC = 16. B 2. e Claves GEOMETRÍA . siendo R punto medio de NP. C. AD y D es punto medio de AE. calcula BD. P. Halla MN. e 5. A B x C D 14 A) 1 B) 2 C) 3 A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 5 D) 8 E) 9 13 Del gráfico. A 3. además AD = 24 es el punto medio del segmento AB y N el punto medio del segmento BC. 2x + 17 3x . calcula AC si B es punto medio de AC y BD = 7 14 De la figura halla x. A B C 3 D G I S E L A x 7 17 A) 6 B) 10 C) 4 A) 15 B) 10 C) 13 D) 12 E) 8 D) 14 E) 12 14. B 9. C 4. BP = PC y AP = 12. C y 10 Según la figura. D) 6 E) 5 (a + 1) 7 (b + 1) A B C D 4. ( ) A) 10 B) 8 C) 12 A) VVV B) VVF C) VFF D) 9 E) 4 D) FFF E) FVF 8 Intelectum 1. ( ) Resolución de problemas A) VVF B) VFF C) FVV D) FVF E) VFV 9. Halla x. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: A) 14 B) 8 C) 9 • Por un punto pasan infinitas rectas. 2 3 x x A) 6 B) 5 C) 7 P I U R A D) 8 E) 9 17 A) 8 B) 4 C) 7 11. ( ) K 2x A (2x + 1) T 6 Y • L3 es paralela a L2. Halla x. x 4 2 6 Comunicación matemática R A T O 18 1. Halla (m + n). 12. • L2 es secante a L1. En la siguiente figura M es punto medio de AB completa con x x (x + 1) (x + 1) = o . Halla (a + b). Completa la notación correspondiente: A B C D 12 Recta L A) 5 B) 8 C) 6 Rayo AB D) 9 E) 7 Segmento CD 10. Halla (a + b). Halla x. 2 m 5 n Razonamiento y demostración A B C D E 13 3.1) (x + 1) A) 11 B) 12 C) 10 P E R U 24 D) 8 E) 9 A) 6 B) 7 C) 5 Nivel 2 D) 10 E) 4 Comunicación matemática 5. x (x . Coloca V (verdadero) o F (falso) teniendo en cuenta el siguiente gráfico: C A R L Y L1 22 L2 L3 A) 5 B) 4 C) 6 D) 3 E) 8 7.Practiquemos Nivel 1 8. ( ) 47 • L1 es paralela a L2. Halla x. 18 10 (x . ( ) D) 15 E) 16 • Por dos puntos pasan dos rectas.1) x 8 13. ( ) • Un rayo es lo mismo que una recta. ° . Halla x. a 5 b 2. según corresponda: T U K E R 42 B AM MB A) 6 B) 12 C) 8 M AM MB D) 10 E) 5 A AM AB/2 6. Halla x. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: A) 24 B) 25 C) 22 D) 23 E) 10 B es una semirrecta. 21. D) 1 E) 5 A B C D 28 16. 8 Si: BC = 2(AB) 6 A) 10 B) 12 C) 9 A B C D) 14 E) 6 A) 16 B) 14 C) 18 D) 20 E) 13 18. Calcula BC. Calcula m. A) 1 B) 2 C) 3 37 D) 4 E) 2. Calcula PR. Nivel 3 A 8 B C 13 D Comunicación matemática 20 27.ACTIVIDADES UNIDAD 1 9 . Calcula BD. Calcula AC. Calcula CD. Calcula AB + CD. 40 (2x . (2x + 6) 12 18 A B C D A) 12 B) 14 C) 10 D) 13 E) 11 38 22. A) 21 B) 20 C) 24 D) 17 E) 27 2 3 P Q M R S 25. ( ) A 20.3) 3x A) 24 B) 14 C) 18 D) 28 E) 8 A B C 17 24. A) 6 B) 4 C) 7 6 (2x + 1) 2x D) 5 E) 8 A B C D 27 15. Halla x. ( ) m-3 6 m+1 8 A F U E G O es un segmento. Calcula BD. x 18 Si: AB = BC y CD = 2(BC) A M B C 24 4 A B C D A) 10 B) 12 C) 9 D) 13 E) 11 A) 13 B) 15 C) 20 D) 14 E) 12 19.5 D) 5 E) 7 D) VVF E) VVV GEOMETRÍA . 26. B es un rayo. Calcula AB + CD.5 A B C D 8 E 19 17. Halla x. ( ) 19 B A A) 2 B) 3 A) VFV B) FFF C) FVV C) 3. Calcula AB. Calcula x. A) 10 B) 13 C) 11 D) 9 E) 7 14 12 A B C T D 21 Resolución de problemas A) 9 B) 3 C) 2 23. Razonamiento y demostración T x E 20 S 14. Calcula BD. y D. C 20 8 6 B G R P E U A F A) 21 B) 20 C) 18 D) 24 E) 23 e 35. donde M y N son puntos medios de AB y CD. calcula la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y BC. e 9. respectivamente. B 24. AB = EF A) 24 B) 28 C) 23 III. B 4. B 21. A 32. B 6. Calcula x. A 11. A M B C D x 13 Nivel 1 A) 8 B) 6 C) 5 3. B. B y C. B A) 16 B) 15 C) 25 D) 30 E) 20 Nivel 2 32. e 34. e 13. B 19. Si AC = 28 29. e A) 14 B) 12 C) 10 D) 16 E) 18 Nivel 3 31. FG. Dados los puntos consecutivos A. Resolución de problemas 33. C 15. II. A 35. D 1. EF AB = 8. B 36. e 10. (x + 1) x 4 6 A B C D E 31 31.28. B 26. C 22. A 17. e 12. BC . EF = BC D) 25 E) 26 Razonamiento y demostración 36. a a (2a + 1) a 8. Si I. Calcula MN. calcula la longitud Si: AB . entonces: del segmento que une los puntos medios de AB y CD. D 20. D 30. D 23. y AB = 18. C 27. donde M y N son puntos medios de PE y RU. C. ° . Indica la alternativa correcta ( ) o incorrecta ( ) teniendo en 34. A D) 10 E) 9 2. Dados los puntos consecutivos A. cuenta el siguiente gráfico: respectivamente. A 7. A M B N C C l a ve s 60 16. e x 28. A 33. BC = 12 y CD = 24. Halla AC. D 25. 12 4 16 A B C D A) 16 B) 14 C) 20 D) 15 E) 18 10 Intelectum 1. Calcula MN. D 5. 29. A 18. (n + 1) (n + 2) 7 A B C D A) 12 B) 16 C) 15 26 D) 18 E) 14 A) 14 B) 18 C) 15 D) 19 E) 20 30. Calcula x. e 14. 2 Del gráfico. calcula x. Halla la m+BOC.29°). 10x + 30° θ x 40° 2θ 60° A) 10° B) 20° C) 30° A) 115° B) 120° C) 100° D) 15° E) 5° D) 105° E) 111° 3 De la figura. B C A O D A) 37° B) 46° C) 55° A) 60° B) 100° C) 80° D) 45° E) 47° D) 70° E) 90° GEOMETRÍA . Calcula x.ACTIVIDADES UNIDAD 1 11 . Calcula la medida del ángulo que forman sus bisectrices. 6 Se tienen los ángulos AOB y BOC adyacentes suplementarios.5° x A) 112. 67.m+AOB = 12°. Aplicamos lo aprendido tema 2: ÁNGULOS 1 Calcula x. calcula x. 4 Dos ángulos opuestos por el vértice miden (2x + 7°) y (3x .5° B) 113° C) 110° A) 35° B) 34° C) 37° D) 112° E) 111° D) 36° E) 33° 5 En la figura. el +BOD mide 80° y la m+AOD . A 7. suplemento del mismo suman 500°. Halla la medida del L1 ángulo. D 2. A 13. si L1 // L2 . 12 Calcula x. C 5. C 8. B 10. α L1 β L1 20° 30° θ 50° 4x 3α 4β 140° L2 L2 A) 13a B) 12a C) 11a A) 24° B) 22° C) 20° D) 10a E) 14a D) 26° E) 23° 11 Si L1 // L2 y L3 // L4 . 10 Halla x. B 9. 130° x 160° L2 A) 46° B) 45° C) 44° A) 75° B) 80° C) 90° D) 48° E) 42° D) 85° E) 70° 9 Expresa q en función de a. ° . si L1 // L2 . α L1 70° 4α x L1 50° 60° θ L2 L2 A) 130° B) 125° C) 100° A) 72° B) 85° C) 75° D) 110° E) 120° D) 70° E) 80° 14. Halla x. e 6. B 3. A 1. si L1 // L2 . si L1 // L2 . C 12. 120° L1 L1 θ 3θ x x 145° 3α L2 α L2 L3 L4 A) 90° B) 85° C) 75° A) 50° B) 45° C) 42° D) 65° E) 86° D) 41° E) 55° 13 Halla x.7 El doble del complemento de un ángulo más el triple del 8 Si L1 // L2 . e 11. e 4. calcula x. si L1 // L2 . 14 Calcula q. C Claves 12 Intelectum 1. Calcula a. 30° 70° 3α L1 2x 17° 80° 3. Completa los recuadros: D) 23° E) 24° A) 9° B) 12° C) 6° D) 7° E) 15° 7. Halla q. 12.10° L2 A) 50° B) 60° C) 70° D) 62° E) 56° A) 10° B) 15° C) 20° A) 20° B) 25° C) 30° D) 24° E) 23° D) 32° E) 36° 5. Ángulo nulo ( ) a = 180° α + 18 L2 III. Halla q. Ángulo llano ( ) a = 90° A) 18° B) 17° C) 20° 2. Halla x. ( ) D) 21° E) 26° III.ACTIVIDADES UNIDAD 1 13 . si L1 // L2 . L1 28° A) VFF B) VVF C) VVV D) FVV α 48° E) FFV 52° 49° θ + 10° 3α L2 Razonamiento y demostración A) 68° B) 64° C) 54° A) 18° B) 26° C) 30° 4. Halla a. Relacione los conceptos y los valores: I. si L1 // L2 . Calcula a. Completa V (verdadero) o F (falso) según 23° corresponda: 20° L2 I. si L1 // L2 . si L1 // L2 . Halla x. 11. Comunicación matemática 80° x 4α 124° L1 1. 9. Halla x. x L1 x x 4θ + 40° 3α + 20° 80° 2θ . Los ángulos opuestos por el vértice D) 25° E) 26° A) 15° B) 20° C) 18° son congruentes. Halla x. 10. si L1 // L2 . Los ángulos alternos internos son congruentes. Halla x.18° 28° L2 L2 A) 32° B) 29° C) 42° A) 28° B) 9° C) 12° A) 18° B) 20° C) 24° D) 18° E) 27° D) 14° E) 13° D) 26° E) 19° GEOMETRÍA . El ángulo de una vuelta mide 270° 8. sexagesimales. si L1 // L2 . Ángulo recto ( ) a=0 139° II. Calcula a. Practiquemos Nivel 1 6. 70° 3x + 20° L1 L1 x + 18° 2x 23° 5x . D) 10° E) 20° D) 72° E) 73° 14. 15. ( ) 13. Calcula x. ( ) A) 20° B) 18° C) 23° II. ( ) D) 21° E) 23° III. ( ) Resolución de problemas D) 43° E) 46° Luego. Halla q. Si a la medida de un ángulo se le disminuye D) 35° E) 36° su suplemento. Halla el complemento del suplemento de 137°. 27. Relaciona los conceptos y las α + 4° 23. I. 29.16. Halla x. 25. Si a la medida de un ángulo se le suma su complemento y su suplemento. Calcula x. ( ) x . si el suplemento de x es igual al A) 40° B) 32° C) 45° complemento de 20°. halla x. 29° D) 46° E) 50° L2 A) 98° B) 95° C) 105° A) 24° B) 21° C) 26° Razonamiento y demostración D) 110° E) 120° D) 23° E) 42° 20. la alternativa correcta es: 18. θ + 60° A) 40° B) 30° C) 60° M L D) 62° E) 53° 2θ + 10° θ . ° . Los ángulos alternos externos 2α L2 L2 suman 180°. resulta desigualdades: α + 4° 240°. Halla q. 26.30° 21. Si L // M y P // Q . Ángulo no convexo ( ) 90° 1 a 1 180° A) 24° B) 26° C) 18° D) 40° E) 48° III. Halla a. resulta 40°. Halla el suplemento del complemento de 26°. halla q. Ángulo obtuso ( ) 0° 1 a 1 90° D) 29° E) 32° 14 Intelectum 1. 60° L1 4α x + 8° 30. si L1 // L2 . Los ángulos conjugados. x + 57° P 4x A) 50° B) 47° C) 52° Q D) 56° E) 48° A) 17° B) 23° C) 19° A) 30° B) 50° C) 40° D) 18° E) 15° 22. ¿Cuánto mide dicho ángulo? Nivel 2 33. Halla x. si L1 // L2 . A) 105° B) 106° C) 112° Comunicación matemática D) 118° E) 110° α + 4° 28. Los ángulos complementarios A) 32° B) 34° C) 36° suman 90°. si L1 // L2 . Ángulo agudo ( ) 180° 1 a1 360° A) 20° B) 30° C) 32° II. Completar en los recuadros: L1 80° θ L1 20° 290° x 30° L2 4x θ L2 A) 20° B) 30° C) 10° A) 35° B) 36° C) 42° D) 35° E) 40° D) 43° E) 32° 17. de q es igual a 150°. si L1 // L2 . A) FFF B) VFF C) VVF D) FFV E) VVV A) 116° B) 118° C) 115° L1 2θ D) 114° E) 132° 31.2° II. Halla x. Calcula q.40° 19. Calcula su medida. Halla a. A) 16° B) 18° C) 19° internos son congruentes. Si el complemento de q más el suplemento 32. 24. si S4x = C2x 5θ . Coloca V (verdadero) o F (falso) según L1 corresponda: 114° 78° I. si L1 // L2 . 5° 3x . si L1 // L2 . Halla el ángulo cuyo suplemento excede al doble de su complemento en 40°. 2x + 32° halla la medida del ángulo. si L1 // L2 . 3α + 16° 4α + 24 A) 26° B) 36° C) 32° L1 ° D) 31° E) 22° 3α 2θ 44.8° θ 85° α 2x + 15° 2α. 41.17° 47. 40. Si la suma del suplemento de x con su complemento es 170°. Halla el suplemento del suplemento del 50. Halla x. complemento de 68°. 5θ + 40° C L1 L1 B y D 2x 2x + 15° x 2x L2 θ . si L1 // L2 . 49. Calcula la m+AOB. Halla la m+BOC. Halla x. si L1 // L2 .10° 4x 3x A O E A) 70° B) 75° C) 80° 147° 80° L2 D) 85° E) 68° A) 64° B) 52° C) 84° D) 80° E) 72° A) 68° B) 63° C) 78° Resolución de problemas D) 73° E) 76° 38. Halla x. A) 10° B) 18° C) 28° A) 56° B) 25° C) 62° D) 27° E) 30° D) 72° E) 68° A) 30° B) 60° C) 50° D) 40° E) 36° 36. Calcula (x + y). Si el complemento de un ángulo es igual a los 2/5 del suplemento del mismo ángulo. Halla a. si L1 // L2 . 80° θ 2x + 10° 148° A 8θ . A) 18° B) 16° C) 24° A) 40° B) 30° C) 60° A) 45° B) 32° C) 46° D) 23° E) 20° D) 45° E) 48° D) 35° E) 36° GEOMETRÍA . A B L1 x A) 36° B) 30° C) 42° x 3 D) 45° E) 48° O C 2α L2 3x . 45.34. 46. 48.ACTIVIDADES UNIDAD 1 15 . Halla la m+AOB. si L1 // L2 . Halla el complemento de q. Si la m+ AOC = 120°. 43. 42. Halla a.9° θ β B θ β L3 O L1 L2 A) 59° B) 61° C) 54° D) 63° E) 57° A) 23° B) 26° C) 19° A) 120° B) 125° C) 135° D) 21° E) 28° D) 145° E) 115° 35. Halla q. θ + 75° L1 x . 39. si L1 // L2 .45° 2 L2 2θ A) 30° B) 37° C) 40° A) 76° B) 72° C) 64° D) 42° E) 56° D) 69° E) 78° A) 40° B) 68° C) 70° D) 45° E) 60° 37. Halla (a + q). halla el 60° 150° L1 L2 L2 complemento de x. Halla a. Si L1 // L2 . L1 57. α L2 θ x + 24° L1 A) 51° B) 53° C) 61° α 50° A) 40° B) 30° C) 60° D) 57° E) 68° D) 56° E) 50° 52. 80° x 53. calcula a + q. si la m+AOD = 98°. halla i + x . Si L1 // L2 . L1 42° 3x 55. si L1 // L2 . ° . halla x. Completa los recuadros según corres- α 28° L2 ponda: 3x -10° A) 86° B) 84° C) 98° 96° 3x +30° D) 96° E) 94° 50° 80° 3x +20° 60° 63. Calcula el valor de un ángulo que x + 10° C O x + 10° disminuido en su suplemento resulta el A) 20° B) 19° C) 16° cuádruple de su complemento. Halla x. Halla a. Halla x. halla x. A) 13° B) 24° C) 14° 2 2 D) 16° E) 20° L1 59.40° α q = 2x + 20° 61. D) 34° E) 32° A) 18° B) 17° C) 23° L1 Nivel 3 D) 24° E) 15° 47° 2α Comunicación matemática 58. Razonamiento y demostración 60. A) 120° B) 110° C) 115° D) 105° E) 125° L1 Si: α 3x + 20° a = 6x . Si la m+AOC = 85°. Si L1 // L2 . Halla x. si L1 // L2 . Si L1 // L2 . D D) 21° E) 17° A) 80° B) 90° C) 72° D) 75° E) 84° A) 24° B) 28° C) 36° D) 26° E) 29° 64. si L1 // L2 // L3 . L1 75° Si: 96° α 120° a = 3x . 56. calcula x. 28° 3x 4θ A 78° B 52° 24° x L2 54.51. θ θ 2x L2 18° A α L2 2x +10° A) 195° B) 170° C) 180° D) 190° E) 200° α+θ B 102° L3 O 3x -10 A) 42° B) 41° C) 46° C 62. Halla x. Halla a. Halla q.20° θ θ q = 2x + 10° L2 θ 10° A) 30° B) 15° C) 18° x A) 18° B) 17° C) 16° L2 D) 70° E) 60° D) 15° E) 21° 16 Intelectum 1. D 20. B 70. D 58. B 6. D 51. si la m+AOC = 140° y la m+BOD = 80°. A 18. Expresa m en función de n. C 10. A m 28. si L1 // L2 . A) 20° B) 18° C) 24° D) 29° E) 23° A) 115° B) 120° C) 110° D) 114° E) 130° 68. D 50. B 13. B 43. C 66. B 24. B 5. B 60. Halla la medida del ángulo. A 68. Se tienen los ángulos consecutivos AOB. si L1 // L2 . A 46. C 39. L2 respectivamente. e 37. D 33. C 17. D 49. C 67. Resolución de problemas 70. B 15. e 16. D 25. D 27. O B A) 17° B) 16° C) 18° 45. C 22. B A) 90° + n B) 90° .n C) 180° . D 54. A C l a ve s 31. 2. 7x los rayos OM y ON bisecan a los ángulos AOB y COD. A 21. C 19. D 3. C 12. ¿Cuánto mide D) 54° E) 65° el mayor de los dos ángulos? 71. D 61. BOC y COD. además. e 69. e 63. B 2x + 10° 53. B D) 24° E) 26° 52. sabiendo que L1 // L2 .ACTIVIDADES UNIDAD 1 17 . C 65. C 36. 64. D 9. e 44. 2x A) 46° B) 45° C) 64° 50° D) 60° E) 74° 80° 66. si el +AOB es agudo. B 34. e 1. B 69. Nivel 2 30. 29.n Nivel 1 D) n E) 2n 7. B 35. El doble del complemento de un ángulo más el triple del L1 L2 suplemento del mismo es 400°. C 26. Halla la m+MON. e 38. e 40. C 32. C 42. A A Nivel 3 30° + x 55. La suma de dos ángulos es el triple del complemento del doble del suplemento de 170° y la diferencia de los mismos es el doble A) 56° B) 71° C) 63° del suplemento del triple del complemento de 60°. 65. B 41. B 56. L1 L2 n 11. C 47. Calcula el máximo valor entero de x. e 14. D 48. e 23. B 62. e 57. Halla x. B 4. A) 195° B) 190° C) 194° D) 200° E) 192° L1 5x 7x 67. Halla x. D 59. GEOMETRÍA . B 8. e 71. Aplicamos lo aprendido tema 3: TRIÁNGULOS 1 Halla x. calcula x. 2 Halla x. B B x x 50° 35° A C 80° A C A) 16° B) 24° C) 25° A) 80° B) 60° C) 10° D) 15° E) 18° D) 20° E) 30° 3 Halla x. 6 Si el triángulo ABC es equilátero. ° . 4 Halla el máximo valor entero de AC. B x 30° 8 5 θ θ A C A) 15° B) 10° C) 20° A) 9 B) 12 C) 11 D) 12° E) 30° D) 14 E) 13 5 Calcula x + y. B B 80° x A C x y 80° C A A) 250° B) 240° C) 270° A) 10° B) 20° C) 30° D) 260° E) 280° D) 40° E) 15° 18 Intelectum 1. C 7. 8 Halla a si BF es bisectriz. B B α 80º.ACTIVIDADES UNIDAD 1 19 . B B r 7 F x 55° A C A C A) 30° B) 45° C) 55° A) 2. e 1. B B 70° x 6 G β α a β α A C A M C A) 20° B) 30° C) 40° A) 1 B) 2 C) 4 D) 35° E) 40° D) 5 E) 3 14. B 4. B 10. e 12.5 E) 5 11 Halla x. D 13. e 6. D 8. 10 Halla r si AF es mediana. 12 Halla a en la figura.5 B) 4 C) 3 D) 25° E) 40° D) 3. B 80° α α α θ θ M θ 3α β x θ β A C A) 50° B) 20° C) 60° A) 26° B) 36° C) 33° D) 40° E) 30° D) 24° E) 30° 13 Halla x. D Claves GEOMETRÍA .α 2x 50° 40° 40°+ α A F C A C A) 40° B) 30° C) 50° A) 40° B) 25° C) 50° D) 60° E) 38° D) 35° E) 45° 9 Halla x. A 9. D 11. B 2.7 Halla x. D 3. 14 Halla a si G es baricentro. D 5. Completa los recuadros con los símbolos de la siguiente figura: D) 25° ▪ Ángulos internos: E) 30° 2x + 40° 70° A C y B . Triángulo isósceles. Halla x. y A) 10° B) 20° ▪ Vértices: α + 20° A α θ z C) 30° x C . A) 100° 120° y B) 120° (III) (IV) C) 98° D) 78° x E) 110° 11. Halla x.10° C D) 30° 5x + α B 60° E) 20° 20 Intelectum 1. (II) A) 120° B (I) B) 110° x C) 100° D) 130° β 140° α E) 90° β α A C 10. B A) 10° B) 15° 2x III. H (ortocentro). y 6. C) 25° D) 22° 80° 20° E) 20° A M C 3. Triángulo escaleno. 8. Halla a. Halla q. Halla x. si BM es bisectriz. Triángulo equilátero. y D) 40° 4α 70° E) 50° A C 2. Halla: x + y. ° . O (circuncentro) e I (incentro) según corresponda: 9. A) 40° A 12. Halla x. A) 120° B) 130° C) 150° 70° Razonamiento y demostración D) 100° 120° x E) 98° 4. B) 21° C) 26° 2θ C D) 18° 4θ E) 15° A II. B A) 20° I. B) 20° x A) 25° C) 30° B) 28° D) 50° 3x + α 4x + 10° C) 32° E) 60° x .Practiquemos Nivel 1 5. Rellena los recuadros con las letras G (baricentro). β ▪ Ángulos externos: B . B A) 18° Comunicación matemática B) 15° C) 20° 1. Calcula x. Relaciona los conceptos con las figuras: 7. Halla x. 42° D) 80° E) 70° x +10° 15. Calcula x + y. B) Equilátero α A) 15 B C) Isósceles B) 30 D) Rectángulo C) 20 E) Obtusángulo 68° 22° D) 7. Halla a. Halla a. En la figura. 21. Comunicación matemática A) 260° B) 240° 70° 25. A C A) 18° 23. si CP es bisectriz exterior. A) 16° B B) 18° 3x 3x A) 10° 30°+ x 20°+ 2x C) 20° B) 40° D) 17° 150° C) 30° 60° E) 15° D) 20° E) 50° A M C 14. Calcula x. Completa los recuadros. D) 30° A) 20° B E) 20° 2a B) 10° x C) 30° 16. BD es bisectriz del ángulo ABC y BH es altura. E) 77° 67° B A) 10° 17. D) 15° A) 69° E) 25° 30° 10° θ A H D C B) 71° C) 72° 138° 24.ACTIVIDADES UNIDAD 1 21 . si BM es mediana. e indicar qué tipo de triángulo es: 7 M x A) Acutángulo B 20. calcula x. Halla x. BD es bisectriz del ángulo ABC y BH es altura. Halla a.5 A C E) 25 A C 2x M 30 GEOMETRÍA . Halla q. + =y B) 9 C) 5 8 9 III. En la figura. B) 32° 60° C) 28° calcula x. I. según corresponda. si: C) 270° D) 250° y E) 280° x y β x α θ Resolución de problemas z 19. Calcula el valor del ángulo ABM. + + = 360° B A) 8 II. D) 61° Calcula x. B) 38° x B A) 110° C) 66° B) 55° D) 96° P C) 50° 3x -100° E) 62° x + 24° x . A) 64° 22. Halla x. + + = 180° D) 7 E) 6 C A 26. si BM es bisectriz.13. Si BM es mediana del iABC. B) 20° x C) 15° A) 24° D) 37° B) 22° E) 16° 10° 50° C) 30º A D H C D) 20° E) 10° 2α 6α-70° Nivel 2 18. Halla x. Si BQ es bisectriz del ángulo ABC.b). A) 10° 30. Calcula a. Halla x. A) 18° 31. B) 16° A) 15° C) 20° θ B) 10° D) 24° 4x x 9θ C) 9° E) 15° D) 12° E) 16° 7θ Resolución de problemas 32. Halla x. Halla a. ° . A) 56° B B) 66° 40° A) 40° C) 76° B) 60° C) 80° 20° D) 84° x E) 86° D) 50° 116° E) 48° α β A Q C 33. Halla a. 42. Halla x. Calcula (a . Halla q. Halla q. e indicar qué tipo de triángulo es: 35.10° E) 25° 39. Halla el máximo valor entero de x. A) 172° A) 10° B B) 153° 102° B) 30° C) 143° C) 15° 20° D) 102° D) 20° 4x 119° α E) 163° E) 25° A C 34.27. 40. Halla q. En la figura. Halla x. si el i ABC es equilátero. Halla q. Halla a. B) 16° A) 20° C) 12° B) 16° D) 17° 9x 5α + θ 7α 3α C) 24° E) 13° D) 15° E) 18° α-θ 38. calcula x. A) Isósceles A) 75° x B) Equilátero 2θ B) 65° C) Rectángulo C) 85° 100° D) Obtusángulo D) 60° 70° 50° E) Escaleno 80° 20° E) 80° Razonamiento y demostración 36. A) 90° A) 18 B) 100° θ θ B) 16 C) 110° 8 10 C) 14 D) 120° D) 17 E) 130° 70° x 30° E) 15 x 22 Intelectum 1. Halla x. 3α 3α A) 15° 29. B) 14° C) 18° 40° A) 15° 4α D) 12° 3x 3x α B) 20° C) 21° E) 20° D) 18° E) 16° 37. 41. B) 15° 2x A) 10° C) 18° B) 20° 3θ D) 20° 105° 115° C) 15° E) 24° D) 18° 2θ. A) 16° 4x 28. Calcula x. Completa los recuadros según corresponda: para que el triángulo exista. BP o BM. El segmento que parte del vértice de un triángulo y cae en forma perpendicular al lado opuesto se denomina: α θ α θ A) Altura B) Mediana C) Bisectriz A C D) Ceviana E) Mediatriz A) 40° B) 45° C) 55° D) 50° E) 60° GEOMETRÍA .ACTIVIDADES UNIDAD 1 23 . + = 90° - E) 40° 70° 40° V M S III. Halla a. Mediana : ( ) D B x 20° 48. Calcula x. A) 20° B Razonamiento y demostración B) 25° C) 35° x + 10° 50. B B x 75° C A P A M C A) 40° B) 45° C) 55° D) 50° E) 60° I. completa con 3x 2x MD. D) 15° E) 36° A 70° 40° C B C M x 46. = 90° + α 2 C) 36° D) 38° II. Calcula x. Calcula x.43. si BM es bisectriz. Calcula x. = 2 45. si TM es bisectriz. III. 49. Si MD. Calcula el mínimo valor entero de x. según corresponda: A C A) 20° B) 18° C) 30° D) 10° E) 15° D 52. A) 16 B) 15 a x 5 a y C) 14 D) 18 8 E) 17 c b c 44. BP o BM son lineas notables del iABC. N Nivel 3 2x Comunicación matemática B x x 47. A) 5 B) 7 x 4 70° A D E C) 3 D) 8 10 A) 10° B) 30° C) 20° D) 40° E) 50° E) 9 51. Ceviana exterior : ( ) 53. si AC = BC. A) 32° T B) 35° I. Mediatriz : ( ) II. Calcula la suma del mínimo y máximo valor entero que toma a. B 64. si BN es bisectriz exterior. α A) 60° B 74° B) 70° C) 80° 40° D) 65° E) 55° x A C A F C A) 40° B) 37° C) 50° D) 55° E) 45° 64. Calcula PQ. e 8. Si BF es bisectriz. calcula q. calcula x. D 41. D 18. e 10. C 37. C F 50° 5. Calcula AC. C 56. B 27. si BF es bisectriz. B A B A) 30° x B) 40° 70° Nivel 1 C) 35° D) 45° 4. calcula x.1 M x + 15 C 56. A 21. A) 20° 4x A) 30° B E B) 10° C N B) 40° θ C) 60° 10x C) 45° D) 15° E) 40° θ D) 37° α α θ A A B E) 60° C 58. A) 50° B A) 90° B B) 30° α B) 100° C) 80° 70° C) 110° 20° D) 70° D) 120° E) 10° E) 130° x A H C 70° A F C 55. D 59. Halla el máximo valor entero de x. E) 25° D C 24 Intelectum 1. B 48. A 43. D 14. A 30. e 63. B 7. 49. C 58. De la figura. B 33. D 28. calcula a. B 45. Calcula x. calcula a. A 55. Calcula x. ° . 57. C 9. α 62. B 59. C 24. 2. D 35. B 23. D 19. B A) 7 57. A 62. si BM es mediana. A B) 3 C) 4 D) 5 P I Q L1 Nivel 3 E) 6 3 2 50. A) 32 B) 40 Nivel 2 x 20 C) 30 26. e D) 31 25. si BF es bisectriz. si L1 // AC. e 53. D 31. D 46. Del gráfico. B 11. 3. C 6. A 40. D 13. A C Resolución de problemas C l a ve s 34. D 29. A 52. B 22. D 32. A 44. A) 30° A α x B) 45° A) 4 B C) 60° B) 9 D) 37° C) 18 E) 53° θ θ D) 19 B C E) 38 A 5x . E) 28 12 60. De la figura. B 40° 1. C 15. B 47. e 16. 12. D 42. Calcula x. B 60. e 36. D 17.54. B 39. D 61. D 38. C 54. A 51. 61. B E 63. De la figura. B 20. 2 En un triángulo rectángulo sus catetos miden (2x + 1). 14 x 4 5 T P 30° 45° Q 30° 60° S R A) 8 2 B) 6 2 C) 7 3 A) 4 B) 6 C) 5 D) 7 E) 7 2 D) 7 E) 3 5 Calcula x en la figura mostrada. 6 Si AD = 12. calcula BC. 12 B 53° 135° 30° C 45° A D x A) 5 _ 3 + 1i B) 4 _ 3 + 1i A) 24 B) 25 C) 28 C) _ 3 + 1i D) 3 _ 3 + 1i D) 27 E) 26 E) 6 _ 3 + 1i GEOMETRÍA . Aplicamos lo aprendido tema 4: triángulos rectángulos notables 1 Halla x. 125 44 x A) 115 B) 117 C) 127 A) 40 B) 50 C) 60 D) 120 E) 100 D) 30 E) 20 3 Halla x.ACTIVIDADES UNIDAD 1 25 . 4 Halla RS si la relación de perímetros entre los triángulos PQR y RST es de 1 a 2 . (6x) y la hipotenusa (5x + 3). Halla el perímetro. las medidas de los ángulos A y C son 45° 8 Calcula x . y x 37° 25 A) 21 B) 15 C) 25 A) 4 B) 3 C) 1 D) 20 E) 18 D) 5 E) 6 9 Halla AD. m m z a n x y 3a 2n A) 126° B) 127° C) 125° A) 21 B) 16 C) 18 D) 124° E) 129° D) 19 E) 20 14. si ABCD es un cuadrado. B Claves 26 Intelectum 1. D 13. ° . A 2.y y 37°. 10 Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión B aritmética.7 En un triángulo ABC. e 1. C 7. cuya razón es 5. si AB = 4. Calcula la longitud de la hipotenusa. A 30° C 45° D A) 5 2 B) 4 2 C) 8 2 A) 30 B) 20 C) 25 D) 3 E) 6 2 D) 18 E) 23 11 Halla x. respectivamente. B 11. C 8. A B 6 2x D M C 8 A) 5 B) 7 C) 10 A) 56° B) 53° C) 55° D) 3 E) 2 D) 37° E) 60° 13 Calcula x + y + z. 14 Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que sus lados están en progresión aritmética de razón 4. 12 Halla la medida del ángulo AMB. si BC = 15. D 6. C 3. e 4. A 5. e 12. A 9. Halla AC. B 10. Halla x. Comunicación matemática A) 2 B) 4 Marca la alternativa que representa la notación correcta: x 2 2 1. 15 D) 10 3 45° E) 15 III.1) 2 x D) 5 E) 4 A) 3 3 B) 6 C) 4 3 6 D) 6 3 E) 3/2 GEOMETRÍA . C) 2 2 D) 4 2 A) ACB B 45° E) 1 B) ABC C) BAC 7. 30° 45° A) 5 B) 5 2 60° C) 10 x 5 3. Triángulo rectángulo a 20 2 ( ) notable aproximado. 2a A) 7 B) 7 3 60° Razonamiento y demostración C) 7 2 x 7 4. Practiquemos Nivel 1 6.ACTIVIDADES UNIDAD 1 27 . 45° A) 20 17 B) 10 II. Halla x. D) ABC A C A) 8 E) ACB B) 20 40 C) 5 2x 2. Triángulo rectángulo 2 ( ) notable pitagórico. 9. Halla x. 3 A) 8 B) 7 30° C) 9 6 (x . Halla x. Relaciona las figuras con los conceptos: D) 5 3 E) 10 3 I. Triángulo rectángulo 8 x ( ) C) 10 2 notable exacto. Halla x. 12. x A) 8 B 30° B) 20 C) 13 A) 4 3 B) 4 2 C) 4 5 D) 10 D) 8 E) 4 E) 8 3 A C 10 2 5. Halla x. Completa los recuadros en función de a: D) 15 E) 10 30° a a 8. D) 14 30° E) 14 2 8 11. Halla x. Halla AB. Halla x. 10. Indica qué triángulo no es pitagórico. 15. 30° A) 10 cm B) 14 cm C) 9 cm 2x + 8 D) 16 cm E) 18 cm A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 Nivel 2 22. En un triángulo rectángulo ABC. En la figura.1 C) 2 2 + 1 D) 3 2 + 2 E) 2 + 2 12 17. Halla x. Calcula la longitud de la altura BH. B 21 15 A) 10 m B) 12 m E) C) 16 m 4m 13 5 D) 13 m E) 17 m A 37° 12 C 20. Los ángulos de un triángulo rectángulo notable también se 2 llaman “ángulos notables”. recto en B. Resolución de problemas A) B) 13. m+BAC = 53° y 10 15 6 9 BC = 40. C a I. 8 12 A ) 30 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 C) D) 17 25 8 10 14. Completa los recuadros en función de a. Calcula AB + AC. ( ) 45° II. calcula el semiperímetro del triángulo rectángulo isósceles. B 8° A C Razonamiento y demostración 1 21. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. Del gráfico. A) 2 + 1 B) 2 . calcula el perímetro del triángulo ABC. Comunicación matemática 45° 18. El triángulo rectángulo de 37° y 53° es también un triángulo D) 4 E) 4 2 pitagórico. 19. ° . III. 53/2° A B 2 II. Dado el triangulo rectángulo ABC recto en B. En la figura. a A) 2 + 2 B) 2 C) 2 + 1 37/2° D) 1 E) 3 16. m+C = 15° y AC = 36 cm. ( ) A) 2 2 B) 2 3 C) 3 2 III. calcula el perímetro del triángulo rectángulo 5a 2 isósceles. Halla x. ( ) 28 Intelectum 1. Todos los triángulos rectángulos cumplen con el teorema de x Pitágoras. D 150° 7° A C 13 6m 60° A) 16 m B) 12 m C) 14 m x+9 D) 9 m E) 15 m A) 13 B) 17 C) 14 D) 15 E) 18 Nivel 3 Comunicación matemática 25. A) 2 B) 2 C) 3 6 x 6 2 2 D) 3 E) 2 2 6 6 29. C A .ACTIVIDADES UNIDAD 1 29 .1 o = según corresponda: 26. Coloca 2. halla CD. Calcula x. Calcula y. 28.23.B D) 3 3 E) 5 GEOMETRÍA . Los triángulos ADE y ECB son equiláteros de lados 4 y 2. Halla la relación entre un cateto y la hipotenusa de un triángulo 6 rectángulo isósceles. calcula el perímetro del triángulo DBC. Halla x. 30. C A + B A E B II. respectivamente. A) 6 B) 12 C) 8 2 D) 6 2 E) 18 B 24. B y C son áreas de cuadrados: I. x B A 30° a 7 3 b A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 C c Resolución de problemas 27. De la figura. Rellena los espacios en blanco: 60° y 53° Además se sabe que: 5 3 37° + + = 12 A) 20 B) 15 C) 12 D) 10 E) 10 3 31. D Si a2 = A . c a + b A) 4 B) 4 3 C) 2 3 III. Halla x. b2 = B y c2 = C C A . Calcula el perímetro del triángulo AEC. e 5. 2 x A) 2 B) 2 5 C) 2 10 30 D) 4 E) 6 A) 40 B) 50 C) 60 D) 80 E) 100 35. Calcula AD. C 10. B 36. m+BAC = 53° 2 53° y m+ACB = 37° . D 11. Razonamiento y demostración Resolución de problemas 37. B 37° 31. Calcula x. B 39. El triángulo ABC es equilátero. C 8 45° x 53° 150° E A B A) 4 2 B) 5 2 C) 6 2 D) 4 6 E) 4 3 A) 42 B) 48 C) 50 D) 54 E) 40 34. e 16. 32. C 24. B 29. Se tiene un triángulo ABC tal que AC mide 10. A 12. BC = 8 m. A 18. C 35. A C 30. C 23. D Nivel 3 45° B 25. D 6. D 21. D 14. B 38. C 22.5 E) 8 33. Calcula x + 2 2 . D) 15 E) 12 30 Intelectum 1. 36. D 27. C 4. B 28. Calcula RB. Halla x. A 37. 39. 38. e A) 6 B) 7 C) 9 2. C 32. BC = 6 2 . B 13. Calcula AB. C 15. AQ = 14 y QC = 6. B A 45° 8. B 34. A D 30° C Nivel 1 1. 20. D 17. B 26. C 9. En el gráfico. ° . si BC = 32. B 7. B 10 R P 30° x A Q C A) 4 B) 5 3 C) 7 D) 6 3 E) 4 3 A) 3 B) 4 C) 5 D) 4. Calcula AD. A 33. En la figura. C l a ve s A) 2 m B) 3m C) 10 2 m Nivel 2 D) 3m E) 5m 19. 3. halla m+MBC. vemos que los triángulos AQB (AT)2 = 16. tal que BD = DC. reemplazando de (a) Trazamos las alturas CP y BQ. Si AB = AM y A D m+BAC = 2m+BCA. Calcula ABCD. TB = CH = 2b y TC = BH = 2a.. 4. también H el ortocentro del triángulo y M el punto medio de Luego en el paralelogramo BHCT (es un paralelogramo. En un TABC. En un triángulo ABC las bisectrices exteriores relativas a los vértices B y C se intersecan en un punto D. dado que sus BC. siendo M y N los baricentros de los triángulos ABH B C y HBC respectivamente. luego vemos que m+BCP + m+CBQ = 30°. la m+ABC = 110°.2 = b2 + 4a2 + 4ab 3 + 3b2 a 3 3a + 2b 3 ` 4. 120° Si la m+ABC = 70°. (a + 7) y (a + 20). 1. (a) M T H 30° En el TBA: 2a 2b b 3 (AT)2 = (2b)2 + (4a + 2b 3 )2 60° C A (AT)2 = 4b2 + 16a2 + 16ab 3 + 12b2 b Q ` (AT)2 = 16(a2 + b2 + ab 3 ). externamente se escoge el punto T de tal forma que M diagonales BC y TH se intersecan en el punto medio común M) vemos que es el punto medio de HT. En la siguiente figura si L1 // L2. la m+MHN.2 = a2 + b2 + ab 3 . A) 24 B) 25 C) 26 A) 15° B) 45° C) 30° D) 27 E) 28 D) 60° E) 37° GEOMETRÍA . P Q A) 30° B) 15° C) 35° A) 20 u B) 60 u C) 10 u D) 40° E) 50° D) 40 u E) 80 u 3. Un triángulo tiene por lados: (a + 1). 2 P A) 80° B) 70° C) 110° D) 120° E) 100° 5 7. se traza la altura BH. θ 2α L1 A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 x 5. sea Si BH = 2a & BP = a y HP = a 3 y si CH = 2b & CQ = b y HQ = b 3 . Calcula el mínimo valor de a para que el triángulo exista..ACTIVIDADES UNIDAD 1 31 . Calcula el máximo valor entero del perímetro del cuadrado 6. se traza la mediana BM. calcula el valor de x.. y APC son notables de 30° y 60°.. En el cuadrilátero PQRS: PQ = 12 3 u y QR = 8 3 u. también los triángulos BPH y CQH también son notables de 30° y 60°. En un TABC. Matemática Sea ABC un triángulo acutángulo con m+A = 30°.2 & AT = 4. 2θ S A) 40° B) 42° C) 45° D) 41° E) 44° R 2.2 = 4(a2 + b2 + ab 3 ) & . Halla AT. α L2 Calcula PS + RS. Pero como TB // CP & m+BCP = m+TBC & m+TBA = 90° = m+TCA Resolución B En el CBQ: a P (BC)2 = b2 + (2a + b 3 )2 60° 2b 2a 4. calcula m+BAC. si BC = 2. Unidad 2 . . Los ángulos en recibe. sino que reconocieran que son míos”. • El entusiasmo y la paciencia son dos Según Tales. fue observador de la Osa Menor e instruyó ¡Razona.. El famoso “teorema de Tales”: los segmentos determinados por una serie de paralelas cortadas por dos transversales son proporcionales.Recuerda Tales de Mileto Se le llamó Tales de Mileto (o Thales) porque vivió en la ciudad de Mileto. D) 22 Cuando le preguntaron la recompensa que quería por E) 25 sus descubrimientos. Filósofo y matemático griego. Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales son iguales.! a los marinos para guiarse con esta constelación. contestó: “Me consideraría bien recompensado si los demás no se atribuyeran mis hallazgos. Fue uno de los siete sabios de la antigüedad. física del Universo. se le considera el padre de • Cuando encontramos la felicidad en la geometría. Coloca los números del 1 al 10 en cada uno de los círculos mostrados. 4.. de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez. B) 18 También se le atribuye a Tales la historia del mulo que cargaba sal y que se metía en el río para disolverla y aligerar su peso. 6. 5. que posteriormente enseñaría con el nombre de astrosofía. En esta última ciencia. por esto. C) 19 Tales le quitó esa mala costumbre cargándolo con esponjas. 2. y astronomía. ¿Cuál es esa suma? Tales también fue el famoso sabio de la historia que cayó en un pozo por mirar las estrellas y una anciana le dijo: “pretendes A) 16 observar las estrellas y ni siquiera ves lo que tienes a tus pies”. 3. Todo diámetro biseca a la circunferencia. se le atribuyen las construir con ellos un edificio durable. primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. medir las dimensiones de las pirámides de Egipto y calcular la distancia desde la costa hasta barcos en alta mar. un ciclo de 18 años. posible. para poder matemáticas. En astronomía. 10 días y 8 horas.. • El hombre labra su felicidad de varios Se destacó principalmente por sus trabajos en filosofía y materiales incoherentes. C. la base de un triángulo isósceles son iguales. En su juventud viajó a Egipto. Se condiciones necesarias para avanzar en atribuye a Tales el uso de sus conocimientos de geometría para el camino de la fortuna. utilizando el Saros. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. nosotros mismos. Predijo el eclipse solar del año 585 a. hacemos poco caso de Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación la que puede venirnos de otra parte. que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. de tal forma Thales fue el primero en sostener que la Luna brillaba por el que la suma de los números en cada uno reflejo del Sol y además determinó el número exacto de días de los cinco lados sea la misma y la menor que tiene el año. donde aprendió geometría de los sacerdotes Reflexiona de Menfis. C. entre 624 – 546 a. • El hombre generoso olvida los favores Son seis sus teoremas geométricos: que hace y guarda en el corazón los que 1. el principio original de todas las cosas es el agua. 2 Halla x. x2 + 1 A D 3x + 5 17 B E C 17 A) 5 B) 2 C) 3 A) 5 B) 4 C) 3 D) 4 E) 6 D) 2 E) 6 3 Calcula x. 4 Halla x. Aplicamos lo aprendido tema 1: congruencia de triángulos 1 Halla x.° . B B x D C E M F 45 A E A) 10 B) 5 C) 19 A) 23.5 B) 22 C) 22. x+α 14 30° + α θ θ b b a x+8 a β β A) 30° B) 40° C) 20° A) 6 B) 8 C) 10 D) 25° E) 45° D) 7 E) 20 5 Calcula CD si AB = AE. 6 Halla x si BM es mediana. BC = 12 y DE = 7.5 D) 6 E) 12 D) 20 E) 24 34 Intelectum 1. B 8. C 6x + 1 x +1 B D H A P A) 1 B) 25 C) 16 A) 20 B) 12 C) 24 4 16 25 D) 1 E) 16 D) 28 E) 16 8 20 11 Si PM es mediatriz de AC y PC = 8. A 1. D 6. B Q M D α B 6x α A 6x C E P 4x 6x 2x A C A) 6 B) 3 C) 4 A) 7° B) 8° C) 5° D) 5 E) 7 D) 9° E) 6° 14. halla AB. A 11.7 Calcula x. A 7. 10 Halla (x + 1)2. 12 Halla x. B 13.37° E) 15° 13 De la figura adjunta. calcula x. C 4. B 3. C 5. si AB = 16. C 10.33° D) 5 E) 24 D) 15. A 2. D 12. 8 Calcula DE. D Claves GEOMETRÍA . 14 En la figura PC = AB. calcula BM si se sabe que BD = 6. B B 8 A α C C 8 5 7 E D α D x+4 A E 5 A) 16 B) 13 C) 12 A) 7 B) 3 C) 4 D) 17 E) 14 D) 2 E) 6 9 Calcula el perímetro del cuadrado ABCD si PH = 7 y BH = 3.ACTIVIDADES UNIDAD 2 35 . C 9. B 3x 2α P α A M C 46° A) 16 B) 7 C) 8 A) 16° B) 17° C) 15. Halla x. . θ x +3 12 β β 6 A) 1 B) 2.Practiquemos Nivel 1 5.5 A) 10 B) 12 C) 8 D) 7 E) 9 D) 1.05 E) 2 36 Intelectum 1. 2x .5 C) 1.10° θ ( ) caso LLL θ θ θ 48° II. Halla x. Halla x. Comunicación matemática 80° 2x + 20° 1. α β θ x +6 ( ) caso LAL β α A) 9 B) 7 C) 10 D) 6 E) 8 3. α . Razonamiento y demostración θ 3x 4. A 9. Halla a. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda. 8 ( ) 7 7 8 70° III. I. ( ) A) 20° B) 40° C) 34° D) 18° E) 30° II. θ α θ I. α B T α 4x . Coloca V(verdadero) o F(falso) según corresponda.° . A) 28° B) 26° C) 29° D) 27° E) 31° ( ) caso ALA 8. α + 20 10 10 3 . Halla x. 14 θ III. +BCA ( ) II) AB > BC ( ) A) 12 B) 15 C) 13 D) 16 E) 17 III) MC = AM ( ) 10. Relaciona las figuras con los criterios de congruencia: 7. Halla x (PR // SV). 3 ( ) A) 70° B) 60° C) 40° 4 5 D) 50° E) 62° 2. Halla x. 6.26 M P R 2x C S V I) +BAC . Completa los recuadros en blanco para que se cumpla que T ABC . Halla x. Halla x. CD = 8 y BP = PC. Calcula la longitud de la mediana BM. 18. 16. Halla q. TRST. Halla x. Calcula CE.11. I) AB = AC ( ) 3x II) BC = CD ( ) 2 III) AD = AB ( ) 2 60° 17. D) 78° E) 87° B θα 20. si: BD = 4 y DE = 2. TS . si AB = 6 y BC = 8. θ x C x 24 D 10 24 26 α A E 70° A) 2 B) 8 C) 10 D) 6 E) 9 26 10 Nivel 2 A) 20° B) 70° C) 60° D) 50° E) 40° Comunicación matemática 21. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda en la α siguiente figura. Calcula AD.ACTIVIDADES UNIDAD 2 37 . A) 8° B) 12° C) 15° D) 20 E) 10° S B Resolución de problemas A C T 12. Halla x. si AB = 10. x A B α α 10 C α D A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15 GEOMETRÍA . 19. B D a θ a b 95° A E C b A) 5 m B) 7 m C) 9 m D) 6 m E) 8 m A) 90° B) 95° C) 97° 15. B C A C I) m+ABC . AB = 7 m. AB RS y BC . m+ACM ( ) II) m+BAM = m+CAM ( ) III) AM es altura y bisectriz ( ) A P D A) 18 B) 15 C) 9 D) 10 E) 20 Razonamiento y demostración 14. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: B A M C A) 10 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 M 13. En la figura. R B . 22. Si BM es mediana. Si AM = MC. La altura relativa a la base de un triángulo isósceles C determina dos triángulos isósceles. Halla a. D) 14 E) 12 α a 20° a Nivel 3 20° 20° Comunicación matemática A) 40° B) 30° C) 10° 29. Halla a. Halla x. 2a 2a x a a a a 8 8 30. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda. si BA + PQ = 10. calcula x. 28. 32. ( ) II. Divide la siguiente figura en cuatro figuras congruentes y D) 18° E) 20° semejantes a la figura original. A pesar de tener diferentes orientaciones dos figuras B P idénticas no dejarán de ser congruentes. 24. Halla a. B 8 50° 3 9 α x 9 8 15° A M C A) 45° B) 50° C) 40° D) 60° E) 30° A) 75 B) 30° C) 15° D) 18° E) 21° 38 Intelectum 1. Calcula CE. Completa los recuadros con los valores que aparecen en la A) 4 B) 2 C) 8 siguiente figura. calcula x. D) 6 E) 5 20° Resolución de problemas 25. 26. Calcula AQ. ( ) A Q III. La mediana relativa a la hipotenusa determina en un triángulo rectángulo dos triángulos congruentes.° . 20 B 50° x A M C A) 20° B) 40° C) 50° D) 30° E) 10° 31. ( ) A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 Razonamiento y demostración 27. I. α a B D θ a 23° θ 30° A) 18° B) 20° C) 25° A C E D) 26° E) 23° A) 10 B) 11 C) 13 23. si BC = DC y AB = 6. halla m+ACB. Halla a. M N 8 A) 26 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36 A C 40. E 29. E 5. E 23. D 7. θ 8 α 34. 35. Si MN // AC. 31. E α 3 θ x Nivel 3 32. 2. C 36. A) 3 B) 8 C) 15 D) 22 E) 11 C l a ve s 37. A) 1 B) 2 2 C) 2 5 12 D) 3 E) 4 γ γ 41. si AB + BC = 20 x y el segmento que une los puntos medios de AB y BC mide 6. B 22. calcula PM. B 16. Halla x. E 25. C 28. E A) 10 B) 12 C) 14 1. halla x. En un triángulo rectángulo ABC. D 10. D) 15 E) 18 GEOMETRÍA . calcula x. C 38. E 40. 30. D 15. A) 13 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 B 39. B x 18° P Q 12 M A) 20° B) 24° C) 15° D) 18° E) 16° A C 26 34. C 11. E 12. D 37. C 27. 5 x A) 37° B) 30° C) 60° D) 45° E) 53° A) 5 B) 13 C) 5 2 D) 12 E) 8 36. E 8. se intersecan en el punto P.33. C 4.ACTIVIDADES UNIDAD 2 39 . se traza la bisectriz interior AE. B 20. Halla x. 18. C 39. C 33. AB = 4 y AC = 10. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. Calcula el perímetro de un triángulo ABC. C 35. Resolución de problemas 38. Si 5(BE) = 4(EC). 21. C 19. A 14. Calcula la distancia de P a BC. C 24. B 17. A 41. D 26. E 13. 3. A) 2 B) 4 C) 8 D) 10 E) 16 Si la bisectriz interior del ángulo A y la mediatriz de AC. Si AP = PB y BQ = QC. Del gráfico. α θ α θ A x D Nivel 1 6. B C Nivel 2 E 6 8 9. Aplicamos lo aprendido tema 2: POLÍGONOS 1 ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interno mide 150°? 2 Calcula la suma de las medidas de los ángulos internos de un dodecágono convexo.° . A) Pentadecágono B) Triángulo C) Octágono D) Dodecágono A) 1600° B) 1700° C) 1080° E) Icoságono D) 1800° E) 1440° 3 ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un hexágono regular? 4 ¿Cuántas diagonales tiene el polígono regular cuyos ángulos internos miden 120°? A) 140° B) 120° C) 170° A) 8 B) 9 C) 10 D) 90° E) 108° D) 11 E) 12 5 ¿Cuál es el polígono que tiene 119 diagonales? Da el número 6 ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos de un polígono de lados. regular de 18 lados? A) 13 B) 15 C) 17 A) 120° B) 130° C) 160° D) 19 E) 21 D) 100° E) 108° 40 Intelectum 1. C 3. A 12.7 ¿Cómo se llama el polígono convexo cuya suma de las 8 Calcula el número de lados que tiene el polígono regular. E 7.ACTIVIDADES UNIDAD 2 41 . C 10. C 4. A 8. B 2. B 1. D 13. si la medidas de sus ángulos internos es igual a 1080°? medida de cada ángulo exterior es 72°. B 9. ¿Cómo se llama el polígono? A) Endecágono B) Dodecágono A) 130 B) 65 C) 100 C) Icoságono D) Decágono D) 80 E) 120 E) Octógono 13 ¿Cómo se llama el polígono que tiene 35 diagonales? 14 ¿Cuántas diagonales tiene un hexágono? A) Hexágono B) Decágono C) Tridecágono D) Dodecágono A) 9 B) 10 C) 11 E) Octógono D) 12 E) 13 14. D Claves GEOMETRÍA . E 6. A) Octógono B) Pentágono C) Endecágono D) Decágono A) 10 lados B) 8 lados C) 7 lados E) Hexágono D) 6 lados E) 5 lados 9 ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero? 10 ¿Cuántas diagonales tiene un octógono? A) 10 B) 9 C) 8 A) 20 B) 30 C) 35 D) 5 E) 2 D) 15 E) 25 11 ¿Cuántas diagonales pueden trazarse en un polígono cuya 12 Los ángulos externos de un polígono regular miden cada uno suma de sus ángulos internos es 1980°? 1/5 de un ángulo recto. B 11. A 5. Practiquemos Nivel 1 5. Halla la suma de ángulos internos de un polígono de 45 lados. Comunicación matemática A) 7740° B) 7650° C) 7820° D) 7810° E) 7910° 1. Marca con un ( ) las figuras que no son polígonos. 6. Halla la suma de ángulos externos de un icoságono. A) 720° B) 180° C) 360° D) 400° E) 900° 7. Halla el total de diagonales de un decágono. ( ) ( ) ( ) A) 36 B) 42 C) 38 D) 35 E) 42 8. Calcula la suma de los ángulos internos de un polígono de 28 lados. A) 4780° B) 4280° C) 5240° D) 4680° E) 5360° ( ) ( ) ( ) 2. Completa según corresponda: Resolución de problemas C D c d 9. ¿En qué polígono convexo la suma de ángulos internos es θ δ Q e 1260°? b γ E B β A) Decágono B) Octógono C) Hexágono P D) Pentágono E) Nonágono M α λ F A 10. Calcula el número de diagonales del polígono convexo que tiene a φ f O g N 10 ángulos internos. G ▪ Vértices : A, , C, , , y A) 40 B) 35 C) 20 D) 30 E) 27 ▪ Ángulos internos : , , q, , , y 11. Halla el número de diagonales del polígono regular cuyo ángulo ▪ Ángulos externos : , b, , , , y interno es 135°. ▪ Diagonales : BD, , y A) 20 B) 16 C) 9 D) 35 E) 27 ▪ Diagonales medias : , , y MO 12. ¿En qué polígono el número de diagonales es igual a seis veces 3. Relaciona: el número de lados? A) Icoságono B) Hexágono C) Octógono I. Polígono regular ( ) D) Decágono E) Pentadecágono 13. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono regular en el que su ángulo exterior es 40°? α α α A) 15 B) 12 C) 20 D) 27 E) 30 II. Polígono equilátero ( ) α α α 14. Calcula la medida del ángulo central del polígono regular cuyo número de vértices es igual al número de diagonales. A) 60° B) 90° C) 120° D) 45° E) 72° III. Polígono equiángulo ( ) 15. Halla el número de vértices del polígono cuyo número de diagonales más el número de lados es 105. A) 12 B) 13 C) 15 D) 16 E) 14 Razonamiento y demostración 16. Calcula el ángulo formado por las mediatrices de dos lados consecutivos de un nonágono regular. 4. Halla la suma de ángulos internos de un hexágono. A) 30° B) 40° C) 50° A) 640° B) 720° C) 660° D) 480° E) 360° D) 60° E) 80° 42 Intelectum 1.° Nivel 2 Resolución de problemas Comunicación matemática 25. La suma del número de diagonales más el número de vértices de un polígono es igual al doble del número de lados. ¿Cuántos 17. Completa los recuadros en los siguientes casos: lados tiene el polígono? M θ x A) 6 B) 5 C) 10 D) 8 E) 15 β y N 26. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono regular α z en el que su ángulo exterior mide 40°? MN: Polígono: A) 15 B) 12 C) 20 D) 27 E) 30 18. Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 27. En un polígono, el número de sus diagonales más el doble del I. El número de vértices es igual al número de ángulos número de sus vértices es igual a 6, calcula el número de lados. ( ) internos. II. Un polígono equiángulo es aquel cuyos ángulos inte- A) 4 B) 5 C) 8 D) 3 E) 6 ( ) riores son de igual medida. III. Un polígono equilátero puede ser convexo o no convexo. ( ) 28. La suma del número de diagonales más el número de vértices de un polígono es igual al doble del número de lados. ¿Cuántos 19. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: lados tiene el polígono? I. Para todo polígono la suma de los ángulos exteriores A) 6 B) 5 C) 10 D) 8 E) 15 es 360°. ( ) II. El número total de diagonales es mayor que el número 29. El número de ángulos externos de un polígono regular es igual al total de diagonales medias. ( ) doble del número de ángulos externos de otro polígono regular. Si la suma de las medidas de los ángulos interiores del primero III. Si el número de lados de un polígono aumenta tam- ( ) es igual al triple de la suma de las medidas de los ángulos bién aumenta su ángulo interior. interiores del segundo, calcula la suma de las medidas de los ángulos internos del primero. Razonamiento y demostración A) 900° B) 800° C) 1080° D) 700° E) 600° 20. Halla el total de diagonales de un polígono de 30 lados. 30. La suma de los números de lados de dos polígonos equiángulos A) 405 B) 410 C) 420 D) 415 E) 316 es 12. Si la razón de las medidas de sus ángulos exteriores es de 2 a 1, respectivamente, calcula la razón entre las medidas de sus 21. Halla x. ángulos interiores. x-n x+n x A) 2 B) 2 C) 3 D) 1 E) 4 3 2 2 x-m x+m Nivel 3 A) 112° B) 116° C) 118° D) 128° E) 108° Comunicación matemática 22. Halla a. 4α 3α 2α 31. Completa los recuadros, si la siguiente figura es un polígono α regular: 3α 2α 2α D I. Medida del ángulo interno: α C e i E i 180º_ - 2i m+i = A) 60° B) 18° C) 30° D) 20° E) 25° e B i F II. Medida del ángulo externo: 23. Halla el número de diagonales de un icoságono. O N c m+e = 360º A) 160 B) 200 C) 180 D) 170 E) 150 A i G III. Medida del ángulo central: 24. Halla la medida del ángulo interno de un dodecágono equiángulo. H m+c = 360º J M I A) 130° B) 120° C) 160° D) 150° E) 110° GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 2 43 32. Del problema anterior relaciona los siguientes conceptos: Resolución de problemas I. ON y MN ( ) Lados. II. AB y FG ( ) Diagonal media. 39. Halla el número de vértices del polígono convexo cuya suma de ángulos internos más la suma de ángulos externos es 1980°. III. JE y CH ( ) Diagonales. A) 12 B) 13 C) 10 D) 9 E) 11 33. Del problema n.° 1 coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: 40. Si la relación del ángulo interior y exterior de un polígono regular I. EJ = 2(OE) ( ) es de 7 a 2, halla el número total de diagonales. II. MN = 2(ON) ( ) A) 27 B) 20 C) 35 D) 44 E) 56 III. (OE)2 = (ON)2 + (IH)2 ( ) 41. Halla el número de lados del polígono convexo en el cual al Razonamiento y demostración aumentar en 4 el número de lados, la suma de ángulos internos se duplica. 34. Halla la suma de ángulos internos del polígono no convexo mostrado. A) 8 B) 6 C) 9 D) 7 E) 10 A) 1080° 42. Se tiene un octógono equiángulo ABCDEFGH, en el cual: B) 900° AB = 2; BC = 2 y CD = 3. Halla AD. C) 1260° A) 8 B) 6 C) 5 D) 7 E) 10 D) 720° E) 1340° 43. Cada lado de un polígono regular mide 6 m. Si el perímetro equivale al número que expresa el total de diagonales, calcula la 35. Si el polígono es regular, calcula x. medida de un ángulo central. A) 36° x A) 12° B) 15° C) 20° D) 24° E) 30° B) 72° C) 18° 44. ¿En qué polígono el número de diagonales medias más el D) 20° número total de diagonales es igual a 35? E) 10° A) Triángulo B) Hexágono C) Heptágono D) Octógono E) Nonágono 36. Si el polígono es regular, calcula x. A) 30° B) 60° C) 70° x D) 180° 37. D 42. C 43. D 44. C 35. A 36. A 38. E 39. E 40. A 41. B E) 50° Nivel 3 37. En el hexágono regular, calcula x. 27. D 29. C 28. B 30. A 34. A 31. 32. 33. A) 40° C l a ve s B) 50° C) 30° 50° 23. D 24. D 26. D 20. A 21. E 22. A 25. B D) 20° x 17. 18. 19. E) 10° Nivel 2 38. Calcula x, si ABCDEF es un hexágono equiángulo. 13. D 15. C 9. E 10. B 11. A 12. E 14. E 16. B D α E A) 70° α B) 45° Nivel 1 C α F C) 30° x α 6. C 7. D 8. D 4. B 5. A 1. 2. 3. D) 80° α α E) 60° B A 44 Intelectum 1.° 30° y 3x + 10°. 6 Del gráfico mostrado. 7x Halla x. 50° x + 30° A) 19°20’ B) 20° C) 20°24’ A) 70° B) 20° C) 30° D) 12°24’ E) 10°24’ D) 40° E) 50° 3 Si L1 // L 2 . calcula x. Calcula q. 2 En un paralelogramo ABCD las medidas de los ángulos 6x consecutivos A y B son: 7x . respectivamente. BC = PA y BP = AD. calcula el valor de x. Aplicamos lo aprendido tema 3: cuadrilÁteros 1 Halla x. B C 110° θ θ z α P 70° α θ A D A) 96° B) 92° C) 86° A) 37° B) 53° C) 30° D) 90° E) 80° D) 45° E) 60° GEOMETRÍA .ACTIVIDADES UNIDAD 2 45 . 4 Del gráfico. B α L1 θ C θ 2α x x 2x x α 2β 2x β α L2 A D A) 24° B) 30° C) 36° A) 30° B) 36° C) 45° D) 54° E) 72° D) 60° E) 75° 5 Halla z. D 4. B 8. C 7. B 2. del menor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos B B C y D. B 13. D 3. Si m+C – m+A = 32°. AB = 4 m y BC = 8 m. m+A – m+C = 22°.7 En un cuadrilátero ABCD. B C halla la medida del menor ángulo formado por las bisectrices 40° de los ángulos B y D. calcula x. B 5. si ABCD es un cuadrado y CDPQ es un rombo. AB = 4 m y CD = 10 m. ABCD es un trapecio isósceles y ADE es un diagonales mide 9 m y la suma de sus bases es 30 m. la base mayor. Q B β β A D x D P α α A x C A) 25° B) 30° C) 40° A) 32° B) 16° C) 64° D) 60° E) 15° D) 8° E) 40° 13 En un trapecio el segmento que une los puntos medios de las 14 En la figura. B Claves 46 Intelectum 1.° . Calcula AD. 2θ B A β β E θ A D x α α D C A) 22° B) 11° C) 33° A) 12 m B) 13 m C) 14 m D) 44° E) 20° D) 16 m E) 15 m y 9 Del gráfico calcula x. halla . Halla la medida 8 En la figura BC // AD. E 1. D 11. 12 ABCD es un cuadrilátero no convexo. si AB // CD. A 12. Halla triángulo isósceles. E B C 105° x 30° A D A) 36 m B) 30 m C) 45 m A) 45° B) 50° C) 60° D) 24 m E) 40 m D) 55° E) 47° 14. B 10. x A B B C 140° 5x + 12° 2x + 1 8y 3x + 8° D C A D A) 6 m B) 4 m C) 3 m A) 2/6 B) 1/4 C) 8/11 D) 7 m E) 5 m D) 3/7 E) 3/5 11 Calcula x. A 9. A 6. 10 La figura ABCD es un trapecio. Mediana ( ) AD IV. Rectángulo ( ) 2a 80° a θ III. m+B = 86° y m+C = 98°. θ 50° Calcula la m+D. Completa los espacios en blanco según corresponda: θ 2α 70° A) 10° B) 15° C) 25° 3 D) 20° E) 23° α 8. Base mayor ( ) BC 16x III. Halla x. 100° II. IV. Halla x. En un cuadrilátero ABCD: m+A = 72°. Calcula x. Practiquemos Nivel 1 5. Calcula a.ACTIVIDADES UNIDAD 2 47 . Relaciona teniendo en cuenta el siguiente gráfico: B C 140° 2x M N A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 35° A D H 9. Romboide ( ) 3x 140° 2. Rombo ( ) α α A) 56° B) 35° C) 30° D) 60° E) 65° θ 6. Halla a. Relaciona: 100° θ I. Cuadrado ( ) α α A) 50° B) 60° C) 40° θ D) 30° E) 56° 7. Base menor ( ) CH 8x 4x Razonamiento y demostración A) 18° B) 12° C) 15° 4. I. Altura ( ) MN 8x II. α θ 7 x 160° 3. D) 20° E) 10° 120° 170° Resolución de problemas 10. A) 10° B) 20° C) 15° A) 100° B) 102° C) 104° D) 30° E) 40° D) 103° E) 110° GEOMETRÍA . Halla q. 2α 60° Comunicación matemática 80° 1. (x + 4) B N C θ 15 θ A) 6 B) 5 C) 7 A D D) 4 E) 3 M 48 Intelectum 1. Rellena los recuadros con los valores indicados en el trapezoide D) 43° E) 36° simétrico ABCD (AC: eje de simetría) B 22. ( ) α II. sabiendo que los 20. halla la longitud del lado menor. ( ) 4α III. Halla la mediana. Las bases y la mediana de un trapecio suman 45 m. II) BM > MC y BN > NC ( ) III) BM < MC y AM < BN ( ) A) 120° B) 130° C) 140° D) 150° E) 160° Razonamiento y demostración 12. ángulos son proporcionales a los números: 2. Los ángulos opuestos de un romboide son iguales. 7 18. Un cuadrilátero posee tres diagonales. Halla x.15° O d θ δ c 165° D 105° I. Halla la mediana de un trapecio de bases 10 m y 18 m. calcula I) BM = MC y AB = MD ( ) el valor de los otros ángulos. φ γ b 85° a α A β C x . 19.11. ( ) A) 32° B) 40° C) 42° 17. 8 A) 84° B) 40° C) 45° D) 48° E) 60° 15. Halla el menor ángulo de un cuadrilátero. Halla la mediana. 5 y 8. Halla x. El perímetro de un paralelogramo es 16 cm. si la longitud de un 110° lado es 5 cm. a = y =c A) 25° B) 24° C) 30° II. Halla a. 100° A) 10 m B) 11 m C) 12 m D) 15 m E) 16 m x 13. Los ángulos internos de un cuadrilátero suman 180°. +a=b+ = 90° 23. Comunicación matemática 3α 2α 16. 120° A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm A) 20° B) 50° C) 30° D) 5 cm E) 6 cm D) 10° E) 40° 14.° . Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. 3. Si ABCD es un paralelogramo. Halla x en el trapecio. 12 A) 10 m B) 11 m C) 12 m D) 14 m E) 15 m A) 9 B) 11 C) 12 D) 8 E) 10 Nivel 2 21. indica con (V) la opción correcta y con (F) la incorrecta. f = y =b D) 20° E) 18° III. Si un ángulo interior de un trapecio isósceles mide 60°. Rellena los recuadros con los símbolos +. a = q ( ) III. . Razonamiento y demostración A) 16 m B) 18 m C) 9 m D) 15 m E) 20 m 32. En la prolongación de AD se ubica a un punto E. Nivel 3 B C 120° α Comunicación matemática α 29. Calcula la mediana del trapecio. B C II. Calcula la altura de un trapecio ABCD. calcula BC. A) 8 m B) 12 m C) 16 m D) 20 m E) 36 m II. En el siguiente gráfico. Los lados no x/2 x/2 paralelos miden 15 cm cada uno. 27. si AC = CD. tal que m+ACE = 105°. Si BM = MA. Resolución de problemas z x/2 24. de corte de las bisectrices interiores del +C y del +D al lado CD es 9 m. si la distancia del punto IV. BC = 6 m y CD = 9 m. es la base media del A′ACC′. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: 30° A N D B N C β A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 45° M α θ P 34. a + b = 180° ( ) M α II. φ B C A D Q I. El perímetro de un trapecio isósceles es igual a 50 cm. 360° a b 2q 2f 31. Se cumple que: x = . B P C A x C x 40° α θ α θ D A D A) 60° B) 30° C) 45° A) 12 B) 14 C) 16 D) 40° E) 50° D) 18 E) 20 33. calcula a. de acuerdo al siguiente gráfico: A) 40° B) 45° C) 50° D) 55° E) 60° GEOMETRÍA . q f z 25. NP . calcula AD. Se tiene un cuadrado ABCD. ABCD es un trapecio (BC // AD). Calcula el perímetro del cuadrado si CE = 8 m. A′ACC′ es un .ACTIVIDADES UNIDAD 2 49 . AB = 6 y CD = 8. B 28.o =. calcula x. x y a b 2θ III. ABCD es un . 2θ y/2 A) 5 cm B) 10 cm C) 8 cm 2φ D) 12 cm E) 6 cm α β I. PQ ( ) 25° A D 30. III. Si BC // AD. Observa el siguiente gráfico y completa los recuadros: θ A D B C O A) 15 m B) 14 m C) 13 m D) 18 m E) 12 m b A D x 26. Calcula a. Si BC // AD. A' C' I. 38. B 36. ABCD es un rectángulo. E 11. B 14. B 6. halla x. 8. En la figura.° . C 37. C 12. D 7. D 39. B 41. 18. D 9. E 30. C 24. 2. Según el gráfico. 31. D 4. ABCD es un rectángulo AF = FC. Si la m+ B = m+ D + 62°. Del gráfico calcula CH. Nivel 2 D C 19. D 15. E 33. ABCD es un cuadrado. A 13. α A α D A) 4 m B) 2 3 m C) 2 2 m D) 2 m E) 4 3 m 50 Intelectum 1. Calcula BD. A 27. A 40. AB = 4 m. A B Nivel 3 C l a ve s 23. A) 3 m B) 2 m C) 2 3 m D) 2 2 m E) 3 m 39. B 28. D 32. B C B x M 6 N A 37° C A D A) 8 B) 10 C) 12 A) 18 cm B) 20 cm C) 23 cm D) 14 E) 16 D) 24 cm E) 26 cm 36. C 26.35. calcula x. B 1. En la figura. 17. AC = 4 3 m. D 20. 3. 40. En el siguiente gráfico. B 25. A 35. Calcula BH. E 21. 41. si ABCD es un paralelogramo y C AB = 6 m. B E F 30° C B Nivel 1 5. B θ θ B C 2β x α α A D β A D H A) 30° B) 62° C) 41° D) 21° E) 31° A) 3 m B) 3 3 m C) 2 m D) 2 3 m E) 4 m Resolución de problemas 37. C 10. B 75° H 29. Según el gráfico. C 22. calcula x. B C 25° x F 38. Calcula FC. E 16. B A D E A) 25° B) 30° C) 35° D) 40° E) 50° 34. MN = 3(ND) = 12 cm. 130° 70° + β 5x − 10° β + 30° 2α 120° A) 13° B) 15° C) 17° A) 15° B) 60° C) 40° D) 19° E) 21° D) 20° E) 10° GEOMETRÍA .10°. 2 Halla 2b .ACTIVIDADES UNIDAD 2 51 . 6 Halla a. b O 63° 3a .6° 58° 90° A) 20° B) 32° C) 23° A) 42° B) 50° C) 60° D) 18° E) 60° D) 80° E) 70° 3 Halla x. 32° 18° 10° 4x + 30° 5x .6° A) 10° B) 11° C) 12° A) 1° B) 2° C) 5° D) 13° E) 14° D) 4° E) 3° 5 Halla x. (O es centro). Aplicamos lo aprendido tema 4: circunferencia 1 Halla a. 4 Halla x. 7 Halla x. B 6. D 2. si O es el centro de la circunferencia. A 5. D 8. 10 Halla q. A 3. CE = 2 y ED = 8. C E C A 30° F D D E B B A A) 70° B) 60° C) 45° A) 30° B) 37° C) 45° D) 65° E) 75° D) 53° E) 60° 13 Calcula el perímetro del trapecio rectángulo mostrado.5° 63. calcula m+ EDC. 12 En la figura A. si 14 En la figura. calcula m CD . si m+ ABE = 80° y m + ECD = 40°. E 4. B 7. calcula x.° . E 1. 4α + 8° 72° 6x + 12° 46° A) 22° B) 30° C) 42° A) 30° B) 20° C) 50° D) 50° E) 60° D) 10° E) 15° 9 Halla b. C 10. E y D son puntos de tangencia. B 11. 3θ 3β . además BP = 7 y R = 3.5° 280° 82° A) 30° B) 35° C) 15° A) 20° B) 30° C) 35° D) 12° E) 11° D) 15° E) 25° 11 Si m AB = 2(m CD ). B 9. 8 Halla a. C Claves 52 Intelectum 1. A 13. C 12. B C B E O C R x P A D A A) 40 B) 36 C) 32 A) 45° B) 30° C) 37° D) 24 E) 28 D) 53° E) 60° 14. ACTIVIDADES UNIDAD 2 53 . ABC . III. si O es centro. Según la figura completa los recuadros: P x A) 48° B) 56° C) 49° M D) 45° E) 55° C 9. PAC ( ) C 65° 4. Practiquemos Nivel 1 Razonamiento y demostración Comunicación matemática 5. Recta tangente: III.x 70° IV. APC ( ) 8. m AB + m BC + m CA = 360° ( ) II. AO = BO = CO ( ) 6. T N A x 28° 60° I. 1. I. Coloca V (verdadero) o F (falso) si O es centro de la circunferencia: B O x 40° R A O A) 50° B) 30° C) 40° C D) 35° E) 45° I. Sagita ( ) AB 3. Halla x. Halla x. A) 6° B) 10° C) 15° A D) 5° E) 25° La notación del arco a es: P α I. Halla q. Coloca (correcto) o (incorrecto) según el gráfico. Relaciona de acuerdo al siguiente gráfico (O es centro de la circunferencia). Radio ( ) MN II. Recta exterior: II. θ 60° P N B A) 32° B) 24° C) 18° M O D) 30° E) 20° R A 7. AC ( ) 75° R III. Halla x. O II. Recta secante: A) 12° B) 14° C) 18° IV. Cuerda ( ) OR 40° . Halla x. Arcos: . CAB ( ) 2. Diámetro ( ) PM III. y D) 15° E) 16° GEOMETRÍA . Comunicación matemática B A 16. Coloca en los paréntesis las letras de las figuras que corresponden a las definiciones: x a) b) c) P A) 30° B) 80° C) 70° D) 35° E) 36° ! d) e) f) 12. ! ! 15.° .! ! AB < . Halla a. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: C I. si m AB = 70°. si m AB = 60° y mCD = 80°. . P θ T g) h) i) A) 60° B) 70° C) 80° D) 40° E) 30° ! ! 13. ( ) 54 Intelectum 1. si m AB = 80° y mCD = 20°. ( ) A) 32° B) 60° C) 50° II. M ! Halla el valor de mCD . ( ) D) 30° E) 40° III. m AB < m CD ( ) III. I. CD ( ) D 18.10. Coloca V (verdadero) o F (falso) según el siguiente gráfico: O A C D A A) 80° B) 65° C) 75° θ D) 60° E) 70° N B D ! ! 14. Una circunferencia tiene más de un centro. Cuadrante ( ) B III. Halla x. si mPT = 80°. ABN ( ) B II. Halla q. . I. Un círculo y una circunferecnia son lo mismo. 18° B C x x D 2x + 30° A A) 6° B) 5° C) 8° A) 30° B) 15° C) 50° D) 9° E) 16° D) 40° E) 35° Resolución de problemas Nivel 2 ! 11. Halla x. Si m AB = 4x y mCD = 2x. Circunferencia ( ) C α 17.! ! AN = . Semicircunferencia ( ) II. m AN + m MC = 360° ( ) 60° A IV. Un arco tiene dos maneras de ser medido. Halla x. a b 2y C) 124° 42° x α x β y II. m+ABC = m+OTE ( ) 70° M ! ! C) 22° II. C B) 120° A) 40° C) 140° B) 50° D) 150° Q C) 60° E) 170° P D 100° α 30° D) 15° E) 36° ! ! T 26. . calcula la mEPD. Halla x. 90° b a C) 80° A E III. al siguiente gráfico: A) 81° B) 86° I. . Completa los recuadros con los símbolos +. y b x E) 84° 29. x b a D) 90° q b E) 100° D IV. Si la mAPD = 220°.o = de acuerdo 22. x a b GEOMETRÍA . q 2a 180º a B) 70° II. ! ! Razonamiento y demostración 25.ACTIVIDADES UNIDAD 2 55 . a b 2x D) 76° III. B) 80° C) 70° P C A) 100° D) 120° D B) 120° α E) 45° A 60° C) 130° D) 150° ! ! E) 140° 27. al siguiente gráfico: B C x A) 60° F I. Coloca V (verdadero ) o F (falso) según el siguiente gráfico (O es 23. Halla x. mBAT = mCDT ( ) D) 17° A C E O III. Si mAB = mEPD = x. C) 140° P C D) 150° D A) 60° E) 110° A B) 18° x-a 2x + a C) 30° D) 20° Nivel 3 E) 25° Comunicación matemática 28. Halla a. calcula la mFE. 2(CD) = BC ( ) E) 19° ! ! T D IV. A) 120° B B) 100° E 21.o = de acuerdo 24. Halla x. Halla a. A) 110° B E 20. 3mBM = mMD ( ) Resolución de problemas ! ! ! 30. A) 130° A B 19. Si mAB = 60c y mCD = 150c . centro de la circunferencia): A) 18° B B) 23° x + 13° I. calcula la mCQD . Si la mAB = 80°. Completa los recuadros con los símbolos +. calcula x. B) 6 3 D C) 3 2 A) 30° H B) 35° D) 3 3 O x 40° E) 6 2 A C) 42° O B D) 20° E) 40° 38. Del gráfico. C 31. halla x. En el gráfico. E 10. D 40. A A) 45° Nivel 2 E B) 35° 5x 11. (O es centro de la circunferencia) 32. Halla x. D 36. D 7. D 9. Halla la distancia de O a AB. B 34. E 35. Si AB es diámetro de la circunferencia. si O es centro. Calcula CD si HD = 6. C 24. E 1. 29. 3. halla x. calcula x. O es centro. E 37. D 32. 18. Halla x. C 26. 2. D 27. E 15. 17.° . A C) 24° D) 27° E) 17° O B Nivel 1 5. E 14. Halla a. si AB = 48 m y R = 25 m. 33. 56 Intelectum 1. 37. 4. D 38. E 28. Halla x. 30. Razonamiento y demostración A) 6 6 C 31. A) 33° 307° B) 37° 33. A) 10° 150° B) 20° A) 8° L C) 30° B) 4° x D) 15° C) 9° α + 34° 280° E) 25° A O B D) 6° E) 5° 40. A 13. si O es centro. si O es centro de la circunferencia. 0° B) 40° B 108° 14 A) 60° C) 15° 2x O B) 58° D) 10° x E) 30° A C) 59° D) 62° 190° E) 64° 35. D 39. D 8. D 12. E 16. Halla a. si O es centro de una circunferencia. E C) 60° O D) 51° x E) 53° Nivel 3 25. A 22. 23. B A) 1 m 110° A) 40° B) 2 m B) 35° C) 5 m A O R x C) 60° O D) 7 m D) 25° E) 8 m E) 36° 39. Del gráfico si L // AB. C 6. A 20. B 21. C A) 20° 34. C l a ve s Resolución de problemas 36. D 19. m+B = 90° y m+D = 45°. 2. el centro del círculo inscrito en el triángulo BCD coincide con el luego AB = 2a = BC. 3. Resolución Como R y T son puntos de tangencia se cumple: CR = CT = a B De igual manera como S y T son puntos de tangencia se cumple: a θ a DT = DS = b R' R S S' Finalmente. En un cuadrado de lado 4 cm se inscribe un octógono regular. Se sabe que AS = SB = BR = RC = a. Sea ABCD un cuadrado cuyos lados tienen longitud L. en el TCDB: CD = BD = a + b b ` El TCDB es isósceles & m+DCB = m+CBD = q O D a b a T a Luego en el TABC: θ θ 2θ m+A + m+B + m+C = 180° C A Reemplazando 2q + q + 2q = 180° Trazamos los radios OR' y OS' los cuales intersecan a los lados AB & q = 36° y BC en los puntos de tangencia R y S. m+B = 36° / m+C = 72° son concéntricas. AB = BC. A B x calcula BH. En la figura se muestra una parte de un polígono equiángulo A) 20 m B) 25 m C) 12 m donde el ángulo interior mide “a” y el ángulo exterior “b”. luego por propiedad de cuerda perpendicular a un diámetro tenemos: 1.5) cm por B son 12 m y 9 m respectivamente. las circunferencias son congruentes D) 55° E) 65° siendo A. Si AD = L. Por el A) 4( 2 + 1) cm B) 4( 2 . Siendo xy la línea de doblez y la medida del a +Axy es de 115°. luego se traza el segmento BH perpendicular a AD. centro del círculo circunscrito al triángulo ABC. Calcula x. entonces la medida del +APx es: A X B A P A) a + b B) 2 c1 + a m C) 3 c a m b b Y D) 1 + a a E) 2 c m b b D C A) 35° B) 40° C) 45° 6. En la figura mostrada. B y C los centros. Calcula D) 18 m E) 15 m el número de lados del polígono en términos de a y b. En un trapezoide ABCD. Calcula los ángulos ` El TABC es isósceles & m+CAB = m+ACB = 2q del triángulo ABC. A) 2 L B) L C) L 3 2 3 E C D) L E) L 4 4.1) cm C) (2 2 + 1) cm vértice B pasa una recta que no es paralela a ninguno de los lados. Matemática En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD. el valor de L es: 5.ACTIVIDADES UNIDAD 2 57 . Si las distancias de los puntos A y C a la recta que pasa D) 2( 2 + 1) cm E) (8 2 . D) 30° E) 37° GEOMETRÍA . A) 15° B) 18° C) 20° Calcula el lado de dicho octógono. en el lado opuesto B b C AD (lado mayor). como R y S son puntos de tangencia. dado que las circunferencias ` m+A = 72°. La hoja de papel ABCD de forma rectangular se dobla de tal modo que el vértice B coincida con el punto P. Unidad 3 . de ahí partió a la creación de varios inventos de máquinas conserva y la corona. que causó algunas molestias en los matemáticos griegos. Fue considerado uno de los máximos científicos y ma- temáticos de su época. escribió La métrica. por eso se dice que fue un gran científico. mica y matemáticas.. se cree que nació en Egipto y debido a circunstancias ajenas.). También desarrolló técnicas de cálculo. que lo destruye todo. sencillas auxiliados de su primera creación. la por.C. 20-62 d. esta lleva su nombre fórmula de Herón. obra en la que estudia noche que carece de luna y de estrellas. tanto y dos oídos para que hablemos poco y en el campo de la geometría como en el de la geodesia (una rama de las matemáticas que se encarga de la determinación oigamos mucho. y de la ubicación de áreas concretas de la misma especie). del tamaño y configuración de la Tierra. • Nuestra verdadera grandeza es la virtud. ya que consideraban un producto con dos factores para el área y con tres para el volumen. quí. hasta la muerte. Herón trató los proble. Sus máximas aportaciones fueron en la rama de la física. emigró a Alejandría donde realizó sus Reflexiona grandes investigaciones a lo largo de la historia. como el cálculo de raíces cuadradas me- diante iteraciones. pero en esa época cuatro factores parecían ser contradictorios.. Otro aporte muy importante de Herón de Alejandría fue en el campo de la geometría. descubrió una fórmula para calcular el área de los triángulos. de igual manera amplió el principio de la palanca de Arquímedes. matemático y científico griego.! ¿Cuál es la suma de los puntos que no se ven en la torre de dados? A) 59 B) 51 C) 49 D) 36 E) 40 . cualquier otro de su época. • Nada hay en el mundo más fuerte ni más mas de las mediciones terrestres con mucho más acierto que frágil que la honra. es conocido sobre todo como matemático. de la cual sobresale la máquina de va. las áreas de las superficies y los volúmenes de los cuerpos. ¡Razona.Recuerda Herón de Alejandría Herón de Alejandría (c. tomadas de los ba- bilonios y egipcios. • La naturaleza nos ha dado una lengua Sin embargo. Como matemático. • La ignorancia es la noche del espíritu. 83 A) 6 B) 7 C) 8 D) 13 E) 12.2 B) 1.25 B) 2. 5 L 9 6 6 4 1.8 x z A) 1. C x 9 4 P R A M A) 5 B) 6 C) 7 A) 7 B) 8.2 1. 4 Halla x (L punto de tangencia).24 C) 2 D) 1 E) 1.5 C) 2 A) 2.5 C) 8 36 D) 9 E) 10 D) 35 E) 36 7 7 60 Intelectum 1. Aplicamos lo aprendido tema 1: proporcionalidad 1 Calcula FE. calcula x.5 5 Si PM = MR y CM // AF . 2 ¿Para qué valor de x se cumple que MN ' AC ? V B θ x 4 13 θ M N 7 x+4 x-2 L E 11 F A C A) 12 B) 12.3 D) 3 E) 1. 6 BC = 8 y AC = 12.5 D) 9 E) 10 3 Halla z.85 C) 12. 6 En un triángulo ABC acutángulo se traza la bisectriz del ángulo F B determinando en AC el punto P. Halla AP sabiendo que AB = 6.5 1.° . 7 En un triángulo ABC. calcula (AD . 3(AB) = 4(BC) = 24 y AC = 7. BC 5 26 A D L1 G B E α L2 α A C D C F L3 P A) 39 B) 13 C) 52 A) 5 B) 1/5 C) 1/4 D) 26 E) 42 D) 2/3 E) 1/2 11 En el rectángulo. B 1. Luego se 8 Calcula ab. C 11. AC calcula AP .DC). A 2. D 7. si L1 // L2 // L3.ACTIVIDADES UNIDAD 3 61 . E 4. C 13. C 5. C Claves GEOMETRÍA . m+QBC = 45°. x si L1 // L 2 // L3 . C 3. traza la bisectriz interior BD. calcula CP si PF B AB = 1 / CD // PE. QR 2 B P C L1 L2 L3 x 2 B C A M Q N 9 x D 12 E A R D F A) L B) 3 L C) L 3 4 9 A) 10 B) 6 C) 8 D) 15 E) 16 D) L E) 2 L 5 9 14. B PC B C θ θ 24 8 P A C D A D Q A) 1/3 B) 1/4 C) 3 A) 1 B) 3/4 C) 4/5 D) 1/2 E) 1 D) 2 E) 1/2 13 Calcula. D 9. 10 De la figura mostrada. calcula x si PQ = 7 . 14 En el cuadrado de lado L. B 8. A B 3 D B b L1 a E 8 6 L2 7 C F L3 A m C D 7-m 7 A) 3 B) 4 C) 1 A) 3/7 B) 7/3 C) 14 D) 6 E) 5 D) 21 E) 7 9 Si G baricentro del triángulo ABC. D 6. calcula AC. calcula DC . L1 // L2 // L3. E 12. B 10. Si Q punto medio de AD 12 Del gráfico. calcula x. (OA)2 = (OC)(OD) ( ) 4 12 II. Las longitudes que se comparan en una razón geométrica C deben tener las mismas unidades de medida. Si: L1 // L2 // L3.5 C) 1 D) 2 E) 3 62 Intelectum 1. Calcula x.2 B) 0. Si L1 // L2 // L3 y AB = BC. Coloca (correcto) o X (incorrecto) según el siguiente gráfico L3 en donde C y D dividen armónicamente al segmento AB. ( ) A) 45° B) 30° C) 37° D) 53° E) 60° Razonamiento y demostración Resolución de problemas 4. Si L1 // L2 // L3. ( ) B 2 L3 x III. AB = 2. calcula x. calcula x. si 3(MB) = 2(AM). calcula (x + 3). La relación de Descartes está dada por: L1 I. P N L1 AB = 3 MN = 7 8 24 = y = L2 CD 6 PQ 18 x 27 2. 2 = 1 + 1 ( ) L2 AO OC OD 5 6x + 3 III. Rellene los recuadros en blanco según los siguientes gráficos: M α 30 D 10 C B A 2x N x+2 C B A) 4 B) 5 C) 4. 2 = 1 + 1 ( ) L3 AB AC AD IV.° . A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 18 b b A O C B D 7. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: 8. x+1 4 A P L1 L2 x+2 B Q L2 5 L3 C R L3 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 0.Practiquemos NIVEL 1 5. (AB)2 = (AC)(AD) ( ) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3.5 Q M D) 6 E) 5. A una “proporción geométrica” también se le llama L2 “proporción aritmética”. I. Si L1 // L2 // L3. BC = 6. A una “cuaterna armónica” también se le llama “proporción L1 A armónica”. ( ) 4 II. 9.5 16 8 6. A Comunicación matemática α 1. PQ = x + 2 y QR = x + 7. Si L1 // L2 // L3. L1 Calcula x. = A) 2 B) 3 C) 4 m D) 5 E) 6 II. Rellena los recuadros en blanco según los valores presentes en BC se toma el punto F de modo que m+ BEF = m+ACB. sabiendo que AC = 20. I.10. c R A M α θ α a m α A C Q b M b N B θ α A) 4 B) 6 C) 8 D) 5 E) 9 18. (AB)2 = (AC)(AD) ( ) θ L2 III.ACTIVIDADES UNIDAD 3 63 . BF = 3. calcula x. = b 11. A) 10 y 10 B) 8 y 12 C) 14 y 6 B D) 9 y 11 E) 13 y 7 x 10 NIVEL 2 P 4 5 α Q Comunicación matemática A α θ θ C 13. Calcula los valores de los segmentos que determina la bisectriz interior Razonamiento y demostración del ángulo B sobre AC. Rellena los recuadros en blanco según las siguientes proporciones geométricas: A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 I. calcula x. calcula x. si BC = 12. 2 = 1 + 1 ( ) AM MC MD A) 8 B) 11 C) 12 D) 13 E) 10 GEOMETRÍA . b n II. 2 = 1 + 1 ( ) L1 AB AC AD 4 x II. AB = 9 y AC = 6. b a A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 m n 12. 16. calcula EF. Si L1 // L2 // L3. Los lados AB y BC de un triángulo ABC miden 24 y 16. calcula α α MN. sobre AB se toma el punto E y sobre 15. a = m 17. Se tiene el triángulo ABC. Si L1 // L2 // L3. P θ α C L1 θ 8 4 14. Si PQ / / AC . Coloca (correcto) o X (incorrecto) según el siguiente gráfico L2 en donde C y D dividen armónicamente al segmento AB. Calcula BR. (AM)2 = (MC)(MD) ( ) 2 6 θ L3 IV. I. Si: el siguiente gráfico. Se traza MN // AC (M en AB y N en BC). n = b B . Si: BM = 6 y AC = 15. x 3 L3 θ a a A M C B D A) 2 B) 4 C) 7 D) 6 E) 8 La relación de Newton está dada por: 19. Se tiene un triángulo ABC de modo que AB = 18. ° . ¿Cuánto mide el tercer α lado si el segmento que une el incentro con el baricentro es a θ b paralelo al tercer lado? α m θ A) 4 B) 6 C) 6. A) B) B C) N A M B α A D B θ θ α B A C AB ! A AB B DC ! A F MN E C A) 8 B) 9 C) 10 D) E) F) D) 7 E) 6 N M B N B A M Resolución de problemas B B A 21. BC = 9. Calcula AD. A) 9 m B) 12 m C) 18 m D) 16 m E) 24 m B E NIVEL 3 Comunicación matemática A C D F 25. En un triángulo ABC. BE = 4 m a y AC = 40 m. Rellena los recuadros en blanco según los valores presentes en el siguiente gráfico: C F L3 + = b A) 12 B) 14 C) 16 D) 15 E) 16 θ θ 24. Completa los recuadros en blanco con los elementos de la 2 2 siguiente proporción geométrica: m = b D) 53° E) 37° n c 22. Calcula AB. n α A D θ L1 B E L2 27. b B E C m n F Razonamiento y demostración A D 28. Calcula CF. BD // EF. ABCD es un paralelogramo.5 D) 8 E) 7 α θ 23. En el gráfico. En la figura. En un triángulo rectángulo el segmento que une el incentro con ! AB AB MN el baricentro es paralelo a uno de los catetos. Si AB // DE. (AC)(DE) = 36 y DF = 3. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 10 64 Intelectum 1. A) 30° B) 37° C) 53° 26. Halla la medida del MN B B menor ángulo interior de dicho triángulo. AB = 7. L1 // L2 // L3. Encierra en un círculo la alternativa asociada a aquellas figuras que representan razones geométricas. Si AE = 6 y EC = 3. Calcula AF.20. DF = 4 y FC = 8. AD = 12 m. B 21. intersecando a AC y a su prolongación en E y F B respectivamente. E A F A) 18 B) 21 C) 24 D) 27 E) 28 A) 4. si: AD = DC. A 20. D 32. A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 GEOMETRÍA . B 1. BC = 2(AB). Calcula FD. BC = 6 y AC = 7. D 23. m // n y p // q. A 35. D 6. E 15. 14. C 31. Calcula FC. 5(DC) = 2(CB). Si O es centro. además PA y Nivel 1 PD cortan a BC en los puntos E y F.2 E) 6. C R C l a ve s A) 1/2 B) 1 C) 4/3 16.2 D) 2 E) 3 32. A 11. A y D puntos B de tangencia. D 19. B 10. En la figura. 33. AB = 5 y BC = 3. Calcula CD. calcula AF. FC = 5. 2. BE = 3 y EF = 2. AC es diámetro. BE = 8 y EF = 3. C 7.8 B) 3. A) 7 B) 9 C) 5 C D) 11 E) 13 a 6 35. D 17. 26. E 25. P es un punto del arco BC. C 33. 3. A 12. respectivamente. B 13.6 C) 1. A 34. Calcula QR. D) 2 E) 5/3 Nivel 2 Resolución de problemas 8.4 C) 6 m n D) 7. si 4. En el gráfico: 3(AC) = 2(PR). C 29. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior y exterior del C ángulo B. D 18. Halla x. C 5. B 9. En el gráfico. A 24. D 36. Calcula AB + BC PQ QR 30. 34. Se tiene un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia donde AB = AD.29. 27. BC = 6 y AC = 7. Calcula EF. C 22.ACTIVIDADES UNIDAD 3 65 . C es punto de tangencia.6 p q D 36. si AB = 8. si AB = 8. B D 3a x B A B E A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 α F θ α θ A C D 31. θ α α θ A B O F A Q R C C A) 7 B) 14 C) 21 D) 24 E) 28 D 30. E A P Nivel 3 B Q 28. A) 5 B) 5. En el gráfico. x 9 9 6 3 θ x θ 15 A) 3. si los triángulos son semejantes.5 D) 2 E) 2.5 B) 2 C) 3 D) 1 E) 8/3 D) 1 E) 4 3 Calcula x.5 E) 3 5 Calcula CE. D α C α 4 m θ θ x 3 2 R O U A) 1/2 B) 2 C) 3 A) 0. si RC = 3 y DO = 9. B θ 2 8 E F A C z z θ θ 3 1 10 D A) 7 B) 24 C) 25 24 7 7 A) 1 B) 3 C) 2 D) 0. 2 Calcula x. si AF = 6.5 A) 2. Aplicamos lo aprendido tema 2: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 1 Calcula m. 4 Halla x.5 D) 3 E) 26 7 66 Intelectum 1. 6 Halla z.° .25 B) 2 C) 2.5 E) 1.6 B) 3 C) 3.9 D) 1. D 12. E 11. perpendicular a PR . A 3.. Si las diagonales se intersecan perpendicularmente.5 A) 3 2 B) 2 2 C) 4 11 11 D) 3 E) 2 D) 25 E) 1. A 9. PS = 2RS. 14 Del gráfico. B x D 8 3 x A F 3 C E 6 A) 23 B) 24 C) 2. calcula BE.5 11 9 En un rectángulo PQRS. 8 Halla x. BC = 4 y AD = 9.25 B) 0. D 13.5 11 Si PH = 4. B 6.10 E) 1 D) 11 E) 12 13 Calcula x. Por Q se traza QM 10 En un trapecio ABCD: m+A = m+B = 90°.5 E) 4.5 C) 0. (BDEC es un cuadrado). B 8. 16 C B C 9 B α 4 α A x D A D P E A) 4 B) 8 C) 12 A) 13 B) 5 C) 3 D) 6 E) 1 D) 6 E) 11 14. A) 1 B) 5 C) 4 A) 5 B) 6 C) 6. A 2. Halla PM. si ABCD es un paralelogramo y AB = 4. calcula d 1 + 1 n 12 Calcula . si M está en PS y MS = 6. calcula AB. D 7.75 A) 9 B) 5 C) 7 D) 0.5 D) 2 E) 2 D) 5. A 1. A 10. E Claves GEOMETRÍA .ACTIVIDADES UNIDAD 3 67 .7 Halla x. AB CD A B C ´ P C 4 θ θ A P B D D H ´ 3 A) 0. B 4. A 5. Completa los espacios en blanco teniendo en cuenta los 9 8 θ x siguientes triángulos: θ α 4 60° 10t 2x A 17 6 B C A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 4t 6t 6.8 D) 6. B P C A) 12 S B) 10 A a Q C) 16 B m i D) 8 . Q x b x M α α N a α α P R A) 3 B) 2 C) 4 3 D) 3 3 E) 4 A) 3. ( ) 8. calcula BC. Q C R A) 10 α B) 12 Si: TABC a TRST & c = B = C) 15 m j D) 17 α A P E) 18 Razonamiento y demostración C 4. Calcula x. Halla MN. B 20 m S R B A) 8 24 ' B) 10 21 ' 14 m 16 m C) 12 α C E F D) 14 A 30 ' T α A C E) 6 I. 7. Si ABCD es un paralelogramo. 10. AC es el lado homólogo de RT. En la figura.Practiquemos NIVEL 1 5. 6u 6 α E D 9u x F 8 4 30° 19 15u 9 α y 3 I) A a __ II) __ a E III) C a __ A) 5 B) 6 C) 4 2 D) 3 2 E) 3 5 2. AB es el lado homólogo de RS. 3. presentes en el siguiente gráfico. ( ) II. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Comunicación matemática α 1. PR = 8 y QN = 6. si ab = 48. Calcula PC. BC es el lado homólogo de TR. además 2AQ = 3QP. halla x.4 E) 4 68 Intelectum 1. AD = 24.6 B) 5. Si BE = 4AE y CF = 2. De la figura mostrada. Completa los recuadros en blanco según los valores que están Halla PC. si PQ = 10 . BQ = 24 y BC = 6. j A D T E) 9 c b n 9. calcula x. ( ) Resolución de problemas III.° . si AC = 10.4 C) 4. θ θ A B D Q A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A 20. PB = 12 y 3BC = 4AQ. calcula x. 3ABC a 3 RST ( ) x 10 II. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 B Resolución de problemas 19. 3ABC a 3 TSR ( ) P 4 5 Q III.5 GEOMETRÍA . 3 CBA a 3 RST ( ) α θ A C 12.8 B) 9. Calcula AP. teniendo en cuenta al siguiente gráfico: S θ A C B β D β α T A α A) 8 B) 4 3 C) 10 D) 6 E) 12 θ θ 16. B Comunicación matemática θ 11.NIVEL 2 15. C. 18 y 24. Si los lados de un triángulo miden 15. A C C P α Razonamiento y demostración α 14. Si PQ / / AC . Si PQ / / AC . A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 2a a c 17.6 C) 8. 30 a θ ( ) Caso III θ 20 4 x 24 α 8 2 13.5 D) 8. 3 CBA a 3 TSR ( ) α θ IV. De la figura. calcula x. Relaciona correctamente los siguientes gráficos. calcula x. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda. halla BC. y el lado menor de un triángulo semejante al primero mide 6. c 2 A. θ a ( ) Caso II A C θ 7 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 25 18.ACTIVIDADES UNIDAD 3 69 . En la figura. C R B I. a ( ) Caso I B 2b 4 4b x P Q 10 B. calcula la medida del B C lado mayor del último triángulo.8 E) 9. Halla BC. A) 4 B) 4 3 C) 6 3 D) 8 E) 12 A) 9. si CD = 4 y AD = 8. Construye un triángulo desde el vértice A y cuyas dimensiones α sean el doble de las dimensiones del 3ABC. Si AB = 6 y DC = 8. En la figura. A) 2 A) 8 2 B) 12 C) 8 D) 8 3 E) 4 3 B) 2. B 26. D 11. E 32. 2. 10. x y respectivamente. calcula x. x = 31. C 27. AB = 16. B) 4 4. QB = 3 y SH = 1. 28. 8. 21. En el gráfico. se traza la mediana BM. B P A) 2 M 20 8 8 B) 4 12 x C C) 6 10 2 N D) 8 20 Q A E) 5 I. además PQ = 2. C A C 3 12 E) 10 70 Intelectum 1. En un triángulo ABC. D x E) 12 1. 2 I. Calcula la distancia de P a la tangente común 9 exterior. D B 3. BM. = = AB 29. Se traza la altura BH tal 20 PQ que: m+HBC = 3(m+ABH). Rellena los espacios en blanco según corresponda. BC = 30 = MC 12 Resolución de problemas +8 II. 19. B 23. 22. AH = 4. calcula AP. Calcula x.5 Razonamiento y demostración A C H E) 4 25.5 P S D) 1. A A) 2 17. calcula x. 8 = NC = 12 PC A) 6 B) 3 C) 2 D) 5 E) 24 30. 20. E 15. A) 8 4 B) 9 C l a ve s 6 4 C) 10 D) 11 Nivel 1 7. Completa los espacios en blanco según corresponda: A) 3 B) 4 C) 4. Calcula HC/8. B 13. la recta que pasa por los puntos medios +y de sus diagonales interseca a AB y DC en los puntos P y Q. B 28. 5(AB) = 2(BC). 31.4 E) 6.5 D) 5. B 26. Dos circunferencias de radios 4 y 9 son tangentes exteriormente 23.° . Si los tres son cuadrados. Calcula 27.2 θ 32. C 30. B Nivel 3 9. C 18. 24. si PB = 9. En un triángulo ABC. Calcula AP. En un trapezoide ABCD. Completa los espacios en blanco según corresponda: en el punto P. B 16. B A) 1 4 θ Q B) 2 24 8 R C) 2. C Nivel 2 24.21. D 25. calcula la longitud del lado del menor cuadrado. C D) 8 6. Si PQRS es un romboide. III. E 12.5 9 C) 3 NIVEL 3 D) 4 Comunicación matemática x 6 E) 5 22. CQ = 3 y QD = 6. si m+ MBC = m+ A + m+C. C x C) 6 5. D 14. =y A) 72 B) 5 C) 13 D) 6 E) 8 13 2 12 y x II. 29. 2 2 x 2 1 3 x A) 1 B) 2 C) 3 A) 2 B) 2 C) 4 D) 4 E) 10 D) 5 E) 8 3 Calcula x. si AB = 13.ACTIVIDADES UNIDAD 3 71 . 2 Calcula x. A 2 D C x 3 B 4 14 A) 12 B) 10 C) 8 A) 2 B) 4 C) 5 D) 14 E) 6 D) 14 E) 6 GEOMETRÍA . 6 Calcula x. 4 Calcula x.8 A) 2 B) 3 C) 5 D) 12 E) 12 D) 3 E) 15 7 5 Calcula CD.4 C) 0. 7 x 3 4 x 6 8 A) 3 B) 2. Aplicamos lo aprendido tema 3: RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 1 Calcula x. Halla x. C 10. halla el perímetro del al cateto mayor. Calcula la longitud de la hipotenusa.2 B) 5 C) 4 A) 550 B) 570 C) 576 D) 4. Calcula 12 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 240.5 E) 4. E 4. 8 Calcula x. B 1. B Claves 72 Intelectum 1. 10 Calcula x. A) 5. 6 8 x 2 x+1 x-1 A) 12 B) 13 C) 14 A) 1 B) 2 C) 3 D) 15 E) 16 D) 4 E) 5 11 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 y 12. 12 12 5 x x 16 A) 60 B) 5 C) 12 13 13 5 A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 12 D) 17 E) 5 5 17 9 Calcula x. Si los la distancia del vértice del ángulo recto a la mediana relativa catetos son entre sí como 3 es a 4.7 Calcula x. A 3. E 9. C 5. C 2. triángulo. C 8. 16 y 18. A) 0.8 D) 580 E) 585 13 Los lados de un triángulo miden 9. aritmética de razón 4. C 13. Si cada lado 14 Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión disminuyera en x el triángulo sería rectángulo. A 6. E 7.5 B) 5 C) 3 A) 20 B) 24 C) 18 D) 2 E) 1 D) 15 E) 21 14. E 11. A 12.° . halla R. Proyección de un punto L B A) 1 sobre L. ( ) EF catetos sobre la hipotenusa es 49. Si la suma de los cuadrados de las medidas de los lados de un B A) 4 triángulo rectángulo es 288. Calcula x. Si el producto de la medidas de las proyecciones de los III.5 de proyección es un punto. se traza la altura 8 BH relativa a la hipotenusa. sobre L. Calcula CM. Halla el valor de la hipotenusa. Calcula BH. Halla AD.5 III. Proyección oblicua B A C D) 7 2 H O sobre L. M III. En un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8. Los proyectantes de una proyección cónica.5 O 3. Proyección cónica de MN sobre L . ( ) N B) 2 C) 3 D) 4 2. 12. 5. ( ) B B) 7. Relaciona teniendo en cuenta el siguiente gráfico: E) 8 M N F M Resolución de problemas C E A 10. Relaciona. Halla x. B C A) 1 A) 20 M B) 2 x-4 x B) 15 C) 14 C) 3 D) 12 D) 4 x+4 E) 16 A F D E) 5 6. Practiquemos NIVEL 1 A) 60 B) 120 C) 110 17 17 19 Comunicación matemática D) 120 E) 115 18 17 1. Una proyección ortogonal es también una proyección oblicua. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se traza la altura II. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 9 y H DF = 4. Proyección ortogonal de MN sobre L . Razonamiento y demostración A) 7 B) 8 C) 9 D) 6 E) 5 4. Proyección una secante L 7. P I. convergen en A) 7 un punto llamado foco de proyección. N B L A) 6 B) 8 C) 10 D) 3 E) 4 I. ( ) A C D) 8. Calcula AB. Si AB = 5 y BC = 12. Proyección oblicua de MN sobre L . Si las proyecciones de los catetos x sobre la hipotenusa miden 4 y 9. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: A C E) 5 H I. La proyección ortogonal de un segmento perpendicular al eje R C) 6. ( ) D A) 6 B) 5 C) 4 II. ( ) 16 E) 3 A L 8.5 13. ( ) 9.ACTIVIDADES UNIDAD 3 73 . II. Halla el valor de dicha altura. calcula la M D F N medida de la proyección de la hipotenusa sobre el cateto mayor. 14. AH = 1 y HC = 8. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B). si AH = 4 y HC = 9. B) 5 C) 6 A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 4 D) 7 A C E) 3. En la figura. 15 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9 GEOMETRÍA . Halla el valor de la altura BH. ( ) CD BH. ( ) AB 11. Completa los recuadros teniendo en cuenta el siguiente gráfico. además. Q O' A C O r H R A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 P 19. AT = 15 y CD = 9. El teorema de Dostor solo se cumple para triángulos C) 45 rectángulos semejantes. Calcula x. E) 17 T A D B 23. II. ( ) 22. Calcula PQ. BC A) 10 B) 12 C) 15 D) 13 E) 14 B 25. A m n C H c B A) 10 2 2 2 B) 70 I) a2= c II) = n III) a2+ = C) 3 16. De la figura. B 24. calcula AB . Calcula AB. El segmento tangente común a dos circunferencias tangentes exteriores es igual a la raíz del doble producto de sus radios. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: A C D) 60 H I. r = 2 y OO' = 17. siendo P y Q puntos de tangencia. En la figura.2 m A m n C B) 7. En la figura. Calcula BH. si PQ = 10 y AB = 25. Si: O y O' son centros de las circunferencias mostradas. B P Q C Comunicación matemática A) 11 B) 12 15. AB = 9 m y AC = 15 m. calcula AH. El segmento tangente común a dos circunferencias E) 45 ortogonales es igual al doble de la raíz cuadrada del producto de sus radios.5 m H c C) 8 m 2 2 D) 9 m I) b=h II) = mn III) a2 = A H C E) 10 m Razonamiento y demostración Resolución de problemas 18.° . QC = 27 y AB = 17. calcula PQ. B Q C A) 8 A H C B) 9 P C) 7 A) 2 B) 2 C) 3 2 D) 6 D) 3 E) 5 A O D E) 10 3 74 Intelectum 1. R = 5 y HC = 3. a b h B A) 7. Si: HC = 2AH. Completa los recuadros teniendo en cuenta el siguiente gráfico: B R C) 13 D) 14 a b E) 15 A D 21. Calcula R.NIVEL 2 20. R = 6. Si AB = 6 y HC = 5. ( ) x B C D) 21 17. A) 14 ( ) B) 32 III. si BQ = 3. AB = 7. calcula la longitud de la Razonamiento y demostración hipotenusa. calcula R. BC = 3. (C es punto de tangencia). r1 I) a = d 26. Coloca V (verdadero) o F (falso). teniendo en cuenta el siguiente gráfico: T 36. O C) 4 B C D R D) 5 C B E) 6 T 2 2 A E 35. am + bn = cd ( ) 28. B) 3 Calcula AE. Calcula x. r3 2 II) =y( + + ) III) z( + = y (a + + y) r3 A 32. 33. Si R . B B N C A) 18 cm 6 8 B) 12 cm M C) 24 cm A C H O D) 20 cm A D E) 19 cm H D 29. cm + an = bd ( ) II. 34. A) 13 B) 15 C) 18 D) 9 E) 10 A A) 2 30. En la figura calcula el perímetro del cuadrado ABCD. teniendo en cuenta el siguiente r2 gráfico: B S m r1 C T C c b n A) 4 B) 1 C) 1 D) 3 E) 1 d 3 4 2 A B a R 27. si AB = 2 y TB = 4.5 C 2 7 E) 3 GEOMETRÍA . En un triángulo rectángulo los lados son números pares consecutivos. I. Si la altura relativa a la hipotenusa mide 42 . calcula AB. Completa los recuadros en blanco. CD = 2 y DE = 9. Halla el menor. Calcula . En el gráfico. si: AB = 2BC. b x A A) 2 a c B y I E O B) 2 3 x d z C) 5 e D D) 4.r = 25. En la figura.ACTIVIDADES UNIDAD 3 75 . Se tiene un triángulo rectángulo donde la proyección de los catetos son dos números enteros consecutivos. Completa los recuadros según corresponda (O es centro) si: MN = 2MH y (AM)(MD) = 12 cm2. al + mc = bn ( ) A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 2 III. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 15 B A) 2 NIVEL 3 B) 3 Q O A C C) 4 Comunicación matemática r D) 5 R E) 6 31. A 21. C 19. calcula la medida de la 39. A) 9 B) 8 C) 7 D) 4 2 E) 3 2 R 43. Se tiene un triángulo ABC (m+B = 90°). Nivel 3 Además: m+ A = 37° y m+D = 45°. si AB = 10. 17. 35. siendo ABCD un cuadrado y EM = MC = MN = 5. si: AH = BC y (AB) (BH) = 16. C 10. B 40. 42. Calcula x. C 43. D) 43 E) 62 A B 46. A) 3 B) 4 C) 5 Nivel 2 D) 6 E) 8 12. 33. 3. B 22. A 27. A 25. E proyección de BC sobre AD . C 24. Calcula x. E 37. C 14. E A) 2 B) 3 C) 4 31.5 D) 2. Calcula BC. E A N D 76 Intelectum 1. B 44. E 29. C 46. En la siguiente figura ABCD es un cuadrado.° . si I es el incentro del triángulo ABC. Calcula R. si las medidas de los catetos son números enteros. A 15. En un cuadrilátero ABCD. En un triángulo rectángulo (recto en B) ABC se traza la altura D) 8 E) 5 BH. CD = 10 2 y AD = 21. 2. si AB = 2 5 y AH = 4 A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 9 B 45. C 38. AB = 3 y BC = 4. 38. 32.AH = 1. C 28. Halla HC. D 34. B 41. C 9. Halla la x+3 otra diagonal. C 8. se traza la altura 20. B 36. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B). B 11. B 7. 16. C 5. En un rombo una diagonal mide 8 y su perímetro es 24. Si AB = 6 y HC . A C x O H 11 A) 0.37. B 42. E 23. C 13. C 18. 6 2 A) 3 B) 2 C) 5 10 D) 6 E) 7 A) 6 B) 4 C) 3 44. B BH. A 30. x+5 x A) 2 5 B) 3 5 C) 4 5 D) 6 5 E) 5 5 D C A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Resolución de problemas 40. A M 1. C 45. calcula AC.5 E) 2 A) 15 B) 13 C) 61 39. B C Nivel 1 4. C 26. Calcula AI. Calcula AH. D) 5 E) 6 C l a ve s 41.5 B) 1 C) 1. E 6. desde el vértice opuesto al lado menor se de longitud b se interseca perpendicularmente con la traza una bisectriz la cual corta al lado opuesto en el punto mediana relativa a la hipotenusa. la prolongación de AE y el segmento OB se pero por ángulo inscrito y semiinscrito m+ACE = mAE = m+OAE cortan en K. circunferencia en el punto C. Finalmente. a y b son los radios de las semicircunferencias. En la siguiente figura. (I) x+7 O α β α m E Luego. BC = 12 4. por lo tanto m+COB = m+ACO = a. En la figura P. luego en el O triángulo BHC se traza a su vez la altura HM.. halla la longitud de OK. la cual corta a la luego sabemos que AC // OB. Determina el perímetro de este A) b B) b C) b d 3 n triángulo en centímetros. A A) 10 u B) 13 u C) 20 u A) 4 m B) 10 m C) 6 m D) 24 u E) 25 u D) 8 m E) 2 m GEOMETRÍA . D) 2h E) 6 h P Q a 6. Q y T son puntos de tangencia. calcula BC. luego OK = x. exterior a una circunferencia se trazan dos Primero asignamos los siguientes valores simbólicos: rectas tangentes en los puntos A y B de dicha circunferencia. calcula la distancia del baricentro b del triángulo ABC al vértice C. AE = m y EK = n por el punto A se traza una recta paralela a OB. 2 Por lo tanto: TEKO a TOKA & x = m + n Resolución n x A ` x2 = n(m + n) . En un triángulo rectángulo la mediana relativa a un cateto cm y AC = 20 cm. siendo CD el diámetro de la A T B circunferencia. Los lados de un triángulo ABC miden: AB = 16 cm.. (II) C K 7 igualando (I) = (II) & x = 7 u B 1.. por el teorema de la tangente: n x α 72 = n(m + n) . si KB = 7 u. Determina la distancia del A) 3 h B) 2 h C) 5 h punto T al segmento PQ. se traza la altura BH. Matemática Desde el punto O. OC interseca a la circunferencia en el ! punto E. y desde ahí se traza una paralela al lado mayor y se forma otro cateto es: un nuevo triángulo en el cual uno de sus ángulos internos es el del triángulo original. finalmente se traza MN AB (N ! AB) de modo que BH + MN = {P} y 3(AC) = 5(PH). MH = 12u..ACTIVIDADES UNIDAD 3 77 . ¿cuánto mide la hipotenusa? 2. En un triángulo ABC. entonces la longitud del M. En un triángulo rectángulo la diferencia de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa es igual a la altura relativa a dicha hipotenusa. además se sabe que: BC = 12 5 m y OD = 30 m A) 2 ab B) ab/(a + b) C) ab D) 2ab/(a + b) E) a2 + b2 B C D 3. 2 3 3 D) b d 5 + 1 n E) 2b A) 24 cm B) 16 cm C) 128 cm 2 2 3 D) 80 cm E) 64 3 3 5. Unidad 4 . reformó y mejoró la mayoría de sus primeros trabajos. Fue él quien. diámetros y simetrías. además estudió algunas ecuaciones diferenciales. aportando pruebas y permitiendo un análisis recibe. las ramas infinitas y asintóticas de las secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden. felicidad. mecánica continua. la física y las lenguas • La actividad es tan necesaria a la orientales. • La beneficencia alegra dos corazones El trabajo de Euler se basó en facilitar los procedimientos de análisis y trabajó en todas las ramas de la matemática conocidas por entonces.! Luna. como le es contraria la En 1733. estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas. hidráulica y música. Todos estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra Introducción al análisis que Euler dedicó exclusivamente a la geometría analítica.. demostrando la inexactitud de la clasificación newtoniana. acústica. • Cuando se pierde la cabeza. también en 1748. intersección de curvas. B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 . semejanzas y propiedades afines. curvas trascendentes y la resolución general de ecuaciones trigonométricas. también clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones. p para pi. S para la notación abreviada de sumatorios (1755). Euler se trasladó a agitación. el problema de los tres cuerpos. Pese a esto. i para la raíz cuadrada de -1 A) 1 (1777).Debemos a Euler muchas de las notaciones hoy día populares en matemáticas: f(x) para una función (1734). especialmente en su Teoría de los movimientos de obtener una igualdad correcta? cuerpos rígidos (1765). la medicina. estudiando sus propiedades generales. más consistente de esta ciencia. teoría de ondas de luz. y dos años más tarde perdió la vista por completo. al mismo tiempo: al que da y al que agregando detalles. pierden el equilibrio. También estudió las tangentes. e para la base de los logaritmos naturales (1727). Rusia. Estableció los fundamentos de la ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para mecánica analítica. introduciendo además de las coordenadas caída. las oblicuas y polares. En otros apartados de sus obras trató las secciones cónicas. al terminar brillantemente la universidad. ya que al estudio de la matemática se unió el de la teología. problemas de curvaturas. Euler amplió y perfeccionó la geometría plana y de los sólidos. rectangulares en el espacio. el movimiento de la ¡Razona. Suiza y murió Reflexiona f flexiona el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo. los pies introdujo el método analítico a la trigonometría. elasticidad. composición de ecuaciones de curvas complejas. en segundo lugar. Recibió una educación muy completa. Rusia. presentó a la geometría analítica de una manera formal. la astronomía.. las formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado. Introdujo las funciones beta y gamma. en primer lugar expuso el sistema de la geometría • El que no modera el vuelo merece la analítica en el plano.Recuerda Leonhard Euler Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea. Aplicamos lo aprendido tema 1: ÁREA DE UNA SUPERFICIE PLANA 1 Calcula el área de la región triangular. 4 B C 4 m2 5 16 m2 8 A D A) 20 B) 30 C) 12 A) 30 m2 B) 36 m2 C) 20 m2 D) 40 E) 60 D) 64 m2 E) 38 m2 80 Intelectum 1. BC = 13 y R = 4. B B 2 3m R A C O 30º A C A) 4 3 m 2 B) 12 3 m 2 C) 8 3 m 2 A) 36 B) 40 C) 46 D) 6 3 m 2 E) 6 6 m 2 D) 44 E) 48 5 Calcula el área de la región sombreada. 6 Halla el área del trapecio ABCD.° . B 6m 6m 3 cm A 6m H C 2 cm 4 cm A) 9 3 m2 B) 7 3 m 2 C) 36 m2 A) 12 cm2 B) 9 cm2 C) 8 cm2 D) 18 m2 E) 12 m2 D) 6 cm2 E) 15 cm2 3 Halla el área del triángulo ABC. 4 Calcula S ABC si AB = 9. 2 Halla el área de la figura sombreada. Calcula la altura del trapecio. C 5.p C) 16 .ACTIVIDADES UNIDAD 4 81 . como: A) 10 m B) 12 m C) 11 m A) 1 : 2 B) 2 : 5 C) 2 : 3 D) 9 m E) 8 m D) 3 : 5 E) 6 : 4 11 Halla el área de un sector circular.p D) 4 . C 7. 14 Halla el área de la región sombreada. cuyo radio mide 3 cm. T B C 3 cm A D A) p cm2 B) p cm2 C) p cm2 2 3 4 A) 9p cm2 B) 5 cm2 C) 9 cm2 D) p cm2 E) 2p cm2 6 6 D) 5p cm2 E) 6p cm2 13 Halla el área de la región sombreada. D 1.p D) 4 + 2p E) 16 . al área de la región cuadrada inscrita al círculo entero. 2 B C B C 2 2 4 2 A D A D 2 A) 3 + p B) 4 + p C) 2 + p A) 2p . A Claves GEOMETRÍA . D 11. A) 3 m B) 2 m C) 4 m A) 18 cm2 B) 19 cm2 C) 20 cm2 D) 5 m E) 7 m D) 21 cm2 E) 22 cm2 9 En un trapecio de bases 3 y 5 m. C 10. b 3. 30° y de radio igual a 2 cm. se sabe BC = 6. D 13. E 12. 8 Halla el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia AD = 8 y el área del trapecio es 28 m2.7 En un trapecio rectángulo ABCD (BC // AD). D 2.p E) 6 . cuyo ángulo central mide 12 Calcula el área de la región sombreada. b 4. b 8. b 9. Calcula AB. la medida del área de su 10 El área de una región cuadrada inscrita en un semicírculo es región es 44 m2.6 B) 4 .2p 14. A 6. B C III. 6 10. Halla el área del terreno. 6 6 A) 24 B) 20 C) 16 D) 12 E) 8 6 6 9. Halla el área sombreada. Regiones ( ) equivalentes A D Razonamiento y demostración A) 3 m 2 B) 2 3 m 2 C) 3 3 m 2 3. ( ) 3 II. 5. ( ) 6. Calcula el área sombreada si O A) p m2 B) 2p m2 C) 3p m2 es el centro de la circunferencia de radio igual a 1. Halla el área de la región exterior al D) 25 E) 24 círculo e interior al sector. 144° 2. En un sector circular de ángulo central 60° y radio R = 6 m. A) 12 3 B) 10 3 C) 14 3 D) 9 3 E) 6 3 A) 75 m2 B) 90 m2 C) 45 m2 D) 75 2 m 2 E) 80 m2 4. Halla el área de un trapecio isósceles de bases 10 m y 20 m. Calcula el área de la región limitada por un triángulo cuyos lados miden 5. 6 6 A) 168 m2 B) 164 m2 C) 160 m2 D) 150 m2 E) 120 m2 11. D) 4p m2 E) 5p m2 82 Intelectum 1. en el cual dos ángulos interiores miden x y 3x. Las superficies de color rojo son superficies planas. Halla el área de la región sombreada. Relaciona: R R I. Las superficies de color amarillo son superficies planas. Regiones ( ) congruentes 46 u2 46 u2 Resolución de problemas 7. Calcula la suma de áreas de las regiones sombreadas (R = 6 m). 8 y 5. El perímetro de un terreno rectangular es 62 m y su diagonal mide 25 m. En la figura OPQR es un rombo. Las superficies de color verde no son superficies planas. Halla el área sombreada.° . Regiones ( ) O semejantes A) 9p m2 B) 12p m2 C) 24p m 2 5 D) 36p m 2 E) 54p m 2 5 5 II. ( ) III. A) 28 B) 27 C)26 se halla inscrito un círculo. D) 4 3 m 2 E) 5 3 m 2 6 6 8. Índice (correcto) o X (incorrecto) teniendo en cuenta las siguientes figuras: R A) p B) p C) 2p 4 6 3 D) p E) p I.Practiquemos NIVEL 1 P Comunicación matemática Q O 1. ABCD es un cuadrado de 4 m de lado. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: A) 12 3 I.2 3 III. (A9 AB C / A AB C) = 1 ( ) 1 2 E) 8p . El área de una región plana está limitada por su contorno. se trazan 2 6 tres arcos de circunferencia. A9 ABC = ( ) 2 D) 54 m2 E) 108 m2 Razonamiento y demostración 21. 4R (a + b + c) (a + b) (b + c) (a + c) A) 144 m2 B) 72 m2 C) 162 m2 III. II. c R A) 10 B) 12 C) 15 D) 16 E) 18 I. Indica cual de las fórmulas es la incorrecta con un aspa (X). En un triángulo isósceles ABC. En un paralelogramo ABCD de base AB = 18 m y altura 12 m.9 3 II. ( ) II. Desde P se trazan O perpendiculares a los lados iguales del triángulo dado: PM y PN. Halla el área sombreada. A9 ABC = 1 (a + b + c) R ( ) 20. Un plano posee un área de valor infinito. ( ) B) 16 3 III. A) 6p .9 3 L3 A C B) 6p + 3 3 6 6 I. (A9 AB C / A9 AB C) = (m/n) ( ) 1 3 GEOMETRÍA . En un triángulo equilátero ABC de 2 m de lado. halla el área de la región triangular ABC. haciendo centro D) 2 en cada vértice y con un radio igual a la mitad del lado. A) 50 cm2 B) 60 cm2 C) 70 cm2 A) 8 D) 55 cm2 E) 65 cm2 2 6 B) 12 C) 3 22.p) B) 50(4 . E) 10 3 B 19. 12. (A9 AB C / A9 AB C) = (n/m) ( ) C) 6p .ACTIVIDADES UNIDAD 4 83 . Halla el área de la parte sombreada.k m 2 p D) a 3 . Calcula el área sombreda.k m 2 B) 13 2 2 4 C) 18 p E) a 7 . Coloca V (verdadero) o F (falso) teniendo en cuenta el siguiente C) 50(8 .2 3 2 3 6 D) 8p .NIVEL 2 Resolución de problemas Comunicación matemática 18.p) gráfico. ( ) C) 8 3 D) 6 3 13. Calcula el área comprendida entre E) 6 los tres arcos. A9 ABC = ( ) Halla el área del cuadrilátero BFDE. 20 Comunicación matemática A) 40(4 . 15. 14. El área de una superficie se mide en unidades cuadradas. además L1 // L2 // L3 20 B3 D) 316 L1 B1 B2 L2 E) 260 n m 17. Halla el área del rombo cuyas diagonales están en la relación de 1 a 3 y la distancia del centro a un lado es 3 cm. puntos medios de AB y BC respectivamente. A) a 2 + p k m 2 B) a 5 . se prolonga la base BC a b una longitud igual. 2 abc se une D con E y F.k m 2 D) 16 2 E) 12 NIVEL 3 16. Halla el área sombreada.p) 23. hasta el punto P.p k m 2 8 A) 15 2 3 p C) a 5 . Halla el área sombreada. A C Si PN = 5 y AB = 6. La figura muestra un hexágono regular de lado 4. se traza la bisectriz interior AN (N en BC). Razonamiento y demostración A) 6 B) 8 C) 10 25. Halla el área sombreada. C 84 Intelectum 1. Calcula el área de la región cuadrangular ABCD.p) D) 10(2 3 – 3p) C l a ve s 6 E) 5(2 3 . Nivel 3 16. calcula el área de la región sombreada. b 27. se ubica M punto medio de CD. 29. Sobre AB y BC se A C toman los puntos M y N respectivamente. C 1. D) 12 E) 16 31. b 11. Completa los recuadros en blanco teniendo en cuenta los valores presentes en los siguientes gráficos. E A) R 2 < 3p . E 22. En un rectángulo ABCD. E D) 258 5. D 28.4 m D) 6. 32. D 14. C 25. A 31. Halla el área sombreada. A 15. D 23. 20. b 28. α α α Si AC + BM = {L} y el área de la región cuadrangular ADML es 5 6m 6m m2. De la figura. Calcula el área común de dos círculos iguales de radio R que se cortan de modo tal que uno de ellos pasa por el centro del otro. A B) 264 3. 17. C 30.3 F 2 2 2 3 2 3 2 A) 3. E 26. A 20 A) 260 2. D C) 257 4. D 12. recto en B.3 F 4 2 2 3 A B O C) R 2 < 2p . Se tiene un rombo cuyos lados son dos radios y dos cuerdas de 2 2 una circunferencia cuyo diámetro mide 12 m. D E) 241 6. b 10. A) 6(2 3 . A) 12 6 m2 B) 36 m2 C) 24 3 m2 26.° . Halla el área de la región sombreada. α α A) 8 m2 B) 9 m2 C) 10 m2 10 m D) 12 m2 E) 14 m2 A) 15 3 m 2 B) 19 3 m 2 C) 17 3 m 2 32. tales que AB = 4BM y BN = NC. si D) 32 m2 E) 18 3 m2 BC = AB = 6 m (E es punto de tangencia). El área de una región triangular ABC es 64.3p) Nivel 1 7. 8. b 24.3 F B) R 2 < 3p . C Nivel 2 19. C 33.24. D 13.4 m C) 5. u2 u2 A) 15 B) 18 C) 24 M N Q D) 28 E) 30 120 u2 u2 30. Calcula el área de la región triangular MBN.4 m B) 4. b 18. Calcula el B área de la región triangular ANC. En un triángulo rectángulo ABC. Calcula el área de D) 8 3 m E) 11 3 m la región limitada por dicho rombo. D C 33. D 29. de modo que NB = 3 y NC = 5. además MN = 10 Resolución de problemas y NQ = 20. 9.2 F 2 3 27.4 m2 E) 6 m2 E) R 2 < 3p .p) C) 10(2 3 .2 F D) R 2 < 2p .p) 30° B) 6(3 3 . 21. volumen.ACTIVIDADES UNIDAD 4 85 . A) 100p cm2 B) 200p cm2 C) 216p cm2 y 200p cm3 y 150p cm3 y 200p cm3 A) 1 B) 2 C) 3 D) 144p cm2 E) 288p cm2 D) 4 E) 5 y 288p cm3 y 300p cm3 5 Si los lados de un paralelepípedo rectangular miden 5 m. Aplicamos lo aprendido tema 2: GEOMETRÍA DEL ESPACIO 1 Se muestra un prisma recto triangular regular. calcula el área de la área de la superficie esfèrica es numéricamente igual a su superficie esférica y su volumen. calcula h. sabiendo que el 4 El diámetro de una esfera mide 12 cm. 10 m h 2m 4u A) 2 3 m3 B) 5 3 m3 C) 10 3 m3 A) 2 u B) 14 u C) 5 u D) 8 3 m3 E) 9 3 m3 D) 10 u E) 16 u 3 Calcula la longitud del radio de una esfera. volumen. respectivamente. y 12 m. Calcula su 2 Si el volumen del prisma cuadrangular regular es 160 u3. Halla el volumen de dicho paralelepípedo. g=4 R 5 A) 480 m3 B) 360 m3 C) 240 m3 A) 45 p B) 90 p C) 60 p D) 120 m3 E) 660 m3 D) 30 p E) 10 p GEOMETRÍA . 8 m 6 Calcula el área total del cilindro. 5 m D) b E) 5b 14. Calcula el lado cuadrangular regular cuya arista básica mide b.° . C 7.4 m E) 7. D 2. A) 36 B) 45 C) 48 A) 18p B) 16p C) 64p D) 40 E) 50 D) 8p E) 8p 9 ¿Cuánto mide el radio de una esfera de volumen 4 3 π ? 10 Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular de arista 6 2 .1 m B) 7. La apotema de la pirámide mide 9 m.2 m C) 7.5 m . Calcula la de la base. D 13. C 9. altura de la pirámide. C 10. D 8. 2 11 2x 2x 4 2 A) 4 B) 5 C) 3 A) 16 B) 32 C) 64 D) 7 E) 8 D) 128 E) 256 13 El área lateral de una pirámide hexagonal regular es igual a 14 Un cubo tiene arista igual a b y es equivalente a una pirámide 2 202.3 m A) 3b B) 2b C) 4b D) 7. si la arista lateral forma con la base un ángulo de 45°. halla el área de la superficie arista básica 4 y altura 3. si AT = 54p. A 12. esférica. 12 Calcula el volumen de la pirámide cuadrangular. A) 1 B) 2 C) 3 A) 162 B) 68 C) 36 D) 4 E) 5 D) 144 E) 72 11 Calcula x. C Claves 86 Intelectum 1. b 6.7 Calcula el volumen de un prisma cuadrangular regular de 8 Si el radio de una esfera es 2. A 3. E 11. A) 7. b 4. C 1. C 5. ¿Cuánto mide la altura. si V = 864p. Calcula x. El volumen de una pirámide regular triangular es 24 3 y su Poliedro regular de 4 ( ) arista básica mide 4 3 . 4 y 6. Escriba cuáles son las propiedades del cubo y del tetraedro A) 100 B) 150 C) 200 regular: D) 250 E) 300 Poliedro regular. de 6 Resolución de problemas ( ) caras iguales. halla el volumen de la esfera. D) 7 E) 8 Porción del espacio separado 7. Calcula el volumen de la pirámide. La figura muestra el desarrollo de la superficie de una pirámide del espacio inmediato por un cuadrangular regular. 64 m3? 2. 10. Calcula el área de la superficie total de un rectoedro de Esfera Cilindro dimensiones 2. V= V= As = AL = A) 44 B) 53 C) 88 AT = D) 48 E) 96 GEOMETRÍA . Escriba las fórmulas de la esfera y del cilindro. 13 5 2 Sólido geométrico formado por polígonos contiguos situados en Espacio 13 distintos planos que constituyen las caras. Escriba los nombres de los siguientes poliedros regulares. V = 1 Sh ( ) 3 A) 36p B) 64p C) 81p D) 25p E) 16p 4. 8.ACTIVIDADES UNIDAD 4 87 . A) 4 B) 8 C) 7 V=a 3 D) 9 E) 6 ( ) 9. Relaciona: A) 1 m B) 2 m C) 4 m D) 5 m E) 6 m Unión de infinitos puntos colineales sin un punto de origen. Si el radio de una esfera es 3. si el volumen del sólido es 1. Superficie llana perfectamente lisa. que se extiende Plano indefinidamente en todas las 4x direcciones. Practiquemos Nivel 1 Razonamiento y demostración Comunicación matemática 5. ¿Cuánto mide la altura? caras iguales. Sólido geométrico conjunto de puntos que forman la superficie del sólido. sin espesor. En la figura se muestra un prisma cuadrangular regular de arista básica 4 m. 3. x Contiene al menos 4 puntos no Recta A) 4 B) 5 C) 6 coplanares. Poliedro 6. Nivel 2 14. Coloca (V) o (F) sobre la definición del plano: Comunicación matemática I. Por tres puntos pasa un plano. ( ) II. Por dos rectas paralelas pasa un plano. ( ) 11. Señala los elementos de: la pirámide; el prisma y el cilindro. III. Se le denota como 6p. ( ) IV. Infinitos puntos determinan un plano. ( ) Pirámide Razonamiento y demostración 15. Una esfera tiene una superficie de 36p m2. Calcula su volumen. A) 6p m3 B) 18p m3 C) 36p m3 D) 20p m3 E) 40p m3 16. Calcula la relación entre el volumen del cilindro recto y el cono recto mostrado. O Prisma F D E A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 C A 17. Halla el área total de un cubo, si su diagonal mide 3 3 m. B A) 27 m2 B) 54 m2 C) 9 m2 D) 18 m2 E) 30 m2 Cilindro Resolución de problemas 18. En un prisma cuadrangular regular, la longitud de la arista lateral es el doble de la longitud de la arista básica y el volumen es 16. Calcula la distancia de un vértice al centro de la otra base. H A) 7 2 B) 4 2 C) 3 2 2 D) 2 2 E) 3 3 19. Calcula el área de la superficie lateral de una pirámide 12. Escribe (V) o (F) sobre la definición de la recta: triangular regular, si sus aristas básica y lateral miden 6 y 5, I. Es la unión de infinitos puntos. ( ) respectivamente. II. Por dos puntos pasa una recta. ( ) A) 28 B) 30 C) 32 III. Por tres puntos pasa una recta. ( ) D) 36 E) 40 IV. Por tres puntos puede pasar una recta. ( ) 20. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular donde 13. Coloca (V) o (F) acerca de la recta: el área de la superficie lateral es igual al doble del área de la I. Una recta tiene punto de origen. ( ) base y a su vez igual a 72. II. Un punto pertenece a una recta. ( ) A) 18 2 B) 24 6 C) 30 III. Un punto puede pertenecer a una recta. ( ) IV. Un punto define una recta. ( ) D) 26 6 E) 36 3 88 Intelectum 1.° Nivel 3 27. Si los sólidos son equivalentes. Calcula x. Comunicación matemática x 4 21. Indica cuántos enunciados son correctos: x I. Cuatro puntos definen el espacio. ( ) II. Cuatro puntos no colineales definen el espacio. ( ) III. Cuatro puntos no coplanares definen el espacio. ( ) A) 2 B) 1 C) 3 IV. Cuatro puntos no colineales ni coplanares definen D) 4 E) 5 el espacio. ( ) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0 Resolución de problemas 28. Se tiene un cubo tal que la distancia del centro de una cara a 22. Indica qué afirmaciones son correctas: un vértice de la cara opuesta es 6. Calcula el volumen del cubo. I. Una esfera es un poliedro. ( ) II. Un poliedro tiene como mínimo 4 caras. ( ) A) 15 2 B) 48 6 C) 6 6 III. Existen 6 poliedros regulares. ( ) D) 24 3 E) 9 6 IV. Un poliedro no tiene regiones circulares. ( ) A) Solo I B) Solo II C) I y II 29. Determina el volumen de la pirámide mostrada, si su base es D) II y III E) II y IV un cuadrado. 23. Indica qué afirmaciones son incorrectas: I. Una pirámide tiene base circular. ( ) 10 2 II. Un prisma tiene base circular. ( ) III. Un prisma es un poliedro. ( ) IV. Una pirámide es un poliedro. ( ) 6 A) Solo I B) Solo III C) Solo IV D) I y II E) I y IV A) 54 2 B) 72 3 C) 84 2 D) 96 2 E) 112 2 24. Coloca (V) o (F) según corresponda: I. Un cilindro es un sólido geométrico. ( ) 30. El área lateral de una pirámide cuadrangular regular es los 2/3 II. Una pirámide es un sólido geométrico. ( ) del área lateral de un prisma recto de la misma base y altura que III. El hexaedro regular es un prisma. ( ) la pirámide. Si el lado de la base mide 4, calcula la medida de IV. El paralelepípedo es un prisma. ( ) la altura. Razonamiento y demostración A) 3 7 B) 4 7 C) 5 7 5 7 7 25. Halla el área de la superficie esférica y el volumen de la esfera, D) 6 7 E) 3 7 7 5 si el área de su círculo máximo es 81p. R A) 81p; 324p B) 324p; 405p C) 162p; 324p C l a ve s D) 324p; 972p E) 324p; 486p 26. Calcula x, si AT = 54p. Nivel 1 7. C 13. 20. E 26. A 1. 8. E 14. 27. A Nivel 3 2. 9. A 15. C 28. b x 21. A 3. 10. C 16. C 29. D 22. E 4. 17. b 30. D Nivel 2 23. D x 5. C 18. C 11. 24. 6. C 19. D A) 6 B) 4 C) 7 12. 25. D D) 3 E) 2 GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4 89 Aplicamos lo aprendido TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL tema 3: PLANO CARTESIANO 1 Halla el punto simétrico a P(-5; -3) con respecto al punto 2 Halla la suma de las coordenadas del punto simétrico a Q(-1; -1). P(-7; 8) con respecto al eje y. y P'(x'; y') Q(-1; -1) x P(-5; -3) A) P'(3; 1) B) P'(-1; 3) C) P'(3; -1) A) -15 B) -1 C) 1 D) P'(-3; 1) E) P'(1; 3) D) 15 E) N.A. 3 Del gráfico, calcula las coordenadas simétricas del punto A, 4 Calcula las coordenadas del punto simétrico del centro de la respecto al punto (1; 0). circunferencia con respecto a Q(1; -2). y y A(-2; 3) B(2; 2) x x O(-2; -1) C(1; -5) A) A'(2; 3) B) A'(4; 3) C) A'(3; 4) A) (3; -4) B) (3; -3) C) (4; -4) D) A'(-2; -3) E) A'(4; -3) D) (4; -3) E) (2; -3) 5 Halla el baricentro del triángulo simétrico al triángulo ABC con 6 Ubica la posición final del punto A(2; 3). Si se sabe que se ha respecto al punto (-2; 0). Si A es (-7; 1), B es (-2; 4) y C es trasladado 3 unidades en dirección del eje -x. (-5; 7). A) c 2 ; - 4 m B) c2; - 4 m C) c 2 ; - 4 m 3 3 3 3 A) A'(-1; 3) B) A'(2; 6) C) A'(-2; 6) D) c 4 ; - 2 m E) c 4; - 2 m D) A'(3; 1) E) A'(-1; -3) 3 3 3 90 Intelectum 1.° Calcula en esa la longitud del menor recorrido para ir de A hasta B tocando posición AP + QC. calcula das x. 2) E) (1. -2) 9 Se tienen dos puntos en el plano cartesiano. -2) D) (0. 2) D) (1. -2) A) (0. B’ O (0. C 7. y A(-2. si se sabe que ha rotado 60° con respecto al punto respecto al punto (3. A 9. halla la diferencia de las coordenadas de la distancia entre M' y N' si M' = Tras M(0.5 C) 3 D) 2 E) 1. trasladado en dirección de la fecha V(2. en sentido antihorario. 4) y (16. A 4. A) 5 B) 4 C) 3 A) -6 B) -5 C) -4 D) 2 E) 1 D) -3 E) -2 14. 7) ha sido rotado 90° en sentido antihorario con P(4. A) 30 B) 35 C) 40 A) 24 B) 25 C) 23 D) 45 E) 50 D) 20 E) 21 11 En el triángulo de vértices A(-5. D 2. C 11. D 10. en el trayecto al eje de coordenadas x.5).2 13 Halla la diferencia de las coordenadas de la posición final de 14 El punto P(5. 0) B(5. (PQ // eje x) (PQ = 2).5 del mismo.12. -5). 8) B) (0. Halla el producto de las coordenadas (-2. E 1. 2). -5). B(-1. 12) respectiva- A tiene coordenadas (0. A Claves GEOMETRÍA . D 8. -1) C) (2. 1) B) (2. 3). 2) E) (4. 1). -4) y N' = Tras N(0. b 6. -1). C 3. 4) si se sabe que se ha 8 Ubica la posición final del punto A si se sabe que se ha trasladado en dirección de la flecha V(3. 4) posición final de B. tal que el recorrido APQC sea mínimo. de la nueva posición de P. A 5. Si ambos puntos están en el mente. halla la 12 Del gráfico. b 12. -2) C) (4. además B dista 19. 2) y C(3. Se pide ubicar el segmento PQ en el eje de coordena- primer cuadrante y la distancia entre ambos es de 25. donde M y N son los puntos medios de AB y BC respectivamente. -3) A) 10 B) 8 C) 9 D) 12 E) 11 A) 2.5 B) 1.ACTIVIDADES UNIDAD 4 91 . D 13. 3) x A) (2.7 Ubica la posición final del punto P(-1. donde 10 A y C están ubicados en los puntos (2. 2). A y B. 8) si 4 unidades en dirección del eje y positivo. 1) E) (-1. Si A ! II C y O = (0. D) P'(-1. 2) B) D(-4. 1) 8. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 2. A) (-3. estos han sido rotados 90° en sentido antihorario con respecto A) (3. Halla la suma de las coordenadas de la posición final del punto P(-1. -1) A) (-7. Si O = (0. -1) ( ) I. -7) E) (7. 4) que ha sido trasladado en dirección de la flecha V(3. 7). -1) C) P'(1. Sim (2. 3) E(3. 2) D) (2. 0) & Rot (-9. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. 7) E) (7. -5) E(3. 90°) 6. -3)(O. -2)(y) = (3. Tras (-2. 9) C) (-9. Halla la posición final del punto D(-2. -2) C) (1. 7) C) (-3. -1) que se ha trasladado 16. Tras (-6. Halla el punto simétrico al punto (-3. Halla la diferencia de las coordenadas del punto simétrico a B(-9. 5. 7) que se ha sido rotado Q'(-8. Sim (-3. -3) C) (-3. -2) B) (-2. 3) D(3. A) C(2. -1)(O. -2) que se ha desplazado Donde O es el origen de coordenadas. 1) Resolución de problemas D(-3. 10. 1) B) C(-2. -7) C) (2. Si R ! IV C & Sim R(y) ! II C ( ) III. entre A y B. 90°) = (-11. 3) ( ) III. -5) E) (9. 4) B) (-4. y). -1) E) C(-2. 5) D) (9. 3) E) (-2. 8) Q'(8. 5) con respecto al eje y. 0) & Rot (-7. A) 3 2 B) 4 C) 4 2 D) 7 E) 5 A) 6 B) 12 C) -10 D) -6 E) 3 15. Halla la distancia 3. 3) D) D(2. 5)y y B = Sim (-2. 0) ! I C ( ) IV. D) D(-4. -6) Q'(6. 2)( ). -5) luego de que esta ha rotado 53° en sentido antihorario E'(3 . 2) T(-5. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: II.Practiquemos Nivel 1 Nivel 2 Comunicación matemática Comunicación matemática 1. -3) 7. 1)(x) = (-5. -1) y Q(-6. 90°) ! III C ( ) A) VVFF B) VFFF C) VVVF D) VVVV E) FVVV A) VFVF B) VVFF C) FVFV D) FFVV E) FVVF Razonamiento y demostración Razonamiento y demostración 13. L) L Si L pasa por el punto (-2. 180°) / D = Rot (-3. Si: M = Tras (2. -3)(O. -1) A) (-2. -2) D) (-2. 3) al origen de coordenadas. -6) 9. 1) E) P'(-1. Resolución de problemas A) 1 B) -1 C) 13 D) -5 E) 6 17. Si O = (0. Si: A = Sim (-1. Ubica las posiciones finales de los puntos P(1. 7) = (-3. 5)(4. -1) ( ) A' = Sim A( L ) & A' ! II C IV. -5) Q'(3. 7) A) 3 13 B) 13 C) 3 13 D) 2 13 E) 13 4. Tras (-2. Halla la posición final del punto H(-2. Si Q ! III C & Sim Q(x) ! IV C ( ) II. 5) 92 Intelectum 1. 8) Q'(8. 11)(O. 4) = (-6. 7) con respecto al eje x. 7) B) (3. 5) B) (-9. -2) Q'(-6. 5) 14. 5) ( ) III. Sim (-5. -3)(y. 3)(-x. Tras (4. -x) y G = Tras (-3. 7) ( ) IV. Halla la distancia entre M y G. 1) B) P'(-1. -2) B) (-2. -2) ( ) IV. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Si: A ! II C & Sim A(0. -4)(4. Si: PP' // V. 1) C) C(2. -6) 90° en sentido antihorario con respecto al origen de coordenadas. 1)(+x. 3) ( ) V. 2) C) D(-4. Halla la posición final del punto A(-1. 11.° . 0) & Rot A(O. 0) y es paralela al eje y. 3) con respecto al origen de coordenadas. 4)(2. Si: L // x (eje x) y A ! I C ( ) III. 2 2 A) (-9. Halla la suma de las coordenadas de la posición final del punto A) D'(4. 1) ( ) II. Ubica los puntos D = Sim (-7. Si P' es simétrico a P con respecto a la recta L & PP' ^ L ( ) II. 2) A) 7 B) -6 C) -5 D) 4 E) 3 E(-3. -5) con respecto al origen de coordenadas. si P' es la traslación del punto P en dirección y A) FVFV B) VFVF C) VVFF D) FFVV E) FFFV sentido de V & PP' = V = d ( ) 12. 180°) = (9. -5)( y E = Sim (0. -2) E) D(4. A) P'(1. 3 unidades en dirección del eje x negativo. -7) D) (3. 5)(x) = (-2. Ubica los puntos: C = Rot (2. 0) ! IV C ( ) I. 4) D(3. 5) E(3. -7) D) (2. Halla el punto simétrico a Q(-9. 3) E(3. 3) = (1. -3)x. punto (1. 0). Si D ! II C y O = (0. -3) luego de A) A'(3. -3) F(-4. -3) D) C(10. A) A'(3. -3)(0. -3). 26. ( ) respecto a C(2. -5) ! III C ( ) respecto a la recta L. 0) E'(-3. 4) F(-3. 1) es rotado 30° en sentido antihorario con II. -2) A) 3 10 B) 2 10 C) 4 10 B'(0. -90°) ! I C. E A) D'(-5. 27. A D) D'(7. -3) D) R(8. Tras (1. -5) E) D'(-7. 2). 180°) ! IV C ( ) A) 27 B) 29 C) 23 IV. -2) 28. ( ) 29. -6) L 25. 3) D) (3. 0) ! II C. -3) S(6. Si se sabe que su posición final luego de haber sido trasladado en dirección de la Nivel 3 flecha V(7. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. 2) B'(0. Ubica los puntos: C = Tras (-2. 3) C) R(-8 . Resolución de problemas si estos han sido trasladados 3 unidades en dirección del eje x positivo. C l a ve s A) (12.1 E) 3 3 . Halla la abscisa del punto de intersección entre el eje x y el si estos han sido rotados 90° en sentido antihorario y con segmento A'B'. 10. C 3. -2) A) R(8. ( ) A) 2 . b 26. -8) S(6. 4)(y. 2) B'(4. 2) B'(-4. Ubica los puntos: R = Sim (3. D 21. 2) que este punto rotara 90° en sentido antihorario con respecto al B'(-1. 0) & Rot B(O. A 24. 12) E) (-3. A 14. la cual pasa por los puntos (-4. C 12. 3) A) C(3.ACTIVIDADES UNIDAD 4 93 . E 13. b 16. C 25. 0) y (2.18. 3). Halla la suma de coordenadas del punto A. Halla el radio vector de la posición final de N(-5. F = Tras (6. 2) E) A'(0. ( ) nueva posición de P. 2) B'(-2. 1). 2). -8) F(4. 5) 6. b E'(0. 1) II. 2) D) 10 E) 5 10 20. -180°) ! II C ( ) III. E 28. Halla el producto de las coordenadas de la III. 12) Nivel 1 7. D) A'(-4.2 3 B) 2 . Halla el punto simétrico a P(-12. C 30. Si P ! I C & Sim P(y) ! II C. 2) B) A'(0. b 20. 3) E'(0. 10) C) C(3. 7) C) D'(-5. además A(-4. 7) y E(4. b negativo. -10) S(-6. A 11. -8) S(-6 . 3) B) R(8. 3) F(-4. E Nivel 3 27. A E'(3. 2) B'(2. 3) E) R(-8. Comunicación matemática A) 3 B) 6 C) -5 D) 1 E) -7 21. 1. 1). b 19. 3) y B(-2. C 22. Ubica las posiciones finales de los puntos A(4. 8. 1). -1)(-2. que es simétrico a la recta AB con respecto al respecto al origen de coordenadas. 1)(-2. -3) 5. 8) ! IV C. A 24. -3) E) A'(-3. A 29. -5) es A'(3. Tras (3. Si C ! IV C y O = (0. 10) B) C(-3. 5)(5. 0) & Rot D(O. Ubica las posiciones finales de los puntos D(-1. 5) C) (-12. b Nivel 2 23.2 A) VVVF B) VFVF C) FVFV D) VFFF E) VVFF D) 2 3 . 4) 19. 6) con I. 4) B'(2. 30. I. 2) C) A'(4. 8) S(-6. 8) L y S = Sim (-8. 0) GEOMETRÍA . 4) C) A'(-3. -7) 4. 0) & Rot C(O. E 17. 5) Si L pasa por los puntos (0. b 18.6 22. -8) F(3. 0) y (0. 1). B(-2. -3) B) (12. -4) B'(2. -3) E'(0. E Si estos han sido trasladados 4 unidades en dirección del eje x 2. C 15. -3) con respecto a (0. -2) B'(-2. 7) B) D'(5. 2).3 3 C) 2 3 . Tras (-7. El punto P(-2. Halla el radio vector del punto simétrico al punto B(3. Si B ! I C y O = (0. -4) B) A'(-3. Si S ! II C & Sim S(x) ! I C ( ) D) 31 E) 19 A) FFFV B) VFFV C) VVFF D) FVVF E) FFVV Razonamiento y demostración 23. -3) E) C(-10. Ubica las nuevas posiciones de los puntos A(1. 2) y B(-3. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. D 9. 4). 2) A) -5 B) -2 C) 0 D) -2 E) 5 D) A'(4. 2) punto (2. IV. Matemática El área de una región triangular es 6 6 cm2. el centro del cuadrado es trasladado al punto B B y rotado 45°. B b B C A) 4 d 4p . calcula el área de la región triangular 5. ABCD es un cuadrado. sabiendo 4.. De la figura. si AB = BC = 10 y ACFD es un cuadrado.1 + a + a + 1 = 3a . De la figura dada. (a) radio de la circunferencia inscrita al triángulo (en cm). 2 2 ATABC: 6 6 cm2 Del teorema del inradio: ATABC = Pr 1. En un prisma recto de base triangular y de arista lateral 8.1 . En la figura mostrada.a) (p . -2) C(2. calcula el área de la región triangular ABC. las longitudes de los Hallamos el valor del semiperímetro TABC: lados son números enteros consecutivos. Halla el área encerrada por el cuadrado formado y el cuadrado dado. C B E C I A) 24 B) 36 A C) 26 F α D) 30 2α E) 16 A D N B R A) 1/2 B) 3/4 C) 1/4 D) 2/5 E) 5/4 2. sí AB = 4 y PQR.2 3 n A D 3.° .2 3 n R 3 c 3c 5 E) 2 d p .er paso: en el TABC tenemos: 6 6 = 9r ` r = 2 6 cm AB = a .a + 1) (p .1 n 4 4 ` a=6 A a+1 C Reemplazamos en (a): Datos: 3 (6) P = 3a & & P = 9 cm a: número entero positivo. halla 3 el área del TDBF. BR = 5 y CR = 12 ABCD es el área sombreada.° paso: usamos el teorema del inradio y el teorema de Herón. qué parte del área del paralelogramo que AN = 4. A C y A(-2. Resolución Del teorema de Herón: B ATABC = p (p . De la figura mostrada. si el área del triángulo ABC es 120 cm2.2 3 n P a I 3 A) 45 cm2 B) 5 p -2 3 4b Q B) 30 cm2 3 C) 29 cm2 E a C) 3 d 5p .2 3 n D) 39 cm2 3 A C E) 96 cm2 D) 4 d 5p . -2) A) 8 37 B) 37 C) 4 37 D) 6 37 E) 7 37 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 94 Intelectum 1. BC = a.a . elevando al cuadrado: d na ka ka k 2 2 2 2 a-1 a 2 2 r & 36 # 6 = 3a d a . AC = a + 1 (números consecutivos) 3 1. 2 2 2 2. En la figura calcula el área de la región sombreada.1. 2) B(2. Calcula la longitud del P = AB + BC + AC = a .1) 6 3 = 3a a a + 1 a . 2) E x D F D(-2.. 6. 8. 6. 3 2 7 8 4 2 7 2 4 5 3 1 5 8 6 5 6 7 9 8 1 5 7 4 8 9 4 1 3 4 9 1 5 3 2 5 6 9 6 7 1 4 6 8 1 7 3 6 6 7 3 8 1 3 4 1 8 2 7 5 4 2 1 2 9 6 2. 4 7 6 8 6 4 3 8 9 8 3 7 8 2 3 7 1 6 3 1 4 8 9 9 6 1 8 2 4 8 7 8 9 7 9 4 3 5 7 6 8 3 7 2 9 8 5 5 4 7 3 7 4 6 1 7 8 5 3 5 8 9 2 1 3 4 3. 4 8 3 9 4 3 8 7 3 1 9 6 2 6 7 8 9 3 2 8 9 5 5 9 7 2 8 3 6 4 7 9 2 5 1 6 3 6 4 8 5 7 1 2 1 5 4 6 9 1 2 9 3 7 5 1 4 2 3 4 2 5 7 2 5 3 . sin que se repita ninguna cifra. 2 3 1 6 8 3 1 9 3 7 5 1 5 7 8 7 8 4 7 6 8 8 7 1 9 5 3 7 6 4 1 4 2 5 3 5 6 7 9 6 8 9 8 5 6 4 7 1 6 3 3 8 9 5 4 7 6 1 4 3 4. 5.Instrucciones: completa los tableros subdivididos en 9 cuadrados llenando las celdas vacías con los números del 1 al 9. en cada fila. ni en cada columna. 1. ni en cada cuadrado. 7. 2 3 4 5 7 1 6 8 9 5 8 9 2 7 3 1 6 4 8 9 6 2 3 4 7 5 1 4 1 3 5 9 6 7 2 8 1 5 7 6 9 8 3 2 4 7 6 2 8 1 4 5 9 3 3 1 8 7 5 6 4 9 2 1 4 6 9 8 5 3 7 2 5 6 2 3 4 9 8 1 7 9 2 7 3 4 1 6 8 5 7 4 9 1 8 2 5 6 3 8 3 5 6 2 7 4 1 9 6 2 3 8 1 7 9 4 5 2 7 4 1 3 8 9 5 6 4 7 1 9 6 5 2 3 8 3 5 8 7 6 9 2 4 1 9 8 5 4 2 3 1 7 6 6 9 1 4 5 2 8 3 7 4. 5. 4 3 9 5 2 7 6 1 8 9 2 6 7 1 4 5 3 8 6 5 2 1 9 8 3 4 7 5 7 8 9 2 3 6 4 1 7 1 8 6 4 3 9 5 2 1 4 3 6 5 8 2 9 7 9 6 1 7 5 2 8 3 4 3 9 1 2 4 6 7 8 5 5 7 4 3 8 6 2 9 1 7 6 5 8 9 1 3 2 4 2 8 3 9 1 4 5 7 6 4 8 2 5 3 7 9 1 6 1 4 6 2 3 9 7 8 5 8 5 9 4 6 2 1 7 3 8 9 7 4 6 5 1 2 3 6 3 4 1 7 9 8 5 2 3 2 5 8 7 1 4 6 9 2 1 7 3 8 5 4 6 9 3. 6.1. 8. 5 6 9 1 3 2 4 7 8 8 6 4 2 1 5 3 9 7 2 4 7 5 9 8 3 1 6 7 2 9 4 8 3 5 6 1 3 8 1 7 4 6 2 9 5 3 5 1 6 7 9 2 4 8 1 2 5 8 7 3 6 4 9 5 7 8 9 6 4 1 2 3 4 7 6 9 1 5 8 2 3 9 1 2 3 5 7 6 8 4 8 9 3 2 6 4 7 5 1 4 3 6 8 2 1 7 5 9 9 1 2 3 8 7 5 6 4 6 9 5 7 3 8 4 1 2 7 3 4 6 5 1 9 8 2 2 4 7 1 9 6 8 3 5 6 5 8 4 2 9 1 3 7 1 8 3 5 4 2 9 7 6 2. 5 4 1 6 8 7 3 9 2 9 5 4 3 8 6 2 7 1 3 8 2 4 1 9 5 7 6 2 1 6 5 9 7 8 3 4 9 6 7 3 5 2 1 4 8 3 8 7 2 1 4 6 9 5 8 5 9 2 4 6 7 1 3 7 2 9 8 5 3 1 4 6 4 7 3 8 9 1 6 2 5 1 4 8 9 6 2 7 5 3 1 2 6 5 7 3 4 8 9 5 6 3 7 4 1 9 2 8 7 9 8 1 6 5 2 3 4 6 9 2 4 3 8 5 1 7 2 1 5 9 3 4 8 6 7 8 3 5 1 7 9 4 6 2 6 3 4 7 2 8 9 5 1 4 7 1 6 2 5 3 8 9 . 7.