Probabilidade ILista 5 - Variáveis Aleatórias Discretas Das variáveis abaixo descritas, decida quais são binomiais, e para essas dê a função de probabilidade. Quando julgar que a variável não é binomial, aponte as razões de sua conclusão. Exercício 1. a) De uma urna com dez bolas brancas e vinte pretas, vamos extrair, com reposição, cinco bolas. X é o número de bolas brancas nas cinco extrações. b) Refaça o problema anterior, mas dessa vez as cinco extrações são sem reposição. c) Temos cinco urnas com bolas pretas e brancas e vamos extrair uma bola de cada urna. Suponha que X seja o número de bolas brancas obtidas no nal. d) Vamos realizar uma pesquisa em dez cidades brasileiras, escolhendo ao acaso um habitante de cada uma delas e classi cando-o em pró ou contra um certo projeto federal. Suponha de X seja o número de indivíduos contra o projeto no nal da pesquisa. e) Em uma indústria existem 100 máquinas que fabricam determinada peça. Cada peça é classi cada como boa ou defeituosa. Escolhemos ao acaso um instante de tempo e veri camos uma peça de cada uma das máquinas. Suponha que X seja o número de peças defeituosas. Uma moeda é lançada quatro vezes. Seja Y o número de caras obtidas. (a) Considerando que a moeda seja honesta, determine a distribuição de probabilidade de Y . (b) Considerando que a moeda seja viciada, com probabilidade de dar cara igual a p, 0 < p < 1, p 6= 1/2, determine a distribuição de probabilidade de Y . (c) Generalize o item (b) para n lançamentos da moeda. Respostas: (a) P (Y = y) = 4 y (1/2)4−y , y = 0, 1, 2, 3, 4 (b) P (Y = y) = 4 py (1 − p)4−y , y = 0, 1, 2, 3, 4 (c) P (Y = y) = (1/2) y y n y n−y , y = 0, 1, 2, . . . , n. p (1 − p) y Exercício 2. Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com probabilidade de 1/3 ou 2/3, respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de um equipamento por R$50.000,00 (com probabilidade 1/10) ou nenhuma venda (com probabilidade 9/10). Indicando por Y o valor total de vendas diárias desse vendedor, escreva a função de probabilidade de Y e calcule o valor total esperado de vendas diárias. Respostas: P (Y = 0) = 252/300, P (Y = 50.000) = 46/300, P (Y = 100.000) = 2/300 e E(Y ) = 8333, 33. Exercício 3. O tempo T , em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade: Exercício 4. t p(t) 2 3 4 5 6 7 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 (a) Calcule o tempo médio de processamento. (b) Para cada peça processada, o operário ganha um xo de R$2,00, mas se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha R$0,50 em cada minuto poupado. Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G = quantia ganha por peça. Respostas: (a) E(T ) = 4, 6 (b) P (G = 2) = 0, 3, P (G = 2, 5) = 0, 2, P (G = 3) = 0, 3, P (G = 3, 5) = 0, 1, P (G = 4) = 0, 1, E(G) = 2, 75 e V ar(G) = 0, 4125. Num teste do tipo certo/errado, com 50 questões, qual é a probabilidade de que um aluno acerte 80% das questões, supondo que ele as responda ao acaso? E se forem cinco alternativas em cada questão? Respostas: 9 · 10−6 e 1, 21 · 10−19 . Exercício 5. 1 80 respectivamente do seguinte modo: Exercício 8. k = 0. ele escolhe uma amostra com reposição de 20 peças. Se mais de três aportarem num dia. 1.O número de petroleiros que chegam a uma re naria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson. 1. Resposta: P (X = k) = 3 k 3−k . Faça um esboço do grá co de ambas. 1.a. P (X > s + t|X > s) = P (X ≥ t). são escolhidas 4 ao acaso. Exercício 9.00. 1. 9. se encontrar mais que duas defeituosas. o excesso é enviado a outro porto. um ou dois defeituosos. Essa moeda é jogada três vezes. 3.a. 4. x < 1 0. Exercício 12. a três petroleiros por dia. x ≥ 5 (a) Esboce o seu grá co (b) Calcule o seu valor médio e sua variância (c) Calcule a sua moda e a sua mediana. j = 0. X com função de probabilidade P (X = j) = (1 − a)aj .1428 (b) 2 navios (c) 2 navios. 2. pagando R$1. 4 (b) P (X = k) = 20 (k5)(4−k ) . das quais 5 são defeituosas. se encontrar mais que uma defeituosa.00. . Uma v. qual comprador oferece maior lucro? Resposta: O comprador A. classi ca como II. Uma indústria fabrica peças. Resposta: (a) 0 < a < 1. para quaisquer dois inteiros positivos s e t. (a) Em um dia. 2. três ou mais defeituosos. 3 ≤ x < 4 0. com λ = 2. Exercício 7. . Comprador A: retira uma amostra com reposição de dez peças.00. X tem a seguinte função de distribuição: 0. k (3/4) (1/4) De um lote que contém 25 peças. 2 . k = 0. Normalmente. 1. 4 ≤ x < 5 1. 3. . ele paga R$10. k = 0. Um comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa. 2. P (X = k) = 4 k (1/5)k (4/5)4−k . retira uma amostra com reposição de cinco peças. (a) Para que valores de a este modelo tem sentido? (b) Mostre que. Dois compradores A e B classi caram as partidas adquiridas em categorias I e II.50. quando (a) as peças forem escolhidas com reposição (b) as peças forem escolhidas sem reposição. qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto? (b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias? (c) Qual o número médio de petroleiros que chegam por dia? Respostas: (a) 0. Seja X o número de caras que aparece. classi ca como II. Sabe-se que determinada moeda apresenta cara três vezes mais frequentemente que coroa. 1 ≤ x < 2 0. das quais 1/5 são defeituosas. 2. ele paga R$8. Respostas: (a) Exercício 11.20 e R$0. 7. 3. Exercício 6. Estabeleça a distribuição de probabilidade de X e também a função de distribuição. As atuais instalações podem atender. Seja X o número de peças defeituosas encontradas. Comprador B: Em média.50. ele paga R$20. Estabeleça a distribuição de probabilidade de X . cada caixa é vendida por R$13. 2 ≤ x < 3 F (x) = 0. se a amostra não tiver parafusos defeituosos. Resposta: Vender a caixa a R$13. É uma característica da fabricação produzir 10% com defeito. Determinado tipo de parafuso é vendido em caixas com 1000 peças. no máximo. (25 4) Considere uma v. 3. Exercício 10. Qual alternativa é a mais vantajosa para o fabricante? Justi que. k = 1. . Suponha que a v. 2. no sentido de que decresça a probabilidade de cometer um erro. i = 1. Que valor de p maximiza P (X = k). Suponha que o operador faça n tentativas e que as n repetições sejam independentes. Suponha que tentativas independentes. existe alguma probabilidade de que o operador da máquina cometa um erro. 3. se ele usar repetidamente a máquina. . n = 1. Uma urna contém N bolas brancas e M bolas pretas.05 de entrar em pane. um lucro de R$ 200. Pode-se admitir. Se X é o número de tentativas necessárias para que isso ocorra. p2 Exercício 16. ela permanecerá parada durante o resto do dia.a X assuma os valores 1. p).000.00 será alcançado. (Desa o 1). n? Este é um exemplo de método estatístico usado para estimar p quando n é conhecido e X assume o valor k. . As bolas são selecionadas aleatoriamente. Exercício 18 3 . n. e que P (X = k) = α(1 − β)k−1 . 2. 2. Resposta: 5/12. . Qual a probabilidade de que sejam necessárias (a) exatamente k retiradas? (b) pelo menos k retiradas? Exercício 17. Supomos também. . Seja X ∼ Bin(n. cada uma com probabilidade de sucesso p. (a) A v. X como o número de operações da máquina. (a) Mostre que P (X = n) = (1 − p)n−1 p. X é binomial? Justi que (b) Calcule P (X = 3). um lucro de R$1. Suponhamos. uma de cada vez. Exercício 13.Ao operar determinada máquina. um lucro de -R$500. Respostas: (a) α = β (b) k = 1. Calcule o lucro médio que essa impressora proporciona. (b) Mostre que E(X) = 1/p (c) Mostre que V ar(X) = 1−p . 0 < p < 1. razoavelmente. . Este método é conhecido como método de estimação por máxima verossimilhança.00 será obtido. . até que uma bola preta seja escolhida. sejam realizadas até que ocorra um sucesso. com reposição. . . especi camente. Se a máquina não apresentar panes durante a semana (5 dias).00 será obtido. Exercício 14. que 1 P (Um erro ser cometido na i-ésima repetição) = 1+i . . 2. Exercício 15. geométrica de parâmetro p e usaremos a notação X ∼ Geo(p). em um dia qualquer. . que se a máquina entrar em pane em qualquer dia. . Uma máquina impressora tem uma probabilidade constante de 0. (a) Determine a constante α. dizemos que X é uma v. 0 < β < 1. . Se 1 ou 2 panes ocorrerem. executadas sem erro. (b) Ache a moda desta distribuição. Admitamos que se pretendam 4 tentativas e de namos a v.a. Se 3 ou mais panes ocorrerem. que o operador aprenda.a. .a.