PERSAMAANDIFERENSIAL (DIFFERENTIAL EQUATION) metode euler metode runge-kutta Persamaan Diferensial • Persamaan paling penting dalam bidang rekayasa, paling bisa menjelaskan apa yang terjadi dalam sistem fisik. • Menghitung jarak terhadap waktu dengan kecepatan tertentu, 50 misalnya. dx 50 dt Rate equations . Persamaan Diferensial • Solusinya. maka C = 0 . untuk contoh di atas. Sehingga. jika x(0) = (x saat t=0) = 0. solusi analitis tersebut terdiri dari banyak ‘alternatif’ • C hanya bisa dicari jika mengetahui nilai x dan t. dx 50dt x 50t C • C adalah konstanta integrasi • Artinya. secara analitik dengan integral. terhadap satu atau lebih variabel bebas.Klasifikasi Persamaan Diferensial Persamaan yang mengandung turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas. • Dibedakan menurut: – Tipe (ordiner/biasa atau parsial) – Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada – Liniarity (linier atau non-linier) . 2 d y (t ) dy (t ) t t 5 y ( t ) e dt 2 dt y(t) = variabel tak bebas t = variabel bebas dan turunan y(t) Pers di atas: ordiner. Ordiner = pers. linier .dif. yg mengandung sejumlah tertentu turunan ordiner dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.PDO Pers. orde dua. PDO • Dinyatakan dalam 1 peubah dalam menurunkan suatu fungsi • Contoh: dy sin x y ' sin x dx dP kP P ' kP dt . t ) 0 2 2 x t . dispersi. • Banyak ditemui dalam persamaan transfer polutan (adveksi. disebut sebagai persamaan diferensial parsial • Pers. Parsial mengandung sejumlah tertentu turunan dari paling tidak satu variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas.dif. t ) 2 y ( x. diffusi) 2 y ( x .Partial Differential Equation • Jika dinyatakan dalam lebih dari 1 peubah. orde 1 . linier. orde 3 Ordiner. orde 2 Ordiner.PDO y ' ' '4 y 2 d 2s 32 2 dt ( y' )2 3 y e x Ordiner. linier. non linier. mencari solusi persamaan diferensial adalah dengan mencari fungsi integral nya. • Contoh. persamaan umum: dP kP dt . untuk fungsi pertumbuhan secara eksponensial.Solusi persamaan diferensial • Secara analitik. Rate equations . you want to know: the state equations There are two basic ways of finding the state equations for the state variables based on your known rate equations: 1) 2) Analytical integration Numerical integration .But what you really want to know is… the sizes of the boxes (or state variables) and how they change through time That is. berapa kira-kira jumlah bakteri setelah satu jam? . Jika kultur tersebut berjumlah satu unit pada saat t = 0. Diketahui bahwa jumlah bakteri bertambah menjadi dua kali lipat setiap 5 jam.Suatu kultur bakteria tumbuh dengan kecepatan yang proporsional dengan jumlah bakteria yang ada pada setiap waktu. Solusi persamaan diferensial • Jumlah bakteri menjadi dua kali lipat setiap 5 jam. 1487 0 0 P ln Ck (t t0 ) P0 . maka setelah satu jam… dP kt kP P(t ) P0 e dt ( (ln 2 ) )(1) 5 P1 t1 P ( 1 ) 1 ( e ) dP P P t kdt 1 . maka k = (ln 2)/5 • Jika P0 = 1 unit. The Analytical Solution of the Rate Equation is the State Equation Rate equation (dsolve in Maple) State equation . There are very few models in ecology that can be solved analytically. . Solusi Numerik • Numerical integration – Eulers – Runge-Kutta . Numerical integration makes use of this relationship: yt t dy yt t dt Which you’ve seen before… Relationship between continuous and discrete time models *You used this relationship in Lab 1 to program the logistic rate equation in Visual Basic: Nt N t 1 N t rN t 1 K t . where t 1 . known t. estimated unknown y dy dt yt. unknown yt+t. known .Fundamental Approach of Numerical Integration yt t dy yt t dt y = f(t). specified t . yt+t. 15 0.2 0.3 0. lambda = 1.25 0.1 0.4 0.N N t t N t rN t 1 t t .05 0 0 10 20 30 40 50 time (years) Calculate dN/dt*1 at Nt Nt+ t becomes the new Nt Add it to Nt to estimate Nt+ t Use dN/dt to estimate next Nt+ t Calculte dN/dt * 1 at new Nt Repeat these steps to estimate the state function over your desired time length (here 30 years) Euler’s Method: yt+ t ≈ yt + dy/dt t . K dN where t 1 dt Nt/K with time.7.35 Nt/K 0. time step = 1 0.45 0. Example of Numerical Integration dy 6 y .007 y 2 dt Analytical solution to dy/dt Y0 = 10 t = 0.5 point to estimate . 007*(10)2 y y = m1*t estimated y(t+ t) yest= yt + y y yt = 10 t = 0.Euler’s Method: yt+ t ≈ yt + dy/dt t dy 6 y .5 .007 y 2 dt analytical y(t+ t) m1 = dy/dt at yt m1 = 6*10-. 5 .Runge-Kutta Example dy 6 y .007 y 2 dt point to estimate Problem: estimate the slope to calculate y y t = 0. yt+Δt te h eig W ve a d f> o e r ag pe o l 1s estimated yt+Δt estimated yt+Δt yt t ½ Δt t = 0.Runge-Kutta Example estimated yt+Δt Unknown point to estimate.5 Δt . to calculate 4 slopes (m1…m4) within Δt: f (t . y m2 t / 2) m4 (t t . which is used to estimate yt+ Δt: 1 yt t yt (m1 2m2 2m3 m4 )t 6 . y m3 t ) These 4 slopes are used to calculate a weighted slope of the state function between t and t + Δt.Runge-Kutta. dy/dt. y ) m1 f (t . 4th order Uses the derivative. y m1t / 2) m3 f (t t / 2. y ) m2 f (t t / 2. y ) derivative at (t . y0 = 10 m1 = dy/dt at y0 y m1 = 6*10-.3 y0 m1=slope 1 .Step 1: Evaluate slope at current value of state variable.007*(10)2 m1 = 59. 8-.82 B) m2 = dy/dt at y1 m2 = 6*24. B) Evaluate slope at y1.007*(24.Step 2: A) Calculate y1at t +t/2 using m1. A) y1 = y0 + m1* t /2 y1 = 24.5/2 m2=slope 2 .63 y1 t = 0.8)2 m2 = 144. 2)2 k3 = 263.2-. y2 = y0 + k2* t /2 y2 = 46.Step 3: Calculate y2 at t +t/2 using k2.2 k3 = dy/dt at y2 k3 = 6*46. Evaluate slope at y2.5/2 k3 = slope 3 .0 y2 t = 0.007*(46. Step 4: Calculate y3 at t +t using k3. Evaluate slope at y3.9 y2 t = 0.0-. y3 = y0 + k3* t y3 y3 =141.5 k4 = slope 4 .007*(141.0)2 k4 = 706.5 k4 = dy/dt at y3 k4 = 6*141. 5 .Now you have 4 calculations of the slope of the state equation between t and t+Δt m4 = slope 4 m3 = slope3 m2 = slope 2 m1 = slope 1 t = 0. Use weighted slope to estimate y at t +t 1 weighted slope = (m1 2m2 2m3 m4 ) 1 6 yt t yt (m1 2m2 2m3 m4 )t 6 true value weighted slope t = 0.Step 5: Calculate weighted slope.5 estimated value . The accuracy of the estimate depends on the size of the step used in the algorithm. not “true” values.Conclusions Analytical • • • 4th order Runge-Kutta offers substantial improvement over Eulers. Runge-Kutta Eulers . Both techniques provide estimates.