ACTUALITÉS SCIENTIFIQUES ET INDUSTRIELLES 1021 HISTORIA DEL PENSAMIENTO Exposiciones publicadas bajo la dirección de A.KOYRÉ Director de Estudios de la École Pratique des Hautes Études IV EPIMÉNIDES EL MENTIROSO (CONJUNTO Y CATEGORÍA) A. KOYRÉ PARIS HERMANN ET C TE. ÉDITEURS 6, Rue de la Sorbonne, 6 1947 I “Epiménides, el cretense, dice: todos los cretenses son mentirosos. Ahora bien, Epiménides mismo es un cretense; él es, por lo tanto, también, un mentiroso: de aquí que su aserción sea falsa. Por consiguiente, los cretenses no son de ningún modo mentirosos; de lo que resulta que Epiménides no es uno de ellos tampoco. Por lo tanto, él no ha mentido, sino que dice la verdad. Por consiguiente...“ La paradoja del mentiroso parece haber sido extremadamente popular para los griegos: Aristóteles habla de ella, los estoicos también, Aulo Gelio la menciona, Cicerón la relata. Asimismo, parece haber sido – por otra parte – muy apreciada en la Edad Media: los lógicos medievales no dejan jamás de decir una palabra o de proponer una solución al sofisma “insoluble”[1]. Los tiempos modernos no le fueron propicios. No obstante, en el siglo XX, conoció una resurrección triunfante: B. Russell había subrayado en efecto que la estructura lógica de las famosas paradojas que acababa de descubrir – descubrimiento que asustó tanto a Frege – era exactamente la misma que la del razonamiento del mentiroso [2]. Por lo cual, de ser un simple sofisma, la paradoja fue promovida, en ese momento, al rango de antinomia. Las paradojas de la teoría de los conjuntos, así como aquellas conexas de la lógica pura, jugaron un rol muy importante en la evolución del pensamiento matemático, o más exactamente meta-matemático, del siglo XX. Quizás no sería exagerado decir que este siglo ha sido casi por completo dominado por ellas. La “crisis de los fundamentos matemáticos” ha sido provocada por el descubrimiento de estas paradojas; el progreso y la multiplicidad de los sistemas logísticos, como por ejemplo el intuicionismo de Brouwer o el axiomatismo de Zermelo y Hilbert, se lo debemos al deseo de resolverlas – o evitarlas[3]. Este descubrimiento, como lo ha dicho M. A. Fraenkel, en un muy bello artículo que a menudo hemos tenido la ocasión de citar, tuvo un efecto apabullante[4]. Los fundamentos más seguros de la ciencia, y aún de la razón, parecían amenazados. Sin duda, ahora no es más así. El matemático no se siente más en peligro. “Se ha reconocido rápidamente que las paradojas no eran de naturaleza propiamente matemática”[5]. En otro artículo leemos: “Hoy se ha reconocido que los teoremas y las disciplinas auténticamente matemáticas no están más conmovidas por las antinomias; que los temores [de Poincaré] eran vanos cuando se preguntaba si buscando fundar el análisis clásico y la teoría de los conjuntos, los matemáticos no habían construido alrededor de las nociones matemáticas un muro que las protegía muy bien contra los peligros exteriores pero que habría dejado en su interior elementos insospechados de descomposición. De hecho, se sabe que es necesario restringir las operaciones para evitar las antinomias, y también se ha constatado que el matemático no se aventura jamás sobre terreno peligroso, porque no tiene para él ningún interés. La advertencia dada por las antinomias ha sido permanente: en un principio con respecto a esta limitación sistemática de las operaciones matemáticas, y a continuación como reconocimiento de la necesidad de una reforma de la lógica tradicional de Aristóteles (sobre la cual Kant había pensado que no era susceptible de desarrollo). La lógica ha recibido, de esta manera, un impulso sorprendente y se ha desarrollado de forma extremadamente fecunda siguiendo un camino previsto solamente por Leibniz y por Bolzano y cuya riqueza está lejos de ser agotada”[6]. De esta manera, todo va a pedir de boca en el mejor de los mundos posibles. Sin embargo, el malestar persiste. Es que, justamente, la amenaza no ha sido más que apartada, pero no suprimida. El matemático ha vencido la calamidad; ha construido un dique, un muro que le impide aventurarse afuera[7]. El peligro, de todos modos, subsiste: en los terrenos vagos de la lógica pura, el Mentiroso, negotium perambulans in tenebris, continúa llevando su existencia amenazante. De este modo, no es sorprendente que, desde algún tiempo, se haya reanudado la discusión del problema[8]. M. Fraenkel – acabamos de verlo – estima que el “escándalo” de las antinomias – feliz escándalo – ha tenido una influencia extremadamente bienhechora sobre la lógica y la filosofía. Confesamos no compartir su optimismo. Sin duda porque no compartimos su apreciación de la lógica simbólica en general. Es normal, evidentemente, que la lógica formal sea formalizada, y es cómodo, y algunas veces sumamente útil, poder distinguir, con la ayuda de los símbolos apropiados, las diferentes significaciones de la cópula[9], así como restituir su independencia con la lógica de las proposiciones y relaciones, y también poder anotar los elementos que componen un juicio. Tampoco es menos verdadero – según nuestro juicio, al menos – que la lógica simbólica forme una disciplina híbrida, tan aburrida como estéril[10]. Pues la pretensión de haber llevado al pensamiento lógico a un grado de precisión y exactitud jamás alcanzado en el pasado parece bastante poco justificado. Personalmente, tenemos sobre todo la impresión de lo contrario; tenemos la impresión de que el empleo de algoritmos molestos e incómodos no hace más que entorpecer ese pensamiento y ser sólo una fuente de confusión. Nos parece, sobre todo, que es la "formalización a ultranza" lo que ha obstaculizado enormemente el estudio de las antinomias, que impidió a Bertrand Russell alcanzar una solución definitiva al problema y que lo condujo dentro de los dédalos de la teoría de los tipos.[11] Asimismo, trataremos de analizar las "antinomias" sin traducirlas en símbolos[12]. Ellas no merecen por otra parte este honor, al no ser en su mayor parte más que simples sofismas para la resolución de los cuales es inútil proceder a una reforma de la lógica[13]. Alcanza con cuidar que las frases y los términos empleados tengan un sentido. Y lo mantengan. No tenemos la intención de rehacer aquí la historia del descubrimiento de las paradojas lógico-matemáticas. Ni tampoco de estudiarlas todas[14]. Esto, por otra parte, sería a la vez imposible e inútil. Imposible, porque se las puede fabricar a voluntad[15]: el esquema de la paradoja, en efecto, es muy simple: es el de la causa sui, o mejor del suicidio. Inútil, porque, justamente, ellas son, casi todas, construidas después del mismo esquema. Nos limitaremos entonces a estudiar algunas; las más típicas, las más célebres, las más interesantes. Comenzaremos por supuesto por el Mentiroso. La paradoja del Mentiroso puede ser presentada bajo dos formas diferentes: a) la que hemos citado al comienzo de este trabajo (Epiménides) y que algunos autores estiman imperfecta[16], y b) bajo la forma simplificada y condensada, forma perfecta según los mismos autores: si digo que miento, ¿digo la verdad o una mentira?[17] Estas dos formas, en efecto, no son equivalentes. Esto es lo que hace su estudio comparativo particularmente instructivo. También las estudiaremos a ambas. El mentiroso se presenta como un juicio antinómico típico: la verdad de la proposición afirmada implica, en efecto, su falsedad; y su falsedad implica, a su vez, su verdad. De hecho, el Mentiroso no es un juicio antinómico bajo ninguna de estas formas. Pero – y este es el punto importante - la razón por la que su pretensión de ser antinómico debe ser recusada no es en los dos casos la misma: el Epiménides es un juicio contradictorio, un contrasentido[18]; el "yo miento" no es un juicio en absoluto. A. EPIMÉNIDES Para el análisis correcto del Epiménides hay que tener en cuenta: 1˚. El sentido del juicio pronunciado por Epiménides. 2˚. El hecho de que es Epiménides quien lo pronuncia. 1. El sentido del juicio Al decir: "Todos los cretenses son mentirosos", Epiménides no quiere, y esto es claro, dar una apreciación moral del carácter de los cretenses. Si así era el sentido de su aseveración, la mayor: "todos los cretenses son mentirosos", junto a la menor: “Epiménides es (yo soy) un cretense”, implicaría la conclusión: “Epiménides es (yo soy) un mentiroso”, y el razonamiento se detendría ahí, como se detendría si Epiménides dijera: “Todos los cretenses son bravos”, o cobardes, gente honesta, o ladrones[19]. La conclusión, verdadera o falsa, sería perfectamente legítima y de ningún modo paradojal; en efecto, se puede ser un mentiroso y confesarlo sin dejar de serlo. Para que haya paradoja, para que el razonamiento de Epiménides pueda progresar, o más exactamente, para que no pueda detenerse, la frase: "todos los cretenses son mentirosos", debe querer decir otra cosa. Ella debe significar: "todos los cretenses mienten siempre", lo que – el término "mentir" al ser tomado en el sentido estrictamente lógico – es equivalente a: "todos los juicios – o todas las aserciones – pronunciadas por un cretense, son falsas". Que el lector nos perdone este análisis pedante y escolar. Todo lo que acabamos de decir va de suyo, sin duda. Pero, como se verá a continuación, es necesario no olvidar lo que va de suyo. Hace falta explicitar, lo más exactamente posible, el sentido implícito de nuestras aserciones; hay que asegurarse de ese sentido ya que el pensamiento es móvil y se desliza, sin darse cuenta de ello, de una significación a otra.[20] Por lo tanto, Epimenides quiere decir: "todos los juicios, o todas las aserciones de los cretenses son falsas". Subrayemos que esta aserción, que afirma la falsedad general o esencial de todos los juicios de los cretenses, es en sí misma – ya sea verdadera o falsa – un juicio formalmente inatacable. Si Epimémides no era un cretense, sino un ateniense o un tebano, la frase: "Epiménides, el ateniense dice: "todos los cretenses juzgan siempre falso", no sería de ningún modo paradojal. Sin duda esta sería una aserción falsa: hasta el Dios todopoderoso de Descartes no podría crear un ser que se equivocase De lo que se deriva es que hay cretenses que dicen la verdad y que ciertos juicios pronunciados por los cretenses son (o pueden ser) verdaderos." es falsa". Y esta es la única conclusión que podemos extraer de su aserción. Epiménides. etc.". La mayor: "todos los cretenses. etc. verdaderamente un mentiroso. a saber su aserción de que "todos los cretenses. ". es una aserción de Epiménides". La situación cambia y se complica por el hecho de que Epiménides sea él mismo un cretense. es..siempre. Pero esta falsedad sería material. sea una aserción verdadera. Lo que equivale decir: todos los cretenses no son mentirosos = no es verdadero que los cretenses sean todos mentirosos = las aserciones de los cretenses no son todas necesariamente falsas[22]. etc. unida a la menor "la aserción: todos los cretenses. junto a la menor "Epiménides es cretense". implica la conclusión: "Epiménides miente siempre". no formal[21]. El hecho de que el juicio es pronunciado por Epiménides. etc. implica como consecuencia: “la aserción: "todos los cretenses. no podemos de ningún modo concluir que Epiménides sea justamente un cretense verídico. sea lo que sean otros cretenses. él. Tomada esta conclusión a su vez como mayor. es decir: todos los juicios o todas las aserciones de Epiménides son falsas". 2.. . Asimismo. Muy por el contrario: esta aserción al ser verdaderamente falsa... y que el juicio en cuestión. No se sigue que los cretenses digan siempre la verdad y que todos los juicios o todas las aserciones de los cretenses sean verdaderas. o bien es falso que Epiménides lo haya dicho. Aún más. . no es sin embargo completamente semejante a "yo me callo" o "yo estoy muerto". La proposición: "Epiménides el cretense dice: "todos los cretenses son mentirosos". "yo estoy ausente" . o bien la veracidad de su autor.. está de alguna manera prohibido a Epimenides. porque contiene miembros incompatibles[23]. de ningún modo. o. la aserción compuesta "Epiménides dice. que no pueden ser verdaderos a la vez[24]. así como – después de muchos otros – lo ha reconocido muy bien Bertrand Russell[28]. o bien los cretenses no son todos ( y siempre) mentirosos. Creemos que no se ha remarcado lo suficiente[25] el hecho curioso. no podría decirlo. Y es por esto que no es ni verdadera ni falsa." es siempre falsa. es verdaderamente falsa. sino que es un sinsentido. etc. él no sería un cretense. Se trata entonces de una broma. No es. una antinomia. podríamos – y deberíamos – poner en duda o bien la verdad de la aserción. Extender esta duda a la validez de las leyes de la lógica nos parecería. El caso no es de ningún modo único. ya que. En efecto. exagerado. Del mismo modo que no se puede – razonablemente – decir: "yo miento"[26]. Él no lo puede pronunciar. En efecto. Epiménides no lo diría.Algunas advertencias más. extraño – pero de ningún modo incomprensible ni contradictorio – que hay algunas aserciones que no pueden – válidamente – ser hechas. un contrasentido. "yo estoy muerto". o "yo me equivoco". un sofisma. B. YO MIENTO La aserción "yo miento" (o ψεύδομαι) forma que preferiría Lachelier. Esta no es un contrasentido como aquella. O. en tal caso. no obstante. que algunos verbos no pueden conjugarse en primera persona. en su boca se pervierte y deviene un contrasentido. De este modo no se puede decir – válidamente –: "yo me callo" . si se prefiere. o "yo niego"[27]. la frase tomada a la letra en rigor no significa nada. si alguien nos dijese: "el navío en el que me embarqué ha naufragado con todo el equipaje". si era verdadero que todos los cretenses mentían siempre. El juicio: "todos los cretenses" etc. De este modo. El "yo miento" no es un juicio. Así tenemos la costumbre de reconstituir y de completar el sentido de aquello que escuchamos. su pretensión es insostenible pues la aserción que declara falsa no existe[31]. o al menos que quieren tenerlo. un error. no decimos – ni escuchamos – todo. como se dice habitualmente. o incluso: "habitualmente". nos parece. lo que conlleva un contrasentido – exactamente como es en el caso de Epiménides que acabamos de analizar –. el lenguaje no expresa nuestro pensamiento más que de una manera imperfecta y sobre todo incompleta. es un juicio perfectamente correcto. "yo estoy muerto". en el sentido de : "yo he mentido". escuchar frases que tienen un sentido. ya sea completándolo. cuando escuchamos a alguien decir: "yo miento". Russell. "la aserción que yo hago en este momento es falsa". tenemos la costumbre de hablar para decir algo[29]. Asimismo. "es en este momento que hago una aserción falsa". lo que puede ser verdadero o falso. así como lo ha vislumbrado muy bien B. las frases que escuchamos. en todos los casos. Pero no es esto lo que el "yo miento" pretende significar. . también. Ahora bien. ya sea. como queriendo decir: "yo miento algunas veces". Pretende. Cuando digo: "yo duermo". El "yo miento" completamente puro y desnudo pretende querer decir: "yo miento en este momento". elucidar la situación. Una comparación con el "yo duermo" o "yo estoy muerto" permite. o. sino confinarse al presente. es. digo algo que puede objetivarse: "X duerme". no toman su sentido pleno y completo más que en y por el contexto. "X está muerto". Se trata de aserciones verdaderas: algo es dicho de algo: un predicado es afirmado de un sujeto. como expresando un juicio de necesidad: "yo miento siempre". en efecto. creemos que tiene que ver con una aserción como las otras. Las palabras que pronunciamos. no obstante. el "yo miento" nos engaña. cuya última fuente reside en el hecho de que. nada nos es más difícil de aprehender que un sinsentido: ponemos un sentido en cualquier parte donde no lo hay[30].Sin duda. Ahora bien. no extenderse ni al pasado ni al futuro. interpretamos en consecuencia: ya sea tomando al presente por un pasado. Cuando escuchamos a alguien decir: "yo miento". pero. por último. es decir. por lo tanto. Es su relación que se revela imposible. la proposición: "la frase que estoy . hay aquí un error. y. Pero si X no lo hace. dijéramos que "el rey de Francia reside en Versalles". el carácter de sin sentido de la expresión "yo miento". sin embargo tendría un sentido. aún más se podría decir que nuestra frase posee un sujeto inexistente. Asimismo es un juicio necesariamente falso. hemos estimado que la fórmula: "la frase que estoy por pronunciar es falsa" no está más desprovista de sentido que esta otra: "la frase que estoy por pronunciar está compuesta de palabras francesas". X hace realmente una aserción. En efecto. el sinsentido. la frase no tiene sujeto. Si. todo juicio debe tener un sujeto. De este modo. Lo mismo sucede con la aserción: "el juicio pronunciado por X es falso" (o verdadero) o la aserción: “la expresión escrita sobre el pizarrón es falsa” (o verdadera). es falsa aún si X no hace ningún juicio o si nada es escrito sobre el pizarrón[33]. por ejemplo. puede ser su propio sujeto[35]. Algunas veces hemos intentado impugnar el valor de esta regla. por lo tanto. ella no deviene un sinsentido. Sin embargo. Algo es afirmado de "nada". Pero la expresión "yo miento" no es un juicio. En el lugar del sujeto se encuentra un vacío. Lo que puede tener un sentido y por lo tanto ser verdadero o falso es si. Ninguno. por lo tanto no es ni falsa ni verdadera. una significación imposible de realizar o efectuar más que si se la pretende aplicar a ella misma. la afirmación de falsedad no se refiere a nada. en ese momento. reemplazar por ella misma el vacío de su sujeto. La inexistencia del sujeto no implica. expresión que no solamente sin duda tiene un sentido. Es el caso de la expresión: "yo miento[34]". así como bien lo comprendió Russell. la aserción "yo duermo" posee un predicado y un sujeto. mi aserción sería falsa ya que no hay rey en Francia[32]. la objetivación dada: "la aserción Y que hace X en ese momento es falsa". inmediatamente. En síntesis. sino que también es verdadera[36]. De este modo.Pero cuando digo "yo miento". mientras que la frase: “yo digo la verdad” está tan desprovista como aquella del “yo miento”. en efecto. si la intención no se efectúa. De este modo. ya que la negación contenida en la noción de mentir. “estoy por cantar”. “estoy por hablar”. la impresión primera sin embargo persiste y nos engaña. negación que jugaba un rol tan importante en la antinomia aparente del Epiménides – es ella. No se refiere a ella misma en tanto que proposición o juicio. comenzamos por comprender y esperar que este comienzo se complete y se acabe en una unidad de significación. no se refiere a ella misma no más que esta otra: "las palabras que estoy por pronunciar son palabras francesas". los podríamos resumir del siguiente modo: 1˚ 2˚ Ninguna de las dos formas del Mentiroso es una antinomia. no es la coincidencia temporal del juicio y su sujeto. La estructura de las dos formas es esencialmente diferente [38]. Tales juicios son perfectamente legítimos. tan legítimos como aquellos que se refieren a “los movimientos que estoy por ejecutar”[37]. el juicio se refiere a los componentes verbales o a su forma verbal. las frases tales como “yo hablo”. por lo tanto. Cuestión que comprendemos de la misma manera que comprendemos las palabras que la componen. la pretensión de colocar al juicio en el interior de sí mismo. habría tenido el derecho de sostener que la expresión: “la frase que estoy por pronunciar es falsa” – o “verdadera” – no nos da más que una ilusión de sentido.por pronunciar está compuesta de palabras francesas". hacerlo ocupar el lugar del sujeto. B. II . Los resultados de nuestro análisis del Mentiroso son curiosos en ciertos aspectos. “yo canto”. Lo que impide a la expresión “yo miento” tener un sentido y ser un juicio. sino la pretensión de identidad de ambos. y cuando su comienzo posee un sentido. Russell. Y esto sucede tanto más fácilmente cuanto más larga es. o las frases. y si el comienzo se vuelve corto. por ejemplo. la que determinaba el contrasentido – no juega ningún rol en el caso del “yo miento”. tienen una estructura perfectamente legítima y un sentido perfectamente claro. los números enteros según el número de sílabas necesarias para nombrarlos. habrá ciertamente uno más pequeño. no podemos ver ahí otra cosa que simples sofismas. el de los que no pueden ser nombrados en menos de n sílabas. de este modo. De ahí que él podrá concluir que “el pequeño número no nombrable en menos de n sílabas” se encontrará. nos dice. por ejemplo. el número no nombrable en menos de 19 sílabas es (en inglés) 111 777. en aquellos que pueden ser nombrados en n o menos de n sílabas y en los que no pueden serlo. modo muy simple que consiste en tomar como dictum simpliciter lo que no es más que secundum quid. De este modo. Por nuestra parte. las de Berry y Richard.[39] One sand 1 9 dred 13 hun se 2 10 and 14 dred ven 3 11 se 15 and hun 4 `12 ven 16 el 5 ty 17 ev 6 se 18 en 7 ven 19 thou 8 Tal número se encuentra unívocamente designado por la frase: The a 1 least ble 2 in in 3 teg few 4 er er 5 not 6 name 7 . construidos bajo uno de los modos clásicos del sofisma. designado en n menos una. LA PARADOJA DE BERRY Berry construye su paradoja de la siguiente manera: Clasifiquemos.Pasemos ahora al estudio de las otras dos “antinomias” más célebres. En este último grupo. si n = 19. lo confesamos francamente. pueda ser designado de otra manera en un número de sílabas más pequeño o más grande. en efecto. observar que no es difícil hacer desaparecer la contradicción establecida por Berry: es suficiente. después. Pero es evidente igualmente que esta clasificación no toca mas que los “nombres propios”. y sin prevenirlo. creando por eso mismo dentro del espíritu del lector la impresión – falsa – que el término “nombrar” es tomado por él en un sentido unívoco. uno. Comienza por clasificar los “nombres propios”. ni aún de sorprendente. No hay ninguna contradicción. no hay ahí nada de paradojal. El lector no lo notará porque él completa involuntariamente la expresión imprecisa. que los “nombres propios” de los números (en una lengua dada) pueden estar clasificados según su longitud. es medianamente claro que la “antinomia” – queremos decir su apariencia – resulta del equívoco. visiblemente superfluos. y no se nos dijo nada. en la primera de las dos frases. así sucederá todo el tiempo. No es sorprendente que el empleo equívoco del término produzca una apariencia de contradicción. Pero no insistamos más. en el hecho de que un número dado. mil. lo sea en francés en 15 y en chino en 3. cinco. Ahora bien. suprimir.. los dos and.8 than 13 9 nine 14 10 teen 15 11 syl 16 la 12 bles 17 18 Se podría. esto es justamente lo que hace Berry. en efecto.. – ni nada tampoco sorprendente – en el hecho de que un número “nombrable” en 19 sílabas en inglés. etc. Aún si precisáramos – como lo hace Berry – que “nombrar” quiere decir nombrar en inglés y en palabras. En efecto. en efecto. ¿Nombrable cómo? ¿En qué lengua? ¿Por qué medios? Tanto se ha dicho. eso sería muy cruel. asimismo. o más exactamente de la falta total de precisión en el uso del término “nombrable”. cuyo “nombre propio” contiene n sílabas. . Así admite la clasificación. se autoriza a usar otra modo de “nombrar”. ni de contradictorio. se dice demasiado poco. Es evidente. él cree que se trata de “nombres propios” de los números enteros. bruscamente. en principio. y. designar.Se nos podrá objetar que nuestra solución sea demasiado simple. En efecto. Repitamos: nombrar. para “nombrar” los números. si para “nombrar” un número nosotros podemos designarlo “de cualquier manera”. en un sentido absolutamente general e indeterminado de “nombrar no importa cómo”. entonces. la diferencia o el cociente de m y n. con toda evidencia. la clasificación misma que acaba de establecer. ni ofrecerá ningún sentido determinado. La “paradoja” proviene del hecho de que Berry emplea el término “nombrar” en dos sentidos completamente diferentes: la primera vez en el sentido muy preciso de nombrar por un “nombre propio”. Y si. no es contradictorio que un problema insoluble con la ayuda de la . además. eso no quiere decir nada[41]. la clasificación propuesta por Berry devendría. como el nmo primer número. ninguna contradicción en el hecho de que una operación. deviene fácilmente ejecutable cuando le agregamos uno nuevo. el Corán o la Biblia. tal como lo ha hecho. tenemos ante todo que dar un sentido preciso a los términos empleados. determinar los medios admitidos o permitidos de la “nominación”. o aún como el número de versos. Sin embargo. ya que de otra manera no podría pretender haber “nombrado” el número 111 777 al designarlo. determinar. y que en el fondo la paradoja de Berry consista en el hecho que él se autoriza a usar. nuevo medio. imposible de efectuar cuando empleamos para hacerlo los medios n . nada impide emplear esta clasificación como un nuevo medio de designación. o como la suma. para que la pregunta ¿“se puede”? conlleve una respuesta por un “sí” o un “no”. Lo que sin duda es particularmente chocante y sofistico[40]. que sea aún simplista. pues todo puede ser siempre designado o nombrado. sílabas o letras de la Ilíada. por medio de la clasificación “nombres propios”. porque de otro modo no podría establecer esa clasificación de números enteros. Una vez hecho esto y efectuada la clasificación. tuviésemos el derecho de crear o de inventar “nombres” nuevos y nuevas maneras de nombrar conforme a “la nominación”. no cambia el fondo de la cuestión. La pregunta: ¿podemos o no podemos “nombrar” un número dado en tantas sílabas? – no implicará ninguna respuesta. la idea misma de tal clasificación perdería todo tipo de significación. por ejemplo. el n + 1mo. sin precisar cómo y por qué medios. o como la nma potencia de m. una segunda vez. el producto. sea por su “nombre propio”. sea por medio de una expresión matemática cualquiera – así. No habrá. que se adjunta – o se sustituye – a los medios primitivamente empleados. Para que ella tenga una. imposible. De esta manera. cualquiera sea la longitud de esta última expresión. Pretender que haya una paradoja. ellas son equivalentes. sería paradojal designar algún volumen por la expresión: el primero de los volúmenes cuyo título tiene más de cien palabras… B.regla y del compás pueda ser resuelto por el empleo de las secciones cónicas. Ahora bien. . La antinomia de Richard consiste en el hecho de que “un número no definible en un número finito de términos” se encuentra por esto mismo “definido en un número finito de términos”. hay uno “más pequeño”. cuyos “nombres propios” tienen al menos 19 sílabas. si clasificamos los libros de una biblioteca a partir de la longitud (en palabras o sílabas) de sus títulos. LA PARADOJA DE RICHARD Las mismas consideraciones se aplican a la antinomia de Richard. que no difiere de la de Berry más que por su vestimenta matemática. Entre ellas. Este número es (en inglés) 111 777. La expresión “definible en un número finito de términos” sucumbe a las mismas críticas que acabamos de dirigir a aquella de “nominable” utilizada por Berry. Si. ella no da lugar a ninguna paradoja dado que ella no es un “nombre propio”. equivaldría a pretender que. También podemos designarlo – o nombrarlo – como: el más pequeño de los enteros cuyo “nombre propio” tiene al menos 19 sílabas. por el contrario. es claro que. La paradoja de Berry se funda en un empleo equívoco e impreciso del término “nombrar”. y por el empleo del famoso procedimiento diagonal de Cantor. lo precisamos cada vez que lo empleamos obtenemos lo siguiente: clasifiquemos los números enteros según la longitud (en sílabas) de sus “nombres propios” dentro de una lengua dada. De hecho. 5. Tendremos entonces. Este conjunto tiene אelementos. por lo mismo. El sofisma – menos fácilmente perceptible que en Berry – es no obstante exactamente el mismo: la expresión “definible en un número finito de términos” se deja perfectamente indefinida. se construye. en efecto. Cuestión que. se cambia la base de la clasificación [43]. se desconoce el sentido del procedimiento de Cantor. 4. 6. y puede por lo tanto ser enumerado. los decimales 0. este procedimiento ha sido inventado por Cantor para demostrar que el conjunto de los números reales es un conjunto no denumerable. 2. por otro lado. con la ayuda del procedimiento diagonal. La conclusión – hablando correctamente – que Cantor saca. 4. Se comienza por clasificar los desarrollos decimales según un principio de clasificación cualquiera – pero bien determinado esta vez. entonces el nmo decimal de N será p – 1 (o 9 si p = 0). además. Es claro que. correspondiendo a los decimales 1.La vestimenta matemática de la paradoja de Richard parece sin embargo conferirle una precisión más grande. 9. 7. el nmo decimal de N será diferente del nmo decimal de la nma fracción decimal en E. porque. 3. He aquí en que consiste: “Sea E el conjunto de todos los desarrollos decimales definibles en un número finito de términos. Sin embargo. es que es imposible de enumerar todos los números reales. 1. [42]” N es por lo tanto diferente de todas las fracciones decimales de E. 7. 6. por lo que deberemos examinarla más de cerca. 3. 8. es imposible enumerar todos los números “definibles en un número finito de términos”. 2. Pero. La posibilidad de aplicar el método diagonal al conjunto E de Richard habría debido conducirlo a la conclusión análoga. porque de otro modo la clasificación sería imposible – porque nos servimos de la clasificación realizada como medio de determinación. para todo valor finito de N. de la nma fracción decimal de E. El modo de razonamiento de Cantor es la reducción al absurdo. 5. Al admitir que se puede enumerar todos los números reales. Definamos ahora un desarrollo decimal de N de la manera siguiente: si el nmo decimal de la nma fracción decimal del conjunto E es p. Así todo número puede ser “definido en un número finito de términos” (cuestión que no siempre puede . visto que los números trascendentes tales que e y π son definibles en un número finito de términos. 8 . un número no incluido en la enumeración. N está aquí definido en un número finito de términos y debería por lo tanto ser un elemento de E. 9 en N. 0. tiene apenas necesidad de ser demostrada. no hay nada que no pueda serlo en un número dado de términos. asimismo la negación de esta condición es puramente verbal y la expresión “no nombrable” o “no definible en un número dado de términos” no designa. EL BARBERO DEL PUEBLO Estudiemos ahora.determinarse en un número finito de operaciones matemáticas) mientras que la manera de hacerlo queda totalmente indeterminada[44]. para terminar con las antinomias-sofismas. por el contrario. afirmarlo. alguna vez caracterizado como “dialéctico”. la paradoja. y puede ser también que no signifique. se determina efectivamente. todas las contradicciones están permitidas. en la nada. tomados en su generalidad absoluta son de una indeterminación totalmente absoluta. designar. se encuentra en la situación eminentemente embarazosa de . definir. que no se estime que negar algo. No es menos perfectamente sofístico porque implica que ser impensable es una manera de ser pensado. la famosa paradoja del barbero del pueblo (o del barbero del regimiento ) que afeita a todos los lugareños (o a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos) y que. de ese modo. Ahora bien. sin embargo.. es decir si se precisa y limita el sentido de los términos: nombrar. etc. es. El conjunto E no representa de ningún modo una clase limitada de números: los abraza a todos. Este modo de razonamiento. Si. es decir la contradicción. que declarar que algo es no-nombrable es al mismo tiempo nombrarlo. no es únicamente propio de la logística: es muy usado en la filosofía. rigurosamente nada. la precisión o la limitación supuestamente aportada por las restricciones aparentes de “en un número finito” o “en un número dado” de términos es perfectamente ilusoria: si se puede emplear no importa qué términos y designar o definir los objetos no importa cómo. A menos. desaparece. C. Resumamos: los términos “nombrar” o “designar” o “definir”. no definible es definirlo y no-concebible es concebirlo. y la expresión: “no definible en un número finito de términos” no designa por lo tanto a ninguno [45]. al mismo tiempo. si se prefiere. Fraenkel nos parece constituir un progreso enorme con respecto a la actitud habitual. Asimismo. si el barbero del pueblo no existe. Debemos confesar que la elucidación de M. además. . prosigue M. El análisis de esta paradoja que. a decir verdad. tan persuadido del valor creador de la definición. el hecho de que no pueda ni afeitarse ni no afeitarse no es particularmente asombroso. sería mejor que tuviera su lugar en el Punch que en un tratado tan serio como los Principia Mathematica[46]. existen. “La antinomia del barbero. reside sobre una definición descriptiva que aparece al análisis como una pseudo definición. M. examinar las condiciones de posibilidad del objeto definido.. Fraenkel no nos parece muy pertinente: ¿no procede según el principio obscurum per obscurius? . Fraenkel [48]. revela una particularidad curiosa del pensamiento – de la mentalidad – logístico. o. y que recíprocamente “es falso que a > a” implica a > a. verdaderamente. el lógico está. es evidente que la posición adoptada por M. más que una pseudo-antinomia. otros? Sea lo que sea. Es aquí evidente que no hay número natural que satisfaga esta definición.. podríamos objetarle. ¿Habría. no vemos qué se pueda ganar al pseudo-determinar los números del dominio como números “que no son mayores que ellos mismos”. los barberos. considerando en el dominio de los 100 primeros números naturales una pseduo-antinomia construida de forma análoga: sea a el número del dominio que es superior a todos los números del dominio que no son mayores que ellos mismos. Resulta de esta definición que a > a implica que “es falso que a > a”.no poder ni afeitarse – porque él no afeita más que a los que no se afeitan a sí mismos – ni no afeitarse porque él afeita a todos aquellos que no se afeitan a sí mismos. de hecho. dado que no compartimos el entusiasmo de los lógicos por las falsas ventanas y las pseudo dicotomías. y la definición no define a nadie. Sólo recientemente esta creencia ha sido muy criticada y se ha percibido el carácter discutible de la definición del barbero. escribe.” Ahora bien. Sin embargo. lo que no es el caso. la antinomia del barbero del pueblo no es. que decididamente va demasiado lejos: que la inexistencia del barbero forzaría a todos los que no se afeitan a sí mismos a llevar barba. quizás. y que. “Vamos a elucidar. Fraenkel estima que la paradoja se resuelve fácilmente [47] . más aún. de algún modo. la propiedad de afeitar a todos los que no se afeitan a sí mismos es por sí misma vacía. En síntesis. que rechaza – implícitamente – estudiar sus condiciones de aplicación. acaso. el coronel? Pues es evidente que si no se aplica a las mujeres (o a los gordos). ¿Qué quiere decir esto exactamente? ¿Hay en el pueblo (o regimiento) en cuestión obligación de estar afeitado? En efecto. pertenece al regimiento vecino. un cabo o su coronel. él pertenece. Los habitantes del pueblo (o los hombres del regimiento) se dividen entonces en dos clases: los afeitados y los no afeitados. tanto para el coronel como para los simples soldados: responderemos que. del mismo modo que vale para todos los miembros del regimiento. Fraenkel [49].Asimismo examinaremos la definición del barbero del pueblo (o del regimiento) más de cerca. al segundo grupo: al grupo de los no afeitados. el barbero del pueblo será una mujer. para simplificar la situación. sin duda alguna. lo resolveríamos declarándolo no existente. ¿vale también para los soldados. evidentemente. para emplear una expresión de Platón. que se supone que el barbero es un hombre. un niño o un eunuco. Se nos dirá sin duda que hemos comprendido mal la definición. es mejor que lo digamos. estando prohibido llevar barba. sin duda. Entre los afeitados – y solamente entre los afeitados – los que no se afeitan a sí mismos. “El barbero del pueblo (o del regimiento) afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos”. en el regimiento. es. o no pertenece a ningún regimiento y es un civil. y esto no hace falta decirlo. que la obligación de estar afeitado no vale sin duda más que para los habitantes masculinos y adultos del pueblo y sin excepción. se trata de una broma seria). si no existe esta obligación. Asimismo. Tal vez podremos concluir en una solución menos radical. Se dirá que nuestra solución es una broma (lo que admitimos. y el del regimiento. Pero ¿cuál es el dominio de esta obligación de estar afeitado? ¿Se aplica también a las mujeres y los niños? Y. y en cuanto al barbero del regimiento. Y para hacerlo sería suficiente observar que la división entre “los que se afeitan a sí mismos” y “los que no se afeitan a sí mismos”. se podría evitar esta consecuencia macabra. Sin embargo. se hacen afeitar por el barbero. De todos modos. exclusiva. del mismo modo que lo hace M. los oficiales. el problema no existe tampoco. el barbero del pueblo. En realidad. los habitantes del pueblo (o los hombres del regimiento) deben todos estar afeitados. en ese caso. pero no es exhaustiva y no puede serlo. el barbero no pertenece a ninguna de las dos . Y sólo si se le agrega a la definición del barbero la obligación de residir en el pueblo o de pertenecer al regimiento. habita el pueblo vecino. sin duda alguna. El barbero del pueblo (o del regimiento) afeita por lo tanto a todos los habitantes del pueblo (o a todos los hombres del regimiento) que no se afeitan a sí mismos. En cuanto al barbero mismo. si se trata de volver exhaustiva la división en cuestión extendiéndola a todo el género humano. La causa de esta curiosa ceguera yace en el formalismo del razonamiento logístico y. hayan podido ser tomados tan en serio por espíritus tan eminentes como Russell. Confundirlos es. Es esta interpretación la que transforma. estaríamos forzados a excluir de ella al barbero y admitir que el barbero no es un hombre. o hacerse afeitar por “el barbero’. En cuanto al barbero. inafeitable. no puede ser afeitado ni por sí mismo ni por otro que no sea él. si se puede decir así. una broma griega en una antinomia moderna. esto es siempre así. [51]? La respuesta no nos parece ser dudosa. en tanto que barbero.[52] III .clases. Asimismo. se hacen afeitar por el barbero. El barbero. una vez más. confundir el dictum simpliciter avec le dictum secundum quid. es decir el término con respecto al cual se hace la clasificación. puede. Es absolutamente evidente que el mismo barbero. ante todo. por lo tanto. En efecto la división de los hombres en “los que se afeitan a sí mismos” y “los que no se afeitan a sí mismos” y. en efecto. es idénticamente la misma que aquella de los hombres “que se hacen afeitar por el barbero” y “los que no lo hacen”. en tanto que hombre. no puede pertenecer a ninguno de los grupos clasificados con relación a él [50]. Se concluye de esto que el barbero. etc. él es. en la interpretación del juicio en extensión. no es idéntico al barbero en tanto que hombre. Frege. en un cierto sentido. tal como ha sido definido. en tanto que barbero. ya sea afeitarse a sí mismo. Una cuestión se plantea ahora: ¿cómo puede ser que simples sofismas que no habrían inquietado ni por un instante a un discípulo de Aristóteles ni a un estudiante de la Facultad de Artes de la Universidad de París. Ahora bien. Así. Inversamente. Ningún concepto. sin embargo cambia. clasificar los conceptos en dos grupos mutuamente exclusivos: los que pueden aplicarse a ellos mismos. la . por lo tanto. en suma en negar la posibilidad misma de la clasificación de los conceptos en “predicables” y “no predicables”. Bertrand Russell no se ha limitado a formular las paradojas que llevan su nombre. En efecto. las antinomias descubiertas por Bertrand Russell no son. El término resta el mismo. su significación. únicamente sofismas. Él es. Examinemos ahora el concepto “impredicable”. y los que no lo pueden. Esta solución. consiste. y a los que no lo hacen “impredicables”. La no distinción de las significaciones volvería la proposición imposible. Es. Encontramos allí especialmente la famosa paradoja del conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos. el concepto “abstracto” es él mismo abstracto. y muy profundos. por ejemplo. abstracto. así como el no menos famoso impredicable que plantean al lógico problemas curiosos. al contrario. abstracto en segundo grado. mientras que el concepto “concreto” no es concreto. En efecto. si es predicable – impredicable. se aplica a sí mismo. Lo IMPREDICABLE Se puede. o no? Debe necesariamente ser o lo uno o lo otro. en el caso que nos ocupa. nos dice Bertrand Russell [53]. Más aún. en consecuencia. El concepto “abstracto” no es “abstracto” en el mismo sentido en el cual lo son los conceptos abstractos ordinarios. ¿Es él mismo predicable. si es impredicable – no es por lo tanto impredicable. de algún modo. ser impredicable quiere decir: que no se aplica a sí mismo. sino que también ha tratado de darles una solución[54]. ser predicable quiere decir aplicarse a sí mismo. sino. Llamamos a los conceptos que se aplican a ellos mismos “predicables”. Cuando él lo hace – en apariencia – no es más que al precio de un equívoco. en realidad. y sin embargo es fácil mostrar que no puede ser ni lo uno ni lo otro. El concepto “impredicable”. predicable. el concepto “impredicable” es.Pasemos ahora a cuestiones más serias. por ejemplo. Para aprehender la naturaleza de la paradoja de lo impredicable.privaría de sentido [55]. Y. la equivalencia del definiens y del definiendum: . a menos que se distinga dos sentidos del término impredicable: impredicable (1) e impredicable (2). También. es útil e instructivo considerar una exposición simbólica. justa. la tomaremos prestado de M. es cierto que – así como lo enseñaba la lógica medieval – es necesario distinguir entre las “intenciones primeras” y las “intenciones segundas”. a los dos. no tengan sin embargo algo en común que los haga. al ser conceptos de estructura – y de rango – muy diferentes. conceptos. De esta manera. La solución de Russell conocida bajo el nombre de la “teoría de los tipos” es extremadamente elegante. sin embargo. no tiene ningún sentido. en parte. Sin hablar de las dificultades generales de la teoría de los tipos – que examinaremos más adelante – parece poco probable que el equívoco en cuestión no se apoye sobre una unidad de sentido fundamental [56]. Es cierto que el concepto “abstracto” es abstracto de otro modo que. Fraenkel-Carnap [57] : “Una propiedad cualquiera F será dicha impredicable – Imp – si ella no conviene a ella misma. ingeniosa y. todos los conceptos son “impredicables”. decir del concepto “impredicable” que él es impredicable. como de toda definición. que por ejemplo el concepto de “concepto” y el de “espacio”. en signos: 1º Imp (F) = ~ F (F) “De esta definición resulta. No obstante la solución de Russell parece difícil de admitir. el del “color” . y aún entre las “segundas” y las “terceras”. “ Ahora bien. de que la “significación” de Imp queda perfectamente indeterminada[59]. que consiste en suma en exigir que toda fórmula – . 3 b (F). el signo. 4b ~ Imp (Imp) É Imp (Imp) . “ Sin duda. no se le puede substituir su significación. cierto para nosotros. Imp (F) º ~ F (F). su ilegitimidad. permanece y. Behmann[58] observa: “Una expresión que contenga signos de abreviación no es correcta salvo que se pueda operar de forma completa en el marco del simbolismo empleado. la substitución de las significaciones por los signos. ~ F (F) É Imp (F). necesariamente. La antinomia es evidente. obtenemos: 4 a Imp (Imp) É ~ Imp (Imp) . (F) . es imposible de hacerlo. así como para la paradoja del Mentiroso proviene de la sustitución por el valor particular “yo” del x del “x miente”. sea el que sea que se haga. para Imp. “Si sustituimos ahora a F por el valor particular Imp. Índice. Behmann.2º (F). Imp (F) É ~ F. lo que implica. Pero es asimismo absolutamente evidente que la antinomia proviene de la substitución de F por el valor particular “Imp”. También M. [60] La solución de M. “Se obtiene así la conjunción de las dos implicaciones siguientes: 3 a (F). ¿Esta sustitución es más legítima en el caso del Imp que en el del “yo miento”? Nos parece que no. en la formula. que hemos citado (hay muy poco de estos. Y en cuanto a los “conceptos negativos“ – que gozan de esta propiedad notable de convenir a ellos mismos – el concepto de “concepto”. y algunos otros más. a) la de las “propiedades” negativas. el de “pensable”.. el de “abstracto”. se le hará perder su mérito esencial’. Antes de estudiar la teoría de los tipos. de no querer emplear más que las que tienen un sentido. detengámonos todavía un instante en el examen de la antinomia. el de “formal”.. M. Fraenkel nos advierte que. como lo hace M. Después de todo. Sin duda. etc. una propiedad no conviene jamás a ella misma. Fraenkel.aún símbólica – tenga un sentido bien definido[61]. desde el punto de vista logístico. aquí también de los “conceptos de conceptos”)[64]. con la excepción. Pero las “propiedades negativas” no son verdaderas propiedades. “No se puede. con la condición. las fórmulas no nos liberan de la necesidad de pensar. por ejemplo 0 – que no se le puede sustituir. Quizás. después de B. Generalmente hablando. cueste lo que cueste intentar mantener ese carácter “automático”. de examinar las que uno emplea. sin más. y todo el mundo sabe que hay valores – como. no ha encontrado muchos adherentes. Pero esta imposibilidad no nos dispensa de la necesidad. ¿Por qué la logística tendría este privilegio? Sea lo que sea. en una fórmula cualquiera. Queda por ver si este mérito es realmente tan grande que falla..” Desde nuestro punto de vista la vacilación no es en absoluto posible si no fuera porque –así lo viéramos todo el tiempo – la teoría de los tipos es insostenible y contradictoria[63]. bien entendida. tales como : no-rojo. Desde el principio nos dimos cuenta que hablar. y aún del deber. el automatismo no es realizado en ninguna parte en matemáticas. no-extenso. como lo veremos fácilmente considerando el hecho de que ellas son casi perfectamente indeterminadas. y b) la de las “propiedades” de los conceptos. “si el empleo de todo signo debe estar precedido por la demostración de su legitimidad. “Al destruir el carácter automático del simbolismo. se puede dudar sobre la ventaja que este método presentaría sobre la teoría de los tipos. le ha sido objetado. Son . Russell. salvo dos excepciones. examinar todas las fórmulas[62]. de “propiedades” que convienen o no convienen a ellas mismas es un poco decepcionante. Más aún. es decir. Según nuestro punto de vista sobre esto no hay nada. “las nociones fundamentales de la teoría de los conjuntos” . En cuanto al concepto de no-predicable. Se puede por lo tanto dividir los conceptos en predicables y no predicables. . EL CONJUNTO DE TODOS LOS CONJUNTOS Examinemos ahora la paradoja del conjunto de todos los conjuntos. Una reforma de la lógica o una restricción de la noción cantoriana de conjunto o las dos... por su extremada generalidad tenían un carácter más lógico que matemático[67]. concreto. subrepticiamente. es muy comprensible el terror que inspiró al comienzo. una cosa rara. Y aún “azul” o “rojo”. de lo que no se sigue que los dos términos de la oposición tengan un sentido definido.tan poco numerosos que se podría muy bien hacer una lista de ellos: la reflexividad es. el dominio de la negación. ahí donde la pregunta no tiene un sentido unívoco. de un modo muy peculiar. Este es. Pues “no-rojo” puede querer decir “azul” así como también “concreto” o “abstracto” . nos podemos preguntar si designa verdaderamente una propiedad común a ciertos conceptos. En efecto. la primera de todas. “abstracto” así como también “material” o “inmaterial”. La no-predicabilidad designa una ausencia y no una presencia.. pero no nos anticipemos todavía. de alguna manera. A menos que se limite. que aterrorizó a Frege. parecían necesariamente imponerse. el caso de “impredicable” [66]. o como lo llama Russell. Pero ahí donde los términos no están definidos. lleva el nombre de paradoja russelliana. y los que la poseen tienen. extenso. y “no-concreto” . A decir verdad. colección) y la relación con dos variables: “x es elemento del conjunto y”. un aire de familia: todos estos son conceptos categoriales o formales[65]. parece más que difícil formar una unidad de sentido con todas estas negaciones. aún en el mundo de los conceptos. decir de un concepto que no es “predicable” es decir – si se descifra el sentido de esta predicación – que no es rojo. y que. hay ahí un razonamiento que parece inatacable y donde “no intervienen más que la noción de conjunto (clase. la respuesta no puede tampoco tenerlo. justamente. la que ha desencadenado todo el movimiento. “las que. Dedekind y a Cantor mismo.. de “impredicable”. y la ausencia constituye raramente un elemento de comunidad. en efecto. No nos parece indiferente saber si otros conjuntos diferentes que los normales. perfectamente análoga a la de los números en “los que no son más grandes que ellos mismos” y “los que son más grandes que ellos mismos”. el conjunto E es idéntico al conjunto de todos los conjuntos. en virtud de su definición. Confesamos no compartir esta última opinión de M. por lo tanto. y aún agregar que la dicotomía russelliana no es de ningún modo facticia. La clasificación de los conjuntos en “los que no se contienen como elementos” y “los que se contienen como elementos”. no se contiene de ahora en más como elemento. Pues si tales conjuntos no existieran. no le es de ningún modo propia: en realidad se trata de la de Russell y además es la opinio communis de los lógicos. . Fraenkel: “Vean a que conduce la antinomia de Russell bajo su forma primera: Llamamos “conjunto normal“ a un conjunto que no se contiene a sí mismo como elemento. “normal “. la dicotomía sobre la cual se funda la paradoja de Russell sería completamente facticia. Supongamos entonces que E sea él mismo un conjunto normal. al contrario. Tampoco la admisión de nuestra objeción nos salvaría de algún modo de la paradoja. si los conjuntos “no-normales“ no existen. sino que volveríamos a sumirnos en ella en el acto: en efecto. La contradicción obtenida es evidentemente independiente del hecho de saber si existen o no otros conjuntos que los conjuntos normales [68]”. Fraenkel que. Sin embargo. es decir. E no es un conjunto normal. podríamos replicar que nuestra objeción no es más que una pura chicana. Nos parece. en virtud de su definición debería por lo tanto contenerse a sí mismo como elemento. Esta conclusión conduce a su vez a la contradicción siguiente: el conjunto E. tomemos prestado lo expuesto de la antinomia por M. si conjuntos que se contienen a sí mismos como elementos. equivaldría a una clasificación de los objetos en “los que existen” y “los que no existen”. en tanto que la propiedad: “x no es un conjunto normal“ significa precisamente que x se contiene a sí mismo como elemento. Ahora bien no parece que se pueda razonablemente realizar tal clasificación: no se puede dividir los seres en los que existen y los que no existen. por ejemplo. Por lo tanto. por otra parte. que hay ahí una cuestión de primerísima importancia. teniendo en cuenta que los conjuntos que se contienen a ellos mismos como elementos existen efectivamente: tal es el caso. Como tal él se contiene a sí mismo como elemento y no es. existen o no.Una vez más. lo que está en contradicción con la hipótesis. del conjunto de todos los conjuntos[69]. y sea E el conjunto que contiene por elementos a todos los conjuntos normales y nada más que a ellos. serán del tipo 1. para prevenir su reaparición. Fraenkel [72] : “ La teoría de los tipos ha surgido históricamente del problema de las antinomias. nosotros mantendremos nuestra objeción. y así sucesivamente. etc. las clases de clases.. de ningún modo es un simple expediente. puede ser formulado de la forma siguiente: no se puede atribuir. las proposiciones referidas a las proposiciones. que ella contiene.Sin embargo. El “tipo“ de una proposición – o de una propiedad – expresará el grado de su complicación lógica. al ser los objetos lógicos de la estructura más simple. y el de todos los conjuntos en particular. Así los individuos y las proposiciones que conciernen a los individuos. ¿Un conjunto puede contenerse a sí mismo como elemento? ¿Una totalidad puede ser miembro de ella misma? En esto reside. las clases de individuos. nos dice Bertrand Russell. más que si el tipo de las propiedades atribuidas es superior en 1 al tipo de individuos o propiedades que son sujetos de la atribución. si se trata de una clase. Pongamos como principio la ilegitimidad de los conjuntos “ no-normales “ y. en la base de la teoría de los tipos. al ser objetos lógicos que presuponen los individuos y se fundan sobre ellos. Para citar una vez más a M.. sino. Prohibamos por lo tanto el empleo de tales definiciones. las proposiciones referidas a los individuos. La teoría de los tipos es una verdadera teoría lógica. Fraenkel [71]: “ El principio que está . La “teoría de los tipos” declara no legítimo todo juicio que infrinja la ley jerárquica de constitución que acabamos de exponer o.. el problema central que nos plantea la existencia de las antinomias[70]. serán del tipo 2. Deriva sobre todo de la exigencia que expresa el vicious circle principle de Russell. serán del tipo 0. según el . lo que es mucho más grave.“ Es evidente que todos los juicios “paradojales” se encuentran interdictos por lo mismo.. o podrían ser reducidas a la constitución de tales totalidades. Las propiedades de los individuos. pues todas ellas se reducen. a los objetos a los cuales ella se refiere o. como privados de sentido. propiedades cualesquiera determinadas a individuos o propiedades. pero de ninguna manera tiene el carácter de una construcción ad hoc.. de todas las que hemos examinado y también de todas las otras. Interdictos no solamente como falsos. fundemos sobre este principio una lógica al clasificar los objetos y las proposiciones según el “tipo“ al cual ellas pertenecen. Es claro que toda proposición – o toda clase – será de un tipo superior a sus elementos es decir. como lo dice M. o lo que según Russell es lo mismo. a la definición de un objeto en términos de conjunto al cual se supone que aquél pertenece. Pues el problema verdadero nos parece ser justamente el de los conjuntos no-normales en general. en una proposición cualquiera. según nuestro juicio. El principio del círculo vicioso – y las interdicciones que implica. Pues en fin. “si una colección de objetos debe contener a los miembros definibles solamente en términos de la colección misma. tampoco es menos cierto que es la única teoría lógica que ha intentado ir al fondo del problema de las antinomias y que “en el estado actual de la ciencia podemos al menos afirmar lo siguiente: en lo que concierne a la resolución de las antinomias lógicas. Russell. tomada como totalidad.[77] Sin embargo. la posición adoptada por Russell en los diez primeros años del siglo no podría ser considerada actualmente superada. Si bien es verdadero que nada es más artificial que esta lógica (que Russell jamás. o. entonces esta colección no forma un Todo [74]. entonces esta colección no es una totalidad“. Incluso podríamos preguntarnos si vale la pena hacer de esta observación un “principio”. nos parece ser uno de los títulos de gloria más bellos de Bertrand Russell. como bien lo ha remarcado Jörgensen. En efecto. “nada que implique el Todo de una colección debe ser miembro de esta colección “ [73] y. dificultades insuperables. o de “multiplicidades no-totalizables “. la de la teoría de los tipos. es sobre este principio que Russell ha fundado su nueva lógica.es extredamente plausible. por grande que sea. Bajo su forma más simple – la de la imposibilidad para un conjunto o un Todo de contenerse a sí mismo como elemento – parece perfectamente evidente. así preferimos llamarlas nosotros. que ha sido objeto de numerosas críticas[78]. sin embargo nos parece en extremo lamentable que Russell no haya podido extraer todo lo que contenía. Es en efecto un descubrimiento de gran alcance. . el continente debe siempre ser más grande que el contenido. parece claro que hay siempre una cosa que no se puede jamás meter en una bolsa. Este descubrimiento – o redescubrimiento [75] – de “ totalidades ilegítimas “(así es como las llama Jörgensen) . presentó como definitiva). como lo dice B. equivalentes por otra parte. y que implica. más aún: “si la suposición de que una colección forma un Todo implica que ella posea miembros que no son definibles más que en términos de este todo.cual ninguna colección (ningún conjunto) podría contener elementos que no sean definibles más que por medio de esta colección misma“. por otro lado. es la bolsa misma. con la interdicción de Henri Poincaré de las definiciones no-predicativas [76] . sino incluso aquellas visiblemente formuladas ad hoc. y los elementos de una clase determinada deben ser de un mismo tipo[81]. Esta teoría conduce asimismo a dificultades más graves por las cuales ha sido violentamente – y justamente . sucumbe. necesario al tratamiento de esta pluralidad de sistemas de números [82].criticada. que ha arruinado la interpretación extensionalista de la lógica. a saber. Digamos en seguida que nos parece que es en esta cuestión donde reside su error: a saber en la identificación de la imposibilidad de la auto-inclusión con la de la autoaplicación. Existe igualmente. las clases de todas las clases (de un mismo tipo) equivalentes a una clase determinada. sería un mal menor). o la implican. no es simplemente una teoría lógica bien fundada. a un extensionalismo no superado. como resulta “el axioma de reducción”. llamativamente. y esto toca casi a la paradoja. y sobre todo. de hecho.En particular. y cada tipo implica así la existencia de un sistema de números propios. y ciertos juicios: aquellos que. Esta teoría nos obliga. lo que se comprende fácilmente. La teoría de los tipos. “ ¿Las consecuencias desagradables y molestas de la teoría de los tipos . para los lógicos. porque las clases que contienen todos los objetos de un cierto tipo son distintas las unas de las otras. La teoría de los tipos implica en consecuencia la existencia de una infinidad de clases universales [80]. luego. La teoría de los tipos no ha recibido de los lógicos un apoyo entusiasta. una infinitud de clases vacías. en efecto. la teoría de los tipos simples conserva en la hora actual todo su valor. porque exige el empleo de un formalismo complicado. es la existencia de una pluralidad de sistemas de números (naturales). en esta teoría. Se define a los números como las clases de clases. en principio por la impresión penosa que da y. a pesar de los inconvenientes que implica. es también la más simples de todas las teorías que han sido propuestas hasta hoy para resolver de forma correcta los problemas relativos a las antinomias lógicas y al axioma del infinito “ [79]. Pero lo que hay de más inesperado y de más inverosímil para los matemáticos. conducen a la posibilidad de la auto-aplicación. tal el axioma del infinito. Esta consideración es bastante desagradable. Acabamos de decir que la teoría de los tipos nos prohibe totalizar ciertas multiplicidades: justamente las que desembocan en la paradoja de la autoinclusión. a aceptar como “axiomas” no sólo las proposiciones que no son para nada evidentes (lo que. Para ellos. En efecto... También. superior en una unidad al tipo de los objetos a los cuales se refiere. absolutamente ningún sentido. debería ella misma ser de un tipo más que infinito. es falsa y. [84] Subrayemos entonces que todas las proposiciones que acabamos de escribir y que enuncian ya sea las consecuencias de la teoría de los tipos. a las objeciones hechas hasta ahora trataremos de agregar algunas. por lo tanto. una proposición como: hay un número infinito de sistemas de números. Tampoco podríamos preguntarnos si la teoría de los tipos es verdadera o falsa: ¿cuál sería. lo que la teoría de los tipos justamente tendría como objetivo evitar. En efecto.constituyen argumentos suficientes contra ella? Según nuestro criterio. y ella es falsa si ella es verdadera. no sólo ella misma no podría pertenecer a ningún tipo. la de contar un cierto grupo o número de números. no podría pertenecer a ningún tipo[85]. Nos parece. Así como tendremos una infinidad de aritméticas. o bien.. por lo tanto. sí. no tienen. e incluso imposible. y la ley de contradicción se deberá formular una infinidad de veces. ella es verdadera y.. Dicho de otro modo: la teoría de los tipos prohibe el enunciado de proposiciones que se refieren a todas las proposiciones. que una teoría de las matemáticas que arriba a la necesidad de admitir una pluralidad de sistemas de números enteros y que tiene necesidad de complicaciones inauditas para permitirnos efectuar las operaciones más simples. es decir. en efecto. estando desprovista de sentido. es por esto mismo juzgada [83]. se aplica a ella misma. sino que ella realizaría . o de tipos de proposiciones o de objetos. tendremos también una infinidad de lógicas. o de clases universales. por ejemplo. La teoría de los tipos no tiene sentido. si cada proposición debe ser de un tipo determinado. más graves aún. [ilegible] . Ya que o bien.. el tipo de juicio que afirmaría esta verdad o esta falsedad? Concluyamos: la teoría de los tipos realiza a la perfección el tipo mismo de “círculo vicioso” interdicto. Remarquemos desde el principio que hablar de la pluralidad de los sistemas de números es insuficiente. no aplicándose a ella misma. la inverosimilitud no prueba la falsedad. como. que una teoría lógica que da del pensamiento una imagen enteramente inverosímil. según la teoría de los tipos. Y nuestra . ella no puede ser verdadera más que si ella es falsa. es necesario decir que “la teoría de los tipos” implica la existencia de una infinidad de sistemas de números: consecuencia inmediata de la infinidad de clases universales. Pero los lógicos no estarán de acuerdo con nosotros. ya sea esta teoría misma. podría ser verdadera. En cuanto a la proposición fundamental de la teoría de los tipos – y esto se aplica a todas las proposiciones de esta teoría – según la cual “toda proposición debe ser de un tipo superior a su objeto”. Esta es una conclusión inevitable de la teoría misma.. en efecto. en cuyo caso ella es falsa.[86] Pero a decir verdad no podríamos aceptarla. Destaquemos también que esta infinitización no se limita de ningún modo al dominio del número: ella se extiende – por supuesto – a la lógica. y por esto mismo contiene tales proposiciones interdictas. no tendremos más necesidad de multiplicar al infinito la serie de los números [87] – una sola bastará –. hasta E.resistencia se encuentra singularmente reforzada por el hecho de que ni el mismo B. Russell) entre todos los que han combatido estas doctrinas. se dieron cuenta que hablaban para no decir nada. que la afirmación del escéptico o del relativista tiene exactamente la misma estructura lógica que la del célebre Cretense – nadie hasta el momento (según nuestro conocimiento. desde los tiempos que se discute sobre el escepticismo o el relativismo – no se ha notado bastante. desde Aristóteles y san Agustín. La teoría de los tipos declara que la auto-aplicación de una proposición es imposible. y podríamos del mismo modo contentarnos con una sola lógica. con la única excepción de B. según nuestro punto de vista. En este punto todavía nos atrevemos a sostener contra Russell – y la teoría de los tipos – nuestra opinión y nuestra interpretación del Mentiroso por una consideración muy simple. Husserl. Russell ni ninguno de los numerosos lógicos que lo han discutido y criticado. Pero al rechazar la teoría de los tipos. siempre se ha tratado de mostrar que estas doctrinas eran falsas porque implicaban un contrasentido. De este modo. Ahora bien. incluso construir la gramática de una lengua dada en esa misma lengua. Muy por el contrario. ¿no nos privamos por esta misma razón de la posibilidad de resolver las antinomias russellianas?. Russell. se dio cuenta que combatían un sinsentido. Resumamos entonces nuestra posición oponiéndola para mayor claridad a la de B. El abandono de la teoría de los tipos al que nos vemos conducidos conlleva ventajas no despreciables. Russell razona del siguiente modo: . sin estar obligados a inventar una nueva [88]. en una situación aún más difícil y más paradójica que la de Russell? No lo creemos así. incluso muy banal: ¡si fuera de otra manera alguien ya lo habría notado! Ahora bien. Tal como la teoría de los tipos. nuestro análisis del Epiménides ya nos mostró que no se trata de eso: la autoaplicación de un juicio es posible y el razonamiento del Epiménides – como aquel de la teoría de los tipos – tiene un sentido. ¿no nos encontramos por este hecho y a consecuencia de nuestra aceptación de la legitimidad de la auto-aplicación de las proposiciones. Russell supone que toda aserción legítima determina un dominio de aplicación que forma una multiplicidad totalizable. Por extraño que pueda parecer a primera vista. Russell que: 1º Las multiplicidades que implican una auto-inclusión no son totalizables. admitiendo con B.1º Las multiplicidades que implican una auto-inclusión no pueden ser totalizadas. De nuestras constataciones se sigue que no se trata de eso. El razonamiento de B. implican igualmente una auto-inclusión. De donde concluimos: 3º las aserciones que implican una auto-aplicación no implican necesariamente una auto-inclusión. dicho de otro modo. estamos obligados a admitir que hay nociones cuyo dominio de aplicación no forma una multiplicidad totalizable. De donde la conclusión: 3º Las aserciones que implican una auto-aplicación son ilegítimas e imposibles.[89] . En cuanto a nosotros. estamos obligados a constatar que: 2º las aserciones que implican una auto-aplicación son posibles. nociones o conceptos cuya extensión no forma ni una clase ni un conjunto. que a todo concepto le corresponde una clase o un conjunto. dicho de otro modo. 2º Las aserciones que implican una auto-aplicación. . De la misma manera Cantor estima que la posibilidad de decidir si un concepto dado se aplica o no a un objeto. Retomemos ahora las paradojas russellianas. . Pero este último está a su vez prohibido por una nueva aplicación de la teoría: la multiplicidad de los conjuntos no es totalizable y la expresión “todos los conjuntos” no tiene sentido[91]. Cantor no se daba cuenta al formular su definición que existían multiplicidades no totalizables pero. Esta definición implica entonces que las multiplicidades que forman conjuntos deben ser totalizables e indica al mismo tiempo las condiciones necesarias de la totalizabilidad.. el desconocimiento de este hecho nos parece que constituye la base de todas las dificultades a las que se ha enfrentado la teoría de los conjuntos. nosotros no admitimos la teoría de los tipos. no siendo la multiplicidad de los conjuntos totalizable. de que a todo concepto le corresponde una clase.Ahora bien. su definición preveía y prevenía las dificultades. tanto como no admitimos la existencia de conjuntos no normales. Como lo hemos expuesto más arriba. ellas están fundadas sobre a) la identificación del conjunto con la clase (lo que parece legítimo) y b) la idea plausible sin duda. con él. por una suerte de intuición genial. Ahora bien. hace en efecto intervenir las nociones de “Todo” [90] y de “objetos determinados y distintos”. conjuntos “no normales” como los llama M. pero sin embargo falsa. esta interdicción implica la identificación del conjunto de todos los conjuntos normales con el de todos los conjuntos. Por el contrario. En efecto. el abandono de la correlación entre “concepto” y “clase” permite mantener como tal la célebre definición cantoriana del conjunto. una multiplicidad totalizable. La definición: “reunión en un Todo de objetos determinados y distintos de nuestra intuición o de nuestro pensamiento”. que el “conjunto de todos los conjuntos” no existe. es decir. admitimos la existencia de multiplicidades no totalizables y estimamos. La teoría de los tipos nos prohibe admitir la existencia de conjuntos que se contienen a sí mismos como elementos. equivale a aquella que determina si pertenece o no a una clase dada. con Russell. Ahora bien. cosa curiosa. “El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos”. Fraenkel. Ya nos hemos ocupado del conjunto de todos los conjuntos y hemos constatado que es imposible formarlo. por otra parte. en tanto que aquél de las cosas no rojas no lo es [95]. No se puede ubicarlo en su interior y. por decirlo de alguna manera. Así no hay. es decir las nociones que poseen por esencia la propiedad curiosa de aplicarse de una manera u otra a sí mismas y de no poder determinar multiplicidades totalizables (de clases). es más que un ejemplo – nos permitirá. esto es a todo lo que es un conjunto. en ninguna parte lugar para ese conjunto. De alguna manera se revela siendo demasiado grande. creemos. elucidar la cuestión. creemos que tal explicación es posible y que las nociones “esencialmente paradojales”. por otra parte ya que él abarca (o pretende abarcar) todo el universo de los conjuntos. según el cual “el conjunto de subconjuntos de un conjunto es de una potencia superior a la de aquel”. . según nosotros. Ahora bien. Ya que. Un ejemplo – que. es verdadero para todos los conjuntos [92]. estos conceptos que no son como los otros y cuya “extensión” no es totalizable? La teoría de los tipos no nos lo dice. Pero a partir de esto surge una pregunta: ¿Por qué “el conjunto de todos los conjuntos” y los “conjuntos” análogos son ilegítimos? En otros términos. del mismo modo de Zermelo según el cual “todo conjunto puede ser bien ordenado” vale – si es justo [93]– para todos los conjuntos. no se puede tampoco ubicarlo afuera. ni decir que el teorema de Cantor. no implica de ningún modo la posibilidad – ni la necesidad – de reunirlos en un Todo [94]. Ella no nos ha explicado por qué el conjunto de todas las cosas rojas es legítimo.Lo que no nos impedirá de ninguna manera sostener juicios que se apliquen a todos los conjuntos. forman un grupo muy particular de nociones. la posibilidad de emitir un juicio válido para todos los objetos. ¿cuáles son estas nociones curiosas a las cuales no corresponden “clases”. Ella se limita a indicarnos un criterio general de las “totalidades ilegítimas” y a darnos el medio para evitar la formación. es decir un juicio que se aplique a cada uno de los objetos que caen bajo un concepto. Es esta una solución análoga a la que nosotros nos vimos obligados a adoptar: el conjunto de todos los objetos. En el fondo. de todos los “algo”. han debido aceptar otra solución. Es muy evidente que este “conjunto” – la clase universal de la logística – es en primer lugar una “paradoja” y que debe abarcarse a sí mismo ya que comprende todo. De este modo se comprende fácilmente que el concepto del ser no determine una clase. sin embargo. La imposibilidad de totalizar la multiplicidad de los “seres” (objetos del pensamiento) se explica por el vacío absoluto de esta noción[98]. nos damos cuenta de eso. “el más grande de los conjuntos”.Pero el “conjunto” de todos los conjuntos no es. Para este conjunto. La “clase universal” es un absurdo [99]. menos aún el género supremo. no existe: no es un objeto del pensamiento. el conjunto de todos los objetos individuales y reales. ella es hasta tal punto indeterminada que la multiplicidad a la cual ella se aplica es. sino aquél de todos los objetos cualesquiera. En efecto. Aquel conjunto de todos los objetos es aún mucho más extenso. ni una clase? En efecto. fuera de él mismo. a saber la de que el Universo de Aristóteles no existe [96]. de todos los objetos del pensamiento. En otros términos. La multiplicidad de los “algo” no es totalizable porque la noción de objeto no puede servir de lazo unificante. indefinida e ilimitada[97]. es decir no son jamás totalizables. ella no se opone a nada. y no excluye nada de su dominio de aplicación. en el sentido más fuerte del término. de todos los “algo”. a partir de Aristóteles se sabe bien que el concepto del ser no es un concepto como los otros: se trata de una categoría. no hay lugar por fuera de él mismo. en el que se lo pudiera ubicar. En efecto. Aristóteles había concluido sobre esto – justamente – que su Universo no estaba en un lugar. lo que no es un género. No. Esto explica inmediatamente por qué las multiplicidades “determinadas“ por la negación pura – ya lo hemos indicado más arriba – son siempre “paradojales “. por supuesto. Ni tampoco de nuevo. del mismo modo que para el Universo de Aristóteles no había lugar. la “clase universal” de la logística. Sus sucesores. El conjunto de los seres es un sinsentido. la multiplicidad-totalizable de los seres – acabamos de verlo – es . en el sentido más estricto del término. ¿por qué un juicio puramente negativo – lo que Kant había llamado antiguamente un juicio infinito [100]– no determina jamás un conjunto . todo esto no tiene nada de sorprendente. Pero la concepción misma es preciosa y debemos retenerla. relación. ligados directamente al del ser y que eran equipolentes con él. de nociones o de categorías primeras que determinan el ser sin limitarlo. bonum. De esta manera. Asimismo. uno puede preguntarse – y habiéndolo hecho. un elemento de una multiplicidad o de un conjunto. una relación. de modo evidente. responder por la negativa – si el concepto de no-rojo es verdaderamente un concepto. Las nociones “trascendentales” – aquellas que justamente. [103] Ahora bien. extendiéndose tan lejos como se extiende el ser. no existen clases negativas. Ahora bien.. son de una misma “potencia” que aquella. si la “clase universal” no es una clase. que esa lógica designa bajo el nombre de trascendentales. no es efectivamente un concepto real.. pero no una clase de objetos “no-rojos”. En otros términos. y “se convierten” con él. en este áπειρον un dominio limitado. que . Esta lista de “trascendentales”. La noción del ser no es el único concepto inaccesible a la limitación y que posee. La lógica medieval conocía muchos otros.. Estas nociones. transponiéndola. todo “algo” es una unidad y. Inversamente – y esto puede servir de signo exterior de estas nociones – las nociones que poseen la misma potencia que la del ser. si el defecto (o el mérito) esencial del concepto del ser es ser absolutamente indeterminado. de algún modo. Todo es objeto de un concepto. Ya que. verum. se extienden tan lejos como se extiende el ser. Ligadas a la del ser. proposición. por eso mismo. Tales son. un juicio. es decir. de número. las nociones de unidad y multiplicidad. Todo. es un áπειρον. en la teoría de los tipos serían de un grado “transfinito”– no son otra cosa que las nociones que forman las categorías esenciales de la lógica y de la ontología general. Al menos. por lo tanto. todas estas nociones – las nociones “vacías” de Husserll[104]. una “extensión” absolutamente indeterminada. Tales son los unum. Hay una clase de objetos rojos. al mismo tiempo. de conjunto.indeterminada y no exhaustiva. son las nociones “trascendentales”. lo que queda por fuera de una clase determinada. lo que queda.. las nociones de concepto. no es cierta ni exhaustiva ni correcta. en efecto. por ejemplo. es evidente que la determinación que le otorga la negación al “rojo” es perfectamente ilusoria[102]. si cada concepto real recorta. lo que queda por fuera de este πέρας. no es una tampoco [101]. Insolubilia. . Epiménides B. y que no se puede formar la totalidad de los conjuntos o la totalidad de los juicios. La paradoja de Richard C. 1908). El impredecible B.v. s. ALEXANDER RÜSTOW. Baldwin. Así los números son denumerables. Der Lügner. El barbero del pueblo A. El conjunto de todos los conjuntos NOTAS [1].son nociones “formales” y todas poseen – de una u otra manera – la propiedad de reflexividad. Teubner. Erlangen 1907 (Lpz. Dictionary of Philosophy. en un último análisis. ÍNDICE CONJUNTO Y CATEGORÍA A. Diss. es decir la de poder devenir su propio objeto. La paradoja de Berry B. Y es por esto. y las proposiciones afirmables. que se pueden emitir juicios refiriéndose a todos los juicios y a todos los conjuntos. Yo miento A. . de la lógica y de la ontología.forman las verdaderas “constantes” del pensamiento y del ser. 1938. CAVAILLÉS. M. 1903. RUSSELL-WHITEHEAD. Berlin 1934. Congrès International de Philosophie (Congrès Descartes). XLV (1936). VI. Cf. Cambridge. vol. auf den Gang der Entwicklung der Logik in unserem Jahrhundert einen beherrschenden Einfluss geübt. por JEAN CAVAILLÉS. [4]. Behmann dice que: “sie alle sich damit begnügen. B. Ib.” Cf. París. die Logik und Mathematik von Antinomien zu reinigen. p. M. op. Mind. Une solution des paradoxes de la logique et ses . 17).. cap. cf. pp. 15: “Wie Hilbert selbst an verschiedenen Stellen hervohebt. Cf. RUSSELL. Poirier. pp. FRAENKEL. GRELLING.. Carnap generaliza este resultado y muestra que las antinomias sintácticas no presentan peligro alguno para la ciencia. Remarques sur la formation de la theorie abstraite des ensembles. Principia Mathématica 2. Jahresbericht der deutschen Mathematiker Vereinigung. 1937. solo. Revue de métaphysique et de morale. [6]. Principles of Mathematics. Grelling (op. H.. p... p. R. statt sie im eigentlichen Sinne aufzulosen. en RMM. estima que “die Ueberwindung von Antinomien zu den wissenschaftlichen Ruhmestaten unseres Jahrhunderts záhlt. Jena. vol. BERMANN. y Méthode axiomatique et formalisme. Cambridge.. asimismo JŒRGENSEN. Tarsky muestra que el concepto de verdad no puede ser definido sin contradicción más que en un metalenguaje. wie mir scheint.. 1939. Le Nombre. Grundgesetze der Arithmetik. Cf. 8 sq. 3 v. 485. pp.. la solución de las antinomias se cumple en tres etapas: 1) Russell funda la teoría de los tipos con el axioma de reductibilidad. (1931). 1903. fasc. 1925. cit.. 1. IX. die Widersprüche zu vermeiden. II. p. A. 23 sq. cf. J. 96.. GRELLING: The logical Paradoxes. B.. I. G. Paris. Treatise of formal Logic. Cf. 9. 3) Hilbert funda la teoría meta-matemática de la prueba. Jahrhundert. der Hauptbeweggrund für die Aufstellung seines Lehrgebaudes. hat. Travaux du IXe. Der Einfluss der Antinomien auf die Entwicklung der Logik im 20. Grelling (ibid. que los lógicos polacos ampliaron en una metalógica.” Ibid. CH. también las actas. 1937: “Das Problem der Antinomien. 40. 9. vol. 1937. Mathematische Grundlagenforschung.[2]. X. HEYTING. en cada sistema dado.” [8].). Paris. Paris. la bibliografía de Rüstow. de proposiciones indemostrables en ese sistema. 1931. etc. p. 54 sq. El primer grupo recibe su solución de la teoría de los tipos simple. del libro de M. p. cit. el grupo ampliado exige el axioma de reductibilidad y la teoría de los tipos “ramificada”. [7]. Gödel inaugura el método de aritmetización y prueba la existencia. 2) Ramsey divide las antinomias en dos grupos. sq.. App. 1939.. [3]. 41 sq. C. 227. der sich bis in die letzten Jahre verfolgen lasst und wohl auch heute noch nicht ganz aufgehört hat. [5]. dem entscheidenden Punkt in mehr oder weniger weitem Bogen aus dem Wege zu gehen. cf. igualmente K. Le problème des antinomies et son développement récent. p.” Según M. Copenhagen. war der Wunsch. K. 525 sq. PERELMAN. FREGE. 38. .. Zu den Widersprüchen der Logik und der Mengenlehre.. al hablar de las soluciones de las paradojas. es imposible comprender por qué su transgresión implicaría. tanto que ésta ha sido desarrollada por Cantor y por sus sucesores habiendo conservado el concepto ingenuo de “ clase “ o “ conjunto ”. 1931. las soluciones tienen por objetivo no revelar la naturaleza exacta de las dificultades. [9]. RAMSEY. Al evitar la contradicción se llega. p. como estas reglas limitativas no constituyen condiciones suficientes y necesarias para evitar las antinomias. [10]. de tal modo que se obtiene un sistema deductivo exento de contradicciones y lo más rico posible. pero esta condición suficiente no es de ningún modo necesaria. sino salvar el simbolismo en peligro. fasc VI p. . Ella engendra la antinomia”. se las modifica.conséquences pour la conception de l’infini. a atribuirle a este simbolismo un valor por sí mismo. lo que. vol. [13]. subraya muy apropiadamente: “He aquí el problema planteado por estas antinomias: se supone que las hipótesis de las cuales se parte son perfectamente válidas para la lógica clásica y que a pesar de su legitimidad uno consigue deducir de ellas consecuencias contradictorias. 205. por supuesto. [11]. PERELMAN. se les impone condiciones suplementarias para la construcción de proposiciones válidas. A partir de esto se concluye que es necesario restringir las reglas de la lógica clásica que toleran estas hipótesis arrastrándonos en inextricables antinomias. pp. Según F. Es conocida la ocurrencia de Poincaré: “La logística no es más estéril. las insuficiencias del simbolismo que revelan las antinomias son. Les Paradoxes de la logique. 206. De lo que resultan dos consecuencias lamentables: por una parte. ellas no pueden serlo. muy a menudo. de alguna forma a formular una condición suficiente para que las antinomias no se produzcan más. desgraciadamente. París. M. implica por lo común la obligación de sacrificar otras proposiciones lógicas o matemáticas preciosas. XLV (1936). en cada caso. interpretadas como crisis no de esta cuestión sino de la razón misma. Mind. la inclusión de una clase en otra clase y la implicación de una proposición por otra proposición está lejos de ser suficiente y no agota de ningún modo las significaciones esenciales de la cópula. demasiado importantes. Cf. Foundations of Mathematics. Travaux du IXe Congrès de Philosophie (Congrès Descartes). El esfuerzo dispensado para la constitución o la asimilación de un simbolismo conduce. Cf. Estimamos también que la distinción entre la pertenencia de un elemento a una clase. [12] . CH. paralelamente. 1937: “Numerosas soluciones han sido propuestas para salvar de las paradojas a la teoría de los conjuntos. al menos no siempre. Asimismo. Sin embargo todo el mundo se da cuenta perfectamente del carácter arbitrario de estas limitaciones. estas limitaciones. Estas diversas soluciones tienen por objetivo limitar la teoría de los conjuntos “ clásica “ . Se busca poner remedio a las antinomias por tal o cual modificación de las reglas de la lógica clásica. Cambridge. por otra parte. contradicciones en el sistema. 39 sq. mantienen a distancia proposiciones cuya afirmación no presenta ningún inconveniente. verdaderamente. ya lo hemos reconocido. Esto.” [14] . an mentiat seu verum dicat. cit. WEISS. 64. . Esto es. esto mismo podría ser verdadero. p. [15] . [24]. cit. XXXVII. Cf. es falso que Epiménides lo haya dicho. 340 sq. GRELLING como por M.” En otros términos. pp. USHENKO. vol. p. cit. p. Cf. No hay que olvidar que no alcanza con plantear algunos juicios inatacables en si mismos para que sean compatibles entre ellos. El razonamiento se detendría igualmente si Epiménides hubiese dicho: “todos los cretenses dicen siempre la verdad”. [21]. [20]. [17]. la aserción: “todos los cretenses dicen siempre la verdad“ no implica ninguna dificultad. pp. [25]. parece. sobre las cuales nadie antes había discutido ni la legitimidad ni la fecundidad. Si se quiere salvar a estas proposiciones. “The theory of types”. Como desquite. el contrasentido es una afirmación o una proposición cuyo contenido contradice a su forma. Mind. BALDWIN. Los lógicos medievales la formulaban como sigue: Si quis dicat se mentire. O ó I. RÜSTOW. [19]. nro. [16] . sino por lo contrario las transgresiones de las reglas cometidas al plantear las hipótesis que conducen a las antinomias. O bien la aserción “todos los cretenses son mentirosos” es falsa. M.. op. 132 sq. P. cit. loc.. no puede ser separado de ninguna aserción (o teoría). Logische Untersuchungen. en consecuencia. en fin. I. [23].] estas no son las reglas de la lógica clásica a la que es necesario hacer responsable de las paradojas. [18]. lo que quiere decir Aristóteles en su alusión rápida al sofisma. 207) cuánto la formalización favorece este deslizamiento. PERELMANN señala muy apropiadamente (op. vol. Mind.. p. 67. Principia Mathematica. no se tiene más remedio que recurrir a expedientes más o menos ingeniosos y raramente convincentes [. Cf. cit. XLVI (1937)... [22]. A new Epiménides.. HUSSERL (cf. El contrasentido (Widersinn) – que hay que distinguir del sinsentido (Unsinn) – es definido por E.que devienen inocentes víctimas de la obra de purificación emprendida sin piedad. no es más que un caso de aplicación de la regla lógica – de la lógica clásica – conforme a la cual la negación de una proposición general (A ó E) implica la afirmación de su contradictoria. o bien. es falso que él sea un cretense. pp. v. los textos de JÖRGENSEN y de FRAENKEL. Cf. aún si es Epiménides quien la hace. o. Cf. 2. op. 40 y JÖRGENSEN. citados supra. De esta manera. niega lo que pertenece al sentido o al contenido de toda afirmación y. 1. III. Si se tratase de aserciones verbales únicamente. V. op.. 2 I. 110-116) como una afirmación (o teoría) que “. (1928). el hecho nos parece haber sido descuidado tanto por M. Principia Mathematica I. El “yo miento” y el “yo duermo” no tienen la misma estructura lógica. Revue de Métaphysique et de Morale. esto supone que algo está ahí escrito. Les paradoxes de la logique. La sustitución de “yo me equivoco” o “yo niego” al “yo miento” facilitaría el análisis. Nosotros nos atenemos al “yo miento” por razones históricas. KOYRÉ. Principia Mathematica I. 1946. Cf. En los dos casos no habría ninguna paradoja. La paradoja no tendría lugar más que si se pretendiese poder hacer de nuestra proposición su propio sujeto. como yo no enuncio una proposición. en un sentido existencial. es decir “yo enuncio una proposición y esta proposición es verdadera”. Russell. [34]. B. En este caso. “x enuncia una proposición que es falsa” se tendría: “yo enuncio una proposición y esta proposición es falsa”. “A new Epimenides”. A. Philosophy and phenomenological Research. es decir. es decir. como la proposición que yo digo ser falsa no existe. a menos que se interprete la fórmula como queriendo decir: 1) hay un juicio escrito entre los ( ) y 2) ese juicio es falso. Sería lo mismo si dijese “yo digo la verdad”. “The liar”. Russell ya ha subrayado esto. cit. si nada está ahí escrito. [28]. Cf. El juicio: “el rey de Francia no reside en Versalles” es igualmente falso si el término “el rey de Francia” es tomado en el mismo sentido que en el juicio positivo. [31]. pero es un juicio. A partir del hecho de que sea falsa la aserción: “el juicio escrito sobre el pizarrón negro es falso”. Mind. vol. p. a pesar de la ley del tercero excluido y en contra de lo que parece creer M. [27]. No se debe perder de vista el hecho de que el juicio predicativo normal implica o desarrolla la afirmación o la posición de la existencia de su sujeto. que “el juicio escrito sobre el pizarrón es verdadero”. [29]. sin embargo ha realizado de este hecho tan simple un análisis extraordinariamente confuso. Como cuando ponemos orden y lógica en nuestros sueños. 39 sq. Este . Esta también sería una proposición falsa. RÜSTOW. Cf. op. porque su primer término es falso. I. Incluso cuando se habla “para no decir nada”. [30]. B. pp.p. “Yo duermo” es una contradictio in adjecto. [33]. 549. Si se interpretase la expresión “yo miento” por analogía con “x miente”. si yo digo: “la expresión escrita entre los ( ) es verdadera o falsa”. es decir. p. “yo miento“ stricto sensu no lo es. 643: “Podemos ahora resolver la paradoja del hombre que dice: “yo miento”. Esta aserción es tan falsa como la primera y por la misma razón: no se puede afirmar nada de la nada. USHENKO. En efecto. [32]. Ahora bien. [26]. no se puede concluir. no tendríamos un juicio. En este caso tendríamos una aserción compuesta falsa. mi juicio no se refiere a nada y es falso. 30 sq. I. XIV (1906). 1937. Principia Mathematica 2. RUSSELL. Por lo tanto no se aplica a ella misma. habría sido necesario decir precisamente “las palabras que estoy por pronunciar son palabras francesas”. [40]. sino porque mientras hace una enunciación. 171: “A proposition can never be about itself”. 90). se puede hablar de enunciaciones de proposiciones que contienen una. tan paradojal como parece no contiene sin embargo paradoja alguna. como queriendo decir “los términos que pronuncio no forman una proposición”. no porque él enuncie una proposición verdadera. R.. Xn ) es verdadera para no importa cuáles valores de (X1. Esta última hipótesis es la que nosotros adoptamos. Lalande en el excelente artículo “Logique et Logistique” (Revue philosophique. 1938. Xn) tal que yo afirmo que φ (X1. Para ser más exactos. X2 . De este modo evitamos todas las paradojas del tipo del Epiménides porque para toda enunciación propuesta podemos mostrar que no se aplica a ella misma”. [35]. o dos. 1945. I. pero no se puede concluir de esto que él diga la verdad. más abajo): “The paradox about ‘the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables’ embodies. p. [36]. Principia Mathematica 2. B. Xn) y eso es falso. La primera hipótesis implica la contradicción. X2 . es una idea de sentido común y la jerarquía de clases que plantea es muy aristotélica. p.” Este juicio contiene una variable aparente p. X2 . París. Cf.. sin embargo.. A. De esta manera cuando dice que él miente. Resulta de nuestro análisis que la frase: “lo que digo no tiene ningún sentido”. [38]. [37].WHITEHEAD. 66 sq. Él no puede querer decir: “yo hago en este momento una enunciación que es falsa”. Por lo tanto la enunciación del hombre que dice: “yo miento” es falsa.. Como lo observó apropiadamente M. Si uno quiere decir “yo hago una enunciación falsa que contiene n variables aparentes“. La negación (falso) no juega ningún rol en la segunda de estas formas (yo miento). propone una solución fundada en la teoría de los tipos (cf. Cf. él miente. v. p. X2 . esto es. I. Xn y ψ. as is at once .. no enuncia una proposición. la más simple es: “Hay una proposición p que yo afirmo y que es falsa. tres variables aparentes. Le Nombre. Esta enunciación contiene n + 1 variables aparentes. y RUSSELL .. JÖRGENSEN. Cf. p. 132 sq. La segunda no es posible más que si una enunciación general no afirma una proposición determinada. Esta enunciación puede ser falsa si afirmo una proposición p que es verdadera. porque no hay modo de hablar de enunciaciones en general. a saber X1. III. El término “frase” está tomado aquí en un sentido vago y no debe ser comprendido como queriendo decir: “juicio “. [39].juicio es susceptible de diversas interpretaciones. pero no de proposiciones en general. POIRIER. no enuncia por lo tanto una proposición definida en el sentido que hemos dado a la palabra “proposición”. con la condición. hace falta decir algo como esto: “hay una función proposicional n (X1. Principia Mathematica 2. o si no afirmo una proposición.. que se la interprete correctamente.. I. obvious. pp. Cf. M. 177 sq. and any name in which the phrase “nameable by names of nth order” occurs is necessary of a higher order than the nth. en la p. M. se puede imaginar sobre esto ejemplos muy variados. André Lalande nos escribe: “Supongamos el conjunto E definido por todas las fracciones decimales determinables en menos de 200 términos. París. el argumento cae porque no se . R. sin embargo B. BOREL. v. POINCARÉ. Hence there can be no such thing as a totality of names. Sin lo cual. 164 sq. a vicious circle fallacy. Les paradoxes de la théorie de ensembles infinis. [44]. R. No se trata de determinar el orden de los nombres. 1914. op. las definiciones que deben ser consideradas como no predicativas son aquellas que contienen un círculo vicioso”. POINCARÉ. It is easy to see that in virtue of the hierarchy of functions. 1914. M. p. [45]. p. como lo quiere Russell.. Si es “no constituido”. [41]. 1906. Recherches Philosophiques. [43]. 1906. pues entre las definiciones posibles están las que suponen la solución del problema. simplemente. 633 Russell habla del carácter “no definible“ de la noción de definición – una admisión singular para un lógico! Cf. BOREL. 164 sq. por otro lado a E. [42]. Cf. Leçons sur la théorie des fonctions2.: “Nos damos cuenta cuánto la pretendida definición que conduce a la paradoja de M. M. Leçons sur la théorie des fonctions2. Cf. For the word “nameable” refers to the totality of names. 307: “E es el conjunto de todos los números que se pueden definir por un número finito de términos sin introducir la noción del conjunto E. Science et Méthode. “Para un profano esta definición parece aún más circular que la primera”. p. 1909. Paris. RUSSELL. 135 sq. Según Schönfliess. p. JÖRGENSEN. 633: “[Poincaré] propone evitar este círculo vicioso al definir a E como: “todos los números definibles por un número finito de términos sin mención de E. Thus the paradox disappears”. III. M. and yet is allow to occur in what professes to be one among names.. Über eine vermeintliche Antinomie der Mengeniehre. SCHÖNFLIESS. Acta Mathematica.. 201 sq.. Richard es incompleta e insuficiente. Lévy. the theory of types renders a totality of names impossible. la definición de E contendría un círculo vicioso. cit. 1936 / 37. los medios de los que se dispone. Sobre la antinomia de Richard. Les Paradoxes de la Logique. P. T. París. Les mathématiques et la logique. si se la quisiera realizar seríamos llevados a numerosas dificultades: no tiene por lo tanto ningún valor práctico. E. But on no stage can we give a meaning to the word “nameable” unless we specify the order of names to be employed. p. VI. no se puede definir E por el mismo conjunto E. in the sense of which the paradox speaks of ‘names’.. H. la paradoja no tiene lugar. sino. Yo pregunto si este “en menos de 200 términos supone al conjunto ya constituido” o bien “en menos de 200 términos no lo supone”. pp. El carácter vago y mal definido de la noción “definible en un número finito de términos” ha sido señalado por H. Para ponerla en práctica haría falta en principio haber resuelto todos los problemas matemáticos que podrían ser planteados. porque el conjunto E no es denumerable. De este modo. Marcel Boll (cf. de un reglamento promulgado por el capitán de la compañía. de la T. N. e. El problema “fusilado o ahorcado” (p. La obra de Lewis Carroll está llena de recreaciones lógicas del mismo género”. El cálculo de clases ha sido sin duda abandonado por la lógistica moderna en provecho del cálculo de las proposiciones. sin embargo la antigua inclinación por el extensionalismo subsiste.] . [49] . y no se lo ve mejor escrito: [1] : Tx { [ (x Rx) . FRAENKEL. en M. París. The logical paradoxes. la nueva fracción [No se lee en el original. M. op. 173 sq. [48]. because it is defined contradictorily. como lo dice excelentemente M. The solving of this paradox may perhaps be a useful exercise for young students of logic. Este término forma. dice precisamente: “The paradox of the barber is a joke of the same kind as many so called paradoxes by which the ancient sophists puzzled their public and each other. 175) no es menos fácil de tratar sin ellas.“ [46] K. [50]. Ibid. En este caso la conclusión se impone: el capitán es un farsante (o un imbécil) porque ha promulgado un reglamento irrealizable. LALANDE (artículo citado. 89): “La paradoja del barbero” se resuelve en dos palabras: el capitán en su reglamento se olvidó de agregar: “para los otros hombres de la compañía”. [51]. Nuestro informe de la obra de Jörgensen.. de esta manera queda excluida por definición. Eléments de logique scientifique. (Xk R x)] É [(x Rx) . El problema del “barbero de la compañía” ha sido presentado últimamente por M. 1942. 231. Cf. XLV (1935). cit. Revue Philosophique. GRELLING. si es “constituido”. M.) bajo una forma un poco modificada lo que permite una solución más fácil aún que la forma clásica. [52]. Boll se trata no de una definición. Cf.. (Xk Rx) ] } En este caso sería más bien el empleo de las notaciones lo que crearían una apariencia de aporía. but it does not offer any scientific interest at all. p. the company barber is defined as that man in the company who is obliged to shave every man not shaving himself and no other there can be no man fulfilling exactly this duty. Cf.puede realizar la operación indicada en la segunda parte. Lalande tiene ciertamente razón: los lógicos no leen lo suficiente a Lewis Carrol. O. p. vol. A treatise of formal Logic.g. sino de un orden. BOLL.. de algún modo. pp. 1934. En efecto." [47]. Mind. por ejemplo RUSSELL – . p. 431. el cero de la serie. B. R.M. p. y la aserción que se niega implica el sofisma del círculo vicioso. for the argument cannot show that they do not form a class as many...WHITEHEAD. or not? If its is. 8: ‘. Thus we must conclude again that classes which as ones are not members of themselves as many do not form a class or rather that they do not form a class as one. that “class-concept which is not a term of its own extension” is not a class-concept. Cf. Let us assume that “no-predicable of oneself” is a predicate. p. 2˚ . Meyerson lo entrevieron muy bien. p. The conclusion in this case seems obvious: “not-predicable of oneself” is not a predicate. 97 sq. 27: “Relations. are not members of themselves as many. then it is one of the classes which. o bien no se aplica a sí mismo. p. [55]. A class-concept may or may not be a term of its own extension. Es cierto. I. K.. Es interesante subrayar que. pp. But if it is a term of its own extension it is a class-concept which is not a term of its own extension. and vice versa. 688.. op. 640: “Para evitar el sofisma del círculo vicioso se debe admitir el principio: “Todo lo que concierne a una variable aparente debe ser excluido de los valores posibles de esta variable”. En cuanto al pensamiento normal. Principles of Mathematics. RUSSELL. 102: 1˚ If x be a predicate.” [54]. sino que queda subordinado a la comprensión. Principes of Mathematics.”. we may regard a relation. 3˚ A class as one may be a term of itself as many. “Class-concept which is not a term of its own extension” appears to be a class-concept. en Les paradoxes de la logique. and so on. él se refutaría naturalmente a sí mismo. (1906).. it may.. GRELLING. predicable of itself. is self-contradictory. XIV.. B. like classes. 2 vol. as ones. [53]. or is not. in the sense in which it is required for our purposes as a class of couples”. Ib. is it as one a member of itself as many. como A. Russell entrevió los principios de la solución de las “paradojas” que acababa de descubrir. pero según la teoría expuesta más abajo. or may not be predicable by itself. and vice versa. Then to suppose either that this predicate is. p... para decir que R representa una relación. B. él progresa habitualmente. en comprensión y extensión al mismo tiempo. y nosotros no tenemos de ningún modo la intención de negarlo. desde el primer momento... Thus must conclude against appearances. RUSSELL. señala lo siguiente: “Si el juicio: “No hay proposiciones” enunciaba por sí mismo una proposición. p. 11.M.. Principia Mathematica.. que el punto de vista de la extensión juega un rol importante en el pensamiento. mathematics is always concerned with extensions rather than intensions”. sin embargo no juega el rol preponderante. are to be taken in extension. Asimismo. Lalande y E. cit. et ibid. Thus the class of all classes is a class: the class of all terms that are not men is not a man. Nosotros lo llamamos el principio del . Cf. Do all classes that have this property form a class? If so. tal juicio o bien no tiene sentido. las escribe: “R є Rei” . The Paradoxes of Logic. El caso importante de este principio puede ser enunciado menos exactamente como sigue: ‘Todo lo que encierra todos no puede ser uno de esos todos’. Un símbolo con significación indeterminada es un símbolo que no la tiene. which it does not do. had never realised”). BEHMANN. igualmente H. Jahrbuch der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. se podría aún sostener que la “ambigüedad” ha sido creada por el simbolismo de Russell. the very essence of the problem of paradoxes is no more nor less than the problem how to state and to apply symbolic definitions correctly. Mind.círculo vicioso. C. H. . more generally. [60]. 48 Cf. más abajo. p: p es falso.. 222. cit. para nosotros es un contra-sentido y no un sin-sentido. (1931). admitimos la auto-refutación del juicio “no hay proposiciones” que. [59]. 440). BEHMANN. I. p. XL. op. “(el subrayado es nuestro). Symbolic Logic. Mind. [61]. obtenemos “an infinite sequence of more and more complicate expressions.. H. LEWIS y C. 67. Ramsay wrote me on this point: “This is a striking fact which I. 220: “.. 37. vol. [57] . Esta “ambigüedad sistemática”. o bien el enunciado de algo que no es una proposición en el sentido pretendido”.. [58]. especially for the complex F (F). CF.” (p. p. from the point of view of exact logic. XLVI (1937). 438 sq) en su análisis del Mentiroso. LANGFORD. New York. Si queremos “realizar” la significación de “yo miento” es decir. 220: “The starting point of my own analysis of the paradox is this: Whereas. Russell lo reconocía implícitamente al hablar de la ambigüedad sistemática de tipo de ciertas expresiones tales como: verdad. each of which requires explication before its import becomes definite. this process of translation back into the original terms fails for the symbolic formulation of Russell’s paradox. p. The Paradoxes of Logic. FRAENKEL. BEHMANN. it must be possible to replace the notions and symbols introduced by definition by those complex terms for which they stand. Thus the definition in question turns out to be more essential to the argument for the paradox than being a mere definition it ought to be”. a nuestro entender. how to decide whether a given expression can be symbolically substituted in a given expression. pp. so that no one of the expressions can be significant unless the sequence terminates. in any logically correct form of argument. falsedad. función. etc. clase. 1937. cf. Langford (cf. Así un juicio sobre todas las proposiciones no puede ser más que un sin-sentido. Zu den Widersprüchen der Logik und der Mengenlehre. H. 1932. Principia Mathematica. p. at least. Es interesante observar que la misma imposibilidad de liberarse del símbolo una vez introducido es señalada por M. A. recubre una unidad fundamental de significación.. p. especialmente por su teoría de los tipos. [56] . 2 I. (F. vol. P.. En cuanto a nosotros. El mismo B. the appearance of contradiction is produced by the presence of some word which has systematic ambiguity of type. and will thus give rise to vicious cercle fallacies. En el fondo. 67: “An indefinite number of other contradictions. A. autologisch. 226. Principles of Mathematics. 64.” [65] Es con respecto a estos conceptos que B. ebenso sind “français“. Man kann nähmlich die Worte danach einteilen. of similar nature to the above seven. ordinal. if its typical ambiguity is overlooked. cit. Cf. p. “In all the above contradictions (which are merely selections from an indefinite number) there is a common characteristic. Russell. class.[62] .. In all of them. cardinal. function. which we may describe as selfreference or reflexiveness. Das Wort “deutsch” z. Behmann no nos parece tampoco satisfactoria.. p.. Estos son esos conceptos reflexivos que engendran las “paradojas” como muy bien lo reconocía B. 10 “Ein ganz gleichartiger Widerspruch lässt sich auch anstatt mit Klassen und Begriffen mit Worten konstruiren. 226. Principia Mathematica 2. Se sabe . A. Principia Mathematica. Man kann nun fragen ob das Wort „ heterologisch „ selbst heterologisch oder autologisch ist. Asimismo es imposible saber qué significa la pregunta: "impredicable” ¿es “predicable” o no? Sucede exactamente lo mismo que lo pasa en lo que concierne a la “paradoja” descubierta por M. name. relation. are members of n. the solution is of the same kind. Ibid. p.. op. die zweite heterologisch. K. The remark of Epimenides must include itself in its own scope.” [66]. 238. Die erste Art von Worten nenne ich autologisch. Cf. X. [67]. “und“ u. atribuye una “ambigüedad sistemática de tipo”. La tentativa de M. p. ob sie einen Begriff Bezeichnen. such as truth. In all of them. Cf. Grelling referente a los términos “autologisch” y “heterologisch”. will apparently generate a totality containing members defined in terms of itself. I. falsehood. RUSSELL. unter den sie selbst fallen oder nicht. p. B. ist autologisch. no tiene un sentido determinado.. this must also apply to n. [63]. In the cases of names and definitions. FRAENKEL. desconociendo su carácter lógico. “Französisch“ dagegen ist heterologisch weil es nicht französisch ist. GRELLING. Cf. denn es ist selbst ein deutsches Wort. Auch solche Worte die keine Eigenschagft bezeichnen wie “aber “. Der Einflus der Antinomien etc. In each contradiction something is said about all cases of some kind. FRAENKEL. und kommt auf denselben Widerspruch wie in den beiden vorigen Fallen“ [Russell‘s Paradoxien]. ch. provided they are not members of themselves. the paradoxes result from considering non-nameability and indefinability as elements in names and definitions. op. If all classes. [64]. B. Sind heterologisch. wie ich 1908 gefunden habe. “English“ u. which both is and is not of the same kind of which all were concerned in what was said. can easily be manufactured. p. Russell. [68].w. property. cf. definition.s. Any such word. and from what is said a new case seems to be generated. s. 2 I. por las mismas razones. El término “impredicable”. w. cit. Cf. 634 : Reconozco. 63: “A class cannot. provided a certain collection had a total. en Gesammelte Abhandlungen. [71] .que la “paradoja” fue descubierta por Russell y publicada por primera vez por G. Russell. 232. pp. a proposition can never be about itself. Después Cantor. ibid.. Iena. p. Carta a Dedekind. Ibid. significantly be the argument to its defining function. p. 1903). then the said collection has no total. Desgraciadamente no ha insistido sobre este asunto. reconozco. 262: “Every expression regarding a totality is of higher type than the members of the totality. Cf. 232. RUSSELL Mathematical Logic as based on the theory of types. cit. Cf. op. después Aristóteles. p. La legitimidad de este “conjunto”.. es sostenida por M. 39 sq.” “Whatever involves all of a collection must not be one of the collection. más arriba nota 28. Hence a class neither satisfies nor does not satisfy its defining function.” [75]. the symbol “ φ { z (φ z) } ” must be meaningless. por lo tanto.. [69]. II. Op.. “Principia Mathematica 1. [76]. the statement “ α is not a member of α “ is always meaningless and there is therefore no sense in the phrase “the class of those classes which are not members of themselves”. 167 sq. es necesario decir más bien que no hay colección.. p. p.M. Para ser exactos.. Peano. if we denote by “z (φ)” the class defined by φ z . Frege en una Apéndice a sus Grundgesetze der Arithmetik. [73] . “Cf. 447. 24 y 65. (vol. pp.. etc. que la clave de las paradojas debe encontrarse en la idea del círculo vicioso. Principia Mathematica 2. JÖRGENSEN. En el lenguaje de M. v. y B. p. p. que todo lo que concierne de una manera cualquiera a todo o alguno o a cualquiera de los miembros de una clase no debe ser un miembro de la clase. Georg Cantor ya lo había notado desde 1897. Behmann. cit. that is to say. by the vicious circle principle. en el fondo. I. it would have a member only definable in terms of that total. 171: “according to the theory of types. p. Berlin 1932. Principles of Mathematics. and therefore is neither a member of itself nor a not member of itself. Cf. I. Poincaré hace a la idea de totalidad. If. Y. lo que hay de verdadero en la objeción que M. App. Asimismo había señalado la existencia de “totalidades inconsistentes“. Les paradoxes de la logique. cf. como la de los “todos los objetos”. [70]. el principio que yo sostengo puede enunciarse de la manera que sigue: “Todo lo que contiene una variable aparente no debe ser un valor posible de esta variable. B. 451.B. 526. Grelling.. Thus if α is a class.. . any expression containing an apparent variable is of higher type than that variable. [74]. [72] .”. pp.. por otra parte. FRAENKEL. “ [82]. 115. wenn man berücksichtigt. op. vor allem. GRELLING. p. i. wenn man einer Gesammtheit Elemente zuschreibt. 30: “There are no classes which contain objects of more than one type. K. cit. 2. 242. p. z. 169 sq..[77]. Accordingly there is a universal class and a null class proper to each type of objects. 2. x ε V. 1 sq. ( x ) . FRAENKEL. Cf. JÖRGENSEN. die nur vermittels: dieser Gesammtheit selbst definiert werden können. p. Principia Mathematica. We have –. Thus A is the negation of V. Deren Elemente teils ganze Zahlen. cit. dass die Mengen denselben Bedingungen unterworfen werden. Lalande subraya muy acertadamente que esto es de sentido común. I (1937). una vez no es costumbre. thus: V= z (x =x) Df. p.. But these symbols need not be distinguished. Eine Menge. 12: según la teoría de los tipos “ein circulus viciosus. W. [79]. op. 29: “The class determined by a function which is always true is called the universal class and is represented by V.. Estaríamos tentados de agregar: tanto mejor.. op. Mengentheoretische Begründung der Logik. I. fasc. vol. cit. : “Die in den Principia Mathematica aufgestelle Forderung. hat doch . since it will be found that there is no possibility of confusion. Der Einfluss der Antinomien etc. 234. I. p. stellt sich als eine unnötige Einschrankung dar.. ACKERMANN. Cf. “x is a member of V is always true. p.” [81]. Principia Mathematica. dass zum Definitionsbereich eines Prádikates nur Elemente einunddesselben Typs gehören. M. liegt vor. A.e. CF. Mathematische Annalen. B. teils Mengen von ganzen Zahlen sind." [80].. [78]. p. [83]. Si esto es verdadero. but this axiom . [86]. Cf. [88]. cit. They can now be proved to dissappear if one carefully distinguishes between a given language L and the languae L’’ in which one speaks about L. 104. then. We took it as axiomatic that the class as one is to be found wherever there is a class. Ueber formal unentscheidbare Säze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. 1906. 97 sq. 95 (1925). Cf. which has to ordinary logic the same relation as meta-mathematics to mathematics.M. p. Cf. y GOEDEL. 1912. p. 38 (1921). más arriba p. The labour of these logicians has led to important results concerning the syntactical paradoxes. 3º y Principles of Mathematics. n. HILBERT.gewiss nichts Paradoxes in sich. R. 173 – 198.) al mostrar que estas dos acepciones del término no son congruentes. Weiss. Remarques sur les nombres de M. Wesentlich erscheint nur. that the conection of terms can only be defined by a variable propositional function. B. K. 24. Russell ha establecido una importante distinción entre class as many y class as one (pp. 339.M. though a class as many be admitted. the gret Polish logician. 644: “Esta teoría puede ser ilustrada considerando también la ley del tercero excluido bajo la forma ‘toda proposición es verdadera o falsa’. “Perhaps the best way to state the suggested solution is to say. Se podría decir que ella debería pertenecer a un tipo transfinito. This distinction has proved to be very fruitfull..: “David Hilbert was the first to make a distinction between mathematics and metamathematics. Monatshefte für Mathematik und Physik. Les paradoxes de la logique. The logical Paradoxes. has generalised that idea by introducing what he calls metalogic. This whole complex of problems has been systematised by Carnap in his treatise Logische Syntaz der Sprache and some separate papers. a class as one must be denied. P. Cf. KOYRÉ. GRELLING. p.. 485. entsprechend der Reihe der Ordinalzahlen. op . la mayoría de las personas creerán legítimo inferir que la ley del tercero excluido es ella misma verdadera o falsa: sin embargo he aquí una inferencia precisamente de la especie que engendra la paradoja del Mentiroso”. dass der Typ der Elemente der Menge einen bestimmten Typ nicht übersteigt. die zuerst von Hilbert gefordert wurde.M. Eine deratige Fortsetzung der Typenreihe. A partir de los Principles of Mathematics. Mathematische Annalen.” [89]. B. [84] . de todos modos. [85] . asimismo D. [87] . RUSSELL. 14–19. erweist sich auch in Folge der von Göedel gezeigten Unvoilstandigkeit des Systems der Principia Mathematica als notwendig“. que eso pueda salvarla del contrasentido que implica.M. p. Carnap calls the latter syntax-language. 3. Es verdad que la teoría de los tipos prohibe extraer esta conclusión: no creemos. Ferner fehlt im Stufenkalkül die Fortsetzung der Reihe der Typen ins transfinite.. Also Göedel and Tarsky have contributed much to the development of these problems. R. Luchasiewicz. By this term he designates the theorie dealing with mathematical deductions as its objetcs. Russell. A. Ueber das Unendliche. p. Un juicio emitido sobre “todos los A” no tiene el “Todo” por objeto sino los A. [ilegible]. Enseignement Mathématique. como ha sido reconocido a partir de Aristóteles y desconocido más o menos desde la misma época. ninguno de ellos pudo jamás mostrar por qué era imposible formarlos. Borel. tal como lo hace M. 48. the whole difficulty will be overcome. Cf. Berlín. pp. Hilbert. op. 164 sq... siendo contradictorios. sin razonar a partir de las consecuencias.). pp.). 38. es decir.need not be universaly admitted. 220) buscar camorra con el teorema de Cantor. I. París. 105. Sin embargo. Behmann (The Paradoxes of Logic. 49). ed. E. [91]. sin recurrir a las consecuencias. 1928. Hadamard (cf. Es necesario. p. Leçons sur la théorie des jonctions. Personalmente no lo pienso así. “A class cannot be an object suitable as an argument to any of its determining functions”. [ilegible] [95]. 282. todos ellos han reconocido que estos “conjuntos“ no existen más.. The distinction of logical types is the key to the whole mystery. Si no es verdadero para “el conjunto de todos los conjuntos”. “todo lo que es un A”. En efecto. París. cit. Gesammelte Abhandlungen. 3ra. . Mirimanof (Les Antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamental de la théorie des ensembles. 1932. Se ve bien que la ruptura con el extensionalismo está lejos de ser completa. y no sobre la clase de los A. [93]. 158).) . Le Cheminement de la pensée. es decir. Una vez más la teoría . El juicio es en comprehensión y no en extensión. 1931. p. una noción a nuestro entender. 24) que “a class (which is the same as manifold or aggregate) is all the objects satisfying some propositional function”. [90]. Vol.. Es perfectamente inútil. “cada A”. En otros términos el juicio universal emitido “todo A”. Pero la discusión de este problema nos llevaría demasiado lejos. Principles of Mathematics pp. Poincaré. MEYERSON. 1917. Es lo que nosotros hemos tratado de hacer. [92]. By denying it therefore. Ya que no es suficiente mostrar que. E. Es por eso que “if x represents a class and φ z one of its determining functions (so that α = z (φ x) it is not sufficient that φ x be a false proposition it must be nonsense”. Los Principia Mathematica fundados sobre la teoría de los tipos mantienen (p. Borel (cf. El hecho de la no-existencia de los conjuntos paradojales ha sido reconocido – o postulado – poco tiempo después de su descubrimiento. Zermelo utiliza la noción de “elección que se realiza no importa cómo”. and appears to have been the source of the contradiction. p. G. no legítima. es que este “conjunto” no existe.. CANTOR. por qué no teníamos el derecho de aplicar en ciertos casos modos de razonamientos admisibles y legítimos en los otros. [94]. estos objetos del pensamiento no pueden existir – la paradoja consiste justamente en esto. 97. Russell mismo (cf. [96] . mostrar a priori y no a posteriori el vicio de la definición o del procedimiento “lógico” que los engendra.. Sólo se excluyen del dominio de aplicación de la función las mismas clases (ib. 525. etc. 97 sq. Cf.. non immediate et per se. Formale und transcendentale Logik. La negación absoluta. Nun habe ich durch den Satz: die Seele ist nichtsterblich.. als dass die Seele eines von der unendlichen Menge der Dinge sei. es un elemento esencial del pensamiento como del ser. Es por esto que ellas son “esencialmente equívocas”. es decir. so ist durch meinen Satz nichts anderes gesagt. Todo concepto y toda noción que pretende abarcar todo no significa nada. Kant. p. Dadurch aber wird nur die unendliche Sphareniles Möglichen insoweit beschränkt dass das Sterbliche davon abgetrennt und in de Stet übringen Umfang ihren Raumes die Seele gesetzt wird. puramente negativo. [ilegigle]. [100] ..[97]. ohne dass darum der Begriff von der Seele im mindesten wachst und bejahend bestimmt wird”. Hegel había ya reconocido la equivalencia – en el vacío del pensamiento – del Ser puro y de la Nada. como ya lo había muy bien entrevisto Aristóteles. Kritik der reinen Vernunft. [98]. La multiplicación de las “ clases universales ” no hace desaparecer esta absurdidad. Einheit. dass die Mengen –und Anzahlenlehre bezogen ist auf das Leeruniversum Gegenstand überhaupt oder Etwas über-haupt. so erkennt man. # 24.. [ilegible]. ed. [104]. Así cuando un texto legal habla de “no-ciudadanos”. La ley se aplica . [101] . in einer . Halle. la oposición. I. wenn ich das Starbüche insgesammt wegnehme. que se manifiesta en el áπειρον no debe ser confundida con la negación que se ejerce en un dominio previamente – explícitamente o implícitamente – limitado. Dieser Raum bleibt aber bei dieser Ausnahme noch immer unendlich. und können noch mehrere Theile desselben weggenommen werden. die übri gbleiben. El juicio infinito. Weil nun fon dem ganzen Umfange möglicher Wesen das Sterbliche einen Theil enthalt das Nichtsterbende aber den anderen. HUSSERL. indem ich die Seele in den unbeschrankten Umfang der nicht sterbenden Wesen setze. so habe ich durch ein verneinendes Urteil wenigstens einen Irrthum abgehalten. por lo menos. que figuran necesariamente en todo simbolismo lógico. Habe ich von der Seele gesagt sie ist nicht sterblich. pp. Determinatio est negatio: sed negatio non est determinatio. 68: “ “Wenn man die naturgemäss weiteste Allgemeinheit der Begriffe Menge und Zahl erwagt und die ihren Sinn bestimmenden Bregriffe Element bzw.. zwar der logischen Form nach wirklich bejaht. wenn sie gleich in der gemeinen Logik jenen mit Recht beigelegt sind und kein besonderes Glied der Einteilung ausmachen.: “Ebenso müssen in einer transcendentalen Logik unendliche urteile von bejahenden noch unterschieden werden.. [99]. E. Erdmann. [103]. opuesto y contradictorio del juicio positivo no debe ser confundido con el opuesto contrario a dicho juicio. La negación. 1929. [102]. no engloba bajo esta implicación las . ” .formalen Allgemeinheit. usw. ferner dall diese Disziplinen speziell für gewisse Ableitungs-gestalten des Etwas überhaupt interessiert sind. Verbindung. Ganzes und Teil. Kombination. Reihe. die jede sachhaltige Bestimmung von Gegenständen prinzipiell ausser Betracht lässt. Relation. Solche Ableitungen sind neben Menge und Anzahl (endliche und unendliche).
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