Actividad 1 Unidad 1 Aplicación de los axiomas de números realesMacias Colin Porfirio Arturo AL11503409 Cálculo Diferencial Docente: Alejandra Guadalupe Polanco Frias Resuelve los siguientes ejercicios, tomando en cuenta los axiomas de los números reales Dado x, y, z ¡ , donde x y y z 0 , demuestre que xz yz . La idea es usar z< 0 que implica que −z >0 y el axioma 4° de orden “Si 0< z y x< y entonces xz < yz ” Por hipótesis z< 0 implica Por teorema Si x< y →− y<−x y que −0=0 queda −z >0 ……. (1) Por hipótesis x< y implica Por…. (1) y el 4°axioma de orden “Si 0< z y x< y entonces xz < yz ” queda x (−z )< y (−z ) implica Por teorema ∀ x , y ∈ R x (− y )=−(xy ) queda −( xz ) <−( yz) entonces Por teorema Si x< y →− y<−x queda finalmente xz > yz Demuestre que para cualesquiera x, y, z, w ¡ entonces xz yw . tales que 0 x y y 0 z w La expresión 0< x < y significa que 0< x y x < y Prueba como y >0 y x < w , yx< yw Según el axioma de orden Si x< y y 0< z → xz < yz Consideramos dos casos 1°Caso Si x> 0 Implica que según el axioma 4° de orden “Si x< y entonces xz < yz ” Si x< y y y < z → x< z y además la ley Ahora usando el 2° axioma de orden transitiva respecto a los axiomas de orden mencionados el 2° y 4° queda finalmente en conclusión que x z < yw 2° Caso Si x=0 Implica que por medio de un teorema Si xz=0= yz Luego concluimos que xz < yw y ¡ tales que 0 x y n n demostrar que x y para cualesquiera n ¥ . La expresión 0< x < y significa que 0<x ↔ x >0 y x < y Para n=1 x n< y n → x< y Por hipótesis se cumple para n=1 Supongamos que la desigualdad cumple para n=k x k < y k …(1) Probemos que aquí la desigualdad se cumple para n=k +1 . Igualando a cero la ecuación x−1.Demuestre por inducción matemática que dados x. es decir a lo que tenemos que llegar x k+1 < y k+ 1 …(2) Entonces para poder llegar a la expresión…(2) Primero considerando la expresión… (1) ahí multiplicando esta expresión de desigualdad (1) por x> 0 Obtenemos x k ( x ) < ( x ) y k → x k +1< x y k ….(3) Pero ahora que debido a considerar que x< y con y > 0 queda k k k k+1 …(4) y ( x ) < y ( y ) → y x< y Considerando (3) y (4) llegamos a lo pedido que es x k+1 < y k+ 1 Entonces se cumple para toda n ∈ N Resolver la ecuación x 2 x 5 1 x .−|x|+|2 x−5|=0 Despejando −| x| y todos los demás elementos en el lado derecho es decir −| x|=1−x−|2 x−5| Ahora tomando la expresión del lado izquierdo y definiéndola por medio del valor absoluto se crean dos casos 1° Caso x=x−1+|2 x−5| Igualando a cero esta ecuación queda x−x+ 1−|2 x−5|=0 →1−|2 x−5|=0 Pasando el 1 con signo contrario al lado derecho −|2 x−5|=−1 Quitando el signo negativo a la ecuación |2 x−5|=1 Ahora definiendo este valor absoluto y se dan 2 subcasos del primer caso 1° Subcaso del 1° caso 2 x −5=1 →2 x=6 → x=3 2° Subcaso del 1° Caso 2 x −5=−1→ 2 x=4 → x=2 2° Caso x=1−x−|2 x−5| Igualando a cero esta ecuación queda . x 1 ] ∪¿ 2 x 1 2 x 1 Resolver la desigualdad .x+ x −1+|2 x −5|=0→ 2 x−1+|2 x −5|=0 Pasando el lado izquierdo con signo contrario al lado derecho |2 x−5|=1−2 x Ahora definiendo este valor absoluto y se dan 2 subcasos del segundo caso 1° Subcaso del 2° caso 2 x −5=1−2 x → 4 x=6 → x= 3 2 2° Subcaso del 2° Caso 2 x −5=2 x−1→ 0=4 → Esto es falso este subcaso se elimina Ahora para finalizar y saber las soluciones de esta ecuación se comprueban en la ecuación original las tres soluciones mencionadas y si cumplen la igualdad es la solución de esta ecuación Entonces Si x+|2 x−5|=1+|x| Para x=3 x+|2 x−5|=1+|x|→ 4=4 entonces es solucion Para x=2 x+|2 x−5|=1+|x|→ 3=3 entonces es solucion Para x= 3 2 7 3 x+|2 x−5|=1+|x|→ = es falso y entoncesno es solucion 2 2 Entonces las soluciones de esta ecuación es x=3 y x =2 1. De la desigualdad obtenemos 2 resultados según esto Si |a|≥ b → a ≤−b o a≥ b . Esto es equivalente a decir que 0 ≤ x 2−x−12↔ x2 −x−12≥ 0 Ahora definiendo la forma de esta desigualdad como Si ax 2+ bx+ c ≥ 0 → ( x −x1 ) ( x−x 2 ) ≥0 → x ≤ x 1 o x ≥ x 2 → CS=(−∞ . x 1 ] ∪ ¿ Aplicando este método queda ( x+ 3 )( x−4 ) ≥ 0 → x +3 ≥ 0 o x−4 ≥0 → x ≤−3 o x ≥ 4 El conjunto solución CS será →CS=(−∞ . Resolver la desigualdad 0 x x 12 . .En este caso se aplica como x+1 ≥ 2→ x−1 x+1 x+1 ≤−2 … .. 1 ] ∩ −∞ . ∞ )=¿ 2° Caso Si x−1≤ 0 → x ≤ 1 Con esto resolviendo la desigualdad correspondiente x+1 ≤−2 → x +1 ≤−2 ( x−1 ) → x+ 1≤−2 x +2→ x−1 1 x+ 2 x ≤2−1→ 3 x ≤1 → x ≤ 3 Entonces la solución del 2° Caso está dado por la intersección ] 1 =∅ 3 Entonces el conjunto solución 1 de la desigualdad…(1) es: 1 1 CS 1= . ( 2 ) x−1 x−1 Resolviendo la desigualdad…(1) y se dividen en 2 casos 1° Caso Si x−1≥ 0 → x ≥ 1 Con esto resolviendo la desigualdad correspondiente x+1 ≤−2 → x +1 ≤−2 ( x−1 ) → x+ 1≤−2 x +2→ x−1 1 x+ 2 x ≤2−1→ 3 x ≤1 → x ≤ 3 | | Entonces la solución del 1° Caso está dado por la intersección es decir x≥1 y x≤ 1 3 x≤1 y x≤ 1 3 (−∞ . ( 1 ) ≥2 … .(2) y se dividen en 2 casos 1° Caso Si x−1≥ 0 → x ≥ 1 Con esto resolviendo la desigualdad correspondiente es decir ( (−∞. ∞ )=¿ 2° Caso Si x−1≤ 0 → x ≤ 1 Con esto resolviendo la desigualdad correspondiente x+1 ≥2 → x +1 ≥ 2 ( x−1 ) → x +1 ≥2 x−2 → x−1 x−2 x ≥−2−1→−x ≥−3→ x ≤ 3 x≥1 y x≤3 . 3 ] ∩ [ 1. 13 ]∩ [1. [ ) [ ) x+1 ≥2 → x +1 ≥ 2 ( x−1 ) → x +1 ≥2 x−2 → x−1 x−2 x ≥−2−1→−x ≥−3→ x ≤ 3 Entonces la solución del 1° Caso está dado por la intersección es decir (−∞ . 1 3 3 Ahora resolviendo la desigualdad….1 ∪∅= . Ahora definiendo la forma de esta desigualdad como Si ax 2+ bx+ c< 0 → ( x−x 1 ) ( x−x 2 ) <0 → x 1 < x< x2 →CS=( x 1 . 1 ] ∩ (−∞ . expresión es decir que si | x| x = | y| y 1° Sacando el inverso de la expresión del lado derecho | x| −1 =|x|∙| y| | y| 2° Ahora sacando el inverso del denominador de la expresión principal del lado derecho | x| −1 =|x|∙| y | | y| 1 1 −1 3° Por la propiedad Si = =|x |claro si x ≠0 queda así x |x| | x| =|x y−1| | y| 4° Por el teorema Si |xy|=|x|∙| y| queda finalmente se cumple que | x| x = | y| y || || || 2 Resolver la desigualdad x 4 x 10 0 .1 ∪¿ 3 [ ) x x y y Demuestre que para cualesquiera x.Entonces la solución del 2° Caso está dado por la intersección x ≤ 1 y x ≤ 3 es decir (−∞. x 2 ) Ahora resolviendo por formula general la ecuación x 2+ 4 x +10=0 Sea a=1b=4 c=10 Sustituimos en la formula −4 ± √ 16−4 (10) −4 ± √16−40 −4 ± √ −24 x= = = 2 2 2 Aquí como √ −24=√ 24 i ∈C pertenece a los complejos y no a los números reales por lo tanto . y ¡ y y 0 . Partiendo de la primera expresión para llegar a la igualdad de la 2da. 3 ] =∅ Entonces el conjunto solución 2 de la desigualdad…(2) es: CS 2=¿ ∪∅=¿ La solución general es la unión de los dos conjuntos de la desigualdad…(1) y…(2) es decir 1 CS=CS 1 ∪CS 2= . El conjunto solución no existe es decir el conjunto solución es el conjunto vacío por la justificación mencionada en el párrafo anterior Por tanto CS=∅ .