1. Ein Hotel mit 780 Zimmern macht einen Gewinn von 340 GE pro Tag und belegtem Zimmer. Ein unbelegtes ussen mindestens belegt sein, damit Zimmer verursacht einen Verlust von 50 GE pro Tag. Wieviele Zimmer m¨ das Hotel ohne Verlust arbeiten kann? (a) 90
(b) 140
(c) 130
(d) 100
(e) 120
2. Leonhard Euler (1770), Vollst¨ andige Anleitung zur Algebra p. 163: Jemand kauft ein Pferd unter der Bedingung, daß er f¨ ur den ersten Hufnagel 16 Groschen, f¨ ur den zweiten 22, f¨ ur den dritten 28, und immer 6 Groschen mehr f¨ ur jeden folgenden zahlen soll. Es sind aber im Ganzen 32 N¨ agel. Wieviel muß er f¨ ur das Pferd bezahlen? (a) 3581
(b) 3431
(c) 3488
(d) 3295
(e) 3351
3. Ein Vater legt bei einer Bank ein Kapital an, um seiner jetzt neunj¨ahrigen Tochter zum 24. Geburtstag ein Startkapital von 360000 GE zu sichern. 8 Jahre nach der Einzahlung setzte die Bank den Zinssatz auf 4 % herab und der Vater mußte zu diesem Zeitpunkt 63514 GE nachzahlen, um die Endsumme zu sichern. Berechnen Sie das Kapital, das der Vater urspr¨ unglich angelegt hat. (a) 113487
(b) 126688
(c) 92519
(d) 130252
(e) 121467
4. Jemand zahlt zu Beginn jedes Jahres einen Geldbetrag auf ein Sparbuch ein, um nach 9 Jahren eine Reise im Wert von 47000 GE finanzieren zu k¨ onnen. Wie hoch muß dieser Geldbetrag mindestens sein, wenn die Verzinsung j¨ ahrlich 6 % betr¨ agt? Runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl. (a) 3560
(b) 4089
(c) 3859
(d) 4235
(e) 4385
5. Bestimmen Sie die 1. Ableitung von y = f (x) an der Stelle x = 0.80: y = −3x3 + (7x − 7)3 (a) 33.92
(b) 36.96
(c) 35.40
(d) 34.45
(e) 33.12
6. ∗ Wie hoch ist das Betriebsminimum eines Mengenanpassers mit Kostenfunktion C(x) = 0.015x3 − 26.55x2 + 11762x + 10000 (a) 468
(b) 586
(c) 1113
3
Z 7. Berechnen Sie
f (x) dx f¨ ur f (x) = 0
(a) -2.08
(b) 0.04
(d) 1204
(e) 885
x−8 . 7x + 3
(c) -3.32
(d) 1.44
(e) -4.37
8. ∗ Berechnen Sie den Fl¨ acheninhalt unter der Funktion 0.7e−0.7x zwischen den Grenzen x = 0 und x = 1. (a) 0.3305
(b) 0.7204
(c) 0.0784
(d) 0.8913
(e) 0.5034
9. In einer technischen Untersuchung werden an zuf¨allig ausgew¨ahlten PKWs folgende Ereignisse erhoben: R = {PKW weist Rostsch¨ aden auf} und S = {PKW wird mit Markenprodukt XY gepflegt}. Es stellt sich heraus, dass P (R) = 0.3 und P (S) = 0.68. Ausserdem ist P (R ∩ S) = 0.16. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrzeug mit Rostsch¨ aden mit XY gepflegt wird. (a) 0.4588
(b) 0.5697
(c) 0.3757
(d) 0.5333
(e) 0.3980
10. Beim Lotto 6 aus 44 betr¨ agt der Einsatz f¨ ur eine Wette 7 GE. Wie hoch muss der Gewinn bei einem Haupttreffer sein, damit es sich um ein faires Gl¨ uckspiel handelt? (a) 57694205
(b) 48379712
(c) 48443575
(d) 58543297
(e) 49413364
Musterklausur Mathematik ID: 0043
3
11. Die Zufallsgr¨oße Z ist standardnormalverteilt. Finden Sie jenen Wert, den Z mit Wahrscheinlichkeit 0.08 unterschreitet. (a) 1.2847
(c) −1.4051
(b) 2.2155
(d) −0.7652
(e) 0.1895
12. Bei einer Statistikklausur werden 15 Fragen gestellt, und f¨ ur jede Frage werden 5 Antwortm¨oglichkeiten angeboten. Welche Trefferwahrscheinlichkeit muß ein Student besitzen, damit er eine 50 %-ige Erfolgswahrscheinlichkeit hat? Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit n¨aherungsweise mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes. Die Klausur gilt als bestanden, wenn mindestens 8 Fragen richtig beantwortet werden. (a) 0.588
(b) 0.455
(c) 0.332
(d) 0.500
(e) 0.290
13. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? ullbaren (1) Ein lineares Gleichungssystem besitzt unendlich viele L¨osungen, wenn die Skelettform keine unerf¨ Gleichungen enth¨ alt und die Anzahl der Unbekannten gr¨oßer ist als die Anzahl der Basisvariablen. (2) Ein lineares Gleichungssystem besitzt immer dann unendlich viele L¨osungen, wenn die Anzahl der Gleichungen gr¨ oßer ist als die Anzahl der Unbekannten. (3) Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann l¨osbar, wenn die Skelettform keine unerf¨ ullbaren Gleichungen alt. enth¨ (a) (1) und (3)
(b) alle
(c) nur (1)
(d) (1) und (2)
(e) (2) und (3)
14. ∗ Ein Unternehmen stellt aus den drei Anfangsprodukten A1 , A2 und A3 die Endprodukte E1 , E2 und E3 her. Der Bedarf an Anfangsprodukten pro Einheit eines fertigen Endprodukts sowie der Lagerbestand an A1 , A2 und A3 sind der folgenden Tabelle zu entnehmen: A1 A2 A3
E1 7 15 8
E2 2 3 18
E3 15 17 19
Lager 370 512 924
Welche Menge an E1 kann hergestellt werden, wenn der Lagerbestand zur G¨anze verbraucht wird (Hinweis: von E3 werden 16 St¨ uck erzeugt)? (a) 24
(b) 35
(c) 15
(d) 10
(e) 40
15. ∗ In einem Fertigungsprozeß werden aus Anfangsprodukten A1 , A2 und A3 die Endprodukte E1 und E2 hergestellt. Dabei fallen zwei Arten von Zwischenprodukten an, insgesamt gibt es 5 Verarbeitungsstufen. Das Prozeßschema hat folgende Gestalt:
Ein konkreter Lieferauftrag sieht vor, daß von den Endprodukten 4 und 17 Mengeneinheiten geliefert werden. Wie groß ist der Bedarf an A1 ?
Musterklausur Mathematik ID: 0043 (a) 17445
(b) 10971
4
(c) 11243
(d) 11875
(e) 12685
16. Finden Sie die L¨ osung X der Matrixgleichung AX + B = C mit den Angaben 10 6 −5 −3 −143 −1 A= ,B = ,C = 4 2 −7 −2 −59 −2 Welchen Wert hat x12 ? (a) -1
(b) 1
(c) -6
(d) -3
(e) -8
17. Bestimmen Sie die Hesse Matrix A der Funktion f (x1 , x2 ) = −5x21 x22 + x21 − 2x1 x2 − 1 an der Stelle (a) −45
2 1
. Welchen Wert hat a21 ?
(b) −32
(c) −42
(d) −52
(e) −35
18. ∗ Ein Monopolunternehmen bietet zwei G¨ uter zu den Preisen p1 und p2 an. Die Nachfrage wird durch die Nachfragefunktionen q1 = D1 (p1 , p2 ) = 140 − 8p1 + 2p2 q2 = D2 (p1 , p2 ) = 82 + 8p1 − 13p2 bestimmt. Die Herstellungskosten f¨ ur die beiden G¨ uter betragen 4 und 2 GE pro St¨ uck. Wie muss der Preis p1 festgesetzt werden, sodass maximaler Gewinn erzielt wird? (a) 12
(b) 18
(c) 16
(d) 8
(e) 23
19. Es seien X1 und X2 die Renditen zweier Wertpapiere, wobei σ12 = 11, σ22 = 18 und σ12 = 5. Wie gross ist der prozentuelle Anteil des Wertpapiers 2 an jenem Portfolio, dessen Rendite die kleinste Varianz aufweist? Runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl, falls erforderlich. (a) 32
(b) 23
(c) 41
(d) 16
(e) 26
20. ∗ Ein Investor stellt ein Portfolio aus drei Wertpapieren zusammen, von denen das erste festverzinslich ist mit Zinssatz 6.5 Prozent. Die beiden anderen Wertpapiere haben Renditen mit den Erwartungswerten 0.075 und 0.14, und den Varianzen 0.06 und 0.05. Die Kovarianz der Renditen betr¨agt −0.03. Ein Investor m¨ ochte ein Portfolio mit der Rendite 0.10 und minimaler Varianz erhalten. Wieviel Prozent des Startkapitals m¨ ussen im optimalen Portfolio festverzinslich veranlagt werden? (a) 31.81
(b) -10.78
(c) 50.63
(d) 65.34
(e) -29.36
Musterklausur Mathematik ID: 0043
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Formelsammlung
x0 =
d p−k
D(p) = −ap + α
S(p) = bp − β
p∗ =
α+β a+b
B b = − 2A
x1,2 =
n 2 (a1
+ an )
xn = x0 + nd
sn =
Kt = K0 (1 + r)t
−1 sn = a0 qq−1
t
Bt = ad 1−d 1−d B=
a 1−d
√ −B± B 2 −4AC 2A
Kt = K0 (1 + tr)
n
Bt = a 1−d 1−d
t
−1 Et = a qq−1
t
t
−1 Et = aq qq−1
1+r = 1+
c k k
Kt = K0 1 +
c tk k
K(t) = K(0)ect
Aax = A(1 + r)x
Aax = Aecx , c = ln a
(xα )0 = αxα−1
(ex )0 = ex
(ln x)0 =
(f + g)0 = f 0 + g 0 0 0 f g0 = f g−f g g2
(f · g)0 = f 0 g + f g 0
f (g(x))0 = f 0 (g(x))g 0 (x)
(x0 ) =
f 0 (x0 ) f (x0 ) x0
r=
f (x2 )−f (x1 ) f (x1 )
pmin = V (xmin ) R α α+1 x dx = xα+1 , α 6= −1 R h(g(x))g 0 (x)dx = H(g(x))
c=
1 x
f 0 (x0 ) f (x0 )
R(p) = pD(p) R x e dx = ex R R g · h dx = G · h − G · h0 dx RT A(T ) = K(0) + 0 e−ct a(t)dt
π(p) = R(p) − C(D(p)) R 1 x dx = ln x RT K(T ) = ecT K(0) + 0 ec(T −t) a(t)dt RT L(T ) = T1 0 L(t)dt P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) P (A∩B) P (B)
P (A0 ) = 1 − P (A)
P (A|B) =
E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y )
E(X) = a1 p1 + . . . + an pn
V (X) = E(X − µ)2
V (X) = E(X 2 ) − µ2
V (aX + b) = a2 V (X)
E(X) = µ
Z = X−µ σ n(n−1)(n−2)···(n−k+1) n k = k(k−1)(k−2)···1
Φ(z) = P (Z ≤ z) P (Sn = k) = nk pk (1 − p)n−k
V (Sn ) = np(1 − p) d −b 1 −1 A = det(A) −c a
P (Sn = k) =
V (X) =
2
σ n
P (Z ≤ Nα ) = α E(Sn ) = np det(A) = ad − bc h0 (0) = f 0 (a) · v F 0 (t,f (t))
f 0 (t) = − F10 (t,f (t)) 2
h00 (0) = vt · f 00 (a) · v
E(XA ) = P (A)
x = Ax + b h0 (t) = f 0 (g(t)) · g0 (t)
Cov(X1 , X2 ) = E((X1 − µ1 )(X2 − µ2 ))
V (aX1 + bX2 ) = a2 V (X1 ) + 2abCov(X1 , X2 ) + b2 V (X2 ) Cov(aX1 + bX2 , Y ) = aCov(X1 , Y ) + bCov(X2 , Y ) Cov(X, aY1 + bY2 ) = aCov(X, Y1 ) + bCov(X, Y2 )
−M (Mk )(Nn−k ) N (n)
Musterklausur Mathematik ID: 0043
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Tabelle 1: Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
L¨ osungen Die Nummern bei den Aufgaben bezeichnen die IDs, unter denen diese Aufgaben auf dem Learn Server abgelegt sind. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.