Juegos para pensar y divertirsePedro Alegr´ıa ([email protected]) ´Indice 1. La tableta de chocolate 5 2. Atrapados 2.1. Estrategia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 3. Volteando el dado 7 4. Monedas sobre la mesa 8 5. El Nim 5.1. Descripci´on . . 5.2. Historia . . . . 5.3. Resoluci´on . . . 5.4. Otras variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 11 11 12 6. El solitario en cruz 6.1. Descripci´on . . . . . . 6.2. Historia . . . . . . . . 6.3. Variantes . . . . . . . 6.4. Resoluci´on . . . . . . . 6.5. Actividades did´acticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 14 14 15 16 . . . . . . . . . . . . 1 y aporta m´as a la matem´atica. cuya funci´on en el juego viene definida por tales reglas. sabemos que muchas de las teor´ıas cient´ıficas empezaron como un juego. el juego es un divertimento en el sentido de que es la otra versi´on de la realidad donde el sujeto encuentra el placer que no encuentra en la realidad . un juego comienza con la introducci´on de una serie de reglas. investigar y. sabio matem´ atico del siglo XVII Con seguridad el mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle un intrigante juego.Introducci´ on Jugar es descubrir cosas. Ozanam. en definitiva. Otros cient´ıficos y pensadores se han expresado en relaci´on a los juegos y pasatiempos matem´aticos de la siguiente forma: Cuando alguien dice: “Nunca he resuelto un rompecabezas en mi vida”. chiste. Henry Dudeney Un buen pasatiempo matem´ atico vale m´as. exactamente de la misma forma en que se puede proceder en el establecimiento de una teor´ıa matem´atica por definici´on impl´ıcita. Estos son los ejercicios elementales de un juego o de una teor´ıa matem´atica. convienen a los ricos y no se hallan fuera del alcance de las personas medianamente acomodadas. aprender. que una docena de art´ıculos mediocres. Arqu´ımedes escribi´o el “Stomachion” (precursor del Tangram). Leonardo de Pisa escribi´o “Liber abaci”. pareado de naturaleza matem´ atica o cualquiera de entre una veintena de cosas que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen fr´ıvolas.” Miguel de Guzm´an En la historia de las matem´aticas encontramos multitud de manifestaciones en favor de los juegos. truco de magia. John Littlewood “.”Jos´e Ortega y Gasset Los juegos de ingenio son a prop´osito para todas las estaciones y en todas las edades. explorar. Destacaremos las siguientes: Euclides escribi´o “Pseudaria” (libro de los enga˜ nos). puesto que cualquier individuo inteligente lo hace todos los d´ıas.. puzzle. Martin Gardner “Al igual que las matem´ aticas. Geronimo Cardano escribi´o “Liber de ludo aleae” (sobre juegos de azar). paradoja. pues que instruyen a los j´ ovenes. 2 . entretienen a los adultos. Dec´ıa al respecto el gran matem´atico Leibniz que el juego va m´as all´a de ser una simple diversi´on. Pascal y Fermat mantuvieron una extensa correspondencia sobre el reparto en los juegos de apuestas. un cierto n´ umero de objetos o piezas. relacionando unas piezas con otras al modo como el novicio en matem´aticas compara y hace interactuar los primeros elementos de la teor´ıa unos con otros... Quien se introduce en la pr´ actica de un juego debe adquirir una cierta familiarizaci´on con sus reglas. es dif´ıcil entender exactamente lo que quiere decir.. etc. 1. De plegado (FOL): tienen partes que se unen entre s´ı y generalmente no se separan. 2. como una caja con su tapa. 7. en 14 grandes grupos. Un juego de ingenio es un problema con uno o m´as objetivos espec´ıficos. ideado con el prop´osito de ejercitar tanto el ingenio como la paciencia. De entrelazamiento (INT): tratan de entrelazar las piezas en tres dimensiones formando un conjunto autosostenible. 9. Einstein pose´ıa una gran biblioteca de libros de ingenio. De patrones (PAT): require la colocaci´on o distribuci´on de piezas similares en el dise˜ no de una superficie completa de acuerdo a reglas definidas. De movimiento secuencial (SEQ): son los que s´olo pueden resolverse por los movimientos de las piezas. un candado y la aldaba. Im´agenes ambiguas y objetos enigm´aticos (AMB): se trata de formar figuras que parecen imposibles o ambiguas. Por lo general. cerrar. De encajes (TNG): contienen piezas flexibles que deben enlazarse o desenlazarse. 8. Enumeramos a continuaci´on algunos de ellos. los cuales dependen a su vez de los movimientos anteriores. De apertura (OPN): se trata de abrir. 3. forma. 5. 6. De ensamblaje (ASS): requiere la disposici´on de piezas separadas para hacer formas espec´ıficas sin tener en cuenta la secuencia de colocaci´on.Euler se enfrent´o al problema de los puentes de K¨onigsberg. 11. textura. Se resuelven mediante pliegues o dobleces. El patr´on puede ser de color. Rompecabezas (JIG): una figura cortada en piezas. 3 . De b´ usqueda de rutas (RTF): requieren encontrar una determinada ruta en funci´on de las reglas establecidas. 10. comprenden un solo objeto o sus partes. las cuales deben unirse para restaurar la figura original. Hilbert estudi´o con profundidad los problemas sobre disecci´on de figuras planas. o una tuerca y tornillo. De destreza (DEX): requieren el uso de la destreza manual o habilidades f´ısicas en su soluci´on. Existe una clasificaci´on oficial de los juegos de ingenio. deshacer o quitar algo del objeto para conseguir que funcione. 4. Algunos se plantean como problemas de embalaje. no tienen inter´es porque existe una estrategia ganadora para alguno de los contrincantes. Las diferentes variantes de un juego equivalen a los casos particulares o generalizaciones de un problema. la interpretaci´on l´ udica que se asocia con la palabra juego contrasta con el sentido serio de la palabra problema. en todos. Pero. en otros. no. Esta diferencia puede ayudar al desarrollo de las capacidades matem´aticas a trav´es de los juegos. Podemos establecer los siguientes paralelismos entre un juego y un problema matem´atico: 1. 2. Por el contrario. 3. La b´ usqueda de patrones en la resoluci´on de un juego es similar a la identificaci´on del contexto de un problema.Los juegos de ingenio que proponemos en estas sesiones los podemos dividir a su vez en dos tipos: Individuales (un solo jugador se enfrenta al reto). juegos que. o razonar. Colectivos (dos o m´as jugadores buscan la estrategia para ganar al grupo contrario). o mejor. 4 . Y es precisamente la b´ usqueda de dicha estrategia lo que hace interesantes dichos juegos. desde el punto de vista competitivo. En algunos de ellos ser´a necesario aplicar algunos conocimientos de matem´aticas. Es f´acil entender la relaci´on que tiene esto con las matem´aticas. con el modo de hacer matem´atico. La b´ usqueda de estrategias ganadoras se asemeja al planteamiento del m´etodo de demostraci´on. saldr´a a relucir el modo de pensar. Algunos de los juegos m´as interesantes son. parad´ojicamente. que se emplea en esta ciencia. La onza de una de las esquinas tiene un trozo de jab´on: el que se lo coma. Ejemplo: las siguientes im´agenes ilustran una posible partida. de Ian Stewart. El tablero de juego consiste en un rect´angulo dividido en rect´angulos m´as peque˜ nos. Cada movimiento de un jugador consiste en partir y comerse un trozo rectangular de dicha tableta. siguiendo una de las l´ıneas de separaci´on de las onzas. situaci´on inicial jugada de 1 jugada de 2 jugada de 1 ¡Pierde el jugador 1 ya que el jugador 2 se come las dos onzas inferiores! Mapa del tesoro: en un juego 4x4. las posibles jugadas son: Es f´acil ver cu´ales de estas posiciones son ganadoras o perdedoras. pierde. de modo que una tableta de chocolate es el modelo m´as com´ un. cortando por una l´ınea recta que cruza el rect´angulo de lado a lado.1. La tableta de chocolate Juego detallado en el libro “Locos por las matem´aticas”. argumentando 5 . 1. lo cual siempre es posible. 2. pero con los n´ umeros de los jugadores invertidos. El juego se convierte entonces en la variante de dos filas. No se puede saltar sobre la ficha del contrario. 2. el otro con las negras. Uno juega con las fichas blancas. sin poder cambiar a la otra l´ınea. Atrapados Es un juego para dos jugadores. Cada movimiento consiste en avanzar o retroceder con una sola ficha un n´ umero cualquiera de casillas a lo largo de su l´ınea. Gana el jugador que consigue que su oponente no pueda mover ninguna de sus dos fichas (quede “atrapado”). Los jugadores mueven por turno una sola ficha en cada jugada. Para 3 filas. atrapando la ficha del contrario (que ya no podr´a ser movida). El esquema se muestra en la siguiente tabla. Si la tableta es cuadrada. lo cual modifica la estrategia ganadora para uno de los dos jugadores. y haci´endolo siempre avanzando. el primer jugador debe partirla para dejarla cuadrada. P G G G G P G G G G P G G G G P Se deduce que la estrategia ganadora es tratar de dejar el mismo n´ umero de filas que de columnas. Si hay dos filas. 6 . Si la tableta no es cuadrada.hacia atr´as. Estrategia El juego puede plantearse aumentando el n´ umero de filas. lo mejor es dejar que juegue primero el adversario. ya que cualquiera de esas posiciones son perdedoras. ganar´a el primer jugador si mueve una de sus fichas hasta el extremo. ganar´a el segundo jugador si coloca siempre sus fichas de modo que la distancia entre fichas de distinto color en ambas filas sea la misma. y los comentarios se refieren a la cara que queda arriba y al jugador que acaba de dejar as´ı el dado. para un n´ umero de filas par existe una estrategia ganadora para el segundo jugador. 7 . que consiste en realizar su primera jugada avanzando una ficha cualquiera hasta el extremo. cada n´ umero limita con todos los que no suman 7 con ´el. siendo el azar qui´en determine la posici´on de partida. Se suma la puntuaci´on de esta cara a la anotada inicialmente. que consiste en emparejar dos a dos las filas y jugar en cada pareja de filas como en el caso de dos filas. Se trata de determinar si existe una estrategia ganadora para alguno de los dos jugadores. Los jugadores contin´ uan volteando alternativamente el dado de esta forma. Para seguir el razonamiento conviene tener a la vista el desarrollo de un dado: lo esencial es que los n´ umeros situados en caras opuestas suman 7. 3. de manera que queda en la cara superior una de las que estaban en un lateral. Caben dos posibilidades de juego: i) El primer jugador escoge la cara que deja arriba. de manera que las caras opuestas suman 7. como el de dos filas. procediendo por inducci´on sobre el n´ umero de filas. ii) El primer jugador lanza el dado. Desarrollemos el juego a la inversa. es el primer jugador quien dispone de una estrategia ganadora. Pierde el primero que eleva la suma a 50 o m´as puntos. Para un n´ umero impar de filas. El segundo jugador voltea el dado sobre una de las aristas de la cara inferior. El primer jugador coloca o lanza el dado sobre la mesa y se anota la puntuaci´on de la cara superior. Se pueden analizar ambas posibilidades conjuntamente. y proceder a continuaci´on como en el caso de un n´ umero par de filas. empezando con un caso sencillo. o dicho de otra forma. En cada l´ınea de la figura adjunta se muestra el total acumulado hasta ese momento. El inter´es del juego consiste en encontrar estas estrategias. Volteando el dado Juego para dos jugadores en el que se utiliza un dado convencional con las caras puntuadas de 1 a 6.En general. 4 ´o 6) Pierde con 1. Por tanto. si se juega correctamente. Dejando 0. 4 o´ 6 (el otro pone 5). Ninguna parte de ninguna moneda puede quedar fuera de la mesa. 5 o´ 6 (el otro pone 3). 3. el resultado est´a determinado por la primera tirada: un 4 da la victoria al primer jugador y los dem´as al segundo. 4 ´o 6 y se gana con 2 o´ 5. se tiene asegurada la derrota si el contrario juega bien. Las monedas que van coloc´andose no pueden solaparse (ninguna moneda puede tener ninguna parte sobre otra moneda). 1 o´ 5 m´odulo 9 (como 36. gana con 1 ´o 6 (el otro ha de poner 2 al menos) Pierde siempre (el otro puede poner 1 ´o 2) Pierde con 1. podemos asegurar: Dejando 2. 42 ´o 43). 37 ´o 42). 5 o´ 6 ( el otro pone 4). 3. Dejando 4 m´odulo 9 (como 40) se tiene asegurada la victoria. gana con 3 ´o 4 Pierde con 1. o en convencer al oponente de que empiece ´el. 6 ´o 7 m´odulo 9 (como por ejemplo 38. 5 o´ 6 (el otro pone 4). 2. 2. 4 o´ 5 (el otro pone 1). En definitiva. Pierde el jugador que no pueda colocar su moneda en esas condiciones. de modo que quede completamente dentro de ella. 3. gana con 3 o´ 4 Gana siempre (cualquier movimiento lleva al otro a una posici´on perdedora) Pierde siempre (el otro pone 1 o´ 5) Pierde siempre (el otro pone 2 o´ 3) Igual que 46 Igual que 45 Igual que 44 Igual que 43 Igual que 42 Igual que 41 A partir de aqu´ı los resultados se repiten. 3 (excepto 48). cada jugador pone por turnos una moneda. 39. Monedas sobre la mesa Sobre una mesa rectangular o circular. 2. gana con 2 ´o 5 Pierde siempre (el otro pone 3 o´ 6) Pierde siempre (el otro pone 3. 4. 2. De donde se deduce que la mejor estrategia para ganar consiste en poner un 4 si se puede escoger. 5 o´ 6 y se gana con 3 o´ 4. se pierde si se deja arriba un 1. gana con 3 ´o 4 Pierde con 1. si ha de empezarse tirando el dado.49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 Gana siempre (cualquier movimiento del otro alcanza o rebasa 50) Pierde con 2. con periodo 9. Dejando 8 m´odulo 9 (como 44) se pierde si se deja arriba un 1. 8 . descomponer el problema. El Nim. El Nim Existen muchos sencillos juegos que admiten un algoritmo ganador. se colocar´a la moneda de manera sim´etrica. empezar por lo f´acil. as´ı como para practicar algunas t´ecnicas de resoluci´on de problemas (ensayo-error. 9 .Soluci´on: La clave est´a en colocar la primera moneda justo en el centro de la mesa. simetr´ıa. cada vez que el segundo jugador puede colocar. conociendo la adecuada estrategia. Esto asegura que. el pensamiento y la l´ogica de los estudiantes. de modo que. podemos vencer siempre. 5. respecto del centro de la mesa. pero con muchas variantes. a la moneda colocada por su contrincante.). Un juego de f´acil aprendizaje. es el Nim. el primero tambi´en podr´a. En las siguientes jugadas. etc. y los juegos relacionados son muy u ´tiles para desarrollar el an´alisis. alternativamente. respectivamente. Despu´es de varias partidas. Por ejemplo. 2. Las fichas que quedan despu´es de cada turno del primer jugador son 13. Por ejemplo. cada vez que su rival tome k fichas. si n es el n´ umero total de fichas y m el m´aximo n´ umero de fichas que puede retirar cada jugador. La siguiente versi´on del Nim consiste en formar varios montones de fichas. Sin embargo. 3. el primer espectador jugar´a de la siguiente manera: 1. 1. Retirar tantas fichas como sea necesario para que queden sobre la mesa k(m + 1) + 1. 5 y 1. En cada jugada. si m = 9. 10 . pero s´olo de uno. gana quien retira la u ´ltima ficha. pudiendo haber un n´ umero cualquiera de fichas en cada mont´on. 2. que se colocan tal y como se muestra en la figura siguiente. Quien tiene el primer turno. cada una coge las fichas que desee de cualquier mont´on. ganar´a el primer jugador retirando nueve fichas en la primera jugada. Participan dos personas y. cada persona coge 1. De este modo. coger 4 − k. a su elecci´on. donde k es arbitrario. dejar al otro jugador que empiece. Alternativamente. Descripci´ on Empecemos con la versi´on m´as simple. el segundo jugador siempre ganar´a retirando 11 − x cada vez que el primer jugador retire x fichas. despu´es.5. que tienen. 4 y 5 fichas. Ahora. se encuentra r´apidamente el algoritmo ganador. Si eso no es posible. 2 o´ 3 fichas. Distintas variantes del juego hacen necesario calcular el algoritmo ganador en cada caso. perdiendo quien toma la u ´ltima ficha. gana sin m´as que coger 2 fichas y. Participan dos personas y se juega con 15 fichas. quedar´a al final una sola ficha que deber´a retirar el otro jugador. si el otro jugador retira p fichas.1. si n = 100 y m = 10. 9. La versi´on m´as popular del Nim se juega con cinco montones de fichas. retirar m + 1 − p. El origen del moderno Nim es incierto. Este juego se hizo muy popular en Europa a ra´ız de la pel´ıcula “El a˜ no pasado en Marienbad” de Alain Resnais. o del alem´an “nimm!” (¡coge!). Por ejemplo. Representar en el sistema binario el n´ umero de fichas que hay en cada fila. Sumar (en el sistema decimal) todos los n´ umeros obtenidos. El contrario nunca podr´a eliminar todas las fichas. Retirar las fichas necesarias para conseguir que todas las cifras de la suma sean pares. Al escribir estos n´ umeros en binario. 5 y 7 fichas respectivamente. supongamos que hay tres montones. que significa “cogiendo piedras” (similar al conocido como Nim de Wythoff). 5.2. quien desarroll´o un an´alisis completo del juego en 1901. en Chequia. cualquier jugada alterar´a dicha disposici´on. en la que el protagonista usa el juego para matar el tiempo en el balneario de Marienbad.5. 5. El nombre se debe al matem´atico norteamericano Charles L. 2. Repetir el proceso anterior en todas tus jugadas. que al parecer est´a relacionado con el antiguo juego “Tsyanshidzi”. 3. 3.3. famoso en toda Europa desde el siglo XVI. El protagonista siempre gana ya que conoce la estrategia ganadora. 5 y 8 fichas. En la pel´ıcula se juega al Nim de cuatro filas y con 1. y probablemente se deriva del verbo ingl´es en desuso “nim” que significa quitar o coger. con 3. 4. Historia Este es un juego muy antiguo de origen chino. Una vez conseguido. Resoluci´ on La estrategia ganadora es la siguiente: 1. Bouton. obtenemos: 11 (3) 101 (5) 1000 (8) 1112 11 . aunque al parecer hay referencias en Europa al mismo en el siglo XVI. El juego tambi´en aparece en la novela “El ocho” de Catherine Neville. si tomamos 2 fichas del mont´on de 8. 11 (3) 101 (5) 110 (6) 222 El segundo jugador necesariamente rompe la paridad al realizar su jugada y de nuevo el primero restablecer´a la misma. que es una variaci´on del Nim. As´ı pues. as´ı hasta terminar quitando el primer jugador la u ´ltima ficha. pero en este u ´ltimo caso deber´a quitar el mismo n´ umero de fichas en cada fila. El primer jugador quitar´a una o dos fichas. Se colocan una serie de fichas formando un cuadrado o un rect´angulo de un tama˜ no cualquiera. la suma de cada columna es par. El polifac´etico Piet Hein cre´o este juego. La estrategia ganadora consiste en realizar la acci´on sim´etrica a la del oponente. y el vencedor ser´a quien retire la u ´ltima ficha. y los jugadores se van turnando para quitar una o dos fichas. una seguida de la otra. en la versi´on popular del Nim (con 1-2-3-4-5 fichas). por ejemplo 16. con el Nim de Marienbad.4. a partir de entonces cada vez que el primer jugador quite una o dos fichas de uno de los trozos. por turnos. 5. Este juego est´a formado por dos filas de fichas y cada jugador.Por tanto. la jugada inicial ganadora consiste en coger una ficha de los montones 1. Este es uno de los muchos juegos inventados por Sam Loyd. del que no se conoce a´ un la estrategia ganadora. el segundo har´a lo mismo pero del otro trozo. En cambio. una si queda un n´ umero impar y dos si es par. Nim de Wythoff (1907). por 12 . puede quitar las fichas que quiera de una fila o de las dos. entonces el segundo jugador retirar´a las fichas centrales del resto. pero si sacan dos estas deber´an estar juntas. puede comprobar que. Quedar´an entonces dos trozos de la cadena. El Nimbi. Otras variantes La cadena (tambi´en conocido como “la margarita”). Se colocan en c´ırculo un cierto n´ umero de fichas. 3 o´ 5. la suma inicial es par de modo que la estrategia ganadora es dejar que empiece el otro jugador. Consiste b´asicamente en ir comiendo. no en diagonal).bc. para caer en una casilla vac´ıa. para intentar encontrar estrategias que nos sirvan en los retos posteriores. 6.htm 6. y principalmente en Sudam´erica. El principal objetivo de este juego es la b´ usqueda de estrategias. El solitario en cruz Descripci´ on Es un pasatiempo.1. hasta dejar una sola en un lugar determinado. Para jugar online: www. tambi´en se le conoce con el nombre de Senku. se colocan 32 fichas dejando libre la casilla central del tablero. y cada jugador de forma alternada ir´a retirando tantas fichas contiguas (sin huecos entre ellas) como desee de una fila o una columna. El objetivo del juego es dejar una u ´nica ficha en el tablero. Cada jugada consiste en saltar con una ficha cualquiera situada en una de las cuatro casillas adyacentes (en la misma horizontal o vertical. En muchos pa´ıses.ejemplo. Para jugar al “Solitario en cruz”. Aunque existen versiones sobre tableros de diferentes configuraciones. fichas de un tablero. 13 . se puede jugar f´acilmente sobre un tablero de ajedrez con fichas colocadas sobre los escaques. que debe encontrarse a continuaci´on. 4 × 6. en la versi´on cl´asica de 33 casillas (v´ease la imagen).cl/estrategia/nim-game/ britton. que como su propio nombre indica. est´a pensado para jugar una sola persona.camosun. de menos fichas.disted.ca/nim.juegosflash. Antes de enfrentarse al tablero en cruz de 33 casillas es mejor hacerlo primero con disposiciones m´as sencillas. Gana el jugador que retira la u ´ltima ficha. La ficha saltada se quita del tablero. mediante saltos. hexagonales. Cabe destacar que existen b´asicamente dos versiones del solitario en cruz.).3. por un arist´ocrata franc´es. etc. form´andose as´ı la cl´asica forma octogonal del juego original franc´es. que es la m´as difundida en la actualidad. 14 .Figura 2: movimiento v´alido Figura 1: tablero del juego 6. o solitario ingl´es. dicen que para hacer m´as soportable la dureza de su reclusi´on. Variantes a) El Solitario de la Bastilla. 6. estrellados. cuadrados. Historia El solitario es un juego del que se cuenta que fue inventado en el Siglo XVII. El juego hizo furor m´as tarde en la Inglaterra de la reina Victoria y hoy en d´ıa goza de bastante arraigo. Existen versiones de este juego en las que el tablero tiene diferentes formas (triangulares. la versi´on inglesa. sin m´as que a˜ nadir cuatro casillas en los v´ertices internos del solitario en cruz. El solitario de la Bastilla consta de 37 casillas. es el tablero. y la versi´on francesa original de 37 casillas. La u ´nica diferencia con el solitario en cruz. b) Los tableros del solitario.2. mientras estaba preso en La Bastilla. d) las fichas nunca pueden retroceder. 6. Este juego de estrategia consiste en intercambiar el sitio de las fichas blancas y negras siguiendo las siguientes reglas: a) por turnos se ir´a moviendo una ficha negra y luego una blanca. Se parte de un tablero lineal de nueve casillas como el que aparece en la imagen (el n´ umero de casillas tambi´en podr´ıan ser tres. Aqu´ı mostramos una posible resoluci´on del solitario. Se puede utilizar el mismo tablero del solitario en cruz para jugar a este juego de dos jugadores. siete.). cinco. c) no puede saltarse m´as que una ficha a la vez. La zorra puede moverse una casilla en cualquier direcci´on (horizontal. d) La zorra y las gallinas. Empezaremos por unos ejemplos en los que se parte de una posici´on inicial compuesta de fichas. con cuatro fichas negras en las casillas de un lado. Hay trece fichas de un color (en la imagen rojas) que representan a los gansos y una ficha (negra) que representa a la zorra.4. El objetivo del juego es para la zorra comerse a las gallinas y para las gallinas acorralar a la zorra. colocadas como muestra la imagen. huecos y una ficha que llamaremos “clave” en la que al final debe quedar una ficha en dicha posici´on y hacer desaparecer el resto de fichas. La zorra gana si se come diez gallinas. Resoluci´ on Para resolver este juego lo ideal es empezar con dise˜ nos intermedios con menos fichas (como los que aparecen en la actividad 3) hasta que el jugador es capaz de afrontar la resoluci´on del juego completo. en cuyo caso ganan.c) El salto de la rana. Las gallinas solo pueden moverse una casilla en vertical o en horizontal y para acorralar a la zorra deben de inmovilizarla de forma que no pueda efectuar ning´ un movimiento. Los jugadores mover´an las fichas de forma alternativa. b) las fichas podr´an desplazarse hacia la casilla que est´a inmediatamente delante si est´a libre o saltar hacia delante sobre una ficha si la siguiente casilla est´a vac´ıa. vertical o diagonal). luego una casilla vac´ıa y cuatro fichas blancas en las casillas del otro lado. se come a las gallinas saltando sobre ellas si la casilla siguiente est´a vac´ıa (se elimina la ficha sobre la que se salta) y se puede efectuar “comidas” encadenadas como en las damas. La posici´on 15 . El juego del salto de la rana es un sencillo juego de estrategia. Actividad 1 (a partir de 6 a˜ nos). Si lo resuelven por s´ı solos perfecto. 6. Se les plantea inicialmente el juego para que intenten resolverlo por su cuenta (con los muy j´ovenes quiz´as ser´a mejor jugar al juego de siete casillas). as´ı hasta que se den cuenta de la resoluci´on general del juego. siempre con esa doble finalidad de que sea un juego que les entretenga 16 . En caso contrario se les ayuda dici´endoles que simplifiquen el problema.5. una ficha negra y una blanca.de la ficha “clave” la denotaremos con X. Utilizando esas cuatro jugadas como base. Primero con tres casillas. Actividades did´ acticas Una actividad general para todas las edades puede ser la elaboraci´on de un tablero y fichas para jugar al solitario en cruz. que primero jueguen a versiones m´as sencillas del juego para ir complic´andolo. Despu´es al juego de cinco casillas con dos fichas negras y dos blancas. Actividad 2 (a partir de 10 a˜ nos). ideal para jugar con los estudiantes desde los primeros a˜ nos de primaria. se puede resolver el solitario con las siguientes tableros como referencia a seguir. El profesorado y/o el personal de la biblioteca elegir´a los materiales adaptados a las edades de los estudiantes (cartulinas.). Este es un juego muy interesante para plantear a los estudiantes. y tambi´en a los otros juegos que se comentan aqu´ı. Para jugar on line: www. ´ INFORMACION ´ MAS . Para poder afrontar la resoluci´on del solitario en cruz completo primero hay que enfrentarse a dise˜ nos m´as sencillos de fichas (esa es la soluci´on que se aporta en el apartado de resoluci´on del problema). Aqu´ı se plantea resolver el problema mediante el m´etodo de simplificar el problema. Otra posibilidad para resolver el problema podr´ıa ser empezar por el final.Para descargarlo al ordenador: es. suponer que el problema est´a resuelto e ir a˜ nadiendo las fichas que supuestamente nos habr´ıamos comido.uk/ ~history/HistTopics/Mathematical_games.zip Referencias [Ben] Javier Benito.www.org/numeros/numeros/static/almacen_05.ac.mendoza.html [Web2] Teor´ıa de juegos.dcs.geocities. La siguiente actividad ser´ıa plantearles a los estudiantes la resoluci´on del solitario en cruz. el juego.com/paginasinternet-11220-portal-teoria-de-poliominos.st-and. html [Web1] Juegos y recreaciones matem´aticas.com/about_ 6565381_importance-math-games.php . que es el juego completo. es decir. Actividad 3 (a partir de 12 a˜ nos).com/davidalonsogarcia/solitario.ehow. por este motivo se les plantea a los estudiantes que resuelvan primero algunos dise˜ nos como los que se muestran a continuaci´on.wolfram.sinewton.com/GameTheory.edu.html 17 . http://www-gap. http://mathworld.y a la vez que les plantee el reto de buscar estrategias ganadoras para ganar a su adversario.ar/aninio/juegos/juego/solitario. http://www.html [Web3] La importancia de los juegos matem´aticos.htm . Teor´ıa de poliomin´os. y resolver primero lo m´as f´acil para ir enfrent´andose poco a poco a lo m´as dif´ıcil. http://www.paginaswebz. 2004. [Guz] Miguel de Guzm´ an. [Pet] Ivars Peterson. 18 . 1998. 2000. S´ıntesis. 1991. Cuentos con cuentas. 2003. La Muralla. Proof by computer. MAA Online (May 8). Nivola. [Fer] Luis Ferrero.[Web4] Portal Numericana. [Cor] Fernando Corbal´ an. Juegos matem´aticos para secundaria y bachillerato. El juego y la matem´atica. 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