UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓNFACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA E. A. P. Ingeniería Civil Trabajo Encargado Curso Métodos numéricos Autor JOSE MIGUEL TAYPE HUAMAN Docente LIC. BRAULIO GUTIÉRREZ PARI Ciclo V–A Juliaca, 22 DE ABRIL DE 2016 1.- dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − 1 a.-MEDIANTE EL METODO DE GRAFICO LOCALIZAR LA SOLUCION b.-EFECTUE ITERACION Y DAR EL APROXIMADO DE LA RAIZ ITER A B C F(C) ERROR 1 0 1 0.7109375 0.001 2 1 2 1.9990023 0.001 3 -1 -2 1.9921857 0.001 4 -1 -1 -1.9921857 0.01 EXPORT Biseccion(A,B,E) EXPORT f(X) BEGIN BEGIN I:=0; X^2*e^X-1; WHILE ABS(B−A)>E DO END; C:=(A+B)/2; I:=I+1; IF f(A)*f(C)>0 THEN A:=C; ELSE B:=C END; END; PRINT("C:="+C); PRINT(I); END; 2.- Dos escaleras de madera, de longitudes L1=3 metros y L2=4 metros de largo, están colocadas contra las paredes de dos edificios que limitan un pasillo, como muestra la figura h=1,5 metros del suelo. Se sabe que la altura indicada x en la figura puede determinarse por medio de la ecuación. x 4 2hx 3 ( L12 L22 ) x 2 2h( L12 L22 ) x h 2 ( L12 L22 ) 0 Primero: Pitagoras L22 Z 2 X 2 .....................1 L12 Z 2 Y 2 .......................2 Igualando 1 y 2. Z 2 L22 X 2 Z 2 L12 Y 2 L22 X 2 L12 Y 2 L22 X 2 ( L12 Y 2 ) 0 L22 L12 X 2 Y 2 0.......................ECUACION 1 Semejanza de triángulos X h donde.........a Z b Z a X h ................................................3 Z Z b Y h .................................................4 Z b De las ecuaciones 3 y 4 X h Z Z b X ( Z b) hZ XZ Xb hZ XZ hZ Xb XZ hZ b ................................................5 X Y h Z b Zh b .........................................................6 Y Igualando 5 y 6 Zh XZ hZ Y X XZh Y XZ hZ Xh Y .........................................7 X Z Remplazando 7 en ECUACION 1 2 Xh L L X 2 2 0 2 X Z 2 1 ( Xh) 2 L22 L12 X 2 2 0 2 X 2 XZ Z ( L2 L1 X )( X 2 XZ Z ) ( Xh) 2 0 2 2 2 2 2 X 2 L22 2 L22 XZ L22 Z 2 L12 X 2 2 L12 XZ L12 * Z 2 X 4 2 X 3 Z X 2 Z 2 X 2 h 2 0 X 2 2hX 3 ( L12 L22 ) X 2 2h( L12 L22 ) X h 2 ( L12 L22 ) 0 3.- Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura adjunta. Emplee el método de bisección para resolver la posición de la viga donde no hay momento. 𝑅𝐴+ 𝑅𝐵 = 550𝐿𝑏 𝑅𝐴 = 265𝐿𝑏 𝑅𝐵 = 285𝐿𝑏 ∑ 𝑀(𝑐) = 0 −265(𝑥) + 150(𝑥 − 2) + 300(𝑥 − 4,5) + 𝑀𝑗 = 0 −265𝑥 + 150𝑥 − 300 + 300𝑥 − 1350 + 𝑀𝑗 = 0 𝑀𝑗 = −185𝑋 + 1650 Esta misma función ingresaremos en Matlab expresando en función de 𝑚(𝑥) = −185 + 1650 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) = −185 + 1650 Primero la función: function y=f(x) y=-185*x+1650; end Segundo la implementación: function [c,iter] = bisseccion(a,b,e) iter=1; while abs(b-a) > e & iter<1000 c=(a+b)/2; if f(a)*f(c) > 0 a=c; else b=c; end iter=iter+1; end Luego la respuesta: [c,iter] = bisseccion(0,12,0.001) c = 8.9187 iter = 15 EJERCICOS PROPUESTOS 1. Demuestre que la estimación del número de iteraciones (k) por el método de la Bisección está dada por: log(𝑏0 −𝑎0 )−log(𝑒) 𝑘> O 𝑘 > 𝑙𝑜𝑔2 (𝑏0 − 𝑎0 ) − 𝑙𝑜𝑔2 (𝑒) log 2 𝑏0 − 𝑎0 𝑏1 − 𝑎1 = 2 𝑏1 − 𝑎1 𝑏0 − 𝑎0 𝑏2 − 𝑎2 = = 2 22 𝑏2 − 𝑎2 𝑏0 − 𝑎0 𝑏3 − 𝑎3 = = 2 23 𝑏0 − 𝑎0 𝑏𝑘 − 𝑎𝑘 = 2𝑘 El método termina cuando 𝑏𝑘 − 𝑎𝑘 < 𝜀 𝑏0 − 𝑎0 <𝜀 2𝑘 𝑏0 − 𝑎0 2𝑘 > 𝜀 𝑏0 − 𝑎0 𝑙𝑜𝑔2𝑘 > log ( ) 𝜀 𝑘𝑙𝑜𝑔2 > log(𝑏0 − 𝑎0 ) − 𝑙𝑜𝑔𝜀 log(𝑏0 − 𝑎0 ) − 𝑙𝑜𝑔𝜀 𝑘> 𝑙𝑜𝑔2 2. Cuántas iteraciones como mínimo debemos realizar para encontrar un cero en la función f(x) = x log(x) – 1 en [2,3] con una precisión de 0.01. log(𝑏0 − 𝑎0 ) − 𝑙𝑜𝑔𝜀 𝑘> 𝑙𝑜𝑔2 log(3 − 2) − log(10−2 ) 𝑘> 𝑙𝑜𝑔2 log(1) − 2log(10) 𝑘> 𝑙𝑜𝑔2 2 𝑘> 𝑙𝑜𝑔2 K > 7 iteraciones 3. Encuentre una aproximación de √3 correcta con una precisión 10−4 . 𝑦 = 𝑥2 − 3 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3 0 = 𝑥2 − 3 √3 = 𝑥 X=1.732 4. Implemente un nuevo programa teniendo en cuenta el número de estimación de iteraciones (según item1). function [c,iter] = bisseccion(a,b,e) iter=1; while abs(b-a) > e & iter<1000 c=(a+b)/2; if f(a)*f(c) > 0 a=c; else b=c; end iter=iter+1; end 5. Se tiene un tanque esférico de radio R=12m y cuyo volumen de agua almacenado es V=60𝑚3 . a) Hallar la altura del líquido h y el error cometido usando el método de la posición falsa [1,2], realizando 3 iteraciones. Se sabe que la altura se encuentra alrededor del valor ℎ0 = 1 Primero la función: function y=f(x) y=3.142*(12-x/3)*x^2-60; end Segundo la implementación en el matlab: function [c,iter] = posicion (a,b,e) iter=1; c=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a)); M=f(a); while abs (f(c))>e c=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a)); if f(a)*f(c)>0 a=c; else b=c; end if iter>1000 error ('parece que no converge'); end iter=iter+1; end La respuesta es: [c,iter] = posicion (2,1,0.0001) c= 1.2846 iter = 9 b) ¿Cuántas iteraciones como mínimo se deberán realizar utilizando el método de la bisección tomando el intervalo [0.5,1.5] para obtener el mismo error cometido en el ítem anterior? Primero la función: function y=f(x) y=3.142*(12-x/3)*x^2-60; end Segundo la implementación: function [c,iter] = bisseccion(a,b,e) iter=1; while abs(b-a) > e & iter<1000 c=(a+b)/2; if f(a)*f(c) > 0 a=c; else b=c; end iter=iter+1; end Luego la respuesta: [c,iter] = bisseccion(0.5,1.5,0.0001) c= 1.2846 iter = 15 c) Si el ítem a) lo hubiese realizado con un programa de MATLAB pero con una precisión de 10−8 ¿Cómo sería el programa? ℎ Considere 𝑉 = 𝜋 (𝑅 − 3) ℎ2 Primero la función: function y=f(x) y=3.142*(12-x/3)*x^2-60; end Según la implementación: function [c,iter] = posicion (a,b,e) iter=1; c=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a)); M=f(a); while abs (f(c))>e c=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a)); if f(a)*f(c)>0 a=c; else b=c; end if iter>1000 error ('parece que no converge'); end iter=iter+1; end Luego la respuesta: [c,iter] = posicion (1,2,0.00000001) c= 1.2846 iter = 15 6. Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura adjunta. Emplee el método de bisección para resolver la posición de la viga donde no hay momento. 𝑅𝐴+ 𝑅𝐵 = 550𝐿𝑏 𝑅𝐴 = 265𝐿𝑏 𝑅𝐵 = 285𝐿𝑏 ∑ 𝑀(𝑐) = 0 −265(𝑥) + 150(𝑥 − 2) + 300(𝑥 − 4,5) + 𝑀𝑗 = 0 −265𝑥 + 150𝑥 − 300 + 300𝑥 − 1350 + 𝑀𝑗 = 0 𝑀𝑗 = −185𝑋 + 1650 Esta misma función ingresaremos en Matlab expresando en función de 𝑚(𝑥) = −185 + 1650 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) = −185 + 1650 Primero la función: function y=f(x) y=-185*x+1650; end Segundo la implementación: function [c,iter] = bisseccion(a,b,e) iter=1; while abs(b-a) > e & iter<1000 c=(a+b)/2; if f(a)*f(c) > 0 a=c; else b=c; end iter=iter+1; end Luego la respuesta: [c,iter] = bisseccion(0,12,0.001) c = 8.9187 iter = 15 7. La velocidad v de un paracaidista que está dada por 𝑔𝑚 𝑐 𝑣= (1 − 𝑒 −(𝑚)𝑡 ) 𝑐 Donde g=9.81m/𝑠 2 . Para un paracaidista con coeficiente de arrastre de c=15kg/s, calcule la masa m de modo que la velocidad sea v=35m/s en t=9s. Utilice el método de la falsa posición para determinar m con una precisión de 0.000001 Primero la función: function [y] = f(x) y=0.6533333333333*x*(1-(2.71828182846)^(-135/x))-35; end Segundo la implementación: function [c,iter] = bissec(a,b,e) iter=1; while abs(b-a) > e & iter<1000 c=(a+b)/2; if f(a)*f(c) > 0 a=c; else b=c; end iter=iter+1; end Luego la respuesta: [c,iter] = posicion (0,60,0.000001) c =59.8410 iter =10 8. Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de Q = 20m3/s. La profundidad crítica y para dicho canal satisface la ecuación Q2 0 1 *b gAc 3 Donde g = 9, 81m/s2, Ac = área de la sección transversal (m2) y B = ancho del canal en la superficie (m). Para este caso, el ancho y el área de la sección transversal se relacionan con la profundidad y por medio de y2 B = 3 + y y Ac 3 y 2 Resuelva para la profundidad crítica con el uso del método a. Gráfico b. Bisección en el intervalo [0,5 2,5] con una precisión de 0,0001 c. Falsa posición en el intervalo [0,5 2,5] con una precisión de 0.000001. análisis de resultados. 9. Verifique que: - El número (0,5) 10 tiene una precisión binaria finita (0,1) 2 0 5*2 1 0 - El número (0,125) 10 tiene una representación binaria finita (0,001) 2 0 125*2 0 250*2 0 500*2 1 000 - El número (0,7) 10 tiene una representación binaria infinita (0,10110) 2 0 7*2 1 4*2 1 6*2 1 2*2 0 4*2 0 8*2 1 6*2 1 2*2 0 4*2 0 8 10.-DETERNIME LA GRAFICA Y ANALITICAMNETE, LA EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA RAIZ DE F ( X ) X 2 ln( X ) LUEGO AISLE LA RAIZ EN UN INTERVALO. 11.-Dos escaleras de madera, de longitudes L1=3 metros y L2=4 metros de largo, están colocadas contra las paredes de dos edificios que limitan un pasillo, como muestra la figura h=1,5 metros del suelo. Se sabe que la altura indicada x en la figura puede determinarse por medio de la ecuación. x 4 2hx 3 ( L12 L22 ) x 2 2h( L12 L22 ) x h 2 ( L12 L22 ) 0 DETERMINE EL AANCHO DEL PASILLO CON UNA PRESICION DE 1 MILIMETRO (3,4) REMPLAZANDO LOS DATOS LA ECUACION NOS QUEDA x 4 2(1.5) x3 (32 42 ) x 2 2(1.5)(32 42 ) x (1.5)2 (32 42 ) 0 F ( X ) x 4 3x3 7 x 2 21x 15.75 EXPORT Biseccion(A,B,E) BEGIN EXPORT f(X) I:=0; BEGIN WHILE ABS(B−A)>E DO X^4-3*X^3-7*X^2+21*X-15.57 C:=(A+B)/2; END; I:=I+1; IF f(A)*f(C)>0 THEN A:=C; ELSE B:=C END; END; PRINT("C:="+C); PRINT(I); END; 13.-una viga voladizo de 20 pies de longitud con una carga de 600 lb en su extremo se desvioa por una cantidad d (60 x 2 x3 ) /1600 donde d se mide en pulgadas y x en pies. Use el método de la bisección para aproximar el valor de x que corresponde a una desviación de 0.01 pulg. EXPORT Biseccion(A,B,E) BEGIN EXPORT f(X) I:=0; BEGIN WHILE ABS(B−A)>E DO -12*X^3+720*X^2-160; C:=(A+B)/2; END; I:=I+1; IF f(A)*f(C)>0 THEN A:=C; ELSE B:=C; RESPUESTA END; END; 13 ..ITERACIONES PRINT(C); =0.473632 PRINT(I); END; 14.- de la figura adjunta (posición falsa) sean m1 y m2 pendientes de la recta l, igualanado estas pendientes . demostrar que: m1 m2 m1 tg f (b) ba m2 tg f (a) ba f (b) f (a) m1 m2 bc ac af (b) cf (b) bf (a) cf (a ) af (b) bf (a) cf (b) cf (a ) af (b) bf (a) c f (b) f (a) 11.-Dos escaleras de madera, de longitudes L1=3 metros y L2=4 metros de largo, están colocadas contra las paredes de dos edificios que limitan un pasillo, como muestra la figura h=1,5 metros del suelo. Se sabe que la altura indicada x en la figura puede determinarse por medio de la ecuación. x 4 2hx 3 ( L12 L22 ) x 2 2h( L12 L22 ) x h 2 ( L12 L22 ) 0 Primero: Pitagoras L22 Z 2 X 2 .....................1 L12 Z 2 Y 2 .......................2 Igualando 1 y 2. Z 2 L22 X 2 Z 2 L12 Y 2 L22 X 2 L12 Y 2 L22 X 2 ( L12 Y 2 ) 0 L22 L12 X 2 Y 2 0.......................ECUACION 1 Semejanza de triángulos X h donde.........a Z b Z a X h ................................................3 Z Z b Y h .................................................4 Z b De las ecuaciones 3 y 4 X h Z Z b X ( Z b) hZ XZ Xb hZ XZ hZ Xb XZ hZ b ................................................5 X Y h Z b Zh b .........................................................6 Y Igualando 5 y 6 Zh XZ hZ Y X XZh Y XZ hZ Xh Y .........................................7 X Z Remplazando 7 en ECUACION 1 2 Xh L L X 2 2 2 0 X Z 2 1 ( Xh) 2 L L X 2 2 2 2 0 2 X 2 XZ Z 2 1 ( L22 L12 X 2 )( X 2 2 XZ Z 2 ) ( Xh) 2 0 X 2 L22 2 L22 XZ L22 Z 2 L12 X 2 2 L12 XZ L12 * Z 2 X 4 2 X 3 Z X 2 Z 2 X 2 h 2 0 X 2 2hX 3 ( L12 L22 ) X 2 2h( L12 L22 ) X h 2 ( L12 L22 ) 0 10. De la figura adjunta (Posición falsa) sean m1 y m2 pendientes de la recta L, igualando estas pendientes. Demostrar que: 𝑎𝑓(𝑏) − 𝑏𝑓(𝑎) 𝑐= 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏𝑓(𝑎) − 𝑐𝑓(𝑎) = 𝑎𝑓(𝑏) − 𝑐𝑓(𝑏) 𝑐𝑓(𝑏) − 𝑐𝑓(𝑎) = 𝑎𝑓(𝑏) − 𝑏𝑓(𝑎) 𝑐(𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)) = 𝑎𝑓(𝑏) − 𝑏𝑓(𝑎) 𝑎𝑓(𝑏) − 𝑏𝑓(𝑎) 𝑐= 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) MÉTODO DE PUNTO FIJO El Método de Punto Fijo (también conocido como iteración de punto fijo), es otro método para hallar los ceros de f(x). Para resolver f(x) = 0, se reordena en una forma equivalente: f(x) = 0 x - g(x) = 0 x = g(x) Observe que si c es un cero de f(x), f(c)=0 y c=g(c). (Siempre que se tenga c=g(c) se dice que c es un punto fijo de la función g). Para aproximar un cero de f se utiliza la iteración de punto fijo (1) xn+1 = g(xn) , n = 0, 1, 2, 3, . . Donde x0 es una aproximación inicial del cero de f. Gráficamente su análisis se denota: Ejemplo: Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que . Solución Si despejamos la del término lineal, vemos que la ecuación equivale a De donde, En este caso, tenemos que . Un vistazo a la gráfica, no convence que , para , lo que es suficiente para deducir que el método sí converge a la raíz buscada. Aplicando la fórmula iterativa, tenemos: Con un error aproximado del 100%. Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos: Con un error aproximado igual al 28.41%. En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: De donde vemos que la aproximación buscada es: Método de la secante El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útil emplear el método de la secante. El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión: Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, obtenemos la expresión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteración: Grafico N° 1 Grafica del método de la secante En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método de Newton-Raphson explicado anteriormente. Ejemplo: Usar el método de la secante para aproximar la raíz de , comenzando con , y hasta que . Solución Tenemos que y , que sustituímos en la fórmula de la secante para calcular la aproximación : Con un error aproximado de: Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: Aprox. a la raíz Error aprox. 0 1 100% 0.612699837 63.2% 0.653442133 6.23% 0.652917265 0.08% De lo cual concluimos que la aproximación a la raíz es: