LÓGICA Y CONJUNTOSLuis J. Paredes Universidad Técnica de Ambato, Facultad de Ingeniería Civil y Mecánica Abstract En el presente trabajo de transcripción encontraras toda la información que hace referencia a lógica matemática, circuitos lógicos y conjuntos. La materia que se halla aquí es un resumen recopilatorio de los temas anteriormente mencionados con sus respectivos ejemplos y ejercicios resueltos para poder guiarnos en una posterior investigación. Palabras clave Lógica, matemática, operadores lógicos, leyes de lógica, circuitos lógicos, conjuntos, cuantificadores, relación entre conjuntos, operaciones. Introducción Desde un inicio las matemáticas han formado parte de nuestras vidas, este trabajo esta enfocado en el aprendizaje de la lógica matemática y en cierta parte lo que hace referencia a conjuntos con un porcentaje significativo de ejercicios resueltos y ejemplos para un mejor entendimiento. Desarrollo Proposiciones Una proposición lógica es cualquier expresión que puede ser verdadera o falsa pero no las dos al mismo tiempo. Ejemplo: El año empieza con el mes de Enero. 1+1=2 Marte esta llena de marcianitos. 5*9=59 Valor de verdad Es aquella cualidad de veracidad que tiene una proposición simple o compuesta y esta puede ser verdadera o falsa. Proposiciones simples o atómicas: p,q,r, s,… Proposiciones compuestas o moleculares: Usan un nexo ⇒ operadores lógicos Operadores lógicos Son conectores o nexos que enlazan dos o más proposiciones simples formando una nueva proposición. Negación Es aquel operador que cambia el valor de verdad de la proposición original. Si p es p es la negación de la una proposición, proposición, lo que significa que es su opuesto lógico. Los símbolos están dados por: , ¬ Ejemplo: p: Quito es la capital del Ecuador. p: Quito no es la capital del Ecuador. q: 1+3=5 q: 1+3 ≠ 5 Tabla de verdad p p V F F V pero no ambas y la denotaremos por p ⊻ q Conjunción Es una proposición compuesta que se obtiene relacionando dos proposiciones simples mediante el conectivo lógico “y”.Nota: # combinaciones posibles = 2n Siendo n el número de proposiciones. p q . Simbólicamente la conjunción de dos proposiciones p y q se denotan así: Si ambas proposiciones tienen el mismo valor lógico la disyunción es falsa. p∧ q p q V V V V F F F V F F F F Esta proposición es falsa proposiciones son falsas. Simbólicamente se representa p⊻q p p∨ q si ambas Consecuente Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso la proposición compuesta es falsa. se denota por p→ q p→ q Antecedente (tesis) (conclusión) Disyunción inclusiva Es una proposición compuesta que se obtiene relacionando dos proposiciones simples mediante el conectivo lógico “o” y su forma matemática es “ ∨ ”. Dadas las proposiciones p y q llamaremos disyunción exclusiva p o q. p q V V p→ q V V F F F V V F F V Bicondicional Es una proposición formada por el conectivo lógico “si y solo si” y la denotaremos por p↔ q Si ambas proposiciones tienes el mismo valor lógico el bicondicional es verdadero. p∧ q Esta proposición será verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones sean verdaderas. p∨ q p q V V V V F V F V V F F F Disyunción exclusiva q V V F V F V F V V F F F Condicional Es una proposición compuesta que se obtiene relacionando dos proposiciones simples mediante el conectivo lógico “si p entonces q”. p↔ q V V V V F F F V F F F V Cuando la proposición compuesta tiene al menos un verdadero y un falso. Ejercicios: Si p→( q ∨ p) es falso Determine los valores de las siguientes proposiciones p→ q a) p↔ q ≡ ( p ⊻ q) p V V V V F F F F [ q V V F F V V F F q↔ p b) Ejercicios: ( p∧ q)→ r ( p ∧ q) → r r V F V F V F V F F F F F V V V V F F F F V V F F V V V V F V V V F V F V F V F V c) ( p ∨q) → p d) ( p→ q) → p p V V F F t → ( p ∧ q ) ] ∧( p ∧q) → t p ≡ V q ≡ F q V V F F V V F F t V F V F V F V F [ t → ( p ∧ q ) ] ∧ ( p ∧ q ) →t V F V V V F V F V F V V F F V V p→ q a) p V V V V F F F F p→(q ∨ p) q V F V F V F F F V F V F V F V V F V V V V V V F F V V V V V V V V F F F F F F V F F F F F F F V V F F F F F F V V V V V V V V V F V F V F V F q↔ p b) V V V c) ( p ∨q) → p V F F d) ( p→ q) → p F Tautología Cuando una proposición compuesta es verdadera para todos los valores de verdad. Contradicción Cuando una proposición compuesta es falsa para todos los valores de verdad. Contingencia V V V V ( t ⊻ s ) ↔[( s → t)∧(q ∨ s )] t V V V s V V F q V F V ( t ⊻ s ) ↔[ ( s →t ) ∧(q ∨ s)] V V F V F F F F V V V V V V V V F V V F V V F V F F V . y es lógicamente equivalente a “cuando no se tiene q. ( p ∨q) ⇔ p ∧ q p V V F F q V F V F Conjunción Disyunción reemplaza por ≡ . se tiene q”. Ejemplo: La forma p→ q ⟺ q → p p⇒ (q → p) .V F F F F F V V F F F V F V F F F F V V F F V F F V F F V V V V V F F V F F F F V V F F F puede traducir al lenguaje común como “si se tiene p de cualquier manera q seguirá teniendo p”. ⟺ alternativamente en símbolo se q V F V F V V F F V F F F V F V V p∧ q ≡ q ∧ p Asociativa proposicional: p∧ ( q ∧r ) ≡( p∧ q) ∧r se puede traducir al p∨ ( q ∨r ) ≡( p∨ q) ∨r p∧ p ≡ p Idempotencia p∨ p ≡ p p∧ V ≡ p ( p ∨ q) ⇔ p ∧ q Identidad p∨ F ≡ p F F F V V V V F V V V V F F V V F F F V V V V V Conmutativa p∨ q ≡ q ∨ p Implicación lógica Sean A y B dos formas proposicionales. p∧( p → q)⇒ q p V V F F Equivalencia e implicación material Equivalencia Sean A y B dos formas proposicionales. Ejemplo: p∧ ( p → q ) ⇒ q Leyes de la lógica proposicional lenguaje común como “cada vez que se tiene p. entonces no se tiene p”. Cuando se requiere sustituir una estructura por otra que sea equivalente. se La forma proposicional V V p∧ F ≡ F Absorción p∨ V ≡ V Negación ∼V ≡ F ∼ F ≡V Doble negación (DN) ∼(∼ p)≡ p V F V F . se dice que A implica lógicamente a B denotado por A ⇒ B es una tautología. se dice que A es Equivalente lógicamente a B dentado por A ⟺ B es una tautología. . ∼ ( ∼ p ∨ q ) ∨[V ∨∼ q ] Tercio excluido ∼(∼ p ∨q) ∨V ∼( p ∧q)≡∼ p ∨∼q Absorción Contrarrecíproca p→ q ≡ ∼ q →∼ p V Tercio excluido p∨ ∼ p ≡ V Absorción Variantes del condicional Contradicción p∧ ∼ p ≡ F Implicación material p→ q ≡ ∼ p ∨ q p→ q Original q→ p Reciproca ∼ p→∼q Inversa ∼q→∼ p Contrarrecíproca Ejercicio: ( p ∧ ∼ q ) →[(∼ p ∨∼q) →∼ p] Absorción total p∧( p ∨q) ≡ p ∼ ( p ∧ ∼ q ) ∨[∼(∼ p ∨∼ q)∨ ∼ p ] p∨( p ∧q) ≡ p Ley del Bicondicional p↔ q ≡ ( p → q ) ∧(q → p) I. Asociativa Conm.Distributiva p∨ ( q ∧r ) ≡( p∨ q)∧( p ∨r ) p∧ ( q ∨r ) ≡( p∧ q)∨( p ∧r ) Ley DeMorgan ∼( p ∨q)≡∼ p ∧∼q ( ∼ p ∨ q ) →[(∼ p ∨ p)∨∼ q] Asociativa ∼ ( ∼ p ∨ q ) ∨[(∼ p ∨ p) ∨∼ q ] I. I.M.M. . q ∨∼ p ∨(p ∧ q) Idempotencia q ∨[∼ p ∨ ( p ∧q ) ] Ejercicios: ∼ ( p ∧ ∼q ) →[( p →∼ q) ∨ p] Asociativa q ∨(∼ p∨ q) ( p ∨ q ) →[(∼ p ∨∼ q) ∨ p] Absorción ∼ p ∨(q ∨ q) DeMorgan.M. ( ∼ p ∨ q ) ∨[( p∧ q)∨∼ p ] Comprobación: Demostrar la ley de la absorción total p∨( p ∧q) DeMorgan q ∨ ( ∼ p ∨∼ p ) ∨( p ∧ q) p V V F F q V F V F V V F F V F F F Asoc. ∼ ( a → c ) →∼ t 2. Idempotencia Adjunción y simplificación: [ ∼ ( p → q ) ∧∼ ( r ∧∼ p ) ] ↔ ( p ∨∼ q ) →( r → p)Adjunción: p 1. q ) ] [ ∼ ( p ∧ ∼ q ) ∨ ( p ∨q ∨∼r ) ] ∧ [ ∼ ( p ∨q ∨ ∼r ) ∨ ( p ∧∼ Modus Ponendo Ponens (PP) [ ∼ p ∨ q ∨ p ∨q ∨∼r ] ∧ [ ( ∼ p ∧∼ q ∧ r ) ∨ ( p ∧∼ ) ] afirmando afirma) (Elqque 1. p 1. q Modus Tollendo Tollens (TT) (El que negando niega) p→ q 1.∼ p∨q 3. [ ∼ ( ∼ p ∨ q ) ∧∼ ( r ∧∼ p ) ] ↔ ∼ ( p∨ ∼ q ) ∨(∼ r ∨ p) 2. q [ ( p ∧ ∼ q ) ∧ ( ∼ r ∨ p ) ] ↔ ( ∼ p ∧q ) ∨(∼r ∨ p) 3.⇒ C 2. ) ] p q 4.. 2. ∼ ( a →b ) . ∼p 3. 2. ∼q 3. p 3. … [ ( p ∧ ∼ q ) → ( p ∨q ∨ ∼r ) ] ∧ [ ( p ∨ q ∨∼r ) → ( p ∧∼q 3. toda la vida es verdadero. Adición: H 1 ∧ H 2 … … . [ ∼ q ∧ ( ∼ p ∧r ) ] ∨ ( ∼ q ∧ p ) De premisas verdaderas conclusiones verdaderas. …. q Ejercicio: 1. … p∨ q ∨… 4. p∧ q ∧r Simplificación: p∧ q 1. p→ q obtengo 2. 2. ∼p Silogismo disyuntivo (SD) p∨ q 1. ( ∼ p ∨ p ∨ q ∨q ∨ ∼r ) ∧[(∼ p ∧∼q ∧ r)∨(p ∧ ∼q)] ( V ) ∧ [ ( ∼ p ∧∼ q ∧r ) ∨ ( p ∧∼q ) ] (∼ p∧ ∼q ∧r )∨( p ∧∼ q) ∼ q ∧ [ ( ∼ p ∧r ) ∨ p ] ∼q ∧ ( p ∨r ) Leyes de inferencia Premisa: es cualquier forma proposicional en el que su valor de verdad siempre. r [ p ∧ ∼ q ∧ ( ∼ r ∨ p ) ] ↔ ( ∼ p ∧q ) ∨∼ r ∨ p [ ∼ q ∧ p ∧ ( ∼ r ∨ p ) ] ↔∼r ∨ p ∨ ( ∼ p ∧q ) ( ∼ q ∧ p ) ↔(∼ r ∨ p ∨q) 4. a→c S. ∼ b ∨c 3. ∼ ( a →b ) 2. ∼t I. ( p ∧q) →r 2. 4 e) 1.H. e→s 2. 1-3 t∧s 5. 2. p→ q 2. q→r 4. p∨ q \\ t ∧ s contrarrecíproca 2 resolucion1-3- . r 1. p∧ t 3. r →s 3. 1 \\ a → c d) Exportación: 1. ∼t →∼ j 3. c P.D. q ∧r 3.P. 1. 2-5 1. r →s P. p \\ r simplificación 2 2. ∼b→c 3. ∼( p ∨r ) p→ ( q → r ) Ejercicios: I. 3-4 1.P. p∨ r 4.M. ∼ ( ∼a ∨b ) 4. p→ ( qr ) 2. 2-3 Silogismo hipotético (SH) p→ q 1. 2 5. q∨s 1. 3. ∼ a ∨b 2.M. ( p ∧ r ) →( q ∧ s) r →s 3. ∼ ( q ∨ s) 4.M.3. a→b I. ( p ∨ r ) →( q ∨ s) 2. r →s 3. (a → b)∨ ∼ t 4.M. 2. ∼b simplificación 4 6. a ∧∼ b DeMorgan 3 5. 1 a) S. e∧ j 4. b→c I. j →t Dilema constructivo (DC) Disyunción: p→ q 1. 1 4. simplificación 4 b) Conjunción: p→ q 1. \\ c c) Resolución (dilema destructivo) p→ q 1. p→ r 5. 1- 6 S. q→t \\ p 4. s∨p 4.M. s S. q 6. ∼ s P.D. ∼q T. 6. ∼(s ∨∼ q) f) 9 \\ ∼(s ∨∼ q) 11. P. 12-4 DeMorgan 6 Circuitos lógicos Circuitos en serie g) 1. 3-6 lógico) Si p esta cerrado 8. 7 ∼s→ q 9. ( p ∧ q) → r 2. 2-3 5. r →( c → p) 7.P. ∼s∧ q 7. ∼(q → r ) 3. 11-3 adjunción 4-5 13. e S.T. s →t \\ t 5. ( r →c ) → p p r q Interruptores p p≡ F ≡0 Serie (AND) Conjunción ∧ \\ e (cero p≡ V ≡ 1 (uno lógico) h) conmutativa 2 p esta abierto p∧ q p q 0 0 0 Apagado 0 1 0 Apagado 1 0 0 Apagado 1 1 1 Encendido . ∼(t ∧ r ) 10. p 1.P. exportación 5 c → ( c → p) S. ∼p T. 2-5 7. p→ ( q → r ) exportación 1 Si 6.2.T. ∼t 3. (c → r ) 2.D.P.M. 2-3 5. Idempotencia c→ p I. 4-7 1. s ∨e 5. ∼s T.H. t P. ( c → p ) →∼ s 4. 1-4 8.D. 1-4 10 12. ∼ c ∨ p 3. s →t ∧ r 4. (∼ c ∨ ∼ c )∨ p asociativa 8 2.T. (c ∧ r )→ p 3. ∼c ∨ (∼c ∨ p ) I. reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida.Circuitos en paralelo Paralelo (OR) Disyunción ∨ {[ ( p →q ) → r ] ∧ ( ∼r ∨ s ) } ∨ [ ∼ ( p ∧ s ) ∧q ] {[ ∼ ( ∼ p ∨q ) ∨r ] ∧ ( ∼ r ∨ s ) }∨ [(∼ p ∨∼ s )∧ q ] p∨ q p q 0 0 0 Apagado 0 1 1 Encendido 1 0 1 Encendido 1 1 1 Encendido {[ ( p ∧∼q ) ∨ r ] ∧ ( ∼r ∨ s ) }∨ [(∼ p ∨∼s )∧ q ] Ejercicio: ( p ∨q) ∧r p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 ( p ∨ q ) ∧r 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 Conjuntos Es una colección. Conjuntos numéricos: N Naturales (1 hasta ∞ Z ) Enteros ( ∞ Q + - hasta ∞ + ) Racionales (Son todos los números que pueden ser fracción) . 3} B= 1 2 3 Tabulación Diagrama de 2 E= { x ∈ C {x ¿ + 3=0 } E= { ± √3 i } E= { −√ 3 i . -2. 1. Es decir. Se simboliza así: ∀ (“para todo” es su lectura) Si el conjunto en el que se trabaja es A y p(x) es la propiedad enunciada. 2. Ejemplo: ¿ A= { x una vocal } Comprensión A= {a.Por comprensión: Para referirnos a alguna característica de los conjuntos. . o. . -1. la ¿ ∀ x ∈ A ( x ¿ . e. se verifica la propiedad 2 C= { x ∈ Z {x ¿ −9=0 } C= {-3. i.R Reales (Irracionales: son todos los números que no pueden ser fracción π . 3} C= -3 3 Ejemplo: x p(x) ”. 3} D= -3 -2 -1 0 1 2 3 √−1 ≡i ) Descripción de conjuntos: La descripción de un conjunto se puede realizar de las diferentes maneras: .Por extensión o tabulación: Cuando se listan todos los elementos. e ) C Complejos (Imaginarios D= { x ∈ Z | x∨≤ 3 } D= {-3. 2. la leeremos expresión: “cualquiera que sea el elemento A .Por diagrama de Venn: Cuando se desea representar gráficamente. de . que la veracidad de la proposición se produce si se verifica para todos los elementos. u} A= a e i Venn o u ¿ B= { x ∈ N 3 } B= {1. E= √ 3i } −√ 3 i √ 3i Cuantificadores Cuantificador universal: En el lenguaje cotidiano se utiliza para indicar que todos los elementos de un conjunto verifican una determinada propiedad. 0. }. {}. ¿Cómo se niega? ¿ (∀ x ∈ n)↔ ∃ x n p ( x ) :4 2> 10 p ( x ) :16>10 ¿ x ∀ x ∈ A (¿)≡es verdadero Cuantificador existencial: Se utiliza para expresar la existencia de elementos que verifiquen o no una determinada propiedad en un dominio que es necesario indicar. 4. no pertenece a p. En este caso. Ejemplo: ¿ ∼(∃ x ∈n)↔ ∀ x n Tipos de conjuntos Conjunto vacio: Si no tiene elementos. …. ∞ + } En el lenguaje cotidiano se presenta en ocasiones la negación de un cuantificador universal en situaciones como esta: Ejemplo: Todos los calcetines son de color negro. 6. Cardinalidad de conjuntos: es el número de elementos de un conjunto. 5.¿ Se considera el conjunto A= { x ∈ N > 3 p ( x ) : x 2>10 . A= ∅ n(A)= 0 #(A)= 0 Ejemplo: ¿ A= { x ∈ N + 3=0 } A= ∅ n(A)= 0 ¿ ¿ x x ∈ Z > 6 ∧ x< 4 } B= { ∃ x ∈ A (¿)≡ existe almenos un valor que cumple p( x) B= ∅ Negación del cuantificador universal: n(B)= 0 . entonces cualquier elemento que se tome. …. Ejemplo: ¿ A= { x ∈ N 3 } 2 p ( x ) : x >10 A= {3. ∞ + } p ( x ) :9 ≱10 p ( x ) :16>10 Negación del cuantificador existencial: Es decir que si no existe un elemento que pertenezca a p. A= {4. 5. Se define la propiedad ¿ Comprobar que ∀ x ∈ A ( x ¿ . El símbolo que se utiliza para representar al conjunto vacio es: ∅ . la veracidad de la proposición se produce con tal de que existan al menos un elemento del conjunto para que sea verdadero. 7. i. Subconjunto El conjunto A es subconjunto de B sí y solo sí los elementos de A están contenidos en B. Simbólicamente se representa por: A ⊆ B ↔ ∀ x (x ∈ A → x ∈ B) Si A es subconjunto de B pero B no es subconjunto de A. sin pretender contener todo lo que no interesa al problema.5[ n(M)= ∞ Conjunto referencial o universo: Cuando contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema. Ejemplo: ¿ L= { x ∈ N < x } + } ¿ M= { x ∈ x ≤ 5 } M= [4. se dice que A es subconjunto propio de B.2 ≤ x ≤3 } K= {-2. L= {6. -1. e. o. 2. x∈ A→ x∈ A F F V A⊆A Todo conjunto subconjunto de si mismo. Ejemplo: 2 H= { x ∈ Z {x ¿ −9=0 } H= {-3. 8. es . lo cual se representa por: A ⊂ B ↔ ( A ⊆ B ) ∧∼( A=B) x ∈ ∅→ x ∈ A F P V ∅⊆ A El conjunto vacio es subconjunto de cualquier conjunto. 3} n(H)= 2 3 I= { x ∈ C {x ¿ −27=0 } I= {3. } 2 2 n(I)= 3 J= {a. El símbolo que se utiliza para representar este conjunto es: Re. 2 C= { x ∈ Z {x ¿ + 9=0 } C= ∅ n(C)= 0 D={ ∅ } E= {-3} n(E)= 1 ¿ F= { x ∈ R x ≤ 5 } F= {5} n(F)= 1 2 G= { x ∈ N { x ¿ −9=0 } G= {3} n(G)= 1 Conjunto finito: Si tiene una cantidad finita de elementos. 3} n(K)= 6 Conjunto infinito: Si no tiene una cantidad finita de elementos. u} n(J)= 5 K= { x ∈ Z . U. 0. 1. Ejemplo: ¿ E= { x ∈ Z + 3=0 } −3+3 √ 3 i −3−3 √ 3 i .… ∞ n(L)= ∞ no es conjunto vacio n(D)= 1 Conjunto unitario: Si tiene un único elemento. 9. {3}. {1. 3} P(A)= { ∅ . 3}. { ¿ }. P(A) Ejemplo: A= {1. 5} . 2. { ∆ . 3. 4} B= {1. {1}. {1. { ∆ . σ . 4. 5. 2. { ∆ }. A= {2. 3} A=B A=B ↔ ( A ⊆ B ) ∧( B ⊆ A) Conjuntos disjuntos: Los conjuntos A y B son disjuntos sí y solo sí no tienen elementos en común. 2. A= {2. 3}} n(P(A))= 8 n( A ) n(P(A))= 2 3 2 = = 8 ∆ B= { . σ . 3. 3. 7} Intersección: La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. 5} A ∪ B = {1.Conjunto potencia Dado un conjunto A. 3. su conjunto potencia es aquel que esta formado por todos los subconjuntos posibles de A. se denota por: A ∩B . ¿ }} n(P(B))= 8 Relaciones entre conjuntos Igualdad entre conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales sí y solo sí tienen los mismos elementos. 5. 4} Operaciones entre conjuntos Unión: La unión entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. 2. 2. 3} B= {1. {2}. A ∩B={ x ( x ∈ A ) ∧( x ∈ B)} Ejemplo: A= {2. A ∪ B={ x ( x ∈ A ) ∨( x ∈ B) } Ejemplo: A= {1. {1. {2.∗¿ }. 1} B= {1. { σ }. 4. 7} B= {2. σ }. 2}. 5. 3.∗} P(B)= { ∅ . 4. 5} A ≠ B A ∩B=∅ Conjuntos intersecantes: Los conjuntos A y B son intersecantes sí y solo sí A y B tienen al menos un elemento en común. { σ . Se denota por: A ∪ B . 3}. ¿ }. { ∆ . A= {1. 7. 18. 8. 18. e. 11. e. 17. 19} C= {2. 4. d. d. 12. 8} A−B = {1. 8. 20} CC = {1. 5. 5. 10. 6. 18. 20} A C = {1. 8} A= {1. 13. Se denota por: A ∆ B . 5} B= {2. 19} Diferencia simétrica: La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. 2. 9. 8. 10. 6} Complemento: El complemento de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenece al conjunto A. 5. 7. pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por: C A .B= {3. 15. 3. 3. g} A= {a. 3. c. 2. 5. 9} B= {2. Se denota por: A−B . 4. 3. 15. 4. b. e} B= {a. c. 3. b. 2. 3} B− A = {7. 19. 4. 8. 17. 4. Ejemplo: ¿ U= { x ∈ N 20 } ¿ A= { x ∈ N x ≤ 13 } B= {1. 14. 5} Diferencia entre conjuntos: La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A. 3. c. 5. 20} C B = {2. 4. 5. A−B={ x (x ∈ A ) ∧( x ∉ B)} Ejemplo: A= {1. A´. 6. 15. A ∆ B= { x ( A−B ) ∨(B− A) } Ejemplo: Ejercicio: Determinar: [ ( AC ∪ B C ) ∆ CC ] ∩(CC ∆ AC ) Sabiendo que: U= {a. 11. 13. 12. 16. 7. g} . 9} A ∆ B = {1. 7} A ∩B = {3. 9. 4. 5. f. 16. 6. 14. e. g} C= {b. 7. 7. f. 17. 14. 16. n(A) = 22 c) Cuantos estudian solo alemán e ingles. n[( A ∩ I ¿−R ] = 2 d) Cuantos estudian ruso. f. c. 8 estudian ruso y alemán. g} [ ( AC ∪ B C ) ∆ CC ] ∩(CC ∆ AC ) = {a. g} (CC ∆ A C ) = {a. d.A C A ∪U ≡ U = {f. g} Complemento: ∅C =¿ U [ ( AC ∪ B C ) ∆ C C ] UC = ∅ = {a. c. f. d. f. d} ( AC ∪ B C ) = {b. c. f} CC = {a. n( A ∪ R ∪ I )C = 5 b) Cuantos estudian alemán. 10 estudian solo ingles. n(R) = 31 . g} Absorción A ∩∅≡ ∅ B C = {b. g} Doble negación: (AC)C = A Distributiva: A ∪ ( B ∩C )=( A ∪B ) ∩( A ∪ C) A ∩ ( B ∪C )=( A ∩ B ) ∪( A ∩C) DeMorgan: ( A ∪B) C = ( A ∩B) C = A C ∩B C C A ∪B C A ∪ A C =¿ U Leyes del Algebra de conjuntos Unión Intersección A ∪B ≡ B ∪ A Conmutativa A ∩B ≡ B ∩ A Asociativa A ∪ ( B ∪ C ) ≡( A ∪ B)∪C A ∩ ( B ∩C ) ≡( A ∩ B)∩C A ∪A≡ A Idempotencia A ∩A ≡A A ∪∅≡ A A ∩U ≡ A Identidad A ∩ A C =∅ Ejercicio: De un total de 60 alumnos: 15 estudian solamente ruso. c. b. 12 estudian solo alemán. 11 estudian ruso e ingles. y 3 estudian los tres idiomas. Determinar: a) Cuantos no estudian ningún idioma. f. 5 estudian ingles y alemán. d. 10 alumnos estudian los tres cursos. 45 estudian en el curso C. |U|= a+x+b+10+y+z+c 55= a+x+b+10+y+z+c 45= a+x+b+y+z+c (1) |A|= a+x+y+10 32= a+x+y+10 22= a+x+y a= 22-x-y (2) |B|= x+b+z+10 22= x+b+z+10 12= x+b+z b= 12-x-z (3) |C|= y+z+c+10 45= y+z+c+10 35= y+z+c c= 35-y-z (4) 2.|U|= 55 |A|= 32 |B|= 22 |C|= 45 |U|= | ( A ∪ B ∪C) | De 55 alumnos se obtuvo la siguiente información: 32 alumnos estudian en el curso A. 22 estudian en el curso B. 4 reemplazo en 1 45= (22-x-y)+x+(12-x-z)+y+z+(35-y-z) 45= 22+12+35-x-y-z 79-45= x+y+z x+y+z= 24 . 3. Determinar el número de alumnos que estudian simultáneamente dos cursos.