1Matemática Charadas, Curiosidades, Desafios Pesquisa feita por: João Kleber Paranhos R. de Queiróz 2 ORIGEM DO ZERO Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos parciais ou limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão antigos quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de qualquer um desses passos mais antigos sobre o desenvolvimento pleno do conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro. O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não era necessária, de maneira que as potências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.) usava-se um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior de um grupo numérico e não no final. Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo ou 0 para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que é a primeira letra palavra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o número 70, seu valor no arranjo alfabético regular. Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos computacionais. É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV D.C., embora alguns historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria apenas uma conjectura. Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200, mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas, passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre, levaram as nossas palavras “cifra” e “zero”. O significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu. 3 HISTÓRIA DOS NÚMEROS A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática. A LINGUAGEM DOS NÚMEROS Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado. O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três. O corvo assassinado Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida. As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado. Limitações vêm de longe Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão se cada assento está ocupado e ninguém está de pé.3. de alcance não maior que o de certos pássaros. o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal.4 quase completamente disprovidos de toda noção de número. Um sentido rudimentar de número. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um. A idéia de correspondência A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto). e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro. dois e muitos. O número sem contagem Apesar disso. Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais. através de uma série de circunstâncias. a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica. Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). Com efeito. é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. ao contrário. ainda que pareça estranho. se não têm. . Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática. Esse artifício é a operação de contar. se reduz precisamente a tais associações de idéias. possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". qual é o de menor número. já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice. A técnica de contagem. o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados. é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. um número que pertence à sucessão natural: 1. podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e. Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou. sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas. e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem. e é a ele que devemos o progresso da humanidade. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala.. O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito). em muitos povos primitivos. que significa pedra. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro.2. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo". Reduzido à percepção direta do número. Sem contar. e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Todavia. da palavra latina calculus. do mesmo modo que a palavra latina ter.. sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Entrando numa sala de cinema. foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. . e nossa numeração é muito posterior a todos eles.1. tinha florescido a civilização grega. A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. a transição do relativo ao absoluto não é difícil. onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos. mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita. Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias: Nº Grego arcaico Latim Alemão Inglês Francês 1 en unus eins one un 2 duo duo zwei two deux 3 tri tres drei three trois Russo odyn dva tri .2. A explicação para isso é que. ou mão estendida). e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível. os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa. entre os conjuntos modelos. Mas o homem de hoje. Imagine o leitor . o número se desliga do objeto que o representava originalmente. as patas do cavalo o número quatro. com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É claro que uma vez criado e adotado. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números.5 A gente aponta para um objeto e diz: um. Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos. Do relativo ao absoluto Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar. por comparação. os dedos da mão o número cinco. se o último número pronunciado for oito.4. começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero. a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào. e escreveria 0. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada. as folhas de um trevo o número três. mesmo com conhecimento precário de matemática. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos. antes ainda dos romanos.3. sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra.fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto. revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos. Contudo. o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem. Criando conjuntos modelos. aponta para outro e diz: dois. dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas). Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois. dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. tomados do mundo que nos rodeia. e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção. como também efetuar as operações. daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.. 6 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 tetra pente hex hepta octo ennea deca hecaton xilia quatuor quinque sex septem octo novem decem centum mille vier fünf sechs sieben acht neun zehn hundert tausend four five six seven eight nine ten hundred thousand quatre cinq six sept huit neuf dix cent mille chetyre piat chest sem vosem deviat desiat sto tysiatsa Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer .Abril Cultural . XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas. e desenvolvimento da Matemática. As regras sobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtracção.1567) que se recusou a admitir números negativos como raízes de uma equação. Cardano usou os números negativos embora chamando-os de "numeri ficti". A necessidade de contar objetos levou ao aparecimento do conceito de número Natural. muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e.vermelha para os números positivos e preta para os números negativos. mas os hindus converteram-nas em regras numéricas sobre números negativos e positivos. Eles apareciam constantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika". eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. como por exemplo (a -b)(c -d) = ac +bd -ad -bc. Demonstração da regra dos sinais (segundo Euler) . Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. São exemplo disso as contribuições de Brahomagupta. Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de número Natural e desenvolveram um sistema de contagem. As atividades práticas do homem. Exemplo deste facto seria Michael Stifel (1487. chamando-lhes de "numeri absurdi". Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. O desenvolvimento subsequente do conceito de número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. Nos séculos XVI e XVII. e as exigências internas da Matemática por outro determinaram o desenvolvimento do conceito de número. III) operou facilmente com os números negativos. A situação mudou a partir do (Séc.7 ORIGEM DOS NÚMEROS NEGATIVOS O número é um conceito fundamental em Matemática que tomou forma num longo desenvolvimento histórico. A origem e formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o despontar. no entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos como por exemplo: 4 = 4x +20 3x -18 = 5x^2 Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. se esses números apareciam nos seus cálculos. entenda-se nascimento. Os chineses estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras .No entanto. por um lado. não aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação. pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. Diofanto (Séc. um virtuoso do cálculo como se constata nos seus artigos científicos pela maneira audaz como manejava os números relativos e sem levantar questões quanto à legitimidade das suas construções forneceu uma explicação ou justificação para a regra os sinais. 2.= +. não pode ficar satisfeito.(-a) = -ab.(b) = -ab Destes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma quantidade negativa e vice-versa é uma quantidade negativa. só resta como única possibilidade que (-a). É claro que este tipo de argumentação vem demonstrar que qualquer "espírito" mais zeloso.8 Euler.por . Euler deduziu que (-a). como Stendhal.Resta determinar qual o produto de (-a) por (-b). No fundo. logo (b). 3. É evidente diz Euler que o valor absoluto é ab.Por comutatividade. Mas como (-a) ´ b é -ab.(-b) = +ab. Consideremos os seus argumentos: 1. pois principalmente o terceiro argumento de Euler não consegue provar ou mesmo justificar coerentemente que . . Euler não compreende ainda que os números negativos são quantidades menores que zero. pois 3 dívidas de a escudos é uma dívida de 3a escudos. É pois então necessário decidir-se entre ab ou -ab. este tipo de argumentação denota que Euler não tinha ainda conhecimentos suficientes para justificar estes resultados aceitalvelmente.(menos). Na mesma obra de Euler podemos verificar que ele entende os números negativos como sendo apenas uma quantidade que se pode representar por uma letra precedida do sinal .A multiplicação de uma dívida por um número positivo não oferece dificuldade. indicando.Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. porque é confundida facilmente com x. Entretanto. freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . divisão e dos sinais de relação. O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. é relativamente moderno. Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557. Ainda nesse mesmo ano. Adição ( + ) e subtração ( . segundo Rouse Ball. < e > ) . no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. que eu uso também para a divisão. Harriot.sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P. ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos. Julho em 29. como que indicamos a multiplicação. escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação. inicial da palavra latina plus. Daí. representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos. limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas . 1698. Leibniz. ) e divisão ( : ) O sinal de X. subtração. são atribuídas aos árabes: Oughtred. Em 1637. resultou de uma combinação de dois sinais existentes . um produto qualquer. O sinal ÷. como se observa na obra de Diofanto." A forma a/b. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez. que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. indicando a divisão de a por b. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não. desse modo abreviado. multiplicação. Os antigos matemáticos gregos. colocava um ponto entre os fatores. para indicar também o produto a efetuar. 1631. W. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão. Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos.e : Sinais de relação ( =.) O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489. e. Multiplicação ( . A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :. colocava um ponto entre o dividendo o divisor.9 ORIGEM DOS SINAIS A história dos sinais de adição. o sinal = . Guilherme Xulander. constituído por dois pequenos traços paralelos. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est. que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica. por extenso. matemático inglês. matemático alemão. só apareceu em 1557. até então a palavra aequalis aparecia. Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais. indicava a igualdade . terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. por dois pequenos traços paralelos verticais. ligando os dois membros da igualdade.10 Roberto Record. Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot. . em fins do século XVI. No seu primeiro livro. publicado em 1540. se estiver interessado. tente averiguar quais os números que multiplicados por 12345679 faz com que o resultado seja uma sequências de qualquer cifra ( 1 ao 9 )! .11 CURIOSIDADES COM NÚMEROS Por vezes quando efetuamos algumas operações obtêm-se resultados curiosos e interessantes embora a sua importância seja mínima. Por exemplo: 806 pode ser decomposto no seguinte produto 806 = 31 x 26. 3 x 37 = 111 6 x 37 = 222 9 x 37 = 333 12 x 37 = 444 15 x 37 = 555 18 x 37 = 666 21 x 37 = 777 24 x 37 = 888 27 x 37 = 999 Produto de 3367 múltiplos de 33. Produto do número 37 pelos primeiros múltiplos de 3. 33 x 3367 = 111111 66 x 3367 = 222222 99 x 3367 = 333333 132 x 3367 = 444444 165 x 3367 = 555555 198 x 3367 = 666666 231 x 3367 = 777777 264 x 3367 = 888888 297 x 3367 = 999999 pelos primeiros Se continuássemos a multiplicar não obtínhamos a mesma sequência de números mas sim outra que até também é engraçada. 330 x 3367 = 1111110 363 x 3367 = 1222221 396 x 3367 = 1333332 429 x 3367 = 1444443 462 x 3367 = 1555554 495 x 3367 = 1666665 528 x 3367 = 1777776 561 x 3367 = 1888887 594 x 3367 = 1999998 Outro conjunto de operações com algo de curiosidade: 1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 1234567 x 9 + 8 =11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 Já agora. 806 = 62 x 13. Logo: (a+b)(a-b)=ab-b2 Colocando b em evidência do lado direito temos: (a+b)(a-b)=b(a-b) Dividindo ambos os lados por (a-b) temos: a+b=b Como no início dissemos que a=b. Divisão por zero não existe!!! ------------------------------------------------------------------------------- . multiplicando os dois lados da igualdade por a temos: a2=ab Subtraindo b2 dos dois lados da igualdade temos: a2-b2=ab-b2 Sabemos (fatoração). se a=b. ------------------------------------------------------------------------------2 é igual a 1 ??? Vamos verificar: Sejam a e b pertencentes ao reais. Dividindo ambos os lados por b finalmente chegamos a conclusão: 2=1 Obviamente essa demonstração possui um erro. Suponhamos que a=b. que a2-b2=(a+b)(a-b). chega uma etapa onde temos: (a+b)(a-b)=b(a-b) Segundo a demonstração. a próxima etapa seria: Dividimos ambos os lados por (a-b). portanto temos que a-b=0. Então. TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !!! Solução: Erro do 2=1 Nessa demonstração. sendo a e b diferentes de zero. então no lugar de a eu posso colocar b: b+b=b Portanto 2b=b. pois todos nós sabemos que 2 não é igual a 1 (ou alguém tem alguma dúvida?).12 ABSURDOS MATEMÁTICOS Tente descobrir onde está o erro dessas demonstrações absurdas. Aí está o erro!!! No início supomos que a=b. a próxima etapa seria: Dividir ambos os lados por log10(1/3) Aí está o erro!!! Pois log10(1/3) é um número negativo. certo? Portanto estamos dividindo os dois lados da inequação por um número NEGATIVO. pois todos nós sabemos que 4 não é maior que 5 (ou alguém tem alguma dúvida?). TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !!! Solução: Erro do 4>5 Nessa demonstração. que é verdadeira: 16-36 = 25-45 Somamos (81/4) nos dois lados. o que não altera a igualdade: 16-36+(81/4) = 25-45+(81/4) Isso pode ser escrito da seguinte forma: (trinômio quadrado perfeito) (4-(9/2))2 = (5-(9/2))2 Tirando a raiz quadrada em ambos os lados temos: 4-(9/2) = 5-(9/2) . o que nos levaria a correta conclusão de que: 4<5 ------------------------------------------------------------------------------2+2 é igual a 5??? Vamos verificar: Começamos com a seguinte igualdade.13 4 é maior que 5??? Vamos verificar: Começamos com a seguinte inequação: (1/81)>(1/243) Ou seja: (1/3)4>(1/3)5 Aplicando o logaritmo decimal dos dois lados obtemos: log10(1/3)4>log10(1/3)5 Aplicando a propriedade da potência dos logaritmos temos: 4 log10(1/3)>5 log10(1/3) Dividindo ambos os lados por log10(1/3) chegamos a conclusão: 4>5 Obviamente essa demonstração possui um erro. chega uma etapa onde temos: 4 log10(1/3)>5 log10(1/3) Segundo a demonstração. Isso faria com que o operador relacional da equação se invertesse. a um número maior corresponde um logaritmo maior. chega uma etapa onde temos: (4-(9/2))2 = (5-(9/2))2 Segundo a demonstração. Pois se for considerado log de base entre 0 e 1. com 0< a <1.5 | = | 0. o raciocinio é inválido. Seja: 1/4 > 1/8 mas esta mesma desigualdade pode ser escrita de outra forma em que o sinal da desigualdade será o mesmo: (1/2)2 > (1/2)3 Aplicando os logaritmos em ambos os membros e como o logaritmo é uma função crescente. TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !!! Solução: Erro do 2+2=5 Nessa demonstração. pois todos nós sabemos que 2+2 não é igual a 5 (ou alguém tem alguma dúvida?).log(1/2) em conclusão se dividir-mos ambos os membros por log(1/2) teremos: 2>3 É evidente que a primeira vista todo o raciocinio está correto. encontramos a falha: Quando se aplica os logaritmos a ambos os membros da desigualdade. De fato loga((1/2)2) < loga((1/2)3). teremos: log((1/2)2) > log((1/2)3) . isto é.log(1/2) > 3.14 Somando (9/2) nos dois lados da igualdade temos: 4=5 Como 4=2+2 chegamos a seguinte conclusão: 2+2=5 Obviamente essa demonstração possui um erro. obtendo: 4-(9/2) = 5-(9/2) Aí está o erro!!! Está errado porque a RAIZ QUADRADA de um número ELEVADO AO QUADRADO é igual ao MÓDULO desse número. ------------------------------------------------------------------------------- . Então o correto seria: | 4-(9/2) | = | 5-(9/2) | | -0. então pelas propriedades dos logaritmos temos: 2. a próxima etapa é: Tirar a raiz quadrada de ambos os lados. nada é afirmado relativamente à base do mesmo.5 | 0.5 ------------------------------------------------------------------------------2 é maior que 3 ??? Consideremos a seguinte situação. mas se olharmos com atenção.5 = 0. pois todos nós sabemos que 4 não é igual a 6 (ou alguém tem alguma dúvida?). a próxima etapa é: Tirar a raiz quadrada de ambos os lados.2x4x5 + 5x5 = 6x6 . 40 . Então o correto seria: | 4-5 | = | 6-5 | | -1 = | 1 | 1=1 ------------------------------------------------------------------------------- 3 é igual a 4? .15 4 é igual a 6? Começamos com a seguinte igualdade: -24 = -24 Escrevemos o número -24 em duas formas diferentes: 16 .5)2 = (6 . obtemos o resultado: 4=6 Obviamente essa demonstração possui um erro. obtendo: 4-5 = 6-5 Aí está o erro!!! Está errado porque a RAIZ QUADRADA de um número ELEVADO AO QUADRADO é igual ao MÓDULO desse número.60 Os números 16. menos duas vezes o produto dos dois termos mais o quadrado do segundo) (4 .2x6x5 + 5x5 Agora vemos que tanto no lado esquerdo como no lado direito temos um binômio ao quadrado (o primeiro termo ao quadrado.40 = 36 . somando 5 nos dois lados. TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !!! Solução: Erro do 4=6 Nessa demonstração. 36 e 60 podem ser escritos da seguinte forma: 4x4 .2x6x5 Podemos somar 25 nos dois lados da equação sem a alterar: 4x4 . chega uma etapa onde temos: (4-5)2 = (6-5)2 Segundo a demonstração.2x4x5 = 6x6 .5)2 Eliminando o quadrado nos dois lados da equação temos: 4-5=6-5 Finalmente. TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !!! Solução: Erro do 3=4 Nessa demonstração. Portanto estaríamos dividindo ambos os lados por zero. que é igual a 0. pois todos nós sabemos que 8 não é igual a 7 (ou alguém tem alguma dúvida?). que supomos ser verdadeira: a+b = c Podemos escrever a igualdade da seguinte maneira: (8a-7a) + (8b-7b) = (8c-7c) Colocando todos os múltiplos de 7 de um lado e os de 8 do outro.16 Começamos com a seguinte igualdade: 0=0 Podemos escrever a igualdade da seguinte maneira: 3-3 = 4-4 Colocamos o 3 e o 4 em evidência: 3 (1-1) = 4 (1-1) Cortamos os termos comuns entre parênteses e chegamos à igualdade: 3=4 Obviamente essa demonstração possui um erro. a próxima etapa é cortar os membros comuns entre parênteses. pois todos nós sabemos que 3 não é igual a 4 (ou alguém tem alguma dúvida?). temos: 8a+8b-8c = 7a+7b-7c Colocando em evidência o 7 de um lado e o 8 do outro temos: 8(a+b-c) = 7(a+b-c) Dividindo ambos os lados por a+b-c temos: 8=7 Obviamente essa demonstração possui um erro. TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !!! Solução: . Aí está o erro!!! Está errado porque o que temos entre parênteses é 1-1. Divisão por zero não existe!!! ------------------------------------------------------------------------------8 é igual a 7? Começamos com a seguinte igualdade. chega uma etapa onde temos: 3 (1-1) = 4 (1-1) Segundo a demonstração. Divisão por zero não existe!!! . Aí está o erro!!! Está errado porque no início supomos que a+b=c. a próxima etapa é dividir ambos os lados por a+b-c. chega uma etapa onde temos: 8 (a+b-c) = 7 (a+b-c) Segundo a demonstração. portanto a+b-c vale zero.17 Erro do 7=8 Nessa demonstração. 00 _______________________ TOTAL: R$ 29.. se cada um de nós gastou R$ 9. E se o garçom pegou R$ 2. Eu: R$ 10. o que nós três gastamos juntos.R$ 1.00. O garçom.00 Aonde foi parar o outro R$ 1.00 para ele e deu R$1..R$ 1. foi R$ 27.00 Ele: R$ 10... muito esperto.00 Tu: R$ 10.00 que foi devolvido) = Ele gastou R$ 9..00 que foi devolvido) = Tu gastou R$ 9. então vou devolver $5.. temos: Nós: R$ 27. fez o seguinte: pegou R$ 2.00 Tu:: R$ 10.00 O garçom levou o dinheiro e o dono do restaurante disse o seguinte: "Esses três já são clientes antigos do restaurante.00. No final ficou assim: Eu: R$ 10.00 que foi devolvido) = Eu gastei R$ 9.R$ 1.00 Logo.00 Garçom: R$ 2.00 Ele:: R$ 10.00??????? .00 (. fomos comer no restaurante e no final a conta deu R$30..00 Eu.00 (.Tu e Ele..00 para cada um de nós..00 para eles".00 (.00. Fizemos o seguinte: cada um deu dez mangos.18 Aonde foi parar o outro R$ 1.00 para ele. que é amada pelo rapaz que é amado por quem ama Antonio. c) Nada me faltará por qualquer razão menos pelo fato de ser o SENHOR meu pastor. O gondoleiro.19 Charadas 1) Gato e Meio Se gato e meio come rato e meio em minuto e meio.Daniel é amado pela garota que é amada por quem ama Bruna.Quando Carlos olha para Bruna provoca ciúmes em Aline. em quanto tempo um gato come dois ratos? 2) O Senhor é meu Pastor Pense e escolha a única opção correta: "O SENHOR É O MEU PASTOR E NADA ME FALTARÁ" a) O SENHOR será meu pastor enquanto não me faltar nada.Diana ama quem ama Claudia e é amada pelo amor do amor de Carlos. Quem ama quem? 4)A frase: SE ESTUDO ENTÃO PASSO equivale à: a) Se passo então estudo b) Se não estudo então não passo c) Se não passo então não estudo d) Só se estudo então passo e) Estudo ou não passo Resposta: . nota os olhares e observa: 1. 4.. 2.passeavam numa gôndola em Veneza. Todos estavam apaixonados: cada garoto por uma garota e vice-versa. f) Não me faltará nada somente se o SENHOR for meu pastor. muito observador. d) Nada me faltará por qualquer razão podendo ser pelo fato de ser o SENHOR meu pastor. e) O SENHOR será meu pastor se não me faltar nada. 3) Quem ama quem? Oito jovens. 5. 3.4 garotos e 4 garotas . g) Faltar-me-á algo se o SENHOR não for meu pastor.Claudia é amada pelo rapaz que é amado pela garota que ama Bruno. h) Mesmo que me falte algo o SENHOR será sempre meu pastor. b) Nada me faltará por que o SENHOR é meu pastor.Antonio ama quem quer namorar com quem gosta de Bruna. Quantas são falsas? 7) Lápis e Caneta LÁPIS CANETA . Neste cartão exatamente duas afirmativas são falsas.LÁPIS E CANETA Existem três gavetas com e somente com os objetos indicados pelas etiquetas. 6) Em um cartão estão quatro afirmativas: Neste cartão exatamente uma afirmativa é falsa. Concluímos que o número da casa era 13 pois existem duas possibilidades para essa soma ( 1 x 6 x 6 e 2 x 2 x 9 ). mas nada afirma sobre o que acontecerá se eu não estudar.9. De repente o pai disse: "ah! E a mais velha toca piano!" Nesse ponto o amigo. se eu estudar. Se eu não estudar. Acontece que mesmo com essa dica ele ainda continuou na dúvida. A alternativa correta é a letra C. Neste cartão exatamente quatro afirmativas são falsas. posso passar ou não. Depois de muita conversa um deles perguntou: Você tem filhos? E o outro respondeu: "Tenho três filhas. excelente matemático. passo com certeza. Afirmando que todas as etiquetas estão colocadas trocadas. 5) Soma das idades Dois amigos matemáticos. Qual a idade delas? Resposta: Analizando as possibilidades temos: 1 x 6 x 6 = 36 / Soma 13 3 x 3 x 4 = 36 / Soma 10 1 x 1 x 36 = 36 / Soma 38 1 x 4 x 9 = 36 / Soma 14 2 x 3 x 6 = 36 / Soma 11 1 x 3 x 12 = 36 / Soma 16 1 x 2 x 18 = 36 / Soma 21 2 x 2 x 9 = 36 / Soma 13 Como a soma das idades era o mesmo número da casa em frente. a soma das idades é o número daquela casa ali ( e apontou a casa e o amigo viu o número ). significa que não estudei pois. não tinha mais dúvida e já podia dizer as idades com certeza. Neste cartão exatamente três afirmativas são falsas.O amigo continuou na dúvida sem poder dizer qual a idade das filhas dele. quantas vezes é necessário retirar um objeto de qualquer gaveta para se colocar as etiquetas corretamente? . Com a terceira dica de que a mais velha toca piano eliminamos a hipótese onde não há irmã mais velha ( 1 x 6 x 6 ) e ficamos com os valores 2. O produto de suas idades é 36.20 Se estudo então passo significa que se eu estudar vou passar. Se eu não passar. se encontraram na rua. que há muito não se viam. bastava que ele olhasse o número para saber as idades.2. Qual é o total? (Resposta mais abaixo) ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA ANTI-TRAPAÇA O seu resultado é de 5000? A resposta certa é de 4100! Se não acredita. só que os milhares separadamente somados o confundem e faz ele arredondar o que seria centena para milhar também (força da repetição).21 1000 + 40 O cálculo deve ser feito rapidamente. . Acrescenta 20. Este cálculo deve fazer-se mentalmente (e rapidamente). Acrescenta mais 30. verifica com a calculadora. Acrescenta mais 1000. Acrescenta mais 1000. O cérebro tende naturalmente a arrendondar a soma dos decimais. sem utilizar calculadora nem papel e caneta! Você tem 1000. Acrexcenta mais 10. O que acontece é que a seqüência de milhar desvia atenção do cérebro. acrescenta mais 40. Acrescenta mais 1000. O dono da casa amarela fuma Dunhill. .A casa verde fica à esquerda da casa branca. . .22 Teste De Einstein 1.A pessoa que fuma Pall Mall cria pássaros .O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja. .O homem que vive na casa do centro bebe leite.O dinamarquês bebe chá. . Nenhum deles tem o mesmo animal. Einstein escreveu esse teste no século passado. . . . 2. fumam o mesmo cigarro ou bebem a mesma bebida. . Esses 5 proprietários bebem diferentes bebidas. A questão é: quem tem um peixe? Dados: . . .O norueguês vive ao lado da casa azul. . . Em cada casa mora uma pessoa de uma diferente nacionalidade 3.O sueco tem cachorros como animais de estimação. .O homem que cria cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill. Há cinco casas de 5 diferentes cores.O dono da casa verde bebe café.O homem que fuma Blend é vizinho do que bebe água.O alemão fuma Prince.O inglês vive na casa vermelha.O homem que fuma blends vive ao lado do que tem gatos.O norueguês vive na primeira casa. Ele disse que 98% do mundo não pode resolvê-lo. fumam diferentes tipos de cigarro e têm um certo animal de estimação 4. ALÔ BOLA AME O POEMA AMOR A ROMA ANA ANOTARAM MARATONA A DATA DA ROMANA: ANIL É COR AZUL ÓDIO DO DOIDO OI RATO OTÁRIO OSSO OTO COME MOCOTÓ OVO ANOTARAM A MARATONA O CASACO APÓS A SOPA O CÉU SUECO ASSIM A AIA IA A MISSA O DEDO ATÉ O POETA O GALO AMA O LAGO AULA É A LUA O LOBO AMA O BOLO A BABÁ BABA O GALO NO LAGO A DIVA EM ARGEL ALEGRA-ME A VIDA A DROGA DA GORDA A MALA NADA NA LAMA A TORRE DA DERROTA EVA ASSE ESSA AVE LUZ AZUL LUZA ROCELINA.23 PALÍNDROMOS Palíndromos podem ser palavras ou números que são iguais quando lidos de frente para trás e de trás para frente. Aqui. mostramos alguns palíndromos. A NAMORADA DO MANUEL. só por curiosidade. LEU NA MODA DA O MITO É ÓTIMO O ROMANO ACATA AMORES A DAMAS AMADAS E ROMA ATACA O NAMORO O VÔO DO OVO MIRIM MORRAM MARROM MUSSUM APÓS A SOPA . Alguns exercícios de análise combinatória envolvem palíndromos. O BREVE VERBO RIR ROMA É AMOR ROMA ME TEM AMOR SOCORRAM-ME SUBI NO ÔNIBUS EM MARROCOS SUBI NO ÔNIBUS VIVIANA AMA ANA IVIV ZE DE LIMA RUA LAURA MIL E DEZ .24 SAIRAM O TIO E OITO MARIAS RADAR SÁ DA TAPAS E SAPATADAS RENNER REVIVER RIR. Por exemplo.. 3) 37 x 11 somamos os algarismos do número 37: 3+7=10 como deu um nº maior que 9. Multiplicar um número por 11 Quando o número for de 2 algarismos. vamos efetuar a seguinte multiplicação: 135 x 11. Outros exemplos: 1) 34 x 11 somamos os algarismos do número 34: 3+4=7 colocamos o resultado no meio deles: 374. então esse número multiplicado por 11 resultará em um número de 4 algarismos.25 Multiplicar um Número por. Portanto 44 x 9 = 396. Portanto 37x11 = 407. vamos efetuar a seguinte multiplicação: 26 x 11. Somando o 2º com o 3º algarismo desse número temos 3+5=8. Outros exemplos: 27 x 9 = 270-27 = 243. Portanto 81x11 = 891. Colocamos apenas o algarismo das unidades (0) no meio deles. 33 x 9 = 330-33 = 297. Então subtraímos desse valor o valor inicial: 440-44 = 396. . Portanto 34x11 = 374. Acrescentando um zero no final do número 44 ficamos com 440. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 9. Portanto 26 x 11 = 286. Temos o número 26. Temos o número 135. Quando o número for de 3 algarismos. e o algarismo da dezena (1) é somado ao primeiro algarismo do número: 407. somando seus 2 algarismos temos 2+6=8. Esses 2 resultados serão colocados no meio do número 135. então não podemos colocar todo o número no meio deles. 56 x 9 = 560-56 = 504. Portanto 135 x 11 = 1485. Somando o 1º com o 2º algarismo desse número temos 1+3=4. Pronto! Agora é só colocar esse 8 no meio deles: a resposta é 286.. Multiplicar um número por 9 Nesse caso basta acrescentar um zero no final do número e subtrair pelo número inicial. 2) 81 x 11 somamos os algarismos do número 81: 8+1=9 colocamos o resultado no meio deles: 891. basta somar esses 2 algarismos de colocar o resultado no meio deles. Por exemplo. tirando o seu algarismo do meio: 1485. Então subtraímos desse valor o valor inicial: 4400-44 = 4356.26 Multiplicar um número por 99 Nesse caso basta acrescentar 2 zeros no final do número e subtrair pelo número inicial. e a soma de seus algarismos das unidades seja 10. o resultado será ABAB. Acrescentando 2 zeros no final do número 44 ficamos com 4400. etc. 2) Multiplicamos os algarismos das unidades normalmente. Devem ser seguidos os seguintes passos: 1) Multiplicamos o algarismo das dezenas (que é igual nos 2 números) pelo número seguinte a ele. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 53 x 57: Passo 1: 5x6 = 30 Passo 2: 3x7 = 21 Passo 3: Juntamos os dois números: 3021. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 99. 94x96. Exemplos de multiplicações que podem ser feitas com esse método: 42x48. 87x83. Portanto 44 x 99 = 4356. Alguns exemplos: 43 x 101 = 4343 32 x 101 = 3232 14 x 101 = 1414 101 Essa é Interessante Multiplicar 2 números (de 2 algarismos) que possuam o mesmo algarismo das dezenas. 3) Juntamos as duas partes. Outros exemplos: 27 x 99 = 2700-27 = 2673 56 x 99 = 5600-56 = 5544 33 x 99 = 3300-33 = 3267 Multiplicar um número por Quando um número de 2 algarismos AB for multiplicado por 101. Portanto 53 x 57 = 3021. Barbada! . 21x29. 53x57. 35x35. Barbada! E a Última. Soma dos n primeiros números naturais ímpares A soma dos n primeiros números naturais ímpares é igual a n^2. .. Exemplos: 1) Soma dos 5 primeiros números naturais ímpares (1+3+5+7+9): A soma é igual a 5^2 = 25. Portanto 94 x 96 = 9024.27 Outro exemplo: 94 x 96: Passo 1: 9x10 = 90 Passo 2: 4x6 = 24 Passo 3: Juntamos os dois números: 9024. 2) Soma dos 15 primeiros números naturais ímpares: A soma é igual a 15^2 = 225.. y e agora tem y. ou seja: Agora eu tenho (4/3).y Somando y + (1/3)*y você terá a minha idade.28 DESAFIOS MATEMÁTICOS -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 1 EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS QUANDO EU TINHA A TUA IDADE. PORTANTO AS IDADES SÃO 20 E 15 ANOS!!! -------------------------------------------------------------------------------- .y=45 3y=45 y=15 No início descobrimos que x=(2/3). temos: Tu TINHAS (2/3).y Agora preste atenção na segunda frase: QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE. FINALMENTE: QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES??? COMO DISSEMOS NO INÍCIO.y + (5/3). Como somamos (1/3). ou seja.y A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos: (4/3). 15 ANOS. que é (4/3). E A MINHA IDADE É 2x. Tu tem y.y + (1/3). eu TENHO 2x anos. logo eu tenho (5/3). devemos somar à minha também. Eu TINHA y e agora tenho 2x.y à sua idade. portanto x=(2/3). ENTÃO: Tu TINHAS x e agora tem y. deve-se somar a tua idade y com mais (1/3).15.y. Eu TENHO o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade atual y (o dobro de x) . Portanto temos que: y-x = 2x-y 2y=3x x=(2/3).10. substituindo o valor de x.y ENTÃO. logo x=10. A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS.Eu TINHA y e agora tenho (4/3).y=45 (9/3). 2. ou seja. OU SEJA. e para ter a minha idade. A TUA IDADE ATUAL É y. QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES??? Solução: Tu TINHAS uma idade que chamaremos de x e hoje TEM uma idade que chamaremos de y. você terá (4/3)*y. QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE. OU SEJA. QUE É IGUAL A 20 ANOS.y.y. A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6 pessoas nesses 4 lugares. Vamos chamar essa pessoa de João. portanto ele deve estar em um dos três bancos de trás. um arranjo de 6 elementos.4= 360 O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás. por exemplo. Então: (y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2) Isolando y na equação 1: y = 4x/5 . Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4 lugares no carro). QUAL É A IDADE DA MAIS VELHA ATUALMENTE? Solução: Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova. Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente. AGORA ESTÃO NA RAZÃO DE 4 PARA 5. Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha. Portanto número total é 720+1080 = 1800 maneiras!!! -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 3 AS IDADES DE DUAS PESSOAS HÁ 8 ANOS ESTAVAM NA RAZÃO DE 8 PARA 11. ou seja. Então: y/x = 4/5 (equação 1) O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. Solução: São 7 pessoas.4= 3 x 360 = 1080 O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos (COM João e SEM João). tomados 4 a 4: A6. portanto devemos multiplicar esse resultado por 3: 3 x A6. tomados 5 à 5: A6. CALCULE O NÚMERO DE ALTERNATIVAS DISTINTAS PARA LOTAR O AUTOMÓVEL UTILIZANDO 7 PESSOAS. sendo que uma nunca pode ir num banco da frente.29 DESAFIO 2 UM AUTOMÓVEL COMPORTA DOIS PASSAGEIROS NO BANCO DA FRENTE E TRÊS NO BANCO DE TRÁS. O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5.5= 720 Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel COM o João. Então primeiro vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel SEM o João. usando apenas as outras seis pessoas: Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6 elementos. DE MODO QUE UMA DESSAS PESSOAS NUNCA OCUPE UM LUGAR NOS BANCOS DA FRENTE. 30 Colocando esse valor de y na equação 2 temos: ((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11 (4x/5)-8 = 8/11. então temos que subtrair todas as combinações que não formam triângulos. ou seja.20 . QUAL É O VALOR DE N ? N N N N N N Solução: Podemos notar que a figura é parecida com um "A".3 .3 .3 = 286 Porém. Portanto o total de combinações entre eles é: C13. temos a mesma situação.20 .C4.3 = 286 . Temos 13 pontos no total. Na "perna direita" do "A".(8x-64) 44x-440 = 40x-320 44x-40x = 440-320 4x = 120 x= 30 Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!! -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 4 EXISTEM N TRIÂNGULOS DISTINTOS COM OS VÉRTICES NOS PONTOS DA FIGURA. E no meio temos 4 pontos colineares que também não podem ser combinados entre si. as combinações em que os pontos são COLINEARES.4 = 242 Portanto podem ser formados 242 triângulos distintos!!! -------------------------------------------------------------------------------N N N N N N N .3 . temos 6 pontos colineares que não podem ser combinados entre si.C6. Então o número de triângulos que podem ser formados é: C13.(4x-40) = 5.C6.(x-8) Fazendo o mmc dos dois lados temos: (4x-40) / 5 = (8x-64) / 11 11. nós queremos apenas as que formam triângulos. Temos 3 situações onde isso acontece: Na "perna esquerda" do "A". Temos que subtrair essa 3 situações do total. pois não formam triângulos. O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar.((N/2)+1) = N-(N/2)-1 = (2N-N-2) / 2 = (N-2)/2 LOJA 2 O homem entrou com (N-2)/2 O homem GASTOU: ( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N-2)/4 + 1 = (N+2)/4 Portanto o homem FICOU com: (N-2)/2 . EM CADA UMA GASTOU 1 REAL A MAIS DO QUE A METADE DO QUE TINHA AO ENTRAR.((N+2)/4) = (2N-4-N-2) / 4 = (N-6)/4 LOJA 3 O homem entrou com (N-6)/4 O homem GASTOU: ( (N-6)/4 )/2 + 1 = (N-6)/8 + 1 = (N+2)/8 Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS. Então concluímos que o dinheiro que ele ENTROU na loja 3 menos o dinheiro que ele GASTOU na loja 3 é igual a ZERO: (N-6)/4 . LOJA 1 O homem entrou com N. Então o nosso objetivo é achar o valor de N. QUANTO O HOMEM TINHA AO ENTRAR NA PRIMEIRA LOJA? Solução: Vamos considerar que quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais.((N+2)/8) = 0 (2N-12-N-2) / 8 = 0 2N-12-N-2 = 0 N-14 = 0 . porque o problema diz que ele gastou tudo o que tinha nas três lojas. Portanto o homem FICOU com: N .31 DESAFIO 5 UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. O homem GASTOU: (N/2)+1. ou seja. até a saída na última e em.1 (saiu da loja 2 com N3) (N3)/2 . . DIVISÃO POR 6 TEM RESTO 5. Cabe lembrar que a quantia que tinha ao entrar em cada loja (que representarei por N1. Isso significa que o número seguinte ao número X. podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor. possuía ao entrar na 1ª loja R$14. QUANDO O HOMEM ENTROU NA PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14 REAIS !!! Solução 02: Vamos representar através de um fluxo. teremos do fim para o início: (0 + 1) x 2 = 2 (2 + 1) x 2 = 6 (6 + 1) X 2 = 14 Logo.3. Solução: Suponhamos que estamos procurando o número X.4. Observe essas condições exigidas pelo problema: X dividido por 2 dá resto 1 X dividido por 3 dá resto 2 e assim por diante até: X dividido por 6 dá resto 5 Então. aplicando operações inversas. DIVISÃO POR 7 TEM RESTO 0. DIVISÃO POR 3 TEM RESTO 2. DIVISÃO POR 4 TEM RESTO 3. subtraída de 1 real.32 N = 14 PORTANTO. DIVISÃO POR 5 TEM RESTO 4. -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 6 DETERMINE O MENOR NÚMERO NATURAL CUJA: DIVISÃO POR 2 TEM RESTO 1. em seguida.1 (saiu da loja 3 com zero.00. o que ocorreu desde sua entrada na 1ª loja. já que gastou tudo o que possuía). será divisível por 2. (N1)/2 . X+1. seguida. Aplicando operações inversas. N2 e N3) fica sempre dividida por 2 e. percorrer o fluxo de "trás para frente".1 (saiu da loja 1 com N2) (N2)/2 .5 e 6. . -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 7 CONSIDERE OS NÚMEROS OBTIDOS DO NÚMERO 12345. Resposta: O número 43521 está na 90º posição. -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 8 COLOQUE OS NÚMEROS 1. que também é divisível por 7.já que X+1 é divisível por esses cinco números. QUAL É O LUGAR OCUPADO PELO NÚMERO 43521? Solução: Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem crescente: 1xxxx 2xxxx 3xxxx 41xxx 42xxx 431xx 432xx 4351x => => => => => => => => P4 = 4! = 24 P4 = 4! = 24 P4 = 4! = 24 P3 = 3! = 6 P3 = 3! = 6 P2 = 2! = 2 P2 = 2! = 2 P1 = 1! = 1 Somando todas elas: 24+24+24+6+6+2+2+1 = 89 Então o número 43521 está na posição 89+1 = 90. Solução: 8 1 6 3 5 7 4 9 2 -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 9 . 2. 5.. 8 E 9 DISPOSTOS NAS 9 CASAS DE UM TABULEIRO DE JOGO DA VELHA DE MANEIRA QUE A SOMA DOS 3 ALGARISMOS DE QUALQUER RETA E QUALQUER DIAGONAL RESULTE 15. o número X que estamos procurando é 119. Portanto. 7. COLOCANDO ESSES NÚMEROS EM ORDEM CRESCENTE. 3. 4. se X+1 é igual a 120.33 Bom. então o número X+1 pode ser igual a 4x5x6=120. 6. EFETUANDO-SE TODAS AS PERMUTAÇÕES DE SEUS ALGARISMOS. Isolando P na primeira temos: P = 21-C Substituindo na segunda equação temos: 2(21-C)+4C = 54 42-2C+4C = 54 2C = 54-42 2C = 12 C=6 Agora basta encontrar o P: P = 21-C P = 21-6 P=15 Há 15 patos e 6 cachorros.34 Num sítio existem 21 bichos. calcule a diferença entre o número de patos e o número de cachorros. Quantas páginas tem o livro? Solução: Sendo N o número de páginas do livro. portanto a diferença é 15-6 = 9. Patos tem 2 patas e cachorros tem 4 patas. -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 10 Se eu leio 5 páginas por dia de um livro. Solução: O total de patos e cachorros é 21: P+C = 21 O total de pés é 54. Sendo 54 o total de pés desses bichos. temos: N/5 = (N/3)-16 (N/5)-(N/3) = -16 (3N-5N)/15 = -16 3N-5N = -16*15 -2N = -240 N = 120 O livro possui 120 páginas! -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 11 . então: 2P+4C = 54 Portanto temos duas equações. eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. entre patos e cachorros. y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx. Portanto durante esses 7 que faltam. y=9 .. cuja soma é o número de três algarismos zxz. y e z? Solução: xy e yx são números de 2 algarismos. O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus. ou seja 29+92 = 121 Resposta: x=2 . Conforme diz o enunciado. Solução: Bom. Com esses dados foi possível responder a questão. .. z=1 -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 12 Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. xy+yx = zxz O maior número que pode ser formado somando dois números de 2 algarismos é: 99+99 = 198 Ora. falta metade do que ele já andou . se o número zxz é de 3 algarismos. e o maior número que ele pode ser é 198.para facilitar vamos dar nome as pessoas: GUSTAVO sobe 2 degraus por vez MARCOS sobe 1 degrau por vez. quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus.35 Com os algarismos x.7 é metade de 14). a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se em 14 degraus ela andou X. Como ele anda 2 por vez. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas. ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja. em 7 ela andará X/2). Lembre-se que a escada está andando. pois ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor). o MARCOS havia andado 14 degraus. que somados resultam o número de três algarismos zxz. uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois . Se z=1 o resultado da soma é 1x1. Os valores de x e y que satisfazem a equação xy+yx = 1x1 são os seguintes: x=2 e y=9. Ao chegar ao topo. então concluímos que z=1. Então quando ele chegou no topo. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando). Como ele está no 14. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e o MARCOS andou 14. a escada havia andado sozinha X degraus. na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Quanto valem x. o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. 36 FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o mesmo. depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100. Se você fosse um dos presentes. Daqui a cinco anos a soma de nossas idades será 82 anos. A senhora respondeu: . qual é o número original de garrafas de vinho na caixa? Solução: Sendo N o número de garrafas e P o preço de cada garrafa. resolveu aprontar. sabendo da reação de uma senhora. perguntou-lhe a idade. Então basta montar a equação: 28+X = (14+X)+(7+(X/2)) 28+X = 21+(3X/2) 28-21 = (3X/2)-X 7 = X/2 X = 14 Se X=14. o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total): 28+14 = 42 degraus Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo: (14+X)+(7+(X/2)) = (14+14)+(7+14/2) = 28+14 = 42 degraus Resposta: SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!!! -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 13 Joãozinho.Tenho o dobro da idade que tu tinhas. Então. na presença de todos.000. -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 14 Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1. temos: . Numa reunião social. quando falaram em idade.00 e vende pelo mesmo preço. quando eu tinha a idade que tu tens menos quatro anos.00. Aplique o mesmo método e você encontrará que A SENHORA TEM 40 ANOS. você concluiria que a senhora tem que idade? Solução: O modo de resolver esse problema é o mesmo do desafio 1. que conhecia há algum tempo. um rapaz muito indiscreto. ..P = 1000 => P=1000/N Tira-se 4 garrafas Aumenta o preço da dúzia em R$100.. pagou a mais a importância de R$270. ou seja: A=2B.BA = 27 O exercício diz que A e B estão entre si como 1 está para 2. Sabendo disso.P+((N-4)/12). Por isso. na casa das dezenas do cheque foi escito B (é o que queremos achar).37 N.. existem 4 valores possíveis para A e B: B=1 e A=2 => 21-12 = 9 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) B=2 e A=4 => 42-24 = 18 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) B=3 e A=6 => 63-36 = 27 => esses são os valores (pois AB-BA=27) .400N .000270 Portanto devemos ter AB . Por isso a pessoa pagou R$270. calcule o algarismo..xxxBAx Ou seja.xxxBAx ---------------.xxxABx Mas o correto seria: . Sabendo que os dois algarismos estão entre si como 1 está para 2. no cheque.. que foi escrito na casa das dezenas..00 (N-4). Daí sabemos que A é o dobro de B... ao preencher um cheque.. Resposta: HAVIAM 24 GARRAFAS NA CAIXA -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 15 Uma pessoa.00 a mais. inverteu o algarismo das dezenas com o das centenas.xxxABx .100) = 1000 Colocando N-4 em evidência: (N-4) (P + 100/12) = 1000 (N-4) (1000/N + 100/12) = 1000 (1000N-4000)/N + (100N-400)/12 = 1000 Resolvendo essa equação chegamos a equação de segundo grau: 100N2 .48000 = 0 Aplicando Bhaskara encontramos x=24. Solução: No cheque foi escrito: . portanto fazendo a subtração o resultado será 270: .00. -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 16 Corte uma torta em 8 pedaços. -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 18 Em uma reta há 1999 bolinhas. Assim. Se. o número de pedaços será multiplicado por 2. Algumas são verdes e as demais azuis (poderiam ser todas verdes ou todas azuis). fazendo apenas 3 movimentos (3 cortes). por ser par. Solução: Basta fazer dois cortes verticais e um corte horizontal. ou seja.38 B=4 e A=8 => 84-48 = 36 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) Portanto os valores são A=6 e B=3. o número desejado deve ter pelo menos 9 algarismos 3. é múltiplo de 33 e é múltiplo de 37 por ser múltiplo de 111 (é igual a 111 ´ 30030030). -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 17 O menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 9 é 9990. quais podem ser estes três números? Solução: . na sequência de números assim obtida. Quando fizermos o corte horizontal. O menor número com essas propriedades é 3333333330. a torta estará dividida em 4 pedaços. houver exatamente três números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes. Qual é o menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 3? Solução: 1998 = 2 ´ 999 = 2 ´ 33 ´ 37. teremos 8 pedaços em apenas 3 cortes. Um número formado apenas pelos algarismos 0 e 3 é múltiplo de 33 se e somente se o número de algarismos 3 é múltiplo de 9 (pois ao dividi-lo por 3 obtemos um número que possui apenas os algarismos 0 e 1 que deve ser múltiplo de 9. Ao fazer dois cortes verticais (pode ser em forma de X). que é múltiplo de 1998 pois é par. Debaixo de cada bolinha escrevemos o número igual à soma da quantidade de bolinhas verdes à direita dela mais a quantidade de bolinhas azuis à esquerda dela. o que ocorre se e só se o número de algarismos 1 é múltiplo de 9). e deve terminar por 0. Resposta: O algarismo escrito no cheque na casa das dezenas foi o 3. 999 e 1000. 7. -. /. Portanto. Portanto. Se a < b . Se as 1999 bolinhas são de uma mesma cor. e todas as azuis são consecutivas. Sejam a . a sucessão de números é crescente ou decrescente. embaixo da primeira bolinha azul há 0. Solução: A solução pode ser a seguinte: (3+(3/7)) x 7 -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 20 Ache um número que tenha sua raiz quadrada maior do que ele mesmo. Se há exatamente 3 números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes. na nova distribuição há a bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 bolinhas vermelhas à sua direita. à sua direita. o número n se repete duas vezes menos e o número n – 1 se repete duas vezes mais. novamente. Logo. donde a = 998. 3. Se a > b . na segunda 1 e assim por diante. depois da troca. os números 0. b +1 e b + 2 = a – 1. e não mexemos em nenhuma outra bolinha. uma vez cada. 7. Se trocamos de lugar A e R. até a última. Os números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes serão os mesmos em ambas configurações. se achar necessário. a + b = 2a + 3. Embaixo da primeira bolinha (é vermelha) está o número a – 1. a + 1. enquanto que à esquerda de A há a bolinhas azuis e. Dada uma distribuição das bolinhas que tem em certa posição uma bolinha azul A e na posição seguinte uma bolinha vermelha R. estes são a . b . donde a + b = 2b + 3 e os tres números são. 2. respectivamente. -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 19 Forme o número 24 usando apenas os números 3. Você pode usar as operações +. a – 2. a – 1 aparecem duas vezes (quantidade par) e os números a . os três números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes são b . não há exatamente 3 números que se repetem um número ímpar de vezes (1 é ímpar). que tem b – 1 embaixo. Os números escritos embaixo das outras bolinhas não mudam. então a + b = 1999. 998. e assim por diante. se há a bolinhas azuis à esquerda de A e r bolinhas vermelhas à sua direita. …. e também os parênteses. a + 1 e a + 2 = b – 1. Então. na seguinte. até ter 0 na última bolinha vermelha (na posição a ). Cada número aparece uma vez só e há 1999 (portanto. e os três números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes são 998. basta estudar a configuração na qual todas as bolinhas vermelhas são consecutivas. há bolinhas das duas cores. O número escrito embaixo de A é n = a + r e o número escrito embaixo de R é a + 1 + r – 1 = n.39 Este é um problema de Olimpíada Matemática. b – 1 aparecem uma vez (quantidade ímpar). 1. r – 1 bolinhas vermelhas. Os números escritos embaixo de R e A são a + r – 1= n – 1 e a + r – 1 = n – 1. . 999 e 1000. as quantidades de bolinhas vermelhas e azuis. a partir da última vermelha. depois a – 3. x. Então. …. então há a + 1 bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 bolinhas vermelhas à sua direita. a + 2. a partir da primeira. a Maria perdeu três pontos. Realizaram portanto 3+4=7 partidas. e a Maria no final ficou com 10 pontos. 90 x 2 = 180 algarismos para numerar as seguintes 90 páginas. ou seja. quantas partidas eles disputaram? Solução: Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas. Qual o número mínimo de segundos que devem passar até que se alterem todos os algarismos? Solução: Os algarismos estarão todos alterados. Quantas páginas tem o livro? Solução: Como existem 9 números naturais com 1 algarismo. quando o relógio marcar 20:00:00. -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 23 Para numerar as páginas de um livro. consecutivamente desde a primeira página. são usados 852 algarismos. pela primeira vez. quando se passarem 147 segundos. Como 180+9 < 852 < 2700 então o número x de páginas do livro tem 3 algarismos e satisfaz a equação: 3 (x-99) + 189 = 852 . logo 4 partidas. -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 22 Um relógio digital marca 19:57:33. Como no final a Maria ficou com 10 pontos é porque ganhou 8 pontos. 900 x 3 = 2700 algarismos para numerar as seguintes 900 páginas. -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 21 A Maria e o Manuel disputaram um jogo no qual são atribuídos 2 pontos por vitória e é retirado um ponto por derrota.40 Solução: Qualquer número entre 0 e 1. Inicialmente cada um tinha 5 pontos. 90 números com 2 algarismos e 900 números com 3 algarismos são necessários: 9 algarismos para numerar as primeiras 9 páginas. Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas. para que a subtração abaixo seja verdadeira.x/6 = x/12 Solução: x/x é igual a 1. e cada fila possuirá 4 soldados.41 O livro possui 320 páginas. Substituindo esse valor na equação temos: 1. x/x . -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 24 Você tem 10 soldados.(x/6) = (x/12) 1 = (x/12) + (x/6) 1 = (x+2x)/12 1 = 3x/12 1 = x/4 x=4 -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 26 Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia. Se o caminhão pode carregar ainda 18 sacos então pode carregar 18 ´ 8 = 144 tijolos. -------------------------------------------------------------------------------- . Dessa maneira existirão 5 filas. Forme 5 filas com 4 soldados em cada uma. quantos tijolos pode ainda ele carregar? Solução: 1 saco de areia = 8 tijolos. Solução: Os soldados são dispostos como mostrado na figura abaixo. O O o o o O O o o O -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 25 Substitua o asterisco x por um número natural. em forma de estrela. Se deixarmos de cortar todos os quatro primeiros algarismos. que ocupa a 11a e 12a posição. 5. 4. podemos supor que os cortes são feitos da esquerda para a direita. o número que resta terá na primeira ou segunda casa. menor que o número acima. Solução: 5 16 3 10 4 9 6 15 14 7 12 1 11 2 13 8 -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 28 Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que (x+99)/(x+19)seja um número inteiro? Solução: Podemos escrever a expressão da seguinte forma: (x+99)/(x+19)=1+ [80/(1+19)] Este número é inteiro se. 2. da esquerda para a direita. e somente se. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 30 . Feito isto. Os dois primeiros 5 devem permanecer. completamos 9 retiradas e aí algum algarismo da terceira seqüência 1234 aparecerá na 1a ou na 2a casa. então existem 20 valores de x. Finalmente devemos cortar a seqüência 12.42 DESAFIO 27 COLOQUE OS NÚMEROS 1. 3 ou 4. se deixarmos de cortar a segunda seqüência 1234. o número que resta começará por 1. Para ver isto. para que o número restante seja o maior possível. -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 29 Corte 10 algarismos do número 1234512345123451234512345. Ainda menor que o número acima. 2. 7. 6. Como 80 tem 20 divisores inteiros. 8 E 9 DISPOSTOS NAS 16 CASAS DO TABULEIRO DE DAMAS 4X4 DE MANEIRA QUE A SOMA DOS 4 ALGARISMOS DE QUALQUER RETA E QUALQUER DIAGONAL RESULTE 34. pois retirando-se um deles. 3. Logo. Solução: O maior número restante é 553451234512345. 2. 3 ou 4. x + 19 for divisor de 80. 1. 17.11. Solução: O próximo número da sequência 2.16.43 Encontre dois números de três algarismos cada um. A sequência é formada somando-se a cada termo um número par.. Assim.. sem afundar o barco? Solução: ..10. O menor número começado por 4 é 412 e o maior começado por 3 é 365. os algarismos das centenas devem ser consecutivos. 4. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 33 Três homens querem atravessar um rio. A melhor escolha é aquela em que as dezenas formadas pelos algarismos restantes tenham a maior diferença possível... os números devem ser os mais próximos possíveis.19. usando cada um dos dígitos 1. 16. o que ocorre para as dezenas 65 e 12. 10.41. 3.. 5.11.41.18. à partir do 6: 5+6 = 11+8 = 19+10 = 29+12 = 41+14 = 55.. Como devem proceder para atravessar o rio.19. Para que a diferença seja a menor possível. os algarismos das centenas devem ser 3 e 4. Solução: Este é um problema da Olimpíada Brasileira de Matemática.17.29. 19. O barco suporta no máximo 130 kg. cuja diferença é 47. 2. É a sequência de todos os números que começam com a letra D.. 65 e 80 kg.. é 200. Solução: O próximo número da sequência 5.12. 18. 12. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 31 Determine o próximo número da sequência: 2. Assim. é 55. . -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 32 Determine o próximo número da sequência: 5.19.29. de forma que a diferença entre eles (o maior menos o menor) seja a menor possível.. 6 exatamente uma vez. Eles pesam 60.. No total 10+10 = 20 noves. portanto. R$ abcd. onde a é 1 ou 0 (para R$abcd. dcba significa 1000d+100c+10b+a. desprezando os centavos. O que pesa 80kg atravessa sozinho. utilizar o algoritmo das fracções contínuas.. isto é. Temos aqui uma única equação com quatro incógnitas. Pode-se.00). Um deles volta. b.00. e..200. Finalmente os de 60 e 65kg atravessam. e os três estarão do outro lado do rio. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 34 Quantos noves existem entre 0 e 100? Solução: Existem 20 noves entre 0 e 100.00 ser menor ou igual a R$1. Para podermos equacionar esta informação. O barco volta com o que havia ficado. 91. ou 1000a+100b+10c+d. Da mesma forma. abcd significa a milhares. Lido ao contrário.. c e d. a partir daqui. c e d. Fica assim: 1000d+100c+10b+a = 9(1000a+100b+10c+d) ou 1000d+100c+10b+a = 9000a+900b+90c + 9d Resolvendo: (1000-9)d + (100-90)c + (10-900)b +(1-9000)a = 0 ou 991d + 10c -890b -8999a = 0 Observe-se que 991 e 10 não têm factores em comum. neste caso.19. como abcd (isto é.00) e b. estão entre 0 e 9. é claro." Quanto custou o presente? Solução 01: Seja o preço do presente expresso como um número de quatro algarismos. não podemos reduzir os coeficientes da equação.99). Quando lhe perguntam quanto custou o presente ela disse: . porém. Isolamos à esquerda o termo com o menor coeficiente: .. mas não direi nem o troco nem o preço do presente. sendo lido ao contrário é o valor de 9 presentes. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 35 Uma pessoa vai comprar um presente e leva R$1. temos que ter em conta a notação decimal posicional.92. b centenas.39. o preço do presente seria dcba.44 Os homens de 60 e 65kg atravessam.99).. Digo apenas que o preço do presente. e mais os dez noves da dezena 9 (90. Um em cada algarismo das unidades (9."Sobrou troco.29.200. que deve ser igual ao valor de nove presentes. como Diofanto. Uma estratégia seria ir substituindo por tentativas valores para a. c dezenas e d unidades. c = 8a Lembremos ainda que a é 1 ou 0.00. Mas a=0 resulta o caso trivial a=0. isto é.00 que. (9a-d) só pode ser o múltiplo trivial de 10. c e d representam os dígitos do valor do presente. o que parece mais lógico.45 10c = 8999a + 890b . sabemos que o número é 1ab9. 7 e 1 e finalmente. Todavia.200.00. 4 e 4. pois só assim poderíamos inverter o número e obter 9 vezes o primeiro. b. Assim obtemos. (1/10)(9a -d) também terá de ser.00 e. pois o preço é menor que R$ 1. 8 e 0. c = 899a + (9/10)a + 89b . corretamente. só acontecerá se (9a -d) for múltiplo de 10. Temos. que é o preço do presente.9a) ou c = 899a + 89b . 3 e 5.00. Portanto. d=9a => d=9.00 Solução 02: Se a quantia reservada para o presente era R$1. a=1 que resulta c = 8 e. sendo 1 o primeiro deles. ou seja o preço R$0000.00. b e c devem ser números inteiros.(991/10)d Separando as partes inteiras das frações. fica c = 899a + 89b . Temos então o número 1ab9. resulta que b tem de ser igual a 0 para que c não exceda 9. é preciso que a soma a+b seja 8. retornando à equação anterior. como desejado.d = 0 ou d = 9a Retornando este resultado à equação anterior.99d . Os pares a e b que satisfazem essa condição são os seguintes: 0 e 8.200. é claro.(1/10)d ou c = 899a + 89b . finalmente.991d Dividimos toda a equação pelo coeficiente: c = (8999/10)a + (890/10)b . Para que tal número seja múltiplo de 9. (1089 X 9 = 9801). estavamos em busca de um número de 4 algarismos. c=0 e d=0. 2 e 6. então. 9 x 0000$00 = 0000$00. o preço do presente (R$abcd. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 36 . Fica assim. devemos supor que o preço estava em torno de R$ 1.891a c = 8a + 89b Como c está entre 0 e 9 e os coeficientes de a e b são positivos. Achar a e b é relativamente fácil. 9a . RESPOSTA: o presente custou R$1089.00) como R$1089.99x9a + (1/10)(9a . resulta R$9801 = 9 x R$1089. invertido. têm de estar entre 0 e 9. 6 e 2. O último algarismo só poderia ser o 9. b=0. Resulta assim.99d + (1/10)(9a . Testando o primeiro par.000. já que seu inverso também o é (pois é um número que vale nove vezes o preço do presente). chegamos a R$ 1.d) Como a. Com essa restrição. Isso. 5 e 3. 1 e 7. como a.089. pois o número é múltiplo de 9. 0. Assim. Se Mário tivesse dito a verdade. então o que os outros três afirmaram é correto. Só um deles mentiu. – Foi o Pedro. Um fiscal quer saber quem foi o penetra: – Eu não fui. – Foi o Carlos. temos que: n = (x2 – x) / x. O resultado que achei foi igual: a) Ao próprio número b) Ao dobro do número c) Ao número mais 1 d) Ao número menos 1 Solução: Vamos chamar o resultado desejado de n. diz o Mário. e o número inicial de x. teríamos uma contradição: a afirmação de Pedro seria verdadeira. e a professora resolveu distribuir as balas de maneira diferente: cinco para cada menina e apenas uma para cada menino. Quem não pagou a entrada? Solução: Pedro não pagou! Mário e Carlos não podem ambos ter dito a verdade. Conclui-se que Pedro entrou sem pagar. É o mesmo que dizer que 3/4 da classe – ou 75% dela – são meninos. Pelo enunciado. diz o Benjamim. – O Mário não tem razão. diz o Carlos. Qual a porcentagem de meninos na sala? Solução: Se a professora der uma bala a menos para cada menino. diz o Pedro. descobrimos que: . Isso significa que o número de meninos é o triplo do número de meninas. pois somente um entrou sem pagar. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 37 Dona Panchovila comprou duas balas para cada aluno de sua sala. Mas os meninos da classe fizeram muita bagunça. Se Mário não falou a verdade. mas a de Carlos seria falsa.46 Quatro amigos vão ao museu e um deles entra sem pagar. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 38 Elevei um número positivo ao quadrado. subtraí do resultado o mesmo número e o que restou dividi ainda pelo mesmo número. Com a fatoração. pode dar três balas a mais para cada menina. Solução: D<A<C<B -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 42 . e T. Quande se pesavam.C. Então quem é o mais velho e quem é o mais moço dos três irmãos? Solução: A segunda afirmação determina que José não é o mais velho. Com a tecla T apagamos o algarismo da unidade. temos que n = x–1. D e T. verificamos que (a+d) < c Determine a ordem do mais leve para o mais pesado. um deles anotou assim: Na primeira experiência. temos o dobro de 399. Apertando D. que é 798. tem-se 399. a balança indicava a dupla mais pesada. Se uma pessoa escrever 1999 e apertar em seqüência D.T. verificamos que (a+b) > (c+d) Na segunda experiência. Simplificando. obtendo 79.B. o resultado será qual número? Solução: O número 1999 duplicado dá 3998. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 39 Uma calculadora tem duas teclas: D. que duplica o número. Pressionando a tecla T.47 n = (x–1) . x / x. que apaga o algarismo das unidades. verificamos que (d+b) = (c+a) Na terceira experiência. portanto a partir da primeira afirmação concluímos que Adriano é o mais moço. Caio é o mais velho. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 40 De três irmãos .José. Adriano e Caio -. Sabe-se também. Se Adriano é o mais moço. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 41 Em uma balança. ou o número menos 1. Com relação ao peso.D resolveram se pesar em dupla e depois tentar descobrir quem é mais pesado que quem. que ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. sabe-se que ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço. tendendo para um dos lados. quatro amigos matemáticos A. ele terá comercializado ao final de um ano? Solução: Patos não botam ovos. As cinco primeiras estão cheias de cerveja e as quatro últimas. de acordo com as estatísticas. Demonstre que se pode localizar a bola defeituosa como somente três pesagens. basta despejar a garrafa 2 na garrafa 7 e a garrafa 4 na garrafa 9. Se em vez de uma aranha. com duas pesadas teremos isolado a bola mais pesada de um grupo de 3 bolas.48 Dispõe-se de nove garrafas em fila. Para que fiquem alternadamente cheias e vazias. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 45 Uma aranha tece sua teia no marco de uma janela. . como tornar a fileira com garrafas alternadamente cheias e vazias. Solução: Compare 9 bolas quaisquer com outras 9 e deixa as nove restantes na caixa. fossem duas. Se a balança se equilibra. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 43 A média mensal de ovos postos pelas aves na Suécia são na proporção de 35 ovos por mês. Larsen não terá nenhum ovo ao final de um ano. um pequeno proprietário do interior do país decidiu incrementar sua fazenda comprando um pato. Solução: Temos 9 garrafas sendo que as 5 primeiras estão cheias e as 4 últimas vazias. Thomas Dhalin. Quantos ovos. voltando as duas para os seus respectivos lugares. a bola mais pesada estará entre as nove bolas que ficaram na caixa e se não. teremos isolado a bola mais pesada das outras. quanto tempo demoraria para cobrir o vazio. O Sr. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 44 Um bolsa tem 27 bolas de bilhar que parecem idênticas. Dispomos de uma balança com 2 pratos. Dessa forma. Dividimos em 3 grupos de 3 esse conjunto e repetirmos a operação. Dessa forma tarda 30 dias para cobrir o vazio da janela. Movendo somente duas garrafas. Cada dia duplica a superfície feita anteriormente. vazias. Infelizmente o Sr. É certo que há uma bola defeituosa que pesa mais que as outras. Se repetirmos a operação uma terceira vez. estará entre as nove do prato que mais pesou. Resposta: 29 dias -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 46 Buscando água. já terá subido 27m. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 47 Você tem 3 xícaras de café e 14 saquinhos de açúcar. e dê cada uma dessas 12 partes à uma criança. antes que desça os 2m. No 28º dia. uma rã caiu em um poço de 30 metros de profundidade. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 49 . ela sobe mais 3m. e alcança os 30m. Em nenhum momento foi dito que deveriam ser usados todos os saquinhos. a outra aranha também o terá feito. a obstinada rã conseguia subir 3 metros cada dia. As 3 maçãs que sobraram divida em 4 partes cada uma. e o vazio será preenchido. Como adoçar as 3 xícaras utilizando um número ímpar de saquinhos em cada uma? Solução: Pode-se colocar 1 saquinho em cada xícara. Então quando uma aranha tiver coberto meio vão no 29º dia. Solução: Divida 6 maçãs ao meio. sendo que a noite resbalava e descia 2 metros. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 48 Repartir 9 maçãs entre 12 crianças. Na sua busca por sobrevivência. Quantos dias a rã demorou para sair do poço? Solução: 28 dias Quando a rã chegar ao 27º dia. de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. dando um total de 12 partes.49 Solução: Cada dia a superfície duplica. uma para cada criança. quantas bolas ele poderá colocar em uma caixa vazia. sendo que sobrará 1 na de 3. somente 2 casos (1. ele necessariamente deve ter 36 anos. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 51 Jarbas: "Mariclaudinete. Esvaziamos a de 5 no barril. Enchemos o litro da vasilha pequena na de 5.6 e 2. mas estão faltando dados!" Mariclaudinete: "Tens razão. com 1 metro de lado? Solução: Clodoémerson poderá colocar apenas uma bola na caixa.6.50 Clodoémerson possui diversas bolas de 10 cm de diâmetro. e na metade do caminho. . pois quando colocar a primeira bola. temos 14 possibilidades (excluindo os casos em que algum filho tem 0 anos. Para realizar as medidas há um barril de 8 litros (onde está o vinho).agora sim consigo adivinhar!!!" Quais são as idades dos 3 filhos de Mariclaudinete??? Solução: Visto que a soma das idades deve ser igual a 13. seu produto é igual a tua idade. o maior tem o cabelo ruivo" Jarbas: "Ah. Enchemos a vasilha de 5 litros com a outra.9) nos quais o produto dá o mesmo resultado (36). a caixa já não estará mais vazia!!! -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 50 Dois amigos bêbados compraram 8 litros de vinho. de forma cúbica. uma vasilha de 5 e outra de 3 litros. terá 1+3 = 4. qual é a idade de seus 3 filhos???" Mariclaudinete: "A soma de suas idades é 13.. pois em tal caso o produto seria 0. repartindo antes o vinho igualmente. Enchemos outra vez a vasilha de 3 litros.. Como eles podem fazer para repartir igualmente o vinho? Solução: Seguimos os seguintes passos: Enchemos a vasilha de 3 litros. decidem separar-se. Passamos os 3 litros para a vasilha de 5 litros. Visto que faltam dados para Jarbas.2. que como já tinha 1. No barril sobra 4 litros para o outro amigo. Eles estavam caminhando. Enchemos a de 3 e esvaziamos na de 5. Destas 14 possibilidades." Jarbas: "Desculpe. que não é a idade de Jarbas). Colocando uma por vez. e portanto. cada um corre 50 Km. No mesmo momento. Apenas chega. (x-z) vale ZERO. Começam a se mover um em direção ao outro. Manolito demora 4 . (x-z) = ? Solução: O produto (x-a)(x-b)(x-c) . e assim vai e vem de uma locomotiva para a outra até que os dois trens se chocam e assim morre no acidente.2. eles se chocarão na metade do trajeto. separados por 100 Km. segundo o enunciado do problema..9) pois há um filho maior. Justificativa: existe um fator dessa multiplicação que é o (x-x). -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 54 Calcular o valor do seguinte produto: (x-a)(x-b)(x-c) . Como pode distribuir as batatas uniformemente entre os 6 filhos? (Não vale fração) Solução: Faz um purê! HAHAHAHAHAHA !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 53 Dois trens estão na mesma via. e é indispensável usar uma lanterna para cruzar. Este é o tempo que a mosca fica voando. É noite. Camila demora 8 minutos para cruzar.. A ponte somente pode suportar o peso de 2 pessoas e os amigos possuem apenas uma lanterna. que vale 0. uma supermosca sai da 1ª locomotiva de um dos trens e voa a 100 Km/h até a locomotiva do outro trem. Que distância percorreu a supermosca? Solução: Visto que os dois trens estão na mesma velocidade. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 55 4 amigos devem cruzar uma frágil ponte de madeira.51 Então a resposta é (2. a distância que correu é de 100 quilômetros. Em consequência. e portanto.. como sua velocidade é de 50 km/h demoram exatamente 1 hora para se chocarem.. a uma velocidade de 50Km/h. como sua velocidade é de 100 km/h. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 52 Uma mãe tem 6 filhos e 5 batatas. dá meia volta e regressa até a primeira locomotiva. 52 minutos, Carlos demora 2 e Romerito 1 minuto. Como devem fazer para cruzar para o outro lado, os 4, levando apenas 15 minutos? Solução: Devem passar primeiro Carlos e Romerito (2 m). Volta Romerito com a lanterna (3 m). Passam Camila e Manolito (11 m). Volta Carlos com a lanterna (13 m). Por último cruzam de novo Carlos e Romerito (15 minutos). -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 56 Dois caçadores saíram para abater marrecas em uma caçada à beira de um grande lago. Eis que surge um bando de marrecas, comandadas por um líder e guiadas por uma marreca batedora. Ao avistar os caçadores, imediatamente a marreca batedora altera a rota do bando, levando suas companheiras para um local seguro. Lá chegando, comenta com a marreca líder: - Chegamos ilesas, toda a centena! A marreca líder, retruca: - Você deve estar estressado. Desaprendeu até a contar. Falta muito para chegarmos a cem. Faça você mesmo a conta: Duplique nosso número, acrescente mais a metade e mais um quarto, e não esqueça de incluir você na conta. Dessa forma conseguirás acertar a conta. Qual é o número real de marrecas? Solução: Seja x o número real de marrecas. Segundo o enunciado, formamos a equação: 2x + x/2 + x/4 + 1 = 100 Resolvendo essa equação, encontramos x=36. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 57 Como medirias os 11 minutos que são necessários para cozinhar um biscoito, com duas ampulhetas de 8 e 5 minutos respectivamente? Solução: Colocamos as duas ampulhetas de uma vez só, e quando terminar o de 5 minutos, faltará no de 8, 3 minutos para terminar. Nesse momento damos a volta no de 5 minutos. Quando terminar o de 8, totalmente (levamos ao total 8 minutos), no de 5 ficaram 2 minutos para terminar. Nesse preciso momento damos a volta no de 5 que tardará 3 minutos para terminar, que somados aos 8 que haviam passado, somarão 11 minutos no total. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 58 53 Um peregrino se dirige para meditar em uma capela situada em cima de um monte. O peregrino sobe esta encosta com um ritmo de 2 Km/h e desce em um ritmo de 6 Km/h. Qual será a velocidade média que o peregrino terminará (considerar ida e volta) a peregrinação? Solução: Chamamos de e o espaço em quilômetros que mede o monte, e t o tempo em segundos que o peregrino demora para descer. Como ele sobe 3 vezes mais lento, demorará 3t segundos para subir. Logo no total demora 4t segundos para subir e descer. A velocidade média é o espaço total percorrido (2e quilômetros) dividido pelo tempo (4t segundos), e levando em conta que o peregrino desce a 6 Km/h temos que: V = 2e/4t = 0,5 . e/t = 0,5 . 6 = 3 Km/h. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 59 Ana Carolina é uma grande fumante, no entanto decidiu parar de fumar. "Acabarei com os vinte e sete cigarros que sobraram!", e ainda afirmou: "Jamais voltarei a fumar". Era costume da Ana Carolina fumar exatamente dois terços de cada cigarro. Não tardou muito em descobrir que com a ajuda de uma fita adesiva poderia juntar três tocos de cigarros e fazer outro cigarro. Com 27 cigarros, quantos pode fumar antes de abandonar o fumo para sempre? Solução: Depois de fumar 27 cigarros, Ana Carolina juntou os tocos de cigarro necessários para fazer 9 cigarros mais. Estes 9 cigarros deixaram tocos para fazer outros 3. Então com os utlimos 3 tocos de cigarro, fez um ultimo cigarro. Total: 40 cigarros -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 60 O preço de custo de um chocolate é R$ 0,20 cada. A fábrica de chocolate, calcula que se vender cada chocolate por „x‟ reais, os consumidores comprarão 10 – x chocolates por dia. Qual o preço de venda do chocolate que maximiza a o lucro do dono da empresa? Solução: Preço de custo dos (10-x) chocolates: (10-x) . 0,20 = 2 - 0,20x Preço de venda dos (10-x) chocolates: (10-x) . x = 10x - x2 Lucro nos (10-x) chocolates: 54 L(x) = (10x - x2) - (2 - 0,20x) L(x) = 10x - x2 - 2 + 0,20x L(x) = -x2 + 10,20x -2 Derivando temos: L'(x) = -2x+10,20 L'(x)=0 => -2x+10,20 = 0 => x = 5,10 Resposta: O preço do chocolate a R$5,10 maximiza o lucro da empresa. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 61 Agripino observava da murada de um navio, a subida da maré. Dessa murada pende uma escada de 8 metros de comprimento. Os degraus tem 20 centímetros de intervalo um do outro e o último toca a água. A maré sobe „a razão de 35 centímetros por hora. Quando estarão os dois primeiros degraus cobertos de água? Solução: Nunca, pois o navio sobe junto com a escada. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 62 Luiz Eduardo comprou várias galinhas campeãs em por ovos. Ao testar a eficiência das galinhas, ele observou que de minuto em minuto o número de ovos na cesta duplicava. Em duas horas a cesta estava cheia. A que horas a cesta estava pela metade? Solução: 1h 59 min, pois como o número de ovos duplica a cada minuto e às 2h a cesta estava cheia, significa que no minuto anterior a cesta estava pela metade. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 63 Davi Gama teve um sonho: um octagenário, sem ter muito o que fazer, refletia sobre a sua vida. O ancião verificou que a diferença entre os cubos dos algarismos de sua idade era igual ao quadrado da idade de seu bisneto. Ao acordar, Davi Gama, queria saber a idade que os dois tinham. Solução: O ancião tinha 87 anos e seu bisneto tinha 13 anos. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 64 9899 ou 98. Sendo a distância entre os dois igual a 36 pulos de cachorro.55 10 vezes 10 é igual a 100.00 ??? Solução: Não é possível realizar essa multiplicação! Podemos multiplicar um número real por um valor monetário. pois se um homem sair.00 vezes R$10. Enquanto o cachorro dá 5 pulos. um pulo da lebre vale por 2/5 pulos do cachorro. 2 pulos de cachorro valem 5 pulos de lebre. ou seja. pois não saberíamos quantas vezes multiplicar a quantia de R$10.00. Podemos. teremos um percentual de homens correspondente a: 98/99 é aproximadamente 0.(99-x)=98. Resposta: Não é possível! -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 65 Em uma sala onde estão 100 pessoas.99% Precisamos resolver a seguinte equação: (99-x)/(100-x)=98/100 -> 100.00 é igual a R$100. então. qual deverá ser o número de pulos que o cachorro deve dar para alcançar a lebre? Solução: Há uma relação inversa entre os pulos do cachorro e os da lebre.00. ou seja.00 vezes R$10.(100-x) 9900-100x=9800-98x -> 100x-98x=9900-9800 -> 2x=100 -> x=50 Resposta: devem sair 50 homens! -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 66 Um cachorro persegue uma lebre. Quanto é R$10. a lebre dá 8 pulos. Por exemplo: 10 vezes R$10. não podemos efetuar a operação R$10. Mas não podemos multiplicar dinheiro por dinheiro. escrever: nº de pulos 5 8 valor do pulo 2 5 pulos do cachorro pulos da lebre . Porém.00. sabe-se que 99% são homens. Quantos homens devem sair para que a porcentagem de homens na sala passe a ser 98%? Solução: CUIDADO: Não basta um homem sair para a porcentagem cair para 98%. 05.. iremos multiplicar os 5 pulos do cachorro pelo valor do pulo da lebre (5) e multiplicaremos os 8 pulos da lebre pelo valor do pulo do cachorro (2).05..16 = 9 pulos.56 Como a relação entre os pulos é inversa.000 (94 ZEROS) . multiplicando-se o fator do cachorro (25) por 4. que valor iremos obter? Solução: 10000.94 -------------------0. efetuaremos uma multiplicação invertida. basta resolver o sistema com as duas equações: 1) G + R = 1. Ela dispõe de uma balança de 2 pratos e de 2 pesos de 20 e 30 gramas.. Assim teremos: 5 x 5 = 25 (para o cachorro) e 8 x 2 = 16 (para a lebre). -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 67 Uma garrafa com sua rolha custa R$1.. Agora.... o cachorro estará tirando uma diferença de 25 . qual é o preço da rolha? E qual é o preço da garrafa? Solução: Sendo G a garrafa. e R a rolha.10 2) G = R+1 Resolvendo esse sistema. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 68 Calculando-se: 1094 ... teremos: 25 x 4 = 100 pulos do cachorro. e somando-se todos os algarismos do resultado obtido.99999906 (92 NOVES) Logo.05 e G=1. Como a distância que os separa é de 36 pulos de cachorro.. a soma de todos os algarismos do resultado será: 92 x 9 + 6 = 834 -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 69 Waneska tem uma bolsa de amêndoas que pesa 2600Kg.94. Resposta: A garrafa custa R$1.. ou seja..05 e a rolha custa R$0...00 a mais que a rolha.. obtemos R=0.. segue-se que o cachorro terá de percorrer essa distância 36/9 = 4 vezes até alcançar a lebre.. Sabendo que a garrafa custa R$1.. Com 3 únicas pesagens. como Waneska consegue separar 300 gramas de amêndoas? + . A cada instante.10. pelo que temos 100 gramas em cada lado. logo é múltiplo de 5). Como o único número par que é primo é o 2. Garantimos a você que a resposta não é 1000. o que obriga a segunda parcela ser igual a 495 (para a soma dar 497).57 Solução: No prato 1 colocamos as 50 gramas e no prato 2 colocamos amêndoas até que ocorra equilíbrio. . Quantas páginas a traça faminta comeu? Solução: ( Breve colocaremos a resposta deste desafio. já temos a primeira parcela. Retiramos os pesos do prato e passamos as 50 gramas de amêndoas para o prato 2 que contem 100 gramas. portanto 50 gramas de amêndoas. juntamos com os pesos no prato 1. o mesmo ocorrendo com a soma de dois ímpares). que somados dêem o resultado 497. Enchemos de amêndoas no prato 2 até que haja equilíbrio. Pense bem! ) -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 72 Numa sequência. vejamos porque: Se o número 497 é a soma de dois números naturais. Enchemos amêndoas no prato 1 até que haja equilíbrio com o prato 2. temos portanto 100 gramas no total. como ele é impar. temos portanto 150 gramas. nosso problema consiste em obter dois números primos (um par e um ímpar). -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 71 Em uma estante há 10 livros. e temos um total de 150+150 = 300 gramas de amêndoas. Como 495 não é primo (termina em 5. cada um com 100 folhas. Essas 50 gramas de amêndoas. nosso problema não tem solução. Logo. -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 70 De quantos modos diferentes podemos escrever o número 497 como a soma de dois números naturais primos? Solução: De nenhuma maneira. Temos. deve ser obtido da soma de um PAR e um ÍMPAR (já que a soma de dois pares é par. Uma traça faminta come desde a primeira folha do primeiro livro até a última folha do último livro. Quantas páginas tem o livro? Solução: Sendo N o número de páginas do livro. temos: N/5 = (N/3)-16 (N/5)-(N/3) = -16 (3N-5N)/15 = -16 3N-5N = -16x15 . o número de filhas será igual ao de meninos. de um quinteto. dez vezes o primeiro Entre eles há uma regra geral Qual é. Se for menina. Se for menino. eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. mas diga como cortar o desenho em quatro peças iguais.58 O primeiro é o próprio primo O segundo seria seu mais perto primo não fosse o par para atrapalhar Dois do segundo dá o terceiro E o penúltimo. faltará mais um filho para o número de filhos ser igual ao de filhas. o número final ? Solução: 15 -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 73 Não quebre sua cabeça. de modo que cada uma das peças tenha um X X O O O O X O X O X O O Solução: X O O O X O X O X O O O -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 74 Uma mulher vai ter um filho. Quantos filhos e filhas ela tem agora? Solução: 3 meninos e 5 meninas -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 75 Se eu leio 5 páginas por dia de um livro. depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100. temos: NxP = 1000 => P=1000/N Tira-se 4 garrafas Aumenta o preço da dúzia em R$100.400N . Portanto. N é divisível por n se..111(r uns).. Solução: Seja d = 3n. Se k = 100q então a soma dos algarismos de N é igual a 100q e esta soma será divisível por 3.111 (formado por k uns) deve ser divisível por n e por 3 (n não é divisível por 3 porque a soma de seus algarismos é igual a 100 que não é divisível por 3)... Se k é um número da forma k = 100q + r onde r pertence ao intervalo [0. 100) então N = M + R.00 e vende pelo mesmo preço.48000 = 0 Aplicando Bhaskara encontramos N=24. R = 0 ou seja.000.59 -2N = -240 N = 120 O livro possui 120 páginas! ----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 76 Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1. k for divisível por 100.000 (100q uns e r zeros) e R = 111. qual é o número original de garrafas de vinho na caixa? Solução: Sendo N o número de garrafas e P o preço de cada garrafa.00. e somente se. Portanto.. onde d é o número formado por exatamente 100 três e n o número formado por exatamente 100 uns.333 formado por 100 algarismos iguais a 3.00 (N-4)xP+((N-4)/12)x100) = 1000 Colocando N-4 em evidência: (N-4) (P + 100/12) = 1000 (N-4) (1000/N + 100/12) = 1000 (1000N-4000)/N + (100N-400)/12 = 1000 Resolvendo essa equação chegamos a equação de segundo grau: 100N2 . Então. HAVIAM 24 GARRAFAS NA CAIXA ----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 77 Determine o menor inteiro cuja representação decimal consiste somente de 1's e que é divisível pelo número 333.. o número procurado X = 1111.111000. e somente se. Como n é divisível por n então. -------------------------------------------------------------------------------- . o menor número N formado apenas por uns que é divisível por d consiste de 300 uns. se r = 0 e consequentemente se.... onde M = 111.. Eu TENHO o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a tua idade atual Y (o dobro de X) . portanto x=(2/3). Portanto temos que: y-x = 2x-y 2y=3x x=(2/3).y e agora tem y. ou seja: Agora eu tenho (4/3). você terá (4/3).y.15. eu TENHO 2X anos.y. 20 e 15 anos. a sua idade atual é de Y ou seja. Finalmente. a soma de nossas idades será 45 anos. ou seja. ----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 79 . que é (4/3). temos: Tu TINHAS (2/3).y. logo eu tenho (5/3). A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. Eu TINHA y e agora tenho 2X.y + (1/3).y=45 3y=45 y=15 No início descobrimos que x=(2/3). devemos somar à minha também.y à sua idade. Quais são as nossas idades agora? Solução: Você tinha uma idade que chamaremos de X e hoje você tem uma idade que chamaremos de Y.y Somando y + (1/3). A minha idade é de 2X ou seja.y=45 (9/3).y você terá a minha idade.Eu TINHA y e agora tenho (4/3).y + (5/3).10 que é 20 anos. quais são as nossas idades? Como dissemos no início. logo x=10. ENTÃO: Tu TINHAS X e agora tem Y.y A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos: (4/3). e para ter a minha idade. substituindo o valor de x. Tu tem y. deve-se somar a tua idade y com mais (1/3). 2.60 DESAFIO 78 Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem. Quando você tiver a minha idade.y Agora preste atenção na segunda frase: QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE.y Como somamos (1/3).y ENTÃO. 15 anos. ou seja. AGORA ESTÃO NA RAZÃO DE 4 PARA 5.((N/2)+1) = N-(N/2)-1 = (2N-N-2) / 2 = (N-2)/2 LOJA 2: O homem entrou com (N-2)/2 .(x-8) Fazendo o mmc dos dois lados temos: (4x-40) / 5 = (8x-64) / 11 11. Então o nosso objetivo é achar o valor de N. QUAL É A IDADE DA MAIS VELHA ATUALMENTE? Solução: Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova.(4x-40) = 5.61 AS IDADES DE DUAS PESSOAS HÁ 8 ANOS ESTAVAM NA RAZÃO DE 8 PARA 11. Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha.(8x-64) 44x-440 = 40x-320 44x-40x = 440-320 4x = 120 x= 30 Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!! ----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 80 UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. O homem GASTOU: (N/2)+1. Então: (y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2) Isolando y na equação 1: y = 4x/5 Colocando esse valor de y na equação 2 temos: ((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11 (4x/5)-8 = 8/11. O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5. Portanto o homem FICOU com: N . O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. EM CADA UMA GASTOU 1 REAL A MAIS DO QUE A METADE DO QUE TINHA AO ENTRAR. LOJA 1: O homem entrou com N. Então: y/x = 4/5 (equação 1) O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. QUANTO O HOMEM TINHA AO ENTRAR NA PRIMEIRA LOJA? Solução: Vamos considerar que quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. · DIVISÃO POR 3 TEM RESTO 2. · DIVISÃO POR 7 TEM RESTO 0.já que X+1 é divisível por esses cinco números. Solução: Suponhamos que estamos procurando o número X. será divisível por 2. X dividido por 3 dá resto 2.3. e assim por diante até: X dividido por 6 dá resto 5. o número X que estamos procurando é 119. Bom.((N+2)/4) = (2N-4-N-2) / 4 = (N-6)/4 LOJA 3: O homem entrou com (N-6)/4 O homem GASTOU: ( (N-6)/4 )/2 + 1 = (N-6)/8 + 1 = (N+2)/8 Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS. · DIVISÃO POR 6 TEM RESTO 5.5 e 6. porque o problema diz que ele gastou tudo o que tinha nas três lojas. então o número X+1 pode ser igual a 4x5x6=120. .4. que também é divisível por 7. se X+1 é igual a 120. X+1.62 O homem GASTOU: ( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N-2)/4 + 1 = (N+2)/4 Portanto o homem FICOU com: (N-2)/2 . · DIVISÃO POR 4 TEM RESTO 3. · DIVISÃO POR 5 TEM RESTO 4. Então concluímos que o dinheiro que ele ENTROU na loja 3 menos o dinheiro que ele GASTOU na loja 3 é igual a ZERO: (N-6)/4 .. Portanto. Observe essas condições exigidas pelo problema: X dividido por 2 dá resto 1.. Então podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor. ou seja.((N+2)/8) = 0 (2N-12-N-2) / 8 = 0 2N-12-N-2 = 0 N-14 = 0 N = 14 PORTANTO. Isso significa que o número seguinte ao número X. QUANDO O HOMEM ENTROU NA PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14 REAIS ----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 81 DETERMINE O MENOR NÚMERO NATURAL CUJA: · DIVISÃO POR 2 TEM RESTO 1. ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja. falta metade do que ele já andou . então concluímos que z=1. O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus. se o número zxz é de 3 algarismos. Lembre-se que a escada está andando. quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus. o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. que somados resultam o número de três algarismos zxz. em 7 ela andará X/2).7 é metade de 14). xy+yx = zxz O maior número que pode ser formado somando dois números de 2 algarismos é: 99+99 = 198 Ora. na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. O valores de x e y que satisfazem a equação xy+yx = 1x1 são: x=2 e y=9.para facilitar vamos dar nome as pessoas: GUSTAVO sobe 2 degraus por vez MARCOS sobe 1 degrau por vez. ou seja 29+92 = 121. o MARCOS havia andado 14 degraus. Portanto durante esses 7 que faltam. Se z=1 o resultado da soma é 1x1. Ao chegar ao topo. e o maior número que ele pode ser é 198. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas. cuja soma é o número de três algarismos zxz. Como ele anda 2 por vez. Então basta montar a equação: . Resposta: x=2. y=9 e z=1 ----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 83 Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Conforme diz o enunciado.Quanto valem x. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando). pois ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor). Como ele está no 14. a escada havia andado sozinha X degraus. a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se em 14 degraus ela andou X. FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o mesmo... Então quando ele chegou no topo. Solução: Essa questão é realmente muito boa! Bom. Com esses dados foi possível responder a questão.63 ----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 82 Com os algarismos x. y e z? Solução: xy e yx são números de 2 algarismos. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e o MARCOS andou 14. uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois . y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx. 1 + 1 = 211 . de 3. ou seja n = 210.5. de 5 e de 7. também de 7. Logo. Sendo m o número de valores possíveis de n. Teremos então: k = 1 Þ n = 210. 5 ou 7 deixa resto 1.1 é múltiplo de 2. Pelo mesmo raciocínio. se n . podemos escrever: n . Analogamente.1 é múltiplo de 210.64 28+X = (14+X)+(7+(X/2)) 28+X = 21+(3X/2) 28-21 = (3X/2)-X 7 = X/2 X = 14 Se X=14.1 é múltiplo de 3.1 = 210. deduzimos imediatamente que k = 1 ou k =2 ou k =3 ou k = 4. teremos: n dividido por 2 deixa resto 1 n dividido por 3 deixa resto 1 n dividido por 3 deixa resto 1 n dividido por 7 deixa resto 1 Sabemos que: DIVIDENDO = DIVISOR x QUOCIENTE + RESTO.3. portanto n -1 é múltiplo de 2.1 = 2q e. o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total): 28+14 = 42 degraus Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo: (14+X)+(7+(X/2)) = (14+14)+(7+14/2) = 28+14 = 42 degraus Resposta: SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!!! -------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 84 Um número n de 3 algarismos.5 + 1 = 1051. n . já que para k = 5 o número teria 4 algarismos. n = 3q' + 1 de onde deduzimos que n . Portanto. 3. ou em termos simbólicos: D = dq + r Podemos escrever: n = 2q + 1 onde q Î N (conjunto dos números naturais).7. dividido por 2.1 é múltiplo de 5 e. vem: n = 210k + 1 Como o número possui 3 algarismos. conforme o enunciado. podemos afirmar que m é igual a: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 28 SOLUÇÃO: Sendo n o número procurado. n . Daí.k onde k é um número inteiro. Concluimos que n . Ora.1 = 3q' onde q' é um número natural. será também múltiplo do produto 2. ou seja n . meu pai passou num ponto cujo marco da quilometragem. decorridos mais uma hora. podemos afirmar que a velocidade do veículo era. Tive então. percebi que o marco indicava os mesmos algarismos. porém. meu pai passou em outro ponto.2 + 10.10 + y. num relance.3 + 1 = 631 k = 4 Þ n = 210. é trivial que: x0y = 100x + 0. porém numa ordem invertida. Nestas condições. 3 .Às 14:00h. podemos escrever: xy = 10x + y Logo. efetuou as seguintes anotações: 1 . não consegui anotar. Entretanto. que o marco indicava dois algarismos.65 k = 2 Þ n = 210. existem 4 soluções para o problema proposto. a saber: Por exemplo: 72 = 10. por uma dessas questões dificilmente explicadas apenas pela lógica do pensamento.: por exemplo.2 + 1 = 421 k = 3 Þ n = 210.5 b) 15.0 + 1. com um zero intercalado entre eles. e.7 + 2 Analogamente.Intrigado com a coincidência. em metros por segundo.5 d) 12.1 = 100x + y Obs. tenho certeza. resolvi anotar a quilometragem do próximo marco.5 e) 10. como o seu pai estava super atento ao volante. solicitou ao seu filho que fizesse algumas anotações com o objetivo de calcular a velocidade desenvolvida pelo veículo durante o percurso. igual a: a) 20. yx = 10y + x Também. Paulo Rubens. ----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 85 Paulo Rubens estava viajando a uma velocidade constante por uma estrada.5 SOLUÇÃO: Para resolver o problema. 2 . em companhia de seu pai Paulo Marques e. 203 = 100.4 + 1 = 841 Portanto.5 c) 13.3 .Às 13:00h. vamos utilizar o princípio do valor posicional dos algarismos. a surpresa de perceber que o marco indicava os algarismos observados às 13:00h. o que nos leva tranqüilamente à alternativa A. 66 Ora, sabemos que a velocidade é igual à distancia percorrida dividida pelo intervalo de tempo (v = d/t). Como os intervalos de tempo são unitários (1 h), teremos que, numericamente, v = d. A distância percorrida na primeira hora (entre 13 e 14:00h) foi igual a: d = (10y + x) - (10x + y) = 9y - 9x A distância percorrida na segunda hora (entre 14 e 15:00h) foi igual a: d = (100x + y) - (10y + x) = 99x - 9y Como a velocidade é constante, teremos, já que neste caso, a velocidade é numericamente igual à distância: 99x - 9y = 9y - 9x 9(11x - y) = 9(y - x) 11x - y = y - x 11x + x = y + y 12x = 2y, logo y = 6x Lembrando que x e y são necessariamente inteiros e positivos menores ou iguais a 9, pois os números xy e yx possuem dois algarismos cada, concluímos que o único valor possível para x é 1, o que implica y = 6. Logo, o primeiro marco foi 16, o segundo 61 e o terceiro 106. Ora, se o veículo passou no km 16 e após 1h, passou no km 61, êle percorreu 45 km em uma hora e, portanto, a sua velocidade era de 45 km/h. Como o problema pede a velocidade em m/s - metros por segundo - vem: V = 45 km/h = 45000m/3600s = 450/36 = 12,5 m/s Portanto, a alternativa correta é a letra D. ----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 86 AS IDADES DE DUAS PESSOAS HÁ 8 ANOS ESTAVAM NA RAZÃO DE 8 PARA 11; AGORA ESTÃO NA RAZÃO DE 4 PARA 5. QUAL É A IDADE DA MAIS VELHA ATUALMENTE? Solução: Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova. Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha. O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5. Então: y/x = 4/5 (equação 1) O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. Então: (y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2) Isolando y na equação 1: y = 4x/5 Colocando esse valor de y na equação 2 temos: ((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11 (4x/5)-8 = 8/11.(x-8) Fazendo o mmc dos dois lados temos: (4x-40) / 5 = (8x-64) / 11 11.(4x-40) = 5.(8x-64) 67 44x-440 = 40x-320 44x-40x = 440-320 4x = 120 x= 30 Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!! -----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 87 Complete utilizando: · Parênteses, · Os sinais +, -, X e : de forma a obteres afirmações verdadeiras 2____2____2____2 = 0 2____2____2____2 = 1 2____2____2____2 = 2 2____2____2____2 = 3 Solução: 2+2-2-2=0 (2+2):(2+2)=1 2:2+2:2=2 2+2-2:2=3 ------------------------------------------------------------------------------ 68 Desafios TENTE RESPONDER DE FORMA INTUITIVA, SEM CÁLCULOS ESCRITOS 1) Imagine uma comunidade em que nas maternidades sempre de cada dez partos nascem 5 bebês meninos. Algo bastante razoável. Agora, imagine que surja uma nova lei ( nada razoável) que estabelece o seguinte: a partir de um filho menino, o casal não poderá Ter nenhum outro bebê. Deste modo, somente enquanto ainda não tiver nascido um filho homem, o casal poderá continuar a Ter bebês". Isso assegura que nenhum casal poderá ter mais do que um filho homem; entretanto poderá haver casais com várias meninas. Claro? Bem, desta lei pode-se dizer com muita propriedade: a)A lei promulgada irá levar essa comunidade, com o tempo, a ter mais mulheres do que homens. b)A lei promulgada irá levar essa comunidade, com o tempo, a Ter mais homens do que mulheres. c) Essa lei não irá aumentar, com o tempo, a quantidade de mulheres em relação à de homens. d)A lei fará com que nasça bem mais mulheres anualmente do que antes de sua promulgação. e) A lei fará com que nasça bem mais homens anualmente do que antes de sua promulgação. 2) Quantas vezes num dia de 24h os ponteiros do relógio formam um ângulo de 90°? a) 48 b) 44 c) 24 d) 16 e) 04 3) Uma floresta tem mais de um milhão de árvores. Nenhuma árvore tem mais de 300000 folhas em sua copa. pode-se concluir que: a) Certamente existem árvores com mesmo total de folhas nesta floresta. b) Somente por acaso haverá arvores com copas de igual total de folhas nesta floresta. c) Certamente existem árvores com menos de 300000 folhas em sua copa. d) O número médio de folhas nas copas é de 150000. e) Nada do que foi dito pode ser concluído com os dados apresentados. Com mais outra dobra teremos oito camadas de 0. d) 2 caixas têm sempre números diferentes de laranjas. c) De 10000 a 80000 dobras. b) 9/5 kg. Quantas dobras parece a você que seriam necessárias para fazer um sanduíche de com a altura do EVEREST (8000m)? a) Menos de 30 dobras. A fruta é submetida a um processo de desidratação (processo que elimina apenas a água) até que a participação da água na massa de melancia se reduz a 90%. fazendo duas dobras.Vamos dobrá-la em dois. e) Existe uma caixa com mais de 52 laranjas. e) 9. 68 laranjas. e) 1 mm. e) 800000 dobras ou mais. Pode-se afirmar que: a) Existe uma caixa com 60 laranjas. Supondo que pudéssemos dobrar quantas vezes quiséssemos o papel. 5) Imagine uma folha gigantesca de papel (gigantesca mesmo).2 mm de espessura. c) Existem 2 caixas com o mesmo número de laranjas.5 kg.69 4) Sobre 20 caixas de laranjas sabemos que cada caixa contém pelo menos 52 e. b) De 3000 a 8000 dobras.1mm. d) Entre 100000 e 500000 dobras. b) 1m.8mm de espessura. 6) 95% da massa de uma melancia de 10 kg é constituída de água. no máximo. c) 10 cm.4mm de espessura. b) Existem 3 caixas com o mesmo número de laranjas. Resulta um sanduíche de papel com 0. 7) Uma caixa d'água tem o espaço interno na forma de cubo com 1 m de aresta. d) 9 kg. Se repetirmos isso. Retira-se um litro de água da mesma o que baixa o nível da água em seu interior. . com espessura de 0. o sanduíche terá quatro camadas e 0. c) 5 kg. d) 10 mm. A massa de melancia após esse processo será igual a: a) 5/9 kg. De quanto baixa esse nível? a) Depende de quanta água havia. . a apresentar uma população de 1000000000 desses insetos. b) 75%. o desvio do tráfego provocou o aumento de fluxo de veículos das ruas vizinhas. Admitindo-se estes dados. e) 5 meses. 12) Considere que você tem 1/4 de litro de café em um jarro e 1litro de leite em outro. 11) Com a ameaça de desabamento da ponte dos remédios em São Paulo.70 8) Há 30 anos. b) 100%. de 60 veículos/ hora em média para 60 veículos/ minuto em média. e) 25%. b) Existem dois que não aniversariam no mesmo dia. d) 50 semanas. c) 5 anos. c) 68%. c) 3600%. após esses 30 anos. e) 6000%. sabendo-se que cada atirador acerta em média 25% de seus tiros? a) 100 %. Podemos ter certeza que entre os presentes: a) Existem pessoas que aniversariam em 29 de fevereiro. o fluxo de veículos dessas ruas no período considerado aumentou cerca de: a) 60%. c) Existem pelo menos dois que aniversariam no mesmo dia. b) 15 anos. d)b 5900%. d) 32%. conforme noticiário da época. em anos bissextos. As condições foram tão boas que a população de mosquitos foi duplicando anualmente. e) Nenhum aniversaria no mesmo dia que outro. Qual a probabilidade aproximada de o alvo ser atingido. Com esses dados podemos concluir que essa população atingiu 500 milhões de mosquitos há perto de: a) 30 semanas. d) Existem mais de dois que aniversariam no mesmo dia. 10) Quatro atiradores atiram simultaneamente em um alvo. tendo chegado hoje. um casal de mosquitos encontrou numa floresta um excelente ambiente de desenvolvimento e procriação. 9) Em uma festa comparecem 500 pessoas. se não esta os matará. etc. c) Para obter um par de cor marrom são necessárias mais de 2 tentativas. retire do jarro com café . c) Há 1000000 de números assim. 13) Um estudante guarda 30 meias que formam 5 pares marrons. e uma certa quantidade de café no jarro de leite. Você tem idéia de quantos números desse tipo existem? a) Há 45 números assim. Só existe uma planta que podem comer. e) Faltam dados para a solução numérica ser única. Pense agora em números que tenham o último algarismo da direita representando o total de algarismos dos números. pois o quatro final indica o número de seus algarismos. 3. Para marcar o tempo eles dispõem só de duas ampulhetas: uma que marca 22 segundos e outra que marca 14 segundos. As 30 meias ficam totalmente misturadas.Pegue uma xícara e retire com ela 100ml de dentro do jarro com leite colocando o líquido no jarro com café. que vamos designar por A. d) Há 100000000 de números desse tipo. d) A certeza de se obter um par de brancas ou pretas só se tem com 12 tentativas.71 1. por exemplo: 9074 é um deles.misturado ao leite que você colocou .100 ml da mistura e despeje essa quantia no jarro com leite. b) Para obter um par da mesma cor são suficientes 5 tentativas. 90 números de dois algarismos. 900 números de três algarismos. Qual das afirmações abaixo é correta? a) A = B b) A = 100ml c) B > 100ml d) B > A e) A quantidade de A será maior se houver mais leite no jarro na situação inicial. 5 pares brancos e 5 pares pretos em uma gaveta. 14) É fácil notar que existem 9 números de um algarismo.Depois. Nessas condições: a) Para ter um par de pretas são necessárias 22 tentativas. e) Para formar um par errado são necessárias mais de 2 tentativas.Você terá ao final uma certa quantidade de leite no jarro de café. Quando quer um par de meias da mesma cor ele as retira da gaveta uma a uma tateando no escuro e depois verificando se formam um par certo. 2. 15) Dois monges estão perdidos em uma floresta e estão passando fome. para comê-la deverão fervê-la por 30 segundos exatos. b) Há infinitos números desse tipo. Como conseguirão marcar o tempo? . que iremos designar por B. O total da venda seria. Só morreram três pombos. Por quê ? ------------------------------------------------------------------------------------- RESPOSTAS 1) Letra C. Mas os segundos filhos desses casais irão se distribuir igualmente entre meninas e meninos. o raciocínio é análogo aos anteriores e assim sucessivamente.72 16) Três honoráveis sábios meditavam tão profundamente que não perceberam quando um pássaro despejou sobre eles um pouco de "realidade". 25 reais. Como é possível ? 18) Dois camponeses A e B encarregaram um feirante de vender duas partidas de abacaxi.Só terão segundos filhos aqueles que tiveram meninas no primeiro caso.este é o número de vezes que os ponteiros de horas e minutos formam um ângulo reto em um dia JUSTIFICATIVA: . Ao final do dia. Vendeu então 5 por 2 reais que equivalia à soma dos preços e depois dividiria entre os camponeses. o camponês A deveria receber 10 reais e o camponês B deveria receber 15 reais. Pensou. 30 abacaxis que deveriam ser vendidos à razão de 2 por um real. 2) A resposta é: b) 44 . se começasse pelos mais caros não venderia sequer um. também. Entretanto. há apenas uma tendência à forte limitação ao número de filhos. Se pensarmos. Inicialmente temos uma impressão errada. o de raciocínio mais rápido. todas as crianças estão em igual número. O que aconteceu? 17) Dois pais e dois filhos foram à uma caçada. Quando sairam da meditação e se entreolharam começaram a rir. Era claro que. apurou 24 reais. portanto.Nos primeiros filhos há tantos meninos quanto meninas. B. Cada um deles acertou em um pombo distinto. efetuada a venda. JUSTIFICATIVA: Só metade dos casais poderão ter um segundo bebê. Veja-se entretanto o seguinte: A. Muitos deverão pensar que haverão mais mulheres. Até aqui. (!!!!). logo parou de rir e não achou graça nenhuma. Como faria para pagar aos camponeses se teria que pagar 25 reais? Seu raciocínio era lógico mas não funcionara. Nos terceiros filhos. perceberemos que os filhos serão sempre distribuídos igualmente. um deles. O camponês A entregou 30 abacaxis que deveriam ser vendidos à razão de 3 por 1 real. o camponês B entregou. Acontece que se começasse a vender pelos baratos teria dificuldade em aumentar o preço depois. Para até 300001 árvores poderemos encontrar copas distintas. outra com 299999 folhas e. pelo menos. obrigatoriamente.. finalmente.999 árvores com copas que repetem o número de folhas de outras árvores. nas 24 horas teremos 22 x 2 = 44 vezes em que isso acontece. Por isso do total de 48 teremos de tirar 4. Apenas para exercitar. isto é. ou com 1 folha.. Mas vendo as voltas relativamente ao ponteiro das horas. Entretanto não é sempre que teremos em uma hora duas ocorrências de ângulos retos. · DICA Esse problema envolve o chamado Princípio da Casa dos Pombos (se tivermos mais pombos do que casas para abrigá-los.. O engano que leva tantas respostas para uma alternativa errada é o de considerar que "nenhuma das árvore tem mais de 300 mil folhas em sua copa" leva à conclusão de que "certamente existem árvores com menos de 300 mil folhas em sua copa". Teremos 300001 tipos diferentes de copas de árvore: uma copa nula (sem nenhuma folha). No período de 24 horas o ponteiro das horas dá 2 voltas completas enquanto o ponteiro dos minutos dá 24 voltas. Se considerarmos uma árvore além dessas. A repetição é inevitável! Teremos assim. Isso não acontece quando os ângulos retos se formam nas horas cheias: 3h e 15h. Assim poderíamos calcular que nas 24 horas teríamos 24x2=48 ocasiões em que os ponteiros formam ângulo reto. dá 24 voltas descontadas as 2 voltas do próprio ponteiro das horas. uma com 300000 folhas (limite conforme o enunciado). 3) A resposta correta é: a) existem árvores com copas de mesmo número de folhas nessa floresta JUSTIFICATIVA: Vamos tentar fazer essa floresta sem ter árvores de igual número de folhas. ou com 2 folhas .. com 300000 folhas. olhando o ponteiro o girar do ponteiro dos minutos. algumas casas terão necessariamente de ser compartilhadas por mais de um pombo). errada. imagine-se montado no ponteiro das horas de um grande relógio durante as 24 horas. ela só poderá ter uma das seguintes copas: com 0 folha. nas 24 horas o ponteiro dos minutos.. · Uma resposta muito comum é a (c). Como a cada volta do ponteiro dos minutos em torno do ponteiro das horas há duas ocasiões em que esses ponteiros formam ângulo reto.4 =44. outra só com 1 folha. ou . outra com 2 folhas. Talvez ajude a visualizar melhor a situação. Assim. são 24-2=22 voltas que o ponteiro dos minutos dá em torno do das horas. 1000000-300001= 699. elas estariam dentro da condição proposta pelo enunciado (por mais improvável que fosse essa ocorrência!).73 A cada hora o ponteiro dos minutos dá uma volta completa (360o) e em dois momentos ele forma um ângulo reto com o ponteiro das horas. por exemplo. . Outro modo de ver isso.. 9h e 21h (pois de 8h até 10h. temos de descontar o movimento do próprio ponteiro das horas. O que dá 48 . Na verdade se todas as copas tivessem 300 mil folhas. relativamente ao das horas. . . Em cada horário desses há uma ocorrência de ângulo reto a menos. teremos apenas 3 situações de formação de ângulos retos entre os ponteiros) . 4) Resposta: c) existem 2 caixas com o mesmo número de laranjas JUSTIFICATIVA: Podemos ter no máximo 17 tipos possíveis de caixas (68-52+1=17).. 6) Resposta correta é c) 5 kg JUSTIFICATIVA: . Como curiosidade: apenas 42 dobras levariam o sanduíche (pela espessura) para além da Lua.1 x 2 e volte a multiplicar por 2 sucessivas vezes.ela é logicamente inevitável. Para você sentir os limites práticos de dobrar um papel. Isso mostra o que é um aumento exponencial. deveria existir pelo menos uma caixa com mais de 52 laranjas. ficaremos devendo mais de 1000 metros). A certeza então é de que ao menos 2 caixas terão mesmo número de laranjas.. Na verdade bastam 27 dobras e ultrapassaremos em 5 quilômetros a altura do Everest (com 26 dobras..aquele dos jogos entre times). Atenção: como essas 3 outras caixas podem ter diferentes números de laranjas. outro com 62 laranjas Temos 20 caixas e 17 tipos de caixas. A segunda fase chega a ter 15 mil candidatos por carreira e 41 pontos possíveis por prova (10 questões e 1/4 de acerto possível em cada uma). A existência de empates não é uma casualidade (como no outro tipo de empate . Um tipo de caixa que contém 52 laranjas. pelo menos outras 3 caixas ( 20-17) teriam de ser de um dos 17 tipos. Muitos empates também ocorrem necessariamente em provas escritas. não poderemos afirmar o que diz a alternativa b).74 Um caso prático: no vestibular com 140 mil candidatos e 160 testes. outro com 53 laranjas. mas exigiriam um papel de quase 500 milhões de km de lado se tivéssemos no final 10 cm de lado. Na verdade poderiam ser todas de 52 laranjas que ainda estariam dentro das condições do enunciado. como o enunciado fala em caixas com pelo menos 52 e no máximo 68 laranjas. ou mais de 13000m). Faça isso ao todo 27 vezes (você encontrará mais de 13 milhões de mm. mesmo que 17 caixas tivessem tipos diferentes.. você pode verificar. Assim. Comece com 0. Sem nenhuma grande matemática. · Este é um problema do tipo "Princípio da Casa dos Pombos" 5) Resposta: a) menos de 30 dobras JUSTIFICATIVA: Somos tentados a dar resposta com grande número de dobras. obrigatoriamente haverá milhares de empates (há apenas 161 pontos distintos). O erro está em considerar que. Comentário Muitos apontam a alternativa E. usando máquina de calcular. tente dobrar mais de 6 vezes uma folha comum. ao menos matematicamente. não é. Basta elevar 2 a 30: (2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2) = 2³º 9) A resposta correta é: c) existem pelo menos 2 que aniversariam no mesmo dia JUSTIFICATIVA: Este é um problema clássico do tipo casa dos pombos. independente de quanto houver antes de líquido. tirando um litro. o nível desce 1 milímetro.75 Na melancia não desidratada. com equações. Quem já outros exercícios que foram propostos neste site sabe a explicação (questões 1 e 2). a massa da parte que não é água vale 5% de 10 kg. o nível desce 1/1000 de metro. a massa total é 10 x 0. esse meio quilograma corresponde a 100%.5kg = 5 kg. 500 milhões a menos). 7) Resposta correta é: e) 1 milímetro JUSTIFICATIVA: Em um metro cúbico (1m3) de água temos 1000 litros. meio quilograma (0. Como curiosidade: Seria 1 bilhão de mosquitos um número absurdo para apenas 30 anos? Veja que. Vamos aproveitar para lembrar coisas bem básicas (e que às vezes as pessoas esquecem): um litro é igual ao volume de um cubo de 10 cm de aresta e "enche" 1000 cubinhos de 1 cm de aresta. Comentário Há muitas respostas para: o nível baixou de 10 cm. · Obs: este problema pode ser resolvido de maneira mais formal. Como meio quilograma é 1/10 da massa da melancia após a desidratação. teve gente que respondeu que a caixa d'água esvaziava totalmente (supondo cheia inicialmente). ou seja. Observe-se o "tamanho" desse erro: 10 cm numa caixa cúbica de 1 m de aresta são 100 litros! Um erro foi de 100 para 1. Como a variação do volume é apenas na vertical. Logo. há um ano a população teria atingido a metade do tamanho atual (isto é.90%=10% da massa total.5 kg). dos intervalos de tempo apresentados. Ou seja. retiramos 1/1000 de um metro cúbico. Após a desidratação. . dando o mesmo resultado. Houve um grande índice de erros. Retirando 1 litro da caixa. Lição: cuidado com questões simples. · No ano em que a questão foi pedida (na forma de questão dissertativa). o mais perto · de um ano é o de 50 semanas. é claro. Elas podem ser a diferença entre ser ou não aprovado no vestibular! 8) A resposta correta é d) 50 semanas JUSTIFICATIVA: Como a população dobra de ano em ano. E. Houve um aumento de 60-1 = 59 veículos por minuto.0. Procure chegar nesse resultado (lembre-se primeiro de calcular a probabilidade de não sair nenhuma cara em 4 lançamentos sucessivos). mantendo o volume no final em 1 litro. saberíamos que em 20% o alvo seria atingido ao menos uma vez.1/4 = 3/4 de seus tiros. menos um tanto que foi ocupado pela quantia B de café. Se em . o tanto de leite que saiu é igual ao tanto de . Qual a probabilidade de lançarmos uma moeda 4 vezes seguidas e conseguirmos pelo menos uma cara? A resposta é: aproximadamente 93.32 = 0. A probabilidade E. Ou seja E = 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4.68 = 68%. 12) A resposta é: a) A =B JUSTIFICATIVA: A explicação é simples. 80% das vezes eles todos errassem. é o produto das probabilidades individuais.E = 1 . 1 veículo por minuto para 60 por minuto.76 Uma dica: o fato de ter com certeza na festa ao menos duas pessoas com o mesmo dia de aniversário deve-se a termos 500 pessoas para 366 dias de aniversário possíveis (não dá para termos 500 aniversários diferentes!). 10) A resposta é: c) 68% JUSTIFICATIVA: Primeiro temos de buscar a probabilidade E de todos os 4 errarem o alvo. o jarro de leite tem volume de 1 litro sendo este composto pelo litro de leite inicial . 11) A resposta é: d) 5900% JUSTIFICATIVA: O número de veículos passou de 60 por hora. ou 1/4 de seus tiros. ou seja. aproximadamente: A = 1 . A = 1 . Cada atirador acerta 25%. Assim a probabilidade A de o alvo ser acertado é a complementar de E. Logo o aumento percentual foi de 59/1 = 5900%. 1) Os jarros antes e depois da mistura continuam com o mesmo volume inicial (saiu 100 ml e entrou 100 ml) 2) Depois da mistura. isto é. E = 81/256 E = 0. digamos.8%. desse erro ocorrer nos 4 tiros. Para entrar este B de café. ou seja.32 (aproximadamente) A probabilidade de se acertar o alvo (por um ou mais tiros) é então. Logo cada um erra em média 1 . JUSTIFICATIVA: Há apenas um com "1" no final desse tipo (o próprio 1) . tirar um par com meias de cores diferentes em apenas duas tentativas. eventualmente. é claro. a 11ª será branca ou preta. este valor é ou não suficiente para obter o que deseja? (veja que é suficiente sim. os estudantes tendem a buscar a resposta usando receitas para Condição Necessária e Condição Suficiente (comuns em condicionais matemáticos). para ter certeza de que sairá o par desejado. b) Para obter um par de mesma cor são suficientes 5 tentativas: É verdadeira. pois tirando 4 meias da gaveta. a quarta vai ter de repetir uma cor).00. Observe também que A e B são menores do que 100 ml. Logo é correto dizer que é suficiente tirar 5 meias para formar o par. são necessárias 13 tentativas.00. analisando todas as alternativas a) Para ter um par de pretas são necessárias pelo menos 22 tentativas: É falsa pois pode ser obtido um par de pretas em menos de 22 tentativas (ele. que ao retirar as meias só marrons vão saindo. obrigatoriamente se encontra um par correto (se as 3 primeiras tentativas não deram certo. esquecendo-se do uso normal dessas palavras. pois ele pode. JUSTIFICATIVA: Vamos ver a justificativa. você procura na carteira e consegue reunir R$ 10. pode sair nas primeiras 2 retiradas). Esta questão mostra a importância do bom entendimento do que significam as palavras necessário e suficiente. pois ele pode. Mas. Supondo a pior hipótese. d) A certeza de obter um par de brancas ou pretas só se tem com 12 tentativas: É falsa. eventualmente.(embora. Para onde foi esse tanto B de leite que saiu? Para o jarro de café! Logo a quantia de café que entrou no jarro de leite é igual a quantidade de leite que entrou no jarro de café: A = B. com certeza. 14) A resposta é: d) cem milhões de números desse tipo. ele possa eventualmente sair logo nas primeiras 2 tentativas). Em contexto de problemas. Até aí poderemos ter um par com uma branca e uma preta. embora seja mais do que o necessário) c) Para obter um par de cor marrom são necessárias mais de 2 tentativas: É falsa. Isto é. e) Para formar um par errado são necessárias mais de 2 tentativas: É falsa. com certeza terá sido formado um par branco ou preto. O resultado independe das quantidades iniciais de leite e de café e independe de serem as misturas homogêneas ou heterogêneas.77 café que entrou. na 13ª tentativa. tendo só 10 marrons. A 12ª poderá ser branca ou preta. que sem dúvida sabem fazer no seu dia-a-dia. À primeira vista esta resposta pode parecer confusa. tirar um par de marrons em apenas duas tentativas. isto é. 13) A resposta é: b) Para se obter um par de mesma cor são suficientes 5 tentativas. por sorte. mas basta pensar no seguinte: você deseja comprar um objeto que custa R$ 4. o total de números na condição apresentada é 10n-2.(12.113. ao camponês B e que.90000000. o "2".. 16) Num primeiro momento os três sábios riram ao ver a sujeira na cabeça dos outros dois.. haveria 1000 (ou 103) números com a condição.. exclusivamente. por exemplo). num sistema numérico de n algarismos.42... Cem milhões ou 108 Uma generalização para outras bases de numeração Quantidade de números cujo último algarismo representa o total de algarismos do número: Se o nosso sistema numérico. Terá 100000000 (com 8 zeros). o de raciocínio mais rápido que chamaremos de A.123.é o "2" + todos os números com 1 algarismo. então você liga o fogo. como o enunciado do problema antecipa) Há 90 números com "3" no final. Porém. não podiam ser vendidos por 0. ou seja 9 números. 15) Vire as duas ampulhetas ao mesmo tempo. O feirante só dispunha . sem prejuízo.como mostra a figura . portanto. o "3" e o "4".(103.. Vendidos esses 10 grupos. o "1".5 cents cada um. Há 90000000 (9 seguido de 7 zeros) números com "9" no final. pai e filho.. 17) Avô. A concluiu que também havia sido alvejado. Isso faria com que B parasse de rir imediatamente.. 18) A solução do caso é simples e aparece perfeitamente indicada no quadro abaixo: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A B No retângulo superior estão indicados os abacaxis de A e no retângulo inferior estão indicados os abacaxis de B.32. C só pode estar rindo de mim". restavam 10 abacaxis que pertenciam.é o "3" + todos os números com 2 algarismos. ou seja 90 números) Do mesmo modo: Há 900 números com "4" no final Há 9000 números com "5" no final Há 90000 números com "6" no final Há 900000 números com "7" no final Há 9000000 (9 seguido de 6 zeros) números com "8" no final. percebeu que se ele próprio não estivesse sujo qualquer um dos outros raciocinaria assim: " B pensa: Como A não está sujo. usasse apenas 5 algarismos (o "0".92 .22. ..de 10 grupos que podiam ser vendidos. Como ninguém parou de rir.78 Há 9 números com "2" no final..993 . Quando a de 8 segundos acabar. no lugar de 10 algarismos. quando acabar a de 14 segundos restarão 8 segundos na de 22. vire ela imadiatamente e terá 30 segundos. Some tudo 1+9+90+. um deles. Resultou daí a diferença que o camponês verificou e não pode explicar. De forma geral. à razão de 5 por 2 reais. mandou que um de seus funcionários. na sexta-feira.1 . afinal. 5) Você decidiu ir para a cama às 8 horas da noite. Todos os pernetas utilizam uma sandália. Surge.00. 4) Numa certa cidade da Índia existem 20.00 e um par de sapatos. se viaja à velocidade de 1 km por minuto ? resp:Leva 2 minutos. em pagamento. O sapateiro. Momentos depois.7 = 4x . A alternativa correta é a letra (c). Após o primeiro minuto a cauda do trem está entrando no túnel. tal que log3(4x+7)=5.000 sandálias são usadas na cidade. Muita gente. porém. para sair do outro lado. 3) UEFS 97. Recebido o dinheiro. surgiu o dono da confeitaria exigindo a devolução de seu dinheiro: a nota era falsa! E o sapateiro viu-se forçado a devolver os R$ 100. O prejuízo do sapateiro foi de R$ 40. Quantas horas você dormiu? . 2) Quanto tempo leva um trem de 1 km de comprimento para atravessar um túnel de 1 km de comprimento. portanto 236=4x de onde conclui-se que x = 236/4 = 59.00. então teremos necessariamente que ax = N. Do restante. 5% da população são pernetas e metade da população restantes andam descalça. Quantas sandálias ( não pares ) são usadas na cidade ? Procure resolver pela lógica ! resp: Não faz diferença qual a percentagem de pernetas. Fazendo uma média de uma sandália por pessoa. uma nota de R$ 100. é: A) 5 B) 28 C) 59 D) 118 E) 236 SOLUÇÃO: Sabemos da definição de logaritmo que: Se logaN = x .O valor de x real. que no momento não dispunha de troco. Após dar corda no relógio. Consequentemente. você acertou o despertador para as 9 horas da manhã seguinte. deu ao freguês o troco e o par de sapatos que havia sido adquirido. leva 1 minuto mais. entregando. no problema dado podemos escrever: 35 = 4x+7 Þ 243 = 4x+7 Þ 243 . 20. fosse trocar a nota numa confeitaria próxima.00 que havia recebido. Logo.79 Questões de Matemática 1) Um indivíduo entrou numa sapataria e comprou um par de sapatos por R$ 60.000 pessoas. metade usa duas sandálias e metade não usa. a dúvida: qual foi o prejuízo que o sapateiro teve nesse complicado negocio? resp:A resposta é simples e fácil. Depois. ficará embaraçada sem saber como esclarecer a questão. e. quanto tempo levarão para encher metade do jarro ? resp: Como pode ser dobrada a cada minuto. cada um dos homens pensou estar igual ao outro. Um deles estava coma cara preta de fuligem. Cada um deles acertou em um pato e nenhum atirou no mesmo. olharam-se. Quando o que estava com a cara limpa olhou para o que estava com a cara suja. o ministro conseguiu ficar. enquanto o homem com a cara suja nada fez. o rei escreveu "vá"nos dois papeis. Como você explica isso? resp: Após descerem pela mesma chaminé. o ministro devia ir embora. pode ser dividida na metade a cada minuto. Como foi isto? resp: Eram o avô. Como ele conseguiu ? resp: O ministro apanhou um dos papéis o queimou sem olhar. resolveu se lavar. resolveram então descer pela chaminé. para não denunciar o que tinha feito. Foi. também. 7) Dois homens queriam entrar numa casa. embora tenha descontado neste dia o cheque da semana anterior. tendo descontado um cheque no banco. Sem dizer uma palavra. Ele comprou um chapéu e algumas bananas no mercado. 8) Dois pais e dois filhos saíram para caçar patos. O rei foi obrigado a ficar com o ministro. Disse então ao rei que visse no outro papel o que estava escrito. 6) Num jarro estão 7 amebas. somente 3 patos foram abatidos. portanto para encher a metade da jarra é preciso 39 minutos. mas o outro estava com a cara limpa. Elas se multiplicam tão rapidamente que dobram seu volume a cada minuto. o ministro continuaria em sua posição. não sabe distinguir 9 h e 21 h. . qual o dia em que ele foi à cidade ? resp: Ele foi à cidade na 3 feira.00 no bolso. elas levam 40 minutos. pai e filho. olhando para o de cara limpa. Se o papel tivesse escrito "vá". relógio do tipo que se dá corda. quartas e sábados e que o oftalmologista fecha aos sábados e o mercado está fechado nas quartas feiras e quintas feiras. 10) Um rei queria livrar-se do seu primeiro-ministro.80 resp: 1 Hora apenas. mas tinham perdido a chave. Para assegurar-se de que o ministroiria embora. Entretanto. Quando conseguiram chegar dentro da casa. O que estava com a cara suja. mas retornou à noite com R$ 15. ao oftalmologista. pois. o homem que estava com a cara limpa foi lavar o rosto. Entretanto. Se o papel tivesse "fique. Se para encher o jarro. achou que não era preciso.00.Colocou então dois pedaços de papel num chapeu e disse ao ministro para escolher um. Sabendo que ele era pago por cheque todas as quintas feiras e que os bancos só abrem às terças. 9) Como é que pode? Um homem foi à cidade com R$ 5. 000 Km. Como deveria ser dividido este dinheiro ? resp: Se 8 pães foram divididos igualmente. Caso haja uma diferença na primeira pesagem pega-se as três bolas do prato mais pesado e escolhe-se duas à sorte: 1. . Um árabe possuía 5 pedaços de pão e o outro 3 pedaços. logo deve receber 7 moedas e o outro apenas uma. 2/3 O árabe que tinha 3 pães cedeu apenas 1/3 de um pão ao viajante e o árabe que tinha 5 pães cedeu 2. como você encontrará a bolinha mais pesada efetuando somente duas pesagens ? resp: Pega-se em seis bolinhas e põem-se três em cada prato da balança.000 km.Se o peso for diferente ao prato mais pesado corresponde a bolinha mais pesada. os pneus só agüentam 12.1/3.000 Km. Assim. Ao completar os 12. 13) Dois árabes viajavam para Meca e pararam por um momento na estrada para comer. 12) Oito bolinhas de gude têm mesmo tamanho. QUEM FOI ? resp: Foi a nave espacial "Descoberta " 15) Cada letra representa um número diferente. chegou sozinho.quem ganhou. sendo o resultado igual a 555. Este pediu-lhes comida e disse que pagaria por aquilo que tivesse comido. devem repor aqueles que tinham sido substituídos pelos reservas (no lugar daqueles que já estão com 12. os três homens dividiram a comida entre si. entre zero e nove. Mais duas soluções : B= 1 . -"Descoberta" chegou antes de "Relâmpago" .81 11) Dois homens vão fazer uma viagem de 18. realizou-se uma corrida espacial entre cinco naves: -"Ousada" chegou depois de "Relâmpago". a bolinha mais pesada é a terceira 2. Deste modo. Se o peso for igual isso significa que uma das 2 bolinhas que faltam é a mais pesada basta então fazer a segunda pesagem (uma em cada prato). Ao fim dos primeiros 6. Antes que começassem a refeição. o árabe dos 5 pães deu 7 vezes mais pão ao estranho que o outro. A = 8 e R = 5. Quantos pneus reservas precisam levar.Se o peso for igual. Sete delas têm o mesmo peso e a restante é a mais pesada. na seguinte soma: BAR + BAR + BAR = RRR A que número corresponde BAR ? resp: O valor de cada letra é : B= 1 . A = 4 e R = 8 resultando no 444 e .000 Km. -"Caracol" e "Aventura" chegaram ao mesmo tempo. o viajante deu-lhes 8 moedas de igual valor. mesma cor e mesma forma. no mínimo ? resp: Apenas 2.000 Km rodados ). 14) Entre a Terra e o planeta Solok. de automóvel. Usando uma balança com dois pratos. Entretanto. cada homem comeu 2. Quando a terminou. apareceu um viajante. Eles devem colocar os pneus reservas. nem menos. Como ele conseguiu resolver o problema ? resp: O marinheiro apanhou uma certa quantidade de pedrinhas na praia. 6 e 8. cujo navio afundou. A distância é percorrida em 5 dias. 16) Certa noite Pedrinho resolveu ir ao cinema. Se ele tomasse menos ou mais ficaria doente. Ele então tomou a dose que necessitava. já existem 5 trens em caminho e durante os cinco dias de viagem outros 5 sairão. Portanto a única combinação possível são os números 2439 e 3924. Ele sabia que lá existiam 10 pares de meias brancas e 10 pares de meias pretas. Como o número 0 e número 1 são quadrados deles próprios. uma garrafa cheia até 3/4 de remédio. viu-se só em uma ilha.3) : 1 = 237 21) Um trem sai diariamente de São Francisco para Nova Iorque. 20) Utilizando uma só vez um dos números 1. Derramou então na garrafda vazia o liquido até que o nivel fosse o mesmo nas duas garrafas. Foi então ao quarto do pai. Se um viajante deixar São Francisco de trem. o segundo é o quadrado do primeiro e o quarto é o quadrado do terceiro. 1. com febre altíssima. A = 9 e R = 6 que resulta em 888. O outro retruca: · O meu também. As intruções de como tomar o remédio prescreviam uma dose de metade da garrafa. 18) Um marinheiro. Até o liquido atingisse a boca da garrafa. 3. que estava na escuridão. sobram somente os números 4 e 9. vazia. antes de chegar lá ? resp: A resposta é 10 trens. e a outra igual. mas descobriu que não tinha meias limpas para calçar. e escolhendo as operações convenientes. 5. resp: (5 x 6 x 8 . Isto significava que 1/4 do volume era tomado pelas pedras. 4 e 9.82 B= 2 . Porém minha inscrição na competição foi depois da sua. quando ele sai. Outro sai diariamente de Nova Iorque para São Francisco. todos misturados. obtenha o número 237. Qual o número de inscrição de cada um ? resp: Os quadrados perfeitos formados por um único algarismo são : 0. . Consequentemente. nem mais. O quê ? resp: Ocupando lugar e ficando mais velho. pois. Quantas meias ele teve de retirar da gaveta para estar certo que possuía um par igual ? resp: 3 no minimo. de vários tamanhos e jogou-as uma a uma dentro da garrafa de remédio. quantos trens vindos Nova Iorque ele verá. Do naufrágio tinham sobrado duas garrafas. as duas garrafas ficaram com a metade cheia. Uma delas. 17) Todas as coisas do Universos estão sempre fazendo duas coisas. 19) Dois atletas brincam com seus números de inscrição em uma competição: · O meu número é formado por quatro algarismos diferentes. .. visto que 8 + 2 é igual a 10m. Total de 3m.. 23) Um consumidor pagou R$ 4.00. Quantos animais tenho em meu rebanho ? resp: O rebanho é composto por 3 animais. No dia seguinte.00. o caracol sobe 2m e escorrega 1. que verificou a irregularidade e constatou um erro de 5% na massa do produto.00 por quarto. assim sendo os homens pagaram ao todo R$ 30. No segundo dia. ao receber um sorvete. 26) Um caracol sobe um muro com 10 metros de altura.75 por essa quantidade de arroz o preço da grama é de R$ 0.00 de volta. No sétimo dia.00 que está faltando ? .... o caracol sobe mais 2m e escorrega 1.. a massa real era de 4750 g.. No terceiro dia. um camelo e uma cabra.00 por cada quarto e. o preço de 1 kg daquele arroz ? resp: Se o pacote tinha 5% a menos do que a massa indicada. todos são camelos menos dois. Total de 2m. perfazendo um total de R$ 27.00 o Kg. Logo o sorvete "custa" 9 palitos.75 por um pacote de 5 kg de arroz num supermercado. Como o "boy" não era honesto. deu R$ 1. Ao fim de quantos dias chega o caracol ao topo do muro ? resp: No primeiro dia. Em cada dia sobe 2 metros.. na realidade.83 22) Em meu rebanho. todos são cabras menos dois e todos são cavalos menos dois.00. um palito de sorvete corresponde a que fração do preço de um sorvete ? resp: Devemos lembrar que.. No nono dia. o caracol sobe mais 2m e não escorrega .. 27) Três homens pararam uma noite em um hotel e pediram três quartos separados..ele chegou ao topo. o caracol sobe mais 2m e escorrega 1. O preço era de R$ 10.. Somando-se os R$ 2. recebemos também um palito.00. Total de 1m.. Total de 7m.. Resposta: 9 dias.. ele procurou o órgão oficial competente. . Total de 8m.. Mandou então que o "boy" fizesse a devolução de R$ 5. O que aconteceu ao R$ 1.. contra o consumidor. Nessa promoção. No oitavo dia.00 do "boy" teremos R$ 29.00. o caracol sobe mais 2m e escorrega 1. cada um dos homens tinha pago R$ 9. Desconfiado daquela medida.. Após terem recebidos R$ 1.00. quanto tempo levarão 100 gatos para matar 100 ratos ? resp: 3 minutos. mas de noite deixa-se escorregar 1 metro. Sendo um cavalo. o caracol sobe mais 2m e escorrega 1. o gerente verificou que os quartos podiam ser alugados por R$ 25. Como o consumidor pagou R$ 4. 24) Num certo verão.00 para cada um dos homens ficando com R$ 2. a fabrica de sorvetes Que Bom troca dez palitos de sorvete por um sorvete de palito. Cada gato mata 1 rato em 3 minutos. portanto um palito vale 1/9 do preço do sorvete.. 25) Se 3 gatos matam 3 ratos em 3 minutos. Qual foi.001 portanto R$ 1. 00 por quarto.00 e perdeu 10%. X = (5 . deu R$ 1. ele teve lucro ou prejuízo ? De quanto ? resp: Perdeu R$ 4. Qual é o número de cachorros dessa cidade ? resp: Existem 5000 cachorrinhos na cidade 33) Uma coleção de 10 livros.00.00.00 de volta. A maioria da famílias tem um cachorrinho e a metade das famílias restantes tem dois. resp: 55 + 5/5 = 56 32) Em uma cidadezinha vivem apenas 5 000 famílias. perfazendo um total de R$ 27. assim sendo os homens pagaram ao todo R$ 30. 31) Combinar 4 algarismos 5. 15 deles correspondem a 3/4 da lotação.00 para cada um dos homens ficando com R$ 2.84 resp: Três homens pararam uma noite em um hotel e pediram três quartos separados. 1/4 da lotação do elevador para as crianças. Sobrando portanto. Seu lucro no 1º cavalo foi de R$ 18. Vendeu o primeiro por R$ 198. quantas crianças podem entrar ? resp: Se no elevador cabem 20 adultos. Após terem recebidos R$ 1. Portanto 23 degraus.00. Como o "boy" não era honesto. Se 15 adultos já estão no elevador. de tal maneira que representem 56. Mandou então que o "boy" fizesse a devolução de R$ 5.00 no segundo animal. No dia seguinte vendeu o outro por R$ 198.00. volta a subir 4 e depois mais 9 para chegar ao último. Quantos degraus tem a escada? resp: Sendo X a posição em que se encontra. o gerente verificou que os quartos podiam ser alugados por R$ 25.7 + 4 + 9) 2 + 1 X = (11) 2 + 1 X = 22 + 1 X = 23 29) Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 crianças.00. mas perdeu R$ 22.00 por cada quarto e. cada um com 100 páginas excluindo-se as capas e contra capas. O preço era de R$ 10. O que aconteceu ao R$ 1. Uma traça perfurou as folhas dos . tendo um lucro de 10%.00 que está faltando ? 28) Uma pessoa encontra-se no degrau do meio de uma escada. cada um dos homens tinha pago R$ 9.00. Sobe 5 degraus. Portanto 1/4 de 24 crianças são 6 crianças que poderão entrar no elevador. Algumas delas não possuem cachorros e as restantes possuem um ou dois. Nos dois negócios. estava disposta na prateleira de uma estante em pé.00. Somando-se os R$ 2. No dia seguinte. deverá ser multiplicado por dois por estar no degrau do meio e ainda somar o próprio degrau. 30) Um negociante tinha dois cavalos.00 do "boy" teremos R$ 29.00. Todos os cachorrinhos dessa cidade vivem com uma família . desce 7.00. a traça começou a roer a partir da página 1 do primeiro livro e parou na última página do décimo livro. Determine o valor de cada letra no criptograma: NOVE + TRÊS = DOZE resp: Poderá ser encontrado outras respostas.85 livros começando pela primeira página do primeiro livro e parando na última página do último livro. logo. D sentava-se num tipo diferente de A e B. Tente resolver este problema com o menor número de passos. Portanto ela roeu : 802 páginas . Num certo instante. C. Você pode descobrir onde sentavam A. Estando os livros dispostos dessa maneira. D e E se você souber que: A e B sentavam-se num mesmo tipo de assento. e E sentava-se em tipo diferente de D. Como separar a água de forma a obter duas vasilhas com 4 litros cada ? Você não possui qualquer tipo de medidor. tipo igual a A e B. vazias. e uma vasilha com 8 litros cheia de água. A nossa é: 2185 + 4950 = 7135 35) 5 meninos estavam vendo televisão. 37) Temos duas vasilhas com 3 e 5 litros. B. A primeira luz pisca 15 vezes por minuto. Quantas páginas foram perfuradas pela traça ? resp: Normalmente as pessoas lêem das esquerda para a direita. duas luzes piscam com freqüências diferentes. logo deixou de roer algumas páginas desses dois volumes. o primeiro volume é encostado mais à esquerda. Ora. D e E sentavam-se em tipos diferentes. Logo. 36) No alto de uma torre de uma emissora de televisão. percebemos que a página 1 do primeiro livro está encostada na página 100 do segundo livro e que a página 100 do último livro está encostada na página 1 do penúltimo volume. B e E estavam nas poltronas e C e D nas cadeiras. e a segunda pisca 10 vezes por minuto. coleções de livros arrumados em pé. de 0 a 9. B e D sentavam-se em tipos diferentes. Eles estavam sentados em 2 cadeiras e 3 poltronas. resp: A e B sentavam-se em cadeiras ou poltronas. as luzes piscam simultaneamente. e desconsiderando capas e contracapas. não tem como medir o quanto está colocando em outra vasilha. Assim sendo A. 34) Cada letra assume um único valor. resp: 3 litros 5 litros 8 litros 1º passo 0 5 3 2º passo 3 2 3 3º passo 0 2 6 4º passo 2 0 6 5º passo 2 5 1 6º passo 3 4 1 7º passo 0 4 4 . ou seja. Após quantos segundos as duas voltarão a piscar juntas novamente ? resp: As duas piscarão juntas novamente após 12 segundos. mas você sabe onde está o erro ? 1) Supondo que a = b 2) a x a = a x b ( Multiplicando os dois membro por a ) 3) a2 = ab 4) a2 .b )/ ( a . 40) Que algo está errado com a demonstração abaixo. 5 = 30 m. distantes 90 m . 1 tijolo e no outro prato 1 Kg + 1/2 tijolo. ou a 30 m do ponto B.00. Observe que a soma totaliza os 90 m ( 60 + 30 = 90 ).b ) = b( a .86 38) Se um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. De que maneira poderei fazer essa comprar. quanto pesa tijolo e meio ? resp: Em uma balança de dois pratos há de um lado. 6 . ou seja.00 e leitão vale 0. 10 = 60 m e o cachorro.50 centavos. A outra justificativa. Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos? . uma lebre a 10 m/s e um cachorro a 5 m/s. a) Depois de quanto tempo eles se encontrarão ? b) Em que lugar isso ocorrerá ? resp: Em 1 segundo. Sendo que: Barrão vale R$ 10. Se você retirar 1/2 tijolo de cada lado chega a conclusão que 1/2 tijolo pesa 1 Kg. pois se a = b como foi suposto no item 1. 39) Eu tenho R$ 100.00 para comprar 100 porcos. a distância ( 90 m ) diminui em 15 m pois 10 m + 5 m = 15 m. cada porca vale R$ 5.00 reais Total de 100 porcos e R$ 100. algo de errado deve Ter acontecido nesta demonstração. basta descobrir.00 reais.b2 = ab . se preciso de pelo menos um animal de cada tipo ? resp: Comprando 90 leitões dará R$ 45.b2 ( Subtrai-se b2 dos dois membros ) 5) ( a + b ) ( a . a lebre andou 6 . isso é claro.b )/ ( a .b ) ( Produto da soma pela diferença = b em evidencia ) 6) ( a + b )( a .b ) ( Dividindo-se os dois membros por ( a. Então eles se encontrarão a 60 m do ponto A. Logo serão necessários 6 segundos ( 90 : 15 = 6 ) para que essa distância fique igual a zero. soltam-se. para que eles se encontrem: Depois de 6 segundos. 41) De dois pontos A e B. 42) Num quintal existem galinhas e coelhos: ao todo 26 cabeças e 70 patas. seria que se a = b .b ) = b ( a . ao mesmo tempo e em sentido contrário. Portanto 1 tijolo e meio pesa 3 Kg.00 reais.b ) 7) a + b = b 8) a + a = a ( Isso é possível por a = b como suposto no item 1 ) 9) 2 a = a 10) 2a / a = a / a 11) 2 = 1 Pois bem.b = 0 e todos nós sabemos que esta divisão não existe. resp: O erro está no item 6. não poderiam ser letras diferentes. Comprando 9 porcas dará R$ 45. a .00 reais Comprando 1 barrão dará R$ 10. Como n é divisível por n então... Qual das afirmações a seguir é correta? A pessoa que teve resultado positivo no teste para a presença do vírus: a)tem 95. o menor número N formado apenas por uns que é divisível por d consiste de 300 uns. Portanto. Se k = 100q então a soma dos algarismos de N é igual a 100q e esta soma será divisível por 3. 43) ..17 C = 9 coelhos Resposta : ao todo existem 9 coelhos e 17 galinhas Observação: Existe diversas maneira de ser resolver. eles decidem que três desses filmes.3% de chance de não ter o vírus X. Para isso. No entanto. temos então um total de 5! = 120 maneiras diferentes (nessa parte estamos considerando todas as permutações em que os filmes de ficção são apresentados juntos).. Tem-se então que: C + G = 26 (número de cabeças igual ao número de animais) 4C + 2G = 70 (número de patas) C = 26 . que serão exibidos um por dia. os organizadores escolhem sete filmes. Segundo dados técnicos. o número procurado X = 1111.111(r uns). N é divisível por n se. Nesse caso. 100) então N = M + R.333 formado por 100 algarismos iguais a 3. devem ser exibidos em dias consecutivos. k for divisível por 100. Se k é um número da forma k = 100q + r onde r pertence ao intervalo [0.G 4 (26 .. R = 0 ou seja... onde M = 111. que são de ficção científica. o número de maneiras diferentes de se fazer a programação dessa semana é : A) 144 B) 576 C) 720 D) 1040 Solução: Considerando que todos os três filmes de ficção e os 4 restantes podem ter dias de apresentação permutados entre si. 44 .. Portanto. 45 . o teste indica corretamente a presença do vírus X em 98 de cada 100 pessoas infectadas e indica incorretamente a presença do vírus X em 5 de cada 100 pessoas não infectadas. ao elaborar a programação. e somente se.Determine o menor inteiro cuja representação decimal consiste somente de 1's e que é divisível pelo número 333.. Solução: Seja d = 3n. e somente se.6 = 720 maneiras diferentes de se fazer a programação. Então.111 (formado por k uns) deve ser divisível por n e por 3 (n não é divisível por 3 porque a soma de seus algarismos é igual a 100 que não é divisível por 3).G C = 26 . .87 resp: Chamemos C o número de coelhos e G o número de galinhas.111000. se r = 0 e consequentemente se. temos 120. podemos permutar os filmes de fição de 3! = 6 maneiras diferentes.G ) + 2G = 70 104 ..000 (100q uns e r zeros) e R = 111.Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Ao receber o resultado de um teste de sangue uma pessoa vê que o mesmo indicou positivamente a presença do vírus X. onde d é o número formado por exatamente 100 três e n o número formado por exatamente 100 uns. Porém.4G + 2G = 70 -2G = -34 G = 17 galinhas C = 26 .Um novo vírus X foi detectado tendo afetado regularmente 1 de cada 10 mil pessoas. Este teste pode ser útil. Isso dá um índice de acerto na indicação dos infectados de 1/501. Assim sendo.5 mil seriam negativos). em que a . o teste dará um total aproximado de 501 testes positivos.8% de chance de não ter o vírus X. Ele é um bom teste. o teste errou na quase totalidade das vezes em que indicou positivamente a presença do vírus. Justificativa É algo realmente espantoso. O teste erra então em 99. a presença do vírus num grupo que não o possui. temos que os coeficientes dos termo de mesmo grau são iguais. mas é isso mesmo! Os dados do problema dizem que há apenas 1 pessoa com o vírus em cada 10 mil pessoas. aproximadamente 0. e)tem 99. teremos uma indicação incorreta.Não basta apenas que um teste identifique muito bem um vírus num grupo que o possui. Mas ainda há outro lado curioso e importante.9998% dos casos) o teste estaria correto. Logo.88 b)tem 93% de chance de ter o vírus X. ou seja: a=0 2a . 9. erradamente. 46 . para cerca de 500 pessoas (5% dos 9999). dos quais apenas 1 é correto (500 são falsos positivos). c)tem 95. ela poderia ficar tranqüila. A resposta é e) A pessoa tem 99. quando o seu resultado indica a não presença do vírus (isto é.4bcd e q ( x ) = 6x 2 + 18x + 5. ele é um bom teste de casos negativos). o teste provavelmente irá indicar corretamente o caso positivo (o enunciado diz que ele tem 98% de identificação correta dos efetivamente doentes).3b = 6 a + b + 4c = 18 -4bcd = 5 . como o enunciado diz que o teste dá 5% de falsos positivos. o número d é igual a: A) 1/8 B) 2/3 C) 4/5 D) 3 Solução: Como os dois polinômios são idênticos.2%. Dentro dos dados do problema. Sabe-se que p ( x ) = q ( x ) para todo x em R .3% de chance de ter o vírus X. no caso da questão. se o resultado do teste fosse negativo para uma pessoa (no caso. b . ou seja. c e d são números reais. Entre10 mil pessoas testadas. pois com quase absoluta certeza (em 9500/9500.8% de chance de não ter o vírus X. É preciso também ver em que taxa ele aponta. Mas considerando as 9999 pessoas não infectadas. em 10 mil testes. d)tem 98% de chance de ter o vírus X.02=99.8% dos casos que aponta como infectados!!! Moral da história: .Considere os polinômios p ( x ) = ax3 + ( 2a . O problema real deste teste está apenas nos falsos positivos.3b )x 2 + ( a + b + 4c )x . como infectadas. Veja-se que. e a soma das aturas passou a ser de 18.4 km 2.000. No segundo tempo. Assim sendo. a soma das alturas de todos os jogadores em campo passou a ser de 18. com 1.68 m de altura. Em seu lugar. Ainda no primeiro tempo. Temos que A = l2 é a equação que fornece o lado do quadrado em função do seu lado. 48 . cujo lado mede l metros. um jogador de 1.73 m de altura. faremos a transformação de quilômetros quadrados para metros quadrados.83.69 m B) 1.10m e o número de jogadores passou a ser de 10. a altura média dos 11 jogadores de um dos times era 1.1.71m. D) M contém exatamente seis elementos. a média de altura dos jogadores era de 17. temos l2 = 400. B) apenas dois dos elementos de M são primos. outro jogador do mesmo time. no final da partida.83 . Solução: 2n 2 .000m2. que é igual a 11 x 1.No início de uma partida de futebol.70 m C) 1.Uma fazenda tem uma área de 0. Pelo problema. Resolvendo a equação. foi expulso. Portanto.77 + 1.68m.71 m D) 1. Ainda no primeiro tempo.89 Resolvendo o sitema acima. Depois dessa substituição. encontramos que o lado é aproximadamente igual a 632m.1.Seja M o conjunto dos números naturais n tais que 2 n 2 . O número l satisfaz a condição : A) 180 < l < 210 B) 210 < l < 250 C) 400 < l < 500 D) 600 < l < 700 Solução: Inicialmente.68 = 18.77m foi substituído por outro de 1.4 km2 é igual a 400.75n + 700 ? 0 . um jogador de 1. encontramos : a=0 b = -2 c=5 d = 1/8 47 .92 . é CORRETO afirmar que : A) apenas um dos elementos de M é múltiplo de 4.72 m Solução: A partir da média dos jogadores no início da partida e do número jogadores (11).77 m de altura.72 m. Temos que 0.10 / 10 = 1.92m. 49 . a altura média dos 10 jogadores desse time era : A) 1. com 1.72 = 18. entrou um outro que media 1.73m foi expulso. C) a soma de todos os elementos de M é igual a 79. No segundo tempo. foi substituído. Suponha que essa fazenda seja um quadrado.73 = 17. um desses jogadores. Ao terminar a partida.75 n + 700 ? 0. encontramos a soma das alturas de todos os jogadores. Essa quantia seria repartida entre eles de modo que todos os pedreiros recebessem o mesmo valor e o mestre-de-obras ganhasse 60% a mais que cada um deles. a quantia que cada um dos quatro pedreiros recebeu teve um aumento de : A) 10% B) 20% C) 25% D) 30% Solução: Seja x a quantia que cada um dos 5 pedreiros recebe. Dessa forma. mas o mestre.14x + 38 = 11 ou senão x 2 .5Q/33 = Q/33.14x + 38 = -11 x 2 . E esse valor corresponde a 20% de 5Q/33. 51 .6x. encontramos que x = 5Q/33. Então. agora. Então. Temos então que 5x + 1. A partir do discriminante (delta) de cada uma delas concluímos o número de raízes da equação será: x 2 . Nessa situação.14x + 38 ) 2 = 11 2.Considere a equação ( x 2 . O número de raízes reais distintas dessa equação é : A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 Solução: Temos que ( x 2 . Podemos então afirmar que x 2 . Logo. pelo qual receberiam a quantia de Q reais.Um mestre-de-obras e cinco pedreiros foram contratados para fazer um certo serviço.6x = Q. . o mestre de obras receberá 1. Logo. E os valores inteiros dentro desse intervalo são 18. 50 .14x + 38 ) 2 = 11 2.? x 2 .de-obras ganharia. Seja y o que cada um dos 4 pedreiros vai receber.90 ? = 25 n = 20 ou n = 35/2 O conjunto solução da inequação acima será 35/2?? n ? 20. um dos pedreiros desistiu.14x + 38 = 11 x 2 . o mestre-de-obras e os quatro pedreiros restantes decidiram fazer sozinhos o serviço e combinaram uma nova divisão dos Q reais: os quatro pedreiros receberiam valores iguais. 19 e 20. Como um dos pedreiros não foi trabalhar. o número de raízes da equação considerada é 3.5y = Q. Resolvendo a equação.14x + 49 = 0 onde ??? 0??a equação apenas 1 raiz. temos que os quatro restantes mais o mestre de obras decidiram fazer o serviço sozinhos. 50% a mais que cada um deles. y = 2Q/11. O aumento da quantia que cada pedreiro recebeu foi de 2Q/11 .5y e o valor que cada pedreiro irá receber é dado pela equação 4y + 1.14x + 27 = 0 onde ??? 88??a equação tem 2 raízes distintas. Na última hora. o mestre de obras irá receber 1.14x + 38 = -11. Substituindo os valores conhecidos. Considerando-se apenas essas informações. 3Am2 + B = 15.Um funcionário recebe as seguintes informações sobre os empregados de certa firma: a) 60% deles vão para o trabalho de ônibus. Logo: A = 1 (porque o coeficiente de x3 é igual a 1). temos que o número de trabalhadores que moram em casa alugada e que vão de ônibus para o trabalho é 75% . sabendo que a e b são os valores das dimensões desse retângulo. Am3 + Bn = 14. B) o conjunto formado por todos os empregados que moram em casa própria e por todos os que vão de carro para o trabalho engloba mais de 50% dos empregados dessa firma. vem: 1.UFBA 1990 . donde se conclui. D) pelo menos 50% dos empregados que vão de ônibus para o trabalho moram em casa alugada. C) pelo menos 5% dos empregados que vão de carro para o trabalho moram em casa própria. a pé.10% . Calcule A+B+m+n.23 + 3.O polinômio x3 + 6x2 + 15x + 14 é idêntico à expressão A(x+m)3 + B(x+n) para determinado valor de A. os coeficientes dos termos de mesmo grau serão necessariamente iguais. e a área desse terreno é a maior possível. A + B + m + n = 1 + 3 + 2 + 2 = 8 Resp: 08 54 . Finalmente. a única conclusão CORRETA a que esse funcionário pode chegar é a de que A) nenhum dos empregados que moram em casa própria vai a pé para o trabalho.91 52 . 3Am = 6 donde conclui-se que m = 2.O perímetro de um terreno de forma retangular é igual a 18m. 53 .b . substituindo os valores conhecidos (A e m) que o valor de B é igual a B = 3.n = 14.a + 2. Esse número representa mais de 50% dos empregados que vão de ônibus dos empregados. SOLUÇÃO: . em casa própria. b) 75% deles moram em casa alugada e os restantes 25%. B. em metros. já que A = 1. m e n.30% = 35% do total de empregados da firma. 30% vão de carro e os restantes 10%. Logo. SOLUÇÃO: Vamos desenvolver a expressão dada: A(x3 + 3mx2 + 3m2x + m3) + Bx + Bn = Ax3 + 3Amx2 + 3Am2x + Am3 + Bx + Bn = Ax3 + 3Amx2 + (3Am2 + B)x + Am3 + Bn Como esta expressão é idêntica ao polinômio dado. de onde vem n = 2. Solução: Temos que 75% é a porcentagem de trabalhadores que moram em casa alugada. Se considerarmos que 30% vão de carro para o trabalho e 10% vão a pé para o trabalho. a alternativa correta é a letra A.UFBA 1991 . Determine o valor de 4. Portanto. SOLUÇÃO: Temos: f(0) = C.f(1).senx = 0 que pertencem ao intervalo [0.tgx.Considere a função f(x) = C.1 = C f(1) = C.(9/2) = 27. Calcular ½ mn½ . vem: (cos2x . S/p = 1. 4. Sabendo que f(0) = 9. Logo: cos2x/cosx = 0.10 .a + 2.92 Para simplificar a solução.a = 18 e portanto a = 18/4 = 9/2.sen2x/cosx = 0 Efetuando as operações indicadas. A soma S será então: S = p /4 + 3p /4 = 4p /4 = p Portanto. vem: 9.10 . [0. O problema pede para calcular 4.C = C.a + 2. de onde concluímos que x = p /4 ou x = 3p /4. Para que a fração seja nula.k . sabemos que o coseno se anula para os arcos p /2 radianos e 3p /2 radianos. Reveja Trigonometria nesta página se necessário.UFBA 1993 .2p ]. Logo. SOLUÇÃO: Substituindo tgx por senx/cosx. que são as raízes procuradas. vem: 4.UFBA 1995 .k + log 90 .(senx/cosx).k. vem: . 1 = C / 10 k Podemos então escrever. C/10 k Simplificando. vem: 0 = 22 + m. pois S = p conforme vimos acima. Resp: 01 56 .log9 = log(90/9) = log10 = 1 Resp: 01 57 . 10 k ou 9 = 10 k ou 10k = 9. para cosx ¹ 0 (Lembre-se que não existe divisão por zero).k . Logo: cos2x = 0 No intervalo dado. . SOLUÇÃO: Se 2 é raiz.senx = 0 cosx . (Fórmula do coseno do dobro de um arco).b e como a = b. Substituindo o valor de k na expressão que o problema pede para calcular. deveremos ter: 2x = p /2 ou 2x = 3p /2 . o numerador deverá ser igual a zero. C > 0.a + 2.a = 6.log9 + log90 = log90 . é conveniente lembrar que todo retângulo de área máxima é um quadrado. determine .O trinômio y = x2 + mx + n admite 2 como raiz e tem valor mínimo para x = 3. Determine S/p .x . Portanto.100 = C. de onde concluímos pela definição de logaritmos que: k = log109 = log9.b = 4.k + log90 = .UFBA 1992 . vem: cosx . as medidas dos lados a e b são iguais. Logo.sen2x é igual a cos2x. pelo enunciado: C = 9 . 2p ].Seja S a soma das raízes da equação cosx .10 . O perímetro do quadrado (soma das medidas dos lados) será então igual a 4.sen2x) / cosx = 0 O numerador cos2x .a = 6. Resp: 27 55 .2 + n ou 2m + n = -4.a. 0 = C. Logo (01) é verdadeira.UFBA 98 . SOLUÇÃO: Seja x o preço de tabela. 80 km. de acordo com o enunciado que: 1. COMENTÁRIO: este tipo de questão consiste em identificar as proposições verdadeiras. o módulo procurado será igual a: ½ .80x + 50) = 540 Resolvendo a equação. Daí. Como 2m + n = . de 15 termos.8 = . um automóvel é submetido a testes de desempenho mecânico. portanto. 20 Þ x = 40 + 280 = 320 Ora.00 = 0. Como são 15 dias. onde: razão = r = 20. No primeiro dia ele percorre 40 km. Resp: 48 58 . usando a fórmula do termo geral de uma P.A.P.1ª fase . 80.. x = 48000/96 = R$500. sabemos que isto ocorre na coordenada xv do vértice da parábola que representa graficamente o trinômio ou função quadrática.UFBA 98 . no segundo.96 Logo. no terceiro.x + 50 = 0.20 .00 (16) As despesas com transporte e impostos corresponderam a 12. e assim sucessivamente. primeiro termo = a1 = 40. Calcule x/10. .80 . décimo quinto termo = a15 = x .1). Então. conclui-se que x/10 = 320/10 = 32 Resp: 32 59 .4.80.m/2.48½ = 48. A fórmula para xv já sabemos de função quadrática que é : xv = -b/2. Na venda dessa mercadoria.1ª fase ..00 com transporte e impostos. Logo. m.5% do preço à vista.48.00 (04) O lucro obtido foi R$60. SOLUÇÃO: Temos a seguinte seqüência: (40.6.n = (-6).Uma rede de lojas comprou uma mercadoria à vista. então pode-se afirmar : (01) O preço de tabela era R$500.00 (02) O preço à vista foi R$400. n = 8. Portanto. . m = . poderemos dizer.Durante 15 dias. A mercadoria foi vendida com um lucro de 20% sobre o total desembolsado (Td).r Substituindo os valores conhecidos. obteve lucro de 20% sobre o total desembolsado.4. vem: x = 40 + 14 . Portanto o total desembolsado = Td foi igual a: Td = 80% de x + 50 = 0. 500 = R$400. quando percorre x km.96x = 480 Þ x = 480/0.00.80.500 + 50 . Daí. Se o preço de venda foi R$540.A. 60 km. O preço à vista foi 80% de x (já que o desconto foi 20%) . vem: 3 = .00. vem: 2(-6) + n = . temos uma Progressão aritmética . Sabemos que o total desembolsado é igual a Td = 0. até o último dia. R$500. Portanto (02) é também verdadeira. x).20(0. com 20% de desconto sobre o preço de tabela e teve uma despesa de R$50. logo. poderemos escrever: a15 = a1 + (15 .a onde a e b são os coeficientes da função quadrática y = ax2 + bx + c.80x + 50. somar os números a elas correspondentes e marcar o resultado na Folha de Respostas. sendo x = 320.93 Se o trinômio assume um mínimo para x = 3.96x + 60 = 540 Þ 0.1 e. o preço à vista era igual a 80% .00 (08) O desconto sobre o preço de tabela foi R$40. Assim. fica: 0. . Td = 540 \ 1.00 ( preço de tabela) . 60. desenvolvendo esta expressão. percebemos que em realidade.125 = 12. portanto. Mas. poderemos escrever finalmente: 53x + 5-3x = 125 . podemos escrever: (5x + 5-x)3 = 53 . 500 = R$100. Como o lucro foi de 20% sobre o total desembolsado. Trata-se evidentemente de um problema de Análise Combinatória. vem: 53x + 5-3x + 3(5)(1) = 125 Portanto. 20% de R$500.5% e portanto (16) é verdadeira.UEFS 94. pois sabemos que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto). queremos determinar o número de subconjuntos de um conjunto de 6 elementos. teremos que subtrair o conjunto vazio (sem estudantes) e resulta: 64 .1 = 63.20 . 450 = R$90. Resp: Letra E . O desconto foi de 20% sobre o preço de tabela. [observe que 5x . Logo. As despesas com transporte e impostos. excetuando-se o conjunto vazio(correspondente a um grupo com zero estudantes!). sabendo que 5x + 5-x = 5.5-x) = 125.00 = 0.00 .00 em relação ao preço à vista (R$400. Solução: Sabemos que (A+B)3 = A3 + B3 + 3(A+B)(AB) Logo.Calcular o valor da expressão 53x + 5-3x .00 = 0.00) representa um percentual igual a 50/400 = 0. Sabemos que se um conjunto possui n elementos então ele possui 2n subconjuntos.94 Portanto.00. vem: 53x + 5-3x + 3(5x + 5-x)(5x. vem que o lucro L foi igual a L = 20% de R$450.Quantas são as maneiras que um professor pode escolher um ou mais estudantes de um grupo de seis estudantes? A) 72 B) 70 C) 65 D) 64 E) 63 Solução: Observe que a expressão "escolher um ou mais estudantes" eqüivale a "escolher 1 ou escolher 2 ou escolher 3 ou escolher 4 ou escolher 5 ou escolher 6 estudantes(todos). em um conjunto de 6 elementos teremos 26 = 64 subconjuntos (incluindo o conjunto vazio (f ).20 . Portanto. igual R$50. Td = R$450.1 . (08) é falsa. Concluímos pois que deveria ser assinalado na Folha de Respostas o número: 01 + 02 + 16 = 19 Resp: 19 60 . Logo.00 e portanto (04) é falsa. mas neste caso poderemos utilizar um raciocínio direto da seguinte forma: Como o enunciado diz que serão escolhidos 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 estudantes de um grupo de 6. que é a resposta do problema.15 = 110 Resp: 110 01 . 5-x = 5x-x = 50 = 1]. neste caso. um em relação ao outro... SOLUÇÃO: Faça x + 3 = u. 05 .......... em unidades de comprimento. as posições dos ponteiros serão iguais e..5 = 2....4. podemos "armar" a seguinte regra de três: 1 dia ..... fazendo 2x = y..5 = 288 dias Resp: 288 dias 04 . Portanto.Dois relógios são acertados em 12h. a equação dada fica: 2. vem: f(u) = 2u ... portanto. Daí....2x . SOLUÇÃO: Sabemos que para uma esfera de raio R... Ora..95 02 .3.....3.. concluímos que: cos7x..R2 Þ (4/3).p .p .. Mas...R2 O problema exige que V = 33. substituindo.R = 132 Þ R = 132/(4/3) = 132... são válidas as seguintes fórmulas para o cálculo do volume V e da área S: V = (4/3). calcular o valor de R.5 minutos por dia. Quando os relógios estiverem atrasados 12 horas... 12h = 12.6 + 3 .720 min Logo. É uma dedução imediata que sendo f(u) = 2u .R3 e S = 4...... x = 720/2. Logo..Determine o período da função f: R ® R definida por f( x ) = cos( 7x ).....60min = 720 minutos.. Resp: 4x+3 03 .....Sendo o volume de uma esfera de raio R numericamente igual a 33 vezes a sua área.y2 + 4 = 9.. fazendo u = 2x+3. f(2x+3) = 4x + 3.(3/4) = 396/4 = 99 Resp: 99 u....9y + 4 = 0..... Vem que x = u .p ....sen3x = cos(7x-3x) = cos4x A função dada é então equivalente a: f(x) = cos4x... marcarão a mesma hora. determine f(2x+3)..cos( 3x ) + sen( 7x ).....5 min x dias.. Depois de quantos dias vão marcar o mesmo horário? SOLUÇÃO: É óbvio que os dois relógios se "distanciam" de 1+1.. Portanto.UFPB 93 .3 = 4x + 3.. sabemos que o período da função y = cosbx é igual a T = 2p /b Logo: período = T = 2p /4 = p /2 radianos Resp: p /2 rad 06 .3): f(u) = 2(u-3) + 3.Sendo a e b raízes distintas da equação 2. calcular o valor de a6 + b6...... SOLUÇÃO: Como cos(a-b) = cosa...4x + 4 = 9.. SOLUÇÃO: Podemos escrever: 4x = (22)x = (2x)2 ..S .. virá inevitavelmente: f(2x+3) = 2(2x+3) . vem: (4/3).cosb + sena..R2 Þ (4/3).R3 = 132.3 = 4x + 6 ..5 minutos por dia....3.sen( 3x )...R3 = 33. substituindo x pelo seu valor (u . 2..senb. de onde conclui-se: f(u) = 2u ...c.. Um relógio adianta 1 minuto por dia e o outro atrasa 1.p ..y Þ 2y2 ..... ..cos3x+sen7x..... Portanto..... podemos escrever.....Sendo f uma função real de variável real tal que f(x+3) = 2x+3 ..UFPB/93 ... Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. 5 D. sqrt(x) é a raiz quadrada de x. 09 . então o conjugado a-bi também será raiz. então ela será necessariamente um número real. vem que a = 2 e b = -1.96 Resolvendo a equação do 2º grau. se a terceira raiz da equação não pode ser um número complexo. B) sqrt(x) = square root of x = raiz quadrada de x. o número de raízes complexas de uma equação algébrica é necessariamente um número par. 08 . 2x = 4 ou 2x = 1/2 Þ x = 2 ou x = -1. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. podemos afirmar: pode ser um número complexo é necessariamente. Logo. 4 C. sabe-se que: fabs(x) é o valor absoluto de x.FUVEST 94 . um número natural é necessariamente um número inteiro é necessariamente um número irracional é um número real SOLUÇÃO: Ora. usada na programação de computadores. Portanto. Daí.Na linguagem C. a6 + b6 = 26 + (-1)6 = 64 + 1 = 65 Resp: 65 07 . Pede-se calcular o valor da expressão: fabs(-3) * sqrt(25) + fabs(4) * sqrt(49) SOLUÇÃO: Temos: fabs(-3) = ½ -3½ = 3 sqrt(25) = v25 = 5 fabs(4) = ½ 4½ = 4 sqrt(49) = v49 = 7 Portanto. 7 . 6 E. Portanto. a expressão será igual a: 3. como as raízes são denominadas de a e b no problema. já que.5 + 4. Sobre a raiz x3. se a+bi for raiz.Sabe-se que a função polinomial f(x) de grau 3. 3 B. obteremos y = 4 ou y = 1/2. * é o operador multiplicação e + é o operador adição. os números x1 = 1. Qual o total de filhos e filhas do casal? A.7 = 15+28 = 43 Resp: 43 NOTAS: A) fabs(x) = função valor absoluto (ou módulo) de x. o que nos leva à alternativa E.Um casal tem filhos e filhas. x2 = 2 e x3. admite como raízes. É óbvio que um filho qualquer possui x -1 irmãos e y irmãs.eq 1 x = 2(y .. Realmente..Numa árvore pousam pássaros. que uma filha qualquer possui y . 50 C.1 = y . poderemos escrever: 2(g ... 250 SOLUÇÃO: Observe que: 25 = 52 50 = 2. O número de irmãos.25 = 2..1) = p g=p-1 Resolvendo o sistema de equações acima.....10 = 52. Determine o número de pássaros e o número de galhos.... VERIFICAÇÃO: Dados do problema: a) Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. sendo igual a 4 (x = 4 filhos).97 SOLUÇÃO: Trata-se de um problema simples de sistemas de equações do primeiro grau.. Vejamos: Seja x o número de filhos e y o número de filhas. são 4 pássaros e 3 galhos...1 = y ? y = 3 Daí.. fica um galho sem pássaros... 25 B. 64 D.. Pelo enunciado do problema.. 10 . não é um divisor de 1015 ? A.. 11 .eq 2 Uma vez armado o sistema acima. fica um pássaro sem galho..52 64 = 26 75 = 3.25 = 3. substituindo o valor de x da eq 2 na eq 1: 2(y .1 irmãs e x irmãos.. cada uma delas possui duas irmãs.1) . cada um tem 3 irmãos. o que nos leva tranqüilamente à alternativa E.º de filhas) b) Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. SOLUÇÃO: Sendo g o número de galhos e p o número de pássaros.... Portanto. substituindo o valor de y na eq 1.....10 . o problema ficou bem simples: Teremos. a soma procurada vale: x + y = 4 + 3 = 7. sendo 4 filhos.1). é exatamente o dobro do número de irmãs. sendo 3 filhas.. que é igual ao número de irmãs (y = 3 = n..... Se pousar um pássaro em cada galho. 75 E.. encontraremos: P = 4 e g = 3. vem imediatamente que: x . Portanto..52 250 = 25.. Se pousarem dois pássaros em cada galho.. OK? É também óbvio.Qual dos cinco números abaixo relacionados. resulta: x = 4..... Realmente. 012012. 670 d. (2) Efetuando (2) menos (1): 1000(x-3) .012012.. 1809 c.98 Observe também que 10 é divisível por 2.012. . 540 SOLUÇÃO: Seja x = 3..3 = 12/999 = 4/333 x = 3 + 4/333 x = 999/333 + 4/333 (observe que 999/333 = 3). A fração. Logo. mas não é divisível por 3. 2010 b. a ..(x-3) = 12. determine o valor de x + y. vem: 1000(x .0. 590 e.b = 1003 .. vem: (x + y) (3 + 1) = 20 ? 4(x + y) = 20 e..012..Sabendo-se que x2 + 2y2 + 3xy + x + y = 20 e x + 2y = 3. 12 . SOLUÇÃO: Inicialmente. (x + y) (x + 2y + 1) = 20 Como é dado que x + 2y = 3. o que nos leva à alternativa C. (1) Multiplicando ambos os membros da igualdade (1) por 1000 (o que não altera a igualdade)... é a solução do problema.. x = (999 + 4) / 333 = 1003 /333 Observe que 333 é divisível por 3.b é: a... Podemos escrever: x = 3 + 0. ..333 = 670.. substituindo. a alternativa (D) que contém um não divisor de 10.3 = 0. 999(x-3) = 12 x .Se a fração irredutível a/b é a geratriz da dízima 3. a = 1003 e b = 333. 13 . finalmente vem que x + y = 5.3) = 12.012012. x . Então.012012. é portanto irredutível. Teremos: (acompanhem com bastante atenção!) x2 + 2y2 + 3xy + x + y = x2 + y2 + y2 + 2xy + xy + x + y = (x2 + 2xy + y2) + (y2 + xy + x + y) = (x + y)2 + [y(x + y)] + (x + y) = (x + y)2 + (x + y) (y + 1) = (x + y) [(x + y) + (y + 1)] = (x + y) (x + 2y + 1) Portanto. pelo enunciado.. vamos fatorar o primeiro membro da expressão dada. então o valor de a . por 5 e por 10. mas 1003 não é.012. Logo.. ........ vem: x + z = 2y ..... Eh eh eh . 1) A área total St é igual a St = 2(x... 11 e 15. .15 = 1155 cm3 Daí...z + y.. então: MDC(240... 1155 D. vem: 11x + xz + 11z = 347 . Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 694 cm2. 2..y + x..........11... vem: 2y + y = 3y = 33 \ y = 11....... (6) Substituindo (6) em (4)........... em cm3.......... 2) Obs: área total = soma das áreas das faces laterais do paralelepípedo. 270 e 300 cm..... concluir que os números são 7 e 15........ as dimensões do paralelepípedo são 7.y + x.... 11.....(eq.... Agora. vem: 240.z Temos: x + y + z = 33 ........ z) O termo médio y (pelas propriedades da PA) vale: y = (x+z) / 2 Daí.z = 347 ..... concluímos que x e z são dois números que somados dá 22 e multiplicados dá 105.. Teremos.300) = 30.. então o volume deste paralelepípedo.(eq.... x..... 728 E. vem : ....... y e z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética...40m. basta calcular o MDC (máximo divisor comum) entre estes números....... 834 SOLUÇÃO: O volume do paralelepípedo será igual V = x... Basta resolver o sistema de equações..(eq.. 3) Temos então as 3 equações seguintes: x + y + z = 33 ............ (8) Arrumando a expressão (7).......... Logo..z) = 694 Portanto..z + y........Um carpinteiro deve cortar três tábuas de madeira com 2... Nota: o título do arquivo é somente uma brincadeira...... (10) Das expressões (9) e (10). (5) x + z = 2y ..... 11(x + z) + xz = 347 Como x + z = 22..... O volume será então: V = 7...... Portanto.270...! 15 .. fica fácil: alternativa C....... em pedaços iguais e de maior comprimento possível...A. 1200 B........... Como os lados estão em P.....22 + xz = 347 Daí.... poderemos escrever: P...................A.... (4) xy + xz + yz = 347 ...... que são retangulares........... temos: .. (7) x + z = 22 . vem: xz = 105 ....... 936 C....y.......... Substituindo o valor de y em (5) e (6)... substituindo..... : (x....70m e 3m respectivamente......... Qual deve ser o comprimento de cada parte? SOLUÇÃO: Transformando as medidas em centímetros.99 14 .. o carpinteiro deverá cortar pedaços de madeira de 30 cm de comprimento. (9) Temos de (8) que: x + z = 22 ...... ou para os mais experientes....As dimensões x. O problema é fácil ........ y... é igual a: A... . é válido que: MMC(a. 10. 100. ocorrerão 09 (nove) aparições.Dois cometas aparecem. N(1. Portanto. 20.Determine a área do triângulo ABC onde A. sendo M(-1.30) = 60..a (8 unidades de área). 10002000. 20 divisores positivos. 8. MMC(20.Sabe-se que o MDC (máximo divisor comum) de dois números é igual a 6 e o MMC(mínimo múltiplo comum) desses mesmos números é igual a 60. Logo: A cada 60 anos haverá uma coincidência de aparições. 2100. 2280. o número de divisores de 320 será igual a: Nd = (6+1) x (1+1) = 7x2 = 14 19 . 500. um a cada 20 anos e outro a cada 30 anos.Qual o número de divisores positivos de 320? SOLUÇÃO: Fatorando o número 320. 2340. 40. o número de divisores positivos de 2000 será: Nd = (4+1) x (3+1) = 5 x 4 = 20 divisores.b) = a x b Daí. Resp: 8 u. Se em 1920 tivessem ambos aparecido. vem imediatamente que: a x b = MMC(a. pergunta-se quantas novas coincidências irão ocorrer até o ano 2500? SOLUÇÃO: Trata-se de um clássico problema de MMC. -5). São eles: 1. 2400. Calcule o produto desses números. vem: 2000 = 24 x 53 Portanto. 5. os pontos médios dos segmentos MN. ou seja. 250. 2220. Portanto elas ocorrerão nos anos: (a partir de 1920) 1980. 2520. 125.b) x MDC(a. 50.Quantos divisores positivos o número 2000 possui? SOLUÇÃO: Fatorando o número 2000. vem: 320 = 26 x 51 Portanto. 200.b) = 6 x 60 = 360 17 . 400. NP e PM. .3) e P(7. 4. 25. 2. 20 . B e C são. 2040. 2460. respectivamente. 2160.. até o ano 2500.b) x MDC(a. 80.100 16 . SOLUÇÃO: Uma propriedade bastante conhecida é: Dados dois números inteiros e positivos a e b . 16. -5). 18 . . obteremos um número infinito de retas de mesmo coeficiente angular m = 1 e.... ......kp .. ...... 3p ....p ..Dado o ponto A(1. n vezes.....1) .3 . . o fator 2 se repete n vezes......(n ... e assim sucessivamente.. 4p . Portanto..101 21 .2)........ Logo: sen(x ... 3 . portanto.. ou seja: ............ nenhuma das respostas anteriores SOLUÇÃO: O seno é nulo para os arcos expressos em radianos: 0. uma reta B..y) = 0 Þ x ... 2n Então. 2p ...... 2. 4 ..... o produto de 2 por ele mesmo.. vem finalmente : 2n .. ..y = ....... Resp: y = 2x + 2 23 ... determine as coordenadas de dois pontos P e Q. 2n = n! .(2n . kÎ Z...... paralelas..4 . 2n SOLUÇÃO: O primeiro membro da igualdade pode ser escrito como: 2... k = .... de tal modo que A seja o ponto médio do segmento PQ.4/3) e Q(2/3... .2n = n! . Logo. resulta na potência 2n..2(n .. n) Observe que entre parênteses.Mostrar que 2. onde k é um número inteiro..x + kp \ y = x ......... uma senóide C...... a alternativa correta é a letra D (um feixe de retas paralelas). ... Daí.2)....4..n Observe que no produto acima. 2.. p .... .......... um feixe de retas paralelas E... ..2 ..4........ n! Assim.... mostramos que: 2..1).... Resp: P(4/3... temos exatamente o fatorial de n ou seja: n! Substituindo... vem: ...400 =0.8/3) 22 . uma elipse D......Determine a distancia entre os focos da elipse 9x2 +25y2 .1 = 0..... ..8....Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação 2x2 + 2y2 + 4x + 1 = 0 e é perpendicular à reta de equação x + 2y .... Fazendo k variar no conjunto Z...1 reta: y = x + p k = 0 reta: y = x k = 1 reta y = x .EPUSP/1966 ... podemos dizer que: o produto dos n primeiros números pares positivos é igual ao fatorial de n multiplicado pela n-ésima potência de 2 25 ...... situados respectivamente sobre as retas y = x e y = 4x. .FAUUSP/1968 . 2. ......1 ........ portanto.6.6..8....y = kp (k é um número inteiro). kp ...........Os pontos do plano cartesiano que satisfazem à equação sen(x . 24 ...... .... 2.. 2. o primeiro membro da igualdade fica: 2n(1 ... 2 ...EPUSP/1963 ... ..........y) = 0 constituem: A.. Se x representa um número natural qualquer de dois algarismos distintos.4) = 8 u. R$96. O novo número. então o menor preço que uma pessoa pode pagar para levar 13 peças é: 1. Outras combinações dos tipos 13 = 7 + 5 + 1 ou 13 = 4.5 + 3.00 . Resp: x2 + 2y2 = 3. 800 unidades SOLUÇÃO: Seja ab o número x. por exemplo. x unidades 3.1) e tem um foco F(-? 6 /2.a + b) = 800 Portanto.(10.Um comerciante resolve fazer as seguintes promoções para as compras de Natal: · Pague 2 e leve 3 · Pague 3 e leve 5 · Pague 5 e leve 7 Se uma peça custa R$12.60 3. 8x unidades 4.c (u. R$104. = unidades de comprimento).c. com a inserção à esquerda do algarismo 8 será: 8ab Utilizando o princípio do valor posicional de um algarismo num número.00 4. com a ? b. R$84. R$93.a + b Efetuando a diferença. que passa pelo ponto P(1. 80 unidades 5. 8 unidades 2. escrevendose o algarismo 8 à esquerda de x. Portanto.determinar a equação da elipse com centro na origem.100 + 10. 5 peças foram pagas ao preço de 3.12 = 96. composto dos algarismos a e b.3 + 2).(. a resposta é R$96.a + b . 27 . 0). obtém-se um novo número que tem a mais do que x 1. então: 13 = 2. não levariam ao menor preço. vem: 8ab . Verifiquem. alternativa (05).a + b 8ab = 8.102 SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior.00 SOLUÇÃO: Se a pessoa levou 13 peças. R$108.calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse 25x2 + 169y2 = 4225. Daí. . duas vezes e três peças foram pagas ao preço de duas. Portanto. teremos: O total a ser pago será igual a P = (2.ab = 8.00. 26 .00 2. 4 . Resp: e = 12/13 e df = 2c = 24. poderemos escrever: ab = 10.00 5.3 + 1. Portanto a distancia entre os focos será: D = 4 . 5 .100 + 10.alternativa (03). portanto igual ao x do problema. Vem: VN = valor numérico = (-1 . podemos escrever agora: 0. .85 4. Dividindo 694 por 11 obtemos quociente 63 e resto 1. Precisamos saber qual o maior múltiplo de 11.(-1)]2 Teremos: VN = -3/4 .00 4.00 5. 0.. 61 5. dos lados de um triângulo são expressas por x + 1. . o que nos leva à alternativa (03).(-3/5) + 1 = -3/4 + 3/5 + 1 = -0. os múltiplos de 11. 0. em metros.35 2. o gasto com saúde e educação será 40% desse restante ou seja: 0.30S = despesa com alimentação Restaram 0. nessa ordem.42 = 2500 Portanto. vem: 693 = 22 + (n .42S ? S = 1050/0.Uma pessoa gasta 30% do seu salário com alimentação e 40% do que resta com saúde e educação. Logo. por mera substituição dos valores.1).0.85. Efetuando os cálculos. o seu salário é igual a 1. formam uma PA de razão 11.00.2)/4 .28S + 1050 = 0.[(-1)2 . R$2500.103 28 . R$2050. 64 2. Logo. entre os números 13 e 694.As medidas.6 + 1 = 0.x)2. para x = -1 e y = -2 é igual a 1.40..O valor numérico da expressão (x + y)/4 . 0. R$3500.70S . R$3050.75 + 0.00 2. 1. ou seja: an = a1 + (n . o que nos leva à alternativa (03). S = R$2500. 30 . 60 SOLUÇÃO: Ora.(x2 .1) r e substituindo os valores conhecidos. x é igual a 1.70S = 0.11.70S 1050 = 0. o múltiplo procurado será igual a 63x11 = 693.28S = 0. podemos escrever: 0. 31 . R$1900. Logo. vem: n = 62. 29 . existem x múltiplos de 11.6 3. o que nos leva à alternativa (03).y2)/5 + (y . 2x e x2 e estão em progressão geométrica. onde n é o número de termos procurado e. em metros.Sabendo-se que. 2.00 SOLUÇÃO: Sendo S o salário. 63 3. temos a PA: (22. 44.28S Portanto.(-2)2]/5 + [-2 . 33.70S. menor do que 694. Se ainda lhe sobra R$1050.6 5. 62 4.0.00.3 SOLUÇÃO: solução imediata. O perímetro do triângulo. mede .00 3. 693) Usando a fórmula do termo geral da PA. O primeiro múltiplo de 11 maior do que 13 é 22. 8.7 SOLUÇÃO: Façamos x + 2 = t.t2. igual à soma das medidas dos seus lados. o que nos leva à alternativa (02).8 . 33. Daí. vem: (3m + n) . o que nos leva à alternativa (03). x3 + 6x2 + 12x 4.Os valores de x que satisfazem a equação logx(mx+n) = 3 são 2 e 3. . Logo.8 = t3 . pelo enunciado: x = 2 : log2(2m + n) = 3. 6. f(x) = x3 . .8 m = 19 Substituindo o valor de m na eq.49 2.38 = .2 + 3. 2) Subtraindo membro a membro as igualdades acima.3.30 3. .2)3 .104 1. vem: Perímetro = 4 + 6 + 9 = 19. 1) x = 3 : log3(3m + n) = 3. x3 . 33 = 3m + n = 27 (eq.11 4.22 .8 = t3 .5 3.23 . para x ? 0. 19 4. podemos escrever: 2x/(x+1) = x2/(2x) [reveja PG nesta página. resultando: 4 = x + 1 ? x = 3.3x2 + 3x . Lembram-se? 4x2 = (x+1).6t2 + 12t .(x2) .6x2 + 12x . x3 + 3x2 + 3x . 9 2. 23 = 2m + n = 8 (eq. 9 (uma PG de razão 3/2) Sendo o perímetro de um triângulo.t. 2x. dividindo ambos os membros por x2 . Usando o conceito de PG. usando as propriedades de proporção: (produto dos meios = produto dos extremos). entao f(x) é igual a: 1.6x2 + 12x . 9.6t2 + 12t .16 Portanto. vem: x = t . x3 + 2x2 + 2x 2. 30 SOLUÇÃO: Temos a seguinte PG: (x + 1. os lados do triângulo serão: 4. Logo. o valor de m + n é 1. Logo.9 5. fica: f(t) = (t . Sendo x = 3. para todo x ? R. x3 .Se f é uma função tal que f(x + 2) = x3 . 32 . 0 5. podemos simplificar a expressão anterior. se necessário].(2m + n) = 27 .16.16 3.19 + n = 8 Logo. n = 8 .2 Substituindo. 1. 34 SOLUÇÃO: Teremos. 28 5.30 .8 f(t) = t3 . vem: 2. Daí. vem. x2). o que nos leva à alternativa (01). 250 SOLUÇÃO: Sejam x e y as dimensões dos lados do retângulo.A. o mesmo número de lápis e o mesmo número de borrachas. Resposta correta letra C. vem finalmente que m + n = 19 + (. onde aj = termo de ordem j ou j-ésimo termo da P. Portanto. Poderemos escrever então. Substituindo os valores conhecidos. y = (2/3).30 = 20 O perímetro do retângulo será então igual a P = 30 + 30 + 20 + 20 = 100. vem: 83 = a3 +7(-2) Þ 83 = a3 . e ak = termo de ordem k ou k-ésimo termo da P. 35 .y = 600 Podemos escrever. 36 . com 600 metros quadrados de área. tendo em vista o enunciado da questão: y = (2/3). Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos. em que o comprimento é igual a dois terços da largura.14 Þ a3 = 83+14 = 97.105 Daí.Entre algumas famílias de um bairro. tem o perímetro. em que o décimo termo é 83 e a razão é (-2). o número de cadernos que cada família ganhou foi: A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 Solução: .11. o terceiro termo é: A) 79 B) 87 C) 91 D) 97 E) 101 SOLUÇÃO: A fórmula generalizada do termo geral de uma progressão aritmética é dada por aj = ak + (j-k). Nesse caso. que é o terceiro termo procurado. 34 .x Substituindo.Um curral retangular. A área do retângulo será igual a x. 192 lápis e 216 borrachas.(-2) onde (-2) é a razão da P. 120 3.A. em metros.A. 140 4. vem: x[(2/3). sem haver sobra de qualquer material. 100 2.A. igual a: 1. a alternativa correta é a de número (03).30) = . com relação à questão dada: a10 = a3 + (10-3).x] = 600 Portanto: x2 = 900 de onde conclui-se x = 30. foi distribuído um total de 144 cadernos.r . Portanto.Numa P. 200 5. Portanto. cada uma dessas famílias receberá 144 / 24 = 6 cadernos. o número de famílias envolvidas na distribuição é o maior divisor comum entre 144. Logo. que é 24.106 Temos que cada uma das famílias recebe o mesmo número de lápis. 192 e 216. . cadernos e borrachas e na maior quantidade possível. 107 “A Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o universo” “Não posso conceber a infinidade do universo sem aceitar a existência de Deus” Albert Einstein .