Programación LinealUna Talabartería está tratando de decidir sobre las cantidades de producción de dos artículos de auge: Bolsos para Mujer y Agendas Ejecutivas Se dispone de 50 unidades de material y 60 hrs hombre (mano de Obra). Cada bolso requiere 5 unidades de material y 10 horas de mano de obra. Cada Agenda Ejecutiva requiere 10 unidades de material y 6 hrs de mano de obra. Si el margen de contribución es de $10 por bolso y $4 por cada agenda, cuál sería la cantidad a producir de cada uno de los productos para aumentar sus ganancias, si al menos debe producirse 3 bolsos o más. Este problema es un ejemplo típico de un problema de programación lineal (PPL). Variables Variables de de Decisión Decisión x x= = nº nº Bolsos Bolsos para para mujer mujer y y= = nº nº Agendas Agendas ejecutivas ejecutivas Función Función Objetivo. Objetivo. En En cualquier cualquier PPL, PPL, la la decisión decisión a a tomar es como maximizar tomar es como maximizar (normalmente (normalmente el el beneficio) beneficio) o o minimizar minimizar (el (el coste) coste) de de alguna alguna función función de de las las variables variables de de decisión. decisión. Esta Esta función a maximizar o función a maximizar o minimizar minimizar se se llama llama función función objetivo. objetivo. El objetivo El objetivo de de la la talabarteria talabarteria es es elegir elegir valores valores de de x xe ey y para para maximizer maximizer 10x+4y 10x+4y .. Usaremos Usaremos la la variable variable z z para para denotar denotar el el valor valor de de la la función función objetivo. objetivo. La La función función objetivo objetivo es: es: Max z = 10x + 4y Restricciones Restricciones Son Son desigualdades desigualdades que que limitan limitan los los posibles posibles valores valores de de las las variables variables de de decisión. decisión. En En este este problema problema las las restricciones restricciones vienen vienen dadas dadas por por la la disponibilidad disponibilidad de de horas hombre horas hombre y y eñ eñ nº nº d de e unidades unidades del del material material -- demanda demanda de de muñecos. muñecos. También También suele suele haber haber restricciones de restricciones de signo signo o o no no negatividad: negatividad: x x≥ ≥0 0 y y≥ ≥0 0 RESTRICCIONES Cuando x e y crecen, la funcion objetivo de talabarteria también crece. Pero no puede crecer indefinidamente porque, para una talabarteria. los valores de x e y están limitados por las siguientes tres restricciones: Restricción 1: no más de 50 unidades de material . Restricción 2: no más de 60 horas de mano de obra disponible. Restricción 3: al menos debe producirse 3 bolsos o mas. Estas tres restricciones pueden expresarse matematicamente por las siguientes desigualdades: Restricción 1: 5 x + 10 y ≤ 100 Restricción 2: 10 x + 6 y ≤ 60 Restricción 3: x≥ 3 Además, tenemos las restricciones de signo: x ≥ 0 e y ≥ 0 Formulación matemática del PPL Variables Variables de de Decisión Decisión :: x x= = nº nº Bolsos Bolsos para para mujer mujer y y= = nº nº Agendas Agendas ejecutivas ejecutivas BOLSOS AGENDAS EJECUTIVAS 10 4 5 10 ≤ 50 Horas Hombre 10 6 ≤ 60 Bolsos producidos ≥3 Producción Unidades de material Max z = 10x + 4y 5 x + 10y ≤ 50 10x + 6y ≤ 60 (función objetivo) (unidades de material ) (carpinteria) x ≥ 3 ( bolsos producidos) x y ≥0 (restricción de signo) ≥0 (restricción de signo) FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PPL Para el problema de la talabarteria , combinando las restricciones de signo x ≥ 0 e y ≥ 0 con la función objetivo y las restricciones, tenemos el siguiente modelo de optimización: Max Max z z= = 10x 10x + + 4y(función 4y(función objetivo) objetivo) Sujeto Sujeto a a (s.a:) (s.a:) 5 (unidades 5x x+ + 10y 10y ≤ ≤ 50 50 (unidades de de material material )) 10x (carpinteria) 10x + + 6y 6y ≤ ≤ 60 60 (carpinteria) x x≥ ≥ 3 3 (( bolsos bolsos producidos) producidos) x x ≥ ≥ 0(restricción 0(restricción de de signo) signo) y y ≥ ≥0 0 (restricción (restricción de de signo) signo) REGIÓN FACTIBLE • Algunos PPL no tienen soluciones factibles (no tienen región factible). Restricciones de la talabarteria 5 x + 10y ≤ 50 (unidades de material ) 10x + 6y ≤ 60 (carpinteria) x ≥ 3 ( bolsos producidos) x ≥ 0 (restricción de signo) y ≥ 0 (restricción de Representación Gráfica de las restricciones Cualquier PPL con sólo dos variables puede resolverse gráficamente. Por ejemplo, para representar gráficamente la primera restricción, 5x + 10y ≤ 50 : Dibujamos la recta 5x + 10y = 50 Y 14 12 10 8 6 Elegimos el semiplano que cumple la desigualdad: el punto (0, 0) la cumple (5·0 + 10.0 ≤ 50), así que tomamos el semiplano que lo contiene. 5x + 10 y = 50 4 2 2 4 6 8 10 12 14 X Cualquier PPL con solo dos variables puede resolverse gráficamente. Por ejemplo, para representar gráficamente la segunda restricción, 10x + 6y ≤ 60 : Dibujamos la recta 10x + 6y = 60 Elegimos el semiplano que cumple la desigualdad: el punto (0, 0) la cumple (10·0 + 6.0 ≤ 50), así que tomamos el semiplano que lo contiene. Y 14 12 10 8 6 10x + 6 y = 60 4 2 2 4 6 8 10 12 14 X Y 14 Por ejemplo, para representar gráficamente la tercera restricción, x ≥ 3 : Dibujamos la recta x=3 12 10 8 6 X=3 4 2 2 4 6 8 10 12 14 X Y 14 12 x≥3 10 8 6 5x + 10y ≤ 50 4 2 10x + 6y ≤ 60 No existe región factible 2 4 6 8 10 12 14 X PROBLEMA 2 Transporte y tránsito de Tolima estudia la Factibilidad de introducir un sistema de autobuses de trasporte masivo que aliviara el problema del smog al reducir el tránsito en la ciudad. El estudio inicial busca determinar el mínimo número de autobuses que pueden suplir las necesidades de transporte en la ciudad. El estudio inicial busca determinar el número mínimo de autobuses que pueden suplir las necesidades de transporte. Después de recolectar la información necesaria, el ingeniero de la entidad advierte que el número mínimo de autobuses que se necesitan para cubrir la demanda fluctúa según la hora del día. Estudiando los datos a fondo descubrió que el numero requerido de autobuses se puede suponer constante en intervalos sucesivos de 4 horas casa uno. En la figura se resumen los hallazgos del ingeniero. Se decidió que para hacer el mantenimiento diario requerido, cada autobús podría operar solo 8 horas sucesivas al día X_j=Numero de buses a signar en el turno j-esimo (j=1,2,3,4,5 y 6)de 8 horas cada uno. J=1=Turno que empieza a las 12 a.m. de 12 am a 8 am J=2=Turno que empieza a las 4 a.m. de 4 a 12 meridiano J=3=Turno que empieza a las 8 a.m. de 8 am a 4 pm J=4=Turno que empieza a las 12 meridiano de 12 meridiano a 8 pm J=5=Turno que empieza a las 4 pm. de 4 pm a 12 pm J=6=Turno que empieza a las 8 pm de 8 pm a 4 am PROBLEMA 3 El BNCR está en proceso de formular una política de préstamos que incluye un máximo de $120MM. La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes acerca de los diferentes tipos de préstamos que ofrece el banco: Tipo Tasa de Interés 28% Probabilidad de un mal crédito 0.10 Automóvi lVivienda 30% 0.07 20% 0.03 Agrícola 18% 0.05 Comercia l 24% 0.02 Personal Los malos créditos son irrecuperables y, por tanto, no producen ningún ingreso por intereses. La competencia con otras instituciones financieras obliga a asignar cuando menos el 40% de los fondos totales a préstamos de agricultura y comercio. Para dar asistencia a la industria de la habitación, los préstamos para casas deben ser igual cuando menos al 50% de los préstamos personales y para automóviles, además los préstamos para automóviles tienen que ser al menos el 20% de los fondos totales. El banco tiene como política que la relación global de pagos no recuperables no puede ser superior al 4%. Plantee el problema para ser resuelto por medio de P.L.