Isotropo, Ortotropo y Anisotropo

ContenidoFormulas:............................................................................................................ 2 Problema de Ejemplo:......................................................................................... 2 Clasificación de los materiales compuestos........................................................5 Matriz Global de Rigidez..................................................................................... 7 Bibliografía....................................................................................................... 9 toda vez que se conoce {F}. se comprueba que la solución sea la correcta: Problema de Ejemplo: .Formulas: Se definen las matrices de continuidad [a] y de rigideces de las barras [k]. a partir de resolver el sistema de ecuaciones (ecuaciones de Navier) que define al método de las rigideces. Obtener la matriz global de rigidez [K]: Obtener el vector de los desplazamientos en los nodos. {u}. y se ha obtenido [K] previamente: A partir de las ecuaciones de continuidad se obtienen las deformaciones de las barras: A partir de las ecuaciones constitutivas se obtienen las fuerzas en las barras: A partir de las ecuaciones de equilibrio. conforme al sistema global de referencia: La matriz de continuidad: Por lo tanto. obtengamos la matriz global de rigidez: .De la imagen anterior drenemos que. obtenemos los desplazamientos: A partir de las ecuaciones de continuidad obtenemos las deformaciones en las barras: A partir de las relaciones constitutivas obtenemos los esfuerzos en las barras: .Resolvemos el sistema de ecuaciones de Navier. 2007) Clasificación de los materiales compuestos. Las características de los materiales compuestos se pueden clasificar en cinco clases: homogéneos. las propiedades del material no son función de la posición en el cuerpo en una dirección particular. es decir. 1968) (Colunga. . En cuerpo homogéneo las propiedades del material son constantes en cualquier punto en una dirección particular del cuerpo. isotrópicos. se verifica que la solución sea correcta: (Przemieniecki. ortotrópicos y anisotrópicos. heterogéneos.A partir de las ecuaciones de equilibrio. Si las propiedades del material cambian de un punto a otro en la misma dirección. Por lo tanto. Un material ortotrópico también puede ser homogéneo o heterogéneo. por ejemplo. Un cuerpo isotrópico heterogéneo. y tiene solo tres planos perpendiculares entre si que definen la simetría de las propiedades del material. En un cuerpo ortotrópico homogéneo. entonces el material es heterogéneo. YZ y ZX deben formar los planos de simetría de las propiedades del material. sin embargo en ese otro punto las propiedades del material van tener el mismo valor en cualquier dirección. un cuerpo isotrópico tendrá la misma propiedad del material en cualquier plano que pasa por un punto. el módulo de Young del material será el mismo en cualquier punto y en cualquier dirección. las propiedades del material en una dirección particular serán las mismas en todos los puntos dentro del . Un material ortotrópico tiene tres diferentes propiedades en tres diferentes direcciones perpendiculares entre si. Ez. pero cualquier propiedad el material tendrá diferente valor en cualquier otro punto. las propiedades son función de posición en el cuerpo. es decir. tendrá tres diferentes propiedades del material en las direcciones X. en otras palabras. Por ejemplo. es aquel que tendrá todos los planos de simetría de las propiedades del material en un punto dado. En los materiales isotrópicos las propiedades son las mismas en cualquier dirección en un punto dado. es decir. el módulo de Young se tendrá que definir en tres direcciones: Ex. EY. Y. Un cuerpo isotrópico homogéneo tendrá todos los planos de simetría de las propiedades del material en cualquier punto. Z. Un material ortotrópico. todos los planos que pasan por un punto en un material isotrópico son planos de simetría de las propiedades del material. Un material isotrópico puede ser homogéneo o heterogéneo. los planos XY. no hay planos de simetría de las propiedades del material en cualquier punto dentro del cuerpo. Por lo tanto en un cuerpo anisotrópico homogéneo las propiedades del material en una dirección particular serán iguales en cualquier otro punto en la misma dirección. et al. En otras palabras las propiedades del material son función de la dirección en un punto determinado. serán diferentes en cualquier otro punto en la misma dirección. Matriz Global de Rigidez.cuerpo. . es decir. 2010). México a 19 de mayo de 2003 Derechos Reservados ©2003. Una clase importante de materiales Anisotrópico está formado por los materiales compuestos reforzados con fibras (Ferdinand. mientras que en un cuerpo ortotrópico heterogéneo las propiedades del material en una dirección particular serán diferentes en cualquier otro punto del material en el cuerpo. Mientras que en un cuerpo anisotrópico heterogéneo. las propiedades del material en una dirección particular.. Universidad de las Américas Puebla Escuela de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica Tesis profesional presentada por Juan José Viladoms Weber como requisito parcial para obtener el título en Licenciatura en Ingeniería Mecánica Cholula. En un cuerpo anisotrópico las propiedades del material van a ser diferentes en todas la direcciones en cualquier punto. Puebla. En los casos más generales de elasticidad lineal. cada componente de deformación. En simples cristales.. las propiedades elásticas son causadas por la presencia de orientaciones preferenciales o texturas cristalográficas. La recristianización podría cambiar las orientaciones preferenciales para granos o texturas cristalográficas pero no eliminarlas. Esto surge porque el crecimiento de las direcciones preferenciales incrementan durante la deformación. Porque los subíndices identifican la localización de la conformidad. Sin embargo. es una función lineal de todo componente de estrés. La conformidad. el orden de la matriz de estrés y componentes de deformación es crítico. que se refieren a la contribución de componentes de estrés individual para componentes de deformación individual. S ijmn. Con esta nueva convención de la Ley de Hooke se obtiene: . en lugar de los ejes de deformación. esta relación es muy simplificada mediante el aprovechamiento de las relaciones σ ij =σ ji y γ ij =2 eij =2 e ji Y mediante la adopción de una nueva convención de subíndice de la conformidad. forman una deformación de cuarto orden. La ley de Hooke para materiales Anisotrópico pueden ser expresadas en términos de conformidad. tienen las mismas propiedades en todas las direcciones). y componentes de los ejes. Sijmn. Esta relación puede ser escrita como: e ij =S ijmn σ mn Donde la suma está implícita.e.A pesar que frecuentemente es asumido que lo materiales son Isotrópicos (i. pocas veces lo son. Dos subíndices son usados para identificar la localización (renglón y columna) de la conformidad de la matriz. Editores. Análisis de estructuras con métodos matriciales. A menudo la simetría causa que muchas de estas constantes sean iguales o desaparezcan cuando x. Análisis de estructuras con métodos matriciales. En: G. A. A.. 1998. Donald. p.. y z sean paralelas a los ejes de simetría (F. Ciencia e Ingenieria de los Materiales. 2005) Bibliografía Colunga. 559. . N. ed.: Limusa. Mexico D. T. 2007.V. A.2 y 3 en términos de estrés y deformación se refieren a los ejes cristalográficos del cristal.F. Missouri: International Thomson Editores. S.. y. R. de C.Note que los subíndices 1. Se puede demostrar que para todas las combinaciones de i y j que: s ij =s ji Esto nos simplifica la matriz a: Para el caso más general hay un máximo de 21 constantes elásticas independientes. .: Mc Graw Hill. & F. B. Inc. S. Ferdinand. J. 1968. D. H.F. R. E.. 2010. S. Mechanical Behavior of Materials. Jr. Mecánica de Materiales. Michigan: Cambridge University Press... En: Theory of matrix structural analysis J. W.. p. D. 468. 2005.. J. Przemieniecki. . M. New York: Mc Graw Hill. Przemienieck. T. J.F. P. Mexico D... Theory of matrix structural analysis..