Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do SulFACULDADE DE ENGENHARIA Isostática Notas de Aula v. 2014 Profa. Mauren Aurich Profa. Paula Manica Lazzari 2 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul FACULDADE DE ENGENHARIA FACULDADE DE ARQUITETURA Código da Disciplina: Nome da Disciplina: 4421C-04 ISOSTÁTICA Período: 2014/1 Professoras: Mauren Aurich –
[email protected] Paula Manica Lazzari –
[email protected] EMENTA: Grau de Liberdade. Vínculos. Morfologia das estruturas. Classificação das estruturas quanto à estaticidade. Sistema de cargas. Reações externas. Solicitações internas. Vigas. Pórticos. PROGRAMA GERAL: CAP I. SISTEMAS ESTRUTURAIS Conceito, importância e sistemas construtivos fundamentais. CAP II. MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS Esforços internos e deformações associadas. Tipos, denominação e classificação das estruturas. CAP III. CARGAS ATUANTES NAS ESTRUTURAS NBR 6120. Classificação. Avaliação e transmissão de cargas. Carga resultante. CAP IV. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS - NOÇÕES INICIAIS Graus de Liberdade. Vínculos. Classificação estrutural. Grau de conexão e retenção total. Estaticidade. CAP V. REAÇÕES EXTERNAS Reações em estruturas simples. Reações em estruturas rotuladas (vigas Gerber e pórticos triarticulados). Isostática – Profas. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari 3 CAP VI. SOLICITAÇÕES INTERNAS Origem. Denominação. Deformações associadas. Cálculo das solicitações pelo método das equações. Relações diferenciais. Traçado do diagrama das solicitações. Método direto de traçado de diagramas. Vigas simples e Gerber. CAP VII. PÓRTICOS PLANOS Conceitro e classificação. Cálculo das solicitações e traçado de diagrama. BIBLIOGRAFIA: Estas notas de aula foram escritas baseadas em apostilas antigas de Morfologia Estrutural e Estruturas Isostáticas dos seguintes Professores: José Campos, Henrique Gutfreind, Maria Regina Leggerini, Adão Villaverde, Silvia Baptista e Silvia Dutra. Foram também consultadas as seguintes obras: 1. CAMPANARI, Flávio Antônio. Teoria das Estruturas. Editora Guanabara Dois -1985-RJ 2. FONSECA, Adhemar. Curso de Mecânica. Vol I e II. Livros Técnicos e Científicos Editora SA. 3. SÜSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise Estrutural. Vol I. Estruturas Isostáticas. Editora Globo - 1984 - RJ 4. AMARAL, Otávio Campos do. Estruturas Isostáticas. Edições Engenharia e Arquitetura - 1992 MG 5. GOMES, Sérgio Concli. Estática. Editora Unisinos - 1994 - RS 6. HIBBELER, R.C. Mecânica. Vol I. Estática. Editora Campos 7. BEER, Ferdinand P.e JOHNSTON, E. Russel. Mecânica Vetorial para engenheiros. Vol I. Estática. Editora McGraw-Hill - SP 8. MERIAN, J.L. Estática. Livros Técnicos e Científicos Editora SA. Isostática – Profas. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari 4 CAPÍTULO I SISTEMAS ESTRUTURAIS 1. Conceito A palavra estrutura tem significado de considerável amplitude. De modo genérico significa a maneira essencial por que estão dispostas em relação umas as outras as diferentes partes de um corpo. De maneira especial, entretanto, a palavra estrutura é usada para designar a composição, construção, organização e disposição arquitetônica de um edifício. Neste conceito, estrutura compreende todas as partes que compõem o edifício, e, de modo ainda mais particularizado, quando falamos de “estrutura”, em engenharia civil e em arquitetura, por definição, designamos as partes que suportam as cargas de uma construção e as transmitem às fundações. Neste caso, estamos diante da estrutura resistente, ou simplesmente, da estrutura, do SISTEMA ESTRUTURAL. 2. Importância A própria conceituação anterior já caracteriza a importância do sistema estrutural de um prédio. De outra forma, ela em inúmeras ocasiões é explorada a nível estético, tendo outro significado sob o ponto de vista arquitetônico. Na etapa criativa, este processo é, basicamente, intuitivo. É necessária a ligação da intuição consciente com o formulário matemático, para a representação da realidade física. Para isso, há que se compreender o funcionamento do sistema estrutural, seu regime de trabalho em estado de carga parcial ou total. É impossível, pois, conceber um sistema estrutural corretamente, sem conhecer as razões e implicações desta escolha, através das tensões que nele estão acontecendo. A importância do sistema estrutural está na mesma razão da compreensão do seu funcionamento quando de sua concepção, com toda a simplicidade possível, sem recorrer ao conhecimento formal de matemática. Isto não significa tratar o sistema estrutural de forma simplificada, e sim, reconhecer, nas situações arquitetônicas práticas, os pontos mais delicados do projeto estrutural, dar-lhe as proporções corretas, deixando para o calculista a parte matemática e o detalhamento. Isostática – Profas. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari sapata corrida de alvenaria de pedra de grés.5 3. direção. as cargas que deverão ser transmitidas ao solo (intensidade. coberturas. vigas. a topografia do terreno.estaca de concreto. a parte inferior de uma construção. pré-moldada ou moldada no local. a função e características da edificação. dentre outros: a constituição geológica do solo. em outras palavras. situação em relação à divisa). . revestimentos. quando o solo superficial é resistente. Superestrutura é a construção feita acima do solo. Já. . as dimensões da edificação. . As principais soluções de fundações. que compreende os elementos de sustentação da superestrutura (fundações). para solos superficiais pouco resistentes e grandes cargas.. A infraestrutura é a parte que promove a ligação da “estrutura visível” do prédio com o solo.sapata isolada de concreto armado. o material do sistema estrutural.. Isostática – Profas. A escolha desta solução estrutural adequada depende de vários fatores. esquadrias. são utilizadas as denominadas fundações profundas. são as chamadas fundações em superfície: . permanente ou não. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . aço ou madeira. que visam atingir camadas de solo mais resistentes: .sapata corrida de concreto armado.radier em concreto armado. tais como paredes de vedação. Sistemas construtivos fundamentais A estrutura é constituída pela superestrutura e infraestrutura. granito ou basalto. sobre os quais estão fixados todos os demais elementos (subsistemas) dos prédios. que compreende pilares. . lajes. as construções vizinhas e o custo.tubulão de concreto. paredes portantes. as vias de transporte. Escolha do sistema estrutural A escolha do sistema estrutural de uma edificação depende de vários fatores.6 4. da edificação. como as pontes e viadutos.5 a 1. O custo do sistema estrutural varia entre 18 a 30% do preço total nas edificações correntes e o custo do projeto estrutural de 0. bem como a disponibilidade de materiais e de mão-de-obra na região. É óbvio. como os reservatórios. impede o funcionamento previsto. a técnica construtiva utilizada. merecendo todo o cuidado no projeto e na execução. que a resistência dos materiais utilizados e a escolha do sistema estrutural adequado são condições indispensáveis da sobrevivência da estrutura e. e a administração da obra determinam alterações no custo e dão relevância a este fator. os prédios comerciais e industriais. as de armazenagem ou contenção. Além disso. em algumas ocasiões. b) FATORES TÉCNICOS: Materiais e cálculo estrutural empregados (soluções adotadas). em todos os tempos foi explorada com tal finalidade o que caracteriza seu grande valor. Isostática – Profas.5%. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . por conseguinte. estes valores podem ser diferentes. portanto. o que. silos e barragens. A mais comum é a de habitação com os edifícios residenciais. Ressalta-se que os três fatores acima enumerados tornam-se desprezíveis quando à segurança da estrutura não está compatível com a sua finalidade. Dependendo das características do sistema estrutural. mais ou menos na seguinte ordem de importância: a) FATORES FUNCIONAIS: A função a que se destina a edificação. c) FATORES ESTÉTICOS E DE ARQUITETURA: O sistema estrutural é um elemento de grande importância na concepção arquitetônica e. A representação estrutural é feita pelo eixo longitudinal. Partes componentes de uma estrutura resistente a) Estruturas UNIDIMENSIONAIS: são aquelas em que uma das dimensões (comprimento) é muito maior do que as outras duas (medidas da seção transversal). Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari .7 CAPÍTULO II MORFOLOGIA ESTRUTURAL 1. Vigas: carga perpendicular ao eixo Tirantes: carga ao longo do eixo (tração) Pilares: carga ao longo do eixo (compressão) Arcos: cargas de compressão Isostática – Profas. Paredes: carga ao longo do eixo (compressão) Lajes: carga perpendicular ao eixo Cascas: estruturas em que a superfície média não é formada por um único plano: Poliédricas: Curvas: Membranas: estruturas laminares em que a superfície média é curva e sua espessura muito reduzida em presença das demais dimensões Isostática – Profas. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari .8 Estruturas Compostas: formadas por elementos de barras Treliças: Pórticos: Grelhas: b) Estruturas BIDIMENSIONAIS: são aquelas em que duas dimensões (plano médio: a x b) são muito maiores do que a terceira (espessura). A sua representação estrutural é feita pela superfície média. 9 c) Estruturas TRIDIMENSIONAIS: São estruturas em que as três dimensões tem a mesma ordem de grandeza. O caráter tridimensional é ilustrado pela figura abaixo. que pode ser chamada de piso elementar: Isostática – Profas. a laje. matematicamente. A estrutura possui um elemento bidimensional. Para a determinação dos esforços na estrutura. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . Caráter tridimensional das construções: Considere-se uma laje apoiada em 4 vigas no seu contorno. as quais se apoiam em 4 pilares. que é representada pelo seu plano médio. deve-se criar o seu arranjo estrutural. presos na base e livres no topo. é possível de calcular os esforços. onde. e 8 elementos unidimensionais (vigas e pilares) representados pelos seus eixos. 2. que desdobra a estrutura em planos. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . são possíveis outros arranjos alternativos. sob a forma de pórticos. que por sua vez. são apoiadas na extremidade dos 4 pilares presos na base e livres no topo. Isostática – Profas. Para a mesma situação.10 O arranjo estrutural mais simples possível é formado por uma laje simplesmente apoiada sobre as 4 vigas. publicada em novembro de 1980. por exemplo: o peso próprio da estrutra. Classificação das cargas quanto ao tempo de duração: a) cargas PERMANENTES: atuam durante toda ou quase toda a vida útil de uma estrutura. b) cargas ACIDENTAIS: podem estar ou não atuando.. Neste caso ela é considerada concentrada no centro de gravidade da área de atuação.. qualquer que seja sua classe e destino. como por exemplo. Classificação das cargas quanto ao ponto de aplicação: a) cargas FIXAS: atuam em determinados pontos de uma estrutura. mobiliário. um caminhão atravessando uma ponte. fixa as condições para a determinação dos valores das cargas que devem ser consideradas no projeto de estrutura de edificações. podendo variar em intensidade. Isostática – Profas.11 CAPÍTULO III CARGAS ATUANTES NAS ESTRUTURAS 1. o peso de uma parede.. 3. 2. ou seja.. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . excetuando-se os casos previstos em normas especiais. 4. Classificação das cargas quanto ao modo de distribuição: a) cargas CONCENTRADAS: são aquelas que atuam em áreas muito reduzidas em relação às dimensões da estrutura. dos revestimentos. b) cargas MÓVEIS: percorrem a estrutura. NBR 6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações: A NBR 6120. por exemplo: vento. podem atuar em vários de seus pontos como por exemplo... revestimentos. kN/cm) A resultante de uma carga distribuída é igual à área da figura limitada pela linha da carga e pelo segmento de eixo correspondente. A tabela a seguir pode ser utilizada para a resolução dos casos mais comuns: Isostática – Profas. Exemplo: peso próprio em uma laje de concreto Ou podem ser distribuídas sobre uma linha (são cargas que se distribuem numa área em que uma das dimensões é muito maior que a outra). kgf/cm2. Exemplo: peso próprio de uma viga (unidade: kN/m. aplicada no centro de gravidade desta área.d P Cargas excêntricas: P d c) cargas DISTRIBUÍDAS: são aquelas que atuam em uma área com dimensões na mesma ordem de grandeza da estrutura.12 b) cargas MOMENTO: são momentos aplicados em determinados pontos de uma estrutura (fixos) que podem se originar de binários ou cargas excênricas: Binários: M=P. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . kgf/m. Podem ser distribuídas sobre uma superfície (representam a quantidade de carga aplicada por unidade de área – kN/m2. indicando a quantidade de carga desenvolvida por unidade de comprimento. kN/cm2). Neste caso considera-se que a carga esteja atuando na linha média da referida área. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari .13 Isostática – Profas. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . se classificam em vínculos internos e externos: a) Vínculos EXTERNOS: são vínculos que unem os elementos de uma estrutura ao meio externo ou a outra estrutura. No caso plano. cuja finalidade é restringir um ou mais movimentos de um corpo. e uma rotação) e.14 CAPÍTULO VI ESTRUTURAS – NOÇÕES INICIAIS 1. portanto se classificam em 3 espécies: Isostática – Profas. Os vínculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao meio externo e. portanto. Vínculo: É todo o elemento de ligação entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio externo. este tipo de vínculo pode impedir até 3 movimentos (duas translações – em X e Y. está em equilíbrio estável. ou seja. e sua representação estrutural é a união entre as barras. A representação estrutural de uma rótula é: O vínculo de 3ª espécie interno é chamado de SOLDA. de 2ª e 3ª espécie. está em equilíbrio instável. e RT o número de movimentos impedidos ou (ResTringidos) da mesma. Uma estrutura é hipostática quando os vínculos estão em número insuficientes. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . Uma estrutura é isostática quando os vínculos estão em número suficientes. b) ISOSTÁTICA: quando o número de restrições (RT) for igual ao número de movimentos possíveis (GL). c) HIPERESTÁTICA: quando o número de restrições (RT) for maior do que o número de movimentos possíveis (GL). No caso plano podem ser. ou seja. 2.15 b) Vínculos INTERNOS: são aqueles que unem partes componentes de uma estrutura. Classificação estrutural: Considera-se GL (ou Grau de Liberdade) o número de movimentos possíveis que uma estrutura pode realizar. ou seja. Uma estrutura é hiperestática quando os vínculos estão em número mais que suficiente. está em equilíbrio estável. somente. Isostática – Profas. O vínculo de 2ª espécie interno é chamado de RÓTULA. De acordo com a sua estaticidade uma estrutura pode ser: a) HIPOSTÁTICA: quando o número de movimentos restringidos (RT) for menor do que o número de graus de liberdade (GL). definir número de movimentos restringidos (RT) por todos os vínculos de uma estrutura como: RT = 1 x C1 + 2 x C2 + 3 x C3 Define-se o grau de estaticidade total de uma estrutura como a diferença entre o número de movimentos impedidos e o número de graus de liberdade que ela pode apresentar: gh = RT – GL. C3 = ∑(n-1): soma dos graus de conexão dos vínculos de terceira espécie. quando: RT > GL O número de movimentos impedidos em um vínculo de classe r onde concorrem n barras é: r. tanto no seu conjunto externo quanto internamente. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . No caso plano cada barra livre possui 3 movimentos possíveis (duas translações e uma rotação) logo. quando: RT < GL Isostática.3.m ou gh = (C1 + 2 . C3) . se tivermos m barras o número de GL do conjunto será 3 x m. C2 + 3 . Desta forma: gh = RT – 3. hipo ou isostática. Tem-se: 1 x C1: número de movimentos impedidos pelos vínculos de primeira espécie 2 x C2: número de movimentos impedidos pelos vínculos de segunda espécie 3 x C3: número de movimentos impedidos pelos vínculos de terceira espécie Pode-se então. De acordo com a classificação já vista pode-se resumir que uma estrutura será: Hipostática.(n-1) Onde: n: número de barras ligadas pelo vínculo (n-1): grau de conexão de um vínculo r: número de movimentos impedidos por este vínculo (classe do vínculo) Sendo: C1 = ∑(n-1): soma dos graus de conexão dos vínculos de primeira espécie.16 Para classificar uma estrutura deve-se verificar se ela é hiper. C2 = ∑(n-1): soma dos graus de conexão dos vínculos de segunda espécie.m Isostática – Profas. quando: RT = GL Hiperestática. Se gh > 0 significa que foram impedidos mais movimentos que os existentes. C2 + 3 . como se fosse uma barra m = 1 e somente os vínculos externos: gext = (C1 + 2 . que é HIPOSTÁTICA. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . 1. R: gh = 0 (isostática) gext = 0 gint = 0 2. R: gh = 0 (isostática) gext = 1 gint = -1 Isostática – Profas.3 E. interno e externo das estruturas abaixo. ou seja. a estrutura é HIPERESTÁTICA. ou seja. ou seja. ainda existem movimentos possíveis na estrutura. e estrutura é ISOSTÁTICA.17 Se gh < 0 significa que foram impedidos menos movimentos que os existentes. considera-se a mesma como um conjunto monolítico. Se gh = 0 significa que foram impedidos tantos movimentos quanto os existentes. Quando deseja-se verificar a vinculação externa de uma estrutura. o grau de estaticidade interno é a diferença entre a estaticidade total e a estaticidade externa: gint = gh .gext EXERCÍCIOS: Determine o grau de estaticidade total . C3)vínculos externos . R: gh = -2 (hipostática) gext = 0 gint = -2 3. R : gh = 3 (hiperestática) gext = 3 gint = 0 Isostática – Profas. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . vinc) gext = 5 gint = -4 5.18 4. R: gh = 0 (isostática) gext = 0 gint = 0 7. R : gh = 4 (hiperestática) gext = 1 gint = 3 6. R: gh = 1 (inef. devem ter seu sentido (que foi arbitrado em a. abribitrando qualquer sentido para as mesmas. Os vínculos são classificados de acordo com o número de movimentos impedidos e só pode-se restringir um movimento mediante a aplicação de um esforço (força ou momento) na direção deste movimento. trocado Exemplo: 10 kN/m VA = 20 kN VB = 20 kN HB = 0 4. Redesenha-se a estrutura. possuindo apenas vínculos externos. b. c. portanto o número de equações a serem satisfeitas para que a estrutura permaneça imóvel são 3: ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Mz = 0 1. substituindo-se todos os vínculos externos pelas reações vinculares que o mesmo pode desenvolver. As reações encontradas que possuírem sinal negativo. A fim de se determinar o valor das reações externas procede-se da seguinte forma: a.19 CAPÍTULO IV EQUILÍBRIO EXTERNO – REAÇÕES EXTERNAS Reações externas são os esforços que os vínculos devem desenvolver para manter em equilíbrio estático uma estrutura. que estabelece as condições de equilíbrio da estrutura. Substituem-se as cargas distribuídas por suas respectivas resultantes e calculam-se as decomposições das cargas inclinadas.). A determinação das reações de apoio de uma estrutura isostática é feita por intermédio de um sistema de equações algébricas. No caso plano a estrutura possui 3 movimentos possíveis (translação nas direções x e y e rotação em torno do eixo z). Aplicam-se as 3 equações de equilíbrio: Fx = 0. Fy = 0 e MVÍNCULOS = 0 d.0 m Isostática – Profas. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . supondose rígidas todas as barras. transformando-a num corpo livre. Cálculo das reações externas em estruturas isostáticas simples: Uma estrutura isostática é classificada como simples quando possui apenas um elemento. 20 2. Fy = 0. para que uma rótula esteja em equilíbrio a soma dos momentos em relação a ela deve ser nula. além das equações fundamentais da estática surge uma nova condição de equilíbrio: soma dos momentos à esquerda e à direita de uma rótula deve ser zero. Então. trocado Exemplos: Isostática – Profas. devem ter seu sentido (que foi arbitrado em a. transformando-a num corpo livre. b. abribitrando qualquer sentido para as mesmas. As reações encontradas que possuírem sinal negativo. Rótulas são articulações internas que não absorvem momento. Cálculo das reações externas em estruturas isostáticas compostas: Uma estrutura isostática é classificada como composta quando for constituida por elementos ligados entre si por rótulas que formam um conjunto estável. A fim de se determinar o valor das reações externas procede-se da seguinte forma: a. Redesenha-se a estrutura. substituindo-se todos os vínculos externos pelas reações vinculares que o mesmo pode desenvolver. c. Aplicam-se as 3 equações de equilíbrio: Fx = 0. Portanto. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari .). Substituem-se as cargas distribuídas por suas respectivas resultantes e calculam-se as decomposições das cargas inclinadas. MVÍNCULOS = 0 Mrótula à esquerda = 0 e Mrótula à direira = 0 d. 0 4. HA = 0 VA = 41 kgf VB = 59 kgf 4.0 2.0 3. HA = 0 VA = 14 kgf VB = 16 kgf 6.0 HB = 0 (m) 2.0 4. 20 kN 10 kN 10 kN 20 kN/m 10 kN/m 20 kN VA = 108 kN 2. HA = 0 VA = 53 kgf VB = 17 kgf 5. HA = 0 VA = 20 kgf VB = 30 kgf Isostática – Profas.35 kN 2. 15 kN/m 10 kN/m VA = 69. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari .21 Exercícios: 20 kN 1.0 VB = 112 kN (m) HB = 0 3.65 kN VB = 55.0 4. m (horário) 8.22 7. VA = VB = 27.98 KN 11. HA = 0 VA = 60 kgf MA = 180 kgf.5 kN VB = 95 kN HA = 0 Isostática – Profas.m (anti horário) 10.m (anti horário) 9. HA = 0 VA = 10 kgf MA = 40 kgf. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . HA = 0 VA = 30 kgf MA = 100 kgf. VA = .5 KN HA = 25. VA = 27.5 kN VB = 62.59 kN VB = 51. VA = 60 kN VB = 0 HA = 0 16.8. VA = 0. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari .23 12.5 kN HB = 0 Isostática – Profas.75 kN VB = 8.75 kN HA = 0 15.05 kN HB = 14 kN ( ) 13. VA = .m 14. 15 kN. 9 kN () Isostática – Profas.24 17. VA = 70 kN HA = 0 MA = 140 kN. VA = 40 kM HA = 0 MA = 75 kN.m (anti horário) 19. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . 20.96 kN VB = 40.M (anti horário) 18.94 kN HB = 29. VA = 48. 22. 23.25 21. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . Isostática – Profas. 3 kN () VC = 42.75 kN 27.3. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari .25 kN HA = 0 MA = 3.26 24.75 kN VB = 83.75 kN.m (anti horário) VB = 43.75 kN HB = 43. VA = 48.5 kN VC = 22 kN 25. VA = 40 kN VB = 50 kN MB = 20 kN.5 kN 26.m (horário) HB = 0 Isostática – Profas. VA = . VA = 21.5 kN HA = 14 kN () VB = 55. m (hor ant) 31. VA = 2. VA = 30 kN VB = 110 kN VC = 110 kN VD = 130 kN VE = 10 kN 29.5 kN 30.27 28. VA = 60 kN VB = 0 VC = 180 kN VD = 120 kN MD = 160 kN.37. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari .5 kN VB = 5 kN VC = 180 kN VD = . Isostática – Profas. 2 kN VB = .2 kN HB = 30 kN () MB = 215.8 kN () VB = 28.9 kN () 34.46 kN HA = 12.25.28 32.m (anti horário) 33. VA = 11. VA = 51.67 kN HB = 6.08 kN () Isostática – Profas.4 kN.33 kN HA = 16.22 kN () VB = 25.54 kN HB = 42.3 kN HA = 35. VA = 24. VA = 65. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari .22 kN () 35.08 kN () VB = 38.65 kN HB = 5. Resultante de momentos da parte retirada Isostática – Profas. Desta forma quando o corpo recebe carregamento vai gradativamente deformando-se até atingir o equilíbrio. que admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pequenas deformações). pois destruímos sua cadeia molecular. Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em equilíbrio. O mesmo deve ser feito com a parte da esquerda.29 CAPÍTULO VI SOLICITAÇÕES INTERNAS Estudou-se que quando existe um sistema de cargas ativas atuando em um corpo são desenvolvidas cargas externas reativas. cabe ressaltar que o equilíbrio ocorre na configuração deformada. deve-se aplicar. sobre a parte da esquerda. que calculamos com a aplicação das equações fundamentais da estática. rompemos o equilíbrio. na seção "S" de interseção do plano com o corpo. gerando solicitações internas. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . O estudo das solicitações internas analisa quais os efeitos que a transmissão deste sistema de cargas externas aos apoios provoca nas diversas seções que constituem o corpo em equilíbrio.Resultante de forças da parte retirada M . por exemplo. resultante de força (R) e resultante de momento (M). E. R . a ação que a parte da direita exercia sobre ela. Mas. capazes de manter o equilíbrio do corpo. onde as deformações param de aumentar (são impedidas internamente). Se cortarmos este corpo por um plano qualquer (). suponha o corpo em equilíbrio sob efeito de um carregamento qualquer. cujas resultantes estão também representadas. de uma maneira geral pode-se dizer que o equilíbrio externo não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os apoios. ou seja. Para tanto. Esforço Cortante M . perpendiculares entre si) e tem-se: Denominam-se as componentes (que são as SOLICITAÇÕES INTERNAS) da seguinte maneira. E. Classificação das solicitações: Os esforços estão associados às deformações que provocam e se classificam de acordo com elas. ou seja. devemos cortar a peça na seção desejada. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . e negativo no caso de encurtamento. 1.Esforço Normal Q .Momento Fletor Mt . isolar um dos lados do corte (qualquer um) e podemos dizer que no centro de gravidade esta seção deve aparecer os esforços internos (resultante de força e de momento) que mantém o corpo isolado em equilíbrio. pelo princípio da ação e reação devem ser de mesmo módulo. Quando queremos saber o que acontece em uma seção S de uma peça. Isostática – Profas. O esforço normal será considerado positivo quando alonga a fibra longitudinal. y e z. sendo que cada solicitação tem associada a si uma deformação: N .Momento Torsor a) Esforço Normal (N): define-se esforço normal em uma seção de corte como sendo a soma algébrica das componentes de todas as forças que atuam ao longo do eixo da peça.30 As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situação original quando as duas partes forem ligadas novamente. mesma direção e sentidos opostos. Estes esforços representam a ação da parte retirada do corpo. Decompondo os vetores resultantes R e M segundo as três direções (x. porém com seus comprimentos alterados (sofrem alongamentos ou encurtamentos). a seção de referência a ser adotada será sempre a seção transversal das peças em estudo. As fibras longitudinais que constituem estas seções permanecem paralelas entre si. c) Momento Fletor (M) : define-se momento fletor em uma seção de referência como a soma algébrica dos momentos provocados. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . resultando que as fibras de uma extremidade são tracionadas enquanto que na outra são comprimidas (as seções giram em torno do eixo na qual se desenvolve o momento. O efeito do momento fletor é provocar o giro a seção transversal em torno de um eixo contido pela própria seção. torcendo-a ou deslocando-a angularmente em relação à seção vizinha. O momento fletor M é considerado positivo quando traciona as fibras de baixo da estrutura. separadamente. dos momentos em relação aos eixos y e z. O efeito do momento torsor é o de provocar o giro da seção em torno do eixo longitudinal da peça. mas permanecem planas). O efeito do esforço cortante é o de provocar o deslizamento no sentido do esforço de uma seção sobre a outra infinitamente próxima acarretando o corte ou cisalhamento da mesma.31 b) Esforço Cortante (Q) : define-se esforço cortante em uma seção de referência como sendo a soma algébrica das componentes de todas as forças que atuam perpendicularmente ao eixo da peça. d) Momento Torsor (Mt) : define-se momento torsor em uma seção de referência como a soma algébrica das componentes dos momentos das forças externas de um dos lados da referência em relação ao eixo longitudinal da peça (eixo x). Isostática – Profas. Aplicam-se as equações de equilíbrio estático em cada um dos cortes. que devem ser arbitradas com o sentido convencionado positivo. Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 ΣM=0 6.32 2. Cálculo das reações externas 2. 5. obtendo-se as equações desejadas. Identificação dos pontos de transição criando trechos pré-estabelecidos Ponto de força aplicada Ponto de momento aplicado Ponto de troca da taxa de carregamento (descontínua) 3. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . Usar o método de corte de seções em cada um destes trechos. 4. Supomos em cada seção cortada o aparecimento das solicitações previstas. Cálculo das solicitações internas em uma seção: MÉTODO DAS EQUAÇÕES: Roteiro de cálculo: 1. Representação destas equações sob a forma de um diagrama. que valerá dentro dos limites dos trechos. conforme convenção abaixo: Isostática – Profas. adotando como posição genérica desta seção a variável x. 33 EXERCÍCIOS: Determinar o diagrama das solicitações internas das vigas abaixo. 15 kN/m 10 kN 12 kN. usando o método das equações: 1. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . Isostática – Profas. 2.m 4. 3. Isostática – Profas. 6.34 5. 7. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . Unir os resultados encontrados em diagramas. ou antes e depois dos mesmos – dependendo da descontinuidade. Identificação dos pontos de transição criando trechos pré-estabelecidos Ponto de força aplicada Ponto de momento aplicado Ponto de troca da taxa de carregamento (descontínua) 3. Cálculo das reações externas 2. Cálculo das solicitações internas: MÉTODO DAS EQUAÇÕES: Roteiro de cálculo: 1. observando a convenção positiva: Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 ΣM=0 CONVENÇÃO POSITIVA: 4.35 3. conforme convenção abaixo: Isostática – Profas. Aplicam-se as equações de equilíbrio estático em cada um dos pontos de transição. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . Isostática – Profas. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . 9. 7. 5. usando o método direto: 1. 4. 2. Lista do Método das Equações 8. 6.36 EXERCÍCIOS: Determinar o diagrama das solicitações internas das vigas abaixo. 10. 3. Isostática – Profas.37 11. 12. 14. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . 13. porém não é válida para o cálculo das solicitações. CONVENÇÃO POSITIVA: Ressalta-se que linearizar a estrutura é apenas um artifício usado para a adaptação das convenções já estabelecidas. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . formam os chamados quadros compostos. Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos.38 CAPÍTULO VII PÓRTICOS PLANOS Pórtico são estruturas formadas por barras. Cálculo das solicitações internas de um pórtico: No estudo das solicitações internas dos pórticos. então. podendo-se. identifica-se os lados internos das barras com a parte inferior de uma estrutura linear horizontal. pois com a Isostática – Profas. São eles: 1. que formam quadros entre si. que associados entre si. baseados no artifício de linearizar a estrutura. utilizar as convenções já adotadas. da mesma forma com que associamos vigas simples para formar vigas compostas (GERBER). 33 kN Isostática – Profas. O cálculo das solicitações. continua sendo o eixo que passa pelo centro de gravidade das seções transversais.67 kN HA = 10 kN ( ) VB = 3. Deve-se salientar o fato de que o eixo longitudinal (x) de cada barra. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari .39 mudança de direção das barras altera-se o funcionamento da estrutura. VA = 0. pode ser realizado pelo método das equações ou pelo método direto. e os eixos y e z. perpendiculares à este e contidos pela seção de corte (eixos principais centrais de inércia). EXERCÍCIOS: 1. assim como em vigas. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari .40 2. Isostática – Profas. 41 3. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari . 10 kN/m VA = 70 kN VB = 0 HB = 10 kN ( ) Isostática – Profas. 42 4. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari .75 Isostática – Profas.14. . 18 .12 Isostática – Profas. -6 -6 -6 (-) .43 5. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari .