INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESPROBLEMAS DE APLICACIÓN MATRICES 1.- Determine la dimensión de cada matriz y obtenga su transpuesta: a ).6 8 2 3 3 5 f ). 1 8 0 1 4 2 2 0 1 b). 5 3 g ). 3 5 0 1 4 1 6 2 1 0 0 6 3 2 1 c). 0 1 0 h). 2 3 1 4 0 0 1 2 1 5 8 1 1 3 5 7 9 i ). 2 2 4 6 8 10 d ). 3 4 6 1 2 3 5 2 0 4 6 1 j ). 1 3 5 3 1 2 3 5 6 4 2 4 3 2 1 0 e). 0 1 2 4 6 3 5 1 2 2.- Encuentre una matriz A (2 x 4) para la cual: i j si i j aij 0 si i j 3.- Construir una matriz columna de tres entradas tal que 𝑎21 = 6 𝑦 𝑎𝑖1 = 0 en los otros casos. 4.- Si 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] tiene un orden 3×4 y 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗, encontrar A. 5.- Construya una matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] si A es de 3×4 y 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 + 3𝑗. 6.- Una fundación dedicada a la investigación de las políticas privadas hace una proyección de que el consumo de energía se incrementará 20% en cada región y para todas las fuentes de energía entre 2008 y 2013. Si el consumo aumenta de acuerdo con la proyección, el consumo durante 2013 será de 120% más que en 2008. Si la matriz de consumo de energía está dada por E, obtenga la proyección del consumo para el año de 2013. 6.5 2.8 3.0 0.2 0.5 3.2 11 . 0.5 0.5 0.2 E 3.4 2.0 11 . 01. 0.4 55 . 15. 3.3 0.6 0.2 7.- Con las siguientes matrices: 1 2 1 3 1 0 1 2 −1 𝐴 = [0 −1] 𝐵=[ ] 𝐶=[ ] 𝐴=[ ] 4 −1 1 2 1 0 2 2 0 Determine, si es posible, las siguientes matrices: 𝑎). 3𝐴𝑇 + 𝐷 𝑐). (𝐵 − 𝐶)𝑇 𝑒). 2𝐵𝑇 − 3𝐶 𝑇 𝑏). 2𝐵 + 𝐵𝑇 𝑑). 𝐶 𝑇 − 𝐷 𝑓). (𝐷 − 2𝐴𝑇 )𝑇 8.- Con las siguientes matrices: 3 −4 5 1 4 2 −1 1 3 𝐴=[ ] 𝐵=[ ] 𝐶=[ ] −2 1 6 4 1 2 2 6 −6 Realice las siguientes operaciones matriciales: 𝑎). 4𝐴 + 3𝐵 𝑏). −2(𝐴 + 𝐵) − 𝐶 𝑐). 2(3𝐶 − 𝐴) + 2𝐵 9.- Realice las siguientes operaciones con matrices, siempre que esto sea posible: 4 7 1 12 1). 5 8 3 4 4 8 6 2 10 4 18). 2 14 10 4 21 3 4 2 11 0 2). 2 8 1 4 2 4 a b a b 19). 3k 2k b 2a b 2a 2 10 20 15 3).5 3 5 15 10 5 1 2 4 3 1 3 20). 3 5 3 4 2 1 2 4 4 4).2 3 8 3 21). 1 2 3 2 4 4 5).3 1 2 3 2 22). 10 4 3 3 x 6).a b y x1 23). a 1 a2 a3 x2 0 x3 1 7). 1 2 3 4 2 3 3 2 24). 1 3 6 5 2 1 e 0 f 4 8).a b c d g h 0 2 4 0 2 6 25). 1 0 5 0 3 0 9). 2 7 1 8 5 0 1 0 10).20 8 0 1 8 3 6 26). 2 0 8 10 2 1 0 1 11). 0 13 0 1 0 12 1 1 0 27). 1 3 0 1 2 1 8 1 0 10 12). 1 0 4 0 1 0 12 0 1 12 3 1 1 1 1 1 28). 4 0 2 3 4 5 a11 a12 x1 13). a21 a22 x2 0 2 1 29).1 8 2 3 4 0 1 1 2 3 6 2 1 3 2 0 14). 0 2 5 4 3 1 0 0 1 2 8 2 6 30). 0 1 0 0 0 1 3 2 1 1 2 1 4 0 15). 3 1 5 2 1 x1 a a12 a13 31). 11 x2 a21 a22 a23 2 1 x3 1 2 2 1 0 5 3 16). 0 4 6 2 1 2 0 1 2 5 3 3 2 32). 3 4 2 1 5 6 2 5 1 3 2 1 0 17). 1 0 2 1 2 3 4 3 4 3 2 3 4 2 1 33). 2 1 2 3 1 e f a b 18). g h c d i j 10.- Rescriba los siguientes sistemas de ecuaciones en forma matricial: a ). x 3 y 15 f ). 2 x 4 2 x 3 y 10 3x 4 y 15 b). 5x1 2 x2 3x3 12 g ). 5x1 8x2 48 3x1 x2 2 x3 15 2 x1 4 x3 25 c). ax1 bx2 c h ). ax1 bx2 cx3 dx4 ex5 f dx1 ex2 f gx1 hx3 ix5 j gx1 hx2 i i ). a11x 2 a12 x a13 b1 d ). a1 x 2 a2 x a3 b1 a21x 2 a 22 x a23 b2 a4 x 2 a5 x a6 b2 a31x 2 a 32 x a33 b3 e). 5x 3 2 x 2 x 100 j ). a11x1 a12 x2 a13x3 a14 x4 b1 3x 3 18 a21x1 a22 x2 a23x3 a 24 x4 b2 a31x1 a32 x2 a33x3 a 34 x4 b3 5x 2 125 a41x2 a42 x2 a 43x3 a44 x4 b4 11.- Exprese la siguiente ecuación matricial como un sistema de ecuaciones matriciales y determine el valor de las incógnitas. 2 −3 8 𝑥[ ] − 𝑦[ ] = 2[ ] 1 5 11 12.- En los siguientes problemas resuelva las ecuaciones matriciales: 6 2 6 2 2𝑥 𝑦 4 6 𝑎). [ ]=[ ] 𝑏). [ 𝑥 7 ] = [6 7] 𝑧 3𝑤 0 7 3𝑦 2𝑧 2 7 4 2 1 4 2 1 𝑦 7 2𝑥 7 𝑐). [3𝑥 𝑦 3𝑧] = [6 7 9] 𝑑). [ ]=[ ] 7 2𝑦 7 𝑦 0 𝑤 7 0 9 8 13.- En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones matriciales: 𝑥 −2 6 𝑥 7 −𝑥 𝑎). 3 [𝑦 ] − 3 [ ] = 4 [ ] 𝑏). 3 [ ] − 4 [ ] = [ 2𝑦 ] 4 −2 2 −𝑦 2 𝑥 −10 2 −1 0 8 𝑐). [4] + 2 [ 𝑦 ] = [−24] 𝑑). 𝑥 [0] + 2 [ 0 ] + 𝑦 [ 2 ] = [ 4 ] 6 4𝑧 14 3 6 −3 3𝑥 + 12 − 3𝑦 14.- Obtenga el valor de los siguientes determinantes: a ). 2 i ). a 3 1 1 2 b ). j ). 2 4 4 3 c). 25 k ). b 1 0 a a d ). l ). 0 1 a a 2 6 0 1 3 10 e). 4 0 2 ll ). 2 0 1 1 2 8 1 12 3 1 2 3 3 10 9 f ). 2 10 5 m). 2 6 6 4 8 12 1 3 3 2 0 3 2 1 1 g ). 4 1 2 n ). 1 3 2 0 5 4 4 2 0 1 2 3 2 5 5 h ). 2 4 6 ñ ). 5 0 10 0 0 8 1 2 3 15.- Encuentre la matriz de cofactores de las siguientes matrices: 3 2 1 2 a ). j ). 10 4 4 10 1 0 a b b ). k ). 0 1 c d 2 4 2 1 0 0 c). 2 0 4 l ). 0 1 0 4 2 3 0 0 1 1 0 1 2 10 4 d ). 0 1 0 ll ). 0 3 10 1 0 1 1 2 2 4 3 5 2 e). m). 2 6 3 4 10 5 5 10 f ). n ). 5 2 4 6 4 2 2 3 2 1 g ). 6 3 5 ñ ). 0 6 4 6 3 3 4 2 1 5 0 10 10 4 2 h). 5 5 0 o ). 0 1 3 10 5 10 5 2 1 1 3 2 2 5 1 i). 3 2 1 p ). 3 1 4 1 2 3 4 0 1 16.- Por medio de la matriz de cofactores encontrada en todos los incisos del ejercicio 7, obtenga el determinante de la matriz original. 17.- Encuentre el valor del determinante que se indica en seguida: 2 1 2 0 1 2 3 0 1 2 0 1 5 a ). 3 2 4 7 3 4 3 2 2 6 3 2 0 d ). 1 2 0 3 4 0 0 0 4 0 2 1 2 3 2 1 0 5 1 1 2 3 0 b ). 3 2 4 4 0 0 3 0 0 6 3 2 4 3 0 1 0 9 e). 2 6 2 0 6 1 4 2 3 1 3 4 0 3 0 0 3 0 2 3 2 1 4 c). 4 1 2 4 1 2 3 4 18.- En los siguientes ejercicios, determine la inversa, si existe, de las matrices que se anotan: 1 1 2 3 4 2 a). i). p). 2 3 4 7 2 1 3 5 2 3 15 40 8 j ). 4 1 0 q ). b). 5 25 30 6 9 15 6 5 6 7 1 0 3 5 c). k ). r ). 10 11 13 0 1 4 2 1 1 1 1 3 1 1 d) l ). 5 2 2 4 4 4 s). 3 1 0 3 1 1 1 1 3 1 e). 1 1 0 ll ). 3 0 4 t ). 15 5 2 3 3 1 2 5 1 1 1 4 3 1 0 1 f ). u ). 2 3 1 5 4 m). 1 1 1 5 4 2 1 0 2 1 1 1 g ). 2 1 1 2 3 ñ ). 2 3 4 6 9 3 7 10 2 6 h). 2 5 o). 1 5 3 5 1 3 19.- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x 2 y 8; 2 x 3 y 13; x y 0; xy 0 x y 1 4 x 2 y 2; 2 x y 9; 2 x 3 y 10 x 2y 0 x 2 y 2; x 3y 2 3x 6 y 5; 3x 6 y 6 4 x 12 y 8 x 2y 4 3 x 4 y 5; 4 x 2 y 10 4 x 8 y 10; 4 x y 2; 2 x y 5 20.- Determine el conjunto solución para los siguientes sistemas de ecuaciones: 4 x1 12 x2 4 x3 40; x1 3 x2 x3 2; 2 x1 4 x2 2 x3 20 x1 x2 6 x3 10; 2 x1 4 x2 3x3 7; x1 2 x2 x3 30 x1 3 x2 x3 10 3 x1 x2 2 x3 9; x1 x2 x3 25 x1 x2 x3 0; x1 x2 x3 3; x1 3x2 x3 15 3 x1 x2 2 x3 1; 2 x1 x2 3x3 13; x1 2 x2 x3 4 x1 2 x2 3 x3 5; 3x1 2 x2 x3 17; 4 x1 8 x2 4 x3 10 2 x1 4 x2 2 x3 10; x1 3 x2 x3 7; 5 x1 4 x2 6 x3 24 3 x1 x2 4 x3 12; 3x1 9 x2 3x3 14; 3x1 3x2 x3 54 x1 2 x2 x3 0; 4 x1 2 x2 2 x3 24; 2 x1 x2 5 x3 30 2 x1 x2 3 x3 10; 4 x1 2 x2 5 x3 13; 2 x1 x2 2 x3 3 10 x1 5 x2 15 x3 30; x1 x2 x3 2; 3 x1 x2 2 x3 4 x1 x2 3 x3 25; 2 x1 x2 3x3 3; x1 x2 x3 6 2 x1 x2 4 x3 20; 3x1 6 x2 3x3 30; 10 x1 5 x2 15 x3 60 3 x1 x2 2 x3 3; 5 x1 10 x2 5 x3 50; 6 x1 4 x2 x3 48 15 x1 5 x2 10 x3 15; 8 x1 4 x2 16 x3 50; 4 x1 2 x2 6 x3 36 21.- Una compañía elabora tres productos que han de ser procesados en tres departamentos. En la tabla se resumen las horas requeridas por unidad de cada producto en cada departamento. Además las capacidades semanales se expresan para cada departamento en términos de las horas disponibles. Se desea determinar si hay combinaciones de los tres grupos que aprovechen al máximo las capacidades semanales de los tres departamentos. Producto Horas Disponibles Departamento 1 2 3 a la Semana A 2.0 3.5 3.0 1 200 B 3.0 2.5 2.0 1 150 C 4.0 3.0 2.0 1 400 22.- Un fabricante de café requiere combinar tres tipos de granos en una mezcla final del producto. Los tres tipos de grano le cuestan $ 1.20, $ 1.60 y $ 1.40 por libra, respectivamente. El fabricante quiere mezclar un lote de 40 000 libras y tiene un presupuesto de 57 600 dólares para la compra de café. Al mezclar el café, una restricción es que la cantidad usada del componente 2 debe ser el doble de la del componente 1(el fabricante piensa que esto es indispensable para evitar un sabor amargo). El objetivo es averiguar si hay una combinación de los tres componentes que lleve a una mezcla definitiva 1) que sea de 40 000 libras, 2) que cueste $ 57 600 y 3) que satisfaga la restricción de mezclado de los componentes 1 y 2. 23.- Cuando la gente invierte dinero hay profesionales (entre ellos los corredores de bolsa) a quienes se acude en busca de orientación respecto al portafolio o cartera que mejor cubra las necesidades del inversionista. Supóngase que un inversionista ha consultado a un experto en inversiones. Después de conversar con el cliente, el experto decide que el cliente desea una cartera que posea los siguientes atributos o cualidades: 1) el valor total de cartera en el momento de la compra es de $ 50 000, 2) el crecimiento anual esperado en el valor de mercado es de 12% y 3) el factor promedio de riesgo es de 10%. Se han identificado tres opciones con las tasas relativas de crecimiento y riesgo que aparecen en la tabla de abajo. Determine la cantidad que se debe invertir en cada opción. Crecimiento anual esperado en el Inversión valor de mercado Riesgo previsto 1 16% 12% 2 8% 9% 3 12% 8% 24.- Una compañía fabrica tres productos, cada uno de los cuales ha de procesarse en un departamento. La tabla de abajo sintetiza los requerimientos de horas de trabajo y materias primas por cada unidad de los productos. Al mes se dispone de 1 500 horas de trabajo y 3 800 libras de materias primas. Si la producción mensual combinada de los tres productos debe ser de 500 unidades, investigue si hay combinaciones de los tres productos que aprovechen al máximo las disponibilidades mensuales de mano de obra y de materias primas, satisfaciendo al mismo tiempo la meta de producir 500 unidades. Producto 1 2 3 Horas de trabajo/unidad 3 2 4 Libras de materias primas/unidad 10 8 6 25.- Un fabricante de café desea combinar tres tipos de grano en 10 000 libras de una mezcla final. Los tres componentes cuestan $ 2.40, $ 2.60 y $ 2 por libra, respectivamente. El fabricante desea una mezcla de 10 000 libras a un costo total de $ 21 000. Al mezclar el café, una restricción establece que las cantidades usadas de los granos componentes 1 y 2 sean iguales. Investigue si hay una combinación de los tres tipos de grano que de una mezcla final de 10 000 libras que cueste $ 21 000 y satisfaga la restricción de la mezcla. 26.- Un inversionista cuenta con 500 000 dólares para invertir. Están estudiándose tres inversiones, cada una con una tasa de interés anual esperada. Las tasas de interés son 15, 10 y 18%, respectivamente. La meta del inversionista es un rendimiento promedio de 15% en las tres inversiones. Por el rendimiento alto en la alternativa de inversión 3, el inversionista quiere que la cantidad de esta opción sea 40% del total de la inversión. Determine si hay una estrategia de inversión que satisfaga estas exigencias. 27.- Un dietista está planeando una comida que conste de tres tipos de alimentos. En la planeación de la comida, quiere que ésta satisfaga las necesidades diarias mínimas (NDM) de tres vitaminas. La tabla de abajo resume el contenido vitamínico por onza de cada tipo de alimento, expresado en miligramos (mg). Contenido vitamínico/onza, en mg Tipo de alimento Vitamina 1 Vitamina 2 Vitamina 3 1 4 2 1 2 6 8 6 3 3 4 2 NDM 52 56 34 Determine si hay combinaciones de los tres alimentos que satisfagan exactamente las necesidades diarias mínimas de las tres vitaminas. 28.- Un destilador quiere mezclar tres componentes de whisky en un whisky de alta calidad. Suponiendo que, durante el proceso de mezclado, se desea obtener 50 000 litros del whisky. El único requisito de la mezcla es que la cantidad empleada del whisky 1 sea el doble del que se usa del whisky 3. Además se han destinado 130 000 dólares para adquirir los whiskys componentes. Los tres cuestan $ 2.50, $ 2.00 y $ 3.00 por litro respectivamente. Determine si hay una combinación de los tres que produzca los 50 000 litros deseados. De ser así, ¿qué cantidades deberían utilizarse? EJERCICIOS PARA RESOLVER EN COMPUTADORA 1.- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones empleando un paquete apropiado de software: a). 2 x1 x2 2 x3 x4 2 x5 x6 2 x7 x8 30 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 20 3x1 2 x3 x4 2 x5 x7 10 5 x3 2 x4 x5 2 x7 3 x1 x2 7 x5 x6 x7 6 5 x1 3x2 6 x3 2 x4 x5 5 x6 x7 2 x8 17 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 0 b). 2 x1 2 x2 x3 5 x4 x5 x6 3x7 x8 100 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 50 2 x1 3x3 2 x5 3x6 50 x1 x2 x3 15 x6 x7 x8 25 5 x1 3x2 2 x3 x4 2 x5 x6 5 x7 6 x8 165 4 x1 3x2 5 x3 3x5 2 x7 35 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 50 2.- Una compañía fabrica cinco productos. Cada uno ha de ser procesado en cinco departamentos diferentes A, B, C, D y E. La tabla de abajo indica el número de horas que se necesitan para fabricar una unidad de cada producto en cada departamento. También se indica el número de horas de producción disponibles a la semana en cada departamento. Producto Horas disponibles Departamento 1 2 3 4 5 por semana A 2 1 4 3 2 330 B 4 2 3 2 1 330 C 5 4 2 4 3 440 D 3 2 2 2 3 320 E 1 1 1 1 1 130 La compañía quiere determinar si hay cantidades de los cinco productos que puedan fabricarse cada semana y que den por resultado la utilización total de las horas disponibles en todos los departamentos. a) Formule el sistema adecuado de ecuaciones lineales. b) Determine las combinaciones de cinco productos que utilicen los cinco departamentos a su entera capacidad. ¿Cómo se distribuirá entre los cinco productos la capacidad semanal de cada uno de los departamentos? 3.- Un dietista está planeando el menú de la comida del medio día para una escuela de enseñanza media. Se están estudiando seis vitaminas para ser incluidas en la comida, caracterizadas cada una por un distinto aporte nutricional. La meta es que el contenido nutricional de la comida cumpla con los niveles diarios mínimos para las seis vitaminas. En la tabla que se muestra en seguida, se resume el contenido vitamínico por onza de cada alimento, expresado en miligramos (mg). Además, se indica el nivel mínimo diario de las seis vitaminas, también en miligramos. Niveles Diarios Alimento Vitamina Mínimos 1 2 3 4 5 6 1 23 4 3 0 2 4 1 2 34 5 3 4 0 0 2 3 32 0 2 6 4 3 4 4 16 0 0 2 3 5 2 5 39 5 6 2 0 3 5 6 26 2 3 2 4 2 2 El problema radica en determinar las porciones de cada alimento que se incluirán para que la comida satisfaga las raciones de las seis vitaminas. a) Formule el sistema apropiado de ecuaciones para este problema. b) ¿Qué cantidades de cada alimento han de incluirse? PROGRAMACIÓN LINEAL FORMULACIÓN DEL MODELO 1.- Formúlese el siguiente problema de inversión en términos de Programación Lineal (P.L.), estableciendo la función objetivo y las restricciones. Un banco tiene $ 1 millón disponibles para préstamos. Puede prestar dinero a empresas, proporcionar hipotecas o conceder préstamos personales. Las políticas del banco limitan los préstamos personales a un máximo del 25% de todos los préstamos, mientras que los préstamos a empresas no pueden exceder la cantidad de hipotecas. También el banco quiere que los préstamos a empresas sean por lo menos 10% más que los préstamos personales. Los intereses promedio son 12% en préstamos personales, 10% en préstamos a empresas y 8% sobre hipotecas. Los fondos que no se han prestado se invierten en valores a corto plazo al 5%. El banco quiere un programa para maximizar el interés. (Sugerencia: este problema tiene cuatro variables de decisión.) 2.- La Firerock Tire Company está tratando de encontrar la mejor manera de utilizar el exceso de capacidad, en particular, 20 000 horas- hombre. La compañía está considerando dos tipos de llantas: A y B. Cada llanta tipo B ocupa 2.5 horas-hombre y tiene una contribución marginal de $ 20. Una llanta de tipo A requiere 2 horas-hombre y contribuye con $ 16. El departamento de comercialización estima que pueden venderse hasta 6 000 llantas tipo B y 8 000 llantas tipo A. a) Formúlese este como un problema de P.L. b) ¿Cuántas llantas de cada tipo deben producirse? c) ¿Cuál es la contribución total? 3.- El Orangetown Police Department tiene los siguientes requerimientos mínimos diarios de personal: Período Hora del día Policías requeridos 1 12- 4 a. m. 40 2 4- 8 a. m. 20 3 8-12 a. m. 80 4 12- 4 p. m. 90 5 4- 8 p. m. 70 6 8-12 p. m. 50 Cada oficial de policía trabaja 8 horas consecutivas. El departamento de policía está buscando una planeación de personal que minimice el total de oficiales de policía que se necesitan diariamente. Formúlense las relaciones del modelo de P. L. para encontrar una programación óptima. No se resuelva. (Sugerencia: sea X i el número de oficiales de policía que inician su trabajo en el período i.) 4.- Una empresa recibe 2, 000 yardas cuadradas de cuero no curtido cada mes. Esta empresa produce cueros para sillas de montar y cubre asientos. Cada silla de montar requiere 10 yardas cuadradas de cuero y cada cubreasiento requiere 15 yardas cuadradas. Antes de que el cuero pueda ser usado para cada uno de sus productos, tiene que ser curtido completamente. El cuero que va a ser usado en sillas de montar requiere una hora por yarda cuadrada para ser curtido y el de cubreasientos requiere de dos horas por yarda cuadrada para ser curtido. Se dispone de 200 horas de tiempo para curtir en la planta. El precio de venta de cada cuero suficiente para una silla de montar es de $ 1, 000 y el de cada cubreasientos es de $ 275. a) Construya un modelo de programación lineal. b) Encuentre la combinación óptima de curtido de cueros para sillas de montar y cubreasientos usando el método símplex. 5.- Suponga que el equipo forestal produce un ingreso neto de $ 802 por unidad y que requiere 700 libras de hierro, 50 horas de labor, 1 transmisión y 30 horas de tratamiento térmico por unidad. El equipo de remoción de escombros produce un ingreso neto de $ 660 por unidad y requiere 4200 libras de hierro, 110 horas de labor, 1 transmisión y 12 horas de tratamiento térmico. La capacidad de la compañía durante ese período es de 680 000 libras de hierro, 21 000 horas de trabajo, 290 transmisiones y 6 000 horas de tratamiento térmico. Defina las variables de decisión y formule este problema como un modelo de programación lineal. 6.- Una persona desea invertir $ 300 000 en una mezcla de inversiones. La tabla que se muestra en seguida, indica las opciones de inversión y las tasas estimadas de rendimiento de cada una. El inversionista quiere que por lo menos 30% de su inversión esté en bonos del gobierno. En virtud del mayor riesgo que entrañan las dos acciones, ha estipulado que la inversión combinada no rebase los $ 50 000. También tiene la corazonada de que las tasas de interés van a seguir siendo altas y ha especificado que al menos 25% de la inversión se haga en el fondo del mercado de dinero. Su condición final establece que la cantidad invertida en el fondo mutualista A no deberá ser mayor que la invertida en el fondo mutualista B. El problema radica en decidir cuánto invertir en cada alternativa para que se maximice el rendimiento total anual (en dólares). Defina rigurosamente las variables y formule el modelo de programación lineal que se aplica a este problema. Inversión Tasa proyectada de rendimiento Fondo Mutualista A 0.12 Fondo Mutualista B 0.14 Fondo del Mercado de Dinero 0.15 Bonos Gubernamentales 0.125 Acción A 0.16 Acción B 0.18 7.- La Playsafe Insurane Company of Knockville, M. E., dispone de fondos ociosos por un total de $ 20 millones para inversiones a corto y largo plazo. Las especificaciones gubernamentales requieren que no más del 80% de todas las inversiones sean de largo plazo; no más del 40% se inviertan a corto plazo; y que la razón entre las inversiones a largo y corto plazo no sea mayor de 3 a 1. Actualmente, las inversiones a largo plazo rinden el 15% anual; mientras que la tasa anual para las inversiones a corto plazo es del 10%. a) Formule el modelo de Programación Lineal. b) Obtenga la solución utilizando el método Símplex. 8.- La Mabel’s Toy Shoppe quiere gastar $ 1 000 en publicidad local. El objetivo global es alcanzar la máxima audiencia posible al mismo tiempo que llegar hasta 6 000 niños por lo menos. Se dispone de tres medios; sus costos y la audiencia que tienen se dan en la tabla que sigue: Periódico Radio T.V. Costo por paquete $ 200 $ 150 $ 400 Audiencia total 20 000 14 000 36 000 Niños 1 000 1 000 3 000 a) Formule el modelo de Programación Lineal. b) Utilizando el método símplex determine la solución del problema. 9.- El departamento de carreteras ha decidido construir 200 kilómetros de carretera y 100 de autopista, en su sistema carretero este año. El costo estándar para la construcción de caminos es de un millón por kilómetro de carretera y de cinco millones por kilómetro de autopista. Sólo dos contratistas, la compañía A y la compañía B, pueden realizar la obra, por lo que los 300 Km de camino deben ser construidos por ambas compañías. Sin embargo, la compañía A puede construir hasta 200 Km de camino (carretera y autopista) y la compañía B puede construir hasta 150 Km de camino. Por razones políticas, a cada compañía se le debe adjudicar un contrato de por lo menos 250 millones (antes de impuestos). La compañía A ofrece un descuento de $ 1, 000 por kilómetro de carretera y de $ 6, 000 por kilómetro de autopista, la compañía B ofrece un descuento $ 2, 000 por kilómetro de carretera y de $ 5, 000 por kilómetro de autopista. a) Si 𝑥 y 𝑦 representan el número de kilómetros de carretera y de autopista, respectivamente, adjudicados a la compañía A, demuestre que el descuento total D recibido de ambas compañías (en miles) está dado por: 𝐷 = 900 − 𝑥 + 𝑦 b) El departamento de carreteras desea maximizar el descuento total, D. Demuestre que este problema se puede resolver con el modelo de programación lineal que muestra en seguida, detallando la formulación de las cuatro primeras restricciones. 𝑀𝑎𝑥: 𝐷 = 900 − 𝑥 + 𝑦 𝑠. 𝑎. 𝑥 + 𝑦 ≤ 200 𝑥 + 𝑦 ≥ 150 𝑥 + 5𝑦 ≥ 250 𝑥 + 5𝑦 ≤ 450 𝑥, 𝑦 ≥ 0 c) Determine los valores de 𝑥 y 𝑦 así como el programa de construcción de cada compañía. 10.- Precarious Airlines está tratando de decidir cuánto combustible para jet debe comprar a tres proveedores durante el mes próximo. Necesita las siguientes cantidades de combustible para los tres aeropuertos que usa en la actualidad: 600 000 galones para el aeropuerto 1, 500 000 galones en el aeropuerto 2 y 300 000 gaones en el aeropuerto 3. Los tres proveedores han indicado que pueden proporcionar las siguientes cantidades totales de combustible: la compañía A, 300 000 galones; la compañía B, 400 000; la compañía C, 700 000 galones. El costo por galón de combustible varía entre las compañías y entre los aeropuertos. La siguiente tabla da los precios por galón que establecieron los proveedores. Formúlese éste como un problema de Programación Lineal. Proveedor Aeropuerto A B C 1 $ 0.25 $ 0.30 $ 0.28 2 $ 0.26 $ 0.28 $ 0.29 3 $ 0.30 $ 0.29 $ 0.29 MÉTODO GRÁFICO 1.- Dados los siguientes datos para los productos A y B: Producto Recurso Recurso A B disponible R1 60 20 1 200 R2 40 50 2 000 Contribución / unidad $ 3 $ 1.50 a) Escríbanse la función objetivo y las restricciones. b) Encuéntrese la solución óptima mediante el método gráfico. 2.- Un agricultor compra fertilizantes que contienen tres nutrientes, A, B y C. Las necesidades mínimas son: 160 unidades de A, 200 de B y 80 de C. En el mercado existen dos marcas populares de fertilizantes. Fast Grow, con un costo de $ 4 por bolsa con 3 unidades de A, 5 de B y 1 unidad de C. Easy Grow, con un costo de $ 3 por bolsa con 2 unidades de cada nutriente. Si el agricultor desea minimizar el costo mientras se mantenga el requerimiento de nutrientes, ¿cuántas bolsas de cada marca debe comprar? 3.- Un fabricante produce dos tipos de parrillas para asar, Old Smokey y Blaze Away. Durante la producción las parrillas requieren del uso de dos máquinas, A y B. El número de horas necesarias en ambas está indicado en la siguiente tabla. Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las utilidades de los modelos son de $ 4 y $ 6, respectivamente, ¿cuántas parrillas de cada tipo deben producirse por día para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima? Maquina A Maquina B Old Smokey 2 horas 4 horas Blaze Away 4 horas 2 horas 4.- Una compañía extrae minerales de un yacimiento. El número de libras de minerales A y B que puede ser extraído por cada tonelada de los filones I y II está dado en la tabla siguiente junto con los costos por tonelada. Si la compañía debe extraer al menos 3 000 libras de A y 2 500 de B, ¿Cuántas toneladas de cada filón deben ser procesadas con el fin de minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo? Filón I Filón II Mineral A 110 lb 200 lb Mineral B 200 lb 50 lb Costo por tonelada $ 50 $ 60 5.- Una compañía petrolera, que tiene dos refinerías, necesita al menos 800, 1 400 y 500 barriles de petróleo de grados bajo, medio y alto, respectivamente. Cada día, la refinería I produce 200 barriles de grado bajo, 300 de medio y 100 de grado alto, mientras que la refinería II produce 100 barriles de grado alto, 100 de bajo y 200 de grado medio. Si los costos diarios son de $ 2 500 para operar la refinería I y de $ 2 000 para la refinería II, ¿cuántos días debe ser operada cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo? (Suponga que existe un costo mínimo). 6.- A causa de reglamentaciones federales nuevas sobre la contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso para complementar o reemplazar un proceso anterior en la producción de un químico en particular. El proceso anterior descarga 15 gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de químico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dióxido de azufre y 20 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La compañía obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo, respectivamente. Si el gobierno permite a la planta descargar no más de 10 500 gramos de dióxido de azufre y no más de 30 000 gramos de partículas a la atmósfera cada día, ¿cuántos litros de químico deben ser producidos diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria? 7.- Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas, el alimento B contiene dos unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuesta $ 1.20 por unidad y el B $ 0.80 por unidad. ¿Cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo? y ¿cuál es el costo mínimo? 8.- Un agricultor comprará fertilizantes que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los requerimientos mínimos semanales son de 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos mezclas populares de fertilizante en el mercado. La mezcla I cuesta $ 4 por bolsa, con 2 unidades de A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $ 5 por bolsa, con 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuántas bolsas de cada mezcla debe comprar el agricultor para minimizar el costo de satisfacer los sus requerimientos de nutrientes? 9.- Una compañía química está diseñando una planta para producir dos tipos de polímeros 𝑃1 y 𝑃2 . La planta debe ser capaz de producir al menos 100 unidades de 𝑃1 y 420 de 𝑃2 diariamente. Existen dos posibles diseños para las cámaras principales de reacción que serán instaladas en la planta. Cada cámara del tipo A cuesta $ 600, 000 y produce 10 unidades de 𝑃1 y 20 unidades de 𝑃2 por día, la cámara del tipo B es un diseño más económico, cuesta $ 300, 000 y produce 4 unidades de 𝑃1 y 30 unidades de 𝑃2 por día. Debido a los costos de operación, es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas cámaras de cada tipo deben ser incluidas, en el diseño, para minimizar el costo de construcción y satisfacer el programa de producción? 10.- Una compañía de fletes maneja los envíos para dos empresas, A y B, ambas se localizan en la misma ciudad. La compañía A envía paquetes que pesan 3 libras cada una y tienen un volumen de 2 𝑝𝑖𝑒𝑠 3 , la compañía B envía paquetes de 1 𝑝𝑖𝑒 3 que pesan 5 libras cada uno. Las dos empresas hacen sus envíos al mismo destino. El costo de transporte de cada paquete de A es de $ 0.75 y el de B es de $ 0.50. La compañía de fletes tiene un camión con capacidad de 2, 400 𝑝𝑖𝑒𝑠 3 de espacio para carga y una capacidad máxima de peso de 9, 200 libras. En un viaje, ¿cuántas cajas de cada empresa debe transportar el camión de modo que la compañía de fletes reciba un ingreso máximo? Describa el programa de transporte, mostrando el cumplimiento de cada limitante, las holguras, los excedentes y el ingreso máximo. MÉTODO SÍMPLEX 1.- El Centerville Hospital está tratando de determinar el número de comidas de pescado y de res que debe servir durante el próximo mes. El hospital necesita una comida para cada uno de los treinta días del mes. Las comidas de pescado cuestan $ 2 cada una y las de res $ 2.50 (los costos incluyen vegetales y ensaladas). Ambas comidas cumplen con las necesidades de proteínas. Si se juzga por el sabor en una escala de 1 a 10, el pescado obtiene un 5 y la res 9. El hospital quiere alcanzar en el mes un total, por lo menos, de 200 puntos por el sabor. Los requerimientos totales de vitaminas en el mes deben ser, por lo menos 300 unidades. La comida de pescado proporciona 8 unidades y la de res 12 unidades. ¿Cuántas comidas de cada tipo debe planear el hospital? 2.- La Playsafe Insurane Company of Knockville, M. E., dispone de fondos ociosos por un total de $ 20 millones para inversiones a corto y largo plazo. Las especificaciones gubernamentales requieren que no más del 80% de todas las inversiones sean de largo plazo; no más del 40% se inviertan a corto plazo; y que la razón entre las inversiones a largo y corto plazo no sea mayor de 3 a 1. Actualmente, las inversiones a largo plazo rinden el 15% anual; mientras que la tasa anual para las inversiones a corto plazo es del 10%. a) Formule el modelo de Programación Lineal. b) Obtenga la solución utilizando el método símplex. 3.- Un granjero va a comprar fertilizante que contiene tres ingredientes nutritivos: A, B y C. Los requisitos mínimos semanales son de 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos marcas usuales de fertilizante en el mercado. La marca I cuesta $ 4 el costal, contiene 2 unidades de A, 6 de B y 4 de C. La marca II cuesta cinco pesos el costal y contiene 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuántos costales de cada marca debe comprar el granjero cada semana para minimizar los costos y satisfacer los requisitos nutritivos? 4.- La Mabel`s Toy Shoppe quiere gastar $ 1 000 en publicidad local. El objetivo global es alcanzar la máxima audiencia posible al mismo tiempo que llegar hasta 6 000 niños por lo menos. Se dispone de tres medios; sus costos y la audiencia que tienen se dan en la tabla que sigue: Periódico Radio T.V. Costo por paquete $ 200 $ 150 $ 400 Audiencia total 20 000 14 000 36 000 Niños 1 000 1 000 3 000 a) Formule el modelo de Programación Lineal. b) Utilizando el método símplex determine la solución óptima. 5.- Una refinería desea que el mejor de sus aceites contenga ciertas cantidades (mínimas) de los componentes A, B y C: 10% de A, 20% de B y 12% de C. Dispone de tres tipos de crudos. El crudo de Texas tiene 15% de A, 10% de B y 9% de C y cuesta $ 2 el barril. El de Pennsylvania tiene 18% de A, 25% de B y 3% de C y cuesta $ 2.5 el barril. El de California tiene 10% de A, 15% de B y 30% de C y cuesta $ 1.80 el barril. Derive la mezcla al menor costo para el aceite. 6.- Una compañía de almacenes tiene 1.5 millones para asignarlos a uno de sus almacenes. Tres productos, 1, 2 y 3 requieren respectivamente 30, 3 y 15 pies cúbicos de espacio por unidad, y el espacio disponible es de 300 000 pies cúbicos. El producto 1 cuesta $ 12; el producto 2, $ 4.50; y el 3, $ 15. ¿Qué cantidad debe adquirirse de cada producto si los precios de venta de 1, 2 y 3 son respectivamente $ 15, $ 6 y $ 21? 7.- La Cincinnati Chemical Company debe producir 10 000 libras de una mezcla especial para un cliente. La mezcla se compone de los ingredientes x1 , x2 y x3 . x1 cuesta 8 dólares la libra, x 2 10 dólares la libra, y x3 11 dólares la libra. No pueden usarse más de 3 000 libras de x1 y por lo menos deberán usarse 1500 libras de x 2 . Además, se requieren por lo menos 2 000 libras de x3 . a) Calcúlese el número de libras de cada ingrediente que habrá de emplear, a fin de reducir al mínimo el costo total de las 10 000 libras. b) Calcúlese el costo total más bajo posible. c) ¿Hay libras sobrantes en el problema? MODELO DE TRANSPORTE 1.- Una compañía tiene tres campos petrolíferos principales y cinco refinerías regionales. En la siguiente tabla se indican los costos de transporte desde los campos hasta las refinerías, las capacidades de las refinerías y la producción de los tres campos. Determinar el esquema óptimo de transporte utilizando el método de la esquina noroeste. CAPACIDAD DE LAS REFINERIAS Refinerías Barriles / día A 10 000 B 12 000 C 14 000 D 16 000 E 18 000 PRODUCCION Campo Barriles / día 1 20 000 2 25 000 3 30 000 COSTO POR 1 000 BARRILES / DIA Refinería Campo A B C D E 1 $ 42 $ 32 $ 33 $ 39 $ 36 2 $ 34 $ 36 $ 37 $ 32 $ 34 3 $ 38 $ 31 $ 40 $ 35 $ 35 2.- Una compañía tiene tres plantas de manufacturación 1, 2 y 3, que pueden producir uno o todos los cuatro productos diferentes A, B, C y D. Como se muestra en la tabla los diferentes costos variables de cada planta hacen variar la ganancia de cada producto. Ganancia por unidad Capacidad Planta A B C D unidades/semana 1 $ 22 $ 26 $ 20 $ 21 450 2 21 24 20 21 300 3 18 20 19 20 250 La demanda de los diferentes productos es: Producto Unidades/semana A 200 B 340 C 150 D 270 Determinar la cantidad de cada producto que debe fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar la ganancia. Utilizar el método de la esquina noroeste. 3.- Un taller elabora tres productos A, B y C, y la demanda de estos productos es de 90, 210 y 120 unidades por semana, respectivamente. Los productos pueden fabricarse por uno de tres métodos diferentes 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se indica la capacidad de cada método y las ganancias asociadas con cada producto y cada método de manufacturación. Determinar, según el método de la esquina noroeste, el método óptimo de fabricación de estos productos. Método Unidades / Semana 1 160 2 120 3 140 Ganancia / Unidad Producto 1 2 3 A $ 139 $ 140 $ 137 B 209 207 210 C 254 255 255 4.- Una compañía tiene tres distribuidores principales que surten a cinco comerciantes al por menor. En la siguiente tabla se indican las distancias entre distribuidores y comerciantes, los requerimientos de los comerciantes y las capacidades de los distribuidores. Determinar cuáles distribuidores deben surtir a los comerciantes para minimizar la distancia total recorrida. Utilizar el método de aproximación de Vogel. Comerciante Distribuidor Número al por menor A B C requerido 1 6 7 8 12 2 4 6 7 15 3 5 7 6 21 4 4 4 9 24 5 8 3 5 24 Número disponible 15 48 33 5.- Tres depósitos surten a cinco almacenes. La tabla indica el costo de transporte por unidad entre depósitos y almacenes, las capacidades de los depósitos y los requerimientos de los almacenes. Sin embargo, el daño de un puente principal, ha impedido las entregas desde el depósito A hasta el almacén 5, desde el depósito B hasta el almacén 2 y desde el depósito C hasta el almacén 4. Determinar, dentro de estas limitaciones, el esquema óptimo de entregas según el método de aproximación de Vogel. COSTO DE TRANSPORTE, $ / UNIDAD Depósito Número Almacén A B C requerido 1 $2 $4 $6 75 2 3 8 7 345 3 4 3 8 180 4 4 6 3 90 5 2 6 5 210 Capacidad 850 300 450 6.- La Venture Products Corp. está planeando una campaña de publicidad para introducir un nuevo producto, un cigarrillo sin tabaco. La compañía ha identificado cuatro grupos de mercado y quiere que por lo menos 1, 2, 4 y 1 (millones) de clientes potenciales vean su anuncio en el lapso de una semana. Se están considerando tres medios: los periódicos, una revista y un comercial en hora prima de televisión. La Venture estima que el número total de clientes potenciales que verán sólo un anuncio y no los otros dos es un millón para el periódico, 2.5 millones para la revista y 4.5 millones para la televisión. Cada medio tiene grupos de audiencias distintas, lo cual resulta en diferentes costos por cliente potencial para cada anuncio. Las tasas efectivas de comercialización por cada 1 000 clientes potenciales en el mercado se muestran en seguida para cada medio. Grupo de Mercado Medio 1 2 3 4 Periódico $ 1.40 $ 0.70 $ 0.90 $ 1.40 Revista $ 1.20 $ 0.90 $ 1.20 $ 1.00 Televisión $ 1.00 $ 1.30 $ 1.00 $ 1.10 Formúlese éste como un problema de transporte. ¿A qué grupos de mercado debe dirigirse cada medio para minimizar el costo total? 7.- La Micellaneous Products Company tiene dos almacenes que surten sus cinco depósitos de mayoreo. Los almacenes operan ahora al 100% de su capacidad, la Micellaneous planea abrir un tercer almacén para proveer el 50% esperado de aumento en las ventas en cada depósito durante los próximos tres años. La situación actual es: Almacén Capacidad Depósito Demanda A 120 1 50 B 160 2 100 3 30 4 40 5 60 COSTOS DE TRANSPORTE A De : 1 2 3 4 5 A 5 8 4 6 2 B 3 4 9 5 6 Se están considerando dos localizaciones para el nuevo almacén. Los costos de transporte a cada depósito son los siguientes: A De 1 2 3 4 5 L1 7 5 3 8 2 L2 2 8 3 7 5 Suponiendo que los costos de transporte son el único factor, ¿qué localización debe elegir la Micellaneous para su nuevo almacén? (No olvide el 50% de aumento en las ventas). 8.- La Fertile Farms tiene tres parcelas de tierra con 50, 100 y 200 acres, respectivamente. Existen tres cosechas posibles que la compañía puede plantar, pero el Departament of Agriculture ha establecido límites en el tamaño de cada cosecha: Cosecha Máximo Número de acres C1 50 C2 125 C3 225 En términos de lo que desea, la Fertile Farms cree que su ganancia variará con la cosecha y la parcela debido a las variaciones en las condiciones del suelo. Se han estimado las siguientes ganancias por acre para cada combinación: Cosecha Parcela C1 C2 C3 P1 87 89 91 P2 94 92 88 P3 92 89 91 Con el método de transporte determínese qué cosechas se deben plantar en cada parcela. 9.- La cadena Burnt Burger tiene tres restaurantes en el país los cuales, usan vasos desechables estándares. Se ha invitado a tres proveedores para competir por la concesión de surtir estos vasos. Sus propuestas son: Proveedor Precio (por cada 1 000) Capacidad Anual A $ 0.90 30 000 B $ 1.00 75 000 C $ 1.10 135 000 El costo de transporte (en dólares/1 000 vasos) varía desde cada proveedor a cada Burnt Burger A la Burnt Burger De Nº 1 Nº 2 Nº 3 A $ 0.80 $ 0.10 $ 0.30 B $ 0.50 $ 0.20 $ 0.50 C $ 0.20 $ 0.40 $ 0.20 Las necesidades anuales de vasos para las tres Burnt Burgers son 30 000, 60 000 y 120 000, respectivamente. ¿Cuántos vasos deben comprarse de cada proveedor para cada restaurante? Resuélvase este problema con el método de transporte. 10.- La compañía Mobile Home Moving está tratando de programar sus vehículos de arrastre para la próxima semana. La compañía tiene 16 vehículos de arrastre dispersos en tres ciudades del estado: dos en Clearwater, cinco en New Smyrna y nueve en Orlando. Para la próxima semana deben recoger 14 casas móviles y trasladarlas desde otras tres ciudades: dos de Ft. Myers, cuatro de Monticello y ocho de Miami. Los costos estimados para mandar un vehículo a cada una de estas ciudades se dan a continuación: A De Ft. Myers Monticello Miami Clearwater 80 10 30 New Smyrna 60 30 60 Orlando 40 70 40 ¿Cómo se deben asignar los tractores para minimizar el costo? 11.- Un grupo de nuevos administradores de moteles, después de terminar el programa de entrenamiento de la cadena, deben expresar sus preferencias sobre las tres áreas del país. Sus respuestas tienden a clasificarse en tres grupos, como se muestra en seguida: Área Grupo Norte Sur Oeste 1 3 10 8 2 5 8 5 3 7 4 7 Los números indican la utilidad o preferencia, en una escala de 1 a 10, que cada grupo tiene por su asignación en cada región. Resultó que de 28 administradores cuatro estaban en el grupo 1, ocho en el grupo 2, y 16 en el grupo 3. La compañía tiene vacantes para cuatro administradores en el norte, 10 en el sur y 18 en el oeste. La firma quiere maximizar la utilidad total. Con el método de transporte resuélvase este problema. 12.- Los datos que se indican en las tablas de abajo, representan las capacidades de tres fábricas y las demandas de cuatro almacenes, así como los respectivos costos de envío de cada fábrica a cada almacén, con ellos determine un programa de transporte de costo mínimo. Recursos de la Fábrica Demanda en el Almacén Fábrica Capacidad Almacén Demanda S1 100 D1 150 S2 200 D2 150 S3 300 D3 120 D4 80 Costos de Transporte ($ / unidad) A De D1 D2 D3 D4 S1 7 3 8 8 S2 5 5 6 8 S3 7 4 9 10 MODELO DE ASIGNACIÓN 1.- Sam tiene cuatro fosas de reparaciones en su taller de mantenimiento y tres trabajos para asignárselos. Debido a diferencias en el equipo disponible, la gente asignada a cada fosa y las características del trabajo cada uno de éstos requiere diferentes cantidades de tiempo en cada fosa. En la tabla aparecen los tiempos estimados para cada trabajo en cada fosa. Sam quiere minimizar el tiempo total requerido. Use el método de asignación para obtener la solución óptima de este problema. Establezca el valor óptimo de la función objetivo. ¿Hay soluciones óptimas alternativas? TRABAJO FOSA 1 2 3 A 17 29 16 B 15 28 11 C 18 26 11 D 13 25 11 2.- En cuatro localidades A, B, C y D se requiere una determinada pieza de repuesto. Las cuatro piezas están almacenadas en cuatro depósitos diferentes. Determinar el esquema de transporte de kilometraje mínimo, si los kilometrajes entre depósitos y localidades son los mostrados en la tabla. KILOMETRAJE Localidad Depósito A B C D 1 230 200 210 240 2 190 210 200 200 3 200 180 240 220 4 220 180 210 230 3.- El vicepresidente de administración de productos tiene que asignar cuatro nuevos productos a los gerentes de producto. Para mantener la carga de trabajo balanceada se asigna cada producto a una persona distinta. Se dispone de cinco gerentes de producto. El vicepresidente ha estimado, en términos de porcentajes, la medida en que cada producto se compara con los otros productos y la experiencia de los gerentes de producto. En seguida se muestran estas estimaciones. ¿Cómo se debe hacer la asignación? Gerente de Producto Producto R S T U V 1 70 50 90 60 70 2 10 40 80 80 90 3 80 60 90 80 50 4 60 90 70 80 80 4.- Un administrador enfrenta el problema de asignar cuatro nuevos métodos a tres medios de producción. La asignación de nuevos métodos aumenta las ganancias según las cantidades mostradas en la siguiente tabla. Determinar la asignación óptima si sólo puede asignarse un método a un medio de producción. GANANCIAS (se omiten 000) Medio de Producción Método 1 2 3 A 12.0 9.0 13.5 B 10.0 11.0 12.5 C 11.5 10.0 10.0 D 13.0 12.0 10.5 5.- La compañía de seguros Well Try Anything piensa que las llamadas de larga distancia impresionan más a los clientes potenciales que las llamadas locales. De acuerdo con esto, la compañía planea llamar por larga distancia a clientes potenciales en cuatro ciudades. Los que llaman estarán en esas mismas cuatro ciudades. Para balancear la carga de trabajo, cada ciudad que llama sólo hará llamadas a otra ciudad. Supóngase que se hará un número igual de llamadas a cada ciudad y que las tarifas telefónicas son las que se dan a continuación. ¿Qué ciudad debe llamar a cuál para minimizar el costo? A De : Miami Chicago New York Los Ángeles Miami -------- $ 1.75 $ 1.50 $ 2.75 Chicago $ 1.75 -------- $ 1.50 $ 2.25 New York $ 1.50 $ 1.50 -------- $ 3.00 Los Ángeles $ 2.75 $ 2.25 $ 3.00 -------- 6.- Una compañía constructora tiene cinco palas mecánicas en diferentes localidades y se requiere una pala en tres diferentes sitios de construcción. Determinar el programa óptimo de transporte, para los costos de transporte indicados en la tabla. COSTO DE TRANSPORTE (se omiten 000) Sitio de construcción Localidad A B C 1 $2 $3 $4 2 7 6 4 3 3 5 8 4 4 6 5 5 4 6 3 7.- Cuatro personas acaban de terminar el curso de ventas de la compañía y se les va asignar a cuatro distritos diferentes. Basándose en su experiencia, actuación en el curso, conocimiento del producto y los clientes potenciales, la administración ha hecho una estimación del éxito esperado de cada uno en cada distrito. Las estimaciones en la escala del 1 (bajo) al 10 (máximo) son: Distrito Persona Norte Este Sur Oeste A 7 9 10 9 B 8 7 9 9 C 7 10 9 8 D 6 8 8 7 Si el objetivo es maximizar las estimaciones totales, ¿qué persona debe asignarse a cada distrito? ¿Son posibles otras asignaciones óptimas? 8.- Un corredor de bienes raíces planea la venta de cuatro lotes de terreno y ha recibido ofertas individuales de cuatro clientes, debido a la cantidad de capital que se requiere, estas ofertas se han hecho en el entendido de que ninguno de los cuatro clientes comprará más de un lote. Las ofertas se muestran en la siguiente figura. El corredor de bienes raíces quiere maximizar su ingreso total a partir de esas ofertas. Determine la asignación óptima para la compra de los terrenos y diga cuánto es el ingreso máximo. LOTE Comprador 1 2 3 4 A 16 15 25 19 B 19 17 24 15 C 15 15 18 0 D 19 0 15 17 ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS 1.- Para cada red que se describe en seguida, dibuje el diagrama de flechas apropiado, completando con actividades ficticias cuando sea necesario. Actividad Predecesor A Ninguna B Ninguna C A, B Actividad Predecesor A Ninguna B Ninguna C Ninguna D A, B, C Actividad Predecesor A Ninguna B Ninguna C A D B, C Actividad Predecesor A Ninguna B A C A D A, B, C 2.- Las siguientes actividades forman un proyecto: Actividad Tiempo en Semanas 1, 2 4 1, 3 8 2, 3 6 2, 4 7 3, 4 5 a) Dibuje una red para este proyecto. b) Encuentre los tiempos de terminación próxima y lejana y la holgura de cada evento. ¿cuánto tardará el proyecto? c) ¿Cuál es la Ruta Crítica? 3.- Dadas las siguientes actividades: Actividad Tiempo en Semanas 1, 2 5 1, 3 4 1, 4 8 2, 3 2 2, 4 6 2, 5 9 3, 4 3 4, 5 4 a) Dibuje la red del proyecto. b) Encuentre los tiempos de terminación próxima y lejana y la holgura para cada evento. ¿cuánto tardará el proyecto? c) ¿Cuál es la Ruta Crítica? d) Encuentre los tiempos de inicio próximo y lejano, los tiempos de terminación próxima y lejana y la holgura para cada actividad. 4.- La planeación de algunas modificaciones a una oficina resultó en la siguiente lista de actividades: Actividad Duración Predecesor A 4 Ninguna B 8 Ninguna C 3 A D 12 A E 6 A F 9 B, C G 5 E, B, C H 13 B, C I 7 D, F, G a) Dibuje la red y encuentre los tiempos de terminación próxima y lejana y la holgura para cada evento. ¿Cuál es la duración del proyecto? b) ¿Cuál es la Ruta Crítica? c) Encuentre los tiempos de inicio próximo y lejano, los tiempos de terminación próxima y lejana y la holgura para cada actividad. 5.- La siguiente lista de actividades es para un proyecto de investigación: Actividad Duración en Meses 1, 2 5 1, 3 1 1, 4 8 2,4 2 3, 4 6 3, 5 7 4,6 9 4, 7 12 5, 7 10 6, 7 0 a) Dibuje la red y encuentre los tiempos de terminación próxima y lejana y la holgura de cada evento. b) ¿Cuál es la Ruta Crítica? c) Encuentre los tiempos de inicio próximo y lejano, los tiempos de terminación próxima y lejana y la holgura de cada actividad. d) ¿Cuánta holgura tiene le ruta 1-2-4-6-7? 6.- Se han hecho las siguientes estimaciones de tiempo para un proyecto: Tiempo en Semanas Actividad Mínimo Más Probable Máximo 1, 2 5 7 9 1, 3 7 9 17 1, 4 10 15 20 2, 3 1 2 3 2, 4 5 9 13 3, 4 6 8 10 a) Dibuje el diagrama de red y encuentre los tiempos de terminación próxima y lejana y la holgura para cada evento. b) ¿Cuál es la Ruta Crítica? c) ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo de terminación del proyecto? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto se termine en 16 semanas? ¿En 18 semanas? ¿En 20 semanas? 7.- Dados los siguientes datos del proyecto: Tiempo en Semanas Actividad Optimista Más Probable Pesimista 1, 2 1 3 11 1, 3 5 8 11 2,3 1 8 9 3, 4 1 7 7 3,5 6 9 12 4, 5 2 5 8 a) Dibuje el diagrama de red y encuentre los tiempos de terminación próxima y lejana y la holgura de cada evento. b) ¿Cuál es la Ruta Crítica? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto se termine en 20 semanas? ¿En 22 semanas? ¿En 25 semanas? 8.- La Gunderson Construction planea someterse a un concurso sobre un proyecto de construcción de una carretera en un condado. Al preparar sus estimaciones reunió los siguientes datos: Normal Intensivo Actividad Tiempo en Semanas Costo Tiempo en Semanas Costo 1, 2 5 $ 10 000 3 $ 14 000 1, 3 10 18 000 7 24 000 2, 5 11 15 000 8 18 000 3, 4 6 5 000 5 6 500 3, 5 8 3 000 4 7 000 4, 6 9 12 000 8 15 000 5, 6 12 6 000 8 9 000 a) Con sólo tiempo normal, encuentre la duración y el costo del proyecto. ¿Cuál es la Ruta Crítica? b) ¿Cuál es el tiempo mínimo requerido para terminar el proyecto? ¿Cuál es costo mínimo para este tiempo? c) El condado aconsejó a la empresa que programe la terminación del proyecto en 25 semanas. Para cada semana de retraso habrá un costo de penalización de $ 1 000 cargados al contratista. ¿Qué duración del proyecto debe planear la empresa? 9.- Joe Tomas quiere añadir un patio interior en su casa. El hará parte del trabajo y contratará el resto. Joe ha desarrollado una lista de tareas para este proyecto, su secuencia y las estimaciones de tiempo y costo: Normal Intensivo Actividad Predecesor Tiempo en Días Costo Tiempo en Días Costo A Ninguna 9 $ 500 8 $ 550 B Ninguna 10 500 8 650 C Ninguna 20 1 000 16 1 400 D A 18 1 000 15 1 300 E B 7 500 5 600 F B 8 500 5 700 G D, F 12 800 9 1 000 H C, F 15 900 12 1 000 a) Joe quiere terminar el proyecto lo más pronto posible al menor costo. ¿Cuánto durará el proyecto y cuánto costará? b) La esposa de Joe mencionó que tiene una fiesta programada dentro de 5 semanas y le gustaría mucho usar el nuevo jardín. Si no está listo, tendrán que rentar una lona para el jardín trasero y contratar un mesero. Todo esto agregará $ 500 al costo de la fiesta. Le pregunta a Joe si el jardín estará listo para la fiesta. ¿Qué debe contestar Joe? 10.- Greg Anderson es gerente de producto en una fábrica de alimentos. Al planear la introducción de un nuevo producto, ha preparado los siguientes datos sobre las tareas que deben realizarse: Normal Intensivo Actividad Predecesor Tiempo en Semanas Costo Tiempo en Semanas Costo A Ninguna 15 $ 12 000 12 $ 16 500 B Ninguna 5 5 000 3 7 000 C Ninguna 14 15 000 11 19 000 D A 12 15 000 10 18 000 E A 8 10 000 6 12 000 F B 7 5 000 5 6 000 G B 16 20 000 12 25 000 H E, F 9 8 000 6 12 000 I C, G 8 10 000 5 15 000 a) Encuentre el costo mínimo para terminar el proyecto en un tiempo mínimo. b) Greg sabe que otras compañías están trabajando en un producto competidor. Estima que cada semana de retraso en sacar el nuevo producto costará a la firma $ 2 000 en ventas perdidas. ¿Cuál es la meta óptima de Greg en cuanto al tiempo de terminación?