Invitación a la matemática discreta Departamento de Matemática Aplicada Universidad Charles, Praga 8WhY[bedWÈ8e]ej|È8k[dei7_h[iÈ9WhWYWiÈCn_Ye Registro bibliográfico (ISBD) Matoušek, JiĜí [Invitation to Discrete Mathematics. Español] Invitación a la matemática discreta / JiĜí Matoušek, Jaroslav NešetĜil ; [versión española traducida por Anna Lladó Sánchez]. – Barcelona : Reverté, [2008] XVII, 442 p. : il. col. ; 24 cm.– Traducción de: Invitation to Discrete Mathematics. –. Índice DL B-24070-08. – ISBN 978-84-291-5180-0 1. Matemáticas. 2. Informática. I. Matoušek, JiĜí. II. NešetĜil, Jaroslav L. III. Lladó Sánchez, Anna, trad. III. Título. 519.1 : 004 Título de la obra original: Invitation to Discrete Mathematics Versión original publicada en lengua inglesa en 1998 por: Oxford University Press Copyright © JiĜí Matoušek and Jaroslav NešetĜil. All Rights Reserved Versión española traducida por: Anna Lladó Profesora Titular de Matemática Aplicada Universidad Politécnica de Cataluña, Barcelona, España EL DIBUJO QUE APARECE EN LA CUBIERTA ES DE JIěÍ NAýERADSKÝ Y JAROSLAV NEŠETěIL. Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15. Local B 08029 Barcelona. ESPAÑA Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89
[email protected] Reservados todos los derechos. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra sólo está permitida con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista en la ley. Diríjase al editor si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra. Edición en español: © Editorial Reverté, S. A., 2008 ISBN: 978-84-291-5180-0 Impreso en España - Printed in Spain Depósito Legal: B-24070-08 Impreso por Liberdúplex, S.LU. hemos orregido diversos errores y hemos llenado algunas lagunas. . En el primer cap´ıtulo de Introducci´ on discutimos ampliamente los prop´ ositos y objetivos que nos animaron a escribir este texto. hemos incluido algunas mejoras: hemos cambiado el texto en diversas partes (confiamos que mejorando lo anterior). Praga Marzo 2008 J. ha hecho un gran trabajo y queremos expresarle nuestro agradecimiento por su excelente cooperaci´on. Sin embargo. Creemos que nuestra traductora.Pr´ologo a la edici´ on espa˜ nola La presente traducci´on est´a basada en la edici´ on inglesa de nuestro libro publicada por Oxford University Press. Prof. N. J. El cap´ıtulo sobre la f´ ormula de Cayley para el n´ umero de ´arboles generadores se ha complementado con una nueva demostraci´ on. Por ello nos sentimos muy satisfechos por la publicaci´on de esta traducci´on en espa˜ nol. M. relativamente reciente y quiz´as una de las m´as simples. El Ap´endice que contiene nociones algebraicas ha sido complementado con material sobre ´algebra universal. Anna Llad´ o. Ahora s´olo nos gustar´ıa a˜ nadir que el libro fue escrito en el marco y en la tradici´ on de la educaci´ on universitaria europea. . es guiar al estudiante para que entienda y aprecie ciertas nociones. A continuaci´ on destacamos algunas caracter´ısticas que quiz´as distingan este libro de otros textos con t´ıtulo y temas similares: Desarrollo del pensamiento matem´ atico. No est´an realmente interesadas en si uno sabe de memoria la inducci´ on matem´atica. La elecci´ on de un tema espec´ıfico para esta formaci´ on no es probablemente esencial: si el lector est´a entusiasmado con el ´algebra. sino m´as bien en la habilidad para pensar y absorber r´ apidamente conceptos complejos. Mas all´a de presentar conocimientos nuevos. nuestro primer prop´ osito.Prefacio ¿Por qu´e un libro de texto sobre matem´ atica discreta debe tener un prefacio tan largo? ¿Y qu´e queremos decir en ´el? Hay muchas maneras de presentar la matem´atica discreta. ejercicios. a˜ nadimos tambi´en algunas observaciones t´ecnicas. Para un posible curso basado en este libro. . y quiz´ as el m´as importante. por ejemplo en programaci´ on o en 1 el dise˜ no de sistemas complejos . y que pueda adem´as aprender a expresar pensamientos matem´aticos con precisi´on y rigor. Parece que muchas empresas privadas (que ofrecen buenos sueldos) son sensibles a este hecho. definiciones y demostraciones matem´aticas con el fin de que aprenda a resolver problemas que requieran algo m´as que las recetas habituales. ciertamente no trataremos de convertirle a la combinatoria. creemos que la matem´atica discreta es particularmente adecuada para una 1 Por otra parte. literatura existente y otras cuestiones de inter´es. Sin embargo. y para empezar mencionamos algunas de las l´ıneas generales que intentamos seguir en nuestro texto. el lector podr´ a juzgar despu´es hasta qu´e punto hemos conseguido nuestro prop´ osito. es preciso tambi´en tener presente que en muchas otras actividades humanas los h´ abitos matem´ aticos m´ as bien deber´ıan evitarse. Los h´ abitos matem´aticos pueden proporcionar grandes ventajas en muchas actividades humanas. y al parecer los teoremas matem´aticos proporcionan un buen entrenamiento para desarrollar esa habilidad. donde se empieza con ideas bastante profundas desde el principio. y si la demostraci´on de alg´ un resultado no puede presentarse . y nuestro m´aximo deseo es que pueda ayudarles a desarrollar algunos sentimientos positivos hacia las matem´aticas que pudieran estar latentes hasta el momento. al igual que no todo el mundo disfruta con la m´ usica. a veces mezclada con un sentimiento de triunfo cuando la idea es dif´ıcil de entender o de descubrir. Nuestro texto tiene un marco m´ as limitado. Intentamos presentar argumentos completos para ser matem´aticamente honestos con el lector. como por ejemplo en an´ alisis. Siempre que sea posible. y la elecci´on del material est´a subordinada a ello. Este libro est´ a escrito para aquellos lectores que disfrutan con las matem´ aticas. aut´omatas finitos. aunque s´olo sea de vez en cuando. Todas las cartas sobre la mesa. No todo el mundo parece tener este don. Cuando decimos que algo es f´ acil de ver. realmente creemos que es as´ı. programaci´on lineal o arquitectura de ordenadores. haremos que el texto sea autocontenido (a veces indicaremos las demostraciones de resultados auxiliares con ejercicios guiados). con el prop´osito de mostrar la gran variedad de t´ecnicas matem´aticas que existen incluso a este nivel b´asico. M´etodos. pero si el lector no puede verlo.viii Prefacio primera inmersi´ on en las matem´aticas. pero tambi´en puede indicar un problema del lector en el seguimiento y comprensi´on del texto precedente. pero nos imaginamos que estudiar matem´aticas sin ´el puede ser una cosa m´as que aburrida. el libro es esencialmente una introducci´on a la combinatoria y a la teor´ıa de grafos. e incluso alguien familiarizado con estas ´areas podr´ıa echar en falta algunos de sus temas favoritos (como emparejamientos y flujos en redes. t´ecnicas. En nuestra opini´ on. este es un prerrequisito clave: un placer est´etico hacia una idea matem´atica elegante. quiz´ as hemos juzgado mal la situaci´on. la matem´atica discreta normalmente significa matem´atica de conjuntos finitos. esto probablemente significa que algo est´a mal. principios. y a menudo incluye temas tan diversos como la l´ogica. la teor´ıa de Ramsey o la NP-completitud. En los planes de estudio universitarios contempor´aneos. El placer. por mencionar s´ olo algunos). puesto que los problemas y nociones iniciales son m´as elementales que en otras ramas. Nos centraremos en relativamente pocos m´etodos y principios b´ asicos. Otras voces. continuidad. Nuestra experiencia nos dice que los estudiantes aprecian este tipo de aplicaciones. Hoy en d´ıa un gran n´ umero de estudiantes de matem´atica discreta son inform´aticos. En la mayor parte del libro suponemos que no hay un conocimiento matem´ atico previo superior al que se atribuye a un curso est´ andar de secundaria. y aunque de forma intencionada restringimos el marco conceptual del libro. pero creemos que la mayor´ıa de los estu diantes que quieran seguir un curso relacionado con este libro tienen ya un conocimiento b´ asico de c´alculo. En el primer cap´ıtulo se explican varias nociones abstractas muy comunes en todas las matem´aticas y que est´an m´as all´a del nivel usual de secundaria. A pesar de ello. necesitamos algunos conceptos de ´algebra elemental. Los lectores de este libro pueden ser estudiantes universitarios no graduados de matem´ aticas o inform´ atica con una preparaci´ on matem´atica b´asica de la escuela secundaria (como es habitual en la mayor parte de Europa). En varias ocasiones. creemos que incluso la gente que no sabe nada de ordenadores ni de inform´ atica. Tam- . Al exponer los temas de este libro se presentan varias oportunidades para mostrar algunos conceptos de otras ramas actualmente activas de las matem´aticas. de forma que hemos evitado intencionadamente sobrecargar el texto con terminolog´ıa y ejemplos de inform´ atica. Prerrequisitos y lectores. por ejemplo). pondremos ´enfasis en ello e indicaremos los pasos que no est´an completamente justificados. Sin embargo. queremos resaltar estas conexiones. no hemos olvidado a los inform´ aticos y hemos incluido varios pasajes sobre algoritmos eficientes junto con su an´ alisis. Inform´ atica. debe tener libre acceso al conocimiento de la matem´atica discreta. y tambi´en para estudiantes m´as avanzados o reci´en graduados (en los Estados Unidos. otros lugares. por ejemplo). o incluso la que considera que estas materias son repulsivas. siempre que se hayan tratado suficientemente y no s´olo de modo superficial.Prefacio ix rigurosamente y por completo (como es el caso de algunos resultados sobre grafos planares. Tambi´en hacemos algunas incursiones en el c´alculo (nociones tales como l´ımite. y dem´ as). derivada. adem´as de un cierto n´ umero de ejercicios concernientes a algoritmos (v´ease m´as adelante). y estos est´an resumidos en un ap´endice. Nuestro curso semestral en Praga (13 semanas. En clase.4).5.1 a 10. tener sentido incluso si se omite el texto en letra peque˜ na. Este libro est´ a basado en un curso para no graduados que hemos estado impartiendo durante mucho tiempo a estudiantes de matem´aticas e inform´atica en la Universidad Karlova de Praga. Los u ´ltimos tres cap´ıtulos y la u ´ltima secci´on del cap´ıtulo sobre el n´ umero de ´arboles generadores son de este tipo. es decir. El texto principal debe.3) o una clase sobre el espacio de ciclos de un grafo (11. Hemos a˜ nadido material para nuestro curso b´ asico (y a veces no tan b´ asico). en general. Intentamos tambi´en incluir alguna informaci´ on avanzada dentro de los ejercicios. y las demostraciones alternativas fueron ocasionalmente explicadas en las tutor´ıas. Para lectores matem´aticos m´as avanzados. El segundo autor tambi´en imparti´ o parte del mismo en la Universidad de Chicago. Algunos cap´ıtulos.6. con muchas secciones cubiertas s´olo parcialmente y algunas otras sin cubrir (como por ejemplo 2. cosas que consideramos suficientemente interesantes para ser incluidas.2). 3. muchos. pueden servir como introducciones para cursos especializados (sobre el m´etodo probabil´ıstico o sobre los m´etodos del ´algebra lineal). comentarios y ejemplos adicionales. 3. el lector encontrar´ a una peque˜ na o gran colecci´on de ejercicios. como bi´ ologos o qu´ımicos. pueden encontrar en el texto una fuente de recursos. 8. 7. con clases de 90 minutos y unos 90 minutos de tutor´ıa por semana) inclu´ıan t´ıpicamente el material de los Cap´ıtulos 1 a 8. As´ı. confiando que as´ı el lector podr´ a tambi´en leer algunas otras cosas que vayan m´as all´a de las partes que son necesarias para un examen.5.6. Sobre los ejercicios. pero menos esenciales. Mientras que en el libro a veces se prueba un resultado de varias maneras. 4. Este tipo de letra peque˜ na se usa como material de “segundo nivel”. A veces insert´abamos dos clases para funciones generadoras (10. Son aclaraciones.3–7. a veces a un nivel m´as avanzado que en un texto b´ asico. incluso personas que no intenten resolver los ejercicios pueden leerlos si as´ı lo desean. nosotros present´abamos s´olo una demostraci´ on en clase.5. Al final de la mayor parte de las secciones. el libro puede servir como una introducci´ on r´apida a la combinatoria. en la Universidad de Bonn y en la Universidad Simon Fraser en Vancouver.x Prefacio bi´en algunos graduados no especializados. Algunos de ellos s´olo est´an relacionados vagamente con el tema correspon- . aunque no necesariamente sin esfuerzo. ya que normalmente requieren una combinaci´ on de un cierto ingenio matem´ atico. Resolver como m´ınimo algunos ejercicios es una parte esencial del estudio de este libro. En un cap´ıtulo aparte se proporcionan indicaciones para muchos de los ejercicios. Clasificamos los ejercicios en tres grupos de dificultad (sin asterisco. los ejercicios con dos asteriscos requieran probablemente alguna idea brillante. Algunos de los ejercicios CS con asteriscos pueden servir (y han servido) como sugerencias para posibles proyectos. Los ejercicios con un asterisco normalmente necesitan alguna idea o un conocimiento matem´atico algo m´as avanzado (de c´alculo. no soluciones completas. no debe desesperarse. una abreviaci´ on para indicar ciencias de la computaci´ on. y de esta forma proveemos material para un curso avanzado de programaci´ on. Son realmente indicaciones. Suponemos que un buen estudiante que haya entendido el contenido de una secci´ on debe ser capaz de resolver la mayor´ıa de los ejercicios sin asterisco. por mencionar alguno) y finalmente. Estos son normalmente problemas sobre el dise˜ no de algoritmos eficientes. trucos algor´ıtmicos y cierta habilidad para programar. pensamos que los c´alculos largos y tediosos siempre pueden evitarse. Por tanto. como puede ser: “Aplica este algoritmo para este grafo concreto”. que a veces requieren un conocimiento elemental sobre estructuras de datos.Prefacio xi diente y se incluyen como diversi´ on o como educaci´on matem´atica general. Los algoritmos dise˜ nados pueden tambi´en ser programados y comprobados. Nuestra clasificaci´on sobre la dificultad es subjetiva. La mayor parte de los ejercicios tienen soluciones cortas. y un ejercicio que parece f´acil para alguien puede ser inabordable para otros. un asterisco y dos asteriscos). si el lector no puede resolver un ejercicio sin asterisco. y aunque aceptar una ayuda puede deslucir el placer de resolver un . aunque sabemos que el ritmo de la vida moderna y la naturaleza humana dif´ıcilmente permiten al lector invertir tiempo y esfuerzo para resolver la mayor parte de los 451 ejercicios propuestos (aunque ´esta pueda ser a la larga la manera m´as r´apida de conocer el material cubierto). Algunos de los ejercicios est´an tambi´en indicados con CS . En general no hemos incluido ejercicios rutinarios que solamente requieran la aplicaci´ on directa de alguna “receta” dada. Creemos que la mayor´ıa de los lectores pueden comprobar por s´ı mismos su nivel de comprensi´on. y recomendar. Agradecemos a nuestros colegas del Departamento de Matem´atica Aplicada de la . Knuth y Patashnik [5] (y tambi´en en la monograf´ıa de Knuth [38]). Parece imposible ignorarlo al escribir un nuevo libro de combinatoria. Otras recomendaciones para la literatura est´an mencionadas a lo largo de todo el texto. El n´ umero de libros de texto en matem´atica discreta es vasto. Este libro es excelente para un estudio avanzado de combinatoria. La notaci´ on que incluye s´ımbolos especiales (como X \ Y . Aqu´ı nos gustar´ıa resaltar. El excelente texto introductorio de teor´ıa de grafos de Bollob´ as [2] est´a probablemente escrito con objetivos similares a los nuestros. Los s´ımbolos matem´aticos formados por letras latinas (como Cn ) est´an colocados al principio de la secci´ on de s´ımbolos correspondiente. a nivel de licenciatura es el de Diestel [4]. una larga colecci´ on de problemas combinatorios resueltos por Lov´ asz [7]. una de estas fuentes. y aqu´ı s´olo mencionamos algunos de los m´as estimados por nosotros. y un n´ umero significativo de los ejercicios dif´ıciles propuestos aqu´ı est´an seleccionados de. escribir la soluci´ on completa y detallada puede ser tambi´en un objetivo para muchos estudiantes. digamos) son los libros de Van Lint y Wilson [6] y de Cameron [3]. El libro de Biggs [1] es una bonita introducci´ on como libro de texto con un punto de vista diferente del nuestro. Agradecimientos. especialmente los de significado general (como relaci´on. Si se busca algo espec´ıfico en combinatoria y no se sabe por d´ onde empezar. sugerimos el Handbook of Combinatorics [35].xii Prefacio problema. En las referencias no mencionamos el origen de todas las ideas y resultados utilizados en este libro. G ∼ = H) y las letras griegas se encuentran tambi´en al principio del ´ındice. relativamente reciente. Ligeramente m´ as avanzados (adecuados como continuaci´ on de nuestro texto. Sobre la literatura. el ´ındice de t´erminos s´olo hace referencia a su significado. grafo). Un libro de texto sobre teor´ıa de grafos. El arte de la combinatoria computacional y an´ alisis asint´ otico est´a perfectamente explicado en un libro bien conocido de Graham. Para la mayor´ıa de los t´erminos matem´aticos. pero con un ritmo m´as r´apido y cubriendo mucho m´ as la parte correspondiente a teor´ıa de grafos. Sobre el ´ındice. los problemas (menos avanzados) de Lov´ asz. Una versi´ on preliminar checa de este libro fue desarrollada gradualmente en nuestras clases de Praga. y tambi´en como enciclopedia para muchos resultados y m´etodos conocidos. o inspirados por. La mayor parte del trabajo de pulir y completar el libro se debe al primer autor durante su estancia en el Eidgen¨ ossische Technische Hochschule (ETH) de Zurich.Prefacio xiii Universidad Karlova y a nuestros estudiantes su est´ımulo. leer cuidadosamente todo el manuscrito y compartir con nosotros parte de su sabidur´ıa en cuanto a la ense˜ nanza. Tambi´en agradecemos a Hee-Kap Ahn la lectura de un cap´ıtulo. Jan Nekov´ aˇr fue muy amable al abandonar brevemente las cimas de la teor´ıa de n´ umeros y ofrecernos indicaciones para una adecuada demostraci´on del Hecho 10. los tiempos en los que los libros eran mecanografiados por tip´ ografos profesionales parecen haberse terminado). esta lista fue el n´ ucleo inicial de nuestra colecci´on de ejercicios. Joachim Giesen. Eva Matouˇskov´ a. incluso despu´es de que se les pidiera a cada uno de ellos la lectura de un cap´ıtulo. Tom´aˇs Holan y Robert Babilon descubrieron cierto n´ umero de errores en la versi´on checa. Fueron tambi´en importantes algunos informes obtenidos por Oxford University Press de algunos revisores an´ onimos. Adam Dingle y Tim Childers nos ayudaron con algunos comentarios en ingl´es en las primeras etapas de la traducci´ on. Emo Welzl y los miembros de su equipo proporcionaron un entorno muy agradable y amistoso. Varias personas leyeron la versi´on inglesa en varias ocasiones y nos proporcionaron una claridad que probablemente nunca se nos hubiera ocurrido a nosotros. cuyas sugerencias de experto ayudaron al primer autor en sus dificultades para la presentaci´on final del libro (desafortunadamente. Pavel Socha. Agradecemos a Tom´aˇs Kaiser su sustancial ayuda en la traducci´ on de un cap´ıtulo al ingl´es. En particular. . sus comentarios y sugerencias sobre el texto y los ejercicios. Un agradecimiento especial para Jeff Stopple por visitarnos en Praga. A continuaci´ on nos gustar´ıa agradecer a Karel Hor´ ak. Beat Trachsler. Lutz Kettner. y as´ı la ayuda de Hans-Martin Will. y a Jana Chleb´ıkov´ a por una larga lista de correcciones tipogr´aficas menores. Bernd G¨ artner. Nuestro colega Jan Kratochv´ıl nos proporcion´ o inestimables observaciones basadas en su experiencia como profesor del curso. Martin Klazar y Jiˇr´ı Otta proporcionaron una lista de una docena de problemas y ejercicios. Johannes Bl¨omer y Artur Andrzejak se agradece realmente. Estamos realmente en deuda con Mari Inaba y Helena Neˇsetˇrilov´ a ´tiles y diferentes de casi todos por sus comentarios.7.1. que fueron muy u los dem´as lectores. Bernhard von Stengel. Un ruego final.mff.cz. Actualmente se puede acceder a la p´ agina de Internet correspondiente al libro con la lista de errores.2 Praga Febrero 1998 2 J. etc. Por consiguiente agradeceremos a los lectores que descubran errores. no debemos olvidar que S¨ onke Adlung fue extremadamente amable con nosotros y muy u ´ til durante el proceso de edici´ on. falsas ayudas en los ejercicios. M. . agradecemos a Otfried Cheong (anteriormente Schwarzkopf) su creaci´ on. malas formulaciones.cuni. y tambi´en fue un placer trabajar con Julia Tompson en las etapas finales de la preparaci´ on del libro. Se pueden enviar los correos electr´ onicos sobre este libro a
[email protected].. Finalmente. N.mff. hemos corregido un gran n´ umero de ellos.cz/~matousek/IDM/. http://kam. Comparado con varias versiones preliminares del libro. Un texto largo de matem´aticas normalmente contiene un n´ umero sustancial de errores. En nombre de la humanidad. que nos lo comuniquen. pero seguramente a´ un quedan algunos.xiv Prefacio Casi todas las figuras fueron dibujadas por el primer autor usando el editor gr´ afico Ipe 5.0. J. 5. Funciones 1. Aplicaciones y subconjuntos 2. Inducci´ on matem´atica y otras demostraciones 1.3. isomorfismo 3. Subgrafos. Estimaci´on: la funci´ on factorial 2. componentes.4.6. Grafos: una introducci´ on 3. Arboles 4. adyacencias 3.5. Arboles generadores de un grafo 4.2. Estimaci´on: una introducci´ on 2. 2-conectividad 105 105 114 121 127 133 137 142 ´ 4. Permutaciones y factoriales 2.5. Isomorfismo de ´arboles ´ 4. N´ umeros y conjuntos: notaci´ on 1.1. Grafos dirigidos eulerianos 3. Estimaciones: coeficientes binomiales 2. Un algoritmo para un recorrido euleriano 3. Enumeraci´ on combinatoria 2.4. Principio de inclusi´ on–exclusi´ on 2.2.3.1. Introducci´ on y conceptos b´ asicos 1.1.4. La dama del guardarropa 51 51 57 60 71 80 88 93 99 3.6. Equivalencias 1. Grafos eulerianos 3. La noci´ on de grafo.5.2. Un surtido de problemas 1.´Indice 1.3.1.7.7. Relaciones 1.6. Coeficientes binomiales 2.7. Los algoritmos de Jarn´ık y de Bor˚ uvka 150 150 157 164 169 175 .3.4.2. Secuencia de grados de un grafo 3.8. Definici´ on y caracterizaciones de los ´arboles 4. Conjuntos ordenados 1 2 8 17 27 35 40 43 2. El problema del a´rbol generador minimal 4. 1.3.1.1. La f´ ormula de Euler 5. Aplicaciones combinatorias 258 258 268 274 278 9. Existencia de planos proyectivos finitos 8. Una demostraci´ on con vertebrados 7. Aplicaciones combinatorias de polinomios 10. Ciclos en grafos planares 5. Un resultado de la teor´ıa extremal de grafos 218 218 228 235 7. Particiones de enteros 316 316 320 332 340 345 347 350 11. Dibujar grafos en el plano 5. Espacios de probabilidad finitos 9.1.1. Funciones generadoras 10. El resultado 7. C´alculo con series de potencias 10.5.4.4. Argumentos de paridad 6.1. N´ umeros de Fibonacci y la raz´ on ´aurea ´ 10.2.3.3. Probabilidad y demostraciones probabil´ısticas 9.3.7.2.xvi ´Indice 5.4.5.2. Sobre tirar el dado 10.2. N´ umero de ´ arboles generadores 7.3. Una demostraci´ on usando el c´ odigo de Pr¨ ufer 7. Paseo aleatorio 10. Demostraciones por conteo 9. Teorema de Sperner para anticadenas 6. Arboles binarios 10. Aplicaciones del ´ algebra lineal 11.4.1. Definici´ on y propiedades b´ asicas 8. Varias aplicaciones 281 281 288 299 306 10. Dise˜ nos de bloques 358 358 206 .3. Una demostraci´ on v´ıa secuencia de grados 7. Cuadrados latinos ortogonales 8. Dibujar en el plano y en otras superficies 5.4. Doble conteo 6. Una demostraci´ on con determinantes 240 240 241 244 246 249 8.6.2. Coloraci´on de mapas: el problema de los cuatro colores 181 181 189 196 6. Planos proyectivos finitos 8.2. Variables aleatorias y su esperanza 9. 3.2.´Indice 11.4.5.6. Espacio de ciclos de un grafo 11. Desigualdad de Fisher 11. Recubrir con grafos completos bipartitos 11. Circulaciones y cortes: espacio de ciclos 11. Verificaci´ on probabil´ıstica xvii 364 367 370 375 380 Ap´ endice: Prerrequisitos de ´ algebra 391 Bibliograf´ıa 399 Indicaciones para los ejercicios seleccionados 405 ´ Indice de t´ erminos 429 . Despu´es explicaremos algunas nociones y t´ecnicas b´asicas que se aplican en casi todas las ramas de las matem´aticas.2. .1 Introducci´ on y conceptos b´asicos En este cap´ıtulo de introducci´ on veremos primero algunos ejemplos de los problemas y cuestiones que trataremos en este libro. En esta secci´on tambi´en comentaremos algo sobre las demostraciones matem´aticas en general.3 hablaremos de la inducci´ on matem´atica como m´etodo importante que se utilizan para demostrar afirmaciones en el contexto de la matem´atica discreta. ∪ para la uni´ on de conjuntos o para la suma de una sucesi´on de n´ umeros. En la Secci´ on 1. Aqu´ı ser´a suficiente entender este principio b´ asico. el texto de Stewart y Tall [8]. daremos las definiciones formales y descubriremos varias maneras de captar el significado de estos conceptos mediante diagramas y dibujos. junto con algunas reflexiones sobre la importancia de los problemas matem´aticos y otras cosas por el estilo. nos limitaremos a revisar estas nociones. En la Secci´ on 1. ha o´ıdo hablar de algunas de ellas. El lector que prefiera una introducci´on m´as detallada de estas cuestiones b´asicas puede consultar. y el lector debe ser capaz de pasar r´ apidamente esta secci´on y mirar el ´ındice de vez en cuando para refrescar la memoria. la mayor´ıa de ellas fundamentales y sencillas. como. por ejemplo. en cap´ıtulos posteriores ya habr´ a muchas oportunidades para ver y practicar varias aplicaciones en las que se usa inducci´ on. introduciremos algunos s´ımbolos comunes de operaciones entre conjuntos o n´ umeros. al menos.1 presentamos varios problemas que estudiaremos m´as adelante en este libro. que es un un repaso de la notaci´ on. As´ı. La mayor´ıa de estos s´ımbolos son est´andar. por ejemplo. En la Secci´ on 1. Supondremos que el lector est´a familiarizado o que. las suprayectivas y las biyectivas. Un problema bien conocido es el de las tres casas y los tres pozos. esto es lo que tenemos que hacer en este cap´ıtulo: repasar el lenguaje matem´atico.5 a 1. Hace ya tiempo.4 recordaremos la noci´ on de funci´ on y definiremos algunos tipos especiales de funciones: las inyectivas.2 y tambi´en para algunos de los ejercicios de este libro. por lo que es posible que el lector ya conozca algunos de estos rompecabezas”. memorizar las formas gramaticales del verbo “ser”no es precisamente demasiado apasionante.“demasiado abstractos”. Todo iba bien. como son conceptos generales simples que a´ un no hemos revisado con ejemplos particulares interesantes. Bien.) 1.7 hablaremos de relaciones y de algunos tipos especiales de relaciones.7) s´olo son necesarios para una comprensi´ on completa de la Secci´on 6. los conjuntos ordenados (Secci´ on 1. aunque ciertamente deben formar parte de una educaci´ on matem´atica m´as profunda. Por ejemplo. Los habitantes de cada casa quer´ıan tener tres caminos que les llevaran de su puerta a cada uno de los tres pozos. Aqu´ı presentaremos algunos problemas populares de las matem´aticas recreativas. t´erminos que se usar´an frecuentemente a lo largo de este libro. Estos u ´ ltimos t´erminos tambi´en pertenecen al conjunto de palabras realmente esenciales en el vocabulario matem´atico. En las Secciones 1. Estos lectores pueden leer por encima estas secciones y volver a ellas m´as adelante.2 Introducci´ on y conceptos b´asicos En la Secci´ on 1. Sin embargo. hasta que un d´ıa los due˜ nos de las casas comenzaron a pelearse entre s´ı y no hab´ıa forma de resolver la disputa. una forma elegante de decir “aburridos”. pero despu´es de un cierto tiempo puede llegar a ser realmente dif´ıcil hablar con fluidez sabie n do s´olo el “yo soy” o bien el “´el es”. ¿Es posible encontrar alguna soluci´ on satisfactoria para todos ellos y devolver as´ı la paz al lugar? . tres caminos que no se cruzaran con ninguno de los caminos de sus vecinos. algunos lectores pueden encontrarlos. con agua limpia y fresca. en una pradera de un reino lejano hab´ıa tres hermosas casas blancas.1 Un surtido de problemas Veamos algunos de los problemas que trataremos en este libro. como las de equivalencia y las de orden. (Cuando se aprende una nueva lengua. en una primera lectura. ¿puede dibujarse la figura siguiente sin separar el l´ apiz del papel? ¿Y esta otra? En caso negativo. Muchos otros problemas que veremos en este libro pueden formularse tambi´en con dibujos. Uniendo mediante segmentos algunos pares de puntos.1. ¿por qu´e no? ¿Existe alguna manera f´ acil de distinguir las figuras que pueden dibujarse de esta forma de aquellas que no lo permiten? (¿Podr´ıas encontrar historias bonitas que acompa˜ nen a este problema y tambi´en a los siguientes?) Para los problemas que siguen. en general podr´ıamos considerar n de estos puntos). ´este es un problema que implica dibujar en el plano.1 Un surtido de problemas 3 Con s´olo dos pozos habr´ıa una posible soluci´ on: Pero con tres pozos. obtenemos un dibujo como el que sigue: . dibuja 8 puntos en el plano de manera que ning´ un subconjunto de 3 puntos est´e sobre una misma recta (el n´ umero 8 es bastante arbitrario. no hay esperanza (a no ser que aquellos hombres y mujeres tan orgullosos quisieran usar t´ uneles o puentes. lo que parec´ıa m´as bien improbable). Si trazamos cada l´ınea una sola vez. ¿Sabr´ıas expresar este problema en lenguaje matem´atico y demostrar que no tiene soluci´ on? Esencialmente. En este camino s´olo est´a permitido cambiar de segmento en los puntos y no en los cruces. . 4 y 5). En el dibujo de abajo situado a la izquierda tenemos una soluci´ on v´ alida.4 Introducci´ on y conceptos b´asicos ¿Cu´al es el n´ umero m´aximo de segmentos que pueden dibujarse de manera que no aparezca ning´ un tri´ angulo con v´ertices en los puntos? El dibujo siguiente tiene 13 segmentos: Con estos 8 puntos. pero ¿puedes demostrar que tu resultado es el mejor posible? Supongamos ahora que queremos dibujar algunos segmentos de manera que dos puntos cualesquiera puedan unirse mediante el camino formado por los segmentos dibujados. que es uno de los principales temas de este libro (tratado en los Cap´ıtulos 3. mientras que en el de la derecha tenemos otra que no lo es: ¿Cu´al es el n´ umero m´ınimo de segmentos que podemos trazar? ¿Y cu´antas soluciones diferentes existen con este n´ umero m´ınimo de segmentos? ¿C´omo podemos encontrar una soluci´ on para que la longitud total de todos los segmentos dibujados sea la menor posible? Todos estos problemas son versiones populares de algunas cuestiones b´asicas y sencillas de la teor´ıa de grafos. ¿se puede trazar alg´ un segmento m´as sin que exista ning´ un tri´ angulo? Seguramente lo conseguir´ as. Probablemente ya habr´ as visto montones de problemas de este tipo. entonces el problema tendr´ıa soluci´on: La enumeraci´ on combinatoria. tratada en los Cap´ıtulos 2 y 10. una funci´ on de n. o algo similar. es otro tema importante de este libro.1 Un surtido de problemas 5 En los problemas anteriores con los 8 puntos del plano. ¡pero qu´e se puede esperar de los matem´aticos!). Ya se mencion´o una pregunta de este tipo en nuestra serie de problemas de los “8 puntos” (y la totalidad del Cap´ıtulo 7 est´a dedicada a ello).1. ¿De cu´antas maneras se pueden repartir n monedas en grupos? Por ejemplo. Si las casas y los pozos estuvieran en un planeta con forma de neum´ atico. y esta estimaci´on nos . lo importante es cu´ales son los pares de puntos que se unen mediante un segmento y cu´ales no. 1 + 1 + 2. 4 monedas se pueden repartir de 5 maneras: 1 + 1 + 1 + 1 (4 grupos de 1 moneda cada uno). que no es realmente un “reparto” en el sentido que lo entiende la mayor´ıa de la gente. 2 + 2 y 4 (todas en un grupo. nosotros no seremos capaces de darla aqu´ı porque su deducci´ on va m´as all´a del alcance de este libro. . No obstante. 1 + 3. Aunque existe una f´ ormula exacta para resolver este problema. . obtendremos al menos una estimaci´on para este n´ umero. La mayor´ıa de las ramas en teor´ıa de grafos tratan con problemas que pueden expresarse en forma geom´etrica pero en los que la geometr´ıa no juega ning´ un papel esencial. pero perm´ıtenos a˜ nadir uno m´ as. ”. All´ı era esencial que los caminos pudieran construirse en el plano. el problema de las casas y los pozos pertenece a una parte “realmente” geom´etrica de la teor´ıa de grafos. En este caso los problemas normalmente empiezan as´ı “¿Cu´antas maneras hay de . Sin embargo. es f´ acil ver que la posici´ on en que se dibujan los puntos es irrelevante. . y).} denota el conjunto de todas las potencias de 2. De forma similar. y} se le llama a veces el par no ordenado de x e y. 2 . el s´ımbolo {x. Tenemos por tanto lo siguiente: (x. y) para el par ordenado de x e y.} significa el conjunto de todos los n´ umeros naturales pares. . . . 2 . y} denota al conjunto que contiene exactamente los elementos x e y. En el ejemplo. y}} . . xn ) para la n-tupla ordenada formada por los elementos x1 . Definir conjuntos. El patr´ on apropiado que describe los elementos del conjunto deber´ıa ser evidente a primera vista. x2 . . 8. . Sin embargo. en este texto ser´ a m´as f´acil para nosotros considerar (x. entonces {x. En este caso particular. . y si x = y. Tambi´en introducimos la notaci´ on (x. t) si y s´olo si x = z e y = t. y) = {{x}. . Un caso particular de este convenio es la manera de escribir un punto del plano con coordenadas x e y como (x. 6. y} es lo mismo que {y. En este caso el orden de los elementos x e y es importante. . se entiende f´ acilmente que 1 2 3 {2 . el par ordenado se puede definir usando la noci´ on de par no ordenado. . . usando el s´ımbolo ∃ para “existe”: . Como ya sabemos. (1. 4. escribimos (x1 . Habitualmente los conjuntos m´ as complicados e interesantes se crean a partir de conjuntos conocidos usando alguna regla. x2 .1. {x. mientras que {2. y} es un conjunto con un u ´nico elemento. 8.2 N´ umeros y conjuntos: notaci´ on 11 elemento es ignorada: ¡el mismo elemento no puede estar contenido dos veces en el mismo conjunto! Con esta notaci´on.} es menos claro. y) como otra noci´on primitiva. . Pares ordenados y no ordenados. y de forma an´ aloga para puntos o vectores en espacios de dimensiones superiores. xn . y) = (z. como sigue: (x. al conjunto {x. . . x}. 4.1). El conjunto de todos los cuadrados de los n´ umeros naturales se puede escribir {i2 : i ∈ N} o tambi´en {n ∈ N: existe k ∈ N tal que k 2 = n} o. Recordemos que {x. {2.1) Curiosamente. . . Puedes verificar que los pares ordenados definidos de esta manera satisfacen la condici´ on (1. Un conjunto importante es el que no contiene ning´ un elemento en absoluto. m´as precisamente cuatro subconjuntos del conjunto {1. no puede ser siempre coherente. y por tanto no es el mismo conjunto que ∅. b) tanto puede denotar el intervalo abierto como el par ordenado formado por a y b. 4}. se usan de varias maneras distintas. En matem´aticas tratamos a menudo con conjuntos cuyos elementos son otros conjuntos. 3. cuyos elementos son cuatro conjuntos de n´ umeros naturales. {∅} es el conjunto que contiene el conjunto vac´ıo como un elemento. Sistemas de conjuntos. usamos el concepto de sistema de conjuntos o de familia de conjuntos. 2. 4}. Podr´ıamos as´ı decir que M es una familia de conjuntos del conjunto {1. 4}. 2. Por ejemplo. Por ejemplo. podemos definir el conjunto M = {{1. Para evitar decir “conjunto de conjuntos”. Estos dos significados deben distinguirse por el contexto (normalmente se puede). est´ a claro que una distinci´ on as´ı. Por ejemplo. b) introducido anteriormente: (a. no hay problema en usar cualquier clase de alfabetos y s´ımbolos. En la matem´atica discreta se encuentran este tipo de conjuntos muy a menudo. (a. Esto es com´ un en todas las matem´aticas: muchos s´ımbolos. Pero los matem´aticos tienden m´as bien a ser conservadores y la literatura existente es muy vasta. como M. {2. incluidos los jerogl´ıficos y por tanto alguien podr´ıa pensar en cambiar la notaci´ on en tales casos. El conjunto vac´ıo. 2. usando varios tipos de letras. Sin embargo. Estas familias de conjuntos se suelen denotar con letras caligr´ aficas may´ usculas. 2}. por lo que las nuevas notaciones tienen en general una vida corta. 3}. {4}}. Observa que el s´ımbolo (a. b) puede tambi´en denotar el m´aximo com´ un divisor de los n´ umeros naturales a y b (significado que evitaremos en este libro). como los par´entesis en este caso. Cabe destacar que el conjunto vac´ıo puede ser un elemento de otro conjunto. {1. ¿qu´e hacemos si nos encontramos con un conjunto de conjuntos de conjuntos? . Otro ejemplo es una definici´ on formal del intervalo abierto (a.12 Introducci´ on y conceptos b´asicos {n ∈ N: ∃k ∈ N (k 2 = n)}. 3. Con los modernos sistemas de tipograf´ıa. 3. Solamente existe uno de estos conjuntos y normalmente se denota por ∅ y se llama conjunto vac´ıo. b) = {x ∈ R: a < x < b}. Lo escribimos usando el mismo s´ımbolo que para el valor absoluto de un n´ umero: |X|. Por lo tanto es muy importante la notaci´ on que usemos para considerar el n´ umero de elementos de un conjunto finito X.6. . Tama˜ no de un conjunto. Un producto vac´ıo. Tenemos mucha libertad para denotar este conjunto de valores. Por ejemplo.1. el valor de la suma se define como 0. ver la Proposici´ on 2.3.2. 3 Esta notaci´ on puede parecer extra˜ na. i: 1≤i≤10 i es primo Si el conjunto de valores para la suma es vac´ıo. pero es tradicional y tiene sus razones.1. como j: 2≤j<1 2 . A veces resulta ventajoso utilizar una forma m´ as general para escribir una n suma que usar el patr´ on i=1 ai . se define siempre como 1 (no 0 como para una suma vac´ıa). Otra notaci´ on que aparece frecuentemente en la literatura para este conjunto es P(X). Bajo el signo de sumatorio.8} i impar Una notaci´ on similar a la del sumatorio tambi´ emplear en se puede j para los productos. independientemente de lo que aparezca despu´es del signo sumatorio.5.2 N´ umeros y conjuntos: notaci´ on 13 La familia formada por todos los posibles subconjuntos de alg´ un 3 X conjunto X se denota con el s´ımbolo 2 y a veces se llama potencia del conjunto X. Una notaci´ on m´ as general para sumas y productos. i2 i∈{1.7} significa la suma 12 + 32 + 52 + 72 . escribimos primero la variable y a continuaci´ on el conjunto de valores sobre los que se extiende la suma. i∈{2.4. llamado partes de un conjunto. Por ejemplo. A veces puede ser descrito en parte con palabras. Una gran parte de este libro se dedica a contar varias clases de objetos. Por ejemplo : 0 (i + 10) = 0. ayuda a recordar que un conjunto de n elementos tiene 2n subconjuntos. i=1 i4 = 0. como en el ejemplo siguiente: i = 2 + 3 + 5 + 7. En este caso escribimos X = Y . Las notaciones X ∪ Y (uni´ on de X e Y ) y X ∩ Y (intersecci´on de X e Y ) se pueden definir como sigue: X ∪ Y = {z: z ∈ X ‘´ o’ z ∈ Y }. escribimos la uni´ on como X ∪Y la diferencia entre los conjuntos X e Y . Los s´ımbolos ∪ y ∩ se pueden usar de la misma forma que los s´ımbolos y . dos conjuntos X e Y se consideran id´enticos (iguales) si tienen los mismos elementos. X ∩ Y = {z: z ∈ X ‘y’ z ∈ Y }.14 Introducci´ on y conceptos b´asicos Operaciones con conjuntos. y en general de cualquier n´ umero n de conjuntos. ∈. X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z y X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z. y el valor com´ un se puede denotar como en (1. para tres conjuntos cualesquiera X. . Si queremos expresar que los conjuntos X e Y de la uni´ on son dis˙ . En consecuencia. Esta distinci´ on entre ⊆ y ⊂ no est´a muy unificada en la literatura. es decir. la manera de “poner par´entesis” en la uni´on de 3 conjuntos cualesquiera. Observa que esta notaci´on s´olo es posible (o correcta) s´olo porque las operaciones de uni´on e intersecci´on son asociativas. Y. X2 . Por ejemplo. si X. esto es. Z. La expresi´on X \ Y denota juntos. Usando la noci´ on primitiva de miembro de un conjunto. . y algunos autores pueden usar ⊂ como sin´onimo de nuestro ⊆. Por ejemplo. La notaci´on X ⊂ Y denota a veces que X es un subconjunto de Y pero X no es igual a Y . Y son conjuntos. no tiene importancia. Otras relaciones entre conjuntos pueden definirse de forma similar. .2). el conjunto de todos los elementos que pertenecen a X pero no a Y . . su uni´ on se puede escribir como n Xi (1.2) i=1 y de forma similar para la intersecci´ on. podemos definir nuevas relaciones entre conjuntos y tambi´en otras operaciones con conjuntos. X ⊆ Y (en palabras: “X es un subconjunto de Y ”) significa que cada elemento de X pertenece tambi´en a Y . Xn son conjuntos. . Por lo tanto. si X1 . t´ıpicos en estudiantes primerizos. por ejemplo. incluso cuando la afirmaci´ on trata con una situaci´ on tan complicada que su verdad no se puede demostrar con pruebas directas. y puesto que un libro es un medio de comunicaci´on unidireccional. y no pasar por alto las posibilidades que no son tan obvias. a la hora de escribir programas inform´ aticos que no generen un error cada vez que las circunstancias normales de funcionamiento cambien ligeramente. incluso a los estudiantes de matem´aticas. Estos u ´ ltimos ejemplos “negativos”(los errores de los estudiantes) no son muy importantes. formular exactamente pensamientos y afirmaciones. hemos decidido incluir tambi´en algunos ejemplos negativos.) Una situaci´ on bastante frecuente es que el estudiante no entiende el problema correctamente. En general. En el resto de esta secci´on veremos algunos errores bastante comunes. Estas demostraciones intencionadamente err´oneas se presentan en un tipo de letra especial como ´esta. es decir. Una posible objeci´ on es que la mayor´ıa de los estudiantes nunca necesitar´an tales demostraciones en su futuro profesional. Estos h´ abitos tienen un valor incalculable. mostrando al estudiante muchas demostraciones (que creemos) correctas y “buenas”. y a´ completamente en este hecho porque se puede probar mediante una cadena de simples pasos l´ogicos. Creemos que aprender a demostrar teoremas matem´aticos ayuda a desarrollar h´ abitos de pensamiento u ´tiles. y se˜ nalando los posibles errores en las demostraciones propuestas por estudiantes. seg´ un nuestra experiencia.20 Introducci´ on y conceptos b´asicos razonable. Una raz´on puede ser que nunca han sentido la satisfacci´ on que se experimenta al comprender una demostraci´ on elegante e inteligente o nunca han obtenido por s´ı mismos una buena demostraci´ on. el arte de encontrar y escribir demostraciones se aprende a partir de ejemplos6 . n tales que n = 2. intentos de demostraciones que son err´oneas y. Dif´ıcilmente se puede ver directamente que no existen dos √ m un as´ı podemos creer n´ umeros naturales m. A los estudiantes a menudo no les gustan las demostraciones. Uno de nuestros objetivos m´ as relevantes es el de ayudar al lector a adquirir la habilidad de probar rigurosamente afirmaciones matem´aticas sencillas. (Queremos advertir que los tipos de errores que hay en algunas demostraciones son numeros´ısimos y de ninguna manera tenemos la intenci´ on de clasificarlos. En la formulaci´ on de un problema puede 6 !Ni siquiera nosotros intentaremos decir qu´e es una demostraci´ on ni c´ omo se hace una! . tales como trabajar con nociones o ideas claras y precisas. y dos elementos. Entonces xRz y zRy (por la simetr´ıa de R). (n−1)× Observaci´ on. y se la llama la clausura transitiva de R.42 Introducci´ on y conceptos b´asicos (i) El conjunto R[x] siempre contiene a x. Formula las condiciones de reflexividad. es decir. cualquier partici´ on de X determina exactamente una equivalencia sobre X. primero probamos R[x] ⊆ R[y]. simetr´ıa y transitividad de una relaci´ on. Queremos ver que R[x]∩ R[y] = ∅. (a) Prueba que para cualquier relaci´ on R. Usando la simetr´ıa de nuevo. existe una aplicaci´on biyectiva del conjunto de todas las equivalencias de X sobre el conjunto de todas las particiones de X. 3. lo cual es una contradicci´ on. Garantiza que las clases de equivalencia forman una partici´ on del conjunto X. T = R ∪ (R ◦ R) ∪ · · · ∪ (R ◦ R ◦ · · · ◦ R). (b) es la menor relaci´on transitiva que contiene a R. b) Supongamos que xRy no se cumple. Por otro lado. ya que la clase de equivalencia determina R como sigue: xRy si y s´olo si {x. la relaci´on T = R ∪ R ◦ R ∪ R ◦ R ◦ R ∪ . tenemos que xRy implica que R[x] = R[y]. y} ⊆ R[x]. (c) Prueba que si |X| = n. Supongamos que existe z ∈ R[x] ∩ R[y]. usando su matriz de adyacencia. 2 La proposici´ on anterior explica el dibujo anterior. entonces sabemos tambi´en que zRx (por la simetr´ıa de R) y por tanto zRy (gracias a la transitividad de R). una familia de subconjuntos de X dos a dos disjuntos cuya uni´ on es todo X. Efectivamente. . Esto es. si z ∈ R[x]. y xRy (por la transitividad de R). (la uni´ on de todas las m´ ultiples composiciones de R) es transitiva. La relaci´on T como en (a). Ejercicios 1. (b) Prueba que cualquier relaci´ on transitiva que contenga R como subconjunto tambi´en contiene a T . As´ı tambi´en z ∈ R[y]. ya que R es una relaci´on reflexiva. . Distinguimos dos casos: a) Si xRy. . 2. Procedemos por contradicci´ on. Prueba que una relaci´ on R es transitiva si y s´olo si R ◦ R ⊆ R. (iii) Esta parte es obvia. (ii) Sean x. Define una relaci´ on ≡q sobre Z permitiendo que x ≡q y si y s´olo si q divide a x − y. ¿Es R necesariamente una equivalencia? 6. y sabemos que para cualquier par de enteros a. por magnitud (el orden “habitual” de los n´ umeros). Una congruencia es una equivalencia ∼ sobre el conjunto Z (los enteros): si se cumple la siguiente condici´on para todos los a. Antes de introducir la noci´on general de conjunto ordenado definiremos una noci´ on auxiliar.7 Conjuntos ordenados 43 4. x): x ∈ Z}. en caso contrario da un contraejemplo).1. Una relaci´ on R sobre un conjunto X se . En el caso que acabamos de mencionar.7 Conjuntos ordenados El lector est´a ciertamente familiarizado con el orden de los n´ umeros naturales. Cada R que satisface estas condiciones. pru´ebalo. o bien la relaci´ on diagonal {(x. Decide cu´ales de las siguientes relaciones son tambi´en equivalencias (en caso afirmativo. si |a − b| ∈ {3. tales como el conjunto de todas las palabras en alg´ un lenguaje. b ∈ Z. Comprueba que ≡q es una congruencia de acuerdo con la definici´ on anterior. ≡q para alg´ (c) Supongamos que en la definici´ on de congruencia sustituimos la condici´ on “a + x ∼ a + y” por “ax ∼ ay”. un conjunto de pares de n´ umeros. ¿es necesariamente una equivalencia? (Observa que un par de elementos puede estar en R incluso si no satisface las condiciones dadas. 4}. y sabemos que para cualquier par de enteros a. (a) R ∩ S (b) R ∪ S (c) R \ S (d) R ◦ S. Sean R y S dos equivalencias arbitrarias sobre un conjunto X. ¿contin´ ua siendo cierta la afirmaci´ on de (a)? ∗ ¿Y qu´e hay acerca de la afirmaci´on de (b)? 1. incluso ex´ oticas. Tambi´en se pueden definir o´rdenes sobre otros conjuntos. b ∈ Z. entonces aRb.) (b) Supongamos que R es una relaci´on transitiva sobre Z. 5. es decir. En matem´aticas. entonces si x ∼ y. y de otros conjuntos de n´ umeros. y ∈ Z. (a) Supongamos que R es una relaci´on transitiva sobre el conjunto Z de todos los enteros. un orden as´ı se considera como un tipo especial de relaci´ on. (b) ∗ Prueba que cualquier congruencia sobre Z es o bien de la forma un q. Para esta clase de “congruencia multiplicativa”. esta relaci´on se denota normalmente por el s´ımbolo “≤” (“menor o igual que”). y un conjunto se puede ordenar de muchas maneras diferentes. (a) Sea q un entero no nulo. x. si |a − b| = 2 entonces aRb. tambi´en se cumple a + x ∼ a + y. Esto produce nuevos ejemplos de conjuntos ordenados. Cuando describimos una relaci´ on por flechas. . donde ≤ por supuesto denota el orden usual. ≤). donde X es un conjunto y R es un orden sobre X. por ejemplo. para todo x. Las definiciones son casi id´enticas: “solamente”se ha cambiado la palabra sim´etrica por la palabra antisim´etrica. como sigue: a ≺ b si y s´olo si a b y a = b. cuando queremos hablar de alg´ un otro orden diferente del usual para el conjunto de n´ umeros naturales o. Tambi´en podemos introducir la “desigualdad inversa” . en general.1 Definici´ on. Aun as´ı. ´estos eran (N. Intuitivamente. y otros similares. si consideramos alg´ un orden arbitrario sobre un conjunto.7. y Y ⊆ X es alg´ un subconjunto de X. es decir. en una relaci´ on antisim´etrica la siguiente situaci´on est´a prohibida: x y 1. como por ejemplo los subconjuntos de n´ umeros reales con el orden usual. aceptando a b si y s´olo si b a. (R.44 Introducci´ on y conceptos b´asicos llama antisim´etrica13 si. la relaci´on R∩Y 2 (la restricci´on de R sobre Y ) es un orden sobre Y . y ∈ X. 13 A veces se le llama d´ ebilmente antisim´etrica. xRy e yRx implica x = y. R). Los s´ımbolos o ≤ se usan habitualmente para designar o´rdenes. Un conjunto ordenado es un par (X. El primero de ellos es u ´til. Observa la similitud formal de esta definici´ on con la definici´ on de equivalencia. Si tenemos alg´ un orden . Ejemplos. mientras que en una relaci´ on fuertemente antisim´etrica nunca aparecen a la vez xRy e yRx. los conceptos de equivalencias y ´ordenes son muy diferentes. ordenamos los elementos de Y de igual forma que antes pero olvidando los dem´ as elementos. ≺. xRx est´ a tambi´en excluido. Hemos mencionado ya varios ejemplos de conjuntos ordenados . Es f´ acil comprobar que si R es un orden sobre un conjunto X. entendido formalmente como una relaci´on. ≤). antisim´etrica y transitiva. definimos una relaci´ on a partir de la “desigualdad estricta”. Un orden en un conjunto X es cualquier relaci´on sobre X que sea reflexiva. 1. Para enfatizar que estamos hablando de un orden no necesariamente lineal. sobre cualquier conjunto X. es decir. y supongamos que s´olo tenemos en cuenta tres par´ametros num´ericos sobre neveras: su coste.7 Conjuntos ordenados 45 ´ Ordenes lineales. 14 Especie de acr´ onimo del ingl´es partially ordered set. podemos definir una relaci´ on ∆ en la que cada elemento x est´a en relaci´on s´olo consigo mismo. consume m´as energ´ıa y tiene una menor cabida para la comida.2 Ejemplo. un orden parcial significa exactamente lo mismo que orden (sin m´ as adjetivos). 1.14 Describamos ejemplos m´as interesantes de conjuntos parcialmente ordenados. Se comprueba f´ acilmente que esta relaci´on satisface la definici´ on de orden. Antes de dar m´ as ejemplos. Si consideramos dos tipos de neveras. pero de uso tan com´ un que introducimos tambi´en su uso en castellano (N. una nevera. alguien puede preferir una nevera m´ as peque˜ na y m´as barata. y los ´ordenes que la poseen se llaman ´ordenes lineales (a veces se usa el t´ermino orden total con el mismo significado). haremos una observaci´ on sobre la terminolog´ıa. Por otro lado. Para abreviar este t´ermino tan largo. de modo que un orden parcial tambi´en puede ser lineal. se habla a veces de conjunto parcialmente ordenado . ∆ = {(x. pero este es un ejemplo m´as bien tonto. Del mismo modo. Esta propiedad no forma parte de la definici´ on de orden. para dos elementos distintos cualesquiera x e y se cumple o bien x ≤ y o bien y ≤ x. ¿Qu´e aspecto tienen los ´ordenes que no son lineales? Por ejemplo. en otras palabras.7. y un cliente preocupado por el medio ambiente puede incluso comprar una nevera cara si ahorra energ´ıa. Los ejemplos expuestos hasta ahora tienen un hecho significativo en com´ un: dos elementos cualesquiera del conjunto implicado se pueden comparar. otro puede preferir una nevera m´ as grande aunque sea m´as cara. en lugar de un conjunto ordenado. Intentemos simplificar la complicada situaci´ on real con una abstracci´ on matem´atica. usamos a veces el t´ermino m´as largo: el de orden parcial. Otros ejemplos de ´ ordenes.) . la mayor´ıa de la gente que compra neveras estar´ıa de acuerdo en esto.T. x): x ∈ X}. Imaginemos que queremos comprar. el consumo de electricidad y el volumen del espacio interior. el primero de los cu´ales es m´as caro. entonces el segundo tipo se puede considerar mejor. por ejemplo. se usa con frecuencia la palabra artificial poset. y ∈ X. Entonces. p. varias flechas se pueden reconstruir por transitividad: si sabemos que x y y y z. De forma an´ aloga.7. . Decimos que un elemento x ∈ X es un inmediato predecesor del elemento y ∈ X si x ≺ y.4 Ejemplo.3 Ejemplo. Por ejemplo.5 Proposici´ on. Para n´ umeros naturales a. existe un n´ umero natural c tal que b = ac. .3) 1. p2 . y no existe t ∈ X tal que x ≺ t ≺ y. tambi´en podemos tener x y). toda la informaci´ on se obtiene a partir de la relaci´ on de “inmediato predecesor” que ahora vamos a definir. el s´ımbolo a|b significa “a divide a b”. como en cualquier otra relaci´ on. Sea (X. En general tales dibujos contienen muchas flechas. Sin embargo. la relaci´ on “ser claramente peor” (denotada por ) es un orden parcial sobre el conjunto de las neveras. x2 . puesto que ya sabemos que ´estos est´an siempre all´ı. p la potencia que consume y v el volumen). sobre el conjunto de triples (c. se puede formular de forma precisa como sigue: 1. (1. p1 ≥ p2 y v1 ≤ v2 . definido como sigue: (c1 . Representaciones gr´ aficas de conjuntos parcialmente ordenados. y sea el correspondiente inmediato predecesor de la relaci´on. Recuerda que el s´ımbolo 2X denota el familia de todos los subconjuntos del conjunto X. v) de n´ umeros reales (donde c representa el coste. ) un conjunto finito ordenado. En otras palabras. . 1. La relaci´on “⊆” (un subconjunto) define un orden parcial sobre 2X. entonces tambi´en x z. Dejamos esta verificaci´on para el lector. v1 ) (c2 .7. as´ı podemos omitir la flecha de x a z. para dos elementos cualesquiera x. Sea X un conjunto. . . es decir. Los ´ordenes finitos se pueden dibujar usando flechas. o reformulado matem´aticamente. se cumple x ≺ y si y s´olo si existen elementos x1 . v2 ) si y s´olo si c1 ≥ c2 . xk ∈ X tales que xx1 · · ·xk y (posiblemente con k = 0. para un conjunto de 10 elementos linealmente ordenados podr´ıamos tener que dibujar 10 + 9 + · · · + 1 = 55 flechas y lazos. Para conjuntos ordenados finitos. Sea (X. ) un conjunto ordenado. La relaci´on “|” es un orden sobre N. b. p1 .46 Introducci´ on y conceptos b´asicos En este sentido. La afirmaci´on que dice que el orden puede reconstruirse a partir de la relaci´on . no necesitamos dibujar los lazos.7. Denotamos la relaci´on de inmediato predecesor por . la hip´ otesis asegura que no existe t con x ≺ t ≺ y. 10} ordenado por la relaci´on de divisibilidad (ver Ejemplo 1. Por la transitividad de ≺ deducimos que Mxu ⊂ Mxy y Muy ⊂ Mxy . Este dibujo que corresponde a un conjunto parcialmente ordenado se llama diagrama de Hasse. . . dos elementos tales que existen como m´aximo n elementos t ∈ X que satisfacen x ≺ t ≺ y (es decir. 2. . u ∈ Muy ) y. xk e y1 . y por la transitividad de . “entre” x y y). entonces tambi´en x x1 · · · xk y (ya que el predecesor inmediato est´a contenido en la relaci´ on de orden). es suficiente dibujar las flechas de la relaci´on “inmediato predecesor”. . Para n = 0.7. . . 2.7 Conjuntos ordenados 47 Demostraci´ on Una implicaci´on es f´acil de ver: si tenemos x x1 · · · xk y. Si aceptamos el convenio que todas las flechas del dibujo est´an dirigidas hacia arriba (esto significa que si x ≺ y entonces y est´a dibujado m´ as arriba que x). y as´ı x y. .3): . no necesitamos ni siquiera dibujar la direcci´ on de las flechas: es suficiente dibujar segmentos que conecten los puntos. . y elegimos x ≺ y tal que el conjunto Mxy = {t ∈ X: x ≺ t ≺ y} tiene n = n0 + 1 elementos. lo cual significa que la afirmaci´ on se cumple (elegimos k = 0). Mxy (ya que u ∈ Mxu . x2 . Combinando estas dos “cadenas” obtenemos la secuencia deseada que conecta x con y. . . x ≺ y. Mxu y Muy tienen como m´ınimo un elemento menos que otesis de inducci´on. ≤): La figura siguiente muestra el conjunto {1. Sean x. Elegimos un elemento u ∈ Mxy . . Entonces existen x1 . . 7}. Supongamos que el lema se cumple para todo n hasta alg´ u n n0 . 2 Por la Proposici´ on anterior. La figura siguiente muestra un conjunto de siete elementos ordenado linealmente como ({1. . xk ∈ X tales que x x1 · · · xk y. . y consideramos los conjuntos Mxu = {t ∈ X: x ≺ t ≺ u} y Muy definidos de forma similar. . y ∈ X.1. . y la probaremos por inducci´ on. . Ambos. tenemos que x y. por la hip´ encontramos elementos x1 . . y de modo que x x1 · · · xk u y u y1 · · · y y. . . La implicaci´on contraria tampoco es dif´ıcil. Probamos primero la siguiente afirmaci´ on: Lema. El lector puede aprender sobre esta rama en Trotter [28]. describe todas las relaciones que sean equivalencias y ´ordenes (parciales) al mismo tiempo. 3} con el orden dado por la regla (a1 .48 Introducci´ on y conceptos b´asicos 8 10 4 9 6 2 7 5 3 1 La siguiente figura es un diagrama de Hasse del conjunto {1. 1) Finalmente. 1) (1. aqu´ı tenemos un diagrama de Hasse del conjunto de todos los subconjuntos de {1. b2 ) si y s´olo si a1 ≤ a2 y b1 ≤ b2 : (3. 2) (2. La teor´ıa de posets finitos es una importante y floreciente rama de la combinatoria. 2) (1. 1) (2. Dado un conjunto X. 3} ordenados por inclusi´ on: {1. 3) (3. Ejercicios 1. 2} {1} {2} {2. 3} {1. Decide cu´ales de las siguientes relaciones son necesariamente ´ordenes parciales: (a) R ∩ S (b) R ∪ S . 3} {3} ∅ Otros ejemplos y nociones relativas a posets se dejan para los ejercicios. 2. 3) (3. b1 ) (a2 . 2. 2. 3} {1. 2) (1. 2. 3} × {1. 3) (2. Sean R y S ´ordenes parciales arbitrarios sobre un conjunto X. 2. y un elemento maximal de X si no existe y ∈ X tal que a ≺ y.. ) dos conjuntos ordenados. . (a) Muestra que los elementos m´aximos son siempre maximales.. ¿Cu´ al es el m´aximo n´ umero posible de elementos de un conjunto X ⊆ {1. Un elemento a ∈ X se llama un elemento m´ aximo de X si para cada x ∈ X. . . Sean (X. Una extensi´ lineal de es cualquier orden lineal ≤ sobre X tal que x y implica x ≤ y para cada x.7.) Prueba que cualquier orden parcial sobre un conjunto finito X tiene como m´ınimo una extensi´ on lineal. .3). 6. on sobre un conjunto X tal que no existe ninguna 4. (a) Considera el conjunto {1. (a) Dibuja los diagramas de Hasse para todos los posets de 3 elementos que no sean isomorfos.n} ordenado por la relaci´ on ⊆ (ver Ejemplo 1. . x2 . Prueba que existe un orden sobre X tal que R ⊆ . Muestra que la proposici´ on 1. Verifica que la relaci´ on (1.2. 2. Decimos que son isomorfos (esto es. xk−1 Rxk . .. .. n} que est´e ordenado linealmente por la relaci´ on | (un conjunto X as´ı se llama cadena)? (b) Responde a la misma cuesti´on para el conjunto 2{1. y ∈ X. xk de X que satisfagan x1 Rx2 . on 8.5 puede ser falsa para conjuntos infinitos. . x2 Rx3 . . . Puedes suponer que X es finito. . podr´ıamos escribir esta condici´on de forma compacta como ⊆ ≤.2 define realmente un orden parcial. 5. ∗ Sea R una relaci´ sucesi´on finita de elementos x1 . De forma similar se definen un elemento m´ınimo y un elemento minimal. (b) Encuentra un poset que no tenga elemento m´ınimo y tampoco tenga elemento minimal. 2. ≤) e (Y.4).3) en el Ejemplo 1.7. (Si no pareciera tan extra˜ no. . 9.1. tenemos x ≤ y si y s´olo si f (x) f (y). . pero que posea un elemento m´aximo. y encuentra un ejemplo de un poset con un elemento maximal pero que no tenga m´aximos. y ∈ X. xk Rx1 (decimos que R es ac´ıclico).. n} ordenado por la relaci´ on de divisibilidad | (ver Ejemplo 1. 7. ∗ Sea cualquier orden (parcial) sobre un conjunto X.7 Conjuntos ordenados 49 (c) R \ S (d) R ◦ S. . que “parecen ser iguales” desde el punto de vista del orden) si existe una biyecci´ on f : X → Y tal que para cada x.7. Sea (X. se cumple x a. ) un poset. .7. 3. . ) 11. ). (a) Decide si cada subconjunto no vac´ıo de N tiene un supremo. (d) ¿Puedes encontrar una cantidad infinita de o´rdenes lineales no isomorfos en N? ¿Una cantidad no numerable (para los lectores que saben algo sobre cardinales de conjuntos infinitos)? 10. 12. (a) Comprueba que cada subconjunto A ⊆ X tiene como m´aximo un supremo y un ´ınfimo. Considera el poset (N. (b) Decide si cada subconjunto finito no vac´ıo de N tiene un supremo. ⊆) es isomorfo a (X.50 Introducci´ on y conceptos b´asicos (b) Prueba que cualquier par de conjuntos de n elementos linealmente ordenados son isomorfos. (c) Encuentra dos o´rdenes no lineales isomorfos del conjunto de todos los n´ umeros naturales. si a s para todo a ∈ A. (En el Ejercicio 9 definimos el isomorfismo de un poset. se denota por sup A. Un elemento s ∈ X se llama supremo del conjunto A si se cumple lo siguiente: a s para cada a ∈ A. ∗ Prueba que para cada poset finito (X. si existe. Sea (X.) (b) ¿Cu´ al es el elemento supremo del conjunto vac´ıo (de acuerdo con la definici´ on que acabamos de dar)? (c) Encuentra un ejemplo de un conjunto en el que cada subconjunto no vac´ıo tenga un ´ınfimo. ) un poset en el que cada subconjunto (incluido el conjunto vac´ıo) tiene un supremo. El ´ınfimo de un subconjunto A ⊆ X se define de forma an´ aloga. Prueba que cada subconjunto tiene tambi´en un ´ınfimo. ) un poset y sea A ⊆ X un subconjunto. pero con todas las desigualdades en sentido contrario. De forma similar ´ınf A denota el ´ınfimo. (d) ∗ Sea (X. (c) Decide si cada subconjunto no vac´ıo tiene un ´ınfimo. (El supremo de A. entonces s s . . ) existe un conjunto finito A y una familia M de subconjuntos de A tal que el conjunto ordenado (M. donde s es alg´ un elemento de X. pero que contenga subconjuntos no vac´ıos sin supremo. |) (ordenado por divisibilidad).