Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero Introducción Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones. Las redes de transporte, eléctricas y de comunicaciones predominan en la vida diaria. La representación de redes se utiliza de manera amplia en áreas tan diversas como producción, distribución, planeación de proyectos, localización de instalaciones, administración de recursos y planeación financiera, por mencionar solo algunos ejemplos. En realidad, una representación de redes proporciona un poderoso apoyo visual y conceptual para mostrar las relaciones entre las componentes de los sistemas, de tal modo que se usa casi en todos los ámbitos científicos, sociales y económicos. Uno de los mayores desarrollos recientes en investigación de operaciones (IO) ha sido el rápido avance tanto en la metodología como en la aplicación de los modelos de optimización de redes. La aparición de algunos algoritmos ha tenido un efecto importante, al igual que las ideas de ciencias de la computación acerca de estructuras de datos y la manipulación eficiente de éstos. En la actualidad se dispone de algoritmos y paquetes de computadora que se usan en forma rutinaria para resolver problemas muy grandes que no se habrían podido manejar hace dos o tres décadas. Muchos modelos de optimización de redes son en realidad tipos especiales de problemas de programación lineal. Por ejemplo, tanto el problema de transporte como el de asignación, que se presentaron en el capítulo anterior, pertenecen a esta categoría debido a su representación mediante una red. Uno de los ejemplos de programación lineal que se presentó en la sección 3.4 también es un problema de optimización de redes. Éste es el ejemplo de la Distribution Unlimited Co, que desea saber cómo repartir sus bienes en la red de distribución que se muestra en la figura 6.13. Este tipo especial de problema de programación lineal, llamado de flujo de costo mínimo se presenta en la sección 9.6. Se volverá a analizar este ejemplo en particular en esa sección y después se resolverá con la metodología de redes en la sección siguiente. En este capítulo solo serán planteadas las bases de la metodología de redes actual. Sin embargo, se presentará una introducción a cinco tipos importantes de problemas de redes y algunas ideas básicas sobre cómo resolverlos (sin profundizar en los aspectos de estructuras de bases de datos, tan vitales para la aplicación exitosa en los problemas a gran escala). Los tres primeros tipos de problemas el de la ruta más corta, el del árbol de mínima expansión y el del flujo máximo tienen una estructura específica que surge con frecuencia en la práctica. El cuarto tipo problema del flujo de costo mínimo proporciona un enfoque unificado de muchas otras aplicaciones debido a su estructura mucho más general. Esta estructura es tan general que incluye como casos especiales el problema de la ruta más corta y el de flujo máximo, al igual que los problemas de transporte y de asignación del capítulo 8. En razón de que el problema del flujo de costo mínimo es un tipo especial de problema de programación lineal, se puede resolver en forma eficiente mediante una versión simplificada del método símplex llamada método símplex de redes. (No se presentarán problemas de redes aún más generales cuya solución es más complicada). El quinto tipo de problemas de redes que se considera aquí implica la determinación del modo más económico de realizar un proyecto de forma que éste pueda terminarse en su fecha límite. Se utiliza una técnica llamada método CPM de trueques entre tiempo y costo para formular un modelo de red del proyecto y los trueques entre tiempo y costo para sus actividades. Después se utiliza el análisis de costo marginal o la programación lineal para resolver el plan de proyecto óptimo. Asesoría didáctica Durante este primer periodo usted revisará los capítulos 6 y 10, del texto guía Introducción a la Investigación de Operaciones, contenido que le servirá para desarrollar la actividad. Adicionalmente, usted dispondrá de ejemplos relacionados con el tema de estudio en esta asesoría. La técnica del árbol de expansión mínima implica conectar todos los puntos de una red al mismo tiempo que se minimiza la distancia entre ellos. Ha sido aplicada, por ejemplo, por compañías 1. Ray Desing. Florida. Inc. encontrar y conectar el nodo más cercano que no esté conectado. Esto implica pasar por varias ciudades. encuentra la ruta más corta una serie de destinos. Es de notar que la distancia colocada en la casilla junto . hay ocho casas en el golfo. Encuentre el siguiente nodo más cercano al origen (planta) y coloque la distancia en una casilla junto al nodo. Encuentre el nodo más cercano al origen. Por cada nodo que haya en esta trayectoria. por ejemplo. Repetir el tercer paso hasta que todos los nodos estén conectados. disminuye la capacidad de flujo en la dirección del flujo en la cantidad C. se utiliza la técnica del árbol de expansión mínima para determinar la distancia mínima que puede ser utilizada para conectar todos los nodos. incremente la capacidad de flujo en la dirección inversa en la cantidad C. 2. Melvin Lauderdale. 3. sillas y otros muebles de la fábrica al almacén. debe determinar la forma más barata de suministrar agua y electricidad a cada casa. la que en la actualidad está desarrollando un lujoso proyecto residencial en Panamá City Beach. 4. entonces se llegó a la solución óptima. Ahora. En otras palabras. Considere la de Lauderdale Construction Company. Técnica del flujo máximo Cuatro pasos de la técnica de flujo máximo 1. 2. es de 300 pies. (Se coloca un 3 entre los nodos 1 y 2). La distancia entre la casa 1 y 2. Conectar este nodo al nodo más cercano que minimice la distancia total. La distancia entre cada una de ellas en cientos de pies se muestra en la red. Localice el arco en la trayectoria con la capacidad del flujo más pequeña disponible. Repita estos pasos hasta que ya no sea posible incrementar el flujo. 2. Un empate sugiere que puede haber más de una solución óptima. La red de casas se muestra en la figura 10.Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero telefónicas para conectar varios teléfonos entre sí al mismo tiempo que se minimiza la longitud total del cableado necesario. Si no existe ninguna trayectoria con flujo. Seleccionar cualquier nodo de la red. Como se ve en esa figura. Pasos de la técnica de la ruta más corta 1. En algunos casos. Elija cualquier trayectoria del inicio (origen) a la terminación (destino) con algo de flujo. Repita este proceso hasta que haya recorrido toda la red. 3. Ray desea encontrar la ruta de menor extensión. Técnica de la ruta más corta La técnica de la ruta más corta señala la forma en que una persona o artículo puede viajar de un lugar a otro al mismo tiempo que se minimiza la distancia total recorrida. propietario y presidente de Lauderdale Construction. Considerando todos los nodos que ahora están conectados. Coloque la distancia en una casilla junto al nodo. Por cada nodo que haya en esta trayectoria. seleccionar uno arbitrariamente. Todos los días. Llame C a esta capacidad. La última distancia en el nodo final será la distancia de la ruta más corta. se tendrán que revisar varias trayectorias para encontrar el nodo más cercano 3. Si hay un empate para el nodo más cercano. El método se describe como sigue: Pasos de la técnica del árbol de expansión mínima 1. Ésta representa la capacidad máxima adicional que puede ser asignada a esta ruta. transporta camas. 4. sin necesidad. (Este paso se repetirá paran n =1.) Candidatos para n-ésimo nodo más cercano: cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato. esto es.1. tiempo. 3.Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero a cada nodo es la ruta más corta a este nodo. Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras.) Datos de la n-ésima iteración: n -1 nodos más cercanos al origen . donde el empate del segundo nodo más cercano permite pasar directo a buscar el cuarto nodo más cercano. después de quitar los que no sirven (los que no tienen conexión directa con nodos no resueltos).1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante con solo las ligaduras seleccionadas forme un árbol de expansión. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red. en la que la información dada incluye alguna medida de longitud positiva distancia. Se utilizan estas distancias como resultados intermedios para encontrar el siguiente nodo más cercano. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos. No deben usarse más ligaduras puesto que ello aumentaría. Los dos problemas involucran también el hecho de seleccionar un conjunto de ligaduras con la longitud total más corta entre todos los conjuntos de ligaduras que satisfacen cierta propiedad. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos. En el caso del problema de la ruta más corta.1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva de cada una si se insertan en la red. La primera columna (n) indica el número de la iteración.2 se encuentran los resultados que se obtuvieron al aplicar el algoritmo anterior. (Los empates proporcionan candidatos adicionales. 2 hasta que el n-ésimo nodo más cercano sea el nodo destino. Algoritmo de la ruta más corta Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen. Una red con n nodos requiere de solo (n . El problema del árbol de expansión mínima se puede resumir de la siguiente manera: 1. la longitud total de las ligaduras seleccionadas. y su ruta más corta es la que genera esta distancia. Las (n . Aplicación de este algoritmo al problema de la ruta más corta de Seervada Park La administración de Seervada Park necesita encontrar la ruta más corta desde la entrada del parque (nodo O) hasta el mirador (nodo T) a través del sistema de caminos que se presenta en la figura 9. el resto son nodos no resueltos. se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. En la tabla 9. etc. costo.) Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos. costo y tiempo. incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen. En ambos casos se considera una red no dirigida y conexa. esta propiedad es que la ligadura seleccionada debe proporcionar una trayectoria entre el origen y el destino.que se encontró en las iteraciones previas.) 2. La segunda proporciona una lista de los nodos resueltos para comenzar la iteración actual. según la definición que . el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. PROBLEMA DEL ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA El problema del árbol de expansión mínima tiene algunas similitudes con la versión principal del problema de la ruta más corta que se presentó en la sección anterior. asociada con cada ligadura. (Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano los empates proporcionan nodos resueltos adicionales. Para el árbol de expansión mínima la propiedad que se requiere es que las ligaduras seleccionadas deben proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Las ligaduras de la figura 9.5 ilustra el concepto de árbol de expansión del problema de Seervada Park (sección 9. uno para cada uno de estos dos conjuntos de nodos.1). A. Diseño de una red de tuberías para conectar varias localidades. Se necesita una ligadura más para hacer esta conexión. 1.2. La figura 9. es una gráfica conexa según la definición de la sección 9. Diseño de una red de líneas de transmisión de energía eléctrica de alto voltaje.5c. 3. pues en una red de telecomunicaciones solo es necesario insertar suficientes ligaduras para que proporcionen una trayectoria entre cada par de nodos. Esta condición se logra en la figura 9. en la sección 9. pero no es un árbol porque tiene dos ciclos (O-A-B-C-O y D-T-E-D). de modo que el diseño de tales redes es una aplicación clásica del problema del árbol de expansión mínima. B y C no están conectados con los nodos D.5a no es un árbol de expansión.2. En esta era de la supercarretera de la información. 4. La figura 9. carreteras. etcétera). E y T.5 Ilustración del definición del árbol de expansión mínima del problema de Seervada Park: a) no es un árbol de expansión.1 = 6 ligaduras y ningún ciclo para calificar como árbol de expansión.Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero se presentó en la sección 9. 2. Por lo tanto. tiene demasiadas ligaduras. (Se verá que esta solución no es óptima.5b sí se expanden por toda la red es decir. telefónica. las aplicaciones del primer tipo han cobrado una importancia especial. esto es. En realidad. 5. Debido a que en la actualidad algunas redes de comunicación cuestan muchos millones de dólares. de televisión por cable. Diseño de redes de telecomunicación (redes de fibra óptica. puesto que es posible construir un árbol de expansión con solo 14 millas en sus ramas. . Como el problema de Seervada Park tiene n = 7 nodos. de computadoras. el problema es encontrar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras. por lo que esta red es una solución factible con una longitud total de 24 millas en las ramas o ligaduras para el problema del árbol de expansión mínima. b) no es un árbol de expansión.) Algunas aplicaciones A continuación se proporciona una lista de algunos tipos importantes de aplicaciones de este problema. etcétera).2 se indicó que una red debe tener exactamente n . pues los nodos O. Diseño de una red de cableado de equipo eléctrico como sistemas de cómputo para minimizar la longitud total de cable. • FIGURA 9. esta red consta de dos árboles. es muy importante optimizar su diseño al encontrar el árbol de expansión mínima. Diseño de redes de transporte para minimizar el costo total de proporcionar las ligaduras (vías ferroviarias. bi = 0 Si es un nodo de trasbordo. Si se usa la convención de que las sumas se toman solo sobre arcos existentes. donde El valor de bi > 0 Si i es un nodo fuerte. por tanto. la diferencia es el flujo neto generado en este nodo. Para cada nodo i. la formulación de programación lineal de este problema es la primera suma de las restricciones de los nodos representa el flujo total que sale del nodo i mientras que la segunda representa el flujo total que entra al nodo i. Y la información dada incluye c ij = Costo de oportunidad de flujo a través del arco i→ j u ij = Capacidad del arco i → j bi = Flujo neto generado por el nodo i bi . Depende de la naturaleza del nodo i. n Minimizar n Z = ∑∑ c ij x ij .j. Las variables de decisión son Flujo a través del arco i .Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero Formulación del modelo Considere una red conexa dirigida en la que los o nodos incluyen al menos un nodo origen y un nodo destino. Y 0 ≤ x ij ≤ u ij . Para cada arco i → j. El objetivo es minimizar el costo total de enviar los recursos disponibles a través de la red para satisfacer la demanda. bi < 0 Si i es un nodo demanda. . i =1 j =1 Sujeta a: n n j =1 j =1 ∑ xij − ∑ x ji = bi . pero al formular (o reformular) un problema de manera que sus coeficientes de restricción tengan este patrón es una buena forma de hacerlo. que se dan en alguna aplicación violan esta condición. donde xij se en todo el modelo. Por fortuna. una opción apropiada para “el desarrollo del sistema” es numero de brigadas medicas todavía disponibles para ser asignadas a los países restantes (n…………. Es decir. x + Lij ´ ij el flujo que pasa por cada xij´ = xij − Lij .1. ¿Cómo se puede describir el estado de la situación? ¿Qué información sobre el estado actual de las cosas se necesita para determinar la política optima de aquí en adelante? Con esta base. 2. En algunas aplicaciones es necesario tener una cota inferior i → j. para una red diseñada en forma razonable. la condición necesaria más importante es la siguiente. que el flujo total generado por los nodos origen es igual al flujo total absorbido por los nodos destino. De cualquier manera. este tipo de solución está garantizada sin tener que establecer restricciones enteras de manera explícita sobre las variables.Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero El patrón de los coeficientes de estas restricciones de nodo es una característica importante de los problemas de flujo de costo mínimo. la interpretación más común es que los recursos o las demandas lo que se tenga en exceso representan en realidad cotas superiores y no cantidades exactas. =5 . se agregó un destino ficticio para recibir los recursos que sobraban o bien se añadió un origen ficticio para enviar el exceso de demanda. . Si los valores de bi . Formulación. Propiedad de soluciones factibles: una condición necesaria para que un problema de flujo de costo mínimo tenga soluciones factibles es que n ∑b i =1 i = 0. El paso análogo es agregar un nodo de demanda ficticio para absorber el exceso de recursos se agregan arcos con cij = 0 desde todos los nodos origen hasta este nodo. pues esto depende en parte de qué arcos están presentes en la red y de sus capacidades. ¿Qué es lo que cambia de una etapa a la otra? Dado que se han tomado las decisiones en las etapas anteriores. o bien agregar un nodo origen ficticio para generar un flujo equivalente al exceso de demanda se agregan arcos con cij = 0 de este nodo a todos los nodos de demanda. cuando todavía quedan por asignar brigadas a los tres países. en la etapa 1 (país 1). No se garantiza que el problema tenga soluciones factibles. No siempre es fácil reconocer un problema de flujo de costo mínimo. arco sustituye por Lij > 0 para Cuando esto ocurre se hace una conversión de variables. En muchas aplicaciones. las cantidades las cantidades de flujo xij bi y u ij tendrán valores enteros y la solución requerirá que también sean enteras. Las (n=1. Lo anterior permite resolver el problema de manera muy eficiente mediante el método símplex de redes.3). variables de decisión La identificación de los estados puede no ser tan evidente. Esto se debe a la siguiente propiedad. igual que para el problema de transporte. Para determinarlos se hacen preguntas como las siguientes.3) son el numero de brigadas que se asignan a la etapa (país) n. A pesar de que no existe una secuencia fija. Cuando esta situación surgió en el problema de transporte de la sección 8. Este problema requiere tomar tres decisiones interrelacionadas: cuantas brigadas conviene asignar a cada uno de los tres países. Así. a fin de ajustarlo al formato anterior con restricciones de no negatividad. estos tres países se pueden considerar como las tres etapas en la formulación de programación dinámica. incluidos en la última columna de la tabla 10. =0. sea y Maximizar ) la medida de desempeño brigadas medicas al país i según los datos de la tabla 10. = (Con )+ definido como cero). 4 o 5. 2. Los números al lado de las ligaduras son las contribuciones correspondientes a la medida de desempeño. es exactamente 5 menos el numero de brigadas asignadas en etapas anteriores. A continuación se presentan los cálculos que resultan de la programación dinámica. en las etapas 2 o 3 (países 2 o 3). los cuales se tomaron de la tabla 10. se deben considerar todos los estados posibles al iniciar la etapa 2 o 3. Además.5 se resumen estas relaciones básicas. se observa que los valores de ). Las ligaduras (segmentos de recta) indican las transiciones posibles de estados de una etapa ala siguiente después de hacer una asignación factible de brigadas médicas al país en cuestión.1.3.1. En consecuencia. En la figura 10. para n=1.2. Donde el máximo se toma sobre las tales que = Y las son enteros no negativos. cuando se trabaja e la etapa 2 o 3 todavía no se han obtenido las asignaciones de las etapas anteriores. que se obtiene si se asignan el objetivo es elegir ( para ). Por tanto. Desde la perspectiva de esta figura. el problema global es encontrar la trayectoria del estado inicial 5 (inicio de la etapa 1) al estado final 0 (después de la etapa 3) que maximice la suma de los números a lo largo de la ruta. 2.2. . Debido al procedimiento de programación dinámica que resuelve hacia atrás etapa por etapa. es decir. Y Las son enteros no negativos Si se usa la notación que se presento en la sección 10. 3. 1. En el caso de la última etapa (n=3) = . la relación recursiva que enlaza la funciones = en este problema es .4 se muestran los estados que deben considerarse en cada etapa.1.Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero Sin embargo. = Por lo tanto. para n=1. se observa que = + máx es ). En la figura 10. de manera que la secuencia de estados es =5 =5-x = . Para establecer el problema completo en forma matemática. A partir de la última etapa (n=3). Procedimiento de solución. aumentan hacia debajo de la columna. Sujeta a =5. Entonces. Este diagrama corresponde a la figura 10. La siguiente grafica ilustra esta situación cuando =2.1 se muestra junto a que provienen de la tabla para n=3 y que se dan junto a los nodos de la etapa 3. =0.. esto es. mientras que si =1 se llega al estado 1 y =2 conduce al estado 0. es difícil contratar y costoso capacitar a los operadores de las maquinas. Con objetivo de determinar se necesita calcular y comparar para los distintos valores posibles de . si =0. n=3: brigadas.5. como se ( ) 0 1 2 3 4 5 0 50 70 80 100 130 0 1 2 3 4 5 Ahora el proceso se mueve hacia atrás para comenzar la penúltima etapa (n=2). A continuación se proporcionan las estimaciones sobre la mano de obra que se requerirá durante las cuatro temporadas del año en un futuro cercano: Temporada Primavera requerimientos 255 verano 220 otoño 240 invierno 200 primavera 255 . Más aun.=2-0=2. el máximo de de manera automática cundo se asignan todas las puede ver en la siguiente tabla. Los valores correspondientes de as ligas y los valores de ( ) en la columna del país 2 de la tabla 10. así = y ( )= ) se logra ). por lo que el administrador rechaza la idea de despedir trabajadores durante las temporadas bajas. Sin embargo. Tampoco quiere mantener su nomina de temporadas altas cundo no se requiere. . no es posible acumular un inventario durante las temporadas bajas por tanto la administración tiene que determinar cuál debe ser la política sobre los niveles de empleados.. salvo que ahora se muestra los tres estados posibles en la etapa 3.Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero Entonces si se dispone de brigadas medicas para asignar al país 3. en forma definitiva se opone a pagar tiempo extra en forma regular. Los cálculos requeridos para el caso de EJEMPLO 4 =2 se resumen abajo: Programación del nivel de empleados La carga de trabajo del LOCAL JOB SHOP está sujeta a grandes fluctuaciones que dependen de la temporada. Así.……….1. el estado que resulta de la etapa 3 será . Como todos los trabajos se hacen sobre pedido. 3 se proporciona un resumen de los datos anteriores.Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero No se permitirá que en el nivel de empleados baje de estos niveles. en la tabla 10. = ) para . Se estima que los costos de contratación y despido son tales que el costo de cambiar el nivel de empleados de una temporada a siguiente es igual a $200 multiplicado por el cuadrado de la diferencia de nivel. 3. el estado de la etapa n es Estado = Cuando n=1. en primavera el número de empleados deberá ser de 255 y el problema se reduce a encontrar el nivel de las otras tres temporadas. Observe que el costo de la etapa actual depende solo de la decisión que se tome en esa etapa y . Si el análisis se basa en los datos disponibles. Etapa 1= verano. (con )]. Por ello. Sea = mano de obra mínima que se requiere en la etapa n. Etapa 2= otoño. Así. =220. como se resume en seguida. y los datos de costos se aplican igual a estas fracciones. Sin embargo. En realidad existe un número indefinido de etapas pues el problema se proyecta hacia un futuro indefinido. Si se hace referencia a los datos de costo que se proporcionaron en el enunciado del problema. =200 y =255. se tiene Costo en la etapa n=200 +2000( ). Formulación. Es necesario que la temporada de primavera sea la última etapa porque debe conocerse o poderse obtener el valor optimo de la variable de decisión de cada estado en esta última etapa. que corresponde a los requerimientos de la temporada pico. = = =255. . Etapa 4= primavera. = nivel de empleados de la etapa n (n=1. El objetivo de este problema es elegir a Minimizar Sujeta a +2000( . cada año comienza un ciclo idéntico y. 2. En todas las demás etapas. sin tener que considerar otras. las temporadas deben ser las etapas. la solución del nivel óptimo de empleo debe tomar en cuenta el efecto sobre los costos de la siguiente temporada. Para facilitar la referencia cuando se trabaje en el problema. puede observarse que no vale la pena que ningún nivel de empleo sea mayor que 255. Así los únicos son valores factibles de 255. Para la formulación de programación dinámica. Etapa 3= invierno. De esta manera. es factible tomar en cuenta solo un ciclo de cuatro temporadas que termine en primavera. el nivel de empleados anterior es toda la del número de empleados de la etapa anterior información sobre el estado actual que se necesita para determinar la política óptima de ahí en adelante. Cualquier contratación más alta se desperdicia con un costo aproximado de $2000 por persona por temporada.4). como se conoce un nivel de empleados de la primavera. Es posible contar con niveles fraccionales gracias a que hay algunos empleados de tiempo parcial. Donde estos requerimientos se dieron antes como = =240. 3 Datos del problema del local de Job Shop n Factible Posible = costo =255 1 220 220 255 2 240 240 255 220 255 3 200 200 255 240 255 4 255 200 255 255 200 2000 200 2000 200 2000 200 FIGURA 10. la relación recursiva entre las funciones . Entonces. para i=1. =200 Con +2000 + definida como cero. 3.4.8 Estructura básica del problema del local Job Shop.4). = . También. de la etapa n en adelante (n=1. 2. Entonces.8 se presenta un resumen de estas relaciones básicas. debido a que =200 = +2000 +2000( + )]. En la figura 10. pues los costos después de la etapa 4 son irrelevantes para el análisis. 2.Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero = 255. 3. Donde esta sumatoria es igual a cero cuando n= 4 (porque no tiene términos). En consecuencia. TABLA 10. ) con respecto a )+2000+400(255) . La programación dinámica utiliza esta relación parar identificar en forma sucesiva estas funciones -. . Procedimiento de solución. Una manera de obtener el valor de que minimiza método grafico que se muestra en la figura 109. y la correspondiente que minimiza. ) . ( ) para cualquier valor dado de Sin embargo.Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero = 200 +2000 + }. Etapa 4: si se inicia en la última etapa (n=4). tiene un valor fijo (aunque desconocido). una forma más rápida es usar cálculo. Se iguala a cero la primera . es el que minimiza. se case que manera que los resultados son: =255. ( )=400( =400(2 =0 Lo que conduce a = . Se quiere obtener el valor de en términos de donde derivada (parcial) de ( . son . la relación recursiva se reduce a = 200 +2000 200 = +2000 Donde los valores posibles de + + }. }. de n=4: 200 255 200 255 Etapa 3: en el caso del problema que consiste nada mas en las dos últimas etapas (n=3). se obtiene como una función de .Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero FIGURA 10. al utilizar = =200 +200 ) +2000( Y reducir de manera algebraica esta expresión. para todos los valores posibles de (240 255). Para n= 2. E lugar de ello. por lo que ya nos es fatible obtener por para cada valor de separado el valor de incógnita . ( . Ahora se tiene un número infinito de estados posibles (240 255). sin duda se trata del mínimo que se busca.9 Solución grafica de ( ) del problema de Local Job Shop. Observe que la diferencia clave entre la naturaleza d esta solución y la que se obtuvo en los ejemplos anteriores en done solo había que considerar unos cuantos estados posibles. Como la según derivada es positiva y como esta solución se encuentra en el intervalo factible de (200 255). )=200 +2000( )+ . se obtienen los resultados que se requieren para el problema de la tercera atapa. que se resumen se la siguiente manera: n=3 240 255 50 +50 +1000( ) Etapa 2: los problemas de la segunda etapa (n= 2) y la primera etapa (n= 1) se resuelven en forma parecida. 255 y la región factible de . )>0. Este valor de sería el valor que da el mínimo si fuera factible (240 valores posibles de (220 En consecuencia. Puesto que ( . Con esto se obtiene . en ( . )=200 . < 240. que minimiza ( ). El siguiente paso es sustituir estos valores de ( 255. . 240 para 245 y . )=600>0. De manera que 255). En el caso de los 255). todavía es necesario obtener el valor factible de 255. de modo que Si se iguala acero la derivada parcial respecto de ( es 240 : )-100(260 )+100 ) . ). La clave para analizar el comportamiento de 220 es nuevamente la derivada parcial de de ( . de hecho esta solución es factible solo si 240 Para 240 ( . ) para obtener n=2: 220 245 240 255 200 +115000 + + ) ]+2000( Etapa 1: en el problema de la primera etapa (n= 1). El en este intervalo. Cuando . ) cuando =240 es el valor deseado que minimiza. )=400( ). ( ) dentro de la región factible 255. )+2000-100(250 =200(3 =0 Se obtiene = 255. <240.Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero =200 +2000( ) +50 +50 +1000( son 220 Los valores posibles de problema es minimizar el valor de = ( . )= ( . Se establece ( . de manera que ). por lo que )= Para toda <0 240. ) en . En consecuencia. la región factible para los dos intervalos 220 es 220 240 y 240 255. También minimiza ( . =255 (nivel de empleados en primavera). Si se considera primero el caso en donde 220 ( . ) en la región 255. ) en la región =247. se concluye que =247.entones. =240 minimiza ( ( . )= ( . ( . .5 minimiza el valor de . )>0 +2000 Como para toda . ) en la región 240 220 Cuando 240 255. )> ( . Por tanto.5. 240 se tiene +2000 = Se sabe que es diferente en . se puede concluir que toda la región factible 220 255. 240 es el valor que minimiza a ( . )=0 Lo que conduce a .Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero Como =220. Observe que esta región (240 255) incluye =240. En el penúltimo párrafo se encontró que 220 ( 240. La expresión para 255 de esta región. Como 240 =255. =255. Estos resultados se resumen se la siguiente manera: n= 1: 255 185000 247. Es necesario considerar los siguientes puntos: Cuatro pasos de la técnica de flujo máximo 1.1.Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero El ultimo calculo se hace para encontrar ( . minimizar la distancia total por medio de la técnica del árbol de expansión mínima. 4. respectivamente. al mismo tiempo.n= 3 y n= 4. Localice el arco en la trayectoria con la capacidad del flujo más pequeña disponible. Repita estos pasos hasta que ya no sea posible incrementar el flujo. Entonces. =200 +2000( ) =185000. la solución optima que se obtiene es =247. con un costo estimado total por ciclo de $185000. =245 =247. resuelva los problemas: 9. Por cada nodo que haya en esta trayectoria.5. al regresar a través de las tablas que se obtuvieron para n= 2. disminuye la capacidad de flujo en la dirección del flujo en la cantidad C. Conectar todos los puntos de una red y. y establecer cada vez = .5.6 que se refieren a la técnica del flujo máximo.5. página 381.5 Por tanto. Pasos de la técnica de la ruta más corta . Planteamiento Objetivo Del texto guía Introducción a la investigación de operaciones de Hillier del capítulo 9.5 en la expresión 255. Actividades de aprendizaje Actividad de aprendizaje 1. Elija cualquier trayectoria del inicio (origen) a la terminación (destino) con algo de flujo. Ésta representa la capacidad máxima adicional que puede ser asignada a esta ruta.3 y 9. Llame C a esta capacidad.5. Orientaciones didácticas 2. ) que se cumplen para 240 para =255 al sustituir =247. entonces se llegó a la solución óptima. incremente la capacidad de flujo en la dirección inversa en la cantidad C. 3. Por cada nodo que haya en esta trayectoria. Si no existe ninguna trayectoria con flujo. El efecto de la política de decisión en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con el inicio de la siguiente etapa. Actividad de aprendizaje 1. El problema se puede dividir en etapas. El número de estados puede ser finito como en el problema de la diligencia— o infinito. es decir. Los estados asociados con cada etapa del problema de la diligencia son los estados (o territorios) en los que el caza-fortunas puede encontrarse al iniciar esa jornada específica del viaje. los estados son las distintas condiciones posibles en las que se puede encontrar el sistema en cada etapa del problema.2. el objetivo corresponde a encontrar la trayectoria más corta o bien la más larga a través de la red. tendrá que revisar varias trayectorias para encontrar el nodo más cercano. A continuación se presentan y estudian estas características básicas que distinguen a los problemas de programación dinámica.3. Objetivo Determinar el flujo máximo a través de la red por medio de la técnica de flujo máximo. En algunos casos. Este procedimiento sugiere que los problemas de programación dinámica se pueden interpretar en términos de las redes descritas en el capítulo 9. página 423.2. En general. La última distancia en el nodo final será la distancia de la ruta más corta. La red consistiría en columnas de nodos. Cada etapa tiene cierto número de estados asociados con su inicio. Se utilizan estas distancias como resultados intermedios para encontrar el siguiente nodo más cercano. una receta para .11 que se refieren a las características de los problemas de programación dinámica. resolver los problemas 10. 1. Encuentre el siguiente nodo más cercano al origen (planta) y coloque la distancia en una casilla junto al nodo. cada una de las cuales requiere de una política de decisión. 2. donde cada columna corresponde a una etapa. en forma tal que el flujo que sale de un nodo solo puede ir a un nodo de la siguiente columna a la derecha. La decisión del caza-fortunas sobre su siguiente destino lo conduce de su estado actual al siguiente estado en su viaje. como en otros ejemplos subsecuentes. quizá según una distribución de probabilidad. El valor asignado a cada rama que conecta dos nodos puede interpretarse algunas veces como la contribución inmediata a la función objetivo que se obtiene al tomar esa política de decisión. Criterios de evaluación Desarrollo de los ejercicios y la evaluación de los mismos. Es de notar que la distancia colocada en la casilla junto a cada nodo es la ruta más corta a este nodo.Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero 1. Orientaciones didácticas 3. Planteamiento Del texto guía Introducción a la investigación de operaciones de Hillier del capítulo 10. 2. Repita este proceso hasta que haya recorrido toda la red. 4. El procedimiento de solución está diseñado para encontrar una política óptima para manejar el problema completo. Coloque la distancia en una casilla junto al nodo. En la mayor parte de los casos. Cada nodo corresponde a un estado.1 y 10. Encuentre el nodo más cercano al origen. en vez de solo especificar una solución óptima secuencia óptima de decisiones. el procedimiento de solución se basa en construir una tabla de cada etapa (n) que prescribe la decisión óptima para cada estado posible (s). Dado el estado actual. Formato de entrega Archivo de Microsoft Office 2003. estos serán incluidos como parte del examen o en un anexo”. Enviar a Envíe las actividades de aprendizaje a través de la plataforma.Nombre. en un archivo cuyo nombre debe ser: Formato: Preguntas o dudas G#. Actividad de aprendizaje 1. 5. El tutor de la asignatura Puntaje 10 10 20 . Por tanto. Criterios de evaluación Desarrollo de los ejercicios y la evaluación de los mismos.Apellido.Apellido. Este es el principio de optimalidad de la programación dinámica. los resultados muestran también cómo debe proceder el cazafortunas en caso de que sea desviado a un estado que no se encuentra en la ruta óptima. la programación dinámica proporciona este tipo de receta política sobre qué hacer en todas las circunstancias posibles (a esto se debe que la decisión real que se toma al llegar a un estado en particular se llama política de decisión). la decisión inmediata óptima depende solo del estado actual y no de cómo se llegó ahí. una política óptima para las etapas restantes es independiente de la política adoptada en etapas anteriores.2. EL EXAMEN SERÁ SIN CONSULTA. Puntaje por actividad Actividades de aprendizaje Actividad de aprendizaje 1. además de identificar las tres soluciones óptimas (rutas óptimas) del problema completo.Asignatura Envíe sus preguntas o dudas a través de la plataforma: utilice la sección Enviar correo y marque el nombre de su tutor. puede ser muy valioso en muchas situaciones que incluyen el análisis de sensibilidad. fórmulas. esquemas o gráficos. “En caso de que el examen sea estrictamente necesaria la consulta de tablas. Así.1. mediante la sección Contenidos.Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II Parcial de estudio: Primero elaborar la política de decisión óptima para cada etapa en cada uno de los estados posibles. En el problema de la diligencia. Proporcionar esta información adicional. En cualquier problema.