UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORINVESTIGACION DE OPERACIONES MATERIA, TALLERES Y TRABAJOS ROBERTO VEGA 15 MATERIA Es una ciencia matemática y estadística que optimiza la administración en términos generales. Es una ciencia bélica que se empleó en la Segunda Guerra Mundial Es operativa porque ayuda en el funcionamiento de una empresa o proyecto. En el uso de modelos matemáticos y modelos estadísticos se optimiza, maximiza recursos y minimiza costos y riesgos. Nace en el año 300 d.c. Se utilizó modelos matemáticos para predecir el gasto y el resultado de la 1era Guerra Mundial. La investigación de operaciones es la aplicación por grupos interdisciplinarios del método científico o problemas relacionados con el control de las organizaciones. Es una ciencia hibrida que nos sirve para tomar decisiones. La investigación de operaciones o investigación operativa o investigación operacional (conocida también como teoría de la toma de decisiones o programación matemática) (I.O.) es una rama de las matemáticas que consiste en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. Frecuentemente trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costos. Charles West Churchman y Russell L. Ackoff, filósofos de la investigación operativa, escribieron numerosos libros sobre la aplicación de sus técnicas en beneficio de la humanidad y de la sociedad fuera del ámbito militar. RusellAckoff dio en ocasiones asesoramiento al gobierno de México y de la UNAM (Universidad Nacional Autónoma de México) sobre métodos para mejorar la economía y la educación del pueblo de México, mismos métodos descritos en sus Fábulas de Ackoff. La investigación operativa es una moderna disciplina científica que se caracteriza por la aplicación de teoría, métodos y técnicas especiales, para buscar la solución de problemas de administración, organización y control que se producen en los diversos sistemas que existen en la naturaleza y los creados por el ser humano, tales como las organizaciones a las que identifica como sistemas organizados, sistemas físicos, económicos, ecológicos, educacionales, de servicio social, etcétera. El objetivo más importante de la aplicación de la investigación operativa es apoyar en la “toma óptima de decisiones” en los sistemas y en la planificación de sus actividades. El enfoque fundamental de la investigación operativa es el enfoque de sistemas, por el cual, a diferencia del enfoque tradicional, se estudia el comportamiento de todo un conjunto de partes o sub-sistemas que interaccionan entre sí, se identifica el problema y se analizan sus repercusiones, y se buscan soluciones integrales que beneficien al sistema como un todo. Para hallar la solución, la investigación operativa generalmente representa el problema como un modelo matemático, que se analiza y evalúa previamente. La investigación de operaciones es una ciencia interdisciplinaria. AREA DE APLICACIÓN Áreas funcionales, Una muestra de los problemas que la IO ha estudiado y resuelto con éxito en negocios e industria se tiene a continuación: Personal: La automatización y la disminución de costos, reclutamiento de personal, clasificación y asignación a tareas de mejor actuación e incentivos a la producción. Mercado y distribución: El desarrollo e introducción de producto, envasado, predicción de la demanda y actividad competidora, localización de bodegas y centros distribuidores. Compras y materiales: Las cantidades y fuentes de suministro, costos fijos y variables, sustitución de materiales, reemplazo de equipo, comprar o rentar. Manufactura: La planeación y control de la producción, mezclas óptimas de manufactura, ubicación y tamaño de planta, el tráfico de materiales y el control de calidad. Finanzas y contabilidad: Los análisis de flujo de efectivo, capital requerido de largo plazo, inversiones alternas, muestreo para la seguridad en auditorías y reclamaciones. Planeación: Con los métodos Pert para el control de avance de cualquier proyecto con múltiples actividades, tanto simultáneas como las que deben esperar para ejecutarse. Algunas personas se verían tentadas a aplicar métodos matemáticos a cuanto problema se presentase, pero es que ¿acaso siempre es necesario llegar al óptimo? Podría ser más caro el modelar y el llegar al óptimo que a la larga no ofrezca un margen de ganancias muy superior al que ya se tiene. Tómese el siguiente ejemplo: La empresa EMX aplica I.O. y gasta por el estudio y el desarrollo de la aplicación $100, pero después de aplicar el modelo observa que la mejora no es muy diferente a la que actualmente tenía. Puede señalarse, entonces, que la investigación de operaciones sólo se aplicará a los problemas de mayor complejidad, sin olvidar que el simple uso de la I.O. trae un costo que, si se supera el beneficio, no resultará económicamente práctico. Algunos ejemplos prácticos donde resulta útil la aplicación de I.O. son: Puede ser utilizada en la programación lineal (planificación del problema). pero aporta un marco de reflexión que ayude a la toma de decisiones. muchas veces la enumeración es imposible. que toman tiempos distintos y solo cuatro personas que pueden hacerlos. La teoría de juegos no permite siempre resolverlos formalmente. Dentro de este tipo de fenómenos se encuentran las líneas de espera y los inventarios con demanda probabilística. a problemas de control de sistemas organizativos con la finalidad de encontrar soluciones que atiendan de la mejor manera posible a los objetivos de la organización en su conjunto. la cual busca adaptarse a las condiciones variantes y particulares de los diferentes sistemas que puede afrontar. es útil cuando en los fenómenos estudiados interviene el azar. les permite tomar decisiones racionales. .O. En el dominio combinatorio. De igual manera. Cuando se observa que los métodos científicos resultan engorrosos para el conjunto de datos. Es importante resaltar que la investigación de operaciones no es una colección de fórmulas o algoritmos aplicables sistemáticamente a situaciones determinadas. Por ejemplo. No sustituye a los responsables de la toma de decisiones. Las simulaciones son experiencias artificiales. Si se cae en este error. usando una lógica y métodos de solución muy diferentes a problemas similares mas no iguales. La noción de esperanza matemática y la teoría de procesos estocásticos ofrecen la herramienta necesaria para construir el cuadro en el cual se optimizará la función económica. dándoles soluciones al problema obtenidas con métodos científicos. MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES La investigación operacional consiste en la aplicación del método científico. pero. Luego los métodos de secuenciación serán los más apropiados para este tipo de problemas. se cuenta con otra opción: simular tanto el comportamiento actual así como las propuestas y ver si hay mejoras sustanciales. Con mayor motivo. por parte de grupos interdisciplinarios. enumerar cada una de las combinaciones podría ser ineficiente (aparte de desanimante). en la programación dinámica (planificación de las ventas) y en la teoría de las colas(para controlar problemas de tránsito). la I. será muy difícil captar en condiciones reales los problemas que puedan deducirse de los múltiples aspectos de esta disciplina. si hay 200 trabajos por realizar. la investigación de operaciones se muestra como un conjunto de instrumentos precioso cuando se presentan situaciones de concurrencia. problemas estocásticos: son aquellos en los que parte de la información necesaria no se conoce con certeza. Un modelo es una abstracción selectiva de la realidad. un modelo de simulación divide el sistema representado en módulos básicos o elementales que después . Un modelo de decisión debe considerarse como un vehículo para resumir un problema de decisión en forma tal que haga posible la identificación y evaluación sistemática de todas las alternativas de decisión del problema. Una solución a un modelo. — Restricciones. para excluir alternativas infactibles. Para resolverlos. Aunque estos administradores pueden dar respuesta a algunos problemas con su experiencia. En cambio. no será útil a menos que el modelo mismo ofrezca una representación adecuada de la situación de decisión verdadera. lo que sí ocurre en el caso de los determinísticos. Tipos de Modelos de Investigación de Operaciones. ocurre que en el complejo mundo real muchos problemas no pueden resolverse con base en la experiencia. no obstante. sino que más bien se comporta de una manera probabilística.Entre los métodos utilizados por la investigación de operaciones (o ciencia de la administración). Modelo Matemático: Se emplea cuando la función objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión. El modelo de decisión debe contener tres elementos: — Alternativas de decisión. — Criterios para evaluar y clasificar alternativas factibles. Modelo de Simulación: Los modelos de simulación difieren de los matemáticos en que las relaciones entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita. de ser exacta. El modelo se define como una función objetivo y restricciones que se expresan en términos de las variables (alternativas) de decisión del problema. la investigación de operaciones los agrupa en dos categorías básicas: problemas determinísticos: son aquellos en que la información necesaria se conoce para obtener una solución con certeza. de las cuales se hace una selección. Después se llega a una decisión seleccionando la alternativa que se juzgue sea la mejor entre todas las opciones disponibles. los administradores utilizan las matemáticas y las computadoras para tomar decisiones racionales en la resolución de problemas. alguno de los datos importantes se consideran inciertos. Modelo de Hoja de Cálculo Electrónica: La hoja de cálculo electrónica facilita hacer y contestar preguntas de "que si" en un problema real. Modelo simbólico o matemático: Son representaciones de la realidad en forma de cifras. La elaboración de este modelo suele ser costoso en tiempo y recursos. curvas de demanda. pero esta flexibilidad no está libre de inconvenientes. En realidad es una herramienta más que un procedimiento de solución. Esto significa que todos los datos relevantes (es decir.1 Modelo Icónico: Una representación física de algunos objetos. Hasta ese grado la hoja de cálculo electrónica tiene una representación selectiva del problema y desde este punto de vista la hoja de cálculo electrónica es un modelo. . Modelos de Investigación de Operaciones de la ciencia de la administración: Los científicos de la administración trabajan con modelos cuantitativos de decisiones. ya sea en forma idealizada (Bosquejos) o a escala distinta. las operaciones de cálculos pasaran de un módulo a otro hasta que se obtenga un resultado de salida. símbolos matemáticas y funciones. Modelos Formales: Se usan para resolver problemas cuantitativos de decisión en el mundo real. Los modelos de simulación cuando se comparan con modelos matemáticos. para representar variables de decisión y relaciones que nos permiten describir y analizar el comportamiento del sistema: — Cuantitativos y cualitativos La mayor parte de los problemas de un negocio u organización comienzan con un análisis y definición de un modelo cualitativo y se avanza gradualmente hasta obtener un modelo cuantitativo. En los modelos probabilísticos (o estocásticos). planos y mapas (2D) Modelo Analógico: Puede representar situaciones dinámicas o cíclicas. Ejemplo. Por lo tanto. Por otra parte. los modelos matemáticos óptimos suelen poder manejarse en términos de cálculos. aunque debe especificarse la probabilidad de tales datos. son más usuales y pueden representar las características y propiedades de acontecimiento que se estudia. Algunos modelos en la ciencia de la administración son llamados modelos determinísticos.se enlazan entre si vía relaciones lógicas bien definidas. Ejemplo. los datos que los modelos utilizarán o evaluarán) se dan por conocidos. la investigación de operaciones se ocupa de la sistematización de los modelos cualitativos y de su desarrollo hasta el punto en que pueden cuantificarse. curvas de distribución de frecuencia en las estadísticas y diagramas de flujo. ofrecen mayor flexibilidad al representar sistemas complejos. A la programación dinámica pertenecen estos modelos. la solución está basada en una condición estática. Puede obtenerse una solución. — Probabilísticas y determinísticos Los modelos que se basan el as probabilidades y estadísticas y que se ocupan de incertidumbres futuras se llamas probabilísticas. en este modelo solo se intenta describir la situación y no escoger una alternativa. — Estáticos y dinámicos Los modelos estáticos se ocupan de determinar una respuesta para una serie especial de condiciones fijas que probablemente no cambiaran significativamente a corto plazo. los inventarios. los diagramas o series de valores que se obtienen mediante procesos matemáticos. Ejemplo. Con el uso de la computadora es fácil preparar un modelo simulado paso por paso donde se puede reproducir el funcionamiento de sistemas o problemas de gran escala. y los modelos que no tienen consideraciones probalísticas se llaman determinísticos. las matrices. una ecuación es un modelo de este tipo. Un modelo dinámico por el contrario está sujeto al factor tiempo que desempeña un papel esencial en la secuencia de las decisiones. etc. el cálculo de ganancias. enfocan su atención en aquellas circunstancias que no son críticas y en los que las cantidades son determinadas y exactas. Algunos de estos modelos se emplean para mostrar geográficamente una situación y ayudan al observador a evaluar resultados por secciones una sobre otra. es decir. sin embargo. — Estándares y hechos a la medida Se llaman modelos estándar a los que solo hay que insertar o sustituir diferentes valores con el fin de obtener un valor a una respuesta de un sistema y son aplicables al miso tipo de problemas en negocios. independientemente de cuales hayan sido las decisiones anteriores.Cuando es posible construir un modelo matemático insertando símbolos para representar relaciones entre constante y variables estamos ante un modelo cuantitativo. la programación lineal. el PERT. Las fórmulas. Los modelos que no se prestan para usar datos empíricos o simulados en forma aleatoria son modelos no simulados como los de optimización o los creados a medida. Cuando con la aplicación del modelo se llega a una solución óptima de acuerdo con los criterios de entrada se trata de un modelo de optimización. el cálculo de costos o gastos. — De simulación y no simulación. Se llaman modelos hechos a la medida cuando se crean modelos para resolver un caso de problema específico que se ajusta únicamente a este problema. los datos de entrada pueden ser reales o generados en forma aleatoria. Es un modelo de simulación. — Descriptivos y de optimización Cuando un modelo constituye sencillamente una descripción matemática de una condición real del sistema se llama descriptivo. PUNTO ÓPTIMO . ) Está constituida por un acercamiento científico a la solución de problemas complejos. la optimización y el control de sistemas estructurales en conocimiento a demás cosas. el consultor dispone de 84 días de tiempo de capacitación.000. el equipo directivo ha especificado que se deben ofrecer por lo menos 25 programas de capacitación durante este periodo. La investigación operacional tiene un rol importante en los problemas de toma de decisiones porque permite tomar las mejores decisiones para alcanzar un determinado objetivo respetando los vínculos externos. Cada programa sobre trabajo en equipo cuesta $10. En el caso particular de problemas de carácter económico. etc. TRABAJOS EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL DEL 36 AL 40 (GRUPO5) EJERCICIO 36 Como parte de una iniciativa de mejora de la calidad. prevalentemente matemáticos. Durante el trimestre siguiente.Es el punto donde la combinación de los recursos productivos de un proceso proporcionan máximos resultados y beneficios con mínimos recursos o esfuerzos. logístico.000 y cada programa sobre solución de problemas $8. Elabore un modelo de programación lineal que se utilice para determinar el número de programas de capacitación sobre trabajo en equipo y sobre solución de problemas que deben ofrecerse para minimizar el costo total. económico. ConsolidatedElectronics contrata a un consultor para que imparta dichos programas. de infraestructura. Además. no controlables por quien debe tomar la decisión. para la modelización. tiene características intrínsecamente multidisciplinares y utiliza un conjunto diversificado de instrumentos. OBJETIVOS Y METODOS El objetivo y finalidad de la investigación operacional es encontrar la solución óptima para un determinado problema (militar. la función objetivo puede ser obtener el máximo rendimiento o el menor costo. . los empleados de ConsolidatedElectronics completan un programa de capacitación de tres días sobre trabajo en equipo y otro de dos días sobre solución de problemas. El gerente de mejoramiento de la calidad ha solicitado que se ofrezcan por lo menos 8 programas de capacitación sobre trabajo en equipo y 10 sobre solución de problemas durante los seis meses siguientes. Por encima del óptimo no hay técnicamente otro punto mejor. S1. S4>=0 Construcción de un modelo matricial Trace la gráfica de la región factible.Min 10. S3.000A+8. B.000B+0S1+0S2+0S3+0S4 3A+2B+1S1=84 A+B-1S2=25 A-1S3=8 B-1S4=10 A. . S2. 000 EJERCICIO 37 . 10). B =17 Costo total = $216.Determine las coordenadas de cada punto extremo. A = 8. 10). (8. 17) Encuentre la solución de costo mínimo. Las coordenadas son (15. (21.33. 30). (8. 20. Este año la cooperativa lechera ofreció proporcionar hasta 8100 libras de queso cheddar suave por $1.New EnglandCheese produce dos quesos untables al mezclar queso cheddar suave con cheddar extra fi no. sin incluir el costo del queso.40 la libra.95 y cada envase de queso Zesty se vende en $2. es $0.20 la libra y hasta 3 000 libras de queso cheddar extra fi no por $1. Los quesos untables se empacan en envases de 12 onzas que se venden a distribuidores de todo el noreste. ¿cuántos envases de cada producto debe producir New EnglandCheese?. La mezcla Regular contiene 80% de queso cheddar suave y 20% de cheddar extra fi no.20 por envase. . El costo de mezclar y empacar los quesos untables. y la mezcla Zesty contiene 60% de cheddar suave y 40% de extra fi no. Si cada envase de queso Regular se vende en $1. fibra de carbón y Kevlar. El costo del material de calidad estándar es $7. Para cumplir con la especificación de peso requerida. se debe utilizar un total de 30 yardas de material para cada cuadro.280. Los materiales de ambas calidades contienen diferentes cantidades de fibra de vidrio. (ATI) fabrica cuadros para bicicleta utilizando dos materiales de fibra de vidrio que mejoran la razón fuerza a peso de los cuadros.50 por yarda y el costo del material de calidad profesional es $9. Inc. como muestra la tabla siguiente: ATI firmó un contrato con un fabricante de bicicletas para producir un cuadro nuevo con por lo menos 20% de contenido de fibra de carbón y no más de 10% de contenido Kevlar. la ganancia será de $13. . EJERCICIO Nº 38 Applied-Technology.00 por yarda.Análisis New EnglandCheese debe producir 9600 envases de mezcla Regular y 5200 envases de mezcla Zesty. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos extremos? c. X2= Número de yardas usadas de la calidad profesional por contrato. Suponga que el distribuidor reduce aún más el precio del material de calidad profesional a $7. Defina las variables de decisión e indique el propósito de cada restricción. ¿Cambiará la solución óptima? e. el distribuidor ofreció a ATI la oportunidad de comprar material de calidad profesional a $8 la yarda. ¿Cuál es la solución óptima? d. Para reducir el inventario.40 por yarda. b. Formule un programa lineal para determinar el número de yardas de cada calidad de material de fibra de vidrio que ATI debe utilizar en cada cuadro para minimizar el costo total. Calcule el costo total en cada punto extremo. El distribuidor de material de fi bra de vidrio actualmente tiene un exceso de artículos almacenados del material de calidad profesional. Restricciones: R1: 10X1+30X2 >= 20 contenido de fibra de carbón R2: 6x1+12x2 <=10 contenido de kevlar como mínimo .5X1 + 9X2 Variables de decisión: X1= número de yardas usadas de la calidad estándar por contrato. ¿La solución óptima cambia? ¿Qué efecto tendrá en la solución óptima el precio aún más bajo del material de calidad profesional? Explique por qué. SOLUCIÒN: Objetivo: Minimizar los costos del material para producir un cuadro nuevo que cumpla con la especificación de peso requerido Presentación del modelo: Min Z = 7. Utilice el procedimiento de solución gráfica para determinar la región factible.a. 5 de calidad estándar pero si un 0. Minimización de costos Para minimizar los costos no se debe aplicar 7.6667 para 9 de calidad profesional para de esta manera obtener un ganancia de $ 6.a. . 83333) Entonces la solución factible se encuentra en las coordenadas (1.6667) (0.3333) c) Solución optima R1:10X1+30X2 ≥20 10X1 + 30X2 =20 X1= 20 .33333). 0. 0.30x2 / 10 10X1 + 30X2 >20 X2= 20 .b) Coordenadas: Las coordenadas son (1.10x1 / 30 R2:6X1+12X2 ≤10 6X1 + 12X2 = 10 X1= 10 – 12x2 / 6 X2= 10– 6X1 / 12 6X1 + 12X2 < 10 . 0. 0. (0. Cada unidad del fondo de acciones cuesta $50 y proporciona una tasa de rendimiento anual de 10%. a. En este caso Applied-Technology. En este caso con la minimización de los costos se obtendrá una ganancia del 10.2 millones en dos fondos de inversión: un fondo de acciones y uno de mercado de dinero. Determine cuántas unidades de cada fondo debe comprar Innis para que el cliente mini mice el índice de riesgo total del portafolio. mientras que cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta $100 y proporciona una tasa de rendimiento anual de 4%. Inc. .5 en la calidad estándar y al menos introducir un 0.000. e. El cliente de Innis también especificó que se deben invertir por lo menos $300. y cada unidad invertida en el fondo de mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. Para los clientes nuevos. el índice de riesgo más alto asociado con el fondo de acciones indica que ésta es la inversión más riesgosa. cada unidad invertida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo de 8. La estrategia de inversión se adapta a las necesidades de cada cliente. (ATI) necesita fabricar al menos una bicicleta para que el precio se contenga en 7. El cliente quiere minimizar el riesgo sujeto al requerimiento de que el ingreso anual de la inversión sea por lo menos de $60. De acuerdo con el sistema de medición de riesgos de Innis.d.5 por cada cuadro de bibicleta que se produzca EJERCICIO 39 InnisInvestments administra fondos para varias empresas y clientes adinerados. Innis autoriza una inversión de hasta $1.333 de material en la calidad profesional para así minimiza el costo de esa producción.000 en el fondo de mercado de dinero. b. ¿Cuántos ingresos anuales generará esta estrategia de inversión? c. Suponga que el cliente desea maximizar el rendimiento anual, ¿cómo deben invertirse los fondos de inversión? ANALISIS InnisInvestements aconseja al cliente que adquiera 4.000 unidades a $50 cada una en Acciones y 10.000 unidades a $100 cada una en el Mercado de Dinero. b) La ganancia a obtener es de $62.000 al año. a) c) Maximización del rendimiento InnisInvestements aconseja al cliente que adquiera 18.000 unidades a $50 cada una en Acciones y 3.000 unidades a $100 cada una en el Mercado de Dinero la ganancia a obtener es de $153.000 al año. EJERCICO 40 PhotoChemicals produce dos tipos de líquidos para revelado fotográfico. La producción de los dos artículos le cuesta a PhotoChemicals $1 por galón. Con base en un análisis de los niveles de inventario actuales y los pedidos importantes para el mes siguiente, la gerencia de PhotoChemicalsespecificó que deben producirse por lo menos 30 galones del producto 1 y 20 galones del producto 2 durante los dos meses siguientes. La gerencia también estableció que debe utilizarse un inventario existente de materias primas muy perecederas requeridas en la producción de ambos fluidos dentro de las dos semanas siguientes. El inventario actual de la materia prima perecedera es 80 libras. Aunque se puede ordenar más de esta materia prima si es necesario, el inventario actual que no se use dentro de las siguientes dos semanas se echará a perder, de ahí que la gerencia requiera que se usen por lo menos 80 libras en las dos semanas siguientes. Además, se sabe que el producto 1 requiere 1 libra de esta materia prima perecedera por galón y el producto 2 requiere 2 libras de la materia prima por galón. Como el objetivo de PhotoChemicals es mantener sus costos de producción en el nivel mínimo posible, la gerencia de la empresa busca un plan de producción de costo mínimo que utilice las 80 libras de materia prima perecedera y proporcione por lo menos 30 galones del producto 1 y 20 galones del producto 2. ¿Cuál es la solución de costo mínimo?. Además. 12% en préstamos personales y 9% en préstamos para automóvil. .ANALISIS La solución del costo mínimo es de 55 ya que se requiere 30 galones para el flujo de tipo 1. el comité de planeación ha especificado que el monto asignado a préstamos personales no puede exceder 60% del asignado a préstamos para automóvil. Las tasas de rendimiento anuales para los tres tipos de préstamos son 7% en préstamos para vivienda. El comité de planeación del banco ha decidido que por lo menos 40% de los fondos nuevos deben asignarse a los préstamos para vivienda. préstamos personales y préstamos para automóvil. EJERCICIOS 20 Y 21 PROGRAMACION LINEAL (GRUPO 5) EJERCICIO 20 AdirondackSavings Bank (ASB) tiene $1 millón en fondos nuevos que deben asignarse a préstamos para vivienda. y 25 galones de flujo 2. Función Objetivo Max 0.12P 0.07V 0.4 Rendimiento anual total = $88.000 b) ¿Cuánto debe asignarse a cada tipo de préstamo? ¿Cuál es el rendimiento anual? ¿Cuál es el rendimiento porcentual anual? Debe asignarse a: P.000.02 Rendimiento porcentual anual = 8.000 P.999.6 A ≤ 1 V >= 400. Personales = $225.875% c) Si la tasa de interés en los préstamos para vivienda aumenta 9%. ¿cambiaría el monto asignado a cada tipo de préstamo? Explique por qué.750.a) Formule un modelo de programación lineal que se utilice para determinar el monto de los fondos que ASB debe asignar a cada tipo de préstamo con el fi n de maximizar el rendimiento anual total para los nuevos fondos.09 A Restricciones: V+ P+ A = 1.000 P. Automóviles = $374.000 P – 0. Vivienda= $400. . No hay cambio en los montos asignados en cada tipo de préstamo. 50 ó 0. ¿Qué efecto tendría esto en el rendimiento total anual? Explique por qué.6 A ≤ 1 V >= 390.000.000.12P 0.010. observamos que tuvo un aumento de $1.d) Suponga que el monto total de los fondos nuevos disponibles aumentó $10.012.031% .000. a diferencia de los fondos de $1. e) Suponga que ASB tiene el monto de $1 millón original en nuevos fondos disponibles y que el comité de planeación ha aceptado relajar 1% el requerimiento de que por lo menos 40% de los fondos nuevos se asignen a los préstamos para vivienda.000. con los fondos nuevos de $1.07V 0.000 Incremento de $312.000 P – 0. ¿Cuánto cambiaría el rendimiento anual? ¿Cuánto cambiaría el rendimiento porcentual anual? Función Objetivo Max 0.000. El rendimiento total anual.09 A Restricciones: V+ P+ A = 1. El pronóstico de la demanda para una noche es de 130 reservaciones para el paquete económico. de lujo y ejecutivo. Utilice la programación lineal para determinar cuántas reservaciones aceptar en cada clase de paquete y cómo deben asignarse las reservaciones a los tipos de habitación. Las utilidades por noche para cada tipo de habitación y clase de paquete son las siguientes: Las habitaciones tipo I no cuentan con acceso a Internet y no están disponibles para el paquete ejecutivo. Round Tree tiene 100 habitaciones tipo I y 120 habitaciones tipo II. La gerencia de Round Tree hace un pronóstico de la demanda por clase de paquete para cada noche en el futuro. Va S1 ser los alquileres SuperSaver asignados al tipo de habitación que.EJERCICIO 21 Round TreeManor es un hotel que ofrece dos tipos de habitaciones y tres clases de paquetes: económico. a. Un modelo de programación lineal elaborado para maximizar las utilidades se utiliza para determinar cuántas reservaciones aceptar para cada clase de paquete. S2 ser los alquileres SuperSaver asignados a la habitación de tipo II. ¿La demanda de alguna clase de paquete no se satisface? Explique por qué. D1 ser alquileres de lujo asigna el tipo de habitación que. 60 para el de lujo y 50 para el ejecutivo. D2 sea alquiler de lujo destinados a la habitación de tipo II. y B2 será alquileres comerciales asignado a la habitación de tipo II Max 30S1 + 20S2 + 35D1 + 30D2 + 40B2 S1+S2≤130 Demanda de super saver D1+D2≤60 Demanda de lujo B2≤50 Demanda para los negocios S1+D1≤100 Cantidad de habitaciones de tipo I S2+D2+B2≤120 Cantidad de habitaciones de tipo 2 . d. Si el costo del desayuno para Round Tree es de $5. La gerencia considera ofrecer un desayuno gratuito a cualquiera que actualice su reservación de un paquete económico a uno de lujo. un área de oficina sin utilizar podría convertirse en una habitación de alquiler. Si el costo de conversión es el mismo para ambos tipos de habitaciones. ¿recomendaría usted convertir la oficina en una habitación tipo I o tipo II? ¿Por qué? 30x1 + 20x2 + 35y1 + 30y2 + 40z1 RESTRICCIONES: 1 + 1 ≥ 130 1 + 1 ≥ 60 1 ≥ 50 . Con un poco de trabajo. c. ¿debe ofrecerse este incentivo? Si el costo del desayuno si se actualiza en el paquete económico o en el de lujo no será factible y mucho menos incentivo ya que el ninguno alcanzara a cubrir sus reservaciones. pero en el paquete de lujo se obtiene 10 reservaciones y en el paquete ejecutivo se puede asignar hasta 20 reservaciones. ¿Cuántas reservaciones pueden asignarse en cada clase de paquete? Con la aplicación de la ecuación lineal podemos señalar que las reservaciones se puede visualizar que para el paquete económico no se obtiene reservación.b. . esta inversión se vería reflejado cuando la demanda sea alta por tanto se necesitaran mas habitaciones e. . así se puede optimizar los recursos.Si sería recomendable transformar la oficina en una habitación ya que tiene el mismo costo para ambos tipos de habitación. ¿Podría modificarse el modelo de programación lineal para planear la asignación de la demanda de ocupación para la noche siguiente? ¿Qué información se necesitaría y cómo cambiaría el modelo? Para planificar la demanda de habitaciones por noche se puede cambiar el modelo ya que no siempre va a ser la misma. en la mano de obra o en el precio de un producto. maximizando así el ingreso. la variable pasaría a ser básica. Así mismo las demoras en los envíos de los proveedores. Por lo que respecta al coeficiente objetivo asociado a la variable básica la solución actual será válida siempre que éste no disminuya. de lujo y el ejecutivo y los dos tipos de habitación. Supresión y adición de restricciones. sin que esto pase por resolver el problema nuevamente. variables o restricciones del modelo. . por lo que no afectarán a la solución óptima (aunque sí al valor de la función objetivo) Cambios en los Coeficientes Objetivo: Distinguiremos entre variables básicas. cambiando así la solución Óptima. que son las que toman valores no nulos en la solución óptima y variables no básicas. las huelgas. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD El análisis de sensibilidad o postoptimal para los modelos de Programación Lineal. Cuando escribimos un modelo. por ejemplo las variaciones en los costos de los materiales.La información a utilizar en este cambio de modelo es la clase de paquete que en este caso sería el económico. Cambios en los coeficientes tecnológicos. los deterioros no previstos y otros factores imponderables generarán cambios en la disponibilidad de los recursos. la solución actual seguirá siendo válida siempre que éste no exceda si este coeficiente excediese. Cambios en los coeficientes de la función objetivo. Adición de nuevas variables.” COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Los cambios en los coeficientes objetivos NO afectan la forma de la región factible. Por lo que respecta al coeficiente objetivo asociado a la variable no básica. ocasionan cambios en los coeficientes de la función objetivo. tiene por objetivo identificar el impacto que resulta en los resultados del problema original luego de determinadas variaciones en los parámetros. las cuales toman el valor (0). pero en la realidad no siempre se cumple que los valores sean verídicos. CAMBIOS EN LOS PARÁMETROS DEL MODELO “El análisis de sensibilidad se lleva a cabo en: Cambios en los niveles de recursos escasos. damos por aceptado que los valores de los parámetros se conocen con certidumbre. Dentro del análisis de sensibilidad se realiza un solo cambio a la vez en el lado derecho para que de esta manera ciertos aspectos del problema queden igual. se tiene q calcular para cada cambio el porcentaje del cambio permitido disminución o aumento para que ese lado derecho se conserve dentro de su intervalo de factibilidad. Si la suma de los cambios porcentuales no exceda del 100%. entonces no hay seguridad. NOTA PRECAUTORIA SOBRE LA INTERPRETACIÓN DE LOS PRECIOS DUALES Para interpretar los precios duales conoceremos el significado de costo hundido y costo relevante. CAMBIOS SIMULTANEOS Estos cambios se aplican cuando dentro del proceso de estudios se quiere saber qué ocurriría si hubiera varios lados derechos que cambian de manera simultáneos. (Faulin. Para verificar si los cambios son suficientemente pequeños. Para poder realizar este proceso y obtener un análisis adecuado debemos aplicar la regla del 100% el cual nos indicara las regios optimas o factibles donde el precio dual cambiara o no. los precios duales definitivamente seguirán siendo válidos. los cambios en uno de los coeficientes objetivo no alterarán la solución óptima. entonces la mejora significará un aumento del valor óptimo en cambio si el objetivo es minimizar.Observar que. siempre y cuando los cambios no sean demasiados grandes. entonces la mejora significará una disminución del valor óptimo. el costo hundido es el que no se afecta por la toma de decisiones mientras que el costo relevante será quien dependa de la decisión. pero sí harán variar el valor final de la función objetivo. 2005) LADOS DERECHOS La aplicación de cambios en los lados derechos afecta a la región factible u óptima del problema esto ocurrirá cuando realiza un cambio a la vez. dentro de los| rangos especificados. Si el objetivo es maximizar. . PRECIO DUAL El Precio dual de una restricción es la mejora del valor óptimo si al lado derecho que contiene la restricción se realiza un cambio adicional. pero si la suma sí excede 100%. REGLA DEL 100 POR CIENTO PARA LOS LADOS DERECHOS El precio dual sigue válido sólo para predecir el efecto de cambiar en forma simultánea los lados derechos de algunas restricciones funcionales. esta mejora va a depender si el modelo es de maximizar o minimizar la función objetivo. Dado que el precio dual de una restricción es la mejora del valor óptimo. 4x1 + x2 ≤ 2000 2x1 + x2 ≤ 1200 X1 + 3x2 ≤ 2100 X1. el precio dual puede interpretarse como los montos máximos que la empresa debe estar dispuesta a pagar una unidad adicional del recurso. EJEMPLO A1 M1 M2 M3 A2 4 2 1 DISP 1 2000 1 1200 3 2100 UTILIDAD 600 400 MAX Z = 600X1 + 400X2 s. Cuando el costo de un recurso empleado es relevante. x2 ≥ 0 s.c. el precio dual puede interpretarse como la prima máxima sobre el costo normal que la empresa debe estar dispuesta a pagar por una unidad del recurso. el precio dual puede interpretarse como la cantidad por la cual el valor del recurso excede su costo. x2 ≥ 0 . Así que cuando el costo del recurso es relevante. 4x1 + x2 ≤ 2000 2x1 + x2 ≤ 1200 X1 + 3x2 ≤ 2100 X1.Cuando el costo de un recurso es hundido.c. . INTERACCIONES 2. SOLUTION 3. GRAFICO LIST .1. EJERCICIOS DEL CAPITULO 10 EJERCICIO 3 Tri-County Utilities. 500 unidades. 400 unidades. Los costos de distribución por unidad (en miles de dólares) son los siguientes: a. Inc.CONCLUSIÓN La regla del 100 por ciento permite un análisis de los múltiples cambios en los lados derechos o múltiples cambios en el coeficiente de la función objetivo y los lados derechos al mismo tiempo. el problema debe resolverse. para conservar recursos. . 300 unidades. 400 unidades. Los costos de distribución varían por condado. dependiendo de la localización de los proveedores. Los pronósticos de la demanda para la próxima temporada de invierno son el condado de Hamilton. 200 unidades. La empresa compra el combustible a dos empresas: Southern Gas y Northwest Gas. El precio dual puede ser útil en estos casos debido a que puede emplearse para determinar los ahorros atribuibles a la nueva tecnología al mostrar los ahorros por unidad del recurso conservado. Con frecuencia se pide a los gerentes que proporcionen una justificación económica para la nueva tecnología. Pero la regla del 100 por ciento no puede aplicarse a los cambios de los coeficientes de la función objetivo y los lados derechos al mismo tiempo. abastece de gas natural a sus clientes en un área que abarca tres condados en Estados Unidos. Con el fi n de considerar los cambios simultáneos para los valores del lado derecho y los coeficientes de la función objetivo. y el condado de Clermont. el condado de Butler. la cual a menudo se desarrolla. y Northwest Gas. Se firmaron contratos con dos clientes para proporcionar las cantidades siguientes: Southern Gas. Elabore una representación de red para este problema. o compra. con un costo unitario de 10 dls y un costo total de 2000 dls. En este caso. con un costo unitario de 12 dls y un costo total de 2400 dls. ¿Cuál proveedor debe contratar Tri-County para suministrar la capacidad adicional? En ese caso Tri. Elabore un modelo de programación lineal que sirva para determinar el plan que minimizará los costos totales de distribución. enviar de Northwest a Hamilton 200 unidades. Debe hacer disposición de su producción de la siguiente manera: Enviar de Southern a Hamilton 200 unidades.Country debe contratar a Northwest como su proveedor. c. El reciente crecimiento residencial e industrial en el condado de Butler tiene el potencial para incrementar la demanda hasta 100 unidades. De esta forma minimizando al máximo los costos. enviar de Southern a Clermont 300 unidades. sin embargo la demanda de Clermont no sería satisfecha por completo quedándole un déficit de 100 unidades. b. con un costo unitario de 15 dls y un costo total de 4500 dls. Describa el plan de distribución e indique el costo total de distribución. Inc. Tri-County Utilities. tendríamos un costo total de 11900 dólares. .b. y por último enviar de Northwest a Butler 200 unidades con un costo unitario de 15 dls y un costo total de 3000 dls. Inc. Debido a que los cuatro clientes pertenecen a diferentes sectores de la industria y existen varias estructuras de fijación de precios según la industria. La gerencia de la empresa enfrenta el problema de decidir cuántas unidades debe proveer a cada cliente. se pueden fijar distintos precios. los costos de producción. Sin embargo. por lo que una estrategia de “vender al mejor postor” es inaceptable. los costos de producción ligeramente son diferentes en las dos plantas y los costos de transporte entre las plantas y los clientes varían.EJERCICIO 6 Klein Chemicals. y de . Después de considerar el precio. produce un material especial con una base de petróleo que actualmente está escaso. Cuatro de los clientes de Klein ya han colocado pedidos que en conjunto exceden la capacidad combinada de las dos plantas de Klein. se establecieron las siguientes utilidades por unidad para cada alternativa de planta-cliente: ¿Cuántas unidades debe producir cada planta para cada cliente con el fin de maximizar las utilidades? ¿Cuáles demandas de los clientes no se cumplirán? Muestre su modelo de red y su formulación de programación lineal. R= La forma de producir las unidades de cada planta para cada cliente es la siguiente: (a D3 no se le surtiría y D1 tendría un déficit de 1000 unidades) .transporte. . . . Brad debe asignar un grupo de personal de instalación de CarpetPlus a cada uno de los cinco trabajos. acaba de obtener un contrato para cinco trabajos. Dado que la comisión que Brad ganará depende de las utilidades que CarpetPlus obtenga. Actualmente. a Brad le gustaría determinar una asignación que minimice el costo total de instalación. Brad Sweeney. el cual ayuda a dar seguimiento al avance del trabajo en una pizarra blanca grande. un ejecutivo de cuenta de CarpetPlus. cinco grupos de instalación están disponibles para asignación. Cada grupo se identifica por medio de un código de color.EJERCICIO 10 CarpetPlus vende e instala recubrimiento de piso para edificios comerciales. La . tabla siguiente muestra los costos (en cientos dólares) de que cada grupo complete cada uno de los cinco trabajos: . . las evaluaciones del estudiante promedio por cada profesor se muestran enseguida. 3 (muy bueno). ¿Qué asignaciones de profesores debe hacer? . Se necesitan cubrir cuatro cursos para los niveles universitarios (UG).EJERCICIO 14 El departamento principal de métodos cuantitativos de una universidad importante en uno de los estados centrales de Estados Unidos. Si el departamento principal hace asignaciones del profesorado con base en la maximización de las calificaciones de evaluación de los estudiantes para los cuatro cursos.D. 2 (promedio). El profesor D no tiene doctorado. Con base en una escala de calificación de 4 (excelente). maestría en ciencias (MS) y doctorado (Ph. por lo que no puede asignarse al curso de ese nivel.). Se asignará un profesor para cada curso. programará cursos en la facultad para impartirlos durante el próximo periodo de otoño. Se dispone de evaluaciones de estudiantes de periodos anteriores por parte de los profesores. de maestría en administración (MBA). 1 (pasable) y 0 (malo). Solución por medio del método de asignación: Solución óptima Calificación A al curso de MS 3.6 C al curso de MBA 3.2 .3 B al curso de PhD 3.2 D al curso de licenciatura 3. lo más viable es asignarle los niveles universitarios. . lo más viable es asignarle la Maestría en Ciencias. para el maestro C.3 Podemos ver que para el profesor A. lo más viable es asignarle el Doctorado. para el profesor B.Calificación máxima total 13. lo más viable es asignarle la Maestría en Administración y para el profesor D. al experto 2. Suponga que el tiempo que necesita el experto 4 para completar el trabajo para el cliente A aumenta de 160 a 165 horas. ¿Qué efecto tendrá este cambio en la solución? . solamente aumenta el tiempo total. Podemos ver que para el experto 1 se le debe asignar el cliente B. se puede ver que las asignaciones se mantienen iguales. c. Suponga que el tiempo que necesita el experto 4 para completar el trabajo para el cliente A disminuye a 140 horas. sin embargo. Enseguida se muestra el número de horas que requiere cada experto para completar cada trabajo. ¿Qué efecto tendrá este cambio en la solución? No tiene mucho efecto en la solución. al experto 3 no se le debe de asignar ningún cliente y al experto 4 se le debe de asignar el cliente A.EJERCICIO 15 Tres clientes de una firma de investigación de mercados solicitaron que la empresa realizará una encuesta sencilla. b. se le debe asignar el cliente C. Hay cuatro expertos en estadística disponibles para asignarlos a estos tres proyectos. los cuatro están ocupados y por ende cada uno sólo puede manejar un cliente. las diferencias en tiempo se basan en la experiencia y capacidad de los expertos. Las capacidades de las plantas y los costos de envío por unidad (en $) desde cada planta a cada almacén son los siguientes: .EJERCICIO 17 El sistema de distribución de Herman Company se compone de tres plantas. dos almacenes y cuatro clientes. REPRESENTACION RED . . . . Ohio.EJERCICIO 20. Se han vendido 12 cargas de granos. y cinco en Xenia. Indiana. La empresa compró recientemente tres vagones de ferrocarril de granos en Muncie. Indiana. Los lugares y la cantidad vendida en cada lugar son los siguientes: . Un aspecto importante del negocio es organizar los envíos de los granos comprados a los clientes. su rentabilidad mejorará. Moore & Harman está en el negocio de la compra y venta de granos. seis vagones en Brasil. Si la empresa puede mantener los costos de flete bajos. EJERCICIO 21 .Unidades Solución óptima enviadas Costo Muncie–Cincinnati 1 6 Cincinnati–Concord 3 84 Brasil–Louisville 6 18 Louisville–Macon 2 88 Louisville–Green Wood 4 136 Xenia–Cincinnati 5 15 Cincinnati–Chatham 3 72 SOLUCION OPTIMA: 419 Dos carros de ferrocarril deben mantenerse en Muncie hasta que se encuentre un comprador. EJERCICIO 22 . SENSIBILIDAD: . SOLUCIÓN ÓPTIMA: . Deben enviarse 8 autos desde el sitio 2 al sitio 5 Deben enviarse 8 autos desde el sitio 3 al sitio 1 Deben enviarse 3 autos desde el sitio 4 al sitio 2 Deben enviarse 5 autos desde el sitio 5 al sitio 3 Deben enviarse 5 autos desde el sitio 5 al sitio 6 Deben enviarse 6 autos desde el sitio 7 al sitio 4 Los envíos se multiplican por el costo de trasladar un auto de un sitio a otro. Sitio 1: (-1) [X12 + X15 – X31] = -8 (-1) 2. Sitio 6: X36 + X56 . Sitio4: -X42 + X54 + X74 = 3 5. 4. . 1.DESARROLLO: FUNCION OBJETIVO 20X12 + 25X15 + 30X25 + 45X27 + 20X31 + 35X36 + 30X42 + 25X53 + 15X54 + 28X56 + 12X67 + 27X74 RESTRICCIONES SITIO 1: .X27 – X67 = 6 A).X12 . para que generar un costo mínimo de $ 917dólares. Sitio 1: . Sitio 4: (-1) [X42 – X54 – X 74] = -3 (-1) 4.X67 = 5 B). 5.X15 + X31 = 8 3.X15 + X31 = 8 SITIO 2: X25 + X27 – X12 – X42 = 5 SITIO 3: X31 + X36– X53 = 3 SITIO 4: -X42 + X54 + X74 = 3 SITIO 5: X53 + X54 +X56 – X15 – X25 = 2 SITIO 6: X36 + X56 – X67 = 5 SITIO 7: X74 . 3. 6. Las distribuciones que le generen a la empresa menor costo de traslado de los automóviles deberá seguir el siguiente método:: 1.X12 . 2. Sitio 6: (-1) [–X36 – X56 + X67] = -5 (-1) 6. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES CASO DE ESTUDIO TEMA: Impacto de la investigación de operaciones en la vida cotidiana AULA: 43 INTEGRANTES: - Arboleda Jessica Caisa Zara Cantos Xavier Carvajal Deisy EspinAbigael Estrella Andrea Llugcha Jefferson López Carla Monroy Janine Morales Evelyn Muñoz Tatiana Perugachi Gabriela Quilapa Pamela Ugsha Ana Vega Roberto . Un ejemplo cotidiano de la aplicación de la investigación de operaciones lo encontramos en las salas de cine. las cuales cuentan con aplicaciones en línea basadas en sistemas algorítmicos que permiten al usuario elegir el servicio de acuerdo a sus preferencias. Desde el ámbito empresarial. MONEYBALL GRUPO: Arboleda Jessica Cantos Xavier Carvajal Deisy Castillo Edwin Dávila Jessica EspinAbigael Estrella Andrea Guerra Ismael Jiménez Johana Llumitasig Gabriela López Carla Monroy Janine Morales Evelyn Mosquera Daniel Pala Estela Perugachi Gabriela Ugsha Ana Vega Roberto .El presente caso de estudio nos ha permitido determinar la importancia de la investigación de operaciones en la optimización de recursos porque además de ser aplicada en el desarrollo de las empresas puede ser utilizada en el desenvolvimiento de la vida cotidiana. comprando boletos e incluso canjeando los puntos acumulados a través de una tarjeta para obtener beneficios. seleccionando butacas. desde el ámbito personal. asiste al consumidor para elegir de mejor manera los servicios que desea adquirir. colabora con la adecuada toma de decisiones en relación a la forma en que se ofertan los productos y además le permite identificar los puntos débiles de la organización para elaborar estrategias de eficiencia. La investigación de operaciones nos permite obtener resultados desde dos fuentes distintas. los equipos pequeños buscan comprar jugadores y los equipos exitosos buscan comprar triunfos.ANÁLISIS DE LA IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO Un equipo: los Athletics de Oakland. lo que te permite acomodarte a las limitaciones. como el número de bases logradas por bola. Gerente General de los Athletics. David Justice. Basado en el método de Bill James. . un problema: la pérdida de jugadores y su bajo de presupuesto de $39 millones. tomando en cuenta sus habilidades y el presupuesto con el que contaban. sus reflejos. un economista que lo convence que el béisbol no se trata sólo de intuición o presentimiento sino de números. Billy Bean. se basa en números para poder determinar las estrategias del juego y conseguir la victoria Billy logra traer al equipo a jugadores comúnmente subestimados. y Chad Bradford. fuerza del brazo. un objetivo: reconstruir al equipo para ascender en la Liga Americana. quien no podía batear debido a su codo pero funcionó en otra posición. conoce a Peter Brand. habilidad en el bateo. que entran dentro del presupuesto y que poseen cualidades por explotar que serán de gran ayuda para armar un equipo ganador. Para la aplicación del modelo fue fundamental la visión y el liderazgo firme de Billy. Scott Hatteberg. pues tuvo que enfrentarse a todos quienes se oponían a la innovación y al cambio pues pensaban que un modelo matemático no podría reflejar el desempeño de los jugadores y que las decisiones tomadas por el gerente provenían del impulso y no de la experiencia y el conocimiento. lavelocidad en la carrera. con un lanzamiento poco común pero muy efectivo. Este modelo pone en práctica estrategias que se usan en el mercado para ponderar a los jugadores. Brand genera un modelo matemático que evalúa de manera diferente a los jugadores pues se basa en estadísticas del desempeño de éstos. que era de una edad mayor a la del resto pero demostró sus habilidades y la capacidad de enseñar a los novatos. Nuestro análisis apunta a que. para ganar se necesitan otros factores como clave como la experiencia y la preparación. Además. Aquí demuestran que para alcanzar el éxito no siempre se necesitan personas formadas. no podían confiarse en un modelo que tarde o temprano iba a encontrar su límite. Finalmente. el equipo pierde la final. Como conclusión. podemos afirmar que un adecuado análisis de las situaciones y el uso de modelos matemáticos son de vital importancia al momento de resolver un problema y concretar metas. lo que supuso una ventaja para el equipo de los Athletics que se confió demasiado. . dejando de lado los miedos a enfrentar. pues muchas veces es más satisfactorio formar a alguien con las cualidades que requiere para triunfar.La estrategia de Bean y Brand consistió en trabajar con los jugadores para perfeccionar sus técnicas de juego y corregir las fallas encontradas por el análisis estadístico. a pesar de que contaban con una estrategia bien planteada. lograron un equipo competitivo con menos recursos económicos. Si no hay riesgo no hay ganancia. luego de 20 victorias consecutivas.
Report "Investigacion de Operaciones Materia y Ejercicios"