INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESI. ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES? I. a. Origen de la investigación de operaciones I. b. Modelo I. c. Optimización II. s1.Cxj Sujeto a: xi + xj . para encontrar la solución óptima de un modelo lineal se debía analizar todos los puntos posibles extremos. d. xj. PROGRAMACIÓN LINEAL II. Esta herramienta se le conoce como método simplex. George Dantzig elaboró un método a finales de los 40’s que permite resolver un problema lineal sin necesidad de analizar de manera explícita el valor de la función objetivo en cada punto extremo. a. deben ponerse tantas variables de holgura S n como restricciones existan en cada problema. Estructura general de un modelo de programación lineal II. Concepto de programación lineal II. lo cual puede ser una tarea laboriosa. Teoría del método simplex Por lo visto anteriormente. s2 ≥ 0 . Max Z = Cxi + Cxj Sujeto a: xi + xj ≥ b1 xi + xj ≤ b2 xi. Considerando el modelo lineal en la forma conocida. Método gráfico II. Planteamiento de problemas en términos de programación lineal II. e. b. y se asigna cada una en cada restricción.Cxi . c. el cual después de añadir variables de holgura puede llevarse a la forma estándar.s1≥ b1 xi + xj + s2 ≥ b2 xi. xj ≥ 0 Max Z = . 5x2 x1 + x2 +s1 = 9 x1 – x2 + s2 = 1 el siguiente paso es introducir los valores del modelo a la tabla simplex: . si son valores negativos la función tomará valores positivos y viceversa. el valor de x1 y x2 no cambia pero tenemos que quitar la desigualdad agregando una variable de holgura s1.5x2 Continuemos ahora con las restricciones.00 por cada galleta redonda.6x1 . es decir. si la desigualdad es ≤ la variable de holgura toma un signo positivo. La función objetivo Max Z = 6x1 + 5x2 deberá cambiar de signo. La primera restricción x1 + x2 ≤ 9 deberá convertirse a la forma estándar.00 por cada galleta cuadrada y $5. tarea que hay que repetir en cada restricción. El modelo del problema se presenta a continuación: X1 = cantidad por pieza de galleta cuadrada X2 = cantidad por pieza de galleta redonda Max Z = Sujeto a: 6x1 + 5x2 x1 + x2 ≤ 9 x1 – x2 ≥ 1 Para resolver este problema en primer lugar debemos convertir la función objetivo a la forma estándar.Problema 1 Suponga que usted produce galletas y que gana $6. Max Z = .6x1 . Por lo que las restricciones quedan de la siguiente manera: Sujeto a: x1 + x2 + s1 = 9 x1 – x2 – s2 = 1 Max Z = Sujeto a: 6x1 + 5x2 x1 + x2 ≤ 9 x1 – x2 ≥ 1 Max Z = Sujeto a: . y si la desigualdad es ≥ la variable de holgura es negativa. Solo se aplica a las restricciones. . A la intersección entre la columna de entrada y el renglón de salida se le llama pivote.s1 s2 Z x1 x2 s1 s2 Solución 1 1 1 0 9 1 -1 0 -1 1 -6 -5 0 0 0 Ya con los valores en la tabla se debe resolver el problema con los siguientes pasos: Paso 1.el valor que se elija indicará la columna que nombrará columna pivote o columna de entrada. s1 s2 Z x1 x2 s1 s2 Solución 1 1 1 0 9 1 -1 0 -1 1 -6 -5 0 0 0 En la tabla anterior puede observarse que x1 es la variable de entrada. En este caso la variable s2 sale y entra la variable x1. Determinar la variable de salida mediante la división de la columna solución entre la columna de entrada. s1 s2 Z x1 x2 s1 s2 Solución 1 1 1 0 9 9/1=9 1 -1 0 -1 1 1/1=1 -6 -5 0 0 0 Se elige el valor positivo más pequeño sin tomar en cuenta negativos o ceros. Paso 3. Elegir el valor de Z más negativo. Paso 2.. x2 x1 Z x1 x2 s1 s2 Solución 0 1 0. Si en el renglón de Z aún existen valores negativos. conviértalo a 1 dividiendo todo el renglón entre el valor del pivote. s1 s2 Z x1 x2 s1 s2 Solución 0 2 1 1 8 1 -1 0 -1 1 0 -11 0 -6 6 Paso 6. si éste no tiene dicho valor. En este caso el pivote ya es uno. por lo tanto el renglón queda igual. Hacer ceros los demás valores de la columna de entrada o pivote y cambiar el nombre de la restricción s2 a x1 s1 X1 Z x1 x2 s1 s2 Solución 1 1 1 0 9 1 -1 0 -1 1 -6 -5 0 0 0 En primer término. Paso 5. multiplicamos al renglón x1 por -1 y el resultado se lo sumamos a s2.5 0. se tiene que multiplicar el renglón x1 por el inverso del valor que se hará cero y sumárselo al renglón que desea convertirse. Es muy importante que el pivote tome el valor de 1.Paso 4. si queremos hacer cero al 1. regrese al paso 1 hasta que el renglón Z no tenga valores negativos. es decir.5 4 1 -1 0 -1 1 0 -11 0 -6 6 . x2.x2 x1 Z s2 x1 Z s2 x1 Z x1 x2 s1 s2 Solución 0 1 0. s1.5 -0.5 50 x1 x2 s1 s2 Solución 0 2 1 1 8 1 1 1 0 9 0 1 6 0 50 Problema 2 Max Z = Sujeto a: 5x1 + 2x2 6x1 + 10x2 ≤ 30 10x1 + 4x2 ≤ 20 x1.5 5 0 0 5.5x1 .5 -0. s2 ≥ 0 x1 x2 s1 s2 Solución 6 10 1 0 30 10 4 0 1 20 -5 -2 0 0 0 .5 5 0 0 5.2x2 6x1 + 10x2 + s1 = 30 10x1 + 4x2 + s2 = 20 x1. x2 ≥ 0 s1 s2 Z Max Z = Sujeto a: .5 -0.5 4 1 0 0.5 0.5 50 x1 x2 s1 s2 Solución 0 2 1 1 8 1 0 0.5 -0. x2 ≥ 0 Max Z = Sujeto a: s1 s2 Z x1 s2 Z .5 1.2x2 6x1 + 10x2 + s1 = 30 10x1 + 4x2 + s2 = 20 x1. s1.1 2 0 0 0 0.s1 x1 Z s1 x1 Z x1 x2 s1 s2 Solución 6 10 1 0 30 1 0.5x1 .5 0 4 0 2 -1 1 4 0 0.5 10 Problema 3 Max Z = Sujeto a: 5x1 + 2x2 6x1 + 10x2 ≤ 30 10x1 + 4x2 ≤ 20 x1.5 0.4 0 0.4 0 0.1 2 -5 -2 0 0 0 x1 x2 s1 s2 Solución 0 7. s2 ≥ 0 x1 x2 s1 s2 Solución 2 1 1 0 8 2 3 0 1 12 -3 -1 0 0 0 x1 x2 s1 s2 Solución 1 0.5 0 12 .6 1 -0. x2.6 18 1 0. Dentro de la investigación de operaciones. f. Concebir nuevos algoritmos para solucionar problemas de redes de optimización. Si el primal es un problema de maximización. Todo modelo de programación lineal está asociado a otro modelo llamado dual. Generar métodos como el dual simples para realizar el análisis de sensibilidad de los programas de programación lineal. Entre otras cosas las estructuras duales permiten: Resolver problemas lineales que tienen más restricciones que actividades. su dual será un problema de minimización o viceversa.II. Por ejemplo el bien y el mal. Ejemplo 1 2 a b c 15 20 25 10 30 40 a b c 1 15 20 25 2 10 30 40 Cuestiones importantes que se deben tomar en cuenta: 1. Hacer interpretaciones económicas de las soluciones óptimas de los problemas de programación lineal. Para poder entender el concepto de dualidad debemos referirnos al tema de matriz transpuesta. el concepto de dualidad desempeña un papel importante tanto en la teoría como en la práctica. Dualidad El término dualidad señala la existencia de dos fenómenos o caracteres diferentes en un mismo estado. . Podemos decir que la matriz transpuesta es aquella en donde las columnas se transforman en filas y viceversa. 3. y2 ≥ 0 Min Z = Sujeto a: x1 + 3x2 + 2x3 3x1 – x2 + 2x3 ≤ 7 2x1 . Si el primal tiene m restricciones y n variables. el dual tendrá n restricciones y m variables. 5. x2. x3 ≥ 0 .4x2 ≤ 5 x1. 4. Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los coeficientes del vector de disponibilidad del problema dual. Problema 1 Min Z = Sujeto a: 15x1 + 12x2 x1 + 2x2 ≥ 3 2x1 .y1 . x3 ≥ 0 Max Z = Sujeto a: 7y1 + 12y2 + 5y3 3y1 + 2y2 .4x2 ≥ 12 -2x1 + 3/2x2 + 4x3 ≤ 5 x1.4y2 ≥12 y1. Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten en los coeficientes de la función objetivo del problema dual.4y2 + 3/2y3 ≤ 3 2y1 + 4y3 ≥ 2 x1. x2.2y3 ≥ 1 . 6. Los coeficientes de las restricciones del problema primal serán la matriz de coeficientes del dual.2. x2 ≥ 0 Max Z = Sujeto a: 3y1 + 5y2 1y1 + 2y2 ≤ 15 2y1 . Ejemplo 2.Ejemplo 1.0 1500 3 1. El tiempo requerido para fabricar cada producto y el tiempo requerido disponible se muestran en la siguiente tabla: Horas hombre Horas hombre Horas hombre requeridas para x1 requeridas para x1 disponibles 1 2. Una compañía cultiva brócoli y coliflor de 500 acres de terreno.5 horas-hombre y cada acre de coliflor 5. Durante la temporada de plantación habrá disponibles 1.0 3. Con propósitos de planteamiento identificaremos a los productos como x1 y x2. Debido a reglamentos gubernamentales. Cada acre de brócoli requiere 2. no pueden cultivarse más de 200 acres de brócoli.0 1.0 1500 2 3. Un acre de brócoli produce $500 de contribución a las utilidades y un acre de coliflor $1.5. . Determine cuántos acres de brócoli y cuántos de coliflor deben plantarse para maximizar la contribución a las utilidades. La AHM Corporation tiene una pequeña planta en la que fabrica dos productos. Los productos pasan a través de tres departamentos de producción en la planta.200 horas-hombre de tiempo de plantadores.0 600 Departamento Los administradores de la AHM desean determinar la mezcla de producción de los productos x1 y x2 que maximice las utilidades.000.0 2. Las contribuciones a las utilidades son $10 y $12 respectivamente. Minimizar Z=90x1 + 110x2 Sujeto a 50x1 + 120x2 > 6000 130 x1 + 40x2 > 5200 80x1 + 80 x2 > 6400 . Maximizar Z=300x1 + 410 x2 Sujeto a 50x1 + 120x2 <6000 110x1 + 60x2 < 6600 60 x1 + 70 x2 < 4200 X1.Ejemplo 3. x2 >0 Ejemplo 4. .2 Planteamiento del problema Para el planteamiento se tomará como ejemplo el caso de abastecer mercancía desde cuatro diferentes centros de suministro A. En la siguiente tabla se presenta las diferentes ofertas de los centros de suministro. X. Es un caso particular de la programación lineal que se resuelve por una metodología diferente más sencilla que el simplex. Y y Z buscando hacerlo a un costo total mínimo. Centro de Suministro A B C D TOTAL Capacidad de producción PA PB PC PD P Centro de consumo Demanda W X Y Z TOTAL DW DX DY DZ D Se considerará que la oferta total P debe ser igual a la demanda total D.1 Introducción Conocido también como método de distribución.1 MÉTODO DE TRANSPORTE 1. C y D hacia cuatro centros de consumo W. 1. Consiste en asignar o distribuir diferentes cantidades de objetos desde los orígenes hacia algunos destinos buscándolo hacer de manera óptima. B. aspi como las demandas de los centros de consumo. con costo mínimo o utilidad máxima. de asignación y de transbordo debido a su aplicación en diferentes tipos de problemas. 4.4.1 Método de la esquina noroeste 1.4.4 Caso base 1.3 Método mutuamente preferido 1.1.4 Método de Vogel Centro de Ventas Centro de Ventas Centro de Ventas 1 2 3 24 18 21 7500 23 20 19 6500 6000 4500 3500 14000 Centro de Producción 1 Centro de Producción 2 Demanda Oferta W X Y Z Oferta A 25 18 21 23 510 B 19 23 22 26 475 C 22 25 26 17 390 D 24 21 20 22 225 Demanda 600 500 300 200 1600 .2 Método del costo menor 1.4.3 Métodos de inicialización 1.