Investigacion de Operaciones - 2014 I

Calidad que se acredita internacionalmenteASIGNATURA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (TEXTO UNIVERSITARIO) Asignatura: Investigación de Operaciones VISIÓN Ser una de las 10 mejores universidades privadas del Perú al año 2020, reconocidos por nuestra excelencia académica y vocación de servicio, líderes en formación integral, con perspectiva global; promoviendo la competitividad del país. MISIÓN Somos una universidad privada, innovadora y comprometida con el desarrollo del Perú, que se dedica a formar personas competentes, íntegras y emprendedoras, con visión internacional; para que se conviertan en ciudadanos responsables e impulsen el desarrollo de sus comunidades, impartiendo experiencias de aprendizaje vivificantes e inspiradoras; y generando una alta valoración mutua entre todos los grupos de interés. Universidad Continental de Ciencias e Ingeniería Material publicado con fines de estudio Cuarta edición Huancayo, 2013 pág. 2 Asignatura: Investigación de Operaciones INTRODUCCIÓN El desarrollo del material de la asignatura, se hace considerando la Investigación de Operaciones como una ciencia administrativa basada en el enfoque científico, para resolver problemas y proporcionar ayuda para la toma de decisiones. Planear, programar, organizar, dirigir, dotar de personal, controlar, son actividades que el alumno en su ejercicio profesional puede desempeñar, y la Investigación de Operaciones le sirve de ayuda con su método analítico y sistemático. Con base en este enfoque gerencial es que se plantea en el presente manual el estudio de esta ciencia. La primera Unidad Didáctica, es una puerta de entrada al estudio de las diversas técnicas y los respectivos modelos que conforman la asignatura. Se hace énfasis en el análisis cuantitativo que es la base del enfoque científico, punto de partida del proceso que determinará la toma de una decisión. La segunda Unidad Didáctica, se inicia en las técnicas a estudiar, siendo la primera, Programación Lineal. Esta es una de las técnicas más empleadas y se aplica en sistemas con relaciones lineales, para usar los recursos escasos de la mejor manera posible. La tercera unidad estudia las aplicaciones especiales de la programación lineal, los cuales son el problema de transporte y el problema de asignación. La cuarta unidad didáctica contiene el estudio de técnicas utilizadas para el manejo de proyectos que son: PERT y CPM. Ambas técnicas tienen el objetivo de ahorrar el mayor tiempo posible en la ejecución de proyectos. Didácticamente, su estudio ha sido dividido en tres fases: Planeamiento, Programación y Control. La quinta unidad está dedicada al estudio de la Teoría de Colas, con especial mención del modelo M/M/1, llamado así según la notación de Kendall. La Teoría es un estudio de los sistemas de espera y de los diferentes modelos que provee la Investigación de Operaciones para ayudar en la toma de decisiones en este campo. La sexta unidad es la Teoría de decisiones, en la cual se desarrollan los diversos modelos de decisiones, complementado con el cálculo del valor de la información perfecta. Además se incluye los árboles de decisión para la representación de decisiones secuenciales. La séptima unidad consiste en las Cadenas de Markov para la evaluación de ocurrencias de eventos ante situaciones ocurridas. El presente material es una guía para el desarrollo del curso y debe ser complementada por el estudiante a través de la investigación y búsqueda de información en diversas fuentes como biblioteca e internet así como con el desarrollo de las clases presenciales. pág. 3 Asignatura: Investigación de Operaciones ÍNDICE Pág. INTRODUCCIÓN INDICE 3 4 PRIMERA UNIDAD Tema Nº 1: LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y EL USO DE MODELOS 1.1 Los modelos 1.2 ¿Qué es la investigación de operaciones? 7 7 7 8 SEGUNDA UNIDAD Tema Nº 2: PROGRAMACIÓN LINEAL 2.1 Introducción. 2.2 Expresión matemática 2.3 Modelo de Programación Lineal 2.4 Forma estándar del modelo 2.5 Suposiciones del Modelo de Programación Lineal 2.6 Modelos matemáticos 2.7 Formulación de modelos de programación lineal Casos de aplicación 10 10 10 10 11 12 12 13 13 14 Tema Nº 3: METODOS DE SOLUCION DE PROBLEMAS DE PL 3.1 Método gráfico 3.2 El Método Simplex 20 20 33 Tema Nº 4: ANALISIS DE DUALIDAD Y SENSIBILIDAD 4.1 Análisis de Dualidad 4.2 Definición de Problema dual 4.3 Análisis de sensibilidad 40 40 40 43 TERCERA UNIDAD Tema Nº 5: MODELO DE TRANSPORTE 5.1 Problema de Transporte 5.2 Modelo general del problema de transporte 5.3. Métodos para encontrar soluciones factibles 5.4 Método de la esquina noroeste 5.5 Método de aproximación de Vogel 5.6 Modelos Balanceados y no balanceados 46 46 47 47 49 49 50 50 Tema Nº 6: MODELO DE ASIGNACION DE RECURSOS 6.1 Problemas de asignación de recursos 6.2 El método Húngaro 59 59 60 pág. 4 Asignatura: Investigación de Operaciones CUARTA UNIDAD Tema Nº 7: ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS PERT/CPM 7.1 Introducción 7.2 Procedimiento para trazar un modelo de red 7.3 Pasos en el planeamiento del proyecto del CPM 7.4 Utilidad de las técnicas PERT y CPM 7.5 Programación de proyectos 7.6 Ventajas del PERT y CPM 7.7 Pasos en el método PERT (Program Evaluation and Review Technique) 7.8 Asignación de tiempos 65 65 66 66 68 69 70 70 71 72 QUINTA UNIDAD 80 80 80 81 87 Tema Nº 8: SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA 8.1 Modelo de formación de colas. 8.2 Elementos existentes en un modelo de colas 8.3 Casos de colas o líneas de espera SEXTA UNIDAD Tema Nº 9: TEORÍA DE DECISIONES 9.1 Introducción 9.2 Toma de decisiones bajo incertidumbre 9.3 Caso de aplicación: Criterios de decisión en incertidumbre 9.4 Árboles de decisión SEPTIMA UNIDAD Tema Nº 10: CADENAS DE MARKOV 97 97 97 97 103 108 10.1 Introducción 10.2 Caso de aplicación 10.3 Formulación de las Cadenas de Markov 114 114 114 114 114 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 119 REFERENCIAS ELECTRÓNICAS 119 ANEXO 120 pág. 5 Asignatura: Investigación de Operaciones ICONOGRAFÍA DE TEXTO METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES El texto se fundamenta en la metodología de la investigación de operaciones alineada a la investigación científica. Las diversas técnicas de investigación de operaciones buscan optimizar el uso de recursos en las organizaciones mediante la definición del problema a resolver en un sistema empresarial o social en base a lo cual se construyen los modelos matemáticos y se recolectan los datos en forma paralela y cíclica; planteado el modelo se procede a resolverlo mediante los métodos de cada técnica operativa, lo cual puede llevar a un replanteamiento del modelo, a recopilar más datos o ambos; solucionado el modelo se procede a hacer la verificación de la validez de los resultados, su coherencia con la realidad; finalmente se realiza la implementación para solucionar el problema definido mejorando la situación inicial. pág. 6 Asignatura: Investigación de Operaciones PRIMERA UNIDAD Tema Nº 1: LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y EL USO DE MODELOS 1.1 Los modelos Un modelo es una representación ideal de un sistema y la forma en que este opera. El objetivo es analizar el comportamiento del sistema o bien predecir su comportamiento futuro. Obviamente los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de tal manera que se hacen las suposiciones y restricciones necesarias para representar las porciones más relevantes del mismo. Claramente no habría ventaja alguna de utilizar modelos si estos no simplificaran la situación real. En muchos casos podemos utilizar modelos matemáticos que, mediante letras, números y operaciones, representan variables, magnitudes y sus relaciones. 1.1.1 Clasificación de modelos Se podría decir que un modelo de las ciencias físicas es una traducción de la realidad física de un sistema en términos matemáticos, es decir, una forma de representar cada uno de los tipos entidades que intervienen en un cierto proceso físico mediante objetos matemáticos. Las relaciones matemáticas formales entre los objetos del modelo, deben representar de alguna manera las relaciones reales existentes entre las diferentes entidades o aspectos del sistema u objeto real. Así una vez "traducido" o "representado" cierto problema en forma de modelo matemático, se pueden aplicar el cálculo, el álgebra y otras herramientas matemáticas para deducir el comportamiento del sistema bajo estudio. Un modelo físico requerirá por tanto que se pueda seguir el camino inverso al modelado, permitiendo reinterpretar en la realidad las predicciones del modelo. Los modelos matemáticos pueden clasificarse de la siguiente manera:  Determinista. Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hay incertidumbre. Además, los datos utilizados para alimentar el modelo son completamente conocidos y determinados.  Estocástico. Probabilístico, que no se conoce el resultado esperado, sino su probabilidad y existe por tanto incertidumbre. Además con respecto a la función del origen de la información utilizada para construirlos los modelos pueden clasificarse de otras formas, se distinguen modelos heurísticos y modelos empíricos:  Modelos heurísticos (del griego euriskein 'hallar, inventar'). Son los que están basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.  Modelos empíricos (del griego empeirikos relativo a la “experiencia”). Son los que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómeno estudiado. Además los modelos matemáticos encuentran distintas denominaciones en sus diversas aplicaciones. A continuación veremos algunos tipos en los que se puede adecuar algún modelo matemático de interés. Según su campo de aplicación los modelos:  Modelos conceptuales. Son los que reproducen mediante fórmulas y algoritmos matemáticos más o menos complejos los procesos físicos que se producen en la naturaleza pág. 7 Asignatura: Investigación de Operaciones  Modelo matemático de optimización. Los modelos matemáticos de optimización son ampliamente utilizados en diversas ramas de la ingeniería para resolver problemas que por su naturaleza son indeterminados, es decir presentan más de una solución posible. Categorías por su aplicación suelen utilizarse en las siguientes tres áreas, sin embargo existen muchas otras como la de finanzas, ciencias etc.  Simulación. De situaciones medibles de manera precisa o aleatoria, por ejemplo con aspectos de programación lineal cuando es de manera precisa, y probabilística o heurística cuando es aleatorio.  Optimización. Para determinar el punto exacto para resolver alguna problemática administrativa, de producción, o cualquier otra situación. Cuando la optimización es entera o no lineal, combinada, se refiere a modelos matemáticos poco predecibles, pero que pueden acoplarse a alguna alternativa existente y aproximada en su cuantificación.  Control. Para saber con precisión como está algo en una organización, investigación, área de operación, etc. 1.1.2 Principios de los modelos "Los modelos no pueden remplazar al tomador de decisiones, sólo auxiliarlos" A continuación se presenta una lista, no exhaustiva, de los principios generales de modelación.            No debe elaborarse un modelo complicado cuando uno simple es suficiente. El problema no debe ajustarse al modelo o método de solución. La fase deductiva de la modelación debe realizarse rigurosamente. Los modelos deben validarse antes de su implantación. Nunca debe pensarse que el modelo es el sistema real. Un modelo debe criticarse por algo para lo que no fue hecho. No venda un modelo como la perfección máxima. Uno de los primeros beneficios de la modelación reside en el desarrollo del modelo. Un modelo es tan bueno o tan malo como la información con la que trabaja. Los modelos no pueden remplazar al tomador de decisiones. Los modelos de Investigación de Operaciones, conducen a mejores decisiones y no a simplificar la toma de éstas. 1.2 ¿Qué es la investigación de operaciones? Como toda disciplina en desarrollo, la investigación de operaciones ha ido evolucionando no sólo en sus técnicas y aplicaciones sino en la forma como la conceptualizan los diferentes autores, en la actualidad no existe solamente una definición sino muchas, algunas demasiado generales, otras demasiado engañosas, aquí seleccionamos dos de las más aceptadas y representativas. La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina), a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización. Churchman, Ackoff y Arnoff De ésta definición se pueden destacar los siguientes conceptos: 1. Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no. pág. 8 Asignatura: Investigación de Operaciones 2. En un sistema la información es una parte fundamental, ya que entre las componentes fluye información que ocasiona la interacción entre ellas. También dentro de la estructura de los sistemas se encuentran recursos que generan interacciones. Los objetivos de la organización se refieren a la eficacia y eficiencia con que las componentes pueden controlarse, el control es un mecanismo de autocorrección del sistema que permite evaluar los resultados en términos de los objetivos establecidos. 3. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común. 4. La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo. La definición de la sociedad de investigación de operaciones de la Gran Bretaña es la siguiente: 5. La investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos problemas que surgen en la dirección y en la administración de grandes sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un modelo científico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito es el de ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y acciones. En relación a ésta definición deben destacarse los siguientes aspectos: i. Generalmente se asocian los conceptos de dirección y administración a las empresas de tipo lucrativo, sin embargo, una empresa es un concepto más amplio, es algo que utiliza hombres, máquinas, materiales y dinero con un propósito específico; desde éste punto de vista, se considera como empresa desde una universidad hasta una armadora de automóviles. ii. Para tratar de explicar el comportamiento de un sistema complejo, el científico debe representarlo en términos de los conceptos que maneja, lo hace expresando todos los rasgos principales del sistema por medio de relaciones matemáticas. A esta representación formal se le llama modelo. iii. La esencia de un modelo es que debe ser predictivo, lo cual no significa predecir el futuro, pero si ser capaz de indicar muchas cosas acerca de la forma en que se puede esperar que un sistema opere en una variedad de circunstancias, lo que permite valorar su vulnerabilidad. Si se conocen las debilidades del sistema se pueden tomar cursos de acción agrupados en tres categorías: a. Efectuar cambios que lleven a la empresa o parte de ella a una nueva ruta; b. Realizar un plan de toma de decisiones; c. Instalar estrategias que generen decisiones. Cuando se aplica alguno de estos remedios, la investigación de operaciones nos ayuda a determinar la acción menos vulnerable ante un futuro incierto. iv. El objetivo global de la investigación de operaciones es el de apoyar al tomador de decisiones, en cuanto ayudarlo a cumplir con su función basado en estudios científicamente fundamentados. pág. 9 Asignatura: Investigación de Operaciones SEGUNDA UNIDAD Tema Nº 2: PROGRAMACIÓN LINEAL 2.1 Introducción. Se considera al desarrollo de la Programación Lineal (PL) entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta común que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías y negocios, incluyendo industrias medianas y pequeñas en distintos países del mundo. ¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipo de problemas puede manejar? Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre las distintas actividades de la mejor manera posible (es decir, en forma óptima). La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda muy grande, y va desde la asignación de instalaciones productivas a los productos, hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país. No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades. La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución. 2.2 Expresión matemática  La Función Objetivo del Modelo Lineal es la formulación matemática de una meta establecida y por lo tanto su valor final mide la efectividad lograda. Es una función lineal a ser maximizada o minimizada y tiene la siguiente forma general: Optimizar C 1X1 + C 2X2 + C3X3 + C4X4 +...................+ CnXn  Xj, simboliza matemáticamente a las variables de decisión. Son los valores numéricos que se determinan con la solución del modelo y representan o están relacionadas con una actividad o acción a tomar. Son los únicos valores desconocidos en el modelo y pueden existir en cualquier cantidad, desde 1 hasta n variables. Es decir, j varía desde 1 hasta n.  Cj,  Las restricciones, desde el punto de vista matemático, son funciones lineales expresadas como igualdades o desigualdades, que limitan el valor de las variables de decisión a valores permisibles. Representan recursos, condiciones o requerimientos establecidos. Las restricciones del Modelo Lineal general tienen la forma siguiente: matemáticamente, simboliza el coeficiente de la variable j en la Función Objetivo. Son datos relevantes, insumos incontrolables ya conocidos. En la Función Objetivo representan la cantidad con la cual contribuye cada unidad de la variable j, al valor total deseado en el objetivo. a11 X1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 + a14 X 4 + … + a1nXn <= b1 a21 X1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 + a24 X 4 + … + a2n Xn <= b2 a31 X1 + a 32 X 2 + a 33 X 3 + a34 X 4 + … + a3n Xn <= b3 pág. 10 Asignatura: Investigación de Operaciones . . am1 X1 + a m2 X 2 + a m3 X 3 + am4 X 4 +… + amn Xn <= bm  aij, matemáticamente simboliza el coeficiente, en la restricción i, de las variable j. El subíndice i indica el recurso, requerimiento o condición cuya limitación se está expresando; j indica la variable correspondiente. Cuando la limitación es de un recurso i, estos coeficientes representan la cantidad del recurso total limitado i, que es utilizada en cada unidad de la variable j. Cuando la limitación es de un requerimiento o condición i, representan la cantidad del requerimiento o condición i limitada, que aporta cada unidad de la variable j, al requerimiento o condición total establecida. Son, por ello, valores unitarios, al igual que los coeficientes de las variables en la Función Objetivo.  bi, matemáticamente constituye el lado derecho de la restricción i. Representa la cantidad total disponible del recurso limitado i, o la cantidad total de un requerimiento o condición i establecida. Puede existir cualquier cantidad de restricciones por lo tanto i puede variar desde 1 hasta m.  Xj >= 0 es una restricción de no negatividad de las j variables, la cual se le considera siempre presente como una condición natural en el Modelo Lineal General. 2.3 Modelo de Programación Lineal Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Algunos ejemplos de recursos son dinero y tipos especiales de maquinaria, equipo, vehículos y personal. Los ejemplos de actividades incluyen inversión en proyectos específicos, publicidad en un medio determinado y el envío de bienes de cierta fuente a cierto destino. En cualquier aplicación de programación lineal, puede ser que todas las actividades sean de un tipo general (como cualquiera de los ejemplos), y entonces cada una correspondería en forma individual a las alternativas específicas dentro de esta categoría general. El tipo más usual de aplicación de programación lineal involucra la asignación de recursos a ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso está limitada, de forma que deben asignarse con todo cuidado. La determinación de esta asignación incluye elegir los niveles de las actividades que lograrán el mejor valor posible de la medida global de efectividad. Ciertos símbolos se usan de manera convencional para denotar las distintas componentes de un modelo de programación lineal. Estos símbolos se enumeran a continuación, junto con su interpretación para el problema general de asignación de recursos a actividades. Z = valor de la medida global de efectividad xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n) cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m) aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j El modelo establece el problema en términos de tomar decisiones sobre los niveles de las actividades, por lo que x1,x2,....,xn se llaman variables de decisión. Los valores de cj, bi y aij (para i = 1,2,....,m y j = 1,2,....,n) son las constantes de entrada al modelo. Las cj, bi y aij también se conocen como parámetros del modelo. pág. 11 Asignatura: Investigación de Operaciones 2.4 Forma estándar del modelo Ahora se puede formular al modelo matemático para este problema general de asignación de recursos a actividades. En Datos necesarios para un modelo de programación lineal que maneja la asignación de recursos a actividades particular, este modelo consiste en elegir valores de x1,x2,....,xn para: Optimizar (maximizar o minimizar) Z = c1x1 + c2x2 +....+ cnxn, Sujeto a las restricciones: a11x1 + a12x2 +....+ a1nxn < b1 a21x1 + a22x2 +....+ a2nxn < b2 . . am1x1 + am2x2 +....+ amnxn < bm X1  0, X2  0, ..., Xn  0. 2.5 Suposiciones del Modelo de Programación Lineal 2.5.1 Proporcionalidad La contribución de cada actividad al valor de la función objetivo Z es proporcional al nivel de actividad xj, como lo representa el término cjxj en la función objetivo. De manera similar, la contribución de cada actividad al lado izquierdo de cada restricción funcional es proporcional al nivel de la actividad xj, en la forma en que lo representa el término aijxj en la restricción. En consecuencia, esta suposición elimina cualquier exponente diferente a 1 para las variables en cualquier término de las funciones (ya sea la función objetivo o la función en el lado izquierdo de las restricciones funcionales) en un modelo de programación lineal. 2.5.2 Actividad Establece que la entrada y salida de un recurso en particular al conjunto de actividades, deben ser la misma cantidad; o sea, que las actividades transforman los recursos y no los crean o destruyen. Esta suposición garantiza que la contribución total tanto a la función objetivo como a las restricciones, es igual a la suma de las contribuciones individuales. Cuando en un problema dado no se tenga la aditividad puede recurrirse al empleo de otras técnicas de la programación matemática, dependiendo de cada caso en particular. 2.5.3 Aditividad Cada función en un modelo de programación lineal (ya sea la función objetivo o el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individuales de las actividades respectivas. 2.5.4 Divisibilidad Las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que las actividades se pueden realizar a niveles fracciónales. pág. 12 Asignatura: Investigación de Operaciones 2.6 Modelos matemáticos Existen muchos problemas administrativos que se ajustan a este molde de tratar de minimizar o maximizar un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. Un fabricante, al planear la producción futura, busca un costo mínimo al mismo tiempo cómo cumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de producción, los inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La PL se ha aplicado con éxito a estos y otros muchos problemas. Para ello emplea modelos matemáticos. Un modelo matemático consta al menos de tres conjuntos básicos de elementos: a) Variables de decisión y parámetros Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden controlar. b) Restricciones Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativa. c) Función Objetivo La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Por ejemplo si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión. La solución ÓPTIMA se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo para un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir hay que determinar las variables x1, x2, ..., xn que optimicen el valor de Z = f(x1, x2, ..., xn) sujeto a restricciones de la forma g(x1, x2, ..., xn)  b. Donde x1, x2, ..., xn son las variables de decisión Z es la función objetivo, f es una función matemática. 2.7 Formulación de modelos de programación lineal Como su nombre lo indica, la formulación estriba en pasar directamente del sistema asumido al modelo de PL. Para tal efecto, se propone el siguiente orden: definir el objetivo, definir las variables de decisión, enseguida las restricciones estructurales y finalmente establecer las condiciones técnicas 2.7.1 Pasos a seguir a) Definir el Objetivo: Consiste en definir un criterio de optimización el cual puede ser Maximización o Minimización dependiendo del problema que se desee resolver, el cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema. Bajo el criterio de optimización definido se pretende medir la contribución de las soluciones factibles que puedan obtenerse y determinar la óptima. b) Definir las variables de decisión: Son las incógnitas del problema básicamente consisten en los niveles de todas las Actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular, estas pueden ser de tantos tipos diferentes como sea necesario, e incluir tantos subíndices como sea requerido. c) Definir las restricciones: Son los diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo. En cierta manera son las limitantes en los valores de los niveles de las diferentes actividades (variables). Las restricciones más comunes son de seis tipos, las cuales se listan a continuación: pág. 13 Asignatura: Investigación de Operaciones  Restricción de capacidad: limitan el valor de las variables debido a la disponibilidad de horas-hombre, horas-máquina, espacio, etc.  Restricción de mercado: Surge de los valores máximos y mínimos en las ventas o el uso del producto o actividad a realizar.  Restricción de entradas: Son limitantes debido a la escasees de materias primas, mano de obra, dinero, etc.  Restricción de calidad: Son las restricciones que limitan las mezclas de ingredientes, definiendo usualmente la calidad de los artículos a manufacturar.  Restricciones de balance de material: Estas son las restricciones que definen las salidas de un proceso en función de las entradas, tomando en cuenta generalmente cierto porcentaje de merma o desperdicio.  Restricciones Internas: Son las que definen a una variable dada, en la formulación interna del problema, un ejemplo tipo, es el de inventario.  Condiciones Técnicas: En este apartado se establece que todas las variables deben tomar valores no negativos. 2.7.2 Casos de aplicación En cada uno de los enunciados de problemas dados a continuación, se debe trasladar la información del sistema a un modelo que lo represente, es decir, formular y construir el Modelo Lineal respectivo. CASO 1. Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios: A, S / . 700.00, cada unidad; B, S / . 3 500; C, S / 7 000. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo, 2 horas de acabado y 3 unidades de materia prima. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, 3 horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materia prima. Para este período de planificación están disponibles 100 horas de trabajo, 200 horas de acabado y 600 unidades de materia prima. Con base en la teoría señalada, para formular y construir el modelo, se tiene lo siguiente: a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente. X1: unidades a producir de producto A X2: unidades a producir de producto B Estos son insumos controlables X3: unidades a producir de producto C b) Debe Definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal. Objetivo: Maximizar ingresos de venta Max S/. 700 por unidad * X1 unidades de A + 3.500 X2 + 7.000 X3 Escribir el objetivo de esta forma es expresar en unidades físicas uno de sus términos. Este término presenta la información específica de lo que contiene y permite confirmar la esencia física de lo que se está sumando y también que ello es consecuente con lo que se está obteniendo en el total de la ecuación; en este caso, ingreso en Nuevos soles. pág. 14 Asignatura: Investigación de Operaciones c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales. Restricción 1: Disponibilidad limitada de horas de trabajo. 1 hora de trabajo X1(unid. de producto A) + 2 X2 + 3 X3 ≤ 100 horas de trabajo Unidad de A Restricción 2: Horas de acabado disponibles en este período: 2 X1 + 3 hora de acabado X2 (unid. de producto B) + 1 X3 ≤ 200 horas de acabado Unidad de B Restricción 3: Disponibilidad limitada de unidades de materia prima: 3X1 + 2.5 X2 + 4 unid. mat. prima X3 (unid. de prod. B) ≤ 600 Unid de Mat prima Unidad de B De esta forma las restricciones están expresadas en unidades físicas. Se destaca en cada una de ellas alguno de sus términos, con indicación de lo que representa. Esto confirma que lo que se está sumando es consecuente con lo que se está obteniendo del lado derecho de la ecuación. Finalmente, incorporando la restricción de no-negatividad de las variables de decisión, se resume así el modelo: Max z: 700 X1 + 3.500 X2 + 7.000 X3 Sujeto a: 1X1 + 2 X2 + 3 X3 ≤ 100 2X1 + 3 X2 + 1 X3 ≤ 200 3X1 + 2.5 X2 + 4 X3 ≤ 600 X1, X2, X3 ≥ 0 CASO 2. La Cámara de Industriales de la región periódicamente promueve servicios públicos, seminarios y programas. Actualmente los planes de promoción para este año están en marcha. Los medios alternativos para realizar la publicidad así como los costos y la audiencia estimados por unidad de publicidad, además de la cantidad máxima de unidades de publicidad en que puede ser usado cada medio se muestran a continuación. Restricciones Audiencia por unidad de publicidad Costo por unidad de publicidad Uso máximo del medio Televisión 100.000 $ 2.000 10 Radio 18.000 $ 300 20 Prensa 40.000 $ 600 10 Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exceder el 50% del total de unidades de publicidad autorizados. Además la cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado a $18.500. pág. 15 Asignatura: Investigación de Operaciones Utilizando el mismo proceso teórico, se tiene lo siguiente: Variables de decisión: X1: unidades de publicidad a contratar en televisión. X2: unidades de publicidad a contratar en radio. X3: unidades de publicidad a contratar en prensa. Objetivo: Maximizar la audiencia total o cantidad de personas que ven la publicidad Max 100.000 personas X1 Unid en t.v + 18.000 X2 + 40.000 X3 Unid en t.v Restricción 1: Disponibilidad limitada de presupuesto para la publicidad: 2.000 X1 + 300 X2 + 600 X3 ≤ 18.500 Restricciones 2, 3 y 4: Uso máximo de medios para la publicidad: X1 ≤ 10 unidades de publicidad a contratar en t.v X2 ≤ 20 unidades de publicidad a contratar en radio X3 ≤ 10 unidades de publicidad a contratar en prensa Restricción 5: Publicidad limitada a un máximo de 50% en radio, con relación al total de unidades a contratar: X2 ≤ 0.5 (X1+ X2+ X3) Finalmente quedará expresada así: - 0.5 X1 + 0.5 X2 - 0.5 X3 ≤ 0 Restricción 6: La cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado X1 ≥ 0.10 (X1+ X2 + X3) Finalmente quedará expresada así: 0.9 X1 – 0.1 X2 - 0.1 X3 ≥ 0 Posteriormente puede resumir el modelo agregándole la restricción de no-negatividad de las variables CASO 3. El Banco Internacional abre de lunes a viernes de 8 a.m. a 4 p.m. De experiencias pasadas sabe que va a necesitar la cantidad de cajeros señalados en la tabla dada. Hay dos tipos de cajeros: los que trabajan tiempo completo de 8 am a 4 pm, los cinco días, excepto la hora que utilizan para almorzar. El Banco determina cuándo debe almorzar cada cajero, pero debe ser entre las 12 m y la 1 p.m. o entre la 1 p.m. y las 2 p.m. A los empleados a tiempo completo se les paga S/. 1.800 la hora (incluida la hora de almorzar). También hay trabajadores a tiempo parcial que deben trabajar exactamente 3 horas consecutivas cada día y se le paga S/. 1.100 la hora, sin ningún otro pago. A fin de mantener la calidad del servicio el Banco desea tener un máximo de 5 cajeros contratados a tiempo parcial. Se desea minimizar los costos de empleados contratados. Tiempo 8-9 a.m. 9 - 10 a.m. 10 - 11 a.m. 11 12 m. 12 - 1 p.m. 1-2 p.m. 2-3 p.m. 3-4 p.m. Cajeros Requeridos 4 3 4 6 5 6 8 8 pág. 16 Asignatura: Investigación de Operaciones a) Variables de decisión: X1: Empleados a tiempo completo que toman su almuerzo de 12 m- 1pm X2: Empleados a tiempo completo que toman su almuerzo de 1 pm-2 pm X3: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 8 am X4: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 9 am X5: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 10 am X6: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 11 am X7: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 12 m X8: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 1 pm Empleados a tiempo parcial que trabajan desde la 1pm hasta que cierre y por lo tanto no se necesitan empleados a tiempo parcial que empiecen a las 2 pm o las 3 p.m. b) Objetivo: Minimizar Costos de contratación Min 14.400 (X1+ X2) + 3.300(X3+ X4 + X5 + X6 + X7 + X8) c) Restricciones de requerimientos de empleados totales en los ocho horarios señalados (8 restricciones) Restricción de empleados en el horario de 8 am - 9 a.m. X1 + X2 + X3 ≥ 4 Restricción de empleados en el horario de 9 a.m. - 10 a.m. X1 + X2 + X3 + X4 ≥ 3 Restricción de empleados en el horario de 10 a.m. - 11 a.m. X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≥ 4 Restricción de empleados en el horario de 11 a.m. - 12 a.m. X1 + X2 + X4 + X5 + X6 ≥ 6 Restricción de empleados en el horario de 12m - 1 p.m. X2 + X5 + X6 + X7 ≥ 5 Restricción de empleados en el horario de 1 p.m. - 2 p.m. X1 + X6 + X7 + X8 ≥ 6 Restricción de empleados en el horario de 2 p.m. - 3 p.m. X1 + X2 + X7 + X8 ≥ 8 Restricción de empleados en el horario de 3 p.m. - 4 p.m. X1 + X2 + X8 ≥ 8 Restricción de cantidad máxima de 5 cajeros contratados a tiempo parcial: X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 ≤ 5 Restricción de no negatividad de las variables: Todas las variables no negativas NOTA: Para obtener las restricciones puede elaborar un cuadro de doble entrada: Una entrada conteniendo cada Tipo de trabajador y la otra con las horas durante las cuales existen requerimientos específicos; esta última se dividirá en 8 columnas de 8 horarios, al final de las cuales está el total de empleados requeridos en cada uno de ellos. pág. 17 Asignatura: Investigación de Operaciones Caso 3: Sean x1 y x2 la cantidad a producirse de dos productos 1 y 2 respectivamente, los costos de producción de ambos productos, S/. 3 para el producto 1 y S/. 5 para el producto 2. Si el tiempo total de producción está restringido a 500 horas y el tiempo de producción es de 8 horas por unidad para el producto 1 y de 7 horas por unidad para el producto 2, entonces podemos representar el modelo como: C = 3x1 + 5x2 (Costo total de Producción) Sujeto a: 8x1 + 7x2  500 x1  0 y x2  0 Caso 4: Un fabricante de dos productos sillas y mesas y dispone de 6 pies de madera y 28 horas para su ensamblaje, luna silla requiere 2 pies de madera y 7 horas de ensamblaje, una mesa requiere 1 pie de madera y 8 horas de ensamblaje, los precios de los productos son S/. 120 y S/. 80 respectivamente. ¿Cuantas sillas y cuantas mesas se deben fabricar para maximizar su ingreso? Sea x1 y x2 la cantidad de sillas y mesas a producir respectivamente El objetivo se expresa como: Maximizar z = 120x1 + 80x2 El fabricante está sujeto a dos restricciones: - De Material : 2x1 + x2  6 - De Horas : 7x1 + 8x2  28 - De no negatividad x1 0 y x2  0 - Además no se venden productos no terminados por lo tanto las variables x1 y x2 deben ser enteras. Recomendaciones finales. Para formular un problema en forma matemática, deben expresarse afirmaciones lógicas en términos matemáticos. Esto se realiza cuando se resuelven “problemas hablados” al estudiar un curso de álgebra. Algo muy parecido sucede aquí al formular las restricciones. Por ejemplo, considérese la siguiente afirmación: Para fabricar el producto A se emplea 3 horas por unidad y para B se emplea 2 horas por unidad. Si deben usarse todas las 100 horas- hombre, disponibles, la restricción será: 3A + 2B = 100 Sin embargo, usen todos los es que se use, anterior puede en la mayoría de las situaciones de negocios, no es obligatorio que se recursos (en este caso, horas de mano de obra). Más bien la limitación cuando mucho, lo que se tiene disponible. Para este caso, la afirmación escribirse como una desigualdad: 3A + 2B  100 Para que sea aceptable para PL, cada restricción debe ser una suma de variables con exponente 1. Además, la forma estándar para una restricción pone a todas las variables del lado izquierdo y sólo una constante positiva o cero del lado derecho. Esto puede requerir algún reacomodo de los términos. Si, por ejemplo, la restricción es que A debe ser por los menos el doble de B, esto puede escribirse como: A  2B ó A - 2B  0 pág. 18 Asignatura: Investigación de Operaciones La metodología de PL requiere que todas las variables sean positivas o cero, es decir, no negativas. Para la mayoría de los problemas esto es real, no se querría una solución que diga: prodúzcanse menos dos cajas o contrátense menos cuatro personas. Mientras que no existe un límite en el número de restricciones que puede tener un problema de PL, sólo puede haber un objetivo. La forma matemática del objetivo se llama función objetivo. Debe llevar consigo el maximizar o minimizar alguna medida numérica. Podría ser maximizar el rendimiento, la ganancia, la contribución marginal o los contactos con los clientes. Podría ser minimizar el costo, el número de empleados o el material de desperdicio. Con frecuencia el objetivo es evidente al observar el problema. Como el valor de la función objetivo no se conoce hasta que se resuelve el problema, se usa la letra Z para representarlo. La función objetivo tendrá, entonces, la forma: Maximizar Z = 3A + 2B ó Minimizar Z = 3x1 + 2x2 Actividad Formular los modelos de programación lineal. PROBLEMA N° 01 Un herrero con 80 kg. de acero y 120 kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 2.000 y 1.500 Euros cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kg de aluminio, y para la de montaña 2 kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá? PROBLEMA N° 02 Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece a no fumadores al precio de 60 euros. al fumador 20 kg. Si el autobús tiene kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas la finalidad de optimizar el beneficio? plazas para fumadores al precio de 100 euros y Al no fumador se le deja llevar 50 kg. de peso y 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 de la compañía para cada tipo de pasajeros, con PROBLEMA N° 03 A una persona le tocan 10 millones de euros en una lotería y le aconsejan que los invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que el beneficio anual sea máximo? PROBLEMA N° 04 Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 euros por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 euros por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? pág. 19 Asignatura: Investigación de Operaciones Tema Nº 3: METODOS DE SOLUCION DE PROBLEMAS DE PL 3.1 Método gráfico En el análisis cuantitativo, una vez que se ha formulado y construido un modelo lineal para resolver un problema existente, en un sistema cualquiera, es necesario resolverlo. La solución de un modelo lineal muestra siempre un conjunto convexo delimitado por las restricciones del mismo y en el cual, si existe solución posible, al menos uno de sus puntos extremos es la solución óptima. Un punto extremo existe en la intersección de, al menos, dos rectas. El método gráfico se usa para resolver modelos lineales con dos variables y muestra el conjunto convexo que constituye la denominada región solución y el(los) punto(s) extremo(s) que proporciona(n) la solución del modelo. Permite conocer la base matemática de la solución de modelos lineales, los conjuntos convexos, y observar gráficamente situaciones que se presentan en modelos de cualquier tamaño. Esto ayuda a la comprensión de la Programación Lineal. El proceso para trabajar con el Método Gráfico sigue los pasos siguientes: a) Graficar las restricciones como igualdades y luego determinar el correspondiente a la desigualdad, sombreando el espacio correspondiente. área b) Determinar el área común a todas las restricciones. c) Evaluar la Función Objetivo en cada punto extremo del espacio de soluciones posibles. El punto o los puntos extremos en el que se obtenga el mejor valor, determinarán la solución del modelo. d) Existe un procedimiento alterno al punto c), señalado en el Método Gráfico, para obtener la solución del modelo. Este procedimiento alterno consiste en graficar la Función Objetivo con un valor arbitrario dentro de la región solución. Luego se desplaza paralelamente en la dirección que incremente su valor (si está maximizando) o decrezca su valor (si está minimizando). El punto o los puntos extremos que toque esa Función Objetivo antes de salir totalmente fuera de la región de soluciones posibles determinarán el óptimo, o solución del modelo. 3.1.1 Criterios a considerar  Al conjunto convexo de solución se le llama región de soluciones posibles, porque todos los puntos de esa región satisfacen TODAS las restricciones del modelo.  Un modelo tiene solución óptima UNICA cuando sólo una combinación de variables proporciona el mejor valor para el objetivo; se reconoce en el gráfico porque un único punto extremo provee el mejor valor del objetivo o un único punto extremo limita el valor de la recta objetivo.  Un modelo tiene soluciones óptimas ALTERNAS cuando más de una combinación de variables proporciona el óptimo valor del objetivo. Se reconoce en el gráfico porque más de un punto extremo proporciona el óptimo valor del objetivo o más de un punto extremo limita el valor de la recta objetivo. La recta objetivo al desplazarse dentro de la región solución cae paralelamente sobre alguna restricción antes de salir totalmente de la región solución. Un modelo NO TIENE SOLUCIÓN POSIBLE cuando no hay alguna combinación de variables que satisfaga todas las restricciones. Se debe a la presencia de restricciones inconsistentes en el modelo. Se reconocen en el gráfico porque no existe ninguna región común para todas las restricciones.  Un modelo tiene SOLUCIÓN CON VALOR INFINITO cuando hay combinaciones de variables que proporcionan valor infinito para el objetivo y no hay alguna combinación que limite el valor del objetivo a un valor finito. Esto se debe a la pág. 20 Asignatura: Investigación de Operaciones omisión de restricciones importantes, del sistema, en el modelo. Estas restricciones limitarían las variables de decisión a valores factibles. Se reconocen en el gráfico porque el espacio de solución es abierto, no acotado, no limitado y la Función Objetivo puede moverse dentro de esa región hasta el infinito sin que un punto extremo, con valor finito, limite su valor.  Un modelo tiene ESPACIO DE SOLUCION NO ACOTADO y SOLUCION DE VALOR FINITO cuando existen combinaciones de variables que dan un valor infinito al objetivo pero existe al menos una combinación de variables que le proporciona un valor finito. Se reconocen en el gráfico porque la región de soluciones posibles es abierta, no limitada pero hay por lo menos un punto extremo que limita el valor del objetivo.  Un modelo tiene SOLUCION DEGENERADA cuando existen combinaciones de variables que tienen más de la cantidad normal (una por cada restricción) de variables con valor cero. Esto se debe a la presencia de restricciones redundantes en el modelo. Más de la cantidad normal de variables (una por cada restricción del modelo) debe tomar valor cero para satisfacer a mayor cantidad de restricciones en el punto óptimo. Se reconocen en el gráfico porque más de dos restricciones cruzan sobre el punto extremo óptimo. 3.1.2 Casos de aplicación CASO 1. a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones: y  3  y  x  1 y  3 x  0  b) Indica si los puntos (0, 0), (2, 1) y (1, 2) forman parte de las soluciones del sistema anterior. Solución: y  3  a) Representamos las rectas y  x  1  y  x  1 y  3 x  0  y  3 x  Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (1, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es: pág. 21 Asignatura: Investigación de Operaciones A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 0) y (2, 1) no son soluciones del sistema, pero (1, 2) sí lo es. CASO 2. Maximiza la función z = x + y, sujeta a las siguientes restricciones:  x  3 y  26  4 x  3 y  44 2 x  3 y  28 x  0  y  0 Solución:  x  3 y  26  y  26  x  3  44  4 x  Representamos las rectas 4 x  3 y  44  y  3  28  2 x  2 x  3 y  28  y  3 Se halla la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que: x ≥ 0 e y ≥ 0. Representamos la dirección de las rectas z = x + y, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: x + y = 0 4 x  3y  44 El punto M, intersección de  es decir, M 8, 4, es el que proporciona 2x  3y  28 el máximo, que vale: z = 8 + 4 = 12 pág. 22 Asignatura: Investigación de Operaciones CASO 3. En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? Solución: Llamamos x a las unidades que se compran de tipo I e y a las que se compran de tipo II. Resumamos los datos en una tabla: Las restricciones son:  x  5 y  15  5 x  y  15  x  0 y  0 La función que nos da el coste es z = 10x + 30y = 10(x + 3y). Debemos hacer mínima esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, y la recta 10(x + 3y) = 0 x + 3y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 10(x + 3y). pág. 23 Asignatura: Investigación de Operaciones x  5y  15 El mínimose alcanzaen el punto de intersección de  ; es decir,en (2,5; 2,5). 5 x  y  15 Por tanto, hay que comprar 2,5 de tipo I y 2,5 de tipo II. El precio en este caso será de z = 10(2,5 + 3x2,5) = 100 soles. CASO 4. Disponemos de 210 000 soles para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130 000 soles en las de tipo A y, como mínimo, 6 000 soles en las de tipo B. además, la inversión en las del tipo A debe ser menor o igual que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés anual? Solución: Llamamos x al dinero que invertimos en acciones de tipo A e y al que invertimos en las de tipo B. Resumimos los datos en una tabla: Las restricciones son:  x  y  210 000   x  130 000 y  6 000   x  2y x  0  y  0 La función que nos da el rendimiento total es: z  0,1x  0,08y  1 10x  8y   2 5x  4y   1 5x  4y . 100 100 50 Debemos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (la unidad es 10 000) y la recta z 1 5x  4y   0 50  5 x  4y  0, que nos da la direcciónde las rectas 1 5x  4y . 50 pág. 24 Asignatura: Investigación de Operaciones El máximo se alcanza en el punto (13, 8). Por tanto, debemos invertir 130 000 soles en acciones del tipo A y 80 000 soles en las de tipo B. En este caso, el beneficio anual será de z 1 5  130000  4  80 000  19 400 euros. 50 CASO 5. a) Representa el recinto que cumple estas restricciones:  x  3y  9  2 x  y  8  x  0 y  0 b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior. Solución: x  3y  9   a) Representamos las rectas 2 x  y  8 x  0  y  0   9x 3 y  8  2x y  Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es: pág. 25 Asignatura: Investigación de Operaciones b) Por ejemplo: (1, 1), (2, 2) y (2, 0). 3.1.3 Situaciones especiales a) Modelos con soluciones óptimas alternas o múltiples. Max z = 6X1+2X2 (Beneficio) Sujetos a: 3 X1 + X2 3 X1 + 4 X2 3 X1 + X2 X1, X2 ≤ 48 horas de trabajo ≤ 120 unidades de materia Prima ≥ 36 horas de supervisión. ≥0 El modelo es formulado por una empresa que desea determinar la cantidad de unidades de producto 1 (X1) y producto 2 (X2) a fabricar para satisfacer el objetivo establecido de maximizar el beneficio. El monto total disponible de horas de trabajo para este período es de 48. La disponibilidad de materia prima es de 120 unidades y la cantidad mínima de horas disponibles para supervisión es de 36 horas. Graficar las restricciones y obtener el espacio de solución se efectúa en forma similar al proceso efectuado en el caso 1 y por lo tanto no se repetirán las instrucciones. Los puntos extremos del conjunto convexo son: A(16,0), D(12,0). B(8,24), C(8/3,28) y  Dos puntos extremos proporcionan el máximo valor del objetivo, los puntos A y B. Esto permite afirmar que existen soluciones óptimas Alternas para este modelo. Son óptimos todos los puntos sobre el segmento de línea AB que limita el conjunto convexo de solución y corresponden a la primera restricción.  Si utiliza el método de graficar la Función Objetivo con un valor arbitrario, 48 por ejemplo, podrá observar que la línea es completamente paralela a la primera y tercera restricción. Al desplazarla paralelamente hacia su optimización, hacia arriba porque se está maximizando, finalmente caerá completamente sobre la primera restricción, de horas de trabajo, antes de salir totalmente fuera de la región solución. Dos puntos extremos estarían limitando el crecimiento del objetivo, el punto B y el punto A. pág. 26 Asignatura: Investigación de Operaciones “Cualquier recta que tenga ratio de coeficientes igual al de otra recta, es paralela a esa otra recta”  La ventaja que presentan los modelos con este Tipo de solución es que se puede elegir cualquiera de las soluciones óptimas, porque todas presentan el mismo valor óptimo para el objetivo. Por ejemplo, si una de las soluciones tiene valores fraccionales para las variables y no puede trabajarse con valores fraccionales, el que toma la decisión seleccionará una solución con valores enteros.  Es una solución óptima alterna porque existe más de una combinación de productos 1 y 2 a producir, que proporcionan el mismo valor óptimo para el beneficio.  Se reconoce en el gráfico porque más de un punto extremo limita el valor óptimo del objetivo o proporciona su valor óptimo, los puntos: A (16,0) y punto B (8,24). Por lo tanto, todos los puntos sobre la recta AB son también óptimos. Debe seleccionar una de todas las soluciones. Suponga que elige la del punto extremo B (8, 24). En este caso la decisión sería: Producir 8 unidades de producto1 y 24 unidades del producto 2 para maximizar el beneficio en 96 unidades monetarias: 6 (8) + 2 (24) = 96. Este valor para la Función Objetivo también se obtendría en el otro punto extremo A (16, 0) y en cualquier punto sobre la recta AB en la región solución. Considerando las restricciones:  Restricción 1: 3 (8) + 1 ( 24) = 48 48 = 48 Se observa que se cumple como igualdad. Esto indica que con esa decisión óptima se utiliza totalmente el monto máximo de horas de trabajo disponible para la producción.  Restricción 2: 3 (8) + 4 ( 24) = 120 Cumple exactamente, es decir como una igualdad, indica que con esa decisión óptima se utilizará totalmente el monto máximo disponible de Materia Prima.  Restricción 3: 3 (8) + 1(24) > 36 48 > 36 Cumple como una desigualdad. Esto indica que con esa decisión óptima se utilizan 12 horas sobre el monto mínimo disponible de horas de supervisión. Se utilizan 48 pág. 27 Asignatura: Investigación de Operaciones horas. b) Modelos sin solución posible. No se definirán los elementos del modelo porque no habrá una solución posible para tomar alguna decisión. Max z=40 X1 + 30 X2 Sujeto a: 2/5 X1 + 1/2X2 ≤ 20 1/5 X2 ≤ 5 3/5 X1 + 3/10 ≤ 21 X2 X1 ≥ 30 X2 ≥ 15 X1, X2 ≥ 0  Puede observarse en él, que mientras las 3 primeras restricciones delimitan un espacio en común, las 2 últimas delimitan otro espacio común para ellas. Por lo tanto, no hay una región de puntos comunes que satisfagan ambos conjuntos de restricciones y el modelo no tendrá solución posible. En estos casos es necesario determinar cuáles son las restricciones inconsistentes para el modelo. Es decir, cuáles son realmente válidas para el modelo.  Observe que si las variables X1 y X2 toman el valor mínimo que pueden tomar en las dos últimas restricciones, es decir X1 = 30 y X2 = 15 entonces la tercera restricción no se cumpliría. Esto es una inconsistencia.  Estos modelos no deben existir en el mundo real. Si el sistema e s r e a l , entonces el modelo debe representarlo de tal manera que permita obtener una solución posible. c) Modelos que presentan solución con valor infinito Max z= X1+ 2X2 Sujeto a: -4 X1 + 3 X2 X1 - ≤3 X2 ≤ 3 X1, X2 ≥ 0 pág. 28 Asignatura: Investigación de Operaciones  No se definirán los elementos del modelo porque no habrá una solución para tomar alguna decisión.  En el gráfico, el conjunto convexo llamado región solución, que contiene todas las soluciones posibles, es un espacio abierto.  Tiene tres puntos extremos A, B y C, pero ninguno delimita el crecimiento del objetivo. Esta función puede tomar valores infinitos ya que las variables conforman puntos con valores infinitos dentro de la región factible y ninguno proporciona un valor finito óptimo. Por tanto, no es lógico encontrar un objetivo de valor infinito.  En estos casos debe buscarse dentro del sistema, la restricción o las restricciones que se omitieron modelo y que limitarían las variables de decisión a valores factibles. d) Modelos con espacio de solución no acotado y solución de valor finito. Min z=0.06 X1+ 0.05 X2 (costos) Sujeto a: 0.30 X1 + 0.20 X2 ≥ 500 Proteína 0.15 X1 + 0.30 X2 ≥ 300 Grasa X1, X2  ≥ 0 El modelo es formulado para una guardería de perros que se destaca por dar una alimentación balanceada a las mascotas. El alimento lo elabora mezclando 2 marcas conocidas de alimentos que llamaremos X1 y X2. Se desea determinar la cantidad de gramos de X1 y X2 a mezclar en el alimento, con el objetivo establecido de minimizar los costos de la mezcla. Esta, debe contener al menos 500 gramos de proteínas y al menos 300 gramos de grasa por día. Los porcentajes de contenido de grasa y proteína de cada gramo de X 1 y X2 se conocen y son usados en el modelo. pág. 29 Asignatura: Investigación de Operaciones  El espacio de solución obtenido se muestra en el gráfico. Se observa una región abierta con las soluciones posibles y puntos extremos A, B, C. Esto indica que pueden existir combinaciones de cantidad de gramos de alimento X1 y X2 con valor infinito, en este caso los costos serían infinitos. Esto es posible porque no se está limitando directamente la cantidad de X1 y X2 en alguna restricción específica y las restricciones existentes son todas de Tipo “que”.  Pero, mientras exista al menos una combinación con valor finito, en algún punto extremo que limite el valor del objetivo, a esa combinación se le considerará óptima. En los casos de región abierta de soluciones posibles, es conveniente entonces encontrar el valor óptimo con el procedimiento de graficar la Función Objetivo.  Al graficar la Función Objetivo, con un valor arbitrario de 120, se observa que al desplazarla paralelamente hacia su optimización, hacia abajo porque se está minimizando, la línea cae sobre el punto B, antes de salir completamente de la región solución. A este punto se le considerará punto extremo óptimo.  La solución óptima es Única con los valores: X1 = 1.500, X2 = 250 102.5 F.O. = e) Modelos con solución degenerada Min z= 2500 X + 2200 Y (costos) Sujeto a: X+ Y 300 X + 400 Y ≤ 10 Empleados temporales ≥ 3.400 cartas 80 X + 50 Y ≥ 680 paquetes X, Y ≥ 0  El modelo es formulado por una oficina de correos que puede contratar hasta 10 empleados para manejar el correo. La oficina conoce que un empleado (hombre) puede manejar 300 cartas y 80 paquetes por día y una empleada (mujer) puede manejar 400 cartas y 50 paquetes en un día. No menos de 3.400 cartas y de 680 paquetes se esperan por día. A cada empleado hombre (X), se le paga $ 2.500 por día y a una empleada mujer (Y) se le paga $ 2.200 por día.  Se quiere determinar la cantidad de hombres (X) y mujeres (Y) que se deben contratar para satisfacer las restricciones y lograr el objetivo establecido de minimizar los costos de la nómina. pág. 30 Asignatura: Investigación de Operaciones  Siguiendo el procedimiento el gráfico obtenido es: Se observa una región de soluciones posibles de un solo punto común para todas las restricciones y por lo tanto un único punto extremo A. Esto indica que existe una única combinación posible y además óptima, de cantidad de empleados X e Y que satisface las restricciones y optimiza el objetivo. Conociendo la definición del modelo, se plantean las siguientes consultas: a) ¿Qué representa el coeficiente de la variable Y en la Función Objetivo y en la segunda restricción? b) ¿Qué Tipo de solución presenta el modelo?, ¿Por qué? y ¿Cómo se reconoce en el gráfico? c) ¿Cuál es la solución y la decisión que se recomendaría con la solución encontrada? d) Analice las restricciones en el punto óptimo y presente la información que se obtiene. e) ¿Qué efecto tendría, sobre la solución óptima encontrada, un cambio en el número de cartas esperadas. Suponga que cambia a 2.400. Explique y muestre sobre el gráfico. Respuestas: a) El coeficiente de la variable Y en la Función Objetivo representa lo que se le paga diariamente a cada trabajadora (mujer), es decir, el costo de contratar una trabajadora al día es de Bs. 2.200. En la segunda restricción representa la cantidad de cartas que puede manejar al día cada mujer contratada, es decir, 400 cartas al día puede manejar cada mujer contratada. b) Única y Degenerada. Normalmente la solución de un modelo contiene una variable (Estructural o de holgura) con valor mayor que cero por cada restricción del modelo. En este caso, más variables de las normales toman valor cero, para poder satisfacer mayor número de restricciones, en el punto óptimo. Hay entonces menor cantidad de variables con valor mayor que cero con relación al número de restricciones. Por eso se le llama Solución Degenerada en contraposición a la Solución Normal. Además es única porque una sola combinación de empleados, hombres y mujeres, proporciona el mínimo costo. Se debe a la presencia de restricciones redundantes en el modelo y se reconoce en el gráfico porque más de pág. 31 Asignatura: Investigación de Operaciones dos restricciones cruzan sobre el punto óptimo. Del total de restricciones que cruzan el punto óptimo, sólo dos son necesarias para calcular sus coordenadas. En este caso sólo hay una restricción redundante, por ello la Solución es Degenerada. Se reconoce que es única porque hay un solo punto extremo que proporciona el valor óptimo del objetivo. c) La solución es X = 6, Y = 4, F.O. = 23800. La decisión sería contratar 6 empleados hombres y 4 mujeres para minimizar los costos diarios de contratación en 23.800 unidades monetarias: 2500(6) + 2200 (4). d) Restricción 1 X + Y ≤10 6 + 4 = 10 De esta manera se contrata el máximo de empleados que se estaba dispuesto a contratar. Restricción 2 300 X + 400 Y ≥ 3400 300(6) + 400(4) = 3400 Así se manejará el mínimo de cartas. Restricción 3 80 X + 50 Y ≥ 680 80(6) + 50 (4) = 680 e) Se manejará el mínimo de paquetes. Se realiza el análisis de sensibilidad. Sobre el gráfico está graficada la nueva restricción 300X + 400 Y ≥ 2400 pág. 32 Asignatura: Investigación de Operaciones  Se observa que no cambia el espacio de soluciones posibles y por lo tanto la solución óptima seguirá siendo la misma.  En general, disminuir la cantidad del lado derecho de una restricción Tipo ≥ , es relajar la restricción y hacerla más fácil de satisfacer.  Esto puede expandir el conjunto convexo o dejarlo igual. En este caso quedó igual. Esto se estudia más detalladamente en Análisis de Sensibilidad. Actividad Solucionar mediante el Método Gráfico los siguientes programas lineales a) Halla el mínimo de la función z = 3x + 2y con las siguientes restricciones: 3 x  4 y  12  3 x  2 y  2  x  0 y  0 b) Dibuja el recinto definido por:  2 x  y  3   2x  y  2  x  2y  4   Halla los vértices del recinto anterior.  Halla el máximo de la función z = 4y - x, sujeta a las restricciones propuestas.  ¿En qué punto del recinto alcanza dicho máximo? c) Hallar la solución:  x  3 y  200   x  y  100   x  20 y  10   Maximizar las ganancias equivale a maximizar los ingresos. La función que nos da los ingresos es z = 30x y = 10(3x y). Debemos obtener el máximo de esta función sujeta a las restricciones anteriores. 3.2 El Método SIMPLEX Los problemas reales de programación lineal generalmente tienen variables de decisión y muchas restricciones. Tales problemas no pueden ser resueltos gráficamente. Se usan algoritmos tales como el simplex. El método simplex es un procedimiento iterativo que progresivamente permite obtener una solución óptima para los problemas de programación lineal. Existen numerosos programas tanto para computadoras centrales como para personales. Aunque el método simplex es especialmente útil en problemas de gran escala (resueltos con una computadora). pág. 33 Asignatura: Investigación de Operaciones Procedimiento general del simplex 1. Establézcase la tabla inicial de simples. Formular la función objetivo y las restricciones e introducir las variables de decisión, variable en la solución, valor en solución (LD), C (contribución de la variable), Z (costo de introducir la variable), C – Z (contribución neta de la variable). 2. Selecciónese la columna pivote. Ésta es la columna con el número positivo más grande en el renglón inferior (C - Z). Esta se convierte en la nueva variable de la solución. 3. Selecciónese la fila pivote. Ésta es la fila con la razón más pequeña del valor LD dividido por el valor de la columna pivote. Úsense sólo números positivos. Esto identifica la variable que deja la solución. 4. Enciérrese en un círculo el elemento pivote. Ésta es la intersección de la fila y la columna pivotes. 5. Conviértase al elemento pivote en un 1. Hágase esto dividiendo cada valor de la fila pivote entre el valor pivote. Ingrésese esta fila en una tabla nueva. 6. Genérense las demás filas de la nueva tabla con ceros en la columna pivote. Esto se hace multiplicando la nueva fila (del paso 5) por el negativo del elemento en la columna pivote. El resultado será sumado a la antigua fila. Introdúzcase esta fila revisada en la nueva tabla, y continúese este procedimiento en cada fila de la sección central de la tabla. 7. Prueba de optimización. Calcúlense los valores de Z y C – Z. Los valores de Z de cada columna son (elementos de la columna) (C). Si todos los valores de C – Z son ≤ 0, la solución es óptima. Léanse los valores de las variables en la solución de la columna de LD y el valor de la función objetivo de la fila de Z en la columna de LD. Si la solución no es óptima, regrese al paso 2. Variables de holgura- El método simplex empieza con el planteamiento de una función objetivo y ecuaciones de restricción. Las rutinas computarizadas de programación lineal (PL) automáticamente arreglarán esos datos iniciales, pero tratándose de soluciones manuales, debe construirse en cada paso la tabla de simples. Esto requiere que las restricciones sean establecidas como igualdades. En los problemas de maximización se logra esto añadiendo variables de holgura (s) a cada restricción. La holgura representa una cantidad no utilizada, o la diferencia entre lo que es usado y el límite de lo que puede usarse. Caso de aplicación La metodología de solución de los problemas de maximización hace necesario seleccionar una columna y una fila pivotes y revisar los valores de la tabla hasta que en la fila inferior sean menores o iguales que cero. C 0 0 Variables de la solución S1 S2 Z C-Z 10 30 0 0 Variables de decisión X Y S1 S2 4 6 1 0 8 4 0 1 0 0 0 0 10 30 0 0 Valores de solución (LD) 12 16 0 0 1. Seleccionar una columna y una fila pivotes a) La columna pivote es la que tiene el número positivo más grande en la fila inferior C-Z 10 30 0 0 0 En este ejercicio es 30. pág. 34 Asignatura: Investigación de Operaciones b) La fila pivote es la que tiene la razón más pequeña, de la fila pivote 12 16  2 (Mínimo) 4 6 4 C Variables de la solución 0 0 S1 S2 Z C-Z 10 30 0 0 Variables de decisión X 4 8 0 10 Y 6 4 0 30 S1 1 0 0 0 S2 0 1 0 0 Valores de solución (LD) 12 16 0 0 Por lo tanto la fila 1 es la fila pivote. c) El elemento pivote es encerrado en un círculo C 0 0 Variables de la solución S1 S2 Z C-Z 6 10 30 0 0 Variables de decisión X Y S1 S2 4 6 1 0 8 4 0 1 0 0 0 0 10 30 0 0 Valores de solución (LD) 12 16 0 0 2. Divídase cada valor de la fila pivote 1 entre el elemento pivote (6) y colóquense los valores en una nueva tabla. C 0 Variables de la solución Y 10 30 0 0 Variables de decisión X Y S1 S2 2/3 1 1/6 0 Valores de solución (LD) 2 a) Genérense las otras filas para la siguiente tabla, de tal manera que los elementos de la columna pivote sean iguales a cero. Se empieza con la fila S2, el cual tiene 4 en la columna de Y. Se multiplica la nueva fila (del paso 2) por el negativo del valor que se desea convertir (-4), y se suma a la anterior fila de S2. Se multiplica la nueva fila por (-4) el resultado se muestra en la siguiente tabla. X Y S1 S2 -4(2/3) -4(1) -4(1/6) El renglón del paso 2 se -4(0) multiplica por -4 Obtener el resultado -8/3 -4 -2/3 0 Sumarlo a la fila de S2 8 4 0 1 Para obtener la nueva fila 16/3 0 .2/3 1 La fila obtenida se introduce a la nueva tabla del paso 2. C 30 0 Variables de la solución Y S2 Z 10 30 0 0 Variables de decisión X Y S1 S2 2/3 1 1/6 0 16/3 0 .2/3 1 (LD) -4(2) -8 16 8 Valores de solución (LD) 2 8 Si hay más filas que convertir, debe repetirse este paso en la siguiente fila. Dado que ahí no hay más, puede calcularse la fila Z y C-Z. pág. 35 Asignatura: Investigación de Operaciones Los valores en la fila Z son ∑ (elementos de la columna) (C) Elementos de la fila Z: Para X: Z = 2/3(30) + 16/3(0) = 20 Para Y: Z = 1(30) + 0(0) = 30 Para S1: Z = 1/6(30) – 2/3(30) = 5 Para S2: Z = 0(30) + 1(0) = 0 Para LD: 2(30) + 8(0) = 60 Después de que se introducen éste y los valores de C-Z en la siguiente matriz, se tiene: C 30 0 Variables de la solución Y S2 Z C-Z 10 30 0 0 Variables de decisión X Y S1 S2 2/3 1 1/6 0 16/3 0 .2/3 1 20 30 5 0 -10 0 -5 0 Valores de solución (LD) 2 8 60 Repetir los pasos anteriores hasta que todos los valores de la fila inferior sean ≤ 0. Dado que todos los valores son ≤ 0, ha sido alcanzada la solución óptima. Las variables en la solución son identificadas por las columnas en la parte central de la tabla que tienen un 1, y el resto de los valores son cero. Los valores solución son datos en la columna del lado derecho, como se ve en la siguiente tabla. Z X - Y 1 0 - S1 - S2 0 1 - (LD) 2 8 60 Por tanto, X = no está en la solución Y = 2 unidades Z = $60 Note que la variable de holgura asociada con la restricción 2 también tiene un 1 y ceros, lo cual significa que tiene holgura en la solución y que la restricción no se agotó. Entonces hay sólo una variable de decisión (no holgura) en la solución (Y) y una restricción agotada (número 1). Esto concuerda con el teorema fundamental de programación lineal, que establece que el número de variables de decisión (no holgura) de la solución siempre será igual a número de restricciones que son agotadas. Actividad Resolver mediante el método simplex los siguientes casos: 1. Textil Donnell, produce dos modelos, Chompas y Sacones. El beneficio que arroja cada chompa es de 40 S/. y cada sacón de 60 S/. El mercado puede adquirir hasta 400 chompas/semana y hasta 300 sacones/semana y en total la planta solo puede fabricar 600 unidades/semana. a. ¿Cuántas unidades de cada modelo debe producir la fábrica Textil, para obtener el máximo de ingresos? 2. Un fabricante produce dos artículos, A y B cada uno de los cuales requiere de dos tipos de máquinas y los tiempos respectivos tal como se indica en el siguiente cuadro: pág. 36 Asignatura: Investigación de Operaciones Máq / Prod A B Máquina 1 2 4 Máquina 2 3 1 Utilidad S/. 2.5 3.5 Si el número de horas disponibles en las máquinas al mes son de 200 y 150 respectivamente, a. ¿Determine cuantas unidades de cada producto debe producirse al mes, a fin de maximizar la utilidad total? b. ¿Cuál es esa utilidad total? 3. Un camión distribuidora Central SA. puede transportar como máximo 9 TM. por viaje. En un viaje debe transportar al menos 4 TM. de la mercancía A y un peso de la mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta de A. Sabiendo que cobra 30 S/. / kilo de A y 20 S/. / kilo de B. a. ¿Cómo se debe cargar el camión para obtener la ganancia máxima? 4. Un comerciante acude al mercado mayorista a comprar naranjas con S/. 5 000. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo Valencia a 5 S/. el kg. y las de tipo Huando a 8 S/. el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo Valencia a 8 S/. y el kg. de tipo Huando a 12 S/. a. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? b. ¿Cuál será ese beneficio máximo? 5. La empresa Bembo’s vende hamburguesas de dos tipos: de un cuarto de libra y hamburguesas bembonas. La hamburguesa de un cuarto de libra obviamente utiliza ¼ de libra de carne y la hamburguesa bembona, sólo utiliza 0,2 libras de carne. El restaurante empieza cada día con 200 libras de carne. La utilidad neta es la siguiente: 2.00 $ por cada hamburguesa de cuarto de libra y 1.50 $ por cada hamburguesa normal. El gerente estima además que no venderá más de 900 hamburguesas en total. Aplicando el método gráfico, determine la máxima utilidad que obtiene Bembo’s. 6. Un carpintero fabrica dos productos: sillas y mesas. Su producción está limitada por las disponibilidades en listones de madera (36 semanales) y por las horas de mano de obra contratada (48 semanales). Cada silla requiere 4 listones de madera y 3 horas de mano de obra. Cada mesa requiere 4 listones y 6 horas hombre. El carpintero obtiene S/. 30 y S/. 20 de utilidades por cada silla y mesa respectivamente. Halle por medios gráficos el programa de fabricación que haga máximas las utilidades. 7. Un estudiante del ISTPC dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga S/. 5 por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga S/. 7 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada tipo para que su beneficio diario sea máximo? 8. Un agricultor tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del pág. 37 Asignatura: Investigación de Operaciones verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados en el cuadro. Disp. / Prod Horas de trabajo por hectárea Utilidad S/. maíz trigo 2 4 40 30 a. ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad? b. ¿Cuál es ésta utilidad máxima? 9. La cervecería Andina S.A. produce cerveza Premium y la de tipo Light. La cerveza Premium se vende a 5 dólares el barril, y la Light a 2 dólares el barril. La producción de un barril de cerveza Premium requiere de 5 kilos de cebada y 2 kilos de lúpulo. La producción de un barril de Light requiere de 2 kilos de cebada y 1 kilo de lúpulo. Se dispone de 60 kilos de cebada y de 25 kilos de lúpulo. a. ¿Cuántos barriles de cada tipo de cerveza debe producir para maximizar sus ingresos? b. ¿Cuáles son esos ingresos máximos? 10.Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 plantas-talleres. En el taller A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2 días-operario. En el taller B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, el taller A dispone de 300 días-operario, y el taller B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 mil soles y de 3 mil soles por cada auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias? 11.Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 mil dólares y el costo de una casa de tipo A es de 13 mil y 8 mil una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 mil y cada una de tipo B en 9 mil dólares respectivamente. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo? 12.Una fábrica produce camisas y pantalones los produce con dos tipos de máquinas (de cortar, coser). Fabricar una camisa representa emplear la máquina de cortar una hora y la de coser tres horas; fabricar un pantalón representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser una hora. La máquina de coser se puede usar hasta doce y la de cortar hasta 7 horas al día, sino se recalienta. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho soles por cada camisa y de cinco soles por cada pantalón. ¿Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el beneficio máximo? 13.Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento, a saber en gránulos y polvo. Él no puede hacer más de 1600 bolsas un día debido a una escasez de vehículos para transportar el cemento fuera de la planta. Un contrato de ventas establece que él debe producir 500 bolsas al día de cemento en polvo. Debido a restricciones del proceso, se requiere el doble del tiempo para producir una bolsa de cemento granulado en relación al tiempo requerido por el cemento en polvo. Una bolsa de cemento en polvo consume para su fabricación 15 pág. 38 Asignatura: Investigación de Operaciones minutos/bolsa y la planta opera 8 horas al día. Su ganancia es S/.4 por la bolsa de cemento granulado y S/ 3 por la bolsa de cemento en polvo. ¿Cuánto se debe producir de cada tipo de cemento para maximizar sus ingresos? 14.En Justicia Paz y Vida de El Tambo, se van a construir casas de dos tipos: A y B. La empresa constructora dispone para ello de un máximo de 1,8 millones de soles, siendo el costo de cada tipo de casa de 30 y 20 mil soles respectivamente. El Ministerio de Vivienda, por la normatividad de paisajismo y urbanismo exige que el número total de casas no sea superior a 80. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es 4 mil soles y de 3 mil soles por una de tipo B. a. ¿La constructora cuántas casas debe construir de cada tipo para obtener el máximo beneficio? b. ¿Cuáles son esos ingresos máximos? 15.Doe Run SRL. produce Cobre y Zinc. Por el momento es capaz de vender todo el mineral producido. La ganancia por tonelada de Cobre y Zinc vendida es de 4 y 3 mil dólares respectivamente. El proceso de cada tonelada de Cobre requiere 3 horas de trabajo en el horno y otras 4 horas de lavado. Para cada tonelada de Zinc se requieren 4 horas de horneado y 2 horas de lavado. Las horas diarias disponibles en el horno y el lavado son 35 y 30, respectivamente. Además se supone que al menos se deben producir diariamente 4 toneladas de Zinc. ¿Cuántas toneladas de Cobre y cuantas de Zinc deben producir a fin de maximizar sus ingreso? 16.Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión locales. Su presupuesto limita los gastos en publicidad a $1000 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $100. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos dos veces más que la televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisión generará en términos generales 25 veces más ventas que cada minuto de publicidad por la radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisión. pág. 39 Asignatura: Investigación de Operaciones Tema Nº 4: ANALISIS DE DUALIDAD Y SENSIBILIDAD 4.1 Análisis de Dualidad Hemos visto como la programación lineal puede ser usada para resolver una extensa variedad de problemas propios de los negocios, ya sea para maximizar utilidades o minimizar costos. Las variables de decisión en tales problemas fueron, por ejemplo, el número de productos a producir, la cantidad de pesos a emplear, etc. En cada caso la solución óptima no explicó cómo podrían ser asignados los recursos (ejemplo: materia prima, capacidad de las máquinas, el dinero, etc.) para obtener un objetivo establecido. En este capítulo veremos que a cada problema de programación lineal se le asocia otro problema de programación lineal, llamado el problema dual. La solución óptima del problema de programación dual, proporciona la siguiente información sobre el problema original:  La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el mercado o los beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original.  La solución óptima del problema dual aporta la solución óptima del problema original y viceversa. Normalmente llamamos al problema de programación lineal original el problema de programación primal. Es el concepto clave que permite resolver un problema a partir de otro, y se deriva de las relaciones primo-dual, en el valor de la función objetivo. Formulación del problema dual. El problema dual es un problema de PL auxiliar que se define directa y sistemáticamente a partir del modelo de PL original o primal. El problema de programación lineal vienen dado por: Maximizar Z = C’X sujeto a:  B AX X  0 Su dual asociado es el problema de PL dado por: Minimizar Z’ = B’W sujeto a: AW W  C  0 El paso al dual se lleva a cabo teniendo presente las cuatro reglas siguientes: a. Los coeficientes de la i-ésima restricción para el problema primal pasan a ser los coeficientes de las variables Wi en las restricciones del problema dual. El problema dual tiene tantas variables como restricciones hay en el primal. b. Los coeficientes de las variables de decisión Xj en el problema primal pasan a ser los coeficientes de la restricción j-ésima en el problema dual. El problema dual tiene tantas restricciones como variables hay en el primal. c. Los coeficientes de la función objetivo en el problema primal pasan a ser los coeficientes del segundo miembro de las restricciones en el problema dual. d. Los coeficientes del segundo miembro de las restricciones del problema primal pasan a ser los coeficientes de la función objetivo del dual. pág. 40 Asignatura: Investigación de Operaciones Primal Ejemplo: Maximizar: sujeto a: Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3 8X1 + 6X2 + X3  48 4X1 + 2X2 + 1.5X3  20 2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 X1, X2, X3  8 0 Dual: Minimizar sujeto a: Z’ = 48 W1 + 20 W2 + 8W3 8W1 + 4W2 + 2W3  60  30 W1 + 1.5W2 + 0.5W3  20 " W1, W2, W3  0 6W1 + 2W2 + 1.5W3 4.2 Definición de Problema dual El desarrollo de la programación lineal se ha visto reforzado por el descubrimiento de que todo problema de programación lineal tiene asociado otro problema llamado dual. El problema original se llama primal, ambos problemas están relacionados de tal manera que la el valor de la función objetivo en el óptimo es igual para ambos problemas, y la solución de uno conduce automáticamente a la del otro. Las relaciones entre ambos problemas facilitan el análisis de sensibilidad de un problema. El dual es un problema de programación lineal se obtiene matemáticamente de un problema primal. La forma del problema dual es única y se define en base a la forma estándar general del problema primal: Optimizar (Max o Min) z = S Sujeto a S j =1..naijxj j =1..ncjxj = bi xj ≥ 0 con i = 1..m, j = 1..n Donde las “n” variables xj incluyen los excesos y las holguras. El problema dual se construye simétricamente del primal de acuerdo a las siguientes reglas. 1. Para cada restricción primal (m restricciones) existe una variable dual yi (m variables), la función objetivo se construye con los valores libres bi como coeficientes de las variables yi. 2. Para cada variable primal xj (n variables) existe una restricción dual (n restricciones), la restricción se construye con los m coeficientes de las restricciones primales de esa variable. Los valores libres son los n coeficientes cj. 3. Si la optimización primal es una Maximización, el problema dual es una Minimización y las restricciones son ≥. (y a la inversa Minimización primal, Maximización dual, restricciones). El siguiente diagrama muestra la construcción del dual: pág. 41 Asignatura: Investigación de Operaciones x1 Objetivo primal c1 x2 c2 .. .. xj c1 .. .. xn c1 Valores libres de restricciones duales Variables duales l v Coeficientes a11 restricciones duales a12 .. a1j .. a1n b1 y1 a21 a22 .. a2j .. a2n b2 y2 am1 a22 .. a2j .. a2n bm ym Restr. dual j Función Objetivo dual Nota: si consideramos los excesos y holguras las variables duales (yi) no tienen restricciones de signo, en caso contrario en ambos problemas se considera variables ³ 0. Por lo que las variables duales correspondientes a restricciones del tipo = deben ser sin restricciones de signo, recíprocamente cuando una variable en el primal no tiene restricción de signo, la restricción correspondiente en el dual debe ser del tipo =. Ejemplo Sea Max z = 3x1 + 5x2 x1 + 10x2 < 80 2x1 + 3x2 < 45 4x1 - 2x2 < 25 3x2 <60 x1, x2 > 0 Aplicando las reglas y la nota: 1. Para cada restricción primal (4 restricciones) existe una variable dual yi (4 variables) y1 y2 y3 y4, la función objetivo se construye con los valores libres bi (80,45,25,60) como coeficientes de las variables yi. 2. Para cada variable primal xj (2 variables sin considerar las variables de holgura) existe una restricción dual (2 restricciones), la restricción se construye con los 4 coeficientes de las restricciones primales de esa variable. Los valores libres son los 2 coeficientes cj (3, 5). 3. la optimización primal es una Maximización, el problema dual es una Minimización y las restricciones son >. Nota: No hemos considerado las variables de excesos ni holguras las variables duales por lo que en ambos problemas se considera variables > 0, no existen restricciones de =. pág. 42 Asignatura: Investigación de Operaciones Problema dual: Min Y = 80y1 + 45y2 + 25y3 + 60y4 Sujeto a: Y1 + 2y2 + 4y3 > 3 10y1 + 3y2 - 2y3 + 3y4 > 5 y1, y2, y3, y4 > 0 2. Max Z = 3x1 + 7x2 Sujeto a: 2x1 + 5x2 = 15 x1 + 8x2 < 30 x1, x2 > 0 0. Para cada restricción primal (2 restricciones) existe una variable dual yi (2 variables) y1 y2, la función objetivo se construye con los valores libres bi (15, 30) como coeficientes de las variables yi. 1. Para cada variable primal xj (2 variables sin considerar las variables de holgura) existe una restricción dual (2 restricciones), la restricción se construye con los 2 coeficientes de las restricciones primales de esa variable. Los valores libres son los 2 coeficientes cj (3, 7). Aplicando las reglas y la nota: Nota: Para la segunda restricción no hemos considerado las variables de excesos ni holguras las variables duales por lo que en el dual y 2 ³ 0, la primera restricción es de igualdad por lo que la primera variable no tiene restricción de signo. Problema dual: Min Y= 15y1 + 30y2 Sujeto a: 2y1 + y2 > 3 5y1 + 8y2 > 7 y1 sin restricción de signo (irrestricta) y2 > 0. 4.3 Análisis de sensibilidad Una vez obtenida la solución de un problema de programación lineal, es deseable investigar cómo cambia la solución del problema al cambiar los parámetros del modelo. Por ejemplo si una restricción de un problema es 4x1 + 6x2 < 80 donde 80 representa la cantidad de recurso disponible. Es natural preguntarse ¿qué pasa con la solución del problema si la cantidad de recurso (por ejemplo Horas) disminuye a 60? Otras veces podemos preguntarnos qué pasa si cambiamos algunos coeficientes de la función objetivo? O bien si agregamos una restricción o una variable. El estudio de la variación de un problema de programación lineal debido a cambios de los parámetros del mismo, se llama análisis de sensibilidad. pág. 43 Asignatura: Investigación de Operaciones Una forma de responder estas preguntas sería resolver cada vez un nuevo problema. Sin embargo esto es computacionalmente ineficiente. Para esto es preferible hacer uso de las propiedades del método Simplex y de los problemas primal y dual. Recordemos que una vez que en un problema lineal se conoce B, C B y XB, la tabla simplex se puede calcular utilizando B-1 y los datos originales del problema. El efecto de los cambios en los parámetros del problema del análisis de sensibilidad (post óptimo) se puede dividir en tres categorías: 0. Cambios en los coeficientes C de la función objetivo, solo afecta la optimalidad. 1. Cambios en el segundo miembro b solo pueden afectar la factibilidad. 2. Cambios simultáneos en C y b pueden afectar la optimalidad y la factibilidad. Ejercicio 1 CIDEMETAL SRL, produce mesas y sillas para venta en el país. Se requieren dos tipos básicos de mano de obra especializada: para ensamblado y acabado. Producir una mesa requiere tres horas de ensamblado, dos horas de acabado y se vende con una ganancia de $30. La producción de una silla requiere 1 hora de acabado y se vende con una ganancia de $18. Actualmente, la compañía dispone de 200 horas de ensamblado y 160 horas de acabado. La formulación a este problema es: Maximizar: X0 = 30X1 + 18X2 Sujeta a: 3X1 + X2  200 (ensamblado) 2X1 + X2  160 (acabado) X1, X2  0 Y la solución óptima la siguiente Base X0 X1 X2 X3 X4 Solución X0 1 6 0 0 18 2880 X3 0 1 0 1 -1 40 X2 0 2 1 0 1 160 La compañía desea consejo en los siguientes planteamientos: a. ¿Cuánto es lo máximo que pueden reducirse las horas-hombre disponibles en ensamblado sin que la factibilidad de la mezcla actual cambie? b. ¿Cuál es el rango de variación de la utilidad unitaria de las sillas en donde la inmejorabilidad de la mezcla óptima se mantiene? c. ¿En cuál departamento recomendaría usted contratar tiempo extra? d. Si se comprara una máquina que redujera el tiempo de ensamblado en las mesas, de 3 a 1/2, ¿recomendaría usted una inversión de dicha máquina? e. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 15 horashombre extra en la operación de acabado? pág. 44 Asignatura: Investigación de Operaciones f. Si la utilidad unitaria de las sillas disminuye a $16, ¿Cómo se afecta a la solución óptima y el objetivo? g. Si los obreros que llevan a cabo la operación de acabado ofrecen trabajar horas extras a razón de $12/hora ¿Recomendaría usted contratar tiempo extra? Si lo recomienda, ¿qué tanto tiempo extra puede programarse sin cambiar la optimidad de la mezcla actual? Ejercicio 2 GRANDE PERU SAC, se especializa en la fabricación de camas (colchones). La compañía fabrica tres clases de colchones: matrimonial, "King-size" e individual. Los tres tipos de colchones se fabrican en dos plantas diferentes que son propiedad absoluta de la compañía. En un día hábil normal de 8 horas, la planta No. 1 fabrica 50 colchones matrimoniales, 80 colchones "King-size" y 100 individuales. La planta No.2 fabrica 60 colchones matrimoniales, 60 "King-size" y 200 individuales. El gerente de mercadotecnia de la GRANDE ha proyectado la demanda mensual para los tres tipos de colchones y calcula será de 2500, 3000 y 7000 unidades, respectivamente. Los contadores de la compañía indican que el costo diario de operación de la planta No. 1 es de $3500 diarios. A los administradores les gustaría determinar el número óptimo de días de operación por mes en las dos diferentes plantas con el objeto de minimizar el costo total de producción, al mismo tiempo que se satisface la demanda. Utilizando y1 = número de días de operación por mes de la planta No.1 y2 = número de días de operación por mes de la planta No.2 Entonces el planteamiento puede expresarse de la siguiente manera: Minimizar: Sujeto a: Z = 2500Y1 + 3500Y2 50Y1 + 60Y2  2500 80Y1 + 60Y2  3000 100Y1 + 200Y2 Y1, Y2  7000  0 Es fácil observar que el problema se encuentra en forma del problema dual estándar. a. Plantee el problema primario para el problema dual que se dio antes. b. ¿Cuáles son las unidades de medición de las variables primarias? c. Resuelva el problema utilizando el método simplex. ¿Por qué fue más sencillo resolver el problema primario que el dual? d. Utilizando el problema primario óptima, determine el valor óptimo para las variables duales de decisión para el problema de la GRANDE. e. ¿Qué significado tienen las variables primarias en el problema de la GRANDE? pág. 45 Asignatura: Investigación de Operaciones TERCERA UNIDAD Tema Nº 5: MODELO DE TRANSPORTE 5.1 Problema de Transporte En esta unidad presentaremos dos aplicaciones importantes de la programación lineal que son el modelo de transportes y el de asignación de recursos. Aun cuando la solución de estos modelos puede obtenerse aplicando el método simplex, se estudian algoritmos especiales para la solución de estos problemas. Debido a su estructura especial, hace posible hace posible métodos de solución más eficientes en términos del cálculo. La programación lineal es un campo tan amplio que se extiende a subclases de problemas para los cuales existen métodos de solución especiales. Una de estas subclases se conoce como problemas de transporte. El método símplex de programación lineal, puede servir para resolver estos problemas. Pero se han desarrollado métodos más sencillos que aprovechan ciertas características de los problemas. Entonces, el método del transporte son sólo técnicas especiales para resolver ciertos tipos de problemas de programación lineal. El transporte desempeña un papel importante en la economía y en las decisiones administrativas. Con frecuencia la disponibilidad de transporte económico es crítica para la sobrevivencia de una empresa. ¿Qué significa problema de transporte? Supóngase que un fabricante tiene tres plantas que producen el mismo producto. Estas plantas a su vez mandan el producto a cuatro almacenes. Cada planta puede mandar productos a todos los almacenes, pero el costo de transporte varía con las diferentes combinaciones. El problema es determinar la cantidad que cada planta debe mandar a cada almacén con el fin de minimizar el costo total de transporte. La manera más fácil de reconocer un problema de transporte es por su naturaleza o estructura “de-hacia”: de un origen hacia un destino, de una fuente hacia un usuario, del presente hacia el futuro, de aquí hacia allá. Al enfrentar este tipo de problemas, la intuición dice que debe haber una manera de obtener una solución. Se conocen las fuentes y los destinos, las capacidades y demandas y los costos de cada trayectoria. Debe haber una combinación óptima que minimice el costo (o maximice la ganancia). La dificultad estriba en el gran número de combinaciones posibles. Puede formularse un problema de transporte como un problema de programación lineal y aplicarse el método símplex. Si se hiciera, se encontraría que los problemas de transporte tienen características matemáticas únicas. Para visualizar esto, considérese el siguiente ejemplo: El problema Suponga que una compañía tiene m plantas de producción (i), de capacidad ai (i = 1..m) y n almacenes de distribución (j), con demanda bj (j=1..n). El costo de transporte entre la planta i y el almacén es conocido como cij. El problema es determinar la cantidad (xij) que debe suministrar la planta i al almacén j, de tal manera que el costo de transporte total sea mínimo. Las consideraciones de costos de producción e inventario se pueden incorporar al modelo básico. El modelo típico tiene cuatro componentes: pág. 46 Asignatura: Investigación de Operaciones - Un conjunto de m fuentes - Un conjunto de n destinos - Costos de transporte entre las fuentes y los destinos - Cantidades de producto para enviar entre las fuentes y los destinos. El modelo general que representa el modelo de transporte es: Min z = S iS j cijxij Sujeto a: S j xij = ai (fuentes i = 1..m) S i xij = bj (destinos j = 1..n) xij ³ 0 5.2 Modelo general del problema de transporte. Cualquier problema de programación lineal que se ajuste a esta formulación especial es del tipo de problemas de transporte, sin importar su contexto físico. De hecho, se han realizado numerosas aplicaciones no relacionadas con el transporte que se ajustan a esta estructura especial. Ésta es una de las razones por las que el problema de transporte se suele considerar como uno de los tipos especiales de problemas de programación lineal más importantes. Además de los datos de entrada (los valores de c ij, si y dj), la única información que necesita el método símplex de transporte es la solución básica factible actual, los valores actuales de ui y vj y los valores resultantes de cijuivj para las variables no básicas xij. Cuando se resuelve un problema a mano es conveniente registrar esta información en una tabla símplex de transporte, como la que se muestra enseguida: pág. 47 Asignatura: Investigación de Operaciones En los casos en que la sumatoria de todo lo que se produce en todos los orígenes es mayor que la sumatoria de todo lo que se demanda en todos los destino o viceversa, entonces se dice que el problema no está balanceado. En estos casos lo primero que se debe hacer antes de intentar resolver el problema es balancearlo. n m Para el caso de SOBREPRODUCCIÓN (  si i 1   dj j 1 ) Si el caso es que se dispone de mayor producción de la que se demanda, entonces para balancear el problema se agrega un destino imaginario o artificial (llamado también destino ficticio) el cual tendrá como demanda dicha sobreproducción. En cuanto a los costos asociados a este nuevo destino los estableceremos a cero (¿por qué?). El siguiente dibujo muestra lo que se debe hacer: pág. 48 Asignatura: Investigación de Operaciones 5.3. Métodos para encontrar soluciones factibles. Al iniciar, todos los renglones de los orígenes y las columnas de destinos de la tabla símplex de transporte se toman en cuenta para proporcionar una variable básica (asignación). 1. Se selecciona la siguiente variable básica (asignación) entre los renglones y columnas en que todavía se puede hacer una asignación de acuerdo a algún criterio. 2. Se hace una asignación lo suficientemente grande como para que use el resto de los recursos en ese renglón o la demanda restante en esa columna (cualquiera que sea la cantidad más pequeña). 3. Se elimina ese renglón o columna (la que tenía la cantidad más pequeña en los recursos o demanda restantes) para las nuevas asignaciones. (Si el renglón y la columna tiene la misma cantidad de recursos y demanda restante, entonces arbitrariamente se elimina el renglón. La columna se usará después para proporcionar una variable básica degenerada, es decir, una asignación con cero unidades.) 4. Si sólo queda un renglón o una columna dentro de las posibilidades, entonces el procedimiento termina eligiendo como básicas cada una de las variables restantes (es decir, aquellas variables que no se han elegido ni se han eliminado al quitar su renglón o columna) asociadas con ese renglón o columna que tiene la única asignación posible. De otra manera se regresa al paso 1. 5.4 Método de la esquina noroeste. 1. Regla de la esquina noroeste: la primera elección es x11 (es decir, se comienza en la esquina noroeste de la tabla símplex de transporte). De ahí en adelante, si xij fue la última variable básica seleccionada, la siguiente elección es x i,j+1 (es decir, se mueve una columna a la derecha) si quedan recursos en el origen i. De otra manera, se elige xi+1,j (es decir, se mueve un renglón hacia abajo). Para hacer más concreta esta descripción, se ilustrará el procedimiento general, utilizando la regla de la esquina noroeste en el siguiente ejemplo: Recursos Demanda 3 7 6 4 5 2 4 3 2 2 4 3 8 5 3 3 4 2 1 10 10 Lo primero que debemos hacer al resolver cualquier problema de transporte es comprobar que esté balanceado, si no lo estuviera, agregamos un origen o un destino artificial según sea el caso para conseguir que el problema quede balanceado y podamos comenzar a resolverlo. En nuestro ejemplo, la sumatoria de los recursos de los tres orígenes es de 10 unidades que es igual a la sumatoria de las demandas de los destinos, por lo que nuestro problema está balanceado y podemos iniciar con la resolución. pág. 49 Asignatura: Investigación de Operaciones 5.5 Método de aproximación de Vogel Método de Aproximación de Vogel: para cada renglón y columna que queda bajo consideración, se calcula su diferencia, que se define como la diferencia aritmética entre el costo unitario más pequeño (cij) y el que le sigue, de los que quedan en ese renglón o columna. (Si se tiene un empate para el costo más pequeño de los restantes de un renglón o columna, entonces la diferencia es 0). En el renglón o columna que tiene la mayor diferencia se elige la variable que tiene el menor costo unitario que queda. (Los empates para la mayor de estas diferencias se pueden romper de manera arbitraria). Iniciamos el método calculando las primeras diferencias para cada renglón y columna. De las diferencias que obtuvimos nos fijamos en la mayor (¿Por qué?), que resulta ser para la tercera columna. En esa columna encontramos el costo unitario (cij) menor y en esa celda realizamos la primera asignación: Recursos DIF. 3 7 6 4 5 1 2 4 3 2 2 0 0 8 5 3 1 2 3 4 10 Demanda 3 4 2 0 DIF. 1 1 3 1 10 2 1 Nota: Marcar la mayor de las diferencias seleccionadas encerrándola en un círculo y escribiendo como superíndice el número que le corresponda en la secuencia de selección. Observemos en la figura anterior que únicamente eliminamos el segundo renglón ya que la tercera columna nos servirá después para hacer la asignación de una variable básica degenerada. Continuando con la aplicación del método, tenemos que calcular nuevamente las diferencias de las columnas ya que hemos eliminado un renglón y ésto puede ocasionar que las diferencias aritméticas entre el costo unitario más pequeño y el que le sigue ya no sean las mismas: Recursos DIF. 3 7 6 45 1 2 4 3 22 0 0 8 53 0 1 2 4 3 3 10 Demanda 3 4 1 DIF. 1 1 1 4 2 0 3 2 2 1 1 10 2 1 pág. 50 Asignatura: Investigación de Operaciones Como siguiente paso deberíamos calcular las nuevas diferencias de columnas, pero ya que solamente queda un renglón dentro de las posibilidades (ésto no significa que solamente un renglón quede bajo consideración ya que podemos observar que ninguna de las cuatro columnas (destinos) ha sido eliminada y todas quedan todavía bajo consideración), no es posible encontrar la diferencia aritmética entre el costo menor y el que le sigue, por lo tanto vamos tomando una a una las celdas que quedan comenzando con la de menor costo unitario hasta que todas hayan sido asignadas. Recursos DIF. 3 7 3 1 2 45 2 1 0 1 6 0 4 1 3 22 0 0 8 53 0 1 2 4 3 3 10 Demanda DIF. 3 0 4 1 0 1 1 1 2 0 1 0 3 4 1 2 2 10 2 1 La solución inicial básica factible es x11=3, x12=1, x13=0 (variable básica degenerada), x14=1, x23=2 y x32=3 y el costo total de transporte asociado a esta primera “Política de Transporte” factible es de: Costo = x11 c11 3 (3) x12 c12 + 1 (7) + x13 c13 0 (6) x14 c14 + 1 (4) + x23 c23 2 (3) + x32 3 c32 (3) = 35 Es necesario aclarar que ésta puede o no ser la solución final del problema, es necesario aplicar a esta primera solución factible la prueba de optimalidad ya que puede existir una mejor “política de transporte” que minimice todavía más el costo total. 5.6 Modelos Balanceados y no balanceados Un modelo de transporte se llama balanceado cuando: S i ai = S j b Esto significa que la suma de los suministros de todas las plantas debe ser igual a la suma de las demandas de todos los almacenes.  Sin embargo en problemas de la vida real, esta igualdad rara vez se satisface.  Lo que se hace entonces es balancear el problema.  Si los requerimientos exceden a los suministros, se agrega una planta ficticia, que suministrará la diferencia.  El costo de transporte desde la planta ficticia hacia cualquier almacén es cero.  Recíprocamente, si los suministros exceden a los requerimientos, se agrega un almacén ficticio que absorberá el exceso.  El costo unitario de transporte desde las plantas al almacén ficticio es cero. pág. 51 Asignatura: Investigación de Operaciones Actividad Problemas para resolver por el método de transporte El siguiente cuadro indica el costo de transporte unitario en nuevos soles, desde los orígenes a los destinos y sus respectivas ofertas y demandas. Empleando el método de costo mínimo determine la cantidad a transportar de cada origen a cada destino y determine también el costo mínimo en que se incurre. a. Destino Oferta A B C TM Origen I 3 6 9 200 Origen II 1 4 5 300 Origen III 3 2 1 400 150 250 500 Demanda TM b. Destino Oferta A B C Kg. Origen 1 4 6 8 50 Origen 2 1 3 5 200 Origen 3 2 4 5 250 200 150 150 Demanda Kg. c. Destino Oferta W X Y Z m3 Origen P 6 10 6 8 200 Origen Q 7 9 6 11 300 Origen R 8 10 14 6 450 100 150 400 300 Demanda m3 pág. 52 Asignatura: Investigación de Operaciones d. Caso I: Cuando la oferta es igual a la demanda (O = D ) Destino Oferta TM X Y Z Origen I 3 6 4 1000 Origen II 2 3 1 2000 Origen III 3 4 5 1500 2000 1500 1000 Demanda TM e. Caso II: Cuando la oferta es mayor que la demanda (O  D) Destino TM X Y Z Origen I 4 3 5 600 Origen II 2 1 3 120 Origen III 6 2 5 200 100 150 60 Demanda TM f. Oferta Caso III: Cuando la oferta es menor que la demanda (O < D) Destino Oferta X Y Z TM Origen I 2 4 6 25 Origen II 1 3 5 35 Origen III 4 2 3 50 40 30 60 Demanda TM 1. INTELL Co. una empresa dedicada a la fabricación de componentes de computadoras tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600 piezas, respectivamente. Los costos de transporte, en nuevos soles por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debe organizarse el transporte para que el costo sea mínimo? Tienda A Tienda B Tienda C Fábrica I 3 7 1 Fábrica II 2 2 6 pág. 53 Asignatura: Investigación de Operaciones 2. Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad Lima. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El costo del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro: Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3 Almacén A 10 15 20 Almacén B 15 10 10 Utilizando el método matriz mínima, determine el transporte para que el costo sea mínimo. 3. Una compañía tiene tres Plantas (A, B y C) para fabricar bebidas gaseosas BIG KOLA, y dispone de tres distribuidores mayoristas para la venta (D, E y F). Las cantidades producidas por A, B y C son 1000, 5000 y 4000 litros por día respectivamente. La máxima cantidad que puede vender el almacén D es 3000 litros/día, E es 6000 litros/día y F es 7000 litros/día. Los costos de transporte de cada fábrica a cada distribuidor mayorista están dados en la siguiente tabla: Demanda D E F Planta A 1 4 2 Planta B 3 1 2 Planta C 4 5 2 Determine la cantidad a transportar desde los orígenes a los destinos para que el costo sea mínimo. 4. SEDAM Huancayo SA. tiene que distribuir el agua de tres pozos entre tres localidades. La tabla de costos de distribución de cada m3 es la siguiente: OFERTA LOCALIDADES (m3/día) A B C Pozo I 7 8 10 40 Pozo II 5 12 4 30 Pozo III 9 7 8 45 DEMANDA (m3/día) 55 40 60 Determine la distribución del agua para cada una de las localidades de modo que el costo sea el mínimo. 5. Una empresa de electricidad ElectroSURMEDIO SA. tiene 4 plantas termoeléctricas que son abastecidas por 3 minas de carbón. La oferta total de carbón de las minas es igual a los requerimientos totales de las plantas termoeléctricas. Existe un costo de transporte de una unidad desde cada mina a cada planta. En la tabla que se muestra a continuación se indican la oferta disponible, los requerimientos y los costos de transporte por unidad. pág. 54 Asignatura: Investigación de Operaciones PLANTA Oferta M N O P Mina X 2 3 4 5 14 Mina Y 5 4 3 1 15 Mina Z 1 3 3 2 17 Demanda 6 11 17 12 La empresa de electricidad quiere determinar cuántas unidades debe transportar desde la mina a cada planta para minimizar el costo de transporte. Actividad PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Una empresa KINGTEX S.A. produce 120 unidades del producto A y 360 unidades del producto B cada día. Estos productos han de someterse a control de calidad, siendo la capacidad de control de 200 unidades al día. El producto A se vende en el mercado a un precio 4 veces superior al precio del producto B. Determínese la producción de la empresa que hace posible maximizar el beneficio. 2. CEPER PIRELLI SA. fabrica cable eléctrico de alta calidad usando dos tipos de aleaciones metálicas, M y N. La aleación M contiene un 80% de cobre y un 20% de aluminio, mientras que la N incluye un 68% de cobre y un 32% de aluminio. La aleación M tiene un precio de 80 euros por tonelada, y la N, 60 euros por tonelada. ¿Cuáles son las cantidades que Pedro Pérez debe usar de cada aleación para producir una tonelada de cable que contenga al menos un 20% de aluminio y cuyo costo de producción sea el menor posible? 3. SAN FERNANDO S.A. posee 200 cerdos que consumen 90 lb. de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones: Libras por libra de alimento Alimento Calcio Proteína Fibra Costo ($/lb) Maíz 0.001 0.09 0.02 0.20 Harina de soya 0.002 0.60 0.06 0.60 Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son: i. Cuando menos 1% de calcio ii. Por lo menos 30% de proteína iii. Máximo 5% de fibra Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de costo por día. pág. 55 Asignatura: Investigación de Operaciones 4. CATALINA HUANCA SAC fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales. ¿Cuántas joyas se han de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo? 5. PIER’S SAC. desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 nuevos soles; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 nuevos soles. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? 6. POLAR EIRL. fabrica helados A y B, hasta un máximo diario de 1 000 kilos. La fabricación de un kilo de A cuesta 1,8 euros y uno de B, 1,5 euros. Calcula cuántos kilos de A y B deben fabricarse, sabiendo que la casa dispone de 2 700 euros /día y que un kilo de A deja un margen igual al 90% del que deja un kilo de B. 7. SOL DE PIURA EIRL. elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más tiempo de mano de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sombreros son exclusivamente del segundo tipo, la compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que la ganancia que se obtiene por producto es $8 para el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el número de sombreros de cada tipo que deben elaborarse para maximizar la ganancia. 8. NACIÓN WANKA SRL. ha decidido manufacturar algunos o todos de cinco productos nuevos en tres de sus fábricas que tienen capacidades productivas sobrantes. Los productos se venden por peso y suponga que una unidad de ese producto equivale a la cantidad de ese producto. El esfuerzo productivo para hacer cada producto es igual. Las capacidades disponibles a cada fabrica se ven a continuación: FABRICA CAPACIDAD DISPONIBLE I 40 unidades II 60 unidades III 90 unidades La investigación de mercados indica que las ventas potenciales son así: PRODUCTOS VENTAS POTENCIALES (Unidades) 1 30 2 40 3 70 4 40 5 60 Los costos variables de producción (miles $) de cada producto en cada fábrica son: pág. 56 Asignatura: Investigación de Operaciones Producto 1 2 3 4 5 I 20 19 14 21 16 II 15 20 13 19 16 III 18 15 18 20 X Fabrica La X quiere decir que la fábrica 3 no puede producir el producto 5. ¿Qué cantidad de cada producto debe fabricarse en cada fábrica? costo Total de Producción? 9. y ¿Cuál es el SCORZA SAC. dedicada a la fabricación de muebles ha de determinar cuántas mesas, sillas, escritorios y estantes debe hacer para optimizar el uso de sus recursos. Estos productos utilizan dos tipos diferentes de paneles, y la compañía dispone de 1500 tableros MDF y 1000 de MELAMINE. Por otro lado cuenta con 800 horas de mano de obra. Las predicciones de venta así como los pedidos atrasados exigen la fabricación de al menos 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y como máximo 10 estantes. Cada mesa, silla, escritorio y estantes necesita 5, 1, 9, y 12 tableros, respectivamente, de MDF y 2, 3, 4, y 1 tableros de MELAMINE. Una mesa requiere 3 horas de trabajo; una silla, 2; un escritorio, 5; y un estante 10. La compañía obtiene un beneficio de 12 dólares en cada mesa, 5 dólares en cada silla, 15 dólares en un escritorio, y 10 dólares en un estante. Planteé el modelo de programación lineal para maximizar los beneficios totales. 10. PEPE DIAZ SRL. produce tres modelos (I, II y III) de cierto producto. El utiliza dos tipos de materia prima (A y B), de los cuales se dispone de 4000 y 6000 unidades, respectivamente. Los requisitos de materias primas por unidad de los tres modelos son: Requisitos por unidad del modelo dado Materia prima I II III A 2 3 5 B 4 2 7 El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces mayor que el del modelo II y tres veces mayor que el del modelo III. Toda la fuerza de trabajo de la fábrica puede producir el equivalente de 1500 unidades del modelo I. Un estudio del mercado indica que la demanda mínima de los tres modelos es 200, 200 y 150 unidades, respectivamente. Sin embargo, las razones del número de unidades producidas deben ser iguales a 3:2:5. Supóngase que la ganancia por unidad de los modelos I, II y III es $30, $20 y $50, respectivamente. Formule el problema como un modelo de programación lineal para determinar el número de unidades de cada producto que maximizarán la ganancia. 11. TANS PERÚ SAC. Posee un avión de carga que tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen en seguida: pág. 57 Asignatura: Investigación de Operaciones Compartimiento Capacidad de peso (toneladas) Capacidad de espacio (pies cúbicos) Delantero 12 7000 Central 18 9000 Trasero 10 5000 Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio: Carga Peso (toneladas) Volumen (pies cúbicos/tonelada) Ganancia ($/tonelada) 1 20 500 320 2 16 700 400 3 25 600 360 4 13 400 290 Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo. Formule el modelo de programación lineal para este problema. 12. KONDA MOTOR’S SA. es especialista en el ensamble de vehículos. En los siguientes cuadros se dan las ofertas, demandas y costos (semanales): ENSAMBLADORA OFERTA DE MOTOS CIUDAD DEMANDA DE MOTOS Bogotá 35 Cartagena 30 Medellín 60 Cali 45 Barranquilla 25 Montería 25 Pasto 20 A Cartagena Cali Montería Pasto Bogotá 50 30 60 70 Medellín 20 80 10 90 100 40 80 30 DE Barranquilla Determine el PLAN ÓPTIMO de distribución con su Costo Total. pág. 58 Asignatura: Investigación de Operaciones Tema Nº 6: MODELO DE ASIGNACION DE RECURSOS 6.1 Problemas de asignación de recursos Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino. El problema de asignación debe su nombre a la aplicación particular de asignar hombres a trabajos (o trabajos a máquinas), con la condición de que cada hombre puede ser asignado a un trabajo y que cada trabajo tendrá asignada una persona. La condición necesaria y suficiente para que este tipo de problemas tenga solución, es que se encuentre balanceado, es decir, que los recursos totales sean iguales a las demandas totales. El modelo de asignación tiene sus principales aplicaciones en: Trabajadores, Oficinas al personal, Vehículos a rutas, Máquinas, Vendedores a regiones, productos a fabricar, etc. Transporte Asignación Unidades de un bien m orígenes m recursos n destinos n actividades si recursos en el origen i Demanda dj en el destino j Costo cij por unidad distribuida desde el origen i al destino j Ganancia Z Medida global de la efectividad Z Así, por lo general, el origen i (i = 1, 2, ..., m) dispone de si unidades para distribuir a los destinos y el destino j (j = 1, 2, ..., n) tiene una demanda de dj unidades que recibe desde los orígenes. Una suposición básica es que el costo de distribución de unidades desde el origen i al destino j es directamente proporcional la distancia, donde cij denota el costo por unidad distribuida. Igual que para el ejemplo prototipo, estos datos de entrada se pueden resumir en forma muy conveniente en la tabla de costos y requerimientos que se muestra enseguida: Costo por unidad distribuida consumo Cantidad de de recursos por unida de actividad recursos disponibles Destino Actividad 1 2 ... n Recursos 1 c11 c12 ... c1n s1 Origen 2 c21 c22 ... c2n s2 Recurso . . . . . . . . . . cm1 cm2 cmn sm m ... pág. 59 Asignatura: Investigación de Operaciones Demanda d1 d2 ... dn Contribución a Z por unidad de actividad 6.2 El método Húngaro Este algoritmo se usa para resolver problemas de minimización, ya que es más eficaz que el empleado para resolver el problema del transporte por el alto grado de degeneración que pueden presentar los problemas de asignación. Las fases para la aplicación del método Húngaro son:  Paso 1: Encontrar primero el elemento más pequeño en cada fila de la matriz de costos m*m; se debe construir una nueva matriz al restar de cada costo el costo mínimo de cada fila; encontrar para esta nueva matriz, el costo mínimo en cada columna. A continuación se debe construir una nueva matriz (denominada matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna.  Paso 2: (En algunos pocos textos este paso se atribuye a Flood). Consiste en trazar el número mínimo de líneas (horizontales o verticales o ambas únicamente de esas maneras) que se requieren para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos; si se necesitan m líneas para cubrir todos los ceros, se tiene una solución óptima entre los ceros cubiertos de la matriz. Si se requieren menos de m líneas para cubrir todos los ceros, se debe continuar con el paso 3. El número de líneas para cubrir los ceros es igual a la cantidad de asignaciones que hasta ese momento se pueden realizar.  Paso 3: Encontrar el menor elemento diferente de cero (llamado k) en la matriz de costos reducidos, que no está cubierto por las líneas dibujadas en el paso 2; a continuación se debe restar k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sumar k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas (intersecciones). Por último se debe regresar al paso 2. Notas:  Para resolver un problema de asignación en el cual la meta es maximizar la función objetivo, se debe multiplicar la matriz de ganancias por menos uno (-1) y resolver el problema como uno de minimización.  Si el número de filas y de columnas en la matriz de costos son diferentes, el problema de asignación está desbalanceado. El método Húngaro puede proporcionar una solución incorrecta si el problema no está balanceado; debido a lo anterior, se debe balancear primero cualquier problema de asignación (añadiendo filas o columnas ficticias) antes de resolverlo mediante el método Húngaro.  En un problema grande, puede resultar difícil obtener el mínimo número de filas necesarias para cubrir todos los ceros en la matriz de costos actual. Se puede demostrar que si se necesitan j líneas para cubrir todos los ceros, entonces se pueden asignar solamente j trabajos a un costo cero en la matriz actual; esto explica por qué termina cuando se necesitan m líneas. Mediante el siguiente ejemplo vamos a ilustrar la manera de aplicar el método Húngaro a la solución de un problema de asignación de minimización: pág. 60 Asignatura: Investigación de Operaciones Una factoría tiene cuatro operarios, los cuales deben ser asignados al manejo de cuatro máquinas; las horas requeridas para cada trabajador en cada máquina se dan en la tabla adjunta; el tiempo a laborar por cada operario en cada una de las máquinas se pretende que sea mínimo, para lo cual se busca la asignación óptima posible. OPERARIOS MAQUINAS 1 2 3 4 Antonio 10 14 16 13 Bernardo 12 13 15 12 Carlos 9 12 12 11 Diego 14 13 18 16 Planteamiento del Modelo Primal: Min W = 10X11+ 14X12+ 16X13+ 13X14+ 12X21+ 13X22+ 15X23+ 12X24+ + 9X31+ 12X32+ 12X33+ 11X34+ 14X41+ 13X42+ 18X43+ 16X44 sujeto a las siguientes restricciones: Aplicando el método Húngaro tenemos: 1 2 3 4 A 10 14 16 13 B 12 13 15 12 C 9 12 12 11 D 14 13 18 16 Restamos 10, 12, 9 y 14 (costos mínimos de cada fila) de cada elemento en cada una de las filas correspondientes: pág. 61 Asignatura: Investigación de Operaciones 1 2 3 4 A 0 3 6 3 B 0 1 3 0 C 0 3 3 2 D 0 2 4 2 En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los ceros (Método de Flood): 1 2 3 4 A 0 3 3 3 B 0 0 0 0 C 0 2 0 2 D 0 1 1 2 En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los ceros (Método de Flood): 1 2 3 4 A 0 2 3 2 B 1 0 1 0 C 0 1 0 1 D 0 0 1 1 Solución Óptima Unica:A-1, B-4, C-3 y D-2.Lo anterior quiere decir que Antonio va a laborar en la máquina 1 (10 horas), Bernardo en la máquina 4 (12 horas), Carlos va a trabajar en la máquina 3 (12 horas) y Diego en la máquina 2 (16 horas). La combinación óptima de los recursos para este problema de minimización de asignación es de 50 horas, resultantes de adicionar las asignadas a cada uno de los operarios en cada una de las máquinas. Dicho valor corresponde al valor óptimo de la función objetivo. pág. 62 Asignatura: Investigación de Operaciones Actividad 1. Una fábrica dispone de cuatro obreros para completar cuatro trabajos. Cada obrero sólo puede hacer uno de los trabajos. El tiempo que requiere cada obrero para completar cada trabajo se da a continuación: Tiempo requerido por obreros Trabajo 1 Trabajo 2 Trabajo 3 Trabajo 4 Obrero 1 14 5 8 7 Obrero 2 2 12 6 5 Obrero 3 7 8 3 9 Obrero 4 2 4 6 10 La fábrica desea minimizar el tiempo total dedicado a los cuatro trabajos. a) Formular un modelo que determine la mejor asignación de los obreros. 2. Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan 3 personas en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0.4 por hora, y el tercero, un obrero calificado, recibe $0.6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este período. Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0 por hora de trabajo de obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6.5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato. Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado. Se requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para producir un dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos dispositivos puede ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de trabajador calificado. Un dispositivo acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas de obrero no calificado y 0.5 horas de obrero calificado. Plantear el modelo de programación lineal que permita responder la consulta: ¿cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades? 3. El gestor de un hospital debe planificar el horario de los trabajadores del mismo. Determínese el coste mínimo de personal para el hospital sabiendo que a. La jornada laboral consta de 3 turnos. b. En cada turno ha de haber al menos 1 medico, 3 enfermeras y 3 auxiliares de clínica. c. El número máximo de empleados que se requiere en cada turno es 10. d. Los salarios son los siguientes: 50 dólares/turno para un medico, 20 dólares/turno para un enfermero, y 10 dólares/turno para un auxiliar de clínica. e. El número total de empleados es: 15 médicos, 36 enfermeras, y 49 auxiliares de clínica. f. Cada empleado debe descansar al menos dos turnos consecutivos. pág. 63 Asignatura: Investigación de Operaciones 4. Una empresa tiene un trabajo compuesto de 5 módulos para ser desarrollado por 5 programadores, se desea que cada módulo sea desarrollado por un solo programador y que cada programador desarrolle un solo módulo. Debido a los diferentes grados de dificultad de los módulos y a las diferencias individuales de los programadores, el tiempo (en días) que ellos emplean es diferente y se da en la siguiente tabla: MODULOS PROGRAMADORES A B C D E Módulo 1 2 4 4 3 6 Módulo 2 2 6 5 4 6 Módulo 3 5 6 5 3 7 Módulo 4 3 5 7 2 4 Módulo 5 8 5 6 2 1 a) Determine la asignación óptima de modo de minimizar el tiempo total b) Para cuándo debe comprometerse a entregar el trabajo c) ¿Cómo sería la formulación si un programador puede desarrollar más de un módulo? a) ¿Cuál es la opción que más le conviene hacer a la empresa? a. Si la utilidad unitaria de las sillas disminuye a $16, ¿Cómo se afecta a la solución óptima y el objetivo? pág. 64 Asignatura: Investigación de Operaciones CUARTA UNIDAD Tema Nº 7: ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS PERT/CPM 7.1 Introducción En muchas situaciones los administradores son responsables de planear, programar y controlar proyectos compuestos de numerosas actividades, tareas, y complejos procesos. Estos pueden variar en un rango de menor a mayor complejidad en relación directa al monto de la inversión, en esta última se hace difícil coordinar la duración, su presupuesto, la precedencia todas las actividades. La existencia de métodos cuantitativos muy relacionados entre sí como el PERT y el CPM asisten eficazmente al administrador de proyectos. En esa oportunidad la variedad de las utilidades de estas dos técnicas solo se estudiaran aquellas orientados a la mercadotecnia como: - Investigación y desarrollo de nuevos productos Conducción de una campaña publicitaria Capacitación a la fuerza de ventas Asesoría y consultoría en marketing Diseñar o modificar procesos productivos complejos El origen de estas técnicas se debió a la complejidad de las tareas y actividades a desarrollar en mega proyectos donde decenas, centenas y millares de actividades en el campo militar eran necesarias planear, programa y controlar. Un factor que complica el término a una fecha determinada de tales actividades es la interdependencia de las mismas, por ejemplo: Algunas actividades dependen de la terminación de otras antes de que puedan iniciarse. Los proyectos pueden llegar a varios miles de tareas o actividades por lo que los administradores de proyectos buscan procedimientos a responder a algunas interrogantes como: 1. ¿De qué modo puede desplegarse el proyecto en forma gráfica para visualizar mejor el flujo de actividades? 2. ¿Cuál es el tiempo total para terminar el proyecto? 3. ¿Cuáles son las fechas programadas de inicio y término para cada una de las actividades? 4. ¿Cuáles son las actividades cuello de botella denominadas actividades críticas?, ¿dónde deben evitarse los retrasos? 5. Dada la incertidumbre al estimar con precisión las duraciones de las actividades ¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto a la fecha programada? 6. Si se gasta dinero adicional para acelerar el proyecto o para evitar penalidades por la demora en la entrega o finalización del proyecto. ¿Cuál es la forma menos costosa de intentar cumplir con el tiempo programado? En toda actividad a realizar se requieren conocimientos precisos y claros de lo que se va a ejecutar, de su finalidad, viabilidad, elementos disponibles, capacidad financiera, etc. Esta etapa aunque esencial para la ejecución del proyecto no forma parte del método. Es una etapa previa que se debe desarrollar separadamente y para la cual también puede utilizarse el Método del Camino Critico. Es una investigación de objetivos, métodos y elementos viables y disponibles. De modo que el PERT CPM, es un instrumento de dirección válido para obtener la seguridad en la planificación y control y es aplicable en todos los niveles de complejidad, desde los problemas simples y de corto plazo, hasta el más complicado y de largo alcance. pág. 65 Asignatura: Investigación de Operaciones 7.2 Procedimiento para trazar un modelo de red Para aplicar CPM o PERT se requiere conocer la lista de actividades que incluye un proyecto. Se considera que el proyecto está terminado cuando todas las actividades han sido completadas. Para cada actividad, puede existir un conjunto de actividades predecesoras que deben ser completadas antes de que comience la nueva actividad. Se construye una malla o red del proyecto para graficar las relaciones de precedencia entre las actividades. En dicha representación gráfica, cada actividad es representada como un arco y cada nodo ilustra la culminación de una o varias actividades. Consideremos un proyecto que consta de solo dos actividades A y B. Supongamos que la actividad A es predecesora de la actividad B. La representación gráfica de este proyecto se muestra en la figura. Así, el nodo 2 representa la culminación de la actividad A y el comienzo de la actividad B. A B 1 2 3 Si suponemos ahora que las actividades A y B deben ser terminadas antes que una actividad C pueda comenzar, la malla del proyecto queda como se muestra en la figura2. En este caso, el nodo representa que las actividades A y B se han terminado, además del inicio de la actividad C. Si la actividad A fuera predecesora de las actividades B y C, la red quedara como se muestra. A 1 3 2 C B Proyecto de tres actividades Dado un conjunto de actividades y sus relaciones de predecesoras, se puede construir una representación gráfica de acuerdo a las siguientes reglas:  El nodo 1 representa el inicio del proyecto. Por lo tanto, las actividades que parten del nodo 1 no pueden C tener predecesoras.  El nodo Terminal o final del proyecto debe representar el término de todas las actividades incluidas en la red.  Una actividad no puede ser representada por más de un arco en la red.  Dos nodos deben estar conectados por a lo más un arco. Para no violar las reglas 3 y 4, a veces es necesario introducir una actividad artificial o dummy que posee tiempo de duración nulo. Por ejemplo, supongamos que las actividades A y B son predecesoras de la actividad C y además comienzan al mismo tiempo. En este caso, una primera representación podría ser la indicada en la figura 2.4. Sin embargo, la red de la figura 3 viola la regla 4. Para corregir este problema, se introduce una actividad artificial indicada con un arco segmentado en la figura La red de la figura 4 refleja el hecho de que la actividad C tiene como predecesoras a A y B, pero sin violar la regla 4. En otros casos, se deben agregar actividades artificiales para no violar la regla 3. A 1 2 B C A y B predecesoras de C pág. 66 Asignatura: Investigación de Operaciones Razones para usar actividades ficticias: a) Para evitar que dos o más actividades tengan el mismo Evento inicial y final y b) Para representar relaciones de precedencia que de otra manera no pueden ser representadas. Una red bien debe contener el mínimo necesario de este tipo de actividades. pág. 67 Asignatura: Investigación de Operaciones 7.3 Pasos en el planeamiento del proyecto del CPM a) Especifique las actividades individuales De la estructura de la interrupción del trabajo, un listado se puede hacer de todas las actividades en el proyecto. Este listado se puede utilizar como la base para agregar la información de la secuencia y de la duración en pasos más últimos. b) Determine la secuencia de las actividades Algunas actividades son dependientes en la terminación de otras. Un listado de los precursores inmediatos de cada actividad es útil para construir el diagrama de la red del CPM. c) Dibuje el diagrama de la red Una vez que se hayan definido las actividades y el su ordenar, el diagrama del CPM puede ser dibujado. El CPM fue desarrollado originalmente como actividad en red del nodo (AON), pero algunos planificadores del proyecto prefieren especificar las actividades en los arcos. d) Estime la época de la terminación para cada actividad El tiempo requerido para terminar cada actividad se puede estimar usando experiencia previa o las estimaciones de personas bien informadas. El CPM es un modelo determinista que no considera la variación en el tiempo de la terminación, tan solamente un número se utiliza para la estimación del tiempo de una actividad. e) Identifique la trayectoria crítica (la trayectoria más larga a través de la red) La trayectoria crítica es la trayectoria de larga duración a través de la red. La significación de la trayectoria crítica es que las actividades que intervienen en ella no se pueden retrasar sin retrasar el proyecto. Debido a su impacto en el proyecto entero, el análisis de trayectoria crítica es un aspecto importante del planeamiento del proyecto. La trayectoria crítica puede ser identificada determinando los cuatro parámetros siguientes para cada actividad:  ES, Principio temprano.  EF, principio tardío.  LS, terminación temprana.  LF, terminación tardía. La época floja para una actividad es el tiempo entre su hora de salida más temprana y más última, o entre su tiempo más temprano y más último del final. La holgura es la cantidad de tiempo que una actividad se puede retrasar más allá de su comienzo más temprano o final más temprano sin retrasar el proyecto. La trayectoria crítica es la trayectoria a través de la red del proyecto en la cual ningunas de las actividades tienen holgura, es decir, la trayectoria para la cual ES=LS y EF=LF para todas las actividades en la trayectoria. Retrasa en la trayectoria crítica retrasa el proyecto. Semejantemente, acelere el proyecto que es necesario reducir el tiempo total requerido para las actividades en la trayectoria crítica. f) Ponga al día el diagrama del CPM Pues progresa el proyecto, los tiempos reales de la terminación de la tarea serán sabidos y el diagrama de la red se puede poner al día para incluir esta información. Una trayectoria crítica nueva puede emerger, y los cambios estructurales se pueden realizar en la red si los requisitos del proyecto cambian. g) Limitaciones del CPM El CPM fue desarrollado para el complejo pero los proyectos bastante rutinarios con incertidumbre mínima en los tiempos de la terminación del proyecto. Para menos proyectos de la rutina hay más incertidumbre en los tiempos de la terminación, y límites de esta incertidumbre la utilidad del modelo determinista del CPM. Una alternativa al CPM es el modelo del planeamiento del proyecto del PERT, que permite que una gama de duraciones sea especificada para cada actividad. pág. 68 Asignatura: Investigación de Operaciones Ejemplo: Construcción de un Complejo Deportivo La universidad del Estado está considerando construir un complejo atlético de sus múltiples dentro de su campo. El complejo proveerá un gimnasio para juegos interuniversidades, espacio de oficinas, salones de clases y todos los servicios necesarios dentro de él. Las actividades que serán emprendidas antes de su construcción se muestran, con la información necesaria, a continuación: Actividad Descripción Actividades Precedentes Duración A Estudios del sitio para la construcción ------ 6 B ------ 8 A,B 12 D Desarrollo del diseño inicial Obtener aprobación de las instancias superiores Seleccionar al arquitecto C 4 E Establecer el presupuesto C 6 F Finalizar el diseño D,E 15 G Obtener financiamiento E 12 H Contratar al constructor F,G 8 C 7.4. Utilidad de las técnicas PERT y CPM El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información para los administradores del proyecto. a) Expone la "ruta crítica" de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la duración del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta crítica se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la misma cantidad. Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa. b) Identifica estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos. c) Considera los recursos necesarios para completar las actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos hacen que la programación sea difícil. pág. 69 Asignatura: Investigación de Operaciones d) Identifica los instantes del proyecto en que estas restricciones causarán problemas y de acuerdo a la flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no críticas, permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos problemas. e) Proporciona una herramienta para controlar y monitorear el progreso del proyecto. Cada actividad tiene su propio papel en éste y su importancia en la terminación del proyecto se manifiesta inmediatamente para el director del mismo. Las actividades de la ruta crítica, permiten por consiguiente, recibir la mayor parte de la atención, debido a que la terminación del proyecto, depende fuertemente de ellas. Las actividades no críticas se manipularan y remplazaran en respuesta a la disponibilidad de recursos. Simplemente hablando, el PERT-CPM es una técnica de planificación y un instrumento de control de la dirección que utiliza la teoría de la “Red”. Una vez definidas las varias actividades que componen el proyecto, se forma con ellos la “Red”, mostrando la sucesión de las actividades en secuencia lógica y el grado de interdependencia entre ellas. Se estima el tiempo de duración asociado a cada actividad, y se determinan las partes críticas del proyecto La “Red” es el mapa, la representación gráfica de la organización interna del proyecto. 7.5. Programación de proyectos Una vez elaborado el diagrama queda clara la secuencia de actividades y se puede pasar a la programación de las mismas. Para ello, es necesario conocer las duraciones de las distintas actividades. Generalmente, éstas no se pueden fijar con exactitud, ya que son muchos los factores de carácter aleatorio que están relacionados con ellas. Sirva de ejemplo la actividad «escribir un informe»: ¿nos podría decir qué tiempo tardada usted? Suponemos que la respuesta sería algo parecido a «depende». El PERT aborda este problema evaluando la duración de una actividad a partir de tres estimaciones: a) Duración optimista: que representa el tiempo mínimo en que podría ejecutarse la actividad si todo marchara excepcionalmente bien, no produciéndose ningún contratiempo durante la fase de ejecución. Se considera que la probabilidad de poder finalizar la actividad en esta duración no es Superior al 1 por 100. b) Duración más probable, o estimación modal, que es el tiempo que, normalmente, se empleará en ejecutar la actividad; en el caso de que dicha tarea se hubiera realizado varias veces, sería la duración con mayor frecuencia de aparición. c) Duración pesimista, que representa el tiempo máximo en que se podría ejecutar la actividad si todas las circunstancias que influyen en su duración fueran totalmente desfavorables su probabilidad se considera, como máximo, del 1 por 100. 7.6. Ventajas del PERT y CPM a) Enseña una disciplina lógica para planificar y organizar un programa detallado de largo alcance. b) Proporciona una metodología estándar de comunicar los planes del proyecto mediante un cuadro de tres dimensiones (tiempo, personal; costo). c) Identifica los elementos (segmentos) más críticos del plan, en que problemas potenciales puedan perjudicar el cumplimiento del programa propuesto. d) Ofrece la posibilidad de simular los efectos de las decisiones alternativas o situaciones imprevistas y una oportunidad para estudiar sus consecuencias en relación a los plazos de cumplimiento de los programas. e) Aporta la probabilidad de cumplir exitosamente los plazos propuestos. pág. 70 Asignatura: Investigación de Operaciones En otras palabras: CPM es un sistema dinámico, que se mueve con el progreso del proyecto, reflejando en cualquier momento el STATUS presente del plan de acción. El administrador de proyectos no tiene por qué saber el manejo matemático de las herramientas de planeación que muchas veces es complicado, pero es fundamental saber los conceptos, el ¿Por qué? y ¿Cuándo? usar cada técnica, y como sacar provecho de los resultados de las mismas para la toma de decisiones Las técnicas de planificación por redes son únicas en su forma, especialmente por lo que respecta a los conceptos de la ruta crítica. Los conceptos relativos a nivelación de cargas, costo mínimo y programación de recursos limitados han aportado una base racional a una dirección de proyectos que se apoya en planes amplios cuidadosamente tratados. Se puede decir que los planes se derivan del análisis de diversas alternativas sobresalientes. Estando basados en la computadora, se pueden aplicar a sistemas muy grandes. Son flexibles, de manera que se pueden modificar cuando así lo aconseje la experiencia. Una vez establecidas la red de actividades, la ruta crítica y los datos estadísticos del programa se tiene un plan de proyecto. De la información se puede extraer datos adicionales con respecto a la demanda de recursos del programa inicial; es posible la formulación de programas alternativos, con el fin de nivelar las cargas. La distribución del tiempo que se supone para la actividad se define por tres estimados, (estimado de tiempo probable, tiempo optimista, tiempo pesimista) tomado en cuenta que el tiempo de terminación del proyecto es la suma de todos los tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica, de ese modo se sabe que las distribuciones de los tiempos de las actividades son independientes y la varianza del proyecto es la es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta crítica. Mientras que el CPM y PERT son esencialmente lo mismo, sus matices hacen cada uno aplicable más que el otro en situaciones diferentes. En ambos métodos la información esencial deseada es la ruta crítica y las holguras. Estas, le permiten al director del proyecto hacer decisiones con base a información, basado en el principio de administración por excepción, sobre los planes y proyectos del trabajo actual y monitorear el progreso del proyecto. 7.7. Pasos en el método PERT (Program Evaluation and Review Technique) En CPM se asume que la duración de cada actividad es conocida con certeza. Claramente, en muchas ocasiones este supuesto no es válido. PERT intenta corregir este error suponiendo que la duración de cada actividad es una variable aleatoria. Para cada activad, se requiere estimar las siguientes cantidades: a=Tiempo Optimista. Duración de la actividad bajo las condiciones más favorables b=Tiempo Pesimista. Duración de la actividad bajo las condiciones más desfavorables m=Tiempo Normal. El valor más probable de la duración de la actividad. La forma de la distribución se muestra en la figura, tiempo más probable es el tiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones normales. Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo, disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores. pág. 71 Asignatura: Investigación de Operaciones 7.8. Asignación de tiempos Es necesario estimar los tiempos de las tareas incluidas en la red. Para ello se podrá disponer de sistemas de estudio y medición del trabajo, de estadísticas históricas o de datos de ejecución de tareas iguales, similares o comparables. Cuando mencionamos las diferencias entre CPM y PERT, dijimos que para el primero, la determinación de tiempo de cada una de las tareas es estimada mientras que para el segundo la determinación es probabilística. Es decir, la técnica PERT hace un uso explícito de la teoría de la probabilidad mientras que en el CPM es intuitivo. Sintetizando, el método PERT utiliza tres distintas estimaciones de tiempo, que se aplican al caso de planes desarrollados para aplicaciones no tradicionales, en que existe un desconocimiento total de la duración de una actividad: - Estimaciones optimistas (to): duración mínima en que la tarea puede ser finalizada. - Estimación pesimista (tp): duración máxima en que la tarea puede ser totalizada. - Estimación más probable (tm): representa el valor más probable, es decir el de mayor frecuencia, o sea, la moda. Con estos tiempos, podemos obtener el tiempo esperado (t e) bajo la siguiente fórmula: 𝑡𝑒 = 𝑡𝑜+ 4𝑡𝑚 + 𝑡𝑝 6 La ventaja de tener tres estimaciones de los tiempos de cada actividad es que puede calcularse la dispersión de los tiempos y puede utilizarse esta información para evaluar la incertidumbre de que el proyecto se termine de acuerdo con el programa. Cálculos básicos: La siguiente parte del proceso, que es la determinación de los tiempos en cada actividad. Lo primero que tendríamos que hacer es calcular el tiempo más temprano de iniciación de cada actividad (ES), que está determinado por el tiempo de terminación de las actividades predecesoras a esta. El tiempo más temprano de terminación de una actividad (EF) es igual al tiempo más temprano de inicio de dicha actividad (ES) más el tiempo esperado de la actividad (t), es decir: EF = ES + t pág. 72 Asignatura: Investigación de Operaciones Regla de tiempo de ES  El tiempo más temprano de inicio de una actividad (ES) es igual al más tardío de los tiempos más tempranos de terminación de las actividades predecesoras. Por otro lado, el ES de una actividad sin predecesores es 0. Una vez terminado este proceso (conocido como “proceso hacia adelante”), haremos el “proceso hacia atrás”, el cual nos servirá para determinar los tiempos más tardíos de inicio y terminación de cada una de las actividades. Como su nombre lo dice, esta parte del proceso es “hacia atrás” ya que iniciamos calculando el tiempo más tardío de terminación (LF) de la última actividad, que es igual al tiempo más temprano de terminación (EF) de esta misma actividad (que es el mismo del proyecto). El tiempo más tardío de inicio (LS) de cada actividad es igual al tiempo más tardío de terminación (LF) menos el tiempo esperado de la actividad (t), esto es: LS = LF – t Regla de tiempo para LF  El tiempo más tardío de terminación (LF) para una actividad es igual al menor de los tiempos más tardíos de inicio (LS) de sus actividades sucesoras. Una vez terminada esta actividad, ya podemos definir la ruta crítica, que es la formada por las actividades críticas de la red. Las actividades críticas son aquellas que tienen un tiempo de holgura igual a cero. Tiempo de holgura = LS – ES = LF – EF Resumen del procedimiento de diagramación de red: 1. Identificar todas las actividades relacionadas con el proyecto 2. Determinar las relaciones de precedencia entre las actividades 3. Estimar el tiempo de terminación de cada actividad 4. Elaborar la red del proyecto, mostrando las relaciones de precedencia 5. Con el proceso “hacia delante” calcular el tiempo más temprano de inicio (ES) y el tiempo más temprano de terminación (EF) de cada actividad 6. Con el proceso “hacia atrás” calcular el tiempo más tardío de terminación (LF) y el tiempo más tardío de inicio (LS) de cada actividad 7. Calcular el tiempo de holgura de cada actividad 8. Identificar la ruta crítica del proyecto Una de las características de este modelo es el poder manejar la incertidumbre en los pronósticos de tiempo para terminar las tareas CONSIDERACIÓN DE LOS INTERCAMBIOS DE TIEMPO Y COSTO Los desarrolladores originales de CPM dieron al administrador del proyecto la posibilidad de agregar recursos a actividades seleccionadas para reducir el tiempo de terminación del proyecto. Los recursos añadidos (como más trabajadores, tiempo extra y otros) pág. 73 Asignatura: Investigación de Operaciones generalmente incrementan los costos del proyecto, por lo que la decisión de reducir los tiempos de las actividades debe tomar en consideración el costo adicional involucrado. En efecto, el administrador del proyecto tiene que tomar una decisión que implica negociar un tiempo más reducido de actividad contra un costo adicional del proyecto. La tabla siguiente define un proyecto de mantenimiento de dos máquinas que involucra cinco actividades. Dado que la administración ha tenido gran experiencia con proyectos similares, se considera que los tiempos para las actividades de mantenimiento son conocidos; por lo que se da una sola estimación de tiempo para cada actividad. El procedimiento para efectuar cálculos de camino crítico para la red del proyecto de mantenimiento es el mismo que utilizamos para determinar el camino crítico en las redes tanto para el proyecto de expansión del Western Hills Shopping Center como para el proyecto Porta-Vac. Efectuando los cálculos de pase hacia adelante y pase hacia atrás de la red obtuvimos el programa de actividades que aparece en la tabla. Los tiempos de holgura cero, y por lo tanto el camino crítico, quedaron asociados con las actividades A-B-E. La duración del camino crítico, y por lo tanto el tiempo total requerido para finalizar el proyecto, es de 12 días. Tiempos de actividades apresuradas Ahora suponga que los niveles actuales de producción hacen imperativo terminar el proyecto de mantenimiento en diez días. Observando la duración del camino crítico de la red (12 días) nos damos cuenta de que es imposible cumplir con el tiempo deseado de finalización del proyecto a menos que podamos reducir algunos tiempos seleccionados de actividad. Esta reducción de los tiempos de actividad, que por lo general se puede conseguir agregando recursos, se conocen como apresurar. Sin embargo, los recursos añadidos asociados con tiempos de actividad de apresuramiento generalmente dan como resultado costos agregados del proyecto, por lo que requeriremos identificar las actividades cuyo apresuramiento cuesta menos y a continuación apresurar esas actividades únicamente lo necesario para cumplir con el tiempo deseado de finalización del proyecto. pág. 74 Asignatura: Investigación de Operaciones Para determinar simplemente dónde y cuánto apresurar los tiempos de actividad, necesitamos información sobre cuánto se puede apresurar cada una de las actividades y cuánto cuesta este proceso de apresuramiento, por lo que debemos solicitar la siguiente información: 1. Costo de la actividad bajo el tiempo de actividad normal o esperado 2. Tiempo para finalizar la actividad bajo un apresuramiento máximo (es decir, el tiempo de actividad más corto posible) 3. Costo de la actividad bajo apresuramiento máximo. Actividad PROBLEMAS PROPUESTOS DE PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS 1. Corporación de Alimentos S.A. fabrica y distribuye diversos productos alimenticios que se venden a través de tiendas de abarrotes y supermercados. La empresa recibe pedidos directamente de cada una de las tiendas individuales: un pedido típico solicita la entrega de varias cajas de bienes que abarcan entre 20 a 50 productos diferentes, Bajo la operación actual del almacén de la empresa, los almaceneros despachan personalmente seleccionando los pedidos llevándolos al área de embarque. Debido a los elevados costos de la mano de obra y a la relativa baja productividad de la selección manual de pedidos, la administración ha decidido automatizar la operación del almacén instalando un sistema de selección de pedidos controlado por computadora, junto con un sistema de banda o faja transportadora para mover los productos del área de almacenaje a la área de embarque. El gerente de logística de la Corporación fue designado administrador del proyecto encargado del sistema automatizado. Después de consultar con el área de ingeniería y de administración se ha realizado una listado actividades y los tiempos de las mismas, las que son: Act Descripción Precedente Tiempo esperado A Determinar necesidades del equipo - 4 B Obtener cotizaciones de los proveedores - 6 C Seleccionar proveedor A, B 2 D Diseñar el sistema de pedidos C 8 E Diseñar nueva disposición física del almacén C 7 F Acondicionar el almacén E 4 G Diseñar interface con la computadora C 4 H Realizar el interface de la computadora D, F, G 4 I Instalar sistema D, F 4 J Capacitar a los operadores del sistema H 3 K Probar el sistema I, J 2 Se desea conocer: El grafico del proyecto indicando su duración y el / los caminos critico/s pág. 75 Asignatura: Investigación de Operaciones 2. Un empresario que se dedica a la venta de cueros y suelas ha decidido incursionar en la fabricación de calzados y propone para la puesta en marcha de su proyecto de inversión, las siguientes actividades hasta el inicio de sus operaciones fabriles y le ha dado un plazo de 6 semanas para terminar la implementación. (Emplea a su sobrino para administrar –implementar y ejecutar- el proyecto ya que no desea tener desavenencias con clientes de su tienda de cueros y suelas que son fabricantes de calzados) Actividad Precedente Duración (días) A E 4 B - 10 C D, E, F 3 D A, B 16 E - 5 F H 10 G H 12 H A, B 15 I C, G 7 Se desea conocer: a. Gráfico de las actividades b. Las actividades críticas (camino crítico) c. ¿Puede asegurarse en las condiciones actuales terminar el proyecto en 42 días? d. A su criterio ¿qué debería realizarse para cumplir con el plazo previsto? 3. En un proyecto de inversión las actividades que se desarrollaran son las siguientes: Act. Descripción Precedente Duración (días) A Acondicionar los puntos de venta - 12 B Contratar vendedoras A 6 C Instruir vendedoras B 13 D Seleccionar agencia de publicidad A 3 E Planear campaña de publicidad D 7 F Dirigir campaña de publicidad E 17 G Diseñar etiqueta (de especificaciones) - 3 H Fabricar etiqueta G 14 I Colocar etiqueta a stocks iniciales H, J 8 J Especificar lotes al fabricante - 15 K Seleccionar distribuidores A 13 L Vender a los distribuidores C, K 11 M Enviar mercadería a los distribuidores I, L 9 pág. 76 Asignatura: Investigación de Operaciones Se desea conocer: a. ¿Cuál es el menor número de días, necesarios para introducir al mercado el nuevo producto? b. Si se contratara vendedoras con experiencia y se elimina la actividad de instrucción ¿Qué sucedería con el plazo mínimo de terminación del proyecto? 4. Antes de poder introducir un nuevo producto al mercado se deben realizar todas las actividades que se muestran en la tabla (todos los tiempos están en semanas). Actividad Descripción Predecesores a b m A Diseño del producto - 2 6 10 B Estudio de mercado - 4 6 5 C Emitir ordenes de materiales A 2 4 3 D Recibir materiales C 1 3 2 E Construir prototipo A, D 1 5 3 F Desarrollo y promoción B 3 5 4 G Producción masiva E 2 6 4 H Distribuir producto PDV G, F 0 4 2 Dibuje la malla del proyecto y determine la ruta crítica. Interprete sus resultados. Realice un modelo de programación lineal que permita determinar la duración mínima del proyecto. 5. Una empresa de micro finanzas de la ciudad de Huancayo desea abrir otra sucursal en la ciudad de Ayacucho, la junta de accionistas ha puesto un plazo inflexible de 24 semanas para la apertura. El grupo “analistas de sistemas y operaciones” esta a cargo de la planeación, programación y control de este proceso, cuidando de que todo se desarrolle de acuerdo a lo planeado y que se cumpla con el plazo previsto. La nueva sucursal es casi difícil aunque hay relativa experiencia en apertura de otras sucursales, esta es sui géneris ya que se prevé darle mayor autonomía para tratar de ser centro de operaciones de otras sucursales que también planean abrir en Andahuaylas, Puno y Cuzco. Se debe elegir entre: - Acondicionar un local céntrico de la ciudad - Construir un nuevo local previamente derrumbar la construcción antigua o - Alquilar un piso de un edificio céntrico - Determinar cuántos empleados de la sede central Huancayo se mudaran a Ayacucho, cuantos se contratan y cuántos de ellos deben ser capacitados El grupo de sistemas y la oficina de planeamiento deben organizar e instrumentar los procedimientos operativos y los desembolsos a seguir en cada actividad de la apertura de la nueva sede. pág. 77 Asignatura: Investigación de Operaciones Los arquitectos tienen que diseñar el espacio interior, el estilo de la tienda y contar con la superficie suficiente, previamente el estudio de mercado ha determinado que gradualmente se incrementara la cantidad de clientes. Un segundo motivo de complicación es que hay interdependencia de actividades como por ejemplo:   No se puede amoblar las oficinas, no sin antes haberlas acabado y previamente haberlas diseñado. Tampoco puede contratarse nuevos empleados mientras no se haya determinado el requerimiento de personal. Pasos a seguir: Debe efectuarse un listado de actividades (no tareas) necesarias del proyecto, estableciendo la relaciones de precedencia correspondiente. Actividad Descripción Precedente Tiempo (semanas) A Crear el plan organización B financiero - 3 Elegir ubicación de la sede - 5 C Determinar requerimiento d personal B 3 D Diseñar ambientes del local A, C 4 E Construir – acondicionar el local D 8 F Determinar personal a trasladar de sede C 2 G Contratar nuevos empelados F 4 H Trasladar sistemas y personal clave F 2 I Probar sistemas y financieros con central B 5 J Entrenar nuevo personal H, E, G 3 K Apertura de nueva sede J 1 hacer y de ajustes Se desea conocer: El gráfico del proyecto indicando su duración y el / los caminos critico/s pág. 78 Asignatura: Investigación de Operaciones QUINTA UNIDAD Tema Nº 8: SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA La teoría de líneas de espera se originó en los trabajos de A. K. Erlang que principiaron eh 1909. Experimento con un problema relacionado con la congestión del tráfico telefónico. Durante los periodos ocupados, los que pretendan hacer llamadas sufran algunas demoras, porque las operadoras eran incapaces de atender las llamadas con la rapidez con que se hacían. El problema original que trato Erlang fue el cálculo de esa demora para una operadora, y en 1917 los resultados se extendieron al caso de varias operadoras. En ese año Erlang publicó su obra muy conocida, Solutions of Some Problems in the Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exchanges. Los adelantos en el campo del tráfico telefónico continuaron generalmente en el sentido iniciado por Erlang, y las publicaciones principales fueron las de Molina en 1927 y de Thornton D. Fry en 1928, pero solo fue hasta el fin de la Segunda Guerra Mundial cuando esos trabajos se extendieron a otros problemas relacionados con líneas de espera. Inicialmente, este capítulo se concentrara en las derivaciones matemáticas de las fórmulas de un problema de líneas de espera de un solo canal. Los modelos matemáticos para problemas de líneas de espera de canales múltiples, se darán sin ninguna prueba matemática. Se presentara el método de Montecarlo, que básicamente es una técnica de simulación en la que se crean funciones estadísticas de distribución, usando una tabla de números aleatorios. Se empleara para resolver problemas de líneas de espera de un solo canal y de canales múltiples. 8.1 Modelo de formación de colas. En los problemas de formación de cola, a menudo se habla de clientes, tales como personas que esperan la desocupación de líneas telefónicas, la espera de máquinas para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestación del servicio en la estación de servicio. Cuando se habla de líneas de espera, se refieren a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola simplemente porque los medios existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que los medios existentes son excesivos en relación con la demanda de los clientes; en este caso, las estaciones de servicio podrían permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos. Las estaciones de servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho temporal. Estos dos últimos casos tipifican una situación equilibrada que tiende constantemente hacia el equilibrio, o una situación estable. En la teoría de la formación de colas, generalmente se llama sistema a un grupo de unidades físicas, integradas de tal modo que pueden operar al unísono con una serie de operaciones organizadas. La teoría de la formación de colas busca una solución al problema de la espera prediciendo primero el comportamiento del sistema. Pero una solución al problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan. pág. 79 Asignatura: Investigación de Operaciones La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y provee un gran número de modelos matemáticos para describirlas. Se debe lograr un balance económico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio. La teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de decisiones. Objetivos de la Teoría de Colas Los objetivos de la teoría de colas consisten en:     Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo. Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo. Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio. Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema. 8.2. Elementos existentes en un modelo de colas Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aun siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio. pág. 80 Asignatura: Investigación de Operaciones Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<..., será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1, fijando su distribución de probabilidad. Normalmente, cuando la población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad de los Tk (que será la llamada distribución de los tiempos entre llegadas) no depende del número de clientes que estén en espera de completar su servicio, mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea finita, la distribución de los Tk variará según el número de clientes en proceso de ser atendidos. Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma. Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son: La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado. La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último. La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria. Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno. pág. 81 Asignatura: Investigación de Operaciones La cola, propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio. El sistema de la cola: es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura: Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución más usada para los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es común encontrar la distribución degenerada o determinística (tiempos de servicio constantes) o la distribución Erlang (Gamma). Notación de Kendall Por convención los modelos que se trabajan en teoría de colas se etiquetan Las distribuciones que se utilizan son: • • • • M: Distribución exponencial (markoviana) D : Distribución degenerada (tiempos constantes) E k : Distribución Erlang G : Distribución general pág. 82 Asignatura: Investigación de Operaciones Terminología Datos básicos: • • • • El número esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas () El tiempo esperado entre llegadas es 1/ El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio () El tiempo esperado de servicio equivale a 1/ Medidas del desempeño del sistema de colas: • • • • Número esperado de clientes en la cola Lq Número esperado de clientes en el sistema Ls Tiempo esperado de espera en la cola Wq Tiempo esperado de espera en el sistema Ws Fórmulas generales para las medidas del desempeño: Ws  Wq  1  Ls  Ws Lq  Wq Ls  Lq    Factor de utilización del sistema:     s  Modelos de una cola y un servidor: 2  (   ) 2 2   2 M/G/1: Lq  2(1   ) 2 M/D/1: Lq  2(1   )  2 (k  1) M/Ek/1: Lq  2k (1   ) M/M/1: Lq  pág. 83 Asignatura: Investigación de Operaciones Modelos de varios servidores: P0  M/M/s: 1   s  s 1  n   s!  s    n 0 n! Lq  s  s  P0 ( s  1)!( s   ) 2 3 Lq  4 2 M/M/2 y M/M/3: Lq  4 (3   )(6  4    2 ) M/D/s M/Ek/s ANÁLISIS ECONÓMICO DE COLAS: Costos Costo total Costo del servicio Costo de espera Características claves. Tasa óptima Tasa de de servicio servicio Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas: Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo) Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad. En el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo, resulta difícil. Sin embargo, una distribución, la distribución exponencial, ha probado ser confiable en muchos de los problemas prácticos. La función de densidad, para una distribución exponencial depende de un parámetro, digamos 𝜆 (letra griega lambda), y está dada por: pág. 84 Asignatura: Investigación de Operaciones f(t)=(1/ 𝜆 )e - 𝜆t En donde l (lambda) es el número promedio de llegadas en una unidad de tiempo. Con una cantidad, T, de tiempo se puede hacer uso de la función de densidad para calcular la probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de las siguientes T unidades a partir de la llegada anterior, de la manera siguiente: P(tiempo entre llegadas <=T)=1- e - 𝜆t El proceso de servicio. El proceso de servicio define cómo son atendidos los clientes. En algunos casos, puede existir más de una estación en el sistema en el cual se proporcione el servicio requerido. Los bancos y los supermercados, de nuevo, son buenos ejemplos de lo anterior. Cada ventanilla y cada registradora son estaciones que proporcionan el mismo servicio. A tales estructuras se les conoce como sistemas de colas de canal múltiple. En dichos sistemas, los servidores pueden ser idénticos, en el sentido en que proporcionan la misma clase de servicio con igual rapidez, o pueden no ser idénticos. Por ejemplo, si todos los cajeros de un banco tienen la misma experiencia, pueden considerarse como idénticos. Al contrario de un sistema de canal múltiple, considere un proceso de producción con una estación de trabajo que proporciona el servicio requerido. Todos los productos deben pasar por esa estación de trabajo; en este caso se trata de un sistema de colas de canal sencillo. Es importante hacer notar que incluso en un sistema de canal sencillo pueden existir muchos servidores que, juntos, llevan a cabo la tarea necesaria. Por ejemplo, un negocio de lavado a mano de automóviles, que es una sola estación, puede tener dos empleados que trabajan en un auto de manera simultánea Otra característica del proceso de servicio es el número de clientes atendidos al mismo tiempo en una estación. En los bancos y en los supermercados (sistema de canal sencillo), solamente un cliente es atendido a la vez. Por el contrario, los pasajeros que esperan en una parada de autobús son atendidos en grupo, según la capacidad del autobús que llegue. Otra característica más de un proceso de servicio es si se permite o no la prioridad, esto es ¿puede un servidor detener el proceso con el cliente que está atendiendo para dar lugar a un cliente que acaba de llegar? Por ejemplo, en una sala de urgencia, la prioridad se presenta cuando un médico, que está atendiendo un caso que no es crítico es llamado a atender un caso más crítico. Cualquiera que sea el proceso de servicio, es necesario tener una idea de cuánto tiempo se requiere para llevar a cabo el servicio. Esta cantidad es importante debido a que cuanto más dure el servicio, más tendrán que esperar los clientes que llegan. Como en el caso del proceso de llegada, este tiempo pude ser determinístico o probabilístico. Con un tiempo de servicio determinístico, cada cliente requiere precisamente de la misma cantidad conocida de tiempo para ser atendido. Con un tiempo de servicio probabilístico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo de servicio. Los tiempos de servicio probabilísticos se describen matemáticamente mediante una distribución de probabilidad. En la práctica resulta difícil determinar cuál es la distribución real, sin embargo, una distribución que ha resultado confiable en muchas aplicaciones, es la distribución exponencial. En general, el tiempo de servicio puede seguir cualquier distribución, pero, antes de que pueda analizar el sistema, se necesita identificar dicha distribución. pág. 85 Asignatura: Investigación de Operaciones 8.3. Casos de líneas de espera En la teoría de colas se estudian los procesos de llegada, tiempo en cola que pasa el cliente, tiempo de servicio así como número de clientes que se encuentran. El proceso de entrada se conoce por lo general como proceso de llegada, la llegada de los clientes. Los modelos en los que las llegadas se toman de una población pequeña se llaman modelos de origen finito. Ha servidores en paralelo como por ejemplo los cajeros de un banco que están organizados generalmente en paralelo, el otro es servidores en serie en los cuales se debe de pasar por varios de ellos antes de completar el servicio un ejemplo de esto son la líneas de ensamble. La disciplina de cola es el método que se usa para determinar el orden en que se sirve a los clientes. La disciplina más común es la disciplina PLPS (primero en llegar primero en ser servido), ULPS (último en llegar primero en ser servido) este se puede ejemplificar cuando alguien es el último en subirse a un elevador lleno y el primero que se baja, o sea el primero en ser servido. Disciplina SEOA (servicio en orden aleatorio), DG disciplina general en la cola. Existe un sistema de notación para el sistema de colas establecido por KENDALL-LEE, la cual representa seis características las que son: 1. Naturaleza del proceso de llegada 2. Naturaleza de tiempos de servicio 3. Número de servidores en Paralelo 4. Disciplina de la cola 5. Número máximo de clientes en el sistema, incluyendo los que esperan y los que están en ventanilla. 6. Tamaño de la población de la cual se toman los clientes. Donde: 1. puede ser M: exponencial, D: tiempos de llegada son idénticamente determinística. Ek: los tiempos entre llegadas son con distribución de Erlang con parámetro de forma k. GI: los tiempos de llegadas son idénticamente determinísticos y están gobernados por alguna distribución general. 2. M, D, Ek, G: los tiempos de servicio son idénticamente determinísticas y siguen alguna distribución general. 3. PLPS, ULPS, SEOA, DG. EJEMPLO 1 M/M/8/PLPS/10/ puede representar una clínica con 8 doctores (8) con tiempos exponenciales de llegada y servicio (M/M/), la disciplina en la cola es el primero que llega es el primero en ser servido (PLPS), y una capacidad de 10 pacientes (10) con una población infinita (). SISTEMA DE COLAS M/M/1/DG// En este sistema la tasa de llegada y servicio son exponenciales con 1 servidor, disciplina general en la cola con infinitos clientes en el sistema, que se obtienen de una población infinita.  = número promedio de llegas que entran por unidad de tiempo  = número de clientes que se atienden por unidad de tiempo Lq = número promedio de clientes que esperan en la cola Ls = número promedio de clientes en el sistema Wq = tiempo promedio que pasa un cliente en la cola pág. 86 Asignatura: Investigación de Operaciones Ws = tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema  = factor de utilización En estas definiciones, todos los promedios son para estado estable donde  = 𝜆 𝜇 <1, si  >1 es fácil ver por qué no puede existir distribución de estado estable. Supongamos =6 clientes por hora y que = 4 clientes por hora. Aun si el despachador estuviera trabajando todo el tiempo, sólo podría atender a 4 clientes por hora. Así, el número promedio de clientes en el sistema crecería al menos en 6 – 4 =2 clientes por hora. Esto significa que después de mucho tiempo, el número de clientes que hay “explotaría” y no podría existir distribución de estado estable. Entonces para cualquier sistema de colas en el que exista una distribución de estado estable, se cumplen las siguientes ecuaciones Lq = .Wq; Ls = .Ws EJEMPLO 2 A un cajero para automovilistas, sólo llega un promedio de 10 vehículos por hora. Suponga que el tiempo promedio de servicio para cada cliente es de 4 minutos, y que los tiempos entre llegadas y los de servicio son exponenciales. Conteste las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cajero se encuentre vacío? b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que esperan en la cola su turno?, se considera que un vehículo que está ocupando el cajero, no está en la cola esperando. c) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, incluyendo el tiempo en el servicio? d) En promedio, ¿Cuántos clientes por hora serán atendidos por el cajero automático? Solución: Identificamos el modelo M/M/1/DG//, ya que no especifica la cantidad de clientes en el sistema ni la población asumimos infinito, y se coloca una disciplina general. Identificamos  = 10 vehículos/hora y =4 minutos/hora, lo primero que hay que fijarse es que no están en las misma unidades entonces  la colocamos en vehículos por hora si atiende 1 vehículo en 4 minutos entonces atenderá 15 en una hora por lo tanto =15 vehículos/hora. RECORDARSE SIEMPRE EN LAS MISMA UNIDADES. a. La probabilidad de que el cajero se encuentre vació es Po = 1-  𝜌= 𝜆 𝜇 = 10 15 = 2 3 ; = 0.667, entonces Po =1-0.667 = 0.33, por lo tanto el cajero estará vació el 33% del tiempo. b. 𝐿𝑞 = 𝜌2 1−𝜌 = 0.6672 1−0.667 = 1.33 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 c. Ahora buscamos Ws que es el tiempo total de todo el sistema. 𝑊𝑠 = 𝐿𝑠 2 1 = = ℎ𝑜𝑟𝑎 = 12 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠  10 5 d. Si el cajero estuviera ocupado siempre, podría atender 15 clientes por hora. Pero sabemos que solo se está ocupado 0.67 del tiempo. Así que durante cada hora llegaran 0.67 (15)=10 clientes. El valor de 0.67 se obtiene de 1-Po, que es el tiempo que está ocupado. pág. 87 Asignatura: Investigación de Operaciones EJEMPLO 3. Supongamos que todos los propietarios de automóviles llenan sus tanques de gasolina cuando están exactamente a la mitad, En la actualidad, llega un promedio de 7.5 clientes por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba surtidora. Se necesita un promedio de 4 minutos para atender un automóvil. Suponga que tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de servicio son exponenciales. a) Para el caso actual, calcule L y W b) Suponga que se presenta escasez de gasolina y que hay compras de pánico. Para modelar este fenómeno, suponga que todos los propietarios de automóvil compran gasolina cuando sus tanques les falta exactamente ¾ partes. Como cada conductor pone menos gasolina al tanque durante cada visita a la gasolinera, suponga que el tiempo promedio de servicio se ha reducido a 3.33 minutos ¿Cómo afecto la compra de pánico a L y a W? Solución: a) Al identificar el sistema observamos que es M/M/1/DG// con =7.5 vehículos /hora y =15 vehículos por hora. Primero encontramos =7.5/15=0.50, nótese que aquí se hace conversión porque  tiene diferentes unidades. Teniendo  logramos obtener L=/(1-) = 0.50/(1-0.5)=1, luego obtenemos W=L/=1/7.5=0.13 horas. Con estos resultados podemos observar que todo está bajo control y son improbables las largas colas. b) Con la segunda opción tenemos el mismo sistema M/M/1/DG// con =2(7.5)=15 vehículos por hora, se preguntar porque por 2 y es dado que el cliente llenará con doble de frecuencia su tanque porque ahora no estar a la mitad sino que ¾, y visitara la gasolinera cada vez que se haya gastado ¼ de tanque. Y  es igual a 60/3.33 = 18 vehículos por hora donde =15/18=5/6. Con los datos utilizamos las ecuaciones: L= (5/6) /(1-5/6) =5 automóviles y W = 5/15 =1/3 horas = 20minutos. Ya comparando se ve que las compras de pánico han originado colas mas largas y tiempos más largos en el sistema. EJEMPLO 4. En una aerolínea se debe revisar cada pasajero, así como su equipaje, para ve si trae armas. Suponga que al aeropuerto Internacional La Aurora llega un promedio de 10 pasajeros/minuto. Los tiempos entre llegadas son exponenciales. Para revisar a los pasajeros, el aeropuerto debe tener una estación que consiste en un detector de metales y una máquina de rayos X para el equipaje. Cuando está trabajando la estación se necesitan dos empleados. Una estación puede revisar un promedio de 12 pasajeros/min. Con la hipótesis que el aeropuerto sólo tiene una estación de verificación, responda las siguientes preguntas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar para ser revisado? b. En promedio, ¿Cuántos pasajeros esperan en la cola para entrar a la estación? c. En promedio, ¿Cuánto tiempo pasará el pasajero en la estación de verificación? Solución: pág. 88 Asignatura: Investigación de Operaciones Primero identificamos el modelo M/M/1/DG// donde existe un servidor, en el problema puede confundirse pensando que son dos servidores porque hay dos empleados trabajando, pero NO es así ya que un servidor aquí se considera una estación independientemente que se realice en ella y cuantos la atiendan. a. =10 pasajeros/minuto =/=10/12=0.833 =12 pasajeros/minuto Po=1-0.833=0.17 (probabilidad de que este vació) Entonces estar ocupado 1-0.17= 0.833 = 83.33% del tiempo esto es igual a . b. Lq= Wq=2/((-)) = 102/(12(12-10))= 4.17 personas en la cola. c. Ws=1/(-)=1/(12-10)= 0.5 minutos. MODELO M/M/1/DG/m/ Este sistema es parecido al anterior con la variante que tiene una capacidad total de “m” clientes, y cuando existen estos “m” clientes, todas las llegadas se regresan y el sistema las pierde para siempre. Este número máximo de clientes es una constante y varía según el libro que se utiliza c,m, etc. En este modelo de capacidad finita, llega un promedio de Pm, de esas llegadas encuentran al sistema lleno a toda capacidad y se van. Por lo tanto, en realidad entrará al sistema un promedio de =(1-Pm) llegadas por unidad de tiempo. En este modelo existirá estado estable aún si > Esto se debe que aun cuando >, la capacidad finita de “m” en el sistema evita que “explote” el número de personas en la cola. EJEMPLO 5 En una peluquería hay un peluquero y un total de 10 asientos. Los tiempos de llegada tienen distribución exponencial, y llega un promedio de 20 clientes posibles por hora. Los que llegan cuando la peluquería está llena no entran. El peluquero tarda un promedio de 12 minutos en atender a cada cliente. Los tiempos de corte de pelo tienen distribución exponencial. a) En promedio ¿Cuántos cortes de pelo hará el peluquero? b) En promedio ¿Cuánto tiempo pasará un cliente en la peluquería, cuando entra? Solución Identificación del modelo M/M/1/DG/10/ a) Una fracción de P10 de las llegadas encuentra que la peluquería está llena. Por lo tanto, entrará a ella un promedio de (1-P10) por hora. Todos los clientes que desean que se les corte el cabello, y por lo tanto, el peluquero hará un promedio de (1-P10) cortes por hora. m=10, =20 clientes por hora y =5 clientes/hora. Entonces =20/5=4  1   n   Donde n=1,2,....m Pn   m 1  1   pág. 89 Asignatura: Investigación de Operaciones Sustituyendo datos P10=0.75 Así, los cortes de pelo son en promedio 20(1-0.75) = 5 cortes/hora. b) Para calcular W=L/((1-Pm)) L  1  m  1 m  m m1  41  10  1410  10  4101   9.67clientes 1   m1 1     1  4101 1  4 W=9.67/(20(1-0.75))=1.93 horas. EJERCICIOS RESUELTOS Problema 1 M/M/1/ Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial. Realice un análisis acerca de la situación actual del Banco. Solución: =10 clientes/hora =7 clientes/hora k=1 =/=7/10=0.7 Po=1-0.7=0.3 Ls      7 7   2.33 10  7 3 Lq  2 72   1.63  (    ) 10(10  7) Ws  1 1 1    0.33    10  7 3 Wq   7   0.233  (    ) 10(10  7) Según los datos obtenidos el sistema está ocupado el 70% del tiempo, vacío el 30% en promedio hay 2.33 unidades en el sistema y 1.63 en la cola con un tiempo en el sistema de 1/3 hora = 20 minutos y un tiempo en la cola de 0.233 horas = 14 minutos. Problema 2. M/M/K/ pág. 90 Asignatura: Investigación de Operaciones Suponga que se coloca un segundo cajero bancario en el problema antes descrito. ¿Qué tanto se mejorará el servicio? De sus conclusiones y recomendaciones para el Banco. Solución: S=k=2 número de servidores  =7 clientes/hora =10 clientes/hora  7   0.35 k 2(10) Po  1 0 1 7 7 7        10    10    10  0! 1! 2! Ls   2 1  0.48148 1  0.7  0.3769  10(2)     10(2)  7  7(10)(7 / 10) 2 (0.48148)  7 / 10  0.7977 (2  1)!(2(10)  7) 2 Lq = 0.7977 – 7/10 = 0.0977 Ws =Ls/ = 0.7977/7 =0.11396 Wq = Lq /  = 0.0977/7 = 0.01396 Con dos cajeros las estadísticas de los clientes mejoraran dramáticamente. Ahora se tiene un promedio de solamente 0.0977 clientes en la línea y el cliente promedio esperara solamente 0.0139 horas para recibir el servicio (menos de un minuto). El costo de este buen servicio es que los prestadores de este solamente están ocupados durante el 35% de su tiempo. A menos que se desee un servicio extraordinariamente bueno el banco no deseara incurrir en el gasto de un segundo cajero. Puede tomarse en consideración en las horas pico. Problema 3. M/M/K/ En un restaurante se vende comida para llevar y tratan de determinar cuántos servidores o colas deben trabajar el turno del almuerzo. Durante cada hora, llegan en promedio 100 clientes al restaurante. Cada cola puede manejar en promedio 50 clientes por hora. Un servidor cuesta Q 5 /hora y se carga un costo de Q 20 por cada cliente que espere en la cola durante 1 hora. Calcule el número de colas que minimice el costo. Solución: =100 clientes/hora =50 clientes / hora 1 servidor ------- Q 5/hora k servidores ------ 5k Q 20 por cada cliente que espera en la cola por hora 20Wq Costo total = 5k + 20Wq quetzales / hora K=?  100 1 50k 2 1 k k2 2 , 3, 4....  pág. 91 Asignatura: Investigación de Operaciones =100/2(50)=1 pero  1 Aunque se realice el cálculo con k=2 los datos generados serian incoherentes. Se deja al estudiante que lo compruebe. Con K=3  =100/3(50) =2/3 =0.667 Po  B 1 A B (100 / 50) 0 (100 / 50)1 (100 / 50) 2    1 2  2  5 0! 1! 2! n 0 2 A (100 / 50) 3  50(3)     4 3!  50(3)  100  Po  1 1   0.111 54 9 Ls  (100)(50)(100 / 50) 3 26 (1 / 9)  (100 / 50)   2.89 2 9 3  1!(3(50)  100) Lq = 2.89 – 100/50 = 0.89 Ws = 2.89/100 = 0.0289 horas = 1.73 minutos Wq = Lq /  = 0.89/100=0.0089 horas CT = 5(3) + 20(0.0089) =Q15.18 / hora Al utilizar k>3 servidores el costo se aumenta por lo tanto se deben tener 3 Servidores. Problema 4. M/M/1/m Hay un promedio de 40 automóviles por hora, con tiempos exponenciales entre llegadas, que desean que se les atienda en la ventanilla de “servicio en su auto” de Pizza Hut. Si hay una cola de más de 4 coches, incluyendo el de la ventanilla, el coche que llegue se va. En promedio toman cuatro minutos en servir a un automóvil. (a) ¿Cuál es el número promedio de automóviles esperado en la cola, sin incluir al que está frente a la ventanilla? (b) En promedio ¿a cuántos automóviles se atiende en cada hora? (c) Acabo de formarme en la cola. En promedio ¿Cuánto tiempo pasará para que llegue a la ventanilla? Solución: =40 autos/ hora Lq = ? Ls =? =4 minutos/ hora = 15 autos / hora m=4 Wq =? pág. 92 Asignatura: Investigación de Operaciones  = 40/15 =2.67 Po  1  1  2.67   0.012398 m 1 1  1  2.67 5  1  2.67  P4   (2.67) 4  0.63011 4 1   1  2.67  Ls    (m  1)  m1   (4  1)(2.67) 41  2.67        3.438 1    1   m1  1  2.67  1  2.67 41  Ls =3.438 autos / hora Lq = Ls - (1- Po)= 3.438 - (1 - 0.012398)=2.45  =  (1-Pm) Wq = Lq/ minutos  = 40 (1-0.63011) =14.80 Wq = 2.45 /14.80 = 0.1655  = 14.80 Wq =0.1655 horas = 9.9 a) El número promedio de autos en la cola es Lq=2.45 autos b) El número promedio de autos atendidos cada hora es Ls=3.438 autos/hora c) En llegar a la ventanilla me tardo Wq=0.1655 horas = 9.9 minutos Actividad PROBLEMAS PROPUESTOS DE TEORIA DE COLAS 1. MexiCars de la Av. J.C. Mariátegui tiene un empleado que se encarga de instalar sistemas de alarma a carros y lo hace a una tasa promedio de 3 por hora; cerca de 1 cada 20 minutos. Los clientes que solicitan este servicio llegan en promedio de 2 por hora. Los aspectos del sistema M/M/1 se encuentran aquí presentes. ¿Cómo es el comportamiento de este sistema? 2. Grupo Hinostroza SAC. división llantas, la gerencia está considerando contratar un nuevo mecánico para manejar todos los cambios de llantas para los clientes que ordenan nuevos juegos de llantas. Dos mecánicos han solicitado el trabajo. Uno de ellos tiene experiencia limitada y puede ser contratado pagándole 5.00 S/. la hora. Se espera que este mecánico pueda atender un promedio de 3 clientes por hora. El otro mecánico tiene varios años de experiencia, puede servir un promedio de 4 clientes por hora y se le pagaría 10.00 S/. la hora. Asuma que los clientes arriban a una tasa de 2 por hora. En el sistema es aplicable el modelo M/M/1. a. Calcule las características Operacionales con cada mecánico. b. Si el taller asigna un costo de espera a cada cliente de 15.00 S/. por hora, ¿Cuál mecánico proporciona el menor costo de operación? 3. Una franquicia de comida rápida, está pensando abrir operaciones de servicio por ventanilla a los clientes, desde su vehículo. Los clientes que llegan al intercomunicador a colocar órdenes y luego manejan hasta la ventanilla para pagar pág. 93 Asignatura: Investigación de Operaciones y recibir sus órdenes lo hacen a una tasa de 24 por hora. En el sistema es aplicable el modelo M/M1. Se está considerando las alternativas siguientes: a. Realizar la operación con un solo empleado que llene la orden y reciba el dinero del cliente. En esta alternativa, el tiempo promedio de servicio es de 2 minutos. b. Realizar la operación con un empleado y un ayudante que tome el dinero del cliente. En esta alternativa, el tiempo promedio de servicio es de 1.25 minutos. En ambos caso es un sistema de una sola ventanilla, por lo que se mantiene el sistema de un solo servidor, modelo M/M/1. Se le pide: 4. a. Calcule las características operacionales para cada alternativa y tome una decisión. b. Si dispone de información del costo de espera de S/. 25.00 por hora, pues es considerado alto este costo en los servicios de comida rápida y el costo de cada empleado es de 8.00 S/. por hora, siendo además cargado 20.00 S/. por equipos y espacio. ¿Cuál sería la alternativa de menor costo para el servicio? Sam Lawer Médico Veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la clínica municipal. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente. Datos 𝜆= 1 / 6 = 0.167 perros/min 𝜇 = 1 / 3 = 0.34 perros/min Determinar: a. La probabilidad de que Sam este de ocioso b. La proporción de tiempo en que Sam está ocupado. c. El número total de perros que están siendo vacunados d. El número promedio de perros que esperan a ser vacunados 5. Las llamadas llegan a la central telefónica de la OEC a una tasa de dos por minuto, él tiempo promedio para manejar cada una de estas es de 20 segundos. Actualmente solo hay una operadora de la central. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación. Datos 𝜆 = 2 llamadas/minutos 𝜇 = (1 / 20 seg.)(60 seg.) = 3 llamadas/minuto Determine: 6. a. La probabilidad de que la operadora este ocupada b. El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por la operadora c. El número de llamadas que esperan ser contestadas Al principio de la temporada de fútbol, la ventanilla de boletos se ocupa mucho el día anterior al primer juego. Los clientes llegan a una tasa de cuatro llegadas cada 10 minutos y el tiempo promedio para realizar la transacción es de dos minutos. Datos pág. 94 Asignatura: Investigación de Operaciones 𝜆 = (4 / 10) = 0.4 c/min 𝜇 = (1 /2) = 0.5 c/min Determine: a. El número promedio de aficionaos en línea de espera b. El tiempo promedio que una persona pasaría en la oficina de boletos c. La proporción de tiempo que el servidor está ocupado 7. Una empleada administra un gran complejo de cines “Cinemark Comas” I, II, III y IV. Cada uno de los cuatro auditorios proyecta una película diferente, el programa se estableció de tal forma que las horas de las funciones se encuentren escalonadas para evitar las multitudes que ocurrirían si los cuatro cines comenzarán a la misma hora. El cine tiene una sola taquilla y un cajero que puede mantener una tasa de promedio de servicio de 280 clientes por hora. Se supone que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Las llegadas en un día son distribución de Poisson y promedian 210 por hora. Determine: a. El número promedio de cinéfilos esperando en la línea para adquirir un boleto b. ¿Qué porcentaje del tiempo está ocupado el cajero? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema? d. ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa esperando en la línea para llegar a la taquilla? e. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos personas en la cola? pág. 95 Asignatura: Investigación de Operaciones SEXTA UNIDAD Tema Nº 9: TEORÍA DE DECISIONES 9.1 Introducción La teoría de decisiones proporciona una manera útil de clasificar modelos para la toma de decisiones. Se supondrá que se ha definido el problema, que se tienen todos los datos y que se han identificado los cursos de acción alternativos. La tarea es entonces seleccionar la mejor alternativa. La teoría de decisiones dice que esta tarea de hacer una selección caerá en una de las cuatro categorías generales dependiendo de la habilidad personal para predecir las consecuencias de cada alternativa. Categorías Consecuencias Certidumbre Deterministas Riesgo Probabilísticas Incertidumbre Desconocidas Conflicto Influidas por un oponente 9.2 Toma de decisiones bajo incertidumbre En los procesos de decisión bajo incertidumbre, el decisor conoce cuáles son los posibles estados de la naturaleza, aunque no dispone de información alguna sobre cuál de ellos ocurrirá. No sólo es incapaz de predecir el estado real que se presentará, sino que además no puede cuantificar de ninguna forma esta incertidumbre. En particular, esto excluye el conocimiento de información de tipo probabilístico sobre las posibilidades de ocurrencia de cada estado. Reglas de decisión A continuación se describen las diferentes reglas de decisión en ambiente de incertidumbre, y que serán sucesivamente aplicadas al ejemplo de construcción del hotel. • Criterio de Wald • Criterio Maximax • Criterio de Hurwicz • Criterio de Savage • Criterio de Laplace Para trabajar con los criterios utilizaremos la siguiente matriz: Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 ... en a1 x11 x12 ... x1n a2 x21 x22 ... x2n .. . ... ... ... ... am xm1 xm2 ... xmn pág. 96 Asignatura: Investigación de Operaciones a) Criterio de Laplace Este criterio, propuesto por Laplace en 1825, está basado en el principio de razón insuficiente: como a priori no existe ninguna razón para suponer que un estado se puede presentar antes que los demás, podemos considerar que todos los estados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son equiprobables. Así, para un problema de decisión con n posibles estados de la naturaleza, asignaríamos probabilidad 1/n a cada uno de ellos. La regla de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona un mayor resultado esperado: 1 n  máx _ ai   xai , e j   n j 1  EJEMPLO Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra los resultados esperados para cada una de las alternativas. Alternativas Estados de la Naturaleza Terreno comprado Aeropuerto en A Aeropuerto en B Resultado esperado A 13 -12 0.5 B -8 11 1.5 AyB 5 -1 2 Ninguno 0 0 0 En este caso, cada estado de la naturaleza tendría probabilidad ocurrencia 1/2. El resultado esperado máximo se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la decisión óptima según el criterio de Laplace sería comprar ambas parcelas. CRÍTICA La objeción que se suele hacer al criterio de Laplace es la siguiente: ante una misma realidad, pueden tenerse distintas probabilidades, según los casos que se consideren. Por ejemplo, una partícula puede moverse o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/2. En cambio, también puede considerarse de la siguiente forma: una partícula puede moverse a la derecha, moverse a la izquierda o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/3. Desde un punto de vista práctico, la dificultad de aplicación de este criterio reside en la necesidad de elaboración de una lista exhaustiva y mutuamente excluyente de todos los posibles estados de la naturaleza. Por otra parte, al ser un criterio basado en el concepto de valor esperado, su funcionamiento debe ser correcto tras sucesivas repeticiones del proceso de toma de decisiones. Sin embargo, en aquellos casos en que la elección sólo va a realizarse una vez, puede conducir a decisiones poco acertadas si la distribución de resultados presenta una gran dispersión, como se muestra en la siguiente tabla: pág. 97 Asignatura: Investigación de Operaciones Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 Resultado esperado a1 15000 -5000 5000 a2 5000 4000 4500 Este criterio seleccionaría la alternativa a1, que puede ser poco conveniente si la toma de decisiones se realiza una única vez, ya que podría conducirnos a una pérdida elevada b) Criterio de Wald Este es el criterio más conservador ya que está basado en lograr lo mejor de las peores condiciones posibles. Esto es, si el resultado x(ai, ej) representa pérdida para el decisor, entonces, para ai la peor pérdida independientemente de lo que ej pueda ser, es máx ej { x(ai, ej) }. El criterio minimax elige entonces la acción ai asociada a:   Elegir _ ai  mín ai máx e j x( ai , e j ) En una forma similar, si x(ai, ej) representa la ganancia, el criterio elige la acción ai asociada a :   Elegir _ ai  máx ai mín e j x( ai , e j ) Este criterio recibe el nombre de criterio maximin, y corresponde a un pensamiento pesimista, pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al decisor cuando elige una alternativa. EJEMPLO Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con los niveles de seguridad de las diferentes alternativas: Alternativas Estados de la Naturaleza Terreno comprado Aeropuerto en A Aeropuerto en B si A 13 - 12 12 B -8 11 -8 AyB 5 -1 -1 Ninguno 0 0 0 La alternativa óptima según el criterio de Wald sería no comprar ninguno de los terrenos, pues proporciona el mayor de los niveles de seguridad. pág. 98 Asignatura: Investigación de Operaciones CRÍTICA En ocasiones, el criterio de Wald puede conducir a decisiones poco adecuadas. Por ejemplo, consideremos la siguiente tabla de decisión, en la que se muestran los niveles de seguridad de las diferentes alternativas. Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 si a1 1000 99 99 a2 100 100 100 El criterio de Wald seleccionaría la alternativa a2, aunque lo más razonable parece ser elegir la alternativa a1, ya que en el caso más favorable proporciona una recompensa mucho mayor, mientras que en el caso más desfavorable la recompensa es similar. c) Criterio de Hurwicz Este criterio representa un intervalo de actitudes desde la más optimista hasta la más pesimista. En las condiciones más optimistas se elegiría la acción que proporcione el máx ai máx ej { x(ai, ej) }. Se supone que x(ai, ej), representa la ganancia o beneficio. De igual manera, en las condiciones más pesimistas, la acción elegida corresponde a máx ai mín ej { x(ai, ej) }. El criterio de Hurwicz da un balance entre el optimismo extremo y el pesimismo extremo ponderando las dos condiciones anteriores por los pesos respectivos  y (1- ), donde 0 ≤  ≤ 1. Esto es, si x(ai, ej) representa beneficio, seleccione la acción que proporcione:   máx ai máx e j x( ai , e j )  (1   )mín e j x( ai , e j ) Para el caso donde x(ai, ej) representa un costo, el criterio selecciona la acción que proporciona:   mín ai mín e j x( ai , e j )  (1   )máx e j x( ai , e j ) El parámetro  se conoce como índice de optimismo: cuando  = 1, el criterio es demasiado optimista; cuando  = 0, es demasiado pesimista. Un valor de  entre cero y uno puede ser seleccionado dependiendo de si el decisor tiende hacia el pesimismo o al optimismo. En ausencia de una sensación fuerte de una circunstancia u otra, un valor de  = 1/2 parece ser una selección razonable. pág. 99 Asignatura: Investigación de Operaciones EJEMPLO Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con la media ponderada de los niveles de optimismo y pesimismo de las diferentes alternativas para un valor = 0.4: Alternativas Estados de la Naturaleza Terreno comprado Aeropuerto en A Aeropuerto en B mínei máxei S(ai) A 13 -12 -12 13 -2 B -8 11 -8 11 -0.4 AyB 5 -1 -1 5 1.4 Ninguno 0 0 0 0 0 La alternativa óptima según el criterio de Hurwicz sería comprar las parcelas A y B, pues proporciona la mayor de las medias ponderadas para el valor de  seleccionado. d) Criterio de Savage En 1951 Savage argumenta que al utilizar los valores xij para realizar la elección, el decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturaleza con todos los demás resultados, independientemente del estado de la naturaleza bajo el que ocurran. Sin embargo, el estado de la naturaleza no es controlable por el decisor, por lo que el resultado de una alternativa sólo debería ser comparado con los resultados de las demás alternativas bajo el mismo estado de la naturaleza. Con este propósito Savage define el concepto de pérdida relativa o pérdida de oportunidad rij asociada a un resultado xij como la diferencia entre el resultado de la mejor alternativa dado que ej es el verdadero estado de la naturaleza y el resultado de la alternativa ai bajo el estado ej: Así, si el verdadero estado en que se presenta la naturaleza es ej y el decisor elige la alternativa ai que proporciona el máximo resultado xij, entonces no ha dejado de ganar nada, pero si elige otra alternativa cualquiera ar, entonces obtendría como ganancia xrj y dejaría de ganar xij-xrj. Savage propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor de las mayores pérdidas relativas, es decir, si se define ri como la mayor pérdida que puede obtenerse al seleccionar la alternativa ai, el criterio de Savage resulta ser el siguiente: pág. 100 Asignatura: Investigación de Operaciones Conviene destacar que, como paso previo a la aplicación de este criterio, se debe calcular la matriz de pérdidas relativas, formada por los elementos rij. Cada columna de esta matriz se obtiene calculando la diferencia entre el valor máximo de esa columna y cada uno de los valores que aparecen en ella. Observe que si x(ai, ej) es una función de beneficio o de pérdida, la matriz de pérdidas relativas, formada por los elementos rij representa en ambos casos pérdidas. Por consiguiente, únicamente el criterio minimax (y no el maximin) puede ser aplicado a la matriz de de exploración. EJEMPLO Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra la matriz de pérdidas relativas y el mínimo de éstas para cada una de las alternativas. Alternativas Estados de la Naturaleza Terreno comprado Aeropuerto en A Aeropuerto en B ri A 0 23 23 B 21 0 21 AyB 8 12 12 Ninguno 13 11 13 El mayor resultado situado en la columna 1 de la tabla de decisión original es 13; al restar a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen las pérdidas relativas bajo el estado de la naturaleza Aeropuerto en A. De la misma forma, el máximo de la columna 2 en la tabla original es 11; restando a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen los elementos rij correspondientes al estado de la naturaleza Aeropuerto en B. Como puede observarse, el valor ri menor se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la decisión óptima según el criterio de Savage sería comprar ambas parcelas. CRÍTICA El criterio de Savage puede dar lugar en ocasiones a decisiones poco razonables. Para comprobarlo, consideremos la siguiente tabla de resultados: Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 a1 9 2 a2 4 6 La tabla de pérdidas relativas correspondiente a esta tabla de resultados es la siguiente: pág. 101 Asignatura: Investigación de Operaciones Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 ri a1 0 4 4 a2 5 0 5 La alternativa óptima es a1. Supongamos ahora que se añade una alternativa, dando lugar a la siguiente tabla de resultados: Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 a1 9 2 a2 4 6 a3 3 9 La nueva tabla de pérdidas relativas sería: Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 ri a1 0 7 7 a2 5 3 5 a3 6 0 6 El criterio de Savage selecciona ahora como alternativa óptima a2, cuando antes seleccionó a1. Este cambio de alternativa resulta un poco paradójico: supongamos que a una persona se le da a elegir entre peras y manzanas, y prefiere peras. Si posteriormente se la da a elegir entre peras, manzanas y naranjas, ¡esto equivaldría a decir que ahora prefiere manzanas! 9.3 Caso de aplicación: Criterios de decisión en incertidumbre Una instalación recreativa debe decidir acerca del nivel de abastecimiento que debe almacenar para satisfacer las necesidades de sus clientes durante uno de los días de fiesta. El número exacto de clientes no se conoce, pero se espera que esté en una de cuatro categorías: 200,250, 300 o 350 clientes. Se sugieren, por consiguiente, cuatro niveles de abastecimiento, siendo el nivel i el ideal (desde el punto de vita de costos) si pág. 102 Asignatura: Investigación de Operaciones el número de clientes cae en la categoría i. La desviación respecto de niveles ideales resulta en costos adicionales, ya sea porque se tenga un abastecimiento extra sin necesidad o porque la demanda no puede satisfacerse. La tabla que sigue proporciona estos costos en miles de unidades monetarias. Nivel de abastecimiento e1(200) e2(250) e3(300) e4(350) a1(200) 5 10 18 25 a2(250) 8 7 8 23 a3(300) 21 18 12 21 a4(350 30 22 19 15 Determine cuál es el nivel de aprovisionamiento óptimo, utilizando los criterios explicados. RESULTADOS a) LAPLACE: El principio de Laplace establece que e1, e2, e3, e4 tienen la misma probabilidad de suceder. Por consiguiente las probabilidades asociadas son P(x)=1/4 y los costos esperados para las acciones son: E(a1) = (1/4)(5+10+18+25) = 14.5 E(a2) = (1/4)(8+7+8+23) = 11.5 E(a3) = (1/4)(21+18+12+21) = 18.0 E(a4) = (1/4)(30+22+19+15) = 21.5 Por lo tanto, el mejor nivel de inventario de acuerdo con el criterio de Laplace está especificado por a2. b) WALD Ya que x(ai, ej) representa costo, el criterio minimax es aplicable. Los cálculos se resumen en la matriz que sigue. La estrategia minimax es a3: Nivel de abastecimiento e1(200) e2(250) e3(300) e4(350) a1(200) 5 10 18 25 25 a2(250) 8 7 8 23 23 a3(300) 21 18 12 21 21 (valor minimax) a4(350 30 22 19 15 30 pág. 103 Asignatura: Investigación de Operaciones c) HURWICZ Supongamos =1/2. Los cálculos necesarios se muestran enseguida. La solución óptima está dada por a1 ó a2. a 1 5 25 15 (mín) a 2 7 23 15 (mín) a 3 12 21 16.5 a 4 15 30 22.5 d) SAVAGE Se obtiene primero la matriz rij restando 5, 7, 8 y 15 de las columnas 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Nivel de abastecimient o e1(200 ) e2(250 ) e3(300 ) e4(350 ) a1(200 ) 5 10 18 25 10 a2(250 ) 8 7 8 23 8 a3(300 ) 21 18 12 21 16 a4(350 30 22 19 15 25 (valor minimax) CASO DE APLICACIÓN La empresa Z de servicios computarizados especializadas en servicios de información tales como encuestas, análisis de datos, etc., actualmente está en la etapa final de selección del sistema de computadoras que utilizará en una nueva dependencia que abrirá en una zona del país. Aunque la empresa ya ha decidido la marca de computadoras que utilizará, está tratando de determinar el tamaño del sistema de computadoras que para sus condiciones resulta más económico de arrendar. A partir del análisis realizado en las empresas se consideró que existen 3 alternativas de decisión pudiendo ocurrir 2 posibles eventos o estados de la naturaleza, los cuales son: Decisiones Alternativas D1: Arrendar un sistema de computadoras grande D2: Arrendar un sistema de computadoras mediano D3: Arrendar un sistema de computadoras pequeño Estado de la Naturaleza E1: Alta aceptación de los servicios de la empresa Z pág. 104 Asignatura: Investigación de Operaciones E2: Baja aceptación de los servicios de la empresa Z Teniendo en cuenta lo anterior y usando la mejor información disponible la empresa ha estimado la posible ganancia a obtener para cada combinación decisión-estado de la naturaleza la cual aparece en la siguiente matriz de decisión: Matriz de decisión Decisiones Alternativas D1 D2 D3 Alta Acept. E1 $200 000 $150 000 $100 000 Baja Acept. E2 -$20 000 $20 000 $60 000 En estas condiciones: ¿Qué decisión debe tomar la empresa Z si quiere lograr la máxima ganancia? Solución: Aplicando los criterios para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre se tiene: Criterio pesimista Para aplicar este criterio se lista primeramente para cada decisión alternativa el "peor" resultado, seleccionando entonces la decisión que proporcione el mayor valor para esos resultados peores, lo cual se resume en la siguiente tabla: Decisiones Alternativas Sistema grande D1 Sistema mediano D2 Sistema pequeño D3 Peor resultado -$20 000 $20 000 $60 000 De acuerdo con este criterio la decisión a recomendar es arrendar un sistema pequeño, la cual garantiza una ganancia mínima de $60 000. Aunque PSI puede obtener más, no puede obtener menos que dicho valor que corresponde al valor MaxiMin. Criterio optimista La aplicación de este criterio se resume en la siguiente tabla: Decisiones Alternativas Sistema grande D1 Sistema mediano D2 Sistema pequeño D3 Mejor resultado $200 000 $150 000 $100 000 El resultado obtenido conduce a recomendar que la decisión a tomar es arrendar un sistema grandes la cual proporciona la posibilidad dé obtener la mayor ganancia que es de $200 000. Obsérvese que aunque este criterio proporciona también expone a la empresa a la posibilidad de pérdida de $20 000. Criterio de Laplace La aplicación de este criterio presupone el cálculo del resultado medio y se expresa en la siguiente tabla: Decisiones Alternativas Resultado Medio Sistema grande D1 $ 90 000 Sistema mediano D2 $85 000 Sistema pequeño D3 $80 000 El resultado obtenido conduce a recomendar como mejor decisión el arrendar un sistema grande, la que proporcionaría la un resultado promedio de $90 000. Nótese que en pág. 105 Asignatura: Investigación de Operaciones este casa son válidos las mismas observaciones realizadas a los resultados que proporciono el criterio optimista. Criterio de Savage Para aplicar este criterio es necesario calcular primeramente la matriz de pérdida de oportunidad, la cual se muestra a continuación: Matriz de pérdida de oportunidad Decisiones Alternativas D1 D2 D3 Alta Acept. E1 $0,00 $50 000,00 $100 000,00 Baja Acept. E2 $80 000,00 $40 000,00 $0,00 Para aplicar el criterio se busca entonces para cada decisión el máximo valor de las Oij a fin de determinar de entre estos el mínimo, lo cual se refleja en la siguiente tabla: Decisiones Alternativas Max. O ij Sistema grande D1 Sistema mediano D2 Sistema pequeño D3 $80 000,00 $50 000,00 $100 000,00 La decisión a recomendar, de acuerdo con este criterio es arrendar un sistema mediano, lo que proporcionaría una pérdida de oportunidad de $50 000,00. Criterio de Hurwitz Para aplicar este criterio hay que definir un valor para el coeficiente  . Fijemos un   0,4 y calculamos los valores que adoptaría en los h i. h1 =0.4 (200000) + 0.6 (-20000) = $68000 h2 = 0.4 (150000) + 0.6 (20000) - 72000 h3 = 0.4 (100000) + 0.6 (60000) = 76000 < - Mayor valor En este caso la decisión a recomendar es arrendar un sistema pequeño. Nótese que al fijar un valor de  = 0.4 nos inclinamos hacia un criterio pesimista. Fijando otro valor para  podremos obtener otra solución. Observe que los criterios de decisión utilizados han conducido a recomendaciones diferentes. Esto no es malo en sí mismo, sino que refleja la diferencia en cuanto a la actitud que adapta el decisor, ante el riesgo que subyace en los diferentes criterios. Finalmente la decisión la debe adaptar la dirección de la empresa Z. Estos criterios sirven para que basta los tenga en cuenta y seleccione el que lo parezca más razonable de acuerdo con su experiencia, intuición, objetivos, etc. En definitiva el decisor seleccionar él que mejor reflejo sus criterios. No olvidemos que la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre siempre es convencional y subjetiva. Pero pese a todo, los métodos empleados son útiles, ya que permiten:  Expresar en la matriz de decisión los elementos esenciales que se daban tener en cuenta para tomar la misma y lo cual es bueno cuando se tienen muchas alternativas.  Sustituir la mera contemplación de la matriz de decisión con el empleo de diferentes criterios que permiten valorar las decisiones desde diferentes puntos de vistas, considerar las recomendaciones de cada uno de ellos y por ultimo detenerse en algo concreto. pág. 106 Asignatura: Investigación de Operaciones Esto es semejante a discutir el problema desde diferentes puntos de vista, pues como se sabe de la discusión sale la mejor solución. Por tanto no puede esperarse de la teoría de la decisión soluciones definitivas e indiscutibles, con lo único que puede ayudarnos es con consejos. Si las recomendaciones que se deducen de los diferentes criterios coinciden, tanto mejor, entonces se puede elegir sin vacilar la alternativa recomendada. Si como sucede frecuentemente, las recomendaciones son contradictorias, entonces razonemos sobre estas, aclaremos hasta qué punto divergen los resultados obtenidos, precisemos los puntos de vista y hagamos la elección definitiva. No olvidemos que en cualquier problema en el que se deben fundamentar decisiones es inevitable cierta arbitrariedad que puede estar dado Incluso al elegir el criterio de selección. La teoría de la decisión no elimina la arbitrariedad sino que permite solo "ponerla en su lugar". En los problemas de teoría de la decisión luego de identificar el tipo de problema presente, un paso importante es contar con la matriz de decisión, de conocerse la matriz de decisión el trabajo se reduce a aplicar los criterios de decisión, es por ello que veremos un ejemplo donde se desconoce la matriz. Actividad PROBLEMAS PROPUESTOS DE TEORIA DE DECISIONES 1. La vendedora Phyllis Pauley vende periódicos en la esquina de la avenida Kirkwood y la calle Indiana, y todos los días debe determinar cuántos periódicos pedir. Phyllis paga a la compañía $ 20 por cada ejemplar y los vende a $ 25 cada uno. Los periódicos que no se venden al terminar el día no tienen valor alguno. Phyllis sabe que cada día puede vender entre 6 y 10 ejemplares, cada uno con una posibilidad equiprobable. Demuestre cómo se ajusta este problema en el modelo del estado del mundo. 9.4 Árboles de decisiones El árbol de decisión es un diagrama que representan en forma secuencial condiciones y acciones; muestra qué condiciones se consideran en primer lugar, en segundo lugar y así sucesivamente. Este método permite mostrar la relación que existe entre cada condición y el grupo de acciones permisibles asociado con ella. Un árbol de decisión sirve para modelar funciones discretas, en las que el objetivo es determinar el valor combinado de un conjunto de variables, y basándose en el valor de cada una de ellas, determinar la acción a ser tomada. Los árboles de decisión son normalmente construidos a partir de la descripción de la narrativa de un problema. Ellos proveen una visión gráfica de la toma de decisión necesaria, especifican las variables que son evaluadas, qué acciones deben ser tomadas y el orden en la cual la toma de decisión será efectuada. Cada vez que se ejecuta un árbol de decisión, solo un camino será seguido dependiendo del valor actual de la variable evaluada. Se recomienda el uso del árbol de decisión cuando el número de acciones es pequeño y no son posibles todas las combinaciones. pág. 107 Asignatura: Investigación de Operaciones El desarrollo de árboles de decisión beneficiado analista en dos formas. Primero que todo, la necesidad de describir condiciones y acciones llevan a los analistas a identificar de manera formal las decisiones que actualmente deben tomarse. De esta forma, es difícil para ellos pasar por alto cualquier etapa del proceso de decisión, sin importar que este dependa de variables cuantitativas o cualitativas. Los árboles también obligan a los analistas a considerar la consecuencia de las decisiones. Se ha demostrado que los árboles de decisión son eficaces cuando es necesario describir problemas con más de una dimensión o condición. También son útiles para identificar los requerimientos de datos críticos que rodean al proceso de decisión, es decir, los árboles indican los conjuntos de datos que la gerencia requiere para formular decisiones o tomar acciones. El analista debe identificar y elaborar una lista de todos los datos utilizados en el proceso de decisión, aunque el árbol de decisión no muestra todo los datos. Si los árboles de decisión se construyen después de completar el análisis de flujo de datos, entonces es posible que los datos críticos se encuentren definidos en el diccionario de datos (el cual describe los datos utilizados por el sistema y donde se emplean). Si únicamente se usan árboles de decisiones, entonces el analista debe tener la certeza de identificar con precisión cada dato necesario para tomar la decisión. Los árboles de decisión no siempre son la mejor herramienta para el análisis de decisiones. El árbol de decisiones de un sistema complejo con muchas secuencias de pasos y combinaciones de condiciones puede tener un tamaño considerable. El gran número de ramas que pertenecen a varias trayectorias constituye más un problema que una ayuda para el análisis. En estos casos los analistas corren el riesgo de no determinar qué políticas o estrategias de la empresa son la guía para la toma de decisiones específicas. Cuando aparecen estos problemas, entonces es momento de considerar las tablas de decisión. ESTRUTURA DE UN ÁRBOL DE DECISIÓN Los Árboles de decisión están formados por:  Nodos de decisión representados por cuadrados. Estos nodos representan los puntos donde el que toma una decisión debe elegir entre varias acciones posibles  Nodos de oportunidad o de evento representados por círculos. Estos nodos indican aquellas artes del proceso de toma de decisión ' es en las que ocurre un evento o estado de la naturaleza.  Ramas que se representan por una línea. Se utilizan para denotar las decisiones (ramas de decisión) a los estados de la naturaleza (ramas de oportunidad). En estas se reflejan las probabilidades de que ocurra un estado dado de la naturaleza  El final del árbol lo indican las Ramas Terminales, las cuales pueden ser ramas de decisión o de oportunidad. Al lado de estas se reflejan los Resultados a Pagos. En la toma de decisiones empresariales son recuentos las situaciones en las que el decisor debe adoptar una secuencia de decisiones, ya que una decisión en el momento actual puede condicionar y exigir otras decisiones en momentos de tiempo posteriores. El análisis basado en el Árbol de decisión es una herramienta útil en la toma de decisiones referente a inversiones, la estrategia de nuevos productos, etc. CÓMO DIBUJAR UN ÁRBOL DE DECISIONES pág. 108 Asignatura: Investigación de Operaciones Para comenzar a dibujar un árbol de decisión debemos escribir cuál es la decisión que necesitamos tomar. Dibujaremos un recuadro para representar esto en la parte izquierda de una página grande de papel. Desde este recuadro se deben dibujar líneas hacia la derecha para cada posible solución, y escribir cuál es la solución sobre cada línea. Se debe mantener las líneas lo más apartadas posibles para poder expandir tanto como se pueda el esquema. Al final de cada línea se debe estimar cuál puede ser el resultado. Si este resultado es incierto, se puede dibujar un pequeño círculo. Si el resultado es otra decisión que necesita ser tomada, se debe dibujar otro recuadro. Los recuadros representan decisiones, y los círculos representan resultados inciertos. Se debe escribir la decisión o el causante arriba de los cuadros o círculos. Comenzando por los recuadros de una nueva decisión en el diagrama, dibujar líneas que salgan representando las opciones que podemos seleccionar. Desde los círculos se deben dibujar líneas que representen las posibles consecuencias. Nuevamente se debe hacer una pequeña inscripción sobre las líneas que digan que significan. Seguir realizando esto hasta que tengamos dibujado tantas consecuencias y decisiones como sea posible ver asociadas a la decisión original. Un ejemplo de árbol de decisión se puede ver en la siguiente figura: Una vez que tenemos hecho esto, revisamos el diagrama en árbol. Controlamos cada cuadro y círculo para ver si hay alguna solución o consecuencia que no hayamos considerado. Si hay alguna, la debemos agregar. En algunos casos será necesario dibujar nuevamente todo el árbol si partes de él se ven muy desarregladas o desorganizadas. Ahora ya tendremos un buen entendimiento de las posibles consecuencias de nuestras decisiones. pág. 109 Asignatura: Investigación de Operaciones EVALUAR LOS ÁRBOLES Aquí es cuando podemos analizar cuál opción tiene el mayor valor para nosotros. Comencemos por asignar un costo o puntaje a cada posible resultado (cuánto creemos que podría ser el valor para nosotros si estos resultados ocurren). Luego, debemos ver cada uno de los círculos (que representan puntos de incertidumbre) y estimar la probabilidad de cada resultado. Si utilizamos fracciones, estas deberían sumar 1 (si utilizamos porcentajes, el total debe sumar 100%). Si tenemos algún tipo de información basada en eventos del pasado, quizás estemos en mejores condiciones de hacer estimaciones más rigurosas sobre las probabilidades. De otra forma, debemos realizar nuestra mejor suposición Esto dará un árbol parecido al de la siguiente figura: CALCULO DE LOS VALORES DE LOS ÁRBOLES Una vez que calculamos el valor de cada uno de los resultados, y hemos evaluado la probabilidad de que ocurran las consecuencias inciertas, ya es momento de calcular el valor que nos ayudará a tomar nuestras decisiones. Comenzamos por la derecha del árbol de decisión, y recorremos el mismo hacia la izquierda. Cuando completamos un conjunto de cálculos en un nodo (cuadro de decisión o círculo de incertidumbre), todo lo que necesitamos hacer es anotar el resultado. Podemos ignorar todos los cálculos que llevan a ese resultado.  CALCULAR EL VALOR DE LOS NODOS DE INCERTIDUMBRE (círculos) pág. 110 Asignatura: Investigación de Operaciones Cuando vayamos a calcular el valor para resultados inciertos (los círculos), debemos hacerlo multiplicando el costo de estos resultados por la probabilidad de que se produzcan. El total para esos nodos del árbol lo constituye la suma de todos estos valores.  CALCULAR EL VALOR DE LOS NODOS DE DECISIÓN (recuadros) Cuando evaluamos los nodos de decisión, debemos escribir el costo de la opción sobre cada línea de decisión. Luego, debemos calcular el costo total basado en los valores de los resultados que ya hemos calculado. Esto nos dará un valor que representa el beneficio de tal decisión. Hay que tener en cuenta que la cantidad ya gastada no cuenta en este análisis - estos son costos ya perdidos y (a pesar de los argumentos que pueda tener un contador) no deberían ser imputados a las decisiones. Cuando ya hayamos calculado los beneficios de estas decisiones, deberemos elegir la opción que tiene el beneficio más importante, y tomar a este como la decisión tomada. Este es el valor de este nodo de decisión. El árbol final con los resultados de los cálculos puede verse en la siguiente figura:  CUÁL ES EL RESULTADO Realizando este análisis podemos ver que la mejor opción es el desarrollo de un nuevo producto. Es mucho más valiosos para nosotros que tomemos suficiente tiempo para registrar el producto antes que apurarnos a sacarlo rápidamente al mercado. Es preferible el mejorar nuestros productos ya desarrollados que echar a perder un nuevo producto, incluso sabiendo que nos costará menos. Actividad pág. 111 Asignatura: Investigación de Operaciones PROBLEMAS PROPUESTOS DE ÁRBOLES DE DECISIONES 1) Una empresa que fabrica un determinado producto está pensando en aumentar su capacidad. Sus principales alternativas son: construir una planta pequeña, construir una planta mediana, construir una planta grande o no hacer nada. La nueva instalación fabricará un nuevo tipo de producto, cuyo potencial de comercialización actualmente es desconocido. Si se construye una planta grande y existe un mercado favorable, se podría obtener un beneficio de 200 millones de Bs. Un mercado desfavorable supondría una pérdida de 180 millones de Bs. Sin embargo, con una planta mediana se obtendría un beneficio de 120 millones si el mercado fuera favorable, mientras que la pérdida sería de 20 millones si el mercado fuera desfavorable. Por otro lado, una planta pequeña daría un beneficio de 80 millones de Bs. si el mercado fuera favorable, y una pérdida de 10 millones si fuera desfavorable. Recientes estudios de mercado indican que existe una probabilidad de 0.4 de que el mercado sea favorable. ¿Cuál alternativa seleccionaría? 2) Como director de operaciones de Muebles & Madera, usted debe tomar una decisión sobre la ampliación de la línea de mobiliario infantil (cunas, cajas para juguetes, camas, etc.). Estudia las posibilidades con la directora de ventas y ambos están de acuerdo en que va a haber mercado y que la compañía debe entrar en él. Sin embargo, como el mobiliario infantil a menudo se debe pintar en lugar de barnizar, usted decide que necesita otra línea de producción. No tiene duda alguna sobre su decisión, y está seguro que necesita un segundo proceso. Pero la cuestión es saber cuál ha de ser su tamaño. Una línea de producción grande costará 300 millones de Bs.; una línea de producción pequeña costará 200 millones de Bs. Por tanto, es importante saber la demanda que habrá de mobiliario infantil. Después de una extensa discusión con los representantes de una empresa de marketing que se contrató para que hiciera el estudio de mercado, se determinó que la mejor estimación que se puede hacer es que hay un 66.5% de probabilidades de que la demanda sea alta, y un 33.5 % de probabilidades de que la demanda sea baja. Con una línea de producción grande y una demanda alta puede obtener ganancias de 400 millones. Si la demanda es baja obtendrá beneficios de 200 millones. Con una línea de producción pequeña no podrá cubrir una demanda alta, por lo que la empresa se verá en la necesidad de expandirse; después de la expansión las ganancias serán de 330 millones. Si no se expande, las ganancias se quedarían en 280 millones. Si se decide por un proceso pequeño y la demanda es baja, podrá satisfacerla sin ningún problema con una ganancia de 200 millones. ¿Abrirá una línea de producción grande o pequeña? pág. 112 Asignatura: Investigación de Operaciones SEXTA UNIDAD Tema Nº 10: CADENAS DE MARKOV 10.1 INTRODUCCIÓN Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. “Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el remplazo de equipo. El análisis de Markov, llamado así en honor de un matemático ruso que desarrollo el método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. Algo más importante aún, es que permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado. Con esta información se puede predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo. La tarea más difícil es reconocer cuándo puede aplicarse. La característica más importante que hay que buscar en la memoria de un evento a otro. 10.2 CASO DE APLICACIÓN Aplicación a la administración: Planeación de Personal. El análisis de transición puede ser útil al planear satisfacer las necesidades de personal. Muchas firmas emplean trabajadores de diferentes niveles de clasificación dentro de la misma categoría de trabajo. Esto es común para personal de confianza, oficinistas, obreros calificados, no calificados y personal profesional. La firma debe tener el número de empleados en cada nivel de clasificación para proporcionar la oportunidad de promoción adecuada, cumplir con las habilidades necesarias para el trabajo y controlar la nómina. Una planeación de personal a largo plazo apropiada requiere que se considere el movimiento de personas tanto hacia arriba en el escalafón de clasificación como hacia afuera de la organización. El análisis de Markov puede ayudar en este esfuerzo de planeación. El movimiento de personal a otras clasificaciones puede considerarse como una cadena de Markov. Se supone que hay tres clasificaciones; el grado 1 es la más baja. Además, los descensos se consideran raros y se omiten. El estado "salen" es absorbente, el cual incluye renuncias, ceses, despidos y muertes. Por supuesto, todos los empleados finalmente alcanzan este estado. Las transiciones del grado 1 al grado 2 y del grado 2 al grado 3 representan promociones. Como transiciones de probabilidad, están controladas por la firma, puede establecerse el nivel que la firma determine que es necesario para cumplir sus objetivos. Como ejemplo, supóngase que la firma tiene en este momento 30 empleados del 3, 90 empleados del grado 2 y 300 empleados del grado 1 y que desea mantener este nivel de empleados durante el próximo año. Por experiencia, se espera que salgan el 30 % de los empleados de grado 1 al año, el 20 % de los empleados de grado 2 y el 10 % de aquellos que están en el grado 3. Si la política es contratar sólo en los niveles de clasificación más bajos, ¿cuántos se deben contratar y cuántos se deben promover el siguiente año para mantener estables los niveles? Este problema puede resolverse sin el análisis de Markov, pero el modelo es útil para ayudar a conceptualizar el problema. Como se trata sólo de un ciclo, se usa el análisis de transición. El análisis comienza con el grado más alto. No se hacen promociones pero el 10 %, o sea, 3, sale. Todos ellos deben de remplazarse por promociones del grado 2. En el nivel de clasificación, el 20 % sale y se deben promover 3, con una pérdida de 21. pág. 113 Asignatura: Investigación de Operaciones Esto se debe compensar por promoción del grado 1. Al pasar al grado 1, el 30 % sale y 21 deben promoverse, lo cual una pérdida total de 111. Por tanto, el siguiente año se deben contratar 111 empleados del nivel 1. En este ejemplo se derivan algunas tasas de transición a partir de consideraciones externas. 10.3 FORMULACIÓN DE LAS CADENAS DE MARKOV Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. “Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En la siguiente se muestra el proceso para formular una cadena de Markov. El generador de Markov produce uno de n eventos posibles, Ej , donde j = 1, 2, . . . , n, a intervalos discretos de tiempo (que no tiene que ser iguales ). Las probabilidades de ocurrencia para cada uno de estos eventos dependen del estado del generador. Este estado se describe por el último evento generado. En la figura 4.1.1, el último evento generado fue Ej , de manera que el generador se encuentra en el estado Mj . Generador de Markov La probabilidad de que Ek sea el siguiente evento generado es una probabilidad condicional: P (Ek / Mj). Esto se llama probabilidad de transición del estado Mj al estado Ek. Para describir completamente una cadena de Markov es necesario saber el estado actual y todas las probabilidades de transición. Probabilidades de transición Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama de estados, como el que se muestra en la figura 4.1.2. En ésta se ilustra un sistema de Markov con cuatro estados posibles: M1, M2, M3 y M4. La probabilidad condicional o de transición de moverse de un estado a otro se indica en el diagrama pág. 114 Asignatura: Investigación de Operaciones Diagrama de estados Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición. . La matriz de transición para el ejemplo del diagrama de estados se muestra en la tabla Matriz de transición. Matriz de transición Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición. . Para n = 0, 1, 2, … El superíndice n no se escribe cuando n = 1. CASOS RESUELTOS pág. 115 Asignatura: Investigación de Operaciones pág. 116 Asignatura: Investigación de Operaciones Actividad PROBLEMAS PROPUESTOS DE CADENAS DE MARKOV 1. 2. pág. 117 Asignatura: Investigación de Operaciones REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. ANDERSON y WILLIAMS, 2004 Métodos Cuantitativos Para los Negocios, 9ª Edición, México, Editorial IThomson Learning 2. EPPEN G D y Otros, 2000 Investigación de operaciones en la ciencia administrativa 5ª edición México Editorial Prentice Hall 3. HILLIER F y LIEBERMAN G. 1991 Introducción a la investigación de operaciones 5ª edición México Editorial McGraw-Hill 4. TAHA, H. 1998 Investigación de Operaciones. 6ª edición. México, Prentice Hall, REFERENCIAS ELECTRÓNICAS 1. Administración de operaciones http://admoperaciones.pe.tripod.com/admope.htm 2. Operations Management and Principles of Operations Management http://wps.prenhall.com/bp_heizer_opsmgmt_10/147/37737/9660836.cw/index.ht ml 3. Sistemas de producción integrado http://italica.us.es/asignaturas/it/spi.htm pág. 118 Asignatura: Investigación de Operaciones ANEXO DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR normal 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 0 0.5 0.53983 0.57926 0.61791 0.65542 0.69146 0.72575 0.75804 0.78814 0.81594 0.84134 0.86433 0.88493 0.9032 0.91924 0.93319 0.9452 0.95543 0.96407 0.97128 0.97725 0.98214 0.9861 0.98928 0.9918 0.99379 0.99534 0.99653 0.99744 0.99813 0.99865 0.99903 0.99931 0.99952 0.99966 0.99977 0.99984 0.99989 0.99993 0.99995 0.99997 0.01 0.50399 0.5438 0.58317 0.62172 0.6591 0.69497 0.72907 0.76115 0.79103 0.81859 0.84375 0.8665 0.88686 0.9049 0.92073 0.93448 0.9463 0.95637 0.96485 0.97193 0.97778 0.98257 0.98645 0.98956 0.99202 0.99396 0.99547 0.99664 0.99752 0.99819 0.99869 0.99906 0.99934 0.99953 0.99968 0.99978 0.99985 0.9999 0.99993 0.99995 0.99997 0.02 0.50798 0.54776 0.58706 0.62552 0.66276 0.69847 0.73237 0.76424 0.79389 0.82121 0.84614 0.86864 0.88877 0.90658 0.9222 0.93574 0.94738 0.95728 0.96562 0.97257 0.97831 0.983 0.98679 0.98983 0.99224 0.99413 0.9956 0.99674 0.9976 0.99825 0.99874 0.9991 0.99936 0.99955 0.99969 0.99978 0.99985 0.9999 0.99993 0.99996 0.99997 0.03 0.51197 0.55172 0.59095 0.6293 0.6664 0.70194 0.73565 0.7673 0.79673 0.82381 0.84849 0.87076 0.89065 0.90824 0.92364 0.93699 0.94845 0.95818 0.96638 0.9732 0.97882 0.98341 0.98713 0.9901 0.99245 0.9943 0.99573 0.99683 0.99767 0.99831 0.99878 0.99913 0.99938 0.99957 0.9997 0.99979 0.99986 0.9999 0.99994 0.99996 0.99997 0.04 0.51595 0.55567 0.59483 0.63307 0.67003 0.7054 0.73891 0.77035 0.79955 0.82639 0.85083 0.87286 0.89251 0.90988 0.92507 0.93822 0.9495 0.95907 0.96712 0.97381 0.97932 0.98382 0.98745 0.99036 0.99266 0.99446 0.99585 0.99693 0.99774 0.99836 0.99882 0.99916 0.9994 0.99958 0.99971 0.9998 0.99986 0.99991 0.99994 0.99996 0.99997 0.05 0.51994 0.55962 0.59871 0.63683 0.67364 0.70884 0.74215 0.77337 0.80234 0.82894 0.85314 0.87493 0.89435 0.91149 0.92647 0.93943 0.95053 0.95994 0.96784 0.97441 0.97982 0.98422 0.98778 0.99061 0.99286 0.99461 0.99598 0.99702 0.99781 0.99841 0.99886 0.99918 0.99942 0.9996 0.99972 0.99981 0.99987 0.99991 0.99994 0.99996 0.99997 0.06 0.52392 0.56356 0.60257 0.64058 0.67724 0.71226 0.74537 0.77637 0.80511 0.83147 0.85543 0.87698 0.89617 0.91308 0.92785 0.94062 0.95154 0.9608 0.96856 0.975 0.9803 0.98461 0.98809 0.99086 0.99305 0.99477 0.99609 0.99711 0.99788 0.99846 0.99889 0.99921 0.99944 0.99961 0.99973 0.99981 0.99987 0.99992 0.99994 0.99996 0.99998 0.07 0.5279 0.56749 0.60642 0.64431 0.68082 0.71566 0.74857 0.77935 0.80785 0.83398 0.85769 0.879 0.89796 0.91466 0.92922 0.94179 0.95254 0.96164 0.96926 0.97558 0.98077 0.985 0.9884 0.99111 0.99324 0.99492 0.99621 0.9972 0.99795 0.99851 0.99893 0.99924 0.99946 0.99962 0.99974 0.99982 0.99988 0.99992 0.99995 0.99996 0.99998 0.08 0.53188 0.57142 0.61026 0.64803 0.68439 0.71904 0.75175 0.7823 0.81057 0.83646 0.85993 0.881 0.89973 0.91621 0.93056 0.94295 0.95352 0.96246 0.96995 0.97615 0.98124 0.98537 0.9887 0.99134 0.99343 0.99506 0.99632 0.99728 0.99801 0.99856 0.99896 0.99926 0.99948 0.99964 0.99975 0.99983 0.99988 0.99992 0.99995 0.99997 0.99998 pág. 119 0.09 0.53586 0.57535 0.61409 0.65173 0.68793 0.7224 0.7549 0.78524 0.81327 0.83891 0.86214 0.88298 0.90147 0.91774 0.93189 0.94408 0.95449 0.96327 0.97062 0.9767 0.98169 0.98574 0.98899 0.99158 0.99361 0.9952 0.99643 0.99736 0.99807 0.99861 0.999 0.99929 0.9995 0.99965 0.99976 0.99983 0.99989 0.99992 0.99995 0.99997 0.99998