investigacion de operaciones 1 unidad 4

INDICE4.1 Definicion Problema de Transporte...........................................................3 4.2 Metodo de Aproximacion de Vogel..........................................................5 4.3 Metodo de Modi....................................................................................... 8 4.4 Procedimiento de Optimizacion................................................................9 4.5 Definición Problema de Asignación..........................................................9 4.6 El Método Húngaro de Asignación..........................................................12 Conclusión.................................................................................................... 13 Bibliografía................................................................................................... 13 2) El total de unidades que salen en origen debe ser igual al total de unidades que entran en destino. desde varias mínimo? plantas (orígenes) a diferentes centros de almacenamiento (destinos). transportadas a tres tiendas que necesitan 1000. en Se trata de encontrar los pesetas por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. respectivamente. . por tanto. En este tipo de problemas se exige que toda la producción sea distribuida a los centros de ventas en las cantidades que precisa cada uno. caminos para trasladar ¿Cómo debe organizarse el transporte para que el coste sea mercancía. Para que un problema pueda ser resuelto por el método del transporte debe cumplir: Tienda A Tienda B Tienda C Fábrica I 3 7 1 Fábrica II 2 2 6 1) La función objetivo y las restricciones deben ser lineales. 700 y 600 piezas. no pueden generarse inventario del producto ni en las fábricas ni en los centros de ventas. de manera que se minimice el costo del transporte. respectivamente. Los costes de transporte.1 Definicion Problema de Transporte Problema del transporte Un problema particular que se resuelve con los procedimientos de la programación lineal es la situación conocida como problema del transporte o Una empresa dedicada a la fabricación de componentes de problema de la ordenador tiene dos fábricas que producen.Unidad 4 Transporte y asignación 4. Estas piezas han de ser mercancías. distribución de 800 y 1500 piezas mensuales. x 0. Y lo mismo para C.200) = 6x + 10y + 3000 En definitiva. Estos costes se hallan multiplicando las cantidades enviadas a desde cada fábrica a cada tienda por los respectivos costes de transporte unitario.x 700 . el resto.z desde II. el programa lineal a resolver es : Minimizar: Z = 6x + 10y + 3000 sujeto a: 1000 x 0 700 y 0 800 x+y 0 La región factible se da en la imagen del margen.x) + 7y + 2(700 .x .y x + y .x .y 0 . de donde.y.y. el resto necesario. 800 . 600 . 1000 . Se obtiene: Z = f(x. esto es. deben enviarse desde II.y 0 . 800 x+y 0 Recordemos que nuestro objetivo es abaratar al máximo los costes de transporte. se obtienen las siguientes inecuaciones: 1000 x 0 .y) + (800 . todas las cantidades anteriores deben ser mayores o iguales que cero. .y) = 3x + 2(1000 .200 0 Simplificando las desigualdades anteriores.x .(800 . si desde I a B se envían y. 700 y 0 . 700 . B y C. Pero.200 La última columna la hemos obtenido de la siguiente forma: Como x + y + z = 800 .x unidades serán enviadas desde II a A.x . que recibirá z desde I y 600 . además. Ahora bien.y 0. y. Por tanto. hasta las 1000 necesarias en A. z a A.y) + 6(x + y . En la siguiente tabla de distribución se resume lo dicho: Envíos a la tienda A (1000) a la tienda B (700) a la tienda C (600) Desde la fábrica I ( 800) x y 800 . se tiene que z = 800 . 700 .En consecuencia. deben ser enviadas desde la fábrica II. de manera que x + y + z = 800.200. 1000 .y Desde la fábrica II (1500) 1000 . Del mismo modo.z = 600 .y) = x + y . se obtienen las siguientes desigualdades: x 0 . si desde I se envían x unidades a A. x + y .x . los 800 artículos producidos en la fábrica I deben distribuirse en las cantidades x. 10600  en D.Sus vértices son A(200. 4200  en B. Para hacer más concreta esta descripción. de los que quedan en ese renglón o columna.700) . En el renglón o columna que tiene la mayor diferencia se elige la variable que tiene el menor costo unitario que queda.0) . Luego. que se define como la diferencia aritmética entre el costo unitario más pequeño (cij) y el que le sigue. entonces la diferencia es 0). (Si se tiene un empate para el costo más pequeño de los restantes de un renglón o columna. El coste. se ilustrará el procedimiento general. las cantidades a distribuir son: Envíos a la tienda A (1000) a la tienda B (700) a la tienda C (600) Desde la fábrica I ( 800) 200 0 600 Desde la fábrica II (1500) 800 700 0 4. 7800  en C.200). (Los empates para la mayor de estas diferencias se pueden romper de manera arbitraria). es:  en A. 10000  en E. D(0. cuando x = 200 e y = 0. B(800. se calcula su diferencia. C(100.2 Metodo de Aproximacion de Vogel Método de Aproximación de Vogel: para cada renglón y columna que queda bajo consideración. el valor de Z en cada uno de esos puntos.700) y E(0. 5000 El mínimo se da en A .0) . utilizando el método de aproximación de Vogel para resolver el ejemplo presentado anteriormente y que fue resuelto por la regla de la esquina noroeste: . Continuando con la aplicación del método. Observemos en la figura anterior que únicamente eliminamos el segundo renglón ya que la tercera columna nos servirá después para hacer la asignación de una variable básica degenerada. tenemos que calcular nuevamente las diferencias de las columnas ya que hemos eliminado un renglón y ésto puede ocasionar que las diferencias aritméticas entre el costo unitario más pequeño y el que le sigue ya no sean las mismas: Recurso s 3 7 6 45 DIF. 7 6 45 1 4 3 22 0 0 8 53 1 2 3 4 10 Demanda 3 4 DIF. En esa columna encontramos el costo unitario (c ij) menor y en esa celda realizamos la primera asignación: Recurso s 3 2 DIF. 1 . 1 1 2 0 1 3 1 10 2 Nota: Marcaremos a la mayor de las diferencias seleccionada encerrándola en un círculo y escribiéndole como superíndice el número que le corresponda en la secuencia de selección.Iniciamos el método calculando las primeras diferencias para cada renglón y columna. De las diferencias que obtuvimos nos fijamos en la mayor (¿Por qué?). que resulta ser para la tercera columna. por lo tanto vamos tomando una a una las celdas que quedan comenzando con la de menor costo unitario hasta que todas hayan sido asignadas. 1 1 1 2 0 1 0 3 4 2 DIF. no es posible encontrar la diferencia aritmética entre el costo menor y el que le sigue.4 2 3 22 0 0 8 53 0 1 2 3 4 3 10 Demanda 3 4 1 DIF. 1 1 1 2 0 1 3 4 2 1 10 2 2 1 Como siguiente paso deberíamos calcular las nuevas diferencias de columnas. Recurso s 3 7 3 2 45 2 1 0 1 6 1 0 4 1 3 22 0 0 8 53 0 1 2 3 4 3 10 Demanda 3 0 4 1 0 DIF. 2 1 2 1 10 . pero ya que solamente queda un renglón dentro de las posibilidades (ésto no significa que solamente un renglón quede bajo consideración ya que podemos observar que ninguna de las cuatro columnas (destinos) ha sido eliminada y todas quedan todavía bajo consideración). la evaluación de cada variable no básica X pq está dada como: El criterio que se utiliza para seleccionar la variable que entra es el mismo que el método de banquillo (la mayor negativa). Los clientes necesitan 200. 180 y 500 unidades respectivamente. Los valores de los multiplicadores pueden ser determinados a partir de las ecuaciones suponiendo un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores (usualmente se establece U1=0) y resolviendo el sistema de ecuaciones para encontrar los multiplicadores desconocidos. x12=1. 200. Para cada variable básica X ij de la solución actual. x23=2 y x32=3 y el costo total de transporte asociado a esta primera “Política de Transporte” factible es de: x11 c11 Costo = 3 x12 c12 (3) + 1 x13 c13 (7) + 0 x14 c14 (6) + 1 x23 c23 (4) + 2 x32 c32 (3) + 3 (3) = 35 unidades Es necesario aclarar que ésta puede o no ser la solución final del problema. La principal diferencia ocurre en la forma en que las variables no básicas se evalúan en cada iteración. Esas ecuaciones proporcionan m+n-1 relaciones con m+n incógnitas.La solución inicial básica factible es x11=3. Asociados a cada renglón i de la tabla existen multiplicadores U i similarmente se asocia un multiplicador Vj a cada columna de la tabla j. Los almacenes cuentan con 800 y 1000 unidades respectivamente. 150. 4. Los costos de embarque por artículo de los almacenes de los clientes son: . x13=0 (variable básica degenerada). es necesario aplicar a esta primera solución factible la prueba de optimalidad ya que puede existir una mejor “política de transporte” que minimice todavía más el costo total. Ejemplo: Una compañía está considerando una demanda de 5 clientes utilizando artículos que tienen disponibles en 2 almacenes. x14=1. Una vez que se hace esto.3 Metodo de Modi Este método reproduce exactamente las mismas iteraciones del método de banquillo. se escribe la ecuación Ui +Vj = Cij. Resuelva el modelo de transporte empleando. Entre las celdas donadoras se selecciona la variable basica que tiene el menor valor. Pasos para la optimizacion: 1. a) Una solución inicial por el método de aproximación de vogel.4 Procedimiento de Optimizacion Una solución BF es optima si y solo si Cij-Ui-Vj=>0 para toda (ij)tal que Xij es no basica. se elige la variable no basica Xij que tiene el valor negativo mas grande(en terminos absolutos)para Cij-Ui-Vj. b) La solución óptima por el método de multiplicadores.. 2.se determina la variable basica entrante.se determina la varible basica que sale: se identifica la reaccion en cadena que se necesita para conservar la factibilidad cuando aumenta el valor de la variable basica entrante. DESTINO FICTICIO = 570 ARTÍCULOS 4. .. Es la reducion de costos. Uno de los problemas más importantes que necesita discusión es el significado de distribución óptima. F2. el coste de actualizar Fi en todos los sitios donde se almacene y el coste de las comunicaciones de datos. .se determina la nueva solucion BF. Daremos un número de definiciones que nos permitan modelar el problema de la asignación. El problema de la asignación. S2. Sin embargo..... y definiremos lo siguiente para ese fragmento simple Fk: donde ti es el tráfico de lectura que se genera en el sitio Si para Fk. q2. Fn} y una red formada por el conjunto de sitios S = {S1. 2 Rendimiento.3. Por el momento.. entonces. 4. Fk. En otras palabras. Sm} en la cual un conjunto de aplicaciones Q = {q1. 1 Asumiremos que Q puede modificarse de tal manera que sea posible identificar las consultas de actualización de las de lectura. Una afirmación similar podría hacerse respecto a la maximización de la salida del sistema.. por ejemplo. .. dentro del concepto. deberíamos buscar un esquema de asignación tal que. Consideremos ahora una formulación del problema muy simple. intenta encontrar un esquema de asignación tal que minimice esta función de coste combinado. Sean un conjunto de fragmentos F = {F1.. no resulta descabellado pensar en la inclusión. Dos medidas habituales de este rendimiento son el tiempo de respuesta y la salida del sistema en cada sitio. Evidentemente. El problema de la asignación implica encontrar la distribución óptima de F sobre S.5 Definición Problema de Asignación Definición del problema. y . Definamos F y S como se hizo anteriormente. . tanto del rendimiento como de los factores de coste.. se suma el valor de la variable basica que sale a las asignaciones de las celdas receptoras y se resta a las asignaciones de las celdas donadoras. se debe intentar minimizar la primera y maximizar la segunda. La función de coste consiste en el coste de almacenamiento de cada Fi en un sitio Sj. La distribución óptima puede definirse con respecto a dos medidas: 1 Coste mínimo. la respuesta a las consultas de los usuarios se realizase en el menor tiempo posible mientras que el coste de procesamiento fuese mínimo. qq} se ejecutan. consideraremos únicamente un fragmento sencillo.. La estrategia de asignación se diseña para mantener una medida del rendimiento. Se han propuesto modelos de asignación que enfocan el concepto de distribución óptima desde diferentes puntos de vista. el coste de practicar una consulta en Fi en el sitio Sj. lo cual resultará un coste mínimo de transmisión de datos. por lo que definimos: donde cij es el coste de la unidad de comunicación para las peticiones de lectura entre los sitios Si y Sj y c'ij es el coste de la unidad de comunicación para las peticiones de lectura entre los sitios Si y Sj. La ubicación de un fragmento generalmente tiene influencia sobre las . obtener soluciones óptimas resultaría probablemente totalmente inviable. dm} como el coste de almacenar Fk en todos los sitios... por tanto. 4 Asumiremos que no existen restricciones de capacidad en los sitios o en los enlaces de comunicaciones. La expresión matemática hace uso de la variable de decisión para la ubicación xj es. 3 Sea di el coste de almacenar el fragmento en el sitio Si. Las investigaciones. pero 1 No se pueden tratar los fragmentos como archivos individuales que se asignen aisladamente. Entonces el problema de asignación puede especificarse como un problema de minimización de costes por el cual se intenta encontrar el conjunto I S que especifique el lugar donde han de ubicarse las copias de los fragmentos. d2. Pero en el caso que lo fuera. definida xj.. deben girar en torno a la búsqueda de buenos heurísticos que proporciones soluciones parcialmente óptimas. Hay un número de razones del porqué de formulaciones tan simples que no sirven para el diseño de bases de datos distribuidas. 2 Asumiremos que el coste de comunicaciones entre un par de sitios Si y Sj es fijo para una unidad de transmisión. . Para un gran número de fragmentos y de sitios. se heredan de los modelos de asignación de archivos para redes. Además. Esta es una formulación muy simple que no es válida para el diseño de bases de datos distribuidas. El primer término corresponde al coste de transmisión de las actualizaciones a todos los sitios que mantienen réplicas de un fragmento y al coste de ejecución de las peticiones de lectura en el sitio. El segundo término de la función calcula el coste total de almacenar todas las copias duplicadas del fragmento. Entonces definimos D = {d1. asumiremos que éste es diferente para actualizaciones y para lecturas.donde ui es el tráfico de actualización que se genera en el sitio Si para Fk. xj = 1 si xj = 0 en otro caso el fragmento Fk se asigna al sitio Sj entonces. Generalmente. existiría un problema. presentaremos un modelo general y discutiremos una serie de posibles heurísticos que puedan emplearse para resolver el problema. aún localizando dos fragmentos implicados con las mismas restricciones de integridad en dos sitios diferentes podría resultar costoso dicho mantenimiento. 3 Estos modelos no tienen en cuenta el coste de mantenimiento de la integridad. Por tanto.decisiones de asignación de los otros fragmentos. El tamaño de un fragmento Fj viene dado por tamaño(Fj) = card(Fj)*long(Fj). Es el número de tuplas de Fj a las que se necesita acceder para procesar qi. donde long(Fj) es la longitud (en octetos) de una tupla del fragmento Fj. definimos la selectividad de los mintérminos. con elementos uij y rij. respectivamente. las características de proceso. la red de comunicaciones. En esta etapa de la asignación. También necesitamos definir dos matrices UM y RM. las aplicaciones que funcionan sobre ella. la relación entre la asignación y el procesamiento de consultas debería también tenerse en cuenta. Información necesaria. Este valor lo notaremos como seli(Fj). En resumen. Posteriormente. Para desarrollar la fragmentación horizontal.Información de la base de datos. pero se necesita un poco más para el modelo de asignación. y el número de accesos de actualización que una consulta qi realiza sobre un fragmento Fj durante su ejecución (llamada URij). Por tanto. 4 Igualmente. y el límite de almacenamiento de cada sitio de la red. Información de las aplicaciones. Las dos medidas más importantes son el número de accesos de lectura que una consulta qi realiza sobre un fragmento Fj durante su ejecución (llamada RRij). necesitaremos datos cuantitativos sobre la base de datos. Otro elemento informativo de los fragmentos de la base de datos es su tamaño. las relaciones entre fragmentos deben tenerse en consideración. Por tanto. a los cuales se acceden a la vez. puesto que el coste de acceso de los fragmentos restantes puede variar. describiremos un algoritmo concreto de asignación. necesitamos extender esta definición a los fragmentos y definir la selectividad de un fragmento Fj con respecto a una consulta qi. Mucha de la información relativa a las aplicaciones se recoge durante el proceso de fragmentación. debemos distinguir entre el problema tradicional de asignación de archivos de la asignación de fragmentos en los sistemas de bases de datos distribuidos. En los sistemas de bases de datos distribuidos. el acceso a los datos es más complicado que el simple acceso a archivos remotos. Una petición de usuario se resuelve en un sitio y todos los datos necesarios se transfieren a ese sitio. Ahora. el coste derivado del control de concurrencia debería tenerse en cuenta. 2 El acceso de las aplicaciones a los datos se modela muy sencillamente. Los modelos desarrollados realizan una serie de simples suposiciones y pueden aplicarse a ciertas formulaciones específicas. Procederemos a discutirlos en detalle. No existen modelos heurísticos generales que tomen como entrada un conjunto de fragmentos y produzcan una asignación cercana a lo óptimo que además esté influenciada por los tipos de restricciones descritas antes. que se especifican como sigue: uij = 1 si uij = 0 en otro caso rij = 1 rij = 0 en otro caso si la la consulta consulta qi actualiza qi lee el del fragmento Fj fragmento Fj . se debe multiplicar la matriz de ganancias por menos uno (−1) y resolver el problema como uno de minimización. Información de los sitios. etc. ya que es más eficaz que el empleado para resolver el problema del transporte por el alto grado de degeneración que pueden presentar los problemas de asignación. Paso 2: (En algunos pocos textos este paso se atribuye a Flood). Obviamente. A continuación se debe construir una nueva matriz (denominada matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna. . La unidad de trabajo debería ser idéntica a aquella utilizada en las medidas RR y UR. La unidad de coste de almacenar datos en el sitio Sk será denotada como UCAk. El número de líneas para cubrir los ceros es igual a la cantidad de asignaciones que hasta ese momento se pueden realizar. Para resolver un problema de asignación en el cual la meta es maximizar la función objetivo. se cree que la derivación de estas ecuaciones se sale fuera de este documento. a continuación se debe restar k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sumar k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas (intersecciones). Las fases para la aplicación del método Húngaro son: Paso 1: Encontrar primero el elemento más pequeño en cada fila de la matriz de costos m*m. Por último se debe regresar al paso 2. el costo mínimo en cada columna. especificaremos como medida de coste UPTk al coste de procesar una unidad de trabajo en el sitio Sk. Información sobre la red. Notas: 1. las distancias entre sitios. estos valores pueden calcularse a través de funciones elaboradas o por simples estimaciones. asignando a cada aplicación el máximo tiempo de respuesta permitido. las características del protocolo. Es evidente que existen modelos de red mucho más elaborados que toman en cuenta las capacidades del canal. Sobre cada ordenador necesitamos conocer sus capacidades de procesamiento y almacenamiento. si se necesitan m líneas para cubrir todos los ceros. especificaremos las restricciones impuestas por el tiempo de respuesta. Sin embargo. Consiste en trazar el número mínimo de líneas (horizontales o verticales o ambas únicamente de esas maneras) que se requieren para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos. usaremos ftamaño como el tamaño (en octetos) de una trama. 4. Si se requieren menos de m líneas para cubrir todos los ceros.También debe definirse un vector O de valores o(i). donde o(i) especifica el sitio origen de la consulta qi. En nuestro modelo asumiremos la existencia de una red simple donde el coste de comunicaciones se define respecto a una trama de datos. se debe continuar con el paso 3. Entonces gij nota el coste de comunicación por trama entre los sitios Si y Sj. que no está cubierto por las líneas dibujadas en el paso 2. Así mismo. se debe construir una nueva matriz al restar de cada costo el costo mínimo de cada fila. Finalmente.6 El Método Húngaro de Asignación Este algoritmo se usa para resolver problemas de minimización. encontrar para esta nueva matriz. se tiene una solución óptima entre los ceros cubiertos de la matriz. Paso 3: Encontrar el menor elemento diferente de cero (llamado k) en la matriz de costos reducidos. Para permitir el cálculo del número de mensajes. En un problema grande. Se puede demostrar que si se necesitan j líneas para cubrir todos los ceros.upiicsa. Conclusión Me ha parecido muy importante el contenido de la materia ya que por supuesto que se aplicará en nuestras labores en el momento en el que nos lleguemos a enfrentar en algún problema en nuestra vida laboral y es importante saber cada uno de los métodos que existen ya que así sabremos que no solo hay una sola manera de resolver el problema y entonces podremos escoger la manera correcta o que sería la mejor forma para resolver nuestro problema Bibliografía http://www. Si el número de filas y de columnas en la matriz de costos son diferentes. esto explica porqué termina cuando se necesitan m líneas.htm https://www. el problema de asignación está desbalanceado. debido a lo anterior.sites.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/InvOperChave/Docume ntos/Unidad1/UNIDAD112. entonces se pueden asignar solamente j trabajos a un costo cero en la matriz actual.academia.2.edu/6989381/Investigacion_de_operaciones . se debe balancear primero cualquier problema de asignación (añadiendo filas o columnas ficticias) antes de resolverlo mediante el método Húngaro.ipn. puede resultar difícil obtener el mínimo número de filas necesarias para cubrir todos los ceros en la matriz de costos actual. El método Húngaro puede proporcionar una solución incorrecta si el problema no está balanceado. 3. 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